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Material Didáctico – 4° de
Ecuación de la recta
Tema
02
1. Pendientes de una recta 1.1. Inclinación de una recta. Es el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Se mide a partir del eje X hasta la ubicación de la recta, tomado en sentido antihorario.
: medida del ángulo entre la la recta L y el eje X β : medida del ángulo entre la recta L1 y el eje X α
1.2.Pendiente 1.2. Pendiente de una recta. Se denomina pendiente de una recta a la tangente de la medida del ángulo formado por la recta y el eje X. Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra m minúscula. En la figura: Sea m la pendiente de la recta L. Luego m = tg α Si α < 90º, entonces m es positiva. Sea m1 la pendiente de la recta L 1. Luego m1= tgβ Si β > 90º, entonces m1 es negativa. 1.3.Pendiente 1.3.Pendiente de una recta que pasa por dos puntos La pendiente de una recta puede ser calculada conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta. En la figura: Sea la recta L cuya pendiente es m Luego m = tga − En el AMB: = −
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1.4.
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Condición de paralelismo Si θ = 0° m1= m2 Esto quiere decir que las rectas son paralelas. Si L1 // L2 m1=m2 m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2, respectivamente.
1.5.Condición de perpendicularidad Si θ = 90° m1.m2= –1 Esto quiere decir que las rectas son perpendiculares. En la figura: Si L1 L2 m1.m2= – 1 m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2, respectivamente. 1.6.
Ángulo entre dos rectas Sean: L1 : cuya pendiente es m 1 L2 : cuya pendiente es m 2 Luego: m1= tgβ, m2= tgα ∆ABC teorema: θ = α – β Luego: tgθ = tg(α – β) 1 + . Reemplazando tgα = m2 y tgβ = m1, se tiene: =
=
1 + .
2. Línea recta 2.1.Definición La ecuación de la forma Ax +By + C = 0 representa geométricamente la ecuación de una recta, así tenemos: 2.2. 2.3.
Ecuaciones de la recta Ecuación general
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Toda ecuación de la forma Ax + By + C = 0, se denomina ecuación lineal en variables x e y o de primer grado, donde (x, y) pertenece a dicha recta. Esta es la ecuación general de una recta, se cumple para todo valor de x e y que satisface dicha ecuación. Del gráfico: L
: Ax + By + C = 0
Ecuación general
Donde: A, B y C son constantes, siendo m su pendiente, x e y son variables genéricas del sistema XY. 2.4.
Ecuación punto pendiente
La ecuación de una recta que pasa por un punto P(x1, y1) y tiene una pendiente m es: y – y1= m(x – x1) Donde: P(x1, y1) : punto de paso A(x, y) : punto genérico m : pendiente 2.5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos La ecuación de una recta que pasa por los puntos P(x1, y1) y Q(x2; y2) es: − = ( − )( 1).
2.6.
Formas de la ecuación de la recta
2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15.
Ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen Ecuación de la recta en su forma simétrica Familia de rectas Ecuación de la recta en su forma normal Rectas notables en el triangulo Mediatriz Mediana Altura Bisectriz
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Ejercicios de aplicación d)
Nivel 01.Una recta de pendiente 3, pasa par el punto (3, 2), la abscisa de otro punto de la recta es 4; hallar su ordenada. a) 1 d) -5
b) -1 e) 3
c) 5
02.Una recta contiene al punto (-5, 6) y su pendiente es -3/2. Calcular el valor de la abscisa de un punto de la recta cuya ordenada es 4. a) 11/3 c)13/2 d) -13/2
b) -11/3 e) 11/5
03.Se tiene el segmento AB, tal que A (-4; 3) Y B (2; a). Si la pendiente del segmento AB es – 4/3, calcular la distancia de B al punto (-6; 8). a) √ 219 b) √ 222 c) √ 223 d) e) √ 233 √ 235 04. Una recta pasa por los puntos B (4; 1) Y A (-2; 3). Si un punto de abscisa 10 pertenece a dicha recta, ¿cuál será su ordenada? a) d) 7
4
b) 5
c) 6
e) 8
05.El ángulo de inclinación de una recta mide 53°y pasa por los puntos (-3, n) y (-5,4). Hallar el valor de n. a) 12/5
b) 28/5
c)-12/5
-28/5
e) 20/3
06. Una recta pasa por el punto A (7; 8) y es paralela a la recta que pasa por C (2; 2) y D (3; -4). Hallar la ecuación de la primera recta. a) 6x + 5y - 82 = 0 0 c) 6x + 5y + 82 = 0 e) 6x - 5y - 82 = 0
b) 5x + 6y + 82 = d) 5x + 6y - 82 = 0
07.Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es - 4 y pasa por la intersección de las rectas 2x+y +8 = 0 y 3x - 2y - 9 = 0 a) 4x - y + 10 = 0 c) 4x - y - 10 = 0 e) 2x + 2y - 10 = 0
b) 4x + y + 10 = 0 d) 2x - y - 10 = 0
08. Hallar la ecuación de una recta que pasa por los-puntos A (1; 1) y B (-1; 0). a) x - 2y + 1 = 0 =0 c) x + 2y + 1 = 0 e) x - y + 2 = 0
b) x - 2y -1 d) x + 2y -1 = 0
09. Determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a - 5 y que contiene al punto (0; 4). a) y + x - 2 = 0 =0 c) 2y + 3x - 6 = 0 e) y + 5x - 4 = 0
b) y +2x – 4 d) y - 2x + 4 = 0
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Guadalupe 10.La ecuación de una recta L es: 3x - 4y + 8 = 0. Hallar la pendiente de la recta L1, si L1 //L. a) 3/4 d)
2/3
b) 3/2
c)
- 3/4 e) 3/5
11. Se tienen los puntos P (1,2), Q (5,-6) y R (a, a). Determinar el valor de "a", para que el ángulo PQR sea recto. -15 b) -14 e) -21
c) -17
4y-3
b) 3 y - 4
4 y -1
e) 2 y -2
c) 4 y
13. Los vértices de un triángulo son: A (2; 5), B (5; 4) y C (-3; -4). Calcular la pendiente de la mediana relativa al lado AC. a) 7/11 d)
5/11
b) 2/13
9/13
e) 9/11
c)
14. EI ángulo formado por la recta que pasa por los puntos (-4; 5) y (3; y) con la recta que pasa por los puntos (-2; 4) y (9; 1) es de 135°. Hallar "y". a) d)
6 10
b) 12 e) 9
c) 8
15. Calcular el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación: 3x + 2y - 12 = 0 a) 8
b) 10
c) 16
e) 24
16. Se tiene un punto A(a, 3) cuya distancia a la recta L: 4x – 3y + 1 = 0 entonces, "a" vale. b) 7 e) 7 o -3
c) 3
17. Se tiene una recta cuya ecuación es: 4x – 5y + 17 = 0. Los puntos A (2, a) y B (b; 1) pertenecen a dicha recta. Calcular la longitud del segmento AB. a)
√ 37
b) 4√ 2
√ 34
e) 4√ 3
c) √ 41 d)
12. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6. ¿Cuál es la abscisa de A y cual la ordenada de B? a) -2 d)
12
a) 2 d) -3
Nivel
a) d) -19
d)
18. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A (-1;2) y que determina en el eje “x” un segmento de longitud – 6. a) 2x - 5y - 12=0 +12=0 c) x - 5y - 12=0 e) 3x - 2y - 6=0
b) 2x - 5y d) 3x - 2y + 6 = 0
19. En un sistema de ejes coordenados x e y se tienen ubicados los puntos F (- 3; 2) y G (1; 6). Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento ̅. a) x – y + 3 = 0 b) x + y + 3 =0 c) x + y - 3 = 0 d) x - y - 3 =0 e) -x + y - 2 =0 20.Si A (7; 9), B (-5; -7) y C (12 ; -3) son los vértices de un triángulo, entonces la ecuación de la mediatriz de AB es: a) 3x + 4y + 7 = 0 c) 3x - 4y + 7 = 0 e) 3x - 6y – 7 = 0
b) 3x + 4y - 7 d) 3x - 4y - 7 = 0
Nivel 21. Encontrar la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas
Material Didáctico – 4° de paralelas L1: 12x - 4y + 3=0 y L2: 12x 4y - 6 = 0. a) 16x – 8y + 3 = 0 0 c) 24x + 8y – 3 = 0 e) 24x + 8y + 3 = 0
d) 16x + 8y - 3 = 0
b) 2y - 3x - 6 = 0 d) y - 2x - 3 = 0
23.Los vértices de un triángulo son: A (-2; 3), B (5; 5) y C (3; -3). Calcular la ecuación de las bases media relativa al lado BC. a) 4x + y + 2 = 0
Guadalupe c) 2x – y – 2 = 0 =0 e) 2x + y – 2 = 0
d) 3x – y – 3
b) 24x - 8y - 3 =
22.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2 ; 0) y es perpendicular a la recta de ecuación: y = + 6. a) y - x - 3 = 0 c) 2y + 3x - 4 = 0 e) 2y- x - 4 = 0
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b) 4x – y – 2 = 0
24.Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por los puntos (-2; 1) y (9; 7) y la recta final pasa por el punto (3; 9) y por el punto A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A. a) 8 d)
b) -8 -4
c) 6 e) -5
25.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2; 3) y forma con la recta M: 2x + y – 1 = 0 un ángulo de 45°. a) x + 3y - 11 = 0 b) 2x + 3y + 11 = 0 c) x + 3y + 11 = 0 d) x+ 3y – 9 = 0 e) x + 3y + 9 = 0
Practicando y reforzando lo aprendido en casa Nivel 01.Los vértices de un triángulo son los puntas A (-2; 3), B (5; -4) y C (1; 8). Calcular la pendiente del lado mayor. a)
3
b) - 3
- 3/2
e) - 2/3
c) -2 d)
02.Los vértices de un triángulo son los puntos: (2, -2), (-1,4) y (4, 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. – 1; -1/5 y 7/3 a) b) 2; 1/5 y 7/2 c) -2; 5 y 7/3 d) -1; -5 y 7 e) -1; 1/5 y 7/3
-
03.Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3; 4) y B (-5; -7).
a) 8x + 11y - 1 = 0 c) 11x+ y - 1= 0 1=0 e) 8x + 11y + 1 = 0
b) 8x - 11y - 1 = 0 d) 11x - 8y -
04. Hallar el área del triángulo que forma la recta, de ecuación: x – 2y + 4 = 0, al interceptarse con los ejes coordenados. a)
6 u2
c) 4 u2 d) 10 u2
b) 8 u2 e) 9 u2
Nivel 05.En un triángulo ABC, encontrar la ecuación de la mediana relativa al lado AB si: A (-3; 8), B (1; 6) y C (- 5; -2). a) 9x +4y - 37 = 0 0
b) 6x - 4y - 17 =
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Guadalupe c) 9x - 4y + 37 = 0 0 e) 6x - 9y - 37 = 0
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d) 6x + 4y - 27 =
06. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7) a) 5x - 9y + 38 = 0 b) 5x + 9y - 2 = 0 c) 5x + 9y + 2 = 0 d) 5x + 9y + 38 = 0 e) 5x + 9y - 38 = 0 07.Una recta pasa por los puntos M (-12; 13) y N(-2, - 5). Hallar sobre esta recta, el punto cuya abscisa es 3. a) P(3,1) d) P(3,3)
b) P(3,2) e) P(3,-1)
c) P(3,-2)
08. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(-3;2) y B(1 ;6) a) x - y + 3 = 0 c) x+ y + 3 = 0 e) x+ y - 4 = 0
b) 2x - y - 3 = 0 d) x + y - 3 = 0
Nivel 09. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice B (3 ; 5) de un triángulo y es paralela a la mediana AM, siendo las coordenadas de los vértices A (1 ;0) y C (9; 3). a) 4x – 5y + 12 = 0 =0 c) 4x – 5y + 13 = 0 e) 4x – 5y + 10 = 0
b) 4x – 5y – 13 d) 4x – 5y – 10 = 0
10.La recta de ecuación: 2x – 3y + 12 = 0 determina, al interceptarse con los ejes ̅ . coordenados, el segmento de recta Hallar la ecuación de la mediatriz de ̅ . a) 3x + 2y + 5 = 0 c) 4x – 2y – 5 = 0 5=0 e) 3x + 2y – 5 = 0
b) 3x – 2y + 5 = 0 d) 4x + 2y –
Cuadro de respuestas Bloque de ejercicios 01. 06. 11. 16. 21.
02. 07. 12. 17. 22.
03. 08. 13. 18. 23.
04. 09. 14. 19. 24.
05. 10. 15. 20. 25.
Practicando y reforzando en casa
01. 06.
02. 07.
03. 08.
04. 09.
05. 10.
Mas problemas 01. Dados los puntos A(3,-1) y B(2,1) determinar las coordenadas del punto M simétrico al punto A con respecto al punto B. a) (1; 3) b) (-1,3) c) (1,-3) d) (2,3) e) (-2,-3) 01.Se tiene el segmento AB, tal que A (-4; 3) y B (2, a). Si la pendiente del segmento AB es 2/3, calcular la distancia de B al punto (-2, -6). a) √ 185 d)
√ 163
b) √ 171
√ 181
e) √ 173
c)
02.Los vértices de un triángulo son los puntos A (-2; 3), B (5; -4) y C (1; 8). Calcular la pendiente del lado mayor: a) 3/2 d) -3
3
b) - 2
c)
-
e) - 2/3
03.Se tiene un triángulo cuyos vértices son: A (-2; 1), B (4; 7) y C (6;-3). Hallar la ecuación de la mediana relativa al lado AC. a) 4x - y - 9 = 0 +y-9=0
b) 4x
Material Didáctico – 4° de c) 3x - y - 9 = 0 9=0 e) 3x + y - 9 = 0
d) 4x – y +
a) 9x + 6y + 25 = 0 b) 9x - 6y - 25 = 0 c) 6x + 9y - 25 = 0 d) 9x + 6y - 19 = 0 e) 6x - 9y - 25 = 0 05.La recta R pasa por el punto P (1; 2) y forma con los ejes coordenados un triángulo cuya área es 4. Hallar la ecuación de la recta R. b) 4x + 2y - 8 = 0 d) 4x - y + 8= 0
06. Una recta, cuya pendiente es 1/3, pasa por el punto de intersección de otras dos rectas cuyas ecuaciones son: 4x - 3y + 12 = 0 y x + y -11 = 0. Hallar la ecuación de la primera recta. a) x + 3y + 21 = 0 c) 3x – y – 21 = 0 21 = 0 e) x + 3y – 21 = 0
Guadalupe a) d)
04. Los vértices de un triángulo son: A (4; 2), B (-3; -1) y C (6; -2). Hallar la ecuación de la recta que pasa por su baricentro, si su pendiente es -3/2.
a) 4x - 2y + 8 = 0 c) 4x + 2y + 8 = 0 e) 4x + y – 8 = 0
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b) 3x + y +21 = 0 d) x - 3y +
07.En la figura, hallar el área del paralelogramo OABC si: . P: 3y - 4x – 14 = 0 Q: 3y - 4x = 0 W: x + by + c =0 a) 30 b) 32 c) 40 d) 28 e) 24 08. Los vértices de un triángulo son: A (1; -7), B (3; 9) y C (8; -3). Hallar el valor de la altura relativa al lado AC.
√ 97 √ 89
b) e)
√ 97 √ 95
c)
√ 89
09. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 2) y por el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son P: 2x – 3y – 12 = 0 y Q = x + 3y – 6 = 0. a) x + y – 6 = 0 =0 c) x – y – 6 = 0 e) x + y – 12 = 0
b) 2x+ y – 6 d) x + y – 3 = 0
10.Se tiene un triángulo cuyos vértices son: A (-3; 2), B (9; 6) y C (1; -2). Hallar las coordenadas de su circuncentro. a) (3; 4) d) (5; 2)
b) (4; 3) e) (2; 4)
c) (2; 5)
11. En un triángulo ABC, calcular la distancia del ortocentro a la base media relativa a BC, si: A (-2; 7), B (7; 7) y C (4; 1). a) √
d)
√ 5
b) √ 5
√ 5
e) √ 5
c)
12. Se desea hallar la ecuación de una recta que, interceptando sobre el eje positive de las x un segmento de longitud igual a 7 unidades, pase además por el punto de abscisa x = 4 perteneciente a la recta dada por: 5x + 3y = 30. a) 10x + 9y - 70 = 0 b) 9x + 10y – 70 = 0 c) 10x + y – 60 = 0 d) x + 9y – 70 = 0 e) No existe la recta. 13. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos, cuya diferencia de los cuadrados de sus
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Guadalupe distancias a los puntos A( -a; 0) y B (a;0) sea igual a C. a)
4ax – ay = C
c) x + y = C/a e) y = C/2a
b) x = C/4a d) x – y – C/a = 0
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