Prirodno matematički fakultet Banja Luka Smjer: Matematika i informatika, nastavni
Seminarski rad iz predmeta Metodika nastave matematike 2
Student: Jovana Perać
Profesor: dr Dusko Bogdanic
Priprema za čas matematike
Ime i prezime: Jovana Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : III Čas : Datum : Nastavna oblast Nastavna jedinica
Tip časa
Analitička geometrija u prosoru Ugao između prave i ravni, između mimoilaznih pravih, između dvije ravni Obrada
Uočavanje raznih odnosa između pravih u prostoru, ravni u prosoru i njihovog međusobnog položaja u prostoru.
Cilj časa Zadaci Obrazovni zadaci
Sticanje znanja o odnosima elemenata u prostoru, konkretno o odnosima prave i ravni.
Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci
Razvijati logičko zaključivanje.
Oblici rada Nastavna sredstva
Frontalni Tabla, kreda trougao...
Razviti preciznost i strpljenje.
Struktura i tok časa Uvodni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice.
Glavni dio
Završni dio
35 minuta. Isticanje cilja č asa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava objašnjava novu nastavnu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Priprema za čas matematike
Ime i prezime: Jovana Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : III Čas : Datum : Nastavna oblast Nastavna jedinica
Tip časa
Analitička geometrija u prosoru Ugao između prave i ravni, između mimoilaznih pravih, između dvije ravni Obrada
Uočavanje raznih odnosa između pravih u prostoru, ravni u prosoru i njihovog međusobnog položaja u prostoru.
Cilj časa Zadaci Obrazovni zadaci
Sticanje znanja o odnosima elemenata u prostoru, konkretno o odnosima prave i ravni.
Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci
Razvijati logičko zaključivanje.
Oblici rada Nastavna sredstva
Frontalni Tabla, kreda trougao...
Razviti preciznost i strpljenje.
Struktura i tok časa Uvodni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice.
Glavni dio
Završni dio
35 minuta. Isticanje cilja č asa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava objašnjava novu nastavnu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Ugao između prave i ravni, između mimoilaznih pravih, između dvije ravni Prvo se podsjetimo šta je to prava, a š ta ravan u prostoru.
Postoji više načina da zadamo pravu u prostoru. Jedan je primenljiv u svakoj dimenziji: zadavanje prave tačkom i vektorom pravca . Prava se mož e zadati i kao presjek dvije ravni,tj.sistemom dvije linearne jednčine po tri nepoznate. To odgovara č injenici da je dimenzija prave 3 − 2 = 1. Primetimo da u prostoru prava nema jedinstven normalni vektor, već čitavu ravan normalnih vektora. Neki od oblika jednačine prave u prostoru:
Parametarska jednačina prave: , ,
,
gdje su (
koordinate tač ke, a (
vektor pravca.
ine prave: Kanonski oblik jednač ine
Ravan u prostoru je analogna pravoj u ravni. Naime, oba objekta su opisana jednom linearnom jednačinom, samo što je u slučaju prave ta jednačina po dve promenlive x, y, a u slučaju ravni, ta je jednač ina po tri promenljive x, y, z. Odatle dobijamo da je dimenzija ravni 3 − 1 = 2 . Zato je za dimenziju ravni potrebno dva nezavisna vektora. Neki od oblika jednačine prave u prostoru:
Implicitna jednačina ravni:
, pri čemu nisu sva tri koeficijenta , , jednaka 0.
Parametarska jednačina ravni: , , , za .
Ugao izmeđ u prave i ravni
Ugao između prave ′ na ravan.
Uz pomoć normalnog vektora
kao:
i ravni α je po definiciji ugao između prave i njene normalne projekcije
ravni i vektora pravca prave
Slika 1: Ugao izmedju prave i ravni
Zadatak 1.
taj se ugao može izraziti
Ugao između mimoilaznih pravih
Prvo pogledajmo sta su to mimoilazne prave. Mimoilazne prave i imaju jedinstvenu zajedničku normalu, tj. pravu
i i na njih je normalna.
koja sječe obe prave
Slika 2: Mimoilazne prave
Ugao između dvije prave
Ugao između pravih i
definišemo kao oštar ugao između njihovih normalnih vektora, tj.
.
Ova definicija ugla važi i za mimoilazne prave.
Ugao između dvije ravni
Podsjetimo se kako se određuje ugao između ravni i . Neka je ravan koja ja normalna na ravni i (tj. normalna je na njihovu presječnu pravu) i koja ih sječe po pravama redom i ugao između ravni i jednak je uglu između pravih i .
Slika 3: Ugao između ravni
Kako za normalne vektore ravni i normalnim kracima, imamo
važi
, na osnovu jednkosti uglova sa
Zato ugao između ravni računamo sledećom formulom:
.
.
Zadatak 2. Odredii ugao između ravni koja prolazi kroz tačke ravni xOz.
i paralelna je s
Zadaća: 1)
.
2)
i ravni koja prolazi tačkom
Priprema za čas matematike Ime i prezime: Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : III Čas : Datum : Nastavna oblast
Obrtna tijela
Nastavna jedinica
Cilindrična površ i valjak. Konusna površ i kupa.
Tip časa
Obrada
Cilj časa
Uočavanje razlicitih geometrijskih oblika kao sto su pravilna kupa i pravilan valjak (kosa kupa i kosi valjak). Njihovo grafičko predstavljanje i izračunavanje zapremine i površine ovih tijela.
Zadaci Obrazovni zadaci
Sticanje znanja o izgledu valjka i kupe, izračunavanju njihovih površina i zapremina.
Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci
Razvijati logičko zaključivanje.
Oblici rada Nastavna sredstva
Frontalni Tabla, kreda...
Razviti preciznost i strpljenje.
Struktura i tok časa Uvodni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice.
Glavni dio
Završni dio
35 minuta. Isticanje cilja č asa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavn ik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Cilindrična površ i valjak. Konusna površ i kupa.
Neka je proizvoljna linija ravni i neka je prava koja prodire tu ravan. Skup tačaka svih pravih koje sijeku liniju , a paralelne su sa pravom naziva se cilindrična površ (slika 1). Linija je vodilja (direktrisa), a prave koje sijeku i paralelne su sa su izvodnice (generatrise)
cilindrične površi. Ako je vodilja prosta linija (tj. ne siječe samu sebe), i odgovarajuća cilindrična je prosta; inače je složena. Cilindrična površ je otvorena ako je vodilja otvorena linija (Slika 1a); inače je zatvorena (Slika 1b).
Slika 1
Slika 2
Ako je vodilja cilindrične površi kružna linija, tada se za cilindričnu površ kaže da je kružna (Slika 2). Sve ravni paralelne sa ravni vodilje kružne ilindrične površi sijeku tu površ po podudarnim kružnim linijama. Dio prostoraograničen kružnom cilindričnom površi i dvjema podudarnim kružnim površima (koje nastaju kada se cilindrična površ presječe sa dvije paralelne ravni) naziva se valjak (Slika 3).
Slika 3
Slika 4
Na slikama 3 i 4 kružne površi su osnove valjka , a dio cilindrične površi između osnova je omotač valjka.
Izvodnice cilindrične površi koje pripadaju omotaču valjka zavu se izvodnice valjka. One su sve paralelne i jednake. Rastojanje između valjka naziva se visina valjka, a duž koja spaja središte osnova valjka naziva se osa valjka. Ako je osa valjka normalna na ravni osnova, valjak je prav (Slika 4); inače je kos. U prvom valjku osa je ujedno i visina.
Površina i zapremina valjka
Površina valjka:
Zapremina valjka:
B - baza valjka, M – omotač valjka, H – visina valjka, r – poluprecnik osnove
Zadatak 1.
poluprečnika osnove
Zadatak 2. Naći zapreminu valjka čija je površina
ako je razlika visine i
, pri čemu Sada lako možemo izračunati H. ,
Sada izračunajmo zapreminu dato valjka.
ne može biti rješenje jer je negativno.
Zadatak 3. Obim osnove valjka iznosi
, a površina osnog presjeka je
površinu i zapreminu valjka.
izračunati
,
,
Izračunajmo sad površinu i zapreminu datog valjka.
,
,
Zadaća:
1. U trostranu prizmu čije su osnovne ivice a = 13, b = 14 i c = 15 upisan je i oko nje opisan
valjak. Naći odnos zapremina ta dva valjka. 2. U pravilnu četvorostranu prizmu upisan je valjak. Odrediti zapreminu valjka ako je zapremina prizme 128 cantimetara kubnih.
3. Pravilna trostrana prizma upisana je u valjak ciji je poluprecnik osnove 6cm, površina . Izračunati površinu i zapreminu prizme. osnog presjeka je 13
Konusna površ i kupa
Neka je proizvoljna linija ravni i neka je tačka koja ne pripada toj ravni. Skup tačaka svih pravih koje sadrže tačku i sijeku liniju naziva se konusna površ . Linija je vodilja(direktrisa) konusne površi, a prave koje sadrže tačku i sijeku vodilju su izvodnice (generatrise). Tačka je vrh konusne površi.
Proste, otvorene i zavorene konusne površi definišu se analogno prostim, otvorenim i zatvorenim cilindričnim površima. Specijalno ako je vodilja konusne površi kružna linija, takva konusna površ je kružna. Krug (određen vodiljom kružne konusne površi) i dio konusne površi koji se nalazi između te vodilje i vrha ograničavaju dio prostora koji se naziva kružna kupa ili, kraće , kupa. Taj krug je osnova kupe, a konusna površ između vrha i osnove je omotač kupe. Izvodnice konusne površi koje pripadaju omotaču nazivaju se izvodnicama kupe. Rastojanje između vrha i ravni osnove kupe je visina kupe, a duž koja spaja vrh sa središtem osnove je osa kupe. Kupa je prava ako je osa normalna na ravan osnove; inače je kosa. Osa prave kupe ujedno je i njena visina (Slika 6).
Slika 6
Slika 7
Ako se kupa presječe sa ravni koja je paralelna ravni osnove, dobija se krug. Dio kupe između osnove i tog kruga naziva se zarubljena kupa (Slika 7). Ona je ograničena dvjema kružnim površinama (tzv. osnovama) i dijelom konusne površi između njih.
Površina i zapremina kupe
izvodnica
vrh
visina
poluprečnik osnove
Prava kupa
Površina kupe:
Zapremina kupe:
,
Zadatak 1. Omotač kupe
kruga čiji je poluprečnik
. Izračunati površinu i zapreminu kupe.
Izračunajmo sad površinu kupe:
Zadatak 2. Odnos poluprečnika osnove i visine kupe je 3:4. Površina omotača je 60
Izračunati zapreminu kupe.
.
Podijelimo sada ovu jednakost sa i dobicemo:
(1)
S druge strane imamo:
(2)
Iz (1) i (2) imamo:
Iz (2) Iz (1)
Sada izračunajmo zapreminu kupe.
Zadaća: 1. Pravougli trougao čije su katete 15cm i 20cm rotira oko hipotenuze. Naći zapreminu dobijenog tijela. 2. Jednakostranični trougao stranice 6cm rotira oko prave koja sadrži jedno tjeme trougla i paralelna je naspramnoj stranici. Izračunati površ inu i zapreminu dobijenog obrtnog tijela.
Priprema za čas matematike Ime i prezime: Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : III Čas : Datum : Nastavna oblast
Vektori
Nastavna jedinica
Vektorski proizvod vektora i njihove osobine, veza sa površinom trougla.
Tip časa
Obrada
Cilj časa
Uočavanje kako se vektorski proizvod moze primjeniti na izračunavanje površine paralelograma, tj. trougla.
Zadaci Obrazovni zadaci Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci Oblici rada Nastavna sredstva
Sticanje znanja o vektprskom proizvodu vektora i njegovoj primjeni na
izračunavanje površine trougla. Razvijati logičko zaključivanje. Razviti preciznost i strpljenje. Frontalni Tabla, kreda trougao...
Struktura i tok časa Uvodni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se
obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice. Glavni dio
Završni dio
35 minuta. Isticanje cilja č asa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Vektorski prizvod vektora i njegove osobine, veza sa površinom trougla
tri nekolinearna vekora dovedena na zajednički početak O i neka su orijentisane poluprave kojima ti vektori pripadaju. Ako je najkraći put da se od dođe do poluprave poluprave rotacijom oko poluprave u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu, onda se kaže da vektori (tim redom) obrazuju desni sistem vektora (Slika 1). Obrnuto, ako je ta rotacija u smjeru kretanja kazaljke na satu, onda se kaže da čine lijevi sistem vektora (Slika 2). vektori Neka su
Slika 1
Slika 2
Imena desni i lijevi sistem potiču uslijed sljedećeg tumačenja: desni sistem može biti predstavljen sa tri prsta desne ruke (palac odgovara vektoru , kažiprst vektoru , a srednji prst vektoru ), dok lijevi sistem može na isti način biti predstavlj en prstima lijeve ruke.
Sada možemo da defimnišemo tzv. vektorski proizvod dva vektora.
Za dva nekolinearna vektora i njihov vektorski proizvod , u oznaci a) intenzitet
);
b) pravac normalan na ravan određenu vektorima c) smjer takav da tri vektora
, ,
, je vektor čiji je:
i ;
tim redom ćine desni sistem vektora.
Ako su i kolinearni vektori, tada je, po definiciji,
. Specijalno,
.
Osobine vektorskog proizvoda
1)
antikomutativni zakon
2)
asocijativni zakon ne važi za vektorsko množenje
3)
,
4)
,
distributivni zakon u odnosu na sabiranje
5) Za uzajamno normalne vektore , , koordinatnih osa imamo: itd.
o
Vektorsko množenje vektora , ,
pregledno zapisujemo pomoću sledeće
tablice:
Izvedimo sada formulu za vektorski proizvod dva vektora pomoću njihovih koordinata. Neka je ,
. Imamo, dakle:
,
pa na osnovu dokazanih osobina vektorskog proizvoda dobijamo:
To jest:
Primjetimo da se formula za vektorski proizvod vektora
zgodno napisati u obliku simbolične determinante:
i
može
Veza vektorskog proizvoda sa površinom trougla
Slika 3
Ako nad vektorima i
kao što znamo, vektorima i
konstruišemo paralelogram (Slika 3), tada njegova površina P iznosi, . Prema tome, za površinu P paralelograma konstruisanog nad
važi
.
Primjer 1. Izračunajmo površinu trougla ABD čija su tjemena A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), D = (4, 3, 5).
Površina P rougla ABD jednaka je polovini površine paralelograma konstruisanog nad vektorima
i
:
Zadatak 1. Izračunati vektorski proizvod vektora
Zadatak 2. Neka su zadani kolinearni vektori
i
.
. Izračunati
i
.
,
-
+
Zadaća:
1) Neka je 2) Neka je
. Izračunati
.
. Izračunati
.
Priprema za čas matematike Ime i prezime: Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : III Čas : Datum : Nastavna oblast
Analitička geometrija u ravni
Nastavna jedinica
Opšti i segmentni oblik jednačine prave
Tip časa
Obrada
Uočavanje položaja prave u ravni, tj. u odnosu na Dekartov koordinatni
Cilj časa
siste, njen presjek sa x i y osom.
Zadaci Obrazovni zadaci
Sticanje znanja položaju prave u ravni, njenim oblicima jednačine i sta nam ti oblici govore o pravoj.
Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci
Razvijati logičko zaključivanje.
Oblici rada Nastavna sredstva
Frontalni Tabla, kreda trougao...
Razviti preciznost i strpljenje.
Struktura i tok časa Uvodni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se
obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice. Glavni dio
Završni dio
35 minuta. Isticanje cilja č asa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Opšti i segmentni oblik jednačine prave
Pojam prave jedan je od osnovnih pojmova elementarne geometrije. U nekimzasnivanjima
geometrije prava se uzima kao polazni pojam (koji se ne definiše), a u nekim se definiše pomoću pojmova „tačka“ i „između“. Polazimno od činjenice da dvije ( naravno različite) tačke određuju (definišu) jadnu i samo jednu pravu, tj. da postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dvije date tačke.
dvije date tačke i Dekartovom koordinatnom sistemu.kao što smo već rekli, tim tačkama potpuno je određena prava . Izvedimo njenu jednačinu. Neka su
i
proizvoljna tačka prave . To znači da tačke pravoj liniji, pa je površina trougla jednaka , odakle slijedi: Neka je
, ,
pripadaju jednoj
(1)
to jest
(2)
Obrnuto, ako tačka
zadovoljava jednačinu (2), to jest (1), to znači da je površina trougla jednaka , pa tačke , , pripadaju jednoj pravoj. Prema tome, (1) ili ekvivalentno (2) jeste jednačina prave koja je određena tačkama i
.
Ako u (2) stavimo:
,
,
vidimo da jednačina prave ima oblik:
(3)
uz uslov bi bilo
, što znači da brojevi i ne mogu istovremeno biti jednaki 0. Zaista kada , pa tačke i ne bi bile dvije različite tačke. , imali bi smo
Oblik (3) je opšti oblik jednačine prave .
U specijalnim slučajevima imamo:
a) b) c) d)
,
prava paralelna
- osi
,
prava paralelna - osi
jednačina – ose jednačina – ose
Definišimo sada segmentni oblik jednačine prave.
,
Segmentni oblik jednačine prave
- odsječak na - osi
- odsječak na - osi
Data prava prolazi kroz tačke
i
Slika 1 Zadatak 1. Date su tačke
Napisati jednačinu prave kroz te tačke ( u
opštem obliku) i odrediti odsječke na x i y osi .
Opšti oblik jednačine prave je
, pa za
uvrstimo dobijene vrijednosti i
dobicemo:
Ovo je opšti oblik jednačine prave. Ako ovu jednačinu prave podjelimo sa 3 dobicemo:
Iz segmentnog oblika prave
vidimo da je
i
.
Zadatak 2. Površina trougla koji data prava gradi sa koordinatnim osama (pozitivnim dijelom
ose) (Slika 2) je 16, a
izračunati
i
i napisati jednačinu date prave.
(1)
(2)
Iz (1)
Uvrstimo to u (2), pa imamo:
Slika 2
Rjesimo sada dobijenu kvadratnu jednačinu.
i
Sada kada smo izračunali Iz (1)
lako možemo izračunati i
Dakle, postoje dvije jednačine date prave, a to su:
1.
2.
.
i
Zadatak 3. Datu jednačinu prave
prevesti i opšteg u segmentni oblik.
Dakle, imamo da je
i
Zadaća:
1) Ispitati da li tačka
.
pripada pravoj
2) Naći tačke koje pripadaju pravoj
. Naći
i imaju apscise
tačke koje pripadaju pravoj 3) Date su tačke
.
i imaju ordinate
.
odrediti tačku koja pripada pravoj
takvu da je površina trougla
jednaka 8.
4) svesti na segmentni oblik i konstruisati prave date jednačinama:
5) Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku
jednake odsječke.
i odsjeca na koordinatnim osama
Priprema za čas matematike Ime i prezime: Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : III Čas : Datum : Nastavna oblast
Nizovi
Nastavna jedinica
Granična vrijednost niza
Tip časa Cilj časa
Obrada
Uočavanje granične vrijednosti niza.
Zadaci Sticanje znanja o nizovima i njihovim graničnim vrijednostima.
Obrazovni zadaci Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci
Razvijati logičko zaključivanje.
Oblici rada Nastavna sredstva
Frontalni Tabla, kreda trougao...
Razviti preciznost i strpljenje.
Struktura i tok časa Uvodni dio
Glavni dio
Završni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice. 35 minuta. Isticanje cilja casa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne
jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavn ik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Granična vrijednost niza
Opisno govoreći, jedan od centralnih problema koji se postavljaju za niz jeste pitanje šta se dešava sa opštim članom kada postaje sve veće i veće (ili, kako se čestp kaže, kada neograničeni raste). Da bi smo bliže objasnili, posmatrajmo niz:
Jasno je da šo je obzirom da je
veći prirodan broj, opšti član ovog niza
postaje sve manji i, s
, sve se više približavaju broju 0.
Naravno, ni za jedan prirodan broj
(1)
veliki , možemo učiniti da se
neće
biti jednako 0. S druge strane, uzimajući dovoljno
razlikuje od 0 za onoliko malo koliko želimo.
Dakle, iako
nikad nije 0, što je
veće i veće,
je sve bliže broju 0. Zbog toga kažemo da je 0
granična vrijednost (limes) niza (1) i pišemo:
Def. Ako svi članovi nekog niza
, osim možda njih konačno mnogo,
imaju osobinu S, onda se kaže da skoro svi članovi niza
imaju osobinu S.
Neka je realan broj i neka je pozitivan broj. Interval
, tj. skup
naziva se - okolina broja (tačke) .
Koisteći se uvedenim pojmovima, sada smo u mogućnosti da precizno definišemo granični
vrijednost niza.
Def. Realan broj je granična vrijednost niza
nalaze skoro svi članovi niza . Broj je granična vrijednost niza da je
Ako takav broj se:
, za svako
ako se u proizvoljnoj - okolini broja
ako za svako pozitivno postoji prirodan broj
.
postoji, onda se kaže da je niz
Broj je tačka nagomilavanja niza
.
takav
konvergentan i da konvergira ka , i piše
Primjer 1. Dokažimo da je:
Na osnovu definicije granične vrijednosi, treba dokazati da se samo konačan broj članova niza
nalazi izvan - okoline broja 1, tj. izvan intervala
, gdje je
proizvoljan pozitivan broj.
Primjetimo prvo da lijevo od broja
imamo
, dok je
nema članova niza
, a ni za jedno
vidimo da li ima članova niza
. Zaista, kako je
ne može biti
desno od broja
,
. Ostaje, dakle, da
, tj. ostaje da se riješi nejednačina
. Ova nejednačina je ekvivalentna sa tj.
Sroga zaključujemo da su samo oni članovi niza
ili
.
za koje je
izvan – okoline broja 1.
Kako je određen pozitivan broj, njih je samo konačno mnogo. Prema tome,
Ako ne postoji realan broj takav da se u svakoj – okolini tog broja nalaze skoro svi članovi
, onda se kaže da niz
niza
Ako je
ili
nije konvergentan ili da je divergentan. niz određeno konvergira.
Operacije sa graničnim vrijednostima
Neka je 1) 2) 3)
4)
i
tada važi: ,
Zadatak 1. Izračunati sledeće limese: a)
b)
Napomena: Uopšteno
c)
d)
Zadatak 2. Naći graničnu vrijednost niza
.
Napomena: Kada su imenilac i brojilac istog stepena rjesenje je broj uz najveći stepen.
Zadatak 3. Naći graničnu vrijednost niza
Zadatak 4. Naći graničnu vrijednost niza
.
.
Napomena: Kada je stepen u brojiocu veći od stepena u imeniocu niz teži ka
zavisi od znaka uz nejvece stepene u brojiocu i imeniocu). Zadaća:
1) Naći graničnu vrijednost niza 2) Naći graničnu vrijednost niza 3) Naći graničnu vrijednost niza
.
.
.
ili
( znak
Priprema za čas matematike Ime i prezime: Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : III Čas : Datum : Nastavna oblast Nastavna jedinica
Tip časa Cilj časa
Kompleksni brojevi Korijeni kompleksnog broja, korijeni jedinice i njegova geometrijska interpretacija Obrada Uočavanje geometrijskog pedstavljanja kompleksnog broja,
izračunavanje njegovog korjena i uočavanje razlike sa korjenima realnog broja.
Zadaci Obrazovni zadaci Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci
Sticanje znanja kompleksnim brojevima i korjenima kompleksnog broja.
Razvijati logičko zaključivanje.
Oblici rada Nastavna sredstva
Frontalni Tabla, kreda trougao...
Razviti preciznost i strpljenje.
Struktura i tok časa Uvodni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice.
Glavni dio
Završni dio
35 minuta. Isticanje cilja č asa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Korijeni kompleksnog broja, korijeni jedinice i njegova geometrijska interpretacija
Izraz oblika
je algebarski oblik kompleksnog broja.
,
Dva kompleksna broja su jednaka ako imaju iste realne i imaginarne dijelove tj.
Neka je
kompleksan broj. Tada broj
nazivamo konjugovano
kompleksnim.
Upoznajmo se sada sa geometrijskim predstavljanjem kompleksnih brojeva. Kompleksne
brojeve možemo predstavljati tačkama ravni. Zaista, kompleksnom broju dodjeljuje se tačka u Dekartovom koordinanom sistemu , čije su koordinate i . Ravan u kojoj
predstavljamo kompleksne brojeve naziva se kompleksna ravan (Slika 1).
Slika 1
- modul kompleksnog broja
Prilikom ovog prikazivanja, brojevi oblika
predstavljeni su tačkama – ose. Ako
uzmemo da je ta - osa brojna prava na kojoj se predstavljaju realni brojevi, tada odmah vidimo da su realan broj i kompleksan broj
predstavljeni istom tačkom – ose.
Stoga dogovorno identifikujemo kompleksan broj
sa realnim brojem ; dakle, uzmimo
. Ovakvim dogovorom se ne narušavaju zakoni koji važe za realne i kompleksne brojeve jer na osnovu definicija operacija u važi: da je
;
;
;
Komplksan broj
.
naziva se imaginarna jedinica i označava se sa .
Neposredno utvrđujemo da je
Korijeni kompleksnog broja i korijeni jedinice
Neka je dati prirodan broj i neka je trigonometrijskom obliku, tj.
dati kompleksan broj, predstavljen u Na skupu
Ako je
rješavamo jednačinu po : (1)
, tada na osnovu Moavrove formule jednačina (1) postaje:
(2)
Napomena: Moavrova formula:
Koristeći teoremu o jednakosti kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, iz (2) dobijamo: odakle izlazi:
Stoga zaključujemo da je svaki od brojeva
, gdje je
(3)
rješenje jednačine (1).
proizvoljan cio broj, reklo bi se na prvi pogled da jednačina (1) ima beskonačno mnogo rješenja. O, međutim, nije tačno. Zaista, s obzirom na to da se Dakle, s obzirom da je
imamo:
tj.
(4)
, što zajedo sa (4) daje: . nastavljajući ovaj postupak vidimo da za svaki cio broj važi: , gdje je
Ako umjesto u formuli (4) stavimo
, dobijamo
prizvoljan cio broj.
, dovoljno je uzeti samo sledeć ih brojeva jer se ostali brojevi izraženi formulom (3) ponavljaju. Zaista, imamo, na
Prema tome, umjesto svih brojeva
, gdje je
primjer,
itd. Dokažimo još da su brojevi Neka,
i neka je
međusobno različiti.
. Pretpostavimo da je
, tj. da je:
Na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva u trigonometijskom obliku zaključujemo:
Prva od ovih jednakosti nije od koristi. Iz druge jednakosti, poslije množenja sa , dobijamo:
ili
odnosno
Kako je po pretpotavci,
, ili je
, zaključujemo da
ili je
(5)
. Neka je
. Tada, s obzirom da
, pa broj
nije cio broj.
Međutim, na desnoj strani jednakosti (5) nalazi se cio broj, što znači da smo došli do kontradikcije.
Obrnuto, ako je
tada
, pa broj
opet nije cijeli broj i opet
dolazimo do kontradikcije.
mora se odbaciti, pa zaključujemo da iz Sve u svemu, dokazali smo sledeći stav: Dakle, pretpostavka
izlazi
.
Ako je
uobičajeno je izvesti sledeću definiciju:
Neka je
Svako rješenje jednačine po
naziva se - ti korijen kompleksnog broja .
Na osnovu definicije iz prethodnog izlaganja zaključujemo: Svaki kompleksan broj
ima tačno
međusobno različiti - tih korijena.
Takođe je uobičajeno da se bilo koji - ti korijen broja sa
i da se dođe do formule:
(6)
Međutim, to nije korektno. Evo dva razloga.
1) Na lijevoj strani formule (5) nalazi se jedan simbol: , a na desnoj imam
međusobno različitih simbola:
Složili smo se da kompleksan broj .
, tj.
identifikujemo sa realnim brojem
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja 1 je .
odakle se, poslije skraćivanja sa
, pa formula (6) postaje:
dobija:
Što za
ili
(7)
nije tačno.
koji je bio uveden za nenegativne realne brojeve ne može da se direktno prenese i na kompleksne brojeve, jer dolazi do protivurječnosi tipa (7). Prema tome, simbol
. Neka je
Treba, dakle, uvesti neki drugi simbol, npr.
ili
za - ti korijen kompleksnog broja. Pri
tome treba imati na umu da taj „novi“ korijen , za razliku od „starog“ korijena jednoznačno definisan. Naime, umjest o nekorektne formule (6) imamo:
, nije
Primjer 1. Primjer 2.
.
Primjer 3. Izračunati
dakle, c
Zadaća:
1) Naći realni i imaginarni dio kompleksnog broja:
2) Izračunati:
Priprema za čas matematike Ime i prezime: Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : IV Čas : Datum : Nastavna oblast
Izvodi
Nastavna jedinica
Osnovne teoreme o izvodu. Izvodi elementarnih funkcija
Tip časa
Obrada Upoznavanje sa izvodima elementarnih funkcija i osnovnim teoremama o izvodima.
Cilj časa Zadaci Obrazovni zadaci Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci Oblici rada Nastavna sredstva
Sticanje znanja o izvodima funkcija i osnovnim teoremama koje se
koriste za izračunavanje izvoda. Razvijati logičko zaključivanje. Razviti preciznost i strpljenje. Frontalni Tabla, kreda trougao...
Struktura i tok časa Uvodni dio
Glavni dio
Završni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice. 35 minuta. Isticanje cilja časa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne
jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Osnovne teoreme o izvodu. Izvodi elementarnih funkcija. Podsjetimo se prvo sta je izvod.
Definicija Neka je
definisana na intervalu
, neka je
fiksirana tačka i neka je
priraštaj argumenta takav da je izvod intervala . Izvod funkcije u tački je granična vrijednost količnika priraštaja argumenta, kad priraštaj argumenta teži 0.
Izvod funkcije u tački predstavlja koeficijent pravca tangente te funkcije u toj tački.
Primjer 1. Naći izvod funkcije
u proizvoljnoj tački
.
Izvodi elementarnih funkcija:
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
5)
Lijevi i desni izvod funkcije lijevi izvod
desni izvod
tada postoji
Teoreme o izvodima 1) 2) 3) 4)
Zadatak 1. Izračunati izvode sledećih funkcija:
a)
b)
Zadatak 2. Izračunati izvode sledećih funkcija:
a)
b)
Zadatak 3. Izračunati izvode sledećih funkcija:
Zadatak 4. Izračunati izvode sledećih funkcija:
Zadaća:
Izračunati izvode sledećih funkcija: a) b) c) d) e) f)
Priprema za čas matematike Ime i prezime: Jovana Perać Škola : Gimnazija Razred : IV Čas : Datum : Nastavna oblast
Kombinatorika
Nastavna jedinica
Permutacije, varijacije i kombinacije (bez ponavljanja)
Tip časa
Obrada Upoznavanje sa osnovnim elementima kombinatorike, njihovo
Cilj časa
definisanje i upoznavanje sa njihovom primjenom pri rješavanju određenih matemaičkih problema.
Zadaci Obrazovni zadaci Funkcionalni zadaci Vaspitni zadaci Oblici rada Nastavna sredstva
Sticanje znanja o permutacijama, varijacijama i kombinacijama kao osnovnim elementima kombinatorike i njihova primjena pri rjesavanju
određenih matematičkih problema. Razvijati logičko zaključivanje. Razviti preciznost i strpljenje. Frontalni Tabla, kreda trougao...
Struktura i tok časa Uvodni dio
Glavni dio
Završni dio
Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice. 35 minuta. Isticanje cilja časa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne
jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicu uz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju. 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice. Zadaje zadaću.
Varijacije, permutacije, kombinacije (bez ponavljanja)
Definicija: Neka je
skup od elemenata. , niz od
različitih članova koji su elementi skupa nazivamo
varijacijom - te klase od elemenata skupa . - varijacija trece klase od elemenata
- varijacija pete klase od elemenata
.
Broj svih varijacija - te klase od elemenata
Varijacija - te klase od elemenata zove se permutacija
.
Ovo su varijacije I permutacije bez ponavljanja (elementi nizova su različiti). Definicija:
rayličitih elemenata . Bilo koji podskup ovog skupa elemenata pri čemu je zove se kombinacija - te klase bez ponavljanja od
Neka je dat skup od od
elemenata (u oznaci
).
- “en nad ka”
Napomena:
– proizvod prvih
prirodnih brojeva (čita se “en faktorijel”)
Zadatak 1. Koliko ima trocifrenih brojeva u čijem se zapisu ne pojave cifre 1 i 2? Kako se radi o trocifrenim brojevima, na prvom mjestu mo žemo birati 7 cifara, jer se 1 i 2 ne mogu pojaviti zbog uslova zadatka, a 0 se ne moze pojaviti jer tada ne bi imali
trcifren broj. Na drugom mjestu možemo birati 8 cifara, kao I na trecem. Dakle, rješenje je .
Zadatak 2. Koliko ima permutacija cifara 0, 1, …, 9 kojima 0 zauzima jedno od prva četiri mjesta I 9 jedno od poslednja tri mjesta?
Na prva četiri mjesta za 0 imamo 4 mogućnosti, a na poslednja tri mjesta za 9 imamo tri mogućnosi. Biramo jedno od prva četiri mje sta za 0 I jedno od posldnja tri mjesta za 9, a
ostalih 8 cifara permutujemo. Dakle, rjesenje je
.
Zadatak 3. Koliko se brojeva između 3000 I 6000 može formirati od cifara 0, 1, …, 7 ako
se ni u jednom broju ni jedna cifra ne može ponoviti? U zadatku nam se traže sve varijacije cifara 0, 1, …, 7 ali tako da se one nalaze između
3000 i 6000, što ćemo dobiti tako sto ćemo od svih varijacija ovih cifara oduzeti one koje su manje od 3000 I veće od 6000. Dakle, imamo:
Zadatak 4. Na koliko načina od 10 učenika možemo odabrati 3 za nagradno putovanje?
