Travaux Diriges Mecanique Des Fluides 2013 2014

ECOLE NATIONALE DE L’INDUSTRIE MINERALE RABAT - MAROC

TRONC COMMUN 1ère ANNEE MODULE : MECANIQUE DES FLUIDES ELEMENT DE MODULE : MECANIQUE DES FLUIDES

TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES

ANNEE UNIVERSITAIRE : 2013 - 2014

TRONC COMMUN 1ère ANNEE

ANNEE UNIVERSITAIRE 2013 - 2014

TABLE DES MATIERES

STATIQUE DES FLUIDES .................................................................................................... 4 EXERCICE N°1 .................................................................................................................................................... 5 EXERCICE N°2 .................................................................................................................................................... 5 EXERCICE N°3 .................................................................................................................................................... 6 EXERCICE N°4 .................................................................................................................................................... 7 EXERCICE N°5 .................................................................................................................................................... 7 EXERCICE N°6 .................................................................................................................................................... 8 EXRECICE N°7 .................................................................................................................................................... 8 EXERCICE N°8 .................................................................................................................................................... 9 EXERCICE N°9 .................................................................................................................................................... 9 EXERCICE N°10 ................................................................................................................................................ 10

DYNAMIQUE DES FLUIDES ............................................................................................. 11 EXERCICE N°2 .................................................................................................................................................. 12 EXERCICE N°3 .................................................................................................................................................. 13 EXERCICE N°4 .................................................................................................................................................. 14 EXERCICE N°5 .................................................................................................................................................. 14 EXERCICE N°6 .................................................................................................................................................. 15 EXERCICE N°7 .................................................................................................................................................. 15 EXERCICE N°8 .................................................................................................................................................. 16 EXERCICE N°9 .................................................................................................................................................. 17 EXERCICE N°10 ................................................................................................................................................ 18 EXERCICE N°11 ................................................................................................................................................ 19 EXERCICE N°12 ................................................................................................................................................ 20 EXERCICE N°13 ................................................................................................................................................ 20 EXERCICE N°14 ................................................................................................................................................ 21 EXERCICE N°15 ................................................................................................................................................ 22 EXERCICE N°16 ................................................................................................................................................ 23 EXERCICE N°17 ................................................................................................................................................ 24 EXERCICE N°18 ................................................................................................................................................ 25 EXERCICE N°19 ................................................................................................................................................ 25

DIAGRAMME DE MOODY ................................................................................................ 27 CINEMATIQUE DES FLUIDES ......................................................................................... 29 EXERCICE N°1 .................................................................................................................................................. 30 EXERCICE N°2 .................................................................................................................................................. 30


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EXERCICE N°3 .................................................................................................................................................. 30 EXERCICE N°4 .................................................................................................................................................. 31 EXERCICE N°5 .................................................................................................................................................. 31 EXERCICE N°6 .................................................................................................................................................. 31


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STATIQUE DES FLUIDES


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EXERCICE N°1 Un réservoir fermé contient de l’essence et de la glycérine (Figure S.1). Les pressions en D et en E sont égales à la pression atmosphérique. La pression dans le réservoir est inconnue. – Calculer la pression au point A (z D = 7m ) ; – Calculer la pression au point B ; – Calculer la hauteur z E . Application numérique: ρ essence = 750 kg m −3 ; ρ glycérine = 1260 kg m −3 ; Patm = 1.013 bar; g = 9.81 m s −2 .

Figure S.1 EXERCICE N°2 Un manomètre différentiel est constitué de deux récipients cylindriques, de sections droites respectives S1 et S 2 , reliés par un tube de section intérieure s constante (Figure S.2). L'ensemble contient deux liquides non miscibles de masses volumiques ρ1 et ρ 2 .

Figure S.2 − Initialement, la pression au-dessus des deux liquides est la même et égale à P0 , la surface de séparation est définie par H 1 et H 2 . En déduire une relation entre ρ1 , ρ 2 , H 1 et H 2 ; − On provoque au-dessus du liquide 1 une surpression ∆P , et la surface de séparation des ∆h . deux liquides se déplace de ∆h . En déduire la sensibilité ∆P Application numérique : ρ1 = 998 kg m −3 ; ρ 2 = 1024 kg m −3 ; S1 = S 2 = 100 s .


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EXERCICE N°3 Un manomètre différentiel est réalisé en plaçant un tube cylindrique vertical dans une cuvette de grandes dimensions contenant du mercure. Ce tube est ensuite rempli d’une certaine quantité de pétrole (Figure S.3).

Figure S.3 − La partie supérieure du tube étant mise à la pression atmosphérique p 0 , déterminer la relation entre H 0 et h0 ; − La partie supérieure du tube étant mise à une pression absolue supérieure à p 0 , on mesure ∆H dont a varié le niveau du pétrole dans la partie supérieure du tube ;

De quelle hauteur ∆h a varié la surface de séparation pétrole – mercure ?; Exprimer p en fonction de la hauteur ∆H et des constantes d , D, ρ p , ρ Hg ; Quelle doit être la masse volumique ρ eq d’un liquide qui placé dans un manomètre différentiel en U

et soumis à la différence de pression

( p − p 0 ) donne

une

dénivellation ∆H ?. Application numérique : ρ p = 800 Kg m −3 ; ρ Hg = 13.6 10 3 Kg m −3 . d pour que ρ eq = 4000 Kg m −3 ; D − L’appareil étant destiné à mesurer des pressions relatives dans la gamme − 0.1 à 0.5 bar , − Quelle doit être la valeur de

quelle doit être la hauteur minimale de la portion de tube de diamètre d ? C’est à dire quelle doit être la valeur de ∆H pour cette gamme de ( p − p 0 ) .

Remarque : Si p > p 0 (partie supérieure du tube) h0 devient h0' = h0 + ∆h et H 0 devient H 0' = H 0 + ∆h − ∆H .


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EXERCICE N°4 Un mur vertical sépare deux réservoirs où la profondeur de l’eau est h1 et h2 . On découpe dans ce mur une ouverture carrée dont les arrêtes horizontales haute et basse sont situées aux cotes z1 et z 2 au dessus du fond horizontal. Elle est obturée par une porte plane de même dimension (Figure S.4). − Pour les valeurs ci dessus de h1 et h2 : Calculer la force hydrostatique s’exerçant sur la porte ; Déterminer la position du centre de poussée par rapport au fond horizontal ; Tracer le profil des forces de pressions sur la porte. − Que devient les résultats précédents « force hydrostatique ; position du centre de poussée ; profil des forces » si h1 est égal à 0.5 m et h2 inchangée. Application numérique : h1 = 2.5 m ; h2 = 4 m ; z1 = 1 m ; z 2 = 2 m .

Figure S.4 EXERCICE N°5 Un bassin contenant de l’eau sur une profondeur h = 9 m est fermé par une porte verticale (Figure S.5) constituée par trois panneaux plans superposés (AB, BC et CD).

− Quelle doit être la hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte la même force hydrostatique? − Chaque panneau doit être renforcé au centre de poussée. Déterminer la position de ces renforts. − Quelle est la force par unité de largeur agissant sur chaque panneau ? − Si la porte était constituée d’un seul panneau et qu’on veuille la consolider par trois renforts identiques supportant le même effort, déduire du calcul précédent la position que ces renforts devraient occuper. Application numérique: g = 10 m /s2 et ρeau=103 kg /m3.


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Figure S.5 EXERCICE N°6 La porte rectangulaire CD (Figure S.6) a pour longueur L = 2 m et largeur l = 1.8 m (suivant la perpendiculaire au plan de la figure). Son épaisseur étant négligeable, on donne la masse surfacique du matériau homogène la constituant : σ = 5110 Kg m −2 . Cette porte a la possibilité de pivoter autour de l'axe C . On se propose de déterminer la hauteur d'eau H à partir de laquelle la porte s'ouvre pour laisser l'eau s'écouler. − Déterminer la force de pression hydrostatique s'exerçant sur la porte ; − Déterminer la position du point d'application de cette force ; − Calculer, d'une part le moment de la force hydrostatique par rapport à l'axe de rotation, et d'autre part le moment du poids de la porte par rapport à l'axe de rotation. En déduire la hauteur d'eau H nécessaire pour qu'il y ait ouverture automatique de la porte. Application numérique : L = 2m; l = 1.8m; σ = 5110 kg m −2 .

Figure S.6 EXRECICE N°7 Une vanne constituée d’une tôle très mince (de poids négligeable) a la forme d’une cornière à angle droit ; elle est libre de pivoter sans frottement autour de son axe Oz, comme indiqué sur la figure S.7. La paroi horizontale de la vanne (OB) ferme l’entrée d’une canalisation circulaire de diamètre 0,3 m, en contact avec l’air ambiant à pression atmosphérique. Les deux parois de la vanne (OA) et (OB) ont les mêmes dimensions.


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Largeur: L = 1,5 m

Patm

A

Eau

Patm

h

y x

Axe de Rotation Oz

B

O

D = 0,3 m

Eau a=1m

Patm

Figure S.7 - Déterminer le moment des forces résultantes sur la paroi verticale par rapport à l’axe (Oz). -

Déterminer le moment des forces résultantes sur la paroi horizontale par rapport à l’axe (Oz).

-

A l’équilibre mécanique de la vanne, calculer la hauteur h.

Application numérique : ρeau = 1000 kg.m-3, L = 1,5 m , D = 0,3 m , a = 1 m. EXERCICE N°8 Une porte d’écluse de largeur L retient de l’eau liquide supposée incompressible de masse volumique ρ (Figure S.8). − Calculer la résultante et le moment résultant des forces de pressions s’exerçant sur cette porte ; − Déterminer la position du centre de poussée par rapport au fond horizontal ; Application numérique : H = 6 m; h = 2 m et L = 4 m .

Figure S.8 EXERCICE N°9 On considère un canal rectiligne, de section rectangulaire constante de largeur L . Il est divisé en deux parties par une vanne mobile autour de l’axe horizontal O perpendiculaire au canal. Cette vanne est constituée par une portion de cylindre de rayon R admettant l’axe O pour axe de révolution. Cet axe se trouve à la hauteur l au dessus du fond du canal. L’eau contenue dans la partie A « coté gauche de la vanne » est supposé au repos. La partie B « à droite de la vanne » ne contient pas d’eau (Figure S.9). La vanne ferme complètement le canal, son arête inférieure étant en contact avec le fond.


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− La hauteur d’eau dans la partie A étant h = l , déterminer la résultante des forces de poussée exercées par l’eau sur la vanne « on calculera son intensité et on déterminera sa direction » ; − Même question dans le cas où la hauteur d’eau est H = 5 m . Application numérique : L = 4 m ; R = 5 m ; l = 2.5 m ; g = 10 m s −2 ; ρ eau = 10 3 Kg m −3 .

Figure S.9 EXERCICE N°10 Un barrage poids est formé par un prisme triangulaire de béton de densité d dont l’arête amont est verticale (Figure S.10). − Quelle condition doit remplir l’angle au sommet i pour que le barrage n’ait pas tendance à basculer vers l’aval autour de O , lorsque l’eau, de masse spécifique ρ , atteint le haut du barrage, on supposera que la pression le long de AO est la pression atmosphérique ; − Même question en supposant que la pression décroît linéairement depuis la pression dans l’eau en A jusqu’à la pression atmosphérique en O « C’est ce qui se produirait à peu près si le barrage était posé sur une couche mince de sable » ; − Dans l’hypothèse de la répartition de la pression de la première question, si le barrage était de forme rectangulaire, quelle épaisseur e devrait – il avoir ? Quelle économie «en % » fait – on en réalisant un barrage triangulaire ?; − Même question en se plaçant dans l’hypothèse de la répartition de pression de la deuxième question le long de AO .

Application numérique : d =2.2 ; ρ = 1 g cm −3 .

Figure S.10


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DYNAMIQUE DES FLUIDES


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EXERCICE N°1 Une conduite d’eau verticale de section rectangulaire de 0,50 m × 0,40 m , parcourue par un courant d’eau à vitesse uniforme V0, présente un rétrécissement qui la raccorde à une deuxième conduite rectangulaire de 0,50 m × 0,20 m de section. En deux sections AA et BB de ce rétrécissement se trouvent deux prises de pression statique reliées à deux manomètres métalliques (Figure D.1). L’eau sera considérée comme un fluide parfait incompressible et on supposera que l’écoulement est stationnaire. − Quelle différence de pression pA-pB indiquée par les deux manomètres sachant que la vitesse en A est de 0,7 V0, en B de 2,3 V0 et le débit total de 0,6 m3 /s ? − Quelle dénivellation ∆h lirait-on sur un tube en U renversé, surmonté d’air, branché sur ces mêmes prises de pression? On prendra g = 10 m /s2 et ρeau=103 kg /m3.

Figure D.1 EXERCICE N°2 On place dans une canalisation inclinée de 150 mm de diamètre un tube de VENTURI dont le diamètre du col est de 60 mm (Figure D.2). Les prises de pression en A0 et A1 sont reliées à un manomètre à mercure de masse volumique ρ m = 13600 Kg m −3 . L’inclinaison du tube et les différentes côtes de niveaux sont repérées par rapport à une base horizontale arbitraire. Le fluide en écoulement est une huile incompressible de masse volumique ρ = 830 Kg m −3 .

En supposant que l’écoulement, stationnaire et unidimensionnel au moins dans les sections A0 et A1 et que le fluide est parfait, calculer le débit de ce fluide, et ceci sans qu’intervienne l’inclinaison éventuelle de l’appareil.


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Figure D.2 EXERCICE N°3 Un réservoir R de grandes dimensions est l’alimentation d’un tuyau d’arrosage de diamètre Φ = 8 cm dont l’entrée E se trouve à 10 m au dessous de la surface libre du réservoir. L’extrémité du tuyau est située à 30 m au dessous de la surface libre du réservoir. Elle se termine par une tuyère T dont le diamètre de sortie est D = 4 cm (Figure D.3). Le coefficient de contraction du jet sortant est 1 . On suppose que l’écoulement se fait sans pertes de charge et on prendra g = 10 m s −2 . On demande: − Valeur de la vitesse VT à la sortie de la tuyère?; − Quel est le débit de l’eau?; − Quelle est, dans le tuyau, la valeur de la pression statique en E « début du tuyau » ainsi qu’en S , juste en amont de la tuyère?; − Tracer les lignes de charge et piézométrique de l’installation.

Figure D.3


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EXERCICE N°4 Une turbine est alimentée par une retenue d'eau (Figure D.4). L'eau sera considérée comme un fluide parfait incompressible et on supposera que le niveau de l'eau dans la retenue est constant.

Figure D.4 − Calculer, dans ces hypothèses, la vitesse d'écoulement Vc du fluide au point C (c'est-à-dire à l'entrée de la turbine) ; − En déduire le débit-volume qv de l'eau dans la conduite ; − Justifier que les vitesses d'écoulement en B et en C sont égales ; − Calculer la pression pB à l'entrée de la conduite ; − Calculer la puissance fournie par l'eau à la turbine ; Application numérique − Diamètre d de la conduite d'alimentation et de déversoir : d = 700 mm ; − Pression aux points A, C et D : pA = pD =1,01 bar pC = 1, 1 bar ; − Cote des points A, B et C : zA = 363 m zB = 361 m zC = 353 m EXERCICE N°5 Une pompe débite 9000 litres d’eau par minute (Figure D.5). Sa conduite d’aspiration horizontale a un diamètre de 0.30 m . Sur l’axe règne une pression P1 = 0.728 bar , sa conduite de refoulement horizontal a un diamètre de 0.20 m . Sur l’axe situé à 1.22 m plus haut que le précédent, règne une pression P2 = 1.7 bar . En supposant que le rendement de la pompe est égal à 0.8 , quelle puissance mécanique doit - on lui fournir ?. On prendra g = 10 m s −2 .


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Figure D.5 EXERCICE N°6 Une conduite circulaire dans le plan horizontal (x,y) (la gravité est suivant l’axe z), de diamètre intérieur 150mm, comporte un coude à 120° (Figure D.6). La pression de l’eau est de 7bar. Le fluide est considéré dans le problème comme étant parfait, et les variations de pression hydrostatique dans une section droite de la conduite seront négligées. − Quelle est la projection suivant x de la résultante des forces s’exerçant sur le coude quand la vitesse du fluide est négligeable ? − Quelle est la valeur de cette résultante lorsque la vitesse de débit de l’écoulement correspond à un débit volumique de 100 l.s-1 ?

x Diamètre 150mm y

v

120°

Figure D.6 : Schéma du coude

EXERCICE N°7 Etude théorique du rendement d’une éolienne : Une éolienne a pour fonction de convertir une partie de l’énergie mécanique du vent en énergie électrique. A cet effet, elle comporte un certain nombre de pales montées sur un arbre qui est mis en rotation sous l’effet du vent. Cet arbre est couplé mécaniquement à un alternateur qui produit l’électricité. A l’aide de quelques hypothèses simplificatrices et en appliquant différents bilans, cet exercice a pour objectif de montrer que le rendement mécanique théorique d’une éolienne ne peut pas excéder une certaine valeur limite proche de 0,6 (loi de BETZ). Pour ce faire, on va modéliser globalement les échanges énergétiques entre l’éolienne et l’air (diminution de pression) par l’action d’une force résistante F qui s’applique au fluide dans le plan S des pales ; inversement, la force exercée par le fluide sur les pales de l’éolienne est − F ; cette force est r dirigée dans le sens du vent. La puissance − F .v est donc la puissance mécanique W& t cédée par le vent à l’éolienne, puissance récupérée sur l’arbre de rotation qui permet d’entraîner


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l’alternateur. On assimile l’air à un fluide parfait, incompressible, non pesant et on suppose que l’écoulement est stationnaire (ce qui peut paraître paradoxal pour une éolienne qui induit une instationnarité périodique ; on considère donc qu’on moyenne dans le temps ce qui se passe dans le plan des pales). Plan des pales v1 vitesse

v

Patm, v2

v2 P2=Patm

P1=Patm

Patm, v1

pression

Figure D.7

- Définir un volume de contrôle (Figure D.7). - Effectuer un bilan de masse pour relier S1, S2, v1 et v2. - En effectuant un bilan de quantité de mouvement, exprimer F en fonction du débit massique m& qui traverse l’éolienne, de v1 et de v2. En déduire une première expression de la puissance mécanique W& t cédée par l’air au passage de l’éolienne. - En effectuant un bilan d’énergie cinétique, trouver une autre expression de W& t . En déduire que : v = (v1+v2)/2. - En déduire l’expression du rendement théorique η de l’éolienne en fonction du paramètre x = v2/v1. - Montrer que η ne peut pas excéder une valeur limite égale à 15/27 ~ 0,6. • Application numérique 1 : on suppose que l’éolienne fonctionne à son rendement maximum (donc pour x=1/3) avec une vitesse de vent v1 = 15 m.s-1. Le diamètre de l’éolienne est 25 m. • Application numérique 2 : on suppose que l’éolienne fonctionne à son rendement maximum (donc pour x=1/3) avec une vitesse de vent v1 = 15 m.s-1. Le diamètre de l’éolienne est 126 m.

EXERCICE N°8 Un liquide de masse volumique ρ s’écoule à travers une conduite qui se termine par 2 ramifications (Figure D.8). Les deux rejets dans les deux tronçons sortent avec une vitesse V2 = V3 . Les axes de la conduite et des tronçons sont situés dans un même plan horizontal. Hypothèses : Fluide idéal, incompressible et écoulement permanent. Données : D1 = 15 cm; D2 = D3 = 7.5 cm; ρ = 10 3 Kg m −3 et V2 = V3 = 2 m s −1 .


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− Calculer la vitesse V1 ; − Déterminer la force (intensité, sens et direction) exercée par le liquide sur cette conduite.

Figure D.8 EXERCICE N°9 La sortie T d’une conduite BT de longueur L = 10 m se trouve à 21 m sous la surface libre d’un réservoir R de grandes dimensions (Figure D.9). La vitesse à la sortie de la conduite est VT = 20 m s −1 . − Déterminer la hauteur d’un jet h j (on négligera les frottements avec l’air); − En déduire les pertes de charge ∆H ; − Quelle est la pression en C (Longueur BC = 5 m ). On considère un écoulement réel, et on prendra g = 10 m s −2 .

N.B.: L’expérience montre que les pertes de charge dans une conduite (L, D ) où la vitesse

 LV 2  V2 moyenne de l’écoulement est V sont proportionnelles à  ».  « ∆H = λ L 2gD 2 g D

Figure D.9


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EXERCICE N°10 Ecoulement réel dans un siphon – cavitation : Pour soutirer de l'eau dans un réservoir de grandes dimensions, on utilise un tuyau de 100 mm de diamètre. L'eau débite, en jet libre, à la sortie du tuyau située à 6 m au-dessous du niveau de la surface libre du réservoir. Le tuyau qui, par rapport au réservoir, présente une zone en siphon a la forme et la longueur indiquées sur la figure D.10. Les trois coudes (1, 2 et 3) sont à angles droit et vifs (coefficient de perte de charge de chaque coude : K ≈ 1 ). La perte de charge singulière à la sortie (en S) a un coefficient K ≈ 1 et celle à l’entrée (en E) est négligeable. On prendra g = 10 m /s2, ρeau=103 kg /m3 et νeau=10-6 m2 /s. − En admettant que l'écoulement soit turbulent, hydrauliquement rugueux, et que la canalisation ait une rugosité ε = 0,1 mm. Calculer la vitesse du fluide dans la canalisation ainsi que le débit d'eau obtenu avec un tel système. Calculer le nombre de Reynolds Re et vérifier que l'hypothèse de l'écoulement turbulent, hydrauliquement rugueux est acceptable. − Calculer les pertes de charge dans chaque tronçon (JE1, J12, J23, J3S, Jsortie et Jcoudes) Représenter, sur un diagramme "en ligne", l'évolution de la charge moyenne relative du fluide dans la canalisation, l'évolution de la hauteur piézométrique relative du fluide dans la canalisation ainsi que celle de l'altitude des différentes sections droites. − Quelle valeur maximale de L23 (dénivellation entre 2 et 3) peut-on admettre sans atteindre la cavitation (passage en phase vapeur si p = psat = 23 mbar). Considérer successivement les hypothèses: L’eau est un fluide parfait, L’eau est un fluide visqueux. Pression atmosphérique : p0 = 1,013 bar. 3m

2

1 4m

p0 O z=0 1m L23 = 10 m

E

2m

3

S

p0

2m

Figure D.10 Formules : −

Nombre de Reynolds : Re =

UD

ν

− Charge moyenne d’un fluide dans une section droite : C =

p U2 +α + z ( α ≈ 1 pour un ρg 2g

écoulement turbulent)


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L U2 D 2g

−

Pertes de charges régulières : J régulières = λ

−

Pertes de charges singulières : J Singulières = K

−

Coefficient de pertes de charges régulières λ :

Re > 105

U2 2g

Ecoulement turbulent, hydrauliquement rugueux

 ε  ≈ −2 log   , indépendant de Re λ  3 ,71D 

1

EXERCICE N°11 Une turbine est installée sur une conduite rectiligne reliant deux biefs dont la différence de niveau est de 30 m (Figure D.11). On prendra g = 10 m s −2 . − Le débit maximal de la turbine est de 10 m 3 s −1 , pour lequel la perte de charge linéaire V2 « ∆H = λ L » dans la conduite est de 1 m . Quelle est la charge consommée par la 2gD turbine ainsi que la puissance électrique de l’installation, sachant que le rendement de la turbine est η = 0.8 ?; − Afin d’obtenir une très grande production d’énergie de jour, on installe une nouvelle turbine plus puissante sans changer de conduite: Ecrire la relation qui donne la puissance de l’installation en fonction du débit et en déduire la valeur du débit qui permet d’obtenir la puissance maximale. Calculer cette puissance; Que devient la perte de charge pour ce débit. Le rendement étant toujours de 0.8 et on supposera que λ demeure constante. − La conduite est en fonte (dimension des rugosités ε = 1 mm ) de diamètre 2 m , quel est le régime d’écoulement d’une part avec l’ancienne turbine et d’autre part avec la nouvelle? Quelle est la longueur totale de la conduite?; On prendra ν = 10 −6 m 2 s −1 et λ = 1.7 10 −2 .

− Les deux extrémités de la conduite ont leur axe à 3 m au dessous des surfaces libres, la turbine est à 23 m au dessous de la surface libre du bief amont, quelle est la pression à l’entrée de la turbine (en m d ' eau ).


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Figure D.11 EXERCICE N°12 La pompe P fournit une hauteur de charge de 42.20 m à l’eau vers E comme le montre la figure D.12. Si la pression en C est de − 0.15 bar et si la perte de charge de D à E est de

 V2   8  , quel est le débit d’eau?.  2 g

Figure D.12 EXERCICE N°13 Une pompe, de puissance utile 36 kW , remonte de l’eau entre un bassin et un réservoir à travers une conduite de diamètre 135 mm (Figure D.13). La vitesse d’écoulement de l’eau dans la conduite est de 6 m s −1 .


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Figure D.13 − Calculer le débit volumique de l’eau dans la conduite ; − Calculer le nombre de Reynolds pour l’écoulement de l’eau dans la conduite ; l’écoulement est-il laminaire ou turbulent ? − Calculer la différence de pression entre la sortie et l’entrée de la pompe. − Calculer les pertes de charge linéaires dans la conduite entre les points 1 et 4 ; − Calculer le coefficient de perte de charge linéaire dans la conduite de longueur égale à 65 m ; − Le rendement de la pompe étant de 84% , calculer la puissance absorbée par la pompe. Application numérique : z1 = 0; z 2 = z 3 = 20 m; z 4 = 35 m (l’axe Oz est vertical ascendant); p1 = p 4 = 1013 mbar ; Viscosité cinématique de l’eau : ν = 10 −6 m 2 s −1 ; On néglige les pertes de charge singulières dans les coudes et dans la pompe. EXERCICE N°14 On considère un écoulement d’eau dans une canalisation horizontale (Figure D.14) qui présente un diamètre d’entrée D1 et un diamètre de sortie D2 . Entre ces deux sections, est placée une turbine qui consomme une partie de l’énergie du fluide pour délivrer une puissance P avec un rendement η . Ce rendement prend aussi en compte les pertes de charge dans l’ensemble de cette canalisation. Les conditions d’entrée de cette conduite sont définies par la pression P1 et la vitesse V1 . On supposera que l’écoulement est unidimensionnel dans les sections d’entrée et de sortie et que les frottements au niveau des parois sont négligeables.


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Figure D.14 Données : D1 = 0.6 m; D2 = 0.45 m; P = 67 KW ;

η = 0.9; P1 = 1.02 bar et V1 = 4.6 m s −1 . − Déterminer la vitesse V2 à la sortie de la conduite, valeur numérique?; − En utilisant le théorème de Bernoulli entre les sections d’entrée et de sortie, calculer la valeur de la pression P2 à la sortie « tenir compte de la quantité d’énergie consommée par la turbine, c'est-à-dire perdue par le fluide », valeur numérique de cette pression ?; − En appliquant le théorème des quantités de mouvement à un volume fluide choisi de manière approprié, déterminer la composante horizontale de la force appliquée par le fluide en écoulement sur l’élément de canalisation étudié « force sur toutes les parois solides concernées ». EXERCICE N°15 La figure D.15 représente un schéma de distribution d’eau. L’eau est puisée à l’intérieur d’un réservoir à niveau constant par une tuyauterie horizontale reliée à une pompe. L’eau est ensuite élevée et distribuée à l’air libre aux points A et B . La tuyauterie comprend en C un convergent puis un canal de longueur CD de section S = 12 cm 2 , suivie d’une section de longueur DP de section S ' = 45 cm 2 aboutissant à l’admission de la pompe. Les éléments de tuyauterie P ' ON , NA et NB ont pour section S = 12 cm 2 . On supposera que la seule perte de charge dans le circuit est due à l’élargissement en D . Les valeurs absolues des différentes côtes sont précisées sur la figure D.14, les points A et B sont sur la même verticale. − On étudiera d’abord l’écoulement dans l’élément ONAB (Figure D.16). La branche ON est horizontale et l’ensemble est situé dans un plan vertical. La vitesse de l’eau en O et V0 , la pression en A et B est égale à la pression atmosphérique. Les hauteurs N ' A et N ' B sont respectivement égales à a et b . Exprimer en fonction des données précédentes les vitesses de l’eau V A et VB dans les branches NA et NB ainsi que la pression p 0 en O; Application numérique : V0 = 11 m s −1 ; a = 1.1 m; b = 2.2 m; p atm = 10 5 Pa .

− En utilisant le théorème de quantités de mouvement appliqué à un domaine de contrôle judicieusement choisi, déterminer l’action du fluide sur la canalisation ONAB ; Application numérique : ON = NN ' = 2.2 m . TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES

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− Déterminer la puissance à fournir par la pompe. Le coefficient de la perte de charge due à 2

S  l’élargissement brusque est égal à K = 1 − '  .  S 

Figure D.15

Figure D.16 EXERCICE N°16 Une installation de pompage (Figure D.17) alimente un réservoir à partir d’une nappe d’eau dont le niveau peut varier. Les pertes de charge dans la crépine dépendent du débit c’est à dire V2 de la vitesse dans le tuyau d’aspiration. On peut les exprimer sous la forme K cr . 2g Empiriquement on a trouvé K cr = 0.8 . La rugosité des tuyaux en fonte est en moyenne ε = 0.15 mm . Le coude en fin de ligne a la forme d’un demi cercle, il entraîne une perte de charge singulière d’une valeur de K c

V2 avec K c = 0.2 . Le débit de fonctionnement normal 2g

est Q = 70 l s −1 et ceci pour une hauteur h = 5 m .


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Figure D.17 La viscosité cinématique de l’eauν = 10 −6 m 2 s −1 (20°C ) . − Quelle est la puissance du moteur de la pompe si celle – ci a un rendement η = 0.9 ?; − On constate que la pompe commence à caviter dès que la pression à son entrée descend en dessous de 0.2 bar (en pression absolue). Quelle est la valeur maximale de h pour qu’il n’y ait pas de cavitation ?. Remarques : Le coefficient de perte de charge λ est à déterminer à l’aide du diagramme de MOODY. EXERCICE N°17 De l’eau s’écoule radialement entre deux disques situés à l’extrémité d’un tuyau de diamètre d (Figure D.18). On négligera les pertes de charge dans la conduite et entre les disques.

Figure D.18 TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES

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− Trouver une expression pour le débit Q en fonction de la pression en A ; − Calculer la pression P(r ) en fonction du débit et en déduire la force sur le disque d supérieur «on négligera les pressions sur la partie centrale du disque pour r < »; 2 Application numérique : résoudre les questions précédentes en utilisant les données numériques suivantes : D = 1.2 m; l = 1.5 m; e = 2.5 cm; PA = 97000 N m −2 . EXERCICE N°18 Une conduite cylindrique de révolution est, à gauche d’une section A , divisée par un plan passant par son axe. L’une des moitiés est alimentée par de l’eau, animée d’une vitesse V1 . V L’autre moitié de l’eau est animée de la vitesse 1 (Figure D.19). 2 En aval de A , après une zone perturbée l’écoulement est redevenu uniforme dans une section B . On admet que dans les sections A et B , la pression est constante. On néglige le frottement entre l’eau et la conduite. Calculer en fonction de V1 , la vitesse V2 dans la section B et la différence de pression (P1 − P2 ) en appliquant le théorème de quantité de mouvement.

Figure D.19

EXERCICE N°19 Ecoulement de deux fluides non miscibles : Deux liquides newtoniens, non miscibles et incompressibles ayant des viscosités dynamiques différentes sont délimités par deux parois infinies, parallèles et horizontales (Figure D.20). La paroi inférieure est fixe, tandis que la paroi supérieure se déplace à la vitesse U. Le mouvement des fluides est entièrement provoqué par le déplacement de la paroi supérieure, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de gradient de pression axial (selon x). On admettra que la vitesse et la contrainte tangentielle de cisaillement doivent être continues à l’interface entre les deux fluides. - Déterminer la vitesse à l’interface entre les deux fluides. Application Numérique : Le fluide 1 est de l’eau ; le fluide 2 est de l’huile de viscosité µ 2 = 10 −2 kg.m -1 .s -1 . TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES

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U

µ2

h h

y

µ1

x immobile Figure D.20


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DIAGRAMME DE MOODY


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CINEMATIQUE DES FLUIDES


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EXERCICE N°1 La mesure de la vitesse des gaz dans une tubulure d’échappement en aval du catalyseur d’un véhicule automobile (Figure C.1) donne l’expression suivante: v(x , t ) = v 0 1 + ae −bx sin(ω t ) , où x est la position

(

[

−1

−1

]

)

du point de mesure, et t désigne le temps v 0 = 2 ,5m.s ; a = 0,05; b = 0.5m ; ω = 120rad .s −1 . Le terme en sin(ω t ) traduit le fonctionnement périodique du moteur, tandis que le terme en e −bx traduit l’amortissement des pulsations dans la tubulure lorsqu’on s’éloigne du moteur. Calculer numériquement l’accélération du fluide aux points x = 0 et x = 1,5m à l’instant t = 0 .

Collecteur de gaz d’échappement 1,5 m

Catalyseur

v x

Pot d’échappement

Figure C.1

EXERCICE N°2 Un écoulement plan est défini par le champ des vitesses suivant : U = −x + t V = y+t Où t représente le temps. − Calculer l’équation à l’instant t = 0 de la ligne de courant qui passe par le point de coordonnées x = −1 et y = −1 ; − Calculer l’équation de la trajectoire d’une particule qui passe à l’instant t = 0 par ce point.

EXERCICE N°3 Un écoulement est défini par le champ des vitesses suivant : U = U0 V = V0 + a t W =0 Où U 0 , V0 et a sont des constantes. − Etudier les lignes de courant ; − Y’ a – t – il déformation ?; − Déterminer les trajectoires.


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EXERCICE N°4 L’écoulement d’un fluide incompressible est défini par les relations : U =kx V = −k y

Où k > 0 − − − −

Quelles sont les lignes de courant de cet écoulement ?; Cet écoulement est – il irrotationnel ?; Calculer l’accélération ; Comment se déforme une particule fluide rectangulaire.

EXERCICE N°5 On considère un écoulement plan stationnaire dont le tenseur gradient de vitesse est donné, dans des axes orthonormés 1 et 2 , par la matrice :

∂u i ∂x j

0 b 

a 0  a et b sont des constantes. − Calculer les composantes des tenseurs taux de rotation et de déformation ; − L’écoulement est-il incompressible ?; − A quelle condition liant a et b l’écoulement est-il irrotationnel ? ; − Quels sont les champs de vitesse qui correspondent au gradient de vitesse proposé, les constantes d’intégration étant prises nulles ?; − Donner les équations du vecteur accélération en variables Eulériennes ; − Donner les équations des trajectoires et des lignes de courant ; − Quel mouvement particulier obtient –on si b = − a ?.

EXERCICE N°6 Le tenseur gradient de vitesse d’un écoulement stationnaire est donné dans un repère orthonormé R (0 x1 , 0 x 2 , 0 x3 ) par :

∂u i ∂x j

− a  0   0

s a 0

0 0  0 

s et a sont deux constantes.


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− Calculer les composantes des tenseurs du taux de rotation locale et taux de déformation ; − L’écoulement est – il incompressible? , irrotationnel? Rappeler le sens physique, dans la base 1, 2 et 3 des éléments constituant le tenseur taux de déformation; − U 1 , U 2 , U 3 étant les composantes du vecteur vitesse, donner les composantes de l’accélération dans le repère R en fonction de U 1 , U 2 , U 3 , a et s ;

− Quels sont les champs de vitesse correspondant à ce gradient ? Dans la suite on se limitera au cas où la seule constante d’intégration non nulle est associée à la composante U 3 ; − Donner les équations des lignes de courant et des trajectoires sous la forme X 1 = f ( X 3 ), X 2 = g ( X 3 ) .


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Travaux Diriges Mecanique Des Fluides 2013 2014

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