FS-200
F´ısica General I I
UNAH
Universidad Nacional Aut´ onoma de Honduras onoma Facultad de Ciencias Escu Es cuel ela a de F´ısic ıs ica a
Medici´ on on de la aceleraci´ on de la gravedad en la on UNAH-CU utilizando el p´ endulo endulo simple Elaborada por Ing. Francisco Sol´ orzano. orzano. Actualizada y corregida por Fis. Roberto Rober to Mej´ Mej´ıa, Fis. Ricardo Salgado Salgad o y F´ıs. ıs. Luis Zapata Coordinador de la asignatura Fis. Ram´ on on Ch´avez. avez. Objetivos
1. Obtener Obtener el valor valor de la aceleraci´ aceleraci´on on de la gravedad en la UNAH. 2. Analizar Analizar la relaci´ relaci´on on periodo-longitud en un p´endulo endulo simple. Materiales y equipo
1. Bola de plomo
4. Soporte de mesa con brazo
2. Cinta m´etrica etri ca
5. Cron´ometro ometro digital
3. Cuerda o hilo
6. Transportador
Marco te´ orico orico
Un p´endulo endulo t´ıpico como el de la Figura 1. se aproxima tanto m´as as a un p´endulo endulo simple cuando la densidad de la masa es constante, perfectamente esf´erica, erica, la cuerda muy ligera, lo menos extensible posible y oscila en un plano. Para favorecer la no extensibilidad de la cuerda se debe mantener la bola b ola colgada unos dos d´ıas, dando asi un tiempo prudencial para que se estire por acci´ on del peso de la bola, manteniendo constante on la temperatura en el lugar.
θmax
F T mg sin mg sin θ
La osci oscila laci ci´on o´ n de un p´endu e ndulo lo se adap adaptta a un movi movimi mieento cuasi-arm´onico, onico, bajo ciertas ciertas condicione condiciones: s:
mg cos mg cos θ m
mg
Diagr gram ama a de Figur iguraa 1: Dia 1. El desplazamien desplazamiento to angular m´aximo aximo debe ser peque˜no no en un fuerza fue rzass p´ endulo end ulo simple simp le intervalo de 0 < 0 < θ < 10 °. Esta condici´on on permite aproximar: agina 433 Serway 7 edici´ on) on) sen θ ≈ θ (ver p´agina
2. La segund segundaa es reduci reducirr el amorti amortiguam guamien iento to por efecto efecto de la resistencia del aire. Es importante considerar que mientras mayor sea la masa y la longitud de la cuerda, este efecto de amortiguamiento se puede considerar despreciable para cierto intervalo de tiempo.
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Al aplicar la segunda ley de Newton y utilizando el diagrama de cuerpo libre de la Figura 1, se obtiene la ecuaci´on diferencial de movimiento para el p´endulo simple d2 θ g = − sen θ (1) dt2 Recordando que si se trabaja con ´angulos peque˜ nos la ecuaci´on anterior se puede reescribir como d2 θ g (2) ≈ − θ dt2 La cual corresponde a la ecuaci´on diferencial de movimiento para un oscilador arm´onico simple g cuya frecuencia angular est´a definida por ω = donde g es el valor de la aceleraci´o n de la gravedad y corresponde a la longitud del p´endulo.
Se sabe que el periodo de un oscilador arm´onico est´a dado por: 2π ω por tanto, el periodo T para un p´endulo simple se puede escribir como: T =
T = 2π
g
(3)
Debido a que el problema central consiste en el c´alculo experimental de la aceleraci´on gravitacional la ecuaci´on (3) debe ser despejada para g quedando: 4π2 g = T 2
(4)
Procedimiento experimental Mediciones
para
obtener
g utilizando
valores
1. Se dispone de un p´endulo simple de longitud colgado del techo, como se muestra en la Figura 2. Utilizando la cinta m´etrica mida la longitud en metros del p´endulo desde el nudo en el punto de pivote hasta el centro de masa de la bola (sea muy preciso en sus mediciones). Anote este valor en la Tabla 1.
promedio
de
y
T
Transportador
θmax
2. Anote el valor de la incertidumbre en la medici´o n de δ, el cu´al en este caso, ser´a de 3 mm. m 3. Para realizar la medici´ on del tiempo de 20 oscilaciones mueva suavemente el p´endulo formando un arco paralelo al plano endulo simple Figura 2: P´ en donde se ubica el transportador del techo y llegue hasta un a´ngulo m´ aximo menor a 10° , (utilice este mismo valor durante toda la experiencia) y an´otelo en la Tabla 1; luego suelte el p´endulo y despu´es de transcurrir dos oscilaciones completas arranque su cron´ometro midiendo el tiempo que el p´endulo tarda en realizar 20 oscilaciones y posteriormente anote este valor en la Tabla 2.
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4. Anote en tabla 2 el valor de la incertidumbre para δt20 , el cu´al es de 0.3 s. 5. Los pasos 1 y 3 deben repetirse 5 veces. Tablas de datos para el procedimiento experimental 1
N
◦
θmax
0 (m)
δ 0 (m)
¯0 (m)
∆ (m)
1 2 3 4 5 Tabla 1: Mediciones de longitud para el p´endulo simple
N
◦
t20 (s)
δt 20 (s)
T 0 (s)
¯0 (s) T
∆T (s)
1 2 3 4 5 Tabla 2: Mediciones del periodo en segundos para el p´endulo simple Mediciones
para
obtener
g u tilizando
modelo
de
regresi´ on
lineal
1. Sujete la cuerda del p´ endulo en el soporte colocado en la mesa de trabajo, tal como se muestra en la figura 3 y proceda a dar entre entre dos a tres a vueltas a la cuerda y mida la nueva longitud. Anote el valor en la Tabla 3 2. Tras haber establecido un nuevo ´a ngulo inicial de oscilaci´o n m´aximo menor a 10°, deje oscilar el p´endulo, con las precauciones ya se˜naladas anteriormente y proceda a medir el correspondiente tiempo de 20 oscilaciones completas, anote el valor en la Tabla 3. 3. Nuevamente enrolle la cuerda otras dos o tres veces y repita los pasos 1 y 2 hasta tener un total de 6 mediciones de Figura 3: Configuraci´ on del longitud y periodo diferentes. p´endulo para la variaci´o n de su longitud , vista de perfil y vista frontal. 3
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Tablas de datos experimentales para el procedimiento experimental 2
N
◦
θmax
(m)
δ (m)
t20 (s)
δt 20 (s)
T (s)
T 2 (s2 )
4π2 (m)
1 2 3 4 5 6 Tabla 3: Medici´on del periodo a diferentes longitudes para el p´endulo Tratamiento de datos experimentales 1. C´ alculo de g utilizando valores promedio de y T
Para obtener g por este m´etodo se har´a uso de los datos obtenidos en las Tablas 1 y 2. An´ alisis de Longitud
Cada uno de los c´alculos que se obtengan a continuaci´on deben ser anotados en la Tabla 1 • Calcule
el valor promedio ¯0
• Calcule
la incertidumbre ∆ que ser´ıa la desviaci´on est´andar de los datos. (ver f´ormula en los anexos al final de la gu´ıa)
• Reporte
el valor de de la forma = ¯0 ± ∆
An´ alisis de Perio do
Cada uno de los c´alculos que se obtengan a continuaci´on deben ser anotados en la Tabla 2 • Calcule
el valor de T 0 haciendo uso de T 0 =
• Calcule
t20 20
¯0 el valor promedio de T
• Calcule
la incertidumbre ∆T que ser´ıa la desviaci´on est´andar de los datos. (ver f´ormula en los anexos al final de la gu´ıa)
• Reporte
el valor de T de la forma ¯0 ± ∆T T = T
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Calculando g por medio de los valores reportados de y T
Se proceder´a a realizar el c´alculo de la aceleraci´on gravitacional con los valores reportados de y T haciendo uso de la ecuaci´on (4) definida en el marco te´orico. 4π2 ¯0 g = ¯0 2 T
(5)
Para encontrar ∆g se hace uso de la f´ormula:.
∆ ∆T ∆g = g ¯ + 2 ¯ T 0 0 Finalmente se expresa g como:
g1 = g ± ∆g El error solo debe tener una cifra significativa y el valor central debe contener el mismo n´umero de cifras decimales del error total. 2. C´ alculo de g por medio de regresi´ on lineal
En este caso se iniciar´a el an´alisis por la ecuaci´on (4) del marco te´orico. 4π2 g = T 2
(6)
gT 2 = 4π2 ·
(7)
realizando un peque˜ no despeje se obtiene
por tanto se puede modelar como y = ax + b donde y = 4π2 , a = g y x = T 2 y al encontrar el valor de a se puede obtener perfectamente el valor de g al que llamaremos g 2 El an´alisis de T se debe hacer teniendo en cuenta los siguientes pasos, anotando cada resultado en la Tabla 3: Calcule el valor de cada T haciendo uso de T =
t20 20
Calcule T 2 para cada T Calcule los valores de a y b para la regresi´on lineal utilizando los datos de la Tabla 3, anote estos valores en la Tabla 4 En una hoja de c´alculo grafique los 6 puntos medidos en la Tabla 3, es decir 4π2 vs T 2 . junto con la recta obtenida al realizar la regresi´on lineal. 5
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Pendiente de la Ordenada en el recta origen
a =
∆a
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∆b Ecuaci´on del ajuste
b =
Correlaci´on lineal
r =
Tabla 4: Par´ametros del ajuste para la regresi´on lineal Reporte su el valor encontrado de g de la forma g2 = g ± ∆g 3. Error relativo
Para determinar el margen de error entre los valores obtenidos experimentalmente utilizando los dos m´etodos anteriores, se har´a uso de: 1 =
|gte´orico − g1 | × 100 % gte´orico
2 =
|gte´orico − g2 | × 100 % gte´orico
donde gte´orico = 9.77682 m/s2 corresponde a la aceleraci´on gravitacional est´andar para Tegucigalpa, ya que, la gravedad var´ıa con la altura. Cuestionario
1. Investigue como se calcula el factor de correlaci´on lineal r del ajuste, obtenga dicho valor y explique la importancia del mismo. 2. ¿Qu´e se puede decir acerca de los resultados para la aceleraci´on gravitacional? 3. ¿Qu´e consideraciones se deben tomar en cuenta para la configuraci´ on del p´endulo simple utilizado en el laboratorio, de tal forma que el amortiguamiento se considere despreciable en los c´alculos para obtener g? 4. Quiz´a le han comentado que antes de que se comenzase a usar el p´endulo en esta experiencia, estuvo colgado dos d´ıas. Puede explicar ¿por qu´e motivo se hace esto? 5. ¿Qu´e es el p´endulo de Foucault y qu´e permite mostrar acerca del movimiento de la Tierra?
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ANEXOS F´ ormulas utilizadas en el c´ alculo de errores
Promedio
N
q¯ =
i=1
Desviaci´ on Est´andar σq =
q i N
1 N − 1
N
(q i − ¯ q )2
i=1
Bibliograf´ ıa
F´ısica para Ciencias E Ingenier´ıa Vol. I, Serway, Jewett, 7 ma . Ed. F´ısica. Vol. I, Resnick, Halliday, Krane. 4ta . ed. F´ısica Universitaria, Vol. I, Sears, Zemansky, Young, Friedman. 11. ed. F´ısica Para Ciencias E Ingenier´ıa, Vol. I. Giancoli. 4ta . ed. Introducci´ on al an´alisis de Errores, John R. Taylor 2 da ed. Figuras elaboradas por Salgado, R. y Mej´ıa, R.
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