L.A_ACTIVIDADES_TRIGO 3° COLEGIO SAN MARCOS

Trigonometría Actividades Tercer grado de Secundaria

Editorial

Trigonometría Libro del actividades Tercer grado de Secundaria Colección Intelectum Evolución © Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Roger Urbano Lima Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición: 2013 Tiraje: 15 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2013-11995 ISBN: 978-612-313-056-5 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: [email protected] Impresión: Editorial San Marcos, de Aníbal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, Lima, S.J.L. RUC 10090984344 Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Editorial San Marcos situados en Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S.J.L. Lima, Perú RUC 10090984344

La Colección Intelectum Evolución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la Colección Intelectum Evolución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.

Contenido Temas Sistemas de medición angular Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Sector circular

PRIMERA UNIDAD

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Razones trigonométricas de ángulos agudos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Propiedades de las razones trigonométricas

16 18

Maratón matemática

27

Resolución de triángulos rectángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Ángulos verticales Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Sistema cartesiano

30 32

35 37

40 42


45 47


50

Razones trigonométricas de ángulos en cualquier magnitud Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Reducción al primer cuadrante Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Identidades trigonométricas

53 55

58 60


63 65


67

Ángulos compuestos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Ángulos múltiples Aplicamos lo aprendido Practiquemos

CUARTA UNIDAD

11 13

22 24


TERCERA UNIDAD

6 8


Razones trigonométricas de ángulos notables

SEGUNDA UNIDAD

Páginas

Transformaciones trigonométricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

Resolución de triángulos oblicuángulos

70 72

74 76

80 82


85 87


90

Sudoku

91

Unidad 1

Recuerda La trigonometría El término trigonometría proviene de las palabras griegas: trigono y metron, que quieren decir: triángulo y medida respectivamente. Sin embargo, el estudio de la trigonometría no solamente está limitada a la medición de los triángulos, pues el campo de estudio de esta disciplina matemática se ha ido enriqueciendo progresivamente hasta llegar a ser un instrumento indispensable en el análisis matemático, en la física y en varias ramas de la ingeniería. En los últimos 100 años, una de las aplicaciones más importantes de la trigonometría a la matemática es la llamada trigonometría analítica. Gran parte del estudio de los fenómenos de onda y oscilatorios así como el comportamiento periódico, está relacionado estrechamente con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. La trigonometría se divide en: a) Trigonometría plana: estudia la resolución de figuras geométricas en su sistema bidimensional de coordenadas. b) Trigonometría esférica: estudia la resolución de triángulos esféricos en una esfera. c) Trigonometría hiperbólica: con frecuencia se utilizan en diversas investigaciones físicas y técnicas, pero fundamentalmente su estudio es netamente matemático. En el siglo XV fue desarrollada la trigonometría como una disciplina dentro de la matemática por Johann Muller (1436 - 1476). Este desarrollo creó un interés en la trigonometría por toda Europa y tuvo el efecto de colocar a este continente en una posición de prominencia con respecto a la astronomía y la trigonometría.

Reflexiona • El verdadero heroísmo consiste en ser superior a los males de la vida. • El hombre superior busca en sí mismo todo lo que quiere; el hombre inferior lo busca en los demás. • El hombre superior se cultiva a sí mismo para ganar respeto propio. Si no está contento con esto, se perfecciona para hacer felices a otros y si aún no está contento con eso, continúa perfeccionándose para conferir paz y prosperidad a todo el mundo. • Tener un ideal es tener una razón para vivir. Es también un medio para vivir una vida más amplia y más elevada.

En el siglo XVII el aporte de Euler en el afianzamiento de la trigonometría como una ciencia totalmente autónoma fue decisivo, porque además de su trigonometría esférica, considera ya a los círculos máximos de la tierra como geodésicas y logra, además, la determinación trigonométrica de los sólidos geométricos regulares convirtiéndose en la más moderna versión de la ciencia trigonométrica.

¡Razona...!

De las fichas que se muestran en la figura, ¿cuál de ellas debe retirarse y cuál debe invertirse, respectivamente, para que la suma de los puntos de la parte superior sea al cuádruple de la suma de los puntos de la parte inferior?

A) 2; 5

B) 5; 1

C) 4; 1

D) 1; 2

E) 3; 1

Aplicamos lo aprendido tema 1: 1

SISTEMAs DE MEDICIÓN ANGULAR

Del gráfico, calcula el valor de (2x)g en el sistema sexagesimal. OB es bisectriz.

2

En la figura, halla x. x

C B

π rad 9

(12 - 3x)°

50°

g

D

x

A) 120° D) 72°

3

C) 48°

B) 51° E) 55°

Intelectum 3.°

B) π rad 10 E) π rad 6

A) 105° D) 150° 4

C) 52°

Un mismo ángulo es medido por dos personas. Juan: encontró (x - 1)° José: encontró (x + 1)g Calcula la medida de dicho ángulo en radianes.

A) π rad 2 π rad D) 5

6

B) 80° E) 36°

Un ángulo mide π rad y su suplemento (2x + 10°). ¿Cuál es 3 el valor de x?

A) 50° D) 54° 5

A

O

C) π rad 3

C) 125°

Señala el equivalente de b = π rad - 30g en el sistema 6 sexagesimal.

A) 3° D) 5° 6

B) 110° E) 85°

B) 6° E) 9°

C) 4°

Calcula x + y + z, si: x° y’ z” = 3° 36’ 34” + 2° 28’ 42”

A) 27 D) 28

B) 29 E) 17

C) 30

Simplifica: E = 6πC - 5πS + 20R πC - 40R Siendo S, C y R lo convencional.

A) 36° D) 70°

C) 3

Reduce: g m E = 1° - 1m + 1’ . 1 s 1’ 1 1” 1

10 Calcula la medida sexagesimal de un ángulo que cumple la siguiente relación: 10 - 9 = R 9C 10S 2π Siendo S, C y R lo convencional.

B) 60 E) 5960

C) 100

A) 6° D) 10°

11 Las medidas de tres ángulos están en progresión aritmética cuya razón es 20°. Si la suma de los ángulos mayores es igual a 200°, halla la suma de los tres ángulos en el sistema centesimal.

A) 216g D) 320g

B) 243g E) 400g

13 Simplifica: E = 5S - 4C + C-S

B) 8° E) 12°

a = 17g; b = 180° y q = π rad, 12

ordenarlos en forma creciente.

C) 300g

A) a; b; q B) q; a; b C) b; a; q D) q; b; a E) b; q; a 14 Del gráfico, calcula el valor del ángulo M en el sistema radial, donde: M = C° + Sg

C+S -3 C-S

B 108°

A

S°

Cg

A) 180 π rad B) 455 D) 180 π rad E) 453

5. B

C) 2

6. A

10. a

8. a

9. E

7. E

C

125 π rad C) 181 π rad 453 450 179 π rad 450

Claves

B) 3 E) 5

C) 9°

12 Sean los ángulos:

Siendo S, C y R lo convencional.

12. B 11. C

A) 1 D) 4

C) 20°

3. E

A) 1 D) 6040

B) 40° E) 28°

4. A

9

B) 4 E) 2

La suma de las medidas de dos ángulos es 60g y la diferencia de las mismas es π rad. Calcula la medida sexagesimal del 10 ángulo mayor.

1. D

A) 1 D) 5

8

2. B

7

TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7

14. C 13. B

Practiquemos Nivel 1

II. π rad 6 A) 10° D) 60°

Comunicación matemática 1. De la figura, analiza las expresiones:

B) 30° E) 50°

C) 20°

g m 6. Calcula: E = 2c9’ + 1 25 3’ 5m A) 66 B) 67 D) 69 E) 95

-25° β α

C) 68

7. Convierte al sistema centesimal: I. 270°

14 000m

I. b > a II. a = 131° III. b = -229g

( ) ( ) ( )

A) FFV D) FVF

B) FFF E) VVV

C) VFF

B) 200g E) 10g

C) 100g

II. π rad 10 A) 18g D) 20g

B) 15g E) 12g

C) 17g

8. Del gráfico, halla x.

2. De la figura, indica la relación que existe entre a, b y q. B

A) a - b - q = 720° B) a + q - b = 360° C) a + b - q = 720° D) a + b + q = 0 E) -a + b - q = 720°

x β

C

α

O

θ

Razonamiento y demostración 3. Halla x del gráfico. (20x + 60)°

(-4x)°

A) 1 D) 4

A) 300g D) 50g

B) 2 E) 5

C) 3

4. Del gráfico mostrado, indica una relación entre a; b y q.

A

A) a - b B) a + b C) -a - b D) b - a E) 0 9. Calcula P en el sistema sexagesimal. P = 40 g + 3π rad 4 A) 171° D) 120°

A) a + b + q = 180° C) a - b - q = 180° E) a + q - b = 180°

11. Calcula: E = A) 1 D) 4

B) a - q + b = 180° D) b - a - q = 180°

g

A) 105° D) 118°

8

B) 200° E) 233°

Intelectum 3.°

C) 50°

C) 37

30° + 40 g π rad π rad 12 5 B) 2 E) 5

C) 3

Resolución de problemas

α

5. Convierte al sistema sexagesimal: I. 450

B) 170° E) 140°

10. Calcula el valor de J = 3°5’ 5’ A) 17 B) 27 D) 47 E) 57

β θ

α β

C) 405°

12. En un triángulo dos de sus ángulos miden p/9 rad y p/3 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? A) 60° D) 120°

B) 80° E) 140°

C) 100°

13. En un triángulo, sus ángulos interiores miden (80n)g; (18n)° y πn rad . ¿Cuánto vale n? 3 A) 3/5 B) 2/5 C) 6/5 D) 7/5 E) 9/5

14. Un ángulo se expresa como (7n - 4)° y también como (8n - 6)g. ¿Cuánto vale n? A) 1 D) 7

B) 3 E) 9

C) 5

15. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden π rad y 3 40g. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? A) 64° D) 94°

B) 74° E) 54°

C) 84°

16. Siendo S y C el número de grados sexagesimales y centesimales, respectivamente, para la mitad de un ángulo recto. Halla el valor de: S + 35 C + 14 A) 2/3

B) 3/2

C) 4/5

D) 5/4

17. Un ángulo mide (7n + 3)° y también (8n + 2) . ¿Cuál es la medida radial de dicho ángulo? B) p/4 rad E) p/9 rad

C) p/5 rad

18. Calcula la medida del menor de dos ángulos complementarios en radianes, sabiendo que sus medidas difieren en 49g. A) 55π rad B) 200 11π E) D) rad 100

51π rad C) 11π rad 400 200 23π rad 240

Nivel 2 Comunicación matemática 19. Dado el gráfico, ¿cuántas vueltas contiene el ángulo 3a + 30 b? 7 145° 3β - 2α

A) 1 vuelta D) 2/3 vuelta 20. Sean: A = π rad + 10° 4 Entonces: A) A es mayor que B. C) A es igual a B. E) Falta información.

α-β

B) 1/2 vuelta E) 4 vueltas

C) 1/4 vuelta

B = π rad + 30° 5

B) A es menor que B. D) A y B no se pueden comparar.

Razonamiento y demostración 21. En el gráfico, halla el valor de d

2 x - 5y n. 4

B) 30° E) 75°

C) 60°

22. Calcula el valor de a en el sistema sexagesimal y efectúa. α = 7π rad + 36° 12 A) 100° D) 142°

B) 140° E) 145°

C) 141°

g m 23. Reduce: E = 1 m + 1° + 1 s 3 ’ 10 1

A) 10 D) 70

E) 6/5 g

A) p/3 rad D) p/6 rad

A) 45° D) 90°

B) 40 E) 130

C) 50

Resolución de problemas 24. Si: 3π rad = 4a°b’2c” 11 Calcula: L = ab c-2 A) 4 D) 7

B) 5 E) 9

C) 6

25. Dos ángulos complementarios se diferencian en 18°. Halla el menor de ellos. A) 36° D) 45°

B) 30° E) 54°

C) 40°

26. Las medidas de dos ángulos internos de un triángulo son 18° y 0,25p rad. Determina la medida del tercer ángulo en grados sexagesimales. A) 112° D) 119°

B) 115° E) 121°

C) 117°

27. Un ángulo cumple con la relación siguiente: S + C + R = 14 90 50 π Halla la medida radial, siendo S, C y R lo convencional. A) p rad B) 2p rad C) π rad 2 D) π rad E) π rad 4 8 28. Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales es 133, entonces la medida de dicho ángulo es: A) 70g D) 190g

B) 63° C) 133° E) A y B son correctas

29. Un ángulo en el sistema sexagesimal se expresa por: d

25 + 2 ° n x

Calcula el valor de x para que este ángulo mida 280g. x - 2y

3y - x

A) 0,01 D) 10

B) 0,1 E) 100

C) 1


9

35. Del gráfico, halla x en función de a y q.

Nivel 3

Si m+AOM = m+MOB.

Comunicación matemática 30. Del gráfico, indica verdadero o falso, según corresponda:

θ

I. El ángulo a es menor que 90°.

( )

II. El ángulo q se encuentra en el intervalo G-180°; -90°H.

( )

III. El suplemento de a se encuentra en el intervalo G90°, 180°H. ( ) B) VVF

C) VFV

D) VVV

E) FFV

31. Si a; b; c; d son los valores de la medida de un mismo ángulo expresado en minutos sexagesimales, minutos centesimales, segundos sexagesimales y segundos centesimales, respectivamente, relaciona según corresponda: a) c a

I. 100

b) d b

II. 60

c) a b

III. 250 81

d) d c

IV. 27 50

A) Ia; IIb; IIIc; IVd C) Ib; IIa; IIIc; IVd E) Id; IIa; IIIc; IVb

x

C

A) π rad B) 2 D) π rad E) 6

π rad 3 π rad 5

C) π rad 4

Resolución de problemas 37. Se tiene el ángulo 19,375g que expresado en el sistema sexagesimal es: a° b’ c”. Calcula el valor de (a + b + c)° en el sistema radial. B) 30π rad 13 E) 21π rad 16

C) 17π rad 30

38. La suma de complementos de 2 ángulos es 70g y la diferencia es 13°. Calcula el valor de 2 veces el menor más el mayor e indica su raíz cuadrada. B) Ib; IIa; IIId; IVc D) Ia; IId; IIIc; IVb

A) 10° D) 19°

B) 14° E) 13°

A) b - a - 90° B) b + a - 90° C) b - a + 90° D) a - b - 90° E) a - b + 90°

C) 18°

39. Halla el equivalente en grados, minutos y segundos centesimales de un arco de 26° 12' 45". A) 28g 15m 10s D) 28g 10m 5s


B) 29g 15m 30s E) 29g 12m 50s

C) 29g 20m 10s

x α

β

33. Del gráfico, calcula el valor de x. A) 117° B) 126° C) 143° D) 153° E) 120°

C l a ve s x

40

g

10. C

Nivel 2

27. B

35. A

1. B

11. C

28. E

36. D

2. A

19. A

12. C

20. B

29. B

37. A

13. C

21. A

Nivel 3

38. E

14. D

22. C

30. D

15. C

23. E

31. B

16. D

24. E

32. A

8. D

17. B

25. A

33. B

9. A

18. B

26. C

34. C

Nivel 1

3. E 4. E

34. Del gráfico mostrado, calcula q - b.

10 Intelectum 3.°

O

M

36. Determina la medida circular del ángulo que cumple con la igualdad. S5 + C 4 + 400 R3 81 100 π2 = S + C - 5 4 3 2 3 4 S + C +5R π 36 40

A) 29π rad 90 D) 17π rad 30

Razonamiento y demostración

A) 90° B) 180° C) 450° D) 270° E) 360°

θ α

B

α

A) FVV

A

A) 360° - 2a - q B) 180° + 2a + q C) 360° - 2a - q D) 360° + a - q E) a + q

5. C, b 6. C

θ

β

7. a, d

39. E


SECTOR CIRCULAR

En un sector circular el arco mide 4p y el radio mide 12. ¿Cuánto mide el ángulo central?

A) π rad 2 D) π rad 5 3

B) π rad 3 E) π rad 6

O

5

A) 70° D) 36°

B) 48 m E) 72 m

C) 24 m

De la figura, calcula: m - n bθ b

3π 5

En un sector circular el arco mide 100 m. Si el ángulo se reduce en un 20% y el radio aumenta en un 20% se obtiene un nuevo sector cuyo arco mide:

A) 96 m D) 12 m 4

A

π

θ D

5

C) π rad 4

Del gráfico, calcula q. C

2

O

θ rad

n

m

B

B) 63° E) 54°

A) 0 D) 0,5

C) 72°

En un sector circular el radio y el arco están en una proporción de 2 a 3. ¿Cuánto mide el ángulo central?

6

B) 1 E) 0,2

C) 2

Halla el área de la región sombreada.

S 2R

A) 1 rad D) 3 rad 2

B) 3 rad E) 1 rad 6

C) 2 rad 3

R

A) π R2 B) 4 π D) E) 4

3π R2 4 9π R2 4

C) 5π R2 4


11

7

Del gráfico, calcula x. 2x − 1 O

8

A

2x − 1

B) 1 E) 3/2

C) 2 3

A) 8a D) 11a

Del gráfico, calcula el perímetro de la región sombreada.

O

B) 6a E) 12a

C) 7a

10 Halla el área de la región sombreada.

A

12

C

6 30° 6

a

B

A) 2 D) 3 9

3a

O

πx 6

60°

Del gráfico, halla el perímetro de la región sombreada.

10 O

45° 6

D

12

B

A) 2(p + 6) D) 2(p + 4)

B) 4(p + 4) E) 4(p + 6)

A) 4p D) 3p

C) 3(p + 6)

11 Del gráfico, calcula: E = q-1 - q

12

B) 6p E) 8p

C) 7p

Dos ángulos complementarios y las longitudes de los arcos que subtienden en un círculo de radio R suman 5p cm. Calcula R.

θ

B) 1 E) 2 2

A) 12 cm D) 13 cm

C) 2

13 La longitud del arco AB es la sexta parte de la longitud de la circunferencia de radio r, Si el área de la región AOB es igual a 24p m2, calcula el área del trapecio circular ABCD.

D

A

18 m A

A) 7 cm2 D) 21 cm2

5. D

8. D 7. C

10. E 9. E

12. C 11. B

14. D 13. E

Claves

12 Intelectum 3.°

B) 189 cm2 E) 18 cm2 6. C

B) 14 p m2 C) p m2 E) 30p m2

C) 24 cm2

3. C

A) 32p m2 D) 36p m2

C

C

4. B

B

B

1. B

r

S

O ST

θ

C) 10 cm

14 Del gráfico, si el área del trapecio circular ABCD es igual a 63 cm2, calcula el área del sector circular AOB.

D

O

B) 4 m E) 12 m

2. A

A) 2 D) 0,5


5. Del gráfico, calcula: J =

Comunicación matemática

A1 A2 A

1. Asocia las áreas mencionadas con la razón en la que se encuentran sus medidas si:

O

A1

2θ θ

B

C

S3

S2 θ

A2

3R

θ/2

S1

D

2θ

4θ

R

A) 1

S4

A) Id; IIb; IIIc D) Ic, IIb, IIIa

B) Ia; IIb, IIIc E) Ia, IIc, IIId

2. De las figuras (sectores circulares): S

P

O

6. Del gráfico, calcula: J =

a. 1/18 b. 5/8 c. 9/2 d. 1/2

I. S2 y S1 II. S3 y S2 III. S1 y S4

O

C) Id, IIc, IIIa

O’

R

r B

B) 4q

C) 6q

B) 2(p + 10) cm E) 4(2 + p) cm

C) 2(12 + p) cm

9. En un sector circular el área es S. Si el radio aumenta en su doble, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

L2

C) 2p

B) 3S

C) 5S

D) 6S

E) 9S

10. En un sector circular el área es 2p cm2 y el arco p cm, ¿cuánto mide el radio?

4. Del gráfico, halla el área sombreada, si AC = 4, EOA y COB son sectores circulares.

θ rad

D) 2 E) 3

8. En un sector circular el ángulo central mide 30° y el radio 12 cm, ¿cuál es el perímetro del sector?

A) 2S

O

A


A) 20p cm D) 2(p + 13) cm

A) 8p B) 14p D) 4p E) p

A

A) 2 2 B) 7 C) 5

L1 + L2 = 8p L

D) 9 E) 6 7 5

R

3. En el gráfico, calcula L si:

E

B

7. Del gráfico dado, calcula R , si las áreas sombreadas son iguales. r


L1

1

C L2

A) 7 B) 8 C) 9 9 9 8

A S2

θ

3

20° 30°

D

S1 Q

L1 L2 L1

3θ

θ

D) 1 E) 1 4 6

A

Si SQ = O’B, ¿qué se puede afirmar de S1 y S2? A) S1 es mayor que S2. B) S1 y S2 son iguales. C) S1 y S2 están en razón de 1 a 3. D) S1 es menor que S2. E) C y D.

A) 3q

B) 1 C) 1 2 3

C

A) 1 cm D) 4 cm

B) 2 cm E) 6 cm

C) 3 cm

11. En un sector circular el arco mide 2p cm y el radio 12 cm, ¿cuál es su área? A

B

D) 8q

E) 16q

A) 18p cm2 D) 36p cm2

B) 12p cm2 E) 6p cm2

C) 24p cm2


13

12. En un sector circular el arco mide 2p cm y el ángulo central 40°, ¿cuál es su área? 2

2

A) 9p cm D) 36p cm2

C) 27p cm

Nivel 2 Comunicación matemática Q

D

P

B

O

θ R

S1 C

A

II. El ángulo q tiene como medida π rad. ( ) 6 2 III. Si R es igual a 6 m, el S AOP es igual a 3p m . ( ) B) VVF E) VFV

C) FVV

14. De la figura: Se cumple: S OMN = S1 S d NMRT = S2 S OPQ = S3

M

R

O N

T

Q

A) Ic, IId, IIIa D) Ic, IIa, IIIb

B

a. 20S b. S c. 4S d. 16S

B) Ib, IId, IIIa E) Ia, IIc, IIId

C) Ia, IIb, IIIc

14 Intelectum 3.°

θ θ

O

A S1 B

2

C

S2 D

S1 S2 A

A) 0,012 B) 0,232 C) 0,312 D) 0,432 E) 0,472

A) 100° B) 120° C) 140° D) 150° E) 160°

3 36° 30°

O

S1 B

2

C

S2 D

D C 2S A

1 3S 60°

O

3

B


A) 12p cm D) 28p cm

A) 36 m2 D) 54 m2

!

B) 18p cm E) 36p cm

C) 24p cm

B 2α

α

12 m

B) 18 m2 E) 72 m2

C) 24 m2

22. Encuentra el área de un sector circular, sabiendo que su ángulo central mide 0,785 rad y que su longitud de arco vale 6,28 m. (Tomar p = 3,14).

A

O

S1 S2

21. En un sector circular la longitud de arco es el triple del radio. Si el perímetro del sector circular es 30 m. ¿Cuánto mide su área?

15. En la figura, halla la longitud de AB .

12 m

D

24 m

20. En un sector circular el arco mide 12p cm si el ángulo se reduce a la mitad y el radio se triplica, se obtiene un nuevo sector cuyo arco mide:


A) p m B) 2p m C) 3p m D) 4p m E) 6p m

3α

O

3

18. Del gráfico, calcula:

Si el área de la región (sector circular) AOB es igual a 25S, asocia las expresiones de la izquierda con sus valores equivalentes. S + S3 I. 1 5 II. 4S2 S - S2 III. 1 11

2α

19. Del gráfico, calcula q.

A

P

α

A

A) 0,9 B) 0,8 C) 0,36 D) 0,45 E) 0,72

Si: 5S AOP = S POB Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. S2 es a S1 como 1 es a 5. ( )

A) FFV D) FVF

B

17. Del gráfico, calcula:

13. Sea el semicírculo: S2

C

A) 4p m B) 6p m C) 8p m D) 12p m E) 15p m

2

B) 18p cm E) 16p cm2

16. Halla la longitud del arco BC.

C

A) 2p m2 D) 16p m2

B) 4p m2 E) 64p m2

C) 8p m2

27. Calcula el área de la región sombreada.

NIVel 3

23. De la figura:

E

C A

D

F

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. A no es punto medio de OC. ( ) II. AC es a AE como 1 es a 3. ( ) III. AC y CE tienen igual medida. ( ) A) VFV

B) FVV

C) FFV

D) FVF

24. Del sector circular AOB:

O

a. El ángulo central se duplica. b. El radio aumenta en 1/3 de su valor inicial. c. El radio disminuye en 2/5 de su valor inicial.

C) Ia, IIc, IIIb

Razonamiento y demostración 25. Halla x. 6 2 6

26. Halla x. A) 16

C) 20 3

a

B) 8

D) 5 3

4

E) 16 3

a

C x

B

A1

A) 1

B) 2

A2

A3

C) 3

D) 1/2

E) 1/3


31. Si en un sector circular el ángulo central mide x rad y el radio (x + 1) cm, además, el área de dicho sector es numéricamente igual a la medida circular del ángulo central. ¿Cuánto mide el arco? A) _ 2 - 1i cm B) _ 2 + 1i cm

D) (2 - 2 ) cm

12

C) (2 + 2 ) cm

E) 2 cm

32. Se tiene un sector circular de radio R y un ángulo central de 36°. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que el área no varíe, si su radio disminuye un cuarto del anterior? B) 25° E) 24°

C) 20°

C l a ve s 8. C

15. d

Nivel 3

30. e

1. C

9. e

16. c

23. d

31. d

2. E

10. D

17. c

24. b

32. a

3. d

11. B

18. d

25. a

4. d

12. A

19. e

26. c

5. b

Nivel 2

20. b

27. c

6. B

13. c

21. d

28. a

7. d

14. D

22. c

29. b

Nivel 1

2a

2a

C) 144 m2

B) 3 C) 3/4 E) Hay 2 respuestas

8

6

x

A) 2 D) 4/3

A) 28° D) 17°

6 x

B) 72 m2 E) 288 m2

30. El perímetro de un sector circular es 10 m y su área 6 m2. Hallar la medida de su ángulo central en radianes.

B

B) Ia, IIb, IIIc E) Ic, IIa, IIIb

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

(A i: área)

A) 36 m2 D) 200 m2

Relaciona los enunciados para que la longitud del arco AB (L! AB) no varíe.

A) Ib, IIc, IIIa D) Ib, IIIa, IIc

1

29. A un sector circular de área 100 m2 se le aumenta su radio en 20% y se le disminuye su longitud de arco en 40%. Halla el área del nuevo sector.

A

Ri

x+1

x-1

O

E) VVV

θi

I. El radio disminuye a la mitad. II. El ángulo disminuye a 3/4 de su valor inicial. III. El ángulo se incrementa en 2/3 de su valor.

D

28. Según la figura, halla: A A + A3 A 2 - A 2 A1 E = 1 23 (A1) - (A 2) 2 + (A3) 2

O

Se cumple que: B S COD S EOF S AOB = = 4 16

A

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6



15


razones trigonométricas de ángulos agudos

En un triángulo rectángulo la hipotenusa es 13 y uno de los catetos es 12. Determina el valor de la cotangente del ángulo opuesto al lado menor.

A) 12 B) 5 13 D) E) 5 3

5

4 5 3 5

D) 25 7 4

6

A

E) 25 24

En un triángulo rectángulo se sabe que la tangente de un ángulo es 35 . Determina la cosecante del mismo ángulo. 12

A) 35 B) 37 D) 37 E) 35

C) 3 4

O y P son centros de los arcos. Calcula senq.

Si la secante del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo es 25 . Halla la cotangente del ángulo menor. 7

A) 24 B) 7 C) 24 25 24 7

5 C) 5 12 13 13 12

Si los catetos de un triángulo están en la relación de 18 a 24. Determina el coseno del mayor ángulo agudo.

A) 4 B) 3 D) 5 E) 3

2

12 C) 35 37 12 12 35

ABCD es un cuadrado. Calcula tanb.

B

β

C

C

B θ O

P

A

D

A) 3 D) 2 3

16 Intelectum 3.°

B) 2 E) 1

C)

3 2

D

A) 3 B) 2 1 E) 1 D) 2 3

C) 1

7

En el gráfico: cotb = 5 12 Halla x.

8

En la figura: AO = OB, además O y P son centros y T es punto de tangencia. Calcula senb.

β T

30 x

A) 40 D) 60 9

B) 50 E) 70

2

O

A) 2 2 D) 2 2 3

C) 72

Si: cosq = m (q: agudo) n Calcula: P =

β

A

B

P

C) 1 3

B) 3 E) 2

10 En la siguiente figura: B

2

n - m cot θ

A

θ

D

C

Calcula BD en función de q y m, si AC = m.

A) n D) m

B) n/m E) 2m

A) msenq

C) 2n

D) mcosq

11 Si el senq = 20 , calcula tana. 29

C) m senθ 2

12 Calcula el valor de x si el senq = 3/7. B

B

α D C A A

C) 21/29

A) 27/7 D) 21/8

13 En un triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a 21. Si la tangente de uno de sus ángulos agudos es igual a 2/5, calcula la diferencia de longitudes entre catetos.

C) 7/9

14 En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), si: secA = 25 , 24 determina: tan A 2

C) 18

A) 25/24 D) 7/24

B) 7 E) 1/7

5. c

10. e

8. c

9. d

7. c

C) 25/2

Claves

B) 9 E) 3

C

B) 9/7 E) 9/8

6. e

12. a 11. b

A) 6 D) 15

21

3. e

B) 7/3 E) 3/4

θ

4. d

A) 4/3 D) 3/7

D

1. a

O

x

2. C

θ

B) msen2q E) m sen2θ 2


17

14. e 13. b


B


β

2

2

2

3

1. En la figura se cumple: 2

m +n =p

B r

p

m

A

D

n

C

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El triángulo BDC es un triángulo rectángulo. II. r es equivalente a m . p n III. BD es altura relativa al lado AC del triángulo ABC. A) VFF D) FVF

α

A

B) VFV E) VVV

A) 1 + 5

B) 2 3

D) 2 + 5

E) 2 + 5 2

C) 5 - 1

5. Calcula x. x + 10

x

C) FFV

20

A) 5 D) 20

2. En la figura se cumple: a2 + b2 = c2

C

B) 10 E) 25

C) 15

C

a

6. Calcula: senq

Si: q es agudo y tanq = 1 . 2

b

B

A) 1 B) 3 2 3

A

c

¿Qué proposiciones son verdaderas?

D) 3

I. El triángulo ABC es rectángulo.

B) Solo I E) I y II

C) Todos

3. Del gráfico, calcula tanq.

A) 1 D) 3

C

B

A) 2 B) 6 C) D)

2 E) 2 3 2

6 3

4. Según el triángulo rectángulo de la figura, calcula: senα + senβ + cot a M= cos β

18 Intelectum 3.°

B) 2,8 E) 2,4

C) 2,7

B) 2 E) 1/3

C) 1/2

9. En un triángulo ABC, recto en C, se tiene que: tan A cot B = tanBcot A 1 - senA 1 - cosB Halla: tanA + tanB

θ

M

A) 2,9 D) 2,6

8. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B). Calcula: E = tan A + cot A 2 sec C csc C


θ

E) 2

Calcula: E = sec qcsc q

III. El ángulo A es recto.

A

6 3

7. Sabiendo que: cot q = 0,4 y q es un ángulo agudo.

II. Los ángulos B y C son agudos. A) Solo II D) I y III

C)

A) 1 B) 2 D) -1 E) -2

C) 3

10. Si: tanq = 4/9 (q: agudo) calcula: senqcosq A) 12 B) 37 D) 36 E) 97

13 C) 36 37 43 86 71

Resolución de problemas 11. En la semicircunferencia, D es la proyección de P sobre AB, DB es igual 4. Si el ángulo POD tiene como tangente 3/4, calcula el radio de la semicircunferencia.


B) 6 + 2 3 3

A) 4 α

A

O

A) 12 D) 15

B) 20 E) 16

D

B

C) 25

B) 39/20 E) 20/19

C) 19/20

13. Sea un triángulo rectángulo isósceles cuyo perímetro es igual a (20 + 10 2 ) m ; calcula la longitud del lado menor. A) 16

B) 20

D) 10

E) 15 2

C) 10 2

2a y (0° 1 θ 1 90°) a2 - 1

Calcula: senq A)

2a a +1

B)

2

2 D) a 2 - 1 a +1

2 E) a - 1 2a

18. Si O y M son centros; E, F y T son puntos de tangencia. Calcula: cota T

Nivel 2

A

Comunicación matemática 14. Si en el ABC (recto en C), el lado a es al lado b como 5 es a 12, ¿cuál de las expresiones es correcta? B) tanB = 12/13 E) cotB = 12/5

2 C) a + 1 2a

2a a -1 2

F

A) tanA > 1 D) cosB = 5/12

C) 6 - 2 3 3

D) 1 + 1 E) 2 3 3 17. Si: tan θ =

12. En un triángulo rectángulo, el seno del mayorángulo agudo es igual a 21 , calcula la tangente del menor de los ángulos agudos 29 en dicho triángulo. A) 21/20 D) 20/21

B) Ia, IIb, IIIc, IVd D) Ib, IIa, IIId, IVc

16. Si seca = 2, (a " agudo) Calcula: C = seca + csca

P

R

A) Ib, IId, IIIc, IVa C) Ib, IId, IIIc, IVa E) Ic, IIa, IIId, IVb

C) cscA = 13/5

a. Cateto Adyacente

II. Es el lado opuesto a su ángulo complementario.

b. Tangente

III. Razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente a su ángulo complementario.

c. Hipotenusa

IV. Es el lado opuesto al ángulo recto.

d. Cosecante

O

B

E

A) 2 + 2 B) 2 - 1

C) 2 + 1

D) 2 - 2 E) 2 + 3 19. Calcula: E = tana + cota

5mn

15. Para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: I. Indica la razón entre sus catetos opuesto y adyacente, respectivamente.

α

M

n

α m

A) 2 D) 5

B) 3 E) 10

C) 4

20. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple: senA = 4tanC Calcula: E = 3 cot 2 C - 4 sec A + 7 A) 1 D)

3

B) 2 2

E)

3

C) 3 7


19

21. Sabiendo que: cos θ = a - b ; (θ es agudo) a+b

Calcula el coseno del ángulo agudo que forman la pared y la escalera si esta tiene 37 m de longitud y la distancia de su base al pie de la pared es 35 m.

Evalúa: E = (secq - tanq) _ a + b i

A) 4 7 B) 12 C) 8 7 37 37 37

A) a - b B) b - a D) a - b

C) a . b

E) a + b

D) 5 7 E) 18 37 37

nivel 3

22. Si senb = 1 (b: agudo), calcula: 5


M = cot2b + 5 6 cosb A) 36 D) 30

B) 24 E) 20

C) 32

23. En el gráfico mostrado, calcula: E = csc α + cot α sec α - tanα

27. Para a, q y w ángulos agudos, marca la proposición incorrecta. A) sena = 2 9

B) cscq = 7 - 5

C) senw = 2 - 1

D) secw = 11 - 5

1 3+ 2

E) cosq = 28. De la figura:

2x + 1

x+2

B θ

α

6

2x - 1

A) 4 D) 3

B) 8 E) 7

C) 6

24. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto están en la proporción de 4 a 3. Siendo q el menor ángulo agudo; calcula: L = senqtanq 1 4 12 5

C) 1 3

B) 2 cm E) 6 cm

C) 3 cm

26. Una escalera está apegada en una pared como se muestra.

Escalera

D

C

9

A) El sena es igual a 3 3 . 13 B) La secante de q es igual a

3 . 12

C) ABC es un triángulo rectángulo.

E) AB y AD están en razón de 13 y 2, respectivamente.

Razonamiento y demostración 29. Siendo tana = 5 ; tanq = cos2a, (a; q son ángulos agudos), calcula: L = 37sen2q + 6sen2a A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

30. Siendo secq = 3 ; tanb = senq, (b; q ángulos agudos), calcula: L = tan2q + 5cos2b A) 1 D) 6

20 Intelectum 3.°

4

D) El ángulo a es igual al ángulo q.

25. En un triángulo rectángulo la suma de los cosenos de los ángulos agudos del triángulo es 1/3. Si la hipotenusa mide 18 cm, ¿cuánto sería la suma de los catetos? A) 1 cm D) 4 cm

α

Indica la proposición incorrecta.


B) A) 5 12 D) 7 E) 12

A

B) 3 E) 7

C) 5

31. En un triángulo ABC (m+B = 90°), se cumple que: senA = 2x + 1 y cosC = 3x - 1 6x + 1 7x - 1 Si el cateto mayor mide 6 m, calcula el perímetro del triángulo. A) 30 m D) 15 m

B) 25 m E) 10 m

2 -1 3

C) 2 2 - 1 2

D) 3 2 - 1 E) 2 2 + 1 3 2

C) 20 m


32. Si: 0° < a < 45° y cot2a = 15 . Calcula: E = ( 17 - 4) cot α 2 8 A) 1 D) 4

A) 2 2 + 1 B) 2

B) 2 E) 5

C) 3

36. Calcula el área de un triángulo rectángulo ABC, si: tanA = 5 y 12 la hipotenusa mide 26 m. A) 100 m2 D) 260 m2

B) 120 m2 E) 240 m2

C) 140 m2

37. El perímetro de un triángulo rectángulo es 140 u y la tangente de uno de los ángulos agudos es 1,05. Calcula la longitud del lado mayor.

33. Del gráfico calcula tana tanq. B

A) 42 u D) 41 u

α θ

B) 58 u E) 49 u

C) 40 u

D

A

38. Determina la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el producto de los senos de los ángulos agudos es 0,22.

C

H

A) 4 m D) 6 m

Siendo: DH = 6 y BD = 3 A) 4/25 D) 18/7

B) 1/21 E) 4/9

B) 7 m E) 3 m

C) 5 m

C) 9/2

34. En la figura, 3BT = 4TH.

31. D 24. D 15. D 7. A

38. C 30. C 23. C 14. C 6. B

37. B 29. C 22. A Nivel 2

5. C

36. B

21. A 13. D

4. A

28. B

20. E 12. D

3. E

27. B

19. D 11. B

C

35. C

34. A 18. A 10. D

A

1. E

26. B

Nivel 1

medio de CE.

25. E

! !

35. De la figura mostrada, calcula cot q, donde AC = CB y D punto

17. A

C) 10/3

16. B

B) 3/4 E) 20/17

C l a ve s

A) 21/20 D) 20/3

C

E

O

9. B

θ

A

8. C

H

2. B

T

Nivel 3

32. A

B

33. E

Calcula: tanq

θ

D O

E

B


21

Aplicamos lo aprendido tema 4: PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1

Encuentra x en: cos(7x - 3°)sec(5x + 7°) = 1

A) 1° D) 4 3

A) 10° D) 40°

22 Intelectum 3.°

4

B) a = 14°; b = 6° D) a = 8°; b = 2°

Calcula x en: tanxtan50°tan40°tan30° = 1

B) 20° E) 60°

B) 6° E) 15°

C) 9°

Calcula: E = sen10° + tan 20° + sec 30° csc 60° + cot 70° + cos 80°

A) 0 D) 2 6

C) 30°

Halla el valor de x en: tan7x = cot3x

A) 3° D) 12°

C) 3°

Para qué valores menores y positivos de a y b, se cumple: tan (a + b) = cot70° sen(a - b) = cos84°

A) a = 12°; b = 8° C) a = 13°; b = 7° E) a = 70°; b = 13° 5

B) 2° E) 5°

2

B) 1 E) -2

C) -1

Calcula q (a; b y q son agudos)en: sen3a = cos75° tan2b = cot80° sec(a + b) = cscq

A) π rad 9

B) π rad 3

D) 4π rad 9

E) 5π rad 9

C) 2π rad 9

Si: sena - cos2b = 0 cosasec(3b - 10°) = 1

8

E = [cos(2x + 10°) - sen2x + 2] 3 2

B) 20° E) 50°

B) 3 E) 9

B) 20° E) 50°

C) 30°

12 Halla x en la siguiente expresión: sen(5x - 1)°sec61° csc73° cos17° = 1

2π rad C) 3π rad 9 10 5π rad 9

A) 5 D) 3

B) 8 E) 6

C)7

14 Se tiene: sec(41 - a)° . cos(37 + b)° = 1 Calcula: (a + b)2

A) 4 D) 9

B) 16 E) 1 6. d 5. e

C) 15

C) 25

3. c

10. d

8. e

9. d

7. c

Claves

B) 60 E) 20

4. b

13 Si: csc(n + 45)° = sec(m - 15)° Calcula: m + n 2

12. e 11. b

A) 30 D) 90

A) 10° D) 40°

C) 5

11 Calcula x, donde: tan d 3π - 5x n = cot a x - π k 9 2

A) π rad B) 4 π D) rad E) 9

C) 3

10 Si: sen(2x + y)csc(2y + 30°) = 1 tan(x + 30°) = cot(y + 30°) Calcula: 3x - 2y

Simplifica: 4senx + 2sen10° + tan 72° E= cos 80° cot18° cos (90° - x)

A) 1 D) 7

A) 1 B) 2 D) 2 E) 3

C) 30°

1. e

9

sen (2x + 25°) cos 56° 2 = _ 3i -2 cos (x + 5°) sen34°

Halla:

Calcula: a - b

A) 10° D) 40°

Si:

2. c

7


23

14. b 13. a

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática 1. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El seno de un ángulo agudo no es igual al coseno de su ángulo complementario. II. La tangente del ángulo complementario a a es igual a la cotangente de dicho ángulo. III. Para a y q complementarios la secante de a y la cosecante de q son equivalentes. A) VVV D) FVF

B) VFV E) FFV

C) FVV

7. Sabiendo: sena = cosb Halla: W = senb cos a A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 8. Si: sen2x. csc(3x - 1°) = 1. Luego el valor de x será: A) 1° D) 2°

A) 5° D) 20°

A

α

4m

C

9m

I. Son iguales. III. Son ángulos complementarios. C) I y III

Razonamiento y demostración 3. Si: tan3xtan(2x + 20°) = 1, halla x. B)14° E) 10°

C) 5°

B) 10° E) 25°

C) 15°

24 Intelectum 3.°

C) 15°


A) 1 D) 4

B) 2 E) 3

C) 1/2

13. El seno del ángulo agudo 3a es igual al coseno de 2a. Calcula el valor de E, donde: (sena + cos 4a) csc a E= 2 A) 3 B) 1 C) 2 D) 1/2 E)1/3

14. Sean los ángulos agudos a, b y c, donde: seca . cosb = 1 secc = cscb Indica lo incorrecto:

C) 15°

I. a y c son complementarios. II. b y c son equivalentes.

6. Si: tan2x . cot(60° - x) = 1, calcula: x B) 80° E) 45°

B) 10° E) 25°


5. Halla x, si: cos(3x - 10°) sec(x + 20°) = 1 B) 10° E) 25°

C) 15°

Nivel 2

4. Halla x, si: sen4xcsc(x + 30°) = 1

A) 20° D) 60°

C) 15°

12. Sean los ángulos a y b donde la suma de la mitad de a más la tercera parte de b es igual a 15°. Calcula el doble del cociente del seno de 3a y el coseno de 2b.

II. La semisuma de a y q es igual a 45°. B) Solo I E) I y II

B) 10° E) 25°

A) 5° D) 20°

¿Qué se puede afirmar de los ángulos a y q?

A) 5° D) 20°

B) 10° E) 25°

11. Halla x, si: tan5x . cot(x + 20°) = 1

6m

A) 5° D) 20°

C) 5°

9. Halla x, si: sen 4x . csc(x + 30°) = 1

A) 5° D) 20°

B θ

A) 8° D) 2°

B) 3° E) 4°

10. Halla x, si: cos(3x - 10°) . sec(x + 20°) = 1

2. Del triángulo:

A) Solo III D) II y III

C) 3

III. b y c son ángulos agudos en un triángulo rectángulo. C) 30°

A) Solo III D) I y III

B) I y II E) Solo II

C) II y III

15. Del gráfico mostrado:

22. Dada la siguiente expresión: cos(x + 5°) . csc(3x + 5°) = 1 Halla un valor de x.

C b

a B

q

c

A) 10° D) 20° a

A

donde: a2 + b2 = c2 ; a ! b Indica el valor de verdad:

III. 5 csc α es igual a la unidad. 2 sec θ B) VFF E) FFF

C) FVF

Razonamiento y demostración 16. Calcula: E = (3sen36° + 4cos54°)csc36° A) 1 D) 7

B) 3 E) 9

C) 5

B) 2 E) 6

C) 3

18. Si: tan(2x – 16°) tan(x + 40°) = 1, calcula: x A) 10° D) 15°

B) 22° E) 25°

C) 20°

20. Se sabe: tana = cot2a Calcula: senα + cos 2α senα A) 1 B) 2 D) 1/2 E) 3

C) 5

C) 4

halla un valor de b. B) 15° E) 12°

C) 25°

NIVEl 3 Comunicación matemática 26. Si se cumple: a + b + c = 90° Marca lo incorrecto. A) tan(a - b) = cot(2b + c)

D) csc d b + c + a n = sec d 4a + 3b + 3c n 2 3 6 E) Ninguna

21. Si: tan(b + 15°) . cot(2b - 5°) = 1, A) 20° D) 16°

B) 75° E) 45°

C) tan d90° + 3c + b - a n = cot d 4a + b + 2c n 5 2 5 2 3 3

E = (2sen10°+ 3cos80°)csc10° B) 8 E) 6

25. Para dos ángulos agudos se cumple que el producto de sus senos es igual al producto del coseno de uno de ellos y el coseno de 70°. Calcula la suma del doble del menor más la mitad del mayor de dichos ángulos si son complementarios.

B) sen(3b - 5c + 2a) = cos(6c - a - 2b)

19. Calcula: A) 2 D) 3

C) 22°

24. Calcula el valor de a en el sistema radial si se cumple que el triple de dicho ángulo tiene como seno al coseno de la mitad de a, aumentado en 20°. aSe cumple: 3α < π rad k 2 π π A) rad B) rad C) π rad 6 3 5 π π D) rad E) rad 9 2

A) 60° D) 18°

17. Calcula: C = sen10c + tan 20c cos 80c cot 70c A) 1 D) 4

B) 45° E) 27°


II. tanq tana es igual a la unidad.

A) FVV D) VFV

C) 55°

23. Calcula n: sen a n + m - 17° k = cos a n - m + 63° k 2 2 A) 36° D) 44°

I. tanq es igual a la cot a π - α k . 2

B) 30° E) 40°

C) 10°

27. De la expresión: senqsecatan(37° + 2p) tan(p - 13°) = 1 Si q y a son complementarios, indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. p es igual a 11π rad. 90 II. (4p + 1°) y 5p son complementarios. III. tan(2p - 15°) y cot(95° - 3p) son recíprocos. A) VFV D) FFV

B) VFF E) FVF

C) VVV


25



36. El producto de cinco razones trigonométricas diferentes de un mismo ángulo es 1. ¿Qué ángulo es?

28. Calcula: E = [cos20º sec20° + tan58° cot58°]sen10°. csc10° A) 4 D) 2

B) 6 E) 8

C) 210

29. Calcula a (agudo). cos _ α + 10°i =

A) 35° D) 46°

1 csc _ α + 10°i B) 30° E) 37°

C) 45°

30. Halla (x + y + z); si: x; y; z son agudos. sen(x + 60°) = cos(y - 37°) tan(45° + x) = cot(z - 37°) sec(z + 30°) = csc(y - 15°) A) 112° D) 132°

B) 102° E) 121°

A) 60° D) 45°

B) 30° E) 53°

C) 37°

37. En un triángulo acutángulo que tiene como ángulos a, b y c, calcula el valor de 3m , donde: 2 tan d a + b n sec d c + b n sen a a + c k 2 2 2 m= b c a cos cot csc 2 2 2 A) 1 D) 3/4

B) 3/2 E) 1/2

C) 2

C) 128°

35. Halla (a + b) en las siguientes expresiones: sen(a + 30°) = cos(4a + 10°) tan(b + 20°) cot50° = 1 Siendo a y b ángulos agudos. A) 10° D) 20°

B) 30° E) 40°

26 Intelectum 3.°

C) 50°

37. b

36. d

22. D 15. C 7. A

29. A

21. A 14. E 6. A

28. D

35. E 20. B 13. B

Nivel 3

34. D 19. C 12. B

33. B

5. C

32. B

26. C

27. A

31. B

25. B

16. D

4. B

C) 3

18. B

B) 1 E) 0

11. A

A) 5 D) 2

3. B

E = tan3x. tan4x + senx . sec6x

17. B

34. Si: sen2x = cos5x, calcula:

9. B

C) 3

10. C

B) 2 E) 5

2. B

A) 1 D) 4

1. C

33. Si: sen2x csc(48° - x) = 1 tan4x cot8y = 1 Calcula: x/y

30. A

C) 20°

C l a ve s

A) 35° D) 40°

24. D

B) 50° E) 80°

32. Si: sen2x = cos40° tan3x coty = 1 Halla: y - x.

Nivel 2

C) 3

8. A

B) 2 E) 5

Nivel 1

A) 1 D) 4

23. D

31. Si se cumple sen(2a + b) = cos(a + 2b) Calcula: P = sen3a + sen3b cos 3b cos 3a

Matemática ▪▪ Halla el valor de 2a + b, si π rad = a°b'. 8

o 22° + 1 = a° b' 2

22°30' = a°b' & a = 22 / b = 30

Resolución:

Nos piden: 2a + b

• Sabemos: p rad = 180° π rad # 180 o = a°b' 8 π rad

2a + b = 2(22) + 30 ` 2a + b = 74

180 o = a°b' & 45 o = a°b' 8 2

1. Para un ángulo trigonométrico se cumple lo siguiente: S - 12 = x + 3 3

C + 6 = x + 31 2

Determina la medida del ángulo en radianes. A) π B) π C) π D) 2π E) π 2 8 4 3 5 2. En la figura mostrada, halla el valor de tan2q.

N1

A) 2

Q

B) 1

θ 3 C) 7 4 D) 4 3 M P R E) 1 2

6. E n el siguiente gráfico, determina el valor de: P = 19x - 10y y° A) 9 (x + 3)° B) 4 C) 6 (3 - x)g O D) -6 E) -3 7. D el gráfico mostrado, calcula el perímetro de la región sombreada. (O es centro; OE = 5 m). (Considera p = 3,14) C

2m O

A) 6M B) 8M C) 5M D) 3M E) 9M

θ S 2M k

4m

3

4. Del gráfico, halla el valor de: P = x - x + 15 x

2

D

B 5 x(x + 1) x(x − 1) A C E

A) 15 B) 10 C) 20 D) 0 E) 5

5. ¿Cuántos segundos sexagesimales están contenidos en un ángulo que equivale a la milésima parte del ángulo de dos vueltas? A) 3888" D) 1944"

B) 2592" E) 2916"

C) 1296"

B D

A) 12,57 m D) 10,54 m

B) 6,27 m E) 14,27 m

C) 18,81 m

8. Calcula la tangente del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo cuyos lados forman una progresión geométrica. A)

2

E

(0,41p)

3. Se muestran sectores circulares concéntricos, donde S representa al área sombreada. Halla el valor de k, si S = 12M2. 3M

A

D)

5 + 1 B) 2 5-1

5 - 1 C) 2

5 +1

E) 1

9. Del gráfico, halla el valor de AB en función de "a" y ",". C

B

α

α

H

E

A

D

,

F

A) ,senacsc3a B) ,cosacsc3a C) ,2cosasec3a D) ,cos2acsc2a E) ,sen2acsc3a TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

27

Unidad 2

Recuerda Menelao Nace en el 70 d. C. y muere en el 140 d. C. Su nombre ha quedado ligado al teorema de geometría plana o esférica relativo a un triángulo cortado por una recta o un gran círculo, un teorema de gran importancia en la trigonometría antigua. Muy poco se sabe de la vida de Menelao. Todo lo que se puede deducir es que pasó algún tiempo en Roma, que vivió en Alejandría, posiblemente nacido allí, y más tarde se trasladó a Roma. Compuso “El Libro de las proposiciones esféricas”, “Sobre el conocimiento de los pesos y distribución de los diferentes órganos” ... Tres libros sobre los “Elementos de Geometría”, y “El libro sobre el Triángulo”. De los muchos libros de Menelao solo ha sobrevivido Sphaerica. Se trata de triángulos esféricos y su aplicación a la astronomía. Él fue el primero en escribir la definición de un triángulo esférico. Un triángulo esférico es el espacio comprendido por arcos de círculos en la superficie de una esfera. Estos arcos son siempre menos que un semicírculo. En Sphaeria creó la base de triángulos esféricos. Usó grandes arcos de círculos en lugar de arcos de círculos paralelos de la esfera. Esto marca un punto de inflexión en el desarrollo de la trigonometría esférica. Sin embargo, Menelao parece satisfecho con el método de la prueba por reducción al absurdo de Euclides que frecuentemente utiliza. Menelao se evita de esta manera demostrar teoremas y, en consecuencia, da pruebas de algunos de los teoremas que podría ser la prueba de Euclides puede ser adaptado en el caso de los triángulos esféricos por métodos muy diferentes. Produjo una versión triángulo esférico de este teorema que también se llama hoy en día teorema de Menelao, y la primera propuesta aparece en el libro III. Teniendo en cuenta la declaración en cuanto a la intersección de círculos máximos sobre una esfera.

Reflexiona • Lo peor que puedes hacer es dañar y creer que saldrás ileso, porque una fuerza de equilibrio se alzará sobre ti, y te cobrará tarde o temprano. • Discutir con nuestra conciencia es, a veces desagradable. Nos deja callados y sin argumentos. ¡La conciencia es la amiga a la cual debemos recurrir! • Después de la tormenta, las aguas toman su nivel y cada persona termina estando donde debe estar. El corrupto será destruido y el honesto será levantado.

¡Razona...! ¿Qué figura sigue?

A)

B)

D)

E)

C)


RT DE ÁNGULOS NOTABLES

Calcula tanq.

2 q

Halla tana; (a es agudo). Además: cosa = cot 45° 2

37°

A) 1/2 3

C) 3/2

D) 2

E) 2/5

Si: sen4xcsc(x + 60°) = 1. Calcula: tan(2x + 5°)

B) 3

A) 1 5

B) 2/3

C) 2

4

D) 1/2

6

D

37°/2

30°

B) 1/2

C) 3

D) 3

E) 2

Si: tan2xcot40° = 1. Halla: sen3x

A) 3

E) 1/3

Calcula BC, si AD = 3.

A

A) 3/4

B)

3 C) 2 D) 3 E) 4 2 5 5

Calcula M de la siguiente expresión: M = 2 csc8° + 3 tan60° + 10 csc 37° 2

B C

A) 2

B) 12

C) 8

30 Intelectum 3.°

D) 9

E) 18

A) 22 D) 23

B) 17 E) 3 10 + 4 3

C) 3 + 18

7

Si: sec2x = cscx. Halla: L = cscx + sec2x

A) 1 9

B) 2

8

C) 4

D) 6

Siendo: sen3x = cos2x Calcula: Q = sen2 d 5x n . tan(3x - 1°) 3

A) 9/16

E) 8

Sabiendo que: tan3xcot(x + 40°) = 1 Calcula: sen3x. (x es agudo)

B) 16/9

C) 1/3

10 Calcula x

D) 2

E) 4

B 25

A

A)

3 2

B) 1 C) 3 2 2

D) 3 E) 4 5 5

B) 9

C) 7

D) 12

B) 100

C) 63

C

D) 49

E) 73

D) 12

E) 15

D) 5

E) 7

12 Calcula P, cuando x es igual a 30°. cos2x = P - 1 P+1

A) 10

E) 15

13 Halla tan2x, si P es punto medio de CD (donde ABCD es cuadrado). B

16°

x

A) 70

11 Calcula el valor de P. P = cos 143° . 10 + sen 127° . 20 + sec82° . 2 2 2

A) 10

8°

B) 9

C) 3

14 Calcula 2a.

B

C

2a - 1

4 + 3a

P

A) 2

E) 4/3

B) 1

5. A

10. E

8. C

9. C

7. C

C) 3

Claves

D) 3

6. D

C) 1

3. A

12. C 11. E

B) 3/4

C

4. B

D

1. B

14. A 13. E

A) 1/2

8°

A

2. D

A

x


31

Practiquemos 9. Calcula tanq.

Nivel 1

B


37° 2 x+2

1. Marca la alternativa correcta: B) csc8° = 5 2 7 E) tan45° = 2

A) sec30° = 2 D) sen 53° = 4 2 5 2. Del triángulo:

C) cot16° = 24 7 A) 3/4

B) 1/3

10. Calcula x.

B 20 u

A 2x - 6 D

C) 5/2

α

8° P

5u

II. AC es igual a 15 u. C) FVF

D) VVF

E) 1

4. Halla E(15°), si:

A) -7/2 B) -3 C) -3/2 D) -3/4 E) -3/8 5. Según la figura, ABCD es un cuadrado; CD = 4a; EC = a. Halla tanq. B

C) 1/3

3 /5

B)

A) 3

B) 3/2

C) 3/4

E) 1/2

B) 11/4

C) 9/4

D) 10/4

E) 6/5

7. Calcula: M = tan2xsec3xsen4x, si x = 15°. A)

3 2

B)

5 2

C)

8 2

D)

9 E) 2 2 2

8. Si: x = 30°, halla: E = secxtan2x - 2cot d 3x n 2 A) 5

B) 3

32 Intelectum 3.°

C) 0

D) 9

E) 7

3 /2

D) 2/3

E)

3 /2

Comunicación matemática 13. En la figura:

C

6. Calcula: W = tan45° + sen60° . cos30° + sen245° A) 8/4

C) 2/5

B c

D) 4/3

3 /3 E)

Nivel 2

E a 4a

D)

12. En un triángulo equilátero ABC se ubica el punto P en BC, tal que 2BP = PC. Calcula la tangente del ángulo PAB.

θ

D

C) 24 2 D) 8 3 E) 24

B) 1

A) 1/3

E(x) = sen22x + tan23x - sec4x

A

C


A) 1/2 D) 2

45° 6

11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que 3tanA = tanC. Calcula el coseno del menor de sus ángulos agudos.

P = tan 45° + 3 tan30° + tan 2 60° C) 3

B) 6 3

E) VFV

3. Halla el valor numérico de: B) 4

E) 3 /2

x

A

A) 10


A) 5

D) 6/5

C

III. El complemento de 2q es igual a 37°. B) FFV

C

θ

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 2a es igual a 30°.

A) FVV

θ

B

10 u A

x+1

A

α

a

b

C

Relaciona correctamente la proporción entre los lados y la medida del ángulo a. I. a = 3 c 4

a. a = 8°

II. b = 5 2 c 7

b. a = 74°

III. a = 24 b 25

c. a = 37°

A) Ia IIc IIIb D) Ib IIc IIIa

B) Ib IIa IIIc E) Ic IIb IIIa

C) Ic IIa IIIb

14. Del gráfico:

C

20. Del gráfico, calcula tanq si ABCD es un cuadrado. B θ

8°

A

P

45°

N A

B

Indica las proposiciones incorrectas: I. La razón de AC y PB es de 5 . 3 II. BC es el triple de AP.

A) 2 D) 5/2

B) Solo II E) Solo III

A

30°

C) I y III

B

D

45°

A) 4 3 m B) 4 3 - 1 m D) 4 ( 3 + 1) m E) 4 ( 3 - 3) m

C

C) 4 ( 3 - 1) m

A) 15 D) 18

B) 16 E) 19

B) 11 E) 13

22. En un cuadrado ABCD se ubica un punto P en AB, tal que el triángulo CPD es isósceles, calcula la longitud de sus lados iguales si el lado del cuadrado es igual a 6. A) 4 5 D) 6 5

A) 1 D) 3

B) 2 E) 1/3

C) - 13 4

A) 24 D) 50

B) 8 E) 32

Nivel 3 Comunicación matemática A

C) 9

x

y

12

α

C

Relaciona el valor de a y la medida de sus lados correctamente. C) 1/2

3 cos 2 60° . sec 30° . tan 45° sec 2 45° - 6 cos 30° + tan3 60° B) 2 E) 1/3

C) 20

24. Dado el triángulo ABC:

19. Calcula el valor de:

A) 1 D) 3

C) 5 5

!

B

sen 2 30° + sec3 60° - cos 4 45° tan37° . tan53° . cot 45° . csc 6 45°

P=

B) 3 5 E) 4 5

23. En una semicircunferencia AB se ubica el punto C tal que ! m AC = 74°. Se traza CH = AB. Si el radio de la circunferencia

18. Calcula el valor de M: M=

C) 17


17. Calcula: E = (sec60° + tan45°)sec53° + 6 tan60° . sec45° A) 7 D) 10

C) 4

es igual a 25, calcula la longitud de BH.

16. Calcula x en: 2xsen30° + cos260° = 3 tan60° + 2xtan45° B) - 7 A) - 1 4 4 D) - 3 E) - 11 4 4

D

B) 3 E) 7/2

Razonamiento y demostración 15. Si: DC = 4 m, halla AD.

37°

21. Si: cosq = cos260°; q es agudo. Calcula: C = secq + tan2q

III. AB es la cuarta parte de AP. A) I y II D) Solo I

C

C) 1/2

I. α = 37°

a. x = 9

II. α = 53° 2

b. x = 6

III. α = 37° 2

c. x = 4

A) Ib IIa IIIc D) Ia IIb IIIc

B) Ia IIc IIIb E) Ib IIc IIIa

C) Ic IIb IIIa


33

25. Marca la alternativa correcta.

31. Del gráfico, halla senq.

A) sec45° = 2 2

B) sec 127° = 5 2 10

D

C) sen 143° = 3 10 2 10

D) sen82° = 10 3

x

A) 0,1 D) 0,4

2

Calcula: P = tan 15x + cot 10x C) 4

D) 5

E

C

A) 13/15 D) 17/16 φ

A

A) 13 6

B) 13 12

D) 9 7

E) 9 8

C) 16 13

A) 16 m D) 12,5 m

A) 2 D) 5

29. Del gráfico, halla tanq.

D

B) 13/16 E) 15/13

C) 13/17

B) 12 m E) 6,25 m

C) 15,5 m

B) 4,1 E) 3,2

C) 2,1

34 Intelectum 3.°

34. B 27. C 7. E

14. E

21. E

33. D 26. C 13. C

20. C

32. B 12. B

19. C

31. B 24. D 11. E

18. A

30. B Nivel 3

17. B

23. E

16. E

15. C

25. C

6. C

C) 0,4

5. D

B) 0,3 E) 0,8

N

4. D

B

D

3. A

θ

45°

9. D

53°

M

10. C

C

2. b


1. C

C) 0,8

Nivel 2

B) 0,4 E) 1,8

22. B

D

M

8. C

E

Nivel 1

A

28. B

37°

29. B

C

θ

45°

A) 0,1 D) 0,6

37°

34. En el rombo ABCD (AC > BD) se ubica el punto P en AC, tal que m+PBC = 90°. Si AP = BP, calcula: M = 5sen2(a - 7°) + sen2 (2α + 23°) 2

E) 5

A) 0,3 D) 1,6

x

33. En un cuadrilátero ABCD recto en B, AB = 20 m. Calcula la distancia entre los puntos medios de AD y CD, si m+BAC = 37°.

A) 3 B) 5 C) 7 2 2 2

B

C


D

28. Calcula M + N, si: M = 6 sen30° cos45° tan60° N = tan30° tan45° tan60°

D) 4

F

E

A

F 37°

C) 0,3

E) 6

27. Del gráfico, calcula tanf, si: ABCD es un cuadrado. B

B

B) 0,2 E) 0,5

B

2

B) 3

5x - 2

32. Si ABCD es un cuadrado, calcula tanx.

26. Si: 37xtan230° - 5xsec230° = 7tan45° + 5sec60°

A

37°

A

3 3


A) 2

3x

C l a ve s

E) cot30° =

C

θ


resolución de triángulos rectángulos

Calcula DE en términos de k y a. B

2

Calcula BA en términos de L y a. C

A

α

L

D k

D

C

E

A) kcosacota D) kcota 3

B) cosacota E) ksenacosa

α

4

A)

2

a

α

a

b B) b C) a a

D

3

B

A

b D) a

3

6

Halla x en términos de q y d. Siendo O centro de la semicircunferencia, además: AP = d. P θ

x θ

A) asen2qcosq D) asen2qcos2q

E

A

b

A) a + b B) ab C) 3 ab D) 3 E) 1 a+b a+b a+b a+b ab

a E) a b b

B

30° 30°

M

x

a

A

C) Lsen2a

Halla x en función de a y b.

B

Halla x en términos de a y q.

A

C α

O

B) Lcsc2a E) Ltan2a

C

b

α

O

A) Lsec2a D) Lcos2a

C) kcosa

De la figura calcula sena, en función de a y b. D

5

B

α

α

C

B) asenqcos2q E) asen3q

A

C) acos3q

O

H

B

A) d senqcosq B) d cosqtanq C) d cosq 2 2 2 D) d cotqsecq E) d cotqcscq 2 2 TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2

35

Halla el área del triángulo CAD.

8

B

Halla tanq, si AOB es un cuadrante. A

4m α A α α

C

3m

D

O

E

B) 8 m2

C) 12 m2 D) 4 m2

A) 3 B) 11 C) 5 13 D) 10 E) 3 10 3 5 5 11 3

E) 9 m2

Halla el radio del círculo en función de a y q. B a cos θ cos θ 2 B) 2 A) θ 1 + csc θ a + csc θ 2 2 a a θ θ asen a tan r 2 D) 2 C) C A 1 + cos θ 1 + cot θ 2 2 E)

10 Halla cscq. 2 2

2

a csc θ 2 1 + cos θ 2

A) 2

C) 4

θ

A

A

D

A) mcosq - 2msenq C) mcscq - 2msenq E) mcscq - 2mcosq

C

n

A) n(cscq + 1) C) n(secq + 1) E) n(cotq + 1)

B) mcotq - 2mtanq D) msecq - 2mcosq

13 Calcula el área de la región triangular ABC, sabiendo que CBD es un cuadrante.

B) n(cscq + 2) D) n(secq + 2)

14 Calcula el área de la región cuadrangular ABNM. A

b

D A

M b

α

B

C) 0,5a2sec2a

A) 1,5absena D) 2,5absena

7. A

9. A

12. A 11. C

14. D 13. E

Claves

36 Intelectum 3.°

5. B

10. B

B) 0,5a2tana E) 0,5a2cosa

8. A

A) 0,5a2sena D) 0,5a2csca

2a

6. E

a

B

N

a

α

C

B) 3,5absena E) 0,5absena

C) absena

3. C

a

E) 8

2θ

E

C

D) 6

B

F

m

B) 3

12 Del gráfico, halla el perímetro del triángulo ABC, si: AB = BC.

C θ

θ

11 Del gráfico, halla EF en términos de “m” y “q”. B

B

N

1. A

A) 6 m2

2 M

4. C

9

θ

2. B

7

Practiquemos 5. De la figura, halla x.

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre del matemático más prolífico de toda la historia. 1. Cateto que se encuentra al lado del ángulo. 2. Tipo de ángulo menor a 90°. 3. Línea de un polígono. 4. Cateto opuesto entre cateto adyacente. 5. Polígono de 3 lados.

x+1

x

53°

A) 1

B) 2

C) 3

E) 5

6. Halla a + b.

1"

20

2" 3"

b

37°

4"

A) 21

5"

▪▪

D) 4

: matemático suizo, que es considerado el más prolífico por sus centenares de publicaciones.

a

B) 28

C) 35

D) 49

E) 63

7. Calcula el área de la región triangular ABC, si: AD = 4. B

2. Observa el gráfico y luego completa: A

5m 45°

A) 2senq D) 4sen2q

37°

A β

A) 15 D) 30

C

B) mcosa + ncosb D) mcosa + nsenb

A) 8 m

x

A) a

B) a C) a 2

53°

C

B) 20 E) 35

C) 25

9. Se tiene un triángulo ABC, donde m+BCA + m+BAC = 45° y AB = 5 2 m. Determina el valor de BC, si tana = 5/12. (a = m+BCA).

B

H

45°

28


4. Halla: x(cota + cotq), si AC = a.

2

B

x n

A) msena + nsenb C) msena + ncosb E) mcosa + msenb

A

C) 2sen2q

E

α

α

B) 4senq E) 2cos2q

B

m A

D

C


Razonamiento y demostración 3. Del gráfico, halla AC.

θ/2

θ

D) a

C) 6 m

D) 7 m

E) 10 m

10. Se tiene un triángulo ABC, donde m+BAC = q; m+BCA = f; m+ABC = 120°, AB = 8m; BC = 6 m. Calcula tanq . cotf.

C 3

B) 5 m

E) 2a

A) 17/19 D) 14/29

B) 14/23 E) 17/20

C) 15/22


37

15. Calcula tanq.

Nivel 2

C


θ

11. Relaciona según corresponda:

E

z

16°

z = 15

14

z 37°/2

z=5

M

37°

A

B

A) 4 B) 3 C) 4 D) 5 9 5 9 6 16. En la figura, halla tana.

E) 4 7

C

5

z = 50

z

90° - α α M

A

53°/2 10

A) 2 B) 3 C) 12. Observa el gráfico y luego completa:

2 2

D) 1

E) 0

17. Determina el senq, si ABCD es un cuadrado.

A 8°

B

A

7 50 m

2

1

3

B

θ

B

8°

C

D D

Razonamiento y demostración A)

13. Calcula PQ en función de a, a y b. Q α

C

5 B) 3 C) 2 5 5 5 5

D) 3 10 E) 10 10 10 18. Calcula x en función de a y q.

a P

A) acsca + bseca C) asena + bcosa E) aseca + bcosa

b

x

R

B) acosa + bsena D) aseca + bcsca

14. En la figura: m+A - m+C = q; AM = MC = a. Halla el área de la región triangular ABC. B

37°

θ

a

A) 5 asecq B) 5 atanq C) 5 cotq 3 3 3 D) 5 acscq E) 4 atanq 3 5

Resolución de problemas C

A) a2senq D) a2cotq

M

B) a2cosq E) a2secq

38 Intelectum 3.°

A

C) a2tanq

19. Se tiene un triángulo ABC, donde m+BAC = q; m+BCA = a, además: AB = b y BC = a. Determina el valor de AC, si: (bcosq + acosa) = 4. A) 4 D) 3

B) 7 E) 6

C) 5

20. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD(D ! AC), además, la m+ABD = a y m+DBC = 37°. Halla tana, si: AB = AD = DC. A) 1/2

B) 3/5

C) 3/4

D) 2/3

25. De la figura, halla x.

C

n

E) 9/4 A

Nivel 3 Comunicación matemática 21. Dibuja un triángulo rectángulo ABC, recto en B, traza la altura BH, donde HE = AB, indica en el gráfico el ángulo BHE que mide 37°, además: EH = 4 m. Determina la altura.

n

B

α

F

x

β

E

A) n(cota + cotb) C) n(cota + cotb + 1) E) n(cota + tanb)

D

B) n(tana + tanb) D) n(1 + tana + tanb)

26. Halla x. x

2a α

A) 2atana D) 3atana

BH = 22. Sea:

B) 4atana E) 5atana

C) atana


A

A

40°

θ

B E

M B

C

2m

Indica verdadero a falso, según corresponda: ▪▪ AB = 2tan50°

▪▪ AB = 2tan40°

▪▪ AC = 2sec50°

▪▪ AC = 2sec40°

Razonamiento y demostración 23. Halla x en función de a y q. Si BH: altura; BM: mediana

a

A) asenqcotq D) asen2qcotq

θ

H x M

C

B) asenqtanq E) asenqcot2q

C) asenqtan2q

C

E) 5 4

D) 1

Resolución de problemas 28. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura DH relativa a la hipotenusa (D ! BC; H ! AC). Si HC = 1 m y m+BAC = 37°. Determina el valor de DC. B) 1/3 m

C) 3/5 m

D) 5/3 m

E) 2/5 m

29. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana AD y la ceviana DE (D ! CB; E ! AB). Además la m+DAB = 37°; m+DEB = 60° y m+ACB = 30°. Determina el valor de CD, si: AE = 2 - 3 /2 . A) 2 3 - 2 D) 2 - 3 / 2

B) 2 3 - 3 E) 2 3 - 3/2

C) 2 3 - 4

C l a ve s

24. Halla x, en función de n y q. x n θ

A) cotqcscq D) ncscqtanq

37°

A) 1 B) 1 C) 3 4 2 4

A) 1/2 m

B

A

D

B) ncotqcscq E) ncotqsecq

C) nsenq

Nivel 1 1. 2. 3. B 4. A 5. D 6. B

7. A 8. B 9. D 10. C Nivel 2 11. 12.

13. D 14. B 15. C 16. A 17. C 18. B 19. A

20. E Nivel 3 21. 22. 23. E 24. B 25. C

26. D 27. E 28. D 29. E


39


Martín observa la parte superior de un muro con un ángulo de elevación q. Cuando la distancia que los separa se ha reducido a su tercera parte, el ángulo de elevación se ha duplicado. Calcula la medida del ángulo q.

A) 15° 3

ángulos verticales

B) 30°

C) 45°

D) 60°

2

A) 1

E) 75°

Desde un punto en el suelo se ubica la parte superior de un árbol con un ángulo de elevación de 37°, nos acercamos 5 m y el nuevo ángulo de elevación es 45°, halla la altura del árbol.

4

A) 8 m 5

B) 10 m

C) 12 m

D) 15 m

B) 2

6

C) 3

D) 4

E) 5

Luis ve dos granos de trigo con ángulos de depresión de 30° y 45°. Si Luis mide 1,7 m de estatura, halla la distancia entre Luis y el grano más lejano, y la distancia entre granos.

A) 1,7 3 m y 1,42 m C) 1,7 m y 1,24 m E) 1,7 3 m y 1,24 m

E) 18 m

Una persona de 2 m de altura observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 30°. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra, si esta mide 82 m?

Si a 20 m de un poste se observa su parte superior, con un ángulo de elevación de 37°, luego nos acercamos una distancia igual a su altura, siendo el nuevo ángulo de elevación q. Calcula tanq.

B) 3 m y 2,24 m D) 2,2 m y 1,7 3 m

Un niño de estatura 1,6 m observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 53°. Si la separación entre el niño y el poste es 30 m, halla la altura del poste.

A) 40 2 m D) 32 2 m

40 Intelectum 3.°

B) 4 3 m E) 80 3 m

C) 36 m

A) 40,7 m D) 42 m

B) 35 m E) 43,5 m

C) 41,6 m

E) 18 m

Desde un punto situado a 300 m; de la base de una torre, se observa la parte más alta de esta con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuánto debe acercarse a la torre en línea recta para que al observar la parte superior de esta lo haga con un ángulo de elevación de 60°?

10 Una persona de 2 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30° y la parte superior con un ángulo de elevación de 60°. Calcula la altura del poste.

A) 8 m

A) 100 m B) 150 m C) 250 m D) 180 m E) 200 m 11 Una hormiga observa la punta de un mástil con un ángulo de elevación q, se acerca una distancia D en dirección al mástil y observa el mismo punto anterior con un ángulo de elevación b. Encuentra la altura del mástil.

A) D(cotq + cotb) D) D/(cotq - cotb)

E) 12 m

B) d(cota + cotb) C) d/(cota + cotb) E) (cota + cotb)/d

E) 5

A) 50 m

B) 80 m

C) 450 m D) 350 m E) 240 m

9. E

Claves

D) 4

7. A

C) 3

D) 10 m

14 Desde un punto ubicado a 150 m del inicio de un camino inclinado un ángulo b respecto a la horizontal, se ve su parte más alta con un ángulo de elevación a. Si: cota - cotb = 1/3, ¿qué altura tiene el camino?

10. A

12. C 11. D

B) 2

A) d/(cota - cotb) D) d(cota - cotb)

8. A

14. C 13. C

A) 1

C) 4 m

12 Un avión está volando sobre una carretera recta que une dos ciudades separadas “d” m. En cierto instante observa una ciudad con un ángulo de depresión “a” y la otra con un ángulo de depresión b. Si la altura del avión a la carretera es “h” m, calcula “h” en términos de “d”, “a” y “b”.

B) D(cotq - cotb) C)(cotq - cotb)/D E) D/(cotq + cotb)

13 Desde un punto en tierra divisamos lo alto de un edificio con un ángulo de elevación f. Nos acercamos una distancia igual al triple de la altura del edificio siendo el nuevo ángulo de elevación b. Calcula: E = cotf - cotb

B) 6 m

5. E

D) 17 m

3. D

C) 16 m

B) 400 _ 3 + 1 i m D) 200 _ 3 + 1 i m

A) 400 _ 3 - 1 i m C) 200 _ 3 - 1 i m E) 400 _ 2 - 1 i m

1. B

9

B) 15 m

Desde un avión se puede ver dos botes con ángulos de depresión de 45° y 30°; si el avión está a 400 m sobre el nivel del mar, halla la distancia entre los botes.

6. C

A) 14 m

8

4. E

Desde la parte alta de un muro de 8 m de altura, se observa las partes alta y baja de un edificio con ángulos de elevación y depresión de 37° y 45°, respectivamente. Calcula la altura del edificio.

2. C

7


41

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática 1. Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático. 1. Ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. 2. Tipo de línea, que une el ojo de un observador con el objeto que se observa. 3. Ángulo formado por dos líneas visuales. 4. Tercera letra del alfabeto griego.

A) dtanb D) dsecb

B) dcosb E) dcotb

C) dsenb

4. Halla la distancia entre el joven y el poste. Donde: • El ángulo de elevacíon del joven es 37°.

5. Ángulo formado por la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. 6. Cateto opuesto entre hipotenusa. 7. Tipo de línea, paralela a la superficie, que pasa por el ojo del observador. 1"

2"

A) 12 m

B) 4 m

C) 10 m

D) 6 m

E) 8 m

3"


4"

5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación a. Si la altura del edificio es h, ¿a qué distancia del edificio se encuentra el punto de observación?

5"

6"

A) hsena D) hcota

7"

▪▪

: matemático alemán, que definió el concepto de integral, lo que ahora llamamos integral de Riemann.

2. Dibuja según el enunciado. Un niño de estatura h divisa una hormiga en el suelo con un ángulo de depresión q.

B) hcosa E) hseca

C) htana

6. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación b. Si el punto de observación está a 8 m de la base del poste, ¿cuál es la altura del poste? A) 8tanb

B) 8cotb

C) 8senb D) 8cosb E) 8cscb

7. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación b (cotb = 2,5). Si la altura del poste es 30 m, ¿a qué distancia del punto de observación, se encuentra el poste? A) 25 m D) 90 m

B) 50 m E) 100 m

C) 75 m

8. Desde lo alto de un edificio se divisa un objeto en tierra con un ángulo de depresión b (tanb = 2,5) a una distancia de 40 m de su base, ¿cuál es la altura del edificio? A) 100 m D) 80 m

B) 125 m E) 120 m

C) 75 m

Nivel 2 Razonamiento y demostración 3. Halla la altura del árbol. Donde: • El ángulo de depresión del punto A es: b

42 Intelectum 3.°

Comunicación matemática 9. Dibuja según el enunciado. Desde lo alto de un poste se ve la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación a y desde lo alto del edificio se ve la base del poste con un ángulo de depresión b.

A) 53° D) 75°

B) 60° E) 45°

C) 30°

14. Un avión vuela en línea recta y horizontalmente a una altura de 2400 m, desde un punto en tierra es observado con un ángulo de elevación de 53°. Calcula la distancia entre dicho punto y el avión. A) 2600 m D) 5400 m 10. Completa el enunciado: El _____, es aquel ángulo obtenido en un _____ formado por la _____ y la _____ que parten de la vista del _____. A) Observador C) Ángulo vertical E) Línea visual

B) 3000 m E) 6000 m

15. Desde lo alto de una montaña de 120 m de altura, se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 32°. ¿A qué distancia de la base de la montaña se encuentra el objeto? A) 190,324 m D) 168,171 m

B) Línea horizontal D) Plano vertical

C) 4500 m

B) 192,04 m E) 120,32 m

C) 196,1642 m

16. Desde lo alto de un faro, se observa a un mismo lado; dos barcos anclados, con ángulos de depresión de 53° y 37°. Si los barcos están separados una distancia de 14 m, ¿cuál es la altura del faro?

Razonamiento y demostración 11. Halla la altura h del acantilado. Donde: • El ángulo de depresión del punto C al punto A es: b • El ángulo de depresión del punto C al punto B es: a

A) 16 m

B) 12 m

C) 24 m

D) 32 m

E) 8 m

17. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación a. Nos acercamos una distancia igual al doble de la altura del edificio y el ángulo de elevación es ahora b. Calcula: P = cota - cotb A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

Nivel 3 Comunicación matemática A)

d d B) C) d tan α cot β + cot α cot β - cot α tan β

D) d cos α cos β

18. Según el gráfico:

E) dsenα cos β

12. Halla la altura h del poste. Donde: • El ángulo de elevación del punto A es: 53° • El ángulo de depresión del punto A es: 37°/2 Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. Desde A se observa a C con un ángulo de depresión de 20°. II. Desde B se observa a A con un ángulo de depresión de 40°. III. Desde A se observa a B con un ángulo de elevación de 50°. A) 15 m

B) 6 m

C) 8 m

D) 12 m

E) 10 m

Resolución de problemas 13. ¿Cuál es la medida del ángulo de depresión con que se ve un objeto en tierra, desde una torre de 24 m de altura; si la visual trazada mide 48 m?

19. Dibuja según el enunciado: Desde un punto en tierra se observa la parte más alta de un faro, con un ángulo de elevación q. Si avanza “d” metros hacia el faro se observaría al punto anterior con un ángulo de elevación 2q y a otro punto que está “x” metros más abajo que el primero con un ángulo de elevación q.


43

24. Desde un punto en tierra A, ubicado a 5 m de un poste, se divisa su parte alta con un ángulo de elevación b y desde otro punto B, 4 m más cerca del poste que A (al mismo lado que A), el ángulo de elevación es 90° - b. Calcula cotb. A) 5 D) 5

B) 2 E) 2 5

C) 2

25. Desde lo alto de una torre se divisan dos puntos en tierra A y B con ángulos de depresión a y 90° - a respectivamente. Si A equidista de la torre y de B. Calcula cota.


A) 1

20. Halla: H = cotq + tanq Donde: • El ángulo de elevación del punto A es: q • El ángulo de elevación del punto B es: 90° - q

D) 2 E)

27. Desde un helicóptero que se encuentra a 30 3 m, sobre el nivel del mar; los ángulos de depresión de dos botes que están situados en la dirección sur del observador son de 15° y 75°. Halla la distancia que separa a los dos botes.

A) 37°

B) 53°

44 Intelectum 3.°

C) 53° 2

D) 45°

E) 16°

22. c 17. B

27. c 21. a 16. C

20. a

Nivel 3

10.

11. a 6. a

23. Desde un punto en tierra ubicado a 24 m de una torre de 18 m de altura; se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación q. ¿Cuál es el valor de q? (Aprox.)

19.

C) 150 m

14. b

B) 120 m E) 240 m

Nivel 2

A) 100 m D) 180 m

18.

22. Una colina está inclinada un ángulo a con respecto a la horizontal (tana = 0,4). Si desde su cumbre se divisa un punto del suelo con una depresión angular q (tanq = 2/9), calcula la altura de la colina si el punto observado se encuentra a 300 m de la base y fuera de la colina.

13. c


12. e

E) 13 m

8. a

D) 11 m

7. c

C) 15 m

Nivel 1 1. 2. 3. A 4. E 5. D

B) 12 m

C l a ve s

A) 10 m

26. a

C) 180 m

23. a

B) 140 m E) 120 m

9.

A) 100 m D) 110 m

21. Halla d. Donde: • El ángulo de depresión del niño es: 45° • El ángulo de elevación del perro al gato es: 37°

25. e

E) 3

C) 45°

15. b

C) 3 D) 2

B) 75° E) 37°

24. d

B) 4

2 2

26. Desde lo alto de una torre de 30 m se divisan dos objetos en tierra a 10 m y 30 m de su base con ciertos ángulos de depresión, a un mismo lado de él. ¿Cuál es la medida del ángulo formado por las visuales trazadas? A) 26,5° D) 15°

A) 5

C) 1 2

B) 2


Calcula la distancia entre los puntos P(5; 4) y Q(-4; -2).

A) 10 3

sistema cartesiano

B) 12

C) 13 D) 11

2

A) (2; 3) D) (4; 1)

E) 3 13

Halla las coordenadas del baricentro G(x; y) del triángulo ABC; si: A(5; 6); B(1; -4) y C(-3; 7).

Halla las coordenadas del punto medio del segmento MN, si: M(-2; 2) y N(8; -6).

4

B) (3; -2) E) (1; 4)

C) (-3; -2)

Halla x. (x; 3) 1

11 5 ` 3 ; 3j 2

(5;-1)

A) (1; 3) D) (4; 2) 5

B) (3; 2) E) (2; 3)

C) (2; 4)

Calcula el área de la región ABCDE. B(-3; 4)

y

A) 2 6

A(5; 6)

B) 3

C) 1

D) 5

E) 4

Calcula el área de la región triangular ABC. A(-1; 2)

y C(4; 1) x

S

x C(-2;-3)

D(-1;-7)

A) 86,5

B(3;-4)

E(5;-7)

B) 86,8

C) 80,5

D) 82,6

E) 87,7

A) 13

B) 11

C) 10

D) 14

E) 9


45

7

Halla m. m

3

Halla la distancia entre los puntos A(3; 3) y B(1; -3).

b5; 3 l 3 2

B(1;-3)

A) 2 9

8

A(3; 3)

B) 3

C) 1

D) 5

E) 4

A) 2

Halla el baricentro del triángulo PQR, de vértices: P(1; 1); Q(-4; 6) y R(0; 5).

B) 10 C)

5 D) 2 10 E) 3 10

10 Halla el área del trapecio ABCD. y D(2; 4)

C(4; 4) S

A

C) (-1; 4)

A) 12

11 Halla las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son: (–2; 3) y (6; –3).

A) (3; 2)

E) (-4; 3)

13 Si (- 1; 2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos, (- 3; - 1) y (a; b). Determina: a + b.

E) 7

9. C

D) 6

A) -3 B) -5 C) -7

7. C

C) 5

10. D

12. C 11. C

B) 4 14. C 13. D

Claves

46 Intelectum 3.°

D) (5; 3)

E) (- 3; 5)

14 En un triángulo ABC se sabe que A(3;5) y el baricentro es G(1;-3). Halla la suma de coordenadas del punto medio de BC.

8. D

A) 3

B) (- 7; 3) C) (3; 5)

5. A

D) (0; 2)

E) 20

D) 5

E) 7

3. A

C) (2; 0)

D) 16

1. E

B) (2; 1)

C) 14

12 Determina las coordenadas del baricentro del triángulo que se forma al unir los puntos A(-1; 5); B(3; 9) y C(7; 1).

6. A

A) (2; 3)

B) 18

4. B

B) (4; 1) E) (2; 3)

x

2. B

A) (1; 4) D) (3; 2)

B(6; 0)

Practiquemos Nivel 1 Comunicación matemática 1. Relaciona: I. Distancia entre los puntos A(x1; y1) y B(x2; y2).

II. Punto medio del segmento de extremos M(x1; y1) y N(x2; y2).

III. Coordenadas del baricentro de un triángulo de vértices A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3).

x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y3 ; n 3 3

c) P(x; y) = d

x1 + x 2 y1 + y 2 ; n 2 2

A) Ib - IIa - IIIc D) Ic - IIa - IIIb

B) Ia - IIb - IIIc E) Ia - IIc - IIIb

A) 13 D) 30

B) 15 E) 35

C) 26

6. Dados tres vértices de un paralelogramo A(3; -5); B(5; -3); C(-1; 3), determina el cuarto vértice D opuesto a B. A) (4; 2) D) (-3; 3)

B) (4; -2) E) (2; -1)

C) (-3; 1)

7. Halla la distancia entre los puntos A(1; 3) y B(-2; -4).

a) d = (x1 - x 2) 2 + (y1 - y 2) 2 b) G(x; y) = d

5. Se tiene una circunferencia de centro (- 3; 7) que pasa por (2; -5), determina su diámetro.

A) 57 B) 58 D) 5 E) 17

C) 48

8. Halla el mayor lado del cuadrilátero ABCD, siendo A(-5; 6), B(-2; 7), C(0; 1) y D(-3; 0). C) Ib - IIc - IIIa

2. Representa en el plano cartesiano lo siguiente: ▪▪ El conjunto de puntos P(x; y), tales que: 3 < y < 4 / -1 < x.

A) 10 B) 2 10 D) 4 10 E) 5 10

C) 3 10

Resolución de problemas 9. En la figura mostrada las coordenadas del punto P son (-6 3 ; 8); halla la distancia del baricentro de la región triangular MON al punto P. y

P

M N

▪▪ El conjunto de puntos P(x; y), tales que: x > y.

A) 4 3 D) 8

30°

B) 2 21 E) 2 2

O

x

C) 10

10. Los vértices de un cuadrado son: A(0, 0); B(b1; b2), C(3; 4) y D(d1; d2). Calcula el valor de: k = d1 . b1 + d2 . b2 A) -1 D) 2

B) 0 E) -2

C) 1

Nivel 2 Comunicación matemática Razonamiento matemático 3. Determina el radio vector de (2; - 3). A) 5 B) 11 C) 13 D) 17 E) 19 4. Determina el radio vector del punto medio del segmento formado al unir los puntos (3; 1) y (7; 9). A) 5 B) 2 5 D) 10 E) 15

C) 5 2

11. Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda y marca la alternativa correcta. I. Para calcular el baricentro de un triángulo es necesario tener un vértice como mínimo. II. El radio vector es la distancia de un punto a su ordenada. III. En el IC el producto de coordenadas de cualquier punto siempre es positivo (+). A) FVF

B) FFF

C) FFV

D) VFF

E) VVF


47

12. Compara las siguientes cantidades: M: El producto de coordenadas del punto medio del segmento AB que tiene como extremos: A(3; -2) y B(1; 4). N: El perímetro del triángulo equilátero, que tiene como dos de sus vértices. M(3; 1) y N(-1; 4). A) 2N = 15M D) 6M = N

B) 4N = 3M E) 15M = N

A) 60 B) 40 D) 12 3 E) 15 2

51 C) 61

53

15. Del punto A(0; -1) se traza un segmento al punto B(-4; 3). ¿Hasta qué punto es necesario prolongarlo en la misma dirección para que se triplique su longitud? B) (-12; 11) E) (-12; -9)

C) (12; -10)

16. Halla en el eje de abscisas un punto M cuya distancia hasta el punto N(2; -3) sea igual a 5. Indica una solución. A) (-3; 0) D) (6; 0)

B) (-1; 0) E) (3; 0)

C) (5; 0)

17. Si A(0; 0); B(2; 5) y C(4; -2) son vértices de un triángulo, halla la distancia del baricentro al punto medio de AC. A) 13 D) 3

A) (3; 5) D) (3; 2)

O

B) 1/2 E) 5

(5;-4)

B) (0; 6) E) (2; 3)

C) (1; 1)

Nivel 3

C) 20

14. Al unir los puntos A(- 5; 1), B(- 1; 7) y C(5; - 1). Se forma un triángulo ABC. Determina la longitud de la mediana AM, (M en BC).

A) (-10; 12) D) (10; -12)

2k N(-1; 6)

13. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (- 7; 3) y (- 1; - 5), determina su perímetro.

47 B) 57 E)

P(4; 11) 3k

C) 2N = 7M


A) D)

20. Halla el centro O de la circunferencia.

Comunicación matemática 21. A continuación coloca lo necesario en los recuadros para que la fórmula sea válida. Área de un triángulo Sea el triángulo de vértices A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3): Halla el área del triángulo:

x1 . y1 % x2 y2 & x1

(+)

x3 . y2 % x3 . y3 %

I

S=

|

-

&

.

. y3

y 1 & x 3 . y 1 D

|

2

22. Representa en el plano cartesiano lo siguiente: ▪▪ Los puntos P(x; y), tales que: x + y = 2

C) 2

18. Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (-1 + a; 1 - b) y B(3 - a; 5 + b). Halla las coordenadas del centro de dicha circunferencia. A) (3; 1) D) (3; 2)

B) (1; 1) E) (1; 3)

C) (2; 3)

▪▪ Los puntos Q(x; y) , tales que: x2 + y2 = 4

Resolución de problemas 19. En el gráfico, halla x + y B(-10; 6)

2k P(x; y)

A) 0 D) 3

B) -1 E) -2

48 Intelectum 3.°

k A(2; 3)

C) 2

(+)



23. En la figura, calcula el perímetro de la región triangular ABC. Si: y

30. Si G es baricentro del triángulo ABC y M es punto medio de AG.

B(10; 6)

y

A(-3; 3) M(a; b)

A (2; 0)

A) 26 D) 42

C (18; 0)

B) 36 E) 44

G

C) 34

B) 3

C) 4

D) 5

C(3;-2)

B(-3;-4)

24. Los vértices de un triángulo son A(1; 2), B(3; 6); C(- 1; 0). Calcula la longitud de la mediana relativa a AB. A) 2

x

x

E) 6

25. Del gráfico se deduce que el triángulo OBC es:

Halla el valor de: a + b A) 0

B) 3

C) -1 D) -2

E) 1

31. Del gráfico, halla el área sombreada. y

y

A r

B(9; 12) M O

x

C(25; 0)

A) Escaleno D) Isósceles

B) Rectángulo E) A y B

B

O

C) Acutángulo

x

Si: 2OM = OA = OB; AB diámetro. M = (1; 2) / B = (4; 2)

26. Los vértices de un cuadrado son A(0; -3); B(5; b2), C(3; 4), D(d1; d2). Calcula el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos B, P, D, Q donde P(d1; b2) y Q(5; d2). A) 58 D) 21

C

B) 29 E) 19,5

A) 8 - 2p D) 4 - p

B) 8 - p E) 8 + p

C) 4 - p

C) 25

27. En un trapecio isósceles ABCD ( BC//AD), donde A(0; 0) y C(6; 2), calcula el área de la región limitada por el trapecio, siendo la base menor BC paralela al eje de abscisas.


19. C 12. A 6. C

25. E

31. A 18. E 11. C 5. C

24. D

30. C

23. B Nivel 2 4. C

17. C

29. D 16. D 10. B

22.

28. C

3. c

C) (-3; -3)

15. B

B) (-1; -1) E) (0; 0)

2.

A) (-1; -3) D) (-3; -1)

14. C

29. Las coordenadas de un vértice de un triángulo es (-3; -7) y del baricentro es (-3; -3). Calcula las coordenadas del pie de la mediana respectiva.

9. B

C) 2 2

8. B

B) 4 E) 3 /2

1. E

A) 2 D) 3

13. B

x

O

7. B

M

C l a ve s

20. D

(4; 4)

21.

y

Nivel 3

28. Se presenta una circunferencia inscrita en un cuadrado. Calcula OM.

27. A

C) 16 26. D

B) 14 E) 28

Nivel 1

A) 12 D) 24

49

maraton ▪▪ Una persona colocada a la orilla del río ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de elevación de 60°, se aleja 20 m y el nuevo ángulo de elevación mide 30°. Halla la altura del árbol. (hpersona = 3 m )

Matemática

20 m

10 3 m

60°

30° 20 m

Resolución:

30°

Hárbol

hpersona

Hárbol = hpersona + 10 3 m Hárbol = 3 m + 10 3 m = 11 3 m ` Hárbol = 11 3 m

6. En la siguiente CT determina el área de la región sombreada en términos de b.

1. Simplifica la siguiente expresión: B = -1 +

1

1-

Si OE = EF

1 2 sen x 1+ (1 - senx) (1 + senx)

A) cot2x D) cos2x

senβ . cos β 2 - senβ # cos β B) 2 2 C) senbcosb 3 D) 3 senbcosb 2 E) -senbcosb

y

A)

B) sen2x E) tan2x

C) 1

2. U n alumno del colegio, observa los ojos de una chica con un ángulo de elevación “q”. Después de acercarse una distancia igual al doble de la diferencia de sus estaturas, el ángulo de elevación es de 90°. Calcula: M = (secq - 1)(secq + 1) A) 1 B) 1 C) 1 2 3 4 2 D) 1 E) 3

C

A β O

D

x

E

B

F

7. Halla el área del triángulo BDC. D

B

B) 30 3 cm2

3. Calcula el valor de: R = cos(tan(senp)) + tan ecos dcos c 3π mno 2 A) tan1° + 1 B) tan1° C) 1 D) 1 - tan1° E) 2tan1°

C) 45 3 cm2

30°

53°

A 30 cm

4. Del siguiente gráfico, halla el valor de: P = cot2q - 1

A) 18 3 cm2

D) 72 3 cm2 C

E) 36 3 cm2

8. Calcula ST, si PR = 48 cm.

y θ 60°

Q

x

B) 18 cm

C) 32 cm

T

P

S

A) 4 + 2 3

B) 3 + 2 3

D) 1 + 2 3

E) 4 - 2 3 cot x

5. Si: 22cotx - 2 = _ 2 i

50

R

D) 24 cm E) 16 cm

9. Un avión que está por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje, cuya extensión es H, siendo H la altura a la que se encuentra. Si ve el extremo más alejado con un ángulo de depresión de 53°/2, calcula con qué ángulo observa el otro extremo.

y x ! IC

Intelectum 3.°

30°

C) 3 - 2 3

Halla el valor de: A = 2senx + cosx A) 2 B) 4 C) 3 5 5 5

A) 20 cm

D) 1

E) 2

A) 53° D) 60°

B) 37° E) 30°

C) 45°

Unidad 3

Recuerda René Descartes (1596-165O) Filósofo y matemático francés nacido en Haye y fallecido en Estocolmo. Descartes usó su nombre latinizado: Renatus Cartesius. Esta es la causa de que su sistema más emblemático se llame cartesiano y que es el sistema más corriente sobre el que se trazan curvas que representan ecuaciones (inventado por él), también hoy conocido como plano cartesiano. Descartes contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas. Se interesó especialmente en esta materia cuando estuvo en el ejército, ya que la inactividad de que gozó le dejaba mucho tiempo para pensar. Posteriormente sus investigaciones se dirigieron a la consecución de una regla para la construcción de las raíces de cualquier ecuación cúbica o cuártica por medio de una parábola. No está claro si ya había descubierto su geometría analítica para el año 1628, pero hay evidencia que demuestran que la invención de la geometría cartesiana no puede ser posterior a esta fecha. Su obra matemática fundamental es La Géometrie cuyo estudio permitió conocer la geometría analítica a sus contemporáneos.

Reflexióna • Cuando las expectativas no son claras y compartidas, la gente empieza a verse envuelta emocionalmente, y las incomprensiones se multiplican originando colisiones y fracturas en la comunicación. • La veracidad consiste en decir la verdad; en otros términos, en adecuar nuestras palabras a la realidad. La integridad consiste en adecuar la realidad a nuestras palabras; en otros términos, mantener las promesas y satisfacer las expectativas. • Poseer la confianza de alguien es más que poseer su amor.

¡Razona...! Si dos puntos determinan un segmento simple, ¿cuántos segmentos simples como mínimo se deberán retirar, para que no quede ningún triángulo?

A) 7

B) 1

C) 3

D) 4

E) 8


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN CUALQUIER MAGNITUD

Un punto del lado final de un ángulo a, en posición normal, es (-5; 12). Calcula: M = sec α + tan α senα + cos α

2

Del siguiente gráfico, halla el valor de: K = senα + cos α tan α y M A (-6; 0)

A) 13/7 D) -65/7 3

4

6

C) 3/20

Dos ángulos coterminales están en relación de 1 a 7. Halla la suma de los ángulos, si el mayor de ellos se encuentra en el intervalo G900°; 1300°H.

B) 1260° E) 1640°

C) 840°

Dado el gráfico, halla: K = cota - tana y

A(-2a; 2a)

D

E

2a

M B -2a

A) ^ 5 + 3h /2 B) ^6 + 5 h /4 C) ^3 - 5 h /2 D) ^6 - 5 h /4 E) 1/2

B) 4/15 E) 3/10

A) 1440° D) 960°

B) (+)(-) C) (-) (-) E) no se puede precisar

Si: cotb = 1 ; b ! IIIC 2 Halla el valor de: 1 + cos β R = 1 - cos β

x

α

A) -3/20 D) -4/15

C) 25/7

Si: q = 1° + 2° + 3° + ... + n°, n ! Z+ - {1} Halla el signo de senq y tanq; si n = 26°

A) (+) (+) D) (-)(+) 5

B) -25/7 E) 65/7

B (0; 8)

A) 2/3 D) -5/6

α

C 0

x

B) 5/6 E) 3/2

C) -2/3


53

7

Si: q ! ]80°; 100°] Da el signo de: P = tan θ . cos θ 2 4

8

Si: tana = 1 / a ! IIIC 3 Halla: P = 3seca - csca

J = sec 3θ - csc θ 2

A) (+); (+) D) (-); (+) 9

A) 0 D) 3

B) (+); (-) C) (-); (-) E) No se puede precisar

Halla a y q si son cuadrantales y positivos y menores que una vuelta. cosα + 1 + - 1 - cosα = 1 - senθ

A) 180° y 270° D) 270° y 0°

B) 180° y 90° E) 90° y 0°

C) 2

10 Si: 1 - cos2q = 1/4 / q ! G180°; 270°H Calcula el valor de: A = sec2q + 1

C) 90° y 270°

A) 3/4 D) -7/3

B) - 3/4 C) -3/4 E) 7/3

12 Calcula: M = sen720° + cos 2160° sen1530° - tan1440°

11 Dado el gráfico, halla: a2 + b2 cos θ. cot θ.b

A =

B) 1 E) 4

y P(-a; b) θ

x

A) 1 D) b

B) a E) -b

13 Determina el signo de las expresiones; si a ! IIC y b ! IIIC.

C) 4

14 Si: tan2q = 1 / q ! U270°; 360°Q 4 Calcula: R = 2secq + cscq

tan β - senβ csc ` α j sen` α j 2 2

6. b 5. c

8. a 7. b

10. e 9. b

12. d 11. b

14. d 13. c

Claves

54 Intelectum 3.°

B) 2 E) - 5

C)

5

3. c

A) 1 D) 0

B) (-) ; (+) C) (+) ; (+) E) No se puede precisar

4. a

A) (+) ; (-) D) (-) ; (-)

1. D

N =

senα cos β tan α csc α + cot β

B) -3 E) -2

2. a

M =

A) 2 D) 1

C) -a

Practiquemos NIVEL 1 Comunicación matemática 1. En el siguiente cuadro completa según corresponda: m+

RT

13 13 D) - 13 E) 2 13 13 13 A) 13

sen + cos sen - cos

sec + 1

B)

C) - 13

8. De la figura, calcula: tanacotb y

csc - 1 cos + sec

0°

α

90°

x

β

180° 270°

(-2a; -3a)

2. Completa (+) positivo o (-) negativo según corresponda el signo de cada expresión. ▪ ▪ ▪ ▪

Si q ! IIIC & senq + cosq Si q ! IVC & cosq - tanq Si q ! IIC & senq . cosq Si q ! IC & (senq - 1) (senq + 1)

( ( ( (

) ) ) )

(b; -4b)

A) - 3 B) - 2 C) - 8 D) - 3 E) - 3 2 3 3 8 9. Del gráfico calcula: 2tana + 3tanb

x

Razonamiento y demostración 3. Si el punto P(8; -15) pertenece al lado final del ángulo canónico b, calcula: L = 2senb - 1 cosb 2 A) 1

B) - 1

C) 2

4. Calcula: csca + cosb

α β

(-3; -4)

B) -1

D) 4

y

E) 5 β

B) IIC E) Faltan datos

A)1

(-8; 1 - a)

C) 11

7. Si: 3tanq + 2 = cos90°; q ! IIC.

B) 3/2

C) 2/3

D) 2/5

E) 5/2

NIVEL 2

y

(1 + a; 3)

x 45°

C) IIIC

6. De la figura, calcula: a - 8tanq

Calcula: E = senq + cosq

E) 0

11. En el gráfico halla el valor de: R = tanb + cotb

C) 3

B) 0

D) -5

A) -4/7 B) -3/4 C) -4/3 D) -5/7 E) -4/5

x

senq < 0 y tanq > 0

A) -1

C) 5


5. En qué cuadrante se encuentra q si: A) IC D) IVC

(1-a; -2)

10. Se tiene un cuadrado ABCD tal que A ! x; B ! y ; C y D ! IIC. Además la medida del ángulo BAO es 37°. Halla la tangente del ángulo en posición normal que tiene un punto del lado final en el segmento que une el punto D y el origen de coordenadas.

y

B) 2

A) 1

D) - 2 E) - 4

(-12; 5)

A) 1

(a; -3)

Comunicación matemática θ

12. Relaciona mediante líneas los ángulos que son coterminales respectivamente:

x

D) 8

E) 1

135°

878°

310°

274°

158°

2655°

1496°

1390°

2074°

56°


55

13. Coloca (V) verdadero o (F) falso según corresponda. Luego marca la alternativa correcta. I. sen1134° . cos148° < 0 II. tan576° . sec220° > 0 III. 2sen90° + 2sec180° = 0 IV. 3sen270° + 4sec360° < 0 A) FVFV D) VFVF

B) VFFF E) FFVF

( ( ( (

C) VFVV

) ) ) )

19. Si: csc2q = 4 y q ! IIIC. Calcula: M=

csc θ sec θ + 2 cot θ

A) -2

C) - 3 D) 3 E) 2 2

B) 2

20. De la figura, calcula sena, sabiendo que: tana + tanb = - 6

y

Razonamiento y demostración 14. De acuerdo al gráfico, calcula cosq. (-3; 2)

α

2 B) 11 D) - 3 E) 11

A) x

2 C) 11 2 3

3 11

10 B) 3 10 C) - 10 10 10 10

D) - 3 10 E) - 10 10 5 21. Del gráfico, calcula: tanq. y

(3; 1)

15. De acuerdo al gráfico, calcula senq.

y

x

θ

x

θ

A) 1 B) - 1 3 3 D) -3 E) - 3 5

(-3; -2)

A) - 2 B) - 2 C) - 3 3 5 5 D) - 2 E) - 3 13 13 16. Si: 8tanq+ 1 = 4 Además: cosq > 0, calcula: senq A)

1 B) - 1 C) - 3 10 10 10

D)

3 E) 10

2 10

17. Si: sena > 0; cosa < 0, determina el signo de la expresión: P = (tana + cota) sena A) + B) - C) + o - D) + y - 18. Del gráfico, calcula: 1 - senq

E) FD

22. Se tiene un cuadrado ABCD, tal que C y D pertenecen al eje y, A y B pertenecen al IIIC. Además el ángulo formado por el eje x y el segmento que une el vértice A y el origen de coordenadas es 37°. Halla la tangente del ángulo en posición normal que tiene un punto de su lado final en el segmento que se origina al unir el origen de coordenadas y el punto medio de BC. A) 3/4

B) 7/2

C) 4/3

A) 1560° D) 1200°

B) 1440° E) 1800°

24. Compara las siguientes cantidades: M `2sen π - 3 cos πj 2

2

56 Intelectum 3.°

C) 1320°


D) 1,5

E) 1,8

E) 1/2

23. Dos ángulos coterminales están en relación de 2 a 11. Si el ángulo mayor es dividido por 10 se convierte en el suplemento del ángulo menor dividido entre 5. Halla la suma de ambos.

(-3; -4)

C) 1,2

D) 2/7

NIVEL 3

y

x

B) 0,8

C) 3


θ

A) 0,2

x

β

y

θ

A)

3

N

4sen3 3π + 3sec2p + (2sec2p)4 2

A) 2M = 3N D) 5M = 3N

B) 3M = 5N E) 2M = 5N

y

C) 4M = 3N

α

25. De las siguientes proposiciones: I. Si q ! IIC & senqtan q > 0 II. Si q ! IIIC & cosqcotq + senq < 0 III. Si q ! IIC & cos(-q)tan(-q) > 0 IV. Si q ! IVC & sen(-q)sec(-q) > 0 Son falsas: A) Solo I D) II y III

B) Solo IV E) I; II y III

A) 1 D) -1

B) 0 E) 3

C) I y III

33. De la figura, calcula: senq

3 senθ + 2 cos θ

A) 5 B) - 5 D) - 2 5 E) - 3

Calcula:

1 4+

4+

1 5 +2

D)

10 E) 10 5 10

34. En el siguiente gráfico: m+OAB = 60° y

Calcula: C =

3

θ

x

R B

A) + B) - C) + ó - D) + y -

=

O

A

28. Si: senα cos α < 0 Determina el signo de la expresión: cos α P= senα + tan α

cosβ - 1

x

A) 1 B) 1 C) 1 2 3 6

1

A) -2 B) -3 C) -6 D) - 3 E) - 6

^tanαh

θ

9

C) 2 5

5 cscq, sabiendo que q ! IIIC.

29. Sabiendo que:

y

1

2

26. Si: 4tan θ = 8 y q ! IIIC; calcula:

27. Si: tanq - 2 =

C) 2


Razonamiento y demostración E=

x

β

3

E) FD

Halla el valor aproximado de: M = senqcosq A) 1/2 D) 1/4

B) 1/3 E) 2

D) 2/3

cot2α y b " IIIC.

2 tanb + secb

A) - 7 B) - 5 C) - 3

D) 5

E) 7

30. Si el punto P(-5; 12) pertenece al lado final del ángulo canónico q, calcula: L = 5senq - cosq A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

31. Si: 2tanq + 2 = 3cotf + 3 Además: q ! IIC y f ! IVC Calcula: A) - 1 5

2 cosqcosf B) - 2 C) - 3 5 5

32. De la figura, calcula: E = tan α + cosa - cosb tan β

D) - 4 E) -1 5

C l a ve s Nivel 1 1. 2. 3. d 4. b 5. C 6. e 7. d

8. D 9. A 10. a 11. e Nivel 2 12. 13. d

14. d 15. d 16. b 17. b 18. e 19. c 20. d 21. d

22. b

28. b

23. a

29. A

Nivel 3

30. e

24. b

31. c

25. c

32. a

26. b

33. e

27. e

34. d


57


REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Calcula: P = cos 330°cot 300°csc135° sec 315°sen300°tan330°

A) 0 D) 3 3

B) 1 E) 1 2

2

C) –1

Calcula: K = sen390° - tan2280° cos1560°

Si a y q son complementarios, reduce: sen^ α + 2θh tan ^2α + 3θh M = cos ^2α + θh tan ^4α + 3θh

A) 1 D) sena 4

B) 2 E) sen2q

C) 3

Calcula: P = sen1920°[sen(-60°) - cos(-45°)]

A) 3 + 6 B) 6 C) - 6 4 4 4 A) 1 + 2 3 B) - 1 + 2 3 C)1 - 2 3 D) - 1 - 2 3 E) 2 3 5

Simplifica:

D) 6

R = sen140° + cos 50° cos130°

6 E) - 3 - 6 2 4

Calcula: E = 7 sen 40° + 3 cos 50° sen140°

A) -2 D) -2 tan40°

58 Intelectum 3.°

B) 2 E) 2cot50°

C) 2tan40°

A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

Calcula el valor de: S = 15 + 10 2sen150°

C) 2

C) sen3a

C) 2

A) 2 D) -1

C) -1

B) 1 E) 3

C) -2

14 Calcula el valor de: sen77 π tan 56 π sec 33 π 3 6 4 M = π π π cos 11 csc 44 cot 77 4 3 6

C) a2

A) 1/2 D) -3/2

B) -1/2 E) 1 6. e 5. a

10. E

8. d

9. e

7. a

C) 3/2

Claves

B) a-4 E) a

B) 2 E) 0

12 Halla: sen (240° - x) + cos (210° + x) Q = cos (30° + x)

13 Si cos10° = a, a que es igual: E = sen170° cos 190° cos 350° cos 280° csc 100° csc 260°

A) a4 D) a-2

A) 1 D) -2

3. D

B) -1 E) - 2

C) 2

cos c 3π + x m tan ^2π + xh 2 A = sen^- xh tan ^- xh

11 Simplifica: sen (4π - x) cos (- x) . tan6p P = + sen (- x) cos (5π - x)

A) 1 D) 0

B) 4 E) 1

10 Simplifica:

Simplifica: sen (π - α) cos ( π + α) tan (π - α) 2 π π cot ( - α) sec ( + α) csc (π - α) 2 2

A) sen4a B) -cos4a D) cos3a E) -sen4a

A) 5 D) 3

4. e

9

B) 3 E) 6

Halla: A = 3 24 + 3 (tan 600°)

1. C

A) 5 D) 4

8

2. a

7


59

12. c 11. d

14. b 13. a

Practiquemos 4. Calcula:

NIVEL 1

L = tan2310°sen1935°


A)

1. Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un gran matemático. a. Ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. b. Tipo de ángulo cuya medida es menor a 90° y mayor a 0°. c. Hipotenusa entre cateto adyacente. d. Ángulo cuya suma de medidas es 180°. e. Sistema de medición ángular en que su unidad de medida es el radián. f. Ángulo en posición normal, cuyo lado final coincide con un semieje del plano cartesiano. g. Segunda letra del alfabeto griego. h. Cateto adyacente entre hipotenusa.

6 B) - 6 C) 6 3 3 6

D) - 6 E) - 6 6 5. Calcula: C = sen2640° cos 3120° A)

3 B) - 3 C)

3 2

D) - 3 E) 3 2 4 6. Calcula: C = sen135°cos217°tan307° A) 8 2 15

B) - 8 2 C) 4 2 15 15

D) - 4 2 E) - 3 2 15 10

a" b"

7. Calcula: L = tan 150°sen120° cos 225°

c" d" e"

A)

f"

2 B) 3 2 C) - 3 2 4 4 4

D) - 2 E) 2 4 2

g" h"

8. Calcula:


L = tan(-120°)cos(-300°) 3 B) - 3 C) 3 2 2 3 - 3 D) - E) 2

tan180°

4/3

A)

tan233°

-4/3

9. Calcula: C = sen(-45°)tan(-60°)cos(-30°)

tan127°

0

A)

2 B) - 3 C) 3 2 4 4 4

D) - 3 2 E) - 3 4 4

Razonamiento y demostración 3. Calcula: C = sen150° . cos240° A) 1 B) - 1 C) 1 2 2 4 D) - 1 E) - 3 4 4

60 Intelectum 3.°

10. Calcula: L = sen112° + cos 132° + tan 310° sen68° cos 48° tan 50° A) 1

B) 3

D) - 1

E) 0

C) - 3

16. Reduce:

NIVEL 2

tan ^x - 270°h C= cot ^x - 180°h

Comunicación matemática 11. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

A) 1

I. tan ` π + αj = - cota 2

( )

II. cos(2p - a) = cosa

( )

III. sen c 3π - α m = cosa 2

( )

D) - tan2x E) - cot2x

17. Reduce: C = sen(270° + x) sec(180° + x) tan(90° + x)

12. Relaciona según corresponda: sen(p + a)

C) tan2x

B) - 1

A) tanx

B) -tanx

D) -cotx

E) cosx

C) cotx

sena 18. Reduce:

sen(p - a)

-sena

J=

sen _180° + xi tan _270° - xi cot _360° - xi

A) senx

C) tan2x

B) -tanx

D) -tan2x E) -senx sen ` π + αj 2

cosa 19. Reduce:


A) 1

13. Reduce: L = sen140° cos 200° tan160° sen320° cos 340° tan200°

D) - 1 E) - 2 2

sen _180° - xi cos _180° + xi + sen _- xi cos _- xi

A) 1

6 B) - 6 C)

6 6

D) - 6 E) - 6 6 3

D) -cotx

E) cosx

C) 0

NIVEL 3 Comunicación matemática 21. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

15. Reduce: J = sen(x - 270°) sec(x - 180°) B) -1

B) 2

D) -1 E) -2

L = sen121 π cos 97 π sec 77 π 4 3 6

A) 1

C) 2

20. Reduce: J=

14. Calcula:

A)

B) 0

D) -2 E) -1

B) -1 C) 1 2

A) 1

sen _90° + xi sen _360° - xi + cos _180° - xi cos _270° - xi

C=

C) tanx

I. senx + sen(-x) = 0

( )

II. cosx - cos(-x) = 0

( )

III. tanx + tan(-x) = 0

( )


61

22. Observa la gráfica y luego completa.

28. Reduce:

y

45°

θ

x

C=

sen _ α - βi cos _ β - θi tan _ θ - αi + + sen _ β - αi cos _ θ - βi tan _ α - θi

A) 1

B) -1

D) - 3

E) 0

C) 3

29. Si sen20° = n, halla: tanq =

C = sen200°tan340°cos160°

senq =

A) n2 B) -n2 C)

cotq =

2 2 D) - n 2 E) n2 - 1 1-n n +1

Razonamiento y demostración 23. Reduce: J=

n2 1 - n2

30. Si tan10° = n, halla: L = tan190°sen170°cos350°

sen^π + xh cos ` π + xj 2 sec c 3π + x m 2

A) senx

B) - senx

D) - sen3x

E) sen2x

A) n2 C) sen3x

D)

n2 1 + n2

2 C) n +2 1 n

B) n2 + 1 E)

n2 1 - n2

24. Reduce:

C = tan(p - x)tan c 3π - x m sen ` π + xj 2 2

J = sen^ A + Bh + tan ^B + Ch + cos ^C + Ah senC

tan A

A) 1

B) 3

D) - 3

E) 0

62 Intelectum 3.°

cosB

C) -1

19. B 12. 6. A

25. B

30. D 18. A 11. 5. B

24. D

29. B

23. C 17. D Nivel 2 4. D

22.

21.

16. B

28. B

27. C Nivel 3

10. D

27. En un triángulo ABC, calcula:

3. D

D) - cscx E) - cotx

15. B

C) cscx

14. D

A) secx B) - secx

9. c

C l a ve s

D) - cotx E) - 1 26. Reduce: tan `2001 π - xj sec ^2002π - xh 2 C= tan `2003 π - xj 2

2.

C) cotx

1.

B) - tanx

20. B

A) tanx

26. B

25. Reduce: sen`231 π + xj . tan ^125π + xh 2 J= cos ^132π - xh

13. B

E) 1

8. C

D) - cosx

C) - senx

7. E

B) cosx

Nivel 1

A) senx


Identidades trigonométricas

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: (secx + tanx - 1)(1 + secx - tanx) = 2 tanx

2

Si: senq + cscq = m senq - cscq = n Halla el valor de: m2 - n2

A) 1 D) 0 3

1 1 + = 25 1 + cos β 1 - cos β 8 Halla el valor de b.

Si:

A) 5/4 D) 3 5

B) 4/3 E) 2

4

C) 5/3

Si: senqcosq = 1 9 Halla el valor de: P =

3

A) 1 D) -1

B) 2 E) 3

C) 4

Efectúa: 3 3 M = sen x - cos x + senx . cosx cos x - senx

A) 0 B) 1 D) -1 E) -1/2 6

C) 2

Si: cosq = K - senq Halla: A = senqcosq

sec2 θ + csc2 θ - 1

B) 0 E) 2

C) 3

A) k2 - 1 2

D) k - 1 2

B) k2 + 1 E) 1 - k 2

C) 1 - k2

2


63

4 4 R = cos α - sen α + sena senα - cos α

8

A) secx D) 2senx

A) sena B) - sena C) -cosa D) cosa E) 0 Si: msecx = cosx ncscx = senx Halla: m + n

10 Simplifica: P = `tan x +

C) 4

4 + x2

A) secxsenx D) senxcosx

A) 3 D) 6

C) 2tanq

C) tanxcosx

B) 4 E) 8

C) 5

14 Calcula R en la siguiente igualdad: cot2x - cos2x = cot2x . R

A) 1 + 1 = 1 B) 12 + 12 = 12 m n p m n p C) 12 + 12 = 12 D) m2 + n2 = p2 n p m E) 12 + 12 = 12 m p n

B) cos2x E) 1

A) cosx D) sen2x

5. E

13 Elimina a de la siguiente igualdad: p m = n = senα cos α senα cos α

8. E 7. C

10. E 9. B

12. B 11. E

14. B 13. B

Claves

64 Intelectum 3.°

B) secxtanx E) secxcscx

12 Si: tana + cota = a tana - cota = b Halla: a2 - b2

6. D

B) 2cosq E) 2|secq|

cos x cot x + senx j 1 + senx j` 1 + cos x

C) senx

3. A

A) 2secq D) 3|secq|

C) cotx

4. D

A) 2 B) 1 D) 2 E) 3 11 Si x = 2tanq, calcula:

B) tanx E) 2secx

1.

9

Simplifica: 1 1 P= + sec x + tan x sec x - tan x

2. C

7

Practiquemos NIVEL 1 Comunicación matemática 1. A continuación se presenta una lista de identidades trigonométricas. Clasifícalas según el tipo al que pertenecen en el cuadro inferior. A. 1 + tan2x = sec2x B. tanx = senx cos x 2

Identidades recíprocas Identidades por cociente Identidades pitagóricas

A-

Identidades auxiliares

2. De las siguientes igualdades: I. sena = 1 csc α II. cos2a = (1 + sena)(1 - sena) III. tana = csc α sec α IV. sen2a = (1 + cosa)(1 + cosa) V. cota = csc α sec α Son falsas: B) Solo III E) IV y V

C) I y III

Razonamiento y demostración 3. Reduce: 2 2 T = sen α - cos α + cos α senα + cos α A) sena D) 1

B) cosa E) 2

4. Reduce: S = sec θ - cos θ tan θ A) senq B) cosq D) cscq E) 1 5. Efectúa: V = 1 + cos θ + senθ senθ 1 + cos θ

C) 0

C) secq

C) 2tanq

A) 1 D) cotq

B) 0 E) 2senq

C) tanq

L = 2 csc θ + cos θ 2 sec θ + senθ B) tanq E) 2cotq

II. cosb = C) cotq

B) senxcosx D) secxcscx

B) senx E) cscx

C) cosx

)(1 -

)

S = (secx + tanx)(1 - senx) B) senx E) secx

)(1+

)

I. 1 + tan2x = Asec2x

II. sen4x - cos4x = 1 - Bcos2x

III. (1 - senx - Dcosx)2 = 2(C - senx) 2

C) tanx

(1 - cosx)

IV. sen4x + cos4x = 1 + Esen xcos2x Halla el valor de: A + B + C + D + E A) 2 D) 5

10. Reducir:

B) 4 E) 3

C) 7

Razonamiento y demostración 15. Reduce:

Resolución de problemas 11. Si: tan θ tan θ tan θ ...

Halla el equivalente de:

2 A = sec2x + 1 - tan2 x 1 - cot x

A) 1 D) cos2x

B) 0 E) tan2x

C) sen2x

16. Reduce:

M = cot2asen2a + tan2acos2a

K = sec θ + 3 tan θ + 2 csc θ + 2 cot θ + 3

A) 0 D) 6

B) a2 + 1 D) a2

A) 1/a C) a2 - 1 E) a

III. tan2x= -(1 +

14. De las siguientes identidades trigonométricas:

9. Reduce: E = (tanx + cotx)cosx

a=

1

V. (1+senx+cosx)2 = 2(1+

2 x + sen2 x I = cos 2 csc x - 1 sec2 x - 1

A) 1 C) sen2xcos2x E) sec2xcsc2x

csca

IV. sen6q + cos6q = 1 - 3sen2q

8. Señala el equivalente de:

A) cosx D) cotx

13. En los espacios completa las razones trigonométricas que corresponden para que se cumplan las igualdades. I. tana =

A) 1 D) 2tanq

A) 1 D) secx

NIVEL 2 Comunicación matemática

C = (1 - sen2q)tanq - senqcosq

2

H. tanxcotx = 1 I. sen2x = 1 - cos2x J. sec2x + csc2x = sec2xcsc2x

B) 2 E) 2cscq

6. Simplifica:

7. Reduce:

C. 1 + cot x = csc x D. sen4x - cos4x = sen2x - cos2x E. tanx + cotx = secxcscx F. cosxsecx = 1 G. cotx = cos x senx

A) Solo II D) III y IV

A) 2secq D) 2cotq

B) 1 E) 3

C) 4

4 17. Efectúa: E = 1 - tan2 x 1 - tan x

A) 1 B) 0 C) csc2x 12. Si: D) sen2x E) sec2x (3senx + cosx)2 + (senx + 3cosx)2 = a - bsenxcosx 18. Efectúa: Calcula el valor de: M = a + b A = 1 + cos x - csc x ; (x: agudo) 2 1 - cos x A) -2 D) 1/2

B) 2 E)

C) -1

A) cotx D) cotx

B) 0 E) 2

C) tanx


65

27. Efectúa: 4 4 H = sen2 x - cos2 x sen x - cos x

Marca la alternativa correcta:

66 Intelectum 3.°

36. A 29. E 22. E 14. E

28. C 21. E

34. B

35. D 27. B

20. E

33. C

25. C

19. B

26. C

7. C

( ) 33. Si tanq + cotq = 7 , calcula: ( ) L = sec2q + cot2q ( ) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

13.

B) ab = 1 D) a2 + b2 = 2

6. B

( )

A) a = b C) a2 + b2 = 1 E) a2b2 = 2

Nivel 2

32. Elimina q si senq = a y cosq = b.

25. Completa (V) verdadero o (F) falso, según corresponda. I. (seca + tana)(seca - tana) = 1 II. 2sen2a - 1 = (sena + cosa)(sena - cosa) III. 1 - 2cos2a = 2sen2a - 1 IV. sen4x - cos4x = 1 - cos2x

C) 16

5. E


B) 26 E) 18

C) 2

18. D

A) 24 D) 14

NIVEL 3

B) 3/2 E) 3

12. C

Calcula: M = 15cotq + 17cosq

C) 0

A) 5 D) 4

4. A

B) 3 E) 5

Halla el valor de: E = sec x csc x - cot x senx

3. A

A) 2 D) 4

tan x + tan x + ...

32. C

28. Reduce: E = cos α + tan α - sec2 α 23. Elimina x; y; z de las siguientes senα cos α expresiones: A) seca B) tana C) csca asenx - bsenz = 0 D) 0 E) 1 ccoty - dsenx = 0 etany - fcosz = 0 29. Si: sena + cosa = 2 3 Calcula: E = -18senacosa A) abd cef A) 4 B) 3 C) 1 B) a + c + e = b + d + f D) 6 E) 5 C) a2 + b2 + c2 = d2 + b2 + f2 D) ace = bdf 30. Halla A + B, si: E) ace = b + d + f (senx + cosx)2 = A + Bsenxcosx 24. De la siguiente igualdad: A) 4 B) 2 C) 5 sen6x - cos6x D) 6 E) 3 = (1 - Acos2x)(1 - Bsen2xcos2x) Halla el valor de: A + B 31. Si: secq + tanq = 4

tan x +

24. B


2=

11. E

C) 2

2. D

B) 1 E) 3

C) 0 y 1

36. Si:

31. C

A) 0 D) -2

B) 2 y 1 E) 1 y 1

Nivel 3

C) 7

A) -1 y 2 D) 1 y 2

17. E

B) 9 E) 11

Halla A y B para que ambas expresiones sean una identidad.

10. A

22. Si: tanq – cotq = 3 Calcula: C = tan2q + cot2q A) 6 D) 8


1 + senx + cos x 2 = (1+senx)(1+ cosx) m B

30. E

C) 2sen q

c

1 - senx cos x sen4 x - cos4 x = Asenx 1 - cot x me sen3 x + cos3 x o

23. D

B) sen q E) 2cos2q

c

16. B

A) 1 D) cos2q

2

B) M = N D) M + N = 90

C) sec2x

35. Si:

15. A

21. Simplifica: L = [(1 - cos2q)cotq + senqcosq]cotq

A) M > N C) M < N E) M + N = 75°

3

9. E

(senα + cos α) 2 - 1 = cos α

B) sen2x E) cos2x


N El ángulo agudo q en:

C) - 2

2

M El ángulo agudo q en:

A) csc2x D) 1

8. A

E) 1

26. A continuación, compara las siguientes expresiones.

34. Halla C en la igualdad: 1 + 1 = 1 + 1 cos2 x tan2 x C cot2 x

1.

D) 1 2

C) VVVF

C l a ve s

B) 3

B) VFVV E) FVVF

sen3cosq + senqcos3q = tanq

20. Si: cosx + tanx = 1 Calcula: R = cscx + cotx + tanx A) 2

A) VFVF D) VVFF

Nivel 1

19. Reduce: ^1 - cos αh^1 + sec αh T= tan α A) cosa B) sena C) tana D) cota E) seca

Matemática ▪▪ Se tienen las siguientes igualdades:

1 M= sec θ + csc θ - sec θ . csc θ 1 N= sec θ + csc θ + sec θ . csc θ

Además se cumple: M + N = asenq - bcosq Halla el valor de: 2a - b Resolución 1 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 1 cos θ senθ cos θ . senθ cos θ senθ senθ . cos θ

M+N =

senθ . cos θ (senθ + cos θ + 1 + senθ + cos θ - 1) (senθ + cos θ) 2 - 1 2

asenq - bcosq =

senθ . cos θ . 2 (senθ + cos θ) (sen 2 θ + cos 2 θ + 2senθ cos θ - 1)

asenq - bcosq =

2 . senθ . cos θ (senθ + cos θ) 1 + 2senθ . cos θ - 1

asenq - bcosq =

2 . senθ . cos θ (senθ + cos θ) 2 senθ . cos θ

Luego tenemos:

De la suma: M+N =

asenq - bcosq =

senθ . cos θ + senθ . cos θ senθ + cos θ - 1 senθ + cos θ + 1

y

` 2a - b = 2(1) - (-1)

5. Resuelve la siguiente expresión:

P = (1 + 2tan2a)(1 + 2sec2atan2a) + tan8a

A) tan8a D) sec8a

(-4; 2) x

α

A) 1 2 D) 2

& a = 1 / b = -1 2a - b = 2 + 1

sec 2 α - 1

1. Del siguiente gráfico, calcula: k =

asenq - bcosq = (1)senq - (-1)cosq

B) 1 E) 1 4

C) 4

2. Del siguiente gráfico, m+BAC = 53° y AD = 2DC. Halla el valor de tanx. B

D

A) 4 B) 3 3 4 1 D) 4 E) 2

x

C

A) 3 B) 1 C) - 1 2 4 2 3 2 D) E) 4 2 7. Indica el equivalente de: R = c cos x - 1 mc senx + 1 m 1 - senx cot x 1 + cos x tan x Si x ! [0; p/2H

B) sen2x

D) sen2xcos2x

E) 1

(0; 2)

C) cos2x

4. Halla la medida del mayor de dos ángulos coterminales sabiendo que el mayor es al menor como 5 es a 2 y que la suma es mayor que 1050°; pero menor que 1800°. A) 1200°

B) 3600°

C) tanxsecx

y

C) 2

cos 4 x + sen 4 x + 3sen 2 x cos 2 x 1 + tan 2 x 1 + cot 2 x

A) 2

B) cscx E) cotxcscx

8. Del gráfico, calcula al valor de tanq; si el área del triángulo sombreado es 4 u2.

3. Simplifica la siguiente expresión: A=

C) tan8a - sec8a

6. Si: 2sen2x = 4cos2x - 5senx Halla el valor de: senx

A) secx D) secxcscx A

B) 1 E) sec8a - tan8a

C) 7240° D) 1500° E) 1300°

(-2; 0)

θ

x

A) - 1 B) 2 C) - 2 2 2 2 D) 1 E) 1 2 4 9. Simplifica: M = cosb + tanbsenb + tanb - secb A) senb D) cscb

B) cosb E) tanb

C) secb


67

Unidad 4

Recuerda

Reflexiona

Jhon Napier (155O - 1617) Matemático y teólogo escocés, el nombre de Napier ha quedado por siempre ligado al desarrollo de los logaritmos, un método matemático ideado con el objeto de simplificar el cálculo numérico que iba a ejercer una enorme influencia en todos los campos de la matemática aplicada. Napier tardó algo más de veinte años en madurar sus ideas iniciales que publicó finalmente en 1614. Poco después, el matemático inglés Henry Briggs se desplazó a Escocia y convenció a Napier para modificar la escala inicial usada por este. Nacieron así los logaritmos de base 10, forma en la que se impusieron en toda Europa. Proponiéndose especialmente facilitar las operaciones matemáticas, John Napier inventó los logaritmos (encaminados sobre todo a aliviar el difícil trabajo de los cálculos astronómicos). Su mayor fama la debe a su obra matemática que dio a conocer en 1614 con el tratado Mirifici logarithmorum canonis descriptio, fruto de un estudio de veinte años. La obra aportó una contribución notabilísima a la simplificación de todos los cálculos.

• Existe una enorme diferencia en la manera de pensar de la persona que logra cosechar grandes éxitos y aquella que se limita a subsistir y a responder a sus necesidades inmediatas. • En primer lugar, fijarse metas nos devuelve la capacidad de centrarnos en nuestras vidas, unas vidas que se han vuelto demasiado complicadas debido al exceso de opciones. • En esta época, hay demasiadas cosas para hacer en cualquier momento. Hay un exceso de distracciones que compiten por nuestra atención. Las metas aclaran nuestros deseos y nos ayudan a centrarnos solo en aquellas actividades que nos guiarán allí donde queremos.

Se recuerda también a Napier en la historia de la trigonometría por haber encontrado importantes relaciones entre los elementos de los triángulos planos (teorema de Napier) y entre los de los triángulos esféricos (analogías de Napier).

¡Razona...! Completa el siguiente tablero de 7 # 7 con números de tal forma que la suma de los números escritos en tres casillas consecutivas (en la misma fila o en la misma columna) sea siempre 20. Calcula el valor de x. 6

4 5 x

A) 4

B) 5

D) 9

E) 11

C) 6


ÁNGULOS compuestos

Calcula: M = sen27°cos10° + cos27°sen10°

A) 2 B) 4 C) 3 D) 3 3 5 2 5 3

B) cosy E) seny

4

A) 2 D) 0

70 Intelectum 3.°

B) sena C) -2 E) cosa

Simplifica: sen (x + y) - sen (x - y) A = cos (x + y) + cos (x - y)

A) 2 D) tan(x + y)

C) cotx

Efectúa: A = 2 cos(a + 45°) + sena

Calcula: R = tan 20° + tan 17° 1 - tan 20° tan 17°

A) 2 B) 3 C) 3 D) 4 E) 3 3 5 2 5 4

E) 1

Efectúa: sen _x + y i M = - tan y cos x . cos y

A) tanx D) senx 5

2

6

B) tanx E) tany

C) 1

Si: tana = 1 y tanq = 3 4 Calcula: S = 28tan(a - q)

A) 4 D) 9

B) 2 E) 10

C) 5

Si: x - y = 60° Calcula: M = (cosx + cosy)2 + (senx + seny)2

A) 2 D) 0

3 2

C) 1

D) 3

A) 3 5

E) 0

C) 1

B) 0

D) 1 E) 2 3 3

C)1

12 De la figura, halla 221 sena. B 2

E 1 C

3

B) 0 E) sen2y

10 Si: A + B + C = p Además: tanB + tanC = 2tanA Calcula: cotB . cotC

11 Calcula tanq, si ABCD es un cuadrado y M es punto de CD. B

A) sen2x D) cos2y

C) 3

Reduce: 2 cos (θ - 30°) - 3 cos θ N= sen θ

A) -1 B)

Efectúa: R = sen(x + y)sen(x - y) + sen2y

C

θ

α

5

M A

D

14

D

A

A) 9 B) 7 C) 11 2 2 2

D) 0,75

E) 13 2

A) 5

B) 8

C) 12

D) 10

E) 13

14 Calcula tanx, si BM = 2MC.

13 Calcula tanq. 5

B

2 θ

M A

1

C

A) 5 B) 2 C) 3 D) 7 E) 9 11 11 11 11 11

E) 1 10. D

8. A

9. C

7. C

Claves

D) 10

5. E

C) 8

6. A

12. D 11. C

B) 6

10

3. A

14. B 13. A

A) 12

37° x

4. E

2

1. D

9

B) 8 E) 5

8

2. E

7


71

Practiquemos 7. Halla:

Nivel 1 Comunicación matemática 1. Crucigrama Completa el siguiente crucigrama y descubre el nombre de un matemático. 1. Tipo de ángulo cuya medida es menor que 90°. 2. Cateto opuesto entre cateto adyacente. 3. Primera letra del alfabeto griego. 4. Cateto opuesto entre hipotenusa. 5. Lado mayor de un triángulo rectángulo. 6. Tipo de ángulo formado por la suma o diferencia de dos o más ángulos simples. 1→ 2→

4→ 5→ 6→

2. Completa: sen(a + b) = senacosb + senbcosa sen(a - b) = senacosb - senbcosa


B) 1 C) 3 2 2 D) 1 E) 3 3 4 A) 1

4. Calcula: I = sen4° . cos2° - cos4° . sen2° A) sen6° B) 1 1 D) E) 3 3 4

C)sen2°

8. Reduce: A=

sen _ x + y i - tan y + secxsenx cos x . cos y

A) 0

B) tany

D) 2tanx

E) - 2tany

C) tanx

3 E) 1 2 2

59 C) 56 31 33 8 31

10. Si: tana = 3 y tanb = 1 4 4 Hallar: tan(a - b) A) 17 B) 19 D) 13 E) 19

11 C) 13 19 19 8 19

Comunicación matemática 11. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. sen(a + 10°) = senxsen10° + cosxcos10°

III. sen(x + 20°) = senxsen70° + cos70°cosx

I. sen(a - 2b) = cosacos2b - senasen2b

2 C) 2 3 3 3 5

B) sen130°

A) 37 B) 33 D) 7 E) 24

12. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

6. Efectúa: R = cos80° . cos50° + sen80° . sen50°

72 Intelectum 3.°

3 E) 2 2 2

II. sen(x - 15°) = senxcos15° + cosxsen15°

5. Calcula: M = cos40° . cos13° - sen40° . sen13°

D)

D)

3 3

NIVEL 2

3. Efectúa: T = sen8° . cos22° + cos8° . sen22°

A) cos130°

A) 3 B) 2 C)

9. Si: tana = 3 ; tanq = 5 4 12 Hallar: tan(a + q)

3→

A) 4 B) 5 D) 7 E) 12

A = tan 70° - tan 10° 1 + tan 70° . tan 10°

C) sen10°

II. sen(x + 2x) = senxcos2x + 2senxcos2x III. sen(x + 30°) = 1 ( 3 senx + cosx) 2

Razonamiento y demostración 13. Efectúa: M = [sen(x + y) - cosxseny] . secy A) cosx D) cotx

B) senx E) secx

C) tanx

14. Efectúa: A = [cos(x + y) + senxseny] . secx C) secy

D) tanx

E) cosy

C) tan5x

D) 1

E) tan3x

15. Efectúa: S = tan 2x + tan 3x 1 - tan 2x . tan 3x

C) 1

17. Halla x, si es agudo. senxcos21° + cosxsen21° = sen34° D) 27°

E) 39°

18. Halla q, si es agudo. senqcos9° - cosqsen9° = sen27° D) 21°

E) 30°

19. Halla q, si es agudo. cos26°cosq + sen26°senq = cos19° A) 9°

B) 10°

C) 8°

B) 31°

C) 29°

C) 1

D) 2

E) 4

28. Reduce: T = sen(A + B)sen(A - B) + sen2B D) 7°

E) 6°

20. Halla x, si es agudo. cos34°cosx - sen34°senx = cos58° A) 32°

A) 1 B) 1 3 2

D) 26°

E) 24°

NIVEL 3 Comunicación matemática 21. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

B) sen2A E) tanA

A) senA D) –senA

C) 0

29. Reduce: M = sen(A + B)sen(A - B) - sen2A + sen2B A) tanA

B) tanB

C) 0

D) 1

E) –1

30. Reduce: I = tan40° + tan13° + tan40°tan13°tan53° A) 3 B) 4 C) 1 D) 4 E) 2 5 3 3 5 3

24. D

I. tan(x + 2°) = tan x + tan 2° 1 - tan x. tan 2° II. tan(x - 5°) = tan x + tan 5° 1 - tan x. tan 5° III. tan(x + 40°) = tan x + cot 50° 1 - tan x cot 50°

30. B

C) 36°

27. Calcula A, si: sen(60° - q) = A( 3 cosq - senq)

29. C

B) 18°

3 C) 1 D) 1 E) 2 2 2 2 4

22.

A) 14°

A) 3 B)

21.

C) 18°

26. Halla n si: sen(45° + a) = n(sena + cosa)

28. B

B) 12°

C) senycosx

Nivel 3

A) 13°

C) tana

27. B

B) 0 E) senx

B) –1 E) 1

25. Efectúa: A = [cos(x + y) + cos(x - y)] . tan y 2 A) senxcosy B) senx D) cosy E) 1

16. Reduce: T = 2sen(x + 30°) - 3 senx A) cosx D) –senx

A) 0 D) cota

26. E

B) tan6x

24. Efectúa: cos _ α - θ i N= - tan θ senα . cos θ

20. E

A) tanx

C) 2tanb

25. C

B) secx

B) tana E) – 2

19. D

A) seny

A) cota D) 2tana

17. A

18. C

23. A

9. C

10. E

Nivel 2

11.

12.

13. B

14. E

15. C

16. A

Nivel 1

1.

2.

3. B

4. C

5. E

6. D

7. A

8. D

tan (2x) + tan (x) 1 - tan 2x. tan x II. tan(x + 2x) = tan x + tan2x 1 - tan x tan2x III. tan(x + 30°) = tan x + cot 60° 1 - tan x . cot 60° I. tan(2x - x) =

C l a ve s

22. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Razonamiento y demostración 23. Efectúa: cos _a + b i Z= + tanb sena cos b


73


ÁNGULOS MÚLTIPLES

Reduce: E = 1 + cos 20° sen20°

2

Calcula: sen2x, si: tanx + cotx = 5

A) 1 B) 2 C) 3 2 5 4 A) tan10° D) cot20° 3

B) cot10° E) tan15°

C) tan20°

Resuelve: cos2x + 2cosx + 1 = 0

D) 4 E) 5 5 6 4

Reduce: E = 8senxcosxcos2xcos4x

A) p B) π C) π 3 4 A) sen8x D) 2sen8x

D) π E) π 5 6 5

Calcula cos θ sabiendo que: 2 1 cosθ = , θ ! 0; π 4 2

A) 10 B) 10 C) 1 4 4 D) 5 E) 2

74 Intelectum 3.°

6

B) sen4x E) 2sen4x

C) 0,5sen8x

Calcula sen α sabiendo que: 2 1 cos α = ; α ! 2π; 5π 8 2

A) - 1 B) - 7 C) - 7 4 4 D) 7 E) 1 4

Si: cosx = - 1 / x ! - π; - π 2 3 x Calcula: tan 2

A) 2 B) 2 D) -2 E) 3

Halla: cos π 8

A) 2 B) 1 C) 2 + 2 2 2 2 + D) E) 2 2 2

C) - 2

10 Calcula: 3 N = cos 3x - 4 cos2 x + 3 cos x - 1 cos 2x - 2 cos x + 1 - sen60°

Calcula: B = tan111°

B) 2 C) 2 3 3 3 1 D) 3 E) 3 A) 2

A) - 5 B) 19 C) - 117 13 44 44 D) 3 E) 1

12 Calcula: M = tan 40° . tan80° cot 20°

11 Calcula: A = sen12°sen48°sen72°

A) sen36° D) 1 sen36° 4

B) cos36° E) sen72°

C) 1 cos36° 4

13 Halla: tanq

A) 1 B) 1 C) 3 2 3 D) 2 E) 3 14 Calcula: M = cos12°cos48°cos72°

C 3 θ A

C) 2

A) 4cos36° D) 2cos36°

B) cos36° E) cos36°/4

5. A

10. C

8. D

9. C

7. C

C) cos36°/2

Claves

A) 2 B) 1/2 2 E) 1 D) 2 4

6. C

θ

3. A

B

4. A

1

1. B

9

8

2. B

7


75

12. C 11. D

14. E 13. D

Practiquemos A) 1 D) sen2q

NIVEL 1 Comunicación matemática

sen2q

1 - 2sen2q

cos2q

2 tan θ 1 - tan 2 θ

tan2q

2senqcosq

A) 4cotx D) 10cotx

A) cotx D) tan2x

I. sen32° = 2sen16°cos16° 2 tan 24° 1 + tan 2 24°

B) tan10°30’ E) cot25°

C) cot12°30’

D) 0, 525 E) 0, 625

B) 11

C) 13

D) 15

E) 17

C) 5

D) 6

E) 8

4. Si: cotq = 7 ; calcula: L = 4cos2q + 3 B) 4

Si: q = p/24 B) 2-2 . 3 C) 2-3 . 3

6. Calcula: C = senfcosfcos2fcos4fcos8f Si: 32f = p A) 1 B) 1 C) 3 4 4 8 3 E) 1 8 16

76 Intelectum 3.°

C)

0, 9

15. Si: senx = 1 , calcula sen3x. 3 A) 1 B) 22 C) 23 27 27 D) - 22 E) - 23 27 27 16. Si: cosx = 1 , calcula cos3x. 4 A) 3 B) - 11 C) 11 4 16 16

7. Reduce: C = 1 + cos 2θ + sen2θ senθ + cos θ

8. Reduce: L = 1 - cos 2θ - sen2θ + cos θ 2senθ

A) 0, 7 B) - 0, 7 D) - 0, 9 E) - 0, 1

D) 2-4 . 3 E) 2-5 . 3

B) cosq E) 2

13. Si: cosq = -2/7; 180° 1 q 1 270° Determina sen θ . 2 2 A) B) - 2 C) 3 14 14 14 3 1 D) E) 14 14 14. Si: cosb = 0,8 ; 270° 1 b 1 360° β calcula cos . 2

5. Calcula: L = senqcosqcos2qcos4q

A) senq D) 2cosq

C) tanx

A) 0, 125 B) 0, 225 C) 0, 325

3. Si: tana = 2 ; calcula: 3 C = 13sen2a + 1

D)

B) cot2x E) 2cotx

12. Si q es agudo, tal que cosq = 1 , calcula cos θ . 4 2


A) 2-1 . 3

C) 8cotx

11. Señala el equivalente de: L = sec65° + sec40° + tan40° A) cot10°30’ D) tan12°30’

II. cos30° = cos215° - sen215°

A) 3

B) 6cotx E) 12cotx

10. Reduce: L = csc2x + csc4x + csc8x + cot8x

2. Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

A) 9

C) 2senq

9. Reduce: L = 7cot x - 5tan x - 2cscx 2 2


III. tan48° =

B) senq E) 1 + sen2q

C) 2senq

D) - 3 E) 11 4 64 17. Si: tanx = 2, halla tan3x. B) 11 C) 1 2 6 D) 2 E) - 11 11 2 A) 6

18. Calcula: E = 3sen10° - 4sen310°

A) 1 B) 3 C) 1 4 4 2 D) 1 E) - 3 4

B) 3 C) 1 7 2 1 3 D) E) 2 2 A) 1

26. Reduce: sen2ϕ cot ϕ C= + sen 2 ϕ 2 A) 1 B) 2 D) senjcosj E) cos2j

19. Calcula: E = 3sen15° - 4sen315° A) 1 B) 6 C) 2 2 2 2 D) 3 E) - 2 2 2

27. Reduce: L = sen2θ tan θ - cos 2 θ 2 A) 1 B) 2 D) cos2q E) - cos2q

20. Si: 3senx - 2 = 0, calcula sen3x. B) -2 C) 7 27 D) - 7 E) 22 27 27 A) 2

21. Si el seno de un ángulo agudo es 3/5, ¿cuál es el coseno del doble de dicho ángulo? B) 2/25

C) 3/25

D) 6/25

E) 7/25

22. Si el coseno de un ángulo agudo es 1/3, ¿cuál es el coseno del doble de dicho ángulo? A) 1/2

B) –7/9

C) 2/4

D) –3/5

E) –2/3

NIVEL 2 Comunicación matemática 23. Relaciona según corresponda: sen θ 2

! 1 - cos θ 1 + cos θ

cos θ 2

! 1 - cos θ 2

tan θ 2

! 1 + cos θ 2

24. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1 - cos 8° 2

I. sen4° = II. cos24° =

1 + cos 12° 2

III. tan30° =

1 - cos 15° 1 + cos 15°

Razonamiento y demostración 25. Si: senq - cosq = 1/2 calcula: sen2q

C) sen2q

28. Reduce: 2 C = cos 2θ - cos 2 θ cos 2θ + sen θ


A) 17/25

C) 1/2

B) -1 C) -tan2q E) cot2q

A) 1 D) tan2q 29. Reduce: L = 1 - cos 2θ 1 + cos 2θ A) 1

B) tanq

C) tan2q

E) cot2q

D) cotq

30. Si: senϕ + cosϕ = n halla: sen2ϕ A) n - 1 D) 1 - n2

B) n2 + 1 E) 2(n2 - 1)

C) n2 - 1

31. Si q es agudo, tal que tanq = 7 3 Calcula tan θ . 2 A) 1 B) 1 C) 3 7 3 D) 7 E) 2 7 32. Siendo a agudo, tal que tana = 2 6 . Calcula cos α . 2 A) 0, 2 B) 0, 3 C) 0, 4 D) 0, 5 E) 0, 6 33. Si: tanq = 33 ; 180° 1 q 1 270° 4 Determina cos θ . 2 A) 1 B) - 1 C) 7 7 3 D) E) - 2 14 7

3 14

34. Siendo: senb = 11 ; 450° 1 b 1 540° 6 β calcula tan . 2

A) 11 B) - 11 C) 11 11 11 11 D) E) 11 10


77

35. Calcula: C = csc 40° + csc 80° + csc 160° cot 20° A) 1 D) -2

43. Indica verdadero (V) a falso (F) según corresponda:

B) -1 E) 4

I. sen30° = 3sen10° - 4sen310°

C) 2

II. cos15° = 4cos35° - 3cos5° 3 15° III. tan45° = 3 tan 15° - tan 2 1 - 3 tan 15°

36. Reduce:

K =
A) 1 D) 1/4

B) 1/2 E) 4


C) 2

44. Sea: a + b + c = p Simplifica la siguiente expresión: sen(3a + 2b + 2c) . sen(a + 2b + 2c) + cos(b + c) . cos(b + 2a + c)

37. Simplifica: 3 E = sen x + sen3x senx 2

2

A) 3csc x D) 3cos2x

2

B) 3sec x E) 3tan2x

C) 3sen x

A) 1 B) 2 D) -3 E) -2

C) 3

2

46. U = secA >dcos A + sen A n - senA H 2 2 2

A) 0 B) 2 D) -4cos2x E) -2

C) 4cos2x

2

K 21

40. Si el coseno de un ángulo agudo es 1/2, ¿cuál es la cotangente de la mitad de dicho ángulo? A) 3 B) 2 D) 5 E) 3 3

C) 1

41. Si el seno de un ángulo agudo es 3/5, ¿cuál es la tangente de la mitad de dicho ángulo? B) 1/4 E) 3

C) 1/3

C) B D) A 2 2

B) A

E) 0

48. De acuerdo al gráfico, determina el valor de cos2q.

42. Relaciona según corresponda: 3

sen3q

3 tan θ - tan θ 1 - 3 tan 2 θ

cos3q

3

78 Intelectum 3.°

1 cos A

B) sen A + cos A K K D) cosA - senA

A) senA - cosA C) 1 + sen A K E) sen A - cos A K K

A) B


tan3q

Simplifica la expresión: U - N + I -

47. Halla la suma de los valores máximos y mínimos de la siguiente expresión: E = Acos2 b x l + Bcosx 2 A, B son constantes reales.

NIVEL 3

N = senA >dcos A + sen A n - sen A H 4 4 2 I = cosA >dcos A + sen A n - sen A H 2K 2K K


C) 1

D) -1 E) 1 2

39. Simplifica: E = sen3x - cos 3x cos x senx

B) 0 E) cos2b

45. Si A, B y C son los ángulos internos de un triángulo y se cumple: sen(A + B)cos(A + B) = - 1 ; ¿cuánto vale 1 + tanC? 2 A) 0 B) 1 C) 2

38. Simplifica: E = (cos3x - 4cos3x)secx

A) 1/5 D) 1/2

A) -1 D) cos2a

3senq - 4sen q 4cos3q - 3cosq

A) 1 6 1 B) 3 C) 5 6 D) 2 3 2 E) 5

B 2θ A

1 H

5

θ

C

49. Reduce: P = cot α tan b α l_1 + cos α i 2 A) cosa D) csca

B) sena E) 1

C) seca

59. Simplifica: E = tan 2θ $ tan d π - 2θ n $ tan d π + 2θ n 3 3 3

50. Si: cos a = 4 ; a ! G180°; 270°H 9 calcula: 30 sen α 2 2

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

A) tan2q B) 1 tan2q 4 D) tan3q E) tan θ 2

C) 3

51. Reduce: M = cot x + cos x b tan x - tan x l 2 A) tanx B) cotx D) cscx E) senx

C) secx

52. Si: secx = cotAcotB calcula: tan 2 x 2 A) cos(A - B)sec(A + B) B) cos(A + B)sec(A - B) C) sen(A + B)sec(A - B) 53. Si: tan x + tan x = 2 csc x 2 4 x Calcula cos . 2 A) 1 B) 2 D) 1 E) 5

A) 1 B) - 1 C) 3 8 8 8 3 3 D) E) 8 2

D) sen(A - B)sec(A + B) E) cos(A + B)sec(A + B)

C) tan6q

60. Simplifica: E = tan θ $ tan d 2π - θ n $ tan d 2π + θ n 6 6 6 A) tan θ B) tan θ C) 1 tan θ 2 2 3 4 D) 4tan θ E) tan3q 2

Resolución de problemas 61. Si la secante de un ángulo agudo es 2, ¿cuál es el coseno del triple de dicho ángulo? A) –2/3 D) –2/5

B) –1 E) –3/5

C) 2/3

62. Si la cosecante de un ángulo agudo es 5/4, ¿cuál es el seno del triple de dicho ángulo?

1 C) 1 3 4 1 7

A) 22/125 D) 53/125

B) 33/125 E) 51/125

C) 44/125

54. Simplifica: P = tan x + 2sen 2 x cot x 2 2 E) cscx


12. E

11. C

9. E

10. A

8. B

7. D

6. E

58. Calcula: E = cos10° . cos50° . cos110°

5. D

A) 1 B) - 1 C) 6 - 2 4 2 2 6 2 + D) E) 6 + 2 4

4. d

57. Calcula: E = 4sen25° . sen35° . sen85°

13. C 14. D 15. C 16. b 17. D 18. C 19. C 20. E 21. E 22. B Nivel 2 23. 24. 25. B

A) 1 B) - 1 C) - 1 D) 1 E) -2 8 8 2 2

Nivel 1

56. Calcula: E = cos20° . cos40° . cos100°

40. A 41. C Nivel 3 42. 43. 44. D 45. C 46. D 47. B 48. C 49. A 50. E 51. D 52. B

6- 2 4

C l a ve s

A) 1 B) - 1 C) 2 2 6 2 + D) E) 6 - 2 4

53. A 54. B 55. C 56. B 57. d 58. d 59. a 60. a 61. b 62. c

55. Calcula: E = 4sen5 . sen55° . sen65°

3. C

D) secx

2.

C) tanx

26. A 27. E 28. C 29. C 30. C 31. B 32. E 33. D 34. A 35. C 36. C 37. D 38. D 39. B

B) senx

1.

A) cosx

79


TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Calcula: 2cos80°cos10° - cos70°

A) 0 D) 3 3

C) 2

Reduce: E = 2sen4xcos2x - sen6x

A) senx D) sen5x 5

B) 1 E) 4

2

B) sen2x E) sen4x

Transforma la siguiente expresión: E = sen5xcos2x - sen3xcos4x

A) 2senxcos3x C) senxcos2x E) 2sen2xcosx

80 Intelectum 3.°

B) 2senxcosx D) sen2xcosx

Reduce: 2sen7xsen3x + cos10x

A) cos2x D) cos8x 4

6

C) cos6x

Reduce: A = 2cos5xcosx - cos6x

A) cos2x D) cos5x

C) sen3x

B) cos4x E) cos10x

B) cos3x E) cos8x

C) cos4x

Reduce: E = 2sen5xsen3x + cos8x

A) sen2x D) cos4x

B) cos2x E) cos6x

C) cos3x

Simplifica: E = sena + sen3a + sen5a cos a + cos 3a + cos 5a

C) tan3a

B) cos2a E) sena-cosa

12 Reduce la expresión: M = 4sen5°cos5°(cos210° - sen210°) + sen10°

C) senx

14 A partir de la figura mostrada. Halla k, siendo: AB = 2; BD = 2k + cos20°

sen 2 2x

B

senx cos x + tan xsenx

40°

A

D

C

A) 1 B) 1 C) 1 2 4 6

B) cos2xcos3x D) sen2xsen3x

D) 1 E) 1 3 5 10. D

8. E

9. A

7. C

Claves

12. E 11. A

A) tanx C) 2senxcos3x E) 2sen3xcosx

20°

5. D

cos xsenx +

D) 1 E) 1 3 2

6. B

E = sen4x +

A) 1 B) 1 C) 1 4 5 6

3. B

B) 2cosx E) cosx

13 Reduce:

B) 4cos2xsen23x D) 4cos2xcos23x

A) cos2xcos3x C) 2cos2xsen22x E) 4cos4xcos22x

C) tana

11 Reduce: H = 2sen3x cos x - sen4x 2 cos 5x cos 4x - cos 9x

A) 2senx D) cosx

C) 1

10 Transforma a producto: E = cos4x + cos8x + 2 - 4sen2x

Reduce: R = cos 4α cos 3α - cos 5αcos 2α sen2α

A) sena D) cota

A) -cosa B) sen2a D) -2 E) -1

4. C

9

B) csc2a E) sen2a

Calcula: E = 2sen3a cos a - sen4a 2sen2a cos 4a - sen6a

1. A

A) seca D) cota

8

2. B

7


81

14. B 13. E

Practiquemos 7. Reduce: Q = sen47°cos17° - cos60°cos26°

NIVEL 1 Comunicación matemática 1. Si: A + B + C = 180° Completa en los espacios las razones trigonométricas que corresponden para que se cumplan las identidades: ▪▪ senA +

= 4cos A # cos B # cos C 2 2 2

+

▪▪ cosA + cosB + cosC = 4

#

#

+1

▪▪ sen2A + sen2B + sen2C = 4senA # senB # ▪▪ cos2A + cos2B + cos2C = -4cosA

-1

2. Transforma a suma a diferencia las siguientes expresiones: ▪▪ 2sen30°cos10°

=

▪▪ 2cos6xsen2x

=

▪▪ 2cos(46°) sen(-6°)

=

D) 1

8. Calcula: P = sec41°sec4°(cos37° + sec45°sen30°) A) 1

C) 2

9. Reduce la expresión: E = 1 csc10° - 2cos20° 2 A) 1 B) 2 C) 3

4. Reduce: H = sen7x - senx cos x - cos 7x

B) -1 E) cos2x

C) tan4x

x+y x+y x+y n B) sen d n C)cos d n 2 2 2

sen _x + y i x+y D) cot d n E) 2 cos _x + y i

6. Transforma a producto: R = sen3x + sen5x + sen9x + sen11x A) 4cosxcos3xsen7x B) 2cosxcos3xsen7x C) 4cos2xcos3xsen7x D) 2cos2xcosxsen7x E) 2cos2xcos3xsen7x

82 Intelectum 3.°

C) sen2x


A)

2 2

B) 1/2

C) 3/5

D)

3 2

E) 4/5

13. Halla el máximo valor que puede tener la función T(x), si se cumple que: T(x) = 2cos(x + 60°) + cosx + 3 senx 3 B) 3 2 D) 2 E) 2 3 A)

senx + seny ; es igual a: cos x + cos y

C) sen4x

12. Se tiene un triángulo MNP tal que: cosM = 1 ; cosN = 1 2 2 Halla el valor de cosP.

3 sen40° C) 2 sen40° 2 3 3 E) sen40° 4

5. La expresión:

D) -2 E) -1

B) sen3x E) sen6x

A) 1 D) sen4x

A) 3 sen40° B)

B) cot3x E) -cot4x

E) 5

11. Reduce: E = 2senxcos3x + sen2x

3. Simplifica: G = sen20° + sen40° + sen60° cos10° + cos 30° + cos 50°

A) tan3x D) cot4x

D) 3

10. Reduce: E = 2sen3xcos2x - senx


A) tan d

B) 4

A) senx D) sen5x

▪▪ -2sen d 9x n sen d 5x n = 2 2 ▪▪ 2cos40°cosb =

D) 2sen40°

B) 1 C) 1 2 3 1 E) 4

A) 4

C) 1

NIVEL 2 Comunicación matemática 14. Transforma a producto las siguientes expresiones: ▪▪ sen5x + sen2x

=

▪▪ cosq + cos5q

=

▪▪ -sena + sen7a ▪▪ cos π + cos π 8 3 ▪▪ sen π + sen π 10 9 ▪▪ sen2x + cos4x

=

▪▪ sen4x + cos2x

=

= = =

15. Completa (V) verdadero o (F) falso según corresponda en cada expresión: ▪▪ sen3x + cos5x = 2cos(45° + x)cos(45° - 4x)

2 B) 3 C) 6 4 4 2 6 2 D) E) 3 6

▪▪ cos100° + cos140° = 2cos120°cos20°

A)

▪▪ cos33° - sen87° = -2sen18°sen15° ▪▪ sen5q + senq = 2sen3qsen2q

23. Reduce la siguiente expresión: M = 2sen7qsen5q - 2sen3qsenq

▪▪ cos5q + cosq = 2sen3qcos2q

Razonamiento y demostración 16. Reduce: H = senx + sen3x sen2x + sen4x A) sen4x sen3x D) sen2x sen3x

C) cos 2x sen3x

B) 1 E) sen2x

B) sen28qsen4q D) sen28qcsc4q

B) senAcos 3A 2

C) 2cos 3A senAsen A 2 2

D) 4cos 3A senAsen A 2 2

E) 3cos 3A cos 2A cos A 2

A) sen4xsen12x

B) sen16xcos8x

C) 4senxsen2xcos4x

D) sen4xsen2x

E) 4cosxcos2xsen4x 19. Si: P(x) = sen3xcos2x + sen3xcos4x - senxcos6x Calcula: P b π l 30 A) 1 B) 1 C) 2 2 D) 3 E) 3 2 20. Reduce: E = 2sen5xcosx - sen6x C) 0

Calcula el valor de: tanC B) 1 E) 2

C) 1/2

26. Halla la suma del máximo y mínimo valor de la siguiente expresión trigonométrica: M = sen(2x + 10°)sen(20° - 2x) A) 1/2 D) 3 2

B) 1

E) – 3 2

C) –1

NIVEL 3 Comunicación matemática 27. Compara las siguientes cantidades: M sen10°sen50° + sen130°sen610°- sen430°cos280° N 24 sen34° - sen52°sen88° 25 A) 2M = 3N D) M = 3N

B) M = N E) 3M = 2N

C) 3M = N

28. En qué tipo de triángulo se cumple: sen2A + sen2B = sen2C A; B y C son los ángulos del triángulo.

21. Reduce: H = 2sen3x cos x - sen4x 2 cos 5x cos 4x - cos 9x B) 2cosx E) cos2x

25. En un triángulo ABC (C > 90°), la suma del seno del doble del ángulo A y el seno del doble del ángulo B es igual a: sen2C + 2 cos A. cos B senC A) –1 D) 2

18. Transforma a producto: E = senx + sen3x + sen5x + sen7x

B) sen4x E) senx

C) 1 2

A) 1 B) 2 1 D) E) 1 4 3


A) 4sen 3A cos A cos A 2 2

A) 2senx D) cosx

A) sen28qcos5q C) sen28qsec4q E) sen28qsen5q 24. Reduce: P = (sen38° + cos68°)sec8°

17. Transforma a producto la expresión: E = senA + sen2A + sen3A

A) sen2x D) 1

22. Halla el valor de la expresión: R = 2sen40° . cos 20° - sen20° 2 cos 35° . cos 10° - cos 25°

C) senx

A) Obtuso C) Obtusángulo E) Isósceles

B) Triángulo rectángulo D) Oblicuángulo


83


A) sen2A D) cos2B

29. Simplifica: E = sen3θ - sen θ cos θ - cos 3θ C) tan2q

C) 7- 26 ; 26 A D) 7- 3 ; 3 A E) [-13; 13]

31. Calcula el valor de:

C) 1

C) 2/3

E) –1/3

39. B

38. A

37. B

14. 7. E

23. C

Nivel 2

22. C

29. B 30. C 31. D

21. A

6. A

5. A

13. D

4. D

3. C

12. B

20. E

28. B

36. E

27. D 19. B

35. D

34. B

Nivel 3 18. E

11. D

33. D

32. A

26. E

7 E) 7 3

17. A

D)

10. D

7 B) 7 C) 7 4 2 8

2.

A)

1.

34. Calcula el valor de la siguiente expresión: K = cos 9π + cos 3π + cos π 14 14 14

C l a ve s

B) 1 C) 3 2 2 D) 3 E) 1 4 4 A) 1

25. A

C) 2,216

33. Se define la función: f (x) = cos d 2π + x n cos b π - x l 9 9 Halla: f(x)máx.

84 Intelectum 3.°

D) 1

24. A

B) 3,156 E) 2,748

B) 1/3

16. D

B

E) 6

15.

A) 2,532 D) 3,108

C

50° 10° x

D) 3

39. Si los ángulos de un triángulo ABC cumplen la relación: senA + senC = 2senB; calcula el valor de: E = cot A cot C 2 2 A) 2 B) 3 C) 7 D) 5 E) 4

D 4

C) 4

38. Se tienen dos ángulos a y b, tal que: α + β = q / senb = 2cosasenq 3 3 Halla el valor de cos2q, si: β q ! kp + a; q ! nπ + ; k, n ! Z 2 2 A) 1/2

32. Del gráfico, calcula x. (cos40° = 0,766)

B) 2

9. A

B) 6 5 5 7 D) E) 7 5

A

37. Se tienen las siguientes igualdades: P = cos(x + y - z) + cos(y + z - x) Q = cos(x + y + z) + cos(z + x - y) Halla el valor de: E = (P + Q) sec x sec y sec z A) 1

sen 2 π + sen 2 3π + sen 2 5π 14 14 14 K= cos 2 π + cos 2 3π + cos 2 5π 14 14 14 A) 2

C) 1


B) [-26; 26]

A) G- 26 , 26 H

B) cot2q E) tan3q

36. Simplifica: P = cos 5θ - cos θ sen θ - sen5θ A) tan2q D) –tan2q

30. Siendo: M = sen(270° + x) + cos(90° + x) N = 2cos(360° - x) + 4sen(-360° - x) Encuentra los valores que toma M + N.

C) tan2B

8. C

B) cot2q E) 1

B) cos2A E) sen2B

Nivel 1

A) tan2q D) cotq

35. Simplifica: E = cos(A + B)cos(A - B) + sen2A


RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Resuelve un triángulo ABC, si: a = 2 ; B = 60° y A = 45°. Halla el valor de b.

2

De la figura, calcula: cosB B

A

4

c

b

B

A

6 B) 6 - 2 2 2 6 2 2 + C) D) 2 2 E) 3 Halla c.

A) 1 B) 1 C) 5 16 11 3 D) 16 E) 11 11 16

B

4

Halla x.

10

c

20

C

C 60°

10

30°

A

x

A

3 C) 5 3 3 D) 10 3 E) 3 A) 10

B)

Calcula senA, si R = 4.

A) 5 + 10 2 B) 5 D) 2 E) 5 2 6

Calcula x.

C

3

A

R

A

B

60°

C) 10

B x

3 6

B

5 11

5

C

3

C

a

A)

3

2

C

8

A) 1 B) 4 1 D) E) 3

3 C) 3 4 6 1 5

A) 5

B) 6

C) 4

D) 7

E) 9


85

7

Calcula: cosC.

8

C

2

2

A

45°

En un triángulo ABC se sabe que: a = 8; b = 7 y c = 5. Se traza una ceviana AM tal que BM = 3. Calcula la medida de AM.

B

6 + 2 B) 6 C) 2 4 4 4 -( 6 - 2) D) E) 3 - 2 4 3 A)

Resuelve un triángulo ABC, si: a = 21; b = 12 y A = 60°. Da como respuesta senB.

2 B) 1 C) 6 3 8 21 D) 2 3 E) 2 7 5

C) 7

D) 8

75°

A) 9

E) 2

7. D

10. B 9. D

D) 0,5

8. B

C) 3 12. C 11. A

14. B 13. E

Claves

86 Intelectum 3.°

C) 5

D) 4 E) 3 3 2

C

B) 11

5. B

B) 5

B) 5 2

6. D

A) 4

A) 3

C) 12

D) 13

E) 15

3. D

45°

C) 125°

14 En un triángulo ABC, A = 37°; B = 30°; a = x + 1 y b = x - 1. Calcula x.

B

3+1

B) 120° E) 135°

12 En un triángulo ABC: 2a = 3c; reduce: k = senA + senC senA - senC

E) 9

13 Calcula la medida del lado AB de la figura.

A

A) 150° D) 115°

4. A

B) 5

E) 19

1. E

A) 10

C) 2 13 D) 15

10 Halla el mayor ángulo de un triángulo si sus lados son: 7k; 8k y 13k.

A)

11 En un triángulo ABC: a = 12; b = 10 / m+ C = 53° Calcula c.

B) 19

2. E

9

A) 24

Practiquemos V.

NIVEL I Comunicación matemática

B

1. Dado el siguiente triángulo.

A

B

β

θ

x

C


a

c

a

c

4. De la figura, calcula el valor de a. A

B

C

b

Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

4

a

▪▪ c2 = a2 + b2 - 2bccosA 2 2 2 ▪▪ cosB = a - b - c 2ac ▪▪ A = C = 22 senB senC ▪▪ a2 = b2 + c2 - 2abccosA

60°

A

A) 13

B) 5

C) 7

C) III

D) I y II

E) II y III

3. Observa los siguientes gráficos y coloque la ley que deberá utilizar para hallar x. I.

B

B

A) 5 B) 24 24 5

D) 4 E) 3 3 4

C) 4

6. Calcula el valor de cosA. C

7

8

α

7. Determina el senB.

b

c

A

III.

B β

α

IV.

6

A

B

C 15 x

b

A C

C

15

8. Aplica la ley de proyecciones y calcula el valor de b.

B

α

74°

A) 13 B) 9 C) 9 D) 12 E) 11 17 13 5 5 9

a

x

c R

B

β

B

B

10

A) 23 B) 17 C) 19 D) 23 E) 25 31 19 24 32 32

C

b

x

A

C

3

A

φ

II. C

A

53°

A

a

x

A

E) 1

30°

2. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son los casos acerca de la resolución de triángulos oblicuángulos? I. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él. II. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. III. Conociendo tres lados y un ángulo opuesto. B) II

D) 8

5. Halla la medida del lado BC.

▪▪ (a - c)tan d A + C n = (a + c)tan d A - C n 2 2

A) I

C

3

A) 21

B) 16

37°

14

b

C) 19

60°

D) 23

C

E) 12


87

9. Calcula la longitud de AB.


B

16. Halla la medida del lado AC. 3

A) 2

135° 45°

A

C

2

B) 2 3

C) 4 5 D) 5

E) 9

C

150°

A) 7

B

C) 12,5

D) 12

C

A) 5 B) 4 D) 5 E) 3

4 C) 3 5 5 5 2 3

17. En un triángulo ABC reduce: K= a - b senA senB

7

16°

B) 10

2

37°

A

10. Calcula la medida del lado AB de la figura.

A

B

E) 24

A) 0 D) c

B) 1 E) abc

C) ab

18. Calcula la medida del lado AC de la figura: B

Resolución de problemas 11. En un triángulo ABC, simplifica: E = senB + senC + a - b senC + senA c + a A) 1 B) 1 2 D) b + c E) 0

37°

A) 10

12. En un triángulo ABC los lados están representados por 3 números enteros consecutivos. Si el ángulo mayor es el doble del menor, halla la longitud del mayor lado. A) 7

B) 6

C) 10

D) 13

B) 3 4 E) 2 3

C) 4 3

14. Las diagonales de un paralelogramo miden a y b, formando un ángulo agudo C. El área del paralelogramo es: A) absenC D) 1 absenC 2

B) abcosC E) 1 abcosC 2

15. Dada las siguientes expresiones indica cuáles son falsas. En el triángulo ABC, se cumple: I. a = bcosC + ccosB II. b2 = a2 + c2 + 2accosB III. (a + c)tan d A - C n = (a - c)tan d A + C n 2 2

88 Intelectum 3.°

C) 4

C) III

D) 6

E) 8

B 3

2 A

A) 7 B) 5 D) 3 E) 6

C

3

1 C) 5 6 6 3 5

20. De la figura calcula el cosB.

B

3

5

A


B) II E) II y III

C

19. De la figura halla el cosA.

C) 1 abcscC 2

NIVEL 2

A) I D) I y II

B) 2

E) 9

13. En un triángulo ABC; m + C = 60° / a = 3b; determina el valor de: M = tan(A - B) A) 5 5 D) 12 3

30°

A

C) a

5

C

7

A) 1 B) - 1 C) 3 2 2 5 5 3 D) E) 7 7

Resolución de problemas 21. Halla el mayor ángulo de un triángulo cuyas longitudes de los lados son proporcionales a 7; 8 y 13. A) 75°

B) 90°

D) 135°

E) 150°

C) 120°

22. Las longitudes de los lados de un triángulo son: 26 ; 20 ; 18 , calcula el área de dicho triángulo. A) 7 D) 10

B) 8 E) 11

C) 9

23. Si el coseno del mayor ángulo agudo de un triángulo de lados enteros consecutivos es 1/5, halla el perímetro de dicho triángulo. A) 12 D) 18

B) 14 E) 20

C) 16

B) 3senq E) cosqsenq

C) 2cosq

Comunicación matemática 25. Dado el siguiente triángulo, coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: C

a 127° A

2+1

C

D) 6 5

29. En un triángulo ABC, se cumple: a2 + b2 + c2 = m Calcula: E = abcosC + bccosA + accosB A) 1 B) m D) m E) m 2 3

C) 2m

A) 1,2

B) 2,4

D) 2,6

E) 1,8

C) 2,8

31. En un triángulo cualquiera ABC se cumple que: a2 + b2 + c2 = 10 Calcula: N = bccosA + accosB + abcosC B) 20 E) 15

C) 5

Resolución de problemas 15°

B

I. AC = 2 5

( )

II. m+ACB = 45°

( )

III. AB = 3 3

( )

IV. m+ACB = 3m+ABC

( )

32. Calcula los lados de un triángulo sabiendo que son números enteros consecutivos y que el ángulo mayor es el doble del menor. A) 4; 5 y 6 D) 9; 7; 5

A) 45° y 1 D) 15° y 4

26. En un triángulo ABC, reduce: E = bcosC + ccosB + acosB + bcosA - a B) a E) a + b + c

B) 7; 3; 9 E) 3; 6; 7

C) 6; 7; 8

33. En un triángulo ABC, cuyos lados miden: a = 3 + 1; b = 6 y c = 2. El punto M está en AC y m+BMC = 105°. Halla la medida del ángulo A y la medida del segmento BM.


A) b D) a + b

2-1

A) 10 D) 13 2

2 3

A

B

30. En un triángulo ABC el perímetro es 24 y el circunradio mide 5. Halla: N = senA + senB + senC

NIVEL 3

120°

A) 6 5 B) 5 6 6 C) 5 6 E) 6 5 5

24. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y al ángulo mayor es el doble del menor. La relación del lado mayor y el lado menor es: A) tan q D) cos2q

28. De la figura calcula el valor de a.

B) 75° y 2 E) 75° y 2

C) 60° y 2

C) c

27. De la figura calcula el valor de BC. A)

5 29

B) 29 5 C) D) E) 4

29 5 17 5

C l a ve s

B Nivel 1

2 A

37°

1.

3

C

2. D 3. 4. A 5. B 6. D

7. D

Nivel 2 21. C

27. D

8. C

15. B

22. C

28. E

16. D

23. D

29. D

17. A

24. c

30. B

18. D

Nivel 3 31. C

13. C

19. C

25.

32. A

14. D

20. B

26. C

33. B

9. D 10. C 11. B 12. B


89

Matemática 2T = 2sen211° + 2cos219° - 2sen11°cos19°

▪▪ Calcula el valor de: T = sen211° + cos219° - cos19°sen11°

2T = 1 - cos22° + 1 + cos38° - [sen30° + sen(-8°)] 2T = 2 + cos38° - cos22° - 1 + sen8° 2 o o o o 2T = 3 - 2sen d 38 + 22 n sen d 38 - 22 n + sen8° 2 2 2 3 2T = - 2sen30°sen8° + sen8° 2 3 2T = - 2 c 1 m sen8° + sen8° 2 2 3 & 2T = 2 3 ` T= 4

Resolución:

Recordemos: cos2q = 1 - 2sen2q cos2q = 2cos2q - 1 2senacosq = sen(a + q) + sen(a - q) cosa - cosq = -2sen c α + θ m sen c α - θ m 2 2 Luego tenemos: T = sen211° + cos219° - cos19°sen11°

1. Halla el valor de: M = sen3θ - 2 cos2θ senθ A) 1

6. Si: cot40° = m Calcula: B) 2

2

2

C) 1 + sen q

E) 0

D) 1 - sen q

2. Halla el valor de la siguiente expresión: 4

o o A = csc220 o # sen130o csc410 # cos390

A) -M2

B) M2

D) 1/M

E) M

C) 1/M2

4

k = 4sen q + 4cos q - cos4q A) 3/4

B) 1

D) 3

E) - 3/4

C) -1

M=

3. En un triángulo PQR recto en Q, halla el valor de: senPsenR, si: 92 = 12 + 12 q p r A) 9

B) 3

D) 1

E) 6

C) 1/3

4. Dos automóviles parten simultáneamente de una estación con movimiento rectilíneo uniforme siguiendo pistas que forman un ángulo de 60°. Las velocidades que llevan son de x y 72 km/h calcula el valor de x si al cabo de 3 horas y 30 minutos la distancia que los separa es de 126 3 km. A) 18 km h

B) 36 km h

D) 72 km h

E) 36 3 km h

7. Simplifica:

C) 9 km h

Pcos 2β + cos 3β + cos β Psen2β + sen3β + senβ

A) tan3b

B) cot3b

D) tanb

E) tan2b

8. Si: x + y = p/3 Halla el valor de: senx - seny P= cosy - cos x A)

3 B) - 3 C) 3 2 3

D) - 3 3

E) 3

9. De la figura, halla cotq. 37°

5. Halla el equivalente de: F=

θ

cos x + cosy senx + seny 1

Si: x + y = 53°

90

A) 3/4

B) 4/3

D) 1

E) 2

Intelectum 3. °

C) cot2b

C) 1/2

2

A) -2 B) -1/4 C) -4/3 D) 3/4

E) -1/2

Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra, en cada fila, ni en cada columna, ni en cada cuadrado. 1.

5. 8 4

1

8

4

4

7

6 5

9

3 7

9

5

8

3

8 6 6 5

8

9

1 5

4

3

7 6

2

1

6

4 8

6

3

1 7

3 1

2

1

7

4

5 3

4 8 6

1 7

2

6

6 5

8

7

5

4

5 4

2

6

5

6 2

4

2

9

6.

2. 3 2 1

6

7 8

6

5

9

9 7

5

6 4

9

8 7

8 3

3 5

7

4

1

6

5 9

5 2

1

7

3 7

6 1

2

9

1 2

3 7

6

7 4

5

1

8 7 2

8 1

8 3

6 9

5

7.

3. 9

8

5

2

6 1

4

9 2 5

6

8 1 4

3 1 7

3

8 5 3 4

3 1 4

1

4 2

6

9 5

7

8

7 4 3

3 1 2

1

9

3 9 7

5

9 8 6

7

5 9

4 7 6 9

7 2

6

9

5 7

8

7 2 2

7

3

8.

4. 9 5

2

6

8 3

3 8

9

4

7

6

6 1 2 2

8 3 7 4 6

1

8

6

4

1 2

1 3

6

2 9

7

9

7

8 4

3 7 4

4 2

6 8 1

2 7 8 3

7 9

4

5 9 6

8 5 9 5

5 6 3 5

3

7 5

2

9

1.

5. 8 4 9 7 3 5 6 2 1

8 2 3 9 1 7 4 6 5

7 3 2 8 6 1 9 5 4

4 1 7 3 6 5 8 9 2

5 1 6 2 4 9 8 3 7

9 6 5 4 8 2 3 1 7

6 7 4 5 2 8 1 9 3

3 4 8 2 9 6 7 5 1

1 5 8 4 9 3 2 7 6

6 7 2 8 5 1 9 4 3

9 2 3 1 7 6 5 4 8

5 9 1 7 3 4 6 2 8

4 8 7 6 5 2 3 1 9

2 8 6 1 7 9 5 3 4

3 6 5 9 1 7 4 8 2

1 3 9 5 4 8 2 7 6

2 9 1 3 8 4 7 6 5

7 5 4 6 2 3 1 8 9

2.

6. 5 8 4 3 2 1 7 6 9

5 4 1 2 8 6 9 3 7

1 7 6 9 4 8 2 5 3

6 8 7 3 9 5 2 1 4

2 3 9 5 7 6 4 1 8

3 2 9 7 4 1 5 6 8

4 9 8 2 1 5 3 7 6

1 7 8 9 3 2 6 4 5

7 6 1 8 3 4 5 9 2

4 9 6 5 1 7 3 8 2

3 5 2 6 9 7 1 8 4

2 3 5 8 6 4 1 7 9

9 4 7 1 6 2 8 3 5

9 6 3 4 5 8 7 2 1

8 2 3 7 5 9 6 4 1

7 5 4 1 2 3 8 9 6

6 1 5 4 8 3 9 2 7

8 1 2 6 7 9 4 5 3

3.

7. 9 4 7 8 6 2 5 1 3

9 8 3 1 5 4 6 7 2

5 6 1 3 7 9 2 8 4

1 6 4 3 7 2 9 5 8

3 8 2 5 1 4 7 6 9

7 2 5 9 6 8 1 4 3

1 3 6 9 2 5 8 4 7

3 9 7 5 1 6 8 2 4

7 9 8 6 4 3 1 2 5

2 1 8 7 4 3 5 9 6

4 2 5 1 8 7 3 9 6

4 5 6 2 8 9 3 1 7

8 5 3 4 9 1 6 7 2

8 3 1 4 9 7 2 6 5

6 7 4 2 3 8 9 5 1

6 4 9 8 2 5 7 3 1

2 1 9 7 5 6 4 3 8

5 7 2 6 3 1 4 8 9

4.

8. 6 9 5 1 2 3 8 7 4

4 6 8 9 2 1 7 5 3

7 1 4 5 8 6 3 2 9

7 2 1 6 3 5 9 8 4

3 8 2 9 4 7 5 1 6

3 5 9 8 4 7 1 2 6

9 2 7 6 1 2 4 8 5

8 1 3 5 6 4 2 9 7

2 5 8 3 7 4 6 9 1

6 4 2 7 1 9 5 3 8

1 4 6 8 5 9 2 3 7

9 7 5 3 8 2 6 4 1

5 3 1 7 6 8 9 4 2

5 3 7 4 9 6 8 1 2

8 2 7 4 9 5 1 6 3

1 9 4 2 7 8 3 6 5

4 6 9 2 3 1 7 5 8

2 8 6 1 5 3 4 7 9


1. 3 2 2 4

5

8

4

5

7

4

9 1 5 9

6

7

2

1

4

6

3 4

1

6 7 9 8 9

3

3 5

7 5

6 5

4 2

3 1

8 1

7

4 1 5

6 8

6

3

6 1 7

7 3 8

8 2

1

7

4 2

1

2.

8

2 9

6

6. 4

7 6

8

9 8 3 7 1

6

3

9 6 1

6

4

7 8

2 3

1 4

8

8

7

8 2

7 8

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L.A_ACTIVIDADES_TRIGO 3° COLEGIO SAN MARCOS

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