P. Zieliński - Elektrotechnika dla nieelektryków.pdf

ELEKTROTECHNIKA DLA NIEELEKTRYKÓW ĆWICZENIA LABORATORYJNE. ZBIÓR ZADAŃ

Praca zbiorowa pod redakcją P. Zielińskiego

WROCŁAW 1999

PRZEDMOWA Skrypt niniejszy stanowi podstawową pomoc do przedmiotu Elektrotechnika prowadzonego dla studentów wydziału Mechanicznego w wymiarze: 30h - wykład, 15h - laboratorium. Pierwsza część skryptu zawiera opis 10. ćwiczeń laboratoryjnych. Ze względu na bardzo mały wymiar godzinowy wykładu, opis niektórych ćwiczeń został poszerzony o krótkie wprowadzenie teoretyczne, które powinno ułatwić studentom przygotowanie się do ćwiczeń, ich poprawne wykonanie oraz właściwą interpretację uzyskanych wyników. Tematyka większości ćwiczeń laboratoryjnych dotyczy silników elektrycznych, zwłaszcza silników indukcyjnych, których znajomość jest szczególnie przydatna w praktyce zawodowej inżynierów mechaników. Druga część skryptu jest zbiorem zadań wraz z rozwiązaniami oraz zadań do samodzielnego rozwiązania. Niewielki wymiar godzinowy wykładu w stosunku do zamierzeń programowych nie pozwala w jego ramach poświęcać dużo czasu na rozwiązywanie przykładowych problemów praktycznych, związanych z przerabianym materiałem. Niniejszy zbiór zadań ma na celu łagodzenie tej trudności. Umiejętność rozwiązywania zawartych w zbiorze i podobnych zadań jest jednym z podstawowych warunków zaliczenia przedmiotu. Nigdy bowiem dosyć przypominania studentom, że celem zdobywania wiedzy jest nie tylko satysfakcja z jej zdobycia, lecz głównie - możliwość i umiejętność jej stosowania w rozwiązywaniu problemów, jakie stawiać będzie przed każdym zawód i powołanie inżyniera. Skrypt jest pracą zbiorową. Poszczególne części skryptu opracowali: Olgierd Kasaty - Zadania 1do 3, Krystyna Kubzdela - Ćwiczenia 2; 4; 5; 6, Stefan Kubzdela - Ćwiczenia 7; 8; 9;10, i Piotr Zieliński, - Ćwiczenia 1; 3 i Zadania 4 i 5 oraz redakcja całości skryptu. Pragnę serdecznie podziękować zespołowi Współautorów za wyrozumiałość i współpracę, a studentom życzę owocnej lektury. Piotr Zieliński

5 ĆWICZENIE Nr 1 POMIARY MOCY W TRÓJFAZOWYCH UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO 1.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie wybranych metod pomiaru mocy w układach trójfazowych prądu przemiennego, oraz nauczenie się stosowania tych metod w praktyce. − − −

1.2. Program ćwiczenia praktyczne zapoznanie się z watomierzami ( budowa, zakresy pomiarowe, stała przyrządu), pomiary mocy odbiornika trójfazowego metodą jednego watomierza, pomiary mocy odbiornika trójfazowego w układzie Arona (dwoma watomierzami).

1.3. Wiadomości ogólne Ważnymi parametrami służącymi do opisu danego odbiornika prądu przemiennego, oceny poprawności jego pracy, stopnia wykorzystania czy sprawności są moce: czynna P., bierna Q, i pozorna S oraz współczynnik mocy cosϕ. W układach służących do pomiarów bądź wyznaczania wartości tych parametrów używane są watomierze. Watomierze różnią się od większości przyrządów pomiarowych tym, że posiadają dwa obwody pomiarowe: prądowy i napięciowy. Obwód prądowy stanowi nieruchoma cewka a obwód napięciowy lekka ruchoma cewka - zwykle połączona w szereg z rezystorem o dużej rezystancji. Wzajemne oddziaływanie prądów płynących w tych cewkach generuje moment obrotowy powodujący wychylenie wskazówki przyrządu. Moment ten jest proporcjonalny do iloczynu chwilowych wartości obydwu prądów (iI⋅iU). Ponieważ są to prądy sinusoidalne o częstotliwości f, moment ma charakter pulsujący o częstotliwości 2f. Bezwładność organu ruchomego przyrządu sprawia, że jego wychylenie (α) jest proporcjonalne do średniej wartości tego iloczynu. T

α∝

1 i i dt =I I I U cos ∠( I I , I U ) T ∫0 I U

(1)

Ponieważ obwód cewki napięciowej ma charakter praktycznie czysto rezystancyjny, prąd płynący w mim jest w fazie z napięciem na jego zaciskach. Zatem można napisać:

α ∝ I I U U cos ∠( I I , U U )

(2)

Jeśli zatem watomierz włączyć do układu w sposób pokazany na rys.1.1, tak aby przez cewkę prądową płynął prąd odbiornika a na obwodzie napięciowym było napięcie odbiornika, to wskazanie przyrządu będzie proporcjonalne do mocy czynnej pobieranej przez odbiornik gdyż cos ∠( I I , U U ) = cos ∠( I odb , U odb ) = cos ϕ odb

(3)

6 * II

*

IU

V

ODBIORNIK

A

Rys.1.1. Sposób włączenia watomierza do układu pomiarowego.

Zatem

α = kI odbU odb cos ϕ odb = kPodb

(4)

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Zaciski obwodów prądowego i napięciowego watomierza są wyprowadzone na jego obudowę. Zaciski odpowiadające początkom cewek są oznaczone gwiazdką lub strzałką co ułatwia prawidłowe włączenie watomierza w układ pomiarowy. Zmiana biegunowości przyłączenia jednej z cewek skutkuje zmianą kierunku wychylenia się wskazówki przyrządu. Zwykle watomierze mają kilka zakresów pomiarowych, zarówno prądowych jak i napięciowych, które można wybierać w zależności od spodziewanego prądu i napięcia za pomocą odpowiednich przełączników. Ponieważ wskazanie watomierza jest zależne od iloczynu trzech różnych parametrów, może się zdarzyć, że nawet przy niewielkim wskazaniu, lub jego braku, prąd lub napięcie podawane na watomierz przekraczają wartości znamionowe użytych zakresów, co może prowadzić do uszkodzenia cieplnego przyrządu. Aby tego uniknąć, watomierzowi pracującemu w układzie pomiarowym musi zawsze towarzyszyć amperomierz włączony w szereg z jego cewką prądową oraz woltomierz włączony równolegle do cewki napięciowej. Przy zmianie zakresów pomiarowych watomierza należy się kierować głównie wskazaniami tych przyrządów. Dla wygody należy się starać aby zakresy współpracujących przyrządów były jednakowe. Równoległy pomiar mocy czynnej, napięcia i prądu pozwala wyznaczyć moce bierną i pozorną oraz współczynnik mocy. Konstrukcja watomierza przewiduje możliwość pewnego przeciążenia danego obwodu bez niebezpieczeństwa jego przegrzania. Możliwość ta jest często wykorzystywana w przypadku niewielkich wychyleń wskazówki co ma miejsce przy małych wartościach współczynnika mocy. Wartości dopuszczalnych przeciążeń są podawane na przyrządzie. W przypadku gdy napięcie lub prąd badanego obiektu przekraczają wartości znamionowych zakresów przyrządów będących do dyspozycji to przyrządy te łączy się za pośrednictwem transformatorów pomiarowych o znanych przekładniach (przekładników). Stosowanie przekładników ma oprócz transformowania prądu do wartości dogodnej dla pomiarów również i tę zaletę, że jednocześnie izoluje układ pomiarowy od niebezpiecznego napięcia obwodu badanego. Ma to szczególne znaczenie w obwodach wysokiego napięcia. Sposób połączenia watomierza z zastosowaniem przekładników pokazuje rys.1.2.

7 L k

l A

* * W

m

M

n

N

V

ODBIORNIK

K

Rys.1.2. Układ pomiarowy z zastosowaniem przekładników.

1.4. Stałe przyrządów pomiarowych Wskazania przyrządów wielozakresowych są zwykle odczytywane w działkach (α), a wartość wielkości mierzonej jest obliczana jako iloczyn liczby działek α i tzw. stałej przyrządu c, która określa wartość wielkości mierzonej odpowiadającą przy określonym zakresie pomiarowym jednej działce na skali. Stałe poszczególnych przyrządów oblicza się z wzorów: stała woltomierza –

cV =

UN

α max

ku

(5)

kI

(6)

stała amperomierza –

cA =

IN

α max

stała watomierza –

cW =

UN IN

α max

ku k I

(7)

w których: αmax – maksymalna liczba działek na skali przyrządu, UN – zakres napięciowy, IN - zakres prądowy, kU – przekładnia przekładnika napięciowego, kI - przekładnia przekładnika prądowego. Jeżeli przekładniki nie są stosowane w układzie to kU i kI są równe 1. 1.5. Metody pomiaru mocy w układach trójfazowych 1.5.1. Pomiar mocy metodą jednego watomierza Metoda ta może być stosowana jedynie w symetrycznych układach trójfazowych z dostępnym punktem zerowym (rys.1.3). Wymagana symetria dotyczy zarówno obiektu badanego jak i źródła zasilania. Ponieważ napięcia i prądy oraz współczynniki mocy w każdej fazie są takie same pomiar mocy czynnej dokonywany jest tylko na jednej fazie. Na podstawie zmierzonych wartości P1f , Uf, If można obliczyć moc czynną, pozorną i bierną oraz współczynnik mocy odbiornika trójfazowego z wzorów: P3 f = 3P1 f

(8)

8 S 3 f = 3U f I f

(9)

Q 3 f = S 32 f − P32f

A

P3 f

(11)

S3 f * * W

A

V

B C

ODBIORNIK 3 FAZOWY SYMETRYCZNY

cos ϕ =

(10)

0

a) K

L k

B

l A

* * W

V

C 0

O D B IO R N IK 3 FAZO W Y SYM ETRYCZN Y

A

b) Rys.1.3. Układy pomiarowe pomiaru mocy trójfazowej w układzie symetrycznym z dostępnym punktem zerowym: a- bez przekładników, b- z przekładnikami..

1.5.2. Pomiary mocy metodą dwu watomierzy (w układzie Arona) W przypadku gdy odbiorniki lub źródła zasilania są niesymetryczne, pomiary mocy można przeprowadzić oddzielnie na każdej fazie za pomocą 3. watomierzy i zsumować wyniki celem uzyskania mocy całkowitej. W praktyce stosuje się tańszą i wygodniejszą metodę wymagającą jedynie dwóch watomierzy i nie wymagającą przy tym dostępu do punktu zerowego, zwaną układem Arona. Schematy układów pomiarowych przedstawia rys.1.4. Jak widać, przez cewki prądowe watomierzy płyną prądy dwóch faz. Początek cewki napięciowej danego watomierza jest przyłączony do fazy do której przyłączona jest jego cewka prądowa a koniec cewki do fazy w której nie ma watomierza. Wartość chwilowa mocy w układzie trójfazowym wynosi: p3 f = u A i A + u B i B + uC i C Ponieważ suma wartości chwilowych prądów przewodowych jest równa zero.

(12)

9

i A + i B + iC = 0 zależność (12) można przekształcić do postaci:

(13)

p3 f = u A i A + u B i B + uC (−i A − i B ) = (u A − uC )i A + (u B − uC )i B = u AC i A + u BC i B

* * W

A

B

V

* * W

A

V C

A

a) K

L k

B

l A

* * W

V K k

C

V

L l A

* * W

V

ODBIORNIK 3 FAZOWY

A

V

ODBIORNIK 3 FAZOWY

A

(14)

b) Rys.1.4. Schematy do pomiaru mocy w układach trójfazowych metodą Arona: a- bez przekładników, b- z przekładnikami..

Moc czynna, równa wartości średniej tego przebiegu wyniesie: T

1 (u i +u i )dt = U AC I A cos ∠(U AC , I A ) + U BC I B cos ∠(U BC , I B ) (15) T ∫0 AC A AC A Porównując to wyrażenie z wzorem (2) łatwo zauważyć, że jego prawa strona jest równa sumie wskazań obydwu watomierzy (WI i WII) pracujących w układzie Arona. Zatem moc odbiornika trójfazowego można obliczyć jako: P=

P = WI + WII

(16)

Prawdziwość zależności (16) szczególnie łatwo wykazać dla przypadku odbiornika symetrycznego. Z przykładowego wykresu wektorowego dla takiego odbiornika (rys.1.5) wynika, że wskazania poszczególnych watomierzy wynoszą: W I = I AU AC cos(30 o − ϕ )

(17)

W II = I BU BC cos(30 o + ϕ )

(18)

10 Dla układu symetrycznego można napisać: IA=IB=I oraz UAC=UBC=U, przy czym I oraz U są wartościami przewodowymi, odpowiednio, prądu i napięcia w układzie trójfazowym. Suma wskazań obydwu watomierzy jest równa mocy czynnej układu trójfazowego gdyż B

WI + WII = IU cos(30° − ϕ ) + IU cos(30° + ϕ ) = 3UI cosϕ = P3 f (19) Różnica wskazań watomierzy wynosi:

WI − WII = IU cos(30° − ϕ ) − IU cos(30° + ϕ ) = UI sin ϕ -UC

UB

IB

(20)

UBC

UAC

30°−ϕ

-UC

ϕ 30°+ϕ

ϕ

IC

UA IA

ϕ

UC

Rys.1.5. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie Arona

co jest równe mocy biernej odbiornika trójfazowego podzielonej przez 3. Podsumowując można napisać, że w układzie Arona: moc czynna (21) P3 f = W I + W II moc bierna moc pozorna -

Q 3 f = 3 (W I − W II ) S 3 f = 3UI

(22) (23)

Należy jednak pamiętać, że jakkolwiek wzór (21) jest ważny również w przypadku układów niesymetrycznych, to z wzoru (22) można korzystać tylko dla obwodów symetrycznych, a w innych przypadkach dla obliczenia mocy biernej stosować zależność(10).

11 1.6.Opis wykonania ćwiczenia 1.6.1. Pomiar metodą jednego watomierza W ćwiczeniu należy przeprowadzić pomiary mocy wskazanego przez prowadzącego odbiornika trójfazowego. Na wstępie należy zapoznać się z danymi znamionowymi badanego obiektu i na tej podstawie dobrać potrzebne przyrządy pomiarowe. Następnie należy połączyć układ do pomiaru metodą jednego watomierza (rys.1.3) i wykonać pomiary mocy zasilając odbiornik napięciem znamionowym. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 1.1. Na podstawie uzyskanych wyników obliczyć z wzorów (9,10,11) moce bierną Q i pozorną S oraz współczynnik mocy cosϕ. Tabela 1.1. Wyniki pomiarów Wyniki obliczeń U I P Q S cos ϕ Uwagi l.p. cV V cA A W var VA αV αA αW c W

1.6.2. Pomiar mocy w układzie Arona Dla tego samego odbiornika jak w p.1.6.1. należy przeprowadzić pomiar mocy w układzie Arona. Po połączeniu układu pomiarowego wg rys.1.4 należy zasilić odbiornik napięciem znamionowym i dokonać odczytów przyrządów. Wyniki zestawić w tabeli 1.2. Tabela 1.2. Wyniki pomiarów l.p.

UI

UII V

II

III A

Wyniki obliczeń

WI

WII W

Uśr

Iśr

P

Q

S

cos ϕ

V

A

W

var

VA

-

Uwagi

Na podstawie pomiarów obliczyć moce: czynną P, bierną Q i pozorną S oraz współczynnik mocy odbiornika cosϕ. 1.7. Opracowanie wyników pomiarów Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: − opracowany protokół z pomiarów wraz z wynikami pomiarów i obliczeń zestawionych w tabelach, − uwagi i wnioski dotyczące porównania obydwu zastosowanych metod pomiaru mocy. 1.8. Pytania kontrolne 1. Scharakteryzować metody pomiaru mocy odbiorników jednofazowych i trójfazowych. 2. Opisać budowę watomierza. Od czego zależy wartość wskazania watomierza? 3. Dlaczego przy pomiarach watomierzem należy równocześnie mierzyć prąd jego cewki prądowej i napięcie na cewce napięciowej? 4. Co to jest stała watomierza? Podać wzór do jej obliczenia. 5. Jakie warunki muszą być spełnione aby można było zastosować do pomiaru mocy odbiornika trójfazowego: a) układu z jednym watomierzem, b) układu Arona? 6. Jaki jest cel stosowania przekładników prądowych i napięciowych?

12 ĆWICZENIE NR 2 BADANIE OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO ZAWIERAJĄCYCH ELEMENTY R, L, C 2.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie zawierających elementy R, L, C.

właściwości

obwodów

prądu

przemiennego

2.2. Program ćwiczenia - pomiary prądów, napięć i mocy w obwodach zawierających elementy R, L, C a) połączone szeregowo, b) połączone równolegle, - wyznaczenie charakterystyki Z=f(f) 2.3. Omówienie programu ćwiczenia 2.3.1 Uwagi ogólne 2.3.1.1. Szeregowe połączenie elementów R, L, C Podstawowymi elementami odbiornikowymi w obwodach prądu przemiennego są elementy zawierające rezystancję R (rezystory), indukcyjność L (cewki, dławiki) oraz pojemność C (kondensatory). Elementy te mogą być połączone szeregowo i równolegle. Przy połączeniu szeregowym (rys.2.1a) przez wszystkie elementy płynie ten sam prąd i. i

a)

R

L

uR

uL

C

uC

u

Błąd! Nieprawidłowe łącze.

b)

d)

c) UL

UL XL

UC U Z

ϕ UR UC

I

ϕ R

XC

13 Rys. 2.1 Obwód z elementami R, L, C połączonymi szeregowo; a) układ połączeń, b) przebiegi czasowe prądu i napięć, c) wykres wektorowy, d) trójkąt impedancji.

W przypadku, gdy jest to prąd sinusoidalny, i = 2 I sin ω t , napięcia na elementach R, L, C będą również sinusoidalne (rys.2.1b), a ich wartości chwilowe wyniosą: (1) u R = R i = 2 IR sin ω t π⎞ di ⎛ (2) u L = L = 2 I ω L sin ⎜ ω t + ⎟ 2⎠ dt ⎝ 1 1 π⎞ ⎛ sin⎜ ω t − ⎟ u C = ∫ idt = 2 I (3) 2⎠ ωC ⎝ C Z powyższych zależności wynika: - napięcie na rezystancji uR jest w fazie z prądem, - napięcie na indukcyjności uL wyprzedza prąd o kąt π /2, - napięcie na pojemności uC jest opóźnione względem prądu o kąt π /2. Wartości skuteczne tych napięć wynoszą: U R = IR , (4) U L = Iω L = I X L , (5)

UC = I

1 = I XC , ωC

(6)

gdzie: XL, XC - reaktancje: indukcyjna i pojemnościowa. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, suma napięć chwilowych na poszczególnych elementach obwodu równa jest napięciu wypadkowemu u = u R + u L + uC (7) Ponieważ wszystkie napięcia składowe są funkcjami sinusoidalnymi o tej samej częstotliwości, napięcie wypadkowe jest również sinusoidalne u = 2 U sin(ω t + ϕ ) (8) Wartość skuteczną napięcia wypadkowego (U) uzyskuje się w wyniku geometrycznego zsumowania napięć skutecznych (4), (5) i (6) U = U R +U L +U C (9) Równaniu (9) odpowiada wykres wektorowy przedstawiony na rys.2.1c, z którego wynika: U = U R2 + (U L − U C )

2

(10)

Kąt przesunięcia fazowego ϕ między prądem i napięciem jest równy: U −UC ϕ = arc tg L (11) UR Stosunek skutecznych wartości napięcia i prądu na zaciskach danego obwodu nosi nazwę impedancji U (12) Z= . I Zależność (12) często nazywana jest prawem Ohma dla obwodów prądu przemiennego. Z rys. 2.1d, zwanego trójkątem impedancji, wynika Z = R 2 + (X L − X C ) oraz

2

(13)

14

XL − XC . (14) R Z zależności (2) i (3) wynika z kolei, że napięcia UL i UC przesunięte są względem siebie o 180°. Oznacza to, że napięcia te w większym lub mniejszym stopniu kompensują się. Stan, w którym dochodzi do pełnej kompensacji obu napięć (UL−UC=0) nazywany jest rezonansem napięć. Ponieważ UL=XLI, a UC=XCI rezonans napięć wystąpi, gdy XL = XC (15) Częstotliwość fo , przy której dochodzi do rezonansu, nazywana jest częstotliwością rezonansową. Jej wartość wynika z warunku (15) i wynosi: 1 fo = (16) 2π LC Podczas rezonansu napięć impedancja obwodu Z=R , zatem prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną. W konsekwencji tego napięcia na cewce i kondensatorze mogą być dużo większe od napięcia zasilającego układ. Zależność prądu oraz impedancji obwodu szeregowego od częstotliwości pokazano na rys. 2.2.

ϕ = arc tg

Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 2.2 Zależność impedancji oraz prądu od częstotliwości

Obwody rezonansowe znajdują zastosowanie jako filtry w układach elektronicznych. 2.3.1.2 Równoległe połączenie elementów R, L, C Rys.2.3 przedstawia obwód z równolegle połączonymi elementami R, L, C. IC

i iL

iR u

R

L

IR

iC

U

ϕ

C

G

ϕ I

Y IC

IL

a)

IL

b)

BL

BC

c)

Rys. 2.3. Obwód z elementami R, L, C połączonymi równolegle; a) układ połączeń, b) wykres wektorowy c) trójkąt admitancji.

W obwodzie tym, zgodnie z I prawem Kirchhoffa, chwilowa wartość prądu wypadkowego i jest równa sumie prądów chwilowych w poszczególnych gałęziach: i = i R + i L + iC (17) Ponieważ wszystkie elementy tego obwodu są zasilane napięciem sinusoidalnym u = 2 U sin ω t , prądy iR, iL oraz iC mają charakter sinusoidalny. Prąd wypadkowy ma postać: i = 2 I sin (ωt − ϕ ) (18) Jego wartość skuteczną (I) otrzymuje się w wyniku geometrycznego zsumowania prądów skutecznych w poszczególnych gałęziach: I = IR + IL + IC (19) Równaniu (19) odpowiada wykres wektorowy przedstawiony na rys. 2.3b, z którego wynika:

15 I = I R2 + (I L − I C )

2

(20)

Kąt przesunięcia fazowego ϕ pomiędzy prądem wypadkowym I i napięciem U wynosi: I −I ϕ = arc tg L C (21) IR Rozwiązanie obwodów równoległych upraszcza się po wprowadzeniu admitancji, zdefiniowanej jako 1 I (22) Y= = Z U Z rys. 2.3c, zwanego trójkątem admitancji, wynika że admitancja obwodu wynosi Y = G 2 + (BL − BC )

2

(23)

gdzie: 1 I G = = R - konduktancja, R U I 1 BL = = L - susceptancja indukcyjna, XL U I 1 BC = = C - susceptancja pojemnościowa. XC U Kąt przesunięcia fazowego między prądem wypadkowym a napięciem jest równy: B − BC ϕ = arc tg L (24) G Stan, w którym w obwodzie równoległym (rys.2.3a) dochodzi do pełnej kompensacji prądów płynących w gałęziach zawierających elementy L i C (IL−IC=0), nazywany jest rezonansem prądów. Rezonans prądów wystąpi gdy: BL = BC Ma wtedy miejsce oscylacja prądu i energii między elementami L i C. Energia pola 1 ⎛ ⎞ magnetycznego cewki ⎜WL = L i 2 ⎟ w każdej połówce okresu zamienia się na energię pola 2 ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎞ elektrycznego kondensatora ⎜WC = C u 2 ⎟ i odwrotnie. Prąd oscylujący nie jest pobierany ze 2 ⎝ ⎠ źródła mimo często dużych wartości prądów jakie płyną przez elementy L i C. Zjawisko to wykorzystuje się w praktyce do budowy filtrów oraz do kompensacji mocy biernej. W obwodach prądu przemiennego zawierających elementy R, L, C oprócz mocy czynnej, która określa rzeczywistą przemianę energii P=I2 R , definiuje się dodatkowo moc bierną Q=I2X i pozorną S=I2 Z=U⋅ I. Z rys. 2.4, zwanego trójkątem mocy, wynika: (25) P = S ⋅ cos ϕ = U ⋅ I cos ϕ (26) Q = S sin ϕ = UI sin ϕ S = P2 + Q2

(27)

Stosunek P/S=cosϕ nosi nazwę współczynnika mocy. S Q = (QL - QC)

ϕ P

16

Rys. 2.4 Trójkąt mocy

2.3.2 Badanie obwodu szeregowego Pomiary napięć, prądu i mocy pobranej z sieci przez elementy R, L, C połączone szeregowo prowadzone będą w układzie jak na rys. 2.5. Do oscyloskopu

I

A

Rb

* * W

R1

R

L W1

UR1

UR

UL

UC

URL V

f

V

V

V

C1

C2

C3

U

AT

W

Rys. 2.5 Układ pomiarowy obwodu szeregowego

W układzie tym cewkę rzeczywistą przedstawiono w postaci dwóch elementów idealnych: rezystora R i cewki o indukcyjności L. Przed włączeniem układu należy ustawić autotransformator w pozycji U=0. Po zamknięciu wyłącznika W należy zwiększać napięcie zasilające zwracając uwagę na to, by nie przekroczyło ono wartości napięć znamionowych podanych na elementach L i C. Pomiary należy wykonać dla trzech różnych wartości pojemności. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 2.1. Tabela 2.1. L p

Moc U V

cosϕ UR1 URL

I A

α dz

cW W/dz

P W

-

V

V

Z Uwagi

UR

UL

UC

R1

R

XL

L

XC

C

V

V

V

Ω

Ω

Ω

mH

Ω

μF Ω f =...Hz

W powyższej tabeli: P = α ⋅ cW , P , cos ϕ = UI U R = U cos ϕ − U R 1 ,

17 2 U L = U RL − U R2 ,

U R1 , I U R= R , I U XL = L , I X L= L , 2πf 1 XC = . 2πfC Po wyłączeniu napięcia zasilającego nie należy dokonywać żadnych zmian w układzie połączeń, dopóki napięcie na kondensatorze nie zmaleje do bezpiecznej wartości, co można stwierdzić obserwując wskazania woltomierza włączonego na jego zaciski. Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń należy narysować wykres wektorowy prądu i napięć przy wybranej pojemności (rys.2.6). Przy tej pojemności należy obliczyć częstotliwość rezonansową, a następnie określić wartość Z przy f = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 i 1,25fo. Wyniki obliczeń zestawić w tabeli 2.2. Na ich podstawie wykreślić zależność Z=f(f) (rys.2.2). R1 =

UR

U R1

UL UC

U RL U

ϕ U R1

I

Rys. 2.6 Wykres wektorowy napięć obwodu szeregowego z cewką rzeczywistą

Lp.

f Hz

Tabela 2.2 Z Ω

2.3.3 Badanie obwodu równoległego Pomiary prądu i mocy pobranej z sieci przez elementy R, L, C połączone równolegle prowadzone będą w układzie jak na rys. 2.7.

18

I

A

* * W

W

I R1

I RL

IC

W1

W2

W3

V

R C

R1 AT

L

Rys. 2.7. Układ pomiarowy obwodu równoległego

W układzie tym rzeczywistą cewkę przedstawiono w postaci dwóch elementów idealnych: rezystora R i cewki o indukcyjności L. Przed uruchomieniem układu autotransformator należy ustawić w położeniu U=0. Po zamknięciu wyłącznika W należy zwiększyć napięcie zasilające do wartości znamionowej podanej na elementach R, L i C. Następnie zamykając lub otwierając wyłączniki W1, W2 i W3 należy wybrać kolejną kombinację połączeń elementów tworzących obwód. Dla każdej kombinacji przy U=Un odczytać wartość prądu i mocy. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 2.3. Na ich podstawie wykonać wykres wektorowy prądów dla przypadku równoległego połączenia wszystkich elementów (rys.2.8). IC I R1

U

ϕ I

IC

I RL

I R1

Rys. 2.8 Wykres wektorowy prądów obwodu równoległego z rzeczywistą cewką

Tabela 2.3 sposób połączenia U V R1 (RL) C R1(RL) R1 C C (RL) R1 (RL) C

I A

α dz

Moc cW W/dz

P W

cosϕ -

19 2.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, - wykresy wektorowe napięć i prądów, - wykres Z=f(f) dla obwodu szeregowego, - uwagi i wnioski. 2.5. Pytania kontrolne 1. W jakich układach i kiedy zachodzi rezonans napięć? 2. W jakich układach i kiedy zachodzi rezonans prądów? 3. Jaki warunek musi być spełniony, aby w obwodzie R, L, C wystąpił rezonans? 4. Podaj zależność na częstotliwość rezonansową. 5. Dlaczego przy rezonansie napięć napięcia na cewce i kondensatorze mogą być większe od napięcia zasilającego?

21

ĆWICZENIE Nr 3 POPRAWA WSPÓŁCZYNNIKA MOCY - KOMPENSACJA MOCY BIERNEJ 3.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z problemem i metodami poprawy współczynnika mocy odbiorników przemysłowych. 3.2. Program ćwiczenia - identyfikacja odbiornika (pomiary mocy i wyznaczenie współczynnika mocy) - dobór i połączenie baterii kondensatorów do poprawy współczynnika mocy - pomiary mocy układu z kompensacją mocy biernej. 3.3. Omówienie programu ćwiczenia. 3.3.1. Uwagi wstępne Większość dużych odbiorników energii elektrycznej w zakładach przemysłowych to odbiorniki o charakterze czynno-indukcyjnym. Należą do nich m.in. nagrzewnice, spawarki, transformatory oraz silniki indukcyjne, które stanowią najliczniejszą grupę. Odbiorniki takie oprócz mocy czynnej P. pobierają moc bierną Q, która jest niezbędna do ich funkcjonowania. Jest niekorzystnym jeśli potrzebna moc bierna jest pobierana z odległych źródeł (elektrowni) gdyż powoduje wzrost prądów zasilających, a w konsekwencji wzrost strat przesyłowych, konieczność zwiększenia przekroju przewodów linii zasilających oraz zmniejsza możliwość obciążenia mocą czynną generatorów i transformatorów. Wszystkie te aspekty są powodem wzrostu kosztów eksploatacyjnych ponoszonych przez odbiorców energii. W związku z tym w zakładach przemysłowych o dużym zapotrzebowaniu na moc bierną stosuje się środki zmierzające do zmniejszenia tego zapotrzebowania czyli poprawy współczynnika mocy. Naturalne sposoby poprawy współczynnika mocy polegają na: - właściwym doborze mocy instalowanych maszyn (nie w pełni obciążone silniki indukcyjne wykazują niski współczynnik mocy), - ograniczaniu okresów biegu jałowego maszyn i urządzeń, wyłączanie nie pracujących transformatorów, spawarek itp. Jeśli zastosowanie tych sposobów nie jest wystarczające, wówczas stosuje się tzw. kompensację mocy biernej. Polega to na wytworzeniu potrzebnej mocy biernej wewnątrz zakładu, zamiast pobierania jej z sieci energetycznej. Do wytwarzania mocy biernej indukcyjnej służą baterie kondensatorów o odpowiednio dobranej pojemności (kompensatory statyczne) oraz kompensatory maszynowe tzw. kompensatory synchroniczne. Rozróżnia się kompensację indywidualną, kiedy urządzenia kompensatorowe są instalowane na zaciskach poszczególnych odbiorników, lub grupową gdy kompensatory są instalowane w rozdzielni lub podstacji zasilającej grupę odbiorników lub cały zakład. W tym drugim przypadku stosuje się zwykle automatyczną regulację pozwalającą na utrzymywaniu wypadkowego współczynnika mocy na zadanym poziomie, aby uniknąć przypadku przekompensowania, tj. stanu w którym zakład będzie pobierał moc bierną pojemnościową. Regulacja polega na odpowiednim dopasowaniu pojemności baterii kondensatorów (w kompensatorach statycznych) lub na regulacji prądu wzbudzenia kompensatora synchronicznego. Ze względu na koszt kompensatorów moc bierna pobierana przez zakład nie jest kompensowana w pełni a jedynie do wartości współczynnika mocy cosϕ =0,9 - 0,95.

22 Rys.3.1 przedstawia schemat zastępczy obwodu odbiornika i baterii do poprawy współczynnika mocy oraz odpowiadający im wykres wektorowy prądów i napięć. I

IC

b)

IODB

a)

ICZ U

IC

IB

U

C

ϕ0

ϕW

I IC

IODB

Rys.3.1. Schemat układu do poprawy współczynnika mocy (a) oraz wykres wektorowy (b).

Znając moc czynną odbiornika (zakładu) Po oraz wypadkowy współczynnik mocy cosϕo można, na podstawie wykresu, znaleźć pojemność baterii kondensatorów potrzebną do uzyskania wypadkowego współczynnika mocy cosϕw. W przypadku odbiorników trójfazowych zależność na pojemność baterii ma postać: C=

Po (tg ϕ o − tg ϕ w ) [F/fazę] 6πfU 2f

(1)

gdzie: Uf oznacza napięcie fazowe w miejscu zainstalowania baterii a f jego częstotliwość. Z wzoru (1) wynika, że wymagana pojemność baterii trójfazowej jest trzy razy mniejsza przy połączeniu jej w trójkąt niż przy połączeniu w gwiazdę. Należy jednak pamiętać, że znamionowe napięcie fazowe baterii przy połączeniu w trójkąt musi być o 3 razy większe niż przy gwieździe. Zatem znamionowa moc bierna baterii, proporcjonalna do jej kosztu, jest w obydwu przypadkach taka sama. 3.3.2. Wykonanie ćwiczenia 3.3.2.1. Identyfikacja odbiornika. Ćwiczenie polega na dobraniu odpowiedniej baterii kondensatorów do poprawy współczynnika mocy indywidualnego odbiornika czynno-indukcyjnego do wartości cosϕw=0,95. W tym celu należy najpierw dokonać identyfikacji odbiornika poprzez pomiar mocy i wyznaczenie jego współczynnika mocy przed kompensacją. Schemat układu pomiarowego jak na rys.3.2 (bez włączonej baterii).

23 * * W

A A B

ODBIORNIK

V * * W

A

C

A

V

V

W

CΔ

U

C

V

W

Y

U

Rys.3.2. Układ pomiarowy do kompensacji mocy biernej. Po włączeniu odbiornika do źródła zasilania i nastawieniu napięcia znamionowego na jego zaciskach należy dokonać pomiaru prądów, napięcia i mocy. Na ich podstawie można obliczyć współczynnik mocy cosϕo i moc bierną Qo pobieraną ze źródła zasilania. Wyniki pomiarów i obliczeń zestawić w tabeli 3.1. Tabela3.1 U1

U2

Uśr

I1

I2

Iśr

IC

WI

WII

P

S

Q

cosϕ

V

V

V

A

A

A

A _

dz

dz

W

VA

var

--

Uwagi

Przed kompensacją Z kompensacją C= .....μF/fazę

W powyższej tabeli: - moc czynna odbiornika P = c w (W I + W II )

(2)

S = 3U śr I śr

(3)

- moc pozorna - moc bierna Q = S 2 − P2

(4)

- współczynnik mocy cos ϕ =

P S

W powyższych wzorach: cw – stała watomierzy, WI, WII – wskazania watomierzy w układzie Arona (w działkach), Uśr, Iśr – odpowiednio, średnie zmierzone wartości napięcia i prądu.

(5)

24

3.3.2.2. Dobór baterii kondensatorów Na podstawie danych z tabeli 1 należy obliczyć z wzoru (1) pojemność baterii kondensatorów potrzebną do uzyskania wypadkowego współczynnika mocy cosϕw=0,95 zarówno dla przypadku połączenia w gwiazdę jak i w trójkąt. Cgwiazda= .............μF/fazę, Ctrójkąt=................μF/fazę. Z będących do dyspozycji pojedynczych kondensatorów należy zestawić baterię trójfazową (połączoną w trójkąt lub w gwiazdę) o pojemności możliwie najbardziej zbliżonej do wartości obliczonej. 3.3.2.3. Pomiary w układzie z kompensacją Dobraną baterię kondensatorów należy włączyć równolegle do odbiornika (rys.3.2) i po zasileniu układu napięciem znamionowym wykonać pomiary jak w p.3.3.2.1. Wyniki zestawić w tabeli 3.1, a na ich podstawie obliczyć wypadkowy współczynnik mocy.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

3.4. Opracowanie sprawozdania z ćwiczenia. Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: opracowany protokół z pomiarów, wykresy wektorowe napięcia i prądów (wykreślone z zachowaniem podziałki) w układzie bez kompensacji i z kompensacją, uwagi i wnioski wynikające z otrzymanych wyników. 3.5. Pytania sprawdzające. Podać definicję współczynnika mocy odbiornika (zakładu). Dlaczego niska wartość współczynnika mocy odbiornika jest niekorzystna? Na czym polega kompensacja mocy biernej odbiornika? Czy po pełnym skompensowaniu mocy biernej odbiornik nadal ją pobiera? Dlaczego nie należy dobierać silników indukcyjnych „z zapasem mocy’? Które połączenie baterii kondensatorów jest korzystniejsze – gwiazda czy trójkąt? Dlaczego zwykle nie stosuje się pełnej kompensacji mocy biernej?

25 ĆWICZENIE NR 4 BADANIE TRANSFORMATORA TRÓJFAZOWEGO 4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy, zasady działania, właściwości transformatorów trójfazowych oraz sposobu wyznaczania ich sprawności i parametrów schematu zastępczego. 4.2. Program ćwiczenia – pomiar przekładni, – pomiar charakterystyk stanu jałowego, – pomiar charakterystyk stanu zwarcia, – wyznaczenie parametrów schematu zastępczego, – wyznaczenie sprawności. 4.3. Omówienie programu ćwiczenia 4.3.1 Uwagi ogólne Transformatory są to urządzenia elektromagnetyczne przeznaczone do przetwarzania prądu przemiennego o jednym napięciu na prąd przemienny o innym napięciu. Proces przetwarzania odbywa się za pośrednictwem pola magnetycznego, bez udziału ruchu mechanicznego i przy zachowaniu tej samej częstotliwości. Najprostszy transformator trójfazowy składa się z trójkolumnowego rdzenia oraz sześciu uzwojeń fazowych (rys. 4.1). 1U1

2U1

1W1

1V1

1U2

1V2

1W2

2U2

2V2

2W2

2V1

2W1

Rys. 4.1 Transformator trójfazowy

W celu zminimalizowania strat od histerezy i prądów wirowych rdzeń wykonany jest z cienkich, wzajemnie od siebie odizolowanych, blach stalowych, zawierających około 4% Si. W większości transformatorów blachy te mają grubość 0,35 lub 0,5 mm. Na każdej kolumnie umieszczone są dwa uzwojenia, odpowiadające tej samej fazie. Jedno z nich połączone jest do sieci zasilającej, a drugie do odbiornika. To uzwojenie, które pobiera energię elektryczną z sieci, nazywa się pierwotnym, a to, które oddaje ją do odbiornika - wtórnym. Sposób oznaczania początków i końców obu uzwojeń pokazano na rys. 4.1. Uzwojenia pierwotne i wtórne można łączyć w gwiazdę lub trójkąt. Wszystkie wielkości związane ze stroną pierwotną (prąd, napięcie, moc, parametry uzwojenia) mają oznaczenie"1", a ze stroną wtórną - "2".

26 Pod względem wartości napięcia uzwojenia transformatora dzieli się na uzwojenia górnego (wyższego) i dolnego (niższego) napięcia. W zależności od przeznaczenia transformatora uzwojeniem górnego napięcia może być uzwojenie pierwotne lub wtórne. Transformator może pracować w stanie jałowym, stanie obciążenia lub stanie zwarcia. Właściwym stanem pracy transformatora jest stan obciążenia. Na podstawie stanu jałowego i stanu zwarcia można natomiast uzyskać wiele informacji pozwalających ocenić transformator zarówno pod względem konstrukcji jak i przydatności do dalszej pracy. 4.3.2 Pomiar przekładni Przekładnia transformatora trójfazowego jest to stosunek wartości górnego napięcia międzyfazowego do dolnego napięcia międzyfazowego, zmierzonych równocześnie na zaciskach transformatora pracującego w stanie jałowym U ϑ= g (1) Ud Znajomość wartości przekładni jest niezbędna zarówno do obliczenia niektórych parametrów schematu zastępczego, jak i oceny przydatności transformatora do pracy równoległej z innymi transformatorami. Zgodnie z obowiązującymi przepisami, przekładnie transformatorów pracujących równolegle nie mogą różnić się więcej niż o ±0,5%. Woltomierze użyte do pomiaru powinny mieć klasę dokładności nie mniejszą niż 0,2 i zakresy tak dobrane, aby ich wskazania znajdowały się w końcowej części skali. W ćwiczeniu przekładnia wyznaczona będzie metodą bezpośredniego pomiaru napięcia w układzie jak na rys. 4.2. V

V 1U1

2U1

1V1

2V1

1W1

2W1

Rys. 4.2 Układ do pomiaru przekładni transformatora

Wyniki pomiarów, wykonanych dla trzech różnych wartości napięcia zasilającego, należy zestawić w tabeli 4.1. Lp

Strona górnego napięcia UU-V UV-W UW-U Ug śr V V V V

Strona dolnego napięcia UU-V UV-W UW-U Ud śr V V V V

Uchyb pomiaru przekładni ϑ − ϑśr Δϑ = n ⋅ 100 , U gn U dn

a

ϑśr =

ϑ

ϑśr

Δϑ

-

-

%

(2)

ϑn

gdzie: ϑn =

Tabela 4.1

U g śr U d śr

.

27

4.3.3. Pomiar charakterystyk stanu jałowego Stan jałowy jest to taki stan, w którym transformator zasilany od strony pierwotnej pracuje bez obciążenia, czyli przy rozwartym obwodzie wtórnym (I2=0). Pod wpływem napięcia zasilającego w uzwojeniu pierwotnym płynie prąd I1. Z uwagi na stan pracy nazywa się go prądem jałowym i oznacza symbolem I0. Prąd ten jest stosunkowo mały i przy napięciu znamionowym osiąga wartości od 1-10%In. Moc pobierana przez transformator w stanie jałowym (3) P0 = ΔPFe + ΔPCu1 pokrywa straty w rdzeniu (ΔPFe) i uzwojeniu pierwotnym (ΔPCu1). Ponieważ prąd I0≤0,1I1n , straty mocy w uzwojeniu pierwotnym (ΔPCu1=3⋅ R1I02) są w porównaniu ze stratami w rdzeniu bardzo małe. W praktyce pomija się je i przyjmuje, że (4) P0 ≅ ΔPFe Przy stałej częstotliwości straty w rdzeniu transformatora zależą w przybliżeniu od kwadratu indukcji magnetycznej. Ponieważ indukcja jest proporcjonalna do strumienia, a ten z kolei do napięcia zasilającego, można przyjąć, że (5) P0 ≅ ΔPFe ∝ B 2 ∝ Φ 2 ∝ E12 ∝ U 12 . Z zależności (5) wynika, że charakterystyka P0=f(U1) ma kształt paraboli. Schemat zastępczy jednej fazy transformatora pracującego w stanie jałowym pokazano na rys. 4.3. b) a) R1

X1

I0

U X1

I Fe U1

RFe

Iμ E1

U R1 Xμ

E1 U1

ϕ0

I0 Iμ

I Fe

Rys. 4.3 Schemat zastępczy (a) oraz wykres wektorowy (b) jednej fazy transformatora w stanie jałowym

W schemacie tym uzwojenie pierwotne reprezentowane jest przez rezystancję R1 i reaktancję rozproszenia X1, natomiast rdzeń przez reaktancję Xμ i rezystancję RFe. Z rys. 4.3b wynika, że 2 I 0 = I μ2 + I Fe

gdzie: I Fe = I 0 cos ϕ 0 I μ = I 0 sin ϕ 0 Ponieważ IFe≤0,1 I0, w praktyce często przyjmuje się, że Iμ≅I0. Badanie transformatora w stanie jałowym prowadzi się w układzie jak na rys. 4.4.

(6) (7) (8)

28

A

W

1U1

2U1

1V1

2V1

1W1

2W1

V

V

A

W

Rys. 4.4 Układ do pomiaru charakterystyk stanu jałowego

Zmieniając wartość napięcia zasilającego od U=0 do U=1,2Un wykonać co najmniej 10 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 4.2. Tabela 4.2 Lp U1 U2 U0śr

V

V

V

I1 A

Moc I2 I0śr α1 α2 cW ki A A dz dz W/dz -

P0 W

cosϕ0 -

IFe A

Uwagi

Wartości prądu IFe wyznacza się z wzoru (7) a współczynnika mocy cosϕ0 i mocy P0 oblicza się z zależności: P0 cos ϕ 0 = , 3 ⋅ U 0 śr ⋅ I 0 śr P0 = (α 1 + α 2 ) ⋅ cW ⋅ k i gdzie: ki - przekładnia przekładnika prądowego, Na podstawie wyników pomiarów wykreślić następujące charakterystyki: P0=f(U0), I0=f(U0), IFe=f(U0) i cosϕ0=f(U0). Przykładowe przebiegi tych charakterystyk pokazano na rysunku 4.5. Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 4.5 Charakterystyki stanu jałowego transformatora trójfazowego

4.3.4. Pomiar charakterystyk stanu zwarcia Stanem zwarcia transformatora nazywa się taki stan jego pracy, w którym strona pierwotna zasilana jest ze źródła prądu przemiennego przy zwartych zaciskach strony wtórnej. Gdyby w tym stanie pracy napięcie zasilające było równe napięciu znamionowemu, to w obu obwodach popłynęłyby prądy dochodzące do (20÷30) In. Ciepło wydzielające się przy tym z uzwojeń byłoby tak duże, że doprowadziłoby do zniszczenia izolacji, a siły elektrodynamiczne do deformacji konstrukcji. Tego typu zwarcie, niszczące transformator,

29 może wystąpić w przypadku awarii, transformator musi być wtedy natychmiast odłączony od zasilania. Zwarcie pomiarowe, na podstawie którego wyznaczane są niektóre parametry transformatora, realizowane jest przy napięciu obniżonym. Napięcie zasilania, przy którym, przy zwartych zaciskach uzwojenia wtórnego w obwodzie płynie prąd znamionowy, nazywa się napięciem zwarcia. Napięcie to jest zależne od wielkości transformatora i wartości jego napięć znamionowych. Zwykle mieści się ono w granicach 4-12% Un, przy czym wyższe wartości dotyczą większych transformatorów wysokonapięciowych. Moc pobrana przez transformator w stanie zwarcia Pz = ΔPFe + ΔPCu (9) pokrywa straty w rdzeniu i obu uzwojeniach. Ponieważ napięcie zwarcia jest małe, mały jest również strumień magnetyczny, w konsekwencji czego straty mocy w rdzeniu, w porównaniu do strat w uzwojeniach, są bardzo małe. W praktyce pomija się je i przyjmuje PZ ≅ ΔPCu (10) Schemat zastępczy jednej fazy transformatora pracującego w stanie zwarcia pokazano na rys. 4.6. I1

R1

X1

X'2

R'2 XZI1 U1

I' 2

U1

I 1= I'2

ϕZ

a)

RZ I 1

b)

Rys. 4.6 Uproszczony schemat zastępczy (a) oraz wykres wektorowy jednej fazy transformatora w stanie zwarcia (b).

Ze schematu tego wynika, że U 1 = Z z ⋅ I1 gdzie: Zz - impedancja zwarcia transformatora Zz =

Rz2 + X z2

(11)

R z = R1 + R (12) ' X z = X1 + X 2 (13) Zgodnie z podaną definicją, napięcie zwarcia wynosi U z = Z z In Napięcie to jest zwykle wyrażane w procentach napięcia znamionowego i nosi nazwę napięcia zwarcia U (14) u z = z ⋅ 100 U 1n Badanie transformatora w stanie zwarcia prowadzi się w układzie jak na rys. 4.4 z tym, że przy zwartych zaciskach strony wtórnej. Zmieniając wartość prądu od I1=1,2⋅I1n do I1=0,2⋅I1n należy wykonać co najmniej 6 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 4.3. ' 2

Tabela 4.3. Lp U1 U2 Uzśr

I1

I2

Izśr

α1

α2

Moc cW ki

Pz

cosϕz

Uwagi

30 V

V

V

A

A

A

dz

dz

W/dz

-

-

W

W powyższej tabeli

cos ϕ z =

Pz 3 U z śr I z śr

Pz = (α1 + α 2 )cw ki Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń wykreślić charakterystyki: Iz=f(Uz), Pz=f(Uz) i cosϕz=f(Uz). Przykładowe przebiegi tych charakterystyk pokazano na rys. 4.7. Z charakterystyki Iz=f(Uz) dla Iz=I1n odczytać wartość Uz, a następnie na podstawie zależności (14) obliczyć wartość uz. Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 4.7 Charakterystyki zwarcia transformatora trójfazowego

4.3.5 Parametry schematu zastępczego Analizę większości zjawisk zachodzących w transformatorze trójfazowym ogranicza się zwykle do jednej fazy i prowadzi na podstawie schematu zastępczego. Najczęściej schemat ten ma postać jak na rys. 4.8. W schemacie tym parametry strony wtórnej sprowadzone są na stronę pierwotną. Wielkości sprowadzone oznaczono indeksem "prim". I1

R1

X1

X'2 IFe

U1

I0

I'2

Iμ

E1=E'2

RFe

R'2

U'2

Xμ

Z'obc

Rys. 4.8 Schemat zastępczy jednej fazy transformatora trójfazowego

Wyniki pomiarów stanu zwarcia pozwalają obliczyć w przybliżeniu wartości rezystancji R1 i R'2 oraz reaktancji X1 i X'2. Obliczenia należy wykonać na podstawie pomiarów przy Iz=In. Zakładając równość obu rezystancji i obu reaktancji parametry te można obliczyć z wzorów:

R1 ≅ R2' ≅

Rz 1 Pzn ≅ 2 2 3I n2

(15) 2

X 1 ⎛U z ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − (2 R1 )2 X1 ≅ X ≅ z ≅ (16) 2 2 ⎝ In ⎠ Parametry "poprzeczne" schematu zastępczego, RFe i Xμ , mozna wyznaczyć na podstawie wyników pomiarów stanu jałowego. Straty mocy na rezystancji RFe w schemacie zastępczym są równe stratom mocy w rdzeniu. Ponieważ moc pobrana przez transformator w stanie jałowym prawie w całości pokrywa straty w rdzeniu (P0≅ΔPFe) rezystancję tę można obliczyć z zależności: ' 2

31

RFe =

3E 2f 1

3U 2f 1

≅ PFe P0 Ze schematu zastępczego wynika zależność na reaktancję Xμ: E f1 U f1 Xμ = ≅ Iμ I0

17)

(18)

gdzie: Iμ - wartość prądu magnesującego obliczona z równania (8). Obliczenia RFe i Xμ należy wykonać na podstawie pomiarów odpowiadających znamionowej wartości napięcia zasilającego (U1=Un) 4.3.6 Wyznaczenie sprawności Sprawność transformatora η jest to stosunek mocy czynnej oddanej P2 do mocy czynnej pobranej P1, co można wyrazić wzorem: P P2 (19) η= 2 = P1 P2 + ΔP gdzie: ΔP - sumaryczne straty mocy. W przypadku transformatorów energetycznych, o dużej sprawności (η>0,97), sprawności nie wyznacza się metodą bezpośredniego pomiaru mocy oddanej i pobranej ze względu na małą dokładność tej metody. Zgodnie z zaleceniami obowiązującej normy sprawność transformatorów energetycznych należy wyznaczać metodą strat poszczególnych. Metoda ta polega na obliczeniu sprawności na podstawie znajomości sumarycznych strat mocy, w skład których wchodzą głównie straty w rdzeniu i obu uzwojeniach ΔP = ΔPFe + ΔPCu W stanie obciążenia, transformator zasilany jest zwykle napięciem znamionowym. Oznacza to, że w tym stanie pracy straty mocy w rdzeniu są stałe i zgodnie ze wzorem (4) są w przybliżeniu równe mocy pobieranej przez transformator w stanie jałowym przy U1=U1n ΔPFen ≅ P0n Straty mocy w obu uzwojeniach transformatora pracującego przy obciążeniu prądem znamionowym I1= I1n wynoszą Pzn = ΔPCu n = 3 ⋅ Rz I12n a przy dowolnej wartości prądu Pz = ΔPCu = 3 Rz I12 skąd 2

⎛ I ⎞ Pz = Pzn ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ I1n ⎠ Moc pozorna transformatora pracującego przy obciążeniu prądem I1=I1n wynosi S n = 3 U1n ⋅ I1n Przy dowolnej wartości prądu S1 = 3 U 1n I 1 ≅ S 2 , zatem I S2 = Sn 1 ≅ S2 I 1n Ponieważ moc czynna oddawana wynosi P2 = S 2 cos ϕ 2 , zatem po wprowadzeniu współczynnika obciążenia

(20)

(21)

32 I1 , I1n wyrażenie na η przyjmie postać

β=

η=

(22)

β ⋅ S n cos ϕ 2 β S n cos ϕ 2 + β 2 Pzn + P0 n

(23)

gdzie: Pzn - moc pobrana przez transformator w stanie zwarcia pomiarowego przy Iz=I1n, P0n - moc pobrana przez transformator w stanie jałowym przy napięciu U1=U1n. Zakładając stałą wartość współczynnika mocy cosϕ 2=0,8, należy na podstawie równania (23) obliczyć sprawność transformatora przy różnych wartościach współczynnika obciążenia β = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 i 1,25. Wyniki obliczeń zestawić w tabeli 4.4. Na podstawie wyników obliczeń wykreślić zależność η=f(β). Lp

β

β ⋅ Sn cosϕ2

β Pzn

η

0,25 0,50 0,75 1,00 1,25

W

W

-

2

Tabela 4.4 Uwagi Sn= ....................kVA cosϕ2= ...................... P0n= ..................W Pzn = ..................W

4.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z ćwiczenia wraz z wynikami badań i obliczeń, - wykresy charakterystyk stanu jałowego, - wykresy charakterystyk stanu zwarcia, - schemat zastępczy transformatora z podanymi wartościami obliczonych parametrów i prądów, - wykres η=f(β), - uwagi i wnioski. 4.5. Pytania kontrolne 1. Dlaczego w stanie jałowym głównym składnikiem strat występujących w transformatorze są straty w rdzeniu? 2. Dlaczego rdzenie transformatorów są wykonywane z blach? 3. Co to jest napięcie zwarcia? 4. Dlaczego w stanie zwarcia można pominąć straty w rdzeniu? 5. Dlaczego w schemacie zastępczym transformatora parametry strony wtórnej są przeliczone na stronę pierwotną? 6. Jaką część transformatora w schemacie zastępczym reprezentują parametry gałęzi poprzecznej?

34 ĆWICZENIE NR 5 ROZRUCH SILNIKÓW INDUKCYJNYCH 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych sposobów rozruchu trójfazowych silników indukcyjnych, metody rejestracji przebiegu prądu rozruchowego oraz wyznaczania jego początkowej wartości. 5.2. Program ćwiczenia – rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika klatkowego a) przy rozruchu bezpośrednim b) przy rozruchu za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt - rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika pierścieniowego a) z rozrusznikiem rezystorowym b) z rozrusznikiem wiroprądowym - wyznaczenie początkowych wartości prądu rozruchowego. 5.3. Omówienie programu ćwiczenia 5.3.1 Uwagi ogólne Przez rozruch silnika rozumie się proces przejścia wirnika od postoju (n=0) do prędkości obrotowej odpowiadającej danym warunkom zasilania i obciążenia. Silnik indukcyjny w początkowej fazie rozruchu zachowuje się tak jak transformator podczas zwarcia. Jego uzwojenie wtórne (na wirniku) jest bowiem zwarte i nieruchome, a uzwojenie pierwotne (na stojanie) zasilane napięciem znamionowym. Różnice konstrukcji sprawiają, że silnik w chwili rozruchu nie pobiera jednak z sieci tak dużego prądu jak transformator w stanie zwarcia awaryjnego. Prąd ten, nazywany prądem rozruchowym i oznaczany symbolem Ir , wynosi dla większości silników indukcyjnych: I r = (4 ÷ 8) I n (1) Przy rozruchu dużego silnika lub jednoczesnym rozruchu wielu silników mógłby wystąpić pobór dużego prądu, a tym samym duży spadek napięcia w sieci zasilającej. Ponieważ jest to zjawisko szkodliwe, Zakłady Energetyczne dopuszczają do bezpośredniego rozruchu jedynie silniki o małych mocach. Silniki o mocach większych muszą być uruchamiane w sposób gwarantujący mały pobór prądu z sieci zasilającej. W silnikach klatkowych zmniejszenie prądu rozruchowego można uzyskać przede wszystkim przez zmniejszenie napięcia zasilającego. Z tego powodu silniki, których nie można uruchomić w sposób bezpośredni, uruchamiane są za pośrednictwem różnego rodzaju urządzeń obniżających napięcie zasilające. Jednym z najprostszych, najtańszych, a przez to najczęściej stosowanych, jest przełącznik gwiazda - trójkąt (rys. 5.1).

35 U

U

a)

If

b)

c) Błąd! Nieprawidłowe łącze.Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 5.1 Przełącznik gwiazda-trójkąt;a) układ połączeń, b) i c) charakterystyki

Rozruch za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt polega na tym, że uzwojenia silnika w pierwszej fazie rozruchu łączy się w gwiazdę, a po osiągnięciu pewnej prędkości obrotowej w trójkąt. Przy połączeniu w gwiazdę, uzwojenia każdej fazy zasilane są napięciem 3 razy mniejszym od napięcia znamionowego. W tym stanie pracy silnik pobiera z sieci prąd U (2) IY = I f = 3Zf gdzie: Zf - impedancja fazy uzwojenia. Przy połączeniu w trójkąt uzwojenia każdej fazy są zasilane napięciem znamionowym w związku z czym U IΔ = 3 I f = 3 (3) Zf Z zależności (2) i (3) wynika, że IY 1 = (4) IΔ 3 Zatem przy połączeniu w gwiazdę silnik pobiera z sieci 3 razy mniejszy prąd niż przy rozruchu bezpośrednim. Trzy razy mniejszy jest również moment rozruchowy,gdyż moment obrotowy jest proporcjonalny do kwadratu napięcia fazowego. Oznacza to, że przełącznik gwiazda - trójkąt może być stosowany tylko wtedy, gdy silnik uruchamiany jest bez obciążenia lub przy obciążeniu bardzo małym. W silnikach pierścieniowych zmniejszenie prądu rozruchowego osiąga się przez włączenie w obwód wirnika rozrusznika Rr (rys. 5.2). a) Rr

c)

b) Błąd! Nieprawidłowe łącze.Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 5.2 Rozruch silnika pierścieniowego a) układ połączeń, b) i c) charakterystyki

36 Najczęściej jest to rozrusznik rezystorowy (zwykle kilkustopniowy) lub wiroprądowy (bezstopniowy). W pierwszej chwili rozruchu rozrusznik powinien znajdować się w położeniu, przy którym jego rezystancja lub impedancja jest największa. Wraz ze wzrostem prędkości obrotowej wartości tych wielkości powinny maleć. Po rozruchu rozrusznik należy zewrzeć tak, aby jego rezystancja lub impedancja była równa zeru. Zastosowanie takiego sposobu rozruchu powoduje nie tylko zmniejszenie prądu rozruchowego do wartości I r = (1,75 ÷ 2,5) I n , (5) lecz równocześnie wzrost momentu rozruchowego (rys. 5.2). Ponieważ czas rozruchu jest krótki, zatem ustalenie początkowej wartości prądu rozruchowego za pomocą przyrządów wskazówkowych jest niemożliwe. Wartość tego prądu ustala się zwykle na podstawie przebiegu prądu rozruchowego, zarejestrowanego za pomocą odpowiednich rejestratorów lub oscylografów. 5.3.2 Rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika klatkowego Rozruch silnika klatkowego należy wykonać w układzie jak na rys. 5.3. W układzie tym badany silnik zasilany jest z sieci poprzez automatyczny przełącznik gwiazda - trójkąt. Czas przełączenia uzwojeń stojana z gwiazdy na trójkąt może być regulowany za pomocą odpowiedniego przekaźnika, umieszczonego w układzie sterowania przełącznika. Gdy przekaźnik ten znajduje się w położeniu zerowym, rozruch jest bezpośredni, czyli przy napięciu znamionowym i uzwojeniach stojana połączonych w trójkąt. W każdym innym położeniu rozruch rozpoczyna się przy połączeniu uzwojeń w gwiazdę, a kończy przy połączeniu w trójkąt. W celu wydłużenia czasu rozruchu badany silnik został sprzęgnięty z układem mas zamachowych. Sygnał proporcjonalny do prądu pobieranego przez silnik z sieci zasilającej może być uzyskany z bocznika (w postaci spadku napięcia Δu = iRb ) lub z przekładnika prądowego (w postaci prądu strony wtórnej). Sygnał ten podany jest na wejście odpowiedniego rejestratora lub oscylografu. UKŁAD STEROWANIA

J

M A

Rb

n REJESTRATOR V

Rys. 5.3 Układ do rozruchu i rejestracji prądu rozruchowego silnika klatkowego

Do przyrządu rejestrującego podany jest również sygnał proporcjonalny do prędkości obrotowej, którym jest SEM występująca na zaciskach prądnicy tachometrycznej. Przykładowy przebieg prądu i prędkości obrotowej przy rozruchu bezpośrednim pokazano na rys. 5.4. Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 5.4 Przykładowy przebieg prądu i prędkości obrotowej przy rozruchu bezpośrednim

37

Z rys. 5.4 widać, że rzędna a jest proporcjonalna do maksymalnej wartości początkowego prądu rozruchowego ( I r max = 2 I r ). Po rozruchu, czyli w stanie ustalonym, wartość prądu pobieranego przez silnik z sieci można określić na podstawie wskazań amperomierza (IA). Rzędna b jest proporcjonalna do maksymalnej wartości prądu w stanie ustalonym, czyli do 2 I A . Z prostej proporcji wynika, że skuteczna wartość początkowego prądu rozruchowego wynosi: a (6) Ir = I A b W podobny sposób, na podstawie wskazań woltomierza mierzącego napięcie na zaciskach prądnicy tachometrycznej, można obliczyć wartość prędkości obrotowej. Pomiary należy wykonać zarówno przy rozruchu bezpośrednim, jak i za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt. W tym ostatnim przypadku rejestrację przebiegu prądu i prędkości obrotowej należy przeprowadzić dla 3 różnych czasów przełączenia uzwojeń stojana z gwiazdy na trójkąt. Należy przy tym pamiętać, że przyrząd rejestrujący musi być uruchomiony wcześniej niż silnik. Wyniki pomiarów przedstawić w formie graficznej (np. oscylogramów). Wskazania amperomierza oraz wartość prądu Ir obliczonego z zależności (6) dla każdego zarejestrowanego przebiegu zestawić w tabeli 5.1. Tabela 5.1 Lp

Połączenie w Δ IA A

Ir A

Połączenie w Y

Ir/In -

IA A

Ir A

I rΔ I rY

Ir/In -

-

3.3.3. Rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika pierścieniowego Rozruch i rejestrację przebiegu prądu rozruchowego silnika pierścieniowego należy wykonać w układzie jak na rys. 5.5.

A

UKŁAD STEROWANIA

ROZRUSZNIK

J

Rb

n REJESTRATOR V

Rys. 5.5. Układ do rozruchu i rejestracji prądu rozruchowego silnika pierścieniowego

38 Pomiary należy wykonać przy rozruszniku rezystorowym i wiroprądowym. W przypadku rozrusznika rezystorowego przejście z jednego stopnia na drugi może być ręczne lub samoczynne. W badanym silniku zastosowano samoczynny układ rozruchowy. W układzie tym poszczególne stopnie rozrusznika zwierane są przez styczniki sterowane przekaźnikami czasowymi.. Przykładowy przebieg prądu rozruchowego przy 5. stopniowym rozruszniku rezystorowym pokazano na rys. 5.6. Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 5.6 Przebieg prądu rozruchowego silnika pierścieniowego przy 5 stopniowym rozruszniku rezystorowym

Wartość skuteczną początkowego prądu rozruchowego należy wyznaczyć w sposób podany w punkcie 5.3.2 Wyniki pomiarów przedstawić w formie graficznej (np. oscylogramów). Wskazania amperomierza oraz wartości prądu Ir dla każdego zarejestrowanego przebiegu zestawić w tabeli 5.2. Lp

Rozrusznik rezystorowy IA Ir Ir /In A A -

Tabela 5.2 Rozrusznik wiroprądowy IA Ir Ir/In A A -

5.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z ćwiczenia z wynikami badań, - opisane przebiegi prądów rozruchowych, - uwagi i wnioski. 5.5. Pytania kontrolne 1. Ile razy większy jest prąd rozruchowy od prądu znamionowego w silnikach indukcyjnych klatkowych? 2. Omów sposoby rozruchu silników indukcyjnych klatkowych. 3. Omów sposoby rozruchu silników indukcyjnych pierścieniowych. 4. Jaki wpływ na przebieg charakterystyki M=f(n) ma wartość rezystancji włączonej w obwód wirnika silnika pierścieniowego? 5. Omów rozruch silników klatkowych za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt. 6. Czy każdy silnik może być uruchamiany za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt?

40 ĆWICZENIE NR 6 BADANIE TRÓJFAZOWEGO SILNIKA INDUKCYJNEGO O WIRNIKU KLATKOWYM 6.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pogłębienie wiedzy z zakresu budowy, zasady działania, właściwości ruchowych oraz przebiegu charakterystyk roboczych trójfazowych silników indukcyjnych o wirniku klatkowym. – –

6.2. Program ćwiczenia pomiar charakterystyk roboczych, porównanie wartości zmierzonych wielkości z podanymi na tabliczce znamionowej.

6.3. Omówienie programu ćwiczenia 6.3.1 Uwagi ogólne Silniki indukcyjne, zwane również asynchronicznymi, to jedne z najprostszych, najtańszych, a jednocześnie najpewniejszych w eksploatacji maszyn elektrycznych. Stosowane powszechnie prawie w każdej dziedzinie gospodarki, stanowią obecnie najliczniejszą grupę maszyn elektrycznych. W przeważającej mierze są to maszyny trójfazowe o wirniku klatkowym (zwartym). Duża przydatność silników indukcyjnych do napędu różnego rodzaju maszyn i urządzeń wynika zarówno z ich prostej budowy, dużej niezawodności, niskich kosztów, jak i właściwości eksploatacyjno-ruchowych. Właściwości te podawane są zwykle w formie charakterystyk. Charakterystyki ilustrujące zależność podstawowych wielkości elektrycznych i mechanicznych maszyny od jej mocy użytecznej, nazywa się roboczymi lub obciążeniowymi. Charakterystyki te służą z jednej strony do oceny wyrobu jakim jest silnik, a z drugiej do ustalenia warunków jego pracy przy obciążeniach odbiegających od znamionowego. Charakterystyki robocze maszyn małej mocy wyznacza się z reguły metodą bezpośrednią. Polega ona na bezpośrednim obciążeniu maszyny i określeniu jej mocy użytecznej na podstawie równoczesnego pomiaru prędkości obrotowej oraz momentu na wale. Pomiar momentu umożliwiają hamownie lub współpracujące z nimi przetworniki o odpowiedniej konstrukcji. W przypadku maszyn średniej i dużej mocy korzystanie z metody bezpośredniej jest ekonomicznie nieuzasadnione, a często nawet niemożliwe. Z tego powodu charakterystyki robocze maszyn średniej i dużej mocy wyznacza się metodami pośrednimi, znacznie tańszymi i technicznie prostszymi. 6.3.2 Pomiar charakterystyk roboczych Charakterystyki robocze trójfazowego silnika indukcyjnego wyznacza się w układzie jak na rys. 6.1. W układzie tym badany silnik (M) sprzęgnięty jest z hamulcem, którym jest obcowzbudna prądnica prądu stałego (G). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i silnika, służy rezystor Ro.

41

A

A1

T

W

A

3 × 380 V

V _G

M V

W1 A

F1

F2

V

A

W

B2

n

220 V W2

Rys. 6.1. Układ pomiarowy do badań silnika indukcyjnego klatkowego.

Przed uruchomieniem układu rezystor ten powinien znajdować się w położeniu Ro max , a obydwa autotransformatory w położeniu zerowym. Uruchomienie silnika polega na zamknięciu wyłącznika W1 i powolnym zwiększaniu napięcia zasilającego od U=0 do U=Un. Po uruchomieniu silnika należy zamknąć wyłącznik W2, wzbudzić prądnicę i obciążyć silnik tak, aby przy U=Un=const. pobierał on z sieci prąd I=1,2In. Następnie zmniejszając stopniowo obciążenie aż do I=I0 (I0 - prąd jałowy silnika) wykonać co najmniej 10 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 6.1. Tabela 6.1 L U1 U2 p

V

V

Moc α2 cW

Uśr

I1

I2

Iśr α1

V

A

A

A dz dz W/dz W Nm obr/min - W

P1

T

n

s P2 cosϕ -

η

Uwagi

% U=Un

W powyższej tabeli: U1 + U 2 , 2 I +I I śr = 1 2 , 2 P1 = (α1 + α 2 )cW 2π P2 = nT 60

U śr =

cos ϕ =

P1 , 3 U śr I śr

P2 ⋅ 100 , P1 n −n ns s= s ns

η=

gdzie ns- prędkość synchroniczna,

R0

42

Na podstawie wyników zawartych w tabeli 6.1 wykreślić następujące charakterystyki robocze silnika: n, I, P1, T, cosϕ i η =f(P2). Ich orientacyjny przebieg pokazano na rys. 6.2. Z charakterystyk tych dla P2=Pn odczytać wartości I, cosϕ i n. Odczytane wartości porównać z podanymi na tabliczce znamionowej. Zgodnie z wymaganiami PN-88/E-06701 dopuszczalne odchyłki wynoszą: sprawności - 0,15% (1-η), współczynnika mocy - 1/6 (1-cosϕ) przy czym minimum 0,02 a maksimum 0,07, poślizgu - ±30% dla Pn<1kW i ±20% dla Pn≥1kW. n I T

P1

n

η

η

P1 cosϕ

T

cosϕ

I

Pn P2 Rys. 6.2 Charakterystyki robocze silnika

6.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, - wykresy charakterystyk roboczych, - porównanie odczytanych parametrów przy Pn z podanymi na tabliczce znamionowej, - uwagi i wnioski. 6.5. Pytania kontrolne 1. 2. 3. 4.

Sposoby rozruchu silników indukcyjnych o wirniku klatkowym. Sposoby regulacji prędkości obrotowej w silnikach indukcyjnych. Dlaczego silniki indukcyjne nie powinny pracować bez obciążenia? W jaki sposób można zmienić kierunek wirowania trójfazowego silnika indukcyjnego? 5. Dlaczego silniki indukcyjne nazywa się również asynchronicznymi?

43 ĆWICZENIE NR 7 BADANIE SILNIKA INDUKCYJNEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI 7.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie właściwości ruchowych silnika indukcyjnego klatkowego zasilanego z przemiennika częstotliwości, wyznaczenie sprawności układu napędowego oraz charakterystyk mechanicznych silnika dla kilku wartości częstotliwości napięcia zasilającego. -

7.2. Program ćwiczenia wyznaczenie charakterystyki przemiennika, wyznaczenie sprawności układu przemiennik - silnik, wyznaczenie charakterystyk mechanicznych silnika. 7.3. Omówienie programu ćwiczenia 7.3.1 Uwagi ogólne

Większość współczesnych maszyn i urządzeń jest napędzana za pomocą silników elektrycznych. Najczęściej są nimi trójfazowe silniki indukcyjne o wirniku klatkowym. Realizacja wielu procesów technologicznych wymaga płynnej regulacji prędkości obrotowej w szerokich granicach (od 0 do nn). W przypadku silników indukcyjnych klatkowych regulację taką można uzyskać jedynie przez zmianę częstotliwości napięcia zasilającego. Z tego powodu w nowoczesnych układach napędowych silniki te coraz częściej są zasilane z energoelektronicznych przemienników częstotliwości. Najczęściej stosowane są tzw. przemienniki pośrednie, to znaczy takie, w których napięcie przemienne o częstotliwości sieciowej (50Hz) zamieniane jest na napięcie stałe, a to z kolei na napięcie przemienne o regulowanej częstotliwości. Regulacja prędkości obrotowej przez zmianę częstotliwości napięcia zasilającego jest najkorzystniejsza wtedy, gdy odbywa się przy stałej znamionowej wartości strumienia magnetycznego. Jeśli zaniedbać rezystancję uzwojenia silnika, to napięcie zasilające stojan będzie w przybliżeniu równe sile elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniu fazowym stojana (1) U ≈E=c f Φ . Stąd wynika warunek stałości strumienia w maszynie (Φ = const.): U = const. (2) f Oznacza to, że przemiennik przeznaczony do zasilania silnika indukcyjnego powinien być urządzeniem o regulowanym zarówno napięciu jak i częstotliwości. Charakterystyki mechaniczne silnika indukcyjnego dla różnych częstotliwości napięcia U = const. pokazano na rys. 7.1. zasilającego przy f

44 n

f1 f 1>f 2>f 3>f 4 f2

f3 f4 T max

T

Rys.7.1 Charakterystyki mechaniczne silnika indukcyjnego dla różnych częstotliwości napięcia zasilającego przy zachowaniu warunku U/f =const. Przy małych częstotliwościach (f<10Hz) uwidacznia się wpływ rezystancji uzwojenia stojana, w związku z czym, przy zachowaniu warunku U/f =const., moment maksymalny silnika maleje. Aby w całym zakresie regulacji prędkości obrotowej przeciążalność momentem była jednakowa, należy przy małych częstotliwościach nieco zwiększyć wartość napięcia zasilającego silnik (o około 20%). Nowe konstrukcje przemienników umożliwiają programowanie potrzebnego przebiegu zależności U=f(f). 7.3.2 Wyznaczanie charakterystyki przemiennika Charakterystykę przemiennika U = f ( f ) , czyli zależność napięcia zasilającego silnik od częstotliwości, wyznacza się w układzie jak na rys. 7.2.

A

W

3 × 380 V

V

V A W

W

PRZEMIENNIK CZĘSTOTLIWOŚCI

M1 A1

T

A V

It

A

f

F1

M

F2

G

V

Ro

A A

n

B2 R1

UKŁAD STEROWANIA W1 R

= 220V

Rys. 7.2 Układ pomiarowy - silnik indukcyjny zasilany z przemiennika

W czasie pomiarów silnik indukcyjny (M) pracuje bez obciążenia (T=0). Aby podczas pracy, przy małych prędkościach obrotowych nie doszło do przegrzania uzwojeń stojana,

45 silniki zasilane z przemienników częstotliwości muszą być intensywnie chłodzone. Zwykle chłodzenie to zapewnia im wentylator napędzany innym silnikiem elektrycznym. Najczęściej wentylator ten wraz z silnikiem napędowym jest wkomponowany w konstrukcję silnika przeznaczonego do pracy przy f = var. W układzie jak na rys. 7.2 silnik M chłodzony jest powietrzem tłoczonym przez wentylator napędzany silnikiem indukcyjnym M1 zasilanym bezpośrednio z sieci. Przed uruchomieniem układu potencjometr R, znajdujący się w obwodzie sterowania przemiennika, należy ustawić w położenie zerowe. W czasie pracy przemiennika potencjometrem tym zadawane będą kolejne wartości częstotliwości napięcia zasilającego silnik. Po uruchomieniu układu, to znaczy po zamknięciu wyłącznika W, potencjometrem R w przedziale od f=0 do f=60Hz należy nastawić 8 różnych wartości częstotliwości napięcia zasilającego silnik. Wartości częstotliwości, wyświetlane zwykle na przemienniku, oraz odpowiadające im wartości napięć zestawić w tabeli 7.1. W przypadku, gdy w przemienniku brak jest wyświetlacza częstotliwości, jej wartość należy odczytać na podstawie wskazań częstotliwościomierza znajdującego się w układzie pomiarowym. Na podstawie wyników pomiarów wykreślić zależności: U U = f ( f ) oraz = f ( f ). f

U V

Lp.

Tabela 7.1 U/f V/Hz

f Hz

Przykładowe przebiegi tych zależności pokazano na rys. 7.3. U , U /f

U

U /f f Rys. 7.3 Przebieg U=f(f) i U/f=f(f)

7.3.3 Wyznaczenie sprawności układu przemiennik - silnik oraz charakterystyk mechanicznych silnika Sprawność układu napędowego, składającego się z przemiennika częstotliwości oraz silnika indukcyjnego o wirniku klatkowym, a także charakterystyki mechaniczne silnika, zostaną wyznaczone w układzie jak na rys. 7.2. W ćwiczeniu charakterystyki te będą wyznaczane dla trzech wartości częstotliwości napięcia zasilającego: f=0,5; 0,75; 1,0fn.

46 Przed rozpoczęciem pomiarów potencjometr R należy ustawić w położenie zerowe, a rezystor R0 w położenie, przy którym prąd w obwodzie twornika prądnicy It=0. Po uruchomieniu układu potencjometrem R należy ustawić wybraną wartość częstotliwości napięcia zasilającego silnik. Następnie należy zamknąć wyłącznik W1 i za pomocą rezystora R1 ustawić znamionową wartość prądu w obwodzie wzbudzenia obcowzbudnej prądnicy prądu stałego (G), pełniącej rolę hamulca. Zmianę obciążenia prądnicy, a tym samym i badanego silnika, uzyskuje się przez zmianę rezystancji R0. Pomiary należy rozpocząć od obciążenia, przy którym prąd silnika I=1,2In a zakończyć przy I=I0 (I0 - prąd jałowy silnika). W podanym zakresie obciążenia należy wykonać minimum 8 pomiarów. Podobne pomiary wykonać przy dwóch pozostałych wartościach częstotliwości napięcia zasilającego. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 7.2. Tabela 7.2 Lp

f Hz

U V

U f V/Hz

U1 V

U2 V

Uśr V

I1 A

Iśr A

I2 A

Moc cW α1 α2 dz dz W/dz

P1 W

T N⋅m

n obr/min

P2 W

η -

W powyższej tabeli:

U śr =

U1 + U 2 , 2

P1 = (α 1 + α 2 ) c w ,

I1 + I 2 , 2 2π P2 = nT , 60

I śr =

P2 . P1 Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń dla każdej częstotliwości wykreślić zależność η=f(P2) oraz n=f(T).

η=

-

7.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, wykresy podane w punkcie 7.3.2 i 7.3.3, uwagi i wnioski. 7.5. Pytania kontrolne 1. Omówić sposoby regulacji prędkości obrotowej w silnikach indukcyjnych klatkowych. 2. Dlaczego regulacja prędkości obrotowej przez zmianę częstotliwości napięcia zasilającego powinna być prowadzona przy U f = const. ? 3. Dlaczego przy małych częstotliwościach napięcia zasilającego i stałej wartości U f moment maksymalny silnika maleje? 4. Narysuj przebieg charakterystyk mechanicznych silnika przy różnych częstotliwościach napięcia zasilającego.

46 ĆWICZENIE NR 8 BADANIE UKŁADU NAPĘDOWEGO ZE SPRZĘGŁEM WIROPRĄDOWYM 8.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy, zasady działania oraz właściwości sprzęgła wiroprądowego, a także warunków pracy układu napędowego ze sprzęgłem wiroprądowym. 8.2. Program ćwiczenia - wyznaczenie charakterystyk mechanicznych sprzęgła n=f(T) dla kilku wartości prądu wzbudzenia, - obliczenie sprawności sprzęgła. 8.3. Omówienie programu ćwiczenia 8.3.1 Uwagi ogólne Moment obrotowy z wału silnika napędowego jest przenoszony na wał maszyny napędzanej za pomocą sprzęgła. Ogólnie biorąc może to być sprzęgło mechaniczne, hydrauliczne lub elektromagnetyczne. Obecnie coraz częściej wymaga się, aby było to sprzęgło sterowane. Za pomocą sprzęgła sterowanego można bowiem w czasie ruchu regulować wartość zarówno prędkości obrotowej jak i przenoszonego momentu, a tym samym kształtować warunki pracy układu napędowego. Największe predyspozycje do pracy w charakterze sprzęgieł sterowanych mają sprzęgła elektromagnetyczne. Najprostszym, najtańszym, a przez to najczęściej stosowanym elektromagnetycznym sprzęgłem sterowanym jest sprzęgło wiroprądowe (rys.8.1). 1 2 3 4

If

5

Rys. 8.1 Sprzęgło wiroprądowe:1 – wirnik zewnętrzny (twornik), 2 – wirnik wewnętrzny, 3 – cewka, 4 – szczotki,5 – pierścienie ślizgowe

47 Sprzęgło to składa się z dwóch współosiowych wirników, oddzielonych od siebie szczeliną powietrzną. Wirnik zewnętrzny ma postać masywnego stalowego cylindra, natomiast wirnik wewnętrzny wielobiegunowego elektromagnesu, zasilanego – poprzez pierścienie ślizgowe i szczotki – prądem stałym. W obecnych konstrukcjach elektromagnes ten zamiast wielu uzwojonych biegunów ma jedną toroidalną cewkę i wiele nabiegunników rozmieszczonych na przemian po obu bokach cewki. Z reguły wirnik zewnętrzny osadzony jest na wale silnika napędowego, a wirnik wewnętrzny na wale maszyny napędzanej. Zasada działania sprzęgła wiroprądowego jest podobna do zasady działania silnika indukcyjnego. Pod wpływem prądu If cewka wytwarza stałe pole magnetyczne, którego linie zamykają się przez szczelinę powietrzną, nabiegunniki i jarzma obu wirników. Po uruchomieniu silnika napędowego w polu tym wiruje wirnik zewnętrzny z prędkością obrotową n1. W wyniku przecinania linii pola magnetycznego w jego części cylindrycznej (tworniku) będą indukować się siły elektromotoryczne, wywołujące prądy wirowe. Efektem oddziaływania pola magnetycznego i prądów wirowych, wywołanych przez to pole, jest moment obrotowy, który wprawia w ruch wirnik wewnętrzny. Ponieważ zwrot tego momentu jest taki sam jak rozwijanego przez silnik napędowy, oba wirniki wirują w tym samym kierunku. Gdyby wirnik wewnętrzny osiągnął prędkość obrotową n2=n1 w tworniku zanikłyby SEM i prądy wirowe, a w konsekwencji tego zanikłby również moment obrotowy. Oznacza to, że sprzęgło wiroprądowe może przenosić moment tylko wtedy gdy n2
If3 < If2 < If1

T Rys. 8.2 Charakterystyki mechaniczne sprzęgła wiroprądowego

48 Z uwagi na dużą rezystancję wirnika zewnętrznego charakterystyki te przypominają charakterystykę mechaniczną silnika pierścieniowego o powiększonej rezystancji wirnika. Sprzęgła wiroprądowe odznaczają się wieloma cennymi właściwościami. Najważniejsze z nich to: prosta budowa, niezawodność działania, dobre tłumienie drgań i udarów skrętnych, mała moc sterująca (z reguły nie przekracza 1% przenoszonej mocy) oraz możliwość pracy w układach automatyki w charakterze elementu wykonawczego. Zasadniczą wadą sprzęgieł wiroprądowych jest to, że wraz ze wzrostem poślizgu rosną w nich straty mocy, przez co maleje sprawność: (3) η = 1− s 8.3.2 Pomiar charakterystyki mechanicznej oraz obliczenie sprawności Charakterystykę mechaniczną sprzęgła n2=f(T) wyznacza się w układzie jak na rys. 8.3. W układzie tym silnikiem napędowym jest maszyna indukcyjna o wirniku klatkowym o znanej charakterystyce sprawności ηs=f(P). Rolę maszyny roboczej, obciążającej układ, pełni obcowzbudna prądnica prądu stałego.

A

n1

W

M

A1

R0

380 / 220 V

V G

M ~

F1

V W1

A

It

A

F2 V

Ifg

W

n2

B2 A

A

220 V

If

W2 220 V W3

Rys. 8.3 Układ do pomiaru charakterystyki mechanicznej sprzęgła wiroprądowego.

Przed uruchomieniem układu należy rezystor Ro ustawić w położenie Rmax, a autotransformatory w obwodach wzbudzenia sprzęgła i prądnicy w położenie zerowe. Silnik napędowy uruchamiany jest przez bezpośrednie włączenie do sieci za pomocą wyłącznika W1. Po uruchomieniu silnika należy zamknąć wyłącznik W2 i za pomocą autotransformatora ustawić określoną wartość prądu wzbudzenia sprzęgła (If). Następnie należy zamknąć wyłącznik W3 i ustawić znamionową wartość prądu wzbudzenia prądnicy (Ifgn). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i całego układu napędowego, służy rezystor Ro. Jego wartość należy zmieniać tak, aby można było uzyskać co najmniej 8 punktów pomiarowych przy prądzie twornika prądnicy zmieniającym się w przedziale It=(0-1,25)Itn. Pomiary wykonać przy wartościach prądu wzbudzenia If=1;2;3;4 i 5A. Wyniki pomiarów i obliczeń należy zestawić w tabeli 8.1. Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń wykreślić charakterystyki: − n2=f(T) dla If=1;2;3;4 i 5A − s =f(T) dla If=1;2;3;4 i 5A − η = f(s) dla If=1;2;3;4 i 5A

49 Tabela 8.1 L p U1 V

Silnik napędowy Moc U2 V

Uśr V

I1 A

I2 A

Iśr A

α1 dz

α2 dz

cw W/dz

Sprzęgło Uwagi P W

n1 obr/min

P1 W

If A

T

n2

Nm obr/min

P2 W

s -

η -

W powyższej tabeli:

U1 + U 2 2 I + I2 I śr = 1 2 P = (α 1 + α 2 ) ⋅ c w P1 = η s ⋅ P gdzie: ηs - sprawność silnika napędowego, odczytana z charakterystyki ηs=f(P) P2 = 0,105T ⋅ n2 P η= 2 P1 8.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, - wykresy charakterystyk podanych w punkcie 8.3.2, U śr =

8.5. Pytania kontrolne 1. Omówić zasadę działania sprzęgła wiroprądowego. 2. Dlaczego sprzęgła wiroprądowe nazywa się również poślizgowymi? 3. Dlaczego sprzęgła wiroprądowe nie powinny pracować przy dużym poślizgu? 4. Czy wirnik zewnętrzny (twornik) może być wykonany z niemagnetycznego materiału przewodzącego (np. z miedzi)? 5. Dlaczego wirnik wewnętrzny jest budowany jako elektromagnes o dużej liczbie biegunów? 6. Czy magnesy trwałe mogą być stosowane jako źródła pola magnetycznego w sprzęgłach wiroprądowych?

50 ĆWICZENIE NR 9 BADANIE SILNIKA BOCZNIKOWEGO PRĄDU STAŁEGO 9.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pogłębienie wiedzy z zakresu budowy, zasady działania, sposobów rozruchu i regulacji prędkości obrotowej oraz właściwości silników bocznikowych prądu stałego. 9.2. Program ćwiczenia - pomiar charakterystyki mechanicznej, - pomiar charakterystyki obciążenia, - pomiar charakterystyki regulacyjnej, - wyznaczenie charakterystyk roboczych. 9.3. Omówienie programu ćwiczenia 9.3.1 Uwagi ogólne W silniku bocznikowym uzwojenie wzbudzenia połączone jest równolegle z uzwojeniem twornika (rys. 9.1). Prąd jaki silnik pobiera z sieci (I) rozgałęzia się zatem na prąd twornika (It) i prąd wzbudzenia (If). Rezystancja obwodu twornika (Rt) jest dużo razy mniejsza od rezystancji obwodu wzbudzenia (Rf) w konsekwencji czego It>>If. Dla większości silników bocznikowych If=(1÷5)%It. It

I If

A1 E1

E

E2

U

A2 B2

B1

Rys. 9.1 Silnik bocznikowy

Pod wpływem prądu If uzwojenie wzbudzenia wytwarza pole magnetyczne. W polu tym znajduje się uzwojenie twornika, w którym płynie prąd It. W wyniku oddziaływania pola magnetycznego na uzwojenie z prądem wytworzony zostaje moment elektromagnetyczny T, T = c1 ΦI t , (1) wprawiający twornik (wirnik) w ruch obrotowy. W uzwojeniu twornika, wirującym w polu magnetycznym z prędkością obrotową n, indukuje się SEM E = c2 Φn (2) Ma ona kierunek przeciwny do kierunku napięcia zasilającego U, a wartość mniejszą o spadek napięcia na rezystancji obwodu twornika (It Rt). Na podstawie II prawa Kirchhoffa można napisać: (3) E = U − I t Rt .

51 Po uwzględnieniu zależności (2) i odpowiednich przekształceniach otrzymamy: U − I t Rt n= (4) c2 Φ Z zależności (4) wynika, że w silnikach bocznikowych prędkość obrotową można regulować przez zmianę napięcia zasilającego, zmianę spadku napięcia na rezystancji obwodu twornika lub zmianę strumienia magnetycznego. Przy zmianie napięcia zasilającego od U=Un do U=0 prędkość obrotowa maleje od n=nn do n=0. Źródłem o regulowanym napięciu może być np. prostownik sterowany zasilany z sieci prądu przemiennego. Regulacja prędkości obrotowej przez zmianę napięcia zasilającego jest zatem regulacją "w dół". W wyniku włączenia w obwód twornika dodatkowej rezystancji spadek napięcia wzrasta, a prędkość obrotowa maleje. Oznacza to, że regulacja prędkości obrotowej przez zmianę spadku napięcia jest również regulacją "w dół". Należy przy tym podkreślić, że jest to regulacja nieekonomiczna, gdyż straty mocy na rezystancji dodatkowej są duże. Zmianę strumienia magnetycznego uzyskuje się przez zmianę prądu If. Włączenie w obwód wzbudzenia dodatkowego rezystora prowadzi do zmniejszenia prądu If, a w konsekwencji tego do osłabienia strumienia i wzrostu prędkości obrotowej. Regulacja prędkości obrotowej przez zmianę strumienia magnetycznego jest więc regulacją "w górę". Z uwagi na małą wartość prądu If straty mocy na rezystancji włączonej w obwód wzbudzenia są niewielkie. Zanik strumienia (Φ=0) w czasie pracy silnika prowadzi do tzw. "rozbiegania się maszyny", czyli niebezpiecznie dużego wzrostu prędkości obrotowej. Jeżeli w równaniu (4) uwzględni się zależność (1) to uzyska się wyrażenie T Rt U n= − (5) c 2 Φ c3 Φ 2 Przy założeniu, że U=const., Rt=const. i Φ=const., równanie (5) można zapisać w postaci n = n0 − c 4 T (6) Z równania (6) wynika, że zależność n=f(T) jest linią prostą (rys. 9.2). n n0 nn U =U n

Tn

T

Rys. 9.2 Zależność n=f(T) dla silnika bocznikowego

Ponieważ zależność T=f(It) jest liniowa, charakterystyka n=f(It) ma podobny przebieg jak charakterystyka n=f(T). Przy bezpośrednim włączeniu na sieć o napięciu U silnik w chwili rozruchu (n=0), pobierałby prąd U (7) Ir = Rt

52 Z uwagi na małą wartość Rt prąd ten przy U=Un byłby 20-30 razy większy od prądu In. Ponieważ tak duża wartość prądu jest szkodliwa zarówno dla silnika, jak i sieci zasilającej, rozruch silników bocznikowych przeprowadza się w taki sposób, aby Ir ≤ 2,5 In. Z zależności (7) wynika, że można to uzyskać przez zmniejszenie wartości napięcia zasilającego lub włączenie na czas rozruchu dodatkowej rezystancji w obwód twornika. Silniki bocznikowe prądu stałego stosowane są głównie tam, gdzie wymagana jest mała zależność prędkości obrotowej od obciążenia. 9.3.2 Pomiar charakterystyki mechanicznej Charakterystykę mechaniczną silnika, czyli zależność n=f(T) lub n=f(It) przy U=const. i Rf =const. wyznacza się w układzie jak na rys. 9.3. T A1

W1 E1 = 220V

A A1

E2 A

V

V

G

M

If

A2

n

A2

F1

F2

V

R0

A

R It Rr

A

B2

B2

B1

B1

Ifg R1

W2 = 220V

Rys. 9.3 Układ pomiarowy do badań silnika bocznikowego.

W układzie tym badany silnik (M) połączony jest z hamulcem, którym jest obcowzbudna prądnica prądu stałego (G). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i silnika, służy rezystor Ro. Przed uruchomieniem układu rezystor ten powinien znajdować się w położeniu Ro max. Rezystor Rr w obwodzie twornika służy do ograniczenia prądu rozruchowego, natomiast rezystor R do regulacji prądu If, a tym samym prędkości obrotowej silnika. Przed uruchomieniem silnika rezystor Rr należy ustawić w położenie Rr max, a rezystor R w położenie R=0. Uruchomienie silnika polega na zamknięciu wyłącznika W1 i stopniowym sprowadzeniu rezystora Rr z położenia Rr max w położenie Rr=0. Po uruchomieniu silnika należy wzbudzić prądnicę. Polega to na zamknięciu wyłącznika W2 i doprowadzeniu do jej obwodu wzbudzenia prądu o wartości znamionowej (Ifgn). Pomiary należy rozpocząć od stanu, w którym silnik pracuje w warunkach znamionowych, tzn. przy U=Un, I=In i n=nn. Następnie, utrzymując stałą wartość napięcia zasilającego i stałą wartość rezystancji R, należy stopniowo zmniejszać obciążenie silnika (za pomocą rezystora Ro) do stanu, w którym T=0. W podanym przedziale obciążenia należy wykonać co najmniej 6 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 9.1. Na ich podstawie wykreślić charakterystyki n=f(T) i n=f(It). Na podstawie charakterystyki n=f(T) lub n=f(It) wyznaczyć znamionową zmienność prędkości obrotowej silnika z wzoru: n − nn Δn = 0 ⋅ 100% nn

53

Lp.

It A

n obr/min

T N⋅m

Tabela 9.1 Uwagi U=Un Rf =const.

9.3.3 Pomiar charakterystyki obciążenia Charakterystyka obciążenia jest to zależność n=f(If) przy U=const. i It=const. Przy prostoliniowej charakterystyce magnesowania zależność n=f(If) ma postać hiperboli. Z uwagi na nieliniowość obwodu magnetycznego maszyny, rzeczywisty przebieg charakterystyki obciążenia odbiega nieco od hiperboli (rys. 9.4). n n max U =U n I t =I tn

n min

If I fmin

I fmax

Rys. 9.4 Charakterystyka obciążenia silnika bocznikowego

Charakterystykę obciążenia wyznacza się w układzie jak na rys. 9.3. Pomiary należy prowadzić przy znamionowym napięciu i znamionowym prądzie twornika. Prąd wzbudzenia, regulowany za pomocą rezystora R, należy zmieniać od If max do takiej wartości If min, przy której prędkość obrotowa n=1,3nn. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 9.2. Na ich podstawie wykreślić charakterystykę n=f(If) przy U=Un=const. i It=Itn=const. Lp.

n obr/min

If A

Tabela 9.2 Uwagi U=Un =........V It=Itn =.........A

9.3.4 Pomiar charakterystyki regulacyjnej Charakterystyka regulacyjna jest to zależność If=f(It) przy U=const. i n=const. Charakterystyka ta informuje, jak należy zmieniać prąd wzbudzenia, aby przy zmieniającym się obciążeniu prędkość obrotowa pozostała na tym samym poziomie. Charakterystykę regulacyjną wyznacza się w układzie jak na rys. 9.3. Pomiary należy rozpocząć od biegu jałowego (T=0) przy prądzie If tak dobranym, aby n=nn. Następnie należy

54 stopniowo powiększać obciążenie aż do I=1,25 In utrzymując prędkość obrotową na poziomie znamionowym. W podanym przedziale obciążenia wykonać co najmniej 6 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 9.3. Na ich podstawie wykreślić charakterystykę If=f(It) przy U=Un i n=nn. Przykładowy przebieg takiej charakterystyki pokazano na rys. 9.5. If

U =U n n=n n

It Rys. 9.5 Charakterystyka regulacyjna silnika bocznikowego.

Tabela 9.3. Lp.

If A

Uwagi

It A

U=Un=.......V n=nn=.......obr/min

9.3.5 Wyznaczenie charakterystyk roboczych Pod nazwą charakterystyk roboczych rozumie się zależności: n=f(P2), T= f(P2), I= f(P2), η= f(P2) określone dla U=Un i If=Ifn. Niezbędne dane do wyznaczenia charakterystyk roboczych należy zestawić w tabeli 9.4. Lp.

It A

If A

I A

n obr/min

T N⋅m

P1 W

P2 W

η

Tabela 9.4 Uwagi

U=Un=.......V If=Ifn =.......A

Wartości It, n i T należy przepisać z tabeli 9.1, a pozostałe obliczyć z zależności: - prąd pobierany przez silnik z sieci zasilającej I = It + I f , - moc pobierana przez silnik

P1 = U I , - moc na wale silnika

55 P2 =

2π nT , 60

- sprawność silnika

P2 . P1 Na podstawie wyników podanych w tabeli 9.4 wykreślić charakterystyki n, T, I, η=f(P2). Dla P2 = P2n odczytać wartości prądu, prędkości obrotowej i sprawności, a następnie porównać je z podanymi na tabliczce znamionowej silnika. Przykładowy przebieg charakterystyk roboczych silnika bocznikowego pokazano na rys. 9.6.

η=

n I T

η

n

η I T

P2 P 2n Rys. 9.6 Charakterystyki robocze

9.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z pomiarów, - wykresy charakterystyk: mechanicznej, obciążenia, regulacyjnej, - zestawienie wyników pomiarów i obliczeń niezbędnych charakterystyk roboczych silnika, - uwagi i wnioski.

do

wykreślenia

9.5. Pytania kontrolne 1. Opisać sposoby regulacji prędkości obrotowej w silnikach bocznikowych. 2. W jaki sposób można zmienić kierunek wirowania silnika bocznikowego? 3. Jaką rolę w silniku pełnią bieguny komutacyjne? 4. Dlaczego prąd rozruchowy silnika jest duży i jakie są sposoby jego ograniczenia? 5. W jakich okolicznościach silnik bocznikowy może stać się prądnicą bocznikową? 6. Dlaczego przerwanie obwodu wzbudzenia w czasie pracy silnika jest groźne?

56 ĆWICZENIE NR 10 BADANIE SILNIKA SZEREGOWEGO PRĄDU STAŁEGO 10.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pogłębienie wiedzy z zakresu budowy, zasady działania, właściwości ruchowych oraz sposobów rozruchu i regulacji prędkości obrotowej silników szeregowych prądu stałego. 10.2. Program ćwiczenia – wyznaczenie charakterystyk mechanicznych (n=f(T)), – wyznaczenie charakterystyk roboczych (n, I, T, η=f(P2)) – wyznaczenie charakterystyk regulacyjnych (n=f(U)). 10.3. Omówienie programu ćwiczenia 10.3.1 Uwagi ogólne W silnikach szeregowych uzwojenie wzbudzenia jest połączone szeregowo z uzwojeniem twornika (rys. 10.1). Oznacza to, że w maszynach tych prąd pobierany z sieci jest jednocześnie prądem twornika i prądem wzbudzenia (I=It=If). U I A1 D2

E

D1 If

A2 It

B2

B1

Rys. 10.1 Schemat silnika szeregowego prądu stałego

Uzwojenie wzbudzenia wytwarza strumień magnetyczny Φ, który przy nienasyconym obwodzie magnetycznym jest proporcjonalny do prądu I Φ = c1I (1) Strumień ten oddziałuje na pręty uzwojenia twornika, w których płynie taki sam prąd jak w uzwojeniu wzbudzenia. Efektem tego oddziaływania jest moment elektromagnetyczny (2) T = c 2 Φ I = c3 I 2 wprawiający wirnik w ruch obrotowy. W uzwojeniu twornika, wirującym w polu magnetycznym z prędkością obrotową n, indukuje się SEM E = c4Φn = c5 I n , (3) której wartość jest mniejsza od wartości napięcia zasilającego (U) o spadek napięcia na rezystancji obwodu twornika (IRt). Na podstawie II prawa Kirchhoffa można napisać, że w silniku tym:

57 E = U − I Rt (4) Po uwzględnieniu zależności (3) i prostym przekształceniu otrzymamy: U − I Rt (5) n= c5 I Z zależności (5) wynika, że w silnikach szeregowych prędkość obrotową można regulować przez zmianę: wartości napięcia zasilającego, rezystancji obwodu twornika lub prądu wzbudzenia. Zmianę tego ostatniego uzyskuje się przez bocznikowanie obwodu wzbudzenia. Ponieważ I Rt << U w przybliżeniu można przyjąć, że U (6) n≈ c5 I lub U n≈ (7) c6 T Z równania (7) wynika, że przy U=const. zależność n=f(T) ma postać jak na rys. 10.2. n

U =U n

T Rys. 10.2. Zależność n=f(T) dla silnika szeregowego

Włączenie w obwód twornika dodatkowej rezystancji powoduje przesunięcie charakterystyki w dół, a zbocznikowanie obwodu wzbudzenia w górę. Przy bezpośrednim włączeniu na sieć o napięciu U silnik w pierwszej chwili rozruchu (n=0) pobierałby prąd U (8) Ir = Rt Z uwagi na małą wartość rezystancji obwodu twornika prąd ten przy U=Un byłby wielokrotnie większy od prądu znamionowego, co zarówno dla silnika jak i sieci zasilającej byłoby szkodliwe. Z zależności (8) wynika, że wartość prądu Ir można obniżyć przez zmniejszenie wartości napięcia zasilającego lub przez włączenie na czas rozruchu dodatkowej rezystancji w obwód twornika. Silniki szeregowe odznaczają się dużym momentem rozruchowym, dużą zależnością prędkości obrotowej od obciążenia oraz niebezpiecznie dużą prędkością obrotową podczas pracy bez obciążenia. Z uwagi na tę ostatnią właściwość, silniki szeregowe powinny zawsze pracować przy pewnym obciążeniu. Obecnie silniki szeregowe stosuje się głównie w trakcji elektrycznej jako silniki napędowe oraz w pojazdach samochodowych, gdzie pełnią rolę rozruszników.

58 10.3.2. Wyznaczenie charakterystyk mechanicznych i roboczych Charakterystykę mechaniczną silnika, czyli zależność n=f(T) przy U=const. i If /I=const. wyznacza się w układzie jak na rys. 10.3. W1 V Rr A

T W2 If

A

R1

D1

A1

D2

A1 G

M

F2

V

R0

A

I A

F1

A2

n

A2

B2

B2

B1

B1

Ifg R2

W3 = 220V

Rys. 10.3 Schemat układu do badania silnika szeregowego.

W układzie tym badany silnik (M) połączony jest z hamulcem, którym jest obcowzbudna prądnica prądu stałego (G). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i silnika, służy regulowany rezystor Ro. Przed uruchomieniem silnika należy zamknąć wyłącznik W3 i za pomocą rezystora R2 ustawić znamionową wartość prądu w obwodzie wzbudzenia prądnicy (Ifgn). Następnie rezystor Ro należy ustawić w takie położenie, przy którym prądnica zapewni silnikowi obciążenie wstępne, aby zapobiec jego rozbieganiu się. Aby prąd rozruchowy silnika Ir≤2,5In w obwód twornika włączono rezystor Rr. Przed uruchomieniem silnika rezystor ten powinien znajdować się w położeniu Rr max. Uruchomienie silnika polega na zamknięciu wyłącznika W1 i stopniowym zmniejszaniu rezystancji Rr od wartości Rr max do wartości Rr=0. Po rozruchu silnik należy obciążyć za pomocą rezystora Ro tak, aby przy U=Un pobierał on z sieci prąd I=1,25 In. Zmniejszając obciążenie silnika od I = 1,25 In do wartości, przy której prędkość obrotowa wirnika n=1,3nn, wykonać co najmniej 6 pomiarów. Pomiary należy wykonać dla If/I=1; 0,9 i 0,8. Charakterystykę naturalną silnika (If =I) wyznacza się przy otwartym wyłączniku W2, natomiast charakterystyki sztuczne przy zamkniętym. Odpowiednie wartości prądu wzbudzenia ustala się za pomocą rezystora R1. Rezystor ten powinien mieć blokadę uniemożliwiającą zwarcie obwodu wzbudzenia. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 1. Na ich podstawie wykreślić charakterystyki mechaniczne silnika dla podanych wartości If /I. W przypadku, gdy w układzie pomiarowym (rys. 10.3) brak jest miernika momentu, zamiast charakterystyk n=f(T) należy wykreślić charakterystyki n=f(I).

59

Lp.

If /I -

1 . . 6 1 . . 6 1 . . 6 Lp.

I A

n obr/min

Tabela 10.1 Uwagi

T N⋅m

1,0 U=Un=const 0,9

0,8

I A

P1 W

n obr/min

T N⋅m

P2 W

Tabela 10.2

η

Uwagi

U=Un=const

W tabeli 10.2 należy zestawić wyniki pomiarów z tabeli 10.1 dla If /I=1 oraz obliczenia niezbędne do wykreślenia charakterystyk roboczych silnika. W powyższej tabeli: - moc pobrana przez silnik z sieci P1 = U I , - moc oddana przez silnik (na wale) P2 = 0,105Tn , - sprawność P η= 2 P1 Na podstawie otrzymanych wyników wykreślić następujące charakterystyki robocze: n, I, T, η = f(P2). Dla silnika szeregowego charakterystyki te mają postać jak na rys. 10.4. n I T

η

n

η T

I

P 2n

P2

Rys. 10.4 Charakterystyki robocze silnika szeregowego prądu stałego

60 Na podstawie wykreślonych charakterystyk dla P2=P2n należy odczytać wartość prądu, momentu, prędkości obrotowej i sprawności. Odczytane wartości porównać z wartościami podanymi na tabliczce znamionowej silnika. 10.3.3 Wyznaczenie charakterystyk regulacyjnych W silnikach szeregowych zmianę prędkości obrotowej najczęściej uzyskuje się przez zmianę wartości napięcia zasilającego. Przy stałym momencie obciążenia (T=const. lub I=const.) zależność n=f(U), zwana charakterystyką regulacyjną, ma zgodnie z wyrażeniem (7), postać linii prostej (rys. 10.5). n

0,5I

0,75I

1,25I

In

U Rys. 10.5 Charakterystyki regulacyjne

Pomiary charakterystyk regulacyjnych należy wykonać dla 4 wartości prądu obciążenia, wynoszących 0,5; 0,75; 1,0; 1,25 In. Bez względu na wartość prądu obciążenia pomiary należy rozpoczynać od U=Un. Dla każdej wartości prądu wykonać 5 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 10.3. Na ich podstawie wykreślić rodzinę charakterystyk n=f(U). Lp.

-

I A

U V

n obr/min

Tabela 10.3 Uwagi

10.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: opracowany protokół z pomiarów wraz z wynikami badań i obliczeń, wykresy charakterystyk mechanicznych, roboczych i regulacyjnych, wnioski z pomiarów. 10.5. Pytania kontrolne

1. 2. 3. 4. 5.

Omówić sposoby regulacji prędkości obrotowej silników szeregowych. Dlaczego silniki szeregowe nie powinny być uruchamiane bez obciążenia? W jaki sposób można zmienić kierunek wirowania silnika szeregowego? Dlaczego prąd rozruchowy silnika szeregowego jest duży? Dlaczego silniki szeregowe stosowane są w trakcji elektrycznej?

61

II. ZBIÓR ZADAŃ 1.OBWODY PRĄDU STAŁEGO Zadanie 1.1. Napięcie na zaciskach akumulatora samochodowego w stanie jałowym wynosi 12 V a prąd płynący między zaciskami w stanie zwarcia jest równy 300 A. Obliczyć napięcie na zaciskach i rezystancję odbiornika przy obciążeniu akumulatora prądem 25A . Rozwiązanie. Napięcie na zaciskach akumulatora w stanie jałowym (rys.1.1.1a) jest równe jego sile elektromotorycznej U0= E = 12V. IZ

E

E

I

E

U0 RW

a)

U0 IZ RW

RW

I RW

b)

R

RW

c)

Rys.1.1.1. Układ połączeń akumulatora

W stanie zwarcia (rys.1.1.1 b) siła elektromotoryczna E równoważona jest spadkiem napięcia na rezystancji wewnętrznej akumulatora Rw powstającym wskutek przepływu prądu zwarcia Iz : E = I z Rw . Zatem rezystancja wewnętrzna akumulatora wynosi: Rw =

E 12 = = 0,04Ω . I z 300

Przy obciążeniu akumulatora odbiornikiem o rezystancji R (rys.1.1.1c) , zgodnie z II prawem Kirchhoffa można napisać E − IR − IRw = 0 . Napięcie na zaciskach akumulatora U równe napięciu na odbiorniku (I R ) wynosi: U= E - I Rw = 12 − 25 ⋅ 0,04 = 11V, zatem rezystancja odbiornika jest równa: R=

U 11 = = 0,44Ω. I 25

Zadanie 1.2. Dwa akumulatory połączone są równolegle z odbiornikiem o rezystancji R (rys.1.2.1.). Obliczyć prądy płynące w poszczególnych gałęziach obwodu i napięcie na odbiorniku. W obliczeniach przyjąć: E1=12,5V, Rw1=0,05Ω, E2=11,5V, Rw2=0,1Ω, R =1Ω.

62

I1

I2

I

I

E1

R I1 RW1

RW1

II

E2

IR RW2

I2 RW2

Rys.1.2.1 Schemat układu do zad.1.2.

Rozwiązanie Przy rozwiązywaniu tego typu zadań (obwody rozgałęzione), w celu uniknięcia pomyłek, należy: a) zaznaczyć kierunki prądów we wszystkich gałęziach; kierunki te można przyjąć dowolnie, b) zaznaczyć - przeciwnie do kierunku prądów - napięcia na wszystkich elementach obwodu (rezystancjach), c) przyjąć i oznaczyć kierunki „ obchodzenia” oczek obwodu . W obwodzie zawierającym g gałęzi do wyznaczenia płynących przez nie prądów należy ułożyć g niezależnych równań. Najpierw układa się proste w zapisie równania węzłowe. Przy liczbie węzłów w można ułożyć w - 1 niezależnych równań. Pozostałe równania układa się dla wybranych oczek obwodu. Zadany obwód ma 3 gałęzie. Należy więc ułożyć 1 równanie węzłowe i 2 równania oczkowe. Na podstawie I prawa Kirchhoffa, dla węzła A: I1 + I2 - I = 0, zaś zgodnie z II prawem Kirchhoffa , w oczku I: E1 - I R – I1 Rw1 = 0 w oczku II E2 - I R – I2 Rw2 = 0 Po uporządkowaniu, układ podanych równań można przedstawić w postaci macierzowej: ⎡ E 1 ⎤ ⎡ Rw1 , 0, R ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎢ E ⎥ = ⎢ 0, R , R ⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ w2 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣ 1, 1, - 1 ⎥⎦ ⎢⎣ I ⎥⎦

Poszczególne prądy obliczone metodą wyznaczników wynoszą: W1 = 14,52 A , W W I 2 = 2 = −2,74 A , W W3 I= = 11,78 A , W

I1 =

przy czym R w 1 , 0, W =

0, R 1,

1,

w2

R , R = - 0,155 -1

E1 ,

0,

R

W1 = E 2 , R w 2 , R 0,

1,

-1

= − 2 , 25

63

R w1 , E 1 , R W2 =

0,

R w1 , 0 , = 0 , 425

E2, R

1, 0,

W3 =

-1

E1

0,

Rw2 , E 2

1,

1,

= − 1,825

0

Ujemna wartość prądu I2 wskazuje, że płynie on w kierunku przeciwnym do zaznaczonego na rysunku. Zatem w podanym układzie pierwszy akumulator zasila odbiornik równocześnie ładując drugi akumulator. Napięcie na odbiorniku wynosi: U = IR = 11,78 ⋅ 1 = 11,78 V.

W celu sprawdzenia poprawności uzyskanych wyników można wykorzystać równania ułożone dla obwodu. Zadanie 1.3. Obliczyć wartości i określić zwroty prądów w poszczególnych gałęziach obwodu pokazanego na rysunku1.3.1. Parametry poszczególnych elementów obwodu wynoszą: U = 24 V, R1=R6=1Ω, R2=4 Ω, R3=12 Ω, R4=R5=3 Ω . R1

I1

I5 U

R2

A I2

I5 R3

I4

R6

RZ1

A

I3

R5 I6

R1

I1

U

R4

R5 R6

I6

B

R4

I4

C

B

a)

b) I1

R1

I1

A

R1

I5 U

R5

I6

RZ2 U

R6

I4

RZ3

I6

R6

B

c)

d)

Rys.1.3.1. Schemat obwodu do zadania 1.3.

Rozwiązanie W przypadku gdy w obwodzie rozgałęzionym znajdują się jedynie rezystancje, prądy w gałęziach można obliczyć stosując metodę redukcji liczby tych elementów przez wprowadzenie rezystancji zastępczych.

64

Poszczególne etapy takiego postępowania pokazano na rysunku, gdzie skomplikowany, rozgałęziony obwód zredukowano do prostego obwodu nie rozgałęzionego. Przy rysowaniu kolejnych obwodów o zmniejszonej liczbie elementów zachowuje się takie same oznaczenia nie ulegających zmianie prądów i napięć. Ułatwia to, przez porównanie obwodów przed i po przekształceniu, wyznaczenie prądów i napięć w zadanym obwodzie. Poszczególne rezystancje zastępcze występujące w obwodach zastępczych są równe: 4 ⋅ 12 R2 R3 = = 3Ω, R2 + R3 4 + 12 Rz 2 = Rz1 + R4 = 3 + 3 = 6 Ω , R R 6⋅3 Rz 3 = Rz 2 / / R5 = z 2 5 = = 2 Ω. Rz 2 + R5 6 + 3 Rz1 = R2 / / R3 =

Prąd pobierany przez cały układ wynosi I1 = I6 =

U 24 = = 6 A. R1 + Rz 3 + R6 1 + 2 + 1

Napięcie między punktami A i B jest równe UAB = I5R5 = U - I1R1 - I6R6 = 24 − 6 ⋅ 1 − 6 ⋅ 1 = 12 V. Zatem prąd płynący przez rezystancję R5 I5 =

U AB 12 = =4A. 3 R5

Prąd I4 można obliczyć na podstawie I prawa Kirchhoffa dla węzła B I4 = I6 - I5 = 6 - 4 = 2 A. Prąd ten powoduje spadek napięcia między punktami C i B UCB = I4R4 = 2 . 3 = 6 V. Napięcie między punktami A i C obliczone na podstawie II prawa Kirchhoffa wynosi: UAC = UAB - UCB = 12 - 6 = 6 V. Napięcie to powoduje przepływ prądów: U AC 6 = = 1,5 A, 4 R2 U 6 I3= AC = = 0,5 A. 12 R3

I2 =

Brak ujemnych wartości obliczonych prądów świadczy, że kierunek ich przepływu jest zgodny z zaznaczonym na rysunku. Zadanie 1.4. Odbiornik o napięciu znamionowym Un= 100 V i mocy znamionowej Pn=500 W ma być zasilany z sieci o napięciu U = 220 V. Dobrać wartość rezystancji opornika dodatkowego, połączonego szeregowo z odbiornikiem, przy której układ załączony na sieć będzie pobierał prąd równy prądowi znamionowemu odbiornika. Obliczyć moc traconą w tym oporniku , moc pobieraną przez odbiornik oraz sprawność układu. Rozwiązanie. R0

Rd

I U

Rys.1.4.1. Układ połączenia odbiornik - opornik dodatkowy

65

Z danych znamionowych wynika, że prąd znamionowy odbiornika wynosi In =

Pn U = 5A a jego rezystancja Ro = n = 20 Ω. Un In

Rezystancja układu załączanego na napięcie U = 220 V przy założeniu wartości prądu I = In = 5 A powinna wynosić: R =

U In

= 44 Ω.

Zatem wartość rezystancji opornika dodatkowego wyniesie: Rd = R - Ro = 24 Ω. Moc tracona w tym oporniku wynosi Pd =In2Rd = 600 W a moc pobierana przez odbiornik Po = In2Ro =500 W jest równa jego mocy znamionowej. Moc pobieraną przez cały układ można obliczyć z zależności: P = Po + Pd = I2R = UI =1100 W. Sprawność układu , równa stosunkowi mocy pobieranej przez odbiornik do mocy dostarczanej z sieci (pobieranej przez cały układ), wynosi:

η=

P0 = 0,455. P

Zadanie 1.5. Obliczyć prądy w gałęziach oraz rezystancję zastępczą obwodu przedstawionego na rys.1.5.1. Parametry poszczególnych elementów obwodu są równe: E = 26V, R1= 3 Ω, R2 = 2,5 Ω, R3 = 2 Ω, R4 =3 Ω, R5 = 5 Ω. R1

I1

C R3 E

I

I5

I3 B

A

R5 I4

I2

R2

R4 D

Rys.1.5.1.Obwód rozgałęziony do zadania 1.5.

Rozwiązanie. Obwód (rys.1.5.1) zawiera 6 gałęzi, więc obliczenie prądów wymagałoby ułożenia i rozwiązania układu 6 równań liniowych. Dlatego korzystne jest zastosowanie przekształcenia podanego obwodu w celu zredukowania liczby jego elementów (rezystancji). Ze względu na połączenie trzech rezystancji R3, R4 i R5 w trójkąt przekształcenie go w równoważną gwiazdę (rys. 1.5.2a ) powoduje zredukowanie liczby gałęzi do trzech. Kolejne kroki w przekształcaniu obwodu, polegające na wprowadzaniu rezystancji zastępczych dla rezystancji połączonych szeregowo lub równolegle i doprowadzające go do postaci obwodu prostego zawierającego tylko źródło (sem E) i odbiornik w postaci rezystancji zastępczej Rz , ilustrują rysunki 1.5.2 a, b, c, d.

66

R1

I1

RZ2

E

I

RZ 4

I1

C

RZ1

B

A

E

I

O

RZ 1

B

A

O

RZ3 R2

I2

D

a) E

I

B

A

b)

RZ 1

I

O

RZ 6

c)

RZ 5

I2

E

RZ

d) Rys.1.5.2. Redukcja elementów obwodu rozgałęzionego z rys. 1.5.1.

Zamiast tych przekształceń można także dla obwodu z rysunku 1.5.2a ułożyć 3 równania posługując się prawami Kirchhoffa. Dla podanych wartości poszczególne rezystancje zastępcze są równe: R3 R4 2⋅3 = = 0,6 Ω, R3 + R4 + R5 2 + 3+ 5 R3 R5 2⋅5 = 1 Ω, Rz2 = = 2 + 3+ 5 R3 + R4 + R5 R4 R5 3⋅ 5 = Rz3 = = 1,5 Ω, R3 + R4 + R5 2 + 3 + 5

Rz1 =

Rz4 = R1+ Rz2 = 3 + 1 = 4 Ω, Rz5 = R2 + Rz3 = 2,5 + 1,5 = 4 Ω, Rz6 =

Rz 4 Rz 5 4⋅4 = = 2 Ω, 4+4 Rz 4 + Rz 5

Rz = Rz1 + Rz6 = 0,6 + 2 = 2,6 Ω. Prądy w poszczególnych gałęziach obwodu oblicza się , korzystając z I i II prawa Kirchhoffa, dla wybranych węzłów i oczek , cofając się od obwodu prostego do zadanego obwodu rozgałęzionego. Na podstawie rys.1.5.2.b prąd I wypływający ze źródła jest równy: I=

E 26 = 10 A. = 2,6 Rz

Prąd I1, obliczony na podstawie II prawa Kirchhoffa dla górnego oczka z rysunku 1.5.2b, wynosi I1 =

E − IRz1 Rz 4

=

26 − 10 ⋅ 0,6 = 5 A. 4

Prąd I2 , obliczony na podstawie I prawa Kirchhoffa z sumy prądów w węźle A, jest równy: I2 = I - I1 = 10 - 5 = 5 A.

67

Prąd I3 można obliczyć z równania ułożonego na podstawie II prawa Kirchhoffa dla górnego oczka z rysunku 1.5.1. I3 =

E − I1R1 26 − 5 ⋅ 3 = = 5,5 A. 2 R3

Z sumy prądów w węźle B wynika, że I4 = I - I3 = 10 - 5,5 = 4,5 A. Prąd I5 można obliczyć z sumy prądów w węźle C I5 = I3 - I1 = 5,5 - 5 = 0,5 A. Zadanie1. 6. Wyznaczyć rezystancję zastępczą obwodu przedstawionego na rysunku 1.6.1. oraz prądy i moce pobierane przez obwód i przez poszczególne rezystory. R1 = 1Ω

R2 = 2Ω

R3 = 4Ω

U = 12 V

Rys1.6.1. Schemat układu do zadania1.6. 4 Odpowiedź: Rz= Ω , I=21A, P=252W, I1=12A, P1=144W, I2=6A, P2=72W, I3=3A, 7

P3=36W. Zadanie 1.7. Dobrać wartość opornika R tak, żeby rezystancja zastępcza obwodu z rysunku 1.7.1. była równa 2R. Obliczyć moc traconą na tym oporniku oraz moc pobieraną ze źródła. R1 = 10Ω

E = 50 V

R1 = 10Ω

R2 = 50Ω

R

Rys.1.7.1. Schemat obwodu do zadania 1.7.

Odpowiedź: R=12,84Ω, PR=22,95W, P=97,35W. Zadanie 1.8. Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu pokazanego na rysunku 1.8.1. przy otwartym i zamkniętym wyłączniku W.

68

E1 = 50 V

E3 = 50 V

R1 = 20Ω

R4 = 3Ω

W

R3 = 5Ω

E2 = 50 V

R2 = 10Ω

Rys.1.8.1. do zadania 1.8..

Odpowiedź: Przy otwartym wyłączniku w żadnej gałęzi obwodu nie płynie prąd. Przy zamkniętym wyłączniku I1= 1,22A, I2= 2,44A, I3= 4,88A, I4= 8,54A. Zadanie 1.9. Jaką wartość prądu wskazuje amperomierz w obwodzie przedstawionym na rysunku 1.9.1. R 1 = 2Ω

R2 = 4Ω

A

R 3 = 4Ω

E = 5,5 V

R4 = 2Ω

R5 = 1Ω

Rys.1.9.1 Schemat układu do zadania 1.9.

. Odpowiedź: I = 0,5 A

70

2.OBWODY MAGNETYCZNE Zadanie 2.1. Obliczyć indukcyjność cewki o liczbie zwojów z =2000 nawiniętej na rdzeniu ferromagnetycznym ze szczeliną powietrzną, pokazanym na rysunku 2.1.1. Reluktancję rdzenia pominąć. Jaka jest wartość indukcji magnetycznej i strumienia w szczelinie δ przy zasilaniu cewki prądem I = 2 A. Φ

I z 25

δ= 5

×25 Rys.2.1.1. Szkic do zadania 2.1.

Rozwiązanie Indukcyjność własna L cewki skupionej o liczbie zwojów z , której wszystkie zwoje są sprzężone ze strumieniem magnetycznym Φ, wytworzonym przez siłę magnetomotoryczną cewki Θ = Ι z, określona jest zależnością: L=

z⋅Φ . I

Zgodnie z prawem Ohma dla obwodu magnetycznego: Θ I⋅z Φ= = Rμ Rμ

(1)

(2)

przy czym Rμ jest zastępczą reluktancją (oporem magnetycznym) na drodze strumienia Φ. Zakładając, że cały strumień Φ przepływa przez rdzeń i szczelinę oraz pomijając reluktancję rdzenia można przyjąć, że reluktancja zastępcza obwodu magnetycznego jest równa reluktancji szczeliny powietrznej Rμ ≅ Rμδ =

δ

μδ Sδ Ostatecznie z podanych zależności wynika, że indukcyjność cewki: 2 S L = z = z 2 μδ δ . Rμ δ

Podstawiając do powyższego wzoru wartość przenikalności magnetycznej powietrza μδ równą przenikalności magnetycznej próżni μo=4π 10−7 H/m i powierzchnię Sδ przez którą przenika strumień w szczelinie równą przekrojowi rdzenia uzyskuje się:

( 25 ⋅ 10 ) −3

−7

L = 2000 ⋅ 4π ⋅ 10 2

5 ⋅ 10− 3

2

= 0,628 H.

Strumień magnetyczny obliczony z wcześniej podanej zależności (1) wynosi:

(3)

(4)

71

Φ=

L ⋅ I 0,628 ⋅ 2 = = 6,28. 10−4 Wb, z 2000

a indukcja magnetyczna w szczelinie: Bδ = B

Φ 6,28 ⋅ 10−4 ≅ 1 Τ. = 2 Sδ 25 ⋅ 10− 3

(

)

Przy podanych założeniach indukcja magnetyczna w rdzeniu ma taką samą wartość jak w szczelinie. Zadanie 2.2. Cewka elektromagnesu pokazanego na rysunku, o liczbie zwojów z = 1000, jest zasilana prądem stałym I=10A.Obliczyć udźwig elektromagnesu, jeżeli szczelina δ między rdzeniem a zworą wynosi 5 mm a powierzchnia przekroju rdzenia elektromagnesu Sr = 0,2 m2.Jaka jest wartość indukcji magnetycznej w szczelinie elektromagnesu? I

z

Sr

Φ F

δ

Rys.2.2.1.Szkic elektromagnesu do zadania 2.2.

Rozwiązanie. Udźwigiem elektromagnesu jest siła F z jaką przyciąga on dolną płytę (zworę). Siłę tą obliczyć można z pracy wykonanej przez zworę na elementarnej drodze dδ : dA = F dδ . (1) Przy zasilaniu elektromagnesu prądem stałym praca dA wykonywana jest kosztem ubytku energii dW zmagazynowanej w polu magnetycznym. Energię pola magnetycznego wytworzonego przez cewkę zasilaną prądem I określa zależność: W=

Ψ⋅I , 2

przy czym Ψ jest strumieniem sprzężonym z uzwojeniem elektromagnesu. W przypadku uzwojenia skupionego, którego wszystkie zwoje sprzężone są z tym samym strumieniem magnetycznym Φ, całkowity strumień sprzężony wynosi Ψ = z Φ. Przyjmując, że cewka elektromagnesu spełnia ten warunek i że cały strumień Φ przepływa przez szczelinę powietrzną między elektromagnesem a zworą, przy pominięciu reluktancji rdzenia i zwory można przyjąć, że praktycznie cała energia pola elektromagnesu zmagazynowana jest w szczelinie powietrznej.

(2)

72

Przy tych założeniach siła magnetomotoryczna cewki Θ wytwarzająca strumień magnetyczny Φ, zgodnie z prawem Ohma dla obwodu magnetycznego, jest równa : . 2δ Θ = I ⋅ z = Φ(2 Rμδ) = Φ , (3) μ0 Sδ przy czym Rμδ jest reluktancją jednej szczeliny; powierzchnię Sδ można w przybliżeniu przyjąć jako równą powierzchni przekroju rdzenia elektromagnesu Sr. Uwzględniając podane zależności energię pola magnetycznego zmagazynowaną w szczelinie powietrznej zapisać można w postaci: 2 μ S ( I ⋅ z) W= 0 δ . (4) 4δ Zatem udźwig elektromagnesu wyrazi się zależnością: 2 dA dW μ0Sδ ( I ⋅ z) =− = F= . (5) dδ dδ 4δ 2 Wstawiając do uzyskanej zależności dane elektromagnesu otrzymuje się wartość siły udźwigu wynoszącą: 2 4π ⋅ 10−7 ⋅ 0,2 2 (10 ⋅ 1000) F= = 50240 N, 2

(

4 ⋅ 5 ⋅ 10− 3

)

czyli przy zadanej szczelinie równej 5 mm elektromagnes może unieść ponad 5 ton masy. Wprowadzając do wzoru (5) indukcję magnetyczną w szczelinie określoną zależnością: Bδ = B

Φ , Sδ

(6)

i wstawiając łączną powierzchnię S między rdzeniem elektromagnesu a zworą przez którą przenika strumień Φ , S = 2Sd, uzyskuje się zależność wyrażającą siłę udźwigu elektromagnesu na jednostkę powierzchni: B2 F = δ . S 2 μ0

(7)

Indukcja magnetyczna w szczelinie, obliczona z tego wyrażenia, jest równa: Bδ = B

2 μ0

F 50240 = 2 ⋅ 4π ⋅ 10− 7 = 1,256 Τ. S 2 ⋅ 0,2

Zadanie 2.3. Jakim prądem należy zasilić cewkę nawiniętą na rdzeniu składanym z blach magnetycznych, pokazanym na rysunku 2.3.1, żeby uzyskać w rdzeniu indukcję równą 1T, przy następujących założeniach: a) w obwodzie magnetycznym nie ma szczelin powietrznych, b) w obwodzie magnetycznym występują szczeliny powietrzne na stykach składanych blach; łączna zastępcza długość szczeliny δ wynosi 1mm. Natężenie pola magnetycznego, odczytane z charakterystyki magnesowania zastosowanej blachy dla indukcji równej 1T, wynosi 1000 A/m. Obliczyć i porównać reluktancje rdzenia i szczeliny oraz wartości indukcyjności cewki dla obydwu przypadków. W obliczeniach pominąć strumień rozproszenia magnetycznego.

73

60

40

SFe = 400 mm2

z = 2000

Rys.2.3.1. Szkic do zadania 2.3.

Rozwiązanie. Przypadek δ=0 Zgodnie z prawem przepływu (Ampera) przepływ cewki Θ = I ⋅ z związany jest z natężeniem pola magnetycznego zależnością: Θ = ∫ H ⋅ dl . l

W zadanym obwodzie , przy braku szczeliny powietrznej, wartość tej całki równa jest iloczynowi natężenia pola magnetycznego w rdzeniu HFe i średniej długości zamkniętej linii pola magnetycznego lFe , którą zaznaczono na rysunku. Zatem siła magnetomotoryczna cewki, odpowiadająca natężeniu pola magnetycznego w rdzeniu HFe = 1000 A/m, powinna wynosić: Θ = H Fe lFe = 1000 ⋅ 2 ⋅ (60 + 40) ⋅ 10−3 = 200 A Cewkę należy zasilić prądem I=

Θ 200 = = 0,1 A. z 2000

Siła magnetomotoryczna Θ wytwarza strumień magnetyczny Φ który, przy pominięciu strumienia rozproszenia, przepływa tylko w rdzeniu o powierzchni przekroju SFe. Jego wartość wynosi : Φ = BFe S Fe = 1 ⋅ 400 ⋅ 10 6 = 4 ⋅ 10 −4 Wb Reluktancję rdzenia RμFe obliczyć można z prawa Ohma dla obwodu magnetycznego: RμFe =

Θ 200 -1 = = 50 ⋅ 104 H . −4 Φ 4 ⋅ 10

Indukcyjność cewki odpowiadająca obliczonej reluktancji obwodu magnetycznego wynosi: L=

z2 20002 = = 8H. RμFe 50 ⋅ 104

Przypadek δ = 1mm. W obwodzie ze szczeliną powietrzną założenie takiej samej (jak w obwodzie bez szczeliny powietrznej) wartości indukcji w rdzeniu odpowiada przyjęciu tej samej wartości strumienia

74

magnetycznego Φ. Reluktancja rdzenia RμFe nie ulegnie zmianie a całkowita reluktancja obwodu magnetycznego Rμ będzie powiększona o reluktancję szczeliny powietrznej Rμδ , która wynosi: l 1 ⋅ 10−3 δ Rμδ = δ ≅ = ≅ 199 ⋅ 104 H -1 . μ0 ⋅ Sδ μ0 ⋅ SFe 4π ⋅ 10− 7 ⋅ 4 ⋅ 10− 4 Całkowita reluktancja obwodu magnetycznego Rμ jest równa: Rμ= Rμδ + RμFe = 50.104 + 199.104 = 249 104 H-1. Siła magnetomotoryczna cewki powinna więc wynosić: Θ' = ΦRμ = 4 ⋅ 10 4 ⋅ 249 ⋅ 10 4 = 996 A co wymaga zasilania cewki prądem:

I '=

Θ' 996 = = 0,498A. z 2000

Indukcyjność cewki o rdzeniu ze szczeliną jest równa: z2 2000 2 L' = = ≅ 1,6 H. R μ 249 ⋅ 10 4 Z porównania odpowiednich wartości wynika, że niewielka szczelina powietrzna w obwodzie magnetycznym powoduje duży, prawie pięciokrotny, wzrost reluktancji obwodu i smm niezbędnej do uzyskania wymaganej wartości strumienia lub indukcji magnetycznej.Oznacza to również pięciokrotne zmniejszenie indukcyjności cewki. Zadanie 2.4. Obliczyć energię pola magnetycznego zmagazynowaną w szczelinie elektromagnesu z zadania 2.2. Odpowiedź: W = 1256 J. Zadanie 2.5. Elektromagnes z rdzeniem bez szczeliny o danych z rysunku 2.3.1. zasilany jest prądem o regulowanej wartości od 0 do 0,4 A. Charakterystyka magnesowania ferromagnetycznego materiału rdzenia jest przedstawiona w postaci poniższej tabeli: B [T] H [A/m]

0 0

0,3 50

0,6 100

0,8 1 240 500

1,2 1,4 1000 1700

1,5 2500

Początkowa część charakterystyki jest praktycznie prostoliniowa. Określić zakres zmian wartości indukcyjności cewki elektromagnesu. Odpowiedź: Lmax= 48 H, Lmin= 3,2 H.

1,6 4000

1,65 6000

75

3. OBWODY PRĄDU PRZEMIENNEGO JEDNOFAZOWEGO. Zadanie 3.1. Cewka indukcyjna zasilana napięciem sinusoidalnym U =100 V o częstotliwości f = 50 Hz pobiera moc P=60 W przy prądzie I =1A. Wyznaczyć rezystancję i indukcyjność cewki. Rozwiązanie: Impedancja cewki wynosi:

Z=

U 100 = = 100 Ω. I 1

Impedancję Z cewki indukcyjnej traktuje się jako układ rezystancji R i reaktancji X połączonych szeregowo (rys.3.1.1). I

R U X

Rys. 3.1.1. Schemat zastępczy cewki indukcyjnej.

Prąd pobierany w takim układzie płynie przez oba elementy a impedancja określona jest zależnością: Z = R2 + X 2 .

Pobierana przez cewkę moc czynna, odpowiadająca wydzielanej przez nią energii cieplnej, wyraża się wzorem P = I2R. Zatem rezystancja cewki jest równa

R= Reaktancja cewki wynosi

P 60 = = 60 Ω . I 2 12

X = Z 2 − R 2 = 100 2 − 60 2 = 80 Ω , a jej indukcyjność L=

X

ω

=

X 80 = ≅ 0,255 H . 2π ⋅ f 2π ⋅ 50

Zadanie 3.2. W układzie jak na rysunku 3.2.1, zasilanym napięciem sinusoidalnym o częstotliwości f =50 Hz wszystkie woltomierze wskazują napięcie równe 100 V a amperomierz wskazuje prąd 10 A. Narysować wykres wektorowy i wyznaczyć wartości R , L i C oraz wartość napięcia zasilającego układ.

76

I

U

R

L

C

UR

UL

UC

V

V

V

A

Rys.3.2.1. Schemat układu do zad.3.2.

Rozwiązanie: Elementy R , L i C połączone są szeregowo, więc przy sporządzaniu wykresu wektorowego wygodnie jest zacząć od narysowania wektora prądu I, który płynie przez te elementy. Kierunek pierwszego rysowanego wektora można przyjąć dowolnie. Na rys.3.2.2 założono I=I, co oznacza że prąd ma tylko składową rzeczywistą, zatem został narysowany poziomo. jXL I = U L

UL

RI=UR

UC

I

U

- jXC I = U C

Rys. 3.2.2. Wykres wektorowy do układu z rys.3.2.1.

Pozostałe wektory muszą być rysowane z odpowiednim przesunięciem kątowym równym przesunięciu fazowemu odpowiadającego im przebiegu. Wektor napięcia na rezystorze UR ma kierunek taki sam jak prąd I, gdyż ich przebiegi są w fazie. Przebieg napięcia na elemencie indukcyjnym wyprzedza przebieg prądu o kąt π/2, zaś przebieg napięcia na elemencie pojemnościowym jest opóźniony względem prądu o kąt π/2 . Dlatego wektory U L i UC są przesunięte odpowiednio o kąt +π/2 i -π/2 względem wektora prądu I. Napięcie zasilające układ szeregowo połączonych elementów równe jest sumie napięć na tych elementach. W rozpatrywanym układzie wektory U L i UC znoszą się, toteż wektor wypadkowy U = UR + U L + UC = UR. Wartość napięcia zasilającego jest więc równa: U = UR= 100 V. Wartość rezystancji R wyznaczyć można bezpośrednio z wartości napięcia UR i prądu I

77

R=

U R 100 = = 10Ω . I 10

Wartości indukcyjności L i pojemności C wynikają z obliczonych reaktancji : XL 10 U 100 XL = L = = 10Ω , skąd L = = = 31,8 mH . I 10 2π ⋅ f 2π ⋅ 50 XC =

U C 100 = = 10Ω , 10 I

skąd C =

1 1 = = 318 μF. 2π ⋅ f ⋅ X C 2π ⋅ 50 ⋅ 10

Zadanie 3.3 Sporządzić wykres wektorowy dla układu pokazanego na rysunku 3.3.1 i na jego podstawie obliczyć przy jakiej wartości pojemności C prąd pobierany przez układ będzie najmniejszy. Obliczyć wartość tego prądu. Przyjąć R = 10 Ω, L = 20 mH, U = 100 V, f = 50 Hz. I I1

I2

R C

U X

Rys. 3.3.1. Schemat układu do zadania 3.3.

Rozwiązanie: Układ składa się z dwóch gałęzi połączonych równolegle i zasilanych napięciem U. Wykres wektorowy dla tego układu (rys.3.3.2.) sporządzono przyjmując wektor napięcia zasilającego jako wektor podstawowy i zakładając, że leży on na osi liczb rzeczywistych (U=U=100V). I2 I

ϕ

U I2

I1

Rys.3.3.2. Wykres wektorowy do układu z rys.3.3.1.

Przy takim założeniu wektor prądu w pierwszej gałęzi wyniesie:

78

I1 =

U 100 = = (7,18 − j 4,49) A, R + jX L 10 + j 6,28

przy czym reaktancja indukcyjna X L = 2π ⋅ f ⋅ L = 2π ⋅ 50 ⋅ 20 ⋅ 10−3 = 6,28 Ω.

Wektor prądu I2, płynącego przez kondensator wyprzedza wektor U o kąt π/2. Dodając I2 do wektora I1 otrzymuje się wypadkowy wektor prądu pobieranego przez układ I. Z wykresu wynika, że przy zadanym prądzie I1, najmniejszą wartość prądu I uzyskuje się wówczas gdy jest on w fazie z napięciem zasilającym. Obwód jest wtedy w stanie rezonansu. Z wykresu można również zauważyć, że moduł prądu I2 odpowiadający najmniejszemu prądowi I: jest równy składowej urojonej prądu I1. Zatem prąd I2= 4,49A. Taką wartość prądu uzyskuje się przy reaktancji kondensatora równej: XC =

U 100 = ≅ 22,27 Ω. I 2 4,49

Pojemność kondensatora powinna więc wynosić: C=

1 1 = = 143 μF . 2π ⋅ f ⋅ X C 2π ⋅ 50 ⋅ 22 ,27

Prąd wypadkowy I jest równy składowej rzeczywistej prądu I1. I= Re(I1) =7.18 A Przedstawione rozwiązanie uzyskano na podstawie analizy wykresu wektorowego. Zadanie można też rozwiązać obliczając impedancję zastępczą i przyrównując jej część urojoną do zera ( w stanie rezonansu reaktancja zastępcza układu równa jest zero). Zadanie 3.4. Obliczyć impedancję zastępczą obwodu pokazanego na rysunku 3.4.1, określić charakter tej impedancji i obliczyć wypadkowy współczynnik mocy obwodu. Wartości poszczególnych parametrów obwodu wynoszą: R1 = 4,5 Ω, XL1 =2,5 Ω, XC1 = 16 Ω, R2 = 3 Ω, XL2 = 4 Ω, XC2= 5 Ω. R1

jXL 1

A

R2 -jXC 2 jXL 2 -jXC 1 B

Rys.3.4.1. Schemat obwodu do zadania 3.4.

79

Rozwiązanie: Obwód składa się z szeregowo połączonych elementów R1, XL1, Z1 i XC1 (rys.3.4.2), przy czym Z1 jest impedancją zastępczą dwóch gałęzi równoległych między punktami A i B. R1

jXL 1

A

Z1

Z

-jXC 1 B

a)

b) Rys.3.4.2. Przekształcanie obwodu z rys. 3.4.1.

Przy przekształcaniu obwodu prądu przemiennego i redukcji liczby jego elementów można stosować zależności o takim samym zapisie formalnym jak dla obwodów prądu stałego z tym, że parametry elementów obwodu muszą być wyrażone za pomocą liczb zespolonych. Impedancję zastępczą Z1 dwóch gałęzi równoległych między punktami A i B można zapisać w postaci: (R + jX L 2 ) ⋅ (− jX C 2 ) Z 1 = (R2 + jX L 2 ) // (− jX C 2 ) = 2 (R2 + jX L 2 ) + (− jX C 2 ) Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy: Z1 =

(3 + j 4) ⋅ (− j5) = (7,5 − j 2,5) A. (3 + j 4) + (− j5)

Wartość zespolona impedancji zastępczej Z całego obwodu jest równa: Z = Z 1 + [R1 + j ( X L1 − X C1 )] = (7,5 − j 2,5) + [4,5 + j (2,5 − 16)] = (12 − j16) A a jej moduł wynosi: Z = 12 2 + 162 = 20Ω.

Znak minus przy części urojonej impedancji zastępczej Z wskazuje, że ma ona charakter pojemnościowy. Wypadkowy współczynnik mocy obwodu jest równy: R 12 cos ϕ = = = 0,6. Z 20 Zadanie 3.5. Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu przedstawionego na rysunku 3.5.1, sporządzić bilans mocy czynnej i biernej oraz wyznaczyć wypadkowy współczynnik mocy układu. Narysować wykres wektorowy napięć i prądów w obwodzie. Przyjąć: U = 220V, R1 = 1Ω, R2= 8 Ω, R3= 12 Ω, XL = 6 Ω, XC = 16 Ω.

80

I

R1

A I1 R2

I2 R3

U XL

XC

B

Rys.3.5.1. Schemat układu do zad.3.5.

Rozwiązanie: Obliczenie prądu pobieranego przez obwód wymaga wyznaczenia jego impedancji zastępczej. Impedancję tą, przy zastosowaniu metody symbolicznej, można zapisać w postaci: (R2 + jX L ) ⋅ (R3 − jX C ) Z = R1 + [(R 2 + jX L ) // (R3 − jX C )] = R1 + (R2 + jX L ) + (R3 − jX C ) Po podstawieniu wartości parametrów otrzymuje się: (8 + j6) ⋅ (12 − j16) = (9,8 + j1,6) Ω Z =1+ (8 + j6) + (12 − j16) Moduł impedancji zastępczej Z jest zatem równy: Z = R 2 + X 2 = 9,82 + 1,62 ≅ 9,93Ω. Wypadkowy współczynnik mocy układu cosϕ =

R 9 ,8 = ≅ 0,987. Z 9 ,93

Prąd pobierany przez cały układ jest równy U 220 I= = ≅ 22,16A , Z 9,93 Zakładając że wektor napięcia zasilającego U ma tylko składową rzeczywistą (U=220V) można obliczyć zespoloną wartość prądu I: U 220 I= = = ( 21,87 − j 3,57) A Z 9,8 + j1,6 Napięcie między punktami A i B, wspólne dla dwóch gałęzi obwodu połączonych równolegle, jest równe różnicy między napięciem zasilającym cały obwód i spadkiem napięcia na rezystancji R1 U AB = U − I ⋅ R1 = 220 − (21,87 − j 3,57) ⋅ 1 = (198,13 + j 3,57) V. Moduł tego napięcia wynosi: UAB = 198,13 2 + 3,57 2 = 198,16V . Prądy I1 i I2 są równe:

I1 =

U AB 198,13 + j 3,57 = = (16,06 − j11,6) A, R2 + jX L 8 + j6

81

I2 =

U AB 198,13 + j3,57 = = (5,8 + j8,03) A R3 − jX C 12 − j16

zatem ich moduły wynoszą:

I 1 = 16,06 2 + 11,6 2 = 19,81 A, I 2 = 5,8 2 + 8,03 2 = 9,91 A. Moc czynna pobierana przez obwód równa jest sumie mocy pobieranych przez występujące w nim rezystancje a całkowita moc bierna obwodu jest równa algebraicznej sumie mocy biernych elementów indukcyjnych i elementów pojemnościowych. Zatem w rozpatrywanym obwodzie: moc czynna P = I 2 R1 + I12 R2 + I 22 R3 = 22 ,162 ⋅ 1 + 19 ,82 2 ⋅ 8 + 9 ,912 ⋅ 12 ≅ 4812 W , moc bierna Q = I 12 X L − I 22 X C = 19,82 2 ⋅ 6 − 9,912 ⋅ 16 ≅ 785 var Uzyskane wartości można sprawdzić obliczając jak wyżej moc całego obwodu - czynną P=I2R oraz bierną Q= I2X, lub wykorzystując zależność na moc pozorną: S = P + jQ = U ⋅ I ∗ = 220 ⋅ (21,87 + j 3,57) ≅ (4812 + j 785) VA. Wykres wektorowy napięć i prądów w obwodzie przedstawiono na rysunku 3.5.2. I2

U AB

ϕ

I R1 U

I I2

I1

Rys.3.5.2. Wykres wektorowy do obwodu z rys. 3.5.1.

Obliczenia prowadzone konsekwentnie metodą symboliczną znacznie ułatwiają narysowanie wykresu wektorowego, gdyż wartości wszystkich wielkości występujących na tym wykresie mają formę liczb zespolonych. Zadanie 3.6. Cewka indukcyjna pobiera prąd 5 A przy zasilaniu napięciem stałym 50 V lub napięciem sinusoidalnym 200 V o częstotliwości 50 Hz. Obliczyć częstotliwość napięcia zasilającego obwód złożony z tej cewki i szeregowo połączonego kondensatora o pojemności 50 μF przy której wystąpi w nim rezonans. Odpowiedź: f = 64,2 Hz. Zadanie 3.7. Obliczyć częstotliwość rezonansową obwodu podanego na rysunku 3.3.1. przyjmując następujące wartości jego elementów: R = 10 Ω, L = 20mH, C = 50μF.

82

Odpowiedź: f = 138 Hz. Zadanie 3.8. Na sinusoidalne napięcie 1-fazowe U = 220 V załączono równolegle trzy odbiorniki pobierające następujące prądy i moce czynne: I1 = 12,5 A, P1 = 2,2 kW, I2 = 25 A, P2 = 3,3 kW, I3 = 20 A, P3 = 4,4 kW. Obliczyć prąd pobierany przez układ i wypadkowy współczynnik mocy. Odpowiedź: I = 52,7 A, cosϕ = 0,853.

83

4. OBWODY PRĄDU PRZEMIENNEGO TRÓJFAZOWEGO. Zadanie 4.1. Dwa symetryczne trójfazowe odbiorniki połączone w trójkąt o danych: 1) P1=30kW, cosϕ1=0.75 (ind.) 2) Z2=20-j15 Ω/fazę; są zasilane z sieci o napięciu liniowym U=380V. Obliczyć sumaryczne moce: czynną P, bierną Q , pozorną S i prąd przewodowy I pobierany z sieci oraz wypadkowy współczynnik mocy cosϕ . Rozwiązanie Układ połączeń jak na rysunku 4.1.1.

3 × 380 V

A B

I

I2

C

I1

If 1

If 2

Z1

Z2

Rys.4.1.1. Układ połączeń odbiorników do zadania 4.1.

Moc bierna odbiornika 1: cosϕ1= 0,75, zatem tgϕ1 = 0,882

Q1 = P1 tg ϕ 1 Q1=30⋅ 0,882 = 26,46 kvar.

Moc czynna odbiornika 2. P2 = 3U f I f 2 cos ϕ 2 . Po uwzględnieniu w powyższej zależności, że w odbiorniku połączonym w trójkąt: Uf = U = 380V oraz: Uf2 R cos ϕ 2 = 2 ; ; I f2 = Z 2 = R 22 + X 22 Z2 Z2 otrzymamy:

P2 =

3U 2 R2 R22 + X 22

=

3 ⋅ 380 2 ⋅ 20 = 13,86 kW. 20 2 + 15 2

84

Poddobnie obliczona moc bierna odbiornika 2 wynosi:

Q 2 = 3U f 2 I f 2 sin ϕ 2 = 3U

U X2 3U 2 X 2 3 ⋅ 380 2 ⋅ 15 = 2 = = 10,4 kvar Z 2 Z 2 R2 + X 22 20 2 + 15 2

Sumaryczna moc czynna: P.= P1+P2 = 30,0 + 13,86 = 43,86 kW. Sumaryczna moc bierna: Q = Q1+Q2 = 26,46 + 10,4 = 36,86 kvar. Wypadkowa moc pozorna: S = P 2 + Q 2 = 43860 2 + 36860 2 = 57,29 kVA

Wypadkowy prąd liniowy: S 57290 I= = = 87,0 A 3U 3 ⋅ 380 Wypadkowy współczynnik mocy: P 43860 cos ϕ = = = 0,766 . S 57290 Zadanie 4.2. Dwa symetryczne odbiorniki trójfazowe o impedancjach odpowiednio: Z1 = 16+j12 Ω/fazę i Z2= 15+j20 Ω/fazę, są zasilane z symetrycznej sieci o napięciu 3 x 380V. Odbiornik 1. jest połączony w gwiazdę a odbiornik 2. w trójkąt. Obliczyć wypadkowy prąd pobierany z sieci I, sumaryczną moc czynną P oraz wypadkowy współczynnik mocy cosϕ. Rozwiązanie Schemat połączeń odbiorników pokazano na rysunku 4.2.1.

3 × 380 V

A B

I

C

I2 I1

I2f

Z1 Z2

Rys.4.2.1. Układ połączeń odbiorników do zad.4.2.

Prąd przewodowy odbiornika 1. (odb. połączony w gwiazdę).

85

I1 = I1 f =

U1 f Z1

380 / 3

=

16 2 + 12 2

= 11 A

Współczynnik mocy odbiornika 1. R1 16 = = 0,8 Z1 16 2 + 12 2 Moc czynna odbiornika 1. P1 = 3UI 1 cos ϕ 1 = 3 ⋅ 380 ⋅ 11 ⋅ 0,8 = 5792 W cos ϕ 1 =

Prąd przewodowy odbiornika 2. (Odb. połączony w trójkąt).

I 2 = 3I 2 f = 3

U2 f Z2

= 3

380 15 + 20 2

2

= 26,3 A

Współczynnik mocy odbiornika 2. R2 15 = = 0,6 Z2 15 2 + 20 2 Moc czynna odbiornika 2. cos ϕ 2 =

P2 = 3UI 2 cos ϕ 2 = 3 ⋅ 380 ⋅ 26,3 ⋅ 0,6 = 10386 W Sumaryczna moc czynna pobierana z sieci:

P = P1 + P2 = 5792 + 10386 = 16178 W Sumaryczna moc bierna pobierana z sieci: Q = Q1 + Q 2 = P1 ⋅ tg ϕ 1 + P2 ⋅ tg ϕ 2 = 5792 ⋅ 0,75 + 10386 ⋅ 1.33 = 18157 var Wypadkowa moc pozorna: S = P 2 + Q 2 = 16178 2 + 18157 2 = 24319 VA Wypadkowy prąd pobierany z sieci: S 24319 I= = = 36,9 A 3U 3 ⋅ 380

Wypadkowy współczynnik mocy: P 16178 cos ϕ = = = 0,665 . S 24319 Rozwiązanie alternatywne Połączony w trójkąt odbiornik 2. zastępujemy równoważnym odbiornikiem połączonym w gwiazdę (rys.4.2.2.).

86

A B

I

I2

C

I1

Z 2Y = Z 2 / 3

Z1

Rys.4.2.2. Ilustracja do przekształcenia układu z rys.4.2.1. W tym celu jego impedancję Z2Δ należy przeliczyć na Z2Ψ . Korzystając z symetrii odbiornika obliczamy: Z 15 + j 20 Z 2@ = 2 Δ = = 5 + j 6,67 Ω/fazę. 3 3 Impedancja fazy odbiornika zastępczego połączonego w gwiazdę (rys. 4.2.3.): A B

I

C

Z = Z 1 || Z 2Y

Rys. 4.2.3. Układ zastępczy dwóch odbiorników z rys.4.2.2. Z = Z 1 // Z 2 @ =

Z 1 ⋅ Z 2@ (16 + j12) ⋅ (5 + j 6,67) = ≅ 3,94 + j 4,44 Ω/fazę. Z 1 + Z 2 @ (16 + j12) + (5 + j 6,67)

Prąd pobierany z sieci przez odbiornik zastępczy: Uf 380 / 3 I = If = = ≅ 36,9 A Z 3,94 2 + 4,44 2

87

Współczynnik mocy odbiornika zastępczego: R 3,94 ≅ 0,665 . cos ϕ = = Z 3,94 2 + 4,44 2 Moc czynna pobierana z sieci:

P = 3UI cos ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 36,9 ⋅ 0,665 ≅ 16150 W Uwaga! Nieznaczne różnice wyników obydwu metod są rezultatem zaokrąglania liczb podczas obliczeń.

Zadanie 4.3. Mały zakład produkcyjny jest zasilany linią trójfazową o parametrach: Rl = 0,5Ω/fazę oraz Xl = 0,9Ω/fazę. Moc czynna pobierana przez zakład wynosi P = 25kW przy współczynniku mocy cosϕ = 0,75. Obliczyć: 1) napięcie na początku linii zasilającej U1, jeśli napięcie na końcu linii U2 = 380V, 2) pojemność baterii kondensatorów jaką należy zainstalować w zakładzie aby jego wypadkowy współczynnik mocy wzrósł do wartości cosϕk = 0,9, 3) napięcie na początku linii po włączeniu baterii kondensatorów U1k, przy założeniu, że napięcie na końcu linii wynosi 380V. Rozwiązanie Dla uproszczenia obliczeń, wygodnie jest analizowany zakład przedstawić jako jeden trójfazowy odbiornik połączony w gwiazdę, tak jak to przedstawiono na rysunku 4.3.1a. Korzystając z symetrii zasilania i odbiornika obliczenia przeprowadzamy dla jednej fazy. Jednofazowy schemat układu przedstawiono na rysunku 4.3.1b.

U1

Rl

Xl

Rl

Xl

Rl

Xl

Rl

Xl

I Rl

IXl

ODBIORNIK

I U2

a) I Uf1

ODBIORNIK

Uf2

b) Uf1 IX Uf2

ϕ

ϕ I Rl

c)

I

l

88

Rys.4.3.1. Schemat połączeń odbiorników 3-fazowych (a); schemat jednofazowy (b);wykres wektorowy (c).

Prąd fazowy If pobierany przez zakład jest równy przy połączeniu w gwiazdę prądowi przewodowemu I. P 25000 (1) I= = = 50,6 A. 3 ⋅ U ⋅ cosϕ 3 ⋅ 380 ⋅ 0,75 Przyjmując Uf2 = Uf2, można przedstawić zespoloną wartość prądu jako: I = Ie − jϕ = I (cosϕ − j sin ϕ ) = 50,6(0,75 − j 0,661) = (37,9 − j 33,5) A. (2) Dla obwodu jednofazowego (rys.4.3.1b) można na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa napisać:

U f 1 = U f 2 + I Rl + I jX l

(3)

Rys.4.3.1c przedstawia wykres wektorowy ilustrujący powyższe równanie. Zgodnie z (3) napięcie fazowe na początku linii wyniesie: U

f1

= 380 / 3 + (37,9 − j 33,5)(0,5 + j 0,9) = 220 + 49,1 + j17,4 = (269,1 + j17,4) V,

zaś moduł tego napięcia jest równy:

U f1 = U

f1

= 269,12 + 17,4 2 = 269,6 V.

Alternatywnie, do obliczenia modułu napięcia Uf1 można zastosować przybliżony wzór: (4) U f 1 ≅ U f 2 + I ( Rl cos ϕ + X l sin ϕ ) We wzorze tym przyjmuje się, że długość wektora Uf1 jest równa długości jego rzutu na kierunek wektora Uf2 (rys.4.3.1c), co jest wystarczająco dokładnym przybliżeniem do celów praktycznych. W analizowanym przypadku Uf1 obliczone z wzoru (4) ma wartość: U f 1 = 220 + 50,6 ⋅ (0,5 ⋅ 0,75 + 0,9 ⋅ 0,661) = 269,1 V Napięcie przewodowe na początku linii wyniesie: U 1 = 3 ⋅ U f 1 = 3 ⋅ 269,6 ≅ 467 V. Po włączeniu baterii kondensatorów (rys.4.3.2a) wypadkowy współczynnik mocy wzrośnie do wartości cosϕk = 0,9 - natomiast prąd pobierany z sieci zmaleje do wartości: P 25000 Ik = = = 42,2 A. 3 ⋅ U ⋅ cosϕ k 3 ⋅ 380 ⋅ 0,9 Z wykresu wektorowego (rys.4.3.2b) wynika, że prąd przewodowy baterii Ic jest równy: (5) I c = I cosϕ (tgϕ − tgϕ k ) . Podstawiając do powyższego wyrażenie (1) na prąd I oraz Ic = Ufc ω C, po przekształceniach otrzymamy wyrażenie na pojemność jednej fazy baterii kondensatorów: P C= , (6) 3 ⋅ 2πfU 2fc co daje przy połączeniu baterii w gwiazdę (Ufc = Uf2 = 220V):

CY =

25000 = 548 ⋅ 10 −6 F/fazę, 2 3 ⋅ 2π ⋅ 50 ⋅ 220

lub przy połączeniu w trójkąt (Ufc = U2 =380V):

89 ODBIORNIK

Ik U f 1k

I k Rl

IC

Uf2

IkXl

I

C

a) U f 1k IkXl

IC

ϕ

ϕk

Uf2

Ik

I k Rl

IC

b)

I

Rys.4.3.2. Schemat układu z baterią kondensatorów (a); wykres wektorowy (b).

25000 = 183 ⋅ 10 − 6 F/fazę, 3 ⋅ 2π ⋅ 50 ⋅ 380 2 Napięcie fazowe na początku linii, potrzebne aby przy włączonych kondensatorach utrzymać pożądaną wartość 380V na końcu linii, można obliczyć z wzoru (4): U f 1k ≅ 220 + 42,2 ⋅ (0,5 ⋅ 0,9 + 0,9 ⋅ 0,436) = 255,5 V. CΔ =

Odpowiadające mu napięcie przewodowe wyniesie: U 1k = 3 ⋅ U f 1k = 3 ⋅ 255,5 ≅ 442,5 V. Zadanie 4.4. Napięciem fazy A trójfazowej czteroprzewodowej linii zasilającej o napięciu 380/220 V jest zasilany grzejnik o mocy 2 kW a napięciem fazy B żarówka o mocy 100W. Obliczyć wartości napięć jakie pojawią się na zaciskach poszczególnych odbiorników jeśli w przewodzie zerowym linii zasilającej powstanie przerwa. Skomentuj otrzymane wyniki. Odp. Ugrzejnika =18,1V; Użarówki =362V. Zadanie 4.5. Ile wynosi współczynnik mocy symetrycznego odbiornika trójfazowego jeśli wskazanie watomierza włączonego w sposób pokazany na rys.4.5.1 wynosi zero.

3 x 380 V

B

A

* * W

V

C

Rys.4.5.1. Układ połączeń do zad.4.5.

Odp.: cosϕ =1.

ODBIORNIK

A

90

5. TRANSFORMATORY I MASZYNY ELEKTRYCZNE. Zadanie 5.1. Transformator jednofazowy ma dane znamionowe: moc Sn=15kVA, U1n=6kV;U2n=231V; fn=50Hz; napięcie zwarcia uz%=4,2% , moc pobierana w stanie zwarcia Pzn=450W, moc pobierana przez transformator w stanie jałowym P0n=190W, prąd stanu jałowego zmierzony po stronie dolnego napięcia I20n=4,2A. Obliczyć: 1. parametry schematu zastępczego transformatora (przeliczone na stronę napięcia górnego). 2. sprawność transformatora: a) znamionową, b) przy obciążeniu prądem znamionowym i współczynniku mocy cosϕ odb=0,8ind. c) przy obciążeniu połową prądu znamionowego i współczynniku mocy jw. Rozwiązanie. Napięcie zwarcia uz% jest to taka wartość napięcia na zaciskach strony pierwotnej, która powoduje, przy zwartej stronie wtórnej, przepływ w uzwojeniach transformatora prądów znamionowych. Zatem można powiedzieć, że napięcie zwarcia jest równe spadkowi napięcia na impedancji transformatora Zz przy obciążeniu prądem znamionowym. Ilustruje to uproszczony schemat zastępczy transformatora podczas stanu zwarcia przedstawiony na rys.5.1.1. I1n

U1

Zz

U1z

I'2n

Rys.5.1.1. Schemat zastępczy transformatora w stanie zwarcia.

Prąd znamionowy strony górnej jest równy: Sn 15000 (1) = = 2,5 A U 1n 6000 Napięcie zwarcia przeliczone na stronę górnego napięcia wyniesie: U u 6000 ⋅ 4,2 (2) U 1z = 1n z % = = 252 V 100 100 Impedancja transformatora jest zatem równa: U 252 = 100,8Ω Z z = 1z = (3) 2,5 I 1n Impedancja Zz składa się z rezystancji RT oraz reaktancji rozproszenia Xz obydwu uzwojeń transformatora: Z z = Rz + jX z (4) Rezystancja Rz może być wyznaczona na podstawie mocy czynnej pobieranej w stanie zwarcia transformatora, równej w przybliżeniu stratom mocy w uzwojeniach przy obciążeniu prądem znamionowym(Pzn=ΔPCu). I 1n =

91

ΔPzn 450 = = 72Ω I 1n2 2,5 2 Reaktancja transformatora jest równa: Rz =

(5)

X z = Z z2 − R z2 = 100,8 2 − 72 2 = 70,5Ω . Uproszczony schemat zastępczy transformatora przedstawia rys.5.1.2a Rz

Xz

U1

U'2

.

a)

R1

X1

A

X'2

E1 = E'2

U1

b)

(6)

R'2

U'2

B

Rys.5.1.2. Uproszczony schemat zastępczy transformatora.

Zwykle przyjmuje się, że rezystancje i reaktancje rozproszenia obydwu uzwojeń przeliczone na jedną stronę transformatora są w przybliżeniu jednakowe. Zatem Rz i Xz mogą być podzielone następująco: R R1 ≈ R2 ' ≈ z = 36Ω (7a) 2 X X 1 ≈ X 2 ' ≈ z = 35,25Ω (7b) 2 Schemat zastępczy uwzględniający powyższy podział impedancji przedstawia rys.5.1.2b. Takie uproszczone schematy zastępcze zawierające jedynie elementy „podłużne” są stosowane w większości przypadków analizy obwodów w których występują transformatory gwarantując wystarczającą dokładność. Jednak w przypadku kiedy przedmiotem analizy jest sam transformator, korzysta się z pełnego schematu zastępczego w którym występują również parametry „poprzeczne” uwzględniające prąd jałowy I0 oraz jego składowe: bierną - prąd magnesujący Im i czynną - prąd strat w rdzeniu IFe. (8) I 0 = I Fe + jI μ Ponieważ obydwa te prądy są proporcjonalne do wartości siły elektromotorycznej E indukowanej przez strumień główny transformatora odpowiadające im elementy Xμ i RFe są włączone w schemacie między punktami A i B. Rezystancja RFe może być obliczona na podstawie wyników pomiarów stanu jałowego. Ponieważ w stanie jałowym prąd pobierany przez transformator I0 jest mały w porównaniu z prądem znamionowym In, można pominąć straty mocy w uzwojeniu i uznać, że moc

92

pobierana przez transformator P0n jest równa stratom mocy w rdzeniu transformatora ΔPFe oraz, że siła elektromotoryczna E jest w przybliżeniu równa napięciu zasilającemu U1. Zatem: U 12n 6000 2 = = 189,5 kΩ. (9) RFe = 190 P0 n Prąd IFe płynący przez tę rezystancję wynosi: U 6000 (10) = 0,0317 A. I Fe = 1n = RFe 189500 Podany prąd stanu jałowego I20n został zmierzony przy zasilaniu strony dolnego napięcia. Po przeliczeniu na stronę napięcia górnego wynosi: I 4,5 (11) I 10n = 20n = = 0,173 A. ϑ 6000 / 231 gdzie ϑ − przekładnia transformatora. Na podstawie wyrażenia (8) można obliczyć prąd magnesujący Iμn: 2 I μn = I 102 n − I Fe = 0,1732 − 0,0317 2 = 0,17 A

(12)

Reaktancja gałęzi magnesującej Xμ jest równa: U 6000 X μ = 1n = = 35,29 kΩ. I μn 0,17 Pełny schemat zastępczy transformatora ma postać jak na rys.5.1.3. R1

X1

X'2

(13)

R'2

I0 IFe U1

RFe

Iμ Xμ

U'2

Rys.5.1.3.Pełny schemat zastępczy transformatora.

Sprawność transformatora można wyrazić ogólną zależnością Podd , (14) η= Podd + ΔPFe + ΔPCu w której: Podd – moc oddawana przez transformator, ΔPFe , ΔPCu – straty mocy, odpowiednio w rdzeniu i w uzwojeniach transformatora jakie występują przy danym obciążeniu. Ponieważ transformator pracuje zwykle przy stałej, znamionowej wartości napięcia, strumień magnetyczny w rdzeniu będzie również w przybliżeniu stały; stałe będą zatem i straty mocy w rdzeniu ΔPFe, równe w przybliżeniu mocy pobieranej w stanie jałowym Pon. Straty mocy w uzwojeniach ΔPCu zależą natomiast od kwadratu prądu płynącego przez te uzwojenia. W stanie zwarcia, natomiast, strumień magnetyczny w rdzeniu jest niewielki, straty w rdzeniu są pomijalnie małe, można zatem przyjąć, że moc pobierana w tym stanie Pzn

93

jest równa znamionowym stratom w uzwojeniu. Straty mocy w uzwojeniach transformatora obciążonego dowolnym prądem I= β ⋅ In wynoszą: 2

⎛ I ⎞ ΔPCu = ⎜⎜ ⎟⎟ ΔPzn = β 2 ΔPzn . ⎝ In ⎠ Jeśli dodatkowo uwzględnić, że moc oddawana przez transformator przy obciążeniu dowolnym prądem β ⋅ In jest rowna: Pood = β S n cos ϕ ,

(15)

(16)

to zależność (14) będzie miała postać:

η=

β S n cosϕ β S n cosϕ + P0 n + β 2 Pzn

(17)

Sprawność znamionową transformatorów wyznacza się dla współczynnika mocy równego 1. Po podstawieniu do powyższego wzoru: β=1, cosϕ=1otrzymamy:

ηn =

15000 = 0,959 . 15000 + 190 + 450

Sprawność transformatora obciążonego znamionowym prądem (β =1) lecz przy współczynniku mocy 0,8ind wyniesie: 15000 ⋅ 0,8 ηb = = 0,949 15000 ⋅ 0.8 + 190 + 450 Sprawność transformatora obciążonego połową prądu znamionowego (β = 0,5) przy współczynniku mocy 0,8ind jest równa: 0,5 ⋅ 15000 ⋅ 0,8 ηc = = 0.952 0,5 ⋅ 15000 ⋅ 0,8 + 190 + 0,5 2 ⋅ 450 Zadanie5.2. Silnik indukcyjny trójfazowy, klatkowy, o danych znamionowych: Pn =9 kW; Un =380 V; f=50 Hz; nn =1430 obr/min; cosϕn = 0,86; ma przeciążalność momentem λ=2,4 i stosunek momentu rozruchowego do momentu znamionowego δ = 1,5. Wyznaczyć charakterystykę mechaniczną silnika T=f(n), oraz jego prędkość obrotową przy obciążeniu momentem znamionowym jeśli napięcie zasilające obniży się o 10%. Rozwiązanie Przy wyznaczaniu charakterystyki mechanicznej posłużymy się uproszczonym wzorem Klossa: T 2 ≅ s sk Tmax + sk s w którym: T – moment obrotowy przy poślizgu s, Tmax – moment maksymalny, odpowiadający poślizgowi krytycznemu sk Podstawiając do wzoru za T i s znamionowe wartości Tn i sn, oraz uwzględniając, że przeciążalność λ = Tmax / Tn po przekształceniach otrzymujemy zależność na poślizg krytyczny:

(1)

94

(2) s k = s n ( λ + λ2 − 1) Znamionowa prędkość 1430obr/min wskazuje, że jest to silnik o dwóch parach biegunów, o prędkości synchronicznej ns = 1500 obr/min. Zatem znamionowy poślizg sn jest równy: n − n n 1500 − 1425 sn = s = = 0,05. (3) ns 1500 Po podstawieniu do (2) można obliczyć poślizg krytyczny: s k = 0,05( 2,4 + 2,4 2 − 1 ) = 0,229 . Wartość momentu znamionowego wynosi: Pn 9000 Tn = = = 60,3 N⋅m. 2π ⋅ n n / 60 2π ⋅ 1425 / 60 Moment maksymalny jest równy: Tmax = λ ⋅ Tn = 2,4 ⋅ 60,3 = 144,7 N⋅m. Podstawiając obliczone wartości Tmax i sk do wzoru (1) otrzymamy zależność T=f(s) będącą analitycznym wyrażeniem szukanej charakterystyki mechanicznej silnika: 2 ⋅ 144,7 . T= s 0,229 + 0,229 s W tabeli 1 zestawiono obliczone wartości momentu obrotowego T i prędkości obrotowej n dla wybranych wartości poślizgu s. Tabela 5.1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,229 0,5 1 s N [obr/min] 1500 1425 1350 1275 1200 1156 750 0 0 60,3 106 132 143 144,7 109 62,9 T[N⋅m]

Przebieg charakterystyki T=f(n) wykreślonej na podstawie tabeli przedstawia krzywa (a) na rys.5.2.1. 160

T [N·m] 144,7

140 120

a

b

100

c

80

(1405; 60,3)

60 40

(1425; 60,3)

20 0 0

250

500

750 1000 n [obr/min]

1156

1250

1500

Rys.5.2.1. Charakterystyka silnika obliczona wg wzoru Klossa.

Należy pamiętać, że dokładność wzoru Klossa maleje ze wzrostem poślizgu, gdyż, nie jest w nim, między innymi, uwzględniane zjawisko wypierania prądu w prętach wirnika. Obliczone wartości momentu obrotowego są na ogół niższe od rzeczywistych. Dlatego przybliżony

95

przebieg charakterystyki w zakresie od n = 0 do nk będzie dokładniej szacowany jeśli posłużyć się wartością momentu rozruchowego, który jest zwykle podawany w danych katalogowych silnika. W rozpatrywanym przypadku: T δ = r = 1,5 - zatem Tr =1,5⋅60,3=90,45 N⋅m. Tn Skorygowana niestabilna część charakterystyki narysowana jest linią przerywaną (krzywa b). Moment obrotowy silnika jest proporcjonalny do kwadratu napięcia zasilającego, zatem charakterystykę mechaniczną silnika przy obniżonym o 10% napięciu można uzyskać mnożąc poszczególne rzędne charakterystyki naturalnej (przy napięciu znamionowym) przez: 2

2

⎛U ⎞ ⎛ 0,9 ⋅ U n ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 0,81 . ⎝Un ⎠ ⎝ Un ⎠ Tak przeliczoną charakterystykę przedstawia krzywa c. Wartość prędkości obrotowej silnika obciążonego momentem znamionowym przy obniżonym napięciu można znaleźć na przecięciu tej krzywej z prostą T = Tn . Prędkość odczytana z wykresu wynosi 1405 obr/min. Wartość tę można również znaleźć obliczając odpowiadający jej poślizg na podstawie wzoru Klossa, do którego w miejsce Tmax należy podstawić 0,81⋅Τmax = 117,2 N⋅m. Wartość poślizgu krytycznego pozostaje nie zmieniona, gdyż nie zależy ona od napięcia zasilającego.

Zadanie 5.3. Twornik silnika obcowzbudnego prądu stałego o danych znamionowych: Pn=22kW; Un=220V; Itn=112A; nn=1250obr/min; napięcie wzbudzenia Ufn=220V; prąd wzbudzenia Ifn=1,9A; rezystancja obwodu twornika Rt=0,1Ω, jest zasilany regulowanym napięciem z prostownika tyrystorowego. Silnik pracuje przy znamionowym prądzie wzbudzenia i jest obciążony stałym momentem oporowym równym momentowi znamionowemu. Obliczyć: 1) znamionowy moment obciążenia (Tn), 2) minimalne napięcie twornika przy którym silnik rusza (Umin), 3) napięcie twornika przy którym silnik pracuje z prędkością n = 0,5nn (U0,5), 4) sprawność znamionową silnika (ηn) oraz sprawność (η) przy warunkach jak w p.3. W obliczeniach założyć brak nasycenia obwodu magnetycznego silnika oraz pominąć wpływ oddziaływania twornika. Rozwiązanie Schemat elektryczny silnika przedstawia rys.5.3.1. Rt

It

It Rt

M

E

L1 Ut

If Uf

Rys.5.3.1. Schemat zastępczy silnika obcowzbudnego.

L2 L3

~

96

Moment znamionowy silnika P 22000 Tn = n = = 168 N⋅m. ω n 2π ⋅ n / 60

(1)

Aby rozpocząć rozruch silnika jego moment obrotowy musi być minimalnie większy od momentu oporowego równego momentowi znamionowemu. Moment obrotowy silnika można wyrazić iloczynem: (2) T = cT Φ I t . Ponieważ silnik pracuje przy stałym (znamionowym) prądzie wzbudzenia stały będzie strumień Φ, zatem dla wytworzenia znamionowego momentu obrotowego przy rozruchu należy wymusić w obwodzie twornika prąd o wartości znamionowej Itn. Ze schematu na rys.5.3.1 na podstawie II prawa Kirchhoffa można znaleźć ogólną zależność na napięcie zasilające twornik: U t = E + I t Rt Podstawiając do powyższego wzoru It=Itn i uwzględniając, że siła elektromotoryczna indukowana w tworniku silnika E = cE Φn , jest przy nieruchomym wirniku równa zero, otrzymamy:

(3)

(4)

U t min = I tn Rt = 112 ⋅ 0.1 = 11,2 V.

Napięcie twornika przy prędkości obrotowej 0,5nn można znaleźć uwzględniając we wzorze (3) zależność (4): (5) U t 0,5 = 0,5 ⋅ c E Φ nn + I tn Rt . Można zauważyć, że cE⋅Φ⋅nn w powyższej zależności jest równe znamionowej sile elektromotorycznej, która może być obliczona po przekształceniu wzoru (3) i podstawieniu wartości znamionowych prądu i napięcia twornika: E n = c E Φ n n = U tn − I tn Rt = 220 − 112 ⋅ 0,1 = 208,8 V. Podstawiając otrzymaną wartość do wzoru (5) otrzymamy:

U t 0,5 = 0,5 ⋅ 208,8 + 112 ⋅ 0,1 = 115,6 V Sprawność znamionowa silnika wynosi: Pn Pn 22000 = = = 0,878. ηn = Pnpob I tnU tn + I fnU fn 112 ⋅ 220 + 1,9 ⋅ 220 Przy założonym stałym momencie obciążenia, równym znamionowemu, moc P oddawaną przez silnik przy dowolnej prędkości obrotowej n można obliczyć z zależności: n P= Pn nn Zatem sprawność silnika przy prędkości 0,5nn wyniesie:

η 0,5 =

P0,5 P0,5 pob

=

0,5 ⋅ Pn 0,5 ⋅ 22000 = = 0,823. I tnU t 0,5 + I fnU fn 112 ⋅ 115,6 + 1,9 ⋅ 220

97

Zadanie 5.4. Silnik szeregowy prądu stałego ma następujące dane znamionowe: Pn=5,1kW; Un=220V; In=28A; nn=1500obr/min; rezystancja twornika Rt=0,35Ω; rezystancja uzwojenia wzbudzenia Rf=0.45Ω. Οbliczyć: 1) znamionowy moment obrotowy (Tn), 2) sprawność przy obciążeniu znamionowym (ηn), Opisać przebieg zjawisk jakie wystąpią jeśli moment oporowy silnika pracującego w warunkach znamionowych zostanie zmniejszony do wartości 0,3Tn. Obliczyć ustaloną prędkość obrotową silnika w nowym punkcie pracy. W obliczeniach założyć brak nasycenia obwodu magnetycznego silnika oraz pominąć wpływ oddziaływania twornika. Rozwiązanie: Schemat elektryczny silnika szeregowego przedstawia rys.5.4.1. Rt

Rf

It Rt

It Rf

E

It

U

Rys.5.4.1.Schemat połączeń silnika szeregowego.

Moment znamionowy silnika Tn =

100 = 32,5 N⋅m. 2π ⋅ 1500 / 60

(1)

Pn P 5100 = n = = 0,828 Pn pob U n I n 220 ⋅ 28

(2)

Pn

ωn

=

Znamionowa sprawność:

ηn =

Jeśli moment obciążenia na wale silnika pracującego w znamionowym punkcie pracy (Tn; nn; Un; In) zostanie nagle zmniejszony do wartości T, to w układzie wystąpi przewaga momentu napędowego nad oporowym o początkowej wartości (Tn-T) pod wpływem której układ zacznie zwiększać prędkość obrotową. Ponieważ jednocześnie ze wzrostem prędkości obrotowej pojawiają się czynniki powodujące zmniejszenie momentu napędowego silnika wzrost ten będzie trwał aż do osiągnięcia nowego punktu równowagi przy prędkości n, przy której moment wytwarzany przez silnik zrówna się z momentem oporowym. Moment obrotowy wytwarzany przez silnik prądu stałego jest proporcjonalny do strumienia wzbudzenia Φ i prądu twornika It. T ∝ ΦI t ∝ I f I t . Przy poczynionych założeniach upraszczających, strumień Φ jest proporcjonalny do prądu wzbudzenia If. Ponieważ w silniku szeregowym prąd wzbudzenia jest równy prądowi twornika, wytwarzany moment można wyrazić wzorem: T = cT I t2 , (3) w którym cT jest stałą zależną od konstrukcji silnika.

98

Prąd twornika jaki ustali się w nowym punkcie równowagi będzie równy: T It = . (4) cT Stałą cT można obliczyć przekształcając zależność (3) i podstawiając znamionowe wartości momentu i prądu twornika: T (5) c T = n2 . In Po wstawieniu tak wyrażonej stałej cT do wzoru (4) obliczamy wartość prądu twornika odpowiadającego momentowi w nowym punkcie równowagi: T It = I = 0,3 ⋅ 28 = 15,3 A. (6) Tn n Przyczyną obniżenia się wartości prądu w obwodzie twornika jest wzrost siły elektromotorycznej E, co można prześledzić na podstawie obwodu elektrycznego silnika (rys.5.4.1). Prąd w tym obwodzie jest równy: U −E It = n . Rt + R f

(7)

Siła elektromotoryczna E jest proporcjonalna do iloczynu strumienia wzbudzenia Φ i prędkości obrotowej n ( E ∝ Φ n ). Jak to już wspomniano przy wyprowadzaniu zależności (3), strumień Φ w silniku szeregowym jest proporcjonalny do wartości prądu twornika. Zatem: (8) E = cE I t n , gdzie: cE - stała, zależna od konstrukcji silnika. Uwzględniając (8) we wzorze (7) otrzymamy: U n − cE I t n It = . (9) Rt + R f Po przekształceniu otrzymujemy zależność na szukaną prędkość obrotową : n=

U n − I t ( Rt + R f )

. (10) cE I t Stałą cE można wyznaczyć na podstawie znamionowego punktu pracy przekształcając odpowiednio powyższą zależność i podstawiając znamionowe wartości napięcia, prądu i prędkości obrotowej. W wyniku otrzymujemy: U n − I tn ( Rt + R f ) cE = . (11) I tn nn Ostatecznie, wartość prędkości obrotowej w nowym punkcie równowagi jest równa: n = nn ⋅

I tn U n − I t ( Rt + R f ) 28 220 − 15,3 ⋅ (0,35 + 0,45) ⋅ = 1500 ⋅ ⋅ = 2885 obr/min. I t U n − I tn ( Rt + R f ) 15,3 220 − 28 ⋅ (0,35 + 0,45)

Zadanie 5.5. Napięcie międzyfazowe strony wtórnej transformatora o grupie połączeń Yd5 wynosi 380V. Ile wyniesie to napięcie po zmianie połączeń uzwojeń strony wtórnej tak aby uzyskać grupę połączeń Yy0. Odp.: U = 660V.

99

Zadanie 5.6. Silnik obcowzbudny z zad.5.3. jest zasilany z sieci o napięciu 220V. Przyjmując upraszczające założenia jak w zad. 5.3 obliczyć rezystancję rozrusznika jaki należy włączyć w szereg z twornikiem silnika aby początkowy moment rozruchowy był równy 2 Tn. Jaką wartość będzie miała krotność prądu twornika w pierwszej chwili rozruchu. Odp.: Rr = 0,88Ω ; Itr / Itn = 2. Zadanie 5.7. Obliczyć rezystancję rozrusznika jaki należy włączyć w szereg z silnikiem szeregowym z zad.5.4, aby początkowy moment rozruchowy przy zasilaniu z sieci 220V był równy 2 Tn. Jaką wartość będzie miała krotność prądu rozruchowego Itr / Itn. Przy obliczeniach przyjąć założenia upraszczające jak w zad.5.4. Porównać wyniki z wynikami zadania 5.6. Odp.: Rr = 4,47 Ω ; Itr / Itn = 2 . Zadanie 5.8. Silnik indukcyjny pierścieniowy o prędkości znamionowej 2870 obr/min ma przeciążalność momentem λ=3,2. Rezystancja wirnika wynosi 0,167 Ω/fazę. Obliczyć rezystancję rozrusznika jaki należy przyłączyć do pierścieni silnika aby jego moment rozruchowy był równy momentowi maksymalnemu. Odp.: Rr = 0,45 Ω/fazę. Zadanie 5.9. Obliczyć rezystancję opornika jaki należy włączyć na pierścienie wirnika silnika z zad.5.8 aby uzyskać maksymalny moment hamujący w pierwszej chwili po zmianie kolejności faz napięcia zasilającego silnik pracujący przy obciążeniu znamionowym ( hamowanie przeciwprądem). Odp.: Rh = 0,90Ω/fazę.