República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para Las Relaciones De Interior Justicia y Paz Universidad Nacional Eperi!ental Para la "e#uridad "an $rist%bal& Estado '(c)ira*
Prueba de Integrantes:
Leoni!ar Mora Jessica M+ndez V&,-*.,.*.-/
"an $rist%bal0 1. de Novie!bre de ,123
INTRODUCCIÓN
"e Estudiar4a la prueba de )ip%tesis )ip%tesis 5ue es un en6o5ue en6o5ue di6erente* di6erente* "e supone a priori el valor del par(!etro y sobre la base de la in6or!aci%n obtenida en una !ues !u estr traa se so!e so!ete te a prue prueba ba la supo suposi sici ci%n %n00 pa para ra lue# lue#oo to!a to!arr con con cier cierta ta probabilidad0 la decisi%n de rec)azar o no rec)azar la )ip%tesis* En +ste punto es i!por i!portan tante te se7al se7alar ar 5u 5uee la epre epresi% si%nn 8no rec)a rec)azar zar99 pu pudi diera era ser sustit sustituid uidaa po por r 8aceptar90 sin e!bar#o antes de )acerlo es necesario atender cuidadosa!ente al#unas eplicaciones 5ue se dar(n !(s adelante* La prueba de )ip%tesis ta!bi+n conocida co!o doci!asia o contrastaci%n de )ip%tesis es uno de los !+todos estad4sticos !(s usados en las ciencias naturales por ser un procedi!iento 5ue le proporciona al investi#ador un criterio ob:etivo para to!ar decisiones con base a un nú!ero li!itado de observaciones*
En el prese present ntee traba: traba:oo se prete pretende nde de desta stacar car el concep concepto to de )ip%t )ip%tesi esiss estad4stica0 as4 co!o plantear e identi6icar tanto la )ip%tesis de investi#aci%n o alternativa co!o la )ip%tesis nula* ;de!(s0 se eponen los tipos de errores 5ue se pueden co!eter al to!ar una decisi%n en 6avor de una de las dos )ip%tesis !encio !en ciona nadas das** Para Para lle#ar lle#ar a esto0 esto0 el trab traba:o a:o se inicia inicia tratan tratando do de resalt resaltar ar la i!portancia 5ue tienen en la investi#aci%n las pruebas estad4sticas de )ip%tesis0 cu(les son sus caracter4sticas esenciales esenciales y el concepto #eneral de ellas*
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
CONCEPTOS BÁSICOS
de )ip%tesis0 )ip%tesis0 se Etapas básicas en pruebas e !ip"tesis# ;l realizar pruebas de parte de un valor supuesto <=ipot+tico> en par(!etro poblacional* Despu+s de recolectar una !uestra aleatoria0 se co!para la estad4stica !uestral0 as4 co!o la !edi !e dia0 a0 con con el pa par( r(!e !etr troo )ipo )ipot+ t+titico co00 se co!p co!par araa con con un unaa supu supues esta ta !e !edi diaa poblacional* Despu+s se acepta o se rec)aza el valor )ipot+tico0 se#ún proceda* "e rec)aza el valor )ipot+tico s%lo si el resultado !uestral resulta !uy poco probable cuando la )ip%tesis es cierta*
Etapa $* Planear la )ip%tesis nula y la )ip%tesis alternativa* La )ip%tesis
nula nu la <=1> es el valor )ipot+tico del par(!etro 5ue se co!pra con el resultado !uestral resulta !uy poco probable cuando la )ip%tesis es cierta*
Etapa %# Especi6icar el nivel de si#ni6icancia 5ue se va a utilizar* El nivel de
si#ni6icancia del ?@0 entonces se rec)aza la )ip%tesis nula sola!ente si el resultado !uestral es tan di6erente del valor )ipot+tico 5ue una di6erencia de esa esa !a !a#n #nititud ud o !a !ayo yorr0 pu pudi dier eraa ocur ocurri rirr alea aleato tori riaa !e !ent ntee con con un unaa probabilidad de 2*1? o !enos*
Etapa &# Ele#ir la estad4stica de prueba* La estad4stica de prueba puede ser
la estad4 estad4sti stica ca !u !uest estral ral ba> o un unaa versi% versi%nn trans6 trans6or or!ad !adaa de esa estad estad4st 4stica ica !ue !uestr stral* al* Por Por e:e!plo0 para probar el valor )ipot+tico de una !edia poblacional0 se to!a la !edia de una !uestra aleatoria de esa distribuci%n nor!al0 entonces es co!ún 5ue se trans6or!e la !edia en un valor z el cual0 a su vez0 sirve co!o estad4stica de prueba*
C'nsecuencias e (as Decisi'nes en Pruebas e Hip"tesis#
Deci De cisi si'n 'nes es P'si P'sib( b(es es
Sit Situaci uaci' 'nes nes P'si P'sib( b(es es
La )ip% ip%tes esis is nula es La )ip%t ip%tes esis is nu nula la es verdadera ;ceptar Nula
la
=ip%tesis "e
6alsa acepta Error tipo II o Beta
correcta!ente
Rec)az Rec)azar ar la =ip%te =ip%tesis sis Error tipo I o ;l6a
"e
Nula
correcta!ente
rec)aza
Etapa )# Establecer el valor o valores cr4ticos de la estad4stica de prueba*
=abiendo especi6icado la )ip%tesis nula0 el nivel de signi*icancia y la estad4stica de prueba 5ue se van a utilizar0 se produce a establecer el o los valores cr4ticos de estad4stica de prueba* Puede )aber uno o !(s de esos valores0 dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos etre!os*
Etapa +# Deter!inar el valor real de la estad4stica de prueba* Por e:e!plo0
al probar un valor )ipot+tico de la !edia poblacional0 se to!a una !uestra aleatoria y se deter!ina el valor de la !edia !uestral* "i el valor cr4tico 5ue se establece es un valor de z0 entonces se trans6or!a la !edia !uestral en un valor de z*
Etapa ,# 'o!ar la decisi%n* "e co!para el valor observado de la estad4stica
!uestral con el valor cr4ticos de la estad4stica de prueba* Despu+s se acepta o se rec)aza la )ip%tesis nula* "i se rec)aza +sta0 se acepta la alternativaA a su vez0 esta decisi%n tendr( e6ecto sobre otras decisiones de los ad!inistradores operativos0 co!o por e:e!plo0 !antener o no un est(ndar de dese!pe7o o cu(l de dos estrate#ias de !ercadotecnia utilizar*
La distribuci%n apropiada de la prueba estad4stica se divide en dos re#iones una re#i%n de rec!a-' y una de n' rec!a-'* "i la prueba estad4stica cae en esta últi!a re#i%n no se puede rec)azar la )ip%tesis nula y se lle#a a la conclusi%n de 5ue el proceso 6unciona correcta!ente* ;l to!ar la decisi%n con respecto a la )ip%tesis nula0 se debe deter!inar el valor cr4tico en la distribuci%n estad4stica 5ue divide la re#i%n del rec)azo
cual la )ip%tesis nula no se puede rec)azar> de la re#i%n de rec)azo* ; )ora bien el valor cr4tico depende del ta!a7o de la re#i%n de rec)azo*
Pas's e (a Prueba e Hip"tesis
Epresar la )ip%tesis nula Epresar la )ip%tesis alternativa Especi6icar el nivel de si#ni6icancia Deter!inar el ta!a7o de la !uestra Establecer los valores cr4ticos 5ue establecen las re#iones de rec)azo
de las de no rec)azo* Deter!inar la prueba estad4stica* $oleccionar los datos y calcular el valor de la !uestra de la prueba
estad4stica apropiada* Deter!inar si la prueba estad4stica )a sido en la zona de rec)azo a una
de no rec)azo* Deter!inar la decisi%n estad4stica* Epresar la decisi%n estad4stica en
t+r!inos del proble!a*
Hip"tesis
Es una proposici%n 5ue establece relaciones0 entre los )ec)osA para otros es una posible soluci%n al proble!aA otros !(s sustentan 5ue la )ip%tesis no es !(s otra cosa 5ue una relaci%n entre las variables0 y por últi!o0 )ay 5uienes a6ir!an 5ue es un !+todo de co!probaci%n*
Hip"tesis esta.sticas/ !ip"tesis nu(a
Para lle#ar a to!ar decisiones0 conviene )acer deter!inados supuestos o con:eturas acerca de las poblaciones 5ue se estudian* 'ales supuestos 5ue
pueden ser o no ciertos se lla!an )ip%tesis estad4sticas y0 en #eneral0 lo son sobre las distribuciones de probabilidad de las poblaciones*
En !uc)os casos se 6or!ulan las )ip%tesis estad4sticas con el solo prop%sito de rec)azarlas o invalidarlas* Por e:e!plo0 si se 5uiere decidir si una !oneda esta car#ada0 se 6or!ula la )ip%tesis de 5ue la !oneda esta bien0 es decir0 PC 1*?A donde P es la probabilidad de cara* ;n(lo#a!ente0 si se 5uiere decidir sobre si un procedi!iento es !e:or 5ue otro0 se 6or!ula la )ip%tesis de 5ue no )ay di6erencia entre los procedi!ientos * 'ales )ip%tesis se lla!an ta!bi+n )ip%tesis nulas y se denotan por H'*
$ual5uier )ip%tesis 5ue di6iera de una )ip%tesis dada se lla!a )ip%tesis alternativa* Por e:e!plo0 si una )ip%tesis es PC1*?0 )ip%tesis alternativa son PC1*A P1*? % PF1*?* Una )ip%tesis alternativa de la )ip%tesis nula se denota por H$*
Hip"tesis Nu(a#
En !uc)os casos 6or!ula!os una )ip%tesis estad4stica con el único prop%sito de rec)azarla o invalidarla* ;s40 si 5uere!os decidir si una !oneda est( trucada0 6or!ula!os la )ip%tesis de 5ue la !oneda es buena * ;nal%#ica!ente0 si desea!os decidir si un procedi!iento es !e:or 5ue otro0 6or!ula!os la )ip%tesis de 5ue no )ay di6erencia entre ellos * 'ales )ip%tesis se suelen lla!ar )ip%tesis nula y se denotan por = o* Una )ip%tesis nula es i!portante por varias razones
Es una )ip%tesis 5ue se acepta o se rec)aza se#ún el resultado de la investi#aci%n*
El )ec)o de contar con una )ip%tesis nula ayuda a deter!inar si eiste una di6erencia entre los #rupos0 si esta di6erencia es si#ni6icativa0 y si no se debi% al azar*
No toda investi#aci%n precisa de 6or!ular )ip%tesis nula* "e reco!ienda 5ue la )ip%tesis nula es a5uella por la cual indica!os 5ue la in6or!aci%n a obtener es contraria a la )ip%tesis de traba:o*
;l 6or!ular esta )ip%tesis0 se pretende ne#ar la variable independiente* Es decir0 se enuncia 5ue la causa deter!inada co!o ori#en del proble!a 6luctúa0 por tanto0 debe rec)azarse co!o tal* E:e!plos 2 Un 6abricante de pa5uetes de cereales a6ir!a 5ue0 en pro!edio0 cada pa5uete pesa al !enos /11 #* Guieres contrastar esta in6or!aci%n a partir de los pesos de los pa5uetes en una !uestra aleatoria* Poblaci%n X C Hpeso de un pa5uete de cereales H µ1
=ip%tesis nula0 H o µ zK/11 M;" Proporciona la !uestra su6iciente evidencia para dudar de H 1O Hip"tesis A(ternati0a*
'oda )ip%tesis 5ue di6iere de una dada se lla!ar( una )ip%tesis alternativa* Una )ip%tesis alternativa a la )ip%tesis nula se denotar( por = 2*
;l responder a un proble!a0 es !uy conveniente proponer otras )ip%tesis en 5ue aparezcan variables independientes distintas de las pri!eras 5ue
6or!ula!os* Por tanto0 para no perder tie!po en bús5uedas inútiles0 es necesario )allar di6erentes )ip%tesis alternativas co!o respuesta a un !is!o proble!a y ele#ir entre ellas cu(les y en 5u+ orden va!os a tratar su co!probaci%n*
Las )ip%tesis0 natural!ente0 ser(n di6erentes se#ún el tipo de investi#aci%n 5ue se est+ realizando* En los estudios eploratorios0 a veces0 el ob:etivo de la investi#aci%n podr( ser si!ple!ente el de obtener los !4ni!os conoci!ientos 5ue per!itan 6or!ular una )ip%tesis* 'a!bi+n es aceptable 5ue0 en este caso0 resulten poco precisas0 co!o cuando a6ir!a!os 5ue eiste al#ún tipo de proble!a social en tal #rupo0 o 5ue los planetas poseen al#ún tipo de at!%s6era0 sin especi6icar de 5u+ ele!entos est( co!puesto* 2 Una co!pa74a recibe env4os de co!ponentes0 5ue acepta si el porcenta:e de co!ponentes de6ectuosos es co!o !(i!o del ?@* La decisi%n se basa en una !uestra aleatoria de estos co!ponentes* Poblaci%n X C 2 si un co!ponente es de6ectuoso y 1 en otro caso X ∼ Bernoulli < p>0 p
C proporci%n de co!ponentes de6ectuosos en el env4o
=ip%tesis nula0 H 1 p Q 1.1? 6rente a* =ip%tesis alternativa0 H 2 p > 1.1? M;"
Proporciona la in6or!aci%n de la !uestra su6iciente evidencia contra H 1 y a 6avor de H 2O
Tip's e pruebas
Pruebas de )ip%tesis de , etre!os o bilaterales* Estas pruebas son del tipo Ho: 0 ϑ ϑ = 1 1 H:ϑ =ϑ
Pruebas de )ip%tesis de un etre!o o unilateral* Ho: 0ϑ ϑ ≥ 1 1 H:ϑ <ϑ Ho: 0 ϑ ϑ ≤ 1 1 H:ϑ >ϑ
Ensa1' e !ip"tesis 1 signi*icaci"n
"i en el supuesto de 5ue una )ip%tesis deter!inada es cierta0 se encuentra 5ue los resultados observados en una !uestra aleatoria di6ieren !arcada!ente de a5uellos 5ue cab4a esperar con la )ip%tesis y con la variaci%n propia del !uestreo0 se dir4a 5ue las di6erencias observadas son si#ni6icativas y se estar4a en condiciones de rec)azar la )ip%tesis * Por e:e!plo0 si en ,1 lanza!ientos de una !oneda se obtienen 23 caras0 se estar4a inclinado a rec)azar la )ip%tesis de 5ue la !oneda esta bien0 aun5ue seria posible 5ue 6uese un rec)aza!iento err%neo* Los procedi!ientos 5ue 6acilitan el decidir si una )ip%tesis se acepta o se rec)aza o el deter!inar si las !uestras observadas di6ieren si#ni6icativa!ente de los resultados esperados se lla!an ensayos de )ip%tesis0 ensayos de si#ni6icaci%n o re#las de decisi%n*
Err'res e tip' I 1 tip' II
"i se rec)aza una )ip%tesis cuando deber4a ser aceptada0 se dice 5ue se co!ete un error del tipo I* si por el contrario0 se acepta un )ip%tesis 5ue deber4a ser rec)azada0 se dice 5ue se co!ete un error del tipo II*
=o es cierta
=2 es cierta
"e esco#i% =o No )ay error
6also ne#ativo>
"e esco#i% =2 Error del tipo I
)ay
error
positivo>
Ni0e( e signi*icaci"n
La probabilidad !(i!a con la 5ue el ensayo de una )ip%tesis se puede co!eter un error del tipo I se lla!a nivel de si#ni6icaci%n del ensayo* Esta probabilidad se denota 6recuente!ente por S*
En la pr(ctica se acostu!bra a utilizar niveles de si#ni6icaci%n del 1*1? % 1*120 aun5ue i#ual!ente pueden e!plearse otros valores* "i0 por e:e!plo se eli#e un nivel de si#ni6icaci%n del 1*1? % ?@ al dise7ar un ensayo de )ip%tesis0 entonces )ay aproi!ada!ente ? ocasiones en 211 en 5ue se rec)azar4a la )ip%tesis cuando deber4a ser aceptada0 es decir0 se est( con un T?@ de con6ianza de 5ue se to!a la decisi%n adecuada*
Ensa1's re*erentes a (a istribuci"n n'r2a(
La distribuci%n !uestral de un estad4stico " es una distribuci%n nor!al con !edia s y desviaci%n t4pica s* Entonces en una nor!al tipi6icada * "e puede 6or!ular la si#uiente re#la de decisi%n o ensayo de )ip%tesis o si#ni6icaci%n
a> se rec)aza la )ip%tesis al nivel de si#ni6icaci%n del 1*1? si la W obtenida para el estad4stico " se encuentra 6uera del recorrido &2*T3 a 2*T3
2*T3 % W X &2*T3>* Esto e5uivale a decir 5ue el estad4stico !uestral observado es si#ni6icante al nivel del 1*1?*
b> se acepta la )ip%tesis en caso contrario* Debe ponerse de !ani6iesto 5ue pueden i#ual!ente e!plearse otros niveles de si#ni6icaci%n*
Ensa1's e una 1 's c'(as
En el ensayo anterior se atend4a a los valores etre!os del estad4stico " o su correspondiente W a a!bos lados de la !edia0 es decir0 en las dos 8colas9 de la distribuci%n* Por esta raz%n0 tales ensayos se lla!an ensayos de dos colas o bilaterales*
"in e!bar#o0 con 6recuencia se puede sola!ente estar interesado en los valores etre!os a un solo lado de la !edia0 es decir0 en una 8cola9 de la distribuci%n0 co!o por e:e!plo0 cuando se est( ensayando la )ip%tesis de 5ue un proceso es !e:or 5ue otro <5ue es di6erente a ensayar si un proceso en !e:or o peor 5ue otro>* 'ales ensayos se lla!an ensayos de una cola o ensayos unilaterales*
La tabla0 5ue da valores cr4ticos de W para ensayos de una y dos colas a distintos niveles de si#ni6icaci%n0 ser( de utilidad para prop%sitos de re6erencia*
Nivel de si#ni6icaci%n
1*21
1*1?
Valores cr4ticos de W &2*,. % &2*3/? para
ensayos 2*,.
1*11?
1*11,
&,*-- &,*?. % &,*..
% 2*3/? %
unilaterales
,*?.
%,*..
,*--
Valores cr4ticos de W &2*3/? para
1*12
&2*T3 y &,*?. &,*.2 y &-*1. y
ensayos y 2*3/? 2*T3
y ,*?. ,*.2
-*1.
bilaterales
Ensa1's especia(es e signi*icaci"n para granes 2uestras
Para !uestras #randes0 las distribuciones !u+strales de !uc)os estad4sticos son distribuciones nor!ales con !edia s y desviaci%n t4pica s*
2* 2eias ;5u4 "CYZ0 la !edia !uestralA sC [ C 0 !edia poblacionalA sC [ C \ ]n0 donde es la desviaci%n t4pica poblacional y n es el ta!a7o de la !uestra* La variable tipi6icada viene dada por WC [ & n \ ]n
$uando es necesario se utiliza la desviaci%n !uestral observada " % ^0 para esti!ar * Utilizando un ensayo de dos colas0 aceptar4a!os =o al nivel 1*1? si para una !uestra especi6ica de ta!a7o n con !edia [*
&2*T3 Q [ & S Q 2*T3 \ ]n
_ lo rec)azar4a!os por el contrario*
Para ensayar la )ip%tesis de 5ue la !edia poblacional es !ayor 5ue S utilizar4a!os aun la )ip%tesis nula =o de 5ue es i#ual a S*
[ & S F & 2*3/? \ ]n ,* pr'p'rci'nes#
;5u4 "CP0 la proporci%n de 8+itos9 en una !uestraA sC pC P0 donde P es la proporci%n de +itos en la poblaci%n y n es el ta!a7o de la !uestra*
sC pC] p5\n donde 5C 2 ` p
La variable tipi6icada viene dada por
WC P& p ]p5\n
En el caso de 5ue PC Y\n0 donde Y es el nú!ero real de +itos en una !uestra0 se convierte en
WC Y ` np ] n*p5
Di*erencia e pr'p'rci'nes
p2 ` P, C 1
p2 ` P, C ]p <2 ` p> <2 2> n2
$on la variable tipi6icada dada por
WC P2 ` P, ` 1 C P2 ` P, p2 ` P,
p2 ` P,
n,
Ensa1's especia(es e signi*icaci"n para pe3ue4as 2uestras
En el caso de pe5ue7as !uestras pode!os 6or!ular ensayos de )ip%tesis y si#ni6icaci%n utilizando distribuciones ade!(s de la nor!al
5arian-as
Para ensayar la )ip%tesis =o de 5ue una poblaci%n nor!al tiene varianza ,considera!os la variable aleatoria*
Y,C ns, C ^, ,
,
Re(aci'nes e 0arian-a
C ",2\ ,2
^,,\ ,,
Pr'b(e2as resue(t's e !ip"tesis
2> "e cree 5ue el nivel !edio de protro!bina en una poblaci%n nor!al es de ,1 !#\211 !l de plas!a con una desviaci%n t4pica de / !ili#ra!os\211 !l* Para co!probarlo0 se to!a una !uestra de /1 individuos en los 5ue la !edia es de 2.*? !#\211 !l* "e puede aceptar la )ip%tesis0 con un nivel de si#ni6icaci%n del ?@O
2* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa H6 : 7 8%6 2g9$66 2( H$ : 7 %6 2g9$66 2(
,* Wona de aceptaci%n Para ; 8 6#6+0 le corresponde un valor cr4tico -;9% 8 $#<,*
Deter!ina!os el intervalo de con6ianza para la !edia <,1 &2*T3 * / ,1 2*T3 * /> C 2.* A ,2*,],1
],1
-* Veri6icaci%n* Valor obtenido de la !edia de la !uestra $=#+*
/* Decisi%n Rec)aza!os la )ip%tesis nula = 10 con un nivel de si#ni6icaci%n del ?@*
,> El control de calidad una 6(brica de pilas y bater4as sospec)a 5ue )ubo de6ectos en la producci%n de un !odelo de bater4a para tel+6onos !%viles0 ba:ando su tie!po de duraci%n* =asta a)ora el tie!po de duraci%n en conversaci%n se#u4a una distribuci%n nor!al con !edia -11 !inutos y desviaci%n t4pica -1 !inutos* "in e!bar#o0 en la inspecci%n del últi!o lote producido0 antes de enviarlo al !ercado0 se obtuvo 5ue de una !uestra de 31 bater4as el tie!po !edio de duraci%n en conversaci%n 6ue de ,T1 !inutos* "uponiendo 5ue ese tie!po si#ue siendo Nor!al con la !is!a desviaci%n t4pica "e puede concluir 5ue las sospec)as del control de calidad son ciertas a un nivel de si#ni6icaci%n del ,@O
2* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa H6 : > ? &66 H$ : > @ &66
,* Wona de aceptaci%n ; 8 6#6% $ ; 8 6# <=
P$#<,8 6# <=
Deter!ina!os el intervalo de con6ianza <-11 ` ,*-- * -1 A > C ,T1*T.A ]31 -* Veri6icaci%n* > C ,T1
/* Decisi%n
- ; 8 $#<, *
Rec!a-a2's (a !ip"tesis nu(a H6* $on un nivel de si#ni6icaci%n del ,@*
-> Un 6abricante de l(!paras el+ctricas est( ensayando un nuevo !+todo de producci%n 5ue se considerar( aceptable si las l(!paras obtenidas por este !+todo dan lu#ar a una poblaci%n nor!al de duraci%n !edia ,/11 )oras0 con una desviaci%n t4pica i#ual a -11* "e to!a una !uestra de 211 l(!paras producidas por este !+todo y esta !uestra tendr( una duraci%n !edia de ,-,1 )oras* "e puede aceptar la )ip%tesis de validez del nuevo proceso de 6abricaci%n con un ries#o i#ual o !enor al ?@O
2* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa H6 : 7 8 %)66 H$ : 7 %)66
,* Wona de aceptaci%n ; 8 6#6+
-; 8 $#<,*
Deter!ina!os el intervalo de con6ianza para la !edia <,/11 ` 2*T3 * -11 A ,/11 2*T3 * -11 > C ,-/2*, A ,/?.*. ]211
]211
-* Veri6icaci%n* Valor obtenido de la !edia de la !uestra %&%6#
/* Decisi%n Rec)aza!os la )ip%tesis nula = 10 con un nivel de si#ni6icaci%n del ?@*
/> La duraci%n de las bo!billas de 211 5ue 6abrica una e!presa si#ue una distribuci%n nor!al con una desviaci%n t4pica de 2,1 )oras de duraci%n* "u vida !edia est( #arantizada durante un !4ni!o de .11 )oras* "e esco#e al azar una !uestra de ?1 bo!billas de un lote y0 despu+s de co!probarlas0 se obtiene una vida !edia de ?1 )oras* $on un nivel de si#ni6icaci%n de 10120 )abr4a 5ue rec)azar el lote por no cu!plir la #arant4aO
2* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa H6 : > ? =66 H$ : > @=66
,* Wona de aceptaci%n ; 8 6#6$A -; 8 %#&&
Deter!ina!os el intervalo de con6ianza <.11 ` ,*-- * 2,1 A > C 31*/3A ]?1 -* Veri6icaci%n* C ?1
/* Decisi%n Rec!a-a2's (a !ip"tesis nu(a H6* $on un nivel de si#ni6icaci%n del 2@*
?> Una !arca de nueces a6ir!a 5ue0 co!o !(i!o0 el 3@ de las nueces est(n vac4as* "e eli#ieron -11 nueces al azar y se detectaron ,2 vac4as* 2* $on un nivel de si#ni6icaci%n del 2@0 se puede aceptar la a6ir!aci%n de la !arcaO 2* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa H6: p F 6#6, H$: p G6#6,
,* Wona de aceptaci%n ; 8 6#6$
-; 8 %#&&*
Deter!ina!os el intervalo de con6ianza <&A 1*13 ,*-- * ] 1*13 * 1*T/> C &A 1*1T, -11
-* Veri6icaci%n* PHC ,2\-11 C1*1 /* Decisi%n Acepta2's (a !ip"tesis nu(a H6* $on un nivel de si#ni6icaci%n del 2@*
3> Un soci%lo#o )a pronosticado0 5ue en una deter!inada ciudad0 el nivel de abstenci%n en las pr%i!as elecciones ser( del /1@ co!o !4ni!o* "e eli#e al azar una !uestra aleatoria de ,11 individuos0 con derec)o a voto0 ? de los cuales
estar4an dispuestos a votar* Deter!inar con un nivel de si#ni6icaci%n del 2@0 si se puede ad!itir el pron%stico*
2* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa H6 : 7 ? 6#)6
La abstenci%n ser( co!o !4ni!o del /1@*
H$ : 7 @ 6#)6
La abstenci%n ser( co!o !(i!o del /1@A
,* Wona de aceptaci%n Para ; 8 6#6$0 le corresponde un valor cr4tico -; 8 %#&&*
Deter!ina!os el intervalo de con6ianza para la !edia <1*/ ` ,*-- * ] 1*/ * 1*3 0 > C 1*-2T,A ,11
-* veri6icaci%n
PHC 2,?\,11C 1*3,?
/* Decisi%n Acepta2's (a !ip"tesis nu(a H6* Pode!os a6ir!ar0 con un nivel de si#ni6icaci%n
del 2@0 5ue la La abstenci%n ser( co!o !4ni!o del /1@*
Pruebas e !ip"tesis e % etre2's ' bi(atera(es#
Es una prueba en la 5ue =1 se rec)aza si el valor de la !uestra es si#ni6icativa!ente !ayor o !enor 5ue el valor )ipotetizado del par(!etro de poblaci%n* Esta prueba involucra dos re#iones de rec)azo* E:e!plos $# La co!isi%n ederal de $o!ercio lleva a cabo estudios peri%dicos para
probar las a6ir!aciones 5ue )acen los 6abricantes acerca de sus productos* Por e:e!plo0 la eti5ueta de una lata #rande de ca6+ $u!bre dice 5ue ese envase contiene0 cuando !enos0 tres libras de ca6+ $u!bre dice 5ue ese envase contiene0 cuando !enos0 tres libras de ca6+* "upon#a!os 5ue desea!os co!probar esta aseveraci%n !ediante la prueba de )ip%tesis* De $a6+ $u!bre se selecciona las si#uientes )ip%tesis nula y alternativa H 0 : μ ≥ 3 H 1 : μ < 3
$on la prueba #rande ( n ≥ 30 ) Desviaci%n est(ndar de la poblaci%n Nivel de si#ni6icancia
∝=
n =36
x´ =2.92
Estad4stico de prueba z =
x´ − μ σ
√ n z =
2.92−3 .18
√ 36
=
−.08
.03
=−2.66
.01
σ =.18
$on el nivel de si#ni6icancia
∝=
.01
se tiene una prueba de &,*-- 5ue ser(
nuestro punto cr4tico
H 0 Hipotesis Nula
−2.66
De acuerdo a las re#las 5ue se !encionaron antes0 se rec)aza la )ip%tesis nula0 ya 5ue entra en la zona de rec)azo0 en donde se acepta la )ip%tesis nula* Por lo 5ue nuestra conclusi%n 5ueda as4 "e rec)aza la )ip%tesis nula ya 5ue no cu!plen con la a6ir!aci%n de 5ue cada envase contiene cuando !enos - libras de ca6+ y los 6abricantes no cu!plen con sus a6ir!aciones y con el contenido 5ue dicen sus eti5uetas*
%# De acuerdo con la ;sociaci%n Nacional de Vendedores de ;uto!%viles0 la
!edia del precio de los auto!%viles usados es de 2102T, d%lares* Un #erente de una a#enda de auto!%viles usados en la cuidad de fansas reviso en su estableci!iento una !uestra de 211 ventas* El precio de la !edia de la !uestra 6ue de T-11 d%lares y la desviaci%n est(ndar de la !uestra 6ue de /?11 d%lares* "i μ representa la !edia del precio de la poblaci%n de auto!%viles usados en esa a#encia0 pruebe la )ip%tesis H 0 : μ ≥ 10,192
H 1 : μ < 10,192
$on un nivel de si#ni6icancia *1?* =ip%tesis nula y alternativa $on la prueba #rande ( n ≥ 30 ) Desviaci%n est(ndar de la !uestra s
¿ 4500
n =100 x ´ =9300
Estad4stico de prueba z =
x´ − μ σ
√ n z =
9300−10192 4500
=
−892
450
=−1.98
√ 100
$on el nivel de si#ni6icancia
∝=
.05
se tiene una prueba de &2*3/? 5ue
ser( nuestro punto cr4tico
−1.98
$onclusi%n "e rec)aza 5ue el pro!edio del precio de los auto!%viles sea !ayor 5ue 2102T, d%lares0 el #erente 5ue realizo la prueba debe de estar se#uro 5ue la a6ir!aci%n nula 5ue se )iso es aberrante y 5ue puede considerar o aceptar 5ue el precio de los auto!%viles usados es !enor 5ue 212T, d%lares*
Pruebas e !ip"tesis e $ etre2' ' uni(atera(es
Es una prueba en la 5ue s%lo )ay una Re#i%n de rec)azo0 es decir0 s%lo nos interesa si el valor observado se desv4a del valor =ipotetizado en una direcci%n* Pueden ser b#$ Prueba e etre2' in*eri'r
Es una prueba en la 5ue si )ay un valor de !uestra 5ue se encuentra "i#ni6icativa!ente por deba:o del valor de la poblaci%n )ipotetizado0 nos llevar( a Rec)azar la )ip%tesis nula* b#% Prueba e etre2' superi'r
Es una prueba en la 5ue si )ay un valor de !uestra 5ue se encuentra si#ni6icativa!ente por enci!a del valor de la poblaci%n )ipotetizado0 nos llevar( a rec)azar la )ip%tesis nula* Ee2p('s: $# La ;sociaci%n ;!ericana de gol6 )a establecido re#las 5ue deben
cu!plir los 6abricantes de e5uipos de #ol6 para 5ue sus productos se acepten en los eventos de U"g;* Una de las re#las0 para la 6abricaci%n de las pelotas de #ol60 dice 8una !arca de pelota de #ol60 al probarse en l aparato aprobado por la U"g; en el ca!po de la U"g;h no debe de lla#ar a una distancia pro!edio !ayor 0 en el aire y en el roda!iento0 5ue sea de ,.1 yardas9* "upon#a 5ue "per6li#)t0 Inc*0 acaba de desarrollar un !+todo da 6abricaci%n con alta tecnolo#4a 5ue puede producir pelotas de #ol6 para alcanzar una distancia pro!edio de ,.1 yardas* Dio co!o resultado la si#uiente prueba bilateral* H 0 : μ =280 H 1 : μ ≠ 280
;para probar esta )ip%tesis
$on un nivel de si#ni6icaci%n α =.05 0 "e !uestrearon nC-3 pelotas "e deter!in% una !edia de la !uestra para la distancia Desviaci%n est(ndar de la !uestra
s =12
x´ =278.5
yardas
yardas
"ustituyendo estos resultados con z α / 2 &&&& 2*T3 x ´ ± z α / 2
s
√ n ¿ 278.5 ± 1.96
12
√ 36
¿ 278.5 ± 3.92
274.58 a 282.42 ( 275,283 )
,.*? H 1
H 0
H 1
"e acepta con un T?@ de con6ianza0 la !edida de la distancia para la poblaci%n de pelotas de #ol6 est( entre ,? y ,.- yardas* La conclusi%n de la prueba es 5ue no se puede rec)azar la )ip%tesis nula H o : μ =280
Pruebas De Hip"tesis Para a Jeia K Pr'p'rci'nes
Debido a la di6icultad de eplicar este te!a se en6ocar( un proble!a basado en un estudio en una 6(brica de llantas* En este proble!a la 6(brica de llantas tiene dos turnos de operarios0 turno de d4a y turno !ito* "e selecciona una !uestra aleatoria de 211 llantas producidas por cada turno para ayudar al #erente a sacar conclusiones de cada una de las si#uientes pre#untas
&
Es la duraci%n pro!edio de las llantas producidas en el turno de d4a i#ual a ,? 111 !illasO
&
Es la duraci%n pro!edio de las llantas producidas en el turno !ito !enor de ,? 111 !illasO
&
"e revienta !(s de un .@ de las llantas producidas por el turno de d4a antes de las 21 111 !illasO
Prueba de =ip%tesis para la !edia* En la 6(brica de llantas la )ip%tesis nula y alternativa para el proble!a se plantearon co!o0 =o C ,? 111
=2 ,? 111
"i se considera la desviaci%n est(ndar las llantas producidas en el turno de d4a0 entonces0 con base en el teore!a de li!ite central0 la distribuci%n en el !uestreo de la !edia se#uir4a la distribuci%n nor!al0 y la prueba estad4stica 5ue esta basada en la di6erencia entre la !edia se encontrara co!o Z=
x − µo σ/ n
X
de la !uestra y la !edia )ipot+tica
"i el ta!a7o de la re#i%n S de rec)azo se estableciera en ?@ entonces se podr4an deter!inar los valores cr4ticos de la distribuci%n* Dado 5ue la re#i%n de rec)azo esta dividida en las dos colas de la distribuci%n0 el ?@ se divide en dos partes i#uales de ,*?@*
Dado 5ue ya se tiene la distribuci%n nor!al0 los valores cr4ticos se pueden epresar en unidades de desviaci%n* Una re#i%n de rec)azo de 1*,? en cada cola de la distribuci%n nor!al0 da por resultado un (rea de */? entre la !edia )ipot+tica y el valor cr4tico* "i se busca est( (rea en la distribuci%n nor!al0 se encuentra 5ue los valores cr4ticos 5ue dividen las re#iones de rec)azo y no rec)azo son 2*T3 y & 2*T3
Por tanto0 la re#la para decisi%n ser4a rec)azar = o si W F 2*T3 o s4 z X &2*T30 de lo contrario0 no rec)azar = o* No obstante0 en la !ayor parte de los casos se desconoce la desviaci%n est(ndar
σ
de la poblaci%n* La desviaci%n est(ndar se
esti!a al calcular "0 la desviaci%n est(ndar de la !uestra* "i se supone 5ue la poblaci%n es nor!al la distribuci%n en el !uestreo de la !edia se#uir4a una distribuci%n t con n&2 #rados de libertad*
En la pr(ctica0 se a encontrado 5ue sie!pre y cuando el ta!a7o de la !uestra no sea !uy pe5ue7o y la poblaci%n no este !uy ses#ada0 la distribuci%n t da una buena aproi!aci%n a la distribuci%n de !uestra de la !edia* La prueba estad4stica para deter!inar la di6erencia entre la !edia
x
de la !uestra y la
µ
!edia de la poblaci%n cuando se utiliza la desviaci%n est(ndar " de la !uestra0 se epresa t n −1 =
X −µ s/ n
Para una !uestra de 2110 si se selecciona un nivel de signi*icanc.a de 1*1?0 los valores cr4ticos de la distribuci%n t con 211&2C TT #rados de libertad se puede obtener co!o se indica en la si#uiente tabla tene!os el valor de 2*T./,* $o!o esta prueba de dos colas0 la re#i%n de rec)azo de 1*1? se vuelve a dividir en dos partes i#uales de 1*1,? cada una* $on el uso de las tablas para t0 los valores cr4ticos son `2*T./ y 2*T./* La re#la para la decisi%n es0
Rec)azar =o si
t 99 > +1.9842
o
t 99 < −1.9842
de lo contrario0 no rec)azar = o
Los resultados de la !uestra para el turno de d4a 6ueron X dìa = 25.430, Sdìa = 4.000
y
n día = 100
!illas* Puesto 5ue se esta probando si
la !edia es di6erente a ,? 111 !illas0 se tiene con la ecuaci%n t n −1 =
X −µ S/ n
t 100−1 =
25.430 − 25.00 4.000 / 100
= 1.075
Dado 5ue t 211&2C2*1?0 se ve 5ue &2*T./ X 2*1? X 2*T./0 entonces no se rec)aza =o*
Por ello0 la decisi%n de no rec)azar la )ip%tesis nula =o* En conclusi%n es 5ue la duraci%n pro!edio de las llantas es ,? 111 !illas* ; 6in de tener en cuenta la posibilidad de un error de tipo II0 este enunciado se puede redactar co!o no )ay pruebas de 5ue la duraci%n pro!edio de las llantas sea di6erente a ,? 111 !illas en las llantas producidas en el turno de d4a*
Prueba De Hip"tesis Para Pr'p'rci'nes
El concepto de prueba de )ip%tesis se puede utilizar para probar )ip%tesis en relaci%n con datos cualitativos* Por e:e!plo0 en el proble!a anterior el #erente de la 6(brica de llantas 5uer4a deter!inar la proporci%n de llantas 5ue se reventaban antes de 21*111 !illas* Este es un e:e!plo de una variable cualitativa0 dado 5ue se desea lle#ar a conclusiones en cuanto a la proporci%n de los valores 5ue tienen una caracter4stica particular* El #erente de la 6(brica de llantas 5uiere 5ue la calidad de llantas producidas0 sea lo bastante alta para 5ue !uy pocas se revienten antes de las 21*111 !illas* "i !(s de un .@ de las llantas se revientan antes de las 21*111 !illas0 se lle#ar4a a concluir 5ue el proceso no 6unciona correcta!ente* La )ip%tesis nula y alternativa se pueden epresar co!o si#ue H 0 = P ≤ 0.08
H1 = P > 0.08
<unciona correcta!ente>
La prueba estad4stica se puede epresar en t+r!inos de la proporci%n de +itos co!o si#ue
Z=
Ps − P Pq
→ Ps =
X n
n
"iendo Y y N el nú!ero de +itos de la !uestra y n el ta!a7o de la !uestra0 P la proporci%n de +itos de la )ip%tesis nula* ;)ora se deter!inar( si el proceso 6unciona correcta!ente para las llantas producidas para el turno de d4a* Los resultados del turno de d4a indican 5ue cinco llantas en una !uestra de 211 se reventaron antes de 210111 !illas para este proble!a0 si se selecciona un nivel de si#ni6icancia
α = 0.05
0 las re#iones de rec)azo y no rec)azo se establecer4an
co!o a continuaci%n se !uestra* _ la re#la de decisi%n ser4a Rec)azar =o si zF 2*3/?A de lo contrario no rec)azar = o* $on los datos 5ue se tienen0 Ps = 0.05 ⇒ Z =
Ps − P Pq
= −1.107
n
Una vez ree!plazado0 recuerde p5C2 WC&2*21 2*3/?A por tanto no rec)azar = o*
La )ip%tesis nula no se rec)azar4a por 5ue la prueba estad4stica no )a ca4do en la re#i%n de rec)azo* "e lle#ar4a a la conclusi%n de 5ue no )ay pruebas de 5ue !(s del .@ de las llantas producidas en el turno de d4a se revienten antes de 210111 !illas* El #erente no )a encontrado nin#una prueba de 5ue ocurra un nú!ero ecesivo de reventones en las llantas producidas en el turno de d4a*
Una )ip%tesis estad4stica es una suposici%n )ec)a con respecto a la 6unci%n de distribuci%n de una variable aleatoria* Para establecer la verdad o 6alsedad de una )ip%tesis estad4stica con certeza total0 ser( necesario ea!inar toda la poblaci%n* En la !ayor4a de las situaciones reales no es posible o practico e6ectuar este ea!en0 y el ca!ino !(s aconse:able es to!ar una !uestra
aleatoria de la poblaci%n y en base a ella0 decidir si la )ip%tesis es verdadera o 6alsa* En la prueba de una )ip%tesis estad4stica0 es costu!bre declarar la )ip%tesis co!o verdadera si la probabilidad calculada ecede el valor tabular lla!ado el nivel de si#ni6icaci%n y se declara 6alsa si la probabilidad calculada es !enor 5ue el valor tabular* La prueba a realizar depender( del ta!a7o de las !uestras0 de la )o!o#eneidad de las varianzas y de la dependencia o no de las variables* "i las !uestras a probar involucran a !(s de -1 observaciones0 se aplicar( la prueba de W0 si las !uestras a evaluar involucran un nú!ero de observaciones !enor o i#ual 5ue -1 se e!plea la prueba de t de student* La 6%r!ula de c(lculo depende de si las varianzas son )o!o#+neas o )etero#+neas0 si el nú!ero de observaciones es i#ual o di6erente0 o si son variables dependientes* Para deter!inar la )o!o#eneidad de las varianzas se to!a la varianza !ayor y se divide por la !enor0 este resultado es un esti!ado de la de is)er* Lue#o se busca en la tabla de usando co!o nu!erador los #rados de libertad de la varianza !ayor y co!o deno!inador de la varianza !enor para encontrar la de is)er tabular* "i la esti!ada es !enor 5ue la tabular se declara 5ue las varianzas son )o!o#+neas* "i por el contrario0 se declaran las varianzas )etero#+neas* $uando son variables dependientes 0 se e!plea la t+cnica de pruebas pareadas* ELERCICIOS COJPEJENTARIOS:
2>* Un in6or!e indica 5ue el precio !edio del billete de avi%n entre $anarias y Madrid es0 co!o !(i!o0 de 2,1 j con una desviaci%n t4pica de /1 j* "e to!a una !uestra de 211 via:eros y se obtiene 5ue la !edia de los precios de sus billetes es de 2,. j* "e puede aceptar0 con un nivel de si#ni6icaci%n i#ual a 1020 la a6ir!aci%n de partidaO a>* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa =1 Q 2,1 =2 F 2,1
b>* Wona de aceptaci%n Para S C 1*20 le corresponde un valor cr4tico z S C 2*,.* Deter!ina!os el intervalo de con6ianza
c>* Veri6icaci%n* Valor obtenido de la !edia de la !uestra 2,. j * d>* Decisi%n No acepta!os la )ip%tesis nula = 1* $on un nivel de si#ni6icaci%n del 21@ ->* Una !arca de nueces a6ir!a 5ue0 co!o !(i!o0 el 3@ de las nueces est(n vac4as* "e eli#ieron -11 nueces al azar y se detectaron ,2 vac4as* 2 $on un nivel de si#ni6icaci%n del 2@0 se puede aceptar la a6ir!aci%n de la !arcaO a>* Enuncia!os las )ip%tesis nula y alternativa : =1 p Q 1*13
\pF
=2 p F1*13 b>* Wona de aceptaci%n S C 1*12
zS C ,*--*
Deter!ina!os el intervalo de con6ianza
c>* Veri6icaci%n*
d>* Decisi%n ;cepta!os la )ip%tesis nula = 1* $on un nivel de si#ni6icaci%n del 2@* "i se !antiene el porcenta:e !uestral de nueces 5ue est(n vac4as y 2&S C 1*T?0 5u+ ta!a7o !uestral se necesitar4a para esti!ar la proporci%n de nueces con un error !enor del 2@ por cientoO 2 & S C 10T? z S\, C 20 T3
->* Un dispensador de #aseosas est( dise7ado para descar#ar onzas* "i se selecciona una !uestra de 23 vasos para !edir su llenado0 observando 5ue el pro!edio es de ?*. con una desviaci%n de 2*3 onzas se puede concluir 5ue la !(5uina no 6unciona correcta!enteO
Res'(uci"n
Utiliza!os distribuci%n t&student por5ue nú!ero de datos de la !uestra es !enor a -1* DATOS:
E!pleare!os una si#ni6icancia del ?@ ya 5ue es el !(s e!pleado Hi!t"sis: H0: #$7 y H1:
0.95
-1.753
Re#i%n de aceptaci%n Re#i%n de rec)azo < %.% *>
0
se acepta = 1 se rec)aza =1
Si se puee c'nc(uir 3ue (a 2a3uina n' *unci'na c'rrecta2ente 1a 3ue escarga 2en'r cantia e 'n-as#
)# Para una operaci%n de co!praventa de un super!ercado se tiene0
entre otras0 la si#uiente in6or!aci%n los vendedores a6ir!an 5ue la 8ca:a9 !edia por cliente es de .11 soles por operaci%n0 con distribuci%n nor!al* La e!presa co!pradora e6ectu% un !uestreo de ta!a7o -3 5ue dio un #asto !edio de .,1 soles y una desviaci%n est(ndar de ?1 soles* "e pide
a
Para un nivel de si#ni6icaci%n del ?@0 indica si el !uestreo es
representativo en un ensayo bilateral de la poblaci%n 5ue indican los vendedores*
b
En el supuesto de 5ue los .11 soles sea el valor !(i!o de #asto
!edio de los clientes0 co!prueba la validez de la !uestra en ensayo unilateral con el !is!o nivel*
Res'(uci"n a
Prueba bi(atera(
DATOS:
=ip%tesis =1 C.11 y = 2
0.9500
-1.96
0
1.96
Z
%"&i!n d" a'"ta'i!n (%.).*:
s" a'"ta H0
%"&i!n d" +"',a-o (%.%.*:
s" +"',a-a H0
El !uestreo no es representativo ya 5ue no se tiene la !is!a !edia en la !uestra y la poblaci%n* b
Prueba uni(atera(
DATOS:
=ip%tesis
y
0.95
0
Re#i%n de aceptaci%n
1.645
se acepta = 1
Re#i%n de rec)azo
se rec)aza = 1
La !uestra no es v(lido ya 5ue no )ay constancia entre la !edia poblacional y la !edia !uestral*
CONCUSIONES
Por !edio de la )ip%tesis se pueden establecer relaciones por !edio de los )ec)os* Lue#o de 6or!ulado un proble!a se enuncia la )ip%tesis y !ediante ella se puede )allar una soluci%n al proble!a*
$ada autor tiene una de6inici%n di6erente acerca de la )ip%tesis dicen 5ue es una relaci%n entre variables y )ay otros 5ue a6ir!an 5ue es un !+todo de co!probaci%n*
La )ip%tesis se aplica en la vida cotidiana por e:e!plo si uno lle#a a su casa y te encuentras una ventana rota se puede decir 5ue la )an roto para robar* Pero esa es una )ip%tesis 5ue uno se )ace al no saber lo 5ue )a ocurrido en realidad*
