CURSO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES MÓDULO 3 DIAGRAMAS DE CARGAS José Ribamar Silva Filho (Maranhão) Especialista
34
ÍNDICE 5.0.VIGAS PRINCIPAIS
36
5.1. Linha de influência
37
5.2. Diagrama de cargas permanentes
40
5.3. Diagrama de cargas móveis
43
5.4. Esforços solicitantes e de dimensionamento
45
35
5.0.
Vigas principais
Como a viga principal é o elemento mais importante da superestrutura por suportar as cargas permanente e móvel, é necessário que haja um estudo dos esforços solicitantes em diversas seções da viga. Isto faz-se necessário, porque a carga móvel pode provocar em determinadas seções da viga, esforços de naturezas contrárias. Em função dessa variabilidade, é usada a Linha de Influencia, que possibilita o cálculo dos esforços solicitantes, nas seções especificadas, e reações de apoio, para quaisquer posições do veículo. Além das cargas permanentes, de sobrecarga permanente e acidental, é preciso considerar outras particularidades para determinar a quantidade de armadura longitudinal de flexão em vigas de pontes.
Uma consideração a ser feita na determinação de solicitações é que há o efeito dinâmico das cargas acidentais, que é de uma maneira geral, considerada através do coeficiente de impacto vertical.
Outra consideração a ser analisada é a repetitividade de ações (acidentais), onde existe a possibilidade de ocorrência de fadiga do material.
Uma das diferenças do cálculo de edificações usuais e de pontes está no uso dos coeficientes de ponderação de majoração de ações que podem não ser os mesmos. Coeficientes para as cargas permanentes Combinação
Tipo de estrutura
Favorável
Desfavorável
Normal
Grandes pontes
1,3
1,0
Normal
Pontes em geral
1,35
1,0
Especial ou de construção
Grandes pontes
1,20
1,0
Especial ou de construção
Pontes em geral
1,25
1,0
Excepcional
Grandes pontes
1,10
1,0
Excepcional
Pontes em geral
1,15
1,0
Coeficientes para as cargas móveis Combinação Normal
Tipo de estrutura
Coeficiente de ponderação
Pontes em geral
1,50
Especial ou de construção
Pontes em geral
1,30
Excepcional
Pontes em geral
1,00 36
5.1.
Linha de Influência
5.1.1. Definição Linha de influência é a curva de variação de um esforço seccional em uma seção, ou uma reação de apoio, quando uma carga concentrada unitária, se desloca ao longo de uma estrutura. P=1
1
L1
2
L2
3
5.1.2. Linha de influencia para duas vigas a) reação
: R = P (L – x) / L 1
_ +
1
b) reação
: R = P x / L 2
_
+
1
c) momento fletor seção no vão: Mf = P ( x ) ( L-x ) / L x
S
L-x
_
_
x
+
+
L-x
37
seção no balanço
c
S
_
c
_
d) esforço cortante seção no vão: Vse= P (L – x) / L, Vse=( P x / L ) – 1 S 1 +
+ _
_
1
seção no balanço +
S _
S
5.1.3. Linha de influência para vigas múltiplas A análise para a seção transversal com vigas múltiplas é feita da mesma forma que a da seção com duas vigas, a única mudança está na influência da quantidade de transversinas e sua rigidez (inércia) e também o fato de a estrutura ser hiperestática, o que altera o traçado da linha de influência e, neste caso, a laje não tem mais influência.
Para o traçado da linha de influência da reação de apoio, são usados processos simplificados como os descritos em SAN MARTIN (1981), método de ENGESSER-COURBON, e LEONHARDT. O cálculo também pode ser realizado supondo o sistema como uma uma grelha e
com a utilização de programas.
Coeficientes de repartição transversal para diversos valores do grau de rigidez e “n vigas”. r ik : reação na seção sobre a “longarina i” quando a carga P=1 atua na seção da transversina sobre a “longarina k”. 38
O grau de rigidez ξ é dado pela expressão: ξ= ( Jtransversina / Jviga ) ( L / 2 ɛ )³, onde Jtransversina: momento de inércia da transversina intermediária Jviga: momento de inércia da viga em análise L: comprimento do vão da viga principal
ɛ: distância entre os eixos das vigas principais As tabelas 1, 2, 3 e 4, fornecem diretamente os valores r ik para os casos de tabuleiros com 3, 4, 5 e 6 vigas principais, em função de diversos valores do grau de rigidez. Exemplo 01: Considerando a viga isostática bi-apoiada abaixo, sob a ação das cargas indicadas, determinar através das linhas de influência: a) a reação de apoio R 2; b) o momento fletor na seção S; c) o esforço cortante na seção S . Comprovar os resultados encontrados através do Programa Ftool. 3 kN
2 kN/m
3
1
2,0m
_
1
S
3 kN/m
4
5
2
2,0m
1,0m
A1
y3
A3
)
y4
y5
LI – R 2 +
A2 (
y2= 1
A3
ω1
)
y4
+ y5
(
+ y3
LI – Mfs
y2= 2
A3
y1=1
(
ω2
+
y1= 3
A1
2
ω1
A1
y3
2,0m
A2 (
_
5 kN
ω1
)
y5’’ _ y4 y5’ A2
+
(
ω2
LI – Vs
y2=1
39
a)
Cálculo da reação de apoio no “apoio 2” – R 2
y2= ω1 x
→
ω1= 0,2
1= ω1 x 5,0 →
y3= 0,2 x 2,0= 0,4=y4; y5= 0,2 x 3,0= 0,6 A1= (2,0 x 0,4)/2= 0,4; A2= (3,0 x 0,6)/2= 0,9; A3= [(1+0,6)/2] x 2,0= 1,6 R 2= 3 x (-0,4) + 5 x (0,4) + 2 x (-0,4) + 2 x (0,9) + 4 x (1,6)= 8,2 kN
b )
Cálculo do momento fletor na “seção S” – Mfs y1= ω1 x → 2= ω1 x 5,0 →
ω1= 0,4
y2= ω2 x → 3= ω2 x 5,0 →
ω2= 0,6
y3= 0,4 x 2,0= 0,8=y4; y5= 0,4 x 3,0= 1,2 A1= (2,0 x 0,8)/2= 0,8; A2= (3,0 x 1,2)/2= 1,8; A3= (2,0 x 1,2)/2]= 1,2 Mfs= 3 x (-0,8) + 5 x (0,8) + 2 x (-0,8) + 2 x (1,8) + 4 x (1,2)= 8,4 kN.m
c)
Cálculo do esforço cortante na “seção S” – Vs
y1= ω2 x → 1= ω2 x 5,0 →
ω2= 0,2= ω1
y3= 0,2 x 2,0= 0,4=y4; y5’= 0,2 x 3,0= 0,6;
y5’’= 0,2 x 2,0= 0,4
A1= (2,0 x 0,4)/2= 0,4; A2= (3,0 x 0,6)/2= 0,9; A3= (2,0 x 0,4)/2]= 0,4 Vs= 3 x (0,4) + 5 x (-0,4) + 2 x (0,4) + 2 x (-0,9) + 4 x (0,4)= -0,2 kN
5.2.
Diagrama de Cargas Permanentes
O diagrama de cargas permanentes corresponde à metade da carga da superestrutura, se a estrutura for simétrica, sobre a viga principal. Assim como as vigas principais, as vigas transversais também têm contribuição metade sobre aquelas.
Exemplo 02: Esboçar o diagrama de cargas permanentes considerando 1/2 seção transversal e a vista inferior de uma ponte com duas vigas principais iguais e, as vigas centrais, descoladas da laje.
40
20 20
610
7
70 25 10
30
11
25
10
195
250
50 100 ½ Seção Transversal
250
TE – 25 x 230
5 , 4 0 4
TA – 25 x 195
0 4 5 , 4
250
50 30 100
440
100 30 50
0 , 5 1
250
0 , 6
TI – 25 x 195
½ Vista Inferior
a) Carga distribuída Área (m²)
Elemento
)
Asfalto
6,10
Recapeamento
2 x 6,10
Barreira Laje Laje Viga
6,50 [ ] 0,50 1,95= 0,975
0,40 0,30 + (0,40+0,20)/2
(kN/m³)
g (kN/m)
24
13,20 12,20
25
6,00
25
40,63
25
5,63
25
24,38 41
[ ] ()
Alargamento T.Intermediária
13,20+12,20+6,00+40,63+5,63+24,38+5,02+2,03= 109,09
g= ∑ gi
b) Carga concentrada Elemento Apoios
T. Apoios
Balanço
Cortina
Volume (m³)
(kN/m³)
T (kN)
25
39,00
25
93,44
25
16,25
25
26,25
= 0,65 ()
Dente Aba
80
25
300
50
205 900
50 25
80
230 25 40
135,94kN
25
39 kN
39 kN
135,94kN
109,09 kN/m 4,50 m
21,00 m
DCP 4,50 m
42
5.3.
Diagrama de Cargas Móveis
Quando o veículo (elemento mais pesado) estiver encostado na barreira, ele estará provocando o maior esforço ativo (R Pr ) sobre a viga principal. Deve ser observado também que: -A sobrecarga “p”nas laterais do veículo, provoca na viga principal um esforço ativo distribuído (R p2) por metro linear; -A sobrecarga “p” na frente e atrás do veículo, provoca na viga principal um esforço ativo distribuído (R p1) ao longo da viga principal. Para montar o diagrama de cargas móveis, é deve ser utilizada a linha de influência de reação de apoio.
Exemplo 03: Esboçar o diagrama de cargas móveis considerando 1/2 seção transversal e a vista inferior de uma ponte com duas vigas principais iguais e, as vigas centrais, descoladas da laje. Adotar o TP 450. EVP
EVP
p1= 5 kN/m2
TP 450 p2= 5 kN/m2
p1= 5 kN/m2
Pr
p2
p1 2,75
7,50
2,75
43
Pr =75 kN Pr =75 kN 40 50 200 50
685
p 2= 5 kN/m2 p1= 5 kN/m2 _
( 1
2
1
3
+
4
2,75
ω= 0,133
7,50
y= ( w ) ( x ) →
1= ( w ) ( 7,50)
2,75
→
w= 0,133
y1= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 )= 1,31 y2= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 0,50 )= 1,24 y3= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 2,50 )= 0,98 y4= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 3,00 )= 0,91 Ap1= ( 7,50 + 2,75 – 0,40 ) x 1,31 / 2 = 6,45 Ap2= ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 3,00 ) x 0,91 /2 = 3,12
a) Carga distribuída R p1= p1 x Ap1= 5 x 6,45= 32,05 kN/m R p2= p2 x Ap2= 5 x 3,12= 15,60 kN/m
b) Carga concentrada R Pr = Pr ( y2 + y3 )= 75 ( 1,24 + 0,98 )= 166,50 kN
c) Trem-tipo simplificado R Pr*= R Pr – 2 ( R p1 – R p2 )= 166,50 – 2 ( 32,05 – 15,60 )=133,60 kN CIV= 1 + 1,06 [ 20 / (L + 50)] =1 + 1,06 [ 20 / (21 + 50)]= 1,30 > 1,00 166,50
133,60 x 1,30= 173,7 kN
1,5 1,5 1,5 1,5 32,05
15,60
1,5m 32,05
1,5m
32,05 x1,30= 41,7 kN/m 44
5.4.
Esforços Solicitantes e de Dimensionamento
Considerando os diagramas de cargas permanente e móvel, são estabelecidas várias seções para a determinação dos esforços solicitantes momento fletor e esforço cortante e, posteriormente, o dimensionamento da viga principal, levando em conta que referidas seções são pontos de esforços críticos. O exemplo a seguir estará dando ênfase a uma seção transversal com 03 (três) vigas.
Exemplo 04: Considerar a seção transversal e a vista inferior de uma Ponte Classe I e, para a viga extrema, determinar: a) O diagrama de cargas permanentes; b) O diagrama de cargas móveis; c) As solicitações da carga permanente e envoltória de momen to fletor da carga móvel; d) A envoltória de momento fletor no ELU – Estado Limite Último. Barreira – 20 x 100 Passeio – 80 x 10
Barreira – 20 x 100 i=2%
Passeio – 80 x 10
5 8 2 x 5 2
5 6 2 x 0 3
–
–
E T
I T
45
a) Diagrama de cargas permanentes – o diagrama de cargas permanentes consiste na distribuição das cargas sobre a viga escolhida e, neste exemplo, estaremos utilizando um diagrama simplificado. Aviga principal(b=80)= 0,80 x2,45+3,25x0,20+[(3,10+0,80)/2]x0,20= 3,00m² Aviga principal(b=40)= 0,40x2,45+3,25x0,20+ [(2,70+0,40)/2]x0,20= 1,94m² Atran inter (b=30)= 0,55x2,65+ 0,50x(2,65+2,45)/2= 2,73m² Atran ext (b=25)=1,80x[(2,65+2,45)/2]+0,50x[(2,65+2,45)/2]+0,15x2,65= 6,26m² Altura max do asfalto: tgα = H/L → 2%= H/350 → H= 7cm Altura relativa viga ext: (L/H) = (l/h) → (350/7) = (225/h) → h= 4,5cm Aasfalto(b=225)= 2,25x0,045/2= 0,051m²
g1 (viga principal, b=80)= 3,00 x 25= 75,0 kN/m g2 (viga principal, b=40)= 1,94 x 25= 48,5 kN/m g3 (asfalto)= 0,051 x 24= 1,224 kN/m g4 (recapeamento)= 2,25 x 2,00= 4,5 kN/m g5 (guarda-corpo)= 0,20 x 1,00 x 25= 5,0 kN/m g6 (passeio)= 0,80 x 0,10 x 25= 2,0 kN/m 46
g (com alargamento)= 75,0+1,224+4,5+5,0+2,0= 87,724 kN/m= 87,7 kN/m g (sem alargamento)= 48,5+1,224+4,50+5,0+2,0= 61,224 kN/m= 61,2 kN/m g (simplificado)= 61,2+{[2x(87,7 – 61,2)x(5,30+11,10/2)+20,5]/37,00= 77,4 kN/m Textrema= 6,26 x 0,25 x 25= 39,125 kN= 39,1 kN Tintermediária= 2,73 x 0,30 x 25= 20,475 kN= 20,5 kN
39,1kN
20,5 kN
87,7 kN/m 5,30
61,2 kN/m 11,10
14,80
5,30
39,1kN Si
37,00
So
39,1kN
S1 S2
S3
87,7 kN/m 11,10
5,30 5,30
S4 S5
39,1kN
77,4 kN/m 2,65 2,65 3,70 3,70 3,70 3,70 3,70 5,30
37,00
5,30
b) Diagrama de cargas móveis – o diagrama de cargas móveis consiste na condição mais crítica do carregamento móvel em relação à viga a ser analisada e, neste exemplo, estaremos utilizando um diagrama simplificado. Grau de rigidez: ξ= ( Jtransversina / Jviga ) ( L / 2 ɛ )³ Jtransversina= bh³/12= 0,30 x 2,45³ / 12= 0,368 m 4 Jviga= bh³/12= 0,40 x 2,85³ / 12= 0,772 m 4 ξ= ( 0,368 / 0,772 ) ( 37,00 / 2 x 2,50 )³= 193 > 100 → ξ= ∞ → Tab. 1 (03 vigas)
Tab. 1 (03 vigas): r 11= r 33= 0,833, r 12= r 32= 0,333, r 13= r 31= - 0167, r 22= 0,333
47
Pr =75 kN Pr =75 kN 100
50
200
50
216,5
p 2= 5 kN/m
2
p1= 5 kN/m
2
3 3 0 , 1
3 3 2 , 1
(
3 3 5 , 0
3 3 9 , 0
+
3 3 4 , 0
3 3 8 , 0
200
ω= 0,2
3 3 3 , 0
250
7 6 5 , 0 -
7 6 1 , 0 -
166,5
83,5
200
R Pr = 75 x (0,933 + 0,533)= 109,95 kN R p1= 5 x (5,165 x 1,033/2)= 13,34 kN/m R p2= 5 x (2,165 x 0,433/2)= 2,34 kN/m R Pr*= 109,95 – 2 (13,34-2,34)= 87,95 kN CIV= 1 + 1,06 [ 20 / (L + 50)] =1 + 1,06 [ 20 / (37 + 50)]= 1,24 > 1,00 109,95
87,95 x 1,24= 109 kN
1,5 1,5 1,5 1,5 13,34 c.1)
2,34
1,5m 13,341
1,5m
13,34 x1,24= 16,5 kN/m
Solicitações provocadas pelas cargas permanentes
Para efeito de cálculo dos esforços solicitantes, as seções são aquelas estabelecidas no diagrama simplificado das cargas permanentes. 39,1 kN 39,1 kN 77,4 kN/m
375 1294
1294
3473
3473 7181
7181 9830 11419
2,65
2,65
3,70
375
3,70
3,70
3,70
11948
3,70
11419
3,70
9830
3,70
3,70
3,70
3,70 2,65 2,65
48
c.2)
Solicitações provocadas pelas cargas móveis
Para efeito de cálculo dos esforços solicitantes, as seções são aquelas estabelecidas no diagrama simplificado das cargas permanentes.
109 kN
109 kN
15 15
472
1474 1350
1226
1101 977
853
977
1101 1226 1350 1474
2056 3645 4766
d)
2,65
3,70
472
2056 3645
2,65
15 15
16,5 kN/m
3,70
3,70
5451
3,70
5685
3,70
4766
5451
3,70
3,70
3,70
3,70
3,70 2,65 2,65
Solicitação de cálculo
Será usado apenas o Estado Limite Último por ser considerado o mais crítico para efeito de dimensionamento.
Seção x (m)
Mg
Mq+
Mq ¯ 1,3Mg+1,5Mq+ 1,3Mg+1,5Mq ¯ 1,0Mg+1,5Mq+ 1,0Mg+1,5Mq ¯
Si
-2,65
- 375
0
- 472
- 488
- 1196
- 375
- 1083
S0
0,00
-1294
0
-1474
- 1682
- 3893
- 1294
- 3505
S1
3,70
3473
2056 -1350
7599
2490
6557
1448
S2
7,40
7181
3645 -1226
14803
7496
12649
5342
S3
11,10
9830
4766 -1101
19926
11128
16979
8179
S4
14,80 11419
5451
-977
23021
13379
19596
9954
S5
18,50 11948
5685
-853
24060
14253
20476
10669
49
