Matemática Completa

Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó Liberdade, Desafia o nosso peito a própria morte!

Do que a terra mais garrida Teus risonhos, lindos campos têm mais flores; “Nossos bosques têm mais vida”, “Nossa vida” no teu seio “mais amores”. Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve!

Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve! Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece.

Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro desta flâmula - Paz no futuro e glória no passado.

Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza.

Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um filho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte. Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!

Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada!

Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

ISBN 978-85-322-8492-1

9

788532 284921

MATEMÁTICA COMPLETA ensino médio

GIO bo VA pa nj NNI ul or no Jr o . câ m ar a

Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, florão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo!

MATEMÁTICA

Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heroico o brado retumbante, E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos, Brilhou no céu da Pátria nesse instante.

Matemática Completa

Letra: Joaquim Osório Duque Estrada Música: Francisco Manuel da Silva

componente curricular:

ensino médio

M pr an of ua es l so do r

2

HINO NACIONAL

2

componente curricular:

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA COMPLETA ENSINO MÉDIO

José Ruy Giovanni Jr. Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo – USP. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1985.

José Roberto Bonjorno Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Professor de Matemática e Física em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1973.

Paulo Roberto Câmara de Sousa Mestre em Educação pela Universidade Federal da Paraíba – UFPB. Especialização em Educação Matemática pela Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Pernambuco – UFPE. Professor de Matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1974. Professor de programas de formação continuada e pós-graduação desde 1990. componente curricular:

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

3a edição São Paulo, 2013

2

Matemática Completa Copyright © José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno e Paulo Roberto Câmara de Sousa, 2013 Todos os direitos reservados à

Editora FTD S.A. Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. (0-XX-11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 Internet: www.ftd.com.br E-mail: [email protected]

Diretora editorial Silmara Sapiense Vespasiano Editora Juliane Matsubara Barroso Editora adjunta Flávia Renata P. de Almeida Fugita Editores assistentes Dario Martins de Oliveira Kátia Takahashi Assistentes de produção Ana Paula Iazzetto Lilia Pires Assistente editorial Gislene Aparecida Benedito Supervisora de preparação e revisão de textos Sandra Lia Farah Preparadores Amanda Lenharo di Santis José Alessandre da Silva Neto Revisores Carina de Luca Daniella Haidar Pacifico Desirée Araújo S. Aguiar Francisca M. Lourenço Giseli Aparecida Gobbo Júlia Siqueira e Mello Juliana Cristine Folli Simões Juliana Rochetto Costa Lilian Vismari Carvalho Maiara Andréa Alves Pedro Henrique Fandi Operadora de editoração eletrônica Gislene Aparecida Benedito Coordenador de produção editorial Caio Leandro Rios Editor de arte Fabiano dos Santos Mariano Projeto gráfico e capa Fabiano dos Santos Mariano Ilustrações que acompanham o projeto Editoria de Arte Fotos da capa Haveseen/Shutterstock/Glow Images Filip Fuxa/Shutterstock/Glow Images Chistian Delbert/Shutterstock/Glow Images Iconografia Supervisora Célia Rosa Pesquisador(es) Dulce Plaça Eliana Almeida Nelson Molinari Jr. Editoração eletrônica Diagramação Setup Bureau Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin Eziquiel Rachetti Vânia Aparecida Maia de Oliveira Gerente executivo do parque gráfico Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy Matemática completa : 2o ano / José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno, Paulo Roberto Câmara de Sousa . -- 3. ed. -São Paulo : FTD, 2013. Componente curricular: Matemática ISBN 978-85-322-8491-4 (aluno) ISBN 978-85-322-8492-1 (professor) 1. Matemática (Ensino médio) I. Bonjorno, José Roberto. II. Sousa, Paulo Roberto Câmara de. III. Título. 13-03934 CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio 510.7

Apresentação Esta coleção do Ensino Médio tem como objetivo auxiliar e estimular você a compreender a Matemática e sua presença dinâmica no dia a dia. Após cada conceito, na intenção de ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos, os volumes destacam exemplos que analisam a resolução de atividades e oferecem vasta gama de exercícios, nos quais você pode priorizar a compreensão e aplicação do conteúdo abordado. Paralelamente aos contextos matemáticos específicos, a coleção propõe a leitura e interpretação de textos que buscam aguçar sua curiosidade e levá-lo(a) a refletir sobre a realidade socioeconômica atual e seu comprometimento em relação à cidadania e à sustentabilidade ambiental. Além de primordiais para o prosseguimento educacional nesse período, esses aspectos também são fundamentais para a formação humana contemporânea. Os Autores

Conheça o seu livro Trigonometria no ciclo

CAPÍTULO

Fotos: Fabio Colombini

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Abertura de capítulo Apresenta um tema relacionado ao conteúdo matemático que será desenvolvido no capítulo. Este tema voltará a ser abordado na seção Retomando e pesquisando.

AQUI TEM MATEMÁTICA Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos. A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um movimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente. Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonométrica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonometria, entre eles as funções seno, cosseno e tangente. Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.

Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.

8 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo

Trigonometria no ciclo

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No início de cada capítulo, é apresentada uma relação dos conteúdos que serão trabalhados.

·· ·· · ··

Matrizes são tabelas retangulares utilizadas para organizar dados numéricos. Nas matrizes, cada número é chamado elemento da matriz. As filas horizontais são denominadas linhas e as filas verticais são chamadas colunas. Observe a matriz a seguir:

Este boxe apresenta textos que exploram a relação entre a Matemática e outras áreas, ou entre conceitos da própria Matemática.

 10 8 9  10 8 9     4 5 6 4 5 6   ou   5 7 10   5 7 10      12 11 6  12 11 6 

4   5 1 2  matriz 1 3 Essa matriz tem uma só linha. Dizemos que é uma matriz linha.  

  1 matriz 2 1  7

Essa matriz tem uma só coluna. Dizemos que é uma matriz coluna.  0 0 0 matriz 3 2    0 0 Como todos os elementos dessa matriz são iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. Em geral, indicamos a matriz nula por 0, sem mencionarmos o tipo da matriz. Numa matriz, cada número ocupa uma posição definida por sua linha e por sua coluna, nessa ordem.  0

1a coluna 2a coluna 3a coluna

 10 8 9   4 5 6    5 7 10    12 11 6 

1a linha 2a linha 3a linha 4a linha

Representação genérica De modo geral, uma matriz A de m linhas e n colunas (m n), ou seja, uma matriz Am × n, é indicada assim:  a11 … a13 a1n  a12   … a22 a23 a2n   a21 Am × n  a31 … a32 a33 a3n  com m, n N*      am2 am3 … amn   am1 Em uma matriz A, a32 representa o elemento da 3a linha e da 2a coluna, enquanto a23 representa o elemento da 2a linha e da 3a coluna. Abreviadamente, a matriz genérica A pode ser representada assim: A m n [aij]m n

ou

9

Estabelecendo conexões

1 Conceito de matriz

Nesse exemplo, a matriz tem 4 linhas e 3 colunas. Dizemos que essa é uma matriz do tipo 4 3 (4 linhas e 3 colunas). Lê-se: quatro por três. Vejamos outros exemplos:  2 3 1 matriz 2 3    7 6 8 

Capítulo 1

A m n (aij)m n

Nessa expressão, i assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., m} e j assume valores no conjunto {1, 2, 3, ..., n}.

60 Capítulo 2 Matrizes 

Observação: Uma amostra para representar bem uma população, deve propiciar semelhança com aquilo que distingue a população a ser observada, isto é, deve ter “a cara da população”. Para estudar o aproveitamento do aprendizado dos alunos do Ensino Médio de uma cidade, por exemplo, convém entrevistar não apenas os alunos do 3o ano ou não somente os alunos de uma única escola dessa cidade, ou seja, é necessário diversificar a composição da amostra.

Estabelecendo conexões Inferência e publicidade Inferir significa deduzir por meio de raciocínio, delimitar com base em conclusão ou consequência. Em Estatística, inferência é um ramo que estuda técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, de informações e conclusões que são elaboradas com base na análise de subconjuntos, geralmente de tamanho muito menor. Empregando a linguagem vista neste capítulo, podemos dizer que a inferência estatística visa estudar a população com base na amostra. Essa ideia ocorre no dia a dia, por exemplo, quando se experimenta uma pequena quantidade de um alimento para verificar se ele está ou não totalmente quente, ou então quando o vendedor oferece uma laranja ao comprador para que ele decida se vai ou não comprar.

Ícone calculadora Os exercícios com este ícone trabalham o uso da calculadora para resolver a atividade.

Ícone Desafio Os exercícios com este ícone apresentam uma ampliação da análise e aplicação do conteúdo estudado.

É evidente que tal analogia transmite uma visão simplista de inferência. Há outros exemplos de aplicação, bem mais complexos, como a inferência usada nas pesquisas para o mercado publicitário ou nas pesquisas eleitorais. No Brasil, as pesquisas eleitorais, em geral, são feitas por empresas ligadas à Associação Brasileira de Empresas de Pesquisa (Abep) e, além de registradas em órgãos governamentais, precisam informar, entre outras coisas, as técnicas e os controles de qualidade realizados. Em uma pesquisa, um aspecto importante refere-se à coleta da amostra. Na escolha de uma amostra, é necessária uma quantidade de informações que, de acordo com as técnicas desenvolvidas, determinarão o quanto a inferência pode vir a se concretizar, ou seja, qual é a margem de confiança da pesquisa. Para um alto grau de confiança, as amostras devem ser rigorosamente representativas da população em estudo, selecionadas por meio de critérios estatísticos – quotas proporcionais de sexo, idade, grau de instrução e setor de dependência econômica, por exemplo – e com base nas fontes oficiais de dados do país, como o Tribunal Regional Eleitoral (TRE), o Tribunal Superior Eleitoral (TSE) e o já citado IBGE. Fontes de pesquisa: MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P. de. Noções de probabilidade e estatística. Edusp: São Paulo, 2013; ABEP. Disponível em: . Acesso em: 4 fev. 2013.

FAÇA NOO CADERN

Atividade

A Câmara Internacional de Comércio (ICC, na sigla em inglês) e a Sociedade Europeia para Pesquisa de Opinião e Mercado (Esomar, na sigla em inglês), criaram o Código Internacional ICC/Esomar. Consulte-o no site e responda: a) Quais são os direitos de uma pessoa entrevistada em uma pesquisa de mercado? b) Que providência um pesquisador deve tomar para entrevistar uma criança ou um menor de idade?

270 Capítulo 8 Noções de Estatística 

Wdstock/Getty Images

Conteúdos apresentados neste capítulo

entados neste Conteúdos apres capítulo: iz Conceito de matr rada Matriz quad izes Igualdade de matr de matrizes Adição e subtração de um número Multiplicação iz real por uma matr de matrizes Multiplicação matriz Inversa de uma

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Os ícones abaixo indicam pontos onde você encontra material complementar no livro digital. Clique em cada um deles para ter acesso.

Tecnologia

Vídeo/áudio

Objetos educacionais

Texto

Imagens enriquecidas

Acompanhe como usar uma planilha eletrônica para resolver problemas de Probabilidade. Siga o roteiro:  Abra uma planilha no Libre Office e nomeie-a de Probabilidade.  Em Inserir Função, a categoria Estatística possui uma fórmula que permite simular um grande nú-

mero de lançamento de moedas ou dados. Trata-se da função: DISTRBINOM (distribuição binomial).

Professor, você encontrará mais informações sobre esse material nas Orientações do livro digital para o Professor.

 A sintaxe dessa função é: DISTRBINOM:  X: número de sucessos em uma série de tentativas.  Tentativas: o número total de tentativas.  PS: a probabilidade de sucesso em uma tentativa.  Acumulado: A0 calcula a probabilidade individual e A 1 calcula a probabilidade acumulada.

No nosso caso, utilizaremos para essa variável lógica A 0.

Tecnologia

 Construa uma tabela na planilha com os campos: X: sucessos; Tentativas; PS e Probabilidade.

Vamos supor que estamos lançando uma moeda 4 vezes e desejamos saber qual a probabilidade de obtermos, nesses lançamentos, 3 “caras”. Utilizando a planilha, basta preenchermos a tabela com os valores 3, 4, e 0,5 e colocarmos o cursor na célula referente ao cálculo da probabilidade.

Neste boxe são trabalhadas atividades que utilizam algum recurso tecnológico, como calculadora ou softwares matemáticos.

Acionamos a fórmula DISTRBINOM e completamos com os valores:

Libre Office

X 3; Tentativas 4; PS 0,5 e A 0 Ao acionarmos o OK, obteremos a solução do problema: 0,25 ou 1 4

Atividade

RETOMANDO E PESQUISANDO

FAÇA NOO CADERN

Na seção Aqui tem matemática, na abertura deste capítulo, você viu que existe um deslocamento das águas do oceano, gerando as marés. Observe nas imagens a seguir a mesma paisagem em dois momentos distintos.

Utilize a planilha do Libre Office para resolver os itens a seguir: a) Ao lançarmos uma moeda 10 vezes qual a probabilidade de que em 7 desses lançamentos apareçam a face “cara” voltada para cima? b) Nessa mesma situação, encontre a probabilidade de aparecerem pelo menos 4 “caras”.

Probabilidade

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Capítulo 6

185

Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007. Fotos: Fabio Colombini

Retomando e pesquisando Apresenta textos e atividades acompanhados de indicações de sites, revistas ou livros em que são encontradas informações sobre o tema abordado na abertura do capítulo, proporcionando uma oportunidade de se pesquisar algum assunto relacionado a esse tema.


1. Nas imagens acima, você deve ter observado que o nível da água em relação ao litoral nesse local não é o mesmo nos dois momentos em que as fotografias foram tiradas. Isso ocorre devido ao movimento das marés. Acesse o site (acesso em: 27 maio 2013) e veja a tábua de marés para pelo menos três dias quaisquer na cidade de Paraty, Rio de Janeiro, e responda: qual é o intervalo de tempo entre duas marés altas? E entre duas marés baixas?

2. Suponha que, em determinado período, a altura da maré em Paraty seja dada, aproximadamente, pela π  função h(t) 0,705 sen  t  0,415, em que h é a altura e t é a hora do dia, com 0 t 24. Con6 sidere ainda que a altura máxima atingida seja 1,12 m, e a mínima, 0,29 m. Responda: a) Qual é a amplitude da maré? b) Em que hora do dia a maré atinge altura máxima?

Ver Orientações para o Professor.

56 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo 

Além disso, os conceitos estatísticos podem também ser aplicados em outras ciências. Na Medicina, por exemplo, a estatística serve para saber se um novo tratamento é eficaz para determinada doença. Fonte de pesquisa: IBGE 7 a 12. O que é estatística? Disponível em: . Acesso em: 7 fev. 2 013.

Veja a seguir uma reportagem que utiliza dados estatísticos.

Cresce a preocupação com o desmatamento em Ilhabela Poluição de rios, cachoeiras, mares e praias também aparecem como sérios problemas da cidade. Ilhabela, no litoral norte de São Paulo, é um dos poucos lugares do país que preservam a Mata Atlântica brasileira, hoje reduzida a 22% da sua cobertura original, de acordo com dados do Ministério do Meio Ambiente. No arquipélago paulista, a preocupação dos moradores com o desmatamento vem aumentando nos últimos anos. Segundo a pesquisa do [Instituto Brasileiro de Opinião Pública e Estatística] Ibope Inteligência, em 2010, 24% da população considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha, percentual que subiu para 38% em 2012.

Segundo a pesquisa, os moradores também se preocupam com a poluição de rios e cachoeiras (33%), mares e praias (28%), queimadas (28%), construções irregulares (22%), invasão de áreas protegidas (21%), falta de educação ambiental (13%), caça ilegal (12%), poluição do ar (12%) e pesca ilegal (10%). O zelo pela preservação ambiental em Ilhabela também é revelado por outros dados da pesquisa. Cerca de 6 a cada 10 moradores é favorável à limitação da entrada de veículos em Ilhabela, número similar ao dos ilhabelenses que aprovam a cobrança da taxa de preservação ambiental na saída de veículos do município.

Joel Silva/Folhapress

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a Estatística é uma ciência que cuida da coleta de dados, que são organizados, analisados e então utilizados para determinado objetivo. No caso do IBGE, a principal importância da Estatística é informar sobre a realidade do Brasil por meio de números.

Fabio Colombini

Em alguns capítulos, esta seção apresenta um texto relacionado aos conteúdos desenvolvidos, acompanhado de questões que trabalham a compreensão desse texto. Em outros, traz uma questão seguida de um encaminhamento que objetiva desenvolver habilidades e competências cognitivas.

LEITURA E COMPREENSÃO Em nosso cotidiano, usamos a Estatística para estabelecer os índices de inflação ou de emprego e desemprego, por exemplo. E você sabe definir o que é Estatística?

Sobre a pesquisa: O Ibope Inteligência realizou 406 entrevistas domiciliares no município, entre 11 e 15 de agosto deste ano [2012]. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os resultados da amostra. O objetivo foi medir e acompanhar a evolução de indicadores de aspectos relacionados à cidade para auxiliar nas discussões de políticas públicas e programas de Governo voltados para Ilhabela. Fonte: IBOPE. Cresce a preocupação com o desmatamento em Ilhabela, 4 set. 2012. Disponível em: . Acesso em: 7 fev. 2013.

Lagereek/Karlium/Easypix

Leitura e compreensão

Interpretando o texto

FAÇA NOO CADERN

1. A reportagem trata de um dos poucos lugares do Brasil que preserva a Mata Atlântica. Que lugar é esse? 2. Segundo a pesquisa do Ibope Inteligência, qual foi o índice percentual de aumento, de 2010 para 2012,

Segundo a organização não governamental SOS Mata Atlântica, somados todos os fragmentos de floresta nativa acima de 3 hectares, temos atualmente 11% da mata atlântica que existia originalmente. (Fonte de pesquisa: . Acesso em: 3 maio 2013.)

294 Capítulo 8 Noções Funçõesde logarítmicas Estatística 

no número de pessoas que considerava o desmatamento como um dos problemas ambientais mais sérios da ilha?

3. Qual foi a amostra da pesquisa do Ibope tratada na reportagem? 4. O percentual de erro é de 5 pontos percentuais sobre os resultados da amostra. O que isso significa? 5. Em que período as entrevistas da pesquisa foram realizadas? 6. Qual o objetivo da pesquisa?

Noções Funçõesdelogarítmicas Estatística



Capítulo 8

295

Sumário Capítulo 1 • Trigonometria no ciclo 1 Circunferência: arco, ângulo central .......................... 10 2 Unidades de medida de arcos e ângulos .................. 11 Exercícios ................................................................. 14 3 Circunferência trigonométrica ................................... 15 Exercícios ................................................................. 18 4 Seno e cosseno de um arco ...................................... 18 Exercícios ................................................................. 23 Estabelecendo conexões .......................................... 23 Exercícios ................................................................. 28 Tecnologia ................................................................ 30 5 Tangente de um arco ................................................. 30 Exercícios ................................................................. 34 6 Equações trigonométricas ......................................... 35 Exercícios ................................................................. 38 7 Cotangente de um arco ............................................. 38 Exercícios ................................................................. 40 8 Secante e cossecante de um arco ............................. 40 Exercícios ................................................................. 41 9 Relação trigonométrica fundamental ......................... 42 Exercícios ................................................................. 43 10 Propriedades dos arcos complementares ................. 43 Exercícios ................................................................. 44 11 Equações trigonométricas que envolvem artifícios ..... 45 Exercícios ................................................................. 46 12 Fórmulas da adição de arcos .................................... 46 Exercícios ................................................................. 48 13 Fórmulas da multiplicação de arcos ......................... 49 Exercícios ................................................................. 51 14 Identidades trigonométricas ...................................... 52 Exercícios ................................................................. 53 15 Inequação trigonométrica .......................................... 54 Exercícios ................................................................. 55 Estabelecendo conexões .......................................... 55 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 56 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 57 Capítulo 2 • Matrizes 1 Conceito de matriz .................................................... 60 2 Matriz quadrada ....................................................... 61 Exercícios ................................................................. 62 3 Igualdade de matrizes .............................................. 63 Exercícios ................................................................. 65 Estabelecendo conexões .......................................... 65

4 Adição e subtração de matrizes ................................. 66 Exercícios ................................................................. 68

5 Multiplicação de um número real por uma matriz ...... 68 Exercícios ................................................................. 69 6 Multiplicação de matrizes .......................................... 70 Exercícios ................................................................. 74 Tecnologia ................................................................ 76 7 Inversa de uma matriz................................................ 77 Exercícios ................................................................. 78 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................. 79 LEITURA E COMPREENSÃO ........................................ 80 Capítulo 3 • Determinantes 1 Introdução ................................................................ 84 2 Determinantes de matrizes quadradas de ordens 1 e 2 ...................................... 85 Exercícios ................................................................. 86 Estabelecendo conexões .......................................... 87 3 Determinante de uma matriz de 3a ordem - Regra de Sarrus ..................................................... 87 Exercícios ................................................................. 89 4 Determinante de uma matriz de ordem maior que 3 .... 90 Exercícios ................................................................. 92 Estabelecendo conexões .......................................... 93 Tecnologia ................................................................ 94 5 Propriedades e teoremas .......................................... 95 Exercícios .......................................................100, 102 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................102 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................103 Capítulo 4 • Sistemas lineares 1 Equação linear .......................................................106 Exercícios ...............................................................107 2 Sistemas lineares ...................................................108 Exercícios ...............................................................110 Estabelecendo conexões ........................................111 3 Classificação de um sistema linear .........................112 Exercícios ...............................................................113 4 Matrizes associadas a um sistema linear ................114 Exercícios ...............................................................115 Tecnologia ..............................................................116 5 Resolução de um sistema linear por escalonamento ...117 Exercícios ...............................................................122 6 Discussão sobre um sistema linear .........................122 Exercícios ...............................................................124 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................124 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................125

Capítulo 5 • Análise combinatória 1 Problemas que envolvem contagem ........................128 Exercícios ...............................................................130 2 Princípio multiplicativo ............................................131 Exercícios ...............................................................133 Estabelecendo conexões ........................................134 3 Fatorial ...................................................................135 Exercícios ...............................................................136 4 Arranjo simples ......................................................137 5 Permutação simples ................................................140 Exercícios ...............................................................142 6 Permutação com elementos repetidos .....................142 Exercícios ...............................................................144 7 Combinação simples ...............................................144 Exercícios ...............................................................148 8 Número binomial .....................................................149 Exercícios ...............................................................152 Estabelecendo conexões ........................................152 9 Fórmula do binômio de Newton ...............................153 Exercícios ...............................................................154 Tecnologia ..............................................................155 10 Termo geral do binômio de Newton ..........................156 Exercícios ...............................................................157 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................157 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................158 Capítulo 6 • Probabilidade 1 Experimentos aleatórios ..........................................162 Exercícios ...............................................................165 2 Probabilidade .................................................166, 170 Estabelecendo conexões ........................................172 3 Probabilidade da união de dois eventos ....................173 Exercícios ...............................................................174 4 Probabilidade condicional ......................................176 Exercícios ...............................................................179 5 Eventos independentes ...........................................180 Exercícios ...............................................................183 Tecnologia ..............................................................185 6 Experimentos não equiprováveis .............................186 Exercícios ...............................................................186 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................187 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................188

Capítulo 7 • Geometria 1 Geometria no plano e no espaço .............................192 Exercícios ..............................196, 198, 202, 205, 208 2 Tópicos de Geometria plana ...................................209 Exercícios .......................................................211, 214 3 Poliedros ................................................................216 Exercícios .......................................................219, 220 4 Prismas ..................................................................220 Exercícios .............................................. 223, 226, 228 Estabelecendo conexões ........................................230 Exercícios ...............................................................231 Tecnologia ..............................................................233 5 Pirâmides ...............................................................234 Exercícios ..............................237, 239, 241, 244, 245 6 Cilindros .................................................................246 Exercícios .......................................................248, 249 7 Cones .....................................................................251 Exercícios .............................................. 254, 256, 259 8 Esferas ...................................................................260 Exercícios .......................................................261, 263 RETOMANDO E PESQUISANDO ................................264 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................265 Capítulo 8 • Noções de Estatística 1 Estatística: introdução ............................................268 Estabelecendo conexões ........................................270 2 Frequências ............................................................271 Exercícios ...............................................................273 3 Representação gráfica da distribuição de frequências ...274 Exercícios ...............................................................277 4 Distribuição de frequências com dados agrupados ..279 Exercícios ...............................................................281 5 Medidas de tendência central .................................282 Exercícios .......................................................284, 288 6 Desvio médio .........................................................288 Exercícios ...............................................................291 7 Variância e desvio padrão........................................291 Exercícios ...............................................................293 RETOMANDO E PESQUISANDO .................................293 LEITURA E COMPREENSÃO ......................................294 Sugestões para pesquisa e leitura ............................296 Lista de siglas ............................................................298 Respostas ...................................................................299 Referências bibliográficas ...........................................304


CAPÍTULO

1

Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.

8 Capítulo 1 Trigonometria no ciclo l


AQUI TEM MATEMÁTICA Quase três quartos da superfície do planeta Terra são cobertos pela água dos mares e oceanos. A força gravitacional entre a Lua e a Terra provoca nessa massa um movimento que altera o nível da água no litoral ao longo do dia. Esse fenômeno é chamado de maré. Na maré alta, a água avança sobre o litoral. Na maré baixa, ela recua. Esse ciclo se repete a cada seis horas, aproximadamente. Esse fenômeno periódico pode ser modelado por uma função trigonométrica. Neste capítulo, você vai estudar conteúdos relacionados à Trigonometria, entre eles as funções seno, cosseno e tangente. Saco do Mamanguá, maré baixa. Paraty, RJ, 2007.


l

Capítulo 1

9

· · · · · · · · · · · · · · ·

co, ângulo Circunferência: ar central a de arcos Unidades de medid

1 Circunferência: arco, ângulo central Arco de circunferência e ângulo central

e ângulos nométrica Circunferência trigo um arco Seno e cosseno de co Tangente de um ar étricas Equações trigonom arco Cotangente de um te de um Secante e cossecan arco

Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. Os pontos A e B são chamados extremidades dos arcos. Neste livro, desde que não haja indicação explícita em contrário, convencionamos indicar os arcos menores de uma circunferência apenas pelos extremos. extremidade B

étrica fun-

Relação trigonom damental

cos comPropriedades dos ar plementares étricas que Equações trigonom s envolvem artifício

de arcos Fórmulas da adição plicação de Fórmulas da multi

arco AB A extremidade

A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente, isto é, o ângulo que tem vértice no centro da circunferência e cujos lados passam pelos extremos do arco.

arcos

nométricas Identidades trigo métricas Inequações trigono

Ilustrações: Editoria de Arte

ados neste

Conteúdos apresent capítulo:

B O

é . A medida do arco AB ). Representa-se por med (AB

α A

D B O

α A

James L. Amos/Corbis/Latinstock

Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento (me e CD possuem a mesma medida , porém não dida linear) desse arco. Os arcos AB têm o mesmo comprimento.

A circunferência e suas partes são utilizadas em muitas situações cotidianas, em plantações e em construções.


C

2 Unidades de medida de arcos e ângulos Para expressar a medida de arcos e ângulos, utilizamos o grau e o radiano.

Grau

0

100 90 80 70

60

10 0

14

33 0

0 21

180

160

0 0 20 1 360 30

Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de 1o (lê-se um grau).

50 40

0

12

30

270

0

24


0

Então, observamos que a circunferência possui 360.

1º

arco de 90°

arco de 180°

arco de 270°

arco de 360°

e o arco AB da figura medem, cada um, 50. Assim, o ângulo AOB Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. Um minuto é igual a 1 do grau. 60 Um segundo é igual a 1 do minuto. 60

B arco de 50 o

50o

O

Usamos os símbolos: Grau °

A

Minuto 

Segundo 

Por exemplo, se a medida de um arco é 50 graus, 15 minutos e 27 segundos, indicamos: 50 15 27.

Radiano B

Quando o comprimento de um arco é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém, dizemos que esse arco mede 1 radiano (indicamos 1 rad).

arco de comprimento r

r 1 rad O

r

A

Na figura: :r comprimento do arco AB : 1 rad medida do arco AB ) 5 1 rad Escrevemos: med (AB em radiano, basta fazermos a proporção: Para determinar a medida a de um arco qualquer PQ med (PQ) comprimento de PQ , , a 5 comprimento da circunferência V 2π 5 2π r V a 5 r medida do arco de 1 volta


l

Capítulo 1

11

em radiano, basta dividirmos a medida do compriEm geral, para determinar a medida a de um arco PQ mento do arco () pela medida do raio da circunferência que o contém (r): � a 5 med ( P Q )5 ,r de comprimento 8 cm, contido numa circunferência de raio igual Por exemplo, a medida de um arco PQ a 4 cm, é 2 rad, pois:

) 5 , 5 8 cm 5 2 rad med ( PQ 4 cm r Como o comprimento da circunferência mede C 5 2pr, a medida, em radiano, da circunferência toda é:


a 5 C 5 2πr 5 2π r r

arco de π rad 2

arco de p rad

arco de 2p rad

90° 5 π rad 2

Comparando as medidas desses arcos em grau e em radiano, obtemos:

Unidade

arco de 3π rad 2

Amplitude

grau

0°

90°

180°

270°

360°

radiano

0 rad

π rad 2

p rad

3π rad 2

2p rad

0

180° π rad

360 o 2π rad

270°

3π rad 2

Comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de medida a, em grau Para determinar o comprimento  do arco AB ou em radiano, podemos então estabelecer a seguinte regra de três simples e direta: 360° ou 2p rad (volta completa) corresponde a 2pr;

r

a corresponde ao comprimento .

Ângulo

Comprimento

360° a (em graus)

2pr ,

ou

α

O

Ângulo

Comprimento

2p rad a (em rad)

2pr ,

B º

r A

A unidade de medida usada para obter o comprimento do arco é a mesma que se usa para obter o comprimento do raio. Observe a seguir alguns exemplos de situações envolvendo arcos e ângulos da circunferência.


Exemplos 1. Eratóstenes, matemático e astrônomo grego que viveu no século III a.C., foi o primeiro a medir com certa precisão a circunferência terrestre e, portanto, determinar a medida do raio da Terra. No processo utilizado, ele teve de medir o ângulo formado entre duas cidades no Egito, Alexandria e Siena, obtendo 7 12, como mostra a figura abaixo. Escreva essa medida em grau, utilizando a notação decimal, e em radiano.

Resolução Estabelecemos a seguinte regra de três: grau

radiano

180

p π 6

x

180 5 π V 180 5 6π 5 6 V x 5 180 5 30 π π x x 6 6

Alexandria

7°

δ 12

Logo, π rad equivale a 30°. 6 Siena

Editoria de Arte

ra Ter da

3. As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.

Alberto De Stefano

arco da circ unfe rênc ia

2. Expresse π rad em grau. 6

60 cm

Resolução Para escrever 12 em grau, aplicamos uma regra de três: minuto

grau

60

1

12

x 12 1 x 5 60 ? 1 5 5 5 0,2

Portanto, 7° 12 equivale à soma 7° 1 0,2°, isto é, a 7,2°. Agora, também com uma regra de três, vamos estabelecer a relação entre grau e radiano: grau

radiano

180

p

7,2 x 180 5 π V 25 5 π V x 5 π 7,2 x x 25 π rad . Portanto, 7° 12 equivale a 25

a) Qual é o comprimento aproximado da circunferência dessa roda? b) Aproximadamente quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2 m? Use o valor aproximado 3,14 para p. Resolução a) A medida do raio é igual à metade da medida do diâmetro. Logo: r 5 30 cm Assim, o comprimento da circunferência da roda é: C 5 2pr V C  2 · 3,14 · 30 5 188,4 Portanto, a circunferência dessa roda mede aproximadamente 188,4 cm. b) Como 188,4 cm 5 1,884 m, a cada volta da roda a bicicleta percorre 1,884 m. Para percorrer 94,2 m, o número de voltas será dado pelo quociente: 94,2 : 1,884 5 50 Portanto, ela dará 50 voltas. Trigonometria no ciclo

l

Capítulo 1

13

4. Determine, em grau e em radiano, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20min. Resolução Vamos considerar: a a medida do ângulo pedido; x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 min, a partir das 8h. 1

11

3

120º

4

4

x

5

6

2

2

8 7

1

9

3

9

12

10

12

10

11

30º

8


30º

7

6

5

O mostrador do relógio é dividido em 12 arcos iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois números consecutivos mede 360° , ou seja, 30°. 12 Assim, a 5 x 1 120.

Exercícios

30 p cm

2. Quanto mede em graus, aproximadamente, um arco de 1 rad? Considere p 5 3,14. 57° 19' 29''

3. A figura a seguir representa a planta do terraço de um apartamento. Qual o perímetro do piso desse terraço? Considere p 5 3,14. 30,56 m 5m

4m

tempo (min)

ângulo (grau)

60

30

20

x

Assim, obtemos: 60 5 30 V 3 5 30 V x 510 (medida em grau) 20 x x a 5 x 1 120 ä a 5 10 1 120 ä a 5 130 Em radiano: grau radiano ______ 180 π 130 ? π 13π ⇒a5 5 180 18 130 ______ a  O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20 mede 130 ou 13π rad. 18

FAÇA NOO N CADER

1. (Inatel-MG) Qual é o comprimento de um arco de 60, em uma circunferência que tem 90 cm de raio?

4m

Como a cada 60 minutos o ponteiro das horas percorre 30, temos:

5. (Mack-SP) A figura representa uma pista não oficial de atletismo, com 4 raias para corridas, cujas curvas são determinadas por semicircunferências. Cada raia tem largura igual a 2 m e os atletas devem percorrer 300 m sobre as linhas, conforme as setas indicam na figura.

r

4m

4m

linha de chegada posições de para corridas partida de 300 m para corridas de 300 m

k

d

d

r

d

sentido das corridas

4. (Enem-MEC) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6 370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas e) 36 horas X c) 25 horas b) 20 horas d) 32 horas


Sendo r 5 10 m e adotando p 5 3, o valor de k 1 d é: a) 248 m b) 247 m

c) 245 m d) 244 m

X e)

240 m

6. (Enem-MEC) Calcule o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 12 horas e 20 minutos. a) 120 c) 100 e) 115 d) 130 X b) 110

7. (Unimep-SP) Das 16h30min, até às 17h10min, o ponteiro das horas de um relógio percorre um arco de: a) 24 b) 40 X c) 20 d) 18 e) Nenhuma das alternativas anteriores

linha de origem

B

α

a) 30 b) 36

c) 45 d) 60

X e)

Editoria de Arte

A

Editoria de Arte

72

10. Qual o comprimento da chapa metálica necessária para confeccionar a peça de fixação, em forma de U, mostrada na figura? As medidas indicadas estão em centímetro. Considere π 3,14. 61,4 cm

9. (UFG-GO) Deseja-se marcas nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura a seguir, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem.

15

10

Alexandre Argozino Neto

8. (Vunesp-SP) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma m 1c de um setor circular de raio 1 cm, 1 rad como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: a) π 1 c) 2π 1 X e) 2π 1 d) 2π b) π 1

Considerando-se que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo , em graus, será igual a:

3 Circunferência trigonométrica Arco orientado A figura mostra que o percurso de A para B pode ser feito no sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio), seguindo o arco , ou no sentido horário, seguindo o arco verde AB . alaranjados AB

A

O

Estabelecendo como positivo o sentido anti-horário e como negativo o sentido horário, temos:

O

B

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Editoria de Arte

B

Editoria de Arte

B

A

) π rad med ( AB 2

O

A

) 32π rad med ( AB




Capítulo 1

15

Circunferência trigonométrica Vamos fixar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais uÔv no plano. A circunferência orientada de centro na origem do sistema, de raio unitário (r 5 1) e cujo sentido positivo é anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. v

Sobre essa circunferência, vamos marcar os arcos trigonométricos que têm: origem no ponto A (1, 0);

r51

O

A(1, 0) u

medidas algébricas positivas, se marcados no sentido anti-

-horário, e negativas, se marcados no sentido horário.

2 v 90°

Os eixos do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes, chamadas quadrantes, numeradas a partir do ponto A, no sentido anti-horário. Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (r 5 1), a medida de qualquer arco, em radiano, é numericamente igual ao comprimento desse arco:

II

I

180° π rad III

a5 , 5 , 5, r 1

IV

270°

Logo, no lugar de π rad, escrevemos apenas π ; em vez de 2 2 2 3π rad, escrevemos 2 3π e etc. 2 2 Além da origem A, cada arco trigonométrico tem como extremidade um único ponto na circunferência. Assim, é comum indicarmos o arco apenas por esse ponto, isto é, a cada número real x podemos associar um único ponto na circunferência. Esse ponto é chamado imagem de x no ciclo.

π rad 2

v

3π rad 2 π (90o ) 2

3π 4 p (180o) 5π 6

π (45o ) 4 π (30o ) 6 0 (0o)

P

2

A 0° u 360° 2π rad

A

Q

u

3π (270o ) 2

É como se enrolássemos a reta numérica na circunferência trigonométrica, com a parte associada aos números positivos “enrolada” no sentido anti-horário, e com a parte associada aos números negativos “enrolada” no sentido horário. Em ambos os casos, a origem a reta coincide com o ponto A. Para obter a imagem P de 3π , partimos de A e caminhamos 3π na circunferência, no sentido anti-horário. 4 4 A imagem Q de 2 5π é obtida caminhando 5π no sentido horário na circunferência, a partir de A. 6 6

Arcos côngruos Seja P um ponto da circunferência trigonométrica. É fácil verificarmos que, com origem em A e extremidade em P, há uma infinidade de arcos. Para isso, basta fazermos o percurso num sentido ou noutro e dar mais ou menos voltas completas na circunferência. de π rad. Vamos considerar, por exemplo, o arco AP 3



1

π Existem infinitos arcos com extremidade P, côngruos a 3 rad. Veja o quadro: 3

3

)

7π 5  π 1 1 ? 2 π    3 3

(

19 π 3

) 5 ( π 1 3 ? 2π ) 3 A

3

3

)

v P

( π3 21? 2π ) 11π 2 5 ( π 2 2 ? 2π ) 3 3 17 π π 2 5 ( 2 3 ? 2π ) 3 3 2

13π 5 π 1 2 ? 2π 3 3

(

π  π  0  2π 5π 5 3

π rad 3 O

A u

Editoria de Arte

(

π  π  0  2π

A

Os arcos que têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras são chamados de arcos côngruos. De modo geral: se um arco mede a graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:

a 1 k ? 360°, com k  Z se um arco mede a radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é:

a 1 2kp, com k  Z chama-se primeira determinação positiva de um arco a medida  do arco côngruo a ele, tal que:

0 <  , 360° ou 0 <  , 2p rad

Exemplos 1. Um móvel percorreu um arco de 1 690° na circunferência trigonométrica, partindo do ponto A. Quantas voltas completas esse móvel deu, e em qual quadrante parou? Resolução 1 690 360 250 4 1 690° 5 250° 1 4 ? 360°

(expressão geral) número de voltas completas o arco de 1 690° tem a mesma extremidade que o arco de 250°

O móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário e, como 180° , 250° , 270°, o móvel parou no 3o quadrante.

2. Calcule a 1a determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 1 940°. Resolução

1 940 360 140 5 1 940° 5 140° 1 5 ? 360° (expressão geral) número de voltas completas 1a determinação positiva

A 1a determinação positiva é 140° e a expressão geral é a 5 140° 1 k ? 360°, com k  Z. Trigonometria no ciclo

l

Capítulo 1

17

12. a) 5 voltas: 1o quadrante b) 3 voltas: 1o quadrante c) 3 voltas: 3o quadrante

11. Determine o quadrante em que está a extremidade dos seguintes arcos: a) 21 640°

c) 2487π rad

b) 2 630°

2 quadrante o

4

2 quadrante o

4o quadrante

12. Determine quantas voltas completas um móvel dá e em que quadrante ele para se, partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:

13. Os polígonos regulares das figuras estão inscritos nas circunferências trigonométricas. Determine em grau e em radiano as primeiras determinações positivas dos arcos cujas extremidades são vértices de cada polígono: Respostas no ﬁnal do livro. a) N

31π rad 6 17π f) 8 rad

b) 25π rad 4 c) 21 200º

B C

60º

d) 2 350°

a) 1 810°

b)

M

A O

Q

e)

D

F

P

E


FAÇA NOO N CADER

Exercícios

d) 6 voltas: 3o quadrante e) 2 voltas: 3o quadrante f) 1 volta: 1o quadrante

4 Seno e cosseno de um arco Consideremos no ciclo trigonométrico o ponto M, que é a imagem de um número real x, conforme indica a figura. v que corresponde ao ângulo central de Consideremos também o arco AM, M

M’

r5

1

medida x. Seja OM o raio do ciclo, M’ e M” as projeções ortogonais do ponto M nos eixos u e v, respectivamente.

x

Do triângulo retângulo OM”M, temos:

O

sen x 5 M”M 5 OM’ 5 OM’ Æ sen x 5 OM’ OM 1 OM” OM” 5 5 OM” Æ cos x 5 OM” cos x 5 OM 1

M” A u

Definimos: • Seno de x é a ordenada do ponto M. • Cosseno de x é abscissa do ponto M. O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos cossenos. Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos escrever: M (cos x, sen x). Essas novas definições têm a vantagem de não ficarem restritas aos ângulos agudos do triângulo retângulo, como nas definições anteriores. Agora, podemos falar em seno e cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida. No 1o quadrante (I), o seno é positivo e o cos-

seno é positivo.

No 2o quadrante (II), o seno é positivo e o

cosseno é negativo. v

M’

v M

sen x O cos x M” A u


M

M’ sen x

M” cos x O

A u

No 4o quadrante (IV), o seno é negativo e o

cosseno é negativo.

cosseno é positivo.

v

v

M” cos x O

O cos x M”

A u

sen x

A u

sen x

M’

M

M’


No 3o quadrante (III), o seno é negativo e o

M

Valores notáveis de sen x e cos x sen π 90º    2

Vamos destacar os valores do seno e do cosseno para os arcos com extremidade nos eixos v (dos senos) e u (dos cossenos), e também para os arcos do 1o quadrante cujos senos e cossenos já havíamos calculado na Trigonometria nos triângulos, do volume 1. 0° 30° Arco

(0)

45°

60°

90°

180° 270° 360°

π

π

π

3π

() () () () π 6

3

4

sen

0

1 2

cos

1

3 2

(p)

2

( )

(2p)

2

2 2

3 2

1

0

21

0

2 2

1 2

0

21

0

1

  60º  π   3   45º  π   4   30º  π   6

1

3 2 2 2 1 2

180° p1

O

1 2

1 0° (0) cos

360°(2p)

2 2

3 2

1

 3π 270º    2

Redução ao primeiro quadrante Usando a simetria, podemos relacionar o seno e o cosseno de um arco de qualquer quadrante com os valores do seno e do cosseno de um arco do 1o quadrante. Desse modo, fazemos uma redução ao 1o quadrante.

Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante Observe, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados. Grau

Radiano

sen 180o 2 x

sen x

π2x

x cos

cos

sen (180° 2 x) 5 sen x

sen (p 2 x) 5 sen x

cos (180° 2 x) 5 2cos x

cos (p 2 x) 5 2cos x


l

Capítulo 1

19

Note que os arcos de medidas x e (180° 2 x) ou x e (p 2 x) são arcos suplementares e que suas extremidades são pontos simétricos em relação ao eixo dos senos. senos iguais Dois arcos suplementares têm: cossenos simétricos

Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante Observe, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados. Grau

Radiano

x

x

cos 180o 1 x

cos π1x

sen (180° 1 x) 5 2sen x

sen (p 1 x) 5 2sen x

cos (180° 1 x) 5 2cos x

cos (p 1 x) 5 2cos x


sen

sen

Note que as extremidades desses arcos são pontos simétricos em relação à origem do sistema de eixos. Os arcos de medidas x e (180° 1 x) ou x e (p 1 x) têm:

senos simétricos cossenos simétricos

Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante Observe, em cada figura, o seno e o cosseno dos arcos destacados. Grau

Radiano sen

sen

x

x

cos

cos 2π 2 x

360o 2 x

sen (360° 2 x) 5 2sen x

sen (2p 2 x) 5 2sen x

cos (360° 2 x) 5 cos x

cos (2p 2 x) 5 cos x

Os arcos de medidas x e (360° 2 x) ou x e (2p 2 x) são arcos replementares e suas extremidades são pontos simétricos em relação ao eixo dos cossenos. Dois arcos replementares têm:


senos simétricos cossenos iguais

Das figuras também obtemos: (360° 2 x) e 2x são medidas de arcos côngruos. sen (360° 2 x) 5 sen (2x) 5 2sen x cos (360° 2 x) 5 cos (2x) 5 cos x

Com base no que foi visto, podemos construir o quadro a seguir, que indica os valores do seno e do cosseno de arcos recorrentes em nosso estudo. £ (em grau) (em radiano)

sen £

cos £

£ (em grau) (£ em radiano)

sen £

cos £

210°

7π 6

21 2

2 3 2

225°

5π 4

2 2 2

2 2 2

240°

4π 3

2 3 2

21 2

270°

3π 2

21

0

300°

5π 3

2 3 2

1 2

2 2 2 2 3 2

315°

7π 4

2 2 2

2 2

330°

11π 6

21 2

3 2

21

360°

2p

0

1

0°

0

0

1

30°

π 6

1 2

45°

π 4

60°

π 3

90°

π 2

2 2 3 2

3 2 2 2 1 2

1

0

120°

2π 3

21 2

135°

3π 4

150°

5π 6

3 2 2 2 1 2

180°

p

0

y

3 1 , 2 2 135°

3π 4 150° 5π 6

1 3 , 2 2

π 90° 2

120°

2 2 , 2 2

3 1 , 2 2

(0,1)

2 60° , 2 π 45° 3 π 30° 4 π 6

2π 3

(1, 0) 180° π

0°

7π 6 5π 4 225°

3 1 , 2 2

2 2 , 2 2

3 1 , 2 2

(1, 0)

360° 2 π

210°

2 2

11π 6 330°

240° 3 1 , 2 2

5π 3 300°

4π 3 270° 3π (0,1) 2

7π 4 315°

Editoria de Arte

x

3 1 , 2 2

2 2 , 2 2

3 1 , 2 2


l

Capítulo 1 21

Exemplos 1. A quantidade de energia consumida por uma

3. Calcule o valor da expressão

cidade varia com as horas do dia. Os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa necessidade de energia pela função:

E

(

π π P(t) 40 20 cos 12 t 4

)

Resolução

em que t é a hora do dia e P a quantidade de energia, em MW. Em qual horário o consumo de energia é maior nessa cidade, às 6h ou às 15h? ( Use 2 1,4 ) Resolução Convém lembrar que MW (megawatt) equivale a 106 watts, unidade da grandeza física potência no Sistema Internacional de Unidades. Para t 6 (6h), temos:

(

)

P (6 ) 40 20cos π 6 π 12 4 π 40 20cos 40 20 2 4 2 1 , 4 40 20 2 P(6) 26 MW Para t 15 (15h), temos:

(

sen1830º cos13π . sen 16π 3

Vamos calcular a 1a determinação positiva de cada arco: • 1830º

360º

V 1830º 30º 5 360º

sen1830º sen30º 1 2 • 13π π 12π π 6 2π cos 13π cos π 1 • 16π 12π 4π 4π 4π 4π 2 2π 3 3 3 3 3 sen 16π sen 4π (3o quadrante) 3 3 Reduzindo do 3o para o 1o quadrante: 30º

5

sen

π 3

cos 4π 3

)

P (15) 40 20cos π 15 π 12 4 40 20cosπ 40 20 (1) 60 P(15) 60 MW O consumo de energia é maior às 15h.

4π π π e sen 4π sen π 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 Então: E 3 3 3 2 2

2. Calcule os valores de sen 210° e cos 210°.

4. Simplifique a expressão

3 2 3 3

A sen (900° x) cos (1 980° x) sen(1 440° x).

sen 1 2

30º


Resolução

Resolução

Reduzindo esse arco ao 1o quadrante, temos: sen210º sen30º 1 2

Sabemos que: 900° 180° 2 360° 1 980° 180° 5 360° 1 440° 0 4 360° Logo: sen (900° x) sen (180° x) sen x cos (1 980° x) cos (180° x) cos x sen (1 440° x) sen (x) sen x

cos210º cos30º 3 2

Substituindo na expressão, temos: A sen x cos x sen x ⇒ A cos x

210º

3 2

1 2

3 2


cos

FAÇA NOO N CADER

14. Sendo A 5  cos 5π 1 sen 13π  e 

6

em que t é o tempo medido em meses e t 51 corresponde ao mês de janeiro. a) Qual seria a população de animais dessa espécie na reserva no mês de novembro? 425 b) E no mês de junho? 575

4 

B 5 (sen 675° 2 cos 1 200°), qual a relação de ordem que podemos estabelecer entre A e B? A , B

15. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma

17. (Acafe-SC) Analise o ciclo trigonométrico a seguir e determine o perímetro do retângulo MNPQ, em unidades de comprimento. A alternativa correta é:

empresa para 2011, em toneladas de um produto, πx é dada por f ( x ) 5100 1 0, 5x 1 3 ? sen 6 , em que x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: (Use a aproximação decimal 3 51,7.) a) 308,55 c) 309,55 e) 310,55 X d) 310,05 b) 309,05

sen x

a) 11 3 2 b) 11 2 3

N

1

c) 11 3

M

60° 1 cos x

O

d) 2 1 3

16. Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram

X

(

e) 2 11 3

)

P


Exercícios

Q

18. (Fuvest-SP) Qual dos números é maior? Justifique.

que a população P de animais de certa espécie presente na reserva variava durante o ano segundo a fórmula t 1 2) π P(t) 5 500 2 150 cos ( 3

a) sen 830° ou sen 1 195° sen 830º b) cos (2535°) ou cos 190° cos 190º

Estabelecendo conexões O menor caminho


Yoko Aziz/Age Fotostock/Easypix

Chris Cheadle/Age Fotostock/Easypix

Imagine duas cidades sobre um mesmo paralelo, por exemplo, Budapeste e Quebec, que se localizam aproximadamente a 45° N e 19° L e a 45° N e 73° O, respectivamente. A representação é apenas um esquema.

N O’ Q B O

P

Cidade de Quebec, capital da Província de Quebec, Canadá.

S

Budapeste é a maior cidade e também capital da Hungria.

Suponha que você vai viajar de avião de Quebec para Budapeste. Intuitivamente, pode parecer que seu avião percorrerá a menor trajetória se sobrevoar na mesma direção do paralelo. No entanto, isso é um engano. Veja o porquê. A distância entre dois pontos, Q e B, é o menor comprimento das trajetórias que ligam Q e B. Em uma superfície plana, a distância de Q a B é o comprimento do segmento de reta QB . Em uma contido na circunferência máxima por Q e B, que superfície esférica, é o comprimento do menor arco QB é a circunferência contida no plano que passa pelo centro da esfera.


l

Capítulo 1

23

Q

B

paralelo circunferência máxima

O

Editoria de Arte

Então, o menor percurso de Quebec a Budapeste é pela circunferência máxima, que passa por essas cidades e tem o raio de mesmo comprimento que o raio da Terra, aproximadamente 6 380 km. do percurso sobre Cálculo do comprimento  do arco QB

o paralelo. Observe a figura da página anterior. Sabendo que o ângulo de deslocamento QÔ’B mede 92° (73° 1 19°), podemos obter o raio O’B desse paralelo. são alternos internos, logo têm a mesma medida. Como o triângulo O’BO O ângulo £ e o ângulo O’BO é retângulo em O’, tem-se que cos θ 5 O’B , ou O’B 5 OB cos £. Substituindo OB 5 OP por 6 380 km OB e £ por 45°, temos BO’  4 511 km. Agora basta fazermos uma regra de três:  2p ? B0 92° 360°

 5

92 ? 2 ? 3 , 14 ? 4 511  7240 360

Portanto, a trajetória sobre o paralelo entre cidades é de aproximadamente 7 240 km. Já por uma circunferência máxima, segundo informação obtida em (acesso em: 24 set. 2012), a distância percorrida é de aproximadamente 6 428 km. A diferença de 812 km (7 240 – 6 428) equivale a uma economia de aproximadamente 54 minutos em um voo cuja velocidade é de 900 km/h.

Gráfico das funções seno e cosseno Para estudar a função seno, dada pela lei y 5 sen x, e a função cosseno, dada pela lei y 5 cos x, ambas definidas para todo x  R, vamos variar x no intervalo [0, 2p].

y 5 sen x Verifique, na tabela da página 21, os valores de sen x que aparecem no gráfico. y 1

1 0 2 2 2 2 3 1 2 2 2

π 6

π π 4 3

π 2

2π 3π 5π π 3 4 6

7π 5π 4π 6 4 3

3π 2

5π 7π 11π 3 4 6 2π

x

Editoria de Arte

3 2 2 2 1 2

p = 2π

O gráfico da função seno é chamado senoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão). O domínio da função y 5 sen x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R A imagem da função y 5 sen x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < sen x < 1 Toda vez que adicionamos 2p a determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. Como

2p é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y 5 sen x é p 5 2p.


Essa conclusão pode ser obtida, também, com base no ciclo trigonométrico em que marcamos o arco x. sen Ilustrações: Editoria de Arte

sen x 5 OM”

M

M”

sen (x 1 2p) 5 OM”

x

sen (x 1 4p) 5 OM”

O

A A

sen (x 1 2kp) 5 OM”, k [ Z

Quando adicionamos 2 kp, com k  R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a função seno é periódica: sen x 5 sen (x 1 2kp), k [ Z De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b sen (kx), com a [ R, b [ R e k [ R, é dado por:

p 5 2π k

y 5 cos x Verifique, na tabela da página 21, os valores de cos x que aparecem no gráfico. 3 2 2 2 1 2

y 1

1 0 2 2 2 2 3 1 2 2 2

2π 3π 5π 3 4 6 π π π 6 4 3

π

7π 5π 4π 6 4 3

π 2

3π 5π 7π 11π 2 π 2 3 4 6

x

p =2π

O gráfico da função cosseno é chamado cossenoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão). O domínio da função y 5 cos x é o conjunto dos números reais, isto é: D(f) 5 R A imagem da função y 5 cos x é o intervalo [21, 11], isto é: 21 < cos x < 1 O período da função y 5 cos x é igual a 2p.

Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico, em que marcamos o arco x. Quando adicionamos 2kp, com k  R, ao arco x, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a função cosseno é periódica: cos x 5 cos (x 1 2kp), k [ Z De modo geral, o período de uma função do tipo y 5 a 1 b cos (kx), com a [ R, b [ R e k [ R, é dado por: p 5 2π k


l

Capítulo 1 25

Paridade Quando uma função f é tal que f(x)  f(x), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. Como sen (2x) 5 2sen x, para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.


sen

sen x

sen (2x) 5 2sen x

x

O seno é uma função ímpar.

x sen (x)

Quando uma função f é tal que f(x)  f(x), para todo x do seu domínio, dizemos que f é uma função par. Como cos (2x) 5 cos x, para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.

cos (2x) 5 cos x

x x

cos

O cosseno é uma função par.

Exemplos 1. Em certas espécies em perfeito equilíbrio ecológico, a variação no tamanho de sua população é periódica. Esse período depende de condições ambientais, como a quantidade de predadores e a quantidade de alimento disponível, entre outros fatores. Em uma ilha, a população P de certa espécie animal é dada pela função: πt P ( t ) 5 500 1 100 cos 3

( )

em que t corresponde aos meses do ano (t 5 1 correspondendo a janeiro). a) Em que meses do ano essa população é mínima? πt b) Esboce o gráfico da função y 5 100cos 3 , dando o período dessa função. c) Esboce o gráfico de P em função de t para a população dessa espécie animal, dando o intervalo de variação dessa população no ano.

( )

Resolução a) Como sabemos que a função cosseno varia entre 21 e 1, a população P será mínima quando cos π t for mínimo, ou seja: cos πt 521 . 3 3

( )

( )


Observando o ciclo trigonométrico, vemos que os valores que possuem cosseno igual a 21 são: p, 3p (p 1 2p), 5p (p 1 4p), 7p, ... cos

( π3t ) 521 X π3t 5 π V t 5 3 (mês de março)

cos

( π3t ) 521 X π3t 5 3π V t 5 9 (mês de setembro)

cos

( π3t ) 521 X π3t 5 5π V t 515 (não serve, pois 1 < t < 12)

( ) ( )

• t 5 3 P (3) 5 500 1 100 ? cos π ? 3 5 500 1 3 1 100 cos π 5 500 2 100 5 400 • t 5 9  P (9) 5 500 1 100 ? cos π ? 9 5 500 1 3 1 100 cos3π 5 500 2 100 5 400 Então, essa população é mínima nos meses de março (3) e setembro (9), com 400 habitantes.

( )

b) Construindo a tabela da função y 5100 cos π t , temos: 3 πt 3

0

0

1

1

π 3

2

2π 3

1 2 21 2

p

21

4π 3 5π 3

21 2 1 2

2p

1

3 4 5 6

cos

πt 3

y =100 cos

y

πt 3

100

100

50

50

2 3

4 5 6

1

250

8

10

250

2100

t


t

2100

250

p 5 2π 5 2π ? 3 5 6 π π 3 O período da função é p 5 6.

50 100

( ) tem o gráfico parecido com o gráfico de y 5 100cos ( π3t ), mas

c) A função P(t) 5 500 1 100cos π t 3

deslocando cada ponto 500 unidades “para cima”, isto é, no sentido positivo do eixo dos y. y 600

t 5 3 ≤ y 5 2100 ≤ P 5 400 t 5 6 ≤ y 5 100 ≤ P 5 600

500 400 300 200 100

0

2

4

6

8

10 t

A variação da população corresponde à imagem da função P, ou seja: Im 5 [400, 600] A população dessa espécie varia entre 400 e 600 animais.

2. Determine k para que exista o arco que satisfaz a igualdade sen x 5 2k 2 5. Resolução Sabemos que 21 < sen x < 1. Substituindo sen x por 2k 2 5, temos:

(II) 21 < 2k 2 5 < 1 (I)

(I) 2k 2 5 < 1 2k < 6 k<3

(II) 2k 2 5 > 21 2k > 4 k>2

Na reta real: (I) (II) (I) 5 (II)

3 2 2

2
3

S 5 {k [ R | 2 < k < 3}


l

Capítulo 1 27

(

)

3. Que valores de x podem pertencer ao domínio da função dada pela lei y 5 sen x 2 π4 , no universo . 0< x2 π 4 , 2π Resolução

(

)

π Para que exista a raiz, devemos ter: sen x 2 4 > 0 Fazendo-se z 5 x 2 π , vem: sen z > 0 4 No ciclo, temos: (II) π π Agora, substituímos z por x 2 : 0 < x 2 4 < π 4

z 0

π

0zπ

(I)

π (I) x 2 4  π

π (II) x 2 4 > 0

x < 5π 4

x> π 4

Na reta real:

5π 4

(I)

π 4

(II) (I) 5 (II)

{

5π D(f) 5 x  R | π 4
Exercícios

π 4

}

5π 4


sen

FAÇA NOO N CADER

19. (FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto

21. (UFV-MG) Para a existência da expressão

24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica

2x 21 , os valores de x estão compreendidos 3 no intervalo: a) 21 < x , 1 c) 21 < x , 1 3 X d) 21 < x < 2 b) 21 , x < 0

f(x) 5 900 2 800 sen

( x12? π )

em que f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 < x < 24). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a: a) 600 c) 900 X e) 1 600 b) 800 d) 1 500

20. Construa os gráficos das funções cujas leis são y 5 2 sen x e y 5 2 1 sen x, dando o domínio, a imagem e o período de cada uma. Em seguida, compare esses gráficos com o gráfico de y 5 sen x. Resposta no final do livro.


sen  5

22. (USF-SP) As funções trigonométricas e seus gráficos formam o tópico de maior aplicabilidade da trigonometria em vários campos da ciência. Uma das aplicações dessas funções é na medicina; no monitoramento da frequência cardíaca. A frequência cardíaca do ser humano varia ao longo do dia e o número de batimentos cardíacos em um período de tempo, geralmente medido em bpm (batimentos cardíacos por minuto), pode ser representado por meio de uma função periódica. A função y 5 12 sen (15t 2 135°) 1 62 relaciona o número y de batimentos por minuto de um determinado paciente em observação e o tempo t de horas decorridas após a meia-noite. Determine a frequência cardíaca desse paciente às 7h da noite e o horário em que ele apresentará o número máximo de batimentos cardíacos por minuto. 68 bpm e 15h

23. (Unifesp-SP) Na procura de uma função y 5 f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma

y

f ( t ) 5 A 1 B sen  π ( t 2105)   90  0

com o argumento t medido em radianos. a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas.A 5 12 e B 5 2,4 ou A 5 12 e B 5 22,4. b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio. 15

24. Calcule os valores reais de m, de modo que: a) sen x 5 2m 2 1 {m [ R | 0 < m < 1} b) cos x 5 m2 1 2m 1 1 {m [ R | 22 < m < 0}

25. (UFPE/UFRPE) A ilustração abaixo representa parte do gráfico de uma função

( )

com período 8, sendo a, b e c números reais. O gráfico da função passa pelos pontos (0, 12) e (4, 2). Calcule a, b e c e indique abc . 10

  a) f(x) 5 2 ? sen  x 2 π  8  π X b) f(x) 5 2 ? sen 2x 2  4   c) f(x) 5 2 ? cos  2x 2 π  4   d) f(x) 5 2 ? cos x 2 π  8

27. Seja a função real de variável definida por f(x) 5 3 1 2 sen x.

b) A função f é par ou ímpar? Justifique.

10 8 6 4 2 1

2

3

4

5

6

7

8

x

26. (UFPA) Segundo reportagem da revista Veja de 26/7/06, uma onda gigante atingiu a Ilha de Java, na Indonésia. Autoridades locais contaram mais de 500 mortos e 38 000 desabrigados. A reportagem mostra como se originam e quais as causas de formação desses fenômenos da natureza. O formato dessas ondas gigantes pode ser registrado e representado matematicamente, por meio de funções, conforme gráfico abaixo. A função f que melhor representa esse gráfico para π < x < 9π , é: 8 8

Resposta no final do livro.

28. (UFPR) O período da função f: R → R, definida

(

12

2

a) Qual a imagem de f ? [1, 5]

abc 5 14 • a 5 7; b 5 5; c 5 4; 10

0

x

  e) f(x) 5 2 ? sen  x 2 π  8

πx f(x) 5 a 1 b ? cos c

y

9 8

8


2

por f(x) 5 sen 2x 1 π 4 π a) 2 X b) p c) π 4 d) 2p π e) 8

)

é:

29. (UFES) O período e a imagem da função f(x) 5 5 5 2 3 cos  x 22  , x [ R, são, respectivamente:  π  a) 2p e [21, 1] b) 2p e [2, 8] X c) 2p

2

e [2, 8]

d) 2p e [23, 3] e) 2p2 e [23, 3]


l

Capítulo 1 29

Tecnologia O Winplot já traz programado gráficos de várias funções importantes de Matemática. Este é o caso das funções trigonométricas. Acompanhe a seguir como usar o Winplot para construir o gráfico da função f(x) 5 2 1 3 sen x. Siga o roteiro: Winplot

Abra o Winplot, clique o botão janela e nela clique

o botão 2-dim. Na janela que se abre, usada para construir

gráficos em um plano cartesiano, acione a opção 1.Explícita do menu Equação que aparece na parte superior da janela. Em seguida, na janela que irá aparecer, digite a fórmula que representa a função f. Atenção, o Winplot lê a função seno quando escrita “sin”. A variável ou a expressão sujeita à função seno deve vir entre parênteses. Na mesma seção, selecione, em ocultar/mostrar tudo, a opção equação. Você vai obter o gráfico apresentado ao lado. FAÇA NOO N CADER

Atividade


Use o Winplot para construir o gráfico das funções trigonométricas dadas a seguir. Em cada item, atribua ao parâmetro a os valores 0,5, 1 e 2, e analise o comportamento do gráfico:

b) g(x) 5 a 1 sen(x)

c) h(x) 5 sen (ax)

5 Tangente de um arco Dado um número real x, considere a circunferência trigonomé de medida x. trica da figura ao lado e o arco AM O eixo paralelo ao eixo das ordenadas, orientado no mesmo sentido deste, e com origem ao ponto A, é chamado eixo das tangentes. � a ordenada do ponto Definimos como tangente do arco AM T, intersecção da reta OM com o eixo das tangentes. tg x 5 AT Observações: Essa definição contempla a que temos para o triângulo retângulo:

tg x 5

medida do cateto oposto π 5 AT 5 AT 5 AT , com x  1 kπ , k  Z. 2 1 medida do cateto adjacente OA


Eixo das tangentes

v M

M’’ x O

M’

T

A

u

Editoria de Arte

a) f(x) 5 a sen (x)

 Essa definição preserva a relação entre tangente, seno e cosseno.

Nos triângulos retângulos OM’M e OAT, temos: OM’M OAT V OM’ M’M OA AT cos x sen x sen x V tg x cos x 1 sen x V tg x 1 tg x cos x sen x , com cos x 0, isto é, x π kπ , k Z. Portanto, tg x cos x 2

 Quando a reta OT coincide com o eixo u, temos x kπ, com k Z e tg x 0.

 Quando a reta OT coincide com o eixo v, temos x

π kπ, k Z e não existe tg x. 2

 No 1o quadrante, como vimos na ilustração da página anterior, a tangente é positiva.  No 2o quadrante, a tangente é negativa.


M

A

O

tg x 0 T

 No 3o quadrante, a tangente é positiva. T tg x 0 A

O

M

 No 4o quadrante, a tangente é negativa.

A

O

tg x 0 M

T




Capítulo 1

31

Observe alguns valores da tangente de arcos notáveis na circunferência trigonométrica. tg 0° 5 tg 180° 5 0 (ou tg 0 5 tg p 5 0)

(

∃ tg 90º e ∃ tg 270º ou ∃ tg  e ∃ tg 3

2

2

)

tg 60° 5 tg π 5 3

3 π tg 45° 5 tg 5 1 4 3 tg 30° 5 tg π 5 6 3

Já vistos nos triângulos retângulos.

Usando a simetria, podemos relacionar a tangente de um arco de qualquer quadrante com valores da tangente de um arco do 1o quadrante. Assim, efetuamos uma redução ao 1o quadrante. tg

Redução do 2 quadrante para o 1 quadrante: o

Grau

Radiano

tg (180° 2 x) 5 2tg x

tg (p 2 x) 5 2tg x

3

y

5π 6


o

Grau

Radiano

tg (180° 1 x) 5 tg x

tg (p 1 x) 5 tg x

π 90°

120°

135°

π 3

1

π 4

60°

π 6

45°

150°

3 3

30°

0° 2π

π 180°

x

360° 7π 6


3π 4

2π 3

o

Grau

Radiano

tg (360° 2 x) 5 2tg x

tg (2p 2 x) 5 2tg x

Editoria de Arte

o

210° 225°

330°

240° 5π 270° 4 4π 3π 3 2

315°

300° 5π 3

7π 4

11π 6

3 3

1

3

E obtemos a tabela com os valores das tangentes dos arcos recorrentes em nosso estudo:

£ 0° (em grau)

£ 0 (em radiano)

tg £

0

30°

45°

60°

90°

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

3 3

1

E

2 3

21

3


120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

5π 6

2

3 3

p

7π 6

5π 4

0

3 3

1

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

2p

3

E

2 3

21

2 3 3

0

Gráfico da função tangente Para estudar a função tangente, dada pela lei y 5 tg x, com x  π 1 kπ , k  Z , vamos atribuir a x valores 2 no intervalo [0, 2p] e obter no plano cartesiano os pontos da tabela anterior. Depois, traçamos linhas que passam por esses pontos. y

3 1 3 3

2

5π 6 3π 2π 4 3

7π 5π 4π 6 4 3

3 0 3 21

π 5π 7π 11π 3 4 6

2π x

2 3 p= π

O gráfico da função tangente é chamado tangentoide. Ele continua à direita de 2p e à esquerda de 0 (zero), repetindo o mesmo formato (padrão).

{

}

O domínio da função y 5 tg x é: D(f) 5 x  R | x  π 1 kπ , k  Z

2

Os “ramos” do gráfico nunca tocam as retas perpendiculares ao eixo x pelos pontos em que

x 5 π 1 kπ, k  Z . 2

A imagem da função y 5 tg x é o intervalo (2`, 1`). tg M

Essa afirmação pode ser concluída com base no ciclo trigonométrico, em que destacamos o arco x. tg x 5 AT

x0π O

x

T

A

tg (x 1 p) 5 AT


O período da função y 5 tg x é p 5 p.

tg (x 1 2p) 5 AT

A tg (x 1 kp) 5 AT, k [ Z

tg T1

A tangente é uma função ímpar x

Como tg (2x) 5 2tg x, para todo número real x  π 1 kπ (k [ Z), dizemos 2 que a função tangente é ímpar.

x

tg (2x) 5 2tg x

A

T2


l

Capítulo 1 33

Exemplos 1. Determine o valor de: Resolução 1845º

tg 1845º tg 25π 3

360º

45º

5

V 1845º 5 45º 1 5 ? 360º 1a determinação positiva

Então: tg 1 845° 5 tg 45° 5 1 25π 5 π 1 24π 5 π + 8π = π 1 4 ? 2π 3 3 3 3 3 Então: tg 25π 5 tg π 5 3 3 3 tg1845º 5 1 5 3. 25 π 3 3 tg 3 π 2. Que valores de x podem pertencer ao domínio da função dada pela lei y 5 tg 2x 2 2 ? E qual é o período dessa função? Portanto,

(

)

Resolução

• A condição de existência é: 2x 2 π  π 1 kπ 2 2 π π 2x  1 1 kπ V 2x  π 1 kπ ⇒ x  π 1 kπ , k  Z 2 2 2 2 • Sabemos que a função tangente é periódica de período p 5 p. Devemos verificar o que ocorre com o arco 2x 2 π quando varia de 0 a p. 2 π 2x 2 5 0 V 2x 5 π V x 5 π 2 2 4

(

)

2x 2 π 5 π V 2x 5 π 1 π 5 3π V x 5 3π 2 2 2 4

{

}

 p 5 3π 2 π 5 2π 5 π 4 4 4 2

kπ π . Portanto, D(f) 5 x  R |x  π 2 1 2 , k  Z e p5 2. FAÇA NOO N CADER

30. Determine o valor de tg 374π . 1 31. Determine os valores que x pode ter para pertencer ao domínio das seguintes funções: a) y 5 tg (x 1 60º) {x 7 R | x  30º 1 k ? 180º ? k 7 R} π b) y 5 tg x 2 2 {x 7 R | x  p 1 kp ? 180º ? k 7 Z}

(

)

32. (Unicentro-PR) Sendo 270° , x , y , 360°, assinale a alternativa correta: a) sen x  sen y X d) cos y 2 sen x  0 b) cos x  cos y e) sen x ? cos y  0 c) tg x  tg y


33. (Furb-SC) Denomina-se ciclo y trigonométrico uma circunferên cia de raio unitário, sobre a qual 2° Q 1° Q marcamos um ponto A (origem) e A x 3° Q 4° Q colocamos um sentido positivo de percurso (anti-horário). Os eixos x e y dividem o ciclo trigonométrico em quatro partes que denominamos quadrantes. Os quadrantes em que estão os ângulos a,  e , tais que sen a  0 e cos a , 0, cos   0 e tg   0, sen  , 0 e tg  , 0, são, respectivamente: a) 4o, 2o, 1o c) 2o, 1o, 3o e) 1o, 2o, 3o o o o o o o b) 2 , 4 , 1 X d) 2 , 1 , 4

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Exercícios

6 Equações trigonométricas É denominada equação trigonométrica toda equação em que a incógnita ou as expressões contendo a incógnita aparecem como se fossem variáveis de funções trigonométricas. Por exemplo: sen x 52 1

2

3

3

cos x 1 4 52 4 tg2 x 1 tg x 5 0

Os valores da incógnita que satisfazem à equação dada, caso existam, constituem a solução da equação trigonométrica. Vamos, inicialmente, analisar equações do tipo: sen x 5 m, cos x 5 n e tg x 5 t.

Exemplos Digital Vision/Getty Images

1. Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios varia periodicamente em função do tempo. Suponha que determinado rio tenha sua profundidade determinada pela função d(t) 5 3 sen  π (t 2 4)  1 8, em que d é sua 6  profundidade em metro e t é a hora do dia (sendo t 5 0 à meia-noite e t medido na forma 24 h). Qual o horário em que esse rio atinge 6,5 m de profundidade? Na praia, no final da tarde, é possível perceber que o nível da água sobe, indicando a maré alta.

Resolução 6,5 2 8 V sen  π (t 2 4)  52 1 , V sen  π (t 2 4)  5 d 5 6,5 ä 3 sen  π (t 2 4)  1 8 5 65 3 2 6  6  6  Como sen π 5 1 , analisando o ciclo trigonométrico temos: 6 2 sen 7π 5 2 1 e sen 11π 5 2 1 6 2 6 2

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sen

p 6 π1

π 7π 5 6 6

1 2 2

2π 2

π 11π 5 6 6


l

Capítulo 1

35

Precisamos descobrir o valor de t (0 < t < 24) que satisfaz às equações I e II: I. sen  π t 2 4  5 sen 7π 6 6  π ( t 2 4 ) 5 7π 1 2kπ 6 6 p(t 2 4) 5 7p 1 12kp p(t 2 4) 5 p(7 1 12k) t 2 4 5 7 1 12k t 5 11 1 12k Para k 5 0 temos t 5 11 Para k 5 1 temos t 5 11 1 12 5 23 Para k 5 2 temos t 5 11 1 24 5 35 (não serve) Para k 5 21 temos t 5 11 2 12 5 21 (não serve)

(

)

(

)

 π t 2 4  5 sen 11π II. sen  6  6 π ( t 2 4 ) 5 11π 1 2kπ 6 6 p(t 2 4) 5 11p 1 12kp p(t 2 4) 5 p(11 1 12k) t 2 4 5 11 1 12k t 5 15 1 12k Para k 5 0 temos t 5 15 Para k 5 1 temos t 5 27 (não serve) Para k 5 21 temos t 5 15 5 12 5 3 Para k 5 22 temos t 5 15 2 24 5 29 (não serve) Levando-se em conta que 0 < t < 24, a equação sen  π t 2 4  52 1 tem como soluções os nú2 6  meros 3, 11, 15, 23, ou seja, o rio atinge a profun-

(

Em seguida, traçamos pelo ponto reta vertical.

O

( 23 , 0) uma

cos

3 2

Por último, os valores de x, soluções da equação, são as medidas dos arcos cujas extremidades são os pontos de intersecção da reta paralela ao eixo das ordenadas com a circunferência trigonométrica.

π 6 3 2 cos

O

11π π 5 2π 2 6 6

)

didade de 6,5 m às 3h, 11h, 15h e 23h.

2. Resolva a equação cos x 5 23 . Resolução


Inicialmente, marcamos no eixo dos cossenos o valor 3. 2

o No 1o quadrante, o valor é π 6 ; no 4 quadrante, o π 11π valor é 2p 2 6 5 6 .

Como não está especificado o conjunto universo (ou seja, o conjunto dos possíveis valores x), devemos considerar o maior conjunto possível, no caso, x [ R. A função cosseno é periódica, de período 2p, e a solução da equação no conjunto R é:

{

}

S 5 π 1 2kπ, 11π 1 2kπ, k  Z 6 6 O

3 2

cos

3. Resolva a equação 2 sen2 x 2 5 sen x 1 3 5 0. Resolução Fazendo sen x 5 y, temos: 2 sen2 x 2 5 sen x 1 3 5 0 ä 2y2 2 5y 1 3 5 0


Resolvendo a equação, obtemos:

Em seguida, vamos unir esse ponto de ordenada

5  25 2 24 2y 2 5y 1 3 5 0 V y 5 V 4

2 3 com o ponto O, até obter um diâmetro na 3 circunferência.

2

ä y 5 5 1 V 4

tg

3  ä y’ 5 2 y” 5 1 Voltando à substituição:

O

sen x 5 y ä

2

3 3

ä sen x 5 3 ou sen x 5 1 2 Resolvendo as equações trigonométricas, temos: sen x 5 3 (não tem solução, pois 21 < sen x < 1) 2 sen x 51 V sen x 5 sen π V 2 π V x 5 1 2kπ 2

{

tg π 6

5π 6

}

S 5 x  R|x 5 π 1 2kπ, k  Z . 2 3 4. Resolva a equação tg x 52 . Considere


Logo,

Por último os valores de x, soluções da equação, são as medidas dos arcos cujas extremidades são os pontos extremos desse diâmetro.

O

2

3

0 < x , 2p.

11π 6

Resolução Inicialmente, vamos marcar no eixo das tangentes o valor da ordenada 2 3 . 3 tg

No 1o quadrante, a medida do arco cuja tangente vale 3 π é . Nesse exemplo, a tangente é negativa e os 6 3 arcos que satisfazem à equação têm extremidades no 2o e no 4o quadrantes. No 2o quadrante: π 2

6π 2 π 5π π 5 5 6 6 6

No 4o quadrante:

O 2

3 3

2π 2

π 12π 2 π 11π 5 5 6 6 6

Logo, S 5

3 3

{

}

5π 11π , . 6 6


l

Capítulo 1 37

{

}

3 π kπ ,k Z 8 2

35. b) S x R | x

FAÇA NOO N CADER

Exercícios

{

35. a) S x R | x π kπ , k Z 12 3

}

34. Resolva as seguintes equações, sendo 0 x 2π. a) sen x 2 2

{

π 3π , 4 4

}

3 b) cos x 2

{

5π 7π , 6 6

38. Determine o conjunto solução da equação

}

tg2 x 3 tg x.

b) tg (2x π) 1

corrente dada pela equação I 40 sen (120πt), em que t é o tempo em segundo e I é a corrente em ampere. Determine o mínimo valor positivo de t, de que I 20 amperes. Dê a resposta com quatro casas decimais. tmin 0,0014 s

36. Resolva a equação 2 cos2 x 1 0 no intervalo 0 x 2π.

}

π kπ k Z 3

39. Um gerador de corrente elétrica produz uma

35. Resolva as seguintes equações trigonométricas: a) tg 3x 1

{

S x R | x kπ ou x

 π 3π 5π 7π  S  , , ,  4 4 4 4 

37. Determine o conjunto verdade das seguintes equações: Respostas no final do livro. a) 2 sen x 1 0 c) cos 3x 1 b) 2 sen 2x 1 d) 4sen x 1 2

40. (PUC-RJ) Para quantos valores de x entre 0 e 2π temos sen x 2 cos x? Para dois valores, um entre 0 e

π π , outro entre e . 2 2

7 Cotangente de um arco de medida x, qualquer. Seja C o ponto de interConsidere o trigonométrico da figura e o arco AM ciclo secção da reta OM com o eixo das cotangentes. B

C

eixo das cotangentes

M M’’ x O

M’

A

� a medida algébrica Definimos como cotangente do arco AM do segmento BC , e indicamos cotg x BC, isto é, a cotg x é a abscissa do ponto C.

Duas relações importantes Observe os triângulos retângulos OM’M e OCB: OM’M CBO  Por construção, OM” M’M; então:

OM’ MM’ BC OB

OM’ OM” V cos x = sen x V BC cos x BC OB BC 1 sen x x Portanto, cotg x cos sen x , sendo sen x 0, isto é, x kπ, k .


Podemos escrever também:

cotg x =

1 V cotg x 5 1 , x  k π , k  Z sen x tg x 2 cos x

Sinais da cotangente Veja os sinais de cotg x em cada quadrante:

1o quadrante {

C

C

}

4o quadrante

3o quadrante

B

B

{

}

C

C

B


B

2o quadrante

Exemplos B

1. Calcule o valor de cotg 1 620°

cotg

Resolução No ciclo: 1 620° 5 180° 1 4 ? 360°

1 620°

1 620° 360° 144° 5 180° 1 cotg 1 620°5 cotg 180° 5 tg180º (não existe pois tg 180° 5 0)

2. Qual o período da função y 5 cotg x? Resolução

B

cotg x 5 BC cotg (x 1 p) 5 BC cotg (x 1 2p) 5 BC  cotg (x 1 kp) 5 BC, k  Z Logo, o período de y 5 cotg x é igual a p.

C M

xπ

cotg

x O

(

)

3. Quais são os valores de x que pertencem ao domínio da função dada pela lei y 5 cotg x 1 π4 ? Resolução π  kπ V x 2 π 1 kπ A condição de existência é: x 1 4  kπ. Daí: x 1 π 4 4

{

}

D(f) 5 x  R |x 2 π 4 1 kπ, k  Z


l

Capítulo 1

39

42. cotg

FAÇA NOO N CADER

Exercícios

{

2π 3 3 3

41. Determine o valor de:

44. Determine o período das seguintes funções: c) cotg (1 410°) d) cotg 17π 1 4

a) cotg 135° 1 b) cotg 990° 0

(

3

(

a) y cotg 2x π 7 b) y cotg 5x 2

)

π ... 42. Determine o valor de cotg π3 6π 12 43. Quais são os valores de x que pertencem ao domínio das funções: a) y cotg (x 30°) {x 7 R | x 30º k 180º, k 7 Z}

}

π kπ , k Z 2

43. b) x R | x

(

π b) y cotg x 2

)

π 2

2π 5

45. Calcule os valores de m, de modo que a expressão 2 4m represente a cotangente de um ângulo do 3 terceiro quadrante. m R | m 1 

)

2



8 Secante e cossecante de um arco Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto M, interceptamos o eixo dos cossenos no ponto S e o eixo dos senos no ponto D. Da figura, definimos:

sen D M

M’’ x O

A M’

:  A secante do arco AM

S

cos

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Considere o ciclo trigonométrico da figura, sendo x a medida de . um arco AM

sec x OS :  A cossecante do arco AM cossec x OD Observe duas relações trigonométricas importantes deduzidas com base na semelhança dos triângulos retângulos:  OMS e OM’M:

OS OM V OS 1 ou sec x 1 , x π kπ, k Z cos x 2 cos x OM OM’

 OMD e OM”M:

OD OM V OD 1 ou cossec x 1 , x kπ , k Z sen x sen x OM OM” De acordo com essas relações, podemos estabelecer o quadro: y sec x

{x R |x

Domínio Imagem

}

π kπ, k Z 2

sec x 1 ou sec x 1


y cossec x x R | x kπ, k Z cossec x 1 ou cossec x 1

Exemplos 1. Calcule o valor do cossec (21 035°). Resolução 1035º 315º

360º 2

1 035° 5 315° 1 2 ? 360° 21 035 5 2315° 1 2 ? (2360°) Como 2315° 5 45° 2 360°, temos: cossec (21 035°) 5 cossec 45° 5 Logo, cossec (21 035°) 5

1 5 1 5 2 5 2 sen 45º 2 2 2

2.

(

)

2. Que valores de x podem pertencer ao domínio da função dada pela lei y 5 sec x 2 2π ? Resolução A condição de existência é: x 2 π  π 1 kπ V x  π 1 π 1 kπ V x  π + kπ, k  Z 2 2 2 2 Logo, o domínio da função é: D(f ) 5 {x  R | x p 1kp, k  Z}

3. Resolva a equação sec x 5 22. Resolução

{

}

π 3

A

1 2 2

O

π 4π 5 3 3

FAÇA NOO N CADER

Exercícios 46. Calcule o valor de: a) sec 540° 21 b) sec (21 410°)

2π 3

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Como sec x 5 1 , temos: 1 52 2 V 2 2cos x 5 1 V cos x 52 1 cos x cos x 2 1 Devemos resolver a equação equivalente cos x 52 . 2 Pela figura, temos: cos x 5 cos 2π ou cos x 5 cos 4π 3 3 Daí: x 5 2π 1 2kπ ou x 5 4π 1 2kπ 3 3 2 Portanto, S 5 x  R |x 5 π 1 2kπ ou x 5 4π 1 2kπ, k  Z π 1 3 3

2 3 3

48. Que valores de x podem pertencer ao domínio da c) cossec 315°2 2 d) cossec 9π 2 4

47. (UFSC) Qual o valor numérico da expressão

()

cos 4x 1 2tg x 2 sen 2x 2 y5 , para x 5 π ? 3 cotg x ? cossec x 1 sec 8x 2

(

π função dada pela lei: y 5 sec x 1 8

){

xR|x

}

3π 1 kπ , k  Z 8

49. Calcule m, de modo que: a) sec a 5

2m 2 1 e a   π , 3π  m  2 2 

 1 m  R | 0 , m <  3 

b) cossec a 5 m2 1 4m 1 1 e α  0, π   2  {m 7 R| m < 24 ou m > 0}


l

Capítulo 1

41

Consideremos o ciclo trigonométrico da figura. No triângulo retângulo OM’M, pelo teorema de Pitágoras, temos: (MM’)2 (OM’)2 (OM)2 (sen x)2 (cos x)2 12

M

M’’

ou, ainda:

x

sen x cos x 1 2

2

O

Essa relação, denominada relação trigonométrica fundamental, é válida para todos os valores de x, inclusive para aqueles em que o ponto M pertence a um dos eixos.

A M’ OM 1 OM’ cos x OM’’ MM’ sen x

Exemplos

1. Dados cos x 3 , com π2 x π, calcular tg x. 3

Resolução Para calcular tg x, devemos conhecer o valor de sen x e, para isso, usamos a relação sen2 x cos2 x 1: 2 sen2 x 3 1 V sen2 x 3 1 V sen x 6 3 9 3 Como π x π (x 2o quadrante, em que sen x é positivo), temos: sen x 6 2 3 sen x Vamos calcular tg x, usando a relação tg x cos x , temos:

( )

Portanto, tg x 2.

6 3 tgx 6 3 6 2 3 3 3 3 3 tg cot g

2. Simplifique a expressão sec cot g . Resolução sen2 cos2 sen cos 1 tg cotg cos sen cos sen cos sen 1 1 sec cotg 1 cos sen sen cos sen

sen 1 1 sec 1 sec cos cos

A expressão dada é equivalente a sec .

3. Se cos x 14 , calcule o valor de A, sabendo que: A cossec x sec x cotg x 1 Resolução cos x sen x 1 1 cos x sen x sen x cossec x sec x sen x cos x sen x cos x 1 A sen x cos x cos x sen x cos x cotg x 1 cos x cos x sen x 1 sen x sen x Substituindo cos x por 1 , temos: A 1 4 1 4 4


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9 Relação trigonométrica fundamental

FAÇA NOO N CADER

Exercícios

50. Sendo sen x 53 e π x 32π , calcule:

1 53. (PUC-SP) Sendo cos x m e sen x determine m. {1, 2}

c) sec x 5 4 d) cotg x 4

a) cos x 4 5 b) tg x 3 4

54. (UEMA) Sendo x um arco do 2 o quadrante

3

e sabendo-se que cos x 1 , calcule o valor de 2 tg x cot g x 4 . 3 y sen x 55. Sendo sen x 23 , com 0 x π2 , calcule o tg x sen x cos x y 8 . valor da expressão y 27 sec x

51. Dado cos x 14 e π2 x π , calcule os va-

lores de sen x e tg x.

sen x

15 4

m 1 , m

; tg x 15

52. (UEPB) Dado sen x 0,6, onde x é um ângulo agudo de um triângulo retângulo, o valor de cotg x cossec x é igual a:

56. (Uneb-BA) Considerando-se sen cos cos m, m 0 e sen cos n , pode-se afirmar 4 que o valor de 2m n é igual a: X a) 2 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3

a) 1 b) 5 3 20 X c) 9 3 d) 5 10 e) 9

10 Propriedades dos arcos complementares

(

)

Verificamos que:  Esses arcos são complementares, pois x

(

P

P2

π x 2 M

M2 x

)

π x π 2 2

P1

O

M1

Editoria de Arte

Consideremos no ciclo trigonométrico dois arcos cujas medidas π são x e 2 x .

 cos x OM1, sen x OM2

(

)

(π )

π  cos 2 x OP1 , sen 2 x OP2 Considerando os triângulos OM1M e OP2P, temos:  OM OP (r 1) P OP (x)  V OM M OP P M1 OM  2 1 2 M OP P (reto)  OM 1 2  Temos, ainda: PP2 OP1 e MM1 OM2 . Podemos, então, concluir:  O seno do complementar de um arco é igual ao cosseno desse arco.

(

)

OP2 OM1 V sen π x cos x 2




Capítulo 1

43

O cosseno do complementar de um arco é igual ao seno desse arco.

(

)

OP1  PP2  MM1  OM2 V OP1  OM2 V cos π 2 x 5 sen x 2 Assim, também obtemos: sen π 2 x cos x 2 π tg 2 x 5 5 5 cotg x 2 sen x π cos 2 x 2

(

( (

)

(

)

cotg π 2 x 5 2

(

)

sec π 2 x 5 2

(

) )

( (

) )

cos π 2 x sen x 2 5 5 tg x cos x sen π 2 x 2

1 5 1 5 cossec x sen x π cos 2 x 2

)

cossec π 2 x 5 2

(

)

1 5 1 5 sec x cos x π sen 2 x 2

(

)

Exemplo Simplifique a expressão:

(

)

(

sen π 2 x ? cossec π 2 x 2 2 y5 π π cos 2 x ? tg 2 x 2 2

(

Resolução

(

)

) (

)

(

) )

sen π 2 x ? cossec π 2 x 2 2 cos x ? sec x cos x ? sec x cos x ? sec x y5 5 5 5 sec x 5 cos x sen x ? cotg x cos x π π sen x ? cos 2 x ? tg 2 x sen x 2 2

) (

)

FAÇA NOO N CADER

Exercícios

57. Simplifique a expressão:

( ) ( ) ( ) ( )

cos π 2 a ? sen 2 y5 π sen 2 a ? cotg 2

π 2a 2 π 2a 2

X

(

cossec a

π e) sen 2 2 x

58. (UMC-SP) Baseando-se no círculo trigonométrico apresentado na figura a seguir, pode-se afirmar que o

(

)

cos π 2 x 2 valor da expressão 1 sen x

cos x sen π 2 x 2


(

a) 1 b) 2 c) sen x d) cos x

)

M x O

0,6

)

59. Sabendo-se que sen x 5 2 , calcule: a) sen (p 2 x) b) sen (p 1 x)

é: c) cos

( 2π 2 x )

3

2 2 3 2 3 2

2 3

A

Editoria de Arte

(

11 Equações trigonométricas que envolvem artifícios Há equações trigonométricas em que iniciamos sua resolução por meio de algumas transformações, aplicando as propriedades e soluções já vistas, tornando-as equações mais simples de resolver, como nos exemplos a seguir.

Exemplos 1. (Udesc-SC) Um topógrafo em uma atividade de medição de superfície de terra chegou à equação 2 sen2 x 1 1 5 cos x 5 4. O topógrafo solicitou ajuda a um zootecnista para encontrar os possíveis ângulos x. Supondo que você seja esse zootecnista, encontre o conjunto solução desta equação. Resolução

cos x 5 1 2  cos x 5 2 ( esta equação não é válida, pois 21  cos x  1) cos x 5 1 2 |x 1 5 π 1 2 kπ ou x 5 5π 1 2 kπ, k  Z  5cosx x5R S De , verificamos naéfigura o2 conjunto 3 3que não válida, pois 1  cos solução x  1) é dado por: cos x 5 2 (2esta equação S 5 x  R |x 5 π 1 2 kπ ou x 5 5π 1 2 kπ, k  Z 3 3

{ {

1 2

} }

2π

cos


Inicialmente, vamos encontrar uma equação equivalente de 2o grau em cos x, substituindo sen2 x por (1 2 cos2 x). 2 sen2 x 1 5 cos x 5 4 V 2 · (1 2 cos2x) 1 5 cos x 2 4 5 0 2 2 2 cos2 x 1 5 cos x 2 4 5 0 2 cos2 x 2 5 cos x 1 2 5 0 Em seguida, vamos fazer cos x 5 y. Assim temos: π 60° 1 3 2 cos2 x 2 5 cos x 1 2 5 0 ä 2y2 2 5y 1 2 5 0 ä y’ 5 e y’’ 5 2 2 Por último, voltando à substituição de y por cos x, temos:

π 5π 300° 3 3

2. Resolva a equação sen 3x 5 cos x. Resolução

(

)

Sabendo que cos x 5 sen π 2 x , vamos encontrar uma equação equi2 valente que contém apenas uma função trigonométrica de x:

(

sen 3x 5 cosx X sen 3x 5 sen π 2 x 2

(

sen

p2x

x

)

cos

)

Resolvendo a equação sen 3x 5 sen π 2 x , temos: 2 3x 5 π 2 x 1 2kπ V 4x 5 π 1 2kπ ⇒ x 5 π 1 k π ou 2 2 8 2

(

)

3x 5 π 2 π 2 x 1 2kπ ⇒ 2x 5 π 1 2kπ ⇒ x 5 π 1 kπ 2 2 4

{

}

S 5 x  R |x 5 π 1 k π ou x 5 π 1 kπ, k  Z 8 2 4


l

Capítulo 1

45

} π 2 kπ π kπ 1 ou x 5 1 2 ,k  Z 6 3 2 3 xR|x5

{

63. x 5

7π 11π π 3π 5π 7π ou x 5 ou x 5 ou x 5 ou x 5 ou x 5 6 6 4 4 4 4

60. (Faap-SP) Resolva,no intervalo 0 < x , 2p,a equação: 1 2 sen x 1 cos2 x 5 0 π2

π 3π a)  4 , 4   

3π d)  4 , π   

61. (UFC-CE) Encontre as soluções da equação: x 5 6

b)  π 3π   2 

e)  3π , 7π   2 4 

{}

π

9 2 2 cos2 x 5 15 sen x, no intervalo 2 π , π  .  2 2  62. (Cefet-MG) Resolva a equação: cos2 (3x) 1 2 sen2 (3x) 5 2

X

63. (Fuvest-SP) Determine as soluções da equação (2 cos2 x 1 3 sen x) (cos2 x 2 sen2 x) 5 0 que estão no intervalo [0, 2p].

64. (Mack-SP) A equação 1 1 tg2 x 5 cos x tem uma solução pertencente ao intervalo:

c)  7π , 9π   4 4 

{

π 5 π 9 π 13 π 3π 7 π , , , , , 8 8 8 8 8 8

}

65. Sabendo que x  [0, 2p], resolva a equação

(

2x cos 3x 5 sen x. Faça sen x 5 cos π 2 66. (Ufop-MG) Resolva a equação: 7  π 3 tg2 x 1 5 5 cos x , x  0, 2  .

).

{} π 3

12 Fórmulas da adição de arcos Cálculo de sen (a 1 b) e cos (a 1 b) Sejam a e b dois arcos positivos, do 1o quadrante, cuja soma pertence também ao 1o quadrante, ou seja: 0,a, π 0,b, π 0 , a 1b , π 2 2 2 No ciclo trigonométrico ao lado, destacamos:

B

os arcos a 5 AM e b 5 MD;

D b

a 5 d (ângulos agudos e lados perpendiculares);

d

PS 5 QR e SR 5 PQ (lados opostos de um retângulo).

Com base nessa figura, vamos calcular sen (a 1 b) e cos (a 1 b) em função dos valores do seno e do cosseno dos arcos a e b.

S b a O

R

M a

P

Q

Editoria de Arte

62.

Exercícios

FAÇA NOO N CADER

A

sen (a  b) No triângulo retângulo OPD: sen (a 1 b) 5 PD 5 PS 1 SD sen (a 1 b) 5 QR 1 SD (I) QR V QR 5 OR ? sen a (II) No triângulo retângulo OQR: sena 5 OR No triângulo retângulo DRS: send 5 DS V SD 5 DR ? cos d V SD 5 DR ? cos a DR Substituindo (II) e (III) em (I), temos: sen (a 1 b) 5 OR ? sen a 1 DR ? cos a (IV)

(III)

No triângulo retângulo ORD: OR 5 cos b e DR 5 sen b Desse modo, a igualdade (IV) pode ser escrita: sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a

cos (a  b) Usando um procedimento análogo, podemos demonstrar a seguinte fórmula para o cosseno da soma de dois arcos a e b, nas condições estabelecidas: cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b


Essas duas fórmulas foram demonstradas para arcos a e b do 1o quadrante, cuja soma (a 1 b) também pertence ao 1o quadrante. Entretanto, assim como as fórmulas a seguir, elas se verificam para quaisquer que sejam a e b, pois são fórmulas que permitem determinar o seno e o cosseno da soma de dois arcos, a e b, quando são conhecidos os valores do seno e do cosseno desses arcos.

sen (a  b) Observe que: (a 2 b) 5 [a 1 (2b)] sen (2b) 5 2sen b (seno é uma função ímpar) cos (2b) 5 cos b (cosseno é uma função par) Da fórmula da soma, temos: sen (a 2 b) 5 sen [a 1 (2b)] 5 sen a ? cos (2b) 1 sen (2b) ? cos a sen (a 2 b) 5 sen a ? cos b 2 sen b ? cos a

Então:

cos (a  b) Da fórmula da soma, temos: cos (a 2 b) 5 cos [a 1 (2b)] 5 cos a ? cos (2b) 2 sen a ? sen (2b) cos (a 2 b) 5 cos a ? cos b 1 sen a ? sen b

Então:

Cálculo de tg (a  b) e tg (a  b) As relações a seguir são válidas para os valores de a, b e a 1 b que pertencem ao domínio da função tangente, ou seja: a  π 1 kπ, b  π 1 kπ , (a 1 b)  π 1 kπ, com k  Z 2 2 2

tg (a  b)

sen(a 1 b) Sabemos que: tg (a 1 b) 5 cos (a 1 b)

Vamos, então, desenvolver o segundo membro: tg (a 1 b) 5 sena ? cosb 1 senb ? cos a cos a ? cosb 2 sena ? senb Dividindo o numerador e o denominador do segundo membro por cos a ? cos b, com cos a ? cos b 0, temos: sena ? cosb senb ? cos a sena senb 1 1 cos a ? cosb cos a ? cosb cos a cosb V tg (a 1 b) 5 cos a ? cosb sena ? senb sena senb 2 12 ? cos a ? cosb cos a ? cosb cos a cosb Como

sena senb 5 tg a e 5 tg b, temos: cos a cosb

tg (a 1 b) 5

tg a 1 tg b 1 2 tg a ? tg b

tg (a  b) Lembrem-se de que tg (2b) 5 2tg b, pois a tangente é uma função ímpar. tg (a 2 b) 5 tg [a 1 ( 2 b)] 5 Assim, temos: tg(a 2 b) 5

tg a 1 tg ( 2 b) 1 2 tg a ? tg ( 2 b)


Essa relação é válida para os valores de a, b e a 2 b que pertencem ao domínio da função tangente, como já vimos anteriormente. Essas duas fórmulas permitem determinar, respectivamente, a tangente da soma e da diferença de dois arcos, a e b, quando são conhecidos os valores das tangentes desses arcos.


l

Capítulo 1

47

Exemplos 1. Calcule o sen 105° Resolução Vamos tentar escrever 105° como a soma de ângulos cujos senos e cossenos são conhecidos. Assim: sen 105° 5 sen (45° 1 60°) Aplicando a fórmula do seno de uma soma, temos: sen (45° 1 60°) 5 sen 45° ? cos 60° 1 sen 60° ? cos 45° 21 6 3 2 6 2 sen ( 45º 1 60º ) 5 22 ? 1 2 1 2 ? 2 V sen ( 45º 1 60º ) 5 4 1 4 5 4 21 6 4 2. Calcule o cos 15°. Então: sen 105º 5

Resolução Vamos tentar escrever 15° como a diferença de ângulos cujos senos e cossenos são conhecidos. Assim: cos 15° 5 cos (45° 2 30°) Aplicando a fórmula do cosseno da diferença, temos: cos (45° 2 30°) 5 cos 45° ? cos 30° 1 sen 45° ? sen 30°

(

)

(

)

Exercícios 67. Resolva o sistema:

FAÇA NOO N CADER 100 m  π   π   S 5  0 ,  ,  , 0    2   2  

sen x 1 sen y 51  π x 1 y 5 , com x, y  [0, 2π ] 2 

68. Calcule a tg 165º. 2 2 1

3

69. (EsPCEx-SP) O valor da expressão cos15º 1 cos 75º sen15º 1 sen 75º é igual a: 1 sen 15º cos15º a) 3 c) 5 e) 7 b) 4 d) 6 X

70. (FGV-SP) O muro de uma barragem tem a forma da figura a seguir. De um lado, uma rampa de 100 m de comprimento fazendo ângulo de 20° com o plano horizontal. Do outro lado, uma rampa de comprimento x fazendo ângulo de 40° com o plano horizontal.


x 40°

20°


61 2 cos 45º 2 30º 5 2 ? 3 1 2 ? 1 V cos 45º 2 30º 5 6 1 2 5 2 2 2 2 4 4 4 61 2 Então: cos 15º 5 4

Dados: I. sen 20° 5 0,342, cos 20° 5 0,940 e tg 20° 5 0,364 II. sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a O valor de x é aproximadamente: a) 53 m b) 57 m c) 61 m d) 65 m e)70 m X

71. (UFSC) Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir. Determine o valor de y 5 15x4, sabendo que a 1 b 5 π ? 60 2 N

O

M A P Q

OA χ1 x

PN χ QM χ Figura 1

Figura 2

OP OQ

72. (Fuvest-SP) Sejam x e y dois números reais, com 0 , x , π e π , y , p, satisfazendo sen y 5 4 e 2 2 5 11 sen x1 5 cos (y 2 x) 5 3. Nessas condições, determine: b) sen 2x 120 a) cos y 2 3 5

169

Alberto De Stefano

73. (UFPel-RS) São cada vez mais frequentes construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. A criatividade na montagem de balanços, escorregadores e gangorras de madeira vem proporcionando uma opção de lazer para as crianças. A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada excelente atividade física. A

B

C

Considerando os textos, a distância AB e AC � igual a 75° e seus conheigual a 2,0 m, o ângulo BAC cimentos, determine: a) a distância de B até C. 2,4 m b) a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC . 1,6 m

 π

74. (UFPR) Considere x, y  0, 2  tais que sen x 5 3 e sen y 5 4 . 5 5 a) Calcule os valores de cos x e cos y.

cos x 5

4 3 e cos y 5 5 5

b) Calcule os valores de sen (x 1 y). 1

75. (IMT-SP) Resolva a equação

(

) (

sen x 2 π cos x 2 π 4 4

)5

6 , para 0 , x , 2p. 2

{

76. Calcule: a) tg 15°

2π π , 3 3

}

22 3

(

b) tg π 1 π 4 3

)

22 2 3

77. Calcule tg x, sabendo que tg (x 1 30°) 1 tg (60° 2 x) 5 2.

22 3

78. (PUC-SP) Se tg (x 1 y) 5 33 e tg x 5 3, calcule tg y.

3 10

79. (AFA-SP) Um aro circular de arame tem 5 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 24 cm. O valor do seno do ângulo central (agudo), que o arco formado pelo arame determina na polia, é: a)

6 2 4

2

X c)

6 1 4

2

b)

6 1

2

d)

6 1 2

2

13 Fórmulas da multiplicação de arcos Este item trata da aplicação das fórmulas da adição (a 1 b) de dois arcos. Nelas, faremos b 5 a, obtendo as fórmulas para o arco 2a.

sen 2a Sabemos que: sen (a 1 b) 5 sen a ? cos b 1 sen b ? cos a Fazendo b 5 a, temos: sen (a 1 a) 5 sen a ? cos a 1 sen a ? cos a Então: sen 2a 5 2 ? sen a ? cos a

cos 2a Sabemos que: cos (a 1 b) 5 cos a ? cos b 2 sen a ? sen b Fazendo b 5 a, temos: cos (a 1 a) 5 cos a ? cos a 2 sen a ? sen a Então: cos 2a 5 cos2 a 2 sen2a


l

Capítulo 1

49

tg 2a Sabemos que: tg (a 1 b) 5


Fazendo b 5 a, temos: tg (a 1 a) 5

tg a 1 tg a 1 2 tg a ? tg a

Então: tg 2a 5

2 tg a 1 2 tg2 a

Essas fórmulas são chamadas de fórmulas do arco duplo.

Exemplos 1. Determine as medidas dos ângulos e do lado AB de um triângulo ABC, em que AC 5 1, BC 5

3e a

medida do ângulo � A é o dobro da medida do ângulo B . Resolução A ) 5 2x B ) 5 x e med ( � Consideremos: med ( � Usando a Lei dos Senos, temos:

b1

3 sen x

2 ? sen x ? cos x 5 3 ? sen x 2 ? sen x ? cos x 2 3 ? sen x 5 0

( sen x ) ? ( 2 cos x

2

a5 3

2x A

x c?

3) 5 0

Então, obtemos: sen x 5 0 V x 5 0° ou x 5 180° (nenhuma dessas soluções satisfaz, pois não haveria triângulo) ou 3 V x 5 30° ou x 5 330° (não satisfaz) 2 Logo, a única solução válida é: x 5 30° B ) 5 30° e med ( � A ) 5 60° Assim, temos: med ( � � Para calcular med ( C ) , temos: A ) 1 med ( � C ) 5 180° V 30° 1 60° 1 med ( � C ) 5 180° med ( � B ) 1 med ( � C ) 5 90° med ( � Logo, o triângulo ABC é triângulo retângulo. 2 Cálculo de c (aplicando o teorema de Pitágoras): c2 512 1 ( 3 ) V c 5 4 5 2 A ) 5 60°, med ( � C ) 5 90° e c 5 2. Portanto, med ( � B ) 5 30°, med ( � 2 ? cos x 2 3 5 0 V cos x 5

2. Conhecendo-se, sen a 5 45 , 0 , a , π2 , calcule: a) sen 2a

b) cos 2a

Resolução 1 cos2 a 5 1 a) sen2 a 1 cos2 a 5 1 V 16 25

(

)

3 0 , a , π cos2 a 5 9 V cos a 5 5 25 2 4 sen2a 5 2sen a ? cos a V sen2a 5 2 ? ? 3 V sen2a 5 24 5 5 25


Editoria de Arte

3 5 1 V sen2x 5 sen2x sen x

C

c) tg 2a

B

() () 2

2

4 b) cos2a 5 cos2a 2 sen2a V cos2a 5 3 5 2 5 7 cos2a 5 9 2 16 V cos2a 5 2 25 25 25 4 sen a c) tg a 5 5 5 5 4 cos a 3 3 5 8 2? 4 2 tg a 3 tg2a 5 5 3 V tg2a 5 2 24 V tg2a 5 16 27 7 1 2 tg2 a 12 9 9 3. Resolva a equação sen 2x 2 sen x 5 0. Resolução

De acordo com a figura ao lado, temos: 5π π x 5 3 1 2kp ou x 5 3 1 2kp, k  Z

{

π 3

A O

1 2


Vamos substituir, na equação dada, sen 2x por 2 ? sen x ? cos x: sen 2x 2 sen x 5 0 V 2 ? sen x ? cos x 2 sen x 5 0 sen x (2 cos x 2 1) 5 0 Então, obtemos: sen x 5 0 V x 5 kp, k  Z, ou 1 2 cos x 21 5 0 V 2 cos x 5 1 V cos x 5 2

5π 3

}

S 5 x  R |x 5 kπ ou x 5 π 1 2kπ ou x 5 5π 1 2kπ, k  Z 3 3

Exercícios

FAÇA NOO N CADER

80. Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema. torre

1

83. Sabendo que cos x 5 2 e cos y 5 3 com 2

observador 2x

x 160 m

4x

100 m

A altura da torre, em metro, equivale a: X a) 96 b) 98 c) 100 d) 102

81. (UFPB) Sabendo que cotg x 5 12 , o valor da tg 2x

é igual a: a) 2 1 2 b) 4 5

82. (IESP-PB) A soma de todas as soluções reais da equação sen 2x 5 cos x no intervalo [0, 2p] é: a) p e) 5p X c) 3p b) 2p d) 4p

c) 4 3 d) 21

X e)

24 3

0 , x , π e 0 , y , π , calcule cos (x 1 2y). 2 2

2

1 2

84. (Uni-Rio-RJ) Considerando o corpo humano como uma partícula, o salto em distância por seres humanos pode ser modelado como o movimento de um projétil onde a amplitude A do salto, em metro, é função da velocidade V0 no início do salto, em metro por segundo, e V2 do ângulo £ de saída da seguinte forma: A 5 0 sen 2θ. g A figura a seguir faz uma representação do salto e das variáveis do modelo.


l

Capítulo 1

51

Editoria de Arte

www.demotu.org/pubs/BrPt02.pdf

86. (Vunesp-SP) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura. x α 36 m

Considerando g 5 10 m2 e sabendo que um s atleta realizou um salto com velocidade V0 5 10 m2 e s 12 ângulo £ tal que cos £ 5 , determine a amplitude 13 desse salto. 7

85. (Ufop-MG) Resolva a equação trigonométrica sen x 1 sen 2x 5 0, para x  [2p, p]. S 5 0, 2π , π , 4π

{

3

3

}

a) Admitindo-se que sen a 5 3 , calcule a distância x. x 5 48 m 5 b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo a passou exatamente para 2a, calcule a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol. x’ 5 10,5 m

14 Identidades trigonométricas Consideremos uma igualdade da forma f(x) 5 g(x), na qual f(x) e g(x) são funções trigonométricas. Se essa igualdade é válida para qualquer valor real de x para os quais os valores das funções f e g existem, dizemos que f(x) 5 g(x) é uma identidade trigonométrica. Observe: A igualdade cos2 x 5 1 2 sen2 x é válida para qualquer x real.

Logo, é uma identidade trigonométrica. A igualdade cotg x 5

1 é válida para todo x kπ , k  Z. 2 tg x

Logo, é uma identidade trigonométrica. Para provar uma identidade trigonométrica, podemos empregar qualquer uma das relações trigonométricas já estudadas nesta unidade (e que são, também, identidades) e escolher um dos seguintes processos de demonstração: 1o processo: Partimos de um membro de identidade (geralmente o mais complicado) e chegamos ao outro membro. 2o processo: Transformamos o 1o membro f(x) de em uma função h(x) e, separadamente, transformamos o 2o membro g(x) também na função h(x), levando em consideração a propriedade: f(x) 5 h(x) g(x) 5 h(x)


V f(x) 5 g(x)

Exemplos 1. Demonstre a identidade (1 1 cotg2 x) ? (1 2 cos2 x) 5 1. Resolução Vamos reescrever a expressão do 1o membro utilizando apenas as funções sen x e cos x. Depois, aplicaremos a relação sen2 x 1 cos2 x 5 1 para chegar ao 2o membro: 

2



cos x  2 (1 1 cotg2 x ) (1 2 cos2 x ) 5 1 1 sen 2  ( 1 2 cos x ) 5 x

 sen2 x 1 cos2 x   ( 1 − cos2 x ) 5 12 ? sen2 x 5 1 5  sen2 x sen x  

Assim, fica demonstrada a identidade (1 1 cotg2 x) ? (1 2 cos2 x) 5 1

2. Demonstre a identidade tg x 1 cotg x 5 tg x ? cossec 2 x. Resolução Considerando f(x) 5 tg x 1 cotg x e g(x) 5 tg x ? cossec 2 x, vamos expressar essas funções em sen x e cos x. f(x) 5 tg x 1 cot g x 5 g(x) 5 tg x ? cos sec2 x 5

sen x cos x sen2 x 1 cos2 x 1 5 1 5 cos x sen x cos x ? sen x cos x ? sen x sen x 1 ? 1 5 cos x sen2 x cos x ? sen x

Como f(x) 5 g(x), está demonstrada a identidade. sen2 x 5 1 2 cos x 3. Demonstre a identidade: 1 1 cos x Resolução

(

)(

)

11 cos x 12 cos x sen2 x 12 cos2 x 5 5 5 12 cos x cos 1 1 11 cos x x 11 cos x g(x) f(x)

Como f(x) 5 g(x), está demonstrada a identidade.

Exercícios

FAÇA NOO N CADER

87. Demonstre que: Respostas no final do livro.

89. Prove que: Respostas no final do livro.

cos x sen x 1 5 1 sec x cos sec x sec a 2 cos a b) cos sec a 2 sen a 5 tg3 a

a) cos (60° 2 x) 1 cos (60° 1 x) 5 cos x 1 1 tg x sen ( 45° 1 x ) b) 5 1 2 tg x sen ( 45° 2 x )

88. Demonstre que: Respostas no final do livro.

1  ? sen2 ( x ) é: 1 2  cos2 ( x ) ? tg2 ( x )  2 e) 22 a) sec2 (x) X c) 2cos (x) 2 b) sen (x) d) 2

a)

a) cos x · (1 2 tg x) 1 sen x · (1 2 cotg x) 5 0 1 2 tg x cos2 x 2 sen2 x 5 b) 11 tg x sec2 x

90. (Esal-MG) Uma expressão equivalente para


l

Capítulo 1

53

15 Inequação trigonométrica Toda inequação envolvendo uma função trigonométrica com arco desconhecido denomina-se inequação trigonométrica. Assim, são inequações trigonométricas:  sen x 1  cos x 3  2 sen2 x sen x 0  tg x 1 2 2 Os valores de x que satisfazem a inequação formam o conjunto solução da inequação.

Exemplos 1. Volte à situação do problema da profundidade de um rio, exemplo 1 do item 6, que pode ser calculada com base em funções trigonométricas. • Por causa das variações das marés oceânicas, a profundidade de certos rios varia periodicamente em função do tempo. Suponha que determinado rio tenha sua profundidade indicada pela função d(t) 3 sen  π t − 4  8, em que d é sua profundidade em metro e t é a hora do dia (sendo t 0 à  6 meia-noite e t medido na forma 24 h). Em quais períodos do dia a profundidade desse rio é maior que 9,5 m?

(

)

Resolução Para resolver esse problema, fazemos:

)

(

)

(

)

(

)

Então: sen  π t − 4  1 V π 2kπ π ( t 4 ) 5π 2kπ 6 6 6 6  2 ( ) π 12kπ π t 4 5π 12kπ 6 6 6

6 π

1 2


(

d 9,5 V 3 sen  π t − 4  8 9,5 V sen  π t − 4  9,5 8 V  π t − 4  1 2 3 6  6  6  π π 5 1 Use o ciclo trigonométrico e lembre-se de que sen 6 sen 6 2 . sen π 5π Assim, os valores desejados estão entre 6 e 6 (no quadrante). 5π

π 6

cos

1 12k t 4 5 12k 5 12k t 9 12k Para k 0 ä 5 t 9 ä entre 5 h e 9 h. Para k 1 ä 17 t 21 ä entre 17 h e 21 h. Note que k não pode assumir valores negativos ou maiores que 1, pois 0 t 24. Portanto, os períodos em que a profundidade do rio é maior que 9,5 m são entre 5h e 9h e entre 17h e 21h.

2. Resolva a inequação cos x

2 , com 0 x 2π. 2

π 2

Resolução Um bom caminho para a resolução dessa inequação é marcar, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos cujo cosseno é 2 . Em seguida, 2 destacar os arcos que têm cosseno menor que 2 . 2 Observando a figura, concluímos que: cos x 2 V π x 7π 2 4 4 7π π Portanto, S x R | 4 x 4

{


}

π 4

π

0 O

3π 2

2 2 7π 4

Exercícios

FAÇA NOO N CADER

91. Resolva as seguintes inequações trigonométricas, no intervalo 0 < x < 2p: Respostas nos final do livro. a) 2 sen x > 21 1 b) cos x > 2 c) sen x , 1 2 2 d) cos x  2 92. (Fuvest-SP) Determine os valores de x no intervalo ]0, 2p[ para os quais cos x > 3 ? sen x 1 3.

3π  x  2

93. (Unicamp-SP) Ache os valores de x, com 0 < x <

94. (Ufla-MG) Os valores de x com 0 < x < 2p que satis-

(

)

1 fazem à desigualdade sen x 2 2 ( sen x 2 2)  0 são: π a) 0 < x < 2 π b) 2 < x < p π 5π X c) 6 < x < 6 π 6 d) 4 < x < π 4 3 π 11π e) p < x < 2 6

95. Resolva a inequação 2 cos2 x 1 3 cos x 1 1  0,

< 360°, tais que 2 cos2 x 1 5 sen x 2 4 > 0. {x  R |30°  x  150°} sendo x  [0, 2p[.

{

xR|0
2π 4π , x , 2π ou 3 3

}

Estabelecendo conexões O triângulo esférico


Até agora estudamos os triângulos que são construídos sobre o plano. No entanto, podemos construí-los, também, sobre uma superfície esférica. Para construirmos esse triângulo, chamado de esférico, é necessário que se unam arcos de circunferências máximas, isto é, arcos de circunferências que tenham o mesmo raio que a esfera. Essas circunferências são obtidas da intersecção da superfície de uma esfera de centro O e um plano que contenha O. Utilizando o globo terrestre para melhor visualizar um triângulo esférico, imagine a linha do equador limitada por dois meridianos, o primeiro de longitude 0° e o segundo de longitude 90° leste. Essas linhas delimitam dois triângulos esféricos, um em cada hemisfério. Veja um deles na figura abaixo. Ao observar esses triângulos, N 80º 80º notamos que cada um de seus ân70º 70º gulos mede 90°. É isso mesmo, um 60º 60º triângulo cuja soma das medidas dos 50º 50º ângulos internos não é 180°! No caso 40º 40º específico desse exemplo, a soma da 30º 30º medida dos ângulos internos é 270°. 20º 20º Vale destacar que ao valor que 10º 10º excede a soma de 180° – no caso do exemplo, 90° – é dado o nome O 0º 0º E de excesso esférico. Além disso, supondo que S é a soma das medidas dos ângulos internos de um Linha do 0º 90º 75º triângulo esférico, podemos dizer que Equador 60º 45º 30º 15º 180° , S , 540°.

S


l

Capítulo 1

55

RETOMANDO E PESQUISANDO Na seção Aqui tem matemática, na abertura deste capítulo, você viu que existe um deslocamento das águas do oceano, gerando as marés. Observe nas imagens a seguir a mesma paisagem em dois momentos distintos.


Saco do Mamanguá, maré alta. Paraty, RJ, 2007.


1. Nas imagens acima, você deve ter observado que o nível da água em relação ao litoral nesse local não é o mesmo nos dois momentos em que as fotografias foram tiradas. Isso ocorre devido ao movimento das marés. Acesse o site (acesso em: 27 maio 2013) e veja a tábua de marés para pelo menos três dias quaisquer na cidade de Paraty, Rio de Janeiro, e responda: qual é o intervalo de tempo entre duas marés altas? E entre duas marés baixas?

2. Suponha que, em determinado período, a altura da maré em Paraty seja dada, aproximadamente, pela

π  função h(t) 0,705 sen  t  0,415, em que h é a altura e t é a hora do dia, com 0 t 24. Con6 sidere ainda que a altura máxima atingida seja 1,12 m, e a mínima, 0,29 m. Responda: a) Qual é a amplitude da maré? b) Em que hora do dia a maré atinge altura máxima?



LEITURA E COMPREENSÃO O texto abaixo retrata a importância do matemático e astrônomo Regiomontanus, e seus estudos de trigonometria aplicados em diversas ciências, dentre as quais a Astronomia.

A cidade de Köningsberg, na Prússia (atual Rússia), é conhecida na Matemática devido ao famoso problema das pontes, resolvido pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) [...]. Outro acontecimento importante que marca a vida da cidade, cujo nome significa Montanha do Rei, é o fato de ela ter sido o local de nascimento de Juhann Müller (1436-1476), um dos maiores matemáticos do século XV, mais conhecido como Regiomontanus, uma latinização do nome de sua cidade natal.

Matthaens Merian. Séc. XV-XVI. Gravura Coleção particular. Foto: Akg-imagens/ Newscom/ImagePlus/Latinstock

Regiomontanus e a Trigonometria

Regiomontanus realizou diversos estudos nas áreas de Astronomia, Geometria e Trigonometria. Em seu livro mais famoso, De Triangulus Omnimodes, escrito em 1464 e impresso apenas em 1533, Regiomontanus apresenta uma visão moderna da Trigonometria com dados tabelados de várias funções trigonométricas. É curioso notar que, mesmo tendo sido escrito antes do conceito de notação decimal, as tabelas trigonométricas contidas no livro não apresentam frações devido à utilização de um círculo de raio 100 000 000 de unidades, o que produzia apenas valores inteiros para as aproximações utilizadas. A importância dos conhecimentos em Astronomia de Regiomontanus fez com que ele fosse convidado pelo Papa Sixto IV para trabalhar na confecção de um calendário mais acurado do que o que vinha sendo usado pela Igreja. Após a realização do trabalho, a gratidão do Papa foi tal que rapidamente o astrônomo se tornou seu principal conselheiro. Depois de um ano em Roma, Regiomontanus faleceu, tendo sido anunciada como causa da morte o flagelo de uma peste. Existem especulações que ele tenha sido envenenado por alguma pessoa descontente com a alta influência de um “não italiano” sobre o Papa e a Igreja romana. Alguns historiadores especulam ainda que, se não tivesse falecido tão cedo, talvez tivesse condições de realizar uma moderna compreensão do Sistema Solar, como feita por Copérnico 100 anos depois. Fonte: MELLO, José Luiz Pastore. Regiomontanus e a Trigonometria. Revista do Professor de Matemática – RPM, São Paulo, v. 55, p. 29-30, 2004.

Interpretação e resolução da questão

FAÇA NOO N CADER


1. Com base na leitura do texto, escreva os dois acontecimentos que marcam a história da cidade de Köningsberg?

2. Os conhecimentos de Astronomia levaram Regiomontanus a realizar um trabalho para o Papa Sixto IV. Que trabalho foi esse?

3. Qual tema foi abordado por Regiomontanus no livro De Triangulus Omnimodes? 4. Regiomontanus viveu apenas 40 anos. O que o texto nos conta sobre a causa de sua morte? 5. Especula-se que Regiomontanus poderia ter avançado em relação ao Sistema Solar. Quem foi o responsável por essas descobertas e em que ano?

Trigonometria Funções logarítmicas no ciclo

l

Capítulo 1 8

57

Matemática Completa

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