CÁLCULO DE CIMENTACIONES MÉTODO DE SULZBERGER
Ing. Tadeo Maciejewski Maciejewski,, Sociedad de Estudios y Proyectos de Electrificación (SEPE) Mtro. Oscar Javier Piñón Jiménez, Universidad Autónoma de Chihuahua (UACH) El método desarrollado por Sulzberger, se aplicó inicialmente, solo al cálculo de cimentaciones para postes o torres de transmisión de energía eléctrica, pero su aplicación se ha extendido a cimentaciones para estructuras dúctiles, a base de postes o polos, como serían los anuncios y las antenas de transmisión telefónica, etc. La ventaja principal de este tipo de cimentaciones a base de un bloque de concreto reforzado, se tiene, cuando no se cuenta con el espacio suficiente para ubicar una cimentación tradicional a base de dado y zapata aislada de concreto reforzado. Este método, se basa en un principio experimentalmente verificado, en el cual, se considera que para inclinaciones limitadas, tal como tan 0.01 0.57 , el suelo tiene un comportamiento elástico. En consecuencia, se obtienen reacciones en las paredes verticales de la excavación, normales a la fuerza lateral que actúa sobre el poste, y reacciones verticales en la base del suelo, mediante las cuales se obtiene su resistencia al volteo. En el método de Sulzberger, se considera que la profundidad de entrada del bloque dentro del terreno, dependerá de la resistencia específica del terreno contra la presión externa en el lugar considerado. Esta resistencia específica, es la presión admisible del suelo y se mide en kg / cm.2 La presión es igual, a la profundidad de entrada C . Se tiene así:
kg / cm
C
Donde:
2
,
multiplicada por el índice de compresibilidad
(1)
Es la presión admisible del suelo en kg / cm 2 . La profundidad de entrada del bloque en el suelo en cm .
C Índice de compresibilidad compresibili dad kg / cm3 . El cual, se evalúa a una profundidad de 2.0 m
bajo el nivel del terreno natural. Siguiendo el principio mencionado, se puede considerar que la resistencia que se opone a la inclinación de la cimentación, se origina por dos efectos principales: 1) Penetración de la cimentación en el terreno, así como a la fricción entre concreto y suelo a lo largo de las paredes verticales normales a la fuerza actuante. 2) Reacción en el fondo de la excavación, producida por las cargas verticales. Las reacciones mencionadas en el primer punto, producen el momento resistente M S , llamado momento de penetración y las del segundo punto, el momento de fondo M b . La ecuación para el dimensionamiento de la cimentación será entonces la siguiente: F S V
M S M b M V
1
(2)
Siendo:
F S V M V
El factor de seguridad al volteo. Se recomienda un valor 2.0 El momento de volteo producido por la carga lateral de trabajo.
M S M b El momento total resistente al volteo.
Las fórmulas que se van a desarrollar a continuación, corresponden a un bloque de concreto de la forma más comúnmente utilizada en la práctica, la de un paralelepípedo rectangular. En un principio, cuando la fuerza que se ejerce sobre un poste, no es grande y la fricción en el fondo de la excavación actúa con su valor máximo, el eje de giro del bloque se encuentra en la profundidad t , es decir está ubicado en la base del bloque ( Figura 1 ). A una inclinación con con un ángulo , le corresponde un movimiento transversal de la superficie b dy igual a y tan , donde b es la dimensión del bloque perpendicular a la fuerza F , y y es la distancia de la superficie mencionada hasta el eje.
F
H
n
y tan
t
d y
y
( Figura 1 ) b
a
Siendo C y el índice de compresibilidad del terreno en la profundidad considerada. La presión unitaria será igual a C y y tan , y la fuerza de reacción de la pared de la excavación sobre este infinitésimo rectángulo será igual a: C y y tan b d y
(En kg )
(3)
El momento respecto al eje de giro ( todavía en la base de la cimentación ) estará dado por la expresión: 2
d M S C y b d y y 2 tan
( En kg – cm) – cm)
(4)
El índice C es una función lineal de la profundidad, por lo que puede decirse que la superficie total de carga, tiene forma de un triángulo isósceles con base igual a C t b y altura t ( Figura 2). 2 ).
d y
t
y tan
y
( Figura 2 )
C t b
Designando al valor de C en la profundidad t , por C t se puede escribir:
y t Sustituyendo en ( 4 ): C y C t 1
(5)
y d M S C t 1 b d y y 2 tan t b t 3 C t tan M S 12
t
y
M S C t 1 0
y
2 b d y y tan t
(6)
Para determinar el valor del ángulo que corresponde al momento en que el eje de giro inicia a levantarse de su posición en el fondo de la excavación, procederemos de la forma siguiente: La presión unitaria en la profundidad t y es igual a: y y C y
Se tiene: Siendo
y
con y y tan
y C t 1
y
C y C t 1
y
y tan
y
t
(7)
t
una función parabólica de esfuerzos, simétrica respecto de y
t 2
, ver figura 3 .
Sí designamos como R , a la resultante de todas las fuerzas resistentes en la pared analizada, se puede escribir: y
M S R
t 2
t 2
R
t
t 2
G
3
( Figura 3 ) En el momento en que la fricción fricci ón es sobrepasada se tiene R G donde G es la resultante de las cargas verticales, verticales , y es el coeficiente coeficient e de fricción entre concreto y suelo en el fondo de la excavación. En este instante, el eje de giro inicia a levantarse y el ángulo que corresponde a este instante se puede calcular mediante la igualdad de momentos siguiente: G
t b t 3 C t tan 2 12 tan
De donde:
6 G
(8)
b t 2 C t
Con el aumento del ángulo disminuye la fricción fricci ón hasta su desaparición. Así, despreciando despreciando la fricción fricción al fondo, fondo, se obtiene obtiene una condición condición tal, que el el eje de giro se se ubica en y t el centro de gravedad de la superficie de carga , es decir, a una profundidad 3 medida desde la base. Se tiene ahora, una distribución de presiones en las paredes de la excavación de la forma que se muestra en la figura 4. y
2
y t 3 2 t 3 y
t 3
t 3
3
( Figura 4 ) Procediendo de manera similar al caso anterior, se tiene, que la presión unitaria medida a la profundidad t y vale: t pero con y y tan 3
y y C y
y C t 1
y t y tan t 3
(9)
Los máximos esfuerzos serán: En
y 2 t 3
2
t C t tan 9
3
t C t tan 3
( 10 )
4
( 11 ) En y 0 Siendo la fuerza de reacción en la pared de la excavación igual a:
C t 1 y t y t 3
tan b d y
El momento respecto al eje de giro en la profundidad y t 3 viene dado por: d M S C t 1 y t y t 3 tan b d y
y
t 3
Que al integrar con límites de 0 a t se obtiene: b t 3
M S
C t tan
36
( 12 )
Para determinar ahora al momento de fondo M b , considere que las cargas verticales hacen que el bloque entre en el terreno hasta una profundidad . 0
0
G
en cm.
a b C b
Donde:
Es la resultante de las cargas verticales a y b Las dimensiones de la base del bloque C b El índice de compresibilidad en el fondo G
( kg ) kg ) ( cm ) 3 ( kg/cm )
Debido a la fuerza en el extremo del poste, el bloque de cimentación se inclina un ángulo , aumentando su entrada en el extremo derecho y disminuyéndola en el izquierdo ( Figura 5 ). La resultante de las fuerzas en el fondo es R y por equilibrio R G Bajo estas condiciones y cuando la base del bloque toca el fondo de la excavación en toda su superficie, superfici e, se tiene una distribución de presiones cuya resultante, resultant e, se ubica a una distancia v. El momento producido por estas presiones será:
a
a v 2
M b G s G
Con v
Sí
a 0 0
a a 3 0 0 2 6 0
a 2
tan
y
0
G a b C b
G s v 0
0
3
s
a b C b tan
12 G
( Figura 5 )
R 5
Se tiene: M b
a 3 b C b tan
12
Para la condición 0 , el ángulo se puede calcular de la forma siguiente: a tan 2 0
Sí
0
G
a b C b
Y con v
a
3
tan
M b
2G
a b C b 2
Ga
( 14 )
6
En condiciones en que la base se levante mas todavía 0 no tocando el fondo por una parte de su superficie ( figura 6 ). El momento de fondo se puede calcular del modo siguiente:
a x 2 3
M b G s G
a
El volumen del prisma de presiones es igual a:
G
G 1 b
x
s x 3
2
Donde 1 es el esfuerzo máximo del terreno en el fondo de la excavación. 1
C b 0
1
C b x tan
G C b x tan b
0
x 1
x 2
R
x b C b tan 2
De donde se obtiene: x
a 1 Por tanto: M b G 2 3
( Figura 6 )
2 2G
( 16 )
b C b tan 2G
b C b tan
( 17 )
El momento resistente total viene dado por: M R M S M b M R
b t 3 36
a
C t tan G
2
1
2G
3
b C b tan
( 18 )
Y el momento de volteo por: 6
Ejemplo 1.
M V F H n
2 t
3
( 19 )
Determinar las dimensiones de un bloque de cimentación mediante el método de Sulzberger, para soportar una estructura unipolar, la cual se encuentra sometida a una fuerza horizontal F , aplicada en la cima del polo. Lo anterior en base a los datos y requerimientos siguientes: Estructura: H 12.00 m n 0.20 m F 1,250 kg P 1,300 kg
Altura del poste Altura libre del bloque Fuerza horizontal Peso total del poste y accesorios
Suelo: C 10.00 kg / cm3 a 2.70 kg / cm 2
Índice de compresibilidad compresibili dad del suelo, evaluado a una profundidad de 2.0 m Capacidad de carga admisible a una profundidad de 2.0 m
0.35
Coeficiente de fricción entre concreto y suelo
F
H
2
n
2 t 3
t
t
3
1
3
b a
7
Solución: Se proponen las siguientes dimensiones para el bloque: a 1.25 m ; b 1.25 m y t 2.20 m
* Cálculo del momento actuante o de volteo M V mediante la ecuación ( 19).
M V F H n
2 2.20 1,250 12.00 0.20 17,083 kg m 3 3
2 t
* Cálculo del momento resistente M R utilizando la ecuación ( 18). b t 3
M R
36
a
C t tan G
2
1
2G
3
b C b tan
3 Peso del bloque de concreto 2,400 400 kg / m 1.25 m 1.25 m 2.40 m 9,000 kg Peso propio del poste 1,300 kg Peso total de estructura G 1,300 9,000 10,300 300 kg
M R
125 ( 220 ) 3 36
125 1 10 0.01 10,300 2 3
3,697,222 504,372 125 10 0.01 2 10,300
594 kg / cm 42,016 016 kg m M R 4,201,594
Factor de seguridad al volteo ( Ecuación 2). FS V
M R M V
42,016 17,083
2.46 2.0
ok
Cálculo de esfuerzos en el suelo bajo esta condición extrema: Ecuación (16): ( 16):
x
2G
b C b tan
2 10,300 125 10 0.01
40.60 cm
Ecuación (15): ( 15):
1 C b x tan 10 40.60 0.01 4.06 kg / cm 2
Ecuación (10): ( 10):
2
220 t C t tan 10 0.01 2.44 kg / cm 2 9 9
8
220 t C t tan 10 0.01 7.33 kg / cm 2 3 3 Se determinarán ahora, la deformación y los esfuerzos que se presentan en el terreno bajo la acción del momento de volteo, esto es, cuando el momento resistente es igual al momento de volteo de servicio.
Ecuación (11): ( 11):
3
M R M V 17,083 083 kg m M R
125 ( 220 ) 3 36
125 1 10 tan 10,300 2 3
2 10,300 125 10 tan
1,708,300 kg cm
De donde: tan 0.00352
Los esfuerzos de trabajo en el suelo son:
x
2G
b C b tan
2 10,300 125 10 0.00352
68.42 cm
1 C b x tan 10 68.42 0.00352 2.41 kg / cm 2
2
220 t C t tan 10 0.00352 0.86 kg / cm 2 9 9
3
220 t C t tan 10 0.00352 2.58 kg / cm 2 3 3
2 a 2.70 kg / cm
La deformación horizontal máxima en condiciones de servicio, en la punta del poste será: 2 t 2 220 cm máx. tan H n 0.00352 1,200 cm 20 cm 4.81 cm 3 3
Se pueden proponer diferentes valores de a , b y t para obtener la sección más económica, y cuyas dimensiones, se adapten a las limitantes del área disponible.
9
