Manual de Formulas Tecnicas

manual

de

Edición

del Tercer MUenlo

fórmulas técnicas Gieck 30a Edición

lh. Alfaorncga

manual

de fórmulas técnicas Kurt Gieck / Reiner Gieck

• Manual electrónico con fórmulas prediseñadas • Potente editor de fórmulas • Función de graficado

A. Alfaomega

l/APLICACIONES BASICAS METROLOGIA • EL S.I. MATEMATICAS • ESTADISTICA

FISICA • INGENIERIA

TECNOLOGIA INDUSTRIAL

MATERIALES • PROPIEDADES

Unidades A

Supeñicies Cuerpos Algebra Trigonometría Geometría Analítica Funciones Hiperbólicas Cálculo Diferencial Cálculo Integral Probabilidad y Estadística

B C D E F G H I J

Estática Cinemática Dinámica

K L M

Hidráulica Térmica Resistencia de Materiales

N O P

Elementos de Máquinas Máquinas-Herramienta Electrotecnia Optica e Iluminación Química

Q R S T U

Tablas

Z

II/APlICACIONES MATEMATICAS

AVANZADAS

Análisis Vectorial Funciones Racionales Transformadas de Funciones Ecuaciones Diferenciales Análisis Estadístico Matemáticas Financieras Teoría de Ecuaciones

A' B' C' D' E' F' G'

Elementos de Máquinas Análisis de Esfuerzos Maquinaria y Elementos Manufactura y Procesos Sistemas Eléctricos Radiaciones Ingeniería de Control

O'

Tablas

P' Q'

R'

S' T' U'

Z'

Traducción:

Dr. Víctor Gerez Greiser Universidad Nacional Autónoma de México University of California (Berkeley) Ing. José de la Cera Alonso Universidad Autónoma Metropolitana Technische Hochschule München Con la colaboración de:

Ing. Quím. Virgilio González Pozo Revisión, adaptación y complemento:

Ing. Francisco Paniagua Bocanegra Universidad Nacional Autónoma de México Revisión técnica:

Francisco Javier Rodríguez Cruz Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

Versión en español de la edición electrónica en alemán de la obra titulada: Technische Formelsammlung, por Kurt Gieck y Reiner Gieck © 2000 by Gieck Verlag, D-82110 Germering, Germany ISBN 3 920379 21 7 75a. edición conjunta © 2003 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. Pitágoras 1139, Col. Del Valle 03100, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No. 2317 Reservados todos los derechos. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, mecánico, eléctrico, de fotocopiado, térmico u otros sin permiso expreso del editor ISBN 970-15-0840-8, Alfaomega ISBN 84-267-1330-0, Marcombo IMPRESO EN ESPAÑA – PRINTED IN SPAIN

PREFACIO Miles de estudiantes de diversas áreas, técnicos e ingenieros han encontrado por muchos años en esta bien conocida obra: Manual de fórmulas técnicas, de Gieck, una útil herramienta para consultar las fórmulas técnico-científicas más usuales en sus campos de acción, de manera clara, concisa y ordenada. Por las completas explicaciones que se proporcionan y mediante la aclaración de los conceptos implicados, es posible entender bien las fórmulas, aun sin ser especialista en el tema. Esta nueva edición revisada, corregida y aumentada, basada en la 30ª edición del clásico texto de bolsillo -además de conservar todas las cualidades de contenido y forma que lo han mantenido como el best-seller de los manuales técnicos y de ingeniería- incluye también un editor de fórmulas que le permitirá diseñar sus propias ecuaciones y graficarlas en un plano cartesiano, mediante la apertura de hasta 20 ventanas de cálculo, que pueden ser de parámetros variables o de resultados. Se conservan, entre otras cosas, la impresión de texto en una sola cara del papel de la mayoría de las páginas, para que el usuario pueda efectuar anotaciones complementarias y observaciones en la otra; la clasificación e identificación de los temas con una letra mayúscula de gran tamaño en la esquina superior derecha, y la sección de tablas, ya que no siempre se puede llevar consigo una computadora. En la parte de Aplicaciones avanzadas se han incluido los siguientes temas: ¾Teoría de ecuaciones ¾Elementos de máquinas ¾Ingeniería de control En la Teoría de ecuaciones se exponen los conceptos fundamentales del álgebra superior, con lo que se da por completado el tema de álgebra. En la sección Elementos de máquinas se incluye lo relacionado con el diseño de engranes, y la sección Ingeniería de control proporciona de manera cabal los elementos conceptuales y algorítmicos necesarios para el análisis de un sistema. Damos las gracias a los profesores M. Otto y H. W. Zimmer, quienes colaboraron en la ampliación y reelaboración de los temas. Kurt Gieck Reiner Gieck

Colaboraron en esta obra: Al cuidado de la edición

Gonzalo Ferreyra Cortés Programación de fórmulas

Francisco Javier Rodríguez Cruz Diagramación

Jesús García Alvarez Procesos gráficos

Miguel Angel Ferreyra Cortés Diseño de cubierta

Javier Perdomo M. Producción

Guillermo González Dorantes

OBSERVACIONES Magnitud

de las cantidades

SOBRE LAS FORMULAS

físicas

La magnitud de una cantidad física es el producto de su valor numérico y la unidad física seleccionada. Por lo tanto, el valor numérico es el cociente de la magnitud y la unidad. Entonces, por definición, = Valor numérico x Unidad

Magnitud

Si se selecciona una unidad n veces mayor, el valor numérico se reduce en la fracción 1/n; recíprocamente, si se adopta una unidad 1/n veces menor, el valor numérico es n veces mayor. El producto de valor numérico y unidad es constante, y la magnitud dada de una cantidad física es invariante en el cambio de unidad. Por ejemplo: 15 X 10-3 km = 15 x 103 mm 3 x 10-3 mA = 0.003 mA

I = 15 m 1 = 3p.A

TIPOS DE FORMULAS Fórmulas de cantidades. Estas son las fórmulas normales en las que los símbolos corresponden a cantidades físicas. Permiten evaluar una cantidad sustituyendo las restantes por su magnitud (valor numérico por unidad). Al efectuar el cálculo se obtiene la magnitud de la cantidad por determinar. Por ejemplo, si en la fórmula t = 2slv se sabe que s = 80 m y v = 8 mis, resulta entonces: 2 x 80 m 8 mis

25 V

~

8

s = 20 s

(fórmula I 23)

Fórmulas de cantidades ajustadas. En estas ecuaciones cada símbolo de cantidad aparece dividido entre su correspondiente unidad. Por ejemplo, la fórmula s 78: F

m

== 40 (-ª-)2(~) T

cm?

N = 40 (0.9 T)2(5 cm2) N = 162 N T cm2

Estas fórmulas son útiles en diversas aplicaciones. Fórmulas de unidades. Conversión. Estas ecuaciones presentan la relación de equivalencia entre unidades. Por ejemplo: 1 m = 100 cm

1 N = 1 kg·m/s2

Para efectuar la conversión de unidades, la equivalencia se expresa como un factor de valor numérico igual a la unidad. Así, de las fórmulas anteriores,

1

=

100 cm 1m

=

1m 100 cm

1 = ~ 1N'S2

=

1N'S2 ~

Lo anterior permite obtener una magnitud en la unidad deseada, a partir de una ecuación de cantidades físicas. Por ejemplo, de la fórmula m 1: F = ma sim = 30kgya F

4 cm/s", se tiene que para obtener F en newtons:

30 kg x 4 cm/s" = 30 kg (~) 1 kg· m

x 4 cm S2

(_ll!!_) 100 cm

1.2 N

Unidades en las fórmulas. La designación EU significa "ejemplo de unidad." En varias fórmulas se indican ejemplos de unidades. En tales casos, la primera unidad indicada es la SI. Las demás unidades son de otros sistemas que todavía se emplean en algunos países. Por ejemplo, del sistema técnico métrico o del sistema técnico inglés. La gran mayoríade las fórmulas presentadas en este manual son las normales de cantidades físicas, en las que se aplican las unidades compatibles que corresponden a las cantidades.

NOMENCLATURA

Espacioy tiempo a. {J. y ángulos (planos) !1 ángulo sólido f longitud b anchura h altura s espesor r, R radio d. O diámetro p. P perímetro A área. sección transversal A, área lateral A, área total V volumen s recorrido t tiempo v velocidad a aceleración 9 aceleracióndebida a la gravedad velocidad angular a aceleraciónangular Probabilidady estadistica A. B •... eventos (simples o

compuestos) evento universal evento nulo (o vacío) o unión de los evento A y B A+B AB intersecciónde los eventos A y B P(A) probabilidad del evento A P(AIB) probabilidad(condicional) de A dado B X variable aleatoria Px(X.) probabilidadde que X tome el valor X. E[g(X)) esperanza(matemática)de

u

g(X)

a a2

r

media(o valor medio)de X desviaciónestándar variancia coeficiente de correlación

GENERAL

Fenómenososcilatorios y similares T periodo , frecuencia n número de revoluciones por unidadde tiempo (o) frecuencia (velocidad) angular ,\ longitud de onda cj> ángulo de fase. defasamiento Mecánica m masa densidad p v volumen específico p cantidad de movimiento (o ímpetu) momentode inercia de J masa fuerza F peso (fuerzade gravedad) G momentode fuerza M p presión esfuerzoaxial (o normal) a esfuerzocortante (o T tangencial) deformación axial y deformación angular módulode elasticidadaxial E módulo de elasticidad G angular momentoestático de área Q momentode inercia de f área módulo de sección S coeficiente de fricción 1-" dinámica coeficiente de fricción 1-". estática viscosidad dinámica '7 v viscosidad cinemática W trabajo. energía

P

r¡

potencia eficiencia

X Y S Po P P,.

flujo magnético densidad de flujo magnético, inducción magnética intensidad de campo magnético inductancia fuerza magnetomotriz tensión magnética reluctancia permeancia permisividad dieléctrica permisividad dieléctrica del vacío coeficiente dieléctrico (constante dieléctrica) permeabilidad magnética permeabilidad magnética del vacío coeficiente magnético (permeabilidad relativa) número de pares de polos número de conductores número de vueltas o espiras impedancia reactancia admitancia susceptancia potencia aparente potencia activa potencia reactiva

Optica

(radiación

<1>

B

Térmica

t T

{3

Q q

<1' <1> K

e,

k I¡ Iv 1, R

temperatura temperatura termodinámica coeficiente de dilatación longitudinal coeficiente de dilatación volumétrica calor calor por unidad de masa flujo de calor densidad de flujo de calor conductividad térmica calor específico a presión constante calor específico a volumen constante relación de calores específicos calor de fusión calor de vaporización calor de sublimación constante de un gas

Electricidad y magnetismo I

V E, g R

P

'" G

Y Q

e

tjt

D

E

corriente tensión (voltaje). diferencia de potencial tensión inducida o generada (fuerza electromotriz) resistencia resistividad coeficiente de temperatura de la resistencia conductancia conductividad carga capacitancia flujo eléctrico densidad de flujo eléctrico intensidad de campo eléctrico

H

'0

p z N

z

e

a

s

visible)

velocidad de la luz en el vacío intensidad luminosa flujo lumínico cantidad de luz iluminación luminosidad (brillo) índice de refracción potencia (o vergencia) de una lente distancia focal amplificación, aumento distancia visual.

PARTE I APLICACIONES BASICAS

·El S.I.-Unidades

A1

l. La metrología internacional • En la actualidad se ha adoptado casi en todo el mundo el Sistema Internacional de Unidades, que se simboliza por SI y es el resultado moderno de la evolución del sistema físico llamado MKS. El nombre oficial del SI es Systéme International d'Unités, y las normas respectivas las establecey actualizael Bureau Internationaldes Poidset Mesures(BIPM), con sede en Sévres, Parfs, Francia. UNIDADES BASICAS El SI tiene siete unidades básicas que corresponden a las cantidades físicas fundamentales del sistema, y son como sigue: Cantidad fundamental Longitud (f) Masa (m) Tiempo (1) Temperatura termodinámica (T) Corriente eléctrica (i) Intensidad luminosa (1) Cantidad de sustancia (n)

Nombre de la unidad metro kilogramo segundo kelvin ampere candela mol

Símbolo de la unidad

m kg

s K A cd mol

El símbolo de cada unidad se halla estandarizado y es el mismo en todos los paises; no deben usarse otros slmbolos fuera de normalización. Definiciones. La definiciÓn de cada una de las unidades básicas se expresa en seguida: metro: Longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo igual a la fracción 1/299 792 458 de 1 s. kilogramo: Masa del Kilogramo Prototipo Internacional conservado en la sede del BIPM. segundo: Duración de 9 192631 770 ciclos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. kelvin: Fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica (o absoluta) del punto·triple del agua (273.16 K).

* Mayores detalles pueden verse en la obra Manual TEC Las unidades SI y otros sistemas, F. Paniagua (Apdo. 30-488, México D.F. 06470).

I

A2

El S.I.-Unidades

ampere: Intensidad de la corriente eléctrica constante, que mantenida en dos conductores rectilineos paralelos, de longitud infinita y sección transversal despreciable, y situados a la distancia de 1 m en el vacío, produce una fuerza de 2 x 10-7 N/m entre los conductores. candela: Intensidad luminosaen una dirección dada, correspondiente a una energíade 1/683W/sr, de una fuente que emite una radiación monocromáticade frecuencia igual a 540 x 10'2 Hz. mol: Cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, iones, etc.) en un sistema material, igual al número de átomos existente en 0.012 kg de carbono 12. (El número es 6.0220 x 1023, la constante de Avogadro.) UNIDADES COMPLEMENTARIAS Como unidades que complementan a las básicas se tienen las dos siguientes: Cantidad complementaria Angulo plano ( O) Angulo sólido ( n )

Nombre de la unidad

Símbolo de la unidad

radián estereorradián

rad sr

Sus definiciones son como sigue: radián: Angulo comprendido entre dos radios de una circunferencia y que determina en esta curva un arco de longitud igual a la de su radio. estereorradián: Angulo sólido con un vértice en el centro de una esfera, y que interceptaen ésta una superficie cuya área es igual a la de un cuadrado con lado igual al radio de la esfera. MULTIPLOS y SUBMULTIPLOS: PREFIJOS Para ampliar o reducir el tamaño de una unidad SI se utilizan los múltiplos y submúltiplos de la misma, que se obtienen aplicando como factores, potencias del número 10. Para los múltiplos se tiene una sucesión que aumenta en 103 cada vez, y para los submúltiplos la reducción progresiva es en 10-3. A fin de indicar lo anterior se utilizan prefijos que se aplican al nombre de la unidad SI. Tales prefijos son:

El S.I.-Unidades

A

Nombre

Símbolo

Valor multiplicativo

exa peta tera giga mega kilo

E P T G M k

10'8 10'5 10'2 109 106 103

(Múltiplos)

mili micro nano pico fento ato

m

10-3 10-6 10-9 10-'2 10-'5 10-'8

(Submúltiplos)

1"

n p f a

3

Ejemplos: metro: m; kilómetro: km; milímetro: mm ampere: A; miliampere: mA; microampere: I"A watt: W; kilowatt: kW; megawatt: MW; gigawatt: GW mm2 1 ns-' 1 PW

1 (10-3.m)2 1(10-9

s¡-'

1 (10'5 W)

10-6 m2 109 s-, 10'5 W

0.000001 m2 10'2 kW

En el casó del kilogramo, sus múltiplos y submúltiplos se forman tomando como base la unidad auxiliar gramo (g), igual a 10-3 kg.Por ejemplo, miligramo (mg) (= 10-3 g = 10-6 kg), microgramo (I"g) (= 10'" g = 10-9 kg), etc. UNIDADES DERIVADAS Para la mecánica se tienen las siguientes unidades derivadas de las básicas y que tienen nombre especial: Fuerza (y peso) newton (N): Fuerza que al ser aplicada a una masa de 1 kg le imparte una aceleración, en su misma dirección y sentido, igual al m/s2. Presión y esfuerzo pascal (Pa): Intensidad superficial de fuerza aplicada equivalente a 1 N/m2. Frecuencia o periodicidad hertz (Hz): Variación periódica equivalente a un ciclo por segundo (c/s).

I

El S.I.-Unidades· Trabajo y energía joule (J): Trabajo realizado por una fuerza de 1 N, cuando su punto de aplicación se desplaza una distancia de 1 m en la dirección y sentido de la fuerza. Potencia y flujo de energía watt (W): Potencia o flujo de energía que se desarrolla a razón de 1 J/s. La unidad de energía joule (J) se aplica también a los fenómenos térmicos y de cualquier otra clase. Lo mismo corresponde al watt (W). Las unidades derivadas térmicas se determinan considerando el joule y el kelvin (1<) o el grado Celsius (OC).Asimismo, las unidades derivadas eléctricas [volt (V), henry (H), etc.] y magnéticas [weber (Wb), tesla (T), etc.] se establecen a partir del ampere, el joule, el metro y el segundo. UNIDADES AUXILIARES DEL SI Seadmite indefinidamente el empleo, junto con las del SI, de las siguientes unidades: de tiempo [minuto (min), hora (h), etc.] y de ángulo [grado ( 0), minuto (') y segundo (")]. De este modo, la tonelada (t), igual a 103 kg, Y el litro (L), equivalente a 10-3 ma Cuandono es necesario considerar temperaturas termodinámicas (a partir del cero absoluto) se utiliza el grado Ce/sius ("C), llamado anteriormente "centígrado". La escala Celsiusva desde O "C (p. cong. del agua) hasta 100 "C (p. eb. del agua). La relación con la escala Kelvin es T (en kelvins) ;

t (en OC) + 273.15

También se admite la unidad de presión bar (b), igual a 105 N/m2. Se tiene que 1 b ; .105 Pa ; 100 kPa 1 rnb ; 100 Pa ; 105 mPa NORMAS DE USO DEL SI 1. Losvalores numéricos con cinco cifras o más deben separarse a cada lado de la marca decimal (punto o coma) en grupos de tres, mediante un espacio pequeño. Ejemplos: 61 154,61 354000,0.98203. En el caso de valores numéricos menores que la unidad se usa siempre el cero antes de la marca decimal. Ejemplo: 0.152, 0.00013.

a

1

El SJ.-Unidades

As

2. En las unidades compuestas los símbolos se combinan con los signos de producto ( . ) o de cociente (/). Para mayor claridad pueden utilizarse exponentes negativos y no se debe usar más de uria raya diagonal en la expresión. Ejemplos: N . m, mis, kg . m/ss, J/(kg . K); o bien, m . S-l, J . kg-l , K-l, etc. 11.Las metrologías

técnicas

métrica e inglesa *

En algunos países de habla española aún se utilizan en la industria las unidades de los llamados Sistema Técnico (ST) y Sistema Inglés (US), que van desapareciendo a medida que se extiende el uso obligatorio del SI. Unidades STo Son las de uso antiguo en ingeniería. Se basan en la unidad gravitacional denominada kilogramo fuerza (kgf), que es una unidad lundamental junto con el metro y el segundo. Su delinición es: Peso, en el vacío, del kilogramo (kg) al nivel del mar) y a 45° de latitud, donde go = 9.806 65 m/s2• Es decir, a 2

1 kgf = 1 kg . 9.80665 m/s2 9.806 65 N '" 9.8 N Aproximadamente, 1 kgf '" 10 N

9.806 65 kg . m/s2

Las unidades derivadas principales son: Fuerza (y peso): tonelada fuerza (tI) = 103 kgl Presión y esluerzo: kgl/m2, kgl/cm2, tl/m2, tt/cm", etc. Trabajo y energía: kilográmetro (kgl ' m) Potencia: kilográmetro por segundo (kgl . mis). La unidad de masa, denominada unidad técnica de masa (utm) se define como:

a 3

1 utm =

1 k/gf2 1 ms

= 9.80665 kg '" 9.8 kg

Aproximadamente, 1 utm '" 1Okg. (No se emplea en la práctica la unidad técnica de masa.) Unid,adesUSo La denominación proviene del nombre U.S. Customary Units, que se emplea en. Estados Unidos de América para designar a este antiguo sistema de unidades originado en Inglaterra. Aquel país • Mayores detalles pueden verse en la obra citada en Al.

I

El S.I.-Unidades

Asj

es prácticamente el único del mundo que no ha adoptado como obligatorio el SI. La institución denominada United States Metric Association (USMA), promueve intensamente el conocimiento y la adopción general del SI en todos los campos: educativos, comerciales, tecnológicos, etc. Estas unidades son también las de uso antiguo en ingeniería en los países de habla inglesa. Se fundan en la unidad gravitacional de nombre libra fuerza (Ibf), que es una unidad básica junto con el pie (pie) y el segundo(s).Su definición original era: Peso, en el vacío,de la libra (masa) (lb) al nivel del mar y a 45° de latitud, donde go = 32.1740 pie/52. Es decir,

a

1 Ibf = 1 lb· 32.1740 pie/s2 = 32.1740 lb· pie/s2

4

En la actualidad, el pie, la libra y la libra fuerza se definen en función de las unidades métricas: 1 pie

0.3048 m

1 lb

0.4536 kg

1 Ibf

0.4536 kgf = 4.4482 N

a 5 a 6 a 7

A continuación se expresan las equivalencias principales de las unidades US dentro del mismo sistema: 1 pulgada(plg)

=

1~ pie, 1 yarda (yd)

=

3 pie, 1 milla (mi)

=

5 280 pie

1 tonelada (ton) = 2000 lb, 1 kilolibra fuerza (kip) = 1 000 Ibf

a 8 a 9

La unidad de masa, denominada slug, tiene por definición: 1 slug =

1 Ibf 1 pie/s2

= 32.1740 lb '" 32.2 lb

a 10

Aproximadamente, 1 slug '" 32 lb. (Tampoco se emplea mucho en la práctica el slug.) La unidad de temperatura, el grado Fahrenheit (OF),es la fracción 1/180 del intervalo entre 32°F (p. congodel agua) y 212°F (p. eb. del agua). La conversión a grados Celsius (OC)es WC) = t(OF) - 32 1.8

% [t(OF)

- 32]

a

11

El S.I.-Unidades 111.Equivalencias

I

de unidades métricas usuales * LONGITUD

a 121m

= 10 dm = 100 cm '" 1000 mm = 1061'm = 109 nm = 10'2 pm

a 131m

= 10-3 km = 10-6 Mm = 10-9 Gm = 10-12 Tm = 10-;5 Pm

a 14 1 mm = 1O-31'm = 106nm = 109pm = 107Á(angstrom) = 10,omÁ AREA a 16 1 km2 = 106 m2

106 rnrn" 100 ha (hectárea)

a 171m3 = 103 dm3 a 18 1 km3 = 109 m3

106 cm3 = 103 L (litro) 10'2 L

a 151m2

= 104 cm2

VOLUMEN 10 hL (hectolitro)

MASA a 19 1 kg = 103 9 = 106 mg = 1091'g (microgramo) a 20 1 Mg = 103 kg = 1 t (tonelada métrica) a 21 1 utm = 9.8066 kg TIEMPO

a 22 1 s

103 ms = 1061's = 109 ns = 10'2 ps

a 23 1 h a 24 1 d

60 min = 3600 s

1

60

.

mm

24 h = 1440 min = 86400 s FUERZA

a 25 1 kgf = 9.8066 N = 10-3 tf (tonelada fuerza) a 26 1 dina = 10-5 N = 0.01 mN = 0.102 x 10-5 kgf • Para pasar de las unidades indicadas a la derecha del primer signo =. a la del primer término, se divide entre el factor expresado. Por ejemplo, 1 cm = 1~O m = 10-2m; 1 mm = 10-3 m; 1 km = 1~-3 m = 103 m 1 9 = 10-3 kg; 1 N =_l_8 kgf = 0.102 kgf 9. 1

El S.I.-Unidades

As

PRESION y ESFUERZO 1 kgf/cm2

98.066 kN/m2

;

1 b (bar) ;

105 Pa ;

1 torr (mm Hg) ;

133 Pa ;

1.02 kgf/cm2

1.33 x 10-3 b ;

1.33 mb

TRABAJO Y ENERGIA 9.8066 J ; 0.239 x 10-2 kcal (kilocaloría)

1 kgf· m ; 1 kcal ;

98.066 kPa

;

100 kPa ;

4 186.8 J ;

1 kW· h ;

3.6

4.187 kJ

106 J ;

X

3.6 MJ POTENCIA 9.81 X 10-3 kW

1 kgf . mis ; 9.8066 W ; 1 kcallh ;

1.16 W ;

IV. Equivalencias

1.16

métricas

de unidades inglesas

a 30 a 31 a 32 a 33 a 34

10-3 kW

X

a 27 a 28 a 29

usuales *

LONGITUD 1 pie (pie) ;

0.3048 m

1 pulgada (plg) ;

0.0254 m ;

25.4 mm (por definición)

1 yarda (yd) ; 0.9144 m 1 milla (mi) ;

1 609 m

1.609 km

1 milla náutica (nmi) ;

1 852 m ;

1 pie2 ;

929 cm2

1.852 km

a 35 a 36 a 37 a 38 a 39

AREA 0.0929 m2 ;

1 plg2 ; 6.452 1 yd2 ;

10-4 m2

X

0.8361 m2 ;

6.452 cm2

;

8 361 cm2

a 40 a 41 a 42

VOLUMEN 1 pie3 ;

0.0283 m3 ;

1 plg3 ;

1.6387

X

28.3 L

10-5 m3

1 galón (gal) ; 3.7854

X

;

16.387 cm3

10-3 m3 ;

3.785 L (líquidos)

* Se aplica el mismo procedimiento indicado para las unidades métricas en la interconversión de las unidades.

a 43 a 44 a 45

El S.I.-Unidades MASA a 46

1 lb = 0.4536 kg = 453.6 9

a 47

1 tonelada (ton)

a 48

1 slug = 14.594 kg

a 49

1 onza (oz)

=

=

=

907.18 kg

0.02835 kg

=

0.9072 t

28.35 9 FUERZA

=

4.4482 N

=

a 50

1 Ibf

a 51

1 kip = 4.4482 kN = 453.6 kgf

0.4536 kgf

a 52

1 tonf = 8.8964 kN = 907.2 kgf PRESION y ESFUERZO

a 53 1 Ibf/plg2 (psi) = 6.8947 kPa = 0.07031 kgf/cm2 a 54 1 Ibf/pie2(psf) = 47.8802 Pa = 4.8825 kgf/m2 a 55 1 kip/plg2 (ksi) = 6.8947 MPa = 70.3081 kgf/cm2 a 56 1 kip/pie2 (ksf) = 47.8802 kPa = 4.8825 x 103 kgf/m2 a 57 1 plg Hg = 3.3768 kPa = 33.768 mb = 25.4 torr = 0.0345 kgf/cm2 THABAJO y ENERGIA a 58 1 pie ·Ibf

=

1.3558 J

=

0.1382 kgf· m

a 59 1 Btu = 1 055 J = 1.0550 kJ = 0.252 kcal POTENCIA a 60 1 pie· Ibfls = 1.3558 W = 0.1382 kgf' mis a 61

1 caballo (hp) = 746 W = 0.746 kW

a 62

1 Btu/s = 1.0550 kW = 0.252 kcal/s

V. Equivalencias

de diversas

=

unidades

4.546 m3

=

a 63

1 gal (Gran Bretaña)

a 64

1 long ton (GB) = 2240 lb = 1016 kg

4.546 L

a 65

1 quilate (métrico) = 200 mg

I

Superficies

B1 I

Cuadrado

A=

b

a'

b

2

a

v'"A

b

3

d

a-..j2

J i

"/

/

"/

Ó "/ "/

"/ "/ "/

Rectángulo b

4

A =ab

b

5

d = va' + b'

---}/ .....

..,...

a

Paralelogramo b

6

A= a h= a bsen a

b

7

o, = V (a

+ h cot

b

8

d,=v(a

- heota)' + h'

b

9

a+b A =-·-h=mh 2

b 10

a +b m=-2

b 11

A =-2-=ps

+ h'

ah

= vs(s-a)(s-b)(s-c)

b 12

b 13

a)'

s

Superficies

B2 Triángulo equilátero

b 14

A

!:y13

b 15

h

.!!....j3

b 16

A

~"V10 8

b 17

a

_!_'V1O - 2V5 2

b 18

_!_'V6 + 2y'5 P 4 Construcción: AB = 0.5" BC = BO, CO=CE

4

2

+ 2V5

b 19

A

b 20

d

2-a2y13 2 2a 2 yl35""1.1555

b 22

5

yI3 d"" 0.866d

b 23

A

2 a 5 ",,0.83 5'

b 21

b 24

Pentágono regular

el

2

Octágono regular

25Vd2-5'

b 25

a

5 tan 22.5· '" 0.415 5

b 26

5

d cos 22.5 e '" 0.924 d

b 27

d

5 cos 22.5·

b 28

A

A, + Az + A,

'" 1.083s Polígono

b 29

a

n. + b h2 + b ha 2

I

Superficies

B3 Círculo

b 30

A

= _E.4 cf' = rrr"

b 31

"" 0.785d2

b 32

P=2rrr=rrd

b 33

A =:'!_ (D' - d") 4

b 34

=rr(d + b)b D-d

b 35

b=--

b 36

A ==~r2a=~r'!. 360 br

b 37

-

~

2

~ Seotor circular 2

2 -tt

b 38

b =--ra 180

b 39

¡;_ =....:!_ a (a = aen radianes) 180

b 40

s =.2rsen~

b 41 b 42 b 143

¡;_ : Ver fórmula b 39.

b 45

A=:'!_Dd='",Jb 4 Dtd P""1I"-2

b 47

Segmentocircular

2 h r' A = - (3h2+ 4s2) = - (.ii-sen a) 6s 2 s2. h r=-+2 8h a S a h =r(1 - COS2) =2tan4

b 44

b 46

~

=rr(a + b) [1

Elipse

1

+ 4A2

25 . 16384AS+ ...

].

1

1

+ 64A4+256)
a-b dondeA=-.a+ b

I

Cuerpos Cubo

e

1

V=a'

e 2

A =6a'

e 3

d=y3a

e 4

V=abc

e 5

A = 2(ab + a e + be)

e 6

d=ya'+b'+c'

Prisma rectangular (recto)

Prisma oblicuo

e 7 (Principio de Cavalieri)

Pirámide rectangular (recta)

e 8

Pirámide truncada e

9

e 10

V

h

="3 (Al + A, Al +A"

""h---2

+ ~)

I

Cuerpos Cilindro circular (recto) e 11

V =!!...d"h 4

e 12

A, =27!'rh

e 14

V ='!!_h (O' - 0"') 4

e 15

V

e 16

A, =1I"rg

Conocircular (recto) A2

=!!...," h 3

/

e 17

A, = 1I"r(r+ g)

e 18

9

e 19

A,: Al

e 20

V

e 21

A, =!!...g (O + d) =211"ph 2

e 22

9 =,/[(0

e 23

4 1 V ==-7rr:t=-7rd~ 3 6

=Vh" + ," = x': h"

=.!!_ h (O' + Dd + d") 12

- d)121'+h'

e 24

es 4.189r'

e 25

A =47!'r'=7!'d'

Esfera

•

Cuerpos

I Segmento

e

26

esférico

3

truncado

V =!!... h (3 a' + 3b' + h2) 6

c 27

A; =27rrh

e 28

Al =

e 29

V = !!... h (~S2

-tr

(Zona esférica)

(2 r h

6

+ a' + b2) + h2)

4

=7r h' (r c 30

e

!!_j

-<::

3

Al = 2 tt r h (Casquete

e 31

=!!... (S2 + 4

Segmento

esférico)

4h

.

L T~ /--+-r-_, ~

S

2)

esférico

.,

.

~r

Sector esférico

= 3..3 7rr' h

e 32

V

e

At =!!... r (4 h 2

33

+ s) Esfera con perforación

e

34

e 35

V =!!...h3 6 Al = 2 7rh (R + r)

Esfera con perforaciones

e

37

cilíndrica

A,

= 2 7rr (h + V r

2 -

h' / 4

)

cónicas

I

Cuerpos Toro (anillo de sección circular) e 38

v

c 39

A =7I'20d

e 40

V =_!!_d'h 4

c

V =.3..,2h 3

=:::"Od2 4

Cuña cilíndrica 41

c 42

A, =2,h

c

A. = A,

43

+ !!...,2 + !!..., v'f2+I12 2

2

Barril

e

44

v "" !!... h (2 02 + d2) 12

c

45

h V =6'(A1

q}j Prismatoide

+ A2 + 4A)

Esta fórmula se aplica también a los cuerpos de las partes C1 a C3. incluso para la esfera y sus porciones.

I

Algebra Potencias y raíces FORMULAS PARA POTENCIAS V RAICES General p . an ± q .

d

d

3a' + 4a' = 7a'

a" = (p ± q) an

.a4

== 8

a' _ == 88-2 a2

== a

2

d 3

a8

am

_= an

am-n

12

6

(a3)2 = (a2)3= a"2 = a6

d 4 d 5

I

Ejemplos

1 a-"=-

1

8-4=_

an

a'

d 6

d

7

4Vx+7Fx=11Fx

,

..

VTIfXl!1 = Vl6 x VlIT

d 8

d 9

d 10

. .

p

d 11 d 12

=

(

Va

v=a=iVa 'No es válida en algunos casos; p. ej..

V(- 2)2 = + 2

(V=-2r=-2 Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares.

' )

3

=a'

Algebra

D2

Potencias y raíces LOGARITMOS Base del sistema

Sistema d13

log,

Denominación

a

Logaritmo

de base a

d14

10glO

log'

10

Logaritmo

común

d15

log,

In

e

Logaritmo

natural

d 16

log2

lb

2

Logaritmo

binario

En loq,

x =b

se llaman:

a, base

x, loqaritmando b, logaritmo Reglas para el cálculo con logaritmos

d17

log (x· y)

d18

log

d19

log x'

d20

log

s.y

= log x + =Iogx-Iogy =n

Vx

log x

= _!_ n

log x

Igualdad entre expresiones

a" = b = e= In fl

d 21 d 22

de donde:

log b x = ---

log,o

d 24 d 25

In

d 30

de logaritmos

= 10g"l e . In x = 0.434294 . In x log,o x x= = 2.302585 . log ro x 10910 e

Base de los logaritmos naturales:

log 0.01 logO.1 109 1 109 10 log 100 Nota: El logaritmando 'También

I

x

Características d 26 d 27 d 28 d 29

con exponentes

log a

Transformación d 23

(de base cualquiera)

log y

=- 2

=-

1

e = 2.718 28183.

de logaritmos de base 10

o bien, o bien,

8 9

- 10 -10

O 1 2 (o antilogaritmo)

se usa la notación

Ig.

debe ser un valor numérico.

I

Algebra

D3

Potencias y raíces

TRANSFORMACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS USUALES d 31 d 32

(a ± b)" (a ± bl'l

=a

2

± 2 ab

+b

2

= a:¡ ± 3 a2 b + 3 a b ± ba (a + b)" = a" + _!2. a,,-I b + n(n-1) a'~2 b2 1 2 + n(n - 1) (n - 2) a"-3 b3 + '" + b"

d 33

2

I

1•2 .3

d 34 d 35 d 36 d 37 d38 d39

-

+ + C)2 = a + 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c + c)2 = a 2ab + 2ac + b 2bc + c a2 - b = (a + b) (a - b) al! + b = (a + b) (a ab + b a b:l = (a - b) (a2 + ab + b2) an - b" = (a - b) (a"-l + a"oo!!b + a,,-a b + ... + abn-2 + b

(a b (a - b

2

2

2 -

2 -

2

2

3

2 -

2)

3 -

2

tH)

Ecuación cuadrática o de segundo grada

d 40

Forma normal

d 41

Raíces

d 42

Teorema de Vieta

X2

+ px + q = O XI;X2=-.!!_±~ p

=-

2 (Xl

4

+ X2); q = Xl

'X2

Cálculo aritmético de la raíz cuadrada Explicación Ejemplo Los valores entre paréntesis se refieren al ejemplo.

V 2161 43.69 r,===-~P"

a) Hacia la derecha y hacia la izquierda del punto decfmal formar grupos de dos cifras. 543 : 86 I b) Obtener la raíz cuadrada del primer grupo 516 :-~ (21). Registrar como primera cifra del resultado -z7 69 : 923 el número entero así obtenido (4). elevarlo al 2769 cuadrado (16) y restarlo del primer grupo para --O tener un residuo(5). e) Bajar el siguiente grupo (43). y dividir entre el doble del resultado obtenido hasta el momento (2 X4 = 8) las cifras anteriores menos la última (54: 8 = 6). Registrar el cociente (6) como siguiente cifra de la raíz. Agregar este número al doble del resultado anterior (8) Multiplicar el divisor así obtenido (86) por la última cifra del resultado (6) (516 = 86 X 6). Calcular la diferencia (27). d) Repetir el procedimiento hasta terminar. _

.

I

Determinación aproximada de una raíz d 43

Si x

= V"A entonces x = 2_n [In -

1) Xo

+ ~_l XO,,-l J

donde Xo es el valor estimado
Algebra Teorema del binomio BINOMIO DE NEWTON

iI d 44

(a

+ b)" = (~) a" +

o

a"O'. b

+ (;)

a,,02• b2

+ (;)

a"o;¡.b:1+ ...

n tiene que ser un número entero

+1

n(n - 1) (n - 2) ... n-k 1 ·2·3 d45

(a +b)4

.. k

4

4·3

4·3·2

= 1 a +,a·o'.b +Wa4- ·b + ~aH = a + 4a: b + 6a b + 4a . b" + b 4

4

l

1 •

2 •

·b:l+bq

2

1

4

Resolución esquemática. Coeficientes por el Triángulo de Pascal d 46

(a+b)"

d 47

(a + b)'

d 48

(a +b)~

d 49 d 50

+ b)3 (a + b)4

d 51

(a+b)"

d 52

(a + b)6

2 3

(a

4 5 6

3 4·

6 10

15

5

10 15

20

6

Se continúa de manera que cada renglón empiece y termine en 1. Los números restantes son la suma de los dos números situados inmediatamente arriba a la derecha y a la izquierda. Exponentes La suma de los exponentes de a y b en cada término es igual al exponente n del binomio. Cuando disminuye el exponente de a aumenta el de b. Signos En (a + b) todos son positivos. En (a - b) se empieza con + y luego se van alternando. Ejemplos d 53

(a + b)"

d 54

(a -

b)"

= aro+ 5a b + 10a: b~ + 10al!bl! + 5ab + b" = (+) aro - 5a b + 10a;¡bl! - 10a b + 5ab b 4

4

1

4

2

3

4 -

5

b.mutaciones.~!~n~c~!'!

I mi d55

y

ordenaciones

O5

PERMUTACIONES Número de permutaciones de n elementos*: P;

= n! = 1 x 2 x 3,

, .x n

Ejemplo: Los n = 3 elementos a, b, c pueden permutarse de las seis maneras siguientes: abc bac cab acb bca cba d56

P« = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 permutaciones Caso especial: Si al permutar n elementos existen n, elementos del tipo 1, n2 elementos tipo 2, .. " y nk elementos del tipo k, entonces:

mi d 57 Ejemplo: Los n = 3 elementos a, a, b pueden permutarse de tres maneras diferentes: aab aba baa En este caso n d 58,

= 3, nI = 2, n2 = 1; por lo que 3!

1x 2x 3

P« 2 = 2! x 1! = 1 x 2 x 1

3 permutaciones

COMBINACIONES V ORDENACIONES El número de modos diferentes en que pueden asociarse los elementos de un conjunto de n de ellos tomando k cada vez, sin tener en cuenta su orden, se llama número de combinaciones. Hay que especificar si los elementos se repiten o no. Considerando el orden de los elementos se habla de ordenaciones. La tabla D 6 presenta las fórmulas de combinaciones y ordenaciones, con y sin repetición de elementos.

* n! recibe el nombre de factorial n.

~~ oHftil

a.~

~HftiI

Número de ordenaclones

Número de combinaciones

I

sin

con

repetición

Fórmulas

e: =__k! (n-k)! n_! _=( kn )1 I

Significado de los símbolos Datos

en

Posibilidades

rc~=

e

~~ (OHftiI

I

·sin

con

repetición

+ kk-1)

o: = C~· r, = G) k~ n!

= (n-k)!

r con repetición

C : número de combinaciones posibles O : número de ordenaciones posibles n : número de elementos dados k : número de elementos seleccíonados de entre n elementos dados

n = 3 elementos: a, b, c

k

= 2 elementos seleccionados del conjunto de 3 ab ae be

aa ab ae bb bc ce

ab ae ba be ea eb

aa ab ae ba bb be ea eb ee

o r--------+-------------------+----------------~----------------+_--------~ ,. a_(3+2-1) a. 2! C2 2 E Cálculo del 3! 3! al número de =9 i.ü posibi(3 - 2)! 1! lidades =1X2X3=6 =~=6 1x 2 1 ObservaLos grupos ab y be, por ejemplo. Los grupos ab y be, por ejemplo. pertenecen a ordenaciones difeciones pertenecen a la misma combinación rentes

o; = G)

=G)

e

Algebra

-

d63

mm

Determinantes Determinantes de dos renglones o filas: au

.x

a21 •

x

+ +

a12 • a22 •

Y = r, Y=

'2

I

I

Poner ía columna de r en vez de la columna de x columna de y

d64

Determinantes de tres renglones (regla de Sarrus): d 65

al1 . x + a12 • Y + ala· Z = r 1 a21 • x + a22 • Y + a23 • Z = r 2 aSl· x + aa2 . Y + aaa· Z = fa

m d66

= an·

a22 • aaa + a12 • a28 ·aSl +a13 • a21 • aa2 - aJa· a22 • aSl

m

d67

Desarrollar D2 y D3 de igual manera, sustituyendo la columna de yo por la de r; por lo tanto,

d68

DI x=D

Da

z=D

z

Algebra

Da

Determinantes Determinantes de más de dos renglones:

(En un determinante de más de 3 renglones también puede aplicarse la regla de Sarrus, de acuerdo con D 7). Formar una matriz y mediante adición o sustracción de dos o más renglones, transformados previamente por multiplicación o división, introducir elementos nulos. Desarrollar el determinante por renglones o columnas con el mayor número de elementos nulos, e introducir signos alternadamente (comenzar con + en a,,). Ejemplo: + d 69

+

....... a:.n-- - _. -.-a22----

o ••

-

o:+

823'·' -- - "?24-".

- - - -.-831-- --- -- ••8:'12----- - - .a1:I:::I--·-_.'-'~l:I4

.....-

:+

? Desarrollo para la cuarta columna:

d 70

Debido a que no se pueden introducir ceros como en el caso anterior, puede hacerse el siguiente desarrollo. Por ejemplo, con los primeros renglones: d 71

O = a.. ( a11 1 a"

a",

~ ~

¡_

al21 a.. a33 j

~~

+ a"

¡~~

¡)

aal aS2

-a", ( ... )

Para los determinantes inferiores O" O2, .•. , introducir las columnas de rde acuerdo con la página D 7 Y luego desarrollar como el determinante O. Obtención de las n incógnitas u" ... , un con las fórmulas: d 72

O,

ul=7i'

O2

O.

u2=o, ... , u'=j)

Nota: Para un determinante de n renglones se hará el desarrollo hasta

obtener determinantes de tres renglones.

I

Algebra Series

iI d 73 d 74

d 75

SERIE ARITMETICA La sucesión 1, 4, 7, 10, etc., se llama progresión aritmética. (La diferencia d entre dos términos consecutivos es constante.) La suma de una progresión se llama serie. n n (n - 1) d sn = (a, + an) = a.n + 2 en donde d = an - an_,

2"

an = a, + (n -

1)d Media aritmética: cada término am de una progresión aritmética es la media aritmética de sus términos adyacentes am _ , y am + tAsí, el m-ésimo término es am =

a

+ a 2

m -,

para

m+ ,

1
. .. 4+ 10 (por eíemplo, en la sene antenor a3 = -2= 7).

mi d 76 d77

SERIE GEOMETRICA La sucesión 1,2,4, 8, etc., se llama progresión geométrica. (El cociente q de dos términos consecutivos es constante y se llama "razón" de la serie.) qn _ 1 q • an - a, an sn=a,~=~ para q=~

an = a,. qn-' Media geométrica: cada término am de una serie geométrica es la media geométrica de sus términos adyacentes am _ , y am + 1.

d 78

Así, el m-ésimo término es am = ~am _, • am + 1 (por ejemplo, en la serie anterior Para las series geométricas guientes ecuaciones:

para

1
= 4)

infinitas (n ~

an = lím a, = O;

d 79

a3 = ~ 00,

Iql < 1), se aplican las si-

sn = lím s, = a, _1 1-q

SERIE GEOMETRICA DECIMAL Aplicación al cálculo de series normalizadas de números. El cociente de dos términos consecutivos se llama "relación progresiva ¡p". d80

¡p = ~ b ~ 1, entero. b determina la cantidad de términos o números normalizados de una serie en una década. Los valores de los términos que se deben redondear se calculan de acuerdo con d 77: an = a, (N)n-l

d 81 Comenzando con

a,

1

o

Ejemplos:

a.: término inicial an: término final d: diferencia de dos términos consecutivos

= an(10,/b)n-l

a, = 10

o

a, = 100

n = 1 ... b o ...

nota serie E internacional, ver Z 2 serie DIN, ver A' 1 n: cantidad de términos sn: suma hasta n términos q: cocientede dos términos consecutivos

I

Algebra Series SERIE BINOMICA d82

o

BINOMIAL

o o o

f(x)= (1± x)a= 1 ±

x+ x' ± x' + ... aes un númerocualquiera.positivoo negativo.entero o fraccionario. Fórmuladel coeficientebinómico.

e)=

a(a-1) (a- 2) (a- 3) ... (a- n

+ 1)

1· 2·3 ... ·n

E;emplos: d 83

para

1 --=(1±x¡-' 1±x

Ixl < 1

,

d84

y 1 ± x = (1 ± x)"

d85

1 ---=(1

1

_.! ±x)'

y1±x

1

1

=1±-x __ X2±_X3_ 2 8 16 1 3 5 =1 +2"x+ax'+16x3+

...

[x ] < 1

...

[x ] < 1

SERIE DE TAYLOR (SERIE DE MACLAURIN) d 86

d 87

f(x)= f(a)+

t' (a)

11(x-

t"

(a)

a)+ -2-! - (x- al" + ...

Deaquíquela formade Maclaurin.cuandoa = O es r (01 t" (O) . f(x)=f(O)+1Ix+-2-!-x'+ .. '. para

Eiempios:

d88 d89 d 90

x2 x3 e'= 1+11+21+31 + ... X • Ina (x . Ina)' (x. Inal" a' = 1+ -1-! - + --2-' - + --3-! - + ... X

Inx=2rx-i

Lx + 1 Xi

d 91 d 92

In(1+ x) = x tn 2 = 1 -

+2_e-1)"+2_(X-1),,+,.]' 3 x+ 1 5 x+ 1 Xli

2" +"3 1

1

+

x"

x5

1

1

"4 + 5" - . ,.

toda

x toda x x>O -+---1< x x~+ 1

2" +"3 - "4 + 5" - ... (Continúaen D 11)

I

Algebra Series SERIE DE TAYLOR

(Continuación)

para toda

E;emplos:

I

x

d 94 d 95

x2

COSX=1-

1

d 97 d 98

d 100 d 101 d 102

toda

...

x

2

17

Ixl <..!!: 2

1

1

2

O < Ix i

cotx=---x--x'---x·... x345945 1 x' 1· 3 x· 1 ·3· 5 x sen-Ix= x + 23" + NS + ~-=¡ + ...

Ixl < 'Ir

7

Ix I~

'Ir

cos-ix =- - sen+x 2

1

Ixl~l

xl}

Xii

d 99

x6

tanx = x + 3" x·+ 15x· + 3i5x' + ... 1

d 96

x4

2i+4i--¡¡¡+

x7

x9

tan-'x=x-3"+S--=¡+9-"

Ixl ~

.

1

cot? x = :f... - tan- x 1

2

x3

x5

x7

x9

toda

X2

x4

x6

xl:!

toda

senhx =x +31+ 51+ 7!+ 91+'"

x

cosh x = 1 + 21+41+ 61+ ¡¡¡-+ ... 1

2

17

1

2

d 103

tanhx = x - 3x'+15x5 - 3i5X7 + ...

d 104

cothx =-;+3"x-"45.X8 +"945x'- ...

1

1

1 xa

1·3 x"

1 ·3 . 5 x7

x

Ixl<~ 2

d 105

senh-lx=x-23+N5-~67+"

d 106

1 1 1·31 1·3·5 1 cosh+x = In 2 x - --- ---- ----2 2 x' 2 . 4 4 x' 2 . 4 . 6 6 x·

x!

X!\'

x7

tanh-'• =x+"3+"5+ 7+9+'

d 108

coth-'x= -; + 3;3 + 5x' + 7il + .

1

1

+- ..

x"

d 107

1

Ixl < 1

.

Ixl < 1 1

Ixl>

1

Algebra Series Generalidades: Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad - 11" :5 x :5 11" en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma (x =

SERIES DE FOURIER

r

I o

lit

X

"~,tI:

d 109

a. 00 =- + ~ la. cos (nx)

+ b; sen (nx)] .=i Los coeficientes de cada término se forman como sigue: f(x)

2

a. = -1

d 110

11"

I

S"

f(x) cos (kx) dx

"

b; = -1

11"

S"

f(x) sen (kx)

~

ax

para k = O,1, 2, ... , en uno y otro caso Simplificación del cálculo de los coeficientes: Funciones pares: f(x) = f(a. =

d 111

~i;(X) o

x)

cos (kx) dx

11"

para k = O, 1, 2, ... d 112

b,=O Funciones impares: f(x)

=-

f(-

d 113

2f"

b; = 7f

d 114

f(x) sen (kx) dx

o

para k = O, 1, 2, ... Función

d115

Sif(x)=f(-x)y

d 116

f(_!'

d 117

a,

2

+ x) = -

== ~

d 118 d119

rV"\ /\ ~ tIlOV t

I

a

x

Función impar

par

Si f(x) = - f(- xl y f(..!. - x) entonces

2

f'(¡~) cos (kx)dx

11" "

x)

para k = 1, 3, 5, . a, = Opara k = O,2, 4, .. b,=Oparak=1,2,3,.

11"

f(2 b.

+ x) = -

= -4

11"

f(2 - x) entonces

S'/2

f(x) sen (kx) dx

11" o

para k

= 1,3, 5,

a,. = Opara k = O,1, 2, b, = Opara k = 2, 4, 6,

. . .

Algebra Series TABLAS

d 120

y =

d 121

Y

DE DESARROLLO

8

para O < x < 7r

8

para 7r<

=-

X

EN SERIES DE FOURIER

< 27r I

Jt

I

~

liI

d123

y=

d124

Y=-8

8

'--

,o

x

¡¡

liT

48 ~ 1 L.....I Y = - COSa sen x + - cos (30) sen (3x) 7r 3

d 125

+

=8

t

cos (5a) sen (5x) + ..

para a < x < 27r- a

d 126

y

d 127

y = 1(211"

J

.., y

+ xl

I

I

x

3lt

mil

28 [7r -a y=--7r 2

d 128

sen (7r-a) casx 1

sen 3

+ sen 2 (7r-a)

(7r-a)

3

3]x+ ...

cas

cas

(2 )

x

(3 )

para O:::;; x:::;; b

Y=8xlb

y =8 para b :::;; x :::;; 7r- b y = 8(7r- x)lb para 7r- b:::;; x:::;; 7r

mi

d 132

Y

= --4

8

[1-

i(

n-b

sen b sen x + -1 sen (3bl sen (3x)

7rbP

32

+..!.52 sen (5b)

]

sen (Sx)+ ...

8X

d 133

y =~

d 134

y = 1(27r+ xl

d 135

i(

paraa
I

mi

I

para7r+a
mi

d 129 d 130 d 131

13J!

I

J ... _

48 [ sen (3 x) sen (5 x) Y="1r senx+--3--+--S--+

d 122

12Jt

para O < x < 27r x

I

Algebra Series d 136

d 137 d 138

SERIES DE FOURIER (Continuación) para O:::::;x :::::;7T/2 para-r/z :::::; x :::::; 7T X)/7T --+-~~~--~~~~~

y = 2axhr y = 2a(7Ty f(7T+ X)

=-

x

mi

d 139 d 140 d 141 d 142

x

iI

d 143 d 144 d 145 d 146

=

para O:::::;x:::::; 7T para 7T:::::;X :::::;27T

y a sen x y= = a sen x y = f(7T+ x)

x

mi

d 147

d 149

=O Y = a sen (x

d 150

y

d 148

para O :::::;x :::::;7T/2

y

= f(27T+

-

x)

2a

IiId 151

y

f) para ~:::::; x :::::;~

= -:;

__ ~+-~-.-~_"'""=

..!.. _

!!.... cos x + cos (2x)

2

4

22

-

1

2

_

2

2

cos (4x) 42 - 1

__ ±__

!{!,

2

+ cos (6x) 62

-

x

_ ...

1

d 152 d 153

mi d 154 d 155 d 156

mi

d 157

Y=8X/7T y f(27T+

=

paraO:::::;x:::::;7T x)

YVJ: °1~ / I

;

1m=-

•

I

Algebra

D 15

Números complelos

Eje imaginario

Generalidades: z=rel
=argumento (áng.en rads.) de z (a y b son reales) d 158

I

i =v'="T

d 159

P=+

d 160

P=-1

i-1=-

i

d 161

i3=-i

d 162

i4=+

d 163

i5=+i

i

i-2= -1 j-3= + i i.-4=+1

1

i-5=_

i

etc. Nota: Paraevitar confusiones. en la electrotecnia se sustituye ¡por ¡.

iI

En coordenadascartesianas:

d 164

z=a

d 165

z, +

d 166

z, - Z2

= (al -

d 167

z, •

= (al a2 -

Z2

Z2

= (al + a2) + i(bl

+ib

+b

2}

+ i(b¡ - b2) b b2) + i(a1 b2 + a2b¡}

a::)

1

d 168

+ b = (a + ib) (a -

d 169

a2

d 170

va±

2

ib)

.Ib= ~a+va2+b2 2

Si al = a2 Yb¡ = b2• entonces z¡ =

+ .¡~-a+V2a2+b2

-

~-

Algebra Números complejos

mi

En coordenadas

polares:

= rIcos

d 171

z

d 172

(=

cp

+ i . sen CP) =.a + ib

+va +b 2

2

d 173

d 174

sen

I

cp=~

a

coscp =-

tan cp =-

r

ID

b

a

d 175 d 176

mi

zn

d 177

=

(n

(cos

....

d 178

Vz = Ivrl

d 179

VT =

ncp+

i . sen

(CP+271'k 'COS

--n--

271'k

n

·cos --

ncp) (n > O. entero) --n--

271'k + i . sen --

n

1>+271'1<)

+ i . sen

(raíz n-ésima de la unidad)

n

En las fórmulas d 178 Y d '179 se tiene k = 0, 1, 2, ... , d 180

e1ct>=cos + i· sen

d 181

e-1cf> = cos cp-

d 182

I e-1cf>1= V cos-

d 183

cos

d184

rs. ='2 y

i . sen

cos cp + i • sen

+ sen2= 1 sen

Inz=lnr+i(cp+27rk) Si

(k=O.±1.±2

=

1 2+ 271'k. entonces z, = Z2

Nota: cf> es el ángulo en radianes (arco) k es un número entero cualquiera.

•... )

n-

1

Algebra Aplicación de la serie geométrica Cálculo del interés compuesto

iI d 185

k"

= k ••

q"

log-k" k. n=-logq

d 186

Cálculo de rendimientos

iI

k

d 187

n

= ka • qn _

r' q qn q _

(ka. q" -

d 188

W

d 189

n Si k"

1

1

k,)(q -

1)

-1)q

r. q-kn(q - 1) log-___:_-_;_:_.:....:....._r. q-ko(q - 1) log q

= O se obtendrán las fórmulas de amortización. Cálculo de depósitos

iii

Fórmulas para cuentas de ahorro

d 190

q"-1 k..=k •. q"+Z-q-1

d 191

Z

d 192

(k,., - k •• q") (q - 1)

n

q"-1 k,.,(q-1)+z log _;;_...:..:..._..:......:k. (q - 1) + Z logq

Significado de los símbolos k. Capital inicial k" Capital a los n años Anualidad z Depósito

n Número de años p Tipo de interés, en fracción (p. ej., 0.06. o sea, 6%) q =1 +p

•

Algebra Resolución geométrica de ecuaciones b.c x=--

d 193

a

I

a:b=c:x

d 194

x = cuarta proporcional b' a

x =-

d 195

~

a:b=b:x

d196

~

x = tercera proporcional d 197

x=~

d 198

a:x=x:b x = media proporcional x' = a2 + b'

d 199 d 200

x =Va2+b2

por tanto,

x = hipotenusade un triángulo rectángulo.

d 201

x = altura de un triángulo equilátero. d 202 d 203

a : X = X : (a - x) x = porción mayor de un segmento

dividido Según la sección áurea: d 204

x=~(

2

V5 -1)

""0.618a

Trigonometría Fundamentos MEDIDA DE ANGULOS PLANOS Representación:

•

La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces. respectivamente. por a y &. Unidades comunes (sexagesimales): segundo (").

e

l'

= 60';

grado

n. minuto

(').

l' = 60"

Unidad de arco: 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un' arco también unitario. Por lo tanto. e

2

1 rad

1m = '"'im = 1 (número

.'

adimensiona

I)

Con frecuencia no se indica especificamente siguiente tabla.

e 3

a

O'

30'

45'

50'

75'

la unidad. como en la

90'

180'

270'

360'

7T/6 7T/4 7T/3 57T/12 7T/2 7T 37T/2 27T ar_--_+----,_----+---~----_+----+_----r_--_+----O 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28 O

EQuivalencias. Por definición: e

4

360' = 27T rad 1°= ~rad

180

e 5

o=____:!__a= 180

e

6

a = arc a =

__ a__ 57.2967 l' longitud de arco radio

= ~180 rad = 0.017453 roo

1 rad

= --180' = 57.2967' 7T

Trigonometría Fundamentos Longitud de un arco La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central (en radianes) de la circunferencia:

a e

7

I

b=réi Funciones trigonométricas. sena

= -----hipotenusa

e

cos a

= ------hipotenusa

9

e 10

a

cateto opuesto

e 8

En un triángulo rectánguio:

e

cateto adyacente

cat. op.

=---

a

0°

30·

sen a COSa tan a cot a

O 1 O

0.500 0.866 0.577 1.732

cat. ady.

= -; b

~ 1

a

tana

b e

cota

= --;

tana

e 1

seca

= --

1

COSa

; COSeCa=--

sena

Valores de las funciones de ángulos importantes

m e 11 e 12

00

45° 0.707 0.707 1.000 1.000

60°

75°

90°

0.866 0.500 1.732 0.577

0.966 0.259 3.732 0.268

1 O

180° O -1 O

O

Relaciones entre las funciones seno y coseno Ecuaciones fundamentales: Función seno y Función coseno y

y

= A sen (ka-ep) = A cos (ka- ep)

."""'.

e 13 27r

'.._.,'

e 14

o bien. seno con defasamiento

ep

= - !!. 2

270° 360° -1 O O 1 00 O 00 O

Trigonometría

E3

Variaciones en los cuadrantes e 15 e 16 e17 e 18

sen ( 900-a)=+cosa cos ( )=+sena tan ( )=+col ( COI ) =+Ian

a a

sen cos tan col

( 90°+ ( ( (

e 19 e20 e 21 e 22

sen (180°-a) cos ( tan ( COI (

= + sen a )=-COSa ) =-Ian a )=-col a

sen cos lan col

( 180° + a) = - sen a ., )=-cosa ( ( ) =+18n a ( )=+col a

e e e e

23 24 25 26

sen cos lan col

(270°-a) = - COSa ( )=-sena ( )=+col a ( ) =+Ian a

sen cos lan col

( 270° + a)=-cosa ( .. )=+sena ( )=-col a ( ) =-Ian a

e 27 e 28 e29 e30

sen cos tan col

(360·-a) = - sen a ( )=+coSa ( ) =-Ian a ( l=-col a

sen ( 360° + a)=+sena cos ( .. )=+COSa tan ( ) =+Ian a COI( )=+col a

e 31 e32 e33 e34

sen cos tan COI +y

-a

sen (a± cos( tan (a± col (

)=-sena )=+COSa ) =-Ian a )=-col a

a)=+cosa )=-sena )=-col ) =-Ian

a a

n ,360°)= + sen a .. )=+COSa n ,180°)= + tan a .. )=+CÓI a

\

\ e:t:Ji \ S!

",

,//

,

~,/

\." ......... :"

,-,"

! \" 'o \

ISo" 11'

'"

,,/

a

",

e

\ ",:

,:\

",1 \,

i! \, 360" 211'

•

Trigonometría Transformaciones

trigonométricas

RELACIONES FUNDAMENTALES

e 35 e 36

sen'a+

tana· cota=

COS'a= 1

1 + tan'a = ---

1

1 + cot'a=---

cOS2cr

e 37 e38

e 39 e 40

1 1 sen-o

Funciones de sumas y dilerencias de ángulos sen (a±(3) = sena· cos{3 ± COSa·sen {3 cos (a± (3) = COSa·COS{3:¡:seno . sen {3 tana ± tan {3 tan (a± f3)= ""7"----'-1 +Iana· tan s cot«. cot (3 :¡: 1 cot la ± (3) = --:----'-cot s ± COta Operaciones con funciones trigonométricas

e

41

e 42 e43

e44

2 sen a+f3 2 2cos a+f3 sena-senf3= 2 2cos a+p cos ce-]- cos s = 2 a+{3 COSa- COSP = - 2 sen --2sena+

sen

s=

cos a-p 2 sen a-p 2 cos a-p 2 a-p sen --2-

e 47

sen (a±p) tan a ± tan f3= ----COSa· COS{3 sen (P ±a) cot a± cot {3= --.::..._-_;_ sena· sen 11 1 1 sena· cosf3=2sen (a+ P) + 2sen

e48

1 1 COSa· cosP=2cos(a+p)+2cos(a-ll)

e49

1 1 sen a . sen {3= 2 cos (a- P) - 2 cos (a+ P)

eSO

tana+ tan a . tanp=----cota+

e

45

e 46

e

51

e52

tan s COIp

(a- (3)

tana-

tanp

cota- cot s cota- cotp cot a . col P = cola + COIp tan o-} tan p tana - tan p cota+ tan p 'cota - tan p cot a· tan p = = - -:----~ tana+cotp lana-cotp

•

Trigonometría Transformaciones

Es

trigonométricas

RELACIONES ENTRE FUNCIONES DE ANGULO SIMPLE, ANGULO DOBLE y ANGULO MITAD

==

sena e53

cos (90' -a)

e56

e 57 e58

tana=

sen (90' -a)

cot (90' -a)

a a 2sen-·cos2 2 tana y1 + tan'a y cOS'a - cos 2a

cot a

tan a

a

sena.

COSa

2 2 cota y1 + cot-o

cosa

sena COSa y1 - COS'a

a

cos- - - sen2 -~

1 - 2 sen'-

)1- cos2a

a

2

sena

~ J___2_-1

j

2 e59

1 - tan'.:!.. 2

1 + tan'.:!..

1 + tan'"2

2

a

2

sen 2a= 2 sena· COSa

2 tan.:!.. 2 1 - tan'-

cos2a= COS'a - sen' a

1 - 2 sen'a sen-= 2

j1 2

e66

2 cot.:!.. 2

2

cot2a=

2 tana

cOl'a - 1

1 - tan' a

2cota 1 1 ---<:ota - -tana 2 2

cOIa - tana

a cot-= 2

a

tan-= 2

sen a 1 + COSa 1 - COSa

e64 j1-cosa

a

2

a cos-= 2

a

e65

sen'a sena

coF~-1 2

tan2a=

2cos'a-1

e63

j1-

+cos'a

1

sen=o

y1 +tan'a

2 tan.:!..

e62

} __ 1 __

COS:!Q

COSa

y 1 + cot=o

e60

e 61

cota= tan (90' -a)

y1 - sen- o

e54

e 55

cosa=

+ COSa 2

sen a 1-cosa 1 + COSa sena

sena

~

j1 1 +COSa

+ COSa 1 - COSa

•

Trigonometría Teoremas

Es

o leyes principales

TRIANGULO (OBLICUANGULO)

I Teorema de los senos

=

e 67

sen a : sen f3 : sen "1 a : b : c b c sen a sen a sen f3 sen "1

e68

a

= --

e 69

b

= --sena

e 70

c

= ---

a

a

= --sena

sen f3 SAn"1

c

= --sen y b

= --sen fJ

sen ,8 sen y

Teorema de los cosenos

e 71 e 72 e 73

a2

= b + c" + a" = a" + b" 2

b2 = c" c"

2 bc cos a 2 ac cos f3 2 ab cos y

(El coseno es negativo en el caso de ángulos obtusos) Teorema de las tangentes

e

74

I

tan~

:~~ =

a~,8

tan-2-

a+y

a+c a-c

tan-2-

tan a -"1 2

tan fJ+"I 2

b+c _ b-c -

,8-"1

tan-2-

Relaciones para el ángulo mitad

e 75

m

tan!!.... 2

= _Ps- a

tan!!_ =_P2 s- b

Area, radios de las circunferencias semi perímetro

e77

= "21 bc sen a = "21 ac sen,8 = 2""1 ab sen y A = v' s(s - a) (s - b) (s - c) = p s

e 78

p=

e 79

f=---

e

s=

e 76

80

A

j

(S -

al Is - b) (s - c)

s

1 a 2 sena

a+b+c 2

1

c

b

2 sen,8

"1

tan-=-2 inscrita y circunscrita,

="'2

seny

p

s- c y

Trigonometría Funciones Inversas Notaciones: sen= x

= arc

sen x

= áng

sen x

Definición: Función y

cos-I Equivalente

a

= sen y

x

=

X

x = cos y

x

= tan y

x = cot y

Intervalo de definición Valor principal"" en el Intervalo

n

-2~ V ~+2

Relaciones fundamentales

cos"

X

== !!.... - sen- x I

2

Relaciones entre funciones • Para x positiva

inversas

(? O)

cos-I X ==

serr ' x =

sen-

1 __

X__

v'1+X' •

VT=X'

tan-I----

corl

__

1__

V1+X'

~

X__

·cot-1_

2

1

x

1

tan-Ix

O) se tiene

«

- sen-1 x

sen-' (- x) tan-' (- x)

- tan-\ x

I

cos"" (- x) = n - cos= x cor= (- x] = .".- cor= x

Teorema de adición

sen:"

I--

~OS-, __ 1__

x

v'T"="X Para x negativa

5en-

= = b=

a :±csen= b

sen " (a ~

cos " a :±ccos " b

cos " (a b :¡:

tan"? a :±ctan-'

tan=

a:±c b 1 :¡: ab

cor ' a :±C. cor ' b = cot' ab :¡: 1 b:±:a

:±cb VT=ii'1

v'"'f=82 . ..¡-r-=t}2)

I

Geometría analítica Recta y triángulo RECTA

f

2

=

+b

Ecuación

y

Pendiente

m=---=tana

mx

Y~ - YI XI

X2 -

Forma simétrica para a =t= O y b =t= O f

3

f

4

I

Y

X

;-+b-1=0 Pendiente de la perpendicular AB -1 m.H'=--

m

yd y P~ (x~.

Forma en función de dos puntos: PI (XI.

Y2)

5

f

X -

XI

yd

En función del punto PI (XI.

6

idf

7

y la pendiente m

Y - YI = m (x - XI) Distancia entre dos puntos Punto medio entre dos puntos

id

f

_

XI

I

+ X,

x"'---2--

8

_

+ Y2

YI

Ym---2-(ver la figura del triángulo)

Punto de intersección de dos rectas f

9

iif

10

X3

I

= b2 - bl ml-m~

Y:t

= mi

tan cf> =

Angulo entre dos rectas (cf»:

Xa

1

+ b, = m; X + bz 3

m; - mi + m; . mi

(ver la figUra) di' I e tnangu o

TRIANGULO

mi

f 11

Centroide (punto Gl

f 12

f 13

Xo

=

Area

3

YI

Yo= A

+ Y~ + y" 3

(XI Y~ -

X2

Yd

+ ()(~ Ya -

Xa yz)

2

+ (Xa YI -

XI Ya)

Geometría analítica Circunferencia - Parábola CIRCUNFERENCIA

Ecuaciones de la circunferencia Centro en el origen en otra posición f 14

x'

+ y' =,'

+ (y _

(x - x,,)'

Yo)'

="

I

Ecuaciónfundamental f 15

x'

+ y' + Ax + By + e = o

Radio f 16

J x,,, + y,.'

r=

e

-

Coordenadasdel centro e f 17

x" =

-

% I

=- ~

y"

TangenteT en el punto PI (XI. y¡) f 18

r' y=

(x - x,,) (XI YI -

x,,)

y"

+ y" PARABOLA

Ecuacionesde la parábola (en esta rorma pueden apreciarsedirectamente la posicióndel vértice y el parámetrop)

f 19 t 20

Vértice en otra posición en el origen (x _ X,,)2 = X2 = 2py 2p(y - Yo) x, = - 2py (x _ X,,)2 = - 2p(y - Yo) Ecuaciónfundamental

f 21 f 22

y = Ax"

+ Bx + e

Radio de curvatura

f 23 TangenteT en PI (XI. y,) f 24

y

2 (y, - Yo) (x - x¡) Xl -

Xo

+ y,

apertura hacia arriba

abaja

F. foco L: directriz S. tangente en el vértice

Geometría analítica Hipérbola

¡F3

HIPERBOLA

Ecuacionesde la hipérbola Puntode intersecciónde las asíntotas en otra posición en el origen (y -

(x - xo)'

Ecuaciónlundamental I 26

Yo)'

.:::-~-1=0 --------1=o a' b' a' b'

I 25

Ax'

y

+ By' + ex + Dy + E = o

Propiedadbásica I 27

F,P - F,P = 2a Distancia local

I 28

c

=

va' + b'

Pendientede las asíntotas I 29

b tana = m = ± a b' Radioen el vértice p = a

I 30

Tangente T en PI (XI. YI)

(parámetro) b'

y

=:;;;;'

HIPERBOLA

f31

x.y

= e'

(x - x,,) (y - Yo) = c'

Radiode curvatura I 33

p = a

(parámetro)

xo) (x - x" YI - Yo

EQUILATERA

En las hipérbolasequiláterasa = b. por lo tanto: Pendientede las asintotas tana=rn=±l (a=45°) Ecuaciones(cuando las asíntotas son paralelasa los ejes x y y): Punto de intersección de las asíntotas en el origen en otra posición

I 32

(XI -

•

Geometría analítica Elipse - Curva exponencial ELIPSE Ecuaciones de la elipse Punto de intersección de los ejes en otra posición

en el origen

(x - x.)'

fJ4

--a-'-

(y _ y.)'

+ ---¡;;;-- - 1 = O

Radios de curvatura f 35

'N

=-;b'

I

a'

fH-=-¡;

Distancia focal f 36

e

= va' -

b'

Propiedad básica f 37

FIP+F,P=2a Tangente T en PI (XI, y.)

f38

b' (XI-X,,) (x-x.) y = - -;;' YI - y"

+ YI

CURVA EXPONENCIAL Ecuación fundamental f 39

y

= a"

y

a es una constante positiva # 1 Nota: Todas la~ curvas exponencrales pasan por el punto de coordenadas x O, y 1.

=

=

La curva que en este punto x tiene la inclinación de 45· (tan a = 1). da por derivación la misma curva. La constante a se convierte en este caso en e (número de Euler). base de los logaritmos naturales:

e = 2.718

281 828 459.

•

Funciones

hiperbólicas Directas

Otras notaciones: Sh. Ch. rn, Cth Definiciones senhx=---

9

eX_e-x* 2

el'

9 2

coshx=---

9 3

tanh x = ---

+

(!"X

2

e2x_l e2 + 1 e2x+l

ex_(!":r

9

,r

coth x = ---

9 4

9 5 9 6

= ---

ex + frX ex+e-x

= ---

eZ_frX

e2x_1

Relaciones fundamentales cosn" x - senh2 x = 1 tanh x • coth x = 1 tanh x

7

•

-)

senh xII = --cosh X

1 - tanh2 x = --cosb- x

I

1 - coth2 X

-

1 = --senh2 x

Relacionesentre las diversas funciones Para x positiva:

= J cosn" x -*1 senh x

9 8

±

tanh x 9 9 9 10 gIl 9 12 9 13 9 14 9 15 9 16

Y 1±

tanh2 x 1

ycoth2 x - 1

Para x negativa:

cosh x

=

ranhx

=

coth x =

senh x V senh2x +:¡ Jsenh2x + 1 Y senh- x + 1 senh x V cosh- X -- 1 cosh x ** ± ± yl tanh2 x cosh x V cosb- X -1

I

I

coth x ycoth2x -1

coth x

=-

tanh x

cosh (- x) = Ilsenh (- xl senh x tanh (- x] = - tanh x I coth (- x)

Teoremasde adici6n senh (a ± bl = senha cosh b ± cosh a senh b cosh (a ± bl = cosh a cosh b ± senha senh b tanh a ± tanh b tanh (a ± bl = ------1 ± tanh a tanh b coth a coth b ± 1 coth (a ± bl = -c-o ..... t..... h-a-±-c-o .th:-:-b.... *EI exponente x debe ser numérico. ** El signo + para x > O; - para x < O.

+

=-

cosh x coth x

Funciones

hiperbólicasl

G2

I

Inversas Otras notaciones: Arg Sh, Arg Ch, Arg Th, Arg Cth Definiciones

y=

Función:

sentrx Equivag17

9 18

lente a Relaciones con In

9 19

Dominio

9 20

Contradominio

x=

senh

ccsn+x

tanh-'x

x = COShy

y

x

= tanh

y

1

1+ x

2

1- x

) =In(x+v?=l)

=-In---

-oo
l~x<+oo

Ixl

-oo
-x;
=ln(x+vx"+1

coth-'x

x

= coth

•

x+ x-

1

=-In

2

<1

y

Ixl

>1

lr l > O

-",
Relaciones entre las diversas funciones Para

x

positiva:

x

senh-I

9 21 9 22 9 23

.

=

'111 + x'

±cosh-I tanh-'---

x

.

senh-'---

±senh-I~

v'T+X' x

x

± tanh-'---

±cosh-'---

x • x ±coth-'-= • V x' - 1

Para x negativa: 9 24

senh-I(-

x)

9 25

tanh-' (-

x) = - tanh-' x

= - senh-'x

1

V~.

± cosh-'

1 cctn-i-«

x) = - cotn-ix

Teoremas de adición

9 26

senh-ra ± senh-i o

9 27

cosn-ia

9 28 9 29

tanh-'a

± cosh-Ib ± tanh-Ib

coth-i a ± coth -lb

'Ver nota en G1

= = = =

senh-ita

v'b"'+T ±

cosh-'[ab

a

tanh-I---

± ±

V (a'

b

1 .:!: ab

ab ± 1

coth-'---

a

+

b

-

b ~) 1) (b' -

x

V x' -

tanh-I-

x

I coth-'(-

=

1 senh-: V x' _ 1

vT="X'

~

v'T+"X'.

coth-I---

cotn-ix

tanh-Ix =

1)1

1

x

1

Cálculo diferencial

H

Relación de cambio: Derivada

1

PENDIENTEEN UN PUNTO. RELACION (O INTENSIDAD) DE CAMBIO Pendiente de una curva En una curva y = f(x). la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto:

y

Ay'

h

1

m=tana=--

x

AX'

Relación media de cambio (cociente incremental) La intensidad media de variación de la función y = f(x) es la relación de los incrementos 6y/6X correspondientes al segmento de curva

PP,:

h

f(x

2

+ 6X) -

f(x)

Derivada (cociente diferencial) Cuando 6X tiende a cero. el punto P, tiende al punto p. y i~ secante pp,. a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales. que es la derivada (o intensidad de cambio) de la función en P: 6y

h

3

y'=

dy

um -=-=f'(x) I:..z .....

O~x

Notaciones: y'

dx

=~

dx

= f'(x).

y"

d' = _y = f"(x). dx

etc.

•

Cálculo diferencial Significado de la derivación INTERPRETACIONGEOMETRICA DE LA DERIVADA Curvasde derivadassucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada. se obtendrá la curva de y' = ('(x). o de la primeraderivadade la curva daday = ,(x). Si se deriva la curva y' = ('(x) se obtendrá y" = '''(x). o la segunda derivada de la curva dada y = '(x). etc. Ejemplo: y = Ax"

+ Bx" + Cx + O

I

inflexión

"Mínimo local Radiode curvatura /' en un punto dado x

h

4

~ y" Coordenadasdel centro de curvatura C correspondientea un radio p

h 5

a=x-'+y'"y·

h 6

b=y+--

y"

, + y'" y"


IH3

Aplicaciones de la derivación

DETERMINACIONDE LOS VALORES MAXIMOS, MINIMOS y PUNTOS DE INFLEXION Valores máximos y mínimos Hágase y' x

= a en y".

=

O. y sea a el valor obtenido de x. Sustitúyase ahora

> O habrá un mínimo < O habrá un máximo

en x = a.

h 7

Si y" (a)

h 8

Si y" (a)

h 9

Cuando y" (a) = O, véase h 19.

en x

=

a.

Punto de inflexión Hágase y" = O. y sea a el valor obtenido de x. Sustitúyase ahora x = a en y'''. h 10

Si y''' (a) "" O, habrá un punto de inflexión Forma de la curva y = f(x) Crecimiento y decrecimiento

h 11

y' (x)

>O

y(x) crece si aumenta

h 12

y' (x)

y(x) decrece

h 13

y' (x)

=O

y(x) tiene en

en x

= a.

x

si aumenta x

x una tangente paralela al eje x.

Curvatura h 14

y" (x)

h 15

y" (x)

>O

y(x) será cóncava hacia arriba

h 16

y" (x)

=O

~

y(x) será cóncava hacia abajo

cambio de signo y(x) tendrá en x

I

punto de inflexión máximo o mínimo

Otros casos Si para x = a

= y"

= v'"

= ... = y

,.-tI (a)

= O, pero

h 17

y' (a)

h 18

y' (a) "" O, pueden presentarse los 4 casos siguientes:

(a)

n h 19

y'"

(a)

>O

(a)

n impar

par

y'"

(a)

yfW yllX'\ o

o

r

y'"

(a)

H~ o

>O

y'"' (a)

Yl~ r

o

x

I

Cálculo diferencial Fórmulas básicas DERIVADASDE FUNCIONES Reglas fundamentales Derivada

Función h 20

y=cx'+C

y'=c·n·x··'

h 21

y = u(x) ± v(x)

y'

h 22

y = u(x)• v(x)

y' =u"

u(x)

=u'(x) ± v'(x)

y'=

h 23

Y=-

h 24

Y=VX

y'=--

h 25

y = u(x)'(X)

y'

v(x)

•

v+u'v'

u'·v-uov' v" 1

2VX

=u"(

U"v -u

+ v' . In u )

Derivada de una función de función h 26

y' = t'{u} . u'Ix) dY dy du

y =I(u(x)]

dx

du dx

Derivadas de funciones paramétricas h 27

y = I(x)

= I(t)

X {

Y = '(t)

y'

dy dt

Y

dt dx

x

=-.-=-;-

h 28 Derivadas de funciones inversas Si de la ecuación y inversa x = <1> (y). h 29

= I(x) se despeja x.

resulta la función

f'(x)=--

x = <1> (y)

1 <1>' (x)

Ejemplo:

= I(x) = cos-I

h30

y

h 31

x = <1> (y) = cos y

X

l' (x)

=---

1

- sen y

1

= - --\I'T=X"


Hs

Fórmulas básicas DERIVADASDE FUNCIONES Funcionesexponenciales Derivada

Función h 32

=

h 33

y e' y=e--l

y'=ez=y"=

..

y'=_e-z

h 34

y == e=

y'

h 35

y ==x·

y'

h 36 h 37

= Ve> y = az

h 38

y

h 39

y= az'

e-l

y

== anx

= a. e= = e' . (1 + x)

y'=-

2

= a In a y' = n . a"x' y'

•

Ve> Z•

In a

y' = az' ·2x· In a

Funcionestrigonométricas

= sen x

y'=cosx

h 40

Y

h 41

y = cos x

y' = - sen x

h 42

y = tan x

y' = -cos- x

h 43

y

h44

y=a'senkx

y' = a . k . cos kx

h45

y = a· coskx

y' = - a . k . senkx

h 46

Y = sen- x

y' = n (seno-Ix)(cosx)

h 47

y=cosox

y' = - n (coso-IX)(senx)

h 48

y = tan=x

y' = n (tano-'x) (1 + tan' x)

h 49

y=cotox

y' = - n (cotn-lx) (1

= cot x

h 50

y=--

h 51

y=--

1

sen x 1

cos x

1

y'

= 1 + tan' x

-1 = --sen' =x

- cosx y'=--sen' x sen x y'=--

cos- x

(1

+ col" x)

+ col" x)

Cálculo diferencial Fórmulas básicas

H6

DERIVADAS DE FUNCIONES Funcioneslogarítmicas Función

Derivada 1

h 52

y= Inx

y'=x

h 53

y= IOQax

y=-x ·Ina

h 54

y= In (1 ± x)

y=-1±x

h 55

y= In xa

y=x

h 56

y=lnyx

y=2x

1

±1

•

n 1

Funcioneshiperbólicas h 57 h 58

y= senhx

h 59

y= tanhx

h 60

y=coshx

y=cothx

y = coshx y = senhx 1

y = cosh"x y=--=..1..._ senh" x

Funcionesinversas(trigonométricase hiperbólicas) h 61

y = serr+x

h 62

y = coa-ix

1

y= y1-x' 1

y=---

y1-x' 1 .

h 63

y = tan-'x

y=--

h 64

y = cot-'x

y=---

h 65

y

h66

y = cosn-rx

h 67

y = tanh-rx

h68

y = coth-'x

= senh-vx

1 +x' 1

+

1 x' 1

y'==--yx'+1 1

y=--

yx'-1 1

Y=1-X" 1

Y=1-X'

Cálculo integral SIGNIFICADO DE LA INTEGRACION La integral. función inversa de la derivada Por integración se entiende el encontrar una función F(x) a partir de una función dada y = ((x) de manera que la derivada F' (x) sea igual a la función original ((x). Por lo tanto. i1

dF(x)

F'(x)

= --

dx

= ((x)

La integral indefinida i2

f((X)

dx

= F(x)

+e

e es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la iritegral indefinida Como muestra la figura. hay una infinidad de curvas y = F(x) con pendiente o derivada y' = F(x). Todas las curvas y = ((x) son iguales pero

\

e = Yo -

\ \

\ \ \ \ \ \ \ \ -, \ \ ' \ \ \

desplazadasparalelamentey en la dirección del eje y. La constante e fija una curva determinada.Si la curva debe pasar por el punto x, y" se tendrá: i3

Y

\ \ \

\

"

x

F(xo)

La integral definida La integral definida tiene la forma: i4

.['((X) dx

= F(x)

1: = F(b) -

F(a)

En la integral resultante se sustituye primero el limite superior y luego el inferior. y se resta el segundo resultado del primero. Desapareceasí la constante C.

•

Cálculo integral Reglasfundamentales

J

X"dx=

i5

S

i6 i7

S

Inx+

C

[u(x) ± v(x)) dx = Ju (x) dx ±

f

i8

i9

dX -x=

X"+1

--+C.dondel1oF-l n+1

S

S

v(x) dx

u'(X)

-dx = Inu(x) + C u(x)

u(x) . u' (x) dx =

I

-i- (U(X))2 + C

Integraciónpor partes i 10

fU(X)'

v'(x) dx = u(x)· v(x) -

S

u'(x)· v(x)dx

Métodode sustitución i 11

Jf(X) dx = Jf dondex =

[(z)

q, (z)

l' q, '(z)

dz

y dx = q,' Iz) dz

Ejemplo: i12

F(x) = Jvl3X-5dX dz

Haga3x - 5 = z; la derivadaes z' = - = 3. dx dz

Por tanto.dx = 3' Expresandola integralen función de z queda. F(x) = -1 3

j' Vz dz =

-2 z 9

Vz + C. En la última expresiónse

2 sustituyeel valor de z: F(x) =- (3x- 5) vi 3x - 5 9

+e

Cálculo integral

I3

Fórmulas básicas INTEGRALES

i 13

i 14 i 15 i 16

S

(Nose indicala constantede integracióne) e"dx

i 18

S /:x

119

S

120

S

i 22 i 23

125 I 26 I 27 128

(n -

2)'

dx

S + S yxdx dx S va -x

1

x - a

x = sen-la

2

2

2

2

-

= cosh-l~= a

S

a

2

2

8

x

a2

x costr-' -

=-

2

X

= -y 2

y x' -

a2 -

-

2

8

a2 x x2 + a2 + -senh-12 a

2

=-yax+b a

In (x+yx2_a2)

x 82 X dx = - ya' - x' + - sen-1-

S yx a' dx S vx'+a dx 2

1I

dx --Vax+b

= senh-1~ = In (x+ V X2 + a') X2

-

(n"# 1)

= "3v'X'

dx

2

x

2

2

ya2

(n"# 1)

a)"-1

S

a2).

S yx _adx S yx +a

S

(a "#b)

S

+a

(x2

1) (x -

1

dx x'+a2 dx (x'

In(x- a)

- - coth-1- = -In-(x> a) a a 2a x + a 1 x 1 a+ x - tanh-1- = - In-(x < a) a a 2a a - x x dx 1 --= -In (x' + a2) = ~tan-l~ 11 x' + a' 2 x 1 x = 2a' (x' + a') + 283 tan-1-;x 2n-3 dx = 2a' (n - 1) (x' + a')~1 + 2a' (n - 1) (x2+ 8')~1

2

2

i 24

=--In-a-b

(x -a)"

S /:_a,

S x~ a = x-a x-b

1

(x - a) (x - b)

i17

i 21

1::

S a"dx dx S dx S

S Inx dx= x . Inx - x

11

= e"

•

Cálculo integral Fórmulas básicas INTEGRALES

129 130

1 31 132

S sen xdx

S sen' xdx

(Nose Indicala constante de integración e) =-cosx

x 1 = ---sen2x 2

S sen' x dx S sen" xdx

4

3

1

--¡-cosx+ -

1

-

12cOS3x

cos x

133

S senaxdx

n 1 -cosax a

134

J cos xdx

sen x

senn-1

x

J cos- xdx

= !..+

136

J cos! xdx

=

137

J cos"xdx

1 sen x COSn-1 X =n

136 139

S cosaxdx

.f tan

x dx

140

f tan' xdx

141

J tan" x dx

142

Jcot

143

J cot' x dx

144 1 45 146

147

xdx

J coto xdx '_dX

J

sen x

j' sen"dx x j

i 48 •

n

1. sen x + 2. sen 3x 4 12

l'

dx COS"

dx

• COS,,-2

x dx

1

= asenax

S tan

= - Incos x

11

= tanx - x tan,,-lx = --n-1

S lan"-2x dx

"J

Insen x

cotn-1x

2

1

- n_

1

J

-

n-1 x Intan-

ax

dx = - ~ Incos ax

(n"" 1)

cot ax dx = ~ Insen ax

-x-cotx - ---

cotn-2 x dx

J ~=-cotx sen2x

11

cosx n-2 sen"-lx + n _ 1

Intan (~+ 1

x

f

n-1 + --n-

'_dX

cosx

&en"-2 X

2. sen2x 4

135

2

S

n-l + ---

~)

sen x

n - 1 COS~lX

11

1)

In ""

1)

In""

1)

.f c~: x = tan x

n-2 1

+ n-

J sen"-'dx x

In""

J sen~'dx x

Cálculo integral Fórmulas

I5

básicas

INTEGRALES INo se indica la constante de integración e) dx

i 49

J

1

+ sen x

i 50

\'

1

+ cos x

i 51

J

sen ax sen bx dx

i 52

f

sen ax cos bx dx

i 53

J

i 54 i 55 i 56 i 57 i 58 i 59

i60 i 61 i 62 i63 i64 i 65 i 66 i 67

J J

= tan

dx

=tan-

J

x 2

+ bx) sen lax - bx) 2 la + b¡ + 2 la - b) cos lax + bx) cos lax - bx) 2 (a - b)

21a +b)

+ bx) sen lax - bx) 2 la + b) + 2 la - b)

- ~ cos ax

a

tan'

x sen-' x

=

X

cos' X -

cot-1 x dx

=

senh x dx

= cosh x

senh-

x

dx =

a

x cor' x

* 2_

4

j'

X'-l

cos ax dx

j' x"-

sen ax dx

l

+ v'T=X'

x dx = x tan-1 x -

senh- x dx =

+!!....

-x' sen ax - -n a a

x' cos ax dx

v'T=X' 1

"2 In 11+ x') 1

+ "2 ,In 11+ x')

senh 2x - ~

2

cosh

x

senrr-:

n-l x - -n-

J

senhn-:! x dx

senh ax dx = -} cosh ax cosh x dx

= senh x

r , cosh- x dx

=

J

=

S

-cot-

sen lax

x' sen ax dx

X

J J

dx = - cot (-;- - ~ ) 1 - sen x

dx .1-cosx

2

cos ax cos bx dx

1

J S J

x

J f

sen lax

j sen- x dx J- cos' dx

J

(~-~)

cosn-

x dx

1 x "4 senh 2x + "2

*'

senh

x

cosh ax dx = -} senh ax

cosh+!

x

+

n -;; 1

S

cosh=' x dx

I

Cálculo integral

116

Fórmulas básicas

I 68 I 69 I 70 I 71 I 72 173 I 74 I 75

S

S

S S

f

S

S S

INTEGRALES (No se indica la constante de integración tanh x dx

=

In cosh x

tanh' x dx

=

x - tanh x

tanhn x dx

= - __1-

tanh ax dx

=~

coth x dx

=

In senh x

coth'xdx

=

x-cothx

cothn x dx = - __ 1_ coth~l

=~

dx senh x

1 77

S

se:'x

i 78

fco:x

=

1 79

S

= tanh x

I 81

182 183 184

(n*1)

+ Scoth

x dx

(tÍ

n-,

Intanh-

x

2

- cothx

dx cosh'x senh' x dx

J cosn" J J .f

x dx

In senh ax

S S

x

n-1

coth ax dx

+ Stanh~'

In cosh ax

176

180

tanh~l x

n-1

e)

xdx

2 tan-1 eZ

V x' + 1

= x senn' x -

=

XCOSh-1X-~

tanh' x dx

x tanh' x

+ 2. In (1 -

coth' xdx

x coth " x

+ ~2 In (x' -

sen= x ces- x dx

= --

1

m+n

2

x') 1)

8en",+1 x cos= ' X

--n - 1

m+n,

f'

+

sen" x cosn-:.! X dx

Si n es impar. para la integral del residuo se cumple que:

1 85

,sen f

m

x

senm+l x

cos

x dx = -;;;-::¡:-;-

*

1)

I

Cálculo integral Aplicaciones de la integración MOMENTOS ESTATICO,S_--,-_ Diferencial de arco ds =

V dx' + dy" = j, +

(~y

dx

Area de la superficie generadapor el giro de una curva alrededor del eje x

Longitudde arco

y

Momentoestático de una curva con respectoal eje x con respecto al eje y i 87

M, =

f'

V 1 + y"

y

dx M. =

a

f'

x

V 1 -t- y"

I

dx

a

Coordenadasdel centroide G i88

Yo=--

Area de una superficie

i89

x

M. s

M. s

Xa=--

Volumende un s61idogeneradopor el gis61ido cuya sección ro de la superficieA alretransversal Al es fundedor del eje x ci6n de x

v=

A=.['YdX

s.'

Al (x) dx

Momentoestáticode unasuperficie con respecto al eje x eje y

i

90

Q.=

f~dX a

2

Q.= ['XYdX

Coordenadasdel centroide i 91

Q.

Xo=-

A

x

Cálculo integral Aplicaciones de la Integración Momento estanco del volumen de un cuerpo (con relación al plano yz) 192

M.z =71"~'

I8

y

xy2dx

x

Coordenada del centrolde 193

M.z

xo=yRegla de Guldlnus (o Pappus) Area de la superficie de un sólido de revolución AR

194

= Longitud de arco s multiplicada

por el recorrido del centrolde.

(fórmulas I 86 e I 88)

=271"5 YG

Volumen de un sólido de revolución V R = Area A multiplicada por el recorrido del centrolde I 95

(fórmulas I 89 e i 91)

= 271"AYG

Integración numérica Se divide la superficie en un número

y

par n de franjas de Igual ancho 196

b-a

h=-n

x

El área se calcula entonces con la 197

Fórmula trapeclal A

h

="2 (Yo + 2y, + 2y. + ... + 2y._, + 21'•. , + Y.J

Regla de Slmpson Para curvas hasta de 3er. grado 198

h

A,

= '3 (Yo + 41', + Y2)

para curvas de grado mayor que el 3° I 99

A

=~ [y.

+ Y. + 2(Y2 + y, + ...+ 1'.-2' + 4(y, + Y. + ...+ y•. ,)J

I

Cálculo integral Aplicaciones de la Integración MOMENTOS DE INERCIA

Definición general Momentode inercia con respecto a un eje X o un punto O, es la suma de los productos de elementos de longitud, área, volumen o masa, por el cuadrado de su distancia al eje o punto:

i 100

J=

JX'dm

•

Teoremade Steiner o de los ejes paralelos(ver M 2) Para cualquier momento de inercia (de longitud, área, volumeno masa),axial o polar,se verifica que:

+

101

J=JG

tru¿

Momentosde inerciade una curva planacon respectoal eje y

eje x 102

IL,

= S'y·";l

+ y"'dx

IL, =

.['x2~dX -I-+----+_

J

Momentode inerciacon respectoaI eje de referencia

Jo Momentode inerciacon respectoal eje que pasapor el centroideG m Magnitudconsiderada(Iong'itud,área,volumeno masa) la Distanciadel centroideal eje o punto de referencia.

x

Cálculo integral

110

Aplicaciones de la Integración

MOMENTOS Y PRODUCTOSDE INERCIA DE SUPERFICIESPLANAS El momento de inercia axial de una superficie plana respecto a un eje x o y, situado en su plano,es igual a la suma de los productos de los elementos de área dA y el cua-@:dA

drado de las distancias a los ejes respectivos, y o x, respectivamente.

103

l. =

S

y" dA ;

1,=

Sx"

...

dA

x

Si se da la función y = f(x), entonces:

x

Con respecto al eje x eje y

104

•

f'

y' -dx 1,=f.'X2YdX '. 3 El momentode inercia polar de una superficie plana respecto a un punto O situado en su plano es igual a la suma de los productos de los elementos de área dA y el cua~dA drado de su distancia r a dicho punto (polo): ... , 1.=

~=S~~

I 105

O

x

x

Si los ejes de referencia de los momentos de inercia 1, e 1, son perpendicularesy se cortan en O, existe entre el momento polar y los axiales la relación: I 106

lo

= S r' dA = S (y' + x') dA = l. + 1,

El producto de inercia de una superficie plana respecto a los ejes situados en su plano es igual a la suma de los productos de los elementos de área dA y las distancias x y y a ambos ejes: I 107

t.; =

S

-y'n-.

-c5f-X--=:::'--"'I-d-x~-

x y dA "" O, o bien ~ O

1Q:

Si uno de los ejes de referencia coincide con un eje de simetría de la superficie, entonces 1" = O.

Transformacióna un eie inclinado x': Si se conocen para los ejes perpendicularesx y y las cantidades1" 1, e Ixy, entonces el momento de inercia ~' axial 1" con respecto a un eje inclinado ./ ' un ángulo a con respecto al eje x, es . . igual a: ./ IL 108

1" = 1, cosso

+ 1, sen'a -1"

sen 2a

x

Cálculo integral ii

1\

,,,,=f

i 109

[

y"bdy=b

o

h"

"JII

bh3 ~ =-3 iI 3 bh"

(2) = 12 b"h 'v' = 12

110

1""

= 1.. -

111

t,

=

i 112

'o

b h" ba h =1",+'Y=-3-+-3-=

i 113

I .. y

= 1"" + -2bh-2 A

i 114

b h I...=--(bh)=

A b:ih -3-;

i 115

Comox' y/o y' son ejes de simetría. y' = o. y entonces:

'x'

(bh)" 2

lo

y

= l11r2 dA = lit r' (27T r) dr = 2 7T[ ~ J/ = 7TR'

i 117

4 o 2 lo 7TR4 1,.=1.=2=-2-="64

i 118

1",.

i 119

,,.=

f'

y' dA

=.C

y' (2 x)dy

=2JII y2yR'¿_y2dy=

Id i 122

7TR'¡

=1.

8

u 7TR4

lo

-R

7TD4

= O.puesto que )( y y son ejes de simetría

Semicirculo

i 120 i 121

bh -3-(b2+h2);

Círculo

i 116

iiI

o

v'

2 2

mi

I 11

EJEMPLOS DE CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA DE SUPERFICIESPLANAS y Rectángulo

7TR4

= 2 -8- = -4-; I",v = O,porque y es eje de simetría.

Polígonoregular de n lados 1"

n8r 2 x 48 (12

+ 8"); I",v = O

Ix

= Iy = 2" =

r

Radio de la circunferencia inscrita Longitud del lado

8

r"

I

RRadio de la circunferencia circunscrita n Número de lados

I

Cálculo integral

I 12

Aplicaciones de la integración MOMENTOS DE INERCIADE VOLUMENES Prisma rectangular recto bh3 b3h) Si ( -+ -es el momentode 12 12 inercia polar centroidal de un rectángulo (ver 111). entonces. con relación al eje z. queda:

iI

i 123

J,rn

=

f

b h3

u

b3 h

(--12 + --12

o

)dZ

a bh

= --12

(b2

+ h2)

Cilindro circular recto

I

Con respecto al eje Z:

11

i 124

Con respecto al eje x:

i 125

J'IVJ

=.f

+~

.2

7r,4

(-4-

+ 7r,2 Z2 ) dz

7r,2 h

= -1-2 -

(3,2

+h

2)

-"2

Momento de inercia de masa Este momento. J. es el producto del momentode volumen J"'J por la densidadp: i 126 i 127

iD

i 128

J=J(V'p donde p

=!!!._=!.... V g m

Ejemplo: Paraun cilindro J

7r,4

h

= J"'J V = -2-

m

m r"

7r'~

h - -2-

Otros momentos de inercia de masa se tienen en M 3.

Probabilidad

y estadística

J

1

PRINCIPIOS DE CONJUNTOS Los eventos son conjuntos de resultados posibles. Se representan por colecciones de puntos de un espacie llamadomuestral.

j

2

3

j

~ ~

Evento universal es la colección de todos los puntos en el espacio muestral.Se representapor U.

~

Eventonulo (o vacío) es el que carece de puntos. Se reL___:__j presentapor 0. I

4

La unión de dos eventos A y B es la colección de todos los puntosde A y de B. Se representacomo A + B. o por AUB.

5

La tmerseccton de dos eventosA y B es la colección de puntos que se encuentran simultáneamenteen ambos eventos.Se representacomo AB. o por A n B.

Eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no tienen puntos en común. j

6

A.A, =

A. si

i=i

1 o si i*i

Eventos colectivamente exhaustivos son aquellos cuya unión es el evento universal.

J

7

Al

+ A + ... + 2

An = U

Probabilidad

y estadística

8

P(A) ~ O, para cualquier evento A

9

P(U)=1 P(A

+ 8)

Probabilidad 11

P(AI8)

= P(8)

si A8

=0

= P(A8)jP(8) de eventos

Dos eventos A y 8 son independientes (estadísticamente) P(AI8)

)]

condicional

Independencia

j 12

2

) = PROBABILIDAD DE (

AXIOMAS DE PROBABILIDAD [PI

10

J

si

= P(A)

Variables aleatorias Una variable aleatoria se define como una función que asigna un valor a cada resultado de la lista compuesta por resultados mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos de un experimento. Las variables son discretas si el número total de valores que pueden tomar es finito. En caso contrario son continuas. Función masa de probabilidad Es la función que asigna una probabtlidad a cada valor de la variable aleatoria. Px (X,,) = probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome el valor X".

j 13

O ~ Px (Xo) ~ 1 y ~x" Px(X,,) = 1 Función densidad de probabilidad Es una función para variables aleatorias continuas, tal que

14

P(a

b)

=

j"

t, (X,,) ex,

Xo=a

j 15

y

i"

= -

Xo

fx (X..) =1 OC>

•

y estadística

Probabilidad

J

3

Distribución de probabilidad acumulada

¡ Px (X.)

X. discreta

x~x"

j 16

Px (X.) =

r

X. continua

fx(X.) dX.

".\'U=-
17

Px (00)

18

P(a

j 19

.s, ex,

= 1,

Px (-

b)

00)

=O para b ~ a

= P.db) - P.da)

Px (X.) = fx (Xo) para variables aleatorias continuas.

Función masa de probabilidad conjunta j 20

O~

j 21

¡¡¡ Xo

(X., y", Z.) ~ 1

px.l".Z

Yo

Px.v.e (X .. y .. Z.)

=1

Zo

Función densidad de probabilidad conjunta

j 22

O~ fx,,',.

j 23

f Xo:

(X., v, Z.)

dx.f~ - ""

}'u=-

<

00

ez,

dY.S~ ""

XO:;-

fx,y,z(X.,Y.,Z.)=1

Función masa de probabilidad condicional.

J

24

Px! y (X.! y.)

px. y (X., y.)

Py (Y.)

I

Probabilidad

J

y estadística

4

Función densidad de probabilidad condicional

j 25

fz,y

FZIY (X., y.)

(X .. y.)

fy (Y.)

Esperanza (matemática)

¡:>: ,IX.) p.IX.) j 26

E[g(X))=

X, variable aleatoria discreta

XJ::=~~x.)

r

X, variable aleatoria continua

fx(X.) dX.

Media (aritmética)

_

j 27

X.

X=E(X)

=

X, discreta

x.P.~.)

fx:;_~'

fx(X.)

X, continua

ex,

Variancia (o varianza)

¡ (X. j 28

j 29

!T?

= E[(X _

X)2)

=

x.

\{.=_

!TJ = E(X') - [E(X)J2 Desviación estándar

j 30

o; =

vi E(X2)-

X, discreta

X)2 P.dX.)

(E(X))2

~X. -

X)' fx(X.)

ex,

X,contlnua

•

Probabilidad

J

y estadística

5

FUNCIONES MASA DE PROBABILIDAD MAS COMUNES. SU MEDIA Y SU VARIANCIA: De Bernoulli P

j 31

Px(X.) =

1-P O

j 32

X.=1

X.=O cualquierotro caso

E(X)= P.

0< P < 1.

,,; = P (1- P)

Binomial(o bin6mica) (n)px. (1 _ P)·-x. j33

X.=O. 1..... n

Px(X.) = O

j 34

O
n = 1.2.3•...

cualquierotro caso E (X) =nP

".o

= nP (1 - P)

Geométrica P (1_ P)X~1

j 35

X. = 1.2.3....

Px(X.) = O

j 36

E (X) = 1/P

O
cualquierotro caso

(1- P)/f'2

De Pascal

J

37

j 38

Px(X.) =

O< P < 1

l

(o~=~)pn(l_P)X~

X.=n.n+1.n+2

....

cualquierotro caso E (X) = n/P

P)/p.

•

y estadística I

Probabilidad

J

6

De Poisson

j39

j 40

!

=

Px(X.)

P. > O

p.x·lrl'

X. = 0,1, 2, ...

O X.!

cualquier otro caso

E(X) =p.

=P.

Funciones densidad de probabilidad más comunes, su media y su varlancla: Beta

j 41

j 42

!

B=

O;;;; X.;;;; 1

!....X.'-I (1 _ X.)'-H

l.•(X.) =

B

cualquier otro caso

O

(r-1)!(t-r-1)!

E(X)=r/t

(t-1)! r(t - r)

=---

CTz2

t' (t

+ 1)

De Cauchy

j43

a

1

l.dX.)

=-:;; -a-'-+-(-X-.---b-)-'

j44

-

00

< X. <

00

E(X) =b

De Erlang an X.n-I e-a.,.. j 45- 46

'x(X.)

=

(n -

1O

1)!

X.

>O

cualquier otro caso

I

Probabilidad j 47

n = 1,2,. ..

a>O

J

y estadística E(X) =n/a

7

0'.f:!=nla2

Exponencial j 48

j 49

'x (X.) = A>O

Le-

X.>

AX•

°

cualquier otro caso E(X) = 1/.1.

== 1/.,\2

ax':l

Normal j50

'X (X.) =.,¡2,;2".1

j 51

0">0

(I

[ (X. exp - ---

E(X)=,_.

-1'-)2J

-

(12

ec

< X. <

ec

Uniforme

j 52

a

'x (X.) = 1 ob~a

< x. < b

cualquier otro caso j53

E(X) = (a + b)/2

a
O"

x'

Regresión lineal j 54

Y = mx

+b

j 55 donde N = total de observaciones X" Yi = i-ésimas observaciones de X y de y

= (b - 8)'/12

I

Probabilidad _

j56

y estadística

J

8

1"

X=-~X, N 1=1

j 57 j 58 Variancia de los valores de X

j59

1 ., (2 -2) (Tx,=-~ X,-X N 1::::;1

•

Variancia de los valores de y

j60

1 ., ( v7_y2 )

«>,2=_ ~

N 1=1 Coeficiente de correlación

j 61

,= m ",\'/"1' Desigualdad de Chebyshev

J

62

p(IX -

E (XII

~ t)

;;¡;

( "t

X)'

Convergencia estocástica Una secuencia (o sucesión) de variables aleatorias X. = X" X,•. , , . se dice que converge estocásticamente a L si para cada • > O. se vérifica la condición

Estática Conceptos

generales

La estática analiza las fuerzas externas (o cargas) y las condiciones de equilibrio de cuerpos rígidos. así como la determinación de fuerzas desconocidas (por ejemplo. fuerzas de apoyo). El contenido de las páginas K 1 a K 14 se refiere a fuerzas en un plano.

longitud I Es una magnitud base: véanse las explicaciones al principio. Fuerza F (Ver las explicaciones en MI) Representación mediante un vector. Longitud de la flecha: Magnitud Angulo director: Dirección Punto de aplicación: Posición (P) Peso G Definición: Punto de aplicación: Dirección: Magnitud:

"' .... "'-

Linflo

•

accidn

Atracción gravitatoria Centro de gravedad Vertical hacia abajo (al centro de la Tierra) Se determina mediante un dinamómetro

Fuerzas de apoyo FA. F. Son las reacciones sobre el cuerpo ejercidas por los apoyos (A, B). Fuerza resultante F R Es la fuerza calculada que produce por sí sola el efecto de otras fuerzas. Magnitud del momento de una fuerza F respecto de un punto O Momento

M = FI

Efecto equivalente de una fuerza F con respecto a un punto O El efecto de una fuerza F respecto al punto O se puede sustituir por el del par de fuerzas F. F" Y la fuerza F k

2

F'=F;

F"=-F

Magnitud del momento del par de fuerzas k

3

M=FI Teorema de los momentos: El momento de la fuerza resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes.

I

Estática Composición de fuerzas METODO GRAFICO Sistemas de fuerzas

Polfgono de las fuerzas

r.: 4

Paralelogramo de las fuerzas

k 4

,

F.

/

/

/

F2

2

Fuerzas concurrentes

k

5

•

Fuerzas paralelas

k 6

F,~ PoI/gono funicular

;"

FR

Fj Hilo

Fuerzas cualesquiera

k

7

Pol/gono Iumculor Construcción del pollgono funicular: Trace el polígono de las fuerzas. Seleccione el polo O de modo que no haya rayos polares colineales, y trace éstos. Dibuje los hilos del funicular paralelamente a los rayos. A cada triángulo en el polígono de las fuerzas debe corresponder un punto de Intersección de dos hilos consecutivos en el funicular. (Por ejemplo, al triángulo F,-1-2 le corresponde el punto de intersección en F, de los hilos 1 Y 2.)

Estática

K3

Composición de fuerzas METODO ANALlTICO Descomposición de una fuerza k

8

F. = F cos a

k

9

tan u =~ F. (Ver el signo de las funciones trigonométricas en la tabla siguiente). F

rx=:» =+V/-z+/-y

Fy =Fsena

Momento M. de una fuerza respecto a un punto O k 10

M.=+FI=Fyx-F.y (Determinación de F. V Fy de acuerdo con k 8)

•

Resultante F R de fuerzas cualesquiera k 11 k 12

Magnitud

k 13

AngUIO} director aH

k 14

Distancia

k 15

FRy FRy FRz tanaR = FR.; SenaR = COSan =

Fa

--¡;;;

IlM.1

IR =--¡F;;I

(Teorema de

108

momentos)

Signo de FR' IR = Signo de l M. Signosde las funcionestrigonométricasde coordenadas y componentes

k k k k

16 17 18 19

Cuadrante

a,a",

I 11 111 IV

0° - SOo SOo- 180° 180° - 270· 2700 - 360·

F. .r. FIl:t:. FRy X ,y a .o» I IR

cosa sena

+

+

+ +

tana

+

+

x, r; FRz

y, Fy, FRy

+

+

+

+

Componentes de F en las direcciones x V y Componentes de F R en las direcciones x V y Coordenadas del punto de aplicación de F Angulo director de F V F R, respectivamente Distancia de F V F n. respectivamente, al punto de referencia

Estática Equilibrio CONDICIONES

DE EQUILIBRIO

Un cuerpo esté en equilibrio si la resultante y la suma de los momentos de las fuerzas exteriores respecto a un punto cualquiera son iguales a cero.

k20

Fuerzas

Condiciones grllticas

Concurrentes

Poligono de fuerzas cerrado

Paralelas al eje y

k 21 k 22

Condiciones analiticas

IF%=O;IFy=O IFy =O;IM=

Poligono de fuerzas y funicular cerrados

Cualesquiera

O

1 F% = O;'1 Fy= O IM=O

k 23 Eiemplos Viga con dos apoyos -

Incógnitas: Reacciones FA. F B

Datos:

Solución:

I

I--'±/f-~-~ • '-+--/2

Línea de cierre "--

Mmá., kM k 24

= k»>

=k

I
p •

»>

Ymáx (momento flexionante máxime] (escala de momentos)

te, : escala

de fuerzas

«, :escala

de ioncnuces

[N· m/m, kgf· rn/rnrn] [N/m. kgf/mml [m/m, m/mm]

H : distancia polar

FA

= FI 0/ /1 + F.· 1

Grúa de pared:

1./1; FB = (Ft + F.) - FA

Ejemplo de 3 fuerzas. Incógnitas: FA. FB

Datos:

Solución:

~H

.....Punto

Fa ~

a

FA,

iI k 25

A

de

in-

I

F.

I

f

Ff. Carga

F, -

)Ix

F8

ferseC~iónde0A /as3/meas efe occidn

FAx = F B =

-.,J

L

~,

FAx a

bF

L;

FAy = F L

Estática Armaduras

Ks

planas

DETERMINACION ANALITICA DE LAS FUERZAS EN LAS BARRAS v; Fu. FD) Método de RiUer o de secciones Miembros 5 : Del cordón superior U : Del cordón Inferior D : Diagonales

mi k 26

F,

Obtenga las reacciones en los apoyos por medio de K 4 (viga con dos apoyos) y pase una sección X- X en la armadura, tal que corte a la barra en estudio y no seccione más de tres barras. Considere que todas las fuerzas son de tensión; entonces las que sr lo sean resultarán positivas, y las de compresión, negativas. Aplique la ecuación de momentos l M = O a las fuerzas externas e Internas, referida al punto de intersección de dos fuerzas desconocidas. Los momentos de cada una de éstas se anularán. Regla para los signos de los momentos: Momento en el sentido del reloj: Momento en sentido contrario:

+

Ejemplo para la armadura anterior Determinar la fuerza FU2 en la barra U2 Solución: Pase la sección X - X de modo que corte 52- D2• U2• Como 5~ y D~ se cortan en e, se elige este punto como centro de momentos. Con ésto se logra que los momentos de 52 y D2 se anulen y, por tanto. no aparecerán en la ecuación de momentos. De modo que l Me = O. Por lo tanto.

+a F +b F U2

2 -

e (FA - F.) FU2

=O - b F2

+ c(F 8

A -

F1)

I

Estática Armaduras DETERMINACION

K6

planas

GRAFICA DE LAS FUERZAS EN LAS BARRAS

(F,)

Método de Cremona o de nudos

k 27

I

d

Reglas básicas Todas las barras van de nudo a nudo. Las fuerzas externas sólo se aplican en los nudos. Procedimiento Establezca la escala de fuerzas y determine las reacciones en los apoyos. Como un polígono de fuerzas puede tener sólo dos incógnitas debe empezar en el punto A. En todos los nudos debe seguirse el mismo sentido de recorrido. Por ejemplo.

FA -F¡-Fb1-Fb:!. Nudo A:

Polígono de fuerzas: abcda La clase de fuerza (tensión o compresión) debe anotarse en un croquis o tabla.

Nudo C:

Polígono de fuerzas:

aceta, etc.

Comprobación Las fuerzas que concurren en un nudo de la armadura deben formar un polfgono en el diagrama de Cremona. Las fuerzas que concurren en un punto en el diagrama de Cremona deben corresponder a un triángulo en la armadura.

Estática

K

Centroldes

mi k 28 k 29 k 30 k 31

Arco de circunferencia , (sena) (180°) 71" (aO)

y=

,s

b Y = 0.6366, si 2a = 180° y = 0.9003, si 2a= 90° Y = 0.9549, si 2a = 60°

7

@J

=-,

l'

Triángulo k 32

1 y=-h 3 C está en el punto de intersección de las medianas.

mi k33

k34 k 35 k 36

Sector de círculo 2, (sena) (180°) 2, S y= 371"(a") 3b Y = 0.4244, si 2a = 180° Y =0.6002, si 2a= 90° y = 0.6366, si 2a= 60°

::.....

~

Trapecio

iI k 37 iI k 38 k 39

iI k 40

y=-"

h 3

a+2b __ a+b

Segmentode corona circular 2 R3 sena y=-"---" __ 3 H¿ a

_,3 _,2

2 y =

"3"

R3 - ,:1 H¿-

C ::.....

S

,2 "b

r

~

Segmentode círculo s3 y=i2A Parael área A véaseB 3.

~

Para la determinacióndel centroide C (o Cg) véase también I 7

I

Estática

Ka

Centroides

DETERMINACIONDEL CENTROIDE DE SUPERFICIESCOMPUESTAS Método gráfico Descomponga la superficie total A en superficies parciales A,. A2 • . . . • A•• cuyos centroides sean conocidos. La dimensión del área de cada superficie se considera como una fuerza aplicada en el centroide del área correspondiente. Con la ayuda del poligono funicular (K 2) se determina ahora la posición del punto de aplicación de las componentes A N." Y AHy en dos direcciones cualesquiera (de preferencia que formen un ángulo de 90°)_El punto de intersección de las lineas de acción de estas componentes da la posición del centroide C.

•

k 41

Método analltico Descomponga también la superficie total A en superficies oarcíeles A,. A2••••• A n» Entonces se tiene: Coord.

Caso general

:t x/A,

k42

Xc=

k43

Ye=

1=1

Para el ejemplo anterior

Xl A,

:t y/A,

i;;1

A

En el ejemplo, x,. Y2 y Y3 son nulas.

+ X. A. + X. A. A

A

y, Al

+ Y. A. + YaA. A

Estática

K9

Fricción FUERZA APLICADA PARALELAMENTE DESLIZAMIENTO Fricción estática Valor limite

k44

V=O

AL PLANO DE Fricción dinámica

----

V=O

v>o

T .

,

N

F¡, k 45

F¡I

=-

k 46

FI

= G tan
FfO

=-

Fo

k 47

¡J..l

e <
k48

(variable)

= G tan
N=-G

N=-G

< cpo

~

= tan p

4>" = consto > 4>

Si F, aumenta lentamente. también lo hará F¡,. sin que el cuerpo se mueva. Si F, alcanza el valor:

N=-G

p.

= tan

ó

const.

< po < CPo

I

F,¡FojF

Fo=G¡..to.

k 49

entonces empieza a deslizar el cuerPO.y F disminuye al valor Gp.. El valor excedente de la fuerza F se emplea ahora exclusivamente para acelerar el cuerpo. FUERZA APLICADA

mi k50

OBLICUAMENTE RESPECTO AL PLANO DE DESLIZAMIENTO

Fuerza F necesaria para mantener el deslizamiento del cuerpo con peso G: F

=G

po sen ex - po COS ex

= G __

se_n_
Para el movimiento con velocidad constante se determina la fuerza necesaria sustituyendo po por p. No es posible el movimiento si F resulta negativa. F •• F«. F FfI. F¡o. F¡ N

Fuerza aplicada Fuerza de fficclón Reacción normal

/,

G

R p.o. p.

1/>.. 1/>0. 1/>

Reacción total Coef. de fricción (ver Z 20) Angulo de fricción

Estática Fricción ROZAMIENTO EN UN PLANO INCLINADO Generalidades El ángulo a para el cual un cuerpo desliza bajando con velocidad constante en un plano inclinado. es Igual al ángulo de fricción 4>. de donde: tan a = tan 4>= p.

k 51

Aplicación a la determinación experimental del ángulo de fricción o del coeficiente de fricción.

p.= tan 4> k 52

Condición para la Inmovilidad

a

< 4>

Condiciones de fricción: Fuerza aplicada F para lograr una velocidad constante paralela al Movimiento plano inclinado hacia plano horizontal arriba

O
~

F

k53

= G sen (a+4» cos4>

~ F

= G tan (,,+4»

abajo

O k54

F~

~ F=G

abajo

4><0< .. *

cos4>

'4CF

k 55

sen (4)-a)

= G sen (a -4»

cos4>

F

= G tan (4)-a)

~ F

= G tan (0-4»

Observación: Para el caso de fricción estática sustituya p. por p., y 4>por 4>0. respectivamente.

a*

Angulo de volteo del cuerpo.

•

Estática Fricción CUÑAS

mi mi k56

Al introduclr:

FI=F

k 57

Al soltar

F:r=F

k58

Autosujeción

tan (~+ePI)

+ tan (a2 +4>2)

1 - tanePa. tan (a2 + t!>,} tan (al -epi)

ex, + a2 ~

Momento para

k60

bajar

M, = F, tan (a+eP) M2 = F, tan (a-eP)

Condición de autosujeción al bajar

k 61 k 62

Eficiencia de un tornillo para

k63

M,

k64 k65

subir

= F tan (a-

2ep)

a ~ 24>0

I ~ (3 M, = F r tan la+ ep') M2 = F, tan Ca-ep') a'

'1= tan

tan a (a +

tan o

ep)

'1=

tan (a-<1»

bajar

'7=

M2

Momento para subir Momento para bajar

a

Angulo del tornillo

(tan a (tancp

'7=

tana

= h/

tana

27fr)

Angulo de fricción en rosca triangular, trapecial [ tancp' = p./(COS 13/2) Radio medio de la rosca

tan la +<1>') tan (a-<1>')

= p.)

1

k 66

F2

a
subir

Angulo de fricción

24»

DE RJERZA

~

k 59

= F tan (a+

4>01 +epO"~

TORNILLOS

iI

-q,,)

+ tanta,

1 + tancPa. tan (a2 - t!>'J)

FI

diente

de sierra

o

Estática Fricción FRICCION DE CHUMACERAS Chumaceras comunes Chumaceras de empuje o de carga radial o de carga axial

mi iI

M

k 67

Mf p'r

p."

k68 k69

r,

+r

2

f=P.a--2-

F

momento de fricción. coeficiente de fricción para carga radial (no existe valor fijo) coeficiente de fricción para carga axial (no hay valor fijo)

Observación: p'r y p'a se determinan experimentalmente como funciones de la holgura. de la lubricación y del estado de la chumacera. En chumaceras ya rodadas: p... S!!! p'r 5!!! p'a Por lubricación debe tomarse siempre r I > O. FRICCION RODANTE

k 70

k 71

Rodamiento f

G

de un cilindro macizo f

F=-Ne!.-G

r

r

Condición de rodamiento: Ff < p'u N Ff Fuerza de fricción rodante. f Brazo de palanca de la fuerza de fricción rodante. Valores en 1 20. (Causado por deformación de la rueda y la superficie.) p'u Coeficiente de fricción estática entre rueda y superficie apoyo.

~

mi k 72

Movimiento

F

(11

--

de

de una placa sobre rodillos.

+(

2)

G.

+n '

2

G2

2r

= 1 = I y nG

k 73

sir,

k 74

I F=-GI

2

2

< G1:

r

GIo G2 Peso de la placa y de un cilindro. respectivamente. F Fuerza de tracción ts . t2 Brazos de palanca de la fuerza de fricción rodante Radio del cilindro InNúmero de cilindros.

I

Estática

K

Cables y bandas

13

FRICCION EN CABLES Fuerzas de tracción subir

mi

y de fricción para bajar

k 75

F,=(e~a-l)G

k 76

F,=(l-e-$
la carga G Estas leyes son válidas si el cilindro está fijo y el cable se mueve con velocidad uniforme; o si el cable está fijo y se mueve el cilindro; por ejemplo: freno de banda. cabrestante. k 77

Condiciónde equilibro: F~< F < (F Fuerza de equilibrio

F.II

G e-$
< G ~a

sin fricción)

Transmisiónde bandao correa

I

k 78

Fp

k 79

mi

=F

Fuerzas

r,

k 80

mi

k 81

F,

k 82

Fa

en reposo

en movimiento

Fo=----

r,

e$
F, = Fp

Fo= F, =

e"a epa_ 1 ePA

r.

Fa=Fp---ePo

Ff

Fuerza periférica Fuerza de fricción

Mi

Momento

JI. k 83

+1 -1

de impulsión

Angulo de contacto en radianes. Debe emplearse siempre en las fórmulas su valor más pequeño Coeficiente de fricción de deslizamiento (Valor empírico para bandas de cuero sobre poleas de acero. JI. 0.22 0.012 v )

=

Velocidad

e

Fa(epa + 1) ----2 (epa- 1)

de la banda (mis) 2.718281... (Base de los logaritmos

naturales)

+

Estática Poleas POLEAS Y POLIPASTOS

Los valores indicados toman en cuenta sólo la rigidez de los cables y no la fricción en los cojinetes. Incógnita

mm k84 liI k85

mm k86

m

k 87

Polea fija

tG

Palea móvil

t

--G 1+t

Polipasto Común

ín

(E: -

Diferencial

I

1)

---G ín_1

1

Fu

=

-G

F

=

G

-G

2_ G

s

=

h

2h

nh

t:

1

2

n

2_ 2

(1 _ ~O \I G 2h 1-

dio

= --Fuerza = -Fo = -hs Carga G

k88

Ventaja mecánica i

k89

FI Fuerzapara subir la carga (sin fricción) F" Fuerzapara bajar la carga (sin fricción) F Fuerzasin considerar la rigidez del cable ni la fricción 1 t: TI Factor de pérdidapor ~arigidez del cable (para cables métálicos y cadenas E!!! 1.05) ." Eficiencia s Recorrido de la fuerza n Númerode poleas h Recorridode la carga

=

I

Cinemática Conceptos generales GENERALIDADES

La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos en función del tiempo. Cantidadesmás importantes de la cinemática y sus unidades Longitud l. ver K 1 Angulo. ver E 1 Tiempo t Véanselas explicacionesal principio del libro. Unidades:s. minoh Frecuencia f La frecuencia de una oscilación es el númerode ciclos (alternaciones completas) por unidad de tiempo. ,

Númerode oscilaciones

1

f=

Tiempode observación

Unidades:Hz (hertz)

= c/s = lis

(c

= ciclo)

Periodo T El periodo es el tiempo en que se efectúa una oscilación (o rotación) completa. Es el recíproco de la frecuencia. 1

I 2

T=f

Unidades:s Frecuencia de rotación o número de revoluciones por unidad de tiempo La frecuenciade rotación de un cuerpo giratorio es la relaciónentre el número de vueltas o revoluciones y el tiempo de observación. I 3

Númerode revoluciones n = ---------,Tiempode observación Unidades;l/s. l/min; reviso rpm. El recíproco de n es la duración de cada vuelta o revolución. SI una oscilación o vibración está relacionada directamente con una rotación y sus periodos son iguales.entonces n = t,

•

Cinemática Conceptos generales Velocidad v La velocidad v es la primera derivada de la distancia recorrida s con respecto al tiempo t:

t 4

ds • v=-=s dt Si la velocidad es constante en el tiempo se tiene:

t 5

s

v=-

t

Unidades: mis, km/h Velocidad angular .J, frecuencia angular O) La velocidad angular ., es la primera derivada con respecto al tíempo del ángulo de giro o rotación:

t 6

dq, , w=dt=q, Si la velocidad angular es constante en el tiempo:

t 7

•J='±t En el caso en que f = n (ver13) la velocidad angular frecuencia angular o

t

8

., = 2rrl = 2rrn=

.J es igual a la

q,

Unidades: 1/s, radls Aceleración a La aceleración a es la primera derivada de la velocidad v con respecto al tiempo t: I 9

dv, d's a=-=v=--=s dt dt'

,.

Unidades: mis", (km/h)/s Aceleración angular a La aceleración angular a es la primera derivada de la velocidad angular ., con respecto al tiempo t: I 10

dO) d·q". a =;:¡¡-= ., = (j¡;;- = Unidades: 1/s", rad/s'

q,

•

Cinemática

L3

Diagramas

DISTANCIA RECORRIDA,VELOCIDAD Y ACElERACION DE UN PUNTO MATERIAL EN MOVIMIENTO Diagramarecorrido-tiempo(curva s-tI Unagráfica s-t se traza a partir de la forma del movimientoen función del tiempo. La primera derivadade esta función expresa la velocidad v en un instante determinado.

s(rp)

liS v:::!!:-

, 11

lit

ds v=-=s dt

.

Diagramavelocidad-tiempo(curvav-r) la variaciónde la velocidadse representa en una gráfica v-t. la primeraderivadade la función respectivada la aceleracióna en un instante determinado.Por lo tanto, es tambiénla segundaderivadade la función que correspondea la distancia recorrida s.

v (UJ)

I

liv

a",,-

lit

, 12

dv . .. a=-=v=s dt la superficie hachuradarepresentael recorrido s(t). Diagramaaceleracióntiempo (curva a-ti la variación de la aceleración se representa en una gráfica a-t, que permite determinarvalores extremos.

, 13 , 14

a > O la aceleraciónpositiva corresponde a aumentoen la velocidad. a < O la aceleración negativa (retardación o desaceleración)corresponde a disminuciónen la velocidad.

a (0:)

~:

f-L-br

Nota para las figuras las literales entre paréntesiscorrespondenal movimientoangular o de rotación (ver l 2 Y l 6).

Cinemática Movimientos principales TRASLACION o MOVIMIENTO RECTILlNEO Las trayectoriasson rectas (ver L 5). Todos los puntos de un cuerpo describen trayectorias idénticas. Movimientosrectilíneosespeciales uniforme I uniformementeacelerado 115

v = vo= const.

I

fJ!} " 'Á =

a = ao = constante

V8

=

12 Ve

ROTACIONO MOVIMIENTO CIRCULARALREDEDORDE UN EJE FIJO Lastrayectoriasson circulares(ver L 6) estando el eje en el centro. El ángulo de giro 'la velocidad angular", y la aceleración angular " tienen igual valor en todos los puntos.

Movimientoscirculares especiales uniforme uniformementeacelerado 116

117 118

•

'"=

wo = constante " = "o =constante La distancia recorrida s. la velocidadv y la aceleracióntangencial e¡ son proporcionales al radio:

5= r; v = ,"';

a=

'a = ae

Aceleraciónnormal (o centrípeta) a, =

w', = -v'r

MOVIMIENTO ARMONICO Las trayectoriasson.circulares (ver M 7) o rectas (ver L 7, M 6). El cuerpo se mueve a uno y otro lado de su posición de equilibrio. El máximodesplazamientocon respecto a esta posiciónse llamaamplitud. En el caso de las oscilacionesarmónicasla posición, la velocidady la aceleraciónson funcionessenoidalesdel tiempo.

Resorte ::. ":l;/

~'-....

Pos. de equll.

,

~

Olnemátlca

IL 5

Movimiento rectilíneo

MOVIMIENTOS UNIFORME Y UNIFORMEMENTE ACELERADO , unltormemente

"C:V uniforme ::::1~~a=O ~rl v = const

5=

vt

120

v

=

-

íI

5

(a

O)

< O)

a = const.

vt

aF

2

2

EU

v.. > O

v.. =O

~"'

iI 119

(a>

{ acelerado retardado

t

2a

..jii; = !.!_ = a t t

m

1

'2 (v.. + v) = v,..t + 2" a t~

v.,

+ a t = .Jv,,~ + 2a5

cm km

mis cm/s km/h

1 21

V,,=

const,

iI 122

a=

O

iI 123

t

=

Nota:

v- at

O

v

= .Jv~ -

v - va

25

m/s2 cm/hkm/h"

v~- v} 2s

25

s

25

5

v

2a5

a

Vo

min h

+v

Las regiones hachuradas representan la distancia en un intervalo de tiempo t. La tangente del ángulo {3 representa la aceleración

recorrida

a,

s

I

Cinemática Movimiento circular alrededor de un ele filo

IL6

MOVIMIENTOS UNIFORME Y UNIFORMEMENTEACELERADO 'O ...

~3

~~ ~ o

a=O const.

(1)=

a!

mi 124

cp=

("n

>O

("t

rad

I,~,

+ at = ..J,,,,2 + 2aep

l/s

--4-------4-------------~----------------~m/m·s~ (I~,=

mi 127 mi 128

EU

a= const.

(1),,=0

125

iI 1 26

(a >0) (a
. {acelerado uniforme uniformemente retardado

const.

1"-

O

at

= "",,2 (,)-

rad/s 2acp

-('),.,-

O

t

= ("

Nota:

f2cf=~=~ j -; a

(1,

s

~=~ a

1/s2 m/m-srad/s~

(1),,+(1)

min h

Las regioneshachuradasrepresentanel ángulo descrito cp (en radianes)en un intervalo de tiempo t. Angulo de giro:

cp = cpo =

2,,-' Núm.de vueltas 360°. Núm.de vueltas

La tangente del ángulo Jl representa la aceleración a.

I

Cinemática

L7

Movimiento oscilatorio OSCILACIONES

ARMONICAS

RECTILINEAS

El movimiento de un cuerpo suspendido de un resorte helicoidal es una oscilación de esta clase. Las funciones del tiempo s, v, a en este movimiento son iguales a las proyecciones sobre un diámetro fijo. de las cantidades s. v V a, correspondientes al movimiento circular uniforme de un punto material. Movimiento circular uniforme

Oscilaciones armónicas

Desplazamiento

mi 129

cf>= (11( + cp.; b =

r(tot

+ .p,,)

I 130 Aceleración

131

132.

a=O;

v2

a=

an=-=f(J¡2 r

dv

dt =

+

- Aw2sen ((Jlt

.po)

Ecuación diferencial de una oscilación armónica d2s a=--=-(JlllS dt2 .po Posición angular cuando t O s Desplazamiento lineal '1> Posición angular al tiempo t A Amplitud (despl. máx.) a, Aceleración centrlpeta Radio de la trayectoria L Radio (vector) de posición circular b Arco de trayectoria B. e Límites de la oscilación

=

Cinemática

La

Caída libre y tiro CAlDA LIBRE y TIRO VERTICAL Magnitud a calcular

Caída libre

o

Nivel de

iI 133

h=

g v -p=-t 2 2

134

v=

gt

1 35

t=

v~ =-

VD -

t

g

EU

g v,,+ v v"t-"'2t2=-2-t

2

=~=yI2gh

.!..

(v, > O) (v.. < O)

Nivel de partida

partida

+h

Magnitud a calcular

Tiro {hacia arriba vertical hacia abajo

v.. =O

= 3...!!_ = ~

=.,¡ V.

g t

2-

v, - v

v

g TIRO HORIZONTAL

Tiro horizontal a=O

m cm mis km/h

2gh

s

2h g v.. v E INCLINADO

+

min

Tiro {hacia arriba la> O) inclinado hacia abajo (a< O)

v.. > O

v,

EU

>O

I mi 136

v,)

s=

iI 137

h=

138

v=

m

COSa

v,) sena -

cm

fp

m cm mIs km/s

.,¡v,,~ + g~ t"

ALCANCE L Y ALTURA SUPERIOR H EN EL TIRO OBLICUO

139 140

vu:l

Valores cualesquiera

L =--sen2a

H =--

g

v.. tL =-g- sena

Valores máximos~

142

tH

m

sen"a sena

cm

s min

cuando a = 90·

Lllló., = ~" tLllló.,

a

2g

V" 'r=:»:

cuando a = 45°

I 41

v,o"

~g~~=--+

Hllló." = ~ 2~

m -r_c_m __

=

tHllló"

= ;"

m~n

v"

f

Angulo de tiro (respecto a la horizontal) Tiempo para la altura H t : Tiempo para el alcance L

I

Cinemática

L9

Movimiento en el plano inclinado DESLIZAMIENTO

mi 143

I

sin

Magnitud a calcular

con

fricción g(sen a - p. cos a.)

g sen a

a=

o bien.

144 145

v=

146

s=

gsen(a-

at=~=V2iS t

O ...

a

at~

vt

v~

2

2

2a

a*

a*

<1>.....

i2:_ I

RODAMIENTO

mi 147

I

sin

Magnitud a calcular

g ,~ --sena

a=

con

fricción

'>0 , sena - -COSa ,

,"+ 'i"

g," ------

,"+ 'i

2

148 I 49

s

150

=

como en 1 46

O ... a..óz

a

ami,.:

tana,.¡f,.

,

,

=-

,~+ 'i"'i -"

1 51

tana ...... =p., Cono macizo

Cilindro macizo

2

Tubo de pared delgada

2

'i~= 5'"

152 a*

153 154

"

--v-=-~----c-o-m-o-Le-n-/~4~5~-----~

Angulo de volteo (centro de gravedad Cg verticalmente sobre la arista de volteo)

p.

Coeficiente de fricción dinámica (ver Z 20)

p..

Coeficiente de fricción estática (ver Z 20)

Angulo de fricción dinámica (p.= tan <1» <1>0 Angulo de fricción estática (p.o = tan 0) f Brazo de momento en la fricción dinámica (ver Z 20 y k 70) r. Radio de inercia (o de giro)

Cinemática

L

Mecanismos

mi 155 156 , 57

BIEI¡A Y MANIVELA

= r(l

- cosq,)

2

r

1

1

A=7=4'''6

, 59

q,=(I)t=27rnt (A es la relación manivela a biela)

I 60 , 61 , 62 163

(O CIGOEi4Al.)

+ 2" r sen'q, v = sor sen q, (1 + A cosq,) a =cu r(cosq, + A COS2q,) s

158

mi

10

de longitudes

MANIVELA

de

Y CORREDERA

= r sen (cut) v = cur cos (cut) a = - w r sen (cut)

s

w=27rn (Movimiento:

oscilación

armónIca)

I

TRANSMISION DE CARDAN Con entrada uniforme. la salida es no uniforme

uniforme. con eje o árbol auxiliar H

Entrada

'(J,

-1J'_~;¡T

...,

,4-A

i~;Z:~2 "~

···'<..~/2

"jf'

H

Solida

w~~ A__""'"

wJ

Si todos lOSejes o árboles están en un plano entonces se cumple que: tan

cp.~2 = tan q"

O)~ 2 =0),

166

• COS{J cos/J

tan

q,3 = tan

q"

tan q,,, = tan q" w,,=

--------

1 - sen"2 /J ' sen"2 q" 2

2

O),

sen"2 /J' cos /J • sen 2 q" (1 - sen"2 /J' sen"2 q,,)

2

Las dos líneas ejes A de las articulaciones del árbol auxiliar deben moverse paralelamente Cuanto mayor sea el ángulo /J de inclinación. tanto mayor será la aceleración máxima a y. asimismo. el momento (o par) acelerante. Por lo que en la práctica debe tomarse /J ;;;; 45°.

Dinámica Conceptos generales Definición

La dinámica estudia las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento y los conceptos afines de trabajo. energía y potencia. Principales

cantidades

de la dmámica

y sus unidades

Masa m (es una cantidad fundamental; ver las Explicaciones ge-

nerales) Unidades: g. kg. Mg (=1)

1 Kg es la masa de un prototipo internacional. En una balanza común se mide la masa de un cuerpo y no su peso. Fuerza F y peso G Elvectorfuerzaes igualal productode la masapor el vectoraceleración.En términosde su magnitud.la fuerza F es igualal productode la masam y la aceleracióna. m

F=ma

El peso G es el efecto de la aceleración de la gravedad 9 sobre la masa m.

m 2

G=mg

Con una balanza de resorte se mide directamente el peso como una fuerza. Unidades: N. kgf 1 N es la fuerza que imparte a un cuerpo con una masa de 1 kg (o sea. 1 N . s' . m-I) una aceleración de 1 mis'. 1 kgf (= 9.81 N) se define como la fuerza que el campo gravltacional terrestre ejerce sobre una masa de 1 kg en una localización estándar donde 9 = 9.81 mis'. Trabajo W

El trabajo (mecánico)es el productoescalardel vectorfuerzapor el vectordesplazamiento.Si la fuerzaes constantey se ejercesobreun cuerpoconmovimientorectilíneoen la direcciónde la fuerza. W = Fs. Unidades:joule (J) = N . m = W· s : kqf-rn: kcal; cv· h; hp : h Si una fuerza de 1 N se ejerce a lo largo de una trayectoria de 1 m. efectúa un trabajo (energía)de 1 N . 1 m = 1 J. P La potencia P es la rapidez de variación del trabajo. Si el trabajo (energía) es uniformemente creciente o decreciente. la potencia será el cociente de trabajo y tiempo (P = WIt). Unidades:watt (W) = J/s; kgf . mis; kcal/h; cv; hp 1 W es la potencia constante en el tiempo que corresponde a una transformación o transferencia de energía igual a 1 J/s.

Potencia

1 W= 1J/s

I

Dinámica Masa y momento de inercia de masa DEFINICION DEL MOMENTO DE INERCIA DE MASA J El momento de inercia de la masa de un cuerpo con respecto a un eje que pase por C es la suma de los productos de los elementos de masa y el cuadrado de su distancia al eje de rotación C.

m

3

J =I

r' sm = Sr'

kg. m'. utm : m'

dm

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos (ver también I 9) Si el momento de inercia de una masa con respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad C es Jo. entonces el momento de inercia J con respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por O, situado a una distancia le, es

m

4

J = Jc

+ mI"'

kg' m'. utrn- m'

Radio de inercia (o radio de giro) r, El radio de inercia r, es el radio de un cilindro ideal infinitesimalmente delgado. en el cual se puede suponer concentrada toda la masa del cuerpo y que tiene el momento de inercia J con respecto a su eje.

m

de donde

5

m, cm

r;=A

Electo de inercia (o de volante)

m 6 m 7

G d;' = 4 9 J

Efecto de inercia

Masa reducida

m,.,Jd

=-¡:;

kg, utm

Fórmulas básicas Movimiento rectilíneo Fórmula Unidades

m 11 m 12 m 13 m 14

kgf'm'

(para cuerpos que ruedan) J

m 8

m 9 m 10

N'm',

(Ver fórmulas en M 3)

F ==mB W =Fs (F 1 E. ='2mv'

= const.)

N, kgf

J, kgf' m

Movimiento circular Fórmula Unidades M =Ja N'm, kgf' m W Mq, (M cte.) J. kgf' m 1 E, ='2Jw'

= =

w 27rn (rps) Ep =Gh 1 1 E, =-F t>I E'='2Mt>fj 2 dW dW P =--=Mw P =--=Fv W, kW. cv dt dt Para los símbolos de las fórmulas ver M 4

rps. rpm

J. kgf' m W, kW, cv

•

Dinámica Momentos de inercia de masa

-

m 15

. Con respecto al ele e-e (de revolución) ce (que t eje pasab-b por el

J

=

~:m r"

Cuerpos

~~~n~r~O~de~m~a~s:a~c~)~-+~~~~::~~ J 1 Aro circular

="2mr2 .!!,~b

, ·...... 0

m 16

m 17

J

=2.2 mr"

J

m

= -12 (3 r" + h··)-

m 18

m 19

J ="2m(R~+ 1 r") J

m 20

d?

m2·1

m

=2

(R"

3

+ r")

J

=-m

r2

J

=~m

r2

10

d¡2

m

= 12 (3 R" + 3 r + h") 2

= 2.3 (3 ~. + 3 r + h") rt:

2

I

m 22 m 23

10

J

= 10m r2

J

=m

4

m 24

m

m 25 m 26

m 27

4

R2

+ 5r

2

la

8 _!2~Q_

dl J

=4

R2

+3r

1

= -m(d +4 2

~L

2

) d,' ~ ~

m 28

*Si

Id' + c'l

~s~rla~

d,e « 1,-;J-="7n;;-;;~~----~-----_L_:=t~~a~·~ .., = (m/3)'~

Dinámica Rotación Energíacinética total de un cuerpo

m 29

E,

1

1

= 2m v' + 2J, (,,'

J. kgf'm

Energíacinética de un cuerpo que rueda sin resbalar

m 30 m 31

1

E,

= 2 (m + m",) v"

V

=wf

J, kgf' m

mIs

Momento de rotación

m 32

P

P

M=-=

i»

N'm. kgf'm

27rn (rps)

P (cv) P(kW) = 973,4 --kgf' m kgf'm=716 n (rpm) n (rpm)

Relacionesde transmisión Elemento impulsor

Relaciónde transmisión m33

. I

d';!

Z;!

n1

(/JI

di

ZI

n;!

tI)..!

=-=-=-=-

I

Relación de momentos m34

Momento aplicado

MA

Momento resistente

M.

Eficiencia m 35

l' =

Potencia de salida Potencia de entrada

Eficiencia global de varias transmisiones m36

Elemento impulsado

"'="I,'1t,'''t.,'

m", v F M E, E. E, Al A/3

(Ver m 8) Velocidad del centro de masa (traslación) Fuerzaaplicada Momentode fuerza en rotación Energíacinética Energíapotencial Energíaelástica de un resorte helicoidal Deformación longitudinal del resorte Deformaciónangular de un resorte espiral

mIs N, kgf N 'm, kgf'm J, kgf' m J, kgf 'm J. kgf' m m. cm rad

Dinámica Fuerza centrífuga y esfuerzos

M

5

FUERZA CENTRIFUGA

iD m 37

r.;

=mw2,=--

Fer•.

m v2

,

N. kgf

= 41r2m n2,

m38 m39

v

m40

w = 21rn

N. kgf

= 21r' n

rps, rpm

ESFUERZOS POR EFECTO CENTRIFUGO

Disco v2p

W2,2p

m 41

(T,

.,

mis. km/h

=---= -3

3

N/m2•

kgf/cm2

EN CUERPOS ROTATORIOS

F.~{1}~

Anillo w2p

m42

(1,

=-3-

('12

+ '1 '2 + '22) N/m2•

le

e f Fdg. J" J" MI (1,

T VE VF

EeE

F•.r...

kgf/cm2

Distancia del centro de gravedad m. cm. mm m. cm. mm Elongación máxima del péndulo m. cm. mm Elongacióndel péndulo Fuerzacentrífuga N. kgf Momentode inercia de masacon respectoa O kg . m2• utm . m2 Momentode inercia de masacon respectoa e kg' m2• utm- m2 Momentoal girar un resorte espiral un ángulo ó. q, = 1 rad N . m. kgf . m Esfuerzode tensión N/m2• kgf/cm2• kgflmm2 Periodode oscilación (tiempodel movimiento de B a B' y a B) s, min m/s. cm/s Velocidad en E mis. om/s Velocidaden F Energíacinética en E J. kgf' m

I

Dinámica

M6

Oscilaciones armónicas OSCILACIONESMECANICAS (VertambiénL 4 Y L 7)

mm m 43

Generalidades Periodo

T

m 44

Constante de resorte e

m 45

Frecuencia

m 46

Frecuencia angular

G M 1

=T (1)

(ver L 1 )

=27rf=

jf

rad/s

Velocidadcrítica (por flexión) de un eje de transmisión,n;

nk=2_

m 47 m

E

27r'¡m

48

=300

e, (kgf/cm) ----rpm m (kg)

I

Constantede carga elástica e, para ejes con 2 soportes con soporte movible

m 49

48 El

e,

=---¡;-

3 El

e, =--¡;-

Al Deflexión,o bien, distensión de un resorte I Momentode inercia de la seccióntransversalde un eje (o árbol) m Masa. Al determinar la velocidad crítica se considera la masa (por ejemplo, la de una polea) concentrada en un punto, La masadel eje o árbol se toma en cuenta aumentandola anterior. e, Constantede resorte para oscilaciones elásticas transversales

Dinámica Oscilaciones armónicas MOVIMIENTO PENDULAR (Ver también L 4)

iI m50

Péndulocónico (o centrífugo) T

=27r~=27r~ r(l)2

m 51

tana=--=9

m 52

(I)=Jflh=

s,min

r h 9

~---"

m, cm

/

Péndulo simple Masa oscilante concentrada en un punto, Brazo del péndula con masa cero

iI m53

T

m54

VE =e~

m 55

e. = mgu

iI m 56

= 27r

.JI.

s, min

vF=Jf(e2-f2)

mis

e2

J

I

Péndulo físico T

= 27r

J]f;;

m 57

Jo =Je+mle"

m58

F Ju =G1u ( ---, 47r~

le) 9

kg'

m"

kg'

m~

Si un cuerpo con centro de gravedad en e a una distancia lu de O, se suspende de O y se pone a oscilar, su periodo de oscilación T se determina experimentalmente, y con la fórmula m 58 se puede calcular su momento de inercia Ju con relación a C.

iI m 59

Péndulo de torsión T

=27r

vii. ~

]~

s,min~

Vea el significado de los sjmbolos en M 5

A~

Dinámica

Me

Choques CHOQUE O IMPACTO

m 60 m 61

Si dos cuerpos con masas m, y m, y velocidades Vil y V~, chocan entre sí. la cantidad total de movimientop = mv permanececonstante durante el choque (las velocidadescambiana V,:! y vd: p

= m,

. VII

+ m~ . V~, = m,

. V,~

+ m:! . V:!'~

Tipos de choques Velocidadesparalelas a las Directo y normalesal área de choque central Oblicuo y central Oblicuo y no central

Velocidades en direcciones cualesquiera

Las normales pasan por los centrosde masade los cuerpos Normales en posiciones cualesquiera

Clases de choques Elástico*

mi m62 m63

m64

Velocidades relativas Velocidades después del choque si es directo y central Coeficiente de resti. tución

Plástico

Son de igual magnitudantes y despuésdel choque VI!!

V~2

==

=

v" (m, -

m~)

+

2m~ . V~,

+

2m •. v ••

Son nulas después del choque

m, +m~ V~.

(m~ - m.)

VU:!

==

mi . VII + m +m l

m2 • V21 2

m. +m~ (=0

(= 1

Coeficiente de restitución ( Mide en qué grado varían las velocidades relativas antes (Vrl) y despuésdel choque (Vr2): m 65

V2 ( = --o r

donde O ~ (~

Vrl

*En el choqueelástico oblicuo y central. el vector velocidad se descompone en sus componentesnormal y tangencial. La componente normal Vn ocasiona un ohoque directo. pero la componente tangencial v, no influye en el choque.

1

I

Hidráulica Conceptos generales - Hldrostátlca GENERALIDADES

La hidráulica estudia el comportamiento de los líquidos. Estas sustancias pueden considerarse como incompresibles en la mayor parte de los casos; es decir. sus cambios de densidad. al variar la presión. son despreciables. Magnitudes

Presión p. Ver O 1 Densidadp. Ver O 1 Viscosidad dinámicar¡. (EU: Pa . s = kg . m-l. S-I) La viscosidaddinámica es una característica de los fluidos para la cual se cumple que: n

n= t(P.

1

t)

Con frecuencia puede despreciarse la dependenciade la presión. en cuyo caso r¡ =t(t)

n 2

(Los valores numéricos) pueden verse en Z 16)

Viscosidadcinemática 1'. (EU: m2/s) La viscosidad cinemática es la relación entre la viscosidad dinámica r¡ y la densidadp :

v=J..p

n 3

HIDROSTATICA

iiI

Distribución de la presión en un líquido

n 4

PI=Pu+gph,

n 5

P2

= PI + g r (h~ =PI

+ g(>c.h

h,)

I

Hidráulica Hidrostática Presión de un líquido sobre una superficie plana Por fuerza de presión hidrostática F de un líquldo sobre una superficie.se entiende la fuerza que ejerce el líquido exclusivamente, es decir, sin tomar en cuenta la presión Po.

ii n 6 n

F

= 9 P YeA cos a = t;

7

YD=--=Ye+--; YeA

9 P heA

le

YeA

Ixy

XD=-YeA

Presión de un líquido sobre una superficie curva La fuerza de presión que ejerce un lfquido sobre la superficie curva 1-2, se descompone en una componente horizontal Fu y otra vertical F ••. La componente F.· es igual al peso del líquido contenido en el volumen V en (a) o en (b). La línea de acción pasa por el centroide del volumen.

n

IFvl =gpV

8

I

N, kN

La componente F H es la fuerza debida a la presión del líquido sobre la proyección de la superficie 1-2 sobre el plano perpendicular a FH• Los cálculos se realizan mediante las relaciones n 6 y n 7.

e O Ix le Iry

Centroide de la superficie A Centro de presión (punto de aplicación de F) Momento de inercia de A con respecto al eje x Momento de inercia de A con respecto a un eje por e paralelo al eje x (ver 110 y P 3) Producto de inercia de A con respecto a los ejes x y y (ver 110)

Hidráulica

N3

Hidrostática EMPUJE ASCENSIONAL

mi n 9

El empujehidrostático ascensionalF1 es numéricamenteigual a la sumade los pesosde los líquidosdesplazados por el cuerposumergido.y cuyasdensidadessonp y p ', respectivamente. FA= g P V

+ g p' V'

Si el fluido con densidadp' es un gas puede considerarseque n 10

FA:.:gpV

l

Si pe es la densidaddel cuerpo sumergidoresulta que si: n 11 n 12 n 13

P > Pe. el cuerpo flot_a . = Pe. el cuerpo esta suspendido (J < pe. el cuerpo se hunde

p

en el líquido más denso

Determinaciónde la densidadp de cuerpos sólidos y líquidos Para sólidos con densidad mayor menor que el líquido empleado

I

iI n 14 mn 15 n 16

Para líquidos se considera primero F' y m con un cuerpo cualquieradentro de un líquido de densidadconocidap~ F

1 I'=PL--F1-mg

1 P=PL Fa_ F 1+-mg

1---

mg

P=P'--F'1--mg

iI

m F Fa PL

Masa del cuerpo suspendidoen el líquido Fuerzade equilibrio Fuerzade equilibrio en el experimentocon el cuerpo auxiliar Densidaddel líquido en que se pesa

I

Hidráulica Hidrodinámica FLUJO ESTACIONARIO

Teorema de continuidad (Principio de conservaciónde la masa) Ecuaciónde continuidad: n 17

A, V,P,

= A vp = A, v,p,

Flujo de masa:

m=Vp

n 18

kg/s, gIs

Flujo de volumen (gasto):

V =Av=~

n 19

m"/s, cmvs

Teorema de Bernoulli (Principio de conservaciónde la energía) FlujOideal (sin fricción): n 20

PI

P + 9 Z, p

p

Vl2

P

+"2 = p +

v2

9z

v'

V22

9 Z2

+"2

J/kg

energía de presión por unidad de masa

9 z energía potencial por unidad de masa

"2

P2

+ "2 = p +

energía cinética unidad de masa

por

0P'

M

~:lL

Flujo real (en el que hay rozamiento) n 21

J/kg W{l,'

•

pérdidade energíapor fricción desde 1 hasta2

Hidráulica

Ns

Hidrodinámica Potencia de una máquina hidráulica

n22

mis. cv

W. kgt· Trabajo de conversión

mi n

por unidad de masa:

1

23

Wc1.2

= P (PI

-

n 24

para máquinas

n 25

para

p~)

máquinas

+ 9 (ZI

1

-

generatrices

Z2)

+ '2 (V12 -

(o impulsoras)

motrices

V22) -

Wf1.2

>O Wc 1. 2 < O Wc1.2

Teorema del momentum (o impetu) En el caso de un fluido (incompresible) que circula por un "volumen de control" fijo en el espacio se cumple la siguiente ecuación vectorial: :1

n 26 :1 F

F = m (V; - vr)

son las fuerzas que actúan control. Pueden ser fuerzas de volumen fuerzas

de presión

fuerzas

de fricción.

N. kgf

sobre el fluido en el volumen

de

I

(por ejemplo. el peso)

v;

Velocidad

de salida del fluido del volumen

~

Velocidad

de entrada

del fluido al volumen

de control de control

Teorema de la cantidad de momento angular

iI n 27

Sobre un fluido (incompresible) que circula a través de un volumen de control fijo se ejerce el momento rotacional M:

N' m. kgf' m V:.u y Vl.u son. respectivamente. las componentes tangenciales de las velocidades de salida y de entrada del fluido en el volumen de control.

r2 Y r, son. respectivamente.

los radios correspondientes

a Vz y

VI.

Hidráulica

N6

Hidrodinámica

PERDIDADE ENERGIAPOR FRICCION EN EL FLUJO A TRAVES DE UN TUBO n 28 n 29

Pérdida de energia por } unidad de masa Pérdida de presión

v2

~1.2=1(,a

2)'

de donde

I1Pv =PWjl,2

Determinacióndel factor de resistencia friccional, y del factor de forma a:

mi mi n 30

Tubos de sección no circular

Tubos de sección circular Re

= vdp

n 31

Si Re

<

n 32

Si Re

>

Re=

2320.el flulo es turbulento Flujo

FlujO laminar

iI n33

,=~

turbulento"

laminar

64

I a =- en tubos rectos d

n 34

a= 1

n 35

vdlrp

TJ

TJ 2320. 31 flujo es laminar

a

= -a,I

turbulento*

,=

k

f(Re,-) dlr

en tubos reotos

en conexiones

Determinacióndel factor c/> n 36 Dld n 37

n38

Para secciones rectangulares

Diámetro interior libre del tubo 1I Longitud del tubo Diámetro hidráulico Re Número de Reynolds Sección transversal perpendicular a la dirección del flulo Perímetro motado (y kldh) Rugosidad relativa k Altura media de todas las asperezas (ver Z 16) * El valor de t se obtiene del diagrama en Z 15 d

dlr A PM kld

(= 4 AlPM)

I

Hidráulica Hidrodinámica SALIDA DE LIQUIDOS EN RECIPIENTES

mi

Con orificio en el fondo

v=cpV29H

n 39

n 40

V=cpf.AV29H=!l}

mi

Con orificio lateral pequeño

n 41

v = cpV29H

n 42

s =2..JHh

n 43

V = cp f. A ",j"2g"R = !l}

-

~

~-J¡~

F =pl!v

n 44

Con orificio lateral grande

. 2 V=-f.b

n 45

3

yTg 2g(H.,'I2-H.%)

+

-

f ~1~~

Con presión interior (PI) sobre la superficie libre

l-==--= ~

n 46

I

n 47

mi n

Con presión interior sobre la descarga

48

v=cpl'f li=cpf.An

n 49

v PI

cp

Velocidad de descarga mis Presión interior (mayor que la externa) Coeficiente de fricción del Iíquído (para el agua cp 0.97) Coeficiente de contracción (f. 0.62 para orificios con bordes agudos; ( 0.97 para orificios con bordes redondeados) Fuerza de reacción Flujo volumétrico (gasto, !l}) mats, m~/h, lit/min Ancho de orificio mm, cm

=

F

V b

=

=

Térmica Variables termodinámicas de estado Variables de estado son la presión p, la temperatura absoluta T V la densidad 1', o bien, el volumen especifico v. Presión p (EU: N/m' = Pa, bar, kgf/cm') La presión es la relación de la fuerza F al área de la superficie, A:

o 1

F

=: La presión absoluta de un fluido puede interpretarse como la fuerza total Que ejercen las moléculas al chocar contra las paredes del recipiente. La presión p' medida con un manómetro es la diferencia entre la presión absoluta y la presión exterior o atmosférica P.; cuando p' > O se denomina "presión efectiva", o simplemente "presión". Si p' < O se llama entonces "vacío" o "depresión". De ahí se obtiene Que la presión absoluta pes:

o 2

P=P.+P' Temperatura T, t (Magnitud básica; ver Explicaciones generales) La unidad de temperatura absoluta T, el kelvin (o anteriormente, grado Kelvin) K, se define por:

o 3

o 4

o 5

1K=~

273.16

donde T., es la temperatura (absoluta) del punto triple del agua pura. Además de la escala Kelvin se emplea también la escala Celsius; la temperatura Celsius t se define internacionalmente como: t = T - 273.15 Densidad p (EU: kg/m") La densidad es la relación de la masa m al volumen V: m

P=y-

Volumen específico v (EU: m"/kg) El volumen específico es la relación del volumen V a la masa m:

o 6

V

v=-=-

m

1 p

Volumen molar VM (EU: m3/mol) El volumen molar es la relación del volumen a la cantidad de sustancia (1 mol) contenida en él:

o 7

VM=~ n Cantidad de sustancia (motes] n (Magnitud blisica; ver Explicaciones generales)

I

Térmica Calentamiento de cuerpos sólidos y líquidos CALENTAMIENTO DE SOLIDOS V LIOUlDOS Calor Q (EU:J. kcal) Calor es la energía que se transmite a través de la frontera de sistemas que están a diferente temperatura. cuando se ponen en contacto por medio de paredes diatérmicas Calor por unidad de masa q (EU: J/kg. kcal/kg) El calor q referido a la unidad de masaes la relaciónde la cantidad total de calor Q a la masam del cuerpo considerado. o

Q

8

q=-

m

Calor específico c [EU: J/(kg' K). kcal/(kg' C)) El calor específico (o capacidad térmica específica) c es el calor Q que hay que suministrar o sustraer de una masam para cambiar su temperaturaen ss. Q q c=--=-

o 9

mM

tl.t

El calor especifico es función de la temperatura. (Ver valores numéricos en Z 5 a Z 9.) Calor de transformación (por unidad de masa) '(EU: J/kg. Valores numéricosen Z 12.) El calor de transformación (o "latente") es aquel que al ser suministrado o sustraídode un cuerpo cambia su fase sin que cambie la temperatura.Se distinguen los siguientes calores "latentes". Calorde fusión

o 10 a;

'"caE

.,

o 11

"O "O ca "O

e:J

o

012

1,

Calorde vaporización Es el calor necesario para transformar

!!:. Calor de sublimación

un cuerpo sólido en uno líquido. a la temperatura de fusión un líquido a la temperatura de vaporización (dependientede la pre. sin que sión). en vapor satu- cambie rada su temun cuerpo sólido a la peratemperatura de subli- tura mación (dependiente de la presión) directamente en vapor saturado. (Temperaturainferior a la del punto triple.)

I

Térmica

03

Dilatación de cuerpos sólidos y líquidos Dilatación térmica de sólidos

Un cuerpo sólido cambiasus dimensionesal variar su temperatura. Utilizandoel coeficiente a de dilatación longitudinal (o lineal). que es dependiente de la temperatura (ver sus valores en Z 11), se tiene que:

mi o 13

Longitud:

o 14

íI15

Area:

O

o 16

(1

+ a(t

-

11

lB

Volumen:

18

2

A2 :!! Al (1 t:.A

o 17 O

12 =/. t:.I=/2

V2 t:.V

=A :!!

2 -

VI (1

=V

2 -

t.))

-

= 1 a(t 1

2

+ 2a(t Al

:!!

2

:!!

-

,---------~-1

tI))

Al 2a(t2

+ 3a(t2 VI

-

td

-

-

t.)

-

tI)

I Al

A2

L_J

tdl

VI 3a(t2

Dilatación térmica de líquidos

Con e. el coeficiente de dilatación volumétrica (o cúbica) ~ependiente también de la temperatura- se tiene:

iI o 19

V2

sv

020

= VI (1 + f3 (t tdl = V VI = VI P (t 2 -

2 -

2 -

tI)

Def/exión térmica t:.

Una deflexión térmica se presenta en elementos bimetálicos. los cuales se flexionan por calentamiento hacia la cara donde está el metal con menor coeficiente de dilatación. Designandocon la "deflexión térmica especifica" (pueden verse sus valores en la norma DIN 1715)se obtiene para la deflexión térmica total t:.:

o

ii o 21

t:.=--

/1

12 VI V2

s

Longitud a tI Longitud a t2 Volumen a ti Volumen a t2 Espesor

----~W L~

s

Area a tI Area a t2 Temperatura inicial tI Temperatura final t2 t:.t Incrementode temperatura Al A2

I

Térmica Estados y cambios de estado de gases y vapores

mi 022

Ecuaciónde estado para gases ideales El estadode un gas se determinapor dos variables termodinámicas, de manera que la tercera puede calcularse empleando la ecuaciónde estado.En el caso de gasesidealeses válida la ecuación siguiente,en la que la constantede gas R dependedel tipo de sustancia(ver Z 12): p v

=RT

o bien,

p V

= mR T

o bien,

Si se refiere la constantedel gas a la cantidadde sustancia(1 mol) entoncesse cumpleparatodos los gasesideales,con R" = 8314.3 J/(kmol . K) como constante universal de los gases (ideales),que 023

pVM=RMT

Si M es la masamolar (ver Z 12) se tiene:

o 24

R"

= MR

Estado de gases no ideales y vapores El estado termodinámicode gases reales y vapores se determina empleandoecuacioneso diagramasespeciales. Cambiosde estado o procesos Los cambiosde estadoen un sistema son inducidospor sus interacciones con el medio que lo rodea. Dichas interacciones se calculan empleandola primera y la segundaleyes de la termodinámica. Segunda ley en Primeraley en el casode un el caso de sistema cualquier cerrado abierto sistema 025

o 26 o 27

ql.Z

-W1.2

= U2 -

U1

ql.

Z -

Wcl. Z

= hz

- n, +~e

En estas tórrnulas se empleanlos símbolos con el significado que se indica. y referidos a la unidad de masa.

h

u WI.

z

Wcl.2

s .1e

entalpíaespecífica energía interna específica trabajo (discontinuo,proceso con cambio de volumen) (ver O 7) trabajo (continuo,procesoen régimenpermanente)(ver O 7) entropía específica cambiosen energíacinéticao potencial

I

Térmica Cambios de estado en gases y vapores

o 28

105

Procesos en gases ideales Las relaciones deducidas de las f6rmulas o 25 a o 27 para diferentes cambios de estado se muestran en la tabla de la página O 6. A esta tabla corresponden las siguientes explicaciones. Cada proceso puede representarse en la forma siguiente: P V" = const. En la primera columna se indican la magnitud constante y el valor del exponente politrópico n. Las capacidades térmicas (e, y c.) a presi6n constante y a volumen constante, respectivamente, se consideran por lo general en su valor medio entre las temperaturas ti y t2. Son válidas las siguientes relaciones (los valores de e, (6c ) pueden verse en la página Z 13):

= (Cpm}t1• t2 =

029

Cp

030

C"

= (Cvm)tl•

031

k

= (km)',.

t2 '2

(e... )o, .2

= Cp

•

t2 - (c t2 _ ti

)o. 11 • ti

R

-

= e,le.

El cambio de entropía asociado al cambio de estado está dado por: 032

s2-sl=c,ln(i,)

-Rln(~)

=

c.ln

(i,) +

Rln(~)

Cambios de estado de gases reales y vapores La tabla que sigue muestra las relaciones para diversos procesos deducidos de las f6rmulas o 25 a o 27. Las variables de estado básicas p, v, T y las variables de estado energéticas u, h, s se relacionan con los diagramas apropiados. Cantidades por unidad de masa Proceso Trabajo (discontinuo) Trabajo (continuo) (magnitud Calor wl,2 = p dv w'l.2 = _ j:'v dp constante) Q1.2 U2 UI_ Isométrlco (h2- hI) O v(p, - po,) v= const. v(p, - pI)

f

033 034

Isobárico P =const.

035

Isotérmico T = const.

o 36

Isentr6pico Ul-U2= s = const. (h, - h2)- (p,v, - P2V2)

p= (V2- v.¡

h2-h,

O

T(S2- sI) - (u, - u,) = T(s, - s.) - (h2- h,) T(S2- s.) T(s, - s.) - (h2- h,) + (po, v, - PI v.) h,-

h,

O

•

Proceso (magn. const.) (expon. (polltr.] lsométríco v const.

=

Relaci6n entre los estados 1y 2 p,

T,

P,

T,

Wc1.2

-=-

n=oo (o 37) Isobárico P const.

=

v, T, -=-

n=O (o 38)

v,

T,

Isotérmico T const.

p,

v,

n=l

P,

v;!

=

=

r

P dv

== -

Wcl.:!

O

=

R(T, - T,)

p(v, - vd

=

~~(~r

Isentr6pico S const.

PI

=

V2

~~(~)~

n=k 40)

~=(~y,

VI

p,

Politr6pico (cualquiera) n const.

=

(o 41)

p,

T2

(::)"

R(T, -

T2

Calor (p/unid. masa)

Diagrama

ql.'l

P - v

e, (T, - Td

e, (T, - Td

O

T,)

R T In(~) WI.:l

Wl.2

=RTln(~)

Diagrama T-s

ILL.·r-:g .... 'V

ID

r-. ~.

IrTqU~

I~,

·lb.

~

el 100m.

(ji

/' I~.

ID :::1

•

mAs incl. U"l- u,=c,,(T,

-

T21

=-' RT,~-(~)7J 1<

-1

P,

,

--R(T,-T21 n -,

~=(~);; t ~=(~)d:; =~RT, VI

f

vdp

I

V(PI - p,)

-==-

(o 39)

(O

Trabajo d. . (p/unid. masa) continuo tscontinuo

h2

h¡:::cp(T,

-

=~RTl

-

T2)

~,-(~)-; k_]

O

(ji

ji ID 11

...3

_.

n m

ii"

(ji

tS_ ·[l 2

'1---

n

-~r

la 11 (ji ID

CD'

--R(T¡-T21 n -,

"-] =~RT'[-(~/] n-l

PI

n-k

C,--(T,-T,)

n-1

Indefinido

Indefinido

O O)

Térmica

07

Cambios de estado de gases ideales Diagrama p- v En procesos reversibles,el área entre la curva de cambio de estado y el eje v representa el trabajo por variación de volumen o discontinuo (por unidadde masa),y el área entre la curva y el eje p representael trabajo continuo (por unidad de masa).

p

u

Diagrama T - s En procesos reversibles, el área entre la curva y el eje s representa el calor transmitido (por unidad de masa).

Calor total transmitido El calor total transmitido (entrante o saliente), una sola vez,entre un sistema cerrado y los alrededores está dado por: J

042

El calor total transmitido continuamente (flujo de calor) entre un sistema abierto y los alrededoresestá dado por: W, J/s

043 donde

m es el flujo de masa (EU: kg/s)_

Traba;o total realizado El trabalo total realizado(entrante o saliente), una sola vez, entre un sistema cerrado y los alrededoreses: 044

J Potencia La potencia total suministrada o cedida continuamente entre un sistema abierto y los alrededoreses:

o

45

W, J/s

I

Térmica

Os

Mezclas de gases Masa m de una mezcla con componentesm" m". j:;n

o 46

+m,+ ... +m.= ¡m,

m=m,

'=1

o 47

Proporción o fracción de masa e, en una mezcla m, j:;n e, =- y ¡e,= 1

m

'=1

Númerode molesn en una mezcla con componentesn" n" ... 048

n =n,+n,+ ... +n.= ~n, '=1 Proporcióno fracción molar "', en una mezcla

n, o 49

j:;n

"',=-Y4 ",,=1 n '=1 Masa molar (peso molecular en unidades de masa) aparente M de una mezcla Para la masa molar se tiene que

oSO

m,

m

n

n

M,=- y M=-

donde M es la masamolar aparente de la mezola.El valor de M se calcula como sigue: 051

,=.

M =

¡ (M,'''',)

':;:;1

1

,=. e

¡ (...:.)

o bien, -= M '=1

M,

Cálculo de la fracción de masaa partir de la fracción molar 052

M,

e, =M"""

Presióntotal p de la mezcla y presión parcial o, de cada componente o 53

'=n

p

= ¡ o, de donde '=1

p,

= "',' P

•

Térmica

09

Mezclas de gases Proporción o fracción volumétrica r, en una mezcla Vi

r,

054

= -V = ofi

i=.

y ~ r,

=1

i=1

Se llama volumen parcial V, al volumen que un solo componente ocuparía a la temperatura T y a la presión total p de la mezcla. Para gases ideales se tiene:

o 55 Variables termodinámicas energéticas de una mezcla {.::n

o 56

= ¡ (~,' u,);

U

1=1

m

A partir de estas fórmulas puede determinarse la temperatura de la mezcla. Para gases y vapores reales. de diagramas. y en el caso de gases ideales por las relaciones siguientes:

o 57

Sistema

mm

adiabá.

o 58

tico

cerrado

abierto

cs-rn epI tI

mi

+ ep2 t2 m2 + ... + ep• t. m. ep' m

las capacidades térmicas específicas (medias) de la mezcla se determinan como sigue:

= e; -

o 59

e"

060

e, =

~ i=l

R

(~j • epi)

I

Térmica Transmisión

de calor

Debido a la diferencia de temperatura entre dos puntos fluye calor del de mayor temperatura al de menor. Se distinguen las siguientes formas de transmisión de calor:

iI o 61 ilo

Conducción térmica (en superficies sólidas) en paredes planas: en paredes de tubos:

62

twl - tw~ = Ó = A --s-tlVl - tw~ <1> = O = K A.. --s-<1>

K

tW2l!!::::.=I=* - - - en pared plana --en tubo

El área media logarítmica es:

063

Am

= 1T'dmL; por

lo tanto dm

d.-di de) ;

= -( In

mi

d;

L longitud de tubo

Convección térmica (transmisión en película de fluido) Esta transmisión consiste en el traspaso de calor de un fluido a una pared sólida o viceversa. Las moléculas, como elementos de masa, transportan la energía debido a su flulo. SI la corriente de fluido se forma por sí sola (como en el ascenso del aire en la atmósfera) se habla ~ de convección libre, en tanto que si el flujo es forzado, la convección se denot mina forzada. t", <1>

064

= Ó = a A (t -

tw)

Radiación térmica Este tipo de transmisión de calor no está ligado a la presencia de masa (por ejemplo, en la transmisión de calor radiante del Sol a la Tierra a través del vacío). Los cálculos se realizan como en o 64.

mi 065

Transmisión total de calor Con esta expresión se designa la totalidad de los procesos que participan en un proceso de transmisión de calor:

'1> = Ó = UA(t1

-

tI

t~)

Considerando el coeficiente total de transmisión de calor U se tiene que (sus valores aproximados se pueden ver en Z 13):

mi 066

en paredes planas

iI o 67

en paredes de tubos K

a

Conductividad térmica (ver sus valores en Z 5 a Z 10) Coeficiente de convección térmica (para su cálculo ver O 12)

I


iii 068

de calor

Cambiadores de calor Los cambiadores (o intercambiadores) de calor sirven para efectuar el paso de calor de un fluido a otro. El flujo de calor es:

,,> =0=

kAMm

donde Mm es la diferencia media logarítmica de temperaturas. En el caso de aparatos con flujos (o corrientes de fluido) en igual sentido, o bien, a contracorriente, se tiene:

069

Atm

= (Atmayor

Atmayor

-

In---

Atruenor)

6tmenor

Corrientes paralelas

Corrientes contrarias

A

A

a

En cambiadores que trabajan a contracorriente pueden encontrarse (Atmayor). o bien (AtOllenOl·), en otros sitios del dispositivo. Símbolos para las fórmulas de O 12: Al A2 d D H L CI, C2

Ko o 70

Pr At

te v 111iq.

7/w K

P P*

5!!

Superficie del cuerpo menor Superficie del cuerpo mayor Diámetro interior de tubo Diámetro exterior de tubo Altura de placa Longitud de tubo Constantes de radiación de superficies que intercambian calor por radiación (sus valores pueden verse en Z 14) 5.67 X 10-8 W/(m" . K'). constante de radiación del cuerpo negro. Número de Prandtl, Pr ("le,)/K Itw - t .. 1, diferencia de temperaturas entre la pared y el liquldo (o el gas), en la región no afectada ténnicamente Temperatura del medio no alterado Velocidad Viscosidad dinámica a la temperatura media del liquidO Viscosidad dinámica a la temperatura de la pared Conductividad térmica del fluido (los valores pueden verse en Z 5 a Z 10) Coeficiente de dilatación volumétrica (ver Z 11 y o n) Factor de temperatura

=

I


de calor (cont.)

CALCULO DEL COEFICIENTE DE CONVECCION TERMICA

iI o

En convección libre (según Grigull)

71

Ejo

72

o 73

= 0.55 ~Gr Pr si

Nu en una placa vertical

!iI o 74

en un

o 75

tubo horizontal

Nu K

Nu = 0.13 V'Gr Pr

a=H

10S

.',

• = viscosidad cinemática

NU=0.41~

NO u"

GrPr>

= g{J.1tH"

Gr

I a=

1700 < Gr Pr < 10S

si

Gr

GrPr<

si

('1/p)

105

= g#.1t03

.'

Los valores de los materiales deben referirse a la temperatura de o 76

referencia tH

tw+t~ = --2-

En el caso de los gases se cumple para el coeficiente de dilatación: 077

f1g:.;

= 1fT ~

En convección forzada en tuberías (según Hausen) NUK

o 78

a=-d

iI O

Nu

79

= ~.65

+

laminar

0.0668 (Re prf)

d)'"

J(~)o".

1 + 0.045 (Re PrT

'1'"

Re < 2320

>

si 104

080

mm

Flujo

Re pr':: L

> 10-1•

donde Re = vdp

f-----f------------::-------::--------

o 81

turbulento Re

> 2320

Nu = 0.116 (Re'" - 125) PrO!, 1 [

. o •• + ( Td ) "'] ('1'1~:')

si 2320 < Re < 106; 0.6 < Pr < 500; 1 «Lra « 00

Con excepción de7/w todos los valores de los materiales se refieren a la temperatura media del líquido. En gases no se emplea el factor (7]lIq.h/w),,·14

_o

o 82 83

En la radiación (coeficiente de transmisión por radiación: r ) 1'={3* C,,~

el.,=---Entre

084

¡u¡ O 85

superlicies

paralelas

r--

envol-

ventes

(1*

T,' - T,'

=--T, -

T,

.!..+.!.._2... e, e, K"

1----------------c., """::.! --:-1 -"":A-, -("":1--' c,+A; C;-K.;

)

Las explicaciones de los símbolos de las fórmulas se dan en O 11

I

p

Resistencia de materialesl Conceptos básicos

_

1

GENERALIDADES

Esfuerzo El esfuerzo en un cuerpo con carga es el cociente de la fuerza interna (de tensión, compresión o cortante) y el área considerada en el cuerpo. F 1_1=EU: N/m'; kgf/cm', kgf/mm' A Diagrama esfuerzo-deformación en el caso de acero dúctil Lfmite de proporcionalidad Lfmite de elasticidad Esfuerzo de fluencia

(lB

l1

~:~: :: f:~ue::~~a e~n tenSión

b

compresión Resistencia última

..L......L.-f---_-1__

"-'OH ~

Esfuerzo de ruptura

...L.j.L-

-&

6

Diagrama para tensión Esfuerzo penmlslble (I .. ~. Debe ser inferior al limite de elasticidad. Se determina como sigue:
P 1

=n Resistencia última del material Factor de seguridad que es Siempre mayor que 1. Su magnitud depende del tipo de carga (Tperm.

(lu

n

Clases de carga Clase

Tipo de variación

Diagrama de variación

constante

11

pulsante

111

alternante

bfp~ -f

Deformación (por unidad) ¡¡ Elongación (a la ruptura) Ao Area transversal Inicial (f= O) f

I

Resistencia de materiales Tensión y compresión Esfuerzosde tensión o de compresión",.

<1,

F

P

2

(T¡

== A ~ "/(perm.)

P

3

fTe

== A ~ fTc(perm.)

F

Módulo de elasticidad (axial)E fT

P

E =e

4

Módulo de deformación(axial) O p

<

1 0=-=-

5

E

fT

Deformaciónaxial total t>.1 p

t>.I=I..O<1=/,-I .. (ver también o 13 y o 14)

6

Tensión Compresión

Deformaciónaxial (por tensión o compresión) t>.I

P 7

f

== - == Df' 1..

Elongación(a la ruptura) p

t>.I·1oo

0=---

8

r,

o

•

<1 % =-100 % =0,,100 % E

05 para," = 5 d. 0'0 paral. = 10 d) Elemento de compresión de esfuerzo constante (incluyendosu propio peso) A una distancia cualquiera x desde su parte superior. el área necesaria A se obtiene como sigue: F

P 9

A =---exp

{Te (perm.)

l"gl"" ..=.)]X

(1",~
..

=.)

Esfuerzopermisiblede compresión

(Ver valores en Z 18) (Ver valores en Z 18)

Resistencia de materiale

P3

Flexión ACCION FLEXIONANTE Módulo de sección (resistente) S I

P 10

S

=e

Esfuerzopor flexión (T¡ Me

p 11

(T¡=-,-~fT¡(penn.1

En caso de que e = el = e~.eje neutro = eje de simetría M

p 12 p 13

(T¡

=S

Momento flexionante máximoM M = FI Momentosaxiales de inercia de áreas. módulos de sección y esfuerzos máximos por flexión Esfuerzo Módulo de Momentode máximopor área sección flexión I

mi P

S

b h"

b h"

12

6

--

14

mi P 15

-~ (04

_

64

iI p17

--

144

7ra" b

-4

18

d4)

_0

S!!<--

10 04_

d4

__

-

32

5y3S4

mi p mi

32 7r

~

10M

d"

--S!!<-

64

mi p 16

6M

--

b h"

7rd"

7rd4

Formade la sección transversal

"¡(máx.)

O

5V3s:1

-72

7ra" b

--

4

~

d:1

lOMO S!!<--04_

d4

24V3M

--5 S:I 4M

--b 7ra"

I

~

fiE

~. ~

Teoremade Steiner o de los ejes paralelos IBB = 1+ Aa"

P 19

I BB I

e

neu~~~~

Momento de inercia con respecto al eje 88 Momento de inercia con respecto al eje centroidal (neutro) paralelo al eje 88 (ver I 11) Distancia de la fibra superficial al eje neutro

.

1--- B_

_.8:.

Resistencia de materiales Vigas VIGAS DE SECCION TRANSVERSAL UNIFORME Momento Reacciones tlexionante Deflexión Fuerza máxima Momento máximo enA en B en A f Mm ..

mi

p 20

iI P 21

F

2

iI

F

-

Fa

mi p 23

11 -F 16

5 -F 16

W

-

iI P 24 mi p 25

W

2 5 -W 8 F W

FI

-

2

F/J --1 I

P 22

mi p 26

-

F

W

2" 3

-w 8

-

FI

1 -FI 4

Fab -I

FI3

-3EI Fla 48 El

F a~b~ 3 E 11

7 Fla

3 -FI 16

3 -FI 16

-768 E 1

2_WI 2

1 -WI 2

8E 1

2_WI 8

384 E 1

1 -WI 8

-185 El

-

1 -WI 8

Carga concentrada Carga uniformemente distribuida (W

Wl'

--

Tipo de carga

R EF4t ....

~A

B

A

B

fjeft

RI

5Wt'

--

~

w»

= w/)

~A

W

B .....

Resistencia

p5

de materiales Vigas

VIGAS DE IGUAL RESISTENCIA

Dimensión máxima de la sección

iI p 27

Ordenada y

...1 6Ft 1bIT

h

6Fx

---

bO'J(perm.)

¡(perm.)

Deflexión máxima

Forma de la viga

f

~(~r bE

~

h

~

iI p 28

b=

6Ft

6Fx --h 0'J(pe,m.)

h2(TJ(pe,m.)

2

~(~r bE

h

~

mi p29

mm

p30

-e:

_, x

Jpe

3W

1blu¡(pcrm.) 3W bE

b=

3WI

~

(ff

I

3 Wx2

h2/u¡(pcml.)

h2(T¡(perm.)

~

ii

P 31

h-~ -

F W Oj(perm.)

~ ¡(perm.)

3 WI ( 4X2) ~ b u¡(pe,m.) 1 - T

WI3

-64EI

Carga concentrada Carga uniformemente repartida (W Esfuerzo permisible por flexi6n

= wt)

ii (Ver Z 18)

Resistencia

de materiales Cortante

IP6

ACCION DE CORTE O CIZALLAMIENTO

mi p32

Esfuerzo

cortante

etr1t1J

F

=A ~

T

Tperm.

Módulo de elasticidad angular G

G =2.. = 0.385E Y

p33

Módulo de deformación

Deformación angular (ángulo de deslizamiento)

angular 8

8-_!_-l -G-T

P 34

Esfuerzo

r=

y=8T

cortante

último Tu

Fmáx

P 35

Tu

= A = 0.8

Esfuerzo

cortante

uU(ums.)

permisible

Tperm.

Ir

Clase de carga ( P 1) ver

I

constante pulsante I Tperm. e!! 11---____!al:":te~r:":na_':'n':"::'te-----11

I

uFt/l.5

iu;;!22 I uFt/3.0

Fuerza de corte F

iI mi

Guillotina cizalla

Herramienta de corte (punzonado, etc.)

o

F

Fe!!1.7TUIS

P 36

'=""

1.7 Tu P

S

Esfuerzos cortantes en la práctica Los esfuerzos de corte se presentan siempre en combinación con los esfuerzos por flexión. En la fórmula p 32, por lo tanto, siempre aparece un coeficiente, de acuerdo con la forma de la sección. (Solamente en vigas muy cortas es posible despreciar los esfuerzos por flexión). Forma de la sección transversal Esfuerzo

P 37 Tperm.

F I

cortante

Esfuerzo cortante Fuerza de corte Longitud de corte

~

~ 3 F

4 F

2 A

3 A

T

permisible

I

r.: p

• F

2A

(Ver valores en Z 18) Fuerza máxima o de ruptura Perímetro de corte

I

Resistencia de materiales Torsión GENERALIDADES Esfuerzo de torsión

TI

M

p38

= S; ~

TI

Tt(máx)

Momento torsionante

p p 39

F

Tt(penn. I

T

p

T =-=--=Fa (,) 2.".n Módulo de sección en torsión SI

p40

SI=.!!.

a

iI P

1't(máx)

a

Distancia entre la fibra extrema

y el

Angulo de torsión

~,T

TI

41

el>

=""i"G p

Características

de elementos en torsión

Momento polar de inercia

P 42

mi

P 43

.".cfl

.".d3

32

16

Esfuerzo cortante máximo

2!! 5.1-

en 1

liI P 45

en 2 Tabla de valores de

T

1

o

1 _04

2!!5.1-·_-

O

P 44

T

(f'

.".

16

Forma y dimensiones de la sección

Trunáx)

04_d4 _._--

~ (04 -d~) 32

mi

~l

Módulo polar de sección SI

Ip

iI

e

centroide

2 -bh" 9 2 -b"h 9

I

9T

en 1

2bh"

9T

en 2

2 b" h

para secciones anulares

d

0=-

O

P 46

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.95

10667

1.1489

1.3159

1.6194

2.9136

5.3908

1 - 04 Tt(perm.)

P

Esfuerzo cortante permisible en torsión Potencia transmitida por rotación

(Ver valores en Z 18)

Resistencia

de materiales

Pa

Pandeo de columnas

I

Tipos de soportes

l 1 ¡: P 47

mi

1,,=1

10=21

l. = 0.51

1.,=0.71

Dimensionamiento preliminar Primero se supone que para el caso de pandeo es aplicable la fórmula de Euler y se calcula el momento de inercia del área transversal:

{_ FI,/ nE

p 48

iI P

i tr 1 L

F

- rE

Después se determina la forma de la sección y las dimensiones provisionales según P 3. Dimensionamiento final Relación de esbeltez

49

A

=/u.Jf.

Esfuerzo por pandeo. Se obtiene el límite de la siguiente tabla: Si A está

mi

abajo de entre de

los límites se calcula ~3 u, o bien, up por la p 50 -+,:...L...L.L~~t:L.LJ.:.....o..,_ fórmula p 51 '5"" A Llms.de }.

p 50

Fórmula de Tetmajer: u.

=a-

bA

a Material Acero St 37 Acero St 52 Hierro fundido GG 14 Madera (pino) Madera (encino)

mi P

51

Fórmula de Euler: En caso de que

u.

= F

Up

289 589 776

30 37

"."E ( 1,," A

< An,

=

+ e A" =

uc(perm.)

e

b N/mm" 0.818 3.818 12.000 0.20 0.25 uc(perm.)

nE;:;;;

nT;:;;; ~ nT

O O 0.054 O O

Límites de A 60-100 60-100 580 2-100 0-100

F

A nE

repetir el dimensionamiento final con

medidas más grandes. (l.

uc(perm.)

nr nt;

I

Esfuerzo efectivo por pandeo F Carga efectiva Esfuerzo permisible de compresión (Ver valores en Z 18) Factor de seguridad (intervalo de Tetmajer): 3- 5 Factor de seguridad (intervalo de Euler) para máquinas pequeñas: 6- 8 para máquinas grandes: 4- 6

I

Resistencia de materiales

P9

Esfuerzos combinados COMBINACION DE ESFUERZOSNORMALES

Por el principio de superposición,los esfuerzos normalesexiet y por flexión se sumanalgebraicamentepara obtener el esfuerzo resultante. Los esfuerzos de tensión son positivos y los de compresión, negativos. Punto de esfuerzo

Esfuerzo resultante al•tal Tensión y flexión Compresióny flexión

p52

r. F¡le + A + --,- ~ 2

p53 p54

Ft

= Fcosa

(J't(pel'tt1.)

F¡= Fsena

Fe

= Fcosa

Por desplazamiento del eje neutro, o sea, variando la sección transversal, pueden obtenerse en Al y A2 esfuerzos de tensión o de compresión de igual magnitud (es decir, con el e2). En el caso de barras largas conviene revisar por pandeo.

'*

Sección límite (núcleo central) para esfuerzos de igual naturaleza Si actúa una fuerza axial (tensión o compresión)dentro del área del núcleo central (marcadacon puntos), habrá en toda la sección transversal un esfuerzo de la misma clase (tensión o compresión). De otra manera se producirán simultáneamenteesfuerzos por flexión, esto es, de tensión y de compresión.

mi p55

o

d

8

x=6

f=-

8

f=-

8

I

Resistencia de materiales Esfuerzos

combinados

COMBINACION DE ESFUERZOSCORTANTES Porel principio de superposición,los esfuerzostangencialesde corte directo y por torsión se suman algebraicamente para obtener el esfuerzoresultante. Esfuerzoresultante Twtal en el punto A

iI 56

5.1T

p

cfl

iI p 57

5.1TD 04 _ d4

iI p58

+

T T,

T F

1.7 F ::5

(p

Tt(pernl.)

2.55 F

+ O"l_

+

Tt(penn.)

Distribución en la sección

á.!

~

Tt(l)ernl.)

I

1.5F bh

;2

T, (penn. )

Esfuerzocortante permisible Esfuerzo cortante directo Esfuerzocortante por torsión Momento torsionante Fuerzade corte directo

(Ver Z 18)

Resistencia

de materiales

Esfuerzos combinados COMBINACION

DE ESFUERZOS

NORMALES

P 11

y TANGENCIALES

Cuandose presentansimultáneamenteesfuerzos normales y tangenciales se determinan para los cálculos el esfuerzo equivalente O

a,

el momento equivalente M,

El primero (llamadotambién esfuerzo ideal por flexión) es aquel esfuerzo flexional que produce el mismo efecto - por ejemplo, ruptura- que los dos esfuerzos aplicados,es decir, por flexión y torsión combinadas. Para el momento equivalente es válido el mismo comentario.

Ejes o árboles Esfuerzo equivalente

p 59

o; ~

uj(penn.) (perm.)

p60 Momento equivalente

P 61

Me =

y Mi + 0.75((i" M)2

Para el dimensionamientode elementos estructurales debe calcularse primero el módulo resistente de la sección:

s = ____!!_:_

P 62

Uf(perm.)

Despuésde la selección de la sección transversal se obtienen las dimensiones según P 3.
Esfuerzo real por flexión

T,

Esfuerzo real por torsión

M

Momento flexionante real

T

Momento torsionante real

a"

Relaciónde esfuerzos,donde a" '" 1

en casos en que la torsión y la flexión correspondanal mismo tipo de carga

a" '" 0.7 cuando la torsión es constante o pulsante y la flexión

es alternante.

I

Resistencia

de materiales

Barras curvas ESFUERZOS

EN UNA BARRA EN HERRADURA

En esta barra curva. la sección de máximo esfuerzo es la A, en el caso de las cargas F indicadas; los momentos M son los debidos a dichas cargas F. Los esfuerzos en la superficie a, y a2 se calculan con las fórmulas p 63 y p 64. Dependiendo de las direcciones los valores de F y M se considerarán positivos o negativos.

íI p63

al

F M M, =-+--+-_._A A,

e,

+ e,

1('

p64

a2

F

M

e2

M,

= -A +-- -- .-A, 1('

Fórmulas para calcular p65 1(

p66

1(

P 67

1(

e2

-

~ ~

(Tt(perm.)

(Tt(penn.)

1(:

=-i-(7r+~(-;-r+~(7r+ ... 5 (e)tI =41 (e\2-;-)+81 (e)4-;- +64-;+...

(, + J.

= _2_,_ j [b + a -hb (a + b) h ~ + el r=. e2

In --r

(a - b)

f

-

e,)

I

1

(Para la ubicación del centroide C. ver la sección K 7) Valores calculados de

e

,

-

p68 p69

1(

-

p 70

1(

M

0.1

0.3

1(

0.5

0.7

0.8

0.9

0.95

~

0.0033 0.0317 0.0986 0.239

0.373

0.636

0.928

e

0.0025 0.0236 0.0718

0.250

0.393

0.524

= F ./;

(T,(penn.)

0.167

Esfuerzo permisible de tensión (ver valores en Z 18)

Resistencia de materiales Círculo de Mohr CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS T

Esfuerzos principales P 71 Esfuerzo cortante máximo P 72

Tmiix

=±

J( ax-a,)" +1" -2-

Orientación de los planos principales* P 73

tan2<1>=--

2T

U,z-tT"

Se debe tener siempre que Orientación del plano del esfuerzo P 74

2<1> < 9(}0

Tm
2T

cot2<1>=-ay -

CTz

los esfuerzos cortantes son nulos en los planos principales (donde se presentan los esfuerzos trJ y tr,). los esfuerzos cortantes máximos se presentan en planos a 45° con respecto a los planos principales. *la solución da dos ángulos, uno para trJ y otro para tr2. los esfuerzos principales y los cortantes máximos se producen, respectivamente, en planos perpendiculares entre sí.

I

Elementos

de máquinas

Engranes cilíndricos rectos DIENTES CON PERFIL DE EVOLVENTE (O INVOLUTA) Cálculo por resistencia. Dimensiones básicas Paso

Q

Q

15P

1=

2

frj(JX'nn.) {J

=407 f'jlpenn.1

(J z n

(mm)

[P en cv: "/Ipen n, ) en kgf/mm'; Q

3

Q

4

q

5

Módulo

q

6

Diám. de paso

q

7

Altura de diente

Q

8

Adendo

Q

9

Dedendo

Ancho axial

n

n en rpm)

b =(JI

Dimensiones principales de un engranaje de dos elementos 7fd Paso 1 =m7f=--

z

1 d m=-=7f

z

q 10

Diám. de adendo

Q 11

Diám. de dedendo

d =mz h =2.166m ha=m hd=l.l66m da = mIz + 2) dd = mIz_ 2..)

Q 12

Dist, entre ejes

a =m--

q 13

Grueso de diente

s

3

Z)

=~ = 1.8 d

q 14

Diám. del eje (o árbol) d Diám. ext. del cubo

D

q 16

Largo del cubo (o mamelón)

, ~ 1.5 d

Número de brazos

Q 18

Grueso de la corona z T""",m.) {J

i

2

= 0.49751

q 15

q17

+ Z2 Espacio entre dientes f = 0.5125 t

+ 20 mm

= 0.166 vmz 0.5 1

Número de dientes T Momento de rotación (ver P 7) Esfuerzo cortante permisible por torsión (ver valores en Z 18) Factor de diseño: para dientes sin acabado. 2 - 2.5 para dientes con acabado. 2.5 - 3 para dientes pulidos. 3- 5

I

Elementos de máquinas Engranescilíndricos rectos ENGRANAJESDE EVOLVENTEDE DOS ELEMENTOS Procesado Angulo de con sin presión herramienta especial e interferencia Núm. mínimo de dientes 150 200 150 200

I

q 19

en un engrane

14

11

20

13

q 20

en el par de engranes

38

27

50

30

Estudio por interferencia Como los puntos de contacto E, y E, quedan fuera de los puntos de tangencia G, y G" existe interferencia, la cual puede evitarse con el uso de dientes en V. Relaciónde contacto < q 21

Distanciade acción

E, E,

Pasoreducido

t sen (900 - a)

>1

Dientes en V según Fólmer Se obtienen con herramientas normales para a= 150 Límites de los números de dientes: z, ~ 8 y z, ~26 Piñón,z,

Dimensionesde Rueda,z,

+ 3) m

q 22

Diám. circoadendo

do, = (z,

q 23

Diám. circo dedendo

dd'

q 24

Grueso de diente

s, =1.89m

q 25

Dist. entre ejes

= (z, -

1.134) m

B4fttttllll

40 60 80 100 20 s Grueso de diente (ver figura en a 1)

do, = (z, + 1.8)m dd,

= (Z2 -

2.334) m

I

s, =1.57m

1: ::

.0.5:__

140

_

Suma de dientes en el engranaje (par de engranes)

Elementos de máquinas

Q3

Engranes cónicos rectos ENGRANAJECONICO DE DOS ELEMENTOS

Determinaciónde los ángulos de paso,y <1>-. Piñón z,

z.

Z2

-+cos1{l q 26 q 27

-+cos1{l

z.

cot.=---1{1

= 90

0

cotCPI

--=---sen Z2

cot 2 =

sen 1{1

=:.:z,

cot <1>-,

1{1

=:.:z,

Dimensionesde los dientes m

q 28

El ángulo de adendoy se obtiene de

tanY=A

q 29

El ángulo de dedendoó se obtiene de

tan 0=---

q 30

longitud de cono

A

•

== ~

1.166m A

= __!:!!!_

2 sen, 2 sen Dimensiones exteriores

é ,

medias q 31

Paso

q 32

Módulo

q33 q 34

Ancho de diente Diám.circopaso

q 35 q 36

Fuerzaaxial y radial Fuerza axial Fuerza radial

q 37

t; =

1

Como las fórmulas para t en a 1, q 10 tm

b sen <1>

=tm +---71" z

b sen

m=mm+---

o;

13tm

b =13t

dm=

d-bsen

d

Fuerzasobre los flancos a Angulo de presión (ver

=mz

F" = F tan a . sen F,=Ftana'cos 271"T F

tmz

a 2)

los demás símbolos pueden verse en

a

1

z

•

Elementos

de máquinas

Engranaje de tornillo sin fin SISTEMA DE SINFIN y RUEDA Relación de transmisión

n, z. Número de dientes de la rueda i = - = - = --:-:-:----:---::,-----...,--,---.,....,.,-n, z, Número de filetes del sinfín

q 38

Cálculo del sinfín (o gusano) por resistencia

q 39

Paso

J

t -407 "

-

en ev,

(P

_

q 40

P

Uf(P,,"'.) n. '"z.

CTf(pl'rm.)

l7f(pt'rm.) '"

P 41

=

q 42

Arco en la rueda

~ 3

en kgf/mm:!, nI en rpm, t en mm]

301fT,

3

n.

Zt

15P
Z.

= '"t

b

Dimensiones del sinfín y la rueda Rueda (o corona)

Sinfín (o gusano)

q44 q 45 q 46 q 47 q48 q 49

Diám. de paso Diám exterior Diám. de fondo Longitud Fuerza axial Fuerza radial

d =21
O Z2,

F

= 2 TjO,

=mz. O,=m (z, + 2) Or = m (z, - 2.33) O

F' F, =Ftana.

tan {3

I

q50

Eficiencia

q 51

Factor 1< para el caso más favorable de conexión

• '7, = tan

q 52 q53 q54

Condición de autoafianzamiento

q 55

{3

Angulo de avance

q q q q

ti>

Angulo de fricción deslizante

P. Coef. de fricción deslizante ¡.t' Coef. de fricción total

56 57 58 59

t

7r

m=-=-

Módulo

q43

({3

+
''7'

= F tan

=

Número de filetes z Factor 1<

'"

Para hierro fundido, bronce "," si el elemento impulsor • 7'" si el elemento impulsor Para los símbolos restantes de

~

tan {3 ~ 1'-'

(se obtiene de tan {3 = (tan ti> =1'-) (ver valores en Z 20) (p.' "" 1.034l' tan tI>') fosforado, aluminio: 2.5 es el sinfín es la corona las fórmulas ver Q 1

=

({3

+
tan ({3 -
z,

2;.)

•


Q

Engranajes epicíclicos

5

TRENES DE ENGRANESPLANETARIOSCON DOS O MAS ELEMENTOS RELACIONES DE VELOCIDADES q60 q 61

n. =0 n, == 1

q 62

n,=l+-¡;

q63 q64

na=O n, = 1

q65

n,=l--¡;

q 66 q 67

na=O n, = 1

q68

n,=l--¡;

q69

n,=l+-

q 70 q 71

na=O n, == 1

(a es fijo) a

a

(a es fijo) a a

e (a es fijo) a

1 +-

q 73

n,=l--

ad cb

q 74 q 75

na=O

q 76

n.= 1 +(1

nI>

q 78 q 79

n«=0 n.,=l

q 81

(a es fijo)

a

n,=l+-¡;

q 80

e

==,

q77

®.

(a es fijo)

n,=n.=

q 72

,&¿)

a

d na= 1 +a d nb=l--¡;

• '--ID a

(d es

fijo)

n, = O (d es

fijo)

n.: ~ (b _ d) nb--b a +d a n/j==--

a+d

d

Elementos de máquinas Cálculo de pasadores

C6

tornillos

UNION DE CUÑA TRANSVERSAL Margen de seguridad para la fuerza F Debido al esforzamiento adicional en la cuña cuando se aprieta en su alojamiento. en las fórmulas se ha considerado un aumento de 25%. Cálculo por aplastamiento o presión p Presión de contacto entre Barra de tracción y cuña

mi q82

Ojo de paso y cuña

1.25F

P

= bd;;;¡;

1.25F _ d)

p'

= bID

h

= 0.87

Ua(perm.)

;;;¡; CTa(perm.)

Cálculo por flexión

iI q83 q84

iI q

0.625 F(D b

+ d)

(Tf(perm.)

b,

= h = (0.5 a 0.75) h

T

= bh ;;;¡;

2

Cálculo por cortante 1.5F

85

Tperm.

Fuerza Fq para introducir la cuña (Para el cálculo vea K 8)

I

UNION PORTORNILLOS Diámetro del núcleo de la barra roscada. d .. después del apriete

iI q86 iI

[4F

d,,=-./~7TfI

t(perm.)

F Ua(perm.). U'(perm.).

T(perm.)

durante el apriete

d,,= );

4F ~ (0.75)

Uqperm.)

Fuerza de tracción o carga a transmitir Esfuerzos permisibles (ver Z 18)

Elementos de máquinas Resortes RESORTE O MUEllE

mm

q 87

q8B q89

DE HOJA RECTA

Sin carga y deflexión iniciales (carca F) 2/21T j'(perm.)

Deflexión máx. perm.

'máx

=-_..::~___.:_

3hE b h2ITf(perm.}

Carga máx. perm.

61 4/3 F

Deflexión

bh3E

Con carga y deflexión iniciales (F,. '')

q90 q 91

mm

Para 'máx, Fmáx y t son válidas las mismas fórmulas que antes. Además. F Deflexión t t, F-F,

= + " = '2-F,

Deflexión inicial (levantamiento)

t

='2-F-F,

Muelle de hojas rectas apiladas

q 92

Deflexión máx. perm.

q 93

Carga máx. perm.

q 94

Deflexión

, máx

P (J'¡(perm.) = ----¡:;-¡--

Fmáx=

N b h2

(Tf(penn.)

61

6/3F = bh3NE

f:' /~

___,

> >-

1 a1

~~ =
Para la forma teórica de una hoja ver p 20 y P 28

ii95 iI 96 iI 97 iI q98

Resorte helicoidal de torsión (El ángulo de torsión a se debe expresar en grados) (57.3) , Sf

q

Torsión máx. perm.

Qmáx=

q

Carga máx. perm.

F máx

q

Torsión (desplaz. angular)

a

longitud

de una espira

I

(J'f(peno.)

lE S¡ ('f(peno.) a

= ---=---=-(57.3) F al lE alE (57.3) Fa

Ver en Q 8 la explicación de los simbolos

F

Elementos

de máquinas

Qs

Resortes

iI99

q

mm

RESORTE ESPIRAL (ANGULO a EN GRADOS) Desplazam. ang. perm.

amáx

==

114.61UJ(perm., hE b h"

Mom. de torsión perm.

Tmáx =-6- UJ(perm.1

Desplazam. angular

a

q 102

Momento de torsión

T

q 103

Empotramiento en H

F,

q 104

Articulación en H

F,

q 105

Distancia entre espiras

a

q 106

Número de espiras

N

q 100

íI

q 101

mm

t~r

687.6 TI

=---

E b h' aEbh"

687.61 T

'eT 2

F

'e

(rl- ri2)7T

longitud media de espira

Resorte de impulso

iI

En general, se supone conocido el diámetro interior D" de la caja del resorte y se corrige después según los resultados de los cálculos.

q 107

Diámetro del núcleo

q 108

Grueso del resorte

h

D"

:!!!--

100

(redondear h a valores normalizados) q 109

Longitud del elemento

q 110

Número de vueltas

iI

o. s.»

=N'7T-2nmáx

Estado del resorte

Número de espiras

= N"

I

- N, Momento de la fuerza *

D,,-d

E b h" 7T

iiiq

111

Suelto

N,=~

r.:

:!!!

IiIq

112

Esforzado

d-d" N.,=-2h

T máx

"'"

mi

* Descontar

-6-'- 3 E b h" 7T

--6-'- (N2

-

NI

+ 3)

de 10% a 30% por fricción

F Empuje de trabajo T Momento de la fuerza SJ Módulo de sección

Esfuerzo permisible por flexión (ver Z 191 Módulo de elasticidad (ver Z 19)

(TJlperm.,

E

Elementos de máquinas Resortes RESORTES HElICOIDALES

Qs

DE TENSION O COMPRESION

Sin deformación inicial q 113

Relación entre diámetros

D", ~ D -d~

iI q 114

Calibre del alambre

d

6d

= JF8Dm 7T Tttpel'm,)

ii q ii q

115

Número de vueltas

N

116

Carga máxima permisible

7r d3 T tI perm. Fmáx=----

mi

q 117

F

I

8D 8N Dm3F

Cambio de longitud

dG

d4G

Con deformación inicial Emplearlas mismas fórmulas anteriores. Además

= t« + t, + f

Cambio de longitud

q 118 q 119

2 -.------L.__;;:;~----,r-

F

=f2---

F-F1 FI

q 120

Predeformación

=f2---

q 121

Fuerza de predeformación Fu

=F-----

F-FI f - (fl

+fJ 2

Resortede barra de torsión 57.31 SvTt(perm.1

q 122

Torsión máx. permisible

q 123

Momento máx. permisible

q 124

Torsión (ángulo en grados) a

Umáx=

Tmax

=

Momento torsionante fo Ip Sp Tt(perm.1

T

C(

57.3 T (

alvG 57.31

I

A

=--IvG

q 125

I

IVG~

SpTqp er m I

e

-(

__,/

/~ T

Deformacióntotal inicial producida al enrollar el resorte Momento polar de inercia del área transversal A Módulo polar de sección del área transversal A Esfuerzo cortante perm. por torsión (Ver valores en Z 19)

Elementos de máquinas Ejes de transmisión EJES, ARBOLES O FLECHAS Según el tipo de carga los ejes se calculan considerando: Esfuerzo permisible del material q 126

5.1 T

r, = ----¡¡¡

En torsión simple:

Tt(perm.)

En torsión y flexión combinadas: Ver P 7 y P 11 Cambio de forma por flexión Se presenta por efecto de la tensión en bandas de transmisión, por presión de dientes de engranes y por acción electromagnética en máquinas eléctricas. Si la variación de forma es fuerte se presenta trabamiento en los cojinetes o chumaceras y una disminución irregular (unilateral) del entrehierro en máquinas eléctricas. El cálculo por flexión se verifica según P 4. Cambio de forma por torsión Para obtener una marcha uniforme, sobre todo en el caso de cigüeñales, el ángulo de torsión q, con carga no debe ser demasiado grande.

IT

.¡, = --

q 127

G

'»

~

~-

(en radianes)

Velocidad angular (frecuencia) crítica n; para vibraciones torsionales Se presenta en ejes de gran longitud, grandes distancias entre apoyos y altas velocidades de rotación (rpm). La frecuencia crítica nk se calcula según M 6 q 128

Velocidad angular de trabajo

Carga simétrica

nk

q 130

Carga no simétrica

nk = 1637

d

1 Ip

E G F

= 0.80 a

0.90)

= 6550

q 129

,

(k

rrtr

Y F!i'b'rpm

Diámetro del eje (mm) Longitud del eje (mm) (ver P 3) Momento de inercia del área (transversal) (mm') (ver P 7) Momento polar de inercia del área (mm') (ver Z 18 y Z 19) Módulo de elasticidad axial (kgf/mm') Módulo de elasticidad angular (kgf/mm') (ver Z 19) Carga flexionante (kgf)

•

Elementos de máquinas Guías-Acopiamientos GUIA

iI q 131 iI q 132

En el caso de uno de estos elementos se tiene tana

<

1 , o bien (2 h +1) p.

la relación de longitudes

!.. =,\

>

h

2,utana 1 - p.tana

Si no se tienen las condiciones anteriores para tan«. se presentaré trabamiento o efecto de abrazadera. ACOPLAMIENTOS

DE FRICCION

Copie simple de discos p.F D3-c:J3 TIr. =-3-' D~-d.l.

q 133 q 134

~ ,uFr

q 135

=--

q 136

D+d 4

Copie múltiple de discos p.F N D:i - (p TIr. =-3-' D~-d.l.

I

~ p.F r N

q 137

Copie cónico p.Fr T.rr.=-sena

q138

Para que no haya agarre excesivo se debe tener tana~p. TIr.

Momento de fricción Radio medio

p. N

Coef. de fricción (ver Z 20) Núm. de zonas de contacto

Elementos

de máquinas

Recipientes

de presl6n

TAMBOR CILINDRICO

q 139

Espesor de pared en el caso de junta: pDN Remachada s "" 1 mm 2 vO't(p erm.j

+

q 140

pDN

s~-'---

Soldada

0.3 ut1pt'rm.t

Dimensiones del remachado (d

= diám.

remache)

;;;S5m:m-4mm I :,::::d

q 141 q 142 q 143

Esfuerzos de tensión en: Junta circunferencial q 144 q 145

Junta longitudinal Dpt

.".D'p

Ut=----

Ut=---_:--

4s(.".D-nd)

2(t-d)s

Revisión de la placa (o lámina): (t - d)s a"p.,m., ;=: 0.5 D p t

N

-

Revisión de las remachaduras por .".

q 146 cortante simple

2-d'"Tn 4

q 147 i';':0.5Dpt q 148 cortante doble q 149

I

Valores permisibles de "Tnen N/mm' (C. Bach) Remachadura q 150 q 151 q 152

1 fila 2 filas 3 filas

n N

Cortante simple

Cortante doble

60-70

100-120 95-115 90-110

55-65

50-60

Número de agujeros en una línea circunferencial Factor de seguridad dependiente de la temperatura: N"" 2 para una temperatura de pared t = 250'C N=<5 para una temperatura de pared t 25O'C Presión interna (manométrica) del recipiente Esfuerzo permisible de tensión (Ver valores en Z 18) Coeficiente de debilitamiento =< 0.8

=

p O"tlp,mn.J

v

Elementos de máquinas Anillo de contracción ANILLO (O ZUNCHO)DE CONTRACCION En el caso de un elemento de esta clase que debe mantenerfija una parte de una máquinarotatoria, por ejemplo, un volante o el devanadode un motor.la fuerza de contracciónF, deberáser al menosel doble de la fuerza centrífugaFe':

j ... ~

T

q 153

Fuerzacentrífuga, Fe' q 154

(n en rps]

q 155

r,

q 156

m

2R

G g

Area transversaldel anillo, A Fe A =--2UU(!lerm.1

q 157

Gradode contracción,\ Es el grado en que debe ser menorel diámetrointerior del anillo, que el diámetro exterior del elementoa fijar. 1

q 158

A

= E D Ut(pel'm.)

Anchos de un anillo delgado

s

q 159

D(lt(pel'm.) 2Ut(pel'm.)

R O G O"'(P"'lli.) O"t(pm-lli.)

Radiomedio Diámetromedio Pesode medioanillo Esfuerzopermisiblede aplastamiento(Vervaloresen Z 18) Esfuerzopermisiblede tensión (Ver valoresen Z 18)

•

Máqu inas-herram ienta Escalonamiento de velocidades DIAGRAMA PARA LAS VELOCIDADES DE ROTACION Construcción del diagrama en "diente de sierra". Paracada '\ n, velocidad de giro n dada (en rpm) se traza la gráfica de la velocidad periférica v de la herramientao de la pieza trabajada. en función del diámetro d. según la relación v=7J'nd Lo anterior da un hazde rec__ d tas que parten del origen. Se traza luego una recta horizontal L correspondiente a una v determinada. De sus puntos de intersección con las líneasde velocidad se trazan segmentos verticales hasta cada una de éstas. Cuanto más uniforme sea su longitud tanto mejor será el escalonamientode velocidades.

n,

Escalonamiento. Los mejores intervalos de velocidad de giro (revoluciones)se obtienen cuando. como se ve en la figura. todas las longitudes ~v son iguales.La anterior condición se satisface con una serie geométrica de valores de velocidad: r

1 Cadavelocidad se calcula como sigue etc.

r 2

n. n, k==l+-log'I' log-

r 3

Número de pasos

r 4

Factor de la serie

<1>

I

==~

Valores estándares de '1> :

n, Velocidad minima (rpm) n.; Velocidad máxima (rpm)

1.06 - 1.12 - 1.26 1.41 - 1.58 - 2.00

Máquinas-herramienta Escalonamiento de velocidades CALCULO DE ESCALONAMIENTOS Poleas escalonadas Para emplear una misma banda de transmisión, los diámetros de los pasoso escalonesdebenser los mismos,pero en orden Inverso, en las poleas impulsora e impulsada. Hay que elegir primero el diámetro mayor a; En el caso de tornos, su valor lo determina el volteo o altura de puntos.

ro

r 5 d, : d2 = y':¡;': 1

r 6

r

7

d,:d,=~:1 d,:d3

=#

d,

2#-

d,

r 8

®

a, : d3 = <1': 1

r 9

d,+d3 d'=--2--

r 10 r 11

:1 d,#

a, :d,=

1

~

<1" : 1

d) á4

d, á-¡

= <1' : 1

d,:d,

d,+d, d3=--2 d,,+d, d'=--2--

d,

~

do d)

d,

Poleas escalonadascon impulsión de engranes (1= relación de transmisión) Para engranajes se emplea la fórmula

a,

Tm•x =F,'2'

r 12

r 13

i1

r 14

I

Z6 = t)k/lI = Z4 __ Z3

z«

r 15 r 16

Z3

F, k

= Z4

(valores seleccionados)

Tensión máx.en la banda Número de pasos (ver R 1)

Tm".

Mom. máx. de rotación Factor de la serie

Máqu inas-herram ienta

R

Fórmulas diversas

3

Impulsión de una máquina-herramienta Potencia del motor

P

27rrnF

=--'1

r17 vF '1

r 18 Diámetrodel eje o árbol

d

:=

r 19 r 20

Momento de rotación en el eje de trabajo

\f!I!-

Ttlperm,)

T =F-

D

2

Fuerzade corte (presión de viruta) F En tornos

F =AK

En fresadoras

F

Carga sobre el árbol de fresado

F' = 1.4F

r 21

bt fK v

r 22 r 23

Resistenciaespecífica del acero. K K == a aH

r 24 Resistenciaa la tensión
1000 3.2

a r 25

Transmisión por banda Tensión en la banda

2T

r 27 r 28

r 29

p

Fb =--=d

r 26

Vb

== -r d, n

Velocidad de la banda

v,

Relaciónpara el ancho B de una banda(N/mm)

Fh =B "b (por unidadde grueso)

Anchura B en mm Esfuerzo perrrusible de tensión a« en N/mm"

150

Ver en R 4 la explicación de los símbolos.

16

•

Máquinas-herramienta

1

Potencias necesarias

R4

CALCULO APROXIMADO DE LA POTENCIA Tipo de máquina ligero

r30 r 31

Torno

mediano

Potencia aproximada en kW (1 kW = 1.34hp = 1.36cv) 0.015 x Volteo (altura de puntos) (mm) 0.030 x Volteo (mm)

r32

pesado

r33

ligero

0.080 x Alimentación de material (mm)

pesado

0.120 x Alimentación de material (mm)

r34

Torno revólver

un husillo

r35 Torno r36

automático varios husillos normal

r 37

r38 r39

Taladro

0.045 x Volteo (mm)

Igual que en el torno revólver (de torreta Igual que en el torno revólver. multiplicando por el núm. de husillos de trabaío. 0.080 x Diámetro de barreno (mm)

alta potencia 0.150 x Diámetro de barreno (mm)

Fresadora

ligera pesada

r40

0.001 x Area de mesa (cm') 0.002 x Area de mesa (cm')

r 41

Cepillo de codo

0.010 'x Carrera máxima (mm)

r 42

Cepilladora (de mesa)

0.006 x Anchura de corte (mm)

r43

Rectificadora redonda

0.D18x Diámetro de disco (mm)

r44

Rectificadoraplana

0.012 x Diámetro de disco (mm)

Sfmbolos de R 3: A b

,

a, D u, t

v '1 'Tt(perm.)

n

Area transversal de viruta Anchura de fresa Avance o alimentación Diámetro de polea principal Diámetro del material en tornos Diámetro del cortador en fresadoras Esfuerzo máx. permisible en bandas Profundidaddel corte Velocidad de corte Eficiencia mecánicaentre el motor y el husillo de trabajo Esfuerzo cortante permisible por torsión Velocidadde giro (rps o rpm)

I

Eleet roteen ia Conceptos generales MAGNITUDES PRINCIPALES Y SUS UNIDADES s

1

Empleode mayúsculasy minúsculas en símbolos En electrotecnia se empleanletras mayúsculaspara designar cantidades constantes, y las correspondientesletras minúsculas -o las mayúsculascon el subíndicet- para designar cantidadesque varían en el tiempo. Ejemplos: Fórmulass 8, s 9, s 13 Excepciones: f,Ol, t-: Um, P'e'O' etc. Trabajo eléctrico W El trabajo eléctrico equivale al trabajo mecánicodefinido en M 1. Al transformar energía,sin embargo,se presentan pérdidas. Unidades: W' s (watt·segundo),kW . h, MW ' h 1 W' s =1 joule (J) =1 N, m Con las definiciones dadas en S 1 Y S 2 se cumple que U' W=IUt=-t=FRt R

s 2

Potencia eléctrica P La potencia eléctrica equivale a la potencia mecánicadefinida en M 1. Sin embargo,al transformar potencia se presentan pérdidas. Unidades:W (watt). kW,MW J N'm lW=l-=l--

s

s

Con las definicionesdadasen S 1 Y S 2 se cumple que (}'"

s 3

P=-=FR R Frecuenciaf PeríodoT

Ver L 1

Ver L 1

Frecuenciaangular

Ol

Ver L 1

Intensidadde corriente eléctrica I Es una cantidad fundamental.Ver Explicacionesgenerales Unidades:A (ampere).mA, kA La intensidad de corriente de 1 A se define en función de la fuerza de atracción entre dos conductoresparalelos por los que circula corriente en uno y otro sentidos.

•

Electrotecnia Conceptos generales Densidadde corriente eléctrica J 1 J =-

s 4

A

Esta fórmula es válida solamentesi la corriente 1 está distribuida uniformementeen el área A. Unidades:A/m2• A/mm2 Tensióneléctrica U (o bien VI

s 5

p

U=1

Unidades:V (volt), mV, kV 1 V es igual a la diferencia de potencial o tensión entre dos puntos de un circuito donde una corriente (directa o continua) de 1 A desarrollauna potenciade 1 W. W 1 V=

1

J N'm =1--=1A'II=1--

A

s·A

s·A

Resistenciaeléctrica R

s 6

R

=,-

U

(Iev de Ohm)

Unidades:11 (ohm).kll, Mil 1 11 es la resistenciaeléctrica de un conductor por el que pasa una corriente de 1 A cuandose le aplica una tensión de 1 V. V

W

J

A

A'

s - A'

111=1-=1-=1--=1--

N-m s - A'

Conductancia eléctrica G la conductancia eléctrica es el recíproco de la resistencia:

s 7

s 8

1 G=R Unidades:1 S (siemens)(anteriormente,mho) Cargaeléctrica Q q=fidt

(ver s 1)

Si la corrientees constantei es iguala " V entonces:

s 9

Q=lt Q es tambiénproporcionalal númerode electronesque poseeun cuerpoen excesoa los que le correspondenen estado neutro. Unidades:C (coulomb),mC,,,e, pe; A - h I C = 1 A - s 1 A - h ; 3.6 Ke

I

Electrotecnia

83

Conceptos generales

Capacitancia eléctrica e La capacitancia (o capacidad) eléctrica e de un condensador o capacitor es la relación de su carga Q a la diferencia de potencial U entre sus placas.

e

s 10

Q U

Unidades: F (farad), ¡¿F,nF, pF 1 F es la capacitancia de un condensador que adquiere una carga de 1 C al aplicarle una diferencia de potencial de 1 V. CA, S A' , S A' , s' lF=l-=l-=l--=l--=l-V V W J

A' , S2 N'm

Flujo magnético <1>

s 11

<1>, =~

f edt

(ver s 1)

donde N es el número de vueltas o espiras de una bobina y e la tensión autoinducida (fuerza electromotriz) que se produce, si varia en el tiempo el flujo <1> concatenado por la bobina. Unidades: Wb (weber) = V, s = lO' Mx (maxwell) 1 Wb es el flujo magnético que al disminuir uniformemente a cero en 1 s induce en la bobina de una espira que lo concatena una tensión de 1 V. Densidad de flujo magnético (o Inducción magnética) B Para una densidad de flujo B en una área A se tiene:

s 12

B

=~A

donde A es el área atravesada perpendicularmente por el flujO uniforme '1> Unidades: T (tesla), ¡¿T,nT, V,

s/m';

Gs (gauss)

V's V's Mx 1T=1--= 10-' __ =10' Gs =10'-m' cm' cm' 1 T es la densidad de flulo producida por un flulo uniforme de 1Wb al atravesar perpendicularmente una superficie de 1 m'.

•

Electrotecnia Conceptos

generales

(Auto) Inductancia electromagnética L

s 13

L =N~=N~ I

(ver s 1)

.

donde I es la corriente que pasa por un inductor o bobina de N vueltas concatenada con un flujo magnético"'. Unidades: H (henry). mH 1 H es la (auto) inductancia de una bobina de una espira en el vacío. por la que al pasar una corriente de 1 A produce un flulo concatenado de 1 Wb. Wb 1H=1--=1-A

V's A

Intensidad de campo magnético H

s

14

8 p...p.,

H=--

Unidades: A/m. A/cm. A/mm (anteriormente ampere-vuelta/metro.

etc.).

Fuerza magnetomotriz /Y

s 15

/Y=NI Unidades: A. kA. mA (anteriormente ampere-vuelta. etc.). Tensión magnética ólt En el i-ésimo tramo de un circuito magnético:

s 16

o/p, = H, '/, donde 1, es el recorrido del flujo magnético en dicho tramo.

s17

¡"lE, =

/Y (ley de la fuerza magnetomotriz)

Reluctancia magnética fYt En un circuito magnético uniforme:

s 18

/Y fYt= -

(ley de Ohm para el circuito magnético)

ej>

Unidades: 1/H = AIV . s Permeancia magnética El' En un circuito magnético uniforme:

s 19

El' =

1

ej>

-¡y¡- = -¡¡

Unidades: H = V . s/a Ver el significado de los símbolos de las fórmulas en S 16.

I

Iss

Electrotecnia Circuitos eléctricos

LEYES BASICAS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS Marcas de polaridad y flechas de sentido Polaridad de terminales y sentido positivo de la corriente en Fuente: - ---+ +

s 20 s 21

+

Carga:

---+ -

Polaridad de tensión V sentido positivo de calda de potencial

+ ---

s22

Polaridad de tensión y sentido de corriente Si el cálculo da un resultado con valor

Características de una fuente de energía o una carga

positivo

Polaridad de tensión V sentido de corriente

negativo

entonces las marcas de polaridad de la tensión y el sentido de la corriente son

s 23

conocidas

indicar (como se señaló antes)

s 24

desconocidas

suponer

correctos

II

los contrarios

Recomendación adicional: En el c.aso de una caída de potencial en un resistor hay Que señalar igual sentido para la corriente y la tensión (R > O). Ley de Ohm Corriente en un resistor

s

I =

25

iI s le

(ver también s 6)

Resistencia de un conductor

p.1 I R=-=A -yA

26

s

U

Ji

¡tI +

1-::-1 U

I -

Resistencia de un conductor a una temperatura (J

27

R

=R

20

(1

+ a (11 -

20°C))

Calentamiento eléctrico de una masa m

s 28

I

U I t TI = c m Af} a

y p e t R20 Af}

Coeficiente de temperatura de la resistencia Conductividad eléctrica Resistividad eléctrica Capacidad térmica o calor especifico Tiempo Resistencia a f} 20°C Incremento de temperatura TI Eficiencia

=

(ver (ver (ver (ver o 9 y

Z Z Z Z

1) 1) 1) 5)

Electrotecnia Circuitos

1a. Ley de Kirchhoff (regla de las corrientes) En un nodo de una red, la suma algebraica de todas las corrientes es nula.

*

1

~/=O

s 29

86 /r2

eléctricos

corrientes que llegan son positivas donde las ---------------------------corrientes que salen son negativas

I-I~

Relaciones entre corrientes (conexión en paralelo) En una conexión en paralelo de resístores. la corriente total y las corrientes de las ramas guardan entre sr ía misma relación que el recíproco de la resistencia equivalente y los recíprocos de las resistencias conectadas.

s

1

30

mi s 31

1:1, :1": 1:.

1

= R: R.:

1

1

G,

R"

+

+ R"

en pa-

2a. Ley de Kirchhoff (regla de las tensiones) En un circuito cerrado o malla de una red, la suma algebraica de todas las tensiones es nula.

s

R,

s: R;

División de la corriente En dos resistores conectados ralelo: 1.=1---=1--G, G" R,

1)

*

IV=O

32

donde las tensiones cuyo sentido corresponde al sentido de recorrido son positivas, y las de sentido contrario son negativas.

a

Relaciones entre tensiones (conexión en serie) En una conexión en serie de resistores, las caídas de tensión en las resistencias guardan entre sí la misma relación que las resistencias conectadas. s33

mm s34

V. : V" : Va = R, :R2 : R. División de la tensión En dos resistores conectados en serie:

G., R. V,=V----=V--G. + G2 R. + R2

* Ver otras

observaciones en la página S 8

u

O

I

Electrotecnia Conexiones de reslstores Conexión en serie* Resistencia equivalente Rs

(ver también s 33)

En general. s35

=

R.

RI

+

+ Rs+ ...

R2

Con n resistencias iguales R se tiene

s 36

R, =nR Conexión en paralelo* Resistencia equivalente Rp

(ver también s 30)

En general.

s

1

1

1

1

-=-+-+'-+ n, RI R2 Ra ... G = GI+ G + Ga+ ... con 2 I

37

s38

p

2

con 3

con n resistencias iguales R

resistencias diferentes

iI s39

R Rp=-

n

mi s 40

nG

Conexión en serie-paralelo" Una conexión mixta en serie-paralelo de resistencias conocidas se descompone de dentro hacia afuera en conexiones simples en paralelo y en serie. Estas se transforman individualmente y se vuelven a componer después. Por ejemplo:

mi s 41 iiI s 42 '3 iD 843

= GI (G2 + Ga)U GI+G +G GIG U U GI+ G2+ Gs

R2+Rs U RI R2 + RI Rs + R2Rs R2 RI R2

+

RI

e, + R2 Rs

*Ver la observación en la página S 8

2

I

S

S

U

R2

Electrotecnia

Ss

Conexiones de reslstores TRANSFORMACIONDE CONEXIONES Estrella (V) a delta (~) y viceversa* R12

2

3

mi

liI s 44

3

R12

RlO . R + RIU • Rsu + R = ------------

R2S

= ------------

20

2U'

R:iO

Rso

mi

liI s 45

mi

íI s 46

RIU • R2\1

+ RIU . «; + R~u'

Rau

RIU

Divisor de tensión (potenciómetro) Este dispositivo permite subdividir una tensión dada.

mi s 47 Si en aplicaciones de metrología es necesario tener una proporcionalidad aproximada entre Ve y S entonces:

S

Desplazamientodesde Odel contacto deslizante (cursor)

"Nota: En todas las fórmulas de las páginasS6 a S9 puedesustituirse la resistencia R por la impedanciaZ, y la conductancla G por la admitancia Y.

I

Electrotecnia

89

Conexiones de reslstores APLICACIONES EN METROLOGIA*

ii s 49

Amp~~::.d(::t~:) demedición

~jR~~VOltíme~RM

I

U Valor deseado } Intervalo final UM Valor disponible de medición RM ResistenciaInterna del instrumento Ampliación del intervalo de medición de un amperímetro

--u-;

ii s50

Rp=RM~

I-IM

1-

Valor deseado } Intervalo final 1M Valor dlsponíble de medición

004

RM

I

s 51

ii s52

R;

Puente de Wheatstonepara medir una resistencia Rx Se emplea para determinar una resistencia entre 0.1 y 106 o. La resistencia calibrada para el contacto deslizante tiene una escala con los valores a/( 1 - a). U Se mueve el contacto hasta R que sea cero la corriente del puente 1,.. Entonces Rx a I-a

R

de donde Rx=R--

a I-a

Puentede Wheatstonecomo comparadorde un valor medido Se emplea el puente para evaluar diferencias de potencial representativas en gran número de instrumentos de medición. + Rt Resistencia que varia 11 según la cantidad x por medir (por ejemplo,tem~= R2+i1R R-z peratura, desplazamiento, ángulo de giro, etc). R2 Valor base de Rt Aproximadamente se cum- UM~ pie que 0+------. s53

UM

5!!

~R

5!!

x

* Ver la nota en la página S 8

I

Electrotecnia Campo eléctrico Capacitanciae de un capacitor

mi s 54

tu

N

e, A

e=-a Carga eléctrica Q (ver s 8)

a

Energíaalmacenadaen un campo eléctrico E e fe = _!_ 2

s 55

e u~

Conexiónen paralelode capacitores La capacitancia total o equivalente aumentaa

s 56 Conexiónen serie de capacitores La capacitancia equivalente disminuye a

s

1

1

1

1

-=-+-+e e. e, e"

57

Capacitanciade dos conductores cilíndricos coaxiales

mi s 58

e = 271" fu

(,.--

1

r., In _:_

r,

Coeficientedieléctrico Permisividaddieléctrica del vacío (o aire) A Area de una placa (una cara) a Espesordel aislamiento r, Radio del cilindro interno ,~ Radiodel cilindro externo 1 Longitud de los cilindros

(ver Z 2)

e, fu

s 59

(fu

= 8.85 X

llrl2 A . s/V . m)

I

Electrotecnia Relaciones electromagnéticas y mecánicas

S 11

REGLAS s60

s 61

Movimiento de una aguja magnetizada El polo norte (N) de la aguja es atraido por un polo magnético sur (S) y repelido por un polo magnético norte (N). Con el polo sur sucederá lo contrario. Conductores y bobinas fijos Campo alrededor de un conductor recto con corriente Si se supone que un tirabuzón en el eje del conductor avanza en el sentido de la corriente, su movimiento de giro indicará el sentido de las líneas de flujo circulares concéntricas.

s62

Campo en el interior de una espira o bobina con corriente Si se considera que un tirabuzón está corocado perpendicularmente al plano de una espira o en el eje de una bobina, y su giro de avance corresponde al sentido de la corriente, su des. plazamiento dará la dirección del campo mago nético. En el lado o extremo de salida del flujo estará un polo N, y en el opuesto un polo S. Conductores y bobinas movibles

s63

Conductores paralelos Dos conductores paralelos que conducen corrientes constantes en el mismo sentido. se atraen, y en sentido contrario, se repelen.

s64

Bobinas alineadas Si por dos bobinas colocadas de frente pasan corrientes en el mismo sentido, las bobinas se atraen; si las corrientes tienen sentidos contrarios, las bobinas se repelen. Máquinas

s65

-~

f

_--L-

-- -,-..:

-

I

N~~

-1(1;1;

11;

Reglas de los tres dedos perpendiculares: De la mano derecha (para generadores) Si el índice apunta en la dirección del flujo magnético y el pulgar en el sentido de rotación, el cordial (o medio) indicará el sentido de la tensión generada (FEM) o de la corriente.

s66

~

De la mano izquierda (para motores) Si el índice apunta en la dirección del flujo magnético y el cordial (o medio) en el sentido de la corriente, el pulgar indicará el sentido de la rotación.

~

f?1

~

r71

•

Electrotecnia Campo magnético

s 67

s68

MAGNITUDES EN CIRCUITOS MAGNETICOS Flujo magnético<1> ;17 NI

<1>=-=-

fllt fllt Densidadde flujo magnético (inducción) B

(ver s 11) (ver s 12)

<1>

B=A"=p..}L..H=p.H Inductancia L

s69

<1>

N"

L=N-=N".cJJ' I

(ver s 13)

=.'J't

Parael cálculo de L ver también s 140a s 146 Intensidadde campo magnético H

s 70

s 71

H=!!_=~ P. ti Fuerzamagnetomotriz ;17

(ver s 14)

= N I = ¡o/ti

(ver s 15)

;17

i=l

s 72

Tensiónmagnética"lbi en la i-ésimaporción de un circuito magnético "lb, = H¡/i (ver s 16) Reluctanciamagnética .'J't de un circuito uniforme

s 73

s 74

;17

.'J't=-=--

(

<1>

p.A Permeanciamagnética El' de un circuito uniforme

(ver s 18)

(ver s 19)

EI'=2_=~=~=2_L 1%;17 I

N"

Energíamagnética (almacenadaen un campo) Em

s 75

1

1

e; ="2NI="2LF Flujo magnéticodisperso d Parte del flujo magnético total <1>" se dispersa por el aire exterior y resulta así inefectivo.De modo que d está referido a . el flujo efectivo. Por lo tanto.

s

76

s

77

d

Coeficiente de dispersión 8 = -

<1> <1>" = <1>

Flujo total + La explicación de los símbolospuedeverse en S 16

(0.1 a 0.3)

•

Electrotecnia Campo magnético FUERZAS MAGNETICAS

mi s 78 iI s 79

iI s 80

s

81

s 82

Fuerza entre dos polos magnéticos En la dirección del flujo magnético se produce una fuerza de atracción Fa dada por 1 8" A --o 2 ¡Lv

Fa = -.

O

bien. Fa

2!!

40

(8 T

)2

A (-- .• ) N cm-

Fuerza sobre un conductor con corriente Sobre un conductor que lleva una corriente l. el campo magnético ejerce en una longitud' del conductor que lo atraviesa. una fuerza transversal F¡: F¡=811.

obien.F¡

=

*1

(~)(~)(~)N

En una armadura o inducido de máquina de corriente continua (CC) se produce el momento de rotación interno 1 P Mi '1>/-;- z )( 8=J.. A o bien. Mi = _1_ N' m 27r A a Conductor Tensión inducida (ley de la inducción de Faraday) Si una bobina (con N espiras y resistencia interna Ri) enlaza o concatena un flujo magnético (1) variable en el tiempo. se induce en ella una tensión o fuerza electromotriz (FEM) dt (ver s 11) e=N--

=~

(~)(_!_)!!_z v-e

at

que hace circular corriente por su <, ........... circuito conectado. -, "Tensión inducida por ~(t) el movimiento de un rotación de una espira rotación de la armaconductor normal a o de una bobina dura de un generador un flujo magnético en un campo magnético

I

iI iI iI s83

s 85

I Tensión o FEM de autoinducción: Ver la explicación de la página S 16

e = L· di/dt Ver símbolos en la página S 16

Electrotecnia Corriente

alterna

CONCEPTOS

GENERALES

Fasor Un fasor es un segmentorepresentativode una magnitudalterna que gira en sentidocontrario al del reloj. Angulosen igual sentido se consideranpositivos,y en sentido contrario, negativos. Ejemplo:

\

s 86 s 87

4--

Rotaciónpositiva

\

'{J, '{J,

'P2 : 3600 : O equivalea 'P.

Amplitud o valor máximo(ver s 1) Una magnitudalterna (corriente, i, o tensión, ul varía periódicamente,en general,en forma de onda senoidal. Los valo- Diagrama Variaciónen el tiempo res máximost-; Y U¿ reciben fasorial Periodo T=1/f el nombre de amplitud. Con una frecuencia angular w = 2 7r 1, el ángulo descrito en un tiempo t está dado por:

s 88

a=wt=27rft

y en este momentolos valores instantáneosson:

= t;

s 89

de la corriente

i

s 90

de la tensión

u = Umsenwt

seno,t

= t;

sena

= Um sena (cuanoc é' = 01

Valoreficaz (o r.c.m.,raíz del cuadradomedio) Estos valores son los que se emplean en la práctica y los que indican generalmentelos instrumentosde medición. En general s 91

1=I'f=A0

s 92

U=U'f=A'0

Paraondas armónicas

•

Con estos valores se tiene también en circuitos de corriente alterna:

s 93

(en el caso de cos'" = 1,ver s 105)

Electrotecnia Corriente alterna CONCEPTOS GENERALES Defasamiento.ángulo de fase En presencia de impedanciasde diversos tipos (resistiva. inductiva o capacitiva) en un circuito de corriente alterna ocurre un desplazamientoen fase o defasamiento. . entre la corriente y la tensión. El ángulo de fase se mide en el diagrama faserial de la corriente a la tensión. y en el diagramade variación en el tiempo. de la tensión a la corriente. Variación en el tiempo

o s94

u = Um sen.,t

i

= 1m sen (wt

-

Factor de calidadO. factor de pérdidastan 8y ángulode pérdidas8 El factor a de un circuito se define como 0= 27TEm/wp

s 95

dondeEm es el valor máximode la energíaalmacenadaen el circuito y wp la pérdida de energíaen un periodo. El recíproco del factor de calidad se conoce como factor de pérdidas. s96

ten s = 1/0

(8es el ángulo de pérdidas)

Para un circuito de resistencia e inductancia (s 115 y s 118) y un circuito de resistencia y capacitancia (s 116 y s 119) se obtienen de esta definición las siguientes relaciones sencillas:

s 97 s 98 s99

0= [tan ó] 90°- 11

=

I

tan 8 = 1/0 = l/ltan 1 UR/Ux (en la conexiónen serie) = IR/Ix (en la conexión en paralelo)

=

Puedenverse fórmulas de tan. en S 17 Y S 18. Para el caso de circuitos resonantesse tienen las fórmulas más complicadass 128 y s 129.

•

Electrotecn ia Corriente alterna Ecuacionesbásicas para circuitos monofásicos

s 106

Impedancia Admitancia Tensión en una impedancia Corriente en una impedancia Potenciaaparente Reactancia Potencia activa Potencia reactiva

s 107

Factor de potencia

s 100 s 101 s 102 s 103 s 104 s 105

z

s 109

= I/Z

U

=IZ U

Po X

P P,.

Z =U 1 =y'p2

+ P,'

=l' Z

=Zsencp =Ulcoscp=I'R = U 1sen cp = l' X

cos cp = _!:_ = P UI Pa P, P, sencp =--=UI Po

Factor reactivo s 108

(Ver S 16 Y S 17)

y

Flujo alterno a través de una bobina

4.44 N f

/L.. Permeabilidadmagnética del vacío (/L" = 41f x 10-' V' s/A' m) /L,. Coeficiente magnético (permeabilidadrelativa): para el vacío, gases, líquidos y la mayor parte de los sólidos se tiene/Lr = 1; para los materiales magnéticos ver la página Z 3 a Número de pasos en paralelo en el devanado I longitud de la trayectoria del f.lujo magnético N Númerode espiras en una bobina o devanado P Número de pares de polos z Número de conductores

Rs -

serie

Resistencia en

1----.....,

Rl'

paralelo

Ls -

serie

LI'

En los circuitos de impedanciasen S 17 Y S 18

Inductancia en 1-------1 paralelo

Explicación para la página S 13 (FEM de autoinducción) Ley de Lenz. Si a través de una bobina pasa una corriente r que varía en el tiempo, entonces varía también el campo magnético producido por la corriente. Se induce así en la bobina una tensión instantánea e, que tiene siempre una polaridad tal que contrarresta magnéticamentela variación de la corriente.

I

Tipos de componentes

Resistiva (óhmica) s resístor común o 110 anti-inductivo; lámpara

m

1~1

Diagrama fasorial

Conexión

R

1

--o-----

Relación de fases

UR ---=--.11

1

~

Defasamiento

Fórmula

tan=

-1

~

Y U en fase

e

Z=R

~

!!!

t-:-~d-du-~C-t~-i;-~-O-b-o-b-in-a)-+~~~~~:_:X:L:~~~~ ... -I~I-IU-L-rv---.-+-~t-~á-~-0-de-t---=-90-0-l--z-=-x-L-=-W-L---+---I ~ ~ ~ ideal ~ U g ir ::: L

r------------4~------------+_------_4------+_----~~------------_+----~0 ; ()

m

1a 90° adelante de Ue

Capacitiva 1~2 capacitor (o condensador)

=_90°

Z=Xe= --

< !. ...

1

O

wC

:

L'"

~

mm

Resistiva + inductiva + 1 113 capacitiva .,LR<-.,C en serie

-

s

(Reactor real con capacito 114 en serie)

Rs

XLS

Xc

1

-u; ~ U;

-900<<1><0

U

Uc

wLs- _2_ ~ WC) RsWC~

¡_

1

~~---_-I-_--'----~Z=VRS'+(WLS-

1

wLR >-wC

en

de U

-o-_-U-. UD

U

UL I atrás UdeU

-¡

00 <

2

¡;¡ <~

4> < 90"

"O

~----~-----t------------~--~--~------t-----~--------------+---~,. ~

s

mm 115

Resistiva inductiva

+

en serie (Reactor real)

~

Rs

XLS

-¡¡¡;-

--¡¡;U

1

~ _

UL

~

a~:~odse

0° <

4> < 9(f Z = ,jRs"

~

+ (wLsl'

W

de 90°

1

1»

C'D

n ::s

~ ¡. m

S

1 adelante

;

~ 3

Continuación

en S 18

Ls Rs

¡-

I!! O

TipOS de componentes

Diagrama fasorial

Conexión

Relación de fases

Defasamiento

Fórmula

tan

=

V¡¡

~s l3!m 116

+

Resistiva capacitiva

Rs

~

Xc

u;- --u;-

en serie

I adelante de U _90' <
1

~~

Z=JR/+(2-)"

",e

1 ~-Rs,,,e

u

e

IR

+

Resistiva inductiva

R"

__x

en paralelo le

Wf,

! ")R L Iv 1:

c;;:

V

Rp

+

Resistiva inductiva en paralelo

I~ IL '-

en paralelo

~r

+

R

~{c~

'f

U

~,,,e)

e i l> o !. (5

.... O .... CD

1

I atrás de U

O' < <90'

Z= j(2-)"Rp + (_!_r .,Lp

e,

3 e m 1»

(lJLp

:::J

~l>

o

Z.

o

_.

C»

l> CIl I adelante de U

_90'<

4>
z=

1

j(~r+ (o,el"

-Rp(J)C

...

..,¡

cuencie, en el circuito equivalente en serie (ver s 115). En conexiones

(,,,LsI' Rp=Rs+-- Rs

en paralelo de reactores y capacitores se recomienda usar los valores del circuito equivalente en paralelo (ver s 118). Las cantidades y Lp• dependientes de trecuencie, de este circuito se calculan partir de y t., empleando las fórmulas:

en

R~ Lp=Ls+-- (,,2 Ls

CO

Rs Ls.

s

r

1 R,. ( -(,¡L,.

z i

Para un reactor (o bobina de reactancte) los valores dados de son por lo general las cantidades y independientes de

121

1

z= J(2-R,. + (_2_~,,,er ("L/,

h

IP

XL" V

Resistiva capacitiva

U,

I adelante o atrás de U según -90'<4><90 las componentes

-

m o o CD o ~ n z -1 iD' Z ::::1 ~

Rs

la

Ry L la tre-

a

Rp

......

Electrotecnia Corriente alterna CIRCUITO RESONANTE

Diagramasde conexiones y fasoriales Diagrama fasorial en caso de resonancia

en serie

en paralelo

Ver s 113

Ver s 117

r

U-UR U~lL

~

J

s 122 s 123

Condiciones de resonancia

UL =

mis

125

mi

1,,=1,. 1 ---wrC=O (JJr L;

1 (J)rL,,---=O (J)rC

s 124 Frecuencia de resonancia

u;

f •. =

(J)r~L,. C = 1 1 t. = 27Tvr;:G'

(J)/ L" C = 1 1 27T....;r;;c

[Cuandof (free.de línea) = t.. ocurre la resonancia) s 126

Corriente en la resonancia

s 127 s 128

Factor Q

s 129

Factor de pérdidas

U 1,.=RR Ub=UL-Ue=O cp =0 (J). LR 1 OR=--=--RR (J)rCRR 1 RR tanS,,=-=-R OR (J)rLR

e t.

Lonaitud

s 130 de onda

Periodo en la s 131 resonancia

A=-=

Tr=27T~

U RRCU Ir=-=-R,. LR Ib=/L-le=O cp = O Rr OJ' =(J)rC Rr = -Wr L p 1 1 tan SJ'= -= --01' (JJ,.C Rp

300 x 10umis

t. t, = 27T..¡T;C

Filtro. Un circuito resonante en paralelo tiene impedancia máxima loo.;x a su frecuencia de resonancia.De modo que puede actuar como filtro eliminandocorrientes de esa frecuencia. U

y además 1 = -lID.'

s 132 Ver los símbolosen S 16

I

Electrotecnia

S 20

Corriente alterna

PUENTE DE MEDICION PARA CORRIENTE ALTERNA Se emplea para determinar la capacitancia de condensadoresy la inductancia de bobinas. Para hacerlo deben ajustarse el capacitor variableC2 y el resistor R2• hasta que la señal en el audífonoK haya alcanzadoun mínimo o desaparecido.Los circuitos mostrados no dependende la frecuencia. Medición de capacitancias

ii

R.

= C2Ra

s 133

e, = R;C

l-x

s 134

Ra Rx=~R2

RaR• Rx=--R2

2

tan 8r .

s 135

ii

= __

tan 8x

= !!..!._ (J)L-f

Determinaciónde una impedanciadesconocida.Se obtiene midiendo la cardade tensión en esa impedanciay una resistencia auxiliar: R 1

s 136 s 137

1__ RX(J)Cx

R.

r,

' z~ j

2R

coscpz=-Uzl Uz

s 138

Uz

Z=I

La resistencia auxülar debe seleccionarsede maneraque

s 139

U/I

Cx Lx

== IUzl. Capacitanciadesconocida

18

Angulo de pérdidas (ver S 15) Inductanciadesconocida R2• Ra. R4 Resistencias conocidas Resistenciadesconocidadel capacitor o del inductor Capacitanciascalibradasajustables Impedanciadesconocida(inductiva o capacitiva) .v

I

Electrotecnia Corriente alterna INDUCTANCIA L DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE Cálculo de L a partir de la impedancia y la resistencia. s 140

Se hace pasar una densidad de corriente (J = l/A""" 3 Azrnrn'') y se mide la tensión terminal U, la corriente 1 y la potencia activa P.

s 141

Impedancia Z

U

=I

Resistencia R

mi

P

= -F

s 142 Cálculo de L para una bobina toroidal (de anillo)

mi s 143

L

= p... h N" In !.:. 27r

r,

Cálculo de L para una bobina de disco con sección rectangular

o

Inductancia

u

iI

= 1.05(~)N"j(~)'

s 144

<

1

L

s 145

>

1

L=

s 146

~ 3

1.05(~

p.H

)N"-JW

p.H

Los valores ya no son aceptables

V's

1p.H = 10-6A a A b de

iI

s 147

a

Ancho radial de la bobina Area transversal del conductor Grueso axial de la bobina Diámetro exterior del conductor con aislamiento Diámetro medio de la bobina Longitud del contorno interior del hueco Longitud media del enrollamiento ((m ti 7ra) Número de espiras o vueltas Perímetro de la sección transversal de la bobina Relación a : b

/3

Grado de aflojamiento

O ti (m

N

mm

s 148

p

=

en la bobina

+

(/3 = .!...!!_) Nd e2

I

Electrotecnia Corriente alterna CALCULO DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE PARA UNA INDUCTANCIA DADA Bobinasde alta frecuencia

~ I s 149

iI s 150

Fórmula

~(~r >11(~r

~~(~r (~r

N'~

N~5

~

(~r

~(~).

donde:

X

1014

Bobinasde baja frecuencia

s 151 s 152

iI s 153

Suponiendo que

f3

=1

Y O

= u,

entonces

(u

Vu

16 N d.2

N~975~ a

=~

±

2 -

u

)

b=--a

;

2

Cálculo del número de espiras de una bobina

iI

s 154

iI

A partir de la sección transversal de la bobina: ab N"",--

'-'_._._"\ (

d2

i

A partir de la resistencia:

,

----

....._ ...

. 1 j -,,'

~

s 155

1m lo Mediante una bobina patrón o de referencia. Se coloca la bobina con el número desconocido de espiras N x y la bobinacon númeroconocidode vueltas No, lo más cerca posible una de otra sobre un marco de acero, como se indica. El sistema se energiza o excita con una bobina magnetizante No de CA, a la que se aplica la tensión Ue- Se miden las tensionesU» V Uo con voltímetro de alta impedancia. De maneraque

s 156 Ver símbolosen página S 21.

I

Electrotecnia Corriente alterna HISTERESIS

MAGNETICA

Inducción magnéticaremanenteB, Magnetismoque permaneceen el material (hierro o acero) cuando desaparecela intensidad magnética externa aplicada H.

H

Intensidad magnética coercitiva He Campo que debe aplicarse para anular la inducción magnéticaB,.. Trabajode magnetizaciónWH (energíadisipadapor histéresis) Al describir una sola vez el ciclo de histéresisse disipa una energía W H igual al producto del área del ciclo de histéresis WH Y el volumende la muestrade hierro. VFe:

s 157

WH=WHVFe

Potenciade magnetizaciónPI/ (potenciadisipada por histéresis)

s 158

PH

=

WH'

= WHVFe'

Corrientesparásitaso de Foucault Por la inducción electromagnéticadebida al cambio de flujo también se originan tensiones alternas en el hierro que. dependiendo de la conductividadeléctrica del material.producenunas corrientes turbulentas llamadasparásitaso de Foucault. la construcción laminar de los núcleos y las armaduras(con láminasde acero de 0.3 a 1 mm de espesory aisladasentre sr) las reduceen alto grado. Pérdidasmagnéticas(en el hierro) Potenciadisipadaen el hierro por unidadde masaPFe Comprendelas pérdidaspor histéresis y por corrientes parásitas. Se mide con una amplitud de la inducciónB¿ = 1 1 = 10 kGs. o bien. 1.5 T = 15 kGs. a una frecuencia de 50 Hz. lo que da las cantidades PFelO o PFeI5' respectivamente.los valores pueden verse en Z 4.

mi s 159

Potenciatotal de pérdidas en el hierro PFe PFe

=P

FelO

f Bm) f ]" [ \r (50 Hz)

mv, Masa del material magnético (hierro)

x

mFe

(1 + x)

Aumento por rebordes del troquelado. etc. (0.1 a 1.0)

I


alterna

REACTOR O BOBINA DE REACTANCIA Impedancia reductora de tensión Se emplea un reactor en el circuito de una carga puramente resistiva Re para reducir la tensión de entrada de un valor U a un va~or Ue. U,.

s 160 s 161

iD

s 162

= Z,.I

1:- ~I Impedancia del

~UL

R"O¡U"~R"' reactor circuito total

Inductancia requerida

~

Z,. = -IR." + ((IlLs)" Z =v(Rs + Re)" + ((f)LsF L"

\/¡(UR)"

=-

_e

(1)

mm

s 163

U;

_

(Re + Rs)"

Para un cálculo aproximado de L, se puede despreciar la resistencia aún desconocida Rs del reactor. Una vez diseñada la bobina, se conocerá R, y podrá calcularse Z con precisión. Luego se revisa U; empleando la fórmula

UR

Ue=Z

e

Eventualmente se requerirá un segundo cálculo con el valor modificado de la inductancia requerida. Reactor sin núcleo de hierro y con inductancia constante El diseño se efectúa según S 21. Se suponen inicialmente los valores de '2, " (bobina toroidal). o de D, u (bobina de diSCO).Si el espacio disponible para las bobinas resulta insuficiente o se obtiene un número inadecuado de espiras o un calibre impropio, deben repetirse los cálculos con otras dimensiones. Finalmente se calcula la resistencia de la bobina mediante s 26. Reactor con núcleo de hierro e inductancia constante El núcleo de hierro sirve funb damentalmente para confinar el flujo magnético y debe teJ, ner el mayor número posible de entrehierros simples, 8,. Estos deben llenarse con aislante y su espesor total no debe ser mayor que 1 cm. La fuerza rnaqnetomotrlz (FMM) requerida por el hierro puede despreciarse. Los cálculos se realizan con los valores máximos de H y deBo (Continúa en S 25)

-<~~~~~

I

15 25


alterna

Una medida de la variación de la inductancia L, es la máxima variación relativa de la inductancia dependiente de la corriente:

iI

s 164

gL=

mm

Si

ILR•o t. - L.I ;

1

t;

gL

AFe Bm(Fe)

1)

Hm(.'e) IFe ¡.Lo AE

+1

> 9L

9L

Bmn'e)°

(req.) repítase el diseño aumentando AFe Y disminuyendo pero manteniendo constante el producto AF• Bm(F.)'

Dimensionamiento. Dados: obtienen las siguientes:

t.;

t,

gL(req.)o UL(et.1

o t«. entonces se

Dimensiones definitivas

provisionales

s 165 s 166

Sección efectiva del núcleo de hierro

s 167

Númerode espiras

s 168

Area de entrehierro Longitud del total

I

s 169

~f'etg;; I individual Diámetrodel conductor Area transversal del bobinaao Longitud de las columnasdel núcleo

s 170 s 171 s 172

A

F: = yK /...Uc«.

donde/.t .

= 211"(L., U N=

AE'= ab &0

= = =

AYe

Let.

4.44

+ (5 cm) (a + bi N'~,...,Al/

=i;::

&,0

&o/n
o'

2~

(obtener de DIN 41 302)

Us.«. t BooFeA F.

= a b + 5 (a + b) &, n N",..., ~ = n Ls - a 5b N",..., (a + b) s, = &/n < 1 cm AB

d al valor estándarsiguiente de incluye el aislamiento

AB= 1.12de2N Determínesele a partir de las dimensiones del núcleo y de AB.

Bobinade reactanciaconnúcleode hierroe Inductancladependientede la corriente. Estabobinacuentacon un núcleode acero.pero no tiene entrehierro.Sólo se empleaparafines especiales.por ejemplo.como amplificadormagnético. K

J'

B...(Fe) H"(.'e)

n Reu

e,

Coeficientede potenciade la bobina: "" 0.24 cm4/VA para bobinascomunes(en aire) } Ver S 24 para la for~a de "" 0.15 cm4/VA para bobinasen aceite sección del nucleo para la formade seccióndel núcleo [UJJJ aplicar valores 75% mayores Densidadprovisionalde corriente: para bobinas comunesJO 2 A/mm2 para bobinasen aceite JO "" 3 a 4 A/mm2 Inducciónen el hierro (alrededorde 1 a 1.2 T) Intensidadde campoen el hierro para Bm(Fe), Segúnel tipo de hierrodebeobtenersede Z 3. Número de entrehierros. Su aumento reduce el flujO de dispersión Resistenciadel bobinado(segúns 26) Resistenciade la bobina.incluyendopérdidasen el hierro

=

(Rs

IFe

""

1.3 Reu)

Longitud mediade la trayectoria de flujo en el núcleo de hierro

I

Electrotecnia Corriente alterna TRANSFORMADOR

Designaciónde los bobinados Clasificaciónsegún la función en el circuito (sentidode la transmisiónde energía) Bobinadoque recibe entrega energía

la tensión nominal Bobinadocon tensiónnominal mayor menor Alto

I

Bajo voltaje

Secundario (Indice 2)

Primario

(Indice 1)

Datos nominales(índice N) s 173

Capacidad(VA)

s 174

Relaciónde transformación n

= U"/U,,, = /"//,,

Como tensión nominalsecundaria U" no se toma la correspondiente a carga nominalsino la de vacío,es decir, U" = U2uPérdidasen el hierro p., y pruebade vacío (circuito abierto) N,

U

V

!U

1N

N2

u

U,"

lliu,"

U20 IR(F.,)

Laspérdidasen el hierro p., dependensólo de la tensión primaria UI y de la frecuencia /, pero no de la carga.

s 175

Pw == PFe Dichas pérdidas en el hierro, así como la relación nominal de transformaciónn, se determinan medianteuna prueba de vacío. (Ver el diagrama de conexiones, secundario abierto, datos con el índice O).La componenteactiva I.m, de la corriente primaria correspondea las pérdidas en el hierro; la componentereactiva es la corriente de magnetización1M, Las pérdidasen el cobre son despreciables.Laspérdidasen el hierro p., se utilizan para calcular las pérdidasen operaciónnormal y la eficiencia.

I

Electrotecn ia Corriente

alterna

TRANSFORMADOR Pérdidas en el cobre Pe" y prueba de corto circuito

_.___~¡U'· nI',"

Diagrama fasorial

V El valor de Pc« sólo depende de la corriente primaria /, y se determina mediante una prueba de cortocircuito (ver el diagrama de conexiones, datos con el índice K). En esta prueba con el secundario en corto se ajusta la tensión primaria U, al valor UIK, con el cual se hacen circular por los bobinados sus corrientes nominales; es tan pequeña que pueden despreciarse los valores de /un'" e 'Jlr1• La potencia primaria de cortocircuito PIK resulta entonces igual a la pérdida nominal total en los dos bobinados, Pe"N, a las corrientes nominales. Ese valor se emplea en el cálculo de las pérdidas de operación y de la eficiencia. PIK = PC;uN Con los valores medidos se determina la relación de cortocircuito, que se indica a veces en la placa de transformadores grandes.

U",

s 176 s 177 s 178

=

rK 100 (U'KIU'N) Del diagrama fasorial se obtienen:

%.

Rc« = UR/11N;

= UR/U1K

L = Ul./(I) '1 N ;

Comportamiento en operación Para determinar la tensión secundaria de trabajo U, para cada caso de carga, se refieren primero todas las cantidades secundarias a las de un transformador de igual capacidad, pero con una relación de transformación n = 1 : 1 (valores con la marca I )

s 179

U{

= n U2;

/{

= /{In;

R{

ces

s 181

IJ.U.., UIK (cos 'K COS 2 Tensión secundaria U2 U{"""U,-IJ.U;

PC;uN Pa,N

rK

Circuito equivalente simplificado J, R. L 1,'

M'U' = n2 R2

Cambio IJ.U de U{ dependiente de la carga (Aproximación para rK = 4%)

s 180

=

+ sen IK sen 2) /21/2N U2=U{ln

Diagrama fasorial

•

Electrotecnia

S 28

Corriente alterna CONEXIONESTRIFASICAS Estrella (V)

R

u=u,fi 1 =1"

S

s 182 s 183

-1 -1

U

Uy Uy-

+Uy

N Delta (a)

R

U=U, 1=1,..;3

s 184 s 185

S

U

T

~ lu

Medición de potencia trifásica Cargas simétricas (equilibradas) Conexión sin neutro (sistema de 3 hiJos)

s 186

Potencia total Cargas asimétricas wattímetros,

P=3Py=V3UlcOS (desequilibradas),

Método de Aron. Con dos

Línea De aplicación general y para redes con neutro y sin neutro.

s

Potencia total

187

',F R,S, T N PF

P=P,

+p.

-:1

Carga

Pz~

Corriente de fase U ,. Tensión de fase Corriente de línea U Tensión entre lineas Conductores principales de línea [o bíen: L"L.,L,) Hilo de neutro (o punto común) Potencia de fase (activa)

•

Electrotecnia Corriente alterna CALCULO

~ l333iIiI

DE POTENCIAS

TRIFASICAS

Para cargas simetricas:

s 188

Potencia reactiva

Pr= fiUlsenep

s

Potencia activa

P =

fi

ep =

P V'JU I

s

189 190

Factor de potencia

cos

U I cos

ep

Corrección del factor de potencia (FP) (en el caso de cargas inductivas) Genera Iidades Para reducir las pérdidas y el costo de la energía consumida puede mejorarse el FP hasta un valor de 95% aproximadamente. En el caso de cargas grandes la corrección debe hacerse directamente en cada carga. Tratándose de cargas pequeñas la corrección se hará en la subestación o centro de distribución. Cálculo de la potencia capacitiva

mi

s

191

s

192

(en VAr) necesaria

El FP se calcula por medio de s 107 o s 190. La potencia se determina con wattímetros (ver las conexiones en S 28) o con un watthorímetro. Potencia capacitiva necesaria Pérdidas en el equipo corrector de FP

P,

Tabla de valores para la corrección cos tan 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60

2.161 2.041 1.931 1.827 1.732 1.643 1.559 1.479 1.405 1.333

cos

=

(tan

epi -

tan ")P

Pe =,,0.003 P,.

ep

0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80

del FP

ep

coscp

1.265 1.201 1.138 1.078 1.020 0.964 0.909 0.855 0.802 0.750

0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90

tan

tan

ep

0.724 0.698 0.672 0.646 0.620 0.593 0.567 0.540 0.512 0.484

cos!! 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

tan

cj>

0.455 0.426 0.395 0.363 0.329 0.292 0.251 0.203 0.142 I 0.000

Los valores de tan 1y tan 2se obtienen correlativamente de la tabla anterior donde cos 2es el FP deseado y cos 1es el FP real de la carga.

I

Electrotecnia

S 30

Máquinas LA MAQUINA DE CORRIENTE CONTINUA Dínamo (motor o generador)

mi

Generalidades

s 193

iiis 194 mis 195 mis 196 liIs 197

Constante del momento de rotación

CM=...!!..!....

Tensión inducida en la armadura (FEM)

~a

Momento de rotación

M =CMlo

27r8

= CMw=27rCMn ± (U- ~(/)

Corriente de armadura Tensión terminal

u

= ~a ± 'aRa U =+=

*

*

'a Ro * *

mS

198

Velocidad de rotación (rps)

n

ils

199

Potencia interior

Pi = Mi(/)= ~ala 1 Pe =-Ultot. TI

27rCM<1>

recibida por el generador

s200

Potencia mecánica

s 201

entregada por el motor

Motor con excitación "shunt" (Ver el diagrama de conexiones en S 31) Buen arranque, la velocidad permanece casi constante con carga, V dentro de ciertos límites, puede ajustarse con facilidad. Motor con excitación en serie (Ver el diagrama de conexiones en S 31) Buen arranque con alto par inicial. La velocidad depende de la carga. Sin carga, existe el peligro de desbocar la máquina. Motor con excitación "compound" (Ver el diagrama de conexiones en S 31) Trabaja aproximadamente como un motor "shunt", El bobinado serie garantiza un alto par de arranque. Número de pasos en pararelo en la armadura p Número de pares de polos <1> Flujo magnético 8

*

El signo + corresponde a un motor El signo - corresponde a un generador

z

Número de conductores

Ra

Resistencia de la armadura

**

El signo - corresponde a un motor El signo + corresponde a un generador

I

en

en

'" él

fa Rotación

Excitación "shunt"

Excitación en serie

~:: (1) .,

iI: > O c:

.,"

:r ¡~

~

~~

~~ ~~

~~

a

1~~. :=1~~ 'rJ ;=r~

~¡¡;

ialll gc (1)

en

~::

~

:=~

~

g. .,

...o

e ...

O :;

...

Z

C3

n

c

C»

m

III CD

::::s _.

",o (1)0

~

::>Z

~~

~.:: > ~-4

')~ o

~

-

CD

0111,

O111

(1) .,

.~J~~

m

o .a o e

~

a

~

~

~~ .§"»

~

m

Z

=::>

~

15" .,

.,a.

~

~!2

i

en CA)

""""

Electrotecnia Máquinas MOTORES DE CA TRIFASICOS

Velocidad de sincronismo Segúnel númerop de pares de polos y la frecuencia I (en Hz).se tiene I 601 Velocidadde sincronismon, = - = -- (en rpm) p p

s 205

Conexión Si todas las terminales del devanadodel estator se llevan al tablero de conexiones,entoncesel motor puedeconectarseen delta o en estrella. Tensión por fase en estrella en delta s206

Un motor con la designación 660/380 V opera con sus valores nominalesde corriente, par y potencia conectado a una tensión

s 207

u = 380 V en .1;

s208

U

= 660Ven Y;

entoncesUF = 380 V

U

entoncesUF

660

= V3 = T3 = 380V

Conexióndelta-estrella Los motores de altas potencias operan generalmenteen delta. Para evitar corrientes excesivas de arranque, en redes de baja potencia se les arranca conectadosen estrella, y posteriormente se operanen delta. Si, por ejemplo,un motor con tensión.nomtnal de 660/380V se arrancaen estrella conectado a una red de 380/ 220V, entoncesse le aplica por fase 1/y13de su tensión nominal. Motor asíncrono (o de inducción) Enel devanadodel rotor se inducentensionesy corrientes por el campo magnéticogiratorio producido por la corriente en el estator, por lo cual se le denomina también motor de inducción. La velocidad de operación es aproximadamentede 3% a 5% (deslizamiento) menor que la del campo giratorio (velocidadde sincronismo). Con carga su velocidad permanececonstante. Motor síncrono Requierecorriente continua para su excitación. Se arranca con ayudade su devanadoamortiguador (de jaula) hasta alcanzar la velocidad de sincronismo. Puede funcionar también reversiblemente como generador síncrono o alternador.

I

Electrotecnia

S 33

Transformadores GRUPOSDE CONEXIONES Designación Indice

Fases

Grupo

AV

Conexiones BV

AV

Relació:J (ratio) VI: V,

BV

Transformadorestrifásicos

s 209 s 210

D d

UVW

O

UVW

o~

s 211

urw

LLJ

D z

u v

O

LLI

W

u

u v w

[JLI¿J v

W

u v

W

(J

s 213

L1J ~ u vw LLI -'Lr::r:::I'

s 214 s 215 6

s 217

D d

6

y y

6

D z

[J¿]¿J u v W LLI u v w

6

ri\i\lI 'f" 'f

s 218

s 220

11

N,

---¡¡;

rn

..!!.!_ N,

urw

~

~

s 219

r w

[J¿]¿J ~

s 212

s 216

urw

[JLI¿J !JLI¿J

u

2 N, r

3&

w

D y 11

liLiJ W

Y d 11

W~ W,~

y z 11

Transformadores monofásicos

u

s 221

I AV Alto voltaje BV Bajo voltaje

I~I

Delta

I~I

Estrella

I~I

Zigzag

= Indice x 30°)entre la conexión de AV y la de BV. Por ejemplo, el defasamiento para el grupo O y 5 es cJ> = 5 x 30° = 150°.

El indice sirve para calcular el defasamiento ( cJ>

Nota: Los grupos enmarcados son preferibles.

•

Símbolo

O

O ~ Q O ~

Tipo de dispositivo

Bobina

móvil

Bobina móvil con rectificador Bobinas cruz

en

Bobina móvil con termopar

Construcción

Bobina móvil en el campo radial uniforme de un imán permanente; dos resortes espirales o de torsión como conexiones V para el contra momento torsional Bobinas perpendiculares, rigidamente unidas, en el campo no uniforme de un imán permanente; dos conexiones sin contrapar o, contra momento El alambre calefactor soldado o en estrecho tensión termoeléctrica bobina móvil

del termopar, contacto. La alimenta la

Cantidad primaria medida

Escala

Valor continuo (media arttmé. tica)

Lineal

Valor continuo (rectificador)

1,

-

Z

-

1V U

-

1,

-i

O Ul

3: JI<

1V U

$3

Electrodinámico

Bobina móvil, bobina fija V dos resortes espirales o de torsiór. para el contramo mento V la conexión; pantalla magnética

1, . 1, cos

Electrostático

una placa fija V una móvil en el condensador

Valor eficaz

4>

,"

Cuadrática para 1 y U; lineal para

P

'''También para cantidades f < 500 Hz

-", (21

No lineal alternas

121

(2)

Ul

i: 'V

o

(11

Q. ID

-i

1, U. P

Ul

y cos

4>

U (desde 100 V)

no senoldales

(1)

...

... O

3 (1)

ID Q.

ñ

O::::1

e

_. ::::s

C»

::o

1V U

m

.... e... ):o

'ti 111 111

O

No lineal

::o m Z

," 1,

-

Ul -i

c: 3:

(31

Valor eficaz

para cantidades alternas senoidales También para altas frecuencias

1V U

-

Dos piezas de hierro dulce, una móvil V una fija; bobina fija V resortes espirales para el contra momento

(3)

"" Lineal

,',

Casi cua. '2, drática

Valor eficaz

Hierro dulce

,IJ Sólo

-

No lineal

1,

f'AI\

t

Para medir

JI< Z -i m

-

en W ~

Optica e Iluminación lIuminaci6n. Fotometría CANTIDADES BASICAS EN LUMINOTECNIA Magnitud

Símbolos y relaciones

Intensidad luminosa

t

2

1,

t

t

3

4

5

Explicación

candela cd

" es una magnitud tundamental. Ver Explicaciones generales. !l es la relación del área A, de la superficie esférica interceptada, al cuadrado del radio de la esfera r.. Para un ángulo sólido completo se tiene fl = 4". sr = 12.56 sr <)', es el producto del ángulo sólido fl y la intensidad luminosa "

estereorra-

Angulo sólido

dián 1 m" sr=-1 m"

r,; t

Unidad

Flujo lumínico (potencia' lumínica) Cantidad de luz (energía lumínica)

lumen 1m = cd-sr

0, = ,t E, t; cos a:

Iluminación

,2

lumen. segundo

0, es el producto del flu-

lrn v s

jo lumínico y el intervalo de tiempo t

lux

E, es el cociente del flujo

Ix=--

1m

m2

lumínico incidente y la superficie iluminada A = A./cos a

L" es la relación de la int

6

Luminosidad (brillo)

cd 1,

m'

A, cos {

tensidad luminosa t; a la proyección de la superficie iluminada sobre un plano perpendicular a la dirección a los rayos.

FlujO lumínico requerido para la iluminación (Ver valores en Z 21) Una superficie A sobre la que hay una iluminación E, requiere un flujo lumínico t

7

A E,
t

8

1 watt

de la radiación

= 680 1ma una

longitud de onda de 0.555 fLm

Definición de la unidad fundamental candela Un radiador perfecto (cuerpo negro) con una superficie de 1/(6 x 10') m' tiene a una temperatura de 2043 K una intensidad luminosa de 1 candela. Ver los símbolos en T 2

•

Optica e Iluminación iluminación. Refracción LEY DE LA ILUMINACION La iluminación de una superficie es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la fuente de luz: t

E" E,2

9

A, A,

Para igual iluminación de una superficie las intensidades de dos fuentes de luz están en relación directa al cuadradode sus distancias a la superficie: t 10

Refracciónde la luz t 11

n; 12 13

senfJ

= constante para todo ángulo

cuandosenfJ ~~.

n,

hay reflexión total

Indicesde refracción (paraluz amarillade sodio. A = 589.3nm) Sólidos Ilíquidos (con relación al aire) Plexiglass Cuarzo Vidrio (crown) Diamante A Al a

1.49 1.54 1.56 2.41

Agua Alcohol Glicerina Benzol

Gases (con relación al vaclo) 1.33 1.36 1.47 1.50

Hidrógeno Oxígeno Aire Nitrógeno

1.000139 1.000271 1.000292 1.000297

Superficie iluminada Superficie luminosa Angulo entre el rayo incidente y la perpendiculara la superficie iluminadaA Angulo entre el rayo emitido y la perpendicular a la superficie luminosaAl na Indice de refracción del medio menosdenso nb Indice de refracción del medio más denso , Distanciaentre la fuente luminosay la superficie iluminada 1) Eficiencia de la iluminación (Ver tabla Z 21) e "" 3 x 10' mis (velocidadde la luz)

I

Optica e Iluminación Longitudes

13

de onda, Espejos

LONGITUD DE ONDA EN AIRE ATMOSFERICO Longitud de onda A

Tipo de radiación t 14

t

t

15

Rayos X

duros suaves ultra suaves

Luz y adyacentes

ultravioleta. corta ultravioleta. larga violeta azul verde amarilla roja infrarroja

-

0.0057 0.080 2.0 100 280 315 380 420 490 530 650

-

-

-

-

-

0.08 2.0 37.5 280 380 380 420 490 530 650 780

nm nm nm nm nm nm nm nm nm nm nm

c

Longitud de onda A = ,

16

Espejos Espejo plano La imagen es virtual. derecha y está a una distancia (d') numéricamente igual a la del objeto (d):

t17

d=-d' Espejo cóncavo

t

18

1

1

1

'=d+if La imagen será real o virtual dependiendo de la distancia del objeto d

1

> 21 21 21>

Imagen

d'

a»1

1 « tr < 21 21 > 21

1 negativa 1 Espejo convexo Sólo produce imágenes Virtuales. derechas y menores. Similar al espejo cóncavo

<

con 1 = - _!_ 2 Ver símbolos en T4

puntiforme real, invertida. menor real, invertida. igual tamaño real. invertida. mayor nula virtual. derecha. mayor

O

~

'

-

•

Optica e Iluminación Lentes LEYES DE LAS LENTES Potencia (o poder refractivo) ¡¡ de una lente 1

1).=-

t 19

iI

Unidad: dioptría (dpt)

f

Fórmuta 1

t 20

1

= (nn:

m=-=h

t 22

m

de las lentes delgadas 1

'=-¡¡+d

t 21

1

=-

(3

1) (

2.. + 2..) r, r.

d' d

Si dos lentes con distancias focales t y '" están inmediatamente una a continuación de la otra, la distancia focal total es 1

1

1

-=-+, " t;

t 23

Lupa o lente de aumento En general

s

m=,+1

t 24

con el objeto en el foco

s

m=- f

Microscopio Ampliación total

iI

ts

m=---

t 25

'"

" =m,m"

t 26

Macrofotografía t 27

Extensión de cámara Distancia del objeto

t 28

F ,

d d' h h'

a

=f

(m

a

+ 1)

c=-='(1 m

Foco (o punto focal) [stancia focal Distancia del objeto Distancia de la Imagen Tamaño del objeto Tamaño de la imagen

n m s

1

+-)

m

Indice de refracción (ver T 2) Radio de curvatura Longitud óptica de tubo Amplificación o aumento Distancia visual normal (= 25 cm en el ojo normal)

I

Química Elementos

IU

1

Masa Masa atómica atómica Nombre Símbolo (en uma) (en uma) Mn 54.9381 Aluminio 26.9815 Manganeso Al Mercurio Hg 200.59 Antimonio 121.75 Sb 95.94 Molibdeno Mo Argón 39.948 Ar Nd 144.240 Arsénico 74.9216 Neodimio As 20.183 Ne Astato Neón At 210 Nb 92.906 Azufre 32.064 Niobio S Ni Níquel 58.71 Bario 137.34 Ba N 14.0067 Berilio Be 9.0122 Nitrógeno Au 196.967 Bismuto Bi 208.980 Oro Boro Os 190.2 10.811 Osmio B 15.9994 Bromo O Br 79.909 Oxígeno Pd Paladio 106.4 Cadmio 112.40 Cd Calcio Plata Ag 107.870 40.08 Ca Californio Platino P1 195.09 251 Cf Carbono Pb 207.19 12.0112 Plomo C Cerio Plutonio Pu 242 140.12 Ce Cesio K 39.102 132.905 Potasio Cs Praseodimio Pr Cloro 140.907 CI 35.453 Ra Cobalto 58.9332 Radio 226.04 Co Renio Re Cobre 186.2 Cu 63.54 Cromo Rh Cr 51.996 Rodio 102.905 Einsteinio Rubidio Rb 85.47 Es 254 Erbio Rutenio Ru Er 167.26 101.07 Escandio Sm 150.35 Sc 44.956 Samario Estaño Selenio 118.69 Se Sn 78.96 Estroncio Silicio Si Sr 87.62 28.086 Europio Sodio 151.96 Na Eu 22.9898 Flúor TI Fe 18.9984 Talio 204.37 Fósforo Ta P 30.9738 Tantalio 180.948 Gadolinio Telurio Te Gd 157.25 127.60 Galio Titanio 69.72 Ti Ga 47.90 Germanio Torio 72.59 Th Ge 232.038 Helio 4.0026 Tulio Tm He 168.934 Hidrógeno H 1.008 Tungsteno W 183.85 Hierro Fe 55.847 Uranio U 238.03 Indio Vanadio 114.82 V In 50.942 Iridio Ir 192.2 Xenón Xe 131.30 Kriptón Yodo Kr 83.80 I 126.9044 Lantano Yterbio La 138.91 Yb 173.04 Litio 6.939 Ytrio Y Li 88.905 Lutecio Lu 174.970 Zinc Zn 65.37 Magnesio 24.312 Zirconio Mg Zr 91.22 uma. u = Unidad de masa atómica (igual a 1/12 de la masa de un átomo del isótopo 12 del carbono. "C) luma = 1.66 x 10-21 kg) Nombre

Símbolo

•

Química Productos químicos NOMBRE específico o comercial (sólo cuando difieran)

común Acetileno Acetona Acido cianhídrico Acido clorhídrico Acido fluorhídrico Acido fosfórico Acido nítrico Acido sulfhídrico Acido sulfúrico Agua Alcohol etílico Alcohol metílico Amoníaco Anilina Bauxita Bórax Bromuro de plata Bromuro de potasio Cal viva Cal apagada Carbonato de calcio Carbonato de plomo Carbonato de sodio Carbono Carburo de calcio Carburo de silicio Cianuro de potasio Clorato de potasio Cloruro de amonio Cloruro de calcio Oloruro de estaño Cloruro de hierro Cloruro de potasio Cloruro de sodio Cloruro de zinc Cromato de potasio Dicromato de potaste Dióxido de carbono Dióxido de manganeso Eter etílico 'Normalmente

dimetilcetona ácido prúsico

Fórmula C2H2 (CH,Iz· HCN HCI HF

ácido ortofosfórico

H,PO.

aceite de vitriolo

HNO, H2S H,SO.

CO

H20 etanol metanol aminobenzol óxido de aluminio tetra borato de sodio

óxido de calcio hidróxido de calcio caliza plomo blanco

carburo carburundum

sal amoníaco

cloruro

ferroso

sal común

C2H,OH CH,OH NH, C.H.· NH2 AI,O,'

Na2B.O,· AgBr KBr CaO Ca(OHIz CaCO, 2PbCO, . Pb(OHIz Na2CO,' C CaC2 SiC KCN KCIOa NH,CI

caci,

SnC!,' FeC!,' KCI NaCI ZnCI2'

K2CrO. anhídrico pirolusita éter

en solución

acuosa

carbónico

K2Cr,O, CO2

Mn02 (C,H,IzO

Química Productos químicos

U

3

NOMBRE común Fenol Ferricianuro de potasio Ferrocianuro de potasio Glicerina Glicol Grafito Hidróxido de amonio Hipoclorito de calcio Magnesia Metano Minio (plomo rojo) Nitrato de calcio Nitrato de plata Nitrato de plomo Oxido de estaño Oxido de plomo Oxido de manganeso Oxido de nitrógeno Oxido de zinc Potasa Potasa caústica Propano Sosa (soda) Sosa caústica Sulfato de cadmio Sulfato de calcio Sulfato de cobre Sulfato de hierro Sulfato de magnesio Sulfato de sodio Sulfato de zinc Sulfuro de hierro Sulfuro de mercurio Sulfuro de plomo Sulfuro de zinc Tetracloroetileno Tiosulfato de sodio Tricloroetileno Urea Yoduro de potasio

específico o comercial (sólo cuando difieran) ácido carbólico

trihidroxipropano

polvo de blanquear óxido de magnesio gas de los pantanos óxido plumboso-plúmbico

óxido estannoso óxido plumboso dióxido manganoso gas hilarante blanco de zinc carbonato de potasio hidróxido de potasio óxido de sodio hidróxido de sodio

vitriolo azul vitriolo verde sal de Glauber vitriolo blanco sulfuro ferroso cinabrio sulfuro plumboso blenda

carbamida

* Normalmente en solución acuosa

Fórmula C,H-,OH K" [Fe{CN).J K, [Fe{CN).J C"H,-.{OHI:, CH,OH-CH,OH C NH.,OH CaOCI, MgO CH, Pb"O., Ca(NO,,), AgNO" Pb(NO,,), SnO, PbO MnO, N,O ZnO K,CO" KOH C;jH.'1 Na,O NaOH CdSO, CaSO.,' CuSO_" FeSO.,· MgSO.,· Na,SO_" ZnSO,* FeS HgS PbS ZnS C,CI, Na,S,O,,' C,HCI" CO(NH,¡' KI

I

Química Valores pH. Indicadores VAlOR pH El logaritmo decimal con signo negativo de la concentración de iones hidrógeno eH + es el valor pH de una sustancia: pH = - log,o CH+ CH+

pH

1

10-'

O

10-2

1

u

... -10-'

2

"

7

ácida

neutra

.

10-12 12

'"!j 13

14

alcalina

Indicadores ácido-base Indicador

Intervalo del pH

Azul de timol 4-dlmetilaminoazobenzol Azul de bromofenol Rojo congo Anaranjado de metilo

1.2 - 2.8 2.9-4.0 3.0-4.6 3.0 - 5.2 3.1 - 4.4

rojo - amarillo rojo - amarillo naranja amarillo - rojo violeta azul violeta - rojo naranja rojo - amarillo naranja

Verde de bromocreosol Rojo de metilo Tornasol Púrpura de bromocreosol Rojo de bromofenol

3.8 - 5.4 4.4 - 6.2 5.0 - 8.0 5.2 - 6.8 5.2-6.8

amarillo - azul rojo - amarillo anaranjado rojo - azul amarillo - púrpura anaranjado amarillo - púrpura

Azul de bromotimol Rojo de fenal Rojo neutro Rojo de creosol m-creosolpúrpura

6.0-7.6 6.4 - 8.2 6.4- 8.0 7.0 - 8.8 7.4 - 9.0

amarillo - azul amarillo - rojo azul rojizo - anaranjado amarillo amarillo - púrpura amarillo - púrpura

Azul de timol Fenolftalefna Amarillo de allzarlna GG

8.0 - 9.6 8.2 - 9.8 10.0-12.1

amarillo _ azul sin color - rojo violeta amarillo claro - castaño amarillento

Cambio de color

Reactivos. produ~~~í~!~!zclas

frigOrífiCasl

U

5

REACTIVOS Clase de sustancia u u u

2 3 4

u u u

5 6

7

u

8

u 9 u 10 u 11

Cambio de color o efecto

Indicador o reactivo papel tornasol azul fenolftaleína roja anaranjado de metilo amarillo

Acido

rojo incoloro rojo

papel tornasol rojo fenolftaleína incolora anaranjado de metilo rojo

Base

Ozono Acido sulfhídrico Solución de amoniaco Dióxido de carbono

papel con yoduro de potasio papel plomo ácido clorhídrico hidróxido de calcio

azul rojo amarillo azul- negro castaño - negro vapores blancos sedimentación

Obtención de productos químicos Producto a obtener u u u u u u u u

12 13 14 15 16 17 18 19

Reacción

Acido carbónico Acido sulfhídrico Amoniaco Cloro Cloruro de amonio Hidrógeno Hidróxido de amonio Hidróxido de sodio

CaCO" FeS CO(NHJ' CaO CI, NH.OH H,SO. NH" Na,O

u 20

Oxígeno

2KCI03

u 21 u 22 u 23

Sulfuro de cadmio Sulfuro de plomo Sulfuro de zinc

CdSO. Pb(NO,,), ZnSO.

+ 2HCI -> H,COa + 2HCI -> H,S + H,O -> 2NH" + 2HCI-> 01 + H CI -> NH.CI + Zn -> H, + H,O -> NH.OH + H.,O -> 2NaOH 2

~30,

+ H,S + H,S + H,S

.... CdS -> PbS -> ZnS

+ cscr, + FeCI + CO + CaCl, + H 0 +H0 + ZnSO, 2

2

2

2

+ 2KCI + H,SO. + 2HN0 + H,80.

3

Preparación de mezclas frigoríficas Reducción de temperatura (OC)

u 24 u u u u u

25 26

27

+10 10

+ +

28 29

u 30

+15

8 O O O

-12 -15 - 24 -21 -39 - 55

-77

Mezcla (los números indican proporciones

+ + +

en peso)

4 H,O 1 KCI 1 H,O 1 NH.NO" 1 H20 1 NaNO" 1 NH.CI 3.0 Hielo picado 1 NaOI 1.2 Hielo picado 2 CaCI, . 6H,O 1.4 Hielo picado 2 CaCl, . 6H,O 1 Metanol CO, sólido (hielo seco)

+

+ + +

+

•

U 6I

HUmedeClmient~~!d~e~

~r~ Dureza del agua

ESTABLECIMIENTODE HUMEDAD CONSTANTE EN EL AIRE DE RECIPIENTESCERRADOS Humedad relativa a 20°C (por encima de la superficie de la solución)

Solución acuosa saturada

92 %

u u u u

31 32 33 34 u 35 u 36 u 37 u 38

Na"CO,,' 10 H"O KCI (NH.bSO. NaCI NH.NO" Ca(NO,,)" . 4 H"O K"CO,,' 2 H"O Ca CI"· 6 H"O

86 80 76

63 55 45 35

Elementos secantes para desecadores Elemento secante

Agua residual después del secado a 25°C. mg/lit (aire) 1.4 0.8 0.14·0.25 0.16 0.008 0.005 0.003 0.002 0.001 0.000025

Nombre Sulfato de cobre. anhidro Cloruro de zinc. fundido Cloruro de calcio. granulado Hidróxido de sodio Oxido de magnesio Sulfato de calcio. anhidro Oxido de aluminio Hidróxido de potasio Oxido de silicio (Kieselgel) Pentóxido de fósforo

Fórmula CuSO. ZnCI" CaCI" NaOH MgO CaSO, AI"O" KOH (SiO",

p"OS

u u u u u u u u u u

39 40 41 42 43 44 45 46

47 48

Dureza del agua 1° en la escala alemana (deutsche 10 mg (CaO)/litro (agua)

=

Harte. dH)

Intervalos de dureza (en dH) 0° . 4° muy blanda 4° . 8° blanda 8° . 12° medio blanda

12°.18° algo dura 18°.300 dura más de 30° muy dura

Intercambiado res de iones para suavizar el agua Zeolita: Permutita: Wofatita:

silicatos naturales de sodio y aluminio silicatos artificiales de sodio y aluminio resinas orgánicas sintéticas

u 49 u 50 u 51

Tablas Propiedades eléctricas RESISTIVIDADP y CONDUCTIVIDAD Y DE CONDUCTORES(A 20·C)

p o·mm'/m

Material Acero dulce Aluminio Antimonio Cadmio Carbón Cobre (eléc.) Constantan Cromo-Ni-Fe Estaño Hierro fundido Hierro (puro) Grafito Latón Ms 58

0.13 0.0278 0.417 0.076 40 0.0175 0.48 0.10 0.12

1

1

»>;

7.7 36 2.4 13.1 0.025 57

208 10 8.3

1

0.10 8.00 0059

10 0.125 17

Material

p n mm-/rn

y=-¡;

0.071 0.0435 0.423 0.941 0.087 0.5 0.0222 0.016 0.369 0.111 0.208 0059 0.061

14 23 2.37 1.063 11.5 2.0 45 62.5 2.71 9 4.8 17 16.5

Latón Ms 63 Magnesio Manganina Mercurio Níquel Niquelina Oro Plata Plata alemana Platino Plomo Tungsteno Zinc

v

.

RESISTIVIDAD P DE AISLANTES Material

-------+ Aceite de parafina Agua de mar Agua destilada Ambar comprimido Baquelita Caucho (hule) duro Mármol

n . cm 10" 10"

lO' 10" 10" 101" 10H'

Material

O'

Mica Parafina (pura) Plexiglás Polistireno Porcelana Tierra húmeda Vidrio

cm

1017

lO" 1010 101' 10" 10' 101"

COEFICIENTETERMICO DE RESISTENCIAa,,, (A 20·C) Material

(OC·I, K-I)

Material

(·C-I, K·I)

Acero dulce Aluminio Carbón Cobre Constantan Estaño Grafito Latón

+ 0.00660 + 0.00390 - 0.00030 + 0.00380 - 0.00003 + 0.00420 - 0.00020 + 0.00150

Manganina Mercurio Níquel Niquelina Plata Plata alemana Platino Zinc

+ 000090 + 0.00400 + 0.00023 + 0.00377 + 000070 + 0.00390 + 0.00370

± 0.00001

I

Tablas

Z2I

Propiedades eléctricas CONSTANTE DIELECTRICA

Material aislante

E,

Aceite de oliva 3 Aceite de parafina 2.2 Aceite de ricino 4.7 Aceite mineral pltransf. 2.2 Aceite vegetal p/transf. 2.5 Agua 80 1 Aire Aislam. p/cable alta 4.2 tensión Aislam. p/cable 1.5 telefónico. Araldita 3.6 3.6 Baquelita Cartón comprimido 4

Material aislante

SERIE DE POTENCIALES Diferencia Material

de potencial Volts -1.66 -1.85 -OAO -2.87 -0.28 +0.34 -0.74 -0.14

Aluminio Berilio Cadmio Calcio Cobalto Cobre Cromo. Estaño.

"

Caucho (hule) duro 4 Caucho (hule) suave 2.5 Compuesto (compound) 2.5 Cuarzo 4.5 Ebonita 2.5 Esteatita 6 Fibra vulcanizada 2.5 4 Gutapercha Laca (shellac) 3.5 Mármo.l 8 Mica 6 Micanita 5 Papel 2.3 Papel impregnado. 5

E,

Material aislante Papel Kraff Papel pescado Parafina Petróleo Pizarra Plexiglás Poliamida Polistireno Porcelana Resina fenólica Teflón Tela Trementina (aguarrás) Vidrio.

"

4.5 4 2.2 2.2 4 3.2 5 3 4A 8 2 4 2.2 5

ELECTROQUIMICOS

referida Material

Hidrógeno. Hierro Magnesio. Manganeso Mercurio Niquel Oro. Plata

a electrodo Volts 0.00 -OAl -2.37 -1.19 +0.85 -0.23 +1.50 +0.80

de hidrógeno Material

Platino Plomo. Potasio Sodio Tungsteno. Zinc

Volts +1.20 -0.13 -2.93 -2.71 -0.58 -0.76

Números estandarizados mediante una razón progresiva de acuerdo con la serie E (Ejemplo para E 6 a E 24) Serie E 6 (= 1.0

1.5

10

2.2

3.3

22 etc.

ViD) 4.7

6.8

47

Serie E 12 (=

'V1o)

1.0

2.2

4.7

1.2

2.7

5.6

1.5

3.3

6.8

1.8

3.9

8.2

10

22 etc.

47

Serie E 24 (= 1.0 2.2 1.1 2.4 1.2 2.7 1.3 3.0 1.5 3.3 1.6 3.6 1.8 3.9 4.3 2.0 10 22 etc.

'V1tf) 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 47

Iz

Tablas Propiedades magnéticas

3

INTENSIDAD DE CAMPO H Y PERMEABILIDAD RELATIVAf', EN FUNCION DE LA INDUCCION MAGNETICA B DESEADA Inducción o densidad de flujo

Acero fundido y lámina tipo Hierro fundido "dynamo" PF,'O

B

H

tesla gauss (T = V's 1m2) (Gs)

---

f"

A/m

= 3.6 W/kg

H

f',

A/m

lámina de acero aleado PF,'O

= 1.3W/kg

H

f',

A/m

0.1 0.2 0.3

1000 2000 3000

440 740 980

181 215 243

0.4 0.5 0.6

4000 5000 6000

1250 1650 2100

254 241 227

100 4180 120 3310 140 3410

65 4900 90 4420 125 3810

0.7 0.8 0.9

7000 8000 9000

3600 5300 7400

154 120 97

170 3280 190 3350 230 3110

170 3280 220 2900 280 2550

1.0 1.1 1.2

10000 10300 11000 14000 12000 19500

77 63 49

295 2690 370 2360 520 1830

355 460 660

2240 1900 1445

1.3 1.4 1.5

13000 29000 14000 42000 15000 65000

36 26 18

1.6 1.7 1.8

30 60 80

2650 2650 2980

8.5 25 40

9390 6350 5970

750 1250 2000

1380 890 600

820 2250 4500

1260 495 265

16000 17000 18000

3500 7900 12000

363 171 119

8500 13100 21500

150 103 67

1.9 2.0 2.1

19000 20000 21000

19100 30500 50700

79 52 33

39000 115000

39 14

2.2 2.3

22000 23000

130000 218000

13 4

límite práctico

I

Z

Tablas

4 I

Propiedades magnéticas

VALORES PARA LAMINA TIPO "DYNAMO" (DE LA NORMA DIN 46 400) Lámina de aleación Clase

Lámina normal

Tipo

13.6

baja

mediana

113.0

alta

1112.3 IV 1.5 IV 1.3

Tamaño mm x mm

1000X 2000

750 X 1500

Espesor. mm

0.5

0.35

Densidad. kg/dm'

7.8

7.75

7.65

Pt'eJO

3.6

3.0

2.3

1.5

1.3

Pt'elO

8.6

7.2

5.6

3.7

3.3

B2,

tesla gauss

1.53 15300

1.50 15000

1.47 14700

1.43 14300

Br",

tesla gauss

1.63 16300

1.60 16000

1.57 15700

1.55 15500

8100

tesla gauss

1.73 17300

1.71 17100

1.69 16900

1.65 16500

8auo

tesla gauss

1.98 19800

1.95 19500

1.93 19300

1.85 18500

Valor máximo de las pérdidas, W/kg

Valor mínimo dela inducción

7.6

Explicaciones

=

B2• 1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo mínima de 1.53 T se aloanzará con una intensidad de campo de 25 A/cm. Para una línea de flujo de, p. ej.. 5 cm, se necesitarán pues: 5 X 25 125A.

=

~

a

pérdidas magnéticas por unidad de masa con las inducciones de

110

=

000 Gs 1.0tesla 115000Gs _ 1.5tesla

Tablas Propiedades

de materiales

Los valores corresponden Densidad a t 15°C

sólidos

y líquidos

I

Z5

a las siguientes condiciones *:

=

=

Temperaturas lo puntos) de fusión y de ebullición para p 1.0132 bar 760 Torr Los valores entre paréntesis indican sublimación, o sea. cambio directo del estado sólido al gaseoso

=

Conductividad térmica a 20°C Capacidad térmica específica lo calor específico) para el intervalo de temperaturas O < I < 100°C

Sustancia

Aceite Aceite Aceite Aceite Aceite

de colza de linaza para calefacción para máquinas para transforms.

Puntos de Conduct. Densidad fusión ebullitérmica 1( lsoldll p ción oC -c W/lm'K)'" kg/dm"

Calor específico

e KJ/lkg'K)'"

0.91"" 0.941:1\ 0.921:11 0.91 0.87

- 3.5 - 20 -5 -5 -5

300 316 175-350 380-400 170

0.17 0.15 0.12 0.126 0.15

1.67 1.84

Acero Acero colado Acero dulce Acero de alta velocidad Acetona

7.85 7.8 7.85 8.4-9.0 0.791:0

-1350 -1350 -1400 -1650

2500

47-58 52.3 46.5 25.6

0.46 0.502 0.461 0.498

Acido Acido Acido Acido Acido

acético cianhídrico clorhídrico 10% clorhídrico 40% fluorhídrico

1.08 0.7 1.05 1.20 0.99

16.8 -15 -14

118 27 102

0.50

3.14

- 92.5

19.5

Acido Acido Acido Acido Agata

nítrico sulfúrico sulfúrico 50% sulfúrico cone.

0.53

2.72 1.34

0.5 11.20

1.38 0.80

0.58 0.17-0.23 0.16

4.183 2.42

Agua Alcohol Alcohol etílico 95% Alcohol metílico

2500 2600 56.1

1.561<11 - 1.3 86 -10 1.49'" -73 1.40 1.84 10-0 338 1600 -2600 - 2.6

-

1.0(61 O -130 0.79 0.82131 - 90 - 98 0.8

'Ver las notas en la página Z 9

100 78.4 78 66

1.97

2.51

I

Z

6 I Propiedades

de !~e~~~~ÓlidOS Puntos de

Sustancia

Densidad fusión f' (soldí.!

ebullición

Conduct. térmica

y líquidos Calor específico

1(

e

W/(m'K)'"

kJ/(kg'K)(2)

kg/dm"

'C

'C

Aluminio fundido Aluminio laminado Ambar Antimonio Arcilla

2.6 2.7 1.0 6.67 1.8-2.6

658 658 - 300 630 -1600

- 2200 - 2200 14.40 2980

22.53 0.84

0.21 0.92

Arena seca Arenisca Arsénico Asbesto Asfalto (chapopote)

1.2-1.6 1.9-2.6 5.72 - 2.5 1.2

-1550 -1500 815

2600 2600 (633)

0.33 1.3-1.7

0.80 0.92 0.348 0.816

15

300

1.96 3.6 0.89 0.7 1.85

113 700 5.4 - 150 1279

445 1537 80 50-200

Bismuto Bórax Brea (alquitrán) Bromo Bronce

9.8 1.72 1.08 3.14 - 8.0

271 741

1480

7.3 900

63 2300

Bronce fosforado Bronce de aluminio Cadmio Calcio Caliza

8.8 7.7 8.64 1.55 1.8-2.8

Carbón mineral Carbón vegetal Carburo de silicio Caucho (hule) crudo Caucho (hule) duro

1.2-1.5 0.3-0.5 3.12 0.95 1.2-1.8

Azufre cristalizado Bario Benceno (benzol] Bencina Berilio

Cera Cloroformo Cobalto Cobre Cobre fundido

0.96 1.53 8.8 8.93 8.8

Cobre laminado Colofonia Concreto armado

8.9 1 07 2.4

-

900 1040 321 800

2300 778 851

209.3 209.3

0.17 0.19 0.27 0.137 0.16 167.5 105

125 64 70 1490 1083 1083

65-70 61 3168 2310 2310

1083 100-130

2310

-

0.75 0.29 1.80 - 2.1 1.880 0.13 0.996

116-186

0.360

105-116 127.9 92.1

0.364 0.435 0.234 0.63 0.909

0.15-0.23 13540)

0.904 0.904

0.16 0.08 15.2 0.20-0.34 0.17

1.30 0.84 0.67

0.084

3.43

69.8 372.1 372.1

0.435 0.394 0.394

372.1 0.317 0.8-1.7

0.394 1.88 0.88

Iz 7

Tablas Propiedades

de materiales

sólidos

y liquidos

Puntos de Sustancia

Densidad

p kg/dm3

ebulll· clón

-c

W/(m·K)'1)

-2400

23.3 0.183 0.30 0.7

Constantan Coque Corcho Corindón Cromo

8.89 1.4 0.2-0.3 4.0 6.7

-1600

Cuarzo Cuero Diamante Diesel (combustible) Duraluminio

-2.6 0.9-1.0 3.5 0.88 2.8

-1550

Elektron Esmeril Estaño fundido Estaño laminado Estroncio

1.8 4.0 7.2 7.3-7.5 2.54

Esteatita Eter etñlco Fibra de vidrio Fibra vulcanizada Fibracel

2.6-2.7 1650 0.73 -117 0.1-0.2 1.28 1.5

Fósforo Gasóleo (gas oil) Gis Glicerina Grafito

1.83 0.86 1.8-2.6 1.27(4) - 2.1

44.2 287.3 -30 200-350

Grasas Gutapercha Hielo Hierro (fierro) Hierro de 1a. fusión

0.93 - 0.98 0.9 7.86 7.0-7.8

30-175 -300 148 180 O 100 1530 - 3000 1560 2500

Hierro de soldadura Hierro forjado Hierro fundido Hollín Incrustación (calderas)

7.8 7.8 7.25 1.6-1.7 2.5

1600 - 1200 _1200 1200

2500 (3540) 2800

Iridio ladrillo ladrillo

22.4 1.4-1.6 1.8-2.2

2450

4800

refractario

Conducto térmica

fusión (soldU oC

2050 -1800

-

5 650 650 2200 232 232 797

-20

-2000

2980 2200 2590 (3540) 175 2000 1500

3000 2200 2200 1366 35

290 (3540)

2500

2900

J(

Calor

especlñco c kJ/(kg·K)'2) 0.410 0.84 2.05 0.96 0.452

1.09 0.17 8.4 0.13 129.1

0.80 1.495 0.3329

162.8 11.6 64.0 64.0

1.00 0.96 0.25 0.25 0.230

2.7-2.8 0.14 0.03-0.07 0.21

0.92

1.05 2.26 0.84 1.26 1.357 0.80

0.15 0.9-1.2 0.29 5.02

0.84 2.43 0.825

0.21

0.63-0.76

1.7 47-58 52.3

2.09 0.456 0.54

54.7 47-58 48.8 0.07 1.2-3.0

0.515 0.461 0.532 0.84 0.80

59.3 0.8 0.47

0.134 0.92 0.88

I

Z

8

I

Sustancia

Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos Puntos de Densidad fusión (soldf.) p kg/dm'

-c

ebull~ ción oC

Conduct. térmica 1(

W/lm'K)'lJ

Calor específico

e kJ/(kg'K)'21

8.4-8.7 900-980 - 2300 8.5-8.6 900-980 - 2300 186 1336 0.53 0.5-0.8 0.5-0.8

81-105 87-116 301.2 0.142 0.12

0.385 0.385 0.360 1.88 1.30

0.6-0.9 0.4-0.7 0.7-1.0 0.6-0.9 0.6-0.8

0.3-0.5 0.152 0.21 0.3-0.5 0.143

1.59 1.42 2.39 1.59 1.34

haya rola pino blanco pino rojo "pock" Magnesia

0.7-0.9 0.5-0.8 0.5-0.8 1.28 3.2-3.6

0.143 0.16 0.1-0.2 0.19

1.34 1.30 1.47 2.51

Magnesio Magnesio de aleación Manganeso Mármol Mercurio

1.74 1.8 7.3 2.0-2.8 13.6

650 650 1260 1290 38.9

1120 1500 1900 2870 357

157.0 70-145 2.1-3.5 8.4

1.05 1.00 0.46 0.88 0.138

Metal Babbitt Metal Delta Metal rojo Mica Minio

7.5-10 300-400 8.6 950 8.8 950 -3.0 -1300 8.6-9.1 900

2100 2300

35-70 104.7 127.9 0.35 0.7

0.146 0.384 0.381 0.88 0.25

10.2 - 2500 0.1 O 8.8 1452 19.33 1064 22.48 2500

3560 100 2400 2610 5300

52.3 308.2

0.272 4.187 0.461 0.130 0.130

Latón fundido Latón laminado Litio Madera. abedul alerce arce chopo encino (roble) fresno haya blanca

Molibdeno Nieve Níquel Oro Osmio Oxido de cromo Oxido de hierro Paladio Papel Parafina Percloroetileno Petroéter Petróleo

5.21 -2200 5.1 1565 11.5 1549 0.7-1.1 0.9 52

2200

0.42 0.58 70.9

300

0.21

0.75 0.67 0.247 1.336 3.26

0.14 0.159

0.904 1.76 2.09

1.62 - 20 119 40-70 0.67 -160 70 0.80 150-300

Tablas Propiedades

de materiales

sólidos

Sustancia

Densidad fusión (soldf) p kg/dm"

oC

Pizarra Plata Plata alem. (alpaca) Platino Plomo

2.6-2.7 10.5 8.4-8.7 21.4 11.34

- 2000 960 - 1050 1764 327

Porcelana Potasio Radio Renio Rodio

2.2-2.5 0.86 5 21.4 12.3

1670 63 700 3170 1960

Rubidio Sebo Selenio Silicio Sodio

1.52 0.9-1.0 4.3-4.8 2.34 0.98 16.6 6.25 0.87 4.5 0.88

3030 455 -10 1800 -94.5

Torio Tricloroetileno Tumbaga Tungsteno (WOlframio) Turba

11.3 1.47 8.65 19.1 0.64

1845 - 86 900 - 3350

Uranio Vanadio Vidrio plano Yodo Zinc extruido

18.7 5.6 2.5 4.95 6.8

Zinc fundido Zinc laminado

6.86 7.15

= =

."

= = = =

oC

2000 3800 1525

419 419

=

Z9

Conduct. térmica

"

W/(m'K)(l)

2500

0.8-1.0

0.92 0.080

88.3

0.1,47 0.243

133.7

0.33 0.88 0.352 0.80 1.26

73.3 0.10

110

0.14

920 920

102 kgf'

e kJ/(kg'K)(2) 0.758 0.234 0.398 0.130 0.130

1390 160

87 2300 4850

Calor específico

0.42 418.7 29.1 69.8 35.0

762.2

1850 1715 700 113.5 (184) 1000 393

u, 1 W/(m . K) 0.8598 kcal/(h . m . C) (:.1, 1 kJ/(kg . K) 0.2388 kcal/(kg . C) Para t 20°C (
."

ebu!lición

39 696 40-50 350 220 690 -1415 2400 97.5 880

Tantalio Telurio Trementina (aguarrás) Titanio Tolueno (toluol)

1

y líquidos

Puntos de

0.16 93-116 11.9 0.06-1.2

0.138 0.201 1.80 0.611 1.59 0.113 1.30 0.381 0.155 1.88

139.6

0.117 0.50 0.84 0.218 0.38

110.5 105.8

0.38 0.38

0.6-1.0

m/(kg . C)

•

Z

10

Tablas Propiedades

Los valores corresponden Densidad a t

=

15°C Y P

de materiales

gaseosos

a las siguientes condiciones.

= 1.0132 bar = 760 Torr

Temperaturas

de fusión y evaporación a p = 1.0132 bar

Conductividad

térmica a t = 20°C y p = 1.0132 bar

Calor específico a t

= 20°C y p = 1.0132 bar Punto de

Sustancia

Densidad fusión p lsoldf.l oC kg/m3

ebullición oC

Con d uctividad térmica A

Calor especifico

W/(m·K)

kJ/ (kg'K)O)

cp

I

e,

Acetileno Acido clorhídrico Acido sulfhidrico Aire (atmosférico) Amoniaco

1.18 1.64 1.54 1.293 0.77

- 84 - 81 0.017017 - 114 - 85 - 83 - 60.3 0.0221 -195 - 220 - 78.3 - 33.7 0.01989

1.67 0.80

1.34 0.59

1.00 2.22

0.71 1.72

Argón Azufre Butano, isoButano. nCloro

1.78 3.41 2.67 2.70 3.22

- 190 112 - 145 - 135 - 100

-186 46 - 10 1 - 34

0.015912 0.006188

0.54 0.67

0.33 0.54

0.014365

0.50

0.29

Dióxido de azufre Dióxido de carbono Etileno Gas de alumbrado Gas de altos hornos

2.93 1.96 1.26 0.55 1.28

- 73 - 57 - 169 - 230 - 210

-

10 78.5 -102 -210 -170

0.015912 0.01326 0.034034 0.05525 0.01989

0.63 0.84 1.55 2.14 1.05

0.50 0.63 1.21 1.55 0.75

Gas pobre Helio Hidrógeno Kriptón Metano

1.22 0.18 0.09 3.7 0.72

-

210 272 258 157 184

-170 -268.8 -253 -152 -164

0.01989 0.143 0.161993 0.00878 0.028067

1.05 5.23 14.28 0.25 2.22

·0.75 3.18 10.13 0.17 1.72

Monóxido de carbono Neón Nitrógeno Oxígeno Ozono

1.25 0.9 1.25 1.43 2.14

-

211 249 210.5 219 251

-190 - 246 -195.7 -183 -112

0.020995 0.043758 0.0221 0.022321

1.05 1.05 1.05 0.92

0.75 0.63 0.75 0.67

Propano Propileno Vapor de agua'" Xenón

2.02 1.91 0.81 5.8

- 190

0.016575 0.0051

1.93

1.47

(1)

1 kJ/ (kg' K) = 0.2388 kcal/(kg

O - 111 . K)

-

45 50 100 - 106

(2)

A t = l00·C

Tablas Propiedades

térmicas

Z

de materiales

11

COEFICIENTE DE DILATACION LONGITUDINAL a EN (10-6) (K-l) (para t de O a l00·C) Sustancia

Sustancia

Acero dulce Acero níquel (= Invar con 36% Ni) Aluminio Bismuto Bronce Cadmio Cobre Constantan Cuarzo Estaño Esteatita

12.0 1.5 23.8 13.5

17.5 30.0 16.5 15.2 0.5 23.0 8.5

a 10.5 18.5 5.2 13.0 14.2 19.7 18.0 9.0 29.0 4.0 4.5 30.0

Hierro fundido Latón Molibdeno Níquel

Oro Plata Plata alemana (alpaca) Platino Plomo Porcelana Tungsteno (wolframio) Zinc

COEFICIENTE DE DILATACION VOLUMETRICA f3 EN K-l (para t = 15·C) Sustancia Agua Alcohol Bencina (gasolina) Eter Glicerina

Sustanoia

f3 0.00018 0.0011 0.001 0.0016 0.0005

f3

MerCUriO Petróleo Trementina (aguarrás) Tolueno (toluol)

0.00018 0.001 0.001 0.00108

COEFICIENTE DE TRANSMISION DE CALOR k EN W(m' . K)' Material de pared Caliza Concreto Concreto Concreto Madera Ladrillo Vidrio

0.3

1

Espesor 2

armado de escoria de grava

en centímetros 5 12 25 4.3

3.8 5.8

4.1 2.4

3.1 3.5 2.7 3.4 1.7 2.9

38

51

2.2

1.7

1.4

1.7 2.3

1.4

1.0

2.0

1.5

1.3

5.3

Ventanas Vidrio sencillo. amasillado (con mástique) Vidrio doble. 2 cm de separación. arnaslllado Vidrio doble. 12 cm de separación. amasillado Techo de tejas. sin y con material para juntas 'Valor aproximado de la pared

para aire con movimiento

5.8 2.9 2.3 11.6 Y 5.8. respectivamente ligero

en ambos

lados

•

Tablas Propiedades térmicas de materiales CALOR DE FUSION (POR UNIDAD DE MASA) I¡ Sustancia

kJ/kg(l )

Acero Aluminio Antimonio Azufre Cadmio Cobalto Cobre Cromo Estaño Eter etílico Fenol Glicerina Hielo Hierro colado

Sustancia

kJ/kg

Latón Manganeso Mercurio Metal (aleación) Wood Naftalina Níquel Oro Parafina Plata Platino Plomo Potasio Zinc

205 377 164 38 46 243 172 134 59 113 109 176 335 126

168 155 11.7 33.5 151 234 67 147 109 113 23 59 117

CALOR DE VAPORIZACION(POR UNIDAD DE MASA) (, (a 1.0132 bar Sustancia Agua Alcohol Amoniaco Cloro Clorometilo Dióxido de azufre

kJ/kg

= 760 Torr)

Sustancia

2250 880 1410 293 406 402

kJ/kg

Dióxido de carbono Hidrógeno Mercurio Nitrógeno Oxígeno Tolueno (toluol)

595 503 281 201 214 365

CONSTANTE DE GAS R(2) EN J(kg oK)Y MASA MOLAR M (EN Kg/kmol) Sustancia Acetileno Aire Amoniaco Dióxido de azufre Dióxido de carbono

(1)

R

M

Sustancia

R

M

319 287 488 130 189

26 29

Hidrógeno Monóxido de carbono Nitrógeno Oxígeno

4124 297 297 260

2 28 28 32

1 kJ/kg = 0.2388 kcal/kg

17 64 44

(2)

1 J/(kgoK)

= 0.102 kgf·m/kgoOC)

Tablas

Z

Propiedades térmicas de materiales

13

CAPACIDAD TERMICA ESPECIFICA (MEDIA) cp DE GASES IDEALES EN kJ/(kg' K) EN FUNCION DE LA TEMPERATURA t

N,

N,

puro

atm.

O,

14.38 14.40 14.42 14.45 14.48

1.858 1.039 1.874 1.041 1.894 1.044 1.918 1.049 1.946 1.057

1.026 1.031 1.035 1.041 1.048

0.9084 0.9218 0.9355 0.9500 0.9646

0.607 1.004 0.637 1.031 0.663 1.013 0.687 1.020 0.707 1.029

1.016 1.043 1.067 1.089 1.109

14.51 14.55 14.59 14.64 14.71

1.976 2.008 2.041 2.074 2.108

1.066 1.076 1.087 1.098 1.108

1.057 1.067 1.078 1.088 1.099

0.9791 0.9926 1.005 1.016 1.026

0.724 1.039 0.740 1.050 0.754 0.061 0.765 1.072 0776 1.082

1.131 1.141 1.150 1.158 1.166

1.126 1.143 1.157 1.170 1.183

14.78 14.85 14.94 15.03 15.12

2.142 2.175 2.208 2.240 2.271

1.118 1.108 1.035 1.128 1.117 1.043 1.137 1.126 1.051 1.145 1.134 1.058 1.153 1.142 1.065

0.784 0.791 0.798 0.804 0.810

1.092 1.100 1.109 1.117 1.124

1500 1600 1700 1800 1900

1.173 1.160 1.186 1.193 1.198

1.195 1.206 1.216 1.225 1.233

15.21 15.30 15.39 15.48 15.56

2.302 2.331 2.359 2.386 2.412

1.160 1.150 1.071 1.168 1.157 1.077 1.174 1.163 1.083 1.181 1.169 1.089 1.186 1.175 1.094

0.815 0.820 0.824 0.829 0.834

1.132 1.138 1.145 1.151 1.156

2000 2100 2200 2300 2400

1.204 1.209 1.214 1.218 1.222

1.241 1.249 1.256 1.263 1.269

15.65 15.74 15.82 15.91 15.99

2.437 2.461 2.485 2.508 2.530

1.192 1.197 1.202 1.207 1.211

1.180 1.186 1.191 1.195 1.200

1.099 1.104 1.109 1.114 1.118

0.837

1.162 1.167 1.172 1.176 1.181

2500 2600 2700 2800 2900 3000

1.226 1.230 1.234 1.237 1.240 1.243

1.275 1.281 1.286 1.292 1.296 1.301

16.07 16.14 16.22 16.28 16.35 16.~2

2.552 2.573 2.594 2.614 2.633 2.652

1.215 1.219 1.223 1.227 1.230 1.233

1.204 1.207 1.211 1.215 1.218 1.221

1.123 1.127 1.131 1.135 1.139 1.143

t ('C)

CO

CO,

H,

O 100 200 300 400

1.039 1.041 1.046 1.054 1.064

0.8205 0.8689 0.9122 0.9510 0.9852

500 600 700 800 900

1.075 1.087 1.099 1.110 1.121

1000 1100 1200 1300 1400

H,O

SO,

Calculada a partir de datos en E. Schmidt. Einführung in die Technische Thermodynamik. 9a. edición. Springer. 1962. Berlin/Góttingen/Heidelberg.

Aire

1.185 1.189 1.193 1.196 1.200 1.203

•

Tablas Propiedades térmicas de materiales CONSTANTE DE RADIACION e EN (10-8) W1m' . K') A 20'C

Material Acero mate Acero pulido Agua Aluminio mate Aluminio pulido Cobre oxidado Cobre pulido Estañopulido Hielo Hollín ladrillo

e

Material

e

5.40 0.34 3.70 0.40 0.23 3.60 0.28 0.34 3.60 5.30 5.30

latón mate Latón pulido Maderacepillada Níquelpulido Plata pulida Porcelanavidriada Vidrio liso Zinc mate Zinc pulido Superficie del cuerpo negro (radiadorabsoluto)

1.25 0.28 4.40 0.40 0.17 5.22 5.30 5.30 0.28 5.67

COLORES DE INCANDESCENCIA DEL ACERO Y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES Tono rojo oscuro rojo cerezaoscuro rojo cerezamedio rojo cerezaclaro rojo claro rojo muy claro

t ('C) 680 740 770 800 850 900

Tono rojo amarillento amarillo amarillo claro blanco

t ('C)

950 1000 1100 1300 omás

COLORES DE ESTIRADO DEL ACERO y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES Tono amarillo pálido amarillo paja castaño(café) púrpura violeta

t ('C)

Tono

t ('C)

200 220 240 260 280

azulplúmbago azul claro gris azul gris

300 320 350 400

10'1 9

~

~

I:

.

2{regiÓnde transición

r"~-2Iog[ffl+~J

k/d=

=\0U4),,~J·Et~"¡_l::::i==4+$!=tt+t=:t::::j~+ih.idráÍJlicamente ~

,

~-

J

~-

\

~,\

T'N ~ ~ 1 I ~:::;: S ~.J."" 1III -.......:::::::

2

I

_

,0"

~¡\

II

!,

11

•

O'

t '.

:

l¡iClr. ~I;;;;.,

I.

' -r-r-

1

ID (11

![ ID :1

:

=

---4 1»

..- 1»e'" -

jij'

f 'i'i?

~{JliC%e ---=::::::¡::

.. n

t~

~o

S!

ca.

"10-'

~

"!l 111

ID

'.'-

;:..J...,+-l+f+H

t

\

2,Olog(k/d¡

>?P·r...

'"

,-

rugos°Fft==f=I=4:;;

~-112=1,14-

I

,-

ñ n

en o' :1 !!!. ......

"

~ !b

~~"'"

~ 6

10'

2

•

6 8 10'

2

6 S 10'

6 8 10'

2

6 8 10'

2

Re ___

6 S lO'

N ...A.

Nota:Para tubos de sección no circular k/d debe sustituirse por k/dh.

CJ"I

z 161

Tablas Propiedades

hidrodinámicas

RUGOSIDAD k (De Richter. Rohrhydraulik) Material y clase de tubería

Estado

k en mm

Tubo de acero sin costura, laminado o extruido (calidad comercial). nuevo

de laminado típico decapado galvanizado por inmersión galvanizado comercial

Tubo de acero, usado

con oxidación uniforme aprox. 0.15 normal con oxidación moderada e 015-0.4 incrustación ligera aprox. 1,5 incrustación mediana 2-4 incrustación intensa limpiado después de uso prolongado 0.15-0.20

Tubo de hierro fundido

de fundido típico. nuevo embetunado, nuevo oxidado con incrustación limpiada después de uso prolongado de tipo medio en instalaciones urbanas muy oxidado

Tubo de lámina de acero soldada o remachada

0.02 - 0.06 0.03 - 0.04 0.07 - O10 0.10 - 0.16

0,2 - 0,6 0.1 - 0.13 1 - 1,5 1,5 - 4 0.3 - 1.5 1.2 4.5 aprox. 0.15

soldado. nuevo remachado. nuevo con costura ligera con costura fuerte limpiado. de 25 años de uso, severamente incrustado

aprox. 1 hasta 9

12.5

VISCOSIDAD DINAMICA '/ EN kg/(m . s) (Valores aproximados) t enoC Agua

x 105

Aceites para motores SAE x 11}-"

40

50

60

70

80

100

65

55

47

41

36

28

45 29 10 310 120 79 52 20 720 320 170 95 30 1530 600 310 150 86 40 2610 950 430 220 120 50 3820 1530 630 310 160

20 33 61 72 97

13 22 34 45 59

10 16 24 31 41

6 12 17 22 28

5 7 10 12 15

O 179

10 20 131 100

30 80

Cu Bronce Bronce fasforado Bronce de aluminio

80-83 86-90 98-82

Bronce de níquel Bronce para chumaceras Cuproníquel

50-70 82 79

Estaño-plata Latón Latón duro

80-57 60-56

Latón de aluminio Latón de níquel Magnalio

en peso en % (promedios)

Proporciones

Aleación Zn

Pb

Sn

Sb

I

Ai

Fe

Ni

4

50-30 0.5 15

P

0-4

2-18 16.5

1

Mn: 2

95

60 50

Otros

20-17 7-11

20-43 38-43

2-1

32 394

0.1

Ag: 5

8 0.5

10

-0.8 Mg: 20

80

Metal antifricción Metal Babbilt (o blanco) Metal Delta

5 5-9 55-63

Metal Monel Metal rojo Metal rojo duro

30 82-86 70

0-6 9

Plata alemana (alpaca) Tumbaga

50 80-95

30 20-5

85 80-73

10 10-18 0-1

43-36

0-1.5

-0.06

-0.01

Mn: -

1

70 0-0.1 7

16-8 9

N

5 20

Material

Módulo elástico

E

I

Clase de

carga*

Esfuerzo de aptastamiento O{!(penn.)

Acero

dulce

Esfuerzo cortante

Esfuerzo por torsión

Uc(pcrm.)

Oj(perm.)

T(perm.)

TI (perm.)

210000

100--150 65- 95 45- 70

100-150 65- 95 45- 70

110-165 70-105 50- 75

72-100 48- 75 35- 50

65- 95 40- 60 30- 45

210000

1 II 1II

100-150 70-100 36- 50

140-210 90-135 65- 95

140-210 90-135 65- 95

150-220 100-150 70-105

96-144 64- 96 32- 48

85-125 55- 85 40- 60

220000

I 11 1I1

80-100 53- 67 27- 33

60-120 40- 80 20- 40

90-150 60-100

90-120 60- 80 30- 40

72- 95 48- 64 24- 32

36- 48 24- 32 12- 16

-

100000

I 1I I1I

-

35- 45 27- 37 20- 30

85-115 55- 75 20- 30

40- 55 25- 40 20- 25

35- 50 25- 35 20- 25

30- 45 20- 30 15- 20

-

I II 1II

50- 80 33- 53 17- 27

45- 70 30- 47 15- 23

60- 90 40- 60

45- 70 30- 47 15- 23

-

30- 40 20- 27 10- 13

I II I1I

35- 50 23- 50 12- 17

40- 54 27- 36 13- 18

40- 54 27- 36

40- 54 27- 36 13- 18

-

-

-

-

I II I11

50- 75 33- 50 17- 25

60- 90 40- 60 20- 30

60- 90 -

St 50-11 Acero fundido GS-38 Hierro tundido GG-14 Hierro maleable GTW-35 Cobre laminado 110000 O-Cu F20 tostara do 90000 F56

*Ver explicaciones

Esfuerzo par flexión

80-120 50- 70 27- 33

Acero dulce

CuSn6

CJ¡(perm.)

Esfuerzo de cornpresión

I 11 11I

St 37-11

Bronce

Esfuerzo de tensión

en P 1

-

60- 90 40- 60 20- 30

45- 70 30- 47 15- 23

45- 70 30- 47 15- 23

N

....

(X)

m

-

CIl ."

e

...

m "ti ;Q

o

CIl

m' c.

N O 'ti

-u m

11)

;Q

c.

3:

VI

ID

¡¡¡ -1 ¡¡¡ 3 Q) r- ID m CIl

C') 11).

:::1

-

C"

ñ' Q) Z 11) <, 3

l

VI

c.

ID

3

~ 11)

¡;VI

0

Material

Acero para resortes C75, templado y revenido

Módulo elástico

Clase

axial E

de carga*

por flexión

Uf(perm.)

A

B

e

Módulo

Esfuerzo

elástico angular G

por torsión ;t(perm.)

I 11 111

1000 750 500

500 350 250

150 120 80

110000

I II 111

200 150 100

100 80 50

40 30 20

42000

120 100 80

142000

I 11 111

300 250 200

150 120 100

50 40 30

55000

200 180 150

110000

I II 111

200 150 100

100 80 50

40 30 20

42000

120 100 80

117000

I 11 111

300 220 150

150 110 80

50 40 30

45000

200 180 150

210000

latón CuZn37 HV150 Plata alemana CuNi18 Zn20 HV160 Bronce CuSn6 Zn HV190 Bronce CuSn8 HV190

Esfuerzo

*Ver explicaciones en P 1 A: Para resortes sencillos (factor de seguridad FS es 1.5) B: Para resortes curvos y enrollados (FS == 3) C: Para resortes sin efecto secundario (FS == 10)

80000

650 500 350

"31:

'-0 ~o -e 0.Zo
... 'o~

"11

o

"O

¡¡Q.

111

Q.

CD

CII

-4

::o... 3 CD D) ::oen() 111- CT !;lag ::::1 OZ> ñ D) ::000 111 ñlm< CIIQ. fb en 31: m CD ->en

~ñlt! 3::om

-

.. 3

CD 3-::0 ,,>N 111 -'-0 ¡¡!;len CII m"D .-m >::0 en 31: ... _en 1-0ol!! enm "Den >"D ::00 >::0 U)

-

N .....

Z

Tablas

20

Fricción y rodamiento

COEFICIENTES PARA FRICCION CINETICA (p.) y FRICCION ESTATICA (p.,,) p.

o Material en contacto

sobre

'" '" e O

:;;¡ Ol

(J Q)

en e Q)

bronce h. fundo acero

Bronce

0.20 0.18 0.18

Encino

encino 11 0.50 encino 9= 030

Hierro fundido(grisl

h. fundo acero

0.18

Caucho (hule)

asfalto concreto

0.50 0.60

Cuerda de cáñamo

madera (común)

Banda de cuero

encino h. fundo

(J

0.10

hielo acero

eee

o (J Q)

'"

Q)

'"Oe

en e

(J

c: '¡: 0.0 (J.=1

0.06 0.08 0.07

:;;¡ Ol

"

Q)

e '" cOi: (J

0.0 ".=1

0.11 0.19 0.60 0.50

0.31

0.10

0.16 0.33

0.30 050

0.20 0.30 0.50

0.40 0.40

0.40 0.08

encino

Acero

1'-" Q)

0.014 0.10

RESISTENCIA

0.20

0.50 0.40

0.65

0.26 0.10

050

0.027 0.15

0.25 0.30 0.12

AL RODAMIENTO

Materiales en contacto Caucho sobre asfalto Caucho sobre concreto Madera lignum vitae sobre madera l. vitae Acero sobre acero (duro: cojinetes) Acero sobre acero (suave) Olmo sobre madera l. vitae

Factor f en mm* 1.0 1.5 5.0 0.05 05 8.0

11Movimiento en la dirección de las fibras de ambos cuerpos 9= Movimiento perpendicular a las fibras *Brazo de palanca de la fuerza resistente.

Tablas Luminotecnia ILUMINACION

MEDIA

e; (lux)

Sólo para alumbrado general

Tipo de instalación Talleres. de acuerdo con la clase de trabajo

rudo normal preciso muy preciso

80 160 300 600

Habitaciones. en que el alumbrado es

débil moderado brillante

40 80 150

Alumbrado público. en sitios con tránsito

escaso mediano intenso muy intenso

5 10 20 40

Patios de fábricas. con tránsito

ligero pesado

5 20

Alumbrado general y localizado General Localizado 100 400 1000 4000

20 40 80 300

EFICACIA DE ILUMINACION r¡ Tono de cOI~r en la superfi ICie iluminada claro I mediano oscuro

Tipo de alumbrado Directo Indirecto

Público flUJO Lámparas inoandescentes. de tipo normal (al voltaje de 220 VI Lámparas fluorescentes. tubulares de 38 mm de diámetro. Para tipos "blanco claro" V "luz de día" Lámparas de vapor de mercurio. alta presión Pe!.

I

0.50 0.35

LUMINICO

0040 0.20

I

0.30 0.05

profundo

l

eon reflector I amplio

alto

0.45

I

0.35

v

0.40

(kllolúmenes.

I

klm)

r:

W

15

25

v

klm

0.12

0.23

0.43 0.73

Pe].

W

(1'1)

klm

150 2.22

200 3.15

300 5.0

15 0.59

40 20 25 1.22 1.71 2.98

65 4.78

125 5.6

250 12

1000 2000 52 125

P,1.

W

<'Iv

klm

e: (""

Potencia eléctrica (en watts)

W klm

40

400 21

60 500 8.4

700 37

75

100

0.96 1.38 1000 2000 18.8 40.0

I

Z

22

<> <

Tablas

I

Funciones trigonométricas 40'

50'

60'

0'0116 0'0291 0'0465 0'0640 0·0814

O·0145 O·0320 O·0494 0'0669 0'0843

O·0175 0'0349 O·0523 O·0698 0·0872

89 88 87 86 85

5 0·0872 0'0901 6 0·1045 0·1074 7 O·1219 0·1249 6 O·1392 0·1421 1564 o- 1593 9

0·0929 0·1103 0·1276 o- 1449 O·1622

0'0958 O·1132 0·1305 0·1478 o- 1650

0'0987 0·1161 e- 1334 0·1507 o· 1679

0·1016 0·1190 0·1363 0·1536 0·1708

0·1045 0·1219 0·1392 0'1564 o· 1736

84 83 82 81 80

o- 1736 0·1765

O 1 2 3 4

O' O'0000 0·0175 O·0349 O·0523 O·0698

10' O·0029 0·0204 O·0378 O·0552 O'0727

ü-

20'

SENO 30'

0'0058 O·0087 O'0233 O' 0262 O·0407 O·0436 0'0581 0'0610 0·0756 0·0785

'""

10 11 12 13 14

0·1908 0·2079 0·2250 0·2419

0·1937 0·2108 0·2278 0·2447

0·1794 0·1965 0·2136 0·2306 0·2476

0·1822 0·1994 0·2164 0·2334 0·2504

0·1851 0·1880 0·2022 0·2051 0·2193 0·2221 O'2363 0·2391 0·2532 0·2560

0·1908 0·2079 0'2250 0·2419 0·2588

79 78 77 76 75

15 16 17 18 19

0·2588 0·2616 0·2756 0·2784 0·2924 0·2952 0·3090 0·3118 O·3256 0·3283

0·2644 0·2812 0·2979 0·3145 O·3311

0·2672 0·2700 0·2728 0·2840 0·2868 0'2896 0·3007 o- 3035 O·3062 O·3173 0·3201 O·3228 0·3338 O·3365 0·3393

0·2756 0'2924 O·3090 O·3256 O·3420

74 73 72 71 70

20 21 22 23 24

O·3420 0·3448 0·3584 0·3611 0·3746 O' 3773 0·3907 O·3934 0·4067 0·4094

O·3475 0·3638 O·3800 O' 3961 0·4120

0·3502 O·3529 0·3665 0·3692 0·3827 O·3854 O·3987 0·40140·4147 0·4173

O·3557 O' 3719 O' 3881 0·4041 0·4200

O' 3584 69 O·3746 68 O·3907 67 66 0'4067 0'4226 65

25 26 27 28 29

0·4226 0·4384 0·4540 0·4695 0·4848

0·4253 0·4410 0·4566 0·4720 0·4874

0·4279 0'4436 0·4592 0·4746 0·4899

0·4305 0·4462 0'4617 0·4772 0'4924

0·4331 0·4488 0'4643 0'4797 0·4950

0'4358 0'4514 0·4669 0'4823 0'4975

0'4384 0'4540 0'4695 0'4848 0'5000

64 63 62 61 60

30 0·5000 31 0·5150 32 0·5299 33 0·5446 34 0·5592

0·5025 0·5175 0·5324 0·5471 0·5616

O·5050 0·5200 0·5348 0·5495 0·5640

O·5075 0·5225 0·5373 0·5519 0·5664

0'5100 0·5250 0·5398 0·5544 0·5688

0'5125 0·5275 0·5422 0·5568 0·5712

0'5150 0·5299 0·5446 0·5592 0·5736

59 58 57 56 55

35 0·5736 36 0·5878 37 0·6018 38 0·6157 39 0·6293

0·5760 0·5901 0·6041 0·6160 0·6316

0·5783 0·5925 0·6065 0·6202 0·6336

0·5807 0·5948 0·6088 0·6225 0·6361

0·5854 0·5995 0·6134 0·6271 0·6406

0·5878 0·6018 0·6157 0·6293 0·6428

54 53 52 51 50

40 41 42 43 44

0·6428 0·6561 0·6691 0·6620 0·6947

0·6450 0·6563 0·6713 0·6841 0·6967

0·6472 0·6604 0·6734 0·6862 0·6988

0·6494 0·6626 0·6756 0·6884 0'7009

0·5831 0·5972 0·6111 0·6248 0·6363 0,6517 0·6648 0·6777 0·6905 0·7030

0·6539 0·6670 0·6799 0·6926 O·7050

O·6561 0·6691 0·6820 0,6947 0'7071

49 48 47 46 45

60'

50'

40'

30' COSENO

20'

10'

O'

<>

'" '""

Iz 23

Tablas Funciones trigonométricas

...

10'

20 '

COSENO 30 '

1 2 3 4

1·0000 O·9998 o- 9994 0·9986 0·9976

1·0000 o- 9998 o- 9993 0·9985 0·9974

1·0000 0·9997 0·9992 0·9983 0'9971

1·0000 o· 9997 o- 9990 o- 9981 0·9969

5 6 7 8 9

0·9962 0·9945 o. 9925 0·9903 0·9877

o 9959

0·9957

0·9954

'" '" O

o'

0·9942 o- 9922 0·9899 O·9872

o- 9939 0·9936 0,9918 O·9894 O·9868

O' 9914 0·9890 0·9863

40'

50 '

60'

o 9999 o 9999 o 9998 0·9994 o- 9986 o 9976 o 9962

89 88 87 86 85

0·9996 0·9989 0·9980 0·9967

0·9995 0·9988 0·9978 o- 9964

o- 9951 0·9932 o 99" o- 9886 0·9858

o- 9948 o 9945 84 0·9929 o- 9907 O' 9881 0·9853

0,9925 o- 9903 0·9877 O·9848

83 82 81 80

10

o- 9843 O·9838 0·9833

"

o- 93" o- 9775 o- 9737 o- 9696

O·9805 o 9769 o- 9730 o- 9689

0·9799 o 9763 O·9724 O·9681

O·9827 o- 9793 0·9757 0'9717 0·9674

0·9822 o 9787 o 9750 O·9710 0'9667

O·9816 o 9781 0·9744 0·9703 o- 9659

79 78 77 76 75

O·9652 o- 9605 o- 9555 O·9502 o- 9446

0·9644 0·9596 o- 9546 O·9492 0'9436

0'9636 0·9588 O·9537 o- 9483 o- 9426

0·9628 0·9580 O·9528 O·9474 0·9417

e- 962 1 O' 96 13 0·9572 0'9563 O·9520 o- 9511 o- 9465 o- 9455 o- 9407 0·9397

74 73 72 71 70

o- 9397 0·9387

O·9377 O·9315 o- 9250 O·9182 O·9112

0'9367

o- 9356 O·9346 o 9336 69

0·9239 O·9171 O·9100

O·9228 o- 9159 O·9088

0·9283 O·9216 9147 o- 9075

O·9272 o· 9205 O·9135 o 9063

68 67 66 65

0·9848 O' 9816 12 O·9781 13 O·9744 14 0·9703

" 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0·9659 O' 9613 o- 9563 0·9511 o- 9455

o- 9304 o- 9293

O' 9336 o- 9272 o- 9205 o- 9135

o-

o 9063

0·9038 o- 8962 O·8884 O' 8802 O·8718

O·9026 0'8949 0'8870 0·8788 O' 8704

O·9013 o- 8936 o- 8857 O·8774 o- 8689

O·9001 0'8923 0·8843 O·8760 o- 8675

o- 8988 0'8910 o- 8829 O' 8746 O·8660

64 63 62 61 60

0'8631 o- 8542 o- 8450 o- 8355 O·8258

O·8616 O·8526 O' 8434 0'8339 O' 8241

O' 8601 o- 85" O' 8418 o- 8323 O' 8225

0·8587 o- 8496 O' 8403 O·8307 O·8208

O·8572 O·8480 O' 8387 o 8290 O' 8192

59 58 57 56 55

9325 O·9261 o· 9194 o- 9124

ü-

25 26 27 28 29

O·8988 O' 8910 o 8829 o- 8746

30 31 32 33 34

o- 8660 O·8572 O' 8480 0·8387 O·8290

O·9051 e- 8975 o- 8897 0·8816 O' 8732 8646 o- 8557 o· 8465 O' 8371 0'8274

35 36 37 38 39

O·8192 o- 8090 O·7986 O·7880 O·7771

O' 8175 o- 8073 o- 7969 O·7862 O' 7753

o 8158 O·8056 O·7951 O·7844 o- 7735

O' 8141 o 8039 O·7934 O·7826 O' 7716

O·8124 O·8021 o- 7916 o- 7808 O' 7698

O' 8107 O·8004 O' 7898 o- 7790 o- 7679

o- 8090 54 o- 7986 53 O' 7880 O·7771 O' 7660

52 51 50

40 41 42 43 44

o 7660 O' 7547 O' 7431 0'7314 0'7193

O' 7642 0·7528 O·7412 O·7294 0'7173

O' 7623 o- 7509 O' 7392 O·7274 O·7153

O' 7604 O' 7490 o- 7373 0·7254 0·7133

0·7585 O' 7470 O' 7353 o- 7234 0·7112

0·7566 0·7451 0·7333 O·7214 O' 7092

O' 7547 O' 7431 0·7314 O·7193 O' 7071

49 48 47 46 45

60'

50'

40'

30 ' SENO

20 '

10'

ü

O'

.".. '"'"

•

Z ~ '"O

24 o'

O'0000 1 0'0175 2 o- 0349 3 O·0524 4 o- 0699

Tablas

I

Funciones trigonométricas TANGENTE 10'

20'

30'

40'

o- 0029 o- 0058 o- 0087 0·0116 O·0204 o- 0233 0·0262 0'0291 O·0378 o- 0553 D' 0729

0,0407 0·0582 0·0758

O·0437 o- 0612 0·0787

0·0466 O·0641 0'0816

50'

60'

0'0145 o- 0320 o- 0495 0'0670 O·0846

O·0175 0'0349 o- 0524 o- 0699 O·0875

89 88 87 86 85

5 6 7 8 9

0'0875 O' 1051 O' 1228 O' 1405 o 1584

o- 0904 0'0934 O' 1080 o- 1257 O·1435 O·1614

O' 1110 O·1287 O·1465 O·1644

O' 1139 0·1169 o- 1198 O' 1228 O' 1317 O' 1346 O·1376 0·1405 o- 1495 o· 1524 o- 1554 o- 1584 O' 1673 o- 1703 o· 1733 O·1763

83 82 81 80

10 11 12 13 14

0'1763 0·1944 0'2126 0·2309 0·2493

0·1793 0·1974 0·2156 0·2339 0·2524

0·1823 0·2004 0'2186 0·2370 0·2555

0·1853 0·2035 0·2217 0·2401 0·2586

0·1883 o 2065 0·2247 0·24.12 0·2617

0·1914 o· 2095 0·2278 0·2462 0·2648

0·1944 0'2126 0·2309 0·2493 O·2679

79 78 77 76 75

15 16 17 18 19

O·2679 0·2711 O·2867 0·2899 0·3057 0·3089 o· 3249 o- 3281 0·3443 0·3476

0·2742 0·2931 0·3121 0·3314 0·3508

0·2773 0·2962 0·3153 0·3346 0-3541

0·2805 0'2994 0·3185 0·3378 0·3574

0·2836 0·3026 0·3217 0·3607

0·2867 0·3057 0·3249 0-3443 0·3640

74 73 72 71 70

20 21 22 23 24

0·3640 O·3839 0·4040 0·4245 O·..452

0·3673 O·3872 0·4074 0·4279 O·4487

0·3706 0·3906 0·4108 0·4314 0·4522

0·3739 0·3939 0·4348 0,4557

0·3772 0·3973 0·4176 0·4383 0·4592

0·3805 0·4006 0·4210 0·4417 0·4628

0·3839 0-4040 0·4245 0·4452 0·4663

69 68 67 66 65

25 26 27 28 29

0·4663 0·4877 o- 5095 O·5317 o 5543

0·4699 0·4734 0·4913 0·4950 O·5132 o- 5169 o- 5354 0·5392 O' 5581 O·5619

O·4770 0·4986 o- 5206 0'5430 0'5658

0·4806 0'5022 0·5243 O·5467 o- 5696

0·4841 0·5059 O,5280 0·5505 0·5735

0·4877 0·5095 0·5317 o· 5543 0·5774

64 63 62 61 60

30 31 32 33 34

0'5774 o- 6009 0·6249 O·6494 0·6745

0'5812 0·6048 O·6289 0·6536 0·6787

o 6371

0·5890 0·6128

0·5930 O·6168 O'6412 0·6661 o- 6916

o 5969 0·6208 0·6453 0·6703 0·6959

O·6009 0·6249 o- 6494 0·6745 o- 7002

59 58 57 56 55

35 36 37 38 39

o· 7002

0·7046 o- 7089 o- 7133 o- 7177 o- 7265 o- 7310 0·7355 O' 7400 0·7445 0·7536 o- 7581 0·7627 0'7673 O·7720 O' 7813 O' 7860 O·7907 o· 7954 o- 8002 O·8098

O·8146

O' 8195 0'8243

O' 7221 O·7490 O·7766 o· 8050 O' 8292 0·8342

O·7265 o- 7536 o· 7813 o· 8098 O·8391

54 53 52 51 50

40 41 42 43 44

0·8391 O·8693 0·9004 o 9325 0·9657

0·8441 O' 8744 0·9057 0·9360 0·9713

0·9110

0·8591 0·8899 0·9217 o- 9545 0·9884

0'8642 0·8952 0·9271 0·9601 0·9942

0·8693 0·9004 0·9325 0·9657 1 ·0000

49 48 47 46 45

60'

50 '

20'

10'

O·5851 0·6088 0·6330 0·6577 0·6830

o- 0963 o- 0992 O·1022 O' 1051 84

0·4142

0·6619 O·6873

0·8491 o- 8796

0'8541 0·8847 o 9163 o 9435 0·9490 0·9770 0·9827 40'

30'

COTANGENTE

0·3411

O'

~ '"

Tablas

..'"

COTANGENTE

o

'"

50'

60 .

68' 750 31 ·242 20'206 14·924 11·826

57'290 28·636 19'081 14, 301 11·4JO

o'

1O' 40' 20' 30' 343,77 171'89 114· 59 85' 940 1 57'290 49, 104 42· 964 38· 188 J4. 368 2 28·636 26·4J2 24 '542 22·904 21 ·470 3 19'081 18'075 17· 169 16· 350 15·605 4 14· 301 13·727 13, 197 12 706 12'251

°

IZ

Funciones trigonométricas

00

25 89 S8 87 86 85

5 6 7 8 9

11·430 9· 5144 8· 1443 7· 1154 6· 3"7

"'059 9· 2553 7·9530 6·9682 6· 197O

10' 712 9'0098 7· 7703 6·8269 6 '0844

10' 385 8· 7769 7' 5957 6·6912 5·9758

10'078 8· 5556 7·4287 6· 5605 5' 8708

9·7882 8· J450 7·2687 6· 4348 5' 7694

9· 5144 84 8· 1443 83 7·1154 82 81 6· 3"7 80 5'67"

1O 11 12 13 14

5·67" 5·1446 4·7046 4'D15 4'0108

5· 5764 5' 0658 4·6382 4·2747 3· 9616

5·4845 4'9894 4· 57J6 4·2193 3· 9136

5' 3955 4·9152 4· 5107 4·1653 3'8667

5' 3093 4· 84JO 4·4494 4· 1126 3·8208

5'2257 4·7729 4· 3897 4· 06 11 ,. 7759

5' 1446 4· 7046 4'D15 4·0108 3' 7J20

79 78 77 76 75

15. 16 17 18 19

3·7320 3·4874 3·2709 3'0777 2·9042

3· 6891 3·4495 3 ·2371 3'0475 2·8770

3·6470 3· 4124 3' 2041 3'0178 2 '8502

3·6059 3' 3759 "1716 2·9887 2· 8239

3· 5656 3' 5261 3' 3402 3· J052 3' 1397 ,. 1084 2· 9600 2' 9319 2· 7980 2· 7725

3' 4874 3'2709 3·0777 2· 9042 2· 7475

74 73 72 71 70

20 21 22 23 24

2·7475 2·6051 2·4751 2·3558 2· 2460

2·7228 2· 5826 2·4545 2'D69 2· 2286

2·6985 2· 5605 2·4342 2· "83 2,211,

2·6746 2· 5386 2·4142 2· 2998 2· 1943

2·6511 2· 5172 2·3945 2 '2817 2· 1775

2·6279 2· 6051 2·4960 2·4751 2·3750 2' 3558 2· 2637 2· 2460 2· 1609 2· 1445

69 68 67 66 65

25 26 27 28 29

2·1445 2'0503 i- 9626 1'8807 l' 8040

2· 1283 2·1123 2' 0353 2 '0204 1 9486 1'9J47 t- 8676 i -8546 1'7917 1'7796

2'0965 2'0057 i -921O 1'8418 t ' 7675

2 '0809 l' 9912 1'9074 1'8291 i- 7556

2· 0655 1'9768 1'8940 i- 8165 1'7438

2'0503 r 9626 1'8807 1'8040 l' 7J20

64 63 62 61 60

30 31 32 D 34

1·7320 1·6643 1·6003 1·5399 1·4826

t

7205 1·65J4 1·5900 1'5301 1·4733

r-

7090 1·6426 1'5798 1'5204 1·4641

it i-

6977 6318 5697 1·5108 t 4550

1·6864 1·6212 i -5597 t- 50U i- 4460

i

6753 1·6107 i 5497 1'4919 l' 4370

1'664J 1'6003 t- 5399 1·4826 i -4281

59 58 57 56 55

35 36 37 38 39

1·4281 1·3764 1·3270 1'2799 1·2349

1·4193 1· 3680 1· "90 1·2723 1·2276

1·4106 1· 3597 1· 3111 1·2647 1'2203

1·4019 l' 3514 t- 3032 1·2572 1·2131

t- 3934 1· J432 1·2954 1·2497 1·2059

l' 3848 1·D51 1·2876 i- 2423 1· 1988

t 3764 54 1· 3270 53 1·2799 52 1·2349 51 1· 1918 50

40 41 42 43 44

1·1918 1·1504 1·1106 1·0724 1·0355 60 •

1·1847 1·1436 1·0661 1'0295

1· 1778 1·1369 1'0977 1'0599 1·0235

1· 1708 r U03 1'09" 1'0538 1'0176

1· 164O 1· 1237 1'0850 1'0477 1'01 17

1· 1571 1·1171 i- 0786 1'0416 1·0058

1·1504 1·1106 1'0724 1'0355 1·0000

50 •

40'

30•

20 •

1O'

,. 1041

TANGEN E

o'

49 48 47 46 45

.. o

'"'"

I

PARTE 11 APLICACIONES

AVANZADAS

Análisis vectorial

I

Magnitud, dirección y componentes de vectores Vector: Representación de una cantidad fisica con magnitud y dirección Coordenadas del punto inicial A del vector Coordenadas del punto final B del vector Vectores unitarios sobre los ejes OX, OY,

a: a:

Xl, Yl'

z,

X2' Y2' Z2

oz. 7, 7, k

Componentes escalares

at BZ

a'z

BX

aa

lIy = !l2 - 11,

=

X2

-

X 1

.-

a'4 _1

Componentes vectoriales

as

a

=

a'B

a

=

B;+By+BZ

_

Bx

k 1 :

/c...c.---'-' ~----'~~--'''''''''

:;¡tox -

i + ay j +

-

O

k

'/

-

Bz

ItOY

ax

7

- ---

-=-~=::.:.:w;..-

a;

'_ i {;ax 171

171

Ikl

=

Magnitud de un vector: lal (o bien, a) (lal siempre ~ O)

a'7

Cosenos directores de un vector: cos a, cos /3, cos y a, /3, y son los ángulos entre el vector a y los ejes OX, OY y Oz. (a, /3, y = 0° ... 180°).

I~I ;

fr¡;

a'8

cos a =

a's

con co s" a + cos2 fJ + cos2 y

cos fJ =

cos

r

=

Cálculo de las componentes. Si se conocen lal, a'101

ax = lal'cos

a ;

az

= lal

ay = lal-cos

fJ ;

a, /3, y Bz

= ralcos

r

Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos, se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes OX, OY y oz.

•

Análisis vectorial Adición y sustracción de vectores Suma vectorial

-

s de dos vectores libres a y "6

a'11

~ s=B+b=sx·¡+Sy·j+s,·k

a' 12

s, = B, + b¿

s

-------.,iftIí

Sy= ay + by

...... I ...... I

s, = a, + b,

...

I I

a'13

1-;1=

Vs/ + s/ + s/ s de dos vectores libres a &.y "6P"C"......

Diferencia vectorial a'14

s =

a'15

Sx:;:;:

a'16

8..,

,

bx;

ax -

I ,

sr:;:;:

By -

by;

Sz

I ,

= éiz - bz

Isl=

,

+b

, -,

~

a'18

Suma vectorial

~~/

s = -; +

a'20

Sx=8x+bx-cx+.··

1;1112

s de vectores libres a, 5, -e, etc.:

b - -;+ ...

a'19

= sx'¡ + Sy.}+

I

I

Valores importantes 151para 2 vectores

a'17

a'21

-->-

sz·;

;sy=ay+by-ey+

...

Sz=

Bz+ bz-

Cz+···

Isl = Vs: + sr'+ s/ Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto del escalar k con el vector

a'22

c = k· -;

a'23

ex

=

(k ~ O)

K> 8.. ; ey

=

k· ay;

ez

=

K> az

e n a, por lo que < 0, entonces e rt a, por lo que

Si k > 0, entonces k

Ejemplo: Fuerza ; a'24

a da el vector c.

m>O;

masa x aceleración

F::"tt;;

Fa;m';;

e=k·IBl

..... e

-

(e ~ O) a

F = m·a F,,=m'a

.) Elsímbolo i1 significaquelosvectores(-b) y b son paralelosy de sentido contrario.

Análisis vectorial

A'3

Productos de dos vectores libres

a y D da el escalar k.

El producto escalar de dos vectores libres Srmbolo del producto escalar: punto ..... a'25

k

= -a· -b = -b·a - = a·b·

a'26

k

=

Bx·bx+ ay·by+ az·bz

«zr

rp

a'28

Valores importantes

=

-1

cos

./"

- 1cos e :Ial. bl'COS~' (k;:

O)

.0

. b cos'{J

Bx·bx+ ay.by+ Bz'bz

I':j.¡bj

2?00

a'29

W

Fuerza x Desplazamiento =

a'30

W

F s ces rp

-

s /"

(W ~ O; F, s ~ O)

ay

Símbolo del producto vectorial: cruz "x" _~.oo

ICJ=

a b senrp

e j_ a

y

- b, a,

a'33 a'34 a'35 a'36

a'3?

C

-;

= 1;11;1

sen 'P

(e ~ O)

j_b

ti

da el vector

c.

... 1800_" b

e

;= -;xb= -(b'-;)

./

riÍ]~

r.:

El producto vectorial de dos vectores libres

a'32

a

~~~----~~~~+-----~r-~~=+------O

Ejemplo: Trabajo W de una fuerza F en el desplazamiento s

a'31

b /"

. ..0

a

forman una tríada derecha

c~ = ay bz - a.z by ey = a.z s, - ax bz ez = ax by ay b,

-

1-;1 = importantes

-1-:1·lbl

Ejemplo: Momento M de una fuerza F respecto a un punto O: a'38

M

=

a'39

M

= r

Radio vector x fuerza F·

sen 'P

(M

=

rxF

i O;

If 2 E

= - (F

r,

Línea de acción

;,/

"'"

r) ~ .

F ~ O) ~

!

¡jj.1

I

Funciones

racionales

Función de fracciones racionales, Descomposición Función de fracciones racionales () IJ x

p(x)

_ a,+a,x+a,x'+.,.+amxm n>m b; + b, x + b, x' + ... + b, z" n y m enteros Los coeficientes "v, b. pueden ser reales o complejos. Si n, son las raíces :

QfXT -

de O(x), se obtiene la forma factorizada: b'l

y(x)

P(x) : Q\xY:

P(x) a(x-n,)".(x-n,)kI

... (x_n,)k,

En esta expresión pueden presentarse raíces de multiplicidad k" k2 .... " de O(x), las que pueden ser reales o complejas; a es un factor constante.

Descomposición

en fracciones parciales

Para lograr un manejo más sencillo de y(x) -por ejemplo, para su integraciónes conveniente descomponer y(x) en fracciones parciales:

b'2

y(x)

:

~¡;l: :~~,

+ (x~~,)'

+

+ (x~~~')k1 +

+~+ x-n,

~ (x-n,)'

+

+ ~ (x-n,)"

+ xA~~.+ (x~~'.)'

+ ...

+

+ ••. + (xA:~:),.

Si los coeficientes de O(x) son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en bt, n2 = n, (compleja conjugada de n,,) y debido a su aparición por parejas k, = k2 : k, entonces las fracciones parciales de b'2 con las constantes Al1 ... A2k2 pueden aqruparse en las siguientes fracciones parciales:

b'3

+ e'1 + Bf2x+Cn + + B1kX+C'k x' + ax + b (x'+ax + b)' (x' + ax + b)' Las constantes A" ... Aqkq, B" ... B,. Y C" ... CIk se determinan igualando Bllx

los coeficientes de igual potencia en x en ambos miembros de la ecuación, después de que en la parte derecha, descompuesta ésta en fracciones parciales, se toma el común denominador O(x). Ejemplo:

(x): 2x-l :2x-l:8"x+Cl1+~+~ y (Hl-2i)(Hl+2i) (Hl)' Q(x) x2+2H5 nI (H1)' 2x-l 811x (H 1)'+Cl1(H 1)1+Aq,( Hl){ "'+2H5) +Aq,( X'+2H5) QTXT Q(x) 2x-l:

(Aq,+ 8,,)x) + (3A" + A" + 28" + C,,)x' + + (7 A., + 2A., + 8" + 2C,,)x + 5Aq, + 5A" + C"

Al igualar los coeficientes de las partes izquierda y derecha se obtiene:

B" : -1/2;

C,,:

1/4;

Aq,:

1/2;

Aq,:

-3/4.

Cuando se tienen rafees sencillas n¡ las constantes A", A2" ... ecuación b'2 pueden calcularse como sigue:

b'4

A,,: P(n,)/Q'(n,);

A21: P(n,)/Q'(n,);

,AQ, de la

... A, = P(nq)/Q'(nq)

•

Transformadas de funciones Transformada de Fourier Generalidades Con la transformada de Fourier F{s(t)} se lleva a cabo, con ayuda de la Integral de Fourier, un desarrollo de la función tiempo s(t) en un espectro continuo (densidad espectral) S(w), en el cual la frecuencia corresponde a la densidad del espectro: s(t) debe tener las siguientes propiedades: a) ser divisible en un número finito de intervalos en los cuales s(t) sea continua y monótona. b) poseer valores definidos en las discontinuidades s(t + O) y s(t-O) de modo que pueda expresarse 'h[s(t + O)

c't

s(t) -

e'a

e) ser tat que frS(I)1

+

s(t) + O)]

dt converja.

-'"

La transformada inversa F-' {S(w)} conduce a la función tiempo.

Definiciones +00

c'3

F{S(t)}

= S(w)

=

c'4

F-'{S(w)}

= s(t)

= -21 Is(w) lt-co

e

Is(t)

-¡&Ir

' dt;

i

='(-1

i

=Y-1

+'"

c's

ei~r . dw;

1

+00

Energra} espectral

Jls(t>l'

·dt

.00

= 2" JIS(w>!'

-00

·dw

_00

Reglas de operación c's

«r

Desplazamiento en tiempo F{ s( t -

r)}

= S(w). e- i~T;

i =

P

+00

Convolución

S, ( t) ,. S2(t)

=

J s, (r)

, S2( t - r ) . cr

+00

ea

-T)'dr

= JS2(r)'s,(t -00

c's

F{s,(t)

c'10

F{s( t)}

c'll

F{s(at>}

c'12

F{s,(t)

.. S2(t>}

= S,(W)·S2 (w)

= S(w) = I ~ I S(*)siempre + S2(t)}

S,(w)

que a> O

+ S2(W) (continúa en C'2)

•

Transformadas de funciones Transformadas de Fourier (continuaciónde C'1) n seguidase indican las densidadesespectralescalculadaspara algunas mportantesfuncionesdel tiempo. c'13

1

=-2

s(t)

ex>

fS(w).eiw'.dw

S{w)

It_oo

dt

-ex>

Funcióntiempo s (1) Funciónrectángulo A o R T (t)

c: !""

~fI

= ¡"'s(t)'e·iW'.

T

2 A

Densidadespectral S(,v) r- sen (wT)/(wT) S(IlI)

rrt) w

t

Funciónimpulsode Dirac A o ó ( t )

~' c'14

S{w)

A6rtJ

= A

(Densidadespectral constantesobre w)

unción rectáfl..1 AoR (t-T/2)ulo con cambio TI) de signo - A RTIJ ( t + T /2 ) o

sen'

s(t)

c'15

S(w)

.!:'....!.. 2

- j 2 ATo --",-T"-

2

c'16

S{w)

c'17

A sen (woot ) 21{ ( t ) =-010 01 t conwo=r S{w) It

o

s(t)

= 4ATocos{2wT)--wr-

AoRw;{w) s(w)

sen (wT)

(Función) rectángulo

(continúaen C'3)

•

e'3

Transformadas de Funciones Transformadas de Fourier

(continuaciónde C'2) Funcióntiempos(l) DensidadespectralS( w) Funcióntriángulo A DT ( t ) c'18

c'19 Rectángulomodulado c'20 ART·(t) cos ("'ot)

2Jl "'o:

(\{T\j

-TV V~T c'22

c'23 c'24

Impulsod~GaUSS

2Jl

T. :---:;¡ o

a

7' jjYr(IJ

s(t)

c'2l

..

T

A.sen T(",+",o) w "'Wo

S("'):

+ A. sen T(", - "'o) W -

1

S(I)

-a'I'

A e

,m,"",,:~)

1

2" "o 0-,

~

S(",): _\

\

t

c'25 c'26

c'27

Impulso exponencial S(w):

c'28 lid

t

_._A_ JW T d

(Uo

+

•

Transformadas de funciones I Transformada de Laplace

I

Generalidades: Con la transformada de Laplace L transforma) la función t(I), con ayuda de la integral

F(p)

c'29

=

J

(I(I)}

e' 4

se representa (o

00

!(I).e-Ptdl

o en una función imagen; t(l) debe ser nula para I < O Y para I 2: Odebe estar totalmente definida; e-PI es un factor de amortiguación que hace que la integral converja para un gran número de funciones del tiempo. Se tiene que p = a + iw (a 2: O) es una variable compleja de operación. En este dominio de la imagen pueden resolverse ecuaciones diferenciales y analizarse procesos no periódicos (por ejemplo, vibraciones). El comportamiento de la función tiempo se obtiene por medio de la transformada inversa (véase la tabla e'6).

Definiciones c'30

00·;00

Ji(t) o

L {f (I)} = F(p) =

c'31

e-ptdl L-'{F(p)}=!(t)

I

o

Representación abreviada:

Representación abreviada: f( I )o----

=2~J:(p)ePt'dP

..... F(p)

F(p)----<>f(

1)

Regfa. de operación c'32

Linealidad

c'33 c'34

Teorema de traslación

c'35

Teorema de convolución

L{f, ( t) + fz( t

l}

F,(p)

L{C'f,(I)} L{f(

e

1- a)}

f,( 1)

*

f,(I)*

c'37

Cambio de variable

c'3S

Diferenciación

1>( 1)

=

!f,(

F(p)

L{~

f(~)}

L {f'(

I)}

I-T)· f.(T)·

dT

r

[f,(T)·!>(I-r)·dT F, (p). F.(p)

1>(1) ~

F(a'p) p·F(p)

- fW)

p'-F( p) - p.

L { 1"( t ) }

c'39

-dp .

t

= c'36

+ F.(p)

c-F,(p)

r: O·) - f'( O·)

n-:

c'40

pO'F(p)-L:

L{f"(I)}

fl')(O·)p"-H k=O

c'41

Integración

L { o/!(

t)· dt}

=

.l. F(p) P

I

Transformadas de funciones

C's

Transformada de Laplace

Empleo de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales Esquema de operación

:-- - -OomiñiOde t - - -- --:

c'42

c'43

c'44

Operación de

-Do~i~tOde -p- - --; 'r------------,¡ :- - - -

r-----=E,...C-. d-'i7,.-p-a-ra-Y-'("'t)-+--" cálculo condiciones iniciales II---------H '----'-'-'-'-''---''':___:_::'''':'_:''__j Véase reglas de '-----,------' Resunado de la r.:-:"~~i~n_de~a~_ecs:difs.

derivación _H-:

I

I

r---;:::==--':-:,..,..,."--,,.,.,--__, :

, 1

---T-ra-n-sf-o-rm-a-d-a--+l inversa según e'6

El problema de resolver las ecuaciones diferenciales se reduce al de hallar una transformada inversa; esta operación se simplifica expresando Y(p) en fracciones parciales (véase B'1), o en funciones cuyas transformadas inversas al dominio del tiempo puedan encontrarse ya tabuladas (véase la tabla en e'6).

2y' + y = f( t ) ;

Ejemplo:

1

'~I~:¡~ } ~ c'43

f( t) es la función de excitación y( O') = 2, es la condición inicial

2p·Y(p)-2y(O+)+Y(p) = F(p) (t)a-----e Y( ) = F(p)+2y(O') y p 1 + 2p

=

1/p+2y(O') 1 + 2p

Según sea f (t) <>------. F (p) se obtienen diferentes soluciones para y (1). (Supongamos que '(1) sea la función escalón, Según e'50 es entonces F(p) = 1/p). seúnB'1}Y()=

g y según C6,

t ¿

+2y(O')=.! __ 2_+2y(O') 1+2p p 1+2p 1+2p

1

p{1+2p)

y ( t) = 1 - 2

1 -

2e

Y,

1 -1-, ->-z + 2' 2'2 e = 1 +e

Aplicación del teorema de convolución de la transformada de Laplace a redes lineales Una función de excitación ',(1) se transforma a través de una red en una respuesta y(I). La red se caracteriza por la función de transferencia F2 (p); F2(p) tiene la transformada inversa '2(1). Dominio de p

Dominio de I

c'45 c'46

F,(p~~

~ I/(t)

Y(p)

~ = f,(t)*t.(t)-Y(p)

= F,(p) , F.(p)

La respuesta y(I), para una red dada, depende de ',(1); y(l) puede calcularse según el esquema después de obtener Y( p). La transformada inversa en el dominio de I puede obtenerse en forma cerrada si F2(p) está dada como una función racional de p y la transformada F,(p) puede obtenerse de la tabla en e'6.

•

Transformadas de funciones

C'6

Transformada de Laplace

•

Tabla de correspondencia c'47

J

F(p)

= o

con

úo+ioo

-pI

f(t)

c'54 c'55 c'56 c'57 c'58 c'59 c'60 c'61 c'62 c'63 c'64 c'65 c'66 c'67 c'68 c'69 c'70 c'71 c'72

1

p = i w = i 271' L,

6 (t)

IIp'

Función imagen FlP¡

0l~~

t

rl

(p' + k2)2

pt

. dp

e

11po

tu¡ 1

sen( kt)

2k t

e' 1

(p-a)(p-b)

+

cos(kt)

-

ces(kt)

(p2 + k2)2

(" - 1 ) ! e x p í a t)

Función del tiempo

+2

tn-1

1 I(p - a)

J F(p)'

= y:T

i

1 para t> para t
°

- .!:_ t· sen ( k t ) 2 para b * a: ebt _ eat

b- a 1/(p-

a)2

a

p(p - a) __ 1__ 1 + T· p

a p' - a' p pi _ a'

t exp( at)

(p+a)2+k' 1

rexp(-t/T)

P (p' + k')2

ke

1

'(P

y;:-:T

1

2

p1(P cosh(at) sen (kt) c o sj x r )

In p + b p+a tan '(alp)

1 2i(sen(kt)

-1/

r -

Jl

(2f¡t·

tJ/,)

3/( 4YJi' t'/I) 1 ( Te

lit

-.1

e -.'{P

-bl)

-e

sen (at)

para a > O:

_a__

-.' 4T

2ty;¡Te

1

2k' sen (kt)1 - n' t ces(kt)

. sen (kt)

1

yp

senh(at)

pi + k' 1

-.1

1

pE

p

(p'+k')2

1

exp(at)-1

_k_ p2 + k'

c'73 c'74/ c'75

'º' Dirac

e: e:

11p

~1_. 271'1

Go-ioo

Función imag Función del tiempo f(ll Flpl

C'48 c'49 c'50 c'51 c'52 c'53

=

f( z )

. dt ;

·e

para a ?lO: 1 -.fP -e

p

er fc 2

1

YP'

+ k'

Jo(kt)

a

YT

{ Función de Bessel

Ecuaciones diferenciales Conceptos generales Concepto

de ecuación diferencial

(EO)

Una ED es una ecuación que contiene lunciones, derivadas (o diferenciales) de estas funciones y además variables independientes. Hay que distinguir entre: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EOO), en las que las funciones buscadas dependen sólo de una variable independiente; por ejemplo.;

dt

y = [tx¡

y" + 2.x2y = sen x

Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), en las que las funciones buscadas dependen de diversas variables independientes; por ej.:

a2x

d'2

all·av

= x2·v·", ~.

~

x

au av

= [Iu,

V,

IV)

Las EDP no se exponen aquí en forma separada, ya que los métodos de las EDO pueden aplicarse a ellas.

Ecuaciones diferenciales ordinarias d'3

Forma: F (x, ytx), y'Lx),

... ylnJ(x)) = O.

En esta expresión y (x) es la función buscada; y' ... y1n)son la primera y sucesivas derivadas hasta de orden n, con x como variable independiente. d'4

Ejemplo: y'" (x)

+ m (x)'y'

(x)

+

n (x)y2(X)

+

p(x)y

= q(x).

d'5

Orden: es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ED. En el ejemplo anterior, el orden de la ED es 3.

d'6

Grado: es el exponente de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación al expresar ésta en forma polinomial, o sea, al racionalizarla.

d'7

ED lineal (EDL): es una ED en la que las funciones desconocidas y sus derivadas aparecen sólo elevadas a la primera potencia; las ED lineales son siempre de primer grado.

d'B

ED homogénea: en ésta la función forzante o de perturbación q(x) es igual a O; es decir, q(x) = O.

'*' O.

d'9

ED no homogénea: en ésta, q(x)

df O

Solución: es una función, y = y(x), que junio con sus derivadas satisface idénticamente la ED. La integración de una ecuación diferencial es el proceso de encontrar soluciones. Integral general de una ED es el conjunto total de sus soluciones. La integral general de una ED de orden n contiene n constantes arbitrarias: 2, ... , Tales constantes adquieren valores definidos cuando se especifican las condiciones iniciales y(xo) = Yo; y'(xo) = y'o ... yln-,) (xo) = y1n-').

e

dt

en.

e"

La integral particular de una ecuación diferencial es una solución específica de la ecuación.

•

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales Métodos para resolver una ED 1. Transformando y ordenando la ecuación de manera que pueda identificarse con un cierto tipo de ecuación para la cual existan soluciones (Véase 0'6. 0'8 •...• 0'12). 2. Empleo de una sustitución especial (Véase 0'8) Efectuando tal sustitución, la ED con frecuencia puede reducirse a una de menor orden o grado para la que exista una solución conocida (Véase O'g, ...,0'12). 3. Empleo del método de los operadores, en especial de la transformada de Laplace (Véase C' 4 ... C' 6).

Ecuaciones diferenciales d'12

lineales (EDL)

Forma: En esta ecuación, y = y(x) es la función buscada; y' ... yn son la primera y sucesivas derivadas hasta la de orden n de y( x); p, (x) ... Pn(x), son funciones de x. Solución

general de la EOL no homogénea

d'13 Solución de la ED homogénea: Yhom. La Yhom se obtiene resolviendo la ED no homogénea en la que se hace q(x) - O. Toda ED lineal homogénea de orden n posee n soluciones independientes Y.l' Y2' ... , Yn con n constantes arbitrarias independientes en.

e" ...,

d'14

Yhom = C¡y¡(x)

+

C2Y2(x)

+ ... +

Cny.(x)

(En O'g ... 0'12 se dan las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo órdenes). Solución particular de la ED no homogénea: La Yoen se obtiene para q(x)

*'

Ypen-

O.

En 0'3, 0'6 y 0'7 se indican procedimientos para encontrar estas soluciones; en O'g y 0'12 se dan algunas soluciones para la Ypart de ED lineales de primero y segundo órdenes.

I

Ecuaciones diferenciales

0'3

Ecuaciones diferenciales lineales Solución particular

Obtención con el método de la variación de parámetros Si se conoce la y_ de una EDl de orden n (véase 0'2. 0'6). la siguiente sustitución conduce siempre a una solución particular:

d'15

Ypart

=

C¡(x)·y¡

+ C2(X)'Y2 + ... + Cn(x)'Yn'

Método para la determinación de C,(x), C2(X) •...•Cn(x): Fórmese el sistema de ecuaciones simultáneas:

d'16

q(x)·y¡ q(x)·y¡

+ C~(x)'Yn = O + C~(x)'y~ = O

+ Cí(x)'Y2 + + Cí(X)'Y2 +

q(X)·y¡ln-2) q(x)·y¡ln-1)

+ Cí(X)'Y2In-2) + Cí(X)'Y2In-¡)

+ +

d'17

Determínense las C¡'(x) para ¡-l. ciones simultáneas.

d'18

Intégrense las C¡'(x) para i sustitución hecha para y.

= O = q(x)

+ C~(x)'Yn(n-2) + C~(x)·Y.rn-¡J

2, ... n del sistema anterior de ecua-

" 2, ... n a fin de obtener las C¡(x) de la

Ejemplo: Encontrar la Ypart de la ED:

d'19 d'20

+ _!_ y'

y"

2x.

x

Según d'111

+C2 = C¡·lnlxl+C2

= Ic¡e-f}d·.dx

Yhom

d'21

= C¡' y¡(x)

+

C2· Y2(x)

en donde y¡(x)

d'22

Sustitución:

Ypa..r

C¡(x)·y¡

d'23

Sistema de ecuaciones simultáneas indicado en d'16

d'24

Resolviendo el sistema se obtiene: Cj(x)

=

y Y2(X) = 1

= In Ixl

+ C2(X)'Y2

{ Cí(x)·lnlxl Cj(X).}

+ Cí(x)· 1 = O + Cí(x)· 0= 2x

= 2x2; Cí(x) = -2x2·lnlxl

Integrando Cj(x) y Cí(x)

d'25 d'26 d'27

Cl(x)

=

í

C2(x) = - %X3 [Inlxl

x3;

la solución buscada es entonces' . ypa..r = lx3 3 Solución general:

y" +

y'

L

x

=

Cl

x

iJ

-Inlrl - 1x3 x3 3 (Inlxl - .!). 3 1 = ~9

y = Yhom + Ypa..r= CI·lnlxl Comprobación:

-

2

+ C2 + g-x3,

+ lx2

y"

3

_CI x2

+ ix +.9. + 1x 3

X2

3

= _

= 2x

CI X2

+

ix 3

•

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales Ecuación diferencial lineal de primer orden d'28

y' + p(x)y = q(x).

Forma:

La forma corresponde a la dada en 0'2, d"2 para n = t: la derivada de mayor orden que aparece es y'. En 0'2 y 0'9 se dan soluciones para y,

Yhom, Yosrtd'29

y' + ~

Ejemplo:

= sen

x

y

i

Según d',OO, p(x) =

d'30

= Yhom

+ Ypon

q(x) = sen x.

Según d'99, la solución homogénea es: d'31

Yhom = e¡,e

-f..!

dx

x

= el·e

-Inl.tl

el

=X

con

el

ZO.

Según d'100, la solución particular se calcula con la expresión: d'32

Ssen .r-e J

Ypart

S

·dx . e

x

-f1.x dx

(senx'elnIXI) dx·e Inlxl =

isenx

d'33

1. dx

Y = Yhom

1 Yparl = ¡(el

+x

el

Comprobación: y'

- Xl

y' + 1. x

sen

(senx - x)dx.i-

x

- cos

+

S

+ sen x) cos

x-

X2

sen

cos x.

x +

sen

x

x

d'34

el ~ O; el adquiere un valor definido, si por ejemplo

d'35

y(xo) = 1 para xo= ~

d'36

d'37

<

entonces por lo que el

1 = ..!...(Cl rr/2 =

rr

2' -

+ sen

I!.) - cesI!. 2 2'

1.

Ecuación diferencial lineal de segundo orden d'38

y" + P1(x¡'y'+pAx),y = q(x) La forma corresponde a la dada en 0'2, d"2 para n = 2; la mayor derivada que aparece es y". En O", y d"2 se dan las soluciones para y, Yhom

Forma:

Yparl·

I

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales

lineales

0'5

Ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes Debido a la gran importancia que tiene este tipo de ED en los problemas de vibraciones, se presentan a continuación varios casos especiales de ella.

Y· + 2ay' + b2.y

d'39 Forma:

q(x).

=

a y b con constantes, q(x) es la función de perturbación. Solución

d'40 d'41

y

general: Según 0'2 y d' 15 = Yhom + Ypa,'

k2

Caso aperiódico:

d'42

Yhom

d'43

Ypart

+

C¡'e(-a+k)x

f

e(-a+k).r

---'

2k

f

e(-a-k)x

d'45

d'46 d' 47 0'48

d'51

d'52

*)

Caso aperiódico límite: Yhom

C¡'e-ax+

Yparl

-e-ax

f

C2·x·e-ax x·eax·q(x)·dx

x·e-ax

f

e-ax.s:(WX) e-ax.c~s(WX)

eax. q(x)'dx

*)

+ C2,cos (wx)]

Yhom = e-ax[C¡'sen(wx)

Ypart

+

k2 = a2 - b2

Caso periódico:

-

d'50

-

e(a+kJx·q(x)·dx

con d'49

a2 - b2 > O

e(a-k)x. q(x)'dx

- -2-k--' d'44

=

C2.e(-a-k)x

w

f -f

.

=

ybLa2

eax·cos(wx)·q(x)·dx

-

eax·sen(wx)·q(x)·dx

*)

*) Observación: Para el caso especial en que q(x) = Ao sen (wox), se obtiene: Ypart = A'sen(wox-y), en donde

y también

Ao

A=

y(b2-wo2)2

y

cot : 1 b2 o 2a Wo

-w

+ 4a2wo2

•

ID'6

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales

lineales

Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes d'53

Forma:

d'54

Solución de la EDl homogénea de orden q(x) - O).

d'55

Sustitución:

y

= e";

= "e";

y'

n

con coelicientes constantes.

... y1n) = ,n'e"

Sustituyendo estas expresiones en la ED homogénea dada en d'53, se obtiene la ecuación algebraica

an,n + an-l,.,,-I+

d'56

... + al' + ao = O.

'n'

De esta ecuación pueden obtenerse las raices r" '2, ... , Dependiendo del tipo de las mismas, se obtienen diferentes soluciones para la Yoom: Caso a): Todas las

d'57

Yhom

'lo '2, ..., 'n son reales y diferentes +

= el'e'¡''!

C2,e'2'X

+ ... +

Caso b): Aparecen raices múltiples y sencillas: '1 '2 = ... = 'm; 'm+l' 'm+2' ..

d'58

*)

'n'

e2'x·e'!'X

+ CJX2·er¡ .... + ... + + Cm,xm-l.e'¡'..r + Cm+t"e'rn+1 + + Cn,e'lI'x

= efe'!'X

Yhom

+

entre si:

Cn,e,'"',r

o ••

*J

d'59 Caso c): Aparecen raices complejas conjugadas: '1

d'60

Yhom

=

a + iP;

= Ct,er¡'x

'2

+

=

a - ip

C2'errx

= 'l.

*)

= e""'(A'cOS PX + B'sen px)

A = Solución particular constantes

d'61

el +

e2; B = i(el-ez)

de la EO no homogénea de orden n con coeficientes ypa" = gl(X) + g2(X) + ... + gk(x),

Para encontrar soluciones particulares se utilizan expresiones que dependen de la forma de q(x). En 0"7 se dan algunas de estas expresiones. Una vez determinada la expresión correspondiente para Ypart. se obtienen Ypart. y'part. etc .• y se sustituyen en la ED por resolver. Igualando coeficientes similares. pueden determinarse las incógnitas ex y p. (Véase el ejemplo en 0'7).

*)

e,. e2..... en son constantes

arbitrarias.

I

Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes Formade q(x) d'62 d'63 d'64 d'65 d'66 d'67 d'68 d'69 d'70 d'71 d'72 d'73

d'74 d'75 d'76 d'77 d'78

Expresiónpor sustituirparala Ypa,' = u

A xm Ao + A¡x

+ Ap2 + ... +

A,.,xm

A'e-U A·cos mx B·senmx A -cos mx + B'sen mx

Uo + u¡x + ap2 + Uo + U¡ + ap2 +

+ u,.,xm

+

u,.,xm

U'e-U u'cos mx + fJ' senmx

+ +

A· cosh mx

B· senh mx A· cosh mx + B'senh mx

«-cosh mx + fJ'senh mx + +

A, e=-cos mx a'e-U cos mx + f3eAx S9nmx B'e-U'senmx + A'e-U'cos mx + B'e-U'senmx + Ejemplo: y" - y ECOS 2x; según 0'6, d'SS: y = e"; y' = r·e"'; y" =r2'e" Sustituyendoen la ED homogéneacorrespondiente (d'7S) r2-1=O; r2=1; r¡=l; r2=-1 Yhom = C¡'e'¡'x + C2·!l'l·x = Cfe' + C2,e-x,

d'83

La expresiónpor sustituires de la forma: Yp." a' cos 2x + fJ'sen 2x Y'P." = -2u·sen2x + 2fJ'cos 2x Y·P." = -4u'cos 2x - 4fJ,sen2x;. Sustituyendo lasexpresiones dadasend'79y d'81enla ED,d'75, se obtiene: -5u' cos 2x - 5f3' sen2x = cos 2x, Al igualarcoeficientessimilaresresulta: 1 1 fJ = O; u = -'5 por lo que Yp." = -scos 2x

d'84

Solucióngeneral: y = Yhom + Yp.,' = C¡·ex + C2,e-x

d'79 d'80 d'81 d'82

1

-'5 cos

Comprobación: y'=c¡.ex-C2·e-x+tsen2x' y"=c¡.ex+c2'e-x+t· y" - y =c¡'ex+c2·e-x+t·

2x

2 4, cos 2x 4, cos 2x-C¡'ex

- C2 ' e-x + tcos 2x = cos 2x

I

Sustitución

Suposición

Forma de la ED

Observación

ae

::ti

y' = p = ~

Reduccióndel dx ordenn y' =p' =~.p aln-1 (VéaseejemploA) dy ~ y' P Reduccióndel ... el. y no estácontenida y(n)= ¡(x, y', ... y(n-l)) d'86 " =~ ordenn !!. explícitamente Y dx al n-1 2. O '87 I--(--...,.(--(k-----)+Las..,..... ...,.. ·......,.-das-d.,.-orde-:-+--y""(k-+"'l)~=~p----l---=:":':"'_:_---I en ~ y nJ= ¡, x, Y +1), ... y(n-l) ","'V" e n d 1 hastala de ordenk, d Reduccióndel _. CD ordenn al n-k o~ Y(k+2)= p' = 22. (VéaseejemploB) no estánpresentes dx ~ "C I-E-~-m-p-w-A-:-------J---_:_---~~-e-m-Pl-O-B-:--~~-J--------1 ~~ d'85

y(n)= ¡(y, y', ., y(n-lJ)

x no estácontenida explícitamente

g

o:

m

d'88 d'89 d'90 d'91 d'92 d'93 d'94 d'95

rv" - y'2 = O; Sustitución:y' = p,' d

y'" + 2y" - 4x = O. Sustitución:y" = p;

d y" = p 22.dv d

d

y.p.!Y!.-p2 = O· !Y!. = ~ dy 'p Y

p'

Inlpl = Inlyl + In C Inlpl = In Cry = ~ = y' p = Cvy = y' y' - Cvy = O

4x = O,

v"

segúnd'100

p = C¡,e-2x + 2x - 1 =

-º- 'Y' = y" dx

~

y = Cl·e- J Cd,= Cl.e-c" Comprobación:y' = -Cl . e-Cx . C Cl·C2·e-Cx y'y"-y'l=Cl·e-cx,Cl·Cl·e-CX- Cl2 . Cl. e-Cx-2 =

+ 2p -

dn = =dx=p'

y' =

S (Cl·e-2x + 2x e

+

y' = - i'e-2x

r=

Y

o

X2 -

1) dx X

+ C2

+ C2 =~

2x

c:::

S»

(") ::D-

CDO

~:::::I

~CD

0:(1)

:le. Q. _.

§ ~ !l_ oCD 111 _100 ... ~ Q.CD m;::;: e en g:::::l

_.

g:

(")

O el.

aCD CD <

S»

~ 111

(1)

~

::s ~.

-

CD

e

3-1-iD

S(-%·e-

+x2-x+C:z)dX+C3 1 x3 Xl y = ¡Cl'e-2x + Cl'x + 3' - "2 + C3 =

m

(")

1l

iil Di

o,....

Tipo ~ al

o, ~

Expresión por sustituir

Forma

De variables y' = separables dx

f g(y)-dy f [(x)'dx

91' = fH)_

De variabies no di- y'= rectamente separables

=

g(y)

ffi

+C

Las variables x así como y pueden separarse por el signo igual

y'

=1.

zx

=u

+ p(x)-y

m

°m i(')

s,e ::::1m

CD(') __ IR

du

f dx

(du _ a)

=

J

f3[(U~u+ a + C

Después de integrar es necesario resustituir

f3 dx

fX - f dX -

y' = u + x·du dx

ED lineal homogénea y' de orden 1

Observación

ax + f3y + y = u [fax + f3y + y) dx = a + f3y'

ED similar

c.

Solución

c.O ;::::::s ¡¡CD

~tn du

[(u) - u

+C

Revisar si la ED es transformable en f ({.l

¡¡j'

C.

ii"~

~CD y = Ce-fp(x).dx = Yhom

= O

y = Yhom

CD~

-g, :::::s 3(') CD __

c.

e;

ED lineal no homogénea y'

y = Yhom + Ypart y = C(x)-e-fp(x)dx

+ p(x)-y

o, :?

ED implícita de orden 1, Sin termo en x

=

q(x)

Y;= C' (x)'e- f p(x)dx p

-C(x) 'p(x).e-Jp(x)dx

o de orden 1

y

= f(y')

f

y = e-fp(X)dX{C+ q(x).efp(X)dX'dX]

y'= p

en donde

yp =

f q(x)-eJp(X)dx.dx.e-!P(X)dX

x =

f~+c

y = [(p)

"'m

Yhom, véase d'99 0Obtención de la sol. parto por variación de las cons_::::1_-tantes; véase 0'2 y 0'3

"'CD

~tn

Eliminando p se obtiene la solución de la representación paramétrica

e

Tipo ED impHcita de oro den 1, sin termo en y

~

Forma


Observación

x = f(p) x = f(y')

y' = p

'"

ED de d Alaml ~ bert, impHcita y = c.> de orden 1 Q.

Solución

xsty') + f(y')

y' = P

Eliminando p se obtiene la sol. de la repr. paramétrica

+C

y = fpf'(p)·dp

y': x,Cl + f(CI)

ED de Clairaut

y = x-y' + f(y')

y' =p f(y') = f(p)

_1_

~ ~

z = y¡~n EDde y' + p(x)y+q(x)yn = o Bernoulli y = zr=;¡ de orden 1 con n O; n*l 1 n y grado n y' =-_oz"'1=ñ"·z'

l-n

'eJ (l.n)p(.).d'dX]

y =

Repr. para métrica de x y y. Integral sing. (envolvente) por elim. de p

_j_ Z 1-"

(')

iii'Q.

m:;; a...,

ID (1)

q(x)- Reducción a una ED de orden 1 en z: sol. según 0'9, d'lDD

1 =\)Iz

ED no q(x) y(x) - U(X)+YI(X) z' [p(x) + 2q(x)·y¡(x)J·z homogénea en ED de 1 y(x) es una C, Ricalti de z: sol. según ytx) = y¡(x) t e+l!p(.)+2q(,).Y¡(')IOX sol. parto y' tp(x)yt q(x)}'2 =rtx) 0'9. Al menos 1 conocida ~ yorden una sol. pan. grado 2 1 1 debe ser . [C+ J q(x)·e-flp(·)+2q(.)y¡(.)Jdx dx] zix} = Ii(x) conocida

-

g:tn "'(1)

z' + p(x)·z = -q(x)

Z = e-J (l-n)p(.) dx [C-(l-n)J

*

l-n

+ f(p)

_.

~(I)

(Integral general: familia de rectas)

x = -f'(p) y = -p-f'(p)

m

ID (')

a.O

con C¡

~ i

::::1

'":;::::s

dx = ...KJELx + __fJpl_ dp P - g(p) p - g(p) y=

g'm

i(') 9. e O

-g. :::s 3 (') ID "' 0-

sr

"'(1)

~tn ::::1 ---

e _. ....

O

Tipo


Forma

Y así como y' y" = [ix) no están o presentes

e,

Solución y = el

....

y(x) EDL e, homogénea de orden o
y"

+ a¡y' + ao y

e2 x

- el' e'¡'

e'? = O y' = r-e= y

+

=

y(x)

y (x) = el'e'lX

=

q(x)

y = Yhom

ED de Euler, lineal x2.y"'¡: b¡xy'+ homogénea, o de orden 2

--

y boY

=O

= =

y'

+

x' ,·x,-l

con

e¡ X'¡

-

EDL homogénea de orden 2; sin y explicita

v" + p¡(x)'Y'

o bien y(x)

y" = ,(,-1)x,-2

y' = O Y

o

= u du =dx

e2· e '2' - ~ + 2 -

c, y C2 son

Yhom

Ja4 -a l2

constantes arbitrarias

o

+ B· sen {3x) + i{3; '2 = a - i{3 = ;1 + e2·e"'" + Ypa"

+

e2 'XI'2;'1 * '2

= l-b, '1,2

para "

~

+

A = el +

Cz

B = i (el-e2)

y = f e¡'e-

2

+JCb¡-1)2_b 4

= xa[A·cos({3·lnlxl) + B·sen({3·lnlxl)] = a + ifJ Y '2

=" -

Jp¡(x)dx'dx

+

o

+ ifJ

e2 = Yhom

m

n

e

C, y C2 son constantes arbitrarias A B

= =

el

+ e2

i(el - ell

Sol. por reducción primero a una de orden 1

m

DI (")

o'::1 e m n

ID CII

C. ;;

52. O

... ::s ID ID (1) ::1 f/)

n jij'

Yparl depende de q (x). Cálculo: (si "*'2. véase d'110) o Ypa" véase 0'6,07 y(x) = eax(A·cos{3x + B·sen{3x) + Ypa" y Observaciónd'110 (si '1 = a + i{3; '2 = a - i{3 = i'j) Y(x)

e,

f[Jf(x).dxJ.dx

Empezar el cálculo con la integral interna

o bien = e= (A' cos {3x con " = a

EDL no e, homogénea de orden y' + a¡y' + aoy o 2 con coels. so consts.

+

con '1,2 =

y" = r2'erx

Observación

iD CII

o. _.

.....

...

C. (1) ID CII (1) ID

ce e

::s

::1 (")

C. O O

m

a. (1) f/) ID ::1

e ........ ....

Tipo

Forma

~ ho~~g~ea y"+ p (x)y'= q(x) ¡;) de orden 2,' inyexpHcita


> y

EDL h é :i d~~~ge~e2~ y"+ p¡(x)1(y')=0 c.> illvexoHcitá ~ ED ~ de orden 2, y" = f(y) ~ sin y

t

=

u"< Yh

=

.:

D de orden" 2, sin y' y

f(' =tix, y)

c:

ED de ~ Si~r~e;~;m y" = ¡(y') al sin y ~ -

a.

EDde orden 2, y" = f(y,y') sin x EDL

_¡ homogéneay"

y = J[eJplIX)dx.

+ Yp

Yp =

GIl

de orden 2

f

J

y" ¡(y') y' Y •=

f

du x = ¡(u) +

= u' = [iu)

el'

.

+

fU.dU y= ¡(u) +

Sueleser irresoluble

e2

Despuésde eliminar u se obtiene la solución Al final se sust.

y¡(x) v'(x) = w _ d - dx y¡(x)

(___L_)

J_EL

y'. ~

+

e

uM Despuésde transformarlaen: y,(x)·w +[2yj(x) + p,(x)'y¡(x))w = O

dx por u

y,(x), como sol.

part., debe ser conocida.Reducir _ luego a una lin. y = y,(x) C'-2-'e !PI(X)'d:'dx+c21homog.de orden 1. Y1 (x) ~ Para y,(x), véase 0'9

y

=

y . v[X) ¡

f

1

¡!ln

o·e

::1m IDn UI

_.

g;o

¡¡¡'iD-

e

du ttv.u) = udy du u du dx = J'y,u dy = f(y, u) x =

gm

¡;:cn

e1

u

u = u(y) y=yW

m

ID::::S ;CD

f

du dx = f(x,u); Y = u(x)'dx

r

Cá~~r;~~n~~s integrales Internas

f

J

Y - u(x) y' u

Observación

(e, +J q(X).eJpl(X)dx.dX)]dx+e2

r.leJpl(x)dx.(J q(x) f Pl(x)dx·dx)] dx

y" du du y'= u; = dx ¡(u) = - p,(x)'dx + e, ¡(y') - f(u) y u'dx + e2 y' u (y) v'> () du x = + dy + - u y . ay - Y2J¡(y).dy + e,

v(x) = ___L_

+ p¡(x)'Y' + + P2(x)'y = O

I

Solución

xu

a.

01

I

en:;:

Q.CD ID.,. !l:CD

ca::::s

sn Q. _.

om ~tD g.cn ::1

e

Análisis estadístico Conceptos generales de probabilidad Axiomas de probabilidad

rc«¡

e'l

Probabilidad del evento (o suceso) A

•

Número de eventos en que ocurre A Número de eventos posibles

e'2

frecuencia relativa

O, el suceso A es imposible

e'3

P(A)

e'4

L 1'(,1./)

1, la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos A, tiene el valor 1.

e'5

PIAuB)*)

PIA) + PIB) - PIAnB)*)

;

Caso especial para eventos mutuamente excluyentes: e'6

e'7

prAl + PIB) P(A/B)

P(AnB)IP!B)*), probabilidad condicional de A (Probabilidad de A dada la probabilidad de B) Caso especial para eventos independientes,

o e'8 e'9

e'10 e'll

con P(B)

*

bien prAl O: PIAIB) PIA) PIB/A) = P(B) PIA)·P(B) para eventos independientes P!A) Pliü = O. eventos mutuamente excluyentes.

PIAnB) PlAnA)

*) Diagramas de Venn para la representación

de eventos

El rectángulo representa la totalidad de los eventos A¡: Círculo mayor: evento A ,g, (A,) Círculo menor: evento B ,g, (A2i La superficie sombreada indica cada caso:

A (no A)

AvB (A "o" B)

A"B (A "y" B)

A" B (no A "y" B)

Análisis

estadístico

Conceptos especiales de probabilidad Variable aleatoria A la variable aleatoria A puede tomar diversos valores Xi; cada valor X i es un evento o suceso aleatorio. Se diferencia entre valores discretos y valores continuos de una variable aleatoria. Función de distribución F(x). la función de distribución F(x) indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A sea menor que el valor correspondiente de la abscisa x. la función F(x) es monótona creciente y

lím

e'12

F(-

e'13

F( co )

F(x)

O;

00 )

F(x) para valores discretos e una variable aleatoria

rta

F( x) crece de O a 1. F(x) para valores continuos de una variable aleatoria F(x)

-----------

---------~r-e-

0,5

o

)

"

5

67

B

Función de densidad Pi. o bien '(x). Pi para valores discretos de una variable aleatoria

'(x) para valores continuos de una variable aleatoria

«a

Pi

o.,

o la función de densidad de una variable aleatoria A está dada por Pi o por '(x); su relación con la función de distribución es: x

9'14/15

F(x)

;

L

F(x)

Pi

;

f f(x)

dx

-cc

El área de la superficie sombreada de la función de densidad indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A se encuentre en el intervalo de x, a X2 (sin incluir a X2)·

x,

e'16 e'17

P( X, .. A < x,)

; ;

f f( x,

r ) . dx

F(X2)

- F(x,)

peA
-peA

•

Análisis

estadístico

E'3

Conceptos especiales de probabilidad Media x y valor esperado Il

ii e'18 e'19 e'20

Variable aleatoria A discreta

Variable aleatoria A constante +00

P. =

¿ x. v.

J x . f(

x ) , dx

en donde p, y (x) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad. Variancia a 2 Variable aleatoria A discreta

+(Xn-X)2.

e'22

+ ..

e'23

i(X¡-X)2p¡

e'24 e'25

i x/·

Variable aleatoria A constante

pn +00

= p, - X

J

X2 .

f (x )

. dx -

/

2

en donde Pi y (x) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad. e'26

a =

V (variancia)

es la desviación estándar.

Teorema del limite central (ley de la adición). Si A i son variables aleatorias independientes distribuidas cada una arbitrariamente con media (Xi),o bien con un valor esperado ¡.ti y variancia (Ji2, entonces e'27

la variable aleatoria

e'28

el valor esperado (o media

e'29

la variancia

x)

p. C;2

y además A tiene aproximadamente y e'54), o sea: e'30

s ». i «:

(x

¿Xi)

una distribución normal (véase e'48 P( A ~

Ejemplo:

tiene

¿ A¡

A

x)

= ~

(x ~

p. )

El histograma de 10 mediciones, cada una de las cuales muestra una desviación estándar (J = ± 0.03 p'm (micrómetros), tiene entonces en conjunto una desviación estándar (Jg

O/ = 1002

;

Gg = ~01[1O "'" ~0,095

p.m

I

Tipo de distribución

Función de distribución acumulada

Densidad de probabilidad

Valor esperado J.L Media X

(12

~1 ~t~~~~dX ex>

ex>

ID

Ecuación ID de defiW níción 1\)

~

f( x) continua Pi

F(x) F(x)=

discreta

f(x)'dx

¿ p, re x

k: Número de fallas n: Tamaño de muestra Xi: Valor discreto de varo aleat. p: Probabilidad de falla

_lx2f(r)'dx-,,/ n

¿ x,·p,

2

E», -p, - x-

2

;=,

;0;1

npN-"(l_p) N-l

n p

P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras de un total de N, exactamente k resulten defectuosas.

binomial P(k) es la probabilidad de que al tomar de ellas resulten defectuosas.

o'

'\

. ,.: '. ... o

5

n

muestras, exactamente k

I

'o

15

,.,-20

!< \.

0.1 "

-+-~"""--";--I o

I

(Continúa en E'S)

la población pN: partes defectuosas en N N= 100 ,., = lO Cálculo exacto 1< pero laborioso

::~~;·:0.2 , \ /" ·to.s

(n~ )1<. e-npl ¿ ("lp.)1< ·e-np In. p n·p k . ,« k.' O.l P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras. exactamente k O.l" de ellas resulten defectuosas. 01 Aplicación: Curvas para la evaluación de muestreos, véase E'11. .

P(k)= de Poisson

n p(1-p)

".p

~~-N--:-T-am--a-r'l-o-d-e---I

o.~ ~P~lo.ol, u· P=0.1 o.~' f\P=O.l

P(I
Observaciones. Ambito de aplicación

Forma de la función de densidad

Variancia

o

5

'o

15

k

Hipótesis: Tamar'lo grande del muestreo y número pequeño de fallas. n .p const.

Pil
f

?\:. "'"" '.· ...

....',_ 5

10

:0 ••••••• 15

Hipótesis: Población sumamente grande. Durante el muestreo se mantiene la colección

=

k

n-

00 ;

p - O

» ::::s

i!: ...s= _.

_.

tn g' tn e (') " C4

o.

(1)

ai tnm "

g; 0._' Qt

a..

~

c. -'" tn ~

_.

e

o

m

Tipo de distribución

Densidad de probabilidad

Función de distribución acumulada

Valor esperado ¡J. Media X

Variancia 02

x

ro W m

Ecuación ro de definición W ....¡

I( x) continua F(x) =_L'(X)'dX discreta

Pi

F(x) =

_[x-/(x) ---------

L p,

ix,·p,

¡'
I(x) ro W exporo , nencial

= a·

/:1

dx .[¿-¡(x)

·dX_J.J2

i X,2 . Pi ¡:

_ X 2

1

-e

1

1

a

7

-

-iJX

Aplicación en la teoría de la confiabilidad. Sustitución de a . X por la tasa de tauas x multiplicada por el tiempo de prueba t (véase E'12).

'" .-

I(x)= normal

-Lc- ~)'

,

=zr:

oV21l e

Í -'-e27. -(t-~)'

dt

.",GV2it

(J2

~

(b _ 8)2

2

'~ 1

0,5

~.

1

0,5

°

frx)

6

0,5

,

para = b-a para F(x) = O ro -ee c x c a ~ a';;x.;;b o = x-a para = o para , uniforme b-a valores de x exter.8 ~ X .;; b

..

Ji

Aplicación frecuente en la práctica, pues muchos valores medidos muestran una distribución con forma de campana alrededor de un valor medio.

I(x)

Valor discreto de una variable aleatoria p: Probabilidad de falla Caso especial de la distribución de Poisson para 1 X = O. Pregunta 0,5 sobre la probabilidad sin falla. Xi:

e

1

-'-2-

nos al intervalo Se emplea como modelo cuando sólo se conocen valores máximos y mínimos, y no se tiene información sobre la distribución intermedia.

Observaciones. Ambito de aplicación

n : Tamaño del muestreo

-iJX

a > O x :;¡ O

..

ro W so

Forma de la funció n de densidad

1

2 x

r

n-+oo;p-+O Caso especial de la distribución binomial.

.,

n -+ 00: p = 0.5 = consto

0'2

-7J -2

-1

flx)

~,

° t

/-;:-; 1:a I o Ji

z

x

La variable aleatoria X puede tomar valores sólo en el intervalo a, b. Ahí todo valor es igualmente b x probable.

~

» ::::s _. s: en O

~

r::::

(')

o':::s

(11

c.o Q, (11

"C ""1 O C'

0)...

_.

en
... O)

g; C. -... 11)

o: 11)

Q,

...o en _. O

m

.....

(J1

Análisis

estadístico

Determinación de Determinación de

(J

E'6

(J

para valores discretos dados

Método de cálculo Según la ecuación e'23 se tiene: e'41

(J'=

i (x,

_ xl',

f

p,

i=1

e'42

x/

1"1

en donde x.: Pi:

p,

con

i

x

,=1

I

x ; .p,

- x' valores medidos de la variable aleatoria A probabilidad asociada a su ocurrencia.

Método gráfico Si se supone que los valores medidos x, de la variable aleatoria A están distribuidos normalmente, (J puede determinarse fácilmente con ayuda del papel para probabilidades. En este papel se escogen las divisiones de las escalas de manera que se obtenga una línea recta para una distribución normal. Desarrollo: El total de los valores medidos de la variable aleatoria A se fija igual a 100%. Para cada uno de los valores x¡ se calcula la frecuencia porcentual. De estos i valores se escogen, por ejemplo, 4, 2 en los bordes, y 2 a la mitad del espectro; en el dibujo son x" x6' X7 Y Xg. Para cada uno de estos 4 valores se calcula qué % de los valores medidos son menores que los considerados en cada caso, y este valor porcentual se inscribe en la red (10% para x" 38% para x6' etc.). Por estos puntos se traza una recta que corta a las frecuencias acumuladas de 16% y 84%, A estas abscisas corresponde un valor 2 (J. El valor medio se encuentra en el 50%.

'{

x7 x,

(1)

:o

.!!l

~ >

x.

.!!! (1)

"O

(; -¡¡;

>

S

10

16 10

la

loa SO

60

70

eo

84 90

(Distribución acumulada) % menor que X; -

95 97

99

Análisis

estadístico

E/7

Distribución normal de Gauss Distribución normal de Gauss (Densidad de probabilidad) La ecuación e'39 da para 02 = 1 Y l' = O la densidad de probabilidad norrnatízada con medida en >- = O. 'A'

1 .el

e'43

V2n epi A) puede leerse en las Tablas Z'5 y Z'6 para valores O oS A oS 1,99 o también calcularse directamente con la ecuación e'43. La relación entre la densidad normalizada cuando 11 O y 02 1, está dada por

'*'

e'44

'*'

eplA) y la densidad real !(x),

!(r) = ~(A) a

según

Para calcularla, se busca en tablas un valor determinado de >-, el valor correspondiente de la densidad normalizada epi A), y se encuentra después de dividir entre o, el valor de tal densidad !(x) asociada a x. Los valores de Ji y O pueden obtenerse con las ecuaciones e'26 y e'58. En E'6 se muestra un método gráfico sencillo para determinar ¡(x). Distribución

de Gauss normalizada

1> IA) (Función de distribución)

La ecuación e'39 da para 02= , y Ji = O, la función de distribución normalizada de la distribución de Gauss. Á

e'45

~(A)

=-L~(

Como lim
t)·

=

dt

,

00,

)

fA -.,'

= l[2ir.ooe

1 para A ->

~(t

¡

'dt

y ep(/) es una función simétrica,

e'46 La relación entre la función de distribución normalizada 1>(>-) y la función de distribución real F(x), cuando Ji O y 02 está dada por

'*

'* "

x

e'47/48

t -" o

A según F(r)

= ~(A) o

= --'-

<1V2J[_

f

00

:1.!.:l!!.'_

e la'

-c e

•

Análisis estadístico

E'e

Integral de probabilidad Integral de probabilidad de Gauss La integral de probabilidad se basa en la distribución normalizada de Gauss (e'45) con o' = 1 Y Jl- = O, representa el área de la superficie entre -x y + x de la función simétrica de densidad (,,). x

e'49

~ (x) o

e'50

= _2_

V2it0J

r¡¡(t)

•

-,'

e "dt -x

+x

En las tablas l'5 y l'6 se dan valores de ~o(x) para O :so x :so 1.99; para valores mayores de x, véase la aproximación indicada en la siguiente sección. La relación entre ~o(x) y la función de error está dada por
x

e'51

erf (x)

=

=

~o(x·...p)

,f

~'e-x' VJf'

n'O

.z. f eYiCo

dt

1-3-

2" ".'(2,,+1)

t'.

Z'6 ln..-1

'X

En las tablas l'5 y l'6 se dan los valores de erf (x para O :so x :so 1.99. Para x 2e: 2 puede calcularse erf (x) con la serie anterior o también con la siguiente expresión aproximada: e'53

erf (x)

=

a_

l __

x'e

a a a a

con

"

El área restante bajo la curva de campana es igual a:

f

= = = =

0,515 0,535 0,545 0,56

para para para para

2:$x~3 3:Sx::s4

4::sx:-s7 7:sx
00

e'54

erfc ( r )

=

1 -

erf (x)

=

2 )lit

e-t' .d t

x ~o(x) Y [1 - ~o(x)l en % del área total para valores especiales de x (según e' 49): e'55

x
r¡¡(t)

31.74

4.56 1 0.27 0.1

-Z{j

-{j

{j

ZG

Análisis estadístico Muestreo -

E'g

Distribuciones

Muestreo: Por razones de economía se renuncia a menudo a una revisión en 100% de todos los elementos de una población. En vez de esto se efectüan muestreos. Para que los elementos sean representativos del total, deben ser arbitrarios y tener la misma probabilidad de ser escogidos (ejemplo, por medio de un buen mezclado). Objetivo del muestreo: Estimación de la posibilidad de la proporción verdadera de elementos defectuosos de una población, con base en el numero de defectuosos o fallas detectadas en una muestra. Distribución hipergeométrlca: La probabilidad P(k) de encontrar exactamente k elementos defectuosos en una muestra de tamallo n tomada de una población N, se calcula con la expresión.

e'56

P(I<)

pN: numero entero

en donde p es la probabilidad supuesta de tener un elemento defectuoso y pN es, por consiguiente, el numero de defectuosos en N. La probabilidad de encontrar como máximo k defectuosos, o sea O, 1,2, ... , k, puede calcularse con la distribución hipergeométrica acumulativa: e'57

ip(l<) x=o pN: numero entero

Ejemplo: En una población N de 300 tornillos, pueden como máximo ser desechablesp - 3%,oseapN = 3.Setomanmuestrasden = 20.¿Cuántos defectuosos son permisibles, si la probabilidad l P(k) es " 90%1 x

P( r )

O

0.508 0.391 0.094 0.007

[~~ ~ 2 3

ip(x) r-o 0.508

_-.-_~~§WJ 0.993 1.000

El cálculo muestra que se tiene sólo 1 defectuoso. Otras distribuciones especiales: Además de la distribución hipergeométrica, la cual exige una gran cantidad de trabajo de cálculo, se han obtenido otras distribuciones especiales para determinadas hipótesis y condiciones de frontera. En E'4 y E'5 se muestran, además de la hipergeométrica, algunas de dichas distribuciones junto con sus caracteristicas principales.

I

Análisis

estadístico

Seguridad de un muestreo - Curvas de aceptación Seguridad de un muestreo: En una muestra de tamaño n tomada de una población de magnitud N se encuentran k elementos defectuosos, Sea p la probabilidad de tener un defectuoso en la población. La probabilidad de encontrar más de k defectuosos en la muestra se obtiene con la ecuación e'57:

e'58

P(x>i<)=P(i<+1)+P(i<+2)+

... +P(n)=

f_P(x)

I

x=}(+1

En el supuesto de que N es muy grande y 1'<0,1, -lo cual ocurre en un gran número de procesos industrialespuede efectuarse este cálculo (ver E7) con ayuda de la distribución de Poisson:

e'59

P(oi<)

,~,(" p)' -¿--,-.e x-o x.

,~n (" p)' -np -x-' -,8

= ¿

x_k+1

•

-np

Esta probabilidad, para valores pequeños de k, se calcula fácilmente con la siguiente ecuación:

e'60

() '(np)' PX>i<=I-¿-x-,-.-·e

-np

=

l_e-np[l+"P+("P)'+ t ! 2!

. .. +("!'!)'] n

x=o

Ptx>«¡ se denomina también seguridad del muestreo. Con ayuda dela ecuación e'60 puede determinarse con qué seguridad Pt x s-k ], con una muestra de tamarío n y k defectuosos en ella, el porcentaje de partes defectuosas en la población total toma el valor p = kln, o bien cuán grande debe ser la muestra n para que con k defectuosos aceptables y una cierta seguridad deseada, la probabilidad de fallas sea igual a p.

e'6t

e'62 e'63

Curva caracteristica de aceptación: Un usuario se pregunta si una población de objetos que recibe satisface sus requisitos de calidad, o bien si el fabricante ha entregado dicha población con la calidad convenida. Una prueba de 100% de la población es m uy costosa y no siempre es posible efectuar ensayos no destructivos. S, se supone una probabilidad de fallas p-Spo en la población, hay que determinar si se acepta tal población cuando al efectuar un muestreo de tamaño n se encuentran hasta k = c partes defectuosas. La probabilidad de aceptación Ltp . e) ~ 1 - a,en donde a es el riesgo del fabricante, puede calcularse en función de la probabilidad simple P(k) dada por la ecuación e'57. (También se conoce esta curva como "CO".) L(p,c)=P(O)+P(I) Suporuendo una} drstnbución de Poisson, segun e'44

=

+

, [ i (n.p) e-np = e-np 1+"p+ k'

(n.2P,.)'+ .. +("cp,lC]

11.=0

(Continúa en E'11)

Análisis

estadístico

Curvas de aceptación -

Valor AQL

(Conlinuaclon de E'10) Con esta fórmula pueden calcularse las diferentes curvas características de aceptación L(p,c) en función del porcentaje de partes defectuosas p en la población. Se distingue principalmente entre dos tipos de curvas: Tipo A Tipo B

n

c: =

Up,d

L!P.c)

1

2

3

4

Defects. en pobl. -

I

.~~~~~~~~

1

2

3

4

Defects. en pobl.

p%

-_

pOlo

Observación: Cuanto más inclinada es la curva de aceptación, tanto mayor es el tamaño de la muestra. Como curva limite se obtiene un rectángulo cuando n es el tamaño de la población. Cuanto más inclinada es la curva de aceptación, tanto más estricta es la prueba; n debe ser 2': e. Valor AQL (Acceptable quality level = Nivel aceptable de calidad): El acuerdo entre el fabricante y el comprador implica fijar la posición del valor AOL sobre la curva de aceptación. Ese punto indica el porcentaje de defectuosos Po de una población para el cual ésta es aún aceptable con base en una muestra cuya probabilidad sea (usualmente) de 90% (como L(p, e) 2: 1 - a, es en este caso igual a 0.1, o sea 10%). Con referencia a la curva de aceptación tipo A, esto significa que, por ejemplo, en una muestra de tamaño n, e2 partes defectuosas serán aceptables como máximo. Para recibir menos par- LlP.cJ 99% tes rechazadas, el fabricante mantiene su calidad (0/0 de defectuosos de la población) muy por debajo del , " valor AOL prometido por él, Po', en ." donde sólo se permiten e, defecc: ,<"' tuosos, lo que referido a la curva original corresponde a una probabi- ~ !:! '~"'" lidad de aceptación de aproximadag. mente 99%. En la práctica se exige D ~ con frecuencia un valor AOL con Po = 0.65%. L-p"",.Hpr,-=DC"e"""'f-ec-t-s-. -e-n-p-o"""'b-::I-. __......Jp~. Observación: Cuanto menor sea el número máximo de defectuosos e en la muestra, tanto más se acerca la curva de aceptación al porcentaje de defectuosos 4> en la población; e debe ser :5 n.

.,

-gil :g

ir. ~

n: Tamaño de la muestra e: Número máximo de defectuosos aceptable

,

Análisis

estadístico

Confiabilidad

-

Definiciones

Definiciones generales

,

e'65

Confiabilidad

R(t)

e'66

Probabilidad de fallas

r(t)

e'67

Densidad de fallas

f(t)

-J),rT/o

e, 1 - R(t) dR

- dt

e'68

Tasa de fallas o función de riesgo

A ( t)

e

I

, -J).(T)

A (t)·

er

-u r

o

f( t) 1 dR = RTTí = - R\tJ' dt

MTTF (mean time to failure, o tiempo medio a la falla) es el tiempo promedio que transcurre hasta que ocurre una falla e'69

MTTF =

Tf(t).

t'dt pro

= fR(t)'dt

En sistemas capaces de reparación se emplea en vez del MTTF, el MTBF, (mean time between failures), que es el promedio entre dos fallas, o sea MTBF = m. El MTTF Y el MTBF tienen iguales valores numéricos. 00

e70

MTTF = MTBF = m =

f R(

•

t) . d t

Teorema del producto de confiabilidades. Si R" R2, ••• , Rn son las confiabilidades de los elementos 1, ..., n, la confiabilidad del sistema total está dada por

e71 e72

, -J[Á1(T}

,=-1 +

A) (T)

e' Observación: Como modelos para la función de confiabilidad R(t) pueden considerarse las funciones de distribución F(x) dadas en E'4 y E'S (cálculo según e·66). La distribución exponencial, de sencillo manejo matemático, cumple en general de manera satisfactoria los requisitos (A = const.). n(t) : condición en el tiempo t considerado no : condición inicial

Análisis Confiabilidad

mi

Distribución

estadístico

-

Distribución

exponencial

exponencial como función de confiabilidad

e'73

Confiabilidad

R( t)

e '74

Probabilidad de fallas

F( t)

, _ e-H

e'75

Densidad de fallas

f( t)

A' e -At

e '76

Tasa de fallas

A ( t)

e-At

f( t)

=""RTtT =

A -

I

const.

(Dimensión: 1/tiempo)

«rr

MTBF (tiempo medo entre fallas) '" Producto de con fiabilidades -A,t

Rs = e

e'78

-(A,

e'79 e'80

e Tasa de fallas total

-~2t

-Ant

·e +

A2+

e + Anit

A.1 + A22 + ...

+ An

, MTBF

Para valores pequeños. la tasa de fallas puede calcularse con la siguiente expresión aproximativa: A. =

e'81

... .. Fallas .. (Condición inictal) (Horas de servicio)

Los valores para A. se refieren en general a horas de servicio: e'82

Unidad: 1 fit = 1 falla/l09

horas

Ejemplos típicos para tasas de falla A. en fit. (IC IC digital bipolar (SSI) IC analógico bipolar (Op Amp) Transistor (Si) universal Transistor (Si) de potencia Diodo (Si) Tantalio con electrólito líquido Tantalio con electrólito sólido Aluminio. electrolítico Capacitar de cerámica; capas múltiples Capacitar de papel Capacitar de mica Resistor de capas de carbón 100 Resistor de capas de carbón 100

15 100 20 200 5 20 5 20 10 2 1

Circuito integrado)

Resistor de hojas metálicas 1 Resistor de alambre en bobina 10 Transformador pequeño 5 1 Inductor de alta frecuencia Cuarzo 10 Diodo emisor de luz (Falla: dism. de la luminosidad a 50%) 500 Unión soldada (manual) 0.5 Unión enrollada 0.0025 0.26 Unión con abrazadera 0.3 Contacto de clavija Receptáculo de contacto 04 5...30 Conmutador giratorio

5 0.5

Observación: Pueden encontrarse numerosos datos sobre confiabilidades en las normas: DIN 29500. parte 1; DIN 40040, Y DIN 41611.

Matemáticas financieras Conceptos principales 1. Tasas de interés Tasa de interés:

Monto que se paga en un intervalo de tiempo unitario por unidad de capital invertido.

Tasa efectiva de interés:

Tasa actual de incremento por unidad invertida durante el periodo contratado.

Tasa nominal de interés:

Tasa del interés total que se paga en un año sobre una unidad invertida al principio del año, considerando que cualquier interés percibido durante el año no se reinvierte.

Fuerza de interés:

Tasa de crecimiento continuo según una cierta operación de interés.

1: Tasa efectiva de interés anual.

Notación

Tasa nominal de interés por año, pagadera m veces al año.

¡(m):

Fuerza de interés por año.

/j:

Relaciones entre i,

¡(m)

y /j: (m)

eó

1'1

_

(1 +

i)

= (1 +

~)m

2. Acumulación a interés compuesto Interés compuesto:

Notación

Si el tiempo total de inversión se divide en varios periodos y al final de cada uno el interés generado se incrementa al capital para ser invertido a la misma tasa, se tiene una inversión a interés compuesto.

n:

número de periodos de inversión.

P:

valor presente o principal de un capital invertido al inicio de los n periodos de inversión.

S:

Valor futuro o monto del capital después de n periodos de inversión.

Relación entre S, P Y n. 1'2

S

P (1 + ¡)"

para tasa efectiva de interés i

. (m)

1'3

1'4 1'5

S = P (1 +

S = Pe" p=Sv"siv

7n-)m"

para tasa nominal de interés pagadera m veces al año ¡(m) para fuerza de interés /j

(1 + ¡)-1

•

Matemáticas financieras Conceptos principales 3. Tasas de descuento

Tasa de descuento:

Cuando se hacen los pagos de interés por anticipado, corresponde a la cantidad pagada por anticipado, respecto a la cantidad que se debe entregar al final del periodo contratado.

Tasa efectiva de descuento:

Tasa actual de decrecimiento por unidad adeudada durante el periodo contratado.

Tasa nominal de descuento:

Descuento total efectuado en un año sobre una cantidad comprometida para pago al final del periodo, considerando que el descuento se aplica en m exhibiciones.

Fuerza de descuento:

Tasa de decrecimiento continuo baio una operación de descuento.

Notación d: d(m):

6:

Tasa efectiva de descuento anual. Tasa nominal de descuento por año, efectuado en m exhibiciones iguales. Fuerza de descuento

Relaciones entre d,

e-O

d(m) y 6: = (1 - d)

•

Matemáticas financieras

F'3

Relaciones diversas 4. Relación entre Interés y descuento

Interés y descuento son dos puntos de vista diferentes respecto a un mismo problema. A cada tasa de interés corresponde una tasa de descuento, y vi· ceversa. Un pago de i al final de un año correspcnde a un pago d al principio del mismo, esto es:

d (1

1'6 de donde,

+ i) = i, o bien i (1 -

d) = d

_ d = __ 1_ 1 + i

1'7

Relaciones entre tasas de interés y de descuento:

1'8

Fuerza de interés O descuento

1'9

Tasa efectiva de interés

1'10

Tasa nominal de interés

1'11

Tasa efectiva de descuento

1'12

Tasa nominal de descuento

f'13

.) v

=

(1 +

Monto de una unidad al fin de n años

Valor presente de una unidad antes de n años

e 'n

e 'n

(1 +

i)"

i(m))mn ( 1 + In (1 -

(1 +

dt

_ d;))-mn (1

(1 -

Vn

.)

i:;J)

-mn

(1 -

d)"

d:1t

n

¡¡-'

Ecuación de valor:

Consiste en dos series de obligaciones vinculadas por un signo de igualdad y valuadas en una misma fecha, llamada "fecha de valuación".

Ejemplo:

Una persona adeuda $30 000 000, pagaderos dentro de 5 años y $25 000 000 pagaderos en 8 años. Desea carnbiar estas deudas haciendo dos pagos iguales al cabo de 1 y 2 años, a partir de ahora. De cuánto serán los pagos requeridos si el interés es del 9% anual convertibie semestralmente?

Solución:

Sea x la cantidad a pagar al final del primero y segundo año; i = 0.09. Se puede tomar como periodo fundamental el semestre y trabajar entonces con una tasa efectiva semestral i = 0.045. La ecuación de valor obtenida tomando como fecha de valuación el fin del segundo año es: 30000000 V6 + 25000000 V,2 = X + X (1.045)2 30000000 (0.767896) + 25000000 (0.589664) = x + (1.092025) x de donde x $18058331.04

•

Matemáticas Financieras Anualidades y amortización 5. Anualidades Anualidad:

Serie de pagos periódicos. de sumas generalmente iguales. que se efectúan durante la existencia de una si· tuación dada.

Anualidad cierta:

Serie de pagos periódicos que deben efectuarse con certeza e independientemente de cualquier evento o suceso fortuito durante un cierto tiempo.

Anualidad contingente:

Serie de pagos periódicos que se efectúan sujetos a algún evento.

Anualidad ordinaria:

Serie de pagos unitarios efectuados un periodo después de su contratación y pagaderos durante n allos.

Notación

am: Valor presente de una anualidad ordinaria pagadera durante n periodos. A:

Valor presente de una anualidad con serie de pagos iguales a R.

Sm: Monto de una anualidad ordinaria pagadero durante n periodos. S:

Monto de una anualidad con serie de pagos iguales a R.

Relaciones entre am' A. Sm y S. 1-vn

1'14

a"

f'15

A

1'16

Sm

1'17

R Bffi (1 + i)" -1

S

R Sm

1'18

Sm

(1 + i)" am

1'19

am

V" Sm

Ejemplo: de 10 ofrece ser el

Una persona desea disponer de un capital de $1 000 000 000 dentro anos. formado mediante depósitos mensuales en un banco que le el 9% de interés anual convertible mensualmente ¿De cuánto debe aporte o renta mensual para lograr su objetivo? (Continúa en f'5)

I

Matemáticas Financieras (Continuación de F 4) SoluciÓn: El depósito mensual debe ser Ra, con p p do la fórmula del monto se tiene: Ra

s R.

p =

=

12, de donde aplican-

0.09 12

Sñiñli<

•

SP SiffifljO

12 000 000 000 Si20l0.0075 000 000 000 R, = 12193.514281 R. Y la renta mensual: 12 - $5166 741.66

R,

F's

y amortización

Anualidades

=

$62010900

6. Amortización: AmortizaciÓn:

Método para extinguir una deuda mediante pagos periódicos, generalmente iguales, en los que se incluyen tanto intereses como capital.

Tabla de amorñzacién :

Registro del destino a intereses y capital del pago periódico de una amortización.

Capital insoluto:

Capital que se adeuda en cada periodo.

TABLA DE AMORTIZACION PARA UNA ANUALIDAD PAGADERA DURANTE n PERIODOS

ORDINARIA

Distríbuclón del pago Número del pago

Capital insoluto al principio del periodo

Intereses contenidos en el pago 1 - Vn _ Vn-1

Vn-1

- Vn-2

Vn-2

1

8ñ'

2

an-=tl

3

8ñ=21

an-(t-1)1 n

a, =

V

Capital contenido en el pago

V"

1 _ Vn-(t-l)

Vn-(t-l)

1 - V

V

Matemáticas Financieras Casos especiales

F'6

7. Casos especiales de anualidades Anualidad anticipada:

Anualidad en la cual el primer pago se efectúa al prlncipio del periodo.

Anualidad diferida:

Anualidad ordinaria en la que se establece que el primer pago se efectuará después de un cierto número de periodos.

Perpetuidad:

Anualidad en la que se estipula efectuar pagos en forma indefinida.

Anualidad creciente:

Anualidad en la que el monto de los pagos crece periodo a periodo.

Anualidad decreciente:

Anualidad en la que el monto de los pagos decrece periodo a periodo.

Notación

ii",

s,

Valor presente de una anualidad unitaria anticipada. Monto de una anualidad unitaria anticipada pagadera durante n periodos. Valor presente de una anualidad unitaria diferida m periodos. Valor presente de una perpetuidad unitaria.

(la)",

Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago unitario y que crece aritméticamente 1 unidad por periodo. Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago

alp)

'"

Slp)

'"

n y que decrece aritméticamente 1 unidad por periodo. Valor presente de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo. Monto de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo.

Relaciones entre diferentes tipos de anualidades.

1'20

ii", -

(1 + i) a",

1'21 1'22

añ] Srn

(1 + i)S",

+ 8ñ=11

Sñl

1'23

S",

V

1'24

Sm

Sñ+11 -

1'25

m/a;;¡

v=»;

1'26

m/s¡¡¡

8nf+1j1 -

1'27

8""

a,.,

(Continúa en F"7)

I

Matemáticas Financieras Anualidades y amortización

F'7

(Continuación de F'6) 1'28

(la)",

1'29

(Da)nl

1'30

a(P)

SIP) ñT

1'32

alP)ñT

+,- a

para tasa efectiva anual i

.L: S ¡(PI n

para tasa efectiva anual ¡

n

'"

1'31

I

Slp) ñT

1'34

alp)

'"

m

1'35

Slp)

1

1'36

alp)

1

'"

1'38

alp)

j' i,(k)

m

'"

SIP) ñT

j'(k)

aiiiñ1¡,

~

i(m)

rn

para tasa nominal de interés jlm) con m p, y p = mk para k entero.

<

para tasa nominal de interés

Síññ1 r

¡1m) con m >p y m = kp para k entero,

{

'Im))-mn

i Im))mIP p [(1+--,¡¡ -1 . 1m) (

1'39

{

a

( 1-1+-'m

'"

i'

para tasa nominal de interés con m = p.

~~i'

1

En lo siquiente:

¡(m)

{

1'33

1'37

+ 1 - n Vn

an_1

1 + .;"

)mn

-

I

para tasa nominal de interés i, en el cual no coinciden la frecuencia de los pagos con la convertibilidad de la tasa de interés.

1

S

Ejemplo:

Encontrar el valor presente de 4 pagos anuales iguales de $5 000 000; el primero de ellos se efectúa inmediatamente y la tasa de interés efectivo anual es de 8%.

Solución:

Se desea determinar el valor presente de una cantidad anticipada a 4 años; A = 5000 000 a"" Esto es:

A

5 000 000

a",

5000000

[(1.08) a",ooal

$17 885502

=

5 000 000 [(1 + i) ami = 5 000 000 (1.08) (3.31213)

•

Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado DEFINICION DE UNA ECUACION ALGEBRAICA Una ecuación algebraica tiene la forma:

Todos los términos cuyos coeficientes a. son iguales a O cuando ¡J < n se pueden omitir. La solución de una ecuación algebraica implica la determinación de los ceros (las raíces) de la ecuación, para los cuales 'n(X) = o. Características 1. La ecuación algebraica In(x) = O de grado n tiene exactamente n ceros (raíces). 2. Si todos los coeficientes a. son reales, sólo existen ceros reales o complejos conjugados como soluciones. 3. Si todos los coeficientes a. son z O, no hay soluciones cuya parte real sea> O. 4. Si n es impar, cuando menos un cero es real, suponiendo que todos los coeficientes a.son reales. 5. Las relaciones entre los ceros y los coeficientes son:

x.

g'2

l:x¡

g'3

l:x¡·xf

g'4

l:x¡· xf' xn

= - an-1/an

= -

I = 1, 2,

para

Bn-2/Bn-1

para donde

Bn-3IBn-2

para donde

= 1,2, i= j 1, j, k = 1,2, 1= j -

n n

i,j

n k

6. La cantidad de raíces reales positivas de la ecuación en cuestión es igual a la cantidad de cambios de signo de la serie de coeficientes g'6 o este valor menos un número ~ g7

Ejemplo: h(x)

= 2.<3 -

(teorema de Descartes).

15x2 + 16x + 12

= O tiene

los signos

+ + + y debido a los 2 cambios de signo tiene 2 o O raíces reales positivas. (Continúa en G'2)

•

Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado (continuación de G'l)

7. La cantidad de raíces reales negativas de la ecuación en cuestión se determina mediante la sustitución x = +z: g'8

En este caso la cantidad de cambios de signo en la serie de coeficientes an·, an·,·, an·2·, ... , a2·,a,·, 130·es igual a la cantidad de raíces reales negativas, o a este valor menos un número ~. Aplicado al ejemplo en G'l, punto 6:

h(z)

g'9

=

-2r - 1sz2 -

16z + 12

=

O

tiene los signos + y por consiguiente la ecuación g' 7 únicamente tiene una raíz real negativa, debido a que tiene un solo cambio de signo. Solución general Si x, es una raíz de una ecuación algebraica de defn(x) se puede reducir en una unidad afn.'(x) entre (x - .rj]. Si se conoce también otra raíz reducir un grado más al dividirla entre (x - X2), g'10

[n (x)

g'll

[n/(x-x,)

g'12

[n-,/(X-X2)

g'13

=

grado nJn(x) O, el grado = O cuandofn(x) se divide X2, la ecuación se puede Y así sucesivamente.

anx" + an_, x"-' + an_2x"-2 + ... =

+ a2x2 + a,x + So

[n-' (x) - an' x"-' + an_,'xn-2 +

+ a2'x + a,'

an" x"-2 + an_2"x"-3 +

+ a2"x + a,"

[n-2 (x) -

etc.

[n-2/(X-x3)

= ...

[,/(x-xn)

,;, [o(x) - an(n).

Hay un caso especial en el que las raíces son complejos conjugados; después de la división, el grado de la ecuación se reduce en 2 unidades. La división de la ecuación algebraicafn(x) entre (x - x.) se puede llevar a cabo fácilmente aplicando el método de Horner que se describe en G'3. METODO DE HORNER El método de Horner es un algoritmo que se puede aplicar al polinomio P de n-ésimo grado g'14

Pn(x) - an x" + an_, 'x"-, + ... + a, ·x + ao para resolver los siguientes problemas:

=

Cálculo del valor de P n(x) para x xo. Cálculo de los valores de las derivadas

Pn'(x), Pn"(x), etc. hasta

pn)(X) para x = Xo.

n

Reducción del grado de Pn(X) si hay raíces conocidas. Determinación de los ceros (las raíces). (Continúa en G'3)

•

Teoría de ecuaciones

G'3

Ecuación algebraica de cualquier grado

Método de Horner (ver el esquema abajo): Se igualan los coeficientes 8, a 8,(0) y se escriben los coeficientes del polinomio Pn(x) -comenzando con el que se relaciona con el exponente máximo- en el primer renglón. Las posiciones donde no hay exponentes ~ tienen el elemento O. Esquema

::;

s nID)

g'15

(O) S .-2

s.-l'···

g'16 g'17

3

Bo(I) -

bo - P n(xo)

g'18 81121

g'19

- b1

-

1/1 !,Pn(xo)

g'20

g'22

Xc

g'25

n-2

(3) .

8._3131 ...

Xc s.(') ISn-l(')=b.-1 = 1/(n-1)!,p.('-I)(Xc)

s.(')

g'23 g'24

s

a n13)

g'21

Xc

I Is.I')

= s. = b. = 1In!· p.(.) (Xc)

Ejemplo 1 del método de Horner: Cálculo de los valores de Pn(x), p"'(x), Pn"(x) Y Pn'''(x) para x = xo; Xo = 4: g'26 g'27 g'28 g'29 g'30 g'31 g'32 g'33 g'34

Pn(x)

= x3 - 6x2+11x 83(0) 82(0) 81(O)

-

6

80(0)

11 -6 ¿-8 ./ 12 '1,/'- _'2";::2--_ 3 / 6 = P n (4) 4'"-_ A "1":><~2/}1 = Pn'(4) 1

Xo - 4

-s:;=s= /

-6 4

-n8

4"

f

I

4 . ·1./"" 6 = Pn"(4)· 1/21; Pn"(4)

= 1·2·6

12

•

Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado Explicación

del método de Horner

Se va a calcular el valor de un polinomio y de sus derivadas en un punto fijo x = xo. Los resultados de las multiplicaciones de Xo por los factores anl'), an.,I'), etc., indicadas por las líneas se escriben en el segundo renglón (por ejemplo, xO'an(1) = xoan(1). El renglón 3 muestra los resultados de la suma de los renglones 1 y 2. g'36

Por ejemplo

g'37

8n_,(1)

-

8n_,(0)

8n_2(1)

-

8n_2(0)

+ XO-8n(1); + xO' 8n_,(1)

donde 8n(1) = 8n(0)

I

Particularmente g'38

Bo(1)

= 80(0)

+ Xo -

8,(1) -

bo - Pn(xo)

significa el valor del polinomio en el punto x = xo. Usando el mismo esquema, partiendo del renglón 3, por medio de rnul tiplicaciones y adiciones se llega al renglón 5 con g'39

8,(2) -

b, - Pn' (Xo)

que es el valor de la primera derivada de Pn(x) en el punto x = Xo. Este procedimiento se puede repetir n veces, puesto que un polinomio de grado n tiene exactamente n derivadas. Estos cálculos dan como resultado: g'40

Pn(x)

+

= Bo(1)

+ ... g'41

=

8,(2) (X-Xo) + 82(3) (x-xO)2 + ... + 8o_,1n) (X-Xo)n-, + 8nln) (X-Xo)n

Pn(Xo) + 1/1!· Pn'(xO)' (x-xo) + 1/2!· Pn"(xO)' (x-xO)2 + ... + ... 1/(n-1)!· Pnln-1) (Xc) • (x-xo)n-, + 1/n! . Pnln)(xo). (x-xo)n

Ejemplo 2 del método de Horner: Reducción del grado si hay un cero (raíz) conocido xo, es decir, determinar Pn., (x) usando:

Pn (x)/(x-xo) - Pn-, (x).

g'42 g'43

Datos:

g'44

Esquema:

g'45 g'46 g'47 g'48

Pn(x)

=~ 83(0)

1 Xo = .:.1_--:- __

-

6x2 + 11x - 6 82(0)

-6 1 --::-_---':-_

-5

8,(0)

con la raíz

11

-6

-5

6 .... 7-

6

Xo

=

1.

BolO)

I

O

=

Pn(1).

Resultado: Pn(1) = O indica que Xo = 1 es una raíz de Pn(x). Entonces Pn-,(x) = 1x2 - 5x + 6. Las raíces de esta última ecuación (x, = 2 YX2 = 3) pueden ser determinadas fácilmente utilizando d 41.

Teoría de ecuaciones Solución aproximada de cualquier ecuación PROCEDIMIENTO

G'S

GENERAL

Dado que la determinación analítica de los ceros (raíces) de las ecuaciones algebraicas e incluso de las ecuaciones trascendentes sólo es posible con restricciones, en G'6 a G'8 se presentarán los siguientes métodos para obtener soluciones aproximadas:

Método de Newton Método de la secante Método de la interpolación

lineal, falsa posición o regula falsi

Comenzando con un valor inicial aproximado, grado de exactitud mediante iteración.

se puede lograr cualquier

Ejemplo de una ecuación algebraica (polinomial):

x4

g'49

-

3x2 + 7x - 5 ~ O.

Ejemplo de una ecuación trascendente:

x· Ig (x) - 1 ~ O.

g'50

Procedimiento •

Determinación gráfica de la aproximación partir de una tabla de valores conocidos.

inicial trazando la curva a

• Seleccionar uno de los tres métodos señalados anteriormente. Obsérvese que la interpolación lineal siempre es convergente. Para los demás métodos, la convergencia s610 se garantiza bajo las condiciones citadas en G'6 y G7. La desventaja de este examen adicional será compensada generalmente por una convergencia bastante más rápida. • Con frecuencia se puede obtener una mejor convergencia comenzando con un método y continuando con otro; en especial cuando después de varias iteraciones ya no se observa un mejoramiento en los resultados.

I

Teoría de ecuaciones Solución aproximada de cualquier ecuación METODO DE APROXIMACION El valor Xo es la primera aproximación de la raíz 110de la ecuaciónj(x) O. Se traza la tangente en j(xo); la intersección de la tangente con el eje x es un mejor valor que el punto de partida xo. El cálculo de X1 se hace como sigue:

=

g'51

x,

G'6

DE NEWTON

y

x

Xo - f(xo)/ [' (xo)'

=

Se calcula el valor mejorado X2 usando XI en forma semejante:

X2 =x, - f(x,)/[,

g'52

(x,)

etcétera.

La repetición múltiple de este método conduce a los resultados de cualquier precisión que se desee. Regla general

k

g'53 Condiciones

para la convergencia

=

O, 1, 2, ...

en este método:

• no es un cero sencillo (no múltiple) • entre Xo y no no debe haber máximos o mínimos de la función ((x). Convergencia:

Localmente convergente.

Comentario: Los valores j(xk) y f'(x~) que son necesarios en el método de Newton se pueden calcular muy facilmente mediante el método de Horner descrito en G'3. g'54 g'55

Ejemplo:

j(x) = X' log x-l. El valor inicial para obtener un cero que satisfagaj(x) O puede ser Xo 3.

le, paso:

=

s' 51 requiere

=

el cálculo de la derivadaf'(xo):

['(x) = Ig(x) + Ig(e) = Ig(x) + 0,434294.

g'56 g'57

22 paso:

Determinación de un valor mejorado XI: De acuerdo con g'51, los valores Xo = 3, f(xo) = 0.431364 Yf'(xo) = 0.911415 proporcionan el valor XI = 2.526710.

9'58

3e, paso:

Determinación de un valor mejorado X2: Usando los valores XI = 2.526710, j(Xl) = 0.017141 y f'(x,) = 0.836849, a partir de la ecuación 9'52 se obtiene X2 = 2.506227; error + 0.000036. Con X2 el cero tiene un error de 0.000036.

g'59

42 paso:

Si la exactitud de X2 no es suficiente, se deben efectuar más iteraciones.

•

Teoría de ecuaciones Solución aproximada de cualquier ecuación METODO DE APROXIMACION

DE LA SECANTE

Se sustituye la derivadaf'(x) del método de Newton por el cociente diferencial: dos puntos adyacentes, /(xo) y /(x,), se unen por medio de una recta. Debe determinarse el valor X2 en la intersección de esa recta con el eje x; X2 es la primera aproximación al cero requerido.

no

x

g'60 En el siguiente paso se une/(x,) con/(x2)' La intersección de esta recta con el eje x es la siguiente aproximación. Regla general de iteración:

xk-xk-'

g'61

k = 1, 2, .. f(Xk) f(Xk-')

'*'

Comentario: Con frecuencia se puede obtener una convergencia especialmente rápida cuando se usan alternadamente los métodos de la secante y de New1on. Convergencia: g'62 g'63

Ejemplo:f(x)

Localmente convergente. = x ·19 x - 1;

Xo = 4; x, = 3. f(xQ) = 1.406240;

l' aproxtrnación.xg

f(X,)

= 0.431364.

= 3 - 0.431364(3-4)/(0.431364-1.406240) = 2.558425.

g'64

Error

!(x2) = 0.043768

g'65

2' aproximación calculada con x,, x2' f(X,)

y f(x2): x3 - 2.556425 - 0.043768 (2.556 425 - 3) I (0.043 766 - 0.431 364)

g'66

Error

2.508562

f(x3) = 0.001 962.

En lugar de continuar con el método de la secante, se puede aplicar ahora el método de Newton: g'67 g'68

Por esta razón se debe calcular f'(X2):f'(X) f' (X2) = 19(2.558425)

= log x + log (e) = 0.842267

g'69

X3· = x2 - f(x2) / f' (x2) = 2.556425 - 0.043 766/0.642 267 = 2.506460.

g70

Error: /(X3') = 0.000230. X3' produce un error menor que X3, el cual se determinó usando sólo el método de la secante.

+ 0.434294

I

Teoría de ecuaciones

G'S

Solución aproximada de cualquier ecuación METODO DE APROXIMACION POR INTERPOLACION REGLA FALSA O REGULA FALSI

LINEAL.

Se escogen dos valores. Xo y x,. de tal y modo que j(xo) y j(x,) tengan signos distintos. Entre esos dos puntos debe existir cuando menos un cero no- La intersec· ción de la recta que pasa por j(xo) y j(x,) con el eje x es la primera aproximación X2. Para determinar el valor mejorado X3, se x, x traza una recta por j(X2) Y uno de los puno tos que se usaron antes,j(xo) oj(x,), y se calcula la intersección de esta recta con el eje x, [Siempre se debe usar el último de los puntos anteriores que tenga signo distinto al dej(x2)! g'71

Se debe cumplir quej(X2)' j(x,) Regla general:

g'72

< O o bienj(x2)'

j(xo) < o.

XI f(Xk) •f(Xk) - f(xl) Xk -

xk+'

- Xk -

k - 1,2, .. O ~ j ~ k-1 f(xt<) f(xl)

*

Aquí,} es el valor máximo menor que k para el que es válido j(x2) • j(x,) < o. Convergencia:

Siempre convergente.

g'73

Ejemplo:j(x)

= x· lag x - 1; elección de Xo = 1, conj(xo) = -1 Y = 3 conj(x,) = +0.431364

g'74

en este caso se cumple quej(xo)'

x,

j(x,)

<

o.

x, -Xo

3-1

g'75

x2 - X, - f(x,) f(x,) _ f(XQ) - 3 - 0.431 364 0.431364 + 1- 2.397269;

g'76

j(X2) = 2.397269' lag 2.397269 - 1 = - 0.089717. Este valor representa la exactitud con la que X2 se aproxima al cero.

g'77 g'78 g'79

g'80 g'81

Puesto quej(x2)' j(x1) < O, la recta se traza pasando por j(X2) Yj(x,). La intersección de esta recta con el eje x es:

x2-x, x3 - X2 - f(X2) f(x2)-f(x,)

- 2.501044; f(x3)

- - 0.004281

Puesto que j(X3) • j(X2) > O pero j(X3) 'j(x,) < O, se traza la recta que pasa por j(X3) Yj(x,). La intersección de esta recta con el eje r es:

X3-X, X4 - x3 - f(x3) •f(,¡eiJ _ f(,¡e,) - 2.505947 f(X4) - - 0.000 1975. Para obtener una mayor exactitud, se tiene que calcular la intersección de la recta que pasa por I(x4) y I(x,) con el eje x. Dado que j(X4) • j(X3) > O y j(X4) • /(X2) > O, no se pueden usar los valores de/(x3) y /(X2).

•

Elementos

de máquinas I

Engranes con dientes de evolvente

O'1

ENGRANES CON DIENTES DE EVOLVENTE Geometría

de engranes

cilíndricos

rectos

u = ~ z,

0'1

Razón de engrane

0'2

Coeficiente de transmisión

W.=!!l!.=_~ % nb

z.

Coeficiente de transmisión de engranes múltiples 0'3 0'4

il . ill . ;111 .....

¡tot Función de evolvente

inva

=

tana

-

in

a

Esquema de la trayectoria transversal de contacto (Véase ISOIR 1122)

Si A Y E no quedan entre T, y T2, habrá interferencia y se deberán usar engranes "modificados" como los de 0'3. ') Negativo para engranes externos porque la rotación es opuesta. Positivo para engranes internos. En general se puede omitir el signo.

,

Engranes normales de acuerdo con DIN 867 rectos helicoidales 0'5 0'6 07

paso normal p paso circular

0'8 0'9 0'10

módulo normal

Pn

,,·d

m·"

Z

PI

mn=

E.

t!.

módulo circular

"

Z

0'11

adendo

ha

h.p

m

0'12

dedendo

hf

hfP

m +e

0'13

claro en el fondo

m

e

=

mn"n;

mn 'n; ces "

m,

p

En = mn ces p

E.. Z =

ces

p

d

Z

(0.1 ... OA)m = 0.2·m (Continúa en 0'2)

Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0'9

•

Elementos de máquinas I

0'2

Engranes con dientes de evolvente Engranes normales

I

rectos 0'14/15

diámetro de paso

0'16

diámetro de adendo

0'17

diámetro de dedendo

0'18

ángulo de presión

~ rn-z

d

d,

~ an~a.~ap

0'22

db ~

~ mt"z

an = ap t

diámetro de la base

fJ

~ d + 2, ha ~ d - 2'h,

0'19 0'20/21

mn'z

=

cos

da

a

helicoidales

d

tan an an a, ~ cos fJ

db ~ d'cos

d·cos a

Zn

Núm. equivalente de dientes

~Z

a, 1

cos2

fJb . cos fJ

ver tabla en DIN 3960

Z

0'23

= cos3

fJ

Núm. mín. de dientes 0'24

0'25/26 0'27

Para evitar teoría socava miento producido por herramienta de talla práctica

Z ~ 9

2 =17 sen2 a • para ap~20°

z gs' = 17· cos3fJ

Zg' = 14~

= 14, cos3fJ

z95'

extensión

g~

~ b -tan IfJ I

Tren de engranes normal rectos 0'28/29 0'30

distancia entre centros longitud del arco de contacto (longitud total)

~2 ad ~ ga ~

= m~ 2

~ [Vda,2 - (db, + ____fk_

r

helicoidales a

d

razón de contacto transversal

0'33

razón de traslape

E~

0'34

razón de contacto

Ey

p'cosa

2

- db,2'+ Vdaldb2),tan a,)]

0'31/32

Ea =

~~=m~

Ea :::::

n

2'cosf3

db22

'_

ga p,'cos a,

~ b· senl fJ I mn"n ~ Ea + E~ (Continúa en 0'3)

Véanse los subindices en 0'6 y los símbolos en 0'9

•


0'3

Engranes con dientes de evolvente Engranes modificados

I

rectos

P,

m. 0'35/36

Pn' mn•

desplazamiento

.,

0'37/38

'E a. Qj

.,"0 "02 ~c: 0'39/40

Pt· Z. Zn nIt. d. db

suE.s .l!!",

N

'".,

Z ·sen2 a Xmin = - --2-+

0'42

Uwt

0'43

o bien

x .

z· sen2 al +

p

2 .cos

mIO

+ h.o . e.o (1 - sen a)

+ h.o·

e.o (1 -

m

sen an)

mn

para evitar interferencia 1)

calculado de

14 -z

x

'" 17

Xl

+

X2

cos
•

ªl

x '" 14 - (z/cos3 17

~ (z¡

+ Z2)' (ev
~ (z¡ + Z2) 'mt 2·a ~ eva¡+2'~'

. casal

Zl

a ~ a

+

Z2

tana

n

cos at d COS
0'44

distancia entre centros

0'45

coeficiente de modificación de adendo

0'46

adendo

0'47

dedendo

0'48

diámetro externo

h, - h,p - x'mn d. ~ d + 2· h.

0'49

diámetro de dedendo

d,

0'50

longitud del arco de contacto

ga ~ ~[Vd.12_db/

0'51/52

razón de contacto transversal

Ea

0'53

razón de traslape

0'54

razón de contacto

.

mn . (xl + X2) 2) h. ~ h.p + x'mn + k* ·mn

k* 'mn~

~d-

a - ad -

2'h, +

Vd.l-db22-

- (db1 + db2) . tanawt]

~ ga/(P

. cosa)

Ea ~ ga/(Pt'

COSa¡)

E~ ~ b- sen Ipl/(mn' Ey - Ea + E~

desconocen datos de la herramienta, supongase ap ~ 20°. Observe el signo. Con engranes externos, k x mn < 01 Cuando k < 0.1 se puede evitar la modificación del adendo.

1) SI se 2)

= _

puede ser hasta 0.17 mm

Ci para obtener deter
0'41

x·mn

x·m

del perfil

para evitar interferencia

helicoidales

ver engranes normales

Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0'9

n)

Elementos

0'4

de máquinas

Engranes con dientes de evolvente

DISEÑODE ENGRANESCILlNDRICOS RECTOS Las dimensiones dependen de la capacidad de carga del dedendo del diente la capacidad de carga del flanco del diente que se deben cumplir en forma independiente. El diseño del engrane se comprueba de acuerdo con DIN 3990. Mediante conversión y agrupación de varios factores, es posible obtener algunas fórmulas aproximadas a partir de la norma DIN 3990.

Capacidad de carga del diente (cálculo aproximado)

mi 0'55

Factor de seguridad ~ para el caso de falla del pie del diente por fatiga: aFlrm· YST·YNT· Y6re1T· YRreIT· Yx

Ft bornn

o

I

~ SFmrn

KAoKvoKFaoKFllo~oYfoYIl =

YFs

Se suponen las siguientes simplificaciones:

(KFaoYfoYIl) "" 1; YST (Y6re1T y RrelT Yx) = 1

iI 0'56

o

5.

o

(KA

o

b

=

2;

o

Kv)· KFB YFs·SFmín o

2 aFlím 0

YFS:factor de forma del diente para engrane externo (ver diagrama)

0'57

KA • Kv = 1 ... 3, normalmente (considerando choque externo e irregularidades que sobrepasen al par nominal, fuerzas dinámicas internas adicionales causadas por errores de dientes y la velocidad circunferencial).

i

4.6 4.4 4.2

15

0'58 0'59

20

=

SFmln 1.7 (valor gura) a Film: ver tabla de valores gura en 0'5

30 ZO

40 50 60

80 100

zn

(Continúa en 0'5) Véanse los sublndices en 0'6 y los símbolosen 0'9

0'5

Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente Capacidad

íI 0'60

de carga del flanco del diente (cálculo aproximado)

Factor de seguridad SH =

5H en

el caso de corrosión:

°Hlím' ZNT' (ZL"Zv·ZA)·

yu: 1 . b

~~1

•

ZH' ZE . ZE' Z~ .

Zw' Zx

V KA'

~ SHmín

Kv' KHa . KH~

En los metales, el factor de elasticidad ZE se simplifica a: ZE = VO.175.E

0'61

Por consiguiente,

m 0'62

donde

E

=

~ ~ "\ /~.

d,

V

~

bu'

O 175.E.cosfJ. ZH"ZE·y'KH;·~· (ZVZv·ZA),(ZNT·ZW·ZX) ver 0'66

Valoresaproximadosde resistencia (Diagramasen DIN 3990, parte 5) Material

Especificación Norma

r--9-

ASTM

CS

Grado

Nlmm2

A48·50 B

80

360

A536-2().9().()2

230

560

A572 Gr.65

200

400

1064

220

620

290

670

ASCH

3240

500 1630

el: es: AS: ASeH:

hierrocolado aceroal carbón aceroaleado aceroaleadocementado

SAE

SHmín Otilím

ZH para Un = 200

I

- 1

2.8 __ ;;:V~ál_id_o_s_ó_lo-,parr_a_U"I"n_=-;oo20_ __ ..,

ZH2.S 4

r: O"

(Continúa en 0'6)

VKHa.

OFlimlOlilim

4140

AS

0'63 0'64 0'65 0'66

2·E1·E2 El + E2

se obtiene la siguiente fórmula aproximada:

10"

20'

30'

40'

ángulo entre ejes para engranes} helicoidales (cilindro de paso) ~~

KA' Kv: ver capacidad de carga del dedendo del diente (0'57) SHmín"' 1.2 (valor gura) crHlfm:ver tablas de valores aproximados ZH: factor de zona (ver diagrama) (ZL' Zv' ZA) '" 0.85 para dientes tallados o desbastados "' 0.92 para dientes rectificados o tallados con altura promedio de cresta a valle Rz 100 :5: 4 11m. Véanse los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0'9

Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente

0'6

En 0'56, 0'60 Y 0'62 se deben conocer b o by d. Las razones siguientes son estimativas y se deben usar en cálculos preliminares:

Dimensiones del piñón

o bien:

Ya sea:

d eje t

0'67

-------------+--'=:..:...---fengrane piñón con eje integral

0'68

piñón de rotación libre sobre el eje

a partir de la relación de i y una distancia 1.2 ... 1.5 a especificada entre cen2

tros (ver 0'28-29-44)

Razones de ancho de diente

-b

Calidad de dientes y cojinetes

b

d;

m

0'69

dientes bien colados o cortados con soplete

070

dientes maquinados; cojinetes a cada lado, en construcción de acero, o piñón en voladizo

071

dientes bien maquinados; cojinetes soportados a cada lado en la caja del engrane

15.

072

dientes con talla de precisión; buenos cojinetes a ambos lados y lubricación en la caja del engrane: nl ,; 50 S·l

20 ... 40

073

engrane en voladizo

s

074

totalmente soportado

,; 1.5

6 ... 10 (6) ... 10. .. 15

Subíndices para 0'1 a 0'8 a: b:

engrane conductor engrane conducido

m:

mitad de diente en engranes cónicos

n:

normal

o:

herramienta

t: tangencial v: en cono posterior (o engrane cilíndrico virtual) 1 : engrane menor o piñón 2:

engrane mayor

Véanse los símbolos en 0'9

.25

0.7

I

Elementos

de máquinas

Engranes cónicos

0'7

ENGRANESCONICOS Geometrfa de engranes cónicos Se aplican las ecuaciones0'1 a 0'3, y también:

mi 075 076 077

ángulo 8 del cono: tan {J = 1

sen I:

+u

COS L

(I: = 90°

=:>

tan (J1

= ~)

2

sen I: tan 2= COS I: + 1/u; {J

I

078

(I: = 90°

079

ángul? entre} ejes

L = 8, + 82

distancia del} cono

R ___ d_e_ e - 2. sen 8

mi 0'80

=:>

tan (J2 = u) Sólo se muestran las fuerzas axiales y radiales que actúan sobre el piñón 1

't'

Del desarrollo del cono posterior para examinar las condiciones de engrane y para determinar la capacidadde carga se obtiene el engranecilíndrico virtual (subíndice "v" = virtual) con los valores:

mi 0'81

engrane cónico recto

I

Zy

=

Z COS (5

I Uy

=

ZY2 ZY1

Las fórmulas 07 y 0'10 a 0'15 también se pueden aplicar a la superficie del cono posterior (subíndice"e"). Diseño de engranes cónicos El diseño se basa en el PUNTOMEDIO DEL ANCHO b (subíndice "m") con los valores:

-"2b

0'82183

Rm

=

Re

0'84/85

dm

=

2· Rm . sen c5

mmn

Fmt

dm z 2·T

ti;; (Continúaen 0'8)

Véanselos subíndices en 0'6 y los símbolosen 0'9

Elementos de máquinas Engranes cónicos

O'a

Fuerzas axial y radial en el engrane

= Fmt • tan

0'86

fuerza axial

Fa

0'87

fuerza radial

F, =

iI 0'88

0'89

SF =

Fmt

iI 0'91

Fmt YFS' YE• KFa' YK·(KA beF ~ '-v-'

0'93

0'94

0'95

> S Fmin

",,1

SF 11m

.--"-,

• Kv} KFp'

YST'(Y(>reIT' YRrelT Yx)' O'Flim ",1

2'"

",1

YFS: Sustituir la cantidad de dientes del engrane recto complementario z; Así, la gráfica para engranes rectos de la página 0'4 también se puede aplicar a engranes cónicos. Ver todos los demás datos en 0'57 a 0'59. Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad BH en el caso de corrosión de la superficie del diente.

SH -

UHllm,(ZL·Zv·ZR)·Zx Fmt

Uv

+1

ZH'ZE,ZE,ZK'

::!: SHmln

V KA ·Ky,KHa

·KHp

I

Para los metales, el factor ZE se simplifica como sigue: Ze = '\ ~

con

V u, I , ~ L

Obteniéndose

mi

. y E • Y K • (KA' Kv' KFa' KFrJ

"'mn ~ -.

V dvl.beH·~·

0'92

sen ¡¡ cos ¡¡

Con excepción de YST,se determinan los factores Ypara engranajes rectos virtuales (subíndice V). Resulta la fórmula aproximada: ver 0'94

.. /

mi

(J. • (J. •

aFllm'YST'YbrelT'YRrelT'YX

o:sr.r 0'90

tan

Capacidad de carga de la raíz del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad 5F respecto a falla de la raíz del diente oor fatiga:

_...:...!!ll-_.Y FS beF 'mmn

mi

Fmt•

E _ 2 El . E2 El + E2

la fórmula aproximada: ver 0'95 == 1

~_------~.-'-..-'-.

dm1 ~

,,/2· T1·coseS,. V ~beH 0.8S· b

Uy + Uy

ver 0'94

'" 1 ...--"-..

..-"-..

1. 0,175. E. ZH'ZK' Z,..¡x;;;. ..¡g;:x;...¡¡;.SHminI (ZL'

Zy' Z¡¡)· Zx' aH Irm

'-...-'---

ver 0'66 '" 1 KHIl KFIl '" 1.65 para piñón y engrane totalmente soportados '" 1.88para un elemento totalmente soportado y otro en voladizo '" 2.25 para piñón y engrane en voladizo ZH: ver diagrama para ZH (página 0'5); sólo es válido para (Xl + X2)(Zl + Z2) con 13 13 mZH 2.495 para (J. 20° Y engranes normales o modificados. Véanse todos los demás datos en 0'63 a 0'66 Véase los subíndices en 0'6 y los símbolos en 0'9

=

=

=

=

I

Elementos

de máquinas

Engranes, trenes de engranes Notación

para páginas

0'9

0'1 a 0'8 (ver subíndices en 0'6)

a distancia entre centros (~: distancia normal entre centros) b ancho de flanco b.¡db.H: ancho efectivo de cara (baselflanco) para engranes cónicos hao adendo de la herramienta de corte haP adendo del perfil de referencia (por ejemplo DIN 867) hyp dedendo del perfil de referencia k' cambio del factor de adendo z número de dientes F, fuerza periférica sobre el cilindro de paso (sección recta) KA factor de aplicación Kv factor dinámico (respecto a fuerzas dinámicas adicionales originadas por desviaciones del engrane y vibración por flexión de diente) KFa/KFp : factor de carga transversaVcarga en el flanco (esfuerzo en la raíz) KHa/l4ip: factor de carga transversaVcarga en el flanco (esfuerzo de contacto) R. . longitud total del cono de paso o primitivo (engranes cónicos) Rm longitud media del cono de paso o primitivo (engranes cónicos) T par de torsión YFa factor de forma del diente (fuerza aplicada en la punta de un diente) YFs factor de forma del diente para engrane externo YSa factor de corrección por esfuerzo (aplicado en la punta del diente) YST : factor de corrección por Eisfuerzo } YNT : factor de duración el índice "T" es para YA,e'T: factor de superficie relativa condiciones normales y 6,e'T : factor de sensibilidad relativa YoJYfl"Y, : factor de tamaño/ángulo de hélice/relación de contacto para el dedendo del diente Z~Z"¡Z¡_ : factor de elasticidad/zona/lubricación ZN1IZ~Zv: factor de duración bajo condiciones normales/asperezalvelocidad Zw factor de endurecimiento por trabajo ZoJZx: factor de conicidadltamaño Zfl"Z. : factor para flanco por ángulo de hélice/razón de contacto (ln ángulo de presión (lp ángulo de perfil de referencia (DI N 867: (lp = 20°) (lw' ángulo de operación P ángulo de espiral para cilindro de paso helicoidal Pb ángulo de espiral para cilindro base de engranes helicoidales p ángulo de fricción dinámica (tan p = 11). PaO radio de arista de punta de la herramienta. (lF'im resistencia a la fatiga (lHlfm : presión de Hertz (presión de contacto)

Cálculos exactos para engranes rectos y cónicos: DIN 3990. Términos y {engranes y trenes de engranes rectos DIN 3960 } definiciones engranes y trenes de engranes cónicos DIN 3971 o SS 2519 para

engranes de gusano recto

DIN 3975

•

Análisis de esfuerzos

P1

Acciones combinadas Estado de esfuerzo en tres dimensiones La configuración general de los esfuerzos puede sustituirse por los:

"2.

Esfuerzos principales "" a3 que son las soluciones de la ecuación

pt p'2

63 - R 62 + S 6 - T

o

R

6,+6)'+6z

ea

S

6,,6,

p'4

T = 6,6,6z

donde

+ 6Y'6z

+ 6z'6,

- T,,'-r,z'-T,,'

+ 2T,yTyzT,,-6,Tyz'-6yT.,'-6zT,;

La ecuación cúbica se resuelve como sigue: La fórmula p'1 se iguala a y (en vez de a O). y asi y = [(a) se grafica. Los puntos de intersección con el eje o línea cero dan la solución.Tales valores se sustituyen en p' 1 Y se obtienen valores más exactos por snsayo e interpolación. El caso en que o, > 02 > 03 da el esfuerzo cortante máximo p'5

Jrnax =

Flexión y torsión

0.5 (O,

- 03)'

en ejes o árboles de sección circular

Según la teoría de la energía máxima de deformación: p'6

V6fl + 3(a T,>" ~

Esfuerzo equivalente:

Ó.

=

Momento equivalente:

/11.

=~

o'

ÓflP8,m.)

75(ao' T)'

Para determinar el diámetro del eje se calcula el módulo de sección s necesario a partir de

s

p'7

o, Tt

M

T 0'0

esfuerzo flexionar de tensión esfuerzo cortante torsional momento flexionante (o flector) momento torsionante (o torsor) sé calcula según P'2

•

» ::::s

Según la energía máxima de deformación para esfuerzo normal esfuerzo cortante esfuerzo equivalente Estado de esfuerzo tridimensional

Ó,

Tens.

Compro ó3

ÓvN = Ó,

< O:

ÓvN = Ó3 =

Ó, > O:

Tens. Estado de esfuerzo bidimensional

> O:

=

<

O:

Ó.N = Ó,

=

Cargas

y

T

Aplicación

ao

desíguales

= =

Tipo de acción

y material

o.s = Ómln

TlJ

I

VO.5

[(Ó, - ó,)'

+(ó,

- Ó3>'+(Ó3 - Ó, )']'

1,11,111 (perm.l, 11, 111 Órrm.1, 11, 111 Trrm.l, 11, 111 Óperm.

Fractura seca

V ó,'

, + Ó,' - Ó, '6,

-

0).

» n n o' :::1 CD

111

_.

en _. en

C.

(1) 3 (1) tT n O

ao =

=

ao = 1

Óperm.l, 11, 111

ao

2'Tperm.l, 11, 111 Órrm.1, 11, 111 2·Trrm.l, 11, 111

Compresión de materiales frágiles y dúctiles. Tensión, flexíón y torsión de acero con punto de fluencia bien definido

=

Óperm.1, 11, 111 1. 73' (perm.l, 11, 111

=

órrm. 1, 11, 111 1 ,73·Trrm.l, 11, 111

S·

DI Q. DI

111

en ...._ e (1) ""'1

Todo esfuerzo de materiales dúctiles: acero fundido, forjado y laminado: aluminio, bronce Fractura seca, con desgarre, separación permanente:

r~actura con desgarre, !luen ia, deformación acentuada .

• lOan la mejor concordancia con los resultados de prueba 0rrm, Trrmson valores típicos para los materiales.

+

= VÓz'+ó/-óz·Óy+3(ao·nt

<)"

ao = 1

Tensión. flexión, torsión de materiales frágiles: hierro fundido, vidrio, piedra

Falla esperada

=

e, =

2 (max =ó,-ó,

= V{6,.-Óy)'+4{ao·

ao = 1

iguales

para o

=

Ó.

2 (max =Ó,-Ó3

Ómln

=0.5 [{Óz+Óy)+V{óz-Óy)'+4{ao·n'] Compro Ó,

óvs

ÓvN = 6, = Ómax

=0.5 [(Óz+6y)- V(Óz-óy)'+4{ao'

1,11,111

Ómb

I

0,. 02. 03

véase P'1

N

O

en

----

-c

1\).....

An~~!~~~e~i:e~!!~e~~~Osl Pá Momentos de inercia I y módulos de sección S Para la posición del centroide e (y el eje neutro) véase K 7, Parte I

s, y s,

l. e Iy (valores mínimos)

i, = p'9

I)'=~

Sección transversal

(valores mínimos)

(área

A)

b 'hJ

""""12 h'bJ

s,

Sy dJ

1T'd3

32 ~ 10

iI

p'11

i, = 1y =

Ix

iI

=

=

Sx

~)

Sy

ir-a:

1T

32'-D-~~ SIC

0.06014' S4 0.5412 'R~

Sy

p'13

-.1T'o· bJ

p'14

Ix

=

-4-

p'15

1y

=

1T'Q3·b

il

P'16

p'17 p'18 p'19 p'20

D4_d4

p'21

t 1

=0.120:5·sl = 0.6250'~ =0.1042' ~3 =0.5413'~

-.-

tI

1T·o·b

SIC

=-.-

Sy

=

x ..

1T'02'b

corresponden también a un triángulo irregular b3'h

Iy 1

= --¡e = ~. (o+b)

k

e máx

36

Sy

~

~

,1

'Ú<

0+

= !!. 20 :5

Q

+20b b

h 0+ 2b

Ilmín

=

b2. h

S)(=

+ b

+ b

18-8

=

X~ll'-"~~o::..::Jit--L

= ~

=

h2 (0+b)2+20b 20 + b

1""2'

3'~

Teorema de Steiner: (Para valores de 1 con respecto a dos ejes paralelos; uno es centroidal, x)

liI

I

'-~

E", 1'"'

t, Y S.

iI

1y

1T (4 64 D-d

X~1EA -f WifI---8 8

Ix

+ A' a2

.,

Análisis de esfuerzos

P4

Vigas - Cargas y deflexiones Viga de sección transversal uniforme Ecuación de la curva elástica Lo siguiente se aplica a cada tramo de la viga:

p'22

d'l/ (z) _ "() dz2 - l/ Z

Mb(Z) _

E·lx·II"(z)

E 'Ix - Mb(z)

p'24

E'lx'l/'(z)

-

p'25

E'lx'l/(z)

-!!Mb(ZldZ'dZ

p'23

v p'26

:

l/'e z)

=

l/ (z)

=

-

f

Mb(zldz

y +

r

e, + e,·z

+

e,

Radio de curvatura de la elástica en el sitio z tan 'P (z): Pendiente de la tangente a la elástica en el sitio z. Dellexión de la viga en el sitio z

C, y C2 son constantes de integración a determinar por factores conocidos P. ej.: l/ (z) O, En el apoyo. l/ (z ), lI(z )i+ ,. En la unión entre los tramos i e (i + 1) 1/' e z)

O. En el empotramiento de una viga en voladizo y en punto medio de una viga con carga simétrica.

l/'(z),

l/'( z )i+

Energla de deformación

z = I U, _ .!..fMbl(Z!

2 et, z ~o

dz

Para una viga continua: (n tramos)

p'28

En la unión entre los tramos i e (i + 1)

U a la flexión

Para una viga de longitud I

p'27

t :

I

Tipo de carga

r~ err-

A

~

~C

F

z

8 ,

;;:¡

Nota: o « b

CII

....

~~'O.~~~

mmmm ~mmmmmm Tipo de carga

Acciones en los apoyos

Mom. máx. en el punto (...

Elástica y deflexión - - - - - -Pendiente: tañ ;;;-y"" - - - -

(z2

tRA= W· 1I2 ~...t-",,"_'r"""f1t:."'_1 t Re = w· 1I2 '''A= w·12/12 t"B= w· 12/12

Definiciones

Ye' en e Ym, máx.

wl2

(A,B)

...3..I:_ z3 Z4) _~(~_:=~4_E_I_?~~"!:~~ tan 9'A= tan 9'8" O

wl2 24

(e)

Las expresiones para y y Ym no consideran el efecto del cortante

-12

_

q l4

Ijm -

384EÍ

...... ~

Conversión

a lsostática

- cálculo de reacciones

Una viga hiperestática (o indeterminada estáticamente) (Fig. 1) se convierte en una isostástica o determinada (Fig. 2) sustituyendo un apoyo por su reacción (Re, en la Fig. 2).

Fig. 1 A

1

1

1

1

1

Fig.2

La isostática se considera formada por dos subsistemas componentes (1 y 11). Se calculan las deflexiones en el punto o apoyo de hiperestaticidad (véase P'4 a P'6) para cada subsistema, en lunción de Re. Como no puede ocurrir deflexión real en el apoyo C.

----l~C'-

Subsistema 11 A

'?'

_ e ~

''i{ e

Se evalúa entonces Re y luego las demás reacciones en los apoyos. Resolución Sistema hiper estático

E A

~F, e A

de vigas hiperestáticas, Sistema isostático

simples

Subsistema I

}; A

lFl

á.

e

¿ A

.E A

. w'

-, ,~~LlcW:

/w

MB_...

lE.t::ta:r:1 U 1"1 le I 11 lJ lr-Ir7'~Llr±-tt~1r-IJe

t~~ ~J1 -..-,--1-,

A

I

B

A

-

-~::

fe'

, f. Reacciones y momentos en apoyos hiperestáticos.

Subsistema 11

•

Maquinaria y elementos Ejes y árboles Ejes y árboles (cálculo aproximado) Estabilidad

Mód. de secc. a la flexión requerido (S,)

Ejes

mmq'l

s,

rotatorios

s,

Torsión Flexión

mmq'6

d =

Ófperm.

muñón Enel}

Ób Seh

fperm

~

Ó

_

T,perm.

Pm

.u:» d· b =

~

Pperm,

~

~

tpenn.

-~

(3 ... 5) Ti Seh Tlperm,= (10... lperm.-

d =

Ó aH ~

Esfuerzo permisible a la tensión2)

Diámetro de árbol macizo (St .. d3/5) T.

T ---

=

Presión de contacto (aplastamiento) (p) q'7

ó:: ,

Ófperm

Mód. de secc. a la torsión requerido (St) (polar)

Torsión pura

iiq'5

M

=

fperm-

Arboles

mil q'4

V 10'" 3

fijos' )

iiq'2 iiq'3

Esfuerzo permisible a la flexión2)

Diámetro de eje macizo circular (S, .. d3/10)

m

Simplificado

j •

Pm:

Real

: Pmá.

(véase Z'4) Cortante debido a carga transversal: Cálculo innecesario cuando Para elementos de sección circular (rotatorios) f > d/4 Para elementos de sección rectangular (barras fijas) f > 0.325 h. Deformación por flexión véase P'5 por torsión véase P 7 (Parte 1) Vibraciones, 1)

véase M 6 (Parte 1)

Para las clases de carga constante (1) y pulsante (11)(véase P 1, Parte 1) y perfiles simples (1. O). y Ttperm, consideran los factores de concentración, rugosidad, tamaño, seguridad y combinación de acciones, En Ttperm" además el momento flexionante.

2) 0fperm,

I : distancia de la fuerza F M, T: momento flexionan te, momento torsionante Pm: esfuerzo de contacto o aplastamiento (para Ppenn. véase Z'4) Pma x. : véase q'17; para otros casos véase Z'4, puts : condición pulsante (véase P 1, Parte 1) alt : condición alternante (véase P 1, Parte 1),

I

Maquinaria y elementos Uniones de ejes Uniones de pasador Unión de abrazadera

iI q'S

ZJ--t

Fn

~

r;

t

Junta ideal sin demasiada rigidez Unión de cono q'9

conicidad 1 : x

=

(D - d) :

I

Fórmula aproximada para la fuerza axial sobre la tuerca (FA) :

iI q'10 q'11

FA dm

~ lJ·dm d

tan(f + ,,)

D +

--2-

Uniones ranuradas De cuña plana (cálculo aproximado) El cálculo se basa en la presión de contacto o aplastamiento sobre la cara de la cuña (o chaveta) en el material de menor resistencia. Tomando en cuenta la curvatura del eje o árbol y el redondeo la altura efectiva del elemento puede considerarse aproximadamente como te.

'10

iI q'12

2· T d· te' Ppenn.

(continúa en 0'3) El significado de los símbolos está en 0'3.

Maquinaria y elementos Uniones de ejes

Q'3

(Continuación de Q'2) De rebordes múltiples

iI

Cubo para eje

Reborde de eje

~¡

q'13

q'14

dm

=

dm'h,~,Tn,pperm.~·1 0+

d

,~ .

I

--2-

~ 1<

~

I

q'15

h

D-d -2--g-k

\

.

I

D-d

-2-

La carga no se reparte equitativamente entre las ranuras y los rebordes, de modo que hay que aplicar un factor de ajuste f: Elemento Reborde en eje Ranura en cubo Dimensiones

0.75 0.9

I

del cubo

Se utiliza el diagrama de configuración de uniones ranuradas de Q'4. Ejemplo: Determinar la longitud L y el espesor radial s de un cubo para eje que transmitirá un momento de rotación de 3000 N . m, hecho de acero colado y con ranura para cuña plana. 1. Se elige el intervalo apropiado según el tipo de unión "long. cubo L, AC/AN: grupo e" y se siguen las líneas de "e" hasta cortar la vertical en el punto base de 3000 N . m, Resultado: L .. (110 ... 140 mm), leído en la escala de L, s. 2. Se selecciona el intervalo apropiado según el tipo de unión "esp. radial s, AC, AN: grupo 1", y se siguen las líneas de "1" hasta que se logre cortar la vertical en el punto base de 3000 N . m. Resultado: s - (43 ... 56) mm, leido en la escala de L, s.

Fn: Fuerza normal en la superficie de contacto 1

Longitud efectiva de la unión Número de ranuras Coeficiente de fricción (o rozamiento) deslizante v Factor de seguridad q¡ Angulo de fricción (q¡ = tan-1,.) Pperm. : Presión de contacto (aplastamiento) permisible. Para cálculo aproximado:

n ,.

Material HC (hierro colado) (gris) AC (acero colado), AN (acero común)

Pperm.

N/mm2

40 ...

50}

90, ..

100

(en casos especiales, se usan valores mayores)

500

~=~

Cubo o pieza de unión longitud L HC ÁC,AN

Tipo de unión Con montaje a contracción por interferencia, con cuña cónica, con abrazadera o empalme ranurado

s::

o.~¡¡ r-CD5:

a

d

0."'.,

b

e

e

f

~ss 3.!~

m

.c

""3

g ~.'2.

O O

"0"

a~~

~o:

200

CD

m-o

Cl)::Jg: ::J ~o

e: e:

e

iD' ...10 .,.,~ ",,,,cr ... 00

:¡¡ 1QO

oaQ. o. 0."

111

.,.,,,, 3 111 2~i "O

"

..j

111 ~~~ _.,'" DI e: 00.

50

.. e:.,

~~~ en

1

_.(D

O c.)

a ec'e m .... DI o m

g:,< CII :::1

e

:::1

(1)

'"

(1)

CII

..

o~J'

-., o~

~CD"O

20

50

100

200

500

1000

Ten N·m

2000

5000

10000

':-0 ~:::> .,0

-" g~ ,.,

3

::::J O

en

10

-

(1)

o' :::1

3"'" oa~ 3 ::l. e: :::> 10

::::J

_.

o~a 20

e _.

O.... ~

Maquinaria y elementos

Q'5

Cojinetes de deslizamiento Cojinete de deslizamiento (chumacera) Lubricación hidrodinámica entre el muñón y el cojinete La operación correcta es a temperaturas no excesivas y sin un desgaste notable. Es decir, con la separación permanente por película de aceite lubricante entre muñón y cojinete.

pmáx Distribución

Relación anchura a diámetro

transversal

de la presión

BID

0,5

--:-1,"""5----8ID I

1,0 I

Motores de automóvil o avión

y longitudinal

Bombas máquinas herramienta, engranajes

Equipos y dispositivos marinos, turbinas de vapor

2,0 I

Lubricación con grasa

Propiedades generales Chumaceras cortas Gran caida de presión en cada extremo; por tanto, enfriamiento eficaz; con flujo de aceite adecuado. Excelente para altas velocidades de rotación. Baja capacidad de carga con bajas velocidades rotacionales.

Chumaceras

largas

Baja caída de presión en cada extremo; por tanto, alta capacidad de carga, con velocidades de rotación no elevadas. Enfriamiento deficiente. Exceso posible de carga en bordes. (continúa en 0'6)

I

Maquinaria y elementos

Q's

Cojinetes de deslizamiento Presión de contacto

q'16

media

q'17

máxima

Presión de contacto

(Continuación de 0'5) (aplastamiento) Po PmO,

Ji

=_f_

Pmáx

S

D'B 2 3' 6dF

~7+-1I\-,H-+++++-+'~6fT~~-+++++-+e,

¡

La presión máxima depende principalmente del espesor relativo de la capa de lubricante, El diagrama muestra la razón de la presión máxima a la presión media (Pmb I p) en función del espesor relativo de la película lubricante,

o Holgura absoluta s y relativa q'18

s=D-d;

1jJ

!=

=¡--"

°

O,t

0,2

0,3

0,4

0.5

-ó

en la chumacera

V' = s/D

es básicamente la holgura que se produce durante el funcionamiento (incluyendo la dilatación térmica y la deformación elástica), 1jJ

q'19

Valeres típicos 1J1 = (0,3, , , 1, Criterios para la selección de

.3) 10-3

Viscosidad: Velocidad periférica: Presión de contacto: Relación ancho/diám: Apoyo: q'20

q'22

suave (p. ej. blanco) relativamente relativamente relativamente BID S 0,8 autoalineante

metales sinterizados 1)

Para chumaceras lubricadas con grasa

duro (p. ej. bronce fosferado) relativamente alta relativamente alta relativamente baja BID 2: 0,8 rígido

metal

Valores mínimos para plásticos

q'21

Valor superior

Valor inferior

Características Material del cojinete:

1)

1jJ

baja baja alta

1J1 2: (3

.. 4) 10-3

1J1 2: (1,5".2) 1J1

=

(2

10-3

.3) 10-3

I

Maquinaria y elementos Embragues

Q'7

Guía para elemento deslizante

mi

q'23

mi q'24

La guía funciona suavemente sólo cuando tan a <

l (2.h + l).¡..¡

o bien

la siguiente relación

_...!_ = ..\

>

2 ¡..¡ tan a 1 -¡..¡

h

tan a

Si las condiciones anteriores para tan a no se satisfacen hay peligro de desviación y trabamiento.

Embragues de fricción Pérdida de energía y tiempo de deslizamiento Elemento impulsor (motor)

~_J_,_,__ T_M_,__

Embrague

r,

Elemento impulsado (carga)

W_'__J~------~I~I--------~ __J_2_,__TL_, W_2~

Un modelo simplificado con las siguientes condiciones basta para un cálculo aproximado: Aceleración del elemento impulsado de W2 = O a W2 = w,. (1), = const.; T L = const.; T s = const. > T L. Entonces

mi

por operación:

q'25

Pérdida de energía

q'26

Tiempo de deslizamiento Cálculo de la superficie de fricción Embragues de placas planas

I

Dos Una Super!icie(S)

-t-

I

Embragues Acción múltiple

cónico

I

cilíndrico

-t-- -E-- -fl -111"11111

El número y el área de las superficies de fricción dependen de la presión de contacto permisible Pperm. y de la capacidad térmica permisible por unidad de área (conducción de calor) qperm. (continúa en 0'8). Significado de los símbolos en 0'9

I

(Continuación Cálculo para presión de contacto

de 0'7)

p

Para todos los tipos de superficies de fricción: q'27

mi

i 'A donde

3

m

Superficies de fricción q'29

1's

Pperm. Jldin 'Rm

= J.. RaJ-

R

q'28

~

R¡3 _ Ra + R¡ Ral- R¡2 2

planas

Fuerza axial

Fa

=

cónicas

A 'P

Fa

Rl

q'31

Para un eje:

Calentamiento

1'u

=

tan a> Jlstat' Ra

= R¡ = Rm

si no. habrá trabamiento

0.6... 0.8

Ra

sen a

Condición

para smbraguas de placas múltiples

q'30

=A p

cilíndricas

T. . J.Jesl s

J.Jdin

permisible:

Para arranque con carga pesada la temperatura máxima se alcanza en una operación. Depende de la pérdida de energía. tiempo de deslizamiento. calor de conducción. calor específico y enfriamiento. Estas cantidades no pueden incorporarse en una fórmula general. En el caso de operación continua la temperatura constante se establece sólo después de varias operaciones. Hay valores empíricos de la conducción tér· mica permisible por unidad de área. qperm. en la operación continua.

q'32 q'33

Potencia friccional: Condición:

P, i 'A

. Significado de los símbolos en 0'9.

Wv·z

~

W~.

Z

qperm .

I

Maquinaria y elementos Frenos y embragues

Q'g

Frenos de fricción Todos los embragues de fricción pueden corresponder a frenos de acción por rozamiento. (Véase también 07 y 0'8) Frenos de disco

mi

Con elementos auxiliares. Momento de frenado, TB:

q'34

Frenos de zapatas Se ilustra un dispositivo de acción simplex, indicando las fuerzas actuantes.

mi q'35

de entrada

¡;_'s'l nl- a-~'c

de salida

'nz=~

Tambor del freno (sentido de rotación)

F.·l

(Servoacción) Momento de frenado q'36

TB =

('nI.

'n1)' ~'R

(Para la acción de frenado de banda o cinta véase K 13, Parte l.) Símbolos para embragues y frenos de fricción A TB

Area de la superficie de fricción Momento de frenado Ti. Momento de la carga TM Momento del motor Ts Momento de operación del embrague T« Momento de transferencia del embrague R Radio de la superficie de fricción Rm, R., R¡ Radios medio, exterior o interior de la superficie Wy Pérdida de energía por operactón Número de superficies de fricción Número de elementos para disco z Frecuencia de operación (EU: S-I; n') u , !ldin ,!les! : Coeficiente de fricción, estática y dinámica Velocidad de rotación (angular)

I

Diseno de máquinas-herramienta: Consideraciones generales. las componentes de máquinas que estarán sometidos a esfuerzos (elementos con superficies guías, piezas deslizantes, correderas husillos con cojinetes) se disel\an de modo que conserven una elevada exactitud o ajuste durante largo tiempo. Cuentan con amplias áreas de contacto o apoyo y son necesarios dispositivos para reemplazar las superficies desgastadas. la deformación máxima permisible en el filo o borde cortante (punta de tormacíón de la viruta) es de aproximadamente 0.03 mm. la fórmula (4 da la fuerza de corte.

=

Están disponibles elementos impulsores con velocidad de corte v const. en todo el alcance de trabajo (diámetros máximo y mínimo de la herramienta o de la pieza) con velocidades de rotación (en rpm, r/min), en una gama que va en progresión geométrica: ~,

n, pk-'

~r1

la razón progresiva p para las velocidades de rotación n, .. n., para k velocidades se evalúa por

mi

r'2

p Valores de p estandarizados:

1.12, 1.25, 1.4, 1.6, 2.0.

=~

-

1.12: 100,112,125,140,160,180,200,224,250,280,315,355,400, 450,550,630, 710, 800, 900, 1000,... r/min. Serie básica R:zode velocidades con p

Dispositivos de corte: Se designan por el número de ejes y las velocidades de salida. Ejemplo: Un equipo 111/6 tiene 3 ejes y 6 velocidades. Se ilustra como sigue (para k - 6, p - 1.4, n, - 180, nk - 1000). - - - Diagrama de escalas (simétricas) __ Diagrama de velocidades

II --al c:

'e"::: ~ Los slmbolos

o

'"

~

o o

o

t:

o o 11

e" se explican

en R'S.

m

I

Manu!:~!~~~ h~rrP'!~t~eSos IR'2 liW

Potencia y fuerza de corte:

mil (3 liI

Potencia de corte Fuerza de corte

(4

Tabla de valores de

,

K.

Pe

=

Fe

=

~o~~ ;;~::~

CIIc:

2·2

•

b

(rhfC mm

mm·

ze

~1'tI _1

II~

NI 'ti CI) c: o c: &:'N e::¡ N e::¡~ CII"O:2

~~

" -g " ~ 't)g~.é

00

11

:g_

&,N :••

~r

o~

o

:a ~ e~

,,&:ij'E

"

~ «

U>

8 &~Qj~

U>

o

o

nsns~ ~o~

~

~

Fe (D+d)Jt'" 2· '1mec • '1eléc

'/mee • '1eleC K· ./tC1.1

Taladrado

I

Fe' u

b, ti, Ze (para kCl1; 1· me, véase Z'3)

~:g

11

I

General

1110

e·5.

~\O &,r<'I

-.o ~

....... &,N q,

"

"'IN c:

c: CII IJ!

.c:

..

U> 10

c:)

U>

CI)

"..

.;;

o

c: CI)

I

.;;

o

'Il1~

Q)

N e::¡

U>

e:-

CI)

U>

o

11

~

~

+C/) ::EC/) II

N

~

10

~ ~

<11

's

u8'

Ol

o ñi c:

'"

~ c: -o

~.Q :,-

(¡¡ a.

~

o

Ó

z

-O\"'IN r ~

'ti

e 1C\j

CI)

--: ::EN~ ~I~I

C/) ~C/) I

~::E óI

--:::E ~I

~

~I~

I

~\i

NC/) .C/) ~I

¡ni i~ \ !::.J r .~

'_c

~~

~~i .!!!.:::J CII '5. EE Cl)oCl)

(.)~"O

.... "0

t

Los srmbolos se explican en R 5.

~

>.

..

(euooenus A leWJOUeuo:)

n,~.8~

ñil!~'E

-1

~ ~

~

(¡¡

~~'g,.~ ~¿ '" ~!.Q "O

'(3

o ........

~\i

"

.Q

q,

U>

<1)

r.!

I

(unuioo OpeS8J::I (souienxe) opeseJ::I o

?> ~

,.... o No. Operación VJ

K=

b=

3· r o- 11 o O" VJ VJ

ii

111

::::s

ii

Observaciones

~W D

Rectificado plano

1 -

!Ji

r 13

iI

iI

r 14

bw

~Va(_!_ u

+

D -

_l_)' d w

D
VD(14

2T;

Acción de corte (redondo)

+ exterior

- interior

- interior

(cos
Rectificado de extremo

a

h en mm

0.0011 0.00210.003

10.004

a en mm

Factor de corrección ni

....

Qi "O

o

oc: ni E

....ni

40 60 80 120 150 180

5.1 4.5 4.0 3.4 3.2 3.0

4.3 3.9 3.6 3.0 2.8 2.6

4.0 3.5 3.2 2.8 2.6 2.4

!

+ exterior

D/dw>

El ángulo
. __!.~
:o ni

281D

eps = Tab. 1

Rectificado redondo

(!)

::::s :xl

=

(cos
u

co co r )( "2- 12 ñ·

ze

h=

VJ

11

Desbastado

I

0.01 I 0.021 0.03 0.003

Alisado

I 0.0041

0.005

I 0.006

Distancia efectiva del grano fK 3.6 3.2 3.0 2.5 2.3 2.2

C\I ni

:o

....ni

~

"O

o

oc: nlO E e nI~ .... 01

40 60 80 120 150 180

24 32 40 53 56 58

14 23 31 44 48 50

9 15 24 37 40 42

39 47 60 64 66

38 46 59 63 65

37 45 58 62 64

36 44 57 61 63

Impulsión Valores en progresión geométrica con

cp

= 1.12 - 1.25 - 1.4 - 1.6 - 2.0.

Avances (alimentaciones) Operación

Velocidad de avance

r'lS

Torneado (long., exterior e interior)

u = r¡. s

r'16

Taladrado

u = r¡. sz'

Observaciones

Zs

Para brocas espirales zf! Zs 2 Sz = 0.5 s

=

r'17 r'18

Cepillado (común y de mesa)

u = v

Fresado. plano y de extremo

u = sz'

fe -

r¡ • Zs

te:

Tiempos de corte r'19

=

..iL u

;

donde

II = 1 +

I

r'.

Al calcular los tiempos de ciclo y maquinado para cada pieza trabajada. deben considerarse los movimientos de avance o alimentación y los recorri dos libres (o un corte). divididos entre las velocidades correspondientes.

mi r'20

Potencia y fuerza de avance Potencia de avance

Pv

=

u(1'8 + 1'1:) 'Imec'

'Ieféc

r'21

Fuerza de avance

1'v '"

0.2

Fc

r'22

Rozamiento (fricción)

1'R

=

"lb'

9 .u

;

(re según r'4)

donde mb es la masa de la pieza en movimiento; por ejemplo. en e caso de fresadoras. la suma de las masas de la pieza y de la mesa Hay que determinar si la potencia calculada con r' 20 es suficiente para ace lerar las partes móviles hasta la velocidad de movimiento rápido UM' dentro de un tiempo dado tb. (en las máquinas de producción UM '"' 0.2 mis). De esta manera. se explica lo siguiente. r'23

Pv Los símbolos se explican en R'S.

=

(¡'¡

uM I7Ib

9 + ~:)

'Imec ~ 'Ie/éc

Explicación

a

de la simbología (R'1 a R'4)

profundidad ancho de viruta ancho efectivo desbastado bw ~ Bs/t,4 alisado bw ~ Bs/3 B ancho de fresado B" B2 : ancho de fresado medido desde el centro de la herramienta Bs ancho del disco d diámetro del barreno diámetro de la pieza, exterior o dw interior D diámetro de la herramienta FR rozamiento (o fricción) fuerza de corte Fc fuerza de avance aceleración debida a la gravedad 9 grosor de la viruta h k número de velocidades de salida kC1": fuerza de corte básica en relación con el área K factor de la operación (de maquinado) recorrido de corte t, recorrido de la pieza !' sobrerrecorrido en uno u otro extremos con velocidad de avance u z, número de filos o bordes cortantes por herramienta b bw

r;

ív:

distancia de grano efectiva, segun la Tabla 2 momento de la fuerza de corte Me n velocidad de rotación (r/mln) n, velocidad mínima de salida velocidad máxima de salida n2 potencia de corte Pc Pv potencia de avance (alimentación) avance s avance por filo s, tiempo de aceleración lo tiempo de corte le velocidad de avance u u" velocidad de avance alta (movimiento rápido) velocidad de corte z. numero de filos en acción relación de esbeltez ( ~ a/s) Es eficiencia eléctrica ." erec eficiencia mecánica ~mec 8 posición angular (ángulo de presentación) coeficiente de rozamiento p. (fricción) ángulo en la punta de la broca a razón progresiva p ángulo de ataque (en fresado
HSS

punta de carburo punta de acero rápida

•

Manu!~~!i~r:h!.~i~~;esos IR'6 Labrado de lámina en frío - Embutido profundo Diámetro inicial de la pieza base r'24

D =

V~

n 'LAm

"1

I

Ami son las áreas superficiales de las piezas terminadas que pueden determinarse con las fórmulas de las secciones By C (Parte 1):b 30, e 12, e 16, e 21, e 25, e 27 y c 30. Las áreas según los radios de transición para las operaciones de embutido y estampado se calculan como sigue:

r'25 Ejemplo (Considérese que rs = rz = r)

mi

r'26

D = Vd/+d62-ds2+4dlh

I

+2nr(d1+d4)+4nr2

Primera y segunda etapas

20. paso

ler. paso

r'27

~l333iIiI r'28

mi

/32 =.E.!.._

d,

/31máx

r'29

f'ZI

~l333iIiI r'30

~1

(31 (32 (33

ffiJ

/3, = _Q_ /3100+ 0,1 _(~1'0.001) n dI

11n

S

k.'ml

~1

VO.6 /3/-

f'Z¡

_'1)Fl

0.4

/32máx

I

~¡

=

~;oo+0.1 -(

~2

,o.001)

= f'zl + nd¡s k.lm2~¡_12 "F2

=

11n

recocido intermedio

VO.6 /3/X

:::It

0.4

XII + XI2

2

1m2 Xlm2=~

I

'2

(Continúa en R'7)

(Continuación de R'6) El trabajo especifico de deformación (referido a la unidad de volumen) y la resistencia (o esfuerzo) de fluencia k, se obtiene a partir de las curvas de deformación para el valor apropiado de la relación de deformación logarítmica ó. Fuerzas de sujeción

de la pieza base F N' Y F N2

ler. Paso

Rm rN1-_(D t.dI 2)~4 400

r'34

20. paso

El]

ft( )2 ~,8,-1 + s

(2

F'0/2= d,-d2

2)11: Rm 4" 400

f,(l' Pl-l

)2

+

d2J s

El desgarre en el fondo ocurre si Rm"

r'35

Fz, + 0.1 FN,

11:d, S r'36

Condiciones

(3 y Rm

máximas de embutido,

Material Aceros: St 10 USt 12 USt 13 USt 14 St 37 Acero inox. (18% Cr, 9% Ni) Al Mg Si (suave)

Con I Sin recocido intermedio

(3100

Rm N/mm2

(32máx

(32máx

1.7 1.8 1.9 2.0 1.7

1.2 1.2 1.25 1.3

1.5 1.6 1.65 1.7

-

390 360 350 340 410

2.0 2.05

1.2 1.4

1.8 1.9

600 150

-

Explicación de la simbología (R'6, R7) : : : :

área de la superficie fuerzas de embutición, ler. y 20. pasos. k'm' resistencia de fluencia media, ler. paso k'm2 resistencia de fluencia media, 20. paso Kk, • F'2 : resistencia de fluencia según ó, y Ó2 : radio radio del dado de estampado radio del dado de embutido trabo de deformación específico = _.:..tr.;:a.;:_b;_ . .;:_d.:..e....:d;_:e __ fo=-r_m....:a:..:c __ ió=-n.;___ W vol. del elem. deformado P, , P2 relaciones de embutición, ler. y 20. pasos P100 máximas relaciones de embutición para s = 1 mm y d = 100 mm P, máx , (32máx : máximas relaciones de embutición, 1ero y 20. pasos 'lFl , 'lF2 : eficacias del proceso de deformación, tar. y 20. pasos. Ó, ,Ó2 : relaciones de deformación logarítmicas, ler. y 20. pasos

, '5 'z

I

IR'8

Manufact~!~Jnprocesos Exlrusión

(empuje de conformado en matriz)

iI

r'37

Fuerza de extrusión

F

A ·lI.fm

mi

r'38

Trabajo de extrusión

V,xfm

r'39

Resistencia de fluencia media

"

1 ~A~

1

1i;

lfIA

.s:

lI.'m

rpA Extrusión inversa

Extrusión directa Cuerpo sólido Cuerpo hueco

I mi iD mi

A =.!E_

r'40

4

do2

A

d2

r'41

~A

= In ~

="4It

~A= 2

r'42

V

r' 43

1JF = 0.7. ... ,0.8

ho' do

(2do - d, 2) d2 _ d2

n = 4'

V =

ln~ It 4"

ho

It

A

="4

rpA=

(2do - d, 2)

1JF = 0.6, ... ,0.7

do

2

d2 ln ~d o - dr,

V

="4It

1Jf

=

2

do . ho

O. 5,•..• 0.6

Relación de deformación logarítmica máxima ÓAmáx Material AI99.5 Extrusión directa inversa A

3.9 4.5

baja Aceros AIMgSi C<0.1% C<0.15% C>O.15% aleación suave 3.0 4.0

1.4 1.2

1.2 1.1

0.9 1.1

0.8 0.95

: área utilizada relación de deformación logarítmica '1F : eficacia del proceso de deformación V : volumen del elemento deformado w : trabajo de deformación específico (por unidad de volumen) MI : penetración (carrera del empujador) ÓA

:

aleación 0.7 0.8

Sistemas eléctricos Circuitos y redes Resolución de redes lineales Generalidades: Existen métodos especiales que permiten el cálculo de tensiones y corrientes en una red eléctrica, de manera más fácil que por el análisis de nodos y mallas. Teorema de superposición: En una red general se consideran aplicadas sucesivamente en aquélla todas las fuentes de tensión') y de corriente2), y se determinan en cada caso las diferencias de potencial y las intensidades de corriente originadas por cada fuente actuando individualmente. Se cumplen las siguientes condiciones: (a) Las fuentes de tensión restantes se ponen en cortocircuito. (b) Las fuentes de corriente restantes se ponen en circuito abierto. La solución final es la suma total de las soluciones parciales. El procedimiento general para evaluar V,en una red general con tensiones de fuente Vo•...• Vv y corrientes de fuentes lo, ...• 1". s't

s'2

V,=

0o·Vo+o,·V,+ +bo·lo+b,·I, +

... +Qv·Vv .. + b~·/~

Vxao+ Vxo1 + + Vxbo+ Vxb' +

... + Vxav .. + Vxb~

l;:r,

lo

j;:r,

1,

Cálculo de las soluciones parciales:

s'3 S'4

O. con Vq O, con Iq

Vx = Vxaq donde Vo ... Vv V, = V'bq donde lo I~ R, Ejemplo:

s's

''"" O.O.

¡v.

y lo ... I~ ... Vv y

v;

O O

I

0o, Vo+o, V, +bo·/o Vxao + V xot + V xbo

Redes equivalentes para el cálculo de cada solución parcial:

se

Vo '" O; v,= O; lo = O Vo=O; V, '" O; lo = O Vo= O; V, R,

=

O; lo '" O

R

s'7

V xoo -~. - R

1 -1-1--1

, -+-+-

Vxo,

R, R2 R

s'8

Tensión requerida Vx V x (véaseS'5) '), 2)Explicaciones en S'2

V,

=

R' 2

1 -1-1--1 Vxbo

_+_+_

1 lo' -1-1--1

_+_+_

R. R2 R

R, R2 R

1 ('!..J;¡_+ V, + 1) R, R2 o '1/R,+1/R2+1/R (continúa en S'2)

Sistemas eléctricos Circuitos

y redes

Teorema de Thévenin: Considérese una red general que contiene fuentes de tensión 1) y de corriente2). Se requiere calcular la tensión V.en la resistencia R de la rama AA'. Para ello se reemplaza el resto de la red por una fuente de tensión equivalente Ve Y el resistor R, (de la resistencia interna).

IV, Para determinar Ve Y R, se elimina la rama AA' en la red. y se le sustituye por el sistema formado por Ve Y R, en serie: R, corresponde a la resistencia real entre A y A'. Y Ve es la diferencia de potencial existente entre AyA', Si R, se conoce. entonces Ve = V. se calcula por Ve = R,/cc• donde Icc es la corriente de cortocircuito (ce) que fluye al unir A con A'. Por tanto.

1 Icc1/R¡+1/R

s'9 Ejemplo

Cálculo de Icc

n¡Vx

Circuito equivalente RI A

S'10

Cálculo de R,

R, =

Por consiguiente:

1 "1/"R',-;+""""'1"/7
Ve = Icc·R,

I

Sistemas eléctricos Instalaciones

I S'3

Corriente Nominal I Aislamientode PVC, conductoresde cobre no bajo tierra, con medio de proteccióncontra sobrecargaa una temperaturaambientede 30°C') Area transversal 1 1.5 2.5 4 6 10 16 25 35 50 nominal,mm2 1 en A 11 15 20 25 33 45 61 83 103 132 Grupo 1 6 10 16 20 25 35 50 63 80 100 In en A 1 en A 15 18 26 34 44 61 82 108 135 168 Grupo 2 In en A 10 102) 20 25 35 50 63 80 100 125 1 en A 19 24 32 42 54 73 98 129 158 198 Grupo 3 In en A 20 20 25 35 50 63 80 100 125 160 Diám. nomode Cables alambrede Cu, mm. 1.1 1.4 1.8 2.3 2.8 3.6 (aprox.) Grupo 1: Uno o más conductoressencillosen tubo conduit Grupo 2: Conductoresmúltiples (incluyendolos de cinta) Grupo 3: Conductoressencillosen aire (al descubierto),con espaciamiento de por lo menosun diámetro ') El valor de 1disminuye(o bien, aumenta)en 7% (aprox.) por cada incremento (o bien, decremento)de temperaturade 5°C. NOTA: No se debe exceder50"C. 2) En el caso de conductorescon sólo dos hilos activos,se debe utilizar un dispositivode proteccióncontra sobrecarga,con In = 16 A. Simple 2 Cargas 1 Posición PE - .........--..N L1

Interruptores-Conexiones utilizadas Conmutativo con cruzamiento Conmutativo 1 carga 1 Carga 3 Posiciones.) 2 Posiciones . ....,.... - - ._._, -

---_.,.-

_.- ._

l4t-

~ ~r; ~ L JL ....!

r .-.-.,

!\. \!

L______ I

r·l

L_''''!

L_"'!

L_.~.~ _JL __ J

i

i I ____

i

L_.~~.Ji, _____ o

i

i

L_¿

In : Corrientenominalparafusibleso interruptoresautomáticos(disyuntores) 1 : Corrientenominalde conductor.Tambiénla corrientemáximapermisible de dispositivosde proteccióncontra sobrecarga(cuandoIn S 1) L, : Conductorde fase

N: Conductorneutro PE: Puestaa tierra .) Cada posición adicionalrequiereun cruzamientoextra.

I

Radiaciones Definiciones y unidades Radiación ionizante Esta radiación es la consistente en partículas que produce la ionización directa o indirecta (excitación) de un gas (permanente).

Cantidad total Exposición ( radiexposisión)')

1'1 1'2

'" Absorción (radiabsorción)

ra 1'4

D

1~=1_f_ kg 1 roentgen

J =~

Intensidad en el tiempo

Unidades

=

1 gray

lA

Intensidad de exposición

kg 1R ]

J=_!_=.!... t 1ft

[ 1 R = 258 ~ kg

Unidades

kg

1B s = 258 ~kg [ 1

= 1 Gy Intensidad de absorción

= J'J W

- D D=-=t

'"

B = a

8.2~

kg

dh =

1 _!Y_

31.56

106 _J_ kg a

s

=

kg

P 1ft

1r-ª..d= 10 mW s kg [

1 sievert Absorción equivalente2)

1'5 1'6

H = Dq = q'D = q'J'J

=

1 VAs

k'9

= 1 Sv =

1 Ws

k9

= 1 .::!. kg [tOO rem = 1 SvJ

=

= Dq =.!!:J.... t = q' ¡j

kg

1

0.01 fu

l_!Y_=lfu Intensidad de absorción equivalente

IÍ

1

s

s

1 rem = 10 mw] s kg [ 1 rem = 317P'!J. a kg

Corriente de Ionización 1: Flujo de moléculas de aire ionizadas por radiación que se produce al aplicar una tensión eléctrica o voltaje (en una cámara de ionización). Carga de Ionización O: Cuando circula una corriente de ionización 1durante un tiempo t se manifiesta una carga total O:

1'7

O - 1·t Las unidades destacadas entre corchetes [ 1 son las de uso anterior. 1) Valor medido 2) Valor teórico (Continúa en T'2)

I

Radiaciones Radiactividad

IT'2

Energía de ionización W¡: Energía de radiación que produce la ionización. Cada par de iones en la molécula de aire requiere Wi(aIr8) = 33.7 eV 1'8 1.602 x 10-'9 C; 1 C = 1 A· s) (carga del electrón (e): 1 e 1'9 (electronvolt (eV): 1 eV = 1.602 x 10-'9 A . s x 1 V = 1.602 X 10-'9 J) 1'10 Radiabsorción D: Es la energía absorbida (dosis de radiación) por unidad de masa. (La radiexposición J está referida también a la masa: J = O/m.) 1'11 RADIACTIVIDAD. Actividad A : Número de átomos de una sustancia radiactiva que se desintegran por unidad de tiempo: A=-dN/dt=).·N

-

1'12

Unidades: becquerel (Bq), Corresponde a una actividad de 1 átomo por segundo [curia (Ci): 1 Ci = 37 x 109 Bq] Constante de actividad

(o decllnaclén] ).:

). = 1'13

1'14 1'15 1'16 1'17 1'18

en 21T1I2

Semlvlda (o "vida media") T1I2: Tiempo en el que una actividad dada se reduce o declina hasta la mitad. Unidades: s-', mm", h-', d-', a-'. Semividas de algunos isótopos naturales y artificiales Número Numero atórniat6miNúmero Número Semivida Elemento de masa2) ca 1) Elemento de masa2) Semivida ce" 12 a 134 2.1 a 1 riho 3 55 Cesio 40 1.3 10~a 55 esio 137 19 Potasio 30a 19 Potasio 42 12.4 h Radio 226 1600 a 88 14 10' a 27 f-'obalto 5.3 a 90 ario 232 60 4.5' 10' a 29 a 92 Uranio 238 38 Estronci 90 94 Plutoni 24000 a 131 8.0 d 239 53 Yodo Explicación de los símbolos m : masa (cantidad base) N : cantidad de sustancia radiactiva (núm. de átomos) q : factor de calidad para radiaciones ~ - , .." X q = 1 para otras radiaciones q = 1 ... 20 f : constante de ionización para los tejidos f = faire para los huesos f = (f .. 4) fair8 ',rre: constante de ionización para el aire faire = Wa1re/e = 33.7 V) Símbolos de las unidades

1'19

A: ampare! C: coulornb ] J: joule! a: ano (1 a = 31.56' 106 s) Absorción equivalente - Observación: En el año de 1982, la persona media en Alemania (R. Fed.) tuvo los siguientes valores de exposición equivalente a la radiación: H en Ti P o [mrem] mSv De origen natural Por razones médicas Por causas diversas Valor limite permitido por la ley 1)

Núm. protónic o (Z)

2)

Núm. nucleónico

1.1 0.5 < 0.1 -s 0.3

110 50 < 10 -s 30

de p rotones + neutrones )( A )

I

Ingeniería de control Terminología

de la ingeniería de control CONTROL

El control es un proceso mediante el cual se registra una cantidad llamada variable controlada (la cantidad que se debe controlar). Entonces, esta variable controlada se compara con otra cantidad, la variable de referencia. A continuación la variable controlada es afectada de tal manera que sea igual a la variable de referencia. La característica principal del control es el circuito de acción cerrado, en el que la variable controlada influye continuamente sobre sí misma (ver más adelante el diagrama de flujo de control). Nota preliminar: Los nombres y definiciones de los términos siguientes se apegan a los de la norma OIN 1926, versión 2/1994. Funciones, comportamiento

cantidades y símbolos que describen el de los elementos y sistemas de transferencia

Variable de entrada u La variable de entrada u es una cantidad que actúa sobre el sistema considerado sin ser influida por él. Variable de salida v Es una cantidad de un sistema que sólo puede ser influida por ella misma o por sus variables de entrada. Tiempo de retraso T, constante de tíempo T El elemento P- T 1, que es el elemento de retraso de primer orden, es una unidad funcional que presenta el comportamiento de transferencia: u'l

v(t) + TIi (t) - Kp u(t) donde T es el tiempo de retraso, que también se llama constante de tiempo. (Ver la solución de esta ecuación diferencial en 0'4, O' 9.) Frecuencia angular característica Wo, razón de amortiguamiento ii El elemento P-T 2, que es el elemento de retraso de segundo orden, es una unidad funcional que presenta el comportamiento de transferencia:

u'2

v(t) + (2U/wo) Ii(t) + (1/WO)2 ii(t) - Kpu(t) En este caso 000 es la frecuencia angular característica y ¡J es la relación de amortiguamiento. (Ver la solución de esta ecuación diferencial en O' 5,0'11). Frecuencia angular propia oo. La Irecuencia angular propia, o eigenlrecuencia angular roose deline con la siguiente fórmula, en la que intervienen la frecuencia angular caracteristica Wo Y la relación de amortiguamiento ¡J.

u'3

Wd

= wo'

Ver explicación de los stmboros en U'35

'{17

I

Ingeniería de control Terminología de ingenierra de control Respuesta escalón La respuesta escalón es la variación, respecto al tiempo, de la variable de salida de un elemento de transferencia, cuando la variable de entrada es una función escalón (ver figura 1)

Banda de

Sobremodulación

tolerancia

Tiempo muerto equivalente Tu El tiempo muerto equivalente, Tu, se deline como el tiempo transcurrido entre lo y el punto de intersección Respuesta escalón de la primera inflexión de un elemento de transferencia de la respuesta escalón con el eje x (ver la figura 1).

Flg.1

Tiempo de transición Tg El tiempo de transición, TQ, se define como el tiempo que transcurre entre el punto de intersección de la primera inflexión de la respuesta escalón con el eje x, y el punto donde esta primera inflexión alcanza el valor de estado estable. Sobrepaso Vm Es la máxima desviación de la respuesta escalón respecto del valor de estado estable. Respuesta rampa La respuesta rampa es el desarrollo, en el tiempo, de la variable de salida cuando una función rampa, con determinada rapidez de cambio, se usa como variable de entrada (generación de rampa).

Oh

UD:'

°

Generación

u,(t) -

UT.0 r(t) r

Flg.2

- UOfe(t)dt T, o

T, t

u'4

t

u's

de rampa

T,es el tiempo de rampa, E (r) es la generación de escalón unitario:

e (t) _ { O cuando t < O 1 cuando

t

2: O

Respuesta escalón unitario Una respuesta escalón relacionada con la amplitud escalón de la variable de entrada origina la respuesta escalón relacionada, llamada respuesta escalón unitario h(t). (Continúa en U'3)

u'6

Ingeniería de control

U'3

Terminología de la ingeniería de control h(t) caracteriza el comportamiento

dinámico del elemento de transferencia. Ver las respuestas escalón unitario de los elementos más importantes de transferencia en U'14 a U'17. Función de transferencia F(s) Es la relación entre la transformada de Laplace v(s) de la variable de salida, y la transformada de Laplace u(s) de la variable de entrada de un elemento de transferencia. Ver las funciones de transferencia de los elementos de transferencia más importantes, en U'14 a U'17. Respuesta en frecuencia F(jro) Es la razón de los valores de las variables senoidales de salida y las de entrada del elemento de transferencia en su comportamiento periódico estable, en función de ro o de t. Amplitud de la respuesta F(jro) Es la magnitud de la respuesta en frecuencia, F(jro), en función de la frecuencia angular ro. Fase de la respuesta arco F(jro) Es el arco del argumento F(jro) de la respuesta en frecuencia función de la frecuencia angular ro.

F(jro) en

Características de respuesta en frecuencia, diagrama de Bode Las características de la respuesta en frecuencia (diagrama de Bode) se obtienen cuando el valor absoluto (logarítmico o en dB) y la respuesta en fase (proporcional) se grafican juntas en función de ro o de la frecuencia angular normalizada w!ro,. Frecuencia angular de vértice "'" La frecuencia angular de vértice ron (n = 1, 2, 3, ...) es la frecuencia angular ro en la que la asíntota del valor absoluto en el diagrama de Bode cambia de dirección (hacia arriba o hacia abajo) en un múltiplo entero de 20 dB por década.

I

El diagrama de control Este diagrama es la ilustración simbólica de todas las operaciones en un sistema determinado. Elementos del diagrama de control Estos elementos son la linea de acción, el bloque de función, la suma y el punto de ramificación.

u-Du7

Línea deacci6n U, U11 U2:

Bloque de función estimulos de entrada

v

u,+v Suma v=±u1±u2

u_.~~r,_g ..:_3 Punto de ramificación

v : resultado de salida

Ingeniería Terminología

de control

de la ingeniería de control

Estructuras básicas del diagrama de control Las estructuras básicas de este diagramason las estructurasen serie, en paralelo y circulares. Regla para sumar en un diagrama de control Una suma tiene una sola línea de acción que sale (variablede salida). Reglas para representar un sistema mediante un diagrama de control Cada ecuación del sistema sólo aparece una vez en el diagrama. Una negación (cambio de signo, inversiónde polaridad)debe indicarse en un punto de suma existente o adicional.No es válido esconderla en el coeficiente de un bloque. En el diagramade acciónde un sistemapasivono hay retroalimentación positiva. Paratener una ideaclara del aspectofinal de un diagramade control, el camino más corto (haciaadelante)entre la variablede entrada (ladosuperior izquierdo)y la variablede salida (lado superiorderecho)debe ser una recta horizontal. Deben evitarse los elementos derivados. Para lograrlo, deben reordenarse las ecuacionesdel circuito cerrado. Componentes del circuito de control y sus cantidades La figura 4 muestra un diagramade control típico de un sistemade control de circuito cerrado, incluyendosus unidadesfuncionales.

Diagrama de acción característico de un sistema de control de circuito cerrado

Sistema controlado Es aquella parte del circuito cerrado de control sobre la cual se va a influir.

Ingeniería

de control

Terminología de ingeniería de control

U's

Punto de medición de la variable controlada; variable controlada x El punto de medición de la variable controlada es el lugar, en el sistema controlado, donde se obtiene el valor de esa variable (figura 4). La variable controlada K es la variable del sistema controlado que se registra para su control, y que se integra al sistema de control a través del equipo de medición. K es la variable de salida del sistema controlado y la variable de entrada del equipo de medición. Formación de la variable controlada final; variable controlada final XA La variable controlada final, KA, es una cantidad sobre la que el circuito cerrado de control debe influir. Cuando es fácil de obtener por medición, XA es idéntica a la variable controlada x y se retroalimenta al elemento de comparación a través del equipo de medición, Sólo cuando no es posible obtener XA, o sólo es posible con grandes dificultades, ésta existirá como cantidad independiente además de la variable controlada x, En la figura 4 (el diagrama de flujo característico de un sistema de control de circuito cerrado), la formación de la variable controlada final KA se hace con la variable controlada .r , por lo general agregándola al sistema controlado. En este caso, la variable controlada final aparece fuera del circuito de control, y no es posible controlar las variables perturbantes que influyen durante la formación. Ejemplo:

Variable final controlada: Variable controlada:

Temperatura del contenido de un recipiente. Temperatura de la parrilla.

La variable controlada final, KA, también puede encontrarse dentro del sistema controlado, esto es, dentro del circuito cerrado de control. En este caso, la variable controlada se forma a través de la variable controlada final; las variables perturbadoras que influyen se pueden controlar. Ejemplo:

Variable controlada final: Variable controlada:

Relación de mezcla de dos líquidos. Resistencia específica.

Equipo de medición, variable r retroalimentada El equipo de medición es la suma total de los elementos funcionales para registrar, transferir, adaptar y distribuir las variables (ver figura 4). La variable retroalimentada r es la que resulta de la medición de la variable controlada x. Ajustador de variable de referencia, variable de referencia w El ajustador de variable de referencia es una unidad funcional que produce una variable de referencia w que se deriva de una variable objetivo w', definida por el usuario (ver figura 4). La variable de referencia 11' no está influida por el circuito cerrado de control con el que se relaciona; la variable de salida del circuito cerrado de control debe seguir a la variable de referencia con la dependencia especificada. Nota: Con mucha frecuencia, el objetivo y la variable de referencia son idénticos.

•

U'6

Ingeniería de control Terminología de la ingeniería de control

Dispositivo de conformación de la variable de referencia; variable objetivo w· El dispositivo de conformación de la variable de referencia produce. a partir de una variable objetivo w· -aplicada a la entrada- una variable de referencia w de salida. Este proceso de conformación asegura que la variable de referencia w, o sus derivadas respecto al tiempo. no rebasarán los valores críticos (ver figura 4). La variable objetivo w" se define externamente y no está influida por el sistema de circuito cerrado que se tiene en consideración; la variable controlada final w-del sistema de circuito cerrado debe seguir. con la dependencia especiñcada, a la variable objetivo. Comparador, variable de error e El comparador produce la variable de error de referencia w y la variable retroalimentada

e

=

e en

función de la variable r (ver figura 4).

w - r.

Elemento de control, controlador, variable de salida YR del controlador El elemento de control. o elemento controlador. produce la variable de salida ys,del controlador utilizando la variable de error edelcomparador. El proceso asegura que la variable controlada x del circuito de control siga a la variable de referencia w tan rápida y precisamente como sea posible. aun cuando haya variables perturbadoras presentes. El controlador está formado por el comparador y el elemento de control (ver figura 4). Actuador Es una unidad funcional que usa la variable de salida del controlador. YR. para formar y. La variable y es necesaria para modular el elemento de control final (ver figura 4). Elemento de control final, variable reguladora y El elemento de control final está en la entrada del sistema controlado e influye sobre .el flujo de energía. Su variable de entrada es la variable reguladora y (ver figura 4). Esta señal transmite el resultado de control del sistema al sistema controlado. Equipo de control final El equipo de control final está lormado por el actuador y el elemento de control final. Sistema de control Es aquella parte del diagrama de control que debe influir sobre el sistema controlado. a través del elemento de control final. Punto de regulación Es el punto de aplicación de la variable reguladora y. Punto de perturbación, variable de perturbación z Es el punto donde la variable de perturbación z, aplicada externamente. ejerce la influencia que se pretende en el control de circuito cerrado (ver figura 4).

u'S

Ingeniería

de control

Cantidades y funciones Cantidades

y funciones

que describen el comportamiento de circuitos de control

dinámico

Función de transferencia de circuito abierto Fo(s) Es el producto de todas las funciones de transferencia en serie de un circuito o un circuito de control. Ejemplo: u'g

Ganancia de circuito abierto Vo Es el valor de la función de transferencia de circuito abierto, Fo(s), cuando la variable de Laplace es s = O.Este término sólo se aplica a circuitos y circuitos de control sin comportamiento 1. Mientras mayor sea la ganancia de circuito abierto, más preciso será el control de circuito cerrado. Factor de control RF(O) Este factor se define por la ecuación u'10 Frecuencia angular de cruce de ganancia Wo Es la frecuencia, de circuito abierto, en la que el valor absoluto (amplitud) del circuito de control abierto es igual a 1.

•

Frecuencia angular de cruce de fase "'" Es la frecuencia de circuito abierto que existe cuando la fase de la respuesta del circuito de control abierto es -180°. Margen de fase Ii Es la diferencia angular entre la fase de la respuesta del circuito de control abierto, en la frecuencia angular de cruce de ganancia WQ, y-180°. El cambio de signo necesario en el circuito de control no se toma en cuenta.

-160" 000:Frecuencia angular de cruce de ganancia 0011:

Frecuencia angular de cruce de fase

Flg_ 5 Diagrama de valor absoluto y fase de la respuesta (no logaritmicaj de un circuito de control abierto


U'a

Cantidades y funciones

Margen de ganancia e Es el recíproco del valor absoluto (amplitud) del circuito de control abierto en la frecuencia angular de cruce de fase IDxTiempo para alcanzar la tolerancia inferior, Tlnlelo Es el intervalo de tiempo que comienza cuando el valor de la variable controlada x - después de aplicar una función escalón de la variable de referencia w, o una función escalón de la variable de perturbación z sale de determinado campo de tolerancia de la variable controlada, y termina cuando entra por primera vez a este campo (ver figuras 6 y 7).

Variaciónen el tiempo de la variable controlada, después de aplicar una función escalón de la vensbte de referencia w

T,. tiempo muerto

Una función escalón de la variable de referencia también produce un escalón en el campo de tolerancia de la variable controlada. Sobrepaso Im de la variabfe controfada El sobrepaso Im de la variable controlada x es la desviación máxima (momentánea) respecto al valor deseado durante la transición de unestado estable a otro, al aplicar una función escalón de la variable de referencia w o de una variable de perturbación z (ver figura 7). Valor deseado de desviaSobrepaso ciónenestadoestable Respuesta escalón

Flg.7 T;nicio

Variaciónen el tiempo de la variable controlada después de una función escalón de la variable de perturbación

z

Tiempo para alcanzar el estado estable, TUn Tlln es el tiempo que comienza cuando el valor de la variable controlada x - después de aplicar una función escalón de la variable de referencia w, o de la variable de perturbación z - sale de determinado campo de tolerancia de la variable controlada, y termina cuando entra en ese campo permanentemente (ver figuras 6 y 7),

Ingeniería de control Reglas

U'g

REGLAS PARADETERMINARLA FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL CIRCUITODE CONTROLTOTAL La función de transferenciacompleta se forma usando cada elemento de transferenciaindividual. Combinación en serie F(s) - F, (s)· F2 (s)

u'll

Combinación en paralelo

u'12

Regla de retroalimentación u(s)

v(s)

u'13

I Nota: El signo del denominadorde F(s) es el contrario del signo en el punto de suma del diagramade control. Un signo" +" en el punto de suma indica retroalimentaciónpositiva Un signo "." en el punto de suma indica retroalimentaciónnegativa Si F,(s) ylo F2(S) contienencambios de signo, entonces habrá retroaflrnentación negativa (positiva)cuando la cantidad de cambios de signo en todo el circuito sea impar (par). Caso especial: F2(S) = 1 (retroalimentacióndirecta).

..

v(s) u'14

F(s)

Ingeniería de control Reglas Regla ampliada de retroalimentación Si no hay puntos de suma entre las ramas de un diagrama de control, la función de transferencia se puede determinar con facilidad mediante la siguiente fórmula:

u'15

Fres (s) -

.!1.tl u(s)

donde

FVr~s (s)

1 + IFo¡(s)

Fvres (s) -

fi FVk k-l

1-1

FOi(S) indica la función de transferencia Fres(s) del circuito o circuitos únicos de control en el diagrama aplicado de control; téngase en cuenta que en circuitos de retroalimentación positiva, FQi se escribe con signo negativo en la suma del denominador de Fres. m

u'16

Fv res (s) -

n FVk es el producto

de todas las funciones de transferencia

k-l

de los elementos de transferencia recta.

que están en la trayectoria

más di-

El traslape de las líneas de acción no afecta la aplicación de la regla ampliada de retroalimentación. Ejemplo: u(s)

---<:)-..¡ FVl (S)

• u'17

Determinación de la función de transferencia con el método de anotación hacia atrás Para usar este método se comienza en la salida vIs) y se sigue el diagrama de control en la dirección de la variable de entrada o del punto B de suma de referencia. Se determina y se anota la transformada de Laplace de cada función de tiempo correspondiente antes y después de cada elemento de transferencia. Por último, en el punto B de suma de referencia se puede determinar la función de transferencia Fres(s) usando la transformada de Laplace que se conoce en este sitio.

Ingeniería

de control Reglas

Ejemplo: Paradescribir el método de anotación hacia atrás se determinan las transformadas de Laplacede las respectivasfunciones de tiempo en los puntos 1 a 6 del ejemplo siguiente:

FA1 X,., (s) = FV3 . vis)

u'20

En el punto B de suma de referenciase tiene la siguiente relación: u'21

u (s) - x® (s) = xil>(s) ,para x® (s) y xil>(s) usar los valores que se

obtuvieron anteriormente: u (s) - FA2. vis)

u'22

= _,_

[

FV1 (s)

1

+ FA1 (S)] . vis)

FV2 (s)· FV3 (s)

FV3 (s)

La solución Fres(s) de esta ecuaciónes la misma que se determinó en u'17: u'23

F res

() S

_

!1.:U = U (s)

FV1 (s) . FV2 (s)· FV3 (s)

1 + FV2 (s)· FA1 (s) + FV1 (s)· FV2 (s)· FV3 (s)· FA2 (S)

Reglas para la forma normalizada de la función de transferencia F(s) Si se usa la forma normalizadade la función de transferencia,se podrán ver con facilidad el tipo y las características del elemento de transferencia. Paratransformar una función de transferenciaen su forma nor-

•

Ingeniería de control Reglas mal izada, son necesarios un desarrollo bien fundado y la eliminación y combinación de paréntesis para asegurar que el numerador y denominador de la función de transferencia sean polinomios de la variable de Laplace s, o productos de polinomios de s en los que: a) no haya potencias negativas de s (es decir, que ni el numerador ni el denominador de la función de transferencia puedan contener una fracción en la que el denominador contenga s). b) la potencia minima de s tenga coeficiente 1, Y c) no haya factor común del polinomio. Ejemplo: u'24

()_!1tl

F 1

s

(1+S1S+S2s2+ -u(s)~SO(1+blS+b2S2+

Excepción:

)(1+C1S+C2s2+···)(···) )(1+dlS+d2?+"')("')

Si se encuentra un factor PI o PID, otra forma en la que se conserva este factor [1/(T ns) + 1 en el ejemplo] es una forma normalizada aceptable.

Ejemplo: u'25

F2(s) ~

!1tl = u (s)

K p

1 /(Tns)+ 1 = Kp . 1 + Tns 1 + Ts Tns 1 + Ts

A partir de la tabla de los elementos de transferencia más importantes, se puede determinar el siguiente tipo para esta ecuación: (PI) - T, -> 1- (PO) - T,. La siguiente tabla muestra distintos tipos de forma normalizada: Tipo de forma normalizada

Representación

Aplicación

Producto de forma normalizada

Denominador y numerador están en forma factorizada

Diagrama de Bode y estabilización en serie de circuitos de control

Suma de forma normalizada

Denominador y numerador están expresados como suma

Criterio de Hurwitz

Mezcla de lorma normalizada

Denominador dividido en factores, hasta donde sea posible. Numerador en forma de suma

Determinación de las respuestas escalón y rampa

La forma normalizada de producto tiene precedencia sobre las demás representaciones, ya que éstas se pueden determinar multiplicando los factores individuales de la forma normalizada del producto. Para que sea posible hacer reducciones posteriores, se debe posponer lo más posible la multiplicación de los términos entre paréntesis, si es que acaso se multiplican.

•


U'13

Reglas Ejemplo de la determinación de la forma normalizada de transferencia Se debe determinar la relación:

de una función

F(s) - b(s)/Fk(s)

u'26

para el siguiente diagrama de control B

B

u'27 u'28 u'29 u'30 u'31

Paso a paso se determinan:

y entonces

F, (s)

=

F(s)=B+F2(s) FnB(s) _ bqR(s)

u'32

F2 (s) _ bgR (s) Fk (s)

1/(nB) 1 +1/(nB)'1/(rms2)

+ F3(s)

_ 1 + nrmBs2

1/(q R s) qRs + F, (s)

1 + _1_F, (s) qRs

qRs +

rms2 1+ nrmBs2

1 + nrmBs2

u'33

qRs[1+nrmB?+

rms/(qR») _!_ _ s Rs

_-,1.:_/.1-'(m=SL) _,

u'34

u'35

F, (s) - FnB (s) / bqR (s) F2 (s) - bqR (s) / Fk (s) F3(s) - bR(s)/ Fk(s)

1 +R/(ms) F(s)

_ B +

1 Rs[1+ms/R]

+ __

1

[1 +ms/R)

--::---'-1_;+_,_,n,:_r"'m,_,B:"s'-2 _

qRs'[1+rms/(qR)+nrmB?]

Esta descripción de F(s) muestra que el sistema que conduce a este diagrama de control es una combinación en paralelo, formada a partir de un elemento P (B), un elemento I - T, (primera fracción) y un elemento I (PO) - T 2 (segunda fracción).

•

E'jemplos de estructura

p v = Kp 'u

Elemento proporcional

V=K,fudt t

= KIJ

U dt+

V = KI' U

v(O)

Ingeniería de control Elementos primitivos de transferencia Elemento de retraso de primer orden Función de transferencia F(s) =

=

Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) diagrama

__________________ ~e Kp

)

_

..

t

________________ ~L ~!

_

h1t1h/ l

l hJ

~

([h] = Unidad de h)

k2j

..

o0[í1í/K1

t

~ r---~~~~~~~----r-----------~K~D~'~Ó~(~t)~----------~

...-e-

'"

KD·s

..

___ ~_.!'~!~ _~_-:_~~_:

t

~__p~~a_ J_?_!'.!

...

_

t

_____________ '!?_ (!z:~~t~~t

_

...

t

Ver la explicación de los simbolos en U'35

I

Ingeniería

de control

Elemento de retraso de segundo orden Elemento PI de combinación en paralelo Identificador Símb. en el diaarama de ctrol.

f--

Ecuación en el dominio del tiempo

-jV+ 2$0 IÍ + (~0)2

Ejemplos de estructura

v =f--+-------------j

~

'"

v

'" '::J

v Pf

=

KI

fu

d t + Kp'

u

=Kp(;)Udt+U) donde Tn = Kp / KI KplTn

~ Ver la explicación de los símbolos en U'35

1

Tn

Ingeniería de control Elemento de retraso de segundo orden Elemento PI de combinación en paralelo Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) =

Función de transferencia F(s) =

diagrama

Kp

1+2

e! (~J i s +

2 •

O
n+2e 2_W~d

ro

~~

~

<1l

~

311+2e 51r+2e 2w~d~ __ 2_w~d

--4

Ir]

~~_l~~_T~;_~2__(~~~-_~_~~_~_~_L_.

K

p

(1 + T, s) (1 + T2 s)

1

h(t)

T, ,w 2 o= _1_ (t') ± ,~) V If

-

I

I(Kp KP[1-(1(+1)K;:::-¡(~

{} > 1

T

8> 1

1(:1

1./ ::r

V1

I

.

t KIt + Kp ~ Kp (1 + T.) ----------------------------~---------KI-} + Kp

«; [T: .s + ....!i!!_ Tn -s

(1 +

1]

t; ·s)

Ver la explicación de los símbolos en U'35

I

Ingeniería de control Elementos PO,PID de combinación en paralelo Elementos 1-T 1 Y D-T 1 de combinación en serie Identificador Símb. en el diagrama de ctrol.

Ecuación en el dominio del tiempo

Ejemplos de estructura

v ~ Kp' u + Ko . ú PO ~Kp(u+Tv'u)

T ~ Ko v Kp

PIO

T ~ Ko v Kp

KI

v + T v ~ KI KI

fu

~ dI

T

~

~

v+Tv~Ko'ú Ko

T

~ Ver la explicación de los símbolos en U'35

1

T

Ingeniería de control Elementos PO, PIO de combinación en paralelo Elementos 1-T 1 Y 0- T 1 de combinación en serie Función de transferencia F(s) =

Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) = diagrama

______________ ~~_~_~º ~_(!1

_

Kp+Ko's

«; (1

+ Tv's)

~ K,

mi

Kp

r:::: '::J

[-r.-:,-s

+ 1 +

Tv'S]

x;

+

Kit

para O

O<~
M

~ el!

s1 + Kp + Ko ' s

[t

KI

t;

..

+ Koé(t)

<

Tn

<

Tvk

-t

+y1-4Ty/1'n)

Tn(1-

V1-4

+ Tnk ' Tvk

~t)i:

s

Tnk -tTn(1

Kp [~+

.•.• " .-- -~

TvI'Fn)

1 + Tvc5(t)]

co ;

r.;

+ T~: +

KPk(_1_ + 1) (1 + Tvk -s) Tnk 's KI (1 + Tnk -s) (1 + Tvk 's)

=

t

s (t)]

~

/-;:;~ O

o
'Tn

.

___________ ~! ~~ =-:~ _+_ T.._ ~-_'~~1

TI-----,¡ h(t)

KI

s(1+T·s)

037 KI ~'I---,..L/-__.,-.,.jl~ .... /

O

. _ ...

T

KL

__ .

~_D_ ~ ~

!.7_'1 ~ ~~/. T

_

O.37K~

O

.

O

T

..

t

Ver la explicación de los símbolos en U'35

I

Ingeniería

de control

Elemento de combinación en serie Elementos (PD)-T1 Y (PID)-T1 de combinación en grupo Identificador Símb. en el diagrama de ctrol,

Ecuaciónen el dominio del tiempo

Ejemplosde estructura

u

v+

2 (Vo{) + (1) o

V

~

~

v

~

(1)0

2

v= 00

~ Ko'u u~v

~

v + T Ii ~ Kp' u + Ko u (PD)-T1

~Kp[U+Ty'Ül t;

Ko Kp

Kp

v + T v ~ KI fu (PID)-T1

~ Kp[)n

fUdl

+U+Ty'Ü] t;

~

dI +

Ko Kp

Ver la explicaciónde los símbolos en U'35

+

Tn,Tv

1

T

Ingeniería

de control

Elemento

de combinación en serie (PD)-Tl y (PID)-Tl de combinación en grupo

Elementos

Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) =

Función de transferencia F(s) =

diagrama

~~~~2_'_e.~~:t~ ~~~»:_~ ~~ __~~~ ~~~_ ?~ Ko'«)O'9 -(~-e)tan Ko's

e

h(t)

1

s< 1

FaiO

e = Arcsen 9

i-

'mi

KO - Kp ] e.s. [( T. 1 ) e_...!...]T Kp + [ T T = Kp 1 + ----------- ---------- --- ------- - ---

--

Kp + Ko's

1 + Tr s K

1 + T,

s

p~

Kp+Kp

(T. - T) . s ~

T; - T = T_*

I

K¡ / s + Kp + Ka . s 1 + T·s K 1 / (Tn, s) + 1 + Tv' s p 1+T·s 1 Tn* Kp [ Tn. s + Tn +

+ TnTv-TTn*s] Tn(1+T's) Tn = I

T; = Ko/Kp

T/ = Tn - T Ver la explicación de los símbolos en U'35

Ingeniería de control Métodos para determinar la estabilidad Estabilidad

del circuito de control y cálculo para un controlador (para circuitos lineales de control)

Definición de estabilidad La estabilidad se alcanza después de la alteración de la variable de referencia o de la aparición de una variable de perturbación, cuando la variable controlada alcanza un valor estable. Comentario: El factor de control RF(O) es el que reduce una perturbación aplicada entre la salida del elemento controlador y el punto de medición. Con un elemento controlador P no se compensan totalmente las perturbaciones como en el caso de un elemento controlador PI. Métodos para comprobar Suposiciones:

la estabilidad

de un circuito

de control

Se conocen la función de referencia o la de transferencia de la perturbación del circuito cerrado de control, o la función escalón unitario. Se conoce la función de transferencia de circuito abierto 1. Criterio de Hurwitz La estabilidad sólo se puede determinar mediante el criterio de Hurwitz cuando se conoce la función de referencia o la de transferencia de perturbación del circuito cerrado de control, en forma de polinomio. La estabilidad se alcanza cuando los coeficientes de la ecuación característica (cuando el polinomio del denominador de la función de transferencia = O) u'118 satisfacen las siguientes condiciones: • Todos los coeficientes a, deben ser> O (ver también G'1) • Los coeficientes mismos deben cumplir dependencias especiales. Condiciones para ecuaciones hasta el grado 5· Ecuación 1er grado 2do grado 3er grado 4to grado 5to grado

condiciones de los coeficientes ao y a, >O ao. a2 >O a, a2 - a3a02> O 2 a, a2 a3 - a3 ao - a, a4 > O 2 2 2 A = a, 82a3 84 + ao 8, 8485 - 8, 82285 - 8'2842 > O B = 808, 8485 + 80 a2 83a5 - 8083 84 - 80 85 > O Dn_, = A -B > O

a,.

Para polinomios de mayor grado ver "Ebel, Tjark, Regelungstechnik, 6' edición, Stuttgart Teubner 1991, pág. 38 Y ss" (Continúa en U'19)

•

Ingeniería

de control

Métodos para determinar

la estabilidad

Ventaja:Estemétodoconducea una definición rápiday exactaacercade la estabilidadde determinado circuito de control. Desventaja: No proporciona información acerca de la resiliencia de un circuito de control a la inestabilidad,del resultado de cambios de sus características ni de su comportamientodinámico;por estas razones generalmentese prefieren otros métodos. 2. Reduccióna polinomios únicos Se transforma la función de transferencia de referencia o de perturbación en una suma de polinomios únicos de 20.orden como máximo (ver el desarrollo en fracciones parciales en B'I): En un circuito de control estable sólo hay elementosde transferenciaestables. Estos son generalmenteelementospuros P o retrasados P yelementos retrasados PD. Si hay un elemento 1,I-T, o I-(PD) el circuito de control se volverá inestable. Ventajas:En los casos estable e inestable, la evaluaciónde la referencia transformadao de la función de transferenciade perturbaciónconduce a una conclusión acerca del grado de estabilidad o inestabilidad del circuito de control. Para obtener esta información, deben sobreponerse las funciones de transferenciade todos los elementossencillos. Desventajas:No es posible observar el efecto de la introducción de un elemento de control definido ni saber cuál de las características se debe cambiar paraobtener el comportamientorequeridode un circuito de control.Despuésde cadacambio al elementode controlse debe hacer un nuevocálculo de la transición aritmética del circuito de control abierto al circuito de control cerrado. 3. Criterio de Nyquist Este criterio establece que el circuito (cerrado) de control es estable cuando el lugar geométricode la respuestaen frecuencia FoUw) del circuito de control abierto - en el sentido de los valores mayores de la frecuencia angular to - siempre tiene a su izquierdael punto crítico -1 en el plano complejo.Mientras mayorsea la distancia entre el lugar geométrico de respuesta en frecuencia y el punto crítico -1, más robusto será el circuito de control respecto a los efectos de variaciones inesperadasen los datos característicos. Una medida de qué tanto se acerca el sistema a la inestabilidad se expresa con dos valores característicos:

(Continúaen U'20)

•

Ingeniería

de control

U'20

Estabilidad Elección del tipo de elemento de control

Margen de fase 8 (ver U7) y margen de ganancia E (ver U'S) La determinación de los valores reales de ambas características y la obtención de sus valores requeridos mediante la inserción de un elemento adecuado de control se logran a través del diagrama de Bode.

Flg.8 Valores recomendados Valores recomendados

para el margen de fase para el margen de ganancia E : de S a 16 dB (corresponde a los factores 2.5 a 6.3)

Ventajas: El examen de la función de transferencia Fo(s) del circuito de control abierto - especialmente la respuesta en frecuencia relacionada FoUw) (sustitución de s por jw) - conduce con mucha facilidad a un criterio de estabilidad y muestra la resiliencia a la inestabilidad - en especial cuando hay cambios inesperados en las características del circuito de control. También se pueden observar con mucha facilidad los efectos de cambios en el tipo y en las características del elemento de control - usando una inserción en serie sencilla en el circuito de control - al igual que el comportamiento dinámico resultante del circuito de control.

Elección del tipo de elemento de control General En la mayor parte de los circuitos de control, el sistema controlado y el equipo de medición son, en conjunto, del tipo (PO)-To, lo que indica una conexión en serie de varios elementos PO y de elementos de retraso. Los tiempos de acción derivada t; = KoIKp de los elementos PO siempre son esencialmente menores que los tiempos de retraso de los elementos de retraso; en los sistemas reales en un factor mayor que 10. Los elementos de control más importantes En los circuitos lineales de control sólo los elementos (PIO)-T, son verdaderamente importantes. Características

de un circuito

de control

p, PI, (PO)- T I Y

con un elemento

de control

P o (PD)-T, Cuando hay una influencia de las variables de perturbación entre el elemento de control y el punto de medición sólo es posible una exactitud finita, Esa exactitud está expresada por el valor del factor de control RF(O).

aplicadas Punto de medición

(Continua en U'21)

I

Ingeniería

de control

Determinación gráfica de un controlador Características de un circuito de control con un elemento de control PI o (PID)-T, Es posible compensar totalmente la influencia de las variables de perturbación aplicadas entre el elemento de control y el punto de medición. Si el sistema controlado contiene un elemento I sin variables de perturbación con retroalimentación negativa aplicadas entre la salida del elemento I en el sistema controlado y el punto de medición, habrá compensación completa aunque no haya factor 1. Nota: Nunca se pueden compensar las variables de perturbación aplicadas entre el punto de medición y la salida del elemento controlador.

Determinación gráfica de un controlador lineal basada en el criterio de Nyquist General El procedimiento se lleva a cabo por medio del diagrama de Bode. Para este diagrama son necesarias tanto la construcción de la conexión en serie del sistema controlado como el equipo de medición, al igual que la construcción del elemento de control. El diagrama de Bode de todo el circuito se determina sumando (multiplicando) la amplitud y la fase de la respuesta de los elementos de transferencia en serie sencilla (ver U'22 y U'23). Esto es posible debido a la naturaleza logarítmica de la amplitud de la respuesta, después de la conversión a dB. Para el trazo gráfico se debe usar papel semilogarítmico con 4 décadas en el eje.l. Procedimiento: Determinar el área de la frecuencia angular copara la cual se debe trazar el diagrama de Bode; graficar todos los puntos de cruce de interés. Sólo se permiten factores de respuesta en frecuencia del tipo 1, P, D, T" P-TI, PD Y P-T2, con atenuación i) < 1 (ver U'22 y U'23) Después de extraer el factor 1, los elementos PI se convierten a una estructura I-PD y los elementos PID con T nIT v> 4 se convierten a una estructura I-PD-PD. Todos los coeficientes de acción en serie, el Integral - (KI), el Proporcional - (Kp) o el Derivado (KD) se resumen en un coeficiente de acción. Se representa la amplitud de la respuesta. Se representa la fase de la respuesta. Se termina mediante el elemento de control. Las tablas de las páginas U'22 y U'23 muestran los diagramas de Bode para elementos P, 1, D, T" P-T" P-T2 Y PD. Estos diagramas se utilizan para determinar la amplitud y la fase de la respuesta.

•


U'22 Sirnbolo

Diagramas de Bode para elementos básicos y elementos P-Tl

Amplitud de la resp. F(w) =

Fase de la resp. Are F(jw) = rp =

Diagrama (Ampl. logaritm.)

Diagrama (fase lineal)

o

Kp FldB - ~ < n < +ee , entero P

Kpl~0S+

'PIlO lOn lOn+l 10n+2 100+3 lOn+4¡OI}

_ O

20 O

-90 - 00

___________

!C..t: _1!_0!

_

-900

FldB - ~ < n < +~, entero 40 20

"'<20

'1'/10

IOn 10n+' 10",2 lOn+3 lOn+4 ¡.,j

dB/déeada

O

¡tu}

O

-90+-------

IOn 10n+'Id';~.""10n+3 10n+4

- 00 < n < +00, entero

K¡ ="'D

(/)/10

-

00

+00,

entero

90+--------

D

40 20

~O+-~~__~--~~~T¡,~ 10-210-' __

m

__

100

lO'

102

-180

!<:.p_d~"!:_(!:QJ)~ _ FldB

P-T,

< n < +00, entero

~O 3,j KpldS!-20 ~~O dB/dole. O Tw ~'_10--2~IO-_7,-410~0~;10~'~'~10~2~

=± I

'<

-180

Ingeniería

de control

U'23

Diagramas de Bode para elementos P-T2 y PD Símbolo


Fase de la resp. Are F(jw) = cp

Diagrama (Ampl. logaritm.)

=


1_ tan'

Kp

2

(0%)2 - 90°

o .!Q. Wo

VKp2+(KO'W)2

=

«;

V1 + (T w)2

donde T;

PD

tan-: T;

y

w

I

= Ko/ Kp

-------------------------. -------------------------'PIlO

40 20 10-210.1 -90

100

lO'

Ingeniería de control Diagramas de Bode para los elementos (PD)-T1 y (PID)-T1 Símbolo


Fase de la resp. Are F(jw)

Diagrama (Ampl. logarítm.)

= cp =


Kp2 + (KOW)2 1 + (Tw)2

Aretan (Tyw) - Aretan (Tw)

1 + (TyW)2 1 + (Tw)2

----- -- - -- - - --- - - - - - - - ;/~ -V-;.v~:¡- - - - - (PD)-TI

Kp +(KDw-K1lw)2 1 + (Tw)2

1 + [Tyw - 1/(Tnw)]2 1 + (Tw)2

Arctan[Tyw - _1_]_ Arctan{Tw) Tnw 0< TnlTy < 00 to » O = Arcsen Ty W - 1 I(Tn w) _ + [Tyw - 1/(Tnw)j2 - Arctan (Tw)

y1

~ _<_ !_n~!v_ ~ _":

45

o -45

-2

10

-1

10

~ ~

s

Ingeniería

de control

Amplitud de la respuesta Método para representar pleto

la amplitud

de la respuesta

U'25 del circuito

com-

Nota preliminar: los puntos de quiebre de la amplitud de la respuesta se marcan con flechas en la parte superior de la gráfica. Una flecha con una punta hacia abajo caracteriza una pendiente de que se obtiene mediante un factor P-T, (ver U'14) en

-20 dB/década el punto l/T.

Una flecha con dos puntas hacia abajo caracteriza una pendiente de que se obtiene mediante un factor P-T2 (ver U'15), con 1) < 1; los factores P-T 2 con 1) > 1 se dividen en dos factores P-T t-

-40 dB/década

Los factores PO (+20 dB/década en el punto llTv) con pendiente positiva se caracterizan con puntas de flechas hacia arriba. Después de estimar la variación de la amplitud de la respuesta dentro de las 4 décadas de la frecuencia angular co, se debe escoger la escala de tal modo que la zona de interés aparezca con la máxima resolución posible; elorigen será definido por el valor máximo esperado de la amplitud de la respuesta.

A continuación se determina el valor de la amplitud de la respuesta en el margen izquierdo del dibujo. Si la conexión en serie por representar contiene un factor I o O, el valor y la pendiente iniciales se determinan por I o O; en cualquier otro caso, por el factor P. El valor inicial se determina usando FldB = 20 10g(K,/w) (factor 1), FldB = 20 log Kow (factor O) o FldB = 20 log Kp (factor P); véase U'22 y U'23. Comentario: Se deben omitir aquí las unidades físicas de K" Ko o Kp, para añadirlas después al hacer la evaluación. El gradiente de la amplitud de la respuesta hasta el primer quiebre es -20 dB/década (factor 1), +20 dB/déc. (factor O) o O (factor P). La curva asintótica de la amplitud de la respuesta se traza de un punto de quiebre al siguiente; para ello se deben considerar los cambios anteriores, que corresponden a las flechas indicadas. El factor T, no influye sobre la amplitud de la respuesta. Por último, se hacen correcciones en los puntos de quiebre: cuando se usa el factor P-T" la curva asintótica se corrige en los puntos wE/2 Y 2WEen -1 dB, Y en la frecuencia angular de quiebre WE en -3 dB. Cuando se usa el factor PO (inverso del factor P-T,), se deben hacer las correcciones correspondientes en el punto de quiebre WE= llTv. de abajo hacia arriba, (es decir, + 3 dB). Cerca del punto de quiebre de un factor P-T2 con tJ < 1, la curva asintótica se corrige en -10 log [1 -(wlwa)2 + 2 ( 1) ",",wo)2).

•

Ingeniería

de control

U'26

Fase de la respuesta Representación

de la fase de la respuesta

La fase de la respuesta del circuito completo se determina sumando las fases de las respuestas individuales de los elementos de transferencia conectados en serie, o de los factores de respuesta en frecuencia. Los factores individuales también U'22 y U'23): Factor

contribuyen

con los siguientes

valores (ver

Fase de la respuesta

P I D

0° - 90° + 90°

T,

-7;w

P-T, PD

- tan' Tw + tan-i t;«

P-T2 con Ü < 1

tan" 1-(W/wo)2 _ 900 20 w /wo

PI = 1- PD

- 90° + tan"

Tabla A

T« w

Comentario: mientras que el factor P no tiene efecto alguno, la contribución del factor T, es muy importante y aumenta con w. Nota: Después de agrupar los factores constitutivos tinuación se determinan los valores de la fase ejemplo, usando la memoria de una calculadora ral, la fase de la respuesta del factor T, se debe 180 /rr para obtener un resultado en grados.

en una suma, a conde la respuesta, por de bolsillo. En genesustituir con el factor

0

Por ultimo, se deben elegir la escala y el origen de la gráfica de la fase de la respuesta de tal manera que la zona de mayor interés aparezca con la máxima resolución posible. La fase de la respuesta se traza en el mismo diagrama que el de la amplitud de la respuesta. La escala del eje y se muestra en el margen derecho del dibujo. Determinación

del elemento

de control

Problema: El resultado debe ser tal que se satisfagan los requisitos del margen de fase 8 y del margen [ de ganancia Considerando la figura 8 de U'20, esto quiere decir que el indicador de respuesta en la frecuencia del circuito abierto de control final cerca del punto crítico -1 debe satisfacer dos requisitos: en frecuencia anqular con amplitud 1 (frecuencia angular de cruce de ganancia) la distancia de fase en la parte negativa del eje real debe ser cuando menos 0, y a la frecuencia angular donde la fase es -180° (la frecuencia angular de cruce de fase), la amplitud debe de ser como máximo, l/c (Continua en U'27)

•

Ingeniería

de control

U'27

Fase de la respuesta Procedimiento (j)

Elegir las razones entre los tiempos caracteristicos inherentes al elemento de control y la frecuencia angular de quiebre OlE, la frecuencia angular de cruce de ganancia OlD (realización de la instrucción del margen de fase) o la frecuencia angular de cruce de fase Ol, (realización de la instrucción del margen de ganancia). Comentario: Debido al eje cocon escala logaritmica, se obtienen distancias definidas entre los puntos de quiebre de la amplitud de la respuesta y las frecuencias angulares elegidas para la determinación. En la práctica se aconsejan los siguientes valores:

TablaB Tipo del elemento de control

Tn(l)D

T\{ooo

resp. Tn(J)1{

resp. Tv<»,

Tvk(l)D

resp.

TnklTvk

Tvk(J)n

1/(TOlD) resp. 1/(TOl,)

P PI (PD)-T, (PID)-T,

4 ... 10 4 ... 10 2

.10

Los valores reales de los tiempos caracteristicos no se conocen sin calcularlos. Después de elegir la razón, se lijan las formas de la respuesta.

4

.. 10

8 8

20 20

del elemento de control de la amplitud y de la las e

La posición final de la amplitud y de la fase de la respuesta se determinan mediante el siguiente procedimiento: Se hace un corrimiento en la dirección del eje x determinando la frecuencia angular de cruce de ganancia OlD, o la frecuencia angular de cruce de fase Ol,. Se hace un corrimiento en la dirección del eje y (sólo en la curva de amplitud de la respuesta) determinando la ganancia proporcional KpR' o el coeficiente de acción integral K'R' del elemento de control.

Cll

Además se conocen la fase R'(OlD) para el margen de fase y OlR'(W ,) para la determinación del margen de ganancia [en este caso R'(OlD) = OlR*('Ú ,)J. Éstas son las fases que tiene el elemento de control en la frecuencia angular de cruce de ganancia OlD, hasta ahora desconocida, yen la frecuencia angular de cruce de fase Ol" respectivamente. El valor de la fase se determina calculándolo (ver la tabla A en U'26), o con valores demostrados que ya contengan la elección de las razones que describimos arriba. El subindice R representa valores que pertenecen al elemento de control. O Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33.

•

Ingeniería de control Condición

de margen de fase

U'28

Obtención de la condición de margen de fase

®

o

El margen de fase y la fase - R'- t 80" +

o.

Comentario: Mientras más negativa es la fase
o

La frecuencia angular con fase
o

Este requisito se satisface cuando la amplitud inversa de la respuesta del equipo de control se grafica de tal modo que corte la respuesta Fy(w)' de la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición en (l)Dó·

La construcción de la amplitud inversa de la respuesta, FR(W)-", del elemento de control se lleva a cabo según U'25; la inversión se alcanza mediante la anulación de los valores de la pendiente, mientras permanecen fijos los puntos de quiebre. La curva se traza hacia ambos lados a partir de la frecuencia angular de cruce de ganancia wo.

®

La posición de los puntos de quiebre se determina cuando se aplican las razones que se eligieron inicialmente a la frecuencia angular de cruce de ganancia Wosdeterminada a partir del diagrama.

®

La pendiente de las secciones de la curva asintótica de la amplitud de la respuesta FR(w)-"se traslada por desplazamiento paralelo de dos líneas auxiliares que se han graficado antes en una parte desocupada del diagrama de Bode. Sólo se necesitan correcciones cuando la intersección queda dentro de su área.

®

A partir de la amplitud de la respuesta inversa determinada FR(W)-"del elemento de control, se puede leer el (KpR') proporcional- o el coeliciente de acción de integración (KIR') del elemento de control. Con estos valores se pueden determinar elementos de control de los tipos P, PI Y (PD)-T,_ Se pueden determinar los coeficientes de acción de conexión en serie KpK, Tnk Y Tv« para el elemento de control (PID)-T,. Estos se transforman en los coeficientes de acción de conexión en paralelo KpR', Tn Y Tv mediante las siguientes relaciones. Para valores grandes de las razones TnwTvk (TnWJ~k > 10) se puede omitir la conversión.

®

KpR

O

=

Kpk K KpkR_ T ~Tnk·Tyk r;;;;-' (Tnk + Tyk); Tn = Tnk + Tyk; IR = -r;;;;-' y Tnk+ Tyk

El subíndice R (subíndice y) caracteriza valores pertenecientes mento de control (sistema controlado). Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33).

al ele-

•

Ingeniería de control Condición de margen de ganancia

U'29

Obtención de la condición de margen de ganancia La determinación es muy parecida a la de la condición de margen de fase:

@ @

- Determinar la fase <1>, = - A'- t 80' - Determinar la frecuencia angular de cruce de fase, w", donde se alcanza la fase <1>, en la fase de la respuesta
@

®

- Determinar la pendiente mF de la amplitud de la respuesta inversa FA(w)"'del elemento de control cerca de la frecuencia angular de cruce de fase w". Se traza una sección asintótica con esta pendiente, a través del punto del valor de amplitud de la respuesta de Fy(ú)'del sistema controlado y el equipo de medición en la frecuencia angular de cruce de fase (l)1"{["

®

- La amplitud inversa de la respuesta FA(úJ)" del elemento de control se grafica y se evalúa en la distancia [ldB (arriba de esta sección asintótica) de la misma forma que se hizo antes para obtener el margen de fase.

®

- En el caso de un elemento de control (PID)-T" todo que en ®.

®

Nota: Se recomienda, además, determinar la frecuencia angular de cruce de ganancia wo,. Esa frecuencia está en el punto de intersección de Fy(w)' de la conexión en sane del sistema controlado y el equipo de medición, y la amplitud inversa de la respuesta FA,(úJ)-" del elemento de control.

se sigue el mismo mé-

Elección de uno de los dos elementos de control que se determinaron No sólo la obtención de la condición de margen de fase, sino también la del margen de ganancia, conduce a la determinación de un elemento de control. Se escoge el elemento con el menor coeficiente de acción proporcional - o integral. Salvo algunas raras excepciones, con esta elección el elemento de control también cumple el otro requisito de la determinación Comparación entre elementos de control determinados por medio de la elección de distintas razones Con la elección de distintas razones se obtiene el mejor comportamiento del elemento de control determinado para el elemento con el valor máximo de la frecuencia angular de cruce de ganancia (l)D.Esta frecuencia angular - determinada para el Circuito abierto de control - es una cantidad que indica la rapidez con la que se llega al valor final en el encuno cerrado de control. , Ver la explicación de los subíndices R y Y en la nota al pie de la página U'28.

•

c:

!!Q

+15 r---------,---~~~~~~~+_--------~~--_r~~,_~ ..: +10~~--------~ 11';" ir·! + 5 r-- __

~

...

)1

O

O

-

40

-

80

:::J

ce ~

-10

_. :::J

- 120 -30

~

3

-160 -40 - 200

-50 -60

...-~ 1»

~

-20

- 240

¡,.:, """" -' '.. Ver expli~ci6nde IO~sfmboloser ~'3~ ! ' ,., .'.~:

10-2

3

4

5 67

1'0-1

3

4 5

'ti

O" 1/1

C. ~ C")

O

...... :::J

-

O el 100

Diagrama de Bode del ejemplo 1

Ingeniería

de control

U'31

Ejemplos

Ejemplo 1: Determinación de un elemento de control PI o P Problema: Determinar un elemento de control PI con t; = 10/"'0 Y t; = 10/",. para un circuito de control con la conexión en serie de sistema controlado y equipo de medición de comportamiento P-T3 (P-T,-T2). El margen de fase ó debe ser 400 mínimo, el margen E de ganancia 3.16 mínimo (corresponde a 10 dB).

F( ) llil. 4 s ~ y(s) = (1 +10sec·s) [1 +0.8/(5sec)s+I/(25sec2),f] Solución: De acuerdo con U'13 a U'17. se leen primero los datos característicos Kpy = 4, T = 10 seg, = 5 seqi, en la función de transferencia F(s) de la conexión en serie. A continuación. según U'22, se deben trazar la amplitud de la respuesta Fy y la fase de la respuesta y de la conexión en serie.

"'o

Los siguientes pasos de la determinación están numerados dentro de un círculo en el margen izquierdo de las páginas U'27 a U·29. Esos números también se muestran en el diagrama de Bode de U'30 en sus lugares correspondientes. En esos pasos se determinan los siguientes resultados: 2 3 4 5 8 11 12 13 14 16 18 21

'PR

(roo) = 'PR (ro,,) = - 90° + Aretan [(10/ roo)' roo] = - 6° = -180° + 40° + 6° = -134° rooo = 3.4 see-1 Debido al Tn = 10/wo --+ lITnO = 0.34 sec" --+ TnO = 2.94 sec KpR6 en dB = 16.5 -> KpR6 = 6.68 -> K1R6 = 2.23 sec " 'P, = -180° + _~o = -174° ron, = 4.8 see Debido al Tn = lO/ro" -> I/Tn• = ro"./10 = 0.48 sec" -> Tn• = 2.08 see

'Po

O KpR, en dB = 9 -> KpR, = 2.82 -> K1R, = 1.32 sec "

mF =

roo, = 1.2 sec"" KpR, < KpR6 -> KpR = 2.82.

De acuerdo con esta lista, el controlador requerido tiene los datos característicos: KpR = 2.82; To = 2.08 seq. La rapidez con la que el circuito controlado que usa este controlador llega a sus valores finales se caracteriza por Wo = 1.2 se9·1 La determinación de un elemento controlador P se lleva a cabo en forma parecida a la del elemento de control PI: El resultado de acuerdo con los pasos numerados es: 3

filo

= -180° + 40° = -140°

4 woo = 3.4 sec'" 8 KpROendB=-16.5--+KpRO=6.7

1"

fIl, = -1800 12 w.. = 5 sec'" 16 KpR,endB=-IO-KpR,=3.16 (Continúa en U'33)

•

c: fd'"

+15 +10

o

+ 5

-

o -10

:::s

ca el)

40

¡FI.

:::s _.

80

-20

el) - 120

-30 -40

.!!'! ID 3

-~

"""1

m

- 160 "CO' ti)

C.

- 200

e

- 240

:::s

-50

el)

o

.... """1

o

-60 10-2

3

•

5 ti 7

10-1

10° Diagrama de Bode del ejemplo 2

sec·(¡)

Ingeniería

de control

Ejemplos

U'33

18 roo, - 1.3 see-1 21 KpR, < KpR6--+ KpR - 3.16; Vo - KpR . KPy - 3.16· 4 - 12.6 --+ RF (O) - 1/(1 + Vol - 7.3%. Los pasos 1,2, 5, 6, 9, 13 Y 14 no son aplicables en la determinación. !Los pasos 7 y 15 sólo se llevan a cabo dentro del diagrama de Bode! Comentario: El factor de control RF(O) es aquel con el que se reduce una perturbación aplicada entre la salida del elemento de control y el punto de medición. Con un elemento de control P las perturbaciones no se compensan por completo, como es el caso de un elemento de control PI.

Ejemplo 2: Determinación de un elemento de control (PID)-T, Problema: Para un circuito de control con la misma conexión en serie que la del ejemplo 1, determinar un elemento de control (PIO)- T 1 para los siguientes valores:

1/Tnk6 -roo6/12 1/Tnk, - ro",/12 Los márgenes de fase y de ganancia aeben tener los mismos valores que en el ejemplo 1. Solución: La amplitud y la fase de la respuesta se pueden tomar del ejemplo 1. Se deben llevar a cabo los pasos numerados (en circulos) en el margen izquierdo de las páginas U'27 a U'29; esos números también se muestran en la gráfica de U'32. Los resultados de los pasos respectivos son:

2 q:>R6 ~ -900 + Aretan (12 roo/roo) + Aretan (4 roofroo) - Aretan [(1/6) - (ro¡;/roolJ ~ 620 3 q:>6~ -1800 + 0- q:>R ~ -1800 + 400 - 62 - -2020 4 ro06 ~ 6.0 sec"" 5 1/Tnk6 ~ CLl06/12~ 6/(12 see) ~ 0.5 sec": Tnk6 = 2 see; 1/Tvk6 ~ roof4 ~ 6/(4 see) ~ 1.5 sec": Tvk6 = 0.67 see; 1/T6 - 6 roo - 36 sec" --+ T6 - 28 msee 8 KpkR6en dB = 12 --+ KpkR6- 4 9 KpR6= (4/2) - 2.67 = 5.34 Tn6 ~ (2 + 0.67) see ~ 2.67 sec; Tv6 ~ 2·0.67 see/2.67 = 0.5 see 11 q:>,= - 1800 2420 12 ro".=10see 13 l/Tnk, = ro",/12 = 10/12 sec" = 0.83 sec": Tnk, = 1.2 sec. l/Tvk• = ro",/4 = 10/4 sec"" = 2.5 sec ": Tvk, = 0.4 see; l/T, = 6 ro". = 60 sec'": T, - 17 msee 14 mF = -20 dB/Oek. 16 KpkR, en dB = 17 --+ KpkR, ~ 7.1 17 KpR, ~ 7.1/1.2· (1.2 + 0.4) =9.47; Tn• = (1.2+ 0.4) see ~ 1.6 see; Tv, ~ 1.2· 0.4/(1.2 + 0.4) see ~ 0.3 see. 18 roo, = 6. 2 sec " 21 KpR6 < KpR, -> KpR = 5.34

:,'PR, - -

(Continúa en U'34)

•

Ingeniería

de control

Reglas para ajustes Continuación

I

U'34

de U'33

El elemento de control (PIO)-T, adecuado tiene los datos característicos: KpR = 5.34, Th = 2.67 seg, T = 0.5 seg. La rapidez con que el circuito de control adecuado llega al valor final se caracteriza por (l)D = 6.0 seqt. Reglas empíricas para ajustar elementos de control P, PI Y PIO Para sistemas controlados con un elemento de retraso de primer orden y un elemento de tiempo muerto - esto es, sistemas controlados sin la parte I o factores I - ZIEGLER y NICHOLS recomiendan los siguientes datos característicos para los tipos de elementos de control arriba citados. Se conocen Kpy, Ty Y T,y del sistema controlado:

TablaC controlador P

t;

KpR

1"",

___!i_ Kpy' Tty

___!i_

PI

0,9 K

PID

1 ,2 K

Py'

T.

ty

.u«: T.

Se desconocen

Py'

3.3 T,y

r;

2

ty

los datos característicos

0,5 Tty

del sistema controlado'

TablaD controlador

KpR

P

0,5 KPRerít *

PI

0,45 KPRerít *

0,83 Terí, **

0,6 KpR erít*

0,5 Terít**

PIO

*

KPRcrít :

** Tcrít

t;

T,

0.1?5

Terít**

Valor de K PR cuando hay oscilación permanente en el circuito de control. Período de oscilación, cuando hay OSCilación permanente.

•

Ingeniería

de control

Abreviaturas y fórmulas

U'35

Tipos de elementosde transferencia

o: Elemento

derivado D- T 1: Elemento derivado con retraso de 1er orden 0-T2: Elemento derivado con retraso de 22 orden 1:Elemento integral I-T,: Elemento integral con retraso de ter orden P: Elemento proporcional PO: Elemento derivado proporcional

PI: Elemento integral proporcional PID: Elemento derivado integral proporcional P-T,: Elemento de retraso de te-orden p.T2: Elemento de retraso de 22 orden (PD)-T,: Elemento PO con retraso de ler orden (PID)-T,: Elemento PIDcon retraso de ter orden T( elemento de tiempo muerto

Símbolos usados para términos de ingenieríade control e

Variable de error fTI¡: Pendiente de la amplitud de la respuesta en el diagrama de Bode Variable de retroalimentación Variable de entrada Variable de salida vm Sobrepaso de la función escalón unitario de un elemento de transferencia w Variable de referencia w' Variable objetivo Variable controlada xA Variable controlada final Xm Sobretiro de la variable controlada y Variable reguladora z Variable de perturbación F(jw): Frecuencia de la respuesta Rs) Función de transferencia Roo) Amplitud de la respuesta Fo(joo) , Frecuencia de la respuesta del circuito abierto de control Fo(s) Función de transferencia del circuito abierto de control Fo(oo): Amplitud de la respuesta del circuito abierto de control FR(oo): Amplitud de la respuesta del elemento de control Fy(w) Amplitud de la respuesta de la conexión en serie del sistema controlado yel equipo de medición Ko Coeficiente de acción derivada KI Coeficiente de acción integral Kp: Coeficiente de acción proporcional RF(O) Factor de control Kpk(w) : Coeficiente de acción proporcional en la representación en serie del elemento PIDcon Tn>4Ty KIR(w) Coeficiente de acción integral del elemento controlado KpR Coeficiente de acción proporcional del elemento controlado T Tiempo de retraso T. Tiempo de crecimiento ~ : Período de vida media Tn Tiempo de restablecimiento

Tfln Tiempo para alcanzar el estado estable Tinicio Tiempo para alcanzar la tolerancia inferior Tiempo muerto equivalente Ty Tiempo de derivada Tnk,(Tyk): Tiempo de restablecimiento (tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PIO con Tn > 4 Ty TnkS, (Tvk.s):Tiempo de restablecimiento (tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PIO con Tn> 4 Ty, determinado según el requisito de la fase Tnlu:, (TmJTiempo de restablecimiento (tiempo de derivada) en la representación en serie del elemento PIO con Tn> 4 Ty, determinado según el requisito del margen de ganancia Margen de ganancia Margen de fase I.Ps: Fase de la conexión en serie (sistema controlado, equipo de medición) en la frecuencia angular de cruce de ganancia wo, que cumple con el margen de fase S 4'( Fase de la conexión en serie (sistema controlado, equipo de medición) en la frecuencia angular de cruce de fase Wn 4'(w) Fase de la respuesta 4'o(W) , Fase de la respuesta del circuito abierto de control 4'R(W): Fase de la respuesta del elemento de control 4'y(w) Fase de la respuesta de la conexión en serie del sistema controlado y el equipo de medición 1'} Frecuencia de amortiguamiento 00 Frecuencia angular Wo Frecuencia angular característica wS: Frecuencia angular propia Wo Frecuencia angular de cruce de ganancia WE Frecuencia angular en el quiebre woó : Frecuencia angular de cruce de ganancia al cumplir con, la condición de margen de fase Wüt Frecuencia angular de cruce de ganancia al cumplir con la condiciórlde margen de ganancia Wn Frecuencia angular de cruce de fase Wn( Frecuencia angular de cruce de fase, cumpliendo con el margen de ganancia E.

Tu

•

Tablas

I Z'1

Propiedades térmicas de líquidos

Liquidas

t

o

Oc

1(11

1067]21

p,31

~

m3

kJ kg K

W mK

Pa-s

-

Cp

Agua

O 20 50 100 200

999,8 998,3 988,1 958,1 864,7

4,217 4,182 4,181 4,215 4,494

0,5620 0,5996 0,6405 0,6803 0,6685

1791,8 1002,6 547,1 281,7 134,6

13,44 6,99 3,57 1,75 0,90

Octano CaH,.

-25 O

738 719

2,064 2,131

0,144 0,137

1020 714

14,62 11,11

Etanol C2H5OH

-25 O 20 50 100

806 789 763 716

2,093 2,232 2,395 2,801 3,454

0,183 0,177 0,173 0,165 0,152

3241 1786 1201 701 326

37,07 22,52 16,63 11,90 7,41

Benceno (o benzol) C6H6

20 50 100 200

879 847 793 661

1,729 1,821 1,968

-

0,144 0,134 0,127 0,108

649 436 261 113

7,79 5,93 4,04 -

Tolueno (o toluol) C7H.

O 20 50 100 200

885 867 839 793 672

1,612 1,717 1,800 1,968 2,617

0,144 0,141 0,136 0,128 0,108

773 586 419 269 133

8,65 7,14 5,55 4,14 3,22

Dióxido de azufre S02

O 20 50

1435 1383 1296

1,33 1,37 1,48

0,212 0,199 0,177

368 304 234

2,31 2,09 1,96

-50 O 20 50

695 636 609 561

4,45 4,61 4,74 5,08

0,547 0,540 0,521 0,477

317 169 138 103

2,58 1,44 1,26 1,10

20 50 100

871 852 820

1,85 2,06 2,19

0,144 0,143 0,139

13060 5490 2000

168 79 32

20 60 100

866 842 818

2,29 2,29

-

0,124 0,122 0,119

31609 7325 3108

482 125 60

O

13546

0,139

9,304

1558

0,02

20

1260

2,366

0,286

15.106 1,24·10"

Amoniaco NH3 Aceite lubricante Aceite para transformador

Mercurio Hg Glicerina C3Ha03 11Conductívldad térm.

21VIscosidad (din.)

31Num. Prandtl

I

Z'21

Tablas Propiedades térmicas de gases

Gases (a 1000 mbar) Aire (seco)

t

[J

Cp

Oc

~

kJ kg K

Oxigeno

0.023 0,025 0,026 0,032 0,039 0,053

16.15 17,10 17,98 21,60 25,70 32,55

2,199 1,951 1,784 1,422 1,120

0,800 0,827 0,850 0,919 0,997

0,013 0,015 0,016 0,022 0,030

12,28 13,75 14,98 18,59 26,02

0,78 0,78 0,78 0,77 0,76

25 100

3,13 2,87 2,29

0,473 0,477 0,494

0,0081 0,0093 0,012

12,3 13,4 16,8

0,72 0,69 0,69

25 100 200

0,76 0,70 0,56 0,44

2,056 2,093 2,219 2,366

0,022 0,024 0.033 0,047

9,30 10,0 12,8 16,5

0,87 0,87 0,86 0,83

1,73 1,41 1,29 1,03 0,81

0,903 0,909 0,913 0,934 0,963

0,024 0,026 0,032 0,039

16,3 19,2 20,3 24,3 28,8

0,73 0,71 0,71 0,71

0,586 0,607 0,662

0,0086 0,0099 0,014

11,7 12,8 16,3

0,80 0,78 0,77

1,038 1,038 1,OS8 1,047

0,024 0,026 0,031 0,037

16,6 17,8 20,9 24,7

0,72 0,71 0,70 0,70

0,141 0,171 0,181 0,211 0,249

7,34 8,41 8,92 10,4 12,2

0,70 0,69 0,71 0,71 0,71

°

25 100 200

°

25 100 200

Dióxido de azufre S02 Nitrógeno N2

° °

25 100 25 100 200

Hidrógeno H2

-50

°

25 100 200

Vapor de agua (saturado)

1)

-30

-50

°2

..

Conductividad térm .

-

1.006 1,006 1,007 1,012 1,026 1,069

° °

Amoniaco NH3

Pa·s

P,3)

1.377 1,275 1,188 0,933 0,736 0,517

-20

°

Cloro CI

mK

106r¡2)

0,71 0,70 0,70 0,69 0,68 0,66

20 100 200 400 Dióxido de carbono CO2

m3

-» W --

2,88 2,64 2,11 1,23 1,13 0,90 0,71 0,11 0,09 0,08 0,07 0,05

13,50 14,05 14,34 14,41 14,41

0,0049 1,864 1,907 50 0,0830 100 0,5974 2,034 200 7,865 2,883 300 46,255 6.144 2) Vlscosidad (din.)

°

-

0,0165 0,0203 0,0248 0,0391 0,0718 3 ) Num.

9,22 10,62 12,28 15,78 19,74 Prandtl

-

1,041 0,999 1,007 1,163 1,688

I

Tablas Esfuerzos permisibles-Maquinado

I Z'3

Esfuerzos permisibles por flexión o torsión, y módulos E y G para materiales elásticos, en N/mm 2 Mód. elást. Mód. elást. Ol(perm.) ang. Tt(perm Material axial Tipo de carga') e, A B C E Acero para resor1000 500 150 I 650 tes SAE 1078 tem210000 750 350 120 80000 500 piado y revenido 500 250 80 350 Latón arnanuo 200 100 40 120 150 ASTM-B 134 (274) 110000 80 30 42000 100 100 50 20 80 HV 150; DIN 17222 Plata alemana 200 300 150 50 40 55000 180 142000 250 120 ASIM-B 122 (752); 150 200 100 30 65-18 HV 160 40 120 Bronce común 200 100 150 110000 80 30 42000 100 CDA-419 100 50 20 80 HV 190 300 150 50 200 Bronce fas forado 40 45000 180 117000 220 110 CDA-529 HV 190 150 111 150 80 30 A: para resortes simples (factor de seguridad ~ 1.5) B: para resortes conformados (factor de segundad ~ 3) C: para resortes sin efecto de hístéresís (factor de seguridad 10) ') Véase el significado en PI, Parte 1.

~

Cantidades características para el maquinado (para torneado exterior longiludinal) Malerial Aceros:

Resistencia o dureza (en N/mm'))

me

1 - me

kc 1.1 N/mm'

ASTM A572 1990 0.26 0.74 520 UNS - K04600 720 2260 0.30 0.70 SAE - 1045 670 0.14 2220 0.86 SAE 1060 770 2130 0.18 0.82 2100 770 0.26 0.74 SAE - 5120 630 0.30 0.70 2260 SAE - 3140 2240 600 0.21 0.79 SAE - 4135 730 0.26 0.74 2500 SAE - 4140 0.74 2220 600 0.26 SAE - 6150 :;AE L6 (recocido) 1740 940 0.24 0.76 SAE - L6 (revenido) ASTMEI8-74·HA0540.24 1920 0.76 074 1270 Mehanite A 360 0.26 Hierro colado c/enfr. ASTMEI8-74·HAD600.19 0.81 2060 ASTM - A48-40B 0.74 1160 ASTMEI8-74-HAD330.26 Los valores especificados se aplican directamente al torneado con herramient a con punta de carburo. Velocidad de corte v = 90, ... , 125 m/min. Grosor de la viruta h: 0.05 mrn s hs 2.5 mm. Angula lateral normal normal y _ 6 o para acero, y = 20 para hierro colad o Relación de esbeltez, = 4.

I

Tablas

z'41

Presiones de contacto permisibles Valores de

Pcl_m.1

en N/mm2

Características de muñones, cojinetes y placas de apoyo: Véase g"7

I

Material Acero 37

Carga H Carga HZ

Pe

I

I l"?" 210 240

I

Material 52

Pe

I ~~~

Carga H Carga HZ

Lubricación: Véanse manuales o textos (acción hidrodinámica)

2,

Acción con lubricación mixta, eje o muMn templado y rectificado" Material

Latón rojo (836) Bronce común (938 Hierro sinterizado Hierro sinterizado con cobre Bronce sinterizado Bronce común grafitado Metal OEVA)

Pe

~s

Hierro colado gris 1 0.3 ...1 <1 3 <1 3 <1 3 5 <1

Material

v -¡¡;rs-

5 Bronce colado COA OO. 8...12 Lubricación con grasa <0.03 <1 203' ~inetes de alta calidac PA 66 (Políam'da) ~O 1531 en seco 1 1 lubricación con graSa" 6 ~O 1 HOPE (PoIietileno de alta 8 densidad 1 3 12 PTFE (Politetra· ~O fluoroetileno, 6 encubierto) 1 4 20 PTFE + piorno <0.005 + bronce so 41 Cojinete OU 0.5.. 5

Pe 4...12 60 15 0,09 0,35 2...4 0.02 30 0.06 80 .. 140" <1

Superficies no deslizantes, de lipo general: Valores máximos hasta el punto de fluencia o cadencia a la compresión del material son posibles de usar. Los valores normales para una Pe aceptable son inferiores. Materiales ACero

Hierro colado Hierro maleable Bronce Metal para caMn

estable 80...150 70... 80 50.. 80 30.. 40 25... 35

Valores normales de Pe para carga pulsante de choque 60 ...100 30...50 45 .. 55 20...30 30.. 55 20...30 20.. 30 10...15 15.. 25 8 ..12

"El producto (p' u)penn. está estrechamente relacionado con la disipación de calor, carga, presión de contacto y tipo de lubricación. de carga (para lodos los metales de cojinetes). 31Duración lim~ada de las partes en desgaste. extremos (metales especiales). s'P ara espesor de casqu il lo de 1 mm.

2, Con lubricación hidrodinámica es posible una mayor capacdad

·'Casos

Tablas

r-

I Z/S

Valores estadísticos 1 ,(x)

;

~,e';

_L2

~.(x);

2 m

(2

e T 'dt;

Función de 9rr erf(x);

2'(Ir Fe

o x

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0.41 0,42 0.43 0.44 0,45 0.46 0,47 0,48 0.49

0,398 942 0,398 922 0,398 862 0,398 763 0,398 623 0,398 444 0,398 225 0,397966 0,397668 0,397330 0,396 953 0,396536 0,396 080 0,395585 0,395052 0,394 479 0,393868 0,393219 0,392531 0,391806 0,391043 0,390 242 0,389404 0,388 529 0,387617 0,386 668 0,385683 0,384 663 0,383606 0,382515 0,381388 0,380226 0,379031 0,377 801 0,376537 0,375240 0,373911 0,372548 0,371 154 0,369728 0,368 270 0,366 782 0,365263 0,363714 0,362135 0,360527 0,358 890 0,357225 0,355533 0,353812

4>. [x} 0,000 000 0,007979 0,015957 0,023933 0,031907 0,039878 0,047845 0,055806 0,063763 0,071713 0,079656 0,087591 0,095517 0,103434 0,111340 0,119235 0,127119 0,134 990 0,142847 0,150 691 0,158519 0,166 332 0,174129 0,181908 0,189670 0,197413 0,205136 0,212840 0,220522 0,228184 0,235823 0,243439 0,251032 0,258600 0,266143 0,273661 0,281 153 0,288617 e,296 054 0,303463 0,310843 0,318194 0,325514 0,332804 0,340063 0,347290 0.354484 0,361 645 0,368773 0,375866

erf (x) 0,000000 0,011283 0,022565 0,033841 0,045111 0,056 372 0,067622 0,078858 0,090078 0,101281 0,112463 0,123623 0,134 758 0,145867 0,156 947 0,167996 0,179012 0,189992 0,200 936 0,211840 0,222702 0,233 522 0,244296 0,255022 0,265700 0,276326 0,286900 0,297418 0,307880 0,318283 0,328627 0,338 908 0,349126 0,359279 0,369365 0,379382 0,389330 0,399206 0,409009 0,418739 0.428392 0.437969 0.447468 0.456887 0.466225 0,475482 0,484656 0.493 745 0,502750 0.511 668

_(2

'dt

o x 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

4>.(x) 0,382925 0,389949 0,396936 0,403 888 0,410803 0,417 681 0,424521 0,431322 0,438 085 0,444 809 0,451494 0,458138 0,464 742 0,471306 0,477 828 0,484308 0,490 746 0,497142 0,503496 0,509 806 0,516073 0,522296 0,528475 0,534 610 0,540 700 0,546745 0,552746 0,558 700 0,564 609 0,570472 0,576289 0,582060 0,587784 0,593461 0,599 092 0,604675 0,610211 0,615700 0,621141 0,626534 0,631 880 0,637178 0,642427 0,647629 0,652 782 0,657888 0,662945 0,667954 0,672914 0677 826

erf [x) 0,520 500 0,529244 0,537899 0,546464 0,554939 0,563 323 0,571616 0,579816 0,587923 0,595937 0,603856 0,611681 0,619412 0,627047 0,634 586 0,642029 0,549377 0,656 628 0,663 782 0,670840 0,677801 0,684 666 0,691433 0,698104 0,704678 0,711156 0.717537 0,723822 0.730 010 0,736103 0742101 0,748 003 0,753811 0,759524 0.765143 0,770668 0,776100 0,781440 0,786687 0,791 843 0,796908 0,801 883 0,806 768 0,811 563 0,816271 0,820891 0,825424 0,829870 0,834231 0,838508

•

z 61

Tablas Valores estadísticos

l

q¡(x)

=

1

VR

--

e';

Je x

,2

~(x)=Y2ít 2

t2

-y

2

o x 1.00 1.01 1.02 1.03 1,04 1.05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1.33 1.34 1.35 1,36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49

q; (x) 0.241971 0.239551 0,237132 0,234 714 0,232297 0,229 682 0,227470 0.225060 0,222653 0,220251 0,217852 0,215458 0,213069 0,210686 0,208 308 0,205936 0,203571 0,201214 0,198863 0,196 520 0,194186 0,191860 0,189543 0,187235 0.184937 0,182649 0,180371 0,178104 0,175847 0,173602 0,171369 0,169147 0,166937 0.164740 0,162555 0.160383 0,158225 0.156080 0.153948 0,151831 0.149727 0,147639 0.145564 0.143505 0,141460 0.139431 0,137417 0.135418 0.133435 0.131468

4>0 (x) 0.682689 0,687505 0,692272 0,696 990 0,701660 0.706 282 0,710855 0,715381 0,719858 0,724287 0,728668 0,733001 0,737286 0,741 524 0,745714 0,749856 0,753951 0,757999 0,762000 0,765953 0,769861 0.773721 0,777 535 0,781303 0,785024 0,788700 0,792331 0.795915 0,799455 0,802949 0,806 399 0,809 804 0,813165 0,816482 0.819755 0.822984 0,826170 0,829313 0,832413 0,835471 0.838 487 0,841 460 0.844392 0,847283 0,850133 0.852941 0.855710 0.858438 0.861 127 0.863776

erf (x) 0.842701 0,846 810 0,850 838 0,854 784 0,858 650 0,832436 0,866144 0,869773 0,873326 0,876803 0,680205 0,883533 0,886788 0,889971 0,893082 0,896 124 0,899 096 0,902000 0,904 837 0,907608 0.910314 0,912956 0,915534 0,918050 0.920505 0,922900 0,925236 0.927514 0.929734 0,931 899 0.934008 0.936063 0,938 065 0,940015 0,941 91~ 0.943762 0,945562 0.947313 0.949016 0,950673 0.952285 0.953853 0,955376 0,956857 0,958297 0.959695 0.961 054 0.962373 0.963654 0.964898

I

Función de error

-et , erf(x)=V;

x

e_t2 -d f

O x 1.50 1,51 1,52 1,53 1.54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1.70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1.77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1.83 1,84 1,85 1.86 1.87 1.88 1,89 1,90 1,91 1,92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99

'l' (x) 0.129 518 0.127583 0,125665 0.123763 0.121878 0,120009 0.118157 0,116323 0,114505 0,112704 0,110921 0,109155 0,107406 0,105675 0.103961 0,102265 0,100 586 0,098 925 0.097282 0,095657 0,094049 0,092459 0,090 887 0,089333 0,087796 0,086277 0,084776 0,083293 0.081828 0,080380 0,078950 0,077 538 0,076143 0,074766 0.073407 0,072065 0.070740 0.069433 0,068 144 0.066871 0,065616 0,064 378 0,063157 0,061 952 0,060765 0.059595 0.058441 0.057304 0.056183 0.055079

4>0 (x) 0.866 336 0.868 957 0.871 469 0,873983 0,876440 0,878858 0,681 240 0,683585 0,685893 0,868165 0,890 401 0,892602 0,894768 0.896 899 0,898 995 0,901 057 0,903086 0,905081 0,907043 0,908 972 0,910869 0,912734 0,914568 0.916370 0,918141 0.919882 0,921 592 0,923273 0,924924 0,926546 0,928139 0,929704 0.931 241 0.932750 0.934232 0,935687 0,937115 0.938 516 0.939892 0,941 242 0.942567 0.943867 0,945142 0,946393 0.947620 0,948824 0,950004 0.951 162 0.952297 0.953409

erf (x) 0.966105 0.967277 0.968 414 0,969516 0,970586 0.971623 0.972628 0,973603 0,974547 0,975462 0,976348 0,977207 0,978038 0,978843 0.979622 0,980376 0,981 105 0.981810 0,982493 0,983153 0,983790 0,984407 0,985003 0.985578 0.986135 0.986672 0.987190 0,987691 0.988 174 0,988641 0.989090 0,989524 0,989943 0.990347 0.990 736 0,991111 0,991472 0.991821 0.992156 0,992479 0.992790 0,993090 0.993378 0.993656 0.993922 0,994179 0.994426 0,994664 0.994892 0.995111

! # $ & ' ( ) *+ & , # - # $ * .+ / / 1 # 3

- # # 4 5 4 6 4 7 48 *9:+

4 ( 4; * + < # # # *+ # % # # # - # * + # 4 $ 4 ! 63;

" % " " 0 2 2 % % 0 % "

2

6 83= > 6 - # 6 > ; > > > *? ?+ > > ; > > 3* - 3+ > >@ ! > > - > ;)* + > > - > - >0 > - >0 > > ! * + > 6 - #% ! 6 $ 6 $ 6 *+ > 6- > >@ ! 6 * '+ # # 6* + # 3 1 # 6AA #" # 6'

6- # 6 5 6 6 6 > 6 ,

" " 0 0 " 0 0 0 2 0

6 /" ," , ' , , , , , , ' , 6 *+ 6 6 :3 6 . 6 6- # # 63 4 6 & B & 6 5 6 C 6 C 6 - #0 ! 6 ! 6; ( ( 6 - # 6 - # 6 - ! 6 *+ 6 6 6 - #0 ! 6 - > > ; > 6 ' D 6 6 6 4 6 D 6 - *6+ # # ' # # ) - # # # 6 ' *B+ # 6 * + 5 6 *+ & ; ! !

2 2 " " " " " " % % @ % 0 0 2 2 % % 0

& 6 & ; ! % ! 6; # 6 - , 6 4 6; 6 6:3 6 6:* ' + , 6 C C

%

6.;8. D 6.= ' ; ' 6. < *+ , )*1+ , , !

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( # (1 - > ( 5 5 ( 1 5 5 ( * + 5 5 ( 1 # # # ( 7 > ! ! 7 ( ' ( (*+ C C (

( ( 3 , ( ' D ( (" ( ( E

E 5 E

E

0

2 2 0 " % @ % 2

? ? *+ F ( / ( - > > - > ! (3 *'= 6A6A+ # (3 $ ( $ ( # (* C+ & ' ( 7 ' > & ! & * + &)' *?/.?+ 5 & 3 5 5 !2 ! & 5 & =3 & 4 B B & 5 &) 7 & 3 -* + - # & )3 * + & ' 3 ' 1 *BG+ & 3 &=; , &=

" 0 % % 2

% % % 0 @ % % % % @

&= - " ' " " " " " &= - &; 5 & F & 6 3 6 6 - 6 6 &*+ 5 3. 5 ; 5 5 5 ; 5 5 5 5 5 5 5 ; 5 ; 5 ;*+ 5 5 5 ! 1 5 5 5 & ' D & < # &) $ 1 $ $ & 1 # # E 1 # # & 5 < B & *+ 1. D 18 D D D D 3 D

" 2 2 2 @ @ @ 2 2 0 @ 2 " % 2 2 2 %

&1 ; &1 1

( (

B # - # 7 7 ! # 7 ! B # B8 8 # B #" #2 # B1 5 B) 7 7 - # # # # # 7 ; 7 B)3 $ ' ! B # B ( (( B > B

3

B *+ B * + ,@ , ' , ,@ ,0 , ' ,@ , ; , . , 3= 7 - 7 ' ,@ ! 7 ! , , B*+ 3 # 5 F # # - # - # # 3 ,

@ % % % 2 0 @ 0 0 %

81 * + ; - # B *+ C% C C 1 B% C .; H H 3 ( C - & & & & B ;; ; D 6.8 D & D 1 D D D B ;; ; D 4 D 5 D 5 D - D B > ! ! H*+ >% ! > 8 ' > > 8 > ; > H - . # 6A6A #0 # H; H & H , *+ , H3 H * 5+ / C1'

% "

" " " % % 2 % 2

4

C 8 # C ' 7 ! C' 7 C-; B =' B .; H H C C- - # - #

% %

/ ! / 8 $ ! $ ! / *+ # #" # # / 7 7 / =3 / - # 8B8 # - # # / - # / / - / / / / /% / / '8 / / / / $ / - # / ; / - ' ( (

%

D

2 0 % % 2 " " "

#

, ,.. 8

> #

' ?(8 ? -

!% !%

$ $

3 5 5 5 5

3= 7

*+ ( ' ( ( ; ( ; ( ;0 ( ( !

;* + 5

$

*;+ $

$

$ 8 $ 1 $ $ ( 3 $ 8

'= - # # '= .' 7 > ) > >% ! / 3 - ! ! 3 .' ! ! 3 - ! ! 3' !2 ! 3- ! ! 83= !! '1 C - #@ # 0 #

% % " % 0 % 0 2 " % @ 0 @ %

- ;; # % # % . # % ' # % ' # % ) ! " - #/ # 3- 3 - > @ > 2 > 2 > 2 >2 > @ > @ < > @ $ % 3 C * + 1 5 5" ' 5 ! @ 1 5 ! @ . 3 5 3 * + / 0 ' / 2 3 / " / " 1 5 , , , *1+ / @ / . / / /

3 / ' / 3 / ' / ) # /@ * + 5 5 - 6AA # 3 * + # 3 # 6A6A #0 # ?. ? #0 # #0 # ? ? #0 # = #

%

* +

%

3;8

' 3 * +

%

.) <8;< 7* -+ 7#/ 7<) >' >. 8 > > > 5 5 5'; 5 5 ' 5- 3

@ 0 " % % 2 % 2 @ " % "

# 2 % ( ( 4 # # # $ ( (

"

5 / B 4 (

2 2 %

" " "

3 C 5 ' 4 5; - # ! 5 - #% # 5 ( 5 , 5' 6 6 6 5 ,0

5 , ) F F F )8 , , < F , 53 = 4 5 , , 5 > 1 > > 5 2 @ $ '= E . F 5 - # # # # # # # # # # 5 83 ( 5 # 5 > ;8 - > - > F ; 7 3= 7 > ; 7 5 8 2 5 6 ; 6 6 5 6 5;; D

" " % @ % % % % % % % @ @ @ @ 2 2 @ %

D D 5 *;'+ > ;' > - > - > > 5 / 5=3 5 > 5 - > 5; # 5;3 *;+ # 5 # I. *6A6A+ # 6AA # 5 ; ! ! 5 1 C 5 > 3

0 2 @ " @ @ 0 0

F $ = - ! ! F' & F 4 & F3 ( F3 ( F8J $ F F B F' 4 F 3 $ $ F # . * + # = *+ # F# / F D F F - 8' #

% % % 2 " %

F - #% # F. ') F ' ( F *<+ 5 F , ! * + 7 ! F - # #" # - # ! # F- ! F # # # F - ( F # # F " 1 .)*+ " . " F

F8 < 7 F - , F

, F *J+ 8 $ F

%

* + # F ;3 ! #3= 7 # ' ( # 4 # 4 # *+ & ; ! ! & #- ( #; ; ( #- (

" 0 2 " 2 @ @ @ 2 " " @ @ @ @ % " 2 @ 0 @

# / # /@ 5 #; ! > # - * + /

2

$; - ! ! $;3 $ *+ & ; ! % ! & $8 (0 ( $ * -+ # ! $ 3 > $ - # ' # 6AA # # # *8B8+ # # $ =3 *+ ! $ - #% # $) 5 $ * +

$; # $ 8

.

$ $ , $ ) $ $ 6 $ 5 5 $;) - # $;)8 3 2 $ E * 1 + #2 # $ - & 8 & $ - # #

2 % 2 2 2 2 2 2 2 % % " " @ 2 % % "

1 # E # $ ; , F $ 4 / $' 4 B =' 4 ;' & ' & 1#/ K ;'#/ K K ' ' L . ) L : M*AAAAAA+ 6AA M'1* 6AA+ M'183 M

2

% %

% %

> M & ! M; D M; - > M; ' > M D M

31 3;8

F

M )' , M 5% 5 5 5 M ' 7 ! ! ' 7 M # M 3 > - > > > I I.

2 @ % 2 % % @ @

# # @

# %

J 8

$

# % C > %

N*+ 1

# 2

! 1

#

! " # $ # % &

' ( ! ( ) χ* µ %+ , ' % -. / "

0 #

0 1

2

0 1 " 0$0 / * 3 0 4*

5$ 0 % 0 5 0 %

01$0,$0 & 0 #

$ $

!

6 $ !+! 1 $ ! 7$ !/+! 1

*

$ ! $ !,+! (

$ ! ( $ ! # 89 $ ! $ ! ( $ ! / : $ !

: :/$: %

:+: # : 1 : 1

: ,

: :

:: / :. &

: /

: :(+: / $ ;+; '

$ ;$; %

$ ;1$;,$;#$; (

$ ;$; 1

$ ;

$ ;#+; ( $ ;$; %

$ ; / $ ;/$; % $ ; / $ ; /

;+; <$ ; $ ; /

$ ; $ ;

$ ; $ ; " & $ ;

=

= 4 2+2 %,

2 6 2 %

2 /1

2 %

* 2 #

2 1 2 ( 2 '

2

2

2 ( $

2 / 2

8*6 2 ' 79 " 2 (

= 2%$2//$2 /% 2/'$2 % 2 % 2 1

2 %

2 % 2 1

2/,+2 /

2 /

0$04*04: >0:?+@*>04:?+@

6

"

"

6 .

A

*

2 2 / 2 %% 2 2 1 2 # 2 2 , 2 # 2 2 % 2 # 2 % 2 2 # 2 / 2 / 2 / 2 # 2 2 2 ' 2 1 2 , 2 , 2 ( 2 / 2 ( 2 2 / 2 / 2 2 , 2 2 2 2 2 , B

B$B # " 3 "

B # B (

B (

B,>B B 1? B

" B * B 6 B$B/$B%$B 1 *"

B / B 1 A 6 *

3 " -,$-

-

- - % 3* -

- #

- (

-#$- (

- # -

- ' - ' " - '

- - /

" - /

- / 3 - % C - %

- / A

"

, , , 1 1

1

1

1

1

$ #

/

/ " /$ % %

$D$*D

* % % % %

"

$ %

$D$*D B

"

"

"

E

"

6

5

*

@ @ @ / :@ / @ @ / @ / @ / 5 45 % 5 % 5 % 5

@&

5 5 /

@

6 F % " F % 6 F$F / " F 1 F 1 F,+F @ G .

G1+G ,

G$G %

G G ,

/ % % % /

Manual de Formulas Tecnicas

Recommend Documents