MECANIQUE DES FLUIDES SEMESTRE 3
IUT ANNECY DEPARTEMENT MESURES PHYSIQUES
PLAN DU COURS • CHAPITRE 1 : notion de pression • CHAPITRE 2 : équation fondamentale de l’hydrostatique
• CHAPITRE 3 : forces hydrostatiques exercées sur des surfaces
• • • • •
CHAPITRE 4 : principe d’Archimède CHAPITRE 5 : dynamique des fluides CHAPITRE 6 : écoulement des fluides visqueux CHAPITRE 7 : capteurs en mécanique des fluides CHAPITRE 8 : aérodynamique
1ère partie : statique → étude d’un fluide immobile • notion de pression • force exercée par un fluide sur une paroi • poussée d’Archimède
2ème partie : dynamique → étude des écoulements stationnaires de fluides • • • •
relation de Bernoulli théorème d’Euler viscosité d’un fluide pertes de charge régulière et singulière
Dans ce cours, tous les vecteurs seront notés en caractères gras
INTRODUCTION I-
définition d’un fluide particules libres de se déplacer les unes par rapport aux autres (au contraire des solides)
• •
milieu continu, déformable et sans forme propre peut s’écouler et subir de grandes variations de forme sous l’action de forces relativement faibles
on distingue : – –
les liquides les gaz
remarque : distinction parfois difficile ! le verre ‘’coule’’ et un solide finement divisé ‘’coule’’ : sable
II –
propriétés des fluides
• isotropie (pour la plupart des fluides) : – propriétés identiques dans toutes les directions de l’espace
• compressibilité : – gaz sont compressibles (le volume occupé est fonction de la pression et de la température) ex. : gaz parfait pV = Cste * T – liquides sont peu ou pas compressibles
• viscosité : – résistance à la déformation d’un fluide réel
⇒ intervient en dynamique
CHAPITRE I NOTION DE PRESSION
I- définition de la pression fluide
dS
(1)
atmosphère ( 2 ) n
t Ft
F12 Fn
Force exercée par le fluide sur la surface ds : F12 = Fn + Ft Fn = composante de la force normale à la surface ds Ft = composante de la force tangentielle à la surface ds
• Définition de la pression p :
dFn p = lim ite ds →0 ds
• Dimension de la grandeur pression :
[F ] [ M ][ L ][ T ] − 2 −1 −2 [ p] = = = [ M ][ L ] [ T ] [ L ]2 [ L ]2 Remarques : • la pression est une quantité scalaire • si fluide au repos : F12 = Fn car Ft = 0 • si fluide en mouvement : Ft ≠ 0 car force résultant des frottements visqueux du fluide sur la paroi • force de pression sur la surface élémentaire ds : df p = p ds n (quantité vectorielle)
II- unités de pression • le Pascal (USI) :
1 Pa = 1 N/m2
• le bar :
1 bar = 105 Pa (1 mbar = 100 Pa)
• l’atmosphère (pression exercée par une colonne de 760 mm de mercure) : 1 atm = 1,013.105 Pa • le Torr (pression exercée par une colonne de 1 mm de mercure) : 1 Torr = 133 Pa • le psi (poundforce per sqare inch) : 1 psi = 6895 Pa
III- pression absolue et pression relative • pression absolue : – toujours positive, référence p = 0 • pression relative : – positive ou négative – définie par rapport à une autre pression, le plus souvent la pression atmosphérique
CHAPITRE 2 : EQUATION FONDAMENTALE DE L’ HYDROSTATIQUE
Objectif : calculer la pression en un point d’un fluide incompressible, au repos et soumis au champ de pesanteur
I- équation fondamentale de l’hydrostatique 1. relation fondamentale Soit un volume de fluide de masse volumique ρ et de volume dV = dx dy dz : y
F z+dz
z
Fx
F x+dx P
dz
dy x dx Fz
Bilan des forces extérieures agissant sur ce volume de fluide : • poids du fluide compris dans le volume : P = ρ g dV = - ρ g dx dy dz k • forces de pression sur les surfaces de cotes x , y et z : Fx = p(x) dy dz i Fy = p(y) dx dz j Fz = p(z) dx dy k • forces de pression sur les surfaces de cotes x + dx, y + dy et z + dz : F x+dx = - p(x+dx) dy dz i F y+dy = - p(y+dy) dx dz j F z+dz = - p(z+dz) dx dy k
• Fluide au repos donc le volume est en équilibre, d’où : ΣF extérieures = 0 (Ox) :
[ p(x) – p(x+dx) ] dy dz = 0
(Oy) : (Oz) :
[ p(y) – p(y+dy) ] dx dz = 0 [ p(z) - p(z+dz) ] dx dy – ρ g dx dy dz = 0
• or le volume dV est petit donc : ∂p dp = p ( x + dx) − p ( x) = dx ∂x
• donc on obtient : −
∂p dxdydz = 0 ∂x
et −
∂p ∂p dydxdz = 0 et − ( + ρ g )dzdxdy = 0 ∂y ∂z
• d’où : ∂p = 0 ∂x
et
∂p = 0 ∂y
et
∂p + ρ g = 0 ∂z
Conclusions •
p est indépendant de x et y – pour un fluide au repos, la pression est constante dans un plan horizontal. – les surfaces isobares ont pour équation : z = constante
•
dp = - ρ g dz
2- cas du fluide incompressible – ρ = constante donc p = - ρ g z + Cste – relation fondamentale de l’hydrostatique :
p + ρ g z = Cste – dans un fluide incompressible, homogène et au repos la pression varie linéairement avec la profondeur
3- conséquences de la relation fondamentale a- dans un liquide au repos, la pression croit de haut en bas z
z
pat
0
Pat
Surface libre
z1
z2
M1
P(z)
M2
pM1 + ρ g z1 = pat + 0 pM2 + ρ g z2 = pat + 0 z < 0 donc et
pM1 > pat pM2 > pM1
donc pM1 = pat - ρ g z1 donc pM2 = pat - ρ g z2 et
pM2 > pat car
z2 > z1
0
b- la pression en un point d’un fluide au repos ne dépend que de la profondeur de ce point et non du volume de liquide z 0 z1
z2
M1
M2
M’1
M’’1
M’2
M’’2
pM1 = pM’1 = p M’’1 pM2 = pM’2 = p M’’2
c- cas de 2 fluides ayant des masses volumiques ρ1 et ρ2 différentes z
pat
pat A1
za1 A2 za2 h1
h2
Liquide 2
M1 zm M2
Liquide 1
pM1 + ρ1 g zm = pA1 + ρ1 g za1 donc pM1 = pA1 + ρ1 g ( za1 – zm ) pM2 + ρ2 g zm = pA2 + ρ2 g za2 donc pM2 = pA2 +ρ2 g ( za2 – zm )
•
pM1 = pM2 car le point M2 appartient aux 2 fluides et M1 et M2 sont situés sur une même isobare
•
pA1 = pA2 = pat
donc
conclusion :
ρ2 ( za2 – zm ) = ρ1 ( za1 – zm ) ρ2 h2 = ρ1 h1 si
h1 > h2 →
ρ1 < ρ2
II- Mesure de pression 1- mesure de la pression atmosphérique : le baromètre vide
z
Hg
pat
pat = ρ g h
h
2- manomètre à liquide pat
z
0
h P
M zm
P + ρ g zM = Pat d’où P = Pat - ρ g zM donc P = pat + ρ g h
3- mesure de pression relative p1
p2
h
p1 – p2 = ρ g h
III- théorème de Pascal 1- théorème z
pat
Pat+ ∆p
0 z1 M1
M’1
M2
M’2
z2
•
pM1 + ρ g z1 = pat
pM’1 + ρ g z1 = pat + ∆p
•
pM2 + ρ g z2 = pat
pM’2 + ρ g z2 = pat + ∆p
d’où
pM1 = pat - ρ g z1 et pM’1 = (pat - ρ g z1) + ∆ p
donc pM’1 = pM1 + ∆ p
et pM’2 = pM2 + ∆p
Dans un fluide incompressible, au repos, les variations de pression se transmettent intégralement
2- application : la presse hydraulique f
F B’
A B
A’
• état initial : pA = pB • une force f est exercée sur la section A • la pression supplémentaire est donc transmise intégralement sur l’autre bras donc f S
•
A
F = S B
⇒
F =
S f S
B A
F >> f → permet ainsi de soulever des charges importantes avec des forces exercées faibles
• Remarque : conservation du volume de fluide
CHAPITRE 3 FORCES HYDROSTATIQUES EXERCEES SUR DES SURFACES • Objectifs : calcul des forces (intensité, direction, sens et point d’application) exercées par les fluides au repos sur les surfaces
I- force de pression sur une surface
df = p ds n avec n orienté vers l’extérieur du réservoir
1- cas des gaz • soit un gaz à la pression p dans une enceinte • on a p = constante en tout point car la masse volumique du gaz est petite (≈ 2 g/L pour CSTP) • donc
df = p ds n avec p = constante
2- cas des liquides surface libre h n
fluide
M
atmosphère
df
• P M = pA + ρ g h donc
dfM = ( pA + ρ gh ) ds n
• Les forces exercées par la pression atmosphérique et la tension du réservoir s’opposent à la force dfM due à la pression du liquide
II- résultante des forces de pression sur les parois d’un réservoir 1- équilibre de l’élément de surface ds d’un réservoir ds étant situé à la hauteur h sous la surface libre : •
écrivons l’équilibre de ds : df at
paroi
df2 atmosphère
M réservoir
df1
dffl n
•
df fl + df 1 + df 2 + df at = 0 df fl = pM ds n = ( pat + ρ g h ) ds n df at = - pat ds n
• la résultante des forces de pression sur ds est : dRp = df fl + df at = ρ g h ds n les forces df1 et df2 se compensent ! donc la pression atmosphérique n’intervient pas ! • la résultante des forces de pression est :
Rp = ∫ S ρ g h ds n
III- applications 1- force exercée sur une surface plane horizontale y Ly
z
dz dFx x Fz Fx
Lz
Lx
• Fz est appelée poussée, dirigée vers l’extérieur du réservoir • Soit Lz la hauteur de fluide • Sur la surface plane : Fz = ∫S ρ g Lz ds n Fz = ρ g Lz S n avec S = Lx Ly • La force exercée sur une paroi plane est égale au produit de la pression à la profondeur de la paroi par sa surface.
2- force exercée sur une surface plane verticale •
Calcul de dFx, force de pression exercée sur la bande de longueur Ly et de hauteur dz, située à une profondeur z : dFx = p(z) ds n avec p(z) = cste dFx = ρ g z (Ly.dz) n Fx = ρ g Ly ∫0 -Lz z dz n 2
Lz Lz Fx = ρ g Ly n=ρ g Sn 2 2 avec S = surface de la paroi =Ly Lz
•
Règle de calcul : la force exercée sur une paroi verticale est égale au produit de la surface de la paroi par la pression à la profondeur Lz / 2
3- force exercée sur une surface plane inclinée y
Ly
z
x ds
θ h
dF n
n est perpendiculaire à la surface
• Calcul de dF , force de pression sur une bande horizontale de longueur Ly , de largeur dzi située à une profondeur z : • surface de cette bande :
dzi
dz θ
Ly
dz cos θ = donc dz i
ds = L y dz i = L y
dz cos θ
• •
dF = p ds n = ρ g z ds n
ρ g L F = cos θ
− L y
n
∫
z
zdz
0
S '=
=
ρ g L
y
L
2 cos θ
2 z
n
Ly Lz cos θ
avec S’ = surface de la paroi inclinée
F
= ρ
L z g S ' n 2
• Règle de calcul similaire au cas précédent : la force exercée sur une paroi inclinée est égale au produit de la surface de la paroi inclinée par la pression à la profondeur Lz/2
• composantes de F :
F = Fx i + Fz k
• n = - cos θ i - sin θ k
• Donc
Fx = - F cosθ
et
Fz = - F sinθ
avec F = norme de F = ρ g Lz /2 S’
• F = ( -F cosθ ; 0 ; -F sinθ)
IV- centre de poussée le centre de poussée est le point d’application de la force de pression
1- cas d’une surface plane horizontale f Ly
x
0
Lx
f = cste
car surface isobare
On obtient par le calcul : xC = Lx / 2 yC = Ly / 2
• donc pour une paroi plane, le centre de poussée et le barycentre de la surface sont confondus
2- cas d’une surface plane verticale z
Surface libre y
2h/3
fx fx
F=ρ ρg S h/2
h
C fx
le centre de poussée est situé à 2/ 3 de la hauteur d’eau
3- cas d’une surface inclinée Ly
z
y
x ds
θ
h
dF
n
• position du centre de poussée :
2 h 3 cos θ
M
o o
2h/(3cosθ) x
h
θ
C f
f F
CHAPITRE 4 PRINCIPE D’ARCHIMEDE (200 ans avant JC !)
I- énoncé • La résultante des forces de pression sur un corps immergé dans un fluide au repos est une poussée verticale, dirigée de bas en haut et égale au poids du volume de fluide déplacé.
II- propriétés • principe valable pour un corps complètement ou partiellement immergé • pour un corps partiellement immergé le centre de poussée et le centre de gravité du solide ne sont pas confondus d’où stabilité ou instabilité Le centre de poussée se situe au centre de gravité de la masse de fluide déplacé.
• la poussée d’Archimède est indépendante de : – la profondeur d’immersion du corps pour un fluide incompressible – la nature du matériau constituant le corps • la poussée d’Archimède n’est fonction que : – de la masse volumique du fluide – du volume du corps (sa géométrie)
III- exemple de calcul • Un cube de glace d’arête a flotte sur l’eau • Déterminer la hauteur h de glace en dessous de la surface libre. • Donnée : ρ (glace) = 912 kg/m3 • P + Fa = 0 • sur (Oz) : donc
a3 ρgl g – a2 h ρeau g = 0 h = 0,912 a
CHAPITRE 5 : DYNAMIQUE DES FLUIDES Objectif : établir les lois de l’écoulement des fluides (problème très complexe !)
• Cas du fluide : – incompressible (V indépendant de p) – idéal (viscosité nulle) – en écoulement permanent (vitesse, pression et débit en un point quelconque du fluide sont indépendants du temps)
I- définitions 1- ligne de courant soit un volume élémentaire de fluide dV • définition : ligne de courant = trajectoire du volume v élémentaire 3
v2
v1
3 2 1
• La vitesse du volume élémentaire est tangente à la ligne de courant en tout point
2- tube de courant •
définition : ensemble de lignes de courant défini par un contour fermé à l’intérieur de l’écoulement
3- débit volume Qv • • •
définition : volume de fluide traversant la section S par unité de temps Qv en m3/s Si la vitesse v est constante sur la surface S, alors : Qv = S * v
4- débit masse Qm d’un fluide incompressible •
définition : masse de fluide traversant la surface S par unité de temps
•
Qm en kg / s
•
Qm = ρ * Qv avec ρ et v constant sur la surface S
5- fluide idéal •
définition : si les forces entre 2 volumes élémentaires de fluide sont perpendiculaires à la surface de séparation (viscosité = 0) F v1 1
v2
F12
Donc pas de tourbillon dans l’écoulement, les lignes de courant ne se croisent pas.
6- écoulement permanent ou stationnaire •
définition : quelque soit le point du fluide, la vitesse, la pression et le débit en ce point sont indépendant du temps
II- équation de continuité •
Soit un tube de courant dans un écoulement stationnaire :
S2 S1
Qv en S1 = Qv en S2 S1 v1 = S2 v2 Si S2 > S1 alors v2 < v1
III- équation de Bernoulli 1- application du théorème de l’énergie cinétique •
soit un volume de fluide dV de masse dm passant d’un point 1 de côte z1 à un point 2 de côte z2 v2 Z2
2 V1
Z1
•
1
les deux points 1 et 2 appartenant à la même ligne de courant !
• La variation d’énergie cinétique de ce volume entre les deux points 1 et 2 est égale à la somme des travaux des forces extérieures s’exerçant sur lui : ∆Ec = W (poids) + W (forces de pression)
•
variation d’énergie cinétique : ∆Ec = ½ dm (v 22 – v12)
•
travail de la force de pesanteur entre les points 1 et 2 : W (P) = P . dz = - dm g (z2 – z1)
•
travail des forces de pression sur le volume dV entre les points 1 et 2 W (p) = - (p2 – p1) dV = - (p2 – p1) dm / ρ
•
Donc le théorème de l’énergie cinétique s’écrit : ½ dm(v 22 – v12) = - dm g(z2 – z1) – (p2 – p1)dm/ρ ½ dm v 22 + dm g z2 + p2 dm/ρ = ½ dm v 12 + dm g z1 + p1 dm/ρ
⇒ ½ ρ v22 + ρ g z2 + p2 = ½ ρ v12 + ρ g z1 + p1
2- relation de Bernoulli • Pour tous les points appartenant à la même ligne de courant :
½ ρ v2 + ρ g z + p = cste
ρ g z = pression due à l’altitude du point considéré p = pression du fluide au point considéré ½ ρ v2 = pression dynamique • remarque : tous les termes de l’équation sont homogènes à une pression
• expression de la relation de Bernoulli en terme de hauteur : on divise tous les termes par ρ g
v 2 p + z + 2 g ρ g
= H
p/(ρg) = hauteur piézométrique ou charge de pression (hauteur de la colonne de fluide de masse volumique ρ qui mesure p) v2 / (2g) = charge dynamique z = altitude H = charge totale constante TOUS LES TERMES SONT EXPRIMES EN METRE Notation : mCE = mètre de colonne équivalente
Représentation graphique de la relation de Bernoulli : S1
D1 < D2
S2
Z1
Z2
Hauteur en mCE
Ligne de charge
V2 / 2g Ligne piézométrique P / ρg
altitude z z X enxmètres
IV- applications 1- effet Venturi Soit une canalisation horizontale avec un rétrécissement : Ligne de charge h v12 / 2g v22 / 2g Ligne piézométrique
P1 / ρg P2 / ρg
S1
1
S1
2 x
S2
• conservation de la masse : v1 S1 = v2 S2 donc v2 / v1 = S1 / S2 • équation de Bernoulli : ½ ρ v12 + p1 = ½ ρ v22 + p2 (z = constante) p1 – p2 = ½ ρ (v22 – v12) = ½ ρ v12 (v22/v12 – 1) = ½ ρ v12 (S12/S22 –1) donc p1 > p2 car S1 > S2 et v1 < v2 donc pression au col plus faible qu’à l’entrée de celui-ci ! donc si p1 = pat alors p2 < pat • application : trompe à vide pour réaliser un vide sommaire
2- tube de Pitot soit un tube très fin horizontal, parallèle aux lignes de courant d’un fluide en écoulement stationnaire :
M
A
B
h eau
2 prises de pression : une à l’avant (point A) une sur le côté (point B)
• Appliquons la relation de Bernoulli entre les 2 points A et M :
½ ρ vA2 + ρ g zA + pA = ½ ρ vM2 + ρ g zM + pM avec : vA = 0 (point d’arrêt) ρ g zA = ρ g zM d’où :
pA = pM + ½ ρair vM2
donc la prise de pression A mesure la pression totale
• Appliquons la relation de Bernoulli entre les 2 points B et M :
½ ρ vB2 + pB = ½ ρ vM2 + pM avec : ρ g zB = ρ g zM De plus :
vB = vM
d’où :
pB = p M
donc :
pA – pB = ½ ρair vM2
•
pA – pB = ½ ρair vM2
•
pA – pB = ρeau g h avec h : hauteur d’eau dans le tube en U
Donc
vM =
ρ eau g h
2
ρ air
A.N. : ρair = 1,225 kg/m3 ; ρeau = 1000 kg/m3 ; g = 9,81 m/s2 avec h en mm
v=4 h
en
m/s
3- écoulement d’un liquide par un orifice A
h V
B
• Relation de Bernoulli entre les 2 points A et B : vA ≈ 0 (surface importante du réservoir par rapport à la section de l’orifice de sortie) pA = pat et pB = pat ρg zA = ½ ρvB2 + ρg zB
vB = 2 g ( z A − z B ) = 2 g h • remarque : la vitesse du fluide est équivalente à celle d’un corps en chute libre d’une hauteur h !
• Qv = vB * S où S est la section de l’orifice
4- cas du siphon M
A
B
• écoulement si le siphon est amorcé : il doit être rempli de liquide !
• Bernoulli entre B et M : ½ ρ vB2 + ρ g zB + pB = ½ ρ vM2 + ρ g zM + pM or
pB = pat
et
vB = vM
donc
pM = pat - ρ g (zM – zB)
donc pM < pat donc effet d’aspiration ! • Remarque :
vB = 2 g ( z A − z B )
→ même expression que pour une vidange par un orifice → vB varie en fonction de zA
Phénomène de cavitation • pour un fluide à une température donnée, la phase liquide n’existe que si la pression absolue est supérieure à la pression de vapeur saturante Ps de ce liquide • si la pression devient < à Ps, présence du phénomène de cavitation : → des bulles de gaz se forment au niveau de l’écoulement (vaporisation du liquide)
• effets néfastes : corrosion, vibration, bruit
• pour éviter la cavitation pour le siphon précédent : soit ( zM – zB ) ρ g < pat - Ps pM > Ps
V- généralisation de l’équation de Bernoulli • influence d’un travail supplémentaire extérieur : lorsque des forces extérieures s’exercent localement sur un fluide, elles fournissent ou prélèvent une puissance Pm dont il faut tenir compte – cas d’une pompe : puissance fournie au fluide donc Pm > 0 – cas d’une turbine : puissance prélevée au fluide donc Pm < 0 1
machine
2
• La relation de Bernoulli s’écrit alors :
(½ ρ v22 +ρ g z2 +p2)- (½ ρ v12 +ρ g z1+p1) = Pm/Qv
avec Pm en Watt Qv en m3/s Pm/Qv en Pa
VI- théorème d’Euler but : calcul des forces agissant sur un volume de fluide
1- rappel principe de la dynamique :
Σ F
i
∆v = m ∆t
2- énoncé Soit un volume de fluide étudié entre 2 instants t et t + ∆t : C’ A
A’
vs
C
ve D’ B
• •
B’
A l’instant t : volume ABCD A l’instant t + dt : volume A’B’C’D’
D
• le principe de la dynamique s’écrit alors :
Qm ∆t (vs − ve ) Σ Fi = = Qm (vs − ve ) ∆t avec ve et vs les vitesses d’entrée et de sortie du volume considéré • Enoncé du théorème d’Euler en projection sur les 2 axes (Ox) et (Oy) :
Qm (vs – ve)x = (Σ Σi Fi)x Qm (vs – ve)y = (Σ Σi Fi)y
3- application • Soit une canalisation dans un plan horizontal z = 0 • Système étudié : volume de fluide y vs
θ
R Fs P
ve
Fe
x
• Calcul des vitesses : ve = 0 ve
et
vs = vs cos θ vs sin θ
• Bilan des forces : Fe = 0 pe Se
Fs = - ps Ss cos θ - ps Ss sin θ
R = force exercée par la canalisation sur le fluide R = Rx Ry
• Théorème d’Euler : (Ox) : ρ Se ve(vs cos θ) = Rx – psSs cos θ (Oy) : ρ Seve (vssin θ – ve) = Ry + peSe – ps Ss sin θ donc : Rx = ρ Se ve (vscos θ) + psSscos θ Ry = ρ Se ve (vssin θ – ve) - peSe + ps Ss sin θ • Remarque : les composantes de la force exercée par le fluide sur la canalisation sont : - Rx et - Ry • Conservation du débit : Se ve = Ss vs • Relation de Bernoulli :
½ ρve2 + pe = ½ ρvs2 + ps
CHAPITRE 6 : ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX
I- viscosité 1- mise en évidence
H1 H2 H3
• H1 > H2 > H3 • l’équation de Bernoulli donne : v2/2g + p/ρg = cste donc v = cste ⇒ p = cste donc la relation de Bernoulli ne peut s’appliquer telle quelle !
2- forces de viscosité Soit une couche de fluide entre 2 plaques : une fixe et l’autre mobile (vitesse v) z
vp = v h
0
En z = 0 on a vf = 0 et en z = h on a vf = v
• énoncé de la loi de Newton : la contrainte tangentielle visqueuse est proportionnelle au gradient de vitesse :
dvf dF =η ds dz avec η = viscosité dynamique • la viscosité est une propriété qui traduit la résistance d’un fluide à l’écoulement • elle se manifeste lors de l’écoulement d’un fluide dans une canalisation ou lors d’un mouvement d’un solide par rapport à un fluide
•
dimension de la viscosité :
η =
[M ][L ] [T ]2 [L ]2 [L ] [L ][T ]
•
unité :
•
ordres de grandeur : – –
Pa.s ou Poiseuille ( Pl )
eau : 1 mPa.s à 20 °C 0,47 mPa.s à 60 °C huile SAE 30 : 290 mPa.s
=
[M ] [L ][T ]
• définition : un fluide Newtonien est un fluide dont la viscosité ne dépend que de la température et de la pression
• tous les gaz et liquides purs sont newtoniens
II- nombre de Reynolds : Re 1- définition
Re =
vm ρ D
η
avec : vm : vitesse moyenne du fluide dans une section de surface S ρ : masse volumique du fluide η : viscosité du fluide D : diamètre de la canalisation
2- propriétés • Re est un nombre sans dimension • Re caractérise le type d’écoulement : Re < 2000 : écoulement laminaire Re > 4000 : écoulement turbulent • Remarque : 2000 < Re < 4000 : régime de transition
3- écoulement turbulent • Les mouvements des volumes élémentaires de fluide sont désordonnés, donc les tubes de courant ne se conservent pas le long de l’écoulement • Profil de vitesse : plus uniforme que pour un écoulement laminaire vm > 0,75 * vaxe
• Si Re augmente alors vm tend vers 0,9 * vaxe
4- écoulement laminaire • définition : les couches de fluide glissent les unes par rapport aux autres sans se mélanger
r
R
• Profil de vitesse :
v ( r ) = vaxe (1- r2 / R2) profil parabolique
5- calcul du débit - volume
• dQv = 2π r v(r) dr = 2π r vaxe (1 – r2 / R2) dr
Qv = 2π v axe
R
r
2
r ∫0 r (1 − R 2 )dr
Qv = (π R2 vaxe) / 2
• Remarque : rappel du cas du fluide idéal : v est indépendant de r et Qv = πR2 vaxe donc :
Qv(idéal) = 2 * Qv(visqueux)
vitesse moyenne d’un écoulement visqueux laminaire = vaxe / 2 et Qv = πR2 vm
III- Ecoulement des fluides visqueux 1- pertes de charge régulières dans une canalisation la pression tout au long de la conduite diminue du fait de la viscosité explication : frottements entre les différentes couches de fluides et entre le fluide et la paroi
• pertes de charge par unité de longueur : Pf / (Qv * L)
en Pa/m
avec L = longueur de la conduite Pf = puissance (en watt) perdue par le fluide sur la longueur L
2- généralisation de l’équation de Bernoulli a- cas de l’écoulement avec perte de charge régulière
et sans machine Soient deux sections 1 et 2 d’une conduite horizontale de diamètre constant : ( ½ ρ v22 + ρ g z2 + p2 ) - ( ½ ρ v12 + ρ g z1 + p1 ) = Pf / Qv or donc
z1 = z2 et v1 = v2 p2 – p1 = Pf / Qv
•
Pf /Qv représente la chute de pression entre les deux sections 1 et 2
•
Elle est fonction de : -
la viscosité la vitesse moyenne la géométrie de la canalisation (diamètre)
b- représentation graphique Hauteur d’eau équivalent e
S1
D1 < D2 S2
z1
z2
Perte de charge
Ligne de charge V2 / 2g
P / ρg Ligne piézométrique
altitude z
x
c- cas d’un écoulement avec des pertes de charge (Pf) et des machines (Pm)
(½ ρ v22 + ρ g z2+ p2) - (½ ρ v12 + ρ g z1+ p1) = (Pm+Pf)/Qv avec Pm et Pf en Watt → ajouter les pertes de charge régulières avec les variations de charge introduites par les machines
3- perte de charge singulière • définition : chute de pression liée aux accidents tels que : – coude – changement brutal de section – robinet, vanne… • ce type de pertes de charge s’ajoute aux pertes de charge régulières et aux variations de charge introduites par les machines
exemple de représentation graphique pour une conduite possédant un rétrécissement et une pompe :
Ligne de charge
z pompe rétrécissement
Section S Section S
Section S’
S’ < S
x
• Exemple du coude : perte de charge singulière calculée avec : ½ ρ k v2 avec k : coefficient fonction de la géométrie (voir abaque)
IV- relation de Poiseuille Soit l’écoulement d’un fluide dans un tuyau de rayon R et de longueur L : • en régime laminaire :
1 v(r ) = w (R 4η
2
−r
2
)
avec w = perte de charge par unité de longueur du tuyau R
Qv =
∫ v ( r ) 2π r dr 0
donc :
8η 1 w = Qv 4 π R
• En régime laminaire, les pertes de charge sont donc proportionnelles : – à la viscosité – au débit – à 1/R4
CHAPITRE 7 : EXEMPLES DE CAPTEURS UTILISES EN MECANIQUE DES FLUIDES
I- débitmètre à palette • intérêt : simplicité, robustesse et faible coût ressort potentiomètre palette
fluide
• La position d’équilibre de la palette est fonction du débit • Elle est convertie en signal électrique à l’aide d’un potentiomètre dont l’axe est fixé à celui de la palette
II- débitmètre à section variable : rotamètre Fa Fp S
P
Fluide de vitesse v
• Forces extérieures appliquées au flotteur : – Fa : poussée d’Archimède
Fa = ρfluide * Vflotteur * g –
P : poids
– Fp : force exercée par la pression dynamique du fluide
Fp = ½ ρfluide v2 * Sf avec Sf = section du flotteur
• équilibre du flotteur : - P + Fa + Fp = 0 d’où
Fa - P = Fp = ½ ρfluide v2 Sf
or P , Fa et Sf sont constantes on doit donc avoir v = constante donc la vitesse de passage du fluide dans le capteur est constante
Or Qv = v.S où S = section de passage du fluide dans le tube tronconique Donc les variations de Qv impliquent une variation de S puisque v est constante • La position d’équilibre du flotteur dans le tube dépend donc du débit • La lecture du débit est effectuée directement en regard de la partie supérieure du flotteur après étalonnage
III- débitmètre à ultra - son (U.S.) • Principe : utiliser l’effet d’entraînement des ondes U.S. dû à l’écoulement du liquide dans la conduite
Valable quelque soit le sens de l’écoulement
Emetteur-récepteur US
• Le temps de propagation du signal U.S. allerretour dépend de la vitesse du fluide • Le déphasage entre signal incident et signal réfléchi est l’image de la vitesse moyenne du fluide • Utilisable avec tout liquide • Sondes directement posées sur la conduite
III- anémomètre à fil chaud • principe : variation de la résistance d’un fil fin en fonction de la température • soit un fil maintenu à température constante plongé dans un écoulement par échange thermique (convection), on a une variation de température du fil proportionnel à la vitesse de l’écoulement v d’où une variation de résistance du fil proportionnelle à v • méthode bien adaptée aux écoulements turbulents (car importante fréquence de réponse) • à manipuler avec précaution (fil = 1/10 de micron)
IV- capteurs de pression 1- à jauges de contrainte jauge collée sur une membrane : donc déformation de la membrane entraîne une déformation de la jauge d’où une variation de sa résistance électrique (pont de Wheatstone)
2- capteur à capsule piézo-électrique la pression exercée sur une face d’un cristal de quartz entraîne une différence de potentiel entre les 2 faces du cristal • fréquence de réponse importante • faible sensibilité
3- capteur à détection optique déplacement d’une membrane détecté grâce au phénomène d’interférence des ondes lumineuses • bonne sensibilité
CHAPITRE 8 : AERODYNAMIQUE
• Aérodynamique : étude des phénomènes résultant des mouvements relatifs des corps par rapport à l'air • Exemples : • déplacement d'un avion en vol • forces exercées par le vent sur un bâtiment • fonctionnement d'une éolienne
I- historique • fin XIXe siècle : premiers avions • 1904 (Ludwig Prandtl) : mit en évidence la couche limite, mince pellicule entourant un solide en mouvement dans un fluide • 1934 : premières voitures de série aux formes aérodynamiques • seconde Guerre mondiale : certains avions atteignirent puis dépassèrent la vitesse du son • aujourd'hui : l'aérodynamique s'avère indispensable à la conception des avions, des automobiles, des bateaux, des véhicules spatiaux et des trains
II- dispositif expérimental d’étude • soufflerie aérodynamique :
– pour simuler les conditions rencontrées par tout corps se déplaçant dans l'air
– un corps étudié dans une soufflerie est placé, immobile, dans un écoulement artificiel d'air ou de gaz
– dans les souffleries de laboratoire : • banques de données caractérisant le champ aérodynamique des corps étudiés
• modèles théoriques servant aux calculs numériques
• Le nombre de Mach : rapport de la vitesse d'un solide par celle du son dans le milieu dans lequel le corps se déplace • nombre sans unité • les vitesses inférieures à Mach 1 sont inférieures à celle du son (340 m/s ou 1 224 km/h dans l’air) et sont dites subsoniques
• Mach 0,8 à Mach 1,2 (vitesse proche du son) vitesses transsoniques • Mach 1 et Mach 5 : vitesses supersoniques • supérieures à Mach 5 : vitesses hypersoniques • Remarque : – veines importantes : difficile de produire et de conserver un flux d'air à grande vitesse dans la soufflerie – souffleries supersoniques et hypersoniques : on doit se contenter de veines de petites dimensions
III- exemple d’étude : l’avion • Avion : appareil de navigation aérienne plus lourd que l’air, propulsé par un moteur, et dont l’état d’équilibre (appelé sustentation) est assuré par des ailes
1- principe de fonctionnement système des forces appliquées à un profil d'avion : – un moment mesuré au centre de poussée (point d'application de la force de propulsion) – deux composantes, la traînée (dirigée dans la direction de l'écoulement) et la portance (perpendiculaire à l’écoulement) chacune de ces deux composantes est proportionnelle à un coefficient aérodynamique lié à l'angle d'incidence de vol.
2- profil d’une aile d’avion
3- portance • •
• •
circulation d’air autour du plan de sustentation (ailes de l’avion) différence de pression de l’air de part et d’autre de l’aile : la pression étant plus faible au-dessus du plan de sustentation (extrados) qu’en dessous (intrados) (voir principe de Bernoulli) force perpendiculaire (portance) proportionnelle à la vitesse de l’avion et dirigée vers le haut Elle dépend de la forme du plan de sustentation de l’appareil
• expression de la portance : 2 1 P= ρV LlCz 2
avec : ρ = masse volumique de l’air V = vitesse de l’avion L = largeur de l’aile l = profondeur de l’aile Cz = coefficient de portance
• Le coefficient de portance (caractéristique principale d’un profil d’aile) est proportionnel à l’angle d’incidence, angle sous lequel le flux d’air rencontre le plan de sustentation
• Ceci est vérifier que pour des incidences inférieures à une incidence limite, appelée incidence de décrochage
• Au-delà, le flux d’air décolle, provoquant un écoulement tourbillonnaire sur l’extrados et par conséquent un abaissement progressif ou brutal de la portance.
• Lorsqu’un avion vole à altitude et à vitesse constantes, son poids est équilibré par la portance. Si l’angle d’incidence augmente, tout en restant inférieur à l’incidence de décrochage, l’avion s’élèvera
• Si le pilote souhaite augmenter la vitesse de l’avion tout en gardant la même altitude, il devra réduire l’incidence afin de compenser le supplément de portance dû à l’accroissement de la vitesse de l’appareil
• Lorsque le pilote se prépare à atterrir, il fait perdre de l’altitude à son appareil et réduit sa vitesse. Cette diminution de la vitesse provoque une chute importante de portance, que le pilote compense en augmentant la surface de l’aile et son angle d’incidence : - il déploie les volets de l’avion (dispositifs hypersustentateurs escamotables) situés à l’arrière des ailes (bord de fuite) - Il existe également des dispositifs semblables à l’avant des ailes (bord d’attaque) : les becs
4- traînée •
Tout corps en déplacement dans l'air subit des forces de frottement s'opposant à son mouvement, dues à la viscosité du fluide
•
La couche limite, correspondant au siège des forces de frottement, est une pellicule d'air qui se crée autour de l'obstacle
•
Sur un avion, cette force de freinage, nommé traînée, est contrée par la force de propulsion des moteurs.
• autour du profil d'un avion subsonique : – les filets d'air restent parallèles entre eux dans l'épaisseur de la couche limite pour une certaine portion de l'aile (écoulement laminaire) – à partir d'un certain point de l'aile (point de transition) le régime devient turbulent et les filets d'air se mélangent. donc augmentation de la traînée • une augmentation de l'angle d'incidence provoque une augmentation de la traînée
5- onde de choc • Le phénomène du mur du son se manifeste lorsqu’un avion atteint la vitesse du son • l’avion va plus vite que les ondes de pression créées par son propre mouvement : – formation d’une onde de choc – modification de l’écoulement autour de l’aile – augmentation de la traînée de l’avion – diminution de sa portance • cette onde de choc s’accompagne d’un « bang » sonore très important • Le passage du mur du son entraîne des effets thermiques : – frottement intense de l’air sur les parois – élévation température (100 °C à Mach 2,2) – matériaux résistant aux hautes températures
I.U.T ANNECY Mesures Physiques
TD N° 6 MECANIQUE DES FLUIDES
Canalisation AB
Z = 15 m
Z = 60 m
Canalisation CD
Semestre 3 10/11
Réservoir D
Exercice 1 Dans le système représenté ci-dessous, la pompe BC permet de transférer de l’huile (masse volumique = 762 kg/m3) du réservoir A au réservoir D. Les 2 réservoirs sont à la pression atmosphérique. Les pertes de charge régulières dans les canalisations AB et CD sont respectivement égales à 2,5 m et 6,5 m en hauteurs équivalentes (diamètres des canalisations = 300 mm). 1- évaluer la puissance que la pompe doit fournir au fluide si le débit est de 160 L/s. 2- tracer la ligne de charge pour l’ensemble du système z
Réservoir A Pompe BC
Exercice 2 Un barrage est équipé d’une turbine. Le diamètre de la conduite de sortie est égal à 2,5 m. Le débit est de 25 m3/s.
Déterminer la puissance disponible sur l’arbre de la turbine si son rendement est de 0,7 et si les pertes de charge sont évaluées à 5 m d’eau. Exercice 3 Dans une conduite de diamètre D = 500 mm, circule du pétrole (ρ = 870 kg/m3 ; η = 0,25 Pl). Le débit est de 50 L/s.
1234-
calculer le nombre de Reynolds et conclure calculer la vitesse du pétrole dans l’axe de la canalisation calculer la puissance perdue sur une longueur L = 1 km de conduite mêmes questions avec une canalisation de diamètre D’ = 100 mm
Exercice 4 Soit une canalisation cylindrique où circule de l’eau. On relie un manomètre différentiel à 2 prises de pression pratiquées dans la paroi et séparées de 5 m l’une de l’autre. La chute de pression mesurée est de 320 Pa. Le débit est de 50 L/s. 1- calculer la perte de charge par unité de longueur 2- quelle est la puissance dissipée sur une longueur de conduite de 1 km ? On fait une mesure en reliant le manomètre à 2 prises de pression situées 50 cm avant et 50 cm après un coude réalisé sur le même type de canalisation. La chute de pression entre ces 2 points est de 210 Pa. 3- déterminer les pertes de charge singulières 4- à quelle longueur de conduite droite , ce coude est-il équivalent en terme de charge ? Exercice 5 Soit le schéma de principe simplifié d’une chaudière à vapeur :
Le fioul, de viscosité 39,7 mPa.s et de masse volumique 883 kg/m3 , est acheminé du réservoir à la chaudière par l’intermédiaire d’une pompe à travers une conduite de diamètre d = 65 mm. Le débit volumique est de 1,2 m3/h. La pression en A est de 1,6 bar et la pression en B est de 20 bar (on suppose zA = zB). 1- calculer la vitesse du fioul dans la conduite 2- calculer le nombre de Reynolds et conclure 3- calculer la perte de charge régulière par unité de longueur dans la conduite en utilisant la loi de Poiseuille 4- à partir du document ci-joint sur les équivalences des pertes de charge en longueur droite, calculer la longueur équivalente de conduite droite correspondant aux coudes de courbure moyenne à 90° et à la vanne à passage directe toute ouverte 5- calculer les pertes de charge totale si la longueur de l’installation entre A et B est de 60 m 6- en déduire la charge apportée par la pompe et calculer la puissance de la pompe.
Soit une conduite horizontale, de diamètre D = 10 cm et équipée d’éléments filetés. Voir Figure 1
avec k = coefficient de perte
La vitesse moyenne de l’eau (viscosité η = 1 mPa.s) est de 2 cm/s. On néglige les pertes de charge régulières dans les singularités. Les pertes de charge singulières dans les différentes singularités sont données par : ½ ρ v2 k
1- calculer la perte de charge régulière totale dans la conduite en utilisant la loi de Poiseuille 2- déterminer le coefficient de perte de charge singulière totale (on prendra k = 0,5 pour ce qui concerne la sortie du réservoir) en considérant toutes les singularités 3- en déduire les pertes de charge singulières totales 4- calculer alors la perte de charge totale et conclure
L’eau, à une pression de 5 bar en T, actionne une turbine CR. Elle est récupérée dans le bassin W qui est à la pression atmosphérique ( figure 2 ). Les diamètres des canalisations TC et RW sont respectivement de 300 mm et 600 mm. La charge consommée par la turbine CR est de 60 m. Les pertes de charge régulières dans les canalisations TC et RW, exprimées en hauteur d’eau, sont respectivement égales à :
v2 v2 3 TC et 2 RW 2g 2g 1- en utilisant la relation de conservation du débit et la relation de Bernoulli, déterminer les vitesses vTC et VRW 2- en déduire le débit
3- calculer la charge en terme de hauteurs aux points T, C , R et W et tracer la ligne de charge
FIGURE 1
FIGURE 2
FIGURE 3
FIGURE 4
h1
h2
A
h0
h
h1
h2 C
d
B
A B
α
C’
h0
D
FIGURE 1
FIGURE 2
FIGURE 3 A
B
L
surface
eau
H
H eau
H
porte
A
B C
h
eau
vanne
FIGURE 4
FIGURE 1
FIGURE 2
FIGURE 3
Masse M
FIGURE 4
7m
l1
h
4m
2m
l2
6m
z1
verre flotteur en liège
eau du cristallisoir
IUT ANNECY Mesures Physiques
TD N° 1 MECANIQUE DES FLUIDES
Données : Pression atmosphérique = 105 Pa Masse volumique de l’eau = 1000 kg.m-3 Masse volumique du mercure = 13590 kg.m-3 g = 9,8 m.s-2
Exercice 1
Semestre 3 10/11
1- donner les dimensions de la grandeur pression 2- un piston cylindrique de rayon R = 20 cm et de masse M = 125 kg appuie sur un liquide contenu dans le cylindre Calculer la pression exercée sur la surface du liquide par le piston.
Exercice 2 1- calculer la pression à une profondeur de 6 m au dessous de la surface libre d’un volume d’eau 2- la masse volumique d’une huile de pétrole est de 750 kg/m3 Calculer la pression à la même profondeur au dessous de la surface libre du volume d’huile.
Exercice 3
ρ1 = 750 kg /m3, h1 = 5 m, ρ2 = 1000 kg /m3, h2 = 1 m
Deux fluides de masse volumique ρ1 et ρ2 remplissent le réservoir de la figure 1. Calculer la hauteur h0 de la colonne de mercure utilisée pour mesurer la pression dans le bas du réservoir si la pression au dessus du liquide 1 est la pression atmosphérique. Données :
Exercice 4 Pour mesurer une faible surpression ∆p entre 2 enceintes d’air, on utilise un manomètre en U contenant de l’alcool de masse volumique ρa (figure 2). Le plan du tube est incliné d’un angle α = 3 °. 1- calculer ∆p en Pascal si les 2 ménisques sont séparés de la distance d = 19,2 cm Donnée : ρa = 780 kg /m3 2- quel est l’intérêt d’un tel dispositif ?
Exercice 5 Soit un piston A de section SA = 38,71 cm2 agissant sur une huile de masse volumique ρ = 750 kg/m3.Le cylindre B de la presse hydraulique a une surface SB = 3871 cm2 et une masse M = 4080,724 kg. La distance entre les bases du piston A et du piston B est h = 487,68 cm à l’équilibre (figure 3). Quelle est la masse du piston A ? Exercice 6 Les 2 pistons d’une presse hydraulique ont respectivement pour diamètre D = 10 cm et d = 1 cm. On exerce sur le petit piston un effort équivalent à une force normale f = 10 N. 1- Quelle masse M le grand piston pourra-t-il soulever ? 2- De combien le petit piston devrait-il s’enfoncer pour que la charge M soit soulevée d’une hauteur h = 10 cm ?
Exercice 7
Mg p dz = 0 RT
A partir de la formule différentielle de la relation fondamentale de l’hydrostatique d’un fluide et de l’équation d’état d’un gaz parfait, on obtient l’équation différentielle suivante : dp +
1- résoudre cette équation dans le cas d’un gaz isotherme 2- calculer la variation de pression dans l’atmosphère terrestre pour une variation d’altitude de 500 m et de 8 000 m pour une température de 20 °C (masse molaire de l’air = 31 g) 3- calculer la variation de pression pour un volume d’air (T = 20 °C) pour une différence de hauteur de 1 m si la pression au bas du volume est de 1,5 bar 4- même question avec du xénon (masse molaire = 140g)
Exercice 8 Pour connaître la pression absolue à l’intérieur d’une conduite (figure 4), on dispose d’un baromètre et d’un manomètre, tous 2 remplis de mercure. On mesure les cotes suivantes : h0 = 0,7565 m, h1 = 0.3245 m et h2 = 0,1925 m 1- calculer la pression atmosphérique grâce au baromètre 2- calculer la pression sur l’axe de la conduite si celle-ci contient de l’eau 3- même question si la conduite contient de l’air (densité nulle)
IUT ANNECY Mesures Physiques
TD N° 2 MECANIQUE DES FLUIDES
Semestre 3 10/11
Exercice 1 Un aquarium (longueur L et largeur d) est constitué d’un fond et de 4 faces vitrées. Le bac contient de l’eau sur une hauteur H. 1- calculer les résultantes des forces F1, F2 et F3 exercées respectivement sur le fond et les faces verticales 2- déterminer les points d’application ; faire un schéma. données : L = 150 cm ; d = 75 cm ; H = 60 cm Exercice 2 Soit une écluse dont le sas est fermée par une porte rectangulaire de largeur L et de hauteur H (figure 1). 1- déterminer les intensités et les points d’application des 2 forces s’exerçant sur la porte dues à la présence d’eau de part et d’autre. 2- en déduire la résultante des forces de pression qui s’exercent sur la porte et son point d’application. données : L = 6m ; H = 5 m ; h = 2 m Exercice 3 Une vanne rectangulaire ABCD est placée sur une paroi verticale à la profondeur H d’un bassin contenant de l’eau (figure 2). 1- déterminer l’expression littérale de la force de pression qui s’exerce sur cette vanne 2- déterminer l’expression littérale de la position de son point d’application 3- application numérique : données : H = 3 m ; hauteur de la vanne : d = 25 cm et largeur de la vanne : L = 40 cm Exercice 4 Soit un réservoir (volume L * l * H) surmonté d’une conduite verticale de diamètre d (figure 3). Initialement le réservoir est complètement rempli d’eau et la conduite est vide. 1- déterminer la force résultante et son point d’application, sur la surface AB (largeur l et hauteur H) 2- On remplit la conduite en versant un volume d’eau V : a-déterminer la force s’exerçant sur la surface AB et son point d’application b-déterminer la force s’exerçant sur le fond du réservoir et son point d’application données : L= 6 m ; l = 2,4 m ; H = 1,8 m ; d = 2 cm et V = 3,1416 litres Exercice 5 Un réservoir contient de l’eau sur une hauteur BC, surmontée d’une épaisseur AB d’huile de masse volumique ρhuile (figure 4). 1- calculer la force exercée sur la paroi AB et son point d’application 2- calculer la hauteur d’eau équivalente à l’huile et en déduire la force exercée sur la paroi BC et son point d'application 3- en déduire la résultante des forces agissant sur la totalité de la paroi verticale et la position du point d’application données : hBC = 1,8 m ; hAB = 3 m ; L = 1,2 m ; ρhuile = 800 kg/m3
IUT ANNECY Mesures Physiques
TD N° 3 MECANIQUE DES FLUIDES
Semestre 3 10/11
Exercice 1 Un barrage en ciment (ρc = 2,4 kg / dm3) retient de l’eau sur une hauteur de 6 m (figure 1). 1- déterminer l’intensité de la force de pression agissant sur le barrage pour une longueur de 1 m et déterminer la profondeur, par rapport à la surface libre, du centre de poussée 2- mêmes questions si la face en contact avec l’eau fait un angle de 60° avec l’horizontal Le coefficient de frottement entre la base du barrage et le sol des fondations vaut 0,48. On appelle coefficient de sécurité d’anti - glissement le rapport de la résistance au glissement sur la poussée. 3- calculer ce coefficient pour le barrage de la question 1 On appelle le coefficient de sécurité d’anti- basculement le rapport du moment de rappel total sur le moment de basculement. 4- calculer ce coefficient pour le barrage de la question 1 Exercice 2 1- un cube de bois de côté a, de masse m, flotte sur un liquide de masse volumique ρ. Les arêtes du cube sont verticales ou horizontales (figure 2). Quelle est la profondeur h immergée quand il est en équilibre ? 2- soit une sphère de masse volumique ρ = 3300 kg/m3 et de masse m = 5 kg, suspendue à un fil et entièrement immergée dans un réservoir d’eau (figure 2). Déterminer la tension du fil. Exercice 3 Un matériau de volume V et de masse volumique ρ est suspendu à l’un des 2 bras d’une balance hydrostatique (figure 3). On a besoin d’une masse M pour équilibrer la balance quand l’objet est dans l’air. 1- déterminer la masse M utilisée On plonge l’objet toujours attaché au fléau de la balance dans un liquide de masse volumique ρ’. 2- déterminer la masse M’ à utiliser pour équilibrer la balance données : V = 850 cm3 ; ρ = 1400 kg/m3 ; ρ’ = 750 kg /m3 ; l1 = 40 cm et l2 = 20 cm Exercice 4 Une bille de masse volumique ρb = 850 kg/m3 est immergée dans un récipient contenant 2 fluides non miscibles : de l’eau et de l’huile (ρh = 750 kg/m3). Calculer la fraction x du volume immergé dans l’eau. Exercice 5 Pour protéger un parking souterrain contre les eaux de la nappe phréatique, on a fabriqué un cuvelage en béton (ρb = 2200 kg/m3) dont les dimensions extérieures sont : H = 4,75 m ; l = 12,5 m ; L = 40 m L’épaisseur du fond et des 4 parois verticales est de e = 0,3 m (figure 4). 1- calculer la masse du cuvelage 2- Le cuvelage étant immergé sous une hauteur d’eau h = 2,1 m, calculer : - l’intensité de la force exercée par l’eau sur le fond du cuvelage - l’intensité de la force exercée par l’eau sur les parois verticales 3- calculer la poussée d’Archimède que subit le cuvelage 4- calculer l’intensité T de la force totale exercée par les tirants sur le cuvelage pour que ce dernier reste immergé dans la hauteur h d’eau
Sur un flotteur en liège (section s), au repos sur la surface libre de l’eau d’un cristallisoir (section S), on a déposé un verre (section a) rempli d’eau jusqu’à une hauteur h (figure 4). La hauteur d’eau dans le cristallisoir est Z1. On vide l’eau du verre dans le cristallisoir et la nouvelle hauteur d’eau est Z2. 1- écrire la relation traduisant la conservation du volume d’eau entre les 2 situations (soient h1 et h2 les hauteurs immergées du flotteur respectivement pour les cas 1 et 2) 2- traduire dans les 2 cas la situation de repos du système (soit M la masse de ce qui flotte en dehors de l’eau du verre) 3- comparer Z1 et Z2
I.U.T ANNECY Mesures Physiques
TD N° 4 MECANIQUE DES FLUIDES
Semestre 3 10/11
Exercice 1 De l’eau s’écoule dans une conduite dont les variations de section sont lentes. Le débit est de 3 m3/min. 1- calculer les vitesses moyennes v1 et v2 dans 2 sections droites de diamètre respectif D1 = 120 mm et D2 = 200 mm 2- calculer le débit massique Exercice 2 Le débit - masse à la base du jet d’eau de Genève est Qm = 500 kg/s. Le diamètre du tuyau est d = 11 cm et le rendement énergétique est de 0,75. 1- Calculer la vitesse de l’eau à la sortie du tuyau 2- déterminer la hauteur du jet en utilisant la relation de Bernoulli 3- calculer la puissance mécanique nécessaire pour l’alimentation Exercice 3 On veut accélérer la circulation d’eau dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 1,5 (figure 1). 1- calculer le diamètre en sortie de convergent si D1 = 20 cm 2- calculer la variation de pression (en Pascal et en hauteur d’eau) entre l’entrée et la sortie du convergent si v1 = 5 m/s et en négligeant les pertes de charge 3-représenter la ligne piézométrique et la ligne de charge caractérisant l’écoulement. Exercice 4 L’entrée E d’un tuyau se trouve 10 m sous la surface libre d’un réservoir d’eau de grandes dimensions et la sortie à 30 m au dessous de cette même surface libre. Le tuyau a un diamètre D1 de 8 cm et se termine par une courte tuyère T de diamètre D2 = 4 cm (figure 2) . On suppose les pertes de charge négligeables. 1- calculer la vitesse de l’eau à la sortie de la tuyère 2- calculer le débit – volume d’eau 3- donner la valeur de la pression en E ainsi que dans une section située juste en amont de la tuyère de sortie Exercice 5 Dans le tube de Venturi représenté figure 3, la dénivellation du mercure du manomètre différentiel est de h1 = 35,8 cm. 1- en utilisant la loi de l’hydrostatique, exprimer la différence de pression PA - PB 2- exprimer cette même différence de pression en utilisant la relation de Bernoulli sachant qu’aucune énergie n’est perdue entre A et B 3- en déduire le débit d’eau à travers l’appareil Données : D1 = 20 cm ; D2 = 15 cm ; h2 = 75 cm et ρHg = 13600 kg/m3 Exercice 6 Une pompe à essence (ρessence = 800 kg/m3) aspire le liquide dans une citerne pour la refouler dans le réservoir d’un véhicule (pression réservoir = pression atmosphérique). Figure 4 Le niveau d’essence dans la citerne varie entre z1 = - 2 m et z2 = - 4 m. La citerne communique avec l’atmosphère. Le tuyau par lequel l’essence s’écoule a un diamètre d = 5 cm. On veut que la durée de remplissage d’un réservoir de 50 litres n’excède pas 3 minutes. Quelle est alors la puissance de la pompe utilisée ?
FIGURE 1
Surface libre
FIGURE 2
10 m
D1
FIGURE 4
D1
30 m
Tuyère
D2
+ 0,8
D2 h2
B
D1
A
D2
0
FIGURE 3
z (en m)
-2
-4
z
h2
h1
I.U.T ANNECY Mesures Physiques
Exercice 1
TD N° 5 MECANIQUE DES FLUIDES
Semestre 3 10/11
Soit un tube de section circulaire de diamètre d = 20 cm, coudé à angle droit et posé sur un plan horizontal. La pression moyenne de l’eau est de 6 bars. On néglige les frottements. 1- écrire les 2 relations issues du théorème d’Euler 2- quelle est la résultante des forces s’exerçant sur le coude en supposant la vitesse d’écoulement de l’eau négligeable ? 3- que devient cette résultante si le débit de l’eau est de 0,16 m3/s ?
Exercice 2 Une lance à eau (figure 1), tenue horizontalement, se termine par un embout, de section s = 10 cm2, adapté à une conduite souple de section S = 50 cm2. En régime stationnaire, le débit volumique de la lance est de 50 L/s. 1- calculer les vitesses ve et vs respectivement égales aux vitesses dans la conduite souple et dans l’embout 2- calculer la pression relative Pe dans l’axe de la conduite souple 3- en utilisant le théorème d’Euler, calculer la force horizontale à exercer pour maintenir la lance immobile
Exercice 3 L’eau de la retenue d’un barrage est transférée jusqu’à une usine hydroélectrique par une canalisation de diamètre D = 50 cm (figure 2) terminée par un réducteur (figure3) qui divise la section par 2 entre l’entrée et la sortie. 1- calculer la vitesse de l’eau à sa sortie dans l’atmosphère (point O) 2- calculer la vitesse de l’eau dans la canalisation en amont du réducteur (point I) 3- calculer la pression de l’eau au point I 4- calculer la pression de l’eau au point E 5- calculer la puissance maximale récupérable avec une turbine 6- calculer les composantes de la force exercée par l’eau sur le réducteur Données : Volume du réducteur = 5,6 m3 et raisonner en pression relative
eau
A
E
S
FIGURE 2
conduite
O
θ = 30°
embout
FIGURE 1
z 100 m
70 m
0
I
s
FIGURE 3
O
6m
