) = a + id
d 172
r = + V a2 + b*
d 173
<*>= t a r r - Q b tan
2 + 27t/c. entonces z, = z2 Nota: d> es el ángulo en radianes (arco) k es un número entero cualquiera.
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n - 1
Algebra Aplicación de la serie geométrica Cálculo del interés compuesto kn = k 0 . q• kn log — logg Cálculo de rendimientos ,
,
„
q” —
1
K=ko - Q n —r,q ^ —f
(k0 . q " —
1) q
r . q — fc„(q — 1) log ' ó— M g log q
— 1>
Si k n — 0 se obtendrán las fórmulas de amortización. Cáicuto de depósitos Fórmulas para cuentas de atiorro
+ z
ku = k0
z =
qn — 1
a—
1
( k „ - k 0 . q " ) (q — 1) q“ — 1 log
Mg —1) + * M q -1 J + *
n —-
lo gq
Significado de los símbolos k„
Capital inicial
n
k„
Capital a los n años
r
Anualidad
p Tipo de interés, en fracción
„ se dispersa por el aire exterior y resulta así inefectivo. De modo que <)>,, está referido a <|>, el flujo efectivo. Por lo tanto, 2 -f- sen
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Electrotecnia Campo magnético
S 13
FUERZAS MAGNETICAS Fuerza entre dos polos magnéticos En la dirección del flujo magnético se produce una fuerza de atracción Fa dada por 1 B¿A Fa = . o bien, F„ =* 40 2 /xFuerza sobre un conductor con corriente Sobre un conductor que lleva una corriente /, el campo magnético ejerce en una longitud /d el conductor que lo atraviesa, una fuerza transversal Fv.
En una armadura o inducido de máquina de corriente continua (CC) se produce el momento de rotación interno \F¡ i p M i — ——
b-4
M M ¡i = -----— 1 -( (—— 11 U —— | )——z z NN•-m 27r \ V - s / \ A J a
Conductor Tensión inducida (ley de la inducción de Faraday) Si una bobina (con N espiras y resistencia interna /?,) enlaza o concatena un flujo magnético
d<|>(
(ver s 11) dt que hace circular corriente por su circuito conectado. W ) Tensión inducida por el movimiento de un rotación de una espira I rotación de la armaconductor normal a o d e una bobina |dura de un generador un flujo magnético en un campo magnético e =
B L u
= U # mix ■ Sen { u t ) $máx
~
Tensión o FEM de autoinducción: Ver la explicación de la página S 16
Ld B
= l d B
2k o .
,
e = L- d i/ á t | Ver símbolos en la página S 16
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Electrotecnia
S 14
Corriente alterna CONCEPTOS GENERALES Fasor
Un fasor es un segmento representativo de una magnitud alterna que gira en sentido contrario al del reloj. Angulos en igual sentido se consideran positivos, y en sentido contrario, negativos. \
^ .R o ta c ió n positiva l
s 86 s 87
Amplitud o valor máximo (ver s 1) Una magnitud alterna (corriente, i, o tensión, u) varía periódica mente. en general, en forma Diagrama Variación en el tiempo de onda senoidal. Los valo res máximos /„, y Um reciben el nombre de amplitud. Con una frecuencia angular o = 2 n f, el ángulo descrito en un tiempo t está dado por: s 88
a — o)t =
2
tt f t
y en este momento los valores instantáneos son: s 89
de la corriente
i = lm sen w t = /„, sena
s 90
de la tensión
u = Umsen o t = Um sen a (cuando 0 = 0)
Valor eficaz (o r.c.m., raíz del cuadrado medio) Estos valores son los que se emplean en la práctica y los que indican generalmente los instrumentos de medición. En general
s 91
s 92
' ='■■' V
y
J
ü = u 'J =
/ 7
Para ondas armónicas
>
p
dí
' = ''f
= Jj
ü = ^
= í f
2
Con estos valores se tiene también en circuitos de corriente al terna: s 93
P = UI
(en el caso de eos 0 = 1 , ver s 105)
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Electrotecnia Corriente alterna
S
15
CONCEPTOS GENERALES Defasamiento. ángulo de fase
94 Factor de calidad Q, factor de pérdidas tan 8 y ángulo de pérdidas 8 El factor Q de un circuito se define como s 95
O = 2 7TEm/ w p donde es el valor máximo de la energía almacenada en el circui to y w,, la pérdida de energía en un periodo. El recíproco del factor de calidad se conoce como factor de pér didas.
96
tan 8 = 1 /Q
(8 es el ángulo de pérdidas)
Para un circuito de resistencia e inductancia (s 115 y s 118) y un circuito de resistencia y capacitancia (s 116 y s 119) se obtienen de esta definición las siguientes relaciones sencillas: s 97 s 98 s 99
Q = |tan<#)| I tan 8 = 1 /Q = 1/|tan <¿> | = 90“ — |>| | = U R/U x (en la conexión en serie) = / « / / a- (en la conexión en paralelo) Pueden verse fórmulas de tan 8 en S 17 y S 18. Para el caso de circuitos resonantes se tienen las fórmulas más complicadas s 128 y s 129.
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Electrotecnia
S 16
Corriente alterna Ecuaciones básicas para circuitos monofásicos s 100 s 101 s 102 s s s s
103 104 105 106
s 107
Impedancia Admitancia Tensión en una impedancia Corriente en una impedancia Potencia aparente Reactancia Potencia activa Potencia reactiva
s 109
= 1 /Z
(Ver :
U
= IZ
P„ X P P,
~ = = = =
U T U I = \ / P 2 + P,.2 = Z sen
p
Factor de potencia
p
eos o = -------= — Ul P„ Pr P, sen d> = -------= — Ul Pa
Factor reactivo s 108
Z Y
Ul
Flujo alterno a través de una bobina
4.44 N I
fi„ fir
Permeabilidad magnética del vacío (fx„ = 47r x 10-7 V • s /A • m) Coeficiente magnético (permeabilidad relativa): para el vacío, gases, líquidos y la mayor parte de los sólidos se tiene/Ar = 1; para los materiales magnéticos ver la página Z 3 a Número de pasos en paralelo en el devanado / Longitud de la trayectoria del flujo magnético N Número de espiras en una bobina o devanado p Número de pares de polos z Número de conductores serie
Rs Resistencia en
paralelo serie
Ls
En los circuitos de impedancias en S 17 y S 18
Inductancia en L,,
paralelo
Explicación para la página S 13 (FEM de autoinducción) Ley de Lenz. Si a través de una bobina pasa una corriente / que varía en el tiempo, entonces varía también el campo magnético producido por la corriente. Se induce así en la bobina una tensión instantánea e. que tiene siempre una polaridad tal que con trarresta magnéticamente la variación de la corriente.
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Diagrama fasorial
Tipos de componentes
Relación de fases
Defasamiento
Ur Resistiva + capacitiva
Xc
/ adelante de U menos de 90°
vrX'J I
-n -
en serie
Resistiva - f inductiva
K
en paralelo
Resistiva + inductiva
/ atrás de U
en paralelo
Resistiva ■+ capacitiva en paralelo
/ adelante o atrás de U según las compo nentes
1
/
RP ( — l o,Lr —<»C)
V IT O
oiLP
I adelante de U
Para un reactor (o bobina de reactancia) los valores dados de R y L son por lo general las cantidades R s y L s. in d e p e n d ie n te s d e la fre c u e n c ia , en el circu ito equivalente en serie (ver s 115). En conexiones en paralelo de reactores y capacitores se recomienda usar los valores del circu ito equivalente en paralelo (ver s 118) Las cantidades Rp y L P. d e p e n d ie n te s d e la fre c u e n c ia , de este circu ito se calculan a partir de R s y L s em pleando las fórmulas:
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(«*-,)*
Rs Lp = L s
Rf o,2Ls
(/) 00
Electrotecnia
S
Corriente alterna
19
CIRCUITO RESONANTE
Diagramas de conexiones y fasoriales Diagrama fasorial en caso de resonancia
en serie
en paralelo
Ver s 113
Ver s 117
U\ J e _______ tI - I R k
Ui\
u -u R
Uc 1
s 122
UL = Uc 1
Condiciones de resonancia
= Ir 1 0 )r
0ir c
s 125
Frecuencia de resonancia
s 126
Corriente en la resonancia
Lp
w r- L r C = 1
o>r- L,, C = 1
s 124
1
fr
1 2 tt \ J L p C
[Cuando f (frec. de línea; — f r. ocurre la resonancia]
s 127
s 128
s 129
° R-
s 130
Lonaitud de onda
s 131
Periodo en la resonancia
Rr C U
¡r
Rr Lr K--= l L - l c = 0 0 = 0
Uc = 0 1
Factor Q Factor de pérdidas
U
U lr = — Rr Ub = U L 0 =0
Rp 0 )r
ü)r C R r
R*
Rr — , R 0>r L r
1
tan 8« —
Qr a
1 tan 8,
c
300 x 10“ m /s
fr
fr
Lp 1
Qp
0)r
C Rp
=
Tr = 2 TT\J~LpC
T, = 2 7 r x / L „ C
F iltro . Un circuito resonante en paralelo tiene impedancia máxima Z mi¡y a su frecuencia de resonancia. De modo que puede actuar como filtro eliminando corrientes de esa frecuencia. s 132
Z m¿x = RP = Ver los símbolos en S 16
LH R,
y además
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/ = -
U
Electrotecnia
S 20
Corriente alterna
PUENTE DE M EDICION PARA CORRIENTE ALTERNA Se emplea para determinar la capacitancia de condensadores y la inductancia de bobinas. Para hacerlo deben ajustarse el capacitor variable C¿ y el resistor R¿. hasta que la señal en el audífono K haya alcanzado un mínimo o desaparecido. Los circuitos mostrados no dependen de la frecuencia. Medición de capacitancias
inductancias
R*R< Rx =
tan 8* =
R x o) C x
R¿ Rx ti) L.y
Determinación de una impedancia desconocida. Se obtiene midien do la caída de tensión en esa impedancia y una resistencia auxiliar: R_ ^ i - U,? - Uy? ■ o -® “ I Py = 2R @
COS
U yl Uy Z = -
k 3 nw GH
a
La resistencia auxiliar debe seleccionarse de manera que Un S \Uy\. Cx
Capacitancia desconocida
8.v
Lx
Inductancia desconocida
R¿. R3. R a
Angulo de pérdidas (ver S 15) Resistencias cono cidas Rx Resistencia desconocida del capacitor o del inductor C >, C4 Capacitancias calibradas ajustables Z Impedancia desconocida (inductiva o capacitiva)
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Electrotecnia Corriente alterna INDUCTANCIA L DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE Cálculo de L a partir de la impedancia y la resistencia. s 140
141
Se hace pasar una densidad de corriente (J = l/ A 3 A /m m -) y se mide la tensión terminal U, la corriente I y la potencia activa P. Impedancia Z :
s 142
Resistencia R = —
s / Z - - RCálculo de L para una bobina toroidal (de anillo)
s 143
L =
ix„ h N 2 7r
r-> in - r,
Cálculo de L para una bobina de disco con sección rectangular D u
Inductancia
s 144
< 1
s 145
> 1
L = 1.05
S 146
>3
Los valores ya no son aceptables V -s = 10-«-------
S 147
s 148
a A b de D /i /m N p
Ancho radial de la bobina Area transversal del conductor Grueso axial de la bobina Diámetro exterior del conductor con aislamiento Diámetro medio de la bobina Longitud del contorno interior del hueco Longitud media del enrollamiento Um = + na) Número de espiras o vueltas Perímetro de la sección transversal de la bobina Relación a : b
i
3b
Y
N de2 /
Grado de aflojamiento en la bobina I p = -
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Electrotecnia 2 2
Corriente alterna CALCULO DE BOBINAS CON NUCLEO DE AIRE PARA UNA IN D UC TANCIA DADA Bobinas de alta frecuencia D
Fórmula /D \“
< 1 > 1
_ ]
N 3-25
a
\m /
1
donde:
/ d„ Y 5 / L \ —
39 V m /
\m / ' ©
—
— x
2 \/Ñ
d0 =
10
\H /
55 © - 5 ■ (ïï)
x
= de (1 + « )
10'
Bobinas de baja frecuencia Suponiendo que
fi = 1
y
D = u,
entonces
— Æ X1) a = - 1 (u ± x / u 2 -
16 N d ,2) ;
b = -íi_ ¡
Cálculo del número de espiras de una bobina A partir de la sección transversal de la bobina: N=
ab ~dj i
A partir de la resistencia: RA -b —
PL
T
Mediante una bobina patrón o de referencia. Se coloca la bobina con el número desconocido de espiras y la bobina con número conocido de vueltas N0, lo más cerca posi ble una de otra sobre un marco de acero, como se indica. El sistema Entrehierro se energiza o excita con una bo bina magnetizante N,. de CA, a la que se aplica la tensión Ue. Se mi den las tensiones U x y U 0 con vol | Nx I I tímetro de alta impedancia. De ue manera que
I ü
I
ÍA (A Ver símbolos en página S 21.
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i :K
Electrotecnia Corriente alterna HISTERESIS M AGNETICA Inducción magnética remanente Br Magnetismo que permanece en el material (hierro o acero) cuando desaparece la intensidad magnéti ca externa aplicada H. Intensidad magnética coercitiva H c Campo que debe aplicarse para anular la inducción magnética Br. Trabajo de magnetización WH (energía disipada por histéresis) Al describir una sola vez el ciclo de histéresis se disipa una ener gía WH igual al producto del área del ciclo de histéresis w H y el volumen de la muestra de hierro. VFe: —
S 157
Potencia de magnetización P „ (potencia disipada por histéresis) S
158
PH =
f
=
WH ^F e
f
Corrientes parásitas o de Foucault Por la inducción electromagnética debida al cambio de flujo tam bién se originan tensiones alternas en el hierro que. dependiendo de la conductividad eléctrica del material, producen unas corrientes turbulentas llamadas parásitas o de Foucault. La construcción la minar de los núcleos y las armaduras (con láminas de acero de 0.3 a 1 mm de espesor y aisladas entre sí) las reduce en alto grado. Pérdidas magnéticas (en el hierro) Potencia disipada en el hierro por unidad de masa p Fe Comprende las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas. Se mide con una amplitud de la inducción Bm = 1 T = 1 0 kGs. o bien. 1.5 T = 15 kGs. a una frecuencia de 50 Hz. lo que da las cantidades p Fel 0 o p Fel5. respectivamente. Los valores pueden verse en Z 4. Potencia total de pérdidas en el hierro P Fe s 159
Pv, = Pr, m Fe
í(— [V T )— /(50 Hz)
Masa del material magnético (hierro)
I x |
]
(1 “F X)
Aumento por rebordes del troquelado, etc. (0.1 a 1.0)
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Electrotecnia Corriente alterna
S 24
REACTOR O BOBINA DE REACTANCIA Impedancia reductora de tensión Se emplea un reactor en el circuito de una carga puramente re sistiva Rc para reducir la tensión de entrada de un valor U a un valor UcUr = Zr I
Uc = Rcl
Impedancia del
reactor I circuito total
Z, = x/FV + lo ,U -
z =V(R. + «J- +
Inductancia requerida Para un cálculo aproximado de Ls se puede despreciar la resis tencia aún desconocida Rs del reactor. Una vez diseñada la bobi na, se conocerá Rs y podrá calcularse Z con precisión. Luego se revisa U, empleando la fórmula UR, U, = -----Z Eventualmente se requerirá un segundo cálculo con el valor modificado de la inductancia requerida. Reactor sin núcleo de hierro y con inductancia constante El diseño se efectúa según S 21. Se suponen inicialmente los valores de r¿, r, (bobina toroidal), o de D, u (bobina de disco). Si el espacio disponible para las bobinas resulta insuficiente o se obtiene un número inadecuado de espiras o un calibre impropio, deben repetirse los cálculos con otras dimensiones. Finalmente se calcula la resistencia de la bobina mediante s 26. Reactor con núcleo de hierro e inductancia constante El núcleo de hierro sirve fun Entrehierros damentalmente para confinar el flujo magnético y debe te ner el mayor número posible de entrehierros simples, S,. Estos deben llenarse con ais lante y su espesor total no debe ser mayor que 1 cm. La Se distribuye < fuerza magnetomotriz (FMM) bobinado en las dos columnas requerida por el hierro puede despreciarse. Los cálculos se realizan con los valores máximos de H y de B. (Continúa en S 25)
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Electrotecnia
g , á
C orriente alterna
Una medida de la variación de la inductancia Ls es la máxima va riación relativa de la inductancia dependiente de la corriente: |í-«tot. — M 9l =
Ls
1 A FeBmiFe)B — = — : — + 1 gL Hm{yr ) /fe fXo Ay,
;
Si gL > 0 Mreq.) repítase el diseño aumentando AFe y disminuyendo Bm(pe), pero manteniendo constante el producto A Fe Bm(Fe). Dimensionamiento. Dados: Ls. f. g n ™q.>. UL(et ) o let. entonces se obtienen las siguientes: Dim e nsiones d e fin itiv a s
provisio na le s
s 165
S ección e fe ctiva del n úcleo de h ierro
s 166 s 167
N úm ero de espiras
s 168
A rea de entreh ierro L o n g i tu d del e ntre h ierro
s 169 s 170
to ta l individu a l
D iá m e tro del c o n d u cto r Area tra nsve rsa l del bobinado L on gitu d de las co lum na s del núcle o
s 171 s 172
A Fe — n /K let. ULet.
, ^ i U Leidon de et = ----------
A Fe
(o b te n er de DIN 41 302)
2 ir t L , N A e = a b + (5 cm ) (a + b )
_ Si' =
N *h o A b Ls
s'/n < 1 cm
U l" A g — a b + 5 (a + b ) Si a b n N ^ fi,,
S_ S,
n L , - S N Ji ^ ( a + b )
=
S/n < 1 cm
ó al v a lo r e stá n da r sig uien te d e in clu ye el aisla m ie nto
A b = 1.12 de2 N Determ ínese / c a p a rtir de las dim e nsion es del n ú cle o y de A B■
Bobina de reactancia con núcleo de hierro e inductancia dependiente de la corriente. Esta bobina cuenta con un núcleo de acero, pero no tiene entrehierro. Sólo se emplea para fines especiales, por ejem plo, como a m plificador magnético. K
C o e ficie n te de p ote ncia de la bobina: =- 0.24 cm 4/V A para b ob in as co m u ne s (en aire) \ v e r S 24 para la form a de =“ 0 .1 5 c m 4/V A para b ob in as en a ceite
>
se cción del núcle o
para la form a de sección del núcle o | D □ ) a plicar valores 75% m ayores J' D ensidad p ro visio na l de c o rrie n te : para b obinas co m u ne s J ' = 2 A /m m 2 para b obinas en a ceite / a 3 a 4 A /m m 2 Sm(Fe) In d u cción en el h ie rro (a lre d ed o r de 1 a 1.2 T) R m(Fe) Inte nsida d de ca m p o en el h ie rro para B m(Fe). S egún el tip o de h ie rro debe o b te n e rse de Z 3. n N ú m e ro de e n tre h ierro s. Su a um ento re d uce el flu jo de d ispe rsión R Cu R esistencia del bob in ad o (según s 26) Rs R esistencia de la bobina, in clu ye n d o pérdid a s en el h ie rro (R s as 1.3 Rcu) / Fe L on gitu d media de la tra y e c to ria de flu jo en el n ú cle o de h ierro
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Electrotecnia
26
Corriente alterna TRANSFORMADOR Designación de los bobinados Clasificación según la función en el circuito (sentido de la transmisión de energía)
la tensión nominal
Bobinado que
Bobina do con recibe
tensión nominal mayor menor Alto
Bajo voi aje
| energía
entrega
Primario
Secundario
(Indice 1)
(Indice 2)
Datos nominales (índice N) s 173
Capacidad (VA)
PaS = U 1N • /in = U-¿N • /2N
S 174
Relación de transformación
n
=
= /2X/ / 1N
Como tensión nominal secundaria U¿s no se toma la correspon diente a carga nominal sino la de vacío, es decir, U>s = U>oPérdidas en el hierro P Fe y prueba de vacío (circuito abierto) ^ 1 ^ 2
U
u
U2c
Las pérdidas en el hierro PFe dependen sólo de la tensión primaria U i y de la frecuencia f, pero no de la carga. s 175
P ío =
P Fe
Dichas pérdidas en el hierro, así como la relación nominal de transformación n, se determinan mediante una prueba de vacío. (Ver el diagrama de conexiones, secundario abierto, datos con el índice 0). La componente activa / R(Fe) de la corriente primaria corresponde a las pérdidas en el hierro; la componente reactiva es la corriente de magnetización /M- Las pérdidas en el cobre son despreciables. Las pérdidas en el hierro P Fe se utilizan para calcu lar las pérdidas en operación normal y la eficiencia.
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Electrotecnia
S 27
Corriente alterna TRANSFORMADOR Pérdidas en el cobre PCu y prueba de corto circuito
Diagrama fasorial U
Q>
N,
|
ü«
I
D
El valor de PCu sólo depende de la co rriente primaria l x y se determina me diante una prueba de cortocircuito (ver el diagrama de conexio nes, datos con el índice K). En esta prueba con el secundario en corto se ajusta la tensión primaria U\ al valor Um. con el cual se hacen circular por los bobinados sus corrientes nominales; UiK es tan pequeña que pueden despreciarse los valores de /u(Fe> e /m. La potencia primaria de cortocircuito P iK resulta entonces igual a la pérdida nominal total en los dos bobinados, PCuN, a las corrientes nominales. Ese valor se emplea en el cálculo de las pérdidas de operación y de la eficiencia. S 176
s 177
P
ik
= P e uN
Con los valores medidos se determina la relación de cortocircuito, que se indica a veces en la placa de transformadores grandes. r K = 100 {UlK/U w ) %. Del diagrama fasorial se obtienen: p _
s 178
^cu =
í7 r//in ; L =
L/i./w/in ;
COS <^>ik — U r/ U i k --
uN
r KPaI Comportamiento en operación Para determinar la ten sión secundaria de traba jo U j para cada caso de carga, se refieren prime ro todas las cantidades secundarias a las de un transformador de igual capacidad, pero con una relación de transforma ción n = 1 :1 (valores con la marca ')
Circuito equivalente simplificado /,
Rs
i
s 179
U¿ = r¡ U-¿', I 2' — I 2' R / = n2 P; Cambio a U de U { dependiente de la carga (Aproximación para r K = 4%)
s 180
a U as U \k (eos
s 181
U2's s U x - AU ;
U¿ — U ¿/n
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ti
Electrotecnia Corriente alterna CONEXIONES TRIFASICAS R
Estrella (Y)
S 182
U = Uf \ Í 3
s 183
I
—
S Uy Uy.
/F
T N
Delta ( a )
R S
s 184
U = UF
s 185
I = l F s/ 3
T
Medición de potencia trifásica Cargas simétricas (equilibradas) Conexión sin neutro (sistema de 3 hilos)
con neutro (sistema de 4 hilos) Linea
I
r
Carga
Línea
s U
\
P
r
U
N s 186
Potencia total
R
1
fív)
r
Carga
s
ÛP
P = 3 P r = \ / 3 U I eos
Cargas asimétricas (desequilibradas). Método de Aron. Con dos wattímetros. Línea Carga De aplicación general y — para redes con neutro y sin neutro. ¡j s 187
Potencia total lF I R .S .T N Pr
P = P, + P2
Corriente de fase I U , Tensión de fase Corriente de línea | U Tensión entre líneas Conductores principales de línea(o bien: L, L 2 L ,) Hilo de neutro (o punto común) Potencia de fase (activa)
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Electrotecnia
S
Corriente alterna
29
CALCULO DE POTENCIAS TRIFASICAS Para cargas simétricas: s 188
Potencia reactiva
Pr = \ f z u ! sen
s 189
Potencia activa
P = \ / 3 U I eos
s 190
Factor de potencia
P eos
n/ 3
U /
Corrección del factor de potencia (FP) (en el caso de cargas inductivas) Generalidades Para reducir las pérdidas y el costo de la energía consumida pue de mejorarse el FP hasta un valor de 95% aproximadamente. En el caso de cargas grandes la corrección debe hacerse direc tamente en cada carga. Tratándose de cargas pequeñas la co rrección se hará en la subestación o centro de distribución. Cálculo de la potencia capacitiva (en VAr) necesaria El FP se calcula por medio de s 107 o s 190. La potencia se determina con wattímetros (ver las conexiones en S 28) o con un watthorímetro. Potencia capacitiva necesaria Pérdidas en el equipo corrector de FP
Pr = (tan
Tabla de valores para la corrección del FP COS 0
tan 0
COS 0
tan 0
COS 0
0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60
2.161 2.041 1.931 1.827 1.732 1.643 1.559 1.479 1.405 1.333
0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80
1.265 1.201 1.138 1.078 1.020 0.964 0.909 0.855 0.802 0.750
0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90
tan 0 0.724 0.698 0.672 0.646 0.620 0.593 0.567 0.540 0.512 0.484
eos 0
tan 0
0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1
0.455 0.426 0.395 0.363 0.329 0.292 0.251 0.203 0.142 0.000
Los valores de tan 0 t y tan 0 2 se obtienen correlativamente de la tabla anterior donde eos
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Electrotecnia
S
Máquinas
30
LA MAQUINA DE CORRIENTE CONTINUA Dínamo (molor o generador) Generalidades Constante del momento de rotación
PZ Cm — 2 ira
Tensión inducida en la armadura (FEM)
$ a
Momento de rotación
M = CM/Q j
Corriente de armadura
=
Cm
o) =
_ ± ( U -
2 7t C m
é°a)
^
n
*
«a Tensión terminal
U
= <
Velocidad de rotación (rps) ~
Potencia mecánica
S 201
*
2 i r CM ^
=Mi0)=Sala
Potencia interior s 200
± l„ R„ U + l„ R „
recibida por el generador
1 PG = — U V
entregada por el motor
P „ = r¡U l M
Motor con excitación "shunt” (Ver el diagrama de conexiones en S 31) Buen arranque, la velocidad permanece casi constante con carga, y dentro de ciertos límites, puede ajustarse con facilidad. Motor con excitación en serie (Ver el diagrama de conexiones en S 31) Buen arranque con alto par inicial. La velocidad depende de la carga. Sin carga, existe el peligro de desbocar la máquina. Motor con excitación "compound" (Ver el diagrama de conexiones en S 31) Trabaja aproximadamente como un motor "shunt". El bobinado serie garantiza un alto par de arranque. a
Número de pasos en parale lo en la armadura p Número de pares de polos
El signo + corresponde a un motor El signo — corresponde a un generador
z
Número de conductores
H
Resistencia de la armadura
* * El signo — corresponde a un motor El signo + corresponde a un generador
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co
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Electrotecnia
S
Máquinas
32
MOTORES DE CA TRIFASICOS Velocidad de sincronismo Según el número p de pares de polos y la frecuencia f (en Hz). se tiene s 205
f 60 f Velocidad de sincronismo ns = — = (en rpm) P P Conexión Si todas las terminales del devanado del estator se llevan al ta blero de conexiones, entonces el motor puede conectarse en del ta o en estrella. Tensión por fase en delta en estrella U
s 206
UF = U
U r~ ^ 7 ? Un motor con la designación 660/380 V opera con sus valores nominales de corriente, par y potencia conectado a una tensión
5 207
U = 380 V en A;
s 208
U — 660 V en Y;
entonces UF = 380 V U entonces UF =
660
— 380 V
Conexión delta-estrella Los motores de altas potencias operan generalmente en delta. Para evitar corrientes excesivas de arranque, en redes de baja potencia se les arranca conectados en estrella, y posteriormente se operan en delta. Si, por ejemplo, un motor con tensión nominal de 660/380 V se arranca en estrella conectado a una red de 380/ 220 V, entonces se le aplica por fase 1 /\^ T d e su tensión nominal. M otor asincrono (o de inducción) En el devanado del rotor se inducen tensiones y corrientes por el campo magnético giratorio producido por la corriente en el esta tor, por lo cual se le denomina también motor de inducción. La velocidad de operación es aproximadamente de 3% a 5% (des lizamiento) menor que la del campo giratorio (velocidad de sin cronismo). Con carga su velocidad permanece constante. M otor síncrono Requiere corriente continua para su excitación. Se arranca con ayuda de su devanado amortiguador (de jaula) hasta alcanzar la velocidad de sincronismo. Puede funcionar también reversible mente como generador síncrono o alternador.
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E le c tr o te c n ia
S
T ransf ormadores
3 3
GRUP OS DE CC)N EXIONE S D esic; in a c ió n
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L o s g r u p o s e n m a r c a d o s s o n p r e f e r ib le s .
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Símbolo
0
Û
Q
Tipo de dispositivo
Construcción
Bobina móvil en el campo radial uni Bobina móvil forme de un imán permanente; dos resortes espirales o de torsión como Bobina móvil conexiones y para el contramomento con rectifi torslonal cador Bobinas perpendiculares, rígidamente unidas, en el campo no uniforme de Bobinas en un imán permanente; dos conexiones cruz sin contrapar o contramomento El alambre calefactor del termopar, Bobina móvil soldado o en estrecho contacto. La con termopar tensión termoeléctrica alimenta la bobina móvil
0
n U
Cantidad primaria medida
Escala
Valor continuo (media aritmé tica)
Lineal
Valor continuo (rectificador)
h
Para medir
<11
Lineal
No lineal
1y U
/, 121
h
Valor eficaz
Hierro dulce
Dos piezas de hierro dulce, una móvil y una fija; bobina fija y resortes espira Valor eficaz les para el contramomento
Electrodiná mico
Bobina móvil, bobina fija y dos resor tes espirales o de torsión para el con tramomento y la conexión; pantalla magnética
/ 1 • /2 eos <£
/ y U
Casi cua (21 drática (21 No lineal
(21
f2
/ y U
1y U
(4) Cuadrática para / y U-. lineal para (21 P
1. U. P V eos
U (desde una placa fija y una móvil en el con No lineal (2) Valor eficaz 100 V) densador "'Tam bién para cantidades alternas no senoidales " 'S ó lo para cantidades alternas senoidales “ >/ < 500 Hz "'Tam bién para altas frecuencias = J =
Electrostá tico
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Optica e Iluminación Iluminación. Fotometría CANTIDADES BASICAS EN LUM INOTECNIA Símbolos y relaciones
Unidad
Explicación
Intensidad luminosa
lv
candela cd
Angulo sólido
Í1
estereorradián
/„ es una magnitud fun damental. Ver Explica ciones generales. Í2 e s la relación del área As de la superficie esfé rica interceptada, al cua drado del radio de la es fera rs. Para un ángulo sólido completo se tiene Í2 = 47rsr = 12.56 sr „ es el producto del ángulo sólido Í2 y la in tensidad luminosa l v
Magnitud
As
1 msr = ------1 m-
r's Flujo lumínico (potencia lumínica)
lumen =
lv
Im = c d s r
Cantidad de luz (energía lumínica)
Q v =
lumensegundo Im • s
Qv es el producto del flu jo lumínico y el intervalo de tiempo í
Iluminación
Ev
lux
Ev es el cociente del flujo lumínico incidente y la superficie iluminada A = A * /eos a
/„ eos a r2
Im Ix = ------m2
Lv
Luminosidad (brillo)
cd lv
m2
A i cose
L v es la relación de la in tensidad luminosa /,. a la proyección de la superfi cie iluminada sobre un plano perpendicular a la dirección a los rayos.
Flujo lumínico requerido para la iluminación (Ver valores en Z 21) Una superficie A sobre la que hay una iluminación Ev requiere un flujo lumínico
V Equivalente fotomètrico de la radiación t
8
1 watt = 680 Im a una longitud de onda de 0.555 /xm Definición de la unidad fundamental candela Un radiador perfecto (cuerpo negro) con una superficie de 1 /(6 x 10®) m2 tiene a una temperatura de 2 043 K una intensidad luminosa de 1 candela. Ver los símbolos en T 2
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Optica e Iluminación Iluminación. Refracción LEY DE LA ILUM INACION La iluminación de una superficie es inversamente proporcional ai cuadrado de su distancia a la fuente de luz: Evi
*2
A*
Ev 2 ~ r r
' A, «T""-
*2
Para igual iluminación de una superficie las intensidades de dos fuentes de luz están en relación directa al cuadrado de sus distan cias a la superficie: Superficie lv1
rr
~u
r22
------------- r2 ---------- í Refracción de la luz
nb na
i v2
Medio menos denso
sena sen ($ = constante para todo ángulo
na cuando sen f i ^ — , hay reflexión total nb Indices de refracción (para luz amarilla de sodio, Sólidos | Líquidos (con relación al aire) Plexiglass 1.49 Cuarzo 1.54 Vidrio (crown) 1.56 Diamante 2.41
Agua Alcohol Glicerina Benzol
a
= 589.3 nm)
Gases (con relación al vacío) 1.33 1.36 1.47 1.50
Hidrógeno Oxígeno Aire Nitrógeno
1.000139 1.000271 1.000292 1.000297
Superficie iluminada Superficie luminosa Angulo entre el rayo incidente y la perpendicular a la superficie iluminada A Angulo entre el rayo emitido y la perpendicular a la superficie luminosa Aj Indice de refracción del medio menos denso Indice de refracción del medio más denso Distancia entre la fuente luminosa y la superficie iluminada Eficiencia de la iluminación (Ver tabla Z 21) J3 x 10H m /s (velocidad de la luz)
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Optica e Iluminación
T
Longitudes de onda. Espejos______
3
LONGITUD DE ONDA EN AIRE ATMOSFERICO Longitud de onda À
Tipo de radiación t
14
Rayos X
Luz y adyacentes
duros suaves ultrasuaves
0.0057 0.080 2.0
ultravioleta, corta ultravioleta, larga violeta azul verde amarilla roja infrarroja
100 280 315 380 420 490 530 650
— —
— — — — — — — —
—
0 08 2.0 37.5
nm nm nm
280 380 380 420 490 530 650 780
nm nm nm nm nm nm nm nm
Longitud de onda À. = -
t 16
Espejos Espejo plano La imagen es virtual, derecha y está a una distancia (d’ ) numéricamente igual a la del objeto [d): t 17
d — — d' Espejo cóncavo
t 18
1
1
1
f
d
d’
La imagen será real o virtual dependiendo de la distancia del objeto: d
d'
Imagen
1
puntiforme real, invertida, menor real, invertida, igual tamaño real, invertida, mayor nula virtual, derecha, mayor
oo
>2 f
1
21 2 1
> d
< d' < 2 1 2 f > 2 1
> 1
oo
1
negativa < t Espeio convexo Sólo produce imágenes vir tuales, derechas y menores. Similar al espejo cóncavo r con / = ------- . 2
Ver símbolos en T4
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Optica e Iluminación Lentes LEYES DE LAS LENTES Potencia (o poder refractivo)
6
de una lente
1
Unidad: dioptría (dpt) = -
1
Pórmula de las lentes delgadas 1 _
1
1
T~ d7+ V = (n — 1)
(i+ i)
h’ d' m = — = — h d Si dos lentes con distancias focales f x y f > están inmediatamente una a continuación de la otra, la distancia focal total es
Lupa o lente de aumento En general s m
=
------- \-
f
1
Microscopio Ampliación total ts UU — m, m-j Macrofotografía
F f d d' h h'
Extensión de cámara
a = f (m + 1)
Distancia del objeto
c = — = f (1 + — )
Foco (o punto focal) [ stancia focal Distancia del objeto Distancia de la imagen Tamaño del objeto Tamaño de la imagen
n r t m s
Indice de refracción (ver T 2) Radio de curvatura Longitud óptica de tubo Amplificación o aumento Distancia visual normal ( = 25 cm en el ojo normal)
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Química
1J
E le m e n to s
Masa atómica (en urna) Manganeso Mn 54.9381 Aluminio Al Mercurio 200.59 Antimonio Sb Hg Mo 95.94 Molibdeno Argón Ar Nd Neodimio 144.240 Arsénico As Ne 20.183 Neón Astato At Nb 92.906 Niobio Azufre S Ni Níquel 58.71 Bario Ba N Nitrógeno 14.0067 Berilio Be Au 196.967 Oro Bismuto Bi Os Osmio 190.2 Boro B Oxígeno O 15.9994 Bromo Br Pd Paladio 106.4 Cadmio Cd Plata 107.870 Calcio Ca Ag Pt Platino 195.09 Californio Cf Pb Plomo 207.19 Carbono C Plutonio Pu 242 Cerio Ce K Potasio 39.102 Casio Cs Praseodimio Pr 140.907 Cloro Cl Ra Radio 226.04 Cobalto Co Renio Re Cobre 186.2 Cu Rh Rodio Cromo Cr 102.905 Rubidio Rb Elnsteinlo 85.47 Es Rutenio Ru Erbio Er 101.07 Samario Sm Escandio 150.35 Se Selenio Se Estaño Sn 78.96 Silicio Si Estroncio Sr 28.086 Sodio Na Europio Eu 22.9898 Flúor Talio TI 204.37 Fe Tantalio Ta Fósforo P 180.948 Gadolinio Telurio Gd Te 127.60 Galio Titanio Ga Ti 47.90 Torio Th Germanio Ge 232.038 Helio Tulio He Tm 168.934 W Hidrógeno H Tungsteno 183.85 Hierro Uranio U Fe 238.03 Indio V In Vanadio 50.942 Iridio Ir Xenón Xe 131.30 Kriptón Kr Yodo 1 126.9044 Lantano Yterbio La Yb 173.04 Litio Li Ytrio Y 88.905 Lutecio Lu Zinc Zn 65.37 Magnesio Mg Zirconio Zr 91.22 urna, u = Unidad de masa atómica (igual a 1 /12 de la masa de un átomo del isótopo 12 del carbono, 12C) (1 uma = 1.66 x 10- 27 kg) Nombre
Símbolo
Masa atómica (en urna) 26.9815 121.75 39.948 74.9216 210 32.064 137.34 9.0122 208.980 10.811 79.909 112.40 40.08 251 12.0112 140.12 132.905 35.453 58.9332 63.54 51.996 254 167.26 44.956 118.69 87.62 151.96 18.9984 30.9738 157.25 69.72 72.59 4.0026 1.008 55.847 114.82 192.2 83.80 138.91 6.939 174.970 24.312
1
Nombre
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Simbolo
Química Productos químicos NOMBRE común Acetileno Acetona Acido cianhídrico Acido clorhídrico Acido fluorhídrico Acido fosfórico Acido nítrico Acido sulfhídrico Acido sulfúrico Agua Alcohol etílico Alcohol metílico Amoníaco Anilina Bauxita Bórax Bromuro de plata Bromuro de potasio Cal viva Cal apagada Carbonato de calcio Carbonato de plomo Carbonato de sodio Carbono Carburo de calcio Carburo de silicio Cianuro de potasio Clorato de potasio Cloruro de amonio Cloruro de calcio Cloruro de estaño Cloruro de hierro Cloruro de potasio Cloruro de sodio Cloruro de zinc Cromato de potasio Dicromato de potasio Dióxido de carbono Dióxido de manganeso Eter etílico
específico o comercial (sólo cuando difieran)
dimetilcetona ácido prúsico
ácido ortofosfórico
aceite de vitriolo etanol metanol aminobenzol óxido de aluminio tetraborato de sodio
óxido de calcio hidróxido de calcio caliza plomo blanco
carburo carburundum
sal amoníaco
cloruro ferroso sal común
anhídrico carbónico pirolusita éter
»Normalmente en solución acuosa
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Fórmula C2H2 (CH3)2 • CO HCN HCI HF H3PO, HNO j H2S h 2s o , h 2o C .H ,O H CH3OH nh3 c 6h 5 ■n h 2 Al20 3* Na2B70 7* AgBr KBr CaO C a(O H )2 C aC 03 2PbCO;t • Pb(OH)2 Na2C 0 s* C CaC2 SiC KCN k c io 3 NH4CI CaCI2 SnCI2* FeC I-* KCI NaCI ZrtCI2* KÆ rO, K.C r«07
co2 M n02 (C2H„)20
Química Productos químicos
común
NOMBRE específico o comercial (sólo cuando difieran)
Fenol Ferricianuro de potasio Ferrocianuro de potasio Glicerina Glicol Grafito Hidróxido de amonio Hipoclorito de calcio Magnesia Metano Minio (plomo rojo) Nitrato de calcio Nitrato de plata Nitrato de plomo Oxido de estaño Oxido de plomo Oxido de manganeso Oxido de nitrógeno Oxido de zinc Potasa Potasa caustica Propano Sosa (soda) Sosa caustica Sulfato de cadmio Sulfato de calcio Sulfato de cobre Sulfato de hierro Sulfato de magnesio Sulfato de sodio Sulfato de zinc Sulfuro de hierro Sulfuro de mercurio Sulfuro de plomo Sulfuro de zinc Tetracloroetileno Tiosulfato de sodio Tricloroetileno Urea Yoduro de potasio
ácido carbólico
trihidroxipropano
polvo de blanquear óxido de magnesio gas de los pantanos óxido plumboso-plúmbico
óxido estannoso óxido plumboso dióxido manganoso gas hilarante blanco de zinc carbonato de potasio hidróxido de potasio óxido de sodio hidróxido de sodio
vitriolo azul vitriolo verde sal de Glauber vitriolo blanco sulfuro ferroso cinabrio sulfuro plumboso blenda
carbamida
* Normalmente en solución acuosa
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U
3
Fórmula C«H,OH K,[Fe(CN)«J K4[Fe(CN)„] C3H8(O H ), CH2OH-CH,.OH C NH.OH CaOCI2 MgO ch4 P b (0 4 C a(NO:,)2 AgNO, Pb(NO.,)2 Sn02 PbO MnO:» N-.O ZnO K_.CC>:, KÒH C ,H h Na,.0 NaOH CdS04 C a S 0 4* CuSO,* FeSO,* M g S 0 4* Na2S 0 4* Z n S 0 4* FeS HgS PbS ZnS C,.CI4 Na-.S20 :,* C-.HCI:, CÓ(NH..)_> Kl
Química Valores pH. Indicadores VALOR pH El logaritmo decimal con signo negativo de la concentración de iones hidrógeno c „ - es el valor pH de una sustancia: pH = — logio c „ * Cn
+
pH
u
1
10-*
10-*
10-’
0
1
2
7
10-12
10-13
10-“
12
13
14
neutra
Indicadores ácido-base Indicador
Intervalo del pH
Azul de tlmol 4-dimetilamlnoazobenzol Azul de bromofenol Ro¡o congo Anaranjado de metilo
1.2 -2 .8 2.9 - 4.0 3.0 - 4.6 3.0 - 5.2 3.1 - 4.4
rojo - amarillo rojo - amarillo naranja amarillo - rojo violeta azul violeta - rojo naranja rojo - amarillo naranja
Verde de bromocreosol Rojo de metilo Tornasol Púrpura de bromocreosol Rojo de bromofenol
3.8 4.4 5.0 5.2 5.2
-
5.4 6.2 8.0 6.8 6.8
amarillo - azul rojo - amarillo anaranjado rojo - azul amarillo - púrpura anaranjado amarillo - púrpura
Azul de bromotimol Rojo de fenol Rojo neutro Rojo de creosol m-creosolpúrpura
6.0 6.4 6.4 7.0 7.4
-
7.6 8.2 8.0 8.8 9.0
amarillo amarillo azul rojizo amarillo amarillo -
Azul de tlmol Fenolftaleina Amarillo de alizarina GG
8.0 - 9.6 8.2 - 9.8 10.0 -12.1
Cambio de color
azul rojo - anaranjado amarillo púrpura púrpura
amarillo - azul sin color - rojo violeta amarillo claro - castaño amarillento
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1
Química R e a c tiv o s. P ro d u c to s q u ím ic o s . M e z c la s frig o rífic a s REACTIVOS Clase de sustancia u u u
2 3 4
u u u
5 6 7
Base
u
8
Ozono
u 9 u 10 u 11
Cambio de color o efecto
Indicador o reactivo papel tornasol azul fenolftaleina roja anaranjado de metilo amarillo
Acido
Acido sulfhídrico Solución de amoniaco Dióxido de carbono
rojo incoloro rojo
papel tornasol rojo fenolftaleina incolora anaranjado de metilo rojo
azul rojo amarillo
papel con yoduro de potasio papel plomo ácido clorhídrico hldróxido de calcio
azul - negro castaño-negro vapores blancos sedimentación
Obtención de productos químicos Producto a obtener u u u u u u u u
12 13 14 15 16 17 18 19
Reacción
Acido carbónico Acido sulfhídrico Amoniaco Cloro Cloruro de amonio Hidrógeno Hidróxido de amonio Hidróxido de sodio
CaCO:, FeS CO(NH,.) CaO Cl2 NH,OH H ,SO, NH:1 Na20
+ + + + + + + +
2HCI 2HCI H20 2HCI H CI Zn H ,0 H20
-» -* -» -* -> -» -> ->
H,C O a H,S 2NH;t Cl2 NH.CI H, NH,OH 2NaOH
u 20
Oxígeno
2KCIO:1
4 30,
+
u 21 u 22 u 23
Sulfuro de cadmio Sulfuro de plomo Sulfuro de zinc
CdSO, + H,S Pb(NO;t), + H ,S ZnSO, + H ,S
-» Cd S Pb S -> ZnS
+ H , SO, + 2HNO;, + HjSO,
-j- CaCI2 -f- FeCI2
+ co. + C aCI, + H ,0 + h 2o + ZnSO,
2KCI
Preparación de mezclas frigoríficas Reducción de temperatura (°C) u u u u u u u
24 25 26 27 28 29 30
+ 10 + 10 + 8 0 0 0 + 15
- 12 - 15 - 24 - 21 - 39 - 55 -7 7
Mezcla (los números indican proporciones en peso) 4 H .O 1 1 KCI 1 H ,0 + 1 NH.NO.i 1 H ,0 + 1 NaNO:, + 1 NH.CI 3.0 Hielo picado + 1 NaCI 1.2 Hielo picado + 2 C aCI, • 6H20 1.4 Hielo picado + 2 C aCI, • 6 H ,0 1 Metanol -j- C 0 2 sólido (hielo seco)
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Química H um edecim iento y secado del aire. D ureza del agua ESTABLECIMIENTO DE HUMEDAD CONSTANTE EN EL AIRE DE RECIPIENTES CERRADOS Humedad relativa a 20°C (por encima de la superficie de la solución)
Solución acuosa saturada
92 % 86 80 76 63 55 45 35
N a.CO ;i • 10 H.O KCI (NH4) .S 0 4 NaCI N H4NO;{ Ca(NO.{)2 • 4 H.O K .C O , • 2 H.O Ca C l. • 6 H.O
u u u u u u u u
31 32 33 34 35 36 37 38
U
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Elementos secantes para desecadores Agua residual después del secado a 25°C. m g/lit (aire) 1.4 0.8 0.14 - 0.25 0.16 0.008 0.005 0.003 0.002 0.001 0.000025
Elemento secante Nombre Sulfato de cobre, anhidro Cloruro de zinc, fundido Cloruro de calcio, granulado Hidróxido de sodio Oxido de magnesio Sulfato de calcio, anhidro Oxido de aluminio Hidróxido de potasio Oxido de silicio (Kieselgel) Pentóxido de fósforo
Fórmula CuSO, ZnCI. CaCI. NaOH MgO C aS04 A I.O , KOH (S iO ,)x
p,o 5
U U U U
u u u u u
Dureza del agua 1o en la escala alemana (deutsche H ärte. dH) = 10 mg (C aO )/litro (agua) Intervalos de dureza (en dH) 0o - 4o muy blanda 4o - 8o blanda 8o - 12° medio blanda
12° - 18° algo dura 18° -3 0 ° dura más de 30° muy dura
Intercambiadores de iones para suavizar el agua Zeolita: Permutita: Wofatita:
silicatos naturales de sodio y aluminio silicatos artificiales de sodio y aluminio resinas orgánicas sintéticas
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u 49 u 50 u 51
Tablas Propiedades eléctricas RESISTIVIDAD p Y CONDUCTIVIDAD y DE CONDUCTORES (A Z0°C) P n- mmVm
Material Acero dulce Aluminio Antimonio Cadmio Carbón Cobre (eléc.) Constantan Cromo-Ni-Fe Estaño Hierro fundido Hierro (puro) Grafito Latón Ms 58
0.13 0.0278 0.417 0.076 40 0.0175 0.48 0.10 0.12 1 0.10 8.00 0.059
1
7=7 7.7 36 2.4 13.1 0.025 57 2.08 10 8.3 1 10 0.125 17
Material
P n • m mVm
Latón Ms 63 Magnesio Manganina Mercurio Níquel Niquelina Oro Plata Plata alemana Platino Plomo Tungsteno Zinc
0.071 0.0435 0.423 0.941 0.087 0.5 0.0222 0.016 0.369 0.111 0.208 0.059 0.061
1
y=7 14 23 2.37 1.063 11.5 2.0 45 62.5 2.71 9 4.8 17 16.5
RESISTIVIDAD p DE AISLANTES Material
n • cm
Aceite de parafina Agua de mar Agua destilada Ambar comprimido Baquelita Caucho (hule) duro Mármol
10,s 10« 10T 10,s 1011 10'« 10"’
Material
n • cm
Mica Parafina (pura) Plexiglás Polistireno Porcelana Tierra húmeda Vidrio
1017 101R 1015 101S 1014 10* 1015
COEFICIENTE TERMICO DE RESISTENCIA a ,,, (A 20°C) Material
(°C \ K >)
Material
r e - 1, K -1)
Acero dulce Aluminio Carbón Cobre Constantan Estaño Grafito Latón
-f + + -f +
Manganina Mercurio Níquel Niquelina Plata Plata alemana Platino Zinc
± -f + + + + + +
0.00660 0.00390 0.00030 0.00380 0.00003 0.00420 0.00020 0.00150
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0.00001 0.00090 0.00400 0.00023 0.00377 0.00070 0.00390 0.00370
Z
Tablas
2
Propiedades eléctricas CONSTANTE DIELECTRICA ef
Material aislante
£r
Aceite de oliva 3 Aceite de parafina 2.2 Aceite de ricino 4.7 Aceite mineral p/transf. 2.2 Aceite vegetal p/transf. 2.5 Agua 80 Aire 1 Aislam. p/cable alta tensión 4.2 Aislam. p/cable telefónico 1.5 Araldita 3.6 Baquelita 3.6 Cartón comprimido 4
Material aislante
£r
Material aislante
£r
Caucho (hule) duro Caucho (hule) suave Compuesto (compound) Cuarzo Ebonita Esteatita Fibra vulcanizada Gutapercha Laca (shellac) Mármol Mica Micanita Papel Papel impregnado
4 2.5 2.5 4.5 2.5 6 2.5 4 3.5 8 6 5 2.3 5
Papel Kraft Papel pescado Parafina Petróleo Pizarra Plexiglás Poliamida Polistireno Porcelana Resina fenólica Teflón Tela Trementina (aguarrás) Vidrio
4.5 4 2.2 2.2 4 3.2 5 3 4.4 8 2 4 2.2 5
SERIE DE POTENCIALES ELECTROQUIMICOS Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno Material
Volts
Aluminio Berilio Cadmio Calcio Cobalto Cobre Cromo Estaño
-1.66 -1.85 -0.40 -2.87 -0.28 +0.34 -0.74 -0.14
Material
Volts
0.00
Hidrógeno Hierro Magnesio Manganeso Mercurio Níquel Oro Plata
-0.41 -2.37 -1.19 +0.85 -0.23 +1.50 +0.80
Material Platino Plomo Potasio Sodio Tungsteno Zinc
Volts +1.20 -0.13 -2.93 -2.71 -0.58 -0.76
Números estandarizados mediante una razón progresiva de acuerdo con la serie E (Ejem plo para E 6 a E 24) Serie E 6 (= 1.0
2.2
V io; 4.7
Serie E 12 ( = % ) ) 1.0 1.2
1.5
3.3
6.8
1.5 1.8
10
22 etc.
47
10
2.2 2.7 3.3 3.9 22
4.7 5.6 6.8 8.2 47
Serie E 24 (= 2\fÍ0) 1.0
2.2
4.7
1.1
2.4
5.1
1.2
2.7
5.6
1.3
3.0
6.2
1.5
3.3
6.8
1.6
3.6
7.5
1.8
3.9
8.2
2.0
4.3
9.1
10
22
47
etc.
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etc.
Tablas
Z
Propiedades magnéticas
3
INTENSIDAD DE CAMPO H Y PERMEABILIDAD RELATIVA ¡xr EN FUNCION DE LA INDUCCION M AGNETICA B DESEADA
Inducción o densidad de flujo
Hierro fundido
Acero fundido y lámina tipo ''dynamo''
Lámina de acero aleado
pFel0 = 3.6 W /kg PFetu = 1.3 W /kg B
H
tesla gauss T = V -s /m 2) (Gs)
A /m
\X.r
H
H
A/m
A /m
/¿r
0.1 0.2 0.3
1 000 2 000 3 000
440 740 980
181 215 243
30 60 80
2 650 2 650 2 980
8.5 25 40
9 390 6 350 5 970
0.4 0.5 0.6
4 000 5 000 6 000
1 250 1 650 2 100
254 241 227
100 120 140
4 180 3 310 3 41 0
65 90 125
4 900 4 420 3 810
0.7 0.8 0.9
7 000 8 000 9 000
3 600 5 300 7 400
154 120 97
170 190 230
3 280 3 350 311 0
170 220 280
3 280 2 900 2 550
1.0 1.1 1.2
10 000 11 000 12 000
10 300 14000 19 500
77 63 49
295 370 520
2 690 2 360 1 830
355 460 660
2 240 1 900 1 445
1.3 1.4 1.5
13 000 14 000 15 000
29 000 42 000 65 000
36 26 18
750 1 250 2 000
1 380 890 600
820 2 250 4 500
1 260 495 265
1.6 1.7 1.8
16 000 17 000 18 000
3 500 7 900 12 000
363 171 119
8 500 13 100 21 500
150 103 67
1.9 2.0 2.1
19 000 20 000 21 000
19 100 30 500 50 700
79 52 33
39 000 115000
39 14
2.2 2.3
22 000 23 000
130 000 218000
13 4
Limite práctico
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Tablas Propiedades magnéticas VALORES PARA LAMINA TIPO "D YNA M O ” (DE LA NORMA DIN 46 400) Lá nina de a eación Clase
Lámina normal
baja
mediana
alta
Tipo
I 3.6
II 3.0
III 2.3
IV 1.5 IV 1.3
Tamaño mm x mm
1000 X 2000
750 X 1500
Espesor, mm
0.5
0.35 7.6
Densidad, kg/dm 3
7.8
7.75
7.65
Valor máximo de las pérdidas, W /kg
Pt'elO
3.6
3.0
2.3
1.5
1.3
Pl'elO
8.6
7.2
5.6
3.7
3.3
tesla gauss
1.53 15 300
1.50 15 000
1.47 14 700
1.43 14 300
tesla gauss
1.63 16 300
1.60 16 000
1.57 15 700
1.55 15 500
B io o
tesla gauss
1.73 17 300
1.71 17100
1.69 16 900
1.65 16 500
B ; îih ,
tesla gauss
1.98 19 800
1.95 19 500
1.93 19300
1.85 18 500
S 25
Valor mínimo de la inducción
Br.ii
Explicaciones B 25 = 1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo mínima de 1.53 T se alcanzará con una intensidad de campo de 25 A /cm . Para una línea de flujo de, p. e¡.. 5 cm, se necesitarán pues: 5 X 25 = 125 A. Pn-io Preis
pérdidas magnéticas por unidad de masa con las inducciones de
10 000 Gs = 1.0 tesla 15 000 Gs = 1.5 tesla
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Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos Los valores corresponden a las siguientes condiciones*: Densidad a t = 15°C Temperaturas (o puntos) de fusión y de ebullición para p = 1.0132 bar = 760 Torr Los valores entre paréntesis indican sublimación, o sea, cambio directo del estado sólido al gaseoso Conductividad térmica a 20°C Capacidad térmica específica (o calor específico) para el intervalo de temperaturas 0 < í < 100°C Puntos de Conduct. Calor Densidad fusión ebulli térmica específico (soldf.) K c ción P kg/dm :' °C °C W /(m -K )(" KJ/(kg-K)12'
Sustancia
Aceite Aceite Aceite Aceite Aceite
de colza de linaza para calefacción para máquinas para transforms.
0.91 0.94 «a» 0.92 «a» 0.91 0.87
-
3.5 20 5 5 5
300 316 175-350 380-400 170
0.17 0.15 0.12 0.126 0.15
1.67 1.84
Acero Acero colado Acero dulce Acero de alta velocidad Acetona
7.85 7.8 7.85 8.4-9.0 0.79'3'
~ ~ ~ ~
1350 1350 1400 1650
2500
47-58 52.3 46.5 25.6
0.46 0.502 0.461 0.498
Acido Acido Acido Acido Acido
acético cianhídrico clorhídrico 10% clorhídrico 40% fluorhídrico
1.08 0.7 1.05 1.20 0.99
16.8 - 15 - 14
118 27 102
0.50
3.14
Acido Acido Acido Acido Agata
nítrico sulfúrico sulfúrico 50% sulfúrico conc.
0.53
2.72 1.34
0.5 11.20
1.38 0.80
0.58 0.17-0.23 0.16
4.183 2.42
Agua Alcohol Alcohol etílico 95% Alcohol metílico
- 92.5
1.56«' 1.49'5' 1.40 1.84 - 2.6 ~
1.3 73
2500 2600 56.1
19.5 86 - 10
10-0 338 1600 -2 6 0 0
1.0<6' 0 0.79 - 130 0.82'3’ - 90 0.8 - 98
1.97
100 78.4 78 66
*V er las notas en la página Z 9
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2.51
Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos
Sustancia
Punt ds de Densidad fusión ebulli (soldf.) ción f> °C
kg/dm :t Aluminio fundido Aluminio laminado Ambar Antimonio Arcilla Arena seca Arenisca Arsénico Asbesto Asfalto (chapopote)
2.6 2.7 1.0 6.67 1.8-2.6 1.2-1.6 1.9-2.6 5.72 - 2.5 1.2
°C
658 - 2200 658 - 2200 - 300 630 14.40 -1 6 0 0 2980 -1 5 5 0 -1 5 0 0 815 15
300
1.96 3.6 0.89 0.7 1.85
113 700 5.4 - 150 1279
445 1537 80 50-200
Bismuto Bórax Brea (alquitrán) Bromo Bronce
9.8 1.72 1.08 3.14 - 8.0
271 741
1480
7.3 900
63 2300
Bronce fosforado Bronce de aluminio Cadmio Calcio Caliza
8.8 7.7 8.64 1.55 1.8-2.8
Carbón mineral Carbón vegetal Carburo de silicio Caucho (hule) crudo Caucho (hule) duro
1.2-1.5 0.3-0.5 3.12 0.95 1.2-1.8
Azufre cristalizado Bario Benceno (benzol) Bencina Berilio
Cera Cloroformo Cobalto Cobre Cobre fundido
0.96 1.53 8.8 8.93 8.8
Cobre laminado Colofonio Concreto armado
8.9 1.07 2.4
-
2600 2600 (633)
-
900 1040 321 800
2300 778 851
Conduct. térmica K
W /(m -K )(,) kJ/(kg-K)(2> 209.3 209.3
125 64 70 1490 1083 1083
65-70 61 3168 2310 2310
1083 100-130
2310
-
0.904 0.904
22.53 0.84
0.21 0.92
0.33 1.3-1.7
0.80 0.92 0.348 0.816
0.17 0.19 0.27 0.137 0.16 167.5 10.5
0.75 0.29 1.80 - 2.1 1.880 0.13 0.996
116-186
0.360
105-116 127.9 92.1
0.364 0.435 0.234 0.63 0.909
0.15-0.23 (3540)
Calor específico c
0.16 0.08 15.2 0.20-0.34 0.17 0.084
1.30 0.84 0.67
3.43
69.8 372.1 372.1
0.435 0.394 0.394
372.1 0.317 0.8-1.7
0.394 1.88 0.88
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Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos Pun os de Calor Conduct. Densidad fusión ebulli térmica específico c K (soldf.) ción P °C °C W/fm-K)«1* kJ/(kg*K)(2) kg/dm3
Sustancia
Constantan Coque Corcho Corindón Cromo
8.89 1.4 0.2-0.3 4.0 6.7
- 1600 - 2 4 0 0
2050 - 1800
2980 2200
Cuarzo Cuero Diamante Diesel (combustible) Duraluminio
-2 .6 0.9-1.0 3.5 0.88 2.8
- 1550
2590
5 650
(3540) 175 2000
Elektron Esmeril Estaño fundido Estaño laminado Estroncio
1.8 4.0 7.2 7.3-7.5 2.54
650 2200 232 232 797
1500 3000 2200 2200 1366
Esteatita Eter etílico Fibra de vidrio Fibra vulcanizada Fibracel
2.6-27 0.73 0.1-0.2 1.28 1.5
1650 117
35
Fósforo Gasóleo (g aso il) Gis Glicerina Grafito
1.83 0.86 1.8-2.6 1.27,4> - 2.1
44.2 287.3 -3 0 200-350
Grasas Gutapercha Hielo Hierro (fierro) Hierro de 1a. fusión
0.93 - 0.98 0.9 7.86 7.0-7.8
30-175 - 3 0 0 148 180 0 100 1530 - 3000 1560 2500
Hierro de soldadura Hierro forjado Hierro fundido Hollín Incrustación (calderas)
7.8 7.8 7.25 1.6-1.7 2.5
1600 - 1200 - 1200 1200
2500 (3540) 2800
Iridio Ladrillo Ladrillo refractario
22.4 1.4-1.6 1.8-2.2
2450
4800
- 2000
2900
-
-2 0
290 (3540)
2500
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23.3 0.183 0.30 0.7
0.410 0.84 2.05 0.96 0.452
1.09 0.17 8.4 0.13 129.1
0.80 1.495 0.3329
162.8 11.6 64.0 64.0
1.00 0.96 0.25 0.25 0.230
2.7-2.8 0.14 0.03-0.07 0.21
0.92
1.05 2.26 0.84 1.26 1.357 0.80
0.15 0.9-1.2 0.29 5.02 0.21
0.84 2.43 0.825 0.63-0.76
17 47-58 52.3
2.09 0.456 0.54
54.7 47-58 48.8 0.07 1.2-3.0
0.515 0.461 0.532 0.84 0.80
59.3 0.8 0.47
0.134 0.92 0.88
Zs
Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos Punt os de
Sustancia
Densidad fusión (soldf.) P kg/dm 3
Latón fundido Latón laminado Litio Madera, abedul alerce
8.4-8.7 8.5-8.6 0.53 0.5-0.8 0.5-0.8
°C
ebulli ción °C
K
Calor específico c
W/ím-K)«1» kJ/(kg-K)<2) 81-105 87-116 301.2 0.142 0.12
0.385 0.385 0.360 1.88 1.30
0.6-0.9 0.4-0.7 0.7-1.0 0.6-0.9 0.6-0.8
0.3-0.5 0.152 0.21 0.3-0.5 0.143
1.59 1.42 2.39 1.59 1.34
haya roja pino blanco pino rojo "pock” Magnesia
0.7-0.9 0.5-0.8 0.5-0.8 1.28 3.2-36
0.143 0.16 0.1-0.2 0.19
1.34 1.30 1.47 2.51
Magnesio Magnesio de aleación Manganeso Mármol Mercurio
1.74 1.8 7.3 2.0-2.8 13.6
650 650 1260 1290 38.9
1120 1500 1900 2870 357
157.0 70-145 2.1-3.5 8.4
1.05 1.00 0.46 0.88 0.138
Metal Babbitt Metal Delta Metal rojo Mica Minio
7.5-10 8.6 8.8 ~ 3.0 8.6-9.1
300-400 950 950 ~ 1300 900
2100 2300
35-70 104.7 127.9 0.35 0.7
0.146 0.384 0.381 0.88 0.25
10.2 0.1 8.8 19.33 22.48
~ 2500 0 1452 1064 2500
3560 100 2400 2610 5300
5.21 5.1 11.5 0.7-1.1 0.9
~ 2200 1565 1549
2200
0.42 0.58 70.9
300
0.21
0.75 0.67 0.247 1.336 3.26
0.14 0.159
0.904 1.76 2.09
arce chopo encino (roble) fresno haya blanca
Molibdeno Nieve Níquel Oro Osmio Oxido de cromo Oxido de hierro Paladio Papel Parafina Percloroetileno Petroéter Petróleo
1.62 0.67 0.80
900-980 - 2 3 0 0 900-980 - 2300 186 1336
Conduct. térmica
52 20 - 160 70
52.3 308.2
119 40-70 150-300
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0.272 4.187 0.461 0.130 0.130
Tablas Propiedades de materiales sólidos y líquidos Pun os de Densidad fusión ebulli (soldf.) ción P
Sustancia
kg/dm :t
°C
Pizarra Plata Plata alem. (alpaca) Platino Plomo
26-2.7 10.5 84-8.7 21.4 11.34
~ 2000 960 ~ 1050 1764 327
Porcelana Potasio Radio Renio Rodio
2.2-25 0.86 5 21.4 12.3
1670 63 700 3170 1960
Rubidio Sebo Selenio Silicio Sodio
1.52 0.9-1.0 4.3-4.8 2.34 0.98
2000 3800 1525
2500
16.6 6.25 0.87 4.5 0.88
3030 455 -1 0 1800 - 9 4 .5
Torio Tricloroetileno Tumbaga Tungsteno (wolframio) Turba
11.3 1.47 8.65 19.1 0.64
1845 - 86 900 ~ 3350
Uranio Vanadio Vidrio plano Yodo Zinc extruido
18.7 5.6 2.5 4.95 6.8
Zinc fundido Zinc laminado
6.86 7.15
0.758 0.234 0.398 0.130 0.130
0.8-1.0
0.92 0.080
88.3
0.147 0.243
133.7
0.33 0.88 0.352 0.80 1.26
73.3 0.10
110
0.14
1850 1715 700 113.5 (184) 1000 393 419 419
0.42 418.7 29.1 69.8 35.0
1390 160
87 2300 4850
920 920
0.16 93-116 11.9 0.06-1.2
0.138 0.201 1.80 0.611 1.59 0.113 1.30 0.381 0.155 1.88
139.6
0.117 0.50 0.84 0.218 0.38
110.5 105.8
0.38 0.38
0.6-1.0
1 W /(m • K) = 0.8598 kcal/(h • m • C) 1 kJ/(kg • K) = 0.2388 kcal/(kg • C) = 102 kgf • m /(kg • C) Para í = 20°C Para t = 0°C Para t = - 20°C Para f = 4°C
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Calor específico c
W/ím-K)«1) kJ/(kg-K)<2>
762.2
39 696 40-50 350 220 690 —-1415 2400 97.5 880
Tantalio Telurio Trementina (aguarrás) Titanio Tolueno (toluol)
<2' <3> (4> ,6> (6)
°C
Conduct. térmica K
Tablas Propiedades de materiales gaseosos Los valores corresponden a las siguientes condiciones. Densidad a t = 15°C y p = 1.0132 bar = 760 Torr Temperaturas de fusión y evaporación a p = 1.0132 bar Conductividad térmica a t = 20°C y p = 1.0132 bar Calor específico a t = 20°C y p = 1.0132 bar
ebulli ción
Conduc tividad térmica A.
Calor específico
°C
W/(nvK)
kJ/(kg-K)<'>
Punto de Sustancia
Densidad fusión P Isoldf.)
cp
cr
kg/m 3
°C
Acetileno Acido clorhídrico Acido sulfhídrico Aire (atmosférico) Amoniaco
1.18 1.64 1.54 1.293 0.77
- 84 - 114 - 83 - 220 - 78.3
0.017017 - 81 - 85 - 60.3 0.0221 -1 9 5 - 33.7 0.01989
1.67 0.80
1.34 0.59
1.00 2.22
0.71 1.72
Argón Azufre Butano, isoButano, nCloro
1.78 3.41 2.67 2.70 3.22
- 190 112 - 145 - 135 - 100
- 186 46 10 1 - 34
0.015912 0.006188
0.54 0.67
0.33 0.54
-
0.014365
0.50
0.29
Dióxido de azufre Dióxido de carbono Etileno Gas de alumbrado Gas de altos hornos
2.93 1.96 1.26 0.55 1.28
- 73 - 57 - 169 - 230 - 210
- 10 - 78.5 -1 0 2 -2 1 0 -1 7 0
0.015912 0.01326 0.034034 0.05525 0.01989
0.63 0.84 1.55 2.14 1.05
0.50 0.63 1.21 1.55 0.75
Gas pobre Helio Hidrógeno Kriptón Metano
1.22 0.18 0.09 3.7 0.72
- 210 - 272 - 258 - 157 - 184
-1 7 0 - 268.8 -2 5 3 -1 5 2 -1 6 4
0.01989 0.143 0.161993 0.00878 0.028067
1.05 5.23 14.28 0.25 2.22
0.75 3.18 10.13 0.17 1.72
Monóxido de carbono Neón Nitrógeno Oxígeno Ozono
1.25 0.9 1.25 1.43 2.14
-
211 249 210.5 219 251
- 190 -2 4 6 - 195.7 - 183 - 112
0.020995 0.043758 0.0221 0.022321
1.05 1.05 1.05 0.92
0.75 0.63 0.75 0.67
Propano Propileno Vapor de agua(2) Xenón
2.02 1.91 0.81 5.8
-
190
-
0 111
0.016575 0.0051
1.93
1.47
-
(1> 1 kJ/(kg • K) = 0.2388 kcal/(kg • K)
45 50 100 - 106
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(2) A f = 100°C
Tablas Propiedades térmicas de materiales COEFICIENTE DE DILATACION LONGITUDINAL a EN (10 G) ( K 1) (para t de 0 a 100°C) Sustancia
a
Acero dulce Acero níquel ( = Invar con 36% Ni) Aluminio Bismuto Bronce Cadmio Cobre Constantan Cuarzo Estaño Esteatita
Sustancia
12.0 1.5 23.8 13.5 17.5 30.0 16.5 15.2 0.5 23.0 8.5
COEFICIENTE DE DILATACION VOLUMETRICA (para t = 15°C) Sustancia Agua Alcohol Bencina (gasolina) Eter Glicerina
a 10.5 18.5 5.2 13.0 14.2 19.7 18.0 9.0 29.0 4.0 4.5 30.0
Hierro fundido Latón Molibdeno Níquel Oro Plata Plata alemana (alpaca) Platino Plomo Porcelana Tungsteno (wolframio) Zinc
pEN
K 1
Sustancia
/ì 0.00018 0.0011 0.001 0.0016 0.0005
fi
Mercurio Petróleo Trementina (aguarrás) Tolueno (toluol)
0.00018 0.001 0.001 0.00108
COEFICIENTE DE TRANSM ISION DE CALOR k EN W (m 2 • K) * Material de pared Caliza Concreto armado Concreto de escoria Concreto de grava Madera Ladrillo Vidrio
0.3
1
Espesor en centímetros 2 5 12 25 4.3
3.8 5.8
4.1 2.4
3.1 3.5 2.7 3.4 1.7 2.9
38
51
2.2
1.7
1.4
1.7 2.3
1.4
1.0
2.0
1.5
1.3
5.3
Ventanas Vidrio sencillo, amasillado (con mástique) Vidrio doble, 2 cm de separación, amasillado Vidrio doble, 12 cm de separación, amasillado Techo de tejas, sin y con material para ¡untas
5.8 2.9 2.3 11.6 y 5.8, respectivamente
*Valor aproximado para aire con movimiento ligero en ambos lados de la pared
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Z 12
Tablas Propiedades térmicas de materiales
CALOR DE FUSION (POR UNIDAD DE MASA) /, Sustancia
k J/k g (1)
Acero Aluminio Antimonio Azufre Cadmio Cobalto Cobre Cromo Estaño Eter etílico Fenol Glicerina Hielo Hierro colado
205 377 164 38 46 243 172 134 59 113 109 176 335 126
Sustancia
kJ/kg
Latón Manganeso Mercurio Metal (aleación) Wood Naftalina Níquel Oro Parafina Plata Platino Plomo Potasio Zinc
168 155 11.7 33.5 151 234 67 147 109 113 23 59 117
CALOR DE VAPORIZACION (POR UNIDAD DE MASA) /„ (a 1.0132 bar = 760 Torr) Sustancia Agua Alcohol Amoniaco Cloro Clorometilo Dióxido de azufre
kJ/kg 2250 880 1410 293 406 402
Sustancia
kJ/kg
Dióxido de carbono Hidrógeno Mercurio Nitrógeno Oxígeno Tolueno (toluol)
595 503 281 201 214 365
CONSTANTE DE GAS Rr¿’ EN J(kg ■K)Y MASA MOLAR M (EN kg/km ol) Sustancia Acetileno Aire Amoniaco Dióxido de azufre Dióxido de carbono
R
M
Sustancia
R
M
319 287 488 130 189
26 29 17 64 44
Hidrógeno Monóxido de carbono Nitrógeno Oxígeno
4124 297 297 260
2 28 28 32
<1> 1 kJ/kg = 0.2388 kcal/kg
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Tablas Propiedades térmicas de materiales
t <°C)
CO
o o
CAPACIDAD TERMICA ESPECIFICA (M EDIA) c„ DE GASES IDEALES EN kJ/(k g • K) EN FUNCION DE LA TEMPERATURA t
0 100 200 300 400
1.039 1.041 1.046 1.054 1.064
0.8205 0.8689 0.9122 0.9510 0.9852
14.38 14.40 14.42 14.45 14.48
1.858 1.874 1.894 1.918 1.946
500 600 700 800 900
1.075 1.087 1.099 1.110 1.121
1.016 1.043 1.067 1.089 1.109
14.51 14.55 14.59 14.64 14.71
1000 1100 1200 1300 1400
1.131 1.141 1.150 1.158 1.166
1.126 1.143 1.157 1.170 1.183
1500 1600 1700 1800 1900
1.173 1.180 1.186 1.193 1.198
2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000
n2 puro
n2 atm.
02
SO,,
Aire
1.039 1.041 1.044 1.049 1.057
1.026 1.031 1.035 1.041 1.048
0.9084 0.9218 0.9355 0.9500 0.9646
0.607 0.637 0.663 0.687 0.707
1.004 1.031 1.013 1.020 1.029
1.976 2.008 2.041 2.074 2.108
1.066 1.076 1.087 1.098 1.108
1.057 0.9791 0.724 1.067 0.9926 0.740 1.078 1.005 0.754 1.088 1.016 0.765 1.099 1.026 0.776
1.039 1.050 0.061 1.072 1.082
14.78 14.85 14.94 15.03 15.12
2.142 2.175 2.208 2.240 2.271
1.118 1.128 1.137 1.145 1.153
1.108 1.035 1.117 1.043 1.126 1.051 1.134 1.058 1.142 1.065
0.784 0.791 0.798 0.804 0.810
1.092 1.100 1.109 1.117 1.124
1.195 1.206 1.216 1.225 1.233
15.21 15.30 15.39 15.48 15.56
2.302 2.331 2.359 2.386 2.412
1.160 1.168 1.174 1.181 1.186
1.150 1.157 1.163 1.169 1.175
1.071 1.077 1.083 1.089 1.094
0.815 0.820 0.824 0.829 0.834
1.132 1.138 1.145 1.151 1.156
1.204 1.209 1.214 1.218 1.222
1.241 1.249 1.256 1.263 1.269
15.65 15.74 15.82 15.91 15.99
2.437 2.461 2.485 2.508 2.530
1.192 1.197 1.202 1.207 1.211
1.180 1.099 1.186 1.104 1.191 1.109 1.195 1.114 1.200 1.118
0.837
1.162 1.167 1.172 1.176 1.181
1.226 1.230 1.234 1.237 1.240 1.243
1.275 1.281 1.286 1.292 1.296 1.301
16.07 16.14 16.22 16.28 16.35 16.42
2.552 2.573 2.594 2.614 2.633 2.652
1.215 1.219 1.223 1.227 1.230 1.233
1.204 1.207 1.211 1.215 1.218 1.221
h2
H2 0
1.123 1.127 1.131 1.135 1.139 1.143
Calculada a partir de datos en E. Schmidt, E infü hru n g in die Technische Therm odynam ik, 9a. edición, Springer, 1962, B erlin/G öttingen/Heldelberg.
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1.185 1.189 1.193 1.196 1.200 1.203
Tablas Propiedades térmicas de materiales CONSTANTE DE RADIACION C EN (10 s) W /m 2 • K 1) A 20°C
Material
Acero mate Acero pulido Agua Aluminio mate Aluminio pulido Cobre oxidado Cobre pulido Estaño pulido Hielo Hollín Ladrillo
C
5.40 0.34 3.70 0.40 0.23 3.60 0.28 0.34 3.60 5.30 5.30
Material
C
Latón mate Latón pulido Madera cepillada Níquel pulido Plata pulida Porcelana vidriada Vidrio liso Zinc mate Zinc pulido Superficie del cuerpo negro (radiador absoluto)
1.25 0.28 4.40 0.40 0.17 5.22 5.30 5.30 0.28 5.67
COLORES DE INCANDESCENCIA DEL ACERO Y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES
Tono
rojo ro¡o ro¡o ro¡o rojo rojo
oscuro cereza oscuro cereza medio cereza claro claro muy claro
t (°C) 680 740 770 800 850 900
t (°C)
Tono
rojo amarillento amarillo amarillo claro blanco
950 1000 1100 1300 o más
COLORES DE ESTIRADO DEL ACERO Y TEMPERATURAS CORRESPONDIENTES
Tono
amarillo pálido amarillo paja castaño (café) púrpura violeta
t <°C)
200 220 240 260 280
Tono
azul plumbago azul claro gris azul gris
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t
re í 300 320 350 400
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Tablas Propiedades hidrodinámicas RUGOSIDAD k (De Richter, Rohrhydraulik) Material y clase de tubería
Estado
k en mm
Tubo de acero sin costura, laminado o extruido (cali dad comercial), nuevo
de laminado típico decapado galvanizado por inmersión galvanizado comercial
Tubo de acero, usado
con oxidación uniforme aprox. 0.15 normal con oxidación moderada e 0.15-0.4 incrustación ligera aprox. 1.5 incrustación mediana 2 -4 incrustación intensa limpiado después de uso 0.15 - 0.20 prolongado
Tubo de hierro fundido
de fundido típico, nuevo embetunado, nuevo oxidado con incrustación limpiado después de uso prolongado de tipo medio en instalaciones urbanas muy oxidado
VISCOSIDAD DINAMICA »/ EN kg/(m (Valores aproximados) t en °C x 10 5
Aceites para motores SAE x 10-*
0 179
0.2 - 0.6 0.1 - 0.13 1 - 1.5 1 .5 -4 0 .3 - 1.5 1.2 4.5 aprox. 0.15
soldado, nuevo remachado, nuevo con costura ligera con costura fuerte limpiado, de 25 años de uso. severamente incrustado
Tubo de lámina de acero soldada o remachada
Agua
0.02 - 0.06 0.03 - 0.04 0.07-0.10 0.10-0.16
aprox. 1 hasta 9
12.5
s)
10 20 131 100
30 80
40
50
60
100
55
47
70 41
80
65
36
28
79 170 310 430 630
45 95 150 220 310
29 52 86 120 160
20 33 61 72 97
13 22 34 45 59
10 16 24 31 41
6 12 17 22 28
5 7 10 12 15
10 310 120 20 720 320 30 1530 600 40 2610 950 50 3820 1530
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Prop orcione
en pes o en % (promec ios)
Aleación Cu
Zn
Pb
Bronce Bronce fosforado Bronce de aluminio
80-83 86-90 98-82
Bronce de níquel Bronce para chumaceras Cuproníquel
50-70 82 79
Estaño-plata Latón Latón duro
80-57 60-56
20-43 38-43
2-1
60 50
32 39.4
0.1
Sb
Al
Fe
Ni
P
Otros
20-17 7-11
0-4
2-18
1 4
50-30 0.5 15
Mn: 2
95
Ag: 5
8 0.5
10
-0.8 Mg: 20
80
Metal antlfricción Metal Babbitt (o blanco) Metal Delta
5 5-9 55-63
Metal Monel Metal rojo Metal rojo duro
30 82-86 70
0-6 9
Plata alemana (alpaca) Tumbaga
50 80-95
30 20-5
Aleaciones
16.5
Tablas
Latón de aluminio Latón de níquel Magnalio
Sn
85 80-73
10 10-18 0-1
43-36
0-1.5
-0.06
-0.01
Mn: ~
1
70 0-0.1 7
16-8 9
N
5 20
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->i
Material
Módulo elástico E
Clase de carga*
Esfuerzo de aplas tamiento CTa(perm .)
Acero dulce
Esfuerzo de ten sión &t (perm.)
Esfuerzo de com presión CTc(perm .)
Esfuerzo por flexión
Esfuerzo cortante
0 / (perm .)
T (perm.)
Esfuerzo por torsión Tt (perm.)
N
00
210 000
I II III
80-120 50- 70 27- 33
100-150 65- 95 45- 70
100-150 65- 95 45- 70
110-165 70-105 50- 75
72-100 48- 75 35- 50
65- 95 40- 60 30- 45
210 000
I II III
100-150 70-100 36- 50
140-210 90-135 65- 95
140-210 90-135 65- 95
150-220 100-150 70-105
96-144 64- 96 32- 48
85-125 55- 85 40- 60
220 000
I II III
80-100 53- 67 27- 33
60-120 40- 80 20- 40
90-150 60-100
90-120 60- 80 30- 40
72- 95 48- 64 24- 32
36- 48 24- 32 12- 16
■O o o. Q> CL
I II III
—
100 000
—
35- 45 27- 37 20- 30
85-115 55- 75 20- 30
40- 55 25- 40 20- 25
35- 50 25- 35 20- 25
30- 45 20- 30 15- 20
3
30- 40 20- 27 10- 13
St 37-11 Acero dulce St 50-11 Acero fundido GS-38 Hierro fundido GG-14
—
—
I II III
50- 80 33- 53 17- 27
45- 70 30- 47 15- 23
60- 90 40- 60 —
45- 70 30- 47 15- 23
__
110 000
I II III
35- 50 23- 50 12- 17
40- 54 27- 36 13- 18
40- 54 27- 36
40- 54 27- 36 13- 18
__ _
I II III
50- 75 33- 50 17- 25
60- 90 40- 60 20- 30
60- 90 —
60- 90 40- 60 20- 30
45- 70 30- 47 15- 23
Hierro maleable GTW-35 Cobre laminado D-Cu F20 Bronce fosforado 90 000 CuSn6 F56
—
*V e r explicaciones en P1
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—
—
—
__ — — 45- 70 30- 47 15- 23
o
o fi> o Q)' C [ D O 0) fi> (0 > CL
3
< D pt 0)
Material
Acero para resortes C75, templado y revenido
Módulo elástico axial E
Módulo elástico angular G
Esfuerzo por torsión T t (perm.}
150 120 80
80 000
650 500 350
100 80 50
40 30 20
42 000
120 100 80
300 250 200
150 120 100
50 40 30
55 000
200 180 150
200 150 100
100 80 50
40 30 20
42 000
120 100 80
A
210 000
1 II III
1000 750 500
500 350 250
110 000
1 II III
200 150 100
142 000
1 II III
110 000
1 II III
Latón CuZn37 HV150 Plata alemana CuNi18 Zn20 HV160 Bronce CuSn6 Zn HV190
(J f (perm .) B
C
r3 2
m2 - c z o ■o o m 30 m h £
og
JO H 50 - O m o — w So
°5
0 °s S m< U1 2 m ? -• 3 = 2 3 m a ni ,i >
N
~ 6 a
Bronce 117 000 CuSn8
Esfuerzo por flexión Clase de carga*
HV190
1 II III
300 220 150
150 110 80
50 40 30
*V er explicaciones en P1 Para resortes sencillos (factor de seguridad FS a 1.5) Para resortes curvos y enrollados (FS a 3) Para resortes sin efecto secundario (FS at 10)
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45 000
200 180 150
¡aS JO en 2 =! (/> o ? (o m ■o" > -O
a o
> 7)
Tablas
Z 20
Fricción y rodamiento
0.10
0.06 0.08 0.07
encino || encino 4 =
0.50 0.30
Hierro fundido(gris)
h. fund. acero
0.18
Caucho (hule)
asfalto concreto
0.50 0.60
0.30 0.50
0.20 0.30
Cuerda de canamo
madera (común)
Banda de cuero
encino h. fund.
0.40 0.40
0.40
0.20
Acero
encino hielo acero
0.014 0.10
con lubricante
con lubricante
0.20 0.18 0.18
Bronce
con agua
con agua
bronce h. fund. acero
Material en contacto
en seco
sobre
en seco
COEFICIENTES PARA FRICCION CINETICA (/i) Y FRICCION ESTATICA (¿t,,)
0.11 0.19 0.60 0.50
0.31
0.16
0.10 0.33
0.08
0.50 0.40
0.26 0.10
0.50
0.25
0.65
0.30
0.027 0.15
0.12
RESISTENCIA AL RODAMIENTO Materiales en contacto
Factor f en m m *
Caucho sobre asfalto Caucho sobre concreto Madera lig n u m vitae sobre madera 1. vitae Acero sobre acero (duro: cojinetes) Acero sobre acero (suave) Olmo sobre madera 1. vitae
1.0 1.5 5.0 0.05 0.5 8.0
|| Movimiento en la dirección de las fibras de ambos cuerpos =|= Movimiento perpendicular a las fibras *Brazo de palanca de la fuerza resistente.
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Tablas
Z 2 1
Luminotecnia ILUMINACION MEDIA Ev (lux) Sólo para alumbrado general
Tipo de instalación Talleres, de acuerdo con la clase de trabajo
rudo normal preciso muy preciso
80 160 300 600
Habitaciones, en que el alumbrado es
débil moderado brillante
40 80 150
Alumbrado público, en sitios con tránsito
escaso mediano intenso muy intenso
5 10 20 40
Patios de fábricas, con tránsito
ligero pesado
5 20
Alumbrado general y localizado General Localizado 100 400 1000 4000
20 40 80 300
EFICACIA DE ILUMINACION rj Tono de colo r en la superfl ele iluminada claro mediano oscuro
Tipo de alumbrado Directo Indirecto
0.50 0.35
0.40 0.20
0.30 0.05
Con reflector Público
profundo
amplio
alto
0.45
0.40
0.35
FLUJO LUMINICO
Pe1.
W
klm 0.12 0.23 0.43 W 150 300 200 klm 2.22 3.15 5.0
Pei. ,
Lámparas fluorescentes, tubulares de 38 mm de diámetro. Para tipos ' blanco claro” y "luz de día” Lámparas de vapor de mercurio, alta presión
Peí
Peí.
W klm
W klm
15
25
40
60
75
100
0.73
0.96
1.38
500
1000
2000
8.4
18.8
40.0
15
20
65
1.22
25 1.71
40
0.59
2.98
4.78
125
250
400
700
1000
2000
5.6
12
21
37
52
125
Peí. Potencia eléctrica (en watts)
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Tablas Funciones trigonométricas a en cj 0 1
SENO 50’
60’
0 0 0 0 0
0 029 0204 0 378 0552 0 727
0 0 0 0 0
0058 0233 0407 0581 0756
0 0 0 0 0
0087 0262 0436 0610 0785
0 0 0 0 0
0116 0291 0465 0640 0 81 4
0 0 0 0 0
0145 0 320 0494 0 669 0843
0175 0349 0 52 3 0698 0872
0 0 0 0 0
0901 1074 1249 1421 1593
0 0 0 0 0
0929 1103 1276 1449 1622
0 0 0 0 0
0958 1132 1305 1478 1650
0 0 0 0 0
0987 1161 1334 1507 1679
0 0 0 0 0
1016 1190 1363 1536 1708
1045 1219 1392 1564 1736
13 14
0 0 0 0 0
1765 1937 2108 2278 2447
0 0 0 0 0
1794 1965 2136 2 306 2476
0 0 0 0 0
1822 1994 2164 2334 2504
0 0 0 0 0
1851 2022 2193 2363 2532
0 0 0 0 0
1880 2051 2221 2391 2560
1908 2 07 9 2 25 0 2 41 9 2588
15 16 17 18 19
0 0 0 0 0
2616 2784 2952 3118 3283
0 0 0 0 0
2644 2812 2979 3145 3311
0 0 0 0 0
2672 2840 3007 3173 3338
0 0 0 0 0
2700 2868 3035 3201 3365
0 0 0 0 0
2 728 2896 3062 3228 3393
2756 2924 3090 3256 3420
20
23 24
0 0 0 0 0
3448 3611 3773 3934 4094
0 0 0 0 0
3475 3638 3800 3961 4120
0 0 0 0 0
3502 3665 3827 3987 4147
0 0 0 0 0
3529 3692 3854 40144173
0 0 0 0 0
3557 3719 3881 4041 4200
3584 3746 3907 4 06 7 4226
25 26 27 28 29
0 0 0 0 0
4253 4410 4566 4720 4874
0 0 0 0 0
4279 4436 4592 4746 4899
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4305 4462 4 61 7 4772 4924
0 0 0 0 0
4331 4488 4643 4797 4950
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4358 4514 4 669 4 823 4975
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30 31 32 33 34
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5050 5200 5348 5495 5640
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5100 5250 5398 5544 5688
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5125 5275 5422 5568 5712
5150 5299 5446 5592 5736
35 36 37 38 39
0 0 0 0 0
5760 5901 6041 6180 6316
0 0 0 0 0
5 783 5925 6065 6202 6338
0 0 0 0 0
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2
3 4 5
6
7 8 9 10 11
12
21
22
10’
50’
20’
40’
30’
30'
COSENO
40’
20’
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10’
Tablas Funciones trigonométricas COSENO
10' 0000
20’
30’
40’
50’
60’
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1 0 0 0 0
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49 48 47 46 45
0’
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50’
40'
30’
20’
SENO
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10’
85 83 82 81 80
68
67
66
65
CD
Tablas Funciones trigonométricas o
TANGENTE
<
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O
20’
10’
30’
40’
50’
60’
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12 13 14
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15 16 17 18 19
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2 77 3 2962 3153 3346 3541
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20 21 22 23 24
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0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0
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25 26 27 28 29
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30 31 32 33 34
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7133 7400 7673 7954 8243
0 0 0 0 0
7177 7445 7720 8002 8292
0 0 0 0 0
7221 7490 7766 8050 8342
0 0 0 0 0
7265 7536 7813 8 098 8391
40 41 42
8441 8744 9057 9360 9713
0 0 0 0 0
8491 8796 91 10 9435 9770
0 0 0 0 0
8541 8847 9163 9490 9827
0 0 0 0 0
8591 8899 9217 9545 9884
0 0 0 0 0
8642 8952 9271 9601 9942
0 0 0 0 1
8 693 9004 9325 9657 0000
1
2 3
4 5
6
7 8 9 10
11
43 44
5 0 ’
40’
30’
20’
COTANGENTE
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10’
0’
Tablas Funciones trigonométricas COTANGENTE 10’
20’
30’
40’
5 0 ’
3 4 3 -7 7 4 9 -1 0 4 2 6 -4 3 2 1 8 -0 7 5 1 3 -7 2 7
1 7 1 -8 9 4 2 -9 6 4 2 4 -5 4 2 1 7 -1 6 9 1 3 -1 9 7
1 1 4 -5 9 3 8 -1 8 8 2 2 -9 0 4 1 6 -3 5 0 12 706
8 5 •9 4 0 3 4 -3 6 8 2 1 -4 7 0 1 5 -6 0 5 12-25 1
6 8 -7 5 0 3 1 -2 4 2 2 0 -2 0 6 1 4 -9 2 4 1 1 -8 2 6
1 1 -0 5 9 9 2 553 7 9530 6 9682 6 1970
1 0 -7 1 2 9 0098 7 7703 6 8 269 6 0844
1 0-38 5 8 7769 7 5957 6 6912 5 9758
1 0 -0 7 8 8 5556 7 4287 6 5605 5 8708
9 8 7 6 5
7882 3450 2 68 7 4348 7694
6 0 ’
5 7 -2 9 0 2 8 -6 3 6 19-081 14-301 1 1 -4 3 0
89 98 87 86 85
9 8 7 6 5
5144 1443 1154 3137 6713
84 83 82 81 80
5 5 4 4 3
5764 0 658 6382 2 747 9616
5 4 4 4 3
4845 9894 5736 2193 9136
5 4 4 4 3
3955 9152 5107 1653 8667
5 4 4 4 3
3093 8430 4494 1126 8208
5 4 4 4 3
2 25 7 7729 3897 0611 7759
5 4 4 4 3
1446 7046 3315 0108 7320
79 78 77 76 75
3 3 3 3 2
6891 4495 2371 0475 8770
3 3 3 3 2
6470 4124 2041 0 17 8 8502
3 3 3 2 2
6059 3759 1716 9887 8239
3 3 3 2 2
5656 3402 1397 9600 7980
3 3 3 2 2
5261 3052 1084 9319 7725
3 3 3 2 2
4874 2709 0777 9042 7475
74 73 72 71 70
2 2 2 2 2
7228 5826 4545 3369 2286
2 2 2 2 2
6985 5605 4342 3183 2 113
2 2 2 2 2
6746 5386 4142 2998 1943
2 2 2 2 2
6511 5172 3945 2817 1775
2 2 2 2 2
6279 4960 3750 2 63 7 1609
2 2 2 2 2
6051 4751 3558 2460 1445
69 68 67
2 2 1 1 1
1283 0 353 9486 8676 7917
2 2 1 1 1
1123 0204 9347 8546 7796
2 2 1 1 1
0965 0057 9210 8418 7675
2 1 1 1 1
0809 9912 9074 8291 7556
2 1 1 1 1
0655 9768 8940 8165 7438
2 1 1 1 1
0503 9626 8807 8040 7320
64 63 62 61 60
1 1 1 1 1
7205 6534 5900 5301 4733
1 1 1 1 1
7090 6426 5798 5204 4641
1 1 1 1 1
6977 6318 5697 5108 4550
1 1 1 1 1
6864 6212 5597 5013 4460
1 1 1 1 1
6 75 3 6107 5 497 4 919 4 370
1 1 1 1 1
6643 6003 5399 4826 4281
59 58 57 56 55
1 1 1 1 1
4193 3680 3190 2723 2276
1 1 1 1 1
4106 3597 3111 2 647 2 203
1 1 1 1 1
4019 3514 3032 2572 2131
1 1 1 1 1
3934 3432 2954 2497 2059
1 1 1 1 1
3848 3351 2876 2 423 1988
1 1 1 1 1
3764 3270 2799 2349 1918
54 53 52 51 50
1 1 1 1 1
1847 1436 1041 0661 0295
1 1 1 1 1
1778 1369 0 97 7 0 59 9 0235
1 1 1 1 1
1708 1303 0913 0538 0176
1 1 1 1 1
1640 1237 0850 0477 0 11 7
1 1 1 1 1
1571 1171 0786 0416 0 05 8
1 1 1 1 1
1504 1106 0724 0 355 0000
49 40 47 46 45
50'
30’
TANGENTE
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66 65
o
< or O
PARTE II APLICACIONES AVANZADAS
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Análisis vectorial Magnitud, dirección y componentes de vectores Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección Coordenadas del punto inicial A del vector a : x ,, y ,, z, Coordenadas del punto final B del vector a : x2, y2, z2 V ectores unitarios sobre los ejes
OX, OY, OZ: i ,j , k
C om ponentes escalares
l \ \ oz
a'1 a2 a '3 a'4
a'5 a'6
M agnitud de un vector: a'7
| a~| =
Va\ (o bien, a) I a l siempre > 0)
|/a » 2 + Qy7 +
Cosenos directores de un vector: c o s a , cos/3, eos y a , p , y son los ángulos entre el vector ~a y los ejes OX, OY y OZ. ( a , p , Y = 0° . . . 180°). a'8
co sa
= —
- ;
M a'9
con
co s2a
e o s /? = — £ - ;
eos y =
3>
lal + e o s 2 /? + e o s 2
y
1
Cálculo d e las c om pon en tes. Si se conocen | a |, a , /?, y a'IOi
a , = | a l-c o s o ;
a , = la l-c o s £ ;
az = Pal-eos y
Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magni tudes, cosenos directores, sumas y productos, se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes OX, OY y OZ.
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Análisis vectorial Adición y sustracción de vectores Sum a vectorial s de dos vectores libres a y ?
s
a '1 1
s = a -
S x -i
+
a'12
s* = a .
Sy —
Sy + by
a '13
IS |=
y
+ S , 'A
j
Sy -
Qy + by
Vsx2 + s / + sz2
D iferencia v ectorial ? de dos vectores libres a y ? a '14
s = a + (-b)
a'15
Sx =
a '16
|s | =
a '17 a'18
a* — b x l
(-b )tjb * \ Sy
=
Qy— b y j
Sy =
\ 1ó."7>— a y — bj
14/ + 5 270°
180°
90°
0o; 360°
9
Valores importantes Is I para 2 vectores
l / | 3 M b | ?'
1a l * | b | 1T | + 1b | l/l5 |M b l2 ' I a 1 - | F | 2l a|
in -i7 i
0
|a |^
\t\V T
Sum a vectorial s de vectores libres a , b , —c , etc.: a'19
s = a + ¿> - c + . . . = s *-i + Sy-j +
a'20
S x " ~ & X ' * ' b x ~ ’ C x ' * ' m"
a'21
IT I =
Vsy
+ Sy
• S y — Qy + t ) y — C y + . . .
•
— Q¿ +
~ C ¿ + ...
+ S Í
Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto del escalar k con el vec to r a'22
c*=
a ’23
c , = k ■ a» ; Cy = k ■ ay ;
cz = k
Si k > 0, entonces c
a , por lo que
k- a
(ft
tí
a da
= 0)
az
c = A• 0
k < 0 , entonces ~c T I a , por lo que Ejemplo: Fuerza = a'24
m > 0;
masa x
F ¿ fta ;
el vector c .
aceleración F¿ = m -a ;
IT]
(c
= 0!
% __________ i . « F = m- a Fa = m • a
’ ) El símbolo TI significa que los vectores (~T>) y T> son paralelos y de sentido contrario.
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A nálisis vectorial
f
^'3
Productos de dos vectores libres El producto escalar de dos vectores libres a y B da el escalar k. Símbolo del producto escalar: punto
^
a'25
k = a ■ b = b ■ a = a ■b ■ eos
a'26
A — Qjf * b x + 3 y ‘ b y + _—1 3 * ’
a'27
¡p = eos
a'28
Valores impor tantes
(k |
0)
^ & y b y + S íz 'b z
180
90”
0 ; 360 ;
ni*i
& eos 9 270
eos
Ejemplo: Trabajo W de una fuerza F en el desplazamiento s a'29
IV =
a'30
W = F s eos?
Fuerza x
Desplazamiento = F ■s (IT |
0 ; F, s l
s eos ?>
0)
El producto vectorial de dos vectores libres a y
a'31 a'32
a'33 a'34 a'35 a '3 6
a'3 7
Valores impor tantes
0 ; 360
90”
a |-l b | sen ÿ
Ejemplo: Momento M de una fuerza F respecto a un punto O: a'3 8
M = Radio vector x fuerza = 7 ^ ? * = - ( F
r) g
a'39
M
0)
~ r
F sen
(#
= 0;
r, F i
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fT da el vector c
Funciones racionales
d
'.
Función de fracciones racionales. Descom posición
Función de fracciones racionales (
= P (*) _ y Q (x ) Los coeficientes a v. de Q(x), se obtiene b'1
i
u(r)
a„ + a, x + a ¡ jc ! + . . . ± amx m n>m b0 + b, x + b 2 x 2 + . . . + b„ x" n y m enteros ¿V pueden ser reales o complejos. Si n¡ son las raíces la forma factorizada:
= _________ _____________ P ( x ) ___________________________
Q (x ) a ( x - n , ) kl - ( x - n , ) k2. . . ( x - n , ) l“< En esta expresión pueden presentarse raíces de multiplicidad k 1t k2, ... *q de Q(x), las que pueden ser reales o complejas; a es un factor constante.
Descomposición en fracciones parciales
b'2
Para lograr un manejo más sencillo de y(x) -po r ejemplo, para su integraciónes conveniente descomponer y(x) en fracciones parciales: ,.r _ \ P (.x ) _ 4 ,, . Au . n , k,
y ( x ) - " o í r T - 7 i ^ 7 + U Z iu y
+- " +
.
A 11 . . + x -rt; ( x - n 2) 2 4q1 ^q2 + x-riq + ( x - a q) 2 + , ‘ *
b'3
+ KX___ ( x - n 2) k2 ^q *
Si los coeficientes de Q (x) son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en b'1, n2 = n , (compleja conjugada de n1t) y debido a su aparición por parejas /c, = k2 = k, entonces las fracciones parciales de b'2 con las constantes A u . . . A 2*2 pueden agru parse en las siguientes fracciones parciales; fin x + Cu B j 2 x + C\z By k x + C\ k xz + ax + b (x 2 +ax + b )2 **• ( x 2 + ax + b ) k Las constantes A u . . . Aqkq, Bn . . . B1k y Cu . . . C1k se determinan igualando los coeficientes de igual potencia en x en ambos miembros de la ecuación, después de que en la parte derecha, descompuesta ésta en fracciones par ciales, se toma el común denominador Q(x). Ejemplo: / \ 2 x —1 _ 2 x —1 B11X+C11 /qi ^q7 _ (x + 1 - 2 i ) (x + 1 + 2 i) (x + 1 )2 “ Q ( x ) ~ x2+ 2 x + 5 + x + 1 + (x + 1 )2 2 X -1 _B1tx ( x + l ) 2+Cn ( x - f l) 2-F>4qi(x-fl) (x 2-f2x-F^)-f^q2( x 2-t-2x-F5)
Oí7 7 "
q TT)
2 x —1= (^q!+ B n ) x 3 + ( 3^q1 + Áq2 + 2¿?i i + Ci 1 ) X 2 + + (7 ^ q l + 2 / q2 + B 11 + 2 C n ) x + 5^q1 + 5^q2 + Cu
Al igualar los coeficientes de las partes izquierda y derecha se obtiene; Bu = - 1 /2 ;
C ,, = 1 / 4 ;
i4qi = 1 / 2 ;
Aq2 = - 3 / 4 .
Cuando se tienen raíces sencillas n¡, las constantes A 11t A2i ecuación b'2 pueden calcularse como sigue: b'4
Au = P ( n i ) / Q #( n i ) ;
¿21
= P { n j ) / Q ' { n 2) ¡
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Aq1 de la
. . A q = P ( n q) / Q ' ( n q)
Transformadas de funciones
Transformada de Fourier Generalidades
C 1
Con la transformada de Fourier se lleva a cabo, con ayuda de la integral de Fourier, un desarrollo de la función tiempo s(t) en un espectro continuo (densidad espectral) S(co), en el cual la frecuencia corresponde a la densidad del espectro; s(t) debe tener las siguientes propiedades: a) ser divisible en un número finito de intervalos en los cuales s(f) sea continua y monótona. b) poseer valores definidos en las discontinuidades s(t + 0) y s (f-0 ) de modo que pueda expresarse c'1 c'2
+ 0) + s(t) + 0)] +00 c) sartal que J W ) I df converja. -00 s(t) » 1¿ [s (f
La transformada Inversa
c'3
F ~ '{S ( a>)}
Definiciones F { s ( t )} = S (u ) = J s ( f )
conduce a la función tiempo.
e
-co
c'4
c'5
c'6 c'7
c'8
F-1{S(ív)} = s ( t )
= -J -/s (< v )
i.yz?
""r - d f ; e '" '
i =1/1?
du ;
} 7 l » < ‘ M* ' « = ¿ 7 U < *> r • * Reglas de operación Desplazamiento en tiempo F { s ( f - r ) } = S ( < v ) e " ' " T i = 1 / - T Convolución s , ( f ) » S 2( t ) = Js,(r ) ■s j( t - r) ■ dr -00 +00 = J s 2( r ) t ■d r -00 espectral
-S |(
c'9
F { s t( f ) * S ít t ) }
= Si(
c'10
F {s (t)}
= S (u )
c'11
F (s (a f)}
c’12
F { s i ( t ) + s2( f ) }
1
t
)
|a|
= - ^ - 5 (^ s ie m p re que a > 0 a = Si(
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(continúa en C'2)
Transformadas de funciones Transformadas de Fourier
^
(continuación de C'1) En seguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas mportantes funciones del tiempo. c'13
*( t )
=
J S (a /) e i“' ■ do, ;
S(«u) = J°s( t )• e 1" ’ • dt -0 0
Función tiempo Función rectángulo >1 •
Densidad espectral .Vf<») (t )
'S (t)
2 >4 r * sen ( u T ) / ( u f T ) S(iu)
ARr (t)
T
t
Función impulso de Dirac / • ó ( í ) s(t)
5 (w )
= >1
(Densidad espectral constante sobre u>)
c'14
-unción rectán-1 A . R ( t-T /2 ) lulo con cambio 1,1 de signo r
u T
s(t)
S (w )
c'15
= - j 2 A T --
üi
T
2
s (t) c'16
4 -3T
c'17
S { u )
-T
T
=
4 A T ■c o s ( 2 u T ) —
l ?
ÙJl
—
3T t W)
) «
s í*;
_
2n «o- - r“
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f Función ^ rectángulo j
'in
U)
(continúa en C'3)
Transformadas de Funciones q T ransform adas de Fourier (continuación de C'2)
c'18
C '1 9 c '2 0
C '2 1
c '2 2
c '2 3
c '2 4
C '2 5 c '2 6
c '2 7
c'28
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~ ^
Transformadas de funciones Transformada de Laplace
^
Generalidades: Con la transformada de Laplace L transforma) la función f(t), con ayuda de la integral
{f(0} se representa (o
r ( P)
c'29
en una función imagen; fifí debe ser nula para t < 0 y para t > 0 debe estar totalmente definida; e PI es un factor de amortiguación que hace que la in tegral converja para un gran número de funciones del tiempo. Se tiene que p o • ioj ( a > ü ) es una variable compleja de operación. En este do minio de la imagen pueden resolverse ecuaciones diferenciales y analizarse procesos no periódicos (por ejemplo, vibraciones). El comportamiento de la función tiempo se obtiene por medio de la transformada Inversa (véase la tabla C'6).
Definiciones c'30
L
{ /(()}
=f(P)=J?(í) e~pfdí
t ' ’{f(P )}= /W
- 2 H j r ( p ) e p , dp
c'31
(7 ^ -io o
Representación abreviada:
Representación abreviada:
f ( t ) ° ------------------ »/-(p)
r ( P) • --------------- ° / ( f )
Reglas de operación c'32
Linealidad
C'33 c'34
Teorema de traslación
c'35
Teorema de convolución
¿ { /.(O
+f A t ) }
= ñ ( p ) + r 2(p)
i.{ c -/,(t)}
= c - f , (p )
L { f ( t - a )}
= e ~ap ■T ( p )
M t)» M t)
= J/i( í - t ) ■f A r ) ■d r 0
t
= / / i( c'36 c'37
Cambio de variable
C'38
Diferenciación
c'39 c'40
c'41
t
) /
j(
t - r ) • dr
M t ) * f , ( t ) o— - • r , ( . p ) f A p )
‘ (i
'© I
= f(ap)
t { /'(í) }
= p-F(p) - /(O * )
t{ r t o }
= pJf ( p ) - p - / « T ) - / ' ( O * )
H A t) }
= P'’ - r ( p ) - l V w ( 0 * ) p " - * - '
t ( // ( 0 - d t )
- ^ n
A=0
Integración P)
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Transformadas de funciones q ' 5 Transform ada de Laplace Empleo de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales Esquem a de operación
c'42
c'43 in ve rsa s e g ú n C '6
c'44
El problema de resolver las ecuaciones diferenciales se reduce al de ha llar una transformada inversa; esta operación se simplifica expresando Y(p) en fracciones parciales ( 'óas< B'1), o en funciones cuyas transformadas inversas al dominio del tiempo puedan encontrarse ya tabuladas (véase la tabla en C'6). Ejemplo:
2y' + y = / ( t ) •
f { t ) es la función de excitación y ( 0 *) = 2, es la condición inicial
c'38 1 ; \ 2 p T ( p ) - 21y ( 0 +) + r ( p ) = F ( p ) c'42 . 1/p+2¡/(0») y ( t ). . y ( p ) , * P ____________ >+W > c'43
1 + 2p
-
1 + 2p
Según sea f (t) o F (p) se obtienen diferentes soluciones para y (f). (Supongamos que ((() sea la función escalón. Según C'50 es en tonces
F(p) = 1/p).
1 +2p y según C'6,
y (O
= 1
+ 2 • 2-~ e
= 1
1 + 2p
-P,
Aplicación del teorema de convolución de la transformada de Laplace a redes lineales Una función de excitación f,(f) se transforma a través de una red en una respuesta y(t). La red se caracteriza por la función de transferencia F2 (P): Fz(P) tiene la transformada inversa f2(t)Dominio de p
Dominio de t c'45
c'4 6
/i(í)
Red
y (t)
F(p)
r,(p ) F2(P>
> F (p) = F , ( p ) ■ F , ( p ) y ( O = / , ( « ) * í t ( O 8La respuesta y(t), para una red dada, depende de ^(f); y(t) puede calcu larse según el esquema después de obtener Y(p). La transformada inversa en el dominio de t puede obtenerse en forma cerrada si F2(p) está dada como una función racional de p y la transformada Fi(p) puede obtenerse de la tabla en C'6.
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Transformadas de funciones Transformada de Laplace
®
Tabla de correspondencia c'47
r(p)
= | ° / ( í ) e " P' d í ;
con
=
i
=
p = io j = i 2 n f ;
Función imag Función del tiempo F(p) f( t ) c'48 c'49 c'50 c'51 c'52 c'53
/(í)
Función imagen F (p )
J í-(p )- e
s e n (A i ) +
2A
o oc 1 para i > 0 ’o «j 0 para t < 0 3 (/)
+j
c o s ( A t) eos(A i)
1 /p 2
— f c'54 c'55 c'56 c'57 c'58 c'59 c'60 C'61 c'62 c'63
1 /p ° 1/ ( p - a)
(n - 1 ) ! e x p (a i)
p ( p - a)
i
e x p (a t )
e x p (a i) - 1
c'72
b * a:
pbt _ „ai
1
( p + a ) 2 - A* _J__
— e
■ sen ( A i )
' exp(- t / T ) p
s en h(at ) P P 2 ~ a*
p fp 1 ln sen ( A i )
cos( A t )
y r v _L
p + b
tan"’ ( a /p )
- 1 / ( 2 V F - t J4) 3 / ( 4 V F f v0 1 / -ai
-6A
r(e - e ) 1/ t
sen ( a i )
para a > 0 :
1
c'73 2Á? Í c o s ^ í >
<.P3 + k ! ) !
•ÏÏ
V7
Vp
cosh( a i )
2A1
c'74/ c'75
para
yp’ 1 ♦ T- p
c'68 c'69 c'70 c'71
i ( p - a ) ( p - b)
-
sen ( A t )
b - a 1 /( P - a ):
c'64 c'65 c'66 c'67
• dp
Función del tiempo fin
ó ( t ) = Dirac 1/p
pt
2A
sen ( A t )
para a i 0 : 1 - e f lr — e P
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er f c
2 r r Función de Bessel
Ecuaciones diferenciales C onceptos generales Concepto de ecuación diferencial (ED) Una ED es una ecuación que contiene funciones, derivadas (o diferenciales) de estas funciones y además variables independientes. Hay que distinguir entre: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), en las que las funciones bus cadas dependen sólo de una variable independiente; por ejemplo.: d'1
y"
+ 2 x 2y = s e n x
y
= f(x )
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), en las que las funciones busca das dependen de diversas variables independientes; por ej.: d'2
d 2*
d u -d v
= x 2- v w — . — dw dv
x = f
(u, v, \v)
Las EDP no se exponen aquí en forma separada, ya que los métodos de las EDO pueden aplicarse a ellas.
Ecuaciones diferenciales ordinarias d'3
Forma: F (x, y ( x ) , y ' ( x ) , ... y (n>(x)) = 0. En esta expresión y (x ) es la función buscada; y '... y(n) son la primera y su cesivas derivadas hasta de orden n, con x como variable independiente.
d'4
Ejemplo: y ' ” ( x ) + m ( x ) y ' ( x ) + n ( x ) y 2( x ) + p ( x ) y = q ( x ) .
d'5
Orden: es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ED. En el ejemplo anterior, el orden de la ED es 3.
d'6
Grado: es el exponente de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación al expresar ésta en forma polinomial, o sea, al racionalizarla.
d'7
ED lineal (EDL): es una ED en la que las funciones desconocidas y sus derivadas aparecen sólo elevadas a la primera potencia; las ED linea les son siempre de primer grado.
d'8
ED homogénea: en ésta la función forzante o de perturbación q(x) es igual a 0; es decir, q(x) = 0.
d'9
ED no homogénea: en ésta, q(x) 4= 0.
d'10
Solución: es una función, y = y(x), que junto con sus derivadas satis face idénticamente la ED. La integración de una ecuación diferencial es el proceso de encontrar soluciones.
d'11
Integral general de una ED es el conjunto total de sus soluciones. La inte gral general de una ED de orden n contiene n constantes arbitrarias: C1( C2, .... C„. Tales constantes adquieren valores definidos cuando se es pecifican las condiciones iniciales y(x0) = y0; y (x 0) = y'0 . . . / < * - 11 (*o) - y ín~ "La integral particular de una ecuación diferencial es una solución espe cifica de la ecuación.
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Ecuaciones diferenciales r y 9 Ecuaciones d iferenciales lineales
^
Métodos para resolver una ED 1. Transformando y ordenando la ecuación de manera que pueda identificarse con un cierto tipo de ecuación para la cual existan soluciones (Véase D 6, D '8........D'12). 2. Empleo de una sustitución especial (Véase D'8) Efectuando tal sustitución, la ED con frecuencia puede reducirse a una de menor orden o grado para la que exista una solución conocida (Véase D'9, ..., D'12). 3. Empleo del método de los operadores, en especial de la transformada de Laplace (Véase C' 4 ... C' 6).
Ecuaciones diferenciales lineales (EDL) d'12
Forma: En esta ecuación, y = y ( x ) es la función buscada; y ' ... y n son la primera y sucesivas derivadas hasta la de orden rt de y ( x ) ; p , ( x ) ... P n (x ), son funciones de x. Solución general de la EDL no homogénea
d'13
y
yhom
y pan
Solución de la ED homogénea: yhom. La yhom se obtiene resolviendo la ED no homogénea en la que se hace g(x) = 0. Toda ED lineal homogénea de orden n posee n soluciones independientes y1f y2 Yn con n constantes arbitra rias independientes C^, ..., Cn. d'14
yhom = C \ y ¡ ( x ) + c 2y 2(x) + ... + C „ y „ ( x ) (En D'9 ... D'12 se dan las soluciones de algunas ecuaciones di ferenciales lineales de primero y segundo órdenes). Solución particular de la ED no homogénea: ypartLa yPart se obtiene para q (x) =*= 0. En D'3, D'6 y D'7 se indican procedimientos para encontrar estas soluciones; en D'9 y D'12 se dan algunas soluciones para laypar( de ED lineales de primero y segundo órdenes.
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Ecuaciones diferenciales
q
'3
Ecuaciones d iferenciales lineales___________ _ Solución particular Obtención con el método de la variación de parámetros Si se conoce la yhom de una EDL de orden n (véase D'2, D '6), la siguiente sustitución conduce siempre a una solución particular: d '15
yp a r,
= C 1( x ) y 1 + C2(x )-y 2 + . . . + Cn( x ) y „ .
Método para la determinación de Ci(x), C 2(x),...,Cn(x): Fórmese el sistema de ecuaciones simultáneas: d'16
C { ( x ) y , + C [(x )- y 2 + ... + C '„(x)-y„ = 0 C ¡(x )-y ¡ + C2(x )-y 2 + ... + C ; ( x ) y ¡ = 0
C J W -y iM C l( x ) -y
+
C í(x )-y 2<"~2>+ ... + ...
+ C ¿(x)-yn
0 q (x)
d '17
Determínense las C¡'(x) para / = 1, 2 ,... n del sistema anterior de ecuaciones simultáneas.
d'18
Intégrense las C [(x ) para i « sustitución hecha para y.
1 ,2 , . . . n a fin de obtener las C ¿x) de la
Ejemplo: Encontrar la ypart de la ED: d'19 d'20
y
+ - r y'
Según d ’111
y hom
=
2 í-
= J c , e f ‘ ax d x + C2 = 0,101x1 + 02 = C r y t (x) + C2 y 2(x)
d'21
en donde y ¡(x ) = Inlxl d'22 d'23
d'24
Sustitución:
y pa„
y y 2(x) = 1
= C 2(x )-y, + C2(x )-y 2
Sistema de ecuaciones
f C {(x) \níx\ + C2(x) - 1 - 0
simultáneas indicado en d'16
| C ¡(x)- —
+ C2(x)
O = 2x
Resolviendo el sistema se obtiene: C {(x ) = 2x2; C2(x) = - 2 x 2-Inlxl Integrando C {(x ) y C2(x)
d'25
d'26
C ,(x )
= | x 2;
C2(x) = - | x 2 [inlxl - | ]
La solución buscada es entonces: y par, = j X J • Inlxl - j X 3 (Inlxl -
1 9 ^) • 1 = g *3
Solución general: d '27
y = yhom + y p a n = c r imxi + c 2 Comprobación:
y' = Q . + * x . y' _ o,
—x2 3
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+ y" =
- Q + 4 x x2 3
| x 3.
Ecuaciones diferenciales r y . Ecuaciones diferen ciales lineales
’
Ecuación diferencial lineal de primer orden d'28
Forma:
y ’ + p (x )y = q (x).
La forma corresponde a la dada en D'2, d'12 para n = 1; la derivada de mayor orden que aparece es y '. En D'2 y D'9 se dan soluciones para y, Yhom, Ypart• d'29
Ejemplo:
y' + \
= sena:
y = y hom + y pm
Según d'100, p (x ) = j
d'30
q (x) = s e n x.
Según d'99, la solución homogénea es: d'31
yhom = C 1 e - T * dx = C , e lnUI =
con
C ,^ 0 .
Según d'100, la solución particular se calcula con la expresión: d'32
yPan = Jsen x e J *
d'33
d x ■e J *
=
J (s e n x elnlj:l) dx e lnlíl = J (s e n x •
=
j sen x - eos x
y =
yhom + y par, = | ( C , + sen x ) -
Comprobación: /
-
¿
eos
- S + * c 0 s * - s6n* + S9n * x2 x2
y ' + 2- = sen x J x d'34
C¡ — 0; C, adquiere un valor definido, si por ejemplo
d'35
y (x j =
1 para * „ = |
d'36
entonces
1 = ^ ( C i +s e n í ) - c o s í,
d'37
por lo que C, = j
- 1.
Ecuación diferencial lineal de segundo orden d '38
Forma: y " + p 1( x ) - y '+ p 2(x )-y = q (x) La forma corresponde a la dada en D’2, d 12 para n = 2; la mayor deri vada que aparece es y". En D'11 y d ’12 se dan las soluciones para y, ynom Ypart-
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Ecuaciones diferenciales r y 5 Ecuaciones diferen ciales lineales
**
Ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes Debido a la gran importancia que tiene este tipo de ED en los problemas de vibraciones, se presentan a continuación varios casos especiales de ella. d'39
y " + 2ay' + b2-y = q(x).
Forma:
a y b con constantes, g(x) es la función de perturbación. Solución general: Según D'2 y d'15 d'40 d'41
y
~~ yhom
ypart k2 =
Caso aperiódico:
a2 - b2 >
d'42
yhom = C¡-e<-a+k>x + C2-e<~a~k>x
d'43
a(-a+k)x r yPan = — 2 £— J e ,a~ ,x ■q(x) dx -
d'44
k2 =
Caso aperiódico límite:
d'45
yhom = C , e - “ + C V x e - “
d'46
y parl
d'47 d'48
=
0
a2 - b2 = 0
- e - ‘“ J ' x e ‘“ q (x )d x + x e ~ ax§ e™ ■q(x) dx *) k2 =
Caso periódico:
a2 - b2 < 0
yhom = e _ai[C1-sen('cux<) + C2-eos (cox)] con (o = \Jb2- a 2
d'49
d'50
ypm
= e ~ax'se^ í (ox) ■§ e ax cos(w x) q(x)-
_ e -^ c o s f c o x ) ¡ ea1.ien(0jx).q(x) üx *) Cu *) Observación: Para el caso especial en que q(x) - A0 sen (üt0x), se obtiene: y pan = .4 -sen ( co0 x ~ y),
d'51
en donde
A
=
'4 °
d '5 2
y también
y =cot- ’ 2a -^-— — a>0
=
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Ecuaciones diferenciales r y fi Ecuaciones d iferenciales lineales
®
Ecuación diferencial lineal de orden coeficientes constantes d '53
Forma:
a„y,n>+ a„-\-y,n~X)+
a¡y' + a
... +
con
n
=
q(x).
d'54
Solución de la EDL homogénea de orden n con coeficientes constantes, Q(x) = 0).
d'55
Sustitución:
y=
erx;
y' =
re ";
. . . y (n) =
Sustituyendo estas expresiones en la ED homogénea dada en d'53, se ob tiene la ecuación algebraica
+ an_ lr n~l + ... + axr + aQ = 0.
d'56
De esta ecuación pueden obtenerse las raíces r1f r2 rn. Dependiendo del tipo de las mismas, se obtienen diferentes soluciones para la yhom’Caso a): Todas las r1t r2 d'57
yhom
rn son reales y diferentes entre sí:
= C ,e r . r + C2 e '* * + ... +
•)
Caso b): Aparecen raíces múltiples y sencillas: = r2 =
r¡
d'58
nom
... = r m ;
r m + 1 , r m + 2 ,. . . r „ .
= C j- e ^ r * + C 2 * - e ' < * + C jX 2 e r>x +
d'59
=
C m -jc m _ 1 - e f >x +
e r' x ( C x + +
+
C 2 x
C m + ¡ • Q rm * i X
C m + 1 * e r« + i +
+
... ...
+ +
+ ... + ...
C m -x m ~ l)
+
C „ - e V x
+
C n e rn * .
Caso c): Aparecen raíces complejas conjugadas:
rl d'60
J ’fe m
=a +
r 2 = a - ifi
= C , - e 'i- * +
C 2 e r- X
= r\.
= e0*-(A -c o s p x + 5 -sen px) A = C, + C2;
5 = ¡(C j-C y
Solución particular de la ED no homogénea de orden n con coeficientes constantes d'61
y pan =
8 \(x)
+
g 2(x)
+
-
+ g k(x).
Para encontrar soluciones particulares se utilizan expresiones que depen den de la forma de q(x). En D'7 se dan algunas de estas expresiones. Una vez determinada la expresión correspondiente para ypart, se obtienen ypartí y'part> ®tc-. y se sustituyen en la ED por resolver. Igualando coeficien tes similares, pueden determinarse las incógnitas a y p. (Véase el ejemplo en D'7).
*) Ci, C2l ..., C„ son constantes arbitrarias.
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Ecuaciones diferenciales
q
'_
Ecuaciones diferen ciales lineales
*
Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes Expresión por sustituir para la ypart =
Forma de g(x)
d ’63 d’64
a
A
d'62
a Q + a xx 4- a ^c2 4- ... 4- a rr^ m a Q + a x + CI-2X 2 + ... + a mx m
xm A 0 + A xx 4- A 2 X2 + ... +
a-e**
d'65 d'66
a - e o s m x + /3-sen m x
y4 • eos m x
d'67
B ■sen m x
+
d'68
A • c o s m x + B ■sen m x
4-
d'69
A ■cosh m x
a -c o s h m x 4- /3-senh m x
d'70
B ■senh m x
+
d'71
/ i c o s h m x 4 Æ-senh m x
d'72
A -e ^-co s m x
4a -e ^ cos m x 4- /3eAx sen m x
4Æ-e^-sen m x + / l e n cos m x 4 fi-e^-sen m x d'74 d'75 Ejemplo, y ” - y = cos 2x; según D'6, d'55: y = erx; y' = re n \ y " = r 2-erx d'76 Sustituyendo en la ED homogénea correspondiente (d'75) d'73
r2—1 = 0 ;
d'77
r 2 = 1;
r x = 1;
d'78
yhom
d'79
La expresión por sustituir es de la forma: y pan = « e o s 2x + /3-sen2x
d'80
y'parr
= C f e ' 1' +
= —2 a-s e n 2 x 4- 2/?*cos2x =
d'81
r2 = - 1
= c ,-e * + C2 e -«.
—4 a -c o s 2 x - 4/?-sen2x;.
Sustituyendo las expresiones dadas en d'79 y d'81 en la ED, d'75, se d'82 d'83
obtiene: -5 a - e o s 2x — 5/3- sen 2x = eos 2x. Al igualar coeficientes similares resulta: 0 =
0; a = - i
por lo que
y pa„ = - ¿ e o s 2 *
Solución general: d'84
? =
^
+ > > < = c i ’ eA: + c 2 e _ " - 5 c o s 2 x
Comprobación:
y ' = C i ex - C i e ~ * + ^ sen 2x • 2 y " = C , e A:+ C 2 e --l!+ ¿ • 4 • cos 2 *
y "-y
= C 1 e-t+ C 2 e - * + ¿ ■ 4 • cos 2 x - C l e x - C2 ■
+ ¿ e o s 2x = cos 2x
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Suposición
Forma de la ED y (n ) — f ( y t y ' t ... y ( n~ llJ
(Véase ejemplo A) y<"> = f ( x , y ', ... y l " - 1))
x no está contenida explícitamente y no está contenida explícitamente
Ejemplo A: -
y '2 =
y" =
y
dx:
Reducción del orden n al n - k
d£ y * +2j = p - = he
y’ =
=
y ' = ɣ = dx
y =
e-c»
2
= 0
32 £ <0 O
° o
( i
=:
m r?
dx ■y = y
J (C p e -2* + 2x - l ) dx + C2
J ( - ^ - e - 2" + x 2 - x + C jd x + C3
V = ± C ,-8 -2 x + C2 x +
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O)
a
8 £
“
= c r e-Cx .c ¡ ■ C 2 ■e~c* - C i2■ C 2 •e - Cx
£
a 3
según d'100
y' = - ^ - e - 2* + x 2 - x + C , = & 2 2 dx
- C ¡ ■ e~Cx ■ C C¡ ■ C2 •
c o o
i.-
p = C y e -2 * + 2x - 1 ■
= C 1-e ~ ^ c ">x= C ^ e - c x
Comprobación: y ' y .y " - y ' 2
Reducción del orden n al n -1
y (k + l) = p
p ' + 2p - 4x = 0,
’P y Inlpl = Inlyl + In C Inlpl = In C y = ^ = óx ' p = C y =y' y' —C y = 0
y "
=p
Sustitución: y " = p ;
ay
y p d £ _ n 2 = 0 - d£ = É y
y
y
fl> a
Reducción del orden n al n - 1
dp - a
Ejemplo B: y ” + 2 y" - 4x = 0.
0;
Sustitución: y ' = p ; dy
/
3)
Observación
y' = 1p - á dzx = p
y(n) = f ( x , y(k+ l)> ... yí.n-1)) Las derivadas de orden 1 hasta la de orden k, (Véase ejemplo B) no están presentes y .y "
Sustitución
¿ + C3
® 3
5
Q-
a ®
S S
3 5' g; o 73 fi>
18 *& • í®
I So 9L CD
co
o oo'
d.v
Solución
Observación Las variables x así como y pueden separarse por el signo igual
J g (y )-d y = f f( x )-d x + C
g(y)
¿6.P
|
1 d'96
De variables y separables
a x + Py + y = u De varia bles no di y '= f l a x + p y + y) £ = « + /¥ rectamente separables y '= L ^ f x - a) i
h
=3*
V
1 d’98
ED similar
f du dA- J ¡3f(u) + a
r H.
J
=«
[d x _ f du Jx J fM -u
;• - . .
i r
c
Después de integrar es necesario resustituir
Revisar si la ED es transformable en
! d'99
ED lineal homogénea y '+ p ( x ) - y = 0 de orden 1
y = C -e 'fp M dx = y hom
y
~
yhom
y p a rt
ED lineal yp = no y '+ p (x ) y = q (x) y't = C '( x )- e 'fpMdjcO homogénea O de orden 1 -C (x )p (x )-
y = e l plxldx^C + j q ( X) J plx>dx-dx]
Cl
y = f(y')
II
ED implí cita de or den 1, sin term. en x
S;
O
en donde yP =
J q (x)-e ^p
x _
J£M^£
+
c
•X3
.g-Jp/x) dx Cl
y ~ yhom
y
=
f(p )
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yhom, véase d'99 Obtención de la sol. part. por variación de las cons tantes; véase D'2 y D'3
Eliminando p se obtiene la solución de la representación paramétrica
Ecuaciones diferenciales
Expresión por sustituir
Forma
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Tipo
D <£>'
I d'102 |d'1 0 3
ED implí cita de or den 1, sin * = f ( y ') term. en y ED de d'Alambert, implícita y = x -g (y ') + f ( y ') de orden 1
Expresión por sustituir
Observación
Solución
Eliminando p se obtiene la sol. de la repr. paramétrica
* = f(p ) y' = p y = \ p f '( p ) - ¿ p + c d* dp
y' = P
g '(P ) x í f'( P ) p -g (p ) p -g (p ) con Cj = y':
d'104
ED de Clairaut
y = x y ‘ + f ( y ')
y'
y=
=p
f ( y ') = f(p )
X 'C i-t./fC y ) (Integral general: familia de rectas)
* = - f '( P ) y = - p - f '( p ) + f(P )
Repr. paramétrica de x y y. Integral sing. (envolvente) por elim. de p
z ' + p (x )-z = - q ( x ) d'105
z = y 1-" ED de 2 = e'Jft-ntpWdx [ c —("1— ' i y ' + p (x )y + q (x )y " = 0 Bernoulli y = .eJll-nlPWdrjj^] de orden 1 con n 4= 0; n * 1 1 — *2 , y grado n y' -----------2 l-n 1 —n y V r
-J"q(x)- Reducción a una ED de orden 1 en z; sol. según D'9, d'100
| ED no homogénea en z; sol. según y W - y¡
y M = « W + y iW z '- [ p W d'106
ED de Ricatti de orden 1 y grado 2
y (x ) es una sol. part. conocida
y '+ p (x )y + q (x )y 2= r (x )
zW
= n b
+ 2 q ( x )- y ¡( x ) ]z =
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Ecuaciones diferenciales
Forma
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Tipo
Q. y así como y' no están y " = m O presentes
Solución y = C, + C 2 x + J [S f(x )-d x ]-d x y (x ) = C r e v + C2 e ^ = y * * ,
EDL Q. homogénea de orden y ’ + a ¡y' + a0 y = 0 O 00 2 con coefs. constantes
y
= e rx
c o n ru = - f 1 ± V j p o bien y (x ) = eM ( A c o s p x + B- se n fix )
y ' = r e rx y " = r 2 erx
Observación Empezar el cálculo con la integral interna C] y C2 son constantes arbitrarias A = Cj + C2 B = i ( C ,- C 2)
con r, = a + i/3; r2 = a - i/3 = r d'109
EDL no homogénea de orden / + 2 con coefs. consts.
y M = C 1-e''“ + C2-e '“ + > -,„
“ ¡ y 1 + “ ay =
y
~
yhom
y part
ypart depende de <7 (x). Cálculo: véase D '6 , D '7 y(x) = c o s p x + B-sen^x) + yp<1„ y Observación d'110 ( si r, = a + i/3; r2 = a - i/3 = F ¡) (si r,4=r2, véase d’110) o
I y (x ) = C, x 'i + c ,- x « ; ' ’i * r2 d'110
ED de y = x r Euler, lineal x2- y " + b l x y '+ b0y = 0 y ' = r* x r~ l homogénea, y n = r ( r - l ) x r~2 de orden 2
con
r u - ' - * ± y / t o = & - bo
o bien y íx / = x a[.4-C0S(/Hnlxl,) + + B-senf/S-inlxl,)] para r, = a + i/3 y r2 = a - I /)
C, y C2 son constantes arbitrarias A — C, + C2 B = i (Cj - C2)
Ecuaciones diferenciales
Expresión por sustituir
Forma
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Tipo
I d'111
EDL homogénea de orden y " + p ¡ W - y ' = 2 ; sin y explícita
y' = u y = J C j-e -Z /b W ^ -c U + C2 = y t a
o
y
dx
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Sol. por reducción primero a una de orden 1
O .
N
Solución
Observación
[ d'113
1
1
y' = u EDL no Empezar el y = J [ e-JprW
I Q. A
ED de orden 2, sin y
y ’ = ufy;
y" = f(y)
ED de orden y" = / f e y ') 2, sin y ' ED de Q. orden 2, sin x o bien y ' = f(y') o> sin y
=
f(x, u) ; y = \u(x) dx + C Suele ser irresoluble Después de elimi nar u se obtiene la solución
/iTy'J = / ( « )
j ZU.P
^
u
Al final se sust.
„ dM v dw y - s -/r y .« > -« a y « g -/r y ,« ;
u = ufy.) * -
y = yW
¡ S ) + c
dx por u
|
I
+ r.
y' = u y" = «' /=
y" = f(y.y')
----h- f . . . . . ^y J V2!f
y '= « W
en
ED de orden 2, sin x
r
/■= uW . g
d'118
EDL homogénea y ” + P iW - y ' + de orden + P2
Después de transformarla en: y, (x)w +[2y¡(x) + px(x)-yx(x)]w = 0
vW “ y ^ J v'(X) = w = — di
y = y y v(x ) y \(x )
y = h ix ) [ íc W
x f
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yi(x), como sol. part., debe ser conocida. Reducir luego a una lín. homog. de orden 1. Para y^x), véase D'9
Ecuaciones diferenciales
Expresión por sustituir
Forma
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Tipo
Análisis estadístico
p '..
Conceptos g en erales de probabilidad
“
■
Axiomas de probabilidad e'1
PíA)
= Probabilidad del evento (o suceso) A Número de eventos en que ocurre A Número de eventos posibles
e'2
= frecuencia relativa = 0, el suceso A es imposible
e'3
Pí a )
e'4
I PíA-,)
= 1, la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos A¡ tiene el valor 1.
e'5
P íA v B ) * )
= P(A) + P(B) - P (A n B )*) Caso especial para eventos mutuamente excluyentes:
e'6 e'7
= P(A) + P(B) P íA/B)
= P (A n B )/P (B )* \ probabilidad condicional de A (Probabi lidad de A dada la probabilidad de 8) Caso especial para eventos independientes, con P(B) o bien P(A) * 0: PíA/B) = P(A) PíB IA ) = PíB)
e'8 e'9 e'10 e'11
P (A n B ) P (A n A )
= P íA) P(B) para eventos independientes = P(A) Pí á ) = 0, eventos mutuamente excluyentes.
*) Diagramas de Venn para la representación de eventos El rectángulo representa la totalidad de los eventos A¡: Círculo mayor: evento A = IA ,) Círculo menor: evento B & fA 2) La superficie sombreada Indica cada caso:
h u b
(A “o" B)
A ^B (y4 "y" B)
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A ^B (no A “y" B)
c '2
Análisis estadístico Conceptos especiales de probabilidad_____ Variable aleatoria
A
La variable aleatoria A puede tomar diversos valores x ,; cada valor x, es un evento o suceso aleatorio. Se diferencia entre valores discretos y valores continuos de una variable aleatoria. Función de distribución F(x). La función de distribución F(x) indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A sea menor que el valor correspondiente de la absci sa x. La función F(x) es monótona creciente y e'12
lím
F(x)
X-*• 00
©'13
r(-°o)
-
F ( oo )
=
O ; F ( x ) crece de O a 1.
F(x) para valores discretos
Función de densidad P¡, o bien f(x). P, para valores discretos de una variable aleatoria
=
1
F(x) para valores continuos de una variable aleatoria
f(x) para valores continuos de una variable aleatoria
La función de densidad de una variable aleatoria A está dada por p¡ o por f(x); su relación con la función de distribución es: »'14/15
F (x )
= Y. P¡
r ^ x '> = / / ( * ) < > *
¡< x
-X
El área de la superficie sombreada de la función de densidad indica la pro babilidad de que el valor de la variable aleatoria A se encuentre en el in tervalo de Xt a x2 (sin incluir a x2). e'16 e'17
P ( x , ^ A < x2) = J / ( x ) • dx xi = f ( x 2) - F (x ,) = P ( A <
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X 2)
- P ( A < x, )
Análisis estadístico
E '3
Conceptos especiales de probabilidad M e d ia x y v a lo r e s p e r a d o /x Variable aleatoria
A
discreta
Variable aleatoria
A
constante
m
e'18 e'19 e'20
3c
=
x r p i + x2 p 2 + . . . + xn p„
+ oo í1 =
=
jx ,
Pt
f x ■ / ( * ) • dx
J
-co
en donde p, y f(x ) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad. Variancia o 2 Variable aleatoria e'21
O2=
( x 1- 3 c ) 2 -
A
Variable aleatoria A constante
discreta
p, + ( x2 - x ) 2 - p2 + + 00
e'22 e'23 e'24 e'25
♦ . . . +( x n- x ) 2 pn
O2-
= ¿‘ ( x , - x ) 2 . p i Pi
-
X
- l¡L ) 2 ■f ( x )
+00 = Jx2 • / ( x )
i =1
= £ X2 •
J(
■ dx
-
dx
n2
-co
X 2
en donde p¡ y f(x) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad. o = V (variancia) es la desviación estándar. Teorema del límite central (Ley de la adición). Si A¡ son variables aleatorias independientes distribuidas cada una arbi trariamente con media (x¿), o bien con un valor esperado n¡ y variancia o¡2, entonces la variable aleatoria
A
=
£
A¡ tiene
el valor esperado (o media x )
n
=
£ n¡
la variancia
O2
=
£ C2 ;
( 5c
=
£ x ¡)
y además A tiene aproximadamente una distribución normal (véase e'48 y e'54), o sea: P ( „ Sx) .
* (*£ £ )
Ejemplo: El histograma de 10 mediciones, cada una de las cuales muestra una desviación estándar o = ± 0.03 /xm (micrómetros), tiene en tonces en conjunto una desviación estándar o g Og2 = 10 a 2 ;
Cg -
t O ]¡To = í 0 , 0 9 5
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Función de distribución acumulada
/ ( x ) continua
Valor esperado ¡i Media x
Variancia
fx f(x )d x
__
ce
e'32
discreta
¿ x .P ;
Z x, -p, - X :
Forma de la fun ción de densidad
Observaciones. Ambito de aplicación
k : Número de fallas n : Tamaño de muestra x ,: Valor discreto de var. aleat. p : Probabilidad de falla
I pN)N(i-pf
p)
[flm
(!) P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras de un total de N, exactamente k resulten defectuosas.
N : Tamaño de la población p N : partes defec tuosas en N Cálculo exacto pero laborioso
I e'34 »
bino mial
p (a ) =
(;)p
n p ( 1- p )
w
P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras, exactamente k de ellas resulten defectuosas. I e'35
P (A ) =
de Poisson
l np)k
(np)A
n p
n p
P{k) es la probabilidad de que al tomar n muestras, exactamente k de ellas resulten defectuosas. Aplicación: Curvas para la evaluación de muéstreos, véase E'11. (Continúa en E'5)
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Hipótesis: Población sumamente grande. Durante el muestreo se mantiene la colección Hipótesis: Tamaño grande del muestreo y número pequeño de fallas, n ■p = const. n - »o ; p - O
estadístico
e'33
A / l r i- A
hipergeométrica
Distribuciones de probabilidad
e'31
Ecua ción de defi nición
Densidad de probabilidad
Análisis
Tipo de distri bución
m ■N
Tipo de distri bución Ecua ción de defi nición
Función de distribución acumulada
Densidad de probabilidad
Valor esperado n Media x
/ ( x ) continua F U ) = $ / ( * ) ■ dx discreta F U ) = £ P /(*)
fx/(x)
<¡X
£ * . ■P.
Variancia
Forma de la fun ción de densidad
JV /(x)- d x V £ X ,2 •p ;
=
expo nencial Aplicación en la teoría de la confiabilidad. Sustitución de a • x por la tasa de fallas X multiplicada por el tiempo de prueba t (véase E'12).
0,5
f
n : Tamaño del muestreo x, ; Valor discreto de una variable aleatoria p : Probabilidad de falla Caso especial de la distribución de Poisson para x = 0. Pregunta sobre la probabi lidad sin falla. i * n -»»o; p -* 0 Caso especial de la distribución binomial.
x
-Ix -u J 2 í
i
'-‘ W u
J - 00
normal
c
n —» oo :
a t
p = 0.5 = const.
Aplicación frecuente en la práctica, pues muchos valores medidos muestran una distribución con forma de campana alrededor de un valor medio.
f U ) = -r— O—<9
P ara
Observaciones. Ambito de aplicación
F {x ) = 0 para -oo < x < a
-2-1 t(x)
a + b 2
( b - a )2 12
a $x $ b = para = 0 para b -a valores de x exter a 4 x «í b nos al intervalo Se emplea como modelo cuando sólo se conocen valores máximos y mínimos, y no se tiene información sobre la distribución intermedia.
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0 1 2 x La variable aleatoria x puede tomar valores sólo en el intervalo a, b. Ahí todo valor es igualmente probable.
Análisis estadístico Determinación de Determinación de
o
p '6 ^
o
para valores discretos dados
Método de cálculo Según la ecuación e'23 se tiene: e'41 e'42
O 2 = Z (x, - x ) 2 p¡ /■=1 =
¿ x ; 2 p, -
i- 1
en donde x,: P¡\
con
í
= Z x, - p; / =1
X 2
valores medidos de la variable aleatoria A probabilidad asociada a su ocurrencia.
Método gráfico Si se supone que los valores medidos x, de la variable aleatoria A están distribuidos normalmente, a puede determinarse fácilmente con ayuda del papel para probabilidades. En este papel se escogen las divisiones de las escalas de manera que se obtenga una línea recta para una distribución normal. Desarrollo: El total de los valores medidos de la variable aleatoria A se fija igual a 100%. Para cada uno de los valores x, se calcula la frecuencia por centual. De estos / valores se escogen, por ejemplo, 4, 2 en los bordes, y 2 a la mitad del espectro; en el dibujo son x4, x 6, x7 y x9. Para cada uno de estos 4 valores se calcula qué % de los valores medidos son menores que los considerados en cada caso, y este valor porcentual se inscribe en la red (10% para x4, 38% para x6, etc.). Por estos puntos se traza una recta que corta a las frecuencias acumuladas de 16% y 84%. A estas abscisas corresponde un valor 2 a. El valor medio se encuentra en el 50%.
(Distribución acumulada) % menor que X,
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Análisis estadístico
p'
Distribución normal de Gauss
■
Distribución normal de Gauss (Densidad de probabilidad) La ecuación e'39 da para o 2 = 1 y ¡u = 0 la densidad de probabilidad normali zada con medida en X = 0.
e'43
V27F
(f ( \ ) puede leerse en las Tablas Z'5 y Z 6 para valores 0 < A < 1,99 o también calcularse directamente con la ecuación e'43. La relación entre la densidad normalizada <¡P(A) y la densidad real f(x), cuando u 4= 0 y a 2 4= 1, está dada por
e'44
= A
según
/(*)
=
Para calcularla, se busca en tablas un valor determinado de X, el valor correspondiente de la densidad normalizada (f (X), y se encuentra después de dividir entre a , el valor de tal densidad f(x) asociada a x. Los valores de /¿ y o pueden obtenerse con las ecuaciones e'26 y e'58. En E'6 se muestra un método gráfico sencillo para determinar f(x). Distribución de Gauss normalizada 4> (X) (Función de distribución) La ecuación e'39 da para a 2 = 1 y fi = 0, la función de distribución normalizada de la distribución de Gauss.
A
e'45
0U )
A = fv(t) dt
1 f Z íl = T ñ j= J e 2 - di
Como lím 0 (X ) = 1 para A —» °o, y cp(t) es una función simétrica, se cumple que e'46
$ (-*■ )
= i -$ U )
La relación entre la función de distribución normalizada 4>(X) y la función de distribución real F(x), cuando \i * 0 y a 2 4= 1, está dada por
e'47/48
= A según F ( x )
¿(A) (rVZ/T
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Análisis estadístico Integral de probabilidad
p 'g “ ■
Integral de probabilidad de Gauss La integral de probabilidad se basa en la distribución normalizada de Gauss (e'45) con o 2 = 1 y \i = 0, representa el área de la superficie entre - x y + x de la función simétrica de densidad (v>).
e'49
e'50
&>( * )
En las tablas Z'5 y Z'6 se dan valores de
e'51
erf ( r )
U x -V ? )
- wy y l e* ' 2 d í 2°
2 -x2 2 -= re *Z
e'52
• ( 2n + 1)
1 3-
En las tablas Z'5 y Z'6 se dan los valores de erf (x para 0 < x < 1.99. Para x > 2 puede calcularse erf (x) con la serie anterior o también con la siguiente expresión aproximada: e'53
con
erf ( x ) = 1 -
El área restante bajo la curva de campana es igual a: e'54
erfc(x)
= 1 -
erf ( x )
J
a a a a
= = = =
0.515 0.535 0.545 0,56
•di
4>o(x) y [1 - 4>o(x)] en % del
área total para valores especiales de x (según e'49): e'55
X ± ± 2 ± 2.58 ± 3 ± 3.29
68 26 95.44 99 99.73 99 9
[1 - >„W]/% 31.74 4.56 1 0.27 0.1
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para para para para
2 3 4 7
< < < <
x x x X
< < < <
3 4 7 OO
Análisis estadístico
p 'g
Muestreo — Distribuciones
^
Muestreo: Por razones de economía se renuncia a menudo a una revisión en 100% de todos los elementos de una población. En vez de esto se efec túan muéstreos. Para que los elementos sean representativos del total, de ben ser arbitrarios y tener la misma probabilidad de ser escogidos (ejemplo, por medio de un buen mezclado). Objetivo del muestreo: Estimación de la posibilidad de la proporción verda dera de elementos defectuosos de una población, con base en el número de defectuosos o fallas detectadas en una muestra. Distribución hipergeométrica: La probabilidad P(k) de encontrar exactamente k elementos defectuosos en una muestra de tamaño n tomada de una po blación N, se calcula con la expresión.
e'56
P (k )
pN: número entero
en donde p es la probabilidad supuesta de tener un elemento defectuoso y pN es, por consiguiente, el número de defectuosos en N. La probabilidad de encontrar como máximo k defectuosos, o sea 0, 1, 2, ..., k, puede cal cularse con la distribución hipergeométrica acumulativa: e'57
Z p (M = p(o) + p ( i ) + .
P( M pN: número entero
= I -
ÍS) Ejemplo: En una población N de 300 tornillos, pueden como máximo ser desechables p = 3%, oseap/V = 3. Se toman muestras de n = 20. ¿Cuántos defectuosos son permisibles, si la probabilidad I P(k) es < 90%? X
P (x )
Z P {*)
X-0
0 2 3
0.508 0.508 J3’39Í~" "'Ó .899j *0.094*' ‘ * 0.993 ’ 0.007 1.000
El cálculo muestra que se tiene sólo 1 defectuoso. Otras distribuciones especiales: Además de la distribución hipergeométrica, la cual exige una gran cantidad de trabajo de cálculo, se han obtenido otras distribuciones especiales para determinadas hipótesis y condicio nes de frontera. En E'4 y E'5 se muestran, además de la hipergeométrica, algunas de dichas distribuciones junto con sus características principales.
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Análisis estadístico
p ' 1Q
Seguridad de un muestreo — Curvas de aceptación
■“
■^
Seguridad de un muestreo: En una muestra de tamaño n tomada de una población de magnitud N se encuentran k elementos defectuosos. Sea p la probabilidad de tener un defectuoso en la población. La probabilidad de encontrar más de k defectuosos en la muestra se obtiene con la ecuación e'57:
e'58
P (i» i)= P (fi+ l)+ P (/i+ 2)+ ... +P (n )s
Z
P(x)
En el supuesto de que N es muy grande y p < 0 ,1 ,-lo cual ocurre en un gran número de procesos in dustriales- puede efectuarse este cálculo (ver E'7) con ayuda de la distribución de Poisson:
e'59
p
(
x >k
)=
x£ x=*+1
X•
*=0
x '
Esta probabilidad, para valores pequeños de k, se calcula fácilmente con la siguiente ecuación:
e'60
PU >A) = 1-
, - e-"p [ l +2 £ + í ^ 2 ! + . . . + L ^ í L ]
P ( x > k ) se denomina también seguridad del muestreo. Con ayuda de la ecua ción e'60 puede determinarse con qué seguridad P (x > k ), con una muestra de tamaño n y k defectuosos en ella, el porcentaje de partes defectuosas en la población total toma el valor p = k/n, o bien cuán grande debe ser la muestra n para que con k defectuosos aceptables y una cierta seguridad deseada, la probabilidad de fallas sea igual a p.
e'61
e'62 e'63
Curva característica de aceptación: Un usuario se pregunta si una pobla ción de objetos que recibe satisface sus requisitos de calidad, o bien si el fabricante ha entregado dicha población con la calidad convenida. Una prueba de 100% de la población es muy costosa y no siempre es posible efectuar ensayos no destructivos. Si se supone una probabilidad de fallas p ^ p 0 en la población, hay que determinar si se acepta tal población cuando al efec tuar un muestreo de tamaño n se encuentran hasta k = c partes defec tuosas. La probabilidad de aceptación L (p. o > 1 - cr. en donde a es el riesgo del fabricante, puede calcularse en función de la probabilidad simple P(k)dada por la ecuación e'57.(También se conoce esta curva como “CO".) L ( p , c ) - P ( 0 ) ♦ P ( 1 ) + . . . «• P { k = c ) Suponiendo una ] distribución I _ f de Poisson, f ~ ^ según e 44
. \^ P ) A!
r ¿ nP _ - nP 1 ~ \_
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2 ( nP> + 2! "
c!
(Continúa en E'11)
Análisis estadístico Curvas de aceptación — Valor AQL
En
(Continuación de E'10) Con esta fórmula pueden calcularse las diferentes curvas características de aceptación L(p,c) en función del porcentaje de partes defectuosas p en la po blación. Se distingue principalmente entre dos tipos de curvas: ____________ Tipo_A__________ Tipo B Ac: = const, n: parámetro Ejemplo
-O a) nj o .O ni 0
1 2 3 <. 5 6 7 Defects. en pobl. — • - p%
Defects. en pobl.
*- p %
Observación: Cuanto más inclina da es la curva de aceptación, tanto mayor es el tamaño de la muestra. Como curva límite se obtiene un rec tángulo cuando n es el tamaño de la población. Cuanto más inclinada es la curva de aceptación, tanto más estricta es la prueba; n debe ser > c. Valor AQL (Acceptable quality level = Nivel aceptable de calidad): El acuerdo entre el fabricante y el comprador implica fijar la posición del valor AQL sobre la curva de aceptación. Ese punto indica el porcentaje de defectuosos p0 de una población para el cual ésta es aún aceptable con base en una muestra cuya probabilidad sea (usualmente) de 90% (co mo L (p , c) > 1 - a , es en este caso igual a 0.1, o sea 10%). Con referen cia a la curva de aceptación tipo A, esto significa que, por ejemplo, en una muestra de tamaño n, c2 partes defectuosas serán aceptables como máximo. Para recibir menos par- L(p,cb ^Aprox. 99% tes rechazadas, el fabricante man tiene su calidad (% de defectuosos de la población) muy por debajo del valor AQL prometido por él, p0*. en donde sólo se permiten c, defec tuosos, lo que referido a la curva original corresponde a una probabi2 lidad de aceptación de aproximada- -g ® mente 99%. En la práctica se exige -g ro con frecuencia un valor AQL con ¿ ® p0 = 0.65%. Observación: Cuanto menor sea el número máximo de defectuosos c en la muestra, tanto más se acerca la curva de aceptación al porcentaje de defectuosos
n: Tamaño de la muestra c: Número máximo de defectuosos aceptable
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A nálisis estadístico p ^ o Contabilidad — Definiciones
“ ■
Definiciones generales t e'65
Confiabilidad
R(t)
= - --- - = e / = 1-/?(í) dfl
e'66
Probabilidad de fallas
F(t)
e'67
Densidad de fallas
/ ( f)
d i
t
-Ja/t; -dr A(t)-e° e'68
Tasa de fallas o función de riesgo A ( t ) =
¿y --jy-
MTTF (mean time to failure, o tiempo medio a la falla) es el tiempo pro medio que transcurre hasta que ocurre una falla e'69
MTTF = J / ( 0 - t d t = f f í ( t ) - d t o p r o En sistemas capaces de reparación se emplea en vez del MTTF, el MTBF, (mean time between failures), que es el promedio entre dos fallas, o sea MTBF = m. El MTTF y el MTBF tienen iguales valores numéricos.
e'70
MTTF = MTBF = m = f f i ( t ) - d t o Teorema del producto de confiabilidades. Si R1f R2,..., Rn son las confiabilidades de los elementos 1,..., n, la con fiabilidad del sistema total está dada por
e'71
Rs = R i R2 ■ . . . -Rn = f j Ri t
e'72
' =1 ♦ A , (t ) . . . A n lT ¡]'< iT
Observación: Como modelos para la función de confiabilidad R(t) pueden considerarse las funciones de distribución F(x) dadas en E'4 y E'5 (cálculo según e'66). La distribución exponencial, de sencillo manejo matemático, cumple en general de manera satisfactoria los requisitos (A =const.). n ( f ) : condición en el tiempo t considerado nQ : condición inicial
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Análisis estadístico F '- iq Contabilidad — Distribución exponencial
^
Distribución exponencial como función de contabilidad -x t
e'73
Confiabilidad
e'74
Probabilidad de fallas
r(t)
= 1 - e"
e'75
Densidad de fallas
fit)
= /il e ~x
e'76
Tasa de fallas
A(t)
= e
R(t)
i? K t =
*
= const-
(Dimensión: 1/tiempo) e'77
MTBF (tiempo med. entre fallas) m - l e
X
Producto de confiabilidades -A it
e'78 e'79 e'80
e'81
= e Tasa de fallas total
As = Ai
•e
- A 2í
. . . e
ÍA-| + A 2 + .,
Á2 +
- A „í
+ A„>f
.,.
+ Án —
1 MTBF
Para valores pequeños, la tasa de fallas puede calcularse con la siguiente expresión aproximativa: A _ _____________ Fallas______________ (Condición inicial) (Horas de servicio) Los valores para X se refieren engeneral a horas de servicio:
e'82
Unidad: 1 fit = 1 falla/109 horas Ejemplos típicos para tasas de IC digital bipolar (SSI) IC analógico bipolar (Op Amp) Transistor (Si) universal Transistor (Si) de potencia Diodo (Si) Tantalio con electrólito líquido Tantalio con electrólito sólido Aluminio, electrolítico Capacitor de cerámica; capas múltiples Capacitor de papel Capacitor de mica Resistor de capas de carbón 100 Resistor de capas de carbón 100
falla A en fit. (IC = Circuitointegrado) 15
100 20 200 5 20 5 20 10 2 1
Resistor de hojas metálicas 1 Resistor de alambre en bobina 10 Transformador pequeño 5 Inductor de alta frecuencia 1 Cuarzo 10 Diodo emisor de luz (Falla: dism. de la luminosidad a 50%) 500 Unión soldada (manual) 0.5 Unión enrollada 0.0025 Unión con abrazadera 0.26 Contacto de clavija 0.3 04 Receptáculo de contacto Conmutador giratorio 5...30
5 0.5
Observación: Pueden encontrarse numerosos datos sobre confiabilidades en las normas: DIN 29500, parte 1; DIN 40040, y DIN 41611.
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M atem áticas financieras Conceptos principales
F'i
1. T a s a s de interés
Tasa de interés:
Monto que se paga en un intervalo de tiempo unitario por unidad de capital invertido.
Tasa efectiva de interés:
Tasa actual de incremento por unidad invertida durante el periodo contratado.
Tasa nominal de interés:
Tasa del interés total que se paga en un año sobre una unidad invertida al principio del año, considerando que cualquier interés percibido durante el año no se reinvierte.
Fuerza de interés:
Tasa de crecimiento continuo según una cierta operación de interés.
Notación
Tasa efectiva de interés anual.
/:
¡(m).
Tasa nominal de interés por año, pagadera m veces al año.
5: Relaciones entre i,
Fuerza de interés por año. (m> y ó . ( (m)
* (1 + /) = (1 +
f'1
m )
2. A c u m u la c ió n a inte rés c o m p u e s to
Interés compuesto :
Notación
Si el tiempo total de inversión se divide en varios perio dos y al final de cada uno el interés generado se incre menta al capital para ser invertido a la misma tasa, se tiene una inversión a interés compuesto.
n:
número de periodos de inversión.
P:
valor presente o principal de un capital invertido al inicio de los n periodos de inversión.
S:
Valor futuro o monto del capital después de n periodos de inversión.
Relación entre S, P y n. f'2
S
=P (1
f'3
S
=
f'4
S
f'5
p
=
p (1
para tasa efectiva de interés i
+ /)" ¡(m)
+ ~ñr)m n
de interés pagadera m veces al año /(m)
para fuerza de interés ô
Pe"
= S vn si
paratasanom inal
v = (i
+ ir'
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M atem áticas financieras C o n c e p to s p r in c ip a le s
F
2
3. Tasas de descuento Tasa de descuento:
Cuando se hacen los pagos de interés por anticipado, corresponde a la cantidad pagada por anticipado, res pecto a la cantidad que se debe entregar al final del periodo contratado.
Tasa efectiva de descuento:
Tasa actual de decrecimiento por unidad adeudada du rante el periodo contratado.
Tasa nominal de descuento:
Descuento total efectuado en un año sobre una canti dad comprometida para pago al final del periodo, con siderando que el descuento se aplica en m exhibiciones.
Fuerza de descuento:
Tasa de decrecimiento continuo bajo una operación de descuento.
Notación d: dm :
6:
Tasa efectiva de descuento anual. Tasa nominal de descuento por año, efectuado en m exhibiciones iguales. Fuerza de descuento
Relaciones entre d , d m y S: e5
= (1 ~ d )
= (1 - 4?r > m
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M atem áticas financieras
F i '3o
Relaciones diversas 4. Relación entre interés y descuento
Interés y descuento son dos puntos de vista diferentes respecto a un mismo problema. A cada tasa de interés corresponde una tasa de descuento, y vi ceversa. Un pago de / al final de un año corresponde a un pago al principio del mismo, esto es:
d
de donde, f'7
d( ‘ -T-h-
1 + i ) = i, o bien / (1 -
f'6 1 -
d) =d
Relaciones entre tasas de interés y de descuento: Monto de una unidad al fin de n años f'8
Fuerza de interés o descuento
f'9
Tasa efectiva de interés
e ón
Tasa nominal de interés
f'11
Tasa efectiva de descuento
^1 + ~ jf r )
f' 12
Tasa nominal de descuento * ) v = (1 + i)" 1
(
y
+ ~ n r)
( i - ó) /
f'13
V
+
¡(m )\m n
d (m )\-m n
^1 - -fff-J
*" " *)
e
(i /) (
f'10
Valor presente de una unidad antes de n años
d)"
(1 -
d (m )\m n
/
~
m
/
Ecuación de valor:
Consiste en dos series de obligaciones vinculadas por un signo de igualdad y valuadas en una misma fecha, llamada “fecha de valuación” .
Ejemplo:
Una persona adeuda $30 000 000, pagaderos dentro de 5 años y $25 000 000 pagaderos en 8 años. Desea cam biar estas deudas haciendo dos pagos iguales al cabo de 1 y 2 años, a partir de ahora. De cuánto serán los pagos requeridos si el interés es del 9% anual conver tible semestralmente?
Solución:
Sea x la cantidad a pagar al final del primero y segundo año; i = 0.09. Se puede tomar como periodo fundamental el semestre y trabajar entonces con una tasa efectiva semestral / = 0.045. La ecuación de valor obtenida tomando como fecha de valuación el fin del segundo año es: 30 000 000 V6 + 25 000 000 V12 = x + x (1.045)2 30 000 000 (0.767896) + 25 000 000 (0.589664) = x + (1.092025) x de donde x = $18 058 331.04
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Matemáticas Financieras Anualidades y amortización________
F
4
5. Anualidades Anualidad:
Serie de pagos periódicos, de sumas generalmente igua les, que se efectúan durante la existencia de una si tuación dada.
Anualidad cierta:
Serie de pagos periódicos que deben efectuarse con cer teza e independientemente de cualquier evento o suceso fortuito durante un cierto tiempo.
Anualidad contingente:
Serie de pagos periódicos que se efectúan sujetos a algún evento.
Anualidad ordinaria:
Serie de pagos unitarios efectuados un periodo después de su contratación y pagaderos durante n artos.
Notación
a
Valor presente de una anualidad ordinaria pagadera du rante n periodos.
A:
Valor presente de una anualidad con serie de pagos iguales a R.
Sf¡\:
Monto de una anualidad ordinaria pagadero durante n periodos.
S:
Monto de una anualidad con serie de pagos iguales a fí.
Relaciones entre a^, A, S^ y S. 1 _ vn
f'14 f'15
A
= R
ñl (1 + /)" - 1
f'16 f'17
S
f'18
Sñ| = ( 1 +
f'19
= R S„
am ~ v "
0 " a„n s ñi
Ejemplo: Una persona desea disponer de un capital de $1 000 000 000 dentro de 10 artos, formado mediante depósitos mensuales en un banco que le ofrece el 9% de interés anual convertible mensualmente ¿De cuánto debe ser el aporte o renta mensual para lograr su objetivo?
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(Continúa en F'5)
Matemáticas Financieras p ' 5 A nualidades y am ortización
*
®
(Continuación de F'4) Solución: El depósito mensual debe ser _5íL, con p = P do la fórmula del monto se tiene: c
_
¿
-
Ra
0
.,
S m ñ \r ; i
-p -
=
12, de donde aplican-
0.09
1 2~
SP Smñi i ' R
m
12 000 000 000
_
12 000 000 000
Sf20l 0.0075
3 "
R y la renta mensual:
$62 010 900
193.514281
= $5 166 741.66
6. Amortización: Amortización: Método para extinguir una deuda mediantepagos pe riódicos, generalmente iguales, en los que se incluyen tanto intereses como capital. Tabla de Registro del destino a intereses y capital del pago peamortización : riódico de una amortización. Capital insoluto: Capital que se adeuda en cada periodo.
TABLA DE AMORTIZACION PARA UNA ANUALIDAD ORDINARIA PAGADERA DURANTE n PERIODOS Distribución del pago Número del pago
Capital insoluto al principio del periodo
Intereses contenidos en el pago 1 - Vn
1
2
1 - V " -1
3
1
- v n~2
Capital contenido en el pago Vn V n- 1 V n -2
y n -(t-l)
aT = V
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V
M atem áticas Financieras Casos especiales
F 1 'fi o
7. Casos especiales de anualidades Anualidad anticipada:
Anualidad en la cual el primer pago se efectúa al prin cipio del periodo.
Anualidad diferida:
Anualidad ordinaria en la que se establece que el pri mer pago se efectuará después de un cierto número de periodos.
Perpetuidad:
Anualidad en la que se estipula efectuar pagos en forma indefinida.
Anualidad creciente:
Anualidad en la que el monto de los pagos crece pe riodo a periodo.
Anualidad decreciente:
Anualidad en la que el monto de los pagos decrece pe riodo a periodo.
Notación
:
Valor presente de una anualidad unitaria anticipada.
:
Monto de una anualidad unitaria anticipada pagadera durante n periodos.
m /am :
Valor presente de una anualidad unitaria diferida m pe riodos. Valor presente de una perpetuidad unitaria.
a oo
<*>»:
Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago unitario y que crece aritméticamente 1 unidad por periodo.
:
Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago n y que decrece aritméticamente 1 unidad por periodo.
a‘S’
■
Valor presente de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo.
s (S ■
Monto de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo.
Relaciones entre diferentes tipos de anualidades.
- 0+'■) =1+ S*= ')® üi
f'20
as
f'21
a ñl
f'22
<1 +
—v
f'23 f'24 f'25 f'26 f'27
a ñi
1
®S1
*ffl = S ñ m ~ 1 m/«ai = m /añ1 = 3 oo
aM*7P - a m
=
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(Continúa en F'7)
Matemáticas Financieras p ' 7 Anualidades y amortización
■
(Continuación de F'6) 1 - nVn
f'28 f'2 9
(D a)„
f'30
■s
f'31
s®-j
=
T jñ ) a n
Pa ra ta s a e fe c tiv a a n u a l /
—1— Sn r P)
para tasa efectiva anual /
f'32
I
f'34
* ‘2
f'35
s 'g
f'36
a (P)
1
m
f'39
a (pi ñl
para tasa nominal de interés < p, y p = m k para
i (m) con m k entero.
» -i **'<"
,(* )
p S p ,. a^
para tasa nominal de interés
'
-
*
f'38
1
— ____ í__ a — i m ,-(*) m >'
cn 5JS
f'37
ñl
para tasa nominal de interés /'(m>con m = p.
1 Ç ~p~ ñrff¡'
f'33
/
1
rI ¡ (m) \mlp » U1 * t ) -
(■ • £ ) ’ r/
En lo siguiente:
i 'I -
para tasa nominal de inte rés /, en el cual no coin ciden la frecuencia de los pagos con la convertibilidad de la tasa de interés.
1
/ (m) \mlp
p [y +"7ñ") " 1 Ejemplo:
Encontrar el valor presente de 4 pagos anuales iguales de $5 000 000; el primero de ellos se efectúa inmedia tamente y la tasa de interés efectivo anual es de 8%.
Solución:
Se desea determinar el valor presente de una cantidad anticipada a 4 años; >4 = 5 000 000 á^.Esto es:
>4 = 5 000 000
= 5 000 000 [(1 + i) a^J
= 5 000 000 [(1.08) a ^ Qg] = $17 885 502
= 5 000 000 (1.08) (3.31213)
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Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado
G 'i
DEFINICION DE UNA ECUACION ALGEBRAICA Una ecuación algebraica tiene la forma: / n(x) = 3nxn + a n -i^ -1 + ... + a2x 2 + a\x + a0. Todos los términos cuyos coeficientes aMson iguales a 0 cuandon < n se pueden omitir. La solución de una ecuación algebraica implica la determinación de los ce ros (las raíces) de la ecuación, para los cuales fn(x) = 0. Características 1. La ecuación algebraica / n(x) = 0 de grado n tiene exactamente n ceros (raíces). 2. Si todos los coeficientes awson reales, sólo existen ceros reales o com plejos conjugados como soluciones. 3. Si todos los coeficientes aw son > 0, no hay soluciones cuya parte real sea > 0. 4. Si n es impar, cuando menos un cero es real, suponiendo que todos los coeficientes a wson reales. 5. Las relaciones entre los ceros xMy los coeficientes son: g'2
= - a n-1/ a n
g'3 2 *1
g’4
i = 1 .2 ,
. n
para donde
i, i = 1 , 2 , . . . n ¡ = ¡
= _ a n-3^a n-2
para donde
i . i . k = 1 ,2 , . . . n I = j = k
x, ■ x2■ x3■ ... ■ xn 6.
para
a n -2 /a „ -l
(- 1 ) " • a 0/ a , .
La cantidad de raíces reales positivas de la ecuación en cuestión es igual a la cantidad de cambios de signo de la serie de coeficientes
an, an-i, an-2, ••• , 32, ai, aoo este valor menos un número par (teorema de Descartes). Ejemplo: f 2(x) = 2x3 - 15x2 + 16x + 12 = 0 tiene los signos + + + y debido a los 2 cambios de signo tiene 2 o 0 raíces reales positivas.
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(Continúa en G'2)
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado
G'2
(continuación de G'1) 7.
g'8
La cantidad de raíces reales negativas de la ecuación en cuestión se determina mediante la sustitución x = - z : En este caso la cantidad de cambios de signo en la serie de coeficientes an*, an-S, an_2*..........a2*. ai*, ao* es igual a la cantidad de raíces reales negativas, o a este valor menos un número par. Aplicado al ejemplo en G'1,punto6: f 3(z ) = - 2 z3 - 15Z2 - 1 6z + 12 = 0
g'9
tiene los signos + y por consiguiente la ecua ción g' 7 únicamente tiene una raíz real negativa, debido a que tiene un solo cambio de signo. Solución general Si es una raíz de una ecuación algebraica de grado r i,fn(x) = 0, el grado de fn(x) se puede reducir en una unidad a / n-i W = 0 cuando/n(*) se divide entre (x - *!). Si se conoce también otra raíz * 2, la ecuación se puede reducir un grado más al dividirla entre (x - x2), y así sucesivamente. g'10
/n W
=
+
- /o W
-
a n.-| j:n_1 + a n_2* n~2 + . . .
g'12
f„/(x-x,) = (x) - a„' x n' 1+ an_ , ' xn~2+... + a¿x + a ,' fn-i/(x-x2) = /„.2 (x) - a n" x n‘ 2 + an. 2V 3 + . . . + a2" * + a ," fn-2/(x-x3) = ... etc.
g'13
/ /( * - * „ )
g'11
1
a n(n).
Hay un caso especial en el que las raíces son complejos conjugados; después de la división, el grado de la ecuación se reduce en 2 unidades. La división de la ecuación algebraicaf n(x) entre (.x - x M) se puede llevar a cabo fácilmente aplicando el método de Horner que se describe en G'3. METODO DE HORNER El método de Horner es un algoritmo que se puede aplicar al polinomio de />ésimo grado g'14
P„(x) - a n xT+
a n_, -jr"“1 + . . . + a,
P
x +a0
para resolver los siguientes problemas: * Cálculo del valor de P n( x ) para x = x0. * Cálculo de los valores de las derivadas / V M ,
P n" ( x ) ,
etc. hasta
P n)(x) parajr = jr0* Reducción del grado de P „ ( x ) si hay raíces conocidas. ' Determinación de los ceros (las raíces).
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(Continúa en G'3)
+
Teoría de ecuaciones
G '3
Ecuación algebraica de cualquier grado
Método de Horner (ver el esquema abajo): Se igualan los coeficientes av a av(°) y se escriben los coeficientes del polinomio Pn(x) -comenzando con el que se relaciona con el exponente m áximo- en el primer renglón. Las posiciones donde no hay exponentes tienen el elemento 0. Esquema
i„a3111 j 0a2(’> Jtoai11’ a„!’>
an:a™
*<>*, t o 3 ®
1V \
io a„.aB .
a n -2
a n -3
m
i 0a„_,|3) ioan-231
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✓ _______
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a¿«-:
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d n -1
d n -2
*oaj' a n -3
»oan11” ,
(«I
'-(n|
- a n - J n -1 /n !■ />nln, (lo)
Ejemplo 1 del método de Horner: Cálculo de los valores de Pn(x), P„'{x), Pn"(x) y P»'"M para x = x0; x0 = 4: Pn W
- X3 - 6 x 2 + 1 1 i - 6 a , <0> a 2(0> ao(0) -6 11 -6 12 4 -8 3 1 ^ -2 ^ I 6 8 4
1
a3<0) 1
4
2
1"^ 1 ~
I ”
| 6 f
■=
= /*„'( 4)
P „ " (4 )-1 /2 !; P„"(4) -
n" '(4 )-1 /3 !;
P n"'(4) -
1 -2 -6
1 -2 -3 -1
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-
= 6
12
Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado
G '4
Explicación del método de Horner Se va a calcular el valor de un polinomio y de sus derivadas en un punto fijo x = xo. Los resultados de las multiplicaciones de x0 por los factores an(1), an.iO), etc., indicadas por las líneas se escriben en el segundo renglón (por ejem plo, A0 -an(1) = -toan(1>). El renglón 3 muestra los resultados de la suma de los renglones 1 y 2. Por ejemplo
a n- i (1) " a n - i (0) + x o ‘ a n ^ '• a JV « a J0) + a a n -2 a n -2 + x 0 a n-1
donde a n(1) = a n(0)
Particularmente a0(1)
-
a 0(0) + x 0 ■ a 1(1) - *0 - P n (*o )
significa el valor del polinomio en el punto x = x q . Usando el mismo esquema, partiendo del renglón 3, por medio de mul tiplicaciones y adiciones se liega al renglón 5 con a ,® - 6 , -
P„' (x0)
que es el valor de la primera derivada de Pn(x) en el punto x = x q . Este procedimiento se puede repetir n veces, puesto que un polinomio de grado n tiene exactamente n derivadas. Estos cálculos dan como resultado: Pn(
x) - a0m +a ,(2) (x-x0) + + ...
a2|3)
{x-x0f +. ..
+ an^ (n) (jc -jto )"'1 + an(n) ( x - x a)"
- P „(x0) + 1/11- />„•(*o) • (*-*<,) + 1/2! • Pn"( x0) ■<¿-x0)2 + . . .
+ . . . 1/(n-1)l • P„|n-1* (jcq) • (i-x 0)"-1 + 1/n! ■ Pn(n|(;c0) • t t - i 0)n Ejemplo 2 del método de Horner: Reducción del grado si hay un cero (raíz) conocido x q , es decir, determi n a r/^ .! (x) usando: g'42
= Pfl-1 (x ).
g'43
Datos:
g'44
Esquema:
g'45 g'46 g'47
Pn
(X) - X3 - 6 x* + 11jt - 6 a3,0)
a2<°>
a,(0)
1
-6 1 -5
11 -5 6
*0 = 1 1
con la raíz
x0
V -6 6 I 0
= Pn (1).
Resultado: />n(1) = 0 indica que x0 = 1 es una raíz de Pn{x). Entonces Pn-i(x) = 1 x 2 - 5x + 6. Las raíces de esta última ecuación (x1= 2 y x 2 = 3) pueden ser determinadas fácilmente utilizando d 41.
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Teoría de ecuaciones Solución aproximada de cualquier ecuación
**
PROCEDIMIENTO GENERAL Dado que la determinación analítica de los ceros (raíces) de las ecuaciones algebraicas e incluso de las ecuaciones trascendentes sólo es posible con restricciones, en G'6 a G'8 se presentarán los siguientes métodos para ob tener soluciones aproximadas: Método de Newton Método de la secante Método de la interpolación lineal, falsa posición o regula falsi
i Comenzando con un valor inicial aproximado, se puede lograr cualquier grado de exactitud mediante iteración.
Ejemplo de una ecuación algebraica (polinomial): g'49
xA -
3X2
+ 7 x - 5 = 0.
Ejemplo de una ecuación trascendente: g'50
x - lg (4 - 1 = 0 .
Procedimiento •
Determinación gráfica de la aproximación inicial trazando la curva a partir de una tabla de valores conocidos.
• Seleccionar uno de los tres métodos señalados anteriormente. Ob sérvese que la interpolación lineal siempre es convergente. Para los demás métodos, la convergencia sólo se garantiza bajo las condicio nes citadas en G'6 y G'7. La desventaja de este examen adicional será compensada generalmente por una convergencia bastante más rápi da. • Con frecuencia se puede obtener una mejor convergencia comenzan do con un método y continuando con otro; en especial cuando des pués de varias iteraciones ya no se observa un mejoramiento en los resultados.
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Teoría de ecuaciones Q ' Solución aproximada de cualquier ecuación
^
METODO DE APROXIMACION DE NEWTON El valoreo es la primera aproximación de la raíz n0 de la ecuación f[x ) = 0. Se traza la tangente en/fao); la intersección de la tangente con el eje x es un mejor valor que el punto de partida x0- El cálculo de *1 se hace como sigue: g'51
X i = x a - f ( x 0) / f ' ( x 0). Se calcula el valor mejorado x2 usando x 1 en forma semejante:
g'52
x 2 = *1 “ / ( * i ) / / ' ( * i )
etcétera.
La repetición múltiple de este método conduce a los resultados de cual quier precisión que se desee. Regla general g'53
* k+1 = jrk - f ( x k) / f ( * k)
;
k = 0, 1, 2. . . .
Condiciones para la convergencia en este método: • n0 es un cero sencillo (no múltiple) • entre x0 y "o no debe haber máximos o mínimos de la función f(x). Convergencia: Localmente convergente. Com entario: Los valores f(x k) y f ( x que son necesarios en el método de Newton se pueden calcular muy fácilmente mediante el método de Horner descrito en G'3. g'54
Ejemplo: f[x ) = x • log x - 1. El valor inicial para obtener un cero que satis f a g a ^ ) = 0 puede ser x0 = 3.
g'55
1er paso: g’ 51 requiere el cálculo de la derivada/'(xo):
g'56
f ' ( x ) = lg(jc) + lg(e) = lg(jc) + 0 .4 3 4 294 .
g'57
28 paso: Determinación de un valor mejorado xy De acuerdo con g'51, los valores x0 = 3, /( x 0) =0.431364 y / ' ( * 0) = 0-911415 proporcionan el valor x\ = 2.526710.
g'58
3er paso:
g'59
4® paso: Si la exactitud de x2 no es suficiente, se deben efectuar más iteraciones.
Determinación de un valor mejorado Usando los valores x^ = 2.526710, f{x \) = 0.017141 y/ ' ( * 1) = 0.8 3 68 4 9 , a partir de la ecuación g'52 se obtiene x2 = 2.506227; error + 0.000036. Con jr2 el cero tiene un error de 0.000036.
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Teoría de ecuaciones
r±'7
Solución aproximada de cualquier ecuación
*
METODO DE APROXIMACION DE LA SECANTE Se sustituye la derivada f'( x ) del método de Newton por el cociente diferencial: dos puntos adyacentes, f[x 0) y/(jri), se unen por medio de una recta. Debe determi narse el valor * 2 en la intersección de esa recta con el eje x\ x2 es la primera aproxi mación al cero n0 requerido. g'60
*2 = * 1
~ / ( * i)
*1 -*0 /te )-/te )
En el siguiente paso se une/(x,) conflx?). La intersección de esta recta con el eje x es la siguiente aproximación. Regla general de iteración: * = 1 ,2 ,.. / ( * k) * / ( x k_,)
g'61
Comentario: Con frecuencia se puede obtener una convergencia especial mente rápida cuando se usan alternadamente los métodos de la secante y de Newton. Convergencia: Localmente convergente. g'62 g'63
Ejem plo:/(x) = x ■Ig x - 1; x 0 = 4; x , = 3. / ( x 0) = 1 .4 0 82 4 0 ;
/ ( x , ) = 0.431 364.
1* aproximación:x2 = 3 — 0.431 364(3 —4)/(0.431 364 —1.408 240) = 2 .5 5 8 4 2 5 .
g'64
Error
/ ( x 2) = 0 .0 4 3 768
2* aproximación calculada con x , , x 2, / ( x , )
y
/ ( x 2):
g'65
x3 - 2.558 425 - 0.043 768 (2.558 425 - 3) / (0.043 768 - 0.431 364)
g'66
Error
= 2 .5 0 8 562 / ( x 3) = 0.001 982 .
En lugar de continuar con el método de la secante, se puede aplicar aho ra el método de Newton: g'67 g'68
Por esta razón se debe calcular/ '( x 2) : / '( x ) = log x + log (e) / ' ( x 2) = Ig (2 .5 5 8 4 25 ) + 0 .4 3 4 2 9 4 = 0 .8 4 2 2 6 7
g’69
* 3 * = *2 - / t e ) //■ t e ) = 2.558425 - 0.043 768/0.842 267 = 2.506 460.
g'70
Error: ./fo*) = 0.000230. -r3* produce un error menor que -r3l el cual se determinó usando sólo el método de la secante.
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Teoría de ecuaciones
G's
Solución aproximada de cualquier ecuación
METODO DE APROXIMACION POR INTERPOLACION LINEAL. REGLA FALSA O REGULA FALSI Se escogen dos valores, xo y xi, de tal v modo que/(x0) y /(x i) tengan signos dis tintos. Entre esos dos puntos debe existir cuando menos un cero n0. La intersec ción de la recta que pasa por A xo) y /(x i) con el eje x es la primera aproximación x2. Para determinar el valor mejorado x 3 , se traza una recta poryfo) y uno de los pun tos que se usaron antes,/(x0) oA x \), y se calcula la intersección de esta recta con el eje x. ¡Siempre se debe usar el último de los puntos anteriores que tenga signo distinto al de/(x2)! g'71
Se debe cumplir que f[x 2) ’ A xi) < 0 o bien f{x 2) ’ A xo) < °Regla general:
g'72
*k + i = *k - / ( * k) • 7 7T T
f M ~ f(x¡)
O S / S H
f M * f(x¡) Aquí,) es el valor máximo menor que k para el que es válido
A * 2 ) -A * 1) < 0. Convergencia: Siempre convergente. g'73
Ejemplo :A X) =
g'74
en este caso se cumple que/(xo) 'A * 1) < 0-
g'75 g'76 g'77 g'78 g'79
g'80 g'81
• log x - 1 ; elección de x0 = 1, conexo) = -1 y X! = 3 con/txì) = +0.431364
x¡ — - f M
£ l -X p
•3 - 0.431 3 64
/(* ,)- f M
3-1 0.431 3 6 4 + 1
■ 2.397269;
y(x2) = 2.397269 • log 2.397269 - 1 = - 0.089717. Este valor representa la exactitud con la que x2 se aproxima al cero. Puesto que/(x2) 'A x 1) < Ia recta se traza pasando por/(x2) y /(x i). La intersección de esta recta con el eje x es:
*3 - *2 - f ^ f ( x l ) - f \ x , ) “ 2-501 044; f{X í) " ~ 0 004 281 Puesto q u e /to ) */(x2) > 0 p e ro /fo ) 'Ax 1) < 0, se traza la recta que pasa p o r/fo ) y A x i)- La intersección de esta recta con el eje x es:
X* - X3 - f(x3) ■ * 3 - * i f M - /(* 1) f(xt) - - 0 .0 0 0 1 9 7 5.
2.505947
Para obtener una mayor exactitud, se tiene que calcular la intersección de la recta que pasa por f[x4) y f{x 1) con el eje x. Dado q u e /fo ) 'A x 3) > 0 yA xa) ’ A x2) > 0, no se pueden usar los valores d e /fo ) yAxz).
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E lem en tos de m áq u in as
0'1
Engranes con dientes de evolvente ENGRANES CON DIENTES DE EVOLVENTE Geom etría de engranes cilindricos rectos o'1
Razón de engrane
o'2
Coeficiente de transmisión
u = —
. Wa = «a__ nb
(O t
za
Coeficiente de transmisión de engranes múltiples o'3 o'4
.
11 • ¿|| • ¿m •
tot Función de evolvente
in v a
=
ta n a
a
E squem a de la trayectoria transversal de co nta cto (Véase IS O /R 1122)
P
A re a d e l fla n co
Si A y E no quedan entre 7i y T2, ha brá interferencia y se deberán usar engranes “modificados” como los de 0 '3 . 1) Negativo para engranes externos porque la rotación es opuesta. Positi vo para engranes internos. En gene ral se puede omitir el signo. Engranes normales de acuerdo con DIN 867 rectos helicoidales o'5 o'6 o'7
paso normal p
-
ji • d z
Pn -
o'8 o'9 o'10
módulo normal =
2. c. K
=
m n -n m n • Ji
Px
fmf i
módulo circular
=
m -7 i
paso circular
m "
d —
cos ß
=
Z
m< _
0'11
adendo
ha
~
h ap
=
m
o'12
dedendo
/if
=
/ifp
=
m
o'13
claro en el fondo
= 2 ‘ C0S P m " COS ß
~
á Z
+ c
c = (0.1 .. 0.4) m « 0 .2 • m (Continúa en Q'2)
Véanse los subíndices en Q'6 y los símbolos en Q'9
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Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
0 '2
Engranes normales rectos o'14/15
diámetro de paso
o'16
diámetro de adendo
o'17
diámetro de dedendo
o'18
ángulo de presión
d
a
eos /3
da
d+2-Aa
di
d - 2 - h,
o'22
= mt •z
= a n = «t = a p tan a n tan a , = ------- g 1 cos ß
o'19 o'20/21
helicoidales
=
= m •z
diámetro de la base
d b = d ■cos a
d b = d - cos a , 1
~n ‘ cos2f t , ■cos ß
Núm. equivalente de dientes
ver tabla en DIN 3960 z cos
o'23 Núm. min. de dientes o'24
o'25/26 o'27
Para evitar teoría socavamiento producido por herramienta de talla práctica
2 Zq --------« 1 7 9 sen¿ a + para a P = 20°
V
29
2gs' Ä 14
14
extensión
=
17
c o s 3ß
= b - tan I p I Tren de engranes normal rectos
o'28/29 o'30
o'31/32
distancia entre centros ad longitud del arco de contacto (longitud total)
transversal
o'33
razón de traslape
o'34
razón de contacto
<¡, + ¿2 2
helicoidales ,„21+^2 n d i+ d i m 21 + oa 2 2 " 2 cosß
9a = \
22
12 ~ db12 + V da22 - ¿b22 -
- (db , + db2 )-ta n « t ) | c
a
p -c o s a
£ °
Qa Px ■cos a ,
£f>
i> -s e n l0 l m „ ■Ji
ey = ea + eß (Continúa en 0'3)
Véanse los subindices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas 0
Engranes con dientes de evolvente
' 3
Engranes modificados rectos helicoidales P>
P n<
P \<
m , m „, m ,, o'35/36 o'37/38
o'39/40
o'41
Z, d,
Zn db
ver engranes normales x ■m
desplazamiento del perfil =
xm „
z-s e n 2 a 2
-*min
z -s e n 2 a , 2 ■ cos ß Aa0- Pao (1 - sen a n) mn
-fmín “
para evitar interferencia
!
. fcao ■Pao (1 - sen a) 0) ' m ® u puede ser hasta 0.17 mm O o O F 14 - (z/COS30) para evitar co (0 |= x = 14- z •*17 17 interferencia ’ N Q. para obtener deter ev a,) V) e d i x ix
1
(zi + Z2 ) - m x eos crw t = ■ - p - — 1 • eos a t
o'42
a *, calculado de
o'43
o bien
o'44
distancia entre centros
o'45
coeficiente de modifica ción de adendo
k * m n= a - ad - m n ■ (x, + X 2) 2)
o'46
adendo
o'47
dedendo
K = K p + *-m n + k* ■ hf = A,p - x m „
evo»,
= ev« ., 2 3
3
o'48
diámetro externo
da = d + 2 h a
o'49
diámetro de dedendo
df = d - 2 • h,
o'50
longitud del arco de contacto
o'51/52
razón de contacto transversal
o'53
razón de traslape
o'54
razón de contacto
9a
=
\
• ta n a n
z; + 4
C0S “ • d eos a * ,
[y < ¿ a 1 2 - d b1
2+V
da22 ~ d b22 -
- (d b i + d b?) ■t a n a * , fa =
9 a '( P
■c o s a )
]
= P a /(P t ' COSOt) Ey =
b•s e n |ß |/(m „-ji)
+fp
Si se desconocen datos de la herramienta, supóngase ctp = 20°. Observe el signo. Con engranes externos, k x mn < 0! Cuando k < 0.1 se puede evitar la modificación del adendo. Véanse los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas Q '* Engranes con dientes de evolvente
^
DISEÑO DE ENGRANES CILINDRICOS RECTOS Las dimensiones dependen de la capacidad de carga del dedendo del diente la capacidad de carga del flanco del diente que se deben cumplir en forma independiente. El diseño del engrane se comprueba de acuerdo con DIN 3990. Mediante conversión y agrupación de varios factores, es posible obtener algunas fór mulas aproximadas a partir de la norma DIN 3990. Capacidad de carga del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad S f para el caso de falla del pie del diente por fatiga: o’55
SF -
g F Ifm -^ S T
•
ka
l^ r e lT - ^ R r e lT • ^ X
• x v • K fa • x Fp • y Fa • y Sa • r t • y p
= ^Fs Se suponen las siguientes simplificaciones: (K Fa. y e. Y p ) ~ 1;
^ st _ 2;
Y NT ~
1;
( ^ ó r e lT * * W l T ‘ ^ x ) _
o'56
b
(^A ‘ * y ) ‘ ^FB ' ^Fs ^F rr 2 • a F |ím
YFs : factor de forma del diente para engrane externo (ver diagrama) 0'5 7
o'58 o'59
K a - Kv = 1 . . . 3, normal mente (considerando choque externo e irre gularidades que so brepasen al par nomi nal, fuerzas dinámi cas internas adiciona les causadas por erro res de dientes y la ve locidad circunferen cial).
SFmín = 1.7 (valor guía) o Fiím
z0
: ver tabla de valores guía en 0 '5 (Continúa en 0 '5 )
Véanse los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elem entos de m áquinas
Q V
Engranes con dientes de evolvente
^
Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad Sh en el caso de corrosión: frH lím • ZnT • (¿ L ' Zy ' Z r ) *
^F -
^
’ ZX
ZSu
’• Z h - Z e - z e - z p - V k a - k , - k h
En los metales, el factor de elasticidad Z e se simplifica a: Z E - V o .1 7 5 -£ donde E = ^ £ | v £1 + £ 2 Por consiguiente, se obtiene la siguiente fórmula aproximada:
0 .1 7 5 -£ c o s / 3
i Zh-Z£-y /ÍH o -V ^ A ’ /fy • V^HP Sh mfn (Z L • Z v • Z fí) • (Z^r • Z w • Z x) aH |ím vero'66 —1 válido sólo para otn = 20°
Valores aproxim ados de resistencia (Diagramas en DIN 3990, parte 5)
hierro colado acero al carbón acero aleado ASCH: acero aleado cementado
(Continúa en 0 '6 )
Z H para a n = 20°
ángulo entre ejes para engranes helicoidales (cilindro de paso)
ver capacidad de carga del dedendo del diente (o'57) 5Hmín - 1.2 (valor guía) o Hiínv ver tablas de valores aproximados Z h: factor de zona (ver diagrama) (Zl • Zv • Z r) « 0.85 para dientes tallados o desbastados = 0.92 para dientes rectificados o tallados con altura ____________ promedio de cresta a valle/?z1 oo < 4 pm._________ K a ' K \j \
o'63 o'64 o'65 o'66
Véanse los subíndices en Q'6 y los símbolos en Q'9
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Elementos de máquinas Engranes con dientes de evolvente
O 'e
En o'56, o'60 y o'62 se deben conocer b o b y d. Las razones siguientes son estimativas y se deben usar en cálculos preliminares: Dim ensiones del piñón di de je1
O bien: a partir de la relación de engrane i y una distancia piñón con eje integral 1.2 . . . 1.5 a especificada entre cen tros (ver o'28-29-44) piñón de rotación libre sobre el eje 2
Ya sea: 67 68
Razones de ancho de diente b_ m
Calidad de dientes y cojinetes
b d-\
69
dientes bien colados o cortados con soplete
70
dientes maquinados; cojinetes a cada lado, en construcción de acero, o piñón en voladizo
71
dientes bien maquinados; cojinetes soportados a cada lado en la caja del engrane
1 5 . . . 25
72
dientes con talla de precisión; buenos cojinetes a ambos lados y lubricación en la caja del engrane: n^ < 50 s-t
20 . . . 40
73
engrane en voladizo
<. 0.7
74
totalmente soportado
< 1.5
6 . . . 10 ( 6 ) . . . 1 0 . . . 15
Subíndices para O 'l a 0 '8 a : engrane conductor b : engrane conducido m : mitad de diente en engranes cónicos n : normal 0 : herramienta t : tangencial v : en cono posterior (o engrane cilindrico virtual) 1 : engrane menor o piñón 2 : engrane mayor Véanse los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas Q ' 7 Engranes cónicos
*
ENGRANES CONICOS Geom etría de engranes cónicos Se aplican las ecuaciones o'1 a o'3, y también:
R e,
ángulo S del cono: o'75
tan
senI
o'76 o'77 o'78
,an<52
COS L + 1 /u ’
( I = 90° => tan ó2 = u)
C o n o p o s te r io r S ó lo s e m u e s tra n la s
o'79
fu e rz a s a x ia le s y ra d ia le s q u e
o'80
distancia del
a c tú a n s o b re e l p iñ ó n 1
y
sen 8
Del desarrollo del cono posterior para examinar las condiciones de en grane y para determinar la capacidad de carga se obtiene el engrane ci lindrico virtual (subíndice “v” = virtual) con los valores:
o'81
engrane cónico recto
I
Zv
z eos 6
I I
Zv2 “ z »1
I
dm
cos ó
Las fórmulas o'7 y o'10 a o'15 también se pueden aplicar a la superficie del cono posterior (subíndice “e"). Diseño de engranes cónicos El diseño se basa en el PUNTO MEDIO DEL ANCHO b (subíndice “m”) con los valores: o'82/83 o'84/85
—
2
2 • R m • sen ó
Fm
2 7 dm (Continúa en 0 '8 )
Véanse los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas Engranes cónicos
®
Fuerzas axial y radial en el engrane o'86
fuerza axial
Fa = Fmt • tan a • sen 8
o'87
fuerza radial
Fr = Fmt • tan a • eos 5
Capacidad de carga de la raíz del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad Sf respecto a falla de la raíz del diente por fatiga: o'88
S
=
PFIfm* ■
If- ~ ■Y b e F • m mn
^ST' ^ ó re lT ' ^RrelT*
fs
^
* V > V ( * A ■K , ■K f a ■K f f J
~
Fmín
Con excepción de V s t , se determinan los factores Y para engranajes rec tos virtuales (subíndice “v"). Resulta la fórmula aproximada: v e r o'9 4
o'89
mmn a
^ ■ Y Fs - Y t - K F a - Y K - ( K ¿ - K S K ^ - r — °e F
o'90
>— ,-----
^
's r l'ó r e lT '
lím 'R re lT r X r a Ffcn
Í8 5 Í ~ 1 5=1 "T" ¡T i 7 V f s : Sustituir la cantidad de dientes del engrane recto complementario zv. Así, la gráfica para engranes rectos de la página 0 '4 también se puede aplicar a engranes cónicos. Ver todos los demás datos en o'57 a o'59. Capacidad de carga del flanco del diente (cálculo aproximado) Factor de seguridad Sh en el caso de corrosión de la superficie del diente. r
<7h lim * ( Z l * Z v • Z r ) ' Z = =
V~
^ o ^ o H mfn
x
Para los metales, el factor Z e se simplifica como sigue: o'92
Z E - V o .1 7 5 E V
con
£
-
2 ¿1 ' ¿2 £, + £2
Obteniéndose la fórmula aproximada: v e r o '9 5 =
o'93
¿m1 >
J 2-Tv*>*h
V
í>eH 0.85-6
o'94
o'95
1
= 1
v e r o'9 4
Q 1 7 5 £ ZH ^ K -ZeV^H g-V^A’ ^ v ’ V^HB'^Hmín,
“v
’
(ZL-Zy-Z^-Zx-aHIfm v e r o '6 6
*
1
Knp = Kfp = 1.65 para piñón y engrane totalmente soportados * 1.88 para un elemento totalmente soportado y otro en voladizo * 2.25 para piñón y engrane en voladizo Zh: ver diagrama para Zh (página 0'5); sólo es válido para (xi + X2)(zi + Z2) con (3 = p m. Z h = 2.495 para a = 20° y engranes normales o modificados. Véanse todos los demás datos en o'63 a o'66 Véase los subíndices en 0 '6 y los símbolos en 0 '9
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Elementos de máquinas Engranes, trenes de engranes Notación para páginas O 'l a 0 '8 (ver subíndices en 0 '6 ) a : distancia entre centros (a
Cálculos exactos para engranes rectos y cónicos: DIN 3990. Términos y
engranes y trenes de engranes rectos DIN 3960
definiciones
engranes y trenes de engranes cónicos DIN 3971
para
engranes de gusano recto
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DIN 3975
o BS 2519
Análisis de esfuerzos p \ Acciones combinadas Estado de esfuerzo en tres dimensiones La configuración general de los esfuerzos puede sustituirse por los:
Esfuerzos principales a1f o2, o3 que son las soluciones de la ecuación
p'1 p'2 P
3
P
4
ó3 - R C2 + S ó - T = 0 donde
R -
6* ♦ 6y +
S = Óx Óy ♦ ó y ■Ó / ♦ 6z • Ó, - TXy - T y} ~ T„ 2 T = ÓjtÓyÓz
2 .T Xy X y Z T 2X~ ó*
7/z2" 6 / T j x ' ^ z ^ x y
La ecuación cúbica se resuelve como sigue: La fórmula p'1 se iguala a y (en vez de a 0), y así y = f ( o ) se gráfica. Los puntos de intersección con el eje o línea cero dan la solución.Tales valores se sustituyen en p'1 y se obtienen valores más exactos por en sayo e interpolación. El caso en que a, > o2 > o3 da el esfuerzo cortante máximo P
7-max = 0.5 «7! - <73).
5
Flexión y torsión en ejes o árboles de sección circular Según la teoría de la energía máxima de deformación: p'6
Esfuerzo equivalente:
6 f (perm .)
Momento equivalente: Para determinar el diámetro del eje se calcula el módulo de sección s necesa rio a partir de P'7
°f(perm.)
a, t, M T a0
: : : :
esfuerzo flexional de tensión esfuerzo cortante torsional momento flexionante (o flector) momento torsionante (o torsor) se calcula según P'2
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Según la en ergía máxima de deformac ón para esfuerzo normal esfuerzo cortante esfuerzo equivalente Estado de esfuerzo tridimensional
ó, > 0 :
ó„/v = 6 , = óma,
Compr. ó3 < 0 :
( 5 ^ = 63 = ómm
Tens.
ó .rv — ó . — ómáx
<3, ^ 0 .
óvS -
ó2) !
= V ó ,2 + Ó 22 “ Ó, -Ó2 = Vó22+ 6 /2-Ó y 6 y + 3 (a o T ")2
para o yt
(r
desi guales
_
ó p e rm . i> T ’p e rm J »
ó l(m.
«.
T Um.l»
Tipo de acción Aplica y ción material
^
J
M
H. '«I II. Ill
Fractura seca
a0
1
2 -rperm.i, ii, ni A lm . 1.
II.
1"
2-rum.l. II. III
=
1
Ó p e r m . I. H* IH
1 .7 3
r perm.i. ii. ni 1. I'. "I r „ m.i. 11. ni
ó Km.
1.73
Compresión de materia Todo esfuerzo de materiales dúctiles: les frágiles y dúctiles. acero fundido, Tensión, flexión y tor forjado y laminado; sión de acero con punto aluminio, bronce de fluencia bien definido
Tensión, flexión, torsión de materiales frágiles: hierro fundido, vidrio, piedra
Falla esperada
=
ó p e r m . I» H» IH
^
actura con desgarre, fluena, deformación acentuada.
*)Dan la mejor concordancia con los resultados de prueba °»m. Tiim son valores típicos para los materiales.
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Fractura seca, con desgarre, separación permanente; a,,
c o m b in a d a s
1, I I , III
«0
CO
is de esfuerzos
= y ( ó z - 6/ ) 2+ * ( « o r ) 2'
ó^a/ = ó 2 = ómin
«0 = 1
Cargas
£ >
2 7 m á x *6 |“* 6 2
=0.5 [ ( ó ^ ó p - V í ó j - ó ^ + M a o - r f Iguales
> 3
+
+ ( Ó 2 - ó 3) 2+(Ó3 - ó, )2]'
= 0 .5 [ (ó ?* ó ,) + y ( ó z - ó ,) J+ A (a o 'r )2'] 6vS = Compr. ó 2 < 0 :
2 7máx = ói ~ 63
ó . = V o ,5 [(6 , -
:ciones
Estado de esfuerzo tridimensional
Tens.
"0 10"
Análisis de esfuerzos D a to s d e s e c c io n e s tra n s v e rs a le s M o m e n to s d e in e rc ia / y m ó d u lo s d e s e c c ió n S Para la posición del centroide C (y el eje neutro) véase K 7, Parte I IK e ly (valores mínimos) b -h *
p8 P
S„ y SK (valores mínimos) Sx
12
=
b fe3
9
b b3
6
l- '.K ,
b b2
I
’ ir i
12
7r- d 4
p'10
64 7 p rf3 32
S,
=
p'11 32’
P 12
Sección transversal (área A)
p'13 7T O
6 ]
S,
4 tr-g 3 b
p'15 p'16
=
D‘' - d ‘' 10 D
Sx = = Sy = =
J , = A, = 0 .0 6 0 1 4 s‘ = 0 .5 4 1 2
p'14
D
10
Sj,
0 .1 2 0 3 • s3 0 .6 2 5 0 R3 0 .1 0 4 2 s 3 0 .5 4 1 3 'tf* ir a b ! = 4 ir a 1 b b -b 2 24
b b3 36
lx y S, corresponden también a un triángulo irregular P
17
p'18 p'19 p'20
b3-b 48 b 3 ( a + b ) ¿+ 2 a b * 36 o + b b 2g + b em i* = '5 ' T^~ 3 a ♦ fc _ /i a ♦ 2 6 gm/n a + b
I,
=
Sy=
b1 b 24
Sx = b 2 ( g + b ) 2+ 2gb 12' 2g + b Eje centroidal
Teorema de Steiner: (Para valores de / con res pecto a dos ejes paralelos; uno es centroidal, x) P 21
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-
Análisis de esfuerzos p^. Vigas - Cargas y deflexiones Viga de sección transversal uniforme Ecuación de la curva elástica Lo siguiente se aplica a cada tramo de la viga:
/O ; !
a
" b
E J X- y '( z )
p'24
E - I x • y '( 2 ) = - j l / l b(z )(iz *■ Ct
y
~ Mb(z)
E I x y ( z ) = - j j Mb (z) d z d z ♦
p'25 p'26
-
C, • z
C2
9 : Radio de curvatura de la elástica en el sitio z y ' ( z ) = ta n
y '( z ) ,
=
0. En el empotramiento de una viga en voladizo y en punto medio de una viga con carga simétrica. = y ' ( z ) , + , . En la unión entre los tramos i e (1 + 1)
Energía de deformación U a la flexión Para una viga de longitud / z = / P 27
Ul -
fz; 1 ÍM b*(z) dz 2 J~£~JT z =0
r " i F'
A
; ""
Para una viga continua: (n tramos)
L
L
Z,=/i p'28
Mbl lz )
','"1 M 2 £\J I z\ - 0 "
¡n
F '
d z,
♦
. .
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-
B 1
Acciones en los apoyos
Tipo de carga
f e
Elástica y deflexión "Pendiente,~tán~» - V
Mom. máx. en el punto (...)
f
-1
(a)
Defle xlones
^ =¡ r £ ( 2- 3f +£) y, te,;
t«x= F - f FS ± .£
B
(C ) y2te2;
t"a= ' ’ T
ta n f A
*7
ta n p g
Nota: a >b Pí
fflx = A- - Rb
w = r I± b .a b Nota: a > 6
0,171P £ (C ) -0.171A-Z (A )
F l s a b2 z, (. = 6E l ' l " V i V
~
I b
2 ,z \ abj
yc
a
a bj
ym -
_
6E l
l
l2 l \
-fcK )
ym
Ve
n
r w
3EI l2 l2
l+ b l/iT F Vcjj, ]/ JQ
en el sitio 1/ '
l +b
(-4 )
6E I V r b i3 f
, Z\ l
2 j3)
VJ
F a2 z¡ 2E I
14
? 4 ( z‘ 4 +4 ) ‘
SFS 6 íJ F ¿b 2 E l
- M A l:lf:3
ta n y fl= F é b / { k E I l )
b5-----------(A ) yite,; t R x = f ^ ( 3 - 2 |) -A -a fr t « e = ^ ( 3- 2 f) (HA = F a b 2/ l 2
Nota: a < b
(A ) V ,te,;
cuando y ¡te 2; 6 = 0 ,4 1 4 £ :
C
■l
*A
r i3 3C I
Vm
("A= F - i
yc. an C ym, máx.
(AT£= P í >oV i 2
-Fbf
_ 2FV tP a> / £ V '">■ 3£7 T ‘ 'V\2b^lJ = 6 l7 7 -(W ' 3z,3+2' M Vm en el sitio A* a 2 ^3bi22-3a23+2 7 *2j) , _ 2 ¡ b (B ) y¡te2; 6CJ £2 Zí " S b T T
2^17777 (c)
ta n ^ = t a n y>s = 0
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Ve =
3£ J
£3
Tipo de carga
Acciones en los apoyos
Elástica y deflexión_ Pendiente, tan = y'
Mom. máx. en el punto (. . .) -F - a
(B )
9a
¡'
(A )
F a l 2( z J
Defini ciones
z]
y,(¿ ,)
V m ,~ ' ( > E I \ t 3 ' I, F (2 a I z 2+ 3 a z 23- z 23) jím y2(z¡j b E l z¡ = /•g ¡ F a l tany>_,= ym2= '6 E l ^ 'T É l F a ta n j>c= (2 Z ♦ 3a) 6 £ I y (z )
yc. ©n C
ym, máx.
F a l2 - 9 / en el sitio 0 .5 7 7 1 ye = f a* ( l ♦ a) 3 £■/
=
9 *4 8 £* /
-
5 q t> 384 E I
ym
o
ta n ^ , r ^ %
* consí.
T
yW
=
_ 24 J 7
tfÍB =
*4 ?
(A )
1
ffl„ = * ¡ / 2 t f l s= » . 1 / 2 * ÍV 1 2 I V
2 tj _ _¡3/
y«
Í#A = 'g * i 2
w
2 - + —)
12
1/fzJ ta n ( C) /
ym
185 E I
Jim
i3 ta n a = _ a 8 48 £ /
t flS = ■g» 1
iH B =
j] _
_ 2 .¡3
ta n (P,
r
- J o 0,4215-íh , r*“
(C )
-
7 li
Vm en el sitio z = O .A 2 1 5 - i (?^- - 2 - + — 1
2 4 _V ta n
i 3 IV
Vm
=
7 t*
384 £ f
0
Las expresiones para y y ym no consideran el efecto del cortante
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o>'
Análisis de esfuerzos p '7 Vigas hiperestáticas Conversión a isostática - cálculo de reacciones Una viga hiperestática (o indeterminada estáticamente) (Fig. 1) se convierte en una isostástica o determinada (Fig. 2) sustituyendo un apoyo por su reacción (flc , en la Fig. 2).
Fig. 1
jm
^P
La isostática se considera formada por dos subsistemas componentes (I y II). Se calculan las deflexiones en el punto o apoyo de hiperestaticidad (véase P'4 a P'6) para cada subsistema, en función de ReComo no puede ocurrir deflexión real en el apoyo C. M
■ M
íS b
Se evalúa entonces Rc y luego las de más reacciones en los apoyos. Resolución de vigas hiperestáticas, simples Sistema hiperestático
Sistema isostático
F’ C
Subsistema 1
4
Fi
F,
F,
i ¡Fc
à
a 8
Subsistema II
A
9
t Fc
A
yc i
A
B
F’ c ¿
■
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4
I e í
i
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• w' Id
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8 >C1
---------------
¡ ; : Reacciones y momentos en apoyos hiperestáticos.
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'U' "* ~~T V4 C| Ma j
" stf'. B ^'
Maquinaria y elementos
Q i
Ejes y árboles Ejes y árboles (cálculo aproximado) Estabilidad
Mód. de secc. a la flexión requerido ( Sf )
Ejes
111
q'1 q'2
fijos1>
q3
rotatorios
A
M
9 -
Arboles
Ofperm.
Mód. de secc. a la torsión requerido (Sf) (polar)
P ili
Torsión pura
q4 q5
Torsión Flexión
q6
Esfuerzo permisible a la flexión2)
Diámetro de eje macizo circular (S, = d3/10)
_ ^
T T'tpem,
ób Sch
0fpern,_ ( 3 . . . 5 )
d - } / '0 " ' _ f ófperm. X fpenT,~ Diámetro de árbol macizo (S, - c/ 3/5)
ó alt
(3...5)
Esfuerzo permisible a la tensión2)
r Tt Sch d - 1 / 5 - T ' tpem,_ ( 3 . . . 5 ) j_ Tt Sch 1 r tpm,. tpem,~ ( 10...1 5)
Presión de contacto (aplastamiento) (p) En muñón lón J Pm '
el I
q'7
(véase Z'4) Cortante debido a carga transversal: Cálculo innecesario cuando Para elementos de sección circular (rotatorios) f > d/ 4 Para elementos de sección rectangular (barras fijas) t > 0.325 h. Deformación por flexión véase P'5 por torsión véase P 7 (Parte I) Vibraciones, véase M 6 (Parte I) ” Para las clases de carga constante (I) y pulsante (II) (véase P 1, Parte I) y perfiles simples (I, □). 2)
Ofperm. y Tt pem_ consideran los factores de concentración, rugosidad, tamaño, seguridad y combinación de acciones. además el momento flexionante. En t¡ pi
/: distancia de la fuerza F M, T : momento flexionante, momento torsionante Pm : esfuerzo de contacto o aplastamiento (para pperm.véase Z'4) Pmax : véase q'17; para otros casos véase Z'4. puls : condición pulsante (véase P 1, Parte I) a lt : condición alternante (véase P 1, Parte I).
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Maquinaria y elementos q ' 2 Uniones de ejes Uniones de pasador Unión de abrazadera
Junta ideal sin demasiada rigidez Unión de cono Q9
conicidad 1 : x -
{D -
d)
:
l
De cuña plana (cálculo aproximado) El cálculo se basa en la presión de contacto o aplastamiento sobre la cara de la cuña (o chaveta) en el material de menor resistencia. Tomando en cuenta la curvatura del eje o árbol y el redondeo r1t la altura efectiva del elemento puede considerarse aproximadamente como fe.
(continúa en Q'3) El significado de los símbolos está en Q'3.
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Maquinaria y elementos q ' 3 Uniones de ejes (Continuación de Q'2) De rebordes múltiples nara aia
Rohnrrio rio P/P
D + d 2
q'14
q 15
i
2 7 dm • h ■f ■ n ■pperm
q'13
h
=
D 2 d - g - k
2
La carga no se reparte equitativamente entre las ranuras y los rebor des, de modo que hay que aplicar un factor de ajuste f : Elemento Reborde en eje Ranura en cubo
0.75 0.9
Dimensiones del cubo Se utiliza el diagrama de configuración de uniones ranuradas de Q'4. Ejemplo: Determinar la longitud L y el espesor radial s de un cubo para eje que transmitirá un momento de rotación de 3000 N • m, hecho de acero colado y con ranura para cuña plana. 1. Se elige el intervalo apropiado según el tipo de unión “long. cubo L, AC/AN: grupo e” y se siguen las líneas de “e” hasta cortar la vertical en el punto base de 3000 N • m. Resultado: L = (110 ... 140 mm), leído en la escala de L, s. 2. Se selecciona el intervalo apropiado según el tipo de unión ‘‘esp. radial s, AC, AN: grupo / ” , y se siguen las líneas de *7” hasta que se logre cortar la vertical en el punto base de 3000 N • m. Resultado: s - (43...56) mm, leído en la escala de L, s. Fn : Fuerza normal en la superficie de contacto / : Longitud efectiva de la unión n : Número de ranuras : Coeficiente de fricción (o rozamiento) deslizante v : Factor de seguridad íp : Angulo de fricción (íp = tan-1 p) Pperm : Presión de contacto (aplastamiento) permisible. Para cálculo aproximado: Material
Pperm
HC (hierro colado) (gris) AC (acero colado), AN (acero común)
N/m m 2
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(en casos especiales, se usan valores mayores)
LU l u
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Maquinaria y elementos q ' 5 Cojinetes de deslizamiento Cojinete de deslizamiento (chumacera) Lubricación hidrodinámica entre el muñón y el cojinete La operación correcta es a temperaturas no excesivas y sin un des gaste notable. Es de cir, con la separación permanente por pelícu la de aceite lubricante entre muñón y cojinete.
Aceite
Distribución transversal y longitudinal de la presión
Relación anchura a diámetro B/D
- B /D 2.0
0,5
| y ////////y . Motores de automóvil o avión
Bombas máquinas herra mienta, engrana jes
__L
Equipos y disposi tivos marinos, turbinas de vapor
y }//}//}/ Lubrica ción con grasa
Propiedades generales Chumaceras cortas
Chumaceras largas
Gran caída de presión en cada ex tremo; por tanto, enfriamiento efi caz; con flujo de aceite adecuado. Excelente para altas velocidades de rotación. Baja capacidad de carga con bajas velocidades rotacionales.
Baja caída de presión en cada extremo; por tanto, alta capacidad de carga, con velocidades de rotación no ele vadas. Enfriamiento deficiente. Ex ceso posible de carga en bordes.
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(continúa en Q'6)
Maquinaria y elementos Cojinetes de deslizamiento
Q'6
(Continuación de Q'5) Presión de contacto (aplastamiento) P. p máx
q'16
media
q 17
máxima
Pre sión de con tacto
P
F D 'B
Pmax < J
6 dF
La presión máxima depende princi palmente del espesor relativo de la capa de lubricante. El diagrama muestra la razón de la presión máxima a la presión media (Pmáx/ P) función del espesor re lativo de la película lubricante.
Holgura absoluta s y relativa y en la chumacera q'18
s
= D -
d
;
y/ = s / D
y es básicamente la holgura que se produce durante el funcionamiento (incluyendo la dilatación térmica y la deformación elástica). q'19
Valores típicos xp = (0,3 . . . 1 . . . 3) 10-3 Criterios para la selección de y Valor inferior
Características Material del cojinete: Viscosidad: Velocidad periférica: Presión de contacto: Relación ancho/diám: Apoyo: q'20 Q 21 q'22
suave (p. ej. metal blanco) relativamente baja relativamente baja relativamente alta BID < 0.8 autoalineante
Valores mínimos para plásticos metales sinterizados i) para chumaceras lubricadas con grasa
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Valor superior duro (p. ej. bronce fosforado) relativamente alta relativamente alta relativamente baja BID > 0,8 rígido > ( 3 . . . 4) 10"3 > (1,5. . .2 ) 10"3 xp = ( 2 . . . 3) 10 3
M aquinaria y elem entos Embragues
Q
7
Guía para elemento deslizante La guía funciona suavemente sólo cuando q'23
ta n a <
l \ 2 h + l )•//
la siguiente relación q'24
l h
_
^ >
2 y ta n a 1 - /i ta n a
Si las condiciones anteriores para tan a no se satisfacen hay peligro de desviación y trabamiento.
Embragues de fricción Pérdida de energía y tiempo de deslizamiento E le m e n to im p u ls o r (m o to r )
A,
E m b ra g u e
E le m e n to im p u ls a d o (c a rg a )
II 11
rM, w,
h)
Tl ,
u>2
Un modelo simplificado con las siguientes condiciones basta para un cálculo aproximado: Aceleración del elemento impulsado d e u 2 = 0 a u 2 = u , . cd-i = const.; T l = const.; T s = const.> T L. Entonces por operación: q'25 q'26
Pérdida de energía Tiempo de deslizamiento
--saLYi + -O—}) —— 2 \ Ts - r LJ
Wv
= J 2- ^
tr
-
J i -^i Ts - T .
Cálculo de la superficie de fricción Embragues de placas planas Una | Dos Superficie(s) 1
Embragues Acción múltiple
ii
ili ili ili
cónico
cilindrico
/ - -
i
ii
'I1
'1' '1'
—
\
El número y el área de las superficies de fricción dependen de la presión de contacto permisible Pperm. y de la capacidad térmica permisible por unidad de área (conducción de calor) rm(continúa en Q'8). Significado de los símbolos en Q'9
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M aquinaria y elem entos
Q 'g
Embragues (Continuación de Q'7) Cálculo para presión de contacto p Para todos los tipos de superficies de fricción: 7s Pperm. Pdin '
Superficies de fricción
planas
Fuerza axial
Fa = A p para embra gues de placas múltiples r ta
Para un eje:
Tu
= 0 .6 ... 0 .8
cónicas
cilindricas
Fa = A p sen a
-
Condición ta n a > / W si no, habrá trabamiento
Ra = R¡ = Rm
= rs -
Calentamiento permisible: Para arranque con carga pesada la temperatura máxima se alcanza en una operación. Depende de la pérdida de energía, tiempo de deslizamiento, calor de conducción, calor específico y enfriamiento. Estas cantidades no pueden incorporarse en una fórmula general. En el caso de operación continua la temperatura constante se establece sólo después de varias operaciones. Hay valores empíricos de la conducción tér mica permisible por unidad de área, qperm. en la operación continua.
q'32
Potencia friccional:
q'33
Condición:
pf
=
wv ■z
i- A
>
Wy z Qperm.
Significado de los símbolos en Q'9.
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Maquinaria y elementos Q ' g Frenos y embragues Frenos de fricción Todos los embragues de fricción pueden corresponder a frenos de acción por rozamiento. (Véase también Q'7 y Q'8) Frenos de disco Con elementos auxiliares. Momento de frenado, TB:
Frenos de zapatas Se ilustra un dispositivo de acción simplex, indicando las fuerzas actuantes.
de entrada
de salida
Tambor del freno (sentido de rotación)
q'35 (Servoacción) Momento de frenado q 36
Tb =
Fn2)-H
R
Zapata de salida
(Para la acción de frenado de banda o cinta véase K 13, Parte I.) Símbolos para embragues y frenos de fricción A Area de la superficie de fricción Tb Momento de frenado Tl : Momento de la carga Tm : Momento del motor Ts : Momento de operación del embrague Ttr : Momento de transferencia del embrague R Radio de la superficie de fricción Rm, Ra, R¡ Radios medio, exterior o interior de la superficie Wy : Pérdida de energía por operación i Número de superficies de fricción j Número de elementos para disco z Frecuencia de operación (EU: s-1 ; h_1) n , /idjn , /xest Coeficiente de fricción, estática y dinámica ti) Velocidad de rotación (angular)
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Manufactura y procesos Maquinado y herramienta
p'., * *
■
Diseño de máquinas-herramienta: Consideraciones generales. Las componentes de máquinas que estarán sometidos a esfuerzos (ele mentos con superficies guías, piezas deslizantes, correderas husillos con cojinetes) se diseñan de modo que conserven una elevada exactitud o ajuste durante largo tiempo. Cuentan con amplias áreas de contacto o apoyo y son necesarios dispositivos para reemplazar las superficies desgastadas. La deformación máxima permisible en el filo o borde cortante (punta de for mación de la viruta) es de aproximadamente 0.03 mm. La fórmula r'4 da la fuerza de corte. Están disponibles elementos impulsores con velocidad de corte v = const. en todo el alcance de trabajo (diámetros máximo y mínimo de la herramienta o de la pieza) con velocidades de rotación (en rpm, r/min), en una gama que va en progresión geométrica: r'1
nk
=
n, p*~1
La razón progresiva p para las velocidades de rotación n, ... nk, para k ve locidades se evalúa por
Valores de p estandarizados: 1.12, 1.25, 1.4, 1.6, 2.0. 20/------
Serie básica R » de velocidades con p = v 10 = 1.12: 100, 112, 125, 140, 160, 180, 200, 224, 250, 280, 315, 355, 400, 450. 550, 630, 710, 800, 900, 1000,. . . r/min. Dispositivos de corte: Se designan por el número de ejes y las velocidades de salida. Ejemplo: Un equipo III/6 tiene 3 ejes y 6 velocidades. Se ilustra como sigue (para k - 6, p « 1.4, n, « 180, nk = 1000). Disposición de los elementos
Diagrama de escalas (simétricas) Diagrama de velocidades I
Los símbolos se explican en R '5.
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Manufactura y procesos p ' 2 ^
de rotación
Maquinado y herramienta
Los símbolos se explican en R'5.
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Los símbolos se explican en R’5.
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Manufactura y procesos Maquinado y herramienta
R
4
Impulsión Valores en progresión geométrica con
Torneado (long., exterior e interior)
r'16
Taladrado
u = n
r'17
Cepillado (común y de mesa)
r'18
Fresado, plano y de extremo
•
u =
V
u
s z -
=
Observaciones
(0
r'15
c ii a
Operación
sz
•
a
•
zs
Para brocas espirales = *s = 2 sz = 0.5 s
zs
Tiempos de corte fc r'19
(j
=
J i- ; u
donde
¡,
=
¡
+
i'.
Al calcular los tiempos de ciclo y maquinado para cada pieza trabajada, de ben considerarse los movimientos de avance o alimentación y los recorri dos libres (o un corte), divididos entre las velocidades correspondientes. Potencia y fuerza de avance r'20
Potencia de avance
+
Pu
^y)
Vmec ' leléc
r'21
Fuerza de avance
Fv
^
0.2 F,
( Fc según r'4)
r'22 donde mb es la masa de la pieza en movimiento; por ejemplo, en el caso de fresadoras, la suma de las masas de la pieza y de la mesa. Hay que determinar si la potencia calculada con r'20 es suficiente para ace lerar las partes móviles hasta la velocidad de movimiento rápido uM, dentro de un tiempo dado tb, (en las máquinas de producción uM = 0.2 m/s). De esta manera, se explica lo siguiente. 1
pv = Los símbolos se explican en R 5.
9
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Manufactura y procesos p ' 5 Maquinado y herramienta
u w
Explicación de la simbología (R'1 a R'4) a : profundidad b : ancho de viruta bw : ancho efectivo desbastado = BSH A alisado ¿>w = Bsl 3 B : ancho de fresado B), B2 : ancho de fresado medido desde el centro de la herra mienta Bs : ancho del disco d : diámetro del barreno cfw : diámetro de la pieza, exterior o interior D : diámetro de la herramienta Fr : rozamiento (o fricción) Fc : fuerza de corte Fv : fuerza de avance g : aceleración debida a la gravedad h : grosor de la viruta k : número de velocidades de salida kc\. v fuerza de corte básica en relación con el área K : factor de la operación (de maquinado) / : recorrido de corte /1 : recorrido de la pieza / ' : sobrerrecorrido en uno u otro extremos con velocidad de avance u z s : número de filos o bordes cortantes por herramienta
/k
: distancia de grano efectiva, según la Tabla 2 M c : momento de la fuerza de corte n : velocidad de rotación (r/min) n ! : velocidad mínima de salida n 2 ■ velocidad máxima de salida P c : potencia de corte Pv : potencia de avance (alimentación) s : avance s z : avance por filo f c : tiempo de aceleración f c : tiempo de corte u : velocidad de avance u M : velocidad de avance alta (movimiento rápido) v : velocidad de corte z e : número de filos en acción €s : relación de esbeltez ( = a is) i] eiéc : eficiencia eléctrica v mee : eficiencia mecánica 9 posición angular (ángulo de presentación) ¡i : coeficiente de rozamiento (fricción) a : ángulo en la punta de la broca P : razón progresiva 0 s : ángulo de ataque (en fresado o rectificado) HM : punta de carburo HSS : punta de acero rápida
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M anufactura y procesos p ' 6 Embutido y herramienta Labrado de lámina en frío - Embutido profundo Diámetro inicial de la pieza base
D = Vt 'X 7! A n
r
>4m, son las áreas superficiales de las piezas terminadas que pueden deter minarse con las fórmulas de las secciones B y C (Parte I): b 30, c 12, c 16, c 21, c 25, c 27 y c 30. Las áreas según los radios de transición para las operaciones de embutido y estampado se calculan como sigue:
r'2 5
A rrr
di r , + 4 ( * - 2 ) r , 2
Am=
(2 ti d* + 8 r s ) r s + J d*2
Ejemplo (Considérese que rs = rt D = y d A2+d 62- d 52+ 4 d ih +2
i
r(d,+d<.) + 4 7 irA ^
ti
Primera y segunda etapas
dk
1er. paso
- d
i
2o. paso
r'28
i
Fz\ = 7 id , s A ^ m )9>, ——
r'30 r'31 r'32 r'33
.
/ Pymáx = ^ o o + 0 ,1 - ( - | i 0.001 J
r'29
--------*-------d ,1 1
♦ ■c
,
-----------1--------r'27
| ln J /0 .6 /?,2- 0 .4 j
^— di
= — ' ml »>1
1— 1
di P 2máx = ^,o o +0 .1
.
.
0.001J
r z i = - 51 + Tid2s k fm 2
92 = Sin
A
_ tíl
Con
| ln j / o . 6 /922- 0 .4 |
recocido inter medio
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,, ir
Kfy + k f i
—
fm2~ 92
(Continúa en R'7)
M anufactura y procesos
p'7
Embutido y herramienta (Continuación de R'6 ) El trabajo específico de deformación (referido a la unidad de volumen) y la resistencia (o esfuerzo) de fluencia kf se obtiene a partir de las curvas de deformación para el valor apropiado de la relación de deformación lo garítmica 5. Fuerzas de sujeción de la pieza base F N1 y F N2 1er. Paso
2o. paso
r'34 El desgarre en el fondo ocurre si p
r'35
Fz^ + 0.1 Fw
P _ FZ2 + 0.1 Fn 2 71 02 s
n cf, s
r'36 Condiciones máximas de embutido, 0 y Rm Material
P100
Aceros: St 10 USt 12 USt 13 USt 14 St 37 Acero inox. (18% Cr, 9% Ni) Al Mg Si (suave)
Con Sin recocido intermedio P2méx P2máx
Rm N/mm2
1.7 1.8 1.9 2.0 1.7
1.2 1.2 1.25 1.3 -
1.5 1.6 1.65 1.7 -
390 360 350 340 410
2.0 2.05
1.2 1.4
1.8 1.9
600 150
Explicación de la simbologia (R'6 , R'7)
A
área de la superficie fuerzas de embutición, 1er. y 2o. pasos, resistencia de fluencia media, 1er. paso resistencia de fluencia media. 2o. paso resistencia de fluencia según 6, y 62 radio rs : radio del dado de estampado radio del dado de embutido ... trab. de deformación trab. de deformación especifico = -------------------------------------vol. del elem. deformado 01 , 02 ■relaciones de embutición, 1er. y 2o. pasos 0,0o : máximas relaciones de embutición para s = 1 mm y d = 100 mm 0i max . P2 máx '■ máximas relaciones de embutición, 1er. y 2o. pasos vf\ • 1)F2 '■eficacias del proceso de deformación, 1er. y 2o. pasos. 6, , ó2 : relaciones de deformación logarítmicas, 1er. y 2o. pasos z2 A kfm-\ kfm2 Kk .F f2
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p ' ft
M anufactura y procesos Extrusión Extrusión
®
(empuje de conformado en matriz)
r '3 7
Fuerza de extrusión
r'38
Trabajo de extrusión
r'39
Resistencia de fluencia media
=
* ■
W Pa Extrusión inversa
Extrusión directa Cuerpo sólido Cuerpo hueco
«
= i -
r'4 3
nF =
■-
1" i
H
r'4 2
/t = -í- (do2 - d , 2)
d°
0.
A
■'ñ
r'41
H *
r'4 0
0. 7 . . . ,0 . 8
%—
^ =T do
i n - < In d ? - d 7
=
ln
do - d i’"
V .- 5 - A, (oí,! - d ‘ )
/
nf = 0 . 6 , . . ..0.7
>?F = 0 .5 ,. . .,0 .6
= - ~ d 0 -*o
Relación de deformación logarítmica máxima óA M aterial
‘ AI99.5 directa inversa
3.9 4.5
AIMgSi C<0.1% C<0.15% C>0.15% 3.0 4.0
1.4 1.2
1.2 1.1
0.9 1.1
baja alea ción
alea ción
0.8 0.95
0.7 0.8
A : área utilizada óA : relación de deformación logarítmica vf : eficacia del proceso de deformación V : volumen del elemento deformado : trabajo de deformación específico (por unidad de volumen) Ah : penetración (carrera del empujador)
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Sistem as eléctricos
q
'
Circuitos y redes Resolución de redes lineales Generalidades: Existen métodos especiales que permiten el cálculo de ten siones y corrientes en una red eléctrica, de manera más fácil que por el análisis de nodos y mallas. Teorema de superposición: En una red general se consideran aplicadas sucesivamente en aquélla todas las fuentes de tensión1) y de corriente2), y se determinan en cada caso las diferencias de potencial y las intensida des de corriente originadas por cada fuente actuando individualmente. Se cumplen las siguientes condiciones: (a) Las fuentes de tensión restantes se ponen en cortocircuito. (b) Las fuentes de corriente restantes se ponen en circuito abierto. La solución final es la suma total de las soluciones parciales. El procedimiento general para evaluar Vx en una red general con tensiones de fuente V0, . . . , V„ y corrientes de fuentes /0, . . . , /„.
v,= ac •V „ + o r + b~
s'2
V, + .
+ av
,/o + k i / i +
V xa o + V xoi + + V xbo+V xb1 +
• ■• +
V xav
" ■ + V xb n
Cálculo de las soluciones parciales: s'3
V
s '4
v x = vxbq donde 'o ■■■ ! v
= V "xaq
donde V0 .. . Vv = 0, con
*
= 0. con ;q *
o, y / 0 o,
y V0
Vv = 0
Ejemplo: s'5
vx = < V Vo + ° l v l + b 0 I 0
1+
v xbo
Redes equivalentes para el cálculo de cada solución parcial: s'6
v0 4= 0; V ,= 0; / 0 = 0 Vo= 0 ; V, 4= 0; /„ = 0 V0= 0; V, = 0; /„ 4= 0
s'7
Vvhn = /, R ] /?2 R
s'8
Tensión requerida Vx V x = (véase S'5) 21Explicaciones en S’2
+ ^5 + / ) ■— 2
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1 (continúa en S’2)
I
Sistem as eléctricos Circuitos y redes
q '9 ^
Teorema de Thévenin: Considérese una red general que contiene fuentes de tensión1* y de corriente2*. Se requiere calcular la tensión Vx en la resis tencia R de la rama AA'. Para ello se reemplaza el resto de la red por una fuente de tensión equivalente Ve y el resistor R¡ (de la resistencia interna).
Para determinar Ve y R¡ se elimina la rama AA' en la red, y se le sustituye por el sistema formado por Ve y R¡ en serie; R, corresponde a la resisten cia real entre A y A', y Ve es la diferencia de potencial existente entre A y A'. Si R¡ se conoce, entonces Ve = Vx se calcula por Ve = R, /cc, donde lcc es la corriente de cortocircuito (cc) que fluye al unir A con A'. Por tanto, s'9
V„ =
Ve
R R . = Icc-R, R+ R¡ R +R .
Icc
1
'-M R i + M R
I
Ejemplo
s'10 Explicaciones: a0. . .av coeficientes de las b0. . ,bw
tensiones corrientes
que se determinan mediante las resistencias de la red
1* Tensión considerada
: Tensión de fuente
25Corriente considerada
: Corriente de fuente
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con resisten cia interna
R, = 0
Sistem as eléctricos
e '3
Instalaciones Corriente Nominal / Aislamiento de PVC, conductores de cobre no bajo tierra, con medio de protección contra sobrecarga a una temperatura ambiente de SO'C'1 Area transversal nominal, mm2
1
1.5
2.5
4
6
10
16
25
35
50
Grupo 1
I en A /„ en A
11 6
15 10
20 16
25 20
33 25
45 35
61 50
83 103 132 63 80 100
Grupo 2
/ en A /„ en A
15 10
18 26 102 20
34 25
44 35
61 50
82 63
108 135 168 80 100 125
Grupo 3
/ en A /„ en A
19 20
24 20
42 35
54 50
73 63
98 80
129 158 198 100 125 160
32 25
Diám. nom. de 1.1 1.4 1.8 2.3 2.8 3.6 Cables alambre de Cu, mm. (aprox.) Grupo 1: Uno o más conductores sencillos en tubo conduit Grupo 2: Conductores múltiples (incluyendo los de cinta) Grupo 3: Conductores sencillos en aire (al descubierto), con espaciamiento de por lo menos un diámetro El valor de / disminuye (o bien, aumenta) en 7% (aprox.) por cada incre mento (o bien, decremento) de temperatura de 5”C. NOTA: No se debe exceder 50°C.
2)
En el caso de conductores con sólo dos hilos activos, se debe utilizar un dispositivo de protección contra sobrecarga, con /„ = 16 A. Interruptores-Conexiones utilizadas Simple 2 Cargas 1 Posición
Conmutativo 1 Carga 2 Posiciones
Conmutativo con cruzamiento 1 carga 3 Posiciones •)
PE N ¿1
/„ : Corriente nominal para fusibles o interruptores automáticos (disyuntores)
L,
I : Corriente nominal de conductor. También la corriente máxima permisi ble de dispositivos de protección contra sobrecarga (cuando /„ < / ) : Conductor de fase N: Conductor neutro PE: Puesta a tierra
• ) Cada posición adicional requiere un cruzamiento extra.
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Radiaciones
T'l
Definiciones y unidades Radiación ionizante
Esta radiación es la consistente en partículas que produce la ionización directa o indirecta (excitación) de un gas (permanente).
Cantidad total
Unidades
Exposición (radiexposis¡ón)1) y = -3 m
Absorción (radiabsorción) D = f 'J W m
■j ^ kg
^ C kg
1 roentgen = 1 R 1 R = 258 ^ k9
Intensidad en el tiempo
Unidades
Intensidad de exposi ción
t A kg
t
1 gray = 1 Gy = , V A S . 1 Ws kg kg
= A m
Intensidad de absorción
=
k9
kg
106 - J — kg a
1 rad= 1q mW s kg
= o.01 Gy
1 sievert
= <7 ' f ’ J
= 31.56
ó = j = r t m
= 0.01 § * s .
= 6.242 ■ 1016
H = Dq = q - D
i& = , i s kg
= 1A i rad
Absorción equivalente2)
1 B = 258 s kg 1 R = g 2 pA a kg
= 1 Sv
i y A ? = i Ws kg kg = 1 — kg [100 rem = 1 Sv]
Intensidad de absorción equivalente . • Dq H=Dq = - f = qD
1 W- = , Gy kg s
1 rem _ ^q mW s kg , rem = 3 i 7 eW a kg.
Corriente de ionización /: Flujo de moléculas de aire ionizadas por radiación que se produce al aplicar una tensión eléctrica o voltaje (en una cámara de ionización). Carga de ionización O: Cuando circula una corriente de ionización I durante un tiempo t se manifiesta una carga total Q. t'7
Q = I t ______________ _ Las unidades destacadas entre corchetes [ I son las de uso anterior. 1) Valor medido 2) Valor teórico (Continúa en T'2)
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Radiaciones Radiactividad
T'2
En ergía de ionización W ¡: E n e rg ía de rad ia ció n q ue p ro d uce la ioniza ció n. C a d a par de io nes en la m o lé cu la de aire requiere t'8
W/(aire) = 33.7 eV
t'9 t'10
(ca rg a del electrón (e): 1 e = 1.602 x 10~19 C; 1 C = 1 A • s) (electronvolt (eV ): 1 e V = 1.602 x 10~19A s x I V = 1.602 x 10_19J ) R adiabsorción D: E s la e n e rg ía ab sorb id a (d o sis de rad ia ció n ) por un id ad de m asa. (L a ra d ie x p o sició n J e stá re ferid a tam bién a la masa: J = Q /m .)
t'11
R A D IA C T IV ID A D . A ctivida d A : N ú m e ro de átom os d e una su s ta n c ia ra d ia c tiva que se de sinte g ra n por un id ad de tiempo: A = - d N /d t = A • N U nidades: b e cq u ere l (Bq). C o rre sp o n d e a una activid a d de 1 átom o por se g u n d o [curie (Ci): 1 C i = 37 x 109 Bq]
t'12
Constante de actividad (o d eclina ción ) X: X = fn 2ITyi2
t'13
S em ivida (o “ v id a m e d ia ” ) 7 ^ : T ie m p o en el que una activid a d d a d a se re du ce o d e clin a hasta la m itad. U n id a d e s: s~ \ m in "1, h_1, d ~ \ a-1 . Se m ivid a s de a lg u n o s isó top o s naturales y a rtificiales Número Número atómi Número atómi Número Elemento Semivida Elemento de masa2) co1) de masa2) co11 134 55 Cesio 12 a 3 1 Tritio 137 55 Cesio 1.3 109 a 40 19 Potasio 12.4 h 88 Radio 226 42 19 Potasio 232 90 Torio 60 5.3 a 27 Cobalto 92 238 Uranio 90 29 a 38 Estroncio 94 239 P lu to n io 131 8.0 d Yodo 53
t'14 t'15 t'16 t'17 t'18
Semivida 2.1 a 30 a 1600 a 14 109 a 4.5 • 109 a 24 000 a
E x p lic a c ió n de lo s sím bo lo s m : m a sa (cantidad base) N : can tid ad de su s ta n c ia rad ia ctiva (núm. de átom os) q : factor de ca lid a d para ra d ia c io n e s , y, X q = 1 p ara otras ra d ia c io n e s q = 1 . . . 20 f : con stan te de io n iza ció n para los tejidos f = falfe p ara los h u e so s / = ( f .. . 4) fa,e f»we '■ con stan te de io n iza ció n para el aire faire = Wa.re/0 = 33.7 V) S ím b o lo s de la s un id ad e s
t'19
(1 a = 31.56 106 s) A : a m p ere | C : co u lo m b | J : joule | a: año A b so rció n equivalente - O b serva ció n : E n el año de 1982, la pe rso na m edia en A le m a n ia (R. Fed.) tuvo los sig u ien tes va lore s de e xp o sició n eq uivalente a la rad iació n: H en T ip o [mrem] mS v De o rigen natural Por razo n e s m ó d ica s Por c a u s a s d iv e rsa s V alor lím ite perm itido por la ley 1) N úm . p rotónico (Z)
| 2) N úm . n u cle ó n ico (de www.FreeLibros.me
1.1 0.5 < 0.1 < 0.3
110 50 < 10 < 30
protones + neutrones) (A)
Ingeniería de control Terminología de la ingeniería de control CONTROL El control es un proceso mediante el cual se registra una cantidad llamada variable controlada (la cantidad que se debe controlar). Entonces, esta va riable controlada se compara con otra cantidad, la variable de referencia. A continuación la variable controlada es afectada de tal manera que sea igual a la variable de referencia. La característica principal del control es el cir cuito de acción cerrado, en el que la variable controlada influye conti nuam ente sobre sí misma (ver más adelante el diagram a de flujo de control). Nota preliminar: Los nombres y definiciones de los términos siguientes se apegan a los de la norma DIN 1926, versión 2/1994. Funciones, cantidades y sím bolos que describen el com portam iento de ios elem entos y sistemas de transferencia Variable de entrada u La variable de entrada u e s una cantidad que actúa sobre el sistema con siderado sin ser influida por él. Variable de salida v Es una cantidad de un sistema que sólo puede ser influida por ella misma o por sus variables de entrada. Tiem po de retraso T, constante de tiem po T El elemento P-T1, que es el elemento de retraso de primer orden, es una unidad funcional que presenta el comportamiento de transferencia: '1
v (t) + T v (t) = K p u (t) donde T es el tiempo de retraso, que también se llama constante de tiem po. (Ver la solución de esta ecuación diferencial en D'4, D' 9.) Frecuencia angular característica o)0, razón de am ortiguam iento ó El elemento P-T2, que es el elemento de retraso de segundo orden, es una unidad funcional que presenta el comportamiento de transferencia:
'2
v(t) + (2tf/cu0) v (t) + (1 /co0)2 v ( t ) - K p u (t) En este caso (o0 es la frecuencia angular característica y ü es la relación de amortiguamiento. (Ver la solución de esta ecuación diferencial en D' 5, D '11). Frecuencia angular propia cod La frecuencia angular propia, o eigenfrecuencia angular
'3 Ver explicación de los símbolos en U'35
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U'2
Ingeniería de control Terminología de ingeniería de control
Respuesta escalón La respuesta escalón es la variación, res pecto al tiempo, de la variable de salida de un elemento de trans fe re n c ia , cuando la variable de entrada es una función escalón (ver figura 1)
S obre m o du la ció n
Tiempo muerto equiva lente El tiempo muerto equi valente, Ty, se define como el tiempo trans currido entre t0 y el punto de intersección de la primera inflexión de la respuesta esca lón con el eje x (ver la figura 1).
Tu
R e s p u e s ta e s c a ló n d e u n e le m e n to d e tra n s fe r e n c ia
Tg
Tiem po de transición El tiempo de transición, Tg, se define como el tiempo que transcurre en tre el punto de intersección de la primera inflexión de la respuesta es calón con el eje x, y el punto donde esta primera inflexión alcanza el valor de estado estable. Sobrepaso vm Es la máxima desviación de la respuesta escalón respecto del valor de estado estable. Respuesta rampa La respuesta rampa es el desarrollo, en el tiempo, de la variable de sa lida cuando una función rampa, con determinada rapidez de cambio, se usa como variable de entrada (generación de rampa).
Flg. 2
Ur ( t )
yo, E (t)d t - j r t e ( t )
0 Tr i G e n e r a c ió n d e ra m p a
T 'J
Tr es el tiempo de rampa, e (t) es la generación de escalón unitario: e (í)
í 0 cuando t < 0 1 1 cuando t
Respuesta escalón unitario Una respuesta escalón relacionada con la amplitud escalón de la varia ble de entrada origina la respuesta escalón relacionada, llamada res puesta escalón unitario h(i). (Continúa en U'3)
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Ingeniería de control
ir
Terminología de la ingeniería de control
*
h(t) caracteriza el comportamiento dinámico del elemento de transferen cia. Ver las respuestas escalón unitario de los elementos más impor tantes de transferencia en U'14 a U'17. Función de transferencia F (j) Es la relación entre la transformada de Laplace v(s) de la variable de sa lida, y la transformada de Laplace u(j) de la variable de entrada de un elemento de transferencia. Ver las funciones de transferencia de los ele mentos de transferencia más Importantes, en U'14 a U'17. Respuesta en frecuencia F(jtp) Es la razón de los valores de las variables senoidales de salida y las de entrada del elemento de transferencia en su comportamiento periódico estable, en función de m o de f. A m plitud de la respuesta F(jro) Es la magnitud de la respuesta en frecuencia, F(jco), en función de la fre cuencia angular co. Fase de la respuesta arco F(jo>) Es el arco del argumento F(jco) de la respuesta en frecuencia F(jm) en función de la frecuencia angular co. C aracterísticas de respuesta en frecuencia, diagram a de Bode Las características de la respuesta en frecuencia (diagrama de Bode) se obtienen cuando el valor absoluto (logarítmico o en dB) y la respuesta en fase (proporcional) se grafican juntas en función de m o de la frecuencia angular normalizada <»/
Fig. 3 U
Linea de acción
Bloque de función
U, U-), l¿2: estímulos de entrada
Suma v = ± uy ± u2
v : resultado de salida
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T
Punto de ramificación
'
Ingeniería de control Terminología de la ingeniería de control
Estructuras básicas del diagrama de control Las estructuras básicas de este diagrama son las estructuras en serie, en paralelo y circulares. Regla para sum ar en un diagram a de control Una suma tiene una sola línea de acción que sale (variable de salida). Reglas para representar un sistema m ediante un diagram a de control Cada ecuación del sistema sólo aparece una vez en el diagrama. Una negación (cambio de signo, inversión de polaridad) debe indicarse en un punto de suma existente o adicional. No es válido esconderla en el coeficiente de un bloque. En el diagrama de acción de un sistema pasivo no hay retroalimentación positiva. Para tener una idea clara del aspecto final de un diagrama de control, el camino más corto (hacia adelante) entre la variable de entrada (lado su perior izquierdo) y la variable de salida (lado superior derecho) debe ser una recta horizontal. Deben evitarse los elementos derivados. Para lograrlo, deben reordenarse las ecuaciones del circuito cerrado. C om ponentes del circuito de control y sus cantidades La figura 4 muestra un diagrama de control típico de un sistema de con trol de circuito cerrado, incluyendo sus unidades funcionales.
D ia g ra m a d e a c c ió n c a r a c te r ís tic o d e u n s is te m a d e c o n tr o l d e c ir c u ito c e rr a d o
Sistema controlado Es aquella parte del circuito cerrado de control sobre la cual se va a in fluir.
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Ingeniería de control Terminología de ingeniería de control Punto de medición de ia variable controlada; variable controlada x E l p unto de m e d ic ió n de la v a ria b le c o n tro la d a e s el lugar, en el s is te m a c o n tro la d o , d o n d e s e o b tie n e el v a lo r de e s a v a ria b le (fig ura 4). L a v a ria b le c o n tro la d a x e s la v a ria b le de l s is te m a c o n tro la d o q u e s e re g is tra para s u con tro l, y q u e s e integ ra al s is te m a d e co n tro l a tra v é s d e l e q u ip o de m e d ic ió n , x e s la v a ria b le de s a lid a d e l s is te m a c o n tro la d o y la v a ria b le d e e n tra d a del e q u ip o de m e d ició n .
Formación de la variable controlada final; variable controlada final xA L a v a ria b le c o n tro la d a final, x A, e s una c a n tid a d s o b re la q u e el circu ito c e rra d o de co n tro l d e b e influir. C u a n d o e s fá c il d e o b te n e r p o r m e d ic ió n , *A e s id é n tic a a la v a ria b le co n tro la d a x y s e re tro a lim e n ta a l e le m e n to de c o m p a ra c ió n a tra v é s d e l e q u ip o d e m e d ic ió n . S ó lo c u a n d o n o e s p o sib le o b te n e r .vA, o s ó lo e s p o sib le co n g ra n d e s d ific u lta d e s, é s ta e xistirá co m o c a n tid a d in d e p e n d ie n te a d e m á s d e la v a ria b le c o n tro la d a x. E n la fig u ra 4 (el d ia g ra m a de flujo c a ra c te r ís tic o de un s is te m a de con tro l d e c irc u ito c e rra d o ), la fo rm a c ió n d e la v a ria b le c o n tro la d a fin a l *A s e h a c e c o n la v a ria b le c o n tro la d a x, p o r lo g e n e ra l a g re g á n d o la al s is te m a co n tro la d o . E n e ste c a s o , la v a ria b le c o n tro la d a fin a l a p a r e c e fu e ra del c ircu ito d e con tro l, y n o e s p o sib le c o n tro la r la s v a ria b le s p e rtu rb a n te s q u e in flu y e n d u ra n te la fo rm a ció n . E je m p lo :
V a ria b le
fin a l co n tro la d a: T e m p e ra tu ra del c o n te n id o de un re cip ie n te . T e m p e ra tu ra d e la p a rrilla .
V a ria b le c o n tro la d a :
L a v a ria b le c o n tro la d a final, -rA. ta m b ié n p u e d e e n c o n tra rs e d e ntro del s is te m a c o n tro la d o , e s to e s, d e n tro del c irc u ito c e rra d o d e con tro l. E n e s te c a s o , la v a ria b le c o n tro la d a s e fo rm a a tra v é s d e la v a ria b le c o n tro la d a final; la s v a ria b le s p e rtu rb a d o ra s q u e influye n s e p u e d e n con trolar. E je m p lo :
V a ria b le c o n tro la d a final: R e la c ió n d e m e z c la de d o s líq uid V a ria b le c o n tro la d a : R e s is te n c ia e s p e c ífic a .
Equipo de medición, variable r retroalim entada E l e q u ip o d e m e d ic ió n e s la su m a total d e lo s e le m e n to s fu n c io n a le s para registrar, tran sferir, a d a p ta r y d istrib u ir la s v a ria b le s (ver fig u ra 4). L a v a ria b le re tro a lim e n ta d a r e s la q u e re su lta de la m e d ic ió n d e la v a ria b le c o n tro la d a x.
A justador de variable de referencia, variable de referencia w E l a ju sta d o r d e v a ria b le de re fe re n c ia e s u n a u n id a d fu n c io n a l q u e p ro d u c e u n a v a ria b le d e re fe re n c ia w q u e s e d e riv a d e u n a v a ria b le ob jetivo w*, d e fin id a por el u su a rio (ver fig ura 4). L a v a ria b le d e re fe re n c ia w n o e s tá in flu id a po r el circu ito ce rra d o d e c o n trol c o n el q u e s e re la c io n a ; la v a ria b le de s a lid a d e l c ircu ito c e rra d o de co n tro l d e b e se g u ir a la v a ria b le d e re fe re n c ia c o n la d e p e n d e n c ia e s p e c ific a d a . Nota: C o n m u ch a fre cu e n c ia , el ob jetivo y la v a ria b le d e re fe re n c ia so n id é n tico s.
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U6
Ingeniería de control Terminología de la ingeniería de control
Dispositivo de conform ación de la variable de referencia; variable ob jetivo El dispositivo de conformación de la variable de referencia produce, a partir de una variable objetivo w* -aplicada a la entrada- una variable de referencia w de salida. Este proceso de conformación asegura que la variable de referencia >v, o sus derivadas respecto al tiempo, no reba sarán los valores críticos (ver figura 4). La variable objetivo w* se define externamente y no está influida por el sistema de circuito cerrado que se tiene en consideración; la variable controlada final w del sistema de circuito cerrado debe seguir, con la dependencia especificada, a la va riable objetivo.
w*
e
Comparador, variable de error El comparador produce la variable de error e en función de la variable de referencia w y la variable retroalimentada r (ver figura 4). e = w - r. Elem ento de control, controlador, variable de salidayRdel controlador El elemento de control, o elemento controlador, produce la variable de salida yR del controlador utilizando la variable de error e del comparador. El proceso asegura que la variable controlada * del circuito de control siga a la variable de referencia w tan rápida y precisamente como sea posible, aun cuando haya variables perturbadoras presentes. El contro lador está formado por el comparador y el elemento de control (ver figu ra 4). Actuador Es una unidad funcional que usa la variable de salida del controlador, y R , para formar y . La variable y es necesaria para modular el elemento de control final (ver figura 4). Elem ento de control final, variable reguladora y El elemento de control final está en la entrada del sistema controlado e influye sobre el flujo de energía. Su variable de entrada es la variable reguladora y (ver figura 4). Esta señal transmite el resultado de control del sistema al sistema controlado. Equipo de control final El equipo de control final está formado por el actuador y el elemento de control final. Sistema de control Es aquella parte del diagrama de control que debe influir sobre el siste ma controlado, a través del elemento de control final. Punto de regulación Es el punto de aplicación de la variable reguladora
z
y.
Punto de perturbación, variable de perturbación Es el punto donde la variable de perturbación aplicada externamente, ejerce la influencia que se pretende en el control de circuito cerrado (ver figura 4).
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Ingeniería de control Cantidades y funciones Cantidades y funciones que describen el com portam iento dinám ico de circuitos de control
F^s)
Función de transferencia de circuito abierto Es el producto de todas las funciones de transferencia en serie de un circuito o un circuito de control. Ejemplo: U(s)
v(s)
u'9
F 0 (s) = F , ( s ) - F 2 ( s )
F l( s ) F 2 (S )
Ganancia de circuito abierto V 0 Es el valor de la función de transferencia de circuito abierto, F0(j), cuan do la variable de Laplace es .y= 0. Este término sólo se aplica a circuitos y circuitos de control sin comportamiento I. Mientras mayor sea la ga nancia de circuito abierto, más preciso será el control de circuito cerrado.
R(0)
Factor de control f Este factor se define por la ecuación u'10
/?F(0) = 1/(1
+ V Q)
Frecuencia angular de cruce de ganancia a>o Es la frecuencia, de circuito abierto, en la que el valor absoluto (amplitud) del cir cuito de control abierto es J igual a 1. H Frecuencia angular de cruce de fase (o* Es la frecuencia de circuito abierto que existe cuando la fase de la respuesta del circuito de control abierto es -1 80 °.
¡
}
% I
k g Margen de fase 5 Es la diferencia angular en tre la fase de la respuesta del circuito de control abier to, en la frecuencia angular de cruce de ganancia too, y -1 8 0 °. El cambio de signo necesario en el circuito de control no se toma en cuen ta.
M argen de fase
ú)
- y
ü)o :
F recuencia a n g u la r de cru ce de ganancia
gv
F recuencia a ng ular d e cru ce de fase
F lg . 5 D ia g ra m a d e v a lo r a b s o lu to y fa s e d e la r e s p u e s ta (n o lo g a rítm ic a ) d e u n c ir c u ito d e c o n tr o l a b ie r to
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Ingeniería de control
Us
C antidades y funciones
M argen d e g a n a n c ia £ Es el recíproco del valor absoluto (amplitud) del circuito de control abierto en la frecuencia angular de cruce de fase (o„. T iem p o p a ra a lc a n z a r la to le ra n c ia inferior, Tinicio E s e l in te rv a lo d e tie m p o q u e c o m ie n z a c u a n d o e l v a lo r d e la v a ria b le co n tro la d a x - d e s p u é s d e a p lic a r u n a fu n ció n e s c a ló n d e la v a ria b le de re fe re n c ia w, o u n a fu n c ió n e s c a ló n d e la v a ria b le de p e rtu rb a ció n z s a le d e d e te rm in a d o c a m p o de to le ra n c ia d e la v a ria b le c o n tro la d a , y te rm in a c u a n d o e n tra p o r p rim e ra v e z a e s te c a m p o (ver fig u ra s 6 y 7). S obrepaso
V alor d eseado de d e svia ció n en e stado estable
F ig . 6
V alor deseado |. V alor de e stado estable C am po convenido de tolerancia
V a ria c ió n e n e l tie m p o d e la v a ria b le c o n tr o la d a , d e s p u é s d e a p lic a r u n a f u n c ió n e s c a ló n d e la v a ria b le d e re fe r e n c ia w
7",, tiem po muerto
Una función escalón de la variable de referencia también produce un escalón en el campo de tolerancia de la variable controlada. S o b r e p a s o x m d e la v a ria b le co n tro la d a E l s o b re p a s o x m d e la v a ria b le c o n tro la d a a e s la d e s v ia c ió n m á x im a (m o m e n tá n e a ) re s p e c to al v a lo r d e s e a d o d u ra n te la tra n sició n d e urr e s ta d o e s ta b le a otro, al a p lic a r u n a fu n ció n e s c a ló n d e la v a ria b le d e re fe re n c ia w o d e u n a v a ria b le d e p e rtu rb a ció n z (ver fig u ra 7). S ob re pa so
F'a- r
„,
Valor d e s e a d o V alor de e sta d o estable
/
V alor d eseado de desviac ¡ón en e stado estable
R e spuesta e scalón
f 7 / \ ----------------
.
1/
'T----------- V----------
V a ria c ió n e n e l tie m p o d e la v a ria b le c o n tr o la d a d e s p u é s d e u n a fu n c ió n e s c a ló n d e la v a ria b le d e p e r tu r b a c ió n z
T iem po p ara a lc a n z a r el e s ta d o e s ta b le , 7f¡n 7f¡n e s e l tie m p o q u e c o m ie n z a cu a n d o e l v a lo r de la v a ria b le c o n tro la d a x - d e s p u é s d e a p lic a r u n a fu n ció n e s c a ló n d e la v a ria b le d e re fe re n c ia w, o de la v a ria b le de p e rtu rb a ció n z - s a le d e d e te rm in a d o c a m p o de to le ra n c ia d e la v a ria b le co n tro la d a , y te rm in a c u a n d o en tra en e s e c a m p o p e rm a n e n te m e n te (ver fig u ra s 6 y 7).
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Ingeniería de control Reglas
U'9
R E G L A S PA RA DETERM IN AR LA FUNCION DE T R A N S F E R E N C IA DEL CIRCUITO DE CO N TRO L TOTAL L a fu n ció n de tra n s fe re n c ia c o m p le ta s e fo rm a u s a n d o c a d a e le m e n to de tra n s fe re n c ia ind ivid ua l.
C o m b in ac ió n en s e rie u(s)
F 2 ( s)
ñ (s)
v(s)
C o m b in ac ió n en p a ra le lo
u(s)
F i (s)
■
v(s)
12
F ( s ) = F , ( s ) + F 2 (s )
F 2 ( s)
i _
r
R e g la d e retro alim en tación u(s)
F l (s)
i
v(‘ ) F , ( í) 1 + F , ( i) - F
2
( i)
F 2 (s ) N ota: E l s ig n o d e l d e n o m in a d o r d e F(s) e s el c o n tra rio d e l s ig n o e n el p unto d e su m a del d ia g ra m a d e con tro l. U n s ig n o “+” en el p unto d e s u m a in d ic a re tro a lim e n ta c ió n p o sitiv a U n s ig n o e n el p unto d e s u m a in d ic a re tro a lim e n ta c ió n n e g a tiva S i F ]{s ) y/o F 2(s) c o n tie n e n c a m b io s d e sig n o , e n to n c e s h a b rá re tro a lim e n ta c ió n n e g a tiv a (p o sitiva) c u a n d o la c a n tid a d d e c a m b io s d e s ig n o e n to d o el circu ito s e a im p a r (par). C a s o e s p e c ia l: F 2(s) = 1 (re tro a lim e n ta c ió n d irecta). u(s)
v(s)
F i (S) '14
F(s)
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1 + F, ( í)
Ingeniería de control Reglas
U'10
R e g la a m p lia d a d e retro alím en tación S i n o h a y p u n to s de su m a e n tre la s ra m a s d e un d ia g ra m a d e con tro l, la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia s e p u e d e d e te rm in a r c o n fa c ilid a d m e d ia n te la s ig u ie n te fórm ula: v (s ) _ u (s )
fres (J)
fy re s ( í )
donde Fu
,(*> ■
1 + ifo lW
n F v, k1v
Foí(í) in d ic a la fu n ció n d e tra n sfe re n c ia F res(j) d e l circu ito o c irc u ito s ú n i c o s d e co n tro l en e l d ia g ra m a a p lic a d o d e con trol; té n g a s e en c u e n ta que e n c irc u ito s d e re tro a lim e n ta c ió n p o sitiva , F 0¡ s e e s c rib e c o n s ig n o n e g a tiv o en la s u m a d e l d e n o m in a d o r d e F ,es.
m F y res (s) - n ^ v k e s el p ro d u c to d e to d a s la s fu n c io n e s d e tra n s fe re n c ia d e lo s e le m e n to s d e tra n s fe re n c ia q u e e s tá n en la tra y e c to ria m á s di
recta. E l tra s la p e de la s lín e a s d e a c c ió n n o a fe c ta la a p lic a c ió n d e la re g la a m p lia d a d e re tro a lim e n ta ció n . E je m p lo : v(s)
u fs j
♦ O -» F y i (S )
F
v 2 (S )
F
ri ( s )
F \/3 (S )
F r i (s )
F res U
íM
___
u ( i)
1 + Fv
F y i ( J ) - F V 2 ( J ) - F V 3 (5)
D eterm in ació n d e la fu n ció n d e tra n sfe re n c ia co n el m éto d o d e a n o ta ció n h a c ia a trá s P a ra u s a r e ste m é to d o s e c o m ie n z a en la s a lid a v(s) y s e s ig u e e l d ia g ra m a d e c o n tro l e n la d ire c c ió n d e la v a ria b le d e e n tra d a o d e l p u n to B de s u m a d e re fe re n c ia . S e d e te rm in a y s e a n o ta la tra n sfo rm a d a d e L a p la c e d e c a d a fu n c ió n d e tie m p o c o rre s p o n d ie n te a n te s y d e s p u é s d e c a d a e le m e n to d e tra n sfe re n c ia . P o r últim o, e n el p unto B de s u m a d e re fe re n c ia s e p u e d e d e te rm in a r la fu n c ió n d e t ra n s fe re n c ia F res(s) u s a n d o la tra n sfo rm a d a d e L a p la c e q u e s e c o n o c e e n e s te sitio.
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Ingeniería de control
Un
Reglas Ejemplo:
Para describir el método de anotación hacia atrás se determinan las trans formadas de Laplace de las respectivas funciones de tiempo en los puntos 1 a 6 del ejemplo siguiente: J
u'18
+ fy i
ÍV2 • fv3
u'19
- F f í¡ ' vl,s)
v ( i);
1
JCo>(s) =
^V3
■ V{s)
f V2 ' r v 3
= •=— • v (s ) "V 3
u'20
x ,s) „ ísi£> _ Fv i
3_ f fv i(i)
1
[F v2 ( s ) - F v3 ( j )
. v(s)
+ f V3w J
( '
En el punto B de suma de referencia se tiene la siguiente relación: u [s ) - x @{s) - X q¡) (s ) ; para x@ (s) y x® (s) usar los valores que se obtuvieron anteriormente:
u'21
u'22
u (s) - F m ■v (s ) -
f v i {s) [ F v 2 ( j) . F v 3 (j) + F v 3 ( i j ] • v {s )
La solución F res(s) de esta ecuación es la misma que se determinó en u'17: u'23
F
, V
res^ ; " u (s )
F V1 ( S ) - Fy2 (s )- Fy3 (s)_____________ 1 + F V2( 5 ) - F R1(s) + FV1( 5 ) - F V2( 5 ) - F V3( 5 ) - F R2(5)
R e g la s p a ra la form a n o rm aliz ad a d e la fu n c ió n d e tra n sfe re n c ia F(s) Si se usa la forma normalizada de la función de transferencia, se podrán ver co n fa c ilid a d el tip o y la s c a r a c te r ís t ic a s del elemento de trans ferencia. Para transformar una función de transferencia en su forma ñor-
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In g en iería de control Reglas
U'l2
malizada, son necesarios un desarrollo bien fundado y la eliminación y combinación de paréntesis para asegurar que el n u m e rad o r y d en o m i n ad o r de la función de transferencia sean p o lin o m io s d e la v a ria b le de L a p la c e s, o productos de polinomios de s en los que: a) n o h ay a p o te n c ia s n e g a tiv a s de s (es decir, que ni el numerador ni el denominador de la función de transferencia puedan contener una fracción en la que el denominador contenga s). b) la p o te n c ia m ínim a d e 5 te n g a c o e fic ie n te 1 , y c) no haya factor común del polinomio. Ejemplo: u'24
F ,(í) =
(1 + a : s + a 2^ + . . .) (1 + c , s + c 2! ? +
y(s) _
u ( s) ~ 3 ° (1 + b , s + b 2S2 + ■ ■ ■) (1 + d ,s + d2j ‘ + . . .)(■■ )
Excepción: Si se encuentra un factor Pl o PID, otra forma en la que se conserva este factor [1/(7ns) + 1 en el ejemplo] es una forma normalizada aceptable. Ejemplo: u'25
y(s) ,
F 2 ( s)
u (s )
1 / ( r „ j ) + 1 _ Kp 1 + Ts T ns
1 + Tns 1 + Ts
A partir de ia tabla de los elementos de transferencia más importantes, se puede determinar el siguiente tipo para esta ecuación: (Pl) —T-i -» I - (PD) - TV La siguiente tabla muestra distintos tipos de forma normalizada: Tipo de forma normalizada Producto de forma normalizada Suma de forma normalizada Mezcla de forma normalizada
Representación
Aplicación
Denominador y numerador están en forma factorizada Denominador y numerador están expresados como suma
Diagrama de Bode y estabilización en serie de circuitos de control
Denominador dividido en factores, hasta donde sea posible. Numerador en forma de suma
Criterio de Hurwitz Determinación de las respuestas escalón y rampa
La forma normalizada de producto tiene precedencia sobre las demás representaciones, ya que éstas se pueden determinar multiplicando los factores individuales de la forma normalizada del producto. Para que sea posible hacer reducciones posteriores, se debe posponer lo más posible la multiplicación de los términos entre paréntesis, si es que acaso se multiplican.
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Ingeniería de control Reglas
U'13
E jem p lo d e la d e term in a ció n d e la form a n o rm aliz ad a d e un a fu n ció n d e tra n sfe re n c ia Se debe determinar la relación:
F ( s ) - b ( s ) / F k(s)
u'26
para el siguiente diagrama de control
u'27 u'28 u'29 u'30 u'31
u'32
b<,R(s)/Fk(s)
F 2 (s)
y f 3(s )
-
fcR( s ) / F k ( í )
F (s ) = B + F2 ( s ) + F3 ( s ) F ,(s )
F n e (s)
M (n B )
í'qR ( i )
1 +1 ! ( n B ) ■M ( r m s ) M (q R s )
¿qR(J)
F2 (s ) ‘
1 + n rm B s 2
_____ 1 qRs + F ^ s )
F k (5)
R s ' 1 + qR
rm s 2 q R s + — tü 1 1 + n rm B s 2
1 + n rm B s 2
u'33
q R s [i + n rm B s 2 + r m s /{ q R )] u'34
u'35
F3 ( s )
F (s )
bp (s )
Fy(s) B
1
1/ ( m i )
1________ _
+ R/(ms)
s
R S [i
m s /R ]
1
1 + n rm B s 2
Rs [i + ms/R]
qRs • [i + rms HqR) + nrmBs2]
Esta descripción de F(s) muestra que el sistema que conduce a este dia grama de control es una combinación en paralelo, formada a partir de un elemento P (B), un elemento I - T, (primera tracción) y un elemento I (PD) - T 2 (segunda fracción).
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U'14
In g e n ie r ía d e c o n tro l Elementos primitivos de transferencia Elemento de retraso de primer orden
Identificador Símb. en el dia grama de ctrol.
Ecuación en el dominio del tiempo
Ejemplos de estructura
Kp
P
t—H-
v = Kp • u Kp
Elemento proporcional v = K,
1
u di «1
I = K|
J u d í + v(0) 0 u'36 a u'43
v = K t ■u Elemento integral
D
v = K 0 ■ú
**
f v d i - K d ■u Elemento derivativo
1
T,
Tt
v ( t) = u ( t - T,) 1
71
Elemento de tiempo muerto KP v + T v = K P ■u KP
11T V
P -T , T
I Elemento P -T i
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T
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U'15
Ingeniería de control Elem ento de retraso de segundo orden Elem ento Pl de com binación en paralelo
Identificador Símb. en el diaqrama de ctrol.
Ecuación en el dominio del tiempo
Ejemplos de estructura
KP
P -T o 2$
KP S ,*0
" + 24 " + (W )2i;! = Kp-u
■
P -T ,
- a
Kp
Kp
J\/T:
1 /7 ¿ _
«
i
v = K¡ f u d i + Kp-u Pl Kp
rn
=Kp {t ~!u ü l +“ donde Tn = K P !K \ Kp / 7 n
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1
Tn
Ingeniería de control
U'l5
Elem ento de retraso de segundo orden Elem ento Pl de com binación en paralelo
Respuesta escalón unitario, ecuación h(t) =
Función de transferencia F(s) =
diagrama
[1 - ¡ ¡ f r e H '-cos(cod í-0 )],tt)d -cuo V 1 " 0 - Arcsen # O < 0 < 90° h(t)
KP KP(1 + e -;rta n ® ). 1 + 2 -y -S + "o
í\ “W - ) 2 ■*
-6) \
V
Kp.
z
'
*<
0 - Arcsen 5
0 < t? < °°
0<&<90°
o
je '
£yd n+20
3 7 1+ 20
51C+20
¿<0¿ Kp (1 + r , i ) (i +
1-
T, - T,,
T) e
- T2 e
t 2 s)
r 1i 2- J - (^ ± V ^ T ) K p [1-( k + 1 ) k 1~ k ]
> 1 t
JQ £
’ K- 1 K ^ t + Kp -
/C| y Ki P |V s r n -í
T JnK . +T + T
1 K- 1
1
2
K p (1 + = - ) In
+ /Cp
+1J
(1 + T „ s )
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Ingeniería de control U
Elementos PD, PID de combinación en paralelo Elementos l-Ti y D-T1 de combinación en serie
' l 6 Identificador
Símb. en el dia grama de ctrol.
Ecuación en el dominio del tiempo
Ejemplos de estructura Kp
v
=
K P ■u + K 0 ■ ú
PD = KP (u + Tv • ú) KP rv
==
_ Kd
j
H U -^
Ty
Kp U \
o
Kp
i/r n
r ^
Kp
v = K¡
f
~ ~ 1 7 ~ -----u
df+ K P
h
u+ K0 ú
PID Kp 7h,7v ■
4
? y
= Kppp íudf + U+r, •li ] L•n * \ T
Kp ,
T
AT, •
v
K° Kp
^Pk ^"nk 1
u
1
K|
1
T
K,
H F H 1/r
l-T , v + T v
-
di
K, J u
^"vk
Tnk
K\ u^
T
1
Al 7"vk
u
* r «D
I—
D -T, v + T v =
kd
K0
ii
u
b —
H-
Y kd
t
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V
Ingeniería de control Elementos PD, PID de combinación en paralelo Elem entos l-T 1 y D -Ti de com binación en serie
U'16
Respuesta escalón unitario, ecuación h(f) =
Función de transferencia F(s) =
diagrama
tfp + K 0 6 ( t ) K p + K q •s kp
(1 + r v -í)
K\ — + Kp + Ko ' s
K , í + K P + K D 6 ( t) -
Kp í— L + 1 + r v í LT„s
para 0 < k,
o < — < oo
K P | ^ - + 1 + 7V <5(Í)J
■< <» ;
[ / + r nk + r vk + r nk ■r ¥k <5 (o ]
*pk ( ^ l - „ + 1 ) ( 1 + r v k -s) Tnk ‘ -S K, j ( 1 + fnk - í ) (1 + fvk - í ) fnk - { f n d
+ V i - 4 r v /r „ )
f,k
-
- - j f n d
^Pk “
V
1 - 4 7 'v/7'n )
• r nk k
,(t-r+
T -e ~
l /un j
ATi ( 1 + y -i)
Ko (1 / 7- )e"
1 + Ts
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U’35
u'94 a u'102 Ver la explicación de los símbolos en U'35 www.FreeLibros.me
Ingeniería de control E le m en to d e c o m b in a c ió n en s e r ie E le m en to s (PD)-Ti y (PID)-Ti d e co m b in ació n en g ru p o
U'l7
R e s p u e s ta e s c a ló n unitario, e c u a c ió n h(f) =
F u n c ió n de tra n s fe re n c ia F(s) =
d ia g ra m a
K p + [ ^ - K P ]e‘ T = K P [ i +
Kp
+
1 +
Kq •s T-s
KP K p T jT _
1 + 7y S 1+ Ts
= Kf
Kp
+
0
(7 V -
Ki
1
- i ) e tJ
h(t)
+
T)-s Ts
K pTJT
T
l (,(t)
KP (0.63 + 0.377,/T)
7„ - 7 - T *
K\ / s
Kp
+
Kq • s
+
1 + Ts
„
1 / (Tn • j ) + 1 + T „ s 1+T-S 1
V ;
Kp
- K , T + K , t + J k , T - K P + K D -!r
KP
1- X + i . + ( X _ 1 + M e~ r„
Vr„
r /
Kp[0.37( — + -^-)+0.63]
Tn ■J + T„ T „ T , - T Tn;
Tn (1 + r - j ) t„
= K p /K ,\
r n* = t „
-
r,
= k0 /k p
t
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Ingeniería de control
U'18
Métodos para determ inar la estabilidad
E sta b ilid a d del circu ito d e con trol y c á lc u lo p a ra un c o n tro la d o r (p ara c irc u ito s lin e a le s de con tro l)
D efin ición d e e sta b ilid a d L a e s ta b ilid a d s e a lc a n z a d e s p u é s de la a lte ra c ió n d e la v a ria b le d e re fe re n c ia o de la a p a ric ió n d e u n a v a ria b le de p e rtu rb a ció n , c u a n d o la v a ria b le c o n tro la d a a lc a n z a un v a lo r e sta b le . C o m e n ta rio : E l fa cto r de co n tro l Rp{0) e s el q u e re d u ce u n a p e rtu rb a ció n a p lic a d a en tre la s a lid a d e l e le m e n to c o n tro la d o r y el p unto d e m e d i ció n . C o n un e le m e n to c o n tro la d o r P n o s e c o m p e n s a n to ta lm e n te la s p e rtu rb a c io n e s c o m o e n el c a s o de un e le m e n to c o n tro la d o r PT.
M éto d o s p a ra co m p ro b a r la e sta b ilid a d d e un c irc u ito d e co n trol S u p o s ic io n e s : * S e c o n o c e n la fu n ció n d e re fe re n c ia o la d e tra n s fe re n c ia d e la p e rtu r b a c ió n d e l c ircu ito c e rra d o d e co n tro l, o la fu n ció n e s c a ló n unitario. * S e c o n o c e la fu n ció n d e tra n s fe re n c ia d e c ircu ito ab ierto . 1.
C r ite rio d e H u rw itz L a e s ta b ilid a d s ó lo se p u e d e d e te rm in a r m e d ia n te el c rite rio d e H u rw itz c u a n d o s e c o n o c e la fu n ció n d e re fe re n c ia o la de tra n s fe re n c ia de p e r tu rb a c ió n d e l c ircu ito c e rra d o de c on tro l, en fo rm a de p o lino m io . L a e s ta b ilid a d s e a lc a n z a c u a n d o lo s c o e fic ie n te s de la e c u a c ió n c a r a c t e rís tic a (c u a n d o el p o lin o m io d e l d e n o m in a d o r d e la fu n ció n d e tra n sfe re n c ia = 0 )
a0 +
u '1 18
a-, s +
a 2^ + . . . + a nsn = 0
sa tis fa c e n la s s ig u ie n te s co n d ic io n e s: * T o d o s lo s c o e fic ie n te s a v d e b e n s e r > 0 (ver ta m b ié n G '1 ) * L o s c o e fic ie n te s m is m o s d e b e n c u m p lir d e p e n d e n c ia s e s p e c ia le s . C o n d ic io n e s p a ra e c u a c io n e s h a sta el g ra d o 5: E c u a c ió n 1 er
g ra d o 2 d o g ra d o 3 e r g ra d o 4 to g ra d o 5to g ra d o
c o n d ic io n e s d e lo s c o e fic ie n te s
a0 y a 1 > 0 a q, a 1, a 2 ^ 0 a 1 a 2 — 33 3 q > 0 a 1 a 2 33 - a^2 3 q — a ,2 34 > 0 A = 3 f a 2 3 3 3 4 + a 0 a-\ 8 4 3 5 — a, a 2 a 5 - a 2 a 2 > 0 B = ag ai a4 a5 + a$ 8 2 a$ a5 - ao a$ a4 - a$ a52 > 0 D n_-, = A - B
> 0
P a ra p o lin o m io s de m a y o r g ra d o ve r “E b e l, Tja rk, R e g e lu n g s te c h n ik , e d ic ió n , S tuttg a rt T e u b n e r 1991, pág. 3 8 y ss.”
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6
§
(Continúa en U'19)
In gen iería d e co n trol
ii'.
Métodos para determ inar la estabilidad Ventaja: Este método conduce a una definición rápida y exacta acerca de la estabilidad de determinado circuito de control. Desventaja: No proporciona información acerca de la resiliencia de un circuito de control a la inestabilidad, del resultado de cambios de sus características ni de su comportamiento dinámico; por estas razones generalmente se prefieren otros métodos. 2. Reducción a polinomios únicos Se transforma la función de transferencia de referencia o de perturba ción en una suma de polinomios únicos de 2o. orden como máximo (ver el desarrollo en fracciones parciales en B'1): En un circuito de control estable sólo hay elementos de transferencia es tables. Estos son generalmente elementos puros P o retrasados P y ele mentos retrasados PD. Si hay un elemento I, l-T 1 o l-(PD) el circuito de control se volverá ines table. Ventajas: En los casos estable e inestable, la evaluación de la referencia transformada o de la función de transferencia de perturbación condu ce a una conclusión acerca del grado de estabilidad o inestabilidad del circuito de control. Para obtener esta información, deben sobre ponerse las funciones de transferencia de todos los elementos senci llos. Desventajas: No es posible observar el efecto de la introducción de un elemento de control definido ni saber cuál de las características se debe cambiar para obtener el comportamiento requerido de un circui to de control. Después de cada cambio al elemento de control se debe hacer un nuevo cálculo de la transición aritmética del circuito de con trol abierto al circuito de control cerrado. 3. Criterio de Nyquist Este criterio establece que el circuito (cerrado) de control es estable cuando el lugar geométrico de la respuesta en frecuencia F0(ja>) del cir cuito de control abierto - en el sentido de los valores mayores de la fre cuencia angular co-s ie m p re tiene a su izquierda el punto crítico -1 en el plano complejo. Mientras mayor sea la distancia entre el lugar geométri co de respuesta en frecuencia y el punto crítico -1, más robusto será el circuito de control respecto a los efectos de variaciones inesperadas en los datos característicos. Una medida de qué tanto se acerca el sistema a la inestabilidad se ex presa con dos valores característicos:
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(Continúa en U'20)
Ingeniería de control E s t a b ilid a d E l e c c ió n d e l tip o d e e le m e n t o d e c o n tr o l
U 20
M a rg e n d e fa se 5 (ver U'7) y m a rg e n d e g a n a n c ia e (ver U ' 8 ) L a d e te rm in a c ió n d e lo s v a lo re s re a j* lm F0(jo)) le s d e a m b a s c a ra c te r ís tic a s y la o b Re F0(jo>) t e n c ió n d e s u s v a lo r e s r e q u e r id o s m e d ia n te la in s e rc ió n de un e le m e n to a d e c u a d o d e co n tro l s e lo g ra n a tra v é s del d ia g ra m a de B o d e .
F ig . 8 V a lo re s r e c o m e n d a d o s p a ra el m a rg e n de fa s e 5 : de 30° a 60° V a lo re s re c o m e n d a d o s p a ra el m a rg e n de g a n a n c ia e : d e 8 a 16 d B (c o rre sp o n d e a lo s fa c to re s 2 .5 a 6.3) V e n taja s: E l e x a m e n de la fu n ció n de tra n sfe re n c ia F 0 (.v) d e l c ircu ito de c o n tro l a b ie rto - e s p e c ia lm e n te la re s p u e s ta en fre c u e n c ia re la c io n a d a F 0 (jío) (su stitu ció n d e s p o r jco) - c o n d u c e c o n m u ch a fa c ilid a d a un c rite rio de e s ta b ilid a d y m u e stra la r e s ilie n c ia a la in e sta b ilid a d - en e s p e c ia l c u a n d o ha y c a m b io s in e s p e ra d o s en la s c a ra c te r ís tic a s del c ircu ito d e con tro l. T a m b ié n s e p u e d e n o b s e rv a r c o n m u c h a fa c ilid a d lo s e fe c to s d e c a m b io s en el tip o y en la s c a r a c te r ís tic a s de l e le m e n to d e c o n tro l - u sa n d o u n a in s e rc ió n e n s e rie s e n c illa e n el c ircu ito de c o n tro l - al ig ua l q u e el c o m p o rta m ie n to d in á m ic o re su lta n te del c ir c u ito d e con tro l.
E le c c ió n d e l tip o d e e le m e n t o d e c o n tr o l General E n la m a y o r p a rte d e lo s c ircu ito s d e con tro l, el s is te m a c o n tro la d o y el e q u ip o d e m e d ic ió n so n, en con junto , del tipo (P D )-T n, lo q u e in d ic a una c o n e x ió n en s e rie de v a rio s e le m e n to s P D y de e le m e n to s d e retraso. L o s tie m p o s de a c c ió n d e riv a d a Tv = K o /K p de lo s e le m e n to s P D sie m p re so n e s e n c ia lm e n te m e n o re s q u e lo s tie m p o s d e re tra so d e lo s e le m e n to s d e retraso; en lo s s is te m a s re a le s en un fa cto r m a y o r q u e 1 0 .
Los elem entos de control más im portantes E n lo s c irc u ito s lin e a le s de c o n tro l s ó lo lo s e le m e n to s P, P l, (P D )-T ! y (P ID )-T i s o n v e rd a d e ra m e n te im po rta n te s.
Características de un circuito de control con un elem ento de control P o (P D K H C u a n d o ha y u n a in flu e n c ia d e la s v a ria b le s de p e rtu rb a c ió n a p lic a d a s en tre el e le m e n to d e c o n Punto t ro l y e l p u n t o d e m e d i c ió n s ó lo e s p o s ib le una e xa ctitu d finita. E s a e x a c titu d e s tá e x p r e s a d a por el v a lo r d e l fa cto r d e c o n trol /?F(0 ).
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(Continúa en U'21)
In gen iería d e co n trol Determ inación gráfica de un controlador
U '21
C a r a c te rís tic a s d e un circu ito d e co n tro l co n un e le m e n to d e co n tro l P lo íP ID K T ! Es posible compensar totalmente la influencia de las variables de pertur bación aplicadas entre el elemento de control y el punto de medición. Si el sistema controlado contiene un elemento I sin variables de perturbación con retroalimentación negativa aplicadas entre la salida del elemento I en el sistema controlado y el punto de medición, habrá compensación completa aunque no haya factor I. Nota: Nunca se pueden compensar las variables de perturbación aplica das entre el punto de medición y la salida del elemento controlador.
D eterm inación gráfica de un controlador lineal basada en el criterio de Nyquist G e n e ral El procedimiento se lleva a cabo por medio del diagrama de Bode. Para este diagrama son necesarias tanto la construcción de la conexión en serie del sistema controlado como el equipo de medición, al igual que la construcción del elemento de control. El diagrama de Bode de todo el circuito se determina sumando (multipli cando) la amplitud y la fase de la respuesta de los elementos de transfe rencia en serie sencilla (ver U'22 y U'23). Esto es posible debido a la naturaleza logarítmica de la amplitud de la respuesta, después de la con versión a dB. Para el trazo gráfico se debe usar papel semilogarítmico con 4 décadas en el eje v. Procedimiento: * Determinar el área de la frecuencia angular to para la cual se debe tra zar el diagrama de Bode; graficar todos los puntos de cruce de interés. * Sólo se permiten factores de respuesta en frecuencia del tipo I, P, D, Tt, P -Ti, PD y P-T2, con atenuación ó < 1 (ver U'22 y U'23) * Después de extraer el factor I, los elementos Pl se convierten a una estructura l-PD y los elementos PID con Tn/Tv > 4 se convierten a una estructura l-PD-PD. * Todos los coeficientes de acción en serie, el Integral - (Ki), el Propor cional - (Kp) o el Derivado (Kd) se resumen en un coeficiente de ac ción. * Se representa la amplitud de la respuesta. * Se representa la fase de la respuesta. * Se termina mediante el elemento de control. Las tablas de las páginas U'22 y U'23 muestran los diagramas de Bode para elementos P, I, D, T t, P-T1t P-T2 y PD. Estos diagramas se utilizan para determinar la amplitud y la fase de la respuesta.
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U 22 Sím bolo
Ingeniería de control D ia g r a m a s d e B o d e p a r a e l e m e n t o s b á s i c o s y e l e m e n t o s P -T i
Amplitud de la resp. F((o) =
Fase de la resp. Are F(ja>) =
Diagrama (Ampi, logarítm.)
Diagrama (fase lineal)
Ko
0
>< n < +oo, entero
F |dB k
10n 1 0 " * 1 10n t2 10n* 3 10nM
40 P|dB*
(
200 , < n < +<», entero
10" 10M1 10n- 2 10n+3 10"*4
Kr 1 /w
-9 0 °
. F|dB - oo < n < +oo, entero 10n iQ n+1 i p nt2 ^pn*3 ^ n + 4
-2 0 dB/década
{<*>)
>< n < +°°, entero +90° >< n < +«>, entero
^IdB - « < n < +°o, entero
‘20 dB/década {
10n 10n+1 10n+2 10n+3 10n+4
1 0 /1 0 n+11cr+2 10n+3 10n+4 1/Kd =(úd _______________ ~TX- co \rn
f |dB
n /4
1 0 '2 10~1 \ o ^ t
/ k /2
1Q1
102 ^
0 -4! -90
10'2 10*1 10°
101
102
Kp/ V i + _ ( T ( ü f
-180.
-tan-i(T • (o)
F |dB P -T i
1
40-
^p|dB 20-
ü -
“ ^ 2 0 d B /d é c V ^ T ío
1 0‘ 2 1 0 ‘ 1
10°
101^ 1 0 2
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1f12 70;
In gen iería d e control Diagram as de Bode para elem entos P-T 2 y PD Sím bolo
U'23
Amplitud de la resp. F(cú) =
F a s e de la resp. A re F(jw ) = (p =
Diagrama (Ampi, logarítm.)
D ia g ra m a (fa se lin eal)
0 < & < 00 ta n - 1 •
-M
90°
KP 0
<
1?
<
00
cu >
0
P -T 2
1
<2V2_ 40 V dB 20
1
10-2 10‘ 1 10° 10'
102 W>u,
/ — = v a i- ¿a 1 /o ^ _ 0 . 5 / 8 | dB ? 3 : 1 / IES? ~ Aft 40 rlR/riar d B /d e c . 2V2 <ü/a>0
_
1 Q~2 1 0 'V fo ° >o1 1 0 2 V1-232
W
+ (K o -w f
= Kp
V1
tan ' T v cu
+ (^ c u )2
d o n d e T w = K D/ K P
i F |dB
20 dB/dec.
/H d l
3
10“2 10' 11 10° 101
7>
1o2
10 '2 10 '1 10 °
Tv / K q
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10 1
1o2
Ingeniería de control
U'24
Diagramas de Bode para los elementos (P D )-T iy (P ID )-T i
Sím bolo
Amplitud de la resp. F{a>) =
Fase de la resp. Are F(jcu) =
Diagrama (Ampl. logarítm.)
Diagrama (fase lineal)
V
K p2 +
1
+
( K D 0 ))2
(Tm)2
A rctan (Twio) - A rctan (T a>)
( W
(To>Y K p il
/V rv/ r
T>T,
H T IdB
10~2
-20dB/dec
3'1
ip °
1Q1
io 2 TI “
r ,e
(PD)-T, iir2\io-1 io°
io1
io 2
TJT Id B
I lI
k
1^/1°
T < rv
/ p 7 IdB
40
20dB/dec
r< rv TyCO
10'2 10‘1
100 / 1o1 r „ /r
10*2 10'1 10°
~
Arctan| í^co -
V
K p
+
(fC D (ú -
I-Arctan (Tcu)
K |lili)
0 <
1 + ( Tío)2
T J Ty <
= Aresen -
°°
0 < 7 ' n/ 7 v < ° °
(PID)-T,
Tn>AT,
/
/_ d |
T* > 1
T IdB -20dB/dec
=v f T
v 'n 'v
\4 0
7^ >3dB
Pk r
10
r
10v
10'
i
7nkü>* Kqí/a*
101
K|_ _ i
cu >
0
T , ü j - 1/[T n (o)
V i + [ 7 > - 1 /(7 » ]2 - Arctan (Tai)
(Tío)2
P|dB
101 \102 Vrv/ r
10*
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www.FreeLibros.me Tvkr«>* Tco*
cu > 0
In gen iería d e control Amplitud de la respuesta
U'25
M étodo p a ra re p re se n ta r la am plitud d e la r e s p u e s ta del circ u ito co m p leto Nota preliminar: los puntos de quiebre de la amplitud de la respuesta se marcan con flechas en la parte superior de la gráfica. Una flecha con un a punta hacia abajo caracteriza una pendiente de - 2 0 d B /d é ca d a que se obtiene mediante un factor P -T ^ (ver U'14) en el punto 1/7. Una flecha con dos puntas hacia abajo caracteriza una pendiente de - 4 0 d B /d é ca d a que se obtiene mediante un factor P-T2 (ver U'15), con ■& < 1; los factores P-T2 con d > 1 se dividen en dos factores P-T}. Los factores PD (+20 dB/década en el punto 1/7V) con pendiente po sitiva se caracterizan con puntas de flechas hacia arriba. Después de estimar la variación de la amplitud de la respuesta dentro de las 4 décadas de la frecuencia angular co, se debe escoger la escala de tal modo que la zona de interés aparezca con la máxima resolución po sible; el origen será definido por el valor máximo esperado de la amplitud de la respuesta. A continuación se determina el valor de la amplitud de la respuesta en el margen izquierdo del dibujo. Si la conexión en serie por representar con tiene un factor I o D, el valor y la pendiente iniciales se determinan por I o D; en cualquier otro caso, por el factor P. El valor inicial se determina usando Flde = 20 log(ÁVco) (factor I), FldB = 20 log (factor D) o FldB = 20 log Kp (factor P); véase U'22 y Ú'23. Comentario: Se deben omitir aquí las unidades físicas de K\, Kq para añadirlas después al hacer la evaluación.
o
Kp,
El gradiente de la amplitud de la respuesta hasta el primer quiebre es -20 dB/década (factor I), +20 dB/déc. (factor D) o 0 (factor P). La curva asintótica de la amplitud de la respuesta se traza de un punto de quiebre al siguiente; para ello se deben considerar los cambios anteriores, que co rresponden a las flechas indicadas. El factor T, no influye sobre la ampli tud de la respuesta. Por último, se hacen correcciones en los puntos de quiebre: cuando se usa el factor P-Ti, la curva asintótica se corrige en los puntos í ú e / 2 y 2 c o e en -1 dB, y en la frecuencia angular de quiebre c d e en -3 dB. Cuando se usa el factor PD (inverso del factor P-T0, se deben hacer las correcciones correspondientes en el punto de quiebre cde = 1/7v. de aba jo hacia arriba, (es decir, + 3 dB). Cerca del punto de quiebre de un factor P-T2 con ü < 1, la curva asintó tica se corrige en -10 log [1 -(co/coo)2 + 2 ( d (o/
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Ingeniería de control Fase d e la respuesta
U'26
R e p re se n ta c ió n d e la fa s e d e la r e s p u e s ta La fase de la respuesta del circuito completo se determina sumando las fases de las respuestas individuales de los elementos de transferencia conectados en serie, o de los factores de respuesta en frecuencia. Los factores individuales contribuyen con los siguientes valores (ver también U'22 y U'23): F a c to r
F a s e de la re sp u e s ta
P I D
0o -9 0 ° + 90°
Tt
- T\ (o
P -T ,
-ta n
PD
+ ta n - 1 Tv (o
P - T 2 c o n v> < PI = I - P D
1
-1
Tabla A
7(o
1 -(G)/C 0 o )2 ta n - 1 —--------------- 90 2 ú co /(o 0
- 90° + t a n 1 Tn œ
Comentario: mientras que el factor P no tiene efecto alguno, la contribu ción del factor Tx es muy importante y aumenta con w. Nota: Después de agrupar los factores constitutivos en una suma, a con tinuación se determinan los valores de la fase de la respuesta, por ejemplo, usando la memoria de una calculadora de bolsillo. En gene ral, la fase de la respuesta del factor Tt se debe sustituir con el factor 1807n para obtener un resultado en grados. Por último, se deben elegir la escala y el origen de la gráfica de la fase de la respuesta de tal manera que la zona de mayor interés aparezca con la máxima resolución posible. La fase de la respuesta se traza en el mis mo diagrama que el de la amplitud de la respuesta. La escala del eje y se muestra en el margen derecho del dibujo. D eterm in ació n del ele m en to d e control Problema: El resultado debe ser tal que se satisfagan los requisitos del margen de fase 5 y del margen e de ganancia . Considerando la figura 8 de U'20, esto quiere decir que el indicador de respuesta en la frecuencia del circuito abierto de control final cerca del punto crítico -1 debe satisfacer dos requisitos: en frecuencia angular con amplitud 1 (frecuencia angular de cruce de ganancia) la distancia de fase en la parte negativa del eje real debe ser cuando menos 8, y a la frecuen cia angular donde la fase es -1 8 0 ° (la frecuencia angular de cruce de fase), la amplitud debe de ser como máximo, 1 /e.
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(Continúa en U'27)
Ingeniería de control Fase de la respuesta
■ á
Procedimiento ©
Elegir las razones entre los tiempos característicos inherentes al ele mento de control y la frecuencia angular de quiebre a>E, la frecuencia an gular de cruce de ganancia coD (realización de la instrucción del margen de fase) o la frecuencia angular de cruce de fase co„ (realización de la instrucción del margen de ganancia). Comentario: Debido al eje co con escala logarítmica, se obtienen distan cias definidas entre los puntos de quiebre de la amplitud de la res puesta y las frecuencias angulares elegidas para la determinación. En la práctica se aconsejan los siguientes valores: Tabla B Tipo del elemento de control
T nü ) D
7 vcod
resp. Tno)„
resp.
7'vkÜ)Q T n k /T v k
7v
1 /(7 -0 3 0 )
resp.
resp.
T s,\¿ú k
1 / ( 7 - cü„)
4 ... 10
8 ... 20
P Pl (PDj-Ti (PID)-T,
4 . . . 10 4 . . . 10
8 ... 20 2 . .. 10
Los valores reales de los tiempos característicos del elemento de control no se conocen sin calcularlos. Después de elegir la razón, se fijan las form as de la amplitud y de la fase de la respuesta. La posición final de la amplitud y de la fase de la respuesta se determinan mediante el siguiente procedimiento: Se hace un corrimiento en la dirección del eje x determinando la frecuencia angular de cruce de ganancia o d , o la frecuencia angular de cruce de fase (o*. Se hace un corrimiento en la dirección del eje y (sólo en la curva de amplitud de la respuesta) determinando la ganancia proporcional tfpR* o el coeficiente de acción integral tfiR* del elemento de control.
©
Además se conocen la fase 0 r*((od) para el margen de fase y wr*( cd „) para la determinación del margen de ganancia [en este caso ór*( iod) = cor*( ío „)]. Éstas son las fases que tiene el elemento de control en la frecuencia angu lar de cruce de ganancia wd. hasta ahora desconocida, y en la frecuencia angular de cruce de fase co„, respectivamente. El valor de la fase se deter mina calculándolo (ver la tabla A en U'26), o con valores demostrados que ya contengan la elección de las razones que describimos arriba. * El subíndice r representa valores que pertenecen al elemento de control. O Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33.
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Ingeniería de control Condición de m argen de fase
U'28
O b ten ción d e la co n d ic ió n d e m a rge n d e fa s e El margen de fase S y la fase - 4>r* del elemento de control se utilizan para determinar = -ó r * - 180° + 6. Comentario: Mientras más negativa es la fase <|>r * del elemento controla do, menos negativa se permite que sea la
La construcción de la amplitud inversa de la respuesta, F r(ü))-1*, del ele mento de control se lleva a cabo según U'25; la inversión se alcanza me diante la anulación de los valores de la pendiente, mientras permanecen fijos los puntos de quiebre. La curva se traza hacia ambos lados a partir de la frecuencia angular de cruce de ganancia íoqLa posición de los puntos de quiebre se determina cuando se aplican las razones que se eligieron inicialmente a la frecuencia angular de cruce de ganancia gods determinada a partir del diagrama. La pendiente de las secciones de la curva asintótica de la amplitud de la respuesta FR(co)-1* s e traslada por desplazamiento paralelo de dos líneas auxiliares que se han graficado antes en una parte desocupada del dia grama de Bode. Sólo se necesitan correcciones cuando la intersección queda dentro de su área. A partir de la amplitud de la respuesta inversa determinada FR(w)-1*del elemento de control, se puede leer el (A'pr*) proporcional - o el coeficien te de acción de integración (F ir*) del elemento de control. Con estos va lores se pueden determinar elementos de control de los tipos P, Pl y (PD )-Ti. Se pueden determinar los coeficientes de acción de conexión en serie Á>«. Tnk y Fvk para el elemento de control (PID )-T,. Éstos se transforman en los coeficientes de acción de conexión en paralelo A>r*, 7n y 7v mediante las siguientes relaciones. Para valores grandes de las razones (Fnk/’/'vk > 10) se puede omitir la conversión. is
a PR “
* O
^ P k ¡rp , t \. t* * ’ W n k + * vk/> 1 n
7* n k
nr 1 TIS _ ^ P k R . -r- _ ^Vlk k ^ nk + 7 vk> A IR “ 'r t 1 nk * n k + i vk
El subíndice r (subíndice y) caracteriza valores pertenecientes al ele mento de control (sistema controlado). Pasos numerados para los ejemplos en U'31 y U'33).
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Ingeniería de control C o n d ic ió n d e m a r g e n d e g a n a n c ia
1)29
Obtención de ia condición de margen de ganancia L a d e te rm in a ció n e s m uy p a re cid a a la de la co n d ic ió n de m a rg en de fase: - D e te rm in a r la fa s e
D e te rm in a r la u b ic a c ió n d e lo s p u n to s d e q u ie b re c u a n d o s e a p lic a n la s ra z o n e s a rrib a m e n c io n a d a s al v a lo r de la fre c u e n c ia a n g u la r de c ru c e d e fa se d e te rm in a d a en el d ia g ra m a .
-
D e te rm in a r la p e n d ie n te mp d e la a m p litu d de la r e s p u e s ta in v e rsa F R(ü))-1*d el e le m e n to d e con tro l c e rc a d e la fre c u e n c ia a n g u la r de c ru c e de fa se a)ne. S e tra z a u n a s e c c ió n a s in tó tic a c o n e s ta p e n d ie n te , a tra v é s del p u n to del v a lo r d e a m p litu d de la re s p u e sta d e F y(
- L a am plitud inversa de la re sp u e sta F r ío ) ) - 1 del e le m e n to de control se g rá fica y se evalúa en la d ista n cia C|dB (arriba de e sta se c c ió n asintótica) d e la m ism a form a que se hizo a nte s p ara o b te n er el m a rg en de fase. - E n el c a s o d e un e le m e n to de co n tro l (P ID )-T i, se s ig u e e l m is m o m é to d o q u e e n (D. Nota: S e re co m ie n d a , a d e m á s , d e te rm in a r la fre c u e n c ia a n g u la r d e c r u c e d e g a n a n c ia ü>de- E s a fre c u e n c ia e stá en el p unto de in te rse c ció n d e F y((ú)*de la c o n e x ió n en s e rie d e l s is te m a c o n tro la d o y el e q u ip o d e m e d ic ió n , y la a m p litu d in v e rsa de la re sp u e s ta F Re(w)-1* d e l e le m e n to d e control.
Elección de uno de los dos elem entos de control que se determinaron N o s ó lo la o b te n ció n de la c o n d ic ió n de m a rg e n de fa se , s in o ta m b ié n la d e l m a rg en de g a n a n cia , c o n d u c e a la d e te rm in a ció n de un e le m e n to de control. S e e s c o g e el ele m e n to con el m e n or co e ficie n te de a cc ió n p ro p o r c io n a l - o integral. S a lv o a lg u n a s raras e xc e p c io n e s, c o n e sta e le c ció n el e le m e n to de control tam b ién cu m p le el otro requisito de la determ inación.
Comparación entre elem entos de control determ inados por medio de la elección de distintas razones C o n la e le c c ió n de d istin ta s ra z o n e s s e o b tie n e el m e jo r c o m p o rta m ie n to d e l e le m e n to d e co n tro l d e te rm in a d o p a ra el e le m e n to c o n el v a lo r m á x i m o d e la fre c u e n c ia a n g u la r d e c ru c e d e g a n a n c ia (O0 . E sta fre cu e n c ia a n g u la r - d e te rm in a d a p a ra el circu ito a b ie rto d e c o n tro l - e s un a c a n ti d a d q u e in d ic a la ra p id e z c o n la q u e s e lle g a al v a lo r fin a l e n el circu ito c e rra d o d e con tro l.
* Ver la explicación de los subíndices R y y en la nota al pie de la página U'28.
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c 8 ' o — 40
-
80
- 120
m
-16 0
■o o
3
-200 -240
D ia g ram a de B o d e d e l e je m p lo 1
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see a)
10'
(o
Ingeniería de control
-
Ingeniería de control Ejem plos
U'31
E je m p lo 1 : D eterm in ación d e un ele m en to d e co n tro l Pl o P Problema: Determinar un elemento de control Pl con Tn = 1 0 / o j d y Tn = 10/con para un circuito de control con la conexión en serie de sistema controlado y equipo de medición de comportamiento P-T3 (P-T1-T2). El margen de fase 6 debe ser 40° mínimo, el margen e de ganancia 3.16 mínimo (corresponde a 10 dB). Fia)
r
(1 +1 0 se c -í) ( í +0.8/(5sec)s + 1/(25 see2) j 2]
Solución: De acuerdo con U'13 a U'17, se leen primero los datos carac terísticos KPy = 4, T = 10 seg, co0 = 5 seg-1, en la función de transfe rencia F(s) de la conexión en serie. A continuación, según U'22, se deben trazar la amplitud de la respuesta Fy y la fase de la respuesta Óy de la conexión en serie. Los siguientes pasos de la determinación están numerados dentro de un círculo en el margen izquierdo de las páginas U'27 a U'29. Esos números también se muestran en el diagrama de Bode de U'30 en sus lugares correspondientes. En esos pasos se determinan los siguien tes resultados: 2
14 m F = 0
-> r ne = 2.08 sec
16 /lp Re en dB = 9 —> K.pp^ ~ 2 .82 —► 18 cuDe - 1.2 s e c -1 21 ^pRe < ^PRó K pft = 2 .8 2 .
— 1.32 sec ^
De acuerdo con esta lista, el controlador requerido tiene los datos ca racterísticos: Kpp = 2.82; Tn = 2.08 seg. La rapidez con la que el circuito controlado que usa este controlador llega a sus valores finales se caracteriza por wq = 1.2 seg-1. La determinación de un elem ento controlador P se lleva a cabo en forma parecida a la del elemento de control Pl: El resultado de acuerdo con los pasos numerados es: 3
11
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(Continúa en U'33)
^
'
c
60
0
-
80
-
120
- 160
-2 00
- 240
D ia g ram a de B o d e d e l e je m p lo 2
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-►
see o)
Ejem plos
40
Ingeniería de control
-
In g e n ie ría d e c o n tro l E jem plos
_____________
11' ^
w
18 co0e « 1.3 sec 1 2 1 ^ P R e < ^PR6 ^ pr “ 3 .1 6 ; V0 - K pr • Kpy - 3.16 • 4 - 12.6 -> K f (0) = 1/(1 + V0) - 7.3% . Los pasos 1, 2, 5, 6, 9 ,1 3 y 14 no son aplicables en la determina ción. !Los pasos 7 y 15 sólo se llevan a cabo dentro del diagrama de Bode! Comentario: El factor de control /?f (0) es aquel con el que se reduce una perturbación aplicada entre la salida del elemento de control y el punto de medición. Con un elemento de control P las pertur baciones no se compensan por completo, como es el caso de un elemento de control Pl. E je m p lo 2 : D eterm in ació n d e un ele m en to d e co n tro l (PID)-T! Problema: Para un circuito de control con la misma conexión en serie que la del ejemplo 1, determinar un elemento de control (PID)-T 1 para los siguientes valores: 1/^nk6 “ ú W 1 2 1/7vk6 = 1^6 * 6£0D6 1/^nke “ 1/ ^vke “ 1/^e “ Los márgenes de fase y de ganancia aeben tener los mismos valores que en el ejemplo 1. Solución: La amplitud y la fase de la respuesta se pueden tomar del ejem plo 1. Se deben llevar a cabo los pasos numerados (en círculos) en el margen izquierdo de las páginas U'27 a U'29; esos números también se muestran en la gráfica de U'32. Los resultados de los pasos res pectivos son: 2
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Ingeniería de control Reglas para ajustes
U'34
Continuación de U'33 El elemento de control (PID)-Ti adecuado tiene los datos caracterís ticos: K p fí = 5.34, 7>, = 2.67 seg, T = 0.5 seg. La rapidez con que el circuito de control adecuado llega al valor final se caracteriza por íoq = 6.0 seg-1. R e g la s e m p íric a s p ara a ju sta r e le m e n to s d e co n trol P, Pl y PID Para sistemas controlados con un elemento de retraso de primer orden y un elemento de tiempo muerto - esto es, sistemas controlados sin la p a rte I o factores I - ZIEGLER y N ICHO LS recomiendan los siguientes datos característicos para los tipos de elementos de control arriba citados. Se conocen K p y, T y y 7ty del sistema controlado: Tabla C contro lador P
Pl
KpR
r„
Tv
tï Kpy
0 9
• T ty Ty
3.3 T, y
K p y-T ty
PID
1 2 - Ü K p y • Tfy
2 T ,y
0 .5 7, y
Se d e s c o n o c e n los datos característicos del sistema controlado: Tabla D contro lador
^PR
7„
P
0 .5 A pR crít *
Pl
0.45 K Pfí crit*
0 .8 3 r cr¡,**
0.6 K PRcrít*
0 .5 r cn1* *
PID
r„
0 .1 2 5 r cn1* *
* A>r crít : Valor de Kpr cuando hay oscilación permanente en el circuito de control. ** T’crít : Período de oscilación, cuando hay oscilación permanente.
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Ingeniería de control Abreviaturas y fórmulas
U'35
Tipos de elem entos de transferencia D: Elemento derivado D -T 1 : Elemento derivado con retraso de 1er orden D-T2: Elemento derivado con retraso de 2® orden I: Elemento integral I-7V Elemento integral con retraso de 1 er orden P: Elem ento proporcional PD: Elemento derivado proporcional
Pl: Elemento integral proporcional PID: Elemento derivado integral proporcional P - iy Elemento de retraso de 1er orden P-T2: Elemento de retraso de 2 8 orden (P D )-Tv Elemento P D con retraso de 1er orden (PID)-T 1 : Elem ento PID con retraso de 1er orden T t: elemento de tiem po muerto
Sím bolos usados para térm inos de ingeniería de control e : Variable de error m? : Pendiente de la amplitud de la respuesta en el diagram a de Bode Variable de retroalim entación Variable de entrada Variable de salida Sobrepaso de la función escalón unitario de un elem ento de transferencia w : Variable de referencia w ' : Variable objetivo x : Variable controlada xa : Variable controlada final : Sobretiro de la variable controlada y : Variable reguladora z : Variable de perturbación Frecuencia de la respuesta m R s) Función de transferencia Reo) Am plitud de la respuesta Frecuencia de la respuesta del circuito F0(jto) abierto de control F0(s) : Función de transferencia del circuito abierto de control F0(
Tfjn : Tiem po para alcanzar el estado estable Tjnicio : Tiem po para alcanzar la tolerancia inferior Tu : Tiem po muerto equivalente Tv : Tiempo de derivada 7nk.(7vk): Tiem po de restablecim iento (tiem po de derivada) en la representación en serie del elemento PID con Tn > 4 Tv. Tntó, (Tvks):Tiempo de restablecim iento (tiem po de derivada) en la representación en serie del elemento PID con Tn > 4 Tv, determ inado según el requisito de la fase TnkE. (7vte):T¡empo de restablecim iento (tiem po de derivada) en la representación en serie del elem ento PID con Tn > 4 Tv, determ inado según el requisito del m argen de ganancia £ : Margen de ganancia 8 : Margen de fase
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Tablas
Z 'i
Propiedades térmicas de líquidos
Q
t Líquidos °C
106772> W m K
Do o
m3
CP kJ kg K
k£
Pr3)
Agua
0 20 50 100 200
999,8 998,3 988,1 958,1 864,7
4,217 4,182 4,181 4,215 4,494
0,5620 0,5996 0,6405 0,6803 0,6685
1791,8 1002,6 547,1 281,7 134,6
13,44 6,99 3,57 1,75 0,90
Octano
-2 5 0
738 719
2,064 2,131
0,144 0,137
1020 714
14,62 11,11
Etanol C2H5OH
-25 0 20 50 100
806 789 763 716
2,093 2,232 2,395 2,801 3,454
0,183 0,177 0,173 0,165 0,152
3241 1786 1201 701 326
37,07 22,52 16,63 11,90 7,41
Benceno (o benzol) c 6h 6
20 50 100 200
879 847 793 661
1,729 1,821 1,968 -
0,144 0,134 0,127 0,108
649 436 261 113
7,79 5,93 4,04 -
Tolueno (o toluol) C7H8
0 20 50 100 200
885 867 839 793 672
1,612 1,717 1,800 1,968 2,617
0,144 0,141 0,136 0,128 0,108
773 586 419 269 133
8,65 7,14 5,55 4,14 3,22
Dióxido de azufre
0 20 50
1435 1383 1296
1,33 1,37 1,48
0,212 0,199 0,177
368 304 234
2,31 2,09 1,96
-50 0 20 50
695 636 609 561
4,45 4,61 4,74 5,08
0,547 0,540 0,521 0,477
317 169 138 103
2,58 1,44 1,26 1,10
20 50 100
871 852 820
1,85 2,06 2,19
0,144 0,143 0,139
13060 5490 2000
I68 79 32
20 60 100
866 842 818
-
2,29 2,29
0,124 0,122 0,119
31609 7325 3108
482 125 60 0,02
^8^18
S02
Amoniaco nh3 Aceite lubricante Aceite para transformador
Mercurio Hg Glicerina C3H80 3 1) Conductividad térm.
-
0
13546
0,139
9,304
1558
20
1260
2,366
0,286
15-106 1,24*1011
2) Viscosidad (din.)
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3) Núm. Prandtl
7
'o ^
T ab las P ro p ie d a d e s té rm ic a s d e g a s e s
106rç2) P r 3)
t
Q
CP
x1)
°C
kg m3
kJ kg K
W mK
Pa-s
-
Aire (seco)
-2 0 0 20 100 200 400
1,377 1,275 1,188 0,933 0,736 0,517
1,006 1,006 1,007 1,012 1,026 1,069
0,023 0,025 0,026 0,032 0,039 0,053
16,15 17,10 17,98 21,60 25,70 32,55
0,71 0,70 0,70 0,69 0,68 0,66
Dióxido de carbono C02
-3 0 0 25 100 200
2,199 1,951 1,784 1,422 1,120
0,800 0,827 0,850 0,919 0,997
0,013 0,015 0,016 0,022 0,030
12,28 13,75 14,98 18,59 26,02
0,78 0,78 0,78 0,77 0,76
Cloro Cl
0 25 100
3,13 2,87 2,29
0,473 0,477 0,494
0,0081 0,0093 0,012
12,3 13,4 16,8
0,72 0,69 0,69
Amoniaco
0 25 100 200
0,76 0,70 0,56 0,44
2,056 2,093 2,219 2,366
0,022 0,024 0,033 0,047
9,30 10,0 12,8 16,5
0,87 0,87 0,86 0,83
Oxígeno 02
-5 0 0 25 100 200
1,73 1,41 1,29 1,03 0,81
0,903 0,909 0,913 0,934 0,963
0,024 0,026 0,032 0,039
16,3 19,2 20,3 24,3 28,8
0,73 0,71 0,71 0,71
Dióxido de azufre S02
0 25 100
0,586 0,607 0,662
0,0086 0,0099 0,014
11,7 12,8 16,3
0,80 0,78 0,77
Nitrógeno
0 25 100 200
2,88 2,64 2,11 1,23 1,13 0,90 0,71
1,038 1,038 1,038 1,047
0,024 0,026 0,031 0,037
16,6 17,8 20,9 24,7
0.72 0,71 0,70 0,70
-5 0 0 25 100 200
0,11 0,09 0,08 0,07 0,05
0,141 0,171 0,181 0,211 0,249
7,34 8,41 8,92 10,4 12,2
0,70 0,69 0,71 0,71 0,71
0 50 100 200 300
0,0049 0,0830 0,5974 7,865 46.255
0,0165 0,0203 0,0248 0,0391 0.0718 3) Núm.
9,22 10,62 12,28 15,78 19,74
1,041 0,999 1,007 1,163 1,688
Gases (a 1000 mbar)
nh3
n2
Hidrógeno h2
Vapor de agua (saturado)
1) Conductividad tórm.
13,50 14,05 14,34 14,41 14,41 1,864 1,907 2,034 2,883 6.144
2) Viscosidad (din.)
-
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Prandtl
_
Tablas Esfuerzos permisibles-Maquinado
¡
Esfuerzos permisibles por flexión o torsión, y módulos E y G para materiales elásticos, en N/mm2 Mód. Mód. elást. elást. 0f(perm. Material ang. Tt(perm axial Tipo de carga1} E A B C Acero para resor I 1000 5 00 150 6 50 tes SAE 1078 tem 210000 II 750 350 120 8 00 00 500 plado y revenido III 500 250 80 350 Latón amarillo l 200 100 40 120 ASTM-B 134(274) 110000 II 150 80 30 42000 100 III HV 150; DIN 17222 100 50 20 80 Plata alemana I 300 150 50 2 00 142000 ASTM-B 122 (752); II 250 120 40 5 50 00 180 III 200 100 30 150 65-18 HV 160 Bronce común l 2 00 100 40 120 110000 II 150 80 30 CDA-419 42000 100 III HV 190 100 50 20 80 Bronce fosforado CDA-529 HV 190
117000
I II III
3 00 220 150
150 110 80
50 40 30
4 50 00
2 00 180 150
A: para resortes simples (factor de seguridad = 1.5) B: para resortes conformados (factor de seguridad = 3) C: para resortes sin efecto de históresis (factor de seguridad = 10) 1) Véase el significado en P 1, Parte I. Cantidades características para el maquinado (para torneado exterior longitudinal) Material Aceros:
Resistencia o dureza (en N/mm21)
me
1 - me
1.1
N/mm2
ASTM - A572 0 .7 4 520 0 .2 6 1990 UNS - K04600 720 0 .3 0 0 .7 0 2 26 0 SAE - 1045 6 70 0,14 0 ,8 6 2 22 0 SAE - 1060 770 0,18 0.82 2130 SAE - 5120 0.74 770 0 .2 6 2 10 0 SAE - 3140 6 30 0 .3 0 0 .7 0 2260 SAE - 4135 6 00 0,21 0 ,7 9 2 24 0 0,74 730 0,26 SAE - 4140 2 50 0 6 00 0,74 0 ,2 6 2 22 0 SAE - 6150 SAE - L6 (recocido) 0 ,2 4 9 40 0,76 1740 SAE - L6 (revenido) 0 ,2 4 ASTME1&-74-HRD54 0 ,7 6 1920 Mehanite A 0,74 3 60 0 ,2 6 1270 Hierro colado c/enfr. ASTME18-74-HRD60 0 ,1 9 0,81 2 06 0 ASTM - A48-40B 0.7 4 0 ,2 6 1160 ASTME18-74-HRD33 Los valores especificados se aplican directamente al torneado con herramienta con punta de carburo. Velocidad de corte v = 9 0 , . . . , 125 m/min. Grosor de la viruta h: 0.05 mm< h < 2.5 mm. Angulo lateral normal normal y = 6 o para acero, y = 2 o para hierro colado Relación de esbeltez €s * 4.
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Z4
Presiones de contacto permisibles Valores de
Pc
Características de muñones, cojinetes y placas de apoyo: Material Acero 37
Carga H Carga HZ
Pc 210 240
Material Acero 52
Pc 32Ô 360
Carga H Carga HZ
Lubricación: Véanse manuales o textos (acción hidrodinámica) Acción con lubricación mixta, eje o muñón templado y rectificado1} 2) Material
V m/s
Hierro colado gris Latón rojo (836)
1 Bronce común (938) 0.3 ...1
Hierro sinterizado Hierro sinterizado con cobre Bronce sinterizado Bronce común grafitado Metal DEVA)
<1 3 <1 3 <1 3 5 <1
Pc
Material
V m/s
5 3ronce colado CDA 902 8. .12 Lubricación con grasa <0,03 203) Cojinetes de alta calidac <1 PA 66 (Poliamida) -»0 153) en seco 1 1 lubricación con grasa5) 6 —0 1 HDPE (Polietileno de alta 8 densidad 1 3 12 PTFE (Politetra—0 fluoroetileno, 6 encubierto) 4 1 20 PTFE + plomo <0,005 + bronce 0.5..5 90 4) Cojinete DU
Pc 4. .12 60 15 0,09 0,35 2 .4 0,02 30 0,06 80... 1404) <1
Superficies no deslizantes, de tipo general: Valores máximos hasta el punto de fluencia o cedencia a la compresión del material son posibles de usar. Los valores normales para una pc aceptable son inferiores. Materiales Acero Hierro colado Hierro maleable Bronce Metal para cañón
estable 80..150 70... 80 50... 80 30... 40 25... 35
Valores normales de pc para carga pulsante de choque 60. .100 30. .50 45. 55 20...30 30. 55 20... 30 20 30 10. .15 15. 25 8 .12
1>El producto (p • uípena está estrechamente relacionado con la disipación de ca lor, carga, presión de contacto y tipo de lubricación. 2,Con lubricación hidrodinámica es posible una mayor capacidad de carga (para todos los metales de cojinetes). 3) Duración limitada de las partes en desgaste. 4)Casos extremos (metales especiales). 5) Para espesor de casquillo de 1 mm.
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5
V alo res estad ístic o s ,
í ; *•<*>- w i'o W 0.000 0.007 0,015 0,023 0,031 0,039 0,047 0.055 0,063 0,071 0,079 0,087 0,095 0,103 0,111 0,119 0,127 0,134 0,142 0.150 0.158 0,166 0,174 0.181 0,189 0.197 0,205 0.212 0,220 0,228 0.235 0,243 0.251 0,258 0.266 0,273 0.281 0,288 C.296 0.303 0.310 0.318 0.325 0.332 0.340 0.347 0.354 0.361 0.368 0.375
000 979 957 933 907 878 845 806 763 713 656 591 517 434 340 235 119 990 847 691 519 332 129 908 670 413 136 840 522 184 823 439 032 600 143 661 153 617 054 463 843 194 514 804 063 290 484 645 773 866
e rf 0,000 0,011 0,022 0,033 0,045 0,056 0,067 0,078 0.090 0.101 0.112 0.123 0.134 0,145 0,156 0.167 0.179 0,189 0,200 0.211 0,222 0,233 0,244 0.255 0,265 0.276 0,286 0,297 0.307 0.318 0.328 0.338 0,349 0.359 0,369 0.379 0.389 0.399 0.409 0.418 0,428 0.437 0.447 0.456 0.466 0.475 0.484 0.493 0.502 0.511
2
Función de error
r T dt; erfU)=w0 0J
X)
000 283 565 841 111 372 622 858 078 281 463 623 758 867 947 996 012 992 936 840 702 522 296 022 700 326 900 418 880 283 627 908 126 279 365 382 330 206 009 739 392 969 468 887 225 482 656 745 750 668
X
0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0.70 0.71 0.72 0,73 0,74 0.75 0.76 0.77 0,78 0.79 0.80 0.81 0.82 0,83 0,84 0.85 0.86 0,87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99
0,352 0,350 0.348 0,346 0,344 0,342 0,341 0,339 0,337 0,335 0,333 0,331 0,329 0,327 0,325 0,322 0,320 0,318 0.316 0.314 0.312 0,310 0.307 0.305 0,303 0,301 0,298 0,296 0.294 0.292 0,289 0.287 0,285 0.282 0.280 0,277 0.275 0.273 0.270 0,268 0.266 0.263 0.261 0,258 0.256 0.254 0.251 0.249 0.246 0.244
065 292 493 668 818 944 046 124 180 213 225 215 184 133 062 972 864 737 593 432 254 060 851 627 389 137 872 595 305 004 692 369 036 694 344 985 618 244 864 477 085 688 286 881 471 059 644 228 809 390
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*o (x )
0.382 0,389 0,396 0,403 0,410 0,417 0,424 0,431 0,438 0.444 0,451 0,458 0,464 0,471 0,477 0.484 0.490 0.497 0,503 0.509 0,516 0,522 0,528 0,534 0,540 0,546 0.552 0.558 0,564 0,570 0,576 0,582 0.587 0,593 0,599 0.604 0,610 0,615 0,621 0,626 0.631 0.637 0.642 0.647 0.652 0.657 0.662 0.667 0.672 0 677
925 949 936 888 803 681 521 322 085 809 494 138 742 306 828 308 746 142 496 806 073 296 475 610 700 745 746 700 609 472 289 060 784 461 092 675 211 700 141 534 880 178 427 629 782 888 945 954 914 826
x- t 2 e
-d t
e rt (x ) ,520 ,529 .537 .546 ,554
500 244 899 464 939
,563 323 ,571 616 ,579 816 .587 923 ,595 937 ,603 856 .611 681 ,619 412 .627 047 ,634 586 .642 029 ,549 3^7 .656 628 .663 782 .670 840 .677 801 .684 666 .691 433 .698 104 .704 678 .711 156 717 537 .723 822 .730 010 736 103 742 101 .748 003 .753 811 .759 524 .765 143 .770 668 .776 100 ,781 440 .786 687 .791 843 ,796 908 .801 883 .806 768 .811 563 .816 271 .820 891 .825 424 .829 870 .834 231 .838 508
Tablas V a lo re s estad ísticos i
.2 5= n a e ' ’ X 1 ,0 0 1 .0 1 1 ,0 2
1,03 1,04 1,05 1,06 1.07 1.08 1,09 1 .1 0 1 .1 1 1 .1 2
1.13 1.14 1.15 1,16 1.17 1,18 1.19 1 ,2 0 1 .2 1 1 ,2 2
1,23 1.24 1.25 1,26 1.27 1,28 1,29 1,30 1.31 1,32 1,33 1.34 1,35 1,36 1.37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1.49
0,208 308 0,205 936 0,203 571 0 ,2 0 1 214 0,198 863 0,196 520 0,194 186 0,191 860 0,189 543 0,187 235 0.184 937 0,182 649 0,180 371 0,178 104 0,175 847 0.173 602 0,171 369 0,169 147 0,166 937 0,164 740 0,162 555 0,160 383 0,158 225 0,156 080 0,153 948 0,151 831 0,149 727 0,147 639 0,145 564 0,143 505 0,141 460 0.139 431 0,137 417 0.135 418 0.133 435 0,131 468
t2
■ > - í§ íj e r f (x ) 0,842 701 0,846 810 0,850 838 0,854 784 0,858 650 0,852 436 0 , 8 6 6 144 0,869 773 0,873 326 0,876 803 0,880 205 0,883 533 0 , 8 8 6 788 0,889 971 0,893 082 0,896 124 0,899 096 0,902 0 0 0 0,904 837 0,907 608 0,910 314 0,912 956 0,915 534 0,918 050 0,920 505 0,922 900 0,925 236 0,927 514 0,929 734 0,931 899 0,934 008 0,936 063 0,938 065 0,940 015 0,941 914 0,943 762 0,945 562 0,947 313 0,949 016 0,950 673 0,952 285 0,953 853 0,955 376 0,956 857 0,958 297 0,959 695 0.961 054 0.962 373 0,963 654 0,964 898
Función de error •di ;
X 1,50 1.51 1.52 1,53 1,54 1,55 1,56 1.57 1.58 1.59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1 ,6 6
1,67 1 ,6 8
1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1,75 1.76 1.77 1,78 1.79 1,80 1.81 1,82 1,83 1.84 1,85 1 ,8 6
1.87 1 ,8 8
1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99
e rf(x )
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2
w
o(x) 336 957 0,871 489 0,873 983 0,876 440 0,878 858 0,881 240 0,883 585 0,885 893 0 , 8 8 8 165 0,890 401 0,892 602 0,894 768 0,896 899 0,898 995 0,901 057 0,903 086 0,905 081 0,907 043 0,908 972 0,910 869 0,912 734 0,914 568 0,916 370 0,918 141 0,919 882 0,921 592 0,923 273 0,924 924 0,926 546 0,928 139 0,929 704 0,931 241 0,932 750 0,934 232 0,935 687 0,937 115 0,938 516 0,939 892 0,941 242 0,942 567 0,943 867 0.945 142 0.946 393 0,947 620 0.948 824 0,950 004 0,951 162 0,952 297 0,953 409 0 ,8 6 6 0 ,8 6 8
-X
K
•d i
e r f (x ) 0,966 105 0,967 277 0,968 414 0,969 516 0,970 586 0,971 623 0,972 628 0,973 603 0,974 547 0,975 462 0,976 348 0,977 207 0,978 038 0.978 843 0,979 622 0,980 376 0,981 105 0,981 810 0,982 493 0,983 153 0,983 790 0,984 407 0,985 003 0,985 578 0,986 135 0,986 672 0,987 190 0,987 691 0,988 174 0,988 641 0,989 090 0,989 524 0,989 943 0,990 347 0,990 736 0,991 1 1 1 0,991 472 0,991 821 0,992 156 0,992 479 0,992 790 0,993 090 0,993 378 0,993 656 0,993 922 0,994 179 0,994 426 0,994 664 0,994 892 0.995 111
INDICE DE LA PARTE I A c e le ra c ió n L 2 angular de la gravedad - t i e m p o , diagram a A c o p la m ie n to s de fric c ió n A g u a , dureza del A le acio ne s A m p e re A m p lific a c ió n ó p tica A m p litu d A m o rtiz a c io n e s , cá lcu lo de A n a ra n ja d o de m etilo A n g u lo (medidas) de c o n ta c to de fase de pérdidas sólido A n illo (o zuncho) de c o n tra c c ió n grado de c o n tra c c ió n Area integrales para m o m e n to s de inercia de A ro n , c o n e x ió n de A s ín to ta s A u to in d u c c ió n e le c tro m a g n é tic a S 13,
L 5 L 2 M 1 L3 Q 11 U 6 Z 17 S1 T 4 E 2 D 17 U5 E1 K 13 S15 S15 T1
Barras curvas Barril Bernoulli, te o re m a de Biela y m an ive la (o cigüeñal), m e ca n ism o B in om io, te o re m a del Bobinas (o inductores) con núcleo de aire S 21, de alta fre cu e n cia de rea ctan cia (o reactor) S 24, en aceite patrón pérdidas en to ro id a le s (de anillo) Brillo Bronce fo s fo ra d o
P 12 C 4 N 4
Caída libre
L8
Q 13 Q 13 17 1 10 S 28 L 8 S 16
L10 D4 S 22 S 22 S 25 S 25 S 22 S 23 S 21 T1 Z 17
C a le n ta m ie n to de sólidos y líquidos 0 2 C a le n ta m ie n to e lé ctrico S5 Calor 0 2 ca m b ia d o re s de, 0 11 de co rrien tes paralelas 0 11 de co rrien tes c o ntrarias 0 11 de tra n s fo rm a c ió n (o " la te n te " ) 0 2 de fu s ió n 0 2 de su b lim a ció n 0 2 de va po riza ció n 0 2 espe c ífico (capacidad té rm ic a específica) 0 2, 0 9, Z 13 medio 05 por unidad de masa 0 2 p o te n c ia té rm ic a to ta l 0 7 tra b a jo to ta l (entrante o saliente) 0 7 tra n s m is ió n de 0 10 c o n d u c c ió n té rm ic a 0 10 c o n v e c c ió n té rm ic a 0 10, 0 12 radia ción té rm ic a 0 10, 0 12 tra n s m is ió n to ta l de 0 12 Z 11 c o e fic ie n te de tr a n s m itid o (entrante o saliente) 0 7 C am po m a g n é tic o inten sid ad de S 4, Z 3 T1 Candela T1 Cantidad de luz Cantidad de s u stan cia (moles) 01 C apacidad té rm ic a 0 2, 0 9, Z 13 C ap acita ncia (capacidad e le c tro s tá tic a ) S 3, S 10 C ap acito r (condensador) S10 cilin d rico coaxial S10 en c irc u ito s de C.A. S 17, S 18 Cardán, tra n s m is ió n de L10 Carga elé ctrica S2 P1 Carga, tip o de C av a lie ri,prin cipio de C1 Celsius, escala 01 K 1, M 2 C entro de gravedad
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C en troid e 1 7, K 7, de áreas co m p u e s ta s de un arco circular de un se c to r circu lar de un se g m e n to circular de un se g m e n to de corona de un trap ecio de un triá n g u lo Cilindro (circular recto) con c o rte inclinado cuña cilindrica hueco C irc u ito elé ctrico resonante Circulo C ircu nfe ren cia circ u n s c rita ecua cio ne s de la inscrita Cizallam iento C o cie n te diferencial C o cie n te increm e nta l C o e fic ie n te d ie lé c trico S 10, Colores de te m p la d o C o m b in a cio n e s D 5, C o n de nsa d or e lé ctrico C o n d u c ta n c ia eléctrica C o n d u c tiv id a d eléctrica Cono (circular recto) tru n c a d o C o n s ta n te d ie lé c trica S 10, C o n v e c c ió n té rm ica fo rzada libre C on verg en c ia e sto c á s tic a Cople có nico Cople de discos Corona circu lar Correlación, c o e fic ie n te de Corrie nte elé ctrica alterna (CA) c irc u ito s de c irc u ito s trifá s ic o s densidad de flu jo m a g n é tic o de inten sid ad de p ue nte de m ed ició n C orrie ntes parásitas (o de Foucault) C o rta n te (esfuerzo co rta nte) Coseno(s) d e fin ició n ta bla de valores Z 22,
K K K K K K K K C C C C S S B
8 8 7 7 7 7 7 7 2 4 4 2 5 19 3
E F E P H H Z Z D S S Z C C Z 0 0 0 J Q Q B J
6 2 6 6 1 1 2 14 6 10 2 1 2 2 2 10 12 12 8 11 11 3 8
S S S S S S S
14 14 22 2 16 1 20
S 23 P 6 E 2 Z 23
te o re m a de C ota n g e n te d e fin ic ió n Z 24, ta b la de valores C ou lom b C rem ona, m é to d o de, o de nudos Cuadrado Cubo Cuña cilindrica Cuñas (elem entos m ecánicos) C urvatura radio de
E 6 E 2 Z 25 S 2 K6 B 1 C 1 C4 K 11 H 3 H 2
C h e b ysh e v, d esigualdades de J M Choque o im p a cto M central M c o e fic ie n te de re s titu c ió n M d ire cto M elástico M ob lic u o M p lá stico M ve lo cid a d e s en el Chum acera K c o m ú n (o radial) K de em p uje (o axial) fr ic c ió n en K 12, Z D efasa m ie nto D efle xión té rm ic a D e fo rm a c ió n angular m ó d u lo de D e fo rm a c ió n axial m ó d u lo de D e fo rm a ció n (por unidad) P 1 Delta, co n e x ió n en de tr a n s fo rm a d o re s tr a n s fo rm a c ió n a estrella Densidad N 1, 0 1 Z 5 d e te rm in a c ió n de la D ep ósito s, cá lcu los de Derivada(s) de fu n c io n e s D esaceleración Desecadores D eslizam ien to , v a lo r lim ite D esviación e stándar D ete rm in a n te s D 7, Diagrama a ce le ra ció n -tie m p o e sfu e rz o -d e fo rm a c ió n re co rrid o -tie m p o v e lo c id a d -tie m p o
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8 8 8 8 8 8 8 8 8 12 12 20
S 15 0 3 P6 P6 P2 P2 P 2 S 28 S 33 S 8 Z 10 N 3 D 7 H 1 H 4 L 5 U 6 K9 J 4 D 8, L3 P 1 L3 L3
"d ie n te de sierra" (velocidades) R 1 7 D iferencial de arco D ila ta ció n té rm ica 0 3 c o e fic ie n te lo n g itu d in a l de 0 3 c o e fic ie n te v o lu m é tr ic o de 0 3, Z 11 Dínamo (m áquina de C.C. ) S 30 Dioptría T 4 D istan cia focal T 4 D ivisor de tensió n S 8 Dureza (escala alemana dH) u 6 Ecuación c u a d rá tic a o de segundo D grado N de co n tin u id a d t e rm o d in á m ic a de e stado 0 Eficacia de ilum in a ció n Z Eficiencia (o ren dim ie nto) M Ejes m ecá nico s ("fle c h a s ") P 11, Q Elasticidad lím ite de P m ó d u lo de P 2, Z 18, Z Elem entos de co m p re s ió n de P e sfuerzo c o n s ta n te Elem entos q uím icos u B Elipse F ecuaciones F fo c o s de la P Elongación a la ruptura N Empuje ascensional Energía M c in é tic a (ecuaciones) m a g n é tica S Engranaje epicíclico (planetario) Q Engranes Q 1, Q cá lcu lo de dientes cilin dricos Q có nic os Q ángulos Q fu erza axial Q fu erza radial Q die ntes en v (Folmer) Q Q 1, Q e v o lv e n te in te rfe re n cia en Q Entropía Q K Equilibrio, co n d icio n e s de Equivalencias de diversas A unidades
3 4 4 21 4 10 1 19 2 1 3 4 4 2 3 4 12 5 2 1 3 3 3 3 3 2 2 5 4 9
Equivalencias de unidades m étricas usuales longitud A 7, A 7, área v o lu m e n A 7, A 7, masa A 7, tie m p o A 7, fu erza Equivalencias m étricas de unidades inglesas usuales Esbeltez, relación de Esca lon am ien to de ve lo cida de s Esfera con p e rfo ra c ió n cilindrica con p erfora cio ne s có nicas s e g m e n to esférico tru n c a d o Esfuerzo(s) círculo de M o h r para co m b in a d o s P 1, c o rta n te c o rta n te s , c o m b in a c ió n de P 1, de c o m p re sió n de flu e n cia de rup tura de tensió n P 1, en barra curva norm ales, c o m b in a c ió n de permisible(s) P 1, P 2, P 6, por fle xió n por to rsió n principales Esperanza m a te m á tic a Espiras, n úm ero de Espejo c ó nca v o c o n ve xo plano Estrella, c o n e xió n en en tr a n s fo rm a d o re s estre lla -de lta, co n e xió n tr a n s fo rm a c ió n a delta Euler fó rm u la para co lu m n a s núm ero de Evento(s) c o le c tiv a m e n te e xh a u stivo s m u tu a m e n te e x clu ye n te s inte rse cció n de unión de universal va cio
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A A A A A A A
7 8 8 8 9 9 9
A8 P8 R1 C 2 C 3 C3 C3 C3 P1 P13 P11 P6 P10 P2 P1 P1 P2 P12 P9 Z 18 P3 P7 P13 J 4 S 22 T3 T3 T3 S 28 S 23 S 32 S8 P8 F4 J1 J1 J1 J1 J1 J1
E xpresiones a lg eb raicas E xpresiones e xp o n e n cia le s
D 3 D 2
Factor de calidad S 1S de pérdidas S 1S N e de fo rm a de resistencia N 6, Z 1S de p o te n cia , c o rre c c ió n de S 29 de resistencia N e, Z 1S Farad SS Faraday, ley de S 1S Fasores S 17, S 18, S SS Flexión PS Flujo con fric c ió n N 4 laminar N e m a g n é tic o S S, S 12 de dispersión S12 densidad de S S, S 12 sin fric c ió n N 4 n e tu rb u le n to T1 Flujo lum ínico Z 21 de lámparas Fou cau lt, c o rrie n te s de S 2S Fourier, series de D 12, D 13 D 14 Fracción m olar en una m ezcla 0 8 L1 Frecuencia crítica Q 10 de rota ción L1 Frecuencia angular (circular) M 6 K 9, K 12 Fricción (o rozam iento) ángulo de K9 c o e fic ie n te s de K 9, K 10, K 20 Q 11 cople de d in ám ica K 9, K 12 en cables K 1S K 12 en ch um aceras N e en líquidos N e pérdidas por e stá tica K 9, Z 20 fa c to r de resistencia N e, Z 1S K 12 p o te n cia de K 12 rodante M1 Fuerza(s) c e n trífu g a M 5, Q 1S co e rc itiv a S 2S de c o rte P e, R S e le c tro m o triz S S, S 1S e ntre polos m a g n é tic o s S 1S m a g n é tica s S 1S m a g n e to m o tr iz S4 K2 polígono de
radial y axial (engranes) Q S, sobre c o n d u c to r e lé ctrico Función(es) derivadas de H 4 , H S, exponencial F 4, hip erbólicas inversas D 2, log arítm icas tr ig o n o m é tr ic a s inversas cosenoide senoide Funciones densidad de probabilidad beta de C auchy de Erlang e xpo ne ncia l norm al u n ifo rm e Funciones masa de probabilidad bin om ial de Bernoulli de Pascal de Poisson g e o m é tric a Fusión O 2, calo r de p u n to de
Q 4 S 13 H e H S G1 G2 H e E2 E7 E2 E2
J J J J J J
e e e 7 7 7
JS JS JS Je Je Z 12 ZS
Gas(es) O 4, Z 12 c o n s ta n te de un c o n s ta n te universal de los 0 4 leyes te rm o d in á m ic a s O4 m ezclas de OS y va po re s, e stados de O4 c a m b io s de OS G enerador e lé ctric o regla de la m ano derecha S 11 de C.C. S S0, S S1 Geolibra AS E1 Grado, unidad angular Gravedad aceleración de la M1 K1 c e n tro de K1 fu erza de (peso) Q 11 Guía recta G uldinus, regla de (o de Pappus) IS H exágono
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B2
Henry S4 N 4 H idrod iná m ica f a c to r de resistencia friccio n a l Z 15 N1 H id ro stá tic a Hipérbola e cua ció n de la F3 equilátera F3 fu n c io n e s h iperbólicas G 1, G 2 H um edad c o n s ta n te en aire de recipie ntes cerrados U 6 S 22 H istéresis m ag né tica pérdidas por S 23 Z 14 In can de sce ncia, colores de ,lu m ina ción ley de la T 2 Z 21 e ficacia de T1 unidad de Z 21 valores de Im pedancia(s) S 16, S 17, S 18 d e te rm in a c ió n de S 20 Im pulso N5 angular N5 te o re m a s del In dicadores quím icos U 4 In du cción e le c tro m a g n é tic a S 13 ley de Faraday S 13 m ag né tica S 12 rem an en te S 23 In s tru m e n to s e lé ctrico s S 34 Inte gració n I1 num érica I8 I2 por partes In tegral I 3, I 4 , I 5, I 6 de área y v o lu m e n I7 definida I1 indefinida I1 Intensidad lum inosa T1 Intensidad m ag né tica co e rc itiv a S 23 In te rca m b ia d o re s de iones U6 D17 In terés, cá lcu lo de D 17 tip o de J o ule
M 1, S 1
Kelvin, escala de K ir c h h o ff, leyes de
0 1 S6
Lámina " D y n a m o " propiedades m ag né ticas
Z4 Z4
T4 Lentes fó rm u la s de las T4 Límite P1 de elasticidad P1 de flu en cia P1 de p ro po rcio na lid ad P1 de resistencia N7 Líquidos, salida de D2 Logaritm o(s) D2 cá lcu lo con c o nve rsio ne s D2 D2 de base e D2 de base 2 D2 de base 10 D 2, Z 26 naturales Longitud c a m b io de (de form ac ió n) P 2 Lumen T1 L um inosidad (o brillo) T1 T4 Lupa Luz T1 rayos de T3 refle xió n de T3 refra cc ió n de la T2 M a cla u rin , serie de D10 T4 M a c ro fo to g ra fía M anivela y corredera, m e ca n ism o de L10 M áq uin as e léctricas S 11 reglas de los tres dedos S 11 M áq uin as hidráulicas N5 Masa M 1, M 2 a tó m ica U2 de una mezcla 0 8 flu jo de 0 7 molar 0 4, Z 12 m o m e n to de inercia de I1 2 M ate ria les, propiedades de los c a ra cterística s Z 1, Z 2 e lé ctrica s ca ra cterística s hidráulicas Z 15, Z 16 c a ra cterística s m a g n é tica s Z 3, Z 4 c a ra cte rística s m ecá nica s de m etales Z 18, Z 19 Z 11 c a ra cte rística s té rm ica s gaseosos Z 10 sólidos y líquidos Z 5 a Z9 M á x im o s , valores H3 M e d icio ne s e lé ctrica s S 9, S 2 0 , S 3 4
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M e d id o r e lé ctrico de bobina m óvil con te rm o p a r de hierro dulce e le c tro d in á m ic o e le c tr o s tá tic o M e ta l rojo M é tric a e inglesa unidades SI unidades US M e tro lo g ía s té cn ica s M ezclas frig o rífica s M ezclas de gases capacidad té rm ic a masa molar masa to ta l presiones p ro po rc io ne s te m p e ra tu ra v o lú m e n e s M ic ro s c o p io M ín im o s , valores M ó d u lo s de sección (o de resistencia) axial polar M ó d u lo elástico angular axial M o h r, círculo de M o m e n to ce n trífu g o (p ro d u c to de inercia) M o m e n to e stá tic o de un vo lu m e n de una línea de una su pe rficie M o m e n to fle x io n a n te M o m e n to de fu erza par de fuerzas te o re m a de m o m e n to s M o m e n to de inercia (axial o polar) de masa aro circu lar cilindro cilin dro hueco cono esfera prism a recta ng u la r to ro de un vo lu m e n cilindro prism a re cta n g u la r
S 34 S 34 S 34 S 34 S 34 Z 17 A5 A5 A5 A5 U5 O9 O8 O8 O8 O 8, O 9 O9 O9 T4 H 3
P3 P7 P 6, Z 19 P 2, Z 19 P 13
de una línea I9 de una su p e rfic ie o área I 10 círculo I11 re ctá n g u lo I 12 te o re m a de los ejes paralelos o de Steiner I 9, M 2 M o m e n to resistente (m ódulo de sección) P 3, P 7 M o m e n to de ro ta ció n M 2, M 4 M o to r e lé ctrico de C .A . S 32 asíncrono (de ind uc ció n) S 32 síncrono S 32 de C.C. S 3 0 , S 31 " s h u n t" S 3 0 , S 31 serie S 3 0 , S 31 "com po un d" S 3 0 , S 31 regla de la m ano izquierda S 11 M o v im ie n to acelerado L 4, L 5 circu lar (ro ta ció n) L 4, M 4 diagram as de L 3, L 5 a L 8 a rm ó n ico L4 caída libre y tiro L8 en plano inclinado L9 o s cila to rio L7 d in á m ic a del M1 rectilíneo (traslación) L4 u n ifo rm e L 4, L 5 M uelles de hojas Q7 M ú ltip lo s y s u b m ú ltip lo s A 2
I1 0 I8 I7 I7 P3 K 1 K 1 K1 I9 I 12 M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 I1 2 I 12 I1 2
N eu tro (en sistem as elé c trico s) N orm as del uso del SI N úm ero s co m p le jo s O c tá g o n o regular O hm , ley de Onda, lo n g itu d de O rdenaciones Oscilaciones Pandeo de co lu m n a s Pappus, regla de Parábola, e cua ció n de la Paralelogram o Pascal, triá n g u lo de Péndulo c e n trífu g o c ó n ic o de to rs ió n
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S 28 A 4 D 15, D 16 B2 S2 S 2, S 5 T3 D 5, D 6 L 7, M 6 P8 I8 F2 B1 D4 M7 M7 M7
M 7 físico M 7 simple pH, valores U 4 B 2 Pentágono regular Permeabilidad m a g n é tica S 16, Z 3 Permeancia m ag né tica S 4, S 12 Perm u tacio ne s D 5 K 1, M 1 Peso Pirámide re cta n g u la r C 1 recta C 1 tru n c a d a C1 Plano inclinado K 10, L 9 K 14 Poleas R 2 con engranajes R 2 escalonadas R1 f a c to r de la serie K 14 fija y m óvil fric c ió n en K 13 R1 núm ero de pasos K 14 p olipa stos B2 Polígono cualquiera K 14 Polipasto d iferen cial K 14 P o litró pico , proceso 06 e xp o n e n te 0 5, 0 6 Potencia A 8, A 9, M 1 de una lente T 4 para m áquinasR4 h erram ienta Potencia elé ctrica S1 a ctiva S 16, S 29 aparente S 16, S 29 f a c to r de p ote nc ia S 16, S 29 f a c to r reactivo S16 rea ctiva S 16, S 29 Potencias y raíces, D1 fó rm u la s para P o te n ció m e tro S8 Presión 01 a b so lu ta y m a n o m è tric a 0 1 a tm o s fé ric a 01 de v iru ta R3 N 1 d is trib u c ió n de la N 1 en un líquido parcial 08 N2 sobre su pe rficie s Presión y esfuerzo A 8, A 9 Prisma recta ng u la r C1 oblicuo C1 recto C1 Prismatoide C4 Probabilidad J 2
fu n c ió n densidad J3 fu n c ió n masa J3 Procesos is e n tró p ic o (o adiabático) 0 6 isobàrico 0 6 iso m è trico 0 6 iso té rm ico 0 6 p o litró p ic o 0 6 P roducto de inercia 1 10 P roductos q u ím ic o s U 2, U 3, U 5 Proporciones de masa en una mezcla 0 8 Proporciones v o lu m é tric a s en una m ezcla 0 9 S 27 Prueba de c o rto c irc u ito Prueba de vacío (circu ito abierto) S 26 Puente S9 de W h e a ts to n e (C.C.) S9 de m e d ició n para C.A. S 20 Punto de e b u llición Z 5, Z 10 H 3 Punto de in fle xión Punto triple 01 Q uím icos e le m e n tos p ro d u c to s rea ctivos
U1 U 2, U 3, U 5 U5
Radiación T1 Z 14 e q u iva le n te fo to m è tr ic o de Z 14 c o n s ta n te de Radián E1 Radianes, m edida en B 3, E 1 D1 Raíces, fó rm u la s para Raíz cuadrada D3 Rayos X T3 Reactivos U5 F 1 Recta, ecua cio ne s de la B1 Rectángulo R efracción T2 índices de T4 poder re fra c tiv o S11 Regla de los tres dedos de la m ano derecha (generador) S11 de la m ano izquierda S11 (m otor) Regla de Sim pson ,8 Regresión lineal J7 Relación de tra n s m is ió n M 4 Relaciones e le c tro m a g n é tic a s S11 y m ecá nica s
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S 4, S 12 R eluctancia m ag né tica R em achado Q 12 d iá m e tro de agujero revisión de placa Q 12 Q12 tip o s de D 17 R e n dim ien tos, cá lcu lo de Resiste ncia a la te n s ió n (ú ltim a ) P1, R 3 al ro d a m ie n to K 12, Z 20 fa c to r (friccional) N 6, Z 15 Resiste ncia e lé ctrica S 2, S 17, S 18 c o e fic ie n te té rm ic o de la S 5, Z 1 de un c o n d u c to r S5 Z1 R esistividad elé ctrica R esistores S 5, S 6, S 7 Resolución g e o m é tric a D18 de ecua cio ne s Resonancia S 19 c o rrie n te en la S 19 Resorte Q 7 a Q 9 de espiral Q8 de fle xió n Q7 de hojas (muelle) Q7 de te n sió n Q9 de to rs ió n Q 7, Q 9 helicoidal Q 7, Q 9 R evoluciones por unidad L 1 de tie m p o N6 Reynolds, núm ero de Ritter, m é to d o de K5 R od am ien to L9 K12 resistencia al R oentgen (o X), rayos T 3 Rotación M 5 e sfuerzos por m o v im ie n to de L 4, L 6 S14 p o s itiv a (en fasores) Z16 Rugosidad en tuberías Salida de líquidos en recipientes S ección áurea S e c to r circu lar S e g m e n to circu lar Seno(s) d e fin ició n Z 22, ta bla s de valores te o re m a de Serie a ritm é tic a Serie b in ó m ica o binom ial Serie g e o m é tric a
N7 D18 B 3 B 3 E 2 Z 23 E6 D9 D 10 D9
S im pso n, regla de ,8 Steiner, te o re m a de 1 9, M 2, P 3 S u blim ación Z5 calor de 0 2 S u s titu c ió n , m é to d o de ,2 (en integración) Tablas trig o n o m é tr ic a s Z 2 2 a Z 25 Q12 T a m b o r cilin drico Tangente(s) d e fin ició n E2 Z 2 4 , Z 25 ta bla de valores te o re m a de E6 D 10, D 11 T a ylo r,se rie de T e m p e ra tu ra , c o e fic ie n te de (en resistencia eléctrica) S 5, Z 1 T e m p e ra tu ra , d iferen cia m edia log arítm ica de 0 11 T en sión elé ctrica S2 c irc u ito s trifá s ic o s S 28 de C .A. S14 d iferen cia de pote ncia l S2 d iviso r de S8 inducida (ley de Faraday) S 13 regla de las te n sio n e s S6 T en sión e le ctro q u ím ica Z2 (serie) T en sión m a g n é tic a S 4, S 12 T e tm a je r, fó rm u la de P8 T ie m p o de ascenso (en tiro) L 8 T ira bu zón , regla del S11 Tiro alcance y tie m p o L8 h orizontal L8 inclinado L8 v e rtica l L8 T orn aso l, papel U 5 T orn illo de fu erza K11 T orn illo sin fin , engranaje de Q 4 T orn illos, unión por Q6 Toro C 4 Torsión P7 P7 e sfuerzos por M1 Trabajo e lé ctric o S1 Trabajo y energía A 8, A 9 T ra n s fo rm a c io n e s delta-estrella (conexiones) S 8, S 28 T ra n s fo rm a c io n e s tr ig o n o m é tr ic a s E4 su m a s y d iferen cias E4 T ra n s fo r m a d o r e lé c trico S 2 6 , S 27
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co n e xio n e s, g ru po s de S 33 d elta-estrella S 33 T ra n s m is ió n de banda o correa K 13, R 3 B 1 T rapecio fó rm u la trapecial 18 B1 Triá ng ulo F 1 ecua cio ne s del B 2 e quilátero E 6 o b tu sá n g u lo E 2 re ctá n g u lo Unidades auxiliares del SI kelvin Unidades básicas del SI m etro kilog ra m o kelvin ampere candela mol Unidades co m p le m e n ta ria s radián e stereorradián Unidades derivadas n e w to n pascal hertz joule w a tt Unión de cuña transversal V a lo r e ficaz (r.c.m . o r.m .s.] en C.A. V a lo r m á x im o (en C.A.) o a m p litu d V a lores m á x im o s y m ínim o Va po res
A 4 A 4 A1 A1 A1 A1 A2 A2 A2 A2 A2 A3 A3 A3 A3 A4 A4 Q 6
m ezclas de 08 V a p o riz a c ió n , calor de E 2, Z 12 Va ria ble aleatoria J 2 Variables ene rg ética s de una mezcla 0 9 Variables te rm o d in á m ic a s de estado 01 Va ria ncia J4 L 2 V e locid ad L 2 angular crítica por fle xió n M 6 en caída libre y tiro L8 e sca lo n a m ie n to de R1 - t i e m p o , diagrama L3 K 14 V e n ta ja m ecánica P 4, P 5 Vigas de se cció n u n ifo rm e P 4 de igual resistencia P5 V isco sid a d cin e m á tic a N 1 del aceite Z 16 del agua Z 16 d in ám ica N1 V o lt S2 V o lu m e n específico 01 fra c c ió n v o lu m é tric a 09 m olar 01 parcial 09 W a tt W h e a ts to n e , p ue nte de
M 1, S 1 S 9
S14
X, rayos
T 3
S14 H 3 0 4
Y (o estrella), co ne xió n
S 28
Z igzag, co ne xió n
S 32
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INDICE DE LA PARTE II A n á lisis e stad ístico F'1 a xio m a s de probabilidad cu rva ca ra c te rís tic a de acep tac ió n E' 10 d e te rm in a c ió n de para E' 6 valores d is c re to s dados E' 6 cá lcu lo de E' 6 m é to d o s g rá ficos diagram as de V e n n para la rep re sen ta ció n de e ven tos E' 1 d is trib u c ió n de Gauss n orm alizada fu n c ió n de E' 7 d is trib u c ió n densidad de E' 7 p ro babilidad, normal e x p o ne ncia l c o m o fu n c ió n de c o n fia bilid a d E' 13 E' 9 h ip erg eo m é tria fu n c ió n de error E' 8 integral de probabilidad de E' 8 Gauss m edia X y va lo r esperado p E'3 -E' 5 E' 9 m ue streo te o re m a del lím ite central E' 3 E' 10 seguridad de un m ue streo va lo r A Q L E' 1 1 variable ale atoria A E' 2 A n á lisis de esfuerzos P7 co n v e rs ió n a iso s tá tic a e cua ció n de la cu rv a elástica P 4 energía de d e fo rm a c ió n U a la fle xió n P' 4 e stado de esfue rzo en tres d im en sion es P'1, P' 2 fle x ió n y to rs ió n en ejes P 1 m o m e n to s de inercia I y m od ulo s de se cció n S, P 3 P1 principales P3 te o re m a de Steiner viga de sección tran sversa l u n ifo rm e P'4, P'5, P' 6 P7 viga s h ip e re stá tica s Ecuación algebraica ceros, raíces,
G' 1
de cu alqu ier grado, G'1-G' 4 d efin ic ió n , G'1 G '2-G '4 m é to d o de Horner, relación entre ceros y G'1 c o e fic ie n te s , s o lu ción a proxim ad a, G'5-G' 8 a p ro x im a c ió n por in terpo lación , G'8 m é to d o de la secante, G'7 m é to d o de N e w to n , G'6 regula fa lsi, G'8 G'2 s o lu ción general, G'1 te o re m a de Descartes,
Ecuación diferen cial D' 1 lineal D'2, D' 3 orden n con co e fic ie n te s D'6-D' 7 co n s ta n te s prim er orden D' 4 D' 4 se gu nd o orden con co e fic ie n te s D' 5 co n s ta n te s D' 1 ordinaria D' 1 parcial ED D' 2 reso lu ción de una s o lu ción general de la EDL D' 2 no h om ogénea red ucció n del orden por s u s titu c ió n de variable para la reso lu ción de una ED de orden n D'8-D' 1
Engranes, 0 '1 -0 ' 9 adendo, 0 '1 , 0 ' 3 capacidad de carga del d ie nte, 0 '4 , 0 '5 , 0 '7 , 0 ' 8 cilin d rico s rectos, 0 1 ', 0 ' 4 claro en el fo n d o , 0' 1 có nicos, 0 '7 -0 '8 dedendo, 0 '1 , 0 ' 3 d iá m e tro de adendo, 0' 2 0 2 ', 0 ' 3 dedendo, la base, 0' 2 paso, 0' 2
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die ntes de e v o lv e n te 0'1 d im en s ion es del piñón, e x te n s ió n , m ód ulo circular, normal, paso circular, normal, razones de ancho de diente,
-0' 6 0' 6 0' 2 0' 1 0' 1 0' 1 0' 1 0' 6
Función de fra c cio n e s B' 1 racionales d e s c o m p o s ic ió n en fra c c io n e s B' 1 parciales
Ingeniería de c o n tro l U'1 -U '3 5 a c tu a d o r U' 6 bloque de fu n c ió n U' 3 c irc u ito U '2 4 co m p le to a m p litu d de la respuesta U' 3 de c o n tro l ca n tid a d e s y fu n c io n e s del U' 7 c o m p o n e n te s del U' 4 estabilidad del U' 18 fu n c ió n de tra n s fe re n c ia del U' 9 c o m p a ra d o r U' 6 c o n tro la d o r U' 6 cá lcu lo para un U' 18 lineal, d e te rm in a c ió n g rá fica U' 21 variable de salida del U' 6 criterio de N y q u is t U' 19 de H u rw itz U' 18 diagram a de Bode U'3, U'2 2, U' 2 3 U'29, U' 31 de co n tro l U' 3 e s tru c tu ra s básicas U' 4 línea de acción U' 3 p u n to de ra m ific a c ió n U' 3 regla para sum ar U' 4 e le m e n to de c o n tro l d e te rm in a c ió n del U '2 5 - U '2 6 ele cción del tip o de U '2 0
final más im p o rta n te reglas para P, PI y PID siste m a s de de retraso de prim er orden (PD)-T 1 y (PID)-T 1 de c o m b in a c ió n en grupo equipo de co n tro l final de m ed ició n fa c to r de co n tro l fre c u e n c ia angular c a ra cte rís tica c a ra cte rística s de respuesta en de cruce de ganancia de vé rtic e propia fu n c ió n de tra n s fe re n c ia de c irc u ito abierto fo rm a norm alizada m ezcla p ro d u c to sum a g anancia de c irc u ito abierto p u n to de regulación regla a m pliada de re tro a lim e n ta c ió n de re tro a lim e n ta c ió n sis te m a co n tro la d o variable c o n tro la d a p u n to de m e d ic ió n de la sobrepaso de la sobrepaso de la variable c o n tro la d a tie m p o de retraso de tra n sició n in v e n to e qu iva len te tr a n s fo rm a d a de Laplace variable co n tro la d a final de error de p ertu rb a ció n de referencia reguladora re tro a lim e n ta d a
M a n u fa c tu ra y procesos d is p o s itiv o s de c o rte
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U' 6 U' 2 0 U' 33 U' 6 U' 14 U' 17 U' 6 U' 5 U' 7 U' 1 U' 3 U' 7 U' 3 U' 1 U' 7 U' 12 U' 12 U' 12 U' 7 U' 6
U' 10 U' 9 U' 4 U' 5 U' 5 U' 8 U' 2 U' 8 U' 1 U' 2 U' 2 U' 10 U' 5 U' 6 U' 6 U' 6 U' 6 U' 5
R' 1
e m b u tid o s R'6, fuerzas de sujeción de las pieza de e xtru s ió n resistencia de flu e n cia media e xp lic a ció n de la sim b o lo g ia R'5 (R'1 a labrado de lám ina en frío d iá m e tro inicial de la pieza base prim era y segunda etapas m aq uin ad o R'1 , R'2, R'3, p ote ncia y fu erza de co rte de avance
R' 8 R' 4) R' 6 R' 6 R' 6 R' 4 R' 2 R' 4
ÍD
a te m á tic a s fin an cie ras a m o rtiza ció n capital in s o lu to ta bla de anualidades cierta
R' 7 R' 8
a
a quinaria y ele m e n tos cojines de d eslizam ien to Q'5, c o rta n te debido a carga tran sversa l d e fo rm a c ió n d im en s ion es del cubo ejes y árboles e m b ragues cá lcu lo de la superficie de fric c ió n ca le n ta m ie n to perm isible de fric c ió n Q'7, pérdida de energía estabilidad fre n o s de fric c ió n de disco zapatas presión de c o n ta c to uniones de pasador de abrazaderas cono ejes rebordes m últiple s ranura
R' 7
Q' 1 Q' 1 Q' 3 Q' 1
Q' 7 Q' 8 Q' 8 Q' 7 Q' 1 Q' 9 Q' 9 Q' 9 Q' 6 Q' 2 Q' 2 Q' 2 Q' 3 Q' 3 Q' 2
F' 5 F' 5 F' 5 F' 4 F' 4
F' 4 c o n tin g e n te F' 4 n ota ción ordinaria F' 4 relaciones entre F' 4 casos especiales de anualidades F'6, F' 7 F' 6 anticipa da F' 6 c recien te F' 6 d ecre cie n te F' 6 diferida F' 6 n ota ción F' 6 p erpetuidad relaciones entre d iferen te s F' 6 tip o s de anualidades F' 2 ta sas de d escu e n to s F' 2 e fe c tiv a F'2, F' 3 fu erza de d e s c u e n to nom in al F' 3 relación entre d, d * , y X relación entre interes y F' 3 d e scu e n to F' 3 tasa e fe c tiv a de interes F' 3 de d es c u e n to nom in al F' 3 F' 1 ta sas de interes a cu m u la ció n de interés F' 1 c o m p u e s to A' 1 ve c to ria l F' 1 e fe c tiv a fu erza F'1, F' 3 nom in al F' 1 F' 1 n ota ción F' 1 relaciones entre i, i * , y X
Radiaciones carga de ionización c o rrie n te de ionización energía de ionización Wi radiabsorción radiación ionizante ra d ia ctivida d a bsorción e qu iva len te c o n s ta n te de a ctivid a d
Sistem as elé ctrico s c irc u ito s y redes c o rrie n te nom inal instalacio ne s in te rru p to re s reso lu cion es de redes lineales
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T' 1 T' 1 T' 2 D T' 2 T' 1 T' 2 T' 2 T' 2
S' 1 S' 3 S' 3 S' 3 S' 1
te o re m a de s u pe rp osición de T hé ven in
S' 1 S' 2
Tablas ca ntid ad es ca ra cterístic a s para el m aq uin ad o Z' 3 e sfuerzos perm isibles por fle x ió n o to rs ió n Z' 3 propiedades té rm ic a s de líquidos Z'1, Z '2 s u pe rficie s no deslizantes Z' 4 valores de pc Z' 4 valores e sta d ístico s Z'5 -Z' 6
T ra n s fo rm a d a s de fu n c io n e s de Fourier C' 1 de Laplace C'4-C' 5 reglas de o pe ra ción C'1, C '3
ta bla de c o rresp on de n c ia te o re m a de c o n v o lu c ió n
V e c to r cá lcu lo de los c o m p o n e n te s de un c o m p o n e n te escalar de un coseno d ire c to r de un d iferen cia m a g n itu d de un p ro d u c to de un escalar por un de dos v e c to re s libres escala de dos ve c to re s libres v e c to ria l de dos ve c to re s libres suma unitario
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C' 6 C' 5
A' 1 A' 1 A' 1 A' 2 A' 1 A' 1 A' 3 A' 3 A' 3 A' 2 A' 1