PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ Là pt c !"#$ % y "+ ay '+ by = f ( x ) (1) với : a, b : hằng số Pt t&'(# #&)t *+,# -.t *à % y "+ ay '+ by = 0 (2) C/c& t01 2 #$&+1 3*tt c45 pt t&'(# #&)t % y "+ ay '+ by = 0 Gọi pt : k 2 + ak + b = 0 (*) là pt đặc t!ng c"a (2) , pt (*) c# : ∆=
a 2 − $b
c# c%c t!&ng h'p sa : 56 N.' ∆ > 0 % pt (*) c 2 #$&+1 p&7# 8+t % k 1,2
=
−a ±
∆
2
th pt (2) c# 2 nghi*+ đltt là : y1
=
kx
e 1 và y2
=e
k2 x
VD : Giải : y "− y '+ - y = 0 Bài giải : . Pt đặc trưng : k 2 − k + - = 0 ⇒
k1 = 2, k 2 = / . 2 nghiệm đltt của t là : y1 = e2 x !à y2 = e/ x . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là : y = )1e 2 x + )2 e/ x * ()1 , ) 2 ∈ ¡ ) 86 N.' ∆ = 0 % pt (*) c #$&+1 -9p %
k1
=
th pt (2) c# 2 nghi*+ đltt là : −a
y1
=
e
2
x
và y
2
−a
=
xe
2
x
k 2
=
−a
2
VD : Giải : y "+ $ y '+ $ y = 0 Bài giải : . Pt đặc trưng : k 2 + $k + $ = 0 ⇒
k1 = k 2 = −2 . 2 nghiệm đltt của t là : y1 = e 2 x !à y2 = xe 2 x . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là : y = )1e −2 x + )2 xe−2 x * ()1 , ) 2 ∈ ¡ ) ⇔
y = e
−
−
−2 x
()1 + )2 x) * ()1 , ) 2 ∈ ¡ )
c6 N.' ∆ < 0 % pt (*) -&:#$ c #$&+1 t&;c< (*) c 2 #$&+1 p&=c %
k1,2
=
−a ±
∆i
=−
2
a
∆
i
±
2
2
th pt (2) c# 2 nghi*+ đltt là : −a
y1
2
=e
x
∆
sin
2
x và y
1
−a
=e
2
x
∆
cs
2
x
VD + : Giải : y "+ 2 y '+ 10 y = 0 Bài giải : . Pt đặc trưng : k 2 + 2k + 10 = 0 ∆ ' = 1 − 10 = −
t c, 2 nghiệm h-c : k1,2 = −1 ± /i . 2 nghiệm đltt của t là : y1 = e x sin/ x !à y2 = e x cs/ x . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là : y = )1e x sin / x + )2 e x cs / x * ()1 , ) 2 ∈ ¡ ) ⇒
−
−
−
⇔
−
y = e x ()1 sin / x + )2 cs / x) * ()1 , ) 2 ∈ ¡ ) −
VD 2 : Giải : y "+ / y '+ 12 y = 0
Bài giải : . Pt đặc trưng : k 2 + /k + 12 = 0 ∆ = − $ = − / ⇒
t c, 2 nghiệm h-c : k1,2
=
−/ ±
/i
=−
2
/
±
2
/ 2
i
. 2 nghiệm đltt của t là : −
y1
=e
/ x 2
sin
/
x !à y2
−
=
2 . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là :
y = )1e ⇔
−
y = e
−
/ x 2
/ x 2
sin
()1 sin
/ 2
x + )2 e
/ 2
−
e / 2
x
/ x 2
c0s
x + )2 cs
/
sin
/ 2
Vậy : ptvptt cấp 2 có hệ số là hằng số LUÔN có nghiệm .
2
/ 2
x
x * ()1 , ) 2 ∈ ¡ )
x) * ()1 , ) 2 ∈ ¡ )
>?T SỐ @ANG BC DIỆT y "+ ay '+ by
=
f ( x ) (1)
E6 f ( x) = eα x P( x) < F P ( x) *à 35 t&=c 56 N.'
α -&:#$ *à #$&+1 c45 pt 3c tJ#$ t&0 (1) c #$&+1 +,#$ !"#$ % y = eα x .( x) < F . ( x ) *à 35 t&=c Kà 8c . ( x) M 8c P ( x)
VD : Giải : y "+ 2 y '+ y = e 2 x ( x 2 + 1) Bài giải : . Pt th%/n nh0t li1n kt : y "+ 2 y '+ y = 0
. Pt đặc trưng : k 2 + 2k + = 0 ∆ ' = 1 − = −$
k1,2 = −1 + 2i . 2 nghiệm đltt của t là : y1 = e − x sin 2 x !à y2 = e x cs2 x . + nghiệm ri1ng của t đ' ch( c, 34ng : y = e2 x ( 5x 2 + Bx + ) ) . ), : y ' = 2e 2 x ( 5x 2 + Bx + ) ) + e2 x (2 5x + B) ⇒
−
⇔
y ' = e 2 x (2 5x 2 + 2 5x + 2 Bx + B + 2) ) y " = 2e2 x (2 5x 2 + 2 5x + 2 Bx + B + 2) ) + e2 x ($ 5x + 2 5 + 2 B)
⇔
.
y " = e 2 x ($ 5x 2 + 5x + $ Bx + 2 5 + $ B + $) )
6h !à( t : y "+ 2 y '+ y = e2 x ( x 2 + 1)
e 2 x (1/ 5x 2 + 12 5x + 1/Bx + 2 5 + - B + 1/) ) = e2 x ( x2 + 1) ⇒ 1/ 5 = 1 ∧ 12 5 + 1/B = 0 ∧ 2 5 + - B + 1/) = 1 1 12 21 ⇔ ∧B=− ∧ ) = 5 = 1/ 1- 213 ⇒ + nghiệm ri1ng của t đ' ch( là : 1 12 21 ) y = e2 x ( x 2 − x+ 1/ 1- 213 ⇔
. "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là : y = )1e− x sin 2 x + )2 e − x cs 2 x + e 2 x (
1 1/
x2 −
12 1-
x+
21 213
()1 , ) 2 ∈ ¡ ) 86 N.'
α *à #$&+1 đơn c45 pt 3c tJ#$ t&0 (1) c #$&+1 +,#$ !"#$ % y = eα x x.( x) < F .( x) *à 35 t&=c Kà 8c .( x) M 8c P ( x)
VD : Giải : y "− y '+ - y = e 2 x (2 x + 1) Bài giải : . Pt th%/n nh0t li1n kt : y "− y '+ - y = 0
. Pt đặc trưng : k 2 − k + - = 0 2 − 2$ = 1 ⇒ k1 = 2, k 2 = / . 2 nghiệm đltt của t là : y1 = e2 x !à y2 = e/ x . + nghiệm ri1ng của t đ' ch( c, 34ng : y = e 2 x x( 5x + B) ∆=
⇔
y = e 2 x ( 5x 2 + Bx)
. ), : y ' = 2e 2 x ( 5x 2 + Bx) + e 2 x (2 5x + B) ⇔
y ' = e 2 x (2 5x 2 + 2 5x + 2 Bx + B) y " = 2e 2 x (2 5x 2
⇔
.
+ 2 5x + 2 Bx + B ) + e
y " = e 2 x ($ 5x 2 + 5x + $ Bx + 2 5 + $ B)
6h !à( t : y "− y '+ - y = e 2 x (2 x + 1)
e 2 x ( −2 5x + 2 5 − B ) = e2 x (2 x + 1) ⇒ −2 5 = 2 ∧ 2 5 − B = 1 ⇔ 5 = −1∧ B = −/ ⇒ + nghiệm ri1ng của t đ' ch( là : y = e2 x ( −1x 2 − /x ) . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là : ⇔
2x
($ 5x + 2 5 + 2 B)
)
y = )1e 2 x c6 N.'
+ )2 e
/x
+e
2x
(− x 2 − / x) * ()1 , ) 2 ∈ ¡ )
α *à #$&+1 kp c45 pt 3c tJ#$ t&0 (1) c #$&+1 +,#$ !"#$ % y = eα x x 2. ( x) < F . ( x) *à 35 t&=c Kà 8c . ( x) M 8c P ( x)
VD : Giải : y "− $ y '+ $ y = e2 x Bài giải : . Pt th%/n nh0t li1n kt : y "− $ y '+ $ y = 0
. Pt đặc trưng : k 2 − $k + $ = 0 ∆' =
0 k1 = k 2 = 2 ⇒ . 2 nghiệm đltt của t là : y1 = e2 x !à y2 = xe 2 x . + nghiệm ri1ng của t đ' ch( c, 34ng : y = e2 x x 2 5 . ), : y ' = 2 5e2 x x 2 + 2 5e2 x x ⇔
y ' = e 2 x (2 5x 2
+ 2 5x )
y " = 2e 2 x (2 5x 2 ⇔
.
+ 2 5x) + e
2x
($ 5x + 2 5)
y " = e 2 x ($ 5x 2 + 5x + 2 5)
6h !à( t : y "− $ y '+ $ y = e 2 x ⇔
e 2 x 2 5 = e2 x ⇒ 2 5 = 1 1 ⇔ 5 = 2 ⇒ + nghiệm ri1ng của t đ' ch( là : 1 2 x 2 y = e x 2 . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là :
y = )1e
2 x
+ )2 xe
2x
+
1 2
e 2 x x 2 * ()1 , ) 2 ∈ ¡ )
1 y = e2 x ( x 2 + )2 x + ) 1 ) * ()1 , ) 2 ∈ ¡ ) 2
⇔
α x
26 f ( x) = e 56 N.'
[ P1 ( x) sin β x + P2 ( x) cs β x ] < F P1 ( x), P2 ( x) *à 35 t&=c
α + β i -&:#$ *à #$&+1 c45 pt 3c tJ#$ t&0 (1) c #$&+1 +,#$ !"#$ % y = eα x [ .1 ( x) sin β x + .2 ( x) cs β x ]
F .1 ( x), .2 ( x) *à 35 t&=c c 8c 8#$ #&5' Kà 8#$ 8c c5O #&)t c45 P1 ( x), P2 ( x) VD : Giải : y "+ y = sin / x Bài giải : . Pt th%/n nh0t li1n kt : y "+ y = 0
. Pt đặc trưng : k 2 + 1 = 0 ∆ ' = −1
k1,2 = ±i . 2 nghiệm đltt của t là : y1 = sin x !à y2 ⇒
.
= cs x
y "+ y = sin /x = e 0 x ( 1sin / x + 0 cs / x )
), :
α = 0 ∧ β = / α + β i = 0 + /i = /i ≠ k1,2 ⇒ . + nghiệm ri1ng của t đ' ch( c, 34ng : ⇒
y = e0 x ( 5 sin /x + B cs / x ) ⇔
y = 5 sin /x + B cs / x
. ), : y ' = / 5 cs / x − /B sin /x y " = − 5 sin / x − B cs / x . 6h !à( t : y "+ y = sin / x ⇔ − 5 sin /x − B cs / x = sin /x ⇒ − 5 = 1 ∧ − B = 0 1 ⇔ 5 = − ∧ B = 0 ⇒ + nghiệm ri1ng của t đ' ch( là :
1 y = − sin / x + 0 cs / x 1 ⇔ y = − sin/ x . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là : 1 y = )1 sin x + )2 cs x − sin / x * ()1 , ) 2 ∈ ¡ ) 86 N.'
α + β i *à #$&+1 c45 pt 3c tJ#$ t&0 (1) c #$&+1 +,#$ !"#$ % y = eα x x [ .1 ( x ) sin β x + .2 ( x ) cs β x ]
F .1 ( x), .2 ( x) *à 35 t&=c c 8c 8#$ #&5' Kà 8#$ 8c c5O #&)t c45 P1 ( x), P2 ( x) VD : Giải : y "− 2 y '+ 10 y = e x cs /x Bài giải : . Pt th%/n nh0t li1n kt : y "− 2 y '+ 10 y = 0
. Pt đặc trưng : k 2 − 2k + 10 = 0 ∆ ' = − ⇒
k1,2
= 1 ± /i
. 2 nghiệm đltt của t là : y1 = e x sin/ x !à y2 .
x
= e
cs/ x
y "− 2 y '+ 10 y = e x cs /x = e1x ( 0sin /x + 1cs / x )
), :
α = 1 ∧ β = / ⇒ α + β i = 1 + /i = k 1 . + nghiệm ri1ng của t đ' ch( c, 34ng : ⇒
y = e x x ( 5 sin /x + B cs / x ) ⇔
y = e x ( 5x sin / x + Bx c0s / x )
. ), : y ' = e x ( 5x sin / x + Bx cs / x) + e x ( 5 sin / x + / 5x cs / x + B cs / x − /Bx sin /x)
⇔
y ' = e x ( 5x sin / x + Bx cs / x + 5 sin / x + / 5x cs / x + B cs / x − /Bx sin / x)
y " = e x ( 5x sin / x + Bx cs / x + 5 sin / x + / 5x cs / x x
+ B cs / x − /Bx sin / x) + e
( 5 sin / x + / 5x cs / x
+ B cs / x − /Bx sin / x + / 5 cs / x + / 5 cs / x − 5x sin / x − / B sin / x − / B sin / x − Bx cs / x)
⇔
y " = e x ( − 5x sin / x − Bx cs / x + 2 5 sin / x + - 5x cs / x +2 B cs / x − - Bx sin / x + - 5 cs / x − - B sin / x)
.
6h !à( t : y "− 2 y '+ 10 y = e x cs /x ⇔
e x - 5 cs / x − e x - B sin / x = e x cs / x ⇒ - 5 = 1 ∧ - B = 0 1 ⇔ 5 = ∧ B = 0 ⇒ + nghiệm ri1ng của t đ' ch( là : 1 y = e x x sin/ x . "ghiệm t#ng $%&t của t đ' ch( là : 1 y = )1e x sin / x + )2 e x cs / x + e x x sin / x * ()1 , ) 2 ∈ ¡ ) -
V DÀI THI . 45 t6c : 7 89c nghi*+ : 30 7 8; l (c;c t? tàn c@c) GiAi ptvp tB>n tCnh c5p 1 D EFcnlB, ptvp tB>n tCnh c5p 2 (c%c Hng đặc bi*t)
