TERCERA UNIDAD: ANOVA Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS 1. En un estudio de la glucosa sobre la liberación de insulina, se trataron muestras de tejido pancreático de animales de laboratorio con cinco estimulantes distintos. Posteriormente, se determinó la cantidad de insulina liberada. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. El experimentador deseaba saber si debía concluir que existe una diferencia significativa entre las cinco poblaciones poblaciones con respecto respect o a la cantidad media de insulina liberada.
Estimulante 1
2
3
4
5
1.53 1.61 3.75 2.89 3.26
3.15 3.96 3.59 1.89 1.45 1.56
3.89 3.68 5.7 5.62 5.79 5.33
8.18 5.64 7.36 5.33 8.82 5.26 7.1
5.86 5.46 5.69 6.49 7.81 9.03 7.49 8.98
Estimulante
t x varianza
1
2
3
4
5
1.53 1.61 3.75 2.89 3.26
3.15 3.96 3.59 1.89 1.45 1.56
3.89 3.68 5.7 5.62 5.79 5.33
8.18 5.64 7.36 5.33 8.82 5.26 7.1
5.86 5.46 5.69 6.49 7.81 9.03 7.49 8.98
13.04 2.608 0.99172
15.6 30.01 47.69 56.81 2.6 5.00166667 6.81285714 7.10125 1.20808 0.91637667 2.04422381 2.07184107
SStotal =163.672 SSentregrupos = 120.84 SSdentro= 42.832
Fuente de Variación entre dentro
4 27
120.84 42.83
30.4 1.58
Fo
Ft
19.12
2.7
HIPOTESIS Ho:
u1=u2=u3=u4=u5 Ho: u1 u2u3u4u5
= 0.05 PRUEBA ESTADISTICA: Prueba F
DECISION ESTADISTICA Fo> Ft => se rechaza Ho
CALCULO Fo=19.12 Ft= 2,7
DECISION: Se rechaza
Ho
CONCLUSIÓN: Existe diferencia significativa entre las cinco poblaciones.
y
APLICAMOS LA DMS DMS= T a/2 2 ms dentro = 1,289 n
/1-2/= / 2.608 - 2.6 / /1-3/= / 2.608 - 5/ /1-4/= / 2.608 - 6.81/ /1-5/= / 2.608 ± 7/ /2-3/= / 2.6 - 5/ /2-4/= / 2.6 - 6.81/ /2-5/= / 2.6 ± 7/ /3-4/= /5- 6.81/ /3-5/= /5 ± 7/ /4-5/= / 6.81 ± 7/
DMS DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY HAY
DMS < / /
=> HAY DMS
HIPOTESIS Ho:
u1=u2=u3=u4=u5 Ho: u1 u2u3u4u5
= 0.05 PRUEBA ESTADISTICA: Prueba F
DECISION ESTADISTICA Fo> Ft => se rechaza Ho
CALCULO Fo=19.12 Ft= 2,7
DECISION: Se rechaza
Ho
CONCLUSIÓN: Existe diferencia significativa entre las cinco poblaciones.
y
APLICAMOS LA DMS DMS= T a/2 2 ms dentro = 1,289 n
/1-2/= / 2.608 - 2.6 / /1-3/= / 2.608 - 5/ /1-4/= / 2.608 - 6.81/ /1-5/= / 2.608 ± 7/ /2-3/= / 2.6 - 5/ /2-4/= / 2.6 - 6.81/ /2-5/= / 2.6 ± 7/ /3-4/= /5- 6.81/ /3-5/= /5 ± 7/ /4-5/= / 6.81 ± 7/
DMS DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY DMS HAY HAY
DMS < / /
=> HAY DMS
2.
Cuatro grupos de pacientes de fisioterapia se sometieron a diferentes regímenes de tratamiento. Al término de un periodo especificado, cada uno se sometió a una prueba con el fin de estimar la efectividad del tratamiento. Se obtuvieron los siguientes resultados: TR ATAMIENTOS 1
2
3
4
64
76
58
95
88
70
74
90
72
90
66
80
80
80
60
87
79 71
75 82
82 75
88 85
¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique una diferencia entre los
tratamientos?. Sea =0,05
1 64 88 72 80 79 71 454 75,67 70,67
Tj X i i Si 2
Tratamientos 2 3 76 70 90 80
58 74 66 60
75 82
82 75
473 78,83 47,37
415 69,17 88,17
4 95 90 80 87 88 85 525 87,50 25,10
1867
Cuadrados
1 4096 7744 5184 6400 6241 5041
2 5776 4900 8100 6400 5625 6724
3 3364 5476 4356 3600 6724 5625
4 9025 8100 6400 7569 7744 7225
147439
SS entre grupos: 4542/6 + 573 2/6 + 4152/6 + 525 2/6 186722/24 = 1045,46 SS total: 1867 - 186722/24 = 2201,96 SS dentro grupos: 2201,96 ± 1045,46 = 1156,50 A N O V A
F uente de ariación v ariación E ntre ntre gr up upos Dentro de gr up upos Total
t Gl. SS .Medio F o F t C .M 3 1045,46 348,49 6,02656 3,10 20 1156,50 57,83 23 2201,96
Decisión: Como Ho cae en la región de rechazo, por lo tanto rechazamos Ho. O sea si hay diferencia significativa entre determinados grupos. Para poder encontrar esos grupos, usamos DMS:
I
A-B I
3,17
I
A-C I I A-D I
6,50 11,83
I
9,67 8,67
B-C I I B-D I I
C-D I
18,33
hay diferencia si gnificati v a N o hay diferencia si gnificati v a > DMS > DMS N o hay diferencia si gnificati v a > DMS N o
Conclusión: Estos datos proporcionan evidencia suficiente para poder indicar que hay diferencia significativa entre los tratamientos A y D; entre B y C; y entre C y D. 3. Se deseó comparar a tres médicos respecto a la duración de la internación en el hospital de sus pacientes que se sometieron a cierto procedimiento quirúrgico menor sin complicaciones. Se seleccionó una muestra de 8 expedientes de los correspondientes a cada médico y se observaron los siguientes periodos de hospitalización. médico A: médico B: médico C:
4 4 5
5 5 3
5 4 3
4 3 3
6 4 3
6 5 3
4 3 4
5 3 5
S ME DI CO A
B
C
4
4
5
5
5
3
5
4
3
4
3
3
6
4
3
6
5
3
4
3
4
5
3
5
Ti
39
31
29
X i
4.88
3.87
3.63
0.696
0.696
0.839
V arianza
SStotal =22.625 SSentre grupos =7 SSdentro de grupos =15.625
99
F uente de V ariación E ntregr upos Dentrogr upos Total
Suma de
g.l.
C
2 21 23
C .medio
7 3.5 15.625 0.744 23.625
F o
(3.5/0.744)=4.704
F t
3.5
HIPOTESIS Ho:
u1=u2=u3 Ha: u1u2u3 = 0.05 PRUEBA ESTADISTICA: Prueba F
DECISION ESTADISTICA Fo> Ft => se rechaza Ho
CALCULO Fo=4.704 Ft= 3.5
DECISION: Se rechaza
Ho
APLICAMOS LA DMS DMS= T /2
2
s n
dentro
= 2.08 2(0.744) = 0.897 8
DMS < / /
=> HAY DMS
/A-B/= / 4.88 - 3.87 /=1.01«««««««««««««..DMS /B-C/= / 3.87 - 3.63/=0.24 /A-C/= / 4.88 ± 3.63/=1.25 ««««««««««««......DMS
4. Para evaluar la influencia del tipo de acidosis del recién nacido en los niveles de glucemia medidos en el cordón umbilical del mismo, se obtuvieron los datos de la siguiente tabla: Niveles de glucemia Controles 51 56 58 60 62 63 65 68 72 73
Acid.
Respiratoria 60 65 66 68 68 69 73 75 78 80 Acid. Metabólica 69 73 74 78 79 79 82 85 87 88 Acid. Mixta 70 75 76 77 79 80 82 86 88 89 Obtener conclusiones a partir de los resultados de esas muestras.
1º Datos PRESENT ACIÓN DE DATOS
NIVELES DE GLUCEMIA CONTROLES ACIDOSIS ACIDOSIS ACIDOSIS RESPIRATORIA METABÓLICA MIXTA 51 60 69 70 56 65 73 75 58 66 74 76 60 68 78 77 62 68 79 79 63 69 79 80 65 73 82 82 68 75 85 86 72 78 87 88 73 80 88 89 628 702 715 802 2847 62.8 70.2 71.5 80.2 10 10 10 10 40 TABLA A NOVA Gl ENTRE 3 DENTRO 36
SS 1526.475 1088.3
MC 508.83 30.23
RV 16.83
Ft(3,36) 2.88
2º Planteamiento A plicamos el análisis de varianza sólo para los RN que presentan acidosis con sus respectivos tipos por que se desea comprobar si existe variación en los niveles de glucemia de aquellos RN o si se mantiene iguales. 3ºFormulación de hipótesis Ho: H1: Nivel de significancia 4ºEstadística de prueba
5º Regla de decisión Si 6º Valor calculado
7º Decisión estadística Como
.
8º Conclusión Las medias del nivel de glucemia en los RN con acidosis son diferentes. Luego se desea saber qué medias de qué grupos son diferentes: A plicamos el método de la diferencia mínima significativa: Estadística de prueba:
Entonces: |C-Ac.R|=|62.8-70.2|=7.4 >Dms |C-Ac.M|= |62.8-79.4|=16.6 >Dms |Ac.R-Ac.M|= |70.2-79.4|= 9.2 >Dms |Ac.Mix-Ac.M|= |80.2-79.4|= 0.8 Dms Conclusión:
El promedio del nivel de glucosa en el cordón umbilical del RN en los tipos de acidosis son diferentes, siendo significativo en todos excepto la acidosis mixta y la acidosis metabólica. 5.
En un colectivo de 5 individuos se aplican 3 fármacos para estudiar su influencia sobre sus movimientos respiratorios (número de inspiraciones por minuto). Los valores obtenidos para cada individuo vienen expresados en la tabla: INDIVIDUOS
Antes de los tratamientos Después de I Después de II Después de III
1
2
3
4
5
14 16 15 17
16 17 14 16
18 21 18 20
15 16 15 13
20 14 22 18
Estudie si el efecto de estos fármacos en la variación respiratoria producida 1. Hipótesis
H 0 : Q1
! Q 2 ! Q 3 ! Q 4 ! Q 5
H 1 : Q 1
{ Q 2 { Q 3 { Q 4 { Q 5
2. E ! 0.05 3. F 0 !
MS E MS D
Si: k
n
2
SS total ! §§ xi j
T 2
j !1 i !1
T i 2
T 2 SS E ntre grupos ! § n j !1 ni 62 2 63 2 77 2 59 2 SS ! 4 4 4 4 k
n
(335) 2 SS total ! 5731 20
E
SS
E
!
74 2 4
335 2 SS total ! 119 .75 20
63.5
SS Dentro de grupos ! SS total SS SS Dentro de grupos ! 119.75 63.5 SS Dentro de grupos ! 56.25 Entonces: MS E 15.875 = F 0 ! ! 4.21 F 0 ! 3.77 MS D F 0 ! 4.21 4. F ! F ( k 1,n k )H ! F ( 51, 20 5 )( 0.95 ) = F ( 4,15 )(0.95) =3.06 E
T
5. Como: F 0
" F
T
6. Decisión estadística: se rechaza la hipótesis H 0 7. Conclusión : el promedio del efecto de esos fármacos en la variación sobre los movimientos respiratorios es diferente en cada individuo 8. Prueba mí nima de diferencias signif icativas DM S ! t E 2
2 M S D ( n k )
DMS ! t 0.975( 205 )
n j
2(3.77 ) 4
DM S ! t 0.975 (15 ) v 1.373
DMS ! 2.93 1 2 ! 62 63 ! 1 No hay diferencia signif icativa xi xn DMS
1 3 ! 62 77 ! 15 1 4 ! 62 59 ! 3 1 5 ! 62 74 ! 12 2 3 ! 63 77 ! 14 Hay
diferencias significativas porque: xi xn " DMS
2 4 ! 63 59 ! 4 2 5 ! 63 74 ! 11
3 4 ! 77 59 ! 18 3 5 ! 77 74 ! 3 5 4 5 ! 59 74 ! 15
6.
La siguiente tabla recoge la distribución de los triglicéridos en suero, expresados en mg/dl en 90 niños de 6 años: N ivel de triglicéridos F recuencias 10 - 20
5
20 - 30
11
30 - 40
15
40 - 50
24
50 - 60
18
60 - 70
12
70 - 80
4
80 - 90
1
Contrastar la hipótesis de que el nivel de triglicéridos en niños de distribución Normal.
N ivel de
F recuencias
triglicéridos
observadas
Yi
Limite d e clase
10
Z i -2.26
probabi li dad
0.012
ad Probabi l id d e intervalo(p)
6
años sigue una
Fr ecuenc i a esperada (p*90)
(Oi-Ei )²/ Ei
10-20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90
5 11 15 24 18 12 4 1
y y
15 25
20 30
-1.63 -0.99 -0.36
0.052
0.040
3.60
0.023022
0.160
0.108
9.763
0.156719
0.360
0.199
17.943
0.482621
0.608
0.248
22.360
0.12031
35
40
45
50
55
60
0.91
0.818
0.210
18.896
0.04252
65
70
1.54
0.938
0.120
10.829
0.126685
75
80
2.17
0.985
0.047
4.207
0.010157
85
90
2.80
0.998
0.012
-0.27
1.107 Suma=0.972433
0.010399
X =45.7 S =15.78
HIPOTESIS Ho: Hi:
nivel de triglicéridos en niños de 6 años se ajusta a una distribución normal nivel de triglicéridos en niños de 6 años no se ajusta a una distribución normal
ESTADISTICA DE PRUEBA X2= (Oi-Ei)²/Ei
REGLA DE DECISION Si X2> X2a,m-p-1 => se rechaza la Ho
CALCULO X2= 0.972433
DECISION > X2a,m-p-1 = 11.7 «NO RECHAZAMOS LA Ho
0.972433
CONCLUSION El nivel de triglicéridos en niños de 6 años se ajusta a una distribución normal
7. Disponemos de una muestra de 250 mujeres mayores de 18 años, cuyos pesos son los presentados en la tabla adjunta, y queremos saber si los datos de esta muestra provienen de una distribución Normal.
P esos
30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100
100 - 110
o
n de mu jeres
16
18
22
51
62
55
22
4
SOLUCION
Hipótesis:
H0: En la población de la que se extrajo la muestra, los pesos de las mujeres siguen una distribución normal. HA: En la población de la que se extrajo la muestra, los pesos de las mujeres NO siguen una distribución normal Estadística de prueba:
La estadística de prueba es:
Reglas de decisión Si, X2 0
2 > X , m-p-1;
Se rechazará la H0
Cálculo de la estadística de prueba
Puesto que la media y la varianza de la distribución hipotética no se especif ican, es necesario usar los datos de la muestra para estimarlas.
Pesos
30 - 40
40 - 50
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 90
90 - 100
nº de mujeres Yi Y i*n [(Y i - Y)2 *ni]/(n-1)
16
18
22
51
62
55
22
4
35
45
55
65
75
85
95
105
560
810
1210
3315
4650
4675
2090
420
82.9073992 146.385542 267.269076 2828.53226 -112.048193 -165.662651 74.6709333 108.433735
Y = Yi*ni/n = 69.912 2
S = [(Yi - Y)2*ni]/(n-1)] = 361.7604 S = 19.02
100 - 110
Z = (Xi -Y)/S en el limite inferior del intervalo -2.10 -1.57 -1.05 -0.52 0.00 0.53 1.06 1.58 2.11
Pesos 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 100 - 110 > 110 TOTAL
Frecuencia relativa esperada 0.0582 0.0887 0.1546 0.1985 0.2019 0.1535 0.0875 0.0397 0.0174000 1.0000
Frecuencia esperada 14.55 22.18 38.65 49.62 50.48 38.38 21.88 9.92 4.35
FRECUENCIAS ESPERADAS Y OBSERVADAS
Pesos 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 100 - 110 >110 TOTAL
Valor X0 = 25.9
2 X , m-p-1
Frecuencias
Frecuencia
observadas(Oi) 16 18 22 51 62 55 22 4 0 250
esperada (Ei) (Oi -Ei)2/Ei 14.6 0.145 22.2 0.788 38.7 7.173 49.6 0.038 50.5 2.629 38.4 7.197 21.9 0.001 9.9 3.533 4.4 4.350 250.0 25.9
= X20.05, 9-2-1= X20.05, 6
= 18.548
Entonces, como: 25.9> 18.548; se rechaza la H0 Conclusión:
Los datos no provienen de una población con distribución normal
8. La distribución en Andalucía del grupo sanguíneo es de un 3 5%, 10%, 6% y un 49% para los grupos A, B, AB y O respectivamente. En Málaga, se realizó el estudio en una muestra de 200 individuos obteniéndose una distribución del 50%, 30%, 18%, y 10% para los grupos A, B, AB y O respectivamente. Se desea saber si la distribución del grupo sanguíneo en dicha provincia es igual que en Andalucía. Falta el ³n´ de la población de Andalucía
9. Con el fin de conocer si un cierto tipo de bacterias se distribuyen al azar en un determinado cultivo o si, por el contrario, lo hacen con algún tipo de preferencia (el centro, los extremos, etc...), se divide un cultivo en 576 áreas iguales y se cuenta el número de bacterias en cada área. Los resultados son los siguientes: o
n de bacterias o
n de áreas
0
1
2 3 4
229 211 93 35 7
5 1
¿Obedecen los datos a una distribución de Poisson?
Nº de
Nº de
bacterias 0 1 2 3 4 >=5
áreas 229 211 93 35 7 1 576
prob
0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,00365985
frec es peradas 212 212 106 35 9 2 576
2
( OI E i ) /E i 1,38018549 0,00381035 1,58268022 0,0028351 0,37893199 0,58243892 3,93088206
Suposiciones: Se supone que los datos cumplen con los requerimientos para la aplicación de la de la prueba de bondad de ajuste de ji -cuadrada
Hipótesis :
Ho : Los datos obedecen una distribución de poisson HA : Los datos no obedecen una distribución de poisson Estadistica de prueba 2
X = Distribucion de la estadística de prueba : 2 Si Ho es verdadera ,X no sig ue una distribución ji cuadrada con 5 grados de libertad Regla de decisión : 2 Se rechaza Ho si el valor calculado de X es mayor o igual a X(0,05;5) = 11,07
Calculo de la estadística de prueba : 2
X =
= 3,93088206
Decision estadística : 2 Si: X X (0,05; 5) = 3,93 11,07 es falso entonces no se rechaza la hipótesis nula! Conclusion :
Los dat os obed ecen
a una di stri bución d e poi sson.
10. En un estudio diseñado para determinar la aceptación por una parte de los pacientes de un nuevo analgésico, 100 médicos seleccionaron cada uno de ellos una muestra de 25 pacientes para participar en el estudio. Cada paciente después de haber tomado el nuevo analgésico durante un periodo de tiempo determinado, fue interrogado para saber si prefería éste o el que había tomado anteriormente con regularidad, obteniendo los siguientes resultados: Participaron en el estudio 2500 pacientes. o
o
o
n de pacientes que n de médicos que n total de pacientes
prefieren el nuevo
obtienen estos
que prefieren el
analgésico
resultados
nuevo analgésico
0
5
0
1
6
6
2
8
16
3
10
30
4
10
40
5
15
75
6
17
102
7
10
70
8
10
80
9
9
81
10 o más
0
0
Total
100
500
Queremos saber si
estos datos se ajustan a una distribución binomial.
no de pacientes de 25 que prefieren el nuev o analgésico
no de médicos que obtienen estos
no total de pacientes que prefieren el
rel ati va
resul tados
nuev o analgésico
es perada
0
5
0
0,0038
0,38
1
6
6
0,0236
2
8
16
3
10
4 5
frec
E i
Oi
E i
2,36
11
2,74
0,0708
7,08
8
7,08
30
0,1358
13,58
10 13,58
10
40
0,1867
18,67
10 18,67
15
75
0,1960
19,60
15
19,6
6
17
102
0,1633
16,33
17 16,33
7 8
10 10
70 80
0,1108 0,0623
11,08 6,23
10 11,08 10 6,23
9 10 o más
9 0
81 0
0,0294 0,0173
2,94 1,73
100
500
Total
Queremos saber si estos datos n
9 0
2,94 1,73
100,00
se ajustan a una distribución binomial.
25
X
500
n
2500
p-bar
0,2
Si X2 > X2(m-p-1)gl. Se rechaza Ho
Decisión: Como
y
> 15.51
se rechaza Ho
Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula de que los datos provienen de una distribución binomial.
11. Ante la sospecha de que el hábito de fumar de una embarazada puede influir en el peso de su hijo al nacer, se tomaron dos muestras, una de fumadoras y otra de no fumadoras, y se clasificó a sus hijos en tres categorías en función de su peso en relación con los percentiles
y
de la población. El resultado se expresa en la tabla siguiente: P eso del niño
¿M adre f umadora? M enor de
E ntre
y
M a yor de
S i
117
529
19
N o
124
1147
117
¿Hay
una evidencia significativa a favor de la sospecha a la vista de los resultados de la muestra? 1º Datos:
Madr e fumadora
si no t ot al
P eso d el niño (Fr ecuenc i as obs ervadas) < P > P90 ent r e P10 y P90 10 117 529 19 124 1147 117 241 1676 136
< P 10
Mat r iz d e fr ecuenc i as esperadas > ent r e P10 y P90 P90
t ot al
665 1388 2053
Madr e fumadora
si no
78.1 83.8
171.4 1133.1
44.1 91.9
2º Planteamiento: A plicamos la prueba de independencia de criterios porque nos piden saber si la variable hábito de fumar o consumo de cigarrillos influye en el peso del niño al nacer y además son variables categóricas o cualitativas. 3º Formulación de HIPÓTESIS: H0 :El hábito de fumar de una embarazada es independiente del peso de su hijo al nacer H1:El hábito de fumar de una embarazada es dependiente del peso su hijo al nacer
de
4º Nivel de significancia 5º Estadística de prueba:
6º Distribución de la estadística prueba:X 2 ~ X2 (r-1,c-1)gl 7º Regla de decisión: Se rechazará la H0 , si X02 > X2 (r-1)(c-1) ; caso contrario se acepta 8º.-Valor calculado:
X02=32.79 X2 0.05 (1)(2)gl = 5.99 9º Decisión: Como 32.79>5.99 se acepta H1 y se rechaza a ,
H0
10º Conclusión: El hábito de fumar sí se relaciona con el peso del niño al nacer.
12. Varios libros de Medicina Interna recomiendan al médico la palpación de la arteria radial con el fin de evaluar el estado de la pared arterial. Se tomaron 215 pacientes y se les clasificó según la pal pabilidad de dicha arteria (grados 0, 1 y 2 para no palpable, palpable y muy palpable o dura, respectivamente) y según una puntuación de 0 a 4 en orden creciente de degeneración arterial (evaluada tras la muerte del paciente y su análisis anatomo-patológico). Los datos son los de la tabla siguiente: Palpabilidad Degeneración 0
1
2
¿Existe relación entre
0
20
5
1
60 20 10
2
45 15 15
3
10
5
5
5
el grado de palpabilidad y el análisis anatomo-patológico?
1. Hipótesis El grado de palpabilidad de la arteria radial es independiente de la degeneración arterial. El grado de palpabilidad de la arteria radial no es independiente de la degeneración arterial. 2.
r: renglones
c: columnas
3. Se rechazará la
si
4. Cálculo estadístico Matriz de F rec uencia Obser va da P al pabi li dad Degeneración
0
1
2
Total
0
20
5
5
30
1
60
20
10
90
2
45
15
15
75
3
10
5
5
20
Total
135
45
35
215
Matriz de F rec uencia E s perada 0
1
2
0
18.84
6.28
4.88
1
56.51
18.84
14.65
2
47.09
15.70
12.21
3
12.56
4.19
3.26
5. Decisión estadística: Se rechazara la
si
4.474 > 12.59 Por lo tanto, no se rechazará la
.
6. CONCLUSIÓN: El grado de palpabilidad de la arteria radial es independiente de la degeneración arterial.
13. Se realizó una encuesta a 2979 andaluces para evaluar su opinión acerca de la atención recibida en los Ambulatorios de la Seguridad Social, clasificándolos también en relación a sus estudios. Analizar los datos de la siguiente tabla: Opinión Nivel de estudios Buena Regular Mala
Ninguno
800
144
32
Primarios
905
312
67
Bachiller
287
157
44
Medios
95
48
11
Superiores
38
32
7
HIPOTESIS Ho :
La variable Nivel de Estudios y Opinión son independientes
H1 :
La variable Nivel de Estudios y Opinión NO son independientes
NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 0.05
ESTADISTICA DE PRUEBA
REGLA DE DECISION Si X2o> X21- ,(r-1)(c-1)gl => se rechaza la Ho
VALOR CALCULADO
N ivel de estudios N inguno P rimarios Bachiller M edios S uperiores T otal
Buena 800 905 287 95 38
O pinión Regular 144 312 157 48 32
M ala 32 67 44 11 7
2125
693
161
N ivel de estudios N inguno P rimarios Bachiller M edios S uperiores
T otal 976 1284 488 154 77 2979
M atriz de f recuencias es peradas Buena Regular M ala 696.21
227.05
52.75
915.91
298.69
69.39
348.10
113.52
26.37
109.85
35.82
8.32
54.93
17.91
4.16
DECISION X21- ,(r-1)(c-1)gl = X20.95,(4)(2)gl = X20.95,(8)gl = 15.5 Como 115.07>15.5 => RECHAZAMOS LA Ho
CONCLUSION La variable nivel de estudios y opinión NO son independientes
14. Deseamos conocer, si las distribuciones atendiendo al grupo sanguíneo, en tres muestras referidas atendiendo al tipo de tensión arterial, se distribuyen de igual manera. Para lo cual, se reunió una muestra de 1 500 sujetos a los que se les determinó su grupo sanguíneo y se les tomó la tensión arterial, clasificándose ésta en baja, normal, y alta. Obteniéndose los siguientes resultados: Grupo sanguíneo T ensión arterial A Ba ja N ormal
28
B
AB
O T otal
9
7
31
75
543 211 90 476 1320
Alta
44
22
8
31
105
T otal
615 242 105 538 1.500
SOLUCION: 1ºHipótesis: Las tres muestras se distribuyen de igual manera respecto al tipo de tensión arterial. HA: Las tres muestras no se distribuyen de igual manera respecto al tipo de tensión arterial. H0:
2ºEstadística
de prueba: La estadística de prueba es:
3º Distribución de la estadística; Si Ho es verdadera X2sigue aprox. Una distribución Ji cuadrado con (n-1) (m-1) grados de libertad.
4º Regla de decisión: Si, X; Se rechazará la H0 si el cálculo de X2 > 12.592. 5º
Cálculo de la estadística
Grupo
uíneo
Tensión
A
rterial
B
E 30.75 541.2 430.05
O Baja
28
Normal
543
Alta Total
44 6 15
E
O
O
9
12.1
7
211
213
90
22 242
16.9
8 105
O
E 5.2 92.4 7.4
O 31 476 31 538
Total
E 27 473.4 37.7
75 1329 105
X 2(4-1)(3-1) = 12.6
Valor X0 = 5.15 6º
AB
Decisión estadística:
Puesto que 5.15 < 12.6; entonces no se rechaza la Ho
7º Conclusión: Las tres muestras se distribuyen de igual manera respecto al tipo de tensión arterial.
15. La recuperación producida por dos tratamientos distintos A y B se clasifican en tres categorías: muy buena, buena y mala. Se administra el tratamiento A a 30 pacientes y B a otros 30: De las 22 recuperaciones muy buenas, 10 corresponden al tratamiento A; de las 24 recuperaciones buenas, 14 corresponden al tratamiento A y de los 14 que tienen una mala recuperación corresponden al tratamiento A. ¿Son igualmente efectivos ambos tratamientos para la recuperación de los pacientes?
MUY BUENO
MALO
BUENO
TRATAMIENTO
O
E
A
10
13.9
14
B
12
8.1
10
TOTAL
22
O
24
E
TOTAL
O
E
15.2
14
8.9
38
8.8
0
5.1
22
14
60
Hipótesis:
Son iguales de efectivos los tratamientos ³ A y ³B´ HA: No son iguales de efectivos los tratamientos ³ A y ³B´ H0:
Estadística de prueba: La estadística de prueba es:
Distribución de la estadística; Si Ho es verdadera X2sigue aprox. Una distribución Ji cuadrado con (n-1) (m-1) grados de libertad. Regla de decisión: Si, X ; Se rechazará la H0 si el cálculo de X2 >5.99. Cálculo estadístico
Pero:
Decisión estadística: Entonces como: 11.2 > 5.99. Se rechaza
H0
Conclusión Se concluye que NO son iguales de efectivos entre los tratamientos
A
y B.
16. En una escuela para retrasados mentales, 10 niñas seleccionadas al azar recibieron instrucción especial sobre el cuidado y aseo personal. Dos semanas de haber incluido el curso de instrucción, las niñas fueron entrevistadas por una enfermera y una trabajadora social, quienes asignaron a cada niña una calificación basada en su apariencia general. Los investigadores creían que, a lo más, las calificaciones alcanzarían el nivel de una escala ordinal. Las calificaciones se muestran en la tabla siguiente:
Califi aci ne
e aspecto general obteni as ental .
por 10 niñas con retraso
iñ a
Califi caci n
Niña
Califi caci n
1
4
6
6
2
5
7
10
3
8
8
7
4
8
9
6
5
9
10
6
Pruebe la hipótesis de que la mediana de la calificación es diferente de 5. Use =0,05 Solución: H0: Me = 5 H1: Me 5 Datos de calif icaciones de aspecto g eneral obtenidas por 10 ni as con retraso mental : Observ. 1
Xi 4
Xi - Me -1
Signo
2
5
0
0
3
8
3
+
4
8
3
+
5
9
4
+
6
6
1
+
7 8 9
10 7 6
5 2 1
+ + +
10
6
1
+
-
Supuestos: Se supone que las mediciones se tomaron para una variable continua : La mediana de la población es 5 HA : La mediana de la población es diferente de 5 Sea =0,05 Estadística de prueba: al signo que ocurra con menor frecuencia osea (-) H1 : P(+) P(-) Distribución de la estadística de prueba: Si la hipótesis nula fuera verdadera , esto es , si en efecto la mediana fuera 5 , se esperaría que el numero de calificaciones que caen por arriba y por debajo de 5 fuera casi igual ademas que la distribución muestral de k es a una ditribucion binomial con parámetros n y 0,5. Ho : P(+) =P(-) = 0,5 Hipótesis:
Ho
N iña
C al ificacion rel ati v a a
l a mediana hi potetica
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
o
+
+
+
+
+
+
+
+
Regla de decisión: Es rechazar Ho .Si el valor p de la estadística de prueba es menor o igual que 0,025 Cálculo de la estadística de prueba :
P(k x / n ; p ) = 9
9
9
9
C 0 (0,5) + C 1 (0,5) = 0,00195 + 0,1758 = 0,195
Decisión estadística: Si P(kx=1/9;0,5) = 0,195 0,025 , por lo tanto se rechaza la hipótesis nula. Conclusión: Se acepta la hipótesis de que la mediana de las calif icaciones es diferente de 5.
17. Una muestra aleatoria de 15 estudiantes de enfermería se les hizo una prueba para medir su nivel de autoritarismo, obteniéndose los siguientes resultados: # E studiant e
Califi cación
1
2
3
75
90
85
4
5
110 115
6
7
8
9
10
11
95
132
74
82
104
88
12
13
14
15
124 110
76
98
Pruebe que la mediana de la calificación muestreada es diferente de 100. Use =0,05. 1) Datos:
#
E st udiante C al ificación
X i - Me
Si gno
1 2 3 4 5
75 90 85 110 115
-25 -10 -15 10 15
+ +
6
95
-5
-
7 8 9 10 11 12 13 14 15
132 74 82 104 88 124 110 76 98
32 -26 -18 4 -12 24 10 -24 -2
+ + + + -
2) Supuestos: Se supone que las mediciones se tomaron para una muestra continua.
3)
Hipótesis: H0 :
la mediana de las calificaciones es 100 H1 : la mediana de las calificaciones es diferente de 100. 4) Estadística de Prueba:
¨ n ¸ 1 P 1 ! § © ¹( ) © ¹ !0 ª i º 2 c
n
i
5) Distribución de la Estadística de prueba: Distribución Binomial. 6) Regla de Decisión: Se rechazará H0. Si p-valor > 0.05 7) Cálculo de la estadística de prueba:
18. En un experimento diseñado para estimar los efectos de la inhalación prolongada de óxido de cadmio, 15 animales de laboratorio sirvieron de sujetos para el experimento, mientras que 10 animales similares sirvieron de controles. La variable de interés fue el nivel de hemoglobina después del experimento. Se desea saber si puede concluirse que la inhalación prolongada de óxido de cadmio disminuye el nivel de hemoglobina según los siguientes datos que presentamos: N ivel de hemoglobina Ex puestos
14,4 14,2 13,8 16,5 14,1 16,6 15,9 15,6 14,1 15,3 15,7 16,7 13,7 15,3 14,0
N o e x puestos 17,4 16,2 17,1 17,5 15,0 16,0 16,9 15,0 16,3 16,8 1º Datos el N iv Ex puest os(1)
d e 14.4
14.2
No puest os(2) ex
16.6 15.7 17.4 16
15.9 16.7 16.2 16.9
H emoglobina 13.8 16.5 15.6 13.7 17.1 16.3
14.1 15.3 17.5 16.8
14.1 15.3 14 15
2º Planteamiento del problema: A plicamos prueba de wilcoxon porque no se distribuye normalmente y porque n 1 y n2 son mayores que 8 aplicamos el estadístico z modificado. 3º Formulación de HIPÓTESIS: H0 :Mexp Mno exp H1:Mexp < Mno exp 4º Nivel de significancia
5º Estadística de prueba:
6º Distribución de la estadística prueba: Z~N(0,1) 7º Regla de decisión: Si W1 o W2 es menor o igual que W 0,05,Se rechaza la
H0
8º Valor calculado: Nº
1
1
1
14.1
14
14
14
4.5
4.5
6
7
2
2
1
1
1
16
16
16.3
17
17
15
16
17
18
19
1
1
1
1
orden
13.7
13.8
14
Rango
1
2
3
Nº
1
2
orden
15.9
Rango
14
2
2
1
1
1
1
15
15
15.3
15.3
15.6
15.7
8.5
8.5
10.5
10.5
12
13
2
2
2
2
2
17
16.8
16.9
17.1
17.4
17.5
20
21
22
23
24
25
Sumando los rangos del grupo expuesto ; W1=145 y la suma de los rangos del no grupo expuesto W2=180 Utilizando la tabla de valores criticos para la prueba de la suma de rangos de Wicoxon paraW0.05=185 9ºDecisión: Como W1 o W2 es meno r que 185, Por lo tanto se rechaza la Ho 10º Conclusión: Sí se pude concluir que la inhalación prolongada de oxido de cadmio disminuye el nivel de hemoglobina.
19. Se hizo un estudio neurofisiológico sobre la conducción motora tibial posterior en dos grupos de pacientes embarazadas con las siguientes determinaciones: C onducción motora tibial posterior P rimer grupo
51 40 41 53 48 50 45 58 45 44
S egundo grupo 58 43 40 45 41 42 44 52 56 48 Comprobar la igualdad o no de ambas muestras. Use =0,0 5 1. Hipotésis
: M1 ! M 2 H 1 : M 1 { M 2 H 0
2.
E ! 0.05
3.
V alores ordenados Nº
de ambos grupos
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 2 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2 Grupo 1 Grupo 2
40 40 41 41 42 43 44 44 45 45 45 48 48 50 51 52 53 56 58 58
Rango 1,5 1,5 3,5 3,5 5 6 7,5 7,5 10 10 10 12,5 12,5 14 15 16 17 18 19,5 19,5
4. Si W 1 o W2 es menor o igual que W0.05 ; entonces se rechaza la H0
96.5 W 2 ! 113 .5 W 1
W E
!
! W ( n1, n 2 ) !
78
5. Decisión estadística como W 1 y W 2 son a yores queW E
Entonces se acepta la hipótesis H0
6. Conclusión: las medias de la conducción motora tibial en ambos grupos son iguales
20. A
11 ratas tratadas crónicamente con alcohol se les midió la presión sanguínea sistólica antes y después de 30 minutos de administrarles a todas ellas una cantidad fija de etanol, obteniéndose los datos siguientes: P resión sanguínea sistólica Antes
126 120 124 122 130 129 114 116 119 112 118
Después 119 116 117 122 127 122 110 120 112 110 111 ¿Hay un descenso
significativo de la presión sanguínea sistólica tras la ingestión de
etanol? HIPOTESIS Ho:
µD0 H1 : µD>0
NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 0.05
ESTADISTICA DE PRUEBA Prueba De Wilcoxon
REGLA DE DECISION si w w , se rechaza la Ho
VALOR CALCULADO D
W+= 8+4+8+2+8+4+8+1+8 = 51 W-= =4
7
Rango con signo 8
4
4
7
8
0 3
d escartad o 2
7
8
4
4
-4 7
-4 8
2
1
7
8
DECISION TABLA
X DEL APENDICE W con =0,05 = 10
Como W es menor que 10 por lo tanto rechazamos el Ho.
21.
Un test de personalidad, tiene dos formas de determinar su valoración suponiendo inicialmente que ambos métodos miden igualmente la extroversión. Para ello se estudia en 12 personas obteniéndose los siguientes resultados: M edida de la e xtraversión F orma A 12 18 21 10 15 27 31 6 15 13 8 10 F orma B 10 17 20 5 21 24 29 7 11 13 8 11 ¿Hay diferencia entre los dos
métodos?
Resolución: (1)Hipótesis: Método A= Método B Método A Método B (2)Estadística de Prueba: Prueba no paramétrica para muestras pareadas: Prueba de Wilcoxon. (3)Regla de Decisión: Se rechazara la
si
(4)Valor Calculado: F orma A
F orma B
Diferencia
Rango con si gno
12
10
2
5.5
18
17
1
2.5
21
20
1
2.5
10 15
5 21
5 -6
9 -10
27 31
24 29
3 2
7 5.5
6
7
-1
-2.5
15
11
4
8
13
13
0
d escartad o
8
8
0
d escartad o
10
11
-1
-2.5
W+(suma de los rangos positivos)= W-(suma de los rangos negativos)=
=40 =15
Selecciono la menor suma de rangos, en este caso W-=15.
(5)
Decisión: Se rechazara la Valor
de
si
en la tabla de Wilcoxon para prueba bilateral. =13 =0.05.
15 13. No se rechaza la (6)
22.
Conclusión: No existe una diferencia significativa entre el método test de personalidad.
A
y el método B en el
Para estudiar el impacto de un programa de televisión se les pidió su opinión inicial a un grupo de televidentes y luego de ver varias veces su contenido dieron su opinión final con respecto al programa de televisión. Encontrándose los siguientes resultados.
OPINION INICIAL
+ -
OPINION FINAL + 40 176 64 194
Pruebe la hipótesis que los cambios de opinión se deben al azar. Use =0.01 H0: H1:
No hay diferencias entre la opinión inicial y la opinión final. Si hay diferencias entre la opinión inicial y la opinión final.
= 0.01
Estadística de prueba: X2 de Mac Nermar (1) =
Regla de decisión: Se rechazará la H0 si: X20 > X2, 1 Cálculo de la estadística de prueba: gl = (r-1)(c-1) = 1 X20 de Mac Nermar (1) =
= 52.2667
X2, 1= 6.634897
Decisión estadística: Como: X20 = 52.2667 > X 20.01, 1 = 6.634897 Por lo tanto: Se rechaza H0.
23. Un
investigador en medicina preventiva observa que los empleados en una fábrica padecen frecuentemente un cuadro diarreico, motivo de gran ausencia. Todos los empleados comen en el comedor de la fábrica como goce de una prestación laboral. El investigador supone que el común denominador de la causa de la diarrea es el sitio de ingestión de alimentos, es decir, existe una higiene inadecuada en la preparación de la comida; sin embargo, la higiene personal de los empleados no es suficiente para atribuir toda la culpa al personal de la cocina. Por lo tanto, elige una muestra al azar de 50 individuos, de los cuales resulta que 34 de ellos presentan un cuadro diarreico frecuente y 16 no lo padecen. Así, sugiere que, bajo vigilancia, se apliquen medidas de higiene personal, consistentes en exhaustivo lavado de manos antes de ingerir alimentos, en un período de dos semanas. Al finalizar el tratamiento, obtiene los resultados siguientes: de los 34 sujetos con un cuadro diarreico frecuente, después del tratamiento de lavado de manos, 16 lograron hacer desaparecer el proceso intestinal y 18 persistieron con evacuaciones diarreicas; a su vez, el grupo de 1 6 personas asintomáticas, cuatro de ellas presentaron diarrea a pesar del lavado de manos y 1 2 se mantuvieron en las mismas condiciones.
LAVADO D E MANOS
SÍ 18
SÍ DIARR E A
NO
NO 16 4
H0= No hay diferencias entre antes y después del lavado de manos H1= Si hay diferencias entre antes y después del lavado de manos
S e rechazará H 0. S i
Decisión Estadística: Se rechaza H0.
> X 2(0.95; 1) . Donde X 2(0.95; 1) =3.84
34 12
16
sión: Hay dif er encias entr e ant es y d es pués d el lavad o d e mano. C onc lu
24. La
tabla siguiente muestra los niveles de residuo pesticida (PPB) en muestras de sangre de 4 grupos de personas. Usar el test de Kruskal±Wallis para contrastar a un nivel de confianza de 0¶05, la hipótesis nula de que no existe diferencia en los niveles de PPB en los cuatro grupos considerados. Niveles de PPB Grupo I 10 37 12 31 11 Grupo II
9 23
4 35 32 19 33 18
Grupo III 15
8
5 10 12
6
6 15
Grupo IV 7 11 1 08
2
5
3
1. Datos: Tabla de rangos
Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV
13.5 4 19.5 9
28 27 5.5 15.5
Niveles de PPB 17.5 24 15.5 25 22 26 13.5 17.5 7.5 1 10.5 2
12 21 7.5 5.5
23 10.5 19.5 3
=0.05 2.
Hipótesis:
3. Estadística de prueba: Como hay empates en los datos usamos
H¶
4. Regla de Decisión: Se rechazará H0, si H¶>X2, k-1. Donde X 20.95, 3 = 7.81 5. Cálculo de la estadística de prueba:
Suma 133.5 135.5 90.5 46.5
6. Decisión estadística: Como H¶=11.27 es mayor que X2=7.81, se rechaza H0. 7. Conclusión: Si existe diferencia significativa en los niveles de PPB, es decir que en al menos un par de parejas, las medianas van a ser diferentes. 25.
Puesto que el hígado es el principal lugar para el metabolismo de los fármacos, se espera que los pacientes con enfermedades de hígado tengan dificultades en la eliminación de fármacos. Uno de tales fármacos es la fenilbutazona. Se realiza un estudio de la respuesta del sistema a este fármaco. Se estudian tres grupos: controles normales, pacientes con cirrosis hepática, pacientes con hepatitis activa crónica. A cada individuo se les suministra oralmente 19 mg de fenilbutazona/Kg. de peso. Basándose en los análisis de sangre se determina para cada uno el tiempo de máxima concentración en plasma (en horas). Se obtienen estos datos: N ormal C irrósis
H epatítis
4
22,6
16,6
30,6
14,4
12,1
26,8
26,3
7,2
37,9
13,8
6,6
13,7
17,4
12,5
49
15,1 6,7 20
1º Datos: Nor mal C i rrosi s H e patiti s
4 30.6 26.8 37.9 13.7
49
22.6 14.4 26.3 13.8 17.4 16.6 12.1 7.2 6.6 12.5 15.1 6.7
Nor mal C i rrosi s
1 14
17 9
16 18 15 8
7 19 12
20
H e patiti s 11
5
4
2
6
10
3
13
2º Planteamiento del problema: A plicamos Kruskal wallis porque las muestras no se distribuyen normalmente y se necesita analizar varios grupos. 3ºFormulación de HIPOTESIS: H0 :Mn=Mc =Mh H1: MnMc Mh 4º Estadística de prueba:
Donde, Ri=suma de totales de los rangos de cada grupo 5º Distribución de la estadística prueba: Se distribuye : X 2 ~ X 2 (K-1)gl 6º Regla de decisión: Se rechazará la H0, si H> X 2 (K-1)gl ; caso contrario se acepta 7º Valor calculado:
,y X 2 (2)=5.99 8º Decisión: Como 4.78> 5.99 se acepta H0 y se rechaza a ,
H1
9º Conclusión: El tiempo de máxima concentración en plasma de la fenilbutazona en los grupos con cirrosis hepática, hepatitis y normales son iguales. 26.
Los siguientes datos nos dan el peso de comida (en Kg.) consumidos por adulto y día en diferentes momentos en un año. Usar un contraste no paramétrico para comprobar si el consumo de comida es el mismo en los 4 meses considerados.
F ebrero M a yo A gosto N oviembre 4,7
4,7
4,8
4,9
4,9
4,4
4,7
5,2
5,0
4,3
4,6
5,4
4,8
4,4
4,4
5,1
4,7
4,1
4,7
5,6
Hipotésis:
1. 2. E ! 0.05
: M 1 ! M 2 ! M 3 ! M 4 H 1 : M 1 { M 2 { M 3 { M 4 H 0
3. Como existe empates en los datos de los grupos usamos
H ' !
1 « k Ri2 ¬§
s 2 - i !1 ni
n( n 1) 2 »
¼ ½
4
n ! 20, k ! 4
T abla de rangos M a yo A gosto N oviembre 8 11,5 13,5 3,5 8 17 2 5 18 4,4 3,5 16 1 8 19
F ebrero 8 13,5 15 11,5 8 T otales : 56
18,9
36
83,5
4. G E2,( k 1) ! G 02.05,( 41) ! 7,81 5. Si:
« k Ri2 » ¬§ ¼ ! 2352,292 - i !1 ni ½ n( n 1) 2 !
4 Entonces H ' !
1 «
S 2
!
30,9627368
2205
k
¤
Ri2
s 2 - i !1 ni
n ( n 1) 2 »
4
¼ ½
1 ?2.352.292 2205A 30.96 H ' ! 4,75707302 H
'!
6. Decisión estadística: Como H
27. La
cantidad de aminoácidos libres fue determinada para 4 especies de ratas sobre 1 muestra de tamaño 6 para cada especie. Comprobar si el contenido de aminoácidos libres es el mismo para las 4 especies. E species de ratas
I
II
III
IV
431,1 477,1 385,5 366,8 440,2 479,0 387,9 369,9 443,2 481,3 389,6 371,4 445,5 487,8 391,4 373,2 448,6 489,6 399,1 377,2 451,2 403,6 379,4 381,3
TABLA DE RANGOS: E species de ratas Ri=
I
II
III
14
20
8
1
15
21
9
2
16
22
10
3
17
23
11
4
18
24
12
5
19
13
6
7
99
123
56
22
REGLA DE DECISIÓN: Se rechazará Ho si: = =7.81 H> 20.17>7.81««««.Si se rechaza Ho
VALOR CALCULADO:
IV
