Lecciones de Estadística (Pg 2 60)

Vicente D. Estruch Fuster Valentín Gregori Gregori Almanzor Sapena Piera

LECCIONES DE ESTADÍSTICA

. d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.
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Primera edición  edición ,, 2010     . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

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ISBN  : ISBN  : 978-84-8363-59 978-84-8363-599-5 9-5     Ref. editorial:  Queda prohibida la reproducción, distribución, comercialización, transformación, y en general, cualquier otra forma de explotación, por cualquier procedimiento, de todo o parte de los contenidos de esta obra sin autorización expresa y por escrito de sus autores.

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Sumario ´ Indice de notaciones

9

Pr´ ologo

11

1

13

Estad´ ıstica Descriptiva

1.1 Rep Repres resen entac taci´ i´ on de vari riaabl bles es es esta tad d´ıs ısti tica cass . . . . . . . . . . . . . 13


1.1. 1. 1.11

Pob obla laci ci´ oń y variable estad´ıs ısttica . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3

Tablas de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.4

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.5

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.6 1.1 .6

Repres Rep resen entac tacion iones es gr´ aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Medida Medidass de cen centra traliz lizaci aci´ oń y de dispersión on on de una variable estad´ıstica cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.2. 1. 2.11

Medi Me dida dass de pos posic ici´ i´ on central . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 .2.4 .4

Prop Pr opie ieda dade dess de la me medi diaa ari ritm tm´étic e ticaa . . . . . . . . . . . . 21

1.2.5

Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.6

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.7

La media ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.8

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.9

Otras medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.10 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.111 Medidas 1.2.1 Medidas de dispers dispersi´ i´ on de una variabl on variablee estad´ e stad´ıstica ıst ica cuantitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

4

1. 3 1. 4 1.55 1. 1. 6 2


Sumario

1.2.12 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . 1.2.13 Nota . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.14 Estad´ısticos robustos . . . . . . . 1.2.15 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . Prooyec Pr ectto: Med Medid idas as de as asim imet etrr´ıa y fo form rmaa 1.5.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . Pro roy yecto: Dia Diagrama Box-and-whis isk ker . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

28 29 30 30 32 43 48 49 52

Distribuciones bidimensionales

53

2. 1

53 53 54 54 55 56 56 58 58 61 61 61 62 63 65 65 66

2.22 2.

2.33 2.

2. 4 2. 5 2. 6

Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 .1.1 .1 Vari riaabl blee es esta tad d´ıs ısti tica ca bid idim imeens nsio iona nall . . . . . . . . . . . . 2.1. 2. 1.22 Re Repr pres esen enta taci ci´ oń gráfica on afica de una distribución on bidime bidimension nsional al 2.1.3 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 2.1 .4 Med Medida idass de cen centra traliz lizaci aci´ oń y dispersión . . . . . . . . . . on 2.1.5 Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Frecuencias marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regr Re gres esi´ i´ on y correlaci´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 L´ıneas de regresi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Rectas de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Calculo a´lculo abreviado de las rectas de regresión . . . . . . . 2.2.5 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 2.2 .6 El coefi coeficie cient ntee de cor correl relaci aci´ oń lineal . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regres Regr esi´ i´ on polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 on 2.3. 2. 3.11 Re Regr gres esi´ i´ on parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 on 2.3.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.33 Re 2.3. Regr gres esi´ i´ on polin´ on omica general Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . Proyecto: Ot Otras funciones de aj aju uste

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

69 71 82 85


5

Sumario

3

Probabilidad

3. 1

87

Espacios Probabil´ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1.1

Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.3 3.1.4

Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 ´ lgebra de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A

3.1.5

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.6

Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.7

Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.8

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.9 3.1 .9

Propie Pro piedad dades es de una fun funci´ ci´ on probabilidad . . . . . . . . 90

atica de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.10 Axiomática

3.1.11 Probabilidad de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.12 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1 .1.1 .133 Pr Prue ueba bass re repe peti tida das. s. Esp Espac acio io pr prod odu uct ctoo . . . . . . . . . . . 92 3.1.14 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

3.1.15 Probabilidad suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.1.16 Probabilidad compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.1.17 Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1.18 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1.19 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.1.20 3.1 .20 Dia Diagra gramas mas de de a´rbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.1.21 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.22 3.

3. 3

Prob Pr obab abil ilid idad ad co cond ndic icio iona nada da.. Teo Teore rema ma de Ba Bay yes . . . . . . . . . . 97 3.2.1

Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.2.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2.3

Probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.2.4

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2.5

Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2.6

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2.7

Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.2 .2..8

Probabili lid dad geométri ricca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 102

3.2.9

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


6

4

Sumario

3.4

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.5

Proyecto: An´ alisis de tests para diagnosis . . . . . . . . . . . . 123

Variables aleatorias

4.1

125

Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.1.1

Variables aleatorias discretas . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.1.3

Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.1.4

Función de distribución de una variable aleatoria discreta..126

4.1.5

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.1.6

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.1.7

Propiedades de la funci´ on de distribución F de una variable aleatoria discreta X . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.1.8

Elecci´ on de la función de probabilidad . . . . . . . . . . 129

4.1.9

Esperanza de una variable aleatoria discreta . . . . . . . 130

4.1.10 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.1.11 Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

4.1.12 Varianza de una variable aleatoria discreta . . . . . . . 131 4.1.13 Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.1.14 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.1.15 Momentos ordinarios y momentos centrales . . . . . . . 132 4.2

Variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2.1

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.2.2

Esperanza y varianza de una variable aleatoria continua 135

4.2.3

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.2.4

Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.2.5

Distribuci´ o n de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.3


4.4


4.5 Proyecto: Distribuciones multivariantes . . . . . . . . . . . . . 158 4.6 Proyecto: Procesos estoc´ asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.6.1 5

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Distribuciones discretas

5.1

165

La distribuci´ on binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


7

Sumario

5.2

5.1.1

Distribuci´ on binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.1.2

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.1.3

Gr´ afica de una distribució n binomial . . . . . . . . . . . 167

5.1.4

Par´ ametros fundamentales de la distribución binomial . 167

5.1.5

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.1.6

Ajuste de una distribuci´ on binomial a una distribución de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.1.7

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

La distribuci´ o n de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.2.1

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.2.2

La distribuci´ o n de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2.3

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.2.4

Ajuste de una distribuci´ on de Poisson a una binomial . 171

5.3


5.4


5.5 Proyecto: La distribuci´ on Binomial Negativa y la Geométrica . 186 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

6

Distribuciones continuas

6.1

La distribuci´ on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.1.1

6.2

6.3

Distribuci´ on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

La distribuci´ on normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.2.1

Distribuci´ on normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.2.2

La distribuci´ on normal estándar . . . . . . . . . . . . . 190

6.2.3

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.2.4

Ajuste de una distribuci´ on normal a una distribución de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.2.5

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.2.6

Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.2.7

Ajuste de una distribuci´ on normal a una distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.2.8

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.2.9

Ajuste de una distribuci´ on normal a una de Poisson . . 199

La distribuci´ o n Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.3.1

6.4

187

Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200



8

Sumario

6.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.6 Proyecto: La distribuci´ on Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7

Distribuciones muestrales

7.1

Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.2

Error muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Precisi´ on y fiabilidad de un estad´ıstico . 7.2.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Errores muestrales de sesgo y aleatorios Media y varianza de medias y sumas muestrales

7.3

7.4


227

7.5

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. 228 . 229 . 229 . 230 . 230

7.3.1 Poblaciones infinitas o muy grandes . . . . . . . . . . . 230 7.3.2 Poblaciones finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Muestras de poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . 232 ¯ y de la suma S , 7.4.1 Distribuci´ on de la media muestral X con σ 2 conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.4.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 ¯, con σ 2 desconocida..232 7.4.3 Distribuci´ on de la media muestral X

7.6

Teorema central del l´ımite y consecuencias 7.5.1 Consecuencias . . . . . . . . . . . 7.5.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3 Diferencia entre medias muestrales Inferencia Estad´ıstica . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

233 233 234 234 234

7.7 7.8

7.6.1 Estimaci´ on de pará m e t r o s . . . . . . . . . 7.6.2 Estimaci´ on puntual . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Estimaci´ on por intervalos . . . . . . . . . 7.6.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.5 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . 235 . . . . 235 . . . . 236 . . . . 238 . . . . 239 . . . . 241 . . . . 246

7.9 Proyecto: Estimaci´ on de una proporción . . . . . . . . . . . . . 248 Bibliograf´ıa

251

´ Indice de materias

253

Tablas estad´ ısticas

257


´ Indice de notaciones

B(n, p) E (X )

∅

N


N (µ, σ) µ Ω P λ (k) σxy σ σ2 var(X ) x

∈ ⊂ ∩ ∪

−

A B A p˙ i.e. V mn RV mn n C m m n n!

 d

X = D d

≈

distribuci´ on binomial esperanza de una variable aleatoria X suceso imposible (conjunto vac´ıo) conjunto de los n´ umeros naturales distribuci´ on normal esperanza de una variable aleatoria suceso seguro (conjunto referencial), espacio muestral probabilidad de Poisson covarianza desviación t´ıpica varianza varianza de la variable aleatoria X media de xi s´ımbolo de pertenencia s´ımbolo de inclusión s´ımbolo de intersección s´ımbolo de unión diferencia de conjuntos suceso contrario (conjunto complementario) m´ ultiplo de p id est (expresi´ on latina y se lee “es decir”) Variaciones de m elementos de orden n Variaciones con repetición de m elementos de orden n Combinaciones de m elementos de orden n n número combinatorio equivalente a C m

factorial de n La variable aleatoria X sigue una distribución D

X D

La variable aleatoria X sigue aproximadamente una distribuci´ on D

Ri.j

Ejercicio Resuelto j del Cap´ıtulo i

Pi.j

Ejercicio Propuesto j del Cap´ıtulo i


Pr´ ologo


La Universidad Espa˜ nola emprende una etapa inédita con el denominado Plan Bolonia. En el nuevo plan el tiempo del que dispone el profesorado para la impartici´ on de la docencia matem´ atica se ha reducido dr´ asticamente. De esta manera la clásica clase magistral del siglo anterior se vuelve, en ocasiones, menos expositiva y más orientadora hacia la búsqueda de conocimientos en los que el universitario deberá involucrarse de una manera más activa. El presente libro es un texto elemental sobre Estad´ıstica concebido para los alumnos de Ingenier´ıa que se graduar´ an en estos nuevos planes aunque básicamente el contenido corresponde al curso que los autores han impartido en la Escuela Polit´ ecnica Superior de Gandia (EPSG) en anteriores cursos acad´ emicos. El poco tiempo de que se dispone para su impartici´ on queda patente, en cierta manera, en la ausencia de demostraciones, en su sentido m´ as estricto (el cap´ıtulo tres podr´ıa considerarse una excepción), pues éstas sólo aparecen como tales en la resolución de algunos ejercicios de carácter teórico, que se encuentran al final de cada cap´ıtulo. Ello permite una lectura fluida del texto. No obstante lo dicho en el párrafo anterior, y aun usando terminolog´ıa sencilla, la redacción matemática del texto es rigurosa en su exposición. Si en alg´ un momento, por motivos que entendemos pedagógicos, hemos relajado el rigor, éste habitualmente se ve compensado con la aparición de un ep´ıgrafe en letra peque˜ na (cuya lectura puede omitirse sin perjuicio de comprender el resto del texto), que pone énfasis en el aspecto matem´ atico cuyo rigor hab´ıa sido diluido, a conciencia. Perm´ıtasenos afirmar que, modestamente, es en la exposición didáctica en donde los autores se han esmerado, y esperamos haberlo conseguido. En efecto, además de las detalladas argumentaciones del contenido a lo largo del texto, éstas van acompa˜ nadas de un buen número de ejemplos y tablas dise˜ nadas para cálculos y gráficos. Al final de cada cap´ıtulo se ofrece una lista de ejercicios con una resolución detallada de cada uno y después se proponen otros que motiven al estudioso. Cada cap´ıtulo acaba con la descripci´ on de


12


Pr´ ologo

alg´ un “Proyecto” que es una extensión o aplicación de la teor´ıa del texto. Concretando el programa desarrollado, los 7 cap´ıtulos seleccionados, por este orden, han sido: Estad´ıstica descriptiva, distribuciones bidimensionales, probabilidad, variables aleatorias, distribuciones discretas, distribuciones continuas y distribuciones muestrales. Para la comprensi´ on del texto, adem´ as de un conocimiento elemen´ tal del cálculo, y de conceptos matemáticos básicos, se requieren del Algebra conocimientos de combinatoria elemental que se usan en el cálculo de probabilidades y en el estudio de la distribución binomial. Del Análisis Matem´ atico se necesita un conocimiento básico de la integral definida de Riemann, y también de la derivada, para el tratamiento de las variables aleatorias continuas. Para variables aleatorias discretas se han demostrado algunos resultados que han sido extendidos, de manera natural, para variables aleatorias continuas aunque, como se pone de manifiesto en su momento, las pruebas en este u ´ ltimo caso requieren de conocimientos más profundos sobre la integral de Riemann. Otros aspectos interesantes, como el cálculo del área que encierra la campana de Gauss, o la obtención del sistema normal de ecuaciones de las rectas de regresión, se sugiere desde estas l´ıneas que deben ser considerados como ejercicios en alg´ un curso de Análisis Matem´ atico. Los autores agradecerán cualquier sugerencia tendente a mejorar el presente texto en ediciones sucesivas. Deseamos mostrar nuestro agradecimiento a los restantes profesores (M. Alamar, F. J. Boigues, J. Pastor, B. Roig y A. Vidal) de la Unidad Docente en la EPSG del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Valencia, por sus indicaciones en la preparaci´ on del texto. Los autores




Cap´ıtulo 1

Estad´ıstica Descriptiva


Se podr´ıa entender la Estad´ıstica como la ciencia que tiene por objeto etodos estad´ısticos se aplican a datos generalmente el estudio de datos. Los m´ num´ ericos que proceden de observaciones efectuadas sobre alguna caracter´ıstica de un colectivo o sobre resultados de una experimentación. La Estad´ıstica Descriptiva, de la que nos ocuparemos en el texto básicamente, es el primer paso del estudio del conjunto de datos y se limita a la obtenció n de gráficos y parámetros representativos de la serie de datos. La extrapolaci´ on de conclusiones de los datos obtenidos de una parte de un colectivo a todo el colectivo constituye la técnica de la Inferencia Estad´ıstica que se verá someramente en el último cap´ıtulo.

1.1 1.1.1

Representaci´ on de variables estad´ısticas Poblaci´ on y variable estad´ıstica

acPoblaci´ on es un conjunto de elementos (individuos ) con alg´ un car´ ter com´ un. Muestra es un subconjunto representativo de dicha población.

Nosotros, salvo alg´ un caso aislado, siempre consideraremos poblaciones finitas. En Estad´ıstica se consideran dos tipos de caracteres (que se explican por su denominación): cualitativos y cuantitativos . Al car´ acter objeto de estudio se le denomina variable estad´ıstica (cualitativa o cuantitativa), y ésta divide la poblaci´ on, de manera natural, en clases (subconjuntos disjuntos) al considerar los diversos atributos de la variable, que a su vez pueden dar lugar a subclases.


14 1.1.2


Ejemplo

En un aula determinada, los alumnos constituyen la población, el sexo y el lugar de nacimiento son variables cualitativas, mientras que el peso y la talla de cada alumno son cuantitativas. Si escogemos al azar dos filas de alumnos, éstos constituyen una muestra. La población puede quedar dividida en dos clases: la de los chicos y la de las chicas. A su vez, cada clase puede dar lugar a subclases atendiendo a los diversos pesos, por ejemplo. 1.1.3


Tablas de frecuencias

Frecuencia (absoluta) de una clase es el número de elementos de la clase. Frecuencia relativa de una clase es el cociente entre la frecuencia absoluta y el n´ umero de elementos de la población (supuesto éste finito). La recopilaci´ on de los datos de una variable se efectua disponiéndolos en “tablas de frecuencias”, que se denominan distribuciones unidimensionales o bidimensionales seg´ un que intervenga una o dos variables. Por brevedad, denominamos tabla a una tabla de frecuencias en donde al menos aparecen x i y las frecuencias absolutas f i correspondientes. Los N valores numéricos xi que puede tomar una variable se denominan serie estad´ıstica , serie de datos (o de n´ umeros) o con otras expresiones alusivas similares según los autores. En el caso de una variable cuantitativa, que haya sido ordenada, se denomina frecuencia absoluta acumulada a la suma de las frecuencias absolutas de un determinado valor de la variable y de todos los anteriores. De manera similar se define el concepto de frecuencia relativa acumulada . El lector reconocer´ a algunas propiedades sencillas de estos conceptos observando el siguiente ejemplo. 1.1.4

Ejemplo

Las calificaciones en la asignatura de F´ısica obtenidas por 20 alumnos de una determinada clase, siguiendo el listado, son las siguientes: 6, 4, 5, 8, 7, 3, 4, 5, 5, 10, 9, 7, 8, 2, 9, 3, 10, 4, 7, 4. Aqu´ı la poblaci´ on es la clase de 20 alumnos, la variable estad´ıstica, “calificación en F´ısica”, es cuantitativa, y sus valores numéricos xi son los n´ umeros del 2 al 10. A partir de ahora cuando recurramos al signo de sumatorio omitiremos el recorrido de los sub´ındices de éste si no hay posibilidad de confusi´ on. La recopilaci´ on de los datos de este ejemplo da lugar a la siguiente tabla de frecuencias, de interpretación obvia, y en donde dejamos constancia de la notación que se empleará en este cap´ıtulo, al referirnos a las diversas frecuencias.




15

Representacio ń de variables estad´ ısticas

N´ umero de puntos xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia absoluta f i 1 2 4 3 1 3 2 2 2 f i = 20



Frecuencia relativa hi 0.05 0.10 0.20 0.15 0.05 0.15 0.10 0.10 0.10 hi = 1

Frecuencia absoluta acumulada F i 1 3 7 10 11 14 16 18 20

Frecuencia relativa acumulada H i 0.05 0.15 0.35 0.50 0.55 0.70 0.80 0.90 1.00



En ocasiones, cuando la variable estad´ıstica puede tomar cualquier valor real de un intervalo, interesa agrupar los valores que toma dicha variable cuantitativa en intervalos, por lo general de igual amplitud, que suelen denominarse clases , y a los puntos medios de los intervalos se les denomina marcas de clase . 1.1.5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

Ejemplo

La siguiente tabla muestra las tallas agrupadas de 200 jóvenes. Intervalo [1.50, 1.70[ [1.70, 1.80[ [1.80, 1.90[ [1.90, 2.00[

Marcas de clase 1.60 1.75 1.85 1.95



f i 70 60 50 20 f i = 200



hi 0.35 0.30 0.25 0.10 hi = 1

F i 70 130 180 200

H i 0.35 0.65 0.90 1.00

Obsérvese que, en este caso, no todos los intervalos tienen la misma amplitud, pero s´ı son de la misma forma (cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha), a efectos de uniformizar criterios. 1.1.6

Representaciones gr´ aficas

Las conclusiones a las que se puede llegar del estudio de una variable pueden ser más fáciles, en ocasiones, a través de representaciones gr´ aficas de los datos que se poseen sobre la variable estad´ıstica. Las más utilizadas son: (1) Diagrama de barras: Son rectángulos de igual base, generalmente dispuestos en posición vertical, en donde la altura de cada uno es proporcional a la frecuencia de la clase que representa.


16


Los dos siguientes diagramas de barras son los que corresponden a las frecuencias absolutas y absolutas acumuladas, respectivamente, del Ejemplo 1.1.4

Diagrama de barras de frecuencias absolutas


Diagrama de barras de frecuencias absolutas acumuladas

El pictograma es una variante del diagrama de barras donde se sustituye el rect´ angulo por un dibujo alusorio a la variable estad´ıstica, objeto de estudio. El siguiente pictograma representea la distribución, por sexos, de los que accedieron a portales de internet de información general en los a˜ nos 2008 y 2009, en un cierto pa´ıs miembro del G20.


Representacio ń de variables estad´ ısticas

17

(2) Gr´ afico de sectores: Son representaciones en sectores que dividen, generalmente, a un c´ırculo de manera que el a´rea (o ańgulo) de cada sector es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) de la clase que representa.

Imaginemos que en una reunión de 720 personas se observa que 360 tienen el pelo negro, 180 de color rubio, 60 de color blanco, y 120 sin determinar (otros). El correspondiente diagrama por sectores ser´ıa el adjunto.


En el caso de variables cuantitativas se pueden, además de los anteriores gr´ aficos, considerar los siguientes: (3) Pol´ıgono de frecuencias : En éstos las ordenadas de las frecuencias absolutas se unen mediante una l´ınea poligonal. De manera análoga se dibujan los pol´ıgonos de frecuencias absolutas (o relativas) acumuladas. El siguiente pol´ıgono de frecuencias absolutas es el que corresponde al Ejemplo 1.1.4


18


Para el caso de valores agrupados se puede utilizar el histograma. (4) Histograma: Representación gráfica formada por rect´ angulos cuyas áreas son proporcionales a las respectivas frecuencias de los intervalos considerados. En el caso de que la amplitud de los intervalos sea constante este diagrama se convierte, como es fácil de verificar, en un diagrama de barras.


El histograma adjunto corresponde al Ejemplo 1.1.5. Obs´ ervese que el área que corresponde a las 70 tallas del intervalo [1.50, 1.70[ coincide con la suma de las áreas que corresponden a 50 y 20 tallas de los intervalos [1.80, 1.90[ y [1.90, 2.00[, respectivamente. También el área que corresponde a las 60 tallas del intervalo [1.70, 1.80[ es el triple del área que corresponde a las 20 tallas del intervalo [1.90, 2.00[. Como caso especial tenemos el cartograma que hace uso de distintos sombreados sobre un mapa para distinguir las variables estad´ısticas. El siguiente cartograma representa la incidencia de muerte súbita tras un infarto agudo de miocardio (tasa anual por cada 100000 habitantes).


Medidas de centralizaci´ on y de dispersi´ on de una variable estad´ıstica cuantitativa

1.2

19

Medidas de centralizacio ń y de dispersio ń de una variable estad´ıstica cuantitativa

En cuanto sigue de este cap´ıtulo supondremos que disponemos de una variable estad´ıstica cuantitativa X , en una població n de N elementos, que toma los valores x1 , x2 , . . . , xN . Ahora bien, es bastante usual que alguno de los valores que toma X esté repetido, de manera que s´ olo haya r distintos, y que para simplificar la notaci´ on supondremos que, ordenados de menor a mayor, son x1 , x2 , . . . , xr . Por otra parte cuando N es grande es casi imprescindible que se den las frecuencias absolutas f i correspondientes r

a xi (i = 1, 2, . . . , r), de manera que



f i = N . A continuaci´ on, y por cri-

i=1

terios de sencillez, para referirnos a los valores que toma X , usaremos unas veces la notación exhaustiva x1 , x2 , , xN , y en otras haremos mención a la frecuencia f i de cada xi sin explicitar el recorrido del sub´ındice.

···

1.2.1


Medidas de posici´ on central

Se denominan valores centrales de la variable X a ciertos valores, de cálculo sencillo, que representan, de alguna forma, a todos los x i . Veamos los m´ as representativos. Se denomina moda (y se denota M o ) de un conjunto de valores de una variable estad´ıstica X a aquel valor o carácter que posee mayor frecuencia absoluta. Puede existir, obviamente, más de una moda. Como valor central es, en ocasiones, muy poco representativo, aunque de cálculo muy sencillo. En el caso de valores agrupados se puede hablar de intervalo modal, o bien, elegir el representante de clase del intervalo modal. (Obs´ ervese que hablar de la moda tiene también sentido cuando X es una variable cualitativa). Supongamos ahora que hemos ordenado todos los N valores que ha tomado la variable X de manera creciente. Si N es impar se denomina mediana (y se denota M e ) al valor que ocupa la posición central, y si N es par se toma como mediana la semisuma de los dos valores centrales. En el caso de que la variable X tomara valores agrupados el cálculo de la mediana se obtiene mediante una simple interpolación lineal. La ventaja de utilizar la mediana como valor central estriba en que no se deja influenciar por valores extremos, pero tiene el inconveniente de que no tiene en cuenta los valores de la variable. Cuando N es grande, si están dispuestos los valores de X como hemos indicado en el cálculo de la mediana, y sin entrar en detalles, supongamos que podemos dividir éstos en cuatro partes iguales. Entonces se pueden considerar


20


los denominados cuartiles Q1 , Q2 , y Q3 de manera que la primera cuarta a comprendida entre parte de los valores es inferiror a Q1 , otra cuarta parte est´ Q1 y el segundo cuartil Q2 , que como es evidente no es sino la mediana, otra cuarta parte entre la mediana y Q3 , y la u ´ ltima cuarta parte es superior a Q3 . De manera m´ as precisa, si N es par, entonces Q1 es la mediana de los N primeros 2 valores y Q3 es la mediana de los N valores superiores. Si N es 2 impar prescindiremos del valor central y entonces calcularemos Q1 y Q 3 como en el caso anterior. De modo idéntico se definen los deciles o percentiles si el conjunto ordenado de los valores que toma X se divide en 10 ó 100 partes, respectivamente. La media aritm´ etica (que denotaremos x) de un conjunto de valores de una variable estad´ıstica cuantitativa X es la suma de los N valores que toma la variable dividido por N . Si se conocen las frecuencias f i de los valores xi , se puede simplificar el cálculo anterior y obtener la media aritm´ etica mediante la expresión x = . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C



f i xi N

(1.1)

Obsérvese que el peso de cada xi para el cálculo de x es su frecuencia absoluta. En el caso de valores agrupados para el cálculo de la media se utilizan las marcas de clase. 1.2.2

Ejemplo

En la tabla de frecuencias correspondiente al Ejemplo 1.1.4 de las notas de F´ısica, la moda es el 4, pues se repite 4 veces, la mediana es el 5.5, pues las posiciones 10 y 11, cuando se ordenan las notas de manera creciente (véase la tabla de frecuencias absolutas acumuladas), las ocupan las calificaciones 5 y 6, respectivamente, y la media aritmética es:

x =

1.2.3

·

·

·

·

·

·

·

·

·

1 2 + 2 3 + 4 4 + 3 5 + 1 6 + 3 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 =6 20 Ejemplo

Veamos la moda , mediana y media de la siguiente tabla de frecuencias correspondiente a la talla (en metros) de 99 alumnos. Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

edidas de centralizaci´ on y de dispersi´ on de una variable estad´ ıstica cuantitativa

Intervalo [1.55, 1.65[ [1.65, 1.75[ [1.75, 1.85[ [1.85, 1.95[

Marcas de clase 1.60 1.70 1.80 1.90



f i 15 55 25 4 f i = 99

21

F i 15 70 95 99

En la columna de las frecuencias absolutas f i se observa que el intervalo modal es el [1.65, 1.75[. La media aritmética la calcularemos a través de las correspondientes marcas de clase: x =

·

·

·

·

15 1.60 + 55 1.70 + 25 1.80 + 4 1.90 99

≈ 1.72

La mediana es el elemento que, tras ordenarse las tallas de manera creciente, ocupa la posició n 50, y que, como se observa en la columna de frecuencias acumuladas F i , se encuentra en el intervalo mediano [1.65, 1.75[ ocupando la posición 35 dentro de éste. Entonces podemos establecer la proporción de que si a los 55 alumnos de este intervalo les corresponde una amplitud de 0.10 (al distribuirse de menor a mayor), al alumno que está en la posición 35 le corresponde 0.10 35 0.06 55 As´ı pues (ver gr´ afico inferior) la mediana es 1.65 + 0.06 = 1.71


· ≈

1.2.4

Propiedades de la media aritm´ etica

Sea xi una serie de n´ umeros. Se denomina desviaci´ on de un valor xi respecto de la media aritmética, a la diferencia di = x i x. Se tienen entonces

−


22


las siguientes propiedades: 1. La suma de los productos de las desviaciones de los valores xi por sus frecuencias f i es cero, i.e. f i di = 0. (Ver ejercicio R1.1)



2. Sea P un n´ umero real cualquiera. Denominemos Di a la desviación de xi respecto a P , i.e. Di = x i P . Se tiene entonces (ver ejercicio R1.2) que la diferencia entre la media aritmética y P es la media aritmética de las desviaciones de los valores de la variable respecto a P , es decir:

−

x

− P =



f i Di N

(1.2)

Como consecuencia de ello se obtiene un nuevo m´ etodo para obtener de manera sencilla, en algunos casos, la media x (ver Ejercicio R1.9), pues se tiene f i Di x = P + = P + D (1.3) N



donde D denota la media de la serie de números Di .


3. La suma de los productos de los cuadrados de las desviaciones por las frecuencias respectivas es m´ınima cuando P es x, i.e.,



2

f i Di

 ≥

f i d2i

Las ventajas del uso de la media aritmética radican en su sencillo c´ alculo y que depende de todos los valores. Como inconveniente está el hecho que de su conocimiento no se desprenda si los valores xi están lejos o cerca de ella. 1.2.5

Nota

La propiedad 2 de la sección anterior admite la siguiente generalización: Si zi es una serie de números obtenida de otra serie xi de manera que zi = ax i + b, donde a, b R entonces

∈

z = ax + b 1.2.6

(1.4)

Ejemplo

Consideremos la serie de n´ umeros siguiente: 3,5,7. Sea ahora la serie zi = 2xi + 1, es decir zi está formada por 7, 11, 15. Se tiene que: Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.


3+5+7 =5 3 Obsérvese que se satisface (1.4). x =

1.2.7

y

z=

23

7 + 11 + 15 = 11 3

La media ponderada

Imaginemos un accionista que adquiere acciones de una empresa en tres momentos como se indica a continuación. 200 acciones a 25 euros, 300 a 24 euros y 500 a 20 euros. La intención del accionista es vender conjuntamente las acciones sin perder dinero. La media de los tres precios de las acciones es (25+24+20)/3 = 23, pero obviamente esto es irrelevante pues lo que interesa conocer es el precio medio de la acción que seg´ un (1.1) vale x =

·

·

·

200 25 + 300 24 + 500 20 = 22.20 euros 1000

Por lo tanto el accionista deberá vender las acciones al menos a 22.20 euros.


Obsérvese que para el cálculo de x se ha tenido en cuenta las cantidades de acciones obtenidas para cada precio, o sea, se han ponderado los precios a través de sus frecuencias absolutas. As´ı, las acciones de 20 euros han tenido un mayor peso en el cálculo de x pues su coeficiente, 500, es mayor que el de las otras dos acciones. Este ejemplo admite la siguiente generalización. Se denomina media ponderada de los valores num´ ericos x1 , . . . , xr con pesos w1 , . . . , wr , respectivamente, (con wi 0) a

≥

x =

w1 x1 +

··· + w x

r r

W

(1.5)

r

siendo W =



wi > 0.

i=1

Obsérvese que también se puede escribir x = y que si llamamos pi =

wi x1 + W

·

··· + wW · x r

r

wi se verifica W

  pi =

wi 1 = W W



wi =

W =1 W

Si reescribimos entonces el cálculo anterior de x en la forma: Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

24


200 300 500 25 + 24 + 20 1000 1000 1000 esto nos sugiere otra manera de definir la media ponderada como sigue. Se denomina media ponderada de los valores numéricos x1 , . . . , xr con pesos p1 , . . . , pr , respectivamente, donde 0 p i < 1 y p1 + + pr = 1, a

·

x =

·

·

≤

···

r

x =



pi xi

(1.6)

i=1

Ambas expresiones (1.5) y (1.6) son equivalentes. El enunciado de un problema debe sugerir cuál resulta m´ as cómoda de utilizar. Puede darse el caso de que algún valor de xi se repita con pesos distintos. En tal caso una tabla de frecuencias con sus respectivos pesos facilita los cálculos para la obtención de x (véase Ejercicio R1.15). 1.2.8


Ejemplo

El profesor, a comienzos del curso, advierte a sus alumnos que realizarán 4 ejercicios de la asignatura de manera que cada ejercicio puntúa (pondera) doble que el anterior. Las calificaciones obtenidas por un alumno, en este orden, son 2, 4, 5 y 6. Veamos la calificaci´ on final del alumno con dos razonamientos distintos: (a) Decir que la calificaci´ on b de un ejercicio punt´ u a el doble que la calificaci´ on a de otro ejercicio debe de interpretarse como si hubiera 3 calificaciones: a,b,b. Entonces, seg´ un el enunciado podemos considerar que nuestro alumno ha obtenido un dos, dos cuatros, cuatro cincos y ocho seises, por lo que su calilficación media final resulta x =

·

·

·

·

1 2+2 4+4 5+8 6 78 = = 5.2 15 15

Obsérvese que para el cálculo de x se ha utilizado la expresión (1.5). En efecto, el profesor en realidad hab´ıa decidido que los pesos wi de las calificaciones x1 , x2 , x3 y x4 de cada alumno fueran 1,2,4 y 8, respectivamente. (b) Por el enunciado, si p1 es el peso de 2 entonces los pesos pi de 4, 5 y 6 son, respectivamente, p 2 = 2 p1 , p3 = 2 p2 = 4 p1 , p4 = 2 p3 = 8 p1 . Como se ha de verificar que p1 + p2 + p3 + p4 = 1, entonces p1 + 2 p1 + 4 p1 + 8 p1 = 15 p1 = 1


25


1 2 4 8 , p2 = , p3 = , p4 = . 15 15 15 15 As´ı, la calificación final seg´ un (1.6) es y por tanto p1 =

x = 1.2.9

1 2 4 8 78 2+ 4+ 5+ 6= = 5.2 15 15 15 15 15

·

·

·

·

Otras medias

Cuando todos los valores de xi son positivos se pueden definir otras medias como las siguientes: (1) La media geom´ etrica:

G =

√ x ··· x

N

1

N

=



N

1 xf 1

f r r

··· x

Para entender el significado de esta media consideraremos el siguiente ejemplo: Supongamos que se desea calcular el peso p de un objeto mediante una balanza desequilibrada (obsérvese la figura).


Podemos proceder de la siguiente manera: En primer lugar disponemos el objeto en una parte de la balanza y obtenemos su peso p1 . A continuación disponemos el objeto en la otra parte de la balanza y obtenemos el peso p2 .

·

·

·

·

Seg´ un la ley de la palanca, se tiene l1 p = l 2 p2 y l1 p1 = l 2 p. p p2 Por tanto, = , de donde se obtiene p2 = p 1 p2 y, en consecuencia, p1 p p = p1 p2 .

√ ·

·

Es decir, el peso del objeto resulta la media geométrica de las dos pesadas. Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

26


(2) La media arm´ onica:

(3) La media cuadr´ atica:

H =

N 1 + x1

M =

···

 

1 + xN

=

N f i xi



f i x2i N

Las cuatro medias quedan ordenadas con arreglo a su magnitud, del siguente modo: H G x M (1.7)

≤ ≤ ≤

Al objeto de entender el significado de la media armónica consideraremos el siguiente ejemplo. 1.2.10


Ejemplo

Supongamos que hemos recorrido el trayecto Alicante-Valencia a razón de 90 Km/h y el regreso Valencia-Alicante a 110 Km/h. Vamos a calcular la velocidad media en el trayecto de ida y vuelta. La media aritmética para x1 = 90 y x2 = 100 dar´ıa como respuesta 90 + 110 = 100 Km/h, que ser´ıa un resultado err´ oneo. 2 En efecto, el tiempo invertido en recorrer la distancia D entre ambas D D ciudades ser´ıa a la ida y a la vuelta. La velocidad media en la ida y 90 110 vuelta será pues: velocidad =

espacio 2D 2 = = = 99 Km/h 1 1 D D tiempo + + 90 110 90 110

que es precisamente la media armónica de las dos velocidades. Otra aplicaci´ on puede verse en el ejercicio P1.11. A partir de ahora por media entenderemos la media aritmética. 1.2.11

Medidas de dispersi´ on de una variable estad´ıstica cuantitativa

El conocimiento de cualquiera de los valores de centralización estudiados en el ep´ıgrafe anterior no es suficiente para saber si los valores xi , que toma una variable estad´ıstica cuantitativa X , están próximos o alejados de éstos. Para saber cuán agrupados están los valores alrededor de un valor medio se definen las medidas de dispersi´ on. Las más importantes, que veremos a



27

continuación, son: el recorrido, la desviación media, la varianza y la desviación t´ıpica. Cuanto mayores sean estas medidas de dispersión, tanto mayor es la dispersión de los valores respecto de la media y, en consecuencia, menor la representatividad de los valores centrales. Para un conjunto de valores xi de una variable estad´ıstica cuantitativa se denomina: (1) Recorrido a la diferencia entre el mayor y el menor de dichos valores. (2) Desviaci´ on media (que denotaremos d m ) a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto de la media, as´ı pues dm =



| − x|

f i xi N

(3) Varianza , que denotaremos σ 2 , a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de esos valores respecto a la media, as´ı pues 2

σ = . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C



f i (xi x)2 N

−

(1.8)

Se puede demostrar que σ 2 verifica la expresión (véase Ejercicio R1.3) 2

σ =



f i x2i N

2

−x

(1.9)

Si designamos por P un n´ umero real cualquiera y D i = x i se puede demostrar que (véase Ejercicio R1.4) σ2 =



f i Di2 N

  − f i Di N

− P entonces

2

(1.10)



f i Di no es m´ as que la media aritmética de las desviaN ciones Di , entonces teniendo en cuenta (1.9) podemos concluir que (1.10) expresa el hecho de que: la varianza de los valores x1 , x2 , . . . , xN , coincide con la de las desviaciones D1 , D2 , . . . , DN . y puesto que

Obsérvese que para el cálculo de la varianza por este u ´ ltimo procedimiento no necesitamos conocer la media aritmética. (4) Desviaci´ on t´ıpica o est´ andar , que denotaremos σ, es la ra´ız cuadrada positiva de la varianza.


28


La desviación t´ıpica tiene en cuenta todos los valores que toma la variable estad´ıstica X y es de significado sencillo ya que es de igual naturaleza que los datos utilizados. En particular es interesante en las distribuciones normales, que veremos más adelante, en las que la curva representativa de las frecuencias tiene la forma de campana . As´ı se consideran valores próximos a la media los del intervalo [x σ, x + σ], y medianamente próximos los del intervalo [x 2σ, x + 2σ]. Los valores que quedan fuera de este último intervalo se consideran extraordinarios.

−

−

Para el cálculo de las medidas de dispersión en el caso de valores agrupados se utilizan las marcas de clase de cada intervalo.

1.2.12

Ejemplo

La distribución en frecuencias de las tallas aproximadas (en metros) de 150 adolescentes son las siguientes: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

Talla

Frecuencia

1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80

1 3 7 20 30 34 26 16 9 2 2

Disp´ onganse los cálculos y hállese la media, la desviaci´ on media, la varianza y la desviación t´ıpica de dicha distribución, usando sus definiciones.



xi 1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80

P

=

f i

1 3 7 19 30 34 26 16 10 2 2 150

f i xi 1.60 4.86 11.48 31.54 50.40 57.80 44.72 27.84 17.60 3.56 3.60 255

xi − x −0.10 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

(xi − x)2 0.0100 0.0064 0.0036 0.0016 0.0004 0.0000 0.0004 0.0016 0.0036 0.0064 0.0100

|xi − x| 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

f i |(xi − x)| 0.10 0.24 0.42 0.76 0.60 0.00 0.52 0.64 0.60 0.16 0.20 4.24

29

f i (xi − x)2 0.0100 0.0192 0.0252 0.0304 0.0120 0.0000 0.0104 0.2560 0.0360 0.0128 0.0200 0.2016

El recorrido de la variable estad´ıstica es 1.80-1.60=0.20 La media es x =




f i xi 255 = = 1.70 f i 150

La desviación media dm =

2

La varianza es σ =

|  −

f i (xi x)2 0.2016 = f i 150

 −

Finalmente, la desviación t´ıpica es σ =

1.2.13

|

f i (xi x) 4.24 = f i 150



≈ 0.0283

≈ 0.0013

0.2016 150

≈ 0.0367

Nota

Tambi´ en se utilizan como medida de dispersión los llamados momentos centrales, que se definen como la media aritm´ etica de las potencias sucesivas de las desviaciones respecto de la media aritmética. As´ı se define momento de orden n (n ∈ N) como: P f i (xi − x)n µn = N

En particular, el momento µ1 de orden 1 es cero, como vimos anteriormente, y el de orden 2 es la varianza: P f i (xi − x)2 µ2 = = σ 2 N


30 1.2.14


Estad´ısticos robustos

Cualquier funci´ on definida en una serie numérica estad´ıstica se denomina estad´ıstico . La moda de una serie estad´ıstica es un indicador de posición central que puede denominarse robusto porque resulta poco influida por la existencia de algunos valores extremos, digamos anormales, y que en ocasiones provienen de errores en la medición o lectura. Su uso es recomendable cuando se trata de variaciones muy discontinuas en una serie. La media puede no resultar un indicador adecuado de medida central en aquellas series asimétricas o con valores extremos. Como consecuencia en dichas series tampoco la desviación t´ıpica ser´ a un parámetro adecuado de dispersión, pues su cálculo se basa en desviaciones respecto a la media. En estos casos se utiliza el intervalo intercuart´ılico Q3 Q1 .

−

1.2.15

Ejemplo

Se considera la serie estad´ıstica xi , ordenada de manera creciente, siguiente 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 12, 15, 20 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

Al transcribir los datos se reemplaza por error 20 por 0 dando lugar a x una nueva serie yi . Vamos a calcular la media, x, la mediana, M e, cuartiles primero y tercero, Qx1 y Qx3 y desviación t´ıpica, σx , de la serie xi , y sus hom´ ologos, con notación adecuada, de la serie yi . Disponemos la tabla de frecuencias de la serie x i con las columnas adecuadas para utilizar la fórmula (1.9) para el cálculo de σx2 , y de esa manera es innecesario realizar la tabla de la serie yi , pues en la práctica sólo hay que suprimir la fila que corresponde a xi = 20. xi 4 5 6 7 8 9 12 15 20



=

f i f i xi x2i 6 24 16 4 20 25 3 18 36 2 14 49 1 8 64 1 9 81 1 12 144 1 15 225 1 20 400 20

140

f i x2i 96 100 108 98 64 81 144 225 400 1316



31

140 = 7. 20

Atendiendo a la tabla x =

5+6 x M e= = 5.5 pues 5 y 6 son los valores centrales de las serie 2 ordenada xi , que corresponden a las posiciones 10 y 11, respectivamente. El cuartil Q x1 es la mediana de los 10 primero datos de la serie x i , y por 4+4 tanto Qx1 = = 4. 2 An´ alogamente, Qx3 es la mediana de los 10 últimos datos de la serie y 7+8 resulta Qx3 = = 7.5. As´ı, el intervalo intercuart´ılico para la serie xi es 2 3.5. f i xi 1316 Se tiene que σx2 = x2 = 72 = 16.8 y por tanto 20 N



−

σx =

−

√

16.8

≈ 4.1

En cuanto a la serie yi es evidente que y =

120 = 6. 20

Como la serie yi queda de la forma 0, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 12, 15 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

5+5 4+4 7+7 x ahora se tiene M e= = 5, Qy1 = = 4, Qy3 = = 7. As´ı, el 2 2 2 intervalo intercuart´ılico para la serie yi es 3. 916 Por otra parte σy2 = 62 = 9.8, y por tanto σy = 9.8 3.1. 20 Obsérvese que y se ha desviado en una unidad respecto a x, mientras y que M e s´ olo se ha desviado media unidad. Por otra parte σy se ha desviado pr´ acticamente una unidad respecto a σx , y la diferencia Qy3 Qy1 = 3, sólo se ha desviado media unidad de Qx3 Qx1 = 3.5. As´ı pues en nuestro caso la mediana y el intervalo intercuart´ılico de la serie xi se han comportado de manera más robusta frente a la media y x desviaci´ on t´ıpica, respectivamente, pues M e y Qx3 Qx1 se han visto menos y afectados que M e y Qy3 Qy1 , respectivamente, frente al error causado.

√ ≈

−

−

−

−

−


32


1.3

Ejercicios resueltos

R1.1 Demu´ estrese que la suma de los productos de las desviaciones de los valores xi de una variable X , respecto a la media x, por las frecuencias respectivas f i , es nula. Soluci´ on:

 

f i xi y denotemos di = x i x N f i di = f i (xi x) = f i xi

Sea x = Se tiene

−





−

−x



− xN = 0

f i = N x

R1.2 Sea P un n´ umero real cualquiera. Demuéstrese la expresi´ on (1.3), i.e. que la diferencia entre la media y P , es la media de las desviaciones Di = x i P , de los valores de la variable respecto a P .

−

Soluci´ on:

x


− P =

N

  − 1 N

xi

i=1

1 P = N

N



xi

i=1

−

1 1 N P = N N

N



(xi

i=1

− P )

Si hacemos intervenir las frecuencias absolutas f i , la anterior expresión se escribe en la forma: f i Di x P = N

−

2

R1.3 Demostrar la expresión (1.9) σ = Soluci´ on: 2

 

σ = =



f i x2i N

−2 x

 

f i x2i N

f i (xi x)2 = N

−

2

−x

f i (x2i

  

f i xi f i + x2 = N N

2

− 2xx + x ) = i

N

f i x2i N

2

− 2x



2

+x =

f i x2i N

2

−x

R1.4 Con la terminolog´ıa del Ejercicio R1.2, demostrar la expresi´ on (1.10)



σ2 =

2

f i Di N

  − f i Di N

2

Soluci´ on: 2

σ = =

f i (xi x)2 = N

  

f i (xi

−

2

− P )



f i [(xi

2

− P ) − (x − P )]

=

N

2



+ (x − P ) − 2(x − P )(x − P ) N

i

=


33


=

f i Di2 N

 

+ (x

2

− P ) − 2(x − P )



−

f i (xi P ) N

Teniendo ahora en cuenta el Ejercicio R1.2, esta última expresión vale:



f i Di2 N

2

− (x − P )

=



f i Di2 N

2

   − f i Di N

R1.5 Una antena ha registrado 15 se˜ nales que se han clasificado en 4 grupos: A,B,C y D. Los datos obtenidos son los siguientes: B D D

A B D

A D C

D A D

A D A

(a) Constr´ uyase la tabla de distribución de frecuencias que corresponda. (b) ¿Cu´ al es la moda? Soluci´ on:

(a) La tabla de frecuencias resulta . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C



=

xi f i hi A 5 13 2 B 2 15 1 C 1 15 7 D 7 15 15 1

(b) Puesto que el grupo D de se˜ nales es el de mayor frecuencia absoluta, se tiene que Mo = D. R1.6 La calificaci´ on final de una alumno en una asignatura ha sido 5. Para obtenerla se han tenido en cuenta las calificaciones de dos parciales, que han sido 3 y 4, que ponderan igual, y la calificación de un ejercicio final que pondera el 60% de la calificación final. ¿Cu´ al ha sido la calificación del ejercicio final? Soluci´ on: El enunciado sugiere el uso de (1.6).

Si denominamos x al valor de la calificación del ejercicio final, seg´ un la condici´ on el enunciado, la media ponderada satisface:

·

·

·

5 = p 1 3 + p2 4 + 0.6 x Como p1 + p2 + 0.6 = 1 y p1 = p2 entonces p1 = p2 = 0.2 y en consecuencia 5 = 0.2 3 + 0.2 4 + 0.6 x de lo que se deduce x = 6.

·

·

·


34


R1.7 Durante cuatro a˜ nos se ha adquirido un producto a distintos precios por unidad: el primer a˜ no a 10 euros, el segundo año a 12 euros, el tercer año a 14 euros y el cuarto año a 15 euros. Calcular el coste medio de dicho producto durante los cuatro a˜ nos en los 2 supuestos siguientes: (a) Que el n´ umero de unidades adquiridas al a˜ no es constante. (b) Que la cantidad de dinero gastado al a˜ no es constante. Soluci´ on:

(a) Supongamos que se adquieren k unidades del producto en cada a˜ no. Entonces se tiene x =

10k + 12k + 14k + 15k = 12.75 euros 4k

(b) Supongamos que se han adquirido k1 , k2 , k3 y k4 unidades en el primer, segundo, tercer y cuarto año, respectivamente. Entonces se tiene que 10k1 = 12k2 = 14k3 = 15k4 de donde se obtiene . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

k2 = k3 = k4 =

5k1 6 5k1 7 2k1 3

En consecuencia la media pedida resulta x =

=

=

10k1 + 12k2 + 14k3 + 15k4 = k1 + k2 + k3 + k4 5k1 5k1 2k1 10k1 + 12 + 14 + 15 6 7 3 = 5k1 5k1 2k1 k1 + + + 6 7 3 10k1 + 10k1 + 10k1 + 10k1 40 42 = 135k1 135 42

· ≈ 12.44 euros

Otra forma de resolver este apartado es la siguiente. Sea D el dinero gastado cada a˜ no. Entonces el n´ umero de unidades adquiriD D D D das en los años sucesivos es , , , . Por tanto el coste 10 12 14 15 medio es:


35


H =

D 10

4D D D + 12 + 14 +

D 15

=

1 10

+

1 12

4 +

1 14

+

1 15

= 12.44

Obsérvese que H es la media armónica de 10, 12, 14 y 15. R1.8 Real´ıcense los diagramas de barras (de frecuencias absolutas y acumuladas) para las marcas de clase del Ejemplo 1.1.5.


R1.9 Disp´ onganse adecuadamente las columnas del Ejemplo 1.2.12 de las 150 tallas para obtener la media y la varianza a trav´ es de las desviaciones Di respecto a P=1.72.


36


Soluci´ on:

xi 1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80



f i

− − − − − −

1 3 7 19 30 34 26 16 10 2 2

=

−

Di = x i P 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

·

f i Di 0.12 0.30 0.56 1.14 1.20 0.68 0.00 0.32 0.40 0.12 0.16

− − − − − −

150

Di2 0.0144 0.0100 0.0064 0.0360 0.0016 0.0004 0.0000 0.0004 0.0016 0.0036 0.0064

f i Di2 0.0144 0.0300 0.0448 0.0684 0.0480 0.0136 0.0000 0.0064 0.0160 0.0072 0.0128

·

-3

0.2616

11


x = P +



i=1

11



i=1

σ2 =

·

f i Di = 1.72 +

N

  −  11

f i Di2

·

N

·

f i Di

i=1

N

  

−3 = 1.72 − 0.02 = 1.70 150

2

0.2616 = 150

2

  − − ≈ 3 150

0.0013

R1.10 Hállese la moda, media, desviación media y desviación t´ıpica de las tallas del Ejemplo 1.1.5 Soluci´ on:

Tomamos como valores xi de la variable, las marcas de clase. xi 1.60 1.75 1.85 1.95

P

=

f i

70 60 50 20 200

f i · xi 112.0 105.0 92.5 39.0 348.5

xi − x −0.1425 0.0075 0.1075 0.2075

(xi − x)2 0.0203 0.0001 0.0116 0.0431

f i (xi − x)2 1.4214 0.0034 0.5778 0.8611 2.8638

|xi − x| 0.1425 0.0075 0.1075 0.2075

f i |xi − x| 9.975 0.450 5.375 4.150 19.95


37


M o = 1.6

 · | − | ·  − ·

xi f i 348.5 = = 1.7425 N 200 xi x f i 19.95 = = 0.0998 N 200 (xi x)2 f i 2.86375 = = 0.0143 200 N

x

=

dm

=

σ2

=

σ

= 0.1197

R1.11 Consid´ erense de nuevo las tallas del Ejemplo 1.1.5. (a) Verif´ıquese que la suma de las desviaciones respecto a la media es 0. (b) H´ allese σ 2 a través de la expresión (1.9). (c) H´ allese σ 2 a través de (1.10) tomando P = 1.75. Soluci´ on:

Dispondremos sendas tablas adecuadas para los cálculos a realizar. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

xi 1.60 1.75 1.85 1.95



f i 70 60 50 20

−

−

−

200

=

−

xi x f i (xi x) 0.1425 9.975 0.0075 0.450 0.1075 5.375 0.2075 4.150 0

x2i 2.5600 3.0625 3.4225 3.8025

f i x2i 179.200 183.750 171.125 76.050 610.125

(a) Obs´ ervese que la cuarta columna suma 0. (b) Utilizamos ahora la expresi´ on (1.9) y el valor de x calculado en el ejercicio anterior se tiene: 610.125 f i x2i σ = x2 = 1.74252 = 0.0143 N 200 (c) La nueva tabla adecuada con las desviaciones es la que sigue 2



· −

−

−

xi Di = x i 1.75 1.60 0.15 1.75 0.00 1.85 0.10 1.95 0.20

−



=

·

f i Di 10.5 0.0 5.0 4.0

−

-1.5

Di2 0.0225 0.0000 0.0100 0.0400

f i Di2 1.5750 0.0000 0.5000 0.8000

·

2.8750


38


Utilizando, finalmente, la expresión (1.10):

2

σ =



·

2

f i Di N

  · − f i Di N

2

2.875 = 200

2

  − − 1.5 200

= 0.0143

R1.12 Calc´ ulese la media y varianza de la siguiente serie estad´ıstica a través de sus marcas de clase agrupándolas primero en intervalos de amplitud igual a 5 y despu´ es en intervalos de amplitud 10. 49 48 43 42 49 41 42 43 43 44 44 51 53 54 51 59 58 57 56 54 51 54 53 64 62 64 63 62 61 62 68 68 67 66 69 Soluci´ on: En primer lugar dispondremos la tabla de frecuencias resul-

tante agrupando los valores en intervalos de amplitud 5.


Intervalo Marcas de clase (xi ) [40,45[ 42.5 [45,50[ 47.5 [50,55[ 52.5 [55,60[ 57.5 [60,65[ 62.5 [65,70[ 67.5



=

f i

xi f i

8 340 3 142.5 8 420 4 230 7 437.5 5 337.5 35 1907.5

x2i

x2i f i

1806.25 2256.25 2756.25 3306.25 3906.25 4556.25

14450 6768.75 22050 13225 27343.75 22781.25 106618.75

Atendiendo a los valores de la tabla se tiene 1907.5 = 54.5 35 106618.75 = 54.52 = 76 35

x = σ2

−

Dispondremos ahora la tabla de frecuencias resultante agrupando los valores en intervalos de amplitud 10.



=

Intervalo Marcas de f i xi f i x2i x2i f i clase (xi ) [40,50[ 45 11 495 2025 22275 [50,60[ 55 12 660 3025 36300 [60,70[ 65 12 780 4225 50700 35 1935 109275


39


Atendiendo a los valores de la tabla se tiene 1935 55.28 35 109275 = 55.282 35

≈

x = σ2

−

≈ 65.63

R1.13 Dada la siguiente tabla de frecuencias, calcúlense la media aritmética x, geométrica G, arm´ onica H y cuadrática M y compruébese que estos valores verifican el orden que se indica en (1.7). xi f i 2 2 4 4 8 2 Soluci´ on:


Para el c´ alculo de x, G, H y M dispondremos los cálculos en la siguiente tabla xi f i x2i f i xi f i x2i xf ii 2 2 4 4 8 1 4 4 16 16 64 1 8 2 64 16 128 14 8 36 200 94



Se tiene entonces que 36 x = = 4.5 8 H =

G = 8 2 2

+

4 4

M =

+

2 8

=

√ 8

8 9 4

2

2

4

2

·4 ·8

=

√ 8

216 = 4

 32 = = 3. 5 9



200 10 = =5 8 2

y efectivamente se verifica

≤ ≤ x ≤ M

H G

R1.14 Calc´ ulese la media aritmética y la varianza de la siguiente tabla de frecuencias tomando P = 1000 y utilizando las expresiones (1.3) y (1.10). Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

40


xi f i 998 5 999 8 1000 4 1001 3 1002 5 Soluci´ on:

Si disponemos los datos necesarios en una tabla, eligiendo P = 1000, tendremos xi Di = x i 998 2 999 1 1000 0 1001 1 1002 2

− −




−P

f i f i Di Di2 f i Di2 5 10 4 20 8 8 1 8 4 0 0 0 3 3 1 3 5 10 4 20 25 5 51

− − −

=

de donde se obtiene

=

·

−

f i Di 5 = 1000 + = 1000 0.2 = 999.8 N 25 f i Di2 f i Di 2 51 5 2 = = N N 25 25 51 1 50 = =2 25 25 25

x = P + σ2 =





·

  · −

− − −

 

−

R1.15 Una empresa asocia a su cuenta de resultados el siguiente número a cada uno de los meses del año natural Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 10 10 10 10 12 12 12 9 9 10 12 10 H´ allese la media de esos números bajo los siguientes supuestos (a) Ignorando la diferencia de d´ıas entre los distintos meses, i.e. todos ponderan igual. (b) Asignando a cada mes un peso pi equivalente a su fracción de d´ıas respecto al a˜ no.


41


(c) Asignando a cada mes el peso wi que es su número de d´ıas.

∈

(d) Atribuyendo un peso igual pi [0, 1[ a cada uno de los 8 primeros meses y una décima más a cada uno de los 4 últimos. (e) Atribuyendo los siguientes pesos wi ordenadamente por meses: 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2 Soluci´ on:

(a) La media x está sujeta como única ponderación a las frecuencias absolutas y por tanto x =

·

·

·

2 9 + 6 10 + 4 12 = 10.5 12

no d´ıas mes (b) El peso pi de cada mes es y evidentemente 365 As´ı pues, en este caso la media seg´ un (1.6) resulta

pi = 1.

31 28 31 30 31 30 10 + 10 + 10 + 10 + 12 + 12 + 365 365 365 365 365 365 31 31 30 31 30 31 + 12 + 9+ 9+ 10 + 12 + 10 = 365 365 365 365 365 365 3833 = 10.504 365

x = . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C



· ·

· ·

· ·

·

·

·

·

·

·

≈

Para realizar los cálculos nos podr´ıa haber sido de ayuda la siguiente tabla de frecuencias absolutas f i con sus pesos pi respectivos. xi

meses de 28 d´ıas meses de 30 d´ıas meses de 31 d´ıas pi = 28/365 pi = 30/365 pi = 31/365 f i f i f i 9 1 1 10 1 1 4 12 2 2 Seg´ un la tabla hubi´ eramos calculado 30 31 28 30 31 · 365 · 9 + 1 · 365 · 9 + 1 · 365 · 10 + 1 · 365 · 10 + 4 · 365 · 10 + 30 31 3833 · · ≈ 10.504 2· 12 + 2 · 12 = 365 365 365

x = 1 +

que coincide con el resultado anterior. Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

42


(c) Atendiendo al enunciado, si el lector escribe seg´ un (1.5) la media buscada en la forma x =

·

·

·

31 10 + 28 10 + 31 10 + 365

··· + 31 · 10

observará que coincide con el apartado (b). (d) Seg´ un el enunciado si p es el peso de cada uno de los 8 primeros meses entonces p + 0.1 es el de los u ´ ltimos 4 meses. Se habr´ a de verificar entonces 8 p + 4( p + 0.1) = 1 de lo que se deduce que ´ ltimos meses es p = 0.05. As´ı pues el peso de cada uno de los u 0.15. La tabla de frecuencias absolutas f i con sus pesos p i respectivos es la siguiente No de meses con No de meses con pi = 0.05 pi = 0.15 f i f i 9 1 1 10 4 2 12 3 1 xi


y usando (1.6) se tiene

· · · · · · 2 · 0.15 · 10 + 3 · 0.05 · 12 + 1 · 0.15 · 12 = 10.4

x = 1 0.05 9 + 1 0.15 9 + 4 0.05 10 + +

(e) Seg´ un el enunciado podemos establecer para la solución la siguiente tabla de frecuencias absolutas f i con sus pesos wi respectivos No de meses con No de meses con No de meses con wi = 0 wi = 1 wi = 2 f i f i f i 9 1 1 10 3 1 2 12 1 2 1 xi

y utilizando (1.5) se tiene x = =

1 1 9 + 1 2 9 + 1 1 10 + 2 2 10 + 2 1 12 + 1 2 12 = 12 125 = 10.416 12

· ·

· ·

· ·

· ·

· ·

· ·


43

Ejercicios propuestos

1.4


P1.1 En una clase de 20 alumnos se ha preguntado el número de asignaturas suspendiada en el primer semestre, y se han obtenido los siguientes resultados: 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 1 Constr´ uyase la tabla de distribución de frecuencias que corresponda y diversos tipos de diagramas. P1.2 En un estudio sobre la fiabilidad de un nuevo tipo de termostatos, se ha realizado una prueba con 50 de ellos. Se hab´ıan programado todos para que se activaran a la misma temperatura (5.5o C), se han obtenido los siguientes resultados donde cada valor indica la temperatura real a la que cada termostato se ha activado (se han subrayadao los valores mayor y menor):


4.4 4.4 5.8 4.4 3.6 4.1 4.3 4.0 6.0 4.0

4.2 5.1 4.4 2.8 4.6 4.3 4.0 4.8 5.0 3.9

3.4 4.4 4.4 4.3 4.3 4.2 3.7 4.6 4.7 4.4

5.3 5.2 5.7 5.0 4.3 4.0 5.7 6.0 4.3 4.3

3.9 4.0 4.6 4.3 4.4 4.4 4.2 3.9 4.9 4.8

Agr´ upense los datos en intervalos adecuados y constrúyase la tabla de frecuencias que corresponda. P1.3 Para estudiar el precio de mercado de un determinado componente electr´ onico, en euros, se ha tomado una muestra en 30 tiendas y se han obtenido los siguientes valores 116, 146, 136, 119, 106, 118, 118, 156, 143, 122, 116, 139, 127, 106, 145, 129, 120, 122, 130, 114, 146, 133, 124, 141, 133, 131, 144, 146, 133, 141. (a) Calc´ ulese la media aritmética, la mediana y la desviaci´ on t´ıpica. (b) Compru´ ebese que si se agrupan los datos en una tabla con intervalos de clase, [100,110[, [110,120[, [120,130[, [130,140[, [140,150[ y [150,160[, los resultado que se obtienen a partir de la tabla para la media y desviación t´ıpica de las marcas de clase no coinciden con los obtenidos en el apartado (a).


44


(c) Dib´ ujese el diagrama de barras de las frecuencias absolutas y absolutas acumuladas, para los datos agrupados en clases.

P1.4 Calc´ ulese la media aritm´ etica de los valores 2,6,5,9 y 2. (a) Compruébese que, si a cada uno de los valores se le suman 4 unidades, se obtiene otra serie con distinta media pero id´ entica varianza. (b) ¿Qué relaci´ on existe entre las medias de la serie original y la modificada? (c) Si ahora se multiplica cada valor de la serie original por 2 y se suman 3 unidades, ¿qué relación existe entre las medias y las varianzas de la serie original y la modificada? P1.5 Se ha medido la velocidad de un coche a lo largo de un viaje de 4 horas. Los resultados han sido los que se muestran en la siguiente tabla: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

Km/h Menos de 40 Entre 40 y 50 Entre 50 y 60 Entre 60 y 70 Entre 70 y 80 Entre 80 y 90 Entre 90 y 100 Entre 100 y 120 Entre 120 y 150

minutos 10 20 35 40 50 40 30 10 5

Calc´ ulese la velocidad media y la desviación t´ıpica, teniendo en cuenta las marcas de clase. Real´ıcese el diagrama de barras de las frecuencias absolutas y absolutas acumuladas para las marcas de clase. P1.6 Se ha analizado el funcionamiento de 15 circuitos electr´ onicos en condiciones extremas y se ha registrado la duración en horas en que cada circuito funcionó correctamente, como muestra la siguiente tabla:


45


Circuito A B C D E F G H

Duraci´ on 31 14 19 17 34 25 17 35

Circuito I J K L M N O

Duraci´ on 22 20 32 19 27 11 23

Calc´ ulese la media, mediana, desviación media, cuartiles, intervalo intercuart´ılico, recorrido, varianza y desviaci´ on t´ıpica de la duración. P1.7 En una peque˜ na empresa se paga a los 5 trabajadores 1100 euros mensuales, los dos encargados cobran 1500 euros/mes y el gerente cobra 6500 euros/mes. (a) Calc´ ulese la media, moda, mediana y desviación t´ıpica del sueldo mensual que se cobra en esta empresa. (b) Val´ orese el significado de los resultados obtenidos. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

P1.8 En una comunidad aut´ onoma existen 3 grandes plantas de fabricación de componentes electr´ onicos. La primera dispone de 542 trabajadores con salario mensual medio de 1080 euros. En la segunda planta trabajan 843 empleados con sueldo mensual medio de 860 euros. Finalmente, el sueldo mensual medio de los 1538 trabajadores de la tercera planta es de 815 euros. Calc´ ulese el sueldo mensual medio y la desviación t´ıpica. P1.9 Para la calificaci´ on final de una asignatura se tienen en cuenta los 3 parciales por igual y la nota del ejercicio global. Un alumno ha obtenido en los parciales las calificaciones: 7, 8 y 9. ¿Cu´ anto ha de ponderar el ejercicio global para que obteniendo un 9 en dicho ejercicio la calificación final sea 8.5? P1.10 Un alumno ha realizado 3 ejercicios en una asignatura. La calificaci´ on final ha sido de 6.4. Sabemos que el tercer ejercicio ponderaba un 60% de la asignatura y que el primero y segundo ponderan lo mismo. ¿Cuál ha sido la calificación del tercer ejercicio si la media del primer y segundo ejercicio es 5.5? P1.11 Una tienda ha vendido cierto n´ umero de unidades de un producto A en el primer trimestre del a˜ no y cada mes ha ingresado 5000 euros como importe de las ventas de dicho producto. El precio medio de cada


46


unidad ha sido de 3 euros el primer mes, 2,50 euros el segundo y 2 euros el tercero. H´ allese el precio medio en que se ha vendido cada unidad. P1.12 Sea x i una serie de datos estad´ısticos de media x y varianza σ x2 y sea y i una nueva serie de manera que y i = ax i + b, donde a, b R. Designemos por y y σy2 la media y varianza, respectivamente, de yi . Demuéstrese que

∈

(a) y = ax + b (b) σy2 = a 2 σx2 P1.13 Supongamos que en una población de N elementos, los valores cuantitativos de una variable estad´ıstica están agrupados en intervalos de clase de la forma [Li−1 , Li [ y denotemos por f i y F i las frecuencias absoluta y absoluta acumulada de la variable en dichos intervalo, respectivamente. Demuéstrese que una expresión adecuada para el cálculo de los cuartiles Qr (r = 1, 2, 3) viene dada por Qr = L i−1 + . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

Li

−L− i

1

f i

(

r N 4

· − F − ) i

1

donde [Li−1 , Li [ es el intervalo de clase donde queda localizado el cuartil rN Qr , i.e. F i−1 < F i . 4 Obsérvese que Q2 es la mediana, y para su cálculo algunos autores prefieren utilizar la expresión

≤

Me = L i−1 +

Li

−L− i

f i

1



N ( + 0.5) 2

− F − i

1



que se corresponde más con el concepto de b´ usqueda del valor central (véase el Ejemplo 1.2.3). P1.14 Se ha realizado un estudio de la duraci´ on xi en meses de un módulo de 50 bombillas y ha sido, por intervalos, el que ofrece la tabla adjunta con sus correspondientes frecuencias f i . xi f i [0, 6[ 1 [6, 12[ 1 [12, 18[ 4 [18, 24[ 8 [24, 30[ 16 [30, 36[ 20



47

(a) H´ allense las marcas de clase. Constrúyase una tabla de frecuencias que incluye las frecuencias acumulada y las columnas que faciliten el cálculo de la media, desviación media y varianza, atendiendo a las marcas de clase. (b) H´ allese la media, mediana, cuartiles Q1 y Q3 , la moda Mo, intervalo intercuart´ılico, recorrido, desviaci´ on media y desviaci´ on t´ıpica de los datos, atendiendo a las marcas de clase. (c) H´ allese el intevalo modal, la Mediana y los cuartiles Q1 y Q3 atendiendo a su distribuci´ o n agrupada. H´ allese el intervalo intercuart´ılico. P1.15 En el estudio del ejercicio anterior se ha añadido 3 nuevas bombillas que se encuentran en los intervalos [18, 24[, [24, 30[ y [30, 36[, constando ahora la serie de 53 datos. Cont´ estese a los 3 apartados del ejercicio anterior (a), (b) y (c). (d) Comp´ arense las diferencias entre medias y entre medianas. (e) Asimismo comp´ arense las diferencias entre los intervalos intercuart´ılicos y las desviaciones t´ıpicas. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C


48

1.5


Proyecto: Medidas de asimetr´ıa y forma

Las medidas de asimetr´ıa y de forma, tambi´ en llamadas medidas de distribuci´ on, nos permiten identificar la forma en que se separan o aglomeran los valores de una serie de números de acuerdo a su representación gr´ afica. Estas medidas tienen un significado geom´ etrico relacionado con la forma del histograma.

Medidas de asimetr´ıa Las medidas de asimetr´ıa muestran si en la distribuci´ on hay concentración de datos en un extremo, superior o inferior. Consideremos los valores x1 , x2 , . . . , xn , no agrupados, correspondientes a una variable estad´ıstica X . En las distribuciones simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden y la distribución de los valores se separa de la simetr´ıa en la medida que la media, la mediana y la moda difieren entre s´ı. Por ello, la m´ as com´ un de las medidas de asimetr´ıa, As,p1 , se basa en la diferencia entre la moda y la media, dado que esta u ´ ltima es la medida más sensible a los valores extremos. As,p1 = . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

x ¯

− M

o

σ

Cuando la moda no se puede obtener claramente, se puede recurrir a la comparaci´ on de la media con la mediana As,p2 = 3

x ¯

− M

e

σ

Las medidas de asimetr´ıa anteriores se conocen como el primer y el segundo coeficiente de Pearson , respectivamente, y su valor es cero en el caso de simetr´ıa. Si la distribución es asim´ etrica hacia la derecha, la media será mayor que la moda y, por tanto, As,p1 > 0 mientras que si la distribución es asimétrica hacia la izquierda, la media será menor que la moda y, por tanto, As,p1 < 0. An´ alogamente, para el segundo coeficiente de Pearson, un valor negativo indica asimetr´ıa a la izquierda y un valor positivo, asimetr´ıa a la derecha. Llamaremos coeficiente de asimetr´ıa de Fisher (As ) al cociente µ3 1 As = 3 = 3 σ σ

N j =1 (xj



3

− x)

N

,

donde µ3 es el momento (central) de orden 3 definido en la Nota 1.2.13. Puede demostrarse que el coeficiente de asimetr´ıa puede calcularse a partir de la siguiente expresión equivalente 1 As = 3 σ

 

N j =1

N

N

3

xj

−

3¯ x x2j + 2¯ x3 N j=1



 


49


Si la variable X toma los valores distintos x1 , x2 , . . . , xI , con frecuencias absolutas ordinarias, f 1 , f 2 , . . . , fI , respectivamente, el coeficiente de asimetr´ıa viene dado por 1 As = 3 σ Se puede observar que

  I

j =1

f j 3 x N j

− 3¯x

I

 j =1

f j 2 xj + 2¯ x3 N

 

(a) Si As = 0, la distribución es simétrica. (b) Si As < 0 (asimetr´ıa negativa), la distribuci´ on est´ a desviada a la izquierda, es decir existe más cantidad de valores a la izquierda de la media o bien la cola de la izquierda és más larga que la de la derecha. (c) Si As > 0 (asimetr´ıa positiva), la distribución est´ a desviada a la derecha, es decir existe más cantidad de valores a la derecha de la media o bien la cola de la derecha és más larga que la de la izquierda.


1.5.1

Ejemplo

Consideremos la siguiente tabla de distribución de frecuencias correspondiente a la serie numérica xi . xi 1 2 3 4 5 6

f i 10 4 14 8 6 8

hi 0.20 0.08 0.28 0.16 0.12 0.16

F i 10 14 28 36 42 50

H i 0.20 0.28 0.56 0.72 0.84 1.00

A partir de la tabla anterior, construimos la siguiente: Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

50


xi 1 2 3 4 5 6



=

f i 10 4 14 8 6 8 50

x2i f i x2i 1 10 4 16 9 126 16 128 25 150 36 288 718

f i xi 10 8 42 32 30 48 170

x3i f i x3i 1 10 8 32 27 378 64 512 125 750 216 1728 3410

La media es 10 + 4 2 + 14 3 + 8 4 + 6 5 + 8 6 170 x = = = 3.4 50 50

·

·

·

·

·

y la desviaci´ on t´ıpica σ =

   − 718 50

170 50

2

√

=

2.80 = 1.67 .

Por otra parte I

1 3410 f j x3j = = 68.2 , N j =1 50



por lo tanto, el coeficiente de asimetr´ıa es . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

As =

1 (68.2 1.63

− 3 · 3.4 · 718 + 2 · 3.4 50

3

= 0.336) =

0.336 = 0.072 . 4.66

Medidas de apuntamiento o curtosis Las medidas de apuntamiento , también llamadas de curtosis, determinan la concentración de valores alrededor de la media aritmética. Si se han realizado N observaciones, x1 , x2 , . . ., xN , de una variable estad´ıstica, X , llamaremos coeficiente de curtosis1 (γ ) a N 1 (xj ¯ x)4 µ4 γ = 4 3= 4 3 σ j =1 N σ



−

−

−

urtica y el histograma corresSi γ > 0, la distribución se denomina leptoc´ pondiente está menos aplastado (m´ as puntiagudo) que la gráfica correspondiente a una distribución teórica denominada normal (que se estudiará en el cap´ıtulo 6), que corresponde a la siguiente función x)2 −(x−¯ 1 2 f (x) = e 2σ . σ 2π

√

1

PN

x)4 (x −¯

j = µσ44 . En una disEn libros cl´ asicos se defin´ ıa curtosis como σ14 j =1 N tribuci´ on normal, este valor ser´ ıa 3. La sustracci´ o n del 3 al final de la f´ ormula que damos se explica como una correcci´ on que se hace a la curtosis cl´ asica de una distribuci´ on normal para que ´ esta sea igual a cero.


51


y esto se traduce en mayor concentración alrededor de la media. Si, por lo contrario, γ < 0, la distribución se denomina platic´ urtica y el histograma correspondiente est´ a m´ afica, correspondiente a la distribución noras aplastado (achatado) que la gr´ mal, lo cual significa menor concentraci´ o n alrededor de la media. Por u ´ ltimo, si el histograma est´ a aplastado de forma semejante a la gr´ afica correspondiente a la urtica y, en este caso, se distribuci´ on normal, se dice que la distribució n es mesoc´ cumple que γ = 0.

Podemos obtener otra medida de apuntalamiento o curtosis basada en los cuartiles y percentiles, que se denomina coeficiente de curtosis percent´ılico γ p = 0.5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

Q3 P 90

−Q − P

1

10

donde P i son los percentiles. Para la distribución de referencia, normal, γ p toma el valor 0.263 y las distribuciones se definen como leptoc´ urtica si γ p > 0.263 y platic´ urtica si γ p < 0.263.


52

1.6


Proyecto: Diagrama Box-and-whisker Box-and-whisker se traduce literalmente del ingl´ es como Ca ja-y-bigote. Mu-

chos paquetes extad´ısticos generan este diagrama que contiene bastante informaci´ on sobre la distribución de datos de carácter cuantitativo correspondientes a una variable estad´ıstica continua. Veamos un ejemplo de diagrama de Box-and-wisker y su significado. En la siguiente tabla se detalla el número de p´ıxeles estropeados observados en una muestra de 11 monitores LCD: 3, 4, 6, 17, 36, 58, 74, 76, 80, 123, 230 El diagrama de Box-and-whisker correspondiente ser´ıa:


La caja (de color gris) comprende los valores que se extienden entre el primer cuartil Q1 (6), y el tercer cuartil, Q3 (80). La l´ınea vertical del interior corresponde a la mediana (58) y la cruz corresponde a la media (62.0833). La distancia entre la mediana y la media aritmética es un indicador de asimetr´ıa. Los bigotes se extienden desde el m´ınimo (3) y el máximo (123) de los valores de la tabla, teniendo en cuenta que se dejan fuera (cuadrado peque˜ no) los valores que difieren del cuartil más pr´ oximo m´ as de 1.5 veces el rango intercuart´ılico, cuyo valor en el ejemplo es 80 - 6 = 74. Como 1.5 74 = 111 < 230 - 80 = 150, el valor 230 queda aislado, por lo tanto el diagrama de Box-and-wisker permite detectar y representar datos at´ıpicos u an´ omalos.

·


Cap´ıtulo 2

Distribuciones bidimensionales 2.1 2.1.1 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

Distribuciones bidimensionales Variable estad´ıstica bidimensional

Hasta ahora hemos estudiado variables estad´ısticas o aleatorias atendiendo a un sólo car´ acter. Nos ocuparemos ahora de estudiar para cada elemento de un colectivo finito Ω = a1 , a2 , . . . , aN un par de caracteres (x, y) (variables estad´ısticas bidimensionales) que supondremos siempre cuantitativos, por lo que no hay inconveniente alguno en considerar que se tratan de dos variables aleatorias discretas, resultantes de un experimento (fenómeno) aleatorio, que da lugar a lo que denominaremos una distribuci´ on (estad´ ıstica) bidimensional . En el estudio de una distribución bidimensional pueden suceder tres casos:

{

}

1. Que los dos fenómenos que se estudian estén ´ıntimamente ligados uno a otro, en cuyo caso se suele encontrar una expresión matemática que rige el experimento, por ejemplo la presi´ on P y el volumen V de un gas a temperatura constante, pues se verifica que P V es constante (ley de Boyle-Mariotte). En tal caso se dice que entre las variables x e y existe una dependencia funcional. 2. Que ambos fen´ omenos sean totalmente independientes uno de otro, por ejemplo el n´ umero de letras del nombre de una persona y su edad. 3. Que entre los dos fenómenos considerados haya una relació n más o


54


menos fuerte. Por ejemplo, la talla y el peso de las personas. En tal on entre las variables x e y. caso se dice que existe correlaci´

En este cap´ıtulo estudiaremos si entre dos variables estad´ısticas existe relaci´ on y veremos con cierto detalle el grado de dicha relación en un caso que es muy frecuente en la práctica: la regresi´ on lineal.

2.1.2


Representaci´ on gr´ afica de una distribuci´ on bidemensional

Para proceder al estudio estad´ıstico de una variable bidimensional (X, Y ) que en N observaciones ha tomado los distintos valores (xi , yi ), i = 1, 2, . . . , m se elaborará, en primer lugar, con los datos recogidos, una tabla de doble entrada. Despu´ es, se puede representar la variable bidimensional por un diagrama de barras, mediante un diagrama de ejes cartesianos tridimensional O X Y Z , levantando desde el punto (xi , yi , 0) del “plano del suelo” (z = 0) una paralela al eje OZ de altura igual a su frecuencia absoluta (o relativa). No obstante, el sistema de representación gráfica más usado es el diagrama de dispersi´ on o nube de puntos, que consiste en un sistema cartesiano de ejes XY , tal que en cada (xi , yi ) se dibuja un punto (o una mancha proporcional a la frecuencia absoluta), ya que en muchas ocasiones, de su simple observación se obtiene una idea bastante exacta de la relación entre las variables x e y.

2.1.3

Ejemplo

Supongamos que las siguientes nubes de puntos corresponden a diversas distribuciones bidimensionales.


55


De su observación podemos sacar las siguientes conclusiones para el par de variables estad´ısticas que cada caso representa: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

(a) Dependencia funcional (parabólica) (b) Dependencia funcional (lineal) (c) Existe correlaci´ on lineal fuerte (d) Existe correlaci´ on lineal débil (e) Son variables independientes 2.1.4

Medidas de centralizaci´ on y dispersi´ on

Dada una distribución de frecuencias bidimensional correspondiente a una variable (X, Y ) que ha tomado los N valores (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xN , yN ) (puede que se repitan) sabemos calcular la media, la varianza y la desviación t´ıpica de cada una de las dos variables: N

··· + x

x1 + x2 + x = N

N

=



N

xi

i=1

N

··· + y

y1 + y2 + y= N

N

=



yi

i=1

N


56


N

σx2 =



(xi

i=1

   

N

2

− x)

σy2 =

N

N

σx =

i=1



(yi

i=1

2

− y)

N

    N

(xi

2

− x)

σy =

N

(yi

i=1

2

− y)

N

Se denomina covarianza de la distribución bidimensional al n´ umero real N

σxy =



(xi

i=1

− x)(y − y) i

N

(2.1)

y es fácil demostrar que N

σxy = . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C



xi yi

i=1

N

−x y

(2.2)

Finalmente, se denomina coeficiente de correlaci´ on lineal entre las variables x e y, al n´ umero real r=

σxy σx σy

(2.3)

cuyo significado se explicará en la sección 2.2.6. 2.1.5

Nota

En el caso de valores agrupados se recurre, como es habitual, a las marcas de clase para poder calcular los anteriores parámetros de la distribución. 2.1.6

Ejemplo

Consideremos las notas x e y de Matemáticas y de F´ısica, respectivamente, que han obtenido 10 alumnos, como muestra la siguiente tabla de frecuencias: x 3 4 6 8 8 6 4 5 4 7 y 3 4 4 7 8 7 3 5 3 6


57


En primer lugar observemos, a continuaci´ on, el correspondiente diagrama de dispersión que ya nos sugiere la existencia de alguna relación entre ambas variables.

Las media de x e y son: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i c n e l a V e d a c i n c é t i l o P d a d i s r e v i n U a l e d l a i r o t i d E . 1 1 0 2 © t h g i r y p o C

x = y =

3 + 4+ 6 +8 + 8+ 6 + 4+ 5 +4 + 7 = 5.5 10 3 + 4+ 4 +7 + 8+ 7 + 3+ 5 +3 + 6 =5 10

Para preparar los c´ alculos de las medidas de dispersión ampliaremos la tabla de frecuencias con las columnas que aparecen en la tabla adjunta:

− −

− − −



=

−

−

xi yi xi x yi y (xi 3 3 2.5 2 4 4 1.5 1 6 4 0.5 1 8 7 2.5 2 8 8 2.5 3 6 7 0.5 2 4 3 1.5 2 5 5 0.5 0 4 3 1.5 2 7 6 1.5 1 55 50

− − − − −

− x)(y − y) i

5 1.5 0.5 5 7.5 1 3 0 3 1.5 27

−

(xi x)2 (yi y)2 6.25 4 2.25 1 0.25 1 6.25 4 6.25 9 0.25 4 2.25 4 0.25 0 2.25 4 2.25 1 28.5 32

−

−


58


En consecuencia, se tiene que: σx2 =

28.5 = 2.85 10

σy2 =

27 = 2.7 10

r=

σxy = 2.1.7

32 = 3.2 10

√ 2.852.7· √ 3.2 ≈ 0.89

Frecuencias marginales

Cuando el n´ umero N de datos es muy grande, puede suceder que la variable bidimensional (X, Y ) tome muchos valores repetidos. Supongamos en lo que sigue que los N valores que toma la variable (X, Y ) son (xi , y j ), i = 1, 2, . . . , r, j = 1, 2, . . . , s. En tal caso, es conveniente disponer la tabla de frecuencias de manera que aparezca la frecuencia absoluta f ij de cada s

(xi , y j ), donde obviamente

r



f ij = N . Esta tabla se denomina tabla de

j =1 i=1

correlaci´ on . Para el c´ alculo de valores centrales y de dispersión, es interesante considerar la frecuencia de cada xi correspondiente a la totalidad de valores (xi , y j ), j = 1, 2, . . . , s, que se denomina frecuencia marginal de x i , s


y cuyo valor denotaremos f i· =



f ij

j =1 r

An´ alogamente, la frecuencia marginal de cada y j es f · j =



f ij

i=1

Las expresiones de los valores centrales y de dispersión quedan de la siguiente forma: s

r

x =



i=1

xi f i· y=

N

σx2 =

(xi

i=1

2

− x) f · i

σy2 =

N s

σxy = 2.1.8

j =1

y j f · j

N

s

r







(y j

j =1

2

− y) f ·

j

N

r



(xi

j =1 i=1

− x)(y − y)f j

ij

N

Ejemplo

Consideremos las notas x e y de F´ısica y Qu´ımica, respectivamente, que han obtenido 20 alumnos, que muestra la siguiente tabla de frecuencias: Estruch, Fuster, Vicente Domingo, et al. Lecciones de estadística, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia, 2011. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/upilotosp/detail.action?docID=3205284.

Lecciones de Estadística (Pg 2 60)

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