Marco Teórico del método de Cross. Para Para desa desarr rrol olla larr el méto método do de Cros Cross s se nece necesi sita ta defi defini nirr prim primer ero o algu alguno nos s conceptos, específicos del método: Momento de empotramiento perfecto: perfecto : Hace referencia a la idealización de un claro de viga como una viga individual, biempotrada, por lo que no transfiere momentos, el momento de empotramiento perfecto se da en cada uno de los apoyos de tipo empotre !a distribución de momentos se "ace en pasos posteriores# q(x) MEP a-
MEP bRa’
Rb
Rigidez de la viga : !a rigidez de una viga se obtiene de una viga "iperest$tica empotrada y apoyada de un lado, se usa durante la distribución de los momentos a lo largo de la viga, de nodo a nodo, lo que "ace que la viga varíe su rigidez es su módulo de elasticidad o de %oung, %oung, el momento de inercia, y el inverso de la longitud: k =
4 EI
L
&l factor ' es constante, constante, así como también también lo puede ser el módulo de rigidez a la fle(ión )&*+, por lo que para vigas del mismo material y misma sección transversal se usa la rigidez relativa de la viga: 1 k = L
Liberación del nodo: e dice que un nodo se libera cuando se dea de considerar la idealización del mome moment nto o de empot empotra rami mien ento to perf perfec ecto to,, se regre regresa sa a un apoy apoyo o simp simple le que que no restrin restringe ge rotaci rotaciones ones,, y sí transmi transmite te moment momentos os de un claro claro al siguien siguiente, te, este concepto es usado para e(plicar la distribución de momentos#
MEP aRa Ra’
Momento Resultante:
&l momento resultante es la suma algebraica de los dos momentos de empotramiento perfecto que act.an sobre un mismo nodo, esto ocurre solamente cuando se "a liberado la viga# &l momento resultante sólo es un paso intermedio, pues la suma algebraica no distribuida del momento no tiene sentido alguno# Factor de Distribución: &l factor de distribución depende de la rigidez relativa de la viga, como ya se "abía visto anteriormente# &ste factor es simplemente una proporción del inverso de longitudes que intersectan con el nodo, es decir qué porcentae del momento resultante se distribuye "acia cada lado de la viga, el factor est$ dado por: 1
FD =
k
∑ K
L 1
=
1
L 1
+
1
L 2
&l factor de distribución tiene como m$(imo la unidad, para nodos o apoyos simpes que est$n en el e(tremo de la viga &s cero cuando se tratan de empotres o voladizos# Momento Distribuido: &l momento distribuido se define como la tasa que se deriva del momento resultante "acia cada uno de los claros de viga, es la multiplicación del momento transmitido por el factor de distribución de cada lado del nodo# M D = FD × M T
Momento Transmitido: /omando una viga liberada, es decir empotrada de un lado y simplemente apoyada del otro, se sabe que el momento en 0 es la mitad que el momento en 1, "aciendo así al método de Cross un método numérico iterativo, en donde la transmisión ayudar$ a "acer cada vez m$s peque2os los momentos distribuidos y transmitidos, reduciendo así el error con cada iteración, "asta el momento en que los momentos obtenidos y sus variaciones sean despreciables# Momento de continuidad: !a suma de todos los momentos obtenidos desde el momento de empotramiento perfecto es el momento en el nodo i el procedimiento se "izo correctamente, el momento de un lado del nodo es de igual magnitud pero sentido contrario al momento del otro lado del nodo, pues recordemos que el momento de continuidad de un apoyo simple sí tiene valor, pero la suma de los momentos es cero para evitar rotaciones de la viga#
