Ian Stewart-Numerele naturii-Humanitas (1999).pdf

IENE ATER

lAN STEWART este

autorul a peste şaizeci de cărţi incluzînd Joacă

Dumnezeu zaruri? Problemele matematicii si Altă matematică  grozavă pe c�re mi-ai exlicat-o, ca şi mai multe povestiri scurte de genul SF care au a u fost fost publicat publicatee în Omni şi în Analog. El scrie bine cunoscuta rubrică Recreatii ma tematice din Scientific Aerican şi este un colaborator frecvent la Discover, New Sentist şi la alte reviste de ştiinţă popularizată A susţinut deseori emisiu emisiu la posuri de teeviziune si radio din SUA Canada şi Mara Britanie

AN AN TEWART

NUMEREL ATURI Ireala realitate a imaginaţiei matematice d d ză d  

• H

Coperta IOANA DRAGOMIRESCU MARDARE

IAN IAN STEW STEWAR ARTT N'S NMBS h nrl y of  hmil mginion ©  Basic  Basic Books, A Division Division of Harp Harper er Cols Publishers, Ic.,  Numele şi marca "Sciece Masters sînt proprietatea ui  Brocka, Inc © HUMANITAS, , pentru prezenta versiune românească

PRLG

Masina irealitătii   virtuale

Am un vis

 ur meu u se afă imic Nici măcar spaiul gol, deoare de oarece ce nu există exist ă un spaţi spa ţiuu care să fie fie go. Nici ceva egr, egr, deo d eoarece arece nu exis exis tă nimic nimic care care să fie egru egru . te pur pu r ş impu impu o absenţă abs enţă care aşteaptă aş teaptă ă devnă devnă o aţiu iu Dar prezenă. Mă Mă gîgîdesc des c săsă porucesc porucesc : să fie spaţ ce fel de spaiu? Am de aes: spaiu tridmensional, mutidimen mutidimensiona siona sa s au chiar curbat. curbat. Aleg. O altă poruncă, iar spai se umple cu u fuid atotprez atotpr ezet, et, care care se rote ro teştştee în unde unde şi vî vîrte uri, aici o învîrtire leneşă, leneş ă, dico di colo lo o bulboană bulb oană înspu înspuat ată.ă. Colorez spaiu cu albastr şi desenez iiile de curent cu cu ab, ca să vizuaizez vizuaizez schema de curgere. Plasez Plas ez în flui fluidd o mică mi că sferă roşi ro şie.e. Sfer Sferaa plute plu teşte şte sis igură, gură, neştiutoare ne ştiutoare de haosul haosu l din din  uru uru ei, pîă pîă ce pro nnţ cuvîntl. Apo, fera alunecă dea ungl ne lini liniii de curent. curen t. Mă M ă compri co mprim m la o sutie dn mărimea mărime a mea şiş i mă aşez aş ez pe suprafaa suprafaa sferei sferei,, ca să s ă prvesc de sus s us desfăşurarea eveientel eveie ntelor. or. La inter intervae vae de cîteva cîteva se se  cunde, cunde, marchez cu verde verd e cursul cursul sferei pentru pentru al vi aul, f

6

NUMEEE NATU

ca î  fimee fimee despre cactuşii cactuşii  di deşert deş ert fimaţi ecveecve ţia după oae oa e  iar pe fiecare fiec are petală în înt iur iuri,i, umere şi simbo sim bouri. uri. Sfera p oate şi ea săsă n nor oreasc ească,ă, iar ia r atuci atu ci cî cîdd îf îfor oreşt eşte,e, acee fiuri fiuri,, umere um ere şi sim s imbo bo-uri uri se schimbă schimb ă î timpu timpu mişcării. miş cării. Nemuţumit de mersu simbourior, mpi sera îtrată iie iie de curet, aşe aş e zîd îdoo cu rij rijă,ă, pînă ce zăre s c urmee idubitabie ae siuarităţii pe care o urmăresc. Pocesc di deete şi sfera se extrapoează extrapoează sigură î viitoru ei şi îmi trasmite ce află acoo. Promiţător Promiţ ător . . . Şi, brusc, b rusc, apar aparee u adevărat or de sere roşii toate toa te purtate purtate de fuid, fuid, ca u bac d peşi peş i care care se rii riipp eşte repede, răsuciduse, răsuciduse , sco s coţţîd îd eacue bţiiduse idus e ca işte foi. Ap oi, ate bacuri de fere e e adaă jocu j ocuui ui  urii, urii, purpur purpurii,ii, caeii, caeii, aritii aritii o.. o.... Mă paşte pericou epuiării epuiării cuorilo. Foie F oie mulicolore e iersecează iersec ează după după orm ormee eomerice eo merice come co me.. e îîheţ, heţ, le et etez ezesescc şi ee co coor ore e î dui dui.. lun lun eree eree cu u simpu gest. Chem marcajele e coole eaee îchise, scot cîteva i e ixez pe u iaj anspare materiali materialiatat ca u peis pe isaaj di ceaţ ce aţaa care care  ţiază. Da! asez ase z o ou ouă porucă.  Salveaă. Salvea ă. l luu : U U o feome feome haotic î probema probem a celor ce lor trei corpuri. corpuri. Data : astăi. as tăi. " Spaţiul coapsea c oapsează ză îapo îapoi,i, î î vid vidul ul ineiset. ine iset. Aoi cercetările de dimieaţă o dată dat ă termiae ă desp desp dd de Maşia Maşi a Irealităţii Irealităţii Virtuae şi lec la asă. asă . Acest vis aparte este foarte aprape de adevăr. Avem Ave m dej dej a sisteme sis teme de Reaitate Vir Viraaăă care simuleaă eveimetee eveimetee î spaţiu spaţiu  orma" orma"  Eu  am a m mit visu Ireaitate Virtua Virtuaăă deoarece de oarece e sză oce creacrea -

PROOG

Mule ditre părţile şi piesele Maşiii reaităţii Vir ale există dea. de a. xisă u sof de grafică grafică pe computer, care te poate purta î bor pri orice obiect geome ric ric ales, u soft de siste si steme me dimice dimice care car e poate po ate tras trasaa evoluţia stării stării dae de orice ecuaţie, sau sa u u soft s oft de alge bră simbolică, î stare săşi asume dificulatea celor mai oribile calcule  si să le efe efectue ctuee e corect. ste doar o chestiu ches tiue e de ti p ca matematiciei să poată pătrude î propriile lor lo r creaţii. D ar, oricît oricît a a fifi d miuaă această acea stă tehol t ehologie, ogie, u avem evoie de ea pe p erru ca visul meu s ă pridă viaţă viaţă Visul meu ste de p acum o realitate, preetă î capul fiecărui fiecărui matemaicia. mat emaicia. ste ceea ce simte si mte creatia matematică auci cîd o elaborăm e laborăm.. Am A m recurs la  mică liceţă poeică: obiectele preete î lumea matematicianului mat ematicianului se distig dis tig îtr îtree ele î geeral geer al pri pri eicete simolice sau pri ume, ume, mai degrabă de grabă decît decît  ri  ri cul culori ori.. D ar, pe p enru lo l ocui cuior oriiii lum lumii de d e s crse rs e mai ma i sus aceste eichee sî l a fel de grăitoare ca şi culorile. ile .   ralia raliae,e, î pofida pofida imagi im agiil ilor or plie de culoare, vsul meu ese doar do ar o umbră p alidă a lumii imagiare î cae locuiese fiecare matmaici matmaicia a  o lume î care care spaţiul sp aţiul cuba  sau spaţul s paţul cu mai multe dimesiui dim esiui sît sît u umai lucruri lucruri comue co mue ci şi ievitab ievitabililee . DumeaDu meavoas voas ră vţi găsi, proba pro babil, bil, efamiliare efamiliare şi strai s traiii aces aces   imagii, imagii, foare foare depae de simbolismul simb olismul algebric evo ca d cuvîul maemaică". Matematicieii sît foţaţi foţaţi să recurgă la simb si mboluri oluri scise şi la imagi ima gii i ca săs să si i descrie lumea lum ea  chia chia si îre ei. ei . Da D a simbolu ile u sî sî aceva ace va peu pe u luea lor decît decît este otaţ o taţiaia muicală petru muică. muic ă. *

Fzca Fzca teoretcă teoretcă foloseşte foloseşte "clo "c lorl rle e ş ş  "gst "g strl rle e c a arcaje





N  M E R E E  E N AT AT  R I I

Dea De a lungul lungul seole se olelor, lor, nele neleul ul olev ole v al maemaenilor enilor şa reat popri popriul ul unvers unvers.. Nu şiu şiu unde ese el situa situa  si ni nu nu red ă există vreun lo" lo " în în sense nsul obişnu   al uvî uvînulu nulu , dar vă asg as gur ă aes a es unpare de d e s ul de real r eal aun aun  cînd cînd e afl afl în în el. el . Ş, Ş , nu vers pare a es-în pofda parularăţlor s ale,  omai datoră aes ora, unversul menal al maemaenlor a ofer finţelor umane mule dinre ele ma profunde revelaţ privnd lum lumea ea în în onură onu răoo are. are . Vă voi lua u mine în înro exur exurssee în aes ae s unvers unvers maema maema.. Vo înera înera să vă înzesrez u  u oh o h maema ema maanulu anuluii . Pe aes a es parurs, parurs, vo fae fae to t o ee  eeaa e p p a să vă s hmb modul m odul în are vă perepe per epe lumea. lum ea.

CAITLUL 

Ordinea natrală

Trăim ntrun ntrun univers de d e forme. forme . n fiecare fiecare noapte, stelele s telele se mică pe ce c e r pe traiectori traiectoriii circul circule.e. Anotimpule au au cicluri cicluri anuale anuale.. Nici  lg de ăpadă nu nu este e ste exact identic cu vreun altul dar toi lgii au o simetrie sim etrie hexagonală. Tigrii Tigrii i zebrele snt snt acoperii cu desene des ene dungate, leop l eopar ariiii i hienele au pete pe te.. Tren Trenuri uri de unde complicate străbat străbat oceanele oceanele forme forme asemănătoare de valuri rav raversea erseaăă desertl. desertl. Arce colorate colorate de lumină lumină mpodobesc cel sub fo mă de curcubee i un halou circular strălucitor strălucitor nconoară nconoară uneori luna n n nopile de iarnă. Din nori nori cad picături picături sferice sferice de apă. apă . Mintea si cultura omului au devoltat un sistem formal de (ndire ndire pent pe ntru ru recunoa recunoaterea, terea, clasifi clas ificare careaa i folo folosirea sirea formelor, formelor, sistem s istem pe care care lam l am numit numit matematică. tică. Fol Fo l osind os ind matematica matema tica pentru pentru organizarea i siste siste  matiarea ideilor noaste noaste despre forme, am descope rit un mare secet: formele naturii nu se află acolo tocmai toc mai pentr p entruu a fi admirate, a dmirate, ci sînt sînt de fapt fa pt indiciile indiciile vi vi  tale ale regulilor care guverneaă procesele naturale. Cu pat su s u t e de ani ani  n urmă urmă, astronomul astronomul german germano o ' Ma    161 16 1 O. " Spoo pool l  Jones Mate Wack

0

NUMEEE NATR

cu haes Keper Kep er a scris o cărulie, F u lgul de zăpadă cu şase colţuri cocepută cocepută ca u cadou de Au Nou pe pe  tru sposor spos oru u său. Acolo, Ac olo, el argumeta argumeta că fulgi fulgiii te buie s ă fi fost obi o biu uii pri asambl as amblarea area uor mici ui tăi idetice Faptu se perecea cu mul aie ca ideea structur structuriiii atomice a materiei să s ă fifi fost geeral geer al ac ceptată Keper u a tepris ici u fel de experi mete, ci pur şi simpu a meditat profu profudd asupra uor cuoştie fragme fragmetare tare obişuite obi şuite.. Dovada Do vada sa prici pricipa pa ă era simetri sim etriaa hexagoală a fulgilor fulgilor de ăpadă, care car e re re  prezită o coseciă aturală a asamblării regulae. D acă pasa pasaii u umăr mare de moed m oed pe o masă m asă şi cercai cercai să s ă e aşezai aş ezai mpuă mpuă cct mai aproape a proape pos p osii bi ua u a de alta alta,, atuci atuci veţi veţ i obţi ob ţiee u ara araamet amet ase ase  măător fagur fagurilo ilorr de d e albie   care, cu c u excepia margi margi ior fiecare moedă este couaă de alte şase, dispuse dup d upăă u hexago regulat. regulat. Şi mişcarea octură octură regulaă regulaă a stelelo stel elo este es te u u  idi ciu, de data aceas ac easta ta cu pivire pivire la faptu faptu că c ă Păm Pămul ul se roteş rot eşe.e. Vaur Vaurie ie şi duele duele costitu cos tituee idicii ale regu lilor care gvere gvereaă aă curerea apei, apei, mişcarea mişc area isipu lui şi a aerului. aerului. Dugie gru gruui ui şi peele hieei hiee i atestă atest ă regularită regularităie ie matematice matematic e proprii ceşerii şiş i formelor biologic biol ogice.e. Curcubeul Curcubeul   reaaă reaaă espre es pre dispersia disp ersia u miii mii i şi e cofirmă cofirmă iiec faptu faptull că picătu pic ătuile ile de ploaie pl oaie st st sferic sferic e . Halouril H alouril luae e furieaă  dicii despre forma forma crista cristalele lelelor lor de hea heaă. ă. Aflăm mută frmus frmuseţeţ  dicle aturii, frmuse frmuseee pe cae o putem recuoaşt recuoa ştee făă făă a fi eduai matea m ateaic. ic. St frumoase, de asemeea escrierile maematice care, care, pord de la acese aces e idicii deduc regu re gui iee şi re re  guari guarită tăie ie care care stau la baa ba a or, dar acest ace staa este es te u alt fe de frumusee, care se referă mai degrabă la idei

O O  N EA NA A A

laş rol ca Sherloc Sherloc Holes Hol es faţă faţă de probele materiale. materiale. Atunc cînd este confruntat cu un muc e ţgară, arele detectv de tectv magnat de autor poate deduce vîrsta vîrsta profesa profes a ş starea s tarea fnancară fnancară a fumătorulu. fumătorulu. P artenerul artenerul detectvulu det ectvulu,, Dr. Watson, Watso n, care nu nu era atît atît de sensibil sen sibil la astfel as tfel de lucrur lucrur,, îl pute pu teaa doar doa r prv prv cu admiraţe admiraţe şş  neîn neîncr credere edere,, pînă cîn cîndd ae  aestrul strul său s ău î dezvălua d ezvălua lan ţul de  udecăţ de o logc l ogcăă pecab pecablă. lă. Conf Co nfru runt ntaţ aţ cu dovada dova da fulglor fulglor de zăpadă zăp adă hexagonal, matematicen matematicen  pot deduce geoetra geo etra atocă a crstalelor de gheaţ gheaţă.ă. Dacă Da că dumnavoastră sînt sînteţ eţ un Wason, Wason, aceas a ceastătă deduc te este nua un truc truc utor, uto r, dar eu vre vre au să vă ară ară  cu cu ar f dacă dac ă aţ f un Sherloc Sher loc Holes Hol es.. orele sînt sînt nu nua frfruoa u oasese,, c ş ute. ute . O dată dat ă c a a  învăţ învăţat at să recunoaşte recunoa şte  o foră de bază, b ază, excepexcepţe s rusc în evdenţ eş e ş ertul ese ese neşcat, ne şcat, dar eul se mşcă. Pe fondu fondu stelelor st elelor care care se rotesc, un nu ărr c de stele ă st ele se mişc miş c ă destul de stul de dferenţiat, dferenţi at, atît atît cît cît s ă fe fe rearcate pent pe nt a f urări urări te separat s eparat Grec au nu aceste aces te corp c orpur ur cereşt cer eşt planetes cuvînt care în seană se ană rătăctoare rătăctoare " . Pen P enru ru a înţelege formele formele ş căr căr  pla pl anetare a treut să s ă treacă trea că ult ul t a ult ult tp tp decît penru a înţelege de ce stelele par să se şte noapte noa pteaa p traecor crculare. crculare . Una dntre dnt re dif dificultăţ a cons con s tt ttut utoo faptul că no no  ne află în nterorul nterorul sste ss te uu soar anren anrenaţ aţ de  şc şcarea area acestua, ar a r lucr lucruri urilele car arată a splu dnafară deseor sînt mult mai coplcate dacă sîn prv dnăntru. Planetele au cons co. nsttut ttut. ndc pentru legle le gle care guverneaz guverneazăă gravita . ţa  şcarea. No a  a învăţăm încă ş acu să s ă recunoatem noi no i tpur tpur de fore. fore. Doar Do ar în ult trezec de an oeoe -



2

NUMEREE NATURII

a două oi feu feuriri de forme uoscute sub s ub umee de fraali ş i haos Frataii sît sît forme forme geom ge ometrie etrie are a re îş i repetă repe tă s trutura a sări s ări mereu me reu mai mai mii mii şiş i voi voi amiti a miti eva despre des pre fratai spre sfîrşi sfîrşitu tu aestui ae stui apito apito   aosu este u fe de stare aeatorie ae ărei origii sît î îtr îtree gme determiiste, determiist e, iar despre aos voi spue mai mute mu te î ap ap 8. Natura ştia" despre aeste aes te forme cu miiarde e ai î î urmă, deoaree de oaree ori sît fra tai, iar ima este aotiă. Omeirii ia trebuit mut timp a să priceapă aeste aest e ururi Cee mai simpe simpe obiete matematice sît sît umeree, iar ee mai simpe forme form e ae aturii aturii sît ee e e ume ume  rie Faze Fa zeee ui uiii parur u i iuu ompet o mpet de d e a uă ouă a uă uă piă piă şiş i îa îapo poii î douzei şiş i opt de zie. zi e. ross ro ssoo modo, au au are are o durată durată de trei sute su te saizei s aizei si ic icii de zie. Oameii Oame ii au au două două piioare, pisicie patru, isetee şase, iar păiajei, opt. Steee de mare au ci ci braţ braţee ( s au zee, uspreze us prezeee ori a şaptespreşapte sprezee, î fuţie uţie de specie) specie ) . Trif Trifoi oiu u are de obicei obic ei trei trei foi, iar superstiţia ă  ă trifoiu u patru foi poa po artă oro or o provie di ovigerea  exepţia de a şaboae reprezi reprezitătă eva eva deos de oseb ebit. it. O partiuaritate partiuaritate foarte foarte urioasă se îtîeşte a petaee forior. Număru de petae a vasitoaităţii forior aătuieşte seveţa 3, 5, 8, 13,21, 13,21,34 34,, 55 55,, 89 De exempu, riii au straie 3,5 trei trei petae, piioru piioru ooşuui o oşuui are ii, muţi muţi emţişori au opt, găbeeee au treisprezee rizatemee, douăzei două zei şi ua, ua , iar ee mai ma i mute margarete margarete au rei rei  zei zei şi patru patru,, ciize ciize şi ii ii sa s au optzeci şi ouă. ouă . Ate umere de petae u sît sît prea pre a fre freve vete. te. Avem aii dea de a fae u o arateristi defiită, petru desoperirea ăreia ăreia este evoie evoie îsă îsă de d e u pi de efort efort : fie fieare are u

O    N E A N A T U  A A

î preed. D e exempu, 3+5=8, 5+8=13 ş. a. m.d. m. d. Ae Ae eaşi arateristii pot fi găsite găsit e î formee formee spirae ae se miţeor miţeor de pe p e foarea oa rea soare s oareui, ui, forme forme des d esoperite operite u mute se s eoe oe î î urmă urmă şi studiate s tudiate ites ites de atui. O expiaţie expiaţie reamete satisfăătoar satisfăăto aree a aesei a esei aşe a şezări zări u a fost fo st formua formuatătă deî de îtt î î 1993. O veţi găsi î ap. 9 Numeroogia Numeroogia este ea mai uşoară  şi, a atar atare,e, ea mai peri periuoa uoasă să  metodă meto dă petru petru a găsi forme forme.. Este uşoară, uş oară, petru petru ă oriie o poate po ate praia, praia, şiş i peri pe riu u oasă, oa să, di aeasi aea si motiv. mo tiv. Dif D ifiutatea iutatea ostă os tă î a dis tige ti ge reaţiie reaţiie merie meri e semi se mifi fiativ ativee de ee aide tae. ta e. I ată u a a î aest ae st se s e s. Keper a fost fost fasiat de formee forme e matematie matema tie di atură si sia dediat de diat mut di viaţă pet pe tru ru a e găsi î ompo o mpo trea paeteor.  E a eaborat eab orat o teore simpă şi eegată pet pet j ustifi us tifiarea area existeţei existeţei eor şase şa se paete paete (î timpu s ău erau erau uos uos  ute umai Merur, Me rur, Veus, Pămtu Pămtu,, Marte, Mar te, Jupiter ş Satur) Satur).. E a des de soperit operit de asemeea o reaţie foart foartee straie are are eagă perioada peri oada orbitaă a uei paete ( tim pu ees  eesar ar p et u tur î juru Soare S oareui ui)) de distaţa dis taţa aestei ae steiaa pîă a Soare. So are. Să e reamitim reamitim ă pătratu uui uui umăr este eea e obtiem îmuidu u e îsusi: de exem exempu pu,, pătr pătrau au i 4 este 44 16 16..  mod mo d simir, ubu este rezuta rezutatu tu îmutirii îmutirii umăui u e îsusi de două ori: ori : de exempu, ubui 4 este 444=64. K per a desoperit ă daă împărţim ubu distaţei fieărei paet pa etee a păratu păratu perioade perioadeii sae orbitae, obţiem obţiem mereu mereu aeaşi umăr. Nu era u umăr umăr deosebit deos ebit de eegat eegat,, dar era aeaşi petu petu toate ee şase şas e paete. i   O analză crtcă a nerologe se poate găs în cartea re gretatlui astrono aerican Ca Sagan, eiel li Boc De l Pămînt l tele, Ed Poltcă, 1989, cap 8 (N tt ) i   Pent o descrere detalată a cercetărlor l Kepler, vez Ar



4

NUMEREE NATUR

Care ditre aceste două observaţii umeoogice este mai sem s emifificat icativă ivă ? Verdic Verdictu tu poserităţii este î favoarea avoare a ceei dea doua, care este es te rzuau cauucauuui ui destu des tu de compicat cu pătrau pătrau şi cuu. Acest şaşa bo b o matemat mate maticic a fost fo st uu uu ditr ditree paşii i  i ma m a i imp impr-rtaţi căte teoria gravitaţiei a ui ewto, care a expiat expiat toate toa te feurie feurie de edumeriri edumeriri despre desp re mişcarea mişcare a steeor şi a paeteor. paeteor. Dimpotriv Dimpotrivă,ă, teo t eoia ia ară, egată pi pi care se expica de ce există şase paete a fost fos t îmorm mo rmîtat îtatăă fără fără a ăsa urme urm e . De a u u îceput, îceput, teoria trebuia să fie fie greşită, greşită, deoarece de oarece oi ştim acum că există există ouă paete pa ete şi u u ş a s e  Pot fifi cia cia mai mue foarte departe de Soare, S oare, prea mici şi pea pţi străucitoare petu a fi detectaie. Dar a ce este şi mai importat, importat, u u e mai aşteptăm să ăsim ăsi m o eoe caă şi eegată cae să xpi uă  pae Credem că sistemu sis temu soar ss  a odesa iru iru or de gaze are îcojura Soaree, So aree, ia umă umă paeteor paet eor depidea depidea probabi de catitatea de maie di oru oru de gaze, de modu mo du î care aceasa aceasa a isibu is ibuiă iă şi de viteza viteza sis" i diectia î care se mis mis a. a .  aeasi aea si or de gaze gaze putea da aştere a op pae sau a usprzce  umă umău u paete pa eteo o este es te acid a cidea ea epiz epi zî î de oo diţiie iiţiae ae o o i i de gaze şi u u umă umă uiuiversa, care să refecte o ege geraă a aii. M area probemă cu căutaea um umero eroogiă ogiă este că aceasta geerează miioae miioae de eaţii eaţii accidetae accide tae pepe tu tu fieca raţie uive uivess aă. u  u st s t a  a  ii ca itre tre ee este este uiversaă şi ae u u . De exempu, î cos teaţia Orio exis exisăă trei tre i stee aşezate î iie eaptă eaptă şi aproap aproapee ecidista ecidis tatete.. Este Est e aces a cestt fap fap  u iiiu iiiu cu priprivire a o ege ege s emificati emificativă vă a aturi aturiii ? ă o pobemă pobe mă

O    N E A N A T U  A Ă Ă

iţii mai m ai mari ai ui  ui Jupiter.  Ei orbiteaă î juru pae tei respetiv î 1,77 3,55 şi 7,16 ie. Fieare ditre aeste ae ste umere este este dubu eu euii preedet. Este Es te aeas ă reaţie ua sm sm ifiativă ifiativă ? Trei Trei stee aşeate î î şir, ea disaţate trei sateiţi a fe, î termeii peri oade oa deor or orbiae orbiae  Daă D aă vreuu vreuu di aeste ae ste fapte fapte are o s emifiaţie, emifiaţie, atui are aume ditre ditre ee ? V V aas să să refetaţi petru petru mome m omet t şi revi revi a aeastă aeast ă probemă probem ă î apiou api ou următor.  afară de reaţiie umerie, umerie, există există şi ee geome geom e tri tri.. De fapt, aeast a eastăă arte art e ar fi trebuit trebuit să se umeas u mere rele le şi ormel orme le atu a turrii Am îs  ă ume îs  două suze. suz e. Prima titu titu suă su ă mai ma i bie bi e fără fără şi  şi formee" . A doua, doua, formee maemaie se po ttdeaua redue a işte umre  exat exat aşa rateaă rateaă omputeree raf rafia ia Fie are put miusu miusu ditr ditr fiur fiurăă este es te sto s toat at şi ma ipuat a o peree de umere, repreetîd ît de depar este puu de pe era de a sta spre dreapta, resptiv de jos j os pî pîăă sus. sus . Aeste Aes te două dou ă umere umere se umes umes  oordoaee oordoaee putuui. O frm frm o areare ese o muţim de pute şi pate fifi repre repreetată etată a o isă d perei de umere. Dese De seori ori este mai bie, bie, touşi să repreeăm formee ca pe işte forme, deoaree de oaree faem ase ase  u de apaităţie apaităţie oastre oa stre viuae viuae puterie put erie şi iuiive iuiive î î timp timp e  e istee ist ee ompi o mpiate ate de umere rămî  mai bie pe seama apaiăţior oasre oasre simboie, mai sabe sab e şi mai aborioa aborioase se Pîă Pîă de uî uîd d,, priipa p riipae eee forme a  a re îi atrăeau pe maematie maematieii erau era u uee foarte simpe : riu riu i iur uri,i, părae peaoae exaoae, erur eruri,i, eipse, eips e, spirae,  Aceşt satel, îprenă c n al patrlea Callsto, a fost descoper în 16 de Galle, care lea deternat aproxatv

5

6

NUMEREE NATUR

uburi uburi,, sfere, sfere, ouri ouri ş a . m. d . Toate Toate aes a estete forme forme pot fi găsite î atură atură,, deşi uee dite dite ee e e s s de depar dep artete mai ob obişişui uitete deît deît atee. atee . Curubeu, de exempu, este e ste o suprap su prapuere uere de eruri îte uu petru fieare uu oare oare     mod mod ob o b işuit, u vedem eru î î îtr îtree gime, gime , i doar u ar, da, văzute di aer, urubeee pot fi eruri ompete. ompet e. Puteţi vedea eruri privi prividd udee de a suprafaţa uui iaz, î oiu uma şi pe aripie aripie futur futurio iorr Vorbid despre ude, urgerea ur gerea fuideor oferă o varievarie tate iepuizabiă de forme ae aturii Există foarte mute feu feuri, ri, diferite diferite îtr îtree ee, de ude  tăăzuid spre pa p a ă î rîrîduri duri paraee, răspî răspîdi didu dusese î formă de V  spatee uui u ui vas î mişare mişare  radiid radii d î afară di foaru uui utremur subavati Mute vauri sît reaturi regare, regare, da uee  aşa aşa um sît sît fux fuxurie vioete vio ete ae mării mări i ae uă pe îu, îd îd eergia eer gia fuxufuxuui ui est e stee ofiată îtru aa aa î îust us t  sît sît soiare so iare Exis Exis tă turbioae spirae spir ae şi vîrt vîrtejuri ejuri fira firave ve Şi mai există ex istă freamătu îtîmpător, aparet ipsi de struură, a urgerii turbuete, turbuete, ua dite dite marie eigme ae matematiii şiş i fiziii izi ii Şi î atmosfer atmos ferăă există forme asemă as emă-ătoare, ea mai dramaiă fiid spiraa imesă a iouui, aşa um o vede u astraut de pe obită. Şi pe pămî pămît există exist ă forme form e oduatorii C ee mai izbitoare fome fome matemaie de peisaj peis aj de pe p e Terra Terra s e găses î maii ma ii s au oeaee o eaee de de isip di di  deşertu deş ertu Arabiei şi di Saaa Duee se formează ia şi atui atui îd îd vîtu vîtu bate ostat os tat ditro ditro sigură si gură direţi e . Cea mai simpă formă formă este aeea de due trasvertrasversae, are  exa exatt a va vaur urie ie oeau oeauui ui  se aiiaz aiiazăă t Regn deşertce, de obce a joase, c nsp dn abn

O    N E A N AT A T U  A A Ă

î rî rîdu duriri strit s trit paraee, p araee, î ug ugii drept faţă de d e direţia vîtuui predomiat. Cîteodată, rîdurie de due sît si ee oduate, î î are are az se umes um es reste re ste barabaraoid'e  ueor ueor ee se s e îtrerup îtrerup,, dîd dîd aşte aştere re a eumărae rae due due sub formă formă de sut, aşazisee barae. D aă duee du ee sît sît pţi umede şi există eva vegetaţie vege taţie are să e osoideze oso ideze veţi putea putea vedea vedea due paraboie  avîd forma de V u margiea margiea rojită rojit ă orietată orietată spre direţa dire ţa vî vîttuui. u ui. Aest A estee due due se găses găs es ueo u eoriri î grugrupuri puri,, s e măîd măîd u diţii grebei. grebei . Daă Da ă direţ dire ţaa vîtuui este variabi variabiăă atu ş ate ate forme forme dev posibi po sibie e Se pot forma de exempu, exempu, grup grupur urii de due a işte işte stee, st ee, fieare avîd avîd mai ma i mute mute braţe ereguae aşezate aşezat e radia fată de u vî vîrf e e ra ra . Aeste A este formatii se ara ara  ' j ează î î rupur rupur aeaori de pete pe te.. Preferiţa naturii petru dugi şişi pete pe te se s e extide şi î regat regatu u aimaeor, a tgri tgri ş eopar eop arzi zi a a zebre z ebre ş girafe rafe . ormee s des de s eee ee e aimaeor aimaeor sî u tere bobo gat de văto  re re petru  ei u îiaţii iaţii matem ma tematie atie.. De  e de exempu, exempu, aît de mute mute oi oi formează formeaz ă spirae rae ? De e steee de mare mare au au brate brateee asezate asezate smetr sme trii ? De e muţi viruş viruşii au supraf sup rafaţa aţa eguă, ea mai remarabiă fiid un iosaedr io saedruu  u soid re r euat uat forforma di douăze dou ăze de trug trugiu iuriri eiateae eiate ae ? De e atît atît de mut mutee aima aimaee posedă pos edă simetrie simetrie biateraă biat eraă ? De  e aeasă simetr sime trieie este es te atî atît d e d e s impe imperrfetă, dispă rîd rîd aui aui înd înd este est e examiată î detaiu  a î azu azu  poziţiei po ziţiei iim iim  umae, umae , sau s au aa difer difereţeo eţeorr dtre ee două emisfere emisfere ae reeru reeruui ui uma uma ? D e auză  auză e mai mut mutii ditr ditree oi  dar u toti  foosim mai mut mut mîa dr  aptă ? Pe î îgă gă stere stereotipurie otipurie de formă, formă, există există ş ee e e de mşmş are.  mersu uma, piioaree oves sou î ritm reguat: stîudreptustîgudreptu Atui îd

7



N U M E R E E  E N AT AT U R  

u pat patupe upedd  u a a,, s ă zi ziem em  merge merge a pas pas,, rit rit mu este mai ompex, dar mersu rămîe ritmi. Aeasă Aeas ă predomiaţ predomiaţăă a tipu tipuui ui de o  oomoţie omoţie se exextide a fuga iseteor, zboru iseteor, pusaţiie meduzeor meduzeo r şi a mişărie mişărie uduitoare uduitoare ae peş p eşti tio, o, viemior şi şer şe rpior Crotau Cro tau ameria, un şap şap e de deşer şe rt se mişă aproape a o sigur si gurăă spira a uui ar ei e ioi oida, da, împig împigîd îduu şi orpu  orpu îaite îtr îtroo serie se rie de urbe ur be î formă for mă de de S, u tedita tedita de a miimiza ota usuee bat tu u isipu fierbite fierbite  Iar mi  b ater eriiii se prou sează ză foos foosi idd ozi miros mirosopi opiee de de formă eio pusea idaă, are se rotes rote s î mod rigid, rigid, a  a eiea ei ea uui uui vapor vapor  sfî sfîrşit, mai ma i exist existăă o ategorie ate gorie de forme f orme aturae  ua are a aptivat aptivat imagiaţia imagiaţia umaă umai umai foarte foarte reet dar î mod dramati. Aeastă A eastă ategorie ateg orie upriupride forme pe are abia de uîd am îvăţat să e reuoaştem uoaştem  tipa tipare re are există xistă aoo ude redeam ă totu ese î îtîmpător tîmpător şi diform Imagiaţivă, de pidă, suprafaţa uui uui or. or. Este Es te drep dreptt ă meteo met eoro roo ogi giii asifi ori î diferi diferitete grupu grupuriri morfoogie  irr irrus, us, strat stratus, umu umuu uss ş.ş . aa  m d.  dar aestea sî sît tipu tipuriri foarte geerae de forme şi u forme forme geometrie geo metrie famiiare de geu geu oveţioa oveţioa matemati mate mati Nu veţi vedea ori sferii, ubii ori iosaedrii Norii sît agomeări meări iforme iforme şi pufoas pufoasee . Şi totuşi există o araterisarateristiă distitivă dis titivă a orior orior,, u fe de sime si metrie trie are este est e stî stîs egată e gată de fizia fizi a formări formări orior  eseţă, ea este următoarea : privi privid d u or, u se poate po ate spue e dimesiui dime siui are Da Da  piviţi piviţi un eefat, eefat, puteţi spue aproximativ ît este de mare : u eefat de dimesiuie uei ase sar prăbuşi sub propria greutate, iar uu de dimesiuie şoareeui şo areeui ar avea piioare pii oareee iu ti de groas gro asee Norii Norii u u sît iideum de aest fe U

O    N E A N A T U  A AĂ

aproape ar a r putea foarte foarte bie să arate a fe. Ei sa s ar pu pu tea să difere difere ca formă formă,, dar aceas ace astata u u depid dep idee sistemasist ematic tic î î ici u fe de dime di mesiu siui i.. Aceast Ace astăă idepedeţă  idepedeţă de scară" sc ară" a formeor orio orio a fost verificată experimeta petru formaţiui de ori ae căror dimesiu dimes iui i variază priru priru factor factor de o mie m ie.. O formatiue formatiue de ori de u kiome kio metrtruu î dia metr met ru arată a fefe' ca o formaţiue de ori  ori de o mie de kiometri kio metri î diametru. Şi iarăşi, acest tipar co co s tituie tituie u idiciu idiciu  Norii se formeaz forme azăă atuci cîd cîd apa suferă suferă o  traziţie de fază" de a vapor vaporii a icid, iar fizicieii fizicieii au desc de scoperit operit că aceaşi tip de ivari ivariaţă aţă de sc s c ară ară este aso as o ciat cu toate trazii traziiie ie de fază. tradevăr, tradevăr, aceastoase semă măare are statistic statistică, asa cum este tă autoa est e ea umit umită,ă, se extde a mute ate forme 'aturae. aturae. ui ui coeg co eg sue dez de z care ucrează ucrează î domei dom eiu u geo ge oogiei ogiei zăcămite zăc ămiteor or de pe p e tro îî pace să arate u dia di apoz po ztiv tiv î are are pre teu său stă î picioare îtro barcă, rezemat o ş aat de d e o stî s tîcă că ieşid di mare care îiîi ajaj uge pîă pîă a subţ su bţio ioară. ară. otografi otografiaa este cov c ovigătoare igătoare i este car car că barca b arca a trebuit să fie fie acorată aco rată a mau uu uu caa caa tîcos de circa doi metr adîcime. De fapt, stîca ieşid di mare este o parte a uui fiord îdepărtat, îat de circa o mie de de metri. metri . Probem Pro bemaa cea mai impor impor tată tat ă pet foto fot o graf graf a fost fos t să pridă pridă şi figura di pri pri mu pa pa şiş i peis pe isaaj u îdepărtat cu o focaizar fo caizaree covi covi gătoa gă toare re.. Nimei u u va îcerca u truc ase a semăător măător cu u eefat. Totuşi, aces truc truc este posi po sibi bi cu mute forme forme ae aurii, icuzîd muţii, reţeee de rîuri, arborii şi, foarte posibi, po sibi, ciar modu î care este est e răspîdită răspîdită ma teria î îtreg îtregu u uivers. uivers. Cu termeu făcut faimo faimoss de matematiciau Beoit Madebrot, toate acestea t fracta  uti

9

20

NUMEEE NATUI

ştiiţă a irgur irgurităţior ităţior  gomt gom tririaa frfrataior. at aior. u vă vă voii spu vo s pu mut ururi ururi dspr fratai, fratai, dar pros pro su u diami diami ar îi produ, produ , uosut sub su b um um d ao  aos,s, vă va va fi îf îfăţişa ăţişatt u prdi pr diţ ţi. i. Datorită Dato rită dzvotării oior torii torii atmati, a a  st form form mai m ai pţi pţi ssiz s sizabi abi a a  aturi aturiii îp îp să s ăşişi dzvăui dzvăui srt. srt . trzăr trz ărim im dj dj a impatu or ittua şi p   asupra pratiii. pratiii . ţgra ţ gra rtă a rguarităţior srt a aturii st foosită ptru a odu satitii sat itii artifiiai a oi dstiatii dst iatii u mut  iaă mai puţiă t  ia ă dît s  a rzut vr dată, dată, pp tru tru a vita uzura uzura rotior roti or d oomotivă o omotivă sau s au a ator mama tria ruat, ruat, pt p t a mări fiaitata fiaitata stimuatorior stimuatorio r ardiai, ptru ptru admiistrara admiis trara pădurior şi a aaj a ajăărior rior pisio, pis io, ba iar şiş i ptru ptru a fabria fabria aşii d spăat vas mai fiit Dar, mai importat dît ori atva, aastă îţgr îţ gr  ofră ofră o viziu ai a i profudă a uivrsuui î ar trăim şi a propriuui ostru o o  î î uivrs uivrs..

CAITU 

La ce-i bnă matematica

Am stabiit dej d ejaa faptu faptu iotestabi ă atura atura este piă de forme (pattes). Ce vrem îs îs ă să s ă faem faem u ee ? Am putea putea să e aşezăm şi să ee admir admirăm. ăm. Comuiuea iuea u atura atura e fae fae pe toţi mai bui bui : e reamireamiteşte ce sîtem îtem.. Pitarea Pi tarea de tabouri, tabouri, suptarea de sta st a tui şi srierea de poem p oemee sît sît ăi vaabie vaabie şi importate importate de a e exprima seti s etimet metee ee î egătură e gătură cu atur aturaa şi u oi îşie. şie . stitu s titu atrepreoruui atrepreoruui este de a ex poata po ata umea um ea aturaă. aturaă. stitu stitu igieruui igieruui este de a o simba s imba.. s s titu s av avatu atuui ui este de a îera să o îţeeagă  să des d esopere opere e se petree î reaitat reaitatee .  stit stitu u maematiiauui este este să s ă strutureze struturez e aest ae st pro pro es de îţeegere ăutîd geeraităie are străbat aeste subdiviziui sub diviziui fireşt fireşti.i. Fieare Fie are ditre oi are îte îte eva di aceste istite, iar î fieare ditre aeste isti is tictctee este îte îte eva bu şi îîte eva rău rău  D ores să vă devăui devăui e a fău făutt is isti titu tu matemati pet pet îţeegerea umaă, dar mai ît îtîi vreau să atig prob probeema ma rouui rouui matemat matematii iiii î utura umaă. umaă. aite de a umpăra eva, ai de obiei o idee destu de stu de ară î egătură egătură u u ce vrei vrei să fa faii u obiet obiet  umpărat. Daă Daă este este u frigid frigid ci î vrei vrei pet aime a ime eo

22

N U M E  E E  E N AT AT U   

dar iteţiie îţi îţi merg mut mai mai departe depart e De ît de mu mu  te aimete ai evoie petru petru păstrare ? de va va putea fi aşezat frfri gideru gideru ? Dar u este totdeaua totdeau a vorba dedespre spre utiitate, deoaree te pţi gî gîdi a umpăra ump ărarea rea uei uei pituri pituri  Şi Ş i î aest ae st az te mai îtrebi ude o vei aşeza aşez a şi daă farmeu farmeu ei esteti merită merită preţu pre ţu erut. erut . Cu mam atematia  şi u orie orie ată oepţie oepţie ieetuaă ieetuaă de spre ume,  ume, ie i e ea ştiiţifiă ştiiţifiă,, poitiă p oitiă sau s au reigioasă eigi oasă  este este a e. ait aitee de a ump umpăra ăra eva, eva, este es te umite umite să te hotărăşti petr pe truu e o fa fai. Aşadar, e vrem să obţiem obţie m de a matemati matematiă ă ? Fieare Fieare ditre ditre forme formeee atrii este este o şaradă şara dă şi, aproa pe î toate azurie, ua difiiă. difiiă. Matem Mat emaia aia ostituie u ajaj utor exepţ exepţioa ioa pet pe tru ru rezovarea şaradeo ş aradeor.r. Ea reprezită o ae mai mut s au mai pţi sistematiă sis tematiă de a desoperi des operi reguie regui e şi struturie struturie are stau st au a baza uor forme sau reguarităţi observate şi de a foosi apoi aest a estee regui regui şi stru s trutturi uri pet a expia expi a eea e se petre pe tree.e. tradev tradevăr ăr,, matematia matematia sa s a dezvo de zvotat tat o dată u îţeegerea aturii, ua îtărid pe eaată. Am meţio m eţioa att aaiza ui Keper Kep er privid fugi fugiii de ză padă, dar desoperirea desoperirea sa s a ea mai faimoas faimoasăă este est e forma forma orbiteor paetare. Aaizîd observaţiie astroomie mi e efetuate efetuate de astro as troomu omu daez Tyo Tyo Brae, Brae, Ke per a ajus aju s î ee di urmă urmă a ouzia ouzi a ă  ă paetee se mişă după după işte eips eipsee Eipsa este es te o ură ur ă ova ovaăă are a fost fost studiată s tudiată mut de veii veii geome geo metrtrii grei, gre i, dar astro astro  omii omii ati atiii au preferat preferat foosirea erurior eruri or sau a siste si ste-mer me r de eruri eruri petru pet ru a desri des riee orbite orb itee,e, astf as tfee îî î shema shema ui Keper a ost ua ua radiaă a vremea ei. e i. ameii am eii iterpretează iterpretează oie oi e des de s operiri op eriri î fuţie fuţie de eea e este importa importatt petru petru ei. Mes M esaju aju reepţio at de astroom ast roomii atui atui îd îd au au afat afat despr des pree oua idee a ui Keper a fost ă ideie egijate di geometria

 A  EE - I B U N Ă M AT E M A T I  A

greacă îi pot auta a uta să s ă dezlege dezleg e enigma enig ma prevederi prevederiii miş miş  cărilor planetare. Ei nau avut nevoie de prea multă imaginaţie ima ginaţie ca c a s ă înţele înţeleagă agă că Johannes Kepler Kepler a ăcut ăcut un pas uriaş înain înaintete.. Toate elurile elurile de enomene astro nomice cum ar ar fi eclipsele, ploile de meteoriţ mete oriţii şi come com e tele pot aparţine aceluiaşi tip de matematică matem atică.. Mesaul Mes aul pentru matematicieni matem aticieni a fost fos t altul, şi anume că c ă elipse le sînt sînt curb curbee cu adevărat adevărat interesante inter esante.. Ei E i nau avut avut ne voie de prea multă imaginaţie imaginaţie ca c a să s ă în înţeleagă ţel eagă aptu aptull că că o teorie generală a curbelor ar i şi mai interesantă. Mate Ma tematicienii maticienii au putut putut examina regulile geometrice ge ometrice care au dus la apariţia elipsei şi leau putut modifica pentru a vedea ce curbe rezultă n mod asemănător, atunci cînd saac Newton a făcut făcut descoperirea descoperirea epocală că mişcarea unui unui obiect este descrisă de relatia matematică dintre ortele care acţionea ţio nează ză asupra orpului orpului şi acceleraţia a cceleraţia pe are are o suferă suferă acesta, matematicienii şi fizicienii au învăţa lecţii diferit feritee nainte nainte de a vă putea put ea explica ce lecţii lecţ ii au fost acelea, lea, trebuie să vă expl explicic cea despre accele ac celeraţie raţie Acce Acce  leraţia este un concept subtil su btil ea e a nu este est e o can c antit titate ate undamentală aşa cum ar fi lungimea lungimea sau masa mas a  ea este o rată a schimbării sc himbării De apt, apt, acceleraţia accel eraţia este o rată rată de ordinul doi a scimbării  adică o rată rată a schimbăr sc himbăriiii unei unei rate rate a schimbării. schimbării . Vit Viteza eza unui unui c orp  iuţeala cu cu care care acesta aces ta se miscă mis că într într o directie dată dată  este est e si ea o rat rat a schimb schi mbări ări şi anume cantiatea canti atea cu care care se odio difică distanţa corpului faţă faţă de un punct punct ales ca reper. Daă Da ă un automobi utomobi  se deplasează cu o viteză constantă constantă de şaiz ş aizeci eci de mile pe p e oră, ditanţ ditanţaa lui aţă de punctul punctul de plecare se s e schimbă schimbă cu şaizeci de mile în iecare oră Acceleraţia Acc eleraţia este rata de schi s chimb mbare are a vitezei. vitez ei. Dacă Da că viteza tez a maşinii creşte de d e la ş aizeci de mile mile pe oră la şai ost ac

2

24

NMEEE NAT

anumită cantitate. cantitate . Acea Ac eastă stă cantitate depinde depi nde nu nu numai de vitezele vitez ele iniţia iniţialălă şi finală finală,, ci şi de cît cît de de repede rep ede are loc loc s chimbarea Dacă Da că pentru pentru mărire mărireaa vitezei vi tezei cu cinci mile pe oră, maşinii ia trebuit o oră, atunci acceleraţia este foarte mică dar, dacă aceeasi mărire î ia numai cinci s ecunde, ecunde, acceleraţia accel eraţia este mlt ma mare. Nu doresc dor esc să intru intru acum acu m în detaliile detaliile măsură măsurării rii acce acce  leraţiilor. leraţiilor. Problema Problema mea este este mult mai mai generală, şi anume aceea c acceleratia este o rată a s cmb cm b ări ări unei rate a schimbării Distaţele se pot obţine cu autorul unei rulete, dar o rată a schimbării unei rate a schimbării este este mult mai mai dif dificil icil de obtinut. o btinut. ată de ce ia trebuit omenirii atatît de mult mul t tmp tm p a să s ă descopere desc opere,, prin pri n geniul geniul lui Newto Newton, n, legea mişcării. miş cării. D acă regula mişcării ar fi consttuit co nsttuit o trăsătură freas frească că a distantelor, distantel or, noi am fifi s tabilit tabil itoo cu mul multt mai mai devreme de vreme în isto is to're. r e. Pentru Pentru a trata trata proble pro bleme me legate de rata schimbări, s chimbări, Newton Newton  şi, indepen independent dent de el, matematcian matematci anul ul gergerman Gott Go ttfr fried ied Leib L eibnz nz  au invent inventat at o nouă ramur ramurăă a matematicii, analiza matematcă. Noul domeniu a s chimbat faţa faţa pămînt pămîntulu uluii  şi lteralmente, lteralmente, şi metafome taforic. Şi iarăşi, ideile iradiate de această descoperire au diferit diferit într întree ele, în în funcţie funcţie de d e divers diversele ele profesi pr ofesiii ale celor c elor implicaţi izicieni s  au grăbit să caute alte legi l egi ale naturii care puteau să s ă explice fenomenele naturale în termeni ratelor schimbării. Ei E i au găsit găsit o mulţime: mulţime : căldura, sunetul, lumina, dinamica fluidelor, fluidelor, elasticitatea, electr elec triâ iâtatea, tatea, magnetismul magnetismul  Cele C ele mai moderne mod erne teorii teo rii ezoter ezo terice ice ale particule particulelor lor fundamentale fundamentale înc mai folo sesc acelaşi fel fel de matematică, deşi interpretarea  şi, într într o măsură, măsură, concepţia generală  sînt sînt dife diferit ritee . Aşa cum se putea bănui, bănui, matematicienii au scos la iveală o multime de întrebări total diferite pe care să şi le ă. nain

 A  EE - I B U N Ă M AT E M AT AT   A

tru tru a înfrunt înfruntaa prob pr oblelema ma semnf se mnfcaţe caţe reale reale a  rate de schmbar sc hmbaree " . entru entru a obţne vteza vteza unu unu corp n mş mş care, trebue să măsuraţ pozţa, să găsţ unde a ajuns aju ns ele l după un s curt nterval de tmp tmp şş  să împărţţ împărţ ţ dstanţa parcursă la tmp tmpu u care sa s a scurs. scurs . D ar, în în cazu cazull în care care corpu corpu accele acc elerează rează,, rezultatul depnde depn de de ntervalul de tmp folos folo st.t. Ş matematcen matem atcen ş fcen fcen au au avut aceeaş ntuţe cu prvre la rezolvara aceste problem prob lemee  ntervalul ntervalul de tmp folost trebu să fe cîcît ma ma mc mc pos po sb bl.l. Totul T otul ar f mnunat dacă dac ă aţ putea pute a folos un nteal de tmp egal e gal exact cu zero zer o dar d ar,, dn ne fercre, fercre, acest lucru lucru este este mposbl, mpo sbl, deoarece de oarece ş dstanţa ds tanţa străbă st răbătută tută ş tmpul scurs s curs vor f zero, ar o rată rată de % nu are are sens. s ens. robe ro bema ma cea ce a ma mportantă mportantă cu nterva nterva-ee dferte e zero este că, orce nterva aţ foos, exstă tot t otde deauna auna unul ma mc care care poat po atee ff luat lu at în 10cu lu p entru a obţne ob ţne un răspuns ma prec. prec . Ar f de preferat folos fol osirirea ea ceu ceu  ma mc nter nterva vall de tmp tmp dfert de zero, dar u n astfel astfel de nteral nteral nu nu exstă, exstă, deo d eoarece, arece, dat fnd fnd un număr număr dert de zero, zero, orcare orcare ar ff el, e l, ş umăum ătatea lu este dfertă dfertă de zero. ze ro. Totul Totu l ar merge excelent excelent dacă ntervalul ntervalul ar putea put ea ff făcut făcut nf nfn ntt de de mc m c   nnfntezmal" fntezmal" . Dn Dn nefercre, nefercre, exstă paradoxur logce dfcle asocate de de nfntezmal; în partcuar, dacă ne restrî restrîngem ng em la numere numerelele propruz propruzs s în sensu obsnut al cuvîntulu, atar nfntezmal nu exstă. Astel, Astel, tmp de aproap aproap e două sute de an, o menrea menrea a avut o pozţ destul de curoasă faţă de analza matematcă. temat că. Fzicen o foloseau cu foarte foarte mar succs succ s pentru a înţele înţelege ge natura nat ura ş pentru pentru a prezce m odu n care care aceasta se compo co mportă, rtă, matematcen se preo pr eocupau cupau de semfcaţ s emfcaţaa sa reală reală ş de cea ma bună metod me todăă penpentru tru a o pune la punct punct ca să lucreze ca o teore te ore matemamat ematcă soldă, ar flozof rpostau că toate acstea snt

2

2

NUMEEE NATU

lipsite lipsite de sens. se ns. Tot Totul ul a ost ost în cele din urmă rezolvat, dar se pot întîlni încă dierenţe sensibile în atitudinile lor. storia st oria analizei analizei matematice relevă două dintre cele mai importante importante raţiuni raţiuni ale existenţe existenţeii matematicii mat ematicii să să oere ins ins trumente trumente permiţîn permiţînd oamen o amenilor ilor de ştiinţă să calculeze ce ace ace natura şi să propună propună noi no i probleme problem e de rezolvat pentru pentru prop propria ria lor satisacţie. satisacţi e. Aces Ace s tea sînt sînt as pect pe ctelelee exte externe rne şişi interne interne ale ale matematicii, numite dese de se ori matematic mate maticii aplicate aplicate şi matematici pure pure  (mi ( mi dis plac pla c proun proundd ambele amb ele ad ad ective ective,, iar separar sep ararea ea pe care acestea o implică implică îmi îmi displace displace şi mai mut) mut ) n acest ace st caz, caz , se s e poate p oate crede cre de că agenda de lucr lucru a matematicii matematicii a ost stabili s tabilitătă d d izicieni izicieni dacă metodele meto dele de d e calcul calcul par să uncţioneze, ce importanţă mai are de ce acestea uncţion uncţionează ează ? Veţi Ve ţi auzi aceleaşi acelea şi păreri exprimate exprimate astăzi ast ăzi de oameni oa meni care se mîndresc mîndresc cu atitudinea or pragma pragm a tică. Nu mă opun op un ideii că c ă în multe mul te privinţe privinţe pragaticii pragaticii au drepta dre ptate. te. nginer ngineriiii care proiec pro iectea tează ză un pod po d sîn sîntt în dreptăţiţi dreptăţiţi să olos oloseas ească că metodele meto dele matematice ma tematice standar standar chiar chiar dacă dac ă nu nu cunosc cun osc raţiona raţionamentele mentele detaliate d etaliate şi une une  ori ezoterice ez oterice care care usti us tiică ică aceste metode me tode Dar D ar,, eu unul unul mă voi voi simţi s imţi inconortabil inconorta bil pe un p od, la volanu vol anull ma şin şi nii, dacă da că aş şti ă ă imei nu cunoaşte cunoaşte ce anume us us  tiică tiică aceste acest e metod me tode.e. Aşadar, Aşa dar, la nivel nivel cultural, cultural, merită să dispui de cîţiva cîţiva oameni care să se preocupe pr eocupe de me todele pragmatice pragmatice şi să s ă încerc încercee să ae ce anume le ace î realitate realitate să să meargă. ar ar aceasta aceasta este este una intre trebure trebure matematicienior. Ei se dctază, iar resl omenirii beneiciază, beneiciază, aşa a şa cum vom vedea, de pe urma dier dierititelelor or rezultate ale matematicii. matemati cii. Pe termen scurt, nu a avut prea mare importanţă dacă matematicienii mate maticienii erau satisăcuţi s atisăcuţi sau nu de solidita s olidita

A E BUNĂ MATEMATIA

noile idei pe care car e ei leau obţinut ca rezultat rezultat al pre ocupări oc upări lor faţă de diicultăţile diicultăţile interne sau s au 0vedit cu adevărat a devărat oarte olosito olo sitoare are lumii din aară aară n tim pul lui Newton, era imposibil imposib il de d e prezis exact care va va fi utilitatea acestor acest or idei, idei, dar eu cred că se s e putea prezi ce încă de pe atunci că c ă ele vor i utile Una dintre dintre trăsă trăsă  turile cele mai mai ciudate ale relatiei dintre dintre matematică mate matică si lumea lu mea reală", reală" , şi totodată to todată un dint dintre re cele mai pute pute nice, este aptul că matematica de calitate, oricare i-ar do vedeşte şte pînă pînă la urmă urmă utilă Există tot elul elul  sursa, se dovede de teorii te orii care explică expli că de ce lucrurile lucru rile sînt sînt a ş a, înce începî pînd nd cu structura intelectului uman si terminîn cu ideea că universul ste s te construi cons truitt cum cu maa din mici ragmente de matematică mat ematică Cred că răspunsul este destul des tul de sim plu matematica matema tica este ştiinţa ş tiinţa formelor, formelor , iar natu natura ra exexploat pl oateaz eazăă aproape aproape toate formele care există există Admit Admit că că este es te mult ma greu greu să oer o explicaţie convingătoare co nvingătoare pentr pe ntruu faptul că atura se comportă co mportă în în acest el el Pro babil că întrebarea este pusă invers este posibil ca fiinţele capabile să s ă pună pună acest a cest fel de întrebare întrebare să poat p oatăă evolua numai trun univers cu acest tip de structură ?  Oricare Orica re ar ar fi mo motitivu vull eficienţei sale, sal e, matema matematica tica este, este , desi de siggur, o modalitate olositoar olos itoaree de a gîn gîndi di despre natură Ce dorim să ne spună matematica matematic a despre despr e formele pe care le observ obs ervăm ăm ? Exis Existătă multe răspunsuri răspunsuri la aceas tă întrebare Vrem să ştim ştim cum apar ele  să înţel înţel egem de ce apar apar  ceea ce este altce altceva va  să organ organiz izăm ăm orormele me le de bază şi reg r egularităţile ularităţile în modul cel mai satisfă satisfă cător, căt or, să prezicem cum se va comporta comp orta natura natura să o controlă co ntrolăm m în vederea vede rea atingeri scopurlor sc opurlor noastre noa stre şi să aplicăm în practică ceea ce am învăţat despre lumea  Această explicaţie şi altele sînt dicutate În olpl ho

27

2

N U M E  E E  E N AT AT U  I I

noastră. noastră . atematica atema tica ne ne aută să facem facem toate to ate aceste ace ste lucrur crurii ; dese d eseori ori,, utilizarea ei este indispensabilă. indispensabilă. Să c onsiderăm, de exemplu, exemplu, forma spirală a cochiliei cochilie i unui melc. Cum anume îşi construieşte melcul cochilia este este în în general general o proble pro blemă mă de chimie şi geneti ge netică. că. Fără a intra în detalii fine, genele melcului includ reţete pentru fabricarea anumitor chimicale şi instrucţiuni privind privind des de s tinaţia lor. Aici matematica ne permite pe rmite să facem contabilitate contabilitate a molecula mole culară ră care explică explică diferitele diferitele reacţii chimice chimice care au loc, să descriem structura s tructura atomică a moleculelor molecul elor folosite folosit e în cochi co chilii lii,, să calculăm re zistenţa zisten ţa şi rigiditate rigiditateaa material mat erialulu uluii cochiliei coc hiliei n compacom paraţie raţi e cu cu fragilitatea fragilitatea şi pliabilitatea pli abilitatea corpului corpului melcului me lcului ş. a. m. d. ntradevăr, fără fără matematică, noi nu nu neam ne am fi putut niciodată convinge că materia este alcătuită din atomi şi nici nu am fi nţeles cum sînt aran aranaţi aţi atoat omii. Descoperir Des coperirea ea genelor genelor  şi, mai mai departe, a strucstructurii moleculare a ADNului, ADNului, materia materialul lul genetic genetic  sa s a bazat bazat mult pe existenţa indiciilor indiciilor matematice. Călugărul Gregor endel a obs o bse eatat relaţi numeric clare privin privindd proporţiile în care divers diversee caractere caractere ale plantelor, cum cu m ar fi culoarea sem s eminţelor, inţelor, se schimbă atunci cnd cnd plan pl an-tele se nc ncrrucisează ucisea ză.. Această Acea stă constatare a dus dus la ideea idee a fun fundamentală � geneticii, c onfor onform m creia în fiecare fiecare organism ganism există o anumită combinaţie co mbinaţie criptică criptică de factori factori determinanţ de terminanţii pentru multe dintre caracteristicile caracteris ticile plapl anului de construcţie al corpului, aceşti factori fiind cumva amestecati ameste cati si reco r ecombi mbinat natii atunci cîn cîndd trec de la părinţi părinţi la descennţ descennţii . ulte elmente elmente d matemati ma tematică că au fos fostt implicate şi în desc de scoperirea operirea celebrei structuri structuri n formă de dublă dublă elice a ADNului. ADNului . Unele erau simsi mple, ca regula lui Chargaff, constînd din observaţia biochimis bi ochimistul tului ui născut născ ut în Austria, Erwin Chargaff Chargaff, că

 A  E - - B U N Ă M A T E M A T   A

ţii determinate, det erminate, altele erau la fel de subtile ca c a legile difracţiei, foloste folos te pentr p entruu a deduce de duce structura structura molecul mol eculară ară din imagini imagini n raze raze X ale cristalelor crista lelor de ADN. ADN . ntrebarea de ce a u melcii coch coc hilii spirale spirale are ar e un ca racter racte r total diferit diferit.. Ea poate fi pusă  mai multe multe contexte  n acela acela de termen term en scur scurtt al dezvoltăr dezvoltăriiii biolo bio logice gice , să zicem, sau n acela pe termen lung, al evoluţiei. Caracteristica matematică principală a istoriei dezvoltării voltării este forma form a general gene ralăă de spirală. n esenţă, es enţă, istoria ri a dezvol dezvoltări tări ne relatează despre geometria unei un ei creaturi care se comportă aproape la fel tot timpul, dar c ontinuă ontinuă să crească creas că.. maginaţivă un un anima anima mărunt mărunt,, cu un nceput de cochilie. Apoi, animalul ncepe să crească E l creste ce c e l mai usor us or  n directia directia n care se află află deschiderea cchiei, dearece aceata din urmă se opune creşterii  n orice ată direcţie. Dar, cres c resccnd puin, in, el trebuie şi să s ăşş extină cochlia cochlia pentru pentru a se s e auto auto  protea. Astfel, Astfel, es  esigu igur,r, c ochla ochla creşte creşt e cu ncă un inel de materi mat erialal n urul urul ieşirii. ieşirii . Pe măsură ce ace a cestst proces proce s continuă, continuă, animalu animalu devine tot mai mare, ast as tfel că c ă ş dimensiunea desciderii desciderii creşte creşt e Cel mai simplu rezultat rezultat este cochil c ochilaa con co nică, aşa cum o găsiţ găsiţ la unele moluşte Dar dacă sistemu porneşte cu o mică răsucire, aşa cum este foarte posibil, pos ibil, atunci atunci margin marginea ea de creştere a cochiliei co chiliei sese rotes ro testete usor us or o dată cu cu extinderea, extinderea, rotatia fiind excentrică. excentrică. Rezltatul este est e un con co n care se răs răs ceşte ceşt e după o spirală spiral ă aflată aflată mere mereuu n n expansiune expansiune Putem Put em folosi matematica pent pe ntru ru a lega le ga geometria care rezultă cu diversele diversele variable variabl e implcate, implca te, cum ar fi rata de creştere ii excentricitatea excentricitatea creşterii. creş terii.   Trmnul bologc conacrat t ontoenez dzvoltara ndvduală (Nt) d iloenez trn bologc prn car  dnumt dzvol

29

0

NUMEEE NAU

D acă în în chim, c him, căutăm o explicaţie evoluţionit evol uţionită,ă, atunci ne putem ocupa de rezistenţa cociliei, care tranmite un avanta al evoluţiei şi putem încerca să calculăm dacă un con lung şi suire suire este es te mai rezistent s au mai ragil ragil dect dect o pira pi ralălă strns strns năşur năşurată ată Sau, Sau , pu tem ii mai amitiosi, elaorî elaorînd modele mate m atematice matice ale proces proc esulu uluii evolţinit evolţinit nsuşi, nsuşi, cu com co minaţia inaţia lui înt între re s chimările chim ările genetice ntîmplătoare  adică adi că muta mutaţiţiii  şi selecţ sel ecţiaia naturală naturală Un exemplu exemp lu remarcail privin privindd acet el de d e gndire este este imularea im ularea pe compute co mputerr a evoluţiei evoluţiei ociulu oc iuluii eec tuată de Daniel Nilo Nilonn şi Susanne Pelger Pelge r şi pulicată pulicată n 1994. S ne amintim că că teoria evolutionistă evolution istă conven tională tională vede ch c himări im ărilele ormelo ormelorr aniale aniale ca c a rezultat l mutaţiilor muta ţiilor ntî ntîmplăto mplătoare, are, urmate de sel s elecţ ecţiaia aclor indivizi indivizi care nt cei mai capaili    suprav sup ravieieţuiască ţuiască şi să e reproducă. Atunci cnd Carles arwin şia enunţat teori te oriaa una dintre primele oi o iecţii ecţii ormulate ormulate împotriva ei a ot că structurile structurile complexe co mplexe ( aşa cum este ochiul och iul)) treuie să i apăru apărutt compet com pet ormate, alt el ele nu ar i putut putut u uncţiona corect ( o umătate de ochi nu e de nici un olo oloss ) , dar şansa şans a ca mutaţiile mutaţiile n n tîmplătoare plăt oare să realizeze realizeze un et  et coerent co erent de sci sc imări mări complexe co mplexe ete ete negliailă. Teoreticiei Teoreticie i evoluţionişti evoluţionişti au au răspun prompt că, dacă o umătate de ochi nu e de jum ătate tateaa dezvot dezvo tării prea mult olo, un ochi alat la jumă poate po ate oloi ol oi oarte ine. Un oci nzes nzestrat trat cu retină retină,, dar dar ără lentil lentile,e, să spunem, tot va colecta col ecta umina şi deci d eci va putea pu tea detecta detec ta mişcarea, mişcar ea, iar i ecare mdalitate de a detect det ectaa eventualele răpitoare răpitoare oer oerăă un avanta oricărei creaturi înzestrate înzestrate cu aceată ac eată capacitate. capacitate . Avem dea d ea a a ce aici cu o oiecţie verală la o teorie, respinsă tot printrun printrun argument argument veral. Analiza Ana liza recentă rece ntă pe compu c ompu

 A  E - I B U N Ă M A  E M AT I  A

E a înce începe pe cu c u u n model model matemat matematicic aplicab aplicabilil unei re giuni pate de ceue cărora e permite diferite tipuri de  mutaţii" mutaţii"  De D e exemplu, exemplu, unee ceule ceule pt deveni deveni mai sensibie la umină, iar forma regiunii poate deveni curbă Modeul matematic este conceput ca un pro gram de coputer c oputer care face mici schimbări sc himbări aeatrii de aces a cestt e, e, calculează cît cît de bine bine este detectată de tectată lumi na de struc s tructura tura astfel astfel rezutată si cît cît de bine reuseste reus este rezo re zoluţia luţia optică a form form elor văute văute""  Totod To todată ată o  gramul s electează elec tează orice schimbare s chimbare care care îmbu îmbunătăeşte nătăeşte aceste capacităţi capacităţi Pe durata unei simulări care cres punde punde unei perioade de patru sute de d e mii de ani  nuai o cipă ci pă în termenii termenii evouţiei  regiunea de ce ue u e se s e curbeaz curb eazăă întro ntr o cavitate sferică sferi că adîncă, adîncă, avî avîn o des de s cidere cider e îngustă, ngus tă, ca un iris şi, cee c eeaa ce ce este es te mai mai dra matic, o entiă Mai mut, a fe ca în cazu ochior noss tri, no tri, aceasta este est e o enti a cărei indice de refract refractieie  ăsura ăsura n care umina umina este es te abătută din dru dru mul mul su rectiiniu  variază variază de a un un oc oc la atu atu De fapt m du du  de variaţe a indicelui indicelui de refracţie refracţie produs de simu area pe cmputer este foarte asemănătare cu aceea a ochiuui ochiuui uan Aşad Aş adar, ar, matematica matema tica demonstrează demo nstrează aici că c ă ochiu o chiu poate p oate în mod categoric evoua treptat în mod natura, oerin a fiecare stadiu un potenţia crescut cres cut de supravieţuire supravieţuire D ar ciar ciar şi mai mult mul t dec dect atît, lucrarea ui Nisson şi Peger demonstrează că, dînd dînduu se s e anuite capacităţi bioogice bio ogice ceie cei e (cum ( cum ar fi receptivitatea ceuară faţă de umină şi mobilitatea vor orma structuri ceură), e vororma structuri asemăn as emănătoare ătoare în md remarcabi cu ochii  totu n concrdanţă cu princi princi piu seecţiei se ecţiei naturale aa lui Darwin Modelul M odelul matema m atema tic ne oferă multe detalii de talii supimentare supim entare care pt fi cel cel mult mult intuite prin p rin argumentu verbal darw da rwinis inist,t, dn dun du nee to t o todată toda tă o încre încrede dere re cu mut mai mai mare în în corec



32

NUMERELE NATUII

Momentl nţl

76  pş

58  pş

808  pş

0  pş

5  pş

5  pş

89  pş

Figura 1 Modell pe clclto l evolţe n och. ece ps în clcl coespnde ne peode de poxmtv 00 de n de evolţe bo-

 A  E - I B U N  M A  E M AT AT I  A

Am afirmat afirmat că o altă alt ă unctie unct ie a matematicii matemati cii este es te or ganizarea ganizare a formelor şi regulaităţilor regulaităţilor de bază în în mdul cel mai satisfăcător sa tisfăcător.. Pentru a ilustra acest aspect, per miteţimi miteţim i să mă întorc întorc la în întrebarea pusă pu să în primul primul capitol pit ol Care Car e dint dintre re cele două dou ă constatări cons tatări experimentale are, eventual, eventua l, semnificaţ s emnificaţie ie conf co nfigura iguraţia ţia în linie dreaptă a celor trei stele stele din constelaţ cons telaţiaia Orion, Orion, sau s au aşezarea aşez area proporţională proporţională a celor trei perioade perioade de revoluţie a sateliţilo teli ţilorr lui Jupiter Jupiter ? Să luăm mai în întîi cazul constelaţiei Orion Orio n Civilizaţiile vechi de pe Pămîn Pămîntt au au asociat as ociat stelele de cer în în grupuri reprezentî repr ezentînd nd animale anima le sau eroi alinierea celor celo r trei stele din mitici. acest i termeni, alinierea Orion apare c� s emnific emnifictiv tivă,ă, deo d eoar arece ece altfel erul nar fi avut cingătoarea de care săşi agaţe spada D acă vom folosi folos i ca principiu organizatoric organizatoric geometria geom etria tridime tridimen n sională şi vom v om plasa cele trei stele în poziţiie lor corecte din ceruri, ceruri, vom obser obs erva va că ele se află află la distanţe distan ţe foart foartee diferite diferite faţă de Pămînt Alinierea lor la distanţe dis tanţe aparent egale între între ele el e este un fapt fapt accident acci dental, al, care depinde de pinde de poziţia din care sînt privite nsuşi cuvîntul constelaţie" laţie " este est e o denumire denumir e incorectă, incor ectă, ca provenin provenin dintr dintrun un accident, acci dent, acea a cea al punctului punctului arbitrar arbitrar de de referinţă Relaţia numerică dintre dintre perioadele de revoluţie revoluţ ie ale lui  Europa Europa şiş i Ganymede Ganymede poate po ate fifi şi ea acciden a ccidentală tală în acelaşi ace laşi sens sen s . Cum putem fi sigu si guriri că  perioada per ioada de revoluţie" are vreun vreun înţel înţeleses semnificat semnificativ iv pentru pen tru natură natură ? Şi totuşi tot uşi,, aceast ace astăă relaţie numerică îşi află află locul într întrun un cadru cadru dinamic, dinam ic, întrun întrun fel fel foarte semnif s emnificicativ. ativ. Este Es te un caz de rezoaţă, care reprezintă o relaţie între corpurile care se s e mişcă periodic, după dup ă cercuri care se înînchid unul pe altul, altul, astfel astfel încî încîtt corpurile ocup oc upăă aceleaş acel eaşii poziţii po ziţii relative relative la interva intervalele regulate de timp timp  Ace A cestst ciclu ciclu comun este denumit perioada sistemului Corpurile diferi



4

NUMEEE NATUII

alate alate în în relatie într întree ele. el e. Putem ala ala care este es te aceas ac eastătă relaţie. relaţie . Atuni Atuni cîn cîndd are loc lo c o rezonanţă, toate to ate corpurile participante participante tre tre buie să se s e întoa întoarcă rcă la o poziţ po ziţieie standard de reerinţ reerinţăă după un număr număr de ciclur ciclurii  dar acest ac est număr poate poa te i dierit pentru pentru i ecare dintre ele l e . Aşadar, Aşa dar, exis există tă o perioadă pe rioadă comună co mună a întregul ntregului ui sst s stem em,, iar ie ie-care care corp co rp indiv individual idual are o perioadă proprie, propri e, care concon stituie stituie un div divizor izor exact exact al perioadei perioadei comun com une.e. n cazul de aţă, perioada comună este aceea a lui Ganymede, G anymede, de 7,16 zile. Perioada satelitului Europa este oarte aproap aproapee de umătate u mătate din perioada perioada lui Ganymede Gany mede,, aceea ace ea a lui  iin iindd aproape aproap e de un sert. sert. n intervalul de timp tim p în care  se roteşte de pat p atru ru ori în  urul lui Jupiter, Europa se roteşte de două ori, ori, iar iar Ganymede o dată ; după acest interval, toţi trei sateliţii revin exact în aceeaşi aceea şi poziţie relati rel ativă vă de la care care a porni po rnitt obs o bseva evaţia. ţia. Acest Ace st enomen enomen poartă po artă numele numele de rezonanţa rez onanţa 41 41 Dinamica Dinamica sistemului si stemului solar s olar este plină plină de rezonanţe. Periada de rotaţie rotaţ ie a Lunii Lunii (cu ( cu excepţia unor unor mici ezicauzae de d e pertu p erturbaţiile rbaţiile din partea altor corpuri) corpuri) este est e e gală cu perioa per ioada da ei de revoluţie în uru urull PămînPămîntului, tului, c eea ce reprezintă  rezonanţă de 11 între între pepe rioadele rotaţională şi de revolţie. Ca urmare, noi vedem de pe Pămîn Pămîntt mereu aceeaşi aceea şi faţă faţ ă a Lunii Luni i şi niciodat cealaltă  cealaltă ată atăc Mercu Me rcurr sese roteste rote ste o dată dat ă la 86 de zile şi ocleşe Soarele o dată l 87,97 zile. Dar perioa  x87,97  x87,97 = 15,94 iar 3x58,6 = 17 ,9  astel că perioadele rotatinală si orbital ale lui Mercur sînt în rezo'  :3 . (  realitate, vreme nanţă de   :3. vreme în îndelungată sa crezut zu t că că reznanţa ar i 1 :1, ambele ambele perioade iind iind de circa circa 88 de zile, iar aceasta deoarece este diicl de observat o planetă atît de apropiată de Soare ca Mercur. Sa

A E BUN MATEMATA

crezut cre zut deci că o parte a lui Mercur Mercur este incredibil de fierbinte, fierbinte, iar ia r ceaată, ce aată, incredibi incredibi de rece, ceea c eea ce sa s a do do  vedit ved it a fi fals fals Există totusi totu si  reznantă, ba b a chiar chi ar una mai interesantă interes antă decî decît sim si m la egalitate 'a perioadelor ntre ntre Marte M arte şi Jupiter Jupit er se află află centura centura de asteroizi, as teroizi, o zonă zonă argă, conţin c onţinîn îndd mii de corpur corpurii mărunte mărunte  Aceste Ac esteaa nu sînt sînt uniform distribuite distr ibuite La anumite distanţ dis tanţee faţă de Soare mai găsim mici centuri, dar cu greu găsim vreun vreun asterid asterid în alte prţi prţi n  n ambele amb ele cazuri, cazuri, explicaţia explicaţia este es te rezon re zonanţa anţa cu Jupiter Una Una dinre dinre mici m icilele centur ce nturi,i, grupul grupul de ast a steri erioz ozii Hilda, se află află în rezonanţa rez onanţa 2 :3 cu Jupite Jupiterr Aceast Ace astaa înseamnă că c ă asterizii din Hilda Hilda se s e gă sesc se sc exact la distanţa di stanţa la care care oco o coles lescc Soarele Soarel e de trei trei ori ori în acelaşi acel aşi timp timp în în care Jupiter îl co  coleş leştete de două do uă ori Cee Cee mai remarcabile goluri de asteroizi se s e află la re onanţe d  :1 31 4:1  ş i 7 Cititorul Citi torul poate fi preocupat preocupat de d e faptul că rezonanţele rezonanţele sînt folosite pen tru a explica şi prezenţa, şi absenţa asteroizilor Ex plicaţia plicaţia este e ste că fiecare fiecare rezonanţă rezonanţă are dinamica sa iio sincratică une provo p rovoacă acă acumulări acumulări atele atel e au un efect opus Totu ste o chestiune ch estiune de numere numere precise precis e O alt a ltăă funcţie a matematicii matematicii est e stee predicţia predicţia nţele gînd mişcarea mişc area corpurior corpurio r cereşti, cer eşti, astron a stronomii omii au putut putu t prezice ecipsle ecips le unare şi sola s olare re şi reîntoarc ntoarc erea cme cm e telor Ei au putut şti înctro săşi să şi în îndrepte tele t elesc scapele apele pentru pentru a găsi găs i asteroi as teroizii zii care au trecut trecut în spatele spate le Soa So a relui, relui, făcî făcînd ndu uee imposib impo sibilă ilă obs ob s ervaţ ervaţia ia De De  arece ma ma  reele sînt sînt controat controat mai ma i as de poiţi po iţiie ie Soarel S oarelui ui şi Lunii Lunii faţă faţ ă de Pămînt, Pămînt, ei le l eau au puut pu ut prezic pre zicee cu mulţi ani înainte înainte (F ( F actoru principal principal care care cmplică c mplică efectua rea predicţiilor predicţiilor nu nu este es te astronmia, astro nmia, ci forma continen continen telor telor şiş i prfilul prfilul adîncimii adîncimii oceanelr, oc eanelr, care pt înt întîîrzia chim

5



NUMEEE NATUII

bate bate de lal a un un secol secol la celălalt astel astel înc înct,t, o dată ce eeceec tul lor a ost înteles luarea luar ea lolor în în consderare consd erare este o sarcină de rutin ă  ) n schimb este e ste mult ult mai diicil diicil să prezic tmpul tmpul probabil. Ştim Şt im la el de multe despre matematica atmoserei atmoserei ca şi despre d espre matematica mate matica mare elor, dar clima are are un caracter caracter inerent inerent mprevizib mprevizibil.il. n p oida oida acestui ac estui apt apt,, meteorol mete orologii ogii pot ace previziu previziuni ni eective pentru, să zicem tre sau patru zile. mprevizibilul din meteorologie nu are totuşi nimic din comportarea com portarea aleatorie, subiect pe care îl voi aborda ab orda în cap. 8, dedicat discuţiei discuţiei despre conceptul de de haos hao s . Rolul matematicii matematicii merge însă însă dincolo de simpla predictie. dictie . O dată ce am înteles înteles cum lucrează lucreaz ă un sistem, nu rebuie să rămî rămînem nem bs  bservatori ervatori pasvi. pa svi. Putem înîncerca să controlăm sstemul, sst emul, pentru a a determina d etermina să facă fac ă ce dorim dorim noi. Este preerab preerabilil să s ă nu fim prea am biţioşi biţio şi controlul controlul climei, de exemplu, exemplu, s e a a  ă încă încă î n aaza de copilări c opilăriee  nu avem mar mare succes suc ces în în provocarea ploi pl oii,i, de pildă, nici chiar anci anci cînd cînd în apropiere există nori de ploaie Exemplel Exemplelee de ssteme sst eme co c o ntrolate trolate merg de la termosta termos tatu tull unui unui boiler bo iler care este menţinu m enţinutt la o temperat temp eratură ură iixată, pînă pînă la practica medevală me devală de tăiere s electivă elec tivă a păduri pădurilo lor.r. Fără un sistem sist em sofsticat s ofsticat de con con  trol trol matematic naveta spaţială ar zbura zbu ra ca o cărămid cărămidă,ă, deoarece nici un pilot uman nu ar putea reacţiona destul de stul de rapid pentru a core co rectctaa instailtăţile inerente. Folosi Fol osirea rea stim s timulatoarelor ulatoarelor card cardiaiace ce electronice pent p entru ru asistarea persoanelor bolnave de cord este un alt exemplu de control. Aceste exemple ne oeră aspectul cel mai obişnuit al matematicii matematicii aplicaţiile sale practice  sau modul modul în în care matemati mate matica ca îşîşi cîş tigă existen existenţa. ţa. Lumea Lum ea noastră se spriină pe undamente matematice, iar matematica

A E-I BUN MAEMATIA

global glo bală.ă. Singuru Singurull mtiv pentru care dumneavoasră dumnea voasră nu nu realizati totdeauna în mod exact cî de mult ne in luenteză luente ză mtematica vieile vieile este este că, din moti mo tive ve lesne de îneles, eles , aceasta este ţintă cît se poate p oate de departe, în culs cul s e . Atunci cînd cînd mergeţi la o agenţie de d e voia voia şi rezevaţ re zevaţ un bilet, nu aveţi nevoie să s ă înţel înţelege egeţiţi tete oriile matematice şi izice complcate care ac posibile proiectarea proi ectarea computerelor compu terelor şi a liniilor liniil or teleonice, rutinele de optimizare care programează cît mai multe zbou zb ouriri posibile posi bile în iecare aeroport aerop ort,, s au medele me dele de procesare proc esare a semnalelor se mnalelor pentru pentru producerea de d e imagini imagini radar radar clare, nec n ecesesare are piloţi pil oţilor lor.. Atunc Atuncii cînd cînd priviţi priviţi un program de televiziune, nu aveţi nevoie să înţelegeţ geometria geo metria tridimensonală tridimensonală olosită pent p entru ru obţinerea o bţinerea efectelor efect elor specale pe ecran, ecran, nici metodele de codicar codicaree olost ol ostee pent pent a transmite transmite semnale se mnale  prin atelt, atelt, ori meto me todel delee matematice mate matice întrebuinţate întrebuinţate pentru pentru rezolvarea ecuatilor miscări mis căriii orbitale a satelitulu s nici mile de aplicţii det detee ale matem ma tematicii aticii de la ica i care re pas al a brcăr brcării tuturo tuturorr peselor pes elor c ompnente omp nente ale navi spaţial sp aţialee care a lansa sat s atelitul elitul în p oziţia oziţ ia lui. Atunc cînd un ermier mie r planteaz pl anteazăă o nouă varietate varietate de carto, el nare ne voe voe să cunoască cunoa scă teoriile teoriile statistice ale geneticii cu au au toul cărora sau to s au dentif dentificat icat genele necesar nec esaree pent pe ntru ru a coner coner plantelor plantelor rezistenţă la boli. bo li. Dar, în trecut, cineva a trebuit să înţeleagă toate aces ac estete lucru lucruri, ri, altel avioanele, televiziunea, navele spasp atiale si cartoi rezistent rezis tent lala bol b olii nu s  ar i inventat invent at Si inev� inev� trebui trebui  să înele îneleaaă toae toae aceste ace ste lucruri lucruri şi astăi astăi,, altel ele nu ar mai continua să uncţioneze Şi cine va rebuie să s ă inventeze în viitor o nouă matemati ma tematică, că, în stare să rezolve probleme care ie că nu au apărut ncă, ie că sau dovedit inratabile pînă acum, altel

7



N  M E E  E  E N AT A T    I

schmbăr schmb ăree vo vor impune souţnarea s ouţnarea unor probem prob emee noi sau obţinerea obţinere a de souţi so uţiii noi a probeee vech vech Dacă, înrun mod oarecare, matematica şi tt ceea ce se bazea baz ează ză pe ea ar fi săsă se retragă din ume u meaa no noas astră, tră, societatea omenească sar s ar prăbuşi întro clipă Iar dacă matema mat ematic ticaa ar fi să s ă îngheţ ng heţe,e, asfe as fe încî încîtt să nu mai facă fac ă nici un pas înaine, înaine, atunci atun ci cviizaţia cviizaţia noas no astră tră ar începe să regreseze regreseze Nu ne puem aştepta ca matemai matemaica ca să s ă aducă aducă un cîş tig fin finan ancc iar imed im edaa Transfe Transferu ru nei n ei idei matema mate ma-tice în cea care să s ă poată po ată f fabricat fabricat înro nr o uzină sau sa u fosit în cas ia în general ceva timp I a chiar mut mu t timp, un seco nefiind un interval prea neobişnuit Vom vedea în cap cap   cu interesul interesul maniestat maniestat în seco se co-u u  aa XVII XVIIlea lea fată fată de vibratiile corzii de vioară a dus, trei secole s ecole mai îîziu, ziu, la desoperir deso perirea ea undelor radio şi la invenarea invenarea radioului, radarului radarului si teeviziunii teev iziunii o o ate aceste a cesteaa putea puteauu fi realizate şi m i repede, repede , dar nu cu mut mut mai mai repede repede D acă dumneavoa dumneavoastră stră credeţi credeţi  aşa cum cred muţi oameni din cutura noastră de tip manager managera a tot mai accentuat accentuat  că procesul procesul desco de scope pe riri ririii ştiinţif ştiinţifice poate poat e fi grăbit prin prin concentra conc entrarea rea mijmij oace oa ceor or pe aplicaţ aplicaţiiii ca scop sc op în sine, sine, ignorînd ignorînd cercetarea pornit din din curiozit curiozitate ate ştiinţifică, ştiinţifică, atunci, desi de sigu gur,r, gregre şiţi şiţi  De fapt fapt,, chiar acea ac eastă stă expresi expresiee c  c ercetare p ornită din curio curiozitate" zitate" a fost fost introusă destu des tull de recent recent de birocraţii ipsiţi ipsiţi de imaginaţie, ca o depreciere dei d eibeberaă ra ă Preferi Preferinţa nţa lor pentru proiecte proiect e curăţee, car c aree oferă oferă profit garantat pe ermen scur este prea simpstă, erece e rece cercetarea rientată poate po ate oferi oferi numai num ai rezulae ae prezibie Trebue să vezi scopu sc opu,, ca să s ă pţi ţinti ţinti spre e Dar, ceea ce ea ce vezi, orice ar fi, fi, poate poa te fifi văzut şi de concur con curen enţţ Des D esfăşurarea făşurarea unor cercetări sigure de

A E BUNĂ MAEMATIA

portante snt nt ntotdea ntotdeauna una imprevizibile imprevizibile Tocmai Tocm ai carac teru terull lor imprev imprevizi izibil bil le confer conferăă valoar valoaree  ele ele scmbă scmbă umea um ea în care trăim tră im n moduri pe care nu le l eam am ntre ntre zărt Mai mult, cercetarea orientată se oveşte dese de seor orii de un zid, ar aceasta nu numa numaii în matematică matemati că Un exem plu după ce principul de bază a fost descoperit de o amen de şiinţă, a mai fost nevie de aprximativ aprximativ opt dece d ecenni de eforturi eforturi inginereş inginereştiti intense pentr p entr a ela bora bo ra maşna maşna de fotoc fo tocopia opiatt Primu disp dis pztiv ztiv de fax fax a fost fos t inventat inventat cu peste pes te un seco se coll în în urmă, urmă, dar na n a func func ţonat ţona t dest des tll de d e repede şi nici destul de fabil Princi Principiu piu holograf holo grafei ei (fotogra (fot ograffii tridimensonale, tridimensonale, ca acele a celeaa de pe cartea dumneavoastră de credit) a fost descoperit cu pest pe stee un secol sec ol n n urmă, dar dar nimeni na na ştiut ş tiut pe atunci atunci cum să producă fascicolul fascicolul necesar necesa r de lumnă coerenc oerentă  lumină cu toate undel undelee în în acelaşi pas pas   Acest nteal teal de timp nu este est e deloc unul unul neobişnut n ndustri ndustriee si nicidecum unul neobisnuit n domeniile cu tentă ării, iar mpasul este de obiai inteletuală ale cerce ării, cei depăşit numai nu mai at a tunci cnd cnd pe scenă îşi face apar ţia o dee neaşteptat de nouă ercetarea orentată către un scop, nţeleasă ca o cale pentru a atinge atinge ţeluri specifice specifice realizabl realiz able,e, nu este es te deloc de d e blamat bl amat ar vsători vsători s răzletii răzletii trebuie să aibă şi ei frfru lber l ber Lumea Lume a noastr noas trăă nu est s tatcă  prbleme no apar mereu, ar dese des e ori vechile soluţii s oluţii nu mai snt snt valabile valabil e La fel ca Regna Regna Roşie Roşi e a lui lu i Lewis Caro, trebue să alergăm oarte repede ca să putem rămne pe loc



CAILU 3

Cu ce se ocuă ateatica

Prmu Pr mull lucru luc ru care care ne n e vne în mnte atun a tuncc cînd cînd au au  zm cuv cuvîn întu tull  matematca matemat ca"" este noţunea de număr număr Numerele Num erele consttue sufle sufletu tu matematc, elementul elementul s ău de nfluenţă nfluenţă predomnant, pred omnant, matera prmă prmă dn c are este modelată o mare parte dn matematcă ar nu meree îns însele ele formează numa o mcă parte parte a matema matem a tc tc  Am afrmat afrmat ma ma devreme că trăm într întroo lume nn tens matematzată, ma tematzată, dar că, or or de cîte or or acest a cest ucru ucru este este posbl, pos bl, matematca este es te cu grj grjăă ascunsă ascunsă sub covor, vor , pentru a face fac e umea um ea ma uşor uş or de mînut ut  Totuş, Totuş, cîteva de matematce sînt atît atît de mportante mportan te pentru lumea noastră, încît nu pot f ascunse, ar numerele consttue cons ttue un exempu deos de osebt ebt de pregnant pregnant în acest sens Fără capactatea capactatea de a număra ş de a cacua res res  tul, nu neam putea nc măcar cumpăra amentele Aşadar, predăm pred ăm artmet artmetca ca Tuturor Tuturor La fe ca pentru pentru scrs sc rs ş ctt, ctt, absenţa abs enţa nsrucţun maemace maemace reprezn tă un handcap handca p maj major or Ea creează creează mpresa covîrştoare covîrştoare că matemat matematca ca ar ar f ma ales o ches chestune tune de numere, ceea ceea ce nu nu est e stee în realtate real tate adevă a devărat rat Trucur Trucurle le numerce numer ce pe care le învăţăm la artmetcă alcătuesc numa vîrful unu asberg Putem să ne ducem vaţa de z cu z

 U  E  E O  U P M A A  E M A   A

numa cu atît dar, mtată a aceste ngredente, cultura noastră noa stră nu poate poate contrbu la bunul mers a socetăţ Numeree sînt sînt numa numa un sngur sngur tp de obect o bectee de care se s e preocupă matematcen. n acest ac est capto, capto, vo înc erca să s ă vă preznt ate cîteva cîteva tpur ş să s ă vă expc expc de ce ş ee sînt sînt a fel de mportante mportante n mod nevtab, punctu meu de pec p ecar aree trebue să fe nu nu mere mereee O mare mare parte a prestore prestore matematc poate poa te f rezumată ca reprezentî reprezentînd descop des coperre erreaa de către dfertee cvzaţ a unor case tot ma arg de obect ob ectee care îndepnea îndepneauu condţa co ndţa de a f numte nu nu mere. mere . ee ma smple dntre acestea sînt sînt nu meree pe care ca re le foosm f oosm a a numărat numărat  n reatate reatate însă însă,, numărare numărareaa a început cu mut ma înante de aparţa aparţa sb s bou ouror ror c a    3 deoarece de oarece se s e poate număra ără a foos foos deloc numeree  c, de exemplu, exemplu, doar degetele. Puteţ Puteţ forforula conclua conclua : am două mîn ş un deget de cămcăml e " , îndond îndond degetee deg etee în în tp ce prvţ prvţ pe rînd rînd cămlee. Pentu a vă da seaa dacă cneva vă fură dn cămle, nu aveţ nevoe de conceptul co nceptul număuu usprezece sprez ece"" . Este E ste sufc sufcent ent să obs ob s eva evaţţ data data vtoare vtoare că că v  au rămas numa numa două în în de căme  dec că un deget de cămle cămle vă lpse lpseşte şte Puteţ înregstra înregstra rezutatul rezu tatul une numărător numărător prn zgî zgî-retur pe bucăţ de emn sau de os Ma puteţ foos j etoane  dscur de ut ut cu desene des ene de o pentru pentru numă numă-rarea rarea olor, ol or, sau de căme căme pentr p entruu numărarea numărarea cămelor cămelo r Pe măsură ce turma trece prn faţa dumneavoastră, ancaţ jetoane întro tra trasstătă  cîte un un jeton je ton de feca fecaee anmal Foosrea Foosr ea de smbo sm bour ur pentu pentu numer numeree a debutat probab prob ab acum vreo cnc m de an, an, cînd contoaree de acest fel erau era u încs ncsee întru întrunn înve învess d e ut Era nepăcut nepă cut să s e sparg spa rgăă capacul capac ul în învelşuu velşuu o  de cîte cîte or eze c utu

1

4

NMEEE NAT

apo at capac Oamen au început aşadar să pună semn se mnee specae specae pe patea exteroară exteroară a înveşulu, tota t otazîndu  astf as tfee conţnutul conţnutul.. Apo, e şau ş au dat seam se amaa că de fapt fapt nu nu ma au au nevoe de jetoanee j etoanee dnăuntu dnăuntu  era destul să facă facă aceeaş semne se mne pe nşte tăblţe de d e ut Ese Es e umtor cîcît de mut mu t tm tmpp ea e a tebut oaeno oaen o ca să vadă un lucru evde evdent nt.. Dar, des de sgur gur,, acest lucu lu cu este est e evdent numa numa acum. Următoarea nvenţe după numeree necesare numărăr mărăr a fos fos descop desc operrea errea fracţor racţor  acel ace l tp tp de nu nu mere pe care az le smbolză ca 2/3 ( două tre tre  ), sau 22/7 ( douăzec ş două do uă de de şeptm sau, echvaent, echvaent, tre tre într întree g ş o şeptme şept me)) . Cu ajaj utorul fracţor nu se poate poate număra  deş deş două trem trem dntro cămlă cămlă pot po t f mî mîncate, ncate, dar dar nu pot ff  nuă nuăa atete  în schmb, s chmb, se s e pot face face ulte ate ate ucrur ucrur nteresante ntun caz deos de ose-ebt, bt , dacă tre fraţ fraţ moş m oştenesc tenesc două dou ă căle, vă puteţ magna că fecare fecare pos p osed edăă cîcîte două două tre de călă că lă  o fcţ fcţune une egaă convenabă, convenabă, cu care ne smţ s mţ atît atît de confotab încît ută ct ar ar ff de strau să o nternterpretăm la modul lteral. Mut Mu t a tîrzu tîrzu,, între an 400 ş 00 d. Cr Cr  , a fost fos t nventat nventat conceptul de zero ze ro ş a fost accepta acc eptatt ca nuă nuă semnf se mnfcat catv v Dacă Da că duneavoas duneavoas tră tră consderat cons derat strane s trane accept acc eptare areaa atît de tadvă a u u zero ca nuă nu ă, uaţ în consderar consd eraree faptul că mut tp unu" unu " nu a fost fos t conscons derat număr număr,, deoarece de oarece se s e consdera consde ra că că un număr tebue să s ă reprez repreznte nte a a multe lucr lucr Mute căţ căţ de store afmă că deea de d e bază bază a consttuo ac nventaea unu unu smbo pentru pentru nmc" nmc"  Aceasta a puut puut consttu o chee pentr p entruu tansformarea t ansformarea atetc întrun întrun lucu lucu pracc, dar pent mateatcă reazarea de bază a fost conceptul unu nou tp de număr, a unua care

 U  E  E O  U P P  M AT A T E M AT AT I  A

fooseşte simb si mbour ouri,i, dar aceste acest e simbouri nu eprezintă eprezintă pentru matematică mai mut decît notee muzicae pentr pe ntruu muzic mu zicăă sau rîndur rîndurie ie de iere dintrun dintr un fabe fabett pentru imbaj ar Friederich Gauss, considerat de mui mu i ca fiind fiind cel mai m ai mare matematicin care a trăit trăit vredată, vredată, a spus (în atină atină)) că în matematică matemati că sînt sînt importante nu no notaţiie, taţiie, ci noţiue" noţiue" lambuu lam buu non  non notaiones, s e d notiones" notiones " funcţiona ncţiona şi în atină Urmăoarea extindere a conceptuui conceptuui de număr a fost fos t inventarea numereor negative Este iarăşi ipsit de sens săţi să ţi reprezinţi reprezinţi minus două cămie în sens se ns itera, itera, dar dacă datorezi cuiva două cămie, număru de cămie pe care le posez pos ezii este est e efecti efectivv micşorat cu două animale ani male de aces ac estt fel. Aşadar, Aş adar, număru număru negativ poate fifi c onceput ca reprezent reprez entîn îndd o datorie Există mute mo mo duri duri diferit diferitee de d e a interpret interpret tipu acesta ezoteric ez oteric de numere; de exempu, o temperatură negativă (în grade grade esius  esius ) caracterizează c aracterizează un corp mai rece r ece dec de cît punctu punctu  de îngheţ a apei, iar un corp cu vite vit e z ă negativă tivă este unul care se s e mişcă miş că deandă dea ndărateea rateea Asf As fe, e, un singur obiect matematic poate reprezenta mai mut decît decît un singur aspec as pectt a naturii. naturii. Fracţiie reprezintă reprezint ă tot ceea ce este nece nec e s ar pentru tranzacţ tranzacţii iiee comer co merciale ciale,, dar ee e e nu nu sînt sînt suficiente penpe ntru tru matematică. matematic ă. Grecii antici, antici, de pidă, pidă, au descope des coperit rit,, spre marea or tristeţe trist eţe,, că c ă radica radica din doi nu p oate fi reprezentat exact printro printr o fracţie fracţie.. Adică, muipi m uipicî cînd nd o fracţie fracţie prin ea îns însăş ăşi,i, nu veţi obţin ob ţinee exact doi doi  Veţi putea ajung ajungee foarte aproape  de exem exemp pu, u, păt p ătra ratu tull lui 17/12 este 289/144 dar numai dacă ar fi 288/144 aţi obtine ob tine doi. doi . Dar D ar nu este e ste asa, iar dumnea dumneavo voastră astră nu nu ati obnut doi, si nu veti obtne niciodată, oricît vă vei s trdui trdui.. Rădăina pătată  ui ui doi, notată de obicei -



44

NUMEEE NAU

simpă cae de a ărgi ărgi sis si s temu numereor numere or pentru pentru inincluderea irationa irationaeor eor este es te fol folos osirea irea nuerel nuerelor or asazis asa zis reae reae  un ume ume năucitor de neadecvat nea decvat în în măsra măsra în în care acest ac estee numere numere sînt sînt reprezentate cu ajutoru aj utoru zeczec maeor maeo r care merg a nesfî nesfîrşit, aşa ca c a 3,59 ,  , unde punctee punc tee indică un număr număr infini infinitt de cifre cifre.. u pot fi reale nişte numere pe care nici nu e pţi scrie sc rie compet ? Dar Da r nue nueee a prins prins probabi datorită fap faptu tuu uii că numeree reae întrupează mute dintre ntuiţiie noastre noa stre vizu vizuee despre ungii ungii şi distanţe distanţ e Numeree reae reprezintă reprezintă una dintre ce c eee mai în în drăznete drăz nete ideaizări ideaizări efectuate de intelectu intele ctu uman sisi au ost foosite cu succes secole dea rîndu înaine ca vreun om să sese preocupe preocu pe de de lo l o gica dn spate spat eee lor lo r n odd paradoxa, oameni ss au agtat ult o ult pent pe ntru ru următoar to area ea extindere a siste sis temu muui ui de nuere nuere  ba chiar chiar au au consderat cons deratoo pe deantreg dea ntregul ul inoensvă inoensvă Noua extn extn dere a incus rădăcina pătrată a nue nuere reor or negatve şi a dus dus la nume numere reee imaginare" imaginare" şi coplexe" c oplexe"  Un Un a a  tematcan tematc an de profesie nu nu trebue nci nci odată oda tă să plece plece de acasă fără aceste numere, dar, dn ercre, nimic din această carte nu impune cunoaşterea nuereor nuereor comco mplexe astfel că eu eu e voi ascunde sub sub covou cov ou matem matem tic şi voi sper sp eraa să nu observ obse rvaţi aţi nimc. Să menţionez me nţionez totuşi că număru număru cu cu zecimae zeci mae ără sfs fîrşit poate po ate fi uşor uşo r interetat ca un şr ş r de proximaţii proximaţii tot mai m ai fine fine ae a e aceleiaşi masurători  să zicem ae unei unei ungimi ungimi sau greugreutăţi  în timp ce rădăcina pătrată pătr ată a ui inus inus unu unu este es te ut mai greu de exp expicat icat ,2,3, .. n erminoogia erminoogia curentă, numeree nume ree întregi 0, ,2,3, sînt sînt cunoscute sub numee de d e numere numere naturae naturae Dcă incudem cudem şi numeree numeree într întregi egi negative, obţin o bţinem em numeree numeree întregi întregi Fracţiie pozitive şi negative se s e num numesescc numere numere raţionae Numeree ree sînt mai generae iar cee

 U  E  E O  U P Ă M AT A T E M AT AT I  A

compexe au un grad de generatate generatate ş ma mare mare  ObO btnem astf as tfee cnc ssteme de numere, fecare ma curnător decît precedentu: numerele naturae, cee întreg întreg,, nume n umeree ree raţnae, raţnae, nu meree reae rea e ş numeree numeree compex co mpexee n această aceast ă carte, carte, mportante vor f ssteme sst emeee de numere întreg întreg ş de numere reae reae  Vom vorb v orb destul de des ş despre numeree raţonae dar, aşa cum am afrmat adneao adn eaor, r, putem gnora în în între întregme gme nu nu meree mere e complexe c omplexe Spe Sper ca dumneavastră dumneav astră s ă înţeegeţ înţeegeţ de acum acum înco încoo o că c ă notunea de  număr" nu are nc nc un sens muab dat de umneeu Sfera de cuprndere a acestu cuvînt a fost extnsă nu numa o dată, ar aces ac es proce pr ocess poate, po ate, în prn prnp p,, să se repee rep ee în în orce orce moment Totuş Tot uş,, matematca nu se ocupă numa numa de numere numere No am av avut ut deja dej a o în întînre tînre trecăta trecă tare re cu un atfel atfel de obec ob ectt al gî gîndr ndr matemat mate matce, ce, cu operaţ; exempe ale aceste ace steaa ar ff adunarea, scăder s căderea, ea, înmulţrea înmulţrea ş îm împărţrea n genera, operaţa este ceva care se referă a două dou ă (uneor (un eor aa ma ma multe multe)) obecte o becte matematce, pentu tu a ob o b tne un a trelea obec ob ect.t. Atunc cînd am menţonat rdăcna pătrată, pătrată, am ma făcut au auee a un al treea tp tp de obe o bect ct matematc. acă ac ă p orn ornţ de la un număr ş formaţ rădăcna sa pătrată, obţneţ obţn eţ un at număr Termenu pentru un astfe de obect" este acela de ucţie. Vă puteţ repreenta repreent a fun funcţcţaa ca pe o reguă reguă care p orneşte de a un obect matemat matema tcc  de obce, un numă numărr  căr cărua î asas ocaă un un at obect întun d determnat. det ermnat. es  esee or, or, funce sînt sînt defdefnte cu ajaj utu form formue uer r agebrce, care reprentă forme prescurtate de d e screre sc rere a regu, dar funcţe funcţe pot f specfcate prn rce metode convenabe Un alt termen cu cu aceaş înţees înţees ca c a funcţe" funcţe" este es te trasorma a transformă

5

4

NMEEE NAT

Matematic Matematicien ieniiii tind să s ă foosească foosească acest ac est term te rmen en atunci atunci cînd reguie sînt sînt geo g eometrice, metrice, iar în capitolu capi tolull  6 noi vom foosi transformărie pentru a înţelege esenţa matematică a simetriei. Ope Op eaţiile şi funcţiie sîn sîn concept con ceptee foarte ase a semăn mănăătoare toare . Intradevăr Intradevăr,, la un nivel nivel corespunzător de genegene raitate, raitate, ee n n prea po po fi deosebite deos ebite Ambele Amb ele reprezin reprezin  tă mai mai degrabă proces pro cesee decît decît obiecte. obiec te. Şi tocmai toc mai acum acu m este moment m omentu u propice să s ă deschidem deschidem cutia Pandorei şi să expicăm xpicăm una una dintre cee mai puternice arme din arsenau rsenau matematicianuui matematicianuui,, pe p e care am puteao putea o numi proceselor". Obiectele" matematice nu au existenţă existenţă î umea reaă  ee ee sînt sînt abstracţii. D ar şi propro cesele ces ele matemati matem atice ce sîn sîntt tot abs tracţii, tracţii, astfel as tfel că proceproce see se e nu sîsînt mai ma i puţin obiec  obiecte" te" dec dect  obiectele" obiec tele" cărora e sînt apicate Reificarea proceseor este un fapt banal. banal . De D e pildă, pildă, eu pot da un un foarte foarte bun exemplu susţinî inînd că doi nu este număr, număr, ci proces  acel proces pe care îl desfăşuraţi desfăşuraţi dumneavoastr dumneavoas trăă atunci cînd cînd asoas ociati ciati dou cămile sau două dou ă oi cu simbolur simb olurie ie 1  2 " rosite rosite lal a rîn rîndd . Numrul Numrul este est e un proces care a fost fo st de de mut reificat reificat atî atît de d e tem t emeinic, einic, încî încîtt toată u  u mea me a se gîngîndeşte a elel ca ca lala un obiect. Este aa fel fel de posibil posibil  deşi ceva mai puţin puţ in obişnuit obi şnuit pentru pentru cei mai mulţi dintre noi  să ne gînd gîndim im a o operaţie sau la o funcţie funcţie ca la un ucru. Putem vorbi, de d e exempu, despre rădăcina pătrată" ca şi cînd cînd ar fi un obiect obie ct  iar aici nu nu am în vedere vedere rădăcina rădăcina pătrată pătra tă a vreunui vreunui număr c oncret, ci funcţi funcţiaa însăşi. nsăş i. n aceas a ceastătă imagine, im agine, funcţia funcţia rădăcină rădă cină pătrată este est e un fe de masină de făcut făcut cîr cîrnati  îndesi îndesi un numr num r aa  capăt a ei ş i iese i ese rădăcina ui ui p ătrată 'prin ceăat capăt.

 U  E  E O  U P M A T E M AT I  A

n cpitou cpitou  6 vom trt despre mişcărie pnui sau spaţiului ca şi cînd cînd ac ac este es te r fi ucruri Vă previn previn de pe cum, cum, deore de orece ce s s rr putea pute a să vă tubure tunci tunci cnd o voi fce fce  Şi totuşi, to tuşi, mateticie mate ticieni ni nu sînt singu rii rii cre se joacă j oacă de reificare reificare Jurişti Juriştiii vorbesc vorbe sc de ho ţie" ţie " c a şi cînd cînd r r fifi un obiec obi ectt Ei ştiu pînă şş ce fe de de obiect obiec t este hoţi  un deict n frz frzee c nejunsu  nejunsuri riee maj maj ore e socetăţii s ocetăţii occident o ccidentee sînt drogurie dro gurie şişi hoţia", ţia" , găsim un obiect utentic utentic şi un obiect reifict reifict,, am bee be e trtate ca şiş i cîcînd sa s arr afa afa  acelşi nivel Dr hoţi hoţi este un proces proce s în în cre propriette propriett e me este transfer transfertătă tcuiva fără fără cordu co rdu meu, me u, n n timp timp ce c e dro dr o gurie u o exs exs tentă fizică fizică reă re ă O enii enii de ştiinţă din domen dom enul ul compu co mputerelor terelor au un teren folosito folo sitorr pentu pentu a defin definii obiec ob iectel telee re pot p ot fi construi co nstruitete prin prin reifi reificrea crea procese pro ceselor lor E le den d enume umesc sc structuri de date da te Exemple frecvente frecvente de ce  cestst fe fe din ştinţ computerelor sînt listee (muţimi de numere scris scris e secve se cvenţil) nţil) şi mtricele mtricele (tbele ( tbele de numere cu mai mute i iii şi cooane co oane))  Am mintit mintit dej dej  că o mg mgne ne de pe ecrnul ecrnul coputerului coputerului pote fi reprezenttă repre zenttă prinprintro tr o istă de perechi de numere, cee ce e ce constit c onstituie uie o stctură de dte ut m copictă, dar compet perceptbilă Se pot magi m agina na situţii situţii ult mai complicate  mtric mtricee cre cre sînt sînt tbele tbele de liste, nu tbele de d e nunumere, iste de matrice, mtrice de mtrice, mtrice, list l istee de iste de mtrice de mtric mtricee    Mt M tematica ematica îsîs i constieste constiest e în în modd semănător mo se mănător obi ob i ectee fundaen fundaentl tlee le propiilor propiilor raţonmente raţonmente n trecut, trecut, în p erioad erioad în cre se s e eboru eboru fundamentele ogce  ogce ale matematicii, matema ticii, Bertrand Be rtrand Russe us se si Afred North Whiteh Whitehed ed u scris o crte ur urssăă în rei Ma theematica ca  operă cre 'începea olue, Pri p ia Math

47

4

NMEEE NA

cu ingredient ingredientu u matematic matematic ce mai mai simpu  ideea de muţime, un ansambu de obiecte n continuare, ei indicau cum să se construiască restu matematic. Obiectivu Obi ectivu or principa era anaiza anaiza structurii st ructurii logic l ogicee a matemat mate matci, ci, dar partea part ea cea mai mai mare mare a efortuui lor lor a fost dirijată către stabiirea unei structuri de date corespunzătoare pentru obectee importante ale gîndirii matematice Imagn Im agnea ea matematici matematiciii obţinut obţinutăă prin această acea stă descride scriere er e a obiecteor obie cteor sae fundamentae fundamentae apare ca un copac înrădăcinat în în numere şiş i ramific ramificnd nduu se în structuri tot to t mai ezoteri ezo terice ce de date, pe măsură ce se av avan anss ează de a trunchi a coroană, de a coroană a crengi şi de a crengi crengi a răure răureee  . . Dar acestei imagn imagn îiîi pseş pseştete un un amănun amănuntt esenti es ential, al, înt întuc uctt ea nu reuseste reusest e s ă descri des criee cum interacţoneaz c onceptee matema matemaie. i e. Matematica Mate matica nu se reduce la un ansambu ansa mbu de fapte fapte zolate zol ate  ea este ma apropată ca mode de un peisaj; ea are o geografie intr intrinse insecă, că, de care utizatorii utizatorii şi creator ei ţin s eamă pentu a naviga prin ceea ce ea ce ar fi altfel o jungă j ungă impenetrabiă. netrabi ă. Există, de exempu, senzaţa metaforică de distanţă distanţă  n apropiere apropiereaa oricărui oricărui fapt fapt matematic m atematic individual găsm atee corelate c orelate cu cel c el dintî mprejurarea că circumfer circumferinţa inţa unui cerc este est e egală cu  (pi) înmuţit cu diametr diame tru u este foart foartee aproape proa pe de faptul faptul că circumferinţa ferinţa unui unui cerc este es te ega e gaăă cu 2  înmuţi înmuţitt cu raza cercer cuui cuui Le L e gătu gătura ra dintre dintre cee două fa fapte este imediată  diametru diametru este est e dubu razei n contrast cu acest caz, ideie necoeate sînt mut ai depărtate între ee De pildă, pild ă, împr împrejurarea ejurarea că există exi stă exact şase şa se feuri feuri de a aranaranja trei obiece în ordine unu după ceălalt este foarte departe departe de cee reatate reatate despre cercur. Ma Ma  există şi simţu metaforic a importanţei Vîrfurie munţior stră-

 U  E  E O  U P  M AT A T E M A  A

care care pot po t fi foosi foo sitete de mu m utete ori şi care pot fifi văzute de departe, aşa cum este teor t eorema ema ui Pitagor Pitagoraa despre despre triuntriungiurie giurie dreptungice dreptungice,, sau cum cum ar fi tehnici tehnic i de bază baz ă ae anaizei atematice. La fiecare cotitură apar noi persp pe rspec ecttive  un rîu neprevăzut neprevăzut care trebuie travertraversat sărind s ărind din piatră pia tră în piatră, pi atră, un u n ac ac întins, întins, iniştit, o crevasă crevasă de netrecut. e e  care se foosest foos estee de matemamatematică păşeşte păş eşte numai numai pe căie c ăie bine bătătrite ae acestu aces tuii teritoriu teritoriu matematic. reatoru rea toru de matematică matematică îi expoexporează rea ză isteree, e cartografiază şi constieşte constie şte drm drmur urii dea de a ungu ungu or, ca să e facă mai mai accesibi acc esibiee tuturor. Ingredientu care conferă c onferă unitate acest aces tui peisaj peis aj este demostrat emonstrati em onstratiaa stabieste drumu de a un apt a at. Pent P ent matea mat eaticieni ticieni de proesie nici o airmaţ airmaţieie nu nu est e stee vaidă pînă pînă cînd cînd nu este est e riguros ded eonstrată, onstrată, eimin eiminînd înd oric or icee posibiita posi biitatete de eroare eroa re ogică că  Există Exist ă îns îns ă imite privind ucrie care pot fi deonstrate onstrate şi odu od u în care pot p ot fi demonstrat demonstratee O mare mare cantitate de unc uncăă în în i io ooia oia si undamentee undamentee mateaticii a permis să se s e stabi sta bieas easă ă aptu că nu totu totu e p oate demonstra, deoarece de oarece trebuie să existe un punct de porn p orniriree şi, ciar dacă ss  a decis decis de d e unde unde să se s e pornească, anumite afirmaţii nu pot să ie nici demonstrate, nici respins respins e Nu doresc să s ă ex exporez aici acesaces te cestiuni; cestiuni ; prefer să aunc numai o privire privire pragmatic pragmaticăă asupra demonstraţiior demons traţiior şi să arăt ce reprezintă ee şi de ce sînt sînt necesare necesar e M anuaee anuaee de ogică o gică matematică mate matică scriu scriu că o demondemo nstaţie este un şr de aaţii, iecae dinte ee fiind ori consecinta ceor anterioare, ori a axiomeor asupra cărora s căzut de acord a cord.. Axiomee Axiomee sînt sînt afirm afirmaţi aţiii nedovedite, ne dovedite, dar d ar expicite, expicite, care determ de termină ină de fapt fapt dodo mniu niu de matematică matemat ică studiat. studi at. Totu Totu seamănă s eamănă cu devee ca fii

9

50

NUMEEE NAU

fiecare dintr dintree aces a cestea tea const co nstrruind uind un context co ntext asupa asup a că ruia sa căzut de acord, acor d, ori decurgîn decurgîndd în od credibi cr edibi din propoziţiie propoziţiie anterioar anterioaree Abee definiţii definiţii scapă sc apă însă însă puncu puncu esenţi es enţia, a, acea acea că că şi deonstraţia şi nuvea tebuie să ne povestea pove stească scă un fap faptt interes interesan antt  efiniţiile efiniţiile cuprin cuprindd nuai nuai o caracteristică carac teristică secundară, secundară, aceea ac eea că pop ovestirea ves tirea trebuie treb uie să fie fie con co nvingătoare vingătoare Ee ai descri des criuu schea generaă foosită, dar subiectu bun este ca racteristica cea ai ipotantă ipotantă F oare puţine puţine anuae menţionează aşa aş a ceva Un fim cu subiectu subi ectu pin de acune ne irită pe cei ai uţi dintre dintre noi, oricî oricît ar fi de reuşită producţia ui din punct de vedee ved ee tehnic tehnic A văzut recent re cent un fi cu un aeroport u u at cu cu asat de gherile care scot sc ot din circuit echipaentul echipaentul eectonic folosi fol ositt de turnu turnu de contro şiş i îl înocuiesc cu unu popi popiuu  Autorităţie Autorităţie aeroportuui şi erou au nevoie de a ult de o oră din tipu tipu fiu fiuui ui  îteva ore de acţiune din povestire tire  ca să se dea de ceasu orti ortiii cu să counice counice cu avionu care, în aşteptarea atrizării, făcea tururi deasupra aeroportuu aerop ortuuii şi îşi epuiza epuiza cobus cob ustibilu tibilu Nici unu unu dintr dintree protagonişti prot agonişti nuşi dă seaa s eaa că c ă ai exista un aeroport, aero port, perfect per fect funcţ funcţiona, iona, aflat aflat a o distanţă ai ică i că de treizec treizecii de d e ie, ie, ci c i unu unu nu se s e gîndeşte să dea d ea teefon teefon la cea ai apropiată apropiată bază Air Foce Foce  Subiectu a fost fiat în od străucit, costisitor şi prostesc Acest Ace st fapt fapt nu ia i a împiedicat împiedicat pe prea uţi u ţi oaeni să agreeze agreez e fi fiu u standardee critice critice ae ceor uţuuţuiţi trebuie să fifi fost ai jos j os decît a eu Tţi ave însă iite iite faţă de ceea ce sînt sînte e pregătiţi să acceptă ac ceptă ca fiind cedibi  acă într întrun un fi, de d e ale reaist, un copi savează sav ează situaţia s ituaţia ridicînd ridicînd o casă ş pecînd p ecînd cu ea, uţi dintre noi îş i vor vor pierde interesu interes u La fe, o dede -

 U  E  E O  U P P  M A E M A   A

credibilă. credibilă. Ea nu trebuie să s ă pună pună punc punctete pe p e toate t oate url urlee şi bare pe tate ule ule;; se s e presup presupune une că citor vor cocopleta ei singu paşii răaşi  exact exact aşa cu, trun trun fil fil în care eroii apar dnto dnt o dată întrun întrun nou peis p eisaj, aj, nu este est e nevoie să se arate arate cu au aju ajuns ei acolo ac olo.. D ar stosto rsirea rsi rea nu tre tre bue să abă a bă lacune lacune şi, şi , în od catego categoic ic,, intriga nu nu trebuie trebui e să fie fie incrediblă Regulile sînt stricte stricte în atea at eatic ticăă o singură singură greşeal greşealăă este fatală. fatală. ai  ai ult, ult,  geşeală subtlă este ş ea fatală, la fel ca una evidentă. Să exaină un exeplu A ales unul siplu, pentru pentru e evita coplicaţiile coplicaţiile tehnice tehnice;; în consecinţă cons ecinţă,, de onstaţa ne relatează o istorie splă ş nu foarte sen se nificativă A furat furatoo de la un cole co leg,g, care c are a ntitu ntitu-lato teorea SHIP/DOCK (VAS/PORT) Duneavoastră voa stră cunoaşteţi cunoaşt eţi probabil proba bil tipul tipu l de şaradă şara dă în care vi se dă un cuvîn cuvîntt (SHIP-VAS) şi vi se s e cee să să  transf transfor oraţi aţi întru întrunn alt cuvînt cuvînt (DOCK-DOC) schibînd cîte o singură liter liter astel ca c a la fecae fecae odificare odificare să se ob obţţină un un cuvînt valabil. nainte de a continua lectura, puteţi încerca încerca rezlv rez lvarea area problee ; probal că c ă în acest fel fel veţi înţelege ţeleg e ai bine teore teoreaa şi deonstaţa deons taţa ei. ei . Iată o solu s oluţie ţie SHIP SLIP SLOP SLOT SOOT LOOT LOOK LOCK DOCK

vas alunecare baltă deschizătură funingine pradă privire lacăt doc

 M s-a s- a pro p ropu puss un exempu exempu neaoş ngen ngenos os  "teoreme de ma

51

5

NUMEEE NAU

Ex istătă o muţime de aterative, ue Exis u eee impicîd impicîd mai mai puţie puţie cuvite. cuvite . Dar dacă vă veţ veţ ocupa de aceast ace astăă pro pro  beă, veti obser obs erva va că că toate soutiie s outiie au ceva comu  ce puţi 'u cuvît itermedia trebuie să coţiă două vocae.  ordie, demostati demostati teoea teoea  Nu doesc do esc să accept a ccept ovezi experimetae experimetae Nu mi pasă pas ă dacă dac ă aveţ aveţii o sută sut ă de s ouţii ouţii ş fiecae ditre ditre ee icude u cuv cuvît cu două voca voca  e. Nici dumeavoas dumeavo astră tră u veţ fi satisfăcut satisfăcut cu cu o astfe de dovadă, deoarece deo arece veţ avea setime se timetul tul îdo îdoie ieiiii dacă da că u cumva ati ratat ratat de puţi o secveţă cu cu adevăat adevăat igeioasă igeioa să care 'u icu de un astfel de cut P e de altă pate, probabil pro babil că veţi avea impesia cară că, îtru fe sau altu, teorea trebuie trebuie să s ă fie evi  evide detă" tă".. De D e acod, acod, dar de ce ? u acestea, dumeavoastră ati itrat îtro fază a exis existeţ teţee î î care care cei c ei mai mulţi mulţi mteaticie mteati cie îşi îşi petrec cea ai are parte parte a tipul tipului ui  fstraea fstraea  Ştiţi ce auaue veţi veţi să demos demo s taţi, cedeţi c edeţi î c eea ee a ce veţi să de de  ostrati os trati,, da da  u vedeti fiu fiull căăuzito căău zito al demostrademostra ţiei. Acesta Ace sta î îs eamă că vă lipseşte lipse şte o idee i deecheie cheie cae să facă o breşă bre şă deschizî des chizîd d o perspe per spectivă ctivă argă asupra asupra proble pro blemei mei.. tro cipă vă voi da u idiciu. Meditaţi asupra acestuia ace stuia cîte cîteva va momete mo mete şiş i pobabi că veţi trăi trăi faza faza mut mut mai îmbucuătoae di existet exist eta a matema mate ma ticiaului iumiarea Iată Iat ă idiciu idiciu Fiecae Fieca e cuvî cuvît t d d liba li ba egeză tre buie să coţ co ţă ă o vocală. vocală . E s t e u n ind indiciciu iu foate foate simplu. simplu . Ma M a  i, i, covngeţi covngeţivă vă sigur că este adevărat. (O examare a uui dicţoar este est e acceptabiă, cu codiţia să fie fie uu uu mare. mare . ) Apoi, exami examiat at cosecitee cosecitee  . .   regă, ori ori aţ ţees, ţees , oi v ă daţi b ătut. Oricare ar fi cazu, toţi matematicieii de profesie au trecut

 U  E  E O  U P Ă M A A  E M A A I  A

pin aşa ceva cu ulte dinte probleele lo. Iată cheia. ebuie ebuie să vă concentaţi pe ce c e anue li se înîntîpl tîplăă vocal voc alelo elo.. Vocalele Voca lele sînt sînt vî vîfuile de d e unţ unţii din din peisajul SIP/OCK, pietele piet ele de hota înt între re care care şepuiesc potecie deonstaţiei. deonstaţiei. n cuvîntul cuvîntul iniţial SHIP există o singuă singu ă vocaă, aflată aflată în cea c ea de d eaa teia poziţi poz iţiee Şi utiul cuvî cuvînt, nt, DOCK, ae tot o singu singuăă vocaă, da în cea dea de a doua doua pozi po ziţiţiee Cu îşi îşi schibă sch ibă vocala poziţia ? Ex Exisistătă tei tei posibilitţi pos ibilitţi Vo Vo cala poate săi dintun loc în ceăalt, ea poate ispăea cu totul, t otul, ca să s ă reapaă mai tîrzi tîrziu, u, oi, o i, o vocală voca lă sau ai ulte ul te p ot fi ceate ce ate,, ca ai apoi să fie eliminate. ea dea teia posibilitate conuce iect a eonsta ons taea ea teoeei. eoae  eoaece ce la o tansfo tansfoar aree se p o ate scba sc ba nuai nuai o singuă liteă, atunci, la o anu anu ită eapă, cuvîntul tebuie să se schibe tecînd de la o vo vocc ală, la două două vocal vo calee  uvî uvînt ntul ul nu nu poat po atee săi de la o vocală voca lă la tei tei vocale, vocale, de d e exepl exepluu  a ce c e se poate spune despe alte posibiităţ posibiităţii ? Indici Indiciul ul pe cae la l a dat dat adineaoi adine aoi spun spunee că singua vocală voc ală a lui SIP nu poate poat e să dispaă. Această obsev obs evaţi aţiee lasă la să nuai pia pia posibilitate totdeauna există o vocaă, da ea sae de la p oziţia 3 la poziţi po ziţiaa 2. a acest salt nu nu se s e poate p oate ealiealiza schibî sc hibînnd nua nuaii o singuă lieă ! ebuie să scib aţi cuvîntul, cuvîntul, întun întun singu singu pas p as,, de d e lal a vocala voc ala aflată aflată în p oziţia 3 şi conso co nsoana ana în poziţia po ziţia 2, la vocala voc ala pe poziţi po ziţiaa 2 şi cons c onsoana oana pe poziţi p oziţiaa 3.3. a aceasta ac easta înseană înseană că işcaea işca ea ipli iplică că schibaea schibaea a două litee, ceea c eea ce este  \ după ilegal Q EE \ după cu spunea Euclid. Eu clid. t  Qo Q o d rt rt dmontrnd dmontrndm, m, ceea ceea c e era era de demonstrat de monstrat (în a tnă) ormuă ormu ă tradţonaă de încheere a demonstraţlor în geo

5

54

NUMEEE NATU

Un maemat ma ematici ician an a a fi scis scis demnsta dem nstatia tia înt întun un sti st i mu mai fma, după modeu mo deu din maua mauae,e, da u u  cu cu impan impan este e ste să naezi  pvesi pves ie e cnvin c nvingăta găta-re Ca rice pvestie pve stie bună, aceasta ae a e un înc eput şi u n sfsfîşit, şi t, ca c a şi  acţiune ca c aee e duce de a un capăt ca păt a cea, cea, fără fără ca să s ă apară vreun vreun fe fe de d e fisui fisui ogi o gice ce Chia dacă dacă acest ace st exempu ese es e fae fae simpu, simpu, nefiind dec de c unu unu bişnuit de maematică, e iustr iustrea ează ză bine bin e caraceis eis icie esen es enţiae ţiae ae unei demnstaţii demnstaţii  în în paticu aar,r, difeenţa esenţiaă es enţiaă dintre dintre un argument argument cae ese e se au au  enic cnv c nvingăt ingăt  şişi un agumen susţinut mai mai mut mu t prin gestui gestui şi care pae pauzibi, chia chiarr dacă, dac ă, în reai ate, at e, nu stă în piciae. pici ae. Spe, de asemenea, asemenea , că exempu de mai sus va da  idee despe tăiie emţi em ţinae nae ae maematician maematic ianu uui ui de ceatie  fus fusa aea ea esimtită esim tită fată fată de dificutatea abdăii unei prbeme ca păa uşaă, uş aă, avîn avînu u din momentu mom entu iuminăii, iuminăii, suspi su spiciu ciunea nea de pe pacusu contului sidităţii gice a agumene, satisfacţia satisfacţ ia estetică este tică din cipa în cae aţi decis că ideea idee a ese es e cu adevăat ad evăat vaabiă si în cae ati eaizat ea izat cît de car c ar sa tasat dmu demstaţiei demstaţ iei pitre pitre tate ta te cmpicaţiie cmpicaţiie vizib vizibie ie Exac Exac aşa aată aată matematica mate matica de ceaţie  numai că ea ae un biect de sdiu mut mut ai ses Demn De mnsaţiie saţiie tebuie să fie fie cnvingătae cnvingăt ae penu pe nu a fi acceptate de maematicieni. Au exisat mue ca zui zui în care dvezi numeice numeice exensi exensive ve sugerau su gerau un ăsăs puns puns cmpet c mpet greşi greşi  Un exempu ceebu ceeb u priveşe nu  eee pime  acee nuee ca c aee nu nu au ai divizoi divizoi decî decî pe ee însee însee şi pe 1 Şiu numere prime începe începe astfe 2, 3, 5, 7, 11, 13, 1 nes fîsi. si . 1 , 19 si cntinuă a nesf Î n afaă afaă de 2 , tae numere umereee pme sîn sîntt impae, iar u meree meree pime pime impe impe fac pae din din duă case cas e  cee cee cae n ega un mutipu de pa

 U  E  E O  U P M AT A T E M AT   A

f 3 , 7 , 11, 19) ş i cele care sînt sînt ega e gaee cu un u n utipu utipu de patr pus unu (cu ( cu ar ff 5  13, 17) Dacă Dac ă parcurgeţ şru şru nuerelor nuerelo r pre pre şi soc so c otiţ cîte dntre ee ntră în fecare casă, c asă, veţ observ ob servaa că totdeauna totdeaun a par să s ă fie ma ma mute în clasa cla sa nus unu" decît decît în casa pus unu" unu " . De exepu, în în sta preor şa ş apte nuere pre de ma sus, su s, în pra cas c asăă sînt sînt patru patru numere, dar numa tre tre în cea de d eaa doua Această caracte caracterstică rstică persstă pe rsstă pentru pentru nuere pînă pînă a cel puţ pu ţnn un trion ş par p aree com pet rezonab ca ea să fe totdeauna adevărată. Ş totuş, ea nu este adevăra adevărată tă Prn etode eto de ndrecte, ateatcien ateatcien spe s pecaşt caşt în teora nuereo au deonstrat că, atunc cînd numeele pre devin destul de mari, caracterstica se schibă schib ă, ar clasa utpu de patru patru pus unu" unu " prea conduceea. conducee a. Pa deonstraţe a acest aces tu fapt a funcfunctonat atunc cînd nueel nu eelee au devent ai ar decî de cîtt pen t a evit evitaa suprasoc supras octae taeaa O#0#10#0#46 unde, pent prante, prante, a utlzat senu s enu # ca sen se n al rdcăr a putee . Acest Ace st nuăr este cu adevărat adevărat ggantc. ggan tc. Scrs Scrs coplet, nuăl ar f  0000 .... .. .. 000 cu un nuăr extre de are de zerouri zerour i Dac D acăă toată ateria dn unve unversrs sa transfora în rte, ar în fecare eectron sar scre te te un zero, nar ajunge electron c ăcar pentru o că fractune dn nuău necesar de zerouri*. Nc Nc un nu nurr de d ovez experentae experentae nu este est e su fcient pentru a da seaă sea ă de posbltatea p osbltatea unor excepţi excepţi atît atît de rare, rare, dacă dacă este es te nevoe nevo e de nu nuere ere atît atît de ar pentru a e oca o caza za Dn nefercre, chiar ş excepţie exce pţie f; Număru tota to ta de eectron dn d n unve unvers rs este este de   a puterea 84 Număru de cfre de zero dn  la putrea  a utra  a puterea  a puterea 46 este de  a puterea  a puterea 1 0 a puterea 46 Or utm do exponenţ dau deja o putere cu 46 de

55

5

NUMEEE NATUII

rare rare conte c ontează ază în matematică matemat ică n viaţ viaţaa obiş ob işnuită, nuită, ne sin chisim foarte rar de ucrur ucrur care se petrec o dată dat ă a un triion triion de ocazii Vă temeti oare să s ă fiti lovti de un un meme teorit ? Acest ghinion hinion a a probabili atea  e unu a un trilion trilion..  ar matematica îşi aşază raţio raţionamentee namentee ogice unu peste ceăat ş, dacă vreun pas este greşit, atunci întregu edfic edficiu iu se poate p oate nărui nărui.. acă ac ă aţi afir afir-mat ca despre un fapt adevărat c toate numeree se comport comp ort întrun întrun anumt anumt fe fe şi există exact unu unu singur care care face excepţie, exce pţie, atunci atunci aţi greşit şi tot to t ceea ce ea ce aţi constr cons truit uit pe baza aceei afr afrmaţ maţiiii incor incorecte ecte cade pradă îndoieii Pînă Pînă şi ce ce  ma ma buni matematicieni au pretins ocazioocaz iona c au demonstrat ceva cae mai tîziu sa dovedit a nu fi corect corec t  fie că demonstratia demons tratia avea vreo acună subtiă, su btiă, sau se descoper desc operea ea o geşeă simpă simp ă de cacu ori, din inadvertenă, inadvertenă, se s e accepta acc epta o premisă prem isă care nu nu era atît de s oidă cîcît se imaginase. imaginas e. Astfe, Astfe , dea d ea ungu ungu secosec oeor, matematicieni m atematicieniii ss  au deprins să fie extrem extrem de citic fat de demonstrat demons tratiiii.. eons e onstratiie tratiie tes te s str s trîîns uzeaa  atematicii atematicii şiş i d că un singur fr es e s e sab, toată pînza pînza se poate p oate destrăma des trăma

CAITUL 

onstantele schimbăii

 e  a lungu lungull ultor secole, s ecole, gîndea uană despre natură a osclat înte două puncte de vedere opuse onor unua dnte acestea, unversul se supune unor leg l eg xe, xe, uable, uable, to totul tul exstînd exstînd într întroo realtate bne dentă, d entă, obe ob e ctvă unctul de vedere ved ere opus afr afr ă că o aseene ase eneaa realtate obectvă nu exstă exstă  totul este o curgere, o schbare Aşa cu spunea flozo ul grec gr ec Hera He raclt clt Nu poţ ntra ntra de două do uă or în acelaş acelaş rîu" ezvotarea ştnţe a fost donată pînă acu de prul punct de vedere vedere ar exs exs tă semnale se mnale tot ma frecvente rec vente că undalul undalul cultural predonant pred onant încep începee să se înclne înclne către cel deal dea l doea punct punct de vedere veder e Modur de gîndre gîndre atît atît de derte între între ele el e ca pos p ostmo tmoder der n s mul, curent curentul ul cb c b erpunk erpunk ş ee ora haosulu haos ulu perturbă pretnsa obectvtate a realtăţ ş redeschd dsputa meorală despre legle mua mualele ş schmbare schmb are flex flex blă Lucrul Lucru l de care ave cu cu adevărat adevărat nevoe acum este est e s ă eş cu totul dn acest joc j oc nutl. nutl. Ave nevoe de o cale de retragere dnantea acestor două puncte de vedere opuse  nu atî atîtt să căută o snteă snte ă a lor, cîcît să le vede pe aîndouă ca pe nşte ubre ae une

5

NMEEE NA

eatăţ de de rdn superor  umbre care care dieră numai numai pent pe ntru ru că realtatea realtat ea de rdn super super  este văzută văzută dn duă drecţi drecţi derte derte Dar există are  aste de realtate de dn dn superr, super r, ar dacă ac ac east ea staa există, este ea are are accesibă accesibă ? Pent P entu ulţ ulţ ameni  în specia pentru amen amen de ştnţă  Isaa Is aacc Newtn Newtn repezintă repezintă tri tri umul umul raţun raţunii asupra mistcismuui mis tcismuui n cunsc cun scutul utul său eseu, Newton omul asul asul ecnm ec nmstst Jhn May nards nards Keynes Ke ynes vede aceste aces te lucu lucurr în md derit : începnd cu secolul al optsprezecelea, Nwton a fost considerat considerat primul primul şi cel ce l m a i mare mare om de ştii ş tiinţă nţă a l pocii modern, mod ern, ca unul car nn -aa nvă nvăţa ţatt să s ă gnm n n mo ra ţional, rce şi pur. pur . Eu nul nu l văd  acastă luină. Eu nu nu cre că vrunul dintre cei car au umblat  conţinutul lăzii n n car el şia pus pu s lucurile aunc cn a părăsit părăsi t pen tru totdauna Cambrigul n 19 ş care a ajuns  deşi deş i nu n ntregime ntregime  pnă pnă la noi, noi, lar l ar puta vedea ast a st fel Newton nu a fost primul om e ştţă din epoca raţiuni El a fost ultimul magician, ultiul bablonian sau sumerian, sumerian, ultimul mare spirt car a pvit spre lumea lu mea izibilă şi spr ca intlectuală cu aceiaşi ochi ca ai stră moşilor noştri care au nceput să ntemze moştenirea noastră intelectuală acum aproape 1 0 000 e ani. Isaac ewton, copil născut fără tată n ziua e răciun a anu lui 142 a fost fost ultimul copil minune căruia Magi Ma giii i s ar fi puut nchina sincer şi pe deplin meritat

eynes ey nes ăcea aluzie aluzie a personalitatea p ersonalitatea lui Newtn New tn ş la nteresul nteresul său pent alchmie alchmie ş relige, la el e l ca ş penpe ntu mateatcă şi zcă Dar în matemati mate matica ca lui lui New New n găsm găsm şi primul primul pas semniic s emniicat atvv căte  c ncepţie despre ume care transcende şi uneşte legea rgdă ş curgerea schmbătare Univesu putea să pară un

 O N  A A N  E  E S  H  M B Ă   

ocean oc ean bîntut bîntut de furt furtun un a l e schmbărlor, da d a r Newton Newton  ş, înantea înantea lu, Gal G alleleoo ş Kepler, Kepler, ggan gganţ ţ pe ume ume cărora cărora acesta s s  a rd rdcat cat  au înţees că c ă schbăr schb ăree se supun supun unor regul. re gul. Nu num numaa că legea lege a ş curgerea cur gerea pot po t coexsta, dar legea lege a geerează curgerea. Şnţele Şnţele ncpente despre haos şş  complextate ofer oferăă trecerea trec erea nversă nversă,, de la curgere lala ege, prma gener ge nerîîndo d o pe cea dea doua. doua . ar aceasta este o altă povese, povese, re zervată captolulu fnal. Pînă Pînă la Newton, matematca a ofert un mode mo de în în esenţă es enţă statc al natur. natur. Exstă pţne pţne excepţ, excepţ , cea ce a ma evdentă fnd teora lu Ptoemeu despre despre mşcarea mşc area pla netară, teore care reproducea cu mare acurateţe schmbăr schmb ărlele obs ob s ervate, ervate, folosn folos ndd pentru pentru aceasta un ss tem de cercur care se roteau în jurul centrelor lor, acest ac estea ea dn urmă fn fndd fxat fxatee şş ele pe nşte ce c e rcur rcur rot toare, toa re, ca c a nşte nşt e roţ în roţ în alte roţ. roţ . ar,  ar, pe vremea vre mea u Ptolemeu, msunea asumată de matematcă era descopere desc opereaa catalogu cata logulu lu for  formelor melor dale" fooste de natură. natură . ercul erc ul era consderat consderat cea ma desăv des ăvîîrştă rşt ă formă formă posblă, pos blă, pornn p ornndd de la observaţ ob servaţaa democrat dem ocratcă că p otr otr vt cărea ff ecare eca re punct de pe p e crcumfer crcumfernţa nţa unu cerc se află află la aceea a ceeaşş dstanţă ds tanţă faţă faţă de centru. Natura, creaţe creaţe a fnţ fnţee supreme, suprem e, este, est e, prn defn defnţe, ţe, pef p efee ctă, ar for for mele mele deale deal e reprezntă perfecţunea perfecţunea mate ma temat matcă, că, aşa dar, cele două dou ă categor cate gor de perfeţu perfeţun n merg, desgu des gur,r, împreună Iar perfecţunea nu putea f concepută ca alterablă alterablă prn schmbae. s chmbae. Kepler a modf mo dfcat cat acest aces t punct punct de de vedere descope desc ope rnd rnd eps epsaa ca c a traectore în ocul oc ul sstemulu ss temulu complex al cercurlor. cercurl or. Newt N ewton on a înlătur înlăturatat toate traec tra ecto tore, re, în în ocund formele cu legle care e dau naştee.

59

60

NUMEEE NATU

esi esi consecin cons ecintee tee acesteia ac esteia sînt sînt iense, etoda foosită de Newt Newt pentru stu s tudiu diu işcării este est e una sisi pă pă  Ea poate poa te fi iust iustrată rată foosind işcarea unui unui proiecti, aşa cu este buzu buzu  tras de d e tun tun sub un unghi unghi faţă de orizontaă Gaieo descop des coperise erise experie experienta nta că că tra iectoria unui unui astfe de proiecti este o paraboă, o curbă cunoscută încă de vechii greci şi egată de eipsă n acest caz, paraboa seaănă cu itera U răsturnată Traiector Traiectoriaia paraboică poate p oate fi ce ai uşr u şr înţeeasă înţeeasă descopunînd işcarea proiectiuui în două co ponente po nente independente independente  işcarea iş carea după după direcţia rizon rizon-taă ta ă şi işcarea după direcţia verticaă Refecnd Refecnd sepa rat a aceste două do uă feu feuriri de işcare işc are şi recopun re copunîn îndu duee nua nuaii după du pă ce fiecare fiecare dintre dintre ee e e a fost înţeeasă înţeeasă pe p e ded epin, pute vedea de ce traiectoria trebuie să fie o paraboă Mişcarea Miş carea priectiuui priectiuui în direcţia direcţia orizontaă, parap araeă cu cu sou s ou,, este foarte foarte sipă  ea se desfă de sfăşş oară cu viteză constantă cons tantă Miscarea Mis carea în direct directiaia verticaă este ai interesantă interesantă Ea încpe încpe destu de stu de rpede ped e în în sus, su s, poi în cetineş ce tineştete,, pînă pînă cînd, cînd, pentru o cipă, proi pr oiect ectiu iu pare să răîn răînăă neişcat neiş cat în aer, aer, după după care c are încep nc epee să cadă, cadă, ai întî întîii încet nc et,, api prinzî p rinzînd nd viteză t ttt ai are are  Newton Newton a înţees înţees că, deşi deş i pziţia p ziţia proiectiu proie ctiuui ui se o  o difică trun d d destu des tu de copex, viteza ui ui se se schi bă întrun fe ut ai sipu, iar acceeraţia, cu adevăra vă ratt în du ce ai a i sipu sipu  Fira Fi ra  prezintă reaţiie dintre aceste trei funcţii în exepu care urează u scop sc op iustrati iustrativ,v, să s ă pre presupune supune că viteza viteza iniţiaă pe direcţia verticaă este de cincizeci de etri pe secundă (50 m/s m/s )  Atunci, înăţiea înăţiea proiectiu proie ctiuui ui faţă faţă de s a inte interv rvaaee de o secundă secundă este 

C O N  T T N T E E  E  C   M B  

':

' �

· TIMP -5

�

�� � u u 

.

. i

'o . TIMP

.10

-,:] igr .

ază matematică ntelesul turor Tre forme matematice deter năţme vteză şi acceeraţe Forma nate de un pe Newton a care o oseăm  mod natural este că forma vtezelor e mai simpl n vreme ce acceeratlor este ncă si ma simplă Cele două opera de ază ae azei matemce dvea � tegrarea ne permt să trecem de la una din aceste forme la orice . Putem astfe opera cu cea  smplă dintre ee, acceeraa şi deduce

6

62

NUMEEE NATUI

Din Din aceste ac este nume numere re pute puteţiţi vedea că proiectilu proie ctilu merge în sus încetineşte aproape de punctul culminant şi apoi ap oi cobo co boară. ară. Dar comportarea generală generală a proiectilului nu este es te atît atît de evidentă eviden tă Dificultatea a fost fos t înteleasă întelea să în în timpul lu lui Galileo Galil eo  şi cu adevărat adevărat n tipul lui Newto Newtonn  deoarece aceste aces te mărimi mărimi erau erau greu de mă surat direct n practică practică Galileo Galile o a rostogolit rosto golit o bilă bil ă lent în sus pe un pan înclinat pent a ncetini întregul proces proces  Problema Proble ma cea mai dific dificilă ilă era era să măso mă soar aree corect timpul istoricul Stillman Drae a sugerat că proba bil Galileo fredona melodii divizînd tempoul în minte asa cum fac muzicienii C omportarea omportarea distaţelor distaţelor este o problem probl em compi cată cată  în în schimb comportar com portarea ea vitezelor este es te mult mai clară Proiectil Proiec tilul ul porneşte n sus cu vite viteza za de 5 0 msec. O secundă mai trziu viteza scade la (aproximativ) 40 sec sec  după încă încă o secundă secundă aceas aceastata devine devine 30 msec apoi 20 sec 1 0 sec şi O msec (staţi (s taţionea onează ză)) O secundă mai trz trziu iu viteza vit eza est e stee de  0 /sec în jo. Folosind numere negative negative pute pute  concep con cepee acest ace st fapt fapt ca pe o viteză în sus su s de 10 ms ec ec n secundele succesive vi teza îşi contu contu modul de vaae vaae  20 sec 30 sec 40 m/sec 50 m/s m/s ec n acest moment proiectil proiectilul ul loveste soul. Asadar secventa vitezelor măsurate la   iterva itervaee de o secundă secundă este  5 0, 40, 4 0, 3 0, 2 0, 10, 1 0, O  10, 20, 3 3 0, 40 4 0 5 5 0

Aici exstă o regularitate care cu greu poate trece neobservată dar să mai facem un pas examinnd acceleraţile acceleraţile  Dacă D acă folosim din nou nou nume numerele rele nega ne gativ tivee pentru a descrie mişcarea în jos secvenţa corespun zătoare a acceleraţiilor a cceleraţiilor proiecti proie ctilulu luluii de tun este

C O N  TA TA N T E  E  C   M BĂ   

Veţ f de acord, cred, că c ă regula regula este es te ac foarte smplă Guleaua este supusă supus ă une acceleraţ acceleraţ constane con stane îndreptate în jos, egală cu  0 metr pe secundă la părat ( (  fr fra exactă este de crca 98 mer pe secund s ecundăă la părat, depnz dep nzîn îndd de locul de d e pe pămînt unde se face experenţa expere nţa ar  ar cfra cfra  0 este es te ma uşor uşor de ţnut ţnut mnte mnte)) um putem explca această consantă care se ascunde prntr prntree varablele dnamce ? înd înd toate toa te celecele lalte mărm se s e scmbă, s cmbă, de ce acceleraţa acceleraţa ram ramîn înee constană ? Explcaţa Explcaţa care urmează are două elemente de nteres nteres Prmul Prmul este est e că Pămn Pămntu tull trebue trebue să s ă atragă proectlul ectlul în în j os ; exstă exstă dec o forţă grav gravta taţonală ţonală care acţonează asupra proec proecllulu ulu Este rezonabl rezon abl să s ă presupune supune  că aceas ac easăă fă fă răî răîne ne aceeaş ace eaş la dferte ălnradevă nrad evăr,r, no sm greu greu ţm ţm deasupra deasu pra tatea deoar de oarece gravtaţa rage în j os corpul c orpul no noss ru, ru, ar no cînăr cînărm la fel ş pe p e vîr vîrul ul unu unu bl oc înalt înalt  esgur es gur că aces ac es t apel la obse ob serrvaţa dn vaţa vaţa de  eca re z nu nu ne ne spune nmc dn ce se întplă dacă dstana devne foae foae mare mare  să zcem  de la Păt Păt la Lună Aceasta ese o altă p oveste la care ne n e vom întoarce toar ce curî curînd el deal dolea elemen al explcaţe reprezntă adevăraul adevăraul progres progres  Un corp care se s e mşcă sub su b nf nfluenţa enţ a une forţe forţ e consta const ante îndre îndreptat ptatee în j os are o accelea cceleraţe constant cons tantăă în aceeaş aceeaş  drecţe drec ţe Pentru Pentru o a bună argume argumentaţe, ntaţe, să s ă presupunem că atracţa gravtaţe gravtaţe ar f mult mult ma ma puterncă  ne aşteptăm aştept ăm ca ş accel ac celeraţa eraţa în jos să fe ş ea mult ma mare Fără să ajungem pe o ' Acet Ace t fapt ete adevărat nua aproxmatv ş ş  nua pentu năţm reatv c. Pe unu Effe zece tone perd greutatea unu kogram pe concagua tona perde aceeaş gretate ar a înăţmea de 6 3 km greutatea unu obect cade a jumătate. Raţonamentee autolu nu nt nvadate nă de varaţe foar

6

6

NUMEEE NATU

panetă mare, ca Jupiter nu putem veriica această idee, dar ea pare reznabiă, reznab iă, la e ca presupunerea că pe Jupiter acceeraţia acce eraţia în j s este tt t t  cnsantă, cn santă, dar una die dieriritătă de cea terestră ea mai ma i simpă sim pă terie cnsistentă cu aces amest a mestec ec de experie experiente nte reale şi expeexperimente rimente cnceptuale cnceptual e stipuează că, atunci cînd  rţă acţinează asupra unui crp crp acesuia i se s e imprimă  acceeraţie acce eraţie prprinală cu cu rţa respecivă, resp ecivă, ceea ce ea ce cnstitui cns tituiee esenţa es enţa egi e giii de miş miş care care a ui ui Newtn Singurele ingrediente care ipsesc sînt presupunerea că apee apee desc d escrrise is e sînt sînt vaabi va abilele înttdeauna, nttd eauna, pentr p entruu ae crpurie crpurie şi pent pe nt tate rţee, rţ ee, indieren indieren dacă rţee sîn cnstante c nstante sau sa u variabie şi airmaţia airmaţia ptriv p trivitit căreia cnstana cn stana de prprţinalita prp rţinalitaee dintre orţă şi accele ac cele-raţie raţie ese legată le gată de masa m asa crpului crpului ai precis, preci s, egea eg ea de mişcare mişcar e a ui ui Newn stipulează s tipulează că masa x acceleraia = rţa Asta e aree meri ese valabilitaea rmulei pent pent  ric siste sis te de ase şi re, re, inclusiv penr penru acele ac eleaa care care se scimbă sc imbă în în tip Nu a puut să să an an icipăm valabili valabiliate ateaa universal universalăă a egii egii din argumentele care care neau cndus la rulare rulareaa ei, dar asa asa a rezuta ea Newtn Newtn a rmulat rei egi e gi de mişcre, mişc re, dar punctu de vedere mdern e cncepe ca pe rei aspecte ale unei singure ecuaţii matemat mate maticicee Vm V m olsi prin ur mare sintagma leg  legea ea newtnian newtnianăă de mişcare" mişcare " penru penru a ne ne reeri la ate cee c ee trei tr ei egi e gi ointa irească a cătărătui ala în ata unui munte ese să cucereas cucereas  ă  drina drina irească irea scă a atematicianu ticianuui ui ala alatt în ata ata unei ecuatii ese s s  o rezve rez ve ar cum ? înd îndu usese maa ma a crpu crpuui ui i rţele care acţinea ză asupra ui, ui, puem cu uşurnţă uşurn ţă rezlva rez lva ecuaţia ecu aţia şi bccel uui

 O N  TA TA N T E  E   H  M B Ă  

sul prob pr obleleme me Faptu că ştm acc acc eleraţa eleraţa proec pro ectl tlulu ulu,, de 10 etr pe se s e cundă la pătrat, nu nu ne spune sp une nmc despre des pre forma forma traectore traect ore acestua acest ua Ac ntervne o ra mură a mateatc mateatc cunoscută cunos cută sub num numele ele de anază, anază, nventaă toca p enru enru această aceast ă probleă prob leă de Newton ( ş de d e Lebnz L ebnz))  Anal Analza za oferă oferă o tehncă, tehncă, nută nută asăz asăz nte nte grare, grare, care ne perm p ermtete să s ă trecem trecem de la cunoaşterea cunoaş terea acceeraţe acc eeraţe în în orce orc e moment, mom ent, a cunoaşerea cunoaş erea vteze v teze în în orce moment Repetînd acelaş truc, pute trece la cunoaşterea cunoaştere a p o zţe în orce moment moment Iar acesta aces ta este răspusul căutat Aşa cum a a  afrmat, afrmat, vteza reprezntă reprezn tă rata schmbăr pozţe ar acceleraa, rata schmbăr vteze Anaza Ana za este est e o schemă sch emă matematcă nventaă pent pe ntru ru a manpula problemele legate de ratele schbăr n partcular, partcular, ea e a oferă o tehncă pent  găi ratele ratele schschbăr  o tehn tehncă că cunoscuă sub numele numele de dferente dferentere re Integrar Inte grarea ea reface  reface"" efectele ferenţe ferenţer, r, ar ne ne grînd de două do uă or, or, se s e refac efectele efectel e a două dfere dferenţ nţer er La fel fel ca cee două eţe ale zeulu roman roman Ian Ianus, us, aceste ace ste două tenc de calcul geene ntes ntescc în drecţ drecţ opuse Ele v spun spu n că, şnd şn d în orce o omen men una ( orc or care are)) dndn tre func funcţţllee  pozţ po zţe, e, vteză sau acceleraţ acceleraţee  le puteţ puteţ obţne pe pe celelalte două dou ă Legea Legea newtonană a mişcăr ne nv nvaaăă o lecţ le cţee portantă, ş anue că drumul de la egea natur la comportarea natur nu rebue neapărat să fe nc drect, nc evdent ntr ntree comp c omportarea ortarea pe care care o ob o b s ervăm ervăm ş lgle care o produc exsă o crevasă pe care sprul uman o poae trece numa prn calcule matemace ele de ma sus nu n u vor să sugereze sugereze că natura natu ra ete m a tematcă s că  asa cum a afr afrma matt fzca fzcannul Paul Pau l rac   mneze  este matemat matematccaan" n" Poate Poat e că for for

65

66

NUMEELE NATU

din urmă, matematica este o cale extrem de eficace pentru pentru fiinţele umane de a le aborda abo rda Toate lel e gile gile fizicii fizicii care au a u fost des d esco coperite perite urîn urîndd ideea ide ea de bază b ază a lui Nw Nwo on, n, confor căreia schimbasc himbarea în natură poate fi des de scrisă prin procese matematimate matice, exact aşa cum cu m fora în natură natură poate fi descrisă des crisă prin obieiece ob ce atematice, au un caracter asem as emănăor ănăor Legile L egile sînt sînt formuate formuate ca ecuaţii ec uaţii care leagă lea gă între ele nu mărimile fizice fizice importante, ci viteze vite zelele cu care acest ace stee mărim mărimii s e schimbă î timp timp De exeplu exeplu,,  ecuaţia căldur căldurii" ii",, care care determină de termină modul de difuzie difuzie a cădu c ădurii rii printrun conco nductor, impică numai rata schibării temperaturii corpului iar iar ecuaţia  ecuaţia de undă", undă" , care guvernează guvernează mişmiş s e referă referă carea undelor în ap, aer s au alte nuai la rata schibării ratei schiării înăltimii undei unde i Legile Le gile fizice fizice ale luini, suneului, electrici ăţii, magnetismu magnetis mulu lui,i, deforărilor deforărilor elastice ela stice ale materialelor, curgerii luidelor şi, des d esigur, igur, ale desfăşurări des făşurăriii reacţiilor reacţiilo r chiice, sînt toate ecuaţii pentru dierite rate ale schibării Deoarece De oarece rata schimbării se referă referă la diferenta diferenta dindintre o anumită canitate canitate în în oenl oen l de ată sis i ceeasi cantitate o clipă clipă mai tîr tîrziu, ziu, ecuaţiile ecu aţiile de ace  t fel se necuaţii derenţ eren ţle le Termenul dferenţiere" are esc ecuaţii aceeaşi acee aşi origine origine De la Newton încoa încoace, ce, sraegia fizicii fizicii maematice a fost ereu să descrie universul în terenii ecuaţiilor diferenţiale diferenţiale şi apoi să le rezolv rez olvee   n connuare pen a ace dsncţe ne vea popu ă ş vea vea de chmb chmbae ae (de var vara aie ie)) a une măm măm oaecae oaecae vom vo m adop adopa a emen emenul ul auolu acela acela de "ra "raăă a schmbăr schmbăr  adcă chm baea măimi repective n untatea (foate mcă) de mp t) 'n' Incluv n vd n care se propagă undele elecromagnet ce Cuvntu Cuvntu cel ma potrivit potriv it ac (n loc lo c de " mate mateale ale) ) ar f f " me me

ONANEE H�MBĂ

Totuşi, pe p e măsură ce c e m  m urmt cest strtei strteiee î î dom do m eii di di ce î ce ma mai co c o mpicte, mpic te, îţees îţeesu u sitamei a reov"  suferit suferit scimbăr scimb ării maj maj ore. ore . La îcepu îceput,t, aceasta a implict găsire uei formue matemtice precise precis e care să descrie des crie ce fce sistemu sis temu î orice orice momet. me t. Atuci Atu ci cîcîd Newto a desc de scoperit operit o tă reuă importată imp ortată a tur turii, ii, ee rvit rvitiei, iei, e ss   bt pe o souţie so uţie de acest fe E  îceput cu cu desco des cope perire rire ui Keper, care stabiise că petee se s e mişcă mişcă dpă işte işte elipse, elips e, şi cu te te două rearităţi rearităţi matemtice matem tice remr cate tot t ot de acesta di urmă. Newto Newto  s îtrebt îtrebt ce ce fe de forţă forţă este acee ac ee care, cio cio îd îd asupr paetei, v produce triector triectoriaia sit de Kepler  e fpt, Newt Newto o  ers vers, de  comportare a legi, foosid u proces proc es de iducţie iducţie î î oc de uu deductiv. El  obi u asel as el un reulta reultatt foarte foarte frumos frumos.. Foa ecesară tre buie să fie îdrepată mereu către Sore şi trebie să descrea des crească scă pe ăsura îdepărt dep ărtări ăriii de Sore. Sor e. i mt, mt, descreşerea des creşerea trebuie să se supuă supuă uei legi legi sipe si pe mmpătrratului. atul ui. Aceasta teatice, legea legea inverului păt Aceas ta îseamă îseamă ă fora aţio aţ ioî îdd asupra asupra uei plaete pla ete aflt afltee  o disdis taă, să icem, dubă, scade sca de de două ori, ori,  o distţ triplă, de ouă ori ori şi şa mi departe departe e  e l acestă des coperire cop erire  care care era atît de frum frumo osă să îc îcîî ascde asc de cu s i guraţă u adevr profud despre despre tură  rămîe rămîeaa umai u mic ps ps pîă pîă a îţeege îţe egere re faptuui că SoaSoa rele este est e ce care ca re produce produ ce î primu primu rî rîd această aceast ă forţă. forţă. Soarele Soa rele atrage plaeta, plaeta, dar atracţia atracţia este ai a i sabă sab ă dac plae ese mi m i departe depa rte Era Er a o idee foarte trăător trăătore,e, iar Newto Newto  a făct făct  ps uriaş : el a prespus că acelaşi laş i tip tip de foă fo ă atr atrcti ctivă vă trebuie să existe îtr îtree oric oricee două două corpuri, peste tot î ivers. După ce  idus" ee forţ u  r

67

6

N  M E  E L E N A A    

mentuui deducînd geometri geo metriaa miş miş cării cării panetare p anetare E a rezolvat ecuaţiie date date de legie sale ale işcări iş căriii şi gravtaţiei pentru un siste sis te  de două corpuri corpuri care se atrag cu respe res pectarea ctarea egii e gii inversuui pătratuu pătratuu;; în acel tip a rezova" îns îns ena găsirea unei unei form formule ule ateatce ateat ce pentru pentru işcarea celor celo r două corpur corpur Forua Fo rua arăta arăta că ambee corpuri se mişcă dup nişte elipse în juru centrulu centruluii comun de masă ma să n timp ce Marte se işc  işcăă pe o eipsă gigantică în jur ju ru Soareui Soareui aces a cesta ta dn urmă se mişcă la rîndul său pe o atît de mică încît Soarele are mişcarea îiîi rămîne nedetec tată o masă atît atît de mare în co paraţie cu M arte art e încît cencentrul or comun de masă se afă sub suprafaţa soară ceea ce expică expică de ce c e Kepler K epler a crezut crezut că M arte arte se s e işcă işc ă pe o epsă în jul Soarelui S oarelui staţonar ar atunc atunc cînd cînd Newton ş succesor succes or lu au încerîncercat să s ă extindă extindă acest ace st succ s ucces es rezovî rezovînd ecuaţiie pent pe ntru ru un sste s ste de trei s au ai ai multe multe corpur corpur  cu ar f Luna/Păîn Luna/Păîntu tul/S l/Soa oarel relee s au întregul întregul Siste Sis te  Soar So ar   e s  au izbit izbit de de dficută dficută tehnce din care care au putut eş e ş nuai nuai modifcî modifcînd nd înţeesu înţee su cuvî cuvîntulu ntulu a  a rezova rez ova""  Ei Ei nau n au reuşt reuşt să găsea găs easc scăă foru forulele care să s ă rezove rezove exact ecuata astfel că au încetat să e ma caute n ocul  acest ora e au încercat să afe căi pent cacuarea unor uno r vaori vaori aproxiative aproxiative ae numerelor  e exepu exepu în juru anului 18 60 hares Eu60 astronomul francez haresEugene eaun e aunay ay a umplut o carte întreagă ntreag ă exclusv cu aproxmaţa mşcăr mşc ăr Lun sub nfluenţa atracţe gra vtaţonale a Păîntuu şi Soareu Soareu Era E ra o aproximaţe aproxima ţe extre de aborioasă aborioas ă  otv pent pent care a ş umput umput cu ea o carte întreagă  scrisă sc risă în douăzec douăzec  de ani înd înd în 1970, aproximaţia a ui eauna e aunayy a fost fos t verifcată verifcată cu

 O N  A A N T E  E S    M B   

  un computer computer ccuee u necesitt mi mut de duăeci eci de ore ore  Num Numii trei trei greşei greş ei u u fost fost desc des c operie op erie nici un un seosă seo să işcre iş cre siste sis temu muui ui Lună/Păm Lună/Pămîînt/Sore este es te considertă o probemă prob emă  tre trei corp c orpur urii  şi cest ces t din din motive tive evidente   ese tît tît de diferită diferită de prob pr obeem m simptică şi cră  ceor ce or două corpuri reovtă reovtă de Newton Newton că r fi putut forte bine fi inventă inventă pe o tă pnetă pn etă  întro tă gxie su inrun t univers. Probem ceor trei corpuri corpuri constă c onstă în căutre souţiei ecuţiior cre escriu mişcre  trei ms supuse egii grvi tţiei  inversuui inversuui pătrtuui pătrtuui)) . temtic  temticienii ienii u u în cerct de ungu secoeor să gsescă o stfe de souie souie dr u t pre pre  pţin succes în fră de proximţii c cee cee   ui ui Deuny De uny cre e vbiă numi în curi pticure cum este sisemu ună/Pă mînt mînt/So /Sore re.. Cir C ir şi ş ş nnumit probemă res res rîns îns ă  ceor trei corpuri în cre un corp re o msă tît de mică încît se pote consider că nu exercită de oc forţe forţe supr supr ceor ce orte te două dou ă s s  dov d ovedit edit bsou bs ou inr inr  tbiă. tbi ă. Aces A cest t  consti cons tiui ui primu primu indiciu indiciu coorm c oorm cărui cunoştere egior pote să nu fie suficien suficienăă pentru  îneege cum se comporă un sistem şi că nu întotdeun se pote umpe prăpsti cre desprte eg e gie de comport c omportre re.. n pofid pofid eforturior eforturior intense inten se nici cum cum  peste pe ste rei rei s ecoe după Newton nu vem încă încă un răspuns compet  probem ceor trei corpuri corpuri Ştim Ştim touşi de ce cestă probemă probemă este t de difi difici ci de reovt Probem Prob em  două dou ă corpuri este integrbiă" deorece egie conservării energiei şi e impusuui îi restrîng tît de mut so uţiie înc încîît cest c este e sînt sînt ob o bigte igte să s ă i  o formă mtemm temtică simpă n Ziong Xi de  Georgi

69

70

NUMEEE NATU

nstitute ns titute of Techooy Techooy a demonstrat ceea cee a ce mate maticienii bănuia bănuiauu de multă mul tă vreme : faptul că sistemul sis temul de trei corpu co rpuriri nu este interabi i nterabi.. ar e a făcut mult mult mai mut dovedid dovedid că un astfel de sis s istetem m poate po ate manimanifesta un fenomen straniu cuno cunoscut scut sub sub numel nu melee de di fuie u ie Arnod şi desco des copp erit pentru prima oară de V dimir Arnod Arnod de a Universitt Universittea ea de Stat din osc o scov ov în 19 64  ifuzia Arnod produce o derivă d erivă extrem de ent entăă e  etoare toare""   poiţiilor po iţiilor orbitae reative reative  eriva eriva nu este es te cu adevărat aeatoare aeat oare.. Ea repreint repr eintăă un tip tip de de comporta comp ortare re denumit denumit asas tăzi tăzi haos ce poate poat e fi descri des criss ca o comport co mportare are aparent întî întîmplăto mplătore re cu caue pur determste. Obse Ob serrva vaţiţi că această abordare abordare scmb sc mbăă din di n nou nou îne îne-lesul lesul noţiunii noţiunii de a reolva". reolva" . ai întîi întîi cuvntu cuvntu însemns emna a ăsi formula" formula" Apoi Apoi semnif s emnificaţia icaţia  s  a sc sc imbat imb at în a ăsi vaorile aproximative ale numerelor" La sfîrşit aceasta a ajus de fapt să însemne spunemi cum vor arăa solutii solutiie" e" . n oc de solu so lutii tii cantitati cantitative ve  noi căutăm solutii so lutii alitati alitative. ve. ntrun anme sens ceea  ce s e în înîmpă ar ată ca o retraere retraere : dacă se  se prea difi difi-cil de ăsit ăsit o formulă atunci se încearcă ncea rcă găsirea gă sirea unei aproximaţii; dacă aproximaţiile nu sîn accesibile atunci s e încea încearcă rcă o descriere des criere calitativă. Este Es te reşit însă însă  escri es criee ceastă c eastă devotre devotre ca pe o retrgere deoarece de oarece o atare schimbare sc himbare de semnificatie s emnificatie nea rlevat că în ca ul probemei ceor trei corpu corpui nu pot exista formue Putem dovedi că există aspecte aspect e calitative pe care o forformulă nu nu e poate poate cuprin cuprindde Căutarea unei formue  ast fe de robe ro beee este este ca şi cnd cnd ai căuta un cub de cuc. e ce oamenii vor mai întîi de tote o formuă? eoa e oarece rece în în timpurie timpurie de n nceput ae dinamicii aceas acea s ura modaitte de înţeee ce c e fel de

C O N  TA TA N  E  E  C H  M B Ă   

are oc. o c. ai tîr tîriu iu aceeaşi acee aşi informaţie putea fi dedusă din aproximaţii aproximaţii În iee noastre noa stre ea poate poat e fi obţinu ă din din teori te oriii cre aborde ab ordeaă aă direct şi precis aspectee asp ectee princi principa paee ae mişcării Aşa cum vom vedea în urmă urmă toaree capitoe această depasare către o teorie expici caitativă nu este o retrere ci un prores important. Pentru prima prima daă d aă înc epem să îne îneeem eem caracteri cara cteristic sticie ie naturii naturii în propriii ei termeni ter meni

71

CATLU 5

De la viori la videocasetofoane

Aş Aş cum cum m remrct  devenit obişnuit obi şnuit c mte mt e mtic să s ă fie seprtă în două subdiscipline subdiscipline distincte eticet eticetee memic pură pur ă şi mtemtic mtemtic plictă. Este E ste o sep s eprre rre cre ir i r fi ăpăci ăpăci pe mrii mri i mtemticie mtemticie  i i periodei clsice. Cr C r Friedr Friedric ic Guss de exemplu exemplu er cel mi fericit tunci cînd se fl în turnul de fildes l teoriei numerelo nume relorr nde nde se delect delec t cu frm frmee numer ice pur şişi simplu deorece ceste eru frumos frumosee şi pro voctore. El  numit teori numerelor numerelor rein  rein mte mte mticii" mticii" ir i r idee id ee poetică după după cre reinele sînt înt frfru  museti delic del ictete cre cre nusi nu si murdăresc m minile c cev folosi tor n er deprte de prte e spiritul spiritul lui. lui. Totuşi Tot uşi el  cl cult şi orbit orb it lui Ceres primul steroid ster oid des d escop coperit erit  L puin timp după descop des coperire erire lui lui Ceres C eres  trecut în sptele Sorelui fţă de Pămînt şi nu  mi putt fi observt. obs ervt. Fără clculre precisă  orbitei stronomii st ronomii n r mi fi fost cpbili să ăsescă ăse scă după cîte cîtev v luni luni cnd  redevenit viibil Dr numărul de observtii supr sup r steroidului ste roidului er tît tît de mic mic în înct ct meto me todel delee st st   drd rd de clculre c lculre  orbitel orbi telor or u u permiteu permit eu ob o b inere  Crs ar un damt damtu u d 70 km ş a fost fos t dscopr dscop rtt în 80

D E LA LA V I O R I LA LA V I D E O C S S E T  F O A N E

veulu veulu neces nec esar ar de preczi preczi e . Ca urmare, urmare, Gaus Ga usss a făcu făcutt cîeva novaţ porante, uee rămase î folosinţă pnă pnă astă as tă.. A fost fost o realiare de maestru, maes tru, c care şa cşgat celebratea. Obta lu Ceres na costtut sngra aplcae practcă a u Gauss : lu  se datoreadator ează, nt ntre re alte, alte , portante progrese progres e în domenul dom enul geogeo dee, tee te e graf grafee ş n ţeeg ţeegere ereaa manetsuu manet suuii . Pe vree vre eaa lu lu Gauss Gau ss era era p osb os b ca un om să ibă ib ă o cuprndere cuprndere destul de stul de bună bună a ntr ntreg egiiii matemat mat ematc c Deoa De oa rece, între tp, toate ramurile casce ale ş tiiţei au devenit dev enit atît atît de vaste va ste înc înctt inteectu inte ectu c unei perso per soane ane nu poae p oae să cunoa c unoască scă în în ntregme nic măca mă ca un singură de ele, trăm trăm acu n epoca specialtilor. sp ecialtilor. Laturile turile oganaorce ale maematici funcţi funcţione oneă ă mi bne bn e dacă oaen oa en se specalzeaă fe n doeile teot eorece ale unu subect, su bect, fe n cele pracce. pracce. Cu cei a a mult oae oa en n se s s ma ine cnd cnd lucrea luc reaă ă ntrunul sau ltu din ee ee două stlur, prefernţ prefernţee ee ndvduae  ndvduae tnd să accenuee aceasă dstncie. Dn nefericre, pent uea ue a din afră devne foare tenn să creadă crea dă c sngra pare utlă a mateatc este atematca apcat; la ura urme, exac aceasa pae să nice însuş nuel nuelee doenulu. doenulu. Presupuneea Presupuneea este es te corectă atunc atuncii cnd cnd se ajunge ju nge la enc enc ateatce stab st ablte lte : tott ceea to ce ea ce est e stee cu adevăr ade văra a foloso folo sorr sfîr sfîrşş es es  prn a fifi considerat cons iderat  aicat" icat " , indferent indferent car care iar i ar fifi fost fos t origi origi le le.. Da astfel se obne o agne foae dsorsonads orsonată a orignlo no atetic care are portanţă paccă paccă.. Idee Ide e bune st st ae, da ele vn cel puţn la fel de des de s dn reverle cu pve pve la stucura ntenă a maeatc ca si dn încercăre de a reova o anumită anumită problemă proble mă practc ractcă.ă. Acest Aces t capitol se ocpă c c studul de ca al uei uei astfe de proble pro bleme, me, a căre apca

7

74

N U M E R E L E N AT U R I I

bab il, a sc babil, sc i mbat lmea lm ea   care răim răim mai mult mu lt dect dect orice oric e altceva. altc eva. Est E stee o istorisi ist orisire re  care care aspec aspe cele ele pure pure şi aplicative aplic ative ale ale matematicii matema ticii se combiă co mbiă pentru a geera ceva de departe mai puteric şi mai capivat decît orice ar fi putut produce separat fiecae ditre cele două dou ă ramu ramuriri.. Ea îcepe o dată cu secolul se colul al XVI XVIlea, lea, porid porid de la problema corii corii vibrat vibratee de d e vioară. Deşi pare o problemă probl emă practică, pract ică, ea a fost studiată mai ales ca exerciţiu de rezolvare rez olvare a ecuaţi ecu aţiilo ilorr difereţiale, fără să aibă aibă ca c a scop sc op îmbuătăţirea îmbuătăţirea calităţii instrumetelor muicale. Imagiaţivă o coardă de vioară tinsă în liie dreaptă dreapt ă între două supo su porrur urii fixe fixe.. Ce se n nîmplă dacă ciupiţi coard co arda,a, trăgî trăgînd ndo o departe d eparte de poţia p oţia ei de liie dreapt dreaptăă şiş i apoi eliber eliberdo d o ? e ăsură ăsură ce trage trageţiţi de coardă, tesiuea tesiuea ei elasică elasică se măreşe ceea ce c e dă naştere unei forţe care trage coarda înapoi, spre poiţia ei iiţială. Atuci cîcîd o elib eliberaţ eraţi,i, coarda coarda cep cep să să accelacc elree sb s b acţie forţei forţei de tesiune, supundus supundusee legii de mişcare mişc are a lui Newto Newt o Cd Cd coarda co arda ajaj unge însă însă în poiţia po iţia de la cep cepu, u, ea se işcă iş că rapid rapid deoarec de oarecee a fost accelerată accel erată tot timpul, timpul, astfel că depăşe dep ăşeşt şt linia dreap dreap tă, tă, cotiu cot iuî îdd să se işe iş e  Acu ns ns ă, tes t esiuea iuea trage î direcţia opusă, îcetinid coarda pînă la oprire. Apoi, Apo i, toată toa tă povestea se rpă. Dacă nar n ar exista exista freca freca rea, coard co ard ar vibra ditr ditroo parte în înrrala ala la nesf nes fîrş îrş it. Aceasta este o descri des criere ere verbală verb ală plauiilă plauiilă;; ua din din tre misiuile misiuile teoriei mateaice mateaice ste  ste să deterine dete rine dacă dac ă scenaiul sc enaiul d ai sus este ine in e espe esp e ctat şi, n n ca afir afir mativ, săi elabore ela boree e detaliile, det aliile, aşa cu a fi forma dede scrisă de coardă  orice moet. Este o problemă complex, complex, deoarece deoarece acee a ceeaşi aşi coardă coardă poat poa t vibra  mul te felri diferite,  fucţie de modul  care a fost

D E LA LA V I O R I LA LA V I D E O C A  E  O F O A  E

rientele lor arăa arăauu că o coadă co adă vibrantă vibrantă poate po ate produce multe tonui tonui uicale difeite difeite Generatiile care au urat ur at au ntees ntees că nă nătie tieaa notei este e ste det de t rmiaă de fecventa viratiei cori cori  vitea cu cu care efectueaă işcaea işc aea d dute dute  vino vino  astf as tfelel că descoperir descop erirea ea gre grecici-ilo ne spune că o coardă poae vibra la ulte frecvenţe venţ e difeite difeite Fiecare Fiec are frecvenţă recve nţă corespunde corespu nde unei conconfiguaţii figuaţii diferite a corii co rii aflat aflatee n işcare, işcar e, deci aceea a ceeaşişi coardă co ardă p oate lua ulte fore diferite diferite ître ee e e Corile Co rile vibreaă vibreaă prea pre a epede pentu pentu ca oci iber să po p o ată vedea vreo foră foră instantanee, dar grecii grecii au găsit o dovadă iportantă că c ă o coardă c oardă poate vibra cu cu frecve frecvente nte difeite difeite  Ei E i au aătat că năltiea năltiea suetuui su etuui depind  de poiţia nodurlor  pun unte dea lu lungul ngul coii co ii care răîn răîn staţionae st aţionae Puteţ P uteţii veif veifica ica aces ac estt fapt fapt la o vio vi o aă un banjo banj o sau o citară cit ară Atunci cînd cînd o coardă vibreaă după fecven fecvenţaţa sa fundamentală fundamentală""  adică adică după cea a aii joas j oasăă frec frecven venţăţă posibilă  nuai nuai capetele capetele ei sînt în repaos repao s  Dacă Dacă plas pl asaţaţii un dege de ge în centru corii, creînd creînd un nod, şi ciupiţi apoi c oarda, aceast ac eastaa proproduce o notă cu o octavă ai ai sus sus  Dacă Dac ă plasaţi plas aţi un deget la o treie t reie dn lungiea cori c orii,i, atunci creaţi de fapt fapt două do uă nodur no duri,i, ( celălalt fiind fiind la două teimi din din lungiea coii) coii ) şi astfe as tfell daţi iar naştee unei note şi ai ai nalte nalt e Cu ct ct sîn mai ulte ult e nodui, no dui, cu att notele sînt ai înalte înalte n general, nuă nuă ul nodurilor nodurilo r ese es e nt ntreg, reg, nodurile fii fiind nd egal dis dis tanţate. tanţate . Vibaţiile coespunzătoare sînt unde staţionae, nţele nţele gnd prin aceasta aceas ta un tip de unde care car e se s e anifestă pinto işcare de o pate şi alta, da fără a călători dea de a lung lungul ul coii Măriea işcării işcării de dute vino de de o p arte şi de alta alta este es te den de nuită ui tă aplitudinea aplitu dinea ndei şişi aceasta acea sta deteină deteină volmul volmul sunetului su netului Undele snt sisi -

75

76

N U M E R E L E NATU R I I

formă formă eantă car se s e rptă, cunoscută în în trionomtriono mtrie. trie. În 114, mamaticianu mamaticianu n Broo Br ookk Tayor a publicat public at formula frcvenei fun fundam damnta nta a coii c oii de vioară n funcţi d unime, tensiun i densit den sitat at.. În În franceul ceul Jan J an Le Rond d Ambrt Amb rt a aăat aăat că că  74 6, fran mut vibratii a a corii corii d vioară nu nu sînt sînt nd sinus sin usoi oi-da statioar. E a dovdit că foma instantane a undei p  ate fi una una oarcare oa rcare arbitară. În 1748, ca răspuns a ucrara lui dAmbrt, d Ambrt, proificul matmatician vetian Lonard Euer a eabora cuatia de undă" p ntru o coadă. În spiritu torii ui 'Isaac Newton, Newton, acasta st st  o cuaţi difernţ difernţiaă iaă car ca r uvrneaă neaă rata de scimb sc imbar aree a formi formi coii. coi i. D fapt, ste st e vorba dspre o cuaţie direniaă cu divat paţiae ţiae "  ca c însamnă însamnă că ea nu implică doar d oar atl s cimbăi cimbăiii în imp imp  ci i i rate rate  scimb s cimbării ării ritoar ritoar la spaţiu sp aţiu măsurat în direcia direc ia coii coi i E cuaia xprimă n n imb imbajaj mamatic ida id a că accelraia accel raia ică ică  mic mic agmnt d coadă est proporţionaă c fora fora d nsiun car car acţioneaă asupa acstui fram frament ent;; as as  cuaia este o consecinţă cons ecinţă a lii l ii d micar a ui ui wton. Eul nu numai că a formuat ecuatia d undă : e a i rovato r ovato.. Soţia ui poat ii dsisă ds isă n n cuvint cuvint Mai nt ntîîi deformaţi coada co ada după oice oic e ormă doii d oii  să icm ic m o paabo paab oăă ori un truni ori ori o cubă cu bă r rpuită puită i nrată nrată.. Imainai Ima inaivă vă apoi apoi că acast ac astăă formă formă s propaă propaă dea lnul lnul corii căt căt dreapta. S  o nunu mim undă căătoare spre deapta. deapta . Să îno înoace acem m apoi fiua cu susul n os i să n imainăm că oma s propa pro paăă în direcia caată, c aată, pentu pentu a crea o undă călăcălă toa to a spr stî stîn a În sfrit sfrit să supapunm c doă form a undi. Acst procdeu n duc la toate souţii so uţii posibi posib i a ecuaiei de undă pntr p ntr ca ca  în

D E LA LA V I O R I LA LA V I D E O C A S E T O F O A N E

Aproape imediat după souţionarea souţionarea ecuaţiei ecua ţiei Euer a intrat n dispută cu Daniel D aniel Bernouli B ernouli a căru c ăruii famiie de d e origine din Anvers sa mutat m utat mai nt nti n GerGer mania şi apoi n Elveţia pentru pentru a scăpa de d e persecuţia p ersecuţia religio religioas asă.ă. Şi ernoul  ernoulii a reovat ecuaţia de undă dar printro meodă complet diferită Conform ui Bernouli souţia so uţia cea mai generaă poate poa te fifi repreentată repre entată ca o superpoiţi superpo iţi a infi infini nitt de multe unde unde sinusoi sinus oidae dae stasta ţionare. Această contradicţie aparentă a declanşat o controversă ungă de un sec s eco o a sfsfrşitu căreia c ăreia şi Euer şi Bernoui au fost decaraţi cştigători. Motivul pentru care amndoi au avu dreptate este legat de faptul că orice orice formă formă cu variai variaiee periodică pe riodică poa p oatt fi repreentată prin suprapunrea unui unu i număr număr infini infini de curbe sinus sinusoida oidalele.. uler  uler a creu că această procur proc urăă duce la o varie varietat tatee prea prea mare d forme deoarece  nu ea e a nţles nţles periodicitatea. periodicitat ea. Totuşi analia analia matematică matematic ă opereaă cu cure ininit de lungi. Cum singura parte a curbei care conta con taăă est parea cuprinsă cuprinsă nre cee două capete capete ae corii corii curba poate po ate fi repet repetată ată priodic da lungu unei co co foare lungi fără fără a duce la vro scimsc imbare bare esentia es entialălă Asadar As, adar temerile lui Euer Euer nu nu rau fon fon dae. ' Concuia Concuia finală a ntregii ntregii lucrări lucrări este că c ă unde undeee sinus oidae snt snt compon com ponentee entee vibraţionae vibraţionae de baă. ba ă. Totaitatea vibraţ vibraţilor ilor posibie pos ibie s e obţin o bţinee form formnd nd toate toat e sumele finite sau infinite de unde sinusoidae cu toate amplitud amplitudini iniee posi po sibi biee Aşa cum a sus sus ţinut ţinut mereu Danel Bernoui Bernoui  toate curble noi propuse propuse de d e dAed Aebrt brt şi Euler sn sn doar d oar comb co mbinaţii inaţii de vibra ţii Taylor aylor   O dată cu cu souţionarea so uţionarea controversei vibraţile corii de vioară au încetat să mai constituie un mister iar matematicienii matematici enii au nceput să caute un vna vnatt mai ma i serio seri o s .



7

N U M E R E L E N A U R  

meso meso   dr dr s  obectee obectee cu cu m m mute mute dmes dmes-un pot po t vb vbr r stm stme etu tu muzc muzc ce m cuoscut cre fooseste vbrt bdmesoă este tob; trdevăr, ' membr membr  to tobe be este es te o suprfă su prfă şş u u o e dreptă dr eptă.. şdr şd r,, mtemtce, mtemtce , cep cepd d chr chr cu uer,  1759, şu ş u dreptt dreptt ten căre căre tob t obe.e. Ş d ou uer  dedus o ecute de udă, de dt cst u cre descr des cr cum v văă  tmp deps re membr mem br de tobă după drec vertcă. ter pretre fzcă fzcă  ecuţe este că cceerţ c ceerţ ue mc bucă de membră me mbră este proporoă propo roă cu tesue exercttă supr supr e de de părţe părţe vece de pe memb m embr răă ; smboc, ecuţ semăă mut cu ecuţ de undă undmeso undmes oă ă dr cum exsă exsă rte rte (d ( d  ordnu do) do ) e schmbăr schmb ăr spe după două drec depedendepedente, c ş rt schmbăr schmbăr tempore. tempor e. C ore de voră voră u cpete fxe. fxe. ce  cessee cond c ondţ ţ  mtă" au u efect mportt: ee dermă cre sou so u e  e ecuţe de udă s s ccepte ccept e fc petru o cordă co rdă de de voră Peru ntreg ntreg robemă, rob emă, gree st st cruce. cruc e. T obee dferă de corde co rde nu um pr dmes dmes  otte, c ş prn fpu fpu că c ă u u o grţă mut m nterestă  cee  tobe este o curbă chchsă, u cerc. cer c. Totuş, Totuş ,  fe fe c grnţ grnţ ue cor, cor , grţ grţ tobe este fxă: restu membrne se poe mşc, dr mrge e este este egtă ferm ferm.. ces c estătă conde co nde  gr gr-ă res res trge mşcăre mşcăre posbe pos be e membre memb re.. Cpetee ote o te e cor u u st tt de neres nere snte nte s de d e vrvrte d puctu puctu de vedere  codo cod orr  t t c mrgmrge tobe tob e,, cre cătuesc cătuesc o curbă chs chsăă ; devărtu ro  codţ co dţor or  gr grăă deve dev e evde evde num  două do uă su m mute dmesu. Pe măsură m ăsură ce eegeu eege u probem prob em ecu ecu ee de udă, udă,

D E LA LA V I O R I LA LA V I D E O C A S E T O F O A N E

reolve pentru pen tru mişcarea membranelor me mbranelor e iferite for for me. Ecuaţia e ună a nceput să iasă in omeniu muical ca să evin evinăă un subiec subi ectt central al fiicii ma tematce temat ce Este Est e probabil cea cea mai important importantăă formul formulăă maematică maematică eusă vreoaă vreoaă  acă acă nu tine tinem m seamă e faimoasa faimoa sa relatie a lui lui Einstein Einst ein intre intre asă si eer gie gie  C eea ce c e sa s a erecu erecu a fost un episo episo ra  atic a moului n care matema m atematica tica poate poa te evălu unitatea ascunsă a naturii. Aceeaşi Ac eeaşi ecuaţie a nceput nceput să se reeve reeve peste tot. n inamica fluielor ea escrie formarea şi miscar miscaree valuilor. valuilor. n teoria sunetelor sunetelo r ea escre es cre trans trans mia unelor sonore s onore  vbrai ale ale aerulu n care mo eculele ecu lele sn sn n mo alternativ 'comprimate comprimate şi apoi sepa sepa  rae rae . Ecuaia e ună sa s a manifestat manifestat apoi şi n n eoriile eoriile elecricită ele cricită şi magneismului ma gneismului scimbn s cimbn pentru pe ntru tot eauna e auna cultua cultua umană. Elecricitatea ş magnetismul au o istorie lungă ş complicaă com plicaă mult mai mai compexă co mpexă ect ect aceea a ecuaţiei e ună mplic mplicn n esco es coperr perr accentale ş  experi mene ecisive ca şi teori matematice matema tice şi fiic fiicee Acea Acea tă sorie so rie a ncepu cu Wlliam Wlliam Gilber meicul meic ul reginei reginei Elsabe Els abeaa a  a a Anglei El a escris es cris Pămn Pămntul tul ca pe un uraş uraş magnet ma gnet şi a obser obse rvat că obiectele obiec tele ncărcate ncărcate elec elec tric tric se po atrage sau respinge respinge ntr ntree ele. ele . Ist I storia oria a con tinuat tinuat cu oamen oa menii ca Benj B enjamn amn Franklin care car e nălţ nălţn n meu n timpul furtuni a em  emons onstrat trat n anul anul 175 că fulge ul gell este o formă formă e elec e lecriciae riciae cu cu Luigi Lui gi Gal vai vai care a obse ob serrvat că escărcările esc ărcările electrice pot pot pro pro voca voc a muşcii muşcii e lala pcoarele pcoa rele broaşei să se conr c onracte acte ş cu Alessanro Aless anro Volta care a inventat inventat prima prim a baterie bate rie Dea De a lungul celei mai mari părţ părţ a acesei istori isto riii tim purii purii electrcta e lectrctatea tea şi magneism magn eismul ul au fos fostt privite ca ouă fenomene naturale isincte. Persoana Perso ana care lea



0

N U M E R E L E N AT AT U R  

engle Mchael Faraday El a fost ang angaaat at al Socetăţ Soc etăţ Regale din Londra ş una dntr dntree oblgaţle oblgaţle sale era să magnee mag nee un experment experment pe săptăm săptămn, n, pentru pen tru a ds tra pe membr cu nclnaţ ştnţfce a Societăţ Această Acea stă nevoe permanentă de de de no noii a  a transformat pe Faraday Faraday ntrunul dintre dintre ce ma mari fcen fc en ex permentatori permentatori dn toate tm tmpur purle le.. El era ndeos ndeoseb eb fas fas cna cnatt de electrctate electrct ate ş magnetsm, magn etsm, deoare de oarece ce şta şt a că că un curent curent electrc poate poa te crea c rea o forţă magnetcă. magnetc ă. Faraday a cheltut cheltut ece an an  pentru pentru a doved dov ed că n od recproc, un magnet poate po ate crea un curent curent electrc, electrc, reuind acest ace st lucru lucru n 1831 El a demonstrat dem onstrat că magnetsmul şi eec ee c trctatea trctatea consttue două aspecte ale a le aceuaş aceu aş lucru lucru  electromagnesmul electromagnesmu l Se spune că regele Wlla al lea la nt ntreb rebatat pe Faraday la ce snt bune bune tucure sale de laborator, primind următorul următorul răspun răspunss  Nu ştu, Ma iestate dar dar ştiu c ntro ntro i le veţi veţi impoita impoit a"" De fapt, aplcaţile aplcaţi le practce au urat cur curn nd,d, n speca sp ecall motol moto l electric ( electrctat electrctatea ea creeaă cree aă magnetis, ma gnetis, care creeaă mşcare şi generator generatorul ul electr elec trcc (mşcarea ( mşcarea creeaă mag netsm, care creeaă creeaă electrctate electrctate)) . Dar Faaday Faaday a pro pus pu s de asemenea teor electromagnetsului. Nefiind matematican, matem atican, el ş ş  a fxat dele n agini fiice, din din tre care care cea cea ma mportantă mport antă a fost na de forţă. Dacă D acă plasaţ un magnet magnet sub o foae de rt rtee şiş i presăraţ dea supra piitură de fier, aceasta a ceasta se va aşea dea lungul unor curbe bne defnte Faraday Faraday a nterpretat nterpretat aces aces  te curbe ca o dovadă d ovadă că forţa magnetcă magnetcă nu acţioneaă acţ ioneaă la distanţă" distanţă" fără ără vreun medu med u care să s ă intein intein n rea ltate, forţa se propagă propa gă prn spaţu dea lngul lnlor curb curb e. L a fel fel era caul forţelor forţelor electrce electrc e Faraday nu era er a matematc matem atcaan, n, dar da r urmaşul său s ău nte nte lectual, lectual, James Clark Maxwell, Maxwell, a fost fos t un matematcian matem atcian

D E LA LA V I  R I LA LA V I D E  C A       A  

d e forţă n termeni de d e ecaţii matematice mat ematice pentr pen tr cm cmprile prile magnetice magnet ice şi electric elec tricee  adică în termenii distridistribţiei de sarci s arcini ni electice elec tice şi magnetice  spaţi Către al 18 64 el şia rafinat teoria pnă la un sistem de patr ecuaţii diferenţiale care leagă scimbările din cmp cmpl l magnetic magne tic de scimbările sc imbările din cîmpl cîmpl eectr e ectricic Ecaţiile sînt sînt elegant ele gantee şi relevă o simetrie sime trie interesantă ntre eectrictate şi magetism, care se infenţează reciproc reciproc ntrn ntrn mod asemăător. as emăător. Aici, î î simbolisml simb olisml elegant al ecaţiior li Max o m enirea salt s alt  urias de a a i ori la vid vid eowe, a făct om casetofoane: printro serie de anipări algebrice simpe, simpe, din ecuaţii ecuaţii sa extra extrass ecaţia de dă  ceea ce mplica existenţa ndelor eectromagnetice. Mai mlt, ecaţia de ndă implica implica propagarea acestor acest or de de c viteza minii. C onclzia oastră oas tră imediată imed iată a fost fost că lmina lmina îsăşi s ăşi este o ndă electromagnetică  la rma rma rmei rmei,, ceea ce ea ce se deplasează deplasea ză cel mai firesc c iteza lminii este lumina însăsi. Exact asa cm o coardă c oardă de vioară vioară poate vibra la m a 'mte mte frec�ene, asf asfeel  conconform ecaţiei de ndă ndă  se poate po ate ntîmpla mpl a şi c cmcmpl electromagetic. Petru dee care snt vizibile pentr ocl man, frecve frecvenţa nţa corespnde clori. CorCorzile c diferit diferitee frecvenţe frecvenţe prodc sete diferite diferit e ; dee de e electromagnetice c diferit diferitee frecvenţe frecvenţe prodc cori co ri diferite ferite Atci d frecveţa este este în afara afara spe s pectr ctri i vizibil, ndele  snt de de lmină, ci atceva Ce aume ? Atnc Atnc cnd cnd Maxwe Maxwe şia şi a prezentat ecuaţiile, nu ştia nimeni nim eni.. Oricum, toate erau pure prepre spueri, bazate baza te pe ipoteza ipote za că e e  aţiie aţiie li Max M axwe well se aplică pli că ntradevăr ntradevăr mii m ii fizi fizice ce.. naite de a fi accepate ca adevărate, adevărate, ecaţiile sale trebia trebia sp s pse se a probe. be . deile dei le li a  axwel xwel a găsit ceva eco ec o favorabi în ngia, dar era ap l ignorat  afară p

81

82

N  M E R E L E NAT R I I

188 6, cnd n 188 cnd fizicianu izic ianu german Heinric He inric Hertz He rtz a ge nera neratt unde eectrom eectromagne agnetice tice  a frecve frecvenţ nţee pe p e care car e asas tzi tzi e numi numim m frecvenţe frecvenţe radio radio  şi ea e a detectat detect at experi menta. Episodu final a acestei saga a fost oferit de Gugieo Marconi, care a reaizat cu succes prima telegr tele graf afii e fr fir n anu 1895 şi a transmis transmis şi recepţionat primee semnae radio transatlantice n 1901 Restu, aşa cum cum se zce, este istor is torieie Istoria Is toria a adus radaru, radaru, teevizinea teevizinea şi banda video. Desigur, acesta a fost numai n scurt rezumat a unei interacţiuni ndeungate ndeungate şi nc nccite cite ntre ntre matema mat ema-tic, fizi fizic, c, inginerie inginerie şi finanţe finanţe Nici o perso pe rsonalitate nalitate nu nu poate poa te revendica de de unu unu singur d escop esc operrea errea radiouui, dup dup cum nu nu poate poat e pretinde pretin de excusivitate excusivita teaa nici nici unui singur singur subiect. subiec t. Ciar dac matemat matem aticienii icienii nar fifi ştiut att de mut despre ecuaţia de und, und, se oate  oate concepe con cepe faptu c Maxwell şi succesorii s iar fi descoperit oricm oricm implicaţii implicaţiilele.. D ar ideile trebuie treb uie s ating ating o mas ma s critic critic pent pe ntru ru a expoda expod a şi nci un inovator inovat or nu are timtim pul sau imaginaţia ima ginaţia de de a crea instrumentele instrument ele cu care care s s creeze instrumentee instrumentee care, care, la rndl lor l or,, s s  creeze .   ciar daci vorba despre instrumente intelectuae. Faptu Faptu nud nu d este es te existenţa unui fir istoric clar care nncepe cu viorile şi se termin c videocasetofoanele. Poate Poat e c c  pe o alt panet pane t ucrurile ucrurile sar s ar fifi putut petrece atfe, dar a noi aşa s s  au nt ntmplat. mplat. D ar p oate c nici pe o alt panet ucruril ucrurilee nu sar s ar fi nt ntmpat mpat atfe atfe  s au nu cu to totu tu altfe altfe.. Ecuaţia E cuaţia de und a ui Maxwel este extrem de complicat: ea descrie variaţiie ambeor cmpuri, ce electric şi cel magnetic, simutan simutan,, n spaţiu tridimensi tridimensional. onal. cuaţia corzii de vioar este mut mai simp, si mp, cu variaţie variaţie nu nu  mai n ntro r o singur singur mrim mrimee  poziţia  dea de a un ungu gu nei inii unidimensionae n genera, descoperirie

D E LA LA V   R  LA LA V  D E   A  E   F  A N E

mtemti mtemtice ce merg m erg de  simu sim u  comex. comex. În bsenţ bsenţ exerenţei cu sistemee sime, cum snt corzie vibrte, un tc oriett" către robem teegrfie fără fir (tr ( trnsmit nsmitere ere de mesj me sjee fără fire, de unde provie cest nume de modă veche) nr ve ve m multe ş se de succes succe s dect dect tcrea ntigr ntigrvitţ vitţie ie su căătoriei cu viteză m mre dec de ctt vtez umini n zilele Nim eni en i n-a n -arr şti de d e u n de ă înc încea eapă pă nostre. Nim Desi De sigur, gur, viorie viorie u părut ccident ccident   cutur cutur um nă  n cut cutur ur euroenă. D r vbrţiie unui obiect inir inir sn sntt unverse unverse  ee u loc lo c este est e tot, întrun întrun fel fel su tu. tu. Pritr Pritree ocuioriiăn ocuioriiăn eni eni din B etegeuse etegeus e , vibrţii vibrţiiee unui fr d s rhnide rhnidei,i, produse de o ininsectă sec tă cre cre se zbte, zbt e, r f utut cost co sttu tu punctul de plecre entru descoperre undelor electromgnetice. D r, r, ent e ntru ru  concee secvenţa s ecvenţa de experenţe experenţe cre cr e lu dus e e Heinrc He inrchh Hertz He rtz l desc de sco oerire erire s epoclă, epo clă, este nevoe de o înănţui înănţuire re de rţionment rţi onmentee clre, ir cest lnţ trebuie să s ă înc eă cu cev sim si mu u.. r  r cee ce ne reevă reevă simitte simit te nturi nturi şi ne permite să efectuăm efectuăm ge g e nerizre de  exemee smpe  compextte lumii lumii rel re lee este mtemtic mtemti c Pent P ent  trsform trsform o idee mtemtică ntru rodus utiitr  fost evoie de cotrbuti cotrbuti mutor omeni din divers diversee domenii dome nii de ctvt tv tte. te.  r, r, dt dt viitor viitore,e, cînd cînd fce fceţţ joggng jo ggng scutîd n wkmn su dţi drumul dru mul teevizol teevi zolui, ui, ori vă uitţi  videoc vide ocsetofon, setofon, fceţi o uză de cîtev cîtev secus ecude c să s ă vă remntti că, că, fără ără mte m temtic mticen, en, ici un un ditre ceste minuţi minuţi r  r ff ost invet invett tăă



CAITU 6

Simetria stricată

eva în intee inteect ct man ne face să fim atraşi de sime si me trie imetria pace simi s imi nost nos tr viza viza şi, ca atre,  oa oacă că n ro în formarea formarea simi si mi frmosi frmosi.. Totşi, Totşi, simetria sim etria perfectă perfectă ese repetitivă şi previzibi previzibiă, ă, iar in in teectulu tee ctuluii nostr nos tr îi pac de asemenea asem enea surprizee, ast fe că dese d eseor orii considerăm sim s imetr etriaia imperfectă imperfectă mt m t mai frmo frmoas as decît decît simetria matematică mat ematică exactă Şi nara nara pare să fie arasă de simetrie, deoarece mlte dinre cee mai izbitoare izbit oare forme din mea natra natra ă sînt sînt sime sime  trice trice  Şi natra natra pare să fie nesatisfăc nes atisfăctă tă de prea mtă simetrie, sim etrie, deoarece deoa rece aproape aproape toate toat e for forme meee simetri sim etrice ce din natră sînt mai pin simetrice decît cazele care e generează. Această Acea stă afirmaie afirmaie pare sran s ranieie ă ptei aminti că marele mar ele fizici fizician an Pierre Pierre Crie, Cr ie, care, car e, împreună împreună c soia s oia sa, Maria, M aria, a descoperit desc operit radioactiv radioactivita itateteaa , a emis prin cipiu genera conform conform căr că riaia efectee  efectee sînt sînt a fe fe de si  , Rdocttte  fost descopertă de fzcnu fcez H  Becquer în 1896 ( uranu) So Cure u descpert poonu ş rdul (ş ee elemente rdocte) în 1898. Cofuz utou uto u prone pro ne probb probb  dn fptul fpt ul că to tre tre fzc fzcen en mnt mnt

 I M E T R I   T R I C AT AT Ă

metrce c ş cuzee or  or""  Totuşi, ume cour courătoătore este plă de efecte cre n u st  fe fe e sim si m etrice c ş cuzee lor, l or, r motvu motvu este u feome feome  cuosct ct sub umele umele de rupere rupere spot spotă ă de smetr s metr " . Smetr Smetr este u u  cocept cocept mtem mtemttc,c, c c  şş  uu uu estettc,c, permţ pe rmţ due due să csfcăm csfcă m fertee tpuri tpuri de forme regute ş să fcem dstcţe tre tre ee. Rupere Ruper e de smetr sme tr este o dee m de dmcă, descrde  ţeege ţe ege de ude  scmbăre de formă v tipree turi ş cum se scmbă v sc mbă ee, trebuie tr ebuie să să găsim u  mb m b c u  utoru utoru căru căru să s ă escrem esc rem ce st st ceste. C e ete smetri? Să porim e  prticur  geerl. Un tre cee mi obi o bisute sute forme forme de d e smetrie sm etrie este ce ce   teriorul căre e petrecem viţ Corpu um re o simetre si metre blterlă blterl ă " , cest ce st semî semîd că j umătte umăt te s st stgă gă este ( prop prop e ) l fel fel c jumătte s drepdreptă. Aş Aş  cum m remrct, simetr sime tr bilterlă  forme forme me este um proximtvă iim u este cetră ş c cee doă părţ e feţei u st detce. detce . Dr form um um ăă  geer este e ste forte forte propită de smetr per pe rfectă. ect ă. Petru Petru  descr des crieie mtem mt emtc tc smesm etri tri ei, put p utem em să s ă e mgi m giăm ăm o form formăă umă del de lztă ztă,,  căre prte dreptă să fe cop exctă  părţi stg Copi Copi exctă ? Nu Nu  tregim tregimee Cee Cee două do uă părţ p ărţ le corpu ocupă regu re gu dferte e spţulu; spţulu ; m mult, prte prte  s gă este o reverse  cee repte, fd mgim giea ei  oglndă oglndă  D e dtă dtă ce folos m cuv cuvtu tu  mge mge"" , ne ş gdm  modu  cre cre o form formăă corespue c orespue t  t  s u cum trebuie mşctă u dtre ee petru  f dusă  cocdeţă cu cetă. cetă . Smetri S metri biteră s s emcă ref

5

86

  M E R E L E NAT R  I

obţineţi jmătatea dreaptă Reflex Reflexiaia este est e n concept co ncept matematc, dar n n repreintă nic nic o sprafa sp rafaţă, ţă, nici n măr sa o formlă. Reflexia este o tanfomare, adică o reglă pentr pentr deplasarea obectel obe ctelor. or. Exstă mlte transformări posibile, dar cele mai mlte n sn snt simetrii. Pent a corela corect c orect cel c elee doă jmătăţ jm ătăţi,i, oglinda trebe să fie aşeată pe axa de ime trie car ca r mpart mpartee corpl n cele doă do ă mătăţi  mătăţi compo co mpo nete. n acest ca, reflexia lasă corpl invariant  adcă neschimbat n aspect. aspec t. n acest fel, fel, am găsit o ca c a racteriare racteriare precisă a simetriei simetriei bilaterale  o formă formă este bilateral simetric sim etricăă dacă est e stee inari inariantă antă l a refl reflexe exe.. Mai Ma i eneral, simetria ni obiect sa a nu sistem ete orce transformare care l lasă invariant. Descrierea aceast ace astaa este n exempl minnat minnat c privre privre la ceea ce am denumi denumi ma ma  devreme devreme refca refcarea rea proces proce s elor"  pro pro  cesl mşcăte aşa" devin devinee n n obiect obiect  o smetrie. smetrie. Această caracterare simplă, dar elegantă, deschde şa spre n dome dom ei i imen al matematicii. Exst Ex stăă mlt mltee felr felrii de simetrie. si metrie. Cele Cel e mai importante importante snt snt reflexiile, rotaţile ş translaţi translaţile le  s a, n cvinte cvinte ma pţn pţn formale, forma le, nto ntoarcerile, arcerile, n nvrtirle ş alecă l ecă rle Dacă Dac ă laţ n obiec o biectt din plan şi l ntoarceţi ntoarceţi pe spate, spa te, ob obţieţi ţieţi acelaşi efe efe ct ca n n cal reflexei ntro oglndă Pentr a afla nde trebie să fie olinda, alegeţ  punct oarecare de pe obectul orginar ş cătaţi căt aţi nde nde ajaj nge ace a cestst pnct atnci atnci ccnd obiectl obi ectl este ntors ntors pe pe spate. O glinda trebi trebiee să s ă ie la jumătatea dintre dintre puctl puctl ales şi imaginea im aginea sa, la n nghi nghi drept faţă aţă de dreapta care neşte neş te aceste acest e doă do ă pncte (vei ( vei fig. 3) Reflex Reflexiile iile pot po t fi efectate şi n spaţil spaţi l tridimen sonal, dar n acest ca oglinda este de n tip mai

  M E  R  A   R  C AĂ

OBIECT

IMAGINE îN OGLINDĂ

Figura 3

nde nde este oglnda ogln da ? acă se dă un obect ş o magne magne a s în oglndă ogl ndă alegeţ un punct oarecare al obectulu ş punctul corespunzător al magn nţle cu o lne Oglnda trebue aşezată perpendcular pe mjlocul acestu segment

P entru a învîr învîrii un ob obieiec c în în plan, plan, alege al egeţiţi n  n punc, nui centu, centu, şi rotiţi ro tiţi obiec obi ectu tull în j urul urul aces a cestui tui punct, aş a cu se roteşt rot eştee o roată ro ată în j urul urul axei axei sale sa le uăul uăul de grade cu care rotiţi obectul ob ectul deterină ăriea"  ăriea" rotaţiei De exelu, aginaţivă o floare cu patru petale identice e gal distanţate dis tanţate î î spaţiu s paţiu D a c ă roi i fl oarea cu 90° ea arată exac exac la fel, fel, astfel că   ot otaţia aţia cu un ungi drep drep"" ese es e o sieri si eriee a florii Roaiile Roai ile pot avea avea loc şi în spaţi sp aţiul ul cu trei diensiuni diensiuni,, da da  în acest aces t caz trebuie s ă alegeţi al egeţi o linie, axa axa,, şi să rotiţi obie ob iectele ctele  jul aceastei axe a xe,, aşa a şa cu cu  s e roteşte P ă ăîn înu ull în juju rul rulax axeiei sale. Desi De siggur, ur, puteţi put eţi roti roti obiectele după du pă dife



8

  M E R E L E N AT  R I 

Trasate sît trasformăr care fac să auece obectee obe ctee fră fră să e roteasc rotească.ă. Gîdiţivă diţivă la peretee uei camere de baie bai e Dacă uaţi uaţi o pacă de faiaţă faiaţă ş o faceţi faceţi să aluece orzota exact distata ecesară, ea va faceţ să auec auecee aue au e deasupra plă plăii vecie. Dacă D acă o faceţ pe dstaă a două, tre sau patru pă sau pe orice distaţă dis taţă mutip mutipuu ît îtreg reg de d e păc, ea se s e potrveşte p otrveşte î î schemă. Aceaşi ucru este vaab ş petru petru deplasarea î drece drec e vertcaă, sau chiar pet pe tru ru o comb co mbaţe aţe de auecăr auecării orizotae ş vertica verticale. le. D e fapt, pute face ma mut dect dect să depasaţ depas aţ o sgură s gură pacă, pacă , puteţi put eţi face s ă auece tot sstemu sste mu de păc. Ş arăşi, arăşi, păcie se s e vor vor suprapue suprapue peste poziţile p oziţile lor iţale, cu codi co diiaia de a foosi combiatii de auecări orzotale si verticae pe dstae ds tae care care' s ă ff e mutipi îtr îtree gi a mrmi uei u ei păci. Reflexiie Reflexiie cuprid cuprid sime si metriile triile î care ca re jumăta ju mătatea tea sts tî gă a figuri figuriii este est e aceeaş ac eeaşii cu umătatea um ătatea dreaptă, ca î cazul corpuui uma. Rotaţiie cuprd cuprd sietriie î care aceleaşi acel eaşi uităi se repetă î  urul urul cercurior, ca petaee ue fori. Trasaile cuprid simetrie î care utăţie se s e rep rep etă, ca pe u p erete cu plăci de faiafaiaţă, faguree de abi ab iee cu plăcile  plăcile"" sale exagoae fii fiidd u exceet exemplu exemplu di atură. De ude vi vi smetrle formeor formeor atur aturae ae ? Să e imagăm ima găm u iaz işit, atît de eted et ed îc îcîtît să poată po ată fi c osderat os derat u pa pa matem m atematc atc şş  atî atî de mare îc îcîtît să fe cu adevărat u pla şi î priva imiteor sae. Auca Aucaii o pietrcă î iaz. ia z. Vei V ei vedea vede a fore, valur valur,, ude circulare care par să se mşte dspre puctu de pact. Cu toţ am văzut aşa ceva şi petru petru mei feomeu u reprezită o surpriză. L a urma urmei, urmei, am văzt cauza: este vorba de pietrcică Dacă u

 I M E  R I   T R I C AT AT Ă

put put  prturb prturb suprfţ suprfţ,, nu vţi v v und und  Tot c vti vd v fi un iz liniştit, ntd, pln. ncrţituril d  suprfţ izui rprzită un xplu d rupr d sitrii. Un pln temtic idl r o cntitt imnsă d d  sitri sitrii : oricr oricr două părţi părţ i l plului plului sît sît dntic dntic  . Putţi Put ţi trnst plnu l oric dstnţă i în oric drcţi, îl putţ roti cu oric unghi ungh i în ur ur oricări orică ri ctru c tru,, s l putţi reflc reflc-t n oric oglindă o glindă iniră iniră:: după upă cst cst  oprţi, op rţi, pnul nu l v răt xct  fl. f l. n contrst, c ontrst, for for încrţrlor încrţrlor circulr r r o sitri i sărcă. E st sitrică ui l rotţi ro tţi n n rport rport cu c u punctul d ipct ip ct l pitrc trcli li şi l rflxiil rflxiil fţă d liiil cr cr  trc prin p rin cs cstt punc pu nct.t. Nu şi l trnsii s u l rotţi î  ru ru tor punct şiş i l rflx rflxii fţă fţă d lt  lt drept. drept . Pitricic rurup stri plnului, în snsul că, după c cst  prturbt prturb t zl, ult ult dinr s s tri tri s pird pird  Dr nu nu s pird toate şi şi din din cs c s  o tiv, tiv, vd o foră bin dfintă Niic Nii c din tot cs nu st surp surprnzător, rnzător, dto dto-rită rită pitrcli. pitrcli . ntrdvăr ntrdvăr dorc d orc ipctul pitri pitri-cl produc un punct spcil, sp cil, difrit difrit d tot clllt, sitriil încrţiturilor d p pă sînt xct cl ştpt El sînt sînt toci toc i si si triil triil cr cr nu nu dplsză dpl sză cst punct spci Aşdr sitri izului nu st uptă pontan tunci cnd cnd pr încrţiturl, încrţiturl, dorc d orc puţ dtct pitr pitr cr st  st cuz c uz prdri prdriii simetriisimetriilor lor trnsltion trnsltionle. le. Vţi V ţi fi s săă surpr surprin inss  lt lt i  i sur surpr prin inss  dcă dcă un zz prfct prfct ntd ntd r prznt prznt bsc b sc o sri s ri d und circirculr concntric co ncntric fără fără vrun fl d cuză c uză vidntă. Vă Vă eţi igin igin prob că p  fost tinsă tinsă p ddsbt dd sbt d vrun vrun pşt, pş t, su că d d d supr supr  căzut căzu t cv ttt d fi





N U M E R E L E N AT AT U R I I

formee trebuie să ibă cuze evident este tît de dî dîcc îrădăci ră dăcită tă nct nct,, î u  u 958, cînd cînd cmistu cmistu  rus B. P B eousov eouso v  descoperit descoperit o recţie cimică  cursu cursu cărei păreu spot sp ot  forme, forme, prt din imic, coe c oegi giii săi u refuzt refuzt să să  credă. Ei u presupus presupus că Beousov Beou sov  comis o greşeă greşeă şi nici nici nu nu ss  u ob obosit osit săi să i verifce verifce ucrre ucrre . Atî Atît păre păr e de eviden evidentă tă erore, ero re, îcît cît o verificre r fi fost î oci or o pierder pi erderee de vreme. Păct, Păc t, deorec de orecee B eous eo usov ov  v vut ut dreptte drept te Form prticu prticură ră descoper des coperitităă de Bel B elous ousov ov exist u î spiu spiu,, ci în timp timp : osciţi osciţi recţiei sle se mifest fes t printro printro secveţ s ecveţăă de scimbăr scimbării cice periodice. periodice . n  9 63, u t cimist rus, rus, A. A . M botinski, b otinski,  mo mo  difict difict stfel rcţi  u i Beousov Beous ov,, înc înc să produc pr oducăă şi forme spţie. n oore oor e lor, tote recţiie cimice similre u primit primit umle d recţii elou  elouss ovbo ovbo-tiski tiski ( B  ) " . Subsţ folosite stăzi sînt sînt ltele, mi simple, simple, dtorită dt orită mbunăăţirior mbunăăţirior dus dusee de Jck Coen, C oen, boog boo g brtni brtnic,c, specist î î probeme de d e reproducere reproducere şi de Artur Winf Winfree, ree, speciist spec iist eric în în biol b iologe oge mtemtcă. mtemt că. Experimet Experim etul ul este cum tî tîtt de simplu, îcît cît pote pote fi efectut de oricie re r e cce c cess l cmicele cmic ele necesre. neces re. Aceste di urmă sînt orecum ezoterice, ez oterice, dr umăru umărull or este est e de dor ptru ptru  .   ps ps dspoziti dspozitivel velor or decv decvtete,, vă v ă vo vo pov p ovss ti c c  se se tîmpă dcă fceţi experimetu. Cmiclele sînt tote niste lic licide ide : e mestec mes tectiti î ordine ordine corectă c orectă si le turţi îtr îtru u v vss plt pl t.. Amstecul Amstecul devine d evine mi m i în bst, bst, poi roşu :  ăsţi ş u timp. Zec su douădouă zeci de miute, u se nt ntmp mpăă imic imic;; est c  şi cîd cîd ţi 1 Reţeta precsă este dată n Notee la cartea Colapsul haosu-

  M E  R  A   R  C A A Ă

priv privii un iaz neted, fără fără detaii, numai numai că c ă aici coarea este uniformă, uniformă, roşie, fără f ără deta det aii.ii. Această uniformitate nu ese surprinzătoare a urma urmei, aţi amestecat icide icideee.. Apoi Apo i veţi obs ob s erva apariţ apariţiaia cctorva pete pet e mici abastre b astre  şi aceasta este surpriza. surpriza. Petee Petee se lărgesc, lărgesc, form formn ndd discuri circuare abastre. aba stre. n fieca fiecare re disc apar apar pete pe te roşii, roşi i, transfo tra nsform rmn ndd discurie dis curie n inee ine e ab a bas astre tre cu cu centr cen tru u roşu. roşu . Şi ineu abastr abas truu şi discu roşu roş u cresc, cresc , iar atun atuncici cnd cnd discu dis cu roşu roş u aunge aung e dest des t de mare, ma re, în în inte rior rioru u său s ău apare o pată p ată abastră Procesu Proc esu contin c ontinuă uă prin prin serii de forme ca de ţinte de tir, mereu n creştere  inele concentrice rosii si abastre. ab astre. Ee Ee au exact aceleasi simetri sim etriii ca ca şi ercurie e pe faţa iazuui iazuui d ar, ar, d e aceasă ac easă dată, nu se poate vedea nici o pietricică. ste aşadar un proces straniu straniu şiş i misterios, n car caree forma reprezenreprezentnd tnd ordinea apare a pare ca genernd generndu usese de lal a sine sin e din din icidu du dezordonat, dez ordonat, amesec ame secat at la ntmplare. plare . u  uii de mi rare rare că cimiştii cimiştii nu lau crezut crezut pe Beou Be ousov sov D ar tru trucurie curie reacţiei B B J nu se sf sfrş esc es c aici ai ci.. Dacă D acă baansaţi vasul şi apoi ll puneţi a loc, lo c, sa s au daă d aă scufun scufun daţi n el o srmă ncinsă, puteţi strica ineele, trans form formndue ndue n spirae rotito ro titoare are albastre şi roş r oşiiii.. Dacă D acă B elousov elouso v ar fifi petins ş cev, aţi fi putut putut vedea ve dea cum c um coegilor coe gilor săi e ies i es aburi pe ureci. ureci. Acest Ace st fel fel de de com c ompo portare rtare nu este numai numai o scama s camatotorie cimică. cimică. B ătaia re re gulat gulat a inim inimiiii dumneavoas dumneavoa s tră se bazează exact exact pe ace a ceeaşi eaşi comport co mportare are,, dar, dar, n aces ac estt caz, caz, formee implicate snt undee de activitate eectrică. Inia dumneavoas dumneavoasrrăă nu este est e o masă de tesut tesu t muscuar nedifereniat nedifereniat care care se s e contr c ontrac actă tă autoa autoatt sis i brusc brusc Inima este est e co c ompusă mpus ă din milioane de fibr fibree mscuare ms cuare subţiri, fiecare alcătuind o singură ceuă. Fibree se contractă ca răspuns răspuns a a semna se mnaee ee eectrice şiş i cimice



92

N  M E R E L E N AT  R I I

Problema Proble ma ese de a fifi sigur c oe fibrele fibrele s  se con c on race race grosso mo modo do n sincroni sincronie,e, asfel asfel ca c a inim inim s s  b ca un nreg. Penru aingere unui grad suficien de sincroni sinc ronizare zare,, creier crei erul ul dumneavoasr dumneavoas r rns rns mie inimii inimii semnal se mnalee elecrice. elecrice. Acese Acese semnale se mnale declnseaz declns eaz schimbri elecrice elec rice nrunele fibre fib re musculare, cre c re afeceaz la rn rndu dull lor fibrele fibrele vecine  asf as felel,, undele u ndele de acivacivitae se rspndec ca ncreiurile de pe suprafaţa iazului, s au c c dis dis curile albasre alb asre din recia B B . A A imp imp c c undele forme formez z inele comple com plee,e, fibrele musculare ale a le inimii inimii se conrc conrc  sincron si inima bae nor mal  D ar dac dac  inelele inelele devin spirale spirale � şi acea a ceasa sa se nmpl mpl n inimile inimile bolnave  rezultul rezultul ese o mulţime de conracţii locle incoerene, iar inima fibrileaz. D ac fibrilaţia fibrilaţia coninu nedomo nedo moli li imp de ce cev v minue, rezultaul rezultaul ese es e moarea moar ea.. Asfe As fel,l, fiecre dinre noi ese es e ineresa de undele undele de forme cirulare şi spirale spirale.. Touşi, n inim inim,, la fel fe l ca c a mai m ai nai naine ne n iaz, ia z, puem puem vedea cauza for forme meii undelor: undelor : semnalele din creier, cre  oa oac c rolul rolul piericel piericelelor elor arunca aruncaee n iaz. iaz. n cazul reacţiei B J nu nu puem puem ns vedea cuza : sim s imeria eria se rupe rupe n mod spona sponann  de la sine" sin e"  fr fr vru vrunn simu simull exern. Termen Termenul ul sponan" s ponan" nu implic absenţa abs enţa cuzei cuzei;; el indic indic  fap fapul ul c aces ace s cauz cauz  ese es e oric ori c de mic şi de insignifia insignifian n neo ne o puem imagina. Maemaic Ma emaic vor vor bind, chsiunea c hsiunea crucial crucial ese c c  disribuţia uniform uniform a chimicalelor  lichidul lichidul roşu fr fr vreo vreo nsuş nsuşiriree pa ren ren  ese insabil. insabil. Dc subsan sub sanţele ţele nu mi ssn estec estecate ate uform uform,, aunci echilib echilibll delica delica cae men men ine culoarea rosie se sric, iar schimbrile chimice are rezul decl�nşeaz decl�nş eaz formarea peei peei albas al basre re Din aces ac es momen, m omen, n nre regu gull proces proc es devine mul mi mi uşor de neles neles,, deoarece deoarece cum paa lbasr lbas r acţioneaz ana

  M E T R I A  T R I C AT AT Ă

te cimică. Dar  ce pţin att attaa cct este est e vaabiă vaab iă ma tematica tema tica  imperfecţiun imperfecţiunea ea simetri sim etrieiei icid iciduui uui care care de de  clanş clanşează ează pata abastr abas trăă fi negi negiabi abi de d e mică, cu conditia con ditia să nu nu fie zer o. icid icid rea există există tottot deaun deaun�� mici mici partic particul ule de praf ori bule  ori cia ciarr mo m o ecu e cuee supuse vibraţ vibraţiei pe care ca re noi o umim umim căldura  care care să perturb perturbe simetria perfectă. Asta e tot O caucauză ifiitez ifiitezima ima ă produce un efect pe pe scară s cară mare, iar aces t efect este o formă simetrică. sim etrică. Simetri Sim etriie ie naturii naturii pot fifi  găsite a  a orice scar sc ară,ă, de a structura particueor sub atomice atomi ce a aceea a nt ntregureguui univ univers ers.. ute moecue moecu e sn snt simetrice. simetrice . oeca  oeca de meta este un tetraed tetraedru ru  o piramidă cu cu feţe triu triunngiuare  c carbonu n n centru centru şi cu cei patru patru atomi de idrogen  vfuri. Benzenu are simetria exagoaă a unui exagon regulat. oeca a modă nmită buckmisterf buckmi sterfulerenă ulerenă este o colivie icosaed ico saedrică rică trtrun ( Un icosae ico saedr druu ciată de şaieci şai eci de de atomi de este un corp geometric reguat cu douăzeci de feţe triugiuare triugiuare ; trunchiat" nseamnă că are coţurile tăiate) tăiate ) Simetia sa îi conferă conferă o s tabiitat tabiitatee remarcab r emarcabiă iă,, care a descis des cis noi p osibiităţ osib iităţii pentr cimia cimia organică. e o scară ceva mai mare dect moeculele găsim si metrii me trii n stctu stc tura ra ceuară ; n ciar ciar centrul repicării celuare se afă o mică piesă de ingierie mecanică. Adnc Adnc,, n fiecare ie care ce ce ăă vie există o structură st ructură mai degrabă fără formă, numită centrozom car tinde microtubr microtub rii ungi ungi şi sbţiri, compoente de d e bază ae  Denumi Denumirea rea proine de d e la numele arhitetuui arhitetuui ameria amerian n Buk Bu k minster Fuller autorul unui proiect d construţi u care sea mănă moecul mintită Se oate bţne  magie a oleculei pornind de la mngea de fotba actuit din petice pentagonae şi hexagonae tomii de arbon s-ar afla în îrfurie pentagoa

9

94

N  M E R E L E NA R I 

 s cheetui iter a ceuei, arătî arătîd ca  mic mic  aric aricii de mare mare  Cetrozo Ce trozomii mii a fost fo st descoperi descop eriţiţi  1887 ; ei oac  oacăă u u ro importat impo rtat  orgaizarea diviziuii cec eare. are. Totşi, tro tro priviţă, priviţă, strct s trctr raa cetoz ce tozomi omior or este uimitor de simetrică. sim etrică.  iteri iterior or or există doă formaţii, mite cetrioe, aşezate perpedicar a pe ata. Fiecare cetrioă este ciidrică, ciidrică, fiid fiid cătită di doăzeci doăzec i ş şapte ş apte de microtburi, ipite mpreă dea ug ug  ct ctee trei şiş i ara ara ate după o simetr sim etrieie perfectă perfectă de poigo regat c oă at atri ri MicrotbMi crotbrie i e a a şi ee o formă regată simetr sim etrică ică uimito uim itoare are.. Ee E e st tburi goae pe diătr, formate di ităţi aşezate aşezate reg r egat at ca pe O tabă de şah, coţin c oţinn ndd doă do ă proteie dis dis ticte, ticte, afa afa şi betatubiă. bet atubiă. Vom nţeege, nţeege, poate, po ate, tr troo zi, de ce a aes naura naura aceste ace ste fore simesim etrice. trice. Este Est e imitor să s ă vezi struc strucriri simetrice   miez ei cee vii. vii . Deseori, şi viruşii st simetrici, formee cee mai frecvete frecvete fiid eicee şi icos ico s aedrii. aedrii. Virusu Virusu gripei, de exemp exemp,, are a re formă for mă de eice. eic e. Dintre Dintre toate formee form ee de irşi, irşi, atra preferă icosae ico saedr dr : exempe exempeee icd virşii herpesui, variceei, varice ei, egior  egior mani, ai hepatitei hepatit ei caie ifecţioase, ifecţioase, mo mozaicu zaicuui ui gabe aa apui, apui, adeovirsii ovirsii si mti atii. Adeovis e s t  n at exe exemmp izitr izitr a atei atei gieriei gieriei moecare moecare  E este est e format di 252 de sbunităţi sbunităţi efectiv idetice, cte cte 21 strîs grpat grpate,e, ca bie bi eee de biiard biia rd aite de ovitura ovi tura de înîncepere, pe fiecare faţă faţă tringhi ară. ară. (Sub (S ubunităţi unităţiee care se afă dea ug unei muci snt snt sitate pe ai mut dect o faţă, iar vrfrie st sitate pe trei feţe Di acest motiv, 20x21  fac 252) atra prezintă simetrii sime trii şi pe scar sc arăă mai mare. mare . U embrio de broască  dezvotare dezv otare îşi cepe viaţa ca o ceă ferică, apoi îşi pierde simetria pas c pas, pe

IMETRIA TRICATĂ

măsră ce se s e divide, pn pnă ce devin d evinee o astă, formtă din mii de cee mici, forma gloală fiind din no cea sfer sferică ică.. În faa faa următoare, lastla las tla ncepe să s ă se s e curee nspre sine, n cadr ni proces care se s e nmeşte nm eşte gastruaţie În stadiile iniţiale ale acesti coaps, emrion are o simetrie de rotaţie n jr unei axe a cărei poiţie este determinată deseori de distriuţi iiţială a gălb găl b euşlui n o, iar i ar uneori de punctu punc tull de intra intrare re a spermei. sp ermei. Mai ri ri,, acestă ace stă simetrie sim etrie este es te ruptă şi nmai o singră simetrie a refexie se mai păstreaă, trea ă, dcnd dcnd a simetria si metria ilaterală a adulti adulti.. Vcanii snt snt conici, ste st eeeee snt snt sferice, sferic e, gaaxiile gaaxiile st st spirale a eliptice. Dpă cosmol cos mologi, ogi, niversul niversul sui seamă se amănă nă mult mul t cu n go gigan giganicic n expnsine expnsine Orice Orice nţelegere a ntrii treie să incdă o nţeegere  formelor predominnte. pred ominnte. Trebuie explicat de de ce acesac estea snt at at de comne c omne şi de ce mlte m lte aspect asp ectee diferite diferite ale natrii preintă aceleaşi forme. Picătrile Picătrile de poie şi ste s teele ele snt snt sfere, vrtej vrtej rile şi galaxiie gala xiie snt snt spire, s pire, fagri fagriii albinelor albi nelor şi ai viespio vies piorr snt snt hexagonai. hexagona i. Treuie s ă exist existee un principiu general care să stea a aa  aa nor nor stfel stfel de forme  n n este este des de s tul nmai să studiei st udiei fiefiecare ca re exempl exempl izoat izo at şi să expici expici n termenii termenii mecan m ecanisismelor sale inerne. inerne. Ruperea upere a de simetr sime triiii este es te exact n astfel astfel de d e principiu. principiu. Dar, pent ca o simetrie sim etrie să se s e pă, pă, treie să existe o simetrie sime trie iniţială iniţială.. L prima vedere, vede re, aceast ac eastaa pare să  seme se me locuirea locuir ea unei prole pro leme me de generare gene rare a formei cu ala : nainte de a explica explica inelee circuae de pe supraf prafaţaţaa iaui, trebie expica expi catt ia. ia . Dar D ar ntre ntre inee şi sprafaţa iaului iau lui exis existătă o diferenţă crcial crcialăă . Simet S imetria ria iauli este foarte foarte extinsă  fiecre fiecre punct de pe sprtă fiin fiindd echi ec hival valent ent c oricare oricare at at  astfel că c ă nu o  pe o formă. form ă. În ocl vrenei f

95

96

N  M E R E L E N AT  R I I

me, vedem v edem o uniformitte uniformitte cm. Uniformitte Uniformitte cm este uşor de expict : este cee ce se nt ntmp mp cu cu siste sis te mee mee tunci t unci cnd cnd nu exist exist  nici nici un un motiv mo tiv c prţie or  or componente s se deoseb de osebesc esc un un de ce ce t. t. Este, c s zicem ş, opţiune de minm minm rezistenţ rezis tenţ  n turii. turii. Dc D c cev este es te simetri sim etric,c, detliile detliile se s e component c omponentee se pot nocui, no cui, su s u se ot schimb sch imb ntre ee e e Un vrf  p trtuui rt  fe c ceete trei v vrfu ri, stfe s tfe c e putem put em schimb schi mb nt ntre re ee, fr fr  ter spec s pectu tu figu figu rii. Un tom t om de hidrogen hidro gen  metnuui rt  fe fe cu ceiţi, stfe c c putem schimb ceşt ce şt tomi to mi ntr ntree ei. ei . a zon de d e stee st ee din gxi gxiee rt rt  fel c oricre oricre t, t, stfe c putem schimb ntre ee dou brţe spire fr  produce vreo diferenţ importn impo rtnt t Pe scurt, s curt, ntur este simetric s imetric deore de orece ce trim n trun unv unver erss produs produs de msă  nog nog suprfeţe suprfeţeii i zuui Fiecre eectron este exct exct cesi cu orce or ce lt lt elec tron, fiecre proton este identic c ceilţi proton, fiecre regiune regiune  spţiul sp ţiului ui go este est e   fe c orice orice t regiune  spţiuui spţiuui go, fiecre fiecre moment moment  timpuui este exct ceşi cu oricre  moment de ip Şi nu nu mi structur spţiului,  timpuui şi  mteriei este ceeşi ce eşi ;  fel fel snt şi egie cre le guvernez guvernez Abert Einstein Eins tein  fcut fcut din ceste principii de invrinţ invrinţ"" pitr unghiu unghiur r  concepţiei se despre despr e fizic fizic ; e s s  bzt bz t pe idee i dee c nici nic i un punct punct  sp sp iu iuui ui timp timp nu este deos deo s ebit Print Printre re tele, tele, cest idee l l  cond c ondus us  principiu retivitţii, un dintre cee mi mri des copei cop eiriri fizice fiz ice fcute fcute veodt veod t Tote ceste c este snt snt forte forte frumose frumose,, dr d r ee e e generez un profund profund prdox. Dc D c egie e gie fizcii fizcii snt snt ceeşi peste pes te tot t ot şi n tote timpurie, timpurie, de ce ore universu universu re re cest ce st tructur tructur interesnt"  interesnt" ? Nr trebui ore s fie fie fiec

 I M E T R  A  T R I C A A Ă

poate fif i nocuit cu c u orice a a  t  o c , atunc atuncii toate ocurie ocurie ar fi imposib impo sib de distins dis tins ntre ntre ee şi acelaşi ucru sar putea afir afirma ma şi despre timp. D ar situaţia situaţia este est e ata. Problema ble ma se complică compl ică şi mai mai mut mu t di din cauza teoriei cosmologice mol ogice care sus s usţţine că universu universu sa s a născut dintrun dintrun singur punct care a expodat din nimic acum cteva miliar miliarde de de ani, feno feno men cunoscut cunos cut sub num numele ele de big bi g bag ba g.. n momentu m omentu formări formăriii universu universuui ui,, toa t oatete ocurile si momentee mo mentee erau erau u numai indistincte, ci chiar idenice. ic e. De ce snt snt,, aşad aş adar ar,, att de dife diferit ritee acum ? Răspuns este e ste nerespecta neresp ectarea rea princi principiu piuui ui lui Curie, amintit amintit a nceputul aces ac estui tui capito capi to.. Exceptn E xceptndd eventuaitatea modificării modificării sae sa e prin pr in niş niştete imitări foarte subtie privind cauzele cauze le arbitrar de d e mărute, mărute, principiu lui Curie orientează n mod greşit ituiţia n probema compor comp ortătărrii sstemeor sst emeor simer sime rice ice.. Predicţia Predicţia s a că broaş tele adute trebue să fie bilatera simetrce (deoarece embrionii de broască au o simerie biaterală si, conform principiuui lui Curie, simetria u se poate scimba) scimba ) apare apare la pria veer ve eree un succes succes  Dar, aceaşi argument, argument, aplicat stadiuui sferic sferic de bastă, b astă, prezice prezi ce cu aceeasi tărie că o broască adută trebuie să fie o sferă ' U principiu mut ma bun este ce exact opus, princip principiul iul rperii rperii spontane de d e simetr sime triii . Cauee simep uţin simetrice trice dau naş naş tere dese de seori ori unor efecte ai puţin trice trice.. n evouţia sa, universul poate rpe rp e simetri sim etriiiee iniţiale de a big bang. Bastua sferică poate aunge o broasă broa să av avnd simetrie simet rie biatera bia teraăă Cee 252 2 52 de de unităt perfect echivalente ae adenoviruşilor se pot aran ntru icosa ico saedru edru  c ofigu ofiguraţie raţie n n care care ctev ctevaa uităţi or ocupa ocuri specia sp eciae, e, cum ar i vrurie urie.. Un grup de douăzeci douăzec i şi ş apte de micro micr o ubri ubri perfect perfect ordonate ă

97

98

N U M E R E L E N AT AT U R I I

Minun Minunat at,, dar dar de ce există for forme me ? D e ce nu există există doar o masă fără structur structură,ă, n care tote simetr si metriil iilee să fie rupte rupte ? Una dintr dintree cee mai puter puternice nice idei căăuzi căăuzi toare care ca re se s e regăs regăseşte eşte n fiecar fiecaree studi studiuu efectuat efectuat vreo vreo dată dat ă despre des pre ruperea de simetrii simetrii este că matemati mate matica ca nu acţion acţ ioneaz eazăă n aces ac estt fe. Simetriie Simetriie snt rupte fără tragere de inimă. inim ă. Există Exist ă atta simetrie sim etrie n universul nos no s tru tru produs a grămadă, nc nctt rareori rareori se poate po ate găsi vreun motiv pent pe ntru ru care toate simetriie si metriie să fie fie rupt rupte.e. Astfel, As tfel, mute supravieţuies supravieţuiescc . Ciar şişi acee simet sim etrii rii care snt snt rupte, rupte, mai snt ncă ntr ntrun un fe prezente, mai degrabă de grabă n forformă pote po tenţiaă nţiaă dect dect actuaă. actuaă . Un exemp : at a tunci cnd cnd cele 252 de unităţi unităţi ae adenovisului ncep ncep să se asam as am beze, oricare dintre dintre acestea acest ea sar s ar putea plasa plas a ntru ntrunn anumit v vrf. n acest a cest s ens, unităţie snt interscimb interscimbaabile. bil e. D ar n fapt, fapt, numai una un a dint dintre re ele s e şză acolo, ar n acest sens s ens smetri s metriaa se s e rupe rupe : unităţie unităţie nu mai ma i sn sntt n ntregime ntregime interscimbabie interscimbab ie.. Dar o parte din din sime si me-tri tri e răm rămne iar ia r no noii vedem un icosa ic osaedr edr n acest ace st sens, se ns, simetriie si metriie pe pe care e obs o bservăm ervăm n na tură tur ă sn sntt urme pert pe rturbate urbate ae marii marii simerii sim erii universale universale a univers universuu uuii nost generat printro producţie de masă. Potenţial universul universu l ar putea putea exista exista n oricar ori caree dintre stările s tările posibile posib ile avnd vnd simetrie extin extinss ă dar n realitate acesta aces ta trebuie să selecteze sel ecteze una dintre dintre ele e le.. Pentr Pentru a face see s eecţia cţia universu trebuie să v vndă ceva din sime si me-tria tri a sa reaă pentru pentru simetr sim etriaia potenţiaă, potenţiaă, neo n eobs bservab ervabiă. iă. Dar ceva din simetria actuaă poate să ai rămnă şi, atunci atun ci cn cndd acest acest lucru se nt ntm mpă, pă, ob obsesevăm văm o formă. formă . Cee Cee ma ma  mute mute dintre formee sime si metrice trice ale naturii naturi i apar . . . . . ca urmar urmaree a une vers oarecare a acestu aces tu mecasm me casm genera. ntru ntrunn mod negativ, faptul faptul descri des criss reabi r eabilit litează ează prin-

 I M E T R  A  T R I C AT AT Ă

metrice cre pot po t decnş o instbiitte a stării s tării tot tot simetrice, tnci sistem nostr mtemtic nu mi este per pe rfect fec t simetric simet ric Dr D r fpt fpt importnt este că ce mi mică abtere abt ere de  simetri în cză pote po te ave c efect efect pierdere pierdere totă  simetriei simetriei  ir mici mici bteri bteri există întotdeauna cest ce st fce principi Curie Curi e intil intil pent prezic pre zicere ere sime simetriilor. triilor. Pentr  o bţine inform inform ţii, ţii, este es te mt m t mi mi profitbi pr ofitbi să sese mode mo deleleze ze un sist si stem em re re dpă nu nu c simetrie sim etrie perfectă, dr dr trebi tre biee să se ibă n vedere că n stfe de model re mute stări posibi pos ibie, e, dintre cre cre n singră sese v reiza re iza în prc tică ică  Micile per pe rtrbţii obigă sistem siste m re să selecteze se lecteze stări din cte ct e gori ceor fte fte  dispoziţi dispo ziţi siste sis temu muii ideizt ideizt perfect. stăzi,  stăzi, ceastă bordar b ordaree a comporc omportări tăriii siste si steme meor or simetrice si metrice ne oferă n dintre ăile ăil e prinprincipe de înee îneeger geree  principii principiior or generle de priţie  formelor. formelor. prtic r, mte m temtic mtic rperi rperiii de sime si metii tii nifică nifică î n prticr, fenomene cre cre  prim prim vedere pr pr complet compl et seprte. se prte. Să ne gî gîndim, de exemp, l formee formee dnel d nelor or de nisip menţi menţi onte în cpito 1 D eşer eş ert t pote fi modet c n pn neted net ed de prtice de nisip, vîntul p o te fifi modet ca n fuid crgînd de curmezişul plni. i. Lînd Lînd în consid con siderre erre simetriie sim etriie ni stel s tel de sissis tem, c şi mod în cre ceste pot fi  pte, pte, s e pot dedce mlte dintre formee formee dneor. Să prespnem, pre spnem, de exempu, că vî vînt bte bt e constnt co nstnt ntro direcţ dire cţieie fixă fixă,, sfe că întreg sistem este inrint l trnsţiile pree c v vntul tul . O posi po sibiitte biitte de  rpe rpe sim s imetri etri l trnsţ trnsţiiii este es te de  cre cr e forme forme perodice de dungi pr ee, ee, şez ş eztete  nghi n ghiuri uri drept dreptee fţă fţă de direc dire cii vîntvînti Dr cest este form nmită de geoogi dune trnsv trnsver erss  e . D că form devine devine periodică dea de a ng ng

99

00

  M      AU   

cestele ondulate ale duelo bacanode S asa ma depate Da Da pncple matematce matema tce ale ale upe upelo lo de set s et nu funonează nua pent pe ntu u duele e nsp. nsp . Aces Ace s te pncp funconează n cazul ocăru sste u aceleaş set set  pentu pentu oce flflud cae cae cuge dea de a uezşul uezş ul une une supafeţe supafeţe plae, pla e, cend cend fome. fom e. Acela Acela  model e bază se poate aplca unu u cu aluvun cug cugnd nd peste pe ste zona de coas co astă tă ş depoztnd depoztnd sedmente, sedm ente, sau apelo de mae puţ adnc, mşcate de flux ş eflu efluxx deasup de asupa a fund fundul ulu u mă  feomee mpotante tante  geolog geo loge, e, deo d eoaece, aece, dup dup ă loae e an, an, fo fo mele ezultate e zultate se s e fxea fxează ză n oa n cae ss  au tansfo mat fundul nspos al mă ş delta mloasă Lsta fomelo fomelo este aceeas ca n azul dunelo. dunelo. Fluul Fluul poate poate f u cstal cstal lcd, aşa cum este est e el n ecanele ceasulo dgtale, cost co stn n dn multe multe molemole ule lung  sub sub , cae se aan aanjj ează upă nşte nşte fo me sub nflue nfluena na uu uu  cm cmpp electc ele ctc sau ma magn gnetetcc.. Ve Ve găs ş ac aceleaş fom. Sau poate să nu fe deloc u flud: poate că ceea ce se mcă este o substanţă chmcă, mc ă, dfuz dfuznd nd pn p n esut ş depun dep unn n nfoma genegene tce pentu fomele e pe pelea unu anmal n dezvoltae. Ac aaloagele unelo tansvesale snt dungle unu unu tgu tgu sau ale une zeb z ebe, e, a ale cestelo ceste lo bacanode snt snt petele pete le leop le opadu adulu lu sau ale hene. he ne. Aceeaş atemată abstactă, abs tactă, da dfet dfetee ealiză ealiză fzce fzce ş bol b ologce. ogce. Matematca Matemat ca este e ste fundamen fundamentală tală pentu tu tansfe tansfeu ull tehnol tehnologei ogei  da, cu tehnologa entală se tansmt a degabă modu de gde dect maş Această unvesaltate a upe de set explcă de ce sstemele v ş cele ev au multe fome comue Vaa nsăş este u poces n cae se ceează ,

S  M     A S    C A A 

epezt epe ztăă o poducţe de masă, ma să, ca ş unvesul unvesul fzc fzc,, a lumea ogancă ogancă peztă pn p n umae multe dnte dnte fomele găste n lumea aogancă Cele ma feşt smet ale ogasme ogasmelo lo v v st st acelea ale fomelo : vruş vruş cosa co saec ec,, ccochla ochla spală a lu lu autilus, coaele ele elcodale ale gazelelo, gazelel o, emacablele smet s met de otaţe ale stele de mae, ale meduze ş ale flolo. Da sm s metle etle lum lum v v  meg me g dnc d ncol oloo de fomă, tec te cnd la c o mpotae  ş u u uma lala tmule tmule smetce sm etce ale locomoţe loco moţe meţona meţonatete ateo ateo.. Tetole Tetole peştlo dn lacul Huon st aa aanja njatete ca fagu fagu d stup, a a  aeasae asta dn aceleaş ot otve. ve. Teto Tetole, le, ca ş lavele lavele de albe, nu pot pot ff supap supapus use,e, aşa cum a mplcao mplca o sme s me-ta t a pefectă  n schb, aceste ace steaa se s e aşa a şază ză m mpeuă cct ma compact posbl, făă a f dfete una faţă de alta, a cost cos tgeea geea comp c ompotame otamentală ntală poduce podu ce p sne nsăş un mozac cu smete hexagoală. Tabloul peztă asemăă zbtoae u tasferul de tehologe mateatcă, eoaee acelaş mecansm de upee de smet sme t aanj aanjează ează atom atom  dtu cstal csta l ntro ntro eţea egulată  u poces cae, n n f fal, al, susţne teoa te oa lu lu Keple despe fulg fulg de zăpadă. Unul Un ul te te tpu tpule le cele c ele ma umtoae de d e smet sm et d natuă este smeta n ogldă, adcă smeta n ap ap ot cu eflex eflexa.a. Smetle la eflexe petu petu obe o becctele tdmensoale nu pot f ealzate p otea obectelo obec telo  spaţu spaţu  pant pantof oful ul dept u poate ff  tan tanss fomat foma t  el st s tg g otdul. otdu l. Totu Totuş, ş, legle le gle fz snt snt apoape smece la oglnre, excepţe făcnd doa aumte teacţu ale patculelo subatomce Ca ezultat, fecae moleculă cae u este smetcă la eflex eflexee exstă sub două fome fome  de ma ma dreap dreaptă tă ş de ma stgă, ca să e expmăm astfel Pe Tea, va-

 0

02

UM AU

exemplu  De unde vne această aceast ă pefe pefenţă nţă a veţ pen tu o asmet as mete e patculaă la eflex eflexee ? A ff putut f numa numa o ntmplae  o pobabltat pobab ltatee niţală pop gată pn tehncle poducţe de see a eplcă In acest ace st caz, caz , ne putem pute m nch nchpu pu că pe o planet plan etăă ndep ndepă ă tată exstă ceatu ale căo că o molecule mol ecule snt snt magnea ma gnea n oglndă a moleculelo noaste Pe de altă pate, a putea putea exista exista ns nsăă un motv mo tv pofun pofundd ca   aţa să s ă aleag al eagăă peste tot aceeaş decţe Fzcen ecunosc astăz exstenţa a patu foţe fundamentale n natuă: gav taţa, electomagnetsmul electomagnetsmul şş  nte nteacţ acţunle unle ta ş slab sl abee Se şte şt e că foţ foţaa slabă sla bă volează volează smet smetaa la ogl o gln nd de e  ea se compotă dfet n vesunile de stnga" ş de deapta" deapta" ale al e aceleiaş pobleme fzice fzice Aşa cum cu m spunea fzicanul austa Wolfgang Paul, Domnul Dum nezeu este slab e sts tnga" nga" O consecnţă consecnţă emacablă emacablă a aestei volăi a simetie la oglndie este faptul că nvelele nvelele e enegie en egie ale mol m oleculelo eculelo nu snt snt exact egale e gale u nvelele de enege ale moleculelo olndte Efetull este foate mc : dfeenţa tu dfeenţa nt ntee nvele nvelelele de d e enege eneg e ale celo două tpu tpuii de molecule molecu le este e o pat p atee la zeze ce la putee put eeaa a şaptesp şapt espeze ezeea ea păţ. păţ. Acea A ceastă stă cantitate cantitate pae foate mcă  a am văzut văzut că u upeea de smet smet necestă neces tă numa numa o p etuba ţe ţe mnuscul mnusculă.ă.  n geneal, fomele fo mele e molecule u enege ma mcă tebue să fe cele favozate n natuă. Pentu acest amnoacd se poate po ate calcula calcula că, că , după după un nte ntev valal de o sută su tă de m m  e an, an, cu c u o pobabl pobabltate tate de % foma foma c u enege ma m că evne evne pedomnantă ntadevă, versiunea acestu amnoacd găst n ogansmele v este ea de enege ma oasă ma oasă A m menţonat n capitolul capit olul 5 smeta s meta s tane a ecua ţlo lu Maxwell cae leagă eletctatea ş magnets-

SMEA SCA

lule cmpulu electc cu cele ale cmpulu magnetc, vet vet eobtne e obtne aceleas a celeas ecuat ecuat Această smete se s e află află n sptele ufcă fţelo �lectce ş magnetce to snguă foă, cea electomagetcă, unfcae nte pnsă de Max Maxwell Exstă o smete smete analoaă analoaă  deş mpefectă  n ecuale celo ce lo patu patu foe foe fundamenfundamentale ale atu, sug s uge e dd o unfcae unfcae cha cha ş ma ma  mae: mae : toate cele patu foţe alcătuesc aspecte dfete ale acelea acel eaşş ettăţ Fzcen au euşt dej dej a ufcaea ufcaea fo fo ţelo slabe ş Cofom Cofom te olo cu ete, ete, toa toatete cele patu foţe foţe fudamen fudamentale tale teb ue să s ă fe fe unf unfcate cate  adcă săsă fe fe coelate smetc smetc  la nve nvelu lu de ene foarte al alte, te, aşa cum c um eau n uversul tmpuu Acea smete d uvesul tmpuu este uptă  unvesul ostr os truu . Pe scut, exstă un un unves unves mate matc deal, dea l, n cae toate t oate foţele fo ţele fudameta fudametalele snt snt s tuate tu ate ntun ntun mod pefect pefect smetc smetc  da no tăm tăm nt ntaltfel altfel de unves unves  Aceast Ace astaa seamnă s eamnă că unvesul unvesul ostu a ff putut să f e dfet dfet faţă de cel ce l actual; actual ; el a ff utut utut să ff e ocae dnte celelalte unvesu cae,  mod potenţal, a f putut să apaă pntun alt mod de upee a smete Aceasta este o dee mpotantă Da exstă ncă una cha cha ma ma umt umtoae oae : aceeaş metodă de bază baz ă a apaţ apaţee fomelo, acelaş mecansm al upe de smet n unvesul unvesul eneat ene at pn podcţe de ma masă să guvenează cosmosul, atomul atomul ş pe p e no n nşne Această unifiare a fost realizată î deeniile şapte şi opt ale seouu ostru. Forţa uifiat se numete eectosabă. Prini palii autori ai unifirii eletroslabe, americani Steven Weinberg i Sheldo Glashow i pakistaezul Abdus Salam au primit 

 0

 

Ritmul vietii 

Rtmct Rtmctatea atea este pope pope natu, a tmule tmule sale sa le snt multe  vaate. nma noastă  plămn umează cclu cclu tmce t mce,, a căo căo  peoad pe oadăă este adaptată adaptată nevolo tupulu tupulu.. Multe Mult e dnte tmule natu natu snt snt ca bătăle nm nm : ele se ng ngjjesc esc de sne, puls pulsnd nd undeva, n fun fun da". Alte tmu snt ca espaţa: exstă un tpa smplu, pentu cazul n cae nu se ntmplă nmc ne obnu ob nut, t, da exstă exstă un mecansm de contol mult ma compl co mplcat cat cae c ae poa p oatete nta apd n funcţe funcţ e atunc cnd cnd este nece n ecess a  cae adoptă tmu tmulele la neces nec estăţle tăţle medate. date . Rtmule contolable de acest acest tp snt comune n mod specal specal   n mod speca specall ntee nteesant santee  n ca zul zul locomoţ loc omoţe. e. a an anma malele lele cu pcoae, fome fomelele de mcae mca e ob obnute nute ae ntevn atunc atunc  cînd cînd contol co ntolul ul content nu opeează snt snt cunos cunoscute cute sub denuea d enuea geneală geneală de mes Pnă Pnă la dezvoltaea de zvoltaea fotogafe fotogafe de ma mare re vteză, vtez ă, a fost ealmente mposbl de a afla exact modul n cae se mcă pcoaele anmalelo n tmpul alegă sau galopulu: mcaea este pea apdă ca ochul uan să o poată dscene. egenda spune că tehnca foto af sa dezvoltat d ezvoltat dntun u pe un cal n anul

   M U  V V   Ţ Ţ 

agnatul ăilor ăil or ferate Lel L eland and Staford Staford a pariat pe douăzei douăze i şiş i ini de ii de d e dolari ă în anuite o ente ale trapului alul are toate ele patru piioare pi ioare oplet ridiate ridiate de pe sol. so l. Pen Pe ntru a deide par p ariul iul,, un fotograf fotograf,, dward Muggeidge, are şia şi a shimbat u ele n adweard Mubidge, a fotografiat diferite faze ale ersului unui al, plasd un şir de aparate legate prin delanşatoare n dreptul loului pe unde treea alul. Se spune ă Stanford a ştigat pariul. Oriare Oriare ar a r f i adevăru adevărul,l, şti ă Mubridge Mubridge a aus pio nierul nierul studiului stiintifi stiintifi al ersulu e rsuluii anialelor aniale lor.. l l a adapta un un dispz dis pzii ti eani e ani uit zoetrop, zoe trop, pentru a făţia mersul mersul a pe pitu pi tuii inetie inetie"" , u are a des his un drum dund diret la Hollwoo. Astfel, Mubridge a fondat şi o ştiinţă, şi o artă. Cea Ce a mai mai a are re parte parte a aestui ae stui apitol este os o s arată analizei ersului animalelor, de are se oupă o ra ură a biologiei atematie, eită să răspundă la ntrebările Cu se misă anialele?" si De e se işă ele astfel?". ent a diversifia aest apitol, restul este est e dediat dedi at ompo om portă rtărilor rilor ritie ritie are se s e îtl  es la populaţii animale întregi, întregi, un exemplu dramati fiind slipirile sinronizate si nronizate ale auitor auitor speii de liu rii e  e pot fi văzuţi văzuţi   unele regiuni di Orientul Ori entul nde părtat, părtat, inlusiv în Thailanda. Dei D ei interaţiile bio b iolo loggie are au lo n indivizii separaţi sît foarte diferite de ele el e are au lo în populaţiile populaţiile aniale, aniale, toate toa te au la bază b ază o unitate ateatiă şi unul dintre esaele aestui apitol apit ol este est e ă ultor ul tor iele iele difeite difeite şi ultor lurur lururii difeite li se pot aplia aeleaşi oepte matematie generale generale Natura Natura respetă respet ă aeastă aeas tă unitate unitate şi fae bine uz de ea. Prinipiul Prinipiul de d e orgaizare aflat aflat la aza a za ultor iluri 0

0

06

 U M E  E  E  A U   

osilat os ilator or   unitat unitatee a ărei dinai dinaiăă naturală o obligă s ă rep rep ete aelaşi aelaşi ilu de oporta o portare re mereu şi ereu ere u Biolo Bi ologia gia fae să se s e agaţe într întree ele  ir iruite uite"" uriaş uriaşee de osilatori, os ilatori, are interaţionează interaţione ază unul u elălalt e lălalt pentru pentru a rea rea tipa tipare re oplexe de oporta oportare re Ae A eststee reţele reţel e de osiatori uplaţi" onsttuie tea unifiatoare a apitolului de faţă. De e oare oare osilează o silează sisteee ? Răspunsul Răspunsul este este ă aesta aes ta e luru lurull el el ai simplu pe arel puteţi fae daă nu vreţi sau nu nu vi se perite p erite să răîneţi răîneţi nemiş nem işat at De e se s e işă tigrul tigrul înoae noa e şi în olo în uşă uş ă ? Mişarea Mişa rea sa este rezultatul rezultatul a două onstrînger onstrîngeri.i. Prima, Prim a, el se simsim te neliniştit neliniştit i nu nu vrea vrea să s ă stea loului. A doua, el este înh înhisis în uşă u şă şi nu poate po ate să s ă dispară în spatel spa telee ulmii elei mai apropiate. Lurul el ai simplu pe are îl ai de făut atuni înd trebuie să s ă te işti, iş ti, dar nu pţi pţi evad evada,a, este est e să osilez os ilez.. Desi De siggur, ni ni nu o bligă osilaţia să se s e produă după un ritm ritm regulat; regulat ; tigrul tigrul poate s ă urmeze urmeze în uşă uş ă un dm dm neregulat. Dar opţiunea ea ai siplă  şi, prin urare, urare, şi ea u realizarea realizarea ea ai probabilă şi în în mateatiă mateatiă şi în în natură natură  este de a găsi o serie de işăr iş ării are are se s e potries potries şiş i a le repeta ereu. ereu . Aeasta în înţelegem ţeleg em noi prin pri n silaţii silaţii periodie. A desri des riss în apitolul apitol ul 5 vibraţia vibraţia unei orzi orz i de vioară. Şi aeasta se s e mişă miş ă efetu efetuînd osilaţii o silaţii periodie pe riodie şi fae aest a est luru din aelaşi oti otivv a şiş i tigrul tigrul Coarda Coarda nu poate po ate răîne răîne în repaus, repau s, deoa de oaree ree a fo fo st iupită şi nu poate să se işte depart, deoaree apetele sale sînt fixate, iar eneria totală nu nu poate reşt reş t e . Multe osilaţii apar din stări staţionare Atuni înd ondiţiile se shibă, un siste are se aă în stare sta ţionară poate po ate ieşi din repaus, repaus , întrînd întrînd în ibraţie perio diă.  n  ateatiianul ateatiianul geran geran berhard be rhard Hopf

   M U  V E Ţ  

o astfe as tfell de de omp  omport ortare are : n n instea sa, senariu s enariull respe tiv a fost denumit denumi t bifu bifura raţiţiaa Hopf. Hopf . Ideea I deea este de a apro apro xima dinamia sistemului initial ntrun mod foarte simplu şi de a edea daă n est sistem simplifiat apare vreo vibraţie periodiă. Hopf a demonstrat ă, daă siste sis temu mull simplifiat vibrează, ibr ează, atuni sist si stemul emul originar vibrează şi el Marele avanta al aestei metode este ă toate toa te alulele matematie matematie se efetuează efe tuează pen pen tru sistem si stemul ul simplifiat, si mplifiat, n are aestea aes tea snt relaiv di rete, n shimb, shim b, rezultatul rezultatul lor ne ne spune um se s e omportă sistemul iniţial Abordarea diretă a sistemului originar este difiilă, dar proedeul lui Hopf ooleşte difiultătile difiultătile ntrun n trun mod foarte foar te efiient . Cuvnu Cuvnull  bif bifuratie" uratie" este folosit f olosit datorită unei une i anu anu mitete imagini mi im agini mental m ental a fenomenului, n are os o s ilaţiiilaţiile periodie res" din starea iniţială staţionară a o undă pe suprafaţa unui iaz, generată n entrul aestuia uia  Interpretar Interpretarea ea fiziă fiziă a aes a esteteii repreze reprezentări ntări mentale mentale este ă osilaţiile snt mii la neput, mărinduse apoi  n mod s u s ţinu ţinutt  Vit Viteza eza lor d e reş r eştetere re nu e s te impor mp or-tant ta ntăă n aeastă problemă prob lemă.. Un exemplu : sunete sun etelele larinet larinetul ului ui depind dep ind de bi bifu fur-raţia aţia Hopf Hop f Pe măsură e larinetistu  larinetistull suflă n instru ment ment,, muştiu muştiuu ull  are are era staţi staţion onar ar  nepe nepe să vivibreze. breze . Da D aăă ael este sufl suflatat netişor, netişor, vibraţia este e ste mi miă ă şi produe o notă piano. Daă muziianul suflă mai tatare re,, vibraţiile vibra ţiile res  res şi nota nota devine forte forte Faptul F aptul imporimportant este ă, pentru a fae muştiuul să ibreze, suflă tol nu nu trebuie să debiteze deb iteze ael n n osilaţii ( adiă n serii de emisii emisi i surte şi rapide rapide))  Aest fapt este tipi pen ru bifuraţia Hopf: daă sistemul simplifiat tree testul matemati al lui Hopf, Hopf, atuni sistemul real a nepe să osileze de la sine n aest az, sisemul simplifiat

 0

08

  M  R     A A  R  

un uştiu uştiu destu des tull de siplu, deşi deş i o astf as tfelel de iteretare nu este e fapt neesară pentru a efetua alulele Bifuraţi Bifuraţiaa Hopf Ho pf poate fif i ăzută ăzută a un tip speial de rupere e sietrii Spre deosebie de ruperea de si etrii etrii desrise în apitolul apitolul preedent, aiaiii sietr si etriil iilee are se rup sît eferitoare u la spaţiu, i la tip Tipul este o variabilă uniă, astfel ă di put de edere ateati ateati el orespude uei uei lii liiii  axa tipului. xistă uai uai două tipuri tipuri de sietii pe o linie : traslaţiile şi reflexiile Ce nseană, di putul de edere al sisteului, a fi sietri la translaţia tipu lui ? Aeasta îseană ă, ă, daă obseraţi obseraţi iarea iar ea sis sis  teului teului şi apoi aşteptaţi aşte ptaţi u u  auit auit iteal f f de tip, după are observaţi din ou işarea sisteului, vedeţi exat aeeaşi oportare Dar aeasta este hia de srierea osil os ilaţiilo aţiilorr periodie : daă da ă aşteptaţi aşteptaţi un iter iter al de tip egal u u perioada, perio ada, edeţi exat aelaşi ael aşi luru. luru. Astfel, osilaţiile au o sietrie la translaţia tipului Ce pute pute  spune spune despre desp re sietria si etria la refle reflexie xie a ti pului? a orespunde iersării dieţiei de urgere a tipului, un onept ai subtil şi ai difiil di punt de vedee filoofi. Revesia tipului este un subiet subi et arginal arginal în aest ae st apitol, a pitol, dar reprezintă reprezintă o pro bleă extre de interesată, are erită să fie fie disu tatăă udeva. tat udeva. De e u aii aii ? L  de işare este si etriă la eversia teporală Daă veţi fila orie işae fiiă legală" (ua are se supune legilo) şi ei ula ula filul iners, iners, de la sfs fîrşit la eput eput,, eea e e eţi vedea a fi tot o işare Totuşi, işările ' Cititorul trebuie avertizat că aici este vorba de o figr de stil Spre deoseb deosebire ire de soietate; î atur u exist mişcri "ilega "ilega le Ele pot fi doar imagiate u scop demostrativ sau didac

R   M   V  Ţ 

legale omue din lumea oastră obişuită arată deseori bizar b izar în îndd sînt sînt delate delat e ivers Piăturile Piăturile de d e ploaie are ad din er şi fa băltoae osti os tituie tuie o privelişte obişuită în shimb, băltoaele are suipă piături îspre îspre îaltul erulu eruluii şiş i disp d ispar ar st st departe departe de d e aşa eva Sursa Sursa aestor diferenţe snt ondiţiile iniţiale iniţiale C ele a aii multe dintre odiţiile iiţiale iiţi ale rup sietriile lal a reverreversia temporală Să presupuem, de exemplu, ă îepem u  u piăturile are ad pe pănt pănt Aeas Ae asă ă stare u u este es te si s ietriă etriă faţă faţă de timp t imp : revers rev ers ia sa temporală temp orală ar fi piături are ad n sus Chiar daă legile sînt reversibile temporal, tem poral, mişările pe are aestea le produ u trebuie să s ă fie fie şi ele reversib reversibile, ile, deoaree, deo aree, o dată e sietria la reversia temporală a fost ruptă de alegerea odiţiilor iniţiale, ea rămne rămne ruptă ruptă Să ne  toare la osilatori os ilatori Am expliat expliat ă osios ilaţiile laţiil e periodie posedă pos edă sime si metrtrieie de traslaţie raslaţie î î timp, timp, dar u u vam expliat expliat nă e  e sime si metrie trie este ruptă petru a rea rea aest omportamet omport amet Răspusul este toate traslaţiile traslaţiile temporale temporale""  O stare s tare are are este e ste ivaria ivariată tă la toate translaţiile emporale trebuie să arate exat la fel î orie lipă  şi u u umai la itervale itervale de o perioadă perioadă  Aeasta îseamă ă starea trebuie să fie staţioară Aşadar, Aş adar, atui î îd un siste sis tem m aflat aflat iiţial îtro îtro stare saţioa saţi oară ră epe e pe să osileze os ileze periodi, p eriodi, simetriile si metriile sale la translaţia translaţia temporală desre de sres s de d e la toate raslaţiile la traslaţiile umai u un iterval fixa Toate aestea ae stea par pure teorii te orii Şi totuşi, în înţ elegerea faptului aptului ă bif bifuraţi uraţiaa Hopf Ho pf este est e u adevărat adevărat u az de de rupere a simetriei temporale a dus la o teorie uprizătoare a bifur bifur aţiei Hopf H opf pet pe tru ru sis si sem emee are are au şi altfel de simetrii s imetrii   speial spe ial de tip spaţial Aparatul Aparatul matemati nu depide de iterpretările sale partiu

 0

 0   M  R     A  U R I 

ae, i poate lua uşo uşo  u difei difeitete tipui tipui de d e sietri si etriii dint dint o dată. Una dint dintee istoii is toiilele de sues su es ale aesui a esui poedeu este lasifiaea lasifi aea geneală a foelo oelo ae apa ap a atuni nd o eţea sietiă de osilatoi aunge la o bifuaţie Hopf, iar unul dinte doeniile n ae a fost apliat apliatăă eent u sues este loomoţi loo moţiaa anială.  n loo lo o oţie snt snt ipliate ipliate două dou ă tipu tipuriri bio b iolo logigi disdis tinte, da ateati siilae, de osilato. Osilatorii ei ai fieşti snt ebele anialului, ae pot fi onepu onepute te a sistee eani eanie e  ansablui de oase oas e u pivoţi la nheietui, tase nto pate şi alta de mushi mushi ae se ontată. Da osilatorii osilatorii ei e i ai i i  poan poanţiţi ae a e ne inteesea intee sează ză pe noi aii aii snt snt de găsit găs it n sisteul sisteul nervos al eatuii, n iui iuitul tul neuonal genegene ato de senale eletie itie ae stiulează si ontolează la ndul lo ativitatea ebelo. Bi log lo gii denues aest a est iuit  u sigla GC, G C, ae n ns ea nă  geneatorul geneatorul ental de pulsur pulsuri"i".. n mod analog, un student student deal de al eu a năsoit năsoi t pent pentu exteităţile opului anialelo aoni a oniul ul GL, n ns ennd ennd genea geneato de exitaţii exitaţii looo lo ootoii" toii".. Anialele Anialele au două, pat, şase, opt sau ai ulte GLui, da noi şti foate puţine luui despe GCPuile ae le ontolează şi aeasta din auze pe ae le voi explia pe sut. Mult din eea e şti a fost dobndit ergnd napo  sau nainte nainte,, daă pefe pefeaţi aţi  de lala odele odele a teate. Unele Unel e aniale aniale au nuai nuai un sing singu es  doa un singu tipa iti pentu aşi işa ebrele le fant fantul ul,, de d e pildă, poate po ate nuai să păşe pă şeas asă ă.. Atuni Atuni nd nd vea să se deplaseze ai epede, el ege n buiestu  da buiestul buiestul este doa o suesiune suesiune de paşi paş i ai ai ee pezi, steeotipul işăii iioaelo enţinnduse uri de delasae difeite

R    U  V   Ţ Ţ 

luă luă a exeplu alul La viteze ii, ii, aii erg la pas, la ărirea vitezei, ei erg în trap, iar la viteza axiă,, galopeaz ă galop eazăă Unii introdu introdu ître tap tap şi galop înă u alt alt tip de d e işa iş are, re, galopul i. Diferenţele sînt sînt fufudaentale : trap trapul ul nu este pur şi siplu siplu un pas pas repede r epede,, i u totul un alt tip de işare.  aul aul  965 96 5 zoologul zoo logul aerian aerian Milto Milto Hildebrand Hildebrand a observat ă ele ai ulte esui au un anuit grad de sietrie De exeplu, da u anial sare, abele piioar piio aree aterioae aterioae se s e işă îpeună îpeună şi abele piioare posterioare se işă îpreună. Mersul î salturi salturi onseă o nseă sietria si etria bilateală a anialului. Alte sietrii sînt ai subtile: de exeplu, uătatea stîngă a unei ăile poate efetua aeeaşi sevenţă de işări a partea dreaptă, dar u o defazare de uătate de perioadă perio adă  aiă ai ă după după o nt ntrziere rziere î ti tipp e ală u o  uă  u ătatatete de p erio ri o a d ă . Astfel, ubletul are p ropria pr ia s a sietrie arateristiă: refletă stnga şi dreapta şi depl deplasează asează faza faza u o uătate de perioadă" perioadă".. Ş i noi folosi exat aelaşi tip de rpere de setrii atuni înd e deplasă deplas ă : n n p of ofid idaa sietriei noastre bilaterale, b ilaterale, nu ne işă işă  siultan piioare pii oarelele ! Bipedel B ipedelee au au un ava avan n ta din evitarea aestei oinidenţe: daă ele ar uta lent lent abele ab ele piioare piioa re în în aelaşi aelaş i ttp p,, ar ăde  ădea.a. Cele Cel e şapte ersur e rsurii ai obişui ob işuite te ale patrupedelo patrupedelo sînt sînt trapul, trapul, ubl u bletul, etul, saltul, s altul, pasul, pas ul, galopul galo pul alternativ, alternativ, n trap, piioarele gal gal opul traver traverss şi galopul ga lopul pii oarele sînt sînt legate de fapt n perehi diagonale Mai înti loves păîtul stîgul di faţă şi dreptul din spate, apoi Cititorul trebuie avertizat ă teminologi româneasă a miş crilor alului nu este uniform aeleaşi descrieri de itm se g ses sub diverse nume um ar fi galop de manej de împ de urse 



2

  M  R     A U R  

dreptul din faţă faţă şiş i stîn stîngu gull din spate. sp ate.  n salt, păîntul este est e lovit lovi t ai întî întîii de piioarele piioa rele din faţă faţă,, apoi de ele el e din spate spate  Ubletul sau bui buiestrul) estrul) leagă le agă longit lon gitudi udinal nal işările loves păîntul ele două piioare drepte, apoi ele două piioare stngi Mersul la pas ipliă un tipar tipar ult ai ai oplex, o plex, dar la fel de riti  sts tîn în gul din faţă, dreptul din spate, din faţă, s tîn în gul din spate, apoi totul se repetă galopul alterna alterna  tiv, piioarele din faţă loves solul aproape siultan, dar de aeas a eastă tă dată de exemplu) exemplu ) u dreptul uşor uşo r n ur a elui stîng, apoi piioarele din spate loves solul aproap apro apee siultan, dar de aea a eastă stă dată u stî s tîngu ngull uşor în în urma elui drept Galopul travers este aseănător, dar sevenţa piioarelor din spate este inversată Galopul mi este şi ai urios priul e stîngul din faţă, apoi dreptul din spate, după are urmează elelalte ele lalte două piioare simultan. xistă şi un alt alt mers, mai rar, ţopăitul, ţopăitul, în are toate ele patru piioare se işă simultan. Ţopăitul se vede ai ales în desenele aniate, dar poate fi observat efetiv la erbii tiner. U mbletul se poate po ate vedea la ăile, saltul, s altul, la îini, iar galopul alter la viteza maxiă. Caii sînt nativ este folosit de printre ele ai versatile patrupede, folosind ersul la pas, pas , trapul, trapul , galopul traver traverss şi galopul mi, m i, în funţi funţiee de  i r  u m s t a n t e   Capaitatea niale nialelor lor de aşi a şi shiba ersu e rsull pro vine de la dinai dinaiaa urilor. Ideea Idee a are stă la baza odelelor odele lor  este ă ritmu ritmurile rile sis i relatiile de fază ale ersulu la aniale aniale sînt s înt dete de teriate riate d tiparele os i  latiilor naturale ale unor iruite neuronale relativ si pl Cum poate arăta un astfel de iruit? nerarea de a loaliza loal iza în o orp rpul ul animalului anima lului o piesă pies ă anume a ir

R   M   V    

uitulu neuroal este a i um ai ăuta un aumit grăunt grăuntee de nisip î deşert deş ert:: artografierea artografierea îtregulu îtreguluii sis si s tem nervos a elui mai simplu aimal este u mult în afar afaraa posib pos ibilităţilor ilităţilor ştiiţei de astăzi. as tăzi. Din Di n aest a est motiv, trebuie să e streurăm ătre problema designului  întrun  întrun mod indiret indir et.. O abo abordare rdare ar fi elaborarea elabora rea elui mai simplu tip de iruit iruit are ar putea produe toate formele de d e sime trie distite distite dar orelate ale mersului mersului La prima ve ve dere, aeastă aeast ă misiue misiu e pare greu de realzat realzat i pute fifi iertati daă am îerat săsă ăso ă soiim m o strutură st rutură o pliaă u u omutatoare  omutatoare menite să treaă de la u mers la altul, aa aa u este es te shimbăt shi mbătoru orull de vite vite ze la maiă. Dar teoria bifuraţiei Hopf ne arată ă există o ale mai simplă şi mai naturală Se onstată ă formele de simetrie ob obse serrvate în mersul animalelor animalelor se s e amănă pu pu terni terni u ele găsite găsi te  reţelele reţe lele simetri s imetrie e de d e osilato os ilatoare are Astfel de reţele posedă un întreg repertoriu de osi laţii laţii ar  aree rup ru p simet sim etriile, riile, putîn putîndd tree în mod mo d atura aturall de la o osilatie la alta Si nu este nevoie de o utie ompliată de  viteze.   De exemplu, exem plu, o reţea reprezetî repre zetînd nd ul ul uui bi ped nee ne esisită tă umai umai doi osilatori os ilatori identii, identii, îte îte unul unul de fieare piior. Matematia M atematia demonstreaz de monstreazăă ă, daă doi osilatori os ilatori identii sît sît uplaţi  astfel astfel one  onetaţi taţi îît starea fieăruia fieăruia o afetează afetează pe a eluilalt  atui eiei reprezită u exatitate două oduri tpe de osi laţi laţi e Uul ditre ditre aestea este osila os ilaţia ţia  ză, în are ambii osilatori se oportă identi. Celălalt este oz iţi d ză, ză, î are ei doi osilat osilaţia în op ozi os ilatori ori se omp  omportă ortă ideti, id eti, dar u o umătate umătate de perioad pe rioadăă a diferenţă de fază. Să presupuem ă semalul de la  este folost pentru a odue muhi are o trolează piioarele bipedului, asoiid îte un pior





MR AUR

fieăr ie ărui ui osilator. Mersul M ersul are are rezult rezultăă mostene most eneste ste ae a e leaşi tipar, două la număr Pentru osilţiile în fază ale reţelei, ambele piioare se mişă la fel: animalul exeută o mişare ostî o stînd nd din s ărituri ărituri pe ambe am belele pi pi  ioare, ioa re, a un un angur angur In ontrast ontrast u u aeasta, aeasta , mişarea miş area în opoziţie opoziţi e de fază a  u ului lui produe prod ue un mers are seamănă u pasul omului. Cele două moduri de deplasare plasare snt ele el e ma maii free freent nt obser ob serat atee la bipede bipe de (De(D esigur ă bipedele pot fae o mulţime e alte lururi, de pildă ele pot ţopăi ntr ntrun un piior piior  dar, în aest aes t az, ele se transformă prati în animale monopede) Cum rămne u patrupedele ? n azul lor, lor , moe m oelul lul el mai simplu s implu este el de d e patru osil os ilato atoriri upla upla ţi  îte îte uul uul de fieare fieare piior. pii or. Aii, Aii , matematia matema tia prezie o arietate mai mare de moduri şi aproape fieare din tre ele orespunde orespunde mersurilor mersurilor obser obse rvate. vate. Cel mai simesime tri dintre ele, ţopăitul, orespunde sinronismului elor patru patru osilatori, adiă simet sime triei intate intate.. Imediat după aesta, a simetrie, urmează saltul, umbletul şi trapul. Aestea orespund grupării osilatorilor îte doi în opoziţie de fază, respeti: faţă/spate, stîn ga/dreapta, sau sau diag d iagona onal.l. Mers M ersul ul la pas reprezintă repre zintă un un mod de mişare periodi asemănător u ifra opt are apare iarăşi în mod natural natural în matematiă matematiă  C ele două tipuri de galop snt snt mai subtile. sub tile. Galopul Ga lopul alternant este un ameste de umblet şiş i salt, iar ia r galopu galopull traer traerss este un ameste de salt s alt şi trap Galopul Ga lopul mi mi este şi mai ompli ompli at, nefiin nefiindd sufiient nţel nţeleses Teoria se extinde uşor uş or la fiin fiinele ele u u şase şa se piio pi ioare, are, a insetele Mersul tipi al gîndaului de buătărie, de exemp exemplu lu  şi, desigur desigur,, alal multo multorr in ins ete  este a al unui nui repied re pied,, în în are are pi p iio iorul rul din milo milo de pe o parte se mişă în în fază u u u piiorul pi iorul din faţă faţă şiş i din spate s pate ale

R      V   Ţ Ţ 

ună, dar defazate u o uătate de perioadă faţă de priele trei. Aesta este unul dintre odurile naturale de oportare oportare pentru şase osilator osilatorii dispuşi dispuşi într întrun un inel Teoria ruperilor de sietrii expliă de aseenea u îşi pot shia anialele ersul fără să aiă o uti utiee de itez itezee : în în dive diversrsee ondiţii, ondiţii, aeeaş ae eaşii reţea de os ilatori ilatori poate po ate adopta adop ta dive diversrsee oduri Tranziţiile Tranziţiile posiile între diferite oduri de deplasare sînt şi ele organizate de sietrie Cu ît anialul se işă ai rapid, u atît ersul său are ai puţină sietrie: ai ultă iteză înseană perea ai ultor sietrii. Dar expliaţia motivului pentru are anialele îşi shiă ersul ersul nee n eesită sită inforaţii inforaţii ai detaliate despre de spre fiziologia anumalelor n 9  9 8 1  D. F. F . Hot Hot şi R R C Ta Talo lorr au desoperit des operit ă, atuni îînd ailor le este permis p ermis să s ăşişi se leteze singuri iteza în funţie de teren, ei aleg ael ers are le inimizează onsuul de oxigen A intrat întro ulţie de detalii despre ate atia ersuui deoaree aeasta este o apliaţie neoişnuită a tehniilor ateatie oderne întrun doeniu u are la pria edere ateatia pare oplet lipsită de relaţii Pentru a sfîrşi aest apitol, dores să înfăţişez o altă apliaţie a aeloraşi idei ge nerale, nerale, u exepţia ă, deastă dată, din punt de d e edere iologi, io logi, este est e iportant iportant a a sietr si etriaia să nu  ruptă Una Una dintre ele ai spetauloase iagini din toată natura s e poate vedea în Asia Asia de sude su dest, st, unde roiuri iense iens e de liurii slipes slipes  sinron n artio artiolul lul său s ău din  935 93 5  Slipire S lipireaa sinro sinronă nă a liuri liuriilor" ilor",, puliat în re vista Scinc, iologul aerian Hugh Sith oferă o desrier des rieree iezistiilă a fenoenlu fenoenluii : Imaginaţi-vă un arbore de zecedoisprezece metri înăl



6

MR AUR

licuricii lumnînd perfect incron în ritm de trei ori în două ecunde arborele fiind cufundat în întuneric întuneric com plet între două clpri. Imaginaţvă o ută şaizeci de metr din malul ului plin de arbori de mangler cu lcu rci pe fiecare frunză toţ lumnînd ncron inectele de pe arbori aflaţi la extremtăţile lizierei acţionînd la uni on perfect cu cei aflaţ în restul şrulu Apo dacă ima gnaţa vă este suficent de puterncă puteţ avea o dee despre acest spectacol umtor

De e sese siroizeaz siroizeazăă liăririle liăririle ?   990 99 0 Reato Reato Mirollo Miroll o şiş i Steve Strogatz au au arătat ă siroia este regula regula pet pe t  odele o delelele ateatie ateatie  are ar e fieare fieare liurii interaţioează u toţi eilalţi Şi iarăşi, ideea este de a odela isetele a pe o populaţie de osilatori uplaţi uplaţi pre preu uăă  de aeastă dată pri sema se malele izuale Cilul hii folosit de fieare liurii petru a rea un ipu ipulsls de luină este este reprezetat a u osos ilator. Populaţia de liurii e ste st e repr reprez ezetată etată de o reţea de astfel de osilat os ilatori ori u uplaj uplaj total sietri  fi eare osilator afetdui pe eilalţi n exat aelaşi odd C e a ai o ai eobiş eo bişnuită nuită partiulari partiularitate tate a aestui odel, are a fost fost itrodus de bio biologul logul aerian Charles Charles Peski Pes ki n  9 75, este ă os o s ilatorii ilatorii sst uplaţi uplaţi pri pulsuri Aest Ae st fapt seaă sea ă ă un osila tor şi şi afetează afetează eiii nuai nua i  oetu oe tull   are ele l eite u ipuls luios. Difiultatea ateatiă rezidă  a desura toate aeste ae ste interatiui, interatiui, astfel n ntt efetul lor ob o biat iat să reiasă reias ă   o lar. Mirollo M irollo şi Strogatz au doedit ă, idiferet idiferet are st st odiţiile o diţiile iiţiale, iiţia le, pnă pnă la ură toţi toţ i osilatorii os ilatorii dei dei siroi. Deostraţia De ostraţia este bazat b azatăă pe ideea aborbţii are a re are lo atu atuii  d doi do i osilatori o silatori u faze faze diferite s  stt hiş hişii preuă" preuă" şi după aeea ae ea

R   M   V   Ţ Ţ 

total simetri, o dată e un grup de osilatori a fost legat, legat, el nu se mai poate dezlega. dezleg a. O demostraţi demostraţiee geo ge o etriă şi analitiă arată ă trebuie să se produă o sevenţă de astfel de absorbţii, n urma ăreia toţi o s  ilatorii snt legaţi mpreună. Mesaul Me saul prin prinip ipalal are a re vine vin e şi din problema problema loomo tiei si di sinroizare este ă ritmurile naturii snt ese es eriri legate de simetrie sime trie şi ă formele la are are se aun a un ge pot fifi lasifiate matem m atemati ati ivon ivond priipiile ge g e nerale ner ale ale ruperii ruperii de sim s imetrii. etrii. Prinip Prinipiile iile ruperii ruperii de si etrii u pot răspude răspude la ori or iee treb trebare are despre despr e lumea natura naturală, lă, dar oferă n shmb s hmb u adru unifi unifiator ator,, suge suge  rnd deseori noi ntrebări interesate. n partiular, ele el e şi pun, şi răspund la noi ntrebări. De e apar aeste forme forme şi nu nu altele altele ? Un alt mesa este ă matematia poate larifia multe aspete din natu natură ră pe are u le onsid o nsiderăm erăm n mod oobişu bişuitit a fii fiind nd matemati matemati e . Mesaul aesta ae sta este datorat biologu biolo gului lui soţian s oţian DAr DAr Thom Thomps pson, on, a ărui ărui Dpr crştr crştr ş i fom mă ă, arte arte lasiă, lasi ă, dar estadard es tadard Dpr apărută  97 relevă o varietate eormă de dovezi mai mult sau mai puţi plauzibile plauz ibile pentru pentru rolul mate matiii n generarea formelor formelor şi a omport o mportăr ărilor ilor bio logie.  tro tro epoă n are ei mai mulţi biologi biol ogi par par să readă  readă ă singur s ingurul ul fapt fapt interesant interes ant despre des pre un aimal este seve s eveţa ţa ul ului, ui, aest a est mesa mes a tre tre buie mereu re petat, lar şi răspiat.

 

 

oacă zarurie rou ui Dunezeu?

Mo şterea Moşte rea telectual telectual a lu lu Isaac Newton a fostvzfost vzea univesulu univesulu ca u ecas ecas  e ceasoc, cea soc, pus î î işcare   clpa creaţe creaţ e şş  funcţio funcţion apoi ap oi upă  upă rut rut a prescrs, ca o aş aş e uns Era iagiea uui uui nive niversrs total to tal eterinist eterini st  o imagine care care nu nu lsa lsa loc pent acţiuea hazarulu, o agie al cre vitor era coplet eteriat e prezet. Iată ce scria arele astrono şi ateatca at eatca PeeSio PeeSi o e Laplace Lapla ce   To riaa ana an a litică litică a prob probab abili ilităţ tăţilo ilor: r:  8  2   cartea cartea sasa Tori Un nteect care ar cunoaşte în orce oment dat toate fOrţee care anează Natura ş pozţe reatve ale fn ţelor care o compun dacă ar f destu de cuprnzător pentr a supune aceste date anaze ar putea condensa Întro sngură formuă mşcarea ceor a mar obecte ae uversuu ca ş a ceu a uşor atom: pentru n ast fel de nteect nmc nu ar f nesgur ar vtoru ar f pre zent În faţa ochor să a fe ca trecutu

ceeaş ce eaş vizue a lui al cre cre vito vitorr este es te total t otal pre vzil st la aza ueia itre cele a eorale tîplăr in uvela SF a ui Douglas da puli Ghidul Ghid ul pistului pistul ui n Galaxi, Galaxi, î  î

J O A C  ZA R  R   E R O         M   Z Z  ?

filozofii Majikthise şi roofoel prograeaz supercoputel superco putel  Gîneşte Gîneşte aînc aînc"" s calculeze răspurăspusul la Marea treare trea re a ieţii, ieţii, a versului versului şi a Orice Oric e Fanii Fanii SF S F îş i vor ai aiti ti c, up cici ilioae ilio ae e ai, ai, coputerul coputerul a rspus rspus patruzeci patruzeci şiş i oi" oi " , o oet et în care filozofii au îţeles c rspusul a fost clar şi precs, pr ecs, ar nu şi întrearea  o asentor, greşeala i viziunea viziunea lui Laplace La place u se afl afl î rspus  c uiveruiver sul este în principiu previziil, ceea ce, î carul ateatic ateat ic particular al l e gii e işcare a lui Newto Newto  reprezint o afiraţie corect , ci î interpretarea acestui fapt, care este est e o neînţele neînţeleger geree grav, azat a zat pe o întreare greşit greş it Forulîn Forulîn o ît îtreare reare ma maii aecvat vat,, atematicienii şiş i fizicienii fizicienii au ajus acum s s  înţ înţee leag lea g c eterinisul et erinisul şi caracterul caracterul previzi previziil il nu sînt sînt echivalente   viat vi ataa no noast astr r e zi cu zi ît îtîlîlni ni  enurate enu rate cazuri în c re eter et erini inisu sull laplac laplacean ean apare apare ca fii un oel total inaecvat Coorî teferi e ii de ori treptele, pîn întro zi în care e suc glezna şi eo rup e Merge M erge la u eci e teis şi acesta este sasa otat e o neaşteptat furtu cu ploaie Parie la curse pe calul favorit şi acesta cae la ultimul gar, cî coucea couc ea cu şase lungii faţ e restul re stul pluto pluto ului lu i Universul Universul u este est e acel ac elaa în care care Eistei refuza refuza s s crea crea spuî spuî c Dunezeu nu n u j oac zarur zarurii : uiveruiversul în care tri pare s  fie acela î î care care zarurile z arurile joa j oac c rolul lui Dumezeu Este Est e luea oastr etermi e termiist, ist, aşa aşa cu pretiea Laplace, sau este guverat e hazar, aşa cu pare ese es e ori ori Iar I ar ac Laplace La place are cu aevrat aevrat reptate, e e ce oare o parte atît atît e are i i  exp exp erienţa erienţ a noastr noa str e arat arat c c el greşeşt greş eşte e ul itre itre cele ai iteres iter esate ate



20

 U M  R     A U R  

cunoscut su enurea enurea popular popular e teora haosu lu  pretne pretne c eţne eţne multe intre rspunsur. rspunsur. Fe c le eţne, e ţne, fe fe c nu, teora haosulu haos ulu prouce o revo luţe în moul nostru e înre cu prvre la orne ş ezorne, lege ş hazar, precţe ş întîplare Confor fzc oerne, la cea a c scar a spaţulu sp aţulu ş tpul tpulu, u, natura natura este es te conus co nus e hazar hazar  De exemplu, faptul ac un ato raoactv raoactv  s zce, e uranu uranu  se ez e zntegreaz ntegreaz sau nu, nu, este est e o pur pur ches tune e proalitate proalitate Nu exst nc n c o ferenţ ferenţ fzc ître ître un ato e uranu uranu care se va ezntera ş unul unul care nu se va ezntera Nc una. Asolut nc una Exist cel puţn puţn ou contexte co ntexte în care se p oate s cuta aceast ace ast prole : conte c ontextu xtull clasic clasic şş  cel cuant cuantc c Cea Ce a ai a are re part partee n  n aces ac estt captol captol este es te consacrat consacrat ecanc e cancii clasc clasce,e, ar s ne fe p ers pent pe ntru ru oent s consier contextul mecanic cuantice. ocai neeterinisul nee terinisul mecanicii cuantice la fcut fcut pe En stein sşi et e t (într (întroo scrisoare scris oare ctre cole cole ul su Max Max Born) faoasa aprecere uneata crez întru Dunezeu Dune zeu care joac j oac zarur, ar eu n leea epln epln ş în orne" n opna ea, este ceva în ezorne cu punctul e veere ortoox al neetermnr neeter mnr cuantce cuantce ş i eu nu sînt sînt snurul, snurul, eoa e oarec recee tot ma ulţi fzcen fzcen înce începp s  se s e îtree ître e ac nu cuva Ensten a avut ereu ereu reptate ş ceva lpseşte in ecanca cuantc e tp convenţonalpoate nşte variale ascunse" ale cror valor spun unu unu ato cîn s se s e ezinterez ezintere z e  (M gr esc s aau c acesta nu este punctul convenţonal e veere veere  ) Unul Unul ntr ntree ce a cunoscuţ cun oscuţ senţ, senţ , fzca fzca nul Dav Boh e la Prnceton, a elaorat o varant ofcat ofcat a ecaci ecaci cuantice care este cop c ople le eter nst n st,, ar total consstent conssten t cu toate fenoenel feno enelee con

JO A C C  ZA R  R    R O         M   Z   

tul de vedere onventional tul onventional al nedeterm nede terminări inăriii uant uantiiee Ideile Idei le lui B ohm au poprii popriilele lor probleme, problem e, n parti partiu u lar, un fel de aţiune la distanţă" are nu este mai pţin inomodă det nedeterminarea uantiă Totusi, hiar h iar daă daă meania mean ia uanti uantiă ă este e ste o oretă retă n privinţ nedeterminării la sările ele mai mii, pe sările maros ma rosopi opie e ale spaţiului sp aţiului i timpului univer univer sul sul se s e supune supune legil le gilor or determin determinisiste te Aeasta se datorea datorea ză unui unui efet efet numi numitt dcornţă, are are fae fae a  a sistemele sistemel e uan uantie tie destul d estul de mari săi să i piardă pia rdă aproape aproape toate ne determin determinări ărilele i i să se omport omp ortee mult mai aproape aproape de sistemele newtoniene n fapt, aeasta reinstaurează meania meani a lasiă pentru pentru ele mai multe multe dintre sopu rile rile la sară s ară umană Caii, starea starea vremi vremiii i ele  elebrele brele za ruri ale lui instein instei n snt imprevizibile, imprevizib ile, dar nu din au au za meaniii uantie uant ie Dimptrivă, Dimptrivă, ele snt imprevizibi imprevizibiee i din perspetiva pers petiva modelului mode lului newtonian Ae A estst fapt fapt nu nu este surprinzător, surprinzător, probabil, probab il, atuni nd este es te vorba de ai  reatur reaturii vii are ar e au prpriil prpriilee lor variabil variabilee asun asun se, se , um um ar fi e fel de n n au mnat dimineaţ dimine aţaa A fost surprinz surprinzător ător nsă nsă pentru pentru aei a ei meteo me teorologi rologi are au a u ală tuitt programe tui progr ame uria uriaee de simulare si mulare a vrem vremiiii pe ompu  ompu ter, u speranţa sp eranţa prezierii prezi erii timpului pentru pentru teva luni luni Şi este u adevărat uimitor pentru zaruri, hiar daă oamenii foloses n mod pervers zarurile a pe unul dintre simbolurile preerate pentru hazard Zaurile snt numai nite i te ubur uburi,i, iar un ub ub are se rosto ros togo golelettee nar trebui să fie mai pţn previzibil det o planetă are orbitează orbitează  la urma urmei, urmei, amb ambele ele obiete obiete se supun ae lorai legi ale miării meanie le au suprafeţe dife rite, dar snt la fel de regulate i de matematie Pentru a nţelege um pot fi oniliate impredi tibilitatea tibilitatea u determinis determinismul, mul, să s ă ne gndi gndim m la un sistem sist em

 2

22   M  R  L   A   R  

pcturle de ap care se prelng dntrun dntrun rone ronett cesta c esta este este u sste ss te deternst deterns t : în în prnc prncpu pu,, curger curgerea ea ape în dspot dspo tv v este staţonar ş unf unfor or,, ar cee c eeaa ce se se întî întîp pll cu apa atunc cîn cîndd es e s e este este prevut de leg l eglele şcr şcr fludelor. fludelor. Ş totuş, totuş , un experent experent splu, dar efce efcent, nt, deonstrea de onstrea c acest sste evdent evdent deter de ter  nss t poate f fcut n fcut s se cop c oporte orte mprevl mprev l ces  cestt fapt fapt ne conduce la cîte cîteva va de ateatce  c olater ol ateralale" e" care explc de ce este posl un asfel de paradox. Dac daţ da ţ druul druul încet unu unu ronet ro net şş  aştep aş teptaţ taţ cîte cîte va secunde ca s curg curg în od od consta cons tant, nt, puteţ de o o ce deterna producerea une ser regulate de p ctur ctur cînd cînd la ntervale nter vale egale de tp, t p, întrun întrun rt regulat regulat r f dfcl de gst ceva a uşor de d e prezs decît decît acest proces proc es Dar D ar,, dac veţ ve ţ întoar întoaree uşor uş or ronero netull pentru tu pentru a face s creasc cre asc detul, veţ vede ve deaa c sec se c venţa venţa de pctur pctur care car e cad se desfşoar înt întrun run od  od neregulat, prînd întîpltoare. Pentru a reuş, este nevoe nevoe uneor de a ulte ult e încerc încercr r ; este ne ca c a s deschdeţ des chdeţ ronetul ro netul treptat. t reptat. Nul întoaceţ întoaceţ pîn pîn cînd cînd apa în începe cep e s curg întro întro şuvţă contnu contnu ceea ce ea ce urrţ este o pcurare de vte ede Dac reglaţ exact curgerea, puteţ puteţ  urr urr ulte nute în în şr zgo zgo  otul pcturlor, fr a percepe vreun rt regulat. n  9 78 78  o în de tner asolve as olvenţ nţ de la Unverstatea dn Calfor Calforna na de la Santa Cruz au forat Co C olectvu lectvull de d e sstee sste e dnace dnac e Cînd a u înc înc eput s s  exaneze acest ace st sste de d e pctur pctur,, e au înţeles c nu este vor vo raa despr des pree ceva atît atît de înt ntîpltor îpltor pe ît ît pare pare  E au au înregstra înregstratt cu ajutoul unu crofon goo go otul tul cder pcturlor ş au analzat secvenţa ntervalelor dntre fecare pcur ş cea care ureaz Cercettor au descopert c se poate face o prevune pe teren

JO A C C  ZA R  R    R O         M   Z Z  ?

tre tre tre pcătur succesve, succe sve, atuc atuc se poate po ate prezce prez ce o o etul î care va cădea urătoarea pcătură De exeplu, dacă da că ultele tre tervale tervale dtre dtre pcă p cătur tur au fost 063 de secude,   secude ş 0   secude, atuc puteţ f sgur s gur că urătoarea pcătură p cătură va cădea după 082 s e cude ude  ( ceste cest e uere sîsît redate ac u u a petru petru scop sc opur ur lustr lustratve atve )  realtate, dacă se cu osc exat oetele căder prelor tre pcăur, atuc se poate prezce îregul vtor al ssteulu tuc, de ce u are aplace dreptate Prolea este că starea star ea ţ ţală ală a uu uu sste sste  u se poate poat e ăsura ăsura codată exact Cele a precse ăsurător făcute pîă pîă î prez pr ezet et î orce sst s ste e fzc sît sît corec co rectete pîă îă la crca zece zec e sau s au douăsprezece douăspreze ce zecale. zeca le. D ar af afr ra a ţle lu Laplace Lapla ce sît co corecte recte ua dacă a putea face ăsurător cu o precze ftă, dec cu u uăr nffn n ntt de zecale  ceea ceea ce, desgur de sgur,, u u este este posl p osl  că de pe vreea lu aplace se şta despre eroarea î ăsurătoare, ăsură toare, dar sa conserat co nserat că dacă ăsurătoa ăsurătoa rea nţală nţală a fost fos t făc făcut utăă cu o precze prec ze de zec z ecee zecale, ze cale, de exeplu, atuc atuc toate precţle urătoare urătoa re ar avea precza tot de zece zece zecale zecale  Eroarea E roarea ar putea putea c c să dspară, dar c să crească. Dn efer efercr cre,e, eroarea eroarea creşte, creşte , ar  ar acest ace st fapt fapt e î î pecă să îşră o sere de predcţ pe tere scurt petru a obţne ua valală pe tere lung. Să pre supuem, de exeplu, că că se cunosc o oetele etele căder căder prelor prelo r tre tre pcătur pcătur cu cu o precz prec zee de zec z ecee cfre cfre se se  nfcatve. tuc, se poate prezce oetul urătoare toa re pcătu p căturr pîă lala ouă cfre, c fre, al urătoare urăto are pîă la opt cfr cfree ş aşa a a  departe departe  a fecare fecare pas eroarea eroare a creşte cu u factor factor de crca zece, astf as tfelel că se s e perde precza petru îcă o cfră sefcatvă. Pr urare, după

2

2

 U M  R    AU R  

prvire la oetul urătoare piături. (Preizez îă o dată ă ă uerele uerele preise pot f altele : poate ă perderea uei ifre sefative sar produe după o uătate u ătate de duziă de pătur p ătur,, dar hiar ş atui, după şaze de piături, apare aeeaş probleă.) Aeast Ae astăă aplifia aplifiare re a eror repreztă prăpasta l gă î are dispare deterisul perfet al lui La plae. pla e. ii i i u are sorţ s orţii de d e zbîdă zbîdă,, î afar afarăă de per pe r fetiuea fetiuea î îs ăsi î atere ater e de ăsurătoare. ăsurătoare. Daă a puea puea ăsura pul u o sută su tă de zeiale, zei ale, predţ le oastre ar eşua după o sută de piături (sau după şase sute, ofor ofor  estării estării ai opt optiste iste de ai a i sus). sus ). Aest feo fe oe e se ueste sesiblitate s esiblitate la l a o o  ditile dit ile iţiale", sau, ai puţi  foral, efetul fluturel". (Atu îd u fluture îş şă arple la Toky, re zultatul poate p oate f u uraga u o luă ai tîrzu tîrzu î î Flo Fl o rda d a .) Feoe Fe oeul ul este e ste str strss asoat as oat u u grad al altt de eregulart eregulartate ate î oportare. Ore feome feome  u adevă rat regulat este este pri defiţie defiţie destul des tul de previzibil previzi bil.. Dar Dar sesbltatea la odiţle ţiale fae oportarea  previzblă  de de eregulată. Di aes aestt otv, o tv, u sis sis  tem are afestă afestă sesbltate sesbl tate fată de odtiile odtiile iitale este ut ut haoti Coportarea C oportarea aotă se spue or leg deterste dar, deoaree este atît de eregulată, p oate părea aleatore petru ieva eavizat. e avizat. Haosul Hao sul n u este har o oportare opliată, fără foră; haosul este es te ult ult a subtil. Haosul este es te oplat  oplat u u ai î aparenţă, dar oportarea sa aparent fără for ă are e fapt o explaţe siplă, deteristă D esperirea es perirea haosulu haosulu a fst f st făut făutăă de d e ulţ ulţ  autori autori,, prea prea ueroşi ue roşi pet pe tru ru a f îşiraţi aii. Des D eso operrea perrea a avu avut lo lo  pri pri o o u garea a trei evoluţ separate sepa rate Ua Ua ditre ditre aeste a esteaa a fost deplsare depl sareaa etrul etrulu u preoupărilor

JO A C  Z A R  R    R O         M   Z   

riodie, ăre ipuri ai oplexe de oporare A două a fos opuerul, are a fău posibilă găsirea uşoară şi rapidă a soluţiilor aproxiaive ale euaţiilor dinaie dinaie  A reia a fos fos  apariţia unui unui nou pun pun  de vedere asupra dinai dinaiii ii  ai deg de grabă geoeri deî nueri Pria a oferi oivaia, a doua, ehnia,   iar a reia, înţelegerea. Geoerizarea dinaiii a înepu au ira o suă de ani, înd aeaiianul franez Henri Poinar ar  un spiri spiri independen, daă daă a exisa exisa vreodaă aşa eva, dar da r unul aî aî de srălui srălui,, în înîî pune punelele sale s ale de de vedee au aauns orod orodoxe oxe aproape pese pese noape  a invena invena onep one pul ul de de spaţiu al fazelor fazelor Aesa Ae sa ese un spaţiu spaţiu aeai aeai  iaginar, are reprezină reprezină oae işăiş ările p osibile ale unui unui sise dina da Pen a da un exep exeplu lu neeani, să nsideră nsi deră dinaia ppulaţiei ppulaţiei unui sise eologi anial de pradăpradă Anialele noasre de pradă sîn porii, iar prada lor sîn rufele, aele iuperi u iros exoi, părunzăor Variabilele Variabi lele asupra ărora ne nenră  nenră  aenţia ae nţia sîn sîn didi ensiunile ensiunile elor două p opulaţii  nuăl nuăl relaiv relaiv al porilr (faţă de o valoare de referinţă referinţă de un ilion) şi nuăru nuărull ruf rufelelor or (aeea ( aeeaşişi defiţie defiţie))  O asfel asfel de alegere alegere ransforă în od efeiv variabilele înregi disree înrunele runele on  onin inue ue  ele iau valori valori reale u zeiale, nu nuere înregi De exeplu, daă nuărul de referinţă al porilor ese de un ilion, auni o populaţie de   de por p orii orespunde unei variabile egale u 0 0 Creş Cre ş erea naurală naurală a rufelor rufelor depinde de î de ule rufe exisă ş i de vie vi eza za u u are le ănîn ănînăă porii, iar reşerea reş erea popu p opulaţ laţiei iei de pori p ori dedepinde de îţi de ulţi pori exisă ş i de î de ule rufe ănînă aesia Asfel, raa shibării fieărei variabile depinde e aîndouă variabilele, observaţie

 2

26

  M  R E    A  R  

care poate poa te fifi trasfor trasforată ată îtru îtru siste siste  e  e ecuaii ecua ii  fereţiale petru iaica populaţilor Nu voi scrie aici ssteul, eoarece e oarece u u ecuaţi ecuaţiee coteaă, ci ceea ce se fac fac e cu ele Ecuaţiile Ecuaţiile iscutate iscutate eteri eteriă ă î  î pricip pricipiu iu  cu cu se va scia sci a î ttp p vaoarea iţ iţală ală a populaiei populaie i D e exeplu, acă pori cu   porci şi   trufe, treue itrouse valorle iţiale 0 0 pe tru tru variai variailala porclor p orclor şi 0  petr pe truu variaila varia ila tru tru felor, iar ecuaţiile spu î o iplicit cu se vor schia aceste uere Dificultatea costă î a face iplicitul să evă explicit, rezolvînd ecuaiile ecuaiile Dar î ce ses se s ? Reflexu Reflexull atur aturalal alal ateaticiaului ateatic iaului clasic ar fi să caute o formulă care să spuă exat care va fi populaţia e porci şi populaţia e trufe î orce o et. Di efericire, astfel e soluii explicite" sît atît e rare, îcît îcît u u ertă să fe făcut efortul e a le căuta, ec  ecîît acă ecuaile au o foră foarte specială sp ecială ş liitată lii tată.. O alter alterati ativă vă este căutarea căutarea e soluţi s oluţi aproxiatve xia tve e e u co coput puter, er, ar astfel astfel e solu s oluiiii e spu ce se îtî îtîplă plă uai uai petr acele valori valori inial in ialee particu particu lare, ar e cele ai ulte ori ori să cuoaşte ce se va îtîpla petr ai ulte valori iiale iferite tre ele Iee I eeaa lui lu i Poicar Poicar a fost să alcătu alcătuască ască u talou care arată ceea ce ea ce se ît îtîplă pet p etru ru toate valorle iiţale. Stare Stareaa sste ss teulu uluii  efi efiită ită e ăriil ăriilee celor c elor ouă populaţii ît îtru ru aue aue oet o et  poate poa te fi repree tată pritru puct î plan, folosi vechiul tc al cooroatelor Put P ute e repre repreeta, eta, e exeplu, popuaia porcilor pri cooroata oriotală ş popuaţia trfelor trfelor pri cea verticală. Starea iiţală escrisă ai sus cores pue puctulu puctuluii cu cu coo c ooroata roata orot o rotală ală 00 şi

J O A   ZA R U R    R O  U   U   U M   Z  U 

să curgă. Cele două coordoate se schmă de a u momet mom et la celălalt, cel ălalt, cof c oform orm regullor regullor exprmate pr ecuale dferenale, dfere nale, astfel că puct puctul ul reprezetatv reprez etatv s mişă  puct în mşcare mşcare tras trasează ează o cură, ar a r aceas tă cură cură co c o sttue reprezetarea vzuală a co c o mportăr mportăr vtoare a îtregulu sstem. De fapt, prvd cura, o putem veea" amăute mportate ale damc, fă ră a e preocupa de valorle uerce reale ale coor doatelor. Dacă, e exemplu, cura se îchde îtro uclă, atuc cele două popul p opula a urmează urmează u cclu p erodc, repet repetîd îd mereu mereu aceleaş acelea ş valor valor  aşa ca pe u traseu traseu de curse, î care automolul trece mereu pr faa aceluaş spectator sp ectator la fecare fecare tură.  cazul î care cura merge către un punct oarecare ş se opreşte, atuc populaţle ajug la o stuae stală, î care c ua u se ma schmbă s chmbă,, aşa cum se opreşte opreşte automo auto mo lul lul î paă paă de comus c omustb tbl.l. Prtro Prtro ferct ferctăă coce co ce ă,ă, c clurl clurlee s stărle s tărle stat s tatoar oaree au o cosdera cos deralălă se s e fcaţe  cologcă   partcular, ee stablesc amele lmte, lmte, ş cea superoară, sup eroară, ş cea feroar feroarăă petru mă rmea populaţlor stfel, partculartăţle pe care ochul le detectează cel ma uşor sînt exact cele care cotează cu adevărat. Ma mult, o sere de detal rele vate pot f gnorate: de exeplu, putem vedea că exstă exstă o uclă  uclă înch închss ă făr fărăă a treu treu  să deducem deduce m forma precsă ( care care reprezn repre zntă tă formele de undă" co comate mate ale cclur cclurlor lor celor celo r două două popu p opula la ) Ce se întîmplă dacă dac ă încercă o pereche dfertă dfertă de vaor vaor ale Găs Gă sm m o a doua cură cură Fecare Fe care pereche pe reche de valor valor nale defeşte defeşt e o ouă cură cură ; trasîd ul ul ea completă a acestor ace stor cure, putem cuprnde cuprnde toate comportărle posle ale sstemulu, petru toate valo

2

28

MR AR

le e curet ale uu uu flu flu iagar, i agar, şepu ş epu î î pla. aţ iull de f fază ază al sisteuPlaul respectv respectv se ueşte ue şte spaţiu rama ma de fază a sslu, ar ulţea ulţe a e cur curee este est e dgra ss teului   locu locul ei  azate azate pe sibol a ecuaţ ecuaţee feretale cu ferite cot iitale, ave o sche geoetrc vzual a pu telor c urg pri spatelor are curg ţul poctrf poctrfee  cest spaţu fer fa e plaul oişut ua pr faptul c ulte tre puctele sale sî sît a egra e gra  poteale poteale ec e cît actuale actuale : cooroatele c ooroatele lor coespu uulu e porci şi e trufe cae ar putea s apa î coiţi coiţi iale corespuztoare, ar care ca re pot s  u apar apar ît îtu u auit auit caz partcula. şaş aar, o at cu eplasare eplasareaa etal etal e la siolu sio luriri lala geogeo etre, ave ea face cu o eplasare filozofic e la actual la poteţial celaşi fel fel e age geo ge oetrc etrc poate po ate fifi coceput pet pe tu u orce orce siste s iste  iai iaic.c. Exist Exist  u spaţiu alal fazefazelor, ale ci c i cooroate sît sît toate toate valorile varialelor, varialelor, exist o aga e faz faz,, u siste sist e e cure şerpui ş erpui-toare, care reprezit toate coportrile posibile pori e la toate coiţile iale pos po sile ile,, coport copo rtril rilee f f prescrise e ecua ecuai i fereiale ceas c east t ee ee coc ostituie u proges aj aj or, eoarece, e oarece, î loc s e preocup e etalile uerice precse ale soluiilo s oluiilorr ecualor, pute s e e lit la zoa larg a iagrae iagrae e faz faz ş s  o of ofe e  spre spre exa exaare are celei cel ei a e pre coor a specei sp ecei uae, uae, capactatea sa s a umtoare e aaliz a aglo. Iagea spaiulu fazelor ca o oalitate e a orgaza spectrul total al comportrlor poteţiale pot eţiale,, i care atu atura ra selectea s electeaz z coporta co portaea ea oservat servat î realtate, realtate, a evei eve itt foarte rspît rspît  ştiţ Rezultatul fal al arii ovaţ a lui Pocar este vzualzarea a ac c î for for e suprafeţe geoe-

JO A C  ZA R  R  L  R O         M   Z   

te dntrun punct nţal, fnd oservat cu se coport n decursul decursul tpulu tpulu,, s e va vede ve deaa c dese des e or or acesace sta sfrşeşte prn a se pla ntro suprafaţ ne deffnt nt dn spaţu sp aţull fazel fazelor or De exepl exe plu, u, cura se poate po ate ndrepta n n spral ctre ctre o u ucl cl nh nhss,, ca apo apo s se nvrteas rte asc c la nesf nesfrş t pe cl  cl Ma Ma  ult, o ulţe de aleger dferte al  condţlor nţale pot duce la aceeaş for fnal In aceast stuaţe, fora respecttv v este cunoscut su nuel nuelee de atractor atractor Dnaca pe teren lung a ssteulu este deternat de atractor s, ar fora atractorulu detern tpul dnac De exeplu, un sste sst e care aj unge ntro ntro star s taree stasta ţonar ţon ar are are ca atractor atractor exact un punct n sste sste  care care ajunge s repete aceeaş coportare n od perodc are are atractoru atractorull su for de ucl nc nchs hs easta  easta nseamn se amn c atrator de fora uclelor uclelor nc nchs hsee corespund osclatorlor S S  ne reant reant desrerea des rerea corz corz de voar dn dn cap captol tolul ul 5 : co coar arda da ureaz ureaz o sere de şş cr care o aduc  a duc n cele dn ur napo, napo, la punctul de plecare plec are,, gata s repete secvenţ se cvenţaa ereu ş ereu, ereu, la nesf nes frş rştt Nu v sugerez cuva cu va c şcarea c orz orz ar avea loc fzc dup o ucl Doar desierea mşcr este o ucl ucl  nch nchss n sens etaforc : şarea deurge d eurge dup un dru dru care care se nchde n n el nsu nsuşş,, şe ş e rpund prn pesajul pesaj ul dnac al spaţulu fazelor Haosul Hao sul are propra propra sa geoetre geo etre oarecu fantoafantoat, fnd asoat cu fore fractale curoase, nute atratori atratori stranii stra nii.. Efectul fluturelu fluturelu ne spune c şcarea etalat  etalat pe un u n atrator atrat or stranu nu poate po ate f dnante dnante detern deter nat at Dar Dar acest ac est fapt nu nu  altereaz altere az statutul st atutul de de atractor Iagnaţv c lansaţ o nge de pngpong n area agtat. Char dac o aruncaţ dn aer, sau dac o eleraţ dn adn, ngea se deplaseaz spre

2

0

 U M  R     A A U R  

foarte opliat pe valuri, dar, orit de opliat iar fi parursul, inge  ingeaa ră răn nee pe suprafaţă suprafaţă  sau sa u el pu ţin foarte aproape de aeasta n iaginea prezenta tă, supraf suprafaţa aţa aei este es te un atrator. atrator. Astfel, n iuda hao ha o sului, iniferent are iar fifi puntul e start, siste sis teul ul va sfrşi foarte aproape de atratorul său. Haosul, a fenoen fenoen ateat ateati, i, este unul bine stabi sta bi lit, lit, dar u l pute deteta n n luea reală ? Trebuie efetu fetuate ate experie experiente nte  şi aii aii inte intervi rvine ne problea. Rolul Rolul tradiţional tradiţional al experientelor n ştiinţă şt iinţă este es te tes te s tarea tarea prediţiilor teoretie, teor etie, dar, n azul azul n are ar e aţio aţio  nează efetul flut fluturelui  aşa aş a u se s e nt nt plă plă pent pe ntru ru orie orie siste haoti haoti  u u pute pute spera săsă testă o prediţie ? Nu Nu este oare haosul inerent instabil inst abil şi, a atare, atare, neştiinţif neştiinţifii ? Răspunsul este un nu răspiat, deoaree uvntul prediţie" are două nţelesuri Unul intre ele este prezierea prezi erea viitorului" viitorului",, iar ia r efetul efetul flurelui flurelui piediă prezierea atuni nd este haos. Dar elălalt nţeles este des d esrierea rierea antiiată antiiată a rezultatu rezultatului lui unui experi ent ent " . Iagi I aginaţ naţivă ivă arun arunarea area unei onede repetată de o sută de ori. ori . Pentr Pe ntruu a prezie prezi e tot eea e  e se s e va n tpla, la fel a n n azul elui e lui are ghieşte ghieşt e s oarta, va trebui produsă o listă li stă u rezultal rezultal antiipat al fieărei arun arună ăriri Dar se s e pot p ot fae şi previziu ştiinţifie, u ar fi aproxiativ uătate dintre azuri vor fi « ap»", fără a prezie  n detaliu viitorul, viitorul, hiar hiar atuni nd, nd, a a n azul azul de fată, fată, siste si steul ul e s t e unul unul aleat aleatoriu oriu.. Nieni nu afir afirăă ă satistia este es te nestii nes tiinti ntifi fiăă deoare de oareee aeas aeas  ta se oupă u eveniente ipreizibile. Prin urare, haosul trebuie tratat tratat n aelaşi aelaşi od. Se pot fae tot to t fe lul lul de prediţii prediţii despre un siste sis te haoti; haoti ; de fapt fapt,, se pot fae destule prediţii pentru a distinge haosul deter

J O A C  Z A R  R I   R O L  L L     M   Z   

prezie prezi e forma atratorului, atratorului, formă are nu este es te altera altera tă de de efetul efet ul flu fluturelui turelui Tot eea e reusest reuse stee efetul flu flu turelui este să determine a sistemul să umeze diferite dmuri dmuri în aelaş ae laşii atrator Ca urmare urmare,, dese de seori, ori, forma forma generală a atratorului se poate dedue din observaţii experimentale Desoperirea haosului nea revelat neînţelegerea fundamentală a relatiei dintre auză si efet: noi nu înţelege nţel egem m relaţiile ditre ditre reguli şi om o m otarea pe are aestea le generează. ram obişnuiţi să redem ă, por nind de la auze deterministe, trebuie să aungem la efete regulate, dar aum vedem ă aeste auze pot produe efete flagrant neregulate, are pot fi uşor onfundate onfundate u efetele de tip aleator. Neam N eam ob obişnu işnuitit să redem ă nişte auze simple trebuie să prouă niş niş te efete simple simp le (e ( eea ea e impliă fapt faptul ul ă efetele efetele om plexe treb trebue ue să aib aibăă auze omplexe) o mplexe),, dar aum aum ştim ştim ă efetele efetele omplexe omplexe pot avea avea şiş i auze auze simple. simple . nţele gem ă a unoaşte unoa şte regulile nu nu este e ste aelaşi lu lu  u a fi apabili să preziem prezi em omportarea viitoare  sistemului Cum apare aeastă disrepanţă disrepanţă dintre auză auză şi efet efet ? De e aelea ae leaşişi reguli produ uneori omportă ompo rtăriri lare, lare, iaiarr alteori produ haos ? Răspunsul se poat p oatee găsi în fie are buătărie, în flosirea aelui dispozitiv meani simplu, simplu, şi anume mixerul pent pe ntru ru bătut bătut ouăle ouăle  Mişarea Mi şarea elor două palete este simplă şi previzibilă, exat aşa um um sar s ar fi aşteptat aşteptat Laplae  fieare paletă se roteşte rot eşte onstant ons tant.. Misarea Mis area zahărul zahărului ui si a albusului în bol b ol este totuşi mult ai omplexă. C�le dou ingrediente se amesteă  doar pentr pentru aşa ev  evaa este făut făut mixeru mixerull ! Dar ele două d ouă palete nu se amesteă am esteă  ele nu trebu trebuieie separate separate una de ealaltă ealaltă la sfîrşit sfîrşit De D e e mişarea vii toarelor bezele este atît de deosebită fată de aeea a  



2

 U M  R     A U R  

ces ce s amc ult a a coplicat co plicat ecît ecît sîtem sîtem o te te  tataţţ să creem cre em.. Iagaţvă îcercarea îcercarea e a stabl stab l ue aj uge u aumit aumit grăuc grăucor or de zahăr zahăr ! Cî Cî amestecul ames tecul trece trec e prnt prntre re palete, pale te, el este este es  esfăcut făcut la reapta ş la stî stî ga, ar două grăuţe e zahăr care poresc alătur la ceput, se vor afla curî la o staţă mare ître ele, urmî urmî că epe epeete. ete. Aces A cesta ta este, est e, de d e fapt, fapt , efectul efectul fluturelu fluturelu î î actue actue  mnuscule schmb sc hmbări ări în co tle tale u  la efecte mar. Asaar, actul ameste  ări es e u proces haotc. Recproc, fecare proces haotc mplcă u tip e ameste ame stecc matematc în spaţul imagnar imagnar al fazelor fazelo r al lu Pocar. Acesta este motvul pentru care mareele sît prevzibile, prevzibil e, ar ar u ş vremea. vremea .  ambele cazuri este implicat acelaş acel aş fel de ateatcă, ar diamica diamica mareelor mare elor u are spaţ sp aţu ull fazelor amestecat, spre spre deo d eoss ebire e tim tim  pul probabl. Nu are mportaţă ce fac, ci cum faci. Haosul Hao sul ă peste cap presupunerle presupunerle noastre no astre conforconfortabile prvn moul î care fucţionează unversul. Haosul e spue că uversul este mult ma straiu decît decît e magim. magim . Haosul pue la îdoială multe intre metoele traţo traţoale ale ale ştinţe ştinţe : simpla cuoaştere cuoaştere a leglor leg lor atur atur nu ma este sufcentă. Pe e  e alt pae, haosul e spue că aumite lucruri espre care credeam de am că sînt sînt pur aleatorii pot f e e fapt cos co secnţele ecnţele smple Haosul atur este lmtat e leg uor simple. trecut, ştiţa ştiţa tea s ă gore evementele evementele sau fen omeele omeel e care păreau înt întîm împlătoa plătoare, re, p e temeiul te meiul că, eoarece nu au comportăr clare, ele u pot f guverate e leg sple Nu este aşa. Exstă char sub asul ostru ostru leg le g smple  leg le glele care care guverează guverează bolle epemce ep emce,, at atac acur urllee e cor, c or, sau s au  vazile vazile de lăcuste lăcuste 

JO A C  ZA R  R    R O         M   Z   

  dezastrele pe care le provoacă. Haosul ea relevat deja leg no, a char o tpur de leg Haosul coţe propra sa arcă de fore uversale o. Ua dntre dntre prele prele fore desc de scoperte operte se s e poate vedea vede a  cazul zul roetulu care pcură Să e at că ronero netul poate să pcure rtmc sau s au haotc,  fucţe de det. De fapt, ş roetul care pcură  od regulat ş cel care pcură aleatoru"  aleatoru" urează var varant antee uşor uşo r dferte ale aceleaş prescrpţ pres crpţ ateatc ateatc e Dar D ar,, pe ăsură ce de d ettul ape ape care trece t rece prn roet creşte, creş te, tpu tpull de dacă se sch sc hă ă Atractol d spaţul fazelo fazelorr care rep reprez rezt tăă dac dacaa se schă schă cot cot uu uu  ş scharea are loc tru tru f el prevzl prevzl,, dar d ar extre de de coplex Să cepe cu robetul care pcur pcurăă regulat regulat  obserobs ervă u rt rt costat, pcp pc ppcp pcpcc fec fecare are pcră eşnd exact la fel ca precedenta. S deschde pţ ronetul asel a sel ct păturl pă turlee să asă ceva ma repede repe de Acum rtul deve pcpc repetnduse la fecare două pcătur. Nu uma ărea pcătur care determnă determ nă ct de puterc pute rc este suetul suetul produs de de pact, c ş tervalul de tp dtre pătur se schmb uşor de la o pcătură la alta. Dacă se lasă apa să curgă ncă ş a repede, se oţţe o e u rt rt de patr p atruu pcătur : pc pc     Ş că a a  repede repede s e oţ o ţne ne u rt rt de opt op t pcăt pcătur ur:: pcp c ug ea secvenţe care se repetă cotuă să se duleze Itru odel ateatc, te atc, acest ac est proces pro ces co cot tnuă nuă pet pe tru ru u tmp edefnt, cu grupur rtce de      de pcătur pcătur ş a .   d Dar D ar petru petru fecare dulare succesvă succ esvă a peroade este evoe de sch sch ăr ăr tot a a c c ale detude tulu lu ş exstă u det de t la care de d e uea grupulu de r se dul fnt fnt de de

 



 U M  R    AU R  

o secvenţă se cvenţă de pcătur pcătur nnuu a repetă exact aceeaş acee aş co coportare cesta este aosul Pute Pu te  expr expra a  aju ajull geometrc geometrc a u u  Pocar Pocar ce aume aume se n ntpă pă  tractoru asocat aso cat robnetuu ro bnetuu ncepe ncep e ca c a o ucă  ucă nc ncsă să reprezent repre zentnd u n cclu pero per o dc Iagaţvă ucla ca pe un anda elast ela stcc nfăş nfăşura uratt pe deget de get Pe ăsură ce ce de tu tu ape creşt c reştee uca se desface  n două uce aprop apropate ate ca anaju anaju  elastc n n făşurat de două or în juru degetuu Bandaju va f acu de două or a lung, aşa cu peroada este de două or a ungă po exact exa ct n acelaş acela ş fel această a ceastă ucă aproape dulă s e duează dn nou n lugme lugme pentru pentru a crea un ccu cuadrup cuadruplu lu ş a m. m . d După o n fntat fntatee e  e duăr du ăr deg d egetu etull devne po poo ot t cu un fe de spaget sp agetee elastce ca un atrac atractor tor ao aotc tc.. Acest Aces t scenar s cenaru u pentru pentru crearea crearea aosulu se s e nue nueşte şte cascada ubăr peroade n anu   fzcanu Mtcel Fegenaum Fege naum a escopert es copert că exstă exst ă un anumt anumt număr măsurat expermenta care se poate asoca cu fecare cascaă a duăr peroade Numărul este aproxmatv aproxmatv egal ega l cu      f fnd nd aătur aătur e  (p (p  )  unul unul dntre dntre nuerele curoase care care par să aă o s e mnfcamnfcate extraordnară extraordnară s n n atematcă atemat că s n n reata reat a acest ac estea ea u umea ume a atural atural Numărul lu Fe genbau are ş u sol lter lteraa grecească b ( deta deta )  Număr Număru u  ne arat aratăă care este raportul dntre crcumferna ş daetrul unu cerc  n mod analog nuărul u Fegenaum b ne arată care este est e relaţa dntre dntre peroada peroa da pcătur p căturor or ş debtu ape. Ma precs numărul  ne spune că răsucrea suplentară cu care treue descs rone      a feare duare a tu scade cu un factor de   peroade pcătur pcăturlor lor Număr Număru u  este scăltur scălturaa pe toa te reaţle reaţle can can

J O A C C  ZA R  R    R O         M   Z Z  

lui Feigenbau este iscălitura pentru orice cascadă care îşi dub d ublelează ază perioada, indiferent indiferent de odu  odull în care care este aceasta produsă sau de odul în care este efectuat experientul. n experientele cu heliu lichid, apă, circuite ele el e ctronice, ctronice, pendulur penduluri,i, agneţi  agneţi şi roţi de tren care vibrează, apare exact acelaşi nuăr. cesta reprezintă un nou tipar uversal al naturii, unul pe care îl pute vee ve eaa nuai nuai prin ochii ochii haosului; haosului ; o foă fo ă antitativă, un nuăr, apare intrun fenoen calitativ nul intre nuerele naturi, desgur Nuărul lu Feigenbau a eschs poarta către o nouă lue mateatcă, una pe care de abia a început început să o explorăm Coportarea precisă descoperită de Fegenbau ş alte coportăr c oportăr siilare ţin e etalii foarte fne. Ieea e bază este este că pîn pînăă ş atunci atunci cîn cîndd consecţe consecţelele lel egilor nanaturi turi par să fe neregulate, neregu late, legile legile încă încă ai ai sînt sînt acol ac olo,o, la fel fel ca şişi regulatăţile. regulatăţil e. Haosul Haosul nu este înt ntîîplător  el este o coportare prent întîplătoare, rezultîn in reguli foarte precise Haosul este o foră criptcă e ordine  n o traiţional, ştiinţa a preţu preţutt orinea, ori nea, ar noi noi începe să aprece faptul că haosul poate oferi ştiinţei avanta avanta e stncte stncte  Haosul Hao sul face face ca răspunsul răspuns ul la stiuli exteriori să fie ult ai rapid. ntiţivă de tenis tenisen en care aşteaptă să priească un serviciu se rviciu Stau Stau e oare oare neişcaţi neiş caţi ? Se i işc şcăă oar o aree ei regulat regulat dintr dintroo par par-te întralta întralta Desi De sigu gurr că nu nu  Ei ţopăie neregula ne regulatt e pe pe un picior pe altul. Pe e o parte, ei încearcă săş inucă adversarul în eroare, pe p e de alta, ei sînt tot to tuşi uş i gata să răspună orcă orcă seiciu se iciu trim trimss pe partea p artea or. or . Pen P en-tru a putea să se işte işt e repede în în orce direcţie p artcuartculară, ei fac işc i şcăr ării rapide în ulte ulte direcţi dferite* dferite*  n �

Eeple de est fel eistă şi în lue nlă, în zul on

 

6

  M  R    A R  

siste aotic reacţioează ult ai rapid la evei etele exteroare ex teroare şi cu ult ai pui efort decît decît u sist si ste e eaotc. cest ces t fapt fapt este est e foarte foarte importat importat pepe tru probleele prob leele de cotrol igieresc. igieresc. cu şti, de exepl exe plu, u, că auite auite tipuri de turbulenă rezultă rezu ltă di aos aos  moti motivv petr petruu care turbul turbule eaa pare aleatorie aleatorie.. Sar S ar pute puteaa dovedi posibil po sibil ca c a flux fluxul ul de aer pri cae tre ce suprafaa uu avo să fie făcut ai pui turbulet, dec d ec ai a i pui rezistet rezist et la işcare, işcare , istalîd istalîd ecaise de cotrol care răspud exte de repede petru a elia orice orice regiue r egiue de tu turbule rbuleă ă icipietă Şi creaturle vii tebue să se işte aotic aot ic petru petru a răspude rapid rapid la ediul  ediul î scib scibare are.. ceast ce astăă idee a fost trasforată trasforată îtro îtro teică extre de folositoar folos itoaree de d e u grup de atematiciei şi fifi  ziciei, zicie i, pritre pritre care care Willia Wil liam m Ditt Ditto,o, la Gar G arfikel fikel şi Ji Yoke: ke : ei şiau şiau uit procedeul cotrol aotic. Ideea de bază este es te să s ă faci efectul efectul flut flutur urelui elui să lucreze petru tie Faptul că scimbări ci ale codiiilor iiale produc scbări mari î coportarea ultrioară poate costitui costitui u ava avata tajj ; tot to t ceea cei de făcut făcut este est e să te asigu asi guriri că că obii tocai to cai acele scbări s cbări ari ari pe care lel e vrei. vrei. elegerea modulu m oduluii î care se co copor por-tă diamica aosului face posibilă elaborarea uor strategii de cotrol adecvate. Metoda a avut ai ulte succese succe se.. Petru Petru aşi corecta corec ta cursul cursul,, satelii spaali spaali fo fo-losesc un cobustbil umit idraziă. ul ditre priele priele succe s uccese se ale cotrolului c otrolului aotic a fost deverea de pe orbită a uui uui satelt ieşit di fuciune fuciune şi trii terea lui petru îtîlirea cu u asteroid, folosid petru aceasta uai o cantiate ică de idraziă răasă la bord. S a dirij dirij at s atelitul atelitul să se rotească roteasc ă de cici cici ori o ri î jurul Luii, Luii, împig împigîd îdul ul uşor uşo r de d e fiecare fiecare

JO A C  Z A R  R    R O         M   Z   

fel a aii ulte ul te îtî îtîliri liri ît îtrroo ope o peraţie raţie î î care car e ss  au folosit cu succes succ es apariţi apariţiaa haosului în problea celor celo r trei trei corpuri corpuri (aici ( aici sis s isteu teull P P întLu întLussateli atelitt ) şiş i efectul efectul fluturelui. ceeaşi ie i eee ateat ateatic ic a fost fos t folosit folosit pe pe tru a cotrola o paglic paglic agnetic agneti c îtru îtru flui flui turbulent turbulent  un prototip pentru cotrolul cotrolul curgerii turbule turbulete te la trecerea uui uui subari su bari sau avion. avion . Co C o ntrolul ntrolul haotic a fost fost folosit los it pet pe tru ru a eteria eteria reîtoarce reîtoarcerea rea ilor care ca re bat eregulat la ritul noral prefigurî ivenţia uui stiulator cariac iteligent. Foarte recet aceast iee a fost folosit pentru a provoca sau a opri unele ritce e activitate activitate electric electric in ţesuturile creierului creierului ese schiz chizîn în posib po sibilitatea ilitatea prevenirii prevenirii atacu atacurilor rilor e epilepsie. epileps ie. Haosul este o iustrie î plin avît. Nu trece o sptî fr oi escoperiri espre ateatica aflat la baza b aza haosului fr no noii aplicaţii ale haosului h aosului în înţelegerea uii aturale sau s au în tehologie  incluinclusiv u spltor haotic haotic e vase va se o inveţie inveţie japonez j aponez care foloseşte ou palete rotinuse haotic pentru a spla ai bie vasele folosin ai puţin puţin eergie şiş i o aşi britac britac bazat pe aaliza atelor teoretice espre espre haos petr p etruu a îbut îbutţiţi c ontrolul calitţii cali tţii într întroo fabric e arcuri petru suspensii. M ai rî rî totuşi ulte e  e fcut. Probabil Probab il c propr oblea ble a fial fial a haosului haosului est e stee luea lu ea straie a cuatelor ue oneşte legea orocului. toii radioactivi s e ezitegreaz ezitegreaz a î îtîplare" îplare"  sigurele sigurele lor regular regulari-itti sît cele statistice. statistice . n nur are are e atoi rai raiooacivi are ar e u ti tipp e î îj utţire bi b iee efii efiitt  tipul tipul up care jutate in numrul e atoi se ezitegreaz Dar oi u pute preveea  este aceast j utate. Protestul Protestul lui lbert Eistei Ei stei eţio eţioat at ai evree se referea toca la aceast probe Este



8

  M  R     A  R  

adevărat, oare, o are, ă nu eistă nii un fel de diferenţă diferen ţă ntre ntre un ato radioativ are nu se dezintegrează şi unul are este pe puntul de a se dezintegra? Daă aesta este azul azul atuni atun i um ştie atom at omul ul e are de făut ?

Caraterul aparent aleatoriu al eaniii uantie ar putea fi oare eronat ? ste st e el u u adevărat un haos de d e ter terin inist ist ? Iagina Iaginaţi ţivă vă un ato ato a pe un fel de piă tură vibrantă vibrantă de d e fluid osi osi  Atoii radio ativi vi brează foarte puterni puterni şi la fieare fieare astfel de d e vibraţie vibraţ ie o iă piătură se poate desprinde şi sări n afară: ato ul u l sa dezintegrat d ezintegrat Vibraţiile Vibraţiile snt snt att att de rapide rap ide ă  ă nu le pute ăsura n detali de taliuu : doar doar ant antităţile ităţile medii, m edii, aşa u snt nivelele nivelele de energie, pot fi ăsurate ăsurate Dar e ă o piătură de lihid real ania lasiă ne poate vibra vib ra haoti haoti  aest az, işarea este deteri nistă, dar iprevizibil izi bilăă  n anuit anuitee oente o ente,, la n n tplare", vibraţiile onspiră pentru a emite o iă piătură piătură fetul fluturel fluturelui ui fae iposibi iposi bilălă prevederea preved erea oentuli n are mia pir se a esprin e  I ar aest eveent are aratest statte prese,  luznd un tip de nuătăţire bine definit Dezintegrarea aparent aleatorie a atoilor radioa tivi poate poa te fi oare oar e eva aseănă a seănăto tor,r, dar da r la sară sar ă miroso piă? La ura urelor, de e eistă regularităţi statis tie ? Snt Snt ele el e oare urări urări ale al e unui unui determism asuns ? De unde altundeva ar ai putea proveni regularităţile statistie ? Din nefer neferiir iire,e, ni nieni eni nu nu a valorifi valo rifiat at pnă pnă au au aeast aeastăă idee seduăoare seduăoare  deşi ea este aseă as eănă nă toare n spiritul ei u teoria la odă a superstringu rilor, n are o partiulă pa rtiulă sub s ub atoi atoiă ă este un fel de bulă vibrantă vibrantă ultidiensi ultidiensională onală Prini Prinipa palala arate arate  ristiă aseănăt ase ănătoare oare est es t e ă şi bula vibrantă vibrantă,, şi piă tura vibrantă introdu noi variabile interne" n ta bloul blo ul fizi fizi O diferenţă enifi iv lea pe

J O A C C  ZA R  R    R O         M   Z Z  

cele ou oele trateaz eeteriarea cuatic. La fel fel ca ecanica e canica cuantic traiţioal traiţioal teoria teo ria superstri sup erstri gurilor vee aceast eeteriare ca fii autetic aleatorie. leatori e. D ar ar îtru siste ca pictura pictura apareta apareta e eteriare este es te generat e fapt fapt e o iai iai  eter eter iist îs îs haotic hao tic Trucul Trucul ar fi  cu coitia co itia e a ' şti şti cu cu  s invent invent  u u fel fel e stru stru ctur care car e s ps ps  treze caracteristicile e succes ale teoriei superstringurilor gurilor ar în acel ac elaş aşii tip tip s eterie uele ue le variaile s se coporte haotic. Ar fi u o atrgtor e a face ca zarurile ivie s fie eteriiste si' ura lui Eistein fericit.



 

Picăti, dinamică şi maaete

Haosul Hao sul e îv îvaţă aţă că siste si steel elee care se s e supu supu uor uor re re guli siple pot să se coporte î oduri extre de coplicate Sît aici lecţii iportate petru toţi  pet pet  aagerii care care îşîş i iagiează iagiea ză că s ocietăţi ocie tăţi co co  trolate trolate str s trict ict vor erge li e lal a sie, petru petru politicie politici e ii care cre că legiferîd îpotriva uei prolee aceasta este autoat eliiată şi petru oaeii de ştiiţă care îşi îchipuie că, o ată ce au odelat u siste, uca lor se îcheie îcheie Luea Lu ea u poate fi îs îs  tota to tall haotică, haot ică, altfel u a putea put ea supravie supravieţui ţui.. De fapt, uul ditre ditre o otitivele vele petr p etruu care haosul u a fost es e s coperit coperi t ai devree devree este es te că, î ulte priviţ priviţe,e, luea oastră oastră este est e siplă si plă ceas ce astă tă siplitate siplitate tde tde să dispar disp arăă atuci cîd privi ai adîc, î tip ce la suprafaţă ea ai ai diuie diui e Mo M o dul dul de a folosi folo si liaj liajul ul petr pe truu de scrierea luii se aează pe existeţa siplităţii De exeplu, afiraţia vulpile vîeaă iepuri" are ses uai eoarece surprde u coportaet geeral al iteracţiui ditr ditree aiale aial e ulpile vînează iepur, î sesul că dacă o vulpe flăîdă vede u iepure, atuci atuci este posi po siilil să alerge după el Totuşi, acă  acă î îc epeţi să s ă exaiaţ detaliile detaliile prole ei, acestea devi atît e coplicate, că siplitatea

P  C   U R      A M i C  Ş  M A R  A R   

dspare. dsp are. De exemplu, petr pe truu a depl depl aest aes t smplu s mplu act, act, vulp vulp ea treu treuee s reuoasc re uoasc epurele epurele a fid fid e e  pure pure p p ,, treue treue sş sş  pu pcoarel pcoarelee î mşc mşc are ca s alerge dup du p el. Petru a îţelege îţelege aceste a ceste aciu, aciu, tre ue s ţele ţelegem gem vuea, vuea , recuoaţerea re cuoaţerea formelor formel or  creer ş locomoţa m vestgat î captolul  cel deal de al trelea trelea puct, puct, loco l ocomoţia, moţia, ş a vut vut compl co mplca ca ţle fologe fologe ş eurologei eurologei  oase, muşchi erv erv ş creer La rîdul su, acţuea muşchlor depde de olog olo gaa ş chma celule celule cha dep depde de de eca e ca ca cuatc, ar meca mec aca ca uatc poate dep d epde, de, la rîrî dul e, de mult dorita teore despre tot\ î care toate legle fc se uesc tru tot uc Dac î locul loco lo coot otee vom urmr urmr ruul ruul esch es chss e viue sau de recuoasterea forelo forelor,r, vom vo m vedea d ou acelasi' fel de comlextate cu ramfcaţ la ft Misunea Mi sunea pare fă fără speranţă sp eranţă  cu exepia faptul faptulu u c lucrurile lucrurile smple de d e la are am plecat exst astfe as tfell  or or atura atura fo folos loseşte eşte aceast reţea complex e caue ş efecte, or arajea e aşa maer lucrurle îct cea cea ma are parte parte a complextţ co mplextţ s u u cote co tee e  de curîd, cle aturale de vestgaţe d ştţ duceau tot t ot ma adî adîcc si ma adîc adîc î ramfcatile co com m plex plexttţ ţ  î ceea ce Jack Cohe C ohe ş cu mie m umt coş c oşar arul ul reducţos reducţost"t"   M ergî ergîd pe acest ru ru,, am îvţ îvţat at multe despre atur  ma ma ales cum s o fo losm petru petru scopurl s copurlee oastre oas tre m perdut perdut îs îs di vedere marle marle smpltţ, smpltţ, deoarece de oarece u le ma ma  prvm prvm ca ff dd deloc delo c siple si ple Recet, sa s a argumetat argumetat u puct puct de vedere radcal dfert, dfert, cuos cu oscut cut su um umele ele e teo ria omplexităţii Tema cetral a o teor este c Numit şi "teoria inal a se veea crtea lu Stephen Haw ng, Vis i Einstein şi ate esei, Humanitas,  cap  Nt



2

 U M  R    AU R  

splitatea splitatea pe scară are provn provnee n nteracţle coco plcate ale unu nuăr are e coponente  n acest aces t capitol fna fnall ores o res să vă prent prent tre exeex eple e spltate provenn n coplexitate Ele nu sînt înt luat lu atee n lucrărle lucrărle teoretc teo retcenlor enlor complextăţ comp lextăţ ; în în loc e acestea ace stea,, lea le a  ales n curentu curentull prncpal al ateatcilor teatcilor aplcate aplcate oerne, o erne, n teora sstee sst eelor lor  nac nace.e. A procea pr oceatt astfel in ouă otve otve  Ma M a înt nti, oresc să art că floofa în jurul crea se organeaă teoria coplextăţ co plextăţ răate e peste pest e tot n ştnţă, n epenent epe nent e orce or ce acţune acţune explctă e a o pro pr oova ova Revoluţ Revoluţaa stă s tă să ea  ea n clocot, aşa cu o arată ulele care car e încep încep să s ă asă la suprafaţă suprafaţă  n al ol  olea ea rîn rîn,, fecare lucrare în parte reolvă re olvă o veche engă prvn prvn forele ateatce in luea naturală naturală ş ne es e s chie och la acele partculartăţ ale natur pe care altfel nci nu lea f oservat Cele tre suecte alese snt fora pcătur pcăturilor ilor e apă, a pă, comportare com portareaa inacă ina că a populaţlor e aniale ş caracterstcle stran ale numerologe petalelor e plante, a căror solu so luţe ţe a prom pro mss  o în pr pr ul captol. Pentru început, să ne întoarce la prolema ape care pcură pcură ntrun ronet Un astfel e fenoen siplu siplu n  n vaţa lncă ş care nea ne a nvăţa nvăţat,t, totuş, ceva espre haos, ne va învăţa acu ceva espre esp re complex c omplex-tate tate  De această ată nu nu ne ne vo concentra concen tra asupra rt rt ului pcăturlor. o examna în sch ce fore iau picăturle pe ăsură ce se esprn e ronet. Bne, ar este fresc, fresc, nu asa reue reue s ă fie fie fora fora ' clasică e lacră", sau a egraă e oroloc, otun otunăă la cap ca p ş ternată ternată cu o coaă ascuţtă ascuţ tă La ura ure, toca e e aceea nu nu astfel e forme lacr" 

   Ă  R  , D   A  i  Ă    A R G A R E

Figura 4

    d d   d    d d   s  s dşz dşz 

Cînd am afat prima dată despr desp r acastă pobl p oblă, ă, surpriza ma a fost să onsta că souţia a aştptat atta vrm. Kiotr d rftri d biblioti st pli a popu popu u stud şti ş tiţf ţf dsp urga fuidlo fuidlo ; n d sgr inv s- prepa să prsă rma ui piătr d apă Şi totuş, litratua a vh ţ ţ  umi un sngur dsn ot,  ot, pus p p  hîrti u  so s o   mă d iul iul Ld Ray Rayigh igh i  i shiţ s hiţa a att tt d mărun, ă da d abi bi dă dă la la ob o brat rat iva. Î ul Howll lgii să





UMEREL AU

de la Universitaea Universitaea Bristol B ristol au fotogaf fotogafiat iat proesul proesu l şiş i a descoperi descoperi că acesa ace sa ste m m ai ai compliat compliat  dar ş  t t mai ieesat ieesat  ect ect şia i put imagina cva Forarea picătrii dtaae cp cu o picătură cae ca e s umlă umlă at atrr dd de o sup supafa afaţă ţă  gura gur a robinetu ui Se formează form ează apoi o tu tuii tu tură ră care s e nus nustează tează iar parta de jos a picăturii pae s s nrepte căe ora clasic a lacrimii Dar n loc să s nguseze penu a orma o coa scurtă ascuţiă gtiura se gş  gştete trn fir fir ciiric ci iric lung şi ngu ngust st avn avn atr atr ată la ca picătra picătra apoap sfrică Apoi firul  cp cp  s se ngst ngstez ezee exac exa c acoo aco o de nt ntln lne ett sfera pnă pnă ce fore f orează ază un v vrf ascuţi asc uţitt  acest aces t staiu forma geerală seaănă u o andrea de trcota abia atingnd o porocală  continare poocala cade e lnă a drea pus şor n mp ce ade Da acum snem u mai la umăttea umăt tea poveşi poveşiii Vl Vl ascuţi ascuţitt a arelei cepe s se rotnească i mici une poesc n sus spre ră dăciă făc făcdd andreaa andreaa să ate ca n şirag şirag e perle perle din ce n ce mai ici ici  La sfs frşit iragu d apă care aarrnă nă se se subţiază subţiază  a capătu capătull să d d sus car s detaşează şi l l  n ip căderii vrful de sus se rotujeşe şi o seri com picat picat de nde nd e se depas depas ează dea de a  gu gull şiauli ş iauli Spe ă acese lucrur lucrurii vau imit la fel ca pe p e mne m ne Eu  mia mia  imagina iciodaă că căturile căturile are a re cad ca d  at de ulte de făc Acste Acst e ob observaţi servaţiii au clarific clarificat at per peru toată toa tă luma de de  nimeni nimen i na studiat studia t poblema pobl ema  detaliu  autorul ateaticii Este prea dificil dificil ci ccnd picăt pică tura ura se despin despin problea ae o sigua siguait itate ate  un loc n care atmatica devi foare dezgreabilă Sigula itata itata se s e afl află  vrf  dreei"  Da Da a ma  ma rmei

P       R      A M i   Ş  M A R  A R   

îtru mod atît e complex?   J ggers şi T F Dupo Du pot t au au arătat arătat că că acest aces t scar scariu iu ste cos c oseci eci ţa cuaţiilor d mişcar a luidului i au simulat pe ca �culator cuaţiile şiş i au reprods reprods scear sc earil il ui Pr g A fost o lucrare strălucită Dşi î amit priviţ acastă acas tă lcrare umi u mi of ofer erăă u rsps compl com pltt la î î trebare ste s te reco r ecofortat fortat să afli afli că ecuaţiile curgei curg eiii fluidel fluidelor or prezic prez ic corec co rectt sceariu sc eariull ar ac ac st fapt  mă mă aj ă pri pri el îsuşi îsuşi să îţeleg ţele g de c tocmai acest ac est scea s cea riu are loc ste o mare difertă îtr a calcula  meree aturii şi aţi stoarce crei rii c c răsp răsp s sll  ca Majikth Maj ikthii s e şi Vroomfod Vroo mfodelel cîd cîd au aflat aflat că răspusul răs pusul era era pat  patru ruzei zei şi doi" doi "  Următorul progres î cuoaşterea mcaismului dspriderii picături pi căturio orr a fost realizat real izat pri lucrarea lucrar ea lui  D Shi ichael Breer şi Sidy Nagl de la l a Ui Ui versitatea di Ccago Persoaju pricipal a povs tirii era dej dejaa preze î lucrarea lui lui Pregrie Pre grie : u u  tip tip special de soluţie s oluţie a ecuaţiilor fluidelor um umitit  s o lţia d similitudie"  O astfel as tfel d e soluti ar ar o aumită si mtrie care care o ace ra ratab tabilă ilă mateati mate aticc : dpă u scrt scrt iterval iterval  tim timp p a îşîş i repetă repet ă structra la o sc s c ară mai mică Grupul lui Shi a dus această ide mai depart îtrebîduse cum depide forma picăturii care se despride de vîscozitatea fluidli Petru a obţie diferite diferi te vîs co cozităţi zităţi ei au efecuat xp xp erieţele foo f oosid sid amestecr ameste crii de apă u glicero au folosit simular sim ularea ea pe pe calculator calculator si au elabora elabora  metod metod  toreic căuîd căuîd so luţii de simitudine simitud ine Au des de s coperi cop eritt astfl astfl că petru flui flui de mai oa oasese are loc o a doua gstar gstar a şiragului ce s produce îaite ca să se formez sigularitatea şi a picătura să se detaşeze Se obţi îcă o dată ceva ca edată de vîrf vîrf ui adr

 

6

 U M E  E L E  A A U R ' 

r i  i coard coard  a vîs cozităţi coz ităţi îcă şişi ma maii mari, există o a trei treiaa gîtu tuiiură  o portocaă ssp s spdată dată de n fir fir d bumbac d o bucată de coardă d vîrful uei adree Iar p ăsră ce vîscozitata crte, şi umărul de gîtuitu gîtuituriri creş creş fără imiă imiă  c pţin pţin dacă igoig orăm imitee imps d d  strcura strcura atomic atomicăă a matriei. Uimitor! C C de d eaa doiea doie a xmpu se referă referă a diamica popuaţiil aţiil or Foosirea acestei aceste i forml formlări ări refletă refletă o lugă lugă tra tra ditie a modeării matematice în care smbărie din  pulaţiie pulaţi ie creatrior creatri or care se afă afă î iteracţiune itera cţiune sînt reprezntae de ecaţii difereţia Sisemul meu de porci po rci/t /tf f constit cons titie ie u eepu eepu î acest aces t sens. s ens. To tuşi, în astf astf d mode mod e se s e ma mai ifesă fesă o carenţă de reaism bio bioogic ogic  şi  tocmai tocmai n n privi priviţa ţa aeerii aeerii creacreaturior   umea reaă, mecaisml care guverează dimsi dimsi ile p oplaţiei oplaţiei nu nu est o leg a populaţiei populaţiei"" apropiaă de lege le geaa mi mişş cării cării a lui Nwon Nwon a snt ot  ot f de ae fec de xmp, ce ntîmplătoare ( poat sco s coa a porc porc trfa, sa î îpidică o ss îcă îcă ? ) sa ipri d variabiliat care u au fost ics î ecaţii (uii porci ar pa ava mai muţi prceşi dcît aţii)    Jacqi cGad c Gad,, Dav D avid id Rad Rad şi How H oward ard Wiso d a Uiversiaea Warwick au efecat  sdi fascia car s bazează p o coraţie dir mode mai realiste biologic şi ecuaţiile tradiţioale Sdiul Sdiul rmează rme ază o sragie s ragie obişită o bişită di eoria e oria com plexităţii se orgaizează o siuare pe caclator  care care mr mari mari d agţi  agţi"" ineracţi ineracţioează oează conform c rgli pazibi di pt d vder biologic (deşi m simp si mpififica) ica),, iar di rza rza acs a csii siml s imlări ări s îcarcă extragra tdiţeor geerae  cazu preza, simuara a fost fctaă cu ajtoru ato

P  C    R      A M  C  Ş  M A R  A R   

matelor celulare" c elulare" pe care care vv le peţ pe ţ maga ma ga ca pe u fel fel de jo j o c mamatc pe co computer mputer Neavî Neavîdd preferţ preferţaa mea ptr prc McGlade Rad  Wlso au la î cosderare cosderare cazul tradţoal al vulplor vulplor  epurlor Ecraul calculatorulu este împărţt îtro reţea de pătrae ar ff ecăr ec ăr  pătrat pătrat î este es te atrbtă atrbtă o culoae cu loae  să zcem roe per vulpe ceue petru epue verde verd e peru peru arbă  eagră e agră peru peru stîc stîcaa goală g oală.. Apo se sable s ablee e  sstem de regul care care modelează modeleaz ă acţu acţu a prcpalor fueţe bologce Ca exemple ale acestor regul pot f următoarele: • Dacă u epure ajuge lîgă arbă auc el se mută p poza p oza erb  o măî măîcă că • Dacă Da că o vulpe ajaj uge lîgă lîgă u pure ea s e mtă p pozţa po zţa epurelu epurelu l  l mă măî îcă că • La fecare stad s tadu u al joculu j oculu u epure ate pu pu cu o aumtă probabltate care poate f aleasă. • O vulpe moare m oare dacă da că u u a mîca mîcatt d e  a lugl u u aumt număr de măr Grupl Grupl lu lu MGlade M Glade a juca ju ca  joc j oc mult ma ma com plcat plca t decî decî acesa a cesa dar dmeavoastră dmeavoastră aţ prs deea deea  La ff ecar mcar mcar  s s  poret d lal a cofgura cofguraţa ţa cu ră r ă de epur vlp vlp arbă arb ă  stîcă stîcă  se aplcă apl că rgu rgu le peru a geera confgr confgraţa aţa rmătoar   aru aru cîd zarurle" computerlu ac cîd s aege la îtîmpar Procsl cotuă mp d cîeva m de mcăr mcăr geer geerdd o ecolo  ecologe ge arf arfc cală" ală" care joacă j oacă j o  cul veţ pe ecral computeruu Această ecologe art artffcală amtete de  ss s sttm m damc damc pr pr  aplcare aplcareaa eaă e aă a aclua pace pace de regl regl dar ea ma clde clde ş efecte ef ecte ît îtîm împătoare pătoare care plasază modelul mod elul î î com pe a



8

UMR AUR

celul celulare are stohasce stohasce  j ocur ocurlele de couter couter cu cu roba bilităti Exc deoarece aceast ac eastăă ecologie ecolo gie ese una arti articilă, cilă, se ot eectu cu ea experene care snt iposb ipo sblele sau rea scue În caul ca ul une ecologi rele rele  Se poate, p oate, de exelu, observa cu se schibă n ti ou laţa laţa de ieuri dintro dintro regune, obţn obţnndus ndu s e nurele xacte Tocai To cai ac, ac, gruul gruul lu McGlade McGla de a ăcut ăcut o ob serva se rvaţţee draică şiş i surrinzăoare surrinzăoare E au Înţels Înţels că, dacă se priveşte o regiu re giune ne ra că, lucrurile lucrurile văzue văzue snt În aj ajor ort t aleatori De exelu, exelu, ceea cee a ce s e  e rce Întrun ătrat este extre de colicat Pe de ală arte, dcă se riveşte o regiune rea are, tot cea ce se s e vede este statistca statistca ediată ediată a populaţiei La scări scări intered interediare iare,, totuşi, se s e poae vdea ceva a aii u ţn ţn anost anost  Aşadar, e au elaborat ela borat o tehnică entru entru a găsi densunle rguni care oeră ea ai are canti ate de noraţe noraţe interes inte resantă, antă, duă care au ţinut ţinut sub observa obs ervaţie ţie o regiune regiune de aceste ace ste densiuni şi au nregis nregis rt schimbare schimbare oulaţiei oulaţiei de ieuri Folosi Fo losind nd etode dezvoltat În teoria haosului, e au vrut să ale dacă aceasă serie s erie d nure ese es e deernstă de ernstă sau sa u nt nt lă lă toare şi, dacă ese deernstă, cu araă atractorul i Acs Ac stete ntenţii ot ăre ă reaa strani atta atta tp ct ct şti că regulle regulle de siulare au us la bază ba ză o măsură mă sură ns em nată de aleatori ale atoriu, u, dar autori au ers Înai Înainte nte Iar Ia r ceea ce ea ce au a u găst găst a ost ulu ulutor tor Crca 94 la sută di dinaca oulaţei de ieur la această acea stă scar sc arăă inter edară edară oat o atee  pusă pe sea s eama ma mşcăr mş căr determ de termste ste e un atractor haotc n saţul azlor cu atru d ensuni Ma e scurt, caractersicile iortane ale dinaici oulaţiei oulaţi ei de uri snt snt deternae deterna e cu nu a  rocene de eroare de o ecuaţe derenţală cu iabile  n oida oida co

P  C    R      A M  C  Ş  M A R  A R   

iăţi mult ma mari a moelului oferit e jul pe omputer omputer  Aeas A easă ă esoperre es operre impliă fapl fapl ă mo elele u u umăr mi e aria ariabile bile pot fi mai  rea re alis te" et au crezu pă aum mulţi itre blo Ca raceriscile mai simple pe scară mare pot rezula i rezulă  srucura fiă a jocurilor ecologice cm plexe i r aceasta ese impliaţia impliaţia mai profuă a des coper Cel eal reilea i ulimul exemplu exemplu e reulari re ulariae ae maematiă maemat iă a aurii care apare apare mai e e rabă rab ă i om pleiae et a rezultat irect al uor reuli este umărul umărul pealel p ealelrr uei flori flori  Am ami ami  apitlul 1 că majraea maj raea plaelor plael or au au u umăr umăr e petale pet ale luat      Pucul e eere i i ser se ria          coeţ coeţioa ioall al bioloilor bio loilor ese că eele eel e florlor florlor speci speci  fică oae oa e acese iformaii iformaii s chiar asa s  ese  reali tate ou ocmai eoree orgasele ii au se eţe ADN cmpliae are eermiă  ce s alcăuie proeiele proeiel e şiş i aa aa ma maii epare aceas ace asaa u  s eamă ă eele deermiă de ermiă oul Şi chiar chiar acă  fac fac ele po să o facă umai direc De exemplu geele spu plae pla elr lr cum să fabrie clorofila clorofila ar ele u po spue plaelr ce uloare rebuie rebuie să aiaibă bă aceas a ceasa. a. Da că ese clor c lorofi ofilă lă auci e ere si ai e ales ales  Asa As aar ar,, aumite araeristii mrfolie ale creauror ii s la rigie rigie e atură geeiă alele s s cseiţe cs eiţe ale izii chimiei i ami reer Ua ire ifereţele re acesea ese că iflueţele eeice au o imesă flebiliate ar fza hmia s' iam prouc reularăţi matemaice Numerele Numer ele care apar apar  cazu cazull plaelr  ese es e rba u umai umai espre peale ci i espre o o  felul e ale ca racer racers sc c  prezi preziă ă re reul ular ariiăţ ăţii maemat maematice Ele formează uul zisului i l lui Fiboaci Fiboaci 



0

UMR AR

fiecare fiecare umăr este suma ceor ceo r două umer umeree precedete. preced ete. Dar petaee u st siguree exempe ude găsim umerele ui Fiboacci Fibo acci Dac D acăă pri privi viţiţi o giga gi gatică tică foa foa reasoarlui reas oarlui obser obs erva vaţiţi pe discul di scul ei forma form a remarabiă a alveoelor alveoelor  ud ud se afă fl orile orile care care vor devei se se  miţe. Alveo Alveoe eee st st ara arajj ate  două do uă famili familiii de spi s pi rae rae care se s e itersectează itersectea ză uele răsucite răsucite   sesul sesul acelor ceasor ceas oricuui icuui ce c eealte ealte   sesu se su cotrar. cotrar. La L a aumite aumite specii umăru spiraelor care se răsucesc  sesu acelor ceasori ceas oricu cuui ui este e ste de treizei treizei şi pat p atru ru iar u u mărul de spirae de sens s ens opus acelor ceasor ceaso riu iuui ui este de cicizeci si ici. Aestea st umere Fiboaci osecutive os ecutive umerele umerele precise preci se depid depid de speiie sp eiie de floarea s oareui oareui dar veţi găsi dseori 4 şi 55 5 5 sau 55 şi 89 sau chiar 89 şi 44 care st următaree umere Fiboacci cosecutive Aaasu are opt rduri de aaveoe veoe  acele formati formatiu uii asemă ase măăto ătoare are cu diamatele diamatele  cob cobor or dd spr spree ststga şi treisprezece cobord spre dreapta. Pe la au  2 00 Fiboacci a ive ivet tat at acest sir  e gătură gătură cu probema prob ema reşterii re şterii popuaţiei de ie p uri uri Nu era u model mod el reaist a diamicii populaţiilor p opulaţiilor de iepuri  geu jocuui pe acuator prezetat mai sus dar cu toate astea a fost o ucare iteresată de matema tică deoarece deoa rece a fost primul mode mode  de de acest acest fel şi pe ru că matemaicieii au gsit umeree ui Fiboacci fasiate  ee sele. Problema cheie a capitoluui de faţă faţă este următoar următoaree a : dacă dacă gee geetitica ca poate aege aege să dea uei fori orice umăr umăr de ptale doreşte doreşte de ce ob serv se rvăm ăm totuşi o aseme as emeea ea predomia pred omiaţă ţă a umereor umereor lui Fibonacci? Răspusu peseme trbuie să fie că umeree apar pritrun mecais me caism m aume care este est e mai mai mult mate ic dec t geetic adică bazat b azat pe istrucţiu istrucţiui i geti

P  C           A M  C  Ş  M A   A  E E E

e rbitrre. Cndidu ce mi puzibi este un fe orere ore re de d e const cons trîngere îngere dinmică din mică n n dezvote dezvot e pn tei cre duce d uce în mod nr  numeree ui Fiboncci Fib oncci.. Desi De sigur gur prenţee pot fifi înş înş eătore eător e şi totu to tu ar putea fi înscris n gene. Dr dcă ese  tunci ş doi să fu fu  n ce m o d u u fost trnsp trnspuse use numree numree ui u i Fibo ncci ncc i în cod AD şi de ce u fost fost trnsps trnspsee toci cese ce se numer. numer . Pote Pote că evouţi  pornit cu cu frme frme  temtice cr u survnit n mod ntra regînde poi fin prin prin secţie ntu ntură. ră. B ănis ăniscc că mte c cer cerisici isici s s  fix fixt t sfe sfe  dngi dngiee igrior igrior ari aripi ftuior. Acest fp r r expic expic  de ce c e gneticienii gneticie nii sîn sîntt onvini că formee sînt genetie ir memticienii insisistă in stă mereu m ereu că forme formeee sînt sînt mtemice mtem ice Aşez Aş ezre re frfrunzeor unzeor  peteo pet eorr i te t e crur crurii seă se ă nătore  pnte se buu e o itetuă imensă şi remcbiă. Abordărie timpurii e probemei sîn nsă pur pur des de s ript riptiv ivee  ee ee nu expică în ce mod mo d se co c o reeză numee u cretere pnei ee desriu des riu nu mi geometri ge ometri r rnj nj menteor. Ce Ce  mi rmică rmică des chidere de d e pînă pînă c c  n dome do menniu  venit veni t de  o uc ucr r fore recent rec entăă  speciitio speci itiorr frncezi frncezi în în fizi me mtică Sphne Sphne Dody şi Yves Couder. i u ebo rt o eor e orii e  dinmicii dinmicii creterii pneo pn eorr şi u foosit modee mode e pe cuo cuo i experimente de bortor b ortor pen pen r  răt că eori expică numeree ui Fiboncci dee d ee de bză bză este este un veche vech e . Dă D ă priviţi priviţi vîrf mu mu  gurui de etere et ere  unei unei pnte pnt e puteţi put eţi identifi po po ţinie şi diviziunie din cre se dezvoă ot ompo nentee pricip pricipee e unei unei pnte  fnzee fnzee petee pe tee sepee eforescenţ şi ceee. n centru vrfuui există o giune circ circu ură ră de ţes fără fără crcerisici spe s pe cie nmiă pex. n jr pexui un cîte n se



2

UMR AU

formează mici excrescenţe numie primorii ieare primoriu primorium m migreză inspre inspre pex pex  ori mai exct exct pexu pexull crete crete epăin epăin exrescenţ  i n n ele in urmă ceast ce ast se rnsformă ntro ntro fnză fnză ntr ntroo peta lă su n n ce ce asemănăor ase mănăor i mul mul arn arnme ment ntul ul ge eral l cestor ces tor elii este est e stabilit s tabilit hir e l nceput nceput pe măsură ce se formează primoriile. Ar tot cee ce e ce eţi n fon e făut făut ese să eplic eplic ii e ce s e ob ob seră seră formele spirle şiş i numerele lui ibonc ib onccici  n pri morii Primul Primul ps r  r fi să s e neleg nelegăă fpt fptul ul că spirlele cele mi eviente evie nte pentru pe ntru ohiul nosr nos ruu nu nu snt snt funame funa me  tle le  Spirala Spiral a e mai import importnt ntăă se s e formeă onsie  onsie rn primori prim oriile ile  n ornea lor lo r e pr priţie iţie Primorie Pri morie cre pr pr mi ereme erem e migreză mi eprte stfel s tfel ă in in istn lor pnă ll pe li se s e pote po te ee orine e priie Se onsttă ă primoriile sucese snt istnţte estul e mult ntre ele e lungul unei spi rale rale str strnse ns e numită spirl generatore generatore  hiul  hiul umn sesie sesi eză ză spirlele spirlele ibonai ib onai eoarece ee snt formte in primorii prim orii cre par unul lngă ltul ltul n n spţiu sp ţiu r ee e conea c oneaăă cu cu eăr ese succesi su ccesiune une n n timp timp  spiralelor D etliul ntitti ntitti esenţil es enţil ese es e unghiul unghiul intre in tre pri pri  moriile moriile succesie succ esie mginţiă mginţiă nişe niş e lii trste n centrele primoriilor succe su ccesie sie pnă l entrul apexu apexu lui lui măsur unghiul unghiul intre intre ele ele Ungu Ungurirille suce sucesisie e st st aprope peet egale lore lor comună se nume te unghi unghi e iergenă Cu lte lt e cuin cuinte te primoriile primorii le st egl istnte istnte  n sens unghiul unghiulr r  e e  lungul lungul spi rlei generaore i mult m ult unghiu unghiull de iergenă este es te e obicei obice i fort fortee proape e 1 3 7,5°, 7,5 °, fap fap pus n eienă eienă rima dată n 1837 e cristalograful Auguste Bris

P  C          A M  C  Ş  M    A    

pruă cu fral său Louis Pru a va d c acs ac s uăr uăr s se se ifificai icaivv să luă luă două dou ă ure ure coscuive cos cuive i irul i rul lui Fibo Fi boacci acci de de xplu 34 şi 5 5 . Să S ă formăm formăm u frcţia frcţia crespuătoar crespuătoaree 34/5 34 /555 i să o ultipl ultiplică icăm m cu 360° 36 0° pn a obţi obţi 222 2225° 5°.. Doa D oa rec acs ughi ese ai are dect 180° rebui ă ăsu ăsură ră   sens i iver verss ea e a lugu lugull crculu crculu  ori ori  cea ce a  es es  echiale echiale ă  ă scăe sc ăe i i 3 60° Rulaul Rulaul e 1 5° 5 ° adică valoarea valoarea obs o bsea ea e fraţii Braai Braai  Raprul a i  i ermi erm i os o suti utivi vi di di sr s riaia lui lui Fi Fi  bai se apropi o mai mul i ai ul  u ărul 06180. D eeplu 3455=06182 ca ce este este eja ej a sl e  e aproa aproape pe Valoara lii liiăă s  see a (5 (5  1 )/2 )/2 aa a aisul isul număr  aur aur nta ntatt  vhi vhi grei grei u litra phi < Naura Naura a lăsat lăs at u iii iiiuu pnru p nru e e  ecivii maemaii unhiul ir prioriile su esive esive ste ste unghiu unghiull e aur e 3 60( 1 <) = 1  75° 5°    907 G. Va Va  erso ers o a urma acs ii iiciciuu şi a afla afla ce s t tm mplă plă auni   se s eii puc suce suc esiv siv pe pe o spirală sr sr să să pu sep s eparae arae prin ug ugur urii e 1 3 75° 75°  Din caua ului  alier al puclor vcie chiul chiul ua sesi s esiea eaăă ouă o uă familii familii d spiral trpă trpă truse  ua ua răsucinus răsucinusee  ssul ssul aclor ea  easo sor rii ului ului ealală e alală  ss s s invers aclor aclor casoriului cas oriului ar i caua relaiei relaie i itr numrle lui Fibonaci Fibona ci i u u ărul ărul e aur aur număru numărull    spirale spiral e i le le ou  ouăă failii se egl u uă ume umere re cs c seuti euti i ş irul lui Fi boaci bo aci D espre care umer s vorba vorba epi e t de ssă este spirala spirala  Cum epliă epliă aeasta aea sta număl e petal pet al  esă es ă vi afla c c o petală pe tală la margiea m argiea rioară a fiărei spirale  xac u itr

 



 U M E  E L   A A U   

Oicu Oicu totl se edue la a explica explica d ce primodiile primo diile sucesive st separa s epara pri ughiul de ar ar  atui toa toa  celelalte decurg fiesc Doady şi Coude a găsi o expliaţie dinaică petru ughiul de a Ei şia şi a bazat ideea pe p e un idi ciu imp imp orat alal lui H H  Vogel Vo gel da dadd din 1 9 79  oria li li st st  iaiaă ăşişi ua ua dsci ds cipi pivă vă  ce se concerează ai ai degabă p geomeria geom eria aa aaj jame ametulu tuluii dec d ectt pe auza sa diaică diaică  El a efctuat experiet experiet ume umeice ice ae a e iau sgea  od clar că dacă pimodiile succesive st plasate dea lgul lgul spialei geeatoae geeatoae folosid folo sid ughiul ughiul de au ele se vor grpa mpreuă mlt mai eficiet Să pesupne de exemplu că  loc d ughil de aur cercaţi u ghi de divergeţă de 90°, re divide exat cele 360° ale ui cer. Auci primoriile su cesive ces ive st st ara araj jae ae dea de a lugul a pat liii riale rial e for m md o cruce cruce  De fapt fapt acă folos folo s iţi u ug u g e diver geţă cae este u multiplu raţioal e 360° obţieţi totde tot deuna  sise de liii radiale radiale Ex Exisistă tă astfe a stfell iter val val e re liii liii ia pimordiile pimordii le u u se s e grupează grupea ză efiiet efiiet.. Coclzie : petru petru a umple umpl e eficiet eficiet spaţiu spaţiull aveţi av eţi evoie de   ughi de divergeţă cae să fie un multiplu iaţioal de 360°, adică u multipl cre u reprezi tă o faci faci exactă exactă Dar ce fel de uăr iatioal iatio al ? Nu eele eele st st fie aţioale aţioale fie f ie iraţioale iraţioale dar d ar l fel c eli animalel or a lui George tate di Fea animalelor Ge orge Oel O el ele umere umere st st a aii iraţioale iraţioale dec dectt lte l telele Specilişii Specilişii  teo teo  ria ria umerelor stiu de ult că cel mai irtiol umăr este umăl d� aur El ese es e rău proim proim e ume ele raţioale raţioale iar dacă cuatificaţi cuatificaţi ct ct de rău e s t e prox imat auci ărul de aur ezultă că e cel mai rău aproxima ditre toae umerele iaţionale Inversd aguentul aguentul aceasta seamă că atui d ugul ugul de divegnţă este egl c ghil de ur· primodiile se

  C   U    D   A   C  Ş  M A   A    

Fia 5 Punctele succesive aranjate la unghul de 37,° unul faţă de altul, de-a lungul unei spirale strîns înfăşurate (care nu e reprezentată în fgu ră), formează în mod natural două familii d spiral lejr înfăşurate car se disting cu uşurinţă. Figura repreită opt spirale înfăşurate întrun sens şi  3 spiral spiralee înfăşura înfăşura în sns cntrar  numere numere Fibo Fi bo nacci consecutive

ruă   strns Exrnt p out   Vo onr onr st tt  ttr, r, dr d r nu o don d on stă ot u or oiă r   rrbă  u Doudy  Coudr  fost obinr uhuu d ur  o n nu postu pos tur r s drt secinţă  s dni   bă pntru ru intă E u rsuus ă



6

 U M        U   

elementele sucesiv suce sivee de un un num numitit fel fel  reprezent reprezentnnd primordiile primordiile  se formez ll in intel telee de timp ehi ehi distnte undev l mrine unui mic er reprezen tnd peul ceste elemente mirez apoi rdial u o vitez iniţil specif spe cificat icat  n plus ei au presupu pre supuss ă ă elementel elementel se respin respin recipro reciprocc  ş um fc f c sarcin sarcinililee eletrice de acelşi semn su maneţii de aceeşi po lritte lritte Toe To e cestea ce stea siur deplsre radil radil on tinu tinu şi ps p strare trare fierui fierui nou no u eleme el ement nt l o dist di stnţ nţ t de mre posib po sibil il ffţ de prede pred eeso esorrii si im imedi ediţi ţi Este Es te un bun rmş rmş  est es t sist s istem em v stis s tisfe fe riteriul riteriul lui lui Voel Vo el de rupre efii efiient ent stfel  stfel   v veţi ştep  ştept t  unh unhiu iull de ur să să se s e ives ives  de l sine Ceea Ce ea e se s e şi ntmpl D ouady şi Couder u efetu efetutt un un experiment experiment  dr nu u plnte ci folosind o frfurie irular plină u ulei de silicon sili con plst plst ntrun ntrun mp mp manetic manetic vericl Ei u lăst lăs t s s  d l interle interle reulte reulte de timp tim p mici pituri de fluid mneti n miloul frfuriei Pi căturile căturile eru polrizate de mpul mpul mneti şi se res r es pineu un un  pe lt Ele E le primeu prime u un un impuls impuls pe p e direţi rdil u utorul mpului mneti fut s fie mi intens l mrine frfuriei det n entru ormele prute epinde epindeu de d e mrime intelelo intelelorr dintre dintre pi ături ături dr d r o formă formă prevlent er ee  ee n re r e pitu pitu rile succesive se flu pe o spirl u unhiul de diver enţă forte prope de d e unhiul un hiul de ur ur dnd el tipr l spirlelor nţuite din plri florii sorelui Doua dy şi Couder C ouder u u efet şi lule lule pe p e oputer oput er u u re zultte semntore Prin ambele metode ei u flt c unhiu unhiull de d e diverenţ depinde dep inde de intell i ntell dntre dntre piăuri după nişte nişte forme forme ompli  omplicte cte e curbe curb e rmi ficte ficte şi rsuie rsu ie Fiere Fi ere porţiune porţiune de ur dintre dintre dou cotituri corespunde unui anumit numr de spirle

P  C  U        M  C  Ş I M      E  E

Ramura priipală este es te foarte f oarte aproape de  ughi de divergţă divergţă de 1 3 7,5°, 7,5 °, iar dea lug lugul ul ei veţi găsi toate perechi perechilele poibile poibi le de d e umere cosecu cosecutitive ve ale i  i Fibo Fibo aci aşate a şate ul după celăl cel ălalt alt  şirri şirri umeri umeriee Pragurile Pragurile ditr ditr ramuri ramuri repreită bifrcaţ  bifrcaţii""  de diamica sufră schimbări semificative D igur igur ime  u sugrează sugrea ză fap fapt tll că botaca este est e att de perfectă matemati cm ste odel odel   parti clar la mlte plante vite vi tea a d apariţi apariţi a primordiilor primordi ilor poat crte a  a e poate p oate cetii cetii De fapt fapt chimb  chimbările ările  morfologi  fifi că c ă u amit priordium priordium devi să zicem o fză s au o petală p etală  s oţec deseori des eori aces te varia variaţiţiii Astfe Astfell ceea e  e fa probabil probabi l ge este să mo m o difie difie mometele momet ele apariţiei prmordior Dar platle  au evoie ca genele lor să s ă le spuă u săşi distaţee distaţee primordiile aet lcru este determiat de diamică Este Est e u parteeriat parteeriat tr tree fiică fiic ă şiş i geetică geetică iar i ar ptru a ţelege e se tmplă este evoie de amdouă Au fot trei exemple ex emple luate lua te di trei părţi diferite diferi te ale ştiiţei Fiecare Fi ecare î î elu elull ău  ău este nit să vă desch des chd dăă ochi Fiecare este u stuiu de ca petru origiea umerelor umere lor atu atuririii  p e nt ntru ru regulari regularităţi tăţill matematice matema tice profu profude de care ca re pot fi dete d etectate ctate  formele formele aturale aturale Trei exemple exemp le şiş i u fir comn un mes m esaaj chiar mai adc n n gropat  ele ele  Nu acela acel a că atura atura est complicat c omplicatăă N atura este simplă  felul felul ei sbtil otuşi acet ac et o duri imple ale atrii   i se s e prită direct direc t Natura e lasă în schimb idicii idici i petru ca detcti det ctivii vii matema mate ma tici să le crcetez Est o vîătoare fasciată chiar şi petr petr u spctato sp ctatorr D ar dacă stţi stţi  Shrlok Shrlo k Holmes matmatic ste a abo irziibiă





Mofomtic

Am un at vis. vis . Pimu meu vis Maina eaităţii Virae este oa o eaizae  tehnoogiei tehnoogie i Ea near auta auta s vizuaizăm abstacţiie matematice near ncu ncura ra a să avem noi in tuiţii despre ele şi near permite s ignoăm părţie pictisito pictisitoae ae e contabiitate contabiitate ae cecetării cecetării matematice. matematice . Dar Dar ce mai importan importantt maina e e va şra ş ra matema ticinio epoarea peisajuui o menta Deoaece matticiei crază crază eseoi es eoi noi porţi porţi e pisa p isa pe măsă măsă c ătăc ă tăcsc sc pi e Maina M aina Ireaităţii Ireaităţii Vi Virtrtue ue va jca d asm as mnea nea n ro crator crator n aitat aitatee ea  sa cva cva semnăto ei  v ist istaa curn curndd . Cei a oe vis  meu im zis morfoati ca"  e o chestine e tehnoogie ci n mo e a gîni. Impotanţ sa pnt creativitate ar fi imnsă Da e nam ie i e acă ac ă asa cva se va v a ivi veoată veoată si' nici nici măca mă ca dacă dacă reaizarea te  te posibi pos ibilă lă Sp că da doace avem nevoi d ea Ce Ce  tri xmp xmp din capito capitou u precde precdent nt  picătu picătu i  ic ici i vpi vpi i iepurii i petaee  sînt sînt fo foart artee difie difie în pivinţa pivinţa detaiior dâr ee ilustează ilus tează acai ac ai pnct e vee ve e fiozofic des modu n n cae func

EPLO

ţioază universl Uivsl Uivsl u fucţ fucţii oeaz oea z por po ri idd dire d la legi simpl sim pl ca lgile l gile mişcării ca să ajugă lala  loc form simpl ca oritl liptic al d acestea uersl trece pritru orm arbore de complxitat ramificată care la scăr orespuzătoar oresp uzătoar coapsază coaps ază di ou  form for m rltiv rltiv simpl sim pl Simpla afi afi maţi pic p icătra ătra cad di roi" roi " s tradu tradu s ă  fapt fapt p cal cal  i secv se cvţţ d az aziţi iţiii uimitor d complx c omplx şi d ştepta Dşi avm dovada lo oţiă c aj torul to rul calclaorli calc laorli că că u u şim şim de e acs ac s tra tra ziţii derivă din lgil crgrii fluideor fectl st simplu dar u şi caza li. Vlpil ipurii şi iara j oacă u j o c mama ma maicic p calla callaor or cu regui regui proa iliste complicat Şi toşi caracteristiil importae ale eol e ologi ogiii lor arifiiale arifiiale pot fifi reprztat u  u o pr cizie cizie de 94 de prote de  sistm sist m diami diamicc cu pa pa variail ar umărul de ptal ale ui plate s coseciţa cose ciţa unei itracţii diamic co comple mple tr tree toate primordiil car s tmplă să ducă pri ir mdiul uhiului d ar chiar la umrel lui Fio cci umrel um rel li l i Fioa Fi oacci cci sst doar do ar idiciile idic iile car să fi ploatat d Shrlock Holmşii matematici  fără să fi  aclaşi imp şi crimiall pricipal car ul matmatic matm atic st la lăsat   acs caz Traiectoriile eliptice ale planetelor stabilite de Johannes Kepler sînt nuai elativ siple La vreea lor calculele lui Kepler au fost ete de coplee i s-au bazat pe o ateati c nou  trigonoe trigonoetria tria  i pe o idee idee revol revoluţ uţio ionar nar : schibarea schibarea punctului de efeinţ de pe Pnt pe Soae de unde traiectoriile panetelor "se vedeau mai car Pentru a trece de la traiectoriile circulare din concepiile astronoilor antici a cele eliptice oenirea a avut nevoie e peste dou ii de ani (Nt) -,

 

60

UMEELE AU

dnaca ş  nu nu Fonacc F onacc  făpaşul făpaşul prncpa prncpa ffn ndd mecansele naur s nu numerele naur n acese aces e re povesr maemac maem acee aflăm aflăm un mesaj comun: formele naur sn enomene rezulane". Ele s e vesc dn dn oceanu oceanul c omplex omplexăţ ăţ ccaa enu enus dn scocă sc ocă n pcura pcura lu lu Bocell B ocell  ne anun anunţae ţae ran ransce scen n dene n rapo raporr cu orgnea orgnea lor. lo r. Ele nu sn sn consecn cons ecnţele ţele diete ale splăţ profunde a leglor naurale;  cazul cazul de faţă faţă acese ace se eg eg operea ope rează ză la un al al nve For mele naur na ur sn sn fără fără ndoa ndoală lă co consec nsecnţele nţele indiete ale splăţ profunde a naur dar drumul de la cauză cauză la efec devne a a de co coplca plca nc nc nimen nu nu  poae urăr oae eapele Dacă vrem cu adevăra să nfrunăm problema aparţe formelor formelor aunc aunc avem av em nevoe e o nouă no uă aor dare a şnţe ş nţe care să s ă rămnă rămnă valablă valablă ş n n cadr cad rul ac cenulu raţonal pus pe legle ş ecuaţle aflae la bază. Smulărle pe compuer repreznă oar o par e a acese no abordăr dar numa aa nu ajunge. N u es es  e sas sa sfăcă făcăor or să  se s e spună că o anumă anumă form formăă apare deoarece aşa ţ spune compuerul. No vrem să sm de e . Iar aceasa n ns eamnă eam nă că rebue s ă dezvol ăm un un nou p de de aem  aema acă că unul care raează raează for mele ca orme orme ş nu nu ca pe nşe n şe conse co nsecnţe cnţe accdenale accdenale ale nerac neraclor lor la scară sc ară fnă. fnă. Eu nu dresc dr esc să nlocum nlocum gndrea ş ş nţf nţfcă că acua acua lă care ca re nea ne a pura pura un drum drum a a de lung. lun g. Aş dor do r să ezvolă ceva comple compleena enarr Una dntre dntre cele ma ma z boare caracersc ale aeaclor recene ese ac cenul pus pe prncple generale ş pe srucurle asr as race ace  adcă adcă pe calav calav a a  ul ul ec ec pe can avv  Calav a Calav nsemnă nse mnă precar pr ecar ca c anav nav "  a rear rear ca cndva marele fzcan Ernes Ruherford dar

EPO

sa dictonul dic tonul lui Rtherford, Rtherford, catitativ catitativ îns eamnă tocmai t ocmai ceva precar calitatv. măr este numa n aspect din enora varietate de calităţi matematic care ne ajtă să înţel înţelegem egem şi ş i să s ă descrie des crie natura natura u vo în în lege nicodată creşterea uni copac sa ridicarea du neor în deşert dacă vo încerca reducerea depline libertăţi a naturi la schm nmrice restrictve  sosit tmpl pentr dezvoltarea uni nou fel de matmatcă, avînd ace tip de rigoare intelectuală care consttuia scopl real al critici lui Rutherford îndrep tată îpotriva rţionamentelor calittive şi o mlt mai mare fl flxblitate xblitate conceptlă conc eptlă.. vem nevoie nevoie de o teo rie matematică efectivă a forei, motv pentr care eu mi -m inttulat visl visl "  orfomatica orfomatic a . in nefricire, nefricire, mute rari rari ale ştinţei ştinţe i sînt îndr îndrptate ptate în moment mo ment de faă în direcţa exact opsă e xempu progra mare mareaa AD  ul este est e consderată cons derată c fin findd sngra sngra rsponsabilă pentr forele ş tiprel din organism Totuşi, teoriil ctale ale dzvoltări biologice n explică în mod decvat d ce mea organică şi cea anorganică au atîtea fore tematice con Poa te că AD-ul codifc ma degrabă regll dinamice ale dzvoltări decît să conţină codl forei dezvol tate pînă a capăt acă acesta este cazul, atnci teorii le curente ignoră partea crcală a procesui dezvol tării Idee Id eeaa că matematica matematica este e ste adîn adîncc mplicată î formee formee natrale se re trasează traseaz ă de la ' rcy Thompson Thomps on ; d fapt ea merge înapoi pînă a vechi greci sa chiar pînă la babloniei. otşi, noi am început să elabo răm numa numa  foar foarte te recent recen t genul adecvat de matematică Schemele noastre matematic precedente erau el în îns e le prea inflexibil, legate fiind de constrîngerie creio nu şi hîrtiei. e exemplu, aşa cum a observat

6

62

N U M E R E L E  AT AT U R I I

D Acy Thopson exstă siiltudin nte foele dveselo oganise ş foele de cugee ale fluidelo da dnaca fluidelo asa cu este ea cuent neleasă foloseşte ecua cae nt ult pea siple ca să odeleze ogan ogans e Dacă Da că uăr uăr la coscop cosc op o ceatură unicelula unic elulaăă cel ai uiito lucu pe care l vedeţ este apaenta pezenă a sopului n odul n cae pluteşte pluteşt e Ea aată ca şiş i cnd cnd a şti unde se s e duce duce  De fapt fapt finţa răspunde răspunde ntun od foate specific stăi edulu nconuăto şi popie sale stăi intene Bologii ncep să dezvăluie ecanisele şcăi celulae iar aceste ecanise ecanis e snt snt  ult ult a aii coplexe dect dinaica dina ica clasică a fludelo ludel o Una dnte dnte cele c ele a iportante ip ortante caactestc testc ale celulei este asanu as anut tul ul citoschelet citoschelet  o etea et ea nclctă de tubui cae eamănă cu un balot e f s ca nzstează inteoul celulei cu un eşafoda ptenc itoscheletu  itoscheletull este est e umito de flebl flebl ss  e dinadinaic Sub nfluenţa nfluenţa anuito chicale chicale l p p ate să s ă dispaă pa ă cu totul totul sau poate f făcu făcutt să ceas cească că ounde ounde este e ste necesa un suport suport  elula se s e işcă asel ase l nct pare săşi s ăşi scoată scoată ctoscheletul ctoscheletul ş să şl pună pun ă dn nou n n altă parte parte Coponenta Co ponenta pincip pincipală ală a ctoschelet ctoschel etului ului est e stee tubulina lina pe care a menonato a devrem devremee n n legăt le gătuă uă cu sietiile Aşa cu spunea acolo această oleculă eacablă este un tub lung compus din două unt untă ăii alfa alfa ş betatu b etatubulina bulina aana aanatete ca pătrăelele alalbe şi nege de pe tabla de şah Molecua de tubulină poate po ate ceşte adăug adău gnduş nduşii no untă untă sa s au se poat p oat rere stnge stnge esp  espic icnd ndu uss e de la v vff ca o coa co a ă de banan b ananăă  Restngeea tubulinei este ult a rapidă dect ceşteea da abele tendne pot f stulate pin subs su bs-tane chiice coespunzătoae Celula şi schbă

PLOG

area biohioiă. Uditele sele reationează la himiale himiale are a re le pot prova reşterea reşterea  lap  lapsul sul sau osilaţia. Atui d elula se divide ea se separă folosid olos idu use se de d e o reţea de tubuliă tubuliă de reaţie proprie. proprie. Aest proes u este o diamiă a fluidelor onvenţională. Dar idisutabil este un anumit fel de dinamiă. ul elulei poate oţie istruţiui petru fabriarea tubuliei dar u oţie instruţiinstruţiui petru odul de omportare al tubulinei atui d aeasta tleste u auit fel de substată hmi hmiă.ă. o opo porrtara este guverată guverată de legil l egilee hiii hiii iar aestea u po fi shibate sriid oi instruţi u î ADN ADN aa u  u u se s e pot p ot srie srie i istr strţ ţiu iu  î  are să faă pe elefat să zboare flfind din urehi. Care Care e se s e analog analo gul diaiii fluidelor fluidelor pentru pentru tubuliă tubuliă  marea himiă? Nieni u ştie ă dar aeasta este   mo modd lar o  trebare adresa adres aăă şi mat matemati ematiii ii şiş i biologiei. Problema Problema nu este lipsită total de preede preedett : diaia ristalelor lihide de exemplu o teorie a formelor oleulelo ole ulelorr lungi este est e la fefel de eigati ei gatiă ă.. Dinamia itosheletului este să de departe ai opliată deoaree oleulele şi pot shiba diensiunile sau se pot desopune omplet. O teorie diaiă bună a itosheletului ar ostitui o opoetă majoră a orfoatiii daă a avea ăar ea a vagă idee um să s ă ţeege it itosheleosheletul di put de edere mateati. Pare neverosiil a euatiile dferentiale să fie istrumetul adevat petru  astfel de isiue astfel ă a fi evoie să ivet ivetăm ăm şiş i u doeiu oplet o plet ou al ateatii ate atiii.i. O probleă difiilă. Dar nainte de toate aşa sa dezvoltat atematia a tematia.. Atuni  d Neo Neo  a vru vrutt să să ţeleagă işarea plaetară aaliza atematiă u

6

6

 U M       AT  R  

tat pînă cînd matematicieniii i oamenii de tiinţă n a dvenit interesaţi de acest tip de problme. Mor fomatica n există astăzi dar  cred că xistă dja cîte ceva di din fragm fragmntele ntele i elentl i  sistem sis temele ele di namice hosl rperea de sietrii fractalii toma tele cellare c să nu nmesc decît cîtva E timpul să pnem părţile la n loc. Şi aceasa deorc deo rc nmai atnci atnci vom începe înce pe c adevăr ad evărat at să în în ţelegem nmerele natrii  la n loc cu formele strc tril comportările interacţinle procesle dezvol tările tările metamor me tamorffozele evolţiile revo revolţ lţiil iil nat natri riii . . . Sar pute p uteaa să n rim rim niciodată. nicio dată. ar va fi fi intere sant de încercat

 

   1 Stewart an ş Martn Glubtsky Fearful Symmety (Blackwell rd 1992). Thmsn D'rcy D'rcy On Growth and Form 2 lume (Cambrdge ersty Press Cambrdge 1972).

  2 Dawks Rchard "he Eye n a Twnklng Nature, 368 ( 1 9 9 4) : 69 6 9 0-691 Klne Mrrs Matheatics In Weste Culture (rd nersty Press rd 1953) Nlssn Danel E ş Susanne Pelger "A Pessmstc Estmate  the Tme Requred r an Eye t Ele Proceedings of the Royal Socety of London B 256 ( 1 9 94 94 ) : 5 3 - 5 8 

  3 McLesh Jhn Number (Blmsbury Lndra 1991) Schmandtesserat Dense Fro m Counting Counti ng to t o Cun Cunei eif form  1 dn Before Writing (Unersty  Teas Press

66

 U M  R     A U R  

Stewart an The Problems of Mathematics eia a oua ( xfor xfor  Universt niversty y Press Press xfor xfor 1992)

  4 Drake Stillman "The Role of Mus in Galleo's 975) 5) : 9 8 - 1 04 Scientiific A m e rican (iunie 1 97 Experents Scient Keynes ohn Maynar "Newton the Mn The World amess R N ewma ewman n ( S mon & of Mathematics Mathematics Vo 1  e ame Shuster Shu ster New York 1 956), 277 -28 5 Stewart an "The Eletron Mathematn Analog (ia nuarie 1987): 73-89 Westfall Rihar S. Never at Rest: A Biogphy of Isaac Newton (Cambrge Uversity Press Cmbrge 1980)

  5 Kline orrs Mathematical Thought fom Anent to Mode Times (xfor Unversty Press New York 972)

  6 Cohen Cohen J ak şi an Stewart Stewart " Let T Equal Tger "  New 9933 ) : 40 404 44 4 Scientist (6 noiembrie 1 99 Fiel Miha Mi hael el J . şi ş i Martin Martin Golubitsky Golubitsky Symmet in Chaos ( xfor xfor  Universit niversity y Press Press xfor xfor 1992) Stewart an şi Martin Golutsky Fearful Symmetry (Blakwell xfor 992) .  

  7 Buk Jon şi Elisabeth Buk "Synhroous Freflies "  Scientific American (Mai 976): 7485 Gambaryan P P How Mammals Run: Anatomical

  C    I S  P   M   A A R 

Mirollo Renato şi Steven Strogatz "Synchronization of PulseCoupled PulseCoupled Biolog B iologica icall scillators scillators SIA M Jo ual a l of 990) 0)  164516 45- 1 6 6 2 Applied Mathematics 50 ( 1 99 Smith Hugh "Sycoous Flashing of Fireflies Science 82 ( 1 9 5 3 ) : 5 1  Stewart an şi Martin Golubitsy Fearful Symmetry (Blacwell ford 1992) Strogatz Steve ş an Stewart "Coupled scillators and Biological Synchronization Scientific merican (Decembrie 1 9 9 3 ) : 1 0022 - 1 0 9. 9.

 8 lert David , "Bohm's lterative to Quatum Me chaics Scentic American 270 (Mai 1994) 32-39 Garfiel la Mar L Spao Willam L Ditto şi James  Weiss "otrolling Cardiac Chaos Science 257 ( 1 9 9 2 ) : 1 2233 0 - 1 2 35 35  Gleic James Chaos Making a New Scence (Viing Pengi ew Yor 1987) Shinbrot Troy Celso Grebogi dward tt şi James  Yore "Usg Small Perturbatio Perturbatios s to Control Contr ol Ch Chao aos s 41 7 Nature 3 6 3 ( 1 9 9 3 )  4 1 1 - 41 Does es Go God d Play Dice Dice ? (Blacwell ford Stewart an Do 1989).

  9 Cohe Jac şi a Stewart The Colapse of Chaos (iing New Yor 1994) Douady Stphane şi Yves Couder "Phyllotais as a Physical Selfrgaized Growth Process Physical 209898- 2 1 0 1  Review Letters 68 (1 99 2) : 20 Peregrine D H G Shoer şi A Symon "The Bifurcation of Liquid Bridges ournal of Fluid Mechanics 2 1 2

6

68

UM T

X  D S Mchael P . Brenner ş Sney R Nagel " Cascae Strcture n a Drop allng fo a Faucet 2655 (  9 94) ; 2 1 9- 2 22 Scence 26 Walrop M Mtcell Complexty The Emrgng Scence a he Edge of Order and Chaos (Smon & Schuster New or 1992) Wlson Howar B Applcatons of Dynamcal Systems n Ecology tez e octorat Unverstatea Warwc 1993     Cohen Cohen Jac ş an Stewar Stewart t " ur Genes Genes Aren' t Us  Ds199)  7 8 - 83 cover (prle 199) Goown Bran How the Leopard Changed Its Spots (Weenfel & Ncolson Lonra 199

CUPRINS



5

  Ordinea natrală  . . . . . . .  . .   . .  . . . . . . cei bună bună matem matemati atica ca .                2  La cei ocupă pă mt mtem emat atic icaa               3 . C  ce s  ocu 4  Constantele schimbăr                  vior la video videocase casetofo tofoane ane  .          5   e la vior Smetrra stric stricaată                        6 Smet v ei                          7  Rtml vei 8  Joacă zarurle zarurle rol rolll l l umneze ?        9 . Picătri, dinamică ş margarete            Epilog  M orf orfomatca omatca                  

9 2 40 57 72 84  04 8 40 58

Prolog : Maşna Maşna ireal irealtă tă  vrt vrtale ale 

Lcturi splmentar 

                  65

I

I

Redactor

VLAD ZOGRAFI Apăt 1999

BUCUREŞTI BUCUREŞTI - ROMÂNIA ROMÂNIA