Fungsi Hiperbolik.docx

Fungsi Hiperbolik

1. Fungsi dapat dinyatakan sebagai deret dalam pangkat x, salah satunya deret dari 2

x 

e

3

x

 1  x  



2!

x

4



3!

x

5



4!

6

x



5!

x

 

 ...

6!

Apabila x diganti dengan –x maka e

x 

2

 1  x  

3

x

2!



x

3!

4



x

4!

5



6

x



5!

x

 

 ...

6!

2. Sinus hiperbolik dari x  sinh x  x

Definisi:

e

 ex  2

 sinh sinh x   sinu sinus s hipe hiperb rbol olik ik dari dari x 3

Dalam bentuk deret sinh x  x  

x

5



3!

x

7



5!

x

9



7!

x

11

x



9!

 

11!

 ...

sinh x  memuat semua pangkat ganjil dan bertanda positif.

3. Cosinus hiperbolik dari x  cosh x  x

Definisi:

e

 ex  2

 cosh cosh x   cosi cosinus nus hipe hiperb rbol olik ik dari dari x 2

Dalam bentuk deret cosh x   1 

x

2!

4



x

4!

6



x

6!

8



x

8!

10



x

10!

cosh x  memuat semua pangkat genap dan bertanda positif.

4. Tangen hiperbolik dari x  tanh x  x

Definisi:

e

x

e

 ex  tanh x   tang tangen en hipe hiperb rbol olik ik dari dari x  tanh  ex 

5. Grafik Fungsi Hiperbolik a.

Grafik dari



e

x 

e

x 

dan

dan

e

e

x 

x 

positif untuk semua harga x

12



x

 

12!

 ...

e

x 

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

b. Grafik cosh x 



cosh 0  1



nilai dari cosh x  tidak pernah kurang dari 1



Kurva simetris terhadap sumbu y  cosh cosh( (x)  cosh osh x 



Untuk setiap satu harga cosh x  tertentu dapat diperoleh dua buah harga x, yang berjarak sama dari titik asal, yaitu x  a.

c.

Grafik sinh x 



sinh 0  0



sinh x  memiliki semua nilai dari  sampai 

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

d. Grafik cosh x  dan sinh x 



e.

Jika x    , maka sinh x  cosh x 

Grafik tanh x 



tanh 0  0



tanh x  selalu terletak diantara y   1 dan y   1



Kurva simetris terhadap titik asal  tanh(x)   tanh x 



Untuk x    , maka tanh x   1



Untuk x    , maka tanh x   1

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

f.

Grafik cosh x , sinh x , dan tanh x 

6. Bentuk Logaritma dari invers fungsi hiperbolik sinh

1

cosh

tanh

1

1



x



x

  ln

x 



ln

1

ln

2



x



x

2 x 



1   1 





1



2 x 



1

  x   x 

Contoh penjelasannya: Misalkan y  tanh1 x  e

y

y

tanh y 

e e

y

x

 ey  x(ey  ey )

e (1 y



 tanh y   

1

 x)  e y (1  x) 

e

y 

e  x    ey 

2y 

e

y



y 

(1  x)

1  x  1  x 

 tanh1 x  

1 2

1  x   1  x 

ln 

7. Identitas hiperbolik x

cosh x  

e

 ex  2

x

dan sinh x  

e

 ex  2

cosh x  sinh x  e

x 



cosh x  sinh x  e 

x 

 jika dikalikan keduanya keduanya maka cosh2 x  sinh2 x   1 2



 jika dikuadratkan  

2

2x 

cosh x  2 si sinh x cosh x  sinh x  e

2x 

cosh x  2 si sinh x cosh x  sinh x  e 2

2

keduanya dikurangkan maka sinh 2x  2si 2sinh x co cosh x 

 

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.



tanh 2x 



sinh 2x

2 si sinh



cosh 2x 

2

cosh

x

x



cosh

x 2

sinh

2 ta tanh

 x

1



x 2

tanh

Identitas trigonometri trigonometri cot x  1 / tan x  sec x  1 / cos x  cose cosec c x  1 / sin sin x 

Identitas hiperbolik coth x  1 / tanh x  sech sech x  1 / cosh cosh x  cose cosech ch x  1 / sinh sinh x 

cos x  sin x   1

cosh x  sinh x   1

sec x  1  tan x 

sech x  1  tanh x 

cosec x  1  cot x 

cosech x  coth x   1

2

2

2

2

2

2

cos 2x



cos



1



2 cos

2





x

2

sin 2

2 si sin 2

x 



2

2

sin 2x  2si 2sin x cos x 

x 

2

2

2

 

2

sinh 2x  2sin 2sinh x co cosh x  2

2

cosh 2x  cosh x  sinh x 

x 

x 

2  1  2 s in inh x 

1

2  2 co cosh x   1

8. Hubungan fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik j 

 cos   j sin  

j 

 cos   j sin  

e e



cos   Jika ditambahkan : ej  ej   2 cos



cos   cosh j 



Jika dikurangkan : ej  ej   2j sin  



j sin 



 sinh j 

cos   cosh j  dan sin   sinh j  , substitusi    jx  cos   cosh j  2

cos jx  cosh(j x)   cosh( (x )  cosh



cos cos jx  cosh cosh x 

[kar [karen ena a cosh cosh((-x) x)=c =cos osh h x]

cosh x  cos jx 

j sin  j sin jx 

 sinh j   sinh(j2x)  

 sinh sinh( (x ) j sin sin jx   sinh sinh x  [kar [karen ena a sinh sinh((-x) x)==-si sinh nh x] sin jx  j sinh x  

sin jx  j sinh x   sinh jx  j sin x   cos jx  cosh x  cosh jx  cos x  tan jx  j tanh x   tanh jx  j tan x  

Contoh penggunaan : sin(A  B)  sin A co cos B  cos A sin B sin(x  jy)  si sin x cos jy  cos x sin jy   sin(x  jy)  sin x cosh y  j cos x sinh y