Departamento de Ingeniería Mecánica y Climatización.
Experiencia N°1: “Ensayo de torsión.” Laboratorio de Elasticidad y sus aplicaciones, Ingeniería Civil Mecánica.
Autor: Rodrigo Núñez Soto Profesor: Sebastián Toro Sección: L-3 Fecha de entrega: 13 de Septiembre del 2017
Índice Resumen ........................................................................................................................................................ 2 Objetivos de la experiencia............................................................................................................................ 2 Objetivo principal....................................................................................................................................... 2 Objetivos secundarios................................................................................................................................ 2 Características Técnicas ................................................................................................................................. 3 Metodología experimental ............................................................................................................................ 3 Resultados obtenidos .................................................................................................................................... 4 Mediciones realizadas ............................................................................................................................... 4 Resultados finales ...................................................................................................................................... 5 Primer Método ...................................................................................................................................... 5 Segundo método ................................................................................................................................... 6 Discusión y Conclusión................................................................................................................................... 8 Apéndice ........................................................................................................................................................ 9 Apéndice teórico ........................................................................................................................................ 9 Cálculos .................................................................................................................................................... 10 Primer método .....................................................................................................................................10 Segundo método ................................................................................................................................. 11 Bibliografía ............................................................................................................................................... 14
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Resumen El presente informe recopila los cálculos y análisis para el ensayo de torsión realizado a dos materiales distintos, latón y acero SAE 1045, en busca de su módulo de elasticidad al cortante. Para ello se procedió de dos maneras diferentes, la primera dando giros controlados manualmente y registrando los valores del torsor sin superar el límite de proporcionalidad y, en el segundo método, se mantuvo la rotación de las probetas hasta su esfuerzo de rotura al final del tramo plástico de deformación. Se destaca el hecho de que los resultados variaron en base al método seguido, obteniéndose valores más acercados a la teoría mediante el primero de ellos. Estos son: ó = 34.55 [GPa] y ó = 25.44 [Gpa] (promedio) = 80.97 [GPa] y = 65.32 [GPa] (promedio)
Objetivos de la experiencia Objetivo principal -
Determinar las propiedades mecánicas de dos materiales distintos sometidos a torsión pura, estos son el acero SAE 1045 y latón.
Objetivos secundarios -
-
Familiarizar al alumno con las definiciones básicas de la resistencia de los materiales pertinentes a una solicitación de torsión, tales como: momento torsor, ángulo de torsión, módulo de rigidez, distorsión angular, curva característica en ensayo de torsión y esfuerzos cortantes característicos. Determinar, a través del experimento, el módulo de rigidez al corte o módulo de corte G de un material. Determinar diferentes esfuerzos cortantes característicos, tales como: esfuerzo de corte proporcional, esfuerzos de corte de ruptura y esfuerzos de fluencia. Distinguir entre fractura por torsión en un material dúctil versus uno frágil.
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Características Técnicas Instrumento/Equipo Probetas de ensayo Goniómetro Pie de metro Máquina de ensayo de tracción
Detalles 4 probetas, dos de latón y dos de acero SAE 1045. Diámetro 5: [mm] Largo: 75 [mm] Análogo. Sensibilidad: 0.001 [rad] Rango de operación: 0 – 0.05 [rad] Análogo Sensibilidad: 0.02 [mm] Salida Digital para medición de torque y ángulo de torsión. Mide ángulo de torsión, momento torsor, velocidad de giro y tiempo. Sensibilidad Medidor de ángulo: 0.0002° Sensibilidad Medidor Momento: 0.000001 [Nm]
Tabla N°1: Instrumentos utilizados y sus características.
Metodología experimental Como previamente se hizo saber, la experiencia se divide en dos partes, las cuales comparten el mismo fin, determinar el módulo de elasticidad al cortante del material. El método del primer caso, consiste en instalar la probeta a estudiar en la máquina de torsión, ajustándole en cierto punto de su eje central un extremo del goniómetro y, el otro extremo, en otro punto del eje central que servirá de referencia para la medición. El motivo de ajustarle un punto de referencia se justifica en la geometría de la probeta (Fig. 1) y la teoría detrás del ensayo de torsión.
Fig. N°1: Probeta normalizada. Si bien la máquina permite el empotramiento en uno de sus extremos, es en los extremos hexagonales donde el torsor y el empotramiento se aplicarán, por lo tanto, el eje central en su totalidad perderá su posicionamiento original debido a la torsión aplicada. Para subsanar este efecto es que el goniómetro compara dos puntos distantes entre sí pero pertenecientes al eje central (el de referencia y el punto de medición del ángulo de torsión respecto al de referencia). Por otra parte, el momento torsor no implica 3
problema, pues si se pudiese visualizar la gráfica del torsor, su valor será constante a lo largo de toda la probeta. Una vez instalado el goniómetro, se realizan las medidas de ángulo de tor sión y de momento torsor para una probeta de acero y de latón. Diez pares de datos serán necesarios, distanciados en 0.005 [rad] de grado de torsión, para la aproximación de alguna recta T/θ en la que implícitamente se encontrará el módulo de G al aplicar las transformaciones de variables (ec.1 y ec.2) a esfuerzo cortante / distorsión, tanto para el latón como para el acero. Será necesario medir el diámetro del eje central y la longitud existente entre los puntos que se ubican los extremos del goniómetro. Lo anterior, al realizarse en el tramo elástico del material, no generará problemas para la utilización de las probetas en la segunda parte de la experiencia. La segunda parte resulta más simple de realizar, pues considerando las dimensiones del eje central mostradas en la fig. 1, se debe posteriormente calcular por aproximaciones gráficas y numéricas el módulo G para cada material, en base a los datos que la interfaz de la máquina del ensayo de torsión proporciona al realizarlo hasta el punto de rotura del material. Lo anterior se debe realizar para dos probetas de latón y dos de acero.
Resultados obtenidos Mediciones realizadas A continuación, se presentan las tablas resúmenes de los datos medidos en laboratorio para cada uno de los métodos. MÉTODO MANUAL DENTRO DEL TRAMO ELÁSTICO Diámetro de probetas 5 [mm] para ambas Longitud de probetas entre extremos del 51.01 [mm] para el latón goniómetro 50.35 [mm] para el acero SAE 1045 MÉTODO AUTOMÁTICO PROPORCIONADO POR INTERFAZ Diámetro de probetas 5 [mm] para las 4 probetas Longitud de probetas 75 [mm] para las 4 probetas Tabla N°2: Datos dimensionales de las probetas para uno de los métodos.
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La tabla N°3 muestra los datos obtenidos al realizar las mediciones de torque y ángulo de torsión para el primer método. Latón Acero SAE 1045 Ángulo de Torsión [rad] Momento Torsor [Nm] Momento Torsor [Nm] 0.005 0.29 0.6 0.01 0.49 1.12 0.015 0.71 1.64 0.02 0.92 2.11 0.025 1.12 2.61 0.03 1.33 3.11 0.035 1.53 3.61 0.04 1.75 4.10 0.045 1.95 4.57 0.05 2.16 5.04 Tabla N°3: Mediciones para el primer método. Las mediciones para la segunda parte de la experiencia fueron entregadas en formato de texto, por lo que no es posible mostrarlas. Sin embargo, en el apéndice se encuentran adjuntos los programas utilizados para su lectura.
Resultados finales Primer Método La tabla N°4 muestra los datos de esfuerzo de corte y distorsión angular obtenidos desde los datos de la tabla N°3 aplicado las ec. 1 y ec. 2. Latón
Acero SAE 1045 Distorsión angular Esfuerzo cortante Distorsión angular Esfuerzo cortante [rad] [MPa] [rad] [MPa] 2.4505e-04 11,816 2,4826e-04 24,446 4.9010e-04 19,964 4,9652e-04 45,633 7.3515e-04 28,928 7,4479e-04 66,820 9.8020e-04 37,484 9,9305e-04 85,969 0.0012 45,633 0,0012 106,34 0.0015 54,189 0,0015 126,71 0.0017 62,338 0,0017 147,08 0.0020 71,301 0,0020 167,05 0.0022 79,450 0,0022 186,20 0.0025 88,006 0,0025 205,35 Tabla N°4: Ángulo de distorsión vs esfuerzo cortante en el tramo elástico para Latón y Acero SAE 1045 Finalmente, graficando los puntos de la tabla N°4 y realizando un ajuste de curva se obtiene la gráfica de la figura N°2 y los siguientes módulos de elasticidad al cortante ó = . []
; 5
= . [
Figura N°2: Comparación de curvas aproximadas para el ensayo de t racción en el tramo elástico. Latón vs Acero SAE 1045
Segundo método En la obtención de los resultados por el segundo método es necesario el uso de la interfaz de análisis numérico MATLAB en lo que respecta al cálculo y gráficas respectivas. Lo anterior es debido a la gran cantidad de datos que entrega la interfaz. A continuación, se muestran los datos más destacables del análisis y gráficas comparativas de las curvas, tanto elastoplásticas como en los tramos elásticos de los mismos. Los resultados finales son los siguientes: ó = . [] , ó = . [] = . [] , = . []
Mientras que los valores de esfuerzos cortante máximos, sacados gráficamente de la fig. 3, fueron: ó = . [] , ó = . [] = . [] , = . []
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Finalmente, la figura 3 compara las curvas completas del ensayo de torsión, la cual está definida por lo puntos obtenidos experimentalmente y que se les aplicó las ecuaciones de transformación, mientras que la figura 4, muestra la comparación de los tramos elásticos de las curvas de la figura 3 pero ya habiéndoles aplicado el ajuste de curva para obtener los módulos de elasticidad al cortante.
Figura N°3: Comparación de curvas elastoplásticas experimentales.
Figura N°4: Comparación de curvas ajustadas en tramo elástico. 7
Discusión y Conclusión Si bien en ambos métodos se logra percibir la diferencia esperada de comportamiento al cortante entre el latón y el acero, las diferencias en magnitud frente a lo que se maneja en la teoría ( ó =40[GPa], =80[GPa]) de sus constantes mecánicas son significativas para el segundo método. Por una parte, puede justificarse porque las gráficas elastoplásticas contemplan dentro de su tramo elástico cierta deformación plástica, interfiriendo en la medición puramente elástica, a diferencia del primer método en el cual se analiza un tramo muy reducido del primer tramo, asegurando la existencia elástica pura. Lo anterior, reflejado en el análisis numérico de una mayor cantidad de datos, es foco de grandes variaciones de valores. Otro factor que pudo haber perjudicado al segundo método es la geometría de las probetas. Ya que, a diferencia del primer método, no hay forma de restringir el estudio al tramo puramente cilíndrico, sino que se combina con los extremos hexagonales que, hasta cierto punto, podrían incidir en la absorción del torsor aplicado a la probeta. En lo que respecta a las gráficas, se comprueba experimentalmente que el valor del módulo de rigidez al cortante en el acero es mayor que el del latón, sin embargo, hay observaciones más destacables al respecto. Si comparamos las curvas de la figura 3, el acero1 queda al debe en cuanto a esfuerzos máximos se esperaba, quedando con valores menores que los del latón. Esto puede deberse a que el acero no necesariamente presentaba la composición química que se supone tiene, quizás hubo un mal ajuste en las uniones a la máquina de ensayo o las velocidades de los ensayos no fueron las adecuadas. Por otra parte, el latón al ser más dúctil que el acero, presenta una curva mucho más alargada según el eje de la distorsión angular pero sin superar en magnitud de esfuerzo cortante al acero. Esto implica que los materiales dúctiles requieren menores niveles de fuerza o momento para modificar su forma, sin embargo, se destaca el hecho que a pesar de deformarse casi 2.5 veces lo que se deforma el acero, su esfuerzo de ruptura sigue siendo menor que la del acero. El acero logra soportar grandes cargas sin deformarse en gran escala, esto se debe al tipo de unión entre sus moléculas que resultan ser más fuertes que las del latón y por ello es que es capaz de soportarlo. También se puede ver que la caída del esfuerzo en el latón es mucho más brusca que la del acero una vez alcanza su punto de ruptura, lo cual también es debido a su ductilidad. El acero tarda más en separar sus secciones de material al tener enlaces más fuertes. Frente a este último detalle de separación de áreas, ocurre lo mismo que en tracción, a pesar de la reducción de área, como el material deja de soportar la carga que aguantaba, el esfuerzo disminuye de todas maneras, pues este último factor es más incidente que el área de la sección que soporta la carga. La única diferencia rápida que presenta frente a la gráfica de tracción es que el tramo plástico es más extenso y mucho más lineal en la gráfica de esfuerzo cortante.
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Apéndice Apéndice teórico
Fig. N°5: Esquema de un cilindro empotrado expuesto a t orsión. Teniendo como base la figura N°5 y considerando que sólo nos referimos al comportamiento en el tramo elástico en el siguiente análisis, se tiene que existe una relación geométrica al igual el arco comprendido por los puntos a y b entre el ángulo de torsión ϑ y el ángulo de distorsión ϒ: ϒ
=
(. )
Por otro lado, se tiene que para un eje de sección continua a lo largo de su longitud y con un torsor T actuando en la sección de interés, el esfuerzo cortante por torsión es: =
Donde T: torsor, : radio desde el centro hasta cierta capa cilíndrico del material, J: Momento polar de inercia. Se puede apreciar entonces que el cortante se hace máximo en la capa más externa del eje, es decir, cuando =R. Además, considerando la ecuación del momento polar de inercia, el cual corresponde a la resistencia que opone la distribución de área de cada sección de material a rotar dentro del plano que lo contiene por acción de efectos externos, el esfuerzo de corte máximo es:
á =
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(. )
Finalmente, se hace necesario recordar para el estudio de la presente experiencia que, según la ley de Hooke aplicada al esfuerzo cortante, se tiene que: =
(. )
Cálculos Como se mencionó previamente, el análisis numérico y gráficas de la experiencia completa se realizaron por medio de la plataforma MATLAB. Los códigos respectivos, basados en las fórmulas descritas en el apéndice teórico, junto a los valores que entregaron se presentan a continuación.
Primer método %Ensayo de tracción para el tramo elástico %Autor: Rodrigo Núñez Soto %Datos experimetales. theta=[0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05]; % en [rad] TorsorLaton=[0.29 0.49 0.71 0.92 1.12 1.33 1.53 1.75 1.95 2.16]; % en [Nm] TorsorAcero=[0.6 1.12 1.64 2.11 2.61 3.11 3.61 4.1 4.57 5.04]; % en [Nm] %Datos Dimensionales de probetas. Diametro=0.005; % todo en [m] LargoLaton=0.05101; LargoAcero=0.05035; %Conversión a Esfuerzo y Distorsión. DistorsionLaton=((Diametro/2).*theta)/LargoLaton; %ambos en [rad] DistorsionAcero=((Diametro/2).*theta)/LargoAcero; CorteMaxLaton=(2.*TorsorLaton)./(pi*(Diametro/2)^3); %en [Pa] CorteMaxAcero=(2.*TorsorAcero)./(pi*(Diametro/2)^3); %Regresión lineal para determinar constantes. GLaton=polyfit(DistorsionLaton,CorteMaxLaton,1); %coef. de la curva ajustada GAcero=polyfit(DistorsionAcero,CorteMaxAcero,1); disp('El valor de los módulos elásticos al cortante son:' ); disp('G del Latón:'),disp(GLaton(1)),disp( '[GPa]'); disp('G del Acero:'),disp(GAcero(1)),disp( '[GPa]'); %Gráfica de puntos experimentales superpuestos con las curvas ajustadas. CurvaCorteLaton=GLaton(1).*DistorsionLaton+GLaton(2); CurvaCorteAcero=GAcero(1).*DistorsionAcero+GAcero(2); figure(1); plot(DistorsionLaton,CorteMaxLaton, '*k',DistorsionAcero,CorteMaxAcero, 'ok');g rid hold on plot(DistorsionLaton,CurvaCorteLaton, '-k',DistorsionAcero,CurvaCorteAcero, 'k') title('Tramo Elástico, comparación Latón vs Acero' ); xlabel('Distorsión angular [rad]' ); ylabel('Esfuerzo Cortante [Pa]' ); legend('Puntos experimentales Latón' ,'Puntos experimentales Acero' ,'Curva Latón G=34.55[GPa]' ,'Curva Acero G=80.97[GPa]' ,'Location','NorthWest'); hold off
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>> TramoElastico El valor de los módulos elásticos al cortante son: G del Latón: 3.4553e+10 [GPa] G del Acero: 8.0974e+10 [GPa] Además de entregar la figura N°2.
Segundo método %Análisis de Torsión para la totalidad de la deformación elastoplástica. %Autor: Rodrigo Núñez Soto % %Variables geométricas de entrada D=5; %Serán 5[mm] de diametro y 75[mm] para las 4 probetas, considerando l=75;%que las diferencias entre las 4 probetas eran despreciables. L=l/1000; %Transformación a metros R=D/2000; % %TRABAJO DE DATOS DE LOS ARCHIVOS DE TEXTO PARA CADA PROBETA % % Prueba 1: Latón 1, ensayo a 0.8[rpm] % Prueba1 = fopen('Laton01.txt' ); % Abre el archivo txt Laton01 = textscan(Prueba1, '%s%s%s%s');% Separa las columnas de datos en bloques de datos tipo cell fclose(Prueba1); %Cierra el archivo anguloL1=str2double(Laton01{1,1}); % Descomprime el primer bloque cell y los vuelve numéricos momentoL1=str2double(Laton01{1,2}); % Lo mismo anterior con el segundo bloque [LX1 LY1]=size(anguloL1); for i=1:LX1; anguloL1(i)=anguloL1(i)-1288.228; %Ajuste por mala medición en lab. end % % Ajuste de curva para Latón1 % anguloRADL1=anguloL1.*(pi/180); % Transformación a radianes distorsionRADL1=(anguloRADL1.*R)/L; % De ángulo torsor a distorsión angular CorteMAXL1=(2.*momentoL1)/(pi*(R^3)); % De Torsor a esfuerzos máximo Y=CorteMAXL1(30:120); %Discriminación de datos para el tramo elástico X=[ones(91,1) distorsionRADL1(30:120)]; %preparando matriz bL1=inv(X'*X)*X'*Y; %BL1 contiene los valores de las constantes de la recta GL1=bL1(2,1) %Guarda en GL1 el valor del módulo elástico al cortante % % A continuación, se evalúan los puntos de distorsión del tramo elástico en % la función obtenida por regresión lineal para posteriormente comparar las % curvas ajustadas de las 4 pruebas. % EsfCorteL1=@(x) GL1*x; % Aplicando ec. 3
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DISTORSIONESL1=distorsionRADL1(30:120); esffinalL1=[]; %Matriz en que se guardan los esfuerzos cortantes para Latón1 for j=1:91; EC=EsfCorteL1(DISTORSIONESL1(j)); esffinalL1(j)=EC; end % %El procedimiento anterior se repite para las otras tres pruebas... % % Prueba 2: Latón 2, ensayo a 1[rpm] % Prueba2 = fopen('Laton02.txt' ); Laton02 = textscan(Prueba2, '%s%s%s%s'); fclose(Prueba2); anguloL2=str2double(Laton02{1,1}); momentoL2=str2double(Laton02{1,2}); % anguloRADL2=anguloL2.*(pi/180); distorsionRADL2=(anguloRADL2.*R)/L; CorteMAXL2=(2.*momentoL2)/(pi*(R^3)); Y=CorteMAXL2(30:120); X=[ones(91,1) distorsionRADL2(30:120)]; bL2=inv(X'*X)*X'*Y; GL2=bL2(2,1) % EsfCorteL2=@(x) GL2*x; DISTORSIONESL2=distorsionRADL2(30:120); esffinalL2=[]; for j=1:91; EC=EsfCorteL2(DISTORSIONESL2(j)); esffinalL2(j)=EC; end % % Prueba 3: Acero1, ensayo a 0.4[rpm] % Prueba3 = fopen('Acero01.txt' ); Acero01 = textscan(Prueba3, '%s%s%s%s'); fclose(Prueba3); anguloA1=str2double(Acero01{1,1}); momentoA1=str2double(Acero01{1,2}); % anguloRADA1=anguloA1.*(pi/180); distorsionRADA1=(anguloRADA1.*R)/L; CorteMAXA1=(2.*momentoA1)/(pi*(R^3)); Y=CorteMAXA1(30:120); X=[ones(91,1) distorsionRADA1(30:120)]; bA1=inv(X'*X)*X'*Y; GA1=bA1(2,1) % EsfCorteA1=@(x) GA1*x; DISTORSIONESA1=distorsionRADA1(30:120); esffinalA1=[]; for j=1:91; EC=EsfCorteA1(DISTORSIONESA1(j)); esffinalA1(j)=EC; end %
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% Prueba 4: Acero 2, ensayo a 0.4 [rpm] % Prueba4 = fopen('Acero02.txt' ); Acero02 = textscan(Prueba4, '%s%s%s%s'); fclose(Prueba4); anguloA2=str2double(Acero02{1,1}); momentoA2=str2double(Acero02{1,2}); % anguloRADA2=anguloA2.*(pi/180); %en rad distorsionRADA2=(anguloRADA2.*R)/L; %en rad CorteMAXA2=(2.*momentoA2)/(pi*(R^3)); Y=CorteMAXA2(30:120); X=[ones(91,1) distorsionRADA2(30:120)]; bA2=inv(X'*X)*X'*Y; GA2=bA2(2,1) % EsfCorteA2=@(x) GA2*x; DISTORSIONESA2=distorsionRADA2(30:120); esffinalA2=[]; for j=1:91; EC=EsfCorteA2(DISTORSIONESA2(j)); esffinalA2(j)=EC; end % % PRESENTACIÓN DE GRÁFICAS % % La figura 1 muestra las 4 curvas elastoplásticas en su totalidad % haciendo uso de los puntos obtenidos experimentalmente y aplicándoles las % ecuaciones de transformación de ángulo de torsión y momento torsor a % distorción angular y esfuerzo cortante máximo respectivamente. Desde estas % curvas es que se hizo la discriminación de los puntos para realizar el % análisis de ajuste de curvas en el tramo elástico por el segundo método. % figure(1);plot(distorsionRADL1,CorteMAXL1, 'pk',distorsionRADL2,CorteMAXL2, 'o-k',distorsionRADA1,CorteMAXA1, '+k',distorsionRADA2,CorteMAXA2, '^-k');grid title('Comparación de curvas: Esfuerzo cortante - Distorsión angular' ); xlabel('Distorsion angular [rad]' ); ylabel('Esfuerzo Cortante [Pa]' ); legend('Latón1 G=25.92[GPa], 0.8[rpm]' ,'Latón2 G=24.96[GPa], 1[rpm]' ,'Acero1 G=66.25[GPa], 0.4[rpm] ' ,'Acero2 G=64.39[GPa], 0.4[rpm]','Location','NorthEast'); % % La figura 2 muestra las curvas obtenidas tras el ajuste de curva de los % puntos sacados del tramo lineal de la elastoplástica de cada una de las % pruebas. De esta forma es mucho más apreciable la diferencia de % pendientes que en definitiva representan los módulos de elasticidad al % cortante. % figure(2);plot(DISTORSIONESL1,esffinalL1, 'p-k',DISTORSIONESL2,esffinalL2, 'ok',DISTORSIONESA1,esffinalA1, '+-k',DISTORSIONESA2,esffinalA2, '^-k');grid title('Vista en detalle de curvas elastoplásticas: Tramo elástico' ); xlabel('Distorsion angular [rad]' ); ylabel('Esfuerzo Cortante [Pa]' ); legend('Latón1 G=25.92[GPa], 0.8[rpm]' ,'Latón2 G=24.96[GPa], 1[rpm]' ,'Acero1 G=66.25[GPa], 0.4[rpm] ' ,'Acero2 G=64.39[GPa], 0.4[rpm]','Location','SouthEast');
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% % Finalmente, muestro los esfuerzos máximos alcanzados para cada prueba. % EsfuerzoCorteMaxL1=max(CorteMAXL1) EsfuerzoCorteMaxL2=max(CorteMAXL2) EsfuerzoCorteMaxA1=max(CorteMAXA1) EsfuerzoCorteMaxA2=max(CorteMAXA2)
>> CurvasElastoplásticas GL1 = 2.5921e+10 GL2 = 2.4959e+10 GA1 = 6.6247e+10 GA2 = 6.4393e+10 EsfuerzoCorteMaxL1 = 3.6578e+08 EsfuerzoCorteMaxL2 = 4.3364e+08 EsfuerzoCorteMaxA1 = 3.6534e+08 EsfuerzoCorteMaxA2 = 5.0670e+08 Además de entregar las figuras N°3 y N° 4
Bibliografía Plataforma de análisis numérico, MATLAB. Guía de laboratorio, “Experiencia: Ensayo de tracción”, Plan 2012, Ingeniería c ivil en mecánica, USACH.
Datos experimentales : torsor vs ángulo de torsión.
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