1 MATEK ÉRETTSÉGIZŐ - VÉGSŐ ÁTTEKINTŐ
( végeredményekkel)
(feladatok eredete: Egységes Érettségi FGY. Matematika FGY I-III., ■■ egyéb helyről,-)
Amikor már mindent átismételtél, találomra válassz ki egy-egy feladatot, és gondold át a megoldását. Ha bizonytalan vagy, oldd is meg! Halmazok megadás, egyenlőségük, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz. Halmazműveletek egyesítés, metszet, különbség. Számosság, részhalmazok
■1/a ■Az alaphalmaz: U = {10-nél nem nagyobb természetes számok} Legyen A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = { 1 ; 2; 3; 4; 5}; C = {2; 3; 4; 5; 6} Adjuk meg a következő halmazokat elemeik felsorolásával! B \ A=............................................... A B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C =...................................................... A Δ C =.............................................. (A B) C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■ 1/b ■ Vonalkázd be a Venn-diagramokon a következő halmazokat! a) ABC;
b) (AC)\B;
c) (A\C)(A\B);
13.Négy üzlet nyitvatartási ideje egy napon a következő 1. 800 - 1430, 2. 900 . 1530, 3. 930 - 1630, 4. 800 – 1200 és 1300 – 1730. Milyen hosszú az az időszak, amikor egyszerre vannak nyitva? –(szemléltesse ábrán a nyitvatartásokat! ) 26.Sorolja fel az alábbi véges halmazok elemeit:
A x N x2 4 ;
B x Z x 2 ; C x prímszám 0 x 6
Állapítsa meg a halmazok metszetét, unióját, és hogy közülük melyik részhalmaza a másiknak! ■1/c■. Az alábbi számokat írd azon számhalmaz jele alá, amelyiknek eleme! 2 ;
-1,3;
0 ;
2 ; 4
0, 2;
2;
8 ; 2
-0, 918;
9
;
π .
■1/d■. Ábrázold színessel az alábbi ponthalmazokat! (A négyzetháló 0,5 cm beosztású.)
2 a) {az e egyenestől legfeljebb 1,5 cm-re és az f egyenestől legalább 1 cm-re lévő pontok}. b){az O ponttól legalább 2 cm-re és legfeljebb 3 cm-re lévő pontok}.
Matematikai logika - ítélet fogalma, „és”, „(megengedő) vagy” logikai jelentése, implikáció és ekvivalencia, a „minden”, „van olyan” kvantorok.
74.Fogalmazza meg az alábbi kijelentések tagadását, az a) és c) kijelentését kétféleképpen is! a) A 12 osztható 3-mal és osztható 4-gyel. b) A 12 nem osztható 3-mal vagy nem osztható 4-gyel. c) Minden páros szám nullára végződik. d) Van olyan 5-tel osztható egész szám, amelyik nem nullára végződik. 98 Jelentse p azt, hogy „esik az eső”, q azt, hogy „fúj a szél”. Írja le logikai jelekkel a következő mondatokat! a) Ha esik az eső, akkor fúj a szél. b) Ha fúj a szél, akkor esik az eső. c) Ha a szél fúj, akkor nem esik az eső. Gondolkodási módszerek Skatulya-elv, logikai szita; gráfok
MI/19a,c Mi a következő állítások tagadása? a) Van olyan hét, hogy minden lottószelvényemen van találat. b) Minden évben van olyan tantárgy, amelynek minden órájára felkészültem . MI/274.Egy 33 fős osztályból 18-an járnak matematika szakkörre, 12-en történelem szakkörre, 8-an mindkettőre. Az osztálynak hány tanulója nem vesz részt egyik szakkörön sem? 255 Egy 25 fős osztályban mindenki felírja, hogy melyik hónapban született. A leggyakrabban felírt hónap legalább hányszor fog előfordulni. Mekkora létszám kell ahhoz, hogy legalább négyszer forduljon elő a leggyakrabban felírt hónap? 3028 Egy gráfban 5 csúcs van, amelyekből rendre 4, 3, 2, 2, 1 él indul. Hány éle van a gráfnak? 3023 Egy ötfős társaságban mindenkinek van legalább egy ismerőse. (az ismeretség kölcsönös.) Rajzoljon egy, a szituációt ábrázoló gráfot! Kombinatorika
3 sorbarendezés, kiválasztás; Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat
■1■ Egy harmincas létszámú osztályban négy különböző jutalmat osztanak ki. Hányféleképpen történhet ez, ha: a) egy tanuló legfeljebb egy könyvet kaphat; b) egy tanuló több jutalmat is kaphat? 145.200-ben az Év Arca versenyen 237-en indultak. Az esti TV-műsorban az első nyolc lánnyal készítettek riportot, figyelembe véve, hogy ki hányadik lett. Hányféle műsor készülhetett, ha a riportalanyokkal való beszélgetés sorrendje pontosan az általuk elért helyezések sorrendjének fordítottja? 146.Egy 231 tagú Országos Sportszövetség elnököt, titkárt és pénztárost választ. a) Hányféleképpen teheti ezt meg, b) Hányféle kimenetele lehet a választásnak, ha a fővárosi szövetség elnökének mindenképpen szeretnének valamilyen tisztséget adni? 185. Nyolc labdarúgócsapat egyfordulós körmérkőzést játszott egymással. Átlagosan hány gól esett egy mérkőzésen, ha összesen 120 gólt rúgtak? 190. 100 darab készüléknek a 12%-a hibás. Hányféleképpen lehet 10 készüléket úgy kiválasztani, hogy a kiválasztott készülékek között a) ne legyen hibás; b) mind hibás legyen; c) pontosan 5 hibás legyen. ■2■ Hányféle, a magyar zászlóhoz hasonló háromsávos zászlót lehet készíteni 6 színből, ha minden szín legfeljebb egyszer fordulhat elő? Alapműveletek (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás).
311a, Mennyi 42 x-nek a 3/7-ed része? b. Minek a 3/7-ed része 42 y? 306a Számolja ki zsebszámológéppel: (4,5·1015)3 ( 325·1,078)4 = A természetes számok halmaza, számelméleti ismeretek osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezőkre bontás, számok legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse
458a Egyszerűsítse egy lépésben a
1840 . törtet! 3400
3110 Van-e olyan 6 egymás után következő pozitív egész szám, amelyek összege 2002? ■3/a■. Melyik az a legkisebb természetes szám, amely osztható 30-cal és 42-vel? Oszthatóság; a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályok
■3■.Milyen számjegyek írhatók x és y helyébe, hogy 45 304x7 y teljesüljön? 3112 Milyen számot írhatunk a helyére, hogy a 32551a osztható legyen 18-cal) 3172 Egy virág szárán hét- és ötpettyes katicabogarak másznak felfelé egy sorban. Elöl egy ötpettyes,
4 hátul pedig egy hétpettyes bogárka halad.. Hány katicabogár mászik a száron, ha összesen 70 pettyük van? Helyiértékes írásmód, Számrendszerek A számokat átírni 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe,..
481.Adott egy tízes számrendszerbeli szám: 1301. Írja ezt át a) kettes, b) nyolcas, számrendszerbe!
c) 16-os
■4■ Írjuk át tízes számrendszerbe 1011012 számot! 624. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. Ha számjegyeit felcseréljük, 45-tel kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám 3179. Egy számban a tizedesvesszőt két hellyel balra vittük, majd az így kapott számhoz az eredeti szám 3/5-öd részét. Ekkor eredményül 34 989,6 –et kaptunk. Mi volt az eredeti szám? ■4/a■ Döntsd el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) A 253 nem lehet 4-es számrendszerbeli szám. b) A 19 502 lehet 9-es számrendszerben megadott szám. c) A hármas számrendszerben a számok leírásához négy számjegy szükséges. d) 1013 1012.
e) 113 = 1002
f) 1013 10102.
Valós számok, számegyenes, szám normálalakjának felírása, abszolút érték,
1. Ábrázolja a következő halmazok egymáshoz való viszonyát Venn-diagramon:. N, Z, Q,
Q,
R.
Helyezze el az ábrában a következő számokat! 2,
π,
2 3
5,
sin150 o
lg1000,
tg
π 4
356a. Írja fel számológép használata nélkül normálalakban az eredményt:
2 1033 0,0642 3,6 10 7 321 1,8 10 4 4 10 9
329. Mi az alábbi műveletek eredménye? Jelölje meg számegyenesen! d) [-2;3] [0;2], e) [-2;3] [0;2] f) [-2;3]\[0;2] 319. Egy 16 000 Ft-os kerékpárt árleszállításkor 15%-kal olcsóbban adnak. a) Mennyiért? A végkiárusításban újból leértékelték 8%-kal. b) Mennyiért árulták így? c) hány százaléka ez az eredeti árnak? d) Hány % összesen az engedmény? Hatvány, gyök, logaritmus Definíciók, műveletek, azonosságok és alkalmazásuk ■5■ Hozza a lehető legegyszerűbb alakra:
5 341d.
2 6 14 5 35 4
343b.
4 5
3 4
5 6
3 4
■6■ Határozza meg a következő értékeket számológép használata nélkül! a) lg3 100 , b) log 2 2 , e) k 6 log k 64
c) 81log 3 2 , d) 3 2 log 3 10 ,
f ) lg 27 lg 18 lg 2 lg 3
Algebrai egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek. Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek. MOZAIK 12.O. tk-ben jó megoldott mintapéldák vannak az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek témakörhöz 183-217.o. ■7■ Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) 2(x-2) - 3(2x+1) = 3(-2x+3) - (x-2)+3 b) 614
x4 3x 104 x 8 2 8 20 12
616. Oldja meg az egyenletet! x x 4 2 2 2 x 4 x 2x x 2x 623 Két szám közül az egyik a másik kétszeresénél hárommal nagyobb. Mekkora a két szám, ha a különbségük 9? 625 Egy telket Antal egyedül 4 óra, Béla egyedül 6 óra alatt ás fel. Hányóra alatt készülnek el a munkával, ha együtt dolgoznak? 633 Egy osztály tanulóinak 1/3-a gyalog jár az iskolába, ¼-e kerékpárral, a többi 10 diák pedig busszal. Hány tanulója van az osztálynak? 642 Egy pénzváltó automatában felváltunk egy 1000 forintost 100 és 50 forintosokra. Hány 50 Ft-os és hány 100 Ft-os érmét kapunk , ha összesen 12 pénzérme esik ki az automatából? MI 1036 Hány liter vizet kell önteni 32 liter 20%-os alkoholhoz, hogy 15%-os alkoholt kapjunk? ■8■ Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenlet-rendszernek? 2x 6 y 4 3 x 5 y 20
MI 1058 Melyik az a két szám, melyek összege 20, különbsége 10? MI 1061 Egy kollégiumban 2-, illetve 3-ágyas szobák vannak, összesen 72. Melyikből hány darab van, ha a férőhelyek száma 176? 673/b Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
6 (3x-2)2 –(1-x)2 = 45 – 20x 693a Határozza meg az x2+px +9 = 0 egyenletben p értékét úgy, hogy az egyenletnek egy valós gyöke legyen! MI 1256 Írja fel a 2x2+ 3x-5 kifejezés gyöktényezős alakját! x 2 5x ■9■Egyszerűsítse az 2 törtet! x 10x 25 686. Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek a {4/5; -5} a megoldáshalmaza. Szöveges másodfokú egyenletek: 710 A 150 km hosszúságú útszakaszon az egyik gépkocsi 10 km/h sebességgel gyorsabban haladt, ezért fél órával hamarabb ért célba, mint a másik., pedig egyszerre indultak. Mekkora sebességgel haladta két gépkocsi? 722 Egy szakmunkás 3 nappal előbb végez egy munkával, mint egy betanított munkás. Ha együtt dolgoznak, akkor két nap alatt készen vannak. Hány nap alatt végzi el a munkát a két munkás egyedül? 697 Egy téglalap alakú asztallap területe 32 dm2, kerülete 24 dm. Mekkorák az oldalai? 721a, Idős hölgyek baráti körének tagjai megegyeznek abban, hogy hetente egyszer mindegyikük „pletyizik” egy kicsit telefonon a társaság összes többi tagjával. Gyorsan meg is állapították, hogy ehhez 66 telefon-beszélgetést kell hetente lebonyolítaniuk. Hány tagja van az idős hölgyek társaságának? Magasabb fokú egyenletek Négyzetgyökös egyenletek ax b cx d típusú 684. Adja meg a következő egyenlet negatív gyökeit: 3 x 4 7 x 2 2
756a. Oldja meg a valós számok halmazán a
2x 2 13 x egyenletet
Nem algebrai egyenletek, -- definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatok megold., Abszolútértékes egyenletek ax b c ax b cx d ,Exponenciális és logaritmikus egyenletek, Trigonometrikus egyenletek Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! 795. 3x - |x+5| = 7 MI. 1612a 3x-1 + 3x + 3x+1 + 3x+2 + 3x+3=121 MI 1603h
64x+3 = 36
MI 1609a
1 8
2 3 x 1 4
■10■ 32x+1 - 4·3x+0,5 = -3 ■11■ lg(x+3)-lg(x-4)= lg2 + lg(x-1) 3150 Oldja meg algebrai vagy grafikus úton: sin (x - π/2) = 1. ! ■12■Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
7 cos 2 x 4 cos x 3 sin 2 x
Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség rendszerek Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket! 3x 8 0 x3
656
MI 1185b -3(a+20)<-20
MI 1459 a) x2-12x+45> 0, 805c
c) x2-4x+3<0
2x 5 7
1390. Oldja meg grafikusan: x 2 2 x 2 Középértékek, egyenlőtlenségek Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk ■13■ Két szám közül az egyik 25. Határozzuk meg a másik számot, ha a) számtani közepük 30; b) mértani közepük 10. 3127 Két mekkora darabra kell felbontani az 5 egység hosszúságú szakaszt, hogy e szakaszok hosszának mértani közepe 6 legyen? A függvény -értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet. - f(x) = c alapján az x-et kiszámítani; - inverz függvény fogalmának szemléletes értelmezése 1091 Mi annak a függvénynek a hozzárendelési szabálya, amelynek képe átmegy a (2;3) ponton, és párhuzamos az x 4x 1 függvény képével? 1062 Határozza meg a következő függvények értékkészletét! 2 sin x a) 5, x R; b) x lg x 2 , x R / 0; 3
c) x
4 2, x R . 3x
■14■ Mennyi az alábbi függvények helyettesítési értéke a megadott helyen? a) f(x) = -3x+7, ha x =-2; b) g x x 4 6 , ha x = 20, c) h x
2 cos x 1 , ha x = π 3
1068 Határozza meg az alábbi függvények koordinátatengelyekre illeszkedő pontjait! f : N Z, x x 7, d : Z / 3 Z, x
g : N / 4 Q, x
1 , x4
x 2 x 12 4, e : N R , x cos x 1 x 3
Egyváltozós valós függvények. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni,
8 illetve adatokat leolvasni a grafikonról. - tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: x ax b ;
x x2;
x cos x ;
x tgx ;
3
x x ;
x ax ;
x a x2 bx c ;
x
x loga x.
x
x;
x;
x
a x
x sinx ;
függvénytranszfomációk [f(x) + c; f(x+c); c·f(x); f(cx)]. Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás szempontjából. Ábrázolja és jellemezze az alábbi függvényeket! 1086 f x 1101 i x ■15■ g x
2x 4 , xR 5
Mik a tengelyekkel való metszéspontjai?
1 2 x3
■16■ h x
2 x 3 10
■17■ j x 2
1 x 5 2 1 4
■18■ k(x) = 3 - 2x
x8
■19■ l(x) = log2 (x - 3) – 2,
■20■ m(x ) = -2 cos (x+ π/2)
b) Mi lenne az előző függvények értékkészlete, ha értelmezési tartományuk a [-5; 5], vagy annál a hozzárendelési szabály által megengedett szűkebb intervallum? Ábrafelismerés: 1228
Az f, g, h, k függvények hozzárendelési szabálya valamilyen sorrendben:
x
1 x; 2
x x 2;
x 12 x
1 2
x x
1 2
Állítsa párba a függvények nevét és a hozzárendelési szabályukat! 1229 Válassza ki az alább megadottak közül az ábrázolt f, g, h függvények hozzárendelési szabályát! x 3 x;
x
x2 ;
x
3 x; x
x 3; x
x4 ;
x
3x
9
1334
Négy ismert alapfüggvény grafikonját látja az ábrán:
a) Írja fel az egyes függvények értelmezési tartományár, értékkészletét és hozzárendelési szabályát! b) Állapítsa meg, hogy melyik függvény inverze a másiknak!
1338 Az f függvény értelmezési tartománya a [-4;5] intervallum, grafikonja az ábrán látható.
a) határozza meg a következő függvényértékeket: f(-4), f(-1), f(3), f(5)! b) olvassa le a grafikonról, mely számokhoz tartozik 1, illetve -1 függvényérték! c) Határozza meg a függvény értékkészletét, zérushelyeit, maximumát és minimumát, írja le a függvény növekedési viszonyait! Sorozatok Számtani és mértani sorozatok. Kamatos kamat, járadékszámítás. (Végtelen mértani sor) 1484. Egy számtani sorozat ötödik tagja 17, hetedik tagja 10. Mennyi az első tag, a differencia, az első nyolc tag összege? 1525 Egy nézőtér első sorában 60 személy ülhet. Hány embernek van helye a nézőtér 20. sorában, ha minden sorban az előzőnél 8-cal több ülőhely van? 1508 Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat három szomszédos tagját alkotják, melyek különbsége 3. Mekkorák a háromszög hegyesszögei?
10 ■21■ Hány a 6-tal osztható négyjegyű szám van? 1543 Egy mértani sorozat második tagja 3, hatodik tagja 12. Mennyi S10? 1574 Egy városnak 50 évvel ezelőtt 700 ezer lakosa volt. Az átlagos évi népszaporulat az elmúlt 50 év során 0,45% volt. Hány lakosa van most a városnak? 1586 Bankba tettem a pénzemet. Hány év alatt nő kb. ötszörösére a betett összeg, ha a bank mindvégig évi 9%-os kamatot fizet? ■22■ Számtani sorozat első három tagjának összege 15. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 4-et, a harmadikhoz 19-et adunk, egy mértani sorozat egymás utáni három tagját kapjuk. Melyik ez a három szám? Elemi geometria Térelemek, a szögek nagyság szerinti osztályozása és a nevezetes szögpárok, térelemek távolsága és szöge, (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) MIII 46.Mekkora az a szög, amely pótszögénél 16o28’-cel nagyobb? MIII. 47 Mekkora az a szög, amely mellékszögének ötödrésze? MIII.53. Az α és β merőleges szárú szögek. Határozzuk meg a nagyságukat, ha a) a β szög 11-sdzerese az α-nak; b) a β szög harmadrésze az α-nak. MIII.56. Két konvex szög szárai párhuzamosak. Az egyik a) 90o-kal ; b) 120o-kal; c) 75o-kal nagyobb, mint a másik. Mekkorák az egyes szögek? 3274 Adott az S síkban a K pont. Mik a következő ponthalmazok? a) {PS|PK = 3 cm}; b) {PS | PK ≤ 3 cm}; c) {PS | PK < 3 cm}. 3276 Adott a síkban két egymást metsző e és f egyenes. Mi a következő ponthalmaz? {PS | d(P;e) = d(P;f)} 3277 Adott a síkban két egymással párhuzamos e és f egyenes. Mi a következő ponthalmaz? {PS | d(P;e) = d(P;f)}
Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk síkban és térben. Alkalmazza a feladatokban az eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, egybevágósági transzformációkat. -a háromszögek egybevágósági alapeseteit.- Ismerje a különböző alakzatok szimmetriáit. Hasonlósági transzformációk: a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arányú felosztása. Hasonló alakzatok felismerése, (pl. háromszögek hasonlósági alapesetei) alkalmazása, arány felírása. Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló
11 síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket. MIII 378 Egy konvex szög szárai között kitűzünk egy pontot. Szerkesszünk ezen át olyan szelőt, amelynek a szárak közé eső szakaszát a pont felezi! MIII 336 Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, adott a szimmetriatengelye, az azon lévő csúcs, a másik két csúcson átmenő egy-egy egyenes. MIII 439 Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adott a szárak által bezárt szög nagysága, a szöghöz tartozó csúcs és két egyenes, amelyeken az alap egy-egy csúcsa fekszik 1756-Egy egyenlőszárú háromszög alapja 7, szárai 8 egységnyiek. Az alappal párhuzamosan olyan egyenest húzunk, amely felezi a háromszög területét. Mekkorák a keletkezett trapéz oldalai? 1879 Egy téglalap oldalai 2,4 dm és 1,8 dm hosszúak. A hozzá hasonló téglalap kerülete 52 cm. Mekkorák ennek a téglalapnak az oldalai? 1881. Egy trapéz alapjai 10,5 cm, illetve 4,8 cm., szárai 2,8 cm, illetve 3 cm hosszúságúak. Számítsuk ki a kiegészítő háromszög oldalait! ■23■ Egyenlőszárú háromszög alapja 30 cm, az alaphoz tartozó magasság 18 cm. Számítsa ki a szárakhoz tartozó magasságot! Síkbeli és térbeli alakzatok Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Háromszögek Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait. Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Ismerje és alkalmazza feladatokban a magasság- és a befogótételt. 1714 Az alábbiakban szereplő 3-3 szám szakaszok hosszának mérőszáma (a és b pozitív számok). Lehet-e a három szakasz egy derékszögű háromszög három oldala? a) 3, 6, 45 ; b) 4, 6, 10; c) a 2 , a 5 , a 7 ; d) a, ab, a 1 b 2 1765 Egy egyenlőszárú háromszög egyik alapon fekvő szögének felezője a háromszöget két egyenlőszárú háromszögre vágja. Mekkorák az eredeti háromszög szögei? És az újakéi? 1775- Egy 25 m széles úton két szemközti ház közé azonos magasságban kifeszített acélhuzal közepére egy villanylámpát függesztünk, amelynek a belógása 70 cm. Készítsünk ábrát! Milyen hosszú a huzal? 3285 Mekkorák a háromszög szögei, ha az első 35o-kal nagyobb a másodiknál, a harmadik pedig 25okal kisebb az elsőnél? Válaszát indokolja!
12
3286 Az Alföldön egy egyenes útszakasz A pontjából is vezet egy út a C-vel jelölt faluba, és az út távolabbi B pontjából is. Az első út 45o-os szöget zár be az AB úttal, a második 78o-os szöget. Mekkora szögben látszik a faluból az AB útszakasz? 3282 Egy háromszög oldalai cm-ben mérve egész számok. A legnagyobb oldal 6 cm, a másik két oldal különbsége 2 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? MIII.149.Egy háromszög egyikoldala 1,8 m, a másik 0,7m. Hány méter a harmadik oldala, ha mérőszáma egész szám? 3292 Szerkessze meg annak a háromszögnek a súlypontját, amelynek oldalai 10 cm, 7 cm és 6 cm hosszúak! 3302 Mekkora annak a szabályos háromszögnek a kerülete, amelynek magassága 5 3 ? 1667. Szerkesszen háromszöget, ha adott két oldala, és az egyikhez tartozó magassága! MIII.1340 Egy egyenlőszárú háromszög alapjának és szárának aránya 48:25. Az alaphoz tartozó magasság hossza 35 cm. Határozzuk meg a háromszög oldalainak hosszát! MIII. 1397 Egy 11 cm sugarú körhöz adott P pontból érintőket húzunk. Az érintőszakasz 60 cm hosszú. a) Határozzuk meg a P pontnak a kör középpontjától való távolságát! b) Mekkora az érintési pontok távolsága? (M: hasonlóság, vagy szögfüggvény alkalmazása) 1699ab. Egy derékszögű háromszög befogói 3 cm és 4 cm hosszúak. Határozza meg a a) köré írt kör sugarát b) a beírt kör sugarát! 1703. Határozza meg a 10 cm sugarú a) körbe, b) kör köré írt szabályos háromszög oldalát! MIII 104 Derékszögű háromszög egyik szöge 27o. Mekkora szögekre bontja az átfogóhoz tartozó magasság a derékszöget? MIII 95 Egy háromszög két külső szöge 128o és 116o.Mekkorák a háromszög szögei? MIII 109. Egy háromszög két szöge 67o és 33o Mekkora szöget zár be egymással a harmadik csúcshoz tartozó magasság és a belső szögfelező? MIII 313. Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszögben az egyik szög 30o-os, akkor az ezzel szemközti befogó fele az átfogónak! ■24■ Egy háromszög alakú telek oldalainak aránya 25:52:63. A telek területe 2520 m2. a) A telek körbekerítéséhez hány m hosszú kerítést kell építeni? b) A gazda olyan kör alakú épületet szeretne építeni, amelynek középpontja a telek oldalaitól egyenlő távolságra van. A háromszög melyik pontja ez, s milyen távol van az oldalaktól? MIII. 515. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 12 cm. Milyen távol van az átfogó felezőpontja a másik befogótól?
13 MIII.527. Egy háromszög szögei 62o és 43o. Mekkora szögekben látszanak az oldalak a) a beírt kör középpontjából; b) a magasságpontból? MIII. 552 Egy kör valamely húrjának egyik végpontját kössük össze a kör középpontjával. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott sugár Thalész-köre felezi a húrt! MIII.1131. Egy háromszög oldalainak hossza a = 7 cm, b = 6 cm, c = 5,5 cm. Határozzuk meg hogy az f szögfelező mekkora részekre osztja a c oldalt! MIII. 1145. Egy derékszögű háromszögben az egyik befogó 5 cm, ennek vetülete az átfogón 2 cm. Mekkora a másik befogó, az átfogó és az átfogóhoz tartozó magasság? Négyszögek , Sokszögek Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid) és tulajdonságaikat. Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege, -konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételek 1726 Egy deltoid átlói 75 mm, illetve 60 mm hosszúak. A rövidebb átló harmadolja a hosszabbat. a) Mekkora a deltoid kerülete? b) Mekkora a területe? c) Szerkessze meg a deltoidot! 1739. Mennyi egy konvex sokszög belső szögeinek összege, ha átlóinak száma 54? 1731. Állapítsa meg, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Indokolja a választ! a) Ha egy négyszög átlói egyenlők, akkor az négyzet. b) A négyszögek közül egymásra merőleges átlói csak a négyzetnek és a rombusznak vannak. c) Ha egy négyszög két szemközti szöge egyenlő, akkor az paralelogramma. d) Egy négyszögnek lehet 180o-nál nagyobb szöge is. e) H a egy négyszögnek van szimmetriatengelye, akkor annak van még egy. 1793 Egy trapéz rövidebbik alapja 20 cm, magassága 4 cm hosszú. A hosszabbik alapon fekvő két szög 45o, illetve 30o. Mekkora a trapéz kerülete és területe? MIII. 76. Mekkorák az ötszög belső szögei, ha azok úgy aránylanak egymáshoz, mint 1:2:3:4:5? MIII. 1004 Egy érintőnégyszög három oldala (ebben a sorrendben) 3 cm, 4 cm, 5 cm. Mekkora a negyedik oldal? MIII. 1488. Határozzuk meg a húrtrapéz területét, ha alapjai 42 cm, illetve 54 cm, a hosszabbik alapon fekvő szögei pedig 45o-osak! A kör részeinek ismerete,. ;- hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. A szög mérése fokban és radiánban. A középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. Thalész-tétele és megfordítását. (Középponti és kerületi szögek, érintő-, és szelőszakaszok tétele) 3327-A 2 cm sugarú körhöz a kör középpontjától 5 cm-re lévő pontból érintőt húzunk. Mekkora az érintőszakasz hossza? 3328 Mekkora ív és mekkora területű körcikk tartozik egy 107 cm kerületű körben a 36o-os középponti szöghöz?
14 3329 Mekkora sugarú aza kör, amelynek 15 cm hosszú ívéhez 45 cm2 területű körcikk tartozik? 3330.Mekkora az 5,2 cm sugarú kör 60o-os középponti szögéhez tartozó körcikk területe? MIII 889. Egy háromszög két oldala a köré írt kör K középpontjából 126-os, illetve 68 –os szögben látszik. Mekkorák a háromszög szögei? 1744 Az AB átmérőjű körhöz a külső C pontból húzott érintő B-ben érinti a kört. Mekkora részekre bontja a kör az AC szakaszt, ha AB = 12 cm és BC = 5 cm? (M: Pitagorász-, Thalész-, befogótétel alkalmazása) Térbeli alakzatok Forgáshenger, forgáskúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban Felszín, térfogat Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel. 3361-Számítsa ki, hányszorosa a kocka köré írt gömb térfogata a kocka térfogatának! 3366- Egy cső hossza 2 m, külső átmérője 3 cm, belső átmérője 2,5 cm. Mekkora a cső anyagának térfogata? MIII.1710a Határozzuk meg a kocka élét, lapátlóját, testátlóját, felszínét és térfogatát, ha átlós síkmetsze-tének területe 250 cm2! MIII. 1736 Egy téglatest térfogata 5856 cm3, éleinek aránya 3:4:5. Mekkorák az élei? MIII.1767. Egy 43 cm magasságú egyenes hasábalaplapja egyenlőszárú trapéz, amelynek párhuzamos oldalai 21 cm és 16 cm, szárai pedig 9 cm hosszúak. Mekkora a felszíne és a térfogata? MIII.1886 Szabályos négyoldalú gúla alaplapjának területe 1024 cm2, a gúla térfogata 5622 cm3.Mekkora a gúla magassága és palástjának területe? MIII.2007 Egy 200 liter űrtartalmú, henger alakú tartály magassága háromszor akkora, mint az alapkör sugara. Mekkora a sugár és a magasság? MIII.1994 Egyenes körhenger térfogata 9628,17 cm3, palástjának felszíne 2128,29 cm2. Mekkora az alaplap sugara és a testmagasság? MIII.2059 Egyenes körkúp palástja kiterítve 12 cm sugarú, 240o középponti szögű körcikk. Mekkora a térfogata? MIII.2063 Egyenes körkúp térfogata 4,05 m3,alkotói az alaplappal 72o18’ szöget zárnak be.Mekkora a kúp felszíne? MIII.2085 Egyenes csonkakúp alapkörének sugara 113,5 m, a fedőlap sugara 92,8 m, az az alkotók az alappal 45o-os szöget zárnak be. Mekkora a magassága és mekkorák az alkotói? MIII. 2134. Hány m2 selyem kell egy ejtőernyőhöz, ha azt 6,5 m sugarú félgömbnek vehetjük? Hulladékra, ráhajtásra még 10%-ot számolunk. 2054 Egy gúla alapterülete 900 cm2. A magasságot három egyenlő részre osztottuk. Az osztópontokon keresztül az alappal párhuzamos síkokat fektettünk. Mekkora a keletkezett a) síkmetszetek területe b) testek térfogatának aránya? 1941 Egy körhenger alakú torta alapkörének sugara 15 cm, magassága 7 cm. A tortából egy 30o-os középponti szögű tortaszeletet vágunk. Mekkora a kivágott szelet térfogata? 1960 Egy fenyőfa törzsének hossza 11,5 m. vastagabbik vége 54 cm, vékonyabbik ge 36 cm átmérőjű. Mekkora a fatörzs értéke, ha 1 m3 fenyőfa ára 17 000 batka? Vektorok síkban és térben- vektor fogalma, abszolút értéke, - nullvektor, ellentett vektor, - vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, -
15 vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, - vektor felbontása összetevőkre. Skaláris szorzat definíciója, tulajdonságai. - vektor koordinátái, - a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái, - vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái, skalárszorzat kiszámítása koordinátákból MIII. 2313 Egy kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b, c. Állapítsuk meg, hogy az alábbi vektorok közül melyek mutatnak az A-ból kiindulva valamelyik kockacsúcsba. a) a+b+c; b) a+b-c; c) a+c; d) b-b; e) a-b; f) a+b+c-a 3382 Határozza meg a következő két vektor hajlásszögét: a(2;7) és b(-1;3). 3381 Legyen két vektor a(2;3) és b(3;-1).Határozza meg az a+b és az a-b vektorok koordinátáit! Készítsen ábrát! 3402 Egy vektor koordinátái (-4; 7/5). Írja fel a rá merőleges, kétszer olyan hosszú vektorok koordinátáit! Trigonometria. hegyesszögek szögfüggvényei derékszögű háromszög oldalarányaival definiálva, ismereteit alkalmazza feladatokban. A szögfüggvények általános definíciója. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt. Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben. ■25■ Az α hegyesszög meghatározása nélkül számítsa ki a többi szögfüggvény értékét, ha a) sin α = 0,8, b) cos α =1/3, c) tgα=2,5 ■26■ Adjuk meg a következő számok pontos értékét: a) sin 210o, b) cos 300o, c) tg 135o, o o o o o d) ctg 315 , e) sin(-30 )+sin 150 , f) tg 135 +ctg 45 . g) 3·tg30o+ctg 45o – 2·tg45+2·cos 60o. 2292 Egy 21 m magas épület 6o50’ emelkedési szögben látszik. A műszer magassága 1,6 m. Milyen messze van tőlünk az épület? 2216 Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 20 cm, szára 3 cm, egyik szöge 70o. Mekkora a területe? MIII 2579 Egy 12,4 dm sugarú körben 26,3 dm hosszúságú ívhosszhoz mekkora húr tartozik? MIII 2596 Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 190 m, átlója 170 m, magassága 80 m. Mekkorák a szárai, a másik alapja és a szögei? MIII 2685 Egy derékszögű háromszög átfogója 10 cm, az átfogóhoz tartozó magassága 4 cm. Mekkorák a befogók és a háromszög szögei? ■27■ Legyen cos x = - 2/3, ahol xR. A szög kiszámítása nélkül határozza meg a többi szögfüggvény értékét! ■28■ Határozzuk meg a következő szögfüggvényértékeket: sin 623o, cos 750o, sin(-4000o), cos (-3015,4o), tg 6000o, ctg 300o, sin (5π/3), cos (π/15), tg (7π/2), ctg (5π/3), sin (-π/6), tg (-π/8). ■29■ Határozzuk meg a következő szögfüggvényértékekhez tartozó szögeket! a) sin α = 0,7193; - 0,2385; b) cos β = 0,3420; -0,8829; c) tg γ = 0,2549; - 114,6; d) ctg δ = 3,078; - 0,8243.
16 2223 Egy 5 cm2 területű rombusz hegyesszöge 30o. Számítsa ki a rombusz oldalának és átlóinak hosszát! 2240 Egy négyoldalú szabályos gúla alapéle a = 8, oldaléle b = 10. Mekkora szöget zár be a) egy oldalél és egy alapél; b) egy oldalél és az alaplap; c) egy oldallap és az alaplap? 2226a Mekkora az 5 cm sugarú körbe írt szabályos ötszögnek az oldala és a területe? 2260 Egy gyárkémény tetejét az aljával egy szintben lévő A pontból 19o emelkedési szögben látjuk. 220 méterrel közeledve a toronyhoz, annak tetejét 27o-os emelkedési szögben látjuk. Milyen magas a torony? 2290 Egy paralelogramma két oldala 5,8 cm és 7,4 cm, az általuk bezárt szög 48o18’. Mekkora a két átló? ■30■ Egy háromszögből ismerjük két oldal összegét: 20 cm és az ezekkel az oldalakkal szemközti 42o és 86o-os szögeket. Mekkorák a háromszög oldalai? ■31■ Egy általános háromszögben az egyik oldal 34 cm; a hozzá tartozó súlyvonal 18,2 cm; az egyik rajta fekvő szöge 32o25’. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? Koordinátageometria Pontok, vektorok Tudja AB vektor koordinátáit, abszolút értékét. Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak felírása,. A háromszög súlypontja koordinátáinak felírása. 3379 A(-5;8) és B(0;4). Mik az AB koordinátái, és mekkora a hossza? 3420 Határozza meg az A(3;-1), B(1;4), C(-7;-9) csúcspontú háromszög súlypontjának az origótól való távolságát! 3485 Egy paralelogramma két szomszédos csúcspontjának koordinátái: A(9;-3) és B(0;3). A paralelogramma középpontjának koordinátái (1;6). Számítsuk ki a másik két csúcs koordinátáit! Egyenes Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Egyenesek metszéspontjának számítása. Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit. Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel. ■32■Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad: a) MIII 3538c a P(-5;-6) ponton és normálvektora v(-2;3), b) MIII 3539e a P(3;-2) ponton és irányvektora v(4,4); c) MIII 3540a A(9;6) és a B(4;3) pontokon ; d) MIII 3544a P(0,7) ponton és irányszöge 30o. 3414 Mi annak az egyenesnek az egyenlete, amely párhuzamos a 2x-y+1=0 egyenessel és illeszkedik a P(3;2) pontra? 3413 Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a (3;0) pontra és merőleges az x2y+2=0 egyenletű egyenesre! MIII.3557. A koordinátatengelyek mely pontjai vannak egyenlő távolságra az A(-1;6) és a B(9;12) pontoktól? MIII 3619 Adjuk meg annak a háromszögnek a súlypontját, amelynek csúcsai az x+y=11, 2x-3y=-18, x-4y=-19 egyenesek alkotta háromszög oldalfelező pontjai. MIII 3716 Számítsuk ki az A(), B(), C() csúcspontú háromszögben az sa és mb egyenesek
17 metszéspontjának koordinátáit. MIII 3723 Az ABCD téglalap AB oldalegyenesének egyenlete x+y=6, AD oldalegyenesének egyenlete pedig x-y=0. A C csúcs koordinátái (-3;1) Számítsuk ki a téglalap csúcsainak koordinátáit! Kör Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. 3426 Határozza meg az x+y-6x+4y+9=0 egyenletű kör középpontját és sugarát! ■33■Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelynek a) MIII 3824a középpontja a (4;5) pont és sugara 3 egység; b) MIII 3825b középpontja a (-3;4) pont, és áthalad az origón, c) MIII 3827b átmérőjének végpontjai (4;1) és (2;3). MIII 3920a Határozzuk meg az x+y-5x=0 kör és az y=x-2 egyenes közös pontjainak számát! MIII 3943a Írjuk fel az (x-1)2+(y-2)2 = 25 kör (5;5) pontjához tartozó érintőjének egyenletét. Kerület, terület Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát. Háromszög területének
t
a ma 2
t
ab sin 2 . Nevezetes négyszögek
kiszámítása különböző adatokból: területének számítása. Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása. Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. Kerület- és területszámítási feladatok. . MIII. 1462 A paralelogramma két szomszédos oldala 12 cm és 8 cm. A nagyobbikhoz tartozó magasság 5 cm. Mekkora a másik magasság? MIII. 1465a Mekkora annak a paralelogrammának a területe, amelynek oldalai 8 cm és 7 cm, egyik hegyesszöge 60o? MIII. 1469 Mekkora a rombusz magassága, ha átlói 16 m és 12 m hosszúak? MIII. 1486 Határozzuk meg a húrtrapéz területét, ha alapjai 7 és 9 cm, szárai pedig 5 cm hosszúak! MIII. 1517 Határozzuk meg a kör területét, ha kerülete 8 cm! MIII. 1521 Egy körlap területe 4,3 m2-rel kisebb, mint a körülírt négyzet területe. Mekkora a körlap területe? MIII. 1097 Egy háromszög oldalai 0,8 m, 1,6 m és 2 m., a hozzá hasonló háromszög kerülete 55 m. Határozzuk meg a háromszög oldalainak hosszát! MIII 2681 Egy egyenlőszárú háromszög területe 72 cm2, az alappal szemközti szöge 32o44’. Mekkorák a háromszög oldalai? ■34■ Egy háromszög területe 400 cm2, két oldala 42 és 60 cm hosszú. Számítsuk ki a háromszög szögeit és a harmadik oldalának hosszúságát! Leíró statisztika Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai Tudjon adott adathalmazt szemléltetni. adathalmazt táblázatba rendezni és táblázattal megadott adatokat feldolgozni. Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni, adott diagramról információt kiolvasni. Tudja és alkalmazza a következő fogalmakat: osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság.
18
2567 Készítsen előbb táblázatot, majd oszlopdiagramot az adott kördiagram alapján! Az elfogyasztott gyümölcsökben összesen 60 g szénhidrát volt. Ezek százalékos megoszlását tünteti fel az ábra.
Nagy adathalmazok jellemzői, statisztikai mutatók - aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), - medián (rendezett minta közepe), - módusz (leggyakoribb érték). , terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel ■35■ Egy boltba szombat délelőtt belépő első 30 vásárló életkorát tartalmazza a következő táblázat. Adjuk meg a minta móduszát, átlagát és mediánját. Életkor (év) 17 18 19 20 21 22 23 Vásárlók száma 4 5 7 5 4 2 3 2576 A spanyol focibajnokság első öt fordulójában lejátszott mérkőzések közül 7 esetben nem született gól, 6 meccsen 1, 15 meccsen 2, 13 meccsen 3, 5 meccsen 4, 2 meccsen 5, 1-1 meccsen pedig 6, illetve 7 gól született. a) Készítsen az adatokból táblázatot, oszlop-, és kördiagramot! b) Határozza meg az átlagot, a móduszt és a mediánt! 2689 Egy tyúkokat is tartó farmer feljegyezte egy héten át a napi tojásmennyiséget: 122; 99; 118; 104; 113; 105; 116. a) Mekkora az átlagos napi tojásmennyiség? b) Mekkora a szórás? A Valószínűségszámítás elemei Véges sok kimenetel esetén szimmetria-megfontolásokkal számítható valószínűségek eseményekből) egyszerű feladatokban. Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Valószínűségek (egyenlő esélyű elemi kiszámítása visszatevéses mintavétel estén, binomiális eloszlás. 2757 Egy repülőgépen 24 magyar, 18 német és 12 francia utazik, más nem. Az utasok közül véletlenszerűen egyet kiválasztva, mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott személy a) magyar, b) nem német, c) orosz, d) nem angol? 2801 Három pénzérmét egyszerre feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom fej lesz? 2802 Két szabályos játékkockát egyszerre feldobunk Mennyi a valószínűsége, hogy két egyenlő számot dobunk. 2830 Piskóta készítéséhez 6 tojást kell felhasználnunk. Ha a kikészített tojások között kettő is romlott (de erről nem tudunk) , mekkora annak a valószínűsége, hogy a) a legelsőnek felütött tojás rossz lesz?, b) az utolsónak maradó két tojás a romlott? 2840 Anikó, Barna, Cili és Döme szavalóversenyre készül. Közlik velük, hogy csak ketten szerepelhetnek. Megegyeznek, hogy ezt sorsolással döntik el. Felírják a nevüket egy-egy papírra és egy kalapból egyszerre kihúznak két nevet. Azok indulnak a versenyen, akiket kisorsolnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) két lány fog szavalni, b) a kihúzott két cédula egyikén sem szerepel Döme neve? 2868 Egy dobozban lévő 50 golyó közül 45 fekete és 5 piros. Találomra kihúzunk a golyók közül 5-
19 öt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy közöttük pontosan egy piros van? 3485 Egy urnában 4 piros és 4 fekete golyó van. Kihúzunk egy golyót, majd visszatesszük, s újra kihúzunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkétszer pirosat húzunk? Függvények megoldásai. ( az ábra nagyítható- a grafikonok egyenlete a megfelelő színnel fel van írva) y = (2x-4)/5
15.0
y
14.0 13.0 y = 1/(x-3) +2
12.0 11.0 10.0
y = -2abs(x-3)+10 y = 0.25(x+5)^2-1
9.0 8.0 7.0
y = 2sqr(x+8) y = 3-2^x
6.0 5.0 4.0 3.0
y = log(x-3)/log(2)-2 y = -2cos(x+pi/2)
2.0 1.0
-23.0 -22.0 -21.0 -20.0 -19.0 -18.0 -17.0 -16.0 -15.0 -14.0 -13.0 -12.0 -11.0 -10.0 -9.0 -8.0 -7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 -6.0 -7.0 -8.0 -9.0 -10.0 -11.0 -12.0 -13.0 -14.0 -15.0 -16.0 -17.0
x
1.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 21.0 22.0 23.0 24.0
