11111
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Facultad de CIENCIAS F1SICO-MECANICAS
Geometria ~ CS@llilJJCS~[1~W
Por:
Eugenia Garcia Arenas. f>ro!esora del Dpto. de DISENO Y ANALlSIS GRAFICO
1
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1
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PROLOGO
ESTE LIBRO HA SIDO PREPARADO COMO TEXTO PARA GEOHETRIA DESCRIPTIVA 1 QUE DEBO~ LA MATERIA ESTUDIANTES DE DISDW INDUSTRIAL Y CURSAR LOS DE INGD~IER!A EN LA UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER. LA FH..JAUDAD DE ESTE TEXTO ES PROPORCIONAR EN FORMA SO~CILLA Y BREVE LA TEORIA APROPIADA PARA RESOLVER PROBLEl'1AS DE GEOHETRIA DESCRIPTIVA. EL LIBRO CONST,A. DE OCHO CAPITULOS Y AL FINAL DE CADA UNO DE ELLOS HA Y UNA SERIE DE PROBLEHAS SELEéCIONADOS POR ORDEN DE DIFICIJL T AD QUE PUEDEN RESOLVERSE DIRECTAMENTE D~ EL LIBRO PARA MAYOR FACILIDAD Y ECONOHIA DE TlEHPO.
:DNTEt\J IDO
caciitulo 1
proveccion ortooonal
l
a 9
definiciones - planos cie o~oyeccion el espacio - sistem2s dimen=:.ioí1es en e:-¡ Ce pr·=·y·eccion E·n el cu ad r211 te tercer cwacirante - vistas: principales 2.dyacentes. linea oe referencia ~asos Gbtener vistas auxiliares.
el
punto
1 ('1
C"·
11
J..b
Ci
..:.:.....:.:..
reglas para la proyeccion de puntos situacion de un punto en el e=:.p.?.cio. oroblemas 1
la
21
11
linea
longitud real de una linea punto posicion de una linea en el espacio - rumbo - reglas para medir el r-umbo pendiente pendiente en puntos sobre lineas. porcen t2.j e .....,..,..
problemas
capitulo 4
pares de lineas
....:.:.....:•
a 26
..._, "'
a
..:;,...:_.,
cort2.n angulo lineas que se real lineas paralel2s lineas perpendiculares ~inea mas corta de punto a linea lineas m:nor d is tanci a er1 tr-e que se cru:::c.n lineas q:_1e se cru;:ar-, ( ii1E·tode< l i:-,e2. l ) . prob: em2.s. 2.i
al
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34 a 43
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plano
pi tu 1 o '.:·
representacion de planos puntos sobre ¡:.:arios posi.°{:ior.es de un olano en el eso¿cio - lineas contenid¿s en pianos oblicuo cerno filo - tamano real de planos - rumbo - oendiente linea mas corta de ~unto a plano - linea mas corta con oendiente determinada de ur punto 2 u:-1 pla:-.o. -:-~.
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2. ~·
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distanci?s entre se e r u :: a :-1
rne~or~s
o _1 e
dist2nci¿ ho-i::ontal mas corta metodo plano - m~nor distanc~a con ~endiente dada entre lineas que se cruzan.
del
problemas 55 al
C: ¿; D
i tl.,l l O 7
66 a 68
57
69 a 73
irs te rsecc icr1E s
interseccion entre linea y plano: metodo de: plano como filo - metodo del plano cortante visibilidad interseccion entre dos planos: metodo del plano cortante - metodo del plano de filo. 74 a 79
problemas 58 al 71 c2.pitulo 8 angulo diedro.
angulos. entre
problem¿;s
plano
al 77
80 a 81 y
linea
angulo
)j
1. PROYECCION ORTOGONAL
PRO'r'ECCION
/ ¡ -r OBSERVADOR
/
( IHFIHITO J /
PLANO DE PROYECCION
//
/. RAYO VISUAL
1.1
PROYECCION
ORTOGONAL.
UTILIZA RAYOS PROYECCION.
SISTEMA DE PERPENDICULARES
VISUALES
REPRESENTAC!ON QUE A LOS PLANOS DE
DEFINICIONES PUNTO AL
VISTA:
SITUACION
DEL
OBSERVADOR
RESPE.CTO
OB.JETO.
PLANO EL
DE DE
PROYECCION:
OBSERVADOR
Y
EL
RAYO VISUAL: TRAYECTORIA DEL OBSERVADOR SITUADO
PROYEC(:IQN: PROYECCION.
IMAGEN
PLANO OBJETO.
IMAGINARIO
ES LA LINEA RAYO VISUAL EN EL INFINITO DEL
OBJETO
SITUADO
ENTRE
REPRESENTA QUE QUE VA DESDE AL OBJETO. SOBRE
EL
PLANO
LA EL
DE
1.2
PLANOS
DE
PROYECCION
c E.._;::, AQUEL DONDE TODOS LOS PUNTOS ESTAN A LA MISMA AL TURA (RESPECTO AL PLANO DE COMPARACION DETERMINADO POR EL NIVEL DEL MAR).
PLANO
HORIZONTAL.
PLANO
FRONTAL.
PLANO DE PROYECCION SITUADO AL FRENTE DEL OBJETO Y PERPENDICULAR AL PLANO HORIZONTAL. DE PROYECCION.
PLANO DE PERFIL. PLANO TAHBIEN VERTICAL Y PERPENDICULAR A LA VEZ A LOS PLAi'WS HORIZmn AL Y FRONTAL.
1.3
DIMENSIONES
EN
TODO OBJETO DEL GRANDE SE DEFINE
EL
ESPACIO
ESPACIO DESDE EL MAS PEOUENO HASTA Y SE MIDE POR TRES DIMENSIONES:
AL TURA.ANCHURA.PROFUNDIDAD.
AL TURA.
DE DOS PUNTOS Y SE MIDE POR LA DISTANCIA Y E RT lC AL OHRE U~~ PAR DE PLANOS QUE HORIZONTALES DICHOS CONTENGAN PUNTOS.
ELEYACIO~~
DIFERENCIA O~TRE
ANCHURA. ES LA DISTANCIA DE IZQUIERDA A DERECHA DE LA SITUACION DE DOS PUNTOS ENTRE UN PAR DE PLANOS DE PERFIL QUE LOS CONTENGA.
ANCHURA
PROFUNDIDAD.
ES LA DISTANCIA DESDE EL FRENTE HASTA LA PARTE POSTERIOR DE LA SITUACION DE DOS PUNTOS ENTRE UN PAR DE PLANOS FRONTALES.
6
EL
MAS
1.4
SISTEMAS
DE
PROYECCION
PROYECCION DE VISTAS MUL TIPLES ES UN ARREGLO SISTEHATICO DE VISTAS ORTOGONALES SOBRE UN SOLO PLANO. LA RELACION DE LAS VISTAS SE BASA EN EL PRINCIPIO DE QUE DOS VISTAS ADYACENTES SE APOYAN EN PLANOS DE PROYECCION PERPENDICULARES. LOS SISTEMAS DE PROYECCION DE USO GENERAL SON: PROYECCION EN EL PRIMER CUADRMHE. SISTEMA EUROPEO PROYECCION EN EL TERCER CUADRANTE. SISTEMA AHERICANO
/
SISTEMA EUROPEO
./ /
ISOE
SISTEMA AMEF~ICANO
ISOA
1.4.2.
PROYECCION
TERCER
CUADRANTE
LA PROYECCION EN EL TERCER CUADRANTE SE RIGE POR NORMAS SE SUPONE QUE EL OBSERVADOR VE A TRAVEZ AMERICANAS (1$0 A), DEL PLANO DE PROYECCION HACIA EL OBJETO. EN EL SISTEMA DE TERCER CUADRANTE (AMERICANO) SE CONSIDERA EL OBJETO DENTRO DE UNA .. CAJA DE PROYECCION" ENVOLVENTE Y LAS VISTAS SE OBTIENEN PROYECTANDO DEL OBJETO AL PLANO DE PROYECCION. EN ESTA SISTEMA EL PLANO DE PROYECCION ESTA ENTRE EL OBSERVADOR Y EL 08...JETO
SEIS
PROYECCIONES
P
EN
EL
SISTEMA
AMERICANO
LI
(_.
.1.4.1.
PROYECCION
EN
EL
PRIMER
CUADRANTE
LA PROYECCION EN EL PRIMER CUADRANTE SE RIGE POR LAS NORMAS EUROPEAS (ISO El. LA YIST A SUPERIOR DEL OBJETO SE OBTIENE PROYECTANDO EL OBJETO HACIA ABAJO, AL PLANO HORIZONTAL: Y LA YIST A FRONTAL SE OBTIENE PROYECTANDO EL OBJETO HACIA A TRAS, AL PLANO FRONTAL. EN ESTE SISTEMA EL PLANO DE PROYECCION SIEMPRE ESTA DESPUES DEL OBJETO.
SEIS
PROYECCIONES
EN
LO
SISTEMA
LI / /
s
7
EUROPEO
p
1.5.
VISTAS
PRINCIPALES
!--A-1
SIENDO EL PROPOSITO DEL DIBUJO DE VISTAS DESCRIBIR CLARA Y COHPLETA LA FORMA Y DIMENSIONES DE UN OBJETO, EL NUMERO DE VISTAS DEBE SER EL MINIHO. VISTAS SOBRE CADA UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCION. LAS VISTAS PRINCIPALES so~~ SUPERIOR FRONTAL Y LATERAL.
Tp
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l
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l-P~
1
H
H
1 ------~____. 1 1
1
FILO
FILO 1
1.5.
VISTAS
1
AOYAc&Es:
VISTAS SEGUIDAS UNA OTRA, SEPARADAS POR LINEA DE REFERENCIA.
ANEXAS
1.7. VISTAS RE LACIONDAS:
DE UNA
o
F
LO
-ANEXAS p ¡
~ p_I__
VlST AS QUE HUESTRAN UNA DIHENSlON COHUN. ENTRE VISTAS ANEXAS HAY UNA VISTA l N TER HE D t A (ADYACENTE COHUN).
í.8.
LINEAS
DE
REFERENCIA
REPRESENTA LA lNTERSECClON ENTRE SI DE LOS PLANOS DE PROYECClON. SE DlBU..JA UNA LINEA LARGA Y DOS CORTAS. LA LINEA DE REFERENCIA DEBE LLEVAR NOMENCLATURA EN LETRA HAYUSCULA CORRESPONDIENTE A LA INICIAL DEL PLANO QUE REPRESENTA.
,
j
1.9.
PRO YE CCIONE S
AUXILIARES
ADEMAS DE PROYECCION,
PROYECCIONES SOBRE LOS SEIS PLANOS DE EXISTEN OTRAS PROYECCIONES QUE SE HACEN ~JECESARIOS PARA DESCRIBIR CON ABSOLUTA CLARIDAD DETALLES DE LOS OBJETOS: ESTAS SON LAS PROYECCIONES AUXILIARES. LAS PROYECCIONES AUXILIARES A LAS VISTAS PRiNCIPALES Y ENTRE SI PUEDEN SER INFINITAS Y EN CADENA, SEGUN LAS NECESIDADES.
1.9.1. PRIMERA PRINCIPALES
AUXILIAR
EN VISTAS AUXILIARES LA VISTA SUPERIOR NO PIERDE AL TURA.
A SE
EN YIST AS AUXILIARES LA VISTA FRONTAL NO PIERDE PROFUNDIDAD.
A SE
EN VISTA AUXILIARES LA VISTA LATERAL NO PIERDE ANCHURA.
A SE
A
CADA
UNA
DE
LAS
VISTAS
1.10.
PASOS
ESTABLECER INFORMACION
PARA
OBTENER
VISTAS
LA DIRECCION DESEADA.
DIBUJAR LA LINEA DIRECCION VISUAL.
DE
AUXILIARES
VISUAL:
QUE
REFERENCIA:
DARA
PERPENDICULAR
DE DISTANCIAS PAR A LA TRANSLADO LA VISTA ANEXA CON DE TRANSLADAN COHUN. ADYACENTE
ANEXAS
NOS
NUEVA RELACION
A
-·------====---------@
2
ANEXAS
s F 1-4
CD/
3-6
2-5
DIBUJO
11
LA
VISTA: SE AL PLANO
L--____:::::..-----¡
1-3
LA
ISOr.IETRICO
2. EL PUNTO
UN PUNTO ES UNA SIMPLE POSICION EN EL ESPACIO, CARECE DE DIHENSIONES. CON EXACTITUD UN PUNTO SE DEFINE EN DIBUJO CON DOS LINEAS FORHANDO UN ANGULO RECTO.
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TEORICAMENTE EL
CRUCE
DE
I
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l_¡!-- l ·----+-'
ADYACENTE COMUN - - i - - -
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1
F/LD
2.1.
REGLAS
PARA
LA
PROYECCION
DE
PUNTOS
DOS PROYECCIONES ADYACENTES (SEPARADAS POR UNA LINEA DE REFERENCIA) DEBEN ESTAR UNIDAS POR UNA RECTA PERPENDICULAR A UNA LINEA DE REFERENCIA DE LOS PLANOS OUE LA· CONTIENE.
LA DISTANCIA QUE DEBE EXISTIR ENTRt: LA LINEA DE REFERENCIA Y UNA DE LAS PROYECCIONES ADYACENTES ES IGUAL A AQUELLA QUE FIJA LA POStCION DEL PUNTO EN EL ESPACIO CON RESPECTO AL PLANO ADYACENTE COHUN.
w
-
SITUACION
DE
UN
PUNTO
t EN
1
1
1
EL
IZCUIERDA
ABAJO
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1
1
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O ADELANTE
ESPACIO
t
ABAJO
ATR~
ARRIBA
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PARA LOCALIZAR LA DE Ul'J DETERMINADO POSICION PUNTO ~JUME RICA O GRAFICAMENTE DEBE RELACIO~JARSE CON OTRO CUY A SITUACIO~J SEA CONOCIDA. EL PUNTO DE ORIGEN VIOJE A SER COMO EL PUNTO DE REFERENCIA PARA CUALQUIER SISTEMA DE MEDICIONES.
2.2.
1 DERECHA
ARRIBA
t.---
1
1
t~-DE_R_~
¡
A TRAS
,zou,.RDA
ADELANTE
t
ABAJO
O DERECHA
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ARRIBA IZQUIERDA
-
O DERECHA
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ADELANTE
'ZOUIERDA
~
ATRAS
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ADELANTE
f.
'º
ABAJO
ARRIBA
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A TRAS
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PROBLEMA 1
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PROBLEMA 2
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PROBLEMA 3
PROBLEMAS 1 A .3
Loccllzor el punto dado
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!es vistas indicados.
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PROBLEMA 6 Locofizar l01J puntos 1 y 2 en la• vista• do~: 2. - 2 cms lzquk9rdo, 2 cm atroe, 1.5 arribo de 1.
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*PROBLEMA 7
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8 -= 1 cm adalonte c!e A
*PROBLEMA 8 B "" 2 cms obojo de
a+ 8
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3 crns o lo derecha de A
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• Poro resolver en las dos vistes dodo.s.
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PROBLEMA 4 Lccalizor lo1t puntos A-8-C en los viata?r inciicodo.:r: B 1.5 cm# otros, 1 cm 'arriba, 1 .5 cm• · izqulordo ~ punto A C '"' 2.5 cnu oojo de B.
PROBLEMA 5
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U:Y--afrzcr A en todoll lcJs
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YÍ~G3
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dadas, l!l¡ se
-..ocuentro 1 cm odeicnle & 8.
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PROBLEMA 1Q
B en loa
Lo-calizar los Puntos A Y
A..
vistas dadas: la izquierda de B - 2 cma o 1s '
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Jt.--r
':r-,_ ·\. o~ 1
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d~s~n!!cho,
11 PRO BLEMA n las~ vistas o dala 1 y 2 e, Locali.zar = 2 cms abcjo, 1 .:::.> cms 2
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de i.
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/
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/
/
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F LO
/
+
3. LA LINEA
LA UNEA RECTA SE DEFl~~E COHO EL PASO O HOVlMIENTO DE UN PUNTO EN UN SOLO SENTIDO, CONFORMADA POR UN INFINITO NUHERO DE PUNTOS. TEORICAMENTE LA LINEA TIENE LONGITUD INDEFINIDA, PERO DE ACUERDO A LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA SE LIMITA A UN SEGM[t,jTQ DE LINEA DEFINIDO. AL SE GHE~HO DE Llt..JEA DEFINIDO SE LE DA ~WHENCLA TURA EN SUS EXTREMOS ( Ll~~EA A 8, LINEA 1 2 ETC.) EL ORIGDJ DE LA LINEA S!EHPRE SERA LA PRIMERA LETRA O NUMERO QUE SE NOMBRE.
LINEA PARALEL1~ A LA LINEA DE REFERENCIA
/ 1
/
/
2
+--r---1 1
1
LONGITUD// RE~
¡'
.~---t--~ 1
2
LONcrn.JO RfAL 3.1
LONGITUD
REAL
DE
UNA
LINEA
ES LA DISTANCIA REAL QUE EXISTE ENTRE SUS DOS PUNTOS EXTREHOS. CUALQUIER LINEA EN EL ESPACiO PARALELA A UN PLANO DE PROYECCION APARECERA SOBRE ESE PLANO EN SU VERDADERA LONGITUD. EN VISTAS UNA APARECERA EN ADYACENTE.
LINEA SU
PA.RALELA A LA LINEA VERDADERA LONGITUD
tB
DE EN
REFERENCIA LA VISTA
3.2
LINEA
COMO
PUNTO
UNA Ll~~e'.'"- SE VERA COMO PUNTO, CUANDO SE PROYECTA SOBRE UN PLANO DE PROYECCIONES PERPENDICULAR A LA LINEA DE ESPACIO. LA LINEA EN PROYECCION DEBE APARECER PRIHERO EN LONGITUD REAL PARA LUEGO TENER LA PROYECCION DE LA LINEA COMO PUNTO. TODAS LAS PROYECCIONES ADYACENTES A UNA LINEA COMO PUNTO, MUESTRAN LA VERDADERA LONGITUD DE LA LINEA.
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o
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PLANO l •. ---:-··- PERPENOICVLAR
A LA LINEA
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LINEA 081.JCUA COl.10 PUNTO
eq
--1 1-
3.3
POSICION
DE
LA
Ll~~EA
EN
El
ESPACIO
_J
TODOS LOS PUNTOS A LA MISMA ALTURA LONGITUD REAL EN SUPERIOR Y FRONTAL
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z o t! a: o
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_J
1-
TODOS LOS PUNTOS A LA MISMA ALTURA LONGITUD REAL EN SUPERIOR Y
N
LATERAL
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LOS DOS PUNTOS TIENEN IGU/1L DIMENSION DE ANCHO E !GU.A.l_ PROFUNDIDAD. LONGITUD REAL EN FRONTAL Y
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IGUAL PROFUNOIDil.D. LONGITUD RE.Al. EN FRONTAL
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LOS DOS PUNTOS TIENEN IGUAL ANCHO. LONGrTUD REAL EN LATERAL
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2
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V-Fj[?
EN iODAS LAS PROYECCIONES APARECE CON INCLINACION RESPECTO A LOS PLANOS DE PRO1
YECCION. LONGITUD REAL EN NINGUNA DE LAS
VISTAS PRINCIPALES.
3.4
RUMBO
RUHBO ES EL TERMINO DIRECCION O CURSO DE UNA TIERRA. EL RUMBO DE UNA LINEA, LINEA CON RESPECTO AL GRADOS. EL NORTE ESTA DIRIGIDO DIBUJO (ORIENT ACION DE ESPECIFIQUE. EL ANGULO QUE HARCA EL
UTILIZADO PARA DESCRIBIR LINEA SOBRE LA SUPERFICIE DE
LA LA
ES LA RELACION ANGULAR DE NORTE O AL SUR EXPRESADA
LA EN
HACIA LA LOS MAPAS) RUMBO.
PARTE SUPERIOR A MENOS QUE
SIEMPRE
ES
HENOR
DE
DEL SE
goo.
N
b
s
- - -- - - -- - -sF
N
w
E
a
ORIGEN A RUMBO 60°SE
-----LORIGC:N B RUMBO 60° NW
b
s 3.4.1
REGLAS
PARA
MEDIR
EL
EL RUMBO SOLO PUEDE HORIZONTAL (SUPERIOR). EL HA Y DOS LA
ANGULO
DEL
QUE DEFINIR SENTIDO:) LINEA
TIENE
RUMBO EL
RUMBO MARCARSE
SIEMPRE ORIGEN
LONGITUD
E5 DE
EN
HDWR LA
UNA DE
LINEA
PROYECCION
go• yA
OUE
TIENE
INDEFINIDA.
21 ~,'
3.5
PENDIENTE
LA PENDIENTE DE UNA LINEA.. ES LA TANGENTE AL ANGULO, FORMADO ENTRE LA LINEA Y UN PLANO HORIZONTAL. LA PENDIENTE REAL DE UNA LINEA DEBE MEDIRSE EN VISTAS DE ELEVACION (VISTAS ADYACENTES A LA. SUPERIOR) QUE MUESTRE LA LINEA EN VERDADERA LONGITUD. LA PENDIENTE PUEDE SER ASCENDENTE o DEScnmENTE. LA PENDIOHE ES ASCENDENTE CUANDO LA LINEA SUBE ACERCA AL PLANO SUPERIOR (+). LA PENDIENTE ES DESCENDENTE CUANDO LA LINEA BAJA ALEJA DEL PLANO SUPERIOR (-).
8 ANGULO
~.PLANO
DE
PENDIENTE
HORIZONTAL
PENDIENTE DE UNA UNV.. INv'"'UNADA
FRONTN.
o,.-------~ b
- - -sF PLANO HOO IZONTAL.-=r:==ll!==-:::i;:===-=
~
o
~
~
ti
(lJ
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~
(/"/
~ Af.lGULO DE
PENDIENTE PENDIENTE
DE DE
LA LA
LINEA
A-8
Ll~~EA
8-A
PENDIENTE
DESCENDIENTE ASCENDIENTE
22
O NEGATIVA O POSITIVA
Y
SE
Y
SE
3.5.2
PENDIENTE
EN
PORCENTAJE
EL ANGULO DE PENDIENTE GENERALMENTE SE EXPRESA n~ GRADOS. SIN EMBARGO EN INGENIERIA CIVIL LA PENDIENTE SE EXPRESA COMO UN PORCENTAJE DE DECLIVE O COMO UNA INCLINACION. DADA POR LA EXPRESION:
l.
DE
DECLIVE
:
SLJBIDA VERTICAL X 100 RECORRIDO HORIZONTAL
PARA ENCONTRAR EL PORCENTAJE DE DECLIVE DE CUALQUIER LINEA, LA LINEA DEBE APARECER PRIMERO EN LONGITUD REAL EN UNA VISTA DE ELEVACION. EL CALCULO DEL DECLIVE SE HACE DIBUJANDO POR EL PUNTO DE ORIGEN DE LA LINEA EL PLANO HORIZONTAL VISTO COMO FILO (LINEA PARALELA A LA LINEA DE REFERENCIA S/ Al Y MIDlEN"VO A TODO LO LARGO DE ESTA LINEA 100 UNIDADES, LA SUBIDA SE MIDE PERPENDICULAR Al PLANO HORl_ZONT AL ESTABLECIDWO DE ESTA MANERA EL PORCENTAJE DE DECLIVE.
~~ ""117
~ s '
-~ -R~CORRIDO .....
- - PLANO
I
HORIZONTAL
HORIZONTAL
'(:'
b
0
.......
o
.....
- - SUBIDA
.....__......._
.F a
b
PENDIENTE EN PORCENTAJE
VERTICAL
3.5.3 PENDIENTE EN VISTA AUXILIAR
PORCENTAJE
DE
UNA
LINEA,
SIN
UTIUZ AR
PARTIENDO DE CUALQUIERA DE LOS EXTREMOS DE LA LINEA SE HIOEN 100 UNIDADES SOBRE LA LINEA EN VISTA SUPERIOR; SE LOCALIZA EL PUNTO Y LUEGO SE TRAZA ESE PUNTO EN LA VISTA FRONTAL TOMANDO LA DIFERENCIA DE ELEVACION ENTRE EL PUNTO DE ORIGEN Y EL PUNTO HALLADO SE ENCUENTRA LA PENDIENTE DE LA LINEA. SE MIDEN CON LA MISMA ESCALA.
o
s ---F
b
Visfo de Alruro ---------
3.6
PUNTOS
SOBRE
. 1e 40°1c10 ------- P en d 1en ~O unid.
LINEAS
SI UN P-UNTO PERTENECE A UNA LINEA, EN TODAS LAS PROYECCIONES EL PUNTO APARECE CONTENIDO EN LA LINEA. ES POSIBLE CONOCER SI UN PUNTO PERTENECE A UNA LINEA OBSERVANDO SOLAMENTE DOS PROYECCIONES. ESTO SE CUHPLE PARA TODAS LAS LINEAS EXCEPCION HECHA DE LA LINEA INCLINADA LATERAL. -PARA cmwcER SI UN PUNTO ESTA CONTENIDO EN UNA LINEA INCLINADA LATERAL ES INDISPENSABLE UNA TERCERA ¡PROY E CCION. b y
VISTA PARA CONFIRMAR SI EL PUNTO PERTENECE A LA LINEA.
X
s
/
o
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- - - - _..__ __ _j_ I F b
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b
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o
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o
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FILO
......
/ / /
--------
b
\ \
---~
s F
PROBLEMA 12 Dibuje lo lineo A-8 e ld.ntifiquela
\
\
s F
PROBLEMA 13 Dibuj" Ja fin6{) A-8 en las vistas dadas e fd.,ntmquela. Los puntos A y 8 tienen Ii;¡uol altura.
b
+
+
b
F LO
PROBLEMA 14 Dibuje lo nneo horizontal >B. Rumbo +5 ° NE. loo9ft.ud 5 cms.
PROBLEMA 15 D1bll}e 1 !<»ntlf~IH !
F LD 1 !
/ /
/
+
1-2
PROBLEMA 16 Lo liM
+
1
F LO
+' -s- - - - - --=---F
PROBLEMA 17 Dlbuj• 1-2 3-1 l...!+
a
8
~ lea !iM
Rumbo +sºNW Norte W
Pv.d
L r90l . +cmi1
+5°~+)
3cma
3-0º'-? 60 °( +
3cim
b
s
----
F
a
/
' b
s F
m/ ------
n
PROBLEMA '18 Holle lo vista de punta e ldentifi~ue los lineas AS y MN.
m
~.
f
PROBLEMA 19 D!buj\'I en S/F y halle lonQitud de la lineo AXB: Rumbo(30º NE Pendiente 80%( - ) X punto medio d-e kl lin~.
+o
PROBLEMA 20 Dibuje las lir;s.as :
1-2 incl. frontal, par.d. 30 º( +), lon<;J. "4-cms 2 a lo~ d
+
-----------
2
s F
@
2
PARES DE LINEAS
b
\
s
\
.
___ J__ --
F
b
PARALEl.AS
b
SE CRUZAN
4.1
SE
CORTAN
QUE SE CORTAN: LAS LINEAS QUE SE INTERSECAN (CORTAN), SON AQUELLAS QUE TIDJEN UN PUNTO COHUN. PARA QUE ESTE PUNTO SEA COMUN A LAS DOS Ll~JEAS, LAS PROYECCIONES DE ESE PUNTO DEBEN ESTAR CONTENIDAS EN U~JA MISMA ALl~JEACION PERENDICUl AfL- A LA Ll~JEA DE REFERENCIA SITUADA ENTRE PROYECCIONES ADYACENTE S.
LINEAS
b
....., PUNTO DE CORTE COMUN A LAS DOS LINEAS
s F
a
4.1.1 CASO ESPECIAL: CUANDO UNA DE INCLINADA LATERAL ES INDISPENSABLE PROYECCION PARA CONFIRMAR QUE EL PUNTO DOS Lll'-IEAS.
LAS LINEAS ES UNA TERCER.~ ES COHUN A L.AS
2 a
a ,.---i----. b
-~ -~ ~'_--_¡.__-_-+-...__,1 -1
b
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2 1
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2
F LO NO SE
CORTAN
FILO SE
CORTAN
4.1.2 ANGULO ENTRE LINEAS OUE SE CORTAN: EL ANGULO nnRE LINEAS QUE SE CORTAN, SE HALLA EN UNA VISTA DONDE LAS DOS LINEAS ESTEN EN LONGITUD REAL. PARA LLEGAR A UNA VISTA DONDE 'LAS DOS LINEAS ESTEN EN SU LONGITUD REAL PRIMERO DEBE HALLARSE UNA VISTA DONDE UNA DE LAS LINEAS APAREZCA COMO PUNl'O, Y EN LA ADYACENTE A ESTA VISTA SE ENCONTRARA EN LA LONGITUD REAL DE LAS DOS LINEAS.
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ANGULO
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ANGULO ENTRE LINEAS QUE SE CORTAN
gr
RE Al
4.2
PARALELAS
LINEAS PARALELAS: SI DOS LINEAS SON PARALELAS EN EL ESPACIO, ELLAS APARECERAN PARALELAS EN TODAS SUS PROPORCIONES, EXCEPCION HECHA C.UANDO LAS DOS LINEAS APARECEN COMO PUNTOS. ESTE ULTIMO HECHO, SIN EMBARGO, REFUERZA EL CONCEPTO DE PARALELISMO, PORQUE SI DOS LINEAS APARECEN COMO PUNTOS EN W~A PROYECCION ELLO INDICA QUE AMBAS SON PERPENDICULARES AL MISMO PLANO DE PROYECCION POR LO TANTO PARALELAS ENTRE SI. a LINEAS
COMO
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PUNTO
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4.2.1 CASO ESPECIAL: CUMWO LAS LINEAS SON INCLINADAS LATERALES, APARENTEMENTE ESTAS LINEAS SON PARALELAS EN EL ESPACIO PORQUE APARECEN PARALELAS EN LAS PROYECCIONES SUPERIOR Y FRONTAL. PARA COMPROBARLO ES ~~ECESARIO CONFIRMAR EL PARALELISMO cm~ UNA TERCERA VISTA. a 2
SON
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PARALELAS
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FILO
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~',Q. F1LD --------
2
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4.3
PERPENDICULARES
PERPENDICULARES: SI DOS LINEAS FORMAN goo EN EL ESPACIO, SON PERPENDICULARES. EL ANGULO SE PRESOIT ARA EN VERDADERA MAGNITUD CUANDO EN UNA PROYECCION UNA O AHBAS LINEAS APAREZCAN . EN LONGITUD REAL, EXCEPCION, VISTA, UNA EN CUANDO UNA LAS UNE AS APARECE COHO DE PUNTO y LA OTRA LINEA EN LONGITUD REAL. SIN EMBARGO ESTO DE PERPENDICULARIDAD. CONCEPTO REFUERZA EL
LINEAS
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EN
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4.4
LINEA
MAS
CORTA
DE
UN
PUNTO
A
UNA
LINEA
LA LINEA MAS CORTA ENTRE UN PUNTO Y UNA LINEA ES PERPENDICULAR TRAZADA DEL PUNTO A LA LINEA. LA LONGITUD REAL DE LA LINEA MAS CORTA APARECERA EN PROYECCION DONDE LA LINEA DADA APARECE COMO PUNTO.
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DISTANCIA
DE LA MAS CORTA
2-1
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4. 5
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LINEAS
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CRUZAN QUE
PARALELAS
Y
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CRUZAN: SE
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LINEAS
QUE
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LOCAUZACION SE 08T1:r·E: HAl_:....M:oo LJt~A ','IST A. DOrlC:E: W~A L! rJ E As Ap AR f: z e,, e o t-1 o pu rn o. ?UrHO u~; .., PERP::~mlCULAR A LA SE !RAZA OE DICHO OTR1\ UNE A. GUE OIS T AN:::1A KAS CORTA BUSCAD·' Y SERA LA O '.~
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PROBLEMA 21 Dibuj~ lo vhto frontal de los !!neas que se cortan AB y CD.
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PROBLEMA 22 Di1xlj. lo fine-a ~~N d~ -'r:;mg de longitud y rumbo +s 0 NW qu
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PROBLEMA 23 l-l.Aill: Rumbo, p-ondiente y longitud
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fa5 line
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~5°.
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PROBLEMA 24 Hol'1 l
fin+~
M
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1-2.
s PROBLEMA 25 Hallo of cngulo formado por les llnoa~
a
1 -2 y AS. en el punto medio dtl la llnoo 1-2.
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PROBLEMA 26
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Dibuje en SI F los lin eos que se cortan AB y MN. X e5 el punto de corte: AB = inclinado fronte 1, lonoi: ud 5 cms, 8 o la derecl'lo di! A, pendiente 30°(-) X punto me dio de AS. MN = Rumbo 45º, longitud 5 cms, M cdelcnte de N. HALLE onoulo rear, pendiente de la lineo MN.
PROBLEMA 27 Dibu}11 la.: line-as pcrp-ondicula~
1-2 )' 2-.3: 1-2 - nJmbo .30° NE. lon¡;¡itud Scmii el pi.;n~o X p
- - - - -· - - -
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PROBLErh\ 28 DcJr Rumbv y Pe,1di.:rnte de ic linea 0-2 quo porte de O y es perpendicular o la linea MN con lo que se corto.
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PROBLEMA 29 Dibuje lo lineo horizontal MN de ~ cm.s de longitud que se. corta con lo lineo A8 formando un on9ulo de 90°.
a/ --- -
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_ _ _....::S::...
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PROBLEMA 30 Dibuje los lineas paralelos 1-2 y MN: 1-2 -= pendiente 60:t( + ), lon~rtud ·~ cms.
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2
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longitud "4- cms, locafizodo adelante y por debajo de lo lineo 1 -2. Lo mo::inor distancio entre las das Hne(ls es 3 cms. M esto o 1 cm o bojo de 1.
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PROBLEMA 31 Lo linee OS de 5 cms de longitud, es paralele o le lineo CE.
El punto S otros y abajo de O. Cual es le menor distancia entre los dos
lineo~?
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PROBLEMA 32 Dibuje los linees pcralelas MN y OS: MN - rumbo 45°NW, ~ndfonte so,;(-), OS - locclizada adelante y abajo de la La distancia enm, les dos lln.ios de .o4- cms de longitud. El punto O adelante lguoi profundidad que el punte M.
"ª
!on9itud 5 cms. linee MN. 2 cm:r, OS de de S y tiene
41
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b
1
+ S PROBLEMA 33 ---------Dibuje lo fine.a l.!N moa F
a, T
corta que uno o la~ lin&a.5 qu~ .._, cruzan: 1-2 "" Indinado frorrt.oL AB - horizontal, rumbo 60ºNf::.
2
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PROBLE~.A
34
Dibuje lo visto frontal si la lineo '/('( ~ lo menor distancio entre 1011 llneas que se cnizan AS y 1-2.
b
PROBLEMA 35 Dibuje los lineas que se cruzan A8 y 1-:C A8 - ~ndient.e 3Q;ir;( - ). 1-2 - 'r cms de lon9itud. Si lo menor distando ent:ni las d~ llnea.a es de 2.5 cmJJ
1-2
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PROBLEMA 36 Dibuje las líneos que se cruzan A8 y CD. 1 -2 ~ lo lineo moa corto que lom une. 1 s:s el punto medio de AS .
2 ea el punto medio de CD. 1-2 5 cms de: longitud. A8 horizontal.
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PROBLEMA 37 Dibujo en S/F los linoas quo so cruzan AB 'j CD do igual longitud: XY = e.5 lo linoo mas corto ontre los lineas quo so cruzan, horizonte!, do J.cms do longitud, pasa pvr el punto m. CD = 5 cms do longitud roal.
r t.·
5. EL PLANO
1 1
es L.:~I
CL
U~IA SUPERP'ICIE FORHAOA - POR El PASO o HOVl~!::NTO LiHC:A RECTA E~l UN DETERHl."iAOO SENT:oo. PLANO TIC:H[ UNA (XTENSlm~ INOEFlt-;IDA A NO SE.~ OUE
(SP[CIF'IOUS
UN
Dé: SE:
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S.\.
REPRESENT AClON
UNA SUPERFICIE PLMlÁ SIGUtEl'-iTE FOR~A
DE
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PUEDE
REPRESEl'IT AP.SE
12::s PUNTOS ou:: NO ESTE.N EN DOS LINEAS ?A.~ALELAS. Dos l.INEAS QUE SE: CORTAN.· UNA LINEA RE. e TA y Ut--l ?ur.ffo.
u~:EA
EN
R:.:CT A.
VíST AS
DE
LA
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5.2. LA UN AL
PUNTOS
SOBRE
PLANOS
GEOHETRIA ELEMDH AL DICE: "POR UN PU~HO SITUADO SOBRE PLANO PASAN INFINITO NUMERO DE LINEAS QUE PERTENECEN PLANO".
EN VISTAS, PARA LOCALIZAR UN PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO, BASTA DIBUJAR UNA LINEA QUE PASE POR ESTE Y QUE PARTA DE UN EXTREMO CONOCIDO DEL PLANO. EL OTRO EXTREMO DE LA LINEA SE HALLA POR PUNTOS DE CORTE.
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- --
b
5.2.1.
CASO ESPECIAL: CUANDO LAS LINEAS EXTERIORES DEL PLANO SON LINEAS INCLl~~ADAS LATERALES Y LA LOCALIZACIQ~.¡ DE LA LINEA QUE PASE POR EL PUNTO NO SE PUEDE HALLAR DIRECT AME~HE POR PUNTOS DE CORTE. PUEDEN UTILIZARSE LOS SIGUIENTES METODos: UTILIZAR UNA LINEA AUXILIAR QUE PERTENEZCA AL PLANO QUE CORTE LA LINEA QUE PASA POR ~LE PUNTO PARA DE ESTA FORHA PODER LOCALIZAR POR PUNTOS DE CORTE LA LINEA QUE CONTIENE EL PUNTO. LOCALIZAR LA LINEA QUE CONTIENE EL PUNTO EN LA VISTA LATERAL Y LUEGO EN SUPERIOR Y FRONTAL. b LINEA AUXlUAR
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5.3.
POSICIONES
DE
UN
PLANO
EN
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El
ESPACIO
TODOS LOS PUNTOS A LA MISMA ALTURA PLANO PARA LELO AL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCJON.
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PERPENDICULAR AL PLANO HORIZONT1'\L DE PROYECCION. ASUME TRES POSICIONES DIFERENTES QUE SON: 1. PP.MLELO Al Pl.Nfü FRONTAL
2. PARALELO AL PWlO DE PERFlL 3. CUALQUIER POSICION RESPECTO A LOS PLANOS FRONTAL Y DE PERFIL
....J
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o u a: z l.J.... ....1
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PERPENDICULAR AL PLANO FRONTAL
PERPENDICULAR AL PLANO DE PERFlL
INCLINADO CON RELACION A PUJ~OS DE PROYECCION. NO SE VE COMO FlLO EN ~-HNGUNA DE LAS PROYECCIONES PRINCIPALES.
LOS TRES
5.4.
LINEAS
CONTENIDAS
EN
PLANOS
MUCHOS PROBLEMAS EXIGEN LA ADICION DE LINEAS A PLMWS Y QUE APAREZ.CAN EN LONGITUD REAL. EN LAS VISTAS PRINCIPALES, YA QUE NINGUNA DE LAS LINEAS EXTERIORES AL PLANO CUMPLEN CON ESTA CONDICION. LAS LINEAS PRINCIPALES
FRONTAL.
OUE SON:
APARECEN
INCLINADA
EN
HORIZONTALES LATERAL.
LONGITUD (LAS
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REAL TRES),
EN
YIST AS
INCLINADA
b
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b LINEA HORIZONTAL (Lo5 dos puntos iqu:il olturol
LINEA INCLINADA FRONTAL U..Os dos ¡:>1.mlos i9J0i pronmióodl
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-s- - - - - F
a
o
e
b
e
b LINEA INQINADA LATERAL tL.os d-010 pul0$ iquol oneha)
5.5.
PLANO
OBLICUO
COMO
FILO
UN PLANO OBLICUO APARECERA COMO FILO O LINEA EN UNA PROYECCION oo~mE W~A LINEA CONTENIDA EL EL PLANO APAREZCA COMO PUNTO.
b
/ LINEA COMO PUNTO/ PLANO
COMO FILO
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b
LINEA COMO PUNTO/ PLANO COMO FILO
'
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-s- - - - F a
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/.. s --------F
T AMA~O
5.5.
REAL
DE
UN
PLANO
UN PLANO APARE CERA EN SU VERDADERO TAMAÑO Y SE PROYECTA SOBRE UN PLANO DE PROYECCION PLANO.
TAMAÑO
5.6.1.
EN
REAL
FORMA CUANDO PARALELO AL
DEL PLANO
VISTAS:
PARA QUE EL PLANO APAREZCA EN REAL f'RIMERO DEBE APARECER COMO FILO PARA QUE VISTA ADYACENTE EL PLANO ESTE SU T AMAl~O REAL.
\\ LAS 1.
2. 3.
VIST A'9
FUNDAMENTALES
SON:
LONGITUD . REAL DE UNA Llr~EA CONTENIDA EN LINEA COMO PUrHO. PLANO COMO UN FILO. PLANO EN T AMA'-~O REAL.
EL
PLANO.
e
s F b
TAMANO REAL DE UN PW'-10 e
-
TAHA O EN LA
5. 7.
RUMBO
DE
UN
ES EL ANGULO DE CONTENIDA EN EL
NORTE SE
PLANO DIRECCION QUE PLANO, HEDIDO
TENGA cm~
UNA
LINEA HORIZONTAL A LA UNEA
RELAClm~
SUR.
EXPRESA
EN
GRADOS
SIEMPRE
HENORES
N
DE
goo.
e
a
w
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--------------+-
F
e
5.8.
PENDIENTE
DE
UN
PLANO
ES LA TANGENTE AL ANGULO FORMADO ENTRE UN CUALQUIERA y UN PLANO HORIZmn Al_ DE REFERENCIA. ¡SE LA EN
PUEDE
MEDIR:
PENDIENTE VISTAS DE
EN
GRADOS,
EN GRADOS O AL TURA DONDE
Y
EN
PORCENTAJE
PORCDH AJE SOLO PUEDE MEDIRSE EL PLANO APAREZCA COMO Fil-O.
2~-----3
------~4
s -F- - -
PLANO
=1=-__r:_==_:::::;:::==:::::;t::::=::::::;:¡.__ 4-3
ANGLLO DE PENDIENTE
~ PLANO OE
62
HORIZONTAL REFEREN!:;IA
5.9.
LINEA
MAS
CORTA
DE
UN
PUNTO
A UN PLANO
LA DISTANCIA MAS CORTA DE UN PUNTO A UN PANO ES LA PERPENDICULAR TRAZADA DESDE EL PUNTO AL PLMm. PARA DETERHINAR LA DISTANCIA MAS CORTA OHRE UN PUNTO Y UN PLANO SE DEBE LLEVAR EL PLANO A UNA VISTA DONDE APAREZCA COMO FILO. EN ESTA VISTA LA LINEA QUE VA DEL PUNTO AL PLMW Y LLEGUE PERPENDICULAR AL PLANO ES LA DISTANCIA MAS CORTA ENTRE EL PUNTO Y EL PLANO. LA LINEA MAS .CORTA APARECE EN ESTA VISTA EN LONGITUD REAL.
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5.10. LINEA MAS CORTA PUNTO A UN PLANO
CON
PENDIENTE
DETERMINADA
DE
UN
ES LA LINEA TRAZADA DESDE EL PUNTO AL PLANO CUMPLIENDO UNA CONDICION; QUE LA LINEA TENGA UNA PENDIENTE DETERMINADA (DE 0 A QQO). EL PLANO DEBE APARECER COHO FILO EN UNA VISTA DE AL TURA, PARA MOSTRAR EL ANGULO DE PENDIENTE DE ,LA LINEA. EN ESTA VISTA LAS LINEAS TRAZADAS CON PENDIENTE DETERMINADA DESDE EL PUNTO AL PLANO ESTAN EN LONGITUD REAL.
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PRO 38 - 3d~. . BLEMAS 1ente ,v ta mono Halle rum.bo ' rv.n r-rooi d.el plano.
PROBLEMA 39
4
1
2
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PROBLEMA 40 Dibu~ \
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PROBLEMA 41 e
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Por el punto 1.4 contenido en el plano pose las llneos: 1-2 inclinada frontal 3-4 oblicua.
b
e
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PROBLEMA
s
42
Dibujar la vista frontal dt!I pklno ABCD. Loa lineas paralelos AS y CD aan los lados del plano, que tierwi 4-5 ó df! pendiente, lo:s puntos 8 y e tie~ 19ual oH:uro y ~an abajo del punto A.
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+4-3
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1-2
1
PROBLEMA
43
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1 1 1
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1
A
3
EOUILATERO LADO= 4 cms.
s
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F
1
+
PROBLEMA 44 Dib11jor en S/F e( trion9ulo &quilatero 1-2-3. R1Jmbo 45° NE (3obre 1-A) ~ndicnt~ 30° . El punto 3 arriba de 2.
PROBLEMA 45 Dibujar en S/F ol triangulo isosceles rocto en A Rumbo 45 ° NE. Pendiente 60%, el punto e abajo de A.
a~ b
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SB
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X
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PROBLEMA 46
-- - _s__ F
Dibuja lo vista eupe:i:;r. Pendiente del plano 45 °, 8 otros de X, La limio AX pertenece ol plano.
a
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---- ----F
PROBLEMA 47 Diouje o!'1 S/F e! plo!'1o ABC triangulo eouila:arc. Rumbo 30° S'n', p-endie:ite
45 o.
sq
e:
punto
e
arribe y cdclont~ de A.
1
s
--- ·- - -··-F
1 -J._ ;
PROBLEMA 48 Dibuje el triangulo lsosc-eles 1-2-3 recio l!ln 1. Catetos de 4.5 cm::i. Rumbo del plano 30° NE. El punto 1 ambo de 2. El vartice 3 arriba de 1.
60
o
~m 1
--- - - --- - -
PROBLEMA
-,e
---
49
Dibuje el triangulo equilatero ASC, Rumbo 45 ° NW, pen::!iente 70/:. El punto A abajo y adelant1:i de 8. M punto medio de lo lineo 8-C.
6r
s F
b
a
s F
PROBLEMA 50 Dibuje lo lineo mas corto del punto O ol plano.
a-
6
a
PROBLEMA 51 Dibuje lo visto frontal si lo linea 1-2 es lo distancio mas corta de 1 al plano.
Lo linea 1-2 tiene: Rumbo 45 ° NE, ~ndiente 45 ° (-), longítud .3 cms.
e
s F
Ó2
PROBLEMA 52 a). Dibujar en S/F el plano cuodrodo 1-2-J-4. Lo diagonal 1-J " horlzontol~bo 451) N€:_ longitud 6 cms. Lo distancia mas corta MX ea de-2.5 cm• de longitud, pendiente (-). El punto X 1obrw la diagonal. El punto 2 a la der.cho de 4. b). Halle la1 siguientes menores distancias: MR con pendiente de -4-5 ° MS vertical.
+
m
s F
ó3
(f)
X
LL.
+ N
+
+ N
PROBLEMA 53 a~. Dibujar en S/F el plano cuadrado 1234 con rumbo 600 NE. el punto 3 arriba de 2. b . La linea 1 -2, tiene rumbo Norte, pendiente +5° (-), longitud real + cms. c • Encuentre las siguientes menores distancias de X ol plano. El punto X tiene Igual
otturo que 1.
XA minlma distancia; XB menor distancia horizontal: X-C menor distancio con pend de 3C
6. MENORES DISTANCIAS ENTRE LINEAS QUE SE CRUZAN 6.1. DISTANCIA SE CRUZAN
HORIZONTAL
MAS
CORTA
ENTRA
DOS
LINEAS
QUE
CONSISTE EN UNIR DOS LINEAS QUE SE CRUZAN CON OTRA LINEA QUE SE A HORIZONTAL. PARA HALLAR LA MENOR DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS LINEAS QUE SE CRUZAN DEBE UTILIZARSE EL HETODO DEL PLANO.
6.1.1.
METODO
DEL
PLANO.
CONSTRUIR UN PLANO PARTIENDO DE UNA DE LAS LINEAS Y COMPROBAR QUE EL PLANO CONSH?UIDO ES PARALELO LINEA EXTERIOR DADA. POR W4 PUNTO CUALQUIERA DE U~~A DE LAS LINEAS SE UNA PARALELA A LA OTRA Ll~~EA DADA.
DADAS A LA TRAZA
LA DISTANCIA HORIZONTAL MAS CORTA ENTf?E DOS LINEAS QUE SE CRUZAN APARECE EN LONGITUD REAL EN LA VISTA AL TURA DONDE LE PLANO APARECE COMO FILO PARALELO A LA OTRA Ll~4EA DADA. AU~~QUE SU LONGITUD REAL ES CONOCIDA EN ESTA VISTA SU LOCALIZACION EXACTA SOLO PUEDE APRECIAR EN LA VISTA DONDE LA MENOR HORIZONTAL APAREZCA COMO PUNTO. PLANO COMO FILO
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a 2'- - - -
LINEA HORIZONTAL MAS CCf!TA
o
6.2. DISTANCIA MAS CORTA LINEAS OUE SE CRUZAN
CON
PENDIENTE
DADA
OUE
UNE
DOS
PARA
DETERMINAR LA DISTANCIA HAS CORTA CON PENDIENTE QUE WJA DOS LINEAS QUE SE CRUZMJ, LO MISMO QUE EN LA MENOR DISTANCIA HORIZONTAL DEBE UTILIZARCE EL HETODO DEL PLANO.
DETERHl~~ADA
LA DISTANCIA MAS CORTA co~~ PENDIENTE DETERMINADA SE HALLA EN UNA VISTA DE AL TURA DONDE EL PLANO APARECE COMO FILO PARALELO A LA OTRA LINEA. l_A LINEA PEDIDA SE PUEDE TRAZAR CON LA PENDIENTE DETERMINADA, EN ESTA VISTA, DmmE SE CONOCE su LONGITUD REAL PERO NO su LOCALIZACION EXACTA. LA PROYECCION DE WJA NUEVA VISTA DONDE LA Ll~JEA PEDIDA APAREZCA COMO PUNTO, SITUADA EN LA INTERSECCION DE LAS DOS LINEAS QUE SE CRUZAN, NOS DA LA LOC."-.LIZACION EXACTA DE LA LINEA PEDIDA CON PENDIENTE DETERHl~~ADA.
a MN
b
a 2
o
LA LINEA
b
o
A.8
a b
2
s b
F
a
PROBLEMA 55 Halle: o). Longítud del eje vertical mas corta qua una los lineas AS y 1-2. b). Longitud y rumba de le lineo mas carta can pendiente de 45 ° que une las lineas AS y 1-2. Utilice me todo del plano.
PROBLEMA 56 Halle lo longitud reol al eje mas corto con ~ndiente lineas A8 y CD. Utilice el metodo del plano.
a
de 45 ° que une
1011
d
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b
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a
b
d
a
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b/
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a
d
e
PROBLEMA 57 o). Halle las siguientes menores distancias: Horizon~al y con ~ndiente de 60° (por el metodo del plano). b). Determine Rumbo y longitud real de los menores distando3.
?O
,; ·.·'
7. INTERSECCIONES
7.1
INTERSECCION
ENTRE
UNA
LINEA
Y
UN
PLANO
NO ES PARALELA SI UNA LINEA NO PERTENECE A UN PLANO, y AL PLANO, SE INTERSEPT AN EN UN PUNTO COMUN AL PLANO y A LA LINEA. EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO y LA LINEA PUEDE SIGUIDHES ME TODOS. HALLARSE POR LOS METODO HE TODO
7.\.1.
DEL DEL
METODO
PLANO PLANO
DEL
DE FILO. CORTANTE.
PLANO
COMO
FILO
CONSISTE EN LLEVAR EL PLMW A UNA VISTA oormE ESTA APAREZCA COMO FILO, D~ ESTA VISTA SE LOCALIZA EXACT AHENT A EL PUNTO DONDE LA LINEA A TRAVIESA EL PLANO.
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F
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b
"71
7.1.2.
HETODO
DEL
PLANO
CORTANTE
UTILIZAR UN PLANO CORTANTE QUE CONTENGA LA Ll~JEA DADA. LA LINEA DE INTERSECCION DEL PLANO CORTANTE CON EL PLANO OBLICUO Y LA LINEA DADA DEBEN CORTARSE O SER PARALELAS PUESTO QUE AMBOS ESTAN EN EL HISHO PLMJO CORTANTE. EN LA VISTA ADYACENTE. LA LINEA QUE REPRESENTA LA INTERSECCION ENTRE EL PLANO CORTANTE Y EL PLANO DADO Y LA LINEA DADA SE CORTAN EN UN PUNTO, QUE SERA EL PU~HO DE INTERSECCION COMUN AL f>LANO Y A LA LINEA.
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o N PLANO CC:fffANTE L - M - N - O CONTIENE A LA UNEA 1-2
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1
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7 .1. 3.
VISIBILIDAD
REGLA: WJA Lll'JE A CAMBIA SU VISIBILIDAD EN EL PUNTO INTERSECCION. AL INTERSE{5T ARSE UNA LlrJE A Y UN PLMJO, PLANO OCULTA PARTE DE LA LINEA SIENDO ESTE SEGMENTO DE Lll'JE A ll'JVISIBLE.
DE EL LA
PARA ESTUDIAR LA VISIBILIDAD, SE TOMA UN CRUCE ENTRE EL SEGMENTO DE LA LINEA QUE SE INTERSEPTA Y UNA DE LAS LINEAS DEL PLANO Y SE TRANSLADA A UNA VISTA ADYACOHE Y LA PRIMERA DE LAS Lll'JEAS QUE SE ENCUENTRE ES LA VISIBLE. LA OTRA SERA LA ll'NISIBLE. ESTA ES LA VISIBILIDAD QUE SE DEBE DIBUJAR EN LA VISTA DE DONDE SE FORMA EL CRUCE DE LINEAS. ESTE PROCEDIMIENTO SE DEBE REPETIR PARA EL ESTUDIO DE LA VISIBILIDAD EN CADA UNA DE LAS RECTAS
7 .2.
INTERSECCION
DE
DOS
PLM,05
LA INTERSECCION ENTRE DOS PLANOS ES UNA LINEA RECTA COMUrJ A LOS DOS PLAtWS. POR LO TANTO DOS PUNTOS CUALESQUIERA COMUNES A AHBOS PLANOS DETERMINAN LA POSICION DE LA LINEA DE INTERSECCION. PARA HALLAR LA INTERSECCION ENTRE DOS PLANOS PUEDEN UTILIZARSE LOS SIGUIENTES METODOS.
-
HETODO HE TODO
DEL DEL
PLANO PLANO
DE FILO. CORTANTE.
7.3
7.2.1.
METODO
DEL
PLANO
DE
FILO
CONSISTE EN LLEVAR UNO DE LOS PLMWS A UNA VISTA AUXILIAR DONDE EL PLANO APAREZCA COMO FILO. ESTA VISTA MOSTRARA DOS PUNTOS COMUNES A AMBOS PLANOS OUE DETERMINAN LA LINEA DE INTERSECCION
b
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1
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Q
b
'73 7.2.2.
METODO
DEL
PLANO
CORTANTE
POR
ESTE METODO, LA INTERSECClm4 ENTRE LOS PLANOS SE HALLA AUXILIARES. UTILIZAR VISTAS EN HACER PASAR ME TODO CONSISTE POR EL CADA UNA DE LAS CORTANTE, PROYECCI0~4ES PLANO W4 PERPENDICULAR AL PLMW DE ASI RESPECTIVO. EL PLANO PROYECCION CORTANTE APARE CERA EN PROYECCION COMO FILO. LA TRANSLADANDO A LA VISTA ADY ACOHE LOS PUNTOS DE CORTE ENTRE EL PLANO CORTANTE Y CADA UNO DE LOS PLANOS DADOS, ENCONTRAMOS DOS LINEAS QUE SE CORTAN QUE DETERMINAN U~~ PUNTO QUE ES COMUN A LOS TRES PLANOS Y ADEMAS PERTENECE A LA LINEA DE INTERSECCION. LOS PLANOS CORTMJTES DEBEN TRAZARSE EN DIFERENTES PROYECCIO~~ES Y COMO M1~41MO DOS PLANOS CORTANTES Si~~
b
PC-1
a
s
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F
b
7.2.3. D~
LA
VISIBILIDAD INTERSECCIO~~
DE
SIEHPRE ES VISIBLE. PARA LA V!SIBILIDAD DE LOS QUE PARA LA VISIBILIDAD DE
Ll~ffA
DE
PLANOS UTILIZAMOS PLANO Y LINEA
EL
PLMJOS
LA
INTERSECCIO~~
HISMO
HETODO
PROBLEMA 58 A 61 Halle la intereeccion entre el plano y la linea. Utudie vi~ibllidad (no utilice vista aux!liar).
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F
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2 e a
PROBLEMA 58 PROBLEMA 59 b
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2
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PROBLEMA 60
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PROBLEMA 61
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PROBLEMA 62
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¿'> 7-2 1
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PROBLEMA 63
PROBLEMA 64
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PROBLEMA 62 A 64 Hclle le lni:erseccion y estudie lo visibilidad (utilice vi~ta ouxilior).
a
77
F
PROBLEMA 65 Halle el anc¡¡ulo. Estudie visibllidad de 1-2.
b-a
b
a
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1
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2
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2
2
2
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e PROBLEMA
66
Holle el angulo y estudie visibllldod de lo linoa 1-2.
1
1 F
76
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''· • I
PROBLEMA 67 Halle el angulo entre. Un&a 1-2 - 4 eme Plano ABC - Rumbo El punto 1 pertenece
el plano ABC (triangulo e-quilatero) y lo linf!IO 1-2. de longitud, rumbo .30° NW, pendiente 45• (-). +5 ° NE, pendiente 60X. A abajo cki 8. al plano.
2
+
b
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PROBLEMA 68 Halle lo lnt•rw~clon •ntre loa plano•. Eatudie vialbflldod (por plonoo cortantes).
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3
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PROBLEMA 69 Halle lo lnter-5ecclon entre los planos, e~udie lo visibilidad (metodo del plano cortante).
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PROBLEMA 70 y 71 Halle lo intenecc10n entre los Clos planos y estudie visib1l1Cloel (rnetodo de lo visto ouxil1orl.
PROBLEMA 70
s 3
F
PROBLEMA 71
e
e
2
2
a
b
a
F LD
b
8. ANGULOS
8.1.
ANGULO
ENTRE
PLANO
Y
LINEA
SE HALLA EN UNA VISTA DmJDE EL PLANO APARECE COMO FILO Y LA LlrJEA EN LmJGITUD REAL. PARA PODER LLEGAR A ESTA VISTA ES rJECESARIO PRIMERO LLEVAR EL PLANO A UNA VISTA APAREZCA EN TAHA O REAL Y EN LA VISTA ADYACENTE SE TDmRA EL PLMJO COMO FILO Y LA LINEA El'J LOrJGITUD RE AL.
b
ANGULO REAL
82
8.2.
;\NGULO
DIEDRO
ES EL ANGULO rORMADO POR DOS PLANOS OUE SE CORTAN. EL ANGULO DIEDRO SE HALLA SOBRE UN PLANO DE PROYECClm~ PERPENDICULAR A LA LINEA DE INTERSECCION. UNA VISTA OUE MUESTRE LA LINEA HOSTRARA LOS PLMWS COMO FILO.
Dt
INTERSECCION
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COMO
PUNTO,
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' LINEA DE 11-HERSECClON {_ COMO PUNTO
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ANGULO
O IEORO
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PROBLEMA 72 Halle el oni;¡ulo diedro entra los planos ABC y 1-2-3 y utudie la visibilidad en todos los vrstas. XY ~ lo interseccion
3
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PROBLEMA 73
Y 74
Halle el onculo diedro.
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PROBLEMA 73
2
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PROBLDvi1\ 74
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PHOBLEMA 75 Conirtruya el bien qu lo tY.¡ ufl d-oll 60"
coo
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plano
,A,C8.
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Pf~OBLEMA
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Hall~
76
el angulo di«:lro
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2
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b PROBLEMA 77 Dado el plano ABC, hollar un plano quo forme con ol anterior un angulo do 30,0 cuya lntorsecclon 08 la linoa 1-2. Respuesta on las vistos Su~rior y frontal. Y1síbllldad.
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j
1
