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Facultad de Ci encias Agr op opecuar ias Universidad Nacional
de
Trujillo
ARTÍCULO DE REVISIÓN
Métodos numéricos en transferencia de calor de alimentos Num Numeric erical al meth method odss in he heat at tran transf sfer er food food Waldir Palomino-Cancino¹, Christian Bazán-Torres¹ *, Hubert Arteaga Miñano² Facultad de Ciencias Ciencias Agrope Agropecuar cuarias. ias. Escu Escuel ela a Aca Acadé démi mica ca De Inge Ingeni nier ería ía Agro Agroind indus ustr tria ial. l. Universidad Nacional Nacional De Trujillo Trujillo - Sede Valle Jequetepeque – Guadalupe, Guadalupe, Trujillo, Perú.
Resumen
La transferencia de energía (calor) es un fenómeno de transporte importante, el cual surge en la mayoría de procesos de preservación de los alimentos, como por ejemplo desde los pretratamientos como el escaldado, hasta los procesos finales como autoclavado, refrigeración, refrigeración, congelación, etc. En este caso aplicaremos los métodos numéricos los cuales son técnicas que suponen la utilización de ecuaciones algebraicas o diferenciales para describir un determinado sistema físico. Para formular un modelo completo en él se necesita del desarrollo matemático simultáneo de tales ecuaciones que gobiernan el sistema o proceso estudiado en un alimento, de las condiciones iniciales y de contorno adecuados. Algunas técnicas numéricas que se utilizaron para resolver resolver modelos fueron fueron basados en ecuaciones diferenciales parciales son el Método de Diferencias Finitas Finitas (MDF) y el Método de Elementos Finitos (MEF), también con el diseño y análisis de algoritmos necesarios para resolver estos problemas.
Palabras clave: clave: métodos numéricos, transferencia de calor, alimentos. Abstract
The transfer of energy (heat) is a phenomenon of major transport, which arises in most processes of food preservation, such as from the pre-treatments such as blanching, to end processes such as autoclaving, refrigeration, freezing, etc. In this case we apply numerical methods which are techniques involving the use of algebraic or differential equations to describe a particular physical system. To T o make it a complete model is needed simultaneous development of such mathematical equations that govern the system or process in a food studied, initial conditions and suitable contour. Some numerical techniques used to solve models were based on partial differential equations are Finite Difference Method (MDF) and the Finite Element Method M ethod (FEM), also with the design de sign and analysis of algorithms needed to solve these problems.
Keywords: numerical methods, heat transfer, food.
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1. Introducción La transferencia de calor se define como la transmisión de energía desde una región a otra, y es debida al gradiente térmico que existe entre ambas, dicha transferencia es considerada una parte importante en la mayoría de los procesos en la industria química y de alimentos. Como es bien sabido el calor puede transferirse por tres mecanismos: conducción, convección y radiación. (Geankoplis, 1998). La conducción de calor se verifica en el interior de un cuerpo sólido o desde un cuerpo a otro por intercambio de energía cinética entre las moléculas, sin que se verifique un desplazamiento real de aquellas (HELDMAN y LUND, 1992). La convección es la transferencia de calor de un punto a otro dentro de un fluido, gas, o líquido por mezcla de una porción de este con otra. En la convección natural natural el movimiento movimiento del fluido es netamente por diferencias de densidad resultante de la diferencia de temperatura; en la convección forzada el movimiento se produce por medios mecánicos (KNUDSEN et al., 1984). La radiación térmica, puede decirse que ella corresponde a la transmisión neta de calor de un cuerpo a otro de menor temperatura por medio de ondas a través del espacio (KNUDSEN et al., 1984). En la literatura existen numerosos métodos de predicción de tiempos de calentamiento y enfriamiento por separado, pero prácticamente no existen métodos que involucren las dos etapas como proceso global. Tales métodos se pueden dividir en dos grandes grupos: a) los métodos numéricos, basados en la solución numérica mediante la técnica de diferencias finitas y elementos finitos de las ecuaciones diferenciales ordinarias de transferencia de calor y, b) los métodos fórmula, métodos de predicción de tiempos de congelación por medio de fórmulas simples, basados en la teoría de conducción de calor en estado semiestable o bien en relaciones empíricas o semi empíricas. Los métodos numéricos poseen una mayor exactitud y versatilidad que los métodos
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fórmula, pero usualmente requieren de tecnología computacional apropiada que no siempre se encuentra disponible en las industrias de alimentos. Así los métodos fórmula se presentan como los más sencillos y fáciles de operar. En general los métodos numéricos pueden ser diseñados para incorporar la variación de una serie de parámetros tales como: propiedades térmicas, cambio de fase en un rango de temperaturas, variedad de condiciones de frontera y geometrías regulares e irregulares. irregulares. Dentro de los métodos numéricos existen dos grandes grupos para solucionar el problema de transferencia de calor, los métodos de diferencia finita y los métodos de elementos finitos. Estas soluciones no están sujetas a restricciones de ecuaciones analíticas (GAFFNEY et al ., 1985). Para los experimentos en los cuales el material tiene una forma regular y es homogéneo el método de elementos finitos no tiene ventajas sobre el de diferencias finitas (CLELAND y EARLE, 1984).
2. Métodos Numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones operaciones aritméticas. (Luthe, Olivera, Schuts, 2006). Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas programas y resolverlos resolverlos en una computado computadora ra y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n comprensi6n de la mayoría de los principios científicos básicos. (NAKAMURA, Schoichiro, 1992). Antes los ingenieros solo contaban con ciertos métodos, por ejemplo usaban métodos analíticos pero solo con estos pueden encontrarse una clase limitada de problemas. Además se usaban soluciones gráficas
limitadas solo a 3 dimensiones o menos. Y se utilizan calculadoras donde aun así que son adecuadas los cálculos manuales son lentos y tediosos; resultando equivocaciones. (Cea, J. Puertas y M.E. Vázquez-Cendón, 2007). Hoy en día al usar la computadora para obtener soluciones se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a técnicas lentas, aunque las soluciones analíticas son muy valiosas ya que proporcionan proporci onan una mayor comprensión. (T. Chacón, A. Domínguez y E.D. Fernández-Nieto, 2003). Importancia de los métodos numéricos: Los métodos numéricos son herramientas poderosas para la solución de problemas, problemas, aumentando la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. problemas. En el transcurso de la carrera se usaran software disponible comercialmente. Pero el uso inteligente de estos depende del conocimiento de la teoría básica de cada uno de ellos. (P.L. Roe, 1986). Hay problemas que no se pueden plantear con software comercial, entonces si conoces los métodos y la programación tendrán la capacidad de diseñar sus propios programas. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. (E.F. Toro, 2001). Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver resolver procedimientos procedimientos en: en: Calculo de derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, operaciones con matrices, interpolaciones, ajuste de curvas, polinomios (M.J. Castro, J.M. González-Vida González-Vi da y C. Parés, 2006).
3. Comparación de Métodos Numéricos y Analíticos Los métodos numéricos pueden manejar ecuaciones diferenciales no lineales que los métodos analíticos no pueden, como las condiciones limite. (Principios de la transferencia de calor) de Frank Kreith, "el análisis numérico. Se recomienda porque puede ser fácilmente fácilmente adaptado a todo todo tipo de condiciones límite y formas geométricas". Los métodos numéricos pueden calcular el -3-
flujo de calor cuando se lleva a cabo más de una forma de transferencia del mismo. Los métodos numéricos también permiten aproximar la transferencia de calor en fluidos que otros métodos no pueden estimar. Métodos numéricos se utilizan regularmente para modelar calor transferir durante los procesos de congelación de alimentos. La ventaja de los métodos numéricos más de ecuaciones simples es que los efectos del cambio de fase en un intervalo de temperatura, modificación de las propiedades térmicas y la heterogeneidad heterogeneidad de los alimentos productos pueden ser analizados. Si los métodos numéricos son formulado y aplicado correctamente para reducir numérica truncamiento y errores de redondeo, son generalmente considera que es el más preciso, fiable y métodos de predicción de congelación versátil y Tiempo de descongelación. descongelación. (Cleland et al., 1987) En transferencia de calor la ecuación Fourier puede ser resuelta analíticamente para geometrías simples, y sólo para un conjunto limitado de condiciones iniciales y de contorno. Algunos de los métodos analíticos mayormente aplicados a la resolución de ecuaciones diferenciales son: separación de variables, funciones de Green y métodos variacionales. Un gran número de soluciones analíticas para la ecuación de Fourier fueron compiladas. (Carslaw y Jaeger; 1959). Uno de los procedimientos más comunes para la resolución resolución de la ecuación de de Fourier implica reescribir la misma en su forma adimensional, introduciendo los términos de temperatura adimensional ( θ ) y tiempo adimensional ( F0), este último conocido como número de Fourier. (Carslaw y Jaeger; 1959). Los ensayos numéricos se han implementado sobre COMSOL Multiphysics 3.4, plataforma plataforma que utiliza el método de elementos finitos. La temperatura se ha aproximado mediante elementos finitos de tipo Lagrange P2. Para la discretización espacial de la velocidad y la presión se han usado elementos finitos mixtos de tipo Lagrange P2 – P1, P1, con la condición de estabilidad. (Brezzi y K. J. Bathe, 1990)
4. Métodos Numéricos en Alimentos La mayoría de problemas de transferencia de calor pueden ser resueltos analíticamente para casos simples. Sin embargo para condiciones complejas, pero reales, tales como variación en la temperatura inicial, propiedades propiedades térmicas no lineales y anisotrópicas, cuerpos de formas irregulares o condiciones de contorno dependientes del tiempo, los métodos numéricos son ampliamente utilizados para determinar el comportamiento térmico de alimentos (Puri y Anantheswaran, 1993). Estos métodos son basados en estimaciones iterativas de la variable a determinar mediante el empleo de métodos aproximados. La tecnología del modelado numérico resulta en una eficiente y poderosa herramienta para simular procesos de calentamiento y enfriamiento en la industria alimenticia. Los modelos numéricos pueden ser empleados para producir información acerca del proceso de calentamiento y enfriamiento de alimentos para numerosas condiciones de proceso en un corto período de tiempo. Mientras que las determinaciones experimentales deben ser restringidas a un limitado número de condiciones, debido a su alto costo económico y de tiempo. No obstante ello, algunas determinaciones experimentales resultan necesarias para la validación de dichos modelos (Wang y Sun, 2003). Las técnicas numéricas más utilizadas para resolver modelos basados en ecuaciones diferenciales parciales son el Método de Diferencias Finitas (MDF) y el Método de Elementos Finitos (MEF). También existen otras técnicas, menos empleadas, como volúmenes finitos, elementos de borde y Fluido Dinámica Computacional (FDC) en problemas problemas que involucran aspectos aspectos de fluido dinámica. Todos estos métodos numéricos son parte de un subconjunto de la técnica general de residuos ponderados o pesados (Puri y Anantheswaran, 1993). Respecto al campo del procesamiento de alimentos, el MEF ha sido aplicado al calentamiento y enfriamiento, congelación y descongelación, y transferencia (simultánea
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o no) de calor. La mayoría de los l os estudios en este caso se han realizado para dominios unidimensionales (1D) o bidimensionales (2D), y/o con simetría axial, bajo condiciones condiciones de contorno transitorias. (Puri yAnantheswaran, 1993). El método de las diferencias finitas consiste en discretizar el dominio en estudio en pequeños volúmenes volúmenes de control, supuestos isotermos, sobre los cuales se expresa el balance de energía, las diferencias tanto espaciales como temporales son aproximadas por diferencias. El método de los elementos finitos está basado, igual que el anterior en la discretización del dominio, y consiste en hacer satisfacer la ecuación diferencial (ecuación de Fourier) en un sentido global sobre un determinado dominio. Los métodos numéricos han sido am pliamente estudiados; las técnicas de discretización, como las diferencias finitas y elementos finitos, para resolver los problemas problemas de transferencia transferencia de calor en estado no estacionario. (Myers ,1978) A partir de los años 1985-86 la necesidad de adaptar los métodos desarrollados para su aplicación en otros campos al ámbito alimentario obligó a desarrollar los modelos adaptándolos a otras formas geométricas; desarrollaron una reja numérica para transformar el dominio de un espacio igualitario rectangular. (Thompson, 1985). En 1986 presentaron un método para generar sistemas de coordinación, consiguieron obtener nuevas formas variando los contornos] caracterizaron el coeficiente de forma para diversos productos irregulares mediante factores geométricos, estableciendo un modelo numérico por diferencias finitas para determinar el enfriamiento de materias alimentarias. (Fikiin y F- kiin, 1989). Continuando en la misma línea de adaptación de los métodos numéricos a los productos alimentarios, se se estableció un un
5. Software Para Métodos Numéricos modelo basándose en una reja ortogonal con espacio desigual, y aplicó los fundamentos elaborados por Thompson. ( Elvira, 1990) Por otro lado, se realizó una nueva aplicación del método de diferencias finitas para resolver el problema problema de la conducción térmica en sólidos de diversa configuración, utilizando un método de aproximación de diversas formas multidimensionales a un sólido unidimensional. unidimensional . (Fikiin y F- kiin, 1989). En 1992 llevaron a cabo un estudio para establecer la adaptabilidad de los métodos numéricos existentes a un caso real. Para ello, utilizó un grano de arroz y obtuvo los resultados numéricos de los métodos que permitían realizar los cálculos de formas elipsoides, y observó que aparecían serias limitaciones cuando se utilizan mallas no ortogonales, mientras que los métodos desarrollados desarrollados por técnicas de mapas eran los que procedían con mayor exactitud. (Elvira, 1992) Ese mismo año, 1992, solucionaron los problemas problemas de mallas fuertemente irregulares irregulares mediante la utilización de un algoritmo implícito-explícito de diferencias finitas basado en el uso alternativo de esquemas explícitos e implícitos para el tiempo integral de la ecuación de conducción de calor transitoria dependiente de la conductividad térmica total de los elementos de malla. (Anzai y Uchi- do, 1992) Durante 1993, propusieron un método basado en el desarrollo de un nuevo modelo de ecuaciones diferenciales, y compararon sus resultados con los métodos de diferencias finitas propuestos, encontrando una buena precisión de de sus trabajos. trabajos. (Lovat, (Lovat, 1993) Otros trabajos de interés y que ahondan en la búsqueda búsqueda de un modelo eficaz eficaz para controlar los fenómenos de transferencia de calor en los productos alimentarios alimentar ios son por ejemplo el desarrollado por Tanaka que obtuvieron una aproximación de elemento finito para estimar la difusividad térmica de frutas y hortalizas. (Tanaka, 1992). -5-
Software matemático es aquel software que se utiliza para realizar, apoyar o ilustrar problemas problemas matemáticos; entre este tipo de software se encuentran los sistemas algebraicos computacionales computacionales y graficadores de funciones, entre otros. Existen grupos y proyectos dedicados al estudio y difusión de software matemático libre, los cuales han aportado productos que facilitan el trabajo con estas herramientas. herramientas. (T. Chacón, A. Domínguez y E.D. Fernández-Nieto, 2003). Para la resolución de los modelos de simulación se empleó el software COMSOL Multiphysics en su versión 3.2. COMSOL Multiphysics es un software de análisis y resolución por elementos finitos de cualquier problema físico o de ingeniería que pueda describirse mediante ecuaciones en derivadas parciales, especialmente fenómenos acoplados, o multifísicos. COMSOL Multiphysics también ofrece una amplia y bien gestionada interfaz a MATLAB y sus toolboxes que proporcionan una amplia variedad de posibilidades de programación, programación, pre procesado procesado y post procesado. Mediante el software ALGOR v 15 es posible, entre otras posibilidades, posibilidades, realizar los análisis de transferencia de calor a modelos geométricos digitales 3D. Este software CAE utiliza el Método de los Elementos Finitos (Cuya sigla en inglés es FEM, Finite Element Method), el cual es un método asistido por computador, para calcular perfiles de temperatura durante el calentamiento y enfriamiento en alimentos de formas irregulares complejas. El programa convierte el dominio irregular 3D en un número finito de partes llamadas elementos cuyo comportamiento comportamiento térmico se especifica con un número finito de parámetros. Dichos elementos contienen una serie de puntos interconectados entre sí llamados nodos y al conjunto se le conoce como malla. El comportamiento de cada pequeño elemento es calculado por conjuntos de ecuaciones matemáticas. Luego el computador suma
todos los comportamientos comportamientos individuales para calcular el comportamiento del dominio completo (MORALES-BLANCAS et al., 2003).Mayor información puede encontrarse en RODRIGUEZ (2004) y en la siguiente URL: http://www.fooddigicaelab http://www.fooddigicaelab.uach.cl/. .uach.cl/.
Agradecimientos Se agradecen a la Universidad Nacional De Trujillo por el apoyo proporcionados para la publicación publicación de este trabajo. trabajo. Referencias bibliográficas Anzai, K.; Uchido, T. "An efficient explicit-implicit finite difference algorithm for transient heat-conduction problems". Heat Transfer, Jap. Res., U.S., Vol. 21: 254259 (1992). Brezzi y K. J. Bathe. A discourse on the stability conditions for mixed finite element formulations. Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng. 82(1-3) (1990) 27 – 57. 57. Carslaw, H.S.; Jaeger, J.C. (1959). Conduction Heat Transfer in Solids, 2nd ed. Oxford: Clarendon Press. Cea, J Puertas, ME Vázquez-Cendón(2007) Depth Vázquez-Cendón(2007) Depth averaged modelling of turbulent shallow water flow with wet-dry fronts Archives of Computational Methods in Engineering 14 (3), 303-341 CLELAND, A.C. y EARLE, R.L. 1984. Assesment of freezing time prediction method. J. Food Sc. 49: 1034 1042. Cleland, D.J. (1985). Prediction of freezing and thawing times for foods. Ph.D. Thesis, Massey University, Palmerston North, New Zealand. EF Toro (2001)Experimental (2001)Experimental and numerical assessment of the shallow water model for two-dimensional dam break type problems Journal of hydraulic research 33 (6), 843-864 Elvira, C. "Diffusion precesses modelling in elliptic shaped bodies". Elsevier Publ., Engineering and food, Vol. 1: Physical properties and Precess control, pp. 456-464, New York (1990). Elvira, C.; Carrasco, J.A.; Díaz, J.M. "On the numerical solution of transfer processes in non-rectangular products". Instituto del Frío (CSIC), Madrid (1992). Fikiin, K.A.; Fikiin, A.G. "Modéle numé- rique du refroidissement de matieres alimen- taires et d'autres corps solides de forme geo- métrique variee". Int. J. Refrig. Vol. 12: 224- 231 (1989). GAFFNEY, J.J., BAIRD, C.C. y CHAU, K.V. 1985. Methods for calculating heat and mass tranfer in fruits and vegetables individually and in bulk. ASHRAE Transactions 85 (3): 333-352. Geankoplis C. 1998 Procesos de transporte y operaciones unitarias. (1998) (3ª Ed.), CECSA, México. HELDMAN, D.R. y LUND, D.B. 1992. Handbook of food engineering. Edit by Dennis R. Heldman and Darly B. Lund. New York. 755 p. KNUDSEN, J.G., BELL, K.J., HOLT, A.D., HOTTEL, H.C., SAROFIN, A.F., STANDIFORD, F.C., STUHLBARG, D. y UHL, V.W. 1984. Heat transmission.In: “Perry’s Chemical engineer’s handbook”. Perry, R.H. y Green D.W. Harold Crawford -6-
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