UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA AGRÍCOLA
ESTÁTICA Ramón Lobato Silva
Ramón Lobato Silva
Chapingo, México, julio de 2011 1
PRESENTACIÓN En el marco del proceso docente educativo orientado hacia la formación de profesionales en mecanización agrícola, la Estática representa una asignatura básica del plan de estudios de la carrera de Ingeniería Mecánica Agrícola. Esto, entre otras razones, porque durante su explotación todas las máquinas, y estructuras en general, invariablemente se ven sometidas a la acción de sistemas de fuerzas. La Estática, como la rama de la Mecánica, estudia un aspecto de los efectos externos de la fuerzas sobre los cuerpos o sistemas: las condiciones de equilibrio mecánico; la Dinámica, por su parte, estudia otro aspecto de los efectos externos: la relación entre las fuerzas y el movimiento; mientras que en la Mecánica de Materiales, se estudian los efectos internos de las fuerzas: lo relativo a la resistencia mecánica, la rigidez y la estabilidad de elementos de máquinas y estructuras. Como parte de las asignaturas del primer semestre de la carrera de Ingeniería Mecánica Agrícola, el contenido del curso de Estática supone que el estudiante está familiarizado con conocimientos y habilidades para la solución de problemas correspondientes a las asignaturas de Física General y Cálculo Diferencial e Integral. Por tratarse de una asignatura básica para el estudio de la ingeniería, el contenido del curso de Estática contribuye a la adquisición de los conocimientos imprescindibles para la comprensión de los fundamentos del objeto de la carrera y para la formación científica general del futuro profesional en ingeniería. En particular, los conocimientos y habilidades que se adquieran en Estática resultarán esenciales para la asimilación de asignaturas subsecuentes del plan de estudios, a saber: Dinámica, Mecánica de Materiales, Mecánica de Fluidos, Diseño de Elementos de Máquinas y Máquinas Agrícolas, entre otras. Como sucede con cualquier asignatura básica de ingeniería, todos los conceptos que se estudian en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen posibilidades de aplicaciones básicas o fundamentales, que permiten comprender los fenómenos físicos, así como predecir el funcionamiento y la respuesta de los sistemas de ingeniería en relación con los efectos externos de las fuerzas que actúan sobre ellos; aplicaciones prácticas o de ingeniería, para el análisis y diseño de elementos de máquinas y estructuras; y aplicaciones académicas, para el estudio de otras disciplinas de la ingeniería y asignaturas del plan de estudios de la carrera. La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico de los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con este tipo de movimiento. El movimiento mecánico (o simplemente movimiento) se refiere al cambio de posición de los cuerpos, unos con respecto a otros, que sucede en el transcurso de tiempo, así como a la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la rama de la Mecánica denominada Estática.
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No obstante que los cuerpos con que trata la Mecánica pueden ser sólidos, líquidos o gases, su movimiento posee propiedades que no dependen del estado de agregación de los mismos. Los problemas relacionados con la estructura interna de los cuerpos, con sus propiedades físicas y con las leyes de sus interacciones, quedan fuera de los límites de la Mecánica, y constituyen el objeto de estudio de otras ramas de la Física. Sin embargo, sin el conocimiento de las leyes de la Mecánica es prácticamente imposible estudiar las demás disciplinas de la Física, ya que en casi todos los fenómenos físicos y procesos se presenta el movimiento mecánico. Como fundamento científico de las disciplinas de ingeniería, la Mecánica es todo un conjunto de asignaturas técnicas, generales y especiales, - Estática, Dinámica, Mecánica del Medio Continuo, Mecánica de Materiales, Teoría de Máquinas y Mecanismos, Mecánica de los Fluidos, Mecánica de Suelos, entre otras- dedicadas a la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas, así como al diseño y análisis de mecanismos, máquinas y estructuras. Con mayor precisión, el objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. En correspondencia con las consideraciones anteriores, el contenido del presente curso incluye la exposición de la teoría –conceptos, definiciones, leyes o principios y teoremas- de la Estática y sus aplicaciones a la solución de problemas. Se procura hacer una presentación lo más unificada y concisa posible, es decir, hacer la deducción de las ecuaciones para las categorías más generales de sistemas de fuerzas y, a partir de ellas, obtener las correspondientes a los sistemas más simples. Se hace uso intensivo del formalismo matemático correspondiente al Álgebra Vectorial. Finalmente, a pesar de que la asignatura de Estática es de naturaleza básica y de tipo teórico y, no obstante, que sus leyes y teoremas son muy pocos, la asimilación de su contenido, así como la habilidad para su aplicación a situaciones reales, requiere un alto nivel de entrenamiento en la solución de problemas. Por esta razón, la parte práctica del curso se desarrolla mediante la formulación y solución de numerosos problemas; unos de valoración académica, con el propósito de comprender los conceptos y teoría básica de la asignatura; otros relacionados con el ejercicio de la profesión, para motivar la aplicación a situaciones de la vida profesional; y algunos orientados hacia la investigación, a fin de inducir actitudes hacia la búsqueda de nuevos conocimientos para fomentar la creatividad y el trabajo independiente del futuro profesional. En todos los casos es imprescindible la participación activa del estudiante, tanto en las clases como fuera de ellas.
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Así, en este contexto, el curso de estática tiene los siguientes objetivos generales, a saber:
Valorar la importancia del conocimiento y comprensión de los conceptos de las ciencias básicas de la ingeniería, para lograr su aplicación a problemas de análisis y diseño de sistemas.
Analizar los conceptos y leyes correspondientes a: la composición y descomposición de fuerzas; la reducción de los sistemas de fuerzas a su expresión más simple; y la determinación de las condiciones de equilibrio de los sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido. Todo a través de sus aplicaciones al análisis y diseño de sistemas en equilibrio.
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CONTENIDO: UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA
UNIDAD 2. EQUILIBRIO
UNIDAD 3. FRICCIÓN
UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES DE LAS BARRAS
UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS
METODOLOGÍA DIDÁCTICA: Con el propósito de facilitar la adquisición de conocimientos, el profesor, al inicio de cada tema, realizará clases teóricas, donde se hará el análisis de los conceptos y leyes principales. Para desarrollar habilidades en la aplicación de la teoría, el profesor realizará clases prácticas, donde se resolverán problemas representativos de cada tema. Este tipo de clases representarán más del 50% del curso. Durante las clases prácticas se hará énfasis en los aspectos metodológicos para la solución de los problemas y se promoverá la participación activa del estudiante. Con el fin de fomentar el trabajo independiente por parte de los estudiantes, para cada tema el profesor indicará la lectura de material bibliográfico, que permita complementar las clases del curso; asimismo, se asignarán problemas para que sean resueltos por los estudiantes como tareas.
EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
Evaluaciones frecuentes Cinco exámenes parciales Tareas y trabajos
10% 60% 30% 5
BIBLIOGRAFÍA: Texto: Meriam, J. L. and Kraige, L. G. 2007. “Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics, 6th. ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, U.S.A. Consulta:
Boresi, A.P. and Richard J. Schmidt. 2001.”Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics. BROOKS/COLE, U.S.A.
Beer, F.P.; Johnston, E.R. and Eisenberg R.E. 2010 “Vector Mechanics for Engineers”, Vol. 1, Statics 9th ed. SI, McGraw-Hill Book Co. Singapore.
Hibbeler, R.C. 2010. “Engineering Mechanics” Statics, 12th ed. Prentice-Hall. U.S.A.
Soutas-Little, R.W.; Inman, D.J. and Balint, D. S. 2008. “Engineering Mechanics”, Vol. 1. Statics, THOMSON.
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Índice UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA ................................................................... 9 1.1 CARACTERIZACIÓN DE LA ESTÁTICA ...................................................................................... 9 1.2 EL PAPEL DE LA ESTÁTICA EN LA INGENIERÍA .................................................................. 13 1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS ............................................. 14 1.4 VECTORES ..................................................................................................................................... 30 1.5 LEYES DE LA MECÁNICA CLÁSICA.......................................................................................... 46 1.6 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA ............................................................... 53 1.7 AXIOMAS DE LA ESTÁTICA ....................................................................................................... 55 1.8 FUERZAS Y SISTEMAS DE FUERZAS ........................................................................................ 57 1.9 COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS............................................................... 58 1.10 MOMENTO DE UNA FUERZA ................................................................................................... 62 1.11 TEOREMA DE VARIGNON O PRINCIPIO DE LOS MOMENTOS .......................................... 64 1.12 PAR DE FUERZAS ....................................................................................................................... 69 1.13 TEOREMA SOBRE EL TRASLADO PARALELO DE UNA FUERZA: REDUCCIÓN FUERZA - PAR ...................................................................................................................................... 71 1.14 FUERZAS DISTRIBUIDAS .......................................................................................................... 73 1.15 REDUCCIÓN DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS: RESULTANTES ...................................... 76
UNIDAD 2. EQUILIBRIO .......................................................................................................... 82 2.1 DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO ...................................................................................................... 82 2.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO .................................................................................................. 82 2.3 APOYOS Y SUS REACCIONES ..................................................................................................... 83 2.4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ................................................................................................. 86 2.6 SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS ........................................................................ 89 2.7 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIO ......................................................................... 89 2.8 EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS .................................................................................................... 90 2.9 EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS .......................................................................................... 94 2.10 APLICACIONES A ESTRUCTURAS Y MÁQUINAS .............................................................. 104
UNIDAD 3. FRICCIÓN ............................................................................................................. 109 3.1 NATURALEZA Y TIPOS DE FRICCIÓN .................................................................................... 109 3.2 LEYES DE LA FRICCIÓN SECA ................................................................................................. 110 3.3 TIPOS DE PROBLEMAS DE FRICCIÓN ..................................................................................... 111
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UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES DE LAS BARRAS .................................................................................. 116 4.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASAS Y CENTROIDES....................................... 116 4.3 MOMENTO ESTÁTICO ................................................................................................................ 120 4.4 MOMENTO DE INERCIA ............................................................................................................. 121 4.5 PRODUCTO DE INERCIA ............................................................................................................ 123 4.6 MOMENTO POLAR DE INERCIA ............................................................................................... 125 4.7 EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA......................................... 126 4.8 CÍRCULO DE MOHR .................................................................................................................... 129
UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS ....................... 130 5.1 MÉTODO DE SECCIONES ........................................................................................................... 130 5.2 COMPONENTES DE FUERZAS INTERNAS. ............................................................................. 135 5.3 CÁLCULO DE FUERZAS INTERNAS. ....................................................................................... 137 5.4 ARMADURAS. .............................................................................................................................. 140 5.5 DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS. ANÁLISIS DE VIGAS ........................................... 143 5.6 MARCOS. ....................................................................................................................................... 156
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UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA Objetivo Desarrollar los métodos y procedimientos para la composición y descomposición de fuerzas, y la reducción de los sistemas de fuerzas aplicadas a un cuerpo a su expresión más simple, a fin de facilitar la predicción de los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas. Temas: 1.1 Caracterización de la Estática. 1.2 El papel de la Estática en la ingeniería. 1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. 1.4 Vectores. 1.5 Leyes de la Mecánica Clásica. 1.6 Conceptos fundamentales de la Estática. 1.7 Axiomas de la Estática. 1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas. 1.9 Composición y descomposición de fuerzas. 1.10 Momento de una fuerza. 1.11Teorema de Varignon. 1.12 Par de fuerzas. 1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza. 1.14 Fuerzas distribuidas. 1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas (resultantes).
1.1 CARACTERIZACIÓN DE LA ESTÁTICA ¿Cuál es el objeto de la Mecánica? La Estática es parte de la Mecánica, y ésta es una rama de la Física. La Física es la ciencia que estudia los diferentes tipos de movimientos de la materia y sus transformaciones mutuas, así como la estructura y propiedades de las formas concretas de la materia (sólidos, líquidos, gases y campos). La palabra Física es de origen griego y significa naturaleza; como ciencia se inicia con Galileo (1564-1642).
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La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico (o simplemente el movimiento) de los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con este tipo de movimiento. La palabra Mecánica es de origen griego y significa construcción, máquina o invento; aparece por primera vez en las obras de Aristóteles (384-322 a.C.). El movimiento mecánico se refiere a los cambios de posición (desplazamientos) de los cuerpos, unos con respecto a otros, que suceden en el transcurso del tiempo, así como la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga la parte de la Mecánica denominada ESTÁTICA. Problemas fundamentales de la Mecánica. 1. El estudio de diferentes movimientos y la generalización de los resultados obtenidos en forma de leyes, con ayuda de las cuales pueda predecirse el carácter del movimiento en cada caso concreto. Así se han establecido, por ejemplo, las leyes y teoremas de la Dinámica y, en particular, de la Estática. 2. La búsqueda de propiedades generales, propias de cualquier sistema, independientemente de la especie concreta de interacción entre los cuerpos de éste. Así se han descubierto las leyes de conservación de la energía, de la cantidad de movimiento y del momento de la cantidad de movimiento. ¿Cuáles son las divisiones o campos de la Mecánica? Como ocurre en toda la Física, la clasificación más general de la Mecánica es como sigue: Velocidad
?
c
?
Mecánica Cuántica Relativista
Mecánica Clásica Relativista
Mecánica Cuántica
MECÁNICA CLÁSICA
Cosmología Relativista
c
10-15
10-10
Cosmología
1020
10
Dimensiones (m)
Se llama Mecánica Clásica, la Mecánica basada en las tres leyes de Newton. Actualmente la Mecánica Clásica es todo un conjunto de asignaturas técnicas, generales y especiales, dedicadas a la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas, al análisis y diseño de distintas obras de ingeniería, especialmente estructuras, máquinas y procesos. Dependiendo de la naturaleza de los problemas que se examinan, la Mecánica Clásica se divide en: ESTÁTICA
MECÁNICA CLÁSICA
DE CUERPOS RÍGIDOS
DINÁMICA
CINEMÁTICA CINÉTICA
MECÁNICA DE MATERIALES
DE CUERPOS DEFORMABLES
TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
INCOMPRESIBLES (Hidráulica)
DE FLUIDOS
COMPRESIBLES (Neumática) 1. Estática. Estudia la descomposición y composición de fuerzas, la reducción (resultante) de los sistemas de fuerza y las condiciones de equilibrio de los cuerpos. 2. Cinemática. Estudia el movimiento de los cuerpos desde el punto de vista geométrico, es decir, independientemente de las fuerzas que actúan sobre estos cuerpos. 3. Cinética. Estudia las dependencias entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que actúan sobre ellos.
¿Qué estudia la Estática? El objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas (como magnitudes físicas vectoriales) y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas. Problemas generales de la Estática. 1. Establecer los métodos para la composición y descomposición de fuerzas y la reducción de los sistemas de fuerzas, aplicadas a un cuerpo, a su expresión más simple. Esto con el propósito de predecir los efectos externos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas. 11
2. Determinar las condiciones de equilibrio de los cuerpos, sometidos a la acción de sistemas de fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas de ingeniería, principalmente máquinas y estructuras en general.
Problema 1. En la posición representada, el cigüeñal de un motor de dos cilindros está sometido a las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas y al par de 200 N·m. Para este sistema formule dos problemas típicos de Estática.
B A
.
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1.2 EL PAPEL DE LA ESTÁTICA EN LA INGENIERÍA ¿Qué actitud se debe asumir al emprender el estudio de la Estática en una carrera de ingeniería? El estudio de cualquier ciencia básica de ingeniería incluye dos aspectos fundamentales, a saber: 1º. El entendimiento de los conceptos y leyes de la asignatura o disciplina. Esto se logra mediante el estudio y análisis de las deducciones teóricas correspondientes. 2º. La aplicación de estos conceptos y principios a situaciones físicas concretas. Esto se logra mediante la solución de problemas.
¿Cuál es el papel de la asignatura de Estática en la carrera de Ingeniería Agrícola?
Mecánica
Todos los conceptos, principios y leyes que se estudian en Mecánica tienen un significado físico bien definido y ofrecen las siguientes posibilidades de aplicaciones: 1. Aplicaciones básicas o fundamentales: Útiles para comprender y predecir la respuesta de los fenómenos físicos y el funcionamiento o comportamiento de sistemas de ingeniería (máquinas, estructura y procesos). 2. Aplicaciones prácticas o de ingeniería: Importantes para el análisis y diseño de sistemas de ingeniería. 3. Aplicaciones académicas: Necesarias para la asimilación y comprensión de otras asignaturas y disciplinas de ingeniería. Aquí es oportuno precisar la misión de la ingeniería. De acuerdo con la ABET (the Accreditation Board for Engineering and Technology): “La Ingeniería es la profesión en la cual el conocimiento de las ciencias matemáticas y naturales – obteniendo a través del estudio, la experiencia y la práctica – se aplica con criterio para desarrollar modos para la utilización económica de los materiales y fuerzas de la naturaleza para el beneficio de la humanidad”. Esto incluye, en particular, el análisis y diseño de estructuras, máquinas y procesos. En otras palabras la ingeniería es la aplicación de la ciencia a los propósitos de la sociedad. En conclusión, la ingeniería (principalmente en sus áreas civil, mecánica, industrial y agrícola) se fundamenta en las siguientes ciencias básicas de ingeniería:
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- Mecánica de Cuerpos Rígidos - Mecánica de Materiales CIENCIAS BÁSICAS DE INGENIERÍA
- Mecánica de Fluidos - Termodinámica - Electricidad
1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS La densidad de un suelo; la viscosidad dinámica de un líquido; la velocidad angular de un elemento de máquina; la conductividad térmica de un material de construcción; la presión de un sistema hidráulico; la energía cinética de un cuerpo en rotación; la fuerza de tracción de un vehículo; la potencia de un motor; la temperatura de un proceso termodinámico; la resistencia eléctrica de un conductor; el momento de inercia de la sección transversal de una viga; el módulo de elasticidad del acero; son algunos ejemplos de magnitudes o cantidades físicas. ¿Qué son o qué representan las magnitudes físicas? Las magnitudes físicas son los conceptos que definen las propiedades de los cuerpos o las características de un proceso, cuyas variaciones siempre han de determinarse cuantitativamente por medio de mediciones, es decir, comparando la magnitud física en cuestión con otra magnitud determinada de la misma especie que se toma como unidad. A las magnitudes físicas también se les llama cantidades físicas o variables físicas. ¿A qué se llama unidad de una magnitud física? Se llama unidad de medición, o simplemente unidad, de la magnitud física A, a una magnitud física elegida convencionalmente que tiene el mismo sentido físico que dicha magnitud A.
¿Cómo se dividen, para facilitar su manejo, las unidades de las magnitudes físicas? Convencionalmente se dividen en unidades básicas o fundamentales y en unidades derivadas o secundarias. a) Las unidades básicas se establecen de forma arbitraria e independientes unas de otras. Se definen por medio de procesos físicos invariables o mediante prototipos normalizados. Ejemplos de unidades básicas, según el Sistema Internacional de Unidades, son el metro, el segundo y el kilogramo, para la longitud, el tiempo y la masa, respectivamente. 14
b) Las unidades derivadas se expresan a través de las fundamentales con ayuda de las leyes físicas o definiciones correspondientes. Ejemplos de unidades derivadas son el newton, el joule y el metro por segundo, para la fuerza, la energía y la velocidad, respectivamente. ¿Qué representa la dimensión de una magnitud física? Se denomina dimensión o fórmula dimensional, de una magnitud física B cualquiera, a la expresión matemática que define la relación existente entre la unidad de medición de esta magnitud, y las unidades fundamentales del sistema dado. Ejemplo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, F = ma , las dimensiones de la fuerza son: [F] = [m] [a] = [M][LT -2] = MLT -2 Esta es la fórmula dimensional de la fuerza. Ejemplo. La dimensión de la energía cinética de una partícula, determinada a partir de la ecuación
es igual a [T] = [m] [v2] = [M] [L2T -2] = L2 M T -2
De esta última fórmula, en particular, se deduce que si al medir longitudes se pasa de metros a centímetros y al medir la masa se pasa de kilogramos a gramos, mientras se conserva el segundo como unidad de tiempo, resultará ser que la unidad de energía cinética aumenta en (100)2(1000)=107 veces. Por consiguiente, la dimensión se puede interpretar como una unidad generalizada de medida, es decir, como un código que nos dice cómo cambia el valor numérico de una magnitud física cuando se cambian las unidades fundamentales de medida. Es importante observar que la fórmula dimensional o dimensión de una misma magnitud física puede tener diferente aspecto, según sea la elección de las correlaciones determinantes. Por consiguiente, la dimensión no es una propiedad invariable o intrínseca de la magnitud física dada, sino que depende del procedimiento de construcción del sistema de unidades, como se demuestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo. Dimensiones de la fuerza. Como se sabe, además de la segunda ley de Newton existe la ley de gravitación universal de Newton, . De este modo, si se toma la segunda ley de Newton como correlación determinante para la fuerza, resulta: [F]= MLT-2
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y, por ello, la constante gravitacional G en la ley de gravitación de Newton no puede ser adimensional:
Por lo tanto: [ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[
][ ] [ ][ ]
[G]= M-1L3T-2. La existencia de dimensiones en la constante gravitacional significa que el valor numérico de ésta depende de la elección de las unidades fundamentales. En efecto, G = 6.67 x 10-11 N·m2 / kg2 = 6.67 x 10-11 m3·kg-l·s-2 Por otro lado si, en lugar de la segunda ley de Newton, se tomara la ley de gravitación universal de Newton como correlación determinante para la fuerza, resultaría: [F] = L-2M2 Con ello, la constante gravitacional G resultaría ser adimensional, es decir, independiente de las unidades fundamentales e igual a cualquier número constante, por ejemplo, a la unidad. En estas condiciones, la segunda ley de Newton adquiriría la forma:
donde la constante de inercia K tendría las dimensiones [K] = ML-3T2 y su valor numérico no necesariamente sería igual a la unidad. Problema 2. Establecer, mediante ejemplos, la relación que existe entre magnitud física, dimensión y unidad. Solución MAGNITUD FÍSICA DIMENSIÓN UNIDAD Magnitud física Longitud Masa Tiempo Densidad (volumétrica) Velocidad Calor específico
Dimensiones L M T ML -3 LT -1 L2T-2Θ-1
Unidades m kg s kg·m-3 m·s-1 J/kg·K 16
¿Cómo se clasifican, desde el punto de vista de las dimensiones, las magnitudes físicas? a) Homogéneas: Cuando tienen las mismas dimensiones y el mismo significado físico. Por ejemplo, el trabajo y el calor. b) Homónimas: Cuando tienen igual dimensión, pero diferente significado físico. Por ejemplo, el momento de una fuerza y el trabajo. c) Adimensionales: Cuando sus valores numéricos no dependen del sistema de unidades de medición. Por ejemplo, el coeficiente de fricción. Si una magnitud física A es adimensional, se escribe [A]= [1]. ¿Qué es un sistema de unidades? El conjunto de unidades fundamentales y derivadas, pertenecientes a algún sistema de magnitudes, construido en concordancia con ciertos principios adoptados, forma un sistema de unidades. Históricamente, en la Mecánica, los sistemas de unidades se dividieron en sistemas absolutos y sistemas gravitacionales. a) Sistemas absolutos: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la masa (M), la longitud (L) y el tiempo (T). La fuerza pasa a ser una magnitud física derivada, [F]=MLT -2. b) Sistemas gravitacionales: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T). La masa pasa a ser una magnitud física derivada, [M]=FL -1T 2. Sistema Internacional de Unidades (SI) ¿Cuál es la estructura y características del Sistema Internacional de Unidades? a) Es un sistema absoluto ampliado. b) Considera siete magnitudes físicas fundamentales. c) Incluye dos magnitudes suplementarias. d) Las dimensiones de las magnitudes derivadas se establecen de manera lógica y coherente, a partir de las correlaciones determinantes. e) Utiliza un conjunto de prefijos para abreviar la escritura de cantidades muy grandes o muy pequeñas. f) Establece un conjunto de reglas “ortográficas” para la escritura de los símbolos y valores numéricos de las magnitudes físicas. 17
¿Por qué el SI es un sistema absoluto ampliado? Porque no solamente considera las magnitudes mecánicas (longitud, masa y tiempo); sino también incluye las magnitudes eléctricas, termodinámicas, ópticas y químicas.
¿Cuáles son las siete magnitudes fundamentales del SI? El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI por sus siglas en francés (Le Système International d'Unités), fue adoptado en 1960 por los delegados de la 11a Conferencia General de Pesas y Medidas, y popularmente se conoce como sistema métrico. Hoy día en el mundo predomina el uso del SI en los ámbitos científicos, ingenieriles, comerciales y educativos.
A partir de 1971, durante la 14a Conferencia General de Pesas y Medidas, se establecieron siete magnitudes físicas fundamentales, como base para la estructuración del SI y de aplicación en toda la ciencia y la técnica.
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Magnitudes básicas o fundamentales SI: MAGNITUD FÍSICA
DIMENSIÓN
NOMBRE DE LA UNIDAD
SÍMBOLO DE LA UNIDAD
Longitud
L
metro
m
Masa
M
kilogramo
kg
Tiempo
T
segundo
s
Intensidad de la corriente eléctrica
I
ampere
A
Temperatura termodinámica
Θ
kelvin
K
Intensidad luminosa
J
candela
cd
N
mol
mol
Cantidad sustancia
de
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD
La longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 s. Adoptado en 1983. Masa igual a la del prototipo internacional guardado en Sevres (Francia). Establecido en 1901. Tiempo igual al de la duración de 9 192 631 770 periodos de radiación correspondiente a la transición entre dos niveles superfinos del estado fundamental del átomo de cesio-133. Adoptado en 1967. La corriente constante que, pasando por dos conductores paralelos rectilíneos, de longitud infinita y área de sección circular despreciable, situados a 1 m de distancia uno de otro en el vacío, produce entre ambos una fuerza igual a 2x10-7 N por cada metro de longitud. Adoptado en 1946. La fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Adoptado en 1967. La intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540x1012 Hz y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 W por estereorradián. Adoptado en 1979. La cantidad de sustancia que contiene tantas unidades elementales como átomos hay en 0.012 kg de carbono 12. Adoptado en 1971.
¿Cuáles son las dos magnitudes suplementarias del SI? Desde su origen, el SI consideró separar en un grupo especial de magnitudes suplementarias, correspondientes a las magnitudes para el ángulo plano y el ángulo sólido. Esto debido, quizás, a la característica adimensional del ángulo, lo cual significa, simplemente, que su unidad no depende de las magnitudes fundamentales. 19
Magnitudes suplementarias SI: MAGNITUD FÍSICA
NOMBRE DE LA UNIDAD
DIMENSIÓN
SÍMBOLO DE LA UNIDAD
Ángulo plano
Adimensional
radián
rad
Ángulo sólido
Adimensional
estereorradián
sr
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD El ángulo plano entre dos radios de la circunferencia, la longitud del arco entre los cuales es igual al radio. El ángulo sólido con vértice en el centro de una esfera que intercepta, sobre la superficie de la esfera, un área equivalente a la de un cuadrado de lado igual al radio de esta esfera.
Ejemplos de magnitudes derivadas del SI y procedimiento para obtener sus dimensiones y unidades. Las magnitudes derivadas son aquellas cuyas dimensiones se relacionan con las magnitudes fundamentales, mediante correlaciones determinantes (ecuaciones) que expresan leyes físicas o definiciones de las magnitudes correspondientes. Ejemplos de magnitudes derivadas SI: MAGNITUD FÍSICA Nombre Dimensiones L2 Superficie L3 Volumen LT -1 Velocidad Aceleración
LT -2
Frecuencia Velocidad angular Aceleración angular
T -1
Densidad
L -3M
Cantidad de movimiento Momento de la cantidad de movimiento Fuerza Momento de una fuerza Impulso de una fuerza
LMT -1
T
-1
T -2
Nombre de la unidad metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo al cuadrado hertz
UNIDAD Símbolo m2 m3 m/s
Observaciones
m/s2 Hz
radián por segundo
rad/s
rad/s = s-1
radián por segundo al cuadrado kilogramo por metro cúbico kilogramo metro por segundo
rad/s2
rad/s2 = s-2
kg/m3 kg·m/s
L2MT -1
kilogramo metro cuadrado por segundo
kg·m2/s
LMT -2
newton
N
L2MT -2
newton metro
N·m
LMT -1
newton segundo
N·s
20
1N = 1 kg·m/s2
Ejemplos de magnitudes derivadas SI (continuación): MAGNITUD FÍSICA Nombre Dimensiones Presión, Esfuerzo, L-1MT -2 Módulo de elasticidad Tensión MT -2 superficial Trabajo, L2MT -2 Energía
Nombre de la unidad pascal
UNIDAD Símbolo Observaciones 1 Pa = 1 N/m2 Pa
newton por metro
N/m
joule
J
1 J = 1 N·m 1 W = 1 J/s
Potencia
L2MT -3
watt
W
Viscosidad dinámica Viscosidad cinemática Calor específico Cantidad de calor, Energía interna Capacidad calorífica, Entropía Flujo luminoso Iluminación Carga eléctrica
L-1MT -1
pascal segundo
Pa s
L2T -1
metro cuadrado por segundo joule por kilogramo kelvin
m2/s J kg K
L2MT -2
joule
J
L2MT -2Θ -1
joule por kelvin
J/K
J L-2J TI
lumen lux coulomb
lm lx C
Potencial eléctrico
L2MT -3I -1
volt
V
Capacitancia
M-1L-2T4I2
faraday
F
Resistencia
ML2T-3I-2
ohm
Ω
L2T -2Θ -1
1J 1N m
1 lx = 1 lm/m2
El análisis de las dimensiones, las unidades correspondientes y, en su caso, la definición de la unidad de las magnitudes físicas derivadas se realiza como en los siguientes problemas. Problema 3. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la fuerza.
Problema 4. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la presión. Problema 5. Obtener de las dimensiones y unidades SI del trabajo, calor y energía. Problema 6. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la potencia.
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¿Cuáles son los prefijos adoptados en el SI? Los múltiplos y submúltiplos de las unidades SI son creados añadiendo prefijos a las unidades. El uso de estos prefijos evita el empleo de números muy grandes o muy pequeños.
Prefijos SI: Factor
Prefijo
Símbolo
10
24
yotta
Y
1021
zetta
Z
18
exa
E
10
15
peta
P
1012
10
Ejemplo
tera
T
9
giga
G
120 GPa
10
6
mega
M
85 MN
103
10 kW
10
kilo
k
2
hecto
h
10
1
deca
da
10-1
10
deci
d
-2
centi
c
10
-3
mili
m
100 mA
10-6
10
micro
μ
25 μmol
-9
nano
n
12 ns
10
-12
pico
p
10-15
10
femto
f
-18
atto
a
10
-21
zepto
z
10-24
yocto
y
10
Problema 7. Demostrar que Problema 8. Demostrar que
22
Algunas reglas “ortográficas” para la escritura de las unidades SI: REGLA
EJEMPLO
No
Correcto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Descripción Los símbolos de las unidades deben escribirse en caracteres romanos rectos, no en caracteres oblicuos ni con letras cursivas. En los textos, las unidades se escribirán con palabras a menos que se estén reportando valores numéricos, en cuyo caso pueden usarse palabras o símbolos. El signo de multiplicación para indicar el producto de dos o más unidades debe ser un punto elevado. Cuando la unidad se escribe en palabras, no se requiere del punto. La división se muestra en una unidad compuesta por una diagonal o por multiplicación usando un exponente negativo. Cuando la unidad se escribe en palabras, la diagonal se reemplaza siempre por “por”. Siempre debe usarse un espacio entre un número y sus unidades, con la excepción del símbolo de grado (ya sea angular o de temperatura), en donde no se usa un espacio entre el número y el símbolo. Los símbolos de las unidades nunca tendrán puntos finales como parte del símbolo, y no deben pluralizarse para no utilizar la letra s que por otra parte representa al segundo. Por supuesto, un punto puede seguir a una unidad al final de una oración. Cuando se escriben como palabras, las unidades se usarán en singular o plural según el contexto. Cuando se escriben como símbolos, las unidades se usan siempre en singular. Los plurales de otras unidades se forman de la manera acostumbrada. Cuando se escriben como símbolo, las unidades se anotarán con mayúsculas cuando se derivan del nombre de una persona. Una excepción es el símbolo para litro, que es L, para evitar confusión con el número 1. Cuando se escriben como palabras, las unidades no llevan mayúsculas (excepto al principio de una oración o en un título con sólo mayúsculas). Deben usarse espacios, y no comas para separar los números largos en grupos de tres dígitos, contando desde el punto decimal tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. La dificultad en el uso de los espacios puede minimizarse usando prefijos y potencias de 10. Cuando se trata del símbolo de una magnitud que sea el cociente de dos unidades, solamente se debe utilizar un prefijo y éste debe ser colocado en el numerador. Es preferible no usar múltiplos o submúltiplos en el denominador. Una excepción es el kilogramo que es una unidad básica (la letra “k” no se considera como prefijo). En la escritura de los múltiplos y submúltiplos de las unidades, el nombre del prefijo no debe estar separado del nombre de la unidad. Los símbolos para la hora, la hectárea, la tonelada y el gramo son: h, ha, t y g, respectivamente.
23
Pa J kilogramos 12 m 12 metros N·m kg·m newton metro m/s m·s-1 metro por segundo 130 Pa 130 pascales 45° 20°C
Incorrecto Pa J
mN Pas metro entre segundo 130Pa 45 ° 20 °C
km kg
km. kgs
1 kilómetro, 20 kilómetros, 7 segundos 5 km, 25 km, 15 s, newtons, watts
56 kms
W N MPa megapascal newton
23 345 765.906
23,345,765.906
kN/m J/kg
N/mm mJ/g
microsegundo
micro segundo
Aplicaciones de la teoría de las dimensiones de las magnitudes físicas ¿Cuáles son las principales aplicaciones de la teoría de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas? La teoría de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas tiene, entre otras, las siguientes aplicaciones: 1. Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. 2. Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. 3. Conversión de unidades y ecuaciones. 4. Análisis dimensional. En general, si se conocen de antemano las magnitudes físicas que participan en un proceso bajo estudio, se puede establecer el carácter de la dependencia funcional que relaciona las magnitudes dadas, con base a la comparación de las dimensiones que participan. Para llevar a cabo este análisis se recurre al llamado teorema Π o de Buckingham. 5. Diseño de experimentos que involucran el estudio del comportamiento de un prototipo a través de un modelo y la interpretación de los resultados obtenidos durante dichos experimentos. Aquí son de gran ayuda los números o parámetros adimensionales, a saber: los números de Reynolds, Froude, Strouhal, Mach, Nusselt, Prandtl, Grashof, entre otros. Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas. ¿Cuál es el procedimiento para obtener las dimensiones y unidades de una magnitud física? Se presentan dos casos: a) Cuando se trata de magnitudes físicas fundamentales Como se ha establecido, éstas se definen por sí mismas. En el caso del SI se tienen siete magnitudes físicas fundamentales. b) Cuando se trata de magnitudes físicas derivadas En este caso se recurre a correlaciones determinantes, es decir, a fórmulas que expresan definiciones o leyes físicas. Problema 9. Obtener las dimensiones y unidades SI del calor específico. Problema 10. Obtener las dimensiones y unidades SI de la viscosidad dinámica.
24
Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones. ¿En qué principio se basa el análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones? Aquí desempeña un papel fundamental el principio de homogeneidad dimensional: Todas las ecuaciones, ya sea que se expresen en forma numérica o simbólica, deben* ser dimensionalmente homogéneas, esto es, las dimensiones de todos los términos en la ecuación deben ser iguales. El principio de homogeneidad dimensional garantiza que la definición matemática de un fenómeno físico cualquiera, que indique la dependencia funcional entre los valores numéricos de unas magnitudes físicas, sea independiente de las unidades que se elijan para medir dichas magnitudes. * El cumplimiento del principio de homogeneidad dimensional no siempre es evidente, ya que en muchos casos (sobre todo cuando se trata de ecuaciones empíricas) los coeficientes de los términos de las ecuaciones tienen dimensiones (y por lo tanto unidades) implícitas. De este modo, se tienen dos tipos de ecuaciones: a) Ecuaciones dimensionalmente homogéneas: Todos sus términos tienen las mismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes no tienen dimensiones. b) Ecuaciones "no dimensionalmente homogéneas”: Todos sus términos no tienen las mismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes tienen dimensiones. La homogeneidad dimensional es una condición necesaria, pero no suficiente, para que una ecuación describa correctamente un fenómeno físico. Una ecuación puede tener las mismas dimensiones en cada uno de sus términos y no tener significado físico alguno, o bien ser incorrecta. Al analizar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones, debe observarse que la estructura matemática de una ecuación puede ser algebraica, trascendente, en derivadas (ecuaciones diferenciales) y con integrales. En todos los casos debe cumplirse el principio de homogeneidad dimensional. a) Ecuaciones algebraicas. En este caso, el análisis de la homogeneidad dimensional se lleva a cabo con base en las reglas del álgebra de los números reales.
25
Problema 11. Analizar la homogeneidad dimensional de la ecuación de Bernoulli para una vena de líquido ideal incompresible:
donde z representa la altura geométrica, p la presión, γ el peso específico, V la velocidad del líquido y g la aceleración de la gravedad. Problema 12. Determinar si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea o no.
donde F es la fuerza, es la viscosidad dinámica, densidad, y es la descarga o gasto volumétrico.
es la velocidad, d es el diámetro,
es la
Problema 13. Una ecuación comúnmente utilizada para el cálculo de la velocidad de un flujo uniforme en canales abiertos es la ecuación de Manning:
donde v representa la velocidad del agua (m/s), n es el coeficiente de rugosidad de la superficie del canal (adimensional), R el radio hidráulico de la sección transversal del canal (m) y S la pendiente topográfica del canal (adimensional). Analizar la homogeneidad dimensional de la ecuación de Manning. ) , Q es un Problema 14. En la ecuación dimensionalmente homogénea √ ( volumen por unidad de tiempo (gasto), W y h son longitudes. Hallar las dimensiones de a y B.
Problema 15. La ecuación de estado de los gases reales, según Van der Waals, tiene el aspecto ) ( )( Sabiendo que p es la presión del gas, V es el volumen que éste ocupa, m es la masa, T es la temperatura absoluta, M es la masa molar y R es la constante universal de los gases, determinar las dimensiones y unidades de las magnitudes a y b.
b) Ecuaciones trascendentes. Una ecuación es de tipo trascendente cuando incluye funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas o sus combinaciones. Desde el punto de vista del análisis de las dimensiones, es necesario considerar que los argumentos de las funciones trascendentes deben ser adimensionales.
26
Problema 16. Hallar las dimensiones fundamentales de y, a, b, y c en la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea, (√ ) , en la que A es una longitud y t es el tiempo. ( )
(
Problema 17. En Reología, la ecuación
) ( ) describe la deformación de un
material viscoelástico, de acuerdo con el modelo de Voigt-Kelvin. En este modelo, ε es la deformación lineal (adimensional), E es el módulo de elasticidad del material (fuerza por unidad de área), t es el tiempo y σ0 es un esfuerzo. ¿Cuáles son las dimensiones y unidades fundamentales de η? E y σ0 tienen las mismas dimensiones. c) Ecuaciones diferenciales. Estas son las ecuaciones donde participan derivadas ordinarias o parciales. Al momento de llevar a cabo el análisis de las dimensiones en este tipo de ecuaciones, es importante recordar el significado físico de la derivada como una razón de cambio. Por ejemplo, si , entonces [ ]
[ ] [ ]
; si
, entonces [ ]
[ ] [ ]
, entonces [ ]
. En general, si
[ ] [ ]
Problema 18. En la ecuación diferencial [(
) ]
(
)
q es una masa por unidad de longitud, a es una masa y t es el tiempo. Hallar las dimensiones fundamentales de x, g y v.
Problema 19. Determinar las dimensiones de los coeficientes A y B en la siguiente ecuación diferencial:
donde x es la longitud y t es el tiempo. Problema 20. Un circuito eléctrico simple con inductancia, capacitancia y resistencia está descrito por la ecuación diferencial , donde t denota el tiempo (s), v -1 -1 denota el potencial eléctrico (N·m·s ·A ). Para que esta ecuación sea dimensionalmente homogénea, ¿cuáles deben ser las unidades de los coeficientes a y b? Problema 21. En la transferencia de calor se establece la siguiente ecuación diferencial de conducción del calor:
(
) donde T es la temperatura, t el tiempo, k la
conductividad térmica, c el calor específico, ρ la densidad, y x–y–z son coordenadas. Determine las dimensiones y unidades fundamentales de la conductividad térmica k. 27
d) Ecuaciones con integrales. Cuando se analizan las dimensiones de las ecuaciones que contienen integrales, es importante considerar que la integración es un proceso de suma.
Problema 22. El momento de inercia de una sección de área A, con respecto a un eje x, se define de la siguiente manera: ∫ donde y es una distancia. ¿Cuáles son las dimensiones del momento de inercia, Ix, de un área?
y A x
dA
y O
x
Problema 23. Durante el análisis del principio de conservación de la masa, aparece la siguiente igualdad: ∫ En esta expresión ρ es la densidad (volumétrica), t es el ∫( ⃗ ⃗⃗) tiempo, V es el volumen, ⃗ es el vector velocidad, ⃗⃗ es el vector unitario normal (adimensional) y S es el área. Comprobar la homogeneidad dimensional de esta ecuación.
Conversión de unidades y ecuaciones La conversión de unidades y ecuaciones es una necesidad práctica que se puede presentar dentro de un mismo sistema de unidades o al pasar de un sistema de unidades a otro. En ambos casos, el procedimiento se fundamenta en lo siguiente:
28
a) El empleo de los factores de conversión, como los siguientes:
Longitud 1 pulgada = 2.54 cm 1 pie = 0.304 8 m 1 yarda = 0.9144 m 1 milla = 1.609 km = 1 760 yd 1 angströn = 1 Ǻ = 10-10 m Fuerza 1 kgf = 9.81N 1 lbf = 0.4536 kgf Aceleración g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2 Volumen 1 L = 1 000 cm3 1 galón = 3.786 L Ángulo plano
Presión 1 bar = 105 Pa 1 atm = 760 mm de Hg = 1.013 bar = 1.033 kgf/cm2 = 14.7 lbf/pulg2 = 101 325 Pa = 10.332 m de H2O Energía 1 cal = 3.969 x 10-3 Btu = 4.1860 J 1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103 J 1 kilowatt-hora = 1 kW·h = (103 W )(3600 s) = 3.60 x 106 J = 3.60 MJ Potencia 1 hp = 550 ft·lb/s = 746 W 1 cv = 736 W 1 W = 1 J/s = 0.738 ft·lb/s = 3.413 Btu/h 1 Btu/h = 0.293 W
180 1 rad = = 57.296° Masa 1 000 kg = 1 t (tonelada métrica) 1 slug =14.59 kg 1 lbm = 0.453 6 kg Temperatura T(ºF) = 1.8(ºC)+32 T(ºC) = [T(ºF)-32]/1.8 T(K) = T(ºC)+273.15 T(R) = T(ºF)+459.67 T(R) = 1.8T(K) ΔT(K) = ΔT(ºC) ΔT(R) = ΔT(ºF)
Tiempo 1 h = 3600 s Área 1 ha = 104 m2 1 acre = 404 6.9 m2 Cantidad de sustancia 1 mol = 6.02 x 1023 unidades elementales
29
La propiedad de los números reales de que a x 1 = a = 1 x a, donde el 1 debe interpretarse de la siguiente manera: Como se sabe, por ejemplo, 1 pie = 0.3048 m. De aquí resulta:
o bien
Generalizando:
Problema 24. Convertir una velocidad de 100 km/h a m/s Problema 25. Una atmósfera de presión equivale a 14.7 lbf/pulg2. Convertir este valor a pascales. Problema 26. Durante el diseño de un invernadero, se tiene el valor numérico de la conductividad térmica de un material de construcción, k = 0.72
. Convertir este valor a
unidades correspondientes al sistema inglés, es decir, a Problema 27. La siguiente ecuación permite estimar la presión que ejerce el viento sobre una estructura: p = 0.00256v2, donde v es la velocidad del viento en millas/h y p es la presión correspondiente en lbf/pie2. Convertir esta ecuación de tal modo que p resulte en kPa cuando v se exprese en km/h. Problema 28. En ingeniería de conservación de suelos se utiliza la siguiente ecuación para estimar la energía cinética de una lluvia: E = 210 + 89 log I, donde E es la energía cinética de la lluvia en toneladas-metro/hectárea-centímetro, I es la intensidad de la lluvia en cm/h. Convertir esta ecuación de tal modo que E resulte en J/m2·mm cuando I se exprese en mm/h.
1.4 VECTORES Vectores y escalares. ¿Cuál es la diferencia entre escalares y vectores? La investigación de los fenómenos en las ciencias naturales e ingeniería implica el tratamiento de cantidades de diversa naturaleza matemática: escalares, vectores y tensores. La diferencia entre estas cantidades radica en sus expresiones analíticas y en las leyes de transformación de tales expresiones cuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro.
30
Una magnitud escalar (por ejemplo, la masa, el tiempo, la temperatura y la energía) queda definida solamente por su valor numérico (módulo), el cual expresa la relación entre esta magnitud respecto a la unidad de medida elegida. Los escalares son magnitudes físicas que se caracterizan de manera plena mediante un sólo número, acompañado de las unidades correspondientes. Una magnitud vectorial (por ejemplo, la fuerza, la velocidad, la aceleración, el momento de una fuerza, la cantidad de movimiento y el impulso de una fuerza), además de su valor numérico está definida también por su dirección y sentido en el espacio. Las magnitudes vectoriales se caracterizan mediante el uso de un conjunto de ordenado de números. Los vectores se representan con símbolos como: ⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗
Tratamiento geométrico de vectores. La base del tratamiento geométrico de las magnitudes vectoriales es la posibilidad de representar un vector mediante un segmento dirigido, así como en la ley del paralelogramo.
1) Representación de un vector mediante un segmento dirigido.
Q
Línea de acción (dirección)
Sentido →
F
Punto de aplicación F Magnitud o módulo
A P
31
2) Ley del paralelogramo. Dos vectores aplicados en un mismo punto tienen un vector resultante aplicado y en ese mismo punto, y representado por la diagonal del paralelogramo construido sobre estos vectores como lados.
El vector ⃗, equivalente a la diagonal del paralelogramo formado por los vectores ⃗ y ⃗⃗, se llama suma vectorial de los vectores ⃗ y ⃗⃗:
⃗
⃗
⃗⃗
Es muy importante observar que la ecuación anterior se refiere a una suma vectorial. Por ejemplo si el vector ⃗ tiene una magnitud de 100 y el vector ⃗⃗ de 200, el módulo del vector ⃗ no necesariamente es igual a 300. En los problemas aplicados, para relacionar los módulos o magnitudes, la ley del paralelogramo se complementa con relaciones trigonométricas basadas en la ley de los cosenos y en la ley de los senos, principalmente. a) Ley de los cosenos: b) Ley de senos:
N
γ
S
φ
θ M
B
A
¿Qué tipo de problemas se pueden resolver con ayuda de la ley del paralelogramo?
32
Problema 29. Sean ⃗ y ⃗ dos fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpo y ⃗⃗ la resultante de ⃗ ⃗ éstas, es decir, ⃗⃗ a) Por trigonometría, deduzca fórmulas para la magnitud R de ⃗⃗ y para el ángulo φ, en términos de F1 , F2 y θ. b) Verifique el resultado de R, para los casos particulares θ = 0°, 90° y 180°. F2
R
θ φ F1
Problema 30. La fuerza horizontal F= 500 N actúa sobre la estructura triarticulada. Determinar las magnitudes de las dos componentes de ⃗ dirigidas a lo largo de las barras AB y AC. F
A
30°
45°
C
B
Problema 31. En el mecanismo de biela y manivela, determinar la fuerza circunferencial en el punto B y la presión sobre el eje O de la manivela, provocadas por la acción de la fuerza P aplicada al pistón A, si los ángulos α y β son conocidos; el peso de la biela AB y de la manivela OB se desprecia. En otras palabras, primero descomponer la fuerza P en dos componentes, una en la dirección AB y otra en la dirección perpendicular a la línea OA; luego la componente en la dirección AB descomponerla en otras dos componentes, una perpendicular a la dirección OB (fuerza circunferencial) y la otra en la dirección OB. B
O
α
β
P A
33
Problema 32. Están dados los vectores ⃗ Hallar | ⃗ ⃗⃗|
⃗⃗ de tal modo que | ⃗|
| ⃗⃗|
|⃗
⃗⃗|
Problema 33. Al colocar, con ajuste apretado, la pequeña pieza cilíndrica en el orificio circular, el brazo del robot ejerce una fuerza P = 90 N, tal como se indica en la figura. Encontrar, mediante la ley del paralelogramo: a) Las componentes, paralela y perpendicular al brazo AB, de la fuerza que la pieza cilíndrica ejerce sobre el robot. b) Las componentes, paralela y perpendicular al brazo BC, de la fuerza que la pieza cilíndrica ejerce sobre el robot.
Problema 34. La fuerza de contacto entre el seguidor de leva y la leva circular lisa es normal a la superficie de la leva y está limitada en magnitud a F para θ = π / 2. Para esta posición escribir la expresión matemática para la componente F1 de la fuerza en la dirección de la línea correspondiente al eje del seguidor. Esta componente se requiere para el diseño del resorte K.
K
θ
O
r e
34
Problema 35. Las fuerzas ⃗⃗ y ⃗⃗ actúan a lo largo de las líneas OA y OB, respectivamente, y su resultante es una fuerza de magnitud P; si la fuerza ⃗⃗, a lo largo de OA, es remplazada por una fuerza 2 ⃗⃗ a lo largo de OA, la resultante de 2 ⃗⃗ y ⃗⃗ es otra vez una fuerza de magnitud P. Encontrar: a) La magnitud de ⃗⃗ en términos de la magnitud de ⃗⃗. b) El ángulo entre OA y OB. c) Los ángulos entre cada una de las resultantes y la línea OA. Tratamiento analítico de vectores. El tratamiento analítico de vectores se basa en: a) la descomposición de un vector en las direcciones de los ejes x, y, z de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares; b) la propia ley de paralelogramo. El antecedente del tratamiento analítico es la proyección de un vector sobre un eje. Se llama eje a una línea recta, sobre la cual se ha elegido un sentido de referencia positivo. La proyección Ax del vector ⃗ sobre el eje x es una magnitud escalar igual al producto del módulo del vector por el coseno del ángulo θ formado por el sentido del vector y el sentido del eje, es decir: D
B A
A
θ A 0
B1 a
Ax
b
D1
x'
θ
φ
x'
E
d
Ax
e
x
Es claro que Ax es una proyección ortogonal de ⃗ sobre el eje x. Problema 36. Desarrollar el procedimiento para la descripción analítica de vectores. En particular, establecer lo siguiente: 1) los ángulos directores de un vector; 2) los cosenos directores; 3) las componentes y las proyecciones de un vector según los ejes de coordenadas; 4) la magnitud de un vector en función de sus proyecciones cartesianas; 5) la definición de vector unitario y la forma de obtenerlo; 6) el papel y la estructura del vector unitario; 7) los vectores unitarios de la base, es decir, los vectores que indican la dirección y el sentido de los ejes de coordenadas; y 8) la relación entre vector físico y vector geométrico.
35
Procedimiento para la descripción analítica de un vector: 1. Un vector, por ejemplo ⃗, puede ser construido a partir del módulo de éste, A, y los ángulos directores , y formados por la línea de acción del vector y los ejes de coordenadas. Estos ángulos definen la dirección de ⃗.
z Az z
γ
→
A
k O
j
y
Ax
i
β
O
Ay
y
α
x
x 2. Con base a la ley del paralelogramo y en la trigonometría, las proyecciones Ax , Ay y Az , sobre los ejes de coordenadas, de ⃗ resultan ser: ………………………...………………(1) 3. Conociendo las proyecciones del vector ⃗ sobre los ejes de coordenadas, y aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene el módulo del vector ⃗: √
y como
resulta
√
……..….(2)
4. A partir de las ecuaciones (1) se determinan los llamados cosenos directores de ⃗.
……………………………………....(3)
36
5. Elevando las igualdades (3) al cuadrado por miembros y sumándolas, se obtiene el teorema: ……………………………….(4) 6. El empleo de vectores unitarios facilita la representación analítica de un vector. El vector, cuya dirección y sentido coincide con los del vector ⃗, y cuyo módulo es igual a 1, se llama vector unitario del vector ⃗. Este vector se designa, por ejemplo, por el símbolo ⃗⃗. Teorema: El vector ⃗⃗
⃗
⃗ es un vector unitario en la misma dirección y sentido de ⃗.
Resulta claro que el vector unitario es adimensional. Corolario: Todo vector puede representarse como el producto de su módulo por su vector unitario, es decir, en la forma: ⃗ ⃗⃗ …………………………………………(5) 7. En particular, los vectores unitarios de la base ̂ ejes de coordenadas x, y, z, respectivamente:
̂ indican la dirección y sentido de los ̂
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
̂ se llaman componentes ortogonales del ⃗ ⃗ Los vectores ⃗ ̂ ̂ vector ⃗ en las direcciones de los ejes x, y, z; mientras que los valores numéricos , se llaman proyecciones cartesianas de ⃗. Con base en todas estas consideraciones, la expresión (definición) analítica de un vector ⃗, es: ⃗
⃗
⃗
⃗ ̂
̂ ̂
(
) …………………..(6)
8. Vector físico y vector geométrico. Considérese el caso de una fuerza ⃗ (vector físico) no aplicada en el origen de coordenadas. Sean, además, ⃗ y ⃗ dos vectores geométricos que se extienden desde el origen de coordenadas a los puntos A= (xA , yA, zA) y B= (xB , yB , zB) que pertenecen a la línea de acción de ⃗ . Sea, también, el vector ⃗ definido por los puntos A y B, desde A hacia B. De acuerdo con la ley del triángulo: ⃗
⃗
⃗
Como los vectores ⃗ , vector físico, y ⃗, vector geométrico, tienen la misma dirección y sentido, comparten el mismo vector unitario ⃗⃗: ⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗ |⃗
37
⃗
…………………………….(7)
⃗ |
donde: ⃗ |⃗
⃗
⃗|
( √(
) )
)
(
(
y )
En estas condiciones:
⃗
⃗⃗
⃗
⃗ |⃗
38
⃗
…………………………………..(8)
⃗ |
⃗ , aplicadas al nudo de una Problema 37. En la figura se muestran cuatro fuerzas ⃗ ⃗ ⃗ armadura utilizada en una estructura y contenidas en el mismo plano. Se sabe que F1=40 kN, F2=60 kN, F3= 50 kN y F4= 30 kN. ⃗. a) Hallar la magnitud de la resultante ⃗⃗ de las cuatro fuerzas coplanares ⃗ ⃗ ⃗ También exprese esta fuerza resultante como un vector y determine sus ángulos directores. b) En el caso de que F3 y F4 no se conocieran. Determinar el módulo de estas fuerzas que han de aplicarse para que el cuerpo esté en equilibrio, es decir, para que se cumpla la condición ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗. y F3
F4
20° 20°
F2 40°
x F1
Problema 38. El componente de una grúa industrial que se mueve a lo largo de una viga horizontal se encuentra bajo la acción de dos fuerzas como se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección de la fuerza ⃗⃗ tal que la resultante sea una fuerza vertical de 2500 N. Resuelva por ambos métodos: geométrico y usando los vectores unitarios ̂ y ̂.
39
Problema 39. La magnitud de la fuerza de tensión en el cable AB es T = 2 kN. Determinar, para los ejes xyz: a) El vector unitario en la misma dirección y sentido de T; b) La expresión vectorial de T; c) Los cosenos directos de T; d) Los ángulos directores de T. e) Las proyecciones de T; f) Las componentes de T.
Operaciones con vectores. 1) Multiplicación de un vector por un escalar. Problema 40. Enunciar la definición y dar la expresión analítica de la operación de multiplicación de un vector por un escalar. Dar un ejemplo físico donde se aplique esta operación. Definición. Al multiplicar el vector ⃗ por una magnitud escalar r se obtiene un nuevo vector
⃗⃗
⃗, cuyo módulo es
| | y cuyo sentido coincide con el sentido del vector ⃗ cuando
r > 0, y es de sentido contrario al vector ⃗ si r < 0. En particular, al multiplicar el vector ⃗ por -1, se obtiene el vector ⃗⃗⃗.
40
Problema 41. Establezca, de forma analítica, las siguientes definiciones: a) igualdad de vectores y b) vector nulo o cero. 2) Adición de vectores Problema 42. ¿Cómo se realiza la adición de vectores por el método analítico, y en qué principio se basa la definición de esta operación? Definición. Si ⃗
) y ⃗⃗
( ⃗
⃗⃗
(
) son vectores, entonces
(
)
Si se conocen las proyecciones de los vectores ⃗ en la forma:
⃗ ⃗
⃗
̂
̂ ̂ …. ̂
̂ ̂
⃗
⃗ estos vectores pueden expresarse
̂ ̂
̂
Entonces, sumando miembro a miembro estas igualdades, se encuentra: ⃗
∑ ⃗
(∑ ⃗ ) ̂
(∑ ⃗ ) ̂
(∑ ⃗ ) ̂
Esto es: ⃗ ̂
̂
̂
donde ∑
∑
y, finalmente, √
41
∑
Problema 43. En el punto A del siguiente sistema concurren tres fuerzas: el peso P del cilindro de masa m, la tensión TAB en el cable AB y la tensión TAC en el cable AC. Dado que este sistema ⃗⃗. A partir de esta condición ⃗⃗ se encuentra en equilibrio, se cumple que ⃗⃗ ⃗⃗ determine las magnitudes de las fuerzas de tensión en ambos cables.
Problema 44. Una torre de transmisión OD se mantiene en equilibrio con la ayuda de tres cables. Si la fuerza resultante ejercida por estos cables sobre la torre en D es ⃗⃗ = -30ĵ kN, determine la magnitud de la fuerza de tensión en cada cable.
y D
84 m
42 m
B 28 m
48 m
O C
A
21 m
48 m
z
84 m
x
42
3) Producto escalar. Problema 45. Definir el producto escalar o producto punto de dos vectores, y establecer sus propiedades básicas. ¿Qué problema fundamental se resuelve con ayuda de esta operación? Definición. Se llama producto escalar de dos vectores ⃗ y ⃗⃗, denotado por ⃗ ⃗⃗, a una magnitud escalar igual al producto de los módulos de estos vectores por el coseno del ángulo θ formado por ellos:
A B
θ
co
A
sθ
A
θ
O
O
B ∙ A = B(A cos θ)
A ∙ B = A(B cos θ)
A ∙ B = AB cos θ
B
B
(a)
(b)
θ
O A co
sθ
B (c)
Problema 46. Demostrar el siguiente teorema: Si los vectores ⃗ y ⃗⃗ están dados mediante sus proyecciones según los ejes de coordenadas, es decir, si ⃗= (Ax, Ay, Az) y ⃗⃗=( Bx , By , Bz ), su producto escalar se determina por la ecuación ⃗ ⃗⃗ = AxBx + AyBy + AzBz . z (B x, B y, B z) C
B θ
A
(A x, A y, A z) y
O x
Problema 47. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗; producto escalar: a) ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ; b) ( ⃗) ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗ ) ; c) ⃗( ⃗⃗ ⃗) d) ⃗ ⃗
43
Problema 48. La principal aplicación del producto escalar es el cálculo de la proyección ortogonal de un vector ⃗ sobre la dirección y sentido de otro vector ⃗⃗, la cual es un escalar definido por la ecuación
⃗⃗
⃗ ⃗⃗
⃗
⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗|
. Deducir esta fórmula y dar su
interpretación geométrica y física. ¿Cómo se expresa la proyección como una cantidad vectorial?
Problema 49. Para a = 3 m, b = 6 m, c = 2 m, F = 10 kN, determine la proyección y la componente de ⃗ a lo largo de DC. También determine el ángulo entre las direcciones AB y CD.
z D F
A x
B c
C b
a
y
Problema 50. Determinar la proyección sobre la línea BC de la fuerza ejercida sobre la placa rectangular ABCD por el cable AE. El punto E es un punto medio.
Problema 51. Mediante el producto escalar, derivar una fórmula para el ángulo entre dos líneas con cosenos directores dados. Problema 52. Describir el procedimiento para determinar, mediante el producto escalar, la proyección de un vector sobre una línea u otro vector con cosenos directores dados.
44
Problema 53. Tres puntos tienen coordenadas x-y-z, expresadas en metros, como sigue: A (4, 4, 5), B (-2,-4,3) y C (3,-6,-2). Una fuerza F = 100 kN está aplicada en A y dirigida hacia B. Determinar la expresión vectorial de la componente normal a la dirección AC, ⃗ , de la fuerza F. Problema 54. Demostrar el siguiente teorema: Dos vectores ⃗ y ⃗⃗ son ortogonales (perpendiculares) si y sólo si ⃗ ⃗⃗ 4) Producto vectorial Problema 55. Definir el producto vectorial o producto cruz de dos vectores. ¿Cuál es la magnitud, dirección y sentido del resultado de este producto? Señale las propiedades básicas de esta operación. ¿Qué problema fundamental se resuelve con la ayuda de esta operación? La operación producto vectorial de dos vectores ⃗ y ⃗⃗, denotada ⃗ ⃗⃗, tuvo su origen en el siguiente problema fundamental: Dados dos vectores ⃗ y ⃗⃗, determinar un tercer vector ⃗ que éste dirigido perpendicularmente al plano determinado por dichos vectores, es decir, que sea perpendicular al vector ⃗ y al vector ⃗⃗, simultáneamente. AxB B
A BxA
Definición. El producto vectorial de dos vectores ⃗ =(Ax , Ay , Az) y ⃗⃗=(Bx , By , Bz), es el vector definido por: ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗⃗ ( ) | |
Problema 56. Si ⃗
̂
̂
̂[ ] y ⃗ ̂
̂
̂ [ ] calcular ⃗
⃗y ⃗
⃗.
Problema 57. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ; b) ( ⃗) ⃗⃗ producto vectorial: a) ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗ ) ; c) ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ; d) ⃗ ⃗ ⃗⃗
45
Problema 58. Demostrar el siguiente teorema: | ⃗ ⃗⃗ | y ⃗⃗. Dar una interpretación geométrica a este resultado.
, donde θ es el ángulo entre ⃗
Problema 59. Demuestre el siguiente teorema: dos vectores ⃗ y ⃗⃗, tridimensionales, son ⃗⃗ paralelos si y sólo si ⃗ ⃗⃗ Problema 60. Un cuerpo tiene la forma de tetraedro y dimensiones mostradas, determinar un vector unitario normal a la cara ABC y con sentido hacia el exterior de dicha cara. También encontrar el área de la cara ABC, y exprese esta área en forma vectorial.
Z C (0,0,6)
B (0,3,0)
Y
A (4,0,0)
X
Problema 61. La operación ⃗ ( ⃗⃗ que:
⃗⃗ ) se llama triple producto escalar de ⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗
⃗⃗ )
|
⃗⃗ Demostrar
|
1.5 LEYES DE LA MECÁNICA CLÁSICA El estudio de las leyes de Newton, que son las leyes fundamentales de la Mecánica Clásica, implica analizar y comprender lo siguiente:
El problema que abordan o el problema a que se refieren. Su enunciado formal, y expresión matemática, si la hay. Sus consecuencias. Sus limitaciones. Sus aplicaciones. 46
Primera ley de Newton (ley de la inercia): “un punto material libre de toda influencia exterior conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme hasta que las fuerzas aplicadas a él lo obliguen a cambiar de estado”. Observaciones: a) En la primera ley de Newton, inicialmente, se afirma que el reposo y el movimiento uniforme y rectilíneo de un cuerpo son un mismo estado mecánico del cuerpo. b) La primera ley de Newton establece la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula: “un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme” c) El movimiento que realiza un cuerpo en ausencia de fuerzas se llama movimiento por inercia. d) La primera ley de Newton refleja una de las propiedades esenciales de la materia, su inercia: la de encontrarse siempre en movimiento. e) A veces se dice que un cuerpo dotado de movimiento uniforme y rectilíneo se mueve por inercia. Esto no debe entenderse como que el cuerpo se mueve a causa de la inercia; pues para que el cuerpo conserve su estado de movimiento rectilíneo y uniforme no se requiere causa alguna. El movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo (movimiento por inercia) y el reposo, son los estados de todo cuerpo que esté libre de influencias externas o se encuentre sometido a la acción de fuerzas externas tales que la suma de las mismas sea igual a cero. f) La primera ley de Newton se puede enunciar también así: el movimiento por inercia es una propiedad de todos los cuerpos materiales. La inercia de un cuerpo no es la causa de su movimiento, sino una de sus propiedades. La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cambiar más rápido o más lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas. La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado es una magnitud física que se llama masa del cuerpo. En el caso general, el movimiento de un cuerpo no solamente depende de su masa total y de las fuerzas que actúan sobre él; el carácter del movimiento puede depender, además, de las dimensiones geométricas del cuerpo y de la disposición mutua de las partículas que lo forman, es decir, de la distribución de su masa. g) El sistema de referencia respecto del cual la primera ley de Newton es válida se llama sistema inercial o newtoniano. Con mayor precisión la primera ley de Newton se formula así: 47
Existen tales sistemas de referencia, con relación a los cuales todos los cuerpos que no estén en interacción con otros cuerpos se encuentran en movimiento rectilíneo y uniforme. Problema 62. Caída de una esfera en un medio viscoso: ley de Stokes. Examinemos la caída de un cuerpo en un medio que opone resistencia, es decir, un líquido o un gas. Sobre tal cuerpo que cae en un líquido o en un gas están aplicadas tres fuerzas: la fuerza de gravedad ⃗⃗, la fuerza de empuje de Arquímedes, ⃗⃗ , y la fuerza de resistencia, ⃗⃗ . Es natural que, con el tiempo, a medida que crece la velocidad, la aceleración disminuye y llega un momento en que ésta se hace igual a cero. A partir de este momento, el cuerpo se moverá uniformemente. Así, pues, la caída de un cuerpo por un líquido o gas, sólo en la etapa inicial es acelerada; desde cierto momento el cuerpo cae a una velocidad constante, que se denomina estacionaria. Con base en la primera ley de Newton, determinar tal velocidad estacionaria, . Suponer que el cuerpo tiene forma esférica.
Problema 63. Un cuerpo, en forma de bloque, de masa m se encuentra sobre un plano inclinado liso que forma con el horizonte un ángulo . Determinar: a) La magnitud de la fuerza ⃗⃗ paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para mantenerlo en reposo. b) La magnitud de la fuerza ⃗⃗ paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para que éste se mueva uniformemente hacia arriba con una rapidez de 2 m/s. c) ¿Por qué el plano inclinado representa en sí una máquina simple? Segunda ley de Newton (ley fundamental de la Dinámica): “la aceleración de un punto material es directamente proporcional a la resultante de todas las fuerzas aplicadas a dicho punto e inversamente proporcional a la masa del punto y dirigida a lo largo de la resultante de las fuerzas”. Analíticamente este enunciado se puede expresar con la siguiente fórmula: ⃗
⃗
…………………………………………………(1)
Observaciones: a) En realidad, la fuerza no es consecuencia de la aceleración, sino, al contrario, la aceleración es un resultado de la fuerza: ⃗ ( ⃗) b) El factor de proporcionalidad, k, depende de las unidades en que se miden las magnitudes [ ] [ ⃗] ⃗, ⃗ y m. Por ejemplo, si [ ⃗ ] , entonces y [ ] [ ] adimensional.
48
En estas condiciones, la ecuación (1) se puede escribir: ⃗
⃗
………………………………………………………(2)
c) Por comodidad, al resolver los problemas, la segunda ley de Newton (2) se escribe: ⃗ ……….…………………………………………… (3)
⃗
“La fuerza es igual al producto de la masa del punto por su aceleración”
d) Como se indica en el enunciado general de la segunda ley de Newton, el punto puede estar sometido a la acción de varias fuerzas, es decir: ⃗
⃗
⃗
⃗
∑⃗
⃗⃗
Por lo que la ecuación (3) tendrá la forma siguiente: ⃗⃗
⃗
⃗
ó
∑ ⃗ …………………………………(4)
e) La segunda ley de Newton establece la relación entre la fuerza y la aceleración; pero la fuerza y la aceleración son magnitudes físicas vectoriales que se caracterizan no solamente por su valor numérico, sino también por su dirección y sentido. Por ello matemáticamente la segunda ley de Newton expresa una igualdad vectorial. Esto conlleva dos detalles: i.
Los vectores ⃗⃗ y ⃗ están dirigidos por una misma recta y con el mismo sentido. Esto es una consecuencia de la definición de igualdad entre vectores. →
R Trayectoria →
a
v→
M 49
ii.
Dependiendo del problema a resolver, la ecuación vectorial (4) se puede proyectar sobre algún sistema de ejes de coordenadas, para dar un sistema de ecuaciones escalares. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas:
⃗⃗
⃗
⇒
{
∑⃗
⃗
ó
⇒
∑ ∑ ∑
{
f) La segunda ley de Newton establece cómo varía la velocidad del punto bajo la acción de una fuerza cualquiera. En efecto, se llama aceleración del punto a la magnitud física vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo del módulo y la dirección de la velocidad del punto. Esto es: ⃗
⃗
⃗̇
A su vez, el vector velocidad del punto en un instante de tiempo dado es igual a la primera derivada del radio-vector o vector de posición del punto con relación al tiempo: ⃗
⃗
⃗̇,
de donde ⃗
⃗
⃗̈
Con estas consideraciones, la expresión matemática de la segunda ley de Newton representa una ecuación diferencial vectorial: ⃗⃗ ⃗ ∑⃗ ó ∑ ⃗, la cual, en dependencia de los problemas a resolver, puede dar origen a un sistema de ecuaciones diferenciales escalares. Por ejemplo, en coordenadas cartesianas:
̇ ⃗⃗
⃗
∑⃗
⇒ ̇
̈ ̇
{
50
∑ ̈
̈
∑ ∑
g) Se debe subrayar que la dirección y sentido de la aceleración siempre coincide con la dirección y sentido de la fuerza, la cual no necesariamente es la dirección y sentido del movimiento mismo del punto (la dirección y sentido de la velocidad). h) En el enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a un cuerpo considerado una partícula o un punto material. Para sistema de partículas y cuerpos rígidos la formulación de la segunda ley de newton requiere ciertas consideraciones. i) Forma general de la segunda ley de Newton: “la derivada de la cantidad de movimiento del punto con relación al tiempo es igual a la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre éste”. ( ⃗⃗)
donde ⃗
∑⃗
ó
⃗
∑ ⃗,
⃗ se llama cantidad de movimiento del punto.
Así, en forma general, la segunda ley de Newton se formula así: ∑⃗
(
⃗)
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
Cuando varía la masa del cuerpo durante el movimiento es necesario emplear la segunda ley en su forma general (con la cantidad de movimiento) que refleja correctamente los preceptos de la Dinámica para todos los casos de movimiento de un punto material. j)
La segunda ley de Newton, como la primera, se refiere solamente a un sistema inercial de referencia ¿Cómo se formula la segunda ley de Newton para sistemas no inerciales de referencia?
k) De la segunda ley de Newton se ve que la medida de la inercia de un punto material es su masa, porque bajo la acción de una misma fuerza dos puntos materiales diferentes reciben una misma aceleración solamente cuando sus masas son iguales; si las masas son diferentes, el punto de mayor masa (es decir, de mayor inercia) recibe menor aceleración y viceversa. l) Problemas de la Dinámica para el punto material. Con ayuda de la ecuación de la segunda ley de Newton se pueden resolver los dos problemas siguientes: i.
Conociendo la ley de movimiento del punto, determinar la fuerza que actúa sobre éste (primer problema de la Dinámica).
ii.
Conociendo las fuerzas que actúan sobre el punto, determinar la ley del movimiento del punto (segundo problema de la Dinámica o problema fundamental).
51
m) Finalmente, de la segunda ley de Newton se deducen unos corolarios llamados teoremas generales de la Dinámica del punto. Éstos son: i.
El teorema de la variación de la cantidad de movimiento del punto.
ii.
El teorema de la variación de la energía cinética del punto.
iii.
El teorema de la variación del momento de la cantidad de movimiento del punto.
Problema 64. Movimiento de un punto lanzado bajo un ángulo con el horizonte. Estudiar el
movimiento de un cuerpo lanzado con una velocidad inicial v 0 bajo un ángulo θ con el horizonte. Tercera ley de Newton (ley de la igualdad de la acción y de la reacción): “dos puntos materiales actúan uno sobre el otro con fuerzas iguales en módulo y dirigidas a lo largo de la recta que une estos puntos, en sentidos opuestos”. Observaciones: a) La tercera ley de Newton establece el carácter de la interacción mecánica entre los cuerpos materiales. b) Si la fuerza que actúa sobre cierto cuerpo A es aplicada por parte de un segundo cuerpo B, designaremos esta fuerza por ⃗ . La tercera ley de Newton afirma: si un cuerpo B actúa sobre un cuerpo A con una fuerza ⃗ , entonces el cuerpo A actúa a su vez sobre el cuerpo B con una fuerza ⃗ , de valor igual y signo contrario a la fuerza ⃗ ; ambas fuerzas están dirigidas a lo largo de una misma recta. La tercera ley de Newton refleja el hecho de que una fuerza es el resultado de la interacción de dos cuerpos diferentes. c) En las dos primeras leyes de Newton para el análisis de un fenómeno y al determinar el movimiento de un cuerpo se examina únicamente un aspecto de esta interacción. En realidad siempre existe interacción y no existe ninguna fuerza sin fuerza de reacción. Por supuesto, los términos acción y reacción son puramente convencionales, cada uno de ellos puede considerarse indistintamente, lo uno o lo otro. d) Formalmente siempre se cumple la siguiente igualdad, independientemente de que los cuerpos A y B estén en reposo o en movimiento: ⃗
⃗
⃗⃗
e) La tercera ley de Newton no dice nada acerca del valor de las fuerzas, y sólo afirma que son iguales en módulo. Es muy importante subrayar que en la tercera ley de Newton se habla de fuerzas aplicadas a diferentes cuerpos. Por ello, físicamente, ⃗ y ⃗ no se anulan. 52
Problema 65. Dos bloques están en contacto sobre una superficie horizontal sin fricción. Una fuerza horizontal se aplica al bloque mayor como se muestra. (a) Si m1= 2.3 kg, m2=1.2 kg, y F= 3.2 N, encuentre la magnitud de la fuerza entre los dos bloques. (b) Mostrar que si una fuerza de la misma magnitud F se aplica al bloque más pequeño, pero en sentido opuesto, la magnitud de la fuerza entre los bloques, es 2.1 N, la cual no es el mismo valor calculado en (a).
1.6 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA Conceptos fundamentales o básicos: La estructura de cualquier disciplina científica incluye conceptos y leyes. Los conceptos son una parte esencial para el desarrollo y la exposición de cualquier ciencia. Representan las ideas y el leguaje comúnmente utilizado para expresarla. 1. El espacio y el tiempo son conceptos primitivos de la Mecánica, en el sentido de que no se les puede dar una definición rigurosa que indique de qué modo dichos conceptos están ligados con las nociones más generales. En diversos fenómenos físicos se encuentran diferentes magnitudes físicas. Pero en casi todos los fenómenos se encuentran, además de otras, dos magnitudes: longitud y tiempo. Por lo tanto, la longitud y el tiempo se pueden considerar como magnitudes físicas especiales. La longitud es la medida de la extensión de los cuerpos y el tiempo, la medida de la duración de los procesos y fenómenos. La definición de estas magnitudes está vinculada estrechamente en sentido filosófico con los conceptos del espacio y el tiempo. El espacio y el tiempo son las formas de existencia de la materia. Fuera del tiempo y del espacio no hay materia, no hay fenómenos. 2. El cuerpo de cuyas dimensiones se puede prescindir en las condiciones de un problema dado se llama partícula o punto material. 3. Se llama cuerpo rígido a aquel cuerpo en el cual la distancia entre dos de sus puntos cualesquiera permanece invariable, es decir, se supone que no se deforma. Ahora bien, el estado de equilibrio o de movimiento de un cuerpo depende del carácter de sus interacciones mecánicas con otros cuerpos, es decir, de aquellas presiones, atracciones o repulsiones que experimenta dicho cuerpo como resultado de estas interacciones. 4. La magnitud física que es la medida cuantitativa de la interacción mecánica entre los cuerpos materiales se llama, en Mecánica, fuerza.
53
5. A un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo cualquiera se denomina sistema de fuerzas. 6. A todo cuerpo, no enlazado con otros cuerpos, que a partir de la posición dada se le puede imprimir o comunicar cualquier desplazamiento en el espacio, se llama cuerpo libre. 7. Si un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre puede ser sustituido por otro, sin que por esto cambie el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, entonces estos dos sistemas son equivalentes. 8. Todo sistema de fuerzas, bajo cuya acción un cuerpo libre puede encontrarse en reposo, se llama sistema equilibrado o equivalente a cero. 9. Si un sistema de fuerzas es equivalente a una sola fuerza, ésta se llama fuerza resultante del sistema de fuerzas en cuestión. De este modo, la resultante es una fuerza que por sí sola reemplaza la acción que el sistema de fuerzas ejerce sobre el cuerpo rígido. 10. Toda fuerza igual a la resultante en módulo, de sentido opuesto a la de la resultante y que actúa a lo largo de la misma línea de acción se llama fuerza equilibrante. 11. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden dividirse en dos categorías: externas e internas. Las fuerzas que actúan sobre las partículas de un cuerpo por parte de otros cuerpos materiales se llaman externas. Las fuerzas con las cuales las partículas de un mismo cuerpo actúan entre sí se llaman internas. 12. La fuerza aplicada a un cuerpo en cualquier punto se llama fuerza concentrada. Las fuerzas que actúan sobre todos los puntos del volumen o de cierta parte de la superficie del cuerpo se llaman fuerzas distribuidas. 13. Un cuerpo cuyos desplazamientos en el espacio se ven restringidos, sea por encontrarse enlazado con otros cuerpos, sea por encontrarse en contacto con ellos, se llama no libre. 14. Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama apoyo o ligadura. 15. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de la ligadura o, simplemente, reacción de apoyo. 16. A las fuerzas que no sean reacciones de ligadura (tales como la fuerza de gravedad) se llaman fuerzas activas. 17. La reacción está dirigida en sentido opuesto a la dirección en que la conexión o apoyo impide el desplazamiento del cuerpo.
54
1.7 AXIOMAS DE LA ESTÁTICA Todos los teoremas y las ecuaciones de la Estática se deducen de algunas afirmaciones iniciales, que se aceptan sin demostraciones matemáticas, llamadas axiomas o principios de la Estática. El primer axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio. Axioma 1. Un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme. Este axioma es parte del contenido de la primera ley de Newton.
El segundo axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio más simple, ya que la experiencia muestra que un cuerpo libre sobre el cual actúa una sola fuerza no puede estar en equilibrio.
Axioma 2. Si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en equilibrio solamente cuando los módulos de estas fuerzas son iguales (F1=F2) y ellas están
dirigidas en sentidos opuestos ( F1 F2 ) a lo largo de una misma recta. El tercer axioma sirve de base para transformar las fuerzas.
Axioma 3. La acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido no se modificará si se le agrega o se le quita un sistema de fuerzas en equilibrio.
Corolario de los axiomas 2 y 3 (Principio de transmisibilidad). La acción de una fuerza sobre un cuerpo rígido, en lo que a efectos externos se refiere, no se modificará si el punto de aplicación de la fuerza se traslada a lo largo de su línea de acción a cualquier otro punto del cuerpo. El cuarto axioma define la regla de composición (suma) de dos fuerzas.
55
Axioma 4 (Principio o ley del paralelogramo). Dos fuerzas aplicadas a un cuerpo en un punto tienen una resultante aplicada en el mismo punto y representada por la diagonal del paralelogramo construido sobre estas fuerzas como lados.
F2
R
A
→
F1 ⃗⃗
⃗
⃗
Problema 66. Las componentes rectangulares de la fuerza F están dadas por Fx= -40 N y
Fy= 60 N. Determinar las componentes no rectangulares de F en las direcciones y y h.
x 30°
h
y
F
El quinto axioma establece que en la naturaleza no puede existir la acción unilateral de una fuerza.
Axioma 5 (Tercera ley de Newton). Toda acción de un cuerpo material sobre otro trae consigo, por parte de este último, una reacción de la misma magnitud, pero en sentido opuesto.
Axioma 6 (Principio de rigidez). El equilibrio de un cuerpo deformable que se encuentra bajo la acción de un sistema de fuerzas, se conserva si este cuerpo se considera solidificado (rígido). El axioma seis puede ser expresado de otra forma: en condiciones de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre todo cuerpo deformable satisfacen las mismas condiciones que en el caso de un cuerpo rígido
56
El axioma siete conduce al concepto de diagrama de cuerpo libre (DCL). Axioma 7. (Axioma de las ligaduras). El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia en la Estática con fundamento en el axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede considerarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos apoyos.
1.8 FUERZAS Y SISTEMAS DE FUERZAS Las magnitudes físicas que se estudian en Mecánica pueden ser divididas en tres categorías: escalares, vectores y tensores. La fuerza es una magnitud vectorial. Su acción sobre un cuerpo se determina por: 1) el valor numérico o módulo de la fuerza, 2) la dirección de la fuerza, 3) el sentido de la fuerza, y 4) el punto de aplicación de la fuerza.
Problema 67. En función de la disposición mutua de las líneas de acción de las fuerzas que los forman, ¿cómo se clasifican los sistemas de fuerzas?
COLINEALES
Concurrentes COPLANARES
SISTEMAS DE FUERZAS
Paralelas Generales
TRIDIMENSIONALES O ESPACIALES
Concurrentes Paralelas Generales
Problema 68. Dar un ejemplo de sistemas de fuerzas: a) coplanar concurrente; b) coplanar paralelas; c) coplanar general; d) tridimensional paralelas.
57
1.9 COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS La solución de problemas de Mecánica, y en particular de Estática, está relacionada con las operaciones vectoriales de composición (adición) y descomposición de fuerzas. El proceso de combinar (sumar) dos o más fuerzas para obtener una sola fuerza se llama composición de fuerzas. La descomposición de una fuerza en dos o más componentes significa hallar un sistema de fuerzas, cuya resultante sea igual a la fuerza dada. Ambas operaciones pueden realizarse, bien por medio de construcciones geométricas (método geométrico), bien con ayuda de cálculos numéricos (método analítico). La base de ambos métodos es la ley del paralelogramo. Método geométrico de composición y descomposición de fuerzas. →
→
→
La suma geométrica R de dos fuerzas F1 y F2 , se determina según la ley del paralelogramo o construyendo el triángulo de fuerzas (ley del triángulo). La operación inversa, la descomposición de una fuerza, se basa en los mismos principios.
Problema 69. La tensión en el cabe AC es 8 kN. Determinar la tensión T requerida en el cable AB para que el efecto neto de las tensiones de ambos cables sea igual a una fuerza aplicada en el punto A con sentido vertical hacia abajo. Determinar, además, la magnitud de R de esta fuerza.
58
Problema 70. El cable que va de A a B está sometido a una tensión de 30 kN. Descomponer esta tensión que se ejerce en el enganche A en componentes Tn y Tt , respectivamente normal al puntal y dirigida según él.
A
10 m
D
30°
10 m
C
10 m
B
Problema 71. Una placa de acero está sujeta a las dos fuerzas mostradas. Reemplace estas fuerzas por dos fuerzas equivalentes, Fx en la dirección x y Fa en la dirección a. Determinar las magnitudes de Fx y Fa. Resolver por dos métodos: a) Método geométrico, y b) Método analítico.
Generalizando, la suma vectorial de todo sistema de fuerzas se determina, ya sea mediante la composición sucesiva de las fuerzas del sistema, según la ley del paralelogramo, o formando el polígono de fuerzas (polígono vectorial). Una magnitud, ⃗⃗ , igual a la suma vectorial de las fuerzas de un sistema, se llama vector principal de este sistema de fuerzas. ⃗⃗
⃗
⃗
⃗
59
∑⃗
Problema 72. Determinar la magnitud R de la resultante de las cuatro fuerzas aplicada al punto O. Calcular, también, el ángulo que define la dirección de R a partir del eje x. Resolver este ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ; problema por el método geométrico de tres maneras diferentes: a) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ c) ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
y F2=400 N
F3=400 N
Q:(x,y) 300 N
400 N
90°
F1=800 N
45° O
R
90°
O
F4=300 N
y
y
800 N
Q:(x,y) 300 N
R
300 N
x
800 N
Q:(x,y)
O
400 N
θ
400 N
θ
R
400 N
x
O
800 N 400 N
60
θ
400 N
x
Método analítico de composición y descomposición de fuerzas. La definición (representación o expresión) analítica de una fuerza se basa en: a) la elección de un sistema de coordenadas; b) la ley del paralelogramo; y c) la proyección de una fuerza sobre un eje. En algunos casos, para determinar la proyección de una fuerza sobre un eje, primero se determina la proyección sobre el plano en que se encuentra este eje y, luego, proyectar sobre el eje dado la proyección hallada sobre el plano.
z Az →
A
Ax
Ay
φ
O θ
Axy
x
61
y
1.10 MOMENTO DE UNA FUERZA La experiencia indica que un cuerpo sometido a la acción de una fuerza, además de la tendencia a trasladarse, puede girar alrededor de un centro o punto. El efecto de rotación de una fuerza se caracteriza por su momento. El momento de una fuerza puede referirse con respecto a un punto o centro y con respecto a un eje. Momento de una fuerza con respecto a un punto o centro. Sea una fuerza ⃗ aplicada a un punto A de un cuerpo rígido. Supongamos que esta fuerza trata de hacer girar al cuerpo alrededor del centro O. La perpendicular d, trazada del centro O a la línea de acción de la fuerza ⃗ , se llama brazo de la fuerza ⃗ respecto del centro O. Entonces, como una medida cuantitativa del efecto de rotación, el momento de la fuerza se define del modo siguiente: se llama momento de la fuerza ⃗ respecto del centro O, a la magnitud que es igual al producto, tomado con el signo correspondiente, del módulo de la fuerza por la longitud del brazo. El momento de la fuerza ⃗ respecto del centro O será designado por el símbolo ( ⃗ ). Por consiguiente: ( ⃗)
F A d 90°
O
90°
A
d F
O M 0 (F)=-Fd
M 0 (F)=+Fd
62
Momento de una fuerza respecto de un punto como vector El momento de la fuerza ⃗ respecto del centro O, como característica del efecto de rotación de esta fuerza, se define por tres elementos: 1) el módulo del momento, que es igual al módulo de la fuerza por su brazo, Fd ; 2) el plano de rotación OAB, que pasa por la línea de acción de la fuerza ⃗ y por el centro O ; 3) el sentido de rotación en este plano. z
B
→
→
Mo
F
A
→
r O
y
d
x
Teorema. El momento de la fuerza ⃗ respecto del centro O equivale al producto vectorial del radio-vector ⃗ ̅̅̅̅, que une el centro O con cualquier punto A perteneciente a la línea de acción de la fuerza, por la propia fuerza. ⃗⃗⃗ ( ⃗ )
⃗
̂
⃗
̂
|
̂ |
Momento de una fuerza con respecto a un eje El momento de una fuerza respecto de un eje caracteriza el efecto de rotación, producido por esta fuerza, que trata de hacer girar el cuerpo alrededor del eje dado.
λ
M0
n
F
Mλ r A
O
63
Consideremos un eje λ , cuya dirección y sentido están definidos por el vector unitario ⃗⃗ , el momento de la fuerza ⃗ aplicada en el punto A, con respecto al eje λ es el siguiente vector: ⃗⃗⃗
[( ⃗
⃗ ) ⃗⃗] ⃗⃗
|
|(
)
Problema 73. Demostrar el siguiente teorema: 1) si la fuerza es paralela al eje, su momento respecto a éste equivale a cero; 2) si la línea de acción de la fuerza corta el eje, su momento respecto de éste equivale también a cero. Uniendo ambos casos se concluye que el momento de una fuerza respecto de un eje equivale a cero si la fuerza y el eje se encuentran en un mismo plano. 3) Si la fuerza es perpendicular al eje, su momento respecto de este eje equivale al producto módulo de la fuerza por la distancia entre la fuerza y el eje.
¿Qué relación existe entre el momento de una fuerza respecto de un punto y de un eje? Problema 74. Demostrar el siguiente teorema: el momento de la fuerza ⃗ respecto de un eje es igual a la proyección sobre este eje, del vector que representa el momento de la fuerza respecto de un punto cualquiera dispuesto sobre dicho eje.
1.11 TEOREMA DE VARIGNON O PRINCIPIO DE LOS MOMENTOS Si un sistema de fuerzas posee una resultante, el momento de esta resultante respecto a cualquier punto o eje es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto del mismo punto o eje.
F1 O
F2
r
A
F3
Así, para un punto O: ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗ )
∑ ⃗⃗⃗ ( ⃗ )
64
Problema 75. Calcular el momento de la fuerza de 90 N con respecto al punto O para la condición . Determinar, también, el valor de para el cual el momento con respecto al punto O es: a) cero; b) máximo.
Problema 76. La tensión T en el cable AB tiene una magnitud de 24 kN. Calcular el momento de esta fuerza con respecto a cada uno de los ejes de coordenadas que pasan por la base O de la estructura de la grúa.
65
Problema 77. Hallar los momentos de las fuerzas P y Q, aplicadas a la placa horizontal representada, respecto de los ejes de coordenadas. z
b
O a
Q
B y
α
C
A
x P
Problema 78. La fuerza de 120 N es aplicada como se muestra en la figura a uno de los extremos de la llave curveada, calcular: a) El momento de F respecto del centro O del tornillo, si α = 30°. b) El valor de α que maximiza el momento de F respecto de O.
66
Problema 79. En el mecanismo de biela y manivela representado, la biela AB de longitud l soporta una fuerza de compresión variable C. Deducir una expresión del momento de C respecto al eje de la manivela O en función de C, r, l y el ángulo variable θ.
B l
r O
θ
C A
Problema 80. Para la posición angular de la manivela OA, del mecanismo de biela y manivela mostrado, la presión de los gases sobre el pistón induce una fuerza de compresión P a lo largo de la biela AB. Si esta fuerza produce un momento de 720 N∙m con respecto al punto O, calcular la magnitud de P.
67
Problema 81. Al introducir una pieza cilíndrica en el orificio cilíndrico, el robot ejerce sobre la pieza D la fuerza de 90 N que se indica. Determinar los momentos respecto a los puntos A, B y C de la fuerza ejercida sobre el robot.
Problema 82. Si la magnitud de la tensión T1 es igual a 1200 N, y está aplicada en el punto C, es decir, con sentido de C hacia E, determinar el momento de esta fuerza respecto al eje AD. Indicar este momento en forma escalar, y luego expresarlo como un vector.
68
1.12 PAR DE FUERZAS Se llama par de fuerzas, o simplemente par, a un sistema de dos fuerzas paralelas, no colineales, de módulos iguales y de sentidos opuestos, aplicadas a un cuerpo rígido. →
-F
d
B A
→
F
El plano que pasa a través de las líneas de acción de las fuerzas de un par, se llama plano de acción del par. La distancia d entre las líneas de acción de las fuerzas del par, se denomina brazo del par. La acción de un par de fuerzas sobre un cuerpo rígido se reduce a un efecto de rotación, que depende de los factores siguientes: 1) El módulo F de las fuerzas del par. 2) La magnitud del brazo del par. 3) La orientación del plano de acción del par. 4) El sentido de giro en este plano.
Definición. Se llama momento de un par a la magnitud igual al producto, tomado con el signo correspondiente, del módulo de una de las fuerzas del par por su brazo.
Teorema. La suma vectorial de los momentos de las fuerzas que constituyen un par, respecto de cualquier centro o punto, no depende de la posición del centro y es igual al momento del par. ⃗⃗⃗
⃗ 69
⃗
Problema 83. Las dos fuerzas que actúan sobre las llaves constituyen un par. Calcular el momento de este par. Expresar el resultado en forma escalar y como un vector.
70
Problema 84. Un marco está sujeto a la acción de dos fuerzas de 250 N como se muestra en la figura. Si se desea reemplazar esas fuerzas por un sistema que contiene la fuerza de 200 N aplicada en A y una segunda fuerza aplicada en B. Determinar la coordenada y de B.
1.13 TEOREMA SOBRE EL TRASLADO PARALELO DE UNA FUERZA: REDUCCIÓN FUERZA - PAR La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes se halla directamente con ayuda del axioma del paralelogramo de fuerzas. Para un sistema de fuerzas arbitrario, se aplica el método basado en el siguiente teorema: una fuerza aplicada a un cuerpo rígido puede ser reemplazada paralelamente a sí misma, sin que cambie su acción sobre éste, a cualquier punto del cuerpo, añadiendo al mismo tiempo un par de momento igual al momento de la fuerza que se reemplaza respecto a su nuevo punto de aplicación.
71
Problema 85. Reemplazar las dos fuerzas y el par que actúan sobre el elemento estructural de acero por un sistema equivalente fuerza-par en A.
Problema 86. Reemplazar las dos fuerzas y el par mostrados, por un sistema equivalente fuerza – par aplicado en el punto A.
72
Problema 87. El soporte de la polea resiste, tal como se muestra, las dos tensiones de 800 N del cable y se sujeta a la columna de acero mediante la placa y los pernos en A y B. Reemplazar las dos fuerzas por una fuerza y un par equivalentes, con la fuerza equidistante de ambos pernos. A continuación redistribuir esa fuerza y ese par sustituyendo cada uno por una fuerza en A y una fuerza en B. Combinar los efectos y hallar la fuerza de tracción o compresión que soporta cada perno. 800 N 160 mm
B
800 N
320 mm
150 mm
380 mm
A
1.14 FUERZAS DISTRIBUIDAS
- Sobre una línea [N/m]
FUERZAS DISTRIBUIDAS
- Sobre una superficie [N/m2]
- Sobre un volumen [N/m3]
Consideremos las fuerzas distribuidas coplanares, en particular aquellas fuerzas distribuidas sobre un segmento de línea recta, tal como una viga. Un sistema plano de fuerzas distribuidas se caracteriza por su intensidad w, es decir, la magnitud de la fuerza en la unidad de longitud del segmento cargado: N/ m. 73
El problema de la estática de las fuerzas distribuidas consiste en: 1) Determinar la magnitud de la resultante de la fuerza distribuida, que es una fuerza concentrada. 2) Determinar la localización de esta fuerza resultante.
Problema 88. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir del punto A.
Problema 89. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir del punto A.
74
Problema 90. Determinar la resultante del siguiente sistema de cargas distribuidas, y localizarla a partir del punto A.
w =w0+kx2
1.6 kN/m
x 0.8 kN/m
0.8 kN/m w
0.6 kN/m
A
B 4m
3m
75
3m
1.15 REDUCCIÓN DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS: RESULTANTES El problema de la teoría de la resultante de un sistema de fuerzas consiste en lo siguiente: a) Determinar el tipo de resultante y su valor. Es decir, si se trata sólo de una fuerza, sólo de un momento o bien de una fuerza y un momento. b) Determinar la localización de la resultante. Es decir, indicar un punto por donde pasa la línea de acción de la resultante. La solución de este problema se fundamenta en el siguiente teorema, que es una generalización del teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza (reducción fuerza-par). Consideremos un sistema de fuerzas arbitrario, aplicado sobre un cuerpo rígido. La magnitud ⃗⃗ , que equivale a la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema, se llama vector principal del sistema; la magnitud ⃗⃗⃗ , que equivale a la suma de los momentos de todas las fuerzas del sistema respecto del centro O, se llama momento principal del sistema respecto del centro O:
R Fi
M O M O ( Fi )
Teorema Cualquier sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido al ser reducido a un centro arbitrario O, se sustituye por una sola fuerza ⃗⃗ equivalente al vector principal del sistema, aplicada en el centro de reducción O y a un par de momento ⃗⃗⃗ equivalente al momento principal del sistema respecto del centro O.
Cabe señalar que, en general, la fuerza ⃗⃗ no es la resultante del sistema, pues ella sola no sustituye al sistema, sino que lo hace junto con el par.
76
Casos de resultantes: Caso 1. ⃗⃗
⃗⃗ y ⃗⃗⃗
⃗⃗. El sistema se encuentra en equilibrio.
Caso 2. ⃗⃗ ⃗⃗, pero ⃗⃗⃗ precisamente, ⃗⃗⃗ .
⃗⃗. El sistema se reduce a un par de fuerzas, cuyo momento es,
En este caso, el momento ⃗⃗⃗ no depende de la elección del centro O. Un cuerpo libre, bajo la acción de tal sistema de fuerzas, puede (pero no siempre) efectuar un movimiento de rotación pura. Caso 3. ⃗⃗
⃗⃗, pero ⃗⃗⃗
⃗⃗. El sistema se reduce a la resultante ⃗⃗ que pasa por el centro O.
Un cuerpo libre, sometido a la acción de tal sistema de fuerzas puede efectuar un movimiento de traslación pura (si la resultante ⃗⃗ pasa por el centro de masa del cuerpo). Caso 4. ⃗⃗
⃗⃗ y ⃗⃗⃗
⃗⃗; pero ⃗⃗⃗
⃗⃗ . El sistema se reduce también a una sola resultante igual
→
a R , pero que no pasa por el centro O. ⃗⃗; pero el vector ⃗⃗⃗ es paralelo a ⃗⃗ . El sistema se reduce al conjunto de Caso 5. ⃗⃗ ⃗⃗ y ⃗⃗⃗ la fuerza ⃗⃗ aplicada en O, y del par de momento ⃗⃗⃗ , que se encuentra en un plano perpendicular a ⃗⃗ . Tal resultante, de una fuerza y de un par, se llama tornillo dinámico, torsor o reducción canónica, y la recta, a lo largo de la cual están dirigidos los vectores ⃗⃗ y ⃗⃗⃗ , se llama eje central. ⃗⃗; pero los vectores ⃗⃗⃗ y ⃗⃗ no son paralelos ni perpendiculares. El Caso 6. ⃗⃗ ⃗⃗y ⃗⃗⃗ sistema de fuerzas se reduce también a un torsor, pero el eje de este torsor no pasará por el centro O.
77
Problema 91. Calcular la resultante de las tres fuerzas y los dos pares, y determinar el punto sobre el eje x por donde pasa la línea de acción de dicha resultante. 2 kN y 400 mm 400 mm 100 mm
100 N∙m
80 N∙m
500 mm
400 mm 3 kN
1.5 kN 200 mm
300 mm
A x
Problema 92. Las resultantes P = 8 000 tf y F = 5 200 tf de las fuerzas de presión del agua sobre la presa están aplicadas en el plano vertical perpendicularmente a las caras correspondientes, a las distancias H = 4 m y h = 2.4 m de la base, respectivamente. El peso G1 = 12 000 tf de la parte rectangular de la presa está aplicado en su centro de gravedad, el peso G2 = 6 000 tf de la parte triangular está aplicado a la distancia de una tercera parte de la longitud de la base inferior de la sección triangular a partir de la cara vertical de esta sección. El ancho de la presa en su base es b =10 m, en su parte superior es a = 5 m; Determinar la resultante de las fuerzas de reacción distribuidas del terreno, sobre el cual está construida la presa. Encuentre el valor de x del punto de intersección de la resultante con la base b de la presa.
y a
α
G1 F
P
G2 H
h x
b 78
Problema 93 En la posición representada, el cigüeñal de un motor de dos cilindros está sometido a las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas y al par de 200 N·m. Determinar la resultante de este sistema de fuerzas y ubicar dicha resultante sobre el plano x-z a partir del punto A.
B A
Problema 94. Una losa de cimentación de concreto soporta seis fuerzas verticales paralelas. Hallar el módulo y punto de aplicación de la resultante de estas seis fuerzas.
40 kN 48 kN 32 kN 72 kN 64 kN 56 kN
x 2.4 3.6 2.8 3.2
2.8 2
Acotaciones en metros
79
y
Problema 95. Determinar la fuerza resultante de las dos cargas distribuidas, y especificar la distancia al punto donde la línea de acción de dicha resultante interseca la barra BC, medida desde C.
200 N/m 100 N/m B
C
6m 5m
200 N/m
A
Problema 96. Determinar el momento M si la resultante de éste y las dos fuerzas pasa por el punto O.
80
Problema 97. En la siguiente estructura la fuerza de 100 N representa el peso del elemento A, y la fuerza de 20 N actúa en el sentido negativo del eje y. Las fuerzas P y Q representan las tensiones en los cables respectivos. Se requiere que la resultante de estas cuatro fuerzas sea sólo una fuerza ⃗⃗ aplicada en el punto O. Determinar P, Q y ⃗⃗ .
81
UNIDAD 2. EQUILIBRIO Objetivo Derivar las condiciones de equilibrio de los cuerpos, sometidos a la acción de sistemas de fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas en equilibrio. Temas: 2.1 Definición de equilibrio. 2.2 Condiciones de equilibrio. 2.3 Apoyos y sus reacciones. 2.4 Diagrama de cuerpo libre. 2.5 Formas independientes de las condiciones de equilibrio. 2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos. 2.7 Solución de problemas de equilibrio. 2.8 Equilibrio de partículas. 2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos. 2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas.
2.1 DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO De acuerdo con la primera ley de Newton, un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo uniforme.
2.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO Las condiciones de equilibrio son las ecuaciones necesarias y suficientes para que un cuerpo o sistema mecánico se encuentre en estado de equilibrio. Estas ecuaciones se deducen de la segunda ley de Newton: ⃗⃗
∑⃗
⃗⃗
y
⃗⃗⃗
∑ ⃗⃗⃗
⃗⃗.
La primera ecuación garantiza que el cuerpo o sistema esté en equilibrio traslacional, y la segunda en equilibrio rotacional.
82
Problema 98. Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido son: 1) La suma de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo debe ser nula: ∑⃗
⃗⃗
(1)
2) El momento resultante de las fuerzas externas con relación a cualquier punto debe ser nulo: ∑ ⃗⃗⃗
⃗⃗
(2)
Demostrar el siguiente teorema: cuando la condición (1) se cumple, de la igualdad a cero de la suma de los momentos para un punto cualesquiera O se sigue la igualdad a cero de la suma de los momentos respecto de cualquier otro punto Q. ¿Cómo se interpreta este resultado?
2.3 APOYOS Y SUS REACCIONES Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama apoyo o ligadura. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de la ligadura o, simplemente, reacción de apoyo. Principales apoyos: 1) Superficie lisa
2) Superficie rugosa
83
3) Cable flexible, cadena, cuerda o hilo
4) Resorte elástico lineal
5) Rodillo
6) Articulación o pasador
84
7) Empotramiento o apoyo fijo
8) Rótula o articulación en tres dimensiones
9) Empotramiento en tres dimensiones
85
2.4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un croquis o esquema de un cuerpo, de una porción de un cuerpo o de dos o más cuerpos interconectados y completamente aislados o libres de otros cuerpos, en donde se representan todas las fuerzas (conocidas y desconocidas) que actúan sobre el cuerpo considerado, a causa de su interacción con los cuerpos que lo circundan. Un diagrama de cuerpo libre posee tres características esenciales: (1) es un diagrama o croquis del cuerpo; (2) el cuerpo se representa separado completamente de otros cuerpos incluyendo los apoyos; (3) la acción que le ejerce un cuerpo que se retiró durante el proceso de aislamiento se representa en el diagrama como una o varias fuerzas de reacción. En el diagrama de cuerpo libre debe indicarse completamente cada fuerza, con su magnitud, dirección y sentido si ésta es conocida o con una letra en caso contrario. Cuando el sentido de una fuerza desconocida no sea evidente, puede suponerse y corregirse posteriormente si el supuesto inicial resulta incorrecto. Problema 99. Trazar los diagramas de cuerpo libre, asociados a los siguientes sistemas: a) Armadura plana P1=15 kN C
B
P2=5 kN 4m
A
E 3m
3m
86
D
F 3m
b) Estructura plana
600 N 0.2 m C 0.2 m E B 0.2 m
D A 0.2 m
c) Viga empotrada de masa m
87
0.2 m
2.5 FORMAS INDEPENDIENTES DE LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO ⃗⃗ y ⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗ ⃗⃗, son ecuaciones Las condiciones generales de equilibrio ⃗⃗ ∑ ⃗ vectoriales, que, dependiendo del sistema de fuerzas que resulte en el diagrama de cuerpo libre, dan origen a un número de ecuaciones escalares independientes de equilibrio.
Ejemplos de ecuaciones independientes de equilibrio. Sistema de fuerzas
Número de ecuaciones de equilibrio independientes
Notación de las ecuaciones de equilibrio
∑ Sistema tridimensional general
Sistema coplanar general
6
∑
(⃗)
∑ 1.
∑
2.
∑
∑ ∑
(⃗)
∑ (⃗)
(⃗)
∑ ∑
∑
(⃗)
∑
(⃗) , o bien
(⃗)
,
si los puntos A, B y C no se hallan en una misma recta, o bien
3
3.
∑
(⃗)
∑
(⃗)
∑
, si el
eje x no es perpendicular a la recta AB.
∑
(⃗)
∑
( ⃗)
∑
( ⃗)
∑
∑
∑
Sistema tridimensional paralelo
3
Sistema coplanar paralelo
2
Sistema tridimensional concurrente
3
Sistema coplanar concurrente
2
(⃗)
, si los ejes x e y se sitúan en el plano perpendicular a las fuerzas. ∑ ( ) 1. ∑ , o bien 2.
∑
, si los puntos A y B no están sobre la recta paralela a las fuerzas dadas.
∑
88
∑
∑
En particular, es importante identificar las condiciones de equilibrio de un cuerpo o miembro de dos y tres fuerzas. a) Miembro de dos fuerzas: de acuerdo con el segundo axioma de la Estática, si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en equilibrio solamente cuando los módulos de estas fuerzas son iguales ( ) y ellas están dirigidas en ⃗ ) a lo largo de una misma recta. sentidos opuestos ( ⃗ Este resultado define el sistema de fuerzas en equilibrio más simple, ya que la experiencia muestra que un cuerpo libre sobre el cual actúa una sola fuerza no puede estar en equilibrio. b) Miembro de tres fuerzas (teorema de las tres fuerzas). Si un cuerpo rígido libre se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares no paralelas, la línea de acción de éstas se interceptan en un punto.
2.6 SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS Durante la resolución de problemas de equilibrio de un cuerpo rígido no libre (apoyado), las reacciones de los apoyos aplicadas a él son magnitudes previamente desconocidas. El número de estas incógnitas depende de la cantidad y del carácter de los apoyos introducidos. El problema correspondiente de la Estática se puede resolver solamente cuando el número de reacciones desconocidas no sea mayor que la cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles. Tales problemas se llaman estáticamente determinados o isostáticos, y los sistemas de cuerpos, para los cuales esto tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente determinados. Los problemas en los cuales el número de reacciones de apoyos desconocidas es mayor que la cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles, se llaman problemas estáticamente indeterminados o hiperestáticos, y los sistemas de cuerpos para los cuales esto tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente indeterminados.
2.7 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIO El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia en la Estática con fundamento en el axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede considerarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos apoyos. Las magnitudes de las reacciones, previamente desconocidas, pueden ser determinadas a partir de las condiciones del equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, al que ahora podemos considerar como libre. En esto consiste el método principal para resolver problemas de Estática. 89
La determinación de las reacciones de los apoyos tiene la importancia práctica siguiente: al conocer estas reacciones, conoceremos las fuerzas que actúan sobre los apoyos, es decir, los datos iniciales necesarios para calcular la resistencia de los elementos correspondientes de una construcción o máquina. La metodología general para resolver problemas de equilibrio se compone de los siguientes pasos: 1º. Comprensión del problema.
2º. Identificación o elección del cuerpo, cuyo equilibrio debe ser examinado.
3º. Liberación del cuerpo de los apoyos y construcción del diagrama de cuerpo libre correspondiente. Aquí se incluye la elección del sistema de ejes de coordenadas
4º. Composición de las condiciones equilibrio.
5º. Determinación de las magnitudes incógnitas, análisis de los resultados obtenidos y revisión de la exactitud y unidades de la solución.
2.8 EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS Problema 100. Dos cuerdas se atan juntas en C y se cargan con el bloque de 200 kg como se muestra en la figura. Sabiendo que α = 20°. Determine las fuerzas de tensión en los cables AC y BC.
90
Problema 101. Dos cables se amarran juntos en C y son cargados como indica la figura. (a) Si W = 840 N, determine la tensión en el cable AC y en el cable BC. (b) Determine el rango de valores de W para los que la tensión no será mayor de 1050 N en cualesquiera de los cables. 750 mm
300 mm
A
B
400 mm C 15 8 680 N
W
Problema 102. Un contenedor de peso W está suspendido de una argolla A, a la cual se atan los cables AC y AE. Una fuerza P está aplicada en el extremo F de un tercer cable el cual pasa sobre una polea en B y a través de la argolla A y termina fijo en el soporte D. Si W = 1000 N, determinar la magnitud de P y las tensiones en los cables AC y AE.
91
Problema 103. Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 500 mm de largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 450 mm cada una. Si las constantes de los resorte son kAB = 1500 N/m y kAD = 500 N/m, determinar (a) la tensión en la cuerda AC, (b) el peso del bloque. 580 mm
460 mm C 160 mm
B
D
330 mm
320 mm
A W 140 mm
Problema 104. Los collarines A y B unidos por medio de un alambre de 1 m de largo pueden deslizarse libremente sin fricción sobre las barras. Si una fuerza P = (680 N) ̂ se aplica en A, determinar: a) la tensión en el alambre cuando y = 300 mm, b) la magnitud de la fuerza Q requerida para mantener el equilibrio del sistema.
400 mm
92
Problema 105. La placa de acero de 1800 kg tiene su centro de masa en el punto G . Calcular la tensión en cada uno de los cables que sirven para levantar la placa y mantenerla horizontal.
93
2.9 EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Problema 106. Determine las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas y par indicados.
5 kN
3
10 kN
4
1.25 kN·m
B
A
2m
1m
2m
1m
Problema 107. Determine las reacciones de los apoyos de la viga sujeta a las condiciones de carga indicadas.
5000 N 900 N/m
1.2 m
0.6 m
0.6 m
Problema 108. Determinar las reacciones en el empotramiento de una viga en voladizo, sometida a la acción de una fuerza concentrada, de un par de fuerzas y de una carga distribuida que varía de acuerdo con la ley del triángulo y del trapecio. Indicar las cantidades calculadas en un DCL correcto.
x
4 tf·m
q q= 2 tf/m
y 4.5 m 30°
5 tf
94
3m
Problema 109. La barra uniforme AB con una masa de 200 kg soporta en A la carga de 600 kg. Calcular la tensión T en el cable portante y la magnitud FB de la fuerza que soporta el pasador B.
2.5 m T B m 2.5
2.5
60°
m
A
600 kg
Problema 110. El cable de la figura tiene una masa de 1.5 por metro de longitud y soporta la polea y el gancho de elevación que juntos, tienen una masa de 5.4 kg. Hallar la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio.
P
2.5 m 1.2 m
150 mm
95
Problema 111. Para la siguiente armadura: a) Determinar el sistema fuerza – par en el punto A, equivalente a las seis fuerzas externas aplicadas. La fuerza inclinada de 400 N es perpendicular a la barra AC. b) Encontrar la resultante de las seis fuerzas anteriores, y localícela a partir del apoyo A. c) Calcular las reacciones en A y F, primero a partir del valor y localización de la resultante hallada en el inciso b, y, después, directamente a partir de las seis fuerzas que actúan sobre la armadura.
Problema 112. Calcular las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas distribuidas indicadas.
96
Problema 113. El marco simétrico tiene una masa de 1200 kg y está apoyado y cargado como se muestra. Si la carga que puede soportar el pasador A está limitada a 20 kN, hallar la carga lateral P máxima permitida.
P
4m A
B 6m
Problema 114. La siguiente figura representa un poste de una cerca utilizada en un terreno agrícola. El poste se considera articulado en A, y se fija al suelo mediante el alambre BC. Tres alambres horizontales se atan al poste y la tensión en cada uno de ellos es de 300 N. Encontrar la tensión en el cable BC y las reacciones en la articulación en A. 300 N 550 mm B
300 N 550 mm
1000 mm 300 N
250 mm C
A
60°
100 mm
97
Problema 115. Una rueda dentada C de 1 m de radio y un piñón D de 10 cm de radio están montados sobre un árbol horizontal AB. Otras dimensiones están indicadas en el dibujo. Una Fuerza horizontal P = 10 kgf está aplicada, en dirección de la tangente, a la rueda C y una fuerza vertical Q está aplicada, también en dirección de la tangente, al piñón D. Determinar la fuerza Q y las reacciones de los cojinetes A y B en el estado de equilibrio. Dar las respuestas en kgf.
P 80
z 10c
cm
y B
C
m
Q
D |
10c
m
x
A
Problema 116. Para la posición representada, el cigüeñal de un motor bicilíndrico está sometido a las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas. Si el cigüeñal está en equilibrio, hallar las fuerzas de reacción de los cojinetes A y B y el par M que actúan sobre dicho cigüeñal.
M
98
Problema 117. Un árbol de transmisión horizontal, que lleva dos poleas C y D de transmisión por banda, puede girar en los cojinetes A y B. Los radios de las poleas son rC= 20 cm, rD=25 cm; las distancias entre las poleas y los cojinetes son ; la distancia entre las poleas c =100 cm. Las tensiones y de las ramas de la banda montada sobre la polea C son horizontales; . Las tensiones y de las ramas de la banda montada sobre la polea D forman con la vertical un ángulo ; . Determinar las tensiones en el estado de equilibrio y las reacciones de los cojinetes provocadas por las tensiones de las bandas.
z b
c
a
D
C
B
A
y
t1 T2 x
α t2
α
T1
Problema 118. Determinar la fuerza F necesaria para iniciar la rodadura del cilindro uniforme de peso G y radio r sobre el escalón.
r
F α h
99
Problema 119. La pluma ligera en ángulo recto que soporta al cilindro de 400 kg, está soportada por tres cables y una rótula en O fija al plano xy . Hallar las reacciones en O y las tensiones en los cables.
Problema 120. Determinar las magnitudes de la fuerza R y el par M ejercidas por la tuerca y perno en O sobre la ménsula cargada para mantenerla en equilibrio.
100
Problema 121. La válvula de seguridad A de una caldera de vapor está unida por medio de la barra AB con la palanca homogénea CD de 50 cm de longitud y de 1 kgf de peso, que puede girar alrededor del eje fijo C; el diámetro de la válvula es d = 6 cm, el brazo BC = 7 cm. ¿Qué carga Q debe ser suspendida del extremo D de la palanca para que la válvula se abra por sí sola cuando la presión en la caldera sea de 11 atm (1 atm = 1 kgf/cm2)?
B
C
D A Q d
Problema 122. Una barra uniforme AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de Q [N] a la distancia de a [cm] del punto A y se mantiene en equilibrio por medio de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada centímetro de longitud de la barra pesa q [N]. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que la fuerza P sea la mínima posible y hallar Pmín .
P
x
A
B
a Q
101
Problema 123. Una placa homogénea rectangular ABCD de peso P está sujeta por unas barras, articuladas en sus extremos con la placa, y por apoyos articulados en el piso, como se muestra en la figura. En la esquina A sobre la placa actúa la fuerza Q que forma en el plano AEHD un ángulo β con la arista AD. Determinar las fuerzas en las seis barras de apoyo considerando nulo el peso de las barras. Las dimensiones y los ángulos están indicados en la figura, AM = MB. z D
A M
y
β R1
h 90°
Q
B
C
R3 ψ
x R4
R2
R5 P
φ
E
H
R6
ψ φ
F
G
b
a
Problema 124. Un trípode ABDE con forma de una pirámide regular, está articulado en dos vigas en voladizo. Un cable que pasa sobre una polea fijada en el vértice E del trípode, levanta uniformemente con ayuda de un cabrestante una carga de peso P. Entre la polea y el cabrestante el cable es paralelo a las vigas. Determinar las reacciones del empotramiento de la primera viga l despreciando su peso y el peso del trípode. La altura del trípode es igual a . 2
102
Problema 125. Un tanque elevado cilíndrico, para distribución de agua, de 6 m de altura y de 4 m de diámetro, está montado en cuatro columnas colocadas simétricamente e inclinadas respecto al horizonte; el fondo del tanque se halla a la altura de 17 m sobre el nivel de los apoyos; la torre pesa 8 tf ; la presión del viento se calcula para el área de la proyección de la superficie del recipiente sobre el plano perpendicular a la dirección del viento, considerando la presión específica del viento igual a 125 kgf/m2. Determinar la distancia necesaria AB entre los apoyos de las columnas.
6m
4m
17 m
A
B
Problema 126. Una grúa está instalada sobre un camión. El peso del contrapeso B es igual a P2 = 20 kN. El peso del camión junto con la grúa sin contrapeso, igual a P1 = 50 kN, está aplicado en el centro de gravedad C. Determinar la distancia mínima DE entre los ejes de las ruedas del camión y el peso máximo P3 de la carga A que puede levantarse para que el camión no sufra volcadura tanto con la carga A como sin ésta. Las dimensiones se indican en la figura.
P2
A C
P3
P1 4m
D 1.5 m
E 2m 103
B
2.10 APLICACIONES A ESTRUCTURAS Y MÁQUINAS Problema 127. Determinar las reacciones en A, F y E.
Problema 128. Determinar la magnitud de la fuerza soportada por el pasador C. También encontrar las reacciones en la articulación A.
600 N 0.2 m C 0.2 m E B 0.2 m
D A 0.2 m
0.2 m
104
Problema 129. Las uniones A, B, C y D son de pasador o articulación. Despreciando el peso de las barras, determinar la fuerza total (fuerza cortante) soportada por el pasador B. También determinar las reacciones en A y C.
0.15 m
y C
D
35 0. m 0.
5
m
45° B
0. 5
m
45°
A
x 50 kg
Problema 130. El siguiente marco es típico de instalaciones para maquinaria o naves industriales. Los apoyos A y E son articulaciones, y la unión C también es una articulación. Determine las reacciones en los apoyos A y E.
5 kN/m
B
D
4m
10 kN
2m
C
A
E 10 m
105
Problema 131. Para la siguiente estructura plana, determinar las reacciones en los apoyos A y B, indicando en un DCL los valores y sentidos correctos de dichas reacciones. También, en un DCL, indicar todas las fuerzas externas que actúan sobre el elemento ACD.
Problema 132. Para la estructura plana siguiente, encontrar las reacciones en los apoyos A, F y G.
106
Problema 133. La longitud no deformada del resorte EF es de 300 mm, para la siguiente configuración determinar la magnitud de la reacción en la articulación O.
Problema 134. Para los siguientes datos del cargador frontal, y para la posición mostrada, determinar las fuerzas ejercidas por el cilindro hidráulico CF y los eslabones AE y BG sobre el brazo ABCHD. Datos: P=10 kN, a = 2.5 m, b = 0.15 m, c = 0.9 m y L = 2.4 m. P b
B
a C
H
c 80°
70°
40°
G
A 60°
F E
107
L
D
Problema 135. ¿Qué relación deben satisfacer las dimensiones H y B de la presa representada, para que el momento de vuelco respecto al punto K constituya el 50 % del momento de estabilidad? El peso específico del material de la presa es γm = 2250 kgf/m3
H
γm K B
Problema 136. En la posición mostrada, la excavadora aplica una fuerza de 20 kN paralela al suelo. Hay cilindros hidráulicos: dos en AC para controlar el brazo OAB , uno en DE para controlar el eslabón EBI y otro en GH para accionar el cucharón. Determine la fuerza en cada uno de los cilindros hidráulicos y la presión que actúa sobre el émbolo de cada cilindro si los diámetros son d AC 95 mm , dDE 105 mm y dGH 95 mm , respectivamente. El peso de los miembros es despreciable en comparación con la fuerza de 20 kN .
108
UNIDAD 3. FRICCIÓN Objetivo Aplicar la teoría del equilibrio al análisis de problemas donde participa el fenómeno de la fricción. Temas: 3.1 Naturaleza y tipos de fricción. 3.2 Leyes de la fricción seca. 3.3 Tipos de problemas de fricción. 3.4 Aplicaciones de la fricción seca.
3.1 NATURALEZA Y TIPOS DE FRICCIÓN La experiencia demuestra que al tratar de desplazar un cuerpo sobre la superficie de otro, en el plano de contacto entre ambos surge una fuerza de resistencia a su desplazamiento relativo, la fuerza de fricción de deslizamiento. La aparición de la fricción está condicionada, ante todo, por la rugosidad de las superficies, la cual engendra una resistencia al desplazamiento y por la presencia de adhesión entre los cuerpos comprimidos unos contra otros. El estudio de todas las particularidades del fenómeno de la fricción es una cuestión físico-mecánica compleja.
Se distinguen tres tipos de fricción, a saber: 1) Fricción seca 2) Fricción fluida o viscosa 3) Fricción interna
109
3.2 LEYES DE LA FRICCIÓN SECA Los cálculos de ingeniería se basan habitualmente en las leyes generales de la fricción seca, establecidas experimentalmente, que reflejan con una precisión suficiente para la práctica, las particularidades fundamentales del fenómeno de la fricción. Estas particularidades, llamadas leyes de la fricción de deslizamiento, se pueden enunciar de la forma siguiente:
1. La fuerza de fricción que aparece en reposo relativo de un cuerpo se llama fricción estática; la fuerza de fricción que obra durante el deslizamiento de un cuerpo se llama fricción cinética.
2. La fuerza de fricción no depende de las dimensiones de las superficies en fricción, siendo iguales las demás condiciones.
3. Al igual que el valor de cualquier reacción la magnitud de la fuerza de fricción depende de las fuerzas aplicadas y hasta un cierto límite siempre es tal que impide el deslizamiento de los cuerpos uno sobre el otro. Sin embargo, ella no puede superar un cierto valor máximo, el cual es fijo para cada caso dado. 4. El valor máximo de la fuerza de fricción es directamente proporcional a la fuerza de la presión normal que ejerce un cuerpo sobre el otro.
110
Por la fuerza de la presión normal se entiende la fuerza de presión dirigida a lo largo de la normal a la superficie de deslizamiento. 5. La magnitud máxima de la fuerza de fricción depende tanto del material y estado de las superficies en fricción como de la existencia y clase de lubricante entre ellas. 6. La fuerza de fricción en movimiento es menor que la fuerza de fricción en reposo.
3.3 TIPOS DE PROBLEMAS DE FRICCIÓN Problema 137. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque de 100 kg y el plano inclinado son 0.30 y 0.20, respectivamente. Determine: a) la fuerza de fricción F que actúa sobre el bloque cuando P se aplica con una magnitud de 200 N al bloque en reposo; b) la fuerza P requerida para iniciar el movimiento hacia arriba del plano inclinado a partir del reposo; y c) la fuerza de fricción F que actúa sobre el bloque si P = 600 N.
Problema 138. La barra uniforme AB de 60 kg está sujeta a la fuerza P. Las guías en B son lisas. En A, μs = 0.8. a) Si P = 400 N, encontrar la fuerza de fricción en A sobre la barra. B) Encuentre la fuerza P requerida para causar un deslizamiento sobre A. y
B l/2 P l/2 60°
A
111
x
Problema 139. Una barra recta homogénea AB de peso Q se apoya en el punto B sobre una pared vertical rugosa. El coeficiente de fricción estático entre la barra y la pared es igual a . En el punto A la barra se apoya sobre un piso liso horizontal. La barra se mantiene en equilibrio mediante el hilo AD que pasa por la polea D. Determinar el rango dentro del cual se puede variar la magnitud del peso P sin alterar el equilibrio de la barra.
y
B
FB
y
NB
NB
B
C
FB
B C
A
α
a)
D
NA A
α
Q
Pmín
P
b)
x
NA A
α
Q
Pmáx
x
c)
Problema 140. En la figura se muestra una propuesta de diseño para un freno articulado. Las dos superficies de frenado tienen el mismo coeficiente de fricción. Obtener una expresión que relacione la magnitud del par o momento T con la magnitud de la fuerza de frenado P cuando la rotación del tambor es inminente en el sentido horario.
112
Problema 141. Un par de fuerzas de momento M = 100 kgf·m está aplicado a un árbol, sobre el cual está fijada por chaveta una rueda de freno de radio r = 25 cm. Hallar la fuerza Q con la cual hace falta apretar las zapatas de freno contra la rueda para que ésta permanezca en reposo, si el coeficiente de fricción estático entre la rueda y las zapatas es igual a 0.25.
Q
Q
2r
3.4 APLICACIONES DE LA FRICCIÓN SECA. Problema 142. Dos cuñas de 5° se utilizan para ajustar la posición de una columna que está bajo la acción de una carga vertical de 5 kN. Determinar la magnitud de las fuerzas P requeridas para levantar la columna si el coeficiente de fricción para todas las superficies es 0.40.
113
Problema 143. Fricción de un hilo flexible (tal como una banda plana) sobre una superficie cilíndrica. Una fuerza P se aplica a un hilo arroyado sobre un árbol cilíndrico. Hallar la fuerza mínima Q que debe ser aplicada al otro extremo del hilo para mantener el equilibrio, teniendo el ángulo dado .
y dθ 2
(T+dT)
dN D E R dθ α θ
dF
O
dθ 2
x T Q
P
Problema 144. Calcular la fuerza P sobre la palanca del freno diferencial de banda que evitará que el volante gire sobre su eje cuando se aplica el par M = 150 N∙m. El coeficiente de fricción entre la banda y el volante es μ=0.40. 450 mm P O
75 mm
M
30° C
150 mm
114
Problema 145. En diversas aplicaciones se usan “bandas V” para transmitir potencia desde un motor a una máquina. Una banda en V se utiliza para transmitir un par de 100 N m a una polea A de una bomba, desde la polea B de un motor, cuyo eje gira en sentido antihorario a una rapidez constante. Si R 400 mm , r 40 mm y el coeficiente de fricción entre la banda y las poleas es s 0.3 . Determinar: (a) la tensión mínima requerida en la banda, (b) el momento que transmite el motor.
Problema 146. Determinar el rango de valores de la masa m del cilindro, para el cual el sistema estará en equilibrio. El coeficiente de fricción entre el bloque de 50 kg y el plano inclinado es 0.15, y entre la cuerda y el soporte cilíndrico es 0.25.
115
UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES DE LAS BARRAS Objetivo Desarrollar la teoría para el cálculo de centroides, momentos y productos de inercia de cualquier área o sección plana. Temas: 4.1 Centro de gravedad y centro de masas. 4.2 Centroide. 4.3 Momento estático. 4.4 Momento de inercia. 4.5 Producto de inercia. 4.6 Momento polar de inercia. 4.7 Ejes principales y momentos principales de inercia. 4.8 Círculo de Mohr.
4.1 CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASAS Y CENTROIDES. La resultante de las fuerzas de gravedad de las partículas de un cuerpo se llama fuerza de gravedad del cuerpo; el módulo de esta fuerza se llama peso del cuerpo.
El centro de gravedad de un cuerpo es un punto invariablemente relacionado con este cuerpo, a través del cual pasa la línea de acción del peso de éste.
Las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo respecto a todo sistema de coordenadas fijo se pueden hallar, si se conocen las coordenadas de todas las partículas del cuerpo respecto a este sistema. Para ello es preciso aplicar la condición siguiente: el momento de la fuerza de gravedad de todo el cuerpo respecto a un eje cualquiera debe ser igual a la suma de los momentos de la fuerza de gravedad de todas las partículas del cuerpo respecto a ese mismo eje.
116
z
P2 P1
G Pn
O
y
x
∑
∑
∑
Para un cuerpo con una distribución continua de la masa, su peso total es ecuaciones anteriores adquieren el siguiente aspecto: ∫
∫
∫
y las
∫
Transformemos las ecuaciones que determinan las coordenadas del centro de gravedad en una forma que contenga la masa del cuerpo o sistema. La masa de un sistema es igual a la suma aritmética de las masas de todos los puntos o de todos los cuerpos que lo componen: ∑ En un campo de gravedad homogéneo, para el cual g = const., el peso de cualquier partícula del cuerpo es proporcional a su masa, y para todo el cuerpo de lo cual resulta: ∑
∑
∑
El punto geométrico G, cuyas coordenadas se determinan por estas ecuaciones, se llama centro de masas o centro de inercia del cuerpo o sistema. Si se considera una distribución continua de la masa en todo el volumen del cuerpo o sistema, ∫
y: ∫
∫
117
∫
Problema 147. Se tiene un cilindro homogéneo de 30 kg conectado con tres barras A, B y C, cuyas masas son 10, 5 y 8 kg, respectivamente. Localice el centro de masa de dicho sistema.
D
y B z
A
160 mm
C 100 mm
200 mm 120 mm x
4.2 CENTROIDE Para un cuerpo homogéneo el peso pi de cualquier parte de éste es proporcional al volumen Vi de esta parte: El peso P de todo el cuerpo es proporcional al volumen V de éste: donde es el peso específico del cuerpo. Sustituyendo estas relaciones en las ecuaciones del centro de gravedad, se obtiene: ∑
∑
∫
∑
∫
∫
Como se observa, el centro de gravedad de un cuerpo homogéneo depende solamente de su forma geométrica, y es independiente de la magnitud Por esta razón, el punto C, cuyas coordenadas se determinan por las ecuaciones anteriores, se llama centroide o centro geométrico del volumen V. En la práctica a menudo se requiere determinar la localización del centroide de figuras planas, en cuyo caso las ecuaciones correspondientes adquieren la siguiente forma: ∫
∫
para un área o región continua. O bien, cuando se trata de un área compuesta: ∑
∑ 118
Problema 148. Determinar la distancia desde la base hasta el centroide del siguiente triángulo.
h
b
Problema 149. Determinar las coordenadas del centroide del siguiente cuadrante de círculo.
r
Problema 150. Hallar el centro de gravedad de la sección transversal de la presa representada en el dibujo, teniendo en cuenta que el peso específico de concreto es igual a 2 400 kgf/m3 y el de la tierra equivale a 1 600 kgf/m3. También localice el centroide de dicha sección transversal.
y 2m
Concreto
5m 4m Tierra
2m
x 8m
1m
119
1m
3m
4.3 MOMENTO ESTÁTICO ¿Cómo se define el momento estático de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El momento estático con respecto al eje x del área A es: ∫ El momento estático con respecto al eje y del área A es: ∫ El subíndice A de las integrales indica que la integración se realizará sobre toda el área de la sección.
Recordando las expresiones que determinan las coordenadas del centroide C de un área: ̅
∫
̅
∫
∫ ∫
resulta que: ∫
̅
∫
̅
Esto es, el momento estático de un área A con respecto a cualquier eje es igual al producto del área total de la figura (sección) y la distancia de su centroide a este eje.
120
Problema 151. Demostrar el siguiente teorema. Si el eje con respecto al cual se determina el momento estático pasa a través del centroide del área, el momento estático con respecto a este eje es igual a cero.
Problema 152. Determinar el momento estático con respecto al eje centroidal z de la mitad superior (semicírculo) de la sección circular de radio r.
4.4 MOMENTO DE INERCIA ¿Cómo se define el momento de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje contenido en su plano, se define como la suma de los productos de las áreas elementales y los cuadrados de sus distancias a este eje. ∫
∫
121
Teorema de los ejes paralelos: el momento de inercia de un área con respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia de la misma con respecto a un eje paralelo al primero y que pasa por su centroide, más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
∫ ∫ (
)
∫
∫
∫
Problema 153. Hallar el momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje x0, que pasa por el centroide y es paralelo a la base. También encontrar el momento de inercia con respecto al eje x que coincide con la base.
h
b
122
Problema 154. Calcular el momento de inercia de la sección circular con respecto al eje centroidal ̅ .
r
4.5 PRODUCTO DE INERCIA ¿Cómo se define el producto de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? El producto de inercia de un área se define como la suma de los productos de las áreas elementales y sus coordenadas (es decir, sus distancias a los dos ejes de coordenadas) realizada sobre toda el área de la sección o figura.
∫
El producto de inercia puede ser positivo, negativo o, como caso particular, igual a cero. Si los ejes ortogonales x e y, o uno de ellos, son ejes de simetría de la figura, entonces el producto de inercia, respecto a estos ejes, es igual a cero.
123
Teorema de los eje paralelos para el producto de inercia: el producto de inercia, respecto a un sistema de ejes ortogonales paralelos a los ejes centroidales, es igual al producto de inercia respecto a los ejes centroidales más el producto del área de la figura por las coordenadas de su centroide, respecto a los nuevos ejes.
∫ ∫ (
)(
∫
) ∫
∫ ∫
Problema 155. Calcular el producto de inercia del triángulo rectángulo respecto a los ejes x e y, ̅ e ̅ y x e y1.
y
y
y1
h C
x
b
x
124
4.6 MOMENTO POLAR DE INERCIA ¿Cómo se define el momento polar de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y características? Se denomina momento polar de inercia de la sección la característica geométrica, determinada por la integral, ∫ siendo r la distancia del área dA al punto (polo), respecto al cual se calcula el momento polar de inercia.
Teorema: el momento polar de inercia, respecto a un punto arbitrario, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes ortogonales que pasan por dicho punto. En efecto, del teorema de Pitágoras:
. ∫ ∫ (
)
∫
∫
125
Problema 156. Calcular el momento polar de inercia de la siguiente sección circular con respecto a su centro O.
r O
4.7 EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA v
y
θ
A dA v y θ C u θ
u
E D
O
x
B
Primero resolvamos el problema de la transformación de momentos y productos de inercia, que consiste en lo siguiente: Sean conocidos los momentos de inercia Ix e Iy y el producto de inercia Ixy para alguna figura, con respectos a los ejes x-y. Se trata de determinar estas mismas magnitudes, pero con respecto a los ejes u-v con el mismo origen O que x-y, pero girados con respecto a éstos un ángulo θ. Con este propósito se recurre a las siguientes ecuaciones de transformación de coordenadas en el plano:
Por definición, los momentos y el producto de inercia buscados son: ∫
∫ 126
∫
Sustituyendo las expresiones de u y v, desarrollando y haciendo uso de las identidades (
)
(
)
se obtiene: (a) (b) (c) Al sumar (a) y (b) se descubre la siguiente propiedad invariante para los momentos de inercia:
Al variar el ángulo θ de giro de los ejes, cada una de las magnitudes varía mientras que su suma permanece constante. Por tanto, existe un ángulo θ tal que uno de los momentos de inercia alcanza su valor máximo, mientras que el otro alcanza su valor mínimo. Derivando la expresión (a) respecto a θ e igualando la derivada a cero, se obtiene:
Cuando θ adquiere este valor, uno de los momentos de inercia será máximo y el otro mínimo. Al mismo tiempo, el producto de inercia Iuv correspondiente a este ángulo θ será igual a cero. Los ejes, respecto a los cuales el producto de inercia es igual a cero, mientras que los momentos de inercia adquieren valores extremos, se denominan ejes principales. Si al mismo tiempo estos ejes son también centroidales, se denominarán entonces ejes principales centroidales. Los momentos de inercia respecto a los ejes principales se denominan momentos de inercia principales. Los valores de los momentos de inercia principales se determinan mediante la siguiente ecuación: √(
127
)
Problema 157. Determinar los momentos de inercia del siguiente rectángulo de lados b= 9 cm y h= 4 cm, con respecto a los ejes x1 y y1 si , a =10 cm y c = 8 cm.
y´
y1
x
y h
b
C
θ=30° x´ a
c O
x1
Problema 158. Para la siguiente sección transversal, determine: a) las coordenadas del centroide; b) la orientación de los ejes principales centroidales; c) los valores de los momentos principales de inercia correspondientes a los ejes principales del inciso b; d) indique a qué eje principal le corresponde Imáx y a cuál Imín . y
x
128
Problema 159. Para la siguiente sección transversal compuesta, formada por un triángulo, un rectángulo y un semicírculo, determine: a) La posición del centroide C. b) La orientación de los ejes principales centroidales del área de toda la sección compuesta. c) Los valores de los momentos principales de inercia para la sección compuesta, correspondientes a los ejes principales del inciso b. d) Indicar a qué eje principal le corresponde el momento de inercia máximo.
30
40
60
20
y
O 60
x
30
Acotación en cm
4.8 CÍRCULO DE MOHR Problema 160. Deducir la existencia del círculo de Mohr, hacer su interpretación e indicar el procedimiento para su construcción y aplicación. Ixy
Ix - Iy 2
Ix + Iy 2
A
O
Ip2
2θp
C B´
A´
-Ixy B Iy Ix
129
Ixy Ip1
Ix, Iy
UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Objetivo Establecer los procedimientos para la determinación de las fuerzas internas que actúan en las secciones transversales de los elementos estructurales, y la construcción de los diagramas correspondientes. Temas: 5.1 Método de secciones. 5.2 Componentes de fuerzas internas. 5.3 Cálculo de fuerzas internas. 5.4 Análisis de armaduras. 5.5 Diagramas de fuerzas internas. Análisis de vigas. 5.6 Análisis de marcos.
5.1 MÉTODO DE SECCIONES Problema 161. a) Determinar las reacciones del empotramiento de la siguiente viga. b) Hallar las fuerzas internas en la sección transversal que se encuentra a una distancia de 2 m del empotramiento. y
q=1.5 kN/m 2 kN·m
x 45
O 3m
1m
130
1m
4 kN
Solución. a) Las reacciones en el empotramiento se obtienen al analizar el equilibrio del DCL de la viga completa. y
q=1.5 kN/m 2 kN·m
Mo
Ox
x 45
Oy 3m
1m
1m
4 kN
Sustituyendo la fuerza distribuida por su resultante,
y
4.5 kN 1.5 m 2 kN·m
Mo
Ox
x 45
Oy 5m
4 kN
Aplicando las ecuaciones de equilibrio,
Fx 0 Fy 0 MO 0
Oy 4sen 45 4.5 0 M O 4.5 1.5 2 4sen 45 5 0
Ox 4 cos 45 0
131
Ox 2.83 kN Oy 1.67 kN M O 5.39 kN m
c) Ahora, conocidas todas las fuerzas externas, se divide la viga y se analiza el equilibrio del DCL de cualquiera de las dos partes resultantes, y
y
q=1.5 kN/m
q=1.5 kN/m
2 kN·m
Mo
M
x N
V
Ox
Oy
V
x
N
45
M
1m
4 kN
2m
Nótese que la parte izquierda de la viga, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y viceversa, por lo cual fue necesario incluir las fuerzas tangencial V y normal N a la sección de corte, así como también el momento M. Obsérvense los sentidos contrarios para N,V y M al considerar las dos partes de la viga.
Reemplazando la fuerza distribuida, en cada parte de la viga, por una fuerza concentrada, 0.5 m
y
y
3 kN 1m
Mo
1.5 kN
M
V
2 kN·m
x
N Ox
x
Oy
N
45°
V
M
4 kN
2m
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la parte izquierda de la viga, Fx 0 Ox N 0 Fy 0 Oy V 3 0 M corte 0 M MO Oy 2 3 1 0
N Ox 2.83 kN V Oy 3 1.33 kN M 5.73 kN m
El signo negativo para V indica que el sentido correcto es contrario al propuesto en el DCL. ¿Cuál es la idea y el propósito del método de secciones?
132
Problema 162. Hallar las fuerzas internas en la sección AA ubicada en el centro de una barra cargada como se muestra en la figura. La fuerza Q pasa por el centro de la parte derecha de la barra; la fuerza F se encuentra en el plano xy ; la fuerza P es paralela al eje z . La longitud de la mitad derecha de la barra es equivale a b , y su peralte es igual a h .
y
Q F
A
O
x h
b z
A P
Solución. Primero se calculan todas las fuerzas externas que actúan sobre la barra completa lo cual resulta de analizar el equilibrio del DCL de la barra; nótese el empotramiento de la barra en O.
133
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, Fx 0 ROx F cos 0 Fy 0 ROy Q F sen 0 Fz 0 ROz P 0 M x 0 M Ox P 12 h 0 M y 0 M Oy P 2b 0 3 M z 0 M Oz Q 2 b F sen 2b 0
ROx F cos ROy Q F sen
ROz P M Ox 12 hP M Oy 2bP M Oz 32 bQ 2bF sen
Ahora se divide la barra y se analiza el equilibrio del DCL de la parte izquierda. Nuevamente obsérvese que la parte izquierda, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y viceversa, por lo cual es necesario incluir las fuerzas tangenciales Vy y Vz , la fuerza N normal a la sección de corte, así como también los momentos M x , M y y M z .
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, Fx 0 N ROx 0 Fy 0 Vy ROy 0 Fz 0 Vz ROz 0 M x 0 M x M Ox 0 M y 0 M y M Oy ROz b 0 M z 0 M z M Oz ROy b 0
N ROx F cos Vy ROy Q F sen
Vz ROz P M x M Ox 12 hP
M y M Oy ROz b bP
M z M Oz ROy b 12 bQ bF sen
Por lo tanto, en la sección AA actuarán: dos fuerzas tangenciales, Vy y Vz , una fuerza normal a la sección, N , y tres momentos, M x , M y y M z ; el primero de dichos momentos crea una torsión
134
alrededor del eje longitudinal de la barra (eje x ), mientras que los otros tienden a flexionar la barra. Resumen del método de secciones: 1. Dibujar el DCL del cuerpo de interés. Dado que las deformaciones permisibles son pequeñas en comparación con las dimensiones del cuerpo, el DCL contiene las dimensiones iniciales y se ignoran las deformaciones (principio de la rigidez relativa). 2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas externas desconocidas. 3. Cortar el cuerpo en la sección de interés mediante un plano imaginario; dibujar el DCL de una de las partes resultantes, y aplicar el paso 2. COMENTARIO. Para calcular las fuerzas internas en una sección cualquiera se recomienda trabajar con aquella parte, de las dos en que se dividió el sólido, que exhiba la mayor simplicidad en cuanto al número de fuerzas y momentos aplicados, siempre que sea posible. A manera de comprobación se puede trabajar con la parte menos simple para verificar los resultados obtenidos.
5.2 COMPONENTES DE FUERZAS INTERNAS. De acuerdo con el teorema sobre la reducción fuerza-par, es posible trasladar el sistema de fuerzas internas, que se encuentran distribuidas por la sección de corte, a un punto (por ejemplo, al centroide de la sección de corte) y como resultado se obtendrá en cada lado de la sección un vector principal R y un momento principal M . Supóngase que se coloca un sistema de coordenadas con origen en el centroide C de la sección de corte y los vectores R y M se descomponen según sus componentes en las direcciones de los ejes coordenados como se muestra a continuación.
135
Las componentes del vector principal R y del momento principal M se asocian con efectos físicos importantes, sobre la deformación del cuerpo, lo cual se manifiesta en el nombre que se le asigna a cada componente:
La fuerza normal (o axial) N es la suma de las proyecciones de todas las fuerzas internas que actúan en la sección sobre la normal a la sección. La fuerza normal se desarrolla siempre que las fuerzas externas tiendan a alargar (o comprimir) el cuerpo según su eje longitudinal (eje x ).
Las fuerzas cortantes Vy y Vz son las sumas de las proyecciones de todas las fuerzas internas en la sección sobre los ejes centroidales y y z de la sección, respectivamente. Las fuerzas cortantes aparecen cuando las fuerzas externas tienden a provocar un desplazamiento relativo (corte) entre las partes del cuerpo a ambos lados de la sección.
El momento torsionante M x T es la suma de los momentos de todas las fuerzas internas en la sección respecto al eje longitudinal del cuerpo. El momento torsionante se desarrolla cuando las fuerzas externas tienden a torcer el cuerpo a lo largo de su eje longitudinal.
Los momentos flexionantes, M y y M z son las sumas de los momentos de todas las fuerzas internas en la sección respecto a los ejes centroidales y y z de la sección, respectivamente. Los momentos flexionantes aparecen cuando las fuerzas externas tienden a flexionar el cuerpo respecto a los ejes x e y.
Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas externas que actúan en un sólo plano, por ejemplo en el plano xy , entonces unicamente tiene sentido hablar de la fuerza normal, N , la fuerza cortante, V , y el momento flexionante M , como se muestra en la siguiente figura: y
V
M
N
z
p la n o p o s itiv o
M
x
p la n o n e g a tiv o
136
V
La siguiente es una vista de la figura anterior.
5.3 CÁLCULO DE FUERZAS INTERNAS. Problema 163. Determinar las fuerzas internas que actúan en la sección a a , que se encuentra a la mitad de la línea AB , de la barra ABC del marco de tres barras que se muestra en la figura.
Solución. Primero es necesario calcular todas las fuerzas externas que actúan sobre la barra completa, lo cual se obtiene del equilibrio de DCL de la barra.
137
Fx 0 Fy 0 MA 0
Ay FBD 3 0 FBD 6 kN, Ax 0, Ay 3 kN. FBD 200 3 400 0 Ax 0
Ahora, conocidas todas las fuerzas externas, se divide la barra y se analiza el equilibrio del DCL de cualquiera de las dos partes resultantes,
Obsérvese que la parte izquierda, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y viceversa, por lo cual es necesario incluir las fuerzas tangencial V y normal N a la sección de corte, así como también el momento M . Nótese los sentidos contrarios para N , V y M en las partes de la barra. La parte izquierda es la más simple porque sólo incluye la acción de una fuerza externa (la parte derecha involucra dos fuerzas externas). Analizando el equilibrio de la parte izquierda,
Fx 0 N 3sen 0 Fy 0 V 3cos 0 M aa 0 3 0.1 M 0
N 1.54kN V 2.57 kN M 0.3 kN m
El signo negativo obtenido para el momento M indica que su sentido correcto es contrario al asumido en el DCL.
138
Problema 164. Para la siguiente estructura plana, calcular las reacciones y determinar la fuerza normal N, la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la sección transversal a-a. Mostrar en un diagrama de cuerpo libre la magnitud y el sentido correcto de estas fuerzas internas calculadas. 100 kN 1200 mm 1800 mm a 900 mm a 600 mm
50 kN 1500 mm
A
B
Problema 165. Una estructura está construida a partir de tres barras unidas rígidamente entre sí: AD, BC y DE. Determine: a) las reacciones en los apoyos C y E; b) las fuerzas internas sobre la sección correspondiente al punto O. 3m w = 1.6 kN/m P= 5 kN A
B
D
O
1.8 m
w0 = 2 kN/m
1.4 m 3.6 m
C
E 2m
139
5.4 ARMADURAS. Se llama armadura a una estructura rígida construida a partir de barras rectas unidas en sus extremos en arreglos triangulares estables. Las siguientes son ejemplos de armaduras para diferentes aplicaciones.
Problema 166. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las barras BC, HC y HG.
140
Problema 167. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las barras BC, BG y HG.
Problema 168. Mediante el método de los nudos, determine las fuerzas en cada una de la barras de la siguiente armadura. La fuerza inclinada de 400 N es perpendicular a la cuerda AC.
141
Problema 169. Determine las fuerzas axiales en los miembros BC, EF y EC de la siguiente armadura. Aplicar el método de secciones. P1=15 kN C
B
P2=5 kN 4m
A
E 3m
D
F 3m
142
3m
5.5 DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS. ANÁLISIS DE VIGAS Convenio general de signos.
Fuerza normal. Si la fuerza normal, N , produce tensión se considera como positiva; de otra manera, cuando produce compresión, se toma como negativa.
Momento torsionante. Si el momento torsionante, tiene la misma dirección que la normal exterior de la sección de corte se toma como positivo; si las direcciones son contrarias el momento se considera negativo:
Fuerza cortante. Una fuerza cortante, V , que actúa en la parte izquierda de la sección de corte y está dirigida hacia abajo, o una fuerza cortante que actúa en la parte derecha de la misma sección y está dirigida hacia arriba, se toman como positivas.
143
Momento flexionante.
144
Relación entre la carga distribuida q , la fuerza cortante V, y el momento flexionante M en una viga. Problema 170. Demostrar los siguientes teoremas: a) La derivada de la fuerza cortante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la intensidad de la carga distribuida:
dV q . dx b) La derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la fuerza cortante: dM V . dx c) La segunda derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la intensidad de la carga distribuida: d 2M q . dx2
Para las demostraciones analice el equilibrio del elemento de viga de longitud dx que se muestra en la siguiente figura:
145
Problema 171. Trazar el diagrama de fuerza normal, para la siguiente barra sometida a cargas axiales.
y l=1 m F2=120 kN
F3=100 kN
F1=80 kN x
6.5 l 0.5 l
2.5 l
3.5 l 80 kN
80 kN 60 kN
+
+ 40 kN
40 kN
146
Problema 172. Trazar el diagrama de momento torsionante para el eje BE.
147
Problema 173. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga.
P
y
x L 2
L 2
P
y
x P 2
L 2
L 2
P 2
V
P 2
x
M
PL 4
P 2
x
148
Problema 174. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga.
y
M0 A
x
B
L 2
L 2
C
y
M0 x
M0 L
L 2
L 2
M0 L
V
x
M0 L M
M0 2 x
M0 2
149
Problema 175. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga.
y
w x B
A
y
w x
wL 2
wL 2
L V
wL 2
x
M
L 2
2
wL 8
wL 2
x
150
Problema 176. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga.
w
y
x B
A
L 2
C
L 2
y
w x
7 wL 24
L 2
L 2
11 wL 24
V
7 wL 24
M
1 wL 24
13 wL 24 5 wL2 48
121 wL2 1152
x
11 wL 24
x
151
Problema 177. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente viga.
19 kN
y
3 kN/m
x B
A
2m
C
D
2m
2m
y 19 kN
8 kN m
3 k N /m x
13 kN
2 m
2 m
2 m
V 6 kN
x
13 kN
M 8 kN m
x 6 kN m 18 kN m
152
Construcción de los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes mediante los puntos característicos. Con base en los ejemplos anteriores se pueden obtener conclusiones acerca de la interrelación entre la carga y la configuración de los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes: 1) En los tramos en que el momento flexionante es constante (flexión pura), la fuerza cortante es nula. 2) En los tramos libres de cargas uniformemente distribuidas, la fuerza cortante es constante y el momento flexionante varía según una ley lineal, es decir, siguiendo una recta. 3) En los tramos con carga uniformemente distribuida, la fuerza cortante varía según una ley lineal y el momento flexionante siguiendo una parábola. 4) En los ´puntos de aplicación de fuerzas concentradas, en el diagrama de fuerza cortante se producen saltos cuya magnitud es igual a la de las fuerzas. 5) En los puntos de aplicación de pares concentrados, en el diagrama de momentos flexionantes se producen saltos iguales a las magnitudes de estos pares. 6) En los puntos en que la fuerza cortante es nula, el momento flexionante toma un valor extremo, máximo o mínimo.
153
Problema 178. Construir los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga.
154
Problema 179. Construir los diagramas de los momentos flexionantes, en los planos vertical y horizontal, y del momento torsionante para el eje sujeto a las condiciones de carga que se muestran en la figura.
155
5.6 MARCOS. Problema 180. Construir los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flexionante para el siguiente marco.
3m w = 1.6 kN/m P= 5 kN A
B
D
O
1.8 m
w0 = 2 kN/m
1.4 m 3.6 m
C
E 2m
156
