PEMBAHASAN SOAL PASIAD VI 2010
1.
2.
Diketahui bilangan m dengan jumlah digit-digitnya 30, maka m adalah bilangan kelipatan
Bilangan m terkecil adalah terdiri dari 4 digit. Jika m = 3999 , maka m + 3 = 4002 sehingga jumlah digitnya 4 + 2 = 6 Jika m = 9399 , maka m + 3 = 94002 sehingga jumlah digitnya 9 + 4 + 2 = 15 Jika m = 9939 , maka m + 3 = 9942 sehingga jumlah digitnya 9 + 9 +4+ 2= 24 Jika m = 9993 , maka m + 3 = 9996 sehingga jumlah digitnya 9 + 9 +9+ 6= 33 Jadi bilangan m + 3 , jumlah digitnya tidak bisa sama dengan 21 . 3.
B
Rubahlah bilangan x , y, z, dan t sehingga berpangkat sama !
4. Persoalan ini dapat kita analogikan sebagai pertukaran posisi tempat duduk 5 orang, dimana semua orang harus berpindah posisi duduk jika disediakan 5 kursi.
Untuk memudahkan perhitungan kita lakukan dalam dua tahap Tahap I. Hitung banyaknya susunan untuk posisi kursi ke-1 dan ke-2, adalah adalah merupakan permutai 2 unsur dari 5 unsur yang berbeda, yaitu sebanyak ;
Tetapi dari 20 susunan ini terdapat susunan yang tetap, yaitu AB, AC, AD, AE, CB, DB, dan EB. Jadi, banyaknya susunan untuk posisi kursi ke-1 dan 2 yang berbeda dan tidak ada yang tetap sebanyak 20 – 7 = 13 susunan, yaitu; BA, BC, BD, BE, CA, CD, CE, DA, DC, DE, EA, EC, ED, Tahap II Selanjutnya dari setiap 13 susunan tersebut, hitung banyaknya susunan untuk posisi kursi ke-3, 4 dan 5 yang berbeda dan tidak ada yang tetap. 1)
Untuk posisi kursi ke-1 dan 2 , yaitu BA.
Buatlah 5 petak lalu isi petak ke-3, ke-4 dan 5 dengan banyaknya kemungkinan orang yang dapat menduduki posisi tersebut.
Kursi ke- 3 kemungkinan dapat diduduki oleh 2 orang yaitu D dan E, selanjutnya kursi ke-4 dan ke-5 kemungkinan dapat diduduk oleh 1 orang, jadi banyaknya susunan yang berbeda untuk posisi kursi ke-1 dan ke2, BA sebanyak 2 x 1 x 1 = 2 susunan. Yaitu B A D E C , dan B A E C D 2)
Untuk posisi kursi ke-1 dan 2 , yaitu BC
Maka banyaknya susunan sebanyak 3 x 1 x 1= 3 susunan, yaitu; BC AED , BC EAD, BC DEA.
Banyaknya susunan ini sama untuk posisi kursi ke-1, dan ke-2 yaitu: BD, BE, CA, DA, EA Jadi, banyaknya susunan 6 x 3 = 18 susunan 3)
Untuk posisi kursi ke-1 dan 2 , yaitu CD,
Maka banyaknya susunan sebanyak 2 x 2 x 1= 4 susunan, yaitu; CD AEB , CD BEA, CD EAB, CD EBA
Banyaknya susunan ini sama untuk posisi kursi ke-1, dan ke-2 yaitu: DC, ED, DE, EC, CE. Jadi, banyak susunan sebanyak 6 x 4 = 24 susunan. Dengan demikian banyaknya susunan posisi duduk dengan kondisi tidak ada yang tetap adalah sebanyak 2 + 18 + 24 = 44. Jadi banyaknya cara yang mungkin saling memberikan hadiah sebanyak 44 cara.
D
5.
Jumlah nilai digit angka m = 999 x 9 = (1000 – 1) x 9 = 9000 – 9 = 8.991
B
Cukup mudah. 6.
Rasio jarak yang ditempuh jarum (jam) dan jarum (menit) yang bergerak selama 3 jam adalah
Cukup mudah 7.
Gunakan sifat akar, dan aljabar.
Dari persamaan (1) dan (2), disimpulkan ,bahwa; a = c , dan 2a + b = – (b + 2c) atau 2a + 2b = – 2c atau a + b = -c . Atau disimpulkan bahwa, b = -2a
Maka nilai (a + b + c) = (a + b + a)
2
2
2
= (2a + b) 2
= 4a + 4ab + b
2
2
= 4a + 4a(-2a) + b 2
2
2
2
= 4a – 8a + b 2 2 = b – 4a 2
= b – 4ac
A
2
= (-c + c) = 0 , tapi pilihan jawaban ini tidak ada, ubah kebentuk lain
8.
Gunakan pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat !
Cukup mudah. 9.
10.
Sederhanakan penjumlahan bilangan pecahan bersusun tersebut !
Diketahui persegi berukuran 8 x 8
Ukuran persegi yang terbentuk adalah
Persoalan ini sama dengan berapa banyak cara menempatkan ubin 2 buah persegi (berukuran 2×2) pada petak 2 4 pesegi berukuran 4×4. Hal ini sama dengan permutasi 2 unsur dari 4 unsur yang sama, yaitu sebanyak 4 = 2 . Karena pewarnaan merah dan biru, merupakan hal yang saling bebas, maka banyaknya cara mewarnai sehingga 8 4 4 potongan 2 persegi berwarna biru dan 2 persegi berwarna merah adalah sebanyak = 2 x 2 = 2 C 11.
Koefisien hasil perpangkatan bilangan (1 + x)
n
adalah
Diketahui bahwa , 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Koefisien terbesar hasil perpangkatan bilangan (1 + x)
n
adalah 1/24 n (n-1)(n-2)(n-3) , maka
Dari bentuk (A) tampak bahwa r = 4, sehingga bentuk (A) dapat ditulis:
Selanjutnya bentuk (B) periksa nilai n yang menghasilkan nilai yang sama dengan 1/24 n(n-1) (n-2)(n-3) : Dipenuhi untuk n = 7 ;
7!/(7-3)! = 7!/3! = 7 x 6 x 5 x 4 = 1/24 (7 x 6 x 5 x 4) Jadi , untuk n = 7 diperoleh koefisien sesuai soal 12.
D
Banyaknya bilangan bulat berbeda yang memenuhi y ,
Karena nilai y merupakan bilangan bulat, maka dengan mudah dapat kita temukan; Nilai y maksimum dicapai jika nilai dari :
Nilai y minimum dicapai jika nilai dari :
Sehinnga nilai y adalah -18 ≤ y ≤ 18 Untuk nilai y bilangan bulat, maka banyaknya adalah 37
B
Banyaknya bilangan genap antara 1 dan 9 adalah 4, maka banyak siswa laki-laki = 18 – 4 x1 =14
13.
C (sangat mudah)
14.
Perhatikan gambar !
Jika panjang AK = a , dan panjang [KP]=[PR]=[RB]= x , maka Luas persegi APNO – luas persegi AKLM 2
–
(a + x)
2
a
2
= 17
= 17
2ax + x
= 17
x ( 2a + x)
= 17
Karena 17 merupakan bilangan prima, maka haruslah x = 1 dan 2a + x = 17, sehingga diperoleh; 2a + 1
= 17 ,
2a
= 16 atau a = 8.
2
2
2
Jadi, luas persegi ABCD = (a + 3x) = (8 + 3) = 11 = 121 15.
B.
Perhatikan gambar!
Tampak pada gambar, tebal rantai 1 cm, dan penambahan panjan 1 gelang rantai adalah 6 – 2 = 4 cm. Ukuran panjang rantai membentuk barisan aritmetika sebagai berikut: 6 , 10 , 14 , … ,170. Un = a + ( n – 1 ) b , dengan a = 6 , b = 4 dan n banyaknya gelang rantai, sehingga diperoleh; 6 +(n – 1) 4
= 170
6 + 4 n – 4
= 170
4n
= 170 – 2
n
= 168/4
n
= 42
Jadi, banyaknya gelang rantai adalah 42. 16.
D
Banyak angka untuk 10 bilangan asli pertama yang ditulis dari kiri ke kanan sebanyak 11 angka.
Banyak angka untuk bilangan dari 11 s.d. 20 sebanyak 20 angka, dan banyak angka untuk bilangan dari 21 s.d. 30 sebanyak 20 angka. Dengan demikian urutan angka ke-50 dari bilangan yang ditulis dari kiri ke kanan adalah 3 A 17.
Misalkan bilangan terbesar yang mungkin adalah
,
n
dengan n bilangan bulat positif.
Bilangan n terbesar dicapai, jika bilangan terkecil dari himpunan bilangan tersebut adalah 1 dan selisih dua bilangan berurutan dari 15 anggota himpunan bilangan itu juga 1, sehingga dapat ditulis:
Jadi, bilangan bulat positif terbesar yang mungkin adalah 136.
B
18.
4
2
= 10 + 3. 10 + 1 = 10.301 19.
A
Berapa banyak pasangan (x, y, z) yang memenuhi persamaan x + y + z = 100, dengan x, y, dan z
merupakan bilangan bulat positif. Persoalan ini identik dengan membagikan 100 benda ke dalam 3 kotak yang diberi nama x , y, dan z dengan isi setiap kotak paling sedikit 1 benda (karena x, y, z bilangan bulat positif).
Mulailah dari persoalan yang sederhana, misalkan x + y + z = 4.
Pertama masukan 1 benda ke dalam semua kotak , selanjutnya sisanya masukan ke sembarang kotak . Sisa benda adalah 1 yang kemungkinan dapat dimasukan ke dalam kotak x, y, atau z, , sehingga banyaknya kemungkinan sebanyak 3. Pasangan nilai (x, y, z) yang memenuhi adalah (1, 1, 2) , (2, 1, 1) , (1, 2, 1) ,. Dengan demikian banyaknya pasangan (x, y, z) sebanyak 3.
Lanjutkan untuk x + y + z = 6
Pasangan nilai (x, y, z) yang memenuhi adalah (1, 1, 4) , (1, 4, 1) , (4, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 2), (1, 2, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1), , (2, 1, 3), (2, 3, 1) sebanyak 10 pasang. Jika kita rumuskan, untuk soal; x + y + z = 4 , diperoleh sebanyak 3 pasang
Perhatikan, 4 adalah jumlah bilangannya, 3 banyaknya variable (kotak). Untuk soal; x + y + z = 6 , diperoleh sebanyak 10 pasang.
Secara umum dapat kita rumuskan:
Akibat langsung dari syarat bahwa, isi setiap kotak paling sedikit 1 benda adalah sedikitnya terdapat 2 kotak berisi jumlah benda yang sama. Ok? Banyaknya permutasi n unsur berbeda dengan satu unsur yang sama muncul sebanyak s kali.
Mengitung banyaknya semua kemungkinan cara membagikan sejumlah n benda ke dalam k kotak dengan isi setiap kotak paling sedikit 1 benda, yaitu:
Langah pertama, masukan 1 benda ke dalam setiap kotak, sisanya sebanyak (n – k ) benda. Selanjutnya sisanya sebanyak (n – k) benda tersebut dibagikan ke sembarang kotak. Banyaknya kemungkinan, sama dengan menghitung banyaknya permutasi dari (n – k).
Dengan trik menyisipkan angka 1 sebagai pemisah dari sejumlah k kotak, sehingga terdapat sebanyak (k – 1) angka satu yang sama , maka banyaknya kemungkinan merupakan permutasi (n – k) benda dari (n – k + k – 1 )= (n – 1) benda berbeda, dengam jumlah unsur yang sama sebanyak (k – 1) (yaitu angka 1 sebagai pemisah). Sehingga permutasi tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
Hasil perhitungan ternyata sama dengan kombinasi (k – 1) unsur dari (n – 1) unsur berbeda. Jadi , untuk n = 100 dan k = 3 , diperoleh:
=4900 – 49 = 4.851
C
Gunakan rumus tersebut untuk menentukan banyaknya penyelesaian yang merupakan bilangan bulat positif dari sebuah persamaan yang berjumlah n dan terdiri dari k variable (k 1 ). x1 + x2 + ….+ xk = n Jika x1 + x2 + ….+ xk anggota bilangan bulat tidak negatif, maka banyaknya penyelesaian adalah sebanyak:
20.
Berapakah banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut;
Kedua ruas persaman (2) dikuadratkan diperoleh; 2
p – 2 p + 1 = 4 2
p – 2 p – 3 = 0 (p – 3)(p + 1) = 0 , maka nilai p = 3 (yang memenuhi, karena p tidak negatif)
Jadi, banyaknya nilai x yang memenuhi adalah sebanyak 2 21.
C
Perhatikan gambar !
Hitunglah banyaknya segitiga dan persegi lalu hitung selisihnya ! Banyaknya segitiga 10, sedangkan banyaknya persegi di dalam segitiga besar adalah 7. Jadi, jumlah segitiga berlebih dari jumlah kotak persegi yang ada dalam segitiga besar adalah 3. 22.
C mudah
Letak median (nilai tengah)
Berdasarkan informasi soal urutan ke-50 merupakan nilai di tengah-tengah dari sekumpulan data terurut yang berjumlah ganjil. Jika n adalah jumlah siswa peserta kompetisi PASIAD maka 1/2 (n + 1) = 50 n +1
= 100 , maka n = 99.
Jadi, jumlah siswa peserta kompetisi adalah 99 23.
C
Berapakah banyaknya bilangan bulat positif yang memenuhi pertidaksamaan;
Jika ketiga ruas dikuadratkan, diperoleh ,
2000
2
2
< n (n + 1) < 2005 , maka
bilangan bulat positif n yang memenuhi adalah 2000, 2001, 2002, 2003, dan 2004. Jadi sebanyak 5
A (mudah)
24.
Sistem Persamaan Linear 3 variabel
Diketahui;
Dari persamaan (1), diperoleh a = 7 – (b +c) , ditanyakan , sehingga dapat ditulis :
25.
b = 7 – (a+c) , dan c = 7 – (a+b), substitusi ke soal yang
Jika suku ke-n dari bilangan tersebut adalah U n , maka
Un = 2 Un-1 + a
U6 = 70 dan U9 = 609.
26.
Soal SPLDV
Misalkan jumlah mahluks Plouks = x , dan jumlah mahluk Zuves = y , maka diperoleh persamaan;
27.
Berapa banyaknya bilangan 8 digit (a 1 a2 a3 … a8) yang terdiri dari angka 0 atau 1 dimana , a 1=1
dan memiliki sifat: a 1 + a3 + a5 + a7 = a2 + a4 + a6 + a8 . (dengan kata lain jumlah angka pada urutan ganjil sama dengan jumlah angka pada urutan genap). Langkah pertama buatlah 8 petak kemudian isi dengan angka 1 atau 0 , hitung banyaknya susunan yang mungkin untuk 2 keadaan yang bebas yaitu untuk angka urutan ganjil dan untuk angka pada urutan genap, mulai dengan jumlah angka 8 digit tersebut yang mungkin yaitu 2, 4, 6 , dan 8.
1. Untuk jumlah angka-angkanya = 2, maka jumlah angka-angka pada urutan ganjil dan genap sama yaitu 1. Untuk urutan ganjil hanya ada 1 susunan (karena a1=1). Sedangkan untuk urutan genap.
Sebanyak 4 susunan. Banyaknya susunan ini merupakan permutasi n unsur (dengan k unsur yang sama muncul sebanyak r1,…,rk dimana k ≤ n ) .
Untuk urutan angka ganjil cukup dihitung dari urutan ke-3, 5, dan 7 karena urutan ke-1 tetap. Dari tiga digit hanya terdiri dari 3 angka 0 ,
sehingga banyaknya susunan sebanyak;
Untuk urutan genap: Dari 4 unsur tersebut terdapat sebanyak 1 angka 1 dan sebanyak 3 angka 0 yang sama, maka banyaknya permutasi adalah
Karena dua hal ini merupakan kasus yang saling bebas, maka banyaknya susunan bilangan dengan jumlah angkaangkanya =2 adalah sebanyak 1 x 4 = 4 2).
Untuk jumlah angka-angkanya = 4
Jumlah angka untuk urutan ganjil = 2 , Cukup dihitung dari urutan ke-3 , 5, dan 7 karena urutan ke-1 tetap dan banyaknya susunan sebanyak :
Untuk urutan genap, terdapat sebanyak 2 angka 1 dan sebanyak 2 angka 0, sehingga banyaknya susunan yang mungkin sebanyak;
Dengan demikian banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak 3 x 6 = 18 3).
Untuk jumlah angka-angkanya = 6
Jumlah angka untuk urutan ganjil = 3 dan banyaknya susunan:
Untuk urutan genap: Terdapat sebanyak 3 angka 1 dan sebanyak 1 angka 0, sehingga banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak:
Dengan demikian banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak 3 x 4 = 12
4). Untuk jumlah angka-angkanya = 8 , hanya ada 1 susunan yaitu, 11111111 Jadi, banyaknya susunan bilangan yang terdiri dari 8 digit dengan sifat tersebut adalah sebanyak 4 + 18 + 12 + 1 = 35
28.
B
Diketahui a dan b adalah pecahan biasa.
x dan y merupakan deret geometri konvergen tak hingga (infinity) dengan jumlah S :
Sehingga x dan y dapat dinyakan sebagai berikut:
29.
2
Nilai n bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan 888 x 111 = 2 (2n) adalah …
888 x 111 = 2 (2n)
2
2
888 x 111 = 2 (4n ) 8 x 111 x 111 = 8 n
2
8 x 111 x 111 = 8 . n . n , maka n = 111
D
30.
Diketahui : ppp adalah bilangan tiga digit, dan qr , kr adalah bilangan dua digit.
Berapakah p + q + r + k = …? Karena ppp = qr . kr , maka dapat ditulis: p(111)
= (10q + r)(10k + r)
3p(37) = (10q + r)(10k + r) Karena 37 bilangan prima, maka haruslah 10k + r = 37, sehingga diperoleh k = 3, dan r= 7. 3p = 10q + 7 , karena 3p adalah bilangan kelipatan 3 yang angka satuannya 7, maka haruslah 3p = 27 , sehingga p = 9 , dan q = 2. Jadi, p + q + r + k = 9 + 2 + 7 + 3 = 21
C
Diketahui: abac adalah bilangan kuadrat dari bilangan dua digit rs, maka dapat ditulis
31. 3
2
2
a.10 + b.10 + a.10 + c = (10r + s) 2
2
2
2
10a . 10 + b.10 + a.10 + c = r .10 + 2 r. s .10 + s 2
2
2
(10a + b).10 + a.10 + c = r .10 + 2. r .s . 10 + s
2
2
2 2 Dari persamaan ini diperoleh , r = 10a + b , tampak bahwa r menghasilkan bilangan puluhan, maka haruslah r ≥ 4 , selanjutnya coba dan periksa dalam menentukan nilai s. 2
Jika r= 4 , dan s = 1 ,maka 41 = 1681 ≠ abac 2
Jika r= 4 , dan s = 2 ,maka 42 = 1764 ≠ abac 2
Jika r= 4 , dan s = 3 ,maka 43 = 1849 ≠ abac 2
Jika r= 4 , dan s = 4 ,maka 44 = 1936 ≠ abac 2
Jika r= 4 , dan s = 5 ,maka 45 = 2025 = abac 2 Tampak bahwa, 45 = 2025 berbentuk abac , sehingga a = 2 , b = 0, dan c = 5.
Selanjutnya periksa apakah 3136 merupakan bilangan kuadrat dari bilangan dua digit. 2 Fakta bahwa 56 = 3136.
Jadi, a + b + c = 2 + 0 + 5 = 7 D
32.
Diketahui: x1, x2, x3 , …., xn adalah suku-suku barisan bilangan berupa bilangan bulat positif
yang tidak lebih dari 2001. Berapakah nilai n maksimun yang bisa diperoleh? Jawab:
n adalah banyaknya suku-suku barisan bilangan tersebut.
Karena suku-suku barisan bilangan tersebut bilangan bulat positif dan tidak lebih dari 2001, agar n bisa didapat maksimum, maka dapat kita tentukan : x1 = 1 , x2 = 2001, x3 = 2000 , dan
, xn = 1
sehingga diperoleh barisan: 1 , 2001, 2000, 1, 1999, 1998, 1, 1997, 1996, ….., 3, 2, 1, 1 Jika kita perhatikan susunanya, tampak barisan ini merupakan barisan bilangan berurutan yang disisipkan angka 1, di setiap dua suku. Selanjutnya hitung banyaknya angka 1 yang disisipkan. Banyaknya angka 1 yang disisipkan di setiap dua suku = ½ x 2000 -1 = 999
Banyaknya suku barisan bilangan tersebut sebanyak 2000 + 999 + 3 = 3002 suku. Jadi, nilai n maksimum yang bisa di dapat adalah 3002
33.
B
Yang bukan merupakan pasangan bilangan Pythagoras adalah (6, 17, 18) 2
2
2
Karena 18 ¹ 6 + 17
D
(hapalan Tripel Pythagoras sangat membantu dalam menjawab soal ini) 34.
Diketahui: f(x) suatu fungsi pada bilangan bulat sehingga f(2011) = 2020 dan
f(x+1) = 2.f(x) – 2004. Berapakah f(2010) = …? Jawab: f(2011) = 2.f(2010) – 2004 2020
= 2 . f(2010) – 2004
f(2010) = 1/2 (2020 + 2004) f(2010) = 1010 + 1002 = 2012
35.
B (mudah)
Misalkan nilai awal yang diberikan adalah a , dan X0 = 2a – 1
Karena perhitungannya berulang , Jika Xi menyatakan pengulangan ke-i , maka perhitungannya dapat kita rumuskan sbb:
Selanjutnya tentukan X 1 , X2 , dan X98 . Karena rekursif maka terbentuk suatu pola. Perhatikan polanya !
2
X1 = 2 X0 – 1 = 2(2a – 1) – 1 = 4a – 3 = 4a – 4 + 1 = 4 (a – 1) + 1
= 2 (a – 1) + 1
X2 = 2 X1 – 1 = 2(4a – 3) – 1 = 8a – 7 = 8a – 8 + 1 = 8 (a – 1) + 1
= 2 (a – 1) + 1
.
.
.
.
.
. 99
X98
=2 100
Diketahui , X98
=2
99
(a – 1) + 1 = 2
100
99
(a – 1)
=2
99
(a – 1)
=2
2 2 2
3
(a – 1) + 1
+1
+1
100
99
1
. 2
(a – 1) = 2 a
= 2+1=3
Jadi, nilai awal yang diberikan adalah 3
36.
C
Perhatikan gambar !
Diketahui: besar sudut AQB = 2 x besar sudut COD. Talibusur AC dan BD berpotongan di Q, maka sudut AQB adalah sudut dalam lingkaran, sehingga Besar sudut AQB
= 1/2 (besar sudut AOB + besar sudut COD)
2 x besar sudut COD
= 1/2 ( 180 + besar sudut COD)
4 x besar sudut COD
= 180 + besar sudut COD
3 x besar sudut COD
= 180
besar sudut COD
= 180 / 3 = 60
0
0
0
0
0
Perhatikan segitiga ODP siku-siku di D . (karena PD adalah garis singgung dan O pusat lingkaran) 0
Karena segitiga ODP dan segitiga OCP kongruen, besar sudut COD = 60 , maka 0
besar sudut DOP = 30 , sehingga panjang DP = 1/2 OP .
Berdasarkan teorema Pythagoras; 2
OP
2
2
= OD + PD
2
= OD + (1/2 OP)
2
2
= 1 + 1/4 OP
OP
2
OP
3/4 OP 2
OP
37.
2
2
2
=1 = 4/3
Perhatikan gambar !, buat garis bantu BC’, CA’ , dan AB’ .
Perhatikan segitiga BCC’ , luas segitiga C’AB = luas segitiga ABC (karena panjang AC’ = AC) Perhatikan segitiga AC’A’ , luas segitiga C’AB = luas segitiga A’BC’ ( panjang A B = A’B) Perhatikan segitiga A’BB’ , luas segitiga A’BC = luas segitiga A’CB’ ( panjang BC = B’C) Perhatikan segitiga CC’B’ , luas segitiga CAB’ = luas segitiga AC’B’ ( panjang AC = AC’) Simpulan: Luas segitiga C’AB = A’BC’ = A’BC = A’CB’ = CAB’ = AC’B’ = ABC 2
2
Jadi, luas segitiga A’B’C’ = 7 x luas segitiga ABC = 7 x 25 cm = 175 cm
38.
C
Pada gambar garis putus-putus merupakan lintasan titik pusat lingkaran yang bergerak
sepanjang sisi-sisi bagian dalam persegi.
Panjang lintasan titik pusat lingkaran dalam satu rute = 4 x (10 – 2×2) = 4 x 6 = 24 cm B (mudah).
2
39.
2
2
Berapa banyaknya bilangan 3 digit abc (a¹0), sehingga a + b + c bisa membagi 26 ?
Jawab : 2
2
2
2
2
2
a + b + c bisa membagi 26, artinya a + b + c merupakan factor-faktor dari 26. 2
2
2
factor-faktor dari 26 adalah 1, 2, 13, dan 26. Selanjutnya tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi a + b + c , kemudian hitung banyaknya susunan yang mungkin membentuk bilangan abc. 2
2
2
Untuk a + b + c = 1 , maka a = 1, b = 0 , dan c = 0 sehingga susunan bilangan yaitu 100.
Banyaknya bilangan abc adalah 1 2
2
2
Untuk a + b + c = 2 , maka a, b, c anggota {1, 1, 0} sehingga
susunan bilangan yang mungkin yaitu 110 , 101 Banyaknya bilangan abc adalah 2 x 1 = 2 2
2
2
Untuk a + b + c = 13 , maka maka a, b, c anggota {2, 3, 0} sehingga
susunan bilangan yang mungkin yaitu 230 , 203, 320 dan 302 Banyaknya bilangan abc adalah 2 x 2 x 1 = 4 2
2
2
Untuk a + b + c = 26 , nilai-nilai a, b, dan c anggota {1, 5, 0} atau {1, 3, 4}
Untuk nilai-nilai a, b, dan c anggota {1, 5, 0}, maka banyaknya susunan bilangan abc sebanyak 2 x 2 x 1 = 4 , dan Untuk nilai-nilai a, b, dan c anggota {1, 3, 4}, maka banyaknya susunan bilangan abc sebanyak 3 x 2 x 1 = 6 Jadi, banyaknya susunan bilangan abc adalah 1 + 2 + 4 + 4 + 6 = 17 40. 0
C
Berapakah nilai n bilangan bulat positif sehingga diperoleh selisih terkecil dari: 1
2
3
n
2
3
n
2 + 2 + 2 + 2 + …+ 2 .
dan
2010 ?
Jawab : 0
1
0
2 + 2 + 2 + 2 + …+ 2 , merupakan deret geometri divergen dengan suku pertama = 2 = 1 , dan rasio r = 2 . Jika Sn jumlah dari deret tersebut, maka
n 9 Untuk n = 9 , maka nilai 2 – 1 = 2 – 1 = 512 – 1 = 511 n
10
n
11
Untuk n = 10 , maka nilai 2 – 1 = 2 – 1 = 1024 – 1 = 1023 Untuk n = 11 , maka nilai 2 – 1 = 2 – 1 = 2048 – 1 = 2047 Selisih dari 2047 dan 2010 = 2047 – 2010 = 37. Jadi, selisih terkecil diperoleh untuk n = 11
D
