Bisectriz de un án gulo (semirrecta que pasa por el vértice del ángu lo y lo divide en dos ángu los iguales) Traza r la bisectriz del ángulo d e vértice O y lados a y b.
Se traza u n arco de centro en O y se obtienen los puntos A y B.
1
2
a
Con ra dio AB se dibu jan dos ar cos con centros en A y B. La int ersección d e éstos arcos es el pun to M.
3
a
La recta que p asa por O y M es la bisectriz d el ángu lo formad o por las semirrectas a y b.
4
a
A
a
A
A M
b
O
b
B
O
M b
B
O
b
B
O
Justifícalo matemáticamente.
Paralela a una recta pasando por un punto dado Trazar la paralela a la recta a que pase por el pu nto B.
Se traza u na recta que p ase por B y corte a la recta a en A. Con ra dio BA y centros B y A se traza n dos arcos c y d. C es el punto d onde c corta a a .
1
2
B
Con centro en A se dibuPor los pun tos B y D pasa ja una circu nfer en cia uti- la recta b para lela a la reclizando como radio BC. ta a . ¡Justifícalo!. Donde ésta corta al arco d se obtiene el pun to D del mismo lad o que B respecto de A.
3
4
B
B
c a
para obtener esta par alela es el siguiente : Otro método
d
C
a
D
C
a
Utilizand o los métodos antes d escritos, por B se traza la perpend icular m a la recta a.
a
D
d
A
B
B
b
A
a
m
A
Por el punto B se traza la perpendicular b a la recta m . La rectas b y a son paralelas ya que son perpend iculares a una misma recta m .
B
b
C
a
m
Tangente a un a circunferencia e n un punto de la misma Trazar u na recta que pase por B y sea tangente a la circunferencia de centro O.
1
Con centro en B traz amos una circunferencia que cort a la recta BO en M y N.
2
Con una misma abertura Por los puntos P y Q pasa del compás se dibujan dos la recta tangen te en B de la circunferencias, con cencircunferencia de centro O. tros en M y N , que se cortan en P y Q.
3
4
P M
B
M
B N
O
Fascículo 27 • Arte y arquitectura
Q O
215
P M
B N
Q O
B N O
se basa en que la tangente a u na circunferencia en un pun to de la misma, es perpend icular al radio que pasa por dicho punto. Otro método
Con Los Element os de Euclides qu edó establecida la utilización d e la regla y el comp ás en la geometría y, por ende, en el dibujo y la arquitectura. El gran arquitecto e ingeniero m ilitar rom ano, Vitru vio (s. I a.C.), escribió al respecto en sus Diez libros de Arquitectura: “Es la Arquitectura u na ciencia que debe ir acomp añad a de otros m uchos conocimientos y estu dios, merced a los cuales juzga d e las obras de todas las artes qu e con ella se relacionan. Esta ciencia se ad qu iere por la prá ctica y la teoría (...). Debe, pues, éste (un arqu itecto) estud iar Gram ática; tener aptitu des para el Dibujo; conocer la Geometría; no estar ayuno d e Óptica; ser instruid o en Aritmética y versado en H istoria; (...). Le será de gra n ayu da la Geometría, qu e le adiestrará especialmen te en el uso de la regla y el compás, con cuyo auxilio trazará m ucho m ás fácilmente las plantas de los edificios, y sabrá levantar a escuad ra y a nivel los planos d e ellos.” Dos milenios desp ués, otro gran arq uitecto Le Corbusier (Charles-Edouard Jeanneret, Su iza, 1887 - 1965 ), en su trat ad o sobre El M odulor (1948) tam bién se refirió al comp ás en lo siguientes térm inos: “... y escribí en mi cuad erno d e notas: El azote de la arqu itectur a es el comp ás (no el d e Copérn ico), el comp ás d e las Bellas Artes, indiferente a las m edid as...”
Const r ucción de pol ígonos r egul ar es Caso n = 3 (triángulo e quilátero) Dado u n segmento AB, dibujar un triángulo equilátero.
Con radio AB y centro A se traza un arco.
1
Con rad io AB y centro B se traza otro arco que corta en C al arco dibujado en el pa so 2.
2
El triángu lo ABC es equ ilátero por tener sus tres lados iguales.
3
4
C
A
B
A
B
A
B
Ca s o n = 6 ( h e x á g o n o r e g u l a r ) A partir de u na circunferencia de rad io OA se pued e construir un hexágono con lado de m edida OA. Utilizand o el valor del rad io OA y centro en A cortamos la circunferen cia en B. Si efectuamos lo m ismo en B obtenemos C y a sí sucesivamente hasta volver a A.
A
B
O
A
O
B C
A
216
B
O
D
E
AB=BC=CD=DE=EF=FA=OA Fascículo 27 • Arte y arquitectura
C
A
F
Con lo que has visto en este fascículo y con u na regla y un compás, ¿pu edes dibujar un cuadrad o (n=4) de lad o AB?
Art e y a rq u it e ct u ra
El Hombre de V itru vio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci (Italia, 1452-1519) realizado en un o d e sus d iarios (c. 1490). Representa u na figura masculina d esnud a en dos p osiciones sobreimpresas de brazos y p iernas e inscrita en un círculo y un cuad rado. También se conoce como el canon d e las proporciones hum anas. El redescubrimiento de las proporciones matemáticas del cuerpo hum ano en el siglo XV por Leonardo y otros autores, está considerad o uno d e los grandes logros del Renacimiento. El dibujo también es a m enud o considerado como un símb olo de la simetría básica del cuerpo hu man o y, por extensión, del un iverso en su conjunto.
Const r ucción de pol ígonos r egul ar es Caso n= 5 (pen tágono regu lar) Dibujar un p entágono regular inscrito en un a circunferencia d e rad io OA .
1
Con rad io AO y centro A se traza u n arco que corte a la circun ferencia inicial en P y Q.
2
El segmen to PQ corta a AO en su pu nto medio M. Se traza la perp end icular a OA que p asa por O y se d etermina C.
3
P
A
A
O
A
M
Q
Con longitud CD y centro en C se corta la circun ferencia inicial en F e I. Los segmentos CD y O D son, respectivamente, los lados del pentágono y del decágono regu lar.
5
A
O
1
C
A
O
D
I A
F
O
N
I A
G
La relación F
O
D
HF = φ ≈ 1,61803 HG C
R
K H
O
El pentágono estrellado fue utilizado p or los pitagóricos. En el pentágono regular la relación de la d iagonal HF al lado H G es el nú mero de oro.
C L
F
M
Q
Q
6
C
P
Con d istancia CF se trazan los puntos G y H que Para dibujar un d ecágono son los d os vértices fal(n=10) se toma el pu nto J tantes del pentágono del diámetro opuesto a C regular CFGHI. y con abertur a CF hallamos los p un tos K, L, N y R.
C
I
4
C
P
O
Con longitud MC y centro en M se traza un arco que corta a OA en D.
I H
G
A
F
O
J
H
G
El nú mero 1,61803..., llamad o nú mero de oro, es designado usu almente con la letra griega φ (Fi), letra in icial d el nom bre del escultor griego Fidias quien lo tuvo p resente en mu chas de sus obras. Reconstrucción de los templos de Atenea y Zeus cuyo d iseño es atribuido a Fidias.
En varios d e los ejemp los anteriores hay otros p rocedim ientos par a ejecutar las construcciones geométricas realizadas. Por otra p arte, es necesario señalar que tam bién existen otros instrum entos de dibu jo, además d e la regla y el compás, como las escuad ras, el transp ortad or, etc.
Fascículo 28 • Arte y arquitectura
218
Hoy en día estos instrumentos tienen un carácter did áctico, pu esto que los p rofesionales, en general, los han substituido por el uso d e las compu tadoras.
¿ Se pue de construir cua lquier polígono regular d e n lados con el sólo uso de la re gla y el compá s? ¿Qué s ignifica constr uir en m atem ática u tilizando ú nicame nte la re gla y el compá s? Se sup one qu e la regla no gr adu ada (sin escala) sólo se usa par a dibu jar rectas y segmentos pero no par a med ir ni transportar d istancias ni subd ividir segmentos, y que el compás se utiliza para trazar circun ferencias de centro en u n p un to dad o que p asa por otros pun tos prefijados, pero no para transpo rtar d istancias. El título d e constr ucciones geométricas con regla y comp ás en matemá tica no alud e al problema de d ibujar figuras con cierto grado d e exactitud, sino d emostrar qu e se pu ede ha llar la solución teórica sobre la base de qu e los d os instru men tos tienen u na precisión exacta. Desde un pu nto d e vista práctico, para el dibu jo de figuras se emp lean las reglas gradu adas y el transp ortad or, el cual es un excelente instrum ento p ara med ir y d ibujar ángu los. Existen métodos d e aproximación p ara dibujar de man era aceptable polígono s regulares e inscribirlos en circunferencias. Ad emás, el uso de programas informáticos permite hacer múltiples construcciones con g ran precisión No entend er la diferencia entre lo que es la “concepción y d emostración teórica” versus “el dibujo práctico” permite la presencia, en tod os los tiemp os y lugares, de “los cuad rad ores d el círculo”, “los trisectores de án gu los” y los “du plicadores del cubo”.
Estatu as de Ca rl F. Gauss y Wilhelm Weber en la ciudad de Gotinga, Alemania.
La respu esta a la pregun ta antes formulad a es: NO. Por ejemplo, los polígonos regulares de tantos lad os como los nú meros p rimos 7, 11 y 13 no se pu eden constru ir con el sólo uso d e la regla y el compá s, por lo tanto, estos polígonos no se pu eden inscribir en un a circunferencia con el solo uso d e estos instrumentos. En cambio, el polígono regu lar d e 17 lad os (eptad ecágono) si es factible hacerlo. Este resultad o lo dem ostró (1796) el gran m atem ático, astrón omo y físico alemán Karl F. Gauss cuan d o tenía diecinueve años de edad, lo cual lo entusiasmó tanto que renunció a su intención de hacerse filósofo y resolvió d edicarse a la matemática y su s aplicaciones. Luego d e su m uerte se erigió en Gotinga, ciud ad d ond e trabajó y falleció, un a estatua d e bronce en la que el pedestal tiene la forma de u n epta decágono. El teorema d emostrad o por Gauss es el siguiente: Un p olígono regu lar de n lados es posible constru irlo con regla y comp ás, si y sólo si n es de u na d e las formas sigu ientes: a) n= 2m , donde m es un entero ≥2, cond ición qu e cump len los cuad rad os (m=2), octógono s (m=3), 16-ágono s (m=4), etc. b ) n = 2m p j dond e m es un entero ≥0 y j≥1, los núm eros p j son nú meros primos de Fermat, que son nú meros d e la forma Fi = 22i + 1 dond e i es un entero ≥ 0. Como el primer núm ero de Fermat es F0= 3 enton ces d e (b) se ded uce que trián gu los equiláteros, hexágono s, dod ecágonos, en general los polígonos regu lares de 3.2m lados, se pu eden construir con regla y compás; El segund o núm ero de Fermat es F1= 5 por lo que los polígon os regulares de 5.2m lados también se pu eden construir con regla y compás (los pentágonos, decágonos, ..., en general cumplen con esta condición). Consecuentem ente se aplica esta misma regla al resto de los núm eros de Fermat. En cambio, como los núm eros primos 7, 11, 13 no son nú meros de Ferma t, al no cump lir con la cond ición señalada , los polígonos regulares con esos nú meros d e lados no se pu eden constru ir sólo con el emp leo de regla y comp ás. Fascículo 28 • Arte y arquitectura
219
D ibujando mat emát icament e El dibujo es la representación g ráfica p or m edio d e líneas o sombras sobre u na sup erficie generalmente plana, d e objetos reales o imaginarios o de formas p uram ente abstractas. El delineado de la forma representa la base de todas las artes visuales (incluso la escultur a), de allí que el dibu jo constituye una rama de estudio importante en las escuelas de arte y arquitectura, así como en las de ingeniería. Para el d ibujo de objetos qu e tengan un a relación exacta con la realidad , se han desarrollado varias técnicas y establecido reglas de u so necesario cuand o se quiera representar sobre papel un a idea, diseño o proyecto que luego será construido de acuerdo con las ind icaciones allí señaladas. El concepto d e escala es fund amental p ara realizar la representación gráfica de cualquier elemento, pu es su uso p ermite mostrar fielmente en un a hoja d e papel de u n tamaño determinado, un microchip, un tornillo, una casa o una ciud ad. Escala es la relación nu mérica o gráfica qu e existe entre la realidad y el dibu jo. La escala numérica se representa como D:R, don de D es el tamaño en el dibujo y R su tamaño en la realidad. Por ejemplo: 1:100.000 significa que 1 cm en el dibu jo rep resenta ap roximad amen te 100 000 cm (1 000 m ó 1 km ) en la realidad . 1 c m
en escala 1:100 equivale a un cuadrad o de 1 m d e lado. 1 cm equiv ale a 100 cm (1 m). 1 cm
1 c m
en escala 1:25 000 equivale a un cuadrado d e 250 m d e lado. 1 cm equ ivale a 25 000 cm (250 m). 1 cm
La escala gráfica es frecuentem ente utilizada en m apas, planos y gráficos, por lo q ue al seleccionar u na d istancia cualqu iera en el dibujo es posible determinar con bastante exactitud su valor en la realidad . En el diseño asistido por comp utad ora, más conocido por las siglas inglesas CAD (Compu ter Aided Design), se utiliza básicamente una base de d atos de entidad es geométricas (pu ntos, líneas, arcos, etc) con la que se pu ede op erar a través d e un a interfaz grá fica. Dicha t écnica per mite, con la ap licación d e la denom inad a geometría alámbrica, esto es, con el uso de puntos, líneas, arcos, splines, superficies y sólidos, obtener un mod elo num érico en dos o tres dimensiones de un objeto o conjun to d e ellos. En la actualidad existen d iversos program as de CAD que le suministran herram ientas poderosas al usu ario, entre las que d estaca la posibilidad de v ariar la escala del d ibujo en el mom ento qu e se estime necesario.
220 Fascículo 28 • Arte y arquitectura
D ibujand o t écnicament e El dib ujo técnico es la representación gr áfica de u n objeto o un a idea p ráctica utilizand o reglas fijas y preestablecidas, p ara p oder describir, de forma exacta y clara, dimension es, form as, características y el mod o d e construcción de lo que se quiere reprod ucir. Para realizar el dibu jo técnico se requiere d e instru ment os d e precisión. En caso contrar io se den omina d ibujo a man o alzada o croquis.
Dibujo arqu itectónico
Tipos d e dibujo té cnico Con el d esarrollo indu strial y los avances tecnológicos el dibu jo técnico ha extendid o su camp o de acción. Los pr incipales son: Dib ujo arquitectónico: abarca una gama de representaciones gráficas con las cuales se elaboran los planos p ara la constru cción d e edificios, casas, qu intas, autop istas, iglesias, fábricas y puen tes. Incluy e los plan os de p lanta, fachad as, secciones, p erspectivas, fun d aciones, column as, detalles, entre otros. D i b u j o m e c á n i c o: se emp lea en la representación d e piezas o partes d e maq uin arias, vehículos, como grúa s y motos, aviones, helicópteros y máqu inas indu striales. Los planos que representan u n mecanismo simple o una máqu ina formada p or un conjun to de p iezas son conocidos como planos de conjun to, y p lanos de p ieza los qu e representan u n solo elemento. Los que se refieren a u n conjunto d e piezas con las indicaciones gráficas par a su ensamb laje en un todo son llamados planos de mon taje.
Dibujo eléctrico
Dib ujo eléctrico: se refiere a la rep resenta ción gráfica de inst alaciones eléctricas en u na ind ustr ia, oficina o viviend a o en cualqu ier estructura arqu itectónica qu e requiera de d icho servicio. Median te la simbo logía correspon dien te se representan acometidas, caja d e contad or, tablero pr incipal, línea d e circuitos, interru ptores, toma corrientes, salidas de lámp aras, entre otros. Dib ujo electrónico: represent a los circuitos que d an fun cionamiento p reciso a d iversos aparatos qu e en la actualidad constituyen u n ad elanto tecnológico como las computadoras, amplificadores, transmisores, relojes, televisores, rad ios, etc.
Dibujo geológico
Dib ujo geológico: se emp lea en geografía y en geología. En él se representan las diversas capas geológicas y los minera les conten idos en cada u na. Se usa en m inería y en exploraciones de yacimientos p etrolíferos. D i b u j o t o p o g r á f i c o: representa gráficamente las características de una determinada extensión de terreno mediante signos convencionalmente establecid os. Muestra los accid entes na tu rales y artificiales, cotas o med idas, curvas hor izontales y curv as de nivel. Dibu jo urbanístico: se emp lea en la organización d e ciud ades: ubicación d e centros urban os, zonas ind ustriales, bulevares, calles, avenidas, jardines, autopistas, zonas recreativas, entre otros. Allí se dibujan anteproyectos, proyectos, planos de conjun to, planos de d etalle.
Fascículo 28 • Arte y arquitectura
221 Dibujo topogr áfico
Geomet r ía d escr ipt iva La geometría descriptiva es la rama d e la geometría ded icada a la representación gráfica. En otras p alabras, dibu jar sobre pap el el espacio tridimensional, resolver en d os d imensiones los problemas espaciales garantizand o la reversibilidad del proceso.
e t n a t c e o y y o a r R p
e t n a t c e o y y o a r R p
C
A
Todos los sistemas d e representación tienen como objetivo plasmar sobre una superficie bidimensional, como es una hoja de pa pel, los objetos que en el espacio son trid imensionales. Con este propósito se han idead o a lo largo de la historia diferentes sistemas de representación, pero todos ellos cumplen una condición fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a par tir de u n objeto tridim ensional cada sistema p ermite una representación bid imensional d e d icho objeto, de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema d ebe permitir qu e se obtenga la posición en el espacio de cada u no d e los elementos d e dicho objeto.
e t n a t c e o y y o a r R p
B
A1
C1 B1 Plano de proyección
Proyección cilínd rica ortogonal
Tod os los sistemas se basan en la p royección d e los objetos sobre un plano d enominado p lano del cuad ro o de p royección mediante los d enominados rayos p royectantes. El núm ero de p lanos d e proyección u tilizados, la situación relativa d e estos respecto al objeto, así como la d irección de los rayos p royectantes, constitu yen las características que d iferencian a los d istintos sistemas d e representación.
C
A B
Sistem as de proyección
A1
Tal como afirmam os anteriormen te, en todos los sistemas de represent ación la proyección d e los objetos sobre el plano d el cuadro o d e proyección se realiza m ediante los rayos proyect a n t e s , líneas imaginarias qu e al pasar por los vértices o pu ntos d el objeto prop orcionan en su intersección con el plano d el cuad ro la proyección d e dicho vértice o pun to.
e t n a t c o e y y a o r R p
e t n a t e t c o e n y y a t a o c R r o e p y y a o R r p
C1 B1 Plano de proyección
Proyección cilínd rica oblicua V
Si tod os los rayos p royectantes son paralelos entre sí, se dice que su origen es un “p unto d el infinito” también d enominado “pu nto imp ropio”, en tal caso se tiene la proyección cilín drica. Si dichos rayos resultan perp end iculares al plano d e proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal; en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilínd rica oblicua.
Centro de proyección
e t n a t c o e y y a o r R p
C
A
Si todos los rayos proyectantes se cortan en un pu nto (”pun to prop io”) que es el centro de la proyección, estamos ante la pro yección cent ral o cónica también denominada perspectiva.
B
C1
A1 B1
Plano de proyección
222 Fascículo 28 • Arte y arquitectura
Proyección central o cónica
Tipos y cara cter ísticas Los diferentes sistemas d e representación pod emos d ividirlos en d os grand es grup os: los sistemas d e med ida y los sistemas representativos. Los sistemas de medid a son el diéd rico y el de p lanos acotados. Se caracterizan p or la posibilidad de realizar med iciones directamente sobre el dibu jo, para obten er, de forma sencilla y ráp ida, las dimen siones y posición d e los objetos del dibu jo. El inconven iente de estos sistemas es que no se p ued e apreciar, de un solo golpe d e vista, la forma y las p roporciones de los objetos representad os. Los sistemas representativos son el d e perspectiva axonom étrica, el d e per spectiva caballera, el d e perspectiva militar y d e rana , variantes d e la p erspectiva caballera, y el d e p erspectiva cónica o central. Se caracterizan por rep resentar los objetos mediant e una ú nica proyección, pud iéndose ap reciar, de un solo golpe d e vista, su form a y prop orciones. Tienen el inconveniente d e ser más d ifíciles de realizar que los sistemas d e med ida, sobre todo si comp ortan el trazado d e gran cantidad de curvas, además d e que en ocasiones es imp osible toma r med idas d irectas sobre el d ibujo. Au nqu e el prop ósito de estos sistemas es el de representar los objetos como los vería un observad or situad o en un a posición particular respecto al objeto, esto no se consigu e en su totalidad dad o que la visión hum ana es binocular, por lo que a lo máximo qu e se ha llegado concretament e, med iante la persp ectiva cónica, es a representar los objetos como los vería u n observ ad or con un solo ojo. En el siguiente cuad ro pu eden ap reciarse la características fun dam entales de cada un os de los sistemas de representación. Sistem a
Tip o
Plan os d e p royección
Sistem a d e p royección
Diéd rico
De m ed id a
Dos
Cilín d rica ortogon al
Plan os acotad os
De m ed id a
Un o
Cilín d rica ortogon al
Perspectiva axon om étrica
Rep resen tativo
Un o
Cilín d rica ortogon al
Perspectiva caballera
Rep resen tativo
Un o
Cilín d rica oblicu a
Perspectiva m ilitar
Rep resen tativo
Un o
Cilín d rica oblicu a
Persp ectiva cón ica
Rep resen tativo
Un o
Cen tral o cónica
Sistema d iédrico de p royección
Sistema de plan os acotados
A( x1,y 1,z 1) Cv
A( x1,y 1,z 1)
B(x2,y 2,z 2)
C
B(x2,y 2,z 2) C
C(x3,y 3,z 3)
z l a c i t r e v n ó i c c e y o r p e d o n a l x P 1
B
Bv z3
Av
A
B
A
x
z2
Bh
y2
Ah
Plano de proyección horizontal O (0,0,0)
Fascículo 28 • Arte y arquitectura
223
C h (z 3)
y3
x1
y
Bh (z 2)
y2
Ch
y3 y1
x
z2
y1
Plano de proyección O (0,0,0)
A h (z 1) y
C(x3,y 3,z 3)
Las per spect ivas z
z
120º
120º 120º
x
y
135º
90º x
135º
y
Perspectiva axonomé trica
Perspectiva caballera
Sobre los ejes x, y y z (que forman an gulos de 120º entre ellos) se traslada n los valores espaciales de cad a elemento, por ejemplo: la planta de un edificio, y se unen obteniénd ose ilustra ciones como la arriba mostrad a. Esta perspectiva es la imagen clásica generada por los programas CAD, por lo que muchos proyectos de arqu itectura se presentan con estas características.
Los ejes x y z forman un ángu lo de 90º; los ejes x e y y los ejes y y z f o r m a n u n á n g u l o d e 1 3 5 º . S e traslada n los valores espaciales de cada elemento y se unen obteniénd ose lo que se denom ina perspectiva caballera. Todos los valores se pu eden tomar directamente d el dibujo ya que son transferidos sin ningú n tipo de deformación.
F
Persp ectiva militar Los ejes x y z forman un ángulo de 90º; los ejes x e y y los ejes y y z forman án gulos variados sujetos al d ibujante. La imagen superior, realizada con esta técnica por Jan Corn elius Verm eyen (Holand a, c. 1500-1559), constitu ye la representación gráfica más antigua d e una v illa de la ciud ad d e Madrid, España. z
z
Persp ectiva cónica Al contrario de las anteriores d escritas, es un sistema de rep resentación realista ya que refleja la distorsión qu e sufren los objetos con respecto a la distan cia y la posición del esp ectador. Para conseguir este efecto el ilustra dor se vale de la línea d el horizonte (color magenta) y los pu ntos de fuga F . Es la u tilizada d esde el Renacimiento y la que le da p rofundid ad a p inturas como la de Tintoretto arriba mostrad a.
z
y
z
x
x y
Perspectiva axonométrica
Perspectiva caballera
x y
224 Fascículo 28 • Arte y arquitectura
x
Perspectiva militar
Perspectiva cónica
Art e y a rq u it e ct u ra
Temp lo Hatsh epsu t en el Valle de las Reinas, río Nilo. Egipt o.
Este fasciculo intenta establecer cierto paralelismo en el tiempo entre el desarrollo de la matem ática, las artes y la arqu itectura, especialmente en la cultura occidental, destacando, para cada una de estas áreas, hechos fund amentales que tuvieron lugar en los períodos considerados. La división periódica que p resentamos, basada en períodos extensos, responde m ás a una organización del conocimiento matemático con fines didácticos y de divulgación, y no como usualmente está escrita en los textos especializados en cada un o de los aspectos que se desarrollarán. Tal com o lo in dica Jesús Soto (Venez uela, 1923-2005) al com pa rar la actividad de los científicos con la de los artistas en cuan to a la realidad del un iverso: “...es la realidad sensible, son dos formas d e explorar, descubrir y explicar el un iverso, las cuales norm almente marchan paralelas”. Expedición a Punt . Mural. Templo Hatshep sut. Egipto.
Mat emát ica, ar t e y ar quit ect ur a a t r avés del t iempo Desd e la a ntigüeda d ha sta la a dopción del sistem a de num era ción de cima l en Europa (s. XIII) De acuerdo con la opinión de algunos
a textos de historia de la matemática (R. c i t á Mankiewicz), el testimonio más anti mguo de cálculo (contar) fue hallado en e t Swa ziland ia (África) y d ata d e 35000 a a.C. El mismo consiste de un hueso mperoné que trae marcado 29 hendidu ras a Lque se asemejan a "calendarios" utiliza-
dos hoy en día en Nam ibia para m arcar el paso del tiempo.
Tableta de barro cocido con una contabilidad cuneiforme (2400 a.C.).
e t El arte prehistórico no n arra, mu estra. r Muestra la realidad inmediata al ser a l hum ano, aquella que el hombre necesita E
dominar para poder subsistir en un entorno que le es hostil, al que ha de enfrentarse continuamente y de cuya hostilidad él mismo forma parte.
En este período se ed ifica la geometría, iniciada con los egipcios y continuada con los griegos. Destacamos la contribución de la escuela p itagórica, y entre éstas el conocido teorema de Pitágoras. Este teorema en casos par ticulares era conocido desd e antes. Así, en Babilonia (1800-1600 a.C.) se u tilizaba la r elación pitagórica, lo que aparece reflejado en la Tableta Plimpton 322, que permitía la construcción de ternas pitagóricas ((a,b,c) tales que c2= a 2 + b 2). Lo más resaltante fue la edificación axiomática de la geom etría, la imp lantación d e la dem ostración, del método axiomático, siendo la obra más destacada " Los Elementos" de Euclides (s. III a.C.) que se transformó en referencia de la geometría durante más de 2000 años. El matemático más importante d e la etapa griega fu e Arq uím ede s (ca. 287-212 a.C.) lo que expresa E. T. Bell como sigue: "Durante dos mil años no hubo nadie que p ud iera compar ársele (...). La matemática moderna n ació con Arquímedes y mu rió con él por no menos de dos mil años. Resucitó con Descartes y Newton".
El Arte Griego marca un r eferente para la civilización occiden tal que p erdu ra hasta nuestros d ías. Los mod elos griegos de la antigüed ad son tenidos como clásicos y los cánon es escultóricos y los estilos arqu itectónicos han sido recreados un a y otra vez a lo largo de la h istoria d e Occidente.
a r u t c e t i u q r a a L
La forma d e las obras de la antigüedad era, mayoritar iamente, la consecuencia de un propósito constructivo para hacer posible una actividad y la ap ariencia exterior de los edificios dependía sobretodo del sistema estructur al que soporta ba su cubierta (techo).
Fascículo 29 • Arte y arquitectura
Los sistemas de nu meración más antiguos fueron de tipo ad itivo no posicional. Los babilonios diseñaron un sistema de nu meración posicional de base 60. Fue largo el camino recorrido hasta adop tar el sistema de num eración decimal indo ar ábigo en la cultura occidental. Inicialmente se tienen los núm eros Kharoshthi (actual Pakistán y Afganistán) que ap arecen en inscripcione s del s. IV a.C. y que tenían símbolos especiales para uno, cuatro, diez y veinte (se constru yen ad itivamente n úm eros hasta cien). Gerberto (Francia, ca. 940-1003), quien fue Papa en 999, introdujo los números indo arábigos en Europa. La instalación definitiva de ese sistema de nu meración d ecimal se rea lizó en el s. XIII y a ello contribuyó el libro Liber A baci (1202) de Fibonacci, el cual in sistió en su uso.
El Zubdat al-Tavariq (el tesoro de la historia), manu scrito del s. XVI atribuído a Loqman, trata el aspecto esotérico de la cosmología mu sulmana y fue ilustrado con preciosas miniaturas tales como la de a rriba y representan el valor artístico de la cultura turcootomana.
Muchas edificaciones griegas, incluyendo el Partenón, tomaban la regla de oro p ara las proporciones en su diseño y construcción.
226
Varias edificaciones árabe como la mezqu ita, centro religioso, poseían domos d onde se r epresentaba el cielo con sus estrellas y planetas.
La e ta pa de l Rena cimien to (s. XV-XVI) Pre vio a l Renacim ient o, s. XIII y XIV, los principales aportes a la matemá tica en Europa lo realizaron Leonard o de Pisa, conocido como Fibonacci (Italia, ca. 1180-1250) y el inglé s Thom as Brawa rd ine (ca. 1290-1349), ad emá s d e Nicolás de Oresme (Francia, ca. 13231382) quien efectu ó la "rep resen tación gráfica de funciones" y demostró la divergencia de la serie armónica 1 + 1/ 2 + 1/ 3 + 1/ 4 +......
Grabado San Gerónimo en su estu dio (1514). Albrecht D ur er.
“El reto de u n pintor es rom per con la bidimensionalidad. Eso que lograron en su momento los renacentistas italianos con la per spectiva, ...” como lo expresa Mercedes Pard o. Perma nece el arte en cu anto a su característica de identidad pero se logra plasmar las tres dimensiones en un lienzo utilizando la persp ectiva, lo que tend rá lugar d urante el Renacimiento italiano (s XV).
El Renacimiento italiano inicia un a nueva concepción en Europa . El retorno al saber clásico se acompaña de u n deseo d e explorar nuevos estilos, nuevas ideas y nu evas vías de investigación. La interacción ent re el arte y la geometría, en p articular la u tilización de la persp ectiva, ilustra d e manera ejemplar esta renovación. El crecimiento económico de Europa obligó a la formación de p ersonas competentes en cálculo para el manejo de las transacciones financieras. En esta etapa destacan la resolución de la ecuación de grad o tres por Cardano (1501-1576), con s u obr a A rs M agna, y Tartaglia (1500-1567), y la de grado cuatro por Ludovico Ferrari (15221565). La reso lución d e esas ecu aciones y la notación algebraica fueron los avan ces más significativos del álgebra, desd e la época de los babilonios, pasand o por Diofanto de Alejand ría (ca. 200-284), quien escribió uno de los principales trabajos en la historia del álgebra, la Aritmética. El primer estudio de los núm eros imaginarios lo llevó a cabo Bombelli (1526-1573), conocidos hasta el s. XVIII como "númer os ficticios o imposibles" y posteriormen te núm eros complejos (Gauss).
Nicolás Copér nico (1473-1543) prop uso el sistema heliocéntrico donde plant eó que el univer so "gira" alred edor d el Sol, el cual fué pu blicad o en su libro De R evolutionibu s (1543). Est e progreso fue completado por Kepler (1571-1630), a inicios del s. XVII (1609), con sus famosas tres leyes sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
Copérnico. Jan Matejko.
Artistas d el Renacimiento como el arquitecto Brun elleschi, el pintor M asaccio, el escultor Don atello, los genios de Leonardo Da Vinci y de Miguel Angel, el pint or Rafael Sanz io, lograron transforma r la pintura, la escultura y la arquitectura. Del “espacio agregado” se pasó al “espacio sistema” (E. Panofsky), un cambio en la percepción del espacio en cuanto a la pintura.
Última Cena. Leonard o Da Vinci. Ty cho Brahe y R odolfo II. Eduardo Ender.
Se incorporan a la pintura temas históricos, personajes, el paisaje imitando la natu raleza, y hace su aparición la “naturaleza muerta” (pintura de anima les muert os, fru tas, flores, vasos, en gen eral objetos). El espacio se geometriza, se repr esenta la profundida d y se utilizan distintos planos, se da cierto movimiento a lo representado en el cuadro o en la El retorno al estilo clásico en la arqui- escultura. “La persp ectiva científica, tectura reposa sobre la obra d e Vitruvio el color veneciano, el movimiento y la De arquitectura y del estudio de cons- expresión se fueron incorporand o uno trucciones clásicas que se habían m ante- tras otro al u tillaje del artista, poniénnido a través del tiempo como el dolo en condiciones cada vez m ejores Partenón. par a representar bien lo que veía” (E.H. Gom brich). Fascículo 29 • Arte y arquitectura
En el barroco la arquitectura va frecuentemente unida al urbanismo. La ciudad se vuelve escenográfica. El palacio es el típico edificio de vivienda urban a par a las familias poderosas. El hotel es un tipo de vivienda un ifamiliar exenta y rodead a de jardines, burguesa. El templo es un sitio de rep resentación teatral.
La obra maestra d el barroco es el "imafron te" de la catedral de Mu rcia, España .
Mat emát ica, ar t e y ar quit ect ur a a t r avés del t iempo Del siglo XVII al XVIII El siglo XVII ma rca el na cimiento d e
a la "matem ática mod erna" y el s. XVIll c i t á el apogeo d e la ciencia. mEn el siglo XVII se consolida la not a e t ción algebraica (Descartes y Viète), a mque es la hoy en día utilizada . a L
Descenso de la cruz (1611-12). Pete r Paul Rubens (Aleman ia, 1577-1648). e t El barroco es un movimiento cultural r ao período d el arte que apareció en el l Eaño 1600, aproximad amen te, y que
llegó hasta el 1750. Se ubica entre los períodos Manierista y Rococó y lo sitúan entre el arte del Renacimiento y el neoclásico, en u n tiem po en el cual la Iglesia Católica tuvo que reaccionar contra nu merosos m ovimientos revolucionarios culturales que p rodujeron u na n ueva ciencia y nu evas formas d e religión (Reforma).
Jardines del Palacio de Versailles. Francia. a La arquitectura barroca se desa r u t rrolla desde el principio del siglo c e t XVII hasta dos tercios del siglo i uXVIII. En esta ú ltima etap a se d e qnom ina estilo rococó. Se m anifiesta r a a en casi todos los países europ eos Ly en lo que eran por aqu el entonces
las colonias de España y Portu gal en Am érica. Fascículo 29 • Arte y arquitectura
Durante el s. XVII ocurren progresos significativos que originaron var ias ramas d e la matemática, entre las que podemos destacar: · La geometría analítica como fusión del álgebra y de la geometr ía (Descartes y Fermat), lo que perm itió tratar los problemas geométricos con el uso de nú meros y ecuaciones a trav és de la u tilización de los sistemas d e coordenadas. · La creación del cálculo infinitesimal (Leibniz y Newton) y la dinámica de Galileo y New ton, conocida como mecánica newtoniana. Esta evolución de la ma temática y la física cond ujo a un cam bio en la concepción del espacio y de su estud io, tal como ocurr ió en la pintura, la escultura y la arquitectura. · La s p r o ba b il id a d e s y e l a n ál is is combinatorio (Fermat y Pascal). · La lógica matemática (Leibniz).
El s. XVIlI es el d e la fam ilia Bemo ulli (suizos) y el de Euler (Suiza, 17071783), la figura d ominan te de la matemá tica desde 1727, cuand o tenía dieciocho años, hasta 1783. Pero, igualmente se tiene la publicación de la Enciclopedia consistente d e 35 volúmenes (París, 1751), la obra de Lavoisier en la quím ica y la d e Linneo y el conde Buffon en biología. Ha cia finales d e siglo, Monge escribe la geometr ía descriptiva (1795) en donde clarifica los principios de esta rama d e la geometría, la cual venía en sus orígenes remotos de la persp ectiva creada por los artistas y a rquitectos del Renacimiento.
En el surgimiento d el barroco d os hechos son d ecisivos: la afirma ción de los estad os nacionales y la consagración d e la monarqu ía absoluta de derecho divino, como forma de gobierno en ellos.
Toma de La Bastilla (1793). Char les Thévenin (Francia, 1764-1838).
En la historia del mun do occiden tal, la revolución francesa (1789-1801) significó el tránsito d e la socieda d feud al a la capitalista, basada en u na economía de mercad o. La burgu esía, consciente de su pap el preponderante en la vida económica, desplazó del poder a la aristocracia y la mon arqu ía absolut a. Estos cambios se reflejaron directamente tanto en el arte como en la arqu itectura del siglo XVIII.
Escultura en p arque bar roco. Italia.
En Roma la arquitectura bar roca renovó am pliamente las áreas centrales con u na revisión urb anística mu y imp ortante. La u tilización de elementos rectangulares simplifican la estructura pero la profusión d e la ornamentación le dan un carácter recargado a toda la edificación. Se incorpora la concepción d el paisa jism o en parqu es y jard ines.
Galería Vittorio Emmanuelle (Milán, Italia, 1865-78).
Esta galería diseñada por Giuseppe Mengoni, utilizando cúpulas, techos curvos y planta en forma de cruz, resume los mayores aportes de la burguesía del momento al am biente urban o.
El siglo XIX A comienzos d el s. XIX emp ezaron a formularse geometrías diferentes de la euclidiana, lo que producirá en matemática una ruptura epistemológica (un salto cua litativo). Así, Nikolai Lobatchevski (1739-1856) pu blica en 1838 sus Nuevos fundamentos de la Geometría y en 1840 su Teoría de las paralelas. Por su pa rte, Janos Bolyai (1802-1860) elabora su Ciencia Absoluta del Espacio con principios análogos a los de Lobatchevski. La creación de las geometrías no euclidian as prod ujo un cambio de concepción en el pensamiento matemático y los matemáticos adquirirán m ayor libertad en cuanto a la creación m atemática.
Hechos relevantes en este siglo: • La creación d e la lógica simbólica moderna por George Boole (18151864). • La teoría de "multiplicidad es" (espacios de más de tres dimensiones) de George Riemann (1826-1866) que, con la sistematización de la geometría realizada por Félix Klein (1849-1925) en el denominado "Programa Erlangen" utilizando la llamada teoría d e grup os, constituyó otro salto cua litativo en ma temática: lo que interesa en u na geometría son los invariantes, esto es, lo que p erman ece en las transformaciones geométricas y n o ún icamente la forma ni la identidad d e los entes geom étricos.
Hay makers r estin g (1891). Camile Pisar ro (1830-1903).
El acantilado de Eterat después de la tormenta (1869). G. Courb et.
El romanticismo que caracteriza los inicios de siglo y pasa al realismo de Gustave Courbet (1819-1877) y Jean François Millet (1814-1875) de med iados de siglo. Según Courbet “La pintu ra no puede consistir más que en la representación d e las cosas reales y existentes: un objeto abstracto, no visible ni existente, no pertenece al camp o d e la pintura”.
Torre Eiffel diseñado por Gustave Eiffel para la exposición d e 1889. Paris, Francia.
La máxima expresión d e la arquitectura del h ierro que caracterizan al siglo XIX son las construcciones para las exposiciones universales. La torre Eiffel (1889) es una construcción-estructura a partir de elementos p refabricados en serie. Este tipo de constru cciones "por p iezas" se pueden m ontar y desmontar, trasladar e instalar en otra ubicación. Fascículo 29 • Arte y arqu itectura
• El genio de E. Galois (1811-1832) creó una d e las teorías más fecundas d e la matem ática, la teoría de gru pos, que tiene repercusión importante en la física y la que permite explicar la simetría tan utilizada por los artistas y arquitectos desde tiempos remotos. Ya en 1829 el matemático noruego Niels H. Abel demostró, de man era general, que las ecuaciones de grad o quinto no se pueden resolver utilizando radicales, y la teoría de grupos perm itió dilucidar completamente el problema de la resolución por rad icales de las ecuaciones algebraicas.
Las recogedoras de heno (Salón 1850). J.F. Millet.
Tower bridge (1894). Londre s, Inglaterra.
La incorporación d el acero, consecuencia de la revolución ind ustrial, combinad o con los cálculos estructur ales que incorporan los aportes ma temáticos y físicos de la época, permiten lograr alturas y longitudes n unca antes imaginadas. La utilización de cónicas, triángulos y curvas en las estructuras y edificaciones le dieron u na característica particular a estas construcciones.
En la segund a m itad d el s. XIX hace su aparición el impresionismo qu e busca nuevas formas d e expresión, desprendiéndose de los temas de inspiración narrativa e histórica y se interesa p or la relación ent re la luz y los colores. Destacan C. Monet, E. Degas, Toulouse Lautrec, A. Renoir, C. Pisarro y P. Cezan ne.
Palacio de Cristal diseñado por Joseph Paxton par a la exposición de 1851. Londres, Inglaterra.
El acero, el vidrio y el concreto fu eron los materiales que sirvieron de apoyo para lo que luego se denominaría arquitectura mod erna.
El siglo XIX a • c i t á m e t a m a L
La creación de la teoría de conjuntos • Comienza a delinearse la topología de p arte de Georg Cantor (1845-1918) y en ella se consideran cuerpos y y los trabajos de Richard Dedekind sup erficies distintas de los poliedros (1831-1916) en cua nto a los nú meros y de los cuerpos redondos (esfera, reales (racionales e irracionales), cilind ro, ...). Se tr abaja con d efornúm eros utilizados desde la época de maciones, como las que se hacen los griegos, que son la base del cálculo con la plastilina y el cau cho, y lo iminfinitesimal de N ewton y Leibniz, y portante en esas deformaciones es de los que no se había formulado u na lo que queda inva riante (las prop ieteoría rigurosa. Estos trabajos tuvieron dades que no se alteran). Se crean bastante impacto en la matemática. objetos geom étricos con característiSin embargo, la prop ia teoría cantoriacas bien distintas d e las sup erficies na d e conjuntos p resentaba algunas clásicas, como la banda o cinta de lagunas que hacían dudar de la Moebius (que tiene u na sola cara), validez de ciertos razonam ientos, y y la botella de Klein. Más que el así surgieron "conjuntos parad ójicos" objeto en sí, que su forma, lo que que d ieron base hacia fines del siglo interesa es su naturaleza profund a. e inicios del s. XX a lo qu e se d enominó la crisis de los fundam entos.
Es importante m encionar que al m ismo tiempo que los matemáticos y los geómetras d escubrían la topología, los pintores por su p arte y de m anera intuitiva d escubrían el espacio cubista, es decir, un concepto d el espacio eman ado d e la pintura de Cézanne: un sistema de representación fundad o en el análisis de imp resiones visuales puras, pero que en su desarrollo plantean la construcción de universos deformables y variados, sujetos a nociones no euclidianas pero muy topológicas, y por lo tanto muy hum anas."
Manuel Quintana Castillo (pintor venezolano, 1928- ). En "Pintura Topológica", Papel Li t erari o, Diario El Nacional C/ 12, 04/ 11/ 2000.
La paradoja de Epiménides el cretense: Epimén ides afirm a: "Todos los cretenses son men tirosos." Otra del mismo tipo es: "Yo miento".
Algunos objetos comienzan a no p oder reconocerse pues interesan sus deformaciones y el color. Ya no hay la iden tidad , ni la copia o imitación de lo que se observa. Los artistas tienen un grado mayor de libertad con respecto al mundo circundante.
El Neoimpresionismo o Postimpresionismo d ata entre 1885 y 1900, aproximad amente. En él se agrup an las más diversas tendencias, muchas de las cuales desbordan todo intento de clasificación cronológica, pu esto qu e en gran medida se corresponden con figuras concretas: Edv ard Mun ch, Van Gogh...
e t El neoimpresionismo de finales del siglo r a XIX, cuyos principales exponentes son l G. Seurat y P. Signac, se apoya en la E
teoría de colores de Chevreul y en las investigaciones de los físicos Helm otz y Maxwell. Los artistas emp iezan a interesarse más por lo que sienten e imaginan en lugar de lo que ven. Guaranty Building Buffalo (NY, EEUU). Proyecto L. Sullivan 1895.
En Estados Unid os, a finales d e siglo, se empiezan a d iseñar y construir edificios que luego se d enominarían rascacielos.
Fascículo 29 • Arte y arquitectura
El grito (1893). Edvard Munch (1863-1944).
El siglo XX El s. XX conoció una exp losión de des- • El advenimiento de la Segunda Guecubrimient os científicos y progresos rra Mund ial dio un impu lso a la matecnológicos que afectó el conjunto de temática aplicada y la estadística. las ciencias hum anas. La matem ática Con el fin d e vencer a las potencias entra en un período de abstracción: del Eje, al naz ifascismo, se d esarroya no importa tanto la naturaleza de llaron los métodos de cálculo, los los entes matem áticos sino sus relamodelos matemáticos, la investiciones, sus analogías, es decir, su esgación de operaciones y la informátructura. tica. Este desarrollo de la matem ática aplicada ha continuado y enSe crean los espacios abstra ctos y nuecontrado nuevas vertientes. vas rama s de la matemá tica hacen su aparición y se desarrollan bastamente, entre otras: • La teoría de fractales creada por Benoit Mand elbrot quien p ublicó La geomet ría fract al de la n atu raleza (1977). • El desarrollo de la teoría del "caos" y de la comp lejidad . La teoría de Ban da de M oebiu s. M.C. Escher juegos lleva d a a cabo por John von (1898-1972). Newman y posteriormente con aport es significativos de John N ash, lo que le valió el prem io Nobel de Economía en 1994. La Bauh aus, qu e significa en alemán "Casa d e la constru cción", fue u tilizad o para d enominar la escuela de diseño, arte y arquitectura fund ada en 1919 por Walter Gropiu s en Weimar (Alemania) y clausurada por las autoridad es prusianas (en manos del partido naz i) en el añ o 1933. La Bauh aus sentó las bases norm ativas y patrones d e lo que hoy conocemos como diseño industrial y gráfico. Sin du da a lguna esta escuela estableció los fundamentos académicos sobre los Señoritas de Avignon . Pablo Picasso cuales se basaría en gran medida una (1881-1973). de las tendencias más predom inantes A inicios d el s. XX se tiene la r up tur a de la nu eva arquitectura modern a, incorde la geomet rización clásica del espa- porando u na nu eva estética que abarcio. Emer ge el cubism o (1908) y luego caría todos los ámbitos d e la vida cotitodo el arte a bstracto. En m enos de 40 dian a. Simp licidad , industr ialización y años se pasó de los impresionistas a funcionalidad caracterizan lo “mod erlos abstractos. W. Kandinski es el pri- no”. La utilización de la línea recta y el mero en realizar un cuad ro completa- plano constituyen las herramienta mente abstracto (1910), sin ninguna básicas para el diseño de gran par te del siglo XX. referencia figurativa.
Acuarela (1910). Wassily Kandinski (1866-1944).
Fascículo 29 • Arte y arquitectura
231
• La presencia de supercomputadoras ha p ermitido el avance en el estudio del “caos” y de ecuaciones de muy alta complejidad. Existen instituciones, como el Santa Fe Institute, en la búsqu eda de sistemas de complejidad evolutiva. Las mat emáticas continúan siendo tan im previsibles como la vida misma.
Ávila virtual. Pedro Morales.
Duran te la década de los 80, los prim eros estud iosos de los fractales comenzaron a explorar su valor estético. Mientras que la matemática era la herramien ta, el objetivo era el ar te. Al ser las estructuras fractales el elemento matemático más obvio, los artistas fractales experimentaron con n uevas estructuras, introduciendo centenares de nu evos tipos de fractales.
Actualmente la arquitectura utiliza los pará metros tecnológicos, forma les y funcionales, sin que ningu no d e ellos tenga prelación sobre los otros. Los arquitectos en la actualidad se mueven en estos tres ejes dándole énfasis a los que creen convenientes. Muchos hablan de posmod ernismo pero esto no ha sido definido por los especialistas del área.
Propu esta para ed ificio residencial en Nu eva York por p arte del arquitecto español Santiago Calatrava.
A continuación p resentamos va rias construcciones cuyos arqu itectos utilizaron muchos elementos geométricos y grandes dosis de composición artística p ara su diseño.
Conjunto residencial en Beijing, China. Proyecto: Steven Holl.
Museo Guggenheim de Bilbao, España. Diseño: Paul Gehry.
Casa de la O rqu esta Sinfónica de Tenerife, España. Diseño: Santiago Calatrava.
Entrada d el Museo del Louvre de París, Francia. Diseño: Io Ming Pei.
Conjunto Residencial en Montreal, Canad a. Proyecto: Moshe Safdie.
Centro Cultu ral “Le Corbusier” en Zur ich, Suiza. Diseño: Le Corbu sier.
Bibliografía . Biblioteca Salvat de gran des tem as (1973). A rt e abst racto y arte figu rativ o. Salvat editores, S.A., Barcelona, España. Contiene una en trevista a Antoni Tàpies. . Biblioteca Salvat de grand es temas (1975). La pintu ra en el siglo XX . Salvat Editores, S.A. Barcelona, España. Contiene una entrevista a Jean Cassou. . Collet te, Jean-Pa u l (2000). Hist oria de las m atemáticas. Siglo vein tiun o ed itores, S.A. de C.V., México. 4a. edición en español. . Cresp o Cabillo, Isabel (2005). Control gráfico de formas y superficies de transición. Tesis doctoral. Universidad Politécnica de Catalunya, España. http:/ / www.tdx.cesca.es. · Droste, Magdalena (1990). Bauhaus . Taschen Editores. Aleman ia. . Guéd ez, Víctor (1994): Comp rend er el arte contemp orán eo. Fund ación Polar, Caracas. · Jencks, C. y Baird, G. (1975). El significado de la arquitectura. Blum e Ediciones. Espa ña. . Mank iewicz, Richard (2000). The St ory of Mathematics. Cassel & Co. Londres, Gra n Bretaña. . Orellan a Chacín, Mau ricio (2002). La belleza desde el punt o de vista matemático. Comisión de Estud ios Interdisciplinarios de la Univers idad Centra l de Venezu ela, año 5, No. 15, 17-72. · Raeburn, Michael (1981). Storia Dell’Architettura in Occidente. Istituto Geogra fico De Agostini. S.p.A. Novar a, Italia. Fascículo 29 • Arte y arquitectura
232
Ín d i c e , c r é d i t o s y f e d e e r r a t a s
2006
Índice de l a obr a Polígonos y polied ros
Introducción Fascícu lo 1
1
Equ ip o d e trabajo Presentación Introd u cción Los temas d e M atemática M aravillosa
2 3 4 6
Fascícu lo 2
El mu nd o d e las formas p oligonales y p oliéd ricas Clasificación d e p olígonos El m u nd o d e los p olígonos regu lares El m u nd o d e lo s cu a d rilá ter os co ncíclico s Los polígonos en el d iseño, las artes y la arqu itectu ra Fascícu lo 3
El m u nd o d e los p olied ros Clasificación d e p olied ros El m u nd o d e los p olied ros regu lares Proyección d e Schlegel Pero, ¿existen otros tip os d e p olied ros? Fascícu lo 4
9
10 11 12 14 15 17
18 19 20 21 24 25
Los polígonos y los poliedros en las ciencias natu rales 26 Los poliedros en las artes, la arquitectura y la ingeniería 31 Fascícu lo 5
Su per ficies esféricas y polied ros en arqu itectu ra e ingeniería Teselaciones Mosaicos Mosaicos regu lares Mosaicos sem irregu lares Fascícu lo 6
Mosaicos d e Escher Mosaicos d e Penrose Teselaciones en el esp acio Dimensiones, coordenadas y grados d e libertad Fascícu lo 7
Grad os d e libertad y coord enad as ¿Cuántas dimensiones pod emos considerar que tengan u tilidad tan to en matemática com o en otras d iscip linas? La cu arta d im ensión y el hip ercu bo Fascícu lo 8
¿Cóm o estu d iar el hip ercu bo? Bibliografía Tengo qu e p ensarlo
Fascículo 30 •
Índ ice, créditos y fe de erratas
23 4
33
34 36 38 38 40 41
42 43 44 45 49
50 54 55 57
58 63 64
Trigonometría Fascícu lo 9
65
El mu nd o de las dem ostraciones con ayu das visu ales 67 El m u nd o d e las d em ostraciones 69 Fascícu lo 10
73
Descubriendo el mund o de la trigonometría ¿Qu é es m ed ir ángu los? Fu ncion es trigon om étricas d e u n án gu lo La id entid ad fu nd am ental Trigonom etría y arte Fascícu lo 11
74 75 77 79 79 81
La ley d e los senos La ley d e los cosenos Venezu ela en el Polo N orte Tengo que pen sarlo Bibliografía
82 83 84 86 88
Fascícu lo 12
89
El m u nd o d e la trigonom etría 90 Funciones trigonométricas de núm eros reales 92 Propied ad es gráficas de las fun ciones trigonom étricas 95 Fascícu lo 13
97
La fun ción tan gente y otras fun ciones trigonom étricas Fu nciones trigonom étricas y m úsica Fascícu lo 14
98 101 105
El m u nd o d e las fu nciones inversas Fu nciones trigonom étricas inversas Geom etría d e la esfera Las curv as de “ru mb o” (loxodrom as) en la esfera y la navegación Tengo qu e p ensarlo Bibliografía
106 107 108 110 112 112
Cónicas y cuád ricas Fascícu lo 15
Elem entos básicos d e geom etría El m u nd o d e las cónicas Prop ied ad es óp ticas d e las cónicas Cónicas y su s ap licaciones Fascícu lo 16
113
114 115 118 119 121
El m u nd o d e las cu ád ricas 122 Las cu ád ricas d e revolu ción 124 ¿Cuáles sup erficies se obtienen al rotar otras cón icas: elip se, p arábola e h ip érbola? 125 Esfera y esferoid e 127 Fascícu lo 17
129
Ayer 130 H oy 131 Las cuád ricas, la arquitectura y la ingeniería 134 Fascícu lo 18
Otras cu rvas Bibliografía
Fascículo 30 •
Índ ice, créditos y fe de erratas
235
137
141 144
Matrices Fascícu lo 19
145
Matrices y vid a cotid iana Ad ición d e m atrices Prod ucto d e u n n úm ero p or u na m atriz Prod u cto escalar d e vectores Prod u cto d e m atrices Tengo qu e p ensarlo Fascícu lo 20
146 148 149 149 150 152 153
Matrices y grafos Matrices y cu ad rad os m ágicos Tengo qu e p ensarlo Algunas curiosidades d e los cuad rados mágicos Fascícu lo 21
154 156 159 160 161
Matrices y transforma ciones geom étricas en el p lano Fascicu lo 22
162 169
Matrices y transformaciones en el espacio Fascícu lo 23
170 177
Matrices y cód igos Cód igos m ás com p lejos Matrices y nú m eros com p lejos Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
178 180 183 184
Fractales Fascícu lo 24
El m u nd o d e los fractales Los fractales Fascícu lo 25
Au to-sem ejanza en los fractales La auto-semejanza y la espiral logarítmica La esp iral d e Arqu ím ed es La esp iral d e Bernou lli La dim ensión fractal o dim ensión de au to-sem ejanza Fascícu lo 26
Fractales en la vid a d iaria El tetraed ro d e Sierp inski La esp onja d e Menger Fractales en el tiem p o Bibliografía
Fascículo 30 •
Índ ice, créditos y fe de erratas
236
185
186 187 193
194 195 196 196 198 201
202 203 204 206 208
Índice, créditos y fe de e rra tas Fascícu lo 30
Índ ice d e la obra Equ ip o d e trabajo Fe d e erratas
233
234 238 239
Matemá tica, arte y arqu itectura Fascícu lo 27
209
Construcciones geométricas y perspectiva Constru cción d e p olígonos regu lares Fascícu lo 28
217
Constru cción d e p olígonos regu lares Dibu jand o m atem áticam ente Dibu jand o técnicam ente Geom etría d escrip tiva Las p ersp ectivas Fascícu lo 29
Índ ice, créditos y fe de erratas
218 220 221 222 224 225
Matem ática, arte y arquitectura a través d el tiem p o Bibliografía
Fascículo 30 •
214 216
237
226 232
Tún el púrpura. Fuente: http:/
/ www.majcher.com/ xhibition/ images/ 2004_08_08/ DSCF0219.JPG.ht ml
Equipo de t r abajo Coordin ador d e la colección Renato Valdivieso
(Fundación Polar)
Coordinad ora académica y especialista del área Inés Carrera de O rellana
Profesora de Física y Matem ática (Institut o Pedagógico de Caracas) Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA (Universida d de Par ís VII, Fran cia) Profesora Titular (J) CENAMEC
Especialistas del área Walter Beyer
Saulo Rada Arand a
Rogelio Ch ovet Voza
Sergio Rivas
Licenciado en M atem ática (UCV) Magíster en Edu cación mención Enseñanza d e la Matem ática (UPEL) Profesor Asociado (J) (UNA) Arqu itecto (UCV) Profesor Geometría Descriptiva y Dibujo de Proyectos (UC) Instructor de program as de d iseño gráfico (Adobe y Macromedia)
Antonio Dávila
Profesor d e Física y Matem ática (IPC) Cur so Especialización en Enseñanza de la Física (UPEL) Profesor (J) del Ministerio d e Edu cación, Cultura y Deporte
Profesor d e Física y Ma tem ática (IPC) Maestría en Edu cación Matemática (Universidad d e Maryland , EE.UU.) Profesor Titu lar (J) (UPEL) Licenciado en M atem ática (UCV) Maestría en Mat emát ica (UCV) Profesor Asociado (J) (UNA)
Jorge Salazar
Profesor d e Matem ática y Física (IPC) PhD en Matemática (Universidad de Oklahom aEE.UU.) Profesor Titu lar (J) (UPEL)
Mau ricio J. Orell ana Ch acín
Licenciado en M atem ática (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de GrenobleFrancia). Profesor Titu lar (J) (UCV)
Validadores
Revisión d e textos
Oswaldo Araujo (ULA) Laura Galindo (UCV) Henry Martínez (UCAB) Rafael Sánchez (UCV)
Ricardo Alezon es Renato Valdivieso
Diseño, investigación gráfica y desarrollo
Rogelio Chovet Voza
Fascículo 30 •
Índ ice, créditos y fe de erratas
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Fe de er r at as
Fa scículo 10
Fascículo 18
Página 78
Página 141
• Dice: ...= 2Rsen ( / 2) Fas cículo 1 2 α Página 3 Debe decir: ...= 2Rsen ( 2 ) Dice: cuadráticas y debe decir : Dice: ...= 120sen ( • / 2) cuádricas 2 Debe d ecir: ...= 120sen ( α ) Fas cículo 2 2
Fa scículo 12
Página 11
Dice: ... P y Q cualesquiera en el Página 90 polígono, pero el segmento PQ no... Dice: ...ángulo a’b’ y debe decir Debe decir: ...dos pu ntos P y Q d e tal ...ángu lo ab man era que el segmento PQ no ... Fa scículo 13
Fas cículo 8
Página 98
Página 59
Dice: ...t=2n+1
Fas cículo 9
Página 103
π
=
π
nπ
2 2 Dice: corresponpond iente a y debe Debe d ecir: ...t=(2n+1) π = π + n π decir: correspond iente a 2 2 Página 67
Dice: ... del lado t y debe d ecir: ... de lado t.
Dice: Clarinete (ƒ=209...) debe d ecir Clarin ete (ƒ=260...)
Fa scículo 14
Dice: -1 + x 2 / 2... Debe decir: -1 + 1 + x 2 / 2...
Fascículo 19 Página 148
Dice: 130 000 y d ebe decir: 140 000
Fas cículo 21 Página 164
Dice: De ángulo θ Debe decir: De ángulo θ y centro (0,0)
Fas cículo 22 Página 170
Dice: ... traslaciones, rotaciones y simetrías Debe d ecir: ...simetrías, rotaciones y traslaciones
Fas cículo 23 Página 184
Dice: Ax=C Página 71 Dice: El nú mero cuyo sen o es x tal Debe decir: Ax=X’ AC’ AC’ Dice: ...= y debe decir ...= Dice: Ohmn AE’ AE que... y debe decir: El número x cuyo Ohmnios seno es tal qu e... Omnios Dice: ...= AC’ y debe decir ...= AC En lugar d e • va π Debe decir: Oh m AE AE Ohmios Fa scículo 15 Ohmios Fascículo 10 Página 114 Dice: a 1x + b 1y +c 1z = d 1 Página 77 Dice: Una recta l y un p lano α y debe El segmento CD es el que debería decir: Una recta m y un p lano α A= a 2x + b 2y +c 2z = d 2 estar solamente coloreado d e verde. Fa scículo 17 a 3x + b 3y +c 3z = d 3 Página 107
Página 133
La ilust ración d e la sala del Palacio del Descubrimiento es la que está a continuación.
Debe decir: a 1 b 1 c1 A=
a 2 b 2 c2 a 3 b 3 c3
El gráfico debe ser el siguiente: z
1
X
X’ y 1
Fascículo 30 •
Índ ice, créditos y fe de erratas
23 9
2
