MATEMATIKA
MODUL 2
KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)
Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http://meetabied.wordpress.com
KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
PENGANTAR : Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. STANDAR KOMPETENSI : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.
5.2
1.
KOMPETENSI DASAR : 5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi Menentukan invers suatu fungsi TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan 2. Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi. 3. Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi. 4. Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui. 5. Menjelaskan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. 6. Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya 7. Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi. 8. mengidentifikasi sifat-sifat fungsi invers. KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar : 1. Pengertian Fungsi 2. Komposisi Fungsi 3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi 4. Fungsi invers II. Uraian materi dan contoh Pengertian Fungsi Definisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B. x
f
y=f(x)
A=Df = A=Df=D Domain = daerah asal (D) Kodomain = daerah kawan (K) Range = daerah hasil (R)
B=Rf=R
•
•
Notasi Fungsi Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil. Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B A disebut domain B disebut kodomain Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x ∈ A ke y ∈ B dikatakan y adalah peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x). Himpunan y ∈ B yang merupakan peta dari x ∈ A disebut range atau daerah hasil contoh 1 Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2 Tentukan domain dari fungsi f. Jawab Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0. 1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1. Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1. contoh 2 Misal f: R → R dengan f(x – 1) = x2 + 5x Tentukan : a. f(x) b. f(-3) Jawab Misal y = x – 1 maka x = y + 1 karena f(x – 1) = x2 + 5x maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1) f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5 f(y) = y2 + 7y + 6 f(y) = y2 + 7y + 6 a. f(x) = x2 + 7x + 6 b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6 = 9 – 21 + 6 = -6 Contoh 3: Fungsi f : A
B tentukan domain, kodomain dan range
a b c A Domain = {a,b,c} Kodomain = {1,2,3,4} Range = {1,3,4}
1 2 3 4
B
2. Komposisi Fungsi Pengertian
Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan: f : A → B dan g : B → C
x
A
f
y=f(x)
B
g
z=g(y)
C
h = g ο f
Fungsi baru h = (g o f) : A → C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) (g o f)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R f ∩ D g ≠ Ø Nilai fungsi komposisi (g o f)(x) untuk x = a adalah (go f)(a) = g(f(a)) Contoh 1: Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4) Jawab: a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)}b) (g o f) = {(0,2), (4,3)} c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4) = 3 Contoh 2: f : R → R ; f(x) = 2x² +1, g : R → R ; g(x) = x + 3 Tentukan : a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) (f o g)(1) Jawab : (f o g)(x) = f( g( x) ) = f(x+3) = 2(x+3 )²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4 (f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33 (g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) =3+3 =6
d) (g o f)(1)
Contoh 3: Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x! h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2 h(x) = 64 → (-x + 1)2 = 64 ↔ -x + 1 = ± 8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9 Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7. 3. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A → B ; g : B → C ; h : C → D, maka berlaku: i. (fog) (x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. (( fo g) oh )( x) = (f o( go h) )( x) (sifat asosiatif) iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas) Contoh 4: Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2) = 3 – (x2 + 2) = 1 - x2 Dari hasil di atas tampak bahwa (f og) (x) ≠ (g o f)(x) ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2 (fo(goh) )(x)=f( (goh)(x)) = f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2 x2 Dari hasil di atas tampak bahwa (( fo g) oh )( x) = (f o( go h) )( x) (foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1 (Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1 Dari hasil di atas tampak bahwa (f oI )( x) = (I of )( x) = f( x)
4. Fungsi Invers Definisi
Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)la∈ A dan b ∈ B}, maka invers dari fungsi f adalah f -1: B → A ditentukan oleh: f - 1 : {(b,a)lb ∈ B dan a ∈ A}. Jika f : A → B, maka f mempunyai fungsi invers f -1 : B adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1. Jika f : y = f(x) → f -1 : x = f(y)
→
(f o f -1)(x) = (f -1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. f(x) = ax + b; a ≠ 0
→
ax
+
b
d
cx
+
d
ii. f(x) =
;x≠-
iii. f(x) = acx ; a > 0 a
→
c
f -1(x) =
x −b
;a≠0 a − dx + b -1 → f (x) = ;x≠ c cx − a a
f -1(x) = alog x1/c =
iv. f(x) = log cx ; a > 0; cx > 0
→
-1
1a c
f (x) =
log x ; c ≠ 0
ax c
;c≠0
A jika dan hanya jika
f
v. f(x) = ax² +bx +c; a≠0
→
f -1(x)= − b ±
b2
− 4a(c − x) 2a
Catatan: Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh 5: Diketahui f: R → R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)! Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y)) 2x = y + 5 x=
y +5 2 x +5
f -1(x) =
2
Cara 2:
f(x) = ax + b
→
f -1(x) =
f(x) = 2x – 5
→
f -1(x) =
x −b a x +5
2
Contoh 6: Diketahui f ( x )
=
2x + 1 , x−4
x ∈ R, x
≠
4
Tentukan
f −1 (x) !
Cara 1: y
=
2x + 1 x−4
y(x - 4) = 2x + 1 yx – 4y = 2x + 1 yx – 2x = 4y + 1 x(y – 2) = 4y + 1 4y
x=
+
1
y - 2 4x
f -1(x) =
+
1
x - 2
Cara 2: ax
f(x) = f ( x)
=
+
b
cx + d 2x + 1
−4
x
→
f -1(x) =
→
f -1(x) =
− dx + b cx − a 4x
+
1
x-2
Contoh 7: Jika f ( x)
=
2x 3x
Cara 1: y
=
2x 3x − 4
y(3x - 4) = 2x 3xy – 4y = 2x 3xy – 2x = 4y x(3y – 2) = 4y x=
4y 3y - 2
−
4
,
x ∈ R, x
≠
4 3
dan
f
1
−
(k)
=
1.
Tentukan nilai k!
4x
f -1(x) =
3x - 2 4k
f -1(k) =
3k - 2
4k
1=
3k - 2
3k – 2 = 4k k = -2 Cara 2:
f -1(k) = a f
1
−
(k)
=
→
k = f(a)
1 →
k = f(1) =
2.1 3.1 − 4
2
=
1
2
=−
−
Contoh 8: Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)! Cara 1:
y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b → n = 2x = 5 log y
a
log b
)
15 log y 2 1 f – 1 (x) = 5 log x 2
x=
Cara 2:
f(x) = acx
→
f -1(x) =
f(x) = 52x → f – 1 (x) =
1a c
log x
15 log x 2
Contoh 9: Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f –1 (x)! Cara 1:
y = x2 – 6x + 4 y – 4 = x2 – 6x y – 4 = (x – 3) 2 – 9 y + 5 = (x – 3) 2 x–3=± y 5 x=3± y 5 f – 1 (x) = 3 ± x 5 +
+
+
Cara 2:
f(x) = a x²+ bx +c
→
f (x) =
f(x) = x2 – 6x + 4 → f -1(x) = Contoh 10: Diketahui f ( x) = 5 1 − x3 Cara 1: y
=
5
1 − x3
+
2
y – 2 = 5 1 − x3 (y – 2)5 = 1 – x3
−b ±
-1
+
6±
2,
b2
− 4a(c − x)
2a 36 − 4(4
− x)
2
tentukan f – 1 (x)!
=3±
36 −16 + 4 x 4
=3±
5 + x
x3 = 1 - (y – 2)5 x = 1 ( y 2) f – 1 (x) = 1 ( x 3
−
5
−
3
−
−
2)
5
Cara 2:
f ( x )
=
n
m
a + bx
+
c →
– 1
f (x) =
m
a − ( x − c) −
f ( x )
=
5
1−x
3
+
2 →
3
f – 1 (x) =
1 − ( x − 2) ( 1)
n
b
5 =
3
1 − ( x − 2)
5
− −
Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x). Contoh 11: Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)! Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2 + 2x – 12 g(f(x)) = 2x2 + 2x – 12 3 – 2f(x) = 2x2 + 2x – 12 -2f(x) = 2x2 + 2x – 15 f(x) = -x2 – x + 7,5 Cara 2:
g(x) = 3 – 2x
→
g -1(x) =
3 −x 2
f(x) = [g -1 o (g o f)](x) f(x) =
3 − ( 2 x 2
+ 2 −12) x
2
=
−2
x
− 2 +15
2
x
2
= − 2 − + 7,5 x
x
Contoh 12: Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = Cara 1:
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) =
2x
−
12x
2x
5
−
6
−5
12 x
2x 12x
−6
− −
5 6
Misalkan: 2x – 1 = a
→
x=
a
1
+
2
2 x −5 12 x −6
, tentukan rumus fungsi g(x)!
+1 − 5 2 g(a) = +1 − 6 12 2 2
a
a
g(a) = g(x) =
1 −5
+
a
6( a
= 6
a −4
1) −
+
6a
x − 4 6 x
Cara 2: 2x
(g o f)(x) =
−6
−5
12 x
−6
2x
−5
g(2x-1) = g(2x-1) = g(x) =
12 x
2x
g(f(x)) =
−5
12 x
−6
( 2 x −1) − 4 6( 2 x −1)
x − 4 6 x
Cara 3:
f(x) = 2x -1
→
f -1(x) =
x
1
+
2
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x)) +1 − 5 +1 − 5 −4 2 = = g(x) = 6 +1 − 6 6( +1) − 6 12 2 2
x
x
x
x
x
x
5. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f -1 dan g-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.
x
A
f
y=f(x)
B
g
z=g(y)
C
g ο f
Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f -1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut.
x
y=f(x)
z=g(y)
f -1
g-1
A
B
C
(g ο f) -1
Jadi diperoleh hubungan: (g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x) Contoh 13: 1
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) =
3x
+
1
,x
≠ −
1 3
. Tentukan (f o g) - 1(x)!
Cara 1:
(f o g)(x) = 2(
1 ) 3x + 1
–3=
2
−
3(3x + 1) 3x + 1
9x − 1 3x + 1
− =
Misalkan y = (f o g)(x) y=
9x − 1 3x + 1
−
y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) x=
(y 3y
−
1) +9 +
x +1 (f o g) - 1(x) = − 3x + 9
Cara 2: 2 − 3(3x + 1) 1 )–3= 3x + 1 3x + 1 x +1 −x − 1 = 3x 9 = − 3x 9 + +
(f o g) - 1(x)
9x − 1 3x + 1
−
(f o g)(x) = 2(
=
Contoh 14: Diketahui f - 1(x) =
1 2
x - 2, g - 1(x) =
Cara 1:
f - 1(x) =
1 2
x–2
(f –1 o f)(x) =I(x) 1 2 1 2
→
f - 1(f(x)) = x
f(x) – 2 = x f(x) = x + 2
f(x) = 2x + 4 g - 1(x) =
4x + 5 x −2
(g – 1 o g)(x) =I(x) 4g(x) + 5 g(x) − 2
→
g - 1(g(x)) = x
=x
4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x
4x x
+
−
5
2
dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)!
4g(x) – x.g(x) = -2x – 5 g(x)(4 - x) = -2x – 5 2x − 5 4−x
−
g(x) =
= −
2x + 5 4−x
h(x) = (g o f)(x) h(x) = -
2(2x
+
4) + 5
4 − (2x
h - 1(x) =
=
4x
4)
+
+
13
2x
13 2x
−
4
Cara 2:
h(x) = (g o f)(x) h - 1(x) =
1 2
.
h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x))
→
4x + 5 x−2
4x + 5
-2=
2x − 4
−
2
=
4x + 5 − 2(2x − 4) 2x − 4
=
4x + 5 − 4x + 8 2x − 4
=
13 2x − 4
Contoh 15: Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) = (h o g o f) – 1 (x) = 1!
4 ,x x
≠
0,
carilah nilai x sehingga
Cara 1:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) =
4 4
−
2x
Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka: y=
4 4 − 2 x
4y – 2xy = 4 -2xy = 4 – 4y x=
4 − 4 y −
=
2 y
2 y − 2
y
2 x − 2
(h o g o f) – 1 (x) = 2 x − 2
x
x
=1
2x – 2 = x x=2 Cara 2:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) =
4 4 − 2 x
(h o g o f) – 1 (x) = a (h o g o f) – 1 (x) = 1
→
→
x = (h o g o f) (a)
x = (h o g o f) (1) =
4 4 − 2.1
=
4 2
=
2
III. Latihan soal 1.
Diketahui f ( x )
pula daerah asalnya ( D).
=
x+2
dan g ( x )
=
2 3 x − 6
. Tentukan rumus (f o g) (x) dan tentukan
2. 3. 4.
Diketahui f ( x ) = 2 x − 2 ,
( )
2
g x = x −1
dan h(x) = 3x. Tentukanlah (fogoh) (2)
Tentukan rumus fungsi g ( x) jika diketahui f ( x) = x + 3 dan ( f o g )( x) = 3 x – 5. Diketahui fungsi g(x) = -3x + 4 dan f og ( x ) = 2 x2 + 2 x + 5 , maka tentukan fungsi f ( x ) .
5.
Jika f(x) = x/x-4 maka tentukan f -1(x).
6.
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x + 2. Tentukan (fog)-1(x).
IV. Tes Formatif 1 ( Terlampir) V. Daftar pustaka Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008) Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester genap, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007) Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)
