Problemas. 7.1 sea
y
. Dado el punto
, encontrar: a) V en P; b) E en P; c
)
en P; d) la ecuación de la superficie equipotencial que pasa por P; e) la ecuación de la línea que pasa por P. f) ¿Satisface V la ecuación de Laplace? a) V en P
b) E en P
c)
d)
e)
en P
⁄ ∫ ∫
En P
Ahora:
En P
Por lo tanto, las ecuaciones son:
∫ ∫ y
d) No satisface.
7.3 Sea
sabe que tanto Solución: Como
en una región del espacio Libre donde
como V son cero en el origen. Encontrar
entonces utilizaremos la ecuación de Laplace
.
. Se
Entonces tendremos:
Integrando
Entonces
Evaluando en el origen tendremos:
Como
entonces sabemos que
Integrando nuevamente Evaluando en el origen
Entonces Por lo tanto
y
EJERCICIO 7.4
Dado un campo de potencial a)
Demostrar que
satisfacen la ecuación de Laplace.
b)
Describir las superficies de potencial constante.
c)
Describir específicamente las superficies en las que
d)
Escribir la expresión del potencial en coordenadas cartesianas.
y
Desarrollo:
a)
b)
Éstas serán las superficies en que es constante. En esta etapa, esto es útil para llamarla en la coordenada , de hecho en coordenadas rectangulares es , nosotros identificar las superficies de potencial constante (plano) como superficies de constante (paralelo al plano yz).
c)
En el primer caso
, nosotros deberíamos tener
En el segundo caso
, nosotros tenemos la superficie
(plano yz); .
d)
Con los resultados de los literales anteriores nosotros podemos expresar la ecuación del potencial en coordenadas rectangulares de la siguiente manera:
Como
, entonces
|| a)
( )
|| ( ) b)
en
Sustituyendo los puntos q tenemos:
Primer punto:
Segundo punto:
7.6 Un capacitor de placas paralelas tiene sus placas localizadas en
. La
región entre las placas está llena con un material que tiene un volumen de carga de densidad uniforme
y tiene una permitividad
Ambas placas se
encuentran aterrizadas. a) Determinar el campo de potencial entre las placas. b)
Determinar la intensidad de campo eléctrico E entre las placas. c) Repetir los
incisos a) y b) para el caso de que la placa en placa Solución: a)
aterrizada.
eleve su potencial a
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
con la
b)
c)
[ ] [ ]
[ ] 7.7 Sea
en el espacio libre
a) Encontrar la densidad del carga volumétrica en el punto b) Encontrar la densidad del carga superficial en la superficie de un conductos que pasa por el punto B en Solución
a) Utilizaremos la ecuación de Poisson
Remplazando en el punto A Tenemos:
b)
Primeramente encontraremos E y luego encontraremos la densidad de carga superficial en el conductor que pasa por el punto B
Evaluando en punto B
La densidad de carga superficial nos quedara así:
||
La carga tiene valor
dependiendo del lado de la superficie que consideremos.
7.9 Las funciones V 1(ρ , φ , z ) y V 2(ρ , φ , z ) satisfacen la ecuación de Laplace en la regi ón a< ρ < b , 0 ≤ φ < 2π , − L < z < L; tiene un valor de cero sobre las superficies ρ = b
para − L < z < L ; z = − L para a < ρ < b ; y z = L para a < ρ < b ; y cada una tiene 100 V en la superficie ρ = a para − L < z < L.
ó
1
¿
2
1
2
1
1 2
satisfacen la ecuación de Laplace Si satisfice para los tres primeros ya que la ecuaci ón de Laplace es lineal. Pero no satisfice para V 1V 2. ¿ 1 1
1
2
1
2
2
En la superficie 100 V ( ρ = A), no para todos. En las superficies de 0 V, sí , a excepción de V1 + 3.
¿
1
2
1
2
1
1
2
é
1
Sólo es V2,ya que se da como satisfacer todas las condiciones de contorno que V1 hace. Por lo tanto, por el teorema de unicidad, V2 = V1. Los otros, que no reúnan las condiciones de límite, no son idénticos a V1.
7.11 Los planos conductores
y
y encontrar: a) V en
V y 0 V, respectivamente. Sea Solución: a)
b)
están a potenciales de 100 b) E en P.
EJERCICCIO 7.15)
Los dos planos conductores que se muestran en la figura están definidos por ,
,
encuentre a) v(, );E( );c)D( );d)
; desprecie los efectos de borde y
en la superficie superior del plano de abajo; f) Repetir los
incisos a) hasta c) para la regon 2 haciendo que la ubicación del plano superior sea , y después encontrar
en la superficie de abajo del plano superior. g)
Encontrar la carga total en el plano inferior y la capacitancia entre los planos a) La solución general de la ecuación de Laplace será
, y así
| ∫ ∫ Al Restar una ecuación de la otra, encontramos
Entonces
20 = -2,00 × 104 (0.188) + C2
C2 = 3,78 × 103
Por último
b) E (ρ): Utilice
c)
d)
en la superficie superior del plano inferior: Usamos
e)Q en la superficie superior del plano inferior: Esto será
f)
A continuación,
. Por lo tanto
región 2. Entonces
Y
ρs en la superficie inferior del plano inferior será ahora
en la
La carga en la superficie que será entonces
g) Determinar la carga total en el plano inferior y la capacitancia entre los planos: . La capacitancia será
a) donde
varía en la dirección normal de E
Por condiciones iniciales
b)
c)
Obtenemos primero la densidad de flujo eléctrico:
∫ ∫ ∫
Donde la densidad de carga en la parte superior es:
De donde podemos obtener la carga en la parte superior:
Integrando desde
d) La capacitancia:
7.17 Dos esferas conductoras concéntricas se encuentran en
y
. La
región entre las esferas esta llena de un dieléctrico perfecto. Si la esfera interior está a la exterior a
:
a) Encontrar la ubicación de la superficie equipotencial de
b) Encontrar
c) Encontrar
.
si la densidad de carga superficial en la esfera inferior es de
.
y
7.19 Dos conos conductores coaxiales tiene sus vértices en el origen y en el eje z como sus ejes. El cono A tiene al punto A(1 , 0 , 2) sobre sus superficie, mientras que el cono B tiene el punto
B(0 , 3 , 2) sobre su superficie. Sea VA=100V y VB=20V. Encontrar:
a) α para cada cono. b) V en el punto P(1 , 1 , 1).
a).
α1=? A(1, 0 , 2)
α2=? B(0, 3 , 2)
b). V en P(1 , 1 , 1) Como
Por lo tanto
Para α1
Para α2
Haciendo sistema de ecuaciones de primer gr ado obtenemos. 1.-
2.-
Ya obtenidas las constantes solo nos queda obtener el ángulo.
(√ ) ⁄ | |
Por tanto:
20. Un campo de potencial en el espacio libre está dado por a) Encontrar el valor máximo de
sobre la superficie
.
b) Describir la superficie V=80V. Solución:
⁄ ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄ ⁄ b.
V
V.
para
m,
Igualando a V=80V
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
Depejando
Encontramos
7.21) Sea
en el espacio libre. a) Utilizar la ecuación de Poi sson para encontrar V(r) si
2
se supone que r Er→0 cuando r→0, y también que V→0 a medida que r→∞ b) Encontrar V(r) utilizando la ley de Gauss y una integral de línea. a)
2
Condiciones iníciales: r Er→0 cuando r→0
b)
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ejercicio 22 a través de la solución
apropiada de las ecuaciones de
Laplace y de Poisson
determinar el potencial absoluto en el centro de la esfera de radio a y que tiene una densidad de carga volumétrica uniforme cualquier punto
ρ0
.
Suponer una permitividad e0
en
Pista: ¿ Que puede asegurarse respecto al potencial y campo
eléctrico en r = 0 y en r = a? Con la dependencia única radial, la ecuación de Poisson (aplicable a r ≤ a) se convierte en
Para la región 2 (r ≥ a) no hay ninguna carga y así se convierte en la ecuación de Laplace
Ahora, a medida que r → ∞, V2 → 0, por lo tanto, C4 = 0. También, como r → 0, V1 debe ser finito, por lo que por lo tanto, C1 = 0. Entonces, V debe ser continua a través del límite, r = a:
Ahora
| |
Así que los potenciales en sus formas finales son
El potencial requerido absoluto en el origen es ahora
7.23 Un valle rectangular lo forman cuatro planos conductores ubicados en x=0 y 8 cm y y =0 y 5cm en el aire. La superficie que están en y=5cm se encuentra a un potencial de 100 V, y los otros tres a cero potencial y los orificios necesarios se localizan en las dos esquinas. Encontrar el potencial en x=3cm, y=4cm.
Primeramente para utilizar esta formula
Tenemos que hacer cambio de variables debido que el potencial esta en la parte superior. Por tanto tenemos que: x y
;
bd
Remplazando tenemos
Con
;
Remplazando lo s valores en la ecuación tenemos:
7.27) Se sabe que V= XY es la solución de la ecuación de Laplace, donde X es una función solamente de x y Y es una función solamente de y. Determinar cuál de las siguientes funciones de potencial son también soluciones de la ecuación de Laplace: a) V=100X b) V=50XY c) V=2XY+x-3y d) V=xXY e)
Desarrollo:
=0
La ecuación anterior puede resolverse mediante separación de variables por medio de la división de XY.
=0
Ambos de estos términos deben ser igual a la misma constante separación.
a) V= 100X
Donde
b) V= 50XY
Donde
c)
V= 2XY +x -3y
Donde
0
, llamada constante de
d) V= xXY
e) V=
Donde
7.28) Suponer una solución producto V=PF de la ecuación de Laplace en coordenadas
cilíndricas, donde V no sea función de z, P es una función solamente de de
.
a) Obtener las dos ecuaciones separadas si la constante de separación es
b) Demostrar que P=
c) Construir la solución V ( circulares. Desarrollo: a)
satisface la ecuación
.
y F es solo función
.
). Las funciones de esta forma se denominan armónicas
Ahora se multiplica por
Donde:
Donde:
y se divide para
Como el seno y coseno son funciones periódicas cada 2 , entonces la función será repetitiva cada periodo. Si
b)
Donde:
P=
Reemplazando en la ecuación término por término y resolviendo:
c)
Necesitamos la solución cuando n= 0
Si notamos a S=
y
∑ (
)(
Para
7.29 en referencia al capítulo 6, figura 6.14, el conductor interior de la línea de transmisión
está a un potencial de 100 V, mientras que el exterior está a cero potencial. Construir un enrejado de 0.5ª de lado y utilizar la iteración para encontrar V en un punto ubicado a
unidades sobre la esquina superior de la derecha del conductor interior. Trabajar en el volt más cercano.
El voltaje es de 38 V.