METODOS DE PROYECCION.pdf

1.1.

MÉTODOS DE PROYECCIÓN:

1.1.1. REGRESIÓN LINEAL: Se basa en la siguiente expresión matemática, matemática, que relaciona dos variables, sea Y, la variable dependiente y X, la variable independiente, de la siguiente manera: Y =A + BX

Para predecir los valores de las variables, previamente previamente se debe calcular los valores de "A" y "B" y posteriormente posteriormente reemplazar esos valores en la ecuación general. Esta relación se resuelve a través de la solución de las siguientes ecuaciones normales, donde las incógnitas son la "A" y "B".

Los valores numéricos de "A" y "B" se pueden hallar con las siguientes formulas:

Ejemplo: Se tiene las ventas de agregados de una cantera en el tiempo dispuesto en m3, como se muestra en el siguiente cuadro:

FORMULACIÓN DE PROYECTOS DE INGENIERÍA

Página 1

Año (X)

Venta en miles de m3 (Y)

1999

21.7

2000

27.2

2001

38.6

2002

54.1

2003

66.3

2004

74.7

2005

82.0

2006

94.4

2007

100.2

2008

107.2

Se desea proyectar la demanda para 20 años El gráfico nos permite apreciar que hay una clara tendencia lineal

Venta de agregados en miles de m3 (Y) 120 100 80 60

Y 40 20 0 1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

X


Página 2

(X)

SUMA

XY

(Y)

X^2

Y^2

1

21.7

21.7

1

470.89

2

27.2

54.4

4

739.84

3

38.6

115.8

9

1489.96

4

54.1

216.4

16

2926.81

5

66.3

331.5

25

4395.69

6

74.7

448.2

36

5580.09

7

82

574

49

6724

8

94.4

755.2

64

8911.36

9

100.2

901.8

81 10040.04

10

107.2

1072

100 11491.84

4491

385 52770.52

55

666.4

hallando A Y B para n=

A=

11.58667

B=

10.0097

10

Y = 11.5867 + 10.0097 *X

SI QUEREMOS PROYECTAR LA DEMANDA PARA 20 AÑOS TENEMOS: Y = 11.5867 + 10.0097 x 20

Y = 211.58m3

1.1.2. REGRESIÓN POTENCIAL: Teniendo los datos Históricos observados sobre la Demanda, Oferta o la variable que se quiera Proyectar, podemos graficar la nube de puntos y poder apreciar la distribución de los mismos y poder apreciar si los puntos se aproximan a alguna función, en el caso de la función exponencial se puede recurrir a la siguiente relación:


Página 3

B

Y =A X

Para Linealizar esta función se aplica logaritmos a ambos miembros, mediante este procedimiento se obtiene una ecuación logarítmica lineal: Log Y = Log A + B Log X

Sustituyendo valores se tiene: Y = Log Y

A = Log A

X = Log X

Una vez realizada la sustitución, los resultados se escriben en la forma lineal: Y = A + B (X)

La ecuación logarítmica puede resolverse también a través de las siguientes ecuaciones normales:

Ejemplo N° 2: Con los siguientes datos Históricos, Proyectar la Demanda de cemento para el año 2000 mediante Regresión potencial

Por el método no lineal de Regresión potencial se tiene las siguientes relaciones y construimos la siguiente tabla:


Página 4

Aplicando la fórmula de Regresión lineal (mínimos cuadrados):

Reemplazando los valores de "A" y "B" en la ecuación general se tiene: Y = 4.3355 + 0.5485 (Log X)

Recordemos que los valores Históricos de "X", corresponden a los valores del logaritmo de "X", por lo tanto para efectuar estimaciones, lo primero que se debe hacer es expresar en términos logarítmicos el valor del año de 1999 (cumpliendo así una exigencia de la ecuación lineal logarítmica), valor que corresponde al periodo 7. Entonces: Log 7 = 0.8451 y así se procede para Proyectar los posteriores años. Y = 4.3355 + 0.5485 (Log 7) = 4.7985 Por último, para cuantificar la Demanda del año 1999, se encuentra el antilogaritmo de 4,7985, cuyo resultado final es: Y = Anti log (4,7985)


Página 5

Y = 62.878 unidades

Comprobando el Coeficiente de determinación y el grado de Correlación entre las variables "X" y "Y" y calculando también el error estándar de estimación tenemos:

Como se puede apreciar ambos Coeficientes se aproximan a la unidad, lo que implica que la ecuación de Regresión potencial empleada es la que mejor se ajusta las variables.

1.1.3. REGRESIÓN EXPONENCIAL Otro tipo de Función que tiene aplicación en el análisis de Regresión, es la función exponencial que esta por la expresión: Y = ABX

En todo caso, al igual que la Función Potencial, la Regresión Exponencial puede también ser linealizada aplicando logaritmos a ambos miembros, resultado de ello se tiene la relación siguiente: LogY = LogA + LogB(X)

Sustituyendo valores: Y = Log Y

A = Log A

X = Log X

Recordemos que la ecuación exponencial logarítmica puede resolverse también a través de ecuaciones normales:


Página 6

Ejemplo N°3: Se tienen los siguientes datos de las ventas de maquinaria en la ciudad de Cajamarca, se desea encontrar la demanda para el año 2004: Año 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003


Ventas 28.00 28.30 28.90 30.10 32.10 34.50 39.80 43.90 51.10 59.70 376.4

Página 7

Vemos que la tendencia lineal sólo cruza a los datos reales en dos puntos. Por tanto usar la proyección lineal no va ser una buena decisión. En este caso vamos a utilizar la proyección exponencial.


Página 8

La ecuación sería: Y = 22.8552 x 1.0882X La proyección para el período 11 sería: Y = 22.8552 x1.0882x11 Y = 57.91

1.1.4. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN ( ): Este Coeficiente sirve para medir la relación entre las variables, medida de ajuste de modelo de Regresión y que corresponde al cuadrado del Coeficiente de correlación simple ( ). El cálculo del Coeficiente de correlación puede efectuarse de manera directa, mediante la siguiente formula:


Página 9

1.1.5. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ( ): Se dice que existe correlación entre dos variables, cuando al variar una de ellas varía también la otra variable. Para que la Proyección sea más acertada es necesario que el número de observaciones (n) sea más amplio. A mayores años estudiados, tiene más relevancia estadística el valor de este Coeficiente.

El grado de aproximación entre variables es mayor cuando el Coeficiente de Correlación se acerca al valor máximo de 1. Entonces, en este caso se dice, existe una elevada Correlación entre X y Y.

1.1.6. ERROR ESTANDAR DE LA ESTIMACIÓN (Se): El error de la estimación es una medida que permite mostrar el nivel de confiabilidad que tiene la ecuación de predicción e indica hasta que punto los valores observados difieren de sus valores Históricos alrededor de la línea de Regresión. Cuando " Se" se aproxima a cero, entonces la ecuación de Regresión empleada será un estimador óptimo de la variable dependiente. Para el cálculo directo se puede utilizar la siguiente formula:

1.1.7. REGRESIÓN PARABOLICA O CURVA CUADRÁTICA: FORMULACIÓN DE PROYECTOS DE INGENIERÍA

Página 10

Recordemos que la ecuación de mejor ajuste corresponde aquella que presenta los Coeficientes de determinación y Correlación más próximo a la unidad, bajo este criterio, se dan casos donde la serie de Información obtenida no se puede explicar por ninguno de las medidas de Regresión vistas hasta el momento; ante esta situación y asumiendo que la serie tiene una curva parabólica cuyo comportamiento se describe matemáticamente por una ecuación de segundo grado (parábola). La Regresión se expresa así: 2 Y = A + BX + CX

Dónde:

Y = Estimación de la variable dependiente A, B, C = constantes numéricas X = Valores de la variable independiente. Los valores "A", "B" y "C" se encuentran resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Pero cuando se recurre a la codificación de la variable independiente, el cálculo también se efectúa con las siguientes fórmulas de mínimos cuadrados:

1.1.8. LA CURVA DE GOMPORTZ:


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Producción de consumo con el ciclo de vida:

Por mínimos cuadrados, se tiene:

La Regresión sirve para Proyectar datos hacia el futuro, para determinar el grado de dependencia que existe entre dos variables. Es necesario contar con datos pasados para poder hacer las proyecciones hacia el futuro. La Correlación es la asociación entre dos o más variables, como una relación causa - efecto, el cual se lo obtiene aplicando el logaritmo natural (ln).

Ejemplo: Se tiene la demanda de varillas de acero de 1” de diámetro como se muestra en el

cuadro adjunto: Año

Demanda

1995

7828

1996

8476

1997

11855

1998

11419

1999

14071

2000

14155


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Proyectar la demanda para el año 2001 Solución:

Reemplazando en las formulas: n = Número de datos

Por lo tanto se tiene la ecuación:

Para Proyectar el año 7, reemplazar el valor (x = 7) y así sucesivamente. Y = 13087 .33 Y =13239 .698 El Coeficiente de Determinación: (


)

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VT = VE + VNE Dónde: VT: Variación Total. VE: Variación Explicada. VNE: Variación no Explicada. VT = VE + VNE

Por lo tanto el 79.44% de los datos del consumo aparente están explicados por el tiempo, mientras mayor sea este porcentaje mucho mejor.

TAMAÑO DE LA MUESTRA


Página 14

Al realizar un muestreo probabilística nos debemos preguntar ¿Cuál es el número mínimo de unidades de análisis (personas, organizaciones, capitulo de telenovelas, etc), que se necesitan para conformar una muestra. En el tamaño de una muestra de una población tenemos que tener presente además si es conocida o no la varianza poblacional. Para determinar el tamaño de la muestra cuando los datos son cualitativos es decir para el análisis de fenómenos sociales o cuando se utilizan escalas nominales para verificar la ausencia o presencia del fenómeno a estudiar, se recomienda la utilización de la siguiente formula: ´

=

+

´ 

Ejemplo: De una población de 1 176 adolescentes de una ciudad X se desea conocer la aceptación por los programas humorísticos televisivos y para ello se desea tomar una muestra por lo que se necesita saber la cantidad de adolescentes que deben entrevistar para tener una información adecuada con error estándar menor de 0.015 al 90 % de confiabilidad. Solución: FORMULACIÓN DE PROYECTOS DE INGENIERÍA

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N = 1176 Se = 0.015   = () = (0.015) = 0.000225   = (1 − ) = 0.9(1 − 0.9) = 0.09

Por lo que:

´ =

 

=

. .

= 400

Remplazando:

n=

400 = 298 400 1+ 1176

Es decir para la investigación se necesita una muestra de al menos 298 adolescentes. Slideshare.

(26 de Junio de 2014). Obtenido de

http://www.slideshare.net/guest8a3c19/tamao-de-la-muestra-4141371 UAEH.

(24 de JUNIO de 2014). Obtenido de

http://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/tlahuelilpan/administra cion/proy_inv/estudio%20de%20mercado.pdf UNITEC .

(25 de Junio de 2014). Obtenido de

http://emprendedor.unitec.edu/pnegocios/Estudio%20de%20mercado.htm WORDPRESS.

(25 de Junio de 2014). Obtenido de 25: erods.files.wordpress.com/2010/11/proyecciones-mercado.pp


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