MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES CONCEPTO
Son operaciones fnancieras en las cuales se pacta el cubrimiento e las obli!aciones en una serie e pa!os peri"icos i!uales #ue cumple con las si!uientes coniciones$
Los pa!os %rentas& son e i!ual 'alor( Los pa!os se )acen a i!uales inter'alos e tiempo A toos los pa!os %rentas& se les aplica la misma tasa e inter*s El n+mero e pa!os , perioos pactaos es i!ual
Intervalo o periodo de pago (
Tiempo #ue transcurre entre un pa!o , otro(
Plazo de una anualidad( Tiempo #ue pasa entre el inicio el primer
perioo
e pa!o , el fnal el +ltimo( Renta (R). -a!o
peri"ico(
CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Por su tiempo
a& Ciertas. A#uellas cu,a percepci"n o pa!o se estipula en t*rminos precisos. sus /ec)as son f0as , se establecen e antemano( antemano( b& Contingentes Contingentes o eventuales. A#uellas one el principio e la percepci"n1 o fn e la serie e pa!os1 es impreciso , epene e un acontecimiento acontecimiento /ortuito( En otras palabras1 la /ec)a el primer pa!o o el +ltimo1 o ambas. no se acueran e antemano( Por el vencimiento de sus pagos
a& Vencidas u ordinarias. A#uellas en #ue caa uno e los pa!os se )ace al fnal e caa perioo urante el tiempo total el pla2o el problema( b& Anticipadas. Anticipadas. A#uellas #ue se pa!an al principio e caa perioo1 urante el tiempo e percepci"n( Por su iniciación
a& Inmediatas. Las encontramos cuano la reali2aci"n reali2aci"n e los cobros o pa!os se )ace en el perioo inmeiatamente inmeiatamente si!uiente a la /ormali2aci"n el acuero( b& Diferidas. A#uellas en one el principio e la serie e pa!os se ifere. es ecir1 cuano la primera anualia 'ence espu*s el transcurso e uno o 'arios perioos1 lo #ue )ace #ue ese lapso sea ma,or al inter'alo #ue separa a caa anualia( Por sus intereses
a& Simples. A#uellas en las #ue el perioo e pa!o coincie con el e capitali2aci"n capitali2aci"n e los intereses( b& Generales( A#uellas en #ue no coincien perioo e capitali2aci"n , e pa!o(
MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES
ANUALIDADES VENCIDAS A#uellas en #ue caa uno e los pa!os se )ace al fnal e caa perioo urante el tiempo total el pla2o el problema( INDUCCION DE FORMULAS Valor presente de la anualidad
-ara la eucci"n el moelo matem3tico se consiera una operaci"n en la cual un pr*stamo se pa!a en cuotas i!uales1 a una tasa e inter*s e/ecti'a por perioo1 urante n perioos(
V p=
V p=
V f
(1 + i )n
A
A
A
A
A
A
+ + + … … … … … … … .+ + + 1 2 3 n−2 n− 1 ( 1 +i ) ( 1 +i ) (1 +i ) (1 +i) (1 +i) (1 + i)n
MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES Este si!nifca el /actor para )allar1 ao el pa!o o renta 1 la tasa e inter*s e/ecti'a a la cual son traslaaos los pa!os al 'alor inicial , el n+mero e pa!os n( Pagos o renta a partir del alor presente
Pagos o renta !on "ase en el alor #uturo
I!ual #ue se )i2o en la la eucci"n anterior1 para eterminar este moelo1 se consiera una operaci"n en la cual el 'alor fnal es e#ui'alente a pa!os i!uales1 a una tasa e inter*s e/ecti'a por perioo1 urante n perioos( Valor #uturo de la Anualidad
De la /ormula1 se puee eterminar el 'alor /uturo en /unci"n e los pa!os1 as4$ N$%ero de pagos !on "ase en el alor #uturo
Si se conocen el 5/ 1 los pa!os A1 , la tasa e inter*s 1 e la ecuaci"n se puee eterminar el 'alor e . es ecir1 el n+mero e pa!os( Lo mismo se por4a )acer a partir e la ecuaci"n cuano se conocen1 los pa!os1 , la tasa e inter*s( A continuaci"n1 se euce la /"rmula para calcular el 'alor e n1 a partir e la ecuaci"n(
MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES
N$%ero de pagos !on "ase en el alor presente
-arecio a la ecuaci"n anterior1 solo con el cambio e un 5p por un 5/1 eucimos la si!uiente ecuaci"n( E&EMPLOS' Ejemplo 1
El pap3 e un ni6o e 78 a6os empie2a a a)orrar para #ue su )i0o puea estuiar una carrera uni'ersitaria1 -lanea epositar 9:88$ en una cuenta e a)orro al fnal e caa mes urante los pr";imos < a6os( Si la tasa e inter*s es el =>? cual ser3 el monto e la cuenta al cabo e < a6os@ Cu3nto se percibe por concepto e intereses@ Soluci"n$ Debio a #ue en el presente capitulo se mane0an +nicamente problemas e anualiaes simples1 no es re#uisito /unamental mencionar el perioo e capitali2aci"n. se sobreentiene #ue este coincie con el perioo e renta( -or tanto1 el perioo e capitali2aci"n es mensual AB :88 meses
F =500
iB 8(=>7=
[
( + ) − 1
0.27 12
0.27 12
96
1
]
=500
[
F B :88 %7(<==G7&.
1.0225
96
nB %< a6os& %7= meses a6o& B
−1
0.0225
]
F B :7:177(7>
En < a6os el pap3 eposita un total e %9 :88 por mes& % meses& B 9 G<1888( Los intereses !anaos en el perioo ser3n$ 7:177(7> H G<1888 B 9 77>177(7> Ejemplo 2
Cu3l es el 'alor presente e 9:1888 epositaos en una cuenta al fnal e caa trimestre urante G a6os1 si la tasa e inter*s es el = capitali2able en /orma trimestral( Soluci"n AB :1888 trimestres
IB 8(=<G
NB %G a6os& %G trimestres a6o& B 7
MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES
P=5,000
[
−16
( )
1− 1 +
28 4
( 0.28 / 4 ) P=5,000
]
[
=5,000
[
− 16
1 −( I .07 ) 0.07
1−0.03387345978
i 0.07
]
]=
5,000 ( 9.446648629 )
-B 9G>1=(=G El 'alor actual e la anualia es :G>1=(=G( Esto si!nifca #ue si se epositan 9G>1=(=G en este momento1 se tenr3 un monto1 al fnal e cuatro a6os1 i!ual al #ue se obtenr3 epositano 9:1888 caa trimestre urante G a6os sieno la tasa e inter*s e =< ? capitali2able caa trimestre1 en ambos casos( La otra interpretaci"n es la si!uiente$ Si se epositan 9 G>1=(=G a una tasa e inter*s e = capitali2able caa trimestre1 entonces se pueen retirar 9 :1888 caa trimestre1 urante G a6os( Ejemplo 3
Un istribuior e autom"'iles o/reci" a un cliente un coc)e nue'o meiante un pa!o inicial e 9 =<1888 , 8 pa!os mensuales e 91:8 caa uno( Si se car!a una tasa e inter*s el 8? capitali2able mensualmente1 encuentre el 'alor e contao el autom"'il( Soluci"n$ 5alor e contao B -a!o inicial 5alor actual e las mensualiaes Como
AB 1:8
iB 8(8 7=
nB 8 meses
Entonces 5alor Actual e las mensualiaes
P=3,650
[
1−( 1+
0.30 12
−30
)
(0.30 / 12 )
]
- B >1:(:>
-or tanto$ 5alor e contao B =<1888 >1:(:> B 978G1:(:> Ejemplo 4
Cu3ntos pa!os semestrales e 988(888 eber3 reali2ar un pare e /amilia para pa!ar la uni'ersia e su )i0o #ue )o, 4a cuesta 9GJ:88(888. el banco cobra tasa e inter*s el 1:? ES
MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES
Ejemplo 5
De cu3nto eber3 ser el a)orro mensual e una persona #ue pro,ecta a#uirir una casa e 9788J888(888 entro e cinco a6os1 si la fucia le ase!ura una tasa e inter*s e/ecti'a mensual el 81>?(
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ANUALIDAD ANTICIPADA En los ne!ocios es /recuente #ue los pa!os se e/ect+en al comien2o e caa perioo. es el caso e los arrenamientos1 'entas a pla2os1 , contratos e se!uros1 este tipo e operaciones fnancieras reciben el nombre e anualiaes anticipaas( Una anualia anticipaa es una sucesi"n e pa!os o rentas #ue se e/ect+an o 'encen al principio el perioo el pa!o( En la !r3fca se comparan las anualiaes 'encias , anticipaas(
Valor presente de las anualidades anti!ipadas
-ara la eucci"n el moelo matem3tico se consiera una operaci"n en la cual un pr*stamo se pa!a en cuotas i!uales1 a una tasa e inter*s e/ecti'a por perioo1 urante perioos1 ese el perioo 8( La situaci"n se muestra en la !r3fca( Si se anali2a la operaci"n se puee afrmar #ue el 'alor presente en este caso se puee eterminar como la suma e , el 'alor presente e una anualia urante nH7 perioos(
Valor #uturo de las anualidades anti!ipadas
-ara la eucci"n el moelo matem3tico se consiera una operaci"n en la cual un a)orro se pa!a en cuotas i!uales1 a una tasa e inter*s e/ecti'a por perioo1 urante perioos1 ese el perioo 8( La situaci"n se muestra en la !r3fca(
MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES Si se anali2a la operaci"n se puee afrmar #ue el 'alor /uturo e la anualia anticipaa es i!ual al 'alor /uturo e la anualia urante n perioos %ese H7 )asta nH7& traslaaa 7 perioo1 a tra'*s
e la /ormula %77&1 )asta el perioo n( E&EMPLOS Ejemplo 1
Un pro/esionista eposita 9 71:88 al principio e caa mes1 en una cuenta e in'ersi"n( Si la tasa e inter*s es e =(G? capitali2able caa mes( Kbten!a el monto al cabo e G a6os( Soluci"n$ a& AB 71:88
n B1G< meses
iB 8(=G 7= B 8(87>
Sustitu,eno 'alores en la ecuaci"n( F = A
[
( 1 + i)n +1−(1 + i ) i
F =1,500
[
]= [ 1,500
( 1.0197 )48+1−( 1.0197 ) 0.0197
2.601049072 −1.0197 0.0197
]=
]
1,500 ( 80.2715265 )
FB
97=81G8>(= Ejemplo 2
Una compa64a constructora ebe in'ertir urante los pr";imos : a6os al comien2o e caa mes1 9 7:81888 en un /ono para la epreciaci"n e su ma#uinaria Cu3l ser3 el monto e este /ono e epreciaci"n al cabo e : a6os1 si )a estao proucieno el =>? capitali2able caa mes@ Si los ep"sitos mensuales se )icieran al fnal e caa mes1 cu3l ser4a el monto@ Soluci"n AB 7:81888 F = A
[
nB 8 meses
(1 + i)n +1−(1 + i ) i
]= [ 1,500
FB 7:81888 %7=>(=:8:>7>&
i B 8(=> 7= B 8(8==:
(1.0225 )61−( 1.0225 ) 0.0225
]
FB 9 78<>1:<:(:8
MATEMÁTICA FINANCIERA – ANUALIDADES Si se trata e una anualia 'encia1 el monto ser4a$ F =150,000
[
( 1.0225)60− 1 0.0225
]
=$ 18 ' 565.20
a, una i/erencia e
9G=818=8(87 Ejemplo 3
La p"li2a e un se!uro e 'ia estipula #ue se entre!ue al benefciario e *ste un pa!o e 9:1888 al comien2o e caa #uincena urante 7= a6os( %Cu3l es el 'alor presente e esta anualia1 si la tasa e inter*s es el 7(GG? mensual capitali2able caa #uincena@ Soluci"n$ A B :1888 P= A
[
n B =<< #uincenas
(1 + i )−( 1+ i)1−n 0.0072
]= [ 5,000
i B 8(88>= por #uincena 1−288
1.0072 −(1.0072 ) 0.0072
]
-B :1888 %7==(77>:G& -B 781
Utilice el problema anterior , compare el 'alor actual e la anualia anticipaa con el 'alor actual si /uera anualia orinaria Soluci"n$ Si la anualia /uera orinaria1 entonces$ P=5,000
[
−288
1−( 1.0072) 0.0072
]
-B :1888 %7=7(=:
-B
981G>( El 'alor presente e la anualia anticipaa es 9G1(: %9 781(=& m3s #ue el 'alor presente e la anualia 'encia( Ktra /orma e lle'ar a cabo la comparaci"n es$ 610,845.88 606,479.23
=1.0072
El 'alor actual e la anualia anticipaa es 7(88>=
'eces m3s #ue el e la anualia 'encia( Ejemplo 5
El contrato e arrieno e una ofcina f0a pa!os e 9GJ888(888 mensuales al principio e caa mes1 urante e un a6o( Si se supone un inter*s el =1:? e/ecti'o anual. Cu3l ser3 el pa!o +nico al inicio el contrato #ue cubre too el arrieno@
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