NILAI HARAPAN (HARAPAN MATEMATIK) Jika X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(x) ≥ 0, atau X1, X2, …, Xn merupak merupakan an peubah peubah acak acak kontinu kontinu dengan dengan fungsi fungsi kepekat kepekatan an probabilitas f(x) ≥ 0, maka nilai ha-rapan dari peubah acak tersebut dapat ditulis sebagai berikut E ( X ) =
n
∑ x. p( x), untuk .. X .. peubah ..acak ..diskrit
x =0
∞
E ( X ) =
∫ x. f ( x)dx ,.untuk .. X .. peubah ..acak ..kontinu
−∞
Ukuran ini memberikan indikasi dari kecenderungan pusat dalam suatu peubah acak. Sifat-sifat untuk nilai harapan : 1.
Jika a konstanta, maka
n ∑ a pi )( x= a x, d i ts i=1 E(a) = ∞ a f ( x )= dax ,x k ou ∫ -∞ Mis
x P(x)
0 1 2 3 1/3 ½ 0 1/6
Nilai harapan untuk fungsi g(x) = (x-1)2 adalah E [( X −1) 2 ] =
3
∑( x −1) p ( x) 2
0
= ( −1) p (0) + (0) 2 p (1) + (1) 2 p ( 2) + (2) 2 p (3) 2
1
1
1
3
2
6
= (1).( ) + (0).( ) + (1).( 0) + ( 4).( ) =1
Contoh :
Jika X merupakan peubah acak kon-tinu dengan fungsi kepekatan peluang 1
f(x) = 1/3 x2, -1 < x < 2 = 0 untuk selainnya, a) Nilai harapan untuk fungsi g(x) = 2x – 1 adalah 2
E [ g ( X )] = E [(2 x −1)] =
(2 x −1) x 2
∫
3
−1
=
1
2
∫
(2 x 3 − x 2 ) dx =
3 −1
dx
3 2
b) Nilai harapan untuk fungsi h(x) = 3x + 2 adalah 2
E [ h( x)] = E [( 3 x + 2)] =
(3 x + 2) x 2
∫
3
−1
dx =
1
2
(3 x 3 ∫
3
+ 2 x 2 ) dx
−1
1 3
2
1 3
2
3
2
3 4 95
3
3 4
3
4
3
= { x 4 + x3 ]2−1} = [ (2) 4 + (2)3 − (−1) 4 − (−1)3 ] =
2
36
-2x , x >0 f ( x) = 2e 0 , x ≤ 0
Nilai harapan untuk peubah acak X adalah E(X), yang dapat diperoleh sebagai berikut ∞
∞
∫
∫
0
0
E ( X ) = x. f ( x ). dx = x.2.e
−2 x
0
∞
−∞
0
∫
∫
dx + x.0.dx = 2 x.e −2 x dx + 0
Contoh : Peubah X dengan fungsi kepekatan probabilitas f(x) > 0 sebagai berikut :
f(x) = 2x untuk 0 < x < 1 = 0 untuk selainnya Maka nilai harapan bagi peubah acak tersebut adalah Contoh :
1
1
∫
∫
0
0
E ( X ) = x.. f ( x)dx = x.2 x.dx =
2 3
x 3 ]10 =
2 3
Misalkan fungsi kepekatan suatu peubah acak X adalah
1/2 ≤ 0x ≤, 2 f(x) = 0 x al, maka ∞
E ( x )
=
∫∞x f(x)
2
dx =
-
∫
1 2
x
dx
= 1
0
Dalil : • Misalkan X suatu peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(x), maka nilai harapan dari suatu fungsi g(x) adalah
E[g( x )] =
∑g( x ).p( x ),........
... untuk .. semua .. nilai .. x
x
• Misalkan X suatu peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan probabilitas f(x), maka nilai harapan dari suatu fungsi g(x) adalah
∞
E [ g ( x)] =
∫ g ( x). f ( x)dx
−∞
Contoh : Misalkan X merupakan suatu peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(x), maka untuk konstanta a dan b dapat ditulis sebagai berikut :
1.
n ∑ b ixp (i )x= b E ( X x) d, i st i=1 E(b X) = ∞ b x f (xx =) bd E ( Xx ) k ,o n ∫ − ∞
2. E (a + bX) = a + b E(X) 3. Jika g(x) merupakan fungsi peubah acak X maka nilai harapan dari g(x) adalah :
n ∑ g ( ix) p ( ix) , xd i s k i=1 E ( g ( X) = ) ∞ g ( xf () xd) x, xk o n t -∫∞ Contoh : Misalkan X merupakan peubah acak diskrit dengan ruang sampel A = {x; x = 0, 1, 2, 3, 4} dan misalkan P(A) = ∑A p(x), di mana p( x ) =
4! x!.( 4 − x )!
( 21 ) 4 ..... untuk ..x ∈ A,... maka ... jika .. diambil
A 1 = { x;.. x = 0,1} kita .. dapat .. menentukan E( X) =
4
(0)4! 1
∑x..p( x ) = 0!.4! ( 2 ) x =0
Contoh :
1 4! 1 4 5 ( )4 + ( ) = ... dan 0!. 4! 2 1!. 3! 2 16 ( 2).. 4! 1 4 (3).. 4! 1 4 ( 4).. 4! 1 4 + ( ) + ( ) + ( ) 2!. 2! 2 3!. 1! 2 4!. 0! 2
.......... ..P( X ∈ A 1 ) = 4
+
(1). 4! 1 4 ( ) 1!. 3! 2
4!
Misalkan X merupakan peubah acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(x)>0 sebagai berikut p( x ) =
x
λ .. e
−λ
... untuk ..x = 0,1,2,3,......... ...... x! Maka .. nilai .. harapan .. bagi .. peubah . .acak .. X.. adalah E( X) =
∞
∞
x =0
x =0
∑x..p( x ) =∑x.
E( X) = λ
x
λ ..e
x!
−λ
=(0)
0
λ ..e
0!
−λ
+ (1)
1
λ .. e
1!
−λ
+ ( 2)
2
λ ..e
2!
−λ
+.......... . = λ
