Prueba ruebas s de hipóte hipó tesis sis bá básic sica as o experimentos de compa comp ara ración ción simp simple les s
PRUEBA DE HIPÓTESIS Definición:
PRUEBA
ESTADISTICA: Es Es una una afir afirma maci ción ón o conj conjet etur ura a acer acerca ca de un
par me ro e una o m s po ac ones.
Con Contr tras asta tarr una una Hipó Hipóte tesi sis s esta estadí díst stic icam amen ente te es juzg juzgar ar si cier cierta ta prop propie ieda dad d supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella.
La estructura estructura de una hipótesis estadística estadística consiste en plantear dos hipótesis, hipótesis, hipótes esis is alter alterna nati tiva va la primera se le denomina hipótesis nula (Ho) y una hipót
(H1).
La hipótesis nula siempre se se planteará como: H 0 : 0
H 1 : 0
La hipótesis alternativa se puede puede plantear como: como:
H 1 : 0 H 1 : 0
TIPOS DE ERRORES EN UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Decisión Acepto Ho
Ho es verdadera Decisión correcta
Ho es falsa
Error tipo II correcta
α =P(error tipo I)= P(rechazar Ho/Ho verdadera) β =P(error tipo II)= P(aceptar Ho/Ho falsa)
α y β están relacionadas un incremento de
RELACIÓN DE LOS ERRORES TIPO I Y II
0
1
POTENCIA DE LA PRUEBA
Algunas veces resulta más conveniente trabajar con la potencia de una prueba.
La potencia de una prueba estadística es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H0 dado que H0 es falsa. Esto resulta:
Potencia P 1
P rechazar H
/
H es alsa
Es importante observar que la potencia de una prueba es la probabilidad de que la hipótesis nula falsa se rechace correctamente. , no se puede “probar” o “desaprobar” una hipótesis estadística. Sin embargo, es posible diseñar procedimientos de prueba que controlan las probabilidades de error a valores suficientemente e ueños.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MEDIA Rechazo
Rechazo
/2
Acepto Ho
= H1: µ ≠ 170 o
/2
Rechazo Ho Acepto Ho
Prueba de hipótesis bilateral
Prueba de hipótesis unilateral Ho: µ ≤ 170 H1: µ > 170
Prueba de hipótesis unilateral Rechazo Ho Acepto
Ho: µ ≥ 170 H1: µ < 170
PRUEBA PARA UNA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA Hipótesis Estadístico Hipótesis alterna Nula H1 :µ < µ0 Ho: µ = µ0 H µ>µ H1 : µ ≠ µ0
Criterio de
Parámetro OC 0
Z 0< - Z α Z 0 > Z α Z 0 < - Z α/2 ó Z 0 > Z α/2 І Z 0 І > Z α/2
d= ( µ0 -µ ) /σ = d= І µ-µ0 І /σ
CON VARIANZA DESCONOCIDA
Nula Ho: µ = µ0
alterna H1 :µ < µ0 1:
0
H1 : µ ≠ µ0
Criterio de rechazo de H0 t 0< -tα, n-1 0
α, n-1
І t 0 І > t α/2, n-1
d= ( µ0 - µ ) / σ d= ( µ - µ0 ) / σ d= І µ - µ0 І / σ
CASO
Un fabricante de equipo deportivo a desarrollado un nuevo sedal sintético ara esca ue se considera tiene una resistencia a la ruptura de 8 kg. Con una desviación estándar de 0.5 kg. Pruebe la hipótesis de que µ=8 kg. En contraposición a la alterna de que µ ≠ 8 kg. Si se prueba una muestra aleatoria de 50 sedales y se encuentra que . . Utilizar un nivel de significancia de α=0.01
CASO
Se sabe que los diámetros de los pernos producidos en cierto proceso de manufactura tiene una σ =0.0001 plg. Una muestra aleatoria de 10 pernos . .
a) Pruebe la hipótesis del diámetro medio verdadero de los pernos es igual a 0.255 plg con un α = 0.05
b) que tamaño de muestra sería necesaria para detectar un diámetro medio de 0.2552 plg con una probabilidad de al menos 0.90?
a)
Ho: µ = 0.255 plg H1: µ ≠ 0.255 plg n= 10 =0.2546 σ =0.0001 plg α=0.05 1- β =0.90 β =0.10 µ=0.2552 µo=0.255
Criterio de Rechazo:
β
Donde d parámetro de C.O
n= ?
d
CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
σ =0.0001 plg = . β=0.10 µ=0.2552 µo=0.255
CASO
Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en EUA durante el año pasado mostro una vida promedio de 71.8 años. Suponiendo una σ =8.9 70 años? Utilice un nivel de significancia del 0.05
Ho: µ = 70 H1: µ > 70 n= 100 σ =8.9 años α=0.05 = 71.8 años
CASO
La duración en almacén de un tipo de batería resulta de interés para los vendedores de menudeo. El fabricante observa la siguiente duración en común. Considere que la duración en almacén normalmente:108,124,124,106,138,163,159 y 134 días.
se
distribuye
a)
Existe alguna evidencia de que la duración media en almacén es mayor o igual a 125 días.
a)
Si es importante detectar una razón suficiente el tamaño de la muestra?
=1.0 con probabilidad de 0.90 ¿es
CASO
El porcentaje de desperdicio producido en una operación de acabado metálico se consideran hipotéticamente de menos del 7%. Se seleccionaron aleatoriamente varios días y se calcularon los porcentajes de desperdicio.
5.5151% .
5.3723%
8.5618%
.
6.4601%
a) En la opción de usted ¿es la tasa verdadera un desperdicio menor del 7%?
es mpor an e e ec ar una raz n e σ= . con pro a a e a menos 0.90 ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra que puede emplearse?
8.8199%
c)Para de δ/σ=2.0 ¿Cuál es la potencia de la prueba anterior?
PRUEBA PARA UNA VARIANZA Hipótesis Estadístico Hipótesis alterna Nula H1 : σ2 < σ02 Ho: σ2 = σ02 H1 : σ2 > σ02 H σ2 ≠ σ 2
Rechazo Ho
Rechazo Ho
/2
Rechazo Ho Acepto Ho
Prueba de hipótesis bilateral
Prueba de hipótesis unilateral
Parámetro OC
X20< X21- α,n-1 X20 > X2α,n-1 X20 > X2α/2,n-1 ó X20 < X21-α/2,n-1
/2
Acepto Ho
Ho: 2 = 10 H1: 2 ≠ 10
Criterio de rechazo de H0
Ho: 2 ≤ 10 H1: 2 > 10
= σ /σ0 = σ /σ0 = σ /σ
Rechazo Ho
Ho
Prueba de hipótesis unilateral Ho: 2 ≥ 10 H1: 2 < 10
CASO
Una máquina que se utiliza para llenar latas con una bebida gaseosa. Probar si la varianza del volumen del llenado excede 0.02 las latas estará llenado de menos. Al embotellador le interesa probar la hipótesis con una muestra aleatoria de 20 latas de una varianza muestra = . con un = .
0
varianza es tan grande como σ2 =0.03
2
.
CASO
Una compañía química produce cierta droga cuyo peso tiene una desviación típica de 4 mg. Se a propuesto un nuevo método de producción de esta , . utilizará un cambio en la técnica de producción solamente si la desviación estándar del peso del nuevo proceso es menor de 4 mg. Si la desviación estándar del eso en el nuevo roceso es tan e ueña como 3 m . A la compañía le gustaría cambiar los métodos de producción con una probabilidad de al menos 0.90. Asumiendo que el peso se distribuye normalmente y que =0.05
¿Cuántas observaciones deberían realizarse?
Suponga que los investigadores seleccionan n=10 y obtienen los datos que a ser su decisión? 16.628 16.622 16.627 16.623
16.618 16.630 16.631 16.624
16.622 16.626
PRUEBA PARA UNA PROPORCION Hipótesis Nula Ho: P= P0
Estadístico
Hipótesis alterna H1 : P < P0 H1 : P > P0 H P≠ P
Criterio de rechazo de H0
Parámetro OC
Z 0< -Zα Z 0 > Z α І Z 0 І > Z α/2
Una firma electrónica produce transistores. El contrato de un cliente exige . . muestra de 200 transistores arroja un resultado de 6 defectuosos. Con un =0.05
Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la fracción defectuosa producidas. Una muestra aleatoria de 8000 calculadoras contiene 24 defectuosas. Pruebe la hipótesis de que la fracción de calculadoras defectuosas producidas es de 2.5% con un 1-=99%
PRUEBA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS ´ S CONOCIDAS Hipótesis Nula
Estadístico
Ho: µ1 = µ2
Hipótesis
Ho: µ1 - µ2 = d0
Estadístico
Hipótesis alterna H1 : µ1 < µ2 H1 : µ1 > µ2 H µ ≠ µ
Hipótesis H1 : µ1 - µ2 < d0 H1 : µ1 - µ2 > d0 H1 : µ1 - µ2 ≠ d0
Criterio de rechazo de H0
Parámetro OC
Z 0< -Zα Z 0 > Z α І Z І > Z
Criterio de rechazo de H Z 0< -Zα Z 0 > Z α І Z 0 І > Z α/2
Parámetro OC
CASO 1.
El gerente de una planta enlatadora de jugo de naranja está interesado en comparar la actuación de dos líneas diferentes de producción en su planta. , producción de numero diario de casos es mayor que el numero de casos producidos por la línea mas vieja 2. Se selecciona para cada línea 10 días aleatoriamente ara obtener datos a artir de los cuales se encuentra ue X1=824.9 casos/día, X2=818.6 casos/día, a partir de la experiencia al operar este tipo de equipo se sabe que σ21=40 y σ22=50 ¿Qué concluye el gerente? =0.05
b) Si la diferencia verdadera en tasas medias de producción fuera de 10 casos diarios, obténganse los tamaños de muestra necesarios para detectar esta diferencia con una robabilidad de 0.90
CASO
Un fabricante de componentes eléctricos considera adecuados dos tipos de plástico. La resistencia a la ruptura de este plástico es importante se sabe = = . = n2=12 se obtiene X1=162.5 y X2=155 La compañía no utilizara el plástico 1 a menos que su resistencia a la rotura sea mayor que la de plástico 2 al menos or 10 si. Basándose en la información de la muestra debería em learse el plástico 1?
PRUEBA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON ´ S DESCONOCIDAS ( PERO SE SUPONEN IGUALES)
Hipótesis Nula
Estadístico
Hipótesis alterna H1 : µ1 - µ2 < d0 H1 : µ1 - µ2 > d0
Ho: µ1 = µ2
:
-
Criterio de rechazo de H0 t 0< -tα, n1+n2-2 t 0 > t α, n1+n2-2 І t І > t ,
Parámetro OC d d
Ho: µ1 - µ2 = d0
Estadístico
2
1
2
-
d
Hipótesis
2 1
Hipótesis
Criterio de rechazo de H
H1 : µ1 - µ2 < d0 H1 : µ1 - µ2 > d0 H1 : µ1 - µ2 ≠ d0
t 0< -tα, n1+n2-2 t 0 > t α, n1+n2-2 0 > α/2, n1+n2-2
1 2 2
Parámetro OC
CASO
Se están analizando 2 catalizadores diferentes para determinar en que forma afecta el rendimiento de un proceso químico. Específicamente el catalizador , el catalizador 2 es más barato, si no cambia el rendimiento del proceso debería adoptarse. Supóngase que se desea probar la hipótesis. Los datos de rendimiento de la lanta iloto son n =8 X =91.73 S 2=3.89 n =8 X2=93.75 S22=4.02 con 1-=95%
rendimiento del catalizador 1. Sería deseable rechazar la hipótesis nula con probabilidad de al menos 0.85. ¿Cuál es el tamaño de la muestra necesario? . común σ.
PRUEBA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON ´ S DESCONOCIDA
Hipótesis Nula Ho: µ1 - µ2 = d0
Estadístico
Hipótesis alterna
0
H1 : µ1 - µ2 < d0 t 0< -tα, v H1 : µ1 - µ2 ≠ d0 :
1.
Criterio de
α, v
І t 0 І > t α/2, v
Suponga que existen dos poblaciones normales ejemplo: en donde y ambas varianzas son desconocidas se desea probar que
CASO
Se están probando dos formulas diferentes de gasolina sin plomo para estudiar sus números de octanaje en carretera. La varianza del numero de 2= . de σ22=1.2. Se prueban dos muestras aleatorias de tamaño n1=15 y n2=20 y los números medios de octanaje en carreteras observadas son de X1=89.6 y X =92.5. con un 1-=95%. La formula 2 roduce ma ores resultados de octanaje en gasolina que la formula 1?
CASO 3.
Se estan investigando dos métodos para producir gasolina a partir de petróleo crudo, se consideran que los rendimientos de ambos procesos se distribuye normalmente. La planta iloto ha ro orcionado los si uientes datos recientes al rendimiento: Proceso
a) b) c) d)
Rendimiento %
1
24.2
26.6
25.7
24.8
25.9
26.5
2
21.0
22.1
21.8
20.9
22.4
22.0
¿existe razon para creer que el proceso 1 tiene un rendimiento mediomayor? =0.01 . Considere que a fin de probar el proceso 1 este debera producir un rendimiento medio de al menos 5% mas que el proceso 2. ¿Qué recomendaría usted? Obtenga la potencia de la prueba en la parte (a) si el rendimiento medio del proceso 1 es 5% . Que tamaño de muestra es necesario para la prueba de la parte (a) a fin de asegurarse que la hipótesis nula se rechazara con una probabilidad de 0.90 si el rendimiento medio del proceso 1 excede al rendimiento medio del proceso 2 en 5%
PRUEBA PARA LAS VARIANZAS Hipótesis Nula Ho: σ12 = σ22
Estadístico
Hipótesis alterna
Criterio de rechazo de H0
H1 : σ12 > σ22
f 0 > f α, n1-1,n2-1
1 : σ1
σ2
Parámetro OC
f > f , - , f 0 < f 1-α/2, n1-1,n2-1
. rendimiento de un proceso químico. Específicamente el catalizador 1 se esta empleando actualmente pero el catalizador 2 es aceptable, ya que el catalizador 2 es más barato, si no cambia el rendimiento del proceso debería adoptarse. Supóngase que se desea probar la . n1=8 S12=3.89 y n2=8 S22=4.02 con 1-=95%
PRUEBA PARA 2 PROPORCIONES Hipótesis Nula H :P =P
Hipótesis alterna
Estadístico
H1 : P1
1>
2
H1 : P1 ≠ P2
1.
Criterio de rec azo e
0
Z 0< -Zα 0
α
І Z 0 І > Z α/2
Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones de pulido para su posible uso en una operación de ulido rotatorio en la fabricación de lentes intraoculares usados en el o o humano des ués de una cirugía de cataratas. Se pulieron rotatoriamente 300 lentes usando la primera solución de pulido de los cuales 253 no tuvieron defectos producidos por el pulido. Otros 300 lentes se pulieron rotatoriamente usando la segunda solución de pulido y 196 lentes fueron satisfactorios al termino de la o eración. ha al una razón ara creer ue las dos soluciones de pulido difieren? Use =0.01
