Fu n ç õ e s M a t eMá t ic a s
LICENCIATURA LICEN CIATURA PLENA EM CIÊNCIAS CIÊNCIA S NATURAI NATURAIS S E MATEMÁTICA MATEMÁTICA - UAB UAB - UFMT
Cá , 2010
I F A. F C C, /º C Uá Cá, MT - CEP.: 78060-900 T.: (65) 3615-8737 www.../
Fu n ç õ e s M a t eMá t ic a s
Autores
Eduardo Augusto Campos Curvo Sandro Guedes de Oliveira
CoPyRIghT
©
2010 UAB
Corpo Editorial • • • •
DeniseVargas CarlosRinaldi IramaiaJorgeCabraldePaulo MariaLuciaCavalliNeder
Pjt Gáf: PauLo H. Z. Arruda / Eduardo H. Z. Arruda / Everton Botan Rã: Denise Vargas Stá(): Neuza Maria Jorge Cabral / Felipe Fortes
FICHA CATALOGRÁFICA
C978 C, E A C. F Má./ E A C C, S G O. - - Cá: UFMT/UAB, 2010. 1.Má. 2.F Má. I.O, S G . II.T.
CDU 51
PreFácio
O
á. S q j z á. O á. E, qá q q z , á. N ó , --. A á z q .
Vii
suMário
.
coMo
s u r g i r a M a s F u n ç õ e s?
2.
DeFininDo
.
aléM
11 17
as Funções
49
Das Funções
reFerências BiBliográFicas
53
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas |
iX
coMo surgiraM as Fu n ç õ es
O
, q j, - z XIX. A - . O B, , á á q, z q, z .
© West Semitic Research/Reprodução
© A. Aaboe
T ábua de argila da b abilônia com anoTações. a diagonal apresenTa uma aproximação da raíz quadrada de 2 em quaTro figuras sexagesimais . 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296... fonTe: © 2007 s T. l awrence universiTy
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 11
numerais b abilônicos fonTe: hTTp:// www-hisTory .mcs.sT- andrews . ac.uk/hisT Topics/b abylonian_numerals.hTml
os MesoPotâMicos usaVaM uM sisteMa MateMático seXagesiMal ( B a s e a D o n o n ú M e r o 60). Q u a i s s ão a s V a n t a g e n s ?
O 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 60), q á . É q 60 1, 2, 3, 4, 5 6. A á , ó, â . A . U ê 360 . A (1/60 ) (1/60 ). C . N C F 3 , . A 12. P z q z q, 60 (12 5 = 60). P 60 “ ”, - ê . O 12 ( ) 24, 180 360. L, ( 60) z ó ( 12).
12 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
N - Almagesto L á O A, Aá (باتكلا يطسجملا, al-kitabuCá P ( II .C.), -l-mijisti , Pê O Grande Livro) . O A á q 1/2º 180º 1/2º. E q . F z á z G Μαθηματικἠ . Pê Σύνταξις ( Mathematikē Sýntaxis, Tratado Ma ê . temático; Hē Megálē Sýntaxis, O Grande Tratado) P A D (90-168), E II. S . E ê q Iâ - ê álgebra literal ( q E, I M q R. O A ) ê z. O B G . É z á . á Aó G á H (190-120 .C.), q . O á á. H , C , á- XVII. S P ê simbolismo literal D A, cál . culo literal F Vè (1540-1603) R D (1596-1650). F ó q á q , q j. N ê q sine qua non . I ó R, G G (1564-1642). O á z á . D q q á, , ê q á. A . I Nw (1642-1727) á ê , . E z “” á , “ q” á “” q z- q á . F G W Lz (1646-1716) q z “” 1673. O Lz , ,
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 13
ê q . E z “”, “á” “â”. E 1718 J B (1667-1748) , q , q á “uma quantidade q q á ”. P L P E (1707-1783), q B, “uma equação ou fórmula qq á ”. E, E ê. I q . Uz - z q E , j já q . A XVIII. N XIX , q z . J B J F (1768-1830) , . F á, . E j q qq . E á q q já . F, , á . P J P G Lj D (1805-1859) q q F. P D . E z 1837, correspondência arbitrária entre variáveis representando conjuntos numéricos. U - ê á, q á - á ( ). O, : U variável q qq j ; á q, q , , , , z q unção () . A á , à q à , variável independente á , j , variável dependente . O q campo de defnição campo de valores . A D , q á . E relação entre dois conjuntos de números.
14 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
s é r i e s tr i g o n o M é t r i c a s
e
séries
De
Fourier:
S . U , , () : 3
sen x
=
/ n
=0
(- 1) 2 x (2n + 1) ! n
n
+1
=
x
-
x
3
3!
+
x
5
5!
- ...
U : 3
3
f( x) = 1 a0 + an cos ( nx) + bn sin ( nx) 2 n=1 n=1
/
/
Q : an = 1 n
bn = 1 n
# f (x) cos (nx) dx n
-n
# f (x) sin (nx) dx n
-n
- S F. U S F ó ó , , . A F , á , , ó, , , â qâ, , . Onda Quadrada
Onda Dente De Serra 1
1 0,8 0,5 0,6 0,51
12
X L
,5
0,4
- 0,5 0,2 -1 0,51
Onda Triangular
1
,5
2
X L
Semicírculo
1
1 0,8 0,5 2 0,51
1
,5
X L
0,6 0,4
- 0,5 0,2 -1 0,51
1
,5
2
X L
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 15
C j, G C (1845-1918), . N XX j qq, j . E z ê . E, , j á. P ó, Yk (1976) : “F z q á , ê á, ê ”. E j , q á. george ferdinand ludwig philipp c anTor (s ão peTersburgo, 3 de m arço de 1845 — h alle, 6 de J aneiro de 1918) foi um maTemáTico russo de origem alemã. fonTe: wikipédia.
16 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
DeFininDo
as
Fu n ç õ es
O
z -, . N , , z á , , . A , á já á . U á z . C : A unção descreve uma regra ou uma lei, pela qual um número fca determinado a partir de outro.
E , . C : e X e M P l o : U ó q 50 . O á q , q 10 q . A q . A q em un ção q . P z q q. C : Quilômetros rodados Combustível gasto Combustível restante
10 1 49
100 10 40
200 20 30
300 30 20
400 40 10
500 50 0
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 17
A : q q ( ) ó â 10 k ( )? Q q ( )? E . D . A . P , , , : 1 ---------------- 10 k y -------------- 100 k Q : y =
(1 litro consumido) # (100 km rodados ) = 10 litros consumidos (10 km rodados)
(linha b )
N z = (q ) - (q ) =
50 - 10 = 40
E z á. N , . A , q , , x. Rz : 1 ---------------- 10 k y ------------- x k Q : y =
(1 litro consumido) # x ou y = 1 x (10 km rodados ) 10
(1)
A q . O x ó j q . S q x , , variando x, y, q ó j . N , x y variáveis, q . A á ó j. A á q z. N , á q ê , 18 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
q . D , y x. M , y é uma função de x. O á y á x, y variável dependente q x á independente . O q :
y, consumo
figura 1 – diagrama de flechas para o problema de se deTerminar o consumo de combusTível.
x, Km rodados
N F 1, q (1), q j q j . A q (1) . O q (1) y( x)
=
1 10
(2)
x
N q , y(x) “ y x”, q y x. É y = (x), q ê “ y x”, q y x. A q (1) : f( x) = 1 x 10
(3)
V , á q q q: z = (q ) - (q ) = 50 - y
S q y: z
= 50 -
1 10
x
(4)
E q q q q . N , z é uma função de x. P z variável dependente , q x variável independente , q . T q UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 19
( ) = 50 - 1 10
z x
(5)
x
T q z = g (x), q z x. O “ g ” “ ” q . A, g (x) = 50 -
1 x 10
(6)
C q á á. N, á (x ,y) (x) q y x. P, q á , á “z”, “ w”, “u” (x), - g (x), h(x), j (x). I . Qq á, q j . E á, á . P , á , t ; á â - x d ; á - y h; á q , - n . E : Uma função de um conjunto D para um conjunto R é uma regra que associa um único elemento em R a cada elemento em D.
D , , j q , qq 0 500 k. R , q . N , j . Há j , . A j R . N q , q. E j . Imagem
Domínio
20 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
Contradomínio
figura 2 – domínio, conTradomínio e imagem.
O q áq, á x . A z . x
Matéria-prima (domínio)
(x)
Produto (imagem)
figura 3 – diagrama de máquina para a represenTação de função.
A F 4 q q z
Não é função
(a)
Não é função
(b) figura 4 – e xemplos de relações que não são funções.
e X e M P l o 2: D o M í n i o ,
contraDoMínio e iMageM.
O á . O , q á ( j) â z . A jó á F 5. O q , y, á à â , x. P, â q já j, . A jó . Vj: O , D, j ; y1 O , R, ( y = 0), á q jó . P, y q z ( Q II). A , I, j q x . O F 5, q x, y x1 0 q z á.
x2
figura 5 – TraJeTória da bola chuTada pelo goleiro.
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 21
T , , : A unção y(x), altura em unção da distância a partir do goleiro, estabelece para cada valor de distância (elemento de D), um único valor de altura (elemento de R).
e X e M P l o : n ão
é Função
A ó T S . P , , x y, T jó S. E j á F 6().
y ymáx
ymáx Função 1 Terra
Terra
x
Sol
ymi n
(a)
Sol
Função 2
ymi n
(b)
figura 6 – TraJeTória da Terra ao redor do sol.
A : •
•
•
O á x T S á . O , y y. A y y , .
D , , . E q , á . E F 4 (). P , x = 0 y y y . P, a trajetória da Terra ao redor do Sol não defne uma un ção. I, , q jó . E - 22 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
y. D , jó T S (F 6 ()). e X e M P l o : F u n ç ã o
i n j e t o r a, s o B r e j e t o r a e B i j e t o r a
N , - - . P, á q q . N , q, jó jó T, y á x q . Já , , q , x, á , y. O q ( q) à ( ). T q á , - á- . A, , z q q q (x) (y), z q j. É à : Função injetora: Função onde cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento no domínio. N ,
. A q j. Já q jó j q á â ( ) á ( ). Função sobrejetora: Função onde o conjunto imagem coincide com o conjunto contradomínio. E . Q
q á , ( ) ( q). V q q. V q q . C , ( q) á q ( á q) q j. V jó . P, z á . E á , . A á q á. P, j z ( ) . O . D z, q, á, á. A q jó (
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 23
jó) z , z q . N q jó ó j, j. N q, , q jó j q () j q j , á () Função bijetora: Função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. D
, q (q q á ) j: q (j) () , q (). A jó á j j. Já jó á j, j.
e X e M P l o 6: c o M P o s i ç ã o
De Funções
S R$ 1,50, : G = ( ) ( ). A q : g (x) = 1,50 x
(7)
N , g (x), , x. D 1, . Nq à á y (x). T x (x) q 7: g ( (x)) = 1,50 (x)
(8)
A q . O , q z q q . O j, , - x g . P , z composição . A , q : g ( (x)) = g (x)
24 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
(9)
N , g (x) = 1,50 (x) = `
1 x 10
(10)
j = 0,15x
A . S h(x) = x2, z : h g (x) = h( g ( (x))) = (0,15 x)2
(11)
A q q . N , q (11) á (x) g (x) g (x) h(x). E áq: x
g(x)
g
(g(x))
figura 7 – diagrama de máquina para função composTa.
e X e M P l o : F u n ç ã o
coMPosta
U ó , 7 , q á . D q , q á , ó z á . O z q á : População Ano de Observação
650 1
550 2
450 3
350 4
250 5
150 6
50 7
A , ó à q q á , Np, q , t : Np = 750 - 100t
(12)
O ó , q , q á . E q , Ni , ( á 41) á: Ni = 10.000e - Np/300 = 10.000e (-750+100 t )/300
(13)
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 25
A q 13 . N , á - . E . F , q . e X e M P l o 8: F u n ç ã o
inVersa
V 1 : q k 10 ? A já á q (1). B ê- x (k ): x = 10 y
(14)
A q 100 k q 10 j . N q q á x y . A x á y á . A q (14) q (1). P , y x q (3): g (x) = 10x
(15)
E á, q (15) z q (14). P , q (3) (15) , . F : f( g( x)) = 1 10 x = x 10
(16)
O z : g (f (x)) = 10 1 x = x 10
(17)
N q , x. E : duas unções, injetoras, e g são inversas se e somente se ( g (x))= g ( (x))= x. N q á : j . E z á q q j x () (x) (). Q j . A, q j á , , . C, j j. A (x) -1(x).
26 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
P z q (13) 7. Q . V á (x) x, : (18)
f( x) = 10.000 e-(7 50 - 10 0 x)/ 3 00
A : ^
f( f- 1 ( x)) = 10.000 e- 750 - 100 f
-1
( x) h/300
= x
(19)
R q -1 (): x f - 1 (x) = 1 300 ln - 750 100 10.000
`
j
(20)
P q - q (x) e x. S, q (20) -1(x) t x Ni , q q Ni . E (7).
a
reta
N , . N , . P, , á : . Bá á. S q . A . N 1, q (2) (5) q q q. N q , j, q k , 10 k/, já 100 200 k. A q á q 100 200 200 300. T z: q 100, x1, q 10 l , y1, q 200, x2, q , 20 l , y2, q (incremento) q incremento â . S , , m: m=
D y D x
=
y2 - y1 200 - 100 = = 10 km/l x2 - x1 20 - 10
(21)
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 27
G: y y2
y1
x2
x1
x
figura 8 – incremenTo e coeficienTe angular.
A q (21), à , , . E q . N , m . S (m) , á ( á ). N q (5) , j, q q . N , . S , , , . N F 9 . y
y
m>0
y2
y
m<0
y2
y2
L
L
L
y1
y1
y1
x1
m>0
x2
x1
x
(a)
x2
x1
x
(b)
x2
x
(c)
figura 9 – ( a) reTa decrescenTe. (b) reTa crescenTe. (c) reTas paralelas.
O á q, z, á . M q á ó , . Qq q . E á â . P , q q . É q q z. 28 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
E, á , , q ê . O 7, ó, j . N F 10, á q (13) , q à t = 3 (R1) t = 5 (R2). O R1 q R2. P q R1 q R2. S ó , , q ó á , q á á .
e l o r t n o c e d a e r á a n s o t e s n i e d s o r e m ú N
25000 20000
15000
R2
10000 5000 0
R1 2
4
6
8
10
Tempo em anos
figura 10 – v ariação da quanTidade de inseTos como função do Tempo.
q uadro 1 – definições: Função: Uma unção de um conjunto D para um conjunto R é uma regra que associa um único elemento em R a cada elemento em D. Função injetora: Função onde cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento no domínio. Função sobrejetora: Função onde o conjunto imagem coincide com o conjunto contradomínio. Função bijetora: Função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Função composta: Função resultante da aplicação sucessiva de duas ou mais unções. Função inversa: duas unções, injetoras, e g são inversas se e somente se ( g (x))= g ( (x))= x.
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 29
q uadro 2 – infiniTo:
O , à ê ∞. U . U á . U á . E á, q q . P , à â q , . A T à q, z . Rz j . S qq , á . S qq , á . O qq . O j, q q q j. A, qq , , . S z q q, j, , á z. Q tende , tende z. N j, . Sqê {0,1,2,3,...} q . D , j S j A A S - j, A j . G C, XIX (~1873), j , q j . S j j , á á. C á -á -á. P j á á- qê. S , j á. P , (x) = x2, 0 ∞ á, ê- {0,1,4,9,25,...}, q j . Já j á q q j .
30 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
eXercícios 1. () Q ? () Q j q j? () P q ? Jq . (D) Q , . y
y
y
x
(a)
x
x
(b) y
(c) y
x
(d)
y
x
x
(e)
(f)
2. U j 50 . () S q q j q 10, q q j . () D , . () E q j 40 . 3. () P , , q . () E . (A) f ( x) = 3 + x (B) g ( x) = x + x 2 (C) h( x) = e 2 x (D) j ( x) = 5 + x 4. C q 3, : (A) g (x)
(B) h (x)
(C) g j (x)
(D) h j (x)
(E) j h(x)
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 31
5. () P , , z. () E q q ? () Há ? D . y
x
Funções M ateMáticas
n o D ia-a- Dia:
É â ê á , q . T . Fu n ç õ e s Fu n D a M e n t a i s:
A , q á . T : a)
Funções
lineares :
Y=X
Y = -X
y
-20
-15
-10
-5
20
15
15
10
10
5
5
-5 -10
32 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
y
20
5
10
15
20
x
-20
-15
-10
-5
-5 -10
-15
-15
-20
-20
5
10
15
20
x
alguMas aPlicações : Dilatação térmica: •
O . A (ΔL) : ΔL/L0 = α ΔT L0 T0, α ΔT (T – T 0). α á , j, ó . A T 1 20ºC. Material
α (10-6 ºC)
Chumbo
29
Alumínio
23
Prata
19
Cobre
17
Ouro
14
Ferro
12
T abela 1 – alguns coeficienTes de expansão linear.
A 20ºC - j 10 . C j q 45°C, q á ? C, 20°C 0°C, q á ? O q : C 1 T 1, à 20ºC. C - 40ºC q á ? E ? A F 11 . 0,0014 0,0012 0,0010 0,0008 0,0006 0,0004 L
0,0002 0,0000 -0,0002
Pb Al Ag Cu Au Fe
-0,0004 -0,0006 -0,0008 -0,0010 -1 10
0
10
20
30
40
50
figura 11 – v ariação do comprimenTo (Δl) de barras de 1 meTro, inicialmenTe a 20°c, de diferenTes meTais. os coeficienTes de expansão linear uTilizados foram os apresenTados na T abela 1. 60
T(°C) UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 33
•
Conversão entre escalas termométricas:
U z C (ºC), F (ºF) K (K). Há z : Rk (ºR), Rø (ºRø), Nw (ºN), D (°D) R (°R). O z z- q . I . P z á q: C/5 = (F-32)/9 = K-273
Ponto
100 95 ) C ° ( o ã s u f e d a r u t a r e p m e T
90 85 80
De Fusão Do
Dna:
A DNA q “ ê” . E, () () () (). A q DNA q, q , DNA. A três pontes de hidrogênio, já duas pontes de hidrogênio. A, á () DNA q - (3 ê ) q DNA - (2 ê ). Há q DNA ( GC) q . E Temperatura de fusão do DNA em váios microrganismos DNA. O j, - z q GC à DNA q AT à . A F CC DNA , AT, 33% AT (Deinococcus radiodurans) 75% AT * Deinococcus radiodurans (Ureaplasma urealyticum).
75 70 30
*
Mycobacterium leprae Escherichia cole Saccharomyces cereviviae Bacillus subtilis Ureaplasma urealyticum
40
50
60
A: T conteúdo do genoma
34 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
70
80
figura 12 – TemperaTura de fusão do dna genômico para diferenTes organismos. (e xTraída do arTigo “dna denaTuraTion”, d.w. ussery , 2001).
at i V i D a D e Ponto de usão do DNA:
U q q z (T °C) DNA (B MC, 1962): T = 81,5 + 16,6 (10([N+])) + 0,41*(%GC) - 600/ O: [N+] ó q DNA á (M, M), %GC GC DNA DNA (). A [N+] = 0,1M, q : T = 64,9 + 0,41*(%GC) - 600/ D q: 1) Q (°C) DNA 500 GC 50%? 2) Q GC (%GC) DNA 600 70°C? 3) Q á DNA 400 ? 4) O DNA á Q 340.106 (Da Quaresmeira ao Jerivá , R Pq F, S 2005). C DNA ó 1M, q DNA - AT (%AT) 60%?
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 35
B)
Funções
Potência:
y y
y
120
-10
100
-10
2000 5
-5
-20
10
1500
x
1000
80
-40
60
-60
40
-80
20
-100
-1000
-120
-1500
5
-5
10
x
500 -10
-5
-500
5
10
x
-2000
y=x
y=-x
y=x
alguMas aPlicações : Lançamento de projéteis: •
A jó E 2 “D ” á. E á q: = - 2. D , jó j, j , á. Forças FunDaMentais :
E q q z. S : F G, F N F, F E F N F. O q . A , , á á . A F G â , q ê . A F N F . A F E â, , q ( / ) ( / ). A F N F ( , 10-15) á . A “” : F G ( ), F N F, F E, F N F ( ). A â q (1/2) (F NN).
•
Proteção Radiológica:
A q q â . F -X q â (1/2) (F 13). O j, 1 100% , 2 â á q 25%. 36 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
Variação na Excentricidade Orbital
ciclos
De
MilankoVitch :
» Excentricidade:
E = 0
M â S-T. A, 3% (5 k) (), q ó 3 J, (), q 4 J. E â 6% q T J J. A ó T ( ) ( ) q 90.000 100.000 . Q ó q q T 20% 30% q q , q q j. » Obliquidade (inclinação do eixo):
a
E = 5
Variação da Obliuidade Axial 2 2 . 1 °
2 4.5 °
A q T ó S , . A, q . Hj T 23,5 . E â . D q 40.000 22,1º 24,5º. C , q â . M . V ó . E q z T ( z q q ) z . » Precessão:
b
M , . E 23.000 .
Precessão
c
figura 14 – ( a) e xcenTricidade orbiTal. (b) obliquidade ou inclinação axial. (c) precessão.
S- Mk - á (F 15 F 16). A “S T S F” “C ?”. Precessão
Excentricidade
0,04
24,0
0,00
23,0
-0,04
22,0 200
0
400
600
800
200
0
Milhares de anos antes do presente
400
600
800
Milhares de anos antes do presente
Obliuidade
Insolação (65N)
0,06
480
0,04
440
0,02
400
0,00 0
200
400
600
800
0
200
400
600
800
Milhares de anos antes do presente
Milhares de anos antes do presente
figura 15 – ciclos de precessão , obliquidade e excenTricidade. somados, conduzem a um ciclo de quanTidade de radiação solar recebida pela Terra que influencia nas esTações do ano.
-3
M e n o s g e l o
Interglaciais
-2 -1 O / O 8 6 1
1
0 M a i s g e l o
1 Glaciais
2 3
0
200
400
600
800
Milhões de anos antes do presente
figura 16 – regisTro de glaciações obTido aTravés da medida de isóTopos de oxigênio para os úlTimos 800.000 anos.
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 39
•
Geradores elétricos:
N z L F. A L F z q ( q “F M”) z z (ε) q á . D , , , ó (F 17) . É q z q q . A q ó , já z z ( q ) ó . Fluxo magnético:
O , j , á z z. C q . P , ó , q . P z, . A q q á ( á F 17).
(a)
(b)
Copyright © Addison Wesley Longman, Inc.
figura 17 – obTenção de força eleTromoTriz (ε) a parTir da variação do fluxo magnéTico aTravés de um circuiTo.
40 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
U á L I F (A L I F (G E E)): ://www../w?=SN5SM2Y&= Já (N T - Cê - A 53 (2 2)): ://www../w?=9CCH0MKk
D)
Funções
eXPonenciais : y
-15
-10
y
y
7
7
2
6
6
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
5
-5
10
x
y = e k
-10
-5
0,5 -10
5
10
15
20
-0,5 -1
5
y = e -k
-5
10
15
x
-2
y = 1 – e -k
O 2,718281828459045235. A (()). P z “-”. alguMas •
aPlicações :
Física: »
Decaimento Radioativo
Tê ó 1896 q z â . A - q á . A , q q á. O z, q á, q, á . O j, á , (á q ). A : UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 41
x
N ( t)
= N0 e
mt
O N0 á, N() á ó , λ , q ( ) q . »
Reação nuclear em cadeia
U q, , ê z á â 235 q ê . A ê . U z q . P z ê (â q ê ê ), q ( ). O z (â 235 239) “ ” á . P , j q , z , . A (q q j ) á Pj M 2ª G M. N F 18 Pj M 1942 â, . figura 18 – diferenTes possibilidades para Junção de massas de urânio ( áreas hachuradas) em uma massa críTica (proJeTo m anhaTTan – The los alamos primer).
Biologia: O q á â . O j, , q z q . •
Computação: A L M ( 1965 G E M, - I) z q q (F 19). T z ó (0 1, ), á . D á z , , á z. D , () z (ó) . E, ó M ê q •
42 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
á (10-10), q á . Q L M á á , á á q . C CPU 1971-2008 L M Quad-Core Itanium Tukwila Dual-Core Itanium 2 GT200 POWER6 RV770 G80 Itanium 2 com 9MB cache K10 Corel 2 Quad Corel 2 Duo Itanium 2 Cell
2.000.000.000 1.000.000.000
A “ M”: .
100.000.000 10.000.000 1.000.000 g 100.000 C
K8 P4
Barton
Atom
K7 K6-III K6 PIII PII K5 Pentium
486
386 256
8088
10.000 8080
2.300
4004
8006
1971
1980
1990
2000
2008
D
figura 19 - e volução do número de TransisTores em processadores com o passar do Tempo. é imporTanTe noTar que o eixo y é apresenTado de logaríTmica.
Economia: O “k ” á . U , -, “” á q z á. D q á () á , . •
Funções coMPostas:
A , á, q . O q á , - , q regras de comportamento assintótico::
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 43
regras
D e c o M P o r t a M e n t o a s s i n t ó t i c o:
1) P . 2) P z 1. 3) P z - z ê , , ê. 4) P - z ê , , ê. 5) N á , á ( z). 6) A z , q q . C , : ) y = x2 e-kx
P 1, q ( → ∞), à e . Já 2, q z ( → 0), → 2. O á 2 j á , -kx
y
y
=
-
g = x
3,5
kx
e
2
3 2,5 2 1,5 1 0,5 -2
2
4
6
x
D , y 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 -2
2
44 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
4
6
x
y = x2 e-kx :
2) y
=
e kx cos (kx) -
P 6, á , : y 7 6 5 4 3 2 1 -1
-2
Y
)
y =
-1 -2 -3 -4 -5
2
1
3
x
(- x) = e cos (x)
x-1 x - 2
P 3 4, q, → 0, y x 1 , j x 2 ½, j á z = ½. Já → ∞, y x = 1 , z = 1. x A , 5, á = 2. T á = ½, = 1 , =
-
"
y 2 1 0,5 0 1
-0,5
2
4
3
7
6
5
á y
x
=
x x
-
1: 2
4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 -4
-3
-2
-1
-0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1 -1,5 -2 -2,5 -3
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 45
)
2
y =
x - 2x x - 1
N , : P → 0,
y =
- 2x = 2 x -1
P → ∞, y = x
2
x
= x
C = 1. O á = 2, = : y 10 8 6 4 2 0
1
2
4
3
5
6
7
x
O q á 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 -4
-3
-2
-1
1
-0,5
2
3
4
5
-1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5
)
y
=
3x3 - 2x 2 (x + 1)(x - 2)
N , : 2
P → 0,
y
P → ∞,
y
46 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
2 2x = = x (1) (- 2) 3
=
3 x = 3 x ( x) (x)
y
=
x2 x
-
2x : 1
C = -1 +2. N , q = -1 +2. D ó → ∞. D- q, = 2/3, , j - z . O á = 2, z , : y 11 10 8 6 4 2 -3
-4
-2
-1
1
0
2
3
4
Eq q á y =
x
3x3 - 2x 2 , (x + 1) (x - 2)
1 0,8 0,6 0,4 0,2
-0,6
-0,4
-0,2 -0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,4 -0,6 -0,8 -1
Você sabia que há softwares especializados em calcular e desenhar funções?
U w “M”. A ://.w./z. j á M.
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 47
48 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
aléM
Das
Fu n ç õ es
P
, q á “” z.
Fractais
E q z. E q, á , , , . D ê z, , : , á, ó . A á . E q , á (). O “” ( j : ractus, q q ) Bî B. M, 1975. E q z z- “ ”. E à , . E ó q , . E “ ” q . N F 20 21 -. N - q q - q . UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 49
. T al d e n e v e
f ig ur a 20 – cr is
f ig u r
a
2 1 – c o
u ve f l or .
E q , “G O” Kk Hk (1760-1849) (F21) “D” L D V (1452–1519) (F 23).
60-18 49 )
(17 us hik a hok us ai de o n d a – k a Ts n a r g – 22 a ur fig
fig ur a
) a v i nci (1 452-1519 23 – del uge – leo n ar do d
figura 24 – conJunTo de m andelbroT .
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 51
52 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
reFerências BiBliográFicas funções:
Bk, I. G.; S , G.S.; Sz, A. (1999) “T B L A ”. T A M M, V. 106, N. 1, . 57-66 P : M A A S UR L: ://ww w.j.//2589589 E, H. (20 04) “I à ó á”. T: H H. D, A , C, SP : E UNICAMP, 20 04,843. : Izz, G.; D, O.; P, R.; A, N. (2001) “Má : ê ” V.1. S P: A. P, J. P. (1992). “T ”. T M E, 3(2), 3-8. Yk, A. P. (1976). “T 19 ”. A H E S, 16, 37-85. WIK IPÉDIA. S . D : ://.wk./wk / S_. A 18.01.2010 WIK IPÉDIA. A. D : ://.wk./wk /A. A 18.01.2010 WIK IPÉDIA. F S. D : ://.wk./wk /F_. A 26.01.2010 W MW. F S. D : ://w.w./FS.. A 26.01.2010 ponTo
de
f usão
do
dna:
B, E.T.; MC, B.J. (1962) “A RNA DNA”. PNA S 48 (8) 1390-1397. U, D.W. (2001) “DNA D”. ://www...k///_/2001_ DNA. A 20.10.2010 ://www..z.///L/LFA/DNA. A 20.10.2010 P, M. (20 05) “D Q Já ” R Pq F. ://q.
UAB| Ciências Naturais e Matemática | Funções Matemáticas | 53
./?=2824&=1&=1&= A 2 0.10.2010 ciclos
de
milankoviTch :
:// ../F/Mk / A 20.10.2010 ://www.../10/ / 19/ 17. A 20.10.2010 d e c a i m e n T o r a d i o a T i v o
e
r eações
em
c a d e i a :
K , A. (1981) “N ”. T R O. Rk. P M , D C Mw, (L). ISBN 0714717150. K, K.S. (1987) “ I N P” P W. ISBN-10: 047180553X Pj M – T L A P ://www.../70///LANLSP. A 2 0.10.2010 lei
de
moore:
D, M. (2005) “M’ Lw , G M” ://w.w./-/3477/-w-----/ A 2 0.10.2010 f r a c T a i s:
M, B.B. (1982). “T F G N”. W.H. F C. ISBN 0-7167-1186-9. B, A.; H , S. (1991) “F ”. P S-V Nw Yk, I. Nw Yk, NY, USA. ISBN:0-387-54070-9
54 | Ciências Naturais e Matemática | UAB
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