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M-
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~ (jQ
o
n
~
~
(D
0...
~· \fJ. ~· \fJ.
~
~ ....
~
>
)
)
11.1
Generalidades
Uno de los objetivos fundamentales de los ingenieros de tránsito y transporte, es el de planear, diseñar y operar los sistemas viales de manera eficiente, tal que las demoras inducidas a los usuarios sean mínimas. En los períodos de máxima demanda, el movimiento vehicular se va tornando deficiente con pérdidas de velocidad, lo que hace que el sistema tienda a saturarse, hasta llegar a funcionar a niveles de conaestionamiento con las consiguientes demoras y colas asociadas. Las demoras pueden causarlas los dispositivos para el control del tránsito al interrumpir el flujo y las ocasionadas por la misma corriente vehicular en situaciones de flujo continuo. En el primer caso, todos los tipos de semáforos, así como las señales de ALTO y CEDA EL PASO producen detenciones en un viaje normal. En el segundo caso, se tienen demoras periódicas que ocurren corriente arriba de "cuellos de botella" durante las mismas horas del día, y las demoras no periódicas producto de incidentes (accidentes o vehículos descompuestos) o cierres eventuales de un carril o una calzada. La influencia de todas estas demoras puede medirse como una relación de demora, que consiste en la diferencia entre la relación del movimiento observado y la relación del movimiento considerada como normal para diferentes tipos de vías urbanas. Los valores mínimos para la relación del movimiento normal en términos de velocidad de recorrido son: para autopistas de acceso controlado 56 km/h, para arterias principales 40 km/h y para calles secundarias 32 km/h. Con estos datos se puede conocer, comparativamente, cuáles son las calles de la ciudad que están en condiciones más críticas. También se pueden comparar las calles de una ciudad con otra, conociendo alguna calle que opere en condiciones ideales, para así establecer la comparación con las otras que se hayan medido y saber el grado de congestionamiento en que se encuentran. Los capítulos 7, 8 y 12 del Manual de Estudios de Ingeniería de Tránsito [11, lo mismo que el capítulo 5 del Tomo III y IV del Manual de Planeación y Diseño para la Administración del Tránsito y Transporte de Bogotá D. C. 121, presentan en forma detallada los diversos métodos para llevar a cabo estudios de demoras a lo largo de 328
FUNDAMFNTOS Y AF JCACIONFS
rutas, en intersecciones y en vehíc~los de transporte público. Las demoras y las colas, resultado del congestionamiento, es un fenómeno de espera comúnmente asociado a muchos problemas de tránsito. La teoría de colas, mediante el uso de algoritmos y modelos matemáticos, es una herramienta importante para el análisis de este fenómeno. En general, las situaciones de demoras y colas las ocasiona la variabilidad del flujo de tránsito, pues hay periodos en que la demanda puede llegar a ser muy grande, o se presentan porque la capacidad del sistema varíe con el tiempo al darse el servicio por períodos.
Significado analítico de la congestión
11.2
En general la capacidad de un sistema es el número máximo de entidades que pueden ser procesados por unidad de tiempo. De allí que, la congestión ocurre porque el sistema tiene una capacidad limitada y porque la demanda colocada y el proceso mismo tienen un carácter aleatorio 131. Considérese un sistema con una capacidad de ¡J entidades por unidad de tiempo, conocida también como tasa de servicio. Como se vio en el Capitulo 1O, la capacidad es la tasa máxima y su inverso es el intervalo máximo; entonces, puede decirse que cada entidad consume un tiempo promedio fp en ser procesado (servido) de: 1
fp = -
(11. 1)
/J
Si las entidades llegan a una tasa ;\ por unidad de tiempo, entonces el tiempo total de procesamiento fr por entidad será de:
tr
=
tp,
para A:e; /J
oo,
para A > iJ
(11.2)
Esto se ilustra en la parte a) de la figura 11 .1. Si A> ¡J, puede ocurrir que: ( 1) el sistema colapse, esto es, que exista una completa congestión tal que no se procesen unidades ( fr = oo ); (2) se forme una cola de espera que crece cada vez más ( fp --+ oo ); o (3) bajo condiciones de estado no estacionarias, solamente cuando ;\ > ¡J por un intervalo limitado de tiempo, la cola que se forma eventualmente se disipa [31. Por otra parte, si ;\ y 1o ¡J son variables aleatorias, incluso cuando A < ¡J, las colas se pueden formar. Por lo anterior, en cualquier condición de estado (estacionario o no), el tiempo total de procesamiento tr, por unidad, es igual al tiempo promedio de procesamiento fp más el tiempo de demora t0 . Esto es :
tr
= fp
+ t0
(11.3)
329 Fl 11'\lnAMFf\JTn.C: Y API lt::At::tni\IF.C:
tr
tpL-- - - a)
o L-------------------------------------~---A ~ Ir
tpl--------------- ¡
1 ----¡ 1
1 1
1 p
1
: 1 1
b)
1
O
A
~
A
Fisura 11.1 Significado de la congestión
El significado práctico de la congestió n se ilustra en la parte b) de la figura 11 . 1 , cuya explicación analítica es la siguiente : Para el r ango de llegadas, O< A < A1 , no hay conaesti ón, fr = fp , ya que t0 = O. Para A > A1 , existe conaestión puesto que t0 > O , o lo que es lo mism o Ir > fp . Si A se incr em enta hasta que se aproxime a ¡.; , las demoras t0 se incr em entar án ' m as ' . aun Para cualquier nivel de demanda A mayor que la capacidad ¡.; , A> ¡.; , la cola crecer á infinitam ente si el nivel de demanda perman ece constante . Si Avaría, entonces la cola empezar á a disipar se, siempre y cuando A caiga por debajo de ¡.; .
11.3
Elementos de un sistema de filas de espera
De aquí en adelante, se usar á indistintam ente el tér mino cola,fila o lín ea de espera. Para car act erizar un fe nóm eno de esper a en un sistema vial de ser vicios, es necesario r esponder a interr ogantes t ales com o: ~ ¿A qué hora empieza y t ermina el congestionamiento? ~ ¿Cuál es el núm ero m edio de vehículos en el sistema?
330
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
~ ~
~ ~ ~ ~
~ ~
¿Cuál es ¿Cuál es ¿Cuál es ¿Cuál es ¿Cuál es ¿Cuál es ¿Cuál es ¿Cuál es
el número medio de vehículos en la cola? el tiempo medio en el sistema? el tiempo medio de espera o demora media? la longitud máxima de cola? la demora máxima? la demora total de todo el tránsito? la proporción de tiempo en que se utiliza el sistema? la proporción de tiempo cuando el sistema permanece inactivo?
Se genera una cola cuando los usuarios (vehículos) llegan a una estación de servicio cualquiera, ya sea, por ejemplo, un estacionamiento, una intersección con semáforos 0 no, un "cuello de botella", un enlace de entrada a una autopista, un carril especial de vuelta, etc. La prestación del servicio para cada llegada toma cierto tiempo y puede ofrecerlo una o más estaciones. En la figura 11 . 2 se muestran esquemáticamente diversos sistemas de filas de espera. Fenómeno de espera
Sistema
UNA COLA UNA ESTACIÓN DE SERVICIO
Llegada
~
C::::::O C::::::O C:::O C:::O
VARIAS ESTACION ES DE SERVIC IO ---.-
C::::::0 C:::0 C:::0
Estación de Servicio
~
wo-~
VARIAS COLAS VAR IAS ESTAC IONES DE SERVICIO
•
~
Cola
UNA COLA
Salida -IJ-
----l.-
/ c:::o c:::o
\
c::o-~ ~ -
c:::o c:::o-~
Finura 11.2 Sistemas de filas de espera
331 FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
Los vehículos llegan al sistema a una tasa de llegadas A . Entran a la estación de servicio si está desocupada, donde son atendidos a una tasa media de servicio Jl, equivalente a la tasa de salidas. Si la estación de servicio está ocupada se forman en la cola a esp er ar ser atendidos. Frecuentemente, tanto la tasa de llegadas como la t asa de servicios varían, causando que también varíe la formación de colas. Se define la cola como el número de vehículos que esperan ser servidos, sin incluir aquellos que actualmente están siendo atendidos. Para considerar de una manera apropiada un sistema de filas de espera se r equiere tener en cuenta la naturaleza de su comportamiento, puesto que tanto las llegadas como los servicios varían con el tiempo. En est e sentido, el comportamiento de la cola y los modelos necesarios para describirla, o caracterizarla, dependen de la r epresentación explícita de los siguientes elem entos que conforman el proceso:
l. Las llegadas (demanda) o características de entrada: Las ll egadas pueden ser expresadas en términos de tasas de flujo (vehículos/ hora) o intervalos de ti empo (segundos / vehículo) . Su distribución puede ser de tipo determinÍSti co o probabilístico .
2. Los servicios (capacidad) o características de salida: Tambi én pueden ser expresados como tasas de flujo o intervalos. Su distribución también puede ser de tipo determinístico o probabilístico.
3. El procedimiento de servicio o disciplina de la cola: En la mayoría de los sistemas viales el procedimiento de servicios consiste en que el primero que llega es el primero que sale. El régimen que define las características de un fenómeno de espera se denota por tres valores alfanuméricos r epresentados d e la siguiente manera:
al b/ e Donde :
a -
identifica el tipo de ll egadas
b -
identifica el tipo de servicios o salidas
e -
identifica el número de estaciones de servicio
Así por ejemplo, un fenóm eno de esp era con un r égim en O 1 O 11 supone llegadas y salidas de tipo determinísti co o a intervalos uniform es con una estación de servicio. Por otra parte , un r égimen M 1 M 1 1 supone llegadas y salidas de tipo probabilístico (se simboliza con la letra M pues se asume que el proceso es del tipo de modelo de Markov) o distribuidas exponencialmente con una estación de servicio.
332
f LlNi IAMFN 1 ''
Y ¡\p¡ 1( ,ACI< lNf-
11.4
Análisis determinístico del congestionamiento
Tal como se mencionó en el Capítulo 1O, el análisis deterministico consiste en el cálculo preciso del valor de una variable en función de ciertos valores específicos que l oman otras variables. Esto es, solamente ocurrirá un valor de lafunción objetivo para un ~onjunto dado de valores de las variables de entrada. En situaciones de congestionamiento, donde los patron es de llegada y servicios son altos, los enfoques a nivel macroscópico son los que más se aproximan a este fenómeno, describiendo la operación vehicular en términos de sus variables de fluj o, generalmente tomadas como promedios.
11.4.1
Análisis de intersecciones con semáforos con régimen 0/D/ 1
La intersección con semáforos es uno de los ejemplos más típicos de un fenóm eno de espera, puesto que por la presencia de la luz roja siempre existirá la formación de colas de vehículos. Con el propósito de entender de una manera clar a y sen cilla, en el siguiente ejemplo se describen, gráfica y analíticamente, los diversos elem entos que caracterizan este fen óm eno, bajo condiciones no sat uradas del tránsito, esto es, para cada ciclo las llegadas son m enores que la capacidad del acceso, de manera que los vehículos que se encuentran en la cola no esperan más de un ciclo para ser servidos por el semáforo o estación de servicio 14 • s, 6 J. La capacidad de un acceso a una intersección con semáforos se expresa en t érminos del.flujo de saturación s . Cuando el semáforo cambia a verde, el paso de los vehículos a través de la línea de ALTO se increm enta rápidamente a una tasa equivalente al flujo de saturación, la cual se mantiene constante hasta que la cola se disipa o hasta que termina el verde . El flujo de saturación es la tasa máxima de salidas que puede ser obtenida cuando existen colas. Este concepto y todos los relacionados con el cálculo de los tiempos de un semáforo son tratados con mayor detall e en los Capítulos 12 y 13.
Ejemplo 11.1 El carril promedi o de uno de los accesos de una intersección con sem áforos tiene un fluj o de saturación de 1 ,800 vehículos livian os por hora de luz verde . La tasa m edia de llegadas por carril al acceso es de 900 vehículos livianos por hora, a la cual se le ha asignado un tiempo verde efectivo de 30 segundos en un ciclo de longitud 50 segundos. Se desea r ealizar el análisis de este acceso a la intersección, tal que permita definir y calcular los diferentes elem entos que caract eri zan este fenóm e no de espera, bajo un régim en 0 10 11.
333 r~•IN! . ll\r._,1 1
N!l
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Y
1\F~
ICJ\Cf{
)Nf~_-;
Datos de entrada:
La parte a) de la figura 11.3 muestra los datos necesarios para resolver el problema.
¿ ..c. !
Q
3u..
?
1
1goo
L J.J=?
'
1
1
e
u.J
o
e( V"l
~
a)
V
··-,-
LV
'-'~'
efectivo (r)
:
efectivo (g)
50
100
70
1 1 1
Ciclo (C)
25
::2 QJ
20
2:. Vl
o
oc(
15
...J
::::>
::;; ::::> u c(
Demora total (D)
10
Vl
o ...J
::::>
u
:C u.J
>
o b) 1
r
t
t~
100 1
TIEMPO (segu ndos)
Finura 11.3 Fenómeno de espera en una intersección con semijoros
334
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
Estos son: Flujo de saturación (s): ' ( s = 1,800 veh/h
1h
3,600s
j=
0.50 veh/s
Tasa media de llegadas (A):
A= 900 veh/h(
1 h = 0.25 vehls 3,600 s)
J
Longitud del ciclo (C):
e =50s Verde efectivo (g):
g =30s El verde ifectivo es el tiempo que efectivamente utilizan los vehículos para cruzar la intersección, el cual incluye el verde propiamente dicho, la pérdida inicial de tiempo y la ganancia al final en el intervalo de despeje. Obsérvese que la tasa de llegadas A es uniforme para todo el período de estudio. La tasa de salidas J.1 presenta tres estados: J.1 =O, cuando el semáforo muestra la indicación roja. J.1 =S, cuando el semáforo muestra la indicación verde y aún existe cola. J.1 =A, cuando sin existir cola el semáforo continúa en verde, esto es, los vehículos
salen de la intersección a la misma tasa que llegan. En la parte b) de la figura 11.3 se ha dibujado una gráfica de los vehículos acumulados en función del tiempo t, tal que: Llegadas =Demanda =At Servicio máximo = st
Con la información anterior se pueden calcular los siguientes indicadores de efectividad: Tiempo para que se disipe la cola después de empezar el verde ifectivo: t0
A~+ t0 )= ¡Jt0
Ar+M0 = ¡Jt0 Ar JJ-A
t =-0
. (11.4)
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
335
Si se expresa la tasa de llegadas A como proporción de la tasa de salidas Jl , se obtiene eljactor de utilización o intensidad del tránsito p : ¡\
P=Jl
(11.5)
En este caso, fJ = S:
P=
sA
=
0.25 vehls = 0.50 0.50 vehls
De la ecuación ( 11 .5): A= fJP
Reemplazando en la ecuación ( 11 . 4):
to = ....!!.!!.!.__ fJ - fJP
De donde: pr
to
= 1- P
( 1 1.6)
También puede verse que:
e= r+g De donde el rojo ifectivo r es:
r = e-g
( 11. 7)
= 50-30 = 20s Por lo tanto:
to =_E!_= 0.50(20) _ 1- p
1 - 0. 50 - 20 s
Proporción del ciclo con cola: Pq
p = tiempo en cola q longitud del ciclo
Pq
=
= 336
r + to
-e
20+ 20 50
(11.8)
= 0.80
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
ProporciÓn de vehículos detenidos: P5
vehículos detenidos Ps = vehículos totales por ciclo A~+ fa) Ps = A~+ g) fa (1-
Ps = r +fa = r+g
p) +fa
p
e
fa
Ps = pC
( 11.9)
20 0.50(50) = 0.80 Longitud máxima de la cola:
Om
Obsérvese que la longitud de la cola (O) en cualquier instante es igual a la demanda menos el servicio: Q = Demanda - Servicio
La longitud máxima de la cola ocurre al final del rojo, donde el servicio aún es cero, y es igual a: ·
Om
=
Ar
=
0.25 vehls(20 s )= 5 veh
(11.10)
Longitud promedio de la cola mientras exista:
Oq
Oq = Om = Ar
22
(11.11)
5 =2=2.5veh Longitud promedio de la cola por ciclo:
_
Q=
(
~} + ( ~ Jto = ~_ + fo) ( ~)
____o__:_
r+g
Q=
Q
r+g
t
r~f0 ~)
(11.12) 337 FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
= LV -r t:.V (2.5)= 2.0 Veh 50
.
Demora máxima que experimenta un vehículo: d m
dm =r
(11.13)
= 20s Demora total para todo el tránsito por ciclo: O
La demora total para todo el tránsito por ciclo es igual al área del triángulo sombreado de la parte b) de la figura 11 . 3:
O=r~~+to)] Ar2+Arto 2
2
Reemplazando el valor de t0 dado por la ecuación (11.6), se tiene:
2 Ar +
Ar(__E!_J
O = _ ____::_1_-_P..:... 2
o=
Ar2 2(1- p)
(11.14) 2
=
0.25(20) =100s-veh 2(1-0.50)
Demora promedio del tránsito por ciclo: d
Se obtiene dividiendo la demora total por el número de vehículos :
Ar2 _ __Q_- 2(1-p) d---AC AC d=
r2 2C(1- p)
(11.15)
(20) 2 2(50)(1 :-o. so)= 8 s!veh
338
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
11 .4. 2
Análisis de cuellos de botella
El análisis que se presenta en esta sección se realiza a nivel determinístico y macroscópico, considerando que los patrones de llegadas y servicios de vehículos son continuos. En vialidades de flujo continuo, los cuellos de botella se presentan básicamente en aquellos tramos donde la sección transversal reduce su ancho en términos del número de carriles. En aquellas situaciones donde la demanda vehicular A (llegadas) al inicio del cuello de botella supera la capacidad J.1 (salidas) de éste, se presentan problemas de congestionamiento justamente en el tramo anterior al cuello de botella. Al igual que en el modelo anterior, el análisis de este fenómeno de espera se efectúa a través de un ejemplo, presentando en forma gráfica y analítica los datos necesarios y los indicadores de efectividad más importantes que lo caracterizan. También, con el propósito de realizar el análisis de una manera más real, se toma un patrón de llegadas A variable y un patrón de servicios J.1 constante a capacidad durante todo el tiempo que dura el congestionamiento.
Ejemplo 11.2 La parte a) de la figura 11.4 muestra, para una carretera en un sentido, el patrón de demanda vehicular que llega entre las 06:00 y las 10:00 horas a un cuello de botella de capacidad 2,000 vehículos por hora. Se quiere analizar este fenómeno de espera planteando todas las relaciones que lo caracterizan. Datos de entrada:
Para el período de análisis, las llegadas al cuello de botella empiezan a una tasa A1 = 1,600 veh/h hasta las 07:00, para el cual A1 < J.l. Durante el período de las 07:00 a las 08:00 , la tasa de llegadas se incrementa a A2 = 2,400 veh/h y, naturalmente, A2 > J.l. Para el período de las 08:00 a las 09:00, la demanda pasa a A3 = 2,200 veh/h, pero aún A3 > J.1 Finalmente, entre las 09:00 y las 10:00, la demanda decrece a A4 = 1,200veh/h, para el cual de nuevo A4 < J.1 • Las tasas de flujo, A y J.1, de la parte a) se convierten a un diagrama de vehículos acumulados en función del tiempo según la parte b), de acuerdo a que: Demanda acumulada = At
(11.16)
Servicio acumulado = J.lf
( 11. 17)
Número total de vehículos que lleaan entre las 06:00 y las 07:00: N1
N1 = A1f1
(11.18)
= (1,600 vehlh)(1 h)= 1,600 veh 339 FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
2400 2200 2000
:2 ?: Q) 2:-
1600
' ...., o
1400
:::J
-IJ
1800
_j
LL
w
o
<(
1200 1000
(/)
<(
f-
800
A,
600 400 200
o a)
06:00 l - - - 1,
7400
2:- 6000
oo
<( _j
:::J
5000
:2 :::J
o<(
(/)
1
:
1
1
:--
T--1
-¡- - --- - -- --t----------~--------1
1 1 1 1
1 1 1 1
- -~-----
1
1 Demanda 1
1
1
--
1
A
Om
r
3
-f__ .,oo ____ J________
,__
1200
1 1 1 1
J___ _.,r,, _i
1
N, - 2200
4000
o
1
1
1
:
1
1
1
_j
:::J
o
'J: 3000
w >
2000
:
1
:
:1
11
1
1
-~---~~~-- - -: 1
1000
b)
: 10:00 1;¡--+---1
-r-,~::----¡----------C---------¡----',__ J__: -¡~:= 1
(/)
09:00
r--- - - - - : .1 - -Tq
1
:2 Q)
08:00 12 - -- l - - - 13
1
8000
7000
07 :00
:
Serv1c1o
:
:1
11
1
1
A1
J22
_________ l _________ - ir-- - --1
1 1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
o i - - - 1,
1J(I 2+ 13)
!2
!3 TIEMPO
N2 = 2400
-N1 = 1600
!~
(horas)
Finura 11.4 Fenómeno de espera en cuellos de botella
Este númer o acumulado de vehículos se aprecia en la p arte b) o diagrama acumulado, Obsér vese que este valor es igual al área A1 baj o la función de dem anda dada en la parte a) , 340
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
11
Esto es:
A1 = A1f1 = N1 Igualmente, en la parte b) se h a representado el número total de vehículos que llegan en los otros períodos, y el total acumulado para las cuatro horas (7,400 veh). Hora a la cual empieza la congestión:
La congestión empieza justamente cuando las llegadas exceden la capacidad, A2 > J.l, lo que ocurre exactamente a las 07:00 horas. Duración del congestionamiento: Tq
Durante los períodos f2 y t3 las llegadas son mayores que la capacidad, por lo que la cola se disipa durante el período t4 , tal que:
Tq
=
t2 + t3 + Td
Por igualdad de áreas, en la parte a), se tiene:
(A2- 11)t2+ (A3- 11)t3 = (J.I- A4)Td Td
(A2-J.I)t2+(A3-J.I)t3 J.I - A4
Por lo tanto:
-t t (A2-J.I)t2 +(A3 - J.I)t3 Tq-2+3+ J.I - A4 =
1+ 1+ (2,400- 2,000) 1+ (2,200- 2,000)1 2,000-1,200
(11.19) 2.75h
En otras palabras, la cola se disipa a las 09 :45. Longitud máxima de la cola :
Om
El máximo número de vehículos en la cola ocurre al final del período t3 , y será aquella demanda acumulada que no es servida durante el período t 2 + t3 , la cual, según la parte a), es:
( 11.20)
Om = (A2 - 11)t2 + (A3- 11)t3
= (2,400- 2,000) 1+ (7,200- 2,000)1 = 600 veh La misma ecuación (11.20) también se puede obtener de la parte b), planteando que la longitud de la cola Q en cualquier instante es igual a: 341 FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
&...VII~IIUU Utt Id I.;Uid -
LJfjfTianaa - :::ieN/C/0
(11.21)
O=M-JJt Om =(Ah+A3t3)-JJ(t2+t3) =
(A2- JJ) t2+ (A3- JJ)t3
Demora máxima que experimenta un vehículo: dm
Esta demora le ocurre a aquel vehículo que llega al final del período t3, esto es a las 09:00 horas. Según la parte b) es:
t t - Ah+ A3t3 -2-3 dmJ.l Ah+ A3t3- J.1f2- J.1f3 J.l dm =
(A 2 - J.l)t 2+ (A3- J.l)t3 J.l
(11.22)
(2,400- 2,000)1 + (2,200- 2,000) 1 = 0.30 h = 18 min 2,000
=
Demora total de todo el tránsito: O
Es el área sombreada del diagrama acumulado:
(A2t2 -J.lt2)t2 (Ah -J.lt2)t3 [(A2 -J.l)f2+(A3 -JJ)t3]t3 + + + 2 2 2
O
~=----=--=--=
[(A2 -¡J)t2+(A3 -¡J)t3]l(A2 -J.l)t2+(A3 -¡J)t3] L ¡J-A4 2 o= (Ah -JJt2)(t2 +t3) + 2
[
342
(11 .23)
(A2- J.l)t2 + (A3- J.l)t3][t + (A2- JJ)t2+ (A3- J.l)t3] 3 2 ¡J - A4
=
[2,400(1)- 2,000(1)](1 + 1) + 2 (2,400- 2,000 )1+ (2,200- 2,000 )1][1 + (2,400- 2,000) 1+ (2,200- 2,000) 1] [ 2 2,000-1,200
=
925 h- veh
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
Número de vehiculos afectados por el cuello de botella: Nq
Nq = fJ(Tq)
(11.24)
= 2,000 vehlh(2. 75 h)= 5,500 veh Demora promedio del tránsito: d
o
d=Nq
=
(11.25)
925 h - veh 5,500veh
=0.168 h =1Omin
Longitud promedio de la cola: Q
-Q- o Tq
=
(11.26)
925 h- veh 2.75h
11.5 .
=
336 veh
Análisis probabilístico de líneas de espera
Por tratarse de una introducción al análisis probabilístico de líneas, o filas de espera, sólo se presentarán los dos modelos más generales y sencillos de mayor aplicación en problemas de tránsito. Más aún, las relaciones que se muestran son completamente válidas solamente para condiciones de estado estacionario, esto es, ellas solamente se aplican cuando los patrones de llegadas y servicios se sostienen por largos períodos [71. Por lo tanto, este enfoque no se puede aplicar a aquellas situaciones de máxima demanda en las cuales los flujos de llegadas A exceden la capacidad fJ. De allí que, para tener condiciones de flujo en estado estacionario debe cumplirse que A< fJ. Es importante aclarar, como · se mencionó anteriormente, que aunque las llegadas son menores que las salidas, siempre existe la posibilidad de formación de colas, por el mismo carácter aleatorio del proceso.
11.5.1
Sistema de líneas de espera con una estación de servicio
A continuación se analizará el sistema de líneas de espera con una estación de servicio, llegadas distribuidas de acuerdo a una distribución de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y disciplina de servicio "el que llega primero es servido primero". Como puede verse, este sistema de filas de espera se define bajo el régimen 343 FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
M 1M 11 , para el cual se han desarrollado una serie de medidas de efectividad que permiten identificarlo. Estas relaciones son los resultados que se observarían después de que el sistema haya estado en operación por un largo tiempo, tal que los promedios y las probabilidades no cambian mientras que éste se mantenga en funcionamiento. Tales medidas de efectividad [S,?, B, 91, se ilustran a través del siguiente ejemplo.
Ejemplo 11.3 A una caseta de cobro de una carretera llegan los vehículos a una tasa de 480 vehículos por hora, la cual puede atender un máximo de 520 vehículos por hora. Se quiere determinar las relaciones que caracterizan este fenómeno de espera, si se presta el servicio máximo. Datos de entrada:
Tasa de llegadas (A):
1 A= 480 veh/h(--h-) = O.133 vehls 3,600 S Tasa de servicios (fJ): fJ
= 520 vehlh(
1 h 3600s
J = O. 144 veh/s
Probabilidad de tener exactamente n vehículos en el sistema:
p(n)=(~r(1- ~)
p(n) (11.27)
Tener n vehículos en el sistema, se refiere a aquellos vehículos que están siendo servidos más los que esperan en la cola. Así, por ejemplo, la probabilidad de tener exactamente 12 vehículos en el sistema es:
p
(12)= (480]12(1- 480] = 0.029 520 520
Número promedio de vehículos en el sistema:
n
n=
_A fJ - A
(11 .28)
480 520 _ 480 = 12 veh 344
FUNIJAMFNTOS Y API ICACIONFS
D e est os 12 vehículos en el sist em a, 1 est á sien do ser vido y 11 esper an en la fila. Lon9itud promedi o de la lín ea de espera: Q
Q= =
A2
JJ(JJ-A)
( 11. 29) 2
(480) 520(520 _ 480 ) = 11 veh
Tiempo promedio 9astado en el sistema: 15
1 ls = ¡J-A
(11.30)
Tiempo promedi o de espera en la fi la : tq
-
A
tq = -fJ(_fJ_ ...:. ~ A)
(11. 31)
0.133 0.144(0.144 _ 0. 133 ) = 84 s/veh Porcentaje ., de utilización del servicio: P
p =~(100) fJ
(11. 32)
= 480 (100)= 92.3% 520 Porcentaie ., de encontrar el sistema in activo:
,=(1- ~ )c10o) =
(11.33)
(1-
480 )(100)= 7.7% 520
FUNIJAMFNT< lS Y API ICACI< JNFS
345
Probabilidad de tener que gastar un tiempo ten el sistema: p(t) p(t)= (¡.; - ¡\ )iA - ~)t
(11.34)
=(0.144 _ 0.133 )e(0.133-0. 144)t = 0.011 e- o.o11t Así, por ejemplo, la probabilidad de gastar 91 segundos en el sistema es:
p(91) = 0.011e - 001 1(91 ) = 0.004 Probabilidad de tener aue
PVs ~ t)=1 - e
-(1-A) 111 ¡;
(11.35)
( 1 0.133)0.1441 = 1-e - 0.0111 =1-e - -0.144 La probabilidad de gastar en el sistema 91 segundos o menos es:
P(t 5 ~ 91 seg )= 1- e- 0011 (91 ) = 0.632 Probabilidad de tener que esperar un tiempo t o menos en la fila: P(tq ~ t)
P(tq~ t )=1 - ~e - (1-n¡.Jt (11.36)
J.l t ( 1- 0.133)0.1441 0.144 =1-0.924e- 0·011 1 0.133 = -0.14/
La probabilidad de tener que esperar 84 segundos o m enos en la fila es :
P(tq ~ 84 s) = 1- 0.924e- 0·011 (84 ) = 0.633
11 . 5 . 2
Sistema de líneas de espera con varias estaciones de servicio
Igualmente , en esta sección se estudiará el sistema de líneas de espera con varias estaciones de servicio, llegadas de acuerdo a una distribución Poisson, tiempos de servicio exponenciales y disciplina de servicio "el primer vehículo se mueve hacia la primera estación de servicio vacante". Al igual que en el modelo anterior, este fenómeno de espera también se define bajo el régimen M1M 1k , donde k es el número de estaciones de servicio disponibles.
346
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
Si la tasa de servicio de la estación k es !Jk, bajo condiciones no saturadas, se debe rnplir que:
ti
J.lt = J.12 = ... = /Jk = J.1 Donde ¡.¡ representa la tasa de servicio en cada estación. Por lo tanto: ¡\
<¡Jk
Las medidas de efectividad que caracterizan este modelo son mucho más complejas que las del anterior, pero básicamente son del mismo tipo.
Ejemplo 11.4 Un volumen horario de 2, 300 vehículos llega a una caseta de cobro compuesta de 4 estaciones de servicio, cada una de las cuales puede atender máximo 600 vehículos por hora. Dicho volumen se distribuye en partes iguales entre las 4 estaciones. Determinar las relaciones que caracterizan este fenómeno de espera . Datos de entrada:
Número de estaciones de servicio (k):
k =4 Tasa de llegadas (ti):
1 ti = 2,300 veh/h( - -h-) = 0.639 veh/s 3,600 S Tasa de servicios( ¡.¡) por estación:
1h ) . ¡.¡ = 600 veh/h ( - - = O. 167 vehls 3,600 S Probabilidad de tener cero vehículos en el sistema: p(O) p(O)= =-----=c--1_ _ __
(¡\)nl 1 (¡\ )k(
k-11 [ nZ:an! ¡.¡
J+ k!
J;
k¡.¡ ) k¡.¡-tl
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
(11.37)
347
=
[,~, i 4- 1
A
1 2,300 n 1 2,300 600 + 600
J]
4
4(600) 4(600 )- 2,300
] =
0.0042
J[
Probabilidad de tener exactamente n vehículos en el sistema : p(n)
1 (A p(n)=-n! J1
)n p(O)
paraO::;n
1
2 300 (1)= .!...( ' ) (0.0042)= 0.0161 p 1! 600 2
2 300 (2)= _!__( ' ) (0.0042)= 0.0309 p 2! 600 3
2 300 (3)= _!__( ' ) (0.0042)= 0.0394 p 3! 600 1
p(n)= -·- k (. -¡\ k! kn- J1
)n p(O)
paran c. k
(11.39)
4
2 300 1 ' ) (0.0042)= 0.0378 p(4)= - 4 -( 4 4!4 600 Lon9 itud promedio de lafila :
Q
AJl(~)k
0=
J1
(k -1)!(kJJ - A)2 p(O)
( 11 .40)
4
2,300(600)( 2,300 ) = 600 (4 -1)![4(600)- 2,300 y(0.0042)= 21 veh N úmero promedio de vehículos en el sistema : -
n
¡\
n=O+-
Jl
=
348
(11.41)
2 300 21 + ' = 25veh 600
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
Tiempo promedio de espera en la fila :
tq
J.l(~)k
-
~J.l~ (k -1)! (kJ.l- ti )2p(O)
tq=
( 11.42)
0.167(2,300 )4 600 (4 -1)[4(0.167)- o. 639 y(0.0042)= 60 s/veh
=
Tiempo promedio qastado en el sistema :
-
t5
1
ts =fe¡+ ¡J
(11.43) 1
= 60 + - - = 66 s/veh 0.167
Probabilidad de tener que esperar en la fila: P(n :2': k) oo
P(n :2-: k)=: "f.p(n)= n=k
(
t1 Jk p(O) ,( _ J_· 11 k. 1 pk
(11.44)
(2 300) 4)= "f.p(n )= ~00 00
P(n :2-:
n=4
4
0.0042 '[ 2,300 4. 1- 600(4)
J= 0.9069 .
Probabilidad de ¡¡astar un tiempo t o menos en el sistema : PQ 5
· { P(n>k) P(t 5 ::::t)=1-e-f.l1 1+ k- x
11 . 1
t)
1 _ e-f.lkt~-(Aif.lk)-11k]} ¡\
1
1- - - J.lk k
11 ~6
::::
(11 .45)
Problemas propuestos Uno de los accesos de una intersección con semáforos tiene un flujo de satutadón de 1 , 900 autos por hora por carril. A dicho acceso se le ha asighado un verde efectivo de 60 segundos en un ciclo de 90 segundos. La tasa media de llegadas al acceso es de 1, 200 autos por hora por carril. Efectúe FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
349
un análisis de este fenómeno de espera y calcule todos los elementos necesarios, tal como los del ejemplo 11. l. 11 . 2
La figura 11 .S ilustra una de las salidas de una intersección con semáforos. El semáforo para el sentido que se indica tiene un verde efectivo de SO segundos en un ciclo de 90 segundos. Los vehículos durante el verde salen de la intersección a una tasa de S,400 vehículos por hora en 3 carriles, los cuales llegan a un cuello de botella de 2 carriles, donde por cada carril pueden pasar máximo 1 ,SOO vehículos por hora. Determine: 1) La demora mínima y máxima por ciclo que experimenta un vehículo que salga de la intersección. 2) La demora total por ciclo. 3) La longitud necesaria de la transición para que la cola que se genera en el cuello de botella no bloquee Ja intersección, si el espacio efectivo promedio que ocupa un vehículo es de 7 metros. Transición de 3 a 2 carriles
--
/
---
'
-
2 carriles
--
------
---
Figura 11.5 Cuello de botella después de un semijoro, problema /I .2
11 . 3
En la figura 11 . 6 se presenta, para un tramo de carretera, el patrón de llegadas de vehículos a un cuello de botella de capacidad 2,000 veh/h. Calcule todas las relaciones, como las del ejemplo 11 . 2, que caracterizan este fenómeno de espera.
11.4
La figura 11.7 muestra las características geométricas de un tramo de carretera entre los puntos A y O. Las características del flujo vehicular para todo el tramo se ajustan a la siguiente relación: V==
64.4- 0.648k
Donde V es la velocidad (km/h) y k la densidad (veh/km/ carril). Los volúmenes de demanda vehicular varían a lo largo del día así: 200 veh/h de las 00:00 a las 06:00. 1 ,800 veh/h de las 06:00 a las 08:00. 1,000 veh/h de las 08:00 a las 24:00. Determine: 1) La velocidad y densidad a capacidad. 2) La hora a la cual termina el congestionamiento. 3) La longitud máxima de la cola. 350
FUNDAMENTOS Y APLICACIONES
4) La demora máxima que experimenta un vehículo. 5) La demora total de todo el tránsito. 6) La velocidad de la cola. 7) El tiempo que ahorraría un usuario en ir de A a O si madruga a las 5 de la mañana, cuando usualmente viaja a las 1O de la mañana . 2800
Llegadas
r 1 1 1
2400
1
1 1
Capacidad
1
1 1 --~---------r-----1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2000
¿:::
.<::: Q)
2:.
o ....,
1600
::J ....1
u.. w
o
---~-----
:_________ L____________ '\
1200
1 1
<( (/)
As
'
1
<(
f-
1 1
800
1 1 1 1
1 1 1
400
1
o 5:00
5:1 o
5:20
5:30
5:40
5:50
6:00
6:1 o
6:20
6:30
6:40
TIEMPO Figur~
11.6 Fenómeno de espera con lleaadas variables y servicio constante, problema 1 1.3
A
e
B
D
1
-
---------
----- ---------------------- ----- 38.6 Km 2 carriles
----1.6Km 1 carril
---------
--------------8.1 Km 2 carriles
Figura 11.7 Cuello de botella por reducción de carriles, problema 11.4
11.5
La salida de los vehículos de un estacionamiento se realiza en un solo carril. Los vehículos llegan a la caseta de salida a una tasa media de 90 vehículos por hora. El tiempo medio de entre.ga y pago del boleto se ha estimado en promedio de 20 segundos por vehículo. Calcule las características de operación del estacionamiento, con base en el ejemplo 11 . 3 .
11 .6
Una estación de servicio de lavado de vehículos está compuesta de S puestos. Los vehículos llegan durante el día en forma aleatoria a una tasa media de 4 vehículos por hora. El tiempo medio de lavado de un vehículo es de 30 minutos. Determine las características de esta estación de servicio, siguiendo el ejemplo 11.4. 351 f'liNi lAMf'NTllS Y API ICACIONFS
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