Universidad Nacional
Federico Villarreal
GUÍA ACADÉMICA MATEMA MA TEMATICA TICA FINANCIER FINANCIERA A
...................................................................................................................................................................4 PRESENTACION ...................................................................................................................................................................4 ...............................................................................................................................5 INTRODUCCION A LA ASIGNATURA ...............................................................................................................................5 ...............................................................................................................6 ORIENTACIONES GENERALES DE ESTUDIO ...............................................................................................................6 ..............................................................................................................................................................................7 TUTORIAS ..............................................................................................................................................................................7 .....................................................................................................................................................................7 CRONOGRAMA .....................................................................................................................................................................7 .........................................................................................................................................................................8 EVALUACION .........................................................................................................................................................................8 ..............................................................................................................................8 MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS ..............................................................................................................................8 ...................................................................................................................................................9 OBJETIVOS GENERALES ...................................................................................................................................................9 .......................................................................................................................................10 UNIDAD I:NOCIONES BASICAS .......................................................................................................................................10
TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES ................................................................................................................................10 ................................................................................................................................10 .....................................................................................................................................................12 TEMA 2: LOGARITMOS .....................................................................................................................................................12 ............................................................................................................12 2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ............................................................................................................12 ..............................................................................................14 14 2.2. APLICACIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA .............................................................................................. .....................................................................................................................................................14 TEMA 3: PORCENTAJE .....................................................................................................................................................14 ...............................................................................................................15 3.1. ALGUNOS EJEMPLOS DETALLADOS ...............................................................................................................15 .......................................................16 16 3.2 CÁLCULO DEL PRECIO ANTERIOR A PARTIR DEL PRECIO ACTUAL ....................................................... .....................................................................................................17 17 TEMA 4: USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA CIENTÍFICA ..................................................................................................... ....................................................................................................................................17 4.1. ENCENDIDO Y APAGADO ....................................................................................................................................17 .......................................................................................................................................17 4.2. LEYENDAS DE TECLAS .......................................................................................................................................17 .......................................................................................................17 4.3. CONFIGURACIÓN DE LA CALCULADORA .......................................................................................................17 ......................................................................................................18 18 4.4. INGRESO DE EXPRESIONES Y VALORES ...................................................................................................... ............................................................................................................................................18 4.5. CALCULOS BASICOS ............................................................................................................................................18
...................................................................................................................................................................4 PRESENTACION ...................................................................................................................................................................4 ...............................................................................................................................5 INTRODUCCION A LA ASIGNATURA ...............................................................................................................................5 ...............................................................................................................6 ORIENTACIONES GENERALES DE ESTUDIO ...............................................................................................................6 ..............................................................................................................................................................................7 TUTORIAS ..............................................................................................................................................................................7 .....................................................................................................................................................................7 CRONOGRAMA .....................................................................................................................................................................7 .........................................................................................................................................................................8 EVALUACION .........................................................................................................................................................................8 ..............................................................................................................................8 MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS ..............................................................................................................................8 ...................................................................................................................................................9 OBJETIVOS GENERALES ...................................................................................................................................................9 .......................................................................................................................................10 UNIDAD I:NOCIONES BASICAS .......................................................................................................................................10
TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES ................................................................................................................................10 ................................................................................................................................10 .....................................................................................................................................................12 TEMA 2: LOGARITMOS .....................................................................................................................................................12 ............................................................................................................12 2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ............................................................................................................12 ..............................................................................................14 14 2.2. APLICACIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA .............................................................................................. .....................................................................................................................................................14 TEMA 3: PORCENTAJE .....................................................................................................................................................14 ...............................................................................................................15 3.1. ALGUNOS EJEMPLOS DETALLADOS ...............................................................................................................15 .......................................................16 16 3.2 CÁLCULO DEL PRECIO ANTERIOR A PARTIR DEL PRECIO ACTUAL ....................................................... .....................................................................................................17 17 TEMA 4: USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA CIENTÍFICA ..................................................................................................... ....................................................................................................................................17 4.1. ENCENDIDO Y APAGADO ....................................................................................................................................17 .......................................................................................................................................17 4.2. LEYENDAS DE TECLAS .......................................................................................................................................17 .......................................................................................................17 4.3. CONFIGURACIÓN DE LA CALCULADORA .......................................................................................................17 ......................................................................................................18 18 4.4. INGRESO DE EXPRESIONES Y VALORES ...................................................................................................... ............................................................................................................................................18 4.5. CALCULOS BASICOS ............................................................................................................................................18
..........................................................................................................................................................................38 TALLER Nº2 ..........................................................................................................................................................................38 ..........................................................................39 39 UNIDAD III: DESCUENTO SIMPLE Y DESCUENTO COMPUESTO .......................................................................... .......................................................................................................................................39 TEMA9: DESCUENTO SIMPLE. .......................................................................................................................................39 ...................................................................................................40 40 9.1. DESCUENTO COMERCIAL DE UN PAGARÉ ................................................................................................... ...............................................................................................................41 9.2. VALOR COMERCIAL DE UN PAGARÉ ...............................................................................................................41 ......................................................................................41 41 9.3. PLAZO Y TASA DE INTERÉS EN UN DOCUMENTO ...................................................................................... .........................................................................................................................42 9.4. DESCUENTO INTERBANCARIO .........................................................................................................................42 ...............................................................................43 43 9.5. DESCUENTOS SUCESIVOS, EN SERIE O EN CADENA ............................................................................... ..........................................................................................................................................................................44 TALLER Nº3 ..........................................................................................................................................................................44 ......................................................................................................44 44 TEMA10: DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO......................................................................................................
ACTIVIDADES: ACTIVIDADES: .....................................................................................................................................................................45 .....................................................................................................................................................................45 ........................................................................................................................................................................47 TALLER Nº 4:........................................................................................................................................................................47 ............................................................48 48 TEMA11: CÁLCULO DEL VALOR NOMINAL O VALOR DE VENCIMIENTO ............................................................ ......................................................................................................................................................................49 TALLER Nº 5: ......................................................................................................................................................................49 .....................................................................................................50 50 UNIDAD IV: ANUALIDADES Y SEGUROS DE VIDA ..................................................................................................... ....................................................................................................50 50 TEMA12: ANUALIDADES ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA .................................................................................................... ..........................................................................................................................................................50 12.1. DEFINICION ..........................................................................................................................................................50 .................................................................................52 52 12.2. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS. ................................................................................. .....................................................................................................53 53 12.3. VALOR DE LA ANUALIDADES O RENTAS ..................................................................................................... ................................................................................................................................56 12.4. FACTORES FINANCIEROS ................................................................................................................................56 ......................................................................................................57 57 12.5. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ...................................................................................................... ........................................................................................................................................................................58 TALLER Nº 6:........................................................................................................................................................................58 ........................................................................................................................59 TEMA13: ANUALIDADES ANTICIPADAS ........................................................................................................................59
PRESENTACION
INTRODUCCION A LA ASIGNATURA Matemática Financiera es materia del segundo ciclo que corresponde a la carrera de Ciencias Económicas, La matemática financiera es parte de la matemáticas aplicadas que es considerada la matemática del dinero. Estudia aspectos financieros de la economía moderna. Esta guía ha sido elaborada a fin de que sirva como material de consulta para los estudiantes de educación a distancia, siendo que en el contexto de la profesión y de la vida cotidiana se nos presenta problemas, encontrándonos con disyuntivas; para ello necesitamos capacidades financieras que nos permitan tomar decisiones a fin de optimizar los recursos financieros. Los problemas de esta naturaleza se complementan con una herramienta necesaria que nos permite solucionar los distintos temas financieros de las compañías, gobierno, etc. entre las causas que posibilitan el cierre de los negocios al corto tiempo de haber iniciado sus operaciones se debe a las decisiones financieras tomadas. El desarrollo de la asignatura nos permite establecer su importancia y utilidad, para
ORIENTACIONES GENERALES DE ESTUDIO
TUTORIAS Las tutorías se desarrollan mediante la programación de un calendario de tutorías en la modalidad presencial – virtual.
CRONOGRAMA Se debe mostrar el cronograma de la signatura indicando su inicio y final, de cada unidad, fecha de entrega de trabajos, fecha de los foros, fecha de tutorías presenciales. CRONOGRAMA Tutorías presenciales
Cantidad de horas académicas Tutorías presenciales y virtuales
UNIDAD I UNIDAD II
Horas presenciales
Horas virtuales
Horas videoconferencia
Semana 1
2
2.5
3
Semana 2
2
2.5
3
Semana 3
2
2.5
3
Semana 4
2
2.5
3
EVALUACIÓN PARCIAL VIRTUALES UNIDADES I-II Semana 5 2 2.5
3
Semana 7 UNIDAD IV
Semana 8
EVALUACION El promedio final de la asignatura en la modalidad Presencial - Virtual se obtiene aplicando los siguientes pasos porcentuales: (TA): (40%) Evaluación de trabajos académicos Evaluación interacción virtual (IV): (20%) Evaluación Final (EF): (40%) PF = TA (0,4) + IV (0,2) + EF (0,4)
El estudiante que abandona la asignatura tendrá promedio 00 (cero) en el acta final, debiendo registrar nuevamente su matrícula. El examen parcial será virtual y se realizara en la 4ª semana del módulo. El examen final será presencial y se realizara en la 8ª semana del módulo. También se presentara un trabajo monográfico la última semana de clase.
MEDIOS Y RECURSOS DIDACTICOS DIAZ MATA, ALFREDO; AGUILERA VÍCTOR MANUEL, 1998,
OBJETIVOS GENERALES
Capacitar al estudiante en el dominio de las técnicas financieras para la toma de decisiones. Desarrollar habilidades para reconocer los parámetros y principios fundamentales en que se basan la matemática financiera, en especial el valor del dinero en el tiempo. Capacitar al estudiante para que se encuentre en condiciones de resolver con buen criterio, las operaciones financieras que se presentan en la actividad bancaria, comercial o industrial. Capacitar al estudiante para que calcule los intereses y otros cálculos financieros que utilizará en su carrera profesional.
NOCIONES BÁSICAS
Objetivos específicos. Analizar y practicar las bases fundamentales de la matemática, que sirven de base en la práctica del curso. Formalizar y expresar con propiedad los conceptos básicos del dinero. Identificar y explicar los conceptos básicos de los logaritmos. Distinguir a través de casos, las diferentes situaciones que se pueden presentar en la utilización de los porcentajes. Uso de la calculadora científica.
Contenido temático: 1. Leyes de exponentes 2. Logaritmos 3. Porcentaje 4. Uso de la calculadora 5. El dinero 6. Pagos
TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas: El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz nésima:
Ley
Ejemplo
x1 = x
61 = 6
x0 = 1
70 = 1
x-1 = 1/x
4-1 = ¼
xmxn = xm+n
x2x3 = x2+3 = x5
(xm)n = xmn
(x2)3 = x2×3 = x6
TEMA 2: LOGARITMOS El logaritmo es la potencia a la que deben ser elevada una base para que produzca determinado número (el logaritmo es un exponente). Es decir, el logaritmo es un número en potencia a la que hay que elevar 10 para reproducir ese número como en la siguiente tabla. 105 = 100000 por consiguiente, el logaritmo de 100000 es 5 104 = 10000 10000 es 4 103 = 1000 1000 es 3 102 = 100 100 es 2 101 = 10 10 es 1 100 = 1 1 es 0 En la práctica se emplea la abreviatura log en lugar de la frase “logaritmo de”. Así se Tiene: log 100000 = 5; log de 10000 = 4… etc.
2.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si Si P es diferente de Q entonces logaritmo en base a de P es diferente a logaritmo en base a de Q. 2. El logaritmo de la base es 1 , pues
6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia
7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice
8. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base
Ejemplos:
Se lee logaritmo en base de P Ejemplos
c) (Propiedad 6) à
d)
(Por la propiedad 7)
2.2. APLICACIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA Si un capital de 3500 soles ha dado como resultado $180 de interés bajo una tasa nominal semestral de 4% capitalizable quincenalmente ¿Cuál será el número de meses de la operación?
C 11 11 1 nlog 1
)
. . Solución
I = 180 x 2.80 = 504
3.1. ALGUNOS EJEMPLOS DETALLADOS Calcula 25% de 80 25% =
25100
25100
ASI QUE EL 25% DE 80 ES 20
Un pantalón tiene una rebaja de 25%. El precio normal es $120. Calcula el nuevo precio
Calcul a 25% de $120
25% = 25/100
(25/100) × $120 = $30 25% de $120 es $30
As í qu e la red uc ci ón es $30
Quita la reducción del precio
$120 - $30 = $90
Dónde: P = 427.50 (100)/75 o P = $570.00 Ejemplo (C) Los intereses, I, que durante un año devenga un capital C que se invierte al 8.5% de interés anual están determinados por I = Ci Solución En este caso la tasa de interés es i = 8.5/100 o i = 0 0.085. Por lo tanto, un capital de $15,000 genera I = 15,000(0.085) o I = $1,275.00 por concepto de intereses
Ejemplo (D) ¿Qué le conviene más a un empleado que recibe un aumento salarial? ¿Primero un 20% y poco después un 7% adicional, o recibir un 28% en total? Solución Suponiendo que su salario original es S, después del primer incremento, éste será: S1 = S + (0.20)S S1 = (1 + 0.20)S S1 = (1.20)S Después del segundo incremento, su salario será un 7% mayor: S2 = S1 + (0.07)S1 S2 = (1.07)S1 S2 = (1.07) (1.20) S
porque S1 = (1.20)S
TEMA 4: USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA
4.1. ENCENDIDO Y APAGADO
4.2. LEYENDAS DE TECLAS
4.4. INGRESO DE EXPRESIONES Y VALORES
4.5. CALCULOS BASICOS
TEMA 5: EL DINERO 5.1. DEFINICION: Dinero es un medio de cambio y medida de valor en el pago de bienes y/o servicios, o como descargo de deudas y obligaciones. Por su aspecto externo puede ser moneda cuando es de metal, o billete cuando es de papel. Tiene 3 funciones básicas en el sistema económico:
Medio de pago La función más importante del dinero es servir de medio de cambio en las transacciones. Para que su uso sea eficaz, debe cumplir una serie de características: 1. Aceptado comúnmente y generador de confianza 2. Fácilmente transportable 3. Divisible 4. No perecedero, inalterable en el tiempo 5. Difícil de falsificar
Unidad de valor De la misma manera que la longitud se mide en metros, el valor de los bienes y servicios se mide en dinero. Es lo que llamamos precios, que representan el valor de cambio del bien o servicio.
1. Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o principal al final del período analizado. 2. Interés: Es el rendimiento o costo de un capital colocado o prestado a un tiempo determinado. – Si definimos: • r = tasa de interés • P = Monto invertido – Invierto Po hoy – Al cabo de un año obtengo: • P1 = Po + r * P o – Qué pasa si esto lo queremos invertir a más de un período? n= 5 años Pn = Po * (1 + n * r) Supongamos que P o = $100 y r = 10%
Pn = 100*(1+5*0.10) Pn = 150
Meses
Amortización
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 10000
Intereses
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 550
Servicio de la deuda 1100 1090 1080 1070 1060 1050 1040 1030 1020 1010 10550
Deuda pendiente 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
TALLER Nº 1 Taller aplicativo nociones básicas
Objetivo: Verificar la comprensión de los alumnos y que tengan una práctica intensiva de problemas optimizando sus tiempos que se entregarán por escrito o vía virtual para su correspondiente desarrollo. Autoevaluación:
5) La solución de (1.53)x = 9 es ______________________________________ 6) La solución de la ecuación (1 + x/12)5 = 3 es __________________________ 7) ¿En qué porcentaje se redujo la cartera vencida si actualmente es de $138 millones y antes era de $150 millones? 8) ¿A qué interés compuesto debe depositarse un capital de 6000 euros si en tres años se ha convertido en 6749,20 euros?
INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO MONTO Y TASAS DE INTERES Objetivos específicos.
Formalizar y expresar con propiedad los conceptos teóricos del interés en el tiempo. Que aprendan a calcular correctamente los intereses. Verificar la comprensión acerca de los elementos del interés compuesto. Distinguir a través de casos las diferentes situaciones que se pueden presentar.
Contenido temático: 1. Cálculo del interés simple. 2. Cálculo del interés compuesto 3. Tasas de interés
TEMA: 6 INTERÉS SIMPLE 6.1 DEFINICION:
Componentes del préstamo o depósito a interés En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen:
El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado. La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento. El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y
esto se presenta bajo la fórmula:
I = Interés C = Capital
Tasa de interés n =Período
i=
donde i está expresado en tanto por uno y t está expresado en años, meses o días.
Tanto por uno es lo mismo que.
Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda: Si la tasa anual se aplica por años. Si la tasa anual se aplica por meses Si la tasa anual se aplica por días
Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se subentiende que es anual.
Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en
Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresa en porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, es necesario expresarla en decimales. Por Ejemplo: 6% = 0,06 (6 Dividido por 100)
Ejemplo 2 ¿Cuál sería el interés de un capital de S/. 10000.00 puesto a interés simple por un año, si la tasa de interés es de 6 %? Solución: P = 10000 n = 1 año i = 0.06 I=? I = (10000) (1) (0.06) = 600 Respuesta: Es decir, el interés de 10000.00 puesto a interés simple al cabo de un año al 6 % es de 600.00 soles. Ejemplo 3
El interés de 15000.00 puesto a interés simple al cabo de 3 años al 12% es de $ 5400.00 Ejemplo 5 ¿Qué interés dará un capital de US$ 50,000 colocado al 5% mensual durante 2 años? Solución: I=? C = US$ 50,000 i = 5% n = 2 años = 24 meses I = 50,000 * 0.05 * 24 ----- >
I = US$ 60,000
El interés de 50,000 puesto a interés simple al cabo de 2 años al 12% mensual es de $ 60.00
6.2. INTERÉS SIMPLE EXACTO E INTERÉS SIMPLE ORDINARIO Cuando hablamos del interés simple exacto estamos suponiendo que un día es 1/365 de año o en el caso de los años bisiestos un día es 1/366 de año. Pero cuando hablamos del interés simple ordinario o del interés simple comercial, suponemos que un día es 1/360 de año.
I = 172.60 Interés simple ordinario I = (15000) (60/360) (0.07) I = 175 Es decir, existe una diferencia de S/. 2.4 soles a favor del interés simple ordinario.
Leyes
La tasa de interés “Siempre” ingresa a las fórmulas expresadas en tanto por uno, es decir, divididas entre 100. Cuando no se indica nada acerca de la tasa de interés se asume que esta expresada en términos “Anuales”. La tasa de interés (i) y el tiempo (t) “Siempre” deben estar expresados en la misma unidad de medida, y se puede transformar a cualquiera de ellos o a ambos.
6.3. MONTO SIMPLE El monto de un capital puesto a interés simple es nada más la suma del capital Ordinario y los intereses, es decir: Monto = capital más intereses S=P+I ……… (2) S = P + Pni
6.4. VALOR ACTUAL A INTERÉS SIMPLE Definición de valor actual: “El valor actual de una suma que vence en el futuro, es aquel capital que a tipo de interés dado en un período de tiempo también dado ascenderá a la suma debida”. En la fórmula (03) habíamos visto que el monto de un capital puesto a interés simple es: S = P (1 + ni) Despejando P, tenemos:
P = S / (1 + ni) → (4) Es la fórmula para el valor actual a interés simple.
Ejemplo 9: Supongamos que dentro de 6 meses debemos recibir la cantidad de S/. 10000.00, la tasa de interés es del 5 % efectivo anual. ¿Cuál será su valor actual, es decir, su equivalente ahora?
Solución: S = 10000 n = 0.5 i = 0.05 Sustituyendo en la fórmula 4, tenemos: P = 10000/(1 + (0.05) (0.05)) P = 10000/1.025 P = 9756.10
7.2. ¿QUÉ ES LA CAPITALIZACIÓN? Cuando el interés producido por un capital durante una unidad fija de tiempo se suma al capital anterior, forma un nuevo capital. Si este nuevo saldo se vuelve a invertir, por un periodo similar a la unidad fija de tiempo, generará un nuevo interés, que sumaremos al capital anterior. La repetición de este proceso se denomina CAPITALIZACION ó acumulación.
El dinero crece a cada frecuencia producto de la capitalización
Para hallar Monto
para hallar valor actual
M = S = P(1+i)n
P
para hallar el tiempo S log
S n
1 i,
n
P log 1 i ,
MONTO COMPUESTOS
Nomenclatura: 1. S = Monto, Stock Final, Valor Futuro 2. P = Capital, Stock Inicial, Valor Presente, Valor Actual 3. n = # total de períodos, Tiempo 4. i = Tasa de Interés por período
7.3. INTERESES SIMPLE Vs. INTERES COMPUESTO. Hallar el Monto del Capital 3000 luego de 4 años en un Banco que pago el 10% anual si el interés es: Simple Período Simple
Capital inicial
0.10 Interés
Capital Final
1
3,000
300
3,300
4
S = 3,000 (1 + 0.1) = 4,392. Ejemplos de capitalizaciones: 1) 2) 3) 4) 5)
24% Anual Capitalizable Anualmente: 24% Anual Capitalizable Semestralmente: 24% Anual Capitalizable Trimestralmente: 24% Anual Capitalizable Bimestralmente: 24% Anual Capitalizable mensualmente:
24/100 0.24/2 0.24/4 0.24/6 0.24/12
= 0.24 = 0.12 = 0.06 = 0.04 = 0.02
Ejemplos: 1. Hallar el Monto que se obtiene con un capital de 74,000 colocado al 42% anual Capitalizable Mensualmente durante un año 3 meses. n
S=x n = 15 P = 74,000 I = 0.42 = 0.035 12
S = P (1+i)
S = 74,000 (1.035) S = 123.976
15
TEMA 8: TASAS DE INTERÉS
•
•
Tasa Activa La tasa activa es la tasa cobrada por los bancos al conceder préstamos a sus clientes. Esta tasa se determina en el momento de contratación dependiendo de varios factores: características del préstamo, garantía, plazo, etc…; Tasa Pasiva La tasa pasiva es la tasa a la que se remuneran a los depositantes de fondos por prestar su dinero a los bancos y al igual que en la tasa activa depende de varios factores: tipo de depósito, monto, plazo, etc…;
•
Tasa de interés discreta: Como su nombre lo indica, es la tasa de interés que se aplica cuando el tiempo o período de capitalización es una variable discreta; es decir, cuando el período se mide en intervalos fijos de tiempo tales como años, semestres, trimestres, meses, días u otros como lo hemos venido haciendo hasta ahora.
•
Tasa de interés continuo: Se define una tasa de interés continua i % como aquella cuyo período de capitalización es lo más pequeño posible. Supongamos que invertimos hoy una cantidad $ 1, a una tasa de interés continuo del i % capitalizable continuamente durante n años, determinemos el monto $ S al final de ese tiempo.
•
Tasa de interés vencida: Una tasa de interés se llama vencida si la liquidación se hace al final del
8.1. TASA DE INTERÉS NOMINAL Se dice que una tasa es nominal cuando: a. Se aplica directamente la operación de interés simple. b. Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en el año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde m es el número de capitalizaciones en el año de la tasa nominal
• •
La proporcionalidad de la tasa nominal La proporcionalidad de la tasa nominal anual j puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simples considerando el año bancario de 360 días. Por ejemplo ¿Cuál será la proporcionalidad diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria será 0,066% = (24/360)
Ejercicios (tasa proporcional) a) Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24% b) Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12%
8.2 TASA DE INTERÉS EFECTIVA
es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y, para un plazo mayor a un periodo de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual j capitalizable m veces en el año con la siguiente formula: Tasa de interés efectiva
/
La relación j/m (que es la tasa efectiva del periodo de tiempo) y n deben estar referidas al mismo periodo de tiempo: Por lo tanto, el plazo de i está dado por n. si m y n se refieren solo al periodo, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento Por ejemplo: El monto simple de un capital de S/. 1000 colocado a una tasa nominal anual del 24% y el monto compuesto del mismo capital a una tasa efectiva anual del 24% arrojan un monto de S/.1240 Monto simple
S = 1000(1+0.24x1)
Monto compuesto S = 1000
1 0.24
= 1240 = 1240
La tasa efectiva i y la tasa nominal j para diferentes unidades de tiempo pueden abreviarse de la siguiente manera
Ejemplo: El 20 de enero la empresa Solid compro un paquete de acciones invirtiendo S/. 9000 el cual vendió el 28 del mismo mes, por un importe neto de S/. 9455 ¿Cuál fue el TEM de rentabilidad obtenida en esa operación? Solución: Tasa de rentabilidad obtenida durante 8 días: 9450/900-1 = 0.05
,/
La TEM se calcula del siguiente modo: = 0,20077 = 20,08% TEM = La rentabilidad obtenida en 8 días ha sido del 5 % y asumiendo la reinversión a la misma tasa de los 3.75 periodos de 8 días (30/8) que tiene el mes la rentabilidad acumulada del mes será del 20.08%
8.3. TASAS EQUIVALENTES PARTIENDO DE UNA TASA EFECTIVA DADA
La tasa equivalente o efectiva periódica i’ se obtiene de la relación de equivalencia de la formula
Y puede ser calculada cuando se tiene como dato la tasa efectiva
Si designamos a j/m = i como tasa equivalente entonces podemos despejar la incógnita i’
f = 90 (3 meses)
,%
TEA
Ejemplo: ¿A que TEQ debe colocarse un capital para obtener al fin de un trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM del 4%? Solución: i’ =TEQ? n= 6 i = 0,04 n=3
TALLER Nº2
′ /
′′ ../ ′ .. %
Interés simple e interés compuesto monto y tasas de interés 1. Si P = US$ 100,000.00 n = 5 meses. TN = 8% trimestral Capitalización mensual ¿Hallar S? 2. Si usted tiene $ 2.000.000 y lo invierte al 38.4% anual simple. ¿Cuánto se obtendrá por interés al cabo de un año y medio? 3. ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 4.8% bimestral simple para poder retirar en 2 años la suma de $5.000000.
DESCUENTO SIMPLE Y DESCUENTO COMPUESTO Objetivos específicos: Aprender la definición de descuento como base teórica Conocer las formas de descuento mediante problemas Diferenciar entre descuento comercial e interbancario El alumno puede Identificar Valor actual, valor nominal mediante Ejercicios. Contenido:
Descuento simple. Definición Valor actual, Pagos parciales, Descuentos en cadena o en serie, Descuento a interés compuesto. Valor actual. Valor nominal Ecuaciones de valores equivalente Ejercicios y Problemas.
TEMA9: DESCUENTO SIMPLE.
i por d = 0.114, La tasa de interés, es decir, de descuento Entonces,
25,300 = C[1 + (0.114/360)72] M = C(1 + in) 25,300 = C(1.0228)
de donde
C = 25,300/1.0228 o C = 24,736.02
El descuento real es, entonces, D = M − C, es decir, D = 25,300 − 24,736.02
o
D = $563.98
A diferencia del anterior, el descuento comercial, llamado así por su semejanza con la rebaja que los comerciantes hacen a sus artículos cuando los venden, quitando algunos pesos al precio de lista, se calcula restando al valor nominal un descuento. La adquisición de CETES es un claro ejemplo de inversiones que se manejan con descuento comercial, el cual, en general, se obtiene multiplicando el valor nominal del documento por el plazo y por la tasa de descuento, es decir, D = Mnd Donde d es la tasa de descuento simple anual, n es el plazo en años, D es el descuento comercial y M es el valor nominal del documento correspondiente.
9.1. DESCUENTO COMERCIAL DE UN PAGARÉ El descuento comercial de un documento con valor nominal de $6,500, tres meses
9.2. VALOR COMERCIAL DE UN PAGARÉ ¿Cuál es el valor comercial del 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $26,500, recibido el 25 de enero pasado con intereses del 12% simple anual y cuyo vencimiento es el 30 de julio? Suponga que la tasa de descuento simple anual es del 12.5%. En la figura se muestra un diagrama temporal, donde aparecen las fechas, las cantidades de dinero y los plazos. FIGURA
Primero es necesario hallar el valor futuro de los $26,500 del préstamo, mediante la fórmula del interés simple: M = 26,500[1 + (186/360)(0.12)] M = C(1 + ni) M = 26,500(1.062) o M = $28,143 Con este valor futuro, el plazo n = 79/360 años y la tasa de descuento d = 0.125, se obtiene el valor descontado.
Solución: a) El valor nominal es de $33,050, el valor en que se comercializa es de $32,406, la tasa de descuento es d = 0.1002, por lo tanto, 32,406 = 33,050[1 − n(0.1002)] P = M (1 − nd) de donde 32,406/33,050 − 1 = −n(0.1002) n(0.1002) = 0.019485628 n = 0.019485628/0.1002 n = 0.194467343 años, porque la tasa es anual, esto es, 0.194467343 (360) = 70.00824359 días Significa que 70 días antes del 17 de febrero, es decir, el 9 de diciembre de 2004, el documento se comercializa en $32,406. b) El plazo entre el 17 de febrero y el 5 de octubre anterior es de 135 días, el capital es el valor de la mercancía $32,000, el monto es M = 33,050 y la tasa de interés i se obtiene despejándola de la siguiente ecuación: 33,050 = 32,000[1 + i(135)] M = C(1 + in) 33,050/32,000 − 1 = i(135) 0.0328125 = i(135) o i = 0.000243056 diaria, porque el plazo está en días. Para la tasa anual se multiplica por 360: 0.000243056 (360) = 0.0875, es decir, 8.75%
9.4. DESCUENTO INTERBANCARIO
La diferencia entre los dos resultados es la utilidad para el Banco del Sur: U = 29,493.75 − 29,437.50 U = $56.25 Note que esto es igual a la utilidad de los $30,000 al 1.5% en 45 días. U = 30,000(0.015)(45/360) U = $56.25 El 1.5% es la diferencia entre los porcentajes
9.5. DESCUENTOS SUCESIVOS, EN SERIE O EN CADENA O ESLABONADOS Estos tienen que cumplir las siguientes propiedades: 1era: No se puede sumar dado que su deducción o aplicación es uno por uno a saldos, absolutos. Luego para aplicar los descuentos en sí, se les deduce uno por uno. 2da: Los descuentos sucesivos pueden deducirse en el orden de su enunciado o cambiar este orden sin que ello afecte para nada el valor líquido a pagar. 3era: Los descuentos sucesivos o en serie o en cadena o eslabonados se pueden, convertir a una tasa única equivalente (T.U.E.) aplicando la fórmula empírica que dice lo siguiente: TUE = 1 - [(1 – d1) (1 – d2)… (1 – dn)] En donde d 1, d2… dn son los valores de
Si d1 = 20 % o 0.2; d 2 = 12 % o 0.12; d 3 = 8 % o 0.08 y d 4 = 2.5 % o TUE = 1 - [(1 – 0.2) (1 – 0.12) (1 – 0.08) (1 – 0.025)] = 0.368512
0.025
Luego si el valor bruto de la compra es de S/. 75 000.00 y a esta le descontamos el 36.8512 % de descuento único tendré un valor líquido a pagar por la compra de: 75 000.00 – (0.368512 X 75 000.00) = 75 000.00 – 27 638.40 = S/. 47 361.60.
TALLER Nº3 Actividad aplicativa: Descuento simple o bancario o financiero Objetivo: verificar la comprensión acerca de los elementos del descuento bancario o financiero. Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas:
1. ¿Si la Empresa Avícola Santa Ángela ofrece descuentos del 20% + 12% + 8% + 2,5% a sus compradores mayoristas de huevos, por compras mayores de S/. 50 000,00. Si la Tienda Comercial Central hace una compra de S/. 75 000,00. ¿Cuánto pagará por su compra finalmente si se favorece con los descuentos antes referidos? 2. Una letra de cambio de valor de vencimiento $22,500 va a ser vendida el día de hoy en el Banco Interamericano de Finanzas, cuando faltaban 60 días para el vencimiento si el banco aplica una tasa de descuento del 25%. ¿Cuál será la retención o descuento practicado por el banco al
Consideremos el siguiente cuestionamiento. ¿En cuánto tiempo se acumulan $120,000, si ahora se invierten $107,800 al 15% nominal mensual? Con la fórmula del interés compuesto se obtiene el plazo:
120,000 = 107,800(1 + 0.15/12)x 120,000/107,800 = (1.0125) x
o
M = C(1 + i/p)np (1.0125)x = 1.113172542
de donde x = Ln(1.11317254)/Ln(1.0125) o
x = 8.630622812
Este resultado de 8 meses y casi 19 días es teórico, porque en la práctica, en la vida real, los intereses de cualquier periodo se hacen efectivos hasta que éste termina, y si por alguna razón el inversionista necesita su dinero antes de que concluya el periodo, y dependiendo de las condiciones contractuales, puede ser que tenga que esperarse hasta la fecha de vencimiento, para que le den su inversión sin contar los intereses de la fracción del periodo o, en el mejor de los casos, que le entreguen la parte proporcional de tales intereses. Por ejemplo, el monto acumulado durante los 8 meses en las condiciones supuestas es M = 107,800(1 + 0.15/12)8 o M = $119,063.60 y la diferencia con los pretendidos $120,000 sería la parte proporcional que corresponde a los cerca de 19 días después del octavo mes. Esta diferencia es 120,000 – 119,063.60 = $963.40
i = 0.177, la tasa capitalizable por cuatrimestres p = 3, los tres t res cuatrimestres que tiene el año np = 4, el número de cuatrimestres completos, es M1 = 85,000(1 + 0.177/3) 4 M1 = 85,000(1.257719633) o M1 = $106,906.17
M = C(1 + i/p)np
El valor futuro de este monto 105 días después, es decir, el 23 de octubre, considerando interés simple es M = 106,906.17[1 + 105(0.177/360)] 105(0.177/360)] M = 106,906.17(1.051625) 106,906.17(1.051625) M = $112,425.20
M = C(1 + ni) ni)
Solo para efectos de comparación, note usted que el monto que se acumula con interés compuesto desde el 10 de marzo, fecha de la inversión, hasta el 23 de octubre del año siguiente, con un plazo fraccionario y considerando que un cuatrimestre tiene 121 días, es np = 4 + 105/121
o np = 4.867768595 cuatrimestres es
M = 85,000(1.059) 4.867768595 M = 85,000(1.321867037) o M = $112,358.7 Problema: ¿Por qué cantidad se concedió un crédito en mercancía si se ampara con un documento con valor nominal de $50,200, que incluye intereses del 16.8% nominal trimestral y vence en 35 semanas? Utilizar la regla comercial. Solución: En 35 semanas quedan comprendidos 2 trimestres de 13 semanas cada uno y 9
Solución a) Con la ayuda de un diagrama de tiempo, se aprecia que desde el 8 de enero al 8 de noviembre se cumplen 5 bimestres, y desde esta fecha hasta el 23 de diciembre se tienen 45 días. Los valores que se tienen para reemplazar en la fórmula del interés compuesto son C = 68,500, el capital que se invierte p = 6, la frecuencia de c onversión, 6 bimestres cada año np = 5, el plazo en bimestres, los que son completos i = 0.096, la tasa de interés nominal bimestral Entonces M = 68,500(1 + 0.096/6) 5 M = 68,500(1.082601289) o M = $74,158.1883
M = C(1 + i/p)np
y para el periodo incompleto se tiene C = 74,158.1883, el capital n = 45, el plazo en días i = 0.096/360 o i = 0.000266667, la tasa de interés simple por día El monto al 23 de diciembre es, entonces, M = 74,158.1883[1 + 45(0.000266667)] 45(0.000266667)]
M = C(1 + ni) ni)
M = 74,158.1883(1.012) o M = $75,048.09 b) Considerando que en un bimestre caben 60 días, el plazo para el monto compuesto en bimestres es 5 + 45/60 = 5.75 y el monto es, en este caso,
2) ¿Un pagaré de valor nominal $13 $13 750,00 es descontado por un banco 4 meses meses antes de su vencimiento aplicando una tasa de interés adelantado del 21% con capitalización mensual ¿Cuánto deberá pagarse para cancelarlo 3 meses antes de su vencimiento? 3) Determine el descuento descuento compuesto bancario bancario de una letra letra de cambio de valor valor de vencimiento S/. 25 000.00 si vence en 60 días, si es descontada a la tasa del 48% nominal anual con periodo de descuento mensual. 4) La empresa constructora constructora Graña y Montero S.A. requiere requiere para la ejecución ejecución de un proyecto a 120 días de capital de S/.250 000,00, por ello utiliza su línea de crédito de descuento de pagarés. Determine el valor nominal o de vencimiento del instrumento a descontar a ese plazo, si la tasa de descuento que se aplica a la operación es del 54% con periodo de descuento bancario quincenal? 5) ¿Determine el descuento descuento compuesto bancario bancario de una una letra de cambio cambio de valor de vencimiento S/. 25 000.00 si vence en 60 días, si es descontada a la tasa del 48% nominal anual con periodo de descuento mensual.
TEMA 11: CÁLCULO DEL VALOR NOMINAL O VALOR DE VENCIMIENTO O VALOR FUTURO DE UN DOCUMENTO A DESCONTAR Hay casos en los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que
Ejemplo: La empresa El gallo Ronco S.A.C requiere de $ 250 000.00 para la ejecución de un proyecto de inversión a ejecutarse en los próximos tres años. Si el dinero es 43 conseguido descontando un pagaré a la tasa del 18 %, ¿cuál será el importe del documento a emitirse por concepto de dicho crédito? Respuesta: Factores: P = $ 250 000.00; d = 0.18; t = 3 años; f c o m = 1; n = 3 S=? S = 250 000.00 (1 – 0.18)-3 = $ 453 417.68 El valor de vencimiento del documento – pagaré – a emitirse por dicho crédito es de: $ 453 417.68
TALLER Nº 5: Taller aplicativo: Cálculo del valor nominal o valor de vencimiento o valor futuro de un documento a descontar Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos del valor nominal
Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas:
UNIDAD IV ANUALIDADES Y SEGUROS DE VIDA Objetivos específicos. Calcular el valor futuro y el valor actual de cualquier conjunto de flujos de efectivo en las anualidades. Comprender cómo están inversamente relacionadas el valor actual y la tasa de interés, cuándo una aumenta y la otra disminuye. Uso y aplicación de los factores financieros. Contenido temático:
Definiciones y clasificación de las anualidades Anualidades vencidas Monto de una anualidad anticipada Valor presente de las anualidades ordinarias Rentas equivalentes Anualidad diferida rentas perpetuas Algunos problemas de aplicación
TEMA 12: ANUALIDADES O TEORIA DE LA RENTA
Pago Periódico de la Anualidad o Renta.- Es el importe o valor de cada uno de los pagos, depósitos o retiros que se hacen. Renta Anual.- Resulta de la suma de todos los pagos hechos durante un año. Tasa Interés de la Anualidad o Renta.- Es la tasa pactada o acordada por las partes que regirá para la anualidad o renta. Puede ser nominal o efectiva. Una persona adquiere un equipo DVD mediante un contrato de compra-venta a plazos en una tienda de electrodomésticos, a un plazo de 2 años por el que pagará $36,00 mensuales, cuotas que han sido financiadas a la tasa del 36% efectivo anual. Los factores de la Anualidad o Renta son: Tiempo o plazo de la anualidad: 2 años Intervalo de Pago: Es de un mes o Mensual Pago Periódico: $36,00 Renta Anual: $432,00 La tasa de interés efectiva anual es del 36% de la que se deduce la TEM i = (1+0,36) Conceptos básicos que no debes olvidar: Anualidad es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto. Renta de la anualidad es el pago periódico y se expresa con R. Intervalo de pago es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último. El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de
Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:
12.2. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS.
Criterio
Tiempo (fecha de inicio y fin)
Tipo
CIERTAS
CONTINGENTES
GENERALES INTERES SIMPLES
Descripción Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de l a renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuándo. Anualidad general. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente. Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente.
12.3. VALOR DE LA ANUALIDADES O RENTAS El valor de una anualidad o renta puede ser calculado al final o vencimiento de su plazo, a dicho cálculo se le denomina monto o valor futuro y en este caso lo pagos periódicos se capitalizan y el valor de una anualidad o renta calculado al inicio o principio de su plazo se llama valor presente o valor actual siendo en este caso que los pagos periódicos son descontados. También el valor de una anualidad o renta puede ser calculado en posiciones intermedias de su tiempo o plazo que da lugar al cálculo del monto o valor futuro parcial, cuando se refiere al cálculo de la parte vencida de la anualidad y valor presente o actual parcial, cuando dicho cálculo se refiere a la parte de los pagos que faltan por vencer de la anualidad o renta. Cálculo del Monto o Valor Futuro de las Anualidades Simples Ciertas Ordinarias e Inmediata El monto o valor futuro de una anualidad de este tipo es el capital acumulado correspondiente todos los pagos periódicos y todos los intereses generados por éstos, al término del plazo o mejor dicho, es la suma de todos los montos compuestos determinados por los pagos periódicos hechos a la anualidad o renta. En la práctica es el caso que más se presenta en lo que se refiere al cálculo del valor de las anualidades. A partir de una ecuación de equivalencia financiera y tomando como fecha de referencia la fecha de vencimiento del plazo, el monto o valor futuro F de esta anualidad la obtenemos de la siguiente manera: Momento Actual Vencimiento del Plazo
Luego el monto o valor futuro de la anualidad o renta simple cierta ordinaria e inmediata será igual a la suma de los montos compuestos parciales o valores futuros parciales a interés compuesto generados por cada pago computados al vencimiento del plazo. VFn = R(1 + i)
n-1
+ R(1 + i)
n-2
+ R(1 + i)
n-3
2
1
+..........+ R(1 + i) + R(1 + i) + R(1 + i)
0
Si invertimos el orden de la progresión anterior nos queda: 1
2
n -3
VFn = R + R(1 + i) + R(1 + i) +...................+ R(1 + i)
+ R(1 + i)
n -2
+ R(1 + i)
n -1
En conclusión tenemos que el monto o valor futuro de la anualidad VF n es igual a la suma de los términos de una progresión geométrica cuyo primer término a 1 es R, su razón r es (1 + i), la que obtenemos aplicando la ecuación de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica (S n ). n
Sn = a1 (r – 1)
r-1r≠1 Luego basados en esa fórmula y adecuando a la nomenclatura o términos de las anualidades tenemos que: (1 i) 1 VFn = R i (1 i ) Finalmente nos queda la siguiente ecuación: (1 i ) 1 n
VFn = R
n
i
Para desarrollarlo utilizaremos un diagrama de flujo y tendremos: 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 7 500 R1 R2 R3 R4 R5 R6
0
--------→VF6 = 7 500,00(1 + 0,09) = 7 500,00 1
---------------→VF5 = 7 500,00(1 + 0,09) = 8 175,00 2
-----------------------→VF4 = 7 500,00(1 + 0,09) = 8 910,75 3
---------------------------------→ VF3 = 7 500,00(1 + 0,09) = 9 712,72 4
---------------------------------------→VF2 = 7 500,00(1 + 0,09) = 10 586,86 5
----------------------------------------------→VF1 =7 500,00(1 + 0,09) = 11 539,68 Si sumamos los montos compuestos calculados VF 1+VF2+VF3+VF4+VF5+VF6 obtenemos el Valor Futuro o Monto de la Anualidad VF = $56 425,01 Observamos que cada uno de los pagos periódicos ha sido multiplicado por su FSC, obteniendo montos compuestos parciales a partir de cada pago periódico. En la práctica este método de cálculo empleado se llama método largo para el cálculo del monto o valor futuro de una anualidad o renta, que es un método demostrativo de su concepto. Utilizable cuando el número de pagos de la anualidad es relativamente corto, y poco útil por lo largo y tedioso que sería aplicarlo a un número de pagos periódicos bastante grande. En reemplazo de esta forma de determinación utilizamos la ecuación directa de estimación.
12.4. FACTORES FINANCIEROS
-> factor simple de capitalización FSC -> factor simple de actualización FSA -> factor de capitalización de la serie FCS -> factor de depósito de fondo de amortización FDFA -> factor de recuperación del capital FRC -> factor de actualización de la serie FAS
APLICADO S, C, R a) S = C.FSCi,n
VALOR FUTURO EN FUNCION DE UN VALOR PRESENTE
b) C = S.FSAi,n
VALOR PRESENTE EN FUNCION DE UN VALOR FUTURO
Rpta. Fatores: R =$250,00 j = 14,4% i = 14,4%/24= 0,6% t = 6 años n = 6 x 24= 144 Luego (1 0,006)144 1 VF144 = 250,00 = $56 938,12 0,006
Este monto determinado se convertirá en el principal que capitalizará intereses durante 18 meses más a partir de los siguientes factores: VP = $56 938,12 i = 0,006 t = 18 meses n = 18/12 x 24 = 36 36 VF = 56 938,12 (1 + 0,006) = $70 620,44
12.5. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD O RENTA SIMPLE CIERTA ORDINARIA O VENCIDA E INMEDIATA. El valor presente de una anualidad es aquel capital denotado por VP que con sus intereses compuestos en el tiempo o plazo de la anualidad proporcionará un valor futuro equivalente al de la anualidad. 1 (1 i ) n VPn = R i
2. Un automóvil se vende con una cuota inicial de $7 500,00 y 48 cuotas mensuales de $777,00. Si el crédito automotriz cobra un interés del 17,4% con capitalización mensual, hallar el valor al contado del vehículo. Rpta. Factores: R = $777,00 j = 17,4% pc = mensual f c = 12 i = 17,4/12 = 1,45% t = 48 meses n = 48/12 x 12 = 48 Cuota Inicial = $7 500,00 Valor al Contado = Cuota Inicial + Valor presente de la cuotas Entonces tengo que hallar el valor presente de las 48 cuotas y sumarlas a la cuota inicial para determinarlo: 1 (1 0,0145) 48 VP48 = 777 x = 777 x 34,40871624 = $26 735,57
0,0145
Luego el Precio al Contado del vehículo será: V.C. = 7 500,00 + 26 735,57 = $34 235,57
TALLER Nº 6: Taller aplicativo: valor presente de una anualidad Objetivo: Verificar la comprensión acerca del valor presente de una anualidad
Autoevaluación:
TEMA 13: ANUALIDADES ANTICIPADAS An ual id ades An ti ci pad as o Pre pagab les, son aquellas en las que el pago periódico
se efectúa al principio del periodo de pago. Ejemplo los contratos de alquiler de inmobiliario, en los que se establece que la merced conductiva del inmueble o renta mensual o mensualidad se abonará a principio de cada mes. - Según la fecha de ejecución del primer pago de la renta o anualidad se clasifican en: Anualidades Inmediatas y Anualidades Diferidas An ual id ades in med iat as, son aquellas cuyo primer pago se realiza en el primer
periodo de pago, no interesando si es al principio o término del intervalo de pago. An ual id ades Dif eri das , son aquellas cuyo primer pago periódico se efectúa algunos
periodos después de que se suscribe el plazo de la anualidad o renta. Ejemplo: los contratos de ventas a plazo de Sagafalabella con pagos diferidos que permite a sus clientes diferir los pagos desde uno hasta seis meses – claro que tiene un alto costo financiero, otro ejemplo lo constituyen aquellas agencias de viaje como Hada Tours y Nuevo Mundo que se promocionan sus ventas con el slogan viaje ahora y pague después, en las que la oferta permite al beneficiario pagar su crédito viajero 90 días o tres meses después de haber viajado. Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de cada de dichas anualidades se muestra a
Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de tiempo, el diagrama de flujo de cada de estas anualidades es el siguiente:
Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son los periodos de tiempo transcurridos. La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es: Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:
Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas, solo que periodo (1+i) ya que el monto total se capitaliza un periodo más. En el caso del capital la ecuación queda:
. . . M= $3, 265.99
Ejemplo 2. Determine el valor del monto al cual equivalen 6 pagos anticipados semestrales de $14,500 si el interés es del 19% anual capitalizable semestralmente. Solución: Los datos son: M=? n=6 R = $14,500 i = 19% anual capitalizable al semestre
. , . . M = $120,968.40
TEMA14: ANUALIDADES VENCIDAS Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de cada de dichas anualidades se muestra a continuación:
La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es: Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:
La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:
Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:
. . $, .
Ejemplo 2. Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar un servicio privado de vigilancia en $2,750 de renta vencida. Como desearía liberarse del compromiso mensual, decide proponer una renta anual anticipada. Si los intereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente ¿Cuánto debería ser la renta anual que debería pagar al inicio de cada año?
Solución: C=? R=$2,750 i = 15.6% anual capitalizable al mes n = 12 meses
.. R = $5.921.31 TALLER Nº 8: Taller aplicativo: anualidades vencidas Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos de anualidades vencidas
Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. ¿Cuál será el valor nominal de un pagare que será descontado faltando 38 dias para su vencimiento? Al pagare se le aplicara un TNM del 3% con capitalización diaria y se requiere disponer un importe neto de S/.1000 1. ¿una persona necesita ahorrar para navidad porque desea regalarle a su mama un televisor LCD cuyo precio es de S/.1500 para ello va a colocar en una entidad financiera que le permita dicho ahorro bajo una TNA de12% con capitalización mensual ¿Cuál será el valor de la cuota mensual si la fecha de hoy es 05/10/10 hasta 25/12/10?
Una estrategia para calcular el valor del artículo para el 1ro de noviembre de 2009 es determinar el valor presente de dichos pagos periódicos, si se considera que son vencidos (es decir que inician un mes después) habremos calculado el valor presente para el 1ro de diciembre de 2009. Entonces el valor presente de los pagos mensuales vencidos se calcula con la ecuación:
. . $, .
Ahora para calcular el valor presente al 1ro de noviembre de 2009 se requiere calcularlo como si el valor de $1,791.72 fuera un monto o valor futuro y el capital buscado se encuentre un periodo mensual anterior. En un diagrama de flujo de caja lo anterior se expresa de la siguiente manera:
TALLER Nº 9: Taller aplicativo: anualidades diferidas Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos del valor nominal
Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años si el primer pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17% semestral capitalizable al semestre. 2. El 12 de enero un deudor acuerda pagar una deuda mediante 8 pagos mensuales de $3,500 haciendo el primero de ellos el 12 de julio del mismo año; si después de realizar el 5to pago no realiza los dos pagos siguientes; determine cuál es el valor del 8vo pago que debe realizar para cubrir completamente su deuda si el interés se calcula como 21.6% con capitalización mensual.
TEMA 16: RENTAS PERPETÚAS 16.1 DEFINICION: Una perpetuidad es, una anualidad donde la renta se mantiene fija, o variable, pero por tiempo ilimitado, y esto crea la necesidad de que el capital que la produce nunca
Donde I = 20,500, la renta trimestral n = 3/12, un trimestre, el plazo en años i = 0.12, la tasa de interés nominal trimestral C, el capital a invertir, la incógnita Por lo tanto, 20,500 = C(0.12)(3/12)
I = Cin
De donde C = 20,500/0.03
o
C = $683,333.33
Note usted que de emplearse la fórmula del interés compuesto el monto deberá ser M = C + 20,500 y, por lo tanto, C + 20,500 = C(1 + 0.12/4) C + 20,500 = C(1.03) 20,500 = 1.03C − C 20,500 = (1.03 − 1)C De donde C = 20,500/0.03 o
M = C(1 + i/p)np,
np = 1
C = 683,333.33
RENTA MENSUAL PERPETUA ¿Cuánto pueden retirar cada mes y por tiempo ilimitado la señora viuda de González y sus herederos, si les son depositados $970,000 en un banco que paga una tasa de interés del 18.72% anual compuesto por meses? En la fórmula I = Cin se sustituyen:
Ejemplo: Una inversión de millón y medio de pesos produce los suficientes intereses para disponer de $38,000 cada bimestre y por tiempo ilimitado. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo? Ahora la incógnita es i, la tasa de interés bimestral: 38,000 = 1’500,000(i)(1/6)
I = C(i)n
De donde i = (38,000/1’500,000)6 o
i = 0.152 o
15.2% anual,
Porque el plazo, 1/6, está en años, la bimestral es 0.152/6 = 0.025333333 o 2.5333% bimestral.
TALLER Nº10: Taller aplicativo: rentas perpetuas Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los elementos de renta perpetua
TEMA 17: AMORTIZACIÓN 13.1. DEFINICION La palabra amortizar tiene dos conceptos uno financiero y otro contable. El concepto financiero, parte de la palabra amortizar ( derivada de la expresión a l’mort de origen francés que significa a la muerte) se usa para llamar así al proceso financiero por el cual se reduce progresivamente (llegándose a cancelar) el volumen de una deuda y sus intereses, por intermedio de pagos iguales o diferentes a intervalos de tiempo iguales o distintos que pueden iniciarse al recibir el crédito(anticipados), al vencimiento de cada periodo de pago (vencidos)o después de cierto plazo pactado (diferidos). Contablemente, se entiende como el proceso que consiste en disminuir el valor de un activo, cargando este importe a gastos. La amortización es una de las más grandes aplicaciones de las anualidades en las operaciones financieras de retorno o devolución de un crédito. Existen diferentes sistemas de amortización y en ellos a su vez existen muchas variantes que dependen de la cuantía y de la frecuencia de los pagos, en todo, caso el interés simple o compuesto devengado se determina en base al saldo pendiente de pago en el momento de hacerse la amortización. La Amortización a interés simple la vimos en el capítulo Nº2, ahora sólo trataremos aquellas amortizaciones que devengan interés compuesto. Es importante denotar que los pagos periódicos de una amortización se fraccionan en dos partes una para cubrir los intereses y el saldo o diferencia para amortizar el principal de la deuda o capital vivo de la misma. Sistemas o Clases de Amor tización En base a la relación existente entre la amortización y los intereses de los pagos periódicos se tiene los siguientes sistemas o clases de amortización
precios al consumidor o algún otro que nos obligue a aumentar el valor de las cuotas de una manera variable. Amortizaci ón por cuotas decrecientes . En este caso los modelos matemáticos son similares a los del sistema anterior, con la diferencia de que los factores de variación son negativos. Cálculo del Valor de las amortizaciones Se presentan dos casos importantes: - Determinar el importe de los pagos periódicos; - Hallar el número de pagos necesarios para amortizar una deuda. Cuadros de Amortización Se denomina así a la ordenación en columnas de cada uno de los elementos notables del desarrollo de un préstamo: Número de Períodos; Servicio de la deuda o pago periódico de la amortización; Cuotas interés; Cuotas capital; Deuda extinguida después de cada período y Saldos sucesivos. Por ejemplo del Caso de Amortización Gradual: Construir un cuadro de amortización para un préstamo de $1’500 000,00 pagadero en 5 años a la tasa del 7% efectivo anual. 13.2. CALCULO DE LA CUOTA CONSTANTE CUANDO EXISTEN VARIACIONES DE TASA Cuando un préstamo ha sido desembolsado en una sola armada o en partes y además
N°C
Cuota Interés
Interés
0 ------------------ ---------------1 2820.12 5 000.00 2 2820.12 383.99 3 2820.12 262.19 4 2820.12 134.29 total 11280.47 1280.47
Amortización
---------------2320.12 2436.12 2557.93 2685.83 10000.00
Saldos
10000.00 7679.88 5243.76 2685.83 0.00 -----------
b) Tabla de reembolso al vencimiento de la primera cuota S1 = 10000(1.0540/90 )( 1.0420/90)( 1.0330/90) S1 = 10410.74 I1 = 10410.74 – 10000 I1 = 410.74
Ra = S1
. FRC0.03;4 -> Factor simple de actualización FSA -> Factor de recuperación del capital FRC
Ra = 10410.74 x 1.03-1 x FRC0.03;4
TEMA 14: SEGUROS DE VIDA 14.1. DEFINICIÓN: El seguro es el documento, instrumento o contrato en virtud del cual una persona o sociedad (el asegurador) asume un riesgo que debe recaer sobre otra persona (asegurado) a cambio de una cantidad de dinero llamada prima. En el caso del seguro de vida este contrato permite que una persona de ingresos moderados pueda proporcionar a su familia una cierta cantidad de dinero en el momento de su muerte. Las primas brutas de los seguros cubren tanto las muertes acaecidas como los gastos de las compañías aseguradoras, es decir una prima bruta estará constituida de la prima neta más los recargos que varían de compañía a compañía. En nuestro tratamiento sólo determinaremos las primas netas para pólizas de: seguro temporal, de vida entera, de vida con pagos limitados y total. La prima de un seguro temporal se basa en los beneficios relativos a los fallecimientos esperados en un período limitado que puede ser de 5 o 10 años. La prima de esta póliza aumenta a medida que aumenta la edad del asegurado; por ello el seguro temporal resulta caro a edades que se aproximan a la edad promedio de vida del poblador de un determinado país. Una póliza a prima constante o media tiene un costo inicial mayor que un seguro temporal pero la prima no aumenta, constituyéndose ese exceso en una reserva que compensa las indemnizaciones ocasionadas por las muertes que ocurran con posterioridad. El tipo más simple de póliza a prima constante es el de vida entera, conocido como seguro de vida ordinario, cuyo costo de póliza se determina por la edad del asegurado en el momento de su contratación, conservándose por el resto de
mortalidad queden anticuadas al cabo de cierto tiempo, debiéndose sustituir por otras más recientes. Para efectos de estandarizar el material de t rabajo de nuestros estudios utilizaremos la “1958 Commissioners Standard Ordinary Mortality Table” conocida como la “1958 CSO Table”, la misma que se convirtió en la tabla modelo para muchos estados de EE.UU. desde el 1ro. De Enero de 1966.
14.3 OPERACIONES DEMOGRAFICO - FINANCIERA CAPITAL DIFERIDO
Toma el nombre de cantidad de dinero que se pagaría al cabo de n años a una persona de edad actual x, a condición de que esté. Entonces con vida. Se trata de un capital (por ejemplo k) cuyo pago es un elemento es un elemento aleatorio, porque está condicionado a que la persona de edad x cumpla x+n años parar recibirlo; por tanto el precio justo de esta eventualidad, que viene a ser un seguro caso de vida, está dado por la esperanza matemática o deposito que el individuo en gestión debe efectuar hoy para recibirlo solo si se encuentra con vida a la edad x+n. X +n
X U
K
La prima única U está dada por el valor descontado K v por la probabilidad de supervivencia: n
Símbolo de conmutación:
Un valor actual es mejor cuando el capital futuro pierde más interés en el proceso de actualización. Introducimos el símbolo:
Que podría denominarse solo teórica y curiosamente número de sobrevivientes descontados a una tasa de interés anual por un tiempo equivalente a su edad.
. .
n
x
Por ejemplo Si se toma el mismo caso anterior señalado tendríamos:
. 10
15
35
=
50 35
. . 10 . 10 29.468
Para el caso de factor de capitalización financiero se tendría
I
n x
Símbolo de conmutación
Valor actual de renta de vida entera diferida a pago anticipado X
X+m 1
1
1
1
1
1
A la edad de x+m, la prima única o valor es:
Si actualizamos este valor por m años con el factor m x se obtendrá el valor buscado, que es lo mismo que seguir el procedimiento de actualizar cada cuota y sumar luego todos los valores actuales individuales (por ejemplo, la segunda cuota tendrá un x valor de m+1 x ). mj
. x=
.
m+1
x
Valor actual de renta de vida entera diferida a pago anticipado
1
14.4. PRIMA DE UNA PÓLIZA DE VIDA ENTERA CON LAS FUNCIONES DE CONMUTACIÓN Suponiendo que una compañía de seguros emite pólizas de una unidad monetaria a l x personas vivas a los x años de edad. Al término del primer año, la compañía deberá abonar d x unidades monetarias a los beneficiarios de los fallecidos, al concluir el 2do. Año, deberá cancelar dx+1 unidades monetarias y así continuar hasta llegar a los d 99 unidades monetarias. Cada una de las lx personas deberá pagar una prima neta única de Ax unidades monetarias por su póliza. Luego el producto del número de vivos a los x años de edad por la cantidad de la prima neta única a pagar a cada uno de ellos deberá ser igual al valor actual de todos los pagos futuros a los beneficiarios de los fallecidos, siendo su fórmula de valor desarrollada: 2
lx Ax = vdx +v dx + a + .........+v
99 – x
d98 + v
100 – x
d99 n
Despejando Ax y multiplicando el numerador y denominador por v , tenemos: x 1
Ax =
v
d x
x 2
v
d x a
Símbolo de conmutación:
.....................
99
v d 98
100
v
d 99
vn1 x
Introduciendo las funciones de conmutación el resultado anterior se simplifica
14.4. PRIMA DE UN SEGURO TEMPORAL Por definición anterior la prima de un seguro temporal aumenta con la edad del asegurado, el mismo que se produce cada 5, 10 o 20 años, el mismo que se describe como temporal de 5 años, temporal de 10 años y así sucesivamente. La fórmula que 1 nos permite determinar la prima neta única, A x n para una póliza temporal de n años de una unidad monetaria, a favor de individuos de edad x. Las muertes y las primas para el periodo que va desde la edad x hasta la x+ n
Beneficio por fallecimiento $1.00 al beneficiario de cada asegurado que fallece dx dx +1 d x +n –2 dx+n –1 ]------------]-----------]--------.................---]--------------] Primas x x + 1 x + 2 x + n –1 x + n Edad de los asegurados 1
lx Ax
n
Si llevamos todos los datos a la edad x y planteamos una fórmula tendremos 1
2
n-1
n
lx Ax n = vdx + v dx+1 + ..............+ v dx+n-2 + v dx+n-1 n
Multiplicando por v e introduciendo las funciones de conmutación tendremos
Ejemplo:
La prima única para un seguro temporal representa la cantidad que aumentada de sus intereses, es necesaria y suficiente para pagar el capital unitario y en caso de muerte si esta se presenta durante el periodo temporal de n años. Para este efecto pongamos: X = 35, n = 5, i = 0.08
3535 40 61.748,633.554.993.1663,2 =
= 0,011175673
35 35
En aplicación de a ley de los grandes números y repitiendo consideraciones antes =9.377.807 expuestas, supongamos que esta prima es pagada por todos los Persona, recaudándose un total de 104.758,61. Capitalizado por un año al 8% da 113.139,30. Al final del año se paga 1$ por cada uno de los = 23.528 casos de muerte ocurridos en el año, con lo que el fondo se reduce a 89.611.30. PRIMA ÚNICA PARA UN SEGURO TEMPORAL DIFERIDO
Hallando la prima única la edad (x+m) y luego actualizando por m años, se tiene la prima única a la dad x: X
X+m
X+m+n
TALLER Nº 11: Taller aplicativo: seguros de vida Objetivo: Verificar la comprensión acerca del valor presenta los seguros de vida
Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 1. Si una persona de 35 años de edad está obligada a pagar 10000 cada comienzo de año durante toda su vida, ¿Qué cantidad única pagaría hoy a la tasa del 8% anual? ( En lo sucesivo n se mencionara la tasa de interés porque las tablas están ya determinadas con una determinada i anual)
2. ¿Qué prima única pagara hoy una persona de 50 años por capital de 1.000.000 para cada muerte?
SOLUCIONARIO TALLER 1:
Nociones básicas
Obtenga el 15.38% de 429.5:
a) 66.0571
429.5 x15.38/100 = 66.0571
1. Es el 200.3% del 4.53% de 15,208: b) 1,379.9116 (200.3/100) x (4.53/100) x15,208 2. El precio actual de un televisor es de $5,521.50. ¿Cuál fue un precio anterior si aumentó un 2.25%? Si el precio anterior es X, entonces el aumento es un 2.25% de X y el precio actual es: X + (0.225)X = 5,521.50 (1 + 0.225)X = 5,521.50 porque (1.225)X = 7,650 de donde X = 5,521.50/1.225
ax+bx=(a+b)x ò X = 4,507.35
d) 4,507.35 3. En los problemas, evalúe las expresiones utilizando calculadora.
√ 35.3
(5.23)4
(85.2)2/5
= 2.44 =748.18 =5.92
ln(28.3)1/2 =1.83 log8 (50.382) =1.88 (27.95)5/3 =257.41
6. ¿A qué interés compuesto debe depositarse un capital de 6000 euros si en tres años se ha convertido en 6749,20 euros?
⇔ ⇒
6 749,20 = 6 000(1 + r ) 3 (1 + r )3 = 1,1248 Tomando logaritmos: 3log (1 + r ) = log 1,1248 log (1 + r) =0,017 1 + r = 100,017 r = 0,0399 El interés compuesto es del 4% anual.
⇒ ⇒
⇒
TALLER 2: Interés simple e interés compuesto monto y tasas de interés 1. Si P = US$ 100,000.00 n = 5 meses. TN = 8% trimestral Capitalización mensual ¿Hallar S? Solución i'
0.08 0.026666... 3
S = 100,000 (1+0.026666...)5 S = US$ 114,063.66
4. ¿Qué tiempo se requiere para que $1.500.000 invertidos al 3% mensual simple se convierta en $2.193.000? n = ? p = 1.500.000; Si F = p (1+ in )
.. ..
= 1+0.033n
F = 2.193.000 i = 3.3% mensual 2.193.000 = 1.500.000 ( 1+0.033n )
1+0.033n = 1.462 - 1
0.033n = 0.462
n = 14 meses
5. ¿Qué tiempo se requiere para que un capital se duplique, si este se invierte al 27.5% anual simple? n=? Si
p=?
i = 27.5% anual
F = 2p = ( 1+in)
2 = 1+ 0.275n
F = 2p
2p = p (1+ 0.275n)
1 = 0.275n
n=
n=
.
= 1 + 0.275 n n = 64 años n =3.64 años
La respuesta anterior está dada en años y la podemos convertir en años, meses y días, así: 3.64 años 3 años + 0.64 años ¿0.64 años equivalen a cuantos meses? Para hacer esto debemos tener en cuenta lo siguiente: si una cantidad inicial se multiplica por 1 esta no se altera puesto que el ultimo número 1 es el módulo del producto. Si tenemos a a* 1 = a Ahora si tenemos 0.64 años, podríamos multiplicar por 1 así: 0.64 x =
ñ
= 7.68 meses
Caso: A P = 500.000. í = 3% mensual n = 6 meses 6 F =500.000 (1+ 0.03) F = 500.000 (1.194052) El ejercicio propone 6 meses F = $ 597.026,14 Caso: B P = 500.000. í = 5% bimestral n = 1.5 años n = 9 bimestre F = 500.000 . (1+0.05) 9 F = 500.000 (1.05) 9 F = 500.000 (1.551328 ) F = $ 775.664 Caso: C P = 500.000. í = 8% trimestral n = 1 año n = 4 semestres F = 500.000 (1+ 0.08) 4 F = $ 680.244 Caso: D 0.07562 P = 50.000. í = 0.07562% diario í= n = 3 meses n = 90 días F = 500.000 (1+0.0007562) 90 = 500.000 (1.0007562) 90 F = 500.000 (1.0703999) F= $ 535.200 Caso: E P = 500.000 í = 34% anual n = 3 años n=3 3 F= 500.000 (1 + 0.34) F= 1´203.052
.
TALLER 3: Descuento simple o bancario o financiero
= 0.0007562
Si d1= 20% o 0,2; d2= 12% o 0,12; d3= 8% o 0,08 y d4= 0,025 TUE = 1 - [ (1- 0,2)(1-0,12)(1-0,08)(1-0,025)] = 0,368512 Luego si el valor bruto de la compra es de S/.75 000,00 y a este le deducimos el 36,8512% de descuento único tendré un valor líquido a pagar por la compra de : 75 000 – (0,368512 x 75 000) = 75 000 – 27 638,40 = S/.47 361,60 6. Factores: D = ? VF = $22 500 d = 25% o 0,25 t = 60 días Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: D = 22 500 x 0,25 x 60/360 = $937,50 Para determinar el valor líquido aplicamos: P = 22 500 – 937,5 = $21 562,50 También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: P = 22,500 [1 – (0,25) (60/360)] = $21 562,50 7. Factores: D = ? VF = $27 850 d = 14,5% o 0,25
t = 540 días
Aplicando la fórmula del Descuento tenemos: D = 360 000 x 0,145 x 540/360 = $78 300,00 Para determinar el valor líquido aplicamos: P = 360 000 – 78 300 = $281 700,00 También si queremos obtener directamente el valor líquido sin pasar por el cálculo previo del Descuento aplicamos la ecuación respectiva y tenemos: P = 360 000 [1 – (0,145) (540/360)] = $281 700,00
8) Rpta. Factores: VF = $25 000,00 n = 2 d = 0,48/12 = 0,04 D = ? 2 D = 25 000,00 [ 1 – ( 1 – 0,04 ) ] D = S/.1 960,00 9) Cálculo del Valor Nominal o Valor de Vencimiento o Valor Futuro de un documento a descontar. Hay casos en los cuales sabemos el importe o cantidad de dinero que necesitamos y que conseguimos por vía del descuento compuesto bancario de documentos y nuestra pregunta es ¿Cuál sería el importe de documento a suscribir en dicho caso si este es descontado? En ese caso y a partir de la ecuación del valor líquido VP despejo el factor valor de vencimiento VF y nos queda: -n VF = VP (1 – d ) Rpta. VP = S/.250 000,00 n = 8 d = 0,54/24 = 0,0225 F = ? -8 VF = 250 000 (1 – 0,0225 ) = S/. 299 920,3126 VF = S/. 299 920,31
TALLER 5: Taller aplicativo: Cálculo del valor nominal o valor de vencimiento o valor futuro de un documento a descontar Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 2) El 7 de marzo la empresa AILLIN, correntista del BBVA, acepto un pagare de S/.
50001 10.015
Solución: P=? S = 5000 n=2 d = 0.18/12
P= P=
P= 4851.13
TALLER 6: Taller aplicativo: valor presente de una anualidad Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 4. Actualmente la empresa SARA SA decide cancelar las 4 últimas cuotas fijas insolutas de un préstamo contraído con una entidad financiera ascendente cada una a S/. 500 ; las mismas que vencerá dentro de 30; 60 y 120 días respectivamente ¿Qué importe deberá cancela si TEM es del 5%? Solución
P =?
n= 4 meses
i = 5%
R = 500
500
P = R x FAS
500
500
SOLUCION P=? S = 4000 n = 45/30 d = 0.0016
/ 4000 1 . 0 5 40000.9294286413
P= P=
P= 3717.71
Si el costo de oportunidad es 5% mensual, entonces la propuesta de la cancelación de la deuda hoy, con un pago de S/.3800 es conveniente, ya que su valor presente a una TEM del 5% es solo S/.3717.71 y el deudor propone cancelarla con S/.3800
TALLER 7: Taller aplicativo: anualidades anticipadas Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 4. El primer día de cada mes una empresa coloca en el banco el 20% de sus excedentes de caja que ascienden a S/.500. si por dichos depósitos percibe una TEM del 3% ¿Cuánto habrá acumulado al termino del 6to mes? Monto de una anualidad anticipada S= Ra(1+i) x FCSi,n
1 1 1
6. ¿Cuál será la imposición (renta anualidad, cuota) mensual contante a paga de un préstamo bancario de S/.10000 reembolsable con 4 cuotas anticipadas aplicando una TE de 3%? calcule además el préstamo neto
Renta en función a un valor presente Ra =
Ra = 2611.91
x FRCi,n
1 11 1 0 . 0 3 1 0. 0 3 100001 0.03 1 0.03 1
PRESTAMO BRUTO: 10000.00 PRIMERA CUOTA (INICIAL): 2611.91 PRESTAMO NETO: 7388.09
TALLER 8: Taller aplicativo: anualidades vencidas Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas:
TALLER 9 Taller aplicativo: anualidades diferidas Autoevaluación: Resolver los siguientes problemas: 3. Calcular el valor actual de una renta semestral de $6,000 durante 7 años si el primer
pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17% semestral capitalizable al semestre. 4.
Solución: los datos del problema son los siguientes: R = $6,000 pagos semestrales n = 14 periodos semestrales (7 años) i = 17% semestral capitalizable al semestre Si consideramos los pagos como anticipados podemos calcular el valor presente de los pagos como primer paso.
Posteriormente pasar esa cantidad que esta 3 años en el futuro a valor presente: M=C(1+i)n
5. El 12 de enero un deudor acuerda pagar una deuda mediante 8 pagos mensuales de
$3,500 haciendo el primero de ellos el 12 de julio del mismo año; si después de realizar el 5to pago no realiza los dos pagos siguientes; determine cuál es el valor del 8vo pago que debe realizar para cubrir completamente su deuda si el interés se calcula como 21.6% con capitalización mensual Solución: conviene hacer un diagrama de flujo de caja para este problema: Se había pactado (cifras en miles de pesos para ahorrar espacio):
Pero lo que realmente ocurrió fue:
Opción 1: Pasar los pagos faltantes al futuro:
Opción 2. Calcular la diferencia que le falta pagar al 12 de febrero: Se calcula con la
Sustituyendo los valores tenemos:
M $29,828.95-$19,138.82=$10,690.13
RESPUESTA: $10,690.13 es el valor que debe pagar el 12/feb para compensar los 3 últimos pagos que aún no realiza.
TALLER Nº 11: Taller aplicativo: seguros de vida 1. Si una persona de 35 años de edad está obligada a pagar 10000 cada comienzo de año durante toda su vida, ¿Qué cantidad única pagaría hoy a la tasa del 8% anual? (En lo sucesivo n se mencionara la tasa de interés porque las tablas están ya determinadas con una determinada i anual)
.10 633.61.7948,93,51 .104 91.39616886
3535 3
GLOSARIO ACAPARAMIENTO: Acción de retener mercaderías o dilatar su venta con el objeto de especular con el alza de precio de las mismas. ACCIÓN: Cada una de las partes en que se divide el capital de una empresa (particularmente en las S.A.), existiendo distintas categorías: de fundador, ordinarias, preferenciales, etc. Algunas sociedades cotizan en bolsa sus acciones. ACTUALIZACIÓN: Equivalencia entre un valor futuro y su correspondiente al período actual. Técnica de base matemática consistente en la determinación del valor presente de un valor o un flujo de valores correspondientes a un período o períodos posteriores (futuros), a partir de la aplicación de una tasa de interés de referencia. ACUMULACIÓN (del capital): Proceso consistente en el incremento de la dotación de bienes de capital de la economía en el transcurso del tiempo; más genéricamente, incremento de la dotación del stock de riqueza de la economía. AHORRO: Abstención de consumos presentes a los efectos de su disposición en el futuro; parte de los ingresos no consumida: S = (Y – C) Señala Keynes al respecto: “Que yo sepa, todo el mundo está de acuerdo en que ahorro es el excedente del ingreso sobre lo que se gasta en consumo; y no cabe duda que sería inconveniente y desorientador no darle esta acepción”. 1 AMORTIZACIÓN : 1. Devolución total o parcial de un préstamo; 2. Registración contable de la depreciación de un bien. ANÁLISIS DINÁMICO: Metodología que establece relaciones entre variables correspondientes a distintos períodos de tiempo, por ejemplo cuando se afirma que la Inversión correspondiente al
Con el transcurso del tiempo, los bancos han ampliado su actividad: constituyen en la actualidad parte de su oferta de servicios la emisión de tarjetas de débito y crédito, el alquiler de cajas de seguridad, la participación en el comercio exterior a través de diversos i nstrumentos, etc. Como resultado de la intervención de los bancos comerciales, se produce una expansión de los medios de pago de la economía, proceso que se conoce con el nombre de multiplicador bancario.
DINERO: Activo financiero de máxima liquidez, es decir, de disposición inmediata y aceptación generalizada para la realización de las transacciones. Se suele definir al dinero a partir de sus funciones, las cuales son: a) Medio de cambio y pago para la realización de las transacciones; b) Unidad de cuenta o medida del valor; c) Depósito de valor (instrumento para el ahorro).
ENCAJE BANCARIO: Coeficiente técnico fijados por la autoridad monetaria (el Banco Central) para establecer el límite de préstamos de las entidades comerciales respecto de los fondos recibidos en calidad de depósitos. Regulando este coeficiente se puede expandir o contraer el volumen de medios de pago del sistema.
GANANCIA: Leit motiv de la economía de mercado y la existencia de la empresa. La búsqueda de la ganancia separa las organizaciones económicas de las otras. En principio, la ganancia es la diferencia entre los ingresos y los gastos de la organización.
INTERÉS: Costo del dinero; precio que debe pagarse como retribución de un préstamo monetario.
INVERSIÓN: Gasto de las empresas para mantener e incrementar su capacidad productiva; la inversión es el componente más volátil de la demanda agregada.
ANEXO
MATEMATICA FINANCIERA
TABLA DE MORTALIDAD 1958
Página 94
MATEMATICA FINANCIERA
Página 95
MATEMATICA FINANCIERA
Página 96
MATEMATICA FINANCIERA
Página 97
