Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blo http://madematica.blogspot.com gspot.com NÚMEROS COMPLEXOS RESUMO TEÓRICO E QUESTÕES DA AFA DE 1998 A 2017 UNIDADE IMAGINÁRIA i 2 1
NÚMERO COMPLEXO z x y i , onde x, y
e i é a unidade imaginária
Parte real de z : x Re z Parte imaginária de z : y Im z A notação acima é denominada forma algébrica do número complexo. Conjunto dos números complexos: z x y i | x, y i 2 1
IGUALDADE Sejam z, w , então z w Re z Re w Im z Im w
POTÊNCIAS DE i i 0 1 i1 i 2 i 1 3 2 i i i ( 1) i i 4 3 2 i i i (i) i i ( 1) 1
i 4k i 0 1 4k 1 i1 i i , k 4 k 2 2 i 1 i 4k 3 3 i i i
Ex.: i 273 i 4.681 i1 i
MÓDULO Seja z x y i , x, y
, então o módulo de z é denotado por z e dado por z x 2 y2
Propriedades
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blo http://madematica.blogspot.com gspot.com z z w w
zw z w
n zn z
n
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Sejam z a b i e w c d i , a,b,c,d
.
Adição e subtração z w a c b d i z w a c b d i
Ex.: z 2 4i e w 3 2i 2i z w 2 3 4 2 i 5 2i z w 2 3 4 2 i 1 6i
Multiplicação z w a bi c di di ac ad adi bci bdi 2 ac bd b d ad bc i
Ex.: z 2 4i e w 3 2i 4i 3 2i 2i 6 4i 4i 12 12i 8i 8i 2 14 8i 8i 2i z w 2 4i
Divisão zw
Ex.: z 2 4i e w 3 2i 2i
z a bi a bi c di di ac bd b d bc ad ad 2 2 2 2i w c di d i c di d i c di di c d c d
2 4i 4i 2 4i 4i 3 2i 2i 6 8i 8i 2 4i 12i 2 16i 2 16 i zw 2 2 3 2i 3 2i 3 2i 1 3 1 3 13 3 2
CONJUGADO Seja z x y i , x, y
, então o conjugado de z é denotado por z e dado por
z x y i
Propriedades: z z 2 Re z
z z 2 Im z i
z z x yi x yi x 2 y 2 z
z wzw
zw z w
z z w w
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z 1
z z
2
2
Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com PLANO DE ARGAND - GAUSS
O ponto P x , y é denominado afixo do número complexo z x yi . x Re z y Im z Módulo: OP z x 2 y 2
LUGARES GEOMÉTRICOS A distância entre os afixos dos números complexos z e z 0 é z z 0 .
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que z z 0 r , onde r * , é uma circunferência de centro em z 0 e raio r .
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O conjunto dos pontos do plano complexo tais que z z1 z z 2 é a mediatriz do segmento determinado pelos afixos de z1 e z 2 .
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que z z1 z z 2 2a , onde 2a z1 z 2 , é uma elipse de focos z1 e z 2 , e eixo maior 2a . O conjunto dos pontos do plano complexo tais que z z1 z z 2 2a , onde 2a z1 z 2 , é um ramo de hipérbole (ramo mais próximo de z 2 ) de focos z1 e z 2 , e eixo real 2a .
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com FORMA TRIGONOMÉTRICA
Módulo: OP z x 2 y 2 x y Forma trigonométrica: z x yi i cos sen i cis 0,2 é chamado de argumento principal do número complexo z .
Conjugado de um número complexo na forma trigonométrica: z r cis z r cis Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica z r cis z r z w rs cis e cis w s cis w s
Inverso de um número complexo :
1 1 1 r cis z cis 2 z r cis r r 2 z
PRIMEIRA FÓRMULA DE DE MOIVRE z cis z n n cis n
SEGUNDA FÓRMULA DE DE MOIVRE z n cis z n cis
2k n
, k 0,1, 2,
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, n 1
Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com RAÍZES DA UNIDADE As raízes de z n 1, n
*
, são denominadas raízes n-ésimas da unidade e são dadas por:
k cis
2k , k 0,1, 2, n
, n 1
Os afixos das raízes n-ésimas da unidade são vértices de um polígono regular de gênero n inscrito em uma circunferência de raio 1 . Observe que p q p q .
ENUNCIADOS DOS EXERCÍCIOS 1) (AFA 1998) A solução da equação 10 a) 21 11 b) 2 c) 31 12 d) 4
68 4i 2
10
x
21 2 17 4i 2 , i 1 é:
2) (AFA 1999) Os valores reais de x , para os quais a parte real do número complexo z pertencem ao conjunto (intervalo) a) .
x 2i é negativa, x i
b) 0 . c) 1,1 . d) 2, 2 . 1 2
i 2
3) (AFA 2000) Seja z o conjugado do número complexo z . A sequência de todos os valores de n , n tal que z seja um imaginário puro, é uma progressão a) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 8 . b) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 2 . c) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 4 . d) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 1 .
4) (AFA 2000) Considere o polinômio P z z2 2z iw , w . Se P 3 2i 1 10i , onde i 1 , então uma forma trigonométrica de w é:
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com a) 2 2 cos i sen 4 4 3 3 b) 2 2 cos i sen 4 4 5 5 c) 2 2 cos i sen 4 4 7 7 d) 2 2 cos i sen 4 4 5) (AFA 2001) A soma dos treze primeiros termos da progressão geométrica 2i, 2, , onde i 1 , é a) 0 b) 2i c) 2i d) 2i 2 2 6) (AFA 2002) Considere no campo complexo uma curva tal que Im k , onde z é um complexo não nulo. z Se k 2 , tem-se sua representação gráfica dada pelo 1 e tangente ao eixo real. 4 1 b) círculo de raio e tangente ao eixo imaginário. 2
a) círculo de raio
c) conjunto de pontos do plano complexo exterior ao círculo de raio d) círculo de raio
1 2
1 e centro , 0 2 2
1
e tangente ao eixo real.
7) (AFA 2002) Os pontos A, B e C são afixos das raízes cúbicas do número complexo z . Se n é o menor natural não nulo para o qual z n é um real positivo, então n é igual a
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 8) (AFA 2003) Analise as alternativas e marque a correta. 2 a) Dado o complexo z m mi , onde m * e i é a unidade imaginária, pode-se dizer que o afixo de z é, em relação à origem, simétrica do afixo 2m2 ,0 . b) No plano de Argand-Gauss os complexos z , tais que z 1 1 , são representados pelos pontos do círculo de centro 0,1 e raio unitário. 8
c) Se n e i a unidade imaginária, então i n 1 i n é um número real maior do que zero. d) Se z a bi ( a * , b e i é a unidade imaginária) é um complexo, então z z é sempre um número complexo imaginário puro. 9) (AFA 2004) Analise as sentenças abaixo, classificando-as em VERDADEIRA(S) ou FALSA(S), considerando i 1 . A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. I) A representação geométrica dos números complexos z tais que z 1 i 2 é um círculo de centro C 1, 1 e raio 2 . 7 1 i 7 II) A forma trigonométrica de z é z 2 cos i sen . i III) Se z cos i sen , então z z i 2 ,
4 .
4
a) V, V, V b) V, V, F c) F, F, V d) V, F, V
10) (AFA 2005) Considere i 2 1 e 0, 2 ,
2
e
3 . Se z tg i , então a soma dos valores de 2
para os quais z 2 é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 11) (AFA 2005) Considere o número complexo z tal que z z 2 i , onde i 1 e identifique entre as opções abaixo, as que são corretas. (01) O afixo de z é ponto do 1o quadrante. 1002 3 (02) z é real positivo. 4 n
1 (04) O menor inteiro positivo n para o qual z é real negativo pertence ao intervalo 2, 5 . 4 A soma das opções corretas é igual a a) 6 b) 5 c) 3 d) 2
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 1 2
12) (AFA 2006) Considere o número complexo z
i 3 e calcule z n . No conjunto formado pelos quatro 2
menores valores naturais de n para os quais z n é um número real, a) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 4 . b) há elementos cuja soma é igual a 30 . c) existe um único número ímpar. d) existe apenas um elemento que é número primo. 13) (AFA 2006) Analise as afirmativas abaixo referentes aos números complexos z
3 i e w 1 i . 2 2
(01) z w10 é um número imaginário puro. 1 1 (02) O afixo de w 1 é o ponto , . 2 2 11 11 (04) A forma trigonométrica de z cos i sen . 6
6
(08) As raízes quartas de w são vértices de um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem e raio r 4 2 . Somando-se os números associados às afirmativas verdadeiras obtém-se um total t , tal que a) t 1, 4 b) t 5,8 c) t 9,12 d) t 13,15 14) (AFA 2007) Seja z um número complexo não nulo e i a unidade imaginária ( i 2 1 ), z i . O conjunto zi de todos os valores de z , para os quais é um número real, representa um(a) 1 i z a) elipse. b) hipérbole. c) circunferência. d) círculo. 15) (AFA 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z1 x 2i , z 2 2i , z3 2 3i e z 4 x yi , onde x e y são números reais quaisquer e i 2 1 . Sobre o conjunto desses números complexos que atendem simultaneamente às condições I) Re z1 z2 Im z1 z2 II) z3 z4 2 É correto afirmar que a) possui vários elementos que são números reais. b) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta r 2x 3y 0 . c) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de área. d) possui vários elementos que são números imaginários puros.
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 16) (AFA 2009) Considere todos os números complexos z x yi , onde x , y z 1
e i 1 , tais que
2 . Sobre esses números complexos z , é correto afirmar que 1 i
a) nenhum deles é imaginário puro. b) existe algum número real positivo. c) apenas um é número real. d) são todos imaginários. 17) (AFA 2010) Sejam z x yi ( x * , y * e i a unidade imaginária), z o conjugado de z e o lugar geométrico dos pontos P x , y do plano cartesiano para os quais z z 2x 3 . Se A e B são os pontos de interseção de com o eixo Oy e se A ' é o ponto de interseção de com o eixo Ox que possui a menor abscissa, então a área do triângulo A'AB é, em unidades de área, igual a a) 2 3 b) 2 2 c) 3 d) 2 18) (AFA 2011) O número complexo z a bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura abaixo.
É correto afirmar que o conjugado de z 2 tem afixo que pertence ao a) 1º quadrante. b) 2º quadrante. c) 3º quadrante. d) 4º quadrante. 19) (AFA 2012) O valor de n tal que
n
1 i j 31 i , sendo i a unidade imaginária, é j1
a) par menor que 10 . b) primo maior que 8 . c) ímpar menor que 7 . d) múltiplo de 9 . 20) (AFA 2013) Considerando os números complexos z1 e z 2 , tais que: • z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante •
z 2 é a raiz da equação x 4 x 2 12 0 e Im z 2 0
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com Pode-se afirmar que z1 z 2 é igual a b) 3 3
a) 2 3
c) 1 2 2
d) 2 2 2
21) (AFA 2014) Considere no plano complexo, o conjunto dos números z x yi ; x, y satisfazem a condição z 2z 1 . É FALSO afirmar que a) este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a b) z 1 é o elemento de maior módulo, neste conjunto.
e i 2 1 que
1 . 3
1 3
c) z é o elemento de maior argumento, neste conjunto. d) não existe z , neste conjunto, que seja imaginário puro. 1 2
22) (AFA 2015) Considere os números complexos z1 x i , z 2 i , z3 1 2i e z 4 x yi em que x
, y
*
e
i 2 1 e as relações:
I. Re z1 z2 Im z1 z2 II. z3 z 4 5 O menor argumento de todos os complexos z 4 que satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é a) b) 0 c) d) 6
2
3
23) (AFA 2016) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z x yi , onde i 1 e cujos afixos são os pontos P x , y 2 . Dada a equação z 1 i 4 1 , sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que a) apenas um deles é imaginário puro. b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. c) o conjugado do que possui maior argumento é 1 2i . d) nem todos são números imaginários. 24) (AFA 2017) Resolva a equação z3 1 0 no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). ( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. ( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é ( ) Duas das raízes são conjugadas. ( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. A sequência correta é a) V – F – V – V b) V – V – F – V
c) F – F – V – F
3 3 unidades de área. 2
d) V – F – V – F
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 1) (AFA 1998) A solução da equação 10 a) 21 11 b) 2 c) 31 12 d) 4
68 4i 2
x
21 , i 1 é: 2 17 4i 2
10
RESOLUÇÃO: a
2 10
17 4i 2
21
68 4i 2
10
2 17 4i 2 10
21
2
2
2 17 4
10
2
68 4i 2 68 4i 2 68 4 2 10
2
2
1010 21
1021
x
x 21 21 10 1021 1011x 1021 11x 21 x 2 17 4i 2 10 10 11
2) (AFA 1999) Os valores reais de x , para os quais a parte real do número complexo z pertencem ao conjunto (intervalo) a) .
x 2i é negativa, x i
b) 0 . c) 1,1 . d) 2, 2 . RESOLUÇÃO: a x 2i x i x 2i x i x 2 xi 2xi 2i 2 x 2 2 3xi z x i x i x 2 i2 x 2 1 x 2 1 2 x 2 Re z 2 0 x 2 2 0 2 x 2 x 2, 2 x 1
1 2
i 2
3) (AFA 2000) Seja z o conjugado do número complexo z . A sequência de todos os valores de n , n tal que z seja um imaginário puro, é uma progressão a) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 8 . b) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 2 . c) aritmética com primeiro termo igual a 2 e razão 4 . d) geométrica com primeiro termo igual a 2 e razão 1 .
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com RESOLUÇÃO: c
1 i 1 2 2 1 1 cis z cis i 2 2 2 4 2 2 2 2 4 n n n n n z n 2 cis 2 cos i sen 4 4 4 n n n Para que z seja imaginário puro, devemos ter cos 0 k, k 4 4 2 Logo, n deve pertencer a uma P.A. de primeiro termo 2 e razão 4 . z
n 2 4k, k
4) (AFA 2000) Considere o polinômio P z z 2 2z iw , w . Se P 3 2i 1 10i , onde i 1 , então uma forma trigonométrica de w é: a) 2 2 cos i sen 4 4 3 3 b) 2 2 cos i sen 4 4 5 5 c) 2 2 cos i sen 4 4 7 7 d) 2 2 cos i sen 4 4 RESOLUÇÃO: d 2
P 3 2i 3 2i 2 3 2i iw 1 8i iw 1 10i iw 2 2i w 2i 2
2 2 7 w 2 2 i 2 2cis 2 4 2 5) (AFA 2001) A soma dos treze primeiros termos da progressão geométrica 2i, 2, , onde i 1 , é a) 0 b) 2i c) 2i d) 2i 2 RESOLUÇÃO: b a1 2i ; a 2 2 a 2 q 2 i a1
2i
a1 q13 1 2i i13 1 2i i 1 2i S13 q 1 i 1 i 1
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 2 6) (AFA 2002) Considere no campo complexo uma curva tal que Im k , onde z é um complexo não nulo. z Se k 2 , tem-se sua representação gráfica dada pelo
a) círculo de raio b) círculo de raio
1 4 1 2
e tangente ao eixo real. e tangente ao eixo imaginário.
c) conjunto de pontos do plano complexo exterior ao círculo de raio d) círculo de raio
1 2
1 e centro , 0 2 2
1
e tangente ao eixo real.
RESOLUÇÃO: d z x yi
2 x yi 2 2 2x 2y 2 2 2 2 2 2i z x yi x y x y x y 2
2
2y 1 1 2 2 2 2 2 2 Im 2 2 2 2y 2x 2y x y y 0 x y z 2 2 x y2 1 1 A última equação representa um círculo de centro 0, e raio , que tangencia o eixo real. 2 2 7) (AFA 2002) Os pontos A, B e C são afixos das raízes cúbicas do número complexo z . Se n é o menor natural não nulo para o qual z n é um real positivo, então n é igual a
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 RESOLUÇÃO: c 3
O ponto A é afixo do complexo w 2cis30 , então z w 3 2cis30 23 cis90 8i . n
zn 8i 8n in
O menor natural n para o qual z n é um real positivo, então n 4 .
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 8) (AFA 2003) Analise as alternativas e marque a correta. 2 a) Dado o complexo z m mi , onde m * e i é a unidade imaginária, pode-se dizer que o afixo de z é, em relação à origem, simétrica do afixo 2m2 ,0 . b) No plano de Argand-Gauss os complexos z , tais que z 1 1 , são representados pelos pontos do círculo de centro 0,1 e raio unitário. 8
c) Se n e i a unidade imaginária, então i n 1 i n é um número real maior do que zero. d) Se z a bi ( a * , b e i é a unidade imaginária) é um complexo, então z z é sempre um número complexo imaginário puro. RESOLUÇÃO: c a) FALSA 2
2
2
z m mi z m mi m2 1 i m2 2i 2m2i 2 O afixo de z é 0, 2m2 .
O simétrico de 2m2 ,0 em relação à origem é 2m2 ,0 . b) FALSA A inequação z 1 1 representa os pontos z cuja distância ao complexo 1 , que está associado ao ponto 1, 0 , é menor do que 1 . Assim, representa um círculo de centro 1, 0 e raio 1 . c) VERDADEIRA 4
8 8 8 i n 1 i n i i n i n i n i 18 i 8n 1 i 2 1 2i 4 16 d) FALSA
z z a bi a bi 2bi Se b 0 , então z z 0 .
9) (AFA 2004) Analise as sentenças abaixo, classificando-as em VERDADEIRA(S) ou FALSA(S), considerando i 1 . A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. I) A representação geométrica dos números complexos z tais que z 1 i 2 é um círculo de centro C 1, 1 e raio 2 . 7 1 i 7 II) A forma trigonométrica de z é z 2 cos i sen . i III) Se z cos i sen , então z z i 2 ,
4 .
4
a) V, V, V b) V, V, F c) F, F, V d) V, F, V
RESOLUÇÃO: a I) VERDADEIRA A inequação z 1 i 2 representa os pontos z cuja distância ao complexo 1 i , cujo afixo é 1, 1 , é menor ou igual a 2 , ou seja, um círculo de centro 1, 1 e raio 2 . II) VERDADEIRA
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com z
2 1 i i i2 2 7 2 1 i 2 i 2cis . 2 i 2 4 i
III) VERDADEIRA z cos i sen z 1 2
z z z 12 1 i2
10) (AFA 2005) Considere i 2 1 e 0, 2 ,
2
e
3 . Se z tg i , então a soma dos valores de 2
para os quais z 2 é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 RESOLUÇÃO: c 2
z tg i z tg i z tg 2 1 tg 2 1 2 tg 2 1 4 tg 3
2 4 5
3 , 3 , 3 , 3
Assim, a soma dos valores de é
2 4 5 4 . 3
3
3
3
11) (AFA 2005) Considere o número complexo z tal que z z 2 i , onde i 1 e identifique entre as opções abaixo, as que são corretas. (01) O afixo de z é ponto do 1o quadrante. 1002 3 (02) z é real positivo. 4 n 1 (04) O menor inteiro positivo n para o qual z é real negativo pertence ao intervalo 2, 5 . 4 A soma das opções corretas é igual a a) 6 b) 5 c) 3 d) 2
RESOLUÇÃO: b z z 2 i z z 2 i
x 2 y2 x 2 z x yi x y x yi 2 i y 1 3 x 2 1 2 x x 2 1 2 x 2 x 2 x 2
2
4
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 3 4
z i (01) VERDADEIRA (02) FALSA 1002 1002 z 3 3 i 3 i 4250 2 i 2 1 4 4 4 (04) VERDADEIRA n n n n z 1 3 i 1 1 i n 2 2 2 i 2cis 2 n cis n 4 4 4 2 4 4 2 n 4 2,5
A soma das opções corretas é 1 4 5 . 1 2
12) (AFA 2006) Considere o número complexo z
i 3 e calcule z n . No conjunto formado pelos quatro 2
menores valores naturais de n para os quais z n é um número real, a) existem números que estão em progressão aritmética de razão igual a 4 . b) há elementos cuja soma é igual a 30 . c) existe um único número ímpar. d) existe apenas um elemento que é número primo. RESOLUÇÃO: d 1 i 3 5 5n cis z n cis 2 2 3 3 5n 3k k, k n zn 3 5 z
Os quatro menores valores naturais de n ocorrem para k 0, 5,10,15 e são n 0, 3, 6, 9 , onde há apenas um número primo.
13) (AFA 2006) Analise as afirmativas abaixo referentes aos números complexos z
3 i e w 1 i . 2 2
(01) z w10 é um número imaginário puro. 1 1 (02) O afixo de w 1 é o ponto , . 2 2 11 11 (04) A forma trigonométrica de z cos i sen . 6
6
(08) As raízes quartas de w são vértices de um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem e raio r 4 2 . Somando-se os números associados às afirmativas verdadeiras obtém-se um total t , tal que a) t 1, 4 b) t 5,8
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com c) t 9,12 d) t 13,15 RESOLUÇÃO: b 2 3 i 2 7 z cis e w 1 i 2 i 2cis 2 2 6 2 2 4 (01) VERDADEIRA 10 7 70 3 10 z w 1 2cis 25 cis 32cis 32i que é um imaginário puro. 4 4 2 (02) VERDADEIRA w 1 i w 1
1 1 i
(04) VERDADEIRA
1 i 1 1 1 ,1 i 2 2 1 i2 2 2
11 z cis cis 6 6 6 (08) FALSA As raízes quartas de w são os vértices de um quadrado inscritos numa circunferência de raio z cis
4
w .
w 4 w 4 282 t 1 2 4 7 5,8 4
14) (AFA 2007) Seja z um número complexo não nulo e i a unidade imaginária ( i 2 1 ), z i . O conjunto zi de todos os valores de z , para os quais é um número real, representa um(a) 1 i z a) elipse. b) hipérbole. c) circunferência. d) círculo. RESOLUÇÃO: c x yi i x y 1i x y 1 i 1 y xi 2x 1 x 2 y 2 i zi 2 2 2 2 1 i z 1 i x yi 1 y xi 1 y x 1 y x
1 x 2 y2 0 x2 y2 1 que é uma circunferência. 15) (AFA 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z1 x 2i , z 2 2i , z3 2 3i e z 4 x yi , onde x e y são números reais quaisquer e i 2 1 . Sobre o conjunto desses números complexos que atendem simultaneamente às condições I) Re z1 z2 Im z1 z2 II) z3 z4 2 É correto afirmar que
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com a) possui vários elementos que são números reais. b) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta r 2x 3y 0 . c) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de área. d) possui vários elementos que são números imaginários puros. RESOLUÇÃO: d
z1 z2 x 2i 2i 4 2xi Re z1 z2 4 Im z1 z2 2x Re z1 z2 Im z1 z2 4 2x x 2 z3 z4 2 2 3i z 4 2 z 4 2 3i 2 que é um círculo de centro 2, 3 e raio 2 .
a) INCORRETA b) INCORRETA O elemento de menor módulo está na reta que liga á origem a z3 . Assim, y 3 3 0 3 y 3 x 2 3x 2y 0 . x2 20 2
c) INCORRETA S
1 22 2 6 2
d) CORRETA Dois dos elementos são imaginários puros z 2 2i e z 4 3i . 16) (AFA 2009) Considere todos os números complexos z x yi , onde x , y z 1
2 . Sobre esses números complexos z , é correto afirmar que 1 i
a) nenhum deles é imaginário puro. b) existe algum número real positivo. c) apenas um é número real. d) são todos imaginários.
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e i 1 , tais que
Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com RESOLUÇÃO: c z 1
2 2 2 z i z i z i 1 1 i 1 i 2
Essa condição determina os complexos cuja distância ao complexo i é menor que 1 , ou seja, um círculo de centro 0,1 e raio 1 . Esse círculo possui centro sobre o eixo imaginário e tangencia o eixo real na origem, então apenas um desses números ( z 0 ) é um número real. 17) (AFA 2010) Sejam z x yi ( x * , y * e i a unidade imaginária), z o conjugado de z e o lugar geométrico dos pontos P x , y do plano cartesiano para os quais z z 2x 3 . Se A e B são os pontos de interseção de com o eixo Oy e se A ' é o ponto de interseção de com o eixo Ox que possui a menor abscissa, então a área do triângulo A'AB é, em unidades de área, igual a a) 2 3 b) 2 2 c) 3 d) 2 RESOLUÇÃO: c 2
2
z z 2x 3 z 2x 3 x 2 y2 2x 3 x 1 y2 22 u :3x y c 0 3 x , 4 4 Como A’ é o ponto de menor abscissa, então A ' 1,0 . SA'AB
2 3 1 3 u.a. 2
18) (AFA 2011) O número complexo z a bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura abaixo.
É correto afirmar que o conjugado de z 2 tem afixo que pertence ao a) 1º quadrante. b) 2º quadrante. c) 3º quadrante. d) 4º quadrante. RESOLUÇÃO: a
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com Como o triângulo é equilátero, . 3
z a bi a cis
3
z 2 a 2cis
2 2 z 2 a 2cis 3 3
Como o argumento de z 2 é um ângulo do 3º quadrante, nesse quadrante encontra-se o afixo do complexo.
19) (AFA 2012) O valor de n tal que
n
1 i j 31 i , sendo i a unidade imaginária, é j1
a) par menor que 10 . b) primo maior que 8 . c) ímpar menor que 7 . d) múltiplo de 9 . RESOLUÇÃO: d n
1 i j 1 i 1 i 2 j1
1 i n
O somatório acima é a soma de uma P.G. de primeiro termo 1 i e razão 1 i . n 1 i n 1 1 i n 1 1 i j 1 i 1 i 31 i 1 i n1 32i 1 i 1 i j1
1 i
n 1
32i 1 i
n 1
32 2
n 1
5
2
n 1 2 2
25
n 1 5 n 9 2
20) (AFA 2013) Considerando os números complexos z1 e z 2 , tais que: • z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante •
z 2 é a raiz da equação x 4 x 2 12 0 e Im z 2 0
Pode-se afirmar que z1 z 2 é igual a a) 2 3 b) 3 3 c) 1 2 2 d) 2 2 2 RESOLUÇÃO: a
2k
5 3 z 2cis 2 3 6 6 2 3 5 5 1 5 i 3 i . Como z1 tem afixo no 2 , então z1 2 cis 2 cos i sen 2 2 6 6 6 2 3
z 8i 8cis
z 2 cis 2
, k 0,1, 2 z 2 cis
z 2cis
x 4 x 2 12 0 x 2 3 x 2 4 x 3 x 2i
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com Como Im z2 0 , então z 2 2i . z1 z 2 3 i 2i 3 3i
2
3 32 12 2 3
21) (AFA 2014) Considere no plano complexo, o conjunto dos números z x yi ; x, y satisfazem a condição z 2z 1 . É FALSO afirmar que a) este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a b) z 1 é o elemento de maior módulo, neste conjunto.
e i 2 1 que
1 . 3
1 3
c) z é o elemento de maior argumento, neste conjunto. d) não existe z , neste conjunto, que seja imaginário puro. RESOLUÇÃO: c z x2 y2 2 2 2z 1 2x 1 2yi 2x 1 2y 2
2
z 2z 1 z 2z 1 x 2 y 2 4x 2 4x 1 4y 2 3x 2 4x 3y 2 1 0 2
2 4 1 4 2 1 x 2 x y 2 x y 2 3 9 3 9 9 3 2
2 3
Portanto, esse conjunto representa um círculo de centro z e raio
1 , representado na figura seguinte. 3
a) VERDADEIRA b) VERDADEIRA: o número complexo de maior módulo é o afixo do ponto A 1, 0 . c) FALSA: o número complexo de maior argumento é o afixo do ponto B e pode ser calculado como segue 2 2 2 1 3 3 2 1 2 O 'B ; O 'O OB OB 3 3 3 3 3 9
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com 2 1 3 3 BB ' BB ' (hipotenusa vezes altura é igual ao produto dos catetos) 3 3 3 6 2
3 2 1 OB' OB' (quadrado do cateto é o produto da hipotenusa pela sua projeção) 2 3 3 1 2
z
3 i (complexo de maior argumento). 6
d) VERDADEIRA: o círculo que representa o conjunto não tem interseção com o eixo imaginário, logo o conjunto não tem nenhum elemento que seja imaginário puro. 1 2
22) (AFA 2015) Considere os números complexos z1 x i , z 2 i , z3 1 2i e z 4 x yi em que x
, y
*
e
i 2 1 e as relações:
I. Re z1 z2 Im z1 z2 II. z3 z 4 5 O menor argumento de todos os complexos z 4 que satisfazem, simultaneamente, as relações I e II é a)
6 b) 0
c) d)
2
3
RESOLUÇÃO: d Re z1 z 2 Re z1 z2 Re z1 Re z 2 x 0 x
1 1 1 Im z1 z2 Im x i i Im x i 2 2 2 1 Re z1 z 2 Im z1 z 2 x (*) 2 2 z3 z4 z3 z4 1 22 x 2 y2 5 x2 y2 1 (**)
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Representando as condições (*) e (**) no plano de Argand-Gauss e considerando que x e y * , obtémse, para o lugar geométrico dos números complexos z 4 x yi , um arco de circunferência com extremidades em A e B . Dentre esses números complexos, o de menor argumento é o com extremidade em A , cujo argumento é tal 12 1 rad . que cos 1
2
3
23) (AFA 2016) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos z x yi , onde i 1 e cujos afixos são os pontos P x , y 2 . Dada a equação z 1 i 4 1 , sobre os elementos que compõem seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que a) apenas um deles é imaginário puro. b) todos podem ser escritos na forma trigonométrica. c) o conjugado do que possui maior argumento é 1 2i . d) nem todos são números imaginários. RESOLUÇÃO: c
z 1 i 4 1 1cis 0 z 1 i 4 1 cis 2k , k 0,1, 2,3 4
1 k 0 : z0 1 i cis 0 1 i 1 2 i 5cis 2 arctg 2 2 1 i i 1 1cis0 k 1: z1 1 i cis 4 4 3 1 i 1 i 1cis k 2 : z 2 1 i cis 4 2 6 k 3 : z3 1 i cis 1 i i 1 2i 5cis 2 arctg 2 4 S 2 i,1, i,1 2i a) CORRETA: apenas i é imaginário puro. b) CORRETA: as representações dos quatro números complexos na forma trigonométrica encontram-se acima. c) INCORRETA: o número complexo de maior argumento é 2 i e seu conjugado é 2 i .
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Elaborado pelo Professor Renato Madeira para http://madematica.blogspot.com d) CORRETA: 1 não é um número imaginário. 24) (AFA 2017) Resolva a equação z3 1 0 no conjunto dos números complexos. Considerando as raízes encontradas, analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). ( ) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. ( ) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é ( ) Duas das raízes são conjugadas. ( ) Todas as raízes têm o mesmo módulo. A sequência correta é a) V – F – V – V b) V – V – F – V
3 3 unidades de área. 2
c) F – F – V – F
d) V – F – V – F
RESOLUÇÃO: a Vamos aplicar a 2ª fórmula de De Moivre para resolver a equação z3 1 0 z3 1. 2k 2k z3 1cis0 z 3 1cis , k 0,1, 2 z 1cis , k 0,1, 2 3
3
Calculando as raízes para cada um dos valores de k, temos: k 0 z1 cis0 1 2 1 2 1 3 cis i 3 3 2 2 2 2 4 1 3 cis i k 2 z3 cis 3 3 2 2 k 1 z 2 cis
Vamos agora analisar as quatro proposições: (V) A equação possui três raízes de multiplicidade 1. A equação possui três raízes distintas cada uma com multiplicidade 1. (F) Os afixos das raízes formam um triângulo equilátero cuja área é
3 3 2
unidades de área.
As três raízes estão sobre um círculo de raio 1 e centro na origem e seus argumentos são 0, 120 e 240. Logo, elas formam um triângulo equilátero cujo raio do círculo circunscrito é R 1. Em um triângulo equilátero de lado L, o raio do círculo circunscrito é
2 3
da altura h. Assim, temos: 2
2 2 L 3 L2 3 3 R h 1 L 3. Logo, a área do triângulo é S 3 3 2 4 4
Veja a seguir a representação das três raízes no plano de Argand-Gauss.
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3 3 . 4
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(V) Duas das raízes são conjugadas. 2 1 3 4 1 3 As raízes z 2 cis i e z3 cis i são complexos conjugados. 3
2
2
(V) Todas as raízes têm o mesmo módulo. As três raízes têm módulo1.
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