INTRODUCCION El calculo calculo de volúmenes volúmenes en superficies superficies irregulares irregulares presenta presenta dificultad dificultad que puede ser resuelta si se plantea una función de la superficie en mención y luego se aplica integrales. SI se cuenta con la función que determina el contorno de la superficie, se puede recurrir a la integración de la función aplicando el método del disco, pero si no se cuenta con ello se puede hacer uso de la integración numérica. El presente presente informe informe tiene por objetivo objetivo determinar determinar mediante mediante el método método del disco, el volumen de un modelo de botella sugerido. ara ello, se ha presentado el contorno y luego se ha determinado su ecuación, integrando luego mediante método anal!tico y luego mediante el método del trapecio, puesto que se cuenta con las coordenadas de la superficie. El volumen encontrado esta sujeto a criterios según la realidad nos e"ige y es por ello que este resultado encontrado es referencial. Sin embargo, nos brinda un resultado de bastante e"actitud y nos permite dar una idea del valor a encontrar.
I.
TITULO DEL PR PROYECTO CTO APLICACIÓN DE LA L A INTEGRAL DEFINIDA: VOLUMEN MEDIANTE EL METODO DEL DISCO A UN SOLIDO DE SUPERFICIE IRREGULAR IRREGUL AR
II. OBJETIVOS #.# #.#
$ete $eterm rmin inar ar la ecuac ecuació ión n del del cont contor orno no de una botel botella la usan usando do m!ni m!nimo moss cuadrados.
#.%
Encont Encontrar rar el volume volumen n con un un método método aprop apropiado iadoss para para el model modelo o de botella determinado.
#.&
'tili(ar método del disco en volúmenes de revolución para procesar las ecuaciones que se obtienen.
III. III. HIPO HIPOT TESI ESIS $espués $espués de encontrar encontrar una ecuación ecuación apropiada apropiada para el contorno contorno de la botella, mediante el método de m!nimos cuadrados, se va hacer uso de los conocimientos en integral definida y volúmenes de sólidos de revolución para determinar el volumen de una botella.
IV. DAT DATOS )os datos del contorno de una botella se muestran en el siguiente grafico*
)os datos del contorno se presentan a continuación*
+ # % & 3 1 2 0 / #-
# % & 3 1 2 0 / ,/01
y -,&/ #,&01 #,#12 #,%1#,&#& #,&#& #,%/# -,/#& -,1--,2%1
1. Utilic Utilicee la opción opción REGRES REGRESSIO SION N en una grafic graficado adora ra para ajustar ajustar una función función polinomial cuártica a los datos. 2. on !ase !ase en la funció función n "allada "allada en el ejercicio ejercicio 1# integr integree para "allar "allar el $olumen $olumen de la !otella. Su respuesta será en pulgadas c%!icas. on$i&rtala a on'as l()uidas con !ase en )ue 1 pulgada*+,#--2 on'a l()uida. *. /a !otella !otella en cuestión cuestión tiene tiene una capacidad capacidad de 2, on'as. on'as. 0u& 0u& tan apropia apropiado do fue el procedimiento de ajuste de cur$as utili'ado para efectuar este estimado. . 3rue 3rue!e !e "allar "allar una cur$a cur$a )ue )ue d& un mejo mejorr esti estima mado do del $olume $olumen. n. 0uál 0uál es la cur$a 4 cuál es el $alor estimado
V. V.1.
FUND FUNDA AMENT MENTO O TEÓR TEÓRIC ICO O. METODO DE MINIMO MOS S CUAD UADRAD RADOS UNA CURV URVA DE CUART UARTO O ORDEN n. Sea el polinomio de grado 3* %4"567"389"&8:"%8$"8E El sistema de ecuaciones ha desarrollar es para el método de m!nimos cuadrados es* -
-
∑ n789
i =,
∑5
i
i =,
7
8:
∑ 8$
∑5
∑ 8E
∑5
∑4 6
i
i=,
-
-
∑5 ∑5 4
. i
i
i= ,
8$
-
5 i.
i =,
-
* i
i =,
8:
-
5 i*
i =,
-
2 i
i =,
89
-
5 i2
i =,
-
.
∑5
∑
5i
i
i =,
8E
i =,
6
i
-
∑5 7
-
∑5
2 i
i =,
89
-
∑5 7
7
i =,
∑5 89
-
i =,
∑5 8:
-
* i
i =,
∑5
-
* i
i =,
∑5 89
i =,
∑5
i =,
8$
-
∑5
. i
8:
-
. i
-
. i
i =,
∑5 8:
i =,
i= ,
∑5 8$
∑ 5 ∑ 5 4 8E
i= ,
∑5 8$
i =,
i =,
2 i
6
-
-
7 i
8E
i =,
* i
6
-
-
8 i
8E
i
i =,
∑ 5 ∑ 5 4
7 i
i
i =,
∑ 5 ∑ 5 4
6 i
-
6 i
-
6 i
-
i
-
i
-
i
i =,
. i
6
i
i =,
7ctualme 7ctualmente nte e"iste programas programas de computadora computadora que facilita facilita el c;lculo del sistema de ecuaciones anterior.
V.2.
VOLU VOLUME MEN N DE UN UN SOLI SOLIDO DO DE DE ROT ROTACION CION MED MEDIA IANT NTE E EL MET METOD ODO O DEL DISCO. 7hora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingenier!a y en procesos de producción. Son ejem ejempl plos os de sól!"s !# $#%"l&'ón* ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. En el siguiente grafico*
y
fx
x a
x
b
:uando el elemento diferencial gira sobre el eje "*
rfx
x Si giramos una región del plano alrededor de una l!nea, el sólido resultante es conocido como sól!" !# $#%"l&'ón y la l!nea como #(# !#
$#%"l&'ón. El m;s simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rect;ngulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rect;ngulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es
alred alreded edor or del del eje eje de
revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es ∆<6π=% ∆"
Si apro"imamos apro"imamos el volumen volumen de un sólido sólido por n de tales discos de anchura ∆" y de radio =4"i5, tenemos n
∑ π[ R : 5 9] i
2
∆5
i =1
omando el l!mite ?? ∆?? → - 4n→ ∞5, tenemos n
/im /im ∑ π[ R : 5 9] n →∞
2
i
∆5
i =1
2 [ ] R : 5 9 d5 ∫
<6π
V.).
EL M*T M*TODO DE LOS TRA TRAPECI PECIO OS El método método de los trapeci trapecios os es muy simple simple y se puede puede e"plic e"plicar ar f;cilmente a partir de la siguiente figura.
f(x)
a
xi
xi+1
b
Se define el tama@o de intervalo a usar. Se le conoce como paso de la integral*
! − a
h6
n
se divi divide de el inte interva rvalo lo Aa,bB Aa,bB por medio medio de puntos puntos igualm igualment ente e espaciados, por lo que los puntos siguientes est;n definidos según* "-6a
"i6"-8ih "n6b
7hora las ordenadas de dichos puntos son Ci6f4"i5
4i6-,#,%,&,Dn5
En cada intervalo (x i i ,x sustituye la función f(x) por la recta que ,x i+1 ) ) se sustituye i+1 une los puntos (x i i,y , y )i i y (x i+1 ) ) tal como se aprecia en la figura. i+1,y i+1 i+1 )a parte sombreada, un trapecio, se toma como el ;rea apro"imada, su valor se puede calcular f;cilmente " 2
7i6 4yi8yi8#5 El ;rea total apro"imada es la suma de las ;reas de los n peque@os trapecios de anchura h "
"
"
"
2
2
2
2
7≈ 4y-8yi58 4y#8y%58D.8 4yn%8yn#58 4yn#8yn5 o bien, agrupando términos " 2
76 4y-8yi8y#8y%8D.8yn%8yn#8yn#8yn5
"
f : 5 , 9 + 2∑ f : 5 i 9 + f : 5 n 9 2 i =1 n −1
76 uesto que la definición de la integral corresponde a la ;rea bajo la curva, tenemos*
n −1 " f : 5 9 2 f : 5 9 f : 5 9 + + , i n 2 i =1
∑
!
∫ f :59d5 a
6 :uanto mayor sea el número de divisiones divisiones del intervalo intervalo [a, b] que hagamos, menor ser; h, y m;s nos apro"imaremos al valor e"acto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el ordenador maneja números de precisión limitada.
VI. ANALISI ANALISIS S DE DAT DATOS. VI.1. VI.1. CALCULO CALCULO DEL DEL VOLUM VOLUMEN EN MEDIA MEDIANTE NTE EL METODO METODO DEL DEL TRAP TRAPECI ECIO. O. ara los datos dados* + # % & 3 1 2 0 / #-
# % & 3 1 2 0 / ,/01
y -,/ #,&01 #,#12 #,%1 #,&#& #,&#& #,%/# -,/#& -,1 -,2%1
)a función del volumen mediante el método del disco es* !
∫ [ f :5 9] <6π
a
2
d5
ara los datos dados, las ;reas respectivas se detallan en la tabla de la siguiente pagina*
+ # % & 3 1 2 0 / #-
∆"
# %,1 3 1,1 0 /,1 ###,1 #& #3,1
f4"5 %,2 %,/ %,0/ %,00 %,00 %,02 %,02 %,21 %,3 %,&
#,1 #,1 #,1 #,1 #,1 #,1 #,1 #,1 #,1
!
∫ [ f : 59]
2
a
<6π
f4"5F ##,02 ##,1%2 ##,1-&1 ##,1-&1 ##,3%23 ##,3%23 #-,1&&01 /,23 0,&1
n −1 f :5 , 9 + 2∑ f :5 i 9 + f :5 n 9 i =1
d5
6π
<6π[##,028%4##,3-0580,&1]62-#,1/1002
VI. VI.2. CAL CALCULO CULO DEL VOLU VOLUME MEN N MEDI MEDIA ANTE NTE MI MINI NIMO MOS S CUA CUADRA DRADOS DOS E INTEGRACION ANALITICA )a aplicación aplicación del método de m!nimos m!nimos cuadrados cuadrados para una ecuación ecuación de cuarto grado, a los datos dados nos lleva a la siguiente ecuación.
f4"56
−6
6 x 10 x
5
−0,002 x 4 +0,034 x 3−0,221 x 2+ 0,634 x +2,153
7plicamo 7plicamoss el método método del disco para determinar determinar el volumen volumen de la botella botella según los limites*
14
<6π
∫ y
2
dx
1
3 f(x) = 0x^5 - 0x^4 + 0.03x^3 - 0.22x^2 + 0.63x + 2.15
2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
14
<6π
∫ (0,000006 x −0,002 x + 0,034 x −0,221 x +0,634 x +2,153 ) dx 5
4
3
2
2
1
$espués de elevar al cuadrado la ecuación* <613,-# cm& uesto que el volumen de dise@o requiere 2-- cm &, el c;lculo muestra que es apropiado el procedimiento utili(ado. Grado de error* e4H56#--
VI.).
(
594,01 −600 600
) 6-,/ H
'n polinomio de grado 2 es de mejor apro"imación y el grafico en e"cel muestra la mayor apro"imación de los puntos a esta curva. El uso de m!nimos cuadrados en este programa sugiere la siguiente
ecuación* y6-,-----#"2-,----3"1-,--#"38-,--#"&-,-/&"%8-,&02"8%,&-2
3 f(x) = 0x^6 - 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 - 0.08x^2 + 0.38x + 2.31 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
14
<6π
∫ y
2
dx
1
14
<6π
∫ (0,00001 x +0,004 x −0,082 x +0,637 x −2,43 x + 4,278 x −1,423 ) dx 6
5
4
3
2
2
1
<6%00#0-,12 cm& $emasiada distorsión con un polinomio de grado 2.
VII. CONCLUCION CONCLUCIONES. ES. •
Se ha determinado el volumen cumpliendo los requerimientos del dise@o.
•
Se ha apli aplica cado do técni técnica cass de c;lcu c;lculo lo inte integr gral al para para obte obtener ner los los valo valores res requeridos.
•
Es mas mas apro apropi piad ado o hace hacerr uso uso de inte integr grac ació ión n numé numéri rica ca debi debido do a la irregularidad del contorno de la botella y a lo tedioso de los c;lculos anal!ticos que representa la e"presión del volumen.
•
El método del trapecio es m;s adecuado para el c;lculo de este volumen por su precisión y facilidad.
VII. BIBLIOGRAFIA #. lemin leming, g, Jalter Jalter.. KLlgebra KLlgebra con trigonom trigonometr etr!a !a y geomet geometr!a r!a anal!ti anal!ticaM, caM, tomo tomo II, tercera edición edición en espa@ol, espa@ol, editorial editorial renticeNal renticeNalll Nispanoameri Nispanoamericana, cana, S.7. #3. %. )arson, =o = on.
& Nosteler,
=obert . KEl :;lculoM, editorial OcGraPNill.
Oé"ico $.. %--2. &. Espino(a Espino(a =amos, =amos, Eduardo. Eduardo. K7+7)ISIS K7+7)ISIS O7>EO O7>EO7> 7>I:Q I:Q IIII para para estudiante estudiantess de ciencias e ingenier!aM, editorial Servicios Gr;ficos RR. S.7., )ima, erú. %--#. 3. http*descartes.cnice.mecd.es9achT:+S>T%)aTintegralTdefinidaTyTla TfuncionTareainde".htm
