UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE MECÁNICA` TRANSFERENCIA DE CALOR
MÉTODOS NUMÉRICOS EN LA CONDUCCIÓN DE CALOR: SOLIDO SEMIINFINITO
Revis!" #"$: P$"': A(% O$%)!"
Re%i&!" #"$: P$$* +"se C,I,:-.,../,01/
2$3e%")* A4"s5" !e% -678 Se desea resolver mediante métodos numéricos nu méricos la distribución de temperatura de un solido semiinfinito con superficie expuesta a co nvección y posteriormente
comparar los resultados con la solución analítica. El p roblema planteado corresponde al libro de “Transferencia de calor y masa” Autor Yunus Cenel! tercera edición "#roblema $%&'(
#roblema) *a temperatura del suelo en las capas superiores de la tierra varía con los cambios en las condiciones atmosféricas. Antes de +ue entre un frente de frío! un luar en la tierra esta inicialmente a una temperatura uniforme de ,-C. Entonces! la /ona es sometida a una temperatura de %,-C y fuertes vientos +ue dieron como resultado un coeficiente de transferencia de calor por convección de $- 01m2.C sobre la superficie de la tierra! durante un periodo de ,-3. Si las propiedades del suelo en ese luar son 45-!671m.C y 85,!&x,-%9m21s! determine la temperatura del mismo a las distancias de -! ,-! 2- y 9- cm de la superficie! al final del periodo de ,-3.
Antes de comen/ar a plantear las ecuaciones es conveniente plasmar las 3ipótesis asociadas a la solución del problema. Estas son) :ipotesis) • • • •
Estado transitorio. ;lu
•
A una distancia considerable del suelo! la temperatura interna permanecer= invariable o constante.
Se plantean las ecuaciones in3erentes a los nodos internos y de los extremos)
>odo a convección) Ts
i +1
= 2 Fo
(T 1 + BiT ∞ ) + (1 −2 Fo −2 BiFo ) Ts i
i
>odos internos) i+ 1
i
T 1 = Fo ( Ts +T 2 ) + ( 1−2 Fo ) T 1
i
. . .
T 19
i+ 1
= Fo (T 18 + Tf )i+ (1 −2 Fo ) T 19i
>ótese +ue los nodos internos solo van desde ?, 3asta ?,6! esto se debe por+ue el prorama solo solucionara problemas con 2, nodos "siendo ?s y ?f los nodos faltantes(. Esta cantidad de nodos permite conocer de forma fiable las temperaturas en un solido semiinfinito.
>odo a temperatura constante) Tf =Cte #ara el c=lculo de @! ;ourier ";o( y Biot "Bi( se tienes las siuientes ecuaciones)
L 20−1
ΔX =
Bi =
h ΔX k
Fo≤
1 2 ( 1 + Bi )
Se procede a calcular el criterio de estabilidad) 2
∆ T =
Fo ∆ X ∝
#or ltimo! antes de correr el prorama! se debe tener conocimiento de +ue la lonitud “*” re+uerido como dato de entrada debe ser mayor +ue la distancia a la +ue se desea conocer la temperatura! de manera +ue! las temperaturas de los nodos cercanos al nodo de interés! no eneren perturbaciones en los resultados. En el #rorama reali/ado se tomo como distancia “*” $ metros de lonitud! siendo las distancias de -! -.,! -.2 y -.9 metros las de interés.
Dniciando el prorama. Solamente ser= necesario introducir los siuientes valores de entrada y el prorama autom=ticamente comen/ara a calcular las temperaturas para los diferentes tiempos y nodos.
DATOS DE ENTRADA k h L T∞ α
0,9 40 4 -10 0,000016
Ti
10
?abla ,) entrada de datos del prorama
:
*
?F
@
Bi
;o
@t
?s
?,
?2
?
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35529,34
-9,66399
-8,17208
-6,69613
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35586,73
-9,66426
-8,17355
-6,69876
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35644,13
-9,66453
-8,17501
-6,70138
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35701,53
-9,6648
-8,17647
-6,70399
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35758,93
-9,66507
-8,17792
-6,70659
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35816,33
-9,66533
-8,17938
-6,70919
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35873,72
-9,6656
-8,18082
-6,71178
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35931,12
-9,66587
-8,18227
-6,71437
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
35988,52
-9,66613
-8,18371
-6,71695
-
0,9
40
4
-10
0,1
4,444444
0,091837
36045,92
-9,6664
-8,18515
-6,71953
-
En la siuiente tabla se muestran solamente las temperaturas de interés para un tiempo de ,- 3oras "G&--- seundos(
14 12 10 8
Temperatura
L=0
6
L=0,1 L=0,2
4
L=0,5
2 0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Tiempo
Hrafica ,) Comportamiento de la temperatura conforme pasa el tiempo.
Solución analítica. #ara la solución de sólidos semiinfinitos de manera analítica se tiene la siuiente ecuación)
(
) (
)[ (
2 T ( x , t )−Ti x h x h ∝ t x h ∝ t = erfc −exp + 2 erfc + √ T ∞−Ti k k 2 √ ∝ t 2 √ ∝ t k
Siendo ?"x!t( la temperatura a la lonitud de interés. #ara x5?"-!,-3(5%,-C #ara x5-!,m ?"-.,!,-3(5 %I.9C
)]
#ara x5-.2m ?"-.2!,-3(5 %'C #ara x5-.9m ?"-.9!,-3(5 %2.IC
Como se observa las diferencias tanto del método analítico con el método numérico son minimas y se puede demostrar tomando ?s como referencia. En porcenta
−10 −(−9,6664 ) ∗100 =3,336 −10
Concluyendo de esta manera +ue la aplicación de los métodos numéricos es efectiva en la resolución de los problemas de transferencia de calor.
