Mehanicki Valovi, Valne Jednadzbe

ELEKTROTEHNI ČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA I

7. MEHANIČKI VALOVI I ZVUK 7.1 Prostiranje valova u elastičnoj sredini Ako se na jednom mjestu elastič elasti čne sredine (č ( čvrste, teč tečne ili plinovite) izazovu oscilacije njenih me đudjelovanja čestica, to osciliranje širiti kroz sredinu nekom brzinom v. čestica, tada će se, zbog međ Proces prostiranja oscilacija u prostoru naziva se val ili talas. Val ne prenosi čestice sredine u kojoj se prostire, one samo vrše osciliranje oko ravnotežnih položaja. Longitudinalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju duž pravca prostiranja. Transverzalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju u smjeru koji je okomit na pravac prostiranja vala. Mehanič Mehanički transverzalni val nastaje samo u sredini koja sadrži otpor na smicanje. U te čnoj i plinovitoj fazi moguć mogu ć je nastanak samo longitudinalnih valova.

Crtež 7.1 Na crtežu 7.1, prikazano je kretanje čestica pri prostiranju transverzalnog vala. Čestice označ označene sa 1,2,3 itd. pomaknute su jedna od druge na rastojanju 1/4 vT , to je jednako četvrtini puta kojeg val pređ pređe za vrijeme jednog perioda. Čestice koje jedna od druge stoje na rastojanju vT osciliraju u istoj fazi. Rastojanje između najbližih čestica koje osciliraju u istoj fazi naziva se

valna dužina. dužina.

68

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





Valna dužina je prema tome jednaka proizvodu brzine vala i perioda. λ = v ⋅ T

(7.1)

Ako zamijenimo u izrazu (7.1) T s 1/ f f dobijemo

λ =

v f

(7.2)

Geometrijsko mjesto tačaka do kojeg dolaze oscilacije u momentu vremena t naziva se valni zahva ćen u valni proces od oblasti u kojoj još nema front, to je površina koja dijeli dio prostora koji je zahvać oscilacija.

Geometrijsko mjesto tačaka koje osciliraju sa istom fazom naziva se valna površina. Valne površine mogu da budu bilo kojeg oblika, najjednostavnije su one koje imaju oblik ravni ili sfere. U tim sluč slu čajevima val se naziva ravni ili sferni. U ravnom valu valne površine predstavljaju sistem koncentrič koncentričnih sfera, crtež 7.2.

a) Sferni val

b) Ravni val Crtež 7.2

Pravci duž kojih se šire oscilacije od tačke do tačke zovemo zrakama vala, vala, zrake su okomite na valne površine. Iz toč točkastog izvora u izotropnom sredstvu (tj. sredstvu koje u svim smjerovima ima iste osobine) širi se sferni val čije su valne fronte koncentrič koncentri čne sfere (lopte) crtež 7.2a, a zrake radijalni pravci. Ravni val nastaje iz beskonač beskona čno dalekog toč to čkastog izvora, valne fronte su ravnine, a zrake paralelni pravci, crtež 7.2b.





Valna jednadžba naziva se izraz koji daje pomjeranje ψ oscilirajuć oscilirajuće toč točke kao funkciju njenih koordinata x, y, z i vremena t

ψ = ψ ( x, y, z , t )

(7.3)

Funkcija (7.3) mora da bude periodi čna kako u odnosu na vrijeme, t tako i u odnosu na koordinate x, y, z. Nađ Nađimo oblik funkcije u sluč slu čaju ravnog vala koji se prostire duž ose x

ψ = ψ ( x, t )

(7.4)

Valne površine normalne su na osu x. Neka oscilacije tač tačaka koje leže u ravni x = 0 imaju oblik ψ = ψ (0, t ) = A cos ω t (7.5) Nađ Nađimo oblik osciliranja čestice u ravni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti x. Da bi val prešao put od ravni x = 0 do ravni x valu je potrebno vrijeme τ

τ =

x

(7.6)

v

gdje je v brzina prostiranja vala. Oscilacije čestica koje leže u ravni x zaostaju u vremenu, za τ

Crtež 7.3. Prema tome, jednadžba ravnog vala

 

ψ = A cos ω (t − τ ) = A cos ω  t −

može se napisati u obliku

x 



v 

(7.7)

Pri ovome pretpostavljamo da je amplituda oscilacija u svim ta čkama jedna ista, tj. nema apsorpcije valova. Neka je vrijednost faze u jedndžbi (7.7) jednaka nekoj stalnoj vrijednosti

 

ω  t −

x 

 = const .

v 

(7.8)

Izraz (7.8) daje vezu izmeđ izme đu vremena t i onog mjesta x u kojem se u danom momentu ostvaruju iste vrijednosti faze. Diferenciranjem (7.8) dobivamo brzinu kojom se pomjera dana vrijednost faze

dt −

1

dx = 0

(7.9)





Prema tome, brzina prostiranja vala u jednadžbi (7.7) jeste brzina pomjeranja faze, pa se zove fazna brzina. Iz jednadžbe (7.10) slijedi da je brzina vala pozitivna, prema tome (7.7) opisuje val koji se rasprostire u stranu rasta x (slijeva u desno), val koji se rasprostire u stranu suprotnu ima oblik

 

ψ = A cos ω  t +

x 



(7.11)

v 

Izjednač Izjednačimo fazu sa konstantom i diferencirajmo, dobijemo

dx dt

= −v

(7.12)

Rezultat pokazuje da se val kreć kre će u suprotnom smjeru. Jednadžbi ravnog vala može se dati simetrič simetričan oblik u odnosu na t i x. Uvedimo valni broj k ,

2π

k =

(7.13)

λ

Veza izmeđ između valnog broja k i kružne frekvencije ω i fazne brzine vala v ima oblik

v=

ω

(7.14)

k

Jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku ψ = A cos(ω t ± kx )

(7.15)

Promatrajmo jednadžbu sfernog vala. Sferni val nastaje od izvora koji se može smatrati to čkom. U sluč slučaju da je brzina prostiranja u svim smjerovima ista val koji nastaje od izvora (to čkastog) mora biti sferni. Neka je faza osciliranja jednaka ω t tada tač tačke koje leže na valnoj površini radijusa r mora

 

oscilirati sa fazom ω  t −

r 

slu čaju ako sredina ne apsorbira energiju  . Amplituda osciliranja u tom sluč

v 

vala neć neće ostati konstantna, ona se smanjuje po zakonu 1/r Jednadžba sfernog vala ima oblik

ψ =

A r

 

cos ω t −

r 



(7.16)

v 

Ova jednadžba vrijedi samo za velike r , u odnosu na dimenziju izvora. Kad r teži nuli amplituda postaje beskonač beskona čna, što upravo pokazuje o neprimjenjivosti jednadžbe (7.16) za male vrijednosti r .

7.3 Jednadžba ravnog vala koji se prostire u proizvoljnom smjeru Nađ Nađimo jednadžbu ravnog vala koji se prostire u pravcu koji sa osama x, y, z obrazuje uglove α ,β,γ . Neka oscilacije koje prolaze kroz koordinatni po četak, crtež 7.4, imaju oblik

ψ 0 = A cos ω t

(7.17)

Uzmimo valnu površinu koja od koordinatnog po četka stoji na rastojanju l . Oscilacije u toj ravni zaostaju za oscilacijama (2.17) za vrijeme τ =

 

ψ = A cos ω  t −

l 



1

v (7.18)

v  →

Izrazimo l preko radijus vektora r . Lako je uoč uo čiti da skalarni proizvod jedinič jedini čnog vektora normale





ω → →   ψ = A cos ω t − n⋅ r  v  

Crtež 7.4 Omjer

ω v →

jednak je valnom broju k . →

Vektor k = k n

(7.21)

koji je po modulu jednak valnom broju se valni vektor. Uvođ Uvođenjem

 → 



→

=

2π

λ

i koji ima smjer normale na površinu naziva

u (7.20), dobijemo

k

→→

k



 r , t  = A cosω t − k r  ψ    

(7.22) →

Jednadžba (7.22) daje otklon od ravnotežnog položaja s radijus vektorom r u momentu vremena t . →

→ →

Da bi prešli od radijus vektora tač ta čke r njenim koordinatama x, y, z , izrazimo skalarni proizvod k⋅ r projekcijama vektora na koordinatne ose: → →

k ⋅ r = k x x + k y y + k z z

(7.23)

Tada jednadžba ravnog vala dobiva oblik

ψ ( x, y, z , t ) = A cos ω t − k x x − k y y − k z z

(7.24)

gdje je

k x

=

2π

λ

cos α

, k y

=

2π

λ

cos β

, k z =

2π

λ

cos γ

(7.25)

→

U sluč slučaju kada se r podudara sa osom x, tada je k x=k , k y=k z=0 te jednadžba (7.24) prelazi u jednadžbu (7.15). Jednadžba ravnog vala ponekad se piše i u obliku  → →  i  ω t − k ⋅ r    ψ Ae  (7.26)

=

pri čemu se podrazumijeva da se koristi samo realni dio tog izraza, npr.

ψ = A[cos(ω t − kx ) + i sin (ω t − kx )]

(7.27)





Promatrajmo ravni val u smjeru ose x

ψ ( x, t ) = ψ = A cos(ω t − kx )

(7.28)

Nađ Nađimo drugu parcijalnu derivaciju po koordinatama i vremenu od funkcije ψ (x,t) 1

∂ 2ψ = −ω 2 A cos(ω t − kx ) = −ω 2ψ 2 ∂ t ∂ 2ψ = −k 2 A cos(ω t − kx ) = −k 2ψ 2 ∂ x

(7.29)

Iz jednadžba (7.29) dobivamo

∂ 2ψ k 2 ∂ 2ψ = 2 2 2 ∂ x ω ∂ t Uzevši u obzir vezu

(7.30)

k 2

=

ω 2

1

v2

, dobivamo

∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = v ∂ t 2 ∂ x 2

(7.31)

Jednadžba (7.31) predstavlja valnu jednadžbu. Ovo možemo analogno proširiti na sve tri dimenzije, pa valna jednadžba u tri dimenzije ima oblik

∂ 2ψ ∂ x 2

+

∂ 2ψ ∂ y 2

+

∂ 2ψ ∂ z 2

=

2 1 ∂ ψ

(7.32)

v 2 ∂ t 2

Jednadžba (7.32) može se napisati koriste ći Laplasov operator ∆ 2

∆ψ =

∂ 2ψ ∂ x 2

+

∂ 2ψ ∂ y 2

+

∂ 2ψ ∂ z 2

(7.33)

odnosno

∆ψ =

2 1 ∂ ψ

v 2 ∂ t 2

(7.34)

7.5 Brzina prostiranja elastičnih valova Neka se u pravcu x ose prostire longitudinalni ravni val. Izdvojimo u sredini cilindri čni volumen visine ∆x sa površinom koja je jednaka jedinici. Ako osnova cilindra sa koordinatom x ima u nekom trenutku pomjeranje ψ onda će pomjeranje osnove s koordinatom x + ∆x biti ψ + ∆ψ . Prema tome, razmatrani volumen se deformira i dobiva izduženje Velič Veličina, ε =

∆ψ (ako je ∆ψ < 0 to predstavlja sažimanje).

∆ψ predstavlja srednju relativnu deformaciju cilindra. Zbog toga što se ne mijenja po ∆x

linearnom zakonu, stvorena deformacija na raznim presjecima cilindra ne će biti jednaka. Da bismo dobili deformaciju na presjeku x potrebno je da ∆x teži nuli. Prema tome je

1

Funkcija ψ ( x,y ,z,t) , je funkcija četiri nezavisno promjenjive, pa se ovdje moraju uvesti

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ , , , . Parcijalni izvod za funkcije više y ∂ z ∂ t ∂ x ∂ y promjenjivih, po nekoj određ određenoj promjenjivoj, rač računamo kao “obič “obi čan” izvod po toj promjenjivoj, s

parcijalni izvodi funkcije, koji se pišu simbolima,







∆ψ ∂ψ = ∆ x →0 ∆ x ∂ x

ε = lim

(7.35)

Postojanje deformacije istezanja svjedoč svjedo či o postojanju normalnog naprezanja σ koje je pri malim deformacijama proporcionalno velič veli čini deformacije. Suglasno Hookeovom (Hukovom) zakonu,

σ = E ⋅ ε , gdje je E Youngov (Jang) modul a σ normalno naprezanje ( σ = ∂ψ σ = E ⋅ ε = E ∂ x Napomenimo da relativna deformacija

F s

), imamo (7.36)

∂ψ a prema tome i naprezanje u fiksiranom momentu ∂ x

vremena zavise od x. Tamo gdje su otkloni čestice od položaja ravnoteže maksimalni, deformacije i naprezanja su jednaki nuli. U mjestima gdje čestice prolaze kroz položaj ravnoteže deformacija i naprezanje dostižu maksimalnu vrijednost pri čemu se pozitivne i negativne deformacije (istezanje i sabijanje) naizmjenič naizmjenično smjenjuju (longitudinalni val ), crtež 7.5. Napišimo jednadžbu kretanja za jedinič jedinični ci1indar. Uzimajuć Uzimajući da je ∆x veoma malen, ubrzanje sistema može se smatrati konstantno. Masa cilindra jednaka je ρ ∆xS , gdje je gustoć gusto ća nedeformirane sredine.

Crtež 7.5





 ∂ψ   ∂ψ    −    ∂  x  ∆ x  ∂ x  0   ∂ψ  možemo razviti u red3 za male vrijednosti ∆ x Velič Veličinu   ∂ x    ∂ψ  =  ∂ψ  +  ∂  ∂ψ   ∆ x + ⋅ ⋅ ⋅        ∂ x  ∆ x  ∂ x  0  ∂ x  ∂ x   0

F = SE 

(7.37)

kao

Uvrštavanjem u relaciju (2.37) dobivamo

 ∂  ∂ψ   ∂ 2ψ F = SE     ∆ x = SE 2 ∆ x ∂ ∂ x x ∂ x    

(7.38)

Sa druge strane, sila je prema II Newtonovom zakonu jednaka

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ F = ∆m 2 = ρ ⋅ ∆V 2 = ρ S 2 ∆ x ∂ t ∂ t ∂ t

(7.39)

Izjednač Izjednačavanjem relacija (7.39) i (7.38) dobivamo jednadžbu oblika valne jednadžbe

∂ 2ψ ρ ∂ 2ψ = ∂ x 2 E ∂ t 2 Uspoređ Uspoređivanjem jednadžbe (7.40) sa valnom jednadžbom (7.31 ) vidimo da je

(7.40)

1

v2

=

ρ E

. Prema

brzina longitudinalnih valova jednaka je kvadratnom korijenu iz Youngovog modula podjeljnog s gusto ćom sredine

tome

v =

E

ρ

(7.41)

Analogna rač računanja za transverzalne valove dovode do slijedeć slijede ćeg izraza za brzinu (7.42)

v=

G

ρ

gdje je G modul smicanja.

7.6 Energija elastičnog vala Promatrat ćemo sredinu u kojoj se prostire longitudinalni ravni val, izdvojivši elementarni volumen ∆V , ali tako malen da se deformacije i brzina mogu smatrati istim i jednakim u svim ta čkama. Da bi izrač izračunali ukupnu energiju sistema moramo prethodno izra čunati potencijalnu energiju elastič elasti čne deformacije pri istezanju ili sabijanju. Energiju istegnutog (sabijenog) štapa za ∆l, dobit ćemo preko





W =

∆l

E ⋅ S E ⋅ S x 2 xdx = l l 2 0

∫

∆l

2

= 0

E ⋅ S ⋅ l  ∆l  2

   l 

(7.45)

Konač Konačno imamo da je potencijalna energija jednaka

E p

=

E ⋅ V 2

ε 2

(7.46)

Izraz za potencijalnu energiju elementarnog volumena

∆ E p =

ρ v 2

2

∆V ima oblik

2

 ∂ψ  ∆V    ∂ x 

(7.47)

gdje je, E = ρ v , Youngov modul elastič elasti čnosti, ε = 2

∂ψ , relativna deformacija. ∂ x

Promatrani volumen sadrži takođ tako đer i kinetič kinetičku energiju 2

∆ E k =

ρ ∆V  ∂ψ    2  ∂ t 

gdje je,

∆m = ρ ∆V , masa i v =

(7.48)

∂ψ brzina danog elementa ∆V . Sabiranjem izraza (7.48) i (7.47) ∂ t

dobit ćemo ukupnu energiju

ρ  ∂ψ    2  ∂ t 

2

∆ E = ∆ E k + ∆ E p = Dijeljenjem energije

2 ∂ψ    + v     ∂ x   2

(7.49)

gustoću energije ∆E sa volumenom ∆V u kojem se ona sadrži, dobit ćemo gustoć

2 2  ∆ E 1  ∂ψ  2  ∂ψ  = u = ρ   + v    ∆V 2  ∂ t   ∂ x  

(7.50)

Parcijalnim diferenciranjem jednadžba ravnog vala po t i po x dobivamo

∂ψ x  = −ω A sin ω   t −  ∂ t  v  i

∂ψ ω x  = A sin ω   t −  ∂ x v  v 

(7.51)

Uvrštavanjem izraza (7.51) u (7.30) dobit ćemo izraz za gustoć gustoću energije

u ili

=

ρ 2

 

A 2ω 2 2 sin 2 ω  t −

x 



v 





Fluks energije je skalarna veličina čije su dimenzije jednake dimenziji energije podijeljene sa dimenzijom vremena, tj. podudara se sa dimenzijom snage. Prema tome fluks se mjeri u vatima (W). Fluks energije u raznim toč to čkama sredine može imati različ razli čitu intenzivnost. Za karakteristiku fluksa energije u raznim točkama prostora uvodi se vektorska veličina koja se zove gustoća toka energije. Smjer vektora gustoć gusto će fluksa energije podudara se s smjerom u kojem se prenosi energija. Neka se kroz površinu ∆S ⊥ okomitu na pravac prostiranja vala prenosi za vrijeme ∆t energija gustoća fluksa energije po definiciji biti jednaka ∆E . Tada će gustoć

j =

∆ E ∆S ⊥ ⋅ ∆t

S obzirom da je

j

=

∆φ ∆S ⊥ ∆S ⊥

∆E fluks energije ∆φ , kroz površinu ∆S ⊥ može se pisati ∆t (7.55)

Kroz površinu osnovom

(7.54)

∆S ⊥

za vrijeme

∆t prenijet će se energija koja je sadržana u volumenu valjka sa

i visinom v ⋅ ∆t , crtež 7.7.

Crtež 7.7 Ako su dimenzije valjka dovoljno male tako da bismo gusto ću energije u svim tač ta čkama valjka mogli smatrati jednakom, onda se ∆E može nać naći kao proizvod gustoć gusto će energije i volumena valjka, ∆S ⊥ ⋅ v ⋅ ∆t , tj.

∆ E = u ⋅ ∆S ⊥ ⋅ v ⋅ ∆t Kad taj izraz za

∆E uvrstimo u formulu (7.54) dobit ćemo

(7.56)

Mehanicki Valovi, Valne Jednadzbe

Recommend Documents