´ ´ 2.4. 2.4. GEOD GEODESICAS Y APLICACI ON EXPONENCIAL. EXPONENCIAL.
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Demostraci´ on. 1 es 1 es consecuencia de los resultados anteriores, y 2 de 2 de la teor´ıa ıa general del grupo uniparam´ etrico etrico local asociado a un campo. Dados ( p, p, v ) Lema 2.4.3 (Homogeneidad de las geod´ esicas) esicas) Dados ( 1 I ( p,λv) t,p,λv) = γ = γ ((λt,p,v) λt,p,v), t I ( p,λv) p,λv) = λ I ( p,v) p,v) y γ (t,p,λv) p,λv).
∀ ∈
∈ T M y λ λ > 0, 0 , se tiene
Demostraci´ on. Como α Como α((t) = γ ( γ (λt,p,v) λt,p,v) es una reparametrizaci´on on proporcional al arco de una geod´ geo d´esica, esic a, α es tambi´en en geod´esica. esica. Sus condiciones condici ones iniciales iniciale s son α(0) = p, α (0) = λv, λv , luego a( ) = γ ( ,p,λv) ,p,λv) por unicidad de las geod´esicas. esicas. De aqu´ aqu´ı el Lema se deduce f´ acilmente. acilmente.
·
·
Ejemplos de V.R. y sus geod´ esicas. esicas. ´ esicas en (Rn , g0). 1. Geodesicas Las geod´ ge od´esicas esicas son las rectas afines recorridas con velocidad constante. ´ esicas en (Sn (1), 2. Geodesicas (1), g ). n n Dados p ırculo ırc ulo T p Sn (1) = p ⊥, v = 1. Sea γ : R S (1) y v S (1) el c´ m´ aximo γ aximo γ (t) = cos t p +sen t v. La conexi´on on de Levi-Civita de la esfera implica que Dγ n l ocalm almente ente.. As´ As´ı, X(S (1)) cumple X γ γ (γ ) + γ , X γ γ γ , donde X γ = γ loc dt = dX γ Dγ 2 = γ + + γ = = 0, luego γ es γ es geod´ g eod´esica. esica. Si ahora ah ora tomamos tom amos cualquier cua lquier dt = γ + γ γ = n v T p S (1) 0 , enton entonces ces el Lema de homoge homogenei neidad dad implica implica que γ (t,p,v) t,p,v ) = v v γ ( v t,p, v ) = cos( v t) p + p + sen( v t) v . Estas son todas las geod´ geo d´esicas esicas en e n la esfera (adem´as as de las constantes).
∈
∈
·
∈
·
− − { } ·
→
∈ ∈
·
´ esicas en RPn . 3. Geodesicas Como una isometr´ isometr´ıa local conserva conserva las conexiones de Levi-Civita (apartado 4 de la p´ agina agina 28), el punto punto anterior anterior nos dice que las geod´ esicas esicas no triviales triviales de RPn son las proyecciones a RPn de los c´ırculos m´aximos aximos de Sn (1), recorridos con velocidad constante en norma.
4. Geod´ esicas en el plano hiperbolico con el modelo del semiplano. esicas A continuaci´on on determinaremos todas las geod´esicas esicas del plano hiperb´olico usando transformaciones de M¨obius. obius. El estudio que sigue puede hacerse en dimensi´on n, donde hay tambi´en en un concepto de transformaci´on on de M¨obius obius (entendida como una composici´on on de inversiones respecto a (n ( n 1)-esferas 1)-esferas o (n 1)-planos de Rn ) aunque no tengamos la ayuda del An´alisis alisis complejo. En el ejercicio 4 pueden encontrarse las geod´esicas esicas del espacio espaci o hiperb´ hiper b´olico olico Hn con el modelo del paraboloide en el espacio de Lorentz-Minkowski.
−
−
Consideremos sobre ( R2 )+ = (x, y ) R2 y > 0 la m´etrica etr ica hiperb hip erb´ ´olica g olica g = y 12 g0 y la carta global (( R2 )+ , 1d). Los L os s´ımbolos de Christoffel Christoff el de g respecto a esta carta
{
∈
|
}
