UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUÍMICA
PROBABILIDADES Presentado al:
Ing. Dr. Sc. Abraham Palacios Velásquez Realizado por:
MERINO ROJAS , Cristina Alumno de III ciclo de Ingeniería Química
HUANCAYO –PERU
DISTRIBUCION BINOMIAL 1.Encontrar la probabilidad de que en un examen de verdadero o falso, un estudiante adivine correctamente las respuestas de: a) 12 de 20 preguntas o más, y b) 24 de 40 preguntas o más. SOLUCIÓN:
a) 12 a 20 preguntas (
)
(
(
)
)
√ (
(
(
)
(
)
)
)
INFERENCIA: Es 25,11% probable de que un estudiante adivine correctamente 12 de 20 preguntas o más, en un examen de verdadero o falso.
b) 24 a 40 preguntas a mas (
) (
( )
( (
)
√ )
(
(
) )
)
INFERENCIA: Es 13.42% probable de que un estudiante adivine correctamente 24 de 40 preguntas o más, en un examen de verdadero o falso.
2.Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda seis veces se obtengan: a) 0, b) 1, c) 2, d) 3, e) 4, f)5 y g) 6 caras. SOLUCIÓN: 𝒑(𝒙
𝒌)
𝒏! 𝒑𝒌 (𝟏 𝒌! (𝒏 𝒌)!
𝒑)𝒏−𝒌
k
p
n
p(x=k)
a
0
0.5
6
0.0156
b
1
0.5
6
0.0938
c
2
0.5
6
0.2344
d
3
0.5
6
0.3125
e
4
0.5
6
0.2344
f
5
0.5
6
0.0938
g
6
0.5
6
0.0156
a) INFERENCIA: Es 1,56% probable de que se no obtenga cara, al lanzar una moneda seis veces. b) INFERENCIA: Es 9,38% probable de que se obtenga 1 cara, al lanzar una moneda seis veces. c) INFERENCIA: Es 23,44% probable de que se obtenga 2 caras, al lanzar una moneda seis veces. d) INFERENCIA: Es 31,25% probable de que se obtenga 3 caras, al lanzar una moneda seis veces. e) INFERENCIA: Es 23,44% probable de que se obtenga 4 caras, al lanzar una moneda seis veces. f) INFERENCIA: Es 9,38% probable de que se obtenga 5 caras, al lanzar una moneda seis veces. g) INFERENCIA: Es 1,56% probable de que se obtenga 6 caras, al lanzar una moneda seis veces.
3.Encontrar la probabilidad de obtener, en dos lanzamientos de un par de dados, la suma 11: a) una vez, y b) dos veces. SOLUCIÓN: a) A= {primer lanzamiento de dos dados, la suma resultante sea 11} B= {segundo lanzamiento de dos dados, la suma resultante sea 11} Eventos simples: 62=36 Probabilidades del evento simple: o A= o B= *
+
INFERENCIA: Es 10.49% probable de que se obtenga la suma de 11, al lanzar una vez, un par de dados. b) Ahora, en dos lanzamientos de seria:
INFERENCIA: Es 0% probable de que se obtenga la suma de 11, al lanzar dos veces, un par de dados. 3.¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 una sola vez en los tres lanzamientos de un par de dados? SOLUCIÓN: A= {lanzamiento de los dados, y obtener la suma de 9} Eventos simples: 35=243 Posibilidades del evento simple:
o A=
* + INFERENCIA: Es 26,34% probable de que se obtenga la suma de 9, un uno de los tres lanzamientos, de un par de dados. 5.Hallar la probabilidad de adivinar, correctamente, por lo menos 6 de 10 respuestas en un examen de verdadero y falso. SOLUCIÓN: Sea la ecuación general para una función distribución binomial: 𝒑(𝒙
𝒌)
𝒏! 𝒑𝒌 (𝟏 𝒌! (𝒏 𝒌)!
𝒑)𝒏−𝒌
numero de aciertos k= 6, esto es x=6. el número de exámenes es 10, n=10. la probabilidad de éxito p, es que salga verdadero, al adivinar el examen V o F es de 0.5.
(
)
! ! (
)!
(
)
−
INFERENCIA: Es 37% probable de adivinar correctamente, por lo menos 6 de 10 respuestas, en un examen de verdadero y falso. 6.Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad esté vivo en 30 años es 2/3. Encontrar la probabilidad de que en 30 años estén vivos: a) los 5 hombres, b) por lo menos 3 de estos hombres, c) solo 2 de estos hombres, y d) por lo menos uno de ellos; e) Usar EXCEL para responder los incisos del a) al d). SOLUCIÓN:
Diseñando la tabla para los valores pedidos: a)
0,131691
= BINOMDIST(5,5,0.66667,0)
)
b)
0,790428
= BINOMDIST(2,5,0.66667,1)
c)
0,164606
= BINOMDIST(2,5,0.66667,0)
d)
0,995885
= BINOMDIST(0,5,0.66667,0)
, como son 5 hombres, entonces tenemos
.
SOLUCIÓN Por lo tanto: INFERENCIA: Es 13,17% probable de que los 5 hombres estén vivos en 30 años. b)Sea: , como son 5 hombres, entonces tenemos
, por lo menos 3 de estos
hombres entonces tenemos 2*3=6. SOLUCIÓN Por lo tanto: INFERENCIA: Es 79,04% probable de que, por lo menos, 3 de los 5 hombres estén vivos en 30 años.
c) sea: , como son 5 hombres, entonces tenemos
, solo 2 de estos
hombres de los 5 seria 5-2 = 3; entonces tendríamos
opciones.
SOLUCION Por lo tanto: INFERENCIA: Es 16,46% probable de que, sólo estén vivos 2 delos 5 hombres en 30 años. d) la probabilidad de que un hombre viva es: Desacuerdo a: b)
y c)
.
SOLUCION Por lo tanto:
=
INFERENCIA: Es 99,59% probable de que uno delos 5 hombres stén vivos en 30 años.
7.Un examen consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO ,suponiendo que a las personas que se le aplica no saben contestar a la pregunta a ninguna de las preguntas y , en consecuencia, contestan al azar hallar : a) Probabilidad de obtener cinco aciertos. b) Probabilidad de obtener algunos aciertos. c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos SOLUCIÓN
Suceso
(
)
Suceso
(
)
( ) ( ⃐) (
Distribución binomial de parámetros
)
a) 𝒑(𝒙
𝒏! 𝒑𝒌 (𝟏 𝒌! (𝒏 𝒌)!
𝒌)
(
)
.
/ (
𝒑)𝒏−𝒌
)
(
)
−
K=5 !
. /
N=10
!( − )!
P=0.5 Q=0.5 .
Números combinatorios (
)
.
/ (
)
!
/
(
!( −
)
− )!
(
)
(
)
(
)
INFERENCIA: La probabilidad de obtener cinco acierto en Un examen que consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO es de 24.61%
b) ( (
) )
( (
) )
( (
) )
( (
)
(
)
(
)
)
Hacerlo de esta forma resultaría muy pesado. Lo hacemos por suceso ) ( ) contrarios a ``no obtener acierto´´ ( Calculamos la probabilidad de no obtener ninguna cierto (
)
( (
)
)
.
/ (
(
)
) .
(
)
/ (
)
(
)
INFERENCIA: La probabilidad de no obtener cinco acierto en Un examen que consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO es de 0 %
c) ( (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
) (
)
INFERENCIA: La probabilidad de obtener al menos cinco acierto en Un examen que consta de preguntas a la que hay que contestar SI o NO es de 62.31 % 8.La probabilidad de que un alumno de 1º de bachillerato repita curso es de 0.3.elegimos 20 alumnos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? SOLUCION ( )
(
)
(
)
Probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores K=4 N=20 P=0.3 (
Q=0.5 . /
)
/ (
)
(
)
−
! !( − )!
Números combinatorios (
.
)
.
/ (
)
.
/
(
)
! !( −
− )!
(
)
(
)
(
)
INFERENCIA: La probabilidad de que un alumno de 1º de bachillerato repìta curso es de 0.3.elegimos 20 alumnos al azar es de 13% 9.. Calcular la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños.
𝒑(𝒙
𝒌)
𝒏! 𝒑𝒌 (𝟏 𝒌! (𝒏 𝒌)!
𝒑)𝒏−𝒌
SOLUCIÓN ( ) ( ⃐) (
N=4(hijos)
)
Probabilidad de tener tres hijos K=3 N=4 P=0.5 (
Q=0.5 !
. /
!( − )!
(
)
)
. / (
. /
Números combinatorios . /
(
)
(
)
)
−
(
(
−
) !
!( − )!
)
(
)
(
)
INFERENCIA: La probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños es de 25% 10.De lo tornillos que se producen en una máquina, 10% está defectuoso. Encontrar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 400 tornillos producidos con esta máquina: a) cuando mucho 30, b) entre 30 y 50, c) entre 35 y 45, y d) 55 o más de los tornillos estén defectuosos. SOLUCIÓN: a) Cuando mucho 30
(
)
(
√
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
INFERENCIA: Es 5,67% probable de que se encuentre, cuando mucho, 30 tornillos defectuosos, de una muestra de 400 tornillos producidos al azar. b) Entre 30 y 50 (
)
(
)
(
)
√
(
)
(
)
(
(
)
)
INFERENCIA: Es 91,98% probable de que se encuentre, entre 30 y 50 tornillos defectuosos, en una muestra de 400 tornillos producidos al azar. c) Entre 35 y 45 (
)
(
) (
(
)
√
(
)
(
(
) )
)
INFERENCIA: Es 64.04% probable de que se encuentre, entre 35 y 45 tornillos defectuosos, en una muestra de 400 tornillos producidos al azar.
DISTRIBUCION NORMAL 1.En un examen de estadística, la puntuación media es 78 y la desviación estándar es 10. a) Determinar las puntuaciones estándar de dos estudiantes cuyas calificaciones fueron 93 y 62, respectivamente. b) Determinar las calificaciones de dos estudiantes cuyas puntuaciones estándar fueron -0.6 y 1.2, respectivamente. SOLUCIÓN: a) ̅
𝑧
𝑥 𝜎
𝑧
̅
𝑥̅
𝑥
𝑥̅ 𝜎
INFERENCIA: Las puntuación es estándar de dos estudiantes, con respecto a la media, en un examen de estadística, son 1.5 y -1.6 respectivamente. b) ̅
̅
𝑥
(𝑧 𝜎)
𝑥̅
(
𝑥
(𝑧 𝜎)
𝑥̅
(
)
)
INFERENCIA: Las calificaciones de dos estudiantes, con respecto a la media, en un examen de estadística, son 72 y 90 respectivamente.
2. Encontrar: a) la media, b) la desviación estándar de las calificaciones obtenidas en un examen en el que 70 y 80 corresponden a las puntuaciones estándar -0.6 y 1.4, respectivamente. SOLUCION:
a)
𝜎
𝑥
𝑥̅
𝑥̅
𝑥̅
𝑧 𝑥̅
̅
𝑥̅ 𝑥̅ 𝑥̅
̅
INFERENCIA: La media, de las calificaciones obtenidas en un examen, es 73. b)
𝜎
𝑥
𝑥̅ 𝑧 𝜎
INFERENCIA: La desviación estándar, con respecto a la media, de las calificaciones obtenidas en un examen es 5. 3. Hallar el área bajo la curva normal entre: a) z=-1.20 y z=2.40, b) z=1.23 y z=1.87, y c) z=-2.35 y z=-0.50, d) Resolver los incisos del a) al c) empleando EXCEL. SOLUCIÓN: a) z1=-1.20 y z2=2.40 p (z) = p (z2)- p (z1) = 0.99180 – 0.11507 P (z) = 0.87673
INFERENCIA: El área, bajo la curva normal, teniendo en cuenta los valores de z (-1.20 y 2.40, respectivamente), es el 87.673% del área total. b) z1=-1.23 y z2=1.87 p (z) = p (z2)- p (z1) = 0.96926 – 0.10935 P (z) = 0.85991
INFERENCIA: El área, bajo la curva normal, teniendo en cuenta los valores de z (-1.23 y 1.87, respectivamente), es el 85.991% del área total. c) z1=-2.35 y z2=0.50 p (z) = p (z2)- p (z1) = 0.69146 – 0.00939 P (z) = 0.68207 INFERENCIA: El área, bajo la curva normal, teniendo en cuenta los valores de z (-2.35 y 0.50, respectivamente), es el 68,207% del área total. 4. Hallar el área bajo la curva normal: a) a la izquierda de z=-1.78, b) a la izquierda de z=0.56, c) a la derecha de z=-1.45, d) correspondiente a z≥2.16, e) correspondiente a -0.80≤z≤1.53, y f) a la izquierda de z=-2.52 y la derecha de z=1.83; g) Resolver los incisos del a) al f) usando EXCEL. SOLUCIÓN: a) A la izquierda de z=-1.78 p (z) = 0.03754
INFERENCIA: El área bajo la curva normal, que está a la izquierda de z (1.78), es el 3.754% del total. b) A la izquierda de z=0.56 p (z) = 0.71226
INFERENCIA: El área bajo la curva normal, que está a la izquierda de z (0.56), es el 71.226% del total. c) A la derecha de z=-1.45 p (z) = 1-0.07353 = 0.92647
INFERENCIA: El área bajo la curva normal, que está a la derecha de z (1.45), es el 92.647% del total.
d) Correspondiente a z≥ 2.16 p (z) = 1- 0.98422 = 0.01578 INFERENCIA: El área bajo la curva normal, Correspondiente a z ≥ 2.16, es el 1,578% del total. e) Correspondiente a -0.80≤z≤1.53 p (z) = 0.93699 – 0.21186 = 0.72513
INFERENCIA: El área bajo la curva normal, Correspondiente a 0.80≤z≤1.53, es el 72,513% del total. f) A la izquierda de z=-2.52 y a la derecha de z=1.83 p (z) = p (z1) + [1-p (z2)] = 0.00587 + [1- 0.96638] = 0.03949
INFERENCIA: El área bajo la curva normal, que está a la izquierda de z=2.52 y a la derecha de z=1.83, es el 3.949% del total.
5. Si z está distribuida normalmente con media 0 y varianza 1, hallar: a) Pr {z≥-1.64}, b) Pr {|z|≥1} y c) Pr {-1.96≤z≤1.96}. SOLUCIÓN: a) Pr {z≥-1.64} p (z) =1- 0.0505 = 0.94950 = 94.950%
INFERENCIA: El área bajo la curva normal, cuando z=-1.64, es probable que sea 94.950% del total.
b) Pr {-1.96≤z≤1.96} p (z) = 0.97500 – 0.02500 = 0.95 = 95%
INFERENCIA: El área bajo la curva normal, cuando -1.96≤z≤1.96, es probable que sea el 95% del total. 6. Hallar el valor de z tal que: a) el área a la derecha de z sea 0.2266, b) el área a la izquierda de z sea 0.0314, c) el área entre -0.23 y z sea 0.5722, d) el área entre 1.15 y z sea 0.0730 y e) el área entre –z y z sea 0.9000. SOLUCION: a) El área a la derecha de z sea 0.2266 p (z) = 1-0.2266 = 0.7734 = 0.75
INFERENCIA: El valor de z, cuando el área a su derecha sea 0.2266, es 0.75. b) El área a la izquierda de z sea 0.0314 p (z) = 0.0314 = -1.86
INFERENCIA: El valor de z, cuando el área a su izquierda sea 0.0314, es 1.86. c) El área entre -0.23 y zsea 0.5722 0.5722 = p (z) – p (-0.23) p (z) = 0.9813 = 2.08
INFERENCIA: El valor de z, cuando el área está entre -0.23 y zpara que resulte 0.5722, es 2.08. d) el área entre 1.15 y zsea 0.0730 0.0730 = p (z) – p (1.15) p (z) = 0.9479 = 1.625
INFERENCIA: El valor de z, cuando el área está entre 1.15 y zpara que resulte 0.0730, es 1.625. e) el área entre –z y zsea 0.9000 0.9000 = p (z) – p (-z) = p (z) – [1-p (z)]
1.9000 = 2*p (z) p (z) = 0.95 = ±1.645 INFERENCIA: El valor de ±z, cuando el área está entre –z y zpara que resulte 0.9000, es ±1.645.
7. Encontrar z1, si Pr {z≥ z1}=0.84, donde z esté distribuida normalmente con media 0 y varianza 1. SOLUCION: Pr {z≥z1} 0.84 =1-p (z1) P (z1) = 0.16 = -0.995 INFERENCIA: El valor de z1, cuando Pr {z≥ z1}=0.84, es -0.995.
8. Empleando el apéndice I, encontrar las ordenadas en la curva normal correspondientes a: a) z=2.25, b) z=-0.32, c) z=-1.18, y d) Resolver los incisos del a) al c) empleando EXCEL. SOLUCION: a) z1=2.25 P (z) = 0.0317
INFERENCIA: Las ordenadas, bajo la curva normal, cuando z=2.25, es 0.0317. b) z1=-0.32 P (z) = 0.3790
INFERENCIA: Las ordenadas, bajo la curva normal, cuando z=-0.32, es 0.3790. c) z1=-1.18
P (z) = 0.1989
INFERENCIA: Las ordenadas, bajo la curva normal, cuando z=-1.18, es 0.1989. 9. Las estaturas de hombres adultos tienen la misma una distribución normal cuya media es 70 in, y cuya desviación estándar es 3 in. a) ¿Qué porcentaje mide menos de 65 in? b) ¿Qué porcentaje mide más de 72 in? c) ¿Qué porcentaje mide entre 68 y 73 in? SOLUCION: ̅ −
a) ( )
INFERENCIA: De las estaturas de los hombres adultos, con respecto a la media, el 4.78% miden menos de 65 in.
−
b) ( )
INFERENCIA: De las estaturas de los hombres adultos, con respecto a la media, el 25.25% miden más de 72 in. −
c)
−
( )
INFERENCIA: De las estaturas de los hombres adultos, con respecto a la media, el 58.89% miden entre 68 y 73 in.
10. Las cantidades gastadas, por determinado grupo de edad, en la compra de artículos en línea tienen una distribución normal cuya media es $ 125 y cuya desviación estándar es $ 25. a) ¿Qué porcentaje gasta más de $ 175? b) ¿Qué porcentaje gasta entre $ 100 y $ 150? c) ¿Qué porcentaje gasta menos de $ 50?
SOLUCION: ̅ −
a) ( )
INFERENCIA: En las cantidades gastadas, con respecto a la media, por determinado grupo de edad, en la compra de artículos en línea, el 2.28% gastan más de $175. −
b)
−
( )
INFERENCIA: En las cantidades gastadas, con respecto a la media, por determinado grupo de edad, en la compra de artículos en línea, el 68.27% gastan más entre $100 y $150. −
c) ( )
INFERENCIA: En las cantidades gastadas, con respecto a la media, por determinado grupo de edad, en la compra de artículos en línea, el 0.14% gastan menos de $50. 11. En un examen final la calificación media es 72 y la desviación estándar es 9. Los estudiantes que forman parte del 10% superior obtienen A como nota. ¿Cuál es la calificación mínima para A? SOLUCION: ̅ ( )
INFERENCIA: La calificación mínima para A, con respecto a la media, en un examen final, es 84.
12. Si un conjunto de medidas tiene como distribución normal, ¿Qué porcentaje de las medidas difiere de la media en: a) más de media desviación estándar, y b) menos de tres cuartos de desviación estándar? SOLUCION: ̅ ̅
̅
a)
= p (0.5) =0.69146 = 69.15% INFERENCIA: El porcentaje que difiere a la media en ̅ con respecto a la media. b)
, es 69,15%,
̅ = p (-0.75) =0.22663 = 22.66%
INFERENCIA: El porcentaje que difiere a la media en ̅ 22.66%, con respecto a la media.
, es
13. Si ̅ es la media y “s” es la desviación estándar de un conjunto de mediciones distribuidas normalmente, ¿Qué porcentaje de las mediciones: a) está dentro del rango ̅ 1.2s, b) están fuera del rango ̅ 1.2s, y c) son mayores que ̅ 1.5s? SOLUCION: ̅ ̅
a) ̅
1.2s→z=±1.2 =p (1.2) – p (-1.2) = 0.88493 – 0.11507 = 0.76986 = 76.99%
INFERENCIA: El porcentaje que está dentro del rango ̅ con respecto a la media
1.2s, es 76,99%,
b) ̅
1.2s→z=±1.2 =p (-1.2) + [1- p (1.2)] = 0.11507 + 0.11507 = 0.23014 = 23.014%
INFERENCIA: El porcentaje que está fuera del rango ̅ con respecto a la media
1.2s, es 23.014%,
c) ̅
1.5s→z=-1.5 =1- p (-1.5) = 1 - 0.06681 = 0.93319 = 93.319%
INFERENCIA: El porcentaje que son mayores a ̅ respecto a la media.
1.5s, es 93.319%, con
14. En el problema 88 encontrar la constante a tal que el porcentaje de casos: a) dentro del rango ̅ assea 75%, y b) menores que ̅ as sea 22%. SOLUCION: ̅ ̅
d) ̅ as→z=±a 0.75 =p (a) – p (-a) =2*p (a) - 1 0.875= p (a) →a = 1.15 INFERENCIA: Para que el porcentaje sea 75% dentro del rango ̅ valor de a es ± 1.15, con respecto a la media e) ̅ as→z=-a 0.22 =p (-a) 0.22 =1 – p (a)
s, el
→a=1.17
INFERENCIA: Para que el porcentaje sea 22% cuando sean menores a ̅ s, el valor de a es - 1.17, con respecto a la media.
T- STUDENT
1.El ciclo medio de vida operativa de una muestra aleatoria de 10 focos es de 400 horas con la desviación estándar de la muestra de 200 horas .se supone que el ciclo de vida operativo de los focos en grl tiene una distribución aproximadamente normal.Estimacimos el ciclo medio de vida operativa de la población de focos aplicando un 95% de confianza. SOLUCIÓN:
S=200 Media: 4000
̅
√
√ (
(
)
)
2. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
520
521
511
513
510
513
522
500
521
495
496
488
500
502
512
510
510
475
505
521
506
503
487
493
500
̅ ̅− ⁄√
GRAFICA
Se puede concluir que la media poblacional no es 500, por que la muestra poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estar por encima de 500
3. El ciclo medio de operativa de una muestra aleatoria de 10 focos es de 4000 horas con la desviación estándar de la muestra de 200 horas se supone que el ciclo de vida operativo de los focos en gl tienen una distribución aproximada normal. Estimación el ciclo de vida operativa de la población de focos aplicando un 95% de confianza.
SOLUCION: ̅
√
̅
̅
̅ ̅
√ (
)
INFERENCIA: los límites de la gráfica es entre (3856.84;4143.16) 4. Sea x una v.a. que se distribuye según una t de student de n grados de libertad comprobar que (
)
(
)
SOLUCION: Como la distribución t de student es simétrica se verifica que ( ) ) ( )por lo tanto, ( ( )luego ( evidentemente es cierto
)
( )
que
5.El valor t con V = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es t0.975=-t0.025 = 2.145
SOLUCION:
= 0.025
𝑡
𝑡
5.Encuentre la probabilidad de –t0.025 < t < t0.05. SOLUCIÓN:
= 0.025
= 0.05
Como t0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y –t0.025 deja un área de 0.025 a la izquierda, encontramos un área total de 1-0.05-0.025 = 0.925. P (–t0.025 < t < t0.05) = 0.925
6.Encuentre k tal que P (k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal. SOLUCIÓN:
t t =1.761 con 14 grados de libertad => 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Luego se busca el valor de 0.005 en el primer renglón con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto: P (-2.977 < t < -1.761) = 0.045 7.El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal. SOLUCIÓN: La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son: x = 10 y s= 0.283 En la tabla se encuentra que t0.025=2.447 con 6 grados de libertad, de aquí, el
(
)(
√
)
(
)(
√
)
INFERENCIA: Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores está entre 9.47 y 10.26 litros.
8.Un artículo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustión residual en segundos de especímenes tratados de ropa de dormir para niños: 9.85 9.87 9.83 9.95
9.93 9.67 9.92 9.95
9.75 9.94 9.74 9.93
9.77 9.67 9.85 9.75 9.99 9.88 9.92 9.89
Se desea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustión residual promedio. Supóngase que el tiempo de combustión residual sigue una distribución normal. SOLUCIÓN: La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son: x = 9.8525 y s= 0.0965 En la tabla se encuentra que t0.025=2.093 con 19 grados de libertad, de aquí,
(
)(
√
)
(
)(
√
)
INFERENCIA: se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustión residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977 segundos.
9.El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatthora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal. SOLUCIÓN: = 46 kilowatt-hora s= 11.9 kilowatt-hora x = 42 kilowatt-hora n = 12
𝐻
-hora -hora Si tR ³ -1.796 No se rechaza Ho Si tR < -1.796 Se rechaza Ho
Región de rechazo = 0.05
tL= -1.796 √
𝐻𝑜 Región de aceptación
= 46
√
10.Un artículo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesión de 22 especímenes de aleación U-700. La carga para la que cada espécimen falla es la siguiente en MPa: 19.8 18.5 17.6 16.7 15.8 15.4 14.1 13.6 11.9 11.4 11.4 8.8 7.5 15.4 15.4 19.5 14.9 12.7 11.9 11.4 10.1 7.9 ¿Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supóngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribución normal, y utilicese a = 0.05. Calcule el valor de P. SOLUCIÓN: Ho
s = 3.55 x = 13.71 n = 22
H1
region de rechazo
Región de aceptación
Si tR> 1.721 se rechaza Ho.
= 10
= 0.05
tL= 1.721
√ √ INFERENCIA: Como 4.90 >1.721 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de eficiencia del 0.05 que la carga de falla promedio es mayor que 10Mpa.
CHI-CUADRADO 1. Si es una variable aleatoria con una distribución que , y ,
. Hallar
tal
SOLUCIÓN:
,
-
De donde ,
,
-
,
,
-
LUEGO:
2. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. SOLUCIÓN:
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue: (
(
)
)
INFERENCIA: El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2).
3.Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza s2=6, tenga una varianza muestral: a) Mayor que 9.1 b) Entre 3.462 y 10.745 SOLUCIÓN: ( − )
(
− )(
( − )
(
− )(
)
a) 24 grados de libertad => de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05 b)
)
y
( − )
(
− )(
)
24 - 13.846 => 0.95 42.98 => 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. = 0.05 = 0.05
= 0.95
= 0.01
𝒙𝟐
𝟏𝟑 𝟖𝟒
𝒙𝟐
𝟒𝟐,98
𝒙𝟐
𝒙𝟐
𝟏𝟑 𝟖𝟒
( − )
𝟑𝟐
α/2
( − )
=>
α/2
14.Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal. SOLUCIÓN: ∑( √
)
√
(
)
(
)
; => varianza α/2=0,02 5
α/2=0,02 5
1-α (
)(
)
(
)(
)
INFERENCIA: tiene un nivel de confianza del 95,3%.
α/2=0,02 5
1-
α/2=0,02 5
(
)
5.En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%. SOLUCIÓN: s2= 0.0002 n = 10 s2 = 0.0003 a= 0.05 Ho; s2= 0.0002 H1; s2> 0.0002
𝐻
𝐻 Región de rechazo α=0,05
Región de aceptación
X²(0.05, 9)= 16.919
Si X²R>16.919 se rechaza Ho. ( )
(
)(
)
INFERENCIA: no se rechaza Ho y tiene un nivel de eficiencia de 0.05 que no se puede refutar la afirmación del proveedor.
6.Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s 2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05. Solución: Como en todos los ensayos de hipótesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Después de que se identifican los datos, se plantea la hipótesis para determinar el tipo de ensayo.
Datos: = 0.0002 n = 10 s2 = 0.0003 = 0.05 Ensayo de hipótesis: Ho;
= 0.0002
H1;
> 0.0002
Regla de decisión: Si X2R 16.919 no se rechaza Ho. Si X2R>16.919 se rechaza Ho. Cálculos:
Justificación y decisión: Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmación del proveedor. Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el renglón de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484.
7.El contenido de azúcar del almíbar de los duraznos enlatados tiene una distribución normal, donde se cree que la varianza es = 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviación estándar de 4.8 mg. ¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un = 0.05 y calcule el valor de P. Solución: Datos: = 18 n = 10 s = 4.8 = 0.05 Ensayo de hipótesis: Ho; H1;
= 18 18
Regla de decisión: Si 2.7 X2R 19.023 no se rechaza Ho.
Si X2R<2.7 ó si X2R>19.023 se rechaza Ho. Cálculos:
Justificación y decisión: Como 11.52 está entre 2.7 y 19.023, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azúcar del almíbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg2. Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribución ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R = 11.52 este número se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 será el área a la derecha del valor de X2R. Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un área de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 y P= (2)(0.2423) = 0.4846
8.Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de último año de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviación estándar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de último año de preparatoria y se obtiene una desviación estándar de 4.51. ¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviación estándar disminuyó?. Utilice el valor de P para su decisión. Solución: Datos: =6 n = 20
s = 4.51 Ensayo de hipótesis: Ho;
=6
H1;
<6
Cálculos:
Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el 10.735 con 19 grados de libertad, y el área que se encuentra es la que está a la derecha de este valor. Como la media de esta distribución ji-cuadrada es de 19, por lo tanto el valor de 10.735 queda a la izquierda de la media. El valor de P es de 0.07, y con esto se puede concluir que si hubiéramos utilizado un nivel de significancia de 0.10, se rechaza Ho y se concluye que la desviación estándar disminuyo, pero si se utiliza un valor de = 0.05, entonces no se rechaza Ho y se concluiría que la desviación estándar no disminuyó. La decisión depende del error tipo I que esté dispuesto a tolerar el investigador.
9.Un fabricante X concluye que su producto tendrá una vida útil de 10 años. Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.8-9.7-10.5-12.113.3-13.4-10.3-8.5-15.0-10.5-7.6-6.3. Teniendo en cuenta una desviación poblacional de 1.2 años. ¿De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviación poblacional es de 1.2 años?
10. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta sección, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azúcar en el almíbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26. Solución: Como este es un ensayo bilateral se tendrán dos valores de s2L. Los cuales se calcularán utilizando las ji-cuadradas límites que eran de de 2.7 y 19.023.
y
Estos dos valores se utilizarán para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de
CONDICIONAL 1.Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés?
¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
2.De modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.
3.Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide: 1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
3.Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
4.En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: 1 Juegue sólo al fútbol.
2Juegue sólo al baloncesto.
3Practique uno solo de los deportes.
4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
6.En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: 1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
7.En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:
7¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?
8.Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide: 1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.
2Probabilidad de que la bola sea blanca.
9.Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. 1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
ADITIVA 1. Un espacio maestral está formado por cinco eventos sencillos con estas probabilidades: P (E1)=P (E2)=0.15 P(E3)=0.4 P(E4)=2P(E5) a) Entre las probabilidades para los eventos sencillos E4 y E5. P (E1)+P (E2)+P (E3)+P (E4)+P (E5)=1 0.15+0.15+04+2P (E5)+P (E5)=1
P (E5)=0.1 P (E4)=0.2 b) Encuentre las probabilidades para estos dos eventos: A= {E1, E3, E4} B= {E2, E3} P(A)=P (E1)+P (E3)+P (E4) P (A)= 0.15+0.4+0.2 P(A)=0.75 P (B)=P (E2)+P (E3) P (B)=0.15+0.4 P (B)=0.55 c) Haga una lista de los eventos sencillos que se encuentren en el evento A o en el evento B o en ambos. E1,E2,E3,E4 d) Haga una lista de eventos sencillos que se encuentren en el evento Ay en el B. E3 2. Un espacio muestral contiene 10 evento sencillos E1, E2, E3,……, E10. SI P (E1)=3P (E2)=0.45 y los restantes eventos sencillos son igualmente probables, encuentre las probabilidades de estos eventos restantes. P (E1)=3P (E2)=0.45 P (E2)=0.15 P (E1)=0.45 P (E3)= P (E4)= P (E5)= P (E6)= P (E7)= P (E8)= P (E9)= P (E10)=X=0.05 P (E1)+P (E2)+P (E3)+…+P (E10)=1 0.45+0.15+P (E3)+…+P (E10)=1 0.6+8X=1 X=0.05 3. Tiros libres. Una jugadora de baloncesto acierta 70% de sus tiros libres. Cuando ella lanza u par de tiros libres. Los cuatro los cuatro eventos posibles y tres de sus posibilidades asociadas se dan en la tabla. Evento Simple 1
Resultado Del Primer Tiro. Encesta
Resultado Del Segundo Tiro. Encesta
Probabilidad
2
Encesta
Falla
X
0.49
3
Falla
Encesta
0.21
4
Falla
Falla
0.09
a) Encuentre la probabilidad de que la jugadora enceste en el primer tiro y en el segundo falle. P (1)+P (2)+P (3)+P (4)=1 0.49+P (2)+0.21+0.09=1 P (2)=0.21 La probabilidad de que la jugadora enceste en el primer tiro y en el segundo falle es de un 21%
b) Encuentre La probabilidad de que la jugadora enceste al menos uno de los dos tiros libres. A= {Enceste en al menos uno de los tiros libres. P(A)=P (1)+P (2)+P (3) P(A)=0.49+0.21+0.21 P(A)=0.91 La probabilidad de que la jugadora enceste al menos uno de los dos tiros libres es de 91% 4. Cuatro monedas un frasco contiene cuatro monedas: una de cinco, una de 10, una de 25 y una de 50.Se seleccionan 3 monedas del frasco. a) Haga una lista de los eventos simples. E1: Obtener 5-10-25. E2: Obtener 5-10-50. E3: Obtener 5-50-25. E4: Obtener 50-10-25. b) ¿Cuál es la probabilidad de que de la selección contenga la moneda de 50 centavos. A= {contenga la moneda de 50 centavos. P(A)=P (E2)+P (E3)+P (E4) P(A)=3/4=75% La probabilidad de que el seleccionado contenga monedas de 50 centavos es de un 75% c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma total sacada sea igual a 60 centavos o más? B= {la suma total sacada sea 60 centavos o mas P (B)= P (E2)+P (E3)+P (E4) P (B)=3 /4=75%
La probabilidad de que la suma total sea 60 centavos o más es de un 75% 5. El primer día de clases de jardín de niños, el maestro selecciona al azar uno de sus 25 estudiantes y registra el género del estudiante, así como si había tenido preescolar. a) ¿Cómo describiría usted el experimento? b) Construya un diagrama de árbol para este experimentó ¿Cuántos evento simples hay ahí? preescolar 8 9 sin preescolar
6
2
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante seleccionad al azar sea hombre? ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer y no haya tenido preescolar? A={Al escoger sea hombre P(A)=P (H) con pre + P (H) sin pre P(A)=8/25+6/25=0.56=56% La probabilidad de que al escoger aleatoriamente al estudiante que sea hombre es de un 56%
B= {Al escoger sea mujer y no tenga preescolar. P (B)=P (M) sin pre. P (B)=2/25=0.08=8% La probabilidad que al escoger aleatoriamente al estudiante que sea mujer sin preescolar es de 8% 6.Un tazón contiene tres pelotas rojas y dos amarillas. Dos de ellas se seleccionan al azar y se al azar y se registran sus colores. use un diagrama de árbol para hacer una lista de los 20 eventos simples del experimento, teniendo en mente en el que se sacan las pelotas. PRIM ERA SELECCION
SEGUNDA SELECCION
7. El problema de la urna, continua consulte el ejercicio 7. una pelota se selecciona al azar del tazón que contienen tres pelotas rojas y
dos amarillas. se toma nota de su color, la pelota se devuelve al tazón antes de seleccionar una segunda pelota. haga a lista de los otros cinco eventos simples que deben agregarse al espacio muestral del ejercicio 7.
8. Un estudio clasifico a un gran número de adultos de acuerdo a si se considera que si necesitan lentes para corregir su vista para leer y si lentes para leen. Las proporciones que caen en las 4 categorías se muestran en la tabla siguiente. (obsérvese que una pequeña porción, 0.02 de adultos usaba lentes cuando de hecho se considera que no los necesitan). Se considera que necesitan lentes
Si
No
Si
0.44 0.14
No
0.02 0.40
Si un solo adulto se selecciona de este grupo grande encuentre la probabilidad de cada evento. a) Se considera que el adulto necesita lentes. A= {El adulto necesita lentes P(A)=00.44+0.14=0.58=58% Según un estudio clásico la probabilidad de que un adulto necesite lentes es de 58% b) El adulto necesita lentes para leer pero no los usa. B= {El adulto necesite lentes para leer pero no los usa P (B)=0.14=14%
Según un estudio clásico la probabilidad de que un adulto necesite lentes para leer pero que no los use es de 58% c) El adulto usa lente para leer, los necesite o no. C= {el adulto usa lentes pero, los necesite o no. P(C)=0.44+0.02=0.46=46% Según un estudio clásico la probabilidad de que un usa lentes pero, los necesite o no es de 58% 9. Ruleta. el juego de la rueda que contiene 38 buchacas. treinta y seis buchacas numeradas 1, 2, 3,4,…,36 y las dos restantes están marcadas 0 y 00. La rueda se hace girar y una buchaca es identificada como la “ganadora”. Suponga que la observancia de cualquier buchaca es igualmente probable que cualquier otra. a) Identifique los eventos simples en un solo giro de la ruede de la ruleta. PROBABILIDAD E1: Ganadora el numero 1 ……………………… 1/38 E2: Ganadora el numero 2 ……………………… 1/38 E3: Ganadora el numero 3 ……………………… 1/38 E4: Ganadora el numero 4 ……………………… 1/38 E5: Ganadora el numero 5 ……………………… 1/38 E6: Ganadora el numero 6 ……………………… 1/38 E7: Ganadora el numero 7 ……………………… 1/38 E8: Ganadora el numero 8 ……………………… 1/38 E9: Ganadora el numero 9 ……………………… 1/38 E10: Ganadora el numero 10 ……………………… 1/38 E11:Ganadora el numero 11 ……………………… 1/38 E12:Ganadora el numero 12 ……………………… 1/38 E13: Ganadora el numero 13 ……………………… 1/38 E14: Ganadora el numero 14 ……………………… 1/38 E15: Ganadora el numero 15 ……………………… 1/38 E16: Ganadora el numero 16 ……………………… 1/38 E17: Ganadora el numero 17 ……………………… 1/38 E18: Ganadora el numero 18 ……………………… 1/38 E19: Ganadora el numero 19 ……………………… 1/38 E20: Ganadora el numero 20 ……………………… 1/38 E21: Ganadora el numero 21 ……………………… 1/38 E22: Ganadora el numero 22 ……………………… 1/38 E23: Ganadora el numero 23 ……………………… 1/38 E24: Ganadora el numero 24 ……………………… 1/38 E25: Ganadora el numero 25 ……………………… 1/38
E26: Ganadora el numero 26 ……………………… 1/38 E27: Ganadora el numero 27 ……………………… 1/38 E28: Ganadora el numero 28 ……………………… 1/38 E29: Ganadora el numero 29 ……………………… 1/38 E30: Ganadora el numero 30 ……………………… 1/38 E31: Ganadora el numero 31 ……………………… 1/38 E32: Ganadora el numero 32 ……………………… 1/38 E33: Ganadora el numero 33 ……………………… 1/38 E34: Ganadora el numero 34 ……………………… 1/38 E35: Ganadora el numero 35 ……………………… 1/38 E36: Ganadora el numero 36 ……………………… 1/38 E37: Ganadora el numero 0 ……………………… 1/38 E38: Ganadora el numero 00 ……………………… 1/38
b) Asigne probabilidades a los eventos simples. (ARRIBA). c) Sea A el evento que usted observa ya sea 0 o 00. Haga una lista de los eventos simples del evento A y encuentre P(A). A1=Observar 0. A2=Observar 00. P(A)=P(A1)+P(A2) P(A)=1/38+1/38=0.053=5.3% La probabilidad de observar 0o00 es de 5.3% d) Suponga que usted aposto en los números del 1 al 18. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de sus números sea ganador? P(C)=P(E1)+P(E2)+…..+P(E18) P(C)=1/38+1/38+….+1/38 18 VECES P(C)= 18/38=0.474=47.7% La probabilidad de que acierte una de los números apostados es 47.7% 10. un sistema detector de humo utiliza dos aparatos, A y B. Si hay humo, la probabilidad de que este sea detectado por el aparato A es .95 , por el aparato .98 ,y por ambos .94% a. Si hay humo, encuentre la probabilidad de que este sea detectado por el aparato A o el B o por ambos aparatos. b. encuentre la probabilidad de que el humo no sea detectado. SOLUCION: a) A:{Detector de humo con el aparato A} B:{Detector de humo con el aparato B}
A∩B:{Detector de humo de ambos aparatos} P(A)=0.95 P (B)=0.98 P (A∩B)=0.94 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) P (AB) =0.95+0.98-0.94 P (AB) =0.99=99% INFERENCIA: El 99 % la probabilidad de que el humo sea detectado por el aparatos A o B o por ambos. b) P [(AB)C]=P(AC)+P(BC)-P[(A∩B)C] P [(AB)C] =0.05+0.02-0.06 P [(AB) C] =0.1=1%
INFERENCIA: El 1% es La probabilidad de que el humo no sea detectado
TEOREMA DE BAYES 1.En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden más de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se observa que mide más de 1.80m ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer? Z > 1.80 m
HOMBRE
A = Hombre < 1.80
MUJER
.80
.99
.20
.01
B = Mujer > 1.80
P (A) = .60 P (B) = .40 P (Z/A) = .20 P (Z/B) = .01
=Z
Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80, Utilizando el teorema de Bayes:
P B Z
PB PZ B P A PZ APB PZ B Hombre
Mujer
P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032. Z > .80
P(A/Z)
P(B/Z) = .032
Podemos visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:
Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80 es .032 = 3.2 % 2. Regla de bayes II. Si se realiza un experimento ,puede ocurrir uno y solo uno de los tres eventos mutuamente excluyentes , , , son estas probabilidades : (
)
(
)
(
)
Las probabilidades de que ocurra un cuarto evento A, dado que ocurre , son (
)
(
)
Si se observa al evento A, encuentre (
) (
)
(
)
(
).
SOLUCION: ( )
( )
. /
( )
. /
( )
. /
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
. /
INF: La probabilidad de que el evento A encuentre
( )
( )
. /
( )
. /
( )
. /
. / es de 22,22%
( )
. /
( ) ( ) ( ) INF: La probabilidad de que el evento A encuentre
( )
( )
. /
( )
. /
( )
. /
. / es de 27,8%
( )
. /
( ) ( ) ( ) INF: La probabilidad de que el evento A encuentre
. / es de 50%
3. Una persona puede viajar de 3 formas, bicicleta, auto y avión. Cada forma de transporte tiene una probabilidad de tener un defecto en el sistema de rodado y no llegar al destino del 3%, 4% y 5% respectivamente.
Para escoger el método de traslado se tienen 3 fichas, las cuales tienen una probabilidad de aparecer del 50%, 30% y 20% respectivamente.
Si se toma un viaje al azar, y no llega a destino, hallar la probabilidad de que ese viaje se realizó en bicicleta. l l e g a 0 .9 7
b ic ic le t a 0 . 5
n o l l e g a 0 .0 3 l l e g a 0 .9 6
a u to 0 .3 a v ió n 0 . 2
n o l l e g a 0 .0 4 l l e g a 0 .9 5 n o l l e g a 0 .0 5
Sea B el evento que no llegue a destino.
( Bicicleta B)
IPBicicletaIPB Bicicleta
IPBicicletaIPB Bicicleta IP AutoIPB Auto IP AviónIPB Avión
( Bicicleta B )
IP(bicicleta/B) =0,4054
0.50.03 0.50.03 0.30.04 0.20.05
15 37
4. En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde?. Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?. ¿Y azul?. Un diagrama nos aclara la situación
En donde (A1 y A2), es el suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2). Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
COMPLEMETARIAS 1.Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:
P[A'] = 0,6
P[B] =0,3
P[A' B'] =0,9
a ¿Son independientes A y B?
bCalcula P[A' / B].
Solución: a P[A' B'] P[A B '] 1 P[A B] 0,9
P[A B] 0,1
P[A'] 1 P[A] 0,6 P[A] 0,4 P A P B 0, 4 0, 3 0,12 P A B P A P B P A B 0,1
Por tanto, A y B no son independientes. b Como: P A' / B
P A'B P B
necesitamos calcular P[A' B]:
P[A' B] P[B] P[A B] 0,3 0,1 0,2 Por tanto: P A' / B
P A'B P B
0, 2 0, 67 0, 3
2.Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?
Solución:
Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el segundo elija el mismo número?
P
10 1 0,1 100 10
Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será:
1
1 9 0,9 10 10
3.En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar.
a¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución:
Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
Llamamos I
F
P[I
P I F P I P F P I F b) P F/ I
"Habla francés".
F]:
48 36 12 72 3 0, 6 120 120 5
12 1 0, 25 48 4
c) P F no I
24 1 0, 2 120 5
4.Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.
a¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? bSabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P PAR
3 1 29 14 5 70
b) P A / PAR
P A y PAR P PAR
3 14 15 29 70 29
5. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:
a) Las dos de oros.
b) Una de copas u otra de oros.
c) Al menos una de oros.
d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución:
a) P
10 9 3 0,058 40 39 52
b) P 2
10 10 5 0,128 40 39 39
c) P 1 P NINGUNADE OROS 1
d) P
10 10 5 0,064 40 39 78
30 29 29 23 1 0,442 40 39 52 52
6.Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
- A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas: a ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele? b¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución:
Vamos a organizar la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Llamemos L = "Le gusta leer" y T = "Le gusta ver la tele".
a) P no I
73 0,61 120
b) P L / T
32 0, 68 47
c) P L
92 23 0,77 120 30
7.El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población:
a ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? B Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
P b) P ENFERMO / POSITIVA
P ENFERMO y POSITIVA P POSITIVA
0, 0097 0, 0097 0, 33 0, 0097 0, 0198 0, 0295
8. a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el
mismo número?
Solución:
a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es a probabilidad de que el segundo elija el mismo número?
P
b) P
1 0,2 5
1 1 1 0,04 5 5 25
9.En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b.Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c.¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
Solución:
Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:
Llamamos M a) P M I
b) PI / M
I
10 1 0, 33 30 3
10 5 0, 56 18 9
c) P M P I P M I
18 16 3 8 24 8 30 30 5 15 75 25 1 8 3 25
Como PM I PM PI , los dos sucesos no son independie ntes.
10.Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B.
a ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b¿Cuá es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
a) P 2ª Bl
7 7 7 30 15 10
b) P Bl y Bl
7 30
MULTIPLICATIVA 1. Comida en e¡ restaurant Gerard's Un restaurant francés en Riverside, California, ofrece un menú especial de verano en el que, por un costo fijo por comida, se puede escoger una de dos ensaladas, una de dos entradas y uno de dos postres. ¿Cuántas comidas diferentes hay?
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 2 ensaladas
*
2 entradas
*
2 postres = 8 comidas diferentes
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras lanzando tres monedas? ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos o más caras? Lanzar 100 veces una moneda y observar la frecuencia con la que aparecen al menos dos caras. SOLUCION P= =12.5% Existe la probabilidad de 12.5% de obtener tres caras lanzando tres monedas. P= =33.33% Existe la probabilidad de 33.33% de obtener dos o más caras
3.Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 bolas extraídas sean ambas negras? SOLUCION
P=
=10%
Existe la probabilidad de 10% de que las bolas extraídas sean ambas negras. 3. ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5, suponiendo que no pueden repetirse estos? ¿Y si se permite la repetición de los guarismos? SOLUCION P= = 20; Se puede formar 20 números sin que se repitan los números. P= = 25; Se puede formar 25 números si se permite la repetición de los números. 4. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con 0, 1, 2, 3, 4, si no se permite repetición? ¿Cuántos de estos serán pares? SOLUCION
P= = 48 Se puede formar 48 números sin que se repitan los números.
5. ¿De cuántas maneras puede formarse con 9 hombres una comisión de 3? SOLUCION P= = 84 Se podria formar de 84 maneras diferentes una comisión de compuesta por 3 personas. 6. Hay 6 caminos que van de A a B y 3 de B a C. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C pasando por B? SOLUCION
P= = 18 Se puede ir de 18 maneras diferentes de A a C pasando por B.
7. ¿Cuántas cantidades diferentes de dinero pueden formarse con seis monedas de valores distintos? SOLUCION
P= 6!= 720 Se puede formar 720 cantidades diferentes con seis monedas de distinto valor. 8. ¿De cuántas maneras pueden dividirse 6 niñas y 4 niños en dos grupos de 2 niños y 3 niñas? SOLUCION P= = 120 Se puede formar de 120 maneras diferentes grupos compuestos por 2 niños y 3 niñas. 9. En un campeonato de liga de pelota base con 8 equipos, ¿Cuántos encuentros serán necesarios si cada equipo ha de jugar dos veces en su campo con cada uno de los demás? SOLUCION P=
= 56
Serán necesarios 56 encuentros para que cada equipo juegue 2 veces en su campo 10. ¿Cuántos equipos de futbol pueden formarse con 12 hombres que pueden ocupar cualquier posición delantera y 10 hombres que puedan ocupar cualquiera de las demás posiciones? Delanteros:4 Resto:7 SOLUCION P=
= 615
Habrá 615 formas diferentes de formar un equipo con las condiciones dadas 11. ¿Cuántas señales puede transmitir un barco con 5 banderas diferentes si cada bandera puede ocupar 5 posiciones? SOLUCION P= 5!= 120
Se puede formar de 120 maneras con 5 banderas formando señales distintas
12. ¿Cuántas placas de matrícula de cinco símbolos pueden hacerse siendo los dos primeros letras y los tres últimos números? SOLUCION P= = 530712000 Se puede hacer de 530712000 maneras diferentes para formar placas de matrículas. 13. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 12 lados? SOLUCION
Un dodecágono tiene 54 diagonales, 14. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7 con 2 dados? SOLUCION
P=
=16.66%
Existe la probabilidad de 16.66% de obtener un 7 al tirar dos dados 15. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 cartas extraídas de una baraja ordinaria sean espadas? SOLUCION P=
=5.88%
Existe la probabilidad de 5.88% de obtener dos espadas al extraer dos cartas de de una baraja 16. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 5 cartas contenga exactamente 2 ases? SOLUCION
Hay un 3.99% de que en un grupo de 5 cartas tomadas al azar, esta contenga exactamente 2 ases
