Fundamentos y Aplicaciones de La Mecánica de Fluidos

FUNDAMENTOS Y APLICACIONES ´ DE LA MECANICA DE FLUIDOS

ANTONIO BARRERO RIPOLL de la Real Academia de Ingenier´ıa. Catedr´ atico de Mecánica de Fluidos de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla. ´ ´ MIGUEL PEREZ-SABORID SANCHEZ-PASTOR. Profesor Titular de Mec´ anica de Fluidos de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla.

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Fundamentos y aplicaciones de la mec´ anica de fluidos No está permitida la reproducci´ on total o parcial de este libro, ni su tratamiento inform´ atico, ni la transmisi´ on de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electr´ onico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

McGraw-Hill/Interamericana de Espa˜ na, S.A.U. c 2005, respecto a la primera edición en espa˜ DERECHOS RESERVADOS nol, por ˜ S.A.U. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPANA, Edificio Valrealty, 1 planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid)

ISBN: 84-481-9890-5 Dep´ osito legal: M.

Editor: Antonio Garcia Brage Dise˜ no de cubierta: Sergio Quir´ os Impreso en:

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A Regina y a Sole

Pr´ ologo Me complace de modo muy especial la oportunidad que me han brindado los autores de escribir unas l´ıneas como Prólogo a su libro sobre Fundamentos y Aplicaciones de la Mec´ anica de Fluidos. Debo empezar agradeciéndoles su empe˜ no de contribuir, partiendo de su condici´ on de profesores dedicados a la ense˜ nanza de la Mecánica de Fluidos en una Escuela de Ingenier´ıa, con un ambicioso libro de texto en espa˜ nol sobre esta disciplina. Creo que los que nos dedicamos a esta tarea en los pa´ıses de habla espa˜ nola debemos felicitarnos por el resultado tan satisfactorio de este empe˜ no, y debamos agradecerles el enorme esfuerzo que han empleado para conseguirlo. Yo que he seguido muy de cerca la admirable labor docente e investigadora de Antonio Barrero, uno de mis más brillantes alumnos, conozco muy bien que tiene la capacidad y el coraje necesario para intentar contribuir a llenar una laguna en los textos existentes en espa˜ nol con uno avanzado de Mec´ anica de Fluidos, dedicado a la descripci´ on, con el nivel cient´ıfico imprescindible, de los movimientos de los fluidos en las condiciones más diversas. As´ı, en el libro se atiende con exposiciones muy didácticas, apoyándose en el marco general de las ecuaciones de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa, a la descripción de los flujos a bajos y a altos n´ umeros de Reynolds. Se consideran no solamente los movimientos de los fluidos incompresibles sino, también, los de los fluidos compresibles, en los que los efectos de la compresibilidad se traducen, por ejemplo, en los fen´ omenos de tipo ac´ ustico y en las ondas de choque inevitables en los flujos supers´ onicos. En los movimientos a grandes n´ umeros de Reynolds en torno a obst´ aculos encontramos el campo fluido dividido en regiones: una regi´ on principal, donde con buena aproximaci´ on el movimiento está bien descrito por las ecuaciones de Euler, que ahora cumplen doscientos cincuenta a˜ nos, y otras regiones como las capas delgadas representadas por las posibles ondas de choque y por la capa l´ımite, que nos ense˜ no´ a calcular Prandtl hace cien a˜ nos, y su prolongaci´ on en las capas de torbellinos introducidas por Helmholtz. Todo esto aparece bien recogido en el libro de Antonio Barrero y Miguel Pérez-Saborid, que también se ocupa, con una introducci´ on muy satisfactoria, de los problemas de estabilidad de los flujos monof´ asicos y multif´ asicos, as´ı como de los flujos turbulentos, consecuencia de estas inestabilidades. Un texto ambicioso, como es éste, por el nivel cient´ıfico empleado en la presentación de los fundamentos y algunos ejemplos, bien elegidos por consideraciones did´ acticas, de las muchas aplicaciones de la Mecánica de Fluidos, me parece imprescindible para aquellos que quieran estar preparados para abordar los problemas tan diversos, frecuentemente de car´ acter interdisciplinar, de las Ciencias y de la Ingenier´ıa, en los que interviene la Mecánica de Fluidos como determinante. Este es el caso no solamente de los problemas fluidodinámicos de la Ingenier´ıa, sino también de la Metereolog´ıa, Oceanograf´ıa, Astrof´ısica y de la Biomedicina. La gran variedad y complejidad de los movimientos de los fluidos se deriva del car´ acter no lineal de las ecuaciones que los determinan, de la diversidad de escalas y de configuraciones geométricas de las condiciones de contorno. Sin embargo, su descripci´ on es posible cuando se anica de Fluidos abordan desde la perspectiva proporcionada por un conocimiento de la Mec´ como el que se busca alcanzar con este libro. A pesar de los doscientos cincuenta a˜ nos de existencia de las Ecuaciones de Euler y de los ciento sesenta de las Ecuaciones de NavierStokes, no existen recetarios con la solución de los muy variados problemas fluidodin´ amicos que es necesario abordar, ni códigos de simulaci´ on numérica que, sin la formaci´ on adecuada del usuario, puedan servir de ayuda para el an´ alisis racional de estos problemas. Amable Li˜ nań de las Reales Academias de Ingenier´ıa y de Ciencias Exactas, F´ısicas y Naturales. Catedrático de la Universidad Politécnica de Madrid.

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Introducci´ on La semilla de este libro tiene su origen en los cursos de Mecánica de Fluidos impartidos desde hace mas de veinte a˜ nos en la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla. En nuestra opini´ on, el enfoque de este libro es distinto al de los que existen en el mercado, entre los que se encuentran libros de texto, de carácter general, excelentes como los debidos a Batchelor y a Landau y Lifshitz entre otros, que son ampliamente aceptados por la comunidad cient´ıfica y académica. Sin embargo, tanto por los temas que se abordan en ellos como por el modo en que se presentan son más adecuados para estudiantes de tercer ciclo, o especialistas de Mecánica de Fluidos, que para estudiantes de primer y segundo ciclo de Escuelas Técnicas Superiores y Facultades de Ciencias, incluso para los que poseen un nivel adecuado de F´ısica y Matemáticas. Por otra parte, se han publicado recientemente una ingente cantidad de libros introductorios a la Mec´ anica de Fluidos, algunos de ellos de calidad discutible y cl´ onicos de otros de mayor calidad que les precedieron; por ejemplo el debido a White que cubre eficazmente y con suficiente rigor una gran variedad de temas de interés práctico, aunque su nivel elemental no provee al lector de unos fundamentos f´ısicomatemáticos suficientes que le permitan comprender y abordar los complejos problemas fluidodin´ amicos de la Ingenier´ıa. En este libro se describen en profundidad, con un punto de vista unificado y autocontenido que parte de primeros principios, los fen´ omenos f´ısicos relevantes en el movimiento de los fluidos y su cuantificaci´ on matemática que dan lugar a las ecuaciones generales que gobiernan los movimientos fluidos. Con este enfoque se pretende proporcionar al lector una exposición ordenada, rigurosa, extensa y profunda, de los fundamentos de la Mec´ anica de Fluidos que permita, una vez desarrollado el modelo te´ orico general, abordar gradualmente el estudio de las aplicaciones prácticas más relevantes de la Mecánica de Fluidos. Desde el punto de vista did´ actico, las ventajas de este enfoque son patentes si se tiene en cuenta la complejidad de los procesos fluidodin´ amicos reales, cuyo tratamiento requiere un amplio conocimiento y una comprensión profunda de los problemas fisico-matem´ aticos involucrados en el fenómeno considerado. S´ olo dicho conocimiento permitir´ a estimar cuantitativamente la importancia relativa de los diferentes efectos involucrados en el fen´ omeno y llevar a cabo simplificaciones, siempre necesarias en la Mecánica de Fluidos, que proporcionen soluciones aproximadas, anal´ıticas, numéricas o experimentales, al problema considerado que sean de interés práctico. Los principios f´ısicos básicos que gobiernan el movimiento de los fluidos y las ecuaciones generales a que dan lugar se recogen en los seis primeros Cap´ıtulos. Los movimientos fluidos en los que las fuerzas de viscosidad juegan un papel dominante se analizan en los cap´ıtulos 7 a 9. Los fundamentos teóricos de los movimientos de fluidos a altos n´ umeros de Reynolds (movimientos con fuerzas de viscosidad despreciable), de importancia capital en la ingenier´ıa, se analizan en el Cap´ıtulo 10, y algunas de las aplicaciones de estos movimientos se analizan en los Cap´ıtulos 11 a 13 donde se tratan respectivamente los temas de ondas lineales en fluidos (ac´ ustica y ondas superficiales en l´ıquidos), ondas no-lineales (din´ amica de gases, ondas de choque, etc.) y aerodin´ amica potencial subsónica. Los efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor en los flujos a altos n´ umeros de Reynolds se tratan en el Cap´ıtulo 14. El Cap´ıtulo 15 se dedica al estudio de la estabilidad de las corrientes fluidas mediante el análisis lineal; entre otros casos, se consideran all´ı la inestabilidad de KelvinHelmholtz, la de Rayleigh, la de Bénard y la inestabilidad espacial de corrientes paralelas. El Cap´ıtulo 16 está dedicado a los flujos turbulentos; en él se consideran diversos aspectos de la f´ısica de la turbulencia, se formulan las ecuaciones promediadas de Reynolds y se aborda el problema de cierre, tanto para flujos de geometr´ıa sencilla, para los que existen soluciones anal´ıticas semiemp´ıricas clásicas, como para aquellos, de geometr´ıa más compleja, que vii

deben ser abordados numéricamente. Finalmente, el Cap´ıtulo 17 se dedica a aplicaciones clásicas de la corriente turbulenta de l´ıquidos y gases en conductos (incluyendo los efectos de compresibilidad, golpe de ariete, en los l´ıquidos) y el movimiento de l´ıquidos en canales. En cuanto al uso del libro con prop´ ositos docentes, es claro que el conjunto de temas abordados en este libro es más amplio de lo que puede explicarse en los cursos de Mecánica de Fluidos del primer y segundo ciclo de los planes de estudio vigentes en las Escuelas Técnicas Superiores y Facultades de Ciencias. Nuestra experiencia en la Escuela de Sevilla con los estudiantes de ingenier´ıa industrial indica que en un curso introductorio de 6 créditos pueden impartirse una buena parte de los ocho primeros Cap´ıtulos as´ı como parte del Cap´ıtulo 10 y la parte del Cap´ıtulo 17 dedicado al movimiento de l´ıquidos en tuber´ıas a presión (excluyendo el golpe de ariete). En un segundo cuatrimestre de cuatro créditos y medio, se imparten temas escogidos de los Cap´ıtulos 10 a 14 y del Cap´ıtulo 16, as´ı como la parte del Cap´ıtulo 17 dedicada al movimiento turbulento de gases en conductos. Naturalmente nadie mejor que la propia experiencia del docente para seleccionar los temas a impartir de acuerdo con los objetivos del curso. Los autores desean agradecer a los profesores Javier Dávila, José M. López-Herrera y José ´ M. Gordillo del Area de Mecánica de Fluidos por su colaboraci´ on y ayuda en la elaboraci´ on del manuscrito. La inapreciable ayuda de Ignacio L´ opez y Manuel Gonz´ alez en la elaboración de los dibujos y figuras es muy reconocida, as´ı como lo es también la de David Gutiérrez en las tareas de edición del libro. No menos importante ha sido el esmerado mecanografiado de gran parte del manuscrito realizado por Adoraci´ on Garc´ıa de Pablo a la que los autores desean una muy pronta recuperaci´ on.

Antonio Barrero

Miguel Pérez-Saborid

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Otros títulos de interés relacionados 1. 84-481-3527-X – SERRANO – OLEOHIDRÁULICA. La Oleohidráulica, ha experimentado un gran desarrollo en la industria moderna y se debe a las interesantes características que posee este medio de transmisión energética. Esta obra está ilustrada con numerosos dibujos y esquemas tanto de los elementos hidráulicos como la de los circuitos esenciales de esta materia.

2. 84-481-2040-X – HOLMAN – TRANSFERENCIA DE CALOR. Tratamiento elemental de los fundamentos de la transferencia de calor. Se analizan con detalle las tres áreas específicas de la transmisión de calor: Conducción, Convección y Radiación. Se adjunta disquete con programa de software de problemas de diseño de transferencia de calor.

3. 958-41-0189-7 – NOVAK – ESTRUCTURAS HIDRÁULICAS.

Fuente de referencia para los estudiantes y profesionales de obras hidráulicas. Ingeniería de presas. Compuertas y válvulas. Seguridad de presas. Ingeniería de ríos y costas. Modelos de ingeniería hidráulica.

Próxima publicación

P ROBLEMAS DE M ECÁNICA DE F LUIDOS

4. 84-481-9889-1 – LÓPEZ-HERRERA, HERRADA, PÉREZ-SABORID, BARRERO. PROBLEMAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS (Serie Schaum). Complemento perfecto al libro de teoría Fundamentos y aplicaciones de la mecánica de fluidos. Conceptos, definiciones y principios básicos. Problemas resueltos. Problemas propuestos. Aplicaciones practicas más relevantes de la mecánica de fluidos.

Para obtener más información, consulta nuestra página web: www.mcgraw-hill.es

Contenido 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos 1.1. Sólidos, l´ıquidos y gases . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Estructura molecular de la materia . . . . . . . . . . 1.3. La hip´ otesis de fluido como medio continuo . . . . . . 1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas 1.4.1. Energ´ıa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Fuerzas macrosc´ opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica 4.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Forma del tensor de esfuerzos. Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . 4.4. Fluidoest´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Hidrost´ atica. Algunos casos simples de fuerzas másicas aplicadas 4.4.3. Fuerza sobre un cuerpo sumergido. Principio de Arqu´ımedes . .

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2. Termodin´ amica de los procesos fluidomec´ anicos 2.1. Termodinámica del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Equilibrio termodin´ amico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Gases perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. L´ıquidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Mezclas de gases perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Fen´ omenos de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Fen´ omenos de transporte difusivo . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Transporte convectivo. Flujo convectivo de una magnitud 3. Cinem´ atica de los fluidos 3.1. Especificación del campo fluido . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. L´ıneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Derivada sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . 3.3. Análisis de las velocidades en el entorno de un punto . 3.4. Funci´ on de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de

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4.4.4. Equilibrio de gases. Atm´ osfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Condiciones de equilibrio a través de la interfase de dos fluidos no miscibles 4.5.2. Determinación de la interfase de separación entre dos fluidos no miscibles en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Ecuaciones generales de la Mec´ anica de Fluidos 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Principio de conservaci´ on de la masa. Ecuación de continuidad . . . . . 5.1.2. Ecuación de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Ecuación de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Consideraciones generales sobre las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . 5.2.1. Resumen de las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ecuaciones de conservación en forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Métodos de estudio de los problemas fluidomecánicos . . . . . . . . . . . . . Apéndice 5.I. Ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas Apéndice 5.II. Ecuaciones de conservación para mezclas reactantes . . . . . . . . Apéndice 5.III. Aplicaciones de la ecuación de la entrop´ıa en forma integral . . . 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Cantidades dimensionales y adimensionales. Semejanza geométrica 6.3. Teorema Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Ejemplos de aplicación del an´ alisis dimensional . . . . . . . . . . . 6.4.1. Gasto de l´ıquido a través de un vertedero . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Movimiento estacionario de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Semejanza f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. Movimientos unidireccionales 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Movimientos unidireccionales estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Corriente de Hagen-Poiseuille en un conducto de sección circular constante 7.2.3. Movimientos unidireccionales no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Flujos unidireccionales con geometr´ıa cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Corriente de Couette compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Perfiles de velocidad en la corriente de Couette . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice 7.I. Introducción a las soluciones de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice 7.II. Introducción a los métodos de perturbaciones . . . . . . . . . . . . .

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8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad 8.1. Flujo en conductos de sección lentamente variable . . . . . . . 8.2. Tubos de longitud finita. Efecto de entrada . . . . . . . . . . . 8.3. Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomecánica . . 8.4. Capas l´ıquidas tridimensionales. Ecuaci´ on de Reynolds . . . . 8.5. Movimiento de un lubricante en un cojinete . . . . . . . . . . 8.5.1. Cojinete largo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2. Cojinetes cortos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8.5.3. Cavitaci´ on. Condiciones medio Sommerfeld y de Reynolds . . . . . . . . . 172 Apéndice 8.I. Integración numérica. Método de L´ıneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos 9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Ecuaciones de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Movimiento alrededor de una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Ley de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Aproximaci´ on de Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes 9.5. Velocidad de sedimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Movimiento de fluidos a través de medios porosos . . . . . . . . . 9.6.1. Descripción macroscópica y ecuaciones del flujo . . . . . . . 9.6.2. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . .

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10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler 10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Continuidad, existencia y unicidad de la soluci´ on . . . . . . . . . 10.5. Movimientos isentr´ opicos y homentr´ opicos . . . . . . . . . . . . . 10.6. Ecuación de Euler-Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Magnitudes de remanso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Vorticidad y circulaci´ on del vector velocidad . . . . . . . . . . . . 10.9. L´ıneas y tubos de vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10. Teorema de Bjerkness-Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11. Potencial de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12. Vórtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.13. Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales . . . . . . . . . . 10.13.1. Movimiento de l´ıquidos ideales en conductos . . . . . . . . . 10.13.2. Flujo de gases en toberas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14. Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . 10.14.1. Movimiento de un fluido a través de una turbomáquina . . . 10.14.2. Aplicación a la carga de depósitos . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice 10.I. Magnitudes fluidas en un flujo isentr´ opico . . . . . . . . .

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11. Ondas lineales en fluidos 11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Ecuación de la energ´ıa para el campo sonoro . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3. Ondas monocromáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4. Reflexión y transmisión de ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5. Emisión de sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.6. Efectos de la viscosidad y de la conducción térmica en la propagación ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.7. Ondas sonoras en medios no homogéneos en movimiento . . . . . . . . 11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Ondas lineales en una corriente uniforme de profundidad constante . . 11.3. Ondas en una corriente generadas por la presencia de un obst´ aculo . . . . .

. . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . .

231 231 234 236 238 240 245 263 265 272 275 284

CONTENIDO

4 12. Ondas no-lineales 12.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Movimiento unidireccional de un gas . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Discontinuidades en movimientos de fluidos ideales . . . . . . . 12.4. Ecuaciones de conservación a través de una discontinuidad . . . 12.4.1. Discontinuidad tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2. Discontinuidad normal u onda de choque . . . . . . . . . . 12.5. Relación de Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Ondas de choque normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7. Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas . . . . . . . . . . . 12.8. Expansi´ on de un flujo supers´ onico . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.1. Expansi´ on de Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.2. Ondas simples estacionarias en una corriente supersónica . 12.9. Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario Apéndice 12.I. Salto de magnitudes a través de una onda de choque . Apéndice 12.II. Funci´ on de Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . .

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13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos 13.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales . . . . 13.3. Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales . . . . . . . . . . . . 13.3.1. Soluciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2. Corriente uniforme y manantial bidimensional . . . . . . . . 13.4. Corriente alrededor de un cilindro circular . . . . . . . . . . . . . 13.5. Flujos potenciales en rincones, esquinas y cu˜ nas . . . . . . . . . . 13.6. Flujos potenciales axilsimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7. Flujos potenciales no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8. Fuerza sobre un perfil. F´ ormula de Kutta . . . . . . . . . . . . . . 13.9. Generación de circulación en un perfil bidimensional. Hip´ otesis de Kutta-Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10. Caracter´ısticas aerodinámicas de perfiles . . . . . . . . . . . . . . 13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en régimen incompresible . . . . . . 13.11.1. Problema de espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.2. Problema sustentador. Curvatura y ańgulo de ataque . . . . 13.12. Alas de envergadura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.1. Teor´ıa de la l´ınea sustentadora . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.2. Soluci´ on de la ecuación integral de Prandtl . . . . . . . . . . 13.13. Métodos numéricos en flujos potenciales . . . . . . . . . . . . . . 13.13.1. Fórmula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.2. Método de paneles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor 14.1. Concepto de capa l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Ecuaciones y condiciones de contorno . . . . . . . . . . . 14.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite . . 14.4. Soluciones de semejanza de Falkner-Skan . . . . . . . . . 14.5. Capa l´ımite con simetr´ıa axial . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.1. Caso a) δ Ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5.2. Caso b) Ro ∼ δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Estructura de un v´ ortice viscoso . . . . . . . . . . . . . .

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293 293 293 301 302 303 304 305 307 309 312 312 316 317 324 325

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327 327 331 334 334 337 338 340 342 343 345

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347 349 351 352 354 358 360 362 365 365 367

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371 371 372 375 382 387 387 388 389

5

CONTENIDO 14.7. Soluciones numéricas de capa l´ımite . . . . . . . . . 14.7.1. Métodos integrales . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.2. Métodos numéricos en capa l´ımite . . . . . . . 14.8. Capa l´ımite térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9. Convección forzada. Analog´ıa de Reynolds . . . . . 14.9.1. Influencia del n´ umero de Prandtl en el flujo de 14.10. Soluciones de semejanza en convección forzada . . . 14.11. Convección libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.12. Estructura de las ondas de choque . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . calor . . . . . . . . . . . . .

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392 393 398 399 402 405 407 408 413

15. Estabilidad hidrodin´ amica 15.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Análisis modal de la estabilidad hidrodin´ amica . . . . . . . . . . 15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz 15.4. Rotura de un chorro capilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Inestabilidad centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6. Estabilidad de corrientes paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1. Estabilidad no viscosa. Ecuaci´ on de Rayleigh . . . . . . . . 15.7. Estabilidad espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.7.1. Estabilidad de una capa de mezcla . . . . . . . . . . . . . 15.7.2. Estabilidad de la capa l´ımite de Blasius . . . . . . . . . . . 15.8. Inestabilidad térmica. Problema de Bénard . . . . . . . . . . . .

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417 417 418 419 424 432 438 441 442 444 447 449

16. Turbulencia 16.1. Caracter´ısticas generales de los movimientos turbulentos . . . . . . . . . . . . 16.2. Ecuaciones de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. El problema de cierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Dispersión turbulenta de un escalar pasivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5. Turbulencia parietal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.1. Turbulencia en conductos de sección circular . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6. Turbulencia libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.1. Chorro turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.2. Estelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.3. Capa de mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.4. Penachos térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7. Simulaci´ on numérica en turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.1. Modelo k − ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.2. Modelo de ecuaciones para los esfuerzos aparentes de Reynolds (RSEM) 16.7.3. Simulaci´ on numérica directa (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.4. Simulaci´ on de la escala grande (LES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

459 459 467 476 480 484 485 491 493 496 498 500 503 503 504 506 508

17. Flujo turbulento en conductos y canales 17.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Hipótesis básicas y ecuaciones del movimiento . . . . . . . . 17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1. Movimiento casi-estacionario de l´ıquidos en conductos . 17.3.2. Movimiento no-estacionario de l´ıquidos en conductos . 17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos . . . . . 17.4.1. Movimientos de gases a bajos n´ umeros de Mach . . . . 17.4.2. Conducto de sección constante aislado térmicamente .

. . . . . . . .

511 511 512 516 517 519 530 532 534

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CONTENIDO

6 17.4.3. Conducto de sección constante con adición de calor y sin fricci´ on 17.5. Pérdidas de carga localizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1. Ensanchamiento brusco de una tuber´ıa . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2. Contracci´ on brusca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.3. Ensanchamiento gradual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.4. Codos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.5. Válvulas, bifurcaciones y otros dispositivos hidr´ aulicos . . . . . . 17.6. Flujo turbulento en canales abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.1. Flujo lentamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2. Aplicación pr´ actica al cálculo del flujo detr´ as de una presa . . . . 17.6.3. Flujo r´ apidamente variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice 17.I. Flujo turbulento en canales. Coeficiente de Manning . . . . .

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539 541 542 543 544 545 547 547 549 555 557 561

Cap´ıtulo 1

Caracter´ısticas generales de los fluidos 1.1.

S´ olidos, l´ıquidos y gases

La capacidad para deformarse indefinidamente bajo la acci´ on de fuerzas exteriores es la propiedad fundamental que distingue a los fluidos, l´ıquidos y gases, de los sólidos. Un trozo de sólido posee una forma definida que cambia u ńicamente cuando lo hacen las condiciones externas que act´ uan sobre él. Por el contrario, una misma porci´ on de fluido carece de forma definida, pudiendo adquirir formas diferentes bajo unas mismas condiciones externas. As´ı un gas tenderá a llenar completamente el recipiente que lo contiene, independientemente de la forma de éste, y un l´ıquido se deformará bajo la acción de su propio peso hasta llenar una parte del espacio determinado por el recipiente, también independientemente de la forma de este u ´ltimo. Se deduce, por tanto, que un fluido no presenta resistencia a la deformaci´ on misma, aunque s´ı la presenta, como se verá más adelante, a la velocidad con que se deforma. Dicha resistencia está directamente relacionada con una propiedad del fluido denominada viscosidad. Es bien conocido que el proceso de verter cierto volumen de agua desde un recipiente a otro es mucho más rápido que el de verter el mismo volumen de miel entre los mismos recipientes. Al final del proceso los dos fluidos habrán experimentado la misma deformación, mientras que la velocidad de deformaci´ on habr´ a sido muy distinta en uno y otro caso debido a las diferentes viscosidades de ambos fluidos. Para un fluido de viscosidad dada, la resistencia a la velocidad de deformación depende de la magnitud de las fuerzas que act´ uan sobre él; por tanto, fuerzas peque˜ nas darán lugar a velocidades de deformación peque˜ nas, pero pueden originar deformaciones muy grandes si act´ uan durante un tiempo suficientemente largo. En cualquier caso y aun cuando posteriormente se precisen más las ideas anteriores, la frontera de separación entre sólido y fluido no es completamente clara, ya que existen sustancias que exhiben un carácter dual (sólido y fluido) en su comportamiento. En efecto, ciertas sustancias, como las pinturas o la gelatina, se comportan como sólidos elásticos si se las deja reposar durante un tiempo suficientemente largo, pero si se las agita violentamente pierden su elasticidad y se comportan como l´ıquidos. Otras sustancias, como la brea, o incluso el hielo o las rocas, se comportan como sólidos durante tiempos relativamente cortos, pero si una fuerza act´ ua sobre estas sustancias durante un tiempo suficientemente largo sufren deformaciones extraordinariamente grandes que dan lugar al comportamiento plástico del material (flujo de glaciares o movimientos de la capa tectónica terrestre). Afortunadamente, los fluidos m´ as comunes, entre los que se incluyen el aire y el agua, son bastante más simples que las sustancias anteriores, y esto justifica sobradamente una concentración de la atención sobre estos fluidos en un curso introductorio de Mec´ anica de Fluidos. 7

Cap´ıtulo 1. Caracter´ısticas generales de los fluidos

8

La distinción entre l´ıquidos y gases es menos fundamental desde un punto de vista din´ amico. Gases y l´ıquidos son fluidos que, como se indic´ o anteriormente, presentan la propiedad de su f´ acil deformabilidad. La densidad de una sustancia en fase l´ıquida es, normalmente, mucho mayor que la de una sustancia en fase gaseosa (t´ıpicamente mil veces mayor), aunque esto no pueda considerarse como una caracter´ıstica definitoria; la diferencia en densidades conduce a una diferencia en la magnitud de las fuerzas requeridas para conseguir una aceleraci´ on dada, pero no a una diferencia en el tipo de movimiento. La propiedad que de un modo m´ as sustancial diferencia a los l´ıquidos de los gases es la compresibilidad, o capacidad para cambiar el volumen que ocupa una determinada masa de fluido. Ense˜ na la experiencia que la compresibilidad de los gases es mucho mayor que la de los l´ıquidos. En movimientos de fluidos con variaciones apreciables de la presi´ on, el fluido experimentar´ a variaciones de densidad que en el caso de gases serán mucho mayores, para la misma variación de presión, que en el de l´ıquido. Variaciones apreciables de presi´ on en un gas aparecen, por ejemplo, en meteorolog´ıa, como un resultado de la acción de la gravedad sobre la atmósfera, o en el movimiento a altas velocidades de un sólido a través de un gas (bal´ıstica y aeron´ autica). Se encontrar´ an también situaciones en que aparecen variaciones muy peque˜ nas de la presi´ on en el movimiento de un gas (movimiento de un obst´ aculo en el seno de un gas a velocidades suficientemente bajas); en estas situaciones, los gases se comportan de manera semejante a los l´ıquidos debido a que en ambos casos los cambios de densidad son muy peque˜ nos.

1.2.

Estructura molecular de la materia

Las propiedades de los sólidos, l´ıquidos y gases están directamente relacionadas con su estructura molecular. La materia está compuesta de moléculas en constante movimiento de agitación e interacción mutua. Si wi representa la velocidad de la molécula i-ésima de masa mi , la velocidad media de un conjunto de N moléculas puede definirse como la velocidad de su centro de masas, es decir, N

v=

mi wi

i=1 N

.

(1.1)

mi

i=1

La velocidad de agitación de la molécula i-ésima se define como su velocidad relativa respecto de la velocidad media, ci = wi − v. (1.2) Las velocidades de agitación molecular exhiben un comportamiento irregular (ca´ otico), siendo sus tiempos caracter´ısticos de variación en magnitud y direcci´ on muy cortos frente a los asociados a variaciones de la velocidad media, como se representa de modo cualitativo en la Figura 1.1. Aparte del movimiento de agitación molecular, la existencia de fuerzas de interacción mutua entre pares de moléculas debe ser tenida en cuenta también al considerar la estructura molecular de la materia. Si, en una descripci´ on simplificada, se consideran las moléculas del sistema como centros de fuerzas, la fuerza que la molécula i-ésima ejerce sobre la molécula j-ésima, igual y contraria a la que la molécula j-ésima ejerce sobre la i-ésima, estará dirigida seg´ un la l´ınea que une sus centros y su magnitud depender´ a de la distancia que las separa, es decir, Fji = Fji (|ri − rj |)

rj − ri = −Fij , |ri − rj |

(1.3)

9

1.2. Estructura molecular de la materia

(wi)k

(ci)k ·

vk t

Figura 1.1: Componente k de la velocidad de una molécula t´ıpica i y su descomposición en velocidades de agitación molecular y media. donde Fji es una cantidad positiva (negativa) dependiendo del car´ acter repulsivo (atractivo) de dicha fuerza. Aunque en la actualidad no se posee un conocimiento completo de las fuerzas intermoleculares en un fluido, los resultados experimentales y te´ oricos sobre la estructura molecular de los fluidos más simples sugieren que la energ´ıa potencial de interacci´ on entre dos moléculas neutras, no polares y que no reaccionan qu´ımicamente, se puede representar de forma bastante aproximada mediante el denominado potencial de Lennard-Jones 6 12 do do , (1.4) − φij (d) = φji = φo d d donde d = |ri − rj |, y φo y do son constantes que dependen del tipo de moléculas consideradas. A partir de φij se puede derivar la fuerza de interacci´ on molecular 7 13 do rj − ri do φo ∂ φij 2 =6 − , Fji = − ∂ rj do d d |rj − ri |

(1.5)

cuyo comportamiento frente a d se representa de modo cualitativo en la Figura 1.2.

F u e rz a In te rm o le c u la r

D is ta n c ia e n tre c e n tro s

Figura 1.2: Variaci´ on de la fuerza intermolecular como funci´ on de la distancia entre los centros moleculares. En la figura, la fuerza de repulsi´ on se ha representado con signo positivo.


10

Se puede observar en (1.5) que cuando la distancia entre moléculas es menor que cierta distancia t´ıpica del orden del tama˜ no caracter´ıstico molecular (do ∼ 3 × 10−10 m) existe una fuerte repulsi´ on electrostática entre ellas debida al solape de las nubes electrónicas y a la proximidad entre sus n´ ucleos. Para distancias mayores que do las moléculas se atraen débilmente debido a la formación de dipolos eléctricos inducidos (fuerzas de Van der Waals), variando la fuerza de atracci´ on, a grandes distancias, como d−7 . Si las moléculas poseen la capacidad de formar estructuras más complejas mediante reacciones qu´ımicas, existe entonces una fuerza atractiva intermolecular de origen cuántico, no contenida en la descripci´ on anterior, que act´ ua a distancias muy cortas una vez superada la barrera de repulsi´ on electrostática. La distancia t´ıpica entre moléculas de una sustancia se puede estimar a partir de su masa molar y de su densidad. As´ı , por ejemplo, la densidad de un gas t´ıpico (ox´ıgeno) en condiciones normales (293 K, 105 P a) es de 1,2 kg/m3 . Como la masa molar del ox´ıgeno es 32 kg/kmol, se tendrán 0,0416 kmoles/m3 y teniendo en cuenta el n´ umero de Avogadro (NA = 6,023×1023 moléculas/mol) 25 3 se obtiene n = 2,5 × 10 moléculas/m . La distancia media entre moléculas de O2 es, pues, del orden de n−1/3 ∼ 4,1 × 10−9 m, que es unas diez veces la distancia do . Sin embargo, para un l´ıquido t´ıpico (por ejemplo, agua, de masa molar 18 kg/kmol y densidad a temperatura ambiente de 103 kg/m3 ) la distancia media intermolecular resulta del orden de n−1/3 ∼ 3 × 10−10 m, que es del orden de do ; para los sólidos, la distancia intermolecular t´ıpica es también del orden de do . En gases, por tanto, las moléculas están, en media, tan alejadas unas de otras, que las fuerzas intermoleculares pueden considerarse despreciables en primera aproximación. S´ olo ocasionalmente, y después de haber recorrido una distancia del orden del camino libre medio molecular (mucho mayor que do ), dos moléculas se aproximan lo suficiente para que entren en juego las fuerzas de repulsi´ on, experimentando lo que se denomina una colisi´ on, Figura 1.3.

Fij

Fji

Figura 1.3: Colisión intermolecular en un gas. Las colisiones que experimenta una molécula de un gas en condiciones normales de presión y temperatura son ocasionales y de corta duración en comparación con el tiempo medio entre colisiones, por lo que se puede despreciar la fracción de moléculas del gas que en un instante dado están en colisión, y suponer que la energ´ıa potencial de una molécula t´ıpica del gas sometida al campo de fuerzas de sus vecinas es, por tanto, despreciable en todo instante frente a su energ´ıa cinética; este modelo se conoce en teor´ıa cinética de gases con el nombre de gas ideal. Por el contrario, en sólidos y l´ıquidos, las moléculas están tan cercanas unas de otras como lo permiten las fuerzas de repulsión y cada molécula está sometida a un fuerte campo de fuerzas producido por sus vecinas, existiendo por tanto una interacci´ on continua entre ellas. En l´ıquidos, la energ´ıa cinética de las moléculas es comparable a su energ´ıa potencial, mientras que en sólidos la energ´ıa cinética molecular es despreciable frente a la energ´ıa potencial. Este hecho explica la peque˜ na capacidad

1.3. La hip´ otesis de fluido como medio continuo

11

de deformación de los sólidos frente a la de los fluidos (l´ıquidos y gases). El carácter de las fuerzas intermoleculares permite también explicar la gran diferencia en la compresibilidad de gases y l´ıquidos. En efecto, las moléculas de un gas están lo suficientemente separadas (d d0 ) como para que se puedan aproximar m´ as a´ un bajo la acci´ on de fuerzas externas sin que aparezcan fuerzas de repulsión electrostáticas apreciables; sin embargo, en los l´ıquidos, con distancias intermoleculares t´ıpicas del orden de d0 , aparecen fuerzas de repulsión muy intensas, que var´ıan con la distancia de separación como d−13 , lo que implica que cualquier porci´ on de l´ıquido debe ser sometida a fuerzas externas extraordinariamente grandes si se desea comprimirlo apreciablemente.

1.3.

La hip´ otesis de fluido como medio continuo

Desde un punto de vista molecular, el estudio de los fluidos es extremadamente complejo debido al enorme n´ umero de moléculas involucradas: en 1 mm3 de un gas en condiciones normales existen alrededor de 1016 moléculas, mientras que un mismo volumen de un l´ıquido t´ıpico contiene aproximadamente un n´ umero de moléculas mil veces mayor. Lógicamente, un procedimiento basado en seguir la historia de cada molécula del fluido sujeta a las interacciones con el resto representar´ıa un esfuerzo computacional tan desmesurado como in´ util. Además, desde un punto de vista cl´ asico, y en el supuesto de que se conociera exactamente la expresión de las fuerzas intermoleculares, para la integraci´ on del sistema dinámico resultante, se presentar´ıa el problema adicional de conocer con precisión las condiciones iniciales, velocidad y posición de un n´ umero enorme de moléculas. Aun si esta dificultad fundamental pudiera soslayarse, permanecer´ıa el problema de interpretar la información microscópica obtenida en la forma de resultados experimentales macroscópicos, los cuales se obtienen con instrumentos de medida que, en realidad, promedian sobre cierto volumen que, aunque lo suficientemente peque˜ no como para considerar la medida como local (en el punto alrededor del cual se considera centrado el instrumento), es todav´ıa lo suficientemente grande como para contener un n´ umero de moléculas inmenso. As´ı , si L es la dimensión caracter´ıstica macroscópica de la región ocupada por el fluido y d es la distancia t´ıpica entre moléculas, el volumen δ Ω sobre el que se realiza la medida debe verificar la condición: d (δ Ω)1/3 L.

Figura 1.4: Variaci´ on de la medida local con el volumen de promediado. Es fácil ver que mientras el promedio se realice sobre vol´ umenes δ Ω que satisfagan la condición anterior, el resultado será sensiblemente independiente del valor concreto de (δ Ω)1/3 (véase Figura 1.4), adquiriendo la medida, por tanto, un car´ acter objetivo, independiente de los detalles parti culares de cada instrumento de medida de una serie de instrumentos de caracter´ısticas similares. Si el promedio se realizase sobre vol´ umenes tales que (δ Ω)1/3 ∼ d, el resultado obtenido fluc-

12


tuar´ıa en forma caótica al variar δ Ω debido a que as´ı lo har´ıa el n´ umero de moléculas contenido en él; asimismo, si (δ Ω)1/3 ∼ L, la medida experimentar´ a variaciones apreciables al variar δ Ω, debido a que las magnitudes fluidas var´ıan en distancias del orden de L. Por otra parte, si d (δ Ω)1/3 L es fácil deducir que al desplazar de forma continua sobre la regi´ on ocupada por el fluido el punto de centrado del instrumento de medida, el valor de ésta experimentará variaciones muy aproximadamente continuas, siendo despreciable la magnitud de las fluctuaciones respecto a valores medios asociados al carácter discreto molecular del fluido.1 Las consideraciones anteriores justifican, en la gran mayor´ıa de las situaciones prácticas, la descripción del comportamiento macroscópico de un fluido mediante un modelo matem´ atico continuo, en el cual se supone que en cada instante el fluido ocupa de forma continua una cierta regi´ on del espacio (dominio fluido) sobre la que se tienen definidas funciones continuas y derivables de la posici´ on y del tiempo (campos o variables fluidas). Dichas variables fluidas se definen en cualquier punto x de la región ocupada por el fluido en el instante t como el l´ımite formal de cantidades f´ısicas de interés (masa, cantidad de movimiento y energ´ıa) promediadas sobre un elemento de volumen δ Ω centrado en x, cuyas dimensiones se hacen tender a cero, pero sin llegar nunca a ser tan peque˜ nas como para que el volumen contenga sólo unas pocas moléculas. De esta forma, y como se indicó anteriormente, se podrá hacer abstracción de las fluctuaciones asociadas a la estructura molecular frente a valores medios, pudiéndose considerar que, formalmente, dicho l´ımite da lugar a una funci´ on suave (continua y derivable) de la posici´ on y del tiempo definida sobre el dominio fluido. Se define, entonces, la densidad del fluido en cada punto x y en cada instante t como el l´ımite formal N (δ Ω) 1 mi , δ Ω→0 δ Ω i=1

ρ(x, t) = l´ım

(1.6)

siendo N (δ Ω) el n´ umero de moléculas contenido en δ Ω en el instante t, donde δ Ω → 0 simboliza d (δ Ω)1/3 L.2 Del mismo modo, la velocidad local del fluido v(x, t), en cada punto x y en cada instante t, se puede definir como el l´ımite formal de la media de las velocidades moleculares ponderadas con la masa molecular, es decir, N (δ Ω) m i wi v(x, t) = l´ım

δ Ω→0

i=1 N (δ Ω)

;

(1.7)

mi

i=1

obsérvese que (1.7) representa también la cantidad de movimiento media por unidad de masa, en el instante t, centrada en el punto x. En general, al considerar la energ´ıa total asociada a una porci´ on de fluido se deber´ a tener en cuenta tanto la energ´ıa cinética asociada a los movimientos de traslación, rotación y vibraci´ on de las moléculas como la energ´ıa potencial asociada a las fuerzas de interacción molecular. En el caso de un fluido constituido por moléculas monoatómicas (posteriormente se generalizará dicha definici´ on para incluir el caso de los fluidos de moléculas poliatómicas) cuyas moléculas (átomos) sólo poseen los tres grados de libertad traslacionales, la energ´ıa total por unidad de masa (x, t) 1 Un sistema se denomina erg´ odico si las medias espaciales coinciden con las temporales para tiempos de promediado grandes frente al tiempo entre colisiones. 2 Las ecuaciones (1.6)-(1.8), que introducen funciones continuas a partir de cantidades discretas que se promedian sobre un volumen que no tiende matem´ aticamente a cero, son puramente formales y no estrictamente correctas desde un punto de vista matem´ atico. En rigor, dichas ecuaciones deben entenderse en el sentido de que las variables que aparecen en los primeros miembros de las mismas representan, en el modelo matem´ atico continuo, a las cantidades f´ısicas discretas que se especifican en los segundos miembros.

13

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas puede definirse mediante el l´ımite formal N (δ Ω) 1 1 mi |wi |2 + 2 2 i=1 i=1

N (δ Ω)

(x, t) = l´ım

N (δ Ω)

δ Ω→0

N (δ Ω)

j=1 (j=i)

φij .

(1.8)

mi

i=1

Se ver´ a posteriormente que dicha energ´ıa puede expresarse como la suma de la energ´ıa cinética macroscópica de traslación por unidad de masa, 21 |v(x, t)|2 , de un elemento de fluido centrado en el punto x en el instante t, más una energ´ıa interna e(x, t) contenida en dicho elemento, que está a su vez asociada al movimiento de agitación molecular relativo al movimiento macroscópico y a las fuerzas intermoleculares. Por tanto, desde el punto de vista continuo la resoluci´ on de un problema fluido-mec´ anico consiste en el cálculo de las tres componentes de la velocidad local del fluido v(x, t), la densidad ρ(x, t) y la energ´ıa interna e(x, t) como funciones de la posición y del tiempo. Naturalmente, las relaciones entre dichas variables se obtendrán a partir de leyes de conservaci´ on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa aplicadas a cualquier porci´ on (infinitesimal o finita) del medio fluido continuo. Conviene indicar que existen casos excepcionales donde la descripción del fenómeno mediante un modelo continuo no es adecuada. Por ejemplo: el movimiento de gases a densidades extremadamente bajas, el vuelo de un misil o satélite a grandes alturas por encima de la superficie de la Tierra, o los instantes finales, del orden de microsegundos, del proceso de separación de una gota de una corriente l´ıquida. En estas situaciones el modelo no es aplicable, bien porque no sea posible elegir un volumen suficientemente peque˜ no que pueda ser considerado como local y a la vez contener un n´ umero suficiente de moléculas para que los valores medios sean representativos, como sucede en el caso de un gas enrarecido, o bien porque las magnitudes fluidas experimenten variaciones apreciables en longitudes del orden de la distancia intermolecular, como en los u ´ltimos instantes de formación de una gota de un menisco que pende de un grifo, donde una descripci´ on macroscópica de un entorno del punto de rotura dar´ıa lugar a situaciones f´ısicamente inadmisibles: la existencia de dos velocidades en el punto de rotura por ejemplo.3 No obstante, estas situaciones, cuya descripción pertenece al campo de la teor´ıa cinético molecular (F´ısica Estad´ıstica, Teor´ıa Cinética de Gases), son de un interés marginal desde el punto de vista de las aplicaciones prácticas comunes. Los problemas fluidos más frecuentes están caracterizados por escalas locales que, como muy peque˜ nas, son del orden de 10−6 m y, debido a que un volumen del orden de 10−18 m3 contiene 3 × 107 moléculas de un gas t´ıpico en condiciones normales y un n´ umero a´ un mayor en el caso de un l´ıquido t´ıpico, su descripción mediante un modelo continuo est´ a plenamente justificada.

1.4. 1.4.1.

Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas Energ´ıa interna

Es fácil comprobar haciendo uso de (1.7) que la media de las velocidades de agitaci´ on molecular definidas en (1.2) es nula N (δ Ω) mi ci = 0; (1.9) i=1 3 Las interfases de separaci´ on entre fluidos no miscibles son también casos en los que su estructura no admite una descripci´ on continua, ya que la densidad y otras propiedades experimentan variaciones apreciables en distancias del orden de la de interacci´ on molecular.


14 de donde se deduce que

N (δ Ω)

N (δ Ω)

mi |wi |2 =

i=1

N (δ Ω)

mi (|v|2 + |ci |2 + 2v · ci ) =

i=1

mi (|v|2 + |ci |2 ).

(1.10)

i=1

Por tanto, la energ´ıa total por unidad de masa (1.8) puede escribirse en la forma (x, t) =

1 |v(x, t)|2 + e(x, t), 2

(1.11)

donde el primer término representa la energ´ıa cinética por unidad de masa, en el instante t, asociada a la traslación con velocidad v(x, t) de un elemento de fluido centrado en el punto x, y el segundo término, 1 mi |ci |2 2 i=1

e(x, t) = l´ım

δΩ→0

N (δΩ)

N (δΩ) N (δΩ)

N (δΩ)

1 2

+ l´ım

δΩ→0

i=1 j=1(j=i)

N (δΩ)

mi

i=1

φij = ec (x, t) + ep (x, t),

(1.12)

mi

i=1

representa la energ´ıa interna, por unidad de masa, contenida en dicho elemento, y est´ a asociada a la energ´ıa cinética debida a las velocidades de agitación molecular, ec (x, t), y a la energ´ıa potencial debida a las fuerzas intermoleculares ep (x, t).4 En la hip´ otesis de isotrop´ıa, las energ´ıas cinéticas medias asociadas a cada grado de libertad traslacional, deben coincidir y, por tanto, ec (x, t) =

3 2 c , 2

(1.13)

donde c2 /2 = c2x /2 = c2y /2 = c2z /2 es la energ´ıa cinética media por unidad de masa asociada al movimiento de agitación molecular seg´ un cada grado de libertad. Boltzmann estableci´ o una proporcionalidad entre dicha energ´ıa cinética y la temperatura T m c2 = k T,

(1.14)

siendo m la masa de una molécula t´ıpica del fluido (masa de una molécula ideal resultante de un promedio en el caso de una mezcla) y k = 1,38 × 10−23 J/K, una constante universal denominada constante de Boltzmann. De (1.13) y (1.14) se deduce que, para un fluido monoat´ omico, ec (x, t) =

3 k 3R T (x, t) = T (x, t), 2m 2M

(1.15)

siendo R = NA × k = 8,31 JK −1 mol−1 la constante universal de los gases, y M la masa molar del fluido. Si el fluido es biat´ omico, aparecen grados de libertad adicionales en las moléculas del mismo, como son los de rotación en torno a sus ejes principales de inercia, y vibraci´ on a lo largo del eje que 4 En la ecuaci´ on (1.12) se ha supuesto que no existen especies reactantes. En caso contrario, debe a˜ nadirse a esta ecuaci´ on la contribuci´ on debida a la energ´ıa del enlace electr´ onico (energ´ıa de formaci´ on) de cada especie, ya que su variaci´ on, cuando la reacci´ on qu´ımica tiene lugar, se traduce en un aumento o disminuci´ on de la energ´ıa de agitaci´ on molecular (traslaci´ on, rotaci´ on y vibraci´ on) que se intercambia mediante colisiones con el entorno y da lugar al denominado calor de reacci´ on qu´ımica.

15

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas

une los centros de los átomos. Bajo condiciones usuales de presión y temperatura, los grados de libertad vibracionales no est´ an excitados apreciablemente, pudiendo despreciarse su energ´ıa. As´ı, para un fluido biat´ omico se tiene en primera aproximación: 1 (mi c2i + Ixi Ω2xi + Iyi Ω2yi ) 2 i=1

N (δΩ)

ec (x, t) = l´ım

N (δΩ)

δΩ→0

,

(1.16)

mi

i=1

donde Ixi , Iyi representan momentos de inercia de la molécula i-ésima respecto a los ejes principales y Ωxi y Ωyi velocidades angulares respecto a los mismos ejes. Se admitirá, basado en la experiencia, que las energ´ıas asociadas a los grados de libertad traslacionales y rotacionales tienden a igualarse mediante colisiones moleculares en tiempos caracter´ısticos que son generalmente muy cortos comparados con los necesarios para que existan variaciones locales apreciables de las variables macroscópicas del problema; de acuerdo con este principio, denominado de equipartici´ on de la energ´ıa, se tiene, ec (x, t) =

1 5 k (3 + 2)c2 = T (x, t). 2 2 m

(1.17)

En general, para un fluido de moléculas poliatómicas con Z grados de libertad excitados supuestos en equilibrio con los grados de libertad traslacionales, se postula, ec (x, t) =

1 k (3 + Z) T (x, t). 2 m

(1.18)

Como se indicó anteriormente (Sección 1.2), en un gas en condiciones normales de presión y temperatura se pueden despreciar las fuerzas de interacci´ on molecular (gas ideal), siendo su energ´ıa interna debida u ńicamente a la energ´ıa cinética de agitación molecular (e = ec ); si, además, se puede despreciar la energ´ıa de oscilación de los grados de libertad vibracionales, el gas se denomina perfecto. Por tanto, para un gas perfecto, e=

3+Z Rg T 2

(1.19)

donde Rg = k/m = R/M se denomina constante del gas. Obsérvese que la energ´ıa interna por unidad de masa de un gas perfecto es proporcional a la temperatura, siendo el calor espec´ıfico a volumen constante ∂ e cv = = (3 + Z) Rg /2. (1.20) ∂ T ρ En el caso de l´ıquidos, las fuerzas intermoleculares contribuyen también a la energ´ıa interna por unidad de masa (ep )

N (δΩ) N (δΩ)

e=

3+Z 2

1 2

k T + l´ım δΩ→0 m

i=1 j=1(j=i)

N (δΩ)

i=1

mi

φij = ec + ep ;

(1.21)


16

ep está afectada por la densidad (al aumentar ésta disminuye la distancia media intermolecular) e, independientemente, por la temperatura.5 En efecto, aunque el conocimiento del estado l´ıquido es todav´ıa incompleto, las investigaciones realizadas en este campo sugieren que la estructura molecular de los l´ıquidos está parcialmente ordenada, con grupos de moléculas que tienen movilidad como un todo, formando estructuras con otros grupos de moléculas, o dividiéndose, a veces, en grupos más peque˜ nos. Las variaciones de temperatura pueden originar redistribuciones de estos grupos, afectando a las interacciones moleculares. Como se verá posteriormente, los coeficientes de compresibilidad y dilatación de un l´ıquido son peque˜ nos, de manera que para las variaciones de presión y temperatura encontradas en la mayor´ıa de las aplicaciones prácticas, su densidad puede considerarse constante (l´ıquido perfecto). En este caso la energ´ıa interna de un l´ıquido depende s´ olo de la temperatura, tanto a través de la energ´ıa cinética asociada a la agitación molecular (ec ) como a través de la energ´ıa potencial intermolecular (ep ). Esta u ´ltima contribuci´ on hace que para un l´ıquido perfecto el calor espec´ıfico sea c(T ) =

d ep 1 k de + = (3 + Z) . dT 2 m dT

(1.22)

Un aumento de temperatura (agitación térmica) tiende a disgregar los grupos moleculares con mayor n´ umero de moléculas y favorece la formación de grupos más peque˜ nos, por lo que ep aumenta con la temperatura (d ep /d T > 0). En general, el calor espec´ıfico de los l´ıquidos es mayor que el de los gases.

1.4.2.

Presi´ on

Ense˜ na la experiencia que a través de cualquier elemento de superficie, de área dσ y orientaci´ on n, en el seno del fluido aparece una fuerza macroscópica que el fluido del lado de n ejerce sobre el fluido del otro lado de la superficie, Figura 1.5. La magnitud de esta fuerza es proporcional al a´rea del elemento de superficie considerado. Además, si el fluido está en reposo o en movimiento como sólido r´ıgido respecto a un cierto sistema de referencia, su magnitud no depende de la orientaci´ on de la superficie elemental y su dirección es normal a ella y dirigida hacia el elemento de superficie.

n

ds

d F = -p (x,t) n ds

x Figura 1.5: Fuerza sobre un elemento de superficie en un fluido en reposo. 5 Las fuerzas intermoleculares en l´ ıquidos se hacen patentes en los fen´ omenos de vaporizaci´ on y condensaci´ on del fluido. En la vaporizaci´ on las moléculas del l´ıquido cercanas a la interfase deben absorber energ´ıa del entorno (calor de vaporizaci´ on) para, manteniendo su temperatura constante, separarse y, por tanto, aumentar su energ´ıa potencial y pasar a la fase gas; en la condensaci´ on, la disminuci´ on de energ´ıa potencial intermolecular cuando las mol´ eculas pasan a la fase l´ıquido se convierte en energ´ıa t´ ermica que es cedida al entorno, manteniéndose constante la temperatura de la interfase.

17


Obsérvese que esta fuerza es la que actuar´ıa sobre una superficie sólida o membrana coincidente con el elemento de superficie considerado y su magnitud por unidad de superficie es la presi´ on en el punto considerado |dF| p(x, t) = . (1.23) dσ El origen microscópico de esta fuerza se debe a la cantidad de movimiento neta, por unidad de tiempo, transportada por las moléculas que atraviesan el elemento de superficie en su movimiento de agitación molecular y que es transferida a las moléculas del otro lado por colisiones (gases y l´ıquidos); en el caso de l´ıquidos, esta fuerza se debe también a las acciones intermoleculares existentes entre las moléculas de ambos lados de la superficie. En el caso de un gas perfecto, se pueden despreciar las fuerzas de interacción molecular y la presión es debida u ńicamente al efecto de la agitación molecular. Para dilucidar la relaci´ on existente entre la presión y las demás variables termodinámicas considérese, en este caso, un elemento de superficie δσ de orientaci´ on n centrado en un punto genérico x en el seno del fluido como se muestra en la Figura 1.6.6

ds

n

-n

B

A

< cni > dt

Figura 1.6: Interpretaci´ on molecular de la presión para un gas. El n´ umero de moléculas que pasan desde A hasta B a través de la superficie δ σ en el tiempo δ t con una componente normal de la velocidad cni (cni = c · n < 0) deben estar contenidas en el prisma de base δ σ y altura |cni |δ t, y su n´ umero es 1 N |cni |δ t δ σ, 2

(1.24)

donde N es el n´ umero de moléculas por unidad de volumen en x en el instante t, y el factor 1/2 se ha introducido debido a que s´ olo la mitad de las moléculas contenidas en el volumen |cni | δ t δ σ poseen velocidades dirigidas hacia la superficie. Teniendo en cuenta que cada molécula posee una 6 Cuando se considere expl´ ıcitamente la estructura molecular del fluido se denotar´ an por δ σ, δ Ω, δ t, etc., elementos de superficie, volumen, tiempo, etc., que son peque˜ nos comparados con las longitudes y tiempos caracter´ısticos para variaciones macrosc´ opicas, pero grandes comparados con la distancia intermolecular y el tiempo entre colisiones. Cuando se opera con el modelo continuo, estas cantidades se representan por diferenciales matem´ aticos d σ, d Ω, d t, etc´ etera y, puesto que en dicho modelo se ignora la estructura molecular del fluido, estos diferenciales pueden tender arbitrariamente a cero sin las restricciones impuestas a las cantidades f´ısicas que representan.


18

cantidad de movimiento m|cni |(−n), la cantidad de movimiento por unidad de tiempo transportada por las moléculas que cruzan la superficie de A a B es 1 2 ρ c δ σ(−n), 2 ni

(1.25)

siendo ρ = m N la densidad del fluido en x en el instante t. Es fácil ver que la contribuci´ on de las que cruzan de B a A viene también dada por (1.25). Sumando ambas contribuciones y promediando sobre las velocidades moleculares, se tiene δ F = −ρc2ni n δ σ.

(1.26)

2 Comparando (1.26) con la definici´ on (1.23) correspondiente al modelo continuo, se tiene p = ρcni 2 y como cni = k T /m = Rg T , se llega finalmente a

p = Rg ρ T,

(1.27)

que es la ecuación de los gases ideales.

1.4.3.

Entrop´ıa

La segunda ley de la Termodinámica postula la existencia de una variable, denominada entrop´ıa, cuyo valor para un sistema cerrado y aislado térmicamente del exterior no puede decrecer con el tiempo. Además, si un sistema está en un estado de equilibrio termodin´ amico, que corresponde a una situación en que las propiedades termodin´ amicas de la materia no var´ıan ni con la posici´ on ni con el tiempo, la Termodinámica del equilibrio asegura que la entrop´ıa es una funci´ on de estado, cuyo valor está determinado u ńicamente por los valores de las variables que definen el estado macroscópico del sistema. En lo que sigue, esta formulaci´ on axiomática del segundo principio de la Termodinámica se justificará desde un punto de vista molecular. Cuando un sistema se describe a escala macroscópica, especificando la distribuci´ on espacial y temporal de las variables macroscópicas locales (presión, temperatura, velocidad, etc.), se pierde informaci´ on sobre su estado microscópico. Dicho estado microscópico se encuentra en incesante cambio debido a las interacciones moleculares, siendo su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on muy corto comparado con el necesario para que ocurran variaciones apreciables del estado macroscópico (si el estado macroscópico es estacionario, su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on es infinito). Esto indica que sistemas con un n´ umero enorme de grados de libertad poseen un gran n´ umero de estados microscópicos (microestados) que pueden dar lugar a un mismo estado macroscópico (macroestado). Desde un punto de vista molecular, la entrop´ıa de un sistema que se encuentra en un estado macroscópico dado se define como S = k ln W, (1.28) donde k es la constante de Boltzmann y W es el n´ umero de microestados, también denominado peso estad´ıstico, correspondiente al macroestado considerado.7 Como se verá posteriormente, para un sistema aislado W presenta un máximo muy acusado para el estado de equilibrio termodin´ amico. Por tanto, una vez alcanzado dicho estado, el sistema 7 La definici´ on (1.28), debida a Boltzmann y a Planck, asegura que la entrop´ıa es una magnitud aditiva. En efecto, si cualquier sistema, en un macroestado dado, se divide en dos subsistemas, en correspondientes macroestados de pesos estad´ısticos W1 y W2 respectivamente, cada microestado del primer subsistema puede combinarse con uno del segundo resultando un total de W = W1 W2 microestados correspondientes al sistema original, cuya entrop´ıa es entonces S = k ln W = k ln W1 + k ln W2 = S1 + S2 .


19

tenderá a permanecer en él, ya que es muy improbable que las moléculas, en su estado de agitación, pasen a ocupar alguna vez los muy escasos microestados correspondientes a macroestados que difieren apreciablemente del de equilibrio termodin´ amico. Por otra parte, si dicho sistema se encuentra inicialmente en un macroestado que no es el de equilibrio termodin´ amico, las interacciones o colisiones moleculares conducirán, de acuerdo con las leyes de la probabilidad, a microestados pertenecientes a macroestados de cada vez mayor entrop´ıa, es decir, mayor W , hasta alcanzar, finalmente, la situación de equilibrio termodin´ amico. De acuerdo con su definición, la entrop´ıa puede también considerarse como una medida del grado de informaci´ on detallada (microscópica) que se posee sobre un sistema, siendo mayor el grado de información cuanto menor es la entrop´ıa. En efecto, en un estado macroscópico de entrop´ıa muy baja sólo serán posibles un n´ umero muy limitado de configuraciones microscópicas, por lo que éstas estarán más localizadas, y en el l´ımite, a un macroestado de entrop´ıa nula corresponder´ıa una u ńica configuraci´ on microscópica perfectamente determinada. Una interpretaci´ on alternativa de la entrop´ıa puede darse en términos de orden de un estado macroscópico. En efecto, si se conviene que un macroestado está más ordenado cuanto mayor es la diferencia entre sus partes, lo que implica una variaci´ on espacial más acentuada de las variables macroscópicas, entonces a un estado muy ordenado corresponder´ a una entrop´ıa baja, puesto que sólo habr´ a un grupo muy reducido de estados microsc´ opicos que sean capaces de reproducir las peculiaridades del macroestado considerado. A continuaci´ on se ilustrará el tratamiento mecánico-estad´ıstico de la entrop´ıa para el caso simple de un gas ideal monoatómico.8 Considérense N moléculas de un gas ideal monoatómico, contenidas en un recipiente de volumen Ω cerrado y aislado térmicamente, siendo la energ´ıa total del sistema conocida e igual a E. La determinación completa del estado mecánico de una molécula cualquiera del gas puede especificarse matemáticamente mediante un punto (x, y, z, cx , cy , cz ) perteneciente a un espacio de 6 dimensiones denominado espacio de fases, donde las tres primeras dimensiones hacen referencia a la posición de la part´ıcula, y las tres u ´ltimas a su velocidad.9 Si se considera el espacio de fases dividido en celdas contiguas de igual tama˜ no δ x δ y δ z δ cx δ cy δ cz (siendo dicho tama˜ no lo suficientemente grande como para contener un gran n´ umero de moléculas pero, a su vez, lo suficientemente peque˜ no para ser considerado como local), a un estado macroscópico dado corresponder´ a un n´ umero determinado Ni de moléculas en cada celda i del espacio de fases. Por tanto, el n´ umero de microestados de que consta dicho macroestado es el n´ umero de maneras diferentes en las que N moléculas se pueden distribuir de tal forma que se asignen N1 , N2 , ...Ni , ... moléculas a las respectivas celdas 1, 2, ...i, ... del espacio de fases; dicho n´ umero es N! , (1.29) W = N1 ! N2 !...Ni !... donde se ha tenido en cuenta que permutaciones entre moléculas que pertenecen a una misma celda dan lugar a un mismo microestado. Dicha distribuci´ on de moléculas debe satisfacer las condiciones de conservación del n´ umero de part´ıculas y de la energ´ıa total del sistema: Ni = N, (1.30) i

Ni i = E,

(1.31)

i 8 El lector interesado en la aplicaci´ on de la Mec´ anica Estad´ıstica a sistemas m´ as complejos (moléculas con grados de libertad internos, energ´ıa de interacci´ on molecular, sometidos a un campo externo, etc.) puede consultar las referencias citadas al final del cap´ıtulo, en las que también se presenta la Mec´ anica Estad´ıstica desde el punto de vista, m´ as riguroso que el expuesto aqu´ı, de la Mec´ anica Cu´ antica. 9 Las velocidades moleculares se consideran relativas al recipiente (el cual se supone en reposo). La velocidad media tomada sobre todas las moléculas es evidentemente nula, pero, no obstante, fuera del estado de equilibrio pueden existir regiones dentro del recipiente donde la velocidad media local es no nula. En tal caso la energ´ıa total E se debe en parte a energ´ıa interna y en parte a energ´ıa cinética macrosc´ opica; en general, s´ olo en el estado de equilibrio E coincide con la energ´ıa interna del recipiente.


20

donde i = m(c2xi + c2yi + c2zi )/2. La restricción impuesta por el volumen del recipiente consiste en limitar el n´ umero de celdas del espacio de fases a las que pueden asignarse moléculas a aquellas cuyas coordenadas espaciales se encuentren dentro de la región ocupada por el recipiente (la entrop´ıa del sistema disminuye, por tanto, al disminuir su volumen). En lo que sigue, las celdas que no verifican esta condición se considerarán excluidas de antemano, por lo que s´ olo será necesario tener en cuenta expl´ıcitamente las restricciones (1.30) y (1.31). Si se hace uso de la aproximación de Stirling [ln N ! N ln(N/e), N 1] para evaluar las cantidades factoriales en (1.29), la entrop´ıa (1.28) se puede escribir en función de los n´ umeros de ocupación Ni como S = k N ln N − k

Ni ln Ni = −k N

i

Ni i

N

ln

Ni . N

(1.32)

La distribuci´ on de moléculas que maximiza la entrop´ıa (1.32) sujeta a las restricciones (1.30)-(1.31) puede calcularse introduciendo los multiplicadores de Lagrange α y β tal que δS − α δ N − β δ E = − (ln Ni + α + β i ) δ Ni = 0, (1.33) k i donde se ha tenido en cuenta que δS = − (ln Ni + 1)δ Ni = − ln Ni δ Ni . k i i La solución de (1.33) es

(1.34)

Ni∗ = e−α e−β i .

(1.35) Ni∗

Ni∗ ,

se tiene Para una distribuci´ on que difiera ligeramente de (1.35), Ni = + ∆ Ni con ∆ Ni a partir del desarrollo de (1.32) en serie de Taylor en torno a la distribuci´ on de máxima entrop´ıa, Ni∗ , 2 2 1 ∂2 S k ∆ Ni k ∆Ni ∗ 2 Ni = − N, (1.36) (∆ Ni ) = − S − Smax = 2 ∂ Ni2 Ni =N ∗ 2 i Ni∗ 2 Ni∗ i i

∆ Ni /Ni∗

> denota un valor medio de la desviaci´ on respecto a (1.35). Por ejemplo, para donde < 1 cm3 de aire en condiciones normales (N 2 × 1019 ) la relación entre el n´ umero de microestados correspondientes a una distribuci´ on para la que < ∆ Ni /Ni∗ ≥ 10−3 y el correspondiente a Ni∗ es 13 W = e(S−Smax )/k = e−10 . Wmax

(1.37)

Esta cifra da una idea de la peque˜ na fracción del n´ umero de microestados correspondientes a un macroestado que no es de máxima entrop´ıa. Por tanto, el macroestado de máxima entrop´ıa debe ser el de equilibrio termodin´ amico, puesto que si el sistema se encuentra en él, la probabilidad de que experimente una fluctuación espont´ anea que lo aleje de dicho estado es despreciable. Obsérvese que esta probabilidad aumenta sustancialmente cuando disminuye el n´ umero de part´ıculas del sistema; por ejemplo, si en 1 cm3 de aire hay N = 106 part´ıculas (gas muy enrarecido), se tiene W/Wmax = e−1/2 para < ∆ Ni /Ni∗ >= 10−3 . Las constantes α y β que aparecen en la distribuci´ on de equilibrio (1.35) pueden relacionarse con las magnitudes macroscópicas que caracterizan el sistema considerado haciendo uso de las condiciones de conservación (1.30)-(1.31). En efecto, de (1.30) y (1.35) se obtiene e−α = i

N e−β i

,

(1.38)

21

1.4. Interpretaci´ on estad´ıstica de algunas variables fluidas y de (1.31)-(1.35),

i e−β i E i = . N e−β i

(1.39)

i

El numerador y denominador de (1.39) se pueden evaluar mediante integraci´ on, ya que

−β i

e

δ cx δ cy δ cz

i

y, análogamente,

∞

∞

∞

−βm(c2x +c2y +c2z )/2

e −∞

∞

−∞

i e−β i δ cx δ cy δ cz =

i

3 2β

d cx d c y d cz =

2π βm

2π βm

3/2 ,

(1.40)

3/2 .

(1.41)

Por tanto, E 3 3 = = k T, 2β N 2

β=

1 . kT

(1.42)

En (1.42) se ha hecho uso de la proporcionalidad de Boltzmann (1.14) entre la energ´ıa interna media por molécula y la temperatura. Sustituyendo (1.42) y (1.38) en (1.35), la distribuci´ on de equilibrio se puede escribir de la forma

m 3/2 2 2 2 m Ni∗ = e− 2 k T (cxi +cyi +czi ) δ cx δ cy δ cz , N 2πkT

(1.43)

que proporciona la fracci´ on de moléculas cuyas velocidades están comprendidas en el intervalo (cxi , cyi , czi ) y (cxi + δ cx , cyi + δ cy , czi + δ cz ). Dicha distribuci´ on, denominada de MaxwellBoltzmann, es independiente de la posición dentro del volumen considerado (debido a la ausencia de campos externos, como el gravitatorio) y, por tanto, se verifica para cualquier porci´ on de dicho volumen en equilibrio. Finalmente, la ecuaci´ on (1.33) implica que, para variaciones entre estados de equilibrio pr´ oximos (δ S)N,Ω = k β δ E, o ∂S 1 = , (1.44) T ∂ E N,Ω que es una conocida relación de la Termodin´ amica de equilibrio. Combinando dicha ecuaci´ on con la expresión del primer principio de la Termodin´ amica, d E = (d Q)rev − p d Ω, para un proceso infinitesimal entre estados de equilibrio (proceso reversible) en el que el sistema recibe un calor (d Q)rev y realiza un trabajo p d Ω, se obtiene dS =

(d Q)rev , T

(1.45)

y para cualquier proceso reversible entre dos estados de equilibrio A y B,

B

SB − SA = A

(d Q)rev . T

(1.46)

22


Referencias y fuentes de lectura complementaria G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, F´ısica Estad´ıstica, Curso de F´ısica Te´ orica vol. 5, Reverté, 1958. M. Planck, Theory of Heat, Course on Theoretical Physics vol. 5, Longmans, 1937. F. Reif, F´ısica Estad´ıstica, Berkeley Physics Course, vol. 5, Editorial Reverté, 1975. R. C. Tolman, The Principles of Statistical Mechanics, Dover, 1979. W. G. Vincenti y Ch. H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, Nueva York, 1977.

Cap´ıtulo 2

Termodin´ amica de los procesos fluidomec´ anicos 2.1.

Termodin´ amica del equilibrio

Los estados de equilibrio de la materia están caracterizados por una distribuci´ on espacial uniforme de cada una de sus propiedades macroscópicas, presión, temperatura, etc. Cada elemento material está en equilibrio mecánico y térmico con los elementos materiales que le rodean. La Termodinámica del equilibrio se refiere a estados de equilibrio o, como se indicó anteriormente, a estados en reposo en los que las propiedades termodinámicas de la materia no var´ıan con la posición ni el tiempo. En esta situación, la Termodin´ amica demuestra que el estado macroscópico de los fluidos en equilibrio puede especificarse mediante los valores de algunas variables de estado: presión, densidad, temperatura, energ´ıa interna, entrop´ıa, etc. Ense˜ na también que si el fluido es homogéneo en composición, basta conocer los valores de dos variables cualesquiera para poder determinar en funci´ on de ellas todas las demás. Las relaciones que las ligan son las ecuaciones de estado. De hecho, basta determinar emp´ıricamente una de esas relaciones (aunque no cualquiera, ya que la apropiada depende de las variables de estado elegidas), y la Termodin´ amica ense˜ na a calcular teóricamente todas las demás. Además, la primera y segunda ley de la Termodin´ amica relacionan el calor y el trabajo aportado a un volumen fluido con sus incrementos de energ´ıa interna y entrop´ıa en una transformaci´ on reversible, es decir, una sucesión continua de estados de equilibrio, 1 (2.1) T d S = de + p d , ρ siendo S y e la entrop´ıa y energ´ıa interna por unidad de masa del sistema y ρ, p y T , su densidad, presión y temperatura; el inverso de la densidad es el volumen espec´ıfico (volumen de la unidad de masa de fluido). As´ı, conocida la funci´ on de estado S = S(ρ, e), se puede calcular anal´ıticamente T y p a partir de la ecuación (2.1) ∂S ∂S 1 ∂S 2 = −ρ T = , p=T ; (2.2) T ∂e ρ ∂(1/ρ) e ∂ρ e los sub´ındices en (2.2) indican que las derivadas se calculan, o equivalentemente, los procesos se realizan, manteniendo ρ y e constantes. Generalmente, conviene utilizar las variables de estado T y p, cuya medición es fácil mediante termómetros y manómetros, determinar emp´ıricamente e = e(p, T ) y ρ = ρ(p, T ), y calcular 23

24

Cap´ıtulo 2. Termodin´ amica de los procesos fluidomecánicos

S(p, T ) mediante (2.1). Obsérvese que en este caso no basta una sola ecuación de estado e = e(p, T ), ρ = ρ(p, T ) o S = S(p, T ) para calcular las restantes. Del mismo modo se pueden definir otras magnitudes termodinámicas como la entalp´ıa h y la energ´ıa libre de Helmholtz f , con dimensiones de energ´ıa por unidad de masa, que resultan particularmente u ´tiles para la descripción de muchos procesos fluidodin´ amicos p h=e+ , ρ

f = e − T S.

(2.3)

Cualquier cambio elemental en el valor de la entalp´ıa se relaciona con los habidos en las otras variables mediante las expresiones 1 1 1 dh = de + pd + dp = T dS + dp, ρ ρ ρ

(2.4)

donde se ha tenido en cuenta (2.1) para obtener el segundo miembro de la segunda de las ecuaciones. Obsérvese que el calor aportado a la unidad de masa en un cambio elemental reversible a presión constante se invierte en incrementar su entalp´ıa. Análogamente, un cambio elemental en la energ´ıa libre de Helmholtz se expresa, teniendo en cuenta (2.1), 1 df = de − T dS − SdT = −p d − SdT, ρ

(2.5)

y muestra que en cualquier transformaci´ on reversible e isoterma el trabajo realizado sobre la unidad de masa se invierte en incrementar su energ´ıa libre. Los calores espec´ıficos a presión y volumen constante, definidos como ∂S ∂S cp = T y cv = T , (2.6) ∂T p ∂T ρ indican la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de la unidad de masa un grado en procesos a presión (volumen) constante respectivamente. Otras variables de estado, de interés en la descripción de problemas fluidodin´ amicos, son la relación de calores espec´ıficos γ, el coeficiente de compresibilidad κ, el coeficiente de expansión térmica β y la velocidad de propagaci´ on del sonido, que se definen respectivamente: 1 ∂ρ 1 ∂ρ ∂p 2 γ = cρ /cv , κ = , β=− , a = . (2.7) ρ ∂p T ρ ∂T p ∂ρ S

2.2.

Equilibrio termodin´ amico local

La existencia de variables de estado y de las ecuaciones que las relacionan, as´ı como las leyes que rigen las transformaciones de un fluido exigen, de acuerdo con las hip´ otesis de la Termodinámica del equilibrio, que el fluido se encuentre siempre en estados de equilibrio, lo que implica uniformidad espacial de las variables termodinámicas, as´ı como procesos de cambio de las magnitudes fluidas infinitamente lentos. En principio, las situaciones consideradas por la Termodin´ amica del equilibrio carecer´ıan de interés en la Mecánica de Fluidos, que se caracteriza precisamente por la existencia de no uniformidades espaciales y temporales en las propiedades mecánicas y térmicas del fluido. Sin embargo, la teor´ıa cinética demuestra, para el caso de gases, que existe lo que se llama equilibrio termodinámico local, o casi equilibrio, siempre que el camino libre medio entre colisiones sea peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica de las no uniformidades macroscópicas (o distancia que es necesario recorrer

25

2.2. Equilibrio termodin´ amico local

en el fluido para encontrar variaciones apreciables de las magnitudes fluidas), y que el tiempo entre colisiones sea peque˜ no frente al tiempo necesario para que las variables macroscópicas sufran cambios locales apreciables. Es decir, en cada instante t, las variables termodin´ amicas, en cada punto x del fluido, están relacionadas entre s´ı como lo estar´ıan si todo el fluido estuviese en equilibrio a la presión y temperatura locales: e(x, t) = e[p(x, t), T (x, t)], ρ(x, t) = ρ[p(x, t), T (x, t)], etc. La hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local se explica desde un punto de vista microscópico por el hecho de que si el n´ umero de Knudsen Kn, definido como el cociente entre el camino libre medio molecular λ (λ ∼ 3 × 10−9 m para aire en condiciones normales) y la longitud caracter´ıstica de las no uniformidades macroscópicas L (L siempre será mayor que, por ejemplo, ∼ 10−5 m), es muy peque˜ no, Kn = λ/L 1, entonces alrededor de cualquier punto x de la región ocupada por el fluido se puede considerar un volumen δΩ de dimensiones tales que λ (δΩ)1/3 L, en el que los valores de las variables fluidas difieren muy poco de los existentes en x. Por tanto, las moléculas contenidas en δΩ presentan un estado de agitación (del que las variables termodin´ amicas son su manifestación macroscópica) cuyas caracter´ısticas son, en primera aproximaci´ on, las mismas que las que se tendr´ıan si dicho volumen estuviese a temperatura y presión uniformes y de valores iguales a los de la presión y temperatura existentes en x. Por otra parte, si tc es el tiempo entre colisiones (tc ∼ 10−9 s para el aire en condiciones normales) y to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, y se verifica que tc /to 1, cualquier porci´ on elemental de fluido que inicialmente estuviese en desequilibrio termodin´ amico con el fluido que lo rodea se ir´ıa adaptando gradualmente, mediante colisiones, a las condiciones termodin´ amicas ambientes, perdiendo memoria de las condiciones iniciales. Por tanto, resulta que, en cada instante, el estado macroscópico en torno a cualquier punto de la regi´ on ocupada por el fluido es, en primera aproximación, el que corresponder´ıa a una situaci´ on de equilibrio termodin´ amico local con los valores de la presión y temperatura existentes en dicho punto y en dicho instante.1 Asimismo, ense˜ na la experiencia que esta situación también se da en l´ıquidos y es debido también a que la distancia media entre moléculas es mucho menor que la longitud caracter´ıstica para variaciones macroscópicas de las variables y a que cada molécula está en todo instante en interacci´ on (colisión) con sus vecinas (véase 1.2). Obsérvese que la hipótesis de equilibrio termodin´ amico local implica que cualquier variaci´ on infinitesimal, espacial o temporal, de las variables termodin´ amicas locales, se lleva a cabo entre estados de equilibrio termodin´ amico y debe satisfacer, por tanto, la relación (2.1). As´ı , si φ(x, t) representa cualquier variable termodin´ amica local, d φ = φ(x + d x, t) − φ(x, t) = d x · ∇ φ será su variaci´ on en cualquier desplazamiento infinitesimal d x, y d φ = (∂φ/∂t) dt su variaci´ on en cualquier incremento infinitesimal de tiempo dt; por tanto (2.1) implica también: 1 , (2.8) T ∇S = ∇e + p∇ ρ y ∂S ∂e ∂ T = +p ∂t ∂t ∂t

1 . ρ

(2.9)

Finalmente, conviene indicar que las variables intensivas referidas a vol´ umenes finitos carecen de sentido cuando las variables locales no son uniformes espacialmente. No se puede hablar de tempe1 Aunque en el caso de gases la interacci´ on molecular es irrelevante en el c´ alculo de las variables macrosc´ opicas, este proceso es, sin embargo, primordial para asegurar una situaci´ on de equilibro termodin´ amico local. En efecto, el tiempo de duraci´ on de una colisi´ on, es una fracci´ on peque˜ na del tiempo entre colisiones, por lo que en un instante dado la fracci´ on de moléculas que interaccionan es peque˜ na frente al total de moléculas, y, por tanto, la energ´ıa asociada a esta interacci´ on es también peque˜ na frente a su energ´ıa cin´ etica microsc´ opica. Sin embargo, se producen un n´ umero enorme de colisiones en tiempos grandes frente al de duraci´ on de una colisi´ on, pero peque˜ nos frente al tiempo macrosc´ opico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, lo que localmente asegura una igualaci´ on muy efectiva de las magnitudes fluidas (supuesto que las masas moleculares de las especies que forman el gas son del mismo orden).


26

ratura de una fracci´ on finita de fluido si ésta var´ıa de punto a punto. Por esta raz´ on, no se usan en la Mecánica de Fluidos ecuaciones de estado para vol´ umenes finitos (a diferencia de lo que ocurre en la Termodinámica del equilibrio). Las variables extensivas se definen para vol´ umenes finitos mediante integraci´ on de las variables intensivas. Por ejemplo, la energ´ıa interna de un volumen finito Ω es ρ e d . (2.10) Ω

A continuaci´ on se recordarán las ecuaciones de estado que relacionan entre s´ı las variables termodin´ amicas intensivas para dos fluidos t´ıpicos, gases y l´ıquidos perfectos. Se usarán los resultados de la Termodinámica del equilibrio (2.1), una vez que ya se han justificado para situaciones de equilibrio termodin´ amico local.

2.3.

Gases perfectos

Los gases perfectos se comportan siguiendo una ecuación de estado de la forma: p = Rg T, ρ

(2.11)

donde la constante del gas Rg = R/M es la relación entre la constante universal de los gases R y la masa molar del gas M . La constante R, relacionada con la constante de Boltzmann, vale R = 8,314 J K −1 mol−1 (se recuerda que el mol se define como la masa de gas que contiene un n´ umero determinado de moléculas, 0,6024 × 1024 , denominado n´ umero de Avogadro); para el aire M = 29 × 10−3 kg mol−1 y Rg = 287 m2 s−2 K −1 . La energ´ıa interna es funci´ on sólo de la temperatura y proporcional a ella e − eo = cv (T − To ),

(2.12)

siendo el calor espec´ıfico a volumen constante, cv , constante para un gas perfecto. Tanto en (2.12) como en lo que sigue, el sub´ındice cero denota el valor de la correspondiente variable a la temperatura de referencia To . La entalp´ıa h se puede escribir usando (2.3), (2.11) y (2.12) como h − ho = e +

po p = (cv + Rg )(T − To ) = cp (T − To ), − eo − ρ ρo

(2.13)

donde cp = cv + Rg es el calor espec´ıfico a presión constante para un gas perfecto, y la relaci´ on entre calores espec´ıficos es cp Rg =1+ . (2.14) γ= cv cv De la expresión del calor espec´ıfico a volumen constante, discutida en 1.4.1, que para un gas monoat´ omico es cv = 3k/(2m) = 3Rg /2, se tiene γ = 5/3; para gases biatómicos, como por ejemplo el aire, se tiene cv = 5Rg /2 y γ = 7/5. Finalmente, la entrop´ıa puede integrarse utilizando (2.1) junto con las ecuaciones de estado (2.11) y (2.12), p dρ , (2.15) T d S = cv d T − 2 d ρ = cv d T − Rg T ρ ρ para dar:

S − So = cv ln

p/po T /To = c . ln v (ρ/ρo )γ−1 (ρ/ρo )γ

(2.16)

27

2.4. L´ıquidos perfectos

2.4.

L´ıquidos perfectos

Un l´ıquido perfecto se define como aquel para el que se cumple ρ = constante,

e − eo = c(T − To ),

c = constante.

(2.17)

Por ser la densidad constante, la entrop´ıa en forma diferencial se expresa por T d S = de = c d T,

(2.18)

S − So = c ln(T /To ),

(2.19)

y una vez integrada adopta la forma

donde se ha hecho uso de que los calores espec´ıficos a presión y volumen constante son iguales, como se sigue de (2.6), al ser la entrop´ıa funci´ on u ńicamente de la temperatura cp = cv = c = T

∂S , ∂T

γ = cp /cv = 1.

(2.20)

Muchos l´ıquidos en intervalos no muy grandes de temperatura y presi´ on parecen comportarse como l´ıquidos perfectos. Por ejemplo, en muchas situaciones se puede suponer el agua como un l´ıquido perfecto de densidad ρ = 1000kg m−3 y calor espec´ıfico c = 4,18 × 103 J kg −1 K −1 . Naturalmente, ning´ un l´ıquido es rigurosamente incompresible y la ecuación de estado ρ = constante es sólo una aproximaci´ on. Los l´ıquidos var´ıan su densidad al variar la presi´ on y temperatura ρ = ρ(p, T ), y por tanto ∂ρ ∂ρ dρ = dp + dT, (2.21) ∂p ∂T que en funci´ on de los coeficientes de compresibilidad κ y expansión térmica del fluido β, véase (2.7), se expresa: dρ = ρ κ d p − ρ β d T, d ρ/ρ = κ d p − β d T. (2.22) Para agua en condiciones normales los valores de κ y β son muy peque˜ nos κ = 0,51 × 10−9 m2 N −1 ,

β = 1,5 × 10−4 K −1 ,

(2.23)

por tanto, las variaciones de densidad relativas a la propia densidad son peque˜ nas para variaciones t´ıpicas de presión y temperatura y la densidad puede considerarse constante con suficiente aproximaci´ on en numerosos problemas prácticos.

2.5.

Mezclas de gases perfectos

Cuando el fluido es una mezcla de varias sustancias que pueden variar, es necesario especificar, además de las dos variables termodinámicas de estado, la composición de la mezcla. As´ı, por ejemplo, para describir el estado de una mezcla de N componentes, hay que indicar las masas moleculares Mi de los diferentes componentes (1 ≤ i ≤ N ) y sus fracciones molares Xi definidas como el n´ umero de moles por unidad de volumen de la especie i-ésima dividido por el n´ umero total de moles, o, lo que es lo mismo, el n´ umero de moléculas de esa especie dividido también por el n´ umero de moléculas. Esta definición implica que: X1 + X2 + ... + XN = 1,

(2.24)


28

lo que quiere decir que para conocer el estado del fluido hay que especificar, adem´ as de las dos variables de estado, N − 1 fracciones molares cuando las N especies son inertes. Si las distintas especies pueden reaccionar qu´ımicamente y se consideran estados de equilibrio qu´ımico es necesario tener en cuenta la dependencia de dichas fracciones molares con la presión y temperatura, que vendr´ an expresadas por la ley de acción de masas, véase Apéndice 5.II. En Mecánica de Fluidos suele ser más conveniente operar con fracciones másicas en lugar de fracciones molares. La fracción másica se define como la masa de una componente dividida por la masa total. La masa de la especie i-ésima contenida en un mol de mezcla es Xi Mi , la fracción másica Yi será por tanto: Yi =

N N 1 Yi Xi = = , M M M i 1 1

Xi Mi , M

donde la masa molecular M representa el valor medio M =

N

(2.25)

Mi Xi . Llevando las expresiones

1

anteriores a la ecuación de estado, supuesto gas perfecto, se tiene: pi =

ρ Yi R T ρ Xi R T ρi R T = = , Mi Mi M

(2.26)

ρYi ser´ıa la densidad de cada gas si él sólo ocupase todo el volumen de la mezcla y pi es la presión parcial de cada componente. Sumando para todas las especies se tiene p=

N

pi =

1

N ρ Xi R T

=

M

1

ρRT , M

(2.27)

que se conoce con el nombre de Ley de Dalton y se enuncia expresando que la suma de las presiones parciales de las componentes de una mezcla de gases es igual a la presión de la mezcla. Los calores espec´ıficos de la mezcla vienen dados por: cv =

N

cvi Yi ,

cp =

N

1

cpi Yi ,

(2.28)

1

donde cvi y cpi son los calores espec´ıficos de cada uno de los componentes. La energ´ıa interna y entalp´ıa de la mezcla también se pueden expresar como: e − eo =

N

(ei − eio )Yi =

1

h − ho =

N

cvi (T − To )Yi = cv (T − To ),

(2.29)

1

N N (hi − hio )Yi = cpi (T − To )Yi = cp (T − To ). 1

(2.30)

1

La entrop´ıa, por el contrario, no puede expresarse en esta forma, sino que aparece un término adicional, debido al efecto irreversible del mezclado, que es siempre positivo. S − So = cp ln

T /To (p/po )

γ−1 γ

−

N 1

Rgi Yi ln Xi .

(2.31)

2.6. Fen´ omenos de transporte

2.6.

29

Fen´ omenos de transporte

Como se indicó anteriormente, los estados de equilibrio de la materia se caracterizan por una uniformidad espacial y temporal de las propiedades mec´ anicas y térmicas. Ense˜ na la experiencia que en un sistema aislado del exterior en el que alguna propiedad de la materia no sea inicialmente uniforme, ocurren cambios en las propiedades mecánicas y térmicas de los elementos materiales que tienden a llevar el sistema hacia un estado de equilibrio; esto es, tienden a disminuir las no uniformidades iniciales. Tales cambios son debidos a los denominados fen´ omenos de transporte, cuyas tres clases básicas corresponden al transporte de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. El transporte de dichas cantidades puede tener un car´ acter convectivo, asociado a la velocidad local del fluido v(x, t), o difusivo, asociado a los gradientes de las variables fluidas: concentraci´ on, velocidad y temperatura y serán estos u ´ ltimos los que se considerarán primeramente.

2.6.1.

Fen´ omenos de transporte difusivo

El transporte difusivo es una manifestaci´ on macroscópica de procesos que tienen lugar a escala molecular, asociados al movimiento de agitación de las moléculas y a las fuerzas de interacción entre ellas. Debido a que el camino libre medio molecular en gases y las distancias intermoleculares en l´ıquidos son, en general, mucho menores que las longitudes caracter´ısticas de las variaciones de las magnitudes fluidas macroscópicas, los fenómenos de transporte tienen un carácter local, y se manifiestan macroscópicamente a través de la superficie que separa dos porciones adyacentes cualesquiera de fluido si entre ellas existe un gradiente de las variables fluidas. As´ı, la transferencia de masa por difusi´ on aparece en una mezcla de fluidos cuya composición var´ıa con la posición. Imaginemos que las moléculas pertenecientes a uno de los constituyentes de la mezcla son marcadas de alguna forma. Debido a que las moléculas poseen una velocidad de agitación aleatoria superpuesta a la velocidad media, las moléculas tienen tendencia a emigrar de su posición inicial incluso si la velocidad media es nula. Entonces, si en cualquier instante la proporci´ on de moléculas marcadas que se encuentran en uno de los lados del elemento de superficie, e inmediatamente próximos a él, es mayor que la del otro lado, el movimiento aleatorio de moléculas marcadas en ambas direcciones a través de la superficie conducirá, en general, a un flujo de moléculas marcadas a través de la superficie distinto de cero, y cuyo signo tiende a igualar la proporci´ on de moléculas marcadas a ambos lados de la superficie. Este flujo neto de un constituyente del fluido debido al movimiento de agitación molecular constituye la difusi´ on de masa. Considérese ahora el transporte de energ´ıa interna por difusi´ on a través de un elemento de superficie cualquiera en el seno del fluido. Debido al movimiento de agitaci´ on molecular, las moléculas situadas a un lado de la superficie y a una distancia de ella del orden del camino libre medio, en el caso de un gas, o del orden de la distancia intermolecular en el caso de l´ıquidos, podr´ an cruzar la superficie y, una vez en el otro lado, transferir energ´ıa cinética de agitación a las moléculas all´ı existentes, bien mediante colisiones (gases) o también mediante fuerzas de interacción molecular (l´ıquidos); asimismo, en el caso de l´ıquidos, existen contribuciones adicionales al transporte difusivo de energ´ıa interna asociadas al transporte de energ´ıa potencial cuando moléculas cruzan la superficie en el mismo sentido y a la interacción entre moléculas situadas en lados distintos de la superficie, Figura 2.1. Es claro, por tanto, que si a través del elemento de superficie existe un gradiente de temperaturas, se producir´ a a través del mismo un flujo difusivo de energ´ıa interna desde la zona donde la temperatura es mayor y, por tanto, el movimiento de agitaci´ on es más intenso, hacia la zona de menor temperatura. Este flujo difusivo neto de energ´ıa interna, cuando la temperatura no es uniforme, constituye el transporte de calor por conducci´ on. Si el fluido situado a un lado de una superficie elemental posee una velocidad macrosc´ opica media distinta de la que posee el fluido del otro lado, el transporte de cantidad de movimiento a través de la superficie, por agitación e interacción molecular, se manifiesta macroscópicamente en


30 F F

ji

c

(b ) n

i

c k

c

ij

(a )

c

c l

m

j

k

F

n m

f

F k l

l

m n c

m n

(c )

n

Figura 2.1: Mecanismos moleculares de transporte difusivo. a) Transporte (cantidad de movimiento y energ´ıa interna) asociado a las fuerzas intermoleculares y al cruce de moléculas a través de la superficie; b) Transporte de energ´ıa potencial de interacci´ on asociado al cruce de moléculas en el mismo sentido; c) Difusión de cantidad de movimiento y energ´ıa interna debida a moléculas que no cruzan la superficie.

una fuerza de fricci´ on por unidad de superficie, o esfuerzo de fricci´ on, entre las porciones de fluido adyacentes a la superficie. Este esfuerzo de fricción está relacionado con la propiedad del fluido, también macroscópica, denominada viscosidad; se volver´ a más adelante sobre este punto. En el caso de gases y mediante argumentos microscópicos se pueden encontrar las relaciones funcionales entre los flujos difusivos antes descritos y los gradientes de las variables macroscópicas. Debe advertirse que el análisis que se sigue aqu´ı permite obtener el orden de magnitud de los flujos difusivos pero no su valor exacto. Considérese un elemento de superficie centrado en un punto cualquiera x, y por comodidad, t´ omese el eje x2 del sistema de referencia coincidente con su dirección normal (Figura 2.2). Las moléculas situadas en un entorno de x y a una distancia λ/2 por T+DT, Y+DY, v1+ Dv1

x2 l/2 l/2 x

T, Y, v1

Figura 2.2: Flujos difusivos y gradientes de las variables macroscópicas a través de una superficie. debajo de la superficie cruzar´ an la superficie debido al movimiento de agitaci´ on y experimentar´ an colisiones con las moléculas del otro lado, a una distancia del orden de λ/2. Si el n´ umero de Knudsen es peque˜ no, Kn = λ/L 1, siendo L la longitud caracter´ıstica de variación de las variables fluidas macroscópicas, la diferencia de éstas entre los puntos x−λe2 /2 y x+λe2 /2 se puede aproximar por el primer término de la serie de Taylor en torno al punto x. Es decir, la diferencia de temperaturas

31

2.6. Fen´ omenos de transporte será, salvo términos del orden (λ/L)2 , ∆T = T (x + λe2 /2, t) − T (x − λe2 /2, t) = λ

∂T (x, t) + O ∂x2

2 λ . L

(2.32)

Si se considera que a través de la superficie existe también un gradiente de concentraci´ on de la especie Y y un gradiente de velocidades macroscópicas, por ejemplo en la componente v1 de la velocidad, se tiene también ∆Y = λ

∂Y ∂ v1 , ∆ v1 = λ . ∂ x2 ∂ x2

(2.33)

un el eje 2 de la velocidad de agitación térmica, Si va = |c2 | es el valor absoluto de la componente seg´ que en gases es proporcional a la ra´ız cuadrada de la temperatura absoluta va ∼ (Rg T )1/2 , habr´ a un transporte difusivo neto de energ´ıa interna en la direcci´ on x2 , que por unidad de superficie y unidad de tiempo, vendr´ a dado por, q(x, t) ∼ ρ cv [T (x − λe2 /2, t) − T (x + λe2 /2, t)] va = −ρ cv va λ

∂T ; ∂x2

(2.34)

obsérvese que a través de una superficie dσ y en un tiempo dt pasa un volumen de fluido va dtdσ con una energ´ıa interna por unidad de volumen ρcv T . Análogamente, la masa y la cantidad de movimiento, por unidad de superficie y tiempo, transportadas por difusi´ on serán: ∂Y f (x, t) ∼ −ρ va λ , (2.35) ∂x2 y ∂v1 ∼ ρ va λ , (2.36) τ12 ∂x2 representa el flujo por unidad de superficie de la componente x1 de la cantidad de modonde τ12 vimiento transportada en la direcci´ on −x2 . Este transporte de cantidad de movimiento se puede interpretar como que las moléculas que parten del lado de la superficie donde la velocidad media es menor (mayor), frenan (aceleran) mediante colisiones a las moléculas del otro lado donde el fluido posee una velocidad macroscópica media mayor (menor). Este proceso se manifiesta macroscópi camente como un esfuerzo (o fuerza por unidad de área) tangencial τ12 . La teor´ıa cinética de gases demuestra que, siempre que Kn = λ/L 1, existe una relación local y lineal entre los flujos difusivos y los gradientes espaciales de las variables fluidas; la experiencia ense˜ na que lo mismo es cierto en el caso de l´ıquidos. No obstante, el cálculo exacto, empleando la teor´ıa cinética, de los coeficientes de proporcionalidad en dichas relaciones (coeficientes de transporte) es complicado y en la mayor´ıa de las situaciones prácticas se determinan experimentalmente. A continuaci´ on se dará una descripción de los fenómenos de transporte difusivo desde el punto de vista del modelo de medio continuo basada en las leyes emp´ıricas de Fourier, Fick y Newton.

Transporte de calor por conducci´ on. Ley de Fourier Macroscópicamente, el transporte de calor por conducción se puede caracterizar mediante un vector flujo de calor. En efecto, considérese un tetraedro infinitesimal con tres caras ortogonales, como se muestra en la Figura 2.3, que se mueve con la velocidad local del fluido v(x, t). El vértice que forman las caras ortogonales en el instante t coincide con el punto x. Dado que el volumen del tetraedro es una cantidad infinitesimal respecto a su superficie, el calor conducido hacia el interior del tetraedro a través de las caras ortogonales difiere de la transferida hacia el exterior a través de la cara inclinada, de normal n, en una cantidad del orden del volumen; se tiene entonces


32

3 n dx3 dx2

2

dx1

1

Figura 2.3: Flujos difusivos de calor a través de las caras de un tetraedro elemental. q(n) d σ − (q1 d σ1 + q2 d σ2 + q3 d σ3 ) = 0,

(2.37)

donde d σ1 , d σ2 y d σ3 representan las áreas de las caras ortogonales perpendiculares respectivamente a los ejes 1, 2 y 3, y d σ es el área de la cara de orientaci´ on n. Si n1 , n2 , n3 representan los cosenos directores de la normal n, entonces d σ1 = n1 d σ, d σ2 = n2 d σ y d σ3 = n3 d σ, y el calor neto por unidad de tiempo conducido al tetraedro se puede escribir en funci´ on del vector flujo de calor q de componentes q1 , q2 y q3 , q(n) = q1 n1 + q2 n2 + q3 n3 = q · n; el vector flujo de calor será en general función de la posición y del tiempo, q(x, t). El flujo de calor a través de una superficie finita Σ es, por tanto: q · n d σ.

(2.38)

(2.39)

Σ

y si la superficie Σ es cerrada y la función que representa q es continua en el interior (no hay fuentes de calor puntuales), el calor que por conducci´ on abandona el volumen Ω encerrado por la superficie Σ es: q · ndσ = Σ

∇ · q d ;

(2.40)

Ω

∇ · q es el calor que por conducción abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo. La hipótesis que se efect´ ua ahora es que el flujo de calor q(x, t) depende de las variaciones locales de la temperatura solamente. Esta hipótesis se basa en que, como se dijo anteriormente, las desviaciones del equilibrio están asociadas a las colisiones moleculares, y la distancia (camino libre medio) entre dos colisiones es mucho menor que la distancia macroscópica de variaci´ on de la temperatura. El flujo de calor en un punto no depende del campo de temperaturas en otro punto lejano al considerado, sino del campo de temperaturas en el entorno de ese punto. Las variaciones espaciales de temperatura están determinadas, en primera aproximaci´ on, por las derivadas espaciales primeras de la temperatura en ese punto y, por tanto, el flujo de calor s´ olo depende de dichas derivadas. Se completa la hip´ otesis admitiendo que la dependencia del flujo de calor con las derivadas primeras de la temperatura es lineal qi = Kij

∂T ; ∂xj

=

q =K ·∇T,

(2.41)

33


donde Kij representa el tensor de conducción de calor. Si el medio es isótropo, el tensor Kij será diagonal, ya que no existen direcciones privilegiadas Kij = −Kδij , y qi = −K ∂ T /∂ xi ,

q = −K ∇ T,

(2.42)

que se conoce con el nombre de Ley de Fourier. El signo menos en (2.42) indica que el sentido del vector flujo de calor es en el de las temperaturas decrecientes. El coeficiente K se denomina de conducción térmica y depende de la densidad y fundamentalmente de la temperatura. Transporte de masa por difusi´ on. Ley de Fick Del mismo modo que un gradiente de temperaturas da lugar a flujos de energ´ıa térmica, un gradiente de la concentraci´ on de una especie da lugar a un flujo de esa especie. En efecto, si se supone un fluido en reposo formado por dos componentes A y B cuyas moléculas están espacialmente dispuestas de un modo no homogéneo, existirá un flujo de las mismas que tenderá a uniformar la distribuci´ on de moléculas. El flujo de masa de la especie A a través de un elemento de superficie d σ y normal n, se puede expresar en la forma fA · n d σ. El flujo total de masa por difusi´ on de la especie A a través de una superficie Σ será fA · n d σ.

(2.43)

(2.44)

Σ

De la misma forma se define el flujo másico por difusi´ on fB de la especie B; se debe cumplir que fA + fB = 0, ya que al estar el medio en reposo la cantidad de movimiento media debe ser nula. Los flujos másicos difusivos permiten definir las velocidades de difusi´ on ρ YA vDA = fA ,

ρ YB vDB = fB .

(2.45)

En el caso en que el fluido se mueva con una velocidad macroscópica v, la velocidad de cada una de las especies será vA = v + vDA , vB = v + vDB , (2.46) por tanto, v = YA vA + YB vB . Cuando el fluido es una mezcla de dos especies (mezcla binaria) ense˜ na la experiencia y demuestra la teor´ıa cinética de gases que se verifica la Ley de Fick YA vDA = −DAB ∇ YA ,

(2.47)

YB vDB = −DAB ∇YB ,

(2.48)

siendo DAB el coeficiente de difusión de la mezcla (en mezclas binarias DAB es función de la presión y temperatura). En mezclas no binarias la dependencia respecto a los gradientes de concentraci´ on, aunque lineal, es más complicada. Se remite al lector interesado a cualquier tratado de teor´ıa cinética para el estudio de esta dependencia. Sin embargo cuando existe una especie preponderante en la mezcla y siempre que las fracciones másicas de las restantes especies sean peque˜ nas, puede utilizarse para evaluar la difusi´ on de estas especies la Ley de Fick con un coeficiente de difusión D correspondiente a la mezcla de la especie preponderante y la especie cuya difusión se estudia. Aunque el aire no responde a este modelo de gas, también en él puede utilizarse la Ley de Fick por las siguientes razones: En el aire predominan dos especies N2 y O2 cuyo tama˜ no molecular es muy parecido.


34

A la hora de estudiar la difusi´ on de N2 y O2 se puede despreciar la existencia de otras especies. Al estudiar la difusi´ on de otras especies poco abundantes, por ejemplo CO2 , se puede considerar que éste se mueve en una especie de tama˜ no molecular intermedio al de N2 y O2 y con un coeficiente de difusión intermedio al de las mezclas CO2 , O2 y CO2 , N2 . Sirvan estas observaciones para indicar la amplia variedad de situaciones en que en forma aproximada es aplicable la Ley de Fick de las mezclas binarias. Transporte difusivo de cantidad de movimiento Como se mencionó al comienzo de este cap´ıtulo, la falta de uniformidad en la distribuci´ on de velocidades da lugar a la aparici´ on de fuerzas de superficie en el fluido. Sin embargo, dado el carácter vectorial de la magnitud que se transporta, en este caso la cantidad de movimiento, no resulta tan f´ acil encontrar una relaci´ on que ligue esas fuerzas superficiales con las derivadas de los componentes del vector velocidad (antes deben estudiarse las propiedades cinemáticas del campo fluido). No obstante, y aunque este problema se examinar´ a más profundamente en cap´ıtulos posteriores, se estudiará aqu´ı un caso particular sencillo que permita ver la analog´ıa existente entre este fenómeno y los dos antes descritos. En efecto, si se supone por simplicidad un campo de velocidades tal que tenga sólo componente en la dirección del eje 1 y que su magnitud var´ıe con la coordenada 2 v = v1 (x2 ) e1 ,

(2.49)

existir´ a una componente tangencial del esfuerzo en la dirección del eje 1, τ12 , distinta de cero, sobre cualquier elemento de superficie perpendicular al eje 2. El origen microscópico de esa fuerza macroscópica por unidad de a´rea aparece como consecuencia del aumento o disminución de la cantidad de movimiento que experimentan las moléculas que están a uno u otro lado del elemento de superficie como consecuencia del paso de moléculas a través de la misma o por las fuerzas de interacción ejercidas a través de la superficie. Esto es, el fluido que está a un lado de la superficie se acelera o se frena por la acción del fluido del otro lado. Los argumentos que conducen a la hip´ otesis de una relación lineal entre el flujo y el gradiente local de un escalar pueden ser aplicados ahora. En efecto, las interacciones moleculares se extienden sobre una distancia peque˜ na, y el transporte molecular de cantidad de movimiento a través del elemento de superficie dependerá exclusivamente del gradiente local ∂v1 /∂x2 ; no puede depender de la velocidad v1 debido a que ésta depende del sistema de referencia empleado. Por u ´ ltimo, y análogamente al transporte de calor por conducci´ on y de masa por difusi´ on, el esfuerzo es proporcional a ∂ v1 /∂x2 , ∂v1 =µ , (2.50) τ12 ∂x2 donde el par´ ametro µ, denominado coeficiente de viscosidad del fluido, depende de la presi´ on y, fundamentalmente, de la temperatura.

Coeficientes de transporte A continuaci´ on se discutirá la variaci´ on de los coeficientes de transporte µ, K y D con las variables termodin´ amicas locales. En gases, la teor´ıa cinética demuestra que µ/ρ, K/(ρ cv ) y D dependen u ńicamente de la temperatura y no de la presi´ on. En efecto, de las definiciones (2.34-2.36) junto con (2.42), (2.45), (2.47) y (2.50) se establecen las relaciones K ∼ ρ D ∼ µ ∼ ρ va λ. cv

(2.51)


35

La velocidad de agitación térmica es proporcional a la ra´ız cuadrada de la temperatura T , va ∼ (Rg T )1/2 , y la teor´ıa cinética demuestra que el camino libre medio es directamente proporcional a la masa de las moléculas e inversamente proporcional a la densidad del gas y a la sección eficaz de las colisiones, ς, definida como m ; (2.52) ς= ρλ para gases en condiciones normales, ς es prácticamente independiente de la temperatura y, por tanto, ρ λ es muy aproximadamente constante. De (2.51) se tiene entonces K ∼ ρ D ∼ µ ∼ ρλ Rg T , (2.53) cv que demuestra que los coeficientes de transporte K/cv , ρ D y µ aumentan en gases como la ra´ız cuadrada de la temperatura. De (2.51) se deduce también que para el caso de gases, los tres fenómenos de transporte difusivo (conducci´ on, difusi´ on másica y viscosidad) están basados en la agitación molecular y, por tanto, los coeficientes K µ (2.54) ∼ D ∼ ∼ va λ, ρ cv ρ son del mismo orden. Los argumentos anteriores no son completamente rigurosos y, por consiguiente, no se puede establecer una igualdad entre las cantidades de la relación (2.54), que además no son iguales en realidad, aunque difieran poco entre s´ı. A K/ρ cv se le llama coeficiente de difusión térmica, y al cociente µ/ρ = ν, viscosidad cinemática y a veces coeficiente de difusión de cantidad de movimiento. Por razones que se entenderán mejor posteriormente, se suele utilizar cp en lugar de cv en la definición del coeficiente de difusión térmica, α = K/ρ cp . En el caso de l´ıquidos, se comprueba experimentalmente que los coeficientes de transporte también dependen u ńicamente de la temperatura. Por ejemplo, las fuerzas de cohesión intermolecular, que determinan en gran parte las fuerzas de viscosidad, disminuyen al aumentar la temperatura y disminuyen en consecuencia el coeficiente de viscosidad. Por el contrario, en l´ıquidos se observa experimentalmente que el coeficiente de difusión de masa aumenta al hacerlo la temperatura (al disminuir las fuerzas de cohesión, se facilita la transferencia de masa por agitación molecular). También se conoce de la experiencia que el coeficiente de conducción de calor en l´ıquidos depende débilmente de la temperatura (al aumentar la temperatura se facilita la transferencia de energ´ıa interna por agitaci´ on molecular, pero el aumento tiende a compensarse por la disminuci´ on de la transferencia debida al efecto de las fuerzas de cohesión que disminuyen con la temperatura). En la pr´ actica es usual medir la importancia relativa de estos fenómenos de transporte definiendo n´ umeros adimensionales que sirven de comparación entre ellos. Por ejemplo, el n´ umero de Prandtl P r = ν/α = µ cp /K compara la capacidad de un fluido para transferir, por difusi´ on, cantidad de movimiento y calor. Del mismo modo se definen los n´ umeros de Schmidt, Sc = ν/D, y Lewis, Le = D/α. En gases, como se indica en (2.54), los n´ umeros de Prandtl, Schmidt y Lewis son del orden de la unidad, no var´ıan con la presión y apenas lo hacen con la temperatura (P r = 0,73 para aire). En l´ıquidos, el n´ umero de Prandtl es una funci´ on decreciente de la temperatura. En los aceites ligeros el n´ umero de Prandtl es grande frente a la unidad (P r ∼ 1000), mientras que en los l´ıquidos metálicos es muy inferior a la unidad (P r = 0,027 para el caso de mercurio a 283 K). Para el agua a 288 K, P r = 8. Cabe indicar finalmente que, en l´ıquidos, Sc es siempre mucho mayor que la unidad, mientras que Le es mucho menor que la unidad.

2.6.2.

Transporte convectivo. Flujo convectivo de una magnitud fluida

Sea φ(x, t) una magnitud fluida extensiva por unidad de volumen. Si d σ es un elemento de superficie fijo en el sistema de referencia elegido, de normal unitaria n, en la Figura 2.4 se observa


36

que el volumen de fluido que atraviesa la superficie dσ en la dirección n y en un tiempo dt es dσ v · n dt. n

S

v(x,t)

ds

x

Figura 2.4: Flujo convectivo a través de un elemento de superficie d σ. Por tanto, la cantidad de magnitud φ que atraviesa con el fluido la superficie Σ en la unidad de tiempo es φ v · n d σ. (2.55) Σ

La expresión (2.55) se denomina flujo convectivo de la magnitud φ a través de la superficie Σ. Si φ es un escalar, φ v es un vector denominado vector flujo de φ, por ejemplo, si se trata de la densidad ρ, la cantidad ρ v es el vector flujo másico. Si φ es un vector, φ v es un tensor denominado tensor flujo de la cantidad φ, por ejemplo, si se trata de la cantidad de movimiento ρ v, la cantidad ρ v v es el tensor flujo de cantidad de movimiento. Si la superficie es cerrada y φ v es una funci´ on continua en su interior, el teorema de Gauss proporciona φv · ndσ = ∇ · (φ v)d , (2.56) Σ

Ω

donde n es la normal unitaria exterior a Σ, y Ω la regi´ on encerrada por dicha superficie. Para una región infinitesimal de volumen d Ω situada alrededor de un punto fijo x del dominio fluido, el valor de la integral (2.56) es [∇ · (φ v)](x,t) d Ω, salvo infinitésimos de orden superior que resultan de evaluar la divergencia en x y no tomar su valor medio en el interior de d Ω. Se deduce, por tanto, que [∇ · (φv)](x,t) representa el flujo neto de la cantidad de la magnitud φ que por convección abandona, a través de su superficie, la unidad de volumen que encierra al punto dado x. Si el elemento de superficie posee en el instante considerado una velocidad vc , la velocidad relativa del fluido respecto a la de la superficie es (v − vc ), y el flujo convectivo de φ a través de d σ en dicho instante será, naturalmente, φ(v − vc ) · n d σ. (2.57) El flujo convectivo a través de una superficie finita Σ se obtiene de (2.57) mediante integraci´ on φ(v − vc ) · n d σ. (2.58) Σ

37


Haciendo φ = ρ, φ = ρv y φ = ρe se obtienen, a partir de (2.58), los flujos convectivos de masa, cantidad de movimiento y calor a través de Σ que son, respectivamente, ρ(v − vc ) · n d σ, ρ v(v − vc ) · n d σ, ρ e(v − vc ) · n d σ. (2.59) Σ

Σ

Σ

Obsérvese que los flujos convectivos anteriores son nulos a través de cualquier superficie que en cada punto se mueva, en el instante considerado, con la velocidad local del fluido en dicho punto [vc = v(x, t)]. En este caso sólo podr´ an existir a través de Σ flujos difusivos de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. En general, a través de cualquier superficie Σ existirán flujos difusivos y convectivos, siendo el flujo total la suma de ambos. As´ı , el flujo total de calor a través de Σ vendr´ a dado por, −K ∇ T · n d σ + ρ e(v − vc ) · n d σ, (2.60) Σ

Σ

y el flujo total de cantidad de movimiento, = τ · n d σ + ρ v(v − vc ) · n d σ, − Σ

(2.61)

Σ

=

siendo τ (x, t) el tensor de esfuerzos de viscosidad que se considerará en detalle en 4.3. Finalmente, en fluidos no homogéneos en composición, el flujo de masa de la especie Yi a través de la superficie Σ se escribe, −ρ Di ∇ Yi · n d σ + ρ Yi (v − vc ) · n d σ, (2.62) Σ

donde v es la velocidad media de la mezcla.

Referencias G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. S. R. de Groot y P. Mazur, Non Equilibrium Thermodynamics, Dover, Nueva York, 1984. J. O. Hirschfelder, C. F. Curtis y R. B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, John Wiley and Sons, Nueva York, 1964. E. M. Lifshitz y L. P. Pitaevskii, Landau y Lifshitz: Course of Theoretical Physics, vol. 10, Kinetic Theory, Pergamon Press, 1981. F. Reif, F´ısica Estad´ıstica, Berkeley Physics Course, vol. 5, Editorial Reverté, 1975. W. G. Vincenti y Ch. H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, Nueva York, 1977. L. C. Woods, The Thermodynamics of Fluid Systems, Oxford Engineering Science Series, Clarendon Press, Oxford, 1975.

Cap´ıtulo 3

Cinem´ atica de los fluidos 3.1.

Especificaci´ on del campo fluido

Para la descripción del movimiento del medio continuo fluido se pueden utilizar dos alternativas. En la primera, debida a Lagrange, cada punto del fluido se identifica mediante su posici´ on inicial xo y se sigue en el tiempo la evolución de su posición y la de las magnitudes fluidas ligadas al mismo. Un punto as´ı definido se denominar´ a en lo que sigue punto material. As´ı , la funci´ on trayectoria xT = xT (xo , to , t)

(3.1)

determina la posición en sucesivos instantes t del punto material que en el instante to estaba en la posición xo . Las ecuaciones (3.1) pueden interpretarse también como las de la transformación punto a punto entre los dominios ocupados por el fluido en los instantes to y t. La velocidad y la aceleración de dicho punto son entonces: ∂xT , (3.2) ∂t ∂ 2 xT . (3.3) a(xo , to , t) = ∂t2 Aunque la descripción lagrangiana es u ´til en ciertos problemas especiales como, por ejemplo, en el caso del flujo unidimensional, no estacionario, de un gas no viscoso, o en el modelado de flujos dominados por grandes v´ ortices, la realidad es que su uso en la descripción de las corrientes fluidas da lugar a expresiones y c´ alculos complejos que, en general, desaconsejan su uso. Por esta razón, para la descripci´ on de los movimientos fluidos se utiliza el denominado punto de vista de Euler, o descripción euleriana, en la que no se sigue a los puntos materiales del fluido, sino que las magnitudes fluidomecánicas se especifican en cada punto x del dominio fluido, fijo respecto al sistema de referencia, y en cada instante de tiempo. En esta descripción la posición y el tiempo son, por tanto, variables independientes. La conexi´ on entre ambas descripciones se establece expresando que los valores de las magnitudes asociadas a un punto material, cuya posici´ on coincide en un instante determinado con la del punto fijo x, son iguales a los de la descripción euleriana en dicho punto e instante. En la descripción euleriana del movimiento, la velocidad local del fluido v(x, t) se toma como variable fundamental. Cuando v es independiente del tiempo, el movimiento se denomina estacionario. Obsérvese que un movimiento puede ser estacionario en un sistema de referencia y no ´ es, por ejemplo, el caso de un objeto que se mueve con velocidad constante serlo en otro. Ese respecto a un fluido ilimitado y en reposo en el infinito. En efecto, es f´ acil comprobar que en ejes v(xo , to , t) =

39

Cap´ıtulo 3. Cinemática de los fluidos

40

ligados al objeto, la corriente de fluido alrededor de él es estacionaria, mientras que las variables fluidomec´ anicas experimentan variaciones con el tiempo respecto a un sistema de referencia ligado a tierra (de hecho, un punto que en cierto instante pertenezca al dominio fluido puede no estar contenido en él en instantes posteriores si el objeto pasa por dicho punto). Un movimiento se denomina uniforme cuando las magnitudes fluidas son en cada instante las mismas para cualquier punto del dominio fluido; la velocidad, por ejemplo, ser´ a función u ńicamente del tiempo, v = v(t). Un movimiento se dice plano cuando la velocidad en cada punto del espacio fluido es perpendicular a una dirección; si además no var´ıa en esa dirección, el movimiento es bidimensional. Tomando esa dirección como el eje 3, se tiene v = v1 (x1 , x2 , t)e1 + v2 (x1 , x2 , t)e2 .

(3.4)

Cuando el movimiento presenta simetr´ıa de revoluci´ on respecto a un eje, es decir, no depende de la coordenada acimutal alrededor de dicho eje, se denomina axilsimétrico. Si z es la coordenada a lo largo del eje de simetr´ıa, se tiene, en coordenadas cil´ındricas v = vr (r, z, t)er + vz (r, z, t)ez + vφ (r, z, t)eφ .

3.1.1.

(3.5)

Trayectorias

Las trayectorias de los puntos materiales se definen mediante el sistema de ecuaciones diferenciales dx = v(x, t), (3.6) dt que, junto con las condiciones iniciales x(to ) = xo , proporcionan las trayectorias x = xT (xo , to , t).

(3.7)

La intersección de las superficies F1 (x, xo , to ) = 0 y F2 (x, xo , to ) = 0, obtenidas al eliminar t en (3.7), es una curva que representa la senda o curva descrita por el punto material en su movimiento. Si un conjunto de puntos materiales forman inicialmente una l´ınea, por continuidad, seguir´ an formando parte de ella en instantes posteriores; una l´ınea tal se denomina l´ınea fluida Lf (t). Obsérvese que la violación de la condición anterior implicar´ıa la existencia de dos velocidades distintas en un mismo punto e instante de tiempo, contradiciendo as´ı la hip´ otesis del medio continuo. Por tanto, si la l´ınea fluida es cerrada se mantiene cerrada en cualquier instante posterior. Si xo = xo (λ) es la ecuación paramétrica de una l´ınea fluida en el instante inicial, la posici´ on de dicha l´ınea en el instante t se obtiene a partir de las trayectorias: x = xT [xo (λ), to , t] .

(3.8)

An´ alogamente se define la superficie fluida, Σf (t), como aquella formada por puntos materiales; si xo = xo (α, β) es la ecuación paramétrica de la superficie fluida en el instante inicial, la ecuaci´ on que define su posición en el instante t es x = xT [xo (α, β), to , t] .

(3.9)

Eliminando los par´ ametros α y β de las tres ecuaciones (3.9), se obtiene la ecuación f (x, t) = 0 de la superficie fluida. Si la superficie fluida es inicialmente cerrada, por continuidad se mantendr´ a cerrada a lo largo del movimiento, y el fluido situado en el interior de la superficie permanece

3.1. Especificación del campo fluido

41

siempre en su interior constituyendo lo que se denomina un volumen fluido, Ωf (t).1 Obsérvese que la conservación de la masa en el interior de un volumen fluido implica, en el caso de un l´ıquido, que la deformación que experimenta en su movimiento es siempre a volumen constante. La evolución de un volumen fluido puede observarse si se marca de alguna forma (con tinta, humo, burbujas de hidr´ ogeno, etc.) una porción de fluido y posteriormente se la sigue en su movimiento. Un volumen fluido infinitesimal d Ωf (t) se deforma en su movimiento permaneciendo sus dimensiones infinitesimales, puesto que, por continuidad, la diferencia de velocidades entre sus puntos es peque˜ na; dicho volumen fluido se denomina part´ıcula fluida. 2

3.1.2.

L´ıneas de corriente

Las l´ıneas de corriente en un instante t son las l´ıneas del campo de velocidades, v(x, t), en dicho instante; de esta forma, la tangente a la l´ınea en cada uno de sus puntos y la velocidad del fluido en dichos puntos son paralelas. Estableciendo la proporcionalidad entre el vector tangente a la l´ınea y el vector velocidad se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que satisfacen las l´ıneas de corriente. En coordenadas cartesianas estas ecuaciones son dx1 dx2 dx3 = = , v1 (x, t) v2 (x, t) v3 (x, t)

(3.10)

en las que el tiempo juega el papel de un par´ ametro. Para resolver el sistema (3.10) es necesario imponer dos condiciones iniciales, por ejemplo, si se toma x3 como variable independiente y x30 es un valor inicial se debe especificar x1 (x30 ) = x10 y x2 (x30 ) = x20 . Obsérvese que en movimientos estacionarios las l´ıneas de corriente coinciden con las sendas de los puntos materiales del fluido. No ocurre as´ı en movimientos no estacionarios, en los que las l´ıneas de corriente dependen, en general, del tiempo. En este caso, dos puntos fijos A y B que en un instante dado t0 pertenezcan a una misma l´ınea de corriente, no pertenecerán en general a dicha l´ınea en un instante posterior t, como se esquematiza en la Figura 3.1. Por otra parte, si se toma una l´ınea del espacio, las l´ıneas de corriente que se apoyan en ella forman una superficie de corriente; si la l´ınea de partida es cerrada, la superficie de corriente se denomina tubo de corriente. Los puntos donde la velocidad es nula se denominan puntos de remanso, y los puntos donde la velocidad es infinita, puntos singulares. Tales puntos, en los que la pendiente de las l´ıneas de corriente está indeterminada son puntos singulares de las ecuaciones (3.10). En un mismo instante de tiempo dos l´ıneas de corriente no se pueden cortar en un punto (ya que ello implicar´ıa la existencia de dos velocidades diferentes en ese punto, lo que es f´ısicamente imposible), salvo naturalmente en un punto de remanso o en un punto singular. En la Figura 3.2 se muestra la topolog´ıa de las l´ıneas de corriente en un entorno de los puntos de remanso (centro y puerto) y singulares (fuente o sumidero y torbellino) para un movimiento plano. 1 Desde un punto de vista microsc´ opico, la conservaci´ on de la masa de un volumen fluido puede interpretarse teniendo en cuenta que, respecto a una superficie que se mueva con la velocidad macrosc´ opica del fluido, las moléculas pr´ oximas a dicha superficie poseen u ´ nicamente velocidad de agitaci´ on molecular, que es ca´ otica en direcci´ on y magnitud; por tanto, el n´ umero de moléculas que abandonan el volumen fluido es, en media, igual al n´ umero de las que entran en dicho volumen. Asimismo, si el fluido no es homogéneo en composici´ on, la definici´ on (1.7) para la velocidad media local permite asegurar que la masa total de la mezcla contenida en un volumen fluido permanece tambi´ en constante en el tiempo; sin embargo, la masa de cada componente dentro de dicho volumen puede variar debido a que su velocidad media local ser´ a en general distinta de la de la mezcla. 2 La part´ ıcula fluida, como cualquier otro volumen fluido, est´ a formada por un conjunto continuo de puntos materiales. Cuando sucede que la extensi´ on espacial de la part´ıcula fluida no es relevante en la situaci´ on considerada (es decir, si no es necesario tener en cuenta su deformaci´ on ni las fuerzas que act´ uan en cada punto de su superficie o de su volumen) este concepto y el de punto material se usan indistintamente.


42

v(xB,t0)

B v(xA,t0) A

v(xB,t)

v(xA,t)

Figura 3.1: L´ıneas de corriente en el instante t que pasan por dos puntos que en un instante anterior t0 pertenec´ıan a la misma l´ınea de corriente (l´ınea a trazo).

(a)

(b)

(c)

Figura 3.2: L´ıneas de corriente en torno a puntos singulares o de remanso en un movimiento plano. a) Nodo o sumidero (fuente si la dirección del flujo es saliente); b) Centro o torbellino; c) Puerto.

3.1.3.

Traza

Se llama as´ı a la l´ınea que forman las part´ıculas fluidas que en instantes anteriores al considerado pasaron por un punto determinado xo . Su utilidad para visualizar movimientos fluidos radica en que si la difusi´ on másica fuese peque˜ na, la traza coincidir´ıa con la l´ınea que formar´ıa un colorante, de densidad sensiblemente igual a la del fluido cuyo movimiento se desea visualizar, inyectado lentamente desde un punto fijo del dominio fluido. Naturalmente, las trazas coinciden con las l´ıneas de corriente y con las sendas en movimientos estacionarios. Para obtener su ecuación hay que calcular la posición de los puntos materiales que pasaron por el punto de referencia xo en diferentes instantes t ≤ t x = xT (xo , t , t), y eliminar t entre las tres ecuaciones escalares (3.11).

(3.11)

43

3.1. Especificación del campo fluido

3.1.4.

Derivada sustancial

Sea φ(x, t) una magnitud fluida intensiva cualquiera (por ejemplo, densidad, temperatura, etc.). Si se sigue a un punto material en su movimiento, la magnitud φ asociada a dicho punto variar´ a, en una descripción euleriana, no s´ olo por cambiar t, sino también por cambiar su posición x. Si se calcula su variaci´ on con el tiempo se obtiene d φ = φ(x + d x, t + d t) − φ(x, t) = d x · ∇ φ +

∂φ dt ∂t

(3.12)

y ∂φ d x dφ = + · ∇φ. dt ∂t dt

(3.13)

Para un observador que se mueve con la velocidad del fluido v(x, t) = d x/d t, la expresión (3.13) resulta Dφ dφ ∂φ ≡ = + v · ∇φ. (3.14) dt Dt ∂t Al operador D/Dt = ∂/∂t + v · ∇ se le llama derivada sustancial o derivada siguiendo al punto material; el primer sumando representa la derivada local, que mide la variaci´ on que experimenta con el tiempo la magnitud φ en un punto x fijo del dominio fluido, y el segundo, la derivada convectiva, que representa el cambio experimentado por la magnitud φ, ligada al punto material, al moverse éste a una posición donde el valor de φ es diferente. Obsérvese que el concepto de derivada sustancial aparece debido a la necesidad de expresar variaciones siguiendo a los puntos materiales en la descripción de Euler, en la que el tiempo y el espacio son variables independientes. Obsérvese también que en la descripción de Lagrange las derivadas temporales son sustanciales, puesto que el tiempo es la u ńica variable independiente y el concepto de derivada sustancial pierde relevancia. Aceleraci´ on En la descripción de Euler, la aceleración del fluido es la derivada de la velocidad, siguiendo al punto material, Dv ∂v a= = + v · ∇v, (3.15) Dt ∂t siendo como antes la suma de una aceleración local y una aceleración convectiva. Naturalmente, si el sistema de referencia no es inercial, para obtener la aceleración absoluta se ha de a˜ nadir a la aceleración relativa, calculada mediante (3.15), la aceleración debida al movimiento no inercial del sistema de referencia. Si el origen del sistema se mueve con una aceleración lineal ao y gira con velocidad angular Ω, la aceleración debida al movimiento no inercial del sistema de referencia será: dΩ × x + Ω × (Ω × x) + 2Ω × v. asr = ao + (3.16) dt suma de la aceleración de arrastre, tangencial, centr´ıpeta y de Coriolis. Ecuaci´ on de una superficie fluida Si f (x, t) = 0 representa la ecuación de una superficie, los puntos x+d x que en t+d t pertenecen a la superficie satisfacen asimismo la ecuación f (x + d x, t + d t) = 0, por lo que se tiene d f = f (x + d x, t + d t) − f (x, t) = d x · ∇ f + d t

∂f = 0. ∂t

(3.17)


44

Por tanto, si la superficie se mueve con el fluido, d x/d t = v, debe satisfacer la ecuación Df ∂f = + v · ∇ f = 0. Dt ∂t

3.2.

(3.18)

Teorema del transporte de Reynolds

Como se verá posteriormente, las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos se obtienen aplicando los principios de conservaci´ on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a vol´ umenes fluidos. Dado que se usará la descripción euleriana para la formulaci´ on del movimiento, es necesario obtener en esta descripción expresiones para los valores de cambio de las integrales de las magnitudes extensivas ligadas a vol´ umenes fluidos, o, en general, a vol´ umenes que pueden variar con el tiempo de forma arbitraria, que desde ahora se denominar´ an vol´ umenes de control. Considérese una superficie cerrada Σc (t) en el seno de un fluido tal que su normal exterior unitaria y su velocidad en un punto genérico de la misma en el instante considerado sean, respectivamente, n y vc (en general distinta de la del fluido v en dicho punto e instante). Si Ωc (t) es la regi´ on limitada por dicha superficie en el instante considerado y φ(x, t) es cualquier magnitud fluida extensiva por unidad de volumen, la cantidad de esta magnitud que en el instante t está contenida en Ωc (t) es φ(x, t)d . (3.19) Ωc (t)

Obsérvese que la integración en (3.19) se efect´ ua para un instante dado, es decir, el tiempo juega en ella el papel de un par´ ametro. Naturalmente, el valor de dicha integral var´ıa con el tiempo, tanto por variar φ en la región de integraci´ on como por hacerlo ésta. La magnitud del cambio experimentado con el tiempo por (3.19) es d φ(x, t)d = d t Ωc (t) 1 φ(x, t + ∆ t)d − φ(x, t)d , (3.20) l´ım ∆t→0 ∆ t Ωc (t+∆ t) Ωc (t) y si se desarrolla en serie de Taylor el integrando de la primera integral del segundo miembro de (3.20) se obtiene d ∂φ φ(x, t)d = (x, t) d + d t Ωc (t) Ωc (t) ∂ t 1 φ(x, t) d − l´ım φ(x, t)d . (3.21) ∆ t→0 ∆ t Ωc (t+∆ t) Ωc (t) El término entre corchetes en la expresión (3.21) representa la integral de la magnitud φ extendida a la diferencia entre las regiones Ωc (t + ∆t) y Ωc (t) de la Figura 3.3, cuyo elemento de volumen es d = vc · n d σ ∆ t. La sustitución de (3.22) en (3.21) conduce finalmente a la expresi´ on ∂φ d φd = φ vc · n d σ, d + d t Ωc (t) Ωc (t) ∂ t Σc (t)

(3.22)

(3.23)

que constituye el teorema del transporte de Reynolds. Se debe indicar que (3.23) es una generalización para el caso tridimensional de la conocida f´ ormula de Leibniz para la derivada de una integral con respecto a un parámetro.

45

3.3. Análisis de las velocidades en el entorno de un punto

S c

(t)

n

d s S

v c

c

(t+ D t)

Figura 3.3: Superficie de control en dos instantes pr´ oximos. Si el volumen de control es fijo Ωc (t) = Ω0 (vc = 0) se tiene ∂φ d φd = d . d t Ω0 Ω0 ∂ t

(3.24)

Para el caso particular de una regi´ on infinitesimal fija de volumen d Ω que contiene a un punto dado x, el valor de (3.24) es, salvo infinitésimos de orden superior, [∂φ/∂ t](x,t) d Ω, por lo que ∂φ/∂t representa la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de la magnitud φ contenida en la unidad de volumen que rodea a x. Para un volumen fluido, cuya superficie se mueve en cada punto e instante con la del fluido (vc = v), se obtiene de (3.23) D ∂φ d φd ≡ φd = φ v · n d σ, (3.25) d + d t Ωf (t) D t Ωf (t) Ωf (t) ∂ t Σf (t) donde, de acuerdo con (3.24), el primer sumando representa la variaci´ on con el tiempo de la cantidad φ contenida en un volumen fijo que en el instante considerado coincide con el volumen fluido Ωf (t), mientras que, de acuerdo con (2.58), el segundo sumando representa el flujo convectivo de la magnitud φ a través de una superficie fija que en el instante considerado coincide con la superficie fluida Σf (t).3 Es claro, también, que si un volumen de control y un volumen fluido coinciden en un instante, Ωc (t) ≡ Ωf (t) y Σc (t) ≡ Σf (t), de (3.23) y (3.25) se obtiene para dicho instante la relación d D φd = φd + φ (v − vc ) · n d σ, (3.26) D t Ωf (t) d t Ωc (t) Σc (t) donde el segundo sumando representa el flujo convectivo de la cantidad φ relativo a la superficie de control.

3.3.

An´ alisis de las velocidades en el entorno de un punto

Como se anticipó en el Cap´ıtulo 1, la fuerza resistente a la deformación del fluido es proporcional a la velocidad con que éste se deforma. Por tanto, para caracterizar esta fuerza es necesario analizar la deformación de la part´ıcula fluida o, lo que es lo mismo, estudiar el movimiento del fluido en el 3 Como se observa en (3.25), en el caso de integrales extendidas a vol´ umenes fluidos es usual cambiar la notaci´ on de derivada temporal (d/d t) por la de derivada sustancial (D/D t). El significado de ambos operadores es, en este caso, id´ entico y representan la derivada con respecto al tiempo del valor resultante de la integraci´ on como se indica en (3.20).


46

entorno de un punto fijo cualquiera x que en el instante considerado se encuentra en el interior de dicha part´ıcula. Como se verá en lo que sigue, si se excluye la traslación de la part´ıcula fluida como sólido r´ıgido, el movimiento de cualquier punto de su interior relativo a otro, x, también en su interior que se toma como referencia, puede descomponerse en dos movimientos: uno de rotación como sólido r´ıgido alrededor del punto x más otro de deformación respecto a dicho punto. En efecto, considérese una part´ıcula fluida y dos puntos materiales P y Q de la misma cuyas posiciones en el instante t son x y x+d x, como se muestra en la Figura 3.4. Si v(x, t) y v(x+d x, t) son las velocidades en x y x+d x en dicho instante, los puntos P y Q experimentar´ an en el intervalo de tiempo d t los desplazamientos v(x, t) d t y v(x + d x, t) d t. El desplazamiento relativo que en d t experimenta Q respecto de P es

dWf (t)

v(x+dx,t)dt

Q

Q

dWf (t+dt)

dx

dx

v(x,t)dt

P

P

x+dx x

Figura 3.4: Deformación de una part´ıcula fluida. d v d t = v(x + d x, t)d t − v(x, t)d t,

(3.27)

donde d v, que representa el desplazamiento relativo por unidad de tiempo, viene dado por d v = v(x + d x, t) − v(x, t) = d x · [∇v](x,t) .

(3.28)

En notación indicial (3.28) se escribe, d vi =

∂ vi d xj , ∂ xj

(3.29)

donde, como se indica expl´ıcitamente en (3.28), las derivadas están evaluadas en el punto x y, por tanto, d v es directamente proporcional a d x dentro de la aproximaci´ on con que se opera; en la notación indicial utilizada para (3.29) se ha seguido la convenci´ on de Einstein de sumar sobre los sub´ındices repetidos. Obsérvese que si dl representa el elemento de l´ınea fluida P Q, que en el instante t coincide con dx, dv representa el cambio por unidad de tiempo experimentado por la l´ınea material dl para un observador ligado a ella D(dl) = dv = dx · ∇v. Dt

(3.30)

Para facilitar el an´ alisis es usual descomponer el tensor ∇ v en dos partes, una simétrica y otra antisimétrica, ∂ vi 1 ∂ vi 1 ∂ vi ∂ vj ∂ vj + = γij + ξij , = + − (3.31) ∂ xj 2 ∂ xj ∂ xi 2 ∂ xj ∂ xi

47

3.3. Análisis de las velocidades en el entorno de un punto =

donde γ , que se denomina tensor de velocidades de deformación, representa la parte simétrica, y =

ξ , denominado tensor de rotaci´ on, la antisimétrica. La contribuci´ on de cada uno de estos términos a la velocidad relativa en el punto x + d x respecto a la existente en el punto x es =

=

dv = dx · ∇v = dx· γ +dx· ξ = dvd + dvr ,

(3.32)

y dan lugar, como se expresó anteriormente y se verá a continuaci´ on, a una velocidad de deformaci´ on del fluido, dvd , y a una de rotaci´ on como sólido r´ıgido, dvr . =

Es fácil comprobar que las componentes del vector, dvr = d x· ξ (x, t) a que da lugar la parte antisimétrica del tensor gradiente de velocidades que, en notación indicial, se expresan ∂ vi 1 ∂ vj , (3.33) − d vri = d xj 2 ∂ xj ∂ xi son también las del producto vectorial 21 ω × d x; ω = ∇ × v se denomina vector vorticidad del fluido y se expresa en notación indicial ω i = ijk ∂vj /∂xk , donde el tensor de Levi-Civita, ijk , es nulo si alguno de los sub´ındices está repetido o su valor es ±1 si el orden de la permutaci´ on i, j, k es respectivamente par o impar. As´ı pues, d vr =

1 ω(x, t) × d x, 2

(3.34)

representa una rotación como sólido r´ıgido de la part´ıcula fluida alrededor del punto x con velocidad angular ω/2. = La contribuci´ on de la parte simétrica, d vd = d x· γ (x, t), se escribe en notación indicial 4 d vdi = γij (x, t)d xj .

(3.35)

Para interpretar f´ısicamente las componentes del tensor de velocidades de deformación, considérese un elemento de l´ınea fluida con origen en un punto P y dirección seg´ un el vector unitario n como la de la Figura 3.5. Si Q es un punto de dicho elemento cuya posición relativa a P es, en el instante t, d x = |d x| n, el desplazamiento relativo de Q respecto de P en el intervalo d t es d v d t = d x · ∇ v d t = |d x| n · ∇ v d t,

(3.36)

y su proyección en la dirección n es d v d t · n = |d x| n · ∇ v · n d t. =

(3.37) =

Teniendo en cuenta la antisimetr´ıa del tensor ξ se deduce que n· ξ ·n = ni ξij nj = 0, y, por tanto, la dilatación que experimenta el elemento de l´ınea fluida considerado en la direcci´ on del propio elemento es = d v d t · n = |d x|n· γ ·n d t. (3.38) 4 Obs´ on en el entorno de un punto ervese que debido a la simetr´ıa de γij , el campo de velocidades de deformaci´ es irrotacional. En efecto, si d x1 , d x2 y d x3 representan las coordenadas de un punto genérico de dicho entorno en un sistema de coordenadas con origen en x se tiene

ijk

∂(dvdj ) ∂(d xl ) = ijk γjl (x, t) = ijk γjl δlk = 0 . ∂ (d xk ) ∂(d xk )

on escalar φ = 21 d xl γkl (x, t)d xk define De hecho, a partir de (3.35) se deduce que d vdi = ∂ φ/∂ (d xi ), donde la funci´ una familia de cu´ adricas semejantes en torno al punto x denominadas cu´ adricas de velocidades de deformaci´ on.


48

Figura 3.5: Dilatación de un elemento de l´ınea fluida. La velocidad de dilataci´ on lineal unitaria en la direcci´ on n, o dilatación que experimenta la unidad de longitud seg´ un n en la unidad de tiempo, es, por tanto, =

n· γ ·n = ni γij nj .

(3.39)

Consecuentemente, los elementos de la diagonal principal del tensor de velocidades de deformación (por ejemplo, γ11 = ∂ v1 /∂ x1 ) representan la velocidad en la dirección de x1 (n ≡ e1 ) con que se dilata un elemento de l´ınea fluida de longitud unidad y dirigido seg´ un el eje x1 . Los restantes elementos de la diagonal principal, γ22 y γ33 , poseen una interpretaci´ on análoga. = Un elemento del tensor γ situado fuera de la diagonal principal, por ejemplo γ12 = (∂ v1 /∂ x2 + ∂ v2 /∂ x1 )/2, representa la mitad de la velocidad angular con que disminuye el ańgulo recto que inicialmente forman dos elementos de l´ıneas fluidas cuyas direcciones coinciden con la de los ejes x1 y x2 . En efecto, en la Figura 3.6 se puede comprobar que −

dα d α1 d α2 dx1 e1 · ∇v · e2 d t dx2 e2 · ∇v · e1 d t + = = + = dt dt dt d t d x1 d t d x2 ∂ v2 ∂ v1 + = 2 γ12 . ∂ x1 ∂ x2

(3.40)

Los restantes elementos no diagonales del tensor se pueden interpretar análogamente.5 De la misma forma, puede comprobar el lector que la componente de la vorticidad seg´ un el eje 3, ω3 =

dα2 ∂v2 ∂v1 dα1 − − = ∂x1 ∂x2 dt dt

(3.41)

representa el giro neto en el sentido contrario de las agujas del reloj, que por unidad de tiempo efect´ ua la diagonal del paralelogramo definido por los lados P A y P B, Figura 3.6. Por tanto, el =

5

Como es sabido, la simetr´ıa del tensor γ permite asegurar que para cada punto x del dominio fluido existen, en cada instante, tres direcciones ortogonales, denominadas direcciones principales de deformaci´ on, tal que puntos en un entorno de x situados sobre una direcci´ on principal poseen velocidades de deformaci´ on dirigidas en dicha direcci´ on. Las direcciones principales vienen determinadas por el problema de autovalores =

n· γ (x, t) = λ n, n · n = 1, =

etrico) y, de acuerdo con (3.39), representa la velocidad de dilataci´ on lineal donde cada autovalor λ es real ( γ sim´ unitaria de un elemento de l´ınea situado seg´ un la correspondiente direcci´ on principal. Seg´ un la interpretaci´ on de las = estas son nulas si dicho tensor se refiere a un sistema de ejes paralelos a las componentes no diagonales de γ (x, t), ´ direcciones principales.

49

3.3. Análisis de las velocidades en el entorno de un punto

valor dado por (3.41) es el doble de la componente seg´ un el eje 3 de la velocidad angular de giro como sólido r´ıgido de la part´ıcula fluida que coincide con dicho paralelogramo. Si dicho valor es cero, no existe rotación de la part´ıcula fluida como sólido r´ıgido, debido a que el giro alrededor de P de los elementos de l´ıneas materiales situados a un lado de la diagonal es igual y contrario al de los situados en el lado opuesto y el movimiento resultante es de deformación pura. Las otras dos componentes de la vorticidad pueden interpretarse an´ alogamente. x2 dx2e2Ñve1dt

B

B

dx2e2Ñv dt

A

da2 dx2e2

dx1e1Ñv dt

dx1e1Ñve2dt

da1 dx1e1

P

A

x1

Figura 3.6: Interpretaci´ on de los elementos no diagonales del tensor de velocidades de deformación. Finalmente se examinará el significado f´ısico de la traza, suma de los elementos de la diagonal = principal del tensor ∇ v, que naturalmente coincide con la traza de γ por ser nula la traza del =

tensor antisimétrico ξ . Dicha traza es la divergencia del vector velocidad, ∇ · v, que como se verá a continuaci´ on representa el cambio que experimenta la unidad de volumen de fluido en la unidad de tiempo 1 D(d Ω) . (3.42) dΩ Dt En efecto, para una part´ıcula fluida alrededor de un punto fijo x en un instante t se tiene, de acuerdo con la expresión (3.25) particularizada para el caso φ = 1, D d = v · ndσ = ∇ · v d = [∇ · v](x,t) d Ω(t), (3.43) D t d Ωf (t) dΣf (t) dΩf (t) donde dΩ(t) = dΩf (t) d es el volumen de la región d Ωf (t) ocupada por la part´ıcula fluida en el instante t, y donde se ha tenido en cuenta que v es continua en el interior de d Ωf (t) (para la aplicación del teorema de Gauss), as´ı como que el valor del integrando en el interior de d Ωf (t) se puede aproximar (salvo infinitésimos del orden superior) por su valor en el punto x.6 El cambio de volumen D(dΩ) que experimenta la part´ıcula fluida en el intervalo de tiempo d t es, pues, D(dΩ) = dΩ(t + dt) − dΩ(t) = [∇ · v](x,t) dΩ(t)d t,

(3.44)

6 De acuerdo con el modelo continuo, toda porci´ on de fluido (infinitesimal o finita) es, a su vez, infinitamente divisible, por lo que el significado de una integral extendida a una regi´ on infinitesimal es el mismo que el de la extendida a una regi´ on finita. Es f´ acil comprobar, mediante el desarrollo del integrando en serie de Taylor, que una integral extendida a una regi´ on infinitesimal puede calcularse, salvo infinitésimos de orden superior al de volumen, como el producto del integrando evaluado en un punto cualquiera interior a la regi´ on por el volumen de ésta.


50 y, por tanto,

1 D(d Ω) (3.45) = [∇ · v](x,t) = γii (x, t), dΩ Dt con lo que se comprueba que ∇ · v es la velocidad de dilatación c´ ubica unitaria, o dilataci´ on que experimenta la unidad de volumen de fluido en la unidad de tiempo. El campo de velocidades de un fluido incompresible (l´ıquido), que no experimenta dilataciones ni compresiones, no puede ser arbitrario, sino que en cada punto del dominio fluido y en cada instante debe satisfacer la condici´ on ∇ · v = 0,

(3.46)

para garantizar la condici´ on de incompresibilidad. Como se ver´ a más adelante, (3.46) constituye la ecuación de conservación de la masa para un fluido incompresible. Como resumen del análisis efectuado, el campo de velocidades en una región de dimensiones infinitesimales d x que rodea a cada punto fijo x del dominio fluido puede expresarse, en cada instante t, como superposición de un movimiento de traslaci´ on pura v(x, t), más un movimiento = γ de deformación, d vd = (x, t) · d x, más uno de rotación como sólido r´ıgido con velocidad angular ω/2 (donde ω = ∇ × v) y velocidad lineal d vr = [ω(x, t) × d x]/2. A˜ nadir finalmente que la teor´ıa aqu´ı desarrollada coincide con la de las deformaciones infinitamente peque˜ nas de los medios continuos, que se estudia, por ejemplo, en la teor´ıa de la elasticidad. Sin embargo, conviene hacer dos observaciones: Mientras aqu´ı el problema es cinemático, puesto que se estudian velocidades de deformación, all´ı es geométrico, puesto que se estudian estados deformados estacionarios. En Mecánica de Fluidos la teor´ıa es exacta en el sentido de que si las velocidades son finitas y continuas, las deformaciones producidas en un tiempo arbitrariamente peque˜ no son infinitamente peque˜ nas; mientras que en la Teor´ıa de la Elasticidad hay que suponer que las deformaciones son infinitamente peque˜ nas y sólo entonces sus resultados coinciden con los obtenidos aqu´ı si se sustituye la velocidad v por el desplazamiento infinitesimal u.

3.4.

Funci´ on de corriente

Como se ha visto anteriormente en (3.46), el campo de velocidades correspondiente al movimiento de un l´ıquido es solenoidal (campo vectorial de divergencia nula). Si sucede adem´ as que el movimiento es bidimensional o posee simetr´ıa axial, la divergencia del vector velocidad contiene sólo dos u ńicos sumandos cuya suma es nula. Se puede definir, entonces, una funci´ on escalar Ψ, denominada funci´ on de corriente, a partir de la que, por derivaci´ on, se obtienen las componentes de v. En efecto, considérese el movimiento plano de un l´ıquido cuyas componentes de la velocidad, u y v seg´ un los ejes x e y, satisfacen ∂u ∂v + = 0. (3.47) ∂x ∂y El teorema de Schwarz, de la igualdad de las derivadas cruzadas, permite definir una funci´ on escalar Ψ de la forma ∂Ψ ∂Ψ u= v=− , (3.48) ∂y ∂x que satisface idénticamente la ecuación de continuidad. An´ alogamente, para movimientos de l´ıquidos con simetr´ıa axial, la ecuación (3.46), que en coordenadas cil´ındricas (x, φ, r) se escribe, ∂(r vx ) ∂(r vr ) + = 0, ∂x ∂r

(3.49)

51

3.4. Funci´ on de corriente

se satisface idénticamente si se definen las componentes de la velocidad vx y vr seg´ un las coordenadas x y r en la forma 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ vx = , vr = − ; (3.50) r ∂r r ∂x en el caso axilsimétrico Ψ se denomina función de corriente de Stokes. También, en movimientos axilsimétricos de l´ıquidos descritos en coordenadas esféricas (r, θ, φ) se tiene ∂Ψ ∂Ψ 1 1 vr = 2 , vθ = − , (3.51) r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ r un donde, como es usual, vr y vθ representan respectivamente las componentes de la velocidad seg´ r y θ. Como se verá en el Cap´ıtulo 5, en el movimiento estacionario de gases el vector ρv es también solenoidal [véase (5.4)]. Por tanto, y como sucede en el caso de l´ıquidos, si el movimiento estacionario del gas es además bidimensional o axilsimétrico se puede definir también la funci´ on de corriente en la forma: ∂Ψ ∂Ψ ρu = , ρv = − . (3.52) ∂y ∂x En el movimiento estacionario axilsimétrico de gases resulta 1 ∂Ψ , r ∂r

ρ vr = −

∂Ψ 1 , r2 sen θ ∂ θ

ρ vθ = −

ρ vx =

1 ∂Ψ , r ∂x

(3.53)

∂Ψ 1 , r sen θ ∂ r

(3.54)

si se utilizan coordenadas cil´ındricas, y ρ vr =

si se utilizan coordenadas esféricas. Obsérvese que la densidad ρ juega aqu´ı el papel de un factor integrante. Una de las ventajas del uso de la funci´ on de corriente en la formulaci´ on matemática de los movimientos fluidos es la reducción en el n´ umero de incógnitas y, por tanto, en el de ecuaciones que es necesario integrar para la descripción del movimiento: una inc´ ognita, el escalar Ψ, en lugar de las dos componentes de la velocidad v, en el movimiento bidimensional, o axilsimétrico, de l´ıquidos, o de gases, si éste es estacionario. Otras propiedades interesantes de la funci´ on de corriente son: a) La funci´ on de corriente se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente en los movimientos bidimensionales y sobre las superficies de corriente en los axilsimétricos. En efecto, para un campo de velocidades bidimensional (u, v) seg´ un los ejes (x, y), la ecuación de las l´ıneas de corriente es de acuerdo con (3.10) v d x − u d y = 0.

(3.55)

Teniendo en cuenta las definiciones (3.48), la ecuación (3.55) se transforma en −

∂Ψ ∂Ψ dx − d y = −d Ψ = 0, ∂x ∂y

(3.56)

que demuestra que la funci´ on de corriente Ψ se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente. Sobre una superficie de corriente axilsimétrica se tiene también vr d x − vx d r = −

1 ∂Ψ 1 ∂Ψ 1 dx − d r = d Ψ = 0. r ∂x r ∂r r

(3.57)

Es fácil comprobar sin más que multiplicar (3.55) por ρ y usar (3.52) que en el caso de gases la funci´ on de corriente se mantiene también constante a lo largo de las l´ıneas de corriente.


52

b) El flujo volumétrico (caudal) de fluido a través de cualquier l´ınea que une dos puntos A y B de dos l´ıneas de corriente en un dominio fluido bidimensional, Figura 3.7, es igual al salto de la funci´ on de corriente ΨA − ΨB . En efecto, si u y v son las componentes seg´ un x e y de la YA

A n

ds

YB

B

Figura 3.7: Caudal entre dos l´ıneas de corriente. velocidad v y d y y −d x son las componentes del vector n d s, el flujo volumétrico a través de AB se escribe A A A A ∂Ψ ∂Ψ Q= v · nds = udy − vdx = d Ψ = ΨA − ΨB . (3.58) dy + dx = ∂x B B B ∂y B En movimientos axilsimétricos, el caudal volumétrico que circula entre dos superficies de corriente A y B es igual a 2 π veces la diferencia entre los valores de la función de corriente en las dos superficies

A

A

2 π r(vx d r − vr d x) = 2 π

Q= B

B

∂Ψ ∂Ψ dr + dx ∂r ∂x

= 2 π(ΨA − ΨB ).

(3.59)

An´ alogamente, en el caso de gases, el gasto, o masa de gas por unidad de tiempo, entre dos l´ıneas de corriente es igual al salto de la función de corriente. En efecto, si se usa (3.55) en la definición del flujo convectivo, se tiene G=

A

ρv·nds = B

3.5.

A

A

ρ(u d y−v d x) = B

B

∂Ψ ∂Ψ d y+ dx = ∂y ∂x

A

d Ψ = ΨA −ΨB . (3.60) B

Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

En la sección 3.3 se ha definido el vector vorticidad del fluido ω = ∇ × v y se ha visto que su valor en un punto considerado corresponde al doble del valor de la velocidad angular con que un elemento infinitesimal de fluido gira como s´ olido r´ıgido alrededor de dicho punto. Como se ver´ a en lo que sigue, el problema puede invertirse para calcular el campo de velocidades conocida la distribuci´ on de vorticidad. Adem´ as, como se demostrará en cap´ıtulos posteriores, la descripción del movimiento fluido en términos de la vorticidad posee la ventaja adicional de que su distribuci´ on se encuentra concentrada en regiones limitadas del dominio fluido. Es el caso, por ejemplo, de la estela detrás de un obstáculo que se mueve en el seno de un fluido en reposo en el que la vorticidad es nula fuera de la estela; las estelas de los aviones o las de los álabes de una máquina rotatoria son casos t´ıpicos. Otros ejemplos son los chorros o capas de mezcla donde, como se ve en la fotograf´ıa

3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

53

Figura 3.8: Chorro axilsimétrico descargando a través de un orificio circular. Los v´ ortices anulares se visualizan mediante humo. de la Figura 3.8, la vorticidad generada se concentra en tubos de vorticidad, perpendiculares a la fotograf´ıa, antes de que se produzca su posterior difusi´ on y rotura.7 Conviene plantearse, por tanto, el c´ alculo del campo de velocidades generado por una distribución de vorticidad ω(x, t), de modo que ω = 0 en un volumen Ωo finito y ω = 0 en cualquier punto exterior a Ωo . Nos limitaremos aqu´ı al caso de un fluido incompresible. El campo de velocidades viene dado en este caso por la ecuación de continuidad para un l´ıquido ∇ · v = 0.

(3.61)

La ecuación (3.61) se satisface idénticamente si se define el potencial vector A tal que v = ∇ × A.

(3.62)

Obsérvese que A no queda definido un´ıvocamente, puesto que si se le suma el gradiente de cualquier función escalar, las ecuaciones (3.62) y (3.61) se satisfacen idénticamente. El potencial vector A satisface la ecuación diferencial ∇ × v = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A = ω.

(3.63)

La ecuación que satisface A se simplifica notablemente si entre todas las posibles soluciones de (3.63) que determinan el mismo campo de velocidades por diferir sólo en el gradiente de una funci´ on arbitraria, se elige una de divergencia nula (ajustando apropiadamente la funci´ on arbitraria). La ecuación que satisface este campo vectorial es, por tanto, la de Poisson ∇2 A = −ω, cuya solución es 1 A(x, t) = 4π

Ωo

ω(xo ) d, | x − xo |

(3.64)

(3.65)

ua A. Para la donde xo son puntos interiores al dominio y x representa el punto donde se eval´ obtención de la solución de la ecuación de Poisson, que es lineal, el lector debe tener en cuenta las conocidas relaciones 1 2 = −4πδ(x − xo ), ∇ (3.66) |x − xo | 7

Werl´ e 1963, en An Album of Fluid Motion, M. van Dyke, Parabolic Press, 1982.


54 ω(x, t) =

ω(xo , t) δ(x − xo )d ,

(3.67)

Ωo

siendo δ la funci´ on de Dirac, que vale 1 cuando su argumento es nulo o 0 en caso contrario. Puede comprobarse fácilmente que el vector solución de la ecuación de Poisson, definido en (3.65), es solenoidal: ∇ · A = 0. En efecto, ω(xo ) 1 1 1 ω(xo ) · ∇xo d = − d = ∇x · 4π Ωo | x − xo | 4π Ωo | x − xo | −

1 4π

Ωo

∇xo ·

ω(xo ) d; | x − xo |

(3.68)

téngase en cuenta que en (3.68) la derivaci´ on debe efectuarse respecto a la variable indicada en el sub´ındice del operador ∇. Si se hace ahora uso del teorema de Gauss, la u ´ltima integral en la ecuación (3.68) puede escribirse como una integral extendida a la superficie Σo que encierra a Ωo ω(xo ) ω·n 1 1 ∇xo · d = − dσ (3.69) − 4π Ωo | x − xo | 4π Σo | x − xo | Por ser ω un campo solenoidal que es nulo fuera del volumen Ωo , su flujo en cualquier punto de la superficie Σo es nulo, ω · n = 0, y por tanto las integrales en (3.69) son nulas y A es solenoidal como se quer´ıa demostrar. Una vez conocido A, el campo de velocidades se obtiene fácilmente

1 1 ω(xo ) 1 d = ∇× ω(xo ) × ∇ d = − v =∇×A= 4π Ωo | x − xo | 4π Ωo | x − xo | 1 − 4π

Ωo

(x − xo ) × ω(xo ) d. | x − x o |3

(3.70)

Como aplicación de lo anterior, es conveniente considerar el caso de un tubo de vorticidad, que, como se comentó anteriormente, aparecen con frecuencia en situaciones de interés. En la Figura 3.9 8 se muestran las l´ıneas de vorticidad concentrada, obtenidas inyectando fluido coloreado, que aparecen sobre el extradós del ala de forma triangular de la figura (ala en delta) cuando el ańgulo de ataque del ala es distinto de cero. Los torbellinos se generan debido a que al ser la presión en el intrad´ os del ala mayor que en el extradós existe un flujo de fluido desde abajo hacia arriba que se enrolla y es arrastrado aguas abajo por la corriente incidente. Considérese un tubo de vorticidad de sección transversal infinitesimal dΣ donde la vorticidad está concentrada. El vector en la dirección longitudinal del tubo dl y el vector vorticidad ω son paralelos (recuérdese que ω es tangente a la superficie del dominio), esto es, ω = ωdl/dl, donde ω y dl representan los módulos de los vectores correspondientes. De (3.70), teniendo en cuenta que d = dσdl, resulta ω 1 (x − xo )dl dσ. v=− (3.71) 4π Ωo | x − xo |3 Es conveniente en este punto definir la circulaci´ on Γ como el flujo de la vorticidad a través de dΣ ω · ndσ, (3.72) Γ= dΣ 8

R. Drubka y H. Nagib, en An Album of Fluid Motion, M. van Dyke, Parabolic Press, 1982.

55

3.5. Campo de velocidades inducido por una distribuci´ on de vorticidad

Figura 3.9: Torbellinos sobre el extrad´ os de un ala en delta a un ańgulo de ataque de 20o . donde n representa aqu´ı la normal a la sección transversal del tubo dσ. Obsérvese que Γ es también la circulación del vector velocidad alrededor de cualquier l´ınea material L sobre la que se apoye dΣ, ya que, como ense˜ na el teorema de Stokes, Γ= ω · ndσ = v · ds, (3.73) dΣ

L

donde el vector ds es perpendicular a dl. En muchas situaciones de interés, el concepto de circulación como integral de la vorticidad exhibe propiedades de conservaci´ on y su uso resulta extraordinariamente u ´til por ser una integral primera del movimiento. En el Cap´ıtulo 10 se profundizar´ a en el estudio de este importante concepto. Utilizando (3.72), la ecuaci´ on (3.71) se expresa como dl × (x − xo ) Γ . (3.74) v= 4π | x − x o |3 que constituye la bien conocida ley de Biot-Savart para campos solenoidales. En el caso particular de que el tubo de torbellinos sea recto (hilo de torbellinos), la velocidad debida a un segmento del tubo en un punto P situado a una distancia d del tubo es perpendicular al plano definido por el tubo y el punto P y su magnitud viene dada por (3.74) y es l2 Γsenβ v= dl, (3.75) 4πr2 l1 r es la distancia entre un punto genérico l del segmento y el punto P considerado, y β es el ángulo que forman r y el hilo de torbellinos, Figura 3.10. Definiendo ahora d = r cos(β − π/2),

y

dl = [tan(β + dβ) − tan β] d =

d dβ, cos2 β

y sustituyendo estas definiciones en (3.75) se llega a β2 Γ Γ senβdβ = (cos β1 − cos β2 ). v= 4πd β1 4πd

(3.76)

(3.77)

Para el caso de un hilo de torbellinos semiinfinito, β1 = π/2 y β2 = π, se tiene v=

Γ , 4πd

(3.78)


56

dl

G

d

r

db

b P

Figura 3.10: Campo de velocidades inducido por un hilo recto de torbellinos. mientras que para un hilo infinito, β1 = 0, β2 = π, y v=

Γ . 2πd

(3.79)

Este valor coincide naturalmente con el de un torbellino bidimensional. En efecto, un torbellino bidimensional centrado en un punto cualquiera que se toma como origen induce un campo de velocidades cuyas l´ıneas de corriente son circunferencias con centro en el origen. La velocidad radial es nula y la tangencial vθ = C/r decae en forma inversamente proporcional a la distancia al origen. Compruebe el lector que la constante C está relacionada con la circulación Γ o intensidad del torbellino en la forma C = Γ/(2π) (3.80) y, por tanto, la expresi´ on (3.79) corresponde efectivamente al campo de velocidades inducido por un torbellino bidimensional.

Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004.

Cap´ıtulo 4

Fuerzas macrosc´ opicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica 4.1.

Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie

Antes de comenzar del estudio de la dinámica de los fluidos es necesario conocer las acciones mecánicas que se ejercen sobre el volumen fluido cuyo movimiento se desea analizar. Estas acciones pueden clasificarse en dos clases diferentes denominadas fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. Las fuerzas de volumen, denominadas también de largo alcance, act´ uan sobre cada elemento infinitesimal del volumen fluido y son debidas, en general, a campos de fuerzas externos al fluido, como, por ejemplo, el campo gravitatorio terrestre. Se designará por fv (x, t) la fuerza volumétrica que en el instante t se ejerce sobre la unidad de volumen que contiene al punto fijo genérico x. La fuerza resultante sobre un volumen Ω es Fv = fv d . (4.1) Ω

La fuerza por unidad de volumen correspondiente al campo gravitatorio es fv = ρ g,

(4.2)

donde g es la aceleración de la gravedad, que se puede suponer independiente de la posici´ on si las dimensiones del volumen de fluido considerado son peque˜ nas comparadas con el radio de la Tierra. As´ı, la fuerza gravitatoria total sobre un cierto volumen Ω de fluido ser´ a: Fv = ρgd g ρ d . (4.3) Ω

Ω

La fuerza gravitatoria es en realidad una fuerza m´ asica, siendo g la correspondiente fuerza por unidad de masa, que en general designaremos por fm . El producto de fm por la densidad del fluido proporciona la fuerza por unidad de volumen correspondiente. Cuando el movimiento del fluido se describe respecto a un sistema de referencia no inercial, como sucede en muchos problemas prácticos, es necesario incluir las fuerzas másicas asociadas al movimiento no inercial del sistema de referencia: dΩ fm = −a0 − × x − Ω × (Ω × x) − 2 Ω × v, (4.4) dt donde a0 y Ω son respectivamente la aceleración y la velocidad angular del sistema de referencia empleado. 57

58

Cap´ıtulo 4. Fuerzas macroscópicas sobre los fluidos. Fluidoest´ atica

Otras fuerzas volumétricas son las electromagnéticas que aparecen cuando el fluido está cargado o cuando por él circula alguna corriente eléctrica; en este caso, la correspondiente fuerza por unidad de volumen es: fv = ρe E + J × B, (4.5) donde ρe es la densidad de carga, E es el campo eléctrico, J la densidad de corriente y B el campo magnético. Esta fuerza (denominada de Lorentz) no se considerará aqu´ı, ya que el estudio de los movimientos fluidos en los que esta fuerza es importante corresponde a ramas especializadas de la Mecánica de Fluidos: f´ısica de plasmas (gases ionizados), electro-hidrodinámica y magnetohidrodin´ amica.1 Las fuerzas de volumen (másicas y electromagnéticas) que son el tipo de fuerzas puntuales que considera la din´ amica clásica de part´ıculas, aparecen en la Mecánica de Medios Continuos actuando sobre cada porci´ on infinitesimal de fluido de acuerdo con la hip´ otesis de medio continuo. Otro tipo de fuerzas macroscópicas, distintas de las volumétricas, que act´ uan también sobre los fluidos tienen su origen en la agitaci´ on molecular y en la interacci´ on entre moléculas. Son, por tanto, fuerzas de muy corto alcance, apreciables sólo en distancias del orden de la de interacci´ on molecular. Las moléculas que interact´ uan a través de un área peque˜ na δ σ que separa porciones de fluido adyacentes están situadas en un volumen de sección δ σ y espesor del orden del camino libre medio molecular λ (gases) o la distancia t´ıpica intermolecular d0 (l´ıquidos) [λ (δ σ)1/2 , d0 (δ σ)1/2 ]. La resultante de estas acciones micróspicas es, por tanto, proporcional al a´rea del elemento y se manifiesta macroscópicamente como una fuerza, denominada de superficie, que cada porci´ on de fluido ejerce sobre una porci´ on adyacente a través de la superficie que las separa. As´ı , en el modelo continuo, dado un elemento de superficie d σ de orientaci´ on n que pasa por un punto x en el interior de un fluido, se considera que el fluido del lado de n ejerce sobre la superficie una fuerza fs (x, t, n)dσ proporcional al a´rea del elemento y depende, además, de la orientaci´ on del mismo, de la posición del punto y del tiempo; la fuerza por unidad de a´rea, fs (x, t, n) se denomina esfuerzo y, naturalmente, debe satisfacer el principio de acci´ on y reacción, que exige que fs (x, t, n) = −fs (x, t, −n). Para describir este estado de esfuerzos se necesitar´ıa, en principio, conocer en cada punto una doble infinitud de fuerzas (componentes normal y tangencial) correspondientes a todos los posibles valores de la orientación n. Sin embargo, como se verá a continuaci´ on, los teoremas de cantidad de movimiento y momento cinético permiten reducir el n´ umero de incógnitas a las seis componentes distintas de un tensor denominado tensor de esfuerzos.

4.2.

Tensor de esfuerzos

Se definen las componentes del tensor de esfuerzos τij como las componentes en las direcciones j de los ejes coordenados de las fuerzas que act´ uan sobre la unidad de superficie orientada seg´ un las direcciones i, Figura 4.1. De acuerdo con esta definici´ on, se tiene τij (x, t) = fsj (x, t, ei ).

(4.6)

Para demostrar que basta conocer las componentes del tensor de esfuerzos para caracterizar las fuerzas de superficie que act´ uan sobre un elemento de área de fluido, se aplicar´ a la segunda Ley de Newton al volumen fluido infinitesimal d Ωf (t) que en el instante t coincide con el tetraedro de volumen d Ω mostrado en la Figura 4.2. La superficie fluida que limita a d Ωf (t) consta de la superficie d Σfn (t), que en t coincide con la cara del tetraedro de normal n y área d Σ, y en las superficies d Σfi (t) (i = 1, 2, 3), que en t coinciden con las caras de normales −ei , apuntando hacia 1 Adem´ as de la fuerza de Lorentz (4.5), en medios dieléctricos no uniformes aparecen otras como la fuerza diel´ ectrica y la fuerza de electro-estricci´ on. El lector interesado en la electro-fluidomec´ anica puede consultar, por ejemplo, el texto cl´ asico de Landau y Lifshitz (1984).

59

4.2. Tensor de esfuerzos

t13

e3

t23

t33

t12 e2

t22 t32

t11

t31

t21

e1

x

x

x

Figura 4.1: Componentes del tensor de esfuerzos en un punto. el exterior del tetraedro, y áreas d Σi = ni d Σ, siendo ni los cosenos directores de n. De la segunda ley de Newton se tiene entonces D ρ (x , t) v(x , t) d = fs (x , t, n) d σ + D t dΩf (t) dΣfn (t) 3 fs (x , t, −ei ) d σ + ρ (x , t) fm (x , t) d , (4.7) i=1

dΣfi (t)

dΩf (t)

donde la variable de integraci´ on x representa un punto genérico del volumen o de la superficie del 3 n -e 2

dS2

-e 1

dS dS1 dS 3

1

2 x

-e3

Figura 4.2: Volumen fluido infinitesimal que en el instante t coincide con un tetraedro de vértice en el punto fijo x. tetraedro. La ecuación (4.7) expresa que la variaci´ on con el tiempo de la cantidad de movimiento contenida en el volumen fluido es igual a la resultante de las fuerzas m´ asicas y de superficie que se ejercen sobre él. Debido a que la distancia |x − x| es peque˜ na por ser infinitesimal el volumen considerado, se tiene fs (x , t, n) = fs (x, t, n) + (x − x) · [∇ fs ](x,t,n) + O(|x − x|2 ),

(4.8)


60

y expresiones análogas para las fs (x, t, −ei ). Despreciando en (4.7) infinitésimos de orden del volumen, d Ω ∼ |x − x| d Σ, se llega a fs (x, t, n) d Σ = −

3

fs (x, t, −ei ) d Σi =

i=1

3

fs (x, t, ei ) ni d Σ,

(4.9)

i=1

donde se ha hecho uso del principio de acci´ on y reacción, fs (x, t, −ei ) = −fs (x, t, ei ); teniendo en cuenta (4.6), (4.9) se expresa en notación indicial fsj (x, t, n) = ni τij (x, t),

(4.10)

y en notación vectorial =

fs = n · τ .

(4.11)

Además, es fácil demostrar que el tensor de esfuerzos es simétrico. En efecto, considérese un volumen fluido infinitesimal (part´ıcula fluida) que en el instante considerado rodea al punto fijo x y posee un volumen d Ω. Se comprueba fácilmente que, salvo infinitésimos de orden |x − x|d Ω << O(d Ω), el momento respecto de x de todas las fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula fluida considerada es =

(x − x) × n(x )· τ (x, t) d σ,

(4.12)

d Σf (t)

donde d Σf (t) es la superficie fluida que limita a la part´ıcula fluida y se ha tenido en cuenta que = = τ (x , t) = τ (x, t) + O (|x − x|). El equilibrio de momentos exige que la ecuación vectorial (4.12) sea idénticamente nula, de modo que en notación indicial se tiene ijk (xj − xj )τlk nl d σ = 0. (4.13) d Σf (t)

Por extenderse a una superficie cerrada (4.13) puede transformarse en una integral de volumen (teorema de la divergencia) para dar ijk d Ωf (t)

∂ [(x − xj ) τlk ]d = ∂ xl j

ijk τjk d + O(|x − x| d Ω) = ijk τjk d Ω(t) = 0,

(4.14)

d Ωf (t) =

con τ evaluado en el punto fijo x. Por tanto, ijk τjk = 0,

(4.15)

que particularizada para i = 1, 2, 3 proporciona las tres relaciones τ23 = τ32 ,

τ31 = τ13 ,

τ12 = τ21 ,

(4.16)

=

que demuestran la simetr´ıa del tensor de esfuerzos τ

τij = τji .

(4.17)

61

4.3. Forma del tensor de esfuerzos. Fluidos newtonianos

4.3.

Forma del tensor de esfuerzos. Fluidos newtonianos

Ense˜ na la experiencia que si un fluido est´ a en reposo, el esfuerzo en cualquier punto x de una superficie de orientaci´ on n, fs (x, t, n) tiene que ser normal a la superficie, y de compresión, esto es, la fuerza que el fluido del lado de n ejerce sobre la superficie está dirigida seg´ un −n. En efecto, considérese una esfera de fluido en reposo, de centro en un punto genérico x y de = radio lo suficientemente peque˜ no para que, salvo infinitésimos de orden superior, el tensor τ pueda = considerarse constante sobre la superficie de la esfera y de valor τ (x, t). Debido a la simetr´ıa = de τ existen tres direcciones principales ortogonales, n1 , n2 y n3 , siendo los esfuerzos principales asociados = = = n1 · τ = λ1 n1 , n2 · τ = λ2 n2 , n3 · τ = λ3 n3 . (4.18) De la simple inspección de la Figura 4.3 se deduce que los tres esfuerzos principales deben de ser iguales, λ1 = λ2 = λ3 = λ, puesto que en caso contrario la part´ıcula fluida esférica se deformar´ıa en un elipsoide y la situaci´ on de reposo ser´ıa imposible. Si se tiene en cuenta que cualquier dirección arbitraria n puede expresarse como combinación lineal de las principales n = a1 n1 + a2 n2 + a3 n3 ,

(4.19)

el esfuerzo sobre una superficie de orientación n es =

n· τ = λ(a1 n1 + a2 n2 + a3 n3 ) = λn.

(4.20)

=

El tensor τ posee, por tanto, simetr´ıa esférica =

n· τ = λn,

∀n,

o lo que es lo mismo

=

=

τ= λ I,

(4.21)

=

donde I es el tensor unidad. Por otra parte, un estado de esfuerzos de expansi´ on (tracción) sobre l3n3

fs= -pn

-l1n1 -l2n2 x

l1n1

l2n2

x

-l3n3

Figura 4.3: Esfuerzos en el entorno de un punto en un fluido en reposo; (a) tracci´ on, (b) compresión. la esfera de fluido es incompatible con el equilibrio, puesto que un fluido no resiste la tracci´ on, mientras que s´ı resiste la compresión debido a las fuerzas de repulsi´ on molecular (en l´ıquidos) y a las colisiones que tienen lugar en el movimiento de agitación molecular (en gases). Se tiene por tanto que el tensor de esfuerzos en un fluido en reposo es esférico y de compresión (λ = −p < 0), Figura 4.3(b), es decir, = fs (x, t, n) = n· τ (x, t) = −p(x, t)n, (4.22)


62 =

=

con τ (x, t) = −p(x, t) I , siendo p la presión del fluido en el punto x y en el instante t, o fuerza por unidad de superficie normal a la misma y dirigida en el sentido opuesto a la normal. Como es sabido de la Termodin´ amica, si el fluido es de composición homogénea y se encuentra en equilibrio termodinámico, la presión es una funci´ on de estado determinada por dos variables termodin´ amicas. Cuando el fluido est´ a en movimiento es u ´ til escribir el tensor de esfuerzos en la forma =

=

=

τ (x, t) = −p(x, t) I + τ (x, t),

(4.23)

=

donde τ se denomina tensor de esfuerzos de viscosidad y expresa la desviación del tensor de esfuerzos respecto del valor que corresponde a la presión termodin´ amica en cada punto del dominio fluido. La fuerza que act´ ua sobre una superficie dσ centrada en el punto x y de normal n es, entonces, = n· τ (x, t)dσ, y la resultante sobre una superficie finita, Σ, es = = n· τ dσ = −p n dσ + n· τ dσ, (4.24) Σ

Σ

Σ

suma de las fuerzas de presión y viscosidad que act´ uan sobre la superficie considerada. Si Σ es cerrada y limita un volumen Ω, el teorema de Gauss proporciona = = = n· τ dσ = ∇· τ d = −∇p d + ∇· τ d. (4.25) Σ

Ω

Ω

Ω =

Sobre un volumen elemental dΩ en torno a x la fuerza de superficie resultante es ∇· τ dΩ = =

=

−∇p dΩ + ∇· τ dΩ, por lo que −∇p y ∇· τ representan las resultantes de las fuerzas de presión y viscosidad que act´ uan sobre la unidad de volumen. =

Para modelar el tensor τ (x, t) debe tenerse en cuenta que, como se vio en 3.3, el campo de velocidades en el interior de una part´ıcula fluida alrededor del punto fijo x en el instante t puede descomponerse en la suma de los campos correspondientes a tres movimientos más simples: traslación con velocidad v(x, t), rotación como sólido r´ıgido con velocidad angular ω(x, t)/2, y = = deformaci´ on pura caracterizada por el tensor de velocidades de deformación γ (x, t). Si γ (x, t) = 0 en alg´ un instante, la part´ıcula se mueve en dicho instante como sólido r´ıgido, por lo que existe un sistema de referencia que se traslada y gira con la part´ıcula respecto al cual ésta se encuentra =

instant´ aneamente en reposo y, consecuentemente, τ (x, t) es nulo. Se deduce entonces que el tensor =

=

τ debe ser depender solamente del tensor de velocidades de deformación γ . La ley experimental de Navier-Poisson establece que para una gran variedad de l´ıquidos y gases (los que se conocen con el nombre de fluidos newtonianos), y siempre que el camino libre medio molecular sea peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica macroscópica del movimiento, las fuerzas de viscosidad son proporcionales a las velocidades de deformación. De un modo cuantitativo, cada componente del tensor de esfuerzos de viscosidad es función lineal de cada componente del tensor de velocidades de deformación: 1 ∂vk ∂vl τij = Aijkl γkl = Aijkl , (4.26) + 2 ∂xl ∂xk donde Aijkl representa un tensor de cuarto orden con 81 términos. Si el medio es isótropo, esto es, no existen direcciones privilegiadas, las componentes del tensor de esfuerzos se reducen en n´ umero. En efecto, un tensor isótropo de orden par se puede escribir como la suma de todos los posibles productos de las deltas de Kronecker:2 2 Obs´ ervese que si un sistema de cuatro vectores puede hacerse coincidir con otro mediante una rotaci´ on como s´ olido r´ıgido la acci´ on de un tensor is´ otropo de cuarto orden sobre los vectores de ambos sistemas debe dar el mismo

63

4.4. Fluidoestática

Aijkl = µδik δjl + µ δil δjk + λδij δkl ,

(4.27)

donde µ, µ y λ son coeficientes escalares. En virtud de la simetr´ıa de Aijkl respecto a los sub´ındices i y j se tiene µ = µ y τij = µδik δjl γkl + µ δil δjk γkl + λδij δkl γkl . (4.28) Obsérvese en primer lugar que δkl γkl = γkk = ∇ · v y, en segundo lugar, que δik δjl γkl y δil δjk γkl sólo son distintos de cero si i = k y j = l y si i = l y j = k; por tanto: τ ij = 2µγij + λ(∇ · v)δij ,

(4.29)

donde µ y λ se denominan primer y segundo coeficiente de viscosidad. La relación anterior, que constituye la ley de Navier-Poisson, puede también escribirse:

2 , τij = µ 2γij − (∇ · v)δij + µv (∇ · v) δij , (4.30) 3 donde µv = λ + 2µ/3 es el coeficiente volumétrico de viscosidad. Puede comprobarse fácilmente que la suma de los elementos de la diagonal principal vale τ11 + τ22 + τ33 = 3µv ∇ · v,

(4.31)

)/3 es nulo si µv = 0 (como + τ22 + τ33 y, por tanto, el esfuerzo normal medio de viscosidad (τ11 ocurre en gases monoatómicos). En gases de estructura más compleja que los monoatómicos, el término µv ∇ · v representa la corrección a la presión calculada mediante la hip´ otesis de equilibrio termodinámico local debida al tiempo de relajación de los grados de libertad no traslacionales (rotacionales y vibracionales); por esta razón este término es importante sólo en procesos donde las propiedades de las part´ıculas fluidas experimentan una variaci´ on muy brusca (ondas de choque, ac´ ustica de ultrasonidos, etc). Como se ha visto en lo anterior, existe una ley lineal entre el esfuerzo y las velocidades de deformación. Para muchos l´ıquidos, entre los que se incluye el agua, y la mayor´ıa de los gases, la ley lineal es completamente satisfactoria para un amplio margen de condiciones. Los fluidos para los que esta ley se cumple muy aproximadamente se denominan newtonianos (en honor al hecho de que la relación lineal para un movimiento de cortadura fue propuesta por primera vez por Isaac Newton). Para l´ıquidos de estructura molecular compleja, y en particular para los que poseen cadenas moleculares muy largas, as´ı como para emulsiones y mezclas, la relación lineal deja de ser válida y su estado constituye el fascinante cap´ıtulo de la Mecánica de los Fluidos nonewtonianos. La ingenier´ıa qu´ımica trabaja frecuentemente con l´ıquidos que se comportan de modo no-newtoniano, pero, a pesar de su importancia industrial, caen fuera de un curso de introducci´ on a la Mecánica de Fluidos, y no ser´ an estudiados aqu´ı.

4.4.

Fluidoest´ atica

La situación más simple en la que se puede encontrar un fluido es la de reposo (v = 0) con respecto a alg´ un sistema de referencia. Para que el fluido esté en reposo es condición necesaria, resultado. Por tanto, si dicho tensor se aplica sobre un conjunto de cuatro vectores cualesquiera a, b, c y d el resultado s´ olo depender´ a de sus m´ odulos y de sus orientaciones relativas, esto es, de sus productos escalares, y (4.27) se deduce inmediatamente de las relaciones Aijkl ai bj ck dl = λ(ai bi )(ck dk ) + µ(ai ci )(bj dj ) + µ (ai di )(bj cj ) = (λδij δkl + µδik δjl + µ δil δjk )ai bj ck dl , donde λ, µ y µ pueden ser escalares cualesquiera. N´ otese que, en el segundo miembro, los productos de términos con ´ındices repetidos (que deben interpretarse como sumatorios que representan los productos escalares) se han expresado como productos con ´ındices distintos en el tercer miembro mediante la delta de Kronecker.

64


aunque no suficiente, que su densidad no var´ıe con el tiempo, ρ = ρ(x). En efecto, considérese un punto fijo genérico, x, y una part´ıcula fluida situada alrededor del mismo. En virtud de la constancia de la masa de dicha part´ıcula, su densidad podr´ıa variar con el tiempo sólo si lo hace su volumen, lo que no es posible si el fluido est´ a en reposo, puesto que la velocidad en los puntos de la superficie de la part´ıcula es nula. Se tiene, por tanto, ∂ρ = 0. ∂t

(4.32)

Asimismo, el equilibrio mecánico exige el balance entre la resultante de las fuerzas másicas que act´ uan sobre cualquier porci´ on de fluido, Ω ρ fm d , y la resultante de las fuerzas que act´ uan = τ sobre su superficie que; para un fluido en reposo ( ·n = −p n) es - Σ p n d σ = − Ω ∇ p d . Si dicho balance se aplica a una porci´ on de fluido infinitesimal alrededor de un punto genérico x se obtiene la ecuación −∇p + ρ fm = 0, (4.33) que expresa que la resultante de las fuerzas de presión y másicas que act´ uan sobre la unidad de volumen es nula. Las fuerzas másicas son, en ausencia de campos eléctricos o magnéticos, las gravitatorias y, en su caso, las de inercia debidas al movimiento no inercial del sistema de referencia: f m = g − ao −

dΩ × x − Ω × (Ω × x), dt

(4.34)

donde no aparecen las fuerzas de Coriolis por ser nula la velocidad. Es f´ acil comprobar que el cumplimiento de (4.33) garantiza además el equilibrio de momentos de las fuerzas de presión y másicas que act´ uan sobre cualquier porci´ on de fluido, por lo que dicha ecuaci´ on es condición necesaria de equilibrio.3 Dicha conclusión puede obtenerse, también, mediante la aplicación del teorema del momento cinético (4.2) si se tiene en cuenta que la simetr´ıa del tensor de esfuerzos asegura el equilibrio de momentos de las fuerzas de superficie y másicas para toda part´ıcula de un fluido en reposo. En el caso de un l´ıquido (ρ = constante), la ecuación (4.33) permite determinar la distribuci´ on de presiones si las fuerzas másicas y las condiciones de contorno apropiadas son dadas. Para un fluido compresible es necesario, además, conocer la distribución de temperaturas y la ecuación de estado ρ = ρ(p, T ). Si la temperatura no se especifica de antemano, sino que debe calcularse como parte del problema, se debe a˜ nadir a (4.32) y (4.33) la ecuaci´ on de la energ´ıa interna que, para un fluido en reposo (v = 0, ∂ρ/∂t = 0) y en ausencia de aportes volumétricos de calor, se escribe ρ

∂e ∂T = ρ cv = ∇ · (K ∇ T ). ∂t ∂t

(4.35)

Dicha ecuación expresa que para un fluido en reposo, la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa interna contenida en la unidad de volumen es igual al flujo de calor que éste recibe por conducci´ on. Además, se deben especificar las ecuaciones de estado f (p, ρ, T ) = 0, cv = cv (T ) y K = K(T, p).4

4.4.1.

Condiciones de equilibrio

La ecuación (4.33) demuestra que las fuerzas másicas por unidad de volumen ρ fm deben derivar del potencial −p para que el equilibrio sea posible; la compatibilidad con el equilibrio restringe 3 La condici´ on anterior no es condici´ on suficiente de equilibrio, puesto que éste puede ser inestable. Esto es lo que sucede, por ejemplo, en la atm´ osfera cuando las capas de aire m´ as cercanas a la superficie est´ an m´ as calientes y su densidad es menor, lo que da lugar a un movimiento convectivo denominado convecci´ on natural. 4 Las ecuaciones de la fluidoest´ atica (4.32), (4.33) y (4.35) también pueden obtenerse si se hace v = 0 en las ecuaciones generales del movimiento fluido, ecuaciones de Navier-Stokes, que ser´ an deducidas en el cap´ıtulo siguiente.

65


también la distribuci´ on espacial de densidades ρ(x). En efecto, si se toma el rotacional de la ecuación (4.33) se obtiene ∇ × (ρfm ) = ρ∇ × fm + ∇ρ × fm = 0;

(4.36)

si esta u ´ ltima ecuación se multiplica escalarmente por fm se obtiene la condición que ha de cumplir el campo de fuerzas másicas para que el equilibrio sea posible fm · (∇ × fm ) = 0.

(4.37)

En particular, la condici´ on (4.37) se verifica si fm deriva de un potencial, fm = −∇ U , lo que exige para las fuerzas másicas (4.34) que el sistema de referencia gire con velocidad angular constante (el término d Ω/d t × x no puede escribirse como un gradiente al ser su rotor no nulo); en este caso puede comprobarse directamente que el potencial de fuerzas másicas es 1 U = −g · x + ao · x − (Ω × x)2 . 2

(4.38)

Supuesto que las fuerzas másicas derivan de un potencial, la ecuación (4.33) se puede escribir de la forma ∇ p + ρ ∇ U = 0, (4.39) que indica que las superficies equipotenciales en un fluido en reposo son también isobaras y superficies de densidad constante, ya que ρ = − (∂ p/∂ U )t . Es decir, la presión y la densidad deben ser funciones de U , p = p(U, t) y ρ = ρ(U, t) (la dependencia con respecto a U (x, t) debe ser tal que ρ no dependa del tiempo), o lo que es lo mismo, se debe cumplir la condición de barotrop´ıa: ρ = ρ(p, t) o p = p(ρ, t). Para poner de manifiesto el significado f´ısico de dicha condición considérese una part´ıcula fluida de forma esférica, volumen d Ω y centro en un punto genérico x (véase Figura 4.4). Por no ser la densidad uniforme, el centro de masas de la part´ıcula estará desplazado de su centro geométrico en la dirección de ∇ ρ. Por otra parte, la l´ınea de acción de las fuerzas de presión, −∇ p d Ω, que act´ uan radialmente sobre la superficie de la part´ıcula, pasa por el centro geométrico, x, de ésta. La resultante de las fuerzas de presión dar´ a un momento respecto al centro de masas, denominado par barocl´ınico, que es incompatible con el equilibrio a no ser que sea nulo. Matem´ aticamente, la condición de barotrop´ıa puede formularse mediante la condici´ on ∇ ρ × ∇ p = 0, que resulta al tomar el rotacional en (4.39); dicha condici´ on expresa que el equilibrio s´ olo es posible si la resultante de las fuerzas de presión sobre cada part´ıcula fluida pasa por su centro de masas (par barocl´ınico nulo). Si se define la funci´ on de barotrop´ıa p dp ω(p, t) − ω(p1 , t) = , (4.40) p1 ρ(p, t) donde p1 es una presión de referencia arbitraria, y ∇ω =

1 ∇p, ρ

(4.41)

la ecuación de equilibrio (4.39) se escribe ∇(ω + U ) = 0,

ω + U = C(t),

(4.42)

donde C(t) es el valor que ω + U toma en alg´ un punto del dominio fluido. Como se ver´ a en lo que sigue, dicha forma de la ecuación de equilibrio resulta de gran utilidad en las aplicaciones de la fluidoestática.


66

Ñr

CM

-Ñp

-pn

Figura 4.4: Par barocl´ınico.

Finalmente, conviene hacer notar que el equilibrio mec´ anico analizado no supone que haya equilibrio térmico, por lo que se admite la posibilidad de la existencia de gradientes de temperaturas que satisfagan la ecuación (4.35) y que la densidad no var´ıe con el tiempo. Tampoco se ha analizado aqu´ı la estabilidad del equilibrio correspondiente a una distribuci´ on de p, ρ y T que satisfagan (4.32)-(4.35) junto con las condiciones iniciales y de contorno apropiadas. El estudio de la estabilidad de las soluciones fluidoestáticas es esencial cuando el equilibrio mecánico sea posible sin que haya equilibrio térmico, ya que si dicho equilibrio fuese inestable aparecer´ıan corrientes (v = 0) que tender´ıan a uniformar la temperatura (a equilibrar térmicamente el fluido). El lector interesado puede consultar el Cap´ıtulo 15.

4.4.2.

Hidrost´ atica. Algunos casos simples de fuerzas m´ asicas aplicadas

En el caso de un l´ıquido (ρ = constante), la ecuación (4.42) resulta p + ρ U = C(t).

(4.43)

on de presiones Si el u ńico campo de fuerzas presente es el gravitatorio, g = −g ez , la distribuci´ hidrost´ atica es p + ρ g z = C(t).

(4.44)

La constante C se determina imponiendo (4.44) en un punto del l´ıquido donde la presi´ on sea conocida. As´ı, si se trata de un l´ıquido limitado por un gas a presi´ on pa , se tiene C(t) = pa + ρ g H, siendo H la altura de la superficie libre del l´ıquido. La presi´ on en el interior del l´ıquido es, por tanto, p(z) = pa + ρ g(H − z), que es la suma de la presión del gas más la debida al peso por unidad de área de la columna de l´ıquido de altura (H − z). Considérese ahora un depósito de sección circular, Figura 4.5(a), que contiene un volumen V de l´ıquido y gira con velocidad angular constante, Ω, alrededor de su eje de simetr´ıa. Después de transcurrido un tiempo suficiente para que el l´ıquido se mueva r´ıgidamente con el recipiente o, lo que es lo mismo, el l´ıquido esté en reposo respecto a un sistema de referencia que gire con la velocidad angular del recipiente, la distribuci´ on de presiones es, de acuerdo con (4.43) y (4.38), p + ρgz − ρ

Ω2 r2 = C(t) = pa + ρ g ho , 2

(4.45)

67

4.4. Fluidoestática L W g

pa

pa

(b)

(a)

a0ex

R z

z

x

Figura 4.5: Equilibrio mec´ anico de un l´ıquido en un recipiente en movimiento: (a) de rotaci´ on y (b) uniformemente acelerado. donde ho , la altura de la superficie libre en r = 0, es función del volumen de l´ıquido y de la velocidad angular. En efecto, particularizando (4.45) en la superficie libre z = zs (r), se obtiene zs (r) = ho +

Ω2 r 2 ; 2g

(4.46)

finalmente, la condición de conservación del volumen proporciona ho

R

d r 2 π r zs (r) = π R2 ho +

V = o

π Ω2 R 4 V Ω2 R 2 , ho = . − 2 4g πR 4g

Conocida ho , la distribuci´ on de presiones se obtiene a partir de (4.45) Ω2 r 2 − z = pa + ρ g[zs (r) − z]. p(r, z) = pa + ρ g ho + 2g

(4.47)

(4.48)

Considérese, por u ´ltimo, el caso de un recipiente bidimensional que contiene un volumen de l´ıquido A por unidad de longitud perpendicular al plano de la figura, y posee una aceleraci´ on ao = ao ex , Figura 4.5(b). En este caso se tiene que p + ρ g z + ρao x = C(t) = pa + ρ g ho ,

(4.49)

donde ho es la altura de la superficie libre en x = 0 y debe determinarse consistentemente con la solución del problema. La ecuación de la superficie libre, z = zs (x), se obtiene particularizando (4.49) en z = zs donde la presi´ on es pa zs (x) = ho − y ho se determina de

ao x, g

(4.50)

L/2

A= −L/2

zs (x)d x = ho L

→

ho =

A . L

(4.51)

Obsérvese que en la solución obtenida no se ha considerado el posible chapoteo que pudiera producirse durante la fase inicial del proceso de aceleración, especialmente si éste fuese irregular, ni se


68

considera tampoco la estabilidad del equilibrio encontrado. Se debe indicar también que, debido a la existencia de una superficie libre, el equilibrio mec´ anico no es posible si ao depende del tiempo (a pesar de que U deriva de un potencial). En efecto, de acuerdo con (4.50) la ecuaci´ on de la superficie libre f (x, z, t) = z − zs (x, t) = z − ho − ao (t)x/(ρ g) = 0 no verificar´ıa, si v = 0, la ecuación de una superficie fluida ∂ f /∂ t + v · ∇ f = 0.5

4.4.3.

Fuerza sobre un cuerpo sumergido. Principio de Arqu´ımedes

Una vez calculado el campo de presiones se pueden determinar las fuerzas que un fluido ejerce sobre una superficie sólida mojada por él. La fuerza F y el momento M (respecto a un punto xo ) de las fuerzas de presión ejercidas por un fluido en reposo sobre una superficie Σ de normal n hacia el fluido son: F=− p n d σ, M = − (x − xo ) × p n d σ. (4.52) Σ

Σ

Cuando la superficie Σ es cerrada, la fuerza sobre un cuerpo sumergido en el fluido puede calcularse mediante el teorema de Gauss: F=− pndσ = − ∇pd = − ρ fm d , (4.53) Σ

Ω

Ω

donde se ha hecho uso del concepto de volumen desalojado, que es el volumen del cuerpo sumergido cuando éste es imaginariamente reemplazado por el fluido en equilibrio mecánico, de tal forma que se verifica (4.33). Suponiendo que las fuerzas m´ asicas son exclusivamente gravitatorias, y que éstas se mantienen aproximadamente constantes en distancias del orden de la longitud caracter´ıstica del cuerpo, se tiene F = g ez ρ d = m g ez , m = ρ d ; (4.54) Ω

Ω

es decir, un cuerpo sumergido en un fluido en reposo est´ a sometido a una fuerza (empuje) de valor igual al peso del fluido que desaloja, y dirigida en sentido opuesto a la acci´ on de la gravedad (Principio de Arqu´ımedes). Para que dicha fuerza esté equilibrada con el peso del cuerpo (condici´ on de flotabilidad), la densidad media de éste debe ser igual a la del fluido desalojado. Como aplicación de (4.54) considérese un cuerpo parcialmente sumergido en dos l´ıquidos no miscibles de densidades ρ1 y ρ2 . En este caso, el integrando de (4.53) es continuo a trozos en el interior del volumen desalojado, que está compuesto de los vol´ umenes Ω1 y Ω2 que el cuerpo ocupa en cada uno de los fluidos; la fuerza resultante que se ejerce sobre el cuerpo es:

F = g ez ρ d = g ez ρ1 d + ρ2 d = ρ1 g Ω1 ez + ρ2 g Ω2 ez . (4.55) Ω

Ω1

Ω2

Compruebe el lector que para el caso de una lámina sólida, de espesor despreciable, parcialmente sumergida en un l´ıquido y abierta a la atm´ osfera en su parte superior (por ejemplo, el casco de una embarcaci´ on), la fuerza resultante de l´ıquido y aire sobre la l´ amina es F = ρ g Ω ez , siendo Ω el volumen de l´ıquido desalojado. Naturalmente, para que un cuerpo esté en equilibrio, no s´ olo las fuerzas que act´ uan sobre el mismo deben estar equilibradas, sino que también debe existir equilibrio de momentos. El momento respecto de un punto xo de las fuerzas de presión que el fluido ejerce sobre el cuerpo es: M = − (x − xo ) × p n d σ = ∇ × [p(x − xo )] d = Σ 5

Ω

El equilibrio con aceleraci´ on dependiente del tiempo ser´ıa posible en ausencia de superficie libre, es decir, para un recipiente cerrado y lleno de l´ıquido. Sin embargo, para la situaci´ on de la Figura 4.10(a), el equilibrio con d Ω/d t = 0 nunca es posible, puesto que, en este caso, no existe potencial de fuerzas m´ asicas [la existencia de dicho potencial es, seg´ un (4.37), condici´ on necesaria para el equilibrio mec´ anico de un l´ıquido].

69


∇ p × (x − xo )d =

Ω

ρfm × (x − xo ) d .

(4.56)

Ω

Si fm = −g ez

M = −g ez ×

ρ(x − xo )d = m g (xcm − xo ) × ez ,

(4.57)

Ω

donde xcm es el centro de masas del volumen desalojado. Para que exista equilibrio, este momento debe estar equilibrado con el momento respecto a xo de las restantes fuerzas que act´ uan sobre el cuerpo sumergido. Se deja al lector el análisis de la estabilidad de cuerpos parcial o totalmente sumergidos como función de la posición relativa del centro de gravedad del obst´ aculo y del metacentro, o punto de aplicación de la fuerza de flotaci´ on.

4.4.4.

Equilibrio de gases. Atm´ osfera est´ andar

En el caso de un gas ideal bajo la acción de la gravedad, la ecuaci´ on (4.42) se puede escribir: p p dp dp = g z + Rg = constante, T U +ω = gz + (4.58) ρ p y si se deriva respecto a z y se integra se obtiene respectivamente: g+ y

Rg T d p = 0, p dz

z dz g p . = exp − po Rg o T (z)

(4.59)

(4.60)

Como indica (4.60), para conocer la distribuci´ on de presiones en un gas en equilibrio mecánico es necesario conocer la distribución de temperaturas, que debe satisfacer la ecuación (4.35) junto con condiciones de contorno apropiadas. Un ejemplo t´ıpico lo constituye el aire de la atmósfera supuesto en reposo. En sus capas más cercanas al suelo el aire se calienta, principalmente por conducción de calor desde el suelo y, en menor medida, por radiaci´ on solar directa, aunque esta u ´ltima es más importante en las capas altas de la atmósfera.6 Para los cálculos fluidoestáticos prácticos, sin embargo, no se suele resolver la ecuación (4.35) para la temperatura, sino que se supone una distribuci´ on T (z) obtenida ´ experimentalmente. Esta es la de la denominada atm´ osfera est´ andar, cuya variaci´ on con la altura se representa en la Figura 4.6. Desde un punto de vista pr´ actico, la capa más importante es la troposfera o capa más cercana al suelo, donde se supone que, en primera aproximaci´ on, el perfil de temperatura es lineal: T = To − α z, (4.61) siendo To = 288 K y α = 6,5 K/km en la atmósfera estándar. Sustituyendo en (4.60), se tiene la distribuci´ on de presiones g/α Rg To − α z p = , (4.62) po To 6 Obs´ ervese que la ecuaci´ on (4.35), donde se ha despreciado el efecto de la radiaci´ on (al ser la troposfera pr´ acticamente transparente a la radiaci´ on solar), pone de manifiesto la distribuci´ on lineal de temperaturas en la troposfera; en efecto, si la conductividad térmica del aire se supone constante en esta zona se tiene que, en régimen estacionario, on de temperaturas en capas m´ as altas de la atm´ osfera ∂ 2 T /∂ z 2 = 0. Para obtener a partir de (4.35) la distribuci´ debe considerarse el equilibrio entre los fen´ omenos de conducci´ on y radiaci´ on de calor (de dif´ıcil modelizaci´ on), as´ı como variaciones de la conductividad térmica y de las dem´ as ecuaciones de estado debidas a la presencia de complicados procesos fisicoqu´ımicos de ionizaci´ on, variaci´ on de la concentraci´ on de las especies debido a reacciones fotoqu´ımicas, etc.


70

Mesosfera

z (km) 48

32 Estratosfera 22

11 Troposfera 216.5

270

228

288

T (K)

Figura 4.6: Variaci´ on de la temperatura con la altura en la atm´ osfera terrestre. Atmósfera estándar. y la de densidades de esta u ´ltima y de la ecuación de estado, ρ = ρo

To − α z To

g/α Rg −1 ;

(4.63)

po = 105 Pa y ρo = po /Rg To = 1,25 kg/m3 . De forma análoga se hallar´ıan las distribuciones de presión y densidad en las restantes capas de la atmósfera estándar utilizando los perfiles de temperatura de la Figura 4.13. La expresión (4.63) proporciona un criterio est´ atico de estabilidad de la atmósfera. En efecto, para que ésta sea estable, la densidad debe disminuir con la altura, pues en caso contrario las fuerzas de flotabilidad originar´ıan un movimiento vertical; esto es, g − 1 > 0, α Rg

α<

g 34,9 K/km. Rg

(4.64)

La condición (4.64) no es suficiente para que la atmósfera sea estable, ya que si fuese as´ı , la atmósfera siempre lo ser´ıa, lo que, evidentemente, no es cierto. El estudio de la estabilidad de la atmósfera requiere considerar la estabilidad din´ amica, o estabilidad frente a peque˜ nas perturbaciones de la distribución de equilibrio anterior, perturbaciones que siempre est´ an presentes en la atmósfera.7 De todas formas, el criterio anterior proporciona una idea del grado de estabilidad de la atmósfera: cuanto más peque˜ na sea la constante α, más estable será ésta. Por ejemplo, en condiciones de inversi´ on térmica (α < 0), lo cual ocurre a veces en las proximidades del suelo en ciertos n´ ucleos urbanos donde los niveles de contaminaci´ on son muy altos, la atmósfera se hace más estable con lo que los gases contaminantes permanecen estratificados sobre la ciudad. Otro ejemplo significativo de estabilidad lo constituye la estratosfera, donde α es marcadamente negativo (Figura 4.13), siendo, por tanto, extraordinariamente estable, y de ah´ı su nombre: el aire de la estratosfera está estratificado, sin apenas mezcla de unas capas con otras (ésta se produce casi exclusivamente por difusi´ on, no por convecci´ on). Por ello es tan peligroso que los agentes contaminantes lleguen a la estratosfera. 7 Obs´ ervese que el equilibrio mec´ anico bajo la acci´ on de la gravedad (U = g z) implica p = p(z), ρ = ρ(z) y, consecuentemente, T = T (z); por tanto, una de tales perturbaciones es, por ejemplo, la variaci´ on espacial de temperatura debido a la no uniformidad de la irradiaci´ on solar.

71

4.5. Tensión superficial

4.5.

Tensi´ on superficial

Hasta ahora se han considerado las fuerzas superficiales que se ejercen a través de cualquier superficie localizada en el interior del dominio fluido, o l´ımite sólido-fluido. Seguidamente se considerará el efecto macroscópico de las fuerzas intermoleculares (de corto alcance) a través de la interfase de separación de dos fluidos no miscibles. En este caso, las moléculas situadas a distancias de la interfase menores que la distancia intermolecular se encuentran rodeadas por moléculas pertenecientes a ambos fluidos, lo que da lugar a que su energ´ıa potencial sea distinta de la de aquellas que se encuentran a distancias de la superficie grandes comparadas con la de interacci´ on molecular, ya que éstas se encuentran rodeadas por moléculas de una sola clase, Figura 4.7.

Fluido 1

Fluido 2

Figura 4.7: Interacciones entre moléculas situadas en el seno y en la interfase de separación de dos fluidos no miscibles. Por tanto, para variar el a´rea de la interfase (lo que implica un aporte de moléculas desde el interior de los fluidos en contacto con la interfase o viceversa) es necesario realizar un trabajo sobre la misma. En una descripción continua, el trabajo asociado a una variaci´ on infinitesimal, d Σ, del área Σ de la interfase es ζ d Σ, donde ζ es una propiedad de los fluidos en contacto denominada tensión superficial. Se ver´ a a continuaci´ on que si se considera un elemento de l´ınea cualquiera sobre la interfase, ζ representa la fuerza macroscópica resultante, por unidad de longitud de dicho elemento, dirigida normalmente al mismo y contenida en el plano tangente a la interfase en el punto considerado. Esta fuerza macroscópica tiene su origen en las fuerzas de cohesión tangenciales a la interfase que las moléculas situadas a un lado de dicho elemento ejercen sobre las situadas al otro lado del mismo. En efecto, obsérvese en la Figura 4.8 que si se trata de estirar la superficie Σ dando en cada punto de la l´ınea cerrada, L, que la limita un incremento normal de longitud d x, el trabajo necesario es, ζ

d x d l = ζ d Σ;

(4.65)

L

de la expresión (4.65) se deduce que la superficie se encuentra en un estado de tensión uniforme (como una membrana) debido a las fuerzas de tensión superficial (fuerzas de cohesión entre moléculas de la interfase). Cuando sólo uno de los dos medios materiales que forman la interfase está en forma condensada, la tensión superficial es siempre positiva. En efecto, debido a que las moléculas del gas están comparativamente muy alejadas, las del l´ıquido cercanas a la interfase experimentan fuerzas de cohesión no equilibradas, normales a la interfase, y tienden a moverse hacia el interior del l´ıquido; por tanto, el l´ıquido presenta al gas la superficie m´ınima compatible con su volumen y, consecuentemente, es necesario realizar un trabajo sobre el sistema para variar su superficie m´ınima (ζ positivo). Este hecho puede también interpretarse como que las moléculas de la interfase poseen un


72

z dl dx

Figura 4.8: Tensión superficial en la interfase de dos fluidos no miscibles. exceso de energ´ıa potencial respecto a las del interior del l´ıquido, y el sistema tiende a adoptar una configuraci´ on de m´ınima energ´ıa potencial minimizando el n´ umero de moléculas en la interfase; as´ı se explica la forma esférica (m´ınima relación área/volumen) de gotas peque˜ nas de l´ıquido en aire y de peque˜ nas burbujas de gas en agua. Cuando la interfase es l´ıquido-l´ıquido o l´ıquido-s´ olido, el argumento anterior no es válido para predecir el signo de ζ y la realidad muestra que ambos signos son posibles; sólo en el caso en que ζ > 0 los dos l´ıquidos son no miscibles. Por el contrario, parejas de l´ıquidos miscibles, como, por ejemplo, alcohol y agua, no presentan superficie de separaci´ on y el concepto de tensión superficial deja de tener significado. Desde el punto de vista molecular, lo que ocurre en este caso es que las fuerzas de atracción entre moléculas pertenecientes a l´ıquidos distintos son más intensas que las que existen entre moléculas pertenecientes a un mismo l´ıquido, lo que origina una inestabilidad de la interfase, y se produce la mezcla de los fluidos. En la Tabla I se dan valores medidos de la tensión superficial para varias parejas de l´ıquidos: TABLA I 8 Tensión superficial a 293 K (N m−1 )

Aire Agua

Agua

Mercurio

72, 8 × 10−3

0,487 0,375

Alcohol et´ılico 22 × 10−3 < 0 (miscibles)

Benceno

Glicerina

29 × 10−3 35 × 10−3

63 × 10−3 < 0 (miscibles)

Aceite de oliva 20 × 10−3

En la práctica se suele presentar la situación de tres medios distintos en contacto. Por ejemplo, el agua en un recipiente está en contacto simultáneamente con el aire y con la pared del recipiente; lo mismo sucederá para una gota de fluido sobre una mesa. Las moléculas en el entorno de las l´ıneas de contacto entre los tres medios estarán sometidas a solicitaciones por parte de las moléculas pertenecientes a las interfases de los medios en contacto, estando dichas acciones caracterizadas macroscópicamente por sus respectivas tensiones superficiales. Puesto que las l´ıneas de contacto no tienen masa, el vector resultante de estas acciones debe tener componente nula en cualquier dirección en que las l´ıneas de contacto puedan moverse. As´ı, la condición de equilibrio para la situación representada en la Figura 4.9 exige que ζ12 = ζ31 + ζ23 cos θ.

(4.66)

Esta ecuación determina el ángulo de contacto θ de la superficie de separación con el sólido. Se suele decir que el l´ıquido moja al s´ olido cuando θ < π/2 (esta situación es corriente para el agua en 8

G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge University Press, p. 597, 1990.

73

4.5. Tensión superficial z

2 3

2 , g a s

3 , líq u id o z

3 1

q z

1 2

1 , s ó lid o

Figura 4.9: L´ıneas y ángulos de contacto. contacto con casi todos los sólidos; por el contrario, para el mercurio en contacto con muchos s´ olidos el ángulo de contacto es próximo a 150o ). Cuando sucede que |ζ12 | > |ζ31 | + |ζ23 | el equilibrio no es posible. Esta situación se presenta, por ejemplo, cuando se deposita una gota de aceite mineral en la superficie del agua; en ese caso, la gota se esparcirá indefinidamente debido a que la tensi´ on superficial aire-agua es mayor que la suma de las de aceite-aire y aceite-agua. Hasta ahora, se ha considerado el caso en que la tensión superficial es uniforme sobre la interfase de separación de dos fluidos no miscibles. Sin embargo, como se muestra en la Tabla II, para una pareja de fluidos determinada, la tensi´ on superficial depende de la temperatura y disminuye con ésta, ya que al aumentar la temperatura disminuyen las fuerzas de cohesión molecular. Además si la composición de alguno de los fluidos no es uniforme, la tensi´ on superficial depende también de la concentración de las distintas especies presentes en la interfase. As´ı , si existen gradientes de temperatura o de concentración en la interfase, ζ variar´ a con la posición sobre la misma, y las consideraciones expuestas hasta ahora deben aplicarse localmente. Además, como se verá posteriormente, la existencia de gradientes superficiales de tensión superficial implica necesariamente un movimiento de la interfase, que se transmite a los fluidos adyacentes mediante esfuerzos de viscosidad, y el equilibrio es imposible (naturalmente, dicho movimiento tiene su origen microsc´ opico en que las moléculas de la interfase tienden a desplazarse hacia regiones donde las fuerzas de cohesión molecular son más intensas, es decir, hacia zonas de mayor ζ).

Temperatura o K ζ(N m−1 )

4.5.1.

TABLA II 9 Tensión superficial agua-aire para varias temperaturas 283 293 303 323 74, 2 × 10−3

72, 8 × 10−3

71, 2 × 10−3

67, 9 × 10−3

353 62, 6 × 10−3

Condiciones de equilibrio a trav´ es de la interfase de dos fluidos no miscibles

Como se ha visto en el apartado anterior, en la superficie de separación de dos fluidos no miscibles aparecen macroscópicamente unas fuerzas de tensión superficial entre dos partes cualesquiera de la superficie a través de la l´ınea que las separa, Figura 4.10. La fuerza de tracci´ on sobre un elemento de l´ınea es normal a la misma y proporcional a su longitud. Sobre cualquier elemento de superficie de la interfase, las fuerzas de tensión superficial han de estar equilibradas por las fuerzas que los fluidos a ambos lados de la misma ejercen sobre la superficie. Proyectando las fuerzas que act´ uan sobre la superficie en la dirección normal se tiene: 9

La misma referencia que la del pie de p´ agina anterior.


74

O1 R1 dq1 O2 dq2 zdl2

¶z (z+ ¶ dl2)dl1 l2

R2 ¶z (z+ ¶ l dl1)dl2

dl2

1

dl1 zdl1

n

Figura 4.10: Equilibrio de fuerzas en una interfase.

=

=

[n· τA ·n − n· τB ·n]dl1 dl2 = 2ζdl1 sen dθ2 /2 + 2ζdl2 sen θ1 /2 ζdl1 dθ2 + ζdl2 dθ1 ,

(4.67)

donde n es la normal al elemento de superficie dirigida hacia el fluido A, y l1 y l2 son coordenadas curvil´ıneas ortogonales ligadas a la superficie. Teniendo en cuenta que dl1 = R1 dθ1 y dl2 = R2 dθ2 , (4.67) se escribe

1 1 = = = n · (τA − τB ) · n, + (4.68) ζ R1 R2 R1 y R2 son los radios de curvatura de la superficie en las dos direcciones seleccionadas. En geometr´ıa diferencial se obtiene la relación entre la curvatura media local y la divergencia del vector normal en ese punto 1 1 + = ∇s · n, (4.69) R1 R2 donde ∇s · n = e1 · (∂ n/∂ l1 ) + e2 · (∂ n/∂ l2 ), si e1 y e2 son los versores del sistema de coordenadas ortogonales ligado a la superficie. Conviene indicar que, salvo en el caso de geometr´ıas muy simples, la curvatura media, ∇s n, se calcula más fácilmente determinando el campo de normales a la familia de superficies a la que pertenece la interfase, y particularizando su divergencia ∇ · n; en efecto, puesto que n es un vector unitario, se tiene n · (∂ n/∂ n) = 0 y ∇s · n = ∇ · n .10 Por tanto, la 10 En general para una superficie definida por F (x, y, z) = z (x, y) − z = 0, el vector normal, definido por s n = ∇F/ | ∇F |, tiene de coordenadas

∂zs /∂x ∂zs /∂y −1 , , . [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2 [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2 [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2 La curvatura media es entonces 1 1 ∂zs /∂x ∂ + =∇·n= R1 R2 ∂x [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2

+

∂ ∂y

∂zs /∂y . [1 + (∂zs /∂x)2 + (∂zs /∂y)2 ]1/2

75

4.5. Tensión superficial ecuación (4.68) se escribe también en la forma =

=

ζ ∇ · n = n · (τA − τB ) · n.

(4.70)

En la dirección tangencial el equilibrio de fuerzas exige: = = = = τA ·n − (n· τA ·n)n − [τB ·n − (n· τB ·n)n] dl1 dl2

=

∂ζ ∂ζ dl1 dl2 e1 + dl1 dl2 e2 = ∇s ζdl1 dl2 , ∂l1 ∂l2

(4.71)

donde ∇s ζ es el gradiente de la tensión superficial sobre la superficie de separación de ambos fluidos. Un resultado importante de (4.71) es que en reposo ζ debe ser constante en la interfase de separación, ya que en ese caso la fuerza sobre la interfase posee sólo componente normal y, por tanto, ∇s ζ = 0. Si ζ variase a lo largo de la interfase, por hacerlo, por ejemplo, la temperatura, el equilibrio ser´ıa imposible. En caso contrario, ζ constante, el equilibrio es posible, τ = −pδij , y la condición de equilibrio normal (4.68) o (4.70) se reduce entonces a: pB − pA = ζ

1 1 + R1 R2

= ζ ∇ · n,

(4.72)

que se denomina ecuación de Laplace-Young. Para la aplicaci´ on de (4.72) conviene tener presente que, en todo punto de la interfase, n apunta hacia el fluido A, y que el radio de curvatura Ri , (i = 1, 2) debe tomarse positivo si el centro de curvatura correspondiente está del lado del fluido B y negativo en caso contrario. La ecuación (4.72) puede ser obtenida mediante un planteamiento energético alternativo al de equilibrio de fuerzas antes descrito. En efecto, el cambio de energ´ıa superficial en una superficie dσ cuando ésta experimenta un cambio debido a un desplazamiento dξ en la dirección normal a la superficie es ζ d(dσ), donde d(dσ) = ∇ · ndξ dσ. Por otra parte, el trabajo necesario para deformar una superficie dσ aplicando una fuerza por unidad de superficie ∆p n normal a ella es ∆p n dσ · n dξ, donde dξ n es el desplazamiento de la superficie en la dirección normal. Igualando ambas energ´ıas se obtiene la ecuación de Laplace-Young. Finalmente, es de interés destacar el auge y relevancia que los fenómenos de tensión superficial han experimentado recientemente como consecuencia de sus aplicaciones tecnológicas directas, por ejemplo en los campos de la atomización fina de l´ıquidos (producci´ on de aerosoles con gotas de tama˜ no micrométrico y nanométrico), producción de part´ıculas complejas de tama˜ no nanoscópico (nanotubos, nanofibras coaxiales, nanoc´ apsulas, etc.), tecnolog´ıa de coloides, emulsiones y surfactantes entre otros. En la Figura 4.11 se muestra una fotograf´ıa del fenómeno conocido como electrospray o atomización electro-hidrodin´ amica de l´ıquidos.11 Obsérvese la forma cónica del menisco l´ıquido, metanol en este caso, resultante del balance entre las fuerzas de tensión superficial y las electro-hidrodin´ amicas. El menisco estaba anclado a una aguja metálica capilar de medio mil´ımetro de diámetro conectada a un potencial continuo de unos pocos kilovoltios. El microchorro, eyectado desde el vértice del menisco, se hace inestable aguas abajo y rompe en gotas que forman un spray monodisperso (gotas del mismo tama˜ no aproximadamente) debido a los efectos de la tensión superficial. La inestabilidad capilar en un chorro de l´ıquido será objeto de análisis en un cap´ıtulo posterior. 11

Cortes´ıa del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos, de la Universidad de Sevilla.

76


Figura 4.11: Menisco cónico electrificado o electrospray.

4.5.2.

Determinaci´ on de la interfase de separaci´ on entre dos fluidos no miscibles en reposo

Como se vio en 4.5.1, la ecuación de Laplace-Young relaciona el salto de presiones a través de la interfase de dos fluidos no miscibles en reposo con la curvatura media de la misma. Cuando no existen campos de fuerzas externos, o el efecto de éstos es despreciable, las presiones en ambos fluidos, pB y pA , son constantes y (4.72) proporciona 1 1 + = constante, R1 R2

(4.73)

que corresponde a superficies de curvatura constante. Si además la interfase es libre (en el sentido de que no está soportada a lo largo de ninguna l´ınea de contacto), la ecuación anterior indica que la interfase es una superficie esférica, como es el caso de peque˜ nas burbujas y gotas. La superficie de un hiperboloide de revoluci´ on es también de curvatura constante y es la forma que adopta la interfase de un volumen peque˜ no, V , de l´ıquido (puente l´ıquido) confinado entre dos placas paralelas separadas una distancia H menor que (πV )1/3 .12 En el caso más general en que los campos de fuerzas sean importantes, las distribuciones de presi´ on a cada lado de la superficie están dadas por la fluidoest´ atica, ecuación (4.42). Por ejemplo, si, como ocurre en muchas situaciones, las u ´ nicas fuerzas másicas son las gravitatorias,13 y las densidades de ambos fluidos en contacto se pueden considerar constantes, se tiene psi + ρi g zs = poi + ρi gzo

(4.74)

donde psi representa las presiones en cada una de las caras de la interfase zs , i = A, B representan las fases separadas por la interfase y poi son las presiones que hay a un lado y otro de la interfase en un punto de la misma que se toma como referencia y cuya cota es zo . Restando las dos ecuaciones (4.74) y sustituyendo (4.72) en el resultado obtenido se llega finalmente a la ecuaci´ on diferencial 12 En el caso de que la distancia entre placas se aumentara por encima del valor (πV )1/3 , el puente l´ ıquido ser´ıa inestable y resultar´ıa en dos meniscos con forma esférica anclados en cada una de las placas. 13 La generalizaci´ on a otros campos de fuerzas m´ asicas, como los asociados al sistema no inercial del sistema de referencia, es inmediata.

77

4.5. Tensión superficial que debe satisfacer la interfase 1 1 + (ρB − ρA ) g (zs − zo ) = poB − poA = constante. + ζ R1 R2

(4.75)

Dicha ecuación muestra que la forma de la interfase resulta de una competici´ on entre los efectos de la tensión superficial que, para unas condiciones de contorno dadas (volumen, ańgulos de contacto, etcétera), tienden a curvar la superficie minimizando su a´rea, y los efectos gravitatorios, que tienden a formar una interfase plana con todos sus puntos situados en la cota m´ınima (m´ınima energ´ıa potencial) compatible con las condiciones de contorno. En efecto, sea L una longitud caracter´ıstica de la interfase y, para fijar ideas, sup´ ongase que ésta posee una curvatura apreciable en el sentido de que R1−1 + R2−1 ∼ L−1 y (z − zo ) ∼ L. Debido a las fuerzas gravitatorias, el orden de magnitud del salto de presiones impuesto por las variaciones de altura de la interfase es (ρB − ρA )g(z − zo ) ∼ |ρB − ρA | g L, mientras que las sobrepresiones producidas por la tensión superficial son de orden ζ 1 1 ∼ . + ζ R1 R2 L

(4.76)

(4.77)

El n´ umero de Bond, Bo =

|ρB − ρA | g L2 , ζ

(4.78)

mide, por tanto, la importancia relativa entre las fuerzas gravitatorias y las de tensi´ on superficial. Si dicho n´ umero es muy peque˜ no, Bo 1 (condición que se da en particular cuando la longitud L es muy peque˜ na: meniscos, gotas, tubos capilares, etc., o en condiciones de ingravidez), las fuerzas de tensión superficial son dominantes y la interfase adquiere, de acuerdo con (4.75) y (4.73), una curvatura media constante. Por el contrario, si Bo 1, la interfase, de longitud caracter´ıstica L, no pueded poseer una curvatura apreciable en su mayor parte, puesto que, de otra forma, las variaciones de altura asociadas generar´ıan diferencias de presiones entre ambos fluidos del orden de | ρB − ρA | g L que, de acuerdo con la condición Bo 1, no podr´ıan ser soportadas por la tensión superficial. En este caso, por tanto, las fuerzas gravitatorias son dominantes frente a las de tensión superficial y la interfase es aproximadamente plana, zs zo , excepto, como se verá posteriormente, muy cerca de la frontera que limita la interfase donde deben cumplirse las condiciones de contorno apropiadas, lo que exige que las fuerzas de tensi´ on superficial sean comparables a las gravitatorias. Se denomina longitud capilar a la longitud para la que las fuerzas de tensión superficial y gravitatorias se hacen del mismo orden de magnitud; es decir, la longitud para la que el n´ umero de Bond es de orden unidad: ζ . (4.79) Lc = |ρB − ρA | g En el caso habitual de que uno de los fluidos (e.g. el 1) sea un gas y el otro un l´ıquido se tiene que ρB ρA = ρ, y la longitud capilar viene dada por Lc = [ζ/(ρ g)]1/2 . Para agua-aire a 20 o C Lc = 0,272 cm sobre la superficie de la Tierra. Obsérvese que cuanto menor es la gravedad mayor es la longitud capilar. Ese es el caso de l´ıquidos embarcados a bordo de satélites orbitando alrededor de la Tierra, para los que la gravedad se reduce en dos o tres o´rdenes de magnitud; en estas condiciones de gravedad reducida, el volumen de l´ıquido que puede confinarse por tensi´ on superficial es mucho mayor que en la Tierra.

78


Tensi´ on superficial dominante Considérese un tubo muy delgado (capilar) sumergido parcialmente en un l´ıquido Figura 4.12. Si el l´ıquido moja la superficie del conducto (θ < π/2), las fuerzas de tensión superficial originan

q 2a

H

Figura 4.12: Equilibrio en un capilar. una presión en el l´ıquido, justo debajo de la interfase, menor que la atmosférica, por lo que el l´ıquido asciende por el tubo hasta una altura H para la cual se restablece el equilibrio de fuerzas (naturalmente, si θ > π/2 se crea una sobrepresión debajo de la interfase que hace que el l´ıquido descienda). Se dice que el conducto es capilar si se verifica que el n´ umero de Bond es muy peque˜ no, Bo =

ρ g a2 1, ζ

(4.80)

donde a es el radio interior del conducto. En este caso, al ser las fuerzas gravitatorias despreciables, la forma de la superficie vendr´ a determinada por la ecuación 1 1 = pa − pl , + (4.81) ζ R1 R2 donde pa es la presión del aire y pl la presión en el l´ıquido justo debajo de la interfase. Obsérvese que la ecuación anterior indica que la interfase es una superficie de curvatura constante, y, por tanto, será R1 = R2 = R, es decir, un casquete esférico de radio R. Se tiene entonces 2ζ = pa − pl , R

(4.82)

2 ζ cos θ = p a − pl . a

(4.83)

que junto con cos θ = a/R proporciona

La altura H a la que asciende el l´ıquido por el capilar se calcula f´ acilmente de (4.83) y de la distribuci´ on de presiones en el l´ıquido p + ρ g z = constante. En efecto, si se toma el origen de alturas en la superficie libre del l´ıquido sin perturbar se tiene p + ρ g z = pa

y

pl = pa − ρ g H

(4.84)

y de (4.83) y (4.84) se tiene H=

2 ζ cos θ . ρga

(4.85)

79

4.5. Tensión superficial Gravedad dominante

Considérese el problema de determinar la superficie de separación aire-agua de un volumen V de l´ıquido contenido en un dep´ osito cil´ındrico, abierto a la atm´ osfera, de radio R grande comparado con la longitud capilar (ζ/ρ g)1/2 , Figura 4.13. La ecuación diferencial que satisface la superficie L

q 0 (Öz/gr)

H

z r

Figura 4.13: Depósito bidimensional de dimensiones grandes comparadas con la longitud capilar. libre es ζ ∇ · n − ρ g zs = C,

(4.86)

o en coordenadas cil´ındricas ζ

1 d z˙s − ρ gzs = C, r r d r (1 + z˙s2 )1/2

(4.87)

donde F (r, z) ≡ zs (r) − z = 0 es la posición de la interfase.14 Puesto que la ecuación diferencial (4.87) es de segundo orden y que C en (4.87) es desconocida, hay que imponer tres condiciones para determinar la soluci´ on. As´ı, la interfase debe ser simétrica y formar con la pared un ańgulo que sea igual al ángulo de contacto θ, z˙s (0) = 0 ,

z˙s (R) = cot θ;

(4.88)

la condición de que el volumen de l´ıquido sea V completa las condiciones

R

2 π r zs (r) d r = V.

(4.89)

0

A distancias de la pared del dep´ osito grandes comparadas con la longitud capilar, las fuerzas gravitatorias son dominantes y el primer sumando del primer miembro de la ecuaci´ on (4.87) es despreciable. La solución es entonces zs = −C/(ρ g), y de la condici´ on (4.89) se obtiene zs = ρ g V /(π R2 ) = ρ g H, donde H es la altura de la superficie libre. Naturalmente, la soluci´ on zs = H no es válida en una regi´ on muy estrecha (capa l´ımite) adyacente a la pared cuyo espesor es, como veremos, del orden de la longitud capilar y donde, como se ha se˜ nalado más arriba, las fuerzas de tensión superficial se hacen tan importantes como las fuerzas gravitatorias. Para obtener la forma 14

V´ ease el pie de p´ agina 9.


80

de la interfase en la capa l´ımite cerca de la pared es conveniente escribir las ecuaciones en términos de las variables adimensionales ξ=

R−r

y

η=

zs − H ,

(4.90)

donde , que tiene dimensiones de longitud, es mucho menor que R y debe escogerse de forma que, en una región de orden adyacente a la pared del dep´ osito, las fuerzas de tensión superficial sean del mismo orden que las gravitatorias. Sustituyendo (4.90) en (4.87) y (4.88) y escogiendo = ζ/(ρ g) se obtiene

η¨ d η˙ −η = − η = 0, (4.91) d ξ (1 + η˙ 2 )1/2 (1 + η˙ 2 )3/2 junto con las condiciones η(∞) ˙ = 0,

η(0) ˙ = − cot θ.

(4.92)

Obsérvese que al ser la capa capilar de la pared tan delgada (del orden de la longitud capilar, mucho menor que el radio), el problema matemático se ha convertido en un problema plano como muestra la ecuación (4.91); por otra parte, tomando como unidad la longitud capilar el eje del recipiente cil´ındrico se encuentra muy lejos de la pared (en primera aproximaci´ on en el infinito) como se expresa en la primera de las condiciones (4.92). Multiplicando la ecuaci´ on (4.91) por η, ˙ integrando una vez e imponiendo la primera de las condiciones (4.92) se obtiene 1 η2 = 1. + (4.93) 2 1/2 2 (1 + η˙ ) Obsérvese que si se impone en (4.93) la condición de contorno en la pared se obtiene inmediatamente la altura que en ella alcanza la interfase, η(0) =

ρ g (zs − H) = ± 2(1 − sen θ), ζ

(4.94)

donde el signo + (−) se aplica si θ < π/2 (θ > π/2). Además, si se despeja η˙ de (4.93) y se separan variables en la ecuación diferencial resultante se obtiene la relación η 2 − η2 dη (4.95) ξ= 2 η(0) η 4 − η donde acilmente mediante el cambio de variable la integral del segundo miembro puede integrarse f´ y = 4 − η 2 ; llevando a cabo la integraci´ on se obtiene la ecuación de la interfase η(ξ) en la capa de la pared 2 − 2(1 + sen θ) 1 2 + 4 − η2 2 . ξ = 2(1 + sen θ) − 4 − η + ln 2 2 + 2(1 + sen θ) 2 − 4 − η 2

(4.96)

Para la resolución de este problema se ha hecho uso de la técnica de los desarrollos asintóticos acoplados, extensamente empleada en la Mecánica de Fluidos. Aqu´ı, se ha explotado el hecho de que las fuerzas de tensión superficial son poco importantes cuando uno se aleja a varias distancias de la pared y la superficie libre es por tanto plana, mientras que existe una capa muy delgada adyacente a la pared donde los efectos de tensión superficial se hacen importantes y deben retenerse.

4.5. Tensión superficial

Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004. L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press, Oxford, 1987.

81

Cap´ıtulo 5

Ecuaciones generales de la Mec´ anica de Fluidos 5.1.

Introducci´ on

Se deducirán en lo que sigue las ecuaciones generales de los movimientos fluidos tanto en forma diferencial, denominadas ecuaciones de Navier-Stokes, como en forma integral. Dichas ecuaciones se obtienen a partir de los principios de conservaci´ on de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa aplicados a vol´ umenes fluidos. En primer lugar se obtendr´ an las ecuaciones en forma diferencial mediante la aplicación de dichos principios a vol´ umenes fluidos infinitesimales. Posteriormente se extenderán los principios de conservaci´ on a vol´ umenes fluidos finitos, lo que dar´ a lugar a ecuaciones en forma integral que resultan u ´tiles para obtener informaci´ on de cantidades f´ısicas globales (variaci´ on de la masa, fuerza sobre un obstáculo, etc.) en determinados problemas fluidomecánicos. Las ecuaciones de conservación en forma diferencial expresan las relaciones entre las derivadas espaciales y temporales de las variables fluidas que, de acuerdo con los principios de conservación, deben verificarse en cada instante de tiempo y en cada punto fijo del espacio que pertenezca al dominio fluido. Para su deducci´ on se considerará un volumen fluido infinitesimal (part´ıcula fluida) que en el instante t ocupa una regi´ on d Ωf (t) limitada por la superficie fluida d Σf (t) como se = τ muestra en la Figura 5.1. Si n, y v son la normal exterior unitaria, el tensor de esfuerzos y la velocidad en un punto cualquiera de la superficie fluida d Σf (t), la fuerza ejercida y la potencia que ésta realiza sobre la unidad de superficie de orientaci´ on n que pasa por dicho punto son res=

=

=

=

pectivamente n· τ = −p n + n· τ y n· τ ·v = −p v · n + n· τ ·v. Análogamente, si ρ, fm y v son la densidad, el vector de fuerzas másicas y la velocidad en un punto cualquiera del interior de d Ωf (t), la fuerza másica que act´ ua sobre la unidad de volumen que contiene a dicho punto es ρ fm y ρ fm · v es la potencia realizada por dicha fuerza. Asimismo, si q es el vector flujo de calor en un punto de d Σf (t), el calor por conducción que recibe la part´ıcula fluida en la unidad de tiempo a través de la unidad de superficie que pasa por dicho punto es −q·n; por generalidad, se considerar´ a además que la unidad de volumen que contiene a un punto del interior de d Ωf (t) recibe en la unidad de tiempo un calor por radiaci´ on, Qr , y un calor por reacci´ on qu´ımica Qq . Sin embargo, la cuantificaci´ on de Qr y Qq como función de las variables termodin´ amicas de estado no se abordará en este libro por corresponder a disciplinas más especializadas que estudian la interacción radiaci´ on-materia y la dinámica de flujos reactantes (gases a altas temperaturas y combustión). 83

Cap´ıtulo 5. Ecuaciones generales de la Mecánica de Fluidos

84

5.1.1.

Principio de conservaci´ on de la masa. Ecuaci´ on de continuidad

El principio de conservaci´ on de la masa establece que la variación con el tiempo de la masa contenida en un volumen fluido es nula. Para obtener la forma diferencial de dicho principio considérese el volumen fluido infinitesimal de la Figura 5.1. Se debe cumplir entonces: D D(ρ d Ω) ρd = = 0, (5.1) D t dΩf (t) Dt donde d Ω es el volumen de la región d Ωf (t). Para obtener la ecuación (5.1) se ha tenido en

d S d W f

(t)

(t) f

q n v

Q r

, Q q

v x

r f

n t= = - p n + n t= ´

m

Figura 5.1: Acciones dinámicas y energéticas locales en puntos genéricos de la superficie y del volumen de una part´ıcula fluida que en el instante t se encuentra en el entorno de un punto fijo x. cuenta que, debido a las dimensiones infinitesimales de la región de integraci´ on, el integrando puede evaluarse, salvo infinitésimos de orden superior, en el punto x. Desarrollando la derivada sustancial y teniendo en cuenta que, como se vio en (3.45), D(d Ω)/D t = ∇ · v d Ω, la ecuación (5.1) se escribe Dρ + ρ ∇ · v = 0, (5.2) Dt o también ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0. (5.3) ∂t La ecuación (5.2), o la (5.3), se denomina ecuación de continuidad, o ecuaci´ on de conservación de la masa en forma diferencial. El primer sumando de (5.3) expresa la variaci´ on con el tiempo de la masa contenida en la unidad de volumen, y el segundo sumando representa el flujo de masa que por convección abandona la unidad de volumen. En el movimiento estacionario de gases, la ecuación de continuidad se reduce a ∇ · (ρ v) = 0,

(5.4)

que expresa que el flujo convectivo neto de masa a través de la superficie que encierra la unidad de volumen es nulo. Para l´ıquidos, que como es sabido se comportan como fluidos incompresibles

85

5.1. Introducci´ on en la mayor´ıa de las situaciones prácticas (ρ constante), se tiene ∇ · v = 0,

(5.5)

que es la ecuación de continuidad para un fluido incompresible. Obsérvese que ∇ · v es la velocidad de dilatación c´ ubica unitaria, y debe ser nula para un fluido incompresible [véase la ecuación (3.46)].

5.1.2.

Ecuaci´ on de cantidad de movimiento

El principio de conservaci´ on de la cantidad de movimiento, o segunda ley de Newton, aplicada a un volumen fluido expresa que la variaci´ on con el tiempo de su cantidad de movimiento es igual a la resultante de todas las fuerzas, de superficie y másicas, que act´ uan sobre él. La resultante de las fuerzas de superficie que act´ uan sobre el volumen fluido infinitesimal de la Figura 5.1 es = = = (5.6) n· τ d σ = ∇· τ d = ∇· τ d Ω, d Σf (t)

d Ωf (t)

donde la integral de superficie se ha transformado en una integral de volumen mediante el teorema de Gauss, y se ha evaluado ésta tomando el integrando constante, salvo infinitésimos de orden = superior, e igual a su valor en el punto x. Como se vio en la Sección 4.3, ∇· τ representa la resultante de las fuerzas de superficie que en el instante t act´ uan sobre la unidad de volumen que contiene al punto x. Análogamente, la resultante de las fuerzas másicas es ρ fm d = ρ fm d Ω. (5.7) d Ωf (t)

Finalmente, la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de movimiento de la part´ıcula fluida se expresa como D D(ρ v d Ω) Dv ρvd = =ρ d Ω; (5.8) D t d Ωf (t) Dt Dt obsérvese que se ha hecho uso de la constancia de la masa de un volumen fluido [ecuación (5.1)] para obtener la forma final de (5.8). La segunda ley de Newton exige, por tanto, el cumplimiento en cada instante y en cada punto fijo del dominio fluido de la ecuaci´ on ρ o también ρ

Dv = = ∇· τ +ρ fm , Dt

(5.9)

= Dv ∂v =ρ + ρ v · ∇ v = −∇ p + ∇· τ +ρ fm , Dt ∂t =

=

(5.10) =

donde se ha tenido en cuenta la descomposición usual del tensor τ = −p I + τ y = ∂(−p δij ) ∂τ ij ∂p ∂τ ij + =− + = [−∇p + ∇· τ ]j . ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi

La ecuación (5.10) dividida por ρ expresa que la aceleración de la unidad de masa es igual a la resultante de las fuerzas, de superficie (presión y viscosidad) y másicas que act´ uan sobre ella. Una interpretaci´ on alternativa se obtiene sumando a la ecuación (5.10) la de continuidad multiplicada por v, se obtiene entonces = ∂(ρ v) + ∇ · (ρ v v) = −∇ p + ∇· τ +ρ fm , ∂t

(5.11)


86

que expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de movimiento contenida en la unidad de volumen de fluido m´ as el flujo convectivo de cantidad de movimiento que la abandona a través de su superficie es igual a la resultante sobre la unidad de volumen de las fuerzas de presi´ on, viscosidad y másicas. La ley de Navier-Poisson permite escribir la ecuación (5.10) en la forma ρ

= Dv 2 = −∇ p + ∇ · (2 µ γ ) + ∇[(µv − µ)∇ · v] + ρ fm . Dt 3

(5.12)

Obsérvese que en un movimiento fluido donde las fuerzas de viscosidad sean despreciables, las másicas deriven de un potencial, fm = −∇U , y, además, el movimiento sea barótropo (∇ω = ∇p/ρ, véase 4.5.1), la aceleración deriva de un potencial Dv = −∇(ω + U ). Dt

(5.13)

Se demostrará más adelante que si se verifica (5.13) y el movimiento es inicialmente irrotacional, permanece irrotacional (la velocidad deriva de un potencial) en cualquier instante posterior. Esto es debido a que si se verifican las condiciones que dan lugar a (5.13) no existe ning´ un mecanismo f´ısico (fuerzas o pares de fuerzas) que cambien el momento cinético (velocidad angular, vorticidad) de las part´ıculas fluidas. La ecuación (5.12) puede simplificarse en el caso en que los coeficientes de viscosidad sean independientes de la temperatura como sucede en muchas situaciones de interés práctico en los que las diferencias de temperaturas son despreciables y los coeficientes de viscosidad pueden considerarse constantes con gran aproximaci´ on. Para l´ıquidos de viscosidad constante se tiene ∂ τij ∂ vi ∂ 2 vj ∂ ∂ vj =µ =µ + , (5.14) ∂ xi ∂ xi ∂ xj ∂ xi ∂ x2i =

o ∇· τ = µ ∇2 v y, en el caso de que las fuerzas másicas deriven de un potencial, fm = −∇ U , la ecuación (5.12) se escribe Dv ρ (5.15) = −∇(p + ρ U ) + µ ∇2 v. Dt Obsérvese que la presión reducida p + ρ U juega en esta situación el mismo papel en el movimiento que la presión estática (termodinámica) p en ausencia de fuerzas másicas.

5.1.3.

Ecuaci´ on de la energ´ıa

El principio de conservaci´ on de la energ´ıa expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa total (interna m´ as cinética) contenida en un volumen fluido es igual al trabajo por unidad de tiempo (potencia) de las fuerzas de superficie y másicas que act´ uan sobre él, más el calor que recibe en la unidad de tiempo por conducci´ on, radiaci´ on y reacción qu´ımica. Para obtener la forma diferencial de este principio considérese de nuevo el volumen fluido infinitesimal de la Figura 5.1. El trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de superficie y m´ asicas que en el instante t act´ uan sobre el volumen fluido es = n· τ ·v d σ + ρ fm · v d = d Σf (t)

=

d Ωf (t) =

[∇ · ( τ ·v) + ρ fm · v]d = [∇ · ( τ ·v) + ρ fm · v]d Ω. d Ωf (t)

(5.16)

87

5.1. Introducci´ on Asimismo, el calor total aportado al volumen fluido en la unidad de tiempo viene dado por −n · q d σ + (Qr + Qq ) d = d Σf (t)

d Ωf (t)

(−∇ · q + Qr + Qq )d = (−∇ · q + Qr + Qq ) d Ω.

(5.17)

d Ωf (t)

La variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa total contenida en el volumen fluido es D D (e + v 2 /2) D ρ (e + v 2 /2) d = [ρ (e + v 2 /2) d Ω] = ρ d Ω. D t dΩf (t) Dt Dt

(5.18)

El principio de conservaci´ on de la energ´ıa se escribe entonces: ρ

D (e + v 2 /2) = = ∇ · ( τ ·v) + ρ fm · v − ∇ · q + Qr + Qq , Dt

(5.19)

ecuación que dividida por ρ expresa que la variaci´ on con el tiempo que experimenta en su movimiento la energ´ıa total de la unidad de masa de fluido es igual a la potencia realizada por las fuerzas de superficie y másicas que act´ uan sobre ella más los calores que, por unidad tiempo, recibe por conducción, radiaci´ on y reacción qu´ımica. Si a la ecuación (5.19) se le suma la de continuidad (5.3) multiplicada por (e + v 2 /2), y se tiene =

=

=

en cuenta la descomposición τ = −p I + τ y la Ley de Fourier q = −K ∇ T , se obtiene la ecuación = v2 ∂ v = −∇ · (p v) + ∇ · (τ ·v)+ [ρ(e + v 2 /2)] + ∇ · ρ e + ∂t 2 ρ fm · v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq ,

(5.20)

que expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa total contenida en la unidad de volumen más el flujo convectivo de energ´ıa total que la abandona es igual a la potencia que sobre él realizan las fuerzas de presión, viscosidad y másicas más los calores por unidad de tiempo que se le aportan por conducción, radiaci´ on y reacción qu´ımica. Para obtener un conocimiento m´ as profundo de la ecuaci´ on de la energ´ıa y del papel que juega cada uno de los términos involucrados en ella, conviene desglosar dicha ecuación en otras dos que gobiernan las energ´ıas interna y mecánica y desarrollar, utilizando las ecuaciones termodin´ amicas de estado, formas alternativas de las ecuaciones de la energ´ıa interna y total que pueden ser u ´tiles dependiendo de la naturaleza del problema fluidomec´ anico analizado. Por ejemplo, la energ´ıa mecánica se obtiene multiplicando escalarmente la ecuación de cantidad de movimiento (5.10) por la velocidad v = D(v 2 /2) ρ (5.21) = −v · ∇ p + v · (∇· τ ) + ρ fm · v; Dt esta ecuación dividida por ρ expresa que la variaci´ on con el tiempo que experimenta en su movimiento la energ´ıa cinética de la unidad de masa es igual a la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre ella multiplicada escalarmente por la velocidad del punto al que se asigna su posici´ on (por ´ ejemplo, su centro de gravedad). Este ser´ıa el trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas que act´ uan sobre la unidad de masa si toda la part´ıcula se trasladara en el instante considerado con dicha velocidad, v(x, t), como un sólido r´ıgido (es decir, con velocidad uniforme). Naturalmente, éste no es todo el trabajo de las fuerzas de superficie, ya que la part´ıcula fluida se deforma bajo la acción de estas fuerzas que son responsables del trabajo de deformación. Este trabajo adicional junto con el calor recibido se invierte en variar la energ´ıa interna de la part´ıcula fluida. En efecto,


88

si a la ecuación de la energ´ıa total (5.19) se le resta la ecuación de la energ´ıa mecánica (5.21) se obtiene la ecuación de la energ´ıa interna ρ

= De = −p ∇ · v+ τ : ∇ v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq , Dt

(5.22)

que, dividida por ρ expresa que a la variaci´ on con el tiempo que experimenta en su movimiento la energ´ıa interna de la unidad de masa contribuyen los calores por unidad de tiempo recibidos por conducción, radiaci´ on y reacción qu´ımica y los trabajos por unidad de tiempo y masa: de =

compresión, −(p/ρ) ∇·v, y de deformación de las fuerzas de viscosidad (1/ρ) τ : ∇ v. Es interesante observar que los trabajos de deformación de las fuerzas de superficie, por ser funci´ on de derivadas de la velocidad, no dependen del movimiento del sistema de referencia, al contrario de lo que sucede con los trabajos mecánicos de dichas fuerzas, que dependen de la velocidad del fluido y, por tanto, del movimiento del sistema de referencia elegido. Si en (5.22) se introduce la expresión e = h − p/ρ y se hace uso de la ecuación de continuidad (5.3), se obtiene la ecuación de la entalp´ıa ρ

Dh D p = = + τ : ∇ v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq . Dt Dt

(5.23)

La ecuación de la entalp´ıa total o de remanso, h + v 2 /2, se obtiene sumando a (5.23) la ecuación de la energ´ıa mecánica (5.21) ρ

= D(h + v 2 /2) ∂p = ρ fm · v + + ∇ · (τ ·v) + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq . Dt ∂t

(5.24)

Obsérvese que si las fuerzas másicas derivan de un potencial, fm = −∇ U , y se suma el término ρ ∂ U /∂ t a los dos miembros de la ecuación (5.24), se obtiene ρ

= D(h + v 2 /2 + U ) ∂p ∂U = +ρ + ∇ · (τ ·v) + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq , Dt ∂t ∂t

(5.25)

ecuación que expresa que en un movimiento estacionario, sin adici´ on de ning´ un tipo de calor y si el trabajo de las fuerzas de viscosidad es despreciable, la cantidad h + v 2 /2 + U se mantiene constante a lo largo de las l´ıneas de corriente del movimiento fluido. Finalmente la ecuación de la entrop´ıa puede obtenerse haciendo uso de la primera ley de la Termodinámica para fluidos localmente en equilibrio T

DS De D(1/ρ) = +p , Dt Dt Dt

(5.26)

y de la ecuación de continuidad (5.2). La ecuaci´ on de la entrop´ıa se escribe ρT

D S = =τ : ∇ v + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq . Dt

(5.27)

Esta ecuación indica que la entrop´ıa de una part´ıcula fluida aumenta debido al calor que recibe por conducción, radiaci´ on y reacción qu´ımica y al trabajo de deformaci´ on de las fuerzas de viscosidad. Es fácil demostrar que este trabajo, que representa la energ´ıa mecánica disipada en calor, no puede ser negativo. En efecto, teniendo en cuenta que ∂ vi /∂ xj = γij + ξij , la ley de Navier-Poisson τij = 2 µ γij + (µv − 2 µ/3)∇ · v δij y que τij ξij = 0 por la doble contracci´ on de un tensor simétrico con uno antisimétrico, se obtiene = 2 τ : ∇v = τij γij = 2 µ γij γij + µv − µ (∇ · v)2 ≥ 0, (5.28) 3

5.2. Consideraciones generales sobre las ecuaciones de Navier-Stokes

89

donde se ha usado la igualdad γij δij = γii = ∇ · v. Por otra parte, el segundo miembro de (5.28) es positivo o nulo, ya que 2 µ γij γij ≥ 32 µ(∇ · v)2 como se comprueba si se escribe 2 γij = ∂ vi /∂ xj + ∂ vj /∂ xi y se desarrolla la doble contracci´ on. Finalmente, si se divide (5.27) por la temperatura y se suma a la ecuación resultante la de continuidad multiplicada por S se obtiene ∂ (ρ S) + ∇ · (ρ S v) = ∇ · ∂t

K ∇T T

=

τ : ∇ v K|∇ T |2 Qr + Qq , + + + T T T2

(5.29)

donde se ha tenido en cuenta que [∇·(K ∇ T )]/T = ∇·(K ∇ T /T )+K|∇ T |2 /T 2 . La ecuación (5.29) relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la entrop´ıa contenida en la unidad de volumen con las variaciones debidas al flujo de entrop´ıa que por convecci´ on la abandona, a los calores por unidad de tiempo recibidos por conducci´ on, radiaci´ on y reacción qu´ımica, y a la contribuci´ on (nunca negativa) de los procesos de disipación de energ´ıa mecánica en calor (fricción) y de conducción de calor asociados a gradientes de velocidades y temperaturas en el interior de la unidad de volumen respectivamente.

5.2. 5.2.1.

Consideraciones generales sobre las ecuaciones de Navier-Stokes Resumen de las ecuaciones de Navier-Stokes

Como se vio en la sección anterior, el movimiento más general de un fluido homogéneo en composición, viscoso y newtoniano está gobernado por el sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0, (5.30) ∂t = ∂v (5.31) ρ + ρ v · ∇ v = −∇ p + ∇· τ +ρ fm , ∂t = ∂e ρ (5.32) + ρ v · ∇ e = ∇ · (K ∇ T ) − p ∇ · v+ τ : ∇ v + Qr + Qq , ∂t donde 2 τij = 2µ γij + µv − µ ∇ · v δij , (5.33) 3 y 1 ∂ vi ∂ vj γij = . (5.34) + 2 ∂ xj ∂ xi El sistema no lineal (5.30) - (5.34) de cinco ecuaciones en derivadas parciales para el cálculo de la densidad ρ, de las tres componentes de la velocidad v, y de la energ´ıa interna e, contiene dos incógnitas adicionales: la presión p y la temperatura T . Para cerrar el sistema se a˜ naden las ecuaciones de estado: T = T (e, ρ), (5.35) p = p(e, ρ),

(5.36)

y se especifican además los coeficientes µ(T, ρ), µv (T, ρ) y K(T, ρ). En el supuesto de un fluido incompresible (ρ = constante) con µ, µv y K constantes, las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a ∇ · v = 0,

(5.37)


90 ρ

∂v + ρv · ∇v = −∇p + µ∇2 v + ρfm , ∂t

== ∂e + ρ v · ∇ e = 2µ γ :γ +K ∇2 T + Qr + Qq , ∂t junto con la ecuación de estado T c(T ) d T. e − eo =

ρ

(5.38) (5.39)

(5.40)

To

Como se ve, si la densidad del fluido es constante, no sólo se reduce en una unidad el n´ umero de incógnitas de las ecuaciones del movimiento, sino que, además, se desacoplan los fenómenos puramente mecánicos de los térmicos (para el cálculo de la presión y de la velocidad bastan la ecuación de continuidad y las tres de cantidad de movimiento); una vez determinado el campo de velocidades, la ecuación de la energ´ıa junto con la ecuación de estado permite el cálculo del campo de temperaturas. Si se desprecia la variación del calor espec´ıfico con la temperatura (l´ıquido perfecto), la ecuación de la energ´ıa es lineal en T : ρc

== ∂T + ρ c v · ∇ T = 2µ γ :γ +K∇2 T + Qr + Qq . ∂t

(5.41)

En el Apéndice 5.I se detalla la forma de las ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas y en el 5.II se generalizan las ecuaciones de Navier-Stokes al caso de mezclas reactantes.

5.2.2.

Condiciones iniciales y de contorno

Para que un problema fluidomec´ anico quede determinado es necesario fijar las condiciones iniciales y de contorno que corresponden al mismo. El sistema de ecuaciones es de segundo orden en las derivadas espaciales de la velocidad y de la temperatura y de primer orden en las restantes, siendo las derivadas temporales de primer orden. Por lo tanto, es en general necesario imponer dos condiciones de contorno para la velocidad y la temperatura, y una condici´ on de contorno para el resto de las variables, as´ı como una condición inicial para la velocidad y para dos variables termodinámicas si el fluido es homogéneo en composición. Como se verá en lo que sigue, dichas condiciones de contorno pueden revestir formas muy variadas por lo que respecta a la velocidad, presi´ on y temperatura. Por ejemplo, en problemas no estacionarios, se puede imponer el campo de velocidades, densidades y temperaturas en el instante inicial (si el fluido fuese incompresible, el campo inicial de velocidades tiene que ser necesariamente solenoidal, ∇ · v = 0) siempre que el problema cuya solución se busca no tenga condiciones de contorno estacionarias o periódicas. Si las condiciones de contorno son estacionarias o periódicas y se busca una solución estacionaria o periódica no se pueden imponer, en general, condiciones iniciales. Cuando el fluido cuyo movimiento se estudia es ilimitado, se requiere conocer sus condiciones en el infinito, especificando all´ı la velocidad y dos magnitudes termodin´ amicas, por ejemplo, la presi´ on y temperatura en el caso de l´ıquidos, y dos cualesquiera independientes en el caso de gases. Cuando el fluido esté limitado por una pared s´ olida impermeable deberán cumplirse sobre ésta unas condiciones cinemáticas y energéticas. Se impondrá, de acuerdo con la experiencia, la condici´ on de adherencia; es decir, la velocidad del fluido en contacto con la pared s´ olida es igual a la velocidad de la pared. También se supondrá que la temperatura del fluido en contacto con la pared es la temperatura de la pared: v = vs ,

T = Ts .

(5.42)

5.3. Ecuaciones de conservación en forma integral

91

Además, si la superficie de la pared sólida no absorbe ni emite calor por radiaci´ on, el balance energético en la superficie demuestra que el calor que sale de la superficie hacia el fluido por conducción es el mismo que el que llega desde el sólido ∂T ∂T q · n = −K = qs · ns = −Ks , (5.43) ∂n fluido ∂n sólido donde n es la normal a la superficie dirigida hacia el fluido, y K y Ks son las conductividades térmicas en el fluido y en el sólido respectivamente. Se denomina pared adiab´ atica a la formada por un material cuya conductividad térmica Ks es lo suficientemente peque˜ na para poder suponer (∂T /∂n)fluido = 0. Obsérvese que si las condiciones de contorno que determinan el campo de temperaturas son del tipo Dirichlet (se especifica la temperatura en el contorno del dominio fluido; por ejemplo, en la pared del s´ olido y en el infinito) la condici´ on (5.43) determina el flujo de calor en la pared. Por el contrario, si se especifican condiciones mixtas (Neumann y Dirichlet: temperatura en parte del contorno y flujo de calor en el resto; por ejemplo, flujo de calor en el sólido y temperatura en el infinito) la condici´ on (5.42) determina la temperatura de la pared s´ olida. Cuando el fluido est´ a limitado por otro fluido no miscible con él, en la entrefase fluido-fluido se cumplen unas condiciones cinemáticas, dinámicas y energéticas. Respecto a las cinemáticas, además de la igualdad de velocidades de ambos fluidos en cada punto de la entrefase, hay que especificar que ésta es una superficie fluida y, por tanto, si f (x, t) = 0 es la ecuación que define dicha superficie en el instante t, f deberá verificar la ecuación ∂f + v · ∇ f = 0. ∂t

(5.44)

Además, el equilibrio termodin´ amico local exige igualdad de temperaturas de los dos fluidos en cada punto de la entrefase. También, los flujos de calor a ambos lados de la superficie deben ser iguales si ésta no absorbe ni emite calor. Como condición din´ amica hay que imponer que los saltos de las componentes normal y tangencial del esfuerzo a través de la entrefase deben satisfacer las condiciones (4.70) y (4.71).

5.3.

Ecuaciones de conservaci´ on en forma integral

Sucede en muchas situaciones de interés práctico que no es necesario el conocimiento detallado (local) del campo fluido definido por las ecuaciones de Navier-Stokes, sino que basta con un conocimiento de magnitudes globales asociadas al movimiento fluido (caudal, fuerza resultante sobre un obstáculo, potencia obtenida del fluido o comunicada al mismo, etcétera). Si se posee información suficiente sobre algunas magnitudes globales en la frontera y/o en el interior del dominio fluido, es posible calcular las restantes magnitudes de interés mediante balances integrales de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. Estos balances se formulan a continuaci´ on haciendo uso del teorema del transporte de Reynolds (3.26) que permite generalizar a cualquier volumen de control los principios de conservación de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa para un volumen fluido finito. El principio de conservaci´ on de la masa en forma integral se escribe D d ρd = ρd + ρ(v − vc ) · n d σ = 0, (5.45) D t Ωf (t) d t Ωc (t) Σc (t) que expresa que la variaci´ on con el tiempo de la masa contenida en un volumen fluido finito es nula o, lo que es lo mismo, la variaci´ on en la unidad de tiempo de la masa contenida en el volumen de control Ωc (t) que en el instante t coincide con el volumen fluido m´ as el flujo convectivo neto de masa a través de su superficie Σc (t) es igual a cero.


92

An´ alogamente, la segunda ley de Newton para un volumen de control variable con el tiempo se escribe = d ρvd + ρ v(v − vc ) · n d σ = (−p n + n· τ )d σ + ρ fm d , (5.46) d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t) Ωc (t) y relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la cantidad de movimiento contenida en el volumen de control con el flujo de cantidad de movimiento que por convecci´ on abandona el volumen a través de su superficie y la resultante de las fuerzas de presión, viscosidad y másicas que en el instante considerado act´ uan sobre él. Asimismo, la Mecánica ense˜ na que la variaci´ on con el tiempo del momento cinético de un sistema es igual al momento de las fuerzas que act´ uan sobre él, por lo que para el volumen Ωc (t) se tiene d = ρ x × v d + ρ x × v(v−vc )·n d σ = x × n· τ d σ+ x × ρ fm d . (5.47) d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t) Ωc (t) donde x representa el vector de posición relativo al punto respecto al cual se toman momentos. En el caso de l´ıquidos resulta de utilidad en muchos casos la forma integral de la ecuaci´ on de energ´ıa mecánica, que resulta de (5.21) teniendo en cuenta que −v · ∇ p = ∇ · (−p v), al ser =

=

=

∇ · v = 0, y, v · ∇· τ = ∇ · (τ ·v)− τ : ∇ v; para un volumen de control variable con el tiempo se obtiene la ecuación = d 1 2 1 2 ρv d + ρv (v − vc ) · n d σ = (−p v · n + n· τ ·v)d σ− d t Ωc (t) 2 Σc (t) 2 Σc (t)

=

τ : ∇vd + Ωc (t)

ρ fm · v d ,

(5.48)

Ωc (t)

que relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa mecánica contenida en el volumen de control con el flujo de energ´ıa mecánica que por convecci´ on abandona dicho volumen, con la potencia realizada por las fuerzas de superficie y másicas, y con la energ´ıa mecánica disipada por las fuerzas de viscosidad. Finalmente, la forma general del principio de conservaci´ on de la energ´ıa para un volumen de control variable con el tiempo se expresa d = 2 2 ρ(e + v /2) d + ρ(e + v /2)(v − vc ) · n d σ = n· τ ·vd σ+ d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t)

ρ fm · v d − Ωc (t)

q · ndσ + Σc (t)

(Qr + Qq )d .

(5.49)

Ωc (t)

Esta ecuación relaciona la variaci´ on de la energ´ıa total en el interior del volumen de control con el flujo de energ´ıa total que por convecci´ on lo abandona a través de su superficie, con los trabajos por unidad de tiempo de las fuerzas de superficie y m´ asicas, y los calores por unidad de tiempo aportados por conducci´ on, radiaci´ on y reacción qu´ımica. Una expresión alternativa a (5.49), que resulta particularmente u ´til en procesos estacionarios, se obtiene sin más que desdoblar el trabajo de las fuerzas de superficie por unidad de a´rea y tiempo, en el debido a las fuerzas de presión y a =

=

las de viscosidad, n· τ ·v = −p n · v + n· τ ·v y utilizar la variable entalp´ıa h = e + p/ρ; se llega entonces a la ecuación d ρ(e + v 2 /2)d + ρ(h + v 2 /2) (v − vc ) · n d σ = d t Ωc (t) Σc (t)

93

5.4. Métodos de estudio de los problemas fluidomecánicos

−p vc · n d σ +

Σc (t)

=

n· τ ·v d σ +

Σc (t)

ρ fm · v d + Ωc (t)

K ∇T · ndσ + Σc (t)

(Qr + Qq ) d ,

(5.50)

Ωc (t)

donde se ha hecho uso de la Ley de Fourier q = −K ∇ T . La integral de superficie del primer miembro de (5.50) representa el flujo de entalp´ıa total a través de las paredes del volumen de control que, además del flujo convectivo de energ´ıa cinética, contiene impl´ıcitamente el flujo convectivo de energ´ıa interna y el trabajo por unidad de tiempo realizado por las fuerzas de presi´ on sobre el fluido que entra o abandona el volumen de control (trabajo de flujo); la primera integral del segundo miembro representa el trabajo de las fuerzas de presión asociado al movimiento de las paredes móviles del volumen de control considerado. Como se ha visto, las ecuaciones de Navier-Stokes generalizan la expresión del primer principio de la Termodinámica para incluir los efectos asociados a los movimientos irreversibles de los fluidos. Esta generalización, que hace uso de la hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local, contiene el segundo principio de la Termodin´ amica que se expresa aqu´ı en forma cuantitativa para cualquier sistema, y no simplemente como una condición de variaci´ on creciente o nula de la entrop´ıa de un sistema aislado térmicamente. Para ilustrar lo anterior se obtendr´ a a continuaci´ on la expresión del segundo principio de la Termodin´ amica para un sistema finito y homogéneo en composición. En efecto, si se integra la ecuación (5.29) para un volumen fluido finito y se hace uso del Teorema del Transporte de Reynolds se obtiene d K ∇T · n dσ ρS d + ρ S(v − vc ) · n d σ = d t Ωc (t) T Σc (t) Σc (t)  = 2 K|∇ T | Qr + Qq τ : ∇ v  d .  d + + + (5.51) T T T2 Ωc (t) Ωc (t) Esta ecuación relaciona la variaci´ on en la unidad de tiempo de la entrop´ıa contenida en el volumen de control con las variaciones debidas al flujo de entrop´ıa que por convecci´ on abandona dicho volumen a través de su superficie, a los calores por conducción, radiaci´ on y reacción qu´ımica recibidos, y a los procesos de fricción y conducción de calor que tienen lugar en el interior del volumen de control. Esta u ´ltima contribuci´ on, representada matemáticamente por el u ´ltimo término (nunca negativo) de (5.51), representa matemáticamente el aumento de entrop´ıa debido a gradientes internos de velocidades y temperaturas existentes en cualquier proceso irreversible. Se deduce de (5.51) que en un sistema cerrado (no intercambia masa con el exterior) y adiab´ atico (no recibe ni cede calor por conducción, radiaci´ on ni reacción qu´ımica) la entrop´ıa sólo puede aumentar o, si el sistema se encuentra en equilibrio termodinámico (gradientes nulos), permanecer constante en el tiempo. Si inicialmente las distribuciones de velocidades y temperaturas en el interior del sistema no son uniformes, se originan procesos irreversibles de fricción y conducción de calor que aumentan su entrop´ıa y tienden a llevarlo a un estado de equilibrio termodin´ amico global, con valores uniformes de la velocidad y de la temperatura, que se corresponde con un m´ aximo de entrop´ıa, (d/d t) Ωc (t) ρ S d = 0. En el Apéndice 5.III se generalizarán para sistemas fuera del equilibrio algunos resultados conocidos de la Termodin´ amica del equilibrio.

5.4.

M´ etodos de estudio de los problemas fluidomec´ anicos

Como se ha visto anteriormente, el movimiento más general de un fluido viscoso newtoniano está determinado por un sistema no lineal de cinco ecuaciones en derivadas parciales, del tiempo


94

y de las tres coordenadas espaciales, para el cálculo de las tres componentes de la velocidad, temperatura y densidad, o de cualquier otra magnitud termodin´ amica que se exprese mediante ellas. El sistema es de segundo orden en las derivadas espaciales de la velocidad y de la temperatura y de primer orden en las restantes. Además, para que un problema concreto quede determinado, es necesario fijar las condiciones iniciales y de contorno que corresponden al mismo, las cuales pueden revestir formas muy variadas: fluidos en contacto con paredes u otros fluidos, superficies libres, etc. Para ilustrar la complejidad del sistema de ecuaciones de Navier-Stokes basta con decir que el n´ umero de casos para los que se dispone de soluciones exactas es de unos 80,1 la inmensa mayor´ıa de los cuales se refieren a un fluido incompresible y a situaciones que guardan un interés marginal con los problemas fundamentales de la Mecánica de Fluidos. A lo anterior, hay que a˜ nadir que se conoce relativamente poco acerca de la existencia, unicidad y continuidad de las soluciones del problema de valores iniciales y de contorno planteado anteriormente. Naturalmente, dicho conocimiento depende siempre del espacio funcional en el que se busca la solución y del tipo de soluci´ on que se admita, aunque, como se verá, no existe una respuesta general al problema de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos ni si esas soluciones, caso de que existan, son o no estables.2 Por ejemplo, se ha demostrado que para un fluido incompresible sometido a fuerzas m´ asicas que derivan de un potencial, existe soluci´ on u ńica al movimiento no estacionario (cumpliendo unas condiciones iniciales y de contorno). Esta solución depende de forma continua de las condiciones iniciales y de contorno durante un intervalo de tiempo que es funci´ on de las condiciones iniciales y de contorno. Este intervalo de tiempo puede ser infinito si el n´ umero adimensional Re = ρ V L/µ (donde Re es el n´ umero de Reynolds y ρ, V , L y µ son densidad, velocidad, longitud y viscosidad caracter´ısticas del problema) es menor que un cierto valor caracter´ıstico del movimiento. Si el n´ umero de Reynolds es mayor que ese valor caracter´ıstico, al cabo de un cierto tiempo el movimiento toma un carácter aleatorio e irregular con rápidas fluctuaciones espaciales y temporales de las magnitudes fluidas que se denomina movimiento turbulento. Para ilustrar m´ as el punto anterior, considérese un movimiento fluido con condiciones de contorno estacionarias. Ser´ıa de esperar que, partiendo de unas ciertas condiciones iniciales y al cabo de un tiempo suficientemente grande, se alcanzase la solución estacionaria correspondiente a dichas condiciones de contorno. Sin embargo, sucede que dicha soluci´ on estacionaria es inestable si el n´ umero de Reynolds del movimiento es mayor que un cierto valor cr´ıtico, y la solución estacionaria no se alcanza nunca; es más, imaginando que de alguna forma se pudiese partir de la soluci´ on estacionaria, el movimiento al cabo de un cierto tiempo se har´ıa turbulento, ya que cualquier perturbaci´ on en el campo fluido tender´ıa a destruir la soluci´ on estacionaria. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen también, al menos desde un punto de vista teórico, el movimiento turbulento de los fluidos; sin embargo, desde un punto de vista pr´ actico resulta imposible seguir detalladamente a una part´ıcula fluida en sus r´ apidas fluctuaciones turbulentas. Una forma de abordar el problema consiste en el tratamiento estad´ıstico de las ecuaciones de Navier-Stokes, pero entonces las ecuaciones promediadas junto con las condiciones iniciales y de contorno dejan de constituir un problema matem´ atico bien puesto (mayor n´ umero de incógnitas que de ecuaciones) y no bastan para determinar el movimiento; es necesario, entonces, completar las ecuaciones generales de la Mecánica de Fluidos con ciertas hip´ otesis fenomenológicas de tipo estad´ıstico. El estudio de las corrientes turbulentas será abordado en la u ´ltima parte de este libro. Para eludir la dificultad que plantea una situaci´ on como la de las ecuaciones de Navier-Stokes, se siguen dos alternativas. La primera consiste en el empleo de modelos simplificados, bien sea 1

R. Berker, Handbuch der Physik, VIII-2, Springer-Verlag, Berl´ın, 1963. Para una discusi´ on detallada del tema se remite al lector al libro de O. A. Ladyzhenskaya The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, 1963, y O. A. Ladyzhenskaya, Mathematical Analysis of Navier-Stokes Equations for Incompressible Liquids, en Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 7, pp. 249-272, 1975. 2

5.4. Métodos de estudio de los problemas fluidomecánicos

95

de las propiedades del fluido, bien del tipo de movimiento considerado, y hace uso de técnicas anal´ıticas y numéricas para la resolución de los problemas planteados. La segunda consiste en el recurso al método experimental bajo la gu´ıa de la semejanza dinámica, para reducir el n´ umero de experimentos e interpretar debidamente los resultados. El empleo de modelos simplificados, bien de las propiedades del fluido (densidad constante, viscosidad peque˜ na, etcétera), bien del tipo de movimiento considerado (bidimensional, estacionario, etcétera), constituye un recurso teórico de una fecundidad extraordinaria. En efecto, uno de los modelos más fruct´ıferos es el de suponer el fluido incompresible (densidad constante) que se cumple con gran aproximaci´ on en el movimiento de l´ıquidos y en el flujo de gases a bajas velocidades. En este caso, se reduce el n´ umero de incógnitas (ρ es conocida) y si la viscosidad se supone constante, los problemas mecánico y térmico se desacoplan y la complejidad del problema se reduce sustancialmente. Otro modelo simplificado muy importante en la Mec´ anica de Fluidos es el modelo de fluido ideal que supone despreciables los efectos disipativos (viscosidad y conducción de calor) en las ecuaciones del movimiento. La relevancia histórica de esta hipótesis queda patente no sólo en el hecho de que las ecuaciones del movimiento para el fluido ideal fueran establecidas por Euler casi un siglo antes de la formulaci´ on de las ecuaciones de Navier-Stokes, sino también en la gran fecundidad de ideas que ha originado, especialmente con la Teor´ıa de Capa L´ımite a principios de este siglo. La hipótesis de fluido ideal se aplica en muchos problemas debido a que una fracci´ on importante de los fluidos presentes en la naturaleza, as´ı como muchos otros de interés tecnológico, entre los que se incluyen el aire y el agua, tienen viscosidades y conductividades térmicas muy peque˜ nas, con lo que los efectos disipativos son despreciables, salvo en problemas muy especiales o en regiones muy limitadas del fluido (ondas de choque, capas l´ımites, estelas, etc.); lo que no quiere decir que estas regiones donde los efectos disipativos son importantes sean irrelevantes, ya que muchas veces condicionan la totalidad del movimiento fluido. El empleo del modelo de fluido ideal introduce una simplificación fundamental en las ecuaciones de Navier-Stokes: desaparecen los términos que =

contienen las derivadas de mayor orden (∇· τ y ∇ · q) y, por tanto, no se puede imponer, entre otras, la condición de no deslizamiento en una superficie sólida. Esto hace que la solución de un problema con el modelo ideal sea esencialmente distinta que la solución del mismo problema con un fluido real, al menos en la inmediata proximidad del contorno, incluso cuando se hace tender a cero el coeficiente de viscosidad en la solución viscosa, cuyo l´ımite cabr´ıa esperar que proporcionase la solución correspondiente al fluido ideal. Esta dificultad, que origin´ o gran controversia y algunas paradojas a finales del siglo pasado, la solvent´ o Prandtl en 1904 con la introducci´ on del concepto de capa l´ımite. En el l´ımite opuesto, si se desprecian las fuerzas de inercia convectiva frente a las de viscosidad en las ecuaciones de Navier-Stokes, se obtiene un modelo simplificado lineal de extraordinaria aplicación a flujos que tienen lugar en conductos de peque˜ no di´ ametro, en pel´ıculas l´ıquidas delgadas (como ocurre, por ejemplo, en la lubricaci´ on fluidomecánica), en los movimientos de peque˜ nas part´ıculas suspendidas en el seno de fluidos (aerosoles e hidrosoles). El aumento espectacular en la velocidad y en la capacidad de memoria de los modernos computadores ha conducido a la aparici´ on de la Mecánica de Fluidos computacional, que complementa las actividades teóricas y experimentales de la Mecánica de Fluidos y que suministra una herramienta efectiva para simular corrientes reales a un coste económico razonable. Para la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan métodos numéricos muy diversos, algunos de ellos desarrollados espec´ıficamente para resolver problemas fluidomecánicos. No obstante, la mayor dificultad de los métodos numéricos aparece ligada a la estabilidad din´ amica de las ecuaciones, que da lugar a fenómenos de turbulencia para valores del n´ umero de Reynolds por encima de un valor denominado cr´ıtico. En estas situaciones, el tiempo de computación aumenta espectacularmente con el n´ umero de Reynolds. A pesar de ello, y debido a la rapidez y capacidad de memoria de los modernos

96


ordenadores, es hoy posible resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en situaciones no triviales y a n´ umeros de Reynolds moderadamente grandes(< 105 ). Por desgracia, la complejidad de flujos a n´ umeros de Reynolds mayores excede todav´ıa la capacidad de los ordenadores más potentes, y en éstos el experimento f´ısico (no numérico), cuando puede realizarse, sigue siendo imprescindible para esclarecer el problema. La Mecánica de Fluidos experimental ha jugado un papel muy importante en la validaci´ on de modelos aproximados de las ecuaciones del movimiento. El t´ unel aerodin´ amico, o el hidrodin´ amico, proporciona un medio muy efectivo para simular corrientes reales y permite la experimentaci´ on con modelos; los ensayos a escala real (por ejemplo, en el dise˜ no de aviones) son económicamente prohibitivos. Como se ver´ a en el próximo cap´ıtulo, la experimentaci´ on con modelos debe estar guiada por el análisis dimensional y la semejanza f´ısica. Ejemplo pionero en este campo fue el trabajo de Reynolds en su célebre experimento de Reynolds, quien a partir de sus resultados experimentales y bajo la gu´ıa del análisis dimensional encontr´ o el valor del par´ ametro adimensional, denominado en su honor n´ umero de Reynolds, que caracteriza la transición del régimen laminar al turbulento en un conducto. Las técnicas experimentales en la Mecánica de Fluidos han sufrido también una extraordinaria expansi´ on en los u ´ltimos a˜ nos. Por ejemplo, a los métodos clásicos de medición de la velocidad mediante medidas de la presión (tubos de Pitot y similares) y por anemometr´ıa de hilo caliente, se han sumado métodos ópticos, no intrusivos, como la anemometr´ıa Láser-Doppler, o la anemometr´ıa Fase-Doppler y más recientemente la técnica de medida denominada PIV (Particle Image Velocimetry). También se han introducido nuevas técnicas de visualización de flujos, muy u ´tiles para obtener una informaci´ on cualitativa del movimiento, y en muchos casos es imprescindible previamente a la experimentación cuantitativa, o a la b´ usqueda de soluciones matemáticas del problema. Por otra parte, la entrada reciente del ordenador en la experimentaci´ on ha aumentado radicalmente sus capacidades, ya que es posible adquirir datos en intervalos de tiempo muy peque˜ nos (frecuencias de decenas de kHz) y realizar tratamientos estad´ısticos que no eran posibles hace poco tiempo.

Referencias y fuentes de lectura complementaria G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Teórica vol. 5, Pergamon 1958. A. Li˜ nań y F. A. Williams, Fundamental Aspects of Combustion. Oxford University Press, Nueva York, 1993. A. Li˜ nań, Discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias.

5.I. Ecuaciones de Navier-Stokes en diferentes sistemas de coordenadas

´ APENDICE 5.I ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS COORDENADAS CARTESIANAS

CONTINUIDAD Dρ ∂vi = 0; +ρ Dt ∂xi

D ∂ ∂ = + vj Dt ∂t ∂xj

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

∂vk Dvi ∂ ∂vi ∂ ∂vj 2 ∂p ρ µ + µv − µ + ρfmi + + =− Dt ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi 3 ∂xk ENERG´ IA TOTAL D(e + v 2 /2) ∂vi ∂ ∂vj ∂(pvi ) ρ µvi + + ρfmi vi + + =− Dt ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂ ∂xi

∂vk 2 µv − µ vi 3 ∂xk

ENERG´ IA INTERNA De ∂ ∂vi ρ + φv + = −p Dt ∂xi ∂xi φv = µ

∂vi ∂vj + ∂xj ∂xi

∂T K ∂xi

∂vi ∂vk ∂vi 2 + µv − µ = ∂xj 3 ∂xi ∂xk

∂vi ∂vk 2 2µγij γij + µv − µ 3 ∂xi ∂xk ENTALP´ IA ρ

Dh Dp ∂ = + Dt Dt ∂xi

K

∂T ∂xi

+ φv

97


98

ENTROP´ IA

ρT

DS ∂ = φv + Dt ∂xi

K

∂T ∂xi

COORDENADAS CILÍNDRICAS vr vθ , y vz son las componentes del vector velocidad en las coordenadas r θ, y z respectivamente ∂ ∂ D ∂ vθ ∂ = + vr + + vz Dt ∂t ∂r r ∂θ ∂z ∇ · v =

1 ∂vθ ∂vz ∂vr vr ∂vz 1 ∂(rvr ) 1 ∂vθ + + + = + + r ∂r r ∂θ ∂z ∂r r r ∂θ ∂z

CONTINUIDAD Dρ + ρ∇ · v = 0 Dt ´ EL EJE r CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN ρ

Dvr ∂p 2 v2 ∂ ∂vr − θ = ρfmr − + 2µ + µv − µ ∇ · v + Dt r ∂r ∂r ∂r 3

∂ 1 ∂vr ∂vθ vθ ∂vr ∂vz 2µ ∂vr 1 ∂vθ vr 1 ∂ + µ + − µ + + − − r ∂θ r ∂θ ∂r r ∂z ∂z ∂r r ∂r r ∂θ r ´ EL EJE θ CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN

Dvθ 1 ∂p 1 ∂ 2µ ∂vθ 2 vr vθ ρ = fmθ − vr + + + + µv − µ ∇ · v + Dt r r ∂θ r ∂θ r ∂θ 3

2µ 1 ∂vr 1 ∂vz ∂vθ ∂ 1 ∂vr ∂vθ vθ ∂vθ vθ ∂ + µ + + µ + − + − ∂z r ∂θ ∂z ∂r r ∂θ ∂r r r r ∂θ ∂r r ´ EL EJE z CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN

ρ

Dvz ∂p 2 ∂ ∂vz = fmz − + 2µ + µv − µ ∇ · v Dt ∂z ∂z ∂z 3


+

99

1 ∂ ∂vr ∂vz ∂ 1 ∂vz ∂vθ µr + + µ + r ∂r ∂z ∂r r∂θ r ∂θ ∂z

ENERG´ IA

ρ

∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T Kr + 2 K + K ∂r r ∂θ ∂θ ∂θ ∂z

De 1 ∂ = −p∇ · v + φv + Dt r ∂r

2 2 2 2 ∂vz 1 ∂vz ∂vr 1 ∂vθ vr ∂vθ + φv = µ 2 + + + + + ∂r r ∂θ r ∂z r ∂θ ∂z

∂vr ∂vz + ∂z ∂r

2 +

2

1 ∂vr ∂vθ vθ + − r ∂θ ∂r r

2 2 ∂vz ∂vr 1 ∂vθ vr + µv − µ + + + 3 ∂r r ∂θ r ∂z

Para un fluido incompresible de viscosidad constante las ecuaciones de cantidad de movimiento se reducen a:

2 ∂ vθ 1 ∂p D vr vr v2 − θ =− + fmr + ν ∇2 vr − 2 − 2 , Dt r ρ ∂r r r ∂θ

1 ∂p 2 ∂ vr vr vθ vθ D vθ 2 =− + + fmθ + ν ∇ vθ + 2 − 2 , Dt r ρr ∂ θ r ∂θ r D vz 1 ∂p =− + fmz + ν ∇2 vz , Dt ρ ∂z donde ∇2 =

1 ∂ r ∂r

r

∂ ∂r

+

∂2 1 ∂2 + 2. 2 2 r ∂θ ∂z

´ COORDENADAS ESFERICAS vr , vθ y vφ son las velocidades en las direcciones r, θ y φ respectivamente. D ∂ ∂ vφ ∂ vφ ∂ = + vr + + Dt ∂t ∂r r ∂θ r sen θ ∂φ ∇ · v =

∂ 1 1 ∂vφ 1 ∂ 2 (r vr ) + (vθ sen θ) + r2 ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂φ

CONTINUIDAD Dρ + ρ∇ · v = 0 Dt


100

´ r CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN

vθ2 + vφ2 Dvr ρ − Dt r

= fmr −

∂p 2 ∂ ∂vr + 2µ + µv − µ ∇ · v + ∂r ∂r ∂r 3

∂ ∂ vφ 1 ∂vr 1 1 ∂vr ∂ vθ 1 ∂ + + µ r + µ +r r ∂θ ∂r r r ∂θ r sen θ ∂φ r sen θ ∂φ ∂r r

2 ∂vφ ∂ vθ cot θ ∂vr µ ∂vr 2 ∂vθ 4vr 2vθ cot θ 4 − + r cot θ + − − − r ∂r r ∂θ r r sen θ ∂φ r ∂r r r ∂θ ´ θ CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN

vφ2 cot θ Dvθ vr vθ ρ − + Dt r r

1 ∂p 1 ∂ 2µ ∂vθ 2 = fmθ − + + vr + µv − µ ∇ · v + r ∂θ r ∂θ r ∂θ 3

∂ 1 ∂vθ sen θ ∂ vφ ∂ ∂ vθ 1 ∂vr 1 + + µ + µ r + r sen θ ∂φ r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ ∂r ∂r r r ∂θ 1 ∂vθ µ 1 ∂vφ vθ cot θ ∂ vθ 1 ∂vr 2 cot θ + 3 r + − − r r ∂θ r sen θ ∂φ r ∂r r r ∂θ ´ φ CANTIDAD DE MOVIMIENTO SEGUN ρ

∂p 1 vθ vφ cot θ Dvφ vφ vr + = fmφ − + + Dt r r ∂φ r sen θ

∂ 2µ 1 ∂vφ 1 2 + vr + vθ cot θ + µv − µ ∇ · v + r sen θ ∂φ r sen θ ∂φ 3 1 ∂ 1 ∂vθ 1 ∂vr ∂ vφ sen θ ∂ vφ ∂ + + µ +r µ + ∂r r sen θ ∂φ ∂r r r ∂θ r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ 1 ∂vr 1 ∂vθ ∂ vφ sen θ ∂ vφ µ 3 + 2 cot θ + +r r r sen θ ∂φ ∂r r r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ ENERG´ IA

ρ

De 1 ∂ = −p∇ · v + φv + 2 Dt r ∂r

r2 K

∂T ∂r

+

∂ 1 r2 sen θ ∂θ

∂T K sen θ + ∂θ


∂ 1 2 2 r sen θ ∂φ

K

∂T ∂φ

101

2 2 2 vθ cot θ 1 ∂vφ ∂vr 1 ∂vθ vr vr + + + φv = µ 2 + + + ∂r r ∂θ r r sen θ ∂φ r r

2 2 1 ∂vr 1 ∂vθ sen θ ∂ vφ ∂ vφ + + + +r r sen θ ∂φ r ∂θ sen θ r sen θ ∂φ ∂r r

2 2 1 ∂vφ ∂ vθ 1 ∂vr 2 ∂vr 1 ∂vθ 2vr vθ cot θ + + r + µv − µ + + + ∂r r r ∂θ 3 ∂r r ∂θ r r sen θ ∂φ r

Para un fluido incompresible de viscosidad constante las ecuaciones de cantidad de movimiento se reducen a

vθ2 + vφ2 2 1 ∂p ∂(vθ sen θ) ∂ vφ D vr 2 vr 2 −=− − + ν ∇2 vr − 2 − 2 − 2 , Dt r ρ ∂r r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ φ

vφ2 cot θ 1 ∂p 2 cos θ ∂ vφ 2 ∂ vr vr vθ vθ D vθ 2 − =− − + + ν ∇ vθ + 2 − 2 , Dt r r ρr ∂ θ r ∂θ r sen2 θ r2 sen2 θ ∂ φ vφ vθ cot θ 1 D vφ vφ vr ∂p + =− + + Dt r r ρ r sen θ ∂ φ ν ∇2 vφ + 1 ∂ ∇ = 2 r ∂r 2

∂ vr 2 2 cos θ ∂ vθ vφ . + − r2 sen θ ∂ φ r2 sen2 θ ∂ φ r2 sen2 θ

∂ r ∂r 2

∂ 1 + 2 r sen θ ∂ θ

∂2 ∂ 1 sen θ + 2 ∂θ r sen2 θ ∂ φ2


102

´ APENDICE 5.II ECUACIONES PARA MEZCLAS REACTANTES El problema fluidomec´ anico para una mezcla reactante compuesta de N especies consiste en determinar, mediante las ecuaciones de conservación y leyes constitutivas, el campo de velocidades v, densidad ρ, energ´ıa interna e de la mezcla y las fracciones másicas Yα de N − 1 especies. La hip´ otesis de equilibrio termodin´ amico local permite calcular las restantes variables termodinámicas mediante las ecuaciones de estado. En efecto, esta hipótesis se justifica también para el caso de mezclas reactantes si se tiene en cuenta que para que una colisión sea inelástica, es decir, se rompan en ella los enlaces qu´ımicos y se establezcan otros nuevos, las moléculas deben poseer una energ´ıa cinética relativa grande (energ´ıa de activaci´ on) frente a la energ´ıa media de agitación de la mezcla. Por ello, las colisiones inelásticas son raras, de forma que el tiempo caracter´ıstico tq que transcurre entre ellas (tiempo caracter´ıstico de la reacción qu´ımica) es grande frente al tiempo tcol entre colisiones elásticas que son responsables de la existencia de equilibrio termodinámico local entre las especies. Naturalmente, la condición tq tcol no es suficiente para garantizar el equilibrio termodinámico local, sino que además debe cumplirse que el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas sea mucho mayor que el tiempo entre colisiones (to tcol ). Obsérvese que la situación de equilibrio termodin´ amico local no implica una situación de equilibrio qu´ımico si to ∼ tq (el equilibrio qu´ımico exige que to tq ). Conservaci´ on de la masa de las especies La ecuación de conservación de la masa para cada especie relaciona la variación en la unidad de tiempo de la masa contenida en la unidad de volumen con la masa de dicha especie que en la unidad de tiempo abandona la unidad de volumen [∇ · (ρYα vα ), donde vα es la velocidad media de la especie α], y con la masa de la misma producida por reacción qu´ımica por unidad de volumen y tiempo, Wα . Si se expresa la velocidad de la especie α como superposición de la velocidad de la mezcla y de la velocidad de difusión, vα = v + vdα , se obtiene ∂(ρYα ) = −∇ · (ρYα v) − ∇ · (ρYα vdα ) + Wα , ∂t

α = 1, . . N.

(5.52)

Los dos primeros términos del segundo miembro representan la masa de la especie α que por convección y difusi´ on respectivamente abandonan la unidad de volumen en la unidad de tiempo. Si se tiene en cuenta que, de acuerdo con las definiciones de fracción másica, velocidad de difusi´ on y velocidad de reacción qu´ımica, N α=1

Yα = 1,

N

Yα vdα = 0,

α=1

N

Wα = 0,

(5.53)

α=1

y se suma las N ecuaciones (5.52) se obtiene la ecuación de continuidad de la mezcla ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0, ∂t

(5.54)

que puede sustituir a una cualquiera de las ecuaciones (5.52). En lo que sigue se supondr´ a el caso de mezclas diluidas (en las que existe una especie mayoritaria) para las que las velocidades de difusi´ on siguen muy aproximadamente la ley de Fick, (2.47), fα = ρYα vdα = −ρDα ∇Yα , (5.55)

103

5.II. Ecuaciones de conservación para mezclas reactantes

donde α = 1...N − 1 si se toma, sin pérdida de generalidad, la especie N como mayoritaria. En (5.55), fα es el vector flujo másico difusivo de la especie α, y Dα el coeficiente de difusión de dicha especie en la especie N .3 Naturalmente, la velocidad de difusi´ on de la especie N viene dada en función de las restantes N −1 YN vdN = − Yα vdα . (5.56) α=1

Haciendo uso de las ecuaciones (5.54) y (5.55), las ecuaciones (5.52) pueden escribirse alternativamente DYα ρ (5.57) = ∇ · (ρDα ∇Yα ) + Wα , α = 1, ...N. Dt Por otra parte, la velocidad de producci´ on de masa de la especie α por reacción qu´ımica viene dada por la cinética qu´ımica como función del estado termodinámico local determinado por los valores de la densidad, temperatura y N − 1 fracciones másicas. Con objeto de ilustrar la forma de estas relaciones, supóngase que entre las N especies existen r reacciones N α=1

να,j Aα

N

να,j Aα ,

j = 1, ...r,

(5.58)

α=1

ormulas qu´ımicas de las distintas especies presentes en la mezcla, y να,j y donde Aα denotan las f´ να,j son sus coeficientes estequiométricos en la reacción j. Por tanto, la velocidad de producci´ on másica de la especie α puede escribirse como

Wα = Mα

r (να,j − να,j )ωj ,

(5.59)

j=1

donde Mα es la masa molar de la especie α, y ωj la velocidad de reacción molar asociada a la reacción j que, de acuerdo con la cinética qu´ımica, puede aproximarse por una ley del tipo de la de Arrhenius N

ωj = Bf,j (T )e−Eaf,j /RT

(ρYα /Mα )να,j − Br,j (T )e−Ear,j /RT

α=1

N

(ρYα /Mα )να,j ,

(5.60)

α=1

on donde Eaf y Ear son las energ´ıas de activación para las reacciones de formación y recombinaci´ respectivamente, y los factores Bf y Br , que dependen débilmente de la temperatura, pueden suponerse constantes en la mayor´ıa de las situaciones de interés.4 La constante de equilibrio para la reacción j viene dada por (να,j −να,j ) N Bf,j −(Eaf,j −Ear,j )/RT ρYα . e Br,j Mα eq α=1

Kj (T ) =

(5.61)

Ecuaci´ on de cantidad de movimiento de la mezcla La forma de la segunda ley de Newton es la misma para una mezcla que para un fluido homogéneo en composición, puesto que, por definici´ on, la velocidad local de la mezcla v(x, t) representa la velocidad del centro de masas de las moléculas, independientemente de la especie, 3 En (5.55) no se han tenido en cuenta los flujos difusivos asociados a los gradientes de presi´ on (barodifusi´ on) ni a los gradientes de temperatura (termodifusi´ on o efecto Soret), puesto que estos efectos son despreciables en la mayor´ıa de las situaciones de interés en combusti´ on. 4 Conviene insistir en que la suma de las fracciones m´ asicas es igual a 1 y, por tanto, en las expresiones anteriores s´ olo son independientes N − 1 de ellas.


104

que se encuentran alrededor de x. Por tanto, si por generalidad se supone que sobre cada especie act´ uan fuerzas volumétricas y másicas distintas fv,α = ρYα fm,α como, por ejemplo, en soluciones electrol´ıticas, mezclas de gases ionizados, magnetohidrodinámica, etc., la ecuación de cantidad de movimiento se escribe N = Dv ρ ρYα fm,α . (5.62) = −∇p + ∇· τ + Dt α=1 La ecuación (5.62) expresa que la variaci´ on de la cantidad de movimiento por unidad de volumen y tiempo siguiendo a una part´ıcula fluida de la mezcla es igual a la resultante por unidad de volumen de las fuerzas de presión, viscosidad y másicas que act´ uan sobre ella. El tensor de esfuerzos de =

viscosidad τ está determinado por la ley de Navier- Poisson, (4.30), con coeficientes de viscosidad medios para la mezcla. Ecuaci´ on de la energ´ıa La ecuación de conservación de la energ´ıa total de la mezcla se puede escribir N N N = ∂ ρYα eα vα + τ ·v+ pα vα ]+ ρYα fm,α ·vα , (5.63) [ρ(e+v 2 /2)] = −∇·[ρv 2 v/2−K∇T + ∂t α=1 α=1 α=1

donde eα y pα son la energ´ıa interna por unidad de masa y la presi´ on parcial de cada componente, de modo que la energ´ıa interna y presi´ on de la mezcla son e=

N

Yα eα

y

α=1

p=

N

pα .

α=1

La ecuación (5.63) relaciona la variaci´ on local de energ´ıa total de la mezcla con los aportes por unidad de volumen y tiempo debidos a la convecci´ on de energ´ıa cinética, conducción de calor,5 convección de energ´ıa interna de cada especie y la potencia por unidad de volumen realizada por las fuerzas de viscosidad, de presión sobre cada especie y másicas. Si se expresa vα = v + vdα , la ecuación (5.63) se escribe N N = ∂ ρYα hα vd,α + τ ·v+pv] + ρYα fm,α ·vα , (5.64) [ρ(e+v 2 /2)] = −∇·[(ρ(e+v 2 /2)v−K∇T + ∂t α=1 α=1

siendo hα = eα + pα /ρα la entalp´ıa por unidad de masa del componente α. Obsérvese que la ecuación (5.64) es análoga a la de un fluido homogéneo en composición si se sustituye el vector flujo de calor por conducci´ on por el vector flujo de calor generalizado −K∇T +

N

ρYα hα vd,α .

α=1

Si se resta la ecuación de cantidad de movimiento multiplicada escalarmente por v (ecuación de la energ´ıa mecánica) de la ecuación (5.64) y se hace uso de la ecuación de continuidad (5.54) se obtiene la ecuación de la energ´ıa interna ρ

N N = De ρYα hα vd,α ]+ τ : ∇v + ρYα fm,α · vd,α . = −p∇ · v − ∇ · [−K∇T + Dt α=1 α=1

(5.65)

5 No se ha tenido en cuenta el flujo difusivo de calor debido a gradientes de concentraci´ on (efecto Dufour, complementario del efecto Soret), puesto que es despreciable en muchas de las situaciones que ocurren en combusti´ on.

105

5.II. Ecuaciones de conservación para mezclas reactantes

Con objeto de simplificaciones posteriores es conveniente expresar (5.65) en términos de la entalp´ıa de la mezcla h = e + p/ρ, ρ

N N = Dh Dp ρYα hα vd,α ]+ τ : ∇v + ρYα fm,α · vd,α . = − ∇ · [−K∇T + Dt Dt α=1 α=1

(5.66)

A partir de (5.66) puede obtenerse una ecuaci´ on que relaciona la variaci´ on de la parte de la entalp´ıa asociada a la energ´ıa térmica con la parte asociada a la energ´ıa qu´ımica. Para ello, téngase en cuenta que T o hα = h α + cpα dT, (5.67) To

hoα

donde es la entalp´ıa de la especie α a la temperatura de referencia To (entalp´ıa de formación a la temperatura To ) y cpα su calor espec´ıfico a presión constante que, en general, depende de la temperatura. Por otra parte, D(Yα hα ) DYα Dhα ρ = ρ hα + Yα (5.68) Dt Dt Dt y haciendo uso de (5.57) se obtiene ρ

DT DYα hα = −hα ∇ · (ρYα vd,α ) + Wα hα − ρYα cpα . Dt Dt

(5.69)

Si se suma la ecuación (5.69) para todas las especies y se sustituye en (5.66) se tiene N = DT Dp ρYα hα vd,α + τ : ∇v+ = − ∇ · −K∇T + ρcp Dt Dt α=1 N

ρYα fm,α · vd,α +

α=1

N

hα ∇ · (ρYα vd,α ) −

α=1

N

Wα hα ,

(5.70)

α=1

donde de acuerdo con (2.28) cp =

N

Yα cpα ,

(5.71)

α=1

es el calor espec´ıfico a presión constante de la mezcla. En muchas situaciones, la entalp´ıa de formación de las especies, debida fundamentalmente a la energ´ıa electrónica de enlace, es mucho mayor que el u ´ ltimo término de la ecuación (5.67), que representa la contribuci´ on de las energ´ıas térmicas (traslación, rotación y vibraci´ on molecular) a hα . Por tanto, se tiene hα hoα y la ecuación (5.70) se reduce a ρcp

N N = DT Dp ρYα fm,α · vd,α − Wα hoα . = + ∇ · (K∇T )+ τ : ∇v + Dt Dt α=1 α=1

(5.72)

Para un fluido homogéneo en composición, la ecuación (5.72) se reduce a la ecuación (5.23) si el calor liberado por unidad de volumen y tiempo por reacci´ on qu´ımica se define en la forma Qq = −

N α=1

Wα hoα .

(5.73)


106

Ecuaci´ on de la entrop´ıa La condición de equilibrio termodin´ amico local para una mezcla se escribe T dS = de + pd(1/ρ) −

N

µα dYα ,

(5.74)

α=1

donde µα es el potencial qu´ımico de la especie α. Si en la ecuación (5.74) se tienen en cuenta las ecuaciones (5.54), (5.57) y (5.65) se obtiene N = DS ρT ρYα hα vd,α + τ : ∇v+ = −∇ · −K∇T + Dt α=1 N

ρYα fm,α · vd,α −

α=1

N α=1

W α hα +

N

µα ∇ · (ρYα vdα ),

(5.75)

α=1

y haciendo uso de la relación termodin´ amica µα = hα − T Sα , la ecuación anterior puede escribirse también N DS ∇T ρYα Sα vd,α + − ρ =∇· K Dt T α=1 N N ∇T · ∇T = 1 ρYα vd,α · (fm,α − ∇µα − Sα ∇T ) − K + τ : ∇v + (5.76) Wα µα . T T α=1 α=1 El primer término del segundo miembro de (5.76) representa el flujo reversible de entrop´ıa por unidad de volumen y tiempo debido a procesos de conducci´ on térmica y a la entrop´ıa transportada por la difusi´ on de las especies, mientras que el segundo término, que es siempre positivo, representa la producci´ on irreversible de entrop´ıa debida a efectos de conducción térmica, disipación viscosa, reacción qu´ımica y difusión de las especies en el interior de la unidad de volumen. En el equilibrio deben cumplirse, por tanto, las relaciones ∇T = 0,

=

τ : ∇v = 0,

N

Wα µα = 0,

y

fmα − ∇µα = 0,

(5.77)

α=1

que corresponde a condiciones de temperatura uniforme, de reposo o movimiento como sólido r´ıgido, equilibrio qu´ımico y gradientes de potenciales qu´ımicos equilibrados por las fuerzas másicas por unidad de masa.

5.III. Aplicaciones de la ecuación de la entrop´ıa en forma integral

107

´ APENDICE 5.III ´ DE APLICACIONES DE LA ECUACION LA ENTROPÍA EN FORMA INTEGRAL Con objeto de cuantificar para sistemas fuera del equilibrio algunos resultados cl´ asicos de la Termodinámica, se considerará volumen cerrado Ωf (t) de un fluido homogéneo en composición limitado por una superficie Σf (t), que intercambia calor y trabajo con el exterior [el caso de los sistemas abiertos se ilustra en el Cap´ıtulo 10]. En particular, es de interés obtener, a partir de la forma integral de la energ´ıa y de la entrop´ıa, (5.50) y (5.51), expresiones generales de magnitudes tales como la relación entre el trabajo obtenido y el calor a˜ nadido al sistema (rendimiento) cuando éste opera c´ıclicamente o el trabajo máximo que puede obtenerse del sistema cuando éste evoluciona hasta alcanzar una posición de equilibrio termodin´ amico.6 ˙ ˙ Obsérvese primero que si E y Ek denotan los valores instant´ aneos de las variaciones por unidad ˙ y Q˙ son las potencias de tiempo de las energ´ıas interna y cinética contenidas en el sistema, y W mecánica (realizadas por las fuerzas de superficie y másicas) y calor´ıfica (por conducci´ on, radiaci´ on y combusti´ on) netas comunicadas al sistema, la ecuación (5.50) particularizada para un sistema cerrado puede escribirse en forma abreviada ˙ + Q. ˙ E˙ + E˙k = W

(5.78)

Si las fuerzas másicas derivan de un potencial independiente del tiempo fm = −∇U , la potencia ˙ en (5.78) e incluirse en el primer miembro mecánica debida a las mismas pueden sustraerse de W como variaciones por unidad de tiempo de la energ´ıa potencial del sistema E˙p (esta contribuci´ on junto a las variaciones de energ´ıa cinética del sistema se omiten generalmente en las situaciones consideradas en la Termodinámica del equilibrio). Con objeto de combinar la ecuaci´ on de la energ´ıa total y la de la entrop´ıa (5.50), es conveniente separar en Q˙ las contribuciones debidas a las zonas donde se a˜ nade calor al sistema de aquellas donde éste cede calor al medio (en general dichas zonas pueden variar con el tiempo). Si Σaf (t) [Σcf (t)] representa las zonas de la superficie Σf (t) a través de las que se a˜ nade [cede] calor por conducción, es decir, K ∇ T · n > 0 (K ∇ T · n < 0) y si Ωaf (t) c [Ωf (t)] representa las zonas del interior del volumen Ωf (t) en las que Qr + Qq > 0 (Qr + Qq < 0), el calor por unidad de tiempo a˜ nadido al sistema en el instante t es entonces ˙ Qa (t) = K ∇T · ndσ + (Qr + Qq )d . (5.79) Σa f (t)

Ωa f (t)

Si además Q˙ c es el valor absoluto del calor por unidad de tiempo cedido por el sistema se tiene ˙ Qc (t) = − K ∇T · ndσ − (Qr + Qq )d . (5.80) Σcf (t)

Ωcf (t)

Por tanto, el calor neto recibido por el sistema en la unidad de tiempo es Q˙ = Q˙ a − Q˙ c . En la Termodinámica del equilibrio se considera exclusivamente el caso particular en que el sistema recibe o cede calor a temperaturas uniformes en el espacio y en el tiempo. Como este caso no es general, 6 Conviene indicar que los resultados que aqu´ ı se muestran, basados en las ecuaciones en forma integral, sin ninguna hip´ otesis sobre las formas del tensor de esfuerzos y del vector flujo de calor por conducci´ on, son aplicables a cualquier medio continuo, en particular a s´ olidos y a sistemas compuestos por varias fases homogéneas (s´ olidos limitados por fluidos, o un l´ıquido y su vapor, etc.), ya que en este caso las integrales en las ecuaciones de la energ´ıa y entrop´ıa pueden realizarse a trozos sobre los diferentes continuos.

108


si se desea recuperar los resultados de la Termodinámica, es conveniente definir las temperaturas medias de absorción, Ta (t) y cesión de calor, Tc (t) en el instante t mediante las ecuaciones K ∇T · n Q˙ a Qr + Qq = dσ + d , a a Ta T T Σf (t) Ωf (t)

(5.81)

K ∇T · n Qr + Qq −Q˙ c = dσ + d . c c Tc T T Σf (t) Ωf (t)

(5.82)

Obsérvese que la contribuci´ on de cada elemento de superficie o de volumen a Ta y Tc depende tanto de su temperatura como del calor que recibe o cede dicho elemento. Definiendo la cantidad de entrop´ıa producida irreversiblemente en la unidad de tiempo D˙ como  = 2 K|∇ T | τ : ∇ v  d ≥ 0,  + D˙ = (5.83) T T2 Ωf (t) la ecuación de la entrop´ıa (5.51) puede escribirse para un sistema cerrado Q˙ c Q˙ a ˙ S˙ = − + D, Ta Tc

(5.84)

donde S˙ es el valor instant´ aneo de la variaci´ on por unidad de tiempo de la entrop´ıa del sistema.7 Considérese ahora que el sistema evoluciona entre los instantes t1 y t2 (t1 ≤ t2 ). Integrando (5.78) en dicho intervalo de tiempo se obtiene ∆E + ∆Ek = W + Q,

(5.85)

donde ∆E = E2 − E1 y ∆Ek = Ek2 − Ek1 representan las variaciones de energ´ıa interna y cinética entre los estados final e inicial, y W y Q son el trabajo y el calor netos recibidos por el sistema durante el proceso. Análogamente, la integraci´ on de (5.84) proporciona ∆S =

Qc Qa − + D, Ta Tc

(5.86)

∆S = S∈ − S∞ la variaci´ on de entrop´ıa del sistema entre los estados final e inicial, Qa = siendo t2 ˙ t2 ˙ t ˙ Q Q ≥ 0 la dt y Q = dt los calores absorbidos y cedidos por el sistema, D = t12 Ddt a c c t1 t1 entrop´ıa producida irreversiblemente, y Ta y Tc las temperaturas medias de absorción y cesión de calor durante el proceso, definidas como Qa = Ta y Qc = Tc

t2

t1

t2

t1

Q˙ a dt, Ta

(5.87)

Q˙ c dt. Tc

(5.88)

Obsérvese que Ta y Tc involucran un promediado tanto temporal como espacial (a través de Ta y Tc ) y están completamente definidas en términos de las variables locales del sistema mediante (5.79)-( 5.82) y (5.87)-(5.88). 7

˙ puede calcularse a partir de la ecuaci´ Para el caso de fluidos no homogéneos en composici´ on D on (5.76).

5.III. Aplicaciones de la ecuación de la entrop´ıa en forma integral

109

Si se multiplica ahora la ecuación (5.86) por Tc y se resta de (5.85) se obtiene, teniendo en cuenta que Q = Qa − Qc , ∆E + ∆Ek − Tc ∆S = W + Qa (1 − Tc /Ta ) − Tc D.

(5.89)

Para un proceso c´ıclico (∆E = ∆Ek = 0 = ∆S), la ecuación (5.89) proporciona la relaci´ on entre el trabajo realizado por el sistema, −W ,8 y el calor absorbido por el mismo, Qa , Tc D −W Tc =1− − . Qa Ta Qa

(5.90)

Los dos primeros sumandos del segundo miembro de esta ecuación representan el rendimiento máximo (rendimiento de Carnot) del sistema, que se obtiene cuando éste opera reversiblemente entre las temperaturas medias de absorción y cesión de calor Ta y Tc , mientras que el tercer sumando representa la disminuci´ on respecto del rendimiento de Carnot debida a la entrop´ıa generada por los procesos irreversibles en el interior del sistema cuantificados por D. 9 Obsérvese que la influencia de las irreversibilidades del proceso decrece al disminuir la temperatura media a la que el sistema cede el calor y al aumentar el calor a˜ nadido. Para un proceso no c´ıclico la expresión (5.89) permite hallar el trabajo m´ aximo que puede extraerse del sistema dados los estados inicial y final del proceso (y por tanto ∆E, ∆Ek y ∆S), Tc , Ta y Qa . En efecto, haciendo D = 0 en (5.89) se obtiene −Wmax = Qa (1 − Tc /Ta ) − ∆(E + Ek − Tc S).

(5.92)

De forma análoga puede también obtenerse de (5.89) el trabajo m´ınimo que es necesario comunicar al sistema para llevarlo del estado inicial al final o bien el calor m´ınimo que es necesario aportar si se fija el trabajo que el sistema debe recibir o aportar durante el proceso. El concepto de exerg´ıa10 surge de forma natural de (5.92) cuando se considera el caso particular en que el sistema intercambia calor sólo con un medio de dimensiones lo suficientemente grandes tal que su presión y temperatura pueden considerarse constantes, po y To . En efecto, si se expresa el trabajo intercambiado por el sistema como W = Wm − po ∆V + Wu , suma de la contribuci´ on de las fuerzas másicas, Wm , el trabajo de las fuerzas de presión que el medio exterior realiza sobre el sistema a través de las superficie com´ un al variar su volumen una cantidad ∆V , −po ∆V , y el trabajo Wu que se denomina u ´til (por ejemplo, el realizado sobre unos a´labes ba˜ nados por el fluido), y se tiene en cuenta que ahora Tc = Ta = To , la ecuación (5.89) se escribe −Wu = Wm − ∆(Ek + E + po V − To S) − To D.

(5.93)

Se puede definir ahora la variable exerg´ıa del sistema como Ex = E − Eo + po (V − Vo ) − To (S − So ),

(5.94)

donde Eo , Vo y So son los valores de la energ´ıa interna, volumen y entrop´ıa del sistema cuando se encuentra en equilibrio termodin´ amico con el medio exterior (estado de referencia). Es fácil ver 8 Si las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial independiente del tiempo, a −W s´ olo contribuyen las fuerzas de superficie, puesto que la variaci´ on de energ´ıa potencial del sistema en un ciclo es nula. 9 Para sistemas cerrados funcionando en r´ ˙ el rendimiento del egimen globalmente estacionario (E˙ = E˙ k = 0 = S) sistema se obtiene directamente de (5.78) y (5.84) resultando

˙ ˙ Tc D −W Tc =1− − . Ta Q˙ a Q˙ a

(5.91)

10 Profusamente utilizado en ´ ambitos tecnol´ ogicos donde, a veces con exceso, se presenta como nexo de uni´ on entre los principios termodin´ amicos y econ´ omicos. El nombre de Termoeconom´ıa, sugerido desde estos ´ ambitos, parece cuando menos exagerado.

110


que la exerg´ıa representa el trabajo m´ınimo que es necesario comunicar al sistema para llevarlo del estado de referencia al considerado. Si se supone que las fuerzas másicas derivan de un potencial independiente del tiempo, el trabajo u ´til realizado por el sistema entre dos estados es −Wu = (Ek1 − Ek2 ) + (Ep1 − Ep2 ) − (Ex1 − Ex2 ) − To D,

(5.95)

donde Ep representa la energ´ıa potencial del sistema. Haciendo D = 0 en (5.95) se comprueba que, en ausencia de variaciones de energ´ıa cinética y potencial, el trabajo u ´til máximo que puede extraerse del sistema es igual a la disminución de su exerg´ıa. Considérese, por u ´ltimo, un sistema cerrado aislado térmicamente que inicialmente se encuentra fuera del equilibrio termodin´ amico. De acuerdo con el principio de conservaci´ on de la energ´ıa, el trabajo que realiza el sistema cuando evoluciona desde el estado inicial (denotado con el sub´ındice 1) hasta el estado de equilibrio termodin´ amico (sub´ındice o) es −W = (E1 − Eo ) + (Ek1 − Eko ) + (Ep1 − Epo ),

(5.96)

donde, por simplicidad, se ha supuesto que las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial. Si las variaciones Ek1 − Eko y Ep1 − Epo de energ´ıa cinética y potencial del sistema en el proceso son conocidas,11 el máximo trabajo que puede extraerse del sistema corresponde, naturalmente, a la máxima disminuci´ on de energ´ıa interna, es decir, dada E1 , a la m´ınima Eo . Puesto que la energ´ıa interna en un estado de equilibrio termodin´ amico es una función creciente de la entrop´ıa [(∂E/∂S)Ω = T > 0], es claro que si un sistema aislado térmicamente (y que, por tanto, sólo puede aumentar su entrop´ıa) evoluciona hacia el equilibrio termodin´ amico, la m´ınima energ´ıa interna en el equilibrio será la correspondiente a la entrop´ıa inicial S1 , Eomin = Eomin (S1 , Ωo ), y puede calcularse directamente mediante las ecuaciones termodinámicas de estado. Por tanto, el máximo trabajo que puede extraerse del sistema en el proceso, fijado el volumen Ωo del sistema al final del mismo, es (5.97) −Wmax = [E1 − Eomin (S1 , Ωo )] + (Ek1 − Eko ) + (Ep1 − Epo ). Como aplicación, compruebe el lector que el trabajo máximo que puede extraerse de dos masas iguales, M, de un l´ıquido perfecto de calor espec´ıfico c, es (suponiendo despreciable las variaciones de la energ´ıa cinética y potencial, as´ı como las de volumen) (5.98) −Wmax = M c( TA − TB )2 donde TA y TB (TA > TB ) son las temperaturas iniciales de las masas de l´ıquido.12 Este trabajo podr´ıa obtenerse, por ejemplo, en un experimento ideal en el que un peque˜ no cilindro que contiene un gas y está provisto de un émbolo efect´ ua ciclos de Carnot infinitesimales transfiriendo calor desde el fluido caliente al fr´ıo hasta que se alcanza la temperatura de equilibrio. Si no se extrae trabajo del sistema, entonces E1 = Eo , por lo que la temperatura del sistema en el equilibrio es (TA + TB )/2 y el incremento de entrop´ıa en el proceso es TA + TB > 0, So − S1 = M c ln √ 2 T A TB

(5.99)

que debe ser igual a D de acuerdo con la ecuación (5.86).

11 En el estado de equilibrio termodin´ amico Eko debe ser nula o bien la correspondiente a un movimiento como s´ olido r´ıgido del sistema, de manera que la funci´ on de disipaci´ on de Rayleigh sea idénticamente nula. 12 Para ello basta demostrar que la temperatura de equilibrio alcanzada en un proceso a entrop´ ıa constante (igual √ a la inicial) es TA TB .

Cap´ıtulo 6

An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica 6.1.

Introducci´ on

En la resolución teórica de los problemas f´ısicos se utilizan las leyes de la f´ısica (normalmente representadas por ecuaciones diferenciales) para establecer las propiedades del fenómeno f´ısico considerado, y para calcular, mediante el an´ alisis matemático, las variables f´ısicas desconocidas. Sucede, sin embargo, en la mecánica de medios continuos y en otras ramas de la f´ısica y de la ingenier´ıa, que los fenómenos bajo consideración son, a menudo, tan complicados que conducen a ecuaciones de complejidad tal que su resolución anal´ıtica es impensable. Como se comentó en el cap´ıtulo anterior, para obviar esta dificultad se recurre al empleo de modelos simplificados (cuya solución anal´ıtica o numérica sea viable) o al recurso del método experimental que, bajo la gu´ıa del análisis dimensional y de la teor´ıa de la semejanza f´ısica, ha producido resultados muy fruct´ıferos en la Mecánica de Fluidos. El an´ alisis dimensional se basa en el principio de que las relaciones funcionales entre las variables que intervienen en un fen´ omeno f´ısico dado son independientes del sistema de unidades elegido. 1 Como se verá posteriormente, dicho principio permite expresar toda la informaci´ on contenida en las relaciones entre las variables f´ısicas de un problema en términos de un n´ umero menor de variables adimensionales obtenidas a partir de las originales mediante el método del análisis dimensional. En problemas complejos, dicha reducción en el n´ umero de variables a considerar representa enormes ventajas, no sólo desde el punto de vista anal´ıtico, sino fundamentalmente experimental, ya que reduce drásticamente el n´ umero de medidas a realizar y, por tanto, el coste de los experimentos. Por otra parte, sucede a menudo que muchos fen´ omenos f´ısicos no pueden ser investigados directamente ante la dificultad, evidente en muchos casos, de reproducir a escala natural en el laboratorio el proceso real que se desea investigar. Como se verá en lo que sigue, la teor´ıa de la semejanza f´ısica asegura que si la geometr´ıa involucrada en dos problemas de ingenier´ıa de distinta escala de longitud es semejante (por ejemplo, el flujo de aire alrededor de un avi´ on real y de su modelo a escala) y están gobernados por las mismas ecuaciones y condiciones iniciales y de contorno escritas en forma adimensional, ambos problemas son f´ısicamente semejantes (presentan 1 Se debe emplear, naturalmente, un sistema coherente de unidades que, como es sabido, se obtiene partiendo de un n´ umero m´ınimo de unidades fundamentales y calculando las unidades derivadas mediante las leyes de la F´ısica. As´ı, por ejemplo, la ley de Newton F = m a, que relaciona la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo de masa m con la aceleraci´ on a de su centro de gravedad, permite calcular la unidad de fuerza [F ] en funci´ on de la unidad de masa [m] y la unidad de aceleraci´ on mediante la relaci´ on [F ] = [m][a] = [m][L][T ]−2 . [L] y [T ] representan las unidades de longitud y tiempo respectivamente.

111

Cap´ıtulo 6. An´ alisis dimensional y semejanza f´ısica

112

semejanza f´ısica) en el sentido de que entre las magnitudes homólogas de la solución de cada problema, en puntos e instantes que se correspondan, existe una proporcionalidad que permite trasladar automáticamente la solución de uno de ellos a la del otro, lo que constituye un resultado del más alto valor pr´ actico desde el punto de vista experimental, y del que se ha hecho en Mecánica de Fluidos un uso m´ as sistemático y extenso que en cualquier otra rama de la f´ısica y de la ingenier´ıa.

6.2.

Cantidades dimensionales y adimensionales. Semejanza geom´ etrica

Una cantidad se llama dimensional si su valor numérico depende de la escala usada en su medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido. Una cantidad se dice adimensional cuando su valor numérico es independiente del sistema de unidades de medida. Ejemplos t´ıpicos de cantidades dimensionales son la longitud, el tiempo, la fuerza, la energ´ıa, etc. Los ángulos, la relación entre dos longitudes, la relaci´ on entre la energ´ıa y el momento, etc., son ejemplos de cantidades adimensionales. Un conjunto de cantidades f´ısicas son dimensionalmente dependientes cuando las dimensiones f´ısicas de una de ellas se pueden obtener mediante alguna combinaci´ on de las restantes; por ejemplo, la presi´ on, la densidad y la velocidad son dependientes, [p] = [ρ][v]2 ; en caso contrario las cantidades f´ısicas son independientes. Por ejemplo, la viscosidad, la densidad y la velocidad son dimensionalmente independientes, ya que [µ] = [ρ][v][L], por lo que no es posible obtener las dimensiones de la viscosidad a partir de las de la densidad y velocidad u ńicamente. Las dimensiones de las cantidades que intervienen en un problema f´ısico determinado pueden obtenerse a partir de un n´ umero de cantidades dimensionalmente independientes. Para un problema mec´ anico dicho valor es tres, porque masa [M ], longitud [L] y tiempo [T ] son las cantidades independientes de las que se pueden obtener las restantes variables mecánicas: velocidad, aceleración, fuerza, etc. Si se trata de un problema termomecánico, dicho n´ umero es cuatro, ya que aparece la temperatura como nueva dimensión f´ısica, mientras que en problemas electrotermomecánicos el n´ umero es cinco al aparecer la carga eléctrica como dimensión f´ısica adicional. Para lo que sigue conviene caracterizar la geometr´ıa de la superficie de un objeto que, en general, viene definida matemáticamente por una relación (o relaciones) entre las coordenadas y un conjunto de longitudes caracter´ısticas del mismo. Por ejemplo, un elipsoide de semiejes a, b, c se define en ejes principales por la relación x2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 − 1 = 0, y un paralelep´ıpedo de aristas a, b, c está definido por las relaciones y = b, z ≤ c, x ≤ a; z = c, y ≤ b, x ≤ a; etcétera La ecuación, o conjunto de ecuaciones, que definen la superficie de un objeto con longitudes caracter´ısticas l, l1 , l2 , ... ln se representará de forma genérica por Σ(x, l, l1 , l2 , ...ln ) = 0.

(6.1)

Dos objetos definidos por la misma ecuación y con iguales valores de cada uno de los cocientes l1 /l, ...ln /l, se denominan geométricamente semejantes. Por tanto, para identificar un objeto dentro de una serie geométricamente semejante bastará con especificar el valor de una u ńica longitud caracter´ıstica, l.

6.3.

Teorema Π

Como se indicó anteriormente, las relaciones entre magnitudes f´ısicas, establecidas teóricamente o directamente mediante experimentos, son relaciones funcionales entre ellas que caracterizan el fen´ omeno bajo investigaci´ on. El valor numérico de una cantidad f´ısica dimensional depende del sistema de unidades de medida, pero dicho sistema no es en s´ı mismo esencial al problema. Por

6.3. Teorema Π

113

el contrario, las relaciones funcionales que ligan entre s´ı las magnitudes f´ısicas deben ser independientes del sistema de unidades elegido; lo que sugiere la existencia de alguna estructura especial para dichas relaciones funcionales. En efecto, considérese una relación funcional entre las cantidades f´ısicas ao , a1 , ... an , ao = f (a1 , a2 , ...ak , ...an ).

(6.2)

Si k es el n´ umero de dimensiones f´ısicas independientes del problema, se supondr´ a que entre las n+1 magnitudes ai existen k de ellas que son dimensionalmente independientes, k < n+1. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que a1 , a2 ,... ak son las k independientes. Por tanto, las dimensiones del resto de magnitudes ao , ak+1 ,... an se pueden obtener a partir de las k independientes [ai ] = [a1 ]αi,1 [a2 ]αi,2 , ...[ak ]αi,k ,

i = 0, k + 1, k + 2, ..., n.

(6.3)

Si se definen las variables o par´ ametros adimensionales πi =

ai , α α a1 i,1 ...ak i,k

i = 0, k + 1, k + 2...n,

(6.4)

y se sustituye (6.4) en la ecuación (6.2) se obtiene α

πo =

α

α

α

f (a1 , a2 , ..., ak , πk+1 a1 k+1,1 ...ak k+1,k , ..., πn a1 n,1 ...ak n,k ) , α α a1 o,1 ...ak o,k

(6.5)

o lo es que es equivalente, πo = g(a1 , a2 , ..., ak , πk+1 , ..., πn );

(6.6)

on g ni πo , πk+1 , ... donde a1 , a2 , ..., ak dependen del sistema de unidades utilizado, no as´ı la funci´ y πn que son variables y par´ ametros adimensionales. Si se escoge ahora un sistema de unidades distinto, de modo que cambie sólo el valor de a1 (por ejemplo, a1 ) y las demás magnitudes queden invariables, se tiene: πo = g(a1 , a2 , ..., ak , πk+1 , ..., πn ),

(6.7)

lo que conduce a que πo debe ser independiente de a1 , puesto que, por ser adimensional, su valor no var´ıa al cambiar a1 por a1 . Repitiendo el razonamiento con las siguientes magnitudes a2 , ..., ak , se llega a que πo es también independiente de ellas y, por tanto, se puede escribir: πo = g(πk+1 , ..., πn ).

(6.8)

Como se ve, la relación funcional entre las n + 1 magnitudes dimensionales se ha reducido a una relación funcional entre n + 1 − k magnitudes adimensionales. Esta conclusión general de la teor´ıa dimensional se conoce con el nombre de teorema Π o de Vaschy-Buckingham. Debe se˜ nalarse que dicha relación funcional a la que conduce el teorema contiene exactamente la misma información que la relación funcional original (6.2) y, por tanto, al reducir el n´ umero de parámetros que definen la cantidad a ser estudiada, se reduce la investigaci´ on experimental, ya que hay que realizar un menor n´ umero de medidas para caracterizar el fenómeno f´ısico bajo consideración. En particular, si n = k el análisis dimensional indica que el par´ ametro a medir πo es una constante y su valor puede ser obtenido mediante un u ńico experimento. Conviene indicar que, aunque el método del análisis dimensional ense˜ na la forma de reducir un n´ umero de variables dimensionales a un n´ umero menor y determinado de par´ ametros adimensionales, dicho método no especifica, naturalmente, qué conjunto de variables dimensionalmente independientes es conveniente usar en un problema concreto, ni qué parámetros adimensionales


114

deben elegirse. Además, si se define un nuevo par´ ametro adimensional a partir de la combinaci´ on de dos (o más) parámetros adimensionales dados, πi y πj , mediante una ecuación de la forma π i = f1 (πi , πj ),

(6.9)

dicho par´ ametro puede sustituir a πi en la relación funcional original (6.8), ya que a partir de (6.9) se tiene la ecuación πi = f2 (π i , πj ), (6.10) que introducida en (6.8) proporciona πo = g(πk+1 , ...f2 (π i , πj ), ..., πj , ..., πn ),

(6.11)

πo = g(πk+1 , ..., π i , ..., πj , ..., πn ).

(6.12)

o, lo que es equivalente, Las ecuaciones (6.8) y (6.12) son igualmente válidas desde el punto de vista del an´ alisis dimensional, lo que sugiere que, una vez obtenida una relaci´ on adimensional, es posible sustituir par´ ametros por otros obtenidos a partir de los anteriores y que posean mayor interés f´ısico. Es, por tanto, tarea del investigador experimental seleccionar correctamente los parámetros adimensionales que influyen en el problema.

6.4. 6.4.1.

Ejemplos de aplicaci´ on del an´ alisis dimensional Gasto de l´ıquido a trav´ es de un vertedero

Uno de los procedimientos utilizados para medir el caudal de l´ıquido que pasa a través de un canal consiste en poner un obstáculo en el mismo que hace que el fluido se acumule aguas arriba del obstáculo y su nivel se eleve una altura h por encima de la cota máxima H del obstáculo, véase Figura 6.1. pa g

h

H

zi

z x

Figura 6.1: Gasto de agua a través de un vertedero. Suponiendo el flujo bidimensional y estacionario, las ecuaciones que gobiernan las dos componentes de la velocidad vx y vz , seg´ un los ejes horizontal x y vertical z, y la presión son ∂ vz ∂ vx + = 0, ∂x ∂z

(6.13)

115

6.4. Ejemplos de aplicación del an´ alisis dimensional 2 ∂ vx ∂ vx ∂ 2 vx ∂p ∂ vx , + + ρ vz =− +µ ∂x ∂z ∂x ∂ x2 ∂ z2 2 ∂ 2 vz ∂ vz ∂ vz ∂p ∂ vz − ρ g. ρ vx + + ρ vz =− +µ ∂x ∂z ∂z ∂ x2 ∂ z2 ρ vx

(6.14)

(6.15)

donde ρ y µ son la densidad y viscosidad del l´ıquido y g es la aceleración de la gravedad. Como condiciones de contorno se impondrá que la velocidad del fluido es nula en la solera del canal y en las superficies sólidas vx (x, 0) = vz (x, 0) = 0;

vx (0, z) = vz (0, z) = 0

en

0 ≤ z ≤ H.

(6.16)

Aguas arriba del obst´ aculo, donde la componente vertical de la velocidad es nula, la distribuci´ on de presiones viene dada por la fluidoest´ atica p = pa + ρg(H + h − z)

en x → −∞.

(6.17)

Finalmente, sobre la superficie libres, fs (z, x) = z − zs (x) = 0, que es desconocida, se impondrán las condiciones cinemáticas y dinámicas siguientes v · ∇ fs = 0,

=

p − pa + n· τ ·n = 0

=

y

=

n· τ −[n· τ ·n]n = 0,

(6.18)

=

donde τ y n son respectivamente el tensor de esfuerzos de viscosidad y la normal exterior a la superficie libre. Obsérvese que el esfuerzo tangencial en la entrefase agua-aire se ha supuesto nulo; esta hipótesis se justifica por el hecho de que el coeficiente de viscosidad del agua es muy grande frente al del aire. Por otra parte, y aunque formalmente se hayan retenido los esfuerzos normales de viscosidad en la segunda de las condiciones (6.18), éstos son despreciables frente a la presión en una gran mayor´ıa de situaciones prácticas, en las que el n´ umero de Reynolds es grande, como en el caso particular de la corriente de agua a través de un vertedero. En general, se desea determinar el caudal por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento que viene dado por 2

H+h

q=

vx (−∞, z) dz.

(6.19)

o

Ocurre, sin embargo, que la integraci´ on del problema de contorno (6.13)-(6.18) no es tarea f´ acil, y para determinar q se suele recurrir a la experimentación, calibrando debidamente la configuraci´ on anterior para obtener el gasto como funci´ on de h. La dependencia funcional del caudal respecto a los par´ ametros del problema se establece fácilmente de la simple inspección de las ecuaciones y condiciones de contorno (6.13)-(6.18) q = q(ρ, g, h, µ, H).

(6.20)

Si se toman tres variables como independientes, por ejemplo ρ, g y h, y se aplica el teorema Π se tiene µ q H √ = f . (6.21) , g 1/2 h3/2 ρ ghh h 2 Obs´ ervese que al contrario que el campo de velocidades y presiones, el caudal, o la fuerza sobre la compuerta no dependen de las variables independientes x, z.


116

Sucede en la práctica que los efectos viscosos son peque˜ nos en el movimiento del agua a través de un vertedero y pueden ignorarse sin cometer errores apreciables, de modo que la expresión más simplificada del caudal adimensional es q H =f . (6.22) 1/2 3/2 h g h Obsérvese que una serie experimental de medidas de q frente a h permitir´ıa obtener la ley experimental que determina el caudal como funci´ on de la altura. Por otra parte, sucede en muchas situaciones que h H y por tanto el caudal se puede aproximar por la expresi´ on q = F (∞) g 1/2 H 3/2 ,

F (∞) ≡ (h/H)3/2 f (H/h)

para H/h → ∞

(6.23)

donde F (∞) es una constante a determinar experimentalmente mediante una u ńica medida.

6.4.2.

Movimiento estacionario de un fluido incompresible alrededor de un obst´ aculo

Considérese la corriente estacionaria de un fluido incompresible,3 de densidad ρ y viscosidad µ, alrededor de un cuerpo de forma cualquiera, por ejemplo el de la Figura 6.2. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento estacionario del fluido en ejes ligados al cuerpo, en el supuesto de que las fuerzas másicas sean despreciables,4 son ∇ · v = 0,

(6.24)

ρ v · ∇v = −∇ p + µ ∇2 v;

(6.25)

U¥ , p¥

D L F

Figura 6.2: Fuerzas sobre un obstáculo moviéndose en el seno de un fluido. 3 4

Un l´ıquido o un gas moviéndose con velocidades mucho menores que la de la velocidad del sonido (véase 6.5). Esta hip´ otesis se satisface ampliamente en el movimiento de gases, pero no siempre en el de l´ıquidos.

117

6.4. Ejemplos de aplicación del an´ alisis dimensional con las condiciones de contorno v = U∞ i, p = p∞ v=0

en

en

|x| → ∞,

Σ(x, l, l1 , ...ln ) = 0,

donde Σ(x, l, l1 , ...ln ) = 0 es la ecuación de la superficie del objeto, de longitudes caracter´ısticas l, l1 y ln , y p∞ y U∞ son los valores, supuestos uniformes, de la presión y velocidad del fluido suficientemente lejos del obstáculo. De la inspección de las ecuaciones y condiciones de contorno es claro que la solución del problema sólo puede depender de las variables independientes, x, y de las constantes que aparecen en las ecuaciones y condiciones de contorno, es decir, v = v(x, ρ, µ, U∞ , l, l1 , ...ln ),

(6.26)

p − p∞ = p(x, ρ, µ, U∞ , l, l1 , ...ln );

(6.27)

obsérvese que puesto que el movimiento depende sólo del gradiente de presiones [véase (6.25)], para satisfacer las condición de contorno de la presi´ on en el infinito basta restar a ésta el término p∞ . La fuerza que el fluido ejerce sobre el obstáculo es la resultante de las fuerzas de presión y de viscosidad, que pueden ser calculadas directamente a partir (6.26) y (6.27). Si n es la normal unitaria exterior a la superficie del objeto, la fuerza resultante sobre el mismo es = F = (−p n + n· τ )d σ == F (ρ, µ U∞ , l, l1 , ...ln ), (6.28) Σ

donde para obtener la dependencia funcional (6.28) se ha hecho uso de las expresiones (6.26) y (6.27) y se ha tenido en cuenta que Σ p∞ nd σ = p∞ Σ nd σ = 0 si Σ es una superficie cerrada. La componente de dicha fuerza seg´ un la dirección de la corriente D i, se denomina resistencia aerodinámica, mientras que la componente perpendicular a la dirección de la corriente sin perturbar se denomina sustentación, L k. Si se eligen ρ, U∞ y l como variables independientes, el teorema Π permite reducir las expresiones (6.26) y (6.27) a la forma adimensional x µ v = f1 , (6.29) , α1 , ..., αn , U∞ l ρ U∞ l p − p∞ = f2 2 ρ U∞

µ x , , α1 , ..., αn , l ρ U∞ l

(6.30)

que muestran las relaciones existentes entre los campos adimensionales de velocidades y presiones y los parámetros adimensionales de posición x/l, el n´ umero de Reynolds Re = ρ U∞ l/µ (que como se verá posteriormente mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia convectivas frente a las de viscosidad), y los coeficientes adimensionales entre longitudes α1 = l1 /l, ... αn = ln /l. Análogamente, la expresión (6.28) para la fuerza sobre el obst´ aculo se reduce a 1 F (6.31) = f , ..., α , α 3 1 n . 2 l2 ρ U∞ Re Las relaciones funcionales (6.29), (6.30) y (6.31) se simplifican dr´ asticamente si se consideran series de objetos geométricamente semejantes para los que los coeficientes adimensionales α1 , α2 , ..., αn son constantes. En este caso, la ecuación (6.31) muestra que basta medir experimentalmente las

118


componentes de la fuerza adimensional como función de un u ńico par´ ametro, el n´ umero de Reynolds, para conocer la fuerza que act´ ua sobre cualquier objeto de la serie geométricamente semejante situado en el seno de cualquier fluido incompresible y para cualquier valor de la velocidad incidente. Obsérvese que para obtener dicha informaci´ on a partir de (6.28), es decir, sin la ayuda del análisis dimensional, ser´ıa necesario medir experimentalmente F variando independiente cuatro cantidades (ρ, µ, U∞ y l) en vez de sólo una, lo cual incrementar´ıa enormemente el n´ umero de medidas. Resulta patente, por tanto, la ventaja de usar el an´ alisis dimensional como gu´ıa de la experimentación. Por otra parte y de acuerdo con (6.29)-(6.31), las corrientes de velocidades Up y Um y densidades y viscosidades ρp , ρm , µp y µm alrededor de dos obstáculos geométricamente semejantes, por ejemplo un prototipo y su modelo, caracterizados por las longitudes lp y lm se reducen al mismo problema adimensional siempre que ρp U∞p lp ρm U∞m lm = . µm µp

(6.32)

Entonces el coeficiente de fuerza adimensional es idéntico para ambos Fp Fm = , 2 2 2 l2 ρm U∞m lm ρp U∞p p

(6.33)

y en puntos geométricamente semejantes, xm /lm = xp /lp , se tiene

y

vp vm = , U∞m U∞p

(6.34)

pp − p∞p pm − p∞m = . 2 2 ρm U∞m ρp U∞p

(6.35)

Por tanto, conocida la soluci´ on experimental para el modelo se puede calcular la del prototipo y la de cualquier otro problema geométricamente semejante sin más que deshacer los cambios de escala. Finalmente, se ilustrará mediante un ejemplo la importancia de elegir adecuadamente las variables independientes en un problema concreto. Por ejemplo, considérese la expresión funcional de la resistencia aerodinámica de un objeto que, a partir de (6.28), viene dada por D = D(ρ, µ, U∞ , l, l1 , ...ln ).

(6.36)

Si se eligen ρ, U∞ y l como variables independientes, el análisis dimensional permite escribir (6.36) en la forma 2D 1 CD = (6.37) = f , α , ..., α , α 1 2 n , 2 l2 ρ U∞ Re que indica que la resistencia adimensional, denominada coeficiente de resistencia CD , de un obst´ aculo en el seno de una corriente estacionaria, incompresible, cuando las fuerzas másicas son despreciables, depende u ńicamente del n´ umero de Reynolds del flujo y de la geometr´ıa del objeto.5 En el movimiento de fluidos a altos n´ umeros de Reynolds, (Re 1), alrededor de obst´ aculos de geometr´ıa roma (no fuselados) se observa experimentalmente que el coeficiente de resistencia, CD , es independiente del n´ umero de Reynolds y depende sólo de la geometr´ıa del obstáculo; es decir, CD f (0, α1 , ...αn ) = g(α1 , ..., αn ),

Re 1.

(6.38)

5 Usualmente, l2 representa el ´ area de la proyecci´ on del cuerpo sobre un plano perpendicular a la direcci´ on de la corriente sin perturbar.

119

6.5. Semejanza f´ısica

La ecuación (6.38) proporciona la ley de la resistencia para el movimiento de un fluido incompresible alrededor de cuerpos romos a altos n´ umeros de Reynolds Re 1,

2 2 D = ρ U∞ l g(α1 , ... αn ),

(6.39)

que como se ve resulta independiente de la viscosidad del fluido. Contrariamente, como se ver´ a más adelante, en el movimiento del fluido alrededor de cuerpos aerodin´ amicos (de geometr´ıa fuselada) a altos n´ umeros de Reynolds, los efectos viscosos son importantes, aunque sólo en una zona delgada (capa l´ımite) en torno al obstáculo, y el coeficiente de resistencia es una función decreciente del n´ umero de Reynolds. Considérese ahora el l´ımite de movimiento a muy bajos n´ umeros de Reynolds.6 Se observa experimentalmente que el coeficiente de resistencia no permanece acotado al disminuir indefinidamente el n´ umero de Reynolds, por lo que no es posible en este caso obtener la ley de resistencia directamente a partir de (6.37). En efecto, en este régimen, opuesto al anterior, el efecto de las fuerzas de viscosidad domina frente al de las fuerzas de inercia, lo que sugiere que la resistencia depende muy poco de la densidad del fluido (propiedad ´ıntimamente relacionada con su inercia). Por tanto, si se aplica el análisis dimensional a (6.36), tomando ahora como variables independientes µ, U∞ y l, se obtiene la expresión D (6.40) = f (Re, α1 , ... αn ), µ U∞ l que permanece acotada para Re 1. En este l´ımite el segundo miembro de (6.40) depende u ńicamente de la geometr´ıa del objeto, por lo que la ley de la resistencia a bajos n´ umeros de Reynolds (ley de Stokes) es D = µ U∞ l g(α1 , ...αn ),

Re 1;

(6.41)

y el coeficiente de resistencia viene dado por CD =

g(α1 , ...αn ) 2D = , Re 1. 2 l2 ρ U∞ Re

(6.42)

Como se verá en el Cap´ıtulo 9, para el caso del flujo alrededor de una esfera, g = 6π si l es el radio.

6.5.

Semejanza f´ısica

En 6.4 se ilustró un ejemplo de aplicación de la semejanza f´ısica a la resolución experimental de un problema fluidomec´ anico clásico (la determinación de las fuerzas que una corriente ejerce sobre un obstáculo) utilizando modelos geométricamente semejantes. A continuación se analizarán las condiciones que determinan la semejanza f´ısica y se obtendrán de forma sistemática, mediante la adimensionalización de las ecuaciones de Navier-Stokes, los parámetros adimensionales que gobiernan los movimientos fluidos. Para precisar más lo anterior, considérese el movimiento más general de un fluido, gobernado, como se sabe, por las ecuaciones de Navier Stokes ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0, ∂t ρ

= ∂v + ρv · ∇v = −∇p + ∇· τ +ρfm , ∂t

(6.43) (6.44)

6 Debido a que los coeficientes de viscosidad del agua y del aire son muy peque˜ nos, el n´ umero de Reynolds del movimiento de estos fluidos es muy grande en la mayor´ıa de las situaciones pr´ acticas, excepto en el caso de cuerpos (part´ıculas) de dimensiones muy peque˜ nas desplaz´ andose con velocidades relativas al fluido también muy peque˜ nas.


120

= ∂e + ρv · ∇e = −p∇ · v+ τ : ∇v + ∇ · (K∇T ), ∂t 1 ∂vi ∂vj τij , = 2µ γij + (µv − 2/3µ)∇ · vδij , γij = + 2 ∂xj ∂xi

ρ

con

(6.45) (6.46)

y las ecuaciones de estado e − eref = cv (T − Tref ),

y

ρ = ρ(p, T ),

(6.47)

donde se han omitido los términos debidos al calor por radiaci´ on y por reacción qu´ımica en la ecuación de la energ´ıa . Para adimensionalizar el sistema de ecuaciones es conveniente definir las nuevas variables y magnitudes adimensionales: t∗ = t/to , x∗ = x/Lo , v∗ = v/vo , p∗ = p/po , ρ∗ = ρ/ρo , ∗ = fm /|fmo |, µ∗ = µ/µo , µ∗v = µv /µo , K ∗ = K/Ko , T ∗ = T /To , fm

(6.48)

donde el super´ındice * significa variables o par´ ametros adimensionales mientras que el sub´ındice cero denota magnitudes (o diferencias de magnitudes, seg´ un los casos) t´ıpicas del movimiento, conocidas a través de los datos del problema y de las condiciones iniciales y de contorno. Introduciendo las nuevas variables en el sistema (6.43)-(6.45) se tiene ρo ∂ρ∗ ρ o vo ∗ ∇ · (ρ∗ v∗ ) = 0, + to ∂t∗ Lo

(6.49)

vo ∗ =,∗ ρo vo ∗ ∂v∗ ρo vo2 ∗ ∗ po ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ρ ρ v · ∇ p + µ ∇ · τ +ρo |fmo |ρ∗ fm , ∇ + v = − o to ∂t∗ Lo Lo L2o

(6.50)

ρo cv To ∗ ∂T ∗ ρo vo cv To ∗ ∗ ρ ρ v · ∇∗ T ∗ = + ∗ to ∂t Lo −

K o To ∗ v2 = po vo ∗ ∗ ∗ p ∇ · v + µo o2 τ ,∗ : ∇∗ v∗ + ∇ · (k ∗ ∇∗ T ∗ ); Lo Lo L2

(6.51)

el super´ındice * en los operadores divergencia, gradiente, y laplaciano indican derivaci´ on respecto a x∗ . En forma adimensional el sistema (6.49)-(6.51) se escribe Lo ∂ρ∗ + ∇∗ · (ρ∗ v ∗ ) = 0, vo to ∂t∗

(6.52)

= µo po ∗ ∗ Lo |fmo | ∗ ∗ Lo ∗ ∂v ∗ ρ ∇ p + ρ fm + ∇∗ · τ ,∗ , + ρ∗ v ∗ · ∇ ∗ v ∗ = − 2 2 ∗ vo to ∂t ρ o vo vo ρo vo Lo

(6.53)

Lo ∗ ∂T ∗ po ρ p∗ ∇ ∗ · v ∗ + + ρ∗ v ∗ · ∇ ∗ T ∗ = − ∗ vo to ∂t ρo cv To = Ko µo vo τ ,∗ : ∇∗ v∗ + ∇∗ · (K∇∗ T ∗ ). ρo cv To Lo ρcv vo Lo

(6.54)

La semejanza f´ısica entre dos problemas fluidodin´ amicos requiere: 1.

Igualdad de las ecuaciones en ambos problemas, lo que implica igualdad de los par´ ametros adimensionales Lo , vo to

po , ρo vo2

Lo |fmo | , vo2

µo po µo vo , , , ρo vo Lo ρo cv To ρo cv To Lo

Ko . ρcv vo Lo

(6.55)

121


2. Igualdad en las condiciones de contorno e iniciales escritas en forma adimensional, lo que exige semejanza geométrica en ambos problemas. 3. Igualdad de las funciones de estado adimensionales µ∗ , µ∗v , K ∗ ... A continuaci´ on se enumeran los parámetros adimensionales que aparecen en las ecuaciones adimensionalizadas y se discutirán sus significados f´ısicos. El n´ umero de Strouhal, St = Lo /vo to , aparece en procesos no estacionarios como el cociente entre las variaciones locales debidas a la no estacionariedad del movimiento a las que hay asociadas un tiempo caracter´ıstico to (normalmente el tiempo caracter´ıstico para variaciones apreciables de las condiciones de contorno) y las variaciones convectivas, asociadas a un tiempo t´ıpico Lo /vo denominado tiempo de residencia. Si el tiempo de residencia es mucho menor que el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno, esto es Lo /vo to 1, una part´ıcula fluida atraviesa el dominio fluido (de dimensi´ on caracter´ıastica Lo ) en un tiempo tan peque˜ no comparado con to que no percibe variaciones apreciables en las condiciones de contorno. Por tanto, en cualquier instante dado la situaci´ on en el interior del dominio fluido es, en primera aproximaci´ on, la que corresponder´ıa a unas condiciones de contorno estacionarias iguales a las existentes en el instante considerado. El movimiento fluido se denomina entonces cuasiestacionario en el sentido de que las derivadas temporales se pueden despreciar en el análisis y el tiempo juega el papel de un par´ ametro. El n´ umero de Euler, Eu = po /ρo vo2 , indica la influencia de la compresibilidad del fluido en el caso de gases y es el parámetro caracter´ıstico de la cavitación en el caso de l´ıquidos. En efecto, en movimientos no dominados por los efectos de la fricción se tiene de la ecuación de cantidad de movimiento |ρ v · ∇ v| ∼ |∇ p| o ρo vo2 /Lo ∼ ∆ p/Lo , (6.56) donde Lo es la longitud caracter´ıstica en la que se producen variaciones de la velocidad del orden de ella misma y ∆ p es el orden de magnitud de las variaciones de presión que se producen en dicha longitud. Si, adem´ as, los efectos de la fricción y adici´ on de calor no son dominantes (de tal forma que el movimiento no es marcadamente irreversible), la relación entre las variaciones de presión y de densidad pueden estimarse en el movimiento de gases como ∂p ∆p po (6.57) ∼ = a2 ∼ γ , ∆ρ ∂ρ S ρo donde a es la velocidad del sonido definida en 2.1 [a = (γ p/ρ)1/2 para un gas perfecto] y γ = cp /cv es la relación de calores espec´ıficos. Combinando (6.56) y (6.57) se obtiene ∆p ρo vo2 1 ∆ρ ∼ ∼ = = γ Mo2 , ρo po po Eu

(6.58)

donde Mo = vo /ao es el n´ umero de Mach que se define como el cociente entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido. De (6.58) se deduce que las variaciones relativas de densidad, para el tipo de movimiento considerado, son proporcionales al cuadrado del n´ umero de Mach, ∆ ρ/ρo ∼ Mo2 . Naturalmente, en movimientos en los que el n´ umero de Mach sea peque˜ no, las variaciones relativas de densidad, del orden del cuadrado del n´ umero de Mach, serán muy peque˜ nas y el gas puede considerarse incompresible en primera aproximaci´ on. En el caso de movimiento de l´ıquidos es bien sabido que cuando la presi´ on estática alcanza un determinado valor, llamado presi´ on de vapor, pv ( para el agua a T = 288 K, pv = 0,017 atm) el l´ıquido hierve (cavita) y se gasifica. A partir de (6.56) se deduce que, para movimientos de l´ıquidos no dominados por la fricci´ on, ρo vo2 1 ∆p ∼ = , (6.59) po po Eu

122


que indica que la disminuci´ on relativa de presi´ on en el movimiento es mayor cuanto menor es el n´ umero de Euler, lo que indica una mayor posibilidad de que se presente cavitaci´ on. El n´ umero de Froude, F r = vo2 /(g Lo ), mide la importancia de las fuerzas de inercia frente a las gravitatorias. Dicho n´ umero también puede interpretarse como el cociente entre el tiempo necesario para que la gravedad origine un cambio apreciable (del orden de vo ) en la componente vertical de la velocidad del fluido, y el tiempo de residencia de las part´ıculas en el dominio fluido, F r = (vo /g)/(Lo /vo ); obsérvese que si F r 1 las fuerzas gravitatorias son despreciables en el movimiento del fluido. Una interpretaci´ on alternativa del n´ umero de Froude resulta de la descomposición de las variaciones verticales de presión en la suma de las variaciones asociadas al movimiento del fluido (∆z p)m , más las variaciones asociadas al efecto de la gravedad (∆z p)g (fluidost´ atica), (6.60) ∂ p/∂ z ∼ (∆z p)/Lo = (∆z p)m /Lo + (∆z p)g /Lo , donde Lo es en este caso una dimensión caracter´ıstica vertical del movimiento fluido. Se tiene (∆z p)g ∼ ρo g Lo ,

(6.61)

y, para movimientos no dominados por la fricci´ on, (∆z p)m ∼ ρo vo2 .

(6.62)

Para l´ıquidos (∆z p)g ∼ 103 × 9,8 × Lo Kg/m/s2 10−1 Lo atm, por lo que para valores usuales de Lo (Lo ∼ 10 m) pueden obtenerse variaciones de presión debidas a la gravedad comparables en muchos casos a las debidas al movimiento [F r ∼ (∆z p)m /(∆z p)g ∼ O(1)]. Sin embargo, en gases, cuya densidad es t´ıpicamente mil veces menor que la de los l´ıquidos, (∆z p)g ∼ 10−4 Lo atm por lo que salvo para variaciones de altura del orden de Lo ∼ 104 m, o movimientos muy lentos (variaciones de presión debidas al movimiento peque˜ nas), se tendrá F r 1 y las fuerzas másicas serán despreciables en el movimiento. El n´ umero de Reynolds, Re = ρo vo Lo /µo , es una medida de la importancia relativa entre las fuerzas de inercia convectiva y las de viscosidad. En efecto, el orden de magnitud de las fuerzas de inercia convectiva es |ρ v · ∇v| ∼ ρo vo2 /Lo , (6.63) mientras que el orden de magnitud de las fuerzas de viscosidad es 2 ∂ v ∂2 v ∂2 v 2 ∼ µo vo , + |µ ∇ v| = µ 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z L2o

(6.64)

donde se ha supuesto, como ocurre, por ejemplo, en muchos casos de flujos alrededor de obstáculos (flujos externos), que las magnitudes caracter´ısticas para variaciones de velocidad son del mismo orden de magnitud en las tres direcciones del espacio. La relación entre (6.63) y (6.64) proporciona el n´ umero de Reynolds. Para movimientos a altos n´ umeros de Reynolds, Re 1, las fuerzas de viscosidad son despreciables frente a las de inercia y al contrario sucede para movimientos a peque˜ nos Re. En el caso de conductos existen, en general, tanto variaciones apreciables de velocidad a lo largo del conducto (dirección del movimiento), con una longitud caracter´ıstica Lo , como, debido a la condición de no deslizamiento en la pared, en la direcci´ on transversal al mismo con una longitud caracter´ıstica Do Lo . Se tiene entonces 2 ∂ v ∂2 v ∼ µ vo /Do2 |µo ∂ 2 v/∂ x2 | ∼ µo vo /L2o , |µ ∇2 v| ∼ µo 2 + (6.65) ∂y ∂ z2

123


que indica que las fuerzas de viscosidad están asociadas principalmente a la difusi´ on transversal de cantidad de movimiento (el contorno del conducto act´ ua como una fuente o sumidero de cantidad de movimiento longitudinal). A partir de (6.63) y (6.65) se obtiene |ρ v · ∇ v| ρo vo Do2 Do , ∼ = Re 2 |µ ∇ v| µ Lo Lo

(6.66)

donde el n´ umero de Reynolds se define en este caso como Re = ρo vo Do /µo . El par´ ametro Re Do /Lo mide, por tanto, la importancia relativa entre las fuerzas de inercia convectiva y las de viscosidad en el movimiento en conductos. El n´ umero de Peclet, P e = ρo cp Uo Lo /Ko , representa la relación entre la convección de energ´ıa interna y el calor recibido por conducci´ on. En efecto, si Lo es una longitud caracter´ıstica para una variaci´ on de temperaturas ∆ T a lo largo del movimiento, el término de convección de energ´ıa interna puede estimarse como ρ cv v · ∇ T ∼ ρo cv vo ∆ T /Lo ∼ ρo cp vo ∆ T /Lo ,

(6.67)

y el término de conducción de calor como ∇ · (K ∇ T ) ∼ Ko ∆ T /L2o ,

(6.68)

donde se ha supuesto que las longitudes caracter´ısticas para variaciones del orden de ∆ T son del mismo orden de magnitud en todas las direcciones del espacio (flujos externos). Dividiendo (6.67) y (6.68) se obtiene el n´ umero de Peclet. En movimientos en conductos existen, en general, tanto variaciones de temperaturas longitudinales, con longitud caracter´ıstica Lo , como transversales, con longitud caracter´ıstica Do Lo . Se tiene entonces 2 ∂2 T ∂ T ∂2 T ∇ · (K ∇ T ) ∼ Ko ∼ Ko ∆ T /Do2 Ko + ∼ Ko ∆ T /L2o (6.69) 2 2 ∂y ∂z ∂ x2 y

ρ cv v · ∇ T ρo cp vo ∆ T /Lo = P e Do /Lo ; ∼ ∇ · (K ∇ T ) K ∆ T /Do2

(6.70)

ametro donde el n´ umero de Peclet se define, en este caso, como P e = ρo cp vo Do /Ko . El par´ P e Do /Lo representa, por tanto, la relaci´ on entre la convección y la difusi´ on de calor en flujos en conductos. El n´ umero de Peclet se puede escribir en la forma P e = Re µo cp /Ko = Re P r, donde P r = µo cp /Ko es el n´ umero de Prandtl que, como se vio en 2.6.1, representa la importancia relativa entre dos fenómenos de transporte similares: la difusión viscosa o difusión de cantidad de movimiento y la difusi´ on de calor. Obsérvese que el n´ umero de Prandtl es una propiedad del fluido y no del tipo de flujo considerado. El par´ ametro po /(ρo To cv ) representa, en gases, la relación entre el trabajo de compresión y la convección de energ´ıa interna (en l´ıquidos perfectos dicho par´ ametro no aparece, puesto que ∇ · v = 0). En efecto, ρ cv v · ∇ T ∼ ρo cv vo ∆ T /Lo (6.71) y −p ∇ · v =

po vo ∆ T p Dρ po ∆ ρ , ∼ ∼ ρ Dt ρo (Lo /vo ) Lo To

(6.72)

donde para estimar la derivada sustancial se ha usado el tiempo caracter´ıstico de residencia de las part´ıculas en el dominio fluido, tr ∼ Lo /vo , y se han relacionado las variaciones relativas de densidad con las variaciones relativas de temperatura mediante estimación de órdenes de magnitud


124

en la ecuación de estado del gas que proporciona (suponiendo que las variaciones relativas de presi´ on son a lo sumo del orden de magnitud de las de temperatura) ∆ ρ/ρo ∼ ∆ T /To . A partir de (6.71) y (6.72) se obtiene Rg −p ∇ · v po = = γ − 1, (6.73) ∼ ρ cv v · ∇ T ρo cv To cv donde γ es la relación entre los calores espec´ıficos. Se observa, por tanto, que este par´ ametro solamente depende del gas y no del tipo de movimiento. Además es siempre de orden unidad (γ = 1,4 para el aire), por lo que en la ecuaci´ on de la energ´ıa interna de un gas siempre deben aparecer juntos los términos correspondientes a la convección de energ´ıa interna y al trabajo de compresión. Por esta razón, en el caso de movimiento de gases es conveniente sustituir la ecuación de la energ´ıa interna por la ecuaci´ on de la entalp´ıa, donde no aparece expl´ıcitamente el trabajo de compresión, sino el trabajo mecánico de las fuerzas de presión. En movimientos de gases a bajos n´ umeros de Mach, esta sustitución permite resolver por separado el problema mecánico (calculado con ∇ · v = 0) del problema térmico. El par´ ametro µo vo /(ρo cv Lo To ), donde To es una variaci´ on t´ıpica de temperatura en el movimiento, representa la relación entre la energ´ıa disipada por viscosidad y la convecci´ on de energ´ıa interna. En efecto, para flujos externos se tiene que =

por lo que

τ : ∇v ∼ µ ∇ v : ∇ v ∼ µo vo2 /L2o ,

(6.74)

µ∇v : ∇v µo vo 1 vo2 µ vo2 /L2o . = = ∼ ρ cv v · ∇ T ρo cv vo ∆T /Lo ρo cv ∆T Lo Re cv ∆T

(6.75)

Definiendo un n´ umero de Mach basado en la temperatura caracter´ıstica To , Mo2 = vo2 /γ Rg To , (6.75) se escribe, en el caso de gases, como γ(γ − 1)Mo2 To /(Re∆To ). En l´ıquidos el valor de la expresión (6.75) suele ser muy peque˜ no; en efecto, si se compara este valor para agua y aire bajo condiciones similares de flujo se tiene cv g 1 [µo /(ρo cv )]l [vo /(Lo ∆T )]l ∼ 10−1 ∼ 1, [µo /(ρo cv )]g [vo /(Lo ∆T )]g cv l 40

(6.76)

donde los sub´ındices l y g se refieren al l´ıquido y al gas respectivamente y se ha tenido en cuenta que bajo condiciones similares de flujo, [vo /(Lo ∆T )]l ∼ [vo /(Lo ∆T )]g . Para flujos en conductos se tiene que µ ∇v · ∇v 1 vo2 µo vo2 /Do2 , = ∼ ρ cv v · ∇ T ρo cv vo ∆T /Lo Re Do /Lo cv ∆T

(6.77)

donde Re = ρo vo Do /µo .

Referencias y lecturas recomendadas F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004. L. I. Sedov, Similarity and Dimensional Methods in Mechanics, Academic Press, Nueva York, 1959. G. Mill´ an, Problemas matem´ aticos de la mec´ anica de fluidos. Estructura de las ondas de choque y combusti´ on. Discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias F´ısicas, Matemáticas y Naturales, 1975.

Cap´ıtulo 7

Movimientos unidireccionales 7.1.

Introducci´ on

La dificultad fundamental para la resoluci´ on (exacta o aproximada) de las ecuaciones de NavierStokes reside en los términos no lineales que introduce la convecci´ on. En esta lección se considerarán algunos flujos en los que el término convectivo de la ecuación de cantidad de movimiento es idénticamente nulo, lo que permite obtener soluciones exactas de las ecuaciones de NavierStokes que, aparte de su interés académico, proporcionan ideas cualitativas del comportamiento de los fluidos en situaciones más realistas, para las que los movimientos unidireccionales pueden considerarse casos l´ımites correspondientes a valores extremos de los parámetros adimensionales que caracterizan el movimiento. Como se verá, el estudio de dichas soluciones proporciona conceptos f´ısicos y matemáticos fundamentales para el análisis de situaciones reales más complejas. Además, para la resolución de algunos de los problemas aqu´ı considerados se introducir´ an de un modo intuitivo y sencillo técnicas matemáticas muy potentes (perturbaciones regulares y singulares y soluciones de semejanza) que resultan u ´ tiles en otros cap´ıtulos de la Mecánica de Fluidos. En los Apéndices 7.I y 7.II se exponen brevemente los fundamentos de estas técnicas. En lo que sigue se considerarán primero los movimientos unidireccionales de l´ıquidos en los que la viscosidad se supone independiente de la temperatura o, en otras palabras, cuando las variaciones de temperatura en el l´ıquido son lo suficientemente peque˜ nas como para suponer que la viscosidad es constante en primera aproximación. Ocurre entonces que las ecuaciones que describen el problema mecánico están desacopladas de las del problema térmico y ambos pueden atacarse por separado facilitando su resoluci´ on. Posteriormente, se considerarán los efectos de compresibilidad y conducci´ on de calor mediante el análisis de casos sencillos de movimiento unidireccional y estacionario de gases.

7.2.

Movimiento unidireccional de l´ıquidos

Considérese el movimiento unidireccional de un l´ıquido cuyo campo de velocidades v = u i lleva la dirección del eje x. El cumplimiento de la ecuación de continuidad ∂u = 0, ∂x

(7.1)

requiere la independencia del campo de velocidades respecto a x, u = u(y, z, t), siendo y y z coordenadas cartesianas en un plano perpendicular a x. Por tanto, las tres componentes de la 125

Cap´ıtulo 7. Movimientos unidireccionales

126

ecuación de cantidad de movimiento se simplifican notablemente 2 ∂u ∂ u ∂2 u ∂p ρ , + =− + ρ fmx + µ ∂t ∂x ∂ y2 ∂ z2

(7.2)

∂p (7.3) + ρ fmy , ∂y ∂p (7.4) + ρ fmz , 0=− ∂z donde los términos convectivos son idénticamente nulos debido a que u no depende de x y a que son nulas las componentes de la velocidad seg´ un y y z. Obsérvese que se ha supuesto la viscosidad constante, por lo que el problema mecánico está desacoplado del térmico. Las proyecciones de la ecuación de cantidad de movimiento seg´ un los ejes y y z indican la existencia de equilibrio hidrost´ atico en estas direcciones, dada la ausencia de movimiento seg´ un estos ejes, por lo que la componente transversal de las fuerzas másicas debe derivar de un potencial. En lo que sigue se supondr´ a que fm = −∇ U , as´ı que, de acuerdo con (7.3)-(7.4), p + ρ U (que se suele denominar presi´ on reducida o, mejor a´ un, presi´ on motriz) no depende de y ni de z: 0=−

p + ρ U = f (x, t). Denominando pl ≡ −∂(p + ρ U )/∂ x, la ecuación (7.2) se escribe 2 ∂u ∂ u ∂2u ρ ; + = pl + µ ∂t ∂y 2 ∂z 2

(7.5)

(7.6)

obsérvese que pl , al igual que u, es independiente de x, y sólo depende del tiempo, [pl = pl (t)]. El campo de temperaturas se determina a partir de la ecuación de la energ´ıa interna, una vez conocido el campo de velocidades 2 2 ∂T ∂u ∂u ∂T 2 ρc + Qr + Qq , + (7.7) +u = K∇ T + µ ∂t ∂x ∂y ∂z donde la conductividad térmica del l´ıquido se ha supuesto constante. La ecuación (7.7) expresa que el almacenamiento de energ´ıa interna en la unidad de volumen m´ as el calor que sale de ella por convección es igual al que entra en ella por conducci´ on más los que se le a˜ naden por radiaci´ on y reacción qu´ımica más la potencia por unidad de volumen disipada por viscosidad. Las ecuaciones en derivadas parciales (7.6) y (7.7), que son lineales para la velocidad y la temperatura respectivamente, deben resolverse sujetas a condiciones iniciales y de contorno que deben ser compatibles con la unidireccionalidad del movimiento. Como condiciones iniciales se deben imponer u = uo (y, z) y T = To (x, y, z) en t = 0. (7.8) Además, sobre el contorno que limita al fluido, y cuya geometr´ıa debe ser independiente de x, deben especificarse los valores de la velocidad y temperatura del fluido, u = uc y T = Tc , donde , uc y Tc son la velocidad y temperatura del contorno respectivamente. Para completar el problema será necesario especificar también el gradiente de presión reducida pl (t) o, en su lugar, el gasto volumétrico que atraviesa cualquier sección transversal del conducto Q= u d σ. (7.9) Σ

Conviene indicar, finalmente, que en virtud de la linealidad de la ecuaci´ on (7.6) se pueden superponer soluciones lo que facilita la obtenci´ on de éstas y su interpretación f´ısica de la solución del problema si se separan las contribuciones de las distintas causas que intervienen en el movimiento.

127

7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos

7.2.1.

Movimientos unidireccionales estacionarios

Corriente de Couette Considérese un l´ıquido, de viscosidad µ, situado entre dos placas paralelas e infinitas y el flujo estacionario inducido por el movimiento, con velocidad constante, de una de las placas paralelamente a s´ı misma. En este caso, flujo de Couette, el gradiente de presión reducida es nulo,1 (pl = 0) y la ecuación (7.6) se reduce a ∂2 u = 0, (7.10) ∂ y2 con las condiciones de contorno u(0) = 0 y u(h) = V, (7.11) donde se ha supuesto que la velocidad de la placa inferior es nula y la de la superior es V , véase Figura 7.1. La soluci´ on de (7.10)-(7.11) es un perfil de velocidad lineal (corriente de Couette): u = V y/h ,

(7.12)

y a partir de él se pueden calcular algunas de las caracter´ısticas del movimiento. en efecto, el V

h y x

Figura 7.1: Corriente de Couette. esfuerzo viscoso, τxy = µ ∂ u/∂ y, es constante en todo el flujo e igual a µ V /h, siendo ésta, por tanto, la fuerza por unidad de superficie necesaria para mover la placa superior con velocidad V y la que es necesario hacer, pero en sentido contrario, para que la placa inferior no sea arrastrada por el movimiento del fluido (la medici´ on de esta fuerza constituye un procedimiento simple para determinar experimentalmente la viscosidad de un l´ıquido). La potencia por unidad de superficie comunicada a la placa es, por tanto, µ V 2 /h. Finalmente, el caudal por unidad de longitud que fluye entre las placas es h Vh . (7.13) q= udy = 2 o Corriente bidimensional de Hagen-Poiseuille Corresponde al movimiento estacionario de un l´ıquido entre placas fijas generado por un gradiente de presión reducida pl independiente del tiempo. En este caso, la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x y las condiciones de contorno correspondientes al flujo esquematizado en la Figura 7.2 son: ∂2 u 0 = pl + µ , (7.14) ∂ y2 1

Es ´ este uno de los pocos casos en los que la viscosidad es el mecanismo motor del movimiento del fluido.


128

u(0) = u(h) = 0.

(7.15)

h y x Figura 7.2: Corriente de Hagen-Poiseuille. La solución de (7.14)-(7.15) es el perfil parab´ olico de velocidades, denominado de HagenPoiseuille, pl y(h − y). (7.16) u= 2µ El esfuerzo viscoso µ∂u/∂y es nulo en el centro del canal (y = h/2) y máximo en las paredes (y = 0 e y = h): ∂u pl h pl (7.17) = −τxy (h). τxy = µ = (h − 2 y), τxy (0) = ∂y 2 2 Finalmente, el caudal por unidad de longitud perpendicular al eje z es: h h 3 pl , (7.18) q= udy = 12 µ o que se suele denominar de Poiseuille por analog´ıa con el flujo a través de un conducto de sección circular (véase 7.2.2) estudiado experimentalmente por Poiseuille en 1840. El perfil de velocidad correspondiente al movimiento originado por un gradiente de presi´ on constante y por el movimiento de una de las placas (por ejemplo, la superior) se obtiene sin m´ as que sumar (7.12) y (7.16) en virtud de la linealidad del problema: u=

pl Vy + y(h − y), h 2µ

(7.19)

V h h3 pl + . 2 12 µ

(7.20)

siendo el caudal por unidad de longitud q=

Este campo de velocidades (Couette + Poiseuille) es la base de la lubricación fluidomecánica, que se estudiará en el Cap´ıtulo 8, donde se generalizan estos flujos para el caso h(x, t) y pl (x, t) suponiendo que h var´ıa muy lentamente con x, y que las fuerzas de viscosidad son dominantes en el movimiento. Bajo estas condiciones, y como se verá posteriormente, dicha generalización es inmediata debido a que, en primera aproximaci´ on, el fluido se comporta localmente (en un entorno de cada x) como lo har´ıa en un movimiento unidireccional entre dos placas planas paralelas e infinitas separadas una distancia igual al espesor local h(x, t).

129


7.2.2.

Corriente de Hagen-Poiseuille en un conducto de secci´ on circular constante

Considérese el movimiento unidireccional estacionario de un l´ıquido en un conducto, infinitamente largo, de sección circular y di´ ametro D constante, originado por un gradiente de presi´ on reducida independiente del tiempo. En coordenadas cil´ındricas (x, r, θ), la ecuación (7.6) resulta µ ∂ ∂u 0 = pl + r , (7.21) r ∂r ∂r donde pl = −∂(p + ρU )/∂x; la solución general de (7.21) es u=−

pl r 2 + c1 ln r + c2 . 4µ

(7.22)

Como la velocidad no puede ser singular en el eje, c1 = 0; por otra parte, la velocidad debe ser nula en la pared, r = D/2, as´ı que 2 2r pl D 2 . (7.23) 1− u= 16 µ D El esfuerzo de fricción de la pared sobre el fluido es ∂u pl D , τf = (τrx )r=D/2 = µ =− ∂ r r=D/2 4

(7.24)

mientras que el caudal que circula por el conducto es

2π

Q=

D/2

dθ o

drru = o

π D4 ∂(p + ρ U ) π D4 pl = − . 128 µ 128 µ ∂x

(7.25)

Esta es la conocida ley de Hagen-Poiseuille, que obtuvieron experimentalmente Hagen (1839) y Poiseuille (1840) relacionando el caudal que circula por un conducto circular con la ca´ıda de presión entre sus extremos. En particular, si en dos secciones de un conducto separadas por una longitud L se conocen las presiones, p1 y p2 , y los valores del potencial de fuerzas másicas, U1 y U2 , se tiene que pl = [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/L, por ser pl independiente de la coordenada x, y la ecuación anterior resulta Q=

π D4 [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ] , 128 µ L

(7.26)

que coincide con la expresión obtenida experimentalmente por Hagen y Poiseuille para un conducto o experimentalmente horizontal (U1 = U2 ), de sección circular constante. Este resultado confirm´ la hip´ otesis de no deslizamiento del fluido en la pared hecha por Stokes, que aqu´ı se ha utilizado como condición de contorno. Por otra parte, la comparaci´ on de (7.26) con resultados experimentales permite determinar la viscosidad del fluido que circula por un conducto en una forma harto simple. La fuerza total que, por fricci´ on, el fluido ejerce sobre la pared del conducto entre las secciones x1 y x2 (x2 − x1 = L) se obtiene sustituyendo pl = [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/L en (7.24): Ff = −π D L τf = π D2 [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/4,

(7.27)

expresión que se podr´ıa haber obtenido aplicando la ecuaci´ on de cantidad de movimiento en forma integral al volumen de control contenido entre las dos secciones y la pared del conducto.


130

Es u ´til expresar los resultados anteriores en funci´ on de la velocidad media del l´ıquido en el conducto 4Q D2 pl V¯ ≡ ; (7.28) = π D2 32 µ se tiene entonces 2 2r ¯ (7.29) u = 2V 1 − D que muestra que la velocidad máxima (en el eje del conducto) es doble que la velocidad media. Por otra parte, la expresi´ on de Hagen-Poiseuille (7.26) se escribe a veces en función del n´ umero de Reynolds, definido con la velocidad media, Re = en la forma

ρ V¯ D , µ

(7.30)

L 64 (p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 = . D Re ρ V¯ 2 /2

(7.31)

Es usual definir el coeficiente de fricción cf , también se utiliza el factor de fricción λ = 4cf , como el cociente entre el esfuerzo de fricción en la pared y la presi´ on din´ amica media de la corriente. Teniendo en cuenta (7.27) y (7.31) se tiene cf =

16 τf λ = ¯2 = . 4 Re ρ V /2

(7.32)

Obsérvese que el coeficiente de fricción depende exclusivamente del n´ umero de Reynolds basado en la velocidad media de la corriente. Conviene indicar, finalmente, que la soluci´ on anterior es estable sólo para n´ umeros de Reynolds menores que un cierto valor cr´ıtico, Re∗ (alrededor de 2300). Como se verá en el Cap´ıtulo 16, para Re > Re∗ el flujo se hace turbulento, caracterizándose por variaciones caóticas espacio-temporales de las magnitudes fluidas y los resultados obtenidos en esta sección, correspondientes a un régimen laminar, unidireccional y estacionario, dejan de ser v´ alidos.

7.2.3.

Movimientos unidireccionales no estacionarios

Movimiento impulsivo de una placa. Problema de Rayleigh Como ejemplo de flujo unidireccional no estacionario, se considerar´ a primero el movimiento de un l´ıquido ilimitado generado por el arranque impulsivo de una placa.2 Si y es la distancia de un punto del dominio fluido a la placa m´ ovil, la ecuación diferencial y las condiciones iniciales y de contorno que gobiernan el problema son: ∂u ∂2 u , =ν ∂t ∂ y2 u(y, 0) = 0;

u(0, t) = V,

u(∞, t) = 0,

(7.33) ∀t > 0.

(7.34)

Definiendo la nueva variable adimensional v = u/V , se tiene ∂v ∂2 v , =ν ∂t ∂ y2

(7.35)

2 Demuestre el lector que la formulaci´ on de este problema es idéntica al de la difusi´ on de calor en un dominio semiinfinito cuando la frontera del mismo (en y = 0) adquiere s´ ubitamente una temperatura constante.

131

7.2. Movimiento unidireccional de l´ıquidos v(y, 0) = 0;

v(0, t) = 1,

v(∞, t) = 0,

∀t > 0,

(7.36)

es fácil demostrar mediante el análisis dimensional que la ecuación en derivadas parciales (7.36) se puede reducir a una ecuación diferencial ordinaria. En efecto, de la simple inspecci´ on de (7.35)(7.36) se llega a la relación funcional v = v(y, t, ν), (7.37) y tomando como magnitudes dimensionalmente independientes t y ν y aplicando el teorema Π se tiene 3 √ (7.38) v = f (y/ ν t) = f (η); esto es, v(y, t) no√puede ser una funci´ on de√las variables y y t por separado, sino de la combinaci´ on adimensional y/ ν t. La variable η = y/ ν t se denomina de semejanza, y la solución con ella obtenida se llama solución de semejanza debido a que los perfiles de velocidad son semejantes para los diferentes tiempos de acuerdo con la variable η.4 Esta variable convierte la ecuación en derivadas parciales (7.35) en una ecuación diferencial ordinaria que se obtiene sin m´ as que sustituir .. 2 2 ˙ (7.38) en (7.35), teniendo en cuenta que ∂ v/∂ t = −η f /(2 t) y ∂ v/∂ y =f /(ν t), .. 1 f + η f˙ = 0, 2

(7.39)

con las condiciones de contorno f (0) = 1

y

f (∞) = 0;

(7.40)

donde el s´ımbolo ˙ indica derivaci´ on respecto a la variable η. Obsérvese que la condición inicial v(y, 0) = 0 y la condici´ on de contorno v(∞, t) = 0 dan lugar a la misma condici´ on de contorno f (∞) = 0 (si no se redujese también el n´ umero de condiciones de contorno la solución no ser´ıa de semejanza). Una primera integral de (7.39) es 2 f˙ = c1 e−η /4 , (7.41) que integrada de nuevo proporciona

η

f = c2 + c1

e−ξ

2

/4

d ξ.

(7.42)

o

Imponiendo, finalmente, las condiciones de contorno (7.40) se obtiene v=

√ u = 1 − E(η/2) = 1 − E(y/ 4ν t), V

(7.43)

x 2 donde E(x) = √2π o e−ξ d ξ es la función error. La solución (7.43) se representa gráficamente en la figura 7.3. Se observa que, para un instante t dado, √ la velocidad es despreciable [u(y, t) V ] en√puntos situados a distancias de la placa y ν t, mientras que a distancias de la placa y ν t la velocidad ha alcanzado ya un valor muy pr´ oximo al de la placa [u(y, t) V , (1 − u/V ) 1]; los puntos en los que, en el instante t, la velocidad difiere apreciablemente tanto de su valor nulo inicial [u(y, t) − 0 ∼ V ] como de su valor asint´ otico final [u(y, t) − V ∼ V ] se encuentran en plena fase transitoria, y están situados 3 Por tratarse de un problema cinem´ atico (la masa ha desaparecido del problema al dividir la ecuaci´ on de cantidad de movimiento por la densidad) dos es el n´ umero de cantidades dimensionalmente independientes. 4 Una breve introducci´ on a las soluciones de semejanza desde el punto de vista de la invariancia de las ecuaciones frente a grupos de transformaciones paramétricas se proporciona en el Apéndice 7.I.


132

5

y 4

Ö n t

3 2 1 0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1

u / V

Figura 7.3: Soluci´ on del problema de Rayleigh. √ a distancias de la placa y ∼√ ν t.5 Por tanto, se puede definir en cada instante una longitud de penetración viscosa, δv (t) ≡ ν t, que es una medida del espesor caracter´ıstico de la zona a través de la cual ha habido una difusi´ on apreciable de cantidad de movimiento hasta dicho instante. Finalmente, el esfuerzo de fricción que el l´ıquido ejerce sobre la placa y que se opone al movimiento de la misma es ν ∂ u τf = µ = −ρ V . (7.44) ∂ y y=0 πt El problema anterior se complica notablemente si se incluye una placa fija paralela a la m´ ovil a una distancia h de ella, puesto que introduce una longitud caracter´ıstica que impide la existencia de solución de semejanza [debido a la condición de contorno en y = h se tiene, en este caso, v = v(y, t, ν, h), que no puede reducirse a la forma (7.38)]. Con objeto de escribir el nuevo problema en la forma más simplificada posible conviene introducir las variables adimensionales v=

u V

η=

y , h

y

τ=

t , to

(7.45)

donde to es un tiempo caracter´ıstico que se ha introducido arbitrariamente y puede, por tanto, elegirse en la forma más convenientemente. En términos de las nuevas variables, la ecuación y condiciones iniciales y de contorno del problema se escriben ∂v ν to ∂ 2 v , = 2 ∂τ h ∂ η2 v(η, 0) = 0;

v(0, τ ) = 1 y

v(1, τ ) = 0 ∀τ > 0.

(7.46) (7.47)

2

on de longitud La ecuación (7.46) se simplifica tomando to = h /ν que, de acuerdo con la definici´ de penetración viscosa, es el tiempo caracter´ıstico en el que el movimiento de la placa inferior se 5 Esta conclusi´ on también puede obtenerse mediante estimaci´ on de ´ ordenes de magnitud de la ecuaci´ on (7.33). En efecto, para la zona en plena fase transitoria tanto las variaciones temporales como las espaciales son apreciables y, en orden de magnitud, u(y, t) − u(0, t) u(y, t) − u(y, 0) ∼ν ; t y2 teniendo√ en cuenta que, en dicha zona, u(y, t) − u(y, 0) = u(y, t) ∼ V y u(y, t) − u(0, t) = u(y, t) − V ∼ V , se deduce que y ∼ ν t.

133


transmite por difusi´ on a todo el fluido. La soluci´ on del problema (7.46)-(7.47) que, como es sabido, puede obtenerse por separación de variables utilizando series de Fourier, o mediante el método de la transformada de Laplace, es v(η, τ ) = 1 − η −

∞

(2/n π) exp(−n2 π 2 τ ) sen(n π η),

(7.48)

n=1

que se representa en la figura 7.4 para distintos tiempos tomando 50 términos de la serie de Fourier. 1

t = n t/h

0 ,8

= ¥

0 ,1 2

0 ,6

y /h

2

0 ,2 5

0 ,0 8 0 ,4

0 ,0 4 0 ,0 1

0 ,2

0 ,0 0 6 0 ,0 0 2 0 0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

u /V

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1

Figura 7.4: Perfiles de velocidad para distintos tiempos correspondientes al movimiento de un l´ıquido entre dos placas, una en reposo y otra s´ ubitamente puesta en movimiento con velocidad V .

La expresión (7.48) es engorrosa tanto para uso anal´ıtico como computacional, pero es posible encontrar soluciones aproximadas más sencillas del problema para tiempos grandes y peque˜ nos frente a h2 /ν, es decir, en los l´ımites τ 1 y τ 1. En efecto, para t h2 /ν (τ 1) el tiempo transcurrido desde el inicio del proceso es mucho mayor que el requerido por la difusi´ on viscosa para informar al fluido del movimiento de la placa inferior. En estas circunstancias, el fluido ha dispuesto de un tiempo suficiente para adaptarse a las condiciones de contorno estacionarias existentes, y el perfil de velocidades se corresponderá, en primera aproximaci´ on, con el de Couette:

y . (7.49) uV 1− h La validez de esta aproximación, obtenida mediante argumentos f´ısicos, puede comprobarse, en este caso, mediante la solución exacta (7.48); en efecto, la contribuci´ on del régimen transitorio, representado por la serie infinita en (7.48), decae exponencialmente con el tiempo, por lo que la solución exacta tiende a (7.49) cuando τ 1 [de hecho, se observa en la Figura 7.4 que el perfil de Couette es aproximadamente válido incluso para τ = 0(1)]. Por otra parte, para t h2 /ν (τ 1) habr´ a tenido lugar una difusi´ √on apreciable de cantidad de movimiento sólo a través de una delgada capa (capa l´ımite) y ∼ ν t h en la cual están confinadas √ las variaciones apreciables de velocidad (ver Figura 7.4); √ fuera de esta capa, es decir, para y ν t, la velocidad es despreciable. Por tanto, como h ν t, la posición de la placa superior es irrelevante para el movimiento dentro de la capa l´ımite, por lo que en la misma el campo de velocidades debe coincidir, en primera aproximaci´ on, con el correspondiente al problema de Rayleigh: √ u 1 − E(y/ ν t). (7.50) V


134

√ Obsérvese que dicha solución acopla con la solución u/V 0 para y ν t, por lo que (7.50) constituye una aproximaci´ on uniformemente válida no sólo en la capa l´ımite, sino en todo el dominio fluido y ≤ h.6 Corriente inducida por el movimiento de una placa oscilante en presencia de otra fija. Corriente de Stokes Considérese el movimiento periódico de un l´ıquido situado entre dos placas paralelas e infinitas inducido por el movimiento oscilante de una de ellas paralelamente a s´ı misma. Si las placas están separadas una distancia h y la inferior posee un movimiento arm´ onico de amplitud V y frecuencia ω, la ecuación y condiciones de contorno que gobiernan el problema son: ∂u ∂2 u , =ν ∂t ∂ y2 u(0, t) = V cos ω t

y

(7.51)

u(h, t) = 0;

(7.52)

obsérvese que no se han impuesto condiciones iniciales, puesto que se busca una solución periódica. El an´ alisis se simplifica si se tiene en cuenta que, debido a la linealidad del problema, la soluci´ on puede obtenerse como la parte real de la solución u1 del problema de contorno ∂ u1 ∂ 2 u1 , =ν ∂t ∂ y2 u1 (0, t) = V eiω t

y

(7.53)

u1 (h, t) = 0.

(7.54)

Dado que u1 debe ser armónica, si se define u1 = f (y) eiωt , y se sustituye en (7.53)-(7.54) se tiene

(7.55)

..

i ω f = ν f, f (0) = V

y

(7.56)

f (h) = 0,

(7.57)

donde f (y) es una función compleja. La solución de este problema es f (y) = V senh [ i ω/ν(h − y)]/ senh [ i ω/ν h],

(7.58)

con lo que la solución de (7.51)-(7.52) es: u = V senh [ i ω/ν(h − y)] eiωt / senh [ i ω/ν h] ,

(7.59)

o u=

V ¯ e2h¯ + e−2h¯ − 2 cos 2h

¯

¯

e(2h−¯y) cos(ωt − y¯) + e−(2h−¯y) cos(ωt + y¯)−

¯ − y¯) − ey¯ cos(ωt + y¯ − 2h) ¯ , e−¯y cos(ωt + 2h

(7.60)

¯ = [ωh2 /(2ν)]1/2 y el s´ımbolo significa la parte real de la funci´ donde y¯ = [ωy 2 /(2ν)]1/2 , h on compleja. Si se tiene en cuenta que (ν/ω)1/2 es la longitud caracter´ıstica de penetración de los efectos viscosos correspondiente a un tiempo del orden del inverso del periodo de oscilaci´ on es posible 6 Las soluciones asint´ oticas (7.49) y (7.50) pueden también obtenerse mediante los métodos de perturbaciones expuestos en el Apéndice 7.II.

135


obtener expresiones aproximadas de (7.60) en los l´ımites h ν/ω y h ν/ω.7 En el caso h [ν/ω]1/2 resulta más fácil hallar el l´ımite buscado en (7.59) que en (7.60). En efecto, si se tiene en cuenta que (7.61) i ω/ν(h − y) < i ω/ν h = ω/ν h 1, y se hace uso de la expresión aproximada senh z = z + 0(|z|3 ), válida para |z| 1, se obtiene de (7.59): u V (1 − y/h) cos ω t. (7.62) Dicha solución corresponde al problema de Couette casi-estacionario ∂2 u = 0, ∂ y2 u(0, t) = V cos ω t,

(7.63) u(h, t) = 0.

(7.64)

F´ısicamente, el tiempo requerido para que tenga lugar una difusi´ on apreciable de cantidad de movimiento a través de una distancia h ν/ω es muy corto frente al tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno, 1/ω, por lo que el fluido aparece adaptado en cada instante a las condiciones de contorno existentes en dicho instante; es decir, la información del estado de la placa móvil se difunde tan r´ apidamente en el seno del fluido que éste pierde memoria casi inmediatamente de condiciones de contorno anteriores y, en primera aproximaci´ on, se comporta en cada instante como lo har´ıa si la placa inferior se moviese con una velocidad constante de valor igual al que posee en dicho instante. Finalmente, conviene indicar que la ecuaci´ on correspondiente al régimen casi-estacionario, (∂ 2 u/∂ y 2 0) también puede obtenerse mediante un análisis de órdenes de magnitud en (7.51). En efecto, si se divide la ecuación (7.51) por ∂u/∂y y se tiene en cuenta que ∂u/∂t ∼ ωV, ∂u/∂y ∼ V /h, y ∂ 2 u/∂y 2 ∼ ∆h (∂u/∂y)/h, donde ∆h significa variaci´ on en la distancia h, se deduce que ∆h (∂u/∂y) ωh2 1. (7.65) ∼ ∂u/∂y ν Por tanto, las variaciones de ∂u/∂y en distancias del orden de la separación entre placas son 2 2 despreciables frente a ella misma y puede ponerse, en primera aproximaci´ on, ∂ u/∂y = 0. Considérese ahora la forma aproximada de (7.60) en el l´ımite h ν/ω. Si se divide el segundo ¯ miembro de (7.60) por el término dominante e2h es fácil obtener la expresión l´ımite √ (7.66) u V e− ω/2ν y cos(ω t − ω/2 ν y). Por tanto, la velocidad es apreciable s´ olo en una capa adyacente a la placa móvil (capa de Stokes) de espesor caracter´ıstico y ∼ ν/ω h, mientras que es exponencialmente peque˜ na fuera de dicha capa; en efecto, el periodo de oscilación del movimiento inducido por la placa inferior es demasiado corto como para que, en las fases de aceleraci´ on y deceleración que tienen lugar en el mismo, las part´ıculas situadas en la zona y ν/ω (donde el flujo difusivo de cantidad de movimiento es muy peque˜ no) puedan adquirir una cantidad de movimiento apreciable por difusi´ on y responder al movimiento de la placa. Resulta, por tanto, que, en primera aproximaci´ o n, la placa superior (situada en y = h ν/ω) no afecta al movimiento del fluido ni es afectada por éste, por lo que su presencia es irrelevante. De hecho, es fácil comprobar que (7.66) es la solución del problema ∂u ∂2 u , (7.67) =ν ∂t ∂ y2 7

Por razones que aparecer´ an claras m´ as adelante, la cantidad (ν/ω)1/2 se denomina espesor de la capa de Stokes.


136 u(0, t) = V cos ω t,

u(∞, t) = 0,

(7.68)

denominado problema de Stokes, que corresponde al movimiento que toma un l´ıquido que ocupa un semiespacio limitado por una placa cuando ésta oscila paralelamente a s´ı misma y el fluido está en reposo en el infinito. De acuerdo con (7.66), la resistencia por unidad de a´rea o esfuerzo de fricci´ on que ejerce el l´ıquido sobre la placa en la corriente de Stokes es, √ ∂ u τf = µ (7.69) = −ρ ν ω V cos(ω t + π/4), ∂ y y=0 que se opone al movimiento de la placa, pero con un desfase de π/4 radianes en relación a su movimiento.8 Flujo no estacionario de un l´ıquido en un conducto de secci´ on circular Como u ´ltimo ejemplo de flujos unidireccionales no estacionarios, se considerará el caso de un l´ıquido en un conducto que se pone en movimiento por la aplicaci´ on s´ ubita de un gradiente de presi´ on motriz pl = −∂(p + ρ U )/∂ x = [(p + ρ U )1 − (p + ρ U )2 ]/(x2 − x1 ), siendo x = x1 y x = x2 , x2 > x1 , dos secciones cualesquiera del conducto. El l´ıquido está inicialmente en reposo y el conducto de sección circular y di´ ametro D constante se supone infinitamente largo. En estas condiciones, la ecuación de cantidad de movimiento axial y las condiciones iniciales y de contorno que gobiernan el movimiento del l´ıquido son: ∂u 1 ∂ ∂u ρ = pl + µ r , (7.70) ∂t r ∂r ∂r en

t = 0,

u = 0 (0 ≤ r ≤ D/2);

u(D/2) = 0

y

u(0) = ∞

∀t > 0.

(7.71)

La ecuación (7.70) puede hacerse homogénea eliminando la constante pl mediante el cambio de variable 2 2r pl D2 − u, (7.72) 1− u ˆ= 16 µ D donde el primer sumando del segundo miembro es el perfil de velocidades de Poiseuille (7.23) que corresponde a la solución estacionaria a la que tiende u cuando t → ∞. En términos de u ˆ el problema (7.70)-(7.71) resulta ∂u ˆ ν ∂ ∂u ˆ = r , (7.73) ∂t r ∂r ∂r con las condiciones iniciales y de contorno en

t = 0,

2 2r pl D2 (0 ≤ r ≤ D/2); 1− u ˆ= 16 µ D

u ˆ(D/2) = 0

y

u ˆ(0) = ∞ ∀t > 0.

(7.74)

Aunque formalmente el tiempo que tarda en alcanzarse la solución estacionaria, que corresponde a u ˆ = 0, sea infinito, el orden de magnitud de la duraci´ on efectiva del proceso transitorio es to ∼ D2 /ν, como puede obtenerse por comparación de los dos términos de la ecuación anterior; en efecto, teniendo en cuenta que durante dicho proceso el valor t´ıpico de u en el conducto puede estimarse a partir del perfil de Poiseuille como uo ∼ pl D2 /16 µ [ver ecuación (7.72)], que es 8 Una deducci´ on formal de las soluciones l´ımites (7.62) y (7.66) se lleva a cabo mediante métodos de perturbaciones en el Ap´ endice 7.II.

137


también el orden de magnitud tanto de las variaciones temporales como espaciales de u, se tiene que uo /to ∼ ν uo /D2 , o to ∼ D2 /ν. Esto sugiere la introducci´ on de las variables adimensionales τ=

4ν t t = 2, to D

ξ=

2r , D

v=

16 µ u ˆ , pl D 2

(7.75)

mediante las que el problema (7.73) y (7.74) se puede escribir en forma más simple: ∂v 1 ∂ ∂v = ξ , ∂τ ξ ∂ξ ∂ξ v = 1 − ξ 2 (0 ≤ ξ ≤ 1);

v(0, τ ) = ∞,

v(1, τ ) = 0,

∀τ > 0.

(7.76) (7.77)

La solución general de la ecuación (7.76) puede obtenerse por separación de variables de la forma: v(ξ, τ ) = F (τ ) G(ξ), (7.78) que introducida en (7.76) resulta 1 dF 1 d = F dτ ξ dξ

ξ

dG dξ

= −λ2 ,

(7.79)

donde λ es una constante, en principio arbitraria. La soluci´ on de la primera de las ecuaciones en (7.79) es: 2 F = C e−λ τ , (7.80) mientras que la segunda tiene la forma G = A Jo (λ ξ) + B Yo (λ ξ),

(7.81)

donde A, B y C son constantes arbitrarias y Jo e Yo son funciones de Bessel de orden cero.9 Dado que la funci´ on Yo es singular en el eje (ξ = 0), la constante B debe ser nula para que la soluci´ on (7.78) satisfaga la condición de regularidad. Por otra parte, y dado que (7.78) debe anularse en ξ = 1, G(1) debe de ser también nula, por lo que los posibles valores de la constante λ son tales que anulan la funci´ on Jo ; esto es, Jo (λ) = 0. Teniendo en cuenta que las funciones Jo (λn ξ), donde los λn son los ceros positivos de Jo , forman un conjunto completo de funciones en 0 ≤ ξ ≤ 1, la solución se puede escribir como: v(ξ, τ ) =

∞

2

An Jo (λn ξ) e−λn τ .

(7.82)

n=1

Si a (7.82) se le impone la condición inicial 1 − ξ2 =

∞

An Jo (λn ξ),

(7.83)

n=1

y el resultado de multiplicar (7.83) por ξ Jo (λm ξ) se integra entre los l´ımites ξ = 0 y ξ = 1, se obtienen las constantes 8 ; (7.84) Am = 3 λm J1 (λm ) 9 Para las propiedades generales de las funciones de Bessel, as´ ı como su uso en desarrollos en serie, el lector puede consultar varias referencias; por ejemplo, R. V. Churchill y J. M. Brown, 1987, Fourier Series and Boundary Value Problems, o Handbook of Mathematical Tables, eds. M. Abramowitz e I. A. Stegun, National Bureau of Standards, 1972.


138

debe indicarse que en los cálculos anteriores se ha hecho uso de la ortogonalidad de las funciones Jo 1 1 (7.85) Jo (λn ξ) Jo (λm ξ) ξ d ξ = [J1 (λm )]2 δmn , 2 o y de la igualdad

1

(1 − ξ 2 ) Jo (λm ξ) ξ d ξ = o

4 J1 (λm ) , λ3m

(7.86)

donde J1 es la funci´ on de Bessel de orden uno. Por tanto, la soluci´ on del problema es v=

∞ 2 8 16 µ u ˆ = J (λ ξ) e−λn τ , 3 J (λ ) o n pl D2 λ n=1 n 1 n

(7.87)

o, en variables f´ısicas, que se representan en la Figura 7.5, 2 ∞ 2 8 2r 16 µ 2r u(r, t) = 1 − − Jo λn e−λn 4 ν t/D . pl D2 D λ3 J (λ ) D n=1 n 1 n 1

1 6 m u p l D 2

(7.88)

¥

0 ,8

0 ,6 0 ,5 0 ,4

0 ,6

0 ,3 0 ,2

0 ,4 0 ,2

0 ,1

0 0

t = 0 ,0 5

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9 1

2 r/D Figura 7.5: Transitorio en un conducto de sección circular. Perfiles de velocidad para distintos tiempos.

La solución (7.87), o (7.88), es suma de un término transitorio, expresado como una serie infinita de funciones, y la corriente estacionaria de Poiseuille (7.23) a la que tiende la soluci´ on cuando t → ∞. Obsérvese que, como se indicó anteriormente, el orden de magnitud de la duraci´ on efectiva del transitorio es to ∼ D2 /ν, de tal forma que para tiempos grandes frente a D2 /ν el término exponencial se hace muy peque˜ no y la solución se puede aproximar por la corriente de Poiseuille. La solución (7.88), véase Figura 7.5, originariamente obtenida por Szymanski en 1932, se ha obtenido tomando cinco términos de la serie, los cuales son suficientes para que ésta converja con errores menores del uno por ciento para tiempos peque˜ nos y sea prácticamente exacta para τ = 0(1).

139


7.2.4.

Flujos unidireccionales con geometr´ıa cil´ındrica

Otro tipo de movimiento fluido simple para el que existen soluciones exactas es aquel en el que las l´ıneas de corriente son circunferencias centradas en un eje de simetr´ıa com´ un. Dichos movimientos pueden considerarse unidireccionales en el sentido de que en un sistema de coordenadas cil´ındricas (r, θ, z), tomando el eje z como eje de simetr´ıa, la u ńica componente del campo de velocidades es la circunferencial, v = u eθ . En el caso de un l´ıquido, la ecuaci´ on de continuidad, véase Apéndice 5.I, se reduce a ∂u =0 (7.89) ∂θ y expresa que la velocidad u es independiente de la coordenada θ. Por tanto, las ecuaciones de cantidad de movimiento seg´ un las coordenadas r, θ y z son: ∂p u2 =− + ρ fmr , r ∂r

u 1 ∂p 1 ∂ ∂u ∂2 u ∂u − 2 + ρ fmθ , =− +µ r + ρ ∂t r ∂θ r ∂r ∂r ∂ z2 r −ρ

(7.90) (7.91)

∂p (7.92) + ρ fmz . ∂z Obsérvese que, debido a la simetr´ıa respecto al eje z, las fuerzas gravitatorias y, en su caso, las asociadas a la aceleración lineal del sistema de referencia tienen que ser paralelas al eje z: fm,z = −g + ao (t). Por otra parte, las componentes de las fuerzas másicas en las direcciones radial y circunferencial serán las inerciales asociadas al movimiento giratorio del sistema de referencia alrededor del eje z. Si la velocidad angular del sistema de referencia es Ω = Ω(t) ez , de acuerdo con (4.4) se tiene: 0=−

fmr = −Ω2 r − 2 Ω u

y

˙ r, fmθ = −Ω

con

˙ ≡ d Ω/d t. Ω

(7.93)

Sustituyendo (7.93) en (7.90)-(7.92) se deduce que la velocidad u y la presión reducida P = p + ρ[g − ao (t)]z no dependen ni de z ni de θ: u = u(r, t)

y

P = P (r, t).

(7.94)

Debe indicarse que una dependencia de u con la coordenada z originar´ıa, debido a las fuerzas centr´ıfugas y de Coriolis, una dependencia axial de P que producir´ıa un movimiento en la dirección de z, y destruir´ıa el flujo puramente circunferencial. Por tanto, los movimientos puramente circunferenciales son también bidimensionales. En términos de P y u, las ecuaciones (7.90)-(7.92) se transforman en las dos ecuaciones siguientes u2 ∂P + ρ Ω2 r + 2 ρ Ω u = , r ∂r 2 ∂ u 1 ∂u u ∂u . + + ρ Ω2 r = µ − ρ ∂t ∂ r2 r ∂r r2 ρ

(7.95) (7.96)

Finalmente, la ecuación de la energ´ıa, que está desacoplada del problema mecánico (7.95)-(7.96), se escribe

∂T ∂ u u ∂T 2 . (7.97) ρc + =K∇ T +µ r ∂t r ∂θ ∂r r En lo que sigue, se considerarán algunos ejemplos particulares de flujos unidireccionales con geometr´ıa cil´ındrica.


140

Movimiento estacionario de un l´ıquido entre dos cilindros que giran coaxialmente Considérese el movimiento estacionario de un l´ıquido contenido entre dos cilindros coaxiales e infinitos, de radios R1 y R2 (R1 < R2 ), que giran alrededor de su eje con velocidades angulares Ω1 y Ω2 constantes. Para describir el movimiento, se puede tomar un sistema de referencia que gire con alguno de los cilindros, aunque en este caso resulta más conveniente tomar uno fijo. La ecuación (7.96) particularizada para el caso Ω = 0 (ejes fijos) se reduce a 0=

d2 u 1 d u u + − 2, d r2 r dr r

R 1 ≤ r ≤ R2

(7.98)

con las condiciones de contorno u(r = R1 ) = Ω1 R1

y

u(r = R2 ) = Ω2 R2

(7.99)

que resultan de imponer la condici´ on de no deslizamiento en las paredes móviles. La solución general de (7.98) es 1 Ω1 − Ω2 Ω1 R12 − Ω2 R22 C1 r. + C2 r = + (7.100) u(r) = r R12 − R22 R1−2 − R2−2 r donde para obtener C1 y C2 se ha tenido en cuenta (7.99). A partir del campo de velocidades, la presi´ on (reducida) se obtiene mediante (7.95), salvo una constante arbitraria: 2 2 C1 C2 C1 ∂P u2 2 + C r + =ρ = ρ , (7.101) 2 r r3 r ∂r que integrada proporciona P − Po = ρ

C22 r2 C12 + + C ln r . 2 C 1 2 2 r2 2

El esfuerzo viscoso viene dado por Ω1 − Ω2 2µ 2 µ C1 ∂u u , =− 2 =− 2 τrθ = µ − ∂r r r r R1−2 − R2−2

(7.102)

(7.103)

y si Ω2 > Ω1 , el par C por unidad de longitud axial que es necesario aplicar para mantener la velocidad angular de uno de los cilindros, por ejemplo el exterior, es Ω2 − Ω1 2 . (7.104) C = 2 π R2 τrθ (r = R2 ) = 4 π µ R1−2 − R2−2 Obsérvese que el par es independiente de r, as´ı que el que habr´ıa que aplicar al cilindro interior para mantener su velocidad angular ser´ıa el mismo que en el caso anterior pero de signo opuesto. La medida experimental de este par es un procedimiento com´ unmente usado para determinar la viscosidad de los l´ıquidos. Este tipo de aparatos denominados viscos´ımetros poseen geometr´ıas variadas; normalmente, en aquellos que tienen geometr´ıa cil´ındrica se mantiene fijo el cilindro exterior (Ω2 = 0) y se hace girar el interior con velocidad angular Ω, siendo el par necesario 4 π µ Ω/(R1−2 − R2−2 ). Un caso particular del movimiento anterior es, por ejemplo, el generado en el interior de un u ńico cilindro de radio R que gira con velocidad Ω. En este caso, la regularidad en el eje exige C1 = 0 en (7.100) y, por tanto, el campo de velocidades estacionario es el correspondiente a un giro como sólido r´ıgido: u = Ω r. (7.105)

141


Si en el exterior de este u ńico cilindro que gira existe una masa ilimitada de l´ıquido, su distribuci´ on de velocidades viene dada también por (7.100) con C2 = 0 para satisfacer la condición de velocidad nula lejos de la pared del cilindro, u → 0 cuando r → ∞; se tiene entonces u=

R2 Ω . r

(7.106)

Este movimiento es irrotacional, siendo la circulación del vector velocidad alrededor de cualquier curva cerrada que rodee al cilindro Γ = 2 π R2 Ω, véase (3.73). Compruebe también el lector que el par necesario para mover al cilindro con velocidad angular constante es 4 π µ R2 Ω. Es importante indicar que, como se ver´ a en el Cap´ıtulo 15, la solución (7.101) deja de ser estable, y por tanto el movimiento en el interior de los cilindros es distinto al descrito, cuando el n´ umero adimensional T , denominado n´ umero de Taylor, que mide la importancia relativa de las fuerzas centr´ıfugas frente a las viscosas, excede de un cierto valor cr´ıtico Tc . Este valor cr´ıtico depende del cociente ω entre las velocidades angulares de los cilindros; para 0 ≤ ω ≤ 1 la solución numérica del problema de la estabilidad demuestra que la dependencia con ω es muy débil, siendo Tc 1700. Cuando T > Tc aparecen en el movimiento unos vórtices toroidales llamados vórtices de Taylor superpuestos al flujo rotatorio original; estos v´ ortices son perpendiculares al eje de los cilindros y cada par de v´ ortices adyacentes giran en sentidos opuestos. Un estudio detallado de la estabilidad de algunas corrientes fluidas se realizar´ a en el Cap´ıtulo 15. Difusi´ on de un torbellino bidimensional Como ejemplo simple de movimiento no estacionario con l´ıneas de corriente circulares, se considerará la disipación por viscosidad de un torbellino bidimensional cuyo campo de velocidad inicial es Γ vθ = ueθ = (7.107) eθ , vz = vr = 0, 2πr donde Γ es la intensidad del torbellino o circulaci´ on del vector velocidad alrededor de cualquier curva que incluya al origen. Como se ha visto en la sección anterior, este campo de velocidades puede ser generado, por ejemplo, por un cilindro de radio R que gire en el seno de un l´ıquido con velocidad angular Ω [ecuación (7.106)] en el l´ımite formal R → 0, Ω → ∞, de forma que R2 Ω = const. = Γ/(2 π). Obsérvese que la vorticidad es inicialmente nula en todo el campo fluido excepto en el eje, que es infinita; es decir, la vorticidad se encuentra inicialmente concentrada en el origen y se desea analizar cómo se difunde en el seno del fluido a lo largo del tiempo. A partir de (7.96) es f´ acil llegar a la ecuación diferencial que gobierna el campo de velocidades del movimiento del l´ıquido como funci´ on del tiempo y de la distancia al origen 2 ∂u ∂ u 1 ∂u u ; (7.108) + =ν − ∂t ∂ r2 r ∂r r2 la ecuación (7.108) debe resolverse sujeta a las condiciones iniciales y de contorno u(r, 0) = Γ/2 π r;

u(0, t) = ∞,

y

u(∞, t) = 0,

∀t > 0.

(7.109)

La solución de (7.108)-(7.109) se facilita utilizando la vorticidad ω=

1 ∂(ru) u ∂u = + , r ∂r r ∂r

(7.110)

en lugar de la velocidad u. Es fácil obtener la ecuación de vorticidad si se deriva (7.110) respecto a r y se sustituye apropiadamente en (7.108) para obtener ∂u δω =ν ; ∂t δr

(7.111)


142

si ahora se sustituye (7.111) en el resultado de derivar (7.110) respecto al tiempo se obtiene la ecuación de la vorticidad 2 ∂ω ∂ ω 1 ∂ω + =ν , (7.112) ∂t ∂ r2 r ∂r que, como se deduce de (7.109) y (7.110), satisface las condiciones iniciales y de contorno ω(r, 0) = 0 ∀r > 0;

ω(0, t) = ∞ y

ω(∞, t) = 0

∀t > 0.

(7.113)

Este problema es similar al de Rayleigh analizado en (7.2.3), pero con simetr´ıa cil´ındrica; como all´ı, el análisis dimensional (véase también el Apéndice 7.I) demuestra que el problema (7.112)-(7.113) admite solución de semejanza, de forma que ω ν t/Γ es función sólo de la variable de semejanza r/(ν t)1/2 ; esto es ω=

Γ f (η) νt

con

η=

r . (ν t)1/2

(7.114)

Sustituyendo (7.114) en (7.113) se obtiene 1 + η2 ˙ f + f = 0, f¨ + 2η

(7.115)

con las condiciones de contorno f (0) = ∞

y

f (∞) = 0,

cuya solución es f = Ke−η

2

/4

.

(7.116) (7.117)

La constante K se determina imponiendo la condición de que el flujo de vorticidad a través de cualquier plano z = const. sea igual a la circulación a lo largo de cualquier curva cerrada contenida en ese plano y que encierre al origen ∞ ∞ Γ= ω2πrdr = Γ K f (η)2πηdη = 4πKΓ. (7.118) o

o

La condición anterior se justifica por el hecho de que en este problema no existen paredes sólidas que introduzcan vorticidad en el dominio fluido a través de la viscosidad; en este caso la viscosidad difunde la vorticidad en el medio pero no la crea. En variables f´ısicas y de acuerdo con (7.114)-(7.118), la vorticidad se expresa en la forma10 Γ r2 ω(r, t) = exp − (7.119) 4πν t 4ν t y la velocidad viene dada por Γ r2 ωrdr = 1 − exp − . 2πr 4ν t o √ Obsérvese que para distancias r tales que (r ν t), (7.120) se reduce a 1 u(r, t) = r

r

u(r, t)

Γr , 8πν t

(7.120)

(7.121)

10 El problema aqu´ ı resuelto es similar al de conducci´ on de calor en un medio s´ olido infinito desde una fuente de calor concentrada en el eje y con temperatura infinita en el instante inicial, ya que la ecuaci´ on y las condiciones de contorno de estos dos problemas son las mismas.

143

7.3. Corriente de Couette compresible

que corresponde a un giro como sólido r´ıgido con velocidad angular ω(t) = Γ/8 π ν t; de hecho, para t → ∞, todo el fluido se mueve como un sólido r´ıgido con velocidad√angular que tiende a cero, véase (7.121). Por el contrario, a distancias grandes del origen (r ν t) el movimiento es irrotacional, tal y como lo era inicialmente, u(r, t)

Γ . 2πr

(7.122)

En cuanto a la vorticidad y como se indica en (7.119) se va difundiendo radialmente a medida que transcurre el tiempo y transforma el movimiento irrotacional inicial (7.107) en un movimiento rotacional de giro como sólido r´ıgido (7.121).

7.3.

Corriente de Couette compresible

Los efectos de compresibilidad y conducción de calor combinados aparecen en la corriente de un gas entre dos placas planas paralelas y de extensión infinita separadas una distancia H. La placa superior, que se mueve paralelamente a s´ı misma con velocidad constante V y está a una temperatura uniforme TH , fuerza el movimiento del gas mientras que la inferior está en reposo y a temperatura To , también uniforme (To > TH ). Si y es la coordenada perpendicular a las placas, con origen en la inferior, las condiciones de contorno son u=0 y u=V

y

T = To =

ho cp

en

y = 0,

(7.123)

T = TH =

hH cp

en

y = H.

(7.124)

Cuando TH y To son conocidas, los flujos de calor por conducci´ on en las placas son incógnitas a determinar de la resolución del problema, mientras que si se imponen éstos, TH y To deben calcularse como parte de la solución. La ecuación de continuidad y las condiciones de contorno exigen que todas las variables fluidomecánicas sean en este caso independientes de la coordenada x, paralela a las placas. La ecuación de cantidad de movimiento seg´ un y se reduce a ∂ p/∂ y = 0, y teniendo en cuenta que el término ∂ p/∂ x es también nulo, ya que no hay impuesto ning´ un gradiente de presiones, se deduce que la presión es constante. La ecuación de cantidad de movimiento seg´ un x se reduce, entonces, a d du dτ = 0, µ = (7.125) dy dy dy donde se ha supuesto que el efecto de las fuerzas gravitatorias es despreciable. La ecuación (7.125) muestra que, al igual que en el caso de la corriente de Couette incompresible el esfuerzo viscoso es constante e igual a su valor en las paredes τ = τo = τH . Finalmente, la ecuación de la energ´ıa se escribe 2 du d dT µ + K = 0; (7.126) dy dy dy es importante observar que en un flujo compresible el calor conducido desde las paredes y el disipado por la acción de la viscosidad dan lugar a variaciones de temperatura en la corriente, y por tanto a variaciones de la densidad y de la viscosidad del gas. Introduciendo la entalp´ıa h del gas y el n´ umero de Prandtl P r = µcp /K, la ecuación (7.126) resulta 2 du d µ dh µ + = 0. (7.127) dy dy Pr dy


144

Conviene indicar que este cambio de variables no es arbitrario, ya que los coeficientes de viscosidad y conducción de calor, µ y K, dependen de la temperatura, pero en gases el n´ umero de Prandtl es casi independiente de ella y puede ser tomado en primera aproximaci´ on como constante. La ecuación (7.127), teniendo en cuenta (7.125), puede escribirse en la forma d du 1 dh µ u + = 0, (7.128) dy dy Pr dy cuya integraci´ on proporciona µu

du µ dh + = const. dy Pr dy

(7.129)

La ecuación (7.129) puede integrarse una vez más, si se usa u como variable independiente; se tiene entonces u2 . (7.130) h + C2 = P r C1 u − 2 Las constantes de integración C1 y C2 se calculan sin más que imponer las condiciones de contorno sobre las placas V2 , C2 = −hH , y hH − ho = P r C1 V − 2 y por tanto

o

V2 u u2 − Pr , h − ho = h H − h o + P r 2 V 2

(7.131)

V2 u u2 − Pr . cp (T − To ) = cp (TH − To ) + P r 2 V 2

(7.132)

Por otra parte, la integraci´ on de (7.125) proporciona µ(u)

du = τH , dy

(7.133)

que si se integra nuevamente y se imponen las condiciones de contorno en las placas se obtienen respectivamente la relación u 1 µ(u) d u (7.134) y= τH o y el esfuerzo sobre las placas τH = τo =

1 H

V

µ(u) d u.

(7.135)

o

El problema se cierra finalmente si se conoce la dependencia de la viscosidad con la temperatura; la viscosidad de un fluido se conoce mediante datos emp´ıricos, o en el caso particular de gases también mediante la Teor´ıa Cinética de Gases, y su dependencia con la temperatura es función del tipo de gas. Para todos los gases la viscosidad aumenta con la temperatura y puede representarse con suficiente aproximaci´ on mediante una ley potencial de la forma n T µ = , (7.136) µH TH donde µH es el valor de la viscosidad del gas a la temperatura TH .

145


Es interesante introducir el concepto de temperatura de recuperación que se define como la temperatura a la que debe estar la pared fija para que ésta sea adiabática; esto es, flujo de calor nulo, qo = 0. El flujo de calor en la pared fija es ∂ T ∂ T ∂T ∂u Ko τo = − Ko =− , (7.137) qo = −Ko ∂ y y=0 ∂ u ∂ y y=0 µo ∂ u u=0 donde Ko es el valor de la conductividad térmica a la temperatura To y su valor se obtiene fácilmente de (7.136) y de la independencia con la temperatura tanto del n´ umero de Prandtl como del calor espec´ıfico a presión constante. Utilizando la expresi´ on (7.132) en (7.137) y denominando Tr a la temperatura de recuperación se llega fácilmente a Pr V 2 , (7.138) Tr = T H + cp 2 y a la entalp´ıa de recuperación V2 . (7.139) 2 En función de la temperatura de recuperación, el flujo de calor en la pared se puede escribir como hr = hH + P r

Ko To − Tr qo = τo V µo V2

(7.140)

y si se define el n´ umero de Mach 2 MH =

se obtiene

V2 U2 , = γ R TH cp (γ − 1)TH

To − Tr qo = 2 T . τo V (γ − 1)P r MH H

(7.141)

(7.142)

Un resultado interesante es que, como se ve en (7.142), para que exista transferencia de calor desde la pared hacia el fluido es necesario que la temperatura de la pared sea mayor que la de recuperación To > Tr ; no basta, por tanto, que To sea mayor que TH (temperatura de la pared móvil).

7.3.1.

Perfiles de velocidad en la corriente de Couette

Para obtener los perfiles de velocidad es u ´til escribir la expresi´ on (7.132) en términos del n´ umero de Mach MH

u2 u T γ−1 2 2 qo (7.143) = 1 + (γ − 1)P r MH 1− + Pr MH 1 − 2 . TH τo V V 2 V Esta ecuación junto con (7.134) y (7.136) proporcionan en forma impl´ıcita la velocidad de la corriente en funci´ on de y n u

u2 u τo y γ−1 2 2 qo 1 + (γ − 1)P r MH = d u, 1− + Pr MH 1 − 2 (7.144) µH τo V V 2 V o con τo dado por n V

u2 u τo H γ−1 2 2 qo 1 + (γ − 1)P r MH = du 1− + Pr MH 1 − 2 µH τo V V 2 V o

(7.145)


146

cuya integraci´ on numérica no presenta dificultad alguna. No obstante, se discutir´ an aqu´ı dos casos l´ımites de (7.144)-(7.145) para los que existen soluciones simplificadas. a) Caso MH 1. En este caso la relación entre el calor a˜ nadido por conducci´ on y el disipado por viscosidad, −2 qo /τo V , es muy grande, como puede comprobarse de (7.142), qo /τo V ∼ MH . De (7.143), para MH 1, se tiene Tr TH y, por tanto, 1 1 cp (To − TH ) To qo = −1 , (7.146) = 2 τo V Pr V2 P r (γ − 1) MH TH y la expresión (7.143) se reduce a u T To − TH

1− =1+ . TH TH V

(7.147)

Finalmente (7.144) se reduce a

τo y = µH

u

o

n u To − T H

1+ 1− d u, TH V

(7.148)

que integrada proporciona el perfil de velocidades

n+1

n+1 u (n + 1) τo (To − TH ) To − TH T o − TH

1− = 1+ − y, 1+ TH V TH µH V TH

(7.149)

y el esfuerzo en la pared fija, con las simplificaciones anteriores, resulta de integrar (7.145) n+1 To TH 1 V −1 . (7.150) µH τo = n+1 H To − T H TH Obsérvese que en el caso de pared adiabática (qo = 0), se tiene T = To = Tr = TH ; es decir, no existe conducción y la solución (7.148) se reduce a la solución correspondiente al caso incompresible [véase (7.12)]. b) Caso MH → ∞. En este caso, la expresión (7.142) muestra que qo /(τo V ) → 0, lo que indica que la disipaci´ on de energ´ıa mecánica por viscosidad es mucho mayor que la transportada por conducci´ on, y de (7.140) se obtiene To Tr . El campo de temperaturas simplificado se obtiene de (7.143) u2 T γ−1 2 (7.151) =1+ P rMH 1− 2 , TH 2 V y de (7.144), el perfil de velocidades τo y = µH

u

n u2 d u, 1− 2 V

(7.152)

n u2 γ−1 d u. 1+ P rMb2 1 − 2 2 V

(7.153)

1+ o

γ−1 2 P rMH 2

y el esfuerzo en la pared τo b = µH

o

u


Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Teórica, vol. 5, Pergamon 1958. L. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gasdynamics, John Wiley, Nueva York, 1957. R. Fern´ andez Feria, Mec´ anica de Fluidos, Universidad de M´ alaga, 2001.

147


148

´ APENDICE 7.I ´ A LAS SOLUCIONES DE SEMEJANZA INTRODUCCION En este Cap´ıtulo se han obtenido algunas soluciones de semejanza mediante métodos heur´ısticos basados en razonamientos f´ısicos y de análisis dimensional. Por su importancia para el tratamiento de numerosos problemas fluidodin´ amicos, en particular en el análisis de flujos en capas l´ımites que se realizará en el Cap´ıtulo 14, se ilustrará en este Apéndice cómo dichas soluciones pueden obtenerse a partir de una teor´ıa más general, debida al matemático noruego Sophus Lie (1842-1899), que está basada en la invariancia de las ecuaciones y condiciones de contorno que definen el problema frente a grupos de transformaciones paramétricas. Para fijar ideas considérese la ecuación diferencial y condiciones iniciales y de contorno correspondientes al problema de Rayleigh ∂u ∂2 u , (7.154) =ν ∂t ∂ y2 u(y, 0) = 0,

∀y > 0;

u(0, t) = V,

u(∞, t) = 0,

∀t > 0.

(7.155)

Es interesante investigar ahora si dicho problema permanece invariante frente a la transformaci´ on paramétrica t = λ t ∗ , y = λα y ∗ , u = λβ u∗ ; (7.156) es decir, si existen valores de α y β tales que las ecuaciones (7.154)-(7.155) escritas en términos de u∗ , y ∗ y t∗ resultan formalmente idénticas a las escritas en términos de las variables originales u, y y t [ecuaciones (7.154)-(7.155)]. Si dicha invariancia existe y u = F (y, t) es la solución del problema original, entonces la solución del problema transformado es, naturalmente, u∗ = F (y ∗ , t∗ ). Además, la funci´ on u/tβ = F (y, t)/tβ = G(y, t) debe permanecer independiente de λ bajo la transformaci´ on, ya que de (7.156) se deduce que u/tβ = u∗ /t∗β = G(y ∗ , t∗ ) = G(y, t). Por tanto, G puede depender de y y t sólo a través de la combinación y/tα , que transforma independientemente de λ la expresión y/tα = y ∗ /t∗α . Esto exige que la solución del problema sea necesariamente de la forma u = tβ G(y/tα ),

(7.157)

que introducida en las ecuaciones de partida conduce a una ecuaci´ on diferencial ordinaria para determinar G. En efecto, sustituyendo (7.157) en (7.154)-(7.155), se obtiene λ−1 u∗ (y ∗ , 0) = 0,

y ∗ > 0;

∂ 2 u∗ ∂ u∗ = −λ−2α ν , ∗ ∂t ∂ y ∗2 u∗ (0, t∗ ) = λ−β V,

u(∞, t∗ ) = 0,

(7.158) t∗ = 0,

(7.159)

que resultan idénticas a las originales (7.154)-(7.155) si α = 1/2 y β = 0. Por tanto, de acuerdo con (7.157), la solución del problema puede escribirse de la forma √ u = V G(η) con η = y/ ν t, (7.160) √ osito de simplificar la escritura de donde las constantes V y 1/ ν se han introducido con el solo prop´ la ecuación diferencial y condiciones de contorno resultantes de sustituir (7.160) en (7.154)-(7.155).

149

7.II. Introducci´ on a los métodos de perturbaciones

´ APENDICE 7.II ´ A LOS METODOS ´ INTRODUCCION DE PERTURBACIONES Para ilustrar las denominadas técnicas de perturbaciones que, como se verá, facilitan enormemente el análisis y la resolución de problemas en los que existe un par´ ametro peque˜ no, se calcularán en este Apéndice las soluciones (7.62) y (7.66) correspondientes a los reg´ımenes l´ımites en la corriente de un l´ıquido inducida por el movimiento arm´ onico de una placa, paralelamente a si misma, en presencia de otra. En efecto, considérese el problema definido por las ecuaciones (7.49)-(7.50) que, mediante la introducci´ on de las variables adimensionales v=

u , V

η=

y h

y

τ = t ω,

(7.161)

puede escribirse de la forma ∂v ∂2 v , =β ∂τ ∂ η2 v(0, τ ) = cos τ,

(7.162)

v(1, τ ) = 0,

(7.163)

donde β es un parámetro adimensional definido como β≡

ν h2

ω

.

(7.164)

En el l´ımite β 1 se obtiene, dividiendo por β la ecuación (7.162), el problema cuasiestacionario ∂2 v 0 con v(0, τ ) = cos τ ∂ η2

y

v(1, τ ) = 0,

(7.165)

cuya solución, v (1 − η) cos τ,

(7.166)

coincide con (7.62). La solución anterior, que tiene errores del orden β −1 1, se puede hacer tan exacta como se quiera sin más que expandir v en potencias de β −1 : v = vo + β −1 v1 + β −2 v2 + ...,

(7.167)

donde vo , v1 , v2 ... son funciones de η y τ , que se obtienen sustituyendo la expansi´ on anterior en (7.162)-(7.163) e igualando términos con potencias iguales de β. En el orden m´ as bajo se obtiene (7.165), por lo que vo viene dado por el flujo de Couette (7.166). El término de orden β −1 satisface ∂ vo ∂ 2 v1 = ∂τ ∂ η2

con v1 (0, τ ) = v1 (1, τ ) = 0;

(7.168)

sustituyendo vo = (1 − η) cos τ , se obtiene v1 = [η 3 /6 − η 2 /2 + η/3] sen τ.

(7.169)

Cuando la soluci´ on, como en este caso, es uniformemente válida en todo el dominio fluido, se dice que se trata de un problema de perturbaciones regulares y puede obtenerse, por el método indicado, una solución del problema tan exacta como se quiera.


150

En el l´ımite opuesto, β 1, la ecuación (7.162) resulta ∂v 0; ∂τ

(7.170)

v 0,

(7.171)

una de cuyas soluciones satisface simultáneamente (7.170) y la condición de contorno en η = 1. Obviamente esta solución no es uniformemente válida en todo el dominio fluido, puesto que no satisface la condici´ on de contorno en η = 0. Por tanto, existir´ a una capa delgada de fluido en las proximidades de la placa inferior (capa l´ımite) en la cual la solución (7.171) (solución exterior) no es válida. El espesor de esta capa se determina exigiendo que las derivadas temporales y espaciales en la ecuación (7.162) sean del mismo orden. Definiendo η = δ ξ, (7.172) donde la nueva variable ξ se supone de orden unidad en la capa l´ımite, y sustituyendo en (7.162) se tiene ∂v β ∂2 v , (7.173) = 2 ∂τ δ ∂ ξ2 por lo que el espesor δ es del orden β 1/2 1. Haciendo δ ≡ β 1/2 , y teniendo en cuenta que η = 1 equivale a ξ = 1/δ → ∞, δ = β 1/2 → 0, (7.174) el problema dentro de la capa l´ımite se reduce, en primera aproximación al problema de Stokes: ∂2 v ∂v = ∂τ ∂ ξ2

con v(0, τ ) = cos τ

cuya solución v = e−ξ/

√ 2

y

√ cos(τ − ξ/ 2),

v(∞, τ ) = 0,

(7.175)

(7.176)

coincide con (7.66). Esta solución es uniformemente válida [acopla con la soluci´ on (7.167), que tiene errores de orden β −1 1] salvo errores del orden de β −1 . La obtención de soluciones de mayor orden (errores de orden menor) es más complicada que en el caso anterior puesto que habr´ıa que obtener la solución exterior en las siguientes aproximaciones (ve = veo + β ve1 + ..., veo = 0) y acopladas con las sucesivas aproximaciones de la solución en la capa l´ımite, o solución interior, [vi = vio + β 1/2 vi1 + ..., donde vio es la solución de Stokes (7.176)] en el l´ımite η → 0 para ve y ξ → ∞ para vi . Este esquema de solución se denomina método de perturbaciones singulares y, en general, se utiliza cuando en la aproximaci´ on de orden menor desaparece el término que contiene las derivadas de mayor orden en la ecuación, con lo que no se pueden imponer la totalidad de las condiciones de contorno. Aplicando los métodos aqu´ı expuestos al problema planteado en (7.46) y (7.47), el lector puede comprobar f´ acilmente la validez de las soluciones aproximadas (7.49) y (7.50).

Cap´ıtulo 8

Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante 8.1.

Flujo en conductos de secci´ on lentamente variable

Las soluciones obtenidas en el cap´ıtulo anterior son soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes para movimientos unidireccionales en los que el término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento se anula idénticamente. Naturalmente, la unidireccionalidad era debida a considerar los conductos, o paredes que gu´ıan al fluido, de sección constante e infinitamente largos. Se ver´ a a continuaci´ on que, en primera aproximaci´ on, dichas soluciones pueden extenderse fácilmente a conductos y capas l´ıquidas de longitud finita y secci´ on lentamente variable cuando las fuerzas de viscosidad son dominantes frente a las fuerzas de inercia (locales y convectivas). Considérese, por ejemplo, un conducto cuya sección, que se supondr´ a de forma arbitraria, var´ıa lentamente, es decir, sufre variaciones del orden de ella misma en la longitud L del conducto, que se supondr´ a mucho mayor que su dimensión transversal caracter´ıstica (media) Do (∆L D ∼ Do L). En este caso aparecen velocidades transversales cuyo orden de magnitud VT puede estimarse de la ecuación de continuidad ∂ vx ∂ vy ∂ vz ∇·v = + + = 0. (8.1) ∂x ∂y ∂z En efecto, debido a que ∆L D ∼ Do , la constancia del caudal a lo largo del conducto implica ∆L vx ∼ vx ∼ Vo , donde Vo es un valor caracter´ıstico de la velocidad axial a lo largo del conducto. Asimismo, debido a la condición de no deslizamiento en la pared del conducto, las componentes de la velocidad experimentar´ an variaciones transversales del orden de ellas mismas, ∆T vx ∼ Vo y ∆T vy ∼ ∆T vz ∼ VT , en distancias de orden Do . Por tanto, la estimación de órdenes de magnitud en (8.1) proporciona Do VT Vo o VT ∼ (8.2) ∼ Vo Vo , L Do L con lo que el movimiento puede considerarse casi-unidireccional. Suponiendo que las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial, las ecuaciones de cantidad de movimiento en las direcciones x, y, z son 2 ∂ vx ∂ vx ∂ vx ∂ vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx 1 ∂(p + ρ U ) ∂ vx , (8.3) + + + vx + vy + vz =− +ν ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 ∂ vy ∂ vy ∂ vy ∂ vy 1 ∂(p + ρ U ) + vx + vy + vz =− +ν ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y 151

∂ 2 vy ∂ 2 vy ∂ 2 vy + + 2 2 ∂x ∂y ∂ z2

,

(8.4)

152

Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante ∂ vz ∂ vz ∂ vz ∂ vz 1 ∂(p + ρ U ) + vx + vy + vz =− +ν ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z

∂ 2 vz ∂ 2 vz ∂ 2 vz + + 2 2 ∂x ∂y ∂ z2

,

(8.5)

donde ν = µ/ρ es la viscosidad cinemática del fluido. Obsérvese que, salvo errores del orden de (Do /L)2 1, los términos que contienen a ∂ 2 /∂ x2 en la expresión de las fuerzas viscosas pueden despreciarse frente a los que contienen ∂/∂ y 2 y ∂/∂ z 2 . Por otra parte, teniendo en cuenta la condición (8.2), las ecuaciones (8.3)-(8.5) suministran la relación entre las fuerzas de inercia convectiva y de viscosidad. En efecto, de (8.3) se tiene vx ∂ vx /∂ x ∼ Vo /L2 y ν ∂ 2 vx /∂y 2 ∼ ν Vo /D2 , y su cociente Vo2 /L Vo Do Do Do = Re ; (8.6) ∼ ν Vo /Do2 ν L L análogamente, de (8.4) o (8.5) se obtiene también Vo Do Do Do Vo VT /L = Re , ∼ ν VT /Do2 ν L L

(8.7)

donde Re = Vo Do /ν es el n´ umero de Reynolds basado en el diámetro caracter´ıstico del conducto. Por tanto, los términos viscosos serán dominantes frente a los convectivos si Re Do /L 1. Obsérvese que esta condición puede cumplirse incluso para Re 1 si Do /L es suficientemente peque˜ no; no obstante, como se verá posteriormente, los resultados de este cap´ıtulo dejan de ser v´ alidos para Re > Recr , para los que el flujo se hace turbulento (en el movimiento de l´ıquidos en conductos Recr ∼ 2300). Por otra parte, si to es un tiempo caracter´ıstico para variaciones apreciables de las magnitudes fluidas, determinado por el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno, la relación entre los términos de aceleración local y los viscosos está dada por [véase (8.3)] Vo /to D2 ∼ o, 2 ν Vo /Do ν to

(8.8)

Do2 VT /to ∼ , ν VT /Do2 ν to

(8.9)

y de (8.4) u (8.5) se tiene

por lo que las fuerzas de inercia locales serán despreciables frente a las de viscosidad si Do2 /ν to 1. Bajo las condiciones de fuerzas de viscosidad dominantes el orden de magnitud de los gradientes longitudinales y transversales de presión reducida se obtiene de (8.3) y (8.4)-(8.5) como Vo ∆L (p + ρ U ) ∼µ 2 L Do

y

∆T (p + ρ U ) VT ∼ µ 2, Do Do

(8.10)

donde ∆L y ∆T denotan variaciones caracter´ısticas de presión reducida en longitudes del orden de L y Do respectivamente. De (8.10) se obtiene ∆T (p + ρ U ) Do V T ∼ ∼ ∆L (p + ρ U ) Lo Vo

Do L

2 1,

(8.11)

por lo que en primera aproximaci´ on, las variaciones de presión transversales son despreciables y se puede considerar p + ρ U constante en cada sección del conducto. Es decir, p + ρ U = f (x, t)

(8.12)

8.1. Flujo en conductos de sección lentamente variable

153

sustituye a las dos ecuaciones de cantidad de movimiento en sentido transversal.1 Por tanto, la ecuación de cantidad de movimiento longitudinal (8.3) se reduce a 2 ∂ vx ∂ 2 vx pl + µ = 0, (8.13) + ∂ y2 ∂ z2 donde pl = −∂(p + ρ U )/∂ x depende exclusivamente de x y de t a través de la geometr´ıa del conducto y de las condiciones de contorno; estas u ´ ltimas estarán dadas por u = 0 en

C(x, y, z) = 0,

(8.14)

donde C(x, y, z) = 0 representa la ecuación de las paredes sólidas del conducto, y, en su caso, habr´ a que a˜ nadir condiciones de regularidad de u en el interior del dominio fluido (como se ver´ a, dicha condici´ on depende del sistema de coordenadas usado de acuerdo con la geometr´ıa de la sección). La ecuación (8.13) expresa que si las fuerzas de inercia locales y convectivas (asociadas, respectivamente, a la dependencia temporal del proceso y a las aceleraciones que las part´ıculas fluidas experimentan a lo largo del conducto debidas a variaciones de secci´ on) son despreciables frente a las viscosas (Do2 /ν to 1 y Re Do /L 1) el gradiente de presión reducida se emplea, en primera aproximaci´ on, en vencer las fuerzas de viscosidad para mantener el movimiento, siendo despreciable la fracción de dicho gradiente invertida en variar la cantidad de movimiento de las part´ıculas fluidas. Obsérvese que el fluido se comporta en cada sección del conducto como si éste tuviese longitud infinita y secci´ on constante (la local); la coordenada longitudinal x y el tiempo t act´ uan en (8.13) como par´ ametros a través de pl (x, t). Conviene indicar que las ecuaciones de cantidad de movimiento (8.3)-(8.5) son las correspondientes a un conducto recto. No obstante, los resultados y condiciones de contorno anteriores, en particular (8.13) y (8.14), pueden aplicarse a conductos curvos siempre que la relaci´ on entre la dimensión transversal y el radio de curvatura caracter´ıstico Rc sea peque˜ na, es decir, Do /Rc 1.2 En este caso, si x es la coordenada a lo largo de la l´ınea media del conducto, éste puede considerarse como localmente recto en un entorno de cada punto x. Con objeto de obtener resultados v´ alidos para cualquier geometr´ıa de la sección del conducto, conviene escribir las ecuaciones (8.13)-(8.14) en forma adimensional. Para ello debe tenerse en 1 Esta aproximaci´ on es independiente de la hip´ otesis de fuerzas de viscosidad dominantes, siendo una consecuencia, exclusivamente, de la condici´ on geométrica Do /L 1. En efecto, si las fuerzas de inercia convectiva fuesen dominantes se tendr´ıa ρ VT2 ρ Vo2 ∆T (p + ρ U ) ∆L (p + ρ U ) ∼ , ∼ , L L Do Do

por lo que ∆L (p + ρ U )/∆T (p + ρ U ) ∼ (Do /L)2 1. Por otra parte, si las fuerzas de inercia locales fuesen dominantes ρ Vo ∆T (p + ρ U ) ρ VT ∆L (p + ρ U ) ∼ , ∼ , L to Do to por lo que se tendr´ıa tambi´ en ∆L (p + ρ U )/∆T (p + ρ U ) ∼ (Do /L)2 1. 2 Obs´ ervese que en conductos curvos, debido a la aceleraci´ on centr´ıpeta de las part´ıculas, la componente transversal del término convectivo es del orden ρ Vo2 /Rc , donde Vo es la velocidad t´ıpica longitudinal. Si las fuerzas de inercia convectivas son dominantes, se tiene (supuesto Rc ∼ L) ρ Vo2 ∆L (p + ρ U ) ∆T (p + ρ U ) , ∼ ∼ Do Rc L y ∆T (p + ρ U ) Do 1. ∼ ∆L (p + ρ U ) L Este resultado, diferente del obtenido para un conducto recto [∆T (p+ρ U )/∆L (p+ρ U ) ∼ Do2 /L2 Do /L], tambi´ en permite considerar en primera aproximaci´ on p + ρ U = f (y, z) para un conducto curvo independientemente de que las fuerzas de inercia o de viscosidad sean dominantes.

154

Cap´ıtulo 8. Movimiento casi-unidireccional de l´ıquidos con viscosidad dominante

cuenta que, en general, el contorno del conducto vendr´ a definido por una ecuaci´ on de la forma C[y, z, D(x), D1 (x), ...Dn (x)] = 0, donde D(x), D1 (x), ...Dn (x) son longitudes caracter´ısticas de la sección del conducto que aparecen en la ecuación que define su forma. El teorema π permite escribir entonces dicha relación en la forma C(ξ, η, α1 , ...αn ) = 0 donde ξ = y/D(x), η = z/D(x) y αi = Di /D(x) (i = 1, ...n). Si se define ahora la velocidad adimensional µ u= vx , (8.15) pl D 2 donde pl = pl (x, t) y D = D(x), las ecuaciones (8.13)-(8.14) se transforman en ∂2 u ∂2 u + = −1, ∂ ξ2 ∂ η2

(8.16)

u = 0 en C(ξ, η, α1 , ...αn ) = 0,

(8.17)

con la condición de contorno

y la condición de regularidad para u en su caso. El caudal que circula por el conducto, que por continuidad es independiente de x, viene dado por pl D 4 pl D4 udξdη = Φ(α1 , ...αn ), Q= udydz = (8.18) µ µ S(ξ,η,α,...αn ) S(x,y,D,...Dn ) donde S(x, y, z, D, ...Dn ) representa el área de una sección transversal y S(ξ, η, α, ...αn ) es su correspondiente forma adimensional. La funci´ on u d ξ d η, Φ= (8.19) S

que depende u ńicamente de la geometr´ıa de la sección, se denomina factor de forma. Valores del factor de forma Φ para conductos de diferentes secciones se encuentran en los manuales de Hidr´ aulica. Obsérvese que la ecuación (8.18) es una generalización de la ley de Hagen-Poiseuille para secciones de forma cualquiera que pueden variar lentamente con x; la forma de la sección se tiene en cuenta a través del factor de forma Φ. Finalmente, y debido a que el caudal Q es a lo sumo función del tiempo,3 la ecuación (8.18) puede ser integrada una vez para dar la distribuci´ on de presiones a lo largo del conducto x dx . (8.20) p(x, t) + ρ U (x, t) − [p(x, t) + ρ U (x, t)] = µ Q 4 x1 ΦD Conocido el factor de forma, la expresión (8.20) permite determinar la distribuci´ on de presiones necesaria para que circule un caudal dado o el problema inverso de determinar el caudal que circula por el conducto para una distribuci´ on de presiones dada. Para finalizar, y como ejemplo particular, se resolver´ a (8.16)-(8.17) para un conducto de sección circular. En este caso es u ´ til escribir escribir el problema en coordenadas cil´ındricas, 1 ∂ ∂u (8.21) ξ = −1, con u(1/2) = 0, ξ ∂ξ ∂ξ 3 Q puede depender tambi´ en de x en el caso, no considerado en esta secci´ on, en que la geometr´ıa del conducto dependa del tiempo. Esta situaci´ on se considerar´ a posteriormente para el caso pel´ıculas l´ıquidas.

155

8.2. Tubos de longitud finita. Efecto de entrada donde ξ = r/D. La solución regular en el origen [u(0) = ∞] que satisface (8.21) es 1 1 2 u= −ξ , 4 4

(8.22)

y (8.19) proporciona el factor de forma

2π

dθ

Φ= o

o

1/2

1 4

1 − ξ2 4

ξdξ =

π . 128

(8.23)

Obsérvese que, en este caso, Φ es un n´ umero puro debido a que en la ecuaci´ on del contorno circular, x2 + y 2 − D2 (x)/4 = 0, sólo depende de una longitud caracter´ıstica, D(x), y al adimensionalizar no aparecen, por tanto, los αi .

8.2.

Tubos de longitud finita. Efecto de entrada

La ley de Hagen-Poiseuille (8.18) es válida para tubos infinitos siempre que ReD/L 1 y Re ≤ Recr , siendo D una longitud t´ıpica de la sección tranversal del conducto, y L la longitud caracter´ıstica de variaci´ on de las magnitudes fluidas en la direcci´ on del conducto. En esta situaci´ on, el perfil de velocidades es el correspondiente a la solución del problema (8.17)-(8.18) que, para un conducto de sección circular, es el perfil parab´ olico (8.23). Naturalmente, no existen conductos infinitos y, por tanto, en la regi´ on de entrada de los mismos el perfil de velocidades no es el de Hagen-Poiseuille. La Figura 8.1 muestra una fotograf´ıa de los perfiles de velocidad de un flujo laminar en la región de transición pr´ oxima a la entrada del conducto. La visualizaci´ on, por medio de burbujas de hidr´ ogeno generadas en el fluido por electrólisis, demuestra que el perfil de velocidades se va ajustando aguas abajo desde un perfil casi uniforme en la entrada hasta el perfil parab´ olico de Hagen-Poiseuille.

Figura 8.1: Perfiles de velocidad en la regi´ on de entrada. Fotograf´ıa tomada de Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon, 1988. En efecto, si la entrada a un tubo desde un dep´ osito está bien dise˜ nada, la velocidad justo en la sección de entrada del conducto es pr´ acticamente uniforme y de valor Ve , Figura 8.2, salvo en una capa muy delgada en la pared del conducto donde la velocidad cae desde el valor Ve en el

156


exterior de la capa hasta cero en la pared. El espesor de esta capa va creciendo aguas abajo debido a que el efecto de frenado de las paredes se va difundiendo por viscosidad. Mientras que el espesor de esa capa no alcance el eje del conducto existirá, en torno a él, un n´ ucleo no viscoso donde la velocidad es uniforme. La constancia del caudal en cada sección del conducto y el hecho de que la capa viscosa, donde la velocidad del l´ıquido es menor, crezca aguas abajo son responsables de que el l´ıquido del n´ ucleo viscoso se acelere y la presión disminuya aguas abajo, a medida que éste se estrecha. Naturalmente, a medida que el n´ ucleo central no viscoso se estrecha, la inercia del fluido disminuye progresivamente y el perfil de velocidades se va aproximando asint´ oticamente al de Hagen-Poiseuille.

C a p a v is c o s a

N ú c le o n o v is c o s o

P e r fil d e v e lo c id a d e s d e H a g e n -P o is e u ille r

u ( r ,x )

x

L o n g itu d d e e n tr a d a

R e g ió n d e flu jo d e s a r r o lla d o

Figura 8.2: N´ ucleo no viscoso en la región de entrada.

Es claro que en la región de la entrada, de longitud caracter´ıstica Le , los términos de la aceleración convectiva son tan importantes como los viscosos y deben retenerse en las ecuaciones del movimiento para una descripci´ on correcta del flujo en esta zona. Dado que la velocidad longitudinal sufre variaciones del orden de ella misma en una distancia del orden de la longitud de entrada, Le , los términos convectivos ρ v · ∇v serán del orden ρ Ve2 /Le , mientras que los viscosos µ ∇2 v serán del orden de µ Ve /D2 , ya que la velocidad pasa de ser cero en la pared a valer una cantidad del orden de Ve en el centro. El orden de magnitud de Le se obtiene sin más que expresar que ambos términos, de inercia y de viscosidad, son del mismo orden: 4 Le ρ Ve D ∼ Re ∼ . D µ

(8.24)

Cuando la longitud total L del tubo (L D) es tal que Re D/L 1, la longitud de entrada Le es mucho menor que L, Le /L ∼ Re D/L 1, y la ca´ıda de presión en la región de entrada, ∆Le (p + ρ U ) ∼ ρ Ve2 , es muy peque˜ na comparada con la que tiene lugar en la longitud L del tubo supuesto establecido el régimen de Hagen-Poiseuille, ∆L (p + ρ U ) ∼ µ Ve L/D2 ; esto es ∆Le (p + ρ U )/∆L (p+ρ U ) ∼ Re D/L 1. Por el contrario, en movimientos laminares tales que Re D/L ∼ 1 se tiene Le ∼ L y la ca´ıda de presión asociada al efecto de entrada es una fracción apreciable de la ca´ıda de presión total; para su c´ alculo es necesario obtener los campos de velocidades y presiones en la región de entrada. Para ello hay que resolver el problema de la corriente de l´ıquido reteniendo los términos convectivos y viscosos en la ecuación de cantidad de movimiento. En efecto, si v = vx ex + vr er , representan las componentes seg´ un los ejes x y r de la velocidad del l´ıquido 4 El orden de magnitud de la longitud de entrada puede obtenerse alternativamente teniendo en cuenta que el tiempo de penetraci´ on viscosa en el l´ıquido que fluye por el conducto de di´ ametro D es D2 /ν, por lo que la longitud caracter´ıstica que recorren las part´ıculas de fluido situadas en las zonas m´ as interiores de la secci´ on del conducto antes de ser afectadas apreciablemente por la viscosidad es Le ∼ Ve D2 /ν, que coincide con la dada en (8.24).

157

8.2. Tubos de longitud finita. Efecto de entrada

en el movimiento axilsimétrico de la región de entrada y se definen las variables adimensionales ξ=

2x , D Re

η=

2r , D

u=

vx , Ve

v=

vr , Ve

p=

p + ρU , ρ Ve2

(8.25)

las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento seg´ un el eje x en coordenadas cil´ındricas se escriben ∂u 1 ∂ + (ηv) = 0, (8.26) ∂ξ η ∂η ∂u ∂u ∂p 1 ∂ ∂u u +v =− + η , (8.27) ∂ξ ∂η ∂ξ η ∂η ∂η con las condiciones de contorno, u(0, η) = 1,

p(0) = pe

(8.28)

y u(ξ, 1) = v(ξ, 1) = 0,

(8.29)

donde se ha supuesto que el movimiento es estacionario y que D/L 1, lo que hace innecesaria, en primera aproximaci´ on y con errores de D2 /L2 1, la ecuación de cantidad de movimiento seg´ un la dirección radial. Naturalmente, el gradiente de presiones ha de obtenerse como parte de la solución con la condición adicional de que el gasto a través de cualquier sección sea constante (independiente de ξ): 1 ∂ u η d η = 0. (8.30) ∂ξ o

Figura 8.3: Evoluci´ on de la velocidad en el eje y de la presión adimensionales en la región de entrada.

El sistema (8.26)-(8.27) es parabólico y se puede resolver numéricamente mediante cualquier sistema numérico apropiado. Aqu´ı se ha resuelto mediante un método de integraci´ on, denominado

158


de l´ıneas, que resulta particularmente apropiado para la resoluci´ on de problemas parab´ olicos como el que nos ocupa. En el método de l´ıneas se discretizan las ecuaciones en derivadas parciales en la dirección perpendicular al flujo y el sistema de ecuaciones diferenciales resultantes se integra en la dirección del flujo. Un breve detalle del método de l´ıneas se encuentra en el Apéndice 8.I. La ca´ıda de presión en la región de entrada obtenida mediante la integraci´ on por el método de l´ıneas de (8.26)-(8.30) se representa en la Figura 8.3.

Aplicaci´ on a la descarga de un l´ıquido a trav´ es de un conducto vertical de secci´ on lentamente variable Considérese un tubo vertical, de longitud L, cerrado por su extremo inferior y abierto a la atmósfera por el superior, que contiene un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad µ. El conducto es de sección lentamente variable de radio R(x) = Ro +α x con α = |R1 −Ro |/L 1, donde x representa la distancia a una sección genérica medida respecto del extremo superior y Ro ∼ R1 son los radios de las secciones superior e inferior respectivamente. En un instante dado, se abre el extremo inferior y el l´ıquido fluye por el conducto bajo la acci´ on de la gravedad. Se desea estudiar el movimiento del l´ıquido en el supuesto de que las fuerzas de viscosidad sean dominantes. Se supondr´ a también que los efectos de la tensión superficial en la interfase aire-l´ıquido son despreciables. Compruebe el lector que para ello se requiere que las fuerzas gravitatorias, del orden de ρgRo , sean mucho mayores que las de tensión superficial, ζ/Ro ; ζ es la tensión superficial l´ıquido-aire. Como se ha visto anteriormente, para que el flujo sea con fuerzas de viscosidad dominantes es necesario que los parámetros Re R/L y ρ R2 /(µto ) sean peque˜ nos; R es un radio caracter´ıstico del conducto (R = Ro por ejemplo). Una estimación de la velocidad caracter´ıstica del l´ıquido en el conducto, necesaria para estimar el n´ umero de Reynolds, puede hacerse fácilmente a partir de la ecuación de cantidad de movimiento que, como es sabido, si el movimiento es con fuerzas de viscosidad dominantes, el gradiente de presion reducida ∇ (p + ρgz) ∼ ∆ (p + ρgz)/L ∼ ρg y las fuerzas de viscosidad por unidad de volumen µ∇2 v ∼ µ vc /R2 se compensan. Se obtiene entonces vc ∼

ρgR2 , µ

to ∼ L/vc

y

Re R/L ∼

ρ R2 ρ2 gR4 1. ∼ 2 µ to µ L

Antes de proceder a la resolución del problema conviene volver al concepto de regi´ on de entrada, o región donde el flujo evoluciona desde uno dado hasta el de Poiseuille. Este es el caso que ocurre cerca de la interfase plana aire-l´ıquido, que lo es porque el perfil de velocidades del l´ıquido en ella es uniforme. Cerca de la interfase, más precisamente a distancias de ella del orden de Re R o menores, el régimen de velocidades existente es distinto del de Poiseuille. Sin embargo, si el l´ıquido fluye de modo que las fuerzas de viscosidad sean dominantes, la longitud de esta región es muy peque˜ na comparada con L (Re R/L 1) y, por tanto, no contribuye pr´ acticamente a la caida de presión total. Dicha regione se puede considerar como una zona de transición donde el perfil de velocidades del l´ıquido evoluciona desde la forma plana que posee en la interfase a la de Poiseuille, pero sin efecto alguno sobre las cantidades de interés del problema. Para la resolución se parte de la relación entre el caudal y el gradiente de presiones, que en el régimen de Poiseuille es πR4 (x) ∂(p + ρ g z) Q=− . (8.31) 8µ ∂x Si s(t) representa la posición de la interfase aire-l´ıquido medida desde el extremo superior del conducto, la integraci´ on de (8.31) entre la interfase y la salida del conducto proporciona L 8 µQ L d x d(p + ρ g z) = − (8.32) 4 π s R (x) s

8.3. Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomecánica

159

o

8µQ (8.33) (Ro + α s)−3 − (Ro + α L)−3 = ρ g (L − s), 3πα donde el origen de alturas se ha tomado en el extremo inferior del conducto y se ha impuesto la condición de que la presión del l´ıquido es la atmosférica tanto en la interfase como en la sección de descarga, de radio R1 . Por otra parte, la condici´ on de conservación de la masa aplicada al volumen de control, variable con el tiempo, formado por las paredes del conducto, la interfase y la secci´ on de salida se tiene L d π(Ro + α s)2 d s + ρ v · n d σ = 0, (8.34) ρ dt Σ(R1 ) s donde se ha tenido en cuenta que el flujo m´ asico a través de las paredes es nulo y también lo es a través de la interfase por ser ésta una superficie fluida. Si Q(t) es el caudal, volumen por unidad de tiempo, que fluye en cada instante a través de las secciones del conducto, la integración de (8.34) proporciona ds Q = π R2 (s) , (8.35) dt que junto a (8.33) constituyen un sistema de dos ecuaciones para el cálculo de la posición de la interfase y el caudal como funciones del tiempo. Sustituyendo (8.35) en (8.33) y definiendo las variables adimensionales ξ = s/L, τ = (3 ρ g Ro t)/(8 µ) y el parámetro adimensional r = (R1 − Ro )/Ro , se obtiene la ecuación adimensional que determina la posici´ on de la interfase como función del tiempo

1 dτ 1 (1 + r ξ)2 α . (8.36) − = dξ 1−ξ (1 + r ξ)3 (1 + r)3 La integraci´ on de esta ecuación con la condición inicial τ (0) = 0 proporciona ατ =

ξ[4 + r(2 + ξ)] ln(1 + r ξ) r , + 1+r (1 + r)3 2

(8.37)

y el tiempo de descarga adimensional ln x 1 + 3 x2 Ro τ (1) = + L x(x − 1) 2 x2

con x = R1 /Ro ,

(8.38)

que se representa en la Figura 8.4 como función de R1 /Ro . Obsérvese que el tiempo de descarga disminuye a medida que aumenta el radio de salida R1 .

8.3.

Movimiento en capas l´ıquidas. Lubricaci´ on fluidomec´ anica

Cuando dos superficies sólidas en contacto poseen un movimiento relativo entre ellas, la disipación de energ´ıa originada por la fuerza de rozamiento da lugar a una elevaci´ on grande de la temperatura de las superficies con el consiguiente da˜ no para ellas. Para reducir la fricci´ on y minimizar el da˜ no producido se introduce, como es sabido, un lubricante entre las superficies. La potencia disipada crece, naturalmente, con la velocidad relativa entre superficies y, por tanto, debido a las altas velocidades de giro alcanzadas hoy en d´ıa, es necesario conseguir una lubricación eficaz de las superficies deslizantes para impedir los catastróficos efectos derivados de una lubricación insuficiente. En esencia, el fenómeno de la lubricación se basa en que en una capa fluida muy delgada los esfuerzos de fricción originados por el movimiento, aunque peque˜ nos comparados con la presión, act´ uan a lo largo de distancias comparativamente grandes, y pueden dar lugar a variaciones

160


Figura 8.4: Tiempo adimensional de vaciado Ro τ (1)/L como función de la relación de radios R1 /Ro .

importantes de la presión si se elige apropiadamente la geometr´ıa de la capa fluida; dichas fuerzas de presión son las que permiten la separación de las superficies que limitan la capa l´ıquida cuando éstas se encuentran solicitadas por acciones que tienden a ponerlas en contacto. Para ilustrar el fen´ omeno, se considerará primero el movimiento en una capa fluida delgada bidimensional entre dos superficies sólidas originado por un gradiente de presi´ on (o de presión reducida) y por el movimiento de una de las superficies sólidas, lo que constituye una generalizaci´ on de los flujos de Couette y de Poiseuille considerados en 7.2.1 y 7.2.2. Este problema se extenderá posteriormente al caso de capas l´ıquidas tridimensionales, véase 8.4.1, donde se obtendr´ a la denominada ecuación de Reynolds de la lubricaci´ on fluidomecánica. En 8.4.2 se aplicará dicha ecuación al caso de cojinetes cil´ındricos, de gran interés práctico como dispositivos antifricción usados en maquinaria.5 Considérese una pel´ıcula l´ıquida bidimensional, confinada entre dos superficies s´ olidas, una de las cuales es plana y se mueve paralelamente a s´ı misma con velocidad V relativa a la otra superficie, Figura 8.5. Para describir el movimiento del l´ıquido se utilizar´ a un sistema de referencia fijo (x , y), donde la coordenada y representa la distancia a la placa móvil y x es la distancia a lo largo de ella medida desde el origen de la pel´ıcula, de tal forma que el espesor de la pel´ıcula es una funci´ on h(x) conocido. El movimiento de la capa de fluido es debido tanto al movimiento relativo entre superficies como, en general, a una diferencia de presión reducida Po − P1 = po + ρ Uo − (p1 + ρ U1 ) entre sus extremos, siendo U el potencial de fuerzas másicas. Si la capa l´ıquida es muy delgada, ho L, (8.39) donde ho es el espesor caracter´ıstico (espesor medio) de la capa l´ıquida y L su longitud caracter´ıstica seg´ un x, es fácil demostrar de la ecuación de continuidad ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(8.40)

que el movimiento en la pel´ıcula l´ıquida es casi unidireccional. En efecto, si Vo representa el orden de magnitud de la componente de la velocidad del l´ıquido u seg´ un el eje x, el orden de magnitud 5 No se deben olvidar, aunque no ser´ an tratados aqu´ı , las modernas aplicaciones de la lubricaci´ on fluidomec´ anica como son el acqua planning, o estudio del comportamiento de los neum´ aticos de los veh´ıculos terrestres que circulan por un pavimento mojado (la pel´ıcula de agua sobre el pavimento puede impedir el contacto entre el neum´ atico y el suelo con la consiguiente pérdida de control del veh´ıculo), o los modernos enfoques de la lubricaci´ on hacia el campo de la Biolog´ıa (por ejemplo, el comportamiento del l´ıquido sinovial en las articulaciones de los vertebrados).

161


L P0=p0+r U0

P1=p1+r U1

E y

S

h(x) x

V

Figura 8.5: Pel´ıcula l´ıquida bidimensional.

de la componente transversal de la velocidad v ∼ VT ∼ ho u/L u ∼ Vo , y el movimiento es casi-unidireccional. Esto no es, claramente, lo que sucede en las regiones de entrada E y salida S donde el flujo no es casi-unidireccional puesto que u ∼ Vo ∼ v ∼ VT . Sin embargo, y puesto que la dimensión caracter´ıstica de estas regiones es del orden de ho , peque˜ na frente a L, los efectos de la entrada y la salida ser´ an despreciables si se cumple que las variaciones de presión en E y S son peque˜ nas frente a las que se encuentran a lo largo de la pel´ıcula, de longitud aproximada L, lo que permite, como se verá posteriormente, describir en primera aproximaci´ on el movimiento de la pel´ıcula sin conocer en detalle el movimiento en las regiones E y S. Las ecuaciones de cantidad de movimiento en las direcciones x e y se escriben ρu

∂u ∂u ∂(p + ρU ) ∂2 u + ρv =− +µ ∂x ∂y ∂x ∂ y2

(8.41)

ρu

∂v ∂v ∂(p + ρU ) ∂2 v ; + ρv =− +µ ∂x ∂y ∂y ∂ y2

(8.42)

obsérvese que, con errores del orden de (h/L)2 , se han despreciado los términos viscosos ν ∂ 2 u/∂ x2 y ν ∂ 2 v/∂ x2 frente a ν ∂ 2 u/∂ y 2 y ν ∂ 2 v/∂ y 2 , respectivamente, y se ha considerado también que el movimiento es estacionario, o casi-estacionario, lo que implica que, o bien V , Po y P1 son independientes del tiempo (en cuyo caso el movimiento ser´ıa estrictamente estacionario), o bien que el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, to , satisface la condición h2o 1, ν to

(8.43)

lo que permite despreciar las fuerzas de inercia locales frente a las viscosas. Debido a que ho L, las variaciones de presión reducida en la direcci´ on y son mucho menores que las variaciones en la dirección x, por lo que, con errores del orden de (ho /L)2 1, se puede suponer que p + ρ U es independiente de y, de modo que, en primera aproximaci´ on, esta u ´ltima

162


condici´ on puede sustituir a la ecuación (8.42). Finalmente, en el supuesto de fuerzas de viscosidad dominantes frente a las convectivas, lo que requiere Vo h2o ho 1, = Re νL L

(8.44)

las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el problema resultan ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y −

(8.45)

∂(p + ρU ) ∂2 u = 0, +µ ∂x ∂ y2

u(x, 0) = V (t),

v(x, 0) = 0,

(p + ρU )x=0 = Po (t),

(8.46)

u[x, h(x)] = 0,

(8.47)

(p + ρU )x=L = P1 (t).

(8.48)

Obsérvese que las condiciones de contorno para la presión reducida se cumplen sólo aproximadamente, puesto que, como se indicó anteriormente, la ca´ıda de presión en las regiones de entrada y salida de la pel´ıcula l´ıquida, E y S, no se conocen con precisión; no obstante, el error cometido es del orden ho /L 1, puesto que la ca´ıda de presión en estas regiones, de espesores ∆ x ∼ ho , es del orden ∆ P ∼ µ Vo /ho , mientras que la ca´ıda de presión en toda la pel´ıcula l´ıquida es del orden ∆ P ∼ µ Vo L/h2o . La integraci´ on de (8.46), junto con las condiciones de contorno para u en (8.47), proporciona el campo de velocidades longitudinales en la pel´ıcula l´ıquida

pl y y (y − h) + V 1 − , (8.49) u(y, x, t) = − 2µ h que puede interpretarse como la superposición de una corriente de Poiseuille asociada al gradiente de presiones y una de Couette debida a la velocidad relativa entre las superficies, siendo pl (x, t) = −∂(p + ρU )/∂x una funci´ on a determinar. Si se sustituye (8.49) en la ecuación de continuidad (8.45), y se integra con respecto a y haciendo uso de la condición de contorno v(x, 0) = 0 se obtiene

dh 2 pl V 1 ∂ pl y h − − + v= (8.50) y . 2µ ∂ x 3 2 4 µ 2h2 d x Como v es también nula en y = h, la ecuación (8.50) particularizada en y = h proporciona la ecuación diferencial que determina pl 3 Vh h pl ∂ + = 0, (8.51) ∂ x 12 µ 2 que expresa que el caudal total por unidad de longitud perpendicular a la pel´ıcula l´ıquida, suma de los de Poiseuille y Couette,

h(x)

udy =

q= o

Vh h 3 pl + , 12 µ 2

(8.52)

es independiente de x. Lo anterior es correcto siempre que, como se ha supuesto, el espesor de la pel´ıcula no dependa del tiempo, aunque el caudal pueda hacerlo a través de las condiciones de contorno, V , Po y P1 , si éstas dependen del tiempo. El valor de q y la distribuci´ on de presiones

163


se obtienen integrando (8.52) y haciendo uso de las dos condiciones de contorno (8.48) para la presión reducida; en efecto la integraci´ on de 12 µ q ∂ (p + ρ U ) 6µV − , = ∂x h2 h3

(8.53)

proporciona la distribuci´ on de presiones y el caudal x x dx dx − 12 µ q , p + ρ U − Po = 6 µ V 2 (x) 3 (x) h h o o ! q=

L

6µV o

dx − P1 + Po h2

" !

12 µ o

L

dx h3

(8.54)

"−1 .

(8.55)

Conocido q puede calcularse pl (x, t) a partir de (8.53) y, finalmente, los campos de velocidades u(x, y, t) y presiones mediante (8.49) y (8.54). La fuerza por unidad de longitud en la direcci´ on y que ejerce el l´ıquido sobre las superficies sólidas es, L p d x, (8.56) Fn = o

seg´ un el sentido positivo de y sobre la de arriba y en sentido contrario sobre la superficie plana. Obsérvese que, para calcular la fuerza sobre la superficie curva, se ha tenido en cuenta que la normal a dicha superficie es, en primera aproximaci´ on, paralela al eje y ya que dh/dx 1. Las fuerzas tangenciales por unidad de longitud sobre las superficies y = 0 e y = h(x) son respectivamente L L ∂ u ∂ u dh d x. (8.57) Ft = − µ µ d x y Ft = −p ∂ y y=0 ∂ y y=h(x) dx o o En el caso de que la presión atmosférica act´ ue sobre la otra cara de las superficies, por ejemplo la superficie curva, las fuerzas normal y tangencial por unidad de longitud son L Fn = (p − pa ) dx (8.58) o

y

Ft = o

L

∂ u dh d x. µ − (p − pa ) ∂ y y=h dx

(8.59)

En las aplicaciones prácticas de la lubricación fluidomecánica, la fuerza normal (8.58) debe sustentar al sólido superior (Figura 8.5). Para ello es necesario que se produzca una sobrepresi´ on importante en el interior de la pel´ıcula l´ıquida, lo que es posible s´ olo si existe alguna zona entre x = 0 y x = L en la que h es decreciente en la dirección del movimiento (d h/d x < 0). En efecto, para fijar ideas, sup´ ongase que h disminuye monótonamente desde la entrada a la salida; como el caudal de Couette V h/2 decrece entonces en la dirección del movimiento, la constancia del caudal total q [ecuación (8.52)] requiere que se genere una sobrepresión en la zona central de la pel´ıcula l´ıquida de tal forma que se produzca un caudal de Poiseuille, h3 pl /12 µ, que compense el exceso (defecto) del caudal de Couette, V h/2. El caudal de Poiseuille es negativo en la zona de entrada, donde h es mayor, y positivo en la zona de salida, donde h es menor. Como se indicó anteriormente, es esta sobrepresión asociada a la disminuci´ on del espesor de la pel´ıcula en la dirección del movimiento, conocida con el nombre de efecto cu˜ na, donde radica la capacidad sustentadora de las pel´ıculas l´ıquidas en la lubricaci´ on fluidomecánica. Para ilustrar cuantitativamente este efecto, sup´ ongase

164


una cu˜ na en la que h = ho − (ho − h1 ) x/L. En el caso en que las presiones a la entrada salida sean iguales po = p1 = pa , y que no haya fuerzas m´ asicas, las ecuaciones (8.55) y proporcionan 1−α q = V ho 1+α y h1 x 1−α s(1 − s) (p − pa )h2o con α = y s= . = φ= 2 6µV L 1 + α [1 − (1 − α) s] ho L

y a la (8.54) (8.60)

(8.61)

La función φ(s) se representa en la Figura 8.6 para dos valores de α, α = 1/2 (curva de trazo discontinuo) y α = 2 (curva de trazo continuo). Esta funci´ on presenta un extremo en s = (1 + α)−1 de valor φext = (1 − α)/[4 α (1 + α)], que es máximo si α < 1 o m´ınimo si α > 1, lo que corresponde respectivamente a la existencia de sobrepresión o de succión en el interior de la pel´ıcula l´ıquida. 0 ,2

a = 1 /2

0 ,1 5

0 ,1

f 0 ,0 5

0

- 0 ,0 5 0

a = 2 0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

S

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1

Figura 8.6: Funci´ on φ(S) [ecuación (8.61)] para α = 1/2 (curva superior) y α = 2 (curva inferior).

Obsérvese, además, que cuando α decrece el valor de dicho máximo aumenta y su posición se desplaza hacia el extremo de salida. Finalmente, la fuerza de presión, por unidad de longitud sobre la superficie superior [ecuación (8.58)] es

1+α 6 µ V L2 ln α − 2 , (8.62) Fn = 2 ho (1 − α2 ) 1 − α mientras que la fuerza de fricción sobre la superficie inferior (superficie m´ ovil) es 6µV L 2 α+1 ln α − 1 . Ff = ho (1 + α) 3 α − 1

8.4.

(8.63)

Capas l´ıquidas tridimensionales. Ecuaci´ on de Reynolds

El análisis anterior puede extenderse fácilmente al caso de una pel´ıcula l´ıquida tridimensional. En efecto, considérese el caso de dos superficies sólidas separadas por una capa l´ıquida muy delgada como se esquematiza en la Figura 8.7. En el sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales ligado a una de las superficies, y es la distancia a la superficie fija y α y β son las coordenadas ortogonales sobre la superficie fija. En este sistema de coordenadas, la superficie móvil, cuya ecuación es y = h(α , β , t), se mueve respecto a la superficie fija (de ecuación y = 0) con una velocidad de componentes Vα , Vβ y ∂ h/∂t

165

8.4. Capas l´ıquidas tridimensionales. Ecuaci´ on de Reynolds

y ¶h/¶t Vb b a

Va

Figura 8.7: Pel´ıcula l´ıquida tridimensional.

en las direcciones α, β e y respectivamente. Se supondrá, como en el caso anterior, que las fuerzas de viscosidad son dominantes frente a las de inercia locales y convectivas, para lo que la velocidad caracter´ıstica Vo ∼ Vα ∼ Vβ en el sentido longitudinal de la pel´ıcula y el tiempo caracter´ıstico del movimiento deben satisfacer las relaciones ρ V o ho ho 1 µ L

y

h2o 1, ν to

(8.64)

donde ho y L son las dimensiones caracter´ısticas transversal y longitudinal de la pel´ıcula, que por ser delgada deben satisfacer la relación ho /L 1. En esta situación, las ecuaciones de cantidad de movimiento seg´ un los ejes y, α y β se reducen a: ∂(p + ρ U ) = 0, ∂y

(8.65)

∂ 2 uα pα +µ = 0, gα ∂ y2

(8.66)

∂ 2 uβ pβ +µ = 0, gβ ∂ y2

(8.67)

donde pα = −∂(p + ρ U )/∂ α

y

pβ = −∂(p + ρ U )/∂ β.

(8.68)

En estas ecuaciones gα dα y gβ dβ son los elementos diferenciales de longitud en las direcciones α y β correspondientes a los incrementos d α y d β de las coordenadas α y β. Teniendo en cuenta que p + ρ U no depende de y, véase (8.65), las ecuaciones (8.66) y (8.67) con las condiciones de contorno uα = uβ = 0 en y = 0 y uα = Uα y uβ = Uβ en y = h, pueden integrarse dos veces para dar −pα uα = y(y − h) + Vα y/h, (8.69) 2 µ gα y −pβ uβ = y(y − h) + Vβ y/h. (8.70) 2 µ gβ

166


Los flujos volumétricos qα y qβ en las direcciones α y β a través de secciones transversales a la pel´ıcula, por unidad de longitud en las direcciones β y α, cuyas expresiones son respectivamente h Vα h h 3 pα + (8.71) qα = uα dy = 12 µ g 2 α o y h Vβ h h3 pβ + , (8.72) uβ dy = qβ = 12 µ g 2 β o muestran que, como en el caso bidimensional, el caudal total resulta de la superposici´ on de la corriente de Couette generada por el movimiento relativo de la superficie móvil con velocidades Vα y Vβ y de la de Poiseuille originada por el gradiente de presiones a lo largo de la pel´ıcula l´ıquida.6

q a g b db

¶q b g a q b g a da + ¾¾¾¾ dadb ¶b

h

q b g a da

¶q a g b q a g b db + ¾¾¾¾ dadb ¶a

g a da g b db

Figura 8.8: Elemento diferencial de pel´ıcula l´ıquida. La ecuación que determina la distribuci´ on de presiones en la pel´ıcula l´ıquida (ecuación de Reynolds) se obtiene sin más que aplicar el principio de conservaci´ on de la masa al elemento de volumen h gα gβ dα dβ representado en la Figura 8.8. Como es sabido, este principio expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la masa dentro de dicho volumen m´ as el flujo neto de masa a través de las superficies laterales es igual a cero; es decir, ∂ ∂ ∂ (ρ h gα gβ ) + (ρ qα gβ ) + (ρ qβ gα ) = 0, ∂t ∂α ∂β

(8.73)

6 Naturalmente, las expresiones de q α y qβ dependen del tipo de condiciones de contorno de cada problema particular. As´ı , por ejemplo, si la superficie y = h es una superficie libre en contacto con un fluido de viscosidad despreciable frente a la del l´ıquido de la capa, la continuidad de esfuerzos tangenciales requiere, en primera aproximaci´ on, ∂ uβ ∂ uα |y=h = 0 y |y=h = 0, ∂y ∂y que se denominan condiciones de esfuerzo tangencial nulo. Si, adem´ as, las componentes de la velocidad de la superficie acil demostrar entonces que qα y qβ vienen dados por inferior son Vα y Vβ , es f´

qα =

h3 pα + Vα h 3 µ gα

y

qβ =

h3 pβ + Vβ h. 3 µ gβ

167

8.5. Movimiento de un lubricante en un cojinete

que es la denominada ecuación de Reynolds, y determina el campo de presiones en la pel´ıcula l´ıquida como función de α, β y t. La ecuación (8.73) es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, lineal en la presi´ on y de tipo el´ıptico. Por tanto, su resoluci´ on requiere que se conozca la presión reducida (condiciones tipo Dirichlet) en todo el contorno, C(α, β) = 0, de la pel´ıcula l´ıquida, o bien su derivada normal (condiciones tipo Neumann) sobre él, lo que es equivalente a especificar qα y qβ ; es decir, sobre C(α, β) = 0 se debe imponer p + ρ U = Po (α, β) o

qn = qα nα + qβ nβ = qo (α, β),

(8.74)

donde nα y nβ son las componentes de la normal al contorno en las direcciones α y β. Pueden existir problemas con condiciones mixtas en las que se impone la presión reducida sobre parte del contorno y el caudal sobre el resto de él.

8.5.

Movimiento de un lubricante en un cojinete

Como aplicación de la ecuación de Reynolds (8.73) se considerará el caso de un cojinete cil´ındrico como el representado en la Figura 8.9. Un cojinete consta en esencia de una parte fija o carcasa y w

z

e

R

o R 1

q

o ´ h (q )

Y

Figura 8.9: Representación esquemática de un cojinete cil´ındrico.

una móvil que gira con una cierta velocidad angular ω. El radio de la carcasa R suele ser un 1 % o un 2 % mayor que el del eje móvil R1 . Sobre el eje móvil act´ ua una carga W , que corresponde a su peso y a cualquier otra acción externa sobre él. Bajo la acción de esta carga y de la velocidad de giro los ejes adoptan una posición excéntrica; e representa la excentricidad entre el eje del cojinete y el ¯ = e. El estudio de la carcasa; O es el centro de la carcasa fija, O es el centro del rótor móvil y OO del movimiento de la pel´ıcula de lubricante entre eje y carcasa está encaminado a determinar la distribuci´ on de presiones y velocidades en la pel´ıcula l´ıquida que son necesarios para calcular la fuerza que el l´ıquido ejerce sobre el eje móvil, que debe estar equilibrada con la carga W en una situación estacionaria. Interesa, también, calcular la fuerza de fricci´ on o el momento de esta fuerza sobre el eje en orden a determinar el par motor necesario que hay que aplicar sobre el eje para que el cojinete gire con velocidad constante ω. Otros par´ ametros de interés, a determinar de este estudio, son el ángulo de actitud ψ o ángulo que forma la l´ınea de centros OO con la carga W , y, naturalmente, el espesor m´ınimo de la pel´ıcula de lubricante. Otros problemas tales como la estabilidad de la corriente o la distribuci´ on de temperaturas originada por la disipaci´ on viscosa, en orden a determinar las temperaturas de las superficies no serán analizados aqu´ı.

168


La geometr´ıa de la pel´ıcula, y en particular su espesor h(θ), puede describirse en funci´ on de la excentricidad del cojinete e y del ángulo acimutal θ. En efecto, de la Figura 8.9 se puede comprobar que: [R − h(θ)]2 + e2 + 2 e[R − h(θ)] cos θ = R12 , (8.75) y haciendo uso de la condici´ on R − R1 ∼ e R se puede linealizar la expresión anterior para dar h(θ) = R − R1 + e cos θ,

(8.76)

η = h/(R − R1 ) = 1 + cos θ,

(8.77)

y en forma adimensional donde = e/(R − R1 ) es la excentricidad adimensional. El punto de arranque del an´ alisis teórico lo constituye la ecuación de Reynolds (8.73). En este caso, si se hace α = θ y β = z, se tiene gα = R y gβ = 1; por otra parte, Vα = ω R1 ω R y Vβ = 0, as´ı que h3 ∂ p h3 1 ∂ p ω R h y qz = − qθ = − + . (8.78) 12 µ R ∂ θ 2 12 µ ∂ z Obsérvese que, debido a la linealidad del problema, el caudal por unidad de longitud seg´ un la coordenada θ es el de Poiseuille, debido al gradiente de presiones, más el de Couette debido al movimiento relativo entre superficies; seg´ un la coordenada z el flujo es exclusivamente el de Poiseuille. Teniendo en cuenta (8.73) y (8.78), la ecuación de Reynolds que describe la distribuci´ on de presiones en el movimiento estacionario de un lubricante de viscosidad µ en el interior de un cojinete cil´ındrico es ∂ 1 ∂ h3 1 ∂ p ω R h h3 ∂ p + − + − = 0, (8.79) R ∂θ 12 µ R ∂ θ 2 ∂z 12 µ ∂ z que, como puede verse, se trata de una ecuación lineal, en derivadas parciales y de segundo orden. Las condiciones de contorno, suponiendo los extremos del cojinete abiertos a la atmósfera, son en

p = pa

L z=± ; 2

(8.80)

por otra parte, si la alimentaci´ on de lubricante es radial, esto es, si existe una ranura, por ejemplo en θ = 0, por donde se introduce el lubricante a la presi´ on de alimentaci´ on po , se tiene p(0, z) = p(2 π, z) = po ,

(8.81)

donde se han impuesto condiciones de periodicidad en virtud de la unicidad de la soluci´ on. Para evaluar la importancia relativa de cada uno de los términos de la ecuación (8.79) resulta u ´til expresarla en forma adimensional. Definiendo las variables adimensionales ξ = z/L,

ϕ=

p − pa , pc

y

η = h/(R − R1 ) = 1 + cos θ,

la ecuación diferencial (8.79) y las condiciones de contorno (8.80)-(8.81) se escriben 2 ∂ ∂ R 6 µ ω R R1 ∂ η 3 ∂ϕ 3 ∂ϕ η + η = , ∂θ ∂θ L ∂ξ ∂ξ pc (R − R1 )2 ∂ θ ϕ(θ, ±1/2) = 0,

ϕ(0, ξ) = ϕ(2 π, ξ) = ϕo ,

(8.82)

(8.83) (8.84)

donde pc es una presión caracter´ıstica introducida arbitrariamente y que, por tanto, puede ser elegida en la forma más conveniente; por ejemplo, haciendo que el par´ ametro del segundo miembro

169


de la ecuación (8.83) sea la unidad. De esta forma, la ecuación (8.83) contiene dos u ńicos parámetros adimensionales, la esbeltez del cojinete, R/L y su excentricidad a través de la variable η, de modo que la presión y cualquier otra variable fluida depende de estos dos par´ ametros además de las variables θ y ξ. Atendiendo a la esbeltez R/L existen dos l´ımites distinguidos del problema (8.83)-(8.84), que corresponden a los casos R/L 1 (cojinete largo) y R/L 1 (cojinete corto), para los que es posible encontrar solución anal´ıtica.

8.5.1.

Cojinete largo

En el l´ımite formal R/L 1 y definiendo pc = 6 µ ω R R1 /(R − R1 )2 , la ecuación (8.83) se reduce a: ∂ ∂ϕ ∂η η3 = , (8.85) ∂θ ∂θ ∂θ que corresponde al caso de un cojinete infinitamente largo; no hay, por tanto, variaci´ on con z. Integrando (8.85) respecto a θ dos veces, se tiene η3 y

θ

ϕ(θ) − ϕo = o

∂ϕ =η+q ∂θ

dθ +q (1 + cos θ)2

(8.86)

θ o

dθ ; (1 + cos θ)3

(8.87)

donde la constante de integraci´ on q, que representa el gasto adimensional, se determina imponiendo la condición ϕ(0) = ϕ(2 π) = ϕo

2π

q = − o 2 π o

dθ 1 − 2 (1 + cos θ)2 =− . 1 + 2 /2 dθ (1 + cos θ)3

(8.88)

Finalmente, de (8.87) y (8.88) se obtiene la distribuci´ on adimensional de presiones7 ϕ(θ) − ϕo =

(R − R1 )2 p − po sen θ(2 + cos θ) = (p − po ) = . pc 6 µ ω R R1 (2 + 2 )(1 + cos θ)

(8.90)

Obsérvese que la presión adimensional es funci´ on de la variable θ exclusivamente; por tanto, la solución (8.90) no satisface las condiciones de contorno en los extremos del cojinete y se dice, entonces, que no es uniformemente válida en todo el dominio fluido. En efecto, si se dibuja p − pa para θ constante, la solución (8.90) es una recta; sin embargo, la solución exacta debe anularse en ξ = 1/2. Lo que sucede en realidad es que existe una capa l´ımite muy delgada adyacente a los extremos, cuyo espesor es del orden R/L, donde la presi´ on cae del valor dado por (8.90) a un valor nulo. Conviene decir que si para calcular fuerzas y momentos globales se utiliza la expresión (8.90) en lugar de la soluci´ on exacta, el error cometido es muy peque˜ no, del orden de R/L. 7 Para obtener las expresiones (8.88) y (8.90), el lector interesado en seguir el desarrollo matem´ atico deber´ a hacer el cambio de variable denominado de Sommerfeld

1 + cos θ =

1 − 2 . 1 − cos x

(8.89)

170


Para una descripci´ on apropiada de lo que sucede cerca de los bordes conviene introducir una coordenada dilatada, con origen en el borde ξ = −1/2, que permita describir apropiadamente la brusca variaci´ on de la presión que tiene lugar cerca de los bordes. Si se define 1 L , (8.91) s= ξ+ 2 R la ecuación (8.83) se escribe en las nuevas variables ∂ ∂ dη 3 ∂ϕ 3 ∂ϕ η + η = ; ∂θ ∂θ ∂s ∂s dθ

(8.92)

como condiciones de contorno se impondrán la condición en el borde y la condici´ on de acoplamiento con la solución (8.90) ϕ(θ, 0) = 0 y ϕ(θ, ∞) = ϕ(θ). (8.93) La ecuación diferencial (8.92) en derivadas parciales, lineal, y de coeficientes variables puede integrarse usando los métodos usuales de separación de variables y desarrollos funcionales teniendo en cuenta que el espesor adimensional de la capa l´ıquido η(θ) es función de una u ńica variable, as´ı como la condición de acoplamiento con la solución exterior para s → ∞. La integraci´ on de este problema proporciona ϕ como función de las variables s y θ, en la capa de espesor R/L. Es obvio que la capa adyacente a ξ = 1/2 puede tratarse de forma an´ aloga. Debe indicarse finalmente que la distribuci´ on de presiones (8.90) podr´ıa no presentarse en situaciones prácticas si las presiones en la pel´ıcula l´ıquida igualasen la presi´ on de vapor del l´ıquido. En ese caso se dice que pueden causar cavitación en la pel´ıcula cuando la presi´ on absoluta alcanza un cierto valor (presi´ on de vapor). Una forma de evitarlo ser´ıa aumentar po , o lo que es lo mismo, el nivel general de presión en el cojinete. Sin embargo, esto conduce a valores muy altos de la presión de alimentación, a menos que se tome el cuidado de poner el orificio de alimentaci´ on del aceite en el punto de m´ınima presión. Como se verá, la posición de este punto depende de la excentricidad del cojinete y de la carga sobre el cojinete W . Para asegurar que el orificio de alimentaci´ on no cae en la zona de altas presiones al variar la carga se suele colocar entre el punto de m´ınima presión y el de θ = 2 π. No obstante, la resolución de este problema teniendo en cuenta el efecto de cavitación es dif´ıcil y su estudio se pospone al final de la lección. En ausencia de cavitaci´ on, la carga que aguanta el cojinete debido a la presi´ on es perpendicular a la l´ınea de centros OO ; en efecto, debido a la antisimetr´ıa de la expresión (8.90), las contribuciones de la presión en dirección paralela a la l´ınea de centros se cancelan. Por otra parte, las fuerzas tangenciales al cojinete, debidas a la viscosidad dan una resultante muy peque˜ na comparada con la de las fuerzas de presión; en efecto, p − po ∼

µ ω R2 , (R − R1 )2

y

τ =µ

∂u µωR , ∼ ∂r h

(8.94)

de donde τ /(p − po ) ∼ (R − R1 )2 /(R h) ∼ (R − R1 )/R 1. La fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el eje es, en primera aproximaci´ on, debida exclusivamente a la presión y perpendicular a la l´ınea de centros (ángulo de actitud del cojinete Ψ = π/2)

2π

µ ω R3 . 2 1 − 2 (2 + 2 ) (R − R1 )

(p − po )R sen θ d θ =

W = o

12 π

(8.95)

La ecuación (8.95) determina la excentricidad como funci´ on de la carga sobre el cojinete. Cuando no hay carga, W = 0, los cilindros son concéntricos = 0, y cuando la carga es muy grande, W → ∞,

171


los dos cilindros estar´ıan en contacto = 1. Sin embargo, la soluci´ on l´ımite correspondiente a carga infinita no se alcanza en la pr´ actica; antes entrar´ıan en juego otros factores, que no se han tenido en cuenta aqu´ı , tales como: rugosidad de las superficies, suciedad del aceite, vibraciones, desalineación del eje, etc. El par necesario para mover el eje con velocidad angular constante, o lo que es lo mismo el par necesario para vencer las fuerzas de viscosidad es 2π 2π h 1 dp U 2 C= µ + τ R sen θd θ = R2 sen θ d θ = h 2 R dθ o o 1 + 2 2 4 π µ ω R3 , (R − R1 ) 1 − 2 (2 + 2 )

(8.96)

puesto que la excentricidad es función de la carga, eliminando entre (8.95) y (8.96) se obtendr´ıa el par que se debe ejercer para cada carga W . En forma adimensional las ecuaciones (8.95) y (8.96) pueden escribirse 12 µ W (R − R1 )2 1 = = , µ ω R3 S 1 − 2 (2 + 2 )

(8.97)

C(R − R1 ) 4 µ (1 + 2 2 ) = ; 3 µωR 1 − 2 (2 + 2 )

(8.98)

al inverso de la carga adimensional se le suele llamar en la literatura par´ ametro de Sommerfeld (conviene reiterar que en las definiciones anteriores, tanto la carga W como el par C representan fuerza y momento por unidad de longitud).

8.5.2.

Cojinetes cortos

En este caso R/L 1 la ecuación (8.83) se reduce a ∂ 6 µ ω L2 ∂ η 3∂ ϕ η = , ∂ξ ∂ξ pc (R − R1 )2 ∂ θ

(8.99)

ya que la longitud caracter´ıstica de variación de la presión seg´ un θ es mucho mayor que la longitud caracter´ıstica seg´ un z [(1/R)∂ p/∂ θ ∂ p/∂ z]. Tomando ahora pc = 6 µ ω L2 /(R − R1 )2 se tiene ∂η ∂ϕ ∂ η3 = . (8.100) ∂ξ ∂ξ ∂θ Integrando la ecuación anterior con las condiciones de contorno ϕ = 0 en ξ = ±1/2 se obtiene 1 1 sen θ 1 1 dη 1 2 − ξ2 − =− ξ , (8.101) ϕ= 3 η dθ 2 4 (1 + cos θ)3 2 4 y sen θ 3 µ ω L2 1 2 . (8.102) p = pa + pc ϕ = pa − ξ − (R − R1 )2 (1 + cos θ)3 4 Denominado Fx y Fy a las componentes de la fuerza sobre el cojinete seg´ un la l´ınea de centros y seg´ un la perpendicular a ella se tiene:

2π

Fx = o

1/2

−1/2

p cos θ R d θ L d ξ = −

µ ω L3 R 4 2 , (1 − 2 )2 (R − R1 )2

(8.103)

172


y Fy =

µ ω L3 R π . 2 3/2 (1 − ) (R − R1 )2

(8.104)

La carga total que soporta el cojinete es: # W = F = Fx2 + Fy2 =

π (1 − 2 )2

1+

2

16 −1 π2

µ ω L3 R , (R − R1 )2

(8.105)

y el ángulo de actitud del cojinete " ! √ π 1 − 2 . Ψ = arctan Fy /Fx = arctan 4

8.5.3.

(8.106)

Cavitaci´ on. Condiciones medio Sommerfeld y de Reynolds

Como se anticipó anteriormente, los resultados obtenidos hasta aqu´ı dejan de ser válidos si en alg´ un punto de la pel´ıcula l´ıquida se alcanza la presión de vapor. En este caso, el l´ıquido cavita y coexisten el l´ıquido y su vapor. Naturalmente, en esta situaci´ on la distribuci´ on de presiones calculada no se parece a la realidad, puesto que no pueden existir presiones inferiores a la de vapor. Para fijar ideas conviene volver al caso del cojinete muy largo cuya distribuci´ on de presiones viene dada por la expresi´ on (8.90). Sup´ ongase que en alg´ un punto θ se alcanza la presión de vapor pv . En este caso, una forma poco rigurosa de construir la soluci´ on (condiciones medio Sommerfeld) consistir´ıa en utilizar los valores de la expresión (8.90) cuando éstos fueran mayores que la presión de vapor, p − po > pv − po y hacer p = pv en la zona definida por (8.90) donde p − po ≤ pv − po , véase Figura 8.10. Esta solución denominada medio Sommerfeld, que da buenos resultados a la hora de calcular fuerzas globales, no es, sin embargo, la solución exacta, ya que al truncar la soluci´ on no se satisface la conservación de la masa. En efecto, la integraci´ on de (8.85) proporcionaba η3

dϕ = η + q, dθ

(8.107)

donde q era el gasto adimensional; obsérvese que la solución medio Sommerfeld es discontinua, posee dos gradientes de presión diferentes en un mismo punto (igual η), y por tanto la soluci´ on truncada no cumple la ecuación de continuidad. Para obviar esta dificultad se busca la soluci´ on exacta imponiendo la condici´ on denominada de Reynolds, que consiste en buscar una soluci´ on que alcance pv , o lo que es lo mismo ϕv , con pendiente nula. Denominando θ1R al punto en que se alcanza ϕv la condición de Reynolds exige d ϕ = 0, de donde q = −η(θ1R ), (8.108) d θ θ1R y la distribuci´ on de presiones vendr´ a dada por ϕ(θ) − ϕo = o

y θ1R se obtiene de la ecuación

θ

dθ − η(θ1R ) η2

o

θ

dθ , η3

(8.109)

173


0.1 p 0.05

Θ

Π

2Π

-0.05 pv -0.1 Figura 8.10: Soluciones de Sommerfeld, medio-Sommerfeld y Reynolds.

θ1R

ϕv − ϕo = o


θ1R o

dθ . η3

(8.110)

La capa de l´ıquido se regenerará en un cierto punto θ2R tal que

2π

2π

dθ , η3

(8.111)

1 1 d ϕ − η(θ1R ) 3 . = 2 d θ θ2R η (θ2R ) η (θ2R )

(8.112)

ϕo − ϕv = θ2R


θ2R

y en el punto θ2R ,

Referencias y lecturas recomendadas H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975. O. Pinkus y B. Sternlicht, Theory of Hydrodynamic Lubrication, McGraw-Hill, Nueva York, 1961. A. Cameron, Principles of Lubrication, Longmans, London, 1966.

174


´ APENDICE 8.I ´ NUMERICA. ´ ´ INTEGRACION METODO DE LÍNEAS Debido a la singularidad en el origen, η = 0, que presentan algunos términos en las ecuaciones (8.26)-(8.27) asociados al uso de coordenadas cil´ındricas, es conveniente efectuar el cambio de variable independiente ζ = η2

(8.113)

antes de proceder a la integraci´ on numérica. En términos de las variables ξ y ζ, la ecuación de cantidad de movimiento (8.27) resulta ∂u ∂u u − ∂ξ ∂ζ

ζ 0

∂u ∂u ∂p ∂2u dζ = − + 4ζ 2 + 4 , ∂ξ ∂ξ ∂ζ ∂ζ

(8.114)

y la condición de conservación del caudal se expresa como

1

0

∂u dζ = 0. ∂ξ

(8.115)

En (8.114)-(8.115) se han suprimido las barras sobre las variables dependientes, y en (8.114) se ha sustituido ηv por la expresión que resulta de integrar respecto de ζ la ecuación de continuidad (8.26). Para integrar numéricamente las ecuaciones (8.114)-(8.115) se discretiza el dominio ξ ≥ 0, 0 ≤ ζ ≤ 1 en un n´ umero suficiente de l´ıneas paralelas al eje ξ: ζ = ζ1 , ..., ζj , ..., ζN , con ζ1 = 0 y ζN = 1, separadas una peque˜ na distancia h = 1/(N − 1) constante. Al discretizar (8.114) se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias cuya integraci´ on proporciona los valores uj (ξ) ≡ u(ξ, ζj ) a lo largo de cada l´ınea ζj . La discretización se efect´ ua teniendo en cuenta que las derivadas primeras con respecto de ζ pueden aproximarse con errores O(h2 ) por las expresiones 4u2 (ξ) − u3 (ξ) − 3u1 (ξ) ∂u , (8.116) = ∂ζ ξ,ζ=0 2h ∂u uj+1 (ξ) − uj−1 (ξ) , (8.117) = ∂ζ ξ,ζ=ζj 2h donde (8.116) se aplica para la primera l´ınea, ζ1 = 0, y (8.117) se aplica para las restantes j = 2, ..., N − 1 teniendo en cuenta que la velocidad en la u ´ltima l´ınea, ζN = 1, es nula: uN = 0. An´ alogamente, las derivadas segundas con respecto a ζ pueden aproximarse hasta términos O(h2 ) por 2 ∂ u uj+1 (ξ) − 2uj (ξ) + uj−1 (ξ) . (8.118) = 2 ∂ζ ξ,ζ=ζj h2 Asimismo, la integral en (8.114) puede discretizarse mediante la regla de los trapecios como 0

ζj

∂u du1 duk duj h + + 0,5 h dζ = 0,5 h ∂ζ dζ dζ dζ j−1

(j = 2, ...N − 1).

(8.119)

k=2

Haciendo uso de (8.116)-(8.119) en (8.114)-(8.115), se obtiene finalmente el sistema diferencial ordinario compuesto por la ecuaci´ on u1

∂p du1 4u2 − u3 − 3u1 =− +4 dξ ∂ξ 2h

(8.120)

175

8.I. Integraci´ on numérica. Método de L´ıneas. para la l´ınea j = 1, por las ecuaciones ∂p uj+1 − uj−1 duj =− (uj − 0,25 uj+1 + 0,25 uj−1 ) + dξ ∂ξ 2

!

du1 duk 0,5 + dξ dζ j−1

" +

k=2

uj+1 − uj−1 uj+1 − 2uj + uj−1 + , 4 ζj h2 2h

(8.121)

para las l´ıneas j = 2, ...N − 1, y por la ecuación que resulta de discretizar la condición de conservación del caudal N −1 duk du1 + = 0. 0,5 (8.122) dξ dζ k=2

Las N ecuaciones (8.120)-(8.122) constituyen un sistema algebraico lineal cuya resolución permite determinar en cada estación ξ las N derivadas duj /dξ (j = 1, ..., N − 1) y ∂p/∂ξ que necesita un integrador paso a paso (por ejemplo, un Runge-Kutta de paso variable) para avanzar la integraci´ on en la variable ξ. Debido a la linealidad de (8.120)-(8.122) en las derivadas, éstas pueden calcularse de forma particularmente eficiente si se expresan en la forma8 ∂p duj duj duj + , (8.123) = dξ dξ np ∂ξ dξ p donde las derivadas (duj /dξ)np se obtienen resolviendo el sistema que resulta al suprimir el término ∂p/∂ξ en los segundos miembros de (8.120)-(8.121), y las derivadas (duj /dξ)p se obtienen del sistema que resulta al sustituir el término ∂p/∂ξ por 1 y suprimir los u ´ltimos términos (los no homogéneos) de los segundos miembros de (8.120)-(8.121). La ventaja que ofrece este procedimiento es que, como puede comprobarse fácilmente, las derivadas (duj /dξ)np y (duj /dξ)p satisfacen sistemas triangulares inferiores cuya resolución secuencial tiene un coste computacional muy peque˜ no. Una vez calculadas (duj /dξ)np y (duj /dξ)p de (8.120)-(8.121), la derivada de la presi´ on se calcula directamente haciendo uso de (8.123) en (8.122) que proporciona N −1 N −1 duk duk du1 du1 ∂p = 0,5 + + . (8.124) 0,5 − ∂ξ dξ p dζ p dξ np dζ np k=2

8

Los autores agradecen al doctor J. M. Gordillo esta sugerencia.

k=2

Cap´ıtulo 9

Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos 9.1.

Introducci´ on

Como se discutió en el Cap´ıtulo 6, la importancia relativa entre las fuerzas de inercia y las de viscosidad se cuantifica por medio del n´ umero de Reynolds Re = ν D/ν [o Re D/L en el caso de movimientos fluidos caracterizados por la existencia de longitudes caracter´ısticas D y L muy dispares (conductos, pel´ıculas delgadas, chorros, etc.)]. En los Cap´ıtulos 7 y 8 se analizaron, respectivamente, los movimientos unidireccionales, para los que las fuerzas de inercia son idénticamente nulas, y los movimientos casi-unidireccionales en el l´ımite Re D/L 1 en los que las fuerzas de inercia, aunque no nulas, son despreciables frente a las de viscosidad. En este cap´ıtulo se estudiarán movimientos fluidos en los que las fuerzas de viscosidad son también dominantes, pero su campo de velocidades es bidimensional o tridimensional; este es el caso del movimiento de fluidos alrededor de part´ıculas de dimensiones caracter´ısticas muy peque˜ nas moviéndose relativamente al fluido con velocidades también peque˜ nas o el del movimiento de fluidos a través de medios porosos caracterizados porque el tama˜ no de los poros es peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica macroscópica del medio poroso. El n´ umero de Reynolds del movimiento de un fluido alrededor de una part´ıcula sólida de dimensiones muy peque˜ nas, o de una porci´ on de gas (burbujas) o de una porci´ on peque˜ na de l´ıquido no miscible con el l´ıquido portador (gotas), suele ser peque˜ no. Ejemplos t´ıpicos de estos movimientos son el de la sedimentación de part´ıculas microscópicas o el movimiento de burbujas de gas en el seno de l´ıquidos. En efecto, como se verá más adelante, en estos movimientos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos, la resultante de las fuerzas de superficie (presión y viscosidad) sobre un obstáculo que se mueve relativamente al fluido son proporcionales a su tama˜ no caracter´ıstico L y a su velocidad relativa, V , mientras que las fuerzas volumétricas (másicas, de flotabilidad y de inercia) son proporcionales a su volumen, de orden de L3 . El balance de fuerzas exige que la velocidad del obstáculo o part´ıcula en el seno del fluido sea proporcional al cuadrado de su tama˜ no caracter´ıstico, V ∼ L2 ; as´ı que el orden de magnitud del n´ umero de Reynolds es del orden del volumen de la part´ıcula considerada, Re ∼ L3 , y es tanto más peque˜ no cuanto menor sean sus dimensiones. Por el contrario, en el caso de un objeto cayendo en el seno de un fluido a grandes n´ umeros de Reynolds, la resultante de las fuerzas de superficie son proporcionales a la superficie del obstáculo y al cuadrado de la velocidad relativa entre obst´ aculo y fluido y el equilibrio de fuerzas entre las superficie y el peso del obstáculo exige que V ∼ L1/2 ; el n´ umero de Reynolds es por tanto Re ∼ L3/2 y es, en este caso, tanto mayor cuanto mayor es la dimensión caracter´ıstica 177

Cap´ıtulo 9. Movimientos de fluidos a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos

178

del obstáculo considerado. Este hecho explica la disparidad de resultados que se obtienen cuando dos cuerpos de tama˜ nos caracter´ısticos muy distintos, por ejemplo una roca de 10 m de dimensión caracter´ıstica y una mota de polvo de 10 micras, caen en el vac´ıo o, por el contrario, en el seno de aire o de agua; como es bien sabido, en el primer caso, el movimiento de ambos objetos es uniformemente acelerado, mientras que en el segundo ambos objetos alcanzan finalmente una velocidad l´ımite (terminal), mucho mayor en el caso de la roca que en el de la part´ıcula de polvo. Cuando el movimiento es a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos frente a la unidad, las fuerzas de inercia convectivas son despreciables frente a los de viscosidad y pueden despreciarse en la ecuación de cantidad de movimiento. Las ecuaciones resultantes son lineales y la simplificación conseguida es importante para poder abordar los complejos flujos tridimensionales involucrados. Movimientos de este tipo son básicos en el estudio de los flujos bifásicos, flujos en los que coexisten dos o más fases, que con tanta profusi´ on aparecen en la Industria y en la Naturaleza. Por ejemplo: en centrales de producción de energ´ıa eléctrica (centrales térmicas de carbón o fueloil o en centrales nucleares); en sistemas para el intercambio de masa y energ´ıa (evaporadores, condensadores, calderas, torres de refrigeraci´ on, intercambiadores de calor de contacto directo); en transporte hidr´ aulico o neumático (eyectores, transporte de part´ıculas sólidas, transporte de mezclas de gas y aceite, bombas con flujo cavitante); en procesos de separación o mezclado (destilación, emulsionadores, tanques de agitaci´ on, balsas de decantación, ciclones, torres de lavado de gases, electrofiltros); en reactores qu´ımicos (sólido-l´ıquido, l´ıquido-l´ıquido, gas-l´ıquido, lecho fluidizado); en Meteorolog´ıa (formación y evoluci´ on de nubes, lluvia, etc.); en Biolog´ıa (flujo sangu´ıneo, procesos celulares, etc.). El movimiento de fluidos a través de medios porosos (medios formados por part´ıculas sólidas más o menos compactadas o una matriz porosa que deja huecos o poros interconectados) es otro ejemplo t´ıpico de movimiento de fluidos con fuerzas de viscosidad dominantes. En la mayor´ıa de las situaciones pr´ acticas, el tama˜ no caracter´ıstico de poros es peque˜ no comparado con la longitud caracter´ıstica del medio poroso y la resistencia que el medio poroso ofrece al paso del fluido resulta en una velocidad peque˜ na que es proporcional al cuadrado del tama˜ no caracter´ıstico de los poros.

9.2.

Ecuaciones de Stokes

Considérese el movimiento de un obstáculo que gira con velocidad angular Ω(t) y se traslada con velocidad −V (t) ex en el seno de un fluido ilimitado y en reposo en el infinito. En un sistema de referencia que se traslada con el obstáculo y tal que las direcciones de sus ejes se mantienen fijas respecto a tierra, las ecuaciones que describen el movimiento del l´ıquido alrededor del obst´ aculo, suponiendo viscosidad constante, son, ∇ · v = 0, (9.1) ∂v dV ) con g = −g ez . (9.2) + ρ v · ∇ v = −∇ p + µ ∇2 v + ρ(g − ∂t dt Como condiciones iniciales hay que especificar el campo de velocidades en el instante inicial ρ

v(x, 0) = vo (x), e imponer condiciones de contorno en el infinito y sobre el obst´ aculo v = V ex ,

p = p∞o − ρ g z

en |x| → ∞,

(9.3)

y v = Ω ∧ x en

Σ(x, t) = 0.

(9.4)

donde p∞o es una constante y Σ(x, t) = 0 representa la superficie del obstáculo. La resolución del problema planteado proporciona el campo de presiones y velocidades y, por tanto, la resultante

179

9.2. Ecuaciones de Stokes

de las fuerzas de superficie y los momentos que el fluido ejerce sobre el obstáculo en funci´ on de V y Ω. En virtud de la linealidad de la ecuaci´ on (9.2) con la presión resulta u ´til descomponer el problema en dos: uno correspondiente al efecto de la gravedad y del movimiento no inercial del sistema de referencia (problema hidrostático) y el otro debido al efecto del movimiento (problema dinámico). Definiendo entonces p = ph + pd ,

(9.5)

la ecuación (9.2) se puede descomponer en −∇ ph + ρ g + ρ

dV = 0, dt

(9.6)

y ∂v + ρ v · ∇ v = −∇ pd + µ ∇2 v. ∂t En este caso, la fuerza que el fluido ejerce sobre el obstáculo viene dada por =, F = (−ph n − pd n+ τ ·n)d σ, ρ

(9.7)

(9.8)

Σ

donde n es la normal exterior al obstáculo y la integral está extendida a la superficie Σ(x, t) = 0 que limita el obstáculo. La contribuci´ on a la fuerza del primer sumando del integrando representa un empuje de Arqu´ımedes generalizado que incluye tanto los efectos de la gravedad como los del movimiento no inercial del sistema de referencia mientras que la de los dos u ´ltimos representa la fuerza Fm debida al movimiento; en efecto −ph n d σ = − ∇ ph d = − ρ (g + dV/dt) d = ρΩ [g ez + (dV /dt)ex ], (9.9) Σ

Ω

Ω

F = Fm + ρ Ω[g ez + (dV /dt)ex ]

(9.10)

donde Ω representa el volumen encerrado por la superficie cerrada Σ. Si Vo y tv son respectivamente una velocidad caracter´ıstica representativa de V(t) y su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on, Ωo y tΩ representan los valores caracter´ısticos de Ω(t) y de su tiempo caracter´ıstico de variaci´ on, a es la longitud caracter´ıstica del obstáculo y ∆ pd las variaciones caracter´ısticas de presión, los órdenes de magnitud de cada uno de los términos de la ecuación (9.7) son (considerando tv ∼ tΩ y Vo ∼ Ωo a) ∆ pd µ Vo Vo V2 , ρ o, . (9.11) , tv a a a2 Referidos todos al término viscoso, los órdenes de magnitud relativos de los diferentes términos de la ecuación (9.7) son ρ

Re St,

Re,

∆ pm a , µ Vo

1,

(9.12)

donde Re = ρ Vo a/µ y St = a/(Vo tv ) son respectivamente los n´ umeros de Reynolds y Strouhal. Obsérvese que el n´ umero adimensional Re St = a2 /(ν tv ) puede ser interpretado como el cociente entre el tiempo caracter´ıstico de difusión viscosa a2 /ν y el tiempo caracter´ıstico tv . En el l´ımite formal Re 1 y Re St 1, (9.7) se reduce a −∇ pd + µ ∇2 v = 0;

(9.13)


180

las ecuaciones (9.13) y (9.1), junto con las condiciones de contorno (9.4) y v = V ex

y

pd = 0

|x| → ∞

en

(9.14)

constituyen el denominado problema de Stokes para la determinaci´ on del movimiento del fluido. Es interesante se˜ nalar que en este problema los campos de presión y velocidad se desacoplan y pueden resolverse separadamente; en efecto, si se toma la divergencia y el rotacional de (9.13) y se tiene en cuenta (9.2) resulta ∇2 pd = 0, (9.15) y ∇ × ∇2 v = 0.

(9.16)

Además, si se tiene en cuenta (9.1) y la relación ∇2 v = ∇(∇ · v) − ∇ × (∇ × v) = −∇ × ω,

(9.17)

la ecuación (9.16) se puede escribir en términos de la vorticidad ω = ∇ × v en la forma −∇ × (∇ × ω) = ∇2 ω − ∇(∇ · ω) = ∇2 ω = 0,

(9.18)

ya que el vector ω es solenoidal. Obsérvese que tanto la presión como la vorticidad satisfacen la ecuación de Laplace, ecuaciones (9.15) y (9.18). Usualmente se resuelve (9.18), expresada en términos de la velocidad puesto que las condiciones de contorno se escriben más fácilmente en términos de esta variable, y una vez obtenida v la ecuación (9.13) suministra el campo de presiones. Conviene hacer notar que la linealidad de las ecuaciones (9.15) y (9.18) permite superponer soluciones y considerar separadamente los efectos de rotación y traslación. Por ejemplo, si V y Ω representan los módulos de los vectores V y Ω, el campo de velocidades y presiones puede expresarse como suma de los dos problemas siguientes µV aΩ aΩ y pd = (9.19) v2 p1 + p2 , v = V v1 + V a V donde las velocidades y presiones adimensionales vi y pi (i ≡ 1, 2) son soluciones de las ecuaciones (9.15) y (9.16) con las condiciones de contorno v1 = 0

en

Σ(x/a, t) = 0

y

p1 = 0

en

x/a → ∞

(9.20)

v2 = p2 = 0

en

x/a → ∞,

(9.21)

v1 = nv

v2 = nΩ × (x/a) en Σ(x/a, t) = 0 y

y

donde nv y nΩ son los versores unitarios en las direcciones de V y Ω. En ausencia de rotación Ω se tiene v2 = p2 ≡ 0, mientras que v1 =

v = G(x/a) V

y

p1 =

a pd = H(x/a), µV

(9.22)

con G y H funciones adimensionales de la posición. La fuerza Fm sobre el obstáculo debida al movimiento es entonces = Fm = [−p1 n + µ γ ·n] d σ, (9.23) Σ

con 2γlm = (∂ v1l /∂ xm + ∂ v1m /∂ xl ). La ecuación (9.23) junto a las expresiones (9.22) demuestran que la fuerza es directamente proporcional a la velocidad relativa V y puede escribirse en la forma =

Fm = µ a A ·V,

(9.24)

181

9.3. Movimiento alrededor de una esfera =

donde el tensor adimensional de segundo orden A depende exclusivamente de la forma geométrica del obstáculo. Análogamente, el momento de las fuerzas de superficie es =

Mm = µ a2 B ·U, =

(9.25)

=

donde el tensor B al igual que A depende solamente de la geometr´ıa del obstáculo. Cuando además de la traslación se considera la rotación de la part´ıcula es fácil demostrar que la fuerza y el momento se pueden escribir como =

=

Fm = µ a(A ·U + a C ·Ω),

9.3. 9.3.1.

=

=

Mm = µ a2 (B ·U + a D ·Ω).

(9.26)

Movimiento alrededor de una esfera Ley de Stokes

Considérese el flujo con fuerzas de viscosidad dominantes alrededor de una esfera de radio R que se mueve con velocidad constante V en la dirección −ex (o equivalentemente el caso de una corriente alrededor de una esfera fija cuya velocidad en |x| → ∞ sea V ex ). De acuerdo con la sección anterior, la formulaci´ on matemática de este movimiento es: ∇·v =0 v = V ex

junto con ∇ × ∇ × (∇ × v) = ∇2 ω = 0, en

|x| → ∞

y

v=0

en

(9.27)

|x| = R.

(9.28)

y

j

R

q

x

v =Vex z

Figura 9.1: Geometr´ıa del flujo alrededor de una esfera. Haciendo uso de la simetr´ıa del movimiento respecto al eje x, véase Figura 9.1, es posible on definir las componentes radial vr y meridional vθ de la velocidad del l´ıquido a partir de una funci´ escalar ψ, denominada funci´ on de corriente (véase 3.4), de modo que la ecuación de continuidad se satisfaga automáticamente; en efecto, en coordenadas esféricas (r, θ, ϕ), la ecuación de continuidad de un l´ıquido se satisface automáticamente si las componentes de la velocidad se definen en la forma vr =

∂ψ 1 , r2 sen θ ∂θ

vθ = −

1 ∂ψ ; r sen θ ∂r

claramente, la componente azimutal de la velocidad vϕ es nula en este caso.

(9.29)


182

En términos de la función de corriente ψ, el vector vorticidad que sólo tiene componente seg´ un eϕ se escribe 1 ∂2ψ 1 1 ∂ 1 ∂ψ ω = ∇ × v = ∇ × (∇ × ψ eϕ ) = − + (9.30) eϕ r sen θ ∂r2 r2 ∂θ sen θ ∂θ y la ecuación de cantidad de movimiento ∇2 ω = 0 se expresa en términos de ψ y del operador diferencial E en la forma ∂2 sen θ ∂ 1 ∂ 2 2 2 E (E ψ) = 0 con E ≡ 2 + 2 , (9.31) ∂r r ∂θ sen θ ∂θ que es una ecuación en derivadas parciales lineal de cuarto orden sujeta a las condiciones de contorno ∂ψ 1 1 ∂ψ ψ = 0, vr = 2 = 0, vθ = − = 0 en r = R, (9.32) r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ r V (9.33) ψ → r2 sen2 θ cuando r → ∞. 2 El problema matemático (9.31)-(9.33) admite una solución de variables separadas de la forma ψ(r, θ) = f (r) sen2 θ,

(9.34)

que sustituida en (9.31)-(9.33) proporciona 2 2 2 2 d d f = 0, − − dr2 r2 dr2 r2

(9.35)

con las condiciones f=

df = 0 en dr

r=R

f → V r2 /2 cuando

y

r → ∞.

(9.36)

La solución general de la ecuación (9.35) es A2 + A3 r4 + A4 r, (9.37) r ´ltima de las donde Ai (i = 1..., 4) son constantes de integración. Para que f (r) satisfaga la u condiciones (9.36) A3 debe ser nula. Las otras tres constantes se calculan imponiendo las restantes condiciones (9.36); la funci´ on de corriente y el campo de velocidades que se obtienen finalmente son

R 3r V R2 2 r 2 + (9.38) − sen2 θ ψ= 4 R2 r R f = A1 r 2 +

y de (9.29)

3R R3 V cos θ vr = 1 + 3 − 2r 2r

y

3R R3 V sen θ. vθ = − 1 − 3 − 4r 4r

(9.39)

El primer término (9.38) representa la corriente uniforme y el segundo un dipolo en el centro de la esfera; ambos términos representan flujos irrotacionales. Por otra parte, usando la ecuaci´ on (9.13) y la condición de presión en (9.14) se obtiene pd = −

3µV R cos θ . 2r2

(9.40)

183

9.3. Movimiento alrededor de una esfera

La fuerza que el fluido ejerce sobre la esfera posee la dirección del movimiento y obviamente se opone a él. Definiendo entonces Fx = Fx ex , se tiene π [(−pd + τrr ) cos θ − τrθ sen θ]r=R R2 sen θ dθ. (9.41) Fx = 2π o

Teniendo en cuenta la presión sobre la esfera, véase (9.40), y los valores de las componentes normal y tangencial del esfuerzo viscoso sobre la misma 3µV ∂vr cos θ , (τrr pd (R, θ) = )r=R = 2µ = 0, (9.42) 2R ∂r r=R

∂ vθ 1 ∂vr 3µV sen θ + , (9.43) (τrθ )r=R = µ r =− ∂r r r ∂θ r=R R la integraci´ on de (9.41) proporciona Fx = 6πµV R.

(9.44)

La expresión (9.44) para la resistencia que experimenta una esfera que se mueve en el seno de un fluido a bajos n´ umeros de Reynolds se denominada ley de Stokes; de la comparación de (9.43) y (9.40) se observa que la viscosidad contribuye a la resistencia en un factor de 2/3 mientras que las fuerzas de presión son responsables del tercio restante. Experimentalmente se encuentra que la ley de Stokes es aproximadamente válida incluso hasta Re = O(1). Finalmente, el coeficiente de resistencia que se define en la forma CD ≡

Fx 1 2 πR2 ρV 2

=

24 , Re

(9.45)

depende exclusivamente del n´ umero de Reynolds Re = ρ V 2R/µ.

9.3.2.

Aproximaci´ on de Oseen

La solución de Stokes (9.39) y (9.40) presenta el inconveniente de que no es v´ alida lejos de la esfera, ya que a distancias suficientemente grandes de ella el término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento, despreciado al obtener la ley de Stokes, se hace tan importante como el de viscosidad y debe, por tanto, ser retenido. En efecto, de (9.39) se tiene

3 2 3R R (9.46) µ∇2 vr = µV cos θ 2 5 − 2 + 3 , r r r y 3 R3 R3 3R 3R + − + 3 ρv · ∇vr = ρV 2 cos2 θ 1 − 2r 2r 2r2 2 r4 3R R3 R3 ρV 2 sen2 θ 3R (9.47) 1− − 3 + 3 , + 1− r 4r 4r 2r 2r de modo que los términos dominantes µ V /r2 en (9.46) y ρ V 2 /r en (9.47) se hacen del mismo orden a distancias de la esfera del orden r ∼ R/Re R. Como se ve, la condición Re 1 permite despreciar el término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento en relaci´ on al término de fuerzas viscosas a distancias del cuerpo del orden de su dimensión caracter´ıstica. A medida que nos alejamos de él, la contribuci´ on del término convectivo se va haciendo más importante y suficientemente lejos del obstáculo (a distancias r ∼ R/Re) no puede ser despreciado su efecto. Si


184

Re fuese formalmente nulo esta dificultad no ser´ıa tal puesto que la solución de Stokes ser´ıa válida hasta r → ∞. Naturalmente, para Re 1, pero finito, es necesario corregir la solución de Stokes lejos del obstáculo reteniendo el término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento. Esta corrección fue debida a Oseen, quien, en 1910, linealiz´ o el término convectivo para r → ∞, con lo que obtuvo una correcci´ on de la ley de Stokes que viene a ser el siguiente término en el desarrollo en potencias de Re. Básicamente la idea consistió en linealizar el término convectivo a distancias r/R ∼ Re−1 1, de modo que se puede suponer que la velocidad del fluido a esas distancias de la esfera es aproximadamente la de la corriente en el infinito, V ex . El término convectivo resulta entonces ∂v ρ v · ∇v ρ V ex · ∇v = ρ V . (9.48) ∂x y la ecuación de cantidad de movimiento lejos del obst´ aculo, que sigue siendo lineal, es ρV

∂v = −∇pd + µ∇2 v. ∂x

(9.49)

El problema de Oseen se puede resolver análogamente a como se hizo en la sección 9.2 introduciendo la vorticidad y tomando la divergencia y el rotacional de la ecuaci´ on anterior. La soluci´ on a este problema, obtenida por Oseen en 1910, en términos de la función de corriente es V R2 ψ= 4

1 3 2 2r + sen2 θ − (1 + cos θ)[1 − e−Re r(1−cos θ) ]. r 2 Re

(9.50)

La solución de Oseen fue perfeccionada por Proudman y Pearson en 1957,1 y por otros investigadores posteriores, utilizando la técnica de los desarrollos asint´ oticos acoplados.2 Aunque aqu´ı no se entrará en detalles, conviene decir que la solución de Stokes corresponde básicamente al orden más bajo del desarrollo en potencias de Re de la solución cerca de la esfera, mientras que la solución de Oseen es el siguiente orden [O(Re)] de ese desarrollo. Proudman y Pearson calcularon el desarrollo en potencias de Re de la solución lejos de la esfera y la acoplaron con la solución cerca de la misma para distancias intermedias. De esta forma obtuvieron la corrección de Oseen de una forma más rigurosa, además de correcciones de mayor orden. Reteniendo los primeros términos de la expansión se puede calcular el nuevo coeficiente de resistencia

24 3 CD = 1 + Re , (9.51) Re 16 donde el término 3 Re/16 es la corrección de Oseen a la ley de Stokes. En la figura 9.2 se representan las leyes de Stokes y de Oseen del coeficiente de resistencia junto con una correlación obtenida de resultados experimentales.3 Como se observa en la figura 9.2, la resistencia calculada con la aproximación de primer orden (Oseen) pr´ acticamente coincide con los resultados experimentales hasta Re = 1 (para Re > 1, el método de desarrollar la solución en potencias de Re obviamente no es válido). Aunque para hallar la correcci´ on de Oseen en el caso de una esfera no es necesario utilizar la técnica de los desarrollos asintóticos acoplados (s´ı para su justificación matemática), en el caso de la corriente alrededor de un cilindro, que veremos a continuaci´ on, esta técnica es necesaria incluso para hallar la soluci´ on de orden menor. 1

I. Proudman y J. R. A. Pearson, Journal of Fluid Mechanics, 2, 237-262, 1957. M. Van Dyke, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, The Parabolic Press, Standford, California, 1975. 3 R. Clift, J. R. Grace, M. E. Weber, Bubbles, drops and particles, Academic Press, Nueva York, 1978. 2

185

9.4. Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes 104 103 102

CD 101 100 10-1 10-2

10-1

100

Re

101

102

103

Figura 9.2: Coeficiente de resistencia CD para una esfera a bajos n´ umeros de Reynolds. La curva continua representa los resultados experimentales que se pueden aproximar mediante la ley CD = (24/Re)(1 + 0,15 Re2/3 ) que resulta válida hasta numeros de Reynolds del orden de 500; la curva de trazos es la ley de Stokes (9.44) y la curva de puntos es la de Oseen (9.51).

9.4.

Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes

Se considerará ahora el caso de un cilindro de longitud infinita y radio R sobre el que incide una corriente de un fluido incompresible de viscosidad µ y densidad ρ, que lejos del cilindro tiene una velocidad V ex . Si se toma el eje del cilindro alineado con el eje ez , el problema es bidimensional, y

r q Vex

R

x

Figura 9.3: Geometr´ıa del flujo alrededor de un cilindro.

con vz = 0, y ninguna magnitud fluida depende entonces de z, por lo que es posible definir la función de corriente ψ como vr =

1 ∂ψ r ∂θ

y

vθ = −

∂ψ , ∂r

(9.52)


186

donde r y θ son coordenadas cil´ındricas y la dirección y sentido de la corriente coincide con el del eje x, de modo que x = r cos θ (véase Figura 9.3). El vector vorticidad, que s´ olo tiene componente seg´ un z se escribe en términos de la función de corriente en la forma 2 ∂ ψ 1 ∂ψ 1 ∂2ψ ω=− ez , + (9.53) + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 y la ecuación (9.27) resulta F 2 (F 2 ψ) = 0,

F2 ≡

∂2 1 ∂2 1 ∂ + . + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2

(9.54)

Como condiciones de contorno se tiene

vr = vθ = 0 en

r=R

y

vr = V cos θ

y

vθ = −V sen θ

en

r → ∞;

(9.55)

o, equivalentemente, ∂ψ ∂ψ = = 0 en r = R y ψ → U r sen θ cuando r → ∞. ∂θ ∂r El problema anterior admite una soluci´ on de variables separadas de la forma ψ=

ψ(r, θ) = f (r) sen θ,

(9.56)

(9.57)

y si se sustituye (9.57) en (9.54) y (9.56) se obtiene 4 2 d3 3 d2 3 d 3 d f =0 + − 2 2+ 3 − dr4 r dr3 r dr r dr r4

(9.58)

con las condiciones f = df /dr = 0 en

r=R

y

f →Vr

cuando r → ∞.

(9.59)

Las solución general de (9.58) es ψ=

C1 3 + C2 r + C3 r ln r + C4 r sen θ r

(9.60)

y la condición de contorno en el infinito exige C2 = V,

C3 = C4 = 0,

(9.61)

lo que impide satisfacer simult´ aneamente las dos condiciones de contorno en la superficie del cilindro. Por otro lado, si se imponen las dos condiciones de contorno sobre el cilindro, r = R, y se elige la solución menos divergente cuando r → ∞ (C4 = 0 pero C3 = 0), se obtiene

r r R r ln − + , (9.62) ψ = C3 V R sen θ R R 2R 2r que proporciona un campo de velocidades que diverge logar´ıtmicamente cuando r → ∞:

1 R2 1 R2 r r vr = C3 V cos θ ln − + 2 , vθ = −C3 V sen θ ln + − 2 . R 2 2r R 2 2r

(9.63)

9.4. Movimiento alrededor de un cilindro circular. Paradoja de Stokes

187

Por tanto, no existe solución al problema del flujo estacionario y viscoso alrededor de un cilindro ´ circular. Esta es la denominada paradoja de Stokes, que por supuesto no es cierta, ya que el flujo de un l´ıquido alrededor de un cilindro circular se puede dar a n´ umeros de Reynolds tan peque˜ nos como se quiera. Lo que esta paradoja sugiere es que alguno de los requisitos que se han impuesto para obtener la soluci´ on anterior no se satisface. De hecho, la solución anterior adolece de la misma dificultad que la soluci´ on de Stokes para una esfera: lejos del cilindro el término convectivo y el viscoso son del mismo orden; en efecto, de (9.63) se tiene que r | ρv · ∇vr | r ∼ Re ln , 2 | µ∇ vr | R R

(9.64)

que se hace de orden unidad cuando (r/R) ln(r/R) ∼ Re−1 1. As´ı pues, la solución anterior,(9.63), como la de Stokes para el flujo alrededor de una esfera, no es v´ alida a distancias del obst´ aculo de orden de R/Re, con la u ńica diferencia de que para el flujo alrededor de un cilindro el fallo de la solución lejos del origen se hace más dramático que en el caso de la esfera, al diverger el campo de velocidades [en el caso de la esfera la paradoja es más sutil, puesto que, aunque la hip´ otesis de fuerzas viscosas dominantes no es válida lejos de la esfera, el campo de velocidades, (9.39), obtenido con esta hip´ otesis no sólo no diverge cuando r → ∞ sino que incluso cumple las condiciones de contorno]. En definitiva, aunque se cumpla la condici´ on Re 1, el término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento se hace tan importante como el viscoso lejos del cuerpo, a distancias del obstáculo R/Re R; como se ha visto, el campo de velocidades lejos de la esfera resultaba relativamente poco afectado por este efecto, mientras que en el flujo alrededor del cilindro bidimensional no existe soluci´ on sin retener el término convectivo. En este u ´ltimo caso, para resolver el problema conviene utilizar la técnica de los desarrollos asintóticos acoplados, reteniendo el termino convectivo lejos del cuerpo y utilizando la aproximaci´ on de Oseen. Si se hace uso de la aproximaci´ on de Oseen, ρv · ∇v ρV ex · ∇v, la ecuación que gobierna la funci´ on de corriente es Re ∂ ∇2 − ∇2 ψ = 0; 2R ∂ x

(9.65)

(9.66)

la solución de la ecuación anterior se obtiene mediante el método de los desarrollos asint´ oticos acoplados; los dos primeros términos del desarrollo en potencias de Re de la solución cerca del cilindro son (véase, por ejemplo, Rosenhead 4 o la obra de Van Dyke citada en el pie de p´ agina anterior) R V R sen θ r

r 2 ln − 1 + + ψ 2C R R r

r 1 1 r2 1 1 1 R2 V R sen 2θ 1 r2 , (9.67) ln − − + + − Re 2 8C R2 R 8 R2 16C 4 16C 8 r2 y el acoplamiento con la solución asint´ otica lejos del cilindro fija el valor de la constante C: C=

1 8 − γ + ln , 2 Re

siendo γ 0,577216 la constante de Euler. 4

Laminar Boundary Layers, Ed. L. Rosenhead, Dover, 1963.

(9.68)

188


El coeficiente de resistencia del cilindro, en funci´ on del n´ umero de Reynolds, Re = ρV 2R/µ, es

1 5 1 8π − + C Re2 + O[(Re2 ln Re)2 ] Cd = 1− (9.69) ReC 32 16C 2 donde Cd se define en función de fuerza por unidad de longitud Fm que el fluido ejerce sobre el cilindro5 Fm (9.70) Cd = ρV 2 R y 2π [(−pd + τrr Fm = ) cos θ − τrθ sen θ]r=R Rdθ. (9.71) o

Si en vez de (9.67) se hubiera utilizado la soluci´ on divergente (9.63), se hubiera obtenido Fm = 4πµV C3

y

Cd =

8πC3 , Re

(9.72)

es decir, el primer término de (9.69), pero con la diferencia de que la constante C es ahora conocida [depende de Re de acuerdo con (9.68)] mientras que C3 no lo era; del acoplamiento con la solución lejos del cilindro se obtiene C3 = C −1 [compárese también (9.67) con (9.62)]. La diferencia tan notoria entre el flujo alrededor de una esfera y el flujo alrededor de un cilindro bidimensional se pod´ıa haber previsto también mediante un simple análisis dimensional. En efecto, para una esfera, la fuerza de resistencia Fm a bajos n´ umeros de Reynolds debe ser función del radio R, de la velocidad V y de la viscosidad µ (no de la densidad ρ, puesto que el término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento es despreciable); el análisis dimensional demuestra que el grupo adimensional Fm /µV R tiene que ser constante y, de hecho, la ley de Stokes (9.44) muestra que el valor de la constante es 6π. En el caso del flujo alrededor de un cilindro circular bidimensional a muy bajos n´ umeros de Reynolds, la fuerza de resistencia por unidad de longitud Fm es función también de las magnitudes R, V y µ; sin embargo, si se aplicase el análisis dimensional se llegar´ıa a la conclusión de que el grupo adimensional Fm /µV deber´ıa ser constante, lo que es absurdo porque Fm depende del radio del cilindro. Lo que sucede en realidad es que la fuerza depende también de la inercia del flujo y, por tanto, de la densidad ρ del fluido. El an´ alisis dimensional demuestra entonces que el grupo Fm /µV es una función del n´ umero de Reynolds ρV 2R/µ. Para cuerpos geométricamente semejantes el resultado anterior permitir´ıa calcular experimen sobre una familia de cuerpos geométricamente semejantes moviéndose en el talmente la fuerza Fm seno de un fluido a Re 1.

9.5.

Velocidad de sedimentaci´ on

Un problema pr´ actico de gran complejidad y relevancia por la multitud de aplicaciones en las que aparece es el de la dinámica de part´ıculas más o menos esféricas dispersas en el seno de un fluido. La ecuación que gobierna la velocidad V de una part´ıcula esférica, de radio R y densidad ρp , en el seno de un fluido de densidad ρ es 4 4 dV π R 3 ρp = π R3 (ρp − ρ) g + F, 3 dt 3

(9.73)

5 Se ha utilizado C para simbolizar el coeficiente de resistencia que experimentan los objetos bidimensionales d aculos tridimensionales en lugar del s´ımbolo CD que se reserva para designar el mismo coeficiente en el caso de obst´ movi´ endose en el seno de un fluido.

189

9.5. Velocidad de sedimentación

donde F es la resultante de las fuerzas de presión y viscosidad que el fluido ejerce sobre la part´ıcula. El cálculo de la fuerza F, incluso cuando la part´ıcula está aislada o en el caso de suspensiones, si las distancias entre part´ıculas son mucho mayores que su longitud caracter´ıstica R (suspensiones muy diluidas), es en general complejo, pues ambos problemas, el de la din´ amica del fluido alrededor de la part´ıcula (cuya fuerza depende de V) y el de la din´ amica de la part´ıcula (cuya velocidad depende de F) están acoplados y conducen a una ecuación integro-diferencial de resoluci´ on complicada. Por otra parte, los fen´ omenos casi-estacionarios juegan un papel relevante en muchas situaciones de interés práctico y la resistencia que experimenta la part´ıcula a moverse en el seno del fluido no puede modelarse mediante la ley de Stokes. Un caso particular en el que el problema se simplifica notablemente es el de aquellas situaciones en las que las densidades de la part´ıcula y del fluido son muy dispares (el caso de burbujas de gas en el seno de un l´ıquido es un ejemplo clásico). Sucede en estos casos que los efectos de la aceleración local son despreciables frente a los viscosos y la ley de Stokes es válida. La din´ amica de la part´ıcula viene entonces dada por 4 4 dV π R 3 ρp = π R3 gρp − 6π µ R V, 3 dt 3

(9.74)

que expresa el balance entre la inercia de la part´ıcula, su peso y la resistencia fluidodin´ amica; no se ha incluido la fuerza de flotabilidad por haber supuesto que ρp ρ. Naturalmente en el caso de burbujas la ecuaci´ on de la din´ amica de la part´ıcula se obtendr´ıa de un balance entre las fuerzas de flotabilidad y resistencia fluidodin´ amica, puesto que la inercia de la burbuja y su peso ser´ıan despreciables por ser la densidad del gas muy peque˜ na. Obsérvese que la ley de Stokes es válida y puede ser usada en (9.74) en tanto que el par´ ametro adimensional R2 /ν to , que mide la importancia relativa de la aceleración local del fluido frente a las fuerzas de viscosidad por unidad de masa, sea peque˜ no. Por otra parte, la velocidad terminal Vt , que se define como la velocidad que alcanza la part´ıcula cuando la resultante de las fuerzas que act´ uan sobre ella es nula (aceleración nula), se obtiene de igualar a cero el segundo miembro de (9.74) Vt =

2ρp R2 g . 9µ

(9.75)

Además, si la velocidad cambia de cero a Vt (se supone que inicialmente la part´ıcula posee velocidad nula) en un tiempo del orden de to , la ecuación (9.74) proporciona el orden de magnitud de to to ∼

ρp R 2 ρp V t ρp R 2 ∼ ; ∼ gρp µ ρ ν

(9.76)

por tanto, y como se quer´ıa demostrar, el movimiento del fluido alrededor de la part´ıcula puede considerarse casi-estacionario si ρ/ρp ∼ R2 /νto 1. Si se definen las variables adimensionales u = V /Vt

y

τ = t/to ,

(9.77)

la ecuación (9.74) se escribe 2 du = 1 − u, 9 dτ cuya solución, si la part´ıcula parte del reposo, es u = 1 − e−9τ /2 .

(9.78)

(9.79)

Si el movimiento no es estacionario, como ocurre si ρp ∼ ρ, la solución (9.79) no es correcta puesto que la ley de Stokes (9.44) dejar´ıa de ser válida. En ese caso, para hallar la fuerza de

190


resistencia habr´ıa que retener, en la ecuación de cantidad de movimiento del fluido, la aceleraci´ on local del fluido ρ ∂v/∂ t, la flotabilidad y la fuerza de inercia asociada a la aceleraci´ on del sistema de referencia −ρ dV/dt respecto al que se describe el movimiento del fluido.6 Para mayor detalle, el lector interesado puede consultar varias referencias de flujos bif´ asicos,7 donde se describe con detalle la din´ amica lagrangiana de part´ıculas, gotas y burbujas en el seno de fluidos. Es interesante rese˜ nar que a´ un en los casos en que ρp ∼ ρ, el valor de la velocidad terminal seguir´ıa siendo el mismo que el expresado en (9.75) si se incluyen en éste los efectos de flotabilidad Vt =

2(ρp − ρ)R2 g ; 9µ

(9.80)

este hecho es debido a que el movimiento del fluido alrededor de la part´ıcula se hace estacionario para tiempos suficientemente grandes. Por otra parte, el hecho de que la velocidad terminal disminuya con el cuadrado del tama˜ no de la part´ıcula puede hacer inadecuado el empleo de la expresión (9.80) para part´ıculas del tama˜ no de una micra o menores, ya que la velocidad terminal dada por (9.75) puede ser menor que la de difusi´ on [para part´ıculas micrométricas contenidas en agua, el orden de magnitud de la velocidad terminal dada por (9.75) es de micras por segundo]. Un modo de incrementar la velocidad terminal de part´ıculas muy peque˜ nas, como prote´ınas y ácidos nucleicos, para forzar su separación es el de recurrir a campos de fuerzas, centr´ıfugas o electromagnéticas. Por ejemplo, si al recipiente que contiene una suspensión de part´ıculas se le hace girar con velocidad angular Ω, alrededor de un eje, las part´ıculas experimentar´ an una fuerza centr´ıfuga por unidad de masa Ω2 r, donde r es la distancia al eje de giro. Si Ω2 r g las part´ıculas, respecto a unos ejes que giren con el recipiente, se moverán hacia las paredes del recipiente si son más densas que el l´ıquido que las contiene o hacia el eje en caso contrario. Dado que, en este caso, la gravedad efectiva no es constante, tampoco lo será la velocidad terminal de las part´ıculas; en efecto, la velocidad l´ımite, que depende de r, viene dada por Vt (r) =

9.6.

2(ρp − ρ)R2 Ω2 r . 9µ

Movimiento de fluidos a trav´ es de medios porosos

Los flujos de fluidos a través de medios porosos se encuentran frecuentemente en la naturaleza y en numerosas ramas de la ciencia y de la tecnolog´ıa: Fisiolog´ıa, Geolog´ıa, Geof´ısica, Mecánica del Suelo, Hidrolog´ıa, Ingenier´ıa Agronómica, Ingenier´ıa Sanitaria, Ingenier´ıa Qu´ımica, Metalurgia de Polvos, Tecnolog´ıas de la Cerámica, Textil, Papelera, etc. El hecho com´ un, en todas las aplicaciones anteriores, es el movimiento de un fluido a través de regiones altamente inter-conectadas y tortuosas, limitadas por superficies sólidas, bajo la acción de un gradiente de presiones. El medio poroso se considerará formado por part´ıculas sólidas, o por una matriz s´ olida porosa, que dejan huecos o poros por los que el fluido puede circular. Debido a la complejidad e irregularidad de las geometr´ıas de los medios porosos cualquier intento de describir exactamente el movimiento del fluido a través de los intersticios y canales del medio poroso está hoy d´ıa condenado al fracaso. Sucede, sin embargo, que en la mayor´ıa de las situaciones de interés, el tama˜ no o longitud caracter´ıstica de los poros, a, es mucho menor que la longitud caracter´ıstica macroscópica, L, del medio poroso (véase Figura 9.4). Esta propiedad permite una descripción macroscópica del movimiento del fluido en la que el medio poroso se modela como un continuo a través del cual fluye el fluido sujeto a leyes de conservación y leyes constitutivas del 6 N´ otese que d V/dt es desconocido y el problema fluidomec´ anico y la ecuaci´ on que gobierna la din´ amica de la part´ıcula deben resolverse acopladamente. 7 Por ejemplo R. I. Nigmatulin, Dynamics of Multiphase Media, Hemisphere Publishing Corp. Nueva York, 1991.

191

9.6. Movimiento de fluidos a través de medios porosos

medio poroso. Por simplicidad, se consideran, en este análisis, situaciones en las que el fluido llena totalmente los poros. Además, cuando existan dos fluidos no miscibles se admitirá que existe una entrefase de separación entre ambos, sin considerar las situaciones en que por inestabilidad de la entrefase coexistan dos o más fases fluidas en los poros. Tampoco se retendrán en el análisis los efectos de la tensión superficial en las entrefases entre fluidos no miscibles por suponer que las diferencias de presión asociadas a las fuerzas de tensión superficial, del orden de ζ/a, son peque˜ nas frente a las necesarias para hacer circular al fluido a través del medio poroso.

L dW

dW x

a

dWp

x

x'

Figura 9.4: Tama˜ nos caracter´ısticos en el medio poroso L y a y vol´ umenes de promediado; x se refiere aqu´ı a cualquier punto del medio poroso ocupado indistintamente por la matriz s´ olida porosa o por el fluido, mientras que x’ representa puntos ocupados por el fluido.

9.6.1.

Descripci´ on macrosc´ opica y ecuaciones del flujo

La descripción macroscópica del movimiento se hace promediando las magnitudes fluidas en vol´ umenes δ Ω que son grandes frente al volumen a3 caracter´ıstico de los poros pero peque˜ nos frente al volumen caracter´ıstico L3 del medio poroso (a3 δ Ω L3 ). Si se denomina δ Ωp al volumen de poros contenido en δ Ω, la porosidad del medio se define φ(x, t) = l´ım

δΩ→0

δΩp 8 ; δΩ

(9.81)

en medios porosos estables, la porosidad es independiente del tiempo o cambia muy lentamente con él, pero es una funci´ on continua de x que puede presentar variaciones en longitudes del orden de L cuando el medio es de porosidad variable. La densidad local ρ(x, t) del fluido se define como la masa total de fluido contenida en los poros por unidad de volumen de poros ρ (x , t)d δΩp , (9.82) ρ(x, t) = l´ım δΩ→0 δΩp donde ρ (x , t) es la densidad real del fluido en puntos x del dominio fluido; n´ otese que de acuerdo con la definición de porosidad, la densidad por unidad de volumen, o densidad aparente, en el medio continuo es ρ φ. Análogamente se definen la presión y temperatura medias 1 p(x , t)dp , p(x, t) = l´ım (9.83) δΩ→0 δΩp δΩ p 8 N´ otese que δΩ no puede reducirse continuamente a cero, puesto que debe contener siempre un n´ umero muy grande de moléculas. El fluido en el interior de los poros puede tratarse como un medio continuo, ya que a λ (λ, camino libre medio o distancia intermolecular).

192


1 T (x, t) = l´ım δΩ→0 δΩp

T (x , t)dp .

(9.84)

δΩp

Debe observarse que los valores medios no cumplirán, en general, las ecuaciones de estado, a menos que las variaciones de presión y temperatura respecto a sus valores medios sean peque˜ nas frente a éstos. No obstante, y puesto que a L, las variaciones de las magnitudes fluidas en una regi´ on δΩ serán peque˜ nas frente a los valores medios definidos en δΩ y sus valores, por tanto, estarán relacionados a través de las ecuaciones de estado. Se define la velocidad aparente v(x, t) del fluido en el medio poroso mediante la relaci´ on ρ(x, t)v(x, t) · n d Σ = ρ (x , t)v (x , t) · n d σ, (9.85) δΣp

es decir, a través del área continua d Σ se define el vector flujo másico aparente ρ v como el necesario para que a través de ella fluya la misma masa por unidad de tiempo que a través del área real de poros δΣp . A partir de las definiciones anteriores, se pueden formular leyes de conservaci´ on en vol´ umenes δΩ del medio poroso, considerado como un continuo, utilizando las cantidades medias y la velocidad aparente definidas anteriormente. En efecto, atendiendo a (9.81) y (9.82), la masa de fluido contenida en el volumen infinitesimal δΩ es ρ φ d , (9.86) δΩ

y el flujo de masa a través de la superficie δΣ que limita el volumen δΩ es ρ v · n d σ.

(9.87)

δΣ

La conservación de la masa en δΩ exige, por tanto, que se satisfaga la relación ∂ ρφ d + ρv · n d σ = 0, ∂t δΩ δA

(9.88)

y en virtud de la continuidad de las cantidades medias en el volumen δΩ se tiene también ∂ ρφd + ∇ · (ρv)d = 0. (9.89) ∂t δΩ δΩ En forma diferencial (9.89) se escribe ∂(ρφ) + ∇ · (ρv) = 0 ∂t

(9.90)

y expresa que la variaci´ on de la masa contenida en la unidad de volumen se debe al flujo de masa que por convección lo abandona; para el caso del movimiento de un l´ıquido la ecuación (9.90) se reduce a ∇ · v = 0. (9.91) Un tratamiento de la conservaci´ on de la cantidad de movimiento, similar al de la continuidad, no puede realizarse, puesto que se desconocen las interacciones medias entre el fluido y las paredes sólidas del medio poroso. La ecuación de cantidad de movimiento se sustituye entonces por una ecuación semiemp´ırica constitutiva del medio. La ley de Darcy formula emp´ıricamente la existencia

9.6. Movimiento de fluidos a través de medios porosos

193

de una relación lineal entre la velocidad aparente en el medio poroso y el gradiente de presiones aplicado al mismo Π (9.92) v = − (∇ p + ρ ∇ U ), µ donde µ es la viscosidad del fluido y se ha supuesto que las fuerzas m´ asicas derivan de un potencial. El coeficiente de proporcionalidad Π, con dimensiones de superficie, es del orden de a2 , depende del medio poroso y no del fluido que circula a través de él, y debe determinarse emp´ıricamente. Desde un punto de vista teórico, la ley de Darcy se justifica por el hecho de que si las fuerzas de viscosidad son dominantes en el movimiento a través del medio poroso existe una relación lineal entre la velocidad en el medio y el gradiente de presiones aplicado. Esto ocurre si el n´ umero de Reynolds, Re = a v/ν (basado en la velocidad caracter´ıstica del fluido a través del medio v, el tama˜ no de los poros a, y la viscosidad cinemática del fluido ν) es peque˜ no frente a la unidad, y dado que el tama˜ no de poros es peque˜ no y que las velocidades caracter´ısticas del fluido en el medio poroso lo son también por la resistencia que presenta el medio al movimiento del fluido, la ley de Darcy se satisface muy aproximadamente en la mayor´ıa de las situaciones prácticas. No obstante, para valores mayores del n´ umero de Reynolds, la relación entre el gradiente de presiones y la velocidad del fluido deja de ser lineal; en ese caso, y para medios porosos formados por un relleno de part´ıculas esféricas de diámetro 2 a se ha propuesto la siguiente generalización emp´ırica de la ley de Darcy 1−φ ρv 2 v 1−φ 1,75 con f = ∇(p + ρU ) = −f + 75 ; (9.93) 2a v φ3 Re (9.93) conduce a la ley de Darcy, (9.92), para Re → 0 y a la relación ∇p ∼ ρ v 2 para Re → ∞. Por otra parte, si el n´ umero de Peclet, P e = v a/α, donde α = K/ρcp , es peque˜ no frente a la unidad, la conducci´ on de calor es dominante frente a la convección y en primera aproximaci´ on la temperatura T del fluido es igual a la de la matriz s´ olida porosa que puede variar con x. Por tanto, al analizar el flujo de gases a través de medios porosos, a las ecuaciones (9.90) y (9.92) se a˜ nadir´ an la de estado y la de movimiento isotermo p/ρ = Rg T

y

T = Ts .

(9.94)

Además, en aquellas situaciones en las que la porosidad del medio var´ıe con la presión, se deberá a˜ nadir la relaci´ on constitutiva φ = φ(p). En lo que sigue se supondr´ a que φ al igual que la permeabilidad del medio Π son constantes tanto espacial como temporalmente. Si se sustituye (9.92) en (9.91) resulta ∇2 (p + ρ U ) = 0,

(9.95)

que es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, lineal, de tipo el´ıptico que proporciona el campo de presiones en el movimiento de un l´ıquido a través de un medio poroso bajo la influencia de la gravedad. Conocido el campo de presiones, el campo de velocidades (y los caudales a través de cualquier superficie) se obtiene fácilmente de la ley de Darcy (9.92). En el caso del movimiento de un gas, las fuerzas másicas son despreciables en la mayor´ıa de los casos prácticos y la sustitución de (9.92) en (9.90), teniendo en cuenta (9.93), proporciona φ o alternativamente

∂p Π − ∇ · (p ∇ p) = 0 , ∂t µ ∂p Π 2 2 ∇ p = 0s. − ∂t 2µφ

(9.96)

194


La integraci´ on de la ecuación en derivadas parciales (9.96) (no lineal, parab´ olica, de segundo orden en las derivadas espaciales y de primero en las temporales) sujeta a condiciones iniciales y de contorno apropiadas proporciona el campo de presiones en el medio poroso. Conocido éste, el gasto a través de una superficie Σ se calcula fácilmente utilizando (9.92) y (9.93) ∂p Π p dσ. ρ v · n dσ = − (9.97) µRg Ts Σ ∂n Σ

9.6.2.


No existen derivadas temporales en las ecuaciones correspondientes al movimiento de l´ıquidos en medios porosos de porosidad φ constante, por lo tanto no se imponen condiciones iniciales a las ecuaciones. Por el contrario, en el caso de movimientos de gases, a menos que las condiciones de contorno sean estacionarias y se busque una solución estacionaria, es necesario imponer el campo inicial de densidades o el de presiones p(x, 0) = po (x).

(9.98)

En cuanto a las condiciones de contorno, se supondr´ a conocido el valor de p y/o de su derivada normal en el contorno donde el medio esté limitado por fluido libre. Donde el medio poroso esté limitado por un medio impermeable se impondr´ a la condición de flujo nulo, v·n = 0, que es equivalente a la condición ∂ p/∂ n + ρ ∂ U/∂ n = 0 en el movimiento de l´ıquidos, o a ∂ p2 /∂ n = 0 cuando se trate de movimiento de gases. Obsérvese que se permite que el fluido se mueva, macroscópicamente, tangencialmente al contorno impermeable. En la superficie de separación f (x, t) = 0 de dos fluidos no miscibles dentro del medio poroso, se debe exigir la continuidad de presiones y velocidades normales a la superficie, y naturalmente que la entrefase sea una superficie fluida, Df ∂f v = + · ∇ f = 0; Dt ∂t φ

(9.99)

en (9.99) se ha hecho uso de que la velocidad del fluido en la superficie libre es la velocidad real v/φ que coincide con la del fluido por ser superficie fluida. Con frecuencia la ecuaci´ on o posición de la superficie no es conocida de antemano y debe determinarse como parte de la solución, lo que complica el problema notablemente.

Referencias y lecturas recomendadas G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975. P. Y. Polugarinova-Kochina, Theory of Filtration of Liquids in Porous Media, Advances in Applied Mechanics, vol. II, pp. 154-225, Ed. R. von Mises y T. von Karman, Academic Press, 1951. J. Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media, Elsevier, 1967. R. J. M. De Wiest, Flow Through Porous Media, Academic Press, Nueva York, 1969.

Cap´ıtulo 10

Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler 10.1.

Introducci´ on

Muchos fluidos de interés en la ingenier´ıa, entre los que se incluyen el aire y el agua, poseen un coeficiente de viscosidad cinemático tan peque˜ no, que el n´ umero de Reynolds, para la mayor´ıa de los movimientos de estos fluidos, es mucho mayor que la unidad. El n´ umero de Reynolds mide la importancia relativa entre las fuerzas de inercia convectivas y las de viscosidad y el producto del n´ umero de Reynolds por el n´ umero de Prandtl, denominado n´ umero de Peclet, mide la relación entre los transportes de calor por convección y por conducci´ on; por tanto, cuando el n´ umero de Reynolds es grande frente a la unidad y el de Prandtl es tal que el n´ umero de Peclet es grande frente a la unidad, el movimiento del fluido tiene lugar en condiciones tales que los efectos de la viscosidad y de la conducción térmica son despreciables. Las condiciones bajo las cuales la viscosidad se puede despreciar se obtienen de la estimación de órdenes de magnitud en la ecuación de la cantidad de movimiento ρ

∂v + ρ v · ∇ v = −∇ p + ρ fm + ∇ · τ ; ∂t

(10.1)

en efecto, para la corriente alrededor de obstáculos los órdenes de magnitud de los términos de la ecuación (10.1) son ρo

Uo , to

ρ

Uo2 , Lo

∆p , Lo

ρo fmo ,

µo

Uo , L2o

(10.2)

donde Uo , to , ρo , Lo y fmo son magnitudes f´ısicas (velocidad, tiempo, etc.) caracter´ısticas del movimiento. Es fácil ver que las fuerzas de viscosidad son despreciables frente a las de inercia convectiva si Re =

ρo Uo Lo >> 1. µ

(10.3)

Compruebe el lector que para el movimiento de fluidos en conductos, la condici´ on de que los efectos viscosos sean despreciables es ρo Uo Do Do >> 1, µ Lo 195

(10.4)

Cap´ıtulo 10. Flujos a grandes n´ umeros de Reynolds. Ecuaciones de Euler

196

donde Do es la longitud caracter´ıstica de la sección transversal del conducto. Obsérvese que puede haber otras razones para despreciar el término viscoso en la ecuación de la cantidad de movimiento, por ejemplo en un movimiento altamente no estacionario de modo que el término de aceleración local sea dominante frente al viscoso: ρo Lo /µo to >> 1.

(10.5)

Sin embargo, la condici´ on Re 1, o las (10.4) o (10.5) en su caso, no garantiza que los efectos viscosos sean muy peque˜ nos en todo el dominio fluido; en efecto, como se ver´ a más adelante, el cumplimiento de la condición de contorno sobre paredes sólidas exige que los efectos viscosos sean retenidos en una capa delgada pr´ oxima a la pared. Por tanto, aunque Re 1, existirán regiones de tama˜ no peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica del movimiento donde los efectos viscosos deban de ser retenidos en las ecuaciones; estas regiones son las denominadas capas l´ımites, estelas y ondas de choque que serán examinadas más adelante. An´ alogamente, la estimación de los órdenes de magnitud de los diferentes términos de la ecuación de la entrop´ıa ∂S ρT (10.6) + v · ∇ S = φv + ∇ · (K ∇ T ) + Qr + Qq , ∂t proporciona ρo T o

∆S , to

ρo To Uo

∆S , L

µo

Uo2 , L2o

K

∆T , L2

Qr ,

Qq ,

(10.7)

donde ∆ S e ∆ T representan incrementos de entrop´ıa y temperatura caracter´ısticos del movimiento. Conviene recordar que S − So = ∆ S = cv ln T /To y S − So = cv ln(p/po )/(ρ/ρo )γ para l´ıquidos y gases calor´ıficamente perfectos respectivamente y, por tanto, ∆ S ∼ cv ∆ T /T ; el sub´ındice o indica aqu´ı magnitudes de referencia. Comparando el término convectivo con el de conducción de calor se tiene ρo Uo Lo cv µ ρo Uo Lo 1 cp µ ρo Uo cv Lo 1 ∼ ∼ ∼ Re P r ∼ Re P r. K µ K µ γ K γ

(10.8)

El n´ umero de Prandtl es de orden unidad para gases y puede variar entre valores mucho menores y mucho mayores que la unidad en el caso de l´ıquidos; por tanto, excepto en el caso de metales l´ıquidos, para los que el n´ umero de Prandtl es mucho menor que la unidad, el cumplimiento de la condici´ on Re 1 basta para poder despreciar también la conducción de calor frente a la convecci´ on de calor. Del mismo modo, si el movimiento fuese altamente no estacionario la conducción de calor ser´ıa despreciable si ρ L2o ρ L2o cv µ ∼ P r >> 1. µ to K µ to

(10.9)

El término de disipación viscosa referido a la convección de calor resulta Uo2 1 µo µo Uo2 /L2o U2 = ; = ρo Uo cv ∆ T /Lo ρo Uo Lo cv ∆ T Re cv ∆ T

(10.10)

nótese que si Re 1 el término de disipación viscosa es despreciable frente al calor convectado, no en l´ıquidos, y de orden unidad en gases a alta velocidad. ya que U 2 /cv ∆ T suele ser muy peque˜ Como se desprende de lo anterior, la condición Re 1, garantiza que los términos disipativos y de conducción de calor en la ecuación de la energ´ıa son despreciables si el n´ umero de Prandtl es del orden, o mayor, que la unidad.

197

10.2. Ecuaciones de Euler

En el movimiento de fluidos en conductos la condici´ on de que la convección de calor sea dominante frente a la disipaci´ on viscosa es Re D/L 1. Obsérvese que si P r es de orden unidad o mayor, la misma condición deberá cumplirse para que los efectos viscosos y los de conducción de calor sean despreciables. Se deja al lector la comprobación de que la difusi´ on másica será despreciable frente a la convección si Re 1 y el n´ umero de Schmidt Sc = ν/D es del orden o mucho mayor que la unidad; lo que sucede tanto en gases como en l´ıquidos.

10.2.

Ecuaciones de Euler

Como se ha visto en el apartado anterior cuando el n´ umero de Reynolds es suficientemente alto desaparecen en primera aproximaci´ on los términos de conducción de calor y viscosidad en las ecuaciones de Navier-Stokes, obteniéndose entonces las ecuaciones de Euler. Para un fluido homogéneo en composición dichas ecuaciones son:

Continuidad ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0. ∂t

(10.11)

Dv = −∇ p + ρ fm . Dt

(10.12)

Cantidad de movimiento ρ

Energ´ıa ρT

DS = Qr + Qq . Dt

(10.13)

Ecuaciones de estado ρ = ρ(p, T ) y

S = S(p, T ).

(10.14)

La ecuación de la entrop´ıa puede ser sustituida por cualquier otra forma alternativa de ecuaci´ on de la energ´ıa como las que se detallan a continuaci´ on: Energ´ıa total ρ

D(e + v 2 /2) = ρ fm · v − ∇ · (p v) + Qr + Qq , Dt

(10.15)

D(h + v 2 /2) ∂p = ρ fm · v + + Qr + Qq , Dt ∂t

(10.16)

Entalp´ıa total ρ


198

Energ´ıa interna ρ

De = −p ∇ · v + Qr + Qq , Dt

(10.17)

Dh Dp = + Qr + Qq , Dt Dt

(10.18)

Entalp´ıa ρ

donde, por ser Re 1, se han excluido los efectos de conducción de calor y viscosidad.

10.3.


Las ecuaciones de Euler se diferencian de las de Navier-Stokes en que en las primeras han desaparecido los términos con las derivadas espaciales de mayor orden. Esto tiene como consecuencia dos hechos importantes. En primer lugar, no se puede imponer a las ecuaciones reducidas la totalidad de las condiciones de contorno. En efecto, aunque las fuerzas de presi´ on puedan evitar que el fluido adquiera una velocidad normal relativa a un obst´ aculo impermeable, sólo las fuerzas de viscosidad tangenciales pueden impedir que el fluido deslice sobre el obstáculo. Del mismo modo, sólo por conducción puede el fluido tener noticia de la temperatura de los obst´ aculos impermeables que lo limitan. En segundo lugar, las ecuaciones de Euler son del tipo el´ıptico o hiperb´ olico, a diferencia de las de Navier Stokes que son del tipo parab´ olico como consecuencia de que las derivadas espaciales son de mayor orden que las temporales (la irreversibilidad del movimiento macroscópico de los fluidos está asociada al carácter parabólico de las ecuaciones de Navier-Stokes). Como se ver´ a mas adelante, cuando se describe el movimiento ideal de un l´ıquido o el movimiento subs´ onico de un gas el problema es de tipo el´ıptico, mientras que es hiperbólico cuando se trata del flujo supersónico de gases.1 As´ı pues, las ecuaciones de Euler deben resolverse bajo las condiciones iniciales y de contorno siguientes. Como condiciones iniciales, las mismas que para las ecuaciones de Navier-Stokes completas, ya que no han desaparecido las derivadas respecto al tiempo; esto es, se supondrá conocido el campo inicial de velocidades, densidades y temperaturas v(x, 0) = vo (x),

ρ(x, 0) = ρo (x),

T (x, 0) = To (x).

(10.19)

Como condiciones de contorno, se impondrán primero las condiciones en el infinito; esto es, se supondr´ an conocidas la velocidad y las variables termodin´ amicas en el infinito, aguas arriba del obst´ aculo v(∞, t) = v∞ (t), ρ(∞, t) = ρ∞ (t), T (∞, t) = T∞ (t). (10.20) En segundo lugar, cuando el fluido esté limitado por una superficie impermeable, se impondr´ a sobre ella la condición de que la velocidad normal del fluido relativa a la superficie sea nula vn − vns = 0,

(10.21)

1 Se ver´ a en 12 que en el caso de ondas propag´ andose sobre la superficie libre de un l´ıquido, la velocidad de éste puede ser mayor que la de las ondas y, en ese caso, las ecuaciones que describen el movimiento son hiperb´ olicas.

199

10.4. Continuidad, existencia y unicidad de la soluci´ on

donde vns representa aqu´ı la componente de la velocidad de la superficie normal a s´ı misma. Si la superficie fuese permeable y se inyectase fluido a través de ella con velocidad de soplado us , la condición (10.21) debe sustituirse por vn − vns = us .

(10.22)

Además, cuando el fluido esté limitado por otro fluido no miscible con él, en la superficie de separación f (x, t) de los dos fluidos se impondr´ an las condiciones siguientes: 1) la velocidad normal de ambos fluidos en la interfase de separación debe de coincidir con la velocidad normal de avance de la superficie fluida, y 2) el salto de presiones a través de la superficie debe equilibrar a la componente normal de las fuerzas de tensión superficial vn1 = vn2 = −

∂f /∂t | ∇f |

y

∆p = ζ∇n,

(10.23)

donde la normal local a la superficie n es ∇f / | ∇f |.

10.4.

Continuidad, existencia y unicidad de la soluci´ on

En general, no existe solución continua y con derivadas continuas, al problema de las ecuaciones de Euler con condiciones de contorno e iniciales como las especificadas anteriormente, por lo que es necesario admitir la posibilidad de soluciones que presenten discontinuidades de las magnitudes fluidas y de sus derivadas sobre algunas superficies (ondas de choque y discontinuidades tangenciales). La presencia de estas discontinuidades junto con la imposibilidad de cumplir simult´ aneamente todas las condiciones de contorno de los fluidos reales hace que las soluciones de las ecuaciones de Euler no representen uniformemente a las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. Lo que sucede, en realidad, es que existen regiones, de espesor muy peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica del movimiento L, en el entorno de las superficies de discontinuidad donde las magnitudes fluidas sufren variaciones apreciables en longitudes mucho menores que L y, por tanto, los efectos de transporte: viscosidad y conducci´ on de calor no pueden ignorarse. En efecto, los peque˜ nos valores de los coeficientes de transporte se compensan con los valores altos de los gradientes que aparecen cuando hay saltos de las magnitudes fluidas en zonas muy estrechas. Naturalmente, al estudiar los fluidos ideales se supondr´ a que estas zonas son de espesor nulo, aun cuando posean una estructura interna donde los fen´ omenos de viscosidad y conducción de calor son importantes. Un ejemplo t´ıpico es el de la capa l´ımite que se desarrolla sobre las superficies sólidas que limitan al fluido y que consiste en una zona muy delgada en la que la velocidad del fluido pasa del valor cero en la superficie sólida, correspondiente a fluido real, al valor no nulo que proporcionar´ıa la teor´ıa ideal. En las fotograf´ıas de la Figura 10.1. se ilustra la forma del perfil de velocidades de un fluido en las proximidades de una pared hecho visible por medio de una l´ınea de burbujas de hidr´ ogeno.2 Obsérvese la brusca deceleración que experimenta el fluido en las proximidades de la pared. La fotograf´ıa inferior corresponde a una capa l´ımite laminar, mientras que la superior corresponde a una capa l´ımite con el mismo n´ umero de Reynolds que la inferior pero que se ha hecho turbulenta por una mayor rugosidad de la superficie superior. En la capa l´ımite, supuesta de espesor δ, los órdenes de magnitud de los términos viscosos y convectivos de la ecuación de cantidad de movimiento son respectivamente =

∇· τ ∼ µ U/δ 2

yρ

v · ∇ v ∼ ρ U 2 /L,

(10.24)

2 Fotograf´ ıas tomadas de Illustrated Experiments in Fluid Mechanics, The National Committee for Fluid Mechanics Films (Book of Film Notes), Education Development Center, Inc.

200


Figura 10.1: Perfiles de velocidad en dos capas l´ımites sobre una pared. El flujo es turbulento en la imagen superior y corresponde a una fotograf´ıa en un instante de tiempo. El perfil de velocidades de la imagen inferior corresponde a una capa l´ımite laminar.

y la exigencia de que ambos sean del mismo orden proporciona el orden de magnitud del espesor de la capa l´ımite viscosa √ δ ∼ L/ Re, (10.25) donde L es la longitud caracter´ıstica de la pared sólida; obsérvese que al ser Re 1, el espesor de la capa l´ımite es mucho menor que la longitud caracter´ıstica del obstáculo. Para el caso del movimiento en conductos, la condición de que los términos viscoso y convectivo sean del mismo orden conduce a L δ∼ D (10.26) Re D y si Re D/L 1 se tiene δ D. La teor´ıa de la capa l´ımite, tanto laminar como turbulenta es bastante compleja y su estudio se pospone a los Cap´ıtulos 14 y 16. Del mismo modo que hay capas l´ımites para la velocidad, también las hay para la temperatura y la concentraci´ on, entrando entonces en juego la conductividad térmica y la difusi´ on másica, que son los mecanismos f´ısicos encargados del cumplimientode las condiciones de contorno en la superficie del cuerpo (o en la de separaci´ on entre dos fluidos no miscibles) que no se puedan satisfacer con la teor´ıa de fluidos ideales. Otro ejemplo de discontinuidad en las magnitudes fluidas es el de las ondas de choque que aparecen delante de un obstáculo que se mueve supersónicamente en el seno de un gas en reposo, Figura 10.2,3 o en el flujo supersónico de un gas a través de una tobera convergente-divergente. Como se observa en la fotograf´ıa de la Figura 10.2, y se ver´ a también en el Cap´ıtulo 12 y siguientes, el espesor de la onda de choque es tan peque˜ no que puede ser tratado como una discontinuidad matem´ atica, puesto que al haber despreciado la viscosidad y la conducci´ on de calor los valores de la velocidad y temperatura no serán, en general, iguales a uno y otro lado de la discontinuidad. Naturalmente, el espesor de la onda es muy peque˜ no y en su interior los gradientes de velocidad y temperatura son tan grandes (ser´ıan infinitos si el espesor de la onda fuese nulo) que no pueden ignorarse los efectos de viscosidad y conducción de calor que son los que permiten una 3

Army Ballistic Research Laboratory, en An Album of Fluid Motion, M. van Dyke, Parabolic Press, 1982.

10.5. Movimientos isentr´ opicos y homentr´ opicos

201

Figura 10.2: Estructura del flujo a través de un proyectil que viaja a M=2.58. Las ondas de choque oblicuas ligadas al morro del proyectil y la capa l´ımite y la estela del mismo se observan con nitidez. Para la visualización del flujo se aprovecha la variaci´ on del ´ındice de refracción como consecuencia de los cambios de densidad que experimenta el gas.

transición continua de las variables a través de la onda. El espesor caracter´ıstico, δ, de la onda de choque, puede estimarse teniendo en cuenta que la deceleración convectiva de las part´ıculas fluidas al atravesar la onda de choque, de orden U 2 /δ, es comparable a la fuerza de viscosidad por unidad de masa, de orden ν U/δ 2 , lo que proporciona δ ∼ ν/U . Es necesario a˜ nadir que estas discontinuidades o capas delgadas se hacen inestables para valores del n´ umero de Reynolds, o del par´ ametro adimensional que gobierne el flujo, superiores a uno denominado cr´ıtico, y el flujo resultante se vuelve caótico como sucede en la capa l´ımite turbulenta de la fotograf´ıa superior de la Figura 10.1.

10.5.

Movimientos isentr´ opicos y homentr´ opicos

Cuando los efectos de la adición de calor por radiaci´ on o reacción qu´ımica son despreciables por ser peque˜ no el incremento de entrop´ıa que producen (comparado con la convecci´ on de entrop´ıa), las ecuaciones de Euler pueden simplificarse más a´ un, facilitando su integraci´ on. En este caso, la ecuación de la entrop´ıa se reduce a DS = 0, (10.27) Dt que puede integrarse para obtener S = Sp , siendo Sp la entrop´ıa de la part´ıcula fluida considerada en el instante inicial; se dice entonces que el movimiento es isentrópico. En muchos casos prácticos, todas las part´ıculas tienen, en el instante inicial, la misma entrop´ıa So , (Sp = So ), y si el movimiento es isentrópico se tiene S = Sp = So ; en este caso, todas las part´ıculas tienen en todo instante la misma entrop´ıa y por tanto ∇ S = 0, que es la condición matemática que define los movimientos homentrópicos. En estos movimientos, todas las part´ıculas fluidas tienen la misma entrop´ıa (que puede ser funci´ on del tiempo) en cada instante. Como se ve, para que el movimiento sea homentrópico basta que sea isentrópico y que la entrop´ıa inicial sea la misma para todas las part´ıculas fluidas.

202


En movimientos isentr´ opicos casi estacionarios (para los cuales el tiempo caracter´ıstico local es mucho mayor que el tiempo de residencia), la ecuación de la entrop´ıa se reduce a v · ∇S =

∂S = 0, ∂s

(10.28)

donde ∂/∂ s representa la derivada en la dirección de la l´ınea de corriente y (10.28) indica que, en cada instante, la entrop´ıa de las part´ıculas fluidas situadas a lo largo de una l´ınea de corriente es la misma. Además, si todas las l´ıneas de corriente proceden de una región donde la entrop´ıa sea uniforme el movimiento es también homentr´ opico.

10.6.

Ecuaci´ on de Euler-Bernouilli

Como se verá en lo que sigue, si la ecuación de cantidad de movimiento de Euler se proyecta en la dirección de las l´ıneas de corriente se obtiene una relación entre magnitudes fluidas que es extremadamente u ´ til para la resoluci´ on de muchos problemas prácticos. En efecto, para un fluido ideal la ecuación de cantidad de movimiento se expresa ∂v + ρ v · ∇ v = −∇ p + ρ fm , ∂t que conviene reescribir en la forma ρ

∂v 1 + ∇ · (v 2 /2) − v ∧ (∇ ∧ v) + ∇ p − fm = 0; ∂t ρ

(10.29)

(10.30)

donde v = |v|, y se ha hecho uso de la relación v · ∇ v = ∇ · (v 2 /2) − v ∧ (∇ ∧ v).

(10.31)

Multiplicando la ecuaci´ on (10.30) escalarmente por un vector unitario paralelo en cada punto al vector velocidad se obtiene la proyección de dicha ecuación en la dirección de la l´ınea de corriente ∂ v ∂(v 2 /2) 1 ∂ p + + − fms = 0, ∂t ∂s ρ ∂s

(10.32)

donde, como antes, el s´ımbolo ∂/∂ s es la derivada en la dirección de la l´ınea de corriente. Por otra parte, si el movimiento es barótropo, esto es, si ρ = ρ(p, t), se puede definir la funci´ on de barotrop´ıa ω tal que 1 ∂p ∂ω = , (10.33) ρ ∂s ∂s

donde

p

ω − ω1 =

d p/ρ(p, t);

(10.34)

p1

en el caso de l´ıquidos se tiene ω = p/ρ mientras que en el movimiento isentrópico de gases, donde T dS = 0 = dh − dp/ρ, se tiene ∂ω 1 ∂p ∂h = = . (10.35) ∂s ρ ∂s ∂s Además, si la componente de las fuerzas másicas en la dirección de la l´ınea de corriente fms derivase de un potencial fms = −∂ U/∂ s, (10.36)

203

10.7. Magnitudes de remanso la ecuación (10.32) teniendo en cuenta (10.33) y (10.36) puede escribirse como 2 ∂v ∂ v + ω + U = 0. + ∂t ∂s 2

(10.37)

Cuando el movimiento es estacionario o casi estacionario, la ecuación (10.37) se simplifica a´ un más para dar 2 ∂ v + ω + U = 0, (10.38) ∂s 2 que integrada en el instante t a lo largo de una l´ınea de corriente proporciona 1 2 (10.39) v + ω + U = C(t). 2 La ecuación (10.39) es una integral primera del movimiento de gran utilidad en el an´ alisis de los movimientos fluidos que satisfacen las condiciones arriba indicadas; obsérvese que la constante de integraci´ on C(t) puede variar de una l´ınea de corriente a otra y con el tiempo y ha de determinarse mediante las condiciones de contorno, siguiendo la l´ınea de corriente, aguas arriba o aguas abajo, hasta alg´ un punto o regi´ on donde se conozca el valor del primer miembro de la ecuación algebraica (10.39). Resumiendo lo anterior, las condiciones necesarias y suficientes para que la ecuación (10.39) sea válida son: Efecto de la viscosidad despreciable (Re 1 o Re D/L 1. La componente de las fuerzas másicas en la dirección de las l´ıneas de corriente ha de derivar de un potencial. Movimiento barótropo ρ = ρ(p). Movimiento casi-estacionario. N´ umero de Strouhal tr /to 1.

10.7.

Magnitudes de remanso

Como se vio anteriormente, en el movimiento sin adición de calor de un fluido ideal se conserva la entrop´ıa de cada part´ıcula. Si además el proceso es estacionario y se pueden despreciar las fuerzas másicas (lo que suele ser cierto en los movimientos de gases porque su velocidad en aplicaciones t´ıpicas satisface la condición v 2 g L), la ecuación (10.39) muestra que la cantidad h + v 2 /2 se mantendr´ a también constante a lo largo de una l´ınea de corriente v2 = ho ; (10.40) 2 esta constante se conoce con el nombre de entalp´ıa de remanso. Partiendo de la entrop´ıa y de la entalp´ıa de remanso se pueden definir mediante las ecuaciones de estado las restantes magnitudes de remanso; para un l´ıquido perfecto se tiene: h+

So = S,

(10.41)

ho = h + v 2 /2,

(10.42)

To = T,

(10.43)

204


po = p +

1 2 ρv , 2

(10.44)

ρo = ρ,

(10.45)

So = S,

(10.46)

ho = h + v 2 /2,

(10.47)

y para un gas calor´ıficamente perfecto

γ − 1 v2 γ−1 2 γ − 1 v2 To v2 v2 =1+ =1+ =1+ =1+ M , =1+ p p 2 T 2cp T 2 2 a 2 2cp γ ρ Rg ρ ao = a

1/2 To γ−1 2 , = 1+ M T 2

(10.48)

(10.49)

donde M = v/a es el n´ umero de Mach que mide la relación entre la velocidad del fluido y la del sonido. Finalmente, de la ecuación de estado y de la condición de movimiento isentr´ opico ρo T o po = p ρ T

y

po = p

ρo ρ

γ ,

(10.50)

se obtienen las relaciones

1/(γ−1) γ−1 2 ρo = 1+ M ρ 2

y

γ/(γ−1) po γ−1 2 = 1+ M . p 2

(10.51)

En el Apéndice 10.I se dan valores tabulados de las expresiones (10.48)-(10.51) como función del n´ umero de Mach. Obsérvese de lo anterior que las magnitudes de remanso se podr´ıan definir como las magnitudes termodinámicas que se obtendr´ıan decelerando el fluido, isentr´ opica, estacionariamente y sin fuerzas másicas, desde la velocidad v hasta la velocidad nula. Conviene observar también que, independientemente del tipo de movimiento que experimente el fluido, las relaciones anteriores definen en cada punto las variables de remanso en funci´ on de las estáticas; es decir, las relaciones anteriores se pueden aplicar a cualquier tipo de movimiento aunque sea no-estacionario, no-ideal, fuerzas másicas no despreciables, etc.; sin embargo, en estos casos las condiciones de remanso no se conservan y su manejo ya no es tan u ´til. En efecto, de lo anterior se desprende que las condiciones de conservación de las magnitudes de remanso son: Efecto de la viscosidad y conductividad térmica despreciables; Fuerzas másicas despreciables; Movimiento sin adición de calor; Movimiento estacionario.

10.8. Vorticidad y circulaci´ on del vector velocidad

205

Compare el lector estas condiciones con las de validez de la ecuación de Euler-Bernouilli. Es claro de lo anterior que si se cumplen estas condiciones y que si todas las l´ıneas de corriente vienen de una región uniforme, las condiciones de remanso son las mismas para todo el campo fluido. Las condiciones de conservación de la entalp´ıa de remanso y entrop´ıa pod´ıan haberse deducido también de las ecuaciones generales (5.24) y (5.27) ρT

ρ

DS = φv + ∇ · (K∇T ) + Qr + Qq , Dt

D(h + v 2 /2) ∂p = + ρ fm · v + ∇ · (τ · v) + ∇ · (k∇T ) + Qr + Qq , Dt ∂t

(10.52)

(10.53)

que muestran cómo en un caso real pueden variar las condiciones de remanso. As´ı , en un movimiento a grandes n´ umeros de Reynolds, sin adición de calor, la entrop´ıa de remanso no var´ıa en el movimiento de la part´ıcula, pero s´ı puede variar la entalp´ıa de remanso debido a efectos no estacionarios a través de ∂ p/∂ t (por ejemplo, movimiento a través de compresores y turbinas, carreras de compresión y expansión de émbolos, etc.), o también debido al trabajo de las fuerzas m´ asicas (por ejemplo, en la descarga del l´ıquido de un dep´ osito bajo la acción de las fuerzas gravitatorias).

10.8.

Vorticidad y circulaci´ on del vector velocidad

En el movimiento de fluidos ideales, además de las magnitudes de remanso, existe otra integral primera que bajo condiciones que se especificarán más tarde se mantiene constante a lo largo del movimiento. Se trata de la circulación del vector velocidad a lo largo de una l´ınea fluida cerrada L cualquiera v · d l.

Γ=

(10.54)

L

Como indica el teorema de Stokes, si la curva L es reducible (es decir, si se puede reducir a un punto de forma continua sin abandonar el dominio fluido), la magnitud Γ est´ a relacionada con el flujo del vector vorticidad ω = ∇ × v a través de una superficie Σ cualquiera que se apoye sobre L v · dl = ω · n d σ. (10.55) L

Σ

Tomando el rotor de la ecuación (10.12) dividida por ρ se obtiene ∂ω + ∇ × (v · ∇v) = −∇(1/ρ) × ∇p + ∇ × fm , ∂t

(10.56)

donde se ha tenido en cuenta que el rotor de un gradiente es nulo. Si se hace uso de las identidades v · ∇v = ∇

v2 − v × ω, 2

(10.57)

y ∇ × (v × ω) = v∇ · ω − ω ∇ · v + ω · ∇v − v · ∇ ω.

(10.58)

y se tiene en cuenta que ∇ · ω = ∇ · (∇ × v) = 0 por ser ω solenoidal se obtiene la ecuación de la vorticidad 1 ∂ω (10.59) + v · ∇ω = ω · ∇v − ω ∇ · v − ∇ × ∇ p + ∇ × fm . ∂t ρ

206


Como se vio en (4,5,2) el par barocl´ınico −∇ (1/ρ) × ∇ p es nulo si el movimiento es barótropo, lo que sucede en el caso de l´ıquidos y en el movimiento homentr´ opico de gases y si además las fuerzas másicas derivan de un potencial, (10.59) se reduce a ∂ω + v · ∇ω = ω · ∇v − ω ∇ · v, ∂t

(10.60)

ecuación, denominada de Helmholtz, en la que no aparece la presi´ on. Si a la ecuación (10.60) dividida por ρ se le resta miembro a miembro la de continuidad multiplicada por ω/ρ2 , se obtiene ω D ω = · ∇ v, (10.61) Dt ρ ρ que expresa la variaci´ on por unidad de tiempo de la magnitud ω/ρ siguiendo a la part´ıcula fluida en términos del valor instant´ aneo y local del gradiente de velocidades. Un caso particular es el del flujo bidimensional, en el que la vorticidad s´ olo tiene componente seg´ un el eje z, ω = (0, 0, ω), y el segundo miembro de la ecuación anterior se anula idénticamente; se tiene entonces D ω = 0, (10.62) Dt ρ que muestra que en el caso de un flujo bidimensional de un fluido ideal con fuerzas m´ asicas que derivan de un potencial, el vector ω/ρ se conserva a lo largo del movimiento.

10.9.

L´ıneas y tubos de vorticidad

El campo de vorticidad de un flujo puede visualizarse en forma an´ aloga a como se visualiza un campo de velocidades, o un campo magnético. As´ı , se define una l´ınea de vorticidad como aquella curva que es tangente al vector vorticidad en todos sus puntos. Matem´ aticamente viene dada por d x = k ω, es decir dx es paralelo a ω, siendo k una constante. En coordenadas cartesianas las l´ıneas de vorticidad satisfacen las ecuaciones diferenciales dx2 dx3 dx1 = = , ω1 ω2 ω3

(10.63)

donde ω1 , ω2 y ω3 son las componentes de ω seg´ un los ejes coordenados. Al igual que las l´ıneas de corriente de un flujo proporcionan una visualizaci´ on de las direcciones del flujo en cada instante, las l´ıneas de vorticidad dan una visi´ on de las direcciones de los vectores vorticidad en el campo fluido. En general, la orientaci´ on de estas l´ıneas cambian de un instante a otro, excepto en un flujo estacionario, en el que permanecen fijas en el espacio. Un tubo de vorticidad est´ a constituido por la familia de l´ıneas de vorticidad que pasan por una curva cerrada dada. El flujo neto de vorticidad Σ ω · n d σ a través de las superficies laterales que limitan un volumen del tubo de corriente es nulo. En efecto, aplicando el teorema de Gauss y el hecho de que la vorticidad es un campo vectorial solenoidal [∇ · ω = ∇ · (∇ × v) = 0], se tiene ω · ndσ = ∇ · ω d = 0. (10.64) Σ

Ω

Se concluye entonces que sobre las paredes laterales del tubo de corriente, ω·n = 0 y que, por tanto, el flujo del vector vorticidad a través de cualquier sección transversal del tubo, que se denomina intensidad del tubo de vorticidad, es constante a través de cualquier sección del tubo de vorticidad ω · ndσ = ω · n d σ; (10.65) Σ1

Σ2

207

10.9. L´ıneas y tubos de vorticidad

Dado que la intensidad es constante a lo largo del tubo de vorticidad, éste no puede comenzar o terminar en un punto del dominio fluido; esto es, o los tubos de vorticidad son cerrados o se originan y terminan en el infinito o sobre una pared s´ olida. Volviendo de nuevo a la ecuación (10.60), es fácil deducir que si la vorticidad inicial de una part´ıcula fluida es nula, se mantiene nula a lo largo del movimiento. Obsérvese que el segundo miembro de (10.60) ser´ıa nulo en cada instante del movimiento. Esta propiedad constituye la denominada primera de las leyes de Helmholtz que satisface el movimiento de un fluido bar´ otropo e ideal bajo la acción de fuerzas externas conservativas. Una consecuencia importante de la primera ley es que si la vorticidad fuese nula en un instante dado en todo el dominio fluido (por ejemplo, si el fluido está inicialmente en reposo o en un estado de movimiento uniforme) permanecer´ıa nula en cualquier instante posterior. De otro modo, si un flujo es inicialmente irrotacional, bajo las ´ hipótesis en que la ecuación (10.60) es válida, permanecerá siempre irrotacional. Esta es, realmente, una de las formas de enunciar el teorema de la circulación de Kelvin que se demostrará por un procedimiento alternativo en la sección siguiente. La segunda de las leyes de Helmholtz establece que las part´ıculas fluidas que en un instante dado están situadas sobre una l´ınea de vorticidad se mantienen sobre ella en instantes posteriores. En otras palabras, las l´ıneas y tubos de vorticidad se mueven con el fluido. La segunda ley de Helmholtz se demuestra fácilmente a partir de la igualdad de las ecuaciones que satisfacen los vectores ω/ρ y d x, siendo d x un elemento infinitesimal de l´ınea fluida [véanse las ecuaciones (3.30) y (10.61)]. Multiplicando ahora la ecuaci´ on (10.61) por un par´ ametro constante (independiente de la posición y del tiempo), con dimensiones apropiadas para que la cantidad ω/ρ posea dimensiones de longitud y restando el resultado a la ecuaci´ on (3.30) se obtiene ω D ω = dx − · ∇ v, dx − (10.66) Dt ρ ρ que muestra, de acuerdo con la segunda ley, que si el elemento de l´ınea material coincide con el de una l´ınea de vorticidad en el instante inicial ω , (10.67) dx|t=to = ρ t=to ambos vectores siguen siendo iguales en cualquier instante posterior [el segundo miembro de (10.66) es siempre nulo] y se concluye que las l´ıneas de vorticidad son l´ıneas fluidas que se mueven, por tanto, con el fluido. La tercera ley de Helmholtz establece la propiedad de que la intensidad los tubos de corriente no var´ıa con el tiempo durante el movimiento del fluido. Esta ley es consecuencia de la segunda y del hecho de que la intensidad se mantiene constante a lo largo del tubo. En efecto, si los tubos de vorticidad son superficies fluidas, y por tanto se mueven con el fluido, la masa contenida en el volumen de un tubo de vorticidad con longitud elemental d x se conserva, por tanto, en cualquier instante ρ d x d σ = const; (10.68) Σ

teniendo en cuenta que d x = d x n ∼ ω/ρ, la ecuación (10.68) se transforma en ω · n d σ = const,

(10.69)

Σ

que indica la constancia de la intensidad del tubo de vorticidad. Se concluye de aqu´ı que la vorticidad media en una sección transversal aumenta cuando el a´rea de la sección disminuye y viceversa.

208


Un ejemplo t´ıpico que ilustra muy bien los resultados anteriores es el flujo de aire en un tornado. La convecci´ on térmica del aire cerca del suelo hacia las nubes produce, por un mecanismo que no se trata aqu´ı , un movimiento rotatorio muy intenso, concentrando la vorticidad en el eje del tornado. El eje del tornado es visible porque en la regi´ on de giro intenso la presi´ on es muy baja y la humedad del aire se condensa, formando una nube en forma de chimenea, que es lo que normalmente se identifica con el tornado. Esta nube giratoria es una visualizaci´ on de un tubo de vorticidad muy estrecho donde la vorticidad es muy intensa, Figura 10.3.4 Cuando las nubes superiores se mueven, el tornado se dobla, es decir, el tubo de corriente es convectado por el flujo, aumentando la vorticidad en gran parte del tornado al estrecharse la secci´ on transversal del tubo de corriente.

Figura 10.3: Fotograf´ıa de un tornado.

10.10.

Teorema de Bjerkness-Kelvin

Considérese el flujo del vector vorticidad a través de una superficie Σ que se apoya sobre una l´ınea cerrada L. Si L es reducible (esto es, se puede reducir a un punto de forma continua sin abandonar el dominio fluido), el teorema de Stokes permite relacionar la integral de superficie con la integral de la velocidad a lo largo de la l´ınea cerrada L, denominada también circulación Γ del vector velocidad Γ= ω · ndσ = v · d l, (10.70) Σ

L

donde d l representa aqu´ı el vector tangente a la l´ınea. Si L ≡ Lf es una l´ınea fluida, el teorema de Bjerkness-Kelvin establece que la derivada sustancial (siguiendo a la l´ınea fluida cerrada) de la circulación es igual a la circulación del vector aceleración a lo largo de dicha l´ınea D Dv v · dl = · d l. (10.71) D t Lf (t) Lf (t) D t 4 T. E. Faber, Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge University Press, 1995. Fotograf´ ıa proporcionada por el National Oceanic and Atmospheric Administration Photo library, Rockville, Maryland, USA.

209

10.10. Teorema de Bjerkness-Kelvin En efecto, si se tiene en cuenta que D(d l) Dv D v · dl = v· · dl + , D t Lf (t) D Dt t Lf (t) Lf (t) y que la u ´ltima de las integrales de (10.72) se puede escribir mediante (3.30) como D(d l) v· v · (d l · ∇v) = v · dv = d v 2 /2 = 0; = D t Lf (t) Lf (t) Lf (t) Lf (t)

(10.72)

(10.73)

la integral (10.73) es nula por ser el campo de velocidades unievaluado (su valor en un punto es el mismo antes y después de dar una vuelta completa a la l´ınea cerrada). Como establece (10.71), que es la expresión matemática del teorema de Bjerkness-Kelvin, la derivada respecto al tiempo de la circulación a lo largo de una l´ınea fluida cerrada es igual en cada instante a la circulaci´ on del vector aceleración a lo largo de dicha l´ınea. Por otra parte, en el caso particular del flujo bar´ otropo, de un fluido no viscoso, bajo la acci´ on de un campo de fuerzas másicas que derivan de un potencial, la aceleración del fluido deriva también de un potencial, véase (3.54) Dv = −∇(ω + U ), (10.74) Dt donde ∇ ω = ∇ p/ρ. Se tiene entonces ∇(ω + U ) · d l =

∂(ω + U ) d l, ∂l

y como (ω + U ) es, por razones f´ısicas, unievaluado, la ecuación (10.72) resulta DΓ D v · d l = 0. = Dt D t Lf (t)

(10.75)

(10.76)

La ecuación (10.76) expresa que en el flujo bar´ otropo de un fluido ideal bajo la acci´ on de un campo de fuerzas másicas que deriva de un potencial, la circulaci´ on alrededor de cualquier l´ınea fluida cerrada permanece constante e igual a su valor inicial. Como consecuencia de este teorema, si la circulación a lo largo de cualquier l´ınea fluida cerrada es inicialmente cero, su valor permanecerá nulo en cualquier instante posterior Γ= v · dl = ω · n d σ = 0, (10.77) Lf (t)

Σ

donde Σ representa cualquier superficie que se apoye en Lf , y la vorticidad es nula en cualquier punto del dominio fluido si y s´ olo si la circulación es nula para toda l´ınea cerrada reducible perteneciente al dominio. De (10.76) y (10.77) se deduce que el movimiento de un fluido ideal y bar´ otropo bajo la acción de fuerzas másicas que derivan de un potencial es irrotacional en cualquier instante si inicialmente la vorticidad es nula en todos los puntos del dominio fluido (por ejemplo, si se parte del reposo o de un movimiento uniforme). Es interesante observar que el teorema de Bjerkness-Kelvin podr´ıa haberse demostrado sin más que aplicar el teorema de Stokes a la variaci´ on de la circulación DΓ D D v · dl = ω · ndσ (10.78) = Dt D t Lf (t) D t Σf (t) y aplicar el resultado obtenido en (10.65) que demuestra la independencia de la intensidad de un tubo de corriente con respecto al tiempo. Viceversa, las leyes de Helmholtz podr´ıan haber sido

210


obtenidas utilizando el teorema de Kelvin o invariancia en el tiempo de la circulaci´ on a lo largo de cualquier l´ınea fluida cerrada en el flujo de un fluido ideal, bar´ otropo, bajo la acci´ on de fuerzas que derivan de un potencial. Se debe observar, sin embargo, que el teorema de Bjerkness-Kelvin es más general, puesto que la hip´ otesis de fluido ideal sólo afecta al fluido contenido en un entorno de la curva Lf (t), por lo que si las fuerzas viscosas son importantes en alguna zona del interior del dominio, fuera del entorno de Lf la invariancia de la circulaci´ on alrededor de Lf no se ver´ıa afectada. Por otra parte, para relacionar circulaci´ on y vorticidad se hace uso del teorema de Stokes y las conclusiones respecto a la invariancia de la vorticidad en el interior del dominio plano, cuando la circulación alrededor de la curva cerrada que lo engloba es invariante, son s´ olo aplicables si el dominio fluido es simplemente conexo, esto es, si todas las l´ıneas cerradas definidas en él son reducibles.

10.11.

Potencial de velocidades

La persistencia de la condición de irrotacionalidad, en aquellos flujos que inicialmente la tienen, cuando se verifican las condiciones de altos n´ umeros de Reynolds, barótropo, y fuerzas másicas derivando de un potencial, simplifica extraordinariamente el an´ alisis de los mismos. Esto es debido a que si la corriente es irrotacional, el campo de velocidades deriva de un potencial escalar denominado potencial de velocidades v = ∇ φ, (10.79) y el n´ umero de incógnitas se reduce de tres, las tres componentes del vector velocidad, a una, el escalar potencial de velocidades. En términos de la velocidad el potencial de velocidades se escribe

P

φ(xP ) − φ(xA ) =

v · d l,

(10.80)

A

donde d l es el elemento tangente de la l´ınea que une los puntos A y P . Si el recinto es simplemente conexo, y A y P representan el mismo punto de una l´ınea cerrada, la ecuación (10.80) suministra φ(xP ) = φ(xA ); esto es, el potencial de velocidades es una función unievaluada de la posici´ on. Si el dominio es m´ ultiplemente conexo, como ocurre por ejemplo en la corriente bidimensional de un fluido alrededor de un perfil de a´labe en la que cualquier curva que encierre al perfil es no reducible, puede ocurrir que la circulaci´ on alrededor del perfil sea distinta de cero mientras que la vorticidad sea nula en todo punto del dominio fluido limitado por el perfil y una curva cerrada cualquiera no reducible A F G H por ejemplo, Figura 10.4. En efecto, si ∇ × v = 0 en todo punto A

B

C

H

E F

D

G

Figura 10.4: Dominio m´ ultiplemente conexo. Corriente alrededor de un perfil.

211

10.12. Vórtices

del dominio fluido, entonces, de acuerdo con (10.70), la circulaci´ on a lo largo de la curva cerrada ABCDEF GH deber´ıa de ser nula v · d l = 0. (10.81) ABCDEF G

Si donde puntos B y E y C y D se toman lo suficientemente próximos para que las integrales de l´ınea a lo largo de los segmentos BC y DE sean iguales y de signos opuestos y no contribuyan a la integral total, la ecuación (10.81) implica, por tanto, que la circulaci´ on a lo largo de toda curva AF GH que encierra al perfil es igual a la que existe sobre éste Γ= v · dl = v · d l. (10.82) perf il

AF GH

Conviene decir que en este caso la velocidad deriva de un potencial, que puede ser una funci´ on multievaluada de la posici´ on si la circulación a lo largo de cualquier curva que encierre al perfil es distinta de cero, aunque naturalmente la velocidad a que da origen no lo sea. Para ilustrar lo anterior, considérese el caso de un torbellino bidimensional cuyo campo de velocidades, definido en el dominio m´ ultiplemente conexo formado por todo el plano (r, θ) con exclusión del origen de coordenadas, es vr = 0,

vθ =

Γ , 2πr

(10.83)

seg´ un los ejes polares r y θ. Existe, entonces, un potencial de velocidades φ = Γ θ/2 π,

(10.84)

del que deriva la velocidad vr =

∂φ =0 ∂r

vθ =

y

1 ∂φ Γ = , r ∂θ 2πr

(10.85)

que es una funci´ on multievaluada de la posici´ on, φ(0) = 0 = φ(2 π) = Γ. Obsérvese también que Γ es la circulación del vector velocidad a lo largo de cualquier curva cerrada que incluya en su interior al origen de coordenadas 2π v · dl = vφ r d θ = Γ. (10.86) L

0

Una corriente fluida para la que la vorticidad, ω = ∇ × v es nula en todo punto del dominio fluido se denomina corriente potencial o irrotacional por oposici´ on a la clase más general de movimientos rotacionales en los que ω no es nulo en todo punto del dominio fluido. Como se ver´ a más adelante, los movimientos potenciales ocurren en situaciones prácticas de interés como por ejemplo en Aerodinámica que considera la corriente alrededor de obstáculos de forma fuselada a peque˜ nos ángulos de ataque. Otro caso importante de flujos potenciales se presenta cuando se estudian las peque˜ nas oscilaciones de las magnitudes fluidas en el seno de un fluido en reposo o moviéndose con una velocidad uniforme como sucede en la Ac´ ustica o en el caso más general de ondas de peque˜ na amplitud propag´ andose en el seno de un fluido.

10.12.

V´ ortices

Flujos con vórtices concéntricos a altos n´ umeros de Reynolds aparecen con frecuencia en la naturaleza y en muchas ramas de la tecnolog´ıa. Ejemplos naturales bien conocidos son el tornado y

212


el vórtice que se forma al drenar l´ıquido a través de un sumidero y entre los dispositivos tecnológicos en los que aparecen vórtices intensos cabe mencionar los amplificadores de torbellinos, ciclones separadores, torbellinos desprendidos de alas de avi´ on y otras superficies sustentadoras, bombas de chorro, etc. En combusti´ on son bien conocidos los efectos favorables que respecto a la estabilidad de la llama posee la inyección de aire cuando a éste se le suministra una elevada velocidad de giro; esta técnica se aplica en numerosas aplicaciones prácticas tales como motores de gasolina o diesel, turbinas de gas, hornos y quemadores industriales y muchos otros dispositivos combustores.

Figura 10.5: Rotura de v´ ortices en una corriente de agua. Las dos trazas de tinta están en el centro de vórtices intensos alimentados desde los bordes marginales del ala triangular a un cierto ángulo de ataque. La rotura de los torbellinos da lugar a una pérdida de las caracter´ısticas aerodinámicas del ala. Por su importancia tecnol´ ogica el estudio de fluidos con vórtices intensos es un campo de investigación de actualidad que presenta dificultades serias para alcanzar un conocimiento profundo de este tipo de flujos. Estas dificultades están asociadas por una parte a la dificultad del problema matemático que gobierna el fenómeno y de otra a que este tipo de flujos exhiben comportamientos complejos tales como rotura de vórtices (vortex breakdown), véase Figura 10.5, histéresis y estabilidad, cuyo car´ acter marcadamente no lineal dificulta su completo entendimiento y la posibilidad de gobernarlos apropiadamente por medio de par´ ametros de control.5 Como en todo otro flujo a altos n´ umeros de Reynolds también en los vórtices puede distinguirse una zona, exterior al n´ ucleo viscoso, donde los efectos de viscosidad son poco importantes y el movimiento no viscoso, pero en general rotacional, es gobernado por las ecuaciones de Euler; el n´ ucleo viscoso comprende al eje del vórtice. En movimientos axilsimétricos estacionarios de l´ıquidos aparecen problemas interesantes y dif´ıciles sobre la interacción del movimiento en los planos axial y azimutal pero su formulaci´ on se simplifica notablemente. En efecto, la funci´ on de corriente Ψ(x, r), cuya existencia está garantizada en movimientos axil-simétricos de l´ıquidos se define en coordenadas cil´ındricas (x, r, φ) 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ vx = , vr = − ; (10.87) r ∂r r ∂x on de las componentes por otra parte, las componentes del vector vorticidad (ωx , ωr , ωφ ) son en funci´ (vx , vr , vφ ) 1 ∂(rωφ ) ∂vφ ∂vr ∂vx ωx = , ωr = − , ωφ = − , (10.88) r ∂r ∂x ∂x ∂r 5

De G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.

213

10.12. Vórtices

as´ı que, si se sustituye (10.87) en la u ´ltima de las ecuaciones de (10.88) se obtiene la ecuación diferencial que satisface Ψ 2 ∂ Ψ ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ rωφ = − + − . (10.89) ∂x2 ∂r2 r ∂r Por otra parte, como el movimiento es barótropo, no viscoso, y si no se considera la acción de las fuerzas másicas, la ecuación de Bernouilli establece 1 2 p (v + vr2 + vφ2 ) + = H(Ψ), 2 x ρ

(10.90)

siendo H(Ψ) constante sobre las superficies de corriente, cada una de ellas definida por un valor de la funci´ on de corriente, Ψ. Otra integral primera del movimiento aparece como consecuencia del teorema de Kelvin (10.76) que expresa la constancia de la circulación del vector velocidad a lo largo de una l´ınea fluida (material) cualquiera en el caso de movimientos barótropos de fluidos ideales sometidos a fuerzas másicas que derivan de un potencial. En efecto, teniendo en cuenta la axil-simetr´ıa del movimiento, la circulación a lo largo de un c´ırculo de radio r concéntrico con el eje resulta ser vφ 2rdθ = 2πrvφ = Γ(Ψ) = 2πC(Ψ), (10.91) donde la constante C var´ıa de una l´ınea de corriente a otra. Por otra parte, haciendo uso de (10.91) y (10.87), las dos primeras relaciones de (10.88) se escriben en función de C en la forma ωx =

1 ∂C ∂C 1 ∂C ∂Ψ , = = vx r ∂r r ∂Ψ ∂r ∂Ψ

ωr = −

1 ∂C ∂C 1 ∂C ∂Ψ · , =− = vr r ∂x r ∂Ψ ∂x ∂Ψ

(10.92)

que muestra que las proyecciones de los vectores v y ω sobre un plano meridional son localmente paralelas. Esta propiedad puede derivarse también de la ecuación de cantidad de movimiento en forma diferencial, que para flujos estacionarios de l´ıquidos no viscosos y sin fuerzas másicas puede escribirse [véase (10.30)] p v2 + = −∇ H; (10.93) −v × ω = −∇ ρ 2 esta ecuación muestra que sobre el lugar geométrico de los puntos de un plano meridiano sobre los que H es constante (l´ınea de corriente) las proyecciones de v y ω sobre el plano tienen que ser paralelas. Finalmente, la componente ωφ se obtiene fácilmente de la proyección de la ecuación (10.93) sobre cualquiera de los ejes x o r; proyectando, por ejemplo, seg´ un x se tiene vr ωφ − vφ ωr =

∂H ∂H ∂Ψ = , ∂x ∂Ψ ∂x

(10.94)

y haciendo uso de (10.87), (10.91) y (10.92), se tiene ωφ =

∂H C ∂C −r . r ∂Ψ ∂Ψ

(10.95)

Combinando finalmente las ecuaciones (10.89) y (10.95) se obtiene la ecuación diferencial que satisface la función de corriente meridional (10.89) y (10.95) ∂C ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ ∂H −C ; = r2 + − 2 2 ∂x ∂r r ∂r ∂Ψ ∂Ψ

(10.96)

214


esta ecuación, que proporciona la funci´ on de corriente Ψ(x, r) si las funciones C(Ψ) y H(Ψ) son conocidas, se denomina de Bragg-Hawthorne por ser estos autores los primeros en formularla, aunque frecuentemente se encuentra en la literatura referida como ecuación de Squire-Long. Algunas soluciones de (10.96) que son de interés por aproximarse a los vórtices reales muestran que la velocidad azimutal vφ var´ıa potencialmente con la distancia al eje, vφ ∼ rn , con valores negativos del exponente n como sugieren los valores experimentales existentes, por otra parte no demasiado abundantes. Cerca del eje los esfuerzos de viscosidad se hacen, por tanto, importantes y deben ser retenidos en una delgada capa l´ımite axilsimétrica en torno al eje cuya estructura se analizar´ a en 14.

10.13.

Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales

Se estudian aqu´ı los movimientos de fluidos en conductos de sección lentamente variable, caracterizados porque su longitud Lo es grande comparada con su diámetro caracter´ıstico Do . Consecuentemente, el movimiento ocurre, esencialmente, en la dirección de la l´ınea media del conducto siendo las velocidades transversales (de orden Vt ) peque˜ nas frente a las longitudinales (de orden V ) como se deduce de la ecuación de continuidad Do Vt 1. ∼ V Lo

(10.97)

La condición de casi-unidireccionalidad implica adem´ as que las variaciones transversales de presión sean peque˜ nas frente a las longitudinales y en primera aproximaci´ on que la presión sea constante en una sección transversal del conducto. En efecto, de la ecuación de cantidad de movimiento en sentido longitudinal se tiene ∆L p ∼ ρ V 2 , (10.98) donde ∆L p representa la variaci´ on de presión entre dos secciones separadas una longitud caracter´ıstica L. Por otra parte, la proyecci´ on de la ecuación de cantidad de movimiento en cualquier dirección perpendicular a la l´ınea media del conducto proporciona ∆T p ∼ ρ Vt2 ,

(10.99)

donde ∆T p representa las variaciones de presión a lo largo de una sección normal a la l´ınea media del conducto. De (10.98) y (10.99), teniendo en cuenta (10.97), se llega a 2 Do ρ V 2 ∆L p ∆T p ∼ ρ V 2 (10.100) Lo que demuestra que la presión es constante, en primera aproximaci´ on, en cualquier sección perpendicular a la l´ınea media del conducto. Esto es, si x es la coordenada a lo largo del conducto, la presión es una funci´ on exclusiva de x y del tiempo p = p(x, t). Nótese que este resultado depende exclusivamente de la geometr´ıa (conductos de sección lentamente variable) y el resultado es el mismo que se encontró en 8.1, independientemente de que las fuerzas de viscosidad sean dominantes o despreciables en el movimiento del fluido a través del conducto. La importancia relativa de las fuerzas de inercia frente a las de viscosidad se mide por el cociente adimensional ρ U 2 /Lo |ρ v · ∇ v| Do ρ U Do Do ∼ ∼ Re , (10.101) ∼ = 2 µ U/Do µ Lo Lo |∇· τ | de modo que las de viscosidad serán despreciables en el movimiento del fluido a través del conducto siempre que Do 1. (10.102) Re Lo

10.13. Movimiento casi-unidireccional de fluidos ideales

215

La condición (10.102) impone una restricci´ on importante a la teor´ıa del movimiento de fluidos ideales en conductos, ya que, por una parte, el conducto debe ser lo suficientemente largo, Lo Do , para que el movimiento sea cuasi-unidireccional, mientras que debe ser lo suficientemente corto, Lo Re Do , para que la viscosidad pueda ser ignorada. Si la viscosidad fuera despreciable en el movimiento del fluido, el perfil de velocidades en una sección ser´ıa aproximadamente uniforme,6 debido a la inexistencia de difusi´ on transversal de cantidad de movimiento, excepto en una regi´ on adyacente a la pared, de espesor δ muy peque˜ no frente a Do , a través de la cual la velocidad ir´ıa disminuyendo desde el valor que tiene fuera de esa zona hasta anularse en la pared del conducto. Como se vio en 10,4, el espesor δ de la capa l´ımite es Lo δ ∼ , (10.103) Do Re Do de modo que el espesor de la capa l´ımite es mucho menor que el diámetro del conducto si Re Do /Lo 1. Para muchos prop´ ositos prácticos (por ejemplo, el cálculo del caudal de l´ıquido o el del gasto de gas que circula por un conducto), la delgada capa l´ımite adyacente a la pared puede ignorarse y suponer que el perfil de velocidades es uniforme de modo que la velocidad v es sólo funci´ on del tiempo y de la coordenada x a lo largo del conducto v = v(x, t). Al igual que la ausencia de difusi´ on viscosa conduce a un perfil de velocidades rectangular, la temperatura del fluido ser´ıa constante en una sección perpendicular a la l´ınea media del conducto si la conducción de calor fuera despreciable frente a la convección [ρ v · cv ∇ T ∇ · (k ∇ T )], lo que ocurre siempre que ρ V cv ∆ T /Lo k ∆ T /Do2 , o P r Re Do /Lo = P e Do /Lo 1; donde P r = µ cp /k y P e = P r Re son los n´ umeros de Prandtl y Peclet respectivamente. Naturalmente, cerca de la pared existirá una delgada capa l´ımite térmica de espesor δT /Do ∼ 1/ P e Do /Lo 1. Si se ignorase la capa l´ımite térmica, la temperatura del fluido en una sección normal a la l´ınea media del conducto ser´ıa constante, de modo que, al igual que antes se tendr´ıa T (x, t). De la constancia de p y T en secciones normales al flujo se sigue la de la densidad ρ(x, t). Si la viscosidad y conducci´ on de calor son despreciables, las ecuaciones que gobiernan el movimiento del fluido en el conducto son la de continuidad (10.11), cantidad de movimiento en la dirección de la l´ınea de corriente media (10.37) y energ´ıa (10.27). Es com´ un multiplicar la ecuaci´ on (10.11) por d y d z y extender la integraci´ on al área de una sección genérica del conducto teniendo en cuenta que x, y, z y t son variables independientes y que las magnitudes fluidas son s´ olo funci´ on de x y t; se obtiene entonces ∂(ρ A) ∂(ρ v A) + = 0, (10.104) ∂t ∂x que junto a las ecuaciones (10.37), (10.46) y las de estado, constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales para el cálculo de p, v y ρ como funciones de la coordenada x y del tiempo cuando se especifica la geometr´ıa del conducto y se imponen condiciones de contorno apropiadas.

10.13.1.

Movimiento de l´ıquidos ideales en conductos

En este caso, al ser la densidad constante y supuesto que el área del conducto no var´ıe con el tiempo, las incógnitas se reducen a la presión y velocidad por ser también constante la temperatura (movimiento isentr´ opico). La ecuación (10.104) se puede integrar una vez para dar v(x, t) A(x) = Q(t), 6

Comp´ arese con la ley parab´ olica en el caso de movimiento viscoso de fluidos en conductos.

(10.105)

216


donde Q(t) es el caudal que es independiente de la posición. La ecuación (10.105) muestra que un aumento (disminuci´ on) del área de la sección lleva aparejado una disminuci´ on (aumento) de la velocidad de forma que el producto de ambas magnitudes, el caudal, es s´ olo funci´ on del tiempo. Sustituyendo (10.105) en la ecuaci´ on de Euler-Bernouilli (10.37), se obtiene 2 p 1 dQ d Q + + U = 0, + (10.106) A dt d x 2 A2 ρ y su integraci´ on entre una sección xo y otra genérica proporciona

p Q2 p(xo , t) Q2 dQ x dx + , + U − + + U (x . t) = − o 2 A2 ρ 2 A2 (xo ) ρ d t xo A(x)

(10.107)

Evaluando (10.107) en la sección x1 , se obtiene finalmente

x1 1 1 p(x1 , t) − p(xo , t) d x d Q Q2 − + + U (x1 , t) − U (xo , t) = 0, (10.108) + 2 (x ) 2 (x ) A(x) d 2 A A ρ t 1 o xo que es la ecuación diferencial de primer orden, no lineal, cuya integraci´ on proporciona el c´ alculo del caudal como función del tiempo una vez que se especifican las condiciones de contorno p(xo , t) y p(x1 , t). Obtenido el caudal, la ecuaci´ on (10.107) proporciona la distribuci´ on de presiones p(x, t) a lo largo del conducto. En el caso de movimientos estacionarios o casi-estacionarios, L A/(Q to ), el problema se simplifica notablemente, ya que el término que contiene dQ/dt en las ecuaciones (10.107) y (10.108) es nulo o muy peque˜ no y puede ser despreciado (L y A son valores caracter´ısticos de la longitud y del área del conducto y to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las condiciones de contorno). En este caso, las ecuaciones (10.107) y (10.108) se reducen a una pareja de ecuaciones algebraicas que proporcionan el caudal y la distribuci´ on de presiones a lo largo del conducto.

Figura 10.6: Flujo en la tobera de entrada a un conducto. Antes de finalizar el estudio del movimiento de l´ıquidos ideales en conductos es conveniente discutir el cálculo de las condiciones de contorno p(xo , t) y p(x1 , t) en las aplicaciones prácticas más comunes en las que generalmente xo = 0 y x1 = L corresponden respectivamente a las secciones de entrada y salida del conducto. En la zona de entrada, donde el movimiento puede considerarse casi-estacionario y sin efecto de las fuerzas másicas por ser peque˜ nas las variaciones de altura, ∆z, en la región de entrada (n´ umero de Froude, v 2 /g ∆z, grande), el l´ıquido experimenta un proceso de aceleración desde zonas donde la velocidad es prácticamente nula y la presión es, por tanto, la de remanso po (t), hasta la sección de entrada del conducto donde la velocidad y la presi´ on son v(0, t)


217

y p(0, t) respectivamente. Si la entrada está bien dise˜ nada, como sucede en el flujo mostrado en la Figura 10.6,7 la viscosidad está confinada a una capa l´ımite muy delgada adyacente a las paredes del conducto convergente de entrada por ser grande el n´ umero de Reynolds del movimiento. Fuera de esta capa l´ımite el proceso de aceleración del l´ıquido es isentr´ opico, sin fuerzas másicas y casiestacionario con lo que la presión de remanso se conserva en cada instante de tiempo. La presión a la entrada del conducto es, pues, p(0, t) = po (t) − ρv 2 (0, t)/2.

(10.109)

Cuando la entrada no est´ a bien dise˜ nada, como ocurre en el flujo mostrado en la Figura 10.7,8 aparece un fenómeno nuevo, denominado desprendimiento de capa l´ımite que se analizará en profundidad en cap´ıtulos posteriores. En este caso, existen deceleraciones muy bruscas del flujo que dan lugar a zonas de recirculación y corriente invertida en la que los fen´ omenos disipativos son importantes y dan lugar a una pérdida de presión de remanso en la región de entrada al conducto. La determinación de la presión a la entrada del conducto cuando (10.109) no es v´ alida se considerará en el Cap´ıtulo 17.

Figura 10.7: Desprendimiento de la capa l´ımite y readherencia posterior a la entrada de un conducto que dan lugar a las burbujas de recirculaci´ on de la figura.

Aguas abajo de la sección de salida, el l´ıquido se decelera desde la velocidad que posee en la sección de salida, v(L, t), hasta el reposo. Es necesario tener en cuenta que, independientemente de las caracter´ısticas geométricas del flujo y del valor del n´ umero de Reynolds, los procesos de aceleración y deceleración de un fluido no son equivalentes respecto al papel que la viscosidad juega en ellos. En efecto, en los procesos de deceleración el fluido no es capaz de adaptarse a una variaci´ on brusca en la geometr´ıa del flujo, como sucede por ejemplo a la salida de un conducto donde existe un cambio abrupto de sección, ver Figura 10.8,9 dando lugar a una salida en forma de chorro. Entre el chorro y el fluido ambiente existe una capa delgada (de espesor nulo si Re → ∞), en la que los gradientes de velocidad son muy acusados y por tanto el efecto de la viscosidad es importante. A través de esta capa no existen variaciones apreciables de presión de forma que la presión del l´ıquido en la sección de salida del conducto es igual a la del ambiente p(L) = pa . 7

En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988. En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988. 9 En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988. 8

(10.110)

218


Figura 10.8: Flujo a la salida de un conducto.

La verificación de (10.110) es patente en la Figura 10.8 donde se observa que el radio del chorro se mantiene aproximadamente constante desde la salida, lo que indica que su presi´ on es muy aproximadamente igual a la del exterior. Como se ve, por tanto, el l´ıquido circula por el conducto de modo que va perdiendo presi´ on en forma tal que a la salida alcanza el valor de la presi´ on ambiente, mientras que el proceso de disipación de la energ´ıa cinética que ocurre aguas abajo de la sección de salida tiene lugar a presi´ on constante.

10.13.2.

Flujo de gases en toberas

En el movimiento de gases las fuerzas másicas juegan un papel poco importante debido a que la velocidad del gas es generalmente grande (V 2 g L) y las ecuaciones (10.104), (10.37) y (10.27) se transforman, por tanto, en el sistema ρ v A = G,

(10.111) 2

2

γ p v (10.112) + = ho , γ−1 ρ 2 p po = γ, (10.113) S = So o ργ ρo con lo que el problema se reduce a la resolución de tres ecuaciones algebraicas no lineales para el cálculo de v(x), p(x) y ρ(x) una vez que se especifica la distribución de áreas A(x) a lo largo del conducto.10 No obstante, y antes de proceder a la resolución del sistema algebraico no-lineal (10.111)-(10.113) es conveniente estudiar la variaci´ on de las magnitudes fluidas en el conducto como función de la variaci´ on de área. En efecto, derivando la ecuaci´ on (10.111) con respecto a x y dividiendo el resultado por el gasto m´ asico de gas ρ v A se tiene h+

v = ho 2

o

1 dρ 1 dv 1 dA + + = 0. ρ dx v dx A dx

(10.114)

Si se utilizan las ecuaciones (10.112) y (10.113) para eliminar ρ en (10.114) y se introduce el n´ umero de Mach, M = v/a = ρ v/γ p, dicha ecuación se transforma en (1 − M 2 )

1 dv 1 dA =− , v dx A dx

(10.115)

10 En situaciones en que, debido a la geometr´ ıa de la tobera, el movimiento no sea estrictamente casi-unidireccional, el an´ alisis expuesto aqu´ı también se aplica en la pr´ actica si las magnitudes en las ecuaciones (10.111)-(10.113) se interpretan como magnitudes medias en la secci´ on.

219


de la que se extraen las siguientes propiedades que exhiben los flujos de gases a través de conductos de sección lentamente variable: 1) Si el movimiento es subsónico (M < 1), dv/dx < 0 (> 0) si dA/dx > 0 (< 0), es decir, cuando el área aumenta aguas abajo del conducto, el gas se decelera, y viceversa. 2) Si el movimiento es supersónico (M > 1) el comportamiento anterior se invierte. 3) Cuando el n´ umero de Mach es la unidad se tiene dA/dx = 0 (se descarta cualquier solución con gradientes de velocidad infinitos), es decir, la condici´ on de flujo s´ onico sólo puede alcanzarse en secciones de área m´ınima o máxima. La combinaci´ on de esta condición con las de 1) y 2) demuestran que M = 1 sólo puede alcanzarse en secciones de área m´ınima denominadas generalmente gargantas. Volviendo al an´ alisis del movimiento, el gasto G puede expresarse en función de las magnitudes de remanso de la corriente y del n´ umero de Mach, M = v/a, que expresa la relación en cada punto entre las velocidades del fluido y del sonido, G = ρ v A = ρo ao A M

ρ a , ρo ao

(10.116)

donde ρo y ao son los valores de remanso de la densidad y de la velocidad del sonido. Sustituyendo (10.49) y (10.51) en (10.116) se obtiene finalmente G = ρo ao A

M 1+

γ−1 M 2

γ+1 2 2(γ − 1)

,

(10.117)

que proporciona el n´ umero de Mach en una sección como función del área de la sección del conducto si el gasto y las condiciones de remanso de la corriente son conocidos. Desde el punto de vista pr´ actico es u ´ til definir las denominadas magnitudes cr´ıticas que son las que se obtendr´ıan llevando al fluido hasta un n´ umero de Mach, M = 1, en condiciones tales que se conserven las magnitudes de remanso (proceso isentrópico, estacionario y sin fuerzas másicas). Para un gas calor´ıficamente perfecto dichas magnitudes valen [ver ecuaciones (10.46)-(10.52)] 2 2 ∗ ∗ ∗ S = So , T = (10.118) To , a = ao , γ+1 γ+1 ρ∗ =

1 2 γ−1 ρo , γ+1

p∗ =

γ 2 γ−1 po . γ+1

(10.119)

Por otra parte, si se define el área cr´ıtica A∗ como el área de la tobera en la que un gasto G de gas alcanza condiciones cr´ıticas partiendo de las mismas condiciones de remanso, la ecuación de (10.117) conduce a γ+1 2 2(γ − 1) ρo ao A∗ , (10.120) G= γ+1 que junto con (10.117) proporciona 1 A = A∗ M

2 γ+1

γ + 1 γ − 1 2 2(γ − 1) . M 1+ 2

(10.121)


220

La expresión anterior posee un m´ınimo de A/A∗ , que es la unidad para M = 1, de modo que el área m´ınima del conducto es siempre mayor o igual (en el caso de que se alcancen condiciones cr´ıticas en la garganta) que el área cr´ıtica. La expresión (10.121) posee dos ramas, una correspondiente a movimiento subsónico y otra a supersónico, véase Figura 10.9, y se encuentra tabulada en el Apéndice 10.I. Como se verá en lo que sigue, las expresiones (10.121), (10.117) y (10.46)-(10.51) permiten calcular el gasto y la distribuci´ on de presiones, o cualquier otra magnitud fluida, a lo largo del conducto una vez que se especifica la distribución de áreas y las condiciones de contorno pertinentes. 5 4 ,5

0 ,0 0 2 4

0 ,0 0 7

3 ,5

0 ,0 1 3

M 3

0 ,0 2 7

2 ,5

0 ,0 5 8 2

p /p 0

0 ,1 2 8

1 ,5

0 ,2 7 2 1

0 ,5 2 8

0 ,5 0

0 ,8 4 3 0

0 ,2

0 ,4 A

*

0 ,6

0 ,8

1

1

/A

Figura 10.9: N´ umero de Mach y presión del gas como función del área del conducto.

Descarga desde un dep´ osito a trav´ es de una tobera convergente-divergente Considérese la tobera convergente divergente esquematizada en la Figura 10.10 que toma gas desde un depósito donde las condiciones son las de remanso po y ρo y lo descarga a un ambiente donde la presi´ on es pa . Naturalmente, cuando la presi´ on pa a la que descarga la tobera es pa = po no hay flujo a través de la tobera y la presión es constante a lo largo de ella e igual a po = pa . Si pa es inferior a po , el gasto G a través de la tobera se determina evaluando (10.117) en la sección de salida Ms , (10.122) G = ρo ao As

γ+1 γ − 1 2 2(γ − 1) 1+ Ms 2 con el n´ umero de Mach a la salida Ms dado por (10.51) una vez que se impone la condici´ on de que la presión ps del gas a la salida sea pa ; se tiene entonces  1/2  γ − 1  2  po  γ − 1 . Ms =    pa  γ − 1   

(10.123)

Obsérvese que, de forma análoga al caso de l´ıquidos, un gas que se mueve subsónicamente descarga siempre a la presión ambiente. Dado po /pa y las condiciones de remanso, las ecuaciones (10.123) y (10.122) determinan Ms y el gasto, la ecuación (10.117) proporciona el n´ umero de Mach en

221


cada sección, y las restantes magnitudes fluidas pueden determinarse en cada sección a partir de (10.46)-(10.51). El procedimiento anterior es v´ alido en tanto que no se alcancen condiciones sónicas en la garganta; esto es, en tanto que la presión ambiente sea superior a ps1 , donde ps1 es el valor en la presión de salida de la tobera cuando se tienen condiciones sónicas en la garganta (A∗ = Amin ) y movimiento subsónico en la zona divergente de la tobera. Su valor se determina f´ acilmente evaluando (10.121) en la sección de salida y teniendo en cuenta que el a´rea cr´ıtica debe coincidir con el área de la garganta, lo que proporciona la relaci´ on γ + 1 2 1 As γ−1 2 2(γ − 1) , = Ms1 1+ Amin Ms1 γ + 1 2 que junto a

γ po γ−1 2 γ−1 , = 1+ Ms1 ps1 2

(10.124)

(10.125)

proporcionan el n´ umero de Mach a la salida, Ms1 , y la presión buscada ps1 . Nótese también que cuando pa = ps1 se alcanza el gasto máximo (gasto cr´ıtico) que puede fluir por la tobera G∗ = ρ∗ a∗ Amin =

γ+1 2 2(γ − 1) ρo ao Amin = 0,578 ρo ao Amin γ+1

para γ = 1,4

(10.126)

an siempre condiciones sónicas en la garganta y ya que para valores de pa inferiores a ps1 existir´ el movimiento entre el depósito y la garganta se hace independiente del valor de la presi´ on en el exterior. La razón es que en la garganta se produce un bloqueo s´ onico, ya que la velocidad del fluido en la garganta es igual a la velocidad del sonido all´ı y, como se verá en 11, las se˜ nales ac´ usticas, que transmiten la informaci´ on del descenso de la presión en el exterior, no pueden progresar corriente arriba de la garganta. Como se indicó anteriormente, cuando se tienen condiciones sónicas en la garganta, la teor´ıa isentr´ opica proporciona también la posibilidad de que exista un movimiento supers´ onico en toda la zona divergente (rama supersónica de la Figura 10.9), con una presi´ on en la sección de salida ps2 determinada por

γ po γ−1 2 γ−1 , (10.127) = 1+ Ms2 ps2 2 donde Ms2 corresponde a la ra´ız supersónica de (10.121); obsérvese que ps2 < ps1 , puesto que Ms2 > Ms1 . En la Figura 10.10 se representan esquemáticamente las distribuciones de presión y n´ umeros de Mach correspondientes a un flujo isentr´ opico en una tobera convergente divergente. Nótese que si pa = ps2 se tiene movimiento isentrópico en toda la tobera, siendo la corriente subsónica en la parte convergente y supersónica en la parte divergente de la tobera con descarga a la presión ambiente; se dice, entonces, que la tobera está adaptada. Cabe preguntarse ahora cuál es la solución cuando la presi´ on ambiente pa es tal que ps1 > pa > ps2 . Lo que sucede entonces es que aparecen en el movimiento mecanismos no isentrópicos debido a que la corriente se acelera, se hace sónica en la garganta y supers´ onica detrás pero al no poder recibir informaci´ on (corriente supersónica) del estado del gas ambiente no puede, en general, cumplir las condiciones de contorno a la salida. Cuando la corriente se expansiona (acelera) m´ as de lo necesario, el frenado se realiza a través de una región, denominada onda de choque, de espesor muy peque˜ no comparado con las dimensiones transversales de la tobera, donde los mecanismos de viscosidad y conducción de calor son importantes y cuyo estudio se abordar´ a en el Cap´ıtulo 12.


222

1

p p

p o

s 1

p 0

0 ,5 2 8 p

s 2

p 0

0

M M

s 2

1

M s 1 0

x

Figura 10.10: Distribuciones del n´ umero de Mach y de la presión en una tobera convergente-divergente.

El movimiento es supersónico e isentrópico aguas arriba de la onda de choque, aumenta su entrop´ıa a través de ella y se mueve subsónica e isentrópicamente detrás. Naturalmente, el cálculo de la distribuci´ on de las variables fluidas en la tobera se realizar´ a una vez concluido el estudio de las ondas de choque. Para valores de la presión de descarga inferiores a la presión de adaptaci´ on, ps2 , el movimiento es isentr´ opico en toda la tobera y la presi´ on del gas y el n´ umero de Mach a la salida son ps2 y Ms2 respectivamente. La ecuación (10.121) con A∗ = Amin determina el n´ umero de Mach en cada sección y las ecuaciones (10.48)-(10.52) las distribuciones de las magnitudes fluidas a lo largo del conducto. Dado que pa < ps2 , la expansión del gas hasta la presión ambiente, pa , se realiza fuera de la tobera. Aplicaci´ on a la descarga desde un dep´ osito a trav´ es de una tobera convergente de ´ area m´ınima a la salida. Cuando la descarga se realiza a través de una tobera convergente, de área m´ınima a la salida, las condiciones cr´ıticas se alcanzarán en la misma salida cuando la presión pa sea igual o inferior a la presi´ on cr´ıtica dada por (10.119) ∗

pa ≤ p =

γ 2 (γ − 1) po , γ+1

p∗ 0,53 po

para γ = 1,4.

(10.128)

10.14. Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler

223

Para valores de la presión ambiente iguales o inferiores a 0,53 po , el movimiento en toda la tobera es independiente de pa , el Mach a la salida es la unidad y el gasto a través de ella es el cr´ıtico (máximo) y está dado por la expresi´ on (10.126); en estas condiciones se dice que la tobera está bloqueada. N´ otese que como la presión del gas a la salida ps = p∗ = 0,53 po es mayor que la presión ambiente el gas debe expansionarse fuera de la tobera para adaptarse al ambiente en un proceso complicado que no se describe aqu´ı. Para valores de la presión ambiente pa > 0,53 po , la ecuación (10.51) evaluada en la salida con la condición ps = pa determina el n´ umero de Mach a la salida Ms . Conocido el Mach a la salida, el gasto se calcula a partir de (10.122). Finalmente, las ecuaciones (10.117), (10.48), (10.49) y (10.51) determinan las distribuciones de n´ umero de Mach, velocidad del sonido, densidad y presi´ on a lo largo de la tobera.

10.14.

Forma semiintegral de las ecuaciones de Euler

10.14.1.

Movimiento de un fluido a trav´ es de una turbom´ aquina

La forma semiintegral de las ecuaciones de Euler es u ´ til para el an´ alisis de los movimientos de fluidos a través de compresores, bombas y turbinas y para el análisis de la carga y descarga de depósitos entre otros, ya que éstos son movimientos caracterizados por valores altos del n´ umero de Reynolds. En efecto, si el compresor está bien dise˜ nado y funciona cerca del punto de dise˜ no (máximo rendimiento), los efectos viscosos están confinados en sendas capas l´ımites sobre las paredes fijas y móviles (álabes) de la máquina y a sus correspondientes estelas y estas regiones son delgadas frente a cualquier otra longitud caracter´ıstica de la máquina. Excepto en estas zonas, el flujo es isentr´ opico y las ecuaciones de Euler resultan válidas. En lo que sigue, la máquina objeto de an´ alisis (compresor o turbina) se considerará como una caja negra intercalada en el conducto por el que fluye un gasto G de un fluido a altos n´ umeros de Reynolds. A la entrada del compresor la presi´ on y densidad se representan por p1 y ρ1 , y la velocidad, que lleva la direcci´ on del conducto es v1 . Debido a que el flujo puede considerarse ideal, la velocidad, la presi´ on y la densidad son casi uniformes a través de una sección transversal del conducto. No obstante, y como se ha comentado anteriormente, cerca de la pared, en una capa l´ımite de espesor peque˜ no frente al di´ ametro del conducto, la viscosidad es importante y debido a su efecto, la velocidad var´ıa desde el valor v1 fuera de la capa l´ımite a cero en la pared. A la salida del compresor, que se tomará suficientemente lejos de los álabes como para suponer que las magnitudes fluidas son ya uniformes en la sección, la presión, densidad y velocidad se denotan por p2 , ρ2 y v2 respectivamente. Se supondr´ a que no hay aportes volumétricos de calor, ni pérdidas de calor por conducción a través de las paredes. La u ´ ltima de las hip´ otesis se satisface siempre que el término convectivo de calor ρ cv v · ∇ T sea grande comparado con el de conducción K ∇2 T o, lo que es lo mismo, cuando el tiempo de residencia de las part´ıculas fluidas D/U sea peque˜ no frente al tiempo de conducción D2 /α DU DU ∼ P r ∼ Re P r 1, α ν lo que ocurre en la mayor´ıa de las situaciones prácticas donde el n´ umero de Reynolds es muy grande y el n´ umero de Prandtl no es muy peque˜ no. En el caso particular del bombeo de metales l´ıquidos para los que P r 1 la hip´ otesis de conducción de calor despreciable a través de las paredes podr´ıa no verificarse. Como se verá en lo que sigue, la aplicación de las ecuaciones de conservación de masa y energ´ıa al volumen de control indicado en la Figura 10.11, proporcionan relaciones u ´tiles entre la potencia suministrada a la bomba (o compresor), o cedida por la turbina, y el flujo de entalp´ıa de remanso


224

a través de las paredes del volumen de control formado por la entrada, salida y paredes fijas y móviles de la máquina. El principio de conservaci´ on de la masa aplicado al volumen de control considerado se expresa en la forma d ρd + ρ(v − vc ) · n d σ, (10.129) d t Ωc (t) Σc (t)

P Pa ra

P1 r1

P2 r2

Pe re

V1

V2

Ve

r V

Figura 10.11: Vol´ umenes de control en el flujo a través de un compresor y carga de un depósito. donde n es la normal exterior a la superficie de control y las velocidades se miden respecto a un sistema de ejes ligado a tierra. Obsérvese que, aunque el problema es esencialmente no estacionario por la presencia de los álabes giratorios, la masa global de fluido contenido en el volumen de control y otras cantidades f´ısicas globales no cambian con el tiempo si la velocidad de giro de la máquina es constante, o si su tiempo caracter´ıstico de cambio es grande comparado con el tiempo de residencia de las part´ıculas; entonces, el término temporal puede despreciarse en la ecuación (10.129), que se reduce una vez integrada a las secciones de entrada y salida a ρ1 v1 A1 = ρ2 v2 A2 = G,

(10.130)

esto es, la masa por unidad de tiempo que en cada instante entra a través de A1 es igual a la que sale a través de A2 . En la integraci´ on de la segunda de las integrales de (10.129) se ha tenido en cuenta que por no haber efectos de difusi´ on (Re 1 y Re P r 1) las magnitudes fluidas son uniformes en las secciones de entrada y salida (y en cualquier sección del conducto). La ecuación de la energ´ıa en forma integral se expresa d 2 2 ρ(e + v /2)d + ρ(e + v /2)(v − vc ) · n d σ = − pn · vc d σ+ d t Ωc (t) Σc (t) Σc (t) = n· τ ·vc d σ + ρ fm · v d + K∇T · ndσ. (10.131) Σc (t)

Ωc (t)

Σc (t)

Obsérvese que en (10.131) se ha incluido el trabajo de las fuerzas de viscosidad por unidad de tiempo a través de las paredes móviles, ya que las fuerzas de viscosidad son importantes en las superficies sólidas. Esta potencia será, en general, peque˜ na comparada con el trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de presión pero se ha incluido por generalidad. La suma de ambos términos (trabajo por unidad de tiempo de las fuerzas de presi´ on y viscosidad sobre las paredes móviles) es la que contribuye a la potencia mecánica W comunicada al fluido por los a´labes del compresor (o bomba si se trata de un l´ıquido) o extra´ıda del fluido en el caso de una turbina. Los trabajos por unidad de tiempo realizados por las fuerzas de viscosidad a través de la entrada y salida son despreciables por ser el n´ umero de Reynolds suficientemente alto. Los trabajos de las fuerzas de viscosidad y presión que act´ uan sobre las paredes fijas de la máquina son nulos. El calor aportado

225


por conducción a través de las paredes fijas y móviles de la máquina será en general peque˜ no frente a la convección de calor (P e 1). Si además, como es habitual en el flujo a través de turbomáquinas, no es importante la radiaci´ on de calor (excepto en turbinas de gas a muy altas temperaturas), no hay reacciones qu´ımicas y se considera que la máquina funciona en régimen estacionario o casi-estacionario, la ecuación (10.131) resulta

v12 p2 p1 v22 (10.132) + U2 − e1 − − U1 , + − W = G e2 + 2 ρ2 2 ρ1 donde para el cálculo del trabajo de las fuerzas másicas, que sólo es importante en el movimiento de l´ıquidos, se ha supuesto que éstas derivan de un potencial estacionario U ; esto es ρ fm · v d = − ρ ∇ U · v d = − ρ ∇ · U v d = Ωc (t)

Ωc (t)

Ωc (t)

−

ρ U v · n, dσ = G(U1 − U2 ),

(10.133)

Σc (t)

obsérvese que por tratarse del movimiento de un l´ıquido se ha hecho uso de la condici´ on ∇ · v = 0. Para el caso de un compresor (10.132) puede escribirse v2 v2 > 0, (10.134) Wc = G h2 + 2 + U2 − h1 + 1 + U1 2 2 y para una turbina

v2 v2 > 0. Wt = G h1 + 1 + U1 − h2 + 2 + U2 2 2

(10.135)

Las ecuaciones (10.134) y (10.135) expresan que la potencia es igual a la diferencia entre los flujos de entalp´ıa de remanso y de energ´ıa potencial que salen y entran del volumen considerado. Adem´ as, la ecuación de la entrop´ıa en forma integral, véase (5.51), d K ∇T · n d σ+ ρS d + ρ S(v − vc ) · n d σ = d t Ωc (t) T Σc (t) Σc (t)   = 2 τ : ∇ v K|∇ T | Qr + Qq  d ,  + d + (10.136) T T2 T Ωc (t) Ωc (t) para un sistema globalmente estacionario al que no se le aporta calor, por radiaci´ on, combusti´ on y/o conducción a través de las paredes proporciona G(S2 − S1 ) ≥ 0.

(10.137)

La relación (10.137) expresa que la entrop´ıa de las part´ıculas fluidas aumenta a su paso por el sistema debido a posibles efectos de la fricción y conducción de calor en capas l´ımites y estelas. Se ver´ a en lo que sigue que este hecho está estrechamente relacionado con el rendimiento de la turbina o compresor. En efecto, obsérvese que (10.134) y (10.135) pueden escribirse en la forma 2 v2s v22 − , (10.138) Wc − Wcs = G h2 − h2s + 2 2 y

v2 v2 Wts − Wt = G h2 − h2s + 2 − 2s , 2 2

(10.139)


226 donde

2 Wcs = G[h2s + v2s /2 + U2 − (h1 + v12 /2 + U1 )]

(10.140)

2 /2 + U2 )] Wts = G[h1 + v12 /2 + U1 − (h2s + v2s

(10.141)

y son las potencias comunicadas al compresor y cedidas por la turbina cuando la evoluci´ on del fluido es isentrópica desde unas condiciones de entrada dadas, ρ1 , v1 y p1 , hasta una presi´ on a la salida p2 ; la evoluci´ on isentr´ opica determina la densidad a la salida ρ2s y la velocidad v2s (G = ρ2s v2s A2 ). El 2 2 término G(h2 − h2s + v22 /2 − v2s /2) = G(e2 − e2s ) + p2 A2 (v2 − v2s ) + G(v22 /2 − v2s /2) representa las pérdidas originadas por los excesos de energ´ıa interna, potencia de las fuerzas de presi´ on a la salida y de energ´ıa cinética cuando la evoluci´ on no es isentr´ opica. A continuaci´ on se demostrará que, de acuerdo con (10.137), cada una de estas contribuciones es no negativa, por lo que Wts y Wcs son, respectivamente, la potencia máxima que puede extraerse de la turbina y la potencia m´ınima que es necesario comunicar al compresor para las condiciones de entrada y de presión a la salida dadas. En efecto, en el caso de gases, la condición (10.137) junto con la ecuaci´ on de estado para la entrop´ıa implica cv T2 ≥ cv T1

p2 p1

γ−1 γ

ρ 2 ≤ ρ1

= cv T2s ,

p2 p1

γ1 = ρ2s

y

v2 =

ρ2s v2s ≥ v2s , ρ2

(10.142)

y para l´ıquidos cT2 ≥ cT1 = cT2s ,

ρ1 = ρ2 = ρ2s

y

v2 = v2s .

(10.143)

Se acostumbra a relacionar la potencia de la máquina con el salto de presiones entre la entrada y la salida. Para ello es necesario conocer una relación adicional entre las magnitudes fluidas. Puesto que no se ha aplicado la ecuación de cantidad de movimiento en forma integral (que introducir´ıa la fuerza resultante sobre la máquina como incógnita adicional), es necesario describir cómo es la evoluci´ on que experimentan las part´ıculas fluidas entre la entrada y la salida o, en su lugar, especificar el rendimiento de la máquina. En el caso de gases, se supone que la forma de la relación isentr´ opica entre la presión y la densidad se conserva y sólo cambia el exponente, en el que se sustituye la relación de calores espec´ıficos γ por un coeficiente experimental, denominado ´ındice politr´ opico que, en general, depende de las condiciones de funcionamiento de la m´ aquina (determinadas por el gasto y el salto de presiones). Se tiene entonces la relación p1 p2 = n. n ρ2 ρ1

(10.144)

Obsérvese que, de acuerdo con (10.137), ρ 2 = ρ1

p2 p1

n1

≤ ρ2s =

p2 p1

γ1 ρ1 ;

(10.145)

puesto que en un compresor p2 /p1 > 1, se tiene en este caso n ≥ γ, mientras que para una turbina (p2 /p1 < 1) se tiene n ≤ γ. Sustituyendo (10.144) en (10.134)-(10.135) se obtiene (n−1)/n 2 2/n A p p2 1 1 − 1 + v12 −1 , (10.146) W c = G h1 p1 A2 p2 y

Wt = G h1 1 −

p2 p1

(n−1)/n

+ v12 1 −

A1 A2

2

p1 p2

2/n ,

(10.147)


227

donde se ha despreciado la diferencia de energ´ıa potencial entre la entrada y la salida por tratarse de un gas. Si la energ´ıa cinética fuese también despreciable, lo que ocurre cuando M 2 1 [recuérdese que v 2 /h = (γ − 1) ρ v 2 /γ p = (γ − 1) v 2 /a2 = (γ − 1) M 2 ] las ecuaciones (10.146)-(10.147) se simplifican para dar (n−1)/n (n−1)/n p2 p2 . (10.148) − 1 , W t = G h1 1 − Wc = G h 1 p1 p1 Por otra parte, el rendimiento de un compresor se define como ηc =

Wcs , Wc

(10.149)

y si la energ´ıa cinética es despreciable se obtiene de (10.148) (p2 /p1 )(γ−1)/γ − 1 . (p2 /p1 )(n−1)/n − 1

(10.150)

1 − (p2 /p1 )(γ−1)/γ Wt = . Wts 1 − (p2 /p1 )(n−1)/n

(10.151)

ηc = Análogamente, para una turbina se tiene ηt =

En el caso de l´ıquidos, las ecuaciones (10.134)-(10.135) pueden escribirse en la forma Wb = Q [po2 − po1 + ρ (U2 − U1 ) + ρ c (T2 − T1 )],

(10.152)

Wt = Q [po1 − po2 + ρ (U1 − U2 ) + ρ c (T1 − T2 )],

(10.153)

y aquina y Wb donde po1 y po2 son las presiones de remanso del l´ıquido a la entrada y salida de la m´ es la potencia suministrada a la bomba. Para una evoluci´ on isentr´ opica T1 = T2 , mientras que para una evoluci´ on real Wb y Wt pueden expresarse en términos de la diferencia de presiones p2 − p1 y del caudal si se conocen los rendimientos ηb y ηt . Se tiene en este caso Wb =

1 1 Wbs = Q [po2 − po1 + ρ (U2 − U1 )], ηb ηb

(10.154)

y Wt = ηt Wts = ηt Q [po1 − po2 + ρ (U1 − U2 )].

(10.155)

Obsérvese que, dados la potencia real y el rendimiento, las ecuaciones (10.152)-(10.153) y (10.154)(10.155) permiten calcular el incremento de temperaturas (T2 − T1 ) que experimenta el fluido a su paso por la máquina en funci´ on de la diferencia de presiones y del caudal.

10.14.2.

Aplicaci´ on a la carga de dep´ ositos

Las ecuaciones de conservación de la masa y energ´ıa en forma integral permiten describir la evoluci´ on de las magnitudes fluidomecánicas en el depósito. En efecto, si se considera ahora el volumen de control de la Figura 10.11, formado por el dep´ osito y la sección de entrada al mismo, la ecuación de conservación de la masa aplicada a ese volumen de control se escribe: d ρdΩ + ρ · v · n d σ = 0, (10.156) d t Vd Σd

228


que integrada proporciona d ρs = G; (10.157) dt para el cálculo de la primera integral se ha supuesto que el movimiento es inapreciable y, por tanto, la densidad es uniforme y de valor ρd en todo el depósito excepto en una región, adyacente a la salida, de volumen muy peque˜ no comparado con el del depósito. Análogamente la ecuación de la energ´ıa total proporciona: =, d v2 v2 τ ·v · n d σ, (10.158) dΩ+ v ·ndσ = − ρ e+ ρ e+ p·v ·ndσ + d t Vd 2 2 Σd Σd Σd V

donde el primer término de la ecuación se reduce a V d(ρ e)/d t puesto que la energ´ıa cinética en el dep´ osito es despreciable. El trabajo de las fuerzas de presión y viscosidad en las paredes fijas del dep´ osito es nulo, y del mismo modo el trabajo de las fuerzas de viscosidad en la sección de entrada se puede considerar despreciable por ser muy alto el n´ umero de Reynolds. Se tiene entonces: d(ρ e) v2 v · ndσ = V ρ e+ −p · v · n d σ. (10.159) + dt 2 As As Para un gas calor´ıficamente perfecto: V dp =− γ − 1 dt

p v2 + v · n d σ = G hos , ρ e+ 2 ρ As

(10.160)

donde se ha supuesto que la cantidad e + v 2 /2 + p/ρ = h + v 2 /2 = hos es uniforme en la sección de entrada. Teniendo en cuenta que   γ − 1   p γ − 1 , Wc = G(hos − ha ) = G ha  pa se obtiene V dp = G ha γ − 1 dt

p pa

γ − 1 γ

.

(10.161)

(10.162)

Si se supone G independiente del tiempo y conocido, las ecuaciones (10.161) y (10.162) pueden integrarse para hallar la evoluci´ on de la presión y densidad en el dep´ osito a partir de los valores iniciales p(0) y ρ(0). En efecto, puede comprobarse f´ acilmente que ρ(0) Gt ρ = + , ρa ρa Ω ρa y

p pa

1/γ

p(0) = pa

1/γ +

(10.163)

Gt . Ω ρa

(10.164)

Obsérvese que, salvo en el caso particular ρ(0) = ρa y p(0) = pa , el llenado no es isentr´ opico [p/p(0) = (ρ/ρ(0))γ ] debido a los efectos de conducción de calor y de disipaci´ on de energ´ıa cinética que tienen lugar en la regi´ on turbulenta formada en la descarga del chorro al dep´ osito. Sólo si la temperatura del chorro a la entrada coincide en todo instante con la del dep´ osito y el n´ umero de Mach a la entrada es mucho menor que la unidad, ser´ an despreciables estos efectos, en cuyo caso el llenado de un dep´ osito aislado térmicamente puede considerarse isentrópico.


Referencias y lecturas recomendadas H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. H. W. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gasdynamics, John Wiley, Nueva York, 1957. F. M. White, Mec´ anica de fluidos, McGraw-Hill, 2004.

229

230


´ APENDICE 10.I ´ MAGNITUDES FLUIDAS EN UN FLUJO ISENTROPICO M 1,000E-01 2,000E-01 3,000E-01 4,000E-01 5,000E-01 6,000E-01 7,000E-01 8,000E-01 9,000E-01 1,000E+00 1,500E+00 2,000E+00 2,500E+00 3,000E+00 3,500E+00 4,000E+00 4,500E+00 5,000E+00 5,500E+00 6,000E+00 6,500E+00 7,000E+00 7,500E+00 8,000E+00 8,500E+00 9,000E+00 1,000E+01 1,500E+01 2,000E+01 2,500E+01 3,000E+01 3,500E+01 4,000E+01 4,500E+01 5,000E+01

po /p 1,007E+00 1,028E+00 1,064E+00 1,117E+00 1,186E+00 1,276E+00 1,387E+00 1,524E+00 1,691E+00 1,893E+00 3,671E+00 7,824E+00 1,709E+01 3,673E+01 7,627E+01 1,518E+02 2,894E+02 5,291E+02 9,304E+02 1,579E+03 2,594E+03 4,140E+03 6,434E+03 9,763E+03 1,450E+04 2,110E+04 4,244E+04 6,602E+05 4,783E+06 2,245E+07 7,978E+07 2,335E+08 5,926E+08 1,348E+09 2,815E+09

ρo /ρ 1,005E+00 1,020E+00 1,046E+00 1,082E+00 1,130E+00 1,190E+00 1,263E+00 1,351E+00 1,456E+00 1,577E+00 2,532E+00 4,347E+00 7,594E+00 1,312E+01 2,211E+01 3,615E+01 5,731E+01 8,818E+01 1,320E+02 1,925E+02 2,745E+02 3,833E+02 5,252E+02 7,075E+02 9,383E+02 1,227E+03 2,021E+03 1,435E+04 5,905E+04 1,782E+05 4,408E+05 9,492E+05 1,846E+06 3,321E+06 5,618E+06

To /T 1,002E+00 1,008E+00 1,018E+00 1,032E+00 1,050E+00 1,072E+00 1,098E+00 1,128E+00 1,162E+00 1,200E+00 1,450E+00 1,800E+00 2,250E+00 2,800E+00 3,450E+00 4,200E+00 5,050E+00 6,000E+00 7,050E+00 8,200E+00 9,450E+00 1,080E+01 1,225E+01 1,380E+01 1,545E+01 1,720E+01 2,100E+01 4,600E+01 8,100E+01 1,260E+02 1,810E+02 2,460E+02 3,210E+02 4,060E+02 5,010E+02

A/A∗ 5,822E+00 2,964E+00 2,035E+00 1,590E+00 1,340E+00 1,188E+00 1,094E+00 1,038E+00 1,009E+00 1,000E+00 1,176E+00 1,688E+00 2,637E+00 4,235E+00 6,790E+00 1,072E+01 1,656E+01 2,500E+01 3,687E+01 5,318E+01 7,513E+01 1,041E+02 1,418E+02 1,901E+02 2,511E+02 3,272E+02 5,359E+02 3,755E+03 1,538E+04 4,631E+04 1,144E+05 2,461E+05 4,785E+05 8,606E+05 1,455E+06

Tabla 10.1: Valores de la presión, densidad, temperatura y a´rea cr´ıtica como función del n´ umero de Mach y de las variables de remanso.

Cap´ıtulo 11

Ondas lineales en fluidos 11.1.

Ondas sonoras. Introducci´ on

La aproximaci´ on lineal de las ecuaciones de Euler es adecuada para describir, entre otros movimientos fluidos, las ondas sonoras, es decir, la propagaci´ on de peque˜ nas perturbaciones de las magnitudes fluidas en el seno de un fluido compresible. En efecto, constituye una experiencia cotidiana el hecho de que una fuente de sonido (por ejemplo, las cuerdas vocales, un s´ olido en vibración, o la membrana de un tambor o la de un altavoz) origina en un fluido inicialmente en reposo y uniforme, perturbaciones locales de presión, densidad y velocidad que se propagan en el fluido y pueden registrarse como sonido en un receptor adecuado situado lejos de la fuente sonora (el t´ımpano, un micr´ ofono, etc.). Además, dicha propagaci´ on no tiene lugar de forma instant´ anea, sino con una cierta velocidad que depende de la compresibilidad del fluido y que se denomina velocidad del sonido; para el aire en condiciones normales la velocidad del sonido es de 340 m/s, y para el agua es 1.500 m/s aproximadamente; también se observa experimentalmente que las perturbaciones sonoras experimentan variaciones acusadas tanto en el tiempo como en el espacio. En efecto, el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las perturbaciones en un punto fijo del dominio fluido, t0 , puede definirse en términos de una frecuencia caracter´ıstica de la onda sonora, ωo , como to = 2π/ωo ; las frecuencias t´ıpicas para las ondas sonoras audibles están comprendidas en el intervalo de 20 Hz a 20.000 Hz, siendo el o´ıdo humano m´ as sensible a sonidos con frecuencias comprendidas entre 1.000 Hz y 5.000 Hz. Si la velocidad de propagaci´ on del sonido se denota por ao , se deduce fácilmente que la distancia caracter´ıstica recorrida por las perturbaciones en un intervalo de tiempo de duraci´ on to es λo = ao to = 2πao /ωo ; dicha distancia se denomina longitud de onda caracter´ıstica de la onda sonora, y se puede ver f´ acilmente que es el orden de magnitud de la distancia en que se producen variaciones espaciales apreciables de las perturbaciones sonoras en una onda de frecuencia t´ıpica ωo . Por otra parte, para que un sonido pueda ser detectado no basta que su frecuencia esté dentro del rango apropiado sino que, adem´ as, debe ser lo suficientemente intenso como para provocar la respuesta del receptor. Esto requiere un valor m´ınimo de la magnitud de las perturbaciones sonoras denominado umbral de sonido. Para el o´ıdo humano, el umbral de sonido corresponde a perturbaciones de presión y velocidad, p y u , del orden de (p /po ) ∼ (u /ao ) ∼ 10−10 1, donde po y ao son la presión y la velocidad de propagaci´ on del sonido en el medio no perturbado; perturbaciones tales que p /po ∼ u /ao ∼ 10−3 1 corresponden al umbral de dolor.1 Estas 1

En el caso del agua las perturbaciones relativas de presi´ on son mucho mayores que las de velocidad, puesto que

ρ a2

103 ×(1,5)2 106 u ao 105

se tiene que pp ∼ op o au ∼ o o o obtendr´ a en una secci´ on posterior.

∼ 104

u , ao

donde se ha hecho uso del resultado p ∼ ρo ao u que se

231

Cap´ıtulo 11. Ondas lineales en fluidos

232

cifras muestran la peque˜ nez de las perturbaciones introducidas por las ondas sonoras, por lo que pueden despreciarse sus productos en las ecuaciones que describen el campo sonoro y éstas resultan lineales. Otra importante consecuencia derivada de los valores caracter´ısticos de los tiempos y longitudes de variaci´ on en las ondas sonoras es que el proceso de propagación de éstas es un proceso isentrópico puesto que, como se demostrará seguidamente, los efectos de las fuerzas de viscosidad, los de la conducci´ on de calor y los de la disipaci´ on viscosa son despreciables frente a los términos de variaci´ on local en sus respectivas ecuaciones, es decir,2 =, = ∂u ∂e ∂e ρ ∇· τ , ρ (11.1) ∇ · (K∇T ), ρ τ : ∇u. ∂t ∂t ∂t La u ´ltima desigualdad en (11.1) se comprueba inmediatamente por ser el término de disipación viscosa cuadráticamente peque˜ no en las perturbaciones. Las otras dos condiciones en (11.1) se verifican si se cumplen ν ωo ν ∼ 2 1, ωo λ2o ao

ν 1 νω 1 ∼ 2 1 ωo λ2o P r ao P r

(11.2)

umero de Prandtl. Para los gases P r = 0(1) y las dos condiciones de (11.2) donde P r = µcp /K es el n´ son equivalentes; as´ı, para el aire atmosférico a 20 o C, ν 1,5×10−5 m/s, ao 340 m/s, y tomando el caso más desfavorable de una frecuencia t´ıpica de 20.000 Hz se tiene νωo /a20 ∼ 2,5 × 10−6 , por lo que está plenamente justificado el considerar isentr´ opica la propagaci´ on del sonido en el aire y, por extensión, en cualquier gas en condiciones normales. Para l´ıquidos con un n´ umero de Prandtl de orden unidad o mayor, el cumplimiento de la primera condici´ on en (11.2) asegura el cumplimiento de la segunda; as´ı, para el caso del agua ν 10−6 m2 /s, P r = 8 y ao =1.500 m/s, se tiene, (ων/a2o ) ∼ 9 × 10−9 para una frecuencia de 20.000 Hz, con lo que la hip´ otesis isentrópica está a´ un más justificada que para el caso de gases. Sin embargo, fluidos de muy alta conductividad térmica tales como l´ıquidos metálicos o plasmas poseen P r 1 y la segunda condici´ on (11.2) podr´ıa no cumplirse para frecuencias elevadas, lo que exigir´ıa incluir el término de conducción de calor en las ecuaciones de propagación de las ondas sonoras. Bajo las condiciones (11.2), las ecuaciones que gobiernan el campo fluido son las ecuaciones de Euler que, en ausencia de fuerzas másicas y de aportes volumétricos de calor, se escriben en la forma 1 Dρ + ∇ · u = 0, (11.3) ρ Dt ρ

Du + ∇p = 0, Dt

(11.4)

DS = 0. Dt

(11.5)

Se supondr´ a al fluido inicialmente en reposo y uniforme, por lo que la entrop´ıa inicial es la misma para todas las part´ıculas fluidas y, de acuerdo con (11.5), estas conservan su valor, So , en el movimiento. La ecuación de estado S(p, ρ) = So implica entonces que el movimiento es barótropo, p = p(ρ), y las variaciones de presión y densidad satisfacen ∂p ∂ p ∂ p =γ , (11.6) = ∂ρ ∂ ρ S ∂ ρ T 2

Los t´ erminos convectivos no se consideran por ser cuadr´ aticamente peque˜ nos.

233

11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on

1/2 donde γ = cp /cv es la relación de calores espec´ıficos; se verá seguidamente que a = [(∂p/∂ρ) S] es la velocidad de propagación de las ondas sonoras en el medio. Para un gas perfecto a = γRg T y, puesto que γ = 7/5 para un gas diat´ omico (aire), este valor difiere apreciablemente de la velocidad de propagaci´ on isoterma, [(∂p/∂ρ)T ]1/2 = Rg T , dada por Newton . La discrepancia entre ambos valores fue explicada por Laplace (1816) en base a que las expansiones y compresiones de los elementos fluidos que tienen lugar en la propagaci´ on de una onda sonora son tan r´ apidas que, debido a la segunda condici´ on (11.2), un elemento no dispone de tiempo suficiente en un periodo de oscilación para intercambiar una cantidad apreciable de calor con el exterior e igualar su temperatura con la del medio que lo rodea (lo que ocurrir´ıa si dichas expansiones y contracciones fuesen muy lentas). Naturalmente estas consideraciones también se aplican al caso de l´ıquidos, pero en la práctica las velocidades de propagación isoterma e isentrópica coinciden en este caso al ser la entrop´ıa funci´ on u ńicamente de la temperatura (γ = 1 para un l´ıquido ideal). Para obtener las ecuaciones que gobiernan el campo sonoro las variables fluidas se expresan en (11.3)-(11.5) de la forma p = po + p , ρ = ρo + ρ , u = u , (11.7)

donde po y ρo son la presión y la densidad del medio sin perturbar y p , ρ y u representan las perturbaciones ac´ usticas respecto de dicho estado, y se linealizan las ecuaciones teniendo en cuenta que p po y ρ ρo . Para un medio no perturbado homogéneo y en reposo se obtiene el sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales ∂ρ + ρo ∇ · u = 0, ∂t ρo

∂u + ∇p = 0, ∂t p = a2o ρ ,

(11.8) (11.9) (11.10)

donde (11.10) se ha obtenido desarrollando en serie de Taylor la ecuaci´ on de estado isentr´ opica p = p(ρ, So ) hasta términos de primer orden en las perturbaciones, ∂ p (ρ − ρo ). (11.11) p − po = ∂ ρ S Las ecuaciones (11.8)-(11.10) ponen de manifiesto el papel esencial de la compresibilidad del fluido en la propagaci´ on de las perturbaciones sonoras. En efecto, considérese un elemento de volumen fijo en el dominio fluido y, para fijar ideas, sup´ ongase que en un cierto instante ∇ · u < 0: entonces (11.8) indica que se está acumulando fluido en dicho elemento a la vez que, de acuerdo con (11.10), aumenta la presión en el mismo. De esta forma se origina un gradiente de presiones que, seg´ un (11.9), frena el fluido entrante en el elemento y, posteriormente, lo impulsa hacia los elementos adyacentes, propagándose as´ı la perturbaci´ on en el medio. Obsérvese que si se elimina u de (11.8) y (11.9) y se hace uso de (11.10) se obtienen las ecuaciones ∂ 2 ρ − a2o ∇2 ρ = 0, (11.12) ∂ t2 y ∂ 2 p − a2o ∇2 p = 0; (11.13) ∂ t2 de igual manera, eliminando ρ y p , se obtiene ∂ 2 u − a2o ∇2 u = 0. ∂ t2

(11.14)


234

Las ecuaciones (11.12)-(11.14) muestran que las perturbaciones ac´ usticas en un medio en reposo y uniforme satisfacen la bien conocida ecuaci´ on de las ondas. Como se verá más adelante dicha ecuación admite soluciones que representan ondas propag´ andose con una velocidad ao que es, por tanto, la velocidad de propagaci´ on de las peque˜ nas perturbaciones en el medio. En lugar de calcular ρ , p y u mediante (11.12)-(11.14) resulta en muchas circunstancias más u ´til operar con el potencial de velocidades, que reduce el problema a una sola inc´ ognita a partir de la que se pueden obtener las restantes mediante derivación. En efecto, como el movimiento es isentrópico, sin fuerzas másicas e inicialmente irrotacional (estado de reposo), será irrotacional en todo instante y existe, por tanto, un potencial de velocidades φ tal que u = ∇ φ.

(11.15)

Sustituyendo (11.15) en (11.9) se obtiene la ecuaci´ on ρo ∇

∂φ + ∇ p = 0, ∂t

(11.16)

cuya integraci´ on proporciona ∂φ , (11.17) ∂t donde se ha tomado como nula la constante de integraci´ on, que puede depender del tiempo, puesto que en ac´ ustica carecen de interés las situaciones en que puedan tenerse simultáneamente perturbaciones de presión [o de densidad, véase (11.10)] variables con el tiempo y perturbaciones de velocidad estacionarias (∂φ/∂t = 0) [que, por otra parte, violar´ıan, en general, la ecuación de continuidad (11.8)]. Haciendo uso de (11.10) se obtiene también la relación p = −ρo

ρ = −

ρo ∂ φ . a2o ∂ t

(11.18)

Finalmente, sustituyendo (11.15) en (11.14) se obtiene la ecuación de ondas para φ: ∂2 φ − a2o ∇2 φ = 0. ∂ t2

11.1.1.

(11.19)

Ecuaci´ on de la energ´ıa para el campo sonoro

Si se multiplica (11.9) escalarmente por u se obtiene, la ecuación ∂(ρo u /2) = −u · ∇ p , ∂t 2

(11.20)

que expresa que la variaci´ on por unidad de tiempo de la energ´ıa cinética ac´ ustica contenida en la unidad de volumen es igual a la potencia mec´ anica realizada sobre ella por la fuerza resultante de las perturbaciones de presión. Por otra parte, la ecuaci´ on de la energ´ıa interna (5.22) en ausencia de efectos disipativos y de conducción y adici´ on de calor se escribe ∂(ρ e) + ∇ · (ρ e u ) = −p ∇ · u = −(po + p )∇ · u . ∂t

(11.21)

La ecuación de estado para la energ´ıa interna se puede expresar de la forma e = e(ρ, So ), donde So es la entrop´ıa en el campo sonoro, y la funci´ on ρe, que sólo depende de ρ , se puede desarrollar en serie de Taylor; hasta términos de segundo orden en las perturbaciones se tiene 1 2 ∂ 2 (ρ e) ∂(ρ e) ρ ρ e = ρo eo + ρ + , (11.22) ∂ ρ o 2 ∂ ρ 2 o

235


donde las derivadas están tomadas a entrop´ıa constante y evaluadas en el estado sin perturbar; dichas derivadas pueden calcularse f´ acilmente de la relación termodin´ amica de = T dS + p/ρ2 dρ; esto es, ρ de = (p/ρ)dρ. Si a los dos miembros de la u ´ltima relación se le suma e dρ se tiene ∂(ρe) p p dρ y (11.23) d(ρ e) = e + = e + = h. ρ ∂ρ S ρ Derivando una vez más y teniendo en cuenta la relación dh = dp/ρ = a2 dρ/ρ, válida para un proceso isentrópico, se obtiene ∂ 2 (ρ e) ∂ h ∂ h ∂ p 1 (11.24) = = = a2 . ∂ ρ2 S ∂ ρ S ∂ p S ∂ ρ S ρ Haciendo uso de (11.22) y (11.23) en (11.21) se obtiene la energ´ıa interna en la unidad de volumen de fluido expresada hasta términos cuadráticos en las perturbaciones a2o 2 ρ , 2ρo

(11.25)

∂ 2 2 (a ρ /2 ρo ) = −p ∇ · u . ∂t o

(11.26)

ρ e = ρo eo + ho ρ + que sustituida en (11.21) proporciona

donde se ha tenido en cuenta la relación ho [∂ ρ /∂ t + ∇ · (ρ + ρo )u ] = 0 que se deduce inmediatamente de (11.22). El término a2o ρ2 /2 ρo = p2 /(2ρo a2o ) en (11.26) representa, por tanto, la energ´ıa interna almacenada en la unidad de volumen de fluido debida al trabajo de compresi´ on de las fluctuaciones de presión. Sumando (11.20) y (11.26) se obtiene finalmente la ecuaci´ on de conservación de la energ´ıa ac´ ustica 1 p2 ∂ 1 2 + ∇ · (p u ) = 0, ρo u + (11.27) ∂t 2 2 ρo a2o que expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa ac´ ustica, cinética más interna, contenida en la unidad de volumen es igual a la potencia total comunicada por las fluctuaciones de presión a la unidad de volumen. El vector I = p u ,

(11.28)

es, por tanto, el vector flujo de energ´ıa ac´ ustica, o vector intensidad ac´ ustica. Su proyecci´ on seg´ un un vector unitario n, In = p u · n = p un , (11.29) se denomina intensidad ac´ ustica, y es la cantidad de energ´ıa ac´ ustica que en la unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie de orientaci´ on n. Para las frecuencias t´ıpicas de las ondas sonoras la intensidad ac´ ustica es una función altamente variable con el tiempo, de manera que los receptores de sonido, debido a su limitaci´ on inherente en el tiempo de respuesta a las se˜ nales ac´ usticas, no reaccionan al valor instant´ aneo de la intensidad ac´ ustica, sino a su valor medio durante un periodo de tiempo largo comparado con el tiempo caracter´ıstico de las vibraciones sonoras. Por tanto, es conveniente definir la intensidad ac´ ustica media como t+To 1 I n (x, t) = In (x, tˆ) d tˆ, (11.30) 2To t−To


236

donde el tiempo de promediado, 2To , debe ser largo comparado con el periodo caracter´ıstico de las ondas sonoras, 2π/ωo , pero a su vez corto comparado con el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de la integral (11.30); si I n es independiente del tiempo el campo sonoro se dice estacionario en media o, también, estad´ısticamente estacionario. Además, en el caso particular de que las perturbaciones ac´ usticas var´ıen con el tiempo de forma armónica con una u ńica frecuencia ω (oscilaciones monocrómaticas), el tiempo de promediado en (11.30) puede tomarse igual a un periodo de oscilación, 2π/ω. Los valores caracter´ısticos de la intensidad ac´ ustica media var´ıan dentro de un rango muy amplio; por ejemplo, para el o´ıdo humano y para una frecuencia t´ıpica de 5.000 Hz el umbral de sonido corresponde a I n ∼ 10−12 W/m2 mientras que el umbral del dolor corresponde a I n ∼ 103 W/m2 . Como los valores de la intensidad ac´ ustica están comprendidos dentro de un rango de quince ordenes de magnitud es conveniente emplear una escala logar´ıtmica y expresar el valor de I n en decibelios de modo que IDB = 10 log10

I n (W/m2 ) . 10−12 W/m2

(11.31)

Como ejemplos ilustrativos baste decir que a una distancia t´ıpica de 1 m un susurro corresponde a un valor t´ıpico de la intensidad ac´ ustica IDB ∼ 20, un grito a IDB ∼ 70, y el umbral de dolor corresponde a IDB ∼ 150.

11.1.2.

Ondas planas

En esta sección se analizará el campo sonoro en el caso más simple de que su distribución espacial sólo dependa de una coordenada, por ejemplo la coordenada x. En este caso las perturbaciones ac´ usticas serán uniformes en cada plano x = const. : p = p (x, t), u = u (x, t)ex y φ = φ(x, t), y la ecuación (11.19) se reduce a 2 ∂2 φ 2 ∂ φ − a = 0. (11.32) o ∂ t2 ∂ x2 La resolución de (11.32), debida primero a D’Alembert en 1747, es bien conocida de los cursos b´ asicos de ecuaciones diferenciales. Para encontrar la solución conviene introducir como nuevas variables ξ = x − ao t y η = x + ao t en las que dicha ecuación se reduce a ∂ 2 φ/∂ ξ ∂ η = 0. Integrando con respecto a ξ se obtiene ∂ φ/∂ η = G (η) siendo G una funci´ on arbitraria de η, y si η se integra ahora con respecto η se obtiene φ = F (ξ) + G(η) donde F y G = G dη son funciones arbitrarias de sus argumentos. Por tanto, la soluci´ on general de (11.32) es φ = F (x − ao t) + G(x + ao t),

(11.33)

y las perturbaciones de presión y densidad se determinan a partir (11.15)-(11.16) como ∂φ ex = [F1 (x − ao t) + G1 (x + ao t)] ex , ∂x

(11.34)

1 ∂φ p ρ =− = F1 (x − ao t) − G1 (x + ao t) = ao , ρ o ao ao ∂t ρo

(11.35)

u = u ex =

donde se han denotado F1 ≡ ∂ F/∂ x = −∂ F/∂(ao t) y G1 ≡ ∂ G/∂ x = ∂ G/∂(ao t). El significado f´ısico de estas soluciones es simple; supóngase por ejemplo que G ≡ 0 ≡ G1 , de modo que u = F (x−ao t) = p /ρo ao = ao ρ /ρo . Las perturbaciones var´ıan, por tanto, en el espacio y en el tiempo de tal forma que permanecen constantes para un observador que se mueva siguiendo cualquier trayectoria x − ao t = const. Por tanto, si en alg´ un instante to las perturbaciones poseen un cierto valor en el plano x = xo , dichos valores se encontrarán en un instante t > to en la posición x = xo + ao (t − to ). De esta forma las magnitudes fluidas se propagan a través del medio en

237


la dirección x con la velocidad del sonido ao . Las funciones F y F1 representan, por tanto, una onda plana viajera propag´ andose en la dirección positiva del eje x. Es evidente que las funciones G(x + ao t) y G1 (x + ao t) representan una onda que se propaga en la direcci´ on opuesta. De acuerdo con (11.34)-(11.35), para una onda que se propaga hacia la derecha (G = G1 = 0) se tiene ρ p u , = = ao ρo ρo a2o

(11.36)

y para una onda que se propaga hacia la izquierda (F = F1 = 0) se verifica ρ p u =− =− . ao ρo ρo a2o

(11.37)

Las funciones F1 y G1 se determinan a partir de las condiciones iniciales y de contorno; por ejemplo, si se perturba a un fluido inicialmente en reposo (u = 0) mediante un ligero incremento local de la presión dado por p = ρo ao f (x) siendo f (x) una funci´ on conocida (véase el esquema de la Figura 11.1), F1 y G1 se determinan imponiendo las ecuaciones (11.34) y (11.35) en t = 0, 0 = F1 (x) + G1 (x),

f (x) = F1 (x) − G1 (x),

(11.38)

lo que proporciona F1 (x) = −G1 (x) = f (x)/2.

(11.39)

Por tanto, la soluci´ on del problema es 1 p 1 ρ ao = f (x − ao t) + f (x + ao t) = , ρo ao 2 2 ρo

(11.40)

1 1 (11.41) f (x − ao t) − f (x + ao t). 2 2 La ecuación (11.40) indica que la perturbaci´ on de presión inicial se divide posteriormente en dos partes, cada una de magnitud igual a la mitad de la perturbaci´ on inicial, que viajan con velocidad ao en sentidos opuestos como se muestra en la Figura 11.1. u =

x

t=0

t1

x+a0t = const.

t

x-a0t = const.

t2 t3

Figura 11.1: Propagaci´ on de un pulso de presi´ on a través de un fluido. Otro ejemplo de propagaci´ on sonora unidimensional lo constituye el movimiento de un gas dentro de un cilindro muy largo (infinito) generado por un pist´ on que desliza en su interior con


238

una velocidad muy peque˜ na frente a la del sonido, de manera que las perturbaciones que introduce en el gas son peque˜ nas; en efecto, si upo es la velocidad caracter´ıstica del pistón las variaciones de presi´ on generadas son del orden p = p − po ∼ ρo u2 po ∼ po u2 po /a2o po . Si xp (t) define la posición del pistón respecto del origen de coordenadas, la velocidad del gas en contacto con el pistón debe ser u = x˙ p (t) . Se supondr´ a que no existen perturbaciones propag´ andose desde el infinito hacia el pist´ on, por lo que en la zona x > xp (t) se tiene sólo una onda (la generada por el movimiento del pist´ on) propag´ andose hacia la derecha, u = F1 (x − ao t) = p /ρo ao ,

(11.42)

mientras que para x < xp (t) se tiene una onda viajera hacia la izquierda, u = G1 (x + ao t) = −

p . ρo ao

(11.43)

La condición de contorno u = x˙ p (t) en x = xp (t) determina F1 y G1 ; en efecto, se tiene F1 [xp (t) − ao t] = x˙ p (t),

(11.44)

y si se define s ≡ −ao t resulta la relación F1 (s) x˙ p (−s/ao ),

(11.45)

donde se ha hecho uso de la hip´ otesis |x˙ p | ao [xp (t) ao t]. Se obtiene entonces la solución para el campo sonoro u = p /ρo ao = ρ ao /ρo = x˙ p (t − x/ao ), (11.46) que constituye una onda que se propaga hacia x > 0. Análogamente para x < 0 se obtiene una onda propag´ andose hacia la izquierda u = x˙ p (t + x/ao ) = −p /ρo ao = −ρ ao /ρo .

(11.47)

En el caso particular en que el pist´ on oscile armónicamente con frecuencia ω, xp (t) = A sen ωt con A ω ao , la onda que se propaga hacia la derecha est´ a dada por u =

ρ ao p = = A ω cos[ω(t − x/ao )], ρo a o ρo

(11.48)

con una expresión similar para la onda que se propaga hacia la izquierda. Tales ondas, denominadas ondas planas monocrom´ aticas, serán objeto de un estudio m´ as detallado en la siguiente sección. Finalmente, nótese que si en el ejemplo anterior el cilindro que contiene el gas no fuese infinito, sino uno semi-infinito limitado en un extremo por una pared s´ olida, habr´ıa que tener en cuenta tanto la onda emitida por el pist´ on como la reflejada por la pared (el eco) en el recinto comprendido entre ambos. Para determinar el campo sonoro en este caso deben considerarse los dos tipos de ondas (hacia la derecha y hacia la izquierda) en la soluci´ on general (11.33) e imponerse las condiciones de contorno apropiadas en el cilindro y en la pared; un ejemplo de esta situaci´ on se analizará en la sección 11.1.4.

11.1.3.

Ondas monocrom´ aticas

El potencial ac´ ustico puede expresarse siempre mediante el teorema integral de Fourier de la forma 1 ∞ dω e−iωt Φω (x). φ(x, t) = (11.49) 2 −∞

239


Como φ(x, t) es real, las amplitudes complejas Φω satisfacen la condición Φ∗ ω (x) = Φ−ω (x), donde los s´ımbolos con asterisco significan los complejos conjugados. Por tanto, la ecuación (11.49) puede escribirse también de la forma ∞ φ(x, t) = dω [Φω (x)e−iωt ], (11.50) o

donde el s´ımbolo denota la parte real de la funci´ on.3 Por tanto, toda soluci´ on de la ecuación de ondas (11.19) puede obtenerse como una superposición de ondas monocromáticas de la forma φω (x, t) = Φω (x) e−iωt ,

(11.51)

donde Φω (x) satisface la ecuación de Helmholtz, ∇2 Φω +

ω2 Φω = 0, a2o

(11.52)

que se obtiene al sustituir (11.49) en (11.19) e igualar a cero el integrando. Obsérvese que, debido a que el problema es lineal, puede omitirse en (11.50) el signo y retener la notación compleja en los cálculos, sobrentendiéndose que el significado f´ısico está asociado a la parte real de dicha expresión. De acuerdo con (11.15) y (11.17)-(11.18) las perturbaciones de velocidad, presi´ on y densidad para una onda monocrom´ atica son (en forma compleja) u ω = e−iωt ∇ Φω (x),

(11.53)

pω = ρo iω e−iωt Φω (x) = a2o ρω .

(11.54)

De acuerdo con (11.53) y (11.54) el vector intensidad ac´ ustica está dado por I = p u =

1 2 1 1 1 ∗ ∗ (pω + pω )(uω + u ω ) = ρo ω (Φ∗ω ∇Φω ) + ρo ω e2iωt Φ∗ω ∇Φ∗ω , 4 2 2

(11.55)

donde el s´ımbolo denota la parte imaginaria de una funci´ on; la intensidad ac´ ustica media a traves de una superficie de orientaci´ on n puede obtenerse a partir de (11.55) promediando la intensidad ac´ ustica sobre un periodo de oscilación I n (x) =

ω 2π

2π/ω

I · ndt = o

1 ρo ω (Φ∗ω n · ∇Φω ), 2

(11.56)

que coincide con el término del segundo miembro de (11.55) que es independiente del tiempo. En lo que sigue siempre se hará referencia a una frecuencia determinada, por lo que se prescindir´ a del sub´ındice ω . Obsérvese que la ecuación de Helmholtz (11.52) admite soluciones particulares de la forma Φ(x) = A eik·x ,

(11.57)

para cualquier amplitud constante A y para cualquier vector k con componentes también constantes y, en general, complejas que satisfagan la relación k · k = kx2 + ky2 + kz2 =

ω2 . a2o

(11.58)

3 Para abreviar notaci´ on, y como es usual en la literatura, en lo que sigue se usar´ a frecuentemente un sub´ındice para indicar la dependencia de una funci´ on con respecto a las variables de integraci´ on en una integral de Fourier; as´ı, Φω (x) ≡ Φ(ω, x).


240

El vector k se denomina vector de onda y la ecuación (11.58), que relaciona el vector de onda y la frecuencia, se denomina relaci´ on de dispersi´ on; esta u ´ltima se obtiene introduciendo (11.57) en (11.52). Si se separan las partes real e imaginaria de las componentes del vector de onda, éste puede escribirse como k = kR + i kI , donde los vectores reales kR y kI satisfacen las relaciones |kR |2 − |kI |2 =

ω2 , a2o

kR · kI = 0,

(11.59)

que se obtienen de (11.58). Las soluciones del tipo (11.57) dan lugar a un potencial de velocidades de la forma φ = A ei(k·x−ωt) = A e−kI ·x ei(kR ·x−ωt) ,

(11.60)

que representa una onda monocrom´ atica plana que se propaga en la direcci´ on del vector kR y cuya amplitud decrece exponencialmente en la dirección del vector kI ; la funci´ on α ≡ kR · x − ωt se denomina fase de la onda monocromática. Obsérvese en (11.59) que si kI = 0 los vectores kR y kI son ortogonales y, por tanto, las superficies de amplitud constante (planos kI · x = const) y las de fase constante (planos kR · x = const) no coinciden; en este caso la onda se denomina inhomogénea. Por otra parte, la onda se dice homogénea si kI = 0, y en este caso el vector de onda k = kR puede escribirse de la forma ω ω n = (ex cos α + ey cos β + ez cos γ), (11.61) k= ao ao donde n es el vector unitario en la dirección de propagaci´ on de la onda. Para una onda plana monocromática, la intensidad ac´ ustica media a través de una superficie de normal n se obtiene directamente de (11.56) haciendo Φω = A eik·x lo que proporciona In =

ρo ω 2 −2kI ·x kR · n. |A| e 2

(11.62)

Obsérvese que si n es paralelo a kI se tiene kR · n = 0 , de acuerdo con la segunda de las relaciones (11.59), por lo que una onda plana inhomogénea no transporta, en media, energ´ıa en la dirección de la parte imaginaria del vector de onda.

11.1.4.

Reflexi´ on y transmisi´ on de ondas sonoras

Si una onda ac´ ustica incide sobre la superficie de separación de dos medios en contacto se generan dos ondas, una reflejada y otra transmitida, de forma que el campo sonoro resultante en ambos medios verifique las condiciones de contorno impuestas por la superficie. Para analizar dicho fen´ omeno considérese la situación simple mostrada en la Figura 11.2, en la que una onda monocromática plana se propaga en un fluido de densidad ρo y velocidad del sonido ao e incide sobre la superficie (representada por el plano x=0) que lo separa de otro fluido de densidad ρ1 y velocidad del sonido a1 ; la onda incidente forma un ańgulo θe con la dirección del eje x (véase la Figura 11.2). Dicha onda está dada por una expresi´ on de la forma e

e

φe = Ae ei(kx x+ky y−ωt) , donde kxe =

ω cos θe , ao

kye =

π ω ω cos sen θe − θe = ao 2 ao

(11.63)

(11.64)

son las componentes del vector de onda y Ae su amplitud. Para las ondas reflejada, φr , y transmitida, φt , se suponen expresiones análogas a (11.63), y sus amplitudes y vectores de onda se

241


qe

qr

r0 , a0 r1 , a1

x

qt

Figura 11.2: Reflexión y transmisión de una onda sonora.

determinan de manera que φo = φe + φr y φ1 = φr sean ambas soluciones de la ecuación de Helmholtz en sus respectivos medios y satisfagan las condiciones de contorno apropiadas en x = 0. En efecto, la continuidad de presiones [−ρo (∂φo /∂t) = −ρ1 (∂φ1 /∂t)] y de velocidades normales en x = 0 [(∂φo /∂x) = (∂φ1 /∂x)]requiere e

r

t

i ω ρo Ae ei(ky y−ωt) + i ω ρo Ar ei(ky y−ωt) = i ω ρ1 At ei(ky y−ωt) , e

r

t

i kxe Ae ei(ky y−ωt) + i kxr Ar ei(ky y−ωt) = i kxt At ei(ky y−ωt) ,

(11.65) (11.66)

y las ecuaciones (11.65)-(11.66) junto con la relación de dispersión (11.58) exigen que las componentes de los vectores de onda satisfagan las relaciones kyr = kye = kyt =

ω sen θe , ao

(11.67)

kxr

ω ω2 − kye 2 = − cos θe = −kxe , 2 ao ao ω2 ω2 t − 2 sen2 θe , kx = ± 2 a1 ao

=−

(11.68)

(11.69)

donde la elección del signo para kxt se discutirá más abajo. Las amplitudes de las ondas transmitida y reflejada en funci´ on de la amplitud de la onda incidente se obtienen al resolver (11.65)-(11.66), que proporciona 2ρo kxe ρ1 kxe − ρo kxt A , Ae . (11.70) At = A = e r ρ1 kxe + ρo kxt ρ1 kxe + ρo kxt Es fácil comprobar que se verifica la ecuación, ρo ω ρ1 ω ρo ω |Ae |2 kxe = |Ar |2 kxe + (kxt )|At |2 , 2 2 2

(11.71)


242

que, de acuerdo con 11.62, expresa que la intensidad ac´ ustica incidente en la dirección x es igual a la suma de la reflejada más la transmitida en dicha direcci´ on; para ver esto, basta comparar los distintos términos en (11.71) con (11.62 teniendo en cuenta que ke · ex = kxe , kr · (−ex ) = −kxr = kxe y (kt ) · ex = (kxt ). De las relaciones (11.67)-(11.68) se deduce que la onda reflejada, φr = Ar ei[ω(−x sen θe +y cos θe )/ao −ωt] ,

(11.72)

es una onda homogénea que se propaga en la dirección que forma un ańgulo θr = θe con el eje x y satisface, por tanto, la ley de Snell. Asimismo se observa en (11.69) que si a1 < ao , o bien sen θe ≤ ao /a1 , el valor de kxt es real y la onda transmitida es también una onda homogénea que se propaga en una dirección que forma un ańgulo con el eje x determinado por (11.67) y (11.69), θt = arc sen[(a1 /ao ) sen θe ] (véase Figura 11.2), y su expresión es φt = At ei[ω(x cos θt +y sen θt )/a1 −ωt] ,

(11.73)

donde, naturalmente, se ha tomado el signo positivo para kxt en (11.69) para que la onda transmitida se propague en el medio 1 desde la superficie hasta el infinito (se supone que no hay ondas que viajan desde el infinito hasta la superficie en dicho medio). Sin embargo, si a1 > ao y el ángulo de incidencia es tal que sen θe > ao /a1 , entonces kxt es imaginario puro y la onda transmitida es inhomogénea, propagándose en la dirección y con una amplitud que decrece exponencialmente en la dirección x 2 2 2 2 2 1/2 (11.74) φt = At e−x[(ω /ao ) sen θe −ω /a1 ] ei[(ω/a1 ) y sen θe −ωt] , donde se ha tomado el signo positivo en (11.62) para que la amplitud de la onda sea decreciente en la dirección x > 0. Obsérvese que por ser (kxt ) = 0 la intensidad media transmitida es nula. Para el caso de una incidencia normal, cos θe = 1, las ecuaciones (11.67)-(11.69) proporcionan los valores kyr = kyt = 0, kxr = −ω/ao = −kxe y kxt = ω/a1 , que sustituidos en (11.70) suministran las relaciones 2ρo /ρ1 ρ1 a1 /ρo ao − 1 At = Ae , Ar = (11.75) Ae , 1 + ρo ao /ρ1 a1 ρ1 a1 /ρo ao + 1 as´ı como la relación entre las intensidades ac´ usticas transmitida e incidente 4 ρo ao /ρ1 a1 ρ1 |At |2 /a1 = , ρo |Ae |2 /ao (1 + ρo ao /ρ1 a1 )2

(11.76)

obtenida de (11.75) y (11.71). Como ejemplo de aplicaci´ on de los resultados anteriores considérense ondas sonoras en aire incidentes normalmente sobre una entrefase aire-agua. En este caso ρo ρ1 y ρo ao ρ1 a1 y, de acuerdo con (11.76), la energ´ıa ac´ ustica transmitida hacia el interior del agua es despreciable a pesar de que, como muestra (11.75), las perturbaciones relativas de presión en la onda transmitida sean apreciables, ρ1 At /(ρo Ae ) 2 [ y ρo Ar /(ρo Ae ) 1 en la reflejada]; en efecto, el peque˜ no valor del flujo de energ´ıa ac´ ustica hacia el agua resulta de que las velocidades en la onda transmitida son despreciables debido a que el campo de velocidades de la onda reflejada anula al de la incidente (kxr Ar /kxe Ae = −Ar /Ae 1). En el caso opuesto, de una onda sonora en agua incidente sobre una entrefase agua-aire se tienen ρo ρ1 y ρo ao ρ1 a1 y, como antes, (11.76) proporciona una energ´ıa ac´ ustica transmitida hacia el aire que es también despreciable; a diferencia del caso anterior, la peque˜ nez del flujo de energ´ıa ac´ ustica es debida a que ahora se tiene ρo Ar /(ρo Ae ) → −1, y el campo de presiones reflejado contrarresta al incidente en la superficie proporcionando presiones muy peque˜ nas en la onda transmitida, sin embargo la amplitud del campo de velocidades transmitido es ahora el doble que la del incidente, puesto que el resultado Ae −Ar proporciona en la superficie, de acuerdo con (11.66) y (11.68) se tiene la relaci´ on 1=

k t At − k e Ae kxr Ar = x e x e kx Ae kx Ae

→

kxt At /kxe Ae = 2.

(11.77)

243


La reflexión y transmisión de ondas ac´ usticas en la superficie de separacion entre un sólido y un fluido, as´ı como en paneles porosos absorbentes de sonido, no es susceptible de un tratamiento anal´ıtico general debido a la complicada interacci´ on del fluido con el s´ olido ya que debe tenerse en cuenta que en el sólido pueden propagarse tanto ondas normales como tangenciales, y adem´ as puede presentar un comportamiento no el´ astico; en el caso de paneles porosos, se presenta la complejidad adicional del movimiento del fluido en los poros.4 Dada la complejidad de la condiciones de contorno, para cerrar el problema en estos casos se establece una condición de contorno emp´ırica entre el campo ac´ ustico de presiones y velocidades en la superficie de separación sólido-fluido tal que p = Zn u · n, (11.78) ustica normal de donde Zn es un coeficiente experimental denominado coeficiente de impedancia ac´ la superficie; en general, Zn depende de la frecuencia de la onda sonora, del ańgulo de incidencia y de las propiedades mecánicas del material en contacto con el fluido. Para ondas planas incidiendo sobre una superficie se puede calcular la relación entre las amplitudes de las ondas reflejada e incidente en funci´ on de Zn y del ángulo de incidencia como Zn cos θe − ρo ao , Ar = , Ae Zn cos θe + ρo ao

(11.79)

que se obtiene si se escriben p y u en (11.78) como la suma de las contribuciones de la onda incidente más la reflejada y se iguala el primer miembro de (11.65) al primer miembro de (11.66) multiplicado por Zn (teniendo en cuenta que kxe = ω/ao cos θe = −kxr ). La expresión (11.79) permite calcular el coeficiente de absorci´ on que se define como la fracción de intensidad ac´ ustica que se absorbe o transmite a través de la superficie sólida, α=1−

4 ρo ao cos θe (Zn ) |Ar |2 = . |Ae |2 |Zn |2 cos2 θe + 2ρo ao cos θe (Zn ) + ρ2o a2o

(11.80)

ustica a través de la suObsérvese que si Zn es imaginario puro no existe pérdida de energ´ıa ac´ perficie (α = 0). Asimismo, en el caso de una superficie muy r´ıgida (u · n → 0), y puesto que las perturbaciones ac´ usticas de presión sobre ella son finitas, debe ser Zn → ∞ y α → 0. Finalmente, si cos θe → 0 (incidencia rasante a la superficie) se tiene también α → 0, es decir, las ondas sonoras no pueden transmitirse paralelamente a la superficie sin sufrir una severa atenuaci´ on. Silenciadores Como aplicación de lo anterior se analizar´ a un modelo simplificado de silenciador utilizado en veh´ıculos y en otras aplicaciones industriales que consiste en conductos de entrada y salida, ambos de sección A1 , conectados a una cámara de expansión de sección A2 y longitud l como se indica en la Figura 11.3. Para calcular el campo ac´ ustico se impondrán la igualdad de los flujos de masa y de las presiones a uno y otro lado de los cambios de sección (secciones 1-2 y 3-4)5 x=0

p1 = p2 ,

ρo u1 A1 = ρo u2 A2 ,

(11.81)

x=l

p3 = p4 ,

ρo u3 A2 = ρo u4 A1 .

(11.82)

4 En los paneles absorbentes la absorci´ on de la energ´ıa ac´ ustica es debida a las deformaciones del panel (en general no el´ asticas), a la fricci´ on generada por el movimiento del aire en los poros y a la conducci´ on de calor entre el aire y el armaz´ on s´ olido del panel; este u ´ ltimo efecto asociado a las variaciones de temperatura experimentadas por el aire en las compresiones y expansiones ac´ usticas. 5 Las secciones 1 y 2 est´ an separadas una longitud del orden de varias longitudes de onda λ, λ l, y en la zona entre ellas el campo ac´ ustico no es unidireccional; lo mismo se aplica a las secciones 3 y 4.


244

a)

b) 2

A1

1

3 II

III

I

A1

4

A2

l Figura 11.3: Esquema de un silenciador.

amara de expansión, el potencial de velocidades del Si Be es la amplitud de la onda incidente a la c´ campo ac´ ustico en las distintas zonas del silenciador es φI = Be e−iω(t−x/ao ) + Br e−iω(t+x/ao ) ,

(11.83)

φII = BI e−iω(t−x/ao ) + BII e−iω(t+x/ao ) ,

(11.84)

−iω(t−x/ao )

φIII = Bt e

.

(11.85)

donde Br y BI son las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida en el ensanchamiento del silenciador y BII y Bt son respectivamente las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida en la contracción. Teniendo en cuenta las relaciones u = ∂φ/∂x y p = −ρo ∂φ/∂ t, las condiciones (11.81)-(11.82) conducen, después de dividir por el factor com´ un e−iωt , al sistema de ecuaciones Br − Be = (BII − BI )

A2 , A1

Be + Br = BII + BI ,

A1 Bt eiωl/ao , BII e−iωl/ao + BI eiωl/ao = Bt eiωl/ao , A2 que permiten calcular Br , BII , BI y Bt en función de Be . Operando se obtiene BII e−iωl/ao − BI eiωl/ao = −

(11.86) (11.87)

(A2 /A1 − A1 /A2 ) i sen ωl/ao Br =− , Be 2 cos ωl/ao − i(A2 /A1 + A1 /A2 ) sen ωl/ao

(11.88)

2 e−iωl/ao Bt = . Be 2 cos ωl/ao − i(A2 /A1 + A1 /A2 ) sen ωl/ao

(11.89)

Es fácil verificar que la suma de las intensidades ac´ usticas medias reflejada y transmitida es igual a la intensidad ac´ ustica media incidente, |Br |2 +|Bt |2 = |Be |2 , de manera que el silenciador simple de la Figura 11.3 no reduce la energ´ıa ac´ ustica en el sistema, puesto que una reducción en la intensidad transmitida conlleva un correspondiente aumento de la intensidad reflejada.6 La intensidad ac´ ustica perdida en la transmisi´ on a través del silenciador viene dada en decibelios por η = 10 log10 |Be |2 − 10 log10 |Bt |2 = 10 log10

|Be |2 = |Bt |2

6 Por tanto, para que un silenciador produzca una reducci´ on en la energ´ıa ac´ ustica del sistema debe contener materiales absorbentes o poros que conviertan la energ´ıa ac´ ustica en vibraciones mec´ anicas o calor.

245


10 log10 1 + 0,25

A2 A1 − A2 A1

2 2

sen (ωl/ao ) ,

(11.90)

que se representa en la Figura 11.4 para diferentes relaciones de expansión m = A2 /A1 . 0

12

24

Escala en pulgadas

m=4

m = 16

m = 36

m = 64

50 40 30 20 10

teórica medida

0 50 40 30 20 10

200

400

600

0 50 40 30 20 10

200

400

600

200

400

600

50 40 30 20 10 0

Figura 11.4: Atenuaci´ on, η, de la se˜ nal en un silenciador en funci´ on de la relación de áreas m = A2 /A1 en la respuesta de un silenciador. Tomado de A. P. Dowling y J. E. Ffowcs Williams, Sound and Sources of Sound, Ellis Horwood Publishers, 1983. Debe hacerse notar que los valores teóricos se ajustan razonablemente bien a los experimentales. Por otra parte, el efecto de atenuaci´ on aumenta al aumentar m mientras que para un valor de m fijado, la atenuaci´ on es máxima si sen ωl/ao = 1; esto es, la longitud de onda o´ptima del silenciador es l = πao /2ω, o lo que es lo mismo, cuando la longitud del silenciador es igual a la semisuma de la longitud de onda de la onda sonora.

11.1.5.

Emisi´ on de sonido

Ondas esf´ ericas. Monopolo ac´ ustico En un problema con simetr´ıa esférica la ecuación de ondas (11.19) se escribe ∂ 2 φ a2o ∂ 2 ∂φ − r = 0, ∂t2 r2 ∂r ∂r

(11.91)


246 o bien

2 ∂ 2 (rφ) 2 ∂ − a (rφ) = 0. o ∂ t2 ∂ r2 Comparando (11.92) y (11.32) se deduce que la soluci´ on general de (11.92) es

(11.92)

F (t − r/ao ) G(t + r/ao ) + , (11.93) r r donde F y G son funciones arbitrarias. En lo que sigue se considerar´ an sólo ondas que viajan en la dirección r creciente, por lo que se hará G ≡ 0, puesto que se supone que el infinito está sin perturbar y no se propagan perturbaciones hacia el origen. Las perturbaciones de velocidad, presi´ on y densidad son entonces φ=

ur =

∂φ 1 F (t − r/ao ) F (t − r/ao ) , − =− ∂r ao r r2

(11.94)

y

1 ∂φ ρ p 1 F (t − r/ao ) = ao =− . (11.95) =− ρo ao ρo ao ∂ t ao r Obsérvese que, a diferencia de una onda plana, ur = p /ρo ao excepto lo suficientemente lejos del origen como para que el segundo término del segundo miembro de (11.94) pueda despreciarse frente al primero, y entonces la onda esférica se comporta localmente como una plana. Obsérvese también que para grandes valores de r la intensidad de las ondas esféricas, p ur , decae con el cuadrado de la distancia al origen a causa de la atenuaci´ on debida a la geometr´ıa esférica; en efecto, debido a que el flujo total de energ´ıa debe distribuirse sobre una superficie cuya a´rea crece con la distancia como r2 , la intensidad ac´ ustica debe decrecer como r−2 en la distancia al origen. Como ejemplo, considérese una esfera de radio R y centro el origen que realiza pulsaciones emitiendo un caudal Q(t) conocido. Si se supone una soluci´ on de la forma F [t − (r − R)/ao ]/r y se tiene en cuenta que en r = R la velocidad es Q(t)/4πR2 , la ecuación (11.94) proporciona

Q(t) F (t) . (11.96) = F (t) + ao 4πR R Resolviendo esta ecuación diferencial lineal de primer orden y reemplazando t por t − (r − R)/ao en la solución para F se obtiene t−(r−R)/ao ao ˆ −ao [t−(r−R)/ao ]/R eao t/R Q(tˆ)d tˆ. (11.97) φ(r, t) = − e 4πR r −∞ −ao

Obsérvese que si las pulsaciones de la esfera cesan en un instante tf [es decir, Q(tˆ) = 0 para tˆ > tf ] el potencial a una distancia r del centro disminuir´ a exponencialmente con el tiempo seg´ un la ley φ = const · e−ao t/R para t > tf + (r − R)/ao . Una fuente ac´ ustica puntual de masa que emite un caudal Q(t) se denomina monopolo ac´ ustico de intensidad Q(t). El potencial creado por un monopolo ac´ ustico situado en el origen puede obtenerse a partir de (11.97) tomando el l´ımite R → 0. En efecto, mediante integraci´ on por partes en (11.97) puede comprobarse que, salvo términos de orden R2 , el factor lentamente variable Q(tˆ) puede sacarse fuera de la integral reemplazándolo por Q(t − r/ao ) [Q(tˆ) no var´ıa en una escala de tiempos del orden de R/ao ], y si se efect´ ua entonces la integración respecto al factor exponencial se obtiene φ(r, t) = −

1 Q(t − r/ao ).7 4πr

(11.98)

7 La expresi´ on (11.98) puede obtenerse de forma m´ as directa si se tiene en cuenta que (11.94) proporciona on G = 0, determina completamente φ(r, t) mediante F (t) = −limr→0 r 2 ur = −Q(t)/4π que, junto con la condici´ (11.93).

247


Si hace uso de (11.98) en (11.94)-(11.95) se obtienen también el campo de presiones y de velocidades para el monopolo ac´ ustico ˙ − r/ao ) Q(t − r/ao ) Q(t ur = + , (11.99) 4πr2 4πao r ˙ − r/ao ) Q(t p = . (11.100) ρo ao 4πao r Obsérvese que la expresión (11.98) para φ es formalmente análoga al potencial de velocidades creado por una fuente volumétrica puntual en un fluido incompresible, −Q(t)/4πr, salvo que el argumento t está reemplazado en este caso por t − r/ao . Esta diferencia se debe a que la compresibilidad del fluido introduce un intervalo de tiempo de retraso r/ao entre el valor de la se˜ nal recibido en r en un instante t, Q(t − r/ao ), y el flujo, Q(t), emitido por la fuente en dicho instante; naturalmente, el intervalo de tiempo de retraso es el tiempo que tarda una onda sonora en propagarse a una distancia r del origen. Debido a que el retraso depende de r aparecen dos términos en ur = ∂φ/∂r, por lo que el campo de velocidades es más complicado que el correspondiente a un fluido incompresible ao → ∞. No obstante, si ωo es una frecuencia caracter´ıstica de la se˜ nal emitida por la fuente, a distancias r de la fuente muy peque˜ nas frente a la longitud caracter´ıstica de las ondas emitidas, ωo r/ao 1, el tiempo de retraso r/ao puede despreciarse en primera aproximación, as´ı como el segundo término de ur , que es del orden ωo r/ao comparado con el primero. Por tanto, en este l´ımite se obtienen las expresiones Q(t) Q(t) , ωr/ao 1, (11.101) , ur 4πr 4πr2 l´ımite que se denomina aproximaci´ on de campo cercano para el campo sonoro del monopolo. Se observa en (11.101) cómo en el campo cercano el fluido se comporta de forma incompresible y cómo su potencial de velocidades satisface, en primera aproximación, la ecuación de Laplace, ∇2 φ = 0. En el l´ımite opuesto, ωo r/ao 1, el segundo sumando del miembro derecho de (11.99) es dominante frente al primero, y se tiene entonces la aproximaci´ on de campo lejano, en la que el campo de velocidades (11.99) se simplifica a φ=−

ur

˙ − r/ao ) Q(t , 4πao r

ωr/ao 1,

(11.102)

mientras que las expresiones (11.98) y (11.100) para el potencial y el campo de presiones permanecen inalteradas. Obsérvese que en el campo lejano la relación entre p y ur , p ρo ao ur , es la correspondiente a una onda plana. Es de interés para ciertas aplicaciones calcular la dependencia con la frecuencia de la intensidad ac´ ustica radiada por un monopolo en el campo lejano. Para ello se supone que el caudal emitido var´ıa con el tiempo de la forma Q(t) = (Ae−iωt ) y se escribe φ = [Φ(r)e−iωt ] en (11.98), lo que proporciona Φ(r) = −

Aeiωr/ao , 4πr

∇Φ −

Aiω iωr/ao e er , 4πrao

(11.103)

donde en la expresión ∇Φ se han despreciado términos de orden r−2 frente a términos de orden ω/(ao r) al ser ωr/ao 1. La intensidad ac´ ustica media en la dirección radial en un punto situado a distancia r del origen se obtiene directamente de (11.56)) como ρo |A|2 ω 2 ρo ω , (11.104) [Φ∗ er · ∇Φ] = I¯r = 2 32π 2 ao r2 que muestra que la intensidad ac´ ustica del monopolo crece con el cuadrado de la frecuencia emitida y decrece con el cuadrado de la distancia al origen como consecuencia de la atenuación esférica.


248 Distribuci´ on continua de monopolos

Se considerará ahora la radiaci´ on sonora emitida por una distribuci´ on espacial continua (o continua a trozos) de monopolos. Dicha distribuci´ on puede ser volumétrica o superficial y está caracterizada en cada punto por una intensidad por unidad de volumen o de superficie q(x, t) o qs (x, t), respectivamente. Se obtendrán aqu´ı algunos resultados de carácter general que relacionan el campo sonoro con la distribución de intensidades de las fuentes que lo originan. Conviene indicar que, aunque en muchos casos dicha distribuci´ on es conocida a priori, existen otros en que no ocurre as´ı, sino que su determinación requiere la resolución de la ecuación de ondas (11.20) con las condiciones de contorno apropiadas; por ejemplo, para el campo sonoro en un recinto cerrado las paredes pueden considerarse como fuentes de sonido cuando reflejan (y transmiten) las ondas ac´ usticas que inciden sobre ellas, y lo mismo ocurre con objetos inmersos en un fluido al dispersar las ondas ac´ usticas que inciden sobre ellos (este problema se considerará más adelante).8 Considérese una distribución continua de monopolos en una regi´ on Ω. Si q(x, t) denota la intensidad por unidad de volumen de las fuentes, el potencial ac´ ustico resultante se obtiene usando la solución elemental (11.101) para cada una de las fuentes puntuales de la distribuci´ on y aplicando el principio de superposici´ on, lo que puede hacerse en virtud de la linealidad del problema, se tiene q(x , τ ) 1 d , (11.105) φ(x, t) = − 4π Ω |x − x | donde x denota un punto genérico que denota la posición de los monopolos en el interior de Ω, y τ = t − |x − x |/ao es el instante en que debe emitirse la se˜ nal en x para que llegue a x en el instante t. Si se toma la laplaciana de (11.105) teniendo en cuenta que ∇τ = −∇|x − x |/ao = −e(x , x)/ao ,

(11.106)

donde e(x , x) denota el vector unitario dirigido desde x a x, y que ∇2 |x − x |−1 = −4πδ(x − x ),

(11.107)

donde δ es la función delta de Dirac, es fácil comprobar que φ satisface la ecuación diferencial ∇2 φ −

1 ∂2φ = q(x, t). a2o ∂t2

El campo de presiones se determinan a partir de (11.105) de la forma qt (x , τ ) ∂φ ρo d , p (x, t) = −ρo = ∂t 4π Ω |x − x |

(11.108)

(11.109)

donde qt denota derivada parcial con respecto de t; obsérvese que de la expresión de τ se deduce que qt = qτ . Análogamente, el campo de velocidades está dado por

1 1 e(x , x) 1 d q (x , + , (11.110) τ ) u (x, t) = ∇φ = t 4π Ω |x − x | ao |x − x | 8 Un caso importante de emisi´ on sonora, no considerado aqu´ı, es la originada por un flujo turbulento inmerso en el medio donde se propaga el sonido. En este caso, el movimiento turbulento de las part´ıculas fluidas, altamente no estacionario e irregular, se transmite al medio a través de la frontera entre ambos. Por tanto, en la expresi´ on de las intensidades de las fuentes aparecen términos asociados a los efectos no-lineales y no estacionarios que deben retenerse en las ecuaciones y condiciones de contorno para describir los complejos procesos que tienen lugar cerca de la zona turbulenta [para la expresi´ on expl´ıcita de la intensidad de las fuentes en este caso véase, por ejemplo, J. Lighthill, Waves in Fluids, Cambridge University Press, 1978]. Lejos de dicha zona las perturbaciones se aten´ uan y se tiene un campo sonoro gobernado por la ecuaci´ on lineal (11.20).

249


donde el segundo sumando del integrando en (11.110) se ha obtenido al derivar seg´ un la regla de la cadena teniendo en cuenta que qt = qτ y que ∇τ = −∇|x − x |/ao = −e(x , x)/ao . Una magnitud de interés en el análisis del campo sonoro creado por una distribuci´ on de fuentes es el valor medio del vector intensidad ac´ ustica en un punto de observaci´ on situado en el campo lejano de todas las fuentes, esto es, si x es cualquier punto de la fuente y ωo es una frecuencia de oscilación de la fuente, el punto de observaci´ on x debe verificar la condici´ on ωo |x − x |/ao 1. En este caso, y puesto que qt (x , t) ∼ ωo q(x , t), el segundo término en el integrando de (11.110) domina frente al primero y el campo de velocidades resulta, en primera aproximaci´ on, 1 qt (x , τ ) . (11.111) u (x, t) = d e(x , x) 4πao Ω |x − x | El vector intensidad ac´ ustica promediado sobre un intervalo de tiempo To largo comparado con el tiempo caracter´ıstico de oscilación de las fuentes, t+To 1 I(x, t) ≡ p u ≡ p (x, tˆ)u (x, tˆ)dtˆ, (11.112) 2To t−To puede calcularse a partir de (11.109)-(11.111) como q t q t ρo I= d d e(x , x) , 2 16π ao Ω Ω |x − x ||x − x |

(11.113)

donde, para abreviar la notaci´ on se ha denominado q t ≡ qt (x , t − |x − x |/ao ) y por q t la misma expresión pero sustituyendo x por x ; además el promediado temporal q t q t se define de forma idéntica al de (11.112). En general, las oscilaciones en los puntos x y x están correlacionadas, es decir, proporcionan un valor no nulo de q t q t sólo si están suficientemente próximos, esto es, a una distancia del orden de la denominada longitud de coherencia. As´ı, fijado x la contribuci´ on a la integral sobre x en (11.113) proviene principalmente de puntos situados en la zona de coherencia de x puesto que el integrando decae rápidamente a cero fuera de dicha zona. Además, sucede con frecuencia que la longitud de coherencia es mucho menor que la distancia de x al punto de observación x, lo que permite aproximar |x − x | |x − x | y la integral (11.113) puede escribirse de la forma f (x, x , t) I= d e(x , x) , (11.114) |x − x |2 Ω donde la funci´ on f se ha definido como ρo d qt qt , (11.115) f (x, x , t) ≡ 16π 2 ao Ω donde la integral sobre x puede extenderse sobre todo el volumen porque el integrando s´ olo contribuye apreciablemente en la zona de coherencia de x . Las expresiones (11.114) y (11.115) pueden interpretarse de forma natural si se elige un sistema de ejes con origen en x y se expresa la integral (11.114) en coordenadas polares r = |x − x|, θ y ϕ, con d = r2 sen θdrdθdϕ y e(x , x) = −er (θ, ϕ). Se obtiene entonces I = (−er ) Id (x, θ, ϕ, t) sen θdθdϕ, (11.116) donde los l´ımites de integración en θ y ϕ son los de la región Ω ocupada por la distribuci´ on de fuentes (0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ φ ≤ π si la distribuci´ on de fuentes rodea por completo a x), y se ha definido Id ≡

r2 (θ,ϕ)

f (x, r, θ, ϕ, t) dr, r1 (θ,ϕ)

(11.117)


250

donde r1 y r2 son los l´ımites radiales de Ω para cada par de valores (θ, ϕ). La funci´ on Id (θ, ϕ, t) se denomina intensidad direccional y se observa en (11.116) que representa el valor medio del vector intensidad ac´ ustica debido a las fuentes comprendidas en la unidad de ańgulo sólido extendida desde x en la dirección (θ, ϕ); además, el valor resultante del vector intensidad ac´ ustica medio en x, I(x, t) puede considerarse como la superposición de las contribuciones debidas a todos los elementos de ángulo sólido. Nótese que Id depende en general de la dirección pero no depende de la distancia a x, por lo que será la misma en todos los puntos alineados con el punto de observaci´ on seg´ un un radio con valores dados de (θ, ϕ).9 Un campo sonoro cuya intensidad direccional es la misma en todas direcciones se denomina difuso; esta hipótesis se realiza con frecuencia, por ejemplo, en el estudio de la ac´ ustica de recintos limitados por superficies suficientemente irregulares, en los que las m´ ultiples reflexiones de las ondas con las paredes del recinto establecen una intensidad direccional aproximadamente isótropa en los puntos del interior. Finalmente, obsérvese que si se promedia la densidad de energ´ıa ac´ ustica en x haciendo uso de (11.112) y de las expresiones (11.109) y (11.111) para p y u se obtiene la expresión análoga a (11.113) w(x, t) = ρo 32π 2 a2o

Ω

p2 1 = ρo u · u + 2 2ρo a2o

d d [e(x , x) · e(x , x) + 1]

Ω

q t q t . |x − x ||x − x |

(11.118)

También en este caso la integral doble (11.118) puede simplificarse para distancias al punto de observación grandes comparadas con la longitud de coherencia puesto que se tiene e(x , x) e(x , x) ,o e(x , x) · e(x , x) 1, además de |x − x ||x − x | |x − x |2 , y (11.117) puede escribirse de una forma muy similar a (11.114) y (11.116) w=

1 ao

Ω

d

f (x, x , t) = |x − x |2

1 Id (x, θ, ϕ, t) sen θdθdϕ, ao

(11.119)

donde, como antes, la segunda integral en (11.119) se ha obtenido tomando coordenadas polares en un sistema de referencia con origen en x. La ecuación (11.119) muestra de nuevo que cuando la longitud de coherencia es peque˜ na frente a la distancia al punto de observaci´ on los efectos de interferencia de las fuentes están muy localizados y, como le sucede al vector intensidad ac´ ustica, la energ´ıa ac´ ustica media contenida en la unidad de volumen en torno a x puede también interpretarse desde un punto de vista direccional como la suma de las debidas a la contribuciones independientes de los distintos elementos de angulo sólido con origen en x; la contribuci´ on de la unidad de angulo s´ olido en la dirección (θ, ϕ) es wd ≡ Id (x, θ, ϕ, t)/ao , que se denomina densidad de energ´ıa direccional.10 Una región de interés en el campo ac´ ustico producido por una distribuci´ on de fuentes es la de su campo lejano, también denominada zona de radiaci´ on de la distribuci´ on.11 Si la dimensión caracter´ıstica del volumen ocupado por las cargas es L, dicha zona se define como la formada por los puntos situados a distancias r de la distribuci´ on que verifican r λo ,

y

r L2 /λo ,

(11.120)

9 Esto es v´ alido solamente para la propagaci´ on de ondas en un medio homogéneo y en reposo. El caso general se considerar´ a en 11.1.7. 10 La ecuaci´ on (11.119) puede interpretarse también desde el punto de vista corpuscular de la radiaci´ on en el sentido de que las fuentes contenidas en la unidad de ´ angulo s´ olido en la direcci´ on (θ, ϕ) contribuyen a la energ´ıa ac´ ustica total en la unidad de volumen en torno a x con un paquete de energ´ıa wd (x, θ, ϕ, t) que se propaga con velocidad ao y que no interfiere con los que provienen desde otras direcciones. 11 En la teor´ ıa de la difracci´ on a dicha zona se la conoce también con el nombre de zona de Fraunhofer.

251


donde λo = ao /ωo es la longitud de onda caracter´ıstica de la radiación emitida por las fuentes. Obsérvese que si L es del orden o mucho mayor que λo , la segunda condici´ on (11.120) implica también la primera, mientras que si λo L la primera condición implica la segunda y en este caso la condición de campo lejano se reduce a la correspondiente para una fuente puntual; obsérvese, además, que las condiciones (11.120) siempre implican r L independientemente del valor de la relación L/λo . Si se toma un sistema de coordenadas con origen en el interior de la distribuci´ on de fuentes, la distancia desde un punto genérico de la fuente hasta el punto de observaci´ on en el campo lejano puede desarrollarse en serie de Taylor en torno al origen de coordenadas como 1 2 |x − x | r − x · er (x) + 0 |x |2 /r , (11.121) otese que, donde r ≡ |x| y e1r (x) es2el versor desde el origen de coordenadas hasta el punto x [n´ salvo términos 0 |x |2 /r , er (x , x) puede sustituirse en (11.121) por er (x) para todo x ]. Por tanto, las condiciones (11.120) implican que, para cualquier punto fuente, la contribuci´ on de los términos cuadráticos en (11.121) al tiempo que la se˜ nal tarda en llegar a x es mucho menor que el periodo t´ıpico de oscilación de las fuentes, L2 /(rao ) 1/ωo , por lo que si no se tienen en cuenta dichos términos se cometen errores en el cálculo de la funci´ on q(x , t − |x − x |/ao ) que, en términos relativos, son del orden |x |2 qt L2 ωo 1. (11.122) ∼ rao q rao Por tanto, el potencial ac´ ustico (11.105) puede aproximarse en la zona de radiaci´ on por 1 dq [x , t − r/ao + x · er (x)/ao ] , (11.123) φ(x, t) − 4πr Ω y el campo de velocidades y el de presiones están dados por 1 ur (x, t) dqt [x , t − r/ao + x · er (x)/ao ] , 4πao r Ω y ρo p (x, t) 4πr

dqt [x , t − r/ao + x · er (x)/ao ] .

(11.124)

(11.125)

Ω

La ecuaciones (11.123)-(11.125) expresan que, en primera aproximaci´ on, cada punto de la distribución env´ıa al punto de observaci´ on una onda esférica (localmente plana) que puede considerarse centrada en el origen de coordenadas, y cuya ley temporal contiene una fase, x · er (x)/ao , que depende de la orientaci´ on relativa entre el punto fuente y el de observaci´ on. La onda resultante en el punto de observaci´ on es la superposición del tren de ondas aproximadamente concéntricas emitida por los puntos de la fuente y, debido a las interferencias originadas por las diferencias de fase de las ondas correspondientes a los distintos puntos de la distribuci´ on, su amplitud puede presentar una marcada dependencia con respecto a la dirección del punto de observaci´ on, a diferencia de lo que ocurre con una fuente puntual. S´ olo en los casos en que las dimensiones de la fuente sean mucho menores que la longitud de onda, L ao /ωo , puede despreciarse en (11.123) la diferencia de fase entre los puntos de Ω [determinada por x · er (x)/ao ] y la distribuci´ on de fuentes radia como una fuente puntual de intensidad Q(t) = Ω dq(x , t), que también puede relacionarse con el campo de velocidades originado por la distribuci´ on en los puntos de la superficie que limita a Ω mediante Q(t) = Σ dσn · u (x , t); en este caso, y si Q(t) no es idénticamente nulo, (11.123) resulta en primera aproximaci´ on 1 Q(t − r/ao ) φ(x, t) − dq [x , t − r/ao ] = − . (11.126) 4πr Ω 4πr


252

Si los resultados anteriores se aplican al caso de una distribuci´ on de fuentes monocromáticas de la forma q(x , t) = A(x )e−iωt , (11.127) la expresión (11.123) proporciona, con φ = A(x )e−iωt , 1 iωr/ao dA(x )e−iωer ·x /ao ; (11.128) Φ=− e 4πr Ω a partir de (11.128) de la intensidad ac´ ustica media en el campo lejano para una onda monocromática se obtiene directamente (11.104) como I¯r =

ρo ω 2 F (θ, ϕ), 16π 2 ao r2

(11.129)

donde θ y ϕ son las coordenadas angulares esféricas del vector x, y la funci´ on F (θ, ϕ) es el cuadrado del módulo de la integral en (11.129) y recoge las propiedades direccionales de la radiaci´ on emitida por la distribuci´ on de fuentes. Para el caso L ao /ω el factor exponencial en la integral de (11.128) puede sustituirse por 1 y F es una constante para todas las direcciones, F = | Ω dA(x )|2 . Las consideraciones anteriores se aplicarán más adelante para el cálculo del campo sonoro producido por un altavoz. Campo sonoro debido a fuentes en movimiento El problema del campo sonoro producido por fuentes en movimiento se presenta con frecuencia en la práctica, por ejemplo, en el sonido producido por los a´labes de las turbomáquinas, veh´ıculos terrestres, aviones, etc. Debido a que el problema general es bastante complicado, se considerarán aqu´ı solamente algunos aspectos elementales del mismo; se remite al lector a la literatura especializada para un tratamiento m´ as completo.12 Se analizará en lo que sigue el caso de una fuente sonora puntual de intensidad Q(t) que se mueve seg´ un una trayectoria conocida xp (t). Para el tratamiento anal´ıtico del problema resulta conveniente modelar la fuente puntual como una distribuci´ on espacial continua mediante el uso de la funci´ on δ de Dirac, de modo que el potencial sonoro creado viene dado por la integral 1 Q(τ ) dδ [x − xp (τ )] , (11.130) φ=− 4π |x − x| donde, como más arriba, se ha definido τ ≡ t − |x − x|/ao . La integral en (11.130) puede evaluarse desarrollando el argumento de la funci´ on δ en torno al punto x = x∗ (x, t) donde x∗ es la ra´ız de la ecuación x∗ − xp (t − |x∗ − x|/ao ) = 0. (11.131) De esta forma se tiene, en primera aproximación, que x − xp (τ ) [x − xp (τ ∗)] · [I − (∇ τ ) x˙ p ]x =x∗ ,

(11.132)

donde I es el tensor unidad, y se ha definido τ ∗ (x, t) ≡ t − |x∗ − x|/ao ; además, se tiene ∇ τ = e(x , x)/ao ,

(11.133)

Para evaluar la integral (11.130) es necesario calcular el determinante del tensor del segundo miembro de (11.132). Para ello, obsérvese que la d´ıada unidad se expresa en términos de tres 12 A. P. Dowling y J. E. Fowcs-Williams, Sound and Sources of Sound, Ellis Horwood Ld. Publishers, Chichester, 1983.

253


vectores ortonormales cualesquiera como I = e1 e1 +e2 e2 +e3 e3 , por lo que si se elige e1 ≡ e(x , x) el tensor en (11.133) toma la forma e1 (e1 − x˙ p /ao ) + e2 e2 + e3 e3 . Es fácil comprobar que la matriz de dicho tensor respecto de la base {ei , i = 1, 2, 3} tiene todos los elementos nulos excepto los de la diagonal principal y los de la primera fila, por lo que su determinante puede calcularse inmediatamente como det [I − (∇ τ ) x˙ p ]x =x∗ = 1 − x˙ p (τ ∗ ) · e(τ ∗ )/ao ,

(11.134)

donde se ha definido e(τ ∗ ) ≡ e[xp (τ ∗ ), x]. Teniendo en cuenta el resultado (11.134), la integral de (11.130) proporciona13 Q(τ ∗ ) 1 , (11.135) φ=− ∗ 4π|x − xp (τ )| 1 − M(τ ∗) · e(τ ∗ ) donde M = x˙ p /ao es el vector n´ umero de Mach para la fuente puntual. Para una fuente en movimiento con velocidad uniforme V en la dirección del eje x, M = ex V /ao y la expresión anterior proporciona 1 1 Q(τ ∗ ) , (11.136) φ=− ∗ 4π |x − V τ ex )| 1 − M cos θ(τ ∗ ) donde θ es el ángulo que forma el vector dirigido desde la fuente al observador con el vector del movimiento. El instante τ ∗ está dado en este caso por la ecuación τ∗ = t −

1 |x − V τ ∗ ex |, ao

(11.137)

cuya solución puede determinarse fácilmente. Es de interés determinar la diferencia entre la frecuencia percibida por el observador y la emitida por la fuente debido al movimiento de ésta (efecto Doppler). Para ello, se deriva (11.136) con respecto de t reteniendo solamente la derivada temporal Q˙ (se desprecian las derivadas temporales asociadas al movimiento de la fuente frente a las de emisión sonora) y se divide el resultado por φ; se obtiene entonces ˙ ∗) Q(τ 1 φt = , ∗ φ 1 − M cos θ(τ ) Q(τ ∗ )

(11.138)

donde se ha hecho uso de (11.137) cuya derivada temporal proporciona 1 ∂τ ∗ . = ∂t 1 − M cos θ(τ ∗ )

(11.139)

Se deduce de la ecuación (11.138) que el sonido emitido por una fuente subs´ onica monocromática de ˙ frecuencia ω = Q/Q es percibido con una frecuencia ω/(1 − M cos θ) por un observador en reposo. Para una fuente aproxim´ andose al observador desde muy lejos (θ 0) la frecuencia percibida disminuye gradualmente desde su valor máximo, ω/(1 − M ), hasta el m´ınimo, ω/(1 + M ), cuando la fuente se encuentra muy distante del observador y alej´ andose del mismo (θ π); justo cuando la fuente pasa por el observador (θ = π/2) la frecuencia percibida es igual a la emitida. Asimismo, se deduce de (11.138) que si una fuente no vibra (Q˙ = 0), y sólo ejecuta un movimiento de traslación uniforme, no se percibir´ a sonido para un observador en reposo si dicho movimiento es subs´ onico.14 −1 Si el movimiento es supersónico puede percibirse sonido en las direcciones cos θ = M , para las que el denominador en (11.138) se anula, y son precisamente las direcciones en las que se propagan las ondas de Mach, véase Cap´ıtulo 12. 13 La expresi´ on (11.135) para el potencial ac´ ustico es an´ aloga a la de los potenciales de Lienard-Wiechert que aparecen en el estudio de la electrodin´ amica de una carga eléctrica puntual en movimiento 14 Conviene indicar que el sonido que se percibe algunas veces al paso de cuerpos en movimiento uniforme subs´ onico no es producido por el cuerpo, sino por el movimiento fluctuante del aire debido al desprendimiento de torbellinos y a la turbulencia en la estela tras el cuerpo


254 Distribuciones superficiales de fuentes

En una sección posterior se usará la expresión para el potencial ac´ ustico generado por una distribuci´ on de monopolos sobre una superficie Σ cuya intensidad por unidad de superficie est´ a dada una funci´ on qs (x, t). En este caso el potencial ac´ ustico viene dado φ=−

1 4π

Σ

qs (x , τ ) dσ. |x − x |

(11.140)

La integral de superficie (11.140) puede expresarse como una integral de volumen mediante la funci´ on δ de Dirac 1 qs (x , τ ) δ [ξ(x )] d, φ=− (11.141) 4π |x − x | donde x es ahora la variable de integraci´ on espacial sobre cualquier volumen que contenga a Σ15 , qs (x ) representa cualquier extensión espacial suave de la función qs definida sobre la superficie Σ, y ξ(x ) denota la distancia (con su signo) de x a Σ. Si se aplica ahora a la expresión (11.141) el mismo razonamiento que condujo a (11.108) se obtiene la ecuación de ondas para una distribuci´ on superficial de monopolos 1 ∂2φ ∇2 φ − 2 = qs (x, t)δ[ξ(x)], (11.142) ao ∂t2 A partir de (11.142) puede obtenerse una relaci´ on (como se verá, muy u ´til) existente entre qs y el salto de la derivada normal de φ a través de la superficie Σ. En efecto, considérese el volumen ∆Ω mostrado en la Figura 11.5, que contiene al punto x de Σ y está limitado por dos superficies de área ∆Σ paralelas a Σ que pasan por los puntos x1 = x + ξ(x1 )n [ξ(x1 ) < 0] y x2 = x + ξ(x2 )n [ξ(x2 ) > 0] respectivamente,√y por una superficie lateral cuya a´rea puede despreciarse frente a ∆Σ si [−ξ(x1 ) + ξ(x2 )] ∆Σ cuando ∆Ω → 0. Integrando (11.142) en ∆Ω y despreciando infinitésimos de orden ∆Ω → 0 se obtiene mediante el teorema de Gauss ξ(x2 ) dσqs δ(ξ) = qs (x, t)∆Σ. (11.143) [−n · ∇φ(x1 , t) + n · ∇φ(x2 , t)]∆Σ = ξ(x1 )

∆Σ

n

x2 DS

x S

DW

x1

Figura 11.5: Volumen infinitesimal para la integraci´ on de (11.142). 15 Debido a la presencia de la funci´ on δ en (11.141), dicho volumen puede escogerse, por ejemplo, en forma de una rebanada arbitrariamente estrecha que contenga a Σ.

255

11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on Si se divide (11.143) por ∆Σ y se hacen tender a cero ξ(x1 ) y (x2 ) se obtiene finalmente n · ∇φ(x, t) − n · ∇φ(x, t) = qs (x, t),

x ∈ Σ,

(11.144)

donde φ denota el campo de valores del potencial ac´ ustico en la zona situada del lado de n respecto de Σ y φ el campo de valores del potencial en la zona del lado de −n. Obsérvese que sobre Σ las funciones φ y φ coinciden [φ(x, t) = φ(x, t), xΣ] de acuerdo con (11.140), pero no ocurre as´ı con sus derivadas normales, que están relacionadas por la condici´ on de salto (11.144). Finalmente, conviene indicar que los conceptos de intensidad y densidad de energ´ıa ac´ ustica direccionales y zona de radiación estudiados para una distribuci´ on volumétrica de fuentes, también son aplicables para una distribuci´ on espacial sin más que sustituir las integrales de volumen por las correspondientes de superficie. Dichos conceptos también se extienden de forma inmediata a las distribuciones de dipolos ac´ usticos consideradas en el apartado siguiente. Dipolos ac´ usticos Se denomina dipolo ac´ ustico de orientaci´ on n e intensidad G a la configuraci´ on l´ımite formada por dos fuentes puntuales situadas en los puntos x y x = x +ln de intensidades Q y −Q de forma que Q → ∞ y l → 0 mientras su producto permanece finito e igual a G, l´ım Q l = G. El potencial ac´ ustico en x resultante de la superposición de las dos fuentes es, con Q(x , t) = −Q(x , t), φ(x, t) = −

Q(x , τ ) Q(x , τ ) + , 4π|x − x | 4π|x − x |

(11.145)

donde, como antes, τ = t − |x − x |/ao y τ = t − |x − x |/ao . Desarrollando τ y |x − x|−1 en torno a x se tiene, salvo términos de orden l2 , Q(x , τ ) = Q(x , τ ) + Qτ l n · ∇ τ = Q(x , τ ) − y

1 Qτ l n · ∇ |x − x|, ao

|x − x|−1 = |x − x|−1 + l n · ∇ |x − x|−1 ,

(11.146)

(11.147)

donde ∇ denota el operador gradiente respecto de la variable x . Si (11.146) y (11.147) se sustituyen en (11.145) se obtiene φ(x, t) = −

1 1 1 1 Qτ (x , τ ) ln · ∇ |x − x | + Q(x , τ ) ln · ∇ + 0(l2 ). (11.148) 4πao |x − x | 4π |x − x |

La ecuación (11.148) sigue siendo válida en el l´ımite l → 0, Q → ∞, por lo que si se denomina lQ = G(x , τ ) y se tiene en cuenta que ∇G = Gτ ∇τ = −Gτ ∇|x − x |/ao y que ∇|x − x | = −∇ |x − x |, la ecuación (11.148) se puede escribirse de forma más compacta como

1 G(x , τ ) n·∇ . (11.149) φ=− 4π |x − x | Si ω es una frecuencia caracter´ıstica de oscilación del dipolo, entonces (11.148) puede aproximarse en el campo lejano, ω/ao |x − x |, por φ

n · er Gτ (x , τ ), 4πao |x − x |

(11.150)

on del dipolo, x , hasta el punto donde er = ∇|x − x | es el vector unitario dirigido desde la posici´ de observación x. En el caso en que la intensidad del dipolo posea una dependencia temporal de


256

la forma G(x , t) = A(x ) e−iωt , la dependencia con la frecuencia de la intensidad ac´ ustica en el campo lejano radiada por el dipolo puede calcularse f´ acilmente mediante (11.150) si se escribe φ = Φ(x)e−iωt ; se obtiene entonces Φ=−

iωA(x )n · er iω|x−x |/ao , e 4πao |x − x |

(11.151)

y la intensidad ac´ ustica a través de un elemento de superficie de orientación m situado en x está dada por ρo ω 4 |A(x )|2 (n · er )2 er · m. (11.152) I¯m = 32π 2 a3o |x − x |2 donde se ha hecho uso de (11.56). Obsérvese que el vector flujo de energ´ıa ac´ ustica en el campo lejano [que multiplica a m en (11.152)] posee dirección radial, y que la intensidad ac´ ustica var´ıa con la cuarta potencia de ω, esto es, mucho más rápidamente que para el caso del monopolo en el que la intensidad radiada aumenta con el cuadrado de ω. La configuración formada por una distribuci´ on superficial de dipolos ac´ usticos de intensidad gs (x, t) por unidad de superficie y orientados en cada punto seg´ un la normal a la superficie se denomina capa dipolar. Su campo sonoro puede calcularse mediante el principio de superposici´ on a partir de la expresi´ on (11.149) para el potencial ac´ ustico. En efecto, si Σ es la superficie sobre la que están distribuidos los dipolos, se tiene

1 gs (x , τ ) dσn , (11.153) φ(x, t) = −∇ · 4π Σ |x − x | donde n = n(x ) es la normal a Σ en el punto genérico x . De forma análoga a como se hizo para (11.140), la integral de superficie en (11.153) puede expresarse como una integral de volumen mediante la funci´ on δ de la forma

1 gs (x , τ ) dδ[ξ(x )]n , (11.154) φ(x, t) = −∇ · 4π |x − x | donde, como antes, n y gs representan ahora funciones espaciales que coinciden con los valores de la normal y de la intensidad dipolar en la superficie. Si se toman la laplaciana y la derivada segunda temporal en (11.154) y se tiene en cuenta que dichos operadores conmutan con la divergencia, se obtiene, de forma an´ aloga a (11.142), la ecuación de ondas para una distribuci´ on superficial de dipolos 1 ∂2φ ∇2 φ − 2 = ∇ · [n(x)gs (x, t)δ[ξ(x)]] . (11.155) ao ∂t2 De la ecuación anterior se deduce que, salvo infinitésimos de orden superior, el flujo del vector ∇φ − n(x)gs (x, t)δ[ξ(x)] es constante a través de cualquier sección transversal del volumen de la Figura 11.15; por tanto, para cualquier ξ se tiene ∂φ ∂φ = gs (x, t)δ(ξ), (11.156) − ∂ξ ∂ξ ξ(x1 ) y una nueva integraci´ on entre ξ = 0− y ξ = 0+ proporciona φ(x, t) − φ(x, t) = gs (x, t).

(11.157)

La ecuación (11.157) relaciona el salto experimentado por el potencial ac´ ustico en cada punto de Σ con la intensidad local de la distribuci´ on superficial de dipolos ac´ usticos.


257

F´ ormula integral de Kirchoff Los resultados anteriores permiten calcular el campo ac´ ustico en un fluido que ocupa un recinto limitado por un conjunto de superficies cerradas (una de las cuales puede estar en el infinito) sobre las que los valores del potencial y de su derivada normal son φ y ∂φ/∂n. En efecto, si n denota la normal unitaria dirigida hacia el fluido en cada punto de las superficies, una soluci´ on de la ecuación de ondas (11.142) en todo punto interior al recinto es, de acuerdo con lo visto anteriormente,

n · ∇τ φ(x , τ ) 1 1 φ(x , τ ) dσ dσn · − , (11.158) φ(x, t) = − ∇ 4π Σ |x − x | 4π Σ |x − x | donde Σ es el contorno del recinto, n el vector normal, dirigido hacia el interior del recinto, en el punto x y ∇τ denota el operador gradiente con respecto a la variable x sin tener en cuenta la dependencia de τ respecto a dicha variable (es decir, a τ constante). La ecuación (11.158), denominada f´ ormula de Kirchoff, representa el potencial ac´ ustico en el interior del recinto como superposición de los potenciales debidos a las distribuciones de monopolos y de dipolos situados sobre Σ y de intensidades n · ∇τ φ(x , τ ) y φ(x , t) respectivamente. Como se ha visto más arriba de forma general [ecuaciones (11.142) y (11.155)] las integrales en (11.158) satisfacen la ecuación de ondas en el interior de Σ; la comprobaci´ on de que (11.158) satisface, además, los valores especificados de φ y ∂φ/∂n sobre Σ es inmediata si se tiene en cuenta que cuando x tiende a un punto de la superficie, x → x , n · ∇τ φ(x , τ ) → n · ∇φ(x, t) = ∂φ/∂n, (11.159) y se hace uso de las condiciones de salto (11.144) y (11.157). Obsérvese que dichas condiciones implican entonces que para la superficie exterior de Σ, es decir, aquella que no está en contacto con el fluido, y cuya normal es −n , debe ser n · ∇φ = φ = 0, por lo que el campo ac´ ustico calculado con (11.158) debe ser nulo en la región exterior al fluido. Por tanto, los valores de φ y ∂φ/∂n sobre Σ no pueden ser arbitrarios, sino que deben satisfacer la relaci´ on

φ(x , τ ) n · ∇τ φ(x , τ ) dσ n · + = 0, dσ ∇ (11.160) |x − x | |x − x | Σ Σ si x pertenece a la región exterior al fluido. La ecuaci´ on de Kirchoff (11.158) es, por tanto, una ecuación integral para la determinaci´ on de φ. En ciertas circunstancias es posible simplificar el cálculo del potencial ac´ ustico en el interior de un recinto mediante (11.158) haciendo uso de una funci´ on auxiliar φ que es solución de la ecuación de ondas en la región exterior al recinto y que satisface en la cara exterior de Σ condiciones de contorno con valores de (−n ) · ∇τ φ y φ especificados convenientemente. Entonces, por un razonamiento análogo al del párrafo anterior, dichas condiciones de contorno deben ser tales que produzcan en cada punto interior al recinto de interés un potencial ac´ ustico nulo

n · ∇τ φ(x , τ ) φ(x , τ ) 1 1 dσ dσ n · + . (11.161) 0= ∇ 4π Σ |x − x | 4π Σ |x − x | Restando (11.158) y (11.161) se obtiene n · [∇τ φ(x , τ ) − ∇τ φ(x , τ )] 1 dσ − φ=− 4π Σ |x − x |

φ(x , τ ) − φ(x , τ ) 1 dσ n · ∇ . 4π Σ |x − x |

(11.162)

Nótese que si en (11.162) se elige, por ejemplo, φ = φ, o bien ∂φ/∂n = ∂φ/∂n, φ en el interior del recinto puede expresarse como el potencial ac´ ustico originado bien por una distribuci´ on de


258

fuentes de intensidad ∂φ/∂n − ∂φ/∂n distribuidas sobre Σ, o bien por una distribuci´ on de dipolos de intensidad φ − φ. Aunque la especificación de φ (o ∂φ/∂n) en la superficie exterior de Σ requiere la resolución del problema ac´ ustico en la región exterior para la determinaci´ on de ∂φ/∂n (o φ) sobre Σ (lo que, en general, supone la resolución de un problema tan complicado como el original), existen algunas situaciones prácticas la geometr´ıa del dominio fluido es lo bastante simple para que dicha resolución sea inmediata; en estos casos el cálculo de φ se facilita en gran medida mediante el empleo adecuado de (11.162), que es el fundamento del conocido , método de las im´ agenes. En el caso de geometr´ıas complicadas no es posible en general encontrar distribuciones ∂φ/∂n o φ que simplifiquen sustancialmente el problema, por lo que en estos casos se aplica directamente la ecuación de Kirchoff (11.158) [lo que equivale a tomar φ = ∂φ/∂n = 0 en (11.162)]. Obsérvese que

φ(x , τ ) − φ(x , τ ) φ−φ 1 1 ∂(φ − φ) (11.163) =− e(x , x) ∇ + |x − x | |x − x | ao ∂τ |x − x | y que e(x , x) = ∇|x − x | es el versor dirigido de x a x; por tanto, para puntos situados a una distancia de cualquiera de las superficies mucho mayor que la longitud de onda, |x − x | ao /ω, el comportamiento asintótico de la ecuación (11.162)es en primera aproximaci´ on,

n 1 1 ∂(φ − φ) dσ φ(x , , · ∇ φ− τ ) − ∇ τ ) + φ(x , x) , (11.164) e(x τ τ 4π Σ |x − x | ao ∂τ donde se ha despreciado la contribuci´ on del segundo sumando en el segundo miembro de (11.163). Por otra parte, para una dependencia temporal arm´ onica de la forma φ = [Φ(x)e−iωt ], (11.162) se escribe eik|x−x | 1 dσ n · [∇ Φ(x ) − ∇ Φ(x )] − Φ(x) = − 4π Σ |x − x | " ! 1 eik|x−x | dσ [Φ(x ) − Φ(x )] n · ∇ , (11.165) 4π Σ |x − x | donde k = ω/ao ; la expresión (11.165) es la base para la resolución numérica de la ecuación Helmholtz mediante el método de los elementos de contorno (11.52). Como primera aplicación de lo anterior, se usar´ a (11.165) para determinar el campo sonoro radiado por un altavoz circular de radio R insertado en una pared situada en el plano z = 0; se supondr´ a que los puntos del altavoz ejecutan oscilaciones armónicas en la dirección z de la misma amplitud, vz = [V e−iωt ], y que la pared es perfectamente r´ıgida fuera de la zona ocupada por el altavoz. Si se sustituye la pared por una distribuci´ on de fuentes [es decir, se toma Φ = Φ en (11.165)], la simetr´ıa del problema obliga a que se satisfaga la relación n · ∇Φ = −n · ∇Φ = V , con n = ez en puntos del altavoz. La ecuación (11.165) resulta entonces V eik|x−x | dσ , (11.166) Φ=− 2π Σ |x − x | donde Σ es la superficie r ≤ R ocupada por el altavoz y se ha tenido en cuenta que al ser la pared perfectamente r´ıgida se tiene n · ∇Φ = −n · ∇Φ = 0 para r > R. Si se expresan los puntos x de Σ en coordenadas polares x = r cos ϕ , y = r sen ϕ , (11.167) y el punto de observaci´ on x en coordenadas esféricas x = r sen θ cos ϕ,

y = r sen θ sen ϕ,

z = r cos θ,

(11.168)

259


y

x

q z

Figura 11.6: Campo ac´ ustico emitido por un altavoz.

se obtiene que

|x − x | = [r2 − 2rr sen θ cos(ϕ − ϕ ) + r2 ]1/2 ,

(11.169)

que sustituida en (11.166) proporciona el campo ac´ ustico en todos los puntos de la región. Si se está interesado en el campo lejano, r ao /ω y r R2 ω/ao (véase 13.150), (11.166) puede aproximarse por V ikr R 2π ikr sen θ cos(ϕ−ϕ ) Φ=− dr r e dϕ , (11.170) e 2πr o o donde se han retenido términos de orden R/r en el desarrollo de Taylor de |x−x | en la exponencial de (11.170), puesto que para frecuencias altas pueden dar lugar a desfases apreciables, como se ha se˜ nalado antes al analizar la zona de radiaci´ on de una distribuci´ on de fuentes [véase 11.121]. Las integrales en ϕ y r pueden evaluarse a partir de las funciones de Bessel de orden cero, Jo y orden uno J1 respectivamente 1 Jo (ξ) = 2π

2π iξ cos ξ

e o

dξ,

1 J1 (ξ) = ξ

ξ

ξJo (ξ)dξ;

(11.171)

o

se obtiene entonces

R2 V ikr 2J1 (kR sen θ) e . (11.172) 2πr kR sen θ La intensidad ac´ ustica media en la dirección er en el campo lejano se obtiene fácilmente de (11.172) y (11.104) como J12 (ωR sen θ/ao ) I¯r (θ) = . (11.173) (ωR sen θ/ao )2 I¯r (0) Φ=−

donde se ha normalizado la distribuci´ on de intensidades con la intensidad I(0) en θ = 0 y se ha sustituido k = ω/ao . Se observa que cuando el radio del altavoz es muy peque˜ no comparado con la longitud de onda (ωR/ao 1) el cociente en (11.173) tiende a 1 para todo valor del ańgulo θ; es decir, el pistón radia de forma unidireccional como una fuente puntual. Cuando el valor de ωR/ao aumenta, la intensidad var´ıa apreciablemente con θ (correspondiendo su máximo siempre a θ = 0) y para valores de ωR/ao > 3, 83 se anula para un ańgulo θ1 = arc sen 3,83 ao /(ωR). La región |θ| < θ1 se denomina lóbulo principal para la intensidad ac´ ustica, Figura 11.6. Para valores mayores


260

de ωR/ao aparece un segundo cero en la intensidad para un ańgulo θ2 = arc sen[7, 02 ao /(ωR)] que determina un l´ obulo secundario θ1 < |θ| < θ2 . Lóbulos de más alto orden aparecen al aumentar ωR/ao . La Figura 11.6 muestra que el máximo de intensidad correspondiente al l´ obulo secundario es del orden de 0, 05 I(0) por lo que pr´ acticamente toda la potencia ac´ ustica emitida por el altavoz está contenida dentro de un cono de ańgulo θ1 ∼ λ/R (obsérvese que θ1 1 para λ/R 1). F´ısicamente, los resultados anteriores pueden explicarse si se tiene en cuenta la diferencia de recorrido de las ondas emitidas por los diferentes elementos de superficie del altavoz hasta llegar a los puntos de la semiesfera de radio r R. Cuando dicha diferencia es mucho menor que λ (R λ) las ondas llegan en fase a todos los puntos de la semiesfera pudiéndose considerar por tanto el altavoz como una fuente puntual. Sin embargo, cuando la diferencia de recorrido (cuyo efecto se acent´ ua al aumentar θ) es del orden de λ, es decir, si λ ∼ R, se produce un desfase importante entre las ondas que hace que interfieran destructivamente en puntos situados fuera del eje. Finalmente, si λ R la interferencia es prácticamente total excepto para puntos situados sobre rectas que forman ángulos muy peque˜ nos θ ∼ λ/R con el eje. Como aplicación pr´ actica del análisis anterior, conviene indicar que el aumento de direccionalidad que acompa˜ na a un aumento de la frecuencia produce grandes variaciones espaciales en las intensidades relativas de los sonidos de baja y alta frecuencia generados por un altavoz. En recintos de dimensiones moderadas este efecto no es muy importante a menos que las paredes tengan un alto coeficiente de absorción, ya que las paredes reflejan el sonido radiado y redistribuyen espacialmente su intensidad haciéndola pr´ acticamente uniforme. Sin embargo, cuando se usan sistemas de sonido en exteriores o en auditorios grandes el efecto de las paredes es peque˜ no y para obtener una distribuci´ on uniforme de las componentes de alta frecuencia puede ser necesario emplear un sistema de altavoces orientados en diferentes direcciones. Finalmente, se aplicará la ecuación (11.165) al estudio de la dispersi´ on (scattering en la literatura anglosajona) de una onda sonora monocrom´ atica de frecuencia ω por un objeto situado en el seno del fluido. Considérese una onda plana monocromática que incide sobre un objeto como se indica en la Figura 11.7. El objeto dispersa la onda plana incidente en todas direcciones, por lo que en un punto cualquiera del dominio fluido el potencial ac´ ustico puede expresarse como la superposición del correspondiente a la onda incidente y el de la perturbaci´ on ac´ ustica que introduce el objeto,

x

q

A ie i k z

z

Figura 11.7: Dispersión de una onda plana por un objeto.

Φ = Ae eikz + Φs ,

(11.174)

donde k = ω/ao , Ae es la amplitud de la onda incidente, cuya direcci´ on de propagaci´ on se ha tomado seg´ un el eje z, y Φs es el potencial ac´ ustico correspondiente a la onda dispersada; la ecuaci´ on para

261

11.1. Ondas sonoras. Introducci´ on Φs se obtiene sustituyendo (11.171) en la ecuación de Helmholtz (11.52), que proporciona ∇2 Φs +

ω2 Φs = 0. a2o

(11.175)

Para simplificar el problema se supondr´ a que la masa del objeto es lo suficientemente grande como para despreciar las aceleraciones inducidas por la presión ac´ ustica y, por tanto, la superficie del objeto permanece inmóvil bajo la influencia de la onda incidente; en la superficie Σ del objeto se impondr´ a, por tanto, que n · ∇Φ = 0, o si se usa (11.174), la condición equivalente n · ∇Φs = −ikn · ez eikx·ez ,

x ∈ Σ.

(11.176)

on ac´ ustica debe Otra condición de contorno para Φs se obtiene imponiendo que la perturbaci´ anularse lejos del objeto Φs → 0, |x| → ∞. (11.177) La solución de (11.175)-(11.177) puede expresarse en forma integral mediante (11.165)

eik|x−x | dσ n · ez eikx ·ez − | |x − x Σ " ! 1 eik|x−x | dσ Φs (x )n · ∇ , 4π Σ |x − x |

ikAe Φs = 4π

(11.178)

donde se han tomado Φs = n · ∇Φs = 0, puesto que en este caso la geometr´ıa del problema no sugiere de forma directa valores de estas cantidades que simplifiquen el análisis. La solución de la ecuación integral (11.178) puede encontrarse sin mucha dificultad en el l´ımite en que la dimensión caracter´ıstica del objeto, L, es mucho menor que la longitud de onda, esto es, k|x | ∼ kL 1 con el origen de coordenadas supuesto situado en el interior del objeto. En efecto, en dicho l´ımite puede aproximarse eikx ·ez 1 + ikx · ez + 0(k 2 |x |2 ), (11.179) y para distancias del objeto |x − x | L se tiene también ikr eikr eik|x−x | e · − x + 0(k 2 |x |2 ), ∇ |x − x | r r

(11.180)

donde r = |x| es la distancia del punto x al origen de coordenadas. Si se sustituyen (11.179) y (11.180) en (11.178), se tiene en cuenta que el objeto es cerrado ( Σ dσ n = 0) se obtiene finalmente k 2 Ae eikr dσ n · ez x · ez − Φs = − 4π r Σ ikr

e 1 ∇ · ikAe dσ x n · ez + dσn Φs (x ) . 4π r Σ Σ

(11.181)

Las dos primeras integrales del segundo miembro de (11.181) pueden evaluarse fácilmente si se tiene en cuenta que dσn x = d∇ x = ΩI; (11.182) Σ

Ω

por otra parte, puesto que ez ez : I = 1 y ez · I = ez , se obtiene

ikr e 1 2 1 dσ n Φs (x ) . ∇ · ikΩAe ez + Φs = − k Ae Ωeikr − 4πr 4π r Σ

(11.183)


262

Para evaluar la integral restante en (11.183) debe tenerse en cuenta que a distancias L del objeto muy peque˜ nas comparadas con la longitud de onda, la ecuaci´ on de Helmholtz (11.175) puede aproximarse por la ecuación de Laplace ∇2 Φs = 0,

(11.184)

y que la condición de contorno (11.176) puede aproximarse, salvo términos de orden kL 1, por n · ∇Φs = −ikAe n · ez ,

x ∈ Σ.

(11.185)

∼

∼

Si se escribe Φs = ikAe Φs , se observa que Φs , y, por tanto, la integral de superficie depende solo de la geometr´ıa del objeto y no de las caracter´ısticas de la onda incidente. Por ejemplo, para el caso de una esfera de radio R, el problema (11.184) y (11.185) se escriben en coordenadas esféricas ! ! ∼ " ∼ " ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ Φ Φ s s r2 + 2 sen θ = 0, (11.186) r2 ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ ∼

∂ Φs = − cos θ, r = R, (11.187) ∂r donde naturalmente se ha tomado el origen de coordenadas en el centro de la esfera y se ha tenido en cuenta que el problema presenta simetr´ıa de revoluci´ on alrededor del eje z. Este problema admite solución en variables separadas de la forma Arn cos θ, donde el valor de n se determina sustituyendo ∼ dicha expresión en (11.186)-(11.187) e imponiendo que Φs decrezca con r, lo que proporciona ∼

Φs = Por tanto,

Ae R3 dσn Φs = ik 2 Σ

R3 cos θ . 2 r2

r=R

dσn

(11.188)

2 cos θ = πR3 ikAe ez , r2 3

(11.189)

donde, para evaluar la integral, se ha usado la expresi´ on n = cos θez +sen θ(cos φex +sen φey ) para la normal unitaria a la esfera. Si se sustituye (11.189) en (11.183) y se consideran puntos situados a distancias del cuerpo grandes comparadas con la longitud de onda, de forma que ∇(eikr /r) ikeikr /r, se obtiene finalmente

ikr 3 e Ae k 2 1 − cos θ , (11.190) Φs = − 3 2 r donde cos θ = er · ez es el coseno del ángulo que forma el radio vector del punto de observaci´ on x = rer con la dirección de propagaci´ on z. La energ´ıa ac´ ustica dispersada que atraviesa en la unidad de tiempo un elemento de superficie dσ de orientaci´ on er y situado en el punto (r, θ, ϕ) es ρo ω ρo |Ae |2 ω 6 R6 (Φ∗s er · ∇Φs )dσ = dEs = 2 18a5o

2 3 dσ 1 − cos θ , 2 r2

(11.191)

donde se ha hecho k = ω/ao . La secci´ on diferencial de dispersi´ on en la dirección (θ, ϕ), σ ¯ , se define como la relación entre r2 dEs /dσ y la intensidad ac´ ustica incidente ρo ω 2 |Ae |2 /2ao , es decir, σ ¯=

R6 ω 4 dEs = do 9a4o

2 3 1 − cos θ , 2

(11.192)

263


donde do = dσ/r2 es el elemento de ángulo sólido en la dirección considerada. La sección total ¯ se obtiene integrando (11.192) sobre la esfera de radio unidad, para la que do = de dispersión σ sen θdϕdθ; se obtiene entonces 7 πR6 ω 4 ¯= . (11.193) σ 9 a4o Obsérvese en (11.192) que la dispersión es mayor en direcciones contrarias a la de propagación y que su valor aumenta muy r´ apidamente con la frecuencia.16 El caso opuesto al considerado aqu´ı , es decir, cuando la longitud de onda es peque˜ na comparada con las dimensiones del objeto, es dif´ıcil de tratar anal´ıticamente. No obstante, puede inferirse que en la parte frontal del objeto (θ > π/2) y a distancias de los bordes grandes comparadas con la longitud de onda, la teor´ıa de la ac´ ustica geométrica, considerada más adelante, y seg´ un la cual el sonido se propaga a lo largo de rayos, es válida y la dispersi´ on del sonido puede considerarse como simple reflexión de los rayos incidentes en la superficie del objeto. Por tanto, la contribuci´ on de esta zona a la sección total de dispersión es simplemente la proyección S del área del objeto sobre un plano perpendicular a la direcci´ on de propagación. Detrás del objeto se forma una zona de silencio (análoga a la zona de sombra en el caso de la luz), de bordes muy definidos, que aparece debido a la destrucci´ on por interferencia del campo incidente por las ondas dispersadas en la zona de la superficie del objeto muy cercana a los bordes, donde los efectos de difracción (no tenidos en cuenta en la teor´ıa geométrica) son importantes; se deduce que esta zona debe dispersar una energ´ıa igual a la energ´ıa total incidente sobre el objeto, es decir, su contribuci´ on a σ es también S. Por tanto, en el caso de altas frecuencias la sección total de dispersión es σ = 2S.

11.1.6.

Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on t´ ermica en la propagaci´ on de ondas sonoras

Como se demostró en 12.1, los efectos de viscosidad y de conducción térmica en las ondas sonoras son despreciables cuando act´ uan sobre tiempos caracter´ısticos del orden del periodo t´ıpico de la onda [véase (11.2)]. Sin embargo, dichos efectos poseen un carácter secular, es decir, se acumulan con el tiempo, y terminan por atenuar completamente la onda cuando ésta ha recorrido una distancia suficientemente grande. Para analizar la influencia de los fen´ omenos de viscosidad y de conducción de calor en la propagaci´ on del sonido se considerará aqu´ı una situaci´ on unidimensional, de manera que no se presente el efecto de atenuación debido a la divergencia esférica (cuyo efecto es mucho mayor que el de los fenómenos disipativos en el caso, usual en la práctica, de la propagación tridimensional de ondas sonoras). En este caso, considerando peque˜ nas perturbaciones de las variables fluidas respecto a la situación de reposo, las ecuaciones linealizadas de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa interna se escriben ∂ρ ∂u + ρo = 0, ∂t ∂x 2 ∂ u ∂u ∂ρ 4 µ + µv , =− + ρo ∂t ∂x 3 ∂x2 ρo cv

∂T ∂u ∂2T , = −po +k ∂t ∂x ∂x2

(11.194)

(11.195)

(11.196)

16 Un fen´ omeno an´ alogo al considerado aqu´ı tiene lugar en la dispersi´ on de la luz solar (ondas electromagnéticas) por las moléculas del aire atmosférico. En el espectro visible la longitud de onda es mayor que el tama˜ no de las moléculas de aire (fundamentalmente 02 y N2 ), y la teor´ıa expuesta aqu´ı se aplica; el azul del cielo pone de manifiesto c´ omo el aire dispersa m´ as eficientemente las frecuencias m´ as altas del espectro visible (azul).


264

donde µ, µv y k son los coeficientes de viscosidad y de conductividad térmica del gas, que se han supuesto independientes de la temperatura. A las ecuaciones (11.194)-(11.196) debe a˜ nadirse la ecuación de estado del gas, cuya linealización para peque˜ nas perturbaciones proporciona p = Rg(To ρ + ρo T ).

(11.197)

Para simplificar los cálculos que siguen, es conveniente escribir (11.194)-(11.197) en forma adimensional. Para ello se consideran un tiempo caracter´ıstico to (que se especificará más adelante), una longitud caracter´ıstica Lo = ao to donde ao es la velocidad del sonido del medio en reposo, y las variables y los par´ ametros adimensionales t∗ = t/to , p∗ = p /γpo ,

x∗ = x/(ao to ), ρ∗ = ρ /ρo ,

P r = (4/3µ + µv )cv /k,

u∗ = u/ao ,

T ∗ = T /(γ − 1)To ,

= (4/3µ + µv )/(ρo a2o to ),

(11.198)

de modo que las ecuaciones (11.194)-(11.197) se escriben ∂u∗ ∂ρ∗ + = 0, ∂t∗ ∂x∗ ∂u∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ = − + , ∂t∗ ∂x∗ ∂x∗2 2 ∗ ∂T ∗ ∂u∗ −1 ∂ T = P r − , ∂t∗ ∂x∗2 ∂x∗ p∗ = ρ∗ /γ + (γ − 1)T ∗ /γ.

(11.199) (11.200) (11.201) (11.202)

Considérense ahora soluciones de (11.199)-(11.202) en forma de ondas monocromáticas de una frecuencia dada ω. Si se hace entonces to = 1/ω, dichas soluciones se escriben en variables adimensionales ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ u∗ = Aei(k x −t ) , T ∗ = Bei(k x −t ) , ρ∗ = Cei(k x −t ) , (11.203) umero de onda adimensional. La relaci´ on entre las amplitudes complejas donde k ∗ = kao /ω es el n´ A, B y C as´ı como los valores posibles de k ∗ deben determinarse de las ecuaciones (11.199)-(11.202). En efecto, sustituyendo en éstas las expresiones (11.203) se obtiene C = k ∗ A,

(11.204)

(k ∗2 − iγk ∗2 − γ)A + (γ − 1)k ∗ B = 0,

(11.205)

k ∗ A − (1 + ik ∗2 P r−1 )B = 0.

(11.206)

Para que el sistema homogéneo (11.204)-(11.206) admita soluciones distintas de la trivial es necesario que el determinante de sus coeficientes sea nulo iP r−1 (1/γ − iγ)k ∗4 + k ∗2 [1 − i(1 + P r−1 ] − 1 = 0;

(11.207)

dicha condici´ on proporciona la relaci´ on de dispersión k ∗ = k ∗ () [es decir, k = k(ω)] que permite conocer los n´ umeros de onda que pueden propagarse para la frecuencia dada ω. La ecuación bicuadr´ atica (11.207) puede resolverse sin dificultad para cualquier valor de . No obstante, se considerar´ a aqu´ı solamente el l´ımite 1 que es de interés en la práctica. Obsérvese que la solución de (11.207) para = 0 es ko∗ = ±1 (o ko = ±ω/ao ), que corresponde a ondas planas no amortiguadas de la forma eiω(t±x/ao ) . Cuando es peque˜ no puede escribirse k ∗ = ko∗ + k1∗ + 2 k2∗ ,

(11.208)

265


y resolver (11.207) mediante un esquema de perturbaciones. En efecto, sustituyendo (11.208) en (11.207) e igualando sucesivamente los términos correspondientes a potencias idénticas de se obtiene ko∗ = ±1, (11.209) k1∗ = k2∗ = −

i [1 + (γ − 1)/γP r−1 ], 2ko∗

1 {1 + [1 + (γ − 1)/γP r−1 ][3/4 + P r−1 (3γ − 7)/4γ]}. 2ko∗

(11.210) (11.211)

Sustituyendo (11.209)-(11.211) en (11.208) y teniendo en cuenta las definiciones de , P r y k ∗ se obtiene finalmente k = ±ω[1 − β(ν/ωa2o )2 ]/ao ± iη ≡ ±(kr + iη), (11.212) donde se han definido los siguientes par´ ametros η=

ω2 [4/3µ + µv + (1/cv − 1/cp )k], 2a3o ρo

ν = (4/3µ + µv )ρo

(11.213)

y 1 {1 + [1 + P r−1 (γ − 1)/γ][3/4 + P r−1 (3γ − 7)/4γ]}. 2 La solución de (11.194)-(11.197) puede escribirse, por tanto, de la forma β=

u = A1 e−ηx eikr (x−ao t) + A2 eηx e−ikr (x+ao t) ,

(11.214)

(11.215)

con expresiones análogas para T y ρ que involucran constantes B1 , B2 y C1 , C2 respectivamente, [ver (11.203)]. Las relaciones entre las amplitudes A1 , B1 y C1 deben hallarse resolviendo (11.204)(11.206) para el valor de k correspondiente al signo positivo en (11.212); la relaci´ on entre A1 , B2 y C2 se obtiene de forma análoga con el valor de k correspondiente al signo negativo. Los dos sumandos en (11.215) representan ondas planas viajeras en las direcciones de x creciente y x decreciente respectivamente, cuya amplitud decrece con la distancia recorrida de acuerdo con la ley e±ηx (su intensidad, por tanto, decrece de la forma e±2ηx ) donde el coeficiente η está dado por (11.213) y se denomina coeficiente de absorci´ on de la onda. Obsérvese que los efectos disipativos modifican la velocidad de propagaci´ on de la onda, que se obtiene a partir de (11.215) como ao ao [1 + (ν/ωa2o )2 β]. 1 − (ν/ωa2o )2 β

(11.216)

Las ondas cuya velocidad de propagaci´ on depende de la frecuencia se denominan dispersivas. Por tanto, los efectos disipativos originan una dispersi´ on (distorsión) de las ondas sonoras (la velocidad de propagación crece al aumentar la frecuencia), aunque debido a la peque˜ nez del parámetro ν/ωao , la distorsión del sonido sólo es apreciable a distancias muy grandes de la fuente, quedando dicho efecto enmascarado en la práctica por la atenuaci´ on debida a la divergencia esférica.

11.1.7.

Ondas sonoras en medios no homog´ eneos en movimiento

Hasta ahora se ha considerado la propagaci´ on del sonido en un medio en el que, en ausencia de perturbaciones sonoras, la presión y la densidad son uniformes y la velocidad nula. Sin embargo, existen circunstancias en las que es necesario considerar la influencia de las variaciones espaciales y/o temporales de las variables fluidas del medio sin perturbar en la propagaci´ on del sonido, en particular cuando ésta se desea analizar sobre grandes distancias como sucede en algunas aplicaciones en la atmósfera y en la ac´ ustica subacuática. En esta sección se formular´ an primero las


266

ecuaciones que gobiernan la propagaci´ on sonora para un medio no homogéneo en movimiento y, seguidamente, se estudiará un procedimiento para calcular su soluci´ on aproximada en el l´ımite denominado ac´ ustica geométrica, que se obtiene cuando las longitudes de ondas y periodos t´ıpicos de oscilación en las ondas sonoras son mucho menores que las longitudes y tiempos caracter´ısticos de variaci´ on de las variables del medio sin perturbar; el procedimiento para encontrar la soluci´ on aproximada del problema se conoce como el método del trazado de rayos (ray tracing en la literatura anglosajona) y se emplea también en otros campos de la f´ısica ondulatoria tales como la óptica (propagaci´ on de ondas electromagnéticas), sismolog´ıa, etc. Las ecuaciones que gobiernan la propagación del sonido en el medio pueden obtenerse expresando las variables fluidas como suma de las correspondientes al medio sin perturbar, denotadas con sub´ındice cero, y de las las perturbaciones ac´ usticas, denotadas con prima, en la forma u = uo + u , p = po + p , ρ = ρo + ρ .

(11.217)

Para simplificar el an´ alisis, se supondrá que los efectos de fricción y de conducción y adici´ on de calor son despreciables tanto en el movimiento sin perturbar como en el campo sonoro, de manera que las variables fluidas (11.217) satisfacen las ecuaciones de Euler (11.3)-(11.5); se supondr´ a, además, que todas las part´ıculas fluidas poseen inicialmente la misma entrop´ıa, por lo que se verifica que p = Cργ donde C es una constante. El sistema no lineal de ecuaciones que determina las variables no perturbadas se obtiene introduciendo las expresiones (11.217) en las ecuaciones de Euler y despreciando términos del orden de las perturbaciones, lo que proporciona Dρo + ρo ∇ · uo = 0, Dt

Duo 1 + ∇po = 0, Dt ρo

po = Cρo γ .

(11.218)

Para obtener las ecuaciones para las perturbaciones ac´ usticas obsérvese primero que si se linealiza la relación isentr´ opica, po + p = C(ρo + ρ )γ ∼ Cργo (1 + γρ /ρo + ...) , y se hace uso de la u ´ltima de las relaciones en (11.218) se obtiene p = a2o ρ , (11.219) que es idéntica a la obtenida en la Sección 1 para un medio uniforme en reposo. Si se retienen ahora los términos lineales en las perturbaciones en las ecuaciones de Euler de continuidad y de cantidad de movimiento y se hace uso de las relaciones (11.218)- (11.219) se obtiene el sistema Dp p D(ρo a2o ) − + u · ∇po + ρo a2o ∇ · u = 0 Dt ρo a2o Dt

(11.220)

Du 1 p − 2 2 ∇po + u · ∇uo + ∇p = 0 , Dt ρo ao ρo

(11.221)

donde el operador derivada sustancial se ha definido como ∂ D ≡ + uo · ∇. Dt ∂t

(11.222)

Por tanto, conocidas las variables fluidas en el medio sin perturbar de la integraci´ on de (11.219), las ecuaciones (11.220)-(11.221) constituyen un sistema lineal de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con coeficientes variables que determina el campo sonoro, p y u . Otra ecuación de interés es la que gobierna la energ´ıa ac´ ustica por unidad de volumen w=

p2 1 , ρo u2 + 2 2ρo a2o

(11.223)

267


que se obtiene fácilmente si se suman las ecuaciones resultantes de multiplicar (11.220) por p y (11.221) escalarmente por u ; haciendo uso repetido de (11.218) y (11.219) resulta ∂w p2 Dao + ∇ · (w uo + p u ) = −ρo u u : ∇uo + . ∂t ρo a3o Dt

(11.224)

La ecuación (11.224) expresa el balance entre la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa ac´ ustica contenida en la unidad de volumen, el flujo de energ´ıa ac´ ustica que abandona dicha unidad de volumen debido a la propagaci´ on de las ondas sonoras (término p u ) y a la convección con el movimiento no perturbado (término wuo ), y los términos del segundo miembro, que representan el intercambio de energ´ıa entre las perturbaciones ac´ usticas y el medio sin perturbar cuando éste es no-uniforme y/o no estacionario; esta interacción entre el sonido y el medio en el cual se propaga da lugar al conocido efecto de refracción de las ondas sonoras. El sistema de coeficientes variables (11.220)-(11.221) resulta, en general, demasiado complicado como para admitir una soluci´ on anal´ıtica. Además, su integración numérica directa puede ser muy costosa, especialmente cuando la longitud de onda t´ıpica de las ondas ac´ usticas sea tan peque˜ na comparada con las dimensiones de la región de interés que se requiera un mallado extremadamente fino para la resoluci´ on del campo sonoro. No obstante, en muchos casos prácticos se verifica que la longitud y el tiempo caracter´ısticos para variaciones en el medio sin perturbar son muy grandes comparados con la longitud de onda y periodo t´ıpicos de las ondas sonoras, esto es, se tiene λo

1 |∇ψo | 1 ψo

y

1 1 ∂ψo 1, ωo ψo ∂t

(11.225)

donde ψo representa cualquier variable del medio no perturbado y λo y 1/ωo son una longitud y un periodo t´ıpicos de las ondas. Como se se˜ nal´ o al principio de esta sección, las condiciones (11.225) corresponden al l´ımite de la ac´ ustica geométrica y permiten aplicar un procedimiento eficiente para la resolución aproximada de (11.220)-(11.221): el método de trazado de rayos. En efecto, se vio en 11.1.3 que en el caso de un medio homogéneo y estacionario la ecuación (11.19) admite soluciones en la forma de ondas planas Aeiα , con una fase α = k · x − ωt, y con valores constantes de la amplitud A, del vector de onda, k = ∇α, y de la frecuencia, ω = −αt = kao . Este hecho sugiere que para un medio lentamente variable definido por las condiciones (11.225) las ecuaciones (11.220)-(11.221) admiten soluciones correspondientes a ondas localmente planas, de la forma u = A(x , t)eiα(x ,t)

y

p = B(x, t)eiα(x,t) ,

(11.226)

donde ahora la frecuencia y el vector de onda, definidos por ω(x, t) ≡ −αt

y

k(x, t) ≡ ∇α,

(11.227)

y las amplitudes, A y B, son funciones lentamente variables de la posición y del tiempo. La relación de dispersión se obtiene en este caso introduciendo (11.226) en (11.220)-(11.221) y despreciando términos proporcionales a las derivadas de las amplitudes frente a los proporcionales a las derivadas de la fase, |αt | (|At |, |Bt |) y |αxi | (|Axi |, |Bxi |). Resulta entonces el sistema de ecuaciones A(αt + uo · ∇α) +

1 B∇α 0, ρo

B(αt + uo · ∇α) + ρo a2o A · ∇α 0;

(11.228) (11.229)

como es bien conocido, (11.228)-(11.229) poseen solución distinta de la trivial para A y B sólo si el determinante de los coeficientes es nulo, lo que dicha condición proporciona la relaci´ on de dispersión (ω − k · uo )2 − a2o k 2 = 0, (11.230)


268

donde se han usado de las definiciones (11.227). La relaci´ on que debe existir entre las amplitudes se obtiene ahora al resolver, por ejemplo, (11.228) [la relaci´ on de dispersión asegura entonces que la ecuación (11.228) se verifica trivialmente], A=

Bk . ρo (ω − k · uo )

(11.231)

Obsérvese que la relación de dispersión (11.230) admite dos tipos de soluciones, o ramas, cada una definida por uno de los dos signos en la relaci´ on ω = uo · k ± ao k.

(11.232)

Cada rama en (11.232) da lugar a una ecuaci´ on no lineal en derivadas parciales de primer orden para determinar la fase α(x, t) del correspondiente modo, y su integraci´ on puede efectuarse mediante el conocido método de las caracter´ısticas. En efecto, si cada una de las relaciones (11.232) se denota genéricamente por ω = Ω(x, t, k) (11.233) y se definen los rayos (curvas caracter´ısticas) mediante la ecuación17 dx = ∇k Ω, dt

(11.234)

la derivada total de (11.234) a lo largo de cada rayo proporciona la ecuaci´ on dk dx dω = · ∇k Ω + · ∇x Ω + Ω t . dt dt dt

(11.235)

Evidentemente, la ecuación (11.235) se verifica si el vector de onda y la frecuencia se determinan sobre cada rayo mediante las ecuaciones18 dk = −∇x Ω, dt

(11.236)

dω = Ωt . (11.237) dt La integraci´ on del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (11.234) y (11.236)-(11.237) permite determinar a lo largo de cada rayo los valores de k y ω y, por tanto, los de la fase α, si se conoce esta u ´ ltima en el instante inicial. En efecto, dado α(x, 0) ≡ αo (x) o, lo que es lo mismo, k(x, 0) ≡ ko = ∇αo , y si se lleva a cabo la integración partiendo de unas de unas condiciones iniciales t = 0 : x = xo , k = ko (xo ), ω = ωo (xo ) ≡ Ω(xo , 0, ko ), (11.238) se determinan para cualquier instante t > 0, x = x(xo , t), k = k [ko (xo ), t] , ω = ω(xo , t), y

α(xo , t) = αo (xo ) +

(11.239)

x

xo

k · dx.

(11.240)

17 Un sub´ ındice en el operador ∇ indica la derivada de (11.233) respecto a las variables del sub´ındice manteniendo las dem´ as constantes. 18 Las ecuaciones (11.234) y (11.237) son formalmente id´ enticas a las ecuaciones de Hamilton para la din´ amica de una part´ıcula con una funci´ on hamiltoniana Ω con los vectores posici´ on y momento de la part´ıcula representados por x y k. En la mec´ anica cu´ antica, dicha dualidad onda-part´ıcula, apuntada primero por De Broglie, fue decisiva para la formulaci´ on de la ecuaci´ on Schr¨ odinger.

269


Si se elimina ahora el punto inicial de la primera de las relaciones (11.239), xo = xo (x, t), y se sustituye en las restantes y en (11.240) se obtienen finalmente k = k(x, t),

ω = ω(x, t),

α = α(x, t).

(11.241)

Las amplitudes A(x, t) y B(x, t) en (11.226) pueden obtenerse también mediante integraci´ on a lo largo de los rayos usando la ecuación de la energ´ıa ac´ ustica (11.224). A continuaci´ on se ilustrará el procedimiento para la familia de rayos correspondiente a la rama de la relaci´ on de dispersión ω = uo · k + ao k en (11.230); el tratamiento para la otra rama es idéntico. Para ello, es conveniente primero expresar B y A en términos de una nueva variable ξ de la forma ˆ B = 2ρo ao ξ(k, x, t) y A = 2/ρo ξ(k, x, t)k, (11.242) ˆ es el versor unitario en la dirección de k y se ha hecho uso de (11.231)-(11.232); obsérvese donde, k también que, por generalidad, se ha 1incluido dependencia expl´ıcita con respecto 1 2 en ξ una posible 2 a k = k(x, t). Puesto que p = Re B eiα y u = Re A eiα , la densidad de energ´ıa ac´ ustica correspondiente al modo (11.242) promediada sobre un volumen y un intervalo de tiempo grandes comparados con la longitud de onda y el periodo t´ıpicos de las ondas pero, a su vez, peque˜ no para poder despreciar variaciones de las variables no perturbadas, est´ a dada por w(k, x, t) =

1 1 p2 + ρo u2 = |ξ(k, x, t)|2 , 2 2 ρo ao 2

(11.243)

donde se ha hecho uso de (11.242). Asimismo, el valor medio del vector intensidad ac´ ustica es ˆ p u = ao kw,

(11.244)

y los valores medios de los productos de perturbaciones que figuran en el segundo miembro de la ecuación (11.224) resultan w ˆˆ p2 k, u u = k = w. (11.245) ρo ρo a2o Si se promedia la ecuación (11.224) haciendo uso de los resultados (11.243)-(11.245) se obtiene ∂w ˆk ˆ : ∇uo + w 1 Dao . ˆ = −wk + ∇ · (wuo + wao k) ∂t ao Dt

(11.246)

El segundo término del primer miembro de (11.246) indica que la energ´ıa ac´ ustica media se propaga ˆ que, precisamente, coincide con el valor de ∇k Ω para Ω = uo · k + ao k. con la velocidad uo + ao k En general, se define la velocidad de grupo como cg (k, x, t) ≡ ∇k Ω,

(11.247)

y representa la velocidad con que se propaga la densidad de energ´ıa ondulatoria media, w; obsérvese en (11.234) que los rayos son tangentes en cada punto a la velocidad de grupo, luego definen también las trayectorias sobre las que se propaga w. Desarrollando el primer miembro de (11.247) y agrupando términos se obtiene dw ˆk ˆ : ∇uo − 1 Dao , + w∇ · cg = −w k (11.248) dt ao Dt donde se ha definido el operador derivada total siguiendo el rayo como ∂ d ≡ + cg · ∇. dt ∂t

(11.249)


270

En las derivadas parciales temporales y espaciales que aparecen en (11.248) (11.249) debe tenerse en cuenta la dependencia expl´ıcita e impl´ıcita [a través de k = k(x, t)] de las variables w(k, x, t) y cg (k, x, t) con respecto de t y de x . La ecuación (11.249) puede integrarse conjuntamente con las del trazado de rayos (11.234) y (11.236)-(11.237) para determinar la evoluci´ on a lo largo de los mismos de la densidad de energ´ıa ac´ ustica media y, con ella, de la amplitud de las perturbaciones en (11.242), |ξ| = w1/2 . La ecuación (11.249) puede escribirse en una forma m´ as compacta, y también más sugerente desde el punto de vista f´ısico, si se tiene en cuenta que multiplicando la ecuación dk = ∇x Ω = −(∇uo ) · k − k∇ao dt ˆ se obtiene la ecuación para el módulo del vector de onda por el versor k

dk ˆ · ∇ao ; ˆk ˆ : ∇uo + k = −k k dt

(11.250)

(11.251)

si (11.251) se combina ahora con la relación ∂ao ∂ao dao ˆ · ∇ao , ≡ + cg · ∇ao = + (uo + ao k) dt ∂t ∂t

(11.252)

se obtiene la ecuación que gobierna la frecuencia ω = ao k de la onda para un observador que se mueve con la velocidad uo , 1 Dao dω ˆˆ = ω kk : ∇uo − . (11.253) dt ao Dt Haciendo uso de (11.253) en (11.248) se obtiene finalmente que w w ∂ w d w + ∇ + ∇ = 0. c · c · = g g dt ω ω ∂t ω ω

(11.254)

La ecuación (11.254) es una ecuación de conservación para la denominada densidad de acci´ on de onda, w/ω , para un observador que se mueve con la velocidad del medio no perturbado. El significado f´ısico de (11.254) está ´ıntimamente ligado al conocido resultado de la mecánica de part´ıculas que establece la conservación de la acción para una part´ıcula sometida a una perturbaci´ on exterior adiab´ atica, esto es, lentamente variable; se dice entonces que la acción es un invariante adiab´ atico de la part´ıcula. La ecuación (11.248) proporciona la densidad de energ´ıa ac´ ustica media para un u ńico modo. En general, el campo sonoro en el dominio fluido no constar´ a solamente de un modo, sino que, localmente, será una superposición continua de modos similar a la integral de Fourier que se utiliza para analizar la propagaci´ on de ondas en un medio infinito y homogéneo. En vez de (11.242) se tiene entonces 3 p (x, t) = 2ρo ao d3 k ξ(k, x, t)eiα(k,x,t) , (11.255) y

3 ˆ ξ(k, x, t)eiα(k,x,t) , d3 k k u (x, t) = 2/ρo

(11.256)

donde k = k(x, t) es el vector de onda local. Al elevar al cuadrado cada una de las expresiones (11.252) y (11.253) y promediar sobre un tiempo y un volumen de dimensiones caracter´ısticas grandes frente a las asociadas a las ondas pero peque˜ nas comparadas con las asociadas a las variaciones del medio no perturbado se anula el efecto de la interferencia entre los distintos modos y, por tanto, puede despreciarse la contribuci´ on a w de productos de amplitudes correspondientes

271


a diferentes vectores de onda y frecuencias. La densidad de energ´ıa ac´ ustica media en (x, t) resulta, por tanto, una superposici´ on de las asociadas con cada uno de los modos 1 p2 1 2 w(x, t) = + ρo u = |ξk (x, t)|2 d3 k, (11.257) 2 ρo a2o 2 donde, para simplificar notaci´ on, la dependencia de ξ con k se ha denotado por un sub´ındice. Obsérvese que |ξk (x, t)|2 d3 k representa la contribuci´ on a w(x, t) de la energ´ıa contenida en los modos cuyo vector de onda está comprendido en el elemento de volumen infinitesimal d3 k que contiene a k y, por tanto, es apropiado introducir la notaci´ on |ξk |2 ≡ wk en lo que sigue. Por otra parte, es fácil comprobar que la relación (11.243) y (11.245) que expresan p u , ρo u u y p2 como funciones de w siguen siendo válidas. La ecuación que determina las amplitudes |ξk (x, t)| a lo largo de los rayos se obtiene de promediar (11.224) haciendo uso de (11.243)-(11.245) y sustituir en la ecuación resultante la integral de (11.257) por w. Efectuando las derivadas e igualando los integrandos en ambos miembros se obtiene 1 Dao 1 d(d3 k) dwk ˆ ˆ + w k ∇ · cg + w k 3 = −wk kk : ∇uo − . (11.258) dt d k dt ao Dt La ecuación (11.258) es idéntica a la ecuación (11.248) excepto por el u ´ltimo término del primer miembro , que representa la variaci´ on unitaria de volumen en el espacio de vectores de onda a lo largo de un rayo. Dicho término puede calcularse teniendo en cuenta que, debido a la estructura hamiltoniana de (11.234) y (11.236), el elemento de volumen del espacio de fases (x, k) permanece constante a lo largo de los rayos, es decir,19 d(d3 x) d(d3 k) d(d3 xd3 k) = d3 k + d3 x = 0. (11.259) dt dt dt Puesto que la velocidad de dilataci´ on c´ ubica siguiendo a un rayo se obtiene partir de (11.234) como d(d3 x)/dt = d3 x∇ · cg , se deduce de (11.259) que 1 d(d3 k) = −∇ · cg , d3 k dt

(11.260)

y, por tanto, los dos u ´ltimos términos del primer miembro se cancelan. Si, como se hizo con (11.248), se expresa (11.260) en términos de la frecuencia ω = ao k se obtiene la ecuación ∂ wk wk d wk ≡ + c = 0, · (11.261) ∇ g dt ω ∂t ω ω que expresa que la derivada total siguiendo a un rayo de la densidad de acci´ on espectral, wk /ω , es nula. Si se introduce el elemento de longitud a lo largo del rayo ds = |cg |dt la expresión anterior puede escribirse como ∂ wk ∂ wk + |c = 0. | (11.262) g ∂t ω ∂s ω En ciertas aplicaciones es conveniente expresar la distribución wk d3 k en el espacio de vectores de onda en términos de la distribuci´ on en el espacio de frecuencias y de direcciones, determinadas 19 Obs´ ervese que las ecuaciones para los rayos (11.234) y (11.237) determinan en el espacio de seis dimensiones (x, k) el campo de velocidades [Ωk (x, k, t), −Ωk (x, k, t)]. Por analog´ıa con el caso tridimensional, puede demostrarse que la divergencia de dicho campo de velocidades determina la velocidad de dilataci´ on unitaria en el espacio x, k; puesto que la divergencia es nula, ∇x · ∇k Ω − ∇k · ∇x Ω = 0 un elemento d3 x d3 k conserva su volumen moviéndose con los rayos. Obsérvese, adem´ as, que la variaci´ on total de d3 x siguiendo a los rayos, d(d3 x)/dt, no est´ a dada por on de k con x a lo largo de ∇x · ∇k Ω(x, k, t), sino que se calcula a partir de (11.234) teniendo en cuenta la variaci´ los rayos, (11.241): d(d3 x)/dt = d3 x∇ · ∇k Ω[x, k(x, t), t] ≡ d3 x∇ · cg .


272

por el elemento de ángulo sólido. Para ello, téngase en cuenta la relación d3 k = k 2 do, donde do = sen θ dθ dϕ representa el elemento de ángulo sólido formado por las direcciones de los rayos cuyos vectores de onda están comprendidos en el elemento de volumen d3 k alrededor de k. Por tanto, La densidad de flujo de energ´ıa ac´ ustica en x en la dirección de cg puede expresarse como ∂k wk |cg |k 2 d kdo = wk |cg | k 2 d ωdo, (11.263) ∂ω donde

−1 ∂k ∂ω 1 = = |k · ∇k ω|−1 = , ∂ω ∂k |cg || cos θ|

(11.264)

donde θ es el ángulo que forman el vector de onda y la velocidad de grupo. A partir de (11.263) puede definirse la intensidad direccional por unidad de frecuencia como Idω =

wk k2 , | cos θ|

(11.265)

y representa, de acuerdo con (11.263)-(11.264), la densidad de flujo de energ´ıa por unidad de frecuencia y unidad de ańgulo sólido. Si, adem´ as, se define ´ındice de refracción del medio como el cociente entre una velocidad del sonido de referencia, aref , y la velocidad de fase local de las ondas n(x, t) =

karef , ω

se obtiene a partir de (11.264) la ecuaci´ on para Idω ∂ Idω | cos θ| ∂ Idω | cos θ| d Idω | cos θ| = + |cg | = 0. dt n2 ω 3 ∂t n2 ω 3 ∂s n2 ω 3

(11.266)

(11.267)

La ecuación (11.267) puede integrarse conjuntamente con las ecuaciones del trazado de rayos (11.234) y (11.235) para determinar la distribuci´ on de la intensidad direccional ac´ ustica en un medio no homogéneo; para efectuar dicha integraci´ on a lo largo de cada rayo deben tenerse en cuenta condiciones de contorno que debe satisfacer Idω en las intersecciones del rayo con las superficies que limitan al dominio, dependiendo de si en ellas tiene lugar emisi´ on, absorción o reflexión del sonido. Téngase en cuenta que habrá una ecuación del tipo (11.267) por cada una de las ramas de la relaci´ on de dispersión puesto que el campo sonoro será una suma de integrales de la forma (11.255)- (11.256), correspondiendo cada una a su rama respectiva. Además, si el medio sin perturbar es homogéneo y estacionario, la ecuación (11.267) proporciona que la intensidad direccional por unidad de frecuencia se conserva a lo largo de los rayos. Finalmente, conviene indicar que la ecuación (11.267), aunque deducida usualmente de forma fenomenol´ ogica, también aparece en otros ámbitos de la f´ısica en los que, debido a las peque˜ nas longitudes de onda y altas frecuencias caracter´ısticas, la propagación de la energ´ıa ondulatoria se trata de forma geométrica, o corpuscular, mediante el método de rayos expuesto en esta sección. Tal es el caso de la transferencia de calor por radiación, la propagaci´ on de la luz en la atmósfera, la propagaci´ on de ondas gravitatorias en el mar, etcétera. A veces, en el segundo miembro de (11.267) se incluyen términos que representan la absorción, producci´ on y dispersión de Idω debido a los términos disipativos, los no-lineales, y los asociados a posibles rápidas (pero peque˜ nas) variaciones en las variables del medio sin perturbar, que se han despreciado en las ecuaciones (11.220) y (11.221).

11.2.

Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre

Sabido es que la superficie libre de un l´ıquido en presencia de un campo gravitatorio est´ a animada generalmente de un movimiento de carácter ondulatorio. Una porci´ on de la superficie libre

273

11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre pa

g

y

z

x h(x,y)

z = h(x,y,t) r

Figura 11.8: Altura de la superficie libre y profundidad del suelo medidos respecto a la superficie no perturbada.

puede almacenar energ´ıa, en forma de energ´ıa potencial, elevando su altura cuando el l´ıquido adyacente hace trabajo sobre ella, o retornarla al medio l´ıquido, disminuyendo su elevaci´ on, cuando hace trabajo sobre él. Del mismo modo, la porción de superficie considerada puede almacenar energ´ıa elástica de deformación cuando el l´ıquido en su movimiento realiza trabajo sobre ella y la deforma venciendo la acción de las fuerzas de tensión superficial, o devolver la energ´ıa almacenada al medio l´ıquido. Por tanto, cuando sobre la superficie libre de un l´ıquido, cuya forma de equilibrio en presencia de un campo gravitatorio es plana, act´ ua una perturbaci´ on externa que la aparta del equilibrio (por ejemplo, el lanzamiento de un objeto sobre la superficie plana de un l´ıquido) aparece un movimiento ondulatorio en la superficie libre que propaga la perturbaci´ on con una velocidad determinada. Estas ondas afectan al l´ıquido y lo ponen en movimiento, pero su efecto se aten´ ua con la profundidad. Con objeto de analizar la estructura de estos movimientos se formular´ a primero el problema desde un punto de vista general y a continuaci´ on se simplificarán las ecuaciones para el caso de movimientos de peque˜ na amplitud, lo que dar´ a lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales que describen la propagación de ondas lineales en el seno del l´ıquido. Considérese un dominio infinito ocupado por un l´ıquido de densidad ρ bajo la acción de la gravedad, limitado inferiormente por una superficie s´ olida z = −h(x, y), donde h está medida respecto de la posición de equilibrio fluidoest´ atico de la interfase aire-l´ıquido (a presi´ on pa ), z = 0, como se muestra en la Figura 11.8. Se supondr´ a en lo que sigue que la viscosidad del l´ıquido es lo suficientemente peque˜ na como para que se cumpla la condición |ν∇2 u| ν ∼ 2 1, |∂u/∂t| λ ω

(11.268)

donde λo y 1/ωo son una longitud y un tiempo caracter´ısticos de variación de las magnitudes fluidas en el movimiento ondulatorio del l´ıquido. En este supuesto las fuerzas de viscosidad pueden ser despreciadas en el movimiento del l´ıquido y, por tanto, si el campo de velocidades es inicialmente irrotacional (como sucede, por ejemplo, en el caso de que el l´ıquido esté inicialmente en reposo) se mantiene irrotacional y deriva de un potencial u = ∇Φ.

(11.269)

Puesto que para un l´ıquido ∇ · u = 0, el potencial de velocidades satisface la ecuación de Laplace ∇2 Φ =

∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ + + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(11.270)


274

El campo de presiones está dado por la ecuación de cantidad de movimiento ∂u +∇ ∂t

u2 2

−u×∇×u+∇

p ∂Φ 1 p + gez = ∇ + |∇Φ|2 + + gz = 0; ρ ∂t 2 ρ

(11.271)

en (11.271), el versor unitario seg´ un z coincide con la dirección de la gravedad pero su sentido es opuesto, se han despreciado los efectos de viscosidad y se ha tenido en cuenta la irrotacionalidad del movimiento, ∇ × v = 0. La integraci´ on de la ecuación (11.271) proporciona p ∂Φ 1 + |∇Φ|2 + + gz = C(t), ∂t 2 ρ

(11.272)

donde la constante arbitraria de integraci´ on C(t) depende, en general, del tiempo y se elegirá de manera adecuada posteriormente. En la superficie libre del l´ıquido, o interfase aire-l´ıquido, definida como f (x, y, z, t) = z − η(x, y, t) = 0, (11.273) es necesario imponer condiciones cinemáticas y dinámicas. La condición din´ amica exige que el salto de presiones a través de la interfase esté equilibrado con las fuerzas de tensión superficial; si la normal unitaria exterior a la superficie libre es n=

ez − ∇ ⊥ η ∇f = , |∇f | 1 + |∇⊥ η|2

(11.274)

donde, en lo que sigue se denotará por ∇⊥ al operador ∇⊥ ≡ ex ∂/∂x + ey ∂/∂y, el equilibrio de fuerzas en la superficie exige que en z = η ! p − pa = ζ∇ · n = ζ∇⊥ · ! ζ∇⊥ ·

e − ∇⊥ η z 1 + |∇⊥ η|2

" =−

"

∇⊥ η

1 + |∇⊥ η|2

,

(11.275)

donde ζ es la tensión superficial aire-l´ıquido y ∇·n es la curvatura media local (suma de los inversos de los radios principales de curvatura) de la superficie libre. Haciendo uso de (11.275) la ecuaci´ on de cantidad de movimiento (11.272) evaluada en z = η se escribe pa ∂Φ 1 ζ + gη − ∇⊥ · + |∇Φ|2 + ∂t 2 ρ ρ

!

∇⊥ η 1 + |∇⊥ η|2

" = C(t).

(11.276)

Como condición cinemática se impondrá que la superficie libre es una superficie fluida Df ∂η ∂Φ = − + ∇⊥ Φ · ∇⊥ η = 0, Dt ∂t ∂z

(11.277)

en z = η. Finalmente, en la superficie del suelo, z − h(x, y, t) = 0, se impondr´ a la condición de contorno de impermeabilidad ∂Φ (11.278) − ∇⊥ Φ · ∇⊥ h = 0. ∂z

11.2. Ondas lineales en l´ıquidos con superficie libre

11.2.1.

275

Ondas lineales en una corriente uniforme de profundidad constante

Para el caso de una corriente uniforme de velocidad U = Ux ex +Uy ey , el potencial de velocidades puede escribirse en la forma Φ = Ux x + Uy y + φ(x, y, z, t), (11.279) donde v = ∇φ es la velocidad del fluido relativa a la de la corriente, U, que de acuerdo con (11.270) satisface la ecuación de Laplace ∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 + 2 = 0. (11.280) ∂x2 ∂y ∂z Se considerará aqu´ı el caso en que la amplitud caracter´ıstica de la onda, A, es peque˜ na frente a la longitud de onda t´ıpica, λo , de la perturbaci´ on. Entonces, bajo la acci´ on de la onda, las part´ıculas viajan una distancia del orden de A en un intervalo de tiempo del orden del periodo de oscilaci´ on ωo−1 (ωo es la frecuencia t´ıpica de la onda), por lo que u = ∇φ ∼ Aωo , y la aceleración local es del orden de ∂u/∂t ∼ Aωo2 . Dado que las magnitudes fluidas var´ıan en distancias del orden de λo , el orden de magnitud de la aceleración convectiva es u · ∇u ∼ A2 ωo2 /λo , y será despreciable frente a la aceleración local siempre que A λo . (11.281) De la hipótesis (11.281) se deducen inmediatamente las condiciones ∂φ |∇φ|2 ∂t

(11.282)

∇⊥ η ∼ A/λo 1,

(11.283)

y que permiten linealizar las ecuaciones (11.276) y (11.277) para dar ∂η ∂φ + U · ∇⊥ η = 0, − ∂t ∂z z=0 y

∂φ ζ + U · ∇⊥ φ|z=0 + g η − ∇2⊥ η = 0. ∂t z=0 ρ

(11.284)

(11.285)

Obsérvese que, salvo términos cuadráticos en las perturbaciones, las derivadas de φ en (11.284) y (11.285) están evaluadas en los puntos (x, y, 0), y que en (11.276) se ha elegido, por conveniencia, C(t) = pa /ρ + |U|2 /2. La condición de impermeabilidad (11.278) para h constante se reduce a ∂φ = 0. (11.286) ∂z z=−h Las ecuaciones (11.280), (11.284)-(11.286) permiten resolver φ y η una vez especificadas las condiciones iniciales. Se considerará aqu´ı el caso de un dominio infinito en las direcciones x e y, por lo que el potencial de velocidades y la forma de la superficie libre pueden representarse mediante integrales de Fourier de la forma ∞ φ(x, y, z, t) = d2 k eik·x f (k, z, t), (11.287) −∞

∞

η(x, y, t) = −∞

d2 k eik·x s(k, t),

(11.288)


276

donde k = kx ex + ky ey es el vector de onda. Sustituyendo (11.287) en (11.280) se obtiene para la amplitud f ∂2f − k 2 f = 0, k 2 = kx2 + ky2 , (11.289) ∂z 2 cuya solución general es f = a(k, t)ekz + b(k, t)e−kz , (11.290) donde las constantes a y b están relacionadas a través de la condición de contorno (11.286) en z = −h, ae−kh − bekh = 0. (11.291) La sustitución de la relación (11.291) en (11.290) proporciona f = a(k, t)[ekz + e−k(2h+z) ].

(11.292)

Por otra parte, si se sustituyen (11.287) y (11.288) en las condiciones de la interfase (11.284)(11.285) se obtiene el sistema lineal de ecuaciones diferenciales ∂s − k(1 − e−2kh )a + ik · Us = 0, ∂t ∂a ζ 2 k + g s = 0, (1 + e−2kh ) + ik · Ua + ∂t ρ

(11.293) (11.294)

donde se ha hecho uso de la expresión (11.292) para f (k, z, t). El sistema (11.293)-(11.294) admite soluciones de la forma [s, a] ≡ [C(k), A(k)]e−iω(k)t para amplitudes C y A y frecuencias ω(k) que satisfagan el sistema de ecuaciones algebraicas −k(1 − e−2kh )A + i(−ω + U · k)C = 0,

(11.295)

i(1 + e−2kh )(−ω + U · k)A + (k 2 ζ/ρ + g)C = 0.

(11.296)

El sistema lineal homogéneo (11.295)-(11.296) posee soluciones distintas de la trivial sólo si el determinante de los coeficientes es nulo; esta condición proporciona los valores de la frecuencia ω para una perturbaci´ on cuyo vector de onda es k. Igualando el determinante a cero se obtienen las dos ra´ıces ω + (k) = U · k + ωo (k), (11.297) y

ω − (k) = U · k − ωo (k),

con ωo (k) ≡

(11.298)

(k 3 ζ/ρ + g k) tanh k h;

(11.299)

La solución general de (11.293)-(11.294) puede escribirse por tanto como s = C(k)e−iω

+

(k)t

+ D(k)e−iω

−

(k)t

y, haciendo uso de (11.293),

+ − 1 iωo ∂s a= + ik · Us = −Ce−iω t + De−iω t . −2kh −2kh k(1 − e k(1 − e ) ∂t )

(11.300)

(11.301)

Sustituyendo (11.301) en (11.292) resulta una expresi´ on para f que introducida en la integral de Fourier (11.287) proporciona el otencial de velocidades ∞ + − iωo (k) cosh k(h + z) (11.302) [−C(k)ei(k·x−ω t) + D(kei(k·x−ω t) ]d2 k. φ(x, t) = k senh k h −∞

277


Análogamente, con la expresión de s dada por (11.300) se obtiene de (11.288) la ecuación de la superficie libre ∞ + − η(x, t) = [C(k)ei(k·x−ω t) + D(k)ei(k·x−ω t) ]d2 k. (11.303) −∞

Los coeficientes C(k) y D(k) en (11.302)-(11.303) vienen determinados mediante las transformadas inversas de Fourier de los valores iniciales de la posición de la interfase y del potencial de velocidades y/o de sus derivadas (en total hay que especificar dos condiciones iniciales). La solución del problema, (11.302) y (11.303), puede interpretarse como una superposici´ on de ondas planas cuyas relaciones de dispersión están dadas por (11.297) y (11.298). Haciendo uso de las expresiones expl´ıcitas de ω + y ω − se observa que dichas ondas son de la forma C(k)ei[k·(x−Ut)−ωo (k)t] + D(k)ei[k·(x−Ut)+ωo (k)t] ,

(11.304)

por lo que se propagan relativamente a la corriente en direcciones ±k con una frecuencia ωo y una velocidad dada por

1/2 g ζk ωo = + tanh kh co (k) = . (11.305) k k ρ Obsérvese que ondas de longitud de onda λ = 2π/k diferente se propagan con diferente velocidad. Tales ondas se denominan dispersivas porque, originadas en un mismo punto del espacio e instante de tiempo, tienden a dispersarse si sus longitudes de onda son diferentes. Es de interés considerar los 2.5

2

1.5 C0/Cm 1

a

b

0.5

0

0

1

2

3

4

k/km

Figura 11.9: Velocidad adimensional co /com de propagación de las ondas en aguas profundas, kh 1, como función del n´ umero de onda. a) Velocidad de propagaci´ on de las ondas gravitatorias; b) Velocidad de propagaci´ on de las ondas capilares.

casos l´ımites de (11.305) correspondientes a valores grandes y peque˜ nos del parámetro adimensional k h que mide la relación entre la profundidad del medio y la longitud de onda de la perturbaci´ on. Cuando kh 1, que corresponde al caso en que la profundidad es mucho mayor que la longitud de onda, se tiene tanh kh 1 y 1/2 ζk g . (11.306) + co = k ρ En la Figura 11.9 se representa co como función de k. Obsérvese que la velocidad de propagación presenta un m´ınimo com = (4gζ/ρ)1/4 para la longitud de onda 2π/λm = km = (ρg/ζ)1/2 . Para el


278

caso de una interfase agua-aire los valores de com y λm son 0,23cm/s y 1,7×10−2 m respectivamente. Obsérvese que para valores de k grandes frente a km , la velocidad de propagaci´ on es 1/2 ζk , k km . co (11.307) ρ La expresión (11.307) proporciona la velocidad de propagaci´ on de las ondas de muy peque˜ na longitud de onda que se denominan ondas capilares. En el l´ımite opuesto, k km , se tienen las ondas gravitatorias, cuya velocidad de propagaci´ on es co = (g/k)1/2 ,

k km .

(11.308)

En el l´ımite kh 1, que corresponde a situaciones en las que la longitud de onda es grande frente a la profundidad (aguas poco profundas), las u ńicas ondas f´ısicamente significativas son las gravitatorias y su velocidad de propagaci´ on se obtiene de (11.305)

g 1/2 g 1/2 tanh kh kh co = = (g h)1/2 , (11.309) k k La expresión (11.309) demuestra que la velocidad de propagaci´ on de las ondas en aguas poco profundas depende u ńicamente de la profundidad del medio y no de su longitud de onda (ondas no dispersivas, llamadas a veces hiperbólicas). Puede ser también de interés el cálculo de las trayectorias de las part´ıculas fluidas en torno a un punto que se mueve con la corriente (punto fijo si U = 0). Sean x = xo + Ut + x y z = zo + z las coordenadas de dicho punto con | x || x | y | z || z |. Para una onda propag´ andose en la dirección k el potencial de velocidades relativo a la corriente, (11.302), es φ=

co cosh k(h + z) cos[k · (x − Ut) − ωo t + α(k)], k sen k h

(11.310)

donde se ha hecho −iC(k) = Ceiα(k) y se ha tomado la parte real. Se tienen por tanto las ecuaciones

y

dx k cosh k(h + zo ) ∇⊥ φ|x =0 = −co sen(k · xo − ωo t + α) dt k senh k h

(11.311)

∂φ dz senh k(h + zo ) = = co cos(k · xo − ωo t + α), dt ∂z z =0 senh k h

(11.312)

cuya integraci´ on proporciona x =

co k cosh k(h + zo ) cos(k · xo − ωo t + α), ωo k senh k h

co senh k(h + zo ) sen(k · xo − ωo t + α). ωo senh k h Eliminando el tiempo de (11.313)-(11.314) se obtiene la ecuación de un elipsoide z =

z 2 (co /ωo )2 x · x + = . cosh2 k(h + zo ) senh2 k(h + zo ) senh2 kh

(11.313) (11.314)

(11.315)

Obsérvese que las part´ıculas situadas en el fondo zo = −h oscilan sobre un elipsoide degenerado que coincide con el plano z = −ho . Finalmente, en aguas muy profundas kh → ∞, (11.315) resulta en primera aproximaci´ on 2 co e2kzo , | x |2 +z 2 = (11.316) ωo


279

que muestra que las part´ıculas fluidas siguen trayectorias circulares cuyo radio (c/ωo )ekzo disminuye exponencialmente con la profundidad zo . La validez de los resultados obtenidos se comprueba comparandolos con las trayectorias mostradas en la fotograf´ıa de la Figura 11.10.20 Es importante

Figura 11.10: Trayectorias de las part´ıculas fluidas producidas por un tren de ondas peri´ odicas.

se˜ nalar que a partir de las ecuaciones (11.297)-(11.298) se puede explicar la existencia de ondas estacionarias producidas por un objeto en reposo en el seno de una corriente. En efecto, la velocidad de propagación de las ondas respecto al objeto será nula cuando lo sea su frecuencia y si además la componente de la dirección de propagaci´ on en la dirección de la corriente es negativa U · k < 0 se tiene de (11.297) ωo (k) + U · k = 0. (11.317) La existencia de ondas estacionarias requiere por una parte que las ondas se propaguen con respecto al medio con velocidad igual o superior a la de la corriente co = ωo /k = −U · k/k,

(11.318)

y por otra que la velocidad de la corriente no sea nunca inferior al valor m´ınimo de la velocidad de propagación com = (ωo /k)m , que para aguas de profundidad suficiente es 0,23ms−1 . Cuando la velocidad de la corriente es mayor que com , la ecuación (11.318) proporciona dos tipos de soluciones (véase Figura 11.9), una correspondiente a la rama capilar y otra correspondiente a la de las ondas de gravedad. Las primeras se forman siempre delante del objeto mientras que las segundas lo hacen detrás. Como se verá más adelante, la explicación a este fenómeno estriba en el hecho de que la energ´ıa necesaria para sustentar tales ondas viaja para las ondas capilares con velocidad mayor que co y, por tanto, se radia energ´ıa aguas arriba del obst´ aculo,21 mientras que la energ´ıa asociada a las ondas gravitatorias viaja con velocidad menor que co y es, por consiguiente, convectada aguas abajo por la corriente. Una comprensi´ on mejor de estas ideas requiere la introducción del concepto de velocidad de grupo que se desarrolla a continuaci´ on. Velocidad de grupo Considérese el problema de la determinación de la forma de la superficie en puntos x e instantes t suficientemente alejados del origen de la perturbaci´ on. Puesto que las ondas y, como se verá más adelante, su energ´ıa viajan con velocidad finita, la resoluci´ on del problema planteado requiere 20

M. van Dyke An Album of Fuid Motion, The Parabolic Press, 1982. La presencia del obst´ aculo deforma la superficie libre empleando una energ´ıa en este trabajo de deformaci´ on que se detrae de la energ´ıa mec´ anica de la corriente aguas arriba del obst´ aculo. 21


280

encontrar el l´ımite de (11.303) para tiempos t y distancias x grandes pero tales que el cociente x/t se mantenga finito. Este cálculo puede hacerse fácilmente empleando la técnica, debida a Lord Kelvin, denominada de la fase estacionaria cuyo fundamento es verdaderamente intuitivo. En efecto, imag´ınese un punto de la superficie en el que coexistieran ondas de diferente longitud de onda. Valles y crestas de aquellas ondas que no estén en fase tienen un efecto mutuo destructivo, y la contribuci´ on neta a la elevación o descenso de la superficie es debida a aquellas ondas cuyos vectores de onda se encuentran en un entorno de aquél (o aquéllos) para el que la fase en el punto e instante considerado es estacionaria. Para ilustrar la aplicaci´ on del método considérese la integral ∞ ∞ I(x, t) = a(k)ei(k·x−ωt) d2 k = a(k)eitΨ(k) d2 k, (11.319) −∞

−∞

con

k·x − ω(k); (11.320) t Ψ es usualmente denominado eiconal y a(k) y ω(k) son funciones lentamente variables de k. Los vectores de onda de fase estacionaria son los valores de k para los que Ψ presenta un m´ aximo, Ψ(k) =

∇k Ψ = −∇k ω +

x = 0. t

(11.321)

Al ser nula la derivada primera del eiconal, n´ otese que si ks es solución de (11.321), en un entorno de ks se tiene 1 1 1 Ψ(k) Ψ(ks ) − (k − ks )(k − ks ) : [∇k ∇k ω]ks = Ψ(ks ) − λ1 k12 − λ2 k22 , 2 2 2

(11.322)

donde λ1 y λ2 son los autovalores (reales) del tensor simétrico [∇k ∇k ω]ks , y k1 y k2 son las componentes del vector k − ks seg´ un las direcciones principales (ortogonales) asociadas a λ1 y λ2 . La contribuci´ on a I(x, t) de las ondas con longitud de onda en un entorno de ks puede calcularse, en primera aproximaci´ on, sustituyendo (11.322) en (11.319) ∞ ∞ 2 2πa(ks ) i[ks ·x−ω(ks )t−πθs /4] itΨ(ks ) −itλ1 k12 /2 e a(ks )e e dk1 e−itλ2 k2 /2 dk2 = , (11.323) | λ1 λ2 |1/2 t −∞ −∞ donde las integrales del primer miembro de (11.323) se han evaluado reduciéndolas a unas del tipo funci´ on error mediante el cambio de variables kj = ξj e−iπsg(λj )/4 (j = 1, 2) y se ha denotado θs ≡ sg(λ1 )+sg(λ2 ). La expresión (11.323) indica que un observador que se mueva con la velocidad de grupo correspondiente al vector de onda ks , definida como cg = [∇k ω]ks =

x , t

(11.324)

percibe la deformación de la superficie como una onda plana que se propaga en la direcci´ on de ks con una velocidad cs = ω(ks )/ks que es distinta de la velocidad de grupo si las ondas son dispersivas, de manera que el observador ve pasar las crestas de la onda y éstas mantienen una fase estacionaria. La expresión (11.323) puede interpretarse también como que alrededor de un observador que se mueve con la velocidad de grupo existe en todo instante una regi´ on, denominada com´ unmente paquete de ondas, en la que las ondas con vectores de onda suficientemente próximos a ks están aproximadamente en fase (la fase estacionaria) por lo que su superposici´ on contribuye significativamente al valor de la integral (11.319), mientras que fuera de esta regi´ on su efecto se anula por interferencia; por tanto, el observador ver´ a nacer y morir espont´ aneamente crestas de ondas con vector de onda ks propag´ andose con la velocidad de fase cs . Este hecho muestra claramente que la energ´ıa para formar las ondas del grupo debe viajar con la velocidad del observador,

281


esto es, la velocidad de grupo cg (ks ), que puede identificarse con la velocidad del paquete de ondas. La extensión espacial del paquete puede estimarse a partir de la condición de que el valor t´ıpico ko de los vectores de onda que contribuyen apreciablemente a (11.319) es, como se deduce de (11.322)-(11.323), t(ko − ks )(ko − ks ) : [∇k ∇k ω]ks ∼ O(1).

(11.325)

En efecto, (11.325) implica que t|ko − ks |∆|∇k ω| ∼ |ko − ks |∆x| ∼ O(1)

(11.326)

o, expl´ıcitamente, 1 ; (11.327) |ko − ks | obsérvese que en (11.326) se ha estimado el valor de las variaciones de ∇k ω en el paquete de ondas mediante (11.321). La relación (11.327) indica que el tama˜ no caracter´ıstico de un paquete de ondas disminuye con la amplitud del rango de valores de los vectores de onda que componen el paquete, de manera que la formación de un paquete muy estrecho (que implica una energ´ıa muy localizada) requerir´ a la superposición de un gran n´ umero de ondas. Por otra parte, el método de la fase estacionaria requiere que |ko − ks | << |ks | (para que se pueda desarrollar el eiconal en serie de Taylor), por lo que la longitud caracter´ıstica del paquete de ondas puede ser muy peque˜ na para ondas de peque˜ na longitud de onda (altos n´ umeros de onda) pero es a su vez mucho mayor que la longitud de onda media, de valor aproximado 2π/ks , de las ondas que lo componen. Además, si λ1 denota el menor de los autovalores del tensor [∇k ∇k ω]ks , la ecuación (11.322) y la integral de la fase estacionaria (11.323) muestran que el rango de valores de n´ umeros de onda que contribuyen a ella decae con el tiempo de la forma |ko − ks | ∼ (λ1 t)−1/2 que, de acuerdo con (11.327), implica que el área caracter´ıstica del paquete de ondas crece con el tiempo de la forma |∆x|2 ∼ t/λ1 . El aumento del área del paquete de ondas conlleva una disminuci´ on de su densidad de energ´ıa que hace que la amplitud de las perturbaciones disminuya (lentamente) con el tiempo [véase (11.323)]. Finalmente, si (11.321) tuviese más de una solución, el valor de la integral (11.319), I(x, t) es el valor resultante de una superposici´ on de paquetes de onda desplazándose, en general, en distintas direcciones y cada uno con su propia velocidad de grupo; en efecto, en este caso hay que sumar las contribuciones de la forma (11.323) para todos los valores del vector de onda km que son soluciones de (11.321), a(ks ) 2π ei(ks ·x−ω(ks )t−πθs /4) (11.328) I(x, t) t s |det (∇k ∇k ω)ks |1/2 |∆x| ∼

donde se ha tenido en cuenta que | λ1 λ2 |= det |∇k ∇k ω|ks . Como aplicación, considérese la evolución en un medio en reposo de una perturbaci´ on inicial de la superficie de la forma 2

η(x, 0) = ηo e−(x

+y 2 )/σ 2

,

ηt (x, 0) = 0.

(11.329)

De acuerdo con (11.303), la ecuación de la superficie en cualquier instante posterior puede escribirse en la forma ∞ [A(k)ei[k·x−ωo (k)t] + B(k)ei[k·x+ωo (k)t]] d2 k,

η(x, t) =

(11.330)

−∞

donde A(k) y B(k) se determinan a partir de las condiciones iniciales (11.329). En efecto, si se calcula la derivada temporal en (11.330) y se evalua el resultado en t = 0 es fácil ver que A(k) = B(k), y usando la primera de las condiciones (11.329) en (11.330) se obtiene ∞ 2 2 2 ηo e−(x +y )/σ = 2 A(k)eik·x d2 k. (11.331) −∞


282

Esta u ´ltima ecuación puede invertirse f´ acilmente para calcular A(k) resultando A(k) =

σ 2 ηo −k2 σ2 /4 . e 8π

(11.332)

Sustituyendo (11.332) en (11.330) se obtiene σ 2 ηo ∞ −k2 σ2 /4 i(k·x−ωo (k)t) e [e + ei(k·x+ωo (k)t) ]d2 k. η(x, t) = 8π −∞

(11.333)

Para el caso de ondas gravitatorias, ωo = (gk)1/2 , ∂k/∂ki = ki /k, (i = 1, 2), 1 g 1/2 ki ∂ωo , = ∂ki 2 k k

(11.334)

∂ 2 ωo g 1/2 = 7/2 (2k 2 δij − 3ki kj ). ∂ki ∂kj 4k

(11.335)

y

A partir de esta u ´ltima ecuación es fácil calcular det [∇k ∇k ωo ]ks = λ1 λ2 = −g/8k 3 ,

(11.336)

sg(λ1 ) + sg(λ2 ) = 0.

(11.337)

y Por otra parte, el n´ umero de onda de las ondas de fase estacionaria para el cálculo de la integral correspondiente al primer sumando en (11.333) viene dado por ∇k ω o =

g 1/2 k x = , k k t

(11.338)

cuya solución es gt2 er , (11.339) 4r2 donde er = x/x es el vector unitario en dirección radial; el valor de la frecuencia es entonces ks (x, t) =

ωo (ks ) = (gks )1/2 =

gt . 2r

(11.340)

Asimismo los valores de ks y ωo (ks ) necesarios para calcular la integral del segundo sumando se obtienen de forma an´ aloga sin más que cambiar ωo por −ωo ks = −

gt2 er , 4r2

ωo (ks ) = (gks )1/2 =

gt . 2r

(11.341)

Si los resultados anteriores se introducen en (11.328) se obtiene fácilmente la forma de la superficie libre, que puede escribirse en variables adimensionales como √ η 4 4 τ2 ϕ = 2 = 3 e−τ /4ξ cos(τ 2 /ξ), ηo ξ

τ=

gt2 4σ

1/2 ,

ξ=

|x| . σ

(11.342)

En la Figura 11.11 se representa ϕ como función de ξ para distintos valores de τ . Es claro de la figura que la longitud de onda de una determinada onda aumenta a medida que esta se propaga en


283

Figura 11.11: Perturbaci´ on de la superficie adimensional como funci´ on de la posición ξ en diferentes instantes de tiempo.

la dirección creciente del radio y que la onda muere (la superficie se alisa) a una cierta distancia de donde se origina; las ondas representadas por (11.342) siguen trayectorias dadas por τ 2 /ξ = const = C

o r = gt2 /(4C),

(11.343)

y que su aceleración d2 r/dt2 = g/(2C) es por tanto constante; por otra parte, la velocidad de propagación de las ondas (g/k)1/2 sólo puede crecer si su longitud de onda aumenta (k disminuye) a medida que se propaga. Además, en un problema real, la energ´ıa potencial de la superficie está confinada en una banda de longitudes de onda pr´ oxima a la dimensión caracter´ıstica del objeto causante de la perturbaci´ on, por ejemplo, una piedra que cae sobre la superficie de un estanque, Figura 11.12.

Figura 11.12: Propagaci´ on de las perturbaciones generadas por la ca´ıda de una piedra en un estanque. Cortes´ıa del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla. La energ´ıa del paquete de ondas viaja con velocidades correspondientes a la de la m´ axima y la m´ınima longitudes de onda, de modo que s´ olo hay ondas a distancias del origen cg (λmin ) t ≤ r ≤ cg (λmax ) t, Figura 11.12. Como se muestra en la Figura 11.11, una onda de longitud de onda dada se genera en las proximidades de cg (λmin ) t, se acelera a medida que se acerca al frente de ataque del paquete de ondas cg (λmax ) t y su longitud de onda aumenta, y finalmente desaparece por falta de energ´ıa cuando sobrepasa el frente de máxima velocidad de propagaci´ on de la energ´ıa. Debe a˜ nadirse finalmente que las ideas aqu´ı expuestas pueden tener relevancia para determinar la posición del área en que se localizó una determinada tormenta, ya que el oleaje viaja sobre


284

distancias del orden de varios miles de kilómetros sin ser afectado por la viscosidad. Por ejemplo, medidas de la frecuencia (o periodo por ser más fácil de medir) del oleaje en dos localidades costeras realizadas en diferentes d´ıas permite localizar la zona de la tormenta. En efecto, si el oleaje que llega a la localidad costera A posee un periodo TA su energ´ıa ha viajado con una velocidad media dx/dt = x/t = ∂ω/∂k = (1/2)(g/k)1/2 = gTA /(4π). Si n d´ıas más tarde llega a la localidad B un oleaje de periodo TB que viaj´ o con una velocidad media gTB /(4π), la intersección de las dos rectas que pasan por A y B con pendientes proporcionales a los respectivos periodos determina la zona de tormenta y el tiempo en que tuvo lugar, Figura 11.13.

x (miles de Km)

7

B

6 5

A 4 3 -4

T

-3

-2

-1 1 1

2

3

t (dias)

Figura 11.13: Diagrama de rayos de ondas dispersivas. Las olas con periodo TB llegan a la localidad B dos d´ıas después que lo hicieran las olas de periodo TA a la localidad A. La tormenta se localiza a una distancia aproximada de 2700 Km de A y tuvo lugar cuatro d´ıas antes de la llegada a A del oleaje de periodo TA .

11.3.

Ondas en una corriente generadas por la presencia de un obst´ aculo

Sup´ ongase un objeto bidimensional, de sección contenida en el plano (x, z), que en el instante t = 0 se sit´ ua sobre la superficie libre de un l´ıquido muy profundo que se mueve con velocidad uniforme U en la dirección del eje x. Si el objeto se mantiene estacionario (mediante alg´ un agente externo), su presencia genera perturbaciones en la corriente que lejos del objeto pueden suponerse peque˜ nas y describirse mediante la ecuaciones linealizadas (11.284)-(11.285); estas ecuaciones deben suplementarse con términos fuentes que tienen en cuenta los detalles del flujo en las proximidades del objeto y que lejos del mismo pueden modelarse mediante una funci´ on delta de Dirac, δ(x), centrada en x = 0 (posición en la que puede considerarse situado el objeto cuando se estudia el flujo muy lejos del mismo). Las ecuaciones (11.284)-(11.285) particularizadas para el caso bidimensional se escriben: ∂2φ ∂2φ + 2 = 0, ∂x2 ∂z

(11.344)

∂η ∂η ∂φ − +U = 2πP1 δ(x)H(t), ∂t ∂z ∂x

(11.345)

11.3. Ondas en una corriente generadas por la presencia de un obst´ aculo

285

y ∂φ ζ ∂2η ∂φ +U + gη − = 2πP2 δ(x)H(t), ∂t ∂x ρ ∂x2

(11.346)

donde P1 y P2 son amplitudes constantes que dependen del flujo en las inmediaciones del objeto y se suponen conocidas, y H(t) es la función escalón de Heaviside. Para resolver el problema de valores iniciales (11.344)-(11.346), es conveniente expresar φ y η en términos de sus integrales de Fourier

∞

φ(x, z, t) =

dkeikx f (k, z, t)

(11.347)

dkeikx s(k, t).

(11.348)

−∞

y

∞

η(x, t) = −∞

Si sustituye (11.347) en (11.344) se obtiene la ecuación diferencial ∂2f − k 2 = 0, ∂z 2

(11.349)

que admite soluciones proporcionales a ekz y a e−kz , debiéndose escoger la exponencial positiva (negativa) si k > 0 (k < 0) de manera que se satisfaga la condición de contorno ∂f /∂z → 0 para z → −∞; de esta forma se obtiene f = a(k, t)e|k|z .

(11.350)

Si (11.347)-(11.348) se sustituyen en (11.345)-(11.346), teniendo en cuenta (11.350), se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales para determinar las amplitudes s y a de (11.348) y (11.350) ∂s − |k|a + ikU s = P1 H(t), ∂t ∂a + ikU a + ∂t

ζ 2 k + g s = P2 H(t). ρ

(11.351)

(11.352)

A partir de (11.351)-(11.352) es f´ acil obtener una u ńica ecuación diferencial de segundo orden para la variable s

∂2s ∂s ζ 2 2 2 s = P1 δ(t) + (|k|P2 + iU kP1 ) H(t). + g − k U k + 2ikU (11.353) + |k| ∂t2 ∂t ρ on de (11.353) entre Si la condici´ on inicial para s(k, t) es s(k, 0) = so (k) = s∗o (−k), la integraci´ t = 0 y t = > 0, donde es un n´ umero arbitrariamente peque˜ no, muestra que la solución de (11.353) puede obtenerse para t > 0 mediante la integraci´ on de

∂2s ∂s ζ 2 2 2 k + g − k U s = kA(k)H(t), + 2ikU + |k| ∂t2 ∂t ρ

(11.354)

donde A(k) ≡ sg(k)P2 + iU P1 = −A∗ (−k), junto con las condiciones iniciales s(k, 0) = so , st (k, 0) = P1 − 2ikU so ,

(11.355)


286

donde el sub´ındice t en (11.355) denota derivada temporal y sg representa la función signo . La solución de (11.354)-(11.355) puede obtenerse en la forma usual s=

− − so + −iω+ t iP1 −iω+ t e ω e − e−iω t + − ω − e−iω t + 2ωo 2ωo ! " − + kA e−iω t kA e−iω t − + −, − − + 2ωo ω ω ω ω

(11.356)

donde se han definido las frecuencias ω + = kU + ωo (k) y con

ω − = kU − ωo (k),

1/2 ζ 2 . k +g ωo = |k| ρ

(11.357)

(11.358)

Sustituyendo (11.356) en la integral de Fourier (11.348) se obtiene finalmente la expresi´ on para la forma de la superficie libre η(x, t). Debido a la presencia de |k| en (11.356) [a través de (11.358)], es conveniente expresar la integral de Fourier (11.348) en funci´ on de integrales extendidas sobre el rango 0 ≤ k < ∞ (esto es inmediato haciendo el cambio de variable k → −k en las integrales sobre el rango −∞ < k ≤ 0); se obtiene finalmente, con so = |so |eiχo y A = |A|eiχ ∞ 1 sen(kx − ω − t) − sen(kx − ω + t) dk+ η = P1 ωo o ∞ |so | + ω cos(kx − ω + t + χo ) − ω − cos(kx − ω − t + χo ) dk+ ω o o ∞ k cos(kx + χ − ω − t) − cos(kx + χ − ω + t) dk+ |A| + ωo ω o ∞ k cos(kx + χ − ω − t) − cos(kx + χ) dk. 2|A| (11.359) + ω− ω o Las integrales en (11.359) pueden realizarse numéricamente sin dificultad para cada x y t on e instante. No obstante, se fijos,22 lo que permite obtener el valor de η para cualquier posici´ analizar´ a seguidamente la solución de (11.359) para t → ∞ y para la situaci´ on de interés en la que valores de los parámetros son tales que se tienen ondas estacionarias para tiempos grandes, lo que requiere que la ecuación ω − ≡ U k − ωo (k) = 0, con ωo = k 3 ζ/ρ + gk , posea ra´ıces reales; como se verá, dicha condici´ on es equivalente a la condición de que la velocidad de la corriente sea siempre mayor que el m´ınimo de la velocidad de propagaci´ on de las ondas relativa a la de la corriente, com = ωo (km )/km = (4gζ/ρ)1/4 , calculado en 11,2 (véase Figura 11.9). En efecto, es fácil comprobar que las dos ra´ıces no nulas de la ecuación ω − = 0, escritas en términos del parámetro adimensional α = 4gζ/(ρU 4 ) = (com /U )4 , son kg =

√ ρU 2 (1 − 1 − α) 2ζ

y

kc =

√ ρU 2 (1 + 1 − α), 2ζ

(11.360)

que son reales si α ≤ 1. Los sub´ındices en los valores (11.362) son debidos a que en el l´ımite de grandes velocidades, α << 1, se tienen kg ρU 2 α/(4ζ) = g/U 2 y kc ρU 2 /ζ, correspondientes 22 La integraci´ on num´ erica puede realizarse de forma muy eficiente transformando cada integral en una ecuaci´ on diferencial y resolviendo ésta mediante un método de Runge-Kutta de paso variable.


287

√ a ondas estacionarias puramente gravitatorias (ωo = gk) y puramente capilares (ωo = k 3 ζ/ρ) respectivamente; por tanto, se suele asociar kg con ondas de tipo gravitatorio y kc con ondas de tipo capilar (bien entendido que dichos tipos ser´ an “puros” sólo si α = 0). Los valores en kg y en kc de la velocidad de grupo, ω˙ − ≡ dω − /dk = U − (3ζk 2 /ρ + g)/(2ωo ), resultan ω˙ − (kg ) =

U√ 1−α 2

y

ω˙ − (kc ) = −

U√ 1 − α. 2

(11.361)

Se observa fácilmente que en todas las integrales de (11.359), salvo la u ´ ltima, las funciones oscilantes están multiplicadas por factores integrables en todo el rango de k, por lo que los integrandos son funciones acotadas y altamente oscilantes para x fijo y grandes valores de t y las integrales tienden a cero en el l´ımite t → ∞; de hecho si se aplica el método de la fase estacionaria de la sección anterior se observa cómo dichas integrales decaen como t−1/2 para tiempos grandes. Por tanto, la contribuci´ on principal a η(x, t) resulta de la u ´ltima integral en (11.359). Para calcularla, obsérvese que dicha integral es la parte real de o

∞

kei(kx+χ) (e−iω ω+ ω−

−

t

− 1)

dk,

(11.362)

−

y que la funci´ on (e−iω t − 1)/ω − se comporta como una delta de Dirac para t → ∞ cerca de las ra´ıces de ω − (11.360). En efecto, si ko denota cualquiera de las dos ra´ıces, dicha función vale (−it) → ∞ en k = ko , y para valores k = ko la funci´ on decae en amplitud de una forma altamente oscilante al variar ω − con un periodo t´ıpico 2π/t → 0. Por tanto, las contribuciones principales a la integral (11.362) provienen de entornos muy reducidos de k centrados en los ceros no nulos de ω − ;23 en tal entorno de ko puede considerarse k = k(ω − ) y, en primera aproximaci´ on, k ko +ω − /ω˙ − (ko ). − Si se introduce en (11.362) la nueva variable de integraci´ on ξ ≡ ω t es fácil ver que la contribuci´ on del entorno alrededor de ko , k ko + ξ/[tω˙ − (ko )], es ∞ −iξ ko − 1) i[ko x+χ+ξx/[tω ˙ − (ko )]] (e e dξ, (11.363) ω + (ko )|ω˙ − (ko )| −∞ ξ donde se ha definido β ≡ x/[tω˙ − (ko )]. Si se tiene en cuenta el valor de la integral ∞ iaξ e dξ = 2πi sg(a), −∞ ξ

(11.364)

la ecuación (11.363) puede expresarse como ∞ iξ(β−1) ∞ iξβ e e 2πiko ei(ko x+χ) ko ei(ko x+χ) − dξ = [sg(β − 1) − sg(β)] , (11.365) ω + (ko )|ω˙ − (ko )| −∞ ξ ω + (ko )|ω˙ − (ko )| −∞ ξ o, tomando, la parte real, −

2πko sen(ko x + χ) [sg(β − 1) − sg(β)] . ω + (ko )|ω˙ − (ko )|

(11.366)

La expresión (11.366) muestra que la ra´ız ko sólo contribuye a la soluci´ on estacionaria para tiempos grandes si 0 < β < 1. Puesto que ω˙ − (kg ) > 0 y ω˙ − (kc ) < 0, la condici´ on β > 0 implica que aguas abajo del objeto (x > 0) se forman sólo ondas del tipo gravitatorio mientras que aguas arriba (x < 0) del mismo se forman sólo las del tipo capilar. Por otra parte, la condici´ on β < 1 muestra 23 La contribuci´ − on cerca √ de k = 0 (que también es un cero de ω ) es despreciable frente a las otras dos debido a que el factor k/ω + k/ gk → 0 para k → 0.


288

que, como se ha se˜ nalado ya más arriba, la energ´ıa para formar las ondas no puede viajar a una velocidad mayor que la velocidad de grupo por lo que existir´ an ondas estacionarias sólo en el dominio tω˙ − (kc ) < x < tω˙ − (kg ), que es formalmente infinito para t → ∞. Si se sustituyen en (11.366) los valores correspondientes a kg y kc dados por (11.360) y (11.361) se obtiene finalmente las soluciones η(x) = − η(x) = −

8|A|π √ sen(kg x + χ), x > 0. U2 1 − α

(11.367)

8|A|π √ sen(kc x + χ), x < 0. 1−α

(11.368)

U2

Se observa, por tanto, que las ondas de gravedad, al poseer una velocidad de grupo dωo /dk menor que la de la corriente U , aparecen detrás del obstáculo, mientras que las capilares, que poseen una velocidad de grupo mayor que U aparecen delante del obstáculo (la energ´ıa de estas ondas puede propagarse aguas arriba). En efecto, en la Figura 11.14 se observan las ondas de tipo gravitatorio formadas detrás de una embarcación mientras que en la Figura 11.15 se muestran las ondas capilares formadas delante de un objeto en el seno de una corriente de agua. Obsérvese que para el agua (ζ = 0,07N/m) a una velocidad t´ıpica de U ∼ 1m/s se tiene α 3 × 10−3 << 1, por lo que las ondas formadas son gravitatorias y capilares pr´ acticamente puras.

Figura 11.14: Ondas longitudinales y transversales generadas por un obst´ aculo que se desplaza con velocidad U sobre la superficie de agua.

A continuaci´ on se aplicará el método de trazado de rayos considerado en 11.1.8 para determinar las ondas generadas por una embarcaci´ on navegando por una superficie en calma. Considérese el caso de una embarcación que navega con velocidad U en aguas profundas (k h 1). Para un observador ligado al barco, de acuerdo con (11.297-11.298), las perturbaciones son convectadas aguas abajo con velocidad U y radiadas en todas direcciones con velocidad ωo /k. Si se toma el eje x en la dirección del movimiento del barco y con sentido opuesto a él, se tiene ω = U kx + ωo , con ωo =

g k,

k=

# kx2 + ky2 .

(11.369)

(11.370)


289

Figura 11.15: Ondas capilares estacionarias generadas por una aguja de 2 mm de di´ ametro. La fotograf´ıa está tomada desde el fondo del canal cuya pared es un cristal. Cortes´ıa del Laboratorio de Mecánica de Fluidos de la Universidad de Sevilla.

Nótese que se tratan sólo las ondas de gravedad, pues para las dimensiones usuales de un barco son éstas las u ´ nicas que se excitan significativamente. Puesto que se trata de un medio homogéneo U = const, profundidad grande frente a las longitudes de onda, el n´ umero de onda se mantiene constante a lo largo de los rayos como se indica en (11.236). Las componentes seg´ un los ejes x e y de la velocidad de grupo ser´ an, de acuerdo con (11.247) ∂ω ∂ ωo ∂ ωo ∂ k 1 g kx , (11.371) cx = =U+ =U+ =U+ ∂ kx ∂ kx ∂ k ∂ kx 2 k k ∂ω 1 g ky . (11.372) cy = = ∂ ky 2 k k Matemáticamente los rayos vienen definidos por dx/dt = cg y proyectando seg´ un los ejes x e y se tiene dy dx 1 g kx 1 g ky y . (11.373) =U+ = dt 2 k k dt 2 k k o en el plano (x, y)

g ky dy k k , = dx 1 g kx U+ 2 k k 1 2

(11.374)

donde kx y ky son constantes a lo largo de cada rayo y por tanto su integraci´ on proporciona 1 g ky y 2 k k . (11.375) = x 1 g kx U+ 2 k k Obsérvese que en la integración de (11.374) se ha supuesto el barco como un punto, que se toma como origen, y los rayos son rectas que parten del origen; naturalmente este modelo es válido


290

u ńicamente a distancias del barco grandes comparadas con las dimensiones del mismo. Puesto que se buscan ondas estacionarias respecto al barco, ω = 0, y por tanto de (11.297) U kx + gk = 0. (11.376) Las ecuaciones (11.375) y (11.376) proporcionan los valores de kx y ky , o k 2 = kx2 + ky2 , en cada punto de la superficie l´ıquida (x, y). En efecto, definiendo # g kx ky =− = ± 1 − (kx /ky )2 , (11.377) , k k U2 k (11.375) y (11.376) proporcionan

y 2 

y 2 1 2 +2 x ± 1−8 x  kx . = −

y 2   k 1+ x 

(11.378)

Es de interés mencionar que existen dos posibles valores reales de kx /k si el punto (x, y) está situado dentro de la cu˜ na 1 y (11.379) 0≤ ≤ √ , x 2 2 √ √ mientras que no existe solución para y/x > 1/2 2. El valor tan θmax = (y/x)max = 1/2 2 suministra el ángulo de Kelvin θmax = 19, 47o . La curva separatriz de la región sin ondas y = √ (1/2 2)x se llama cáustica. Nótese que sobre ella k es discontinua, del lado de las ondas (kx /k)2 = 2/3 mientras que del otro lado su valor es nulo. Obsérvese por tanto que la condición ∂/∂ x kx deja de ser válida en distancias de la cáustica del orden de la longitud de onda. Una vez obtenida (11.379), la ecuación para las crestas se obtiene a partir de la condición α = const., donde α = kx x + ky y − ω t = kx x + ky y,

(ω = 0),

(11.380)

y Se tiene entonces

0 = kx d x + ky d y.

(11.381)

kx /k kx dy , = − =− dx ky 1 − (kx /k)2

(11.382)

con kx /k = f (y/x) dado por (12.278). En la Figura 11.16 se dibujan las crestas obtenidas por integraci´ on de (11.382). Obsérvese que existen dos tipos de ondas, denominadas divergente y transversal, asociadas a los dos valores de u existentes en cada punto del dominio fluido. Es interesante observar que el modelo representado en la Figura 11.16 reproduce cualitativamente los resultados de la Figura 11.14 incluso a distancias de la embarcaci´ on donde el barco no puede ser modelado como una fuente puntual. Obsérvese en la Figura 11.14 el ángulo de Kelvin de las ondas detr´ as de la embarcación y la presencia de ondas divergentes y transversales que se anulan sobre las cáusticas. Conviene indicar que el método de rayos no describe apropiadamente el campo fluido cerca de las ca´ usticas (zona definida por la importancia de los fen´ omenos de interferencia y difracción de ondas son importantes y deben de retenerse en las ecuaciones las variaciones espaciales de mayor orden).


291

ES NT GE ER DIV AS D ON

ONDAS TRANSVERSALES

Figura 11.16: Ondas longitudinales y transversales calculadas mediante el método de trazado de rayos para obstáculo que se desplaza con velocidad U sobre la superficie de agua. Compárese el patrón de frentes de onda obtenidos con el de la Figura 11.14.

Referencias y lecturas recomendadas A. P. Dowling y J. E. Ffowcs Williams, Sound and Sources of Sound, Ellis Horwood, 1983. A. D. Pierce, Acoustics, American Institute of Physics, ASA, 1991. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Teórica, vol. 5, Pergamon, 1958. J. Lighthill, Waves in Fluids, Cambridge University Press, 1978. H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge University Press, 1975.

Cap´ıtulo 12

Ondas no-lineales 12.1.

Introducci´ on

En el cap´ıtulo anterior se ha considerado el caso de la propagaci´ on de perturbaciones peque˜ nas en el seno de fluidos. Conviene extender el análisis al caso de la propagación de perturbaciones de amplitud finita; esto es, cuando en alg´ un punto o regi´ on finita del dominio fluido se producen variaciones de las magnitudes fluidas del orden de ellas mismas durante tiempos suficientemente cortos. Este tipo de problemas aparecen regularmente en la dinámica de gases a altas velocidades (velocidad del gas comparable o superior a la del sonido) y en el a´mbito de la Ingenier´ıa Hidr´ aulica. Ejemplos t´ıpicos son: la corriente subsónica, o supersónica, alrededor de obst´ aculos, el movimiento de un gas en un tubo de choque, el movimiento unidireccional de un gas generado por un pist´ on que se mueve normalmente a s´ı mismo a gran velocidad, o la expansi´ on de un gas desde un dep´ osito al vac´ıo a través de una tobera o de un conducto cualquiera. El conocimiento de la propagaci´ on de ondas no lineales en una superficie l´ıquida libre en presencia del campo gravitatorio es, por otra parte, esencial para abordar el dise˜ no de canales, riadas y otros problemas frecuentes en la Ingenier´ıa Hidr´ aulica.

12.2.

Movimiento unidireccional de un gas

Para iniciar el estudio, considérese, por ejemplo, el movimiento de un gas, en un conducto de sección uniforme, inducido por un pist´ on que se desplaza a través del conducto. El mismo análisis puede también aplicarse al caso del movimiento de un gas en un tubo de choque, que se genera cuando se rompe la membrana que inicialmente separaba dos masas de gas a distintas presiones. En este caso las ecuaciones de Euler que gobiernan el movimiento unidimensional del gas son: ∂ρ ∂ρ ∂u +u +ρ = 0, ∂t ∂x ∂x

(12.1)

∂u 1 ∂p ∂u +u + = 0, (12.2) ∂t ∂x ρ ∂x ∂S ∂S +u = 0. (12.3) ∂t ∂x Integrando la u ´ltima de las ecuaciones a lo largo de las trayectorias de las part´ıculas fluidas u = dxT /dt se obtiene que la entrop´ıa de una part´ıcula fluida no cambia a lo largo de su trayectoria, S = S[xT (t), t] = S[xT (0), 0] , 293

(12.4)

Cap´ıtulo 12. Ondas no-lineales

294

donde xT (t) representa las trayectorias de las part´ıculas fluidas. Expresiones equivalentes a las ecuaciones (12.3) y (12.4) para un gas perfecto son d p p p 2 = const y a = (12.5) =γ . ργ d ρ S ρ En efecto, obsérvese que si S = S(ρ, p), entonces dS =

∂S ∂S dρ + dp ∂ρ ∂p

(12.6)

y ∂S ∂ρ ∂S ∂p ∂S ∂ρ ∂S ∂p ∂S ∂S = + = + , . ∂t ∂ρ ∂t ∂p ∂t ∂x ∂ρ ∂x ∂p ∂x Introduciendo (12.7) en (12.3) se tiene ∂p ∂S ∂ρ ∂ρ ∂S ∂p +u + +u = 0, ∂t ∂x ∂p ∂t ∂x ∂ρ y dado que S = const es solución de la ecuación (12.3), se obtiene de (12.6) ∂ S d p ∂S ∂S =− = −a2 , ∂ρ ∂ p dρ S ∂p y la ecuación (12.8) se escribe ∂p ∂ρ ∂p ∂ρ +u +u − a2 = 0, 1 ∂t ∂x ∂t ∂x

(12.7)

(12.8)

(12.9)

(12.10)

o

dρ dp − a2 = 0, (12.11) dt dt que muestra que en su movimiento la part´ıcula fluida experimenta cambios en la presi´ on y en la densidad que no son arbitrarios, sino que est´ an ligados por la ecuación (12.10) o (12.11) o por la condici´ on de entrop´ıa constante. Teniendo en cuenta (12.11), es conveniente escribir la ecuación (12.1) en la forma ∂p ∂u ∂p +u + ρ a2 = 0. ∂t ∂x ∂x

(12.12)

Por otra parte, si a (12.12) se le suma la ecuación (12.2) multiplicada por el factor ρ a se tiene ∂p ∂u ∂u ∂p + ρa + (u + a) + ρa = 0, (12.13) ∂t ∂t ∂x ∂x mientras que si se le resta se obtiene ∂p ∂u ∂p ∂u − ρa + (u − a) − ρa = 0. ∂t ∂t ∂x ∂x

(12.14)

La forma de las ecuaciones (12.13) y (12.14) resulta especialmente u ´ til para ser integradas utilizando el método denominado de las caracter´ısticas. En efecto, (12.13) y (12.14) pueden escribirse en la forma 1 dp du + =0 ρa dt dt 1

sobre la familia de curvas C + definida por

dx = u + a, dt

En lo que sigue el operador D/Dt = ∂/∂t + u∂/∂x (movimiento unidireccional) se denotar´ a por d/dt.

(12.15)

295

12.2. Movimiento unidireccional de un gas y 1 dp du − =0 ρa dt dt

sobre la familia de curvas C − definida por

dx = u − a. dt

(12.16)

Las curvas C + y C − representan los puntos de las trayectorias que seguir´ıa un observador que se moviese con velocidad ± a relativa al fluido. N´ otese que la linealización de (12.15) y (12.16) suponiendo peque˜ nas perturbaciones en la presión p y velocidad u en torno a unos valores de referencia, suministra las ecuaciones de la Ac´ ustica obtenidas en el Cap´ıtulo 11 dp du + ρo ao =0 dt dt

sobre C + ,

C+ ≡

dx − ao = 0, dt

dx du dp − ρ o ao =0 sobre C − , C − ≡ + ao = 0. dt dt dt Las ecuaciones anteriores pueden ser integradas una vez para dar

(12.17) (12.18)

p − po + ρo ao u = F (x − ao t),

(12.19)

p − po − ρo ao u = G(x + ao t),

(12.20)

donde F y G son funciones arbitrarias que deben determinarse de las condiciones de contorno; como se ha visto en 11 estas soluciones pueden interpretarse como ondas viajeras propagándose con velocidades dx/dt = ±ao . Si la corriente de gas es homentrópica, esto es, si en el instante inicial todas las part´ıculas tienen la misma entrop´ıa So = cv ln(po /ργo ), entonces S = So en cualquier instante posterior, p=

po γ ρ ργo

y

a2 = γ

po γ−1 ρ , ργo

(12.21)

y las ecuaciones (12.15) y (12.16), teniendo en cuenta (12.22), pueden ser integradas una vez para dar dx 2 a + u = const sobre = u + a, (12.22) I+ = γ−1 dt y dx 2 a − u = const sobre = u − a. (12.23) I− = γ−1 dt Las funciones I + e I − constituyen los denominados invariantes de Riemann que permiten escribir las ecuaciones del movimiento (12.13) y (12.14) en la forma

∂ ∂ (12.24) + (u + a) I + = 0, ∂t ∂x

∂ ∂ (12.25) + (u − a) I − = 0, ∂t ∂x que indican que las cantidades I + e I − permanecen constantes a lo largo de las caracter´ısticas C + y C − respectivamente. Esto es, si en alg´ un punto del dominio fluido y en un instante to se origina una perturbaci´ on del flujo en las cantidades I + e I − , ésta se propaga en el dominio fluido a lo largo de C + y C − y con velocidades u + a y u − a respectivamente. Los invariantes de Riemann pueden ser visualizados como ondas viajeras que propagan la informaci´ on con una velocidad a ± u, superposición de la velocidad de propagaci´ on relativa al gas, la del sonido, m´ as la velocidad de convección del gas mismo. Por las caracter´ısticas C + se propagan ondas en el sentido del flujo mientras que a lo largo de C − lo hacen en sentido contrario. En cada instante de tiempo y por


296

cada punto del dominio fluido pasan dos curvas caracter´ısticas, de las familias C + y C − , que definen un valor de los invariantes I + e I − y, por tanto, suministran una pareja de ecuaciones algebraicas para determinar la velocidad del fluido y la del sonido. Conocido a y el valor de la entrop´ıa y la velocidad en ese punto e instante, los valores de la presión y la densidad se determinan f´ acilmente mediante (12.21). Un caso particular de lo anterior, para el que la soluci´ on del problema resulta enormemente simplificada, lo constituye el caso de ondas simples caracterizadas, porque uno de los invariantes de Riemann es constante en todo el dominio fluido. Un movimiento de este tipo se genera cuando un pist´ on se desplaza en el interior de un conducto de sección constante con velocidades comparables a las del sonido. Inicialmente, se supone el gas en reposo a presión po y densidad ρo (ao = γ po /ρo ) limitado a su izquierda por un pist´ on. El pist´ on está inicialmente situado en x = 0 y parte con velocidad nula para describir la trayectoria xp (t) como la que se indica en el diagrama (x, t) de la Figura 12.1.

t

xp(t)

C+

C-

x=aot x

Figura 12.1: Resolución geométrica, en el plano (x, t), del movimiento de un gas inducido por un pist´ on.

Como inicialmente la entrop´ıa es constante S = So , y se mantiene constante a lo largo de las trayectorias de las part´ıculas fluidas; por tanto, la entrop´ıa será constante e igual a So en cualquier punto e instante del dominio fluido. A través de las caracter´ısticas C − se transmite la información que proviene del gas que está todav´ıa en reposo; para un instante t dado, la regi´ on de gas en reposo está situada en puntos x > ao t. El valor de I − , por tanto, ser´ a I− =

2 2 a−u= ao ; γ−1 γ−1

(12.26)

esto es, I − es constante para cualquier caracter´ıstica que arranque de puntos situados en la regi´ on de reposo y, como por cada punto del plano (x, t) pasa una caracter´ıstica C − , se tiene que la relación (12.26) se satisface en cada punto del gas. Esto es, en puntos del plano (x, t) tales que en cada instante t xp (t) ≤ x ≤ ao t. Por las caracter´ısticas C + el gas se informa del movimiento del pistón, ya que a través de ellas se tiene 2 2 a+u= ap (τ ) + up (τ ), I+ = (12.27) γ−1 γ−1

297

12.2. Movimiento unidireccional de un gas

donde ap (τ ) y up (τ ) representan los valores de la velocidad del sonido y de la velocidad del fluido del gas en contacto con el pistón. De la condición de contorno en el pist´ on se deduce que la velocidad del gas en contacto con el pistón es igual a la velocidad de éste; matemáticamente se expresa por d xp up (τ ) = = x˙ p (τ ). (12.28) dt t=τ

Por otra parte, la ecuaci´ on (12.26) evaluada sobre el pist´ on proporciona 2 2 2 ap (τ ) − up (τ ) = ap (τ ) − x˙ p (τ ) = ao . γ−1 γ−1 γ−1

(12.29)

Teniendo en cuenta (12.29), la caracter´ıstica C + que en el instante τ parte del pistón se propaga con velocidad γ+1 (12.30) x˙ p (τ ); up (τ ) + ap (τ ) = ao + 2 ˙ p (τ ) constante informa al gas de esta onda que se propaga hacia la derecha con velocidad ao + γ+1 2 x que, en el instante τ , el pistón se mueve con la velocidad x˙ p (τ ) y la velocidad del sonido del gas en contacto con él es ap (τ ). Esta informaci´ on dada por I + se propaga a lo largo de las caracter´ısticas + on, son rectas de ecuación C que, por ser constante su velocidad de propagaci´

γ+1 (12.31) x˙ p (τ ) (t − τ ). x − xp (τ ) = ao + 2 La ecuación (12.31) indica que en puntos x ≥ xp (τ ) y t ≥ τ situados sobre la caracter´ıstica definida por (12.31) la soluci´ on viene dada por γ−1 x˙ p (τ ), S = So . (12.32) 2 En otras palabras, la expresi´ on (12.31) determina impl´ıcitamente el valor de τ para cada pareja de valores (x, t) en los que la solución viene dada por las expresiones (12.32). La interpretaci´ on de la solución dada en (12.31) y (12.32) es clara. En cada instante τ parte del pistón una caracter´ıstica C + que se propaga hacia la derecha para informar al fluido que debe acomodar su velocidad a la del pistón; esto es, el gas debe acelerarse o decelerarse seg´ un sea el signo de x ¨p (τ ). Cuando la aceleración del pistón es negativa, x ¨p (τ ) < 0, en cada instante τ parten de él ondas de rarefacción que informan al fluido que debe adecuar su velocidad a la del pist´ on. Puesto que x ¨p es negativa, x˙ p decrece con el tiempo y también lo hacen las pendientes dx/dt de las caracter´ısticas C + (véase Figura 12.1) de modo que por cualquier punto del plano (x, t) pasa una u ńica curva caracter´ıstica del tipo C + , ya que (12.31) representa una familia de l´ıneas rectas divergentes. Por el contrario, si x ¨p (τ ) > 0 para todo τ , como ocurre por ejemplo en el caso de un pistón acelerándose en la dirección positiva del eje x, parten del pist´ on ondas de compresión que viajan hacia la derecha comprimiendo al fluido de modo que éste se acelera hacia la derecha como impone el movimiento del pistón. En este caso, la pendiente de cada una de las caracter´ısticas C + crece con τ y (12.31) representa ahora una familia de caracter´ısticas convergentes que se cortan en alg´ un punto del diagrama (x, t). La solución (12.31)-(12.32) se hace multievaluada a partir de un cierto instante (en un punto se cortan m´ as de dos l´ıneas caracter´ısticas) y la solución (12.31)(12.32) deja de ser válida. Una interpretaci´ on f´ısica alternativa puede completar la visión geométrica esbozada hasta ahora. En efecto, considérese un tren de ondas propag´ andose en el seno de un gas. Con respecto al fluido, cada onda se propaga con la velocidad local del sonido correspondiente a las condiciones termodinámicas en cada punto del medio fluido. La velocidad del sonido en un gas perfecto que se mueve isentrópicamente viene dada por γ−1 γ po p p . (12.33) a2 = γ = γ ρ ρ o po u(x, t) = x˙ p (τ ),

a = ao +


298

Cuando se trata de un tren de ondas de rarefacci´ on (expansión), cuyo efecto es el de disminuir la presi´ on del gas a su paso, cada una de las ondas viajar´ a, de acuerdo con (12.33), con una velocidad menor que la de la que la precede, pues el medio en que se desplaza ha sido previamente perturbado por aquélla. Como consecuencia, las ondas en un tren de ondas de expansión viajan cada vez más separadas (caracter´ısticas divergentes). Por el contrario, un tren de ondas de compresi´ on da lugar a un colapso de las ondas que resulta en un fen´ omeno nuevo conocido con el nombre de onda de choque. La existencia de las ondas de choque fue predicha por Riemann en 1888 antes de existir evidencia experimental acerca de las mismas.

p p0

p

t=t0 p0

t>t0

p0

x

x

Figura 12.2: Efectos no lineales en una onda de compresión.

Para entender mejor este efecto asociado al carácter no-lineal de las ecuaciones, considérese el caso en que se produce, en el instante inicial, una perturbaci´ on arbitraria de las magnitudes fluidas, por ejemplo de la presión como se representa en la Figura 12.2. Como se sabe, esta perturbación se propagará en forma de una onda cuya velocidad de propagaci´ on, la del sonido, es funci´ on de p. Como consecuencia de la diferencia en la velocidad de propagación, el perfil cambiar´ a su forma de modo que en los puntos donde hay compresi´ on (p > po ) se mueven hacia adelante más rápidamente que en las de expansión. Finalmente, el perfil de presiones resultar´ a multievaluado con tres valores de la presión en un mismo punto como indica en la Figura 12.2 para t < to . Naturalmente, esta solución es f´ısicamente inaceptable. En realidad, inmediatamente antes de que la soluci´ on sea multievaluada, se forma una discontinuidad denominada onda de choque. Es importante destacar que la presencia de discontinuidades en las magnitudes fluidas resulta en valores grandes de la disipaci´ on viscosa, y de la conducción de calor, asociados a los grandes valores de los gradientes de velocidades y temperaturas en la discontinuidad (infinitos en primera aproximaci´ on). Como se ver´ a más adelante, lo que sucede en realidad es que centrada en la discontinuidad existe una capa de espesor muy peque˜ no comparado con la longitud caracter´ıstica del flujo, donde la viscosidad es importante y las magnitudes fluidas var´ıan de un modo continuo a través de ella. Naturalmente, cuando el flujo se observa con la longitud caracter´ıstica del flujo, el espesor de la onda de choque es nulo en primera aproximaci´ on y deviene en una discontinuidad. A ambos lados de la discontinuidad, el flujo es isentr´ opico, pero la entrop´ıa de las part´ıculas que la atraviesan no se conserva. El tiempo tR necesario para que se forme una solución multievaluada puede obtenerse f´ acilmente de la solución (12.31)-(12.32), aunque naturalmente, esta soluci´ on no es ya válida para tiempos t ≥ tR . En efecto, soluciones multievaluadas aparecen en el instante en el que los perfiles de las magnitudes fluidas presentan una pendiente infinita; por ejemplo, derivando la velocidad respecto a x se tiene ∂u∂τ ∂ u = , ∂ x t ∂τ ∂x

(12.34)

299

12.2. Movimiento unidireccional de un gas

y como ∂ u/∂ τ es distinta de infinito se debe tener ∂ x/∂ τ = 0 para que el gradiente espacial de la velocidad sea infinito. Derivando la ecuaci´ on (12.31) respecto a t, resulta

γ−1 γ+1 dx (12.35) x ¨p (t − τ ) − ao + x˙ p (τ ) ; = dτ 2 2 obsérvese, como ya se anticipó al predecir el colapso de la solución correspondiente a un tren de ondas de compresión, que (12.35) sólo puede anularse si x ¨p (τ ) > 0. De (12.35) se tiene tR = τ +

γ−1 2 ao + 2 x˙ p (τ ) , γ+1 x ¨p (τ )

(12.36)

que junto a la condici´ on de m´ınimo, d tR /d τ = 0, permiten determinar el tiempo m´ınimo tR de formación de la onda de choque. La solución (12.31) y (12.32) debe modificarse ligeramente en el caso de un pistón moviéndose en el sentido de las x negativas cuando ésta se mueve con velocidades superiores a las de un cierto valor l´ımite. En efecto, la velocidad máxima que puede alcanzar un gas es la que corresponde a una expansi´ on al vac´ıo (ρ = 0, p = 0, a = 0) y de (12.26) se tiene umax = −

2 ao . γ−1

(12.37)

La velocidad umax se denomina a veces velocidad de escape del gas originariamente en reposo.

Figura 12.3: Movimiento de un gas inducido por la aceleraci´ on de un pist´ on a velocidades mayores que la de escape. Naturalmente, si en alg´ un instante τ = τ0 , la velocidad del pist´ on supera a la de escape 2 ao , el gas se separa del pistón y aparece una región de vac´ıo entre ambos, Figura |x˙ p (τo )| > γ−1 12.3. La frontera entre gas y vac´ıo avanza con una velocidad d xv 2 ao , =− dt γ−1

(12.38)

y su posición en cualquier instante t ≥ τo viene dada por xv − xp (τo ) = −

2 ao (t − τo ). γ−1

(12.39)


300

La Figura 12.3 resume el diagrama de caracter´ısticas y la solución anal´ıtica viene dada por: u=0 y u = x˙ p (τ )

y

a = 0 (vac´ıo) en

a = ao +

a=0

en

γ−1 x˙ p (τ ) en 2

xp (τ ) ≤ x ≤ xv = xp (τo ) −

x ≥ ao t, xv (τ ) ≤ x ≤ ao t con

2 ao (t − τo ) con γ−1

τ ≤ τo , τ ≥ τo .

(12.40)

Obsérvese que la frontera de separación gas-vac´ıo es una caracter´ıstica C + que es tangente a la curva xp (τ ) en el punto τo .

Figura 12.4: Movimiento de un gas inducido por el arranque instant´ aneo de un pist´ on con velocidad mayor que la de escape. Otro caso de interés es aquel en el que el pistón arranca instant´ aneamente con velocidad mayor que la de escape del gas. La solución de este problema puede obtenerse fácilmente de la anterior en el l´ımite τo → 0. En este caso las caracter´ısticas son rectas que pasan por el origen, y cuya ecuación es γ−1 dx = u + a = ao + u. (12.41) dt 2 El diagrama de caracter´ısticas se muestra en la Figura 12.4 y la solución se obtiene fácilmente de (12.26) y (12.41) u = 0 y a = ao si x > ao t,

γ−1 2 2 x y a = ao + − ao u si − ao t ≤ x ≤ ao t u= γ+1 t 2 γ−1 2 (12.42) ao t. a = 0 si x ≤ − γ−1 Como se indicó anteriormente, un gas originalmente en reposo puede acelerarse de modo no estacionario mediante una onda de rarefacci´ on hasta velocidades que no excedan la velocidad de escape. Cada una de las ondas infinitesimales de expansión que se propagan hacia la derecha aceleran el fluido que las atraviesa moviéndose hacia la izquierda hasta alcanzar la velocidad de escape. La Figura 12.4 y la solución dada por (12.42) corresponde también al caso de la expansión al vac´ıo de un gas que en el instante inicial está en reposo y separado del vac´ıo por una membrana situada en x = 0 que se rompe en el instante inicial.

12.3. Discontinuidades en movimientos de fluidos ideales

12.3.

301

Discontinuidades en movimientos de fluidos ideales

Ya se ha comentado anteriormente que las soluciones de las ecuaciones de Euler que describen el movimiento de los fluidos ideales presentan a veces discontinuidades. Un ejemplo concreto de discontinuidad en el seno de un flujo de un fluido ideal aparece cuando un tren de ondas de compresión de amplitud infinitesimal, originadas por el movimiento de un pist´ on en el interior de un cilindro que contiene un gas, colapsan formando una discontinuidad de las magnitudes fluidas u onda de choque. Ondas de choque aparecen también en el flujo supersónico a través de una tobera convergente-divergente y en otros casos de corrientes supersónicas como la que aparece delante de un cuerpo moviéndose a velocidades supersónicas en el seno de un gas como se ilustra en la Figura 12.5.2

Figura 12.5: Onda de choque desprendida delante de la bala de rifle que viaja a n´ umero de Mach M=1.1. En la figura se observan también ondas de choque y de expansi´ on sobre la bala y su estela.

El mecanismo f´ısico de formación de una onda de choque est´ a ligado al hecho de que cuando un obstáculo se acelera emite ondas de compresión que informan al fluido del cambio habido en las condiciones de contorno. Como es sabido, esta información se propaga relativa al fluido con la velocidad del sonido. Si el movimiento es subsónico (U < a∞ ), la informaci´ on se propaga corriente arriba del obst´ aculo y el fluido se adec´ ua gradualmente al cambio experimentado por la velocidad del obstáculo. Por el contrario, cuando la velocidad del obst´ aculo es supersónica, la informaci´ on no puede propagarse corriente arriba m´ as que hasta el punto donde la velocidad del fluido y la del sonido se igualen. Las ondas de compresión se agolpan a una cierta distancia corriente arriba del obstáculo y se forma una onda de choque. Aguas arriba de la onda la corriente es supers´ onica y no se modifica por la presencia del obstáculo. A través de la onda, y como se verá más adelante, el flujo pasa de supersónico a subsónico, de forma que detr´ as de la onda de choque la corriente siente la presencia del obstáculo y se adapta a las condiciones que impone su presencia. Una caracter´ıstica general de todos estos ejemplos es que el flujo relativo a la onda debe ser supersónico en alguna región del campo fluido y la deceleración hasta una velocidad subs´ onica se realiza a través de la onda (en el ejemplo del pistón considerado al final de la sección 12.6, la onda de choque formada se propaga a velocidad supersónica en el medio no perturbado). Por supuesto, en la realidad, las presuntas discontinuidades no son tales sino que son regiones delgadas donde los gradientes de las magnitudes fluidas son tan acusados que la hip´ otesis de fluido ideal cesa de ser válida. Como el espesor de estas regiones tienden formalmente a cero en 2

M. van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, 1982.


302

el l´ımite Re → ∞, desde el punto de vista de la teor´ıa de los fluidos ideales se considerarán como discontinuidades, sin importarnos por el momento su estructura interna, cuyo an´ alisis se pospone al Cap´ıtulo 14. El orden de magnitud del espesor de la discontinuidad se determina f´ acilmente sin más que observar que las fuerzas de viscosidad son importantes en distancias del =

orden de δ, [ρ v · ∇ v ∼ ∇· τ , ρ V 2 /δ ∼ µ V /δ 2 , δ ∼ µ/(ρ v) ∼ L/Re L]. En lo que sigue se derivar´ an relaciones cuantitativas generales de los saltos de las magnitudes fluidas a través de estas discontinuidades.

12.4.

Ecuaciones de conservaci´ on a trav´ es de una discontinuidad

Considérese una superficie, de forma arbitraria, a través de la que las magnitudes fluidas (v, p, ρ, T , etc.) experimentan un salto finito, Figura 12.6. Para derivar las relaciones que ligan las condiciones delante (región 1) y detr´ as (región 2) de la discontinuidad se aplicar´ an las leyes de conservación de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un volumen de control infinitesimal, como el de la Figura 12.6, formado por unas superficies laterales que cruzan la discontinuidad, de espesor δ, y otras dos superficies planas, paralelas y tangentes a la discontinuidad en el punto considerado, de normal unitaria n. El área dσ de estas dos superficies verifica que (dσ)1/2 δ,

Figura 12.6: Salto de las propiedades fluidas a través de una discontinuidad. lo que es siempre posible por tratarse de una discontinuidad matem´ atica y, a pesar de que dσ es también infinitesimal, δ puede hacerse tan peque˜ no como se quiera. En la realidad, la discontinuidad tiene espesor finito, pero tiende formalmente a cero en el l´ımite Re → ∞; la u ńica limitación sobre δ es que debe ser lo suficientemente grande como para que las dos superficies frontales estén inmersas en el fluido ideal, es decir, lejos de la región de transición donde los efectos disipativos son importantes. Para el análisis de la discontinuidad conviene escribir las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa en forma de ecuaciones de conservación que adoptan la forma siguiente ∂ρ + ∇ · (ρ v) = 0, ∂t

(12.43)

= = ∂(ρ v) + ∇ · (ρ v v + p I − τ ) = 0, ∂t

(12.44)

303

12.4. Ecuaciones de conservación a través de una discontinuidad

= ∂[ρ(e + u2 /2)] u2 +∇· ρ h+ v − q− τ ·v = 0, ∂t 2

(12.45)

=

donde I es el tensor unidad. La condición (dσ)1/2 δ da lugar a que los flujos de las magnitudes fluidas a través de la superficie lateral del volumen de control sean peque˜ nos comparados con los flujos frontales, y a que los términos volumétricos de las ecuaciones de conservación, proporcionales a δdσ/to , donde to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, sean también despreciables frente a los términos convectivos, de orden v · ndσ; esto es, el espesor de la superficie de discontinuidad δ es tan peque˜ no que el tiempo de residencia de las part´ıculas fluidas, δ/V es muy peque˜ no frente a to y, por tanto, el movimiento es casi-estacionario en primera aproximaci´ on (V es aqu´ı la velocidad caracter´ıstica del gas respecto a la discontinuidad). En general, la discontinuidad será móvil, propag´ andose a velocidad supersónica respecto al fluido; no obstante, para el an´ alisis de la discontinuidad se tomar´ an ejes ligados a la misma, de modo que v representa aqu´ı la velocidad del fluido respecto a la discontinuidad. Con estas condiciones, las ecuaciones (12.43)-(12.45) pueden integrarse, después de usar el teorema de Gauss en el volumen de control indicado, para dar ρ1 v1 · n = ρ2 v2 · n,

(12.46)

p1 n + ρ1 (v1 · n)v1 = p2 · n + ρ2 (v2 · n)v2 ,

(12.47)

ρ1 (h1 +

v12 /2)v1

· n = ρ2 (h2 +

v22 /2)v2

· n,

(12.48)

donde se ha supuesto que no hay absorci´ on ni emisión de calor, por radiaci´ on o reacción qu´ımica, en la superficie de discontinuidad. Obsérvese que las relaciones anteriores son locales y, por tanto, válidas para cada punto sobre la superficie de discontinuidad. Proyectando la ecuaci´ on de cantidad de movimiento (12.47) en las direcciones normal y tangencial a la discontinuidad y escribiendo el resultado en términos de las componentes normal y tangencial de la velocidad, vn ≡ v · n, vt ≡ v − vn n, se obtienen las cuatro relaciones siguientes

12.4.1.

ρ1 vn1 = ρ2 vn2 ,

(12.49)

2 2 = p2 + ρ2 vn2 , p1 + ρ1 vn1

(12.50)

ρ1 vn1 vt1 = ρ2 vn2 vt2 ,

(12.51)

ρ1 vn1 (h1 + v12 /2) = ρ2 vn2 (h2 + v22 /2).

(12.52)

Discontinuidad tangencial

Existen dos tipos b´ asicos de discontinuidades en funci´ on de que haya o no flujo m´ asico a través de ella. Una discontinuidad tangencial es aquella en la cual no existe flujo m´ asico que atraviese la discontinuidad vn1 = vn2 = 0. De acuerdo con esto, las relaciones (12.49), (12.51) y (12.52) se satisfacen idénticamente para cualquier salto en las magnitudes ρ, vt y h. La ecuación (12.50) nos dice que la presión se conserva a través de la discontinuidad, p1 = p2 , lo cual es intuitivo, puesto que en caso contrario existir´ıa movimiento en la dirección normal asociado a la diferencia de presión. As´ı, en una discontinuidad tangencial, son continuas las magnitudes fluidas vn y p (vn = 0), y discontinuas todas las demás, las cuales pueden tomar valores arbitrarios a un lado y otro de la discontinuidad, puesto que las ecuaciones anteriores no fijan ninguna relaci´ on entre ellas. Un caso t´ıpico de discontinuidad tangencial es la que se forma cuando dos flujos paralelos de fluidos ideales a distinta velocidad (y, en general, con distinta densidad y temperatura) se ponen en contacto, como, por ejemplo, en el borde de salida de un perfil aerodin´ amico o en las capas de mezcla que se forman en la descarga de un chorro bidimensional o axilsimétrico a una atmósfera en


304

reposo, véase Figura 12.7. Debe indicarse, sin embargo, que este tipo de flujos no pueden, salvo en sus comienzos, ser tratados como discontinuidades fluidas por las razones siguientes: crecen muy r´ apidamente aguas abajo y, por otra parte, son muy inestables, aun a bajos n´ umeros de Reynolds, y dan lugar a capas de mezcla turbulentas que requieren un tratamiento distinto para su resoluci´ on. a) v1 v2

b)

Figura 12.7: Ejemplos de discontinuidades tangenciales. a) Capa de mezcla. b) Chorro bidimensional o axilsimétrico.

12.4.2.

Discontinuidad normal u onda de choque

Discontinuidad normal es aquella en la que hay flujo m´ asico a través de ella, vn1 = vn2 , vn1 = 0, vn2 = 0. En este caso las ecuaciones de salto (12.49)-(12.52) se reducen a las relaciones siguientes, que se denominan de Ranquine-Hugoniot, ρ1 vn1 = ρ2 vn2 ,

(12.53)

2 2 = p2 + ρ2 vn2 , p1 + ρ1 vn1

(12.54)

vt1 = vt2 ,

(12.55)

h1 +

2 vn1 /2

= h2 +

2 vn2 /2;

(12.56)

obsérvese que la entalp´ıa de remanso se conserva a través de la discontinuidad, pero no la presión de remanso. Aparte de las ondas de choque, otros ejemplos de discontinuidad normal son los frentes de combustión: deflagraciones y detonaciones. En ellos se produce una reacción qu´ımica exotérmica [por tanto, a la ecuación (12.56) hay que a˜ nadirle un término de calor de reacción] que separa una zona de gases quemados de otra de gases reactantes. El espesor de estos frentes, aunque por supuesto finito, y generalmente bastante mayor que el de una onda de choque, suele ser muy peque˜ no en relación a las escalas de longitud del flujo ideal circundante, pudiendo considerarlos, en primera aproximaci´ on, como superficies discontinuas en el fluido. Aunque aqu´ı no se entrar´ a en detalles (el lector interesado puede consultar cualquier texto sobre la teor´ıa de la combusti´ on)3 conviene indicar que para su estudio, adem´ as de las ecuaciones de conservación anteriores, es necesario considerar las ecuaciones de conservación de las especies qu´ımicas presentes, puesto que éstas 3

Por ejemplo, F.A. Williams, Combustion theory, Addison-Wesley, Redwood City, Ca., 1985.

12.5. Relación de Hugoniot

305

reaccionan qu´ımicamente entre s´ı en el interior del frente variando su concentraci´ on de un lado a otro de la discontinuidad, adem´ as de modificar la ecuación de la energ´ıa como ya se ha dicho, puesto que las reacciones qu´ımicas son exotérmicas. La escala de tiempo de las reacciones qu´ımicas suele ser muy peque˜ na en relación a los tiempos caracter´ısticos del movimiento fluido y por ello se habla de un frente (discontinuidad) de combusti´ on. Para que estas reacciones qu´ımicas se produzcan, la temperatura tiene que subir por encima de un cierto valor, ya que la cinética qu´ımica es proporcional (en un gas ideal) a exp(−Eo /Rg T ), donde Eo es una energ´ıa de activaci´ on. Superada esa temperatura (de ignición), las reacciones qu´ımicas se propagan espontáneamente debido a su carácter exotérmico; de esta forma, un frente de combusti´ on avanza hacia los gases frescos (reactantes) y los transforma, a su paso, en gases quemados. En esencia, esto es lo que se denomina una deflagraci´ on, donde la energ´ıa liberada por la reacci´ on qu´ımica (la cual se inicia por un calentamiento externo o ignici´ on) calienta por conducci´ on los gases reactantes circundantes, que as´ı reaccionan qu´ımicamente y propagan la combusti´ on. La velocidad de propagaci´ on de estas ondas de deflagración depende de la velocidad de la conducci´ on de calor, y su valor se determina como un autovalor de las ecuaciones que gobiernan el proceso interno de la onda, siendo siempre menor que la del sonido, en general de unos pocos metros por segundo (para los detalles se puede consultar, por ejemplo, la referencia antes citada). En una detonaci´ on, el calentamiento de los gases reactantes se produce mediante una onda de choque, que eleva enormemente la temperatura de los mismos y los hace reaccionar qu´ımicamente. As´ı, aunque sea considerada como una discontinuidad en la escala del flujo ideal, su estructura interna consta de dos zonas más o menos delimitadas: una onda de choque que va calienta los gases frescos seguida de una segunda región, generalmente de espesor bastante mayor, donde se produce la reacción qu´ımica y el gas se calienta a´ un más. Al ser una onda de choque la que hace posible la combusti´ on, las detonaciones se propagan supersónicamente (se verá en las secciones siguientes que toda onda de choque se mueve, relativamente al fluido circundante, a una velocidad mayor que la velocidad local del sonido). En lo que resta se discutirá sólo el caso de las ondas de choque. En particular, se considerar´ an las ondas de choque en gases ideales, tanto normales (vt = 0) como oblicuas (vt = 0), que son las u ńicas que podr´ an aparecer en algunos de los flujos considerados en las secciones siguientes.

12.5.

Relaci´ on de Hugoniot

De las relaciones (12.53)-(12.56) para un gas ideal, teniendo en cuenta que h = [γ/(γ − 1)]p/ρ, se puede deducir la relación entre los saltos de presión y de densidad a través de una onda de choque (γ − 1) − (γ + 1)(ρ2 /ρ1 ) p2 = . (12.57) p1 (γ − 1)(ρ2 /ρ1 ) − (γ + 1) Esta relación, denominada de Hugoniot, se representa en la Figura 12.8 junto con la relaci´ on isentr´ opica p2 /p1 = (ρ2 /ρ1 )γ . Se observa que para una onda de choque de intensidad infinita, p2 /p1 → ∞, la relación de densidades tiene un valor finito, ρ2 /ρ1 → (γ +1)/(γ −1), contrariamente a una compresión isentr´ opica que, en teor´ıa, puede dar lugar a una densidad infinita, ρ2 /ρ1 → ∞. Por otro lado, una onda de choque débil, p2 /p1 1, es casi isentrópica, como se puede comprobar fácilmente desarrollando en serie la relación de Hugoniot alrededor de ρ2 /ρ1 − 1 1 ρ2 p2 =1+γ − 1 + ..., (12.58) p1 ρ1 que concuerda con el desarrollo de la relación isentr´ opica alrededor de ρ2 /ρ1 1, γ γ ρ2 ρ2 ρ2 p2 = = −1+1 − 1 + .... =1+γ p1 ρ1 ρ1 ρ1

(12.59)


306 p2 p1

1

g-1 g+1

1

g+1 g-1

r1 r2

Figura 12.8: La curva sólida corresponde a la relación de Hugoniot y s´ olo tiene sentido f´ısico la parte correspondiente a p2 /p1 ≤ 1, mientras que la relación isentr´ opica se representa mediante la curva a trazos. La curva de Hugoniot representada en la Figura 12.8 se ha obtenido a partir de las ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a través de una onda de choque, (12.53)(12.56), y por tanto es posible alcanzar en principio cualquier estado termodin´ amico representado por los diferentes puntos de la curva. Sin embargo, el segundo principio de la Termodin´ amica, que expresa que debe haber un incremento de la entrop´ıa de las part´ıculas fluidas que atraviesan la onda de choque por existir procesos disipativos en el interior de la misma (efectos de viscosidad y de conducción de calor no despreciables), excluye como f´ısicamente imposibles parte de los estados termodinámicos de la curva. En efecto, teniendo en cuenta que para un gas ideal la entrop´ıa es proporcional a cv ln(p/ργ ), el salto de entrop´ıa a través de una onda de choque viene dado por γ p1 [(γ + 1)/(γ − 1)](ρ2 /ρ1 ) − 1 p2 p2 ρ1 S2 − S1 = ln = ln γ − ln γ = ln ≥ 0, (12.60) cv ρ2 ρ1 p 1 ρ2 [(γ + 1)/(γ − 1) − (ρ2 /ρ1 )](ρ2 /ρ1 )γ lo que implica que la entrop´ıa aumenta si y sólo si ρ2 γ+1 ≥ 1; ≥ γ−1 ρ1

(12.61)

esto es, una onda de choque sólo puede ser de compresión, 1 ≤ (p2 /p1 ) < ∞, excluyendo como f´ısicamente imposible, la parte inferior de la curva de Hugoniot (véase Figura 12.8) en la que p2 /p1 < 1.4 De (12.53)-(12.57) y (12.61) se obtienen las desigualdades siguientes para las restantes magnitudes fluidas ρ1 γ−1 vn2 = ≤ 1, < γ+1 vn1 ρ2 p2 ρ1 T2 = < ∞, 1≤ T1 p1 ρ2 vn2 T1 Mn2 = ≤ 1, 0< Mn1 vn1 T2 4

La inexistencia de ondas de choque de expansi´ on se demostr´ o ya en la secci´ on 12.2.

(12.62) (12.63) (12.64)

307

12.6. Ondas de choque normales

umero de Mach normal definido mediante la componente normal de donde Mn = vn /a es el n´ la velocidad relativa a la onda. Se tiene, pues, que, a través de una onda de choque, la presi´ on, la temperatura y la densidad del gas aumentan [las dos primeras magnitudes pueden hacerlo indefinidamente y la densidad hasta el l´ımite dado por (12.61)], mientras que la velocidad y el numero de Mach relativos al movimiento de la onda decrecen (tanto en sus componentes normales como en sus valores absolutos, puesto que la componente tangencial de la velocidad se conserva). En cuanto a las magnitudes de remanso se conserva la entalp´ıa de remanso como muestran (12.55) y (12.56) ρ02 p02 = . (12.65) h02 = cp T02 = cp T01 = h01 → p01 ρ01 Por otra parte, y dado que la entrop´ıa del gas aumenta al atravesar la onda, se tiene γ ρ02 ρ02 ρ02 p02 p02 = ≥ ≤1 → = ≤ 1, (12.66) p01 ρ01 ρ01 ρ01 p01 ya que γ ≥ 1: Las relaciones (12.66) muestran que la densidad y la presión de remanso disminuyen a través de la onda de choque. El hecho de que no se conserven todas las magnitudes de remanso es consecuencia de que el flujo a través de una onda de choque no es isentr´ opico. Esto no incluye a la temperatura de remanso, ya que la entalp´ıa de remanso s´ı se conserva por ser la onda de choque un proceso donde no se realiza ning´ un trabajo ni se intercambia calor y es casi estacionario, dado que el espesor es teóricamente nulo. Sin embargo, la entalp´ıa de remanso no se conserva en un frente de combusti´ on, donde se libera calor por reacci´ on qu´ımica, ni en una onda de choque que emitiera o absorbiera energ´ıa por radiaci´ on.

12.6.

Ondas de choque normales

Una onda de choque normal es aquella en la que la corriente incide y abandona la onda normalmente a la misma: vt = 0, v = vn n ≡ v n. Por supuesto, este tipo de ondas de choque aparecen sólo en movimientos unidireccionales, como en el problema del pistón de la sección (12.2), o cualquier otro movimiento supersónico en conductos de sección lentamente variable. Las relaciones de Rankine-Hugoniot (12.53)-(12.56) se suelen escribir en función del n´ umero de Mach de la corriente incidente: v2 2 (12.67) M12 = Mn1 = 12 . a1 En efecto, después de algunas manipulaciones algebraicas se llega a las siguientes expresiones que relacionan los saltos de las magnitudes fluidas a través de una onda de choque normal como funciones de M12 ρ1 2 + (γ − 1)M12 v2 = = , v1 ρ2 (γ + 1)M12

(12.68)

2γM12 + 1 − γ p2 = , p1 γ+1

(12.69)

(2γM12 + 1 − γ)[2 + (γ − 1)M12 ] T2 = ; T1 (γ + 1)2 M12

(12.70)

el n´ umero de Mach de la corriente detrás de la onda y la diferencia de entrop´ıa entre el gas delante y detrás de la onda vienen dados por las relaciones M22 =

2 + (γ − 1)M12 v22 = , 2 a2 2γM12 + 1 − γ

(12.71)


308 y

γ γ S2 − S1 2γM12 + 1 − γ 2 + (γ − 1)M12 p2 ρ1 = ln = ln . cv p1 ρ2 γ+1 (γ + 1)M12

(12.72)

Por u ´ltimo, de la condici´ on de flujo isentr´ opico delante y detr´ as de la onda y de (12.57) y (12.64), los saltos en las presiones y densidades de remanso vienen dados por ρ02 p2 [1 + (γ − 1)M22 /2]γ/(γ−1) p02 = = = p01 ρ01 p1 [1 + (γ − 1)M12 /2]γ/(γ−1)

M12 (γ + 1)(γ+1)/γ [2 + (γ − 1)M12 ][2γM12 + 1 − γ]1/γ

γ/(γ−1) .

(12.73)

Las relaciones anteriores permiten obtener las magnitudes fluidas detrás de una onda de choque normal de un gas perfecto conocidas las magnitudes delante de la onda de choque y el n´ umero de Mach incidente (y, por supuesto, de γ, que depende exclusivamente del tipo de gas). Para el caso de aire, los valores numéricos están tabulados en el Apéndice 12.I al final del cap´ıtulo. Una propiedad muy importante que se obtiene de las relaciones anteriores y del segundo principio de la Termodinámica es que el n´ umero de Mach incidente es siempre mayor o igual que la unidad, M12 ≥ 1, mientras que el n´ umero de Mach detrás de la onda es siempre menor o igual que la unidad, M22 ≤ 1. En efecto, tomando, por ejemplo, la expresi´ on (12.69), como p2 /p1 ≥ 1 debido a que S2 − S1 ≥ 0, se tiene que 2γM12 + 1 − γ ≥ γ + 1, (12.74) lo que implica M12 ≥ 1; por otra parte, para M12 → 1 (onda de choque muy débil) se obtiene, de (12.71), M22 → 1, mientras que para M12 → ∞ (onda de choque muy fuerte), M22 → (γ −1)/2γ < 1; es decir, (γ − 1)/2γ < M22 ≤ 1. Esto es, a través de una onda de choque normal el movimiento del gas, relativo a la onda de choque (no se olvide que las relaciones de salto han sido obtenidas respecto a unos ejes ligados a la onda de choque), se frena y pasa de supersónico a subsónico debido a los procesos disipativos que ocurren en su interior. Por ejemplo, si una onda de choque normal avanza en un gas en reposo (como, por ejemplo, en el problema del pistón considerado al final de la sección 12.2, donde el movimiento con amplitud no infinitesimal de un pist´ on provoca la formaci´ on de ondas simples no lineales que resultan en una onda de choque), la velocidad de ésta es supersónica, dejando tras de s´ı un gas comprimido, más caliente y moviéndose subsónicamente respecto a la onda de choque. La velocidad de la onda de choque depende del movimiento del pist´ on y su determinación cae fuera del alcance de estas notas (véase, por ejemplo, cualquiera de las referencias citadas en la lección anterior), aunque s´ı se puede resolver fácilmente un caso simple como es aquel en el cual el pistón se mueve con velocidad constante Vp . Es fácil ver que en este caso el gas detrás de la onda y el pistón se mueven con la misma velocidad. En relación a la onda, que se mueve con una cierta velocidad Vo > ao , donde ao es la velocidad del sonido del medio en reposo (a2o = γpo /ρo , po y ρo son las condiciones del gas delante de la onda), el gas detr´ as de la onda se mueve con velocidad Vo −Vp , que debe ser subsónica en relación a las condiciones del gas que deja tras de s´ı la onda, mientras que el gas incidente se acerca a la onda con velocidad Vo , ya que se encuentra en reposo respecto a tierra. As´ı, de (12.68), se tiene 2 + (γ − 1)M12 Vo − Vp = Vo (γ + 1)M12

con M12 =

Vo2 γpo /ρo

(12.75)

relación que permite obtener Vo en función de Vp y de las propiedades del fluido no perturbado, po y ρo . Una vez obtenido Vo y, por tanto, M1 , las relaciones de Rankine-Hugoniot (12.68)-(12.70) permiten obtener las condiciones del gas comprimido detrás de la onda de choque, p2 , ρ2 y T2 .

309

12.7. Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas

12.7.

Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas

Cuando una part´ıcula infinitesimal se mueve en el seno de un fluido, produce perturbaciones infinitesimales (ondas sonoras que se propagan con la velocidad del sonido en la forma de frentes de onda que son superficies esféricas que emanan del punto que ocupa la part´ıcula en cada instante. En la Figura 12.9 se muestran algunos de estos frentes de perturbaci´ on esféricos. El comportamiento de a)

b)

Onda de Mach límite

adt

U
adt

U=a zona de silencio

c)

Udt

Udt zona de silencio

adt

U>a

Udt

m=sen-1(1/M)

Figura 12.9: Propagaci´ on de una perturbaci´ on en una corriente a) subs´ onica, b) sónica y c) supersónica.

estos frentes es bastante diferente seg´ un que la velocidad de la part´ıcula sea subsónica o supersónica. Si la part´ıcula se mueve subsónicamente, U < a (M < 1), Figura 12.9(a), las perturbaciones se alejan en todas las direcciones sin alcanzarse unas a otras. Avanzan también por delante de la part´ıcula, porque recorren una distancia aδt en el intervalo de tiempo δt, durante el cual la part´ıcula sólo ha recorrido una distancia U δt. Por tanto, cuando un cuerpo se mueve subs´ onicamente su presencia se percibe en todo el campo fluido. A la velocidad sónica, U = a [M = 1; Figura 12.9(b)], las perturbaciones se mueven a la misma velocidad que la part´ıcula y se acumulan a la izquierda de ella formando un cierto tipo de frente que lleva el nombre de onda de Mach;5 un observador situado a la izquierda de la onda no percibir´ıa que el móvil se acerca. En movimiento supersónico, U > a, la situación anterior es todav´ıa más pronunciada. Las superficies esféricas de las perturbaciones no pueden seguir el r´ apido movimiento de la part´ıcula que las origin´ o. Todas ellas quedan detrás de la part´ıcula y están limitadas por una superficie c´ onica denominada cono de Mach. De acuerdo con la Figura 12.9(c), el ańgulo del cono de Mach es µ = sen−1

aδt a 1 = sen−1 . = sen−1 U δt U M

(12.76)

Cuanto mayor es el n´ umero de Mach de la part´ıcula, tanto más esbelto es el cono de Mach; por ejemplo, µ = 30o cuando M = 2 y es 11,5o cuando M = 5. En el caso l´ımite de flujo sónico, M = 1, µ = 90o , y el cono de Mach se convierte en un frente plano (onda de Mach) que se mueve con la part´ıcula [Figura 12.10(b)]. Obsérvese que la perturbación originada por la part´ıcula supersónica 5 En honor de Ernst Mach, quien en 1887 introdujo este concepto; en particular, la construcci´ on gr´ afica de la Figura 12.9, que aparece en casi todos los libros de texto de Mec´ anica de Fluidos, se debe a él.


310

de la Figura 12.9(c) no se podr´ıa percibir a no ser que el observador estuviese situado en el cono de Mach posterior; el campo fluido exterior al cono de Mach se denomina a veces zona de silencio. Por tanto, un observador en el suelo, situado debajo de la trayectoria de un avi´ on supersónico no oye el estampido o bang s´ onico, debido al cono que viaja ligado al avi´ on, hasta cierto tiempo después de haber pasado éste. La onda de Mach no tiene por qué ser cónica; por ejemplo, ondas de Mach se forman en la superficie de cualquier cuerpo sólido en movimiento supersónico debido a las rugosidades de la pared. Estas ondas no tienen necesariamente forma cónica, sino que partiendo de los distintos puntos de la superficie colapsan sobre una superficie envolvente, que constituye una discontinuidad finita u onda de choque, generalmente no normal a la corriente (véase Figura 12.10). En general, en flujos bidimensionales y tridimensionales supers´ onicos las ondas de choque dejan de ser superficies perpendiculares al movimiento del fluido y pueden adoptar formas variadas, como las que se muestran en la Figura 12.10, caracterizadas por que la componente tangencial de la velocidad no es nula sobre ellas, vt = 0. En esta sección se considerarán ondas de choque en flujos bidimensionales supersónicos; en particular, las denominadas ondas de choque oblicuas planas, que se forman, por ejemplo, en el movimiento sobre cu˜ nas y rincones. Debe a˜ nadirse, sin embargo, que las relaciones que se derivar´ an son localmente válidas para cualquier onda de choque. a)

M1 b

a a

b)

M1

a>amax(M1)

Figura 12.10: Ondas de choque en flujos alrededor de cu˜ nas. a) Onda oblicua ligada al obst´ aculo. b) Onda de choque desprendida que se forma cuando el ańgulo de la cu˜ na es superior a un determinado valor αmax . Como en las relaciones de Rankine-Hugoniot (12.53)-(12.56) para ondas de choque normales la velocidad del flujo es normal a la onda, las relaciones (12.68)-(12.73) siguen siendo v´ alidas para una onda de choque oblicua si en ellas se reemplaza v y M por sus componentes normales vn y Mn . De esta forma, sólo es necesario a˜ nadir relaciones que nos permitan conocer Mn1 en funci´ on del Mach incidente, M1 , y Mn2 en función de M2 . Llamando β al ángulo que forma la corriente incidente con el plano tangente a la onda, y α al ángulo que forma la corriente detr´ as de la onda en relación a la corriente incidente (ver Figura 12.6), se tiene vn1 = v1 sen β,

(12.77)

vn2 = v2 sen(β − α).

(12.78)

Como vt1 = vt2 = vt , se tiene además que v1 cos β = v2 cos(β − α).

(12.79)

12.7. Ondas de Mach y ondas de choque oblicuas

311

De estas relaciones y de (12.68) se llega a 2 2 + (γ − 1)Mn1 tan(β − α) vn2 = = 2 vn1 tan β (γ + 1)Mn1

(12.80)

Mn1 = M1 sen β,

(12.81)

y teniendo en cuenta (12.77), se obtiene, finalmente, la relación entre α, β y M12 , que se representa en la Figura 12.11 y que permite resolver las ondas de choque oblicuas

M12 sen2 β − 1 tan α = 2 cot β . (12.82) M12 (γ + cos 2β) + 2

Figura 12.11: Relación entre α y β para valores diferentes de M . on de la corriente α El proceso de resolución ser´ıa el siguiente: conocido M1 y, por ejemplo, la deflexi´ a través de la onda de choque (que normalmente viene impuesta por restricciones externas al flujo, véase Figura 12.10), de (12.82) se obtienen β, y posteriormente Mn1 de la ecuación (12.81). Con Mn1 y las condiciones (p1 , ρ1 ) de la corriente incidente, se obtienen las propiedades de la corriente detrás de la onda de choque (p2 , ρ2 , etc.) y el n´ umero de Mach normal Mn2 de (12.68)-(12.73). Finalmente, el n´ umero de Mach de la corriente detrás de la onda viene dado por M2 = Mn2 / sen(β − α).

(12.83)

De la Figura 12.11 se pueden extraer las siguientes propiedades de las ondas de choque oblicuas 1. Para cada valor del Mach incidente existe un ańgulo máximo de desviación αmax . Por ejemplo, en el flujo supersónico alrededor de una cu˜ na con semiángulo mayor que αmax no existe solución para una onda de choque oblicua recta como la aqu´ı encontrada, y en su lugar se forma una onda de choque curva desprendida del obst´ aculo [véase Figura 12.10(b)].

312


2.

Dados α < αmax y M1 , existen dos valores posibles de β que corresponden a una onda de choque débil y otra fuerte. La onda de choque fuerte da lugar a un ańgulo β mayor, puesto que, de (12.81), para un mismo M1 corresponde a un Mn1 mayor. Por razones de estabilidad, en la naturaleza se presenta, en general, la onda de choque más débil, la cual corresponde a onico detrás de la onda de choque (por supuesto, Mn2 < 1, M2 > 1, es decir, a un flujo supers´ seg´ un se vio en la sección anterior). Las ondas de choque fuertes dan lugar a M2 < 1 (flujo subsónico) y no suelen presentarse en la práctica, salvo que las condiciones detrás de la onda as´ı lo exigiesen; por ejemplo, si la presión detrás de la onda de choque fuese incrementada por alg´ un mecanismo independiente a la onda. La raz´ on es que las perturbaciones generadas detr´ as de la onda pueden avanzar hacia la onda y desestabilizarla si el flujo detr´ as de la onda es subsónico M2 < 1 (flujo m´ as inestable).

3.

Conviene indicar que α = 0, β = π/2 con M1 = 0 y α = 0 con β = µ = sen−1 (1/M1 ) son también soluciones de (12.82) y corresponden respectivamente a una onda de choque normal y a una onda de Mach.

4.

Fijado un valor de α, el ángulo de la onda β incrementa al decrecer M1 y existe un n´ umero de Mach m´ınimo por debajo del cual no existe soluci´ on con onda de choque ligada a la cu˜ na, (obsérvese que se consideran las soluciones f´ısicas, esto es, las soluciones débiles). Este n´ umero de Mach m´ınimo corresponde a α = αmax , y para n´ umeros de Mach menores que él, la onda de choque se separa, tal y como se ilustra en la Figura 12.10(b).

12.8.

Expansi´ on de un flujo supers´ onico

Hasta aqu´ı se han considerado sólo ondas de choque, o de compresión, a través de las cuales el fluido incrementa su presión, temperatura y densidad. Existen también, sin embargo, ondas de expansi´ on, aunque éstas no satisfacen las relaciones de Rankine-Hugoniot (es decir, no son propiamente discontinuidades fluidas), ya que en tal caso violar´ıan, como se vio en la sección 12.6, el segundo principio de la Termodin´ amica. Como se verá en lo que sigue, las ondas de expansión son ondas casi isentrópicas y ocupan una regi´ on finita del flujo ideal.

12.8.1.

Expansi´ on de Prandtl-Meyer

En esta sección se va a considerar un tipo especial de onda de expansi´ on que se produce cuando un flujo supers´ onico bordea una esquina, véase Figura 12.12. Este tipo de flujo, denominado expansi´ on de Prandtl-Meyer, es la ant´ıtesis de la onda de choque oblicua generada cuando una corriente supersónica libre incide sobre un rinc´ on. Como se verá en lo que sigue, la expansión de Prandtl-Meyer no puede ser considerada como una discontinuidad fluida, sino que est´ a constituida por un abanico de ondas de Mach entre el flujo incidente y el flujo saliente de la expansi´ on; la región de expansión está as´ı limitada por las caracter´ısticas 1 y 2 que forman los ángulos µ1 = arc sen(1/M1 ) y µ2 = arc sen(1/M2 ) con las direcciones respectivas de la corriente; M1 y M2 son los n´ umeros de Mach de la corriente incidente y saliente (la dirección de esta u ´ltima forma un ángulo α con la primera). El n´ umero de Mach y el resto de las magnitudes fluidas son constantes a lo largo de cada onda caracter´ıstica y al estar formada la expansión por una sucesión infinita de ondas de Mach las magnitudes fluidas var´ıan continuamente a través de ellas. Por tanto, las l´ıneas de corriente son continuas a través de la expansión, contrariamente a lo que ocurre en una onda de choque, siendo además el proceso isentrópico, ya que dS 0 a través de cada onda de Mach.

313

12.8. Expansi´ on de un flujo supers´ onico 1 m1

M1>1 q1

m

2

M m2

q

M2>M1

q2 a

Figura 12.12: Expansi´ on de una corriente supers´ onica a través de una esquina.

Considérese, entonces, el flujo supersónico alrededor de una esquina formada por dos paredes planas que forman un ańgulo α, Figura 12.12.6 Lo que se desea calcular son las condiciones a la salida de la onda, M2 , p2 y T2 , conocidas las magnitudes del flujo supers´ onico incidente, M1 , p1 y T1 y el ángulo de deflexi´ on α. El an´ alisis de este problema es sencillo, ya que, debido a que las condiciones aguas arriba son uniformes, las magnitudes fluidas en la expansi´ on dependen solamente del ángulo θ que se ha deflectado la corriente y no de la distancia a la esquina. En coordenadas polares, (r, θ), con origen en la esquina, y en el supuesto de que las magnitudes fluidas sean independientes de r, las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y conservaci´ on de la entrop´ıa se reducen a ρvr + d(ρvθ )/dθ = 0, (12.84) v2 dvr vθ dvr − θ =0 → = vθ , r dθ r dθ vθ vr 1 dp vθ dvθ + =− , r dθ r ρr dθ p/ργ = p1 /ργ1 ,

(12.85) (12.86) (12.87)

donde vr y vθ son las componentes de la velocidad seg´ un los ejes r y θ. Si se tiene en cuenta que (1/ρ)dp/dθ = dh/dθ por ser la corriente isentr´ opica, (T dS = 0), la integraci´ on de la ecuación (12.86) teniendo en cuenta (12.85) proporciona h+

v2 v2 v2 vr2 + θ =h+ = h1 + 1 , 2 2 2 2

(12.88)

que expresa la conservación de la entalp´ıa de remanso a través de la expansión. Desarrollando la ecuación de continuidad (12.84) se llega a ρvr + ρ

dvθ dρ vθ dp dvθ + vθ = ρvr + ρ + 2 = 0, dθ dθ dθ a dθ

y eliminando la presi´ on por medio de (12.86) se obtiene finalmente dvθ vθ 2 vr + 1 − 2 = 0. dθ a

(12.89)

(12.90)

6 Este tipo de expansi´ on fue originalmente estudiado por Prandtl (1907) y su disc´ıpulo Meyer (1908), y de ah´ı su nombre.


314

Como puede comprobarse fácilmente por simple inspección de la ecuación (12.90), esta ecuación admite las soluciones dvθ = 0 y vθ = ±a. vr + (12.91) dθ Si la primera de las soluciones de (12.91) se sustituye en (12.86) se comprueba fácilmente que la presi´ on es constante y, por tanto, de (12.87) también lo es la densidad y el resto de magnitudes fluidodin´ amicas, de modo que la solución ensayada es la solución trivial correspondiente a una corriente uniforme que naturalmente no satisface las condiciones de contorno excepto en el caso trivial α = 0. La solución vθ = a, con θ tomado positivo en la dirección de las agujas del reloj,7 sustituida en (12.88) proporciona

1/2 γ+1 2 2 2 1/2 2 , vθ = a. a = 2h1 + v1 − (12.92) vr = [2h1 + v1 − 2h − a ] γ−1 De (12.85) teniendo en cuenta (12.92) se obtiene dθ =

γ+1 da dvr =− = a γ − 1 [2h1 + v12 − (γ + 1)a2 /(γ − 1)]1/2 −

γ+1 γ−1

1/2

da , [a∗2 − a2 ]1/2

(12.93)

que integrada proporciona θ=

γ+1 γ−1

donde a

∗2

1/2

a + constante, a∗

cos−1

2(γ − 1) = γ+1

v2 h1 + 1 2

(12.94)

,

(12.95)

y el valor de la constante de integraci´ on en (12.94) es irrelevante, puesto que aparecen diferencias de la funci´ on ángulo. Se tiene entonces 1/2 1/2 1/2 γ−1 γ−1 γ+1 a∗ sen vθ = a = a∗ cos θ, vr = θ (12.96) γ+1 γ−1 γ+1 y γ+1 tan2 M =1+ γ−1 2

γ−1 γ+1

1/2 θ

o θ=

γ+1 γ−1

1/2

−1

tan

1/2 γ−1 2 . (M − 1) γ+1

(12.97)

Obsérvese que a lo largo de las rectas θ = const se mantienen constantes las magnitudes fluidas, de modo que estas rectas son caracter´ısticas del movimiento. La primera caracter´ıstica forma un ángulo con la corriente dado por µ1 = sen−1

1 1 = tan−1 2 . M1 M1 − 1

(12.98)

La posición de esta caracter´ıstica respecto al origen de ángulos (véase Figura 12.12) puede obtenerse de (12.97) 1/2

1/2 γ−1 γ+1 tan−1 , (12.99) θ1 = (M12 − 1) γ−1 γ+1 7

La soluci´ on vθ = −a debe tomarse si el ´ angulo θ se mide en la direcci´ on contraria a las agujas del reloj.

315

12.8. Expansi´ on de un flujo supers´ onico y el ángulo de la corriente medido desde la referencia es ν(M1 ) = θ1 + µ1 ;

(12.100)

obsérvese de (12.94) que el origen de ángulos es la l´ınea donde a = a∗ . El ángulo de la corriente en una caracter´ıstica genérica, de Mach M es, por tanto, ν(M ) = θ(M ) + µ(M ) =

γ+1 γ−1

1/2

−1

tan

1/2 γ−1 1 2 , + tan−1 √ (M − 1) γ+1 M2 − 1

(12.101)

y la desviación experimentada por el flujo ν(M ) − ν(M1 ).

(12.102)

La funci´ on ν(M ), denominada de Prandtl-Meyer, para el caso γ = 1,4 se encuentra tabulada al final de este cap´ıtulo en el Apéndice 12.II; en este Apéndice se incluyen también los valores del ángulo µ de las ondas de Mach. El proceso de cálculo ser´ıa el siguiente: dado M1 se determina ν(M1 ) mediante el Apéndice 12.II y conocido el ángulo de deflexi´ on de la corriente α se determina ν(M2 ) a partir de ν(M2 ) = ν(M1 ) + α

(12.103)

y el valor de M2 con ayuda del Apéndice 12.II. Conocido M2 , y teniendo en cuenta que la expansi´ on es isentrópica y adiab´ atica (12.87)-(12.88) (se conservan las magnitudes de remanso), se calcular´ıan todas las magnitudes fluidas detr´ as de la expansión; por ejemplo, 1+ T1 = T2 1+

γ−1 2 2 M2 , γ−1 2 2 M1

1+ p1 = p2 1+

γ−1 2 2 M2 γ−1 2 2 M1

γ/(γ−1) .

(12.104)

Al ser ν(M ) una funci´ on monótona creciente (véase Apéndice 12.II) se tiene M2 > M1 > 1; es decir, el flujo se acelera, se hace más supersónico, a través de una expansión de Prandtl-Meyer. Por otro lado, de (12.104) se tiene T2 < T1 , p2 < p1 y ρ2 < ρ1 : temperatura, presión y densidad disminuyen a través de una onda de expansi´ on, contrariamente a lo que ocurr´ıa en una onda de choque o de compresión. Obsérvese que para un valor dado M1 del n´ umero de Mach de la corriente incidente existe un ángulo máximo de deflexión dado por αmax = ν(∞) − ν(M1 ) =

γ+1 π − tan−1 γ−1 2

γ−1 1 2 , (M1 − 1) − tan−1 2 γ+1 M1 − 1

(12.105)

que se obtiene cuando una corriente sónica se expande hasta el vac´ıo (M2 = ∞, p2 = T2 = 0). Por tanto, cuando una corriente supers´ onica se expande a través de una esquina de ángulo α mayor que el máximo ángulo de desviación, αmax , la corriente se expande hasta el vac´ıo y se separa de la pared como se muestra en la Figura 12.13. Si la corriente fuese sónica se obtendr´ıa el valor máximo del ángulo de deflexi´ on de la corriente cuyo valor es γ+1 π −1 . (12.106) ν(∞) − ν(1) = 2 γ−1


316

Figura 12.13: Expansi´ on de una corriente supersónica a través de una esquina de ángulo mayor que el máximo de expansión.

12.8.2.

Ondas simples estacionarias en una corriente supers´ onica

Considérese ahora el caso de la expansión de un flujo supers´ onico a través de una pared convexa cuyo perfil yp (xp ) es dado, Figura 12.14. A la izquierda del origen de coordenadas (x < 0), la pared es recta y comienza a curvarse a su derecha. Aguas arriba de la caracter´ıstica que forma un ´ angulo µ1 con x, la corriente no está perturbada y el n´ umero de Mach es M1 > 1. El ángulo µ1 es 1 µ1 = tan−1 2 M1 − 1

(12.107)

y el ángulo θ1 de esta caracter´ıstica, véase (12.99), es θ1 =

γ+1 γ−1

1/2

−1

tan

1/2 γ−1 2 . (M − 1) γ+1 1

(12.108)

Aguas abajo de la caracter´ıstica que pasa por el origen, la informaci´ on de la curvatura de la pared

q1

p1, T1 M1>1

m1 y

x

q m M, p, T

Figura 12.14: Expansi´ on de una corriente supersónica producida por una pared c´ oncava. se propaga a través de caracter´ısticas que parten de cada punto de la pared e informan al fluido

12.9. Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario

317

para ajustar su desviaci´ on a la de la pared (la condici´ on de contorno exige que la corriente sea localmente paralela a la pared). En este caso las caracter´ısticas son rectas, ya que las magnitudes fluidas son constantes a lo largo de ellas.8 La ecuación de la caracter´ıstica, que parte del punto de la pared de coordenadas [xp , y(xp )] es y − yp (xp ) = tan(θ1 + µ1 − θ)(x − xp ),

(12.109)

donde θ viene dado por (12.97) y el n´ umero de Mach a través de la caracter´ıstica se calcula usando (12.101) en la condición d yp −1 − θ + µ = θ1 + µ1 + tan . (12.110) d xp Una vez determinado el valor de M , el resto de las magnitudes fluidas se calcula entonces a partir de la conservaci´ on de la entrop´ıa y la entalp´ıa de remanso (12.104). Obsérvese que el ángulo (θ1 +µ1 −θ) entre la caracter´ıstica y el eje x decrece monótonamente de modo que las caracter´ısticas no se cruzan en la región del flujo donde est´ an definidas y la soluci´ on dada es uniformemente válida en todo el dominio fluido.

12.9.

Aguas someras. Movimiento casi-unidireccional, no estacionario

Existe una notable analog´ıa entre la din´ amica de gases y la corriente de un l´ıquido con superficie libre bajo la acci´ on de la gravedad cuando la profundidad del l´ıquido es peque˜ na comparada con las longitudes del canal por el que discurre (aguas someras). En este caso, la componente vertical de la velocidad es peque˜ na comparada a la paralela a la superficie, que puede suponerse constante a través de la capa de fluido.9 Como se verá en lo que sigue, en esta aproximación, denominada hidr´ aulica, el fluido puede considerarse como un medio definido por la velocidad, que es independiente de la profundidad y la altura de la superficie. La resoluci´ on del problema hidr´ aulico consiste en encontrar la velocidad y la altura de la superficie libre como funci´ on de la posición y del tiempo. Considérese una capa bidimensional de l´ıquido de espesor h(x, t) como la indicada en la Figura 12.15. Si u y w son las componentes horizontal y vertical de la velocidad, las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para un l´ıquido no viscoso son ∂u ∂w + = 0, ∂x ∂z

(12.111)

∂u ∂u 1 ∂p ∂u +u +w =− , ∂t ∂x ∂z ρ ∂x

(12.112)

∂w ∂w 1 ∂ (p + ρ g z) ∂w +u +w =− . ∂t ∂x ∂z ρ ∂z Como condiciones de contorno se impondrán:

(12.113)

a) La superficie libre F (x, z, t) = z − h(x, t) = 0 es una superficie fluida ∂h ∂h DF =− − u(x, h) + w(x, h) = 0; Dt ∂t ∂x

(12.114)

8 Las propiedades de la corriente considerada aqu´ ı son enteramente an´ alogas desde el punto de vista matem´ atico al de las ondas de expansi´ on descritas en el movimiento no estacionario de la din´ amica de gases unidireccional (véase 13.2 ). 9 Por ser el movimiento a altos n´ umeros de Reynolds los efectos de la viscosidad est´ an confinados en una capa l´ımite muy delgada adyacente a la solera del canal; fuera de esta capa la velocidad horizontal (paralela a la superficie) es constante con gran aproximaci´ on.


318

b) El salto de presiones a través de la superficie libre es nulo; esto implica suponer fuerzas de tensión superficial despreciables frente a las gravitatorias o lo que es lo mismo, grandes n´ umeros de Bond (ρ g L2 /ζ 1), donde L representa la longitud caracter´ıstica de variación de las magnitudes fluidas en la dirección del eje x o longitud de onda de la perturbaci´ on, que es grande también frente a h; c) En el fondo del canal, que se considera plano, z = 0, la velocidad vertical es nula w(x, 0) = 0.

(12.115)

Figura 12.15: Capa l´ıquida bidimensional. Si U y W representan las magnitudes caracter´ısticas de las velocidades horizontales y verticales y ho y L son la profundidad t´ıpica y la distancia caracter´ıstica que hay que recorrer para encontrar variaciones de la profundidad del orden de ho (ho L), se tiene de (12.111) que W ∼ U ho /L U . Por otra parte, es f´ acil comprobar de (12.112) y (12.113) que las variaciones transversales de presión ∆T (p + ρ g z) son peque˜ nas frente a las variaciones longitudinales ∆L p. Más precisamente 2 2 ho ho ∼ ∆L p ∆L p. (12.116) ∆T (p + ρ g z) ∼ ρ w2 ∼ ρ U 2 L L La razón f´ısica de lo anterior estriba en el hecho de que si la profundidad es somera, las velocidades verticales son peque˜ nas y, por tanto, las aceleraciones verticales y las variaciones de presión necesarias para producirlas lo son también; se tiene, por tanto, p + ρ g z = pa + ρ g h(x, t);

(12.117)

conviene recordar que el movimiento de un fluido no viscoso, bar´ otropo, bajo la acci´ on de fuerzas másicas que derivan de un potencial, que parte inicialmente del reposo, es irrotacional ∂w ∂u − = 0. ∂x ∂z

(12.118)

De la ecuación (12.117) se obtiene ∆ x w ho ∆z u ∼ , (12.119) U U L donde ∆z u y ∆x w representan las variaciones verticales y horizontales de las componentes de velocidad horizontal y vertical respectivamente. Desde que w es nula en el fondo, las variaciones de velocidad vertical son del orden de ella misma y la ecuación (12.118), teniendo en cuenta que W ∼ U ho /L, proporciona 2 W ho ho ∆z u 1, (12.120) ∼ ∼ U U L L


319

que muestra que en primera aproximaci´ on u es independiente de z. Si ahora se multiplica (12.111) por dz y se integra a través de la capa entre 0 y h(x, t), y se tiene en cuenta (12.115), se llega a h

∂u + w(h, x) = 0. ∂x

(12.121)

Sustituyendo (12.114) en (12.121) se tiene ∂ h ∂(u h) + = 0. ∂t ∂x

(12.122)

Nótese que la ecuación (12.122) puede obtenerse también mediante el uso de la ecuación de conservación de la masa en forma integral aplicado al volumen infinitesimal indicado en la Figura 12.15 (volumen por unidad de longitud perpendicular a la figura). En efecto, la variaci´ on con el tiempo de la masa contenida en el volumen infinitesimal es igual al gasto neto que lo abandona ∂ (ρ h d x) + d(ρ u h) = 0, ∂t

(12.123)

y dado que x y t son independientes se recupera (12.122). Finalmente, la ecuación (12.112), teniendo en cuenta (12.117) y (12.119) se escribe ∂u ∂h ∂u +u +g = 0, ∂t ∂x ∂x

(12.124)

que junto con (12.122) constituyen una pareja de ecuaciones para el c´ alculo de u(x, t) y h(x, t) cuando se imponen condiciones de contorno e iniciales apropiadas; esta pareja de ecuaciones constituye la denominada aproximaci´ on hidr´ aulica. Es interesante rese˜ nar la analog´ıa existente entre las ecuaciones de la hidráulica y las del movimiento unidireccional de un gas politr´ opico con γ = 2. En ese caso, las ecuaciones que gobiernan el movimiento del gas ser´ıan ∂ ρ ∂(ρ u) + = 0, (12.125) ∂t ∂x ∂u 1 ∂p ∂u +u =− , (12.126) ∂t ∂x ρ ∂x p = C; (12.127) ρ2 teniendo en cuenta (12.127), la ecuación (12.126) se transforma en ∂u ∂u dρ +u = −2 C , ∂t ∂x dx

(12.128)

de modo que (12.125) y (12.128) se convierten en (12.122) y (12.124) cuando la densidad del gas se sustituye por la altura de la capa l´ıquida y 2 C por g. Es fácil comprobar que las ecuaciones (12.122) y (12.124) pueden escribirse en la forma ∂ ∂u ∂ (2 g h) + u (2 g h) + g h = 0, ∂t ∂x ∂x ∂ ∂u ∂u +u + gh (2 g h) = 0, ∂t ∂x ∂x y en forma caracter´ıstica


320

∂ ∂ (u ± 2 g h) + (u ± g h) (u ± 2 g h) = 0. ∂t ∂x Los invariantes de Riemann son en este caso I ± = u ± 2 g h,

(12.129)

(12.130)

y se mantienen constantes a lo largo de las familias de caracter´ısticas respectivas C± ≡

dx − (u ± g h) = 0. dt

(12.131)

√ Obsérvese que ± gh es la velocidad relativa al fluido con que se propaga, a lo largo del eje x, cualquier peque˜ na perturbaci´ on en las magnitudes fluidas originada en un punto cualquiera del dominio fluido y juega aqu´ı el mismo papel que la velocidad del sonido en la din´ amica de gases. N´ otese que este resultado fue obtenido en el Cap´ıtulo 11 al determinar la velocidad de propagaci´ on de las peque˜ nas perturbaciones de la ondas gravitatorias en la superficie libre de un l´ıquido en el l´ımite en el que la longitud de onda es grande frente a la profundidad √ del medio. √ Como en la din´ amica de gases, si el fluido se mueve con velocidades menores que g h (u < g h), el flujo se denomina subcr´ıtico y las perturbaciones se propagan aguas arriba y aguas abajo√del punto en √ que se originan. Por el contrario, si el fluido se mueve con velocidades superiores a g h) (u > g h), el flujo se denomina supercr´ıtico y la perturbaci´ on sólo se propaga aguas abajo del punto en que se origina. Como ocurr´ıa en los gases, la deceleración de un flujo supercr´ıtico es no isentrópica y tiene lugar a través de una discontinuidad, denominada resalto hidr´ aulico, cuyo espesor es peque˜ no comparado con las dimensiones caracter´ısticas de la corriente. A través del resalto la superficie del l´ıquido experimenta una variaci´ on más o menos brusca de su altura y parte de la energ´ıa cinética del l´ıquido se disipa por viscosidad. El resalto hidr´ aulico es equivalente a una onda de choque en el movimiento supersónico del gas. El movimiento es supercr´ıtico delante del resalto, esto es, el n´ umero de Froude es mayor que la unidad, mientras que es subcr´ıtico, F r < 1, detrás.

Figura 12.16: Resalto hidráulico. Como en las ondas de choque, las relaciones de salto pueden ser obtenidas de las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento en forma integral a un volumen de control como el de la Figura 12.16 que incluya el resalto. En ejes ligados al resalto es estacionario, el l´ıquido delante de él se mueve con velocidad u1 y su altura es h1 mientras que h2 y u2 son respectivamente los valores de la altura y velocidad del l´ıquido detr´ as del resalto. Nótese que se está suponiendo

321


que el espesor del resalto es peque˜ no comparado con las longitudes caracter´ısticas de variación de las magnitudes fluidas detr´ as y delante de él. La ecuación de conservación de la masa proporciona u1 h1 = u2 h2

(12.132)

y la ecuación de cantidad de movimiento ρv · ndσ = − p · ndσ Σ

(12.133)

Σ

Pproyectada en la dirección del movimiento se proporciona

h1

−

ρ u21

dz +

o

o

h1

h2

ρ u22 d z =

o

h2

[pa + ρ g(h1 − z)]d z −

[pa + ρ g(h2 − z)]d z +

o

h2

pa d z.

(12.134)

h1

√ Después de integrar, simplificar e introducir el n´ umero de Froude incidente F1 = u1 / g h1 se obtiene # h1 h2 1 u2 = , = ( 1 + 8 F12 − 1); (12.135) u1 h2 h1 2 Obsérvese que la altura del l´ıquido aumenta al pasar el resalto h2 /h1 > 1 si F1 > 1 mientras que su velocidad disminuye u2 /u1 < 1. Para conocer si delante del resalto es F ≥ 1 y, por tanto, si la altura aumenta a través del resalto, es necesario calcular la variación por unidad de tiempo de la energ´ıa mecánica contenida en el volumen de control. Es importante se˜ nalar que debido a la disipaci´ on viscosa el flujo de energ´ıa mecánica (cinética más potencial) que entra en el volumen de control debe ser mayor que el que sale u1 h1 [u22 /2 − u21 /2 + g(h2 − h1 )] ≤ 0. (12.136) Teniendo en cuenta las relaciones (12.135) la ecuación (12.136) proporciona 3 h2 ≤ 0, 1− h1

(12.137)

y por tanto h2 /h1 ≥ 1, y consecuentemente F1 > 1. La disipación viscosa impone, por tanto, que la altura del l´ıquido aumente a través del resalto y que éste se propague con velocidad supercr´ıtica respecto al medio considerado en reposo. Como ilustración a la teor´ıa de aguas someras estudiada anteriormente, considérese el fallo de una presa que separa, en un canal, agua a dos alturas diferentes. Cuando la presa falla, se forma un resalto que se propaga supercr´ıticamente en el medio en reposo de altura h1 como se indica en la Figura 12.17. Ondas de expansión viajan en direcci´ on opuesta al resalto para informar al medio que debe disminuir su altura y ponerse en movimiento siguiendo al resalto. La solución de este problema puede calcularse fácilmente mediante el método de las caracter´ısticas. En efecto, la información se propaga hacia la derecha a través de las caracter´ısticas C + definidas por la ecuación dx = u + g h; (12.138) dt


322

Figura 12.17: Resalto hidráulico y expansión producidas por la rotura de una presa.

estas caracter´ısticas arrancan de la zona sin perturbar (u = 0, h = h4 ), véase Figura 12.18; a través de ellas se conserva la cantidad u + 2 g h = 2 g h4 , (12.139) y en virtud de la constancia de h4 la relación (12.139) se satisface en cada instante en cualquier punto del dominio fluido perturbado.

Figura 12.18: Método de las caracter´ısticas. Rotura de una presa. Por otra parte, la familia de caracter´ısticas de ecuación dx = u − g h, dt

(12.140)

que, usando (12.139), se escribe en la forma 3 dx = u − g h4 , dt 2

(12.141)

son l´ıneas rectas, puesto que u es constante sobre cada una de ellas aunque var´ıe de una curva a otra de la familia. Integrando la ecuaci´ on (12.141) con la condici´ on de contorno u = 0 sobre la √ caracter´ıstica x/t = − g h4 , se tiene 2 x + g h4 , (12.142) u= 3 t


323

y de (12.139)

1 x gh = 2 g h4 − . 3 t Sustituyendo (12.142) y 12.143 en la ecuación de las caracter´ısticas C − dx x = u − gh = , dt t

(12.143)

(12.144)

que muestra que las caracter´ısticas C − tienen de ecuación x/t = constante. La expansión representada por (12.142) y (12.143) es válida para puntos x e instantes de tiempo t tales que x x ∗ , (12.145) − g h4 ≤ ≤ t t donde (x/t)∗ representa la caracter´ıstica l´ımite para la que se alcanzan los valores de la velocidad de la corriente u = u2 y altura de la misma h = h2 detr´ as del resalto hidráulico

x ∗ 3 = u 2 − g h4 . (12.146) t 2 Para puntos x e instantes t tales que

x ∗ t

≤

x ≤ U, t

(12.147)

siendo U la velocidad de propagaci´ on del resalto, existe una zona de velocidad u2 y altura h2 que son uniformes e iguales a los valores de la velocidad y altura detr´ as del resalto. Para calcular estos valores as´ı como el valor de (x/t)∗ y la velocidad de propagaci´ on del resalto U se utilizarán las relaciones de salto (12.135) con ejes ligados al resalto; se tiene entonces h1 U − u2 u2 =1− = U U h2 junto con 1 h2 = h1 2

#

1 + 8F12 − 1

o

u2 h1 =1− , U h2

con F12 =

U2 . g h1

(12.148)

(12.149)

De (12.142) y (12.143) se tiene

x ∗ t y

3 2 3 = u2 − g h 4 = U 1 − − g h4 , 2 2 1 + 8U 2 /(g h1 )

2 3 1 (x/t)∗ 1 1 + 8U 2 /(g h1 ) − 1 = 2 h4 /h1 − √ , 2 9 g h1

(12.150)

(12.151)

que forman una pareja de ecuaciones algebraicas para determinar (x/t)∗ y U . Una vez conocidos estos valores, (12.149) y (12.151) proporcionan los valores de u2 y h2 .

Referencias y fuentes de lectura complementaria W. G. Vincenti y Ch. H. Kruger, Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics, Krieger, Nueva York, 1977. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Teórica, vol. 5, Pergamon, 1958. L. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gasdynamics, John Wiley, Nueva York, 1957.


324

´ APENDICE 12.I SALTO DE MAGNITUDES FLUIDAS ´ DE UNA ONDA DE CHOQUE A TRAVES Mn1 1.000E+00 1.100E+00 1.200E+00 1.300E+00 1.400E+00 1.500E+00 1.600E+00 1.700E+00 1.800E+00 1.900E+00 2.000E+00 2.100E+00 2.200E+00 2.300E+00 2.400E+00 2.500E+00 2.600E+00 2.700E+00 2.800E+00 2.900E+00 3.000E+00 3.500E+00 4.000E+00 4.500E+00 5.000E+00 5.500E+00 6.000E+00 6.500E+00 7.000E+00 7.500E+00 8.000E+00 8.500E+00 9.000E+00 9.500E+00 1.000E+01 1.000E+06

Mn2 1.000E+00 9.118E-01 8.422E-01 7.860E-01 7.397E-01 7.011E-01 6.684E-01 6.405E-01 6.165E-01 5.956E-01 5.774E-01 5.613E-01 5.471E-01 5.344E-01 5.231E-01 5.130E-01 5.039E-01 4.956E-01 4.882E-01 4.814E-01 4.752E-01 4.512E-01 4.350E-01 4.236E-01 4.152E-01 4.090E-01 4.042E-01 4.004E-01 3.974E-01 3.949E-01 3.929E-01 3.912E-01 3.898E-01 3.886E-01 3.876E-01 3.780E-01

p2 /p1 1.000E+00 1.245E+00 1.513E+00 1.805E+00 2.120E+00 2.458E+00 2.820E+00 3.205E+00 3.613E+00 4.045E+00 4.500E+00 4.978E+00 5.480E+00 6.005E+00 6.553E+00 7.125E+00 7.720E+00 8.338E+00 8.980E+00 9.645E+00 1.033E+01 1.413E+01 1.850E+01 2.346E+01 2.900E+01 3.513E+01 4.183E+01 4.913E+01 5.700E+01 6.546E+01 7.450E+01 8.413E+01 9.433E+01 1.051E+02 1.165E+02 1.167E+12

ρ2 /ρ1 1.000E+00 1.169E+00 1.342E+00 1.516E+00 1.690E+00 1.862E+00 2.032E+00 2.198E+00 2.359E+00 2.516E+00 2.667E+00 2.812E+00 2.951E+00 3.085E+00 3.212E+00 3.333E+00 3.449E+00 3.559E+00 3.664E+00 3.763E+00 3.857E+00 4.261E+00 4.571E+00 4.812E+00 5.000E+00 5.149E+00 5.268E+00 5.365E+00 5.444E+00 5.510E+00 5.565E+00 5.612E+00 5.651E+00 5.685E+00 5.714E+00 6.000E+00

T2 /T1 1.000E+00 1.065E+00 1.128E+00 1.191E+00 1.255E+00 1.320E+00 1.388E+00 1.458E+00 1.532E+00 1.608E+00 1.688E+00 1.770E+00 1.857E+00 1.947E+00 2.040E+00 2.138E+00 2.238E+00 2.343E+00 2.451E+00 2.563E+00 2.679E+00 3.315E+00 4.047E+00 4.875E+00 5.800E+00 6.822E+00 7.941E+00 9.156E+00 1.047E+01 1.188E+01 1.339E+01 1.499E+01 1.669E+01 1.849E+01 2.039E+01 1.944E+11

p2o /p1o 1.000E+00 9.989E-01 9.928E-01 9.794E-01 9.582E-01 9.298E-01 8.952E-01 8.557E-01 8.127E-01 7.674E-01 7.209E-01 6.742E-01 6.281E-01 5.833E-01 5.401E-01 4.990E-01 4.601E-01 4.236E-01 3.895E-01 3.577E-01 3.283E-01 2.129E-01 1.388E-01 9.170E-02 6.172E-02 4.236E-02 2.965E-02 2.115E-02 1.535E-02 1.133E-02 8.488E-03 6.449E-03 4.964E-03 3.866E-03 3.045E-03 3.599E-28

Tabla 12.1 N´ umero de Mach y salto de presiones, densidades, temperaturas y presiones de remanso a través de una onda de choque en función del n´ umero Mach incidente.

325

12.II. Funci´ on de Prandtl-Meyer

´ APENDICE 12.II ´ DE PRANDTL-MEYER FUNCION M 1,000E+00 1,100E+00 1,200E+00 1,300E+00 1,400E+00 1,500E+00 1,600E+00 1,700E+00 1,800E+00 1,900E+00 2,000E+00 2,200E+00 2,400E+00 2,600E+00 2,800E+00 3,000E+00 3,500E+00 4,000E+00 4,500E+00 5,000E+00 6,000E+00 7,000E+00 8,000E+00 9,000E+00 1,000E+01 2,000E+01 5,000E+01

ν 0,000E+00 2,332E-02 6,210E-02 1,077E-01 1,569E-01 2,078E-01 2,594E-01 3,108E-01 3,617E-01 4,117E-01 4,604E-01 5,538E-01 6,413E-01 7,228E-01 7,984E-01 8,684E-01 1,022E+00 1,148E+00 1,254E+00 1,343E+00 1,483E+00 1,588E+00 1,669E+00 1,733E+00 1,786E+00 2,028E+00 2,177E+00

µ 9,000E+01 6,538E+01 5,644E+01 5,028E+01 4,558E+01 4,181E+01 3,868E+01 3,603E+01 3,375E+01 3,176E+01 3,000E+01 2,704E+01 2,462E+01 2,262E+01 2,092E+01 1,947E+01 1,660E+01 1,448E+01 1,284E+01 1,154E+01 9,594E+00 8,213E+00 7,181E+00 6,379E+00 5,739E+00 2,866E+00 1,146E+00

Tabla 12.2 Valores de µ y ν como función del n´ umero de Mach.

Cap´ıtulo 13

Flujo potencial alrededor de obst´ aculos 13.1.

Introducci´ on

Como es sabido, el valor de la viscosidad cinemática del aire en condiciones estándar, ν = µ/ρ = 1,5 × 10−5 m2 s−1 , es tan peque˜ no (también para el agua ν = 10−6 m2 s−1 ) que el n´ umero de Reynolds para la mayor´ıa de los flujos que tienen lugar en la naturaleza y en el a´mbito de ´ es, por ejemplo, la situación en Aeronáutica, donde el n´ la ingenier´ıa es muy grande. Esa umero 6 de Reynolds var´ıa entre 10 y 108 para las velocidades y longitudes caracter´ısticas t´ıpicas de los aviones. Dado que el n´ umero de Reynolds es una medida del cociente entre las fuerzas de inercia convectivas y las de viscosidad, las u ´ltimas serán despreciables en el movimiento fluido en tanto que el n´ umero de Reynolds sea grande. Se ha visto, no obstante, que la soluci´ on no viscosa o ideal no es uniformemente válida en todo el dominio fluido. Cerca de las paredes s´ olidas existe una capa muy delgada, denominada capa l´ımite, donde las fuerzas de viscosidad se hacen tan importantes como las de inercia y deben ser retenidas en la ecuación de cantidad de movimiento sin importar cuán grande sea el n´ umero de Reynolds de la corriente. Como se indicó en (10.25) la razón del espesor de la capa l´ımite sobre un obstáculo a la longitud caracter´ıstica de éste en la dirección del movimiento es del orden de Re−1/2 , as´ı que dado un obst´ aculo la capa l´ımite que se desarrolla sobre él es tanto más delgada cuanto mayor es el n´ umero de Reynolds. El grado de acuerdo entre los resultados teóricos, obtenidos suponiendo fluido no viscoso, y los experimentales depende fundamentalmente del comportamiento de la capa l´ımite que se desarrolla sobre la superficie del obstáculo. En el caso de un cuerpo con geometr´ıa fuselada a ángulos de ataque moderadamente bajos, la capa l´ımite está adherida sobre toda o la mayor parte de la superficie del obstáculo, Figura 13.1a;1 por el contrario, cuando el ańgulo de ataque es grande o el obstáculo posee forma roma, la capa l´ımite se separa, Figura 13.1b, debido al fuerte crecimiento que experimenta la presión a partir del punto donde alcanza su valor m´ınimo, que generalmente está situado en una posici´ on pr´ oxima a la del punto de m´ aximo espesor del obstáculo. Para una explicación de las causas del desprendimiento de la capa l´ımite véase 14.1. Los experimentos indican que si la capa l´ımite no se separa (o en caso contrario, si lo hace cerca del borde de salida del perfil, de modo que la capa l´ımite esté adherida sobre la mayor parte de su superficie), la teor´ıa no viscosa predice muy aproximadamente algunas de las caracter´ısticas de la corriente alrededor de obstáculos a muy altos n´ umeros de Reynolds; por ejemplo, la distribuci´ on de presiones sobre el obstáculo o la fuerza sustentadora que éste experimenta. 1

En Visualized Flow, The Japan Society of Mechanical Engineers, Pergamon Press, 1988.

327

Cap´ıtulo 13. Flujo potencial alrededor de obst´ aculos

328

a)

b)

Figura 13.1: Flujo alrededor del perfil NACA 4412 a dos ańgulos de ataque diferentes. a) α = 5o , capa l´ımite adherida, b) α = 15o capa l´ımite desprendida.

En la Figura 13.2 se representan valores experimentales y teóricos del coeficiente de presión Cp , o presión adimensional, 2(p − p∞ ) , (13.1) Cp = 2 ρU∞ sobre el extradós (o superficie superior) de un perfil simétrico de la familia NACA de cuatro d´ıgitos (0012) a ángulo de ataque de α = 5o . Obsérvese el buen acuerdo existente entre la teor´ıa no viscosa y los experimentos, excepto, quizás, en regiones próximas a los bordes de ataque y salida. 2 ,5 2

- C

U ¥

a

N A C A 0 0 1 2

1 ,5 p

1 0 ,5 0 - 0 ,5 -1 0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8 1

x / c

Figura 13.2: Coeficiente de presiones Cp a lo largo de la cuerda de un perfil NACA 0012 a ańgulo de ataque α = 5. La curva continua representa valores calculados mediante la teor´ıa potencial exacta mientras que los puntos representan valores obtenidos experimentalmente (+ Re = 3,8 × 105 ). Cortes´ıa del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla. Cuando la capa l´ımite está desprendida los resultados teóricos calculados suponiendo viscosidad nula difieren considerablemente de los experimentales. En la Figura 13.3 se representan valores teóricos y experimentales del coeficiente de presiones sobre un cilindro circular. Se observa de la

329

13.1. Introducci´ on

figura que las distribuciones de presiones te´ orica y experimental se parecen sólo sobre la parte anterior del cilindro pero no sobre su parte posterior. La discrepancia entre experimentos y teor´ıa es debida al desprendimiento de la capa l´ımite que da lugar a una estela turbulenta cuyo espesor es del orden de las dimensiones transversales del obstáculo. Como se observa en la figura, la presión en la estela es bastante uniforme y su valor en esa zona es bastante menor que la calculada mediante la teor´ıa ideal. La distribuci´ on de presiones real no es, por tanto, simétrica respecto a θ = π/2 como predice la teor´ıa ideal y, consecuentemente, existe una componente de las fuerzas de presión en la dirección del movimiento que contribuye de un modo sustancial a la resistencia total del obst´ aculo. 2 U¥

1

q

Cp 0 -1

-2 -3

0

30

60

90

120

150

180

q Figura 13.3: Coeficiente de presiones sobre un cilindro circular. La curva continua representa valores calculados mediante la teor´ıa potencial exacta y los puntos discretos representan valores experimentales (∗ Re = 1,45 × 105 , + Re = 8,45 × 104 ). Cortes´ıa del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla. En cuanto a las fuerzas globales sobre el obstáculo, la contribuci´ on de las fuerzas de viscosidad a la sustentación, o componente perpendicular al movimiento de la fuerza que el fluido ejerce sobre el perfil, es muy peque˜ na comparada con la de las fuerzas de presión si la capa l´ımite está adherida. As´ı que si z es un eje de coordenadas perpendicular a la corriente sin perturbar, la sustentaci´ on se expresa en la forma −p nz d σ,

L=

(13.2)

Σ

donde nz y Σ representan la proyecci´ on seg´ un z de la normal al obst´ aculo y la superficie del mismo respectivamente. Es usual definir un coeficiente de fuerza adimensional denominado coeficiente de sustentación 2L , (13.3) CL = 2 Σ ρU∞ donde U∞ representa la velocidad de la corriente en el infinito. Cuando el obst´ aculo es bidimensional y sobre él act´ ua una fuerza sustentadora por unidad de longitud l, el coeficiente de sustentación bidimensional se define 2l , (13.4) Cl = 2 c ρU∞


330

donde c es la cuerda del obstáculo. A la resistencia, o fuerza que se opone al movimiento, contribuyen tanto las fuerzas de presión como las de viscosidad = D = [−pnx + (τ ·n)x ] dσ. (13.5) Σ

Para muchos prop´ ositos resulta u ´til descomponer la resistencia en dos sumandos para considerar separadamente la contribuci´ on de la presión y de las fuerzas viscosas. La contribuci´ on de las fuerzas de viscosidad a la resistencia se denomina resistencia de fricci´ on y su expresión matemática es = Df = (τ ·n)x d σ, (13.6) Σ =

donde (τ ·n)x representa la proyección de los esfuerzos viscosos en la dirección del movimiento. La contribuci´ on de las fuerzas de presión a la resistencia viene dada por Dp = −p nx d σ, (13.7) Σ

on seg´ un x de la normal al obst´ aculo. Si el obstáculo es bidimencon nx representando la proyecci´ sional, o tridimensional no sustentador, la expresi´ on (13.7) depende sustancialmente de la forma del obstáculo y se denomina también resistencia de forma. 2 Se define el coeficiente de resistencia total CD =

2(Df + Dp ) 2D = = CDf + CDp , 2 2 Σ ρU∞ Σ ρU∞

(13.8)

y si el obstáculo es bidimensional con d representando la fuerza de resistencia por unidad de longitud, se define el coeficiente de resistencia suma de los de fricción y forma Cd = Cdf + Cdp =

2d . 2 c ρU∞

(13.9)

La importancia relativa de los dos términos que contribuyen a la resistencia de un cuerpo bidimensional, o tridimensional no sustentador, depende de si la capa l´ımite está o no adherida al obstáculo. La resistencia de fricción proporciona la mayor contribuci´ on a la resistencia total en cuerpos fuselados a ángulos de ataque peque˜ nos en los que la capa l´ımite no se separa, o si lo hace, el punto de separación está muy pr´ oximo al borde de salida del perfil u obst´ aculo. En efecto, en este caso la vorticidad generada por la viscosidad está confinada en la capa l´ımite y la estela que son muy delgadas si el n´ umero de Reynolds es grande (su espesor tiende a cero cuando el n´ umero de Reynolds tiende a infinito) y la distribuci´ on de presiones sobre el obstáculo originada por la corriente irrotacional, no viscosa, es tal que su proyecci´ on en la dirección del movimiento (resistencia de presión) es nula, independientemente de la forma del obst´ aculo. Este resultado, conocido como paradoja de d’Alambert, en honor al matem´ atico francés Jean le Rond d’Alambert, que lo demostr´ o, se obtendrá más adelante. Para valores finitos, pero grandes, del n´ umero de Reynolds, la presencia de la delgada capa l´ımite y estela modifica sólo muy ligeramente 2 Si el obst´ aculo es tridimensional y la fuerza sustentadora que experimenta es distinta de cero, es usual descomponer la resistencia de presi´ on dada por (13.7) en dos términos: la resistencia de forma y un término adicional, denominado resistencia inducida (inducida por la sustentaci´ on) debida a la energ´ıa cinética asociada a los torbellinos de la estela de un obst´ aculo tridimensional sustentador. En vuelo supers´ onico, la energ´ıa de las ondas de Mach (13) emitidas por el obst´ aculo contribuye a la expresi´ on (13.7) con un término adicional denominado resistencia de onda. Tambi´ en, la deformaci´ on que experimenta la superficie libre del agua por la presencia de un obst´ aculo es responsable de la denominada resistencia de ola que, junto a la de forma, contribuye a la resistencia de presi´ on.

13.2. Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales

331

la distribuci´ on de presiones sobre el obstáculo y la fuerza sustentadora sobre el mismo. Por otra parte, la resistencia de forma no será exactamente cero, como indica el resultado de D’Alambert, aunque s´ı mucho menor que la resistencia de fricción, que es en este caso la contribución más importante a la resistencia total. Conviene enfatizar de nuevo que, como demuestran los experimentos, los resultados de la teor´ıa ideal pueden aplicarse al caso de corrientes reales alrededor de obstáculos a altos n´ umeros de Reynolds sólo si la capa l´ımite está adherida al obst´ aculo. En los casos en que hay separación de la capa l´ımite existen regiones amplias de la corriente fluida que no están afectadas por la viscosidad. Sin embargo, la aplicaci´ on de la teor´ıa ideal para el cálculo del flujo en estas regiones no tiene éxito por las razones siguientes: 1) la frontera de la capa l´ımite separada no es conocida y su posición no puede determinarse mediante una teor´ıa no viscosa, y 2) las regiones no viscosas están afectadas por la no estacionariedad de la estela, que introduce frecuencias de cambio asociadas al desprendimiento de la capa l´ımite, que es un fenómeno esencialmente no estacionario. En estos casos, para determinar las caracter´ısticas aerodinámicas del flujo, se debe recurrir a experimentos en t´ uneles aerodinámicos utilizando, como ense˜ na el Análisis Dimensional, modelos a escala reducida. Conviene anticipar que la simulaci´ on numérica directa de las ecuaciones de Navier-Stokes (DNS)3 a n´ umeros de Reynolds tan grandes como los encontrados en la Aeronáutica cae fuera de las posibilidades de los ordenadores actuales.

13.2.

Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales

Como se verá en lo que sigue, muchos de los flujos encontrados en Aerodin´ amica pueden describirse aproximadamente mediante la teor´ıa de flujos potenciales cuya descripción matemática se simplifica notablemente por derivar la velocidad de un potencial; su estudio constituye el campo de la denominada Aerodin´ amica Potencial. En efecto, si el n´ umero de Reynolds es grande, el flujo alrededor de un perfil fuselado a ańgulos de ataque peque˜ nos puede considerarse ideal excepto en una capa l´ımite muy delgada adyacente al obstáculo. Por otra parte, las fuerzas gravitatorias, que derivan de un potencial, son peque˜ nas y pueden despreciarse (el n´ umero de Froude F = U 2 /g L, que mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia frente a las gravitatorias, es en este caso muy grande) y el movimiento es barótropo (movimiento isentr´ opico de l´ıquidos o de un gases). En estas circunstancias, el teorema de Bjerkness-Kelvin (10.11) demuestra que la circulación a lo largo de una l´ınea material y, por tanto, la vorticidad sobre cualquier superficie que se apoye sobre ella no var´ıan con el tiempo. Si además el movimiento es inicialmente irrotacional (fluido inicialmente en reposo), la corriente no viscosa de un fluido alrededor de cuerpos fuselados a ańgulos de ataque peque˜ nos es irrotacional y la velocidad del fluido deriva, por tanto, de una funci´ on escalar denominada potencial de velocidades. Las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el potencial de velocidades pueden simplificarse si se elige un sistema de referencia apropiado. En efecto, un cuerpo que se mueve sin aceleración a través de un fluido en reposo en el infinito, origina un movimiento del mismo que no es estacionario; obsérvese que la velocidad del fluido es nula o casi nula cuando el cuerpo se encuentra lejos de la región de fluido considerada, pero aumenta a medida que éste se aproxima para volver a decaer una vez que ha pasado. Por el contrario, para un observador que se mueve con el cuerpo, el movimiento relativo del fluido respecto a él es estacionario; en ejes relativos, la velocidad en cualquier punto del dominio fluido no variar´ a con el tiempo mientras no lo haga la velocidad del obstáculo respecto a tierra. El movimiento relativo se obtiene sin más que superponer al movimiento original (ejes ligados a tierra) un movimiento uniforme de velocidad igual y opuesta 3

Del ingl´ es Direct Numerical Simulation.


332

a la del obstáculo. Puesto que la presión y las fuerzas de viscosidad son independientes del sistema de referencia empleado,4 las fuerzas aerodinámicas que el fluido ejerce sobre el obstáculo son las mismas, independientemente de que el fluido esté en reposo y el cuerpo se mueva uniformemente a través de él o de que este u ´ ltimo esté en reposo y fluya alrededor de él una corriente estacionaria de velocidad igual y contraria a la del cuerpo. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento estacionario de un fluido ideal alrededor de un obst´ aculo son las de Euler ∇ · (ρ v) = 0, (13.10) v2 + ω = ωo , 2 S = So ,

(13.11) (13.12)

donde ω = h en el caso de gases y ω = p/ρ en el de l´ıquidos. Para el caso del movimiento de l´ıquidos, la ecuación que gobierna el potencial de velocidades Φ, que se obtiene de sustituir la expresión v = ∇ Φ, (13.13) en la ecuación (13.10), se reduce a ∇2 Φ = 0.

(13.14)

Como condiciones de contorno se impondrá la velocidad del l´ıquido en el infinito U∞ , o equivalentemente Φ = U∞ x cuando x2 + y 2 + z 2 → ∞, (13.15) si se toma el eje x en la dirección y sentido de U∞ . Además y debido a que se está considerando un l´ıquido ideal no se puede imponer la condici´ on de no deslizamiento del fluido sobre el obst´ aculo; en la superficie del obstáculo, supuesto impermeable se impondrá la condición de que la componente normal de la velocidad sea nula ∇ Φ · n = 0, (13.16) siendo n la normal unitaria en la superficie del obst´ aculo. Una vez determinado el potencial de velocidades, la ecuación de Bernouilli, (13.11), determina la distribuci´ on de presiones en el l´ıquido cuando se especifica la presión p∞ en el infinito 1 p 1 p∞ 2 + ρ(Φ2x + Φ2y ) = + ρ U∞ . ρ 2 ρ 2

(13.17)

Debe se˜ nalarse, sin embargo, que el problema de Neumann definido por la ecuaci´ on (13.14) y las condiciones de contorno (13.15) y (13.16) puede no tener soluci´ on u ńica. La teor´ıa matemática de las ecuaciones en derivadas parciales establece que si Φ es una función unievaluada de la posición, entonces el problema de Neumann posee solución u ńica. Sin embargo, como se ver´ a más adelante, detrás de un perfil bidimensional sustentador (el caso de cuerpos no-sustentadores es la excepción) existe una región muy estrecha, la estela, de espesor muy peque˜ no si el n´ umero de Reynolds es muy grande, que puede ser tratada matemáticamente como una l´ınea (o superficie en el caso tridimensional) a través de la que la función Φ es discontinua y el problema de Neumann (13.14)-(13.16) no posee solución u ńica. El salto de Φ a través de esta l´ınea está relacionada con el valor de la circulación Γ del campo de velocidades no viscoso alrededor del perfil y su valor real no puede ser determinado de la resolución del problema de Neumann (13.14)-(13.16). Naturalmente, la no unicidad desaparece si la capa l´ımite y el problema de Neumann se consideran conjuntamente. No obstante, y como se verá más adelante, algunas consideraciones f´ısicas sobre el 4 Las fuerzas de viscosidad son independientes del sistema de referencia empleado por serlo los gradientes de la velocidad.

13.2. Ecuaciones y condiciones de contorno de flujos potenciales

333

comportamiento de la capa l´ımite suministran un criterio v´ alido (condici´ on de Kutta-Joukowski) para determinar el valor real de la circulaci´ on alrededor del perfil sin necesidad de resolver la capa l´ımite. El problema matemático (13.14)-(13.16) junto a la condici´ on de Kutta-Joukowski determinan un´ıvocamente el campo de presiones y velocidades en el movimiento de un l´ıquido alrededor de un perfil bidimensional. Debe se˜ nalarse también que las ecuaciones (13.14)-(13.16) resultan también válidas para describir el flujo de un gas alrededor de obst´ aculos fuselados que perturben poco la corriente siempre que las variaciones relativas de densidad sean peque˜ nas, lo que ocurre a n´ umeros de Mach peque˜ nos (t´ıpicamente M < 0,3). En efecto, si la viscosidad es despreciable, las variaciones de presión que aparecen en una corriente de gas de velocidad V son del orden de ρ V 2 (∆ p ∼ ρ V 2 ); si se utiliza la definición de velocidad del sonido se tiene ∆ p = a2 ∆ ρ, de donde ∆ ρ/ρ ∼ M 2 , donde M = V /a es el n´ umero de Mach. Cuando los efectos de compresibilidad son importantes, la ecuación del potencial de velocidades se obtiene fácilmente de las ecuaciones (13.10)-(13.12). De la ecuación (13.10) se tiene ∇·v+v·

∇ρ = 0, ρ

(13.18)

y de la ecuación (13.11) ρ v · ∇ v = −∇ p = −a2 ∇ ρ.

(13.19)

Combinando (13.18) y (13.19) se obtiene a2 ∇ · v + v · (v · ∇ v) = 0,

(13.20)

y sustituyendo v = ∇ Φ en (13.20) y realizando las operaciones vectoriales indicadas se llega para el caso tridimensional a (a2 − Φ2x )Φxx + (a2 − Φ2y )Φyy + (a2 − Φ2z )Φzz − 2(Φx Φy Φxy + Φx Φz Φxz + Φy Φz Φyz ) = 0.

(13.21)

La ecuación (13.21) junto con (13.11), que en funci´ on de la velocidad del sonido se escribe en la forma 1 U2 a2 a∞ 2 + (Φ2x + Φ2y ) = + ∞, (13.22) γ−1 2 γ−1 2 proporcionan una pareja de ecuaciones para determinar Φ y a en cada punto del dominio fluido cuando se imponen condiciones de contorno apropiadas. Se deben imponer los valores de la velocidad y de la presi´ on y densidad en el infinito, U∞ , p∞ y ρ∞ y sobre el obstáculo, supuesto impermeable, hay que imponer la condici´ on de velocidad normal nula, ∇Φ · n = 0. Finalmente, si el movimiento del gas es subsónico la solución del problema se determina un´ıvocamente imponiendo la condición de Kutta-Joukowski.5 Conocidos Φ y a como funciones de la posición, el campo de presiones y densidades se determina a partir de las relaciones a2 = γ

p ρ

y

p∞ p = . ργ ρ∞ γ

(13.23)

Conviene a˜ nadir que el movimiento irrotacional de un fluido incompresible alrededor de un otese obstáculo bidimensional puede formularse alternativamente usando la funci´ on de corriente.6 N´ 5 En movimientos supers´ onicos la condici´ on de Kutta no es necesaria para determinar el flujo potencial; en ese caso, el mecanismo f´ısico que origina la sustentaci´ on de un obst´ aculo es diferente al caso subs´ onico y no est´ a asociado a la existencia de un campo circulatorio alrededor del perfil. 6 Aunque no se har´ a aqu´ı, tanto el flujo potencial axilsimétrico de l´ıquidos como el flujo estacionario, bidimensional o axilsim´ etrico, de gases pueden formularse en términos de la funci´ on de corriente, véase (3.48).


334

que la funci´ on de corriente, al igual que el potencial de velocidades, está definida, salvo por una constante que se suele tomar cero sobre el obstáculo. En movimientos bidimensionales de l´ıquidos ideales es com´ un hacer uso del hecho de que tanto Φ como Ψ satisfacen la ecuación de Laplace para definir la funci´ on anal´ıtica denominada potencial complejo f (τ ) = Φ(x, z) + i Ψ(x, z) (13.24) de la variable compleja τ τ = x + iz

i2 = −1.

(13.25)

Obsérvese que f (τ ) es anal´ıtica, puesto que el valor de su derivada es u ńica, independientemente de la dirección en que se realice la derivación. Por ejemplo, si la derivada es en la direcci´ on de x se tiene ∂f ∂Φ ∂Ψ = +i = u − iw (13.26) ∂x ∂x ∂x mientras que si es en la dirección i z se obtiene el mismo resultado ∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ ∂f = +i = −i + = −iw + u.7 ∂(iz) ∂(iz) ∂(iz) ∂z ∂z

(13.27)

A la derivada del potencial complejo f˙(τ ) = u − iw,

(13.28)

se le denomina velocidad conjugada y los ceros de esta función f˙(τ ) = 0,

(13.29)

determinan los puntos de remanso del flujo.

13.3.

Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales

Se representan aqu´ı algunas funciones anal´ıticas de la variable compleja que pueden servir para modelar matemáticamente la corriente bidimensional de un l´ıquido ideal. Por otra parte, dado que la funci´ on de corriente y el potencial de velocidades satisfacen una ecuación lineal, la de Laplace, el principio de superposici´ on puede utilizarse para generar corrientes más complejas. No obstante, sólo tendr´ an interés aquellas funciones anal´ıticas que satisfagan las condiciones de contorno que aparecen en la Aerodinámica. Como se verá en lo que sigue, la idea b´ asica en Aerodinámica Potencial es la de sustituir las paredes sólidas impermeables de un obstáculo por una representaci´ on matemática de flujos elementales que superpuestos apropiadamente den lugar a un patr´ on de l´ıneas de corriente,8 en la que una de ellas sea cerrada y coincida con el contorno del obstáculo sólido cuyas caracter´ısticas aerodinámicas se desean determinar.

13.3.1.

Soluciones elementales

Corriente uniforme Un ejemplo t´ıpico es el de la corriente uniforme de un l´ıquido cuya velocidad U∞ forma un ańgulo α con el eje x. En este caso, el campo de velocidades se puede modelar en la forma f˙(τ ) = u − iw = U∞ e−iα = U∞ (cos α − i sen α).

(13.30)

7 Obs´ ervese que (13.26) y (13.27) son las condiciones que deben satisfacer las partes real e imaginaria de una funci´ on compleja para ser anal´ıtica (condiciones de Cauchy-Riemman). 8 O superficies de corriente en el caso tridimensional.

335

13.3. Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales

El potencial complejo, el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente son respectivamente: f (τ ) = U∞ e−iα τ, Φ(x, z) = U∞ (x cos α + z sen α),

y

(13.31)

Ψ(x, z) = U∞ (z cos α − x sen α).

(13.32)

Manantial o sumidero y torbellino Considérese un potencial complejo de la forma f (τ ) = A ln(τ − τo ).

(13.33)

Si la constante A es real, en un sistema de coordenadas polar (r, θ) con origen en el punto τo , el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente se expresan en la forma Φ = A ln r

y

Ψ = A θ.

(13.34)

Las l´ıneas de corriente de ecuación θ = const son radios con origen en τo y las componentes de la velocidad, que se obtienen de (13.34) por derivaci´ on, son ∂Φ A = ∂r r

vr =

y

vθ =

1 ∂Φ = 0; r ∂θ

(13.35)

esto es, la velocidad del l´ıquido es radial y decae con la distancia r medida desde τo . Una corriente tal se denomina manantial si la constante A es positiva o sumidero en caso contrario. El valor de A está relacionado con la intensidad del manantial o caudal por unidad de longitud, q, emanado del mismo. En efecto 2π 2π A r d θ = 2 π A, q= v · ndσ = (13.36) r 0 0 de modo que la funci´ on potencial f (τ ) =

q ln(τ − τo ), 2π

(13.37)

representa matemáticamente el efecto de un manantial bidimensional de caudal q (o sumidero si q un los ejes x y z, es negativo) situado en el punto τo . Las componentes de la velocidad Φx y Φz seg´ en un punto (x, z), son x − xo q 2π (x − xo )2 + (z − zo )2

z q ; (13.38) 2 2π (x − xo ) + (z − zo )2 donde x y z están relacionadas con r y θ a través de las expresiones r = (x − xo )2 + (z − zo )2 y θ = tan−1 [(z − zo )/(x − xo )]. Si la constante A es un n´ umero imaginario puro, A = iA1 con A1 real, (13.33) representa la corriente generada por un torbellino de intensidad A1 = Γ/2π situado en el punto τo ; Γ representa la circulación alrededor de cualquier l´ınea cerrada que rodee al torbellino. En efecto, el potencial de velocidades, la funci´ on de corriente y las componentes del vector velocidad son en este caso Φx (x, z) =

Φ = −A1 θ,

y

Φz (x, z) =

Ψ = A1 ln r,

vr = 0

y

vθ = −A1 /r.

(13.39)

Las l´ıneas de corriente son, por tanto, circunferencias centradas en τo y la velocidad, cuya u ńica componente es circunferencial, decae con la distancia al origen. La intensidad del torbellino o circulación Γ viene dada por 0 2π Γ= vθ r d θ = − −A1 r = 2 π A1 , (13.40) 2π

0


336 de modo que

iΓ (13.41) ln(τ − τo ), 2π representa matemáticamente la corriente generada por un torbellino de intensidad Γ situado en el punto τo que mueve al fluido en la direcci´ on de las agujas del reloj; naturalmente, si la circulaci´ on fuese negativa el fluido se mover´ıa en la dirección opuesta. Es interesante destacar, finalmente, que la corriente generada por un torbellino es irrotacional (∇× v = 0) en todo punto del dominio fluido excepto en el punto τo donde (13.41) no es anal´ıtica. Finalmente, las componentes de la velocidad en un punto (x, z) en coordenadas cartesianas son f (τ ) =

Φx (x, z) =

z − zo Γ 2π (x − xo )2 + (z − zo )2

Φz (x, z) = −

y

x − xo Γ . 2π (x − xo )2 + (z − zo )2

(13.42)

Doblete Esta corriente puede generarse mediante la superposición de un manantial y un sumidero de intensidades iguales y opuestas. Ambas fuentes están separadas una distancia infinitesimal d τo y la intensidad de las mismas, q, es tal que el producto q d τo permanece constante cuando d τo tiende a cero. Si el manantial está situado en el punto τo la corriente resultante total se modela en la forma q q ln(τ − τo ) − ln(τ − τo − d τo ) = 2π 2π

d τo q ln(τ − τo ) − ln (τ − τo ) 1 − 2π τ − τo

f (τ ) =

(13.43)

y desarrollando en serie, ln[1 − d τo /(τ − τo )] = −d τo /(τ − τo ), la expresión (13.43) se simplifica a f (τ ) =

q d τo . 2 π(τ − τo )

(13.44)

Definiendo la intensidad del doblete M como q d τo /2 π = M eiβ , (13.43) se escribe en la forma f (τ ) =

M eiβ , (τ − τo )

(13.45)

donde β es el ángulo que forma el eje manantial-sumidero con el eje x. En coordenadas polares, τ − τo = r eiθ , el potencial de velocidades, la funci´ on de corriente y el campo de velocidades de un doblete son M cos(β − θ) M sen(β − θ) Ψ=− (13.46) Φ= r r y M sen(β − θ) M cos(β − θ) y vθ = − . (13.47) vr = − r2 r2 Si β = 0, el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente se escriben en coordenadas cartesianas Φ=M

x − xo , (x − xo )2 + (z − zo )2

Ψ = −M

z − zo . (x − xo )2 + (z − zo )2

(13.48)

Conviene indicar que un doblete inyecta cantidad de movimiento en el dominio fluido, pero el caudal neto inyectado es nulo.

337

13.3. Movimiento bidimensional de l´ıquidos ideales

13.3.2.

Corriente uniforme y manantial bidimensional

Como ejemplo del uso de las funciones matemáticas anteriormente descritas para la simulación de corrientes alrededor de obstáculos bidimensionales, considérese la corriente generada por la superposición de una corriente uniforme con velocidad U∞ dirigida seg´ un el sentido positivo del eje x y un manantial bidimensional de caudal por unidad de longitud q. Si se toma el origen del sistema de coordenadas en el centro del manantial, el potencial complejo y la función de corriente del flujo resultante son z q q ln τ, y Ψ(x, z) = U∞ z + tan−1 (13.49) f (τ ) = U∞ τ + 2π 2π x (13.50) y las componentes de la velocidad seg´ un los ejes x y z son respectivamente q x z q y w= ; u = U∞ + 2 2 2 2π x + z 2 π x + z2

(13.51)

obsérvese que hay un punto de remanso situado en la parte negativa del eje x cuya posición, que se determina mediante la condición u = w = 0 en (13.51), viene dada por xr = −q/(2 π u∞ ) y zr = 0.

Figura 13.4: Superposici´ on de una corriente uniforme y un manantial situado en el origen. Las ecuaciones de las l´ıneas de corriente divisorias, o l´ıneas de corriente que pasan por el punto de remanso, son el eje z = 0 y la l´ınea de ecuación z q q tan−1 = ; (13.52) U∞ z + 2π x 2 esta u ´ltima l´ınea de corriente separa el fluido que viene del infinito del que emana del manantial, véase Figura 13.4, y alcanza el infinito, aguas abajo, donde tiende as´ınt´ oticamente a za → q/(2 U∞ ). Un cuerpo semiinfinito cuya superficie z(x) satisfaga la ecuación dada en (13.52) puede ser modelado como superposición de una corriente uniforme y un manantial. La forma del obstáculo puede cambiarse si, por ejemplo, a la corriente anterior se le superpone un sumidero de gasto q1 (q1 < q) en el punto de coordenadas (a, 0). Es fácil comprobar que en este caso hay dos puntos de remanso localizados en # −(q − q 1 − 1) ± (q − q 1 − 1)2 + 4q xr = y zr = 0, (13.53) a 2 donde q = q/(2π U∞ a) y q 1 = q1 /(2π U∞ a); por otra parte, las as´ıntotas del cuerpo semiinfinito son za → ±(q − q1 )/(2 U∞ ). Si q1 tiende a q, za disminuye y tiende a 0, y para q = q1 existe una l´ınea de corriente cerrada, Figura 13.5. Los puntos de remanso están situados en √ 1 ± 1 + 4q xr = y zr = 0 (13.54) a 2


338

y las ecuaciones de las l´ıneas de corriente divisorias (l´ıneas de corriente que pasan por los puntos de remanso) son q −1 x −1 x − a tan − tan = 0. z = 0 y U∞ z + (13.55) 2π z z Nótese que la corriente no viscosa alrededor de un obstáculo cuya superficie venga dada por la u ´ltima de las ecuaciones (13.55) puede simularse matemáticamente mediante la superposición de una corriente uniforme de velocidad U∞ y un manantial y un sumidero de caudal q situados en los puntos (0, 0) y (a, 0) respectivamente. La forma de (13.55) se corresponde con un óvalo bidimensional, denominado o´valo de Rankine, por ser este matemático francés quien primero resolvió este problema.

Figura 13.5: Corriente alrededor de un o´valo de Rankine.

13.4.

Corriente alrededor de un cilindro circular

Considérese el flujo resultante de la superposición de una corriente uniforme de velocidad U∞ en la dirección positiva del eje x, un doblete de intensidad M y dirección la del eje x y un torbellino de intensidad Γ; doblete y torbellino se supondr´ an situados en el origen de coordenadas. El potencial complejo resultante es iΓ τ M + ln (13.56) f (τ ) = U∞ τ + τ 2π a y el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente son respectivamente: Γθ M cos θ − , Φ = U∞ r + r 2π y

Ψ=

U∞ r −

M r

sen θ +

Γ r ln . 2π a

(13.57)

(13.58)

Si se toma M = a2 U∞ , el c´ırculo de radio a es l´ınea de corriente, Ψ = 0, y por tanto (13.56), con el valor de M indicado, representa la corriente alrededor de un cilindro de radio a con circulación Γ. Es importante resaltar que existe una familia infinita de flujos (uno por cada uno de los valores de la circulación Γ) alrededor del cilindro de radio a. Las componentes radial y seg´ un el eje θ de la velocidad del fluido se obtienen por derivaci´ on de (13.57) vr =

a2 ∂Φ = U∞ 1 − 2 cos θ ∂r r

y

vθ =

Γ 1 ∂Φ a2 = −U∞ 1 + 2 sen θ − . r ∂θ r 2πr

(13.59)

339

13.4. Corriente alrededor de un cilindro circular

a)

b)

G=1.5 p a U¥

G=0

c)

d)

G = 4 p a U¥

G = p a U¥

Figura 13.6: Corriente alrededor de un cilindro circular para valores diferentes de la circulaci´ on Γ.

Sobre el cilindro de radio a se tiene Γ 2πa y los dos puntos de remanso están sobre el cilindro r = a en las posiciones dadas por Γ , θ = θr = arc sen − 4 π a U∞ vr = 0

y

vθ = −2 U∞ sen θ −

(13.60)

(13.61)

si Γ ≤ 4 π a U∞ , véase Figura 13.6, y si Γ > 4 π a U∞ , los puntos de remanso están a lo largo del eje θ = −π/2, a distancias del origen r = rr definidas por la ecuaci´ on algebraica

r 2 Γ rr r + − 1 = 0. (13.62) a 2 π a U∞ a La presión sobre el cilindro se determina a partir de la ecuaci´ on de Bernouilli [ecuaci´ on (13.17)]

2 Γ 1 1 2 − ρ 2U∞ sen θ + (13.63) p(a, θ) = p∞ + ρ U∞ 2 2 2πa y el cociente de presiones sobre el cilindro, que se define en la forma Cp (a, θ) = [p(a, θ) − 2 p∞ ]/(ρ U∞ /2), viene dado por 2 Γ Cp (a, θ) = 1 − 2 sen θ + . (13.64) 2πaU∞ La sustentación o componente de la fuerza sobre el cilindro perpendicular a la corriente sin perturbar es 2π p(a, θ) sen θ a d θ = ρ Γ U∞ , (13.65) L=− o


340

mientras que la resistencia, o componente de la fuerza en la dirección de la corriente, es 2π D=− p(a, θ) cos θ a d θ = 0.

(13.66)

o

Como se verá más adelante, los resultados (13.65) y (13.66) son de validez general para la corriente de un l´ıquido ideal alrededor de un obst´ aculo bidimensional de forma cualquiera. La ecuaci´ on (13.65) se denomina fórmula de Kutta y relaciona el valor de la sustentaci´ on que experimenta un obst´ aculo con el de la circulación de la corriente alrededor de él. La ecuación (13.66) expresa que un obstáculo bidimensional no experimenta resistencia al moverse en el seno de un fluido en reposo. Como se verá más adelante, esta paradoja denominada de D’Alambert es una ley l´ımite tanto más cierta, si se excluye la resistencia de fricción, cuanto más fuselado sea el obstáculo. Para terminar esta sección conviene enfatizar de nuevo que la corriente real sobre un obst´ aculo romo es bastante diferente de la obtenida usando teor´ıa potencial. Como se muestra en la Figura 13.3, el coeficiente de presiones Cp sobre el cilindro circular obtenido mediante la teor´ıa potencial [véase (13.64)] se aproximan a los experimentales sólo en la parte delantera del cilindro pero no lo hacen en la parte posterior, donde la distribuci´ on de presiones de la corriente potencial difiere mucho de la real, que es casi uniforme. En el caso real, la separación de la capa l´ımite, debida al gradiente adverso de presiones, ocurre en la parte posterior del cilindro. La presi´ on all´ı, no recupera los altos valores que existen sobre la parte delantera y consecuentemente hay una resistencia neta sobre el cilindro debido al desequilibrio de las fuerzas de presión existente entre la parte delantera y la trasera del cilindro. Aunque, debido a la separación de la capa l´ımite, la corriente potencial alrededor del c´ırculo no se parece a la real, su estudio es, no obstante, interesante, ya que la corriente potencial alrededor de un perfil de forma cualquiera puede ser obtenida a partir de la del c´ırculo mediante transformaci´ on conforme. La corriente potencial alrededor del perfil transformado del c´ırculo puede aproximarse mucho a la realidad si el perfil es lo suficientemente fuselado y su ángulo de ataque lo suficientemente peque˜ no para evitar el desprendimiento de la capa l´ımite.

13.5.

Flujos potenciales en rincones, esquinas y cu˜ nas

Considérese el potencial complejo f (τ ) = Aτ n = Arn (cos nθ + i sen nθ),

(13.67)

donde A es una constante con dimensiones apropiadas y n es en principio cualquier n´ umero real. El potencial de velocidades y la funci´ on de corriente serán, por tanto, Φ(r, θ) = Arn cos nθ,

Ψ(r, θ) = Arn sen nθ.

(13.68)

Si el valor de n se toma igual a n = π/β,

(13.69)

la funci´ on de corriente Ψ se anula sobre los radios θ = 0 y θ = β, as´ı que estos radios son l´ıneas de corriente y el potencial complejo f (τ ) = Aτ π/β = Arπ/β (cos πθ/β + i sen πθ/β)

(13.70)

representa matemáticamente el flujo en rincones y esquinas como se esquematiza en la Figura 13.7.

13.5. Flujos potenciales en rincones, esquinas y cu˜ nas

341

Figura 13.7: Flujo en las proximidades de un rinc´ on.

Teniendo en cuenta (13.70), el campo de velocidades es vr =

πθ ∂Φ πA (π−β)/β cos r , = ∂r β β

vθ =

πθ 1∂Φ πA (π−β)/β sen r ; =− r ∂θ β β

(13.71)

nótese que si β < π, el rincón es un punto de remanso puesto que las velocidades son nulas en r = 0, mientras que si β > π, la esquina es, en ausencia de viscosidad, un punto de velocidad infinita.

Figura 13.8: Corriente de rebordeo alrededor de una placa plana semiinfinita.

Un caso de interés, por su utilidad para modelar la corriente en las proximidades del borde de ataque de una placa plana a ańgulos de ataque peque˜ nos, lo constituye el caso β = 2π, o n = 1/2, (13.69), que corresponde a la corriente de rebordeo del borde de ataque de una placa plana semiinfinita como la indicada en la Figura 13.8. La velocidad v sobre el extradós de la placa puede calcularse de (13.71) v = vr = A/(2r1/2 ), (13.72) que diverge hacia el borde de ataque como el inverso de la ra´ız cuadrada de la distancia al mismo. El potencial complejo (13.67) puede también utilizarse para representar la corriente alrededor de una cu˜ na como la indicada en la Figura 13.9. En efecto, si se escoge como valor de n n = 2π/(2π − β),

(13.73)


342

los rayos θ = 0 y θ = 2π − β son l´ıneas de corriente, pues sobre ellos Ψ(r, 0) = Ψ(r, 2π − β) = 0, véase (13.68). El potencial complejo y el campo de velocidades del movimiento de l´ıquidos alrededor

q=0

b

q = 2p-b

Figura 13.9: Flujo alrededor de cu˜ nas.

de cu˜ nas de ángulo β es entonces f (τ ) = Aτ 2π/(2π−β) = Ar2π/(2π−β) [cos[2πθ/(2π − β)] + i sen[2πθ/(2π − β)]] vr =

2π Arβ/(2π−β) cos[2πθ/(2π − β)], 2π − β

vθ = −

y

2π Arβ/(2π−β) sen[2πθ/(2π − β)]. (13.74) 2π − β

El caso particular de una placa plana normal a la corriente incidente corresponde al caso β = π, n = 2 [véase (13.73)]; en este caso, la velocidad v sobre la placa es v = vr = 2Ar,

(13.75)

que muestra la existencia de un punto de remanso en el origen, Figura 13.10, y un crecimiento lineal de la velocidad con la distancia al punto de remanso.

Figura 13.10: Corriente normal a una placa.

13.6.

Flujos potenciales axilsim´ etricos

Algunas soluciones, axilsimétricas, elementales de la ecuación de Laplace, que es la ecuación que satisface el potencial de velocidades, pueden ser usadas para describir la corriente alrededor de

343

13.7. Flujos potenciales no estacionarios

obstáculos axilsimétricos. Por ejemplo, el potencial de velocidades correspondiente a una corriente uniforme en la dirección del eje x es Φ = U∞ x, (13.76) y la funci´ on de corriente, que se obtiene por integraci´ on del campo de velocidades, ∂Ψ = r vx = r U ∞ , ∂r

Ψ = U∞ r2 /2.

(13.77)

En el caso de un manantial situado en el origen, el potencial de velocidades y la funci´ on de corriente vienen dados por Q Qx Φ=− y Ψ=− , (13.78) 4πR 4πR √ donde R = x2 + r2 es la distancia al origen y r la distancia al eje de simetr´ıa. Nótese que si el caudal Q es negativo, la velocidad, que es radial, fluye hacia la fuente y, por tanto, se trata de un sumidero. El lector puede comprobar finalmente que en el caso de un doblete se tiene Φ=

Mx R3

y

Ψ=−

M r2 , R3

(13.79)

donde M es la intensidad del doblete y el eje x coincide con el del doblete (dirección sumideromanantial). Obsérvese que en el caso irrotacional y axilsimétrico no puede definirse el potencial complejo ya que la funci´ on de corriente no es armónica. En efecto, la condición de irrotacionalidad para este caso se expresa en la forma ∂v ∂u ∇ × v = ω θ eθ = (13.80) − eθ = 0, ∂x ∂r y en términos de la función de corriente, (13.80) se escribe ∂2 Ψ ∂2 Ψ 1 ∂ Ψ + − = 0, ∂ x2 ∂ r2 r ∂r

(13.81)

que obviamente no es la ecuación de Laplace.

13.7.

Flujos potenciales no estacionarios

Las soluciones elementales de la ecuación de Laplace para el potencial de velocidades en el movimiento estacionario, bidimensional, o tridimensional, de l´ıquidos (corriente uniforme, manantial, doblete, etc.) son también válidas en el caso no estacionario, ya que la ecuación de continuidad es también en este caso ∇ · v = ∇2 Φ = 0. El campo de presiones, sin embargo, se modifica debido a la aceleración local. En efecto, la ecuación de cantidad de movimiento se escribe

∂v v2 = 0, ρ +∇ p+ρ (13.82) ∂t 2 o en términos del potencial de velocidades

v2 ∂Φ = 0, +p+ρ ∇ ρ ∂t 2

(13.83)

cuya integraci´ on proporciona ρ

v2 ∂Φ + p + ρ = C(t), ∂t 2

(13.84)


344

donde C(t) es una constante de integración que, en general, depender´ a del tiempo. La fuerza F (t) necesaria para acelerar un cuerpo de masa M con aceleración U˙ (t) a través de un l´ıquido ideal en reposo es suma de la aceleradora y de la que el l´ıquido ejerce sobre el obstáculo ˙ F = MU + pnU dσ, (13.85) Σ

donde nU es la componente de la normal en sentido opuesto al movimiento de la esfera. Para calcular el campo de presiones a partir de (13.84), es necesario conocer el potencial de velocidades correspondiente al movimiento del l´ıquido alrededor del obst´ aculo. Por ejemplo, en el caso de una esfera de radio a y densidad ρp moviéndose con velocidad −U (t), el potencial de velocidades del movimiento del l´ıquido relativo a la esfera resulta de la superposici´ on de una corriente uniforme de velocidad U (t) (13.76) y un doblete de intensidad (U a3 /2), véase (13.77) y (13.79). Si se usan coordenadas esféricas (R radial y θ polar), el potencial complejo del flujo alrededor de la esfera de radio a y el campo de velocidades son respectivamente a3 (13.86) Φ = U cos θ R + 2R2 y vR =

∂Φ a3 = U cos θ 1 − 3 , ∂R R

vθ = −

1 ∂Φ a3 . = U sen θ 1 + R ∂θ 2R3

(13.87)

Nótese que sobre la superficie de la esfera R = a, la velocidad normal vR es nula, vR = 0, y la tangencial vale 3 vθ = U sen θ. (13.88) 2 El campo de presiones se obtiene a partir de (13.79) ∂Φ U2 v2 v2 ∂Φ = ρU˙ R cos θ + p∞ (t) + ρ , = ρ (13.89) +p+ρ +p+ρ ρ ∂t 2 ∂t 2 ∞ 2 y sobre la esfera 9 a U2 p(a, θ) = − U˙ cos θ + U 2 cos 2θ − + p∞ (t). ρ 2 16 16

(13.90)

Análogamente al caso estacionario (en el que la resistencia era nula), los tres u ´ ltimos términos de (13.90) evaluados en las posiciones θ y π − θ son idénticos y no contribuyen a la integral en (13.85). La contribuci´ on no nula es debida a la variaci´ on temporal del potencial y vale o 2 (13.91) p cos θ 2πa2 sen θ dθ = πρa3 U˙ . 3 π De (13.85) se tiene entonces que la fuerza para acelerar la esfera a través del l´ıquido ideal es 2 3 4 3 πa ρp + πa ρ U˙ = (mp + mh )U˙ (13.92) F (t) = 3 3 que muestra que la esfera se comporta como si su masa fuese mayor. La masa extra, denominada masa hidrodin´ amica, o masa virtual, es en el caso de la esfera la mitad de la masa de l´ıquido desplazada por la esfera. Esta fuerza adicional es debida a que para acelerar la esfera es necesario acelerar también una masa de l´ıquido dada por la masa virtual. El lector puede comprobar f´ acilmente que en el caso de un cilindro bidimensional de radio a, la masa virtual es igual a la masa por unidad

345

13.8. Fuerza sobre un perfil. F´ ormula de Kutta

de longitud de l´ıquido desplazado ρπa2 . Naturalmente, la masa virtual es despreciable en el caso de part´ıculas o gotas l´ıquidas moviéndose en el seno de un gas. Un cálculo alternativo al anterior puede hacerse también a partir de la energ´ıa cinética del fluido ρ ∞ π 2 (vR + vθ2 )2 π r sen θ r dr dθ, Ec = (13.93) 2 o o y teniendo en cuenta (13.87) se tiene Ec =

1 3 2 πa ρU . 3

(13.94)

La potencia necesaria para mover el fluido es entonces 2 dEc = πa3 ρU U˙ = FH U, dt 3

(13.95)

donde

2 3 ˙ πa ρU (13.96) 3 es, evidentemente, la fuerza necesaria para acelerar una masa mh con una aceleración U˙ . FH = mh U˙ =

13.8.

Fuerza sobre un perfil. F´ ormula de Kutta

Como se ha apuntado en las secciones 13.4 y 13.5, la corriente alrededor de un obst´ aculo bi o tridimensional puede ser modelada por superposici´ on de una corriente uniforme y manantiales, sumideros y torbellinos, cuya intensidad y posici´ on debe ser apropiadamente elegida para que el contorno del obstáculo coincida con una de las l´ıneas de corriente divisorias, o superficies en el caso tridimensional. En el caso bidimensional, la velocidad conjugada correspondiente a la corriente alrededor de un cuerpo de forma arbitraria cualquiera se expresa en la forma f˙(τ ) = U∞ +

n i=1

i γj qi + , 2 π(τ − τoi ) j=1 2 π(τ − τoj ) m

(13.97)

donde qi y γj representan las intensidades de las fuentes y torbellinos situados en los puntos τoi y τoj respectivamente; qi , γj , τoi y τoj son desconocidos a priori. Puesto que la velocidad conjugada (13.97) satisface ya la condición en el infinito, la condici´ on de contorno sobre el obstáculo es la que determina la posición y la intensidad de fuentes y torbellinos. No obstante, si el cuerpo es cerrado, las intensidades de las fuentes (manantiales y sumideros) deben satisfacer la condición n

qi = 0.

(13.98)

i=1

Por el contrario, la circulaci´ on total sobre el perfil, definida como Γ=

m

γj ,

(13.99)

j=1

es desconocida y debe ser obtenida como parte de la solución del problema. La resultante de las fuerzas de presión sobre el obstáculo es F=− p n d σ, (13.100) obst.


346

donde n es la normal exterior al obstáculo. Naturalmente, la presión p sobre el obstáculo no puede ser calculada a partir de (13.97) junto con la ecuaci´ on de Bernouilli, ya que la intensidad de las fuentes y torbellinos as´ı como sus posiciones son desconocidas. Como alternativa para calcular la fuerza F se puede utilizar el teorema de conservación de cantidad de movimiento en forma integral aplicado a un volumen de fluido limitado por el obst´ aculo y un c´ırculo con centro en el origen y radio R muy grande comparado con las dimensiones del obstáculo, Figura 13.11. Teniendo en cuenta que el flujo convectivo de cantidad de movimiento a través de la superficie del obstáculo es nulo, por ser ésta impermeable, la conservación de la cantidad de movimiento exige que ρvv · ndσ = − pndσ − p n d σ, (13.101) c´ırculo obstáculo c´ırculo donde n es la normal exterior al volumen fluido. La ecuaci´ on (13.101) expresa la relación entre el R U¥

Figura 13.11: Volumen de control para el c´ alculo de las fuerzas aerodinámica sobre un perfil. flujo de cantidad de movimiento a través del volumen de control y las fuerzas que se ejercen sobre el fluido que ocupa el volumen considerado y que son las que sobre él realizan el fluido exterior al c´ırculo y las paredes del perfil. Aunque el campo de presiones no es conocido, la resultante de las fuerzas de presión que el obstáculo realiza sobre el fluido a través de las paredes es igual y contraria a la fuerza F que el fluido ejerce sobre el obstáculo. Se tiene, entonces, de acuerdo con (13.100) F=− (ρ v v · n + p n)d σ. (13.102) c´ırculo Si pc , uc , wc , cos θ y sen θ representan el valor sobre el c´ırculo de la presión, de las componentes de la velocidad seg´ un los ejes x y z y de la normal n, la resistencia y sustentación que experimenta el obst´ aculo son respectivamente 2π D=− [ρ uc (uc cos θ + wc sen θ) + pc cos θ]R d θ (13.103) o

y

L=−

2π

[ρ wc (uc cos θ + wc sen θ) + pc sen θ]R d θ.

(13.104)

o

Sobre el c´ırculo de ecuación τ = τc = R eiθ , |τc | |τoi | ∼ |τoj |, y de acuerdo con las expresiones (13.98) y (13.99), la velocidad conjugada (13.97) se aproxima por n n 1 1 iΓ f˙(τc ) U∞ + qi + i γj = U∞ + ; 2πτ i=1 2πτ j=1 2πτ

(13.105)

13.9. Generación de circulación en un perfil bidimensional. Hip´ otesis de

Kutta-Joukowski

347

esto es, suficientemente lejos del obstáculo, la corriente se describe en primera aproximación por la superposición de una corriente uniforme y un torbellino de intensidad Γ situado en el origen. Las componentes de la velocidad sobre el c´ırculo son, por tanto, uc = U∞ +

Γ sen θ 2πR

y

wc = −

Γ cos θ, 2πR

(13.106)

y la presión all´ı , calculada a partir de la ecuaci´ on de Bernouilli, es 1 1 2 ρΓU∞ ρΓ2 − ρ(u2c + wc2 ) = p∞ − pc = p∞ + ρU∞ sen θ − 2 2 . 2 2 2πR 8π R

(13.107)

Introduciendo (13.106) y (13.107) en (13.103) y (13.104) e integrando se obtiene D=0

y

L = ρ Γ U∞ .

(13.108)

El primer resultado es conocido como paradoja de D’Alambert y el segundo es la f´ ormula de Kutta. Establecen respectivamente que un cuerpo bidimensional moviéndose estacionariamente a través de un fluido no viscoso en reposo experimenta una fuerza perpendicular a la direcci´ on del movimiento de magnitud ρ Γ U∞ . Como ya se comentó, la validez de los resultados dados en (13.108) depende esencialmente del comportamiento de la capa l´ımite sobre el obstáculo. Si la capa l´ımite está adherida al obst´ aculo, la predicción del valor de la sustentaci´ on a través de la fórmula de Kutta se aproxima muy bien al resultado experimental. No es éste el caso de la paradoja de D’Alambert que debe corregirse para tener en cuenta la fricción en la pared. En cualquier caso la resistencia debida a las fuerzas de presión sobre el obstáculo es muy peque˜ na de acuerdo con los resultados teóricos calculados suponiendo viscosidad nula. En general, si no hay desprendimiento de la capa l´ımite, la resistencia de presión es mucho menor que la de fricción y ésta a su vez mucho menor que la sustentación. Por el contrario, si el obst´ aculo es romo, o fuselado a ángulos de ataque grandes, la capa l´ımite se separa y la resistencia es grande y debida fundamentalmente a las fuerzas de presión mientras que la sustentación se reduce a cero o a valores muy peque˜ nos, menores incluso que los de la resistencia.

13.9.

Generaci´ on de circulaci´ on en un perfil bidimensional. Hip´ otesis de Kutta-Joukowski

Como demuestra el teorema de Bjerkness-Kelvin (10.10), bajo condiciones encontradas frecuentemente en Aerodinámica (altos n´ umeros de Reynolds y capa l´ımite adherida al obst´ aculo, movimiento barótropo y fuerzas másicas despreciables) la circulación alrededor de cualquier l´ınea fluida cerrada se mantiene constante en el curso del movimiento. Dado que inicialmente la circulación a lo largo de cualquier l´ınea fluida cerrada es nula (obst´ aculo y fluido en reposo), la circulaci´ on se mantendrá nula durante el movimiento, a no ser que, durante el proceso de arranque, se viole alguna de las condiciones mencionadas anteriormente. En efecto, considérese el caso de un perfil con borde de ataque redondeado y borde de salida anguloso, o de retroceso, que se acelera desde el reposo hasta la velocidad U∞ . Inmediatamente después del arranque del perfil, un posible patr´ on del flujo irrotacional con circulaci´ on nula alrededor del perfil ser´ıa, por ejemplo, el que se esquematiza en la Figura 13.12a, donde el punto de remanso posterior no coincide en general con el borde de salida del perfil. Recuérdese que, como se vio en el estudio de la corriente alrededor del c´ırculo, la posición de los puntos de remanso depende del valor de la circulaci´ on. Si la situaci´ on es como la esquematizada en la Figura 13.12a, la capa l´ımite experimentará una fort´ısima deceleración entre el borde de salida, punto de m´ınima presión, y el de remanso posterior que le impedir´ a continuar adherida al perfil, desprendiéndose un torbellino en el borde de salida, denominado torbellino de


348

A

(a)

F

(b)

B

C

E

D

Figura 13.12: Torbellino de arranque.

arranque, que es convectado aguas abajo por la corriente, Figura 13.12b. Como el flujo alrededor de cualquier l´ınea cerrada es irrotacional, se debe establecer una corriente circulatoria sobre el perfil de igual intensidad pero de sentido contrario al del torbellino desprendido. N´ otese que si la circulación a lo largo de la l´ınea fluida material ACDF es inicialmente nula, contin´ ua siéndolo en cualquier instante posterior; la circulaci´ on a lo largo de ABEF es igual y opuesta a la de BCDE. Es importante observar que, aunque la l´ınea fluida se deforme, el perfil siempre permanece encerrado por la l´ınea fluida, cuya trayectoria pasa por el punto de remanso delantero del perfil, y consecuentemente ese punto permanece anclado all´ı . El campo circulatorio sobre el perfil desplaza el punto de remanso posterior hacia el borde de salida del perfil y la hip´ otesis de Kutta-Joukowski supone que el proceso de desprendimiento de torbellinos desde el borde de salida finaliza, y por tanto se alcanza un valor constante de la circulación alrededor del perfil, cuando el punto de remanso posterior se sit´ ua justo en el borde de salida del perfil. El cumplimiento de la condici´ on de Kutta-Joukowski garantiza que el valor de la presi´ on en el borde de salida del perfil es el mismo para las dos corrientes que fluyen por el extrad´ os (parte superior) e intrad´ os (parte inferior) del perfil. En efecto, en un borde de salida anguloso, con dos pendientes diferentes, sólo es posible tener velocidades, y consecuentemente presiones, iguales arriba y abajo si el borde de salida es punto de remanso.

Figura 13.13: Torbellinos de arranque y parada.

Obsérvese que si el borde de salida del perfil es punto de retroceso no es necesario que el borde de salida sea de remanso sino que basta con que las velocidades arriba y abajo sean iguales. Por tanto, el valor de la circulación prescrito por la hip´ otesis de Kutta-Joukowski es el u ´ nico posible para un perfil de forma y actitud dadas en movimiento estacionario y resulta de imponer la condici´ on de que el borde de salida del perfil sea punto de remanso si es un borde anguloso o que, si éste es punto de retroceso, las velocidades por extradós e intrad´ os sean iguales en el borde de salida. El valor de la circulaci´ on no cambiar´ a en tanto que no se desprenda vorticidad adicional desde el

349

13.10. Caracter´ısticas aerodinámicas de perfiles

borde de salida, esto es, mientras que la velocidad del perfil se mantenga constante. En la Figura 13.13 se muestran dos torbellinos, de arranque y parada, generados cuando un perfil es detenido s´ ubitamente un tiempo corto después de haberlo arrancado. La situación es muy diferente para cuerpos con borde de salida romo, ver Figura 13.14. En este caso la capa l´ımite se desprende en extradós e intrad´ os del perfil dando lugar a torbellinos desprendidos de intensidad igual y opuesta. La circulaci´ on sobre el perfil y, por tanto, la sustentaci´ on son nulas pero la resistencia es grande debido fundamentalmente a la estela que aparece como consecuencia de la separación de capa l´ımite.

Figura 13.14: Corriente en las proximidades de un obst´ aculo con borde de salida romo.

13.10.

Caracter´ısticas aerodin´ amicas de perfiles

En la Figura 13.15 se representa un perfil de ala t´ıpico y sus caracter´ısticas geométricas más importantes. La l´ınea de curvatura media del perfil se define como el lugar geométrico de los

z

ze(x)

zc(x)

x

Figura 13.15: Caracter´ısticas geométricas de un perfil de ala.

puntos que equidistan del extrad´ os e intrad´ os del perfil. La cuerda c es la l´ınea recta que une los bordes de ataque y salida del perfil y el espesor es la distancia entre extrad´ os e intrad´ os medida perpendicularmente a la cuerda del perfil. La forma de cualquier perfil puede generarse entonces especificando la forma de la l´ınea de curvatura media zc (x) a la que se superpone una distribuci´ on de espesores, simétrica respecto a la l´ınea media, ze (x). De este modo, si zp+ (x) y zp− (x) representan las ecuaciones de las l´ıneas que definen el extradós e intrad´ os del perfil, su relación con la distribuci´ on


350 de espesores y la curvatura del perfil es

zp+ (x) = zc (x) + ze (x)

y

zp− (x) = zc (x) − ze (x).9

(13.109)

Las caracter´ısticas aerodinámica más importante de un perfil son el coeficiente de sustentaci´ on on de Cl con el ángulo de Cl , definido en (13.4), la denominada polar del perfil Cd (Cl ) y la variaci´ ataque α del perfil Clα = ∂ Cl /∂ α, denominada también pendiente de la curva de sustentaci´ on.

Figura 13.16: (a) Polar Cd (Cl ) y (b) coeficiente de sustentación Cl como función del ángulo de ataque α del perfil NACA 0012 para valores diferentes del n´ umero de Reynolds; ◦ Re = 3 × 106 , 6 6 • Re = 6 × 10 , Re = 9 × 10 . En la Figura 13.16 se representan valores experimentales del Cl de un perfil de la familia NACA de 4 d´ıgitos ampliamente usado en la Ingenier´ıa Aeronáutica. Como se observa en la figura, a bajos y moderados valores del ángulo de ataque la pendiente de la curva de sustentaci´ on es una recta cuya pendiente ∂ Cl /∂ α es muy próxima a 2 π. Para valores mayores del ángulo de ataque, la capa l´ımite sobre el extradós del perfil tiende a separarse para dar lugar a una estela detr´ as del perfil que disminuye la sustentaci´ on y aumenta la resistencia; se dice entonces que el perfil entra en pérdida. El valor máximo del coeficiente de sustentación Clmax , que se presenta justo inmediatamente antes de la entrada en pérdida, es una caracter´ıstica importante del perfil, ya que su valor determina la velocidad de pérdida 2W Umin = , ρ c Clmax o velocidad m´ınima a la que puede volar un perfil de peso por unidad de longitud W en vuelo estacionario, horizontal y uniforme. 9 A partir de los a˜ nos treinta el National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), organismo antecesor de la actual NASA, llev´ o a cabo una serie de experimentos para determinar las caracter´ısticas aerodin´ amicas de una serie de familias de perfiles de ala construidos racional y sistem´ aticamente combinando distribuciones de espesores y l´ıneas de curvatura diferentes. Las caracter´ısticas geométricas de estos perfiles, de uso com´ un hoy d´ıa, y sus caracter´ısticas aerodin´ amicas se encuentran en Abbott y von Doenhoff (1949).

13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en régimen incompresible

351

La teor´ıa potencial predice con gran aproximaci´ on el coeficiente de sustentación del perfil Cl (α) en la zona en la que éste var´ıa linealmente con el ángulo de ataque. En esta situaci´ on, la capa l´ımite se encuentra adherida al perfil, en la mayor parte de su superficie. Sin embargo, la teor´ıa potencial no predice el coeficiente de resistencia Cd (α), definido en (13.7), que debe ser determinado emp´ıricamente; como es sabido, la resistencia del perfil se debe, en general, a la resistencia de fricción (debida a la viscosidad) y a la de forma (debida a la separación de la capa l´ımite).

13.11.

Teor´ıa linealizada de perfiles en r´ egimen incompresible

Como se ha visto anteriormente, el cálculo de la distribuci´ on de presiones en la corriente incompresible alrededor de un obst´ aculo bidimensional de forma cualquiera utilizando la teor´ıa potencial comporta la resolución de la ecuación de Laplace bidimensional sujeta a las condiciones de contorno en el infinito (13.15) y sobre el obst´ aculo (13.16) además de la condición de Kutta-Joukowski en el borde de salida del perfil. Existen varias técnicas de resolución del problema planteado aqu´ı: dos que son anal´ıticas o semianal´ıticas y una tercera de carácter numérico que se expondrá al final de este Cap´ıtulo. Entre las anal´ıticas, la denominada exacta utiliza la transformaci´ on conforme y se denomina as´ı porque el resultado obtenido ser´ıa exacto si se ignorasen los efectos de la viscosidad. En esta técnica, el exterior de una curva cerrada cualquiera (perfil) situada en el plano complejo se transforma en el exterior de otra curva cerrada situada en el plano complejo τ por medio de la transformación conforme τ = F (). Usualmente se elige el c´ırculo (transformado del perfil) como curva cerrada del plano τ , ya que la corriente alrededor del c´ırculo y su representaci´ on matemática, el potencial complejo f (τ ), son conocidas. La importancia pr´ actica de la transformación conforme es que puede usarse para transformar la representaci´ on matemática de una corriente incompresible alrededor de un cilindro circular dada por su potencial complejo f (τ ) en la representación matemática de otra corriente incompresible alrededor de un obst´ aculo de forma cualquiera cuyo potencial complejo F() viene dado por f (τ ) = f [F ()] = F(). En la pr´ actica, dado un perfil de forma cualquiera, del que se desea calcular sus caracter´ısticas aerodinámicas, no resulta fácil encontrar la transformaci´ on que lo convierte en el c´ırculo del plano τ . Para ello es necesario recurrir al empleo de métodos numéricos iterativos como, por ejemplo, el método de Theodorssen que ha sido profusamente utilizado en el pasado. En contraste con el anterior, el segundo de los métodos anal´ıticos es una teor´ıa aproximada denominada teor´ıa linealizada de perfiles. Empezó a desarrollarse hacia los a˜ nos treinta del pasado siglo y por su simplicidad y eficacia en la determinaci´ on de las caracter´ısticas aerodinámicas de los perfiles ha sido y es todav´ıa ampliamente utilizada. Su fundamento se basa en que, puesto que la ecuación de Laplace del potencial de velocidades en régimen incompresible es lineal, podr´ıan calcularse las caracter´ısticas de un perfil por superposici´ on de las de su l´ınea de curvatura media, las de una placa plana para modelar el efecto del ańgulo de ataque y las de una distribuci´ on de manantiales que representa el espesor del perfil. Sin embargo, el problema radica en que la condici´ on de contorno (13.16) de velocidad tangente al obst´ aculo no es lineal, ya que las velocidades del l´ıquido que imponen las condiciones de contorno correspondientes a cada uno de los tres problemas en los que el perfil se descompone no podr´ıan sumarse al estar impuestas sobre contornos diferentes (espesor, curvatura y ańgulo de ataque). La simplificaci´ on dr´ astica que introduce la teor´ıa linealizada es la de imponer la condici´ on (13.16) no sobre el contorno del perfil sino sobre el esqueleto del mismo definido matemáticamente por z = 0, 0 ≤ x ≤ c. Como se verá más adelante, esta linealización de la condición de contorno limita la validez de la teor´ıa a casos en los que las ordenadas de las l´ıneas de curvatura media, del espesor y del ángulo de ataque del perfil son peque˜ nas frente a su cuerda como para que la velocidad evaluada sobre el perfil difiera poco de la evaluada sobre el esqueleto


352

(en una cantidad del orden del espesor relativo, curvatura relativa, o ańgulo de ataque si estas cantidades son peque˜ nas frente a la unidad). Los resultados obtenidos mediante la aplicaci´ on de esta teor´ıa son de gran utilidad en el caso de perfiles delgados a peque˜ nos ángulos de incidencia y dejan de serlo si se aplican a perfiles en los que alguna o todas sus caracter´ısticas geométricas (espesor, curvatura, ángulo de ataque) no son peque˜ nas, aunque esta limitación importa poco, pues, en estos casos, incluso la existencia de potencial de velocidades ser´ıa dudosa. Si el potencial de velocidades se escribe como suma del incidente sin perturbar más uno debido a la perturbaci´ on que introduce el obst´ aculo Φ(x, z) = U∞ x + ϕ(x, z),

(13.110)

las componentes de la velocidad del l´ıquido seg´ un los ejes x y z son Φx (x, z) = U∞ + ϕx (x, z) y Φz (x, z) = ϕz (x, z)

(13.111)

donde ϕ(x, z) y sus derivadas representan el potencial y las componentes de la velocidad de perturbaci´ on. Si el perfil es delgado, en el sentido de que las ordenadas de su l´ınea media de curvatura, distribuci´ on de espesores y ángulo de ataque son peque˜ nas frente a la cuerda del perfil, las velocidades de perturbaci´ on ϕx y ϕz se pueden suponer peque˜ nas frente a la corriente incidente U∞ . La condici´ on de contorno sobre el perfil (13.16) se escribe entonces Φz [x, zp± (x)] d zp± (x) ϕz [x, zp± (x)] ϕz [x, zp± (x)] = , = dx U∞ Φx [x, zp± (x)] U∞ + ϕx [x, zp± (x)]

(13.112)

donde el doble signo en la ecuación zp± (x) = ±ze (x) + zc (x) − α se corresponde con el extradós o intrad´ os del perfil. Nótese que esta aproximación dejar´ a de ser válida en las proximidades de los puntos de remanso del perfil donde la aproximaci´ on efectuada en (13.112), |ϕx | U∞ , no es v´ alida. Por otra parte, si se desarrolla ϕz en serie de potencias de zp , ϕz [x, zp± (x)] = ϕz (x, 0± ) + ± zp (x) ϕzz (x, 0) + ..., la condición de contorno (13.112) se escribe dzp± dze dzc ϕz (x, 0± ) . =± + −α dx dx dx U∞

(13.113)

Por simplicidad en la resolución del problema resulta conveniente separar el efecto de la distribuci´ on de espesores de los de curvatura y ángulo de ataque. Como se ver´ a en lo que sigue, el efecto del espesor puede modelarse mediante una distribución de fuentes (manantiales y sumideros) mientras que los efectos de curvatura y ángulo de ataque se modelan mediante torbellinos. La distribuci´ on de fuentes da lugar a un flujo simétrico respecto al eje z = 0 que no contribuye a la sustentaci´ on mientras que el flujo de la distribuci´ on de torbellinos situada en el eje en presencia de una corriente uniforme da lugar a un flujo antisimétrico con velocidades (y presiones) distintas arriba y abajo del eje z = 0 que modelan el efecto sustentador.

13.11.1.

Problema de espesor

Considérese una distribución de fuentes elementales de intensidad por unidad de longitud q(x) situada sobre el eje x (0 ≤ x ≤ c). Las componentes de la velocidad en el punto (x, z) debidas a la distribuci´ on de fuentes es [véase (13.38)] c q(xo )(x − xo ) 1 dxo , (13.114) ϕsx (x, z) = 2π o (x − xo )2 + z 2 c q(xo )z 1 dxo . (13.115) ϕsz (x, z) = 2π o (x − xo )2 + z 2

353


Si (13.114) y (13.115) representan el campo de velocidades de perturbaci´ on inducido por la distribución de espesores z = ze (x), entonces la intensidad de las fuentes q(x) debe calcularse imponiendo la condición de contorno (13.113) que para una distribuci´ on de espesores ±ze (x) se escribe dze ϕsz (x, 0± ) =± ; U∞ dx

(13.116)

nótese que las velocidades verticales en z = 0± son iguales y de sentido contrario. El c´ alculo del l´ımite de la expresión (13.115) para z → 0+ se efect´ ua fácilmente si se tiene en cuenta que para no del punto fijo z → 0, ϕsz es nula en todo el intervalo [0, c] excepto en un entorno muy peque˜ (x, 0+ ) donde se desea calcular la velocidad. Dado que en ese entorno q(xo ) q(x), el l´ımite de la expresión (13.115) resulta ϕsz (x, o+ )

=

l´ım z→0 →0

q(x) 2π

x+

x−

q(x) zdx = . 2 2 (x − xo ) + z 2

(13.117)

La expresión (13.117) muestra que la intensidad de los manantiales por unidad de longitud es en cada punto el doble de la velocidad vertical en ese punto y de (13.116) se tiene q(x) = 2ϕsz (x, 0+ ) = 2 U∞

dze . dx

(13.118)

A la expresión anterior se llega también sin más que expresar la condición de conservación de la masa en el volumen de control indicado en la Figura 13.17

fz(x,0 + ) x

x+dx

x

fz ( x , 0 - ) Figura 13.17: Caudal eyectado por unidad de longitud.

q(xo )d xo =

v · n d σ = Φsz (x, 0+ )d xo − Φsz (x, 0− )d xo = 2ϕsz (x, 0+ ).

El coeficiente de presiones Cp (x, z) definido en la forma usual es Cp (x, z) =

p(x, z) − p∞ Φ2x (x, z) + Φ2z (x, z) , = 1 − 1 2 2 U∞ 2 ρ U∞

(13.119)

donde se ha hecho uso de la ecuación de Bernouilli. En términos del potencial de perturbaci´ on ϕ(x, z), una vez linealizada la expresi´ on resultante, se tiene Cp (x, z) = 1 −

ϕs (x, z) (U∞ + ϕsx )2 + ϕs2 z −2 x , 2 U∞ U∞

(13.120)


354

que muestra la proporcionalidad, en la teor´ıa linealizada, entre el coeficiente de presiones y la componente horizontal de la velocidad de perturbaci´ on. Sobre el esqueleto del perfil ϕsx (x, 0) se calcula a partir de (13.114) y (13.118) U∞ c ze (xo ) d xo , (13.121) ϕsx (x, 0) = π o x − xo y de (13.120) Cp (x, 0) = −

2 π

c o

ze (xo ) d xo . x − xo

(13.122)

La expresión (13.122) determina la distribuci´ on de presiones sobre el obstáculo Cp (x, 0) si la distribuci´ on de espesores ze ≡ d ze /d x es conocida. Nótese de (13.114) que ϕsx y por tanto Cp son funciones simétricas respecto al eje z = 0 y el coeficiente de sustentación local cl (x) sobre el obstáculo es, por tanto, idénticamente nulo cl (x) = Cp (x, 0− ) − Cp (x, 0+ ) = 0.

13.11.2.

Problema sustentador. Curvatura y ´ angulo de ataque

Considérese una distribución de torbellinos bidimensionales de intensidad por unidad de longitud γ(x) situada sobre el eje x (0 ≤ x ≤ c). El campo de velocidades debido a la distribuci´ on de torbellinos es [véase (13.42)] c γ(xo )z 1 d xo , ϕ(c+α) (x, z) = (13.123) x 2π o (x − xo )2 + z 2 ϕ(c+α) (x, z) z

1 =− 2π

c

o

γ(xo )(x − xo ) d xo . (x − xo )2 + z 2

(13.124)

La intensidad de los torbellinos γ(x) se calcula imponiendo la condición de contorno ya linealizada (13.113) que para una l´ınea media zc (x) a ángulo de ataque α se reduce a (c+α)

ϕz

d zc (x, 0) = − α; U∞ dx

(13.125)

n´ otese que contrariamente al caso simétrico las velocidades verticales en z = 0± son iguales, lo que se corresponde con una distribuci´ on de torbellinos situada en el eje. La intensidad de los torbellinos (c+α) (x, 0), véase (13.123), y puede calcularse γ(xo ) está relacionada con la velocidad horizontal ϕx del l´ımite de esta expresión para z → 0. También puede obtenerse calculando la circulación a lo largo de la l´ınea cerrada de la Figura 13.18. En efecto, la circulaci´ on a lo largo del recinto se˜ nalado en la figura es γ(xo )d xo = ϕ(c+α) (x, 0+ )d xo − ϕ(c+α) (x, 0− )d xo = 2ϕ(c+α) (x, 0+ )d x, x x x

(13.126)

donde en (13.126) se ha hecho uso de la condici´ on de antisimetr´ıa debida a que un torbellino situado en z = 0 induce velocidades horizontales en z = 0+ iguales y contrarias a las que induce en z = 0− . Teniendo en cuenta (13.125) y tomando el l´ımite z → 0 de (13.124) se tiene U∞

dzc −α dx

=−

1 π

c o

(c+α)

ϕx

(x, 0+ ) d xo . x − xo

(13.127)

355


fx(x,0+)

fz(x,0) x

fz(x+dx,0)

x+dx

fx(x,0-)

Figura 13.18: Flujo debido a la distribuci´ on de torbellinos sobre el perfil.

Si la l´ınea de curvatura y ańgulo de ataque del perfil son conocidos, la resoluci´ on de la ecuación (c+α) integral (13.127) suministra la distribuci´ on de velocidades horizontales ϕx (x, 0+ ) y el coeficiente de presiones Cp (x, 0+ ) = −2ϕx (x, 0+ )/U∞ sobre el extradós del perfil. Existen varias técnicas para resolver la ecuación integral (13.127). En lo que sigue se describirá un método descrito por Glauert en 1926 que es ampliamente utilizado. Glauert propuso para la componente horizontal de perturbaci´ on un desarrollo de la forma (c+α)

ϕx

U∞

(θ)

∞

= Ao tan

θ An sen n θ, + 2 n=1

(13.128)

donde los coeficientes Ao , A1 ,... An deben ser determinados como parte de la solución del problema y la variable θ se define como c x = (1 + cos θ), (13.129) 2 de modo que θ = π corresponde al borde de ataque (x = 0) y θ = 0 al borde de salida (x = c); nótese que 0 ≤ θ ≤ π y π ≤ θ ≤ 2π se corresponden con el esqueleto z = 0+ y z = 0− de la l´ınea de curvatura y ańgulo de ataque. Las razones de tipo f´ısico que indujeron a Glauert a proponer el desarrollo (13.128) son las siguientes: (c+α)

La componente horizontal de perturbaci´ on ϕx debida a los torbellinos es una funci´ on (c+α) (c+α) antisimétrica respecto a z = 0, ϕx (θ) = −ϕx (2π − θ), de modo que la funci´ on debe desarrollarse en serie de senos. (c+α)

ϕx es singular en el borde de ataque debido a que la corriente rebordea un perfil infinitamente delgado en el borde de ataque. Resultados exactos del estudio de la corriente (no viscosa) de rebordeo de una placa plana [véase (13.72)] indican que√la velocidad se comporta singularmente en el borde de ataque y tiende a ∞ en la forma 1/ x cuando la distancia x al borde tiende a cero, o teniendo en cuenta (13.129) como tan θ/2. La forma funcional (13.128) satisface la condici´ on de Kutta-Joukowski en el borde de salida, θ = 0 y θ = 2π. En efecto, si el borde de salida es de retroceso, como sucede en una l´ınea de curvatura y en una placa plana, la condici´ on de Kutta-Joukowski establece que las velocidades (c+α) en el extradós e intrad´ os del perfil deben ser iguales en el borde de salida. Como ϕz es (c+α) (c+α) simétrica y ϕx (0) = ϕx (2 π) = 0, véase (13.125) y (13.128), las componentes de la (c+α) (c+α) (0)] y [U∞ , ϕz (2π)] son idénticas en extradós velocidad en el borde de salida [U∞ , ϕz e intrad´ os y la condición de Kutta-Joukowski es satisfecha. Nótese que en teor´ıa linealizada la condición de Kutta se satisface automáticamente si ϕx se anula en el borde de salida. Introduciendo (13.128) en (13.127) y usando las relaciones trigonométricas 2 sen2 θ/2 = 1 − cos θ,


356

2 sen n θ sen θ = cos(n − 1)θ − cos(n + 1)θ, se llega a

∞ n=1

π o

1 − cos θo d θo + cos θ − cos θo o An [cos(n − 1)θo − cos(n + 1)θo ] d θo . 2(cos θ − cos θo )

1 dzc −α=− dx π

π

Ao

(13.130)

La expresión (13.130) contiene integrales denominadas de Glauert cuyo valor, que se obtiene f´ acilmente en el plano complejo, es π cos m θo sen m θ d θo = −π . (13.131) cos θ − cos θ sen θ o o Teniendo en cuenta este u ´ltimo resultado, la expresi´ on (13.130) suministra una relaci´ on entre los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier y la forma de la l´ınea de la curvatura y el ańgulo de ataque ∞ d zc An cos n θ = −α + −Ao − . (13.132) dx n=1 Los coeficientes Ao , A1 ...An pueden ser ahora calculados, en la forma usual, multiplicando ambos miembros de la ecuación (13.132) por cos m θ e integrando entre 0 y π se llega a π π d zc d zc 1 2 cos n θ d θ n ≥ 1, (13.133) Ao = α − d θ y An = − π o dx π o dx donde se ha hecho uso de la condición de ortogonalidad π π/2 si m = n cos m θ cos n θ d θ = 0 si m = n o Una vez que los coeficientes de la serie de Fourier han sido calculados, el coeficiente de presiones sobre el perfil debido a curvatura y ańgulo de ataque es " ! ∞ θ (c+α) An sen n θ , Cp (θ) = −2ϕx (13.134) (θ)/U∞ = −2 Ao tan + 2 1 y el coeficiente local de sustentación cl (θ) definido como la diferencia del coeficiente de presiones en extradós e intrad´ os (c+α)

cl (θ) = Cpi (θ) − Cpe (θ) = −2Cpe (θ) = 4 " ∞ θ An sen n θ , cl (θ) = 4 Ao tan + 2 n=1

ϕx

U∞

(θ)

,

(13.135)

!

0 ≤ θ ≤ π.

El coeficiente de sustentación total viene dado por " c π ! ∞ θ An sen n θ sen θ d θ = 2π(Ao + A1 /2), Cl = cl (x)dx/c = 2 Ao tan + 2 n=1 o o

(13.136)

(13.137)

357

13.11. Teor´ıa linealizada de perfiles en régimen incompresible y sustituyendo Ao y A1 por sus expresiones dadas en (13.133)

1 π d zc (1 + cos θ)d θ , Cl = 2π α − π o dx

(13.138)

que suministra el coeficiente de sustentación si el ángulo de ataque y la curvatura de la l´ınea media son conocidos. La pendiente de la curva de sustentaci´ on ∂cl /dα vale 2π y se aproxima mucho a los resultados experimentales (véase Figura 13.16). Otras caracter´ısticas aerodinámicas del perfil son el ángulo de ataque de sustentaci´ on nula αl=0 y el ángulo de ataque ideal o de proyecto αi . El primero se obtiene f´ acilmente sin más que anular la expresión (13.138) 1 π d zc (1 − cos θ)d θ. (13.139) αl=0 = π o dx Obsérvese que el ángulo de sustentaci´ on nula de una l´ınea de curvatura simétrica respecto al eje z es nulo. Nótese también que la magnitud del ańgulo de sustentaci´ on nula crece al aumentar la curvatura relativa de la l´ınea media. Se llama ángulo de ataque ideal a aquel para el que desaparece la singularidad del borde de ataque (Ao = 0). Esta situación corresponde a un ańgulo de ataque en el que la corriente perturbada es tangente a la l´ınea de curvatura en el borde de ataque, véase Figura 13.19.

a=ai

a¹ai

Figura 13.19: Flujo en las proximidades del borde de ataque de un perfil delgado. De (13.133) se tiene 1 αi = π

d zc d θ, dx

o

y el coeficiente de sustentación ideal Cli = π A1 = −

π

2 π

o

π

d zc cos θ d θ. dx

(13.140)

(13.141)

Se denomina ideal a este valor porque a este ángulo de ataque la resistencia del perfil alcanza su valor m´ınimo como consecuencia de que la corriente no rebordea el borde de ataque y el efecto del gradiente adverso de presiones sobre el extradós del perfil se minimiza (capa l´ımite adherida) al desaparecer el fuerte pico de succión en el extradós del borde de ataque. Finalmente, el coeficiente de momento de cabeceo respecto al borde de ataque Cmo es c π x dx (13.142) = − (Ao + A1 + A2 /2), Cmo = cl (x) c c 2 o y el coeficiente de momentos respecto al centro aerodinámico del perfil xca , definido como el punto respecto al que el coeficiente de momentos es independiente del ángulo de ataque, es Cmca = Cmo − Cl xca .

(13.143)

De (13.133), (13.142) y (13.143) se demuestra fácilmente que el centro aerodinámico está situado a una distancia c/4 del borde de ataque de la l´ınea de curvatura y el coeficiente de momentos respecto a este punto vale π (13.144) Cmca = − (A1 + A2 ). 4


358

13.12.

Alas de envergadura finita

Se encuentra experimentalmente que las caracter´ısticas aerodinámicas de un perfil que constituye una sección de un ala real (ala de envergadura finita) son sustancialmente distintas a las calculadas suponiendo que el ala no tiene fin; por ejemplo, su coeficiente de sustentaci´ on es menor que el que proporciona el mismo perfil al mismo ángulo de ataque pero considerado bidimensional (ala de envergadura infinita). La explicación a este hecho debe buscarse en las diferencias entre el flujo bidimensional y el tridimensional que se desarrolla sobre un ala real. En efecto, la sustentaci´ on en un ala es debida a la diferencia entre las presiones (mayores) del intrad´ os del ala y las del extradós (menores). Existe, por tanto, un gradiente de presi´ on a lo largo de la envergadura del ala (en el extrad´ os la presión aumenta hacia el borde marginal mientras que en el intrad´ os sucede lo contrario); naturalmente, estos gradientes de presión son nulos para un ala de envergadura infinita (bidimensional). En el extrad´ os del ala el fluido tender´ a a moverse desde el borde marginal hacia la ra´ız y en sentido opuesto en el intrad´ os, que combinados con las otras dos componentes de la velocidad dan lugar en el borde de salida del ala a torbellinos que se mueven aguas abajo del ala y forman la estela de un ala sustentadora, véase Figura 13.20.10 Debido a fen´ omenos no lineales la estela de torbellinos

Figura 13.20: Estela de torbellinos en un ala sustentadora de forma en planta rectangular.

se enrolla rápidamente para formar un par de v´ ortices concentrados y de circulación opuesta que se mueven con el fluido; el vórtice del borde marginal izquierdo rota al fluido en la direcci´ on de las agujas del reloj mientras que el del borde derecho induce giro en el sentido opuesto. El primer intento racional de predecir las caracter´ısticas aerodinámicas en alas de envergadura finita fue debida a Prandtl y Lancaster, que independientemente uno de otro desarrollaron la denominada teor´ıa de la l´ınea sustentadora v´ alida para alas de alargamiento Λ muy grande, aunque la teor´ıa proporciona buena aproximaci´ on a partir de alas de alargamiento Λ ≥ 5; Λ = b/¯ c = S/(b¯ c) 1, donde b, c¯, y S = b¯ c son respectivamente la envergadura, cuerda y superficie en planta del ala (superficie alar). En lo que sigue se discutir´ an las ideas f´ısicas en las que se basa la teor´ıa de la l´ınea sustentadora. Como se ha visto en 13.9.2, el efecto sustentador de un perfil bidimensional puede modelarse en términos de torbellinos cuyos ejes, paralelos al eje y del ala, son perpendiculares al perfil. En teor´ıa linealizada, los torbellinos de un perfil bidimensional est´ an situados en z = 0 y su intensidad por unidad de longitud γ(x) es independiente de la coordenada y; siendo la circulación total sobre 10

M. R. Head, Flow Visualization II, ed. W.Merzkirch, Hemisphere, 1982.

359

13.12. Alas de envergadura finita el perfil

c

γ(x)dx.

Γ=

(13.145)

o

En contraste al caso bidimensional, en alas de envergadura finita, la intensidad del campo circulatorio es función también de la coordenada y, γ(x, y), ya que la circulación es nula fuera del ala por serlo all´ı la velocidad de perturbaci´ on seg´ un el eje x y el coeficiente de presiones, (13.126) y (13.134). Por otra parte, dado que la vorticidad es un campo solenoidal (divergencia nula), cualquier cambio en la circulación de un tubo de torbellinos debe llevar aparejado una bifurcaci´ on del mismo, Figura 13.21.

g(x,y+dy) (dg/dy)dy g(x,y)

G(y)

Figura 13.21: Bifurcación de las l´ıneas de torbellinos en un ala sustentadora de envergadura finita y distribuci´ on de circulación en la estela.

Una consecuencia es que las l´ıneas de torbellinos nunca pueden originarse o terminar en el interior del dominio fluido; si el dominio es ilimitado, son cerrados sobre s´ı mismos o terminan (o se originan) en el infinito. En este caso, y por ser las l´ıneas de vorticidad l´ıneas fluidas que se mueven con el fluido, los torbellinos bifurcados del ala son convectados aguas abajo formando una estela de torbellinos. La intensidad por unidad de longitud del torbellino bifurcado en cada punto (x, y) del ala será γ(x, y + dy) − γ(x, y) = [∂γ(x, y)/∂y] dy y la intensidad total aguas abajo del perfil situado en la posici´ on y es c c ∂γ(x, y) ∂Γ ∂ γ(x, y) dx dy = dx dy = dy = dΓ. ∂y ∂y o ∂y o

(13.146)

Si el alargamiento del ala es grande, el flujo alrededor de un ala recta puede simularse a grandes distancias por superposición de la corriente uniforme, un hilo de torbellinos de longitud b e intensidad Γ(y), seg´ un el eje y, y la estela de torbellinos situada en el plano z = 0 aguas abajo del ala. A la l´ınea de torbellinos de intensidad Γ(y) se le denomina torbellinos ligados por estar ligados al ala y representa el efecto circulatorio bidimensional del perfil. Las l´ıneas de torbellinos de circulación dΓ se denominan torbellinos libres y representan el efecto tridimensional del ala finita. En la teor´ıa linealizada, los torbellinos libres se suponen rectos y paralelos a la direcci´ on de vuelo,


360

el eje x. Esta hip´ otesis ser´ıa correcta si la velocidad detrás del ala fuera U∞ . Sin embargo, los torbellinos libres inducen velocidades verticales que superpuestas a la incidente dan lugar a una trayectoria inclinada respecto a la dirección del vuelo. No obstante, y debido a que es peque˜ no, este efecto no se considera en primera aproximación. La estela de torbellinos libres que induce velocidades verticales negativas si la sustentación del ala es positiva da lugar al efecto siguiente. En las proximidades del ala la velocidad vertical inducida por los torbellinos libres wi (0, y) modifica el ángulo de ataque geométrico del ala resultando en un ángulo de ataque efectivo αe = α − αi , donde αi = tan−1 [−wi (0, y)/U∞ ] es el ángulo de ataque inducido, Figura 13.22. De acuerdo con la f´ ormula de Kutta 13.8, la fuerza que act´ ua sobre el Di L

a-ai a

U¥ ai

ai

wi

´ Figura 13.22: Angulo de ataque inducido y resistencia inducida. 2 + w 2 (0, y) que posee una componente no perfil es perpendicular a la velocidad incidente U∞ i nula sobre la dirección de vuelo U∞ que se denomina resistencia inducida di y cuyo valor es di = l tan αi .

(13.147)

En general, sucede que wi (0, y) es mucho menor que U∞ , as´ı que αi −wi (0, y)/U∞ = di /l,

(13.148)

y la integraci´ on de di a lo largo de la envergadura del ala proporciona la resistencia inducida total del ala Di . La existencia de resistencia inducida puede explicarse también en términos de la energ´ıa cinética de los torbellinos de la estela. En efecto, la energ´ıa cinética del aire en la estela es 2 ρ(U∞ + ϕ2y + ϕ2z )/2 (siendo ϕy y ϕz las velocidades de perturbación seg´ un los ejes y y z) es mayor 2 que la del aire aguas arriba del ala ρU∞ y la diferencia debe ser suministrada por los motores que impulsan el ala. La potencia Pi necesaria para vencer la resistencia inducida es naturalmente Pi = Di U∞ .

13.12.1.

(13.149)

Teor´ıa de la l´ınea sustentadora

Prandtl supuso que un perfil de un ala tridimensional se comporta como si estuviese a un ańgulo de ataque efectivo (13.150) αe (y) = α(y) − αi (y), 11 11 La mayor´ ıa de las alas reales exhiben una torsi´ on negativa (y) = α(y)−α(0), siendo α(0) el ´ angulo de ataque de la secci´ on central del ala; esto es, la torsi´ on disminuye a lo largo de la envergadura para asegurar que la capa l´ımite se desprende primero en las secciones centrales del ala que en las puntas. De este modo, cuando el desprendimiento comienza el piloto tiene todav´ıa control sobre los alerones que est´ an situados en las puntas del ala.

361

13.12. Alas de envergadura finita

suma del geométrico más el inducido por los torbellinos libres, y el coeficiente de sustentaci´ on del perfil es, por tanto, ∂Cl ∂Cl (13.151) αe = [α(y) − αi (y)], Cl (y) = ∂α ∂α donde ∂Cl /∂α es la pendiente de la curva de sustentaci´ on del perfil bidimensional (2π si se utiliza el valor dado por la teor´ıa linealizada). Es interesante observar en (13.151) que el ańgulo de ataque α(y) está medido respecto a la dirección de sustentación nula del perfil αl=0 , (13.139), que en teor´ıa linealizada es una caracter´ıstica de la l´ınea de curvatura media del perfil. De la fórmula de Kutta (13.108) l(y) = ρU∞ Γ(y) y de la definici´ on del coeficiente de sustentación 2 l(y) = ρU∞ Cl (y)c(y)/2, junto con (13.151) se obtiene Γ(y) =

∂Cl 1 U∞ c(y) [α(y) − αi (y)]. 2 ∂α

(13.152)

El problema se cierra finalmente calculando el ángulo de ataque inducido a partir de la velocidad vertical inducida por los torbellinos libres. De acuerdo con (3.78), la velocidad inducida por un hilo semiinfinito de torbellinos de intensidad dΓ es dwi =

dΓ dΓ , = 4πd 4π(y − yo )

(13.153)

donde d = y − y0 es la distancia del punto (0, y, 0) donde se mide la velocidad al segmento de torbellino situado en (0, yo , 0). La velocidad vertical total inducida por toda la estela de torbellinos y el ángulo de ataque inducido son entonces b/2 dΓ/dyo 1 dyo (13.154) wi (y) = 4π −b/2 y − yo y αi (y) −

1 wi = U∞ 4πU∞

b/2 −b/2

dΓ/dyo dyo . y − yo

Sustituyendo (13.155) en (13.152) se llega a la ecuación integral de Prandtl b/2 1 ∂Cl dΓ/dyo 1 dyo , Γ(y) = U∞ c(y) α(y) − 2 ∂α 4πU∞ b/2 y − yo

(13.155)

(13.156)

que es una ecuación integro-diferencial cuya resoluci´ on proporciona la distribuci´ on de circulación a lo largo de la envergadura del ala Γ(y) como función de la forma en planta del ala [envergadura b y distribuci´ on de cuerdas c(y)], del ángulo de ataque geométrico de los perfiles α(y), medido respecto a su dirección de sustentación nula, y de las caracter´ısticas aerodinámicas de los perfiles: pendiente de la curva de sustentaci´ on ∂Cl /∂α y dirección de sustentación nula de los perfiles αl=0 . Una vez que Γ es conocida, el teorema de Kutta-Joukowski proporciona la distribuci´ on de sustentación a lo largo de la envergadura l(y) = ρU∞ Γ(y) y de su integraci´ on a lo largo de la envergadura se obtiene la sustentaci´ on total sobre el ala b/2 b/2 L= l(y)dy = ρU∞ Γ(y)dy; (13.157) −b/2

−b/2

análogamente, teniendo en cuenta (13.148), la resistencia inducida viene dada por la expresi´ on Di =

b/2

−b/2

di (y)dy =

b/2

−b/2

l(y)αi (y)dy =

b/2

−b/2

ρU∞ αi (y)Γ(y) dy

(13.158)


362

y los momentos de balanceo y gui˜ nada son respectivamente Mx = y

Mz =

13.12.2.

−b/2

di (y) y dy =

b/2

l(y) y dy = −b/2

b/2

b/2

ρU∞ Γ(y) y dy

−b/2

b/2

−b/2

l(y)αi (y) y dy =

(13.159)

b/2

−b/2

ρU∞ Γ(y) αi (y) y dy.

(13.160)

Soluci´ on de la ecuaci´ on integral de Prandtl

La solución general de la ecuación integral de Prandtl que satisface las condiciones en los bordes marginales del ala puede escribirse Γ(θ) = bU∞

∞

An sen nθ,

y=

n=1

b cos θ, 2

yo =

b cos θo .12 2

(13.161)

Sustituyendo (13.161) en (13.155), el ángulo de ataque inducido se escribe π ∞ cos nθo 1 nAn dθo . αi = π n=1 o cos θo − cos θ

(13.162)

y teniendo en cuenta el valor de la integral de Glauert dada en (13.131) se obtiene αi =

∞ n=1

nAn

sen nθ . 2 sen θ

(13.163)

Definiendo la distribuci´ on de cuerdas adimensionales k(θ) = c(θ)/b y sustituyendo (13.163) en la ecuación integral de Prandtl se llega finalmente a ∞ ∂Cl 1 nAn sen nθ An sen nθ = k(θ) α(θ) − . (13.164) 2 ∂α 2 sen θ n=1 La ecuación (13.164), que determina los coeficientes de la distribuci´ on adimensional de circulación, admite solución anal´ıtica en un n´ umero limitado de casos pero su resolución numérica es muy simple. Basta, en general, suponer que sólo un n´ umero finito N de coeficientes es distinto de cero y obligar a que la ecuación (13.164) se satisfaga en un n´ umero N de puntos θi , (i = 1...N ). Resulta as´ı un sistema de N ecuaciones algebraicas cuya resolución suministra los coeficientes An buscados. Para evitar resolver la ecuación (13.164) para cada ańgulo de ataque α se puede hacer uso de que dicha ecuación es lineal en el ángulo de ataque y basta, por tanto, calcular los coeficientes a dos ángulos de ataque diferentes para por combinaci´ on lineal de éstos obtenerlos a cualquier otro ángulo de ataque. En efecto, sea GI = In sen nθ, (13.165) la distribuci´ on de circulación adimensional cuando el viento sopla en la direcci´ on de sustentación nula del perfil central α(π/2) = 0; en ese caso los coeficientes In vienen dados por ∞ ∞ ∂Cl 1 nIn sen nθ In sen nθ = k(θ) (θ) − , (13.166) 2 ∂α 2 sen θ n=1 n=1 12

El m´ etodo descrito aqu´ı es debido a Glauert, que lo desarroll´ o a mediados de la década de los treinta.

363

13.12. Alas de envergadura finita

donde (θ) = α(θ)−α(π/2) es la torsión del ala. La distribuci´ on de circulación adimensional cuando el perfil central está a un ángulo de ataque α(π/2) = α se obtiene sin más que sumar a la anterior el ángulo de ataque α ∞ ∞ ∂Cl nAn sen nθ 1 An sen nθ = k(θ) α + (θ) − . (13.167) 2 ∂α 2 sen θ n=1 n=1 Finalmente si se restan las dos u ´ ltimas ecuaciones y se divide el resultado por α se obtiene ∞ ∞ ∂Cl 1 nan sen nθ an sen nθ = k(θ) 1− , (13.168) 2 ∂α 2 sen θ n=1 n=1 donde

An − In (13.169) α son los coeficientes de la llamada distribución adicional de circulaci´ on que, como se ve en (13.168), dependen exclusivamente de la forma en planta y corresponden a un ala plana (sin torsi´ on) cuyos perfiles forman con el viento incidente un ańgulo de ataque de 1 radi´ an. Conocidos los coeficientes In y an , los coeficientes An correspondientes a la distribuci´ on de circulación cuando el viento forma un ángulo de ataque α con la dirección de sustentación nula del perfil central se obtienen a partir de (13.169). Una vez obtenidos los valores de An la sustentación se obtiene de (13.157) an =

L=

π ∞ 1 2 2 π 2 2 An sen nθ sen θdθ = ρU∞ b A1 , ρU∞ b 2 4 o n=1

(13.170)

y el coeficiente de sustentación total CL =

πΛ 2L = A1 ; 2 b¯ ρU∞ c 2

(13.171)

obsérvese que el coeficiente de sustentación depende u ńicamente del primer coeficiente del desarrollo en serie de Fourier de la circulación. Cuando el ala no sustenta, CL = A1 = 0 y la dirección de sustentación nula del ala forma con la del perfil central un ańgulo dado por αL=0 = −

I1 . a1

(13.172)

Si α es el ángulo del ala medido respecto a su dirección de sustentación nula, entonces A1 = α a1 y la pendiente de la curva de sustentaci´ on del ala es ∂CL πΛ a1 , = ∂α 2

(13.173)

donde la ecuación para a1 se obtiene multiplicando (13.168) por sen θ e integrando entre 0 y π ∞ 1 ∂Cl

1 πa1 a1 π k(θ) sen θdθ − k(θ) sen nθdθ . = (13.174) 1− 2 2 ∂α 2 2 n=2 o La primera de las integrales en (13.174) vale

π

b/2

k(θ) sen θdθ = o

b/2

2 c(y) 2dy S =2 2 = , b b b Λ

(13.175)


364

mientras que la segunda debe, en general, integrarse numéricamente. Si se define τ=

π ∞ Λ nan k(θ) sen nθdθ, 4 n=2 o

(13.176)

la pendiente de la curva de sustentaci´ on del ala (13.173) resulta ∂CL ∂Cl 1−τ = , ∂α ∂α 1 + (∂Cl /∂α)/(πΛ)

(13.177)

que muestra que la pendiente de sustentaci´ on del ala es siempre menor que la de los perfiles; nótese que en los cálculos anteriores se ha considerado el caso de que el ala esta formada por perfiles de la misma familia. La resistencia inducida se calcula a partir de las expresiones (13.158) y (13.163) Di =

b/2

−b/2

l(y)αi (y)dy =

1 2 2 ρU b 4 ∞

∞ π o

An sen nθ

n=1

∞

nAn sen nθdθ =

n=1

∞ π 2 2 nA2n , ρU∞ b 8 n=1 (13.178)

y el coeficiente de resistencia inducida CDi

∞ πΛ 2 πΛ 2Di nA2n = = A = 2 b¯ ρU∞ c 4 n=1 4 1

!

∞ A2 1+ n n2 A1 n=2

"

C2 = L πΛ

!

∞ A2 1+ n n2 A1 n=2

" .

(13.179)

Es interesante se˜ nalar que para un CL y un alargamiento Λ dados, la m´ınima resistencia inducida se produce cuando la distribuci´ on de sustentación a lo largo de la envergadura es tal que A1 = 2CL /(πΛ) y An = 0 para n ≥ 2. Una distribuci´ on tal se denomina, por su forma, el´ıptica 2CL 2CL bU∞ sen θ = bU∞ Γ(θ) = πΛ πΛ

1−

2y b

2 .

(13.180)

Finalmente los momentos de balance, gui˜ nada y los respectivos coeficientes de momentos vienen dados por

b/2

1 2 3 b Mx = l(y) y dy = ρU∞ 8 −b/2 Mz =

b/2

−b/2

l(y) α(y) y dy = −

−

∞ π o

An sen nθ sen 2 θ d θ =

n=1

1 ρU 2 b3 16 ∞

o

∞ π n=1

An sen nθ

∞

π ρU 2 b3 A2 , 16 ∞

(13.181)

nAn sen nθ cos θ d θ =

n=1

∞ π 2 3 b (2n + 1)An An+1 , ρU∞ 32 n=1

(13.182)

y CMx =

2 Mx πΛ A2 = 2 b2 c ρ U∞ 8 ¯

y

CMz =

∞ 2 Mz πΛ (2n + 1)An An+1 . = − 2 b2 c ρ U∞ 16 n=1 ¯

(13.183)

365

13.13. Métodos numéricos en flujos potenciales

13.13.

M´ etodos num´ ericos en flujos potenciales

Desde finales de la década de los sesenta, los métodos numéricos se han convertido en herramientas clásicas para la resolución de problemas ingenieriles. Algunos de estos métodos están basados en la fórmula integral de Green que permite conocer los valores de una funci´ on armónica en el interior de un dominio en funci´ on de los valores de esa función en la frontera del dominio. El Método de los Elementos de Contorno, desarrollado en el ámbito de la Ingenier´ıa Civil, o el de Paneles, en la Aeronáutica, son ejemplos clásicos.13 Este u ´ltimo método es, sin duda alguna, el más utilizado para el cálculo de las caracter´ısticas aerodinámicas de perfiles aerodinámicos y superficies sustentadoras.

13.13.1.

F´ ormula de Green

Considérense dos funciones armónicas Φ y Ψ definidas en un dominio simplemente conexo D y cuya frontera S es continua a trozos. Se supondr´ a que las funciones Φ y Ψ as´ı como sus derivadas hasta el segundo orden son continuas y están acotadas en D. Si n es la normal exterior a la superficie S, entonces las funciones Φ y Ψ satisfacen la relación siguiente, denominada f´ ormula de Green, (Φ∇Ψ − Ψ∇Φ) · n dσ = 0. (13.184) S

En efecto, obsérvese que en virtud del teorema de Gauss se puede escribir (Φ∇Ψ − Ψ∇Φ) · n dσ = ∇ · (Φ∇Ψ − Ψ∇Φ)d, S

(13.185)

D

y como Φ y Ψ son funciones armónicas, y satisfacen por tanto la ecuación de Laplace, el integrando de la integral de volumen en (13.185) es idénticamente nulo y se satisface la relación (13.184). En la aplicaci´ on de la fórmula (13.184) a la resolución de flujos potenciales alrededor de obstáculos, la funci´ on Φ representa el potencial de velocidades y como función Ψ se escoge usualmente la solución fuente de la ecuación de Laplace, esto es, Ψ = 1/r en el caso tridimensional o Ψ = ln r en el bidimensional; r = |x − xo |, representa una fuente localizada en el punto xo = x. Nótese que, puesto que la funci´ on Ψ se hace singular en el punto xo = x, este punto debe ser excluido del dominio de integraci´ on D si se quiere aplicar la expresión (13.184). La f´ ormula de Green se aplicará entonces al dominio de la Figura 13.23, limitado por la frontera Σ del obst´ aculo y su posible estela E,14 la superficie esférica Σ con centro en x y radio peque˜ no y que se hará tender a cero, y otra superficie esférica Σ∞ con centro en el origen y radio R que se hará tender a infinito. Aplicado a este dominio la expresión (13.184) resulta [Φ(xo )∇o (1/r) − (1/r)∇o Φ] · n(xo )dσ = 0, (13.186) Σ+E+Σ +Σ∞

donde xo representa un punto genérico (variable de integraci´ on) sobre las superficies de integración. ua fácilmente si se tiene en La integral extendida a la superficie esférica Σ de radio se eval´ cuenta que sobre ella ∇o (1/r) · n = −(r · n)/r3 = 1/r2 = 1/2 y que el punto x y cualquier punto 13 Tambi´ en en la Ac´ ustica, como se ver´ a en el Cap´ıtulo 12, y en otras ramas de la Ingenier´ıa, el M´ etodo de los Elementos de Contorno ha sido usado con profusi´ on. 14 En los cuerpos tridimensionales sustentadores aparece una estela de torbellinos detr´ as del obst´ aculo cuyo espesor es tan peque˜ no que puede tratarse como una superficie matem´ atica. A trav´ es de ella la funci´ on Φ experimenta un salto que est´ a relacionado con el valor de la intensidad de los torbellinos de la estela. Si el obst´ aculo es no sustentador o el flujo es bidimensional, no existe estela de torbellinos.


366

S¥ Se

R x

Figura 13.23: Dominio de integraci´ on.

genérico xo sobre Σ están tan pr´ oximos que Φ(xo ) = Φ(x) + ∇Φ · r + ... Φ(x) + 0() Φ(x); se tiene, por tanto,

1 1 Φ(x) ∇Φ · n − − ∇o Φ · ndσ = l´ım 4π2 4πΦ(x). Φ(xo )∇o (13.187) →0 r r 2 Σ Por otra parte, sobre la esfera de radio R muy grande, | x | R, el potencial de velocidades y la velocidad son respectivamente Φ U∞ xo = U∞ R cos θo y ∇Φ = U∞ ex . Si se desarrolla 1/r en serie de Taylor 1 1

1 xo · x +O 3 (13.188) = 1+ |xo − x| R R2 R y se tiene en cuenta que xo · x = R(x cos θo + y sen θo cos φo + z sen θo sen φo ) se obtiene

1 1 − ∇o Φ · ndσ Φ(xo )∇o r r Σ∞ 2π π U∞ cos θo

xo · x 2 R sen θo dθo dφo = −4πU∞ x. 2+3 2 − (13.189) R R o o La ecuación (13.186) se reduce entonces a 1 [Φ∇(1/r) − (1/r)∇Φ] · ndσ, Φ(x) = U∞ x − 4π Σ+E

(13.190)

y si se hace uso de la condición ∇Φ · n = 0 sobre obstáculo y estela, que se supone infinitamente delgada, se obtiene 1 1 Φ∇(1/r) · ndσ − (Φ+ − Φ− )∇(1/r) · ndσ, Φ(x) = U∞ x − (13.191) 4π Σ 4π E donde (Φ+ − Φ− ) representa el salto de potencial a través de la estela. Nótese que si x es un punto de la frontera Σ + E, x = xo , el punto x se excluye del dominio de integraci´ on mediante

367


una semiesfera de radio y el valor de la expresión (13.187) es 2 π Φ(x). La ecuación (13.191) se transforma entonces en 1 1 Φ∇(1/r) · ndσ − (Φ+ − Φ− )∇(1/r) · ndσ, Φ(x) = 2U∞ x − (13.192) 2π Σ 2π E Siguiendo el mismo procedimiento se puede demostrar fácilmente que en el caso bidimensional se tiene 1 1 Φ∇ ln r · ndl − (Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl, Φ(x) = U∞ x − (13.193) 2π Σ 2π E o Φ(x) = 2U∞ x −

1 π

Φ∇ ln r · ndl − Σ

1 π

(Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl,

(13.194)

E

si el punto x está sobre el contorno. Las ecuaciones (13.192) o su equivalente (13.194) para el caso bidimensional muestran que el potencial de velocidades puede ser representado mediante una distribuci´ on de dobletes [véase (13.46)] localizados sobre la superficie del obstáculo y la estela. La intensidad de los dobletes depende del valor local del potencial Φn sobre el obstáculo y del salto del potencial (Φ+ − Φ− )n a través de la estela y deben ser calculados resolviendo la ecuación integral (13.192) o la (13.194) en el caso bidimensional. Si el eje x se hace coincidir con la cuerda del perfil, que forma un ańgulo α con la corriente sin perturbar, el lector puede obtener f´ acilmente, siguiendo el mismo procedimiento que en los casos anteriores, las expresiones del potencial 1 1 Φ∇ ln r · ndl − (Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl, Φ(x) = U∞ (x cos α + z sen α) − (13.195) 2π Σ 2π E o 1 Φ(x) = 2U∞ (x cos α + z sen α) − π

1 Φ∇ ln r · ndl − π Σ

(Φ+ − Φ− )∇ ln r · ndl,

(13.196)

E

si el punto x está sobre el contorno. Las expresiones (13.195) y (13.196) son u ´ tiles para la resolución numérica de un perfil bidimensional a un ańgulo de ataque.

13.13.2.

M´ etodo de paneles

En lo que sigue se describirá el modo en el que las ecuaciones integrales (13.192) o (13.194) pueden discretizarse para encontrar el sistema de ecuaciones algebraicas que determinan los valores de las intensidades Φn y (Φ+ − Φ− )n de los dobletes sobre contorno y estela. Considérese por simplicidad un perfil bidimensional15 de forma cualquiera que se divide en N segmentos, denominados paneles como se muestra en la Figura 13.24. Los paneles pueden tomarse como segmentos rectos o curvos (parabólicos, c´ ubicos, etc.). Sea Φj la intensidad por unidad de longitud de los dobletes distribuidos sobre un panel genérico j que se desea calcular. Las intensidades Φj sobre cada uno de los paneles pueden tomarse constante a lo largo del panel o suponer que var´ıa con la distancia al borde de ataque del panel en alguna forma funcional (lineal, parab´ olica, etc.). En general se define cada panel por los puntos donde se eval´ uan las intensidades inc´ ognitas. Estos puntos se denominan nodos y se suelen tomar en el punto medio del panel si las intensidades no var´ıan a lo largo del mismo o en ambos extremos si la distribución var´ıa linealmente a lo largo 15 Para el c´ alculo de alas el lector puede consultar J. Katz y A. Plotkin, Low Speed Aerodynamics (From Wing Theory to Panel Methods), MacGraw-Hill, 1991.


368 z'

x'

(x1j, z1j)

bj

Figura 13.24: Coordenadas locales del panel j.

del panel, o sobre otros puntos para distribuciones de formas m´ as complejas. Si por simplicidad se considera el caso de N paneles rectos y se supone que las intensidades Φj son constantes a lo largo del panel j-ésimo las N inc´ ognitas se calculan satisfaciendo la ecuación (13.194) en N puntos que se denominan usualmente puntos de colocaci´ on. Para resolver las integrales en (13.194) es conveniente usar coordenadas locales (x , z ) a lo largo del panel j y perpendicular a él respectivamente. Las relaciones entre las coordenadas (x, z) de un punto genérico P y las del mismo punto en el sistema de coordenadas locales (x , z ) escritas en forma matricial son cos βj − sen βj x x − x1j = , (13.197) z − z1j sen βj cos βj z donde βj es el ángulo que forma el panel j con el eje x. Si se supone que la intensidad de los dobletes Φj en el panel j es constante, la integral en (13.194) puede calcularse anal´ıticamente en cualquier punto (x , z ) situado fuera del panel j Φj π Φj π

o

∆j

∆j

∇ ln r ·

ndxo

o

Φj z dxo = 2 2 (xo − x ) + z π

Φj = π

o

∆j

1 ∂r dx = r ∂z o

∆j − x −1 −x − tan tan−1 z z

y si (13.198) se eval´ ua en el punto medio (xi , zi ) del panel i se obtiene Φj −1 ∆j − xi −1 −xi si i = j − tan tan Φj Rij = π zi zi

(13.198)

(13.199)

El resultado (13.198) no es, sin embargo, v´ alido para calcular la autoinfluencia de un panel sobre s´ı mismo. En este caso, la integral en (13.198) es nula, ya que si el punto está sobre el propio panel los vectores 1 e x y n = ez ∇ ln r = ∇ ln | xo − ∆i /2 |= | xo − ∆i /2 | son perpendiculares y su producto escalar es nulo; ex y ez son los versores seg´ un los ejes x y z . Como consecuencia, los coeficientes de la diagonal principal Rii , o coeficientes de influencia, de la matriz Rij son idénticamente nulos. La influencia de la estela, que comporta un salto en el potencial de velocidades Φ, se puede calcular mediante un panel semiinfinito que suele situarse a lo largo del eje x entre el borde de salida del perfil y el infinito.16 El origen de la cortadura en el potencial de velocidades se debe, en 16 Se puede comprobar que para el caso bidimensional la influencia de la posici´ on de la estela en el potencial de velocidades es nula. Lo anterior no es cierto en el caso tridimensional, donde la influencia de la posici´ on de la estela es apreciable y debe determinarse imponiendo la condici´ on de que la estela sea l´ınea de corriente.

369


el caso bidimensional, al torbellino de arranque y el salto en la funci´ on Φ es igual a la circulación del perfil Γ = ∂Φ/∂sds = Φ+ − Φ− , (13.200) donde la integral se efect´ ua a lo largo de cualquier l´ınea cerrada que comience en la parte inferior de la estela y termine en la superior. En el caso tridimensional, el salto de Φ a través de la estela se debe a los torbellinos desprendidos del ala. Es fácil comprobar de (13.198)-(13.199) que la influencia de la estela supuesta situada a lo largo del eje x entre el borde de salida y el infinito sobre el panel i (xi , zi ) es 1 π −1 −xi (13.201) − tan Γ Ri N +1 , i = N + 1 con RiN +1 = π 2 zi y que la influencia del torbellino de arranque, situado a grandes distancias de perfil, es nula. El sistema de ecuaciones a que conduce la discretización de la ecuación (13.194) se escribe finalmente N (δij − Rij )Φj + Ri N +1 Γ = 2U∞ (xi cos α + zi sen α).

(13.202)

j=1

El primer término del primer miembro de (13.202) representa la contribuci´ on de los N paneles del perfil evaluada en el punto medio del perfil i − esimo, (xi , zi ), mientras que el segundo término representa la contribuci´ on de la estela. Se tiene entonces un sistema de N ecuaciones con N + 1 incógnitas a las que hay que a˜ nadir una condici´ on adicional, la de Kutta, para obtener la soluci´ on buscada. Numéricamente la condición de Kutta se puede imponer, por ejemplo, exigiendo que el coeficiente de presiones sea igual en los puntos medios de los dos paneles que forman el borde de salida (presiones iguales arriba y abajo del borde de salida). Las ecuaciones (13.202) junto con la condición de Kutta forman un sistema algébrico de N + 1 ecuaciones para calcular las N incógnitas Φj y Γ, que puede resolverse por métodos matriciales convencionales. Una vez obtenida la distribuci´ on de potenciales Φj sobre el obstáculo y Γ, la sustentaci´ on en el caso de un perfil bidimensional se obtiene a partir de la f´ ormula de Kutta l = ρ Γ U∞ y la velocidad y el coeficiente de presiones sobre él se obtienen de vt = ∂Φ/∂x ,

y

Cp = 1 −

vt2 . 2 U∞

(13.203)

Nótese que la derivada en (13.203) puede calcularse numéricamente como el cociente del valor de Φ en dos paneles consecutivos y la distancia. En la Figura 13.25 se representa el coeficiente de presiones sobre extradós e intrad´ os de un perfil NACA 0012 a ángulo de ataque α = 5o calculado numéricamente mediante el método de paneles. Para su comparación se representa también el coeficiente de presiones calculado mediante la teor´ıa potencial exacta.17

17

I. H. Abbott y A. E. von Doenhoff, Theory of Wing Sections, McGraw Hill, Nueva York, 1949.

370


Figura 13.25: Distribuci´ on adimensional de presiones a lo largo de la cuerda del perfil.

Referencias y fuentes de lectura complementaria G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. A. M. Kuethe y C. Y. Chow, Foundations of Aerodynamics, John Wiley, Nueva York, 1998. J. Katz y A. Plotkin, Low Speed Aerodynamics, Cambridge University Press, 2001.

Cap´ıtulo 14

Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor 14.1.

Concepto de capa l´ımite

La teor´ıa de fluidos ideales, basada en el hecho de que la viscosidad de los fluidos m´ as comunes (aire y agua) es muy peque˜ na, experiment´ o un desarrollo considerable a lo largo del siglo xix por su éxito en la predicción de la propagaci´ on de ondas y otros flujos de interés. Sin embargo, no fue hasta principios del siglo xx cuando se resolvió la discrepancia existente entre los resultados de la teor´ıa de fluidos ideales aplicada a la corriente alrededor de obst´ aculos y los resultados experimentales. Por ejemplo, la teor´ıa de fluidos ideales resulta inapropiada para la determinaci´ on de la resistencia al avance de un obstáculo moviéndose en el seno de un fluido en reposo, ya que predice que es nula (Paradoja de D’Alambert, 13.8) en contraposición a los resultados experimentales. Se conoce hoy d´ıa que el origen de la discrepancia es debida a la viscosidad que, independientemente de cu´ an peque˜ no sea su valor da lugar, en el caso de objetos con geometr´ıa roma o de cuerpos fuselados que forman con la corriente un ańgulo de ataque grande, a distribuciones de presi´ on sobre la superficie del obstáculo que difieren sustancialmente de las que se obtiene mediante la aplicación de la teor´ıa de fluidos ideales. Como puede verse en la Figura 13. 3, que representa la distribuci´ on de presiones sobre un cilindro circular, la presi´ on medida y la calculada suponiendo fluido ideal coinciden satisfactoriamente sobre la parte delantera del cilindro, pero sobre la parte posterior las presiones reales son menores que las calculadas, lo que resulta en una componente neta de las fuerzas de presión que se opone al avance del cilindro y que se denomina resistencia de presión o de forma (por depender la distribuci´ on de presiones de la forma del obstáculo). La viscosidad, por tanto, contribuye a la resistencia en una doble v´ıa: directamente a través de la acción de los esfuerzos viscosos (denominada resistencia de fricción), e indirectamente, modificando el campo de presiones para dar lugar a la resistencia de presión. Subsiste, no obstante, la cuesti´ on de cómo la viscosidad cuyo efecto es en principio peque˜ no puede modificar tan sustancialmente los resultados de la teor´ıa ideal. La explicación a esta u ´ltima cuestión se debe a Prandtl, quien con su idea de capa l´ımite, introducida en un famoso art´ıculo que present´ o en un congreso celebrado en Heidelberg en 1904, abrió un camino fecundo para el estudio de la acci´ on de la viscosidad en el movimiento de fluidos, lo que ha permitido aclarar un buen n´ umero de fenómenos hasta entonces sin explicación satisfactoria. Prandtl supuso que cerca de las paredes sólidas los efectos viscosos son siempre importantes, independientemente de lo peque˜ na que sea la viscosidad del fluido, y son los responsables de que se cumpla la condición de velocidad nula sobre el obst´ aculo. Ahora bien, si el coeficiente de viscosidad 371

372

Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor

es peque˜ no y los esfuerzos viscosos tangenciales µ(∂ U/∂ n) (siendo n la distancia a un punto medida desde la pared) son importantes cerca de la pared, necesariamente el gradiente de velocidades debe ser grande en esa región, lo que requiere que la velocidad var´ıe en distancias muy peque˜ nas desde el valor cero que tiene en la pared hasta su valor exterior. En esencia, la idea de Prandtl para el an´ alisis de flujos de fluidos con viscosidad peque˜ na (con mayor precisión, flujos a altos n´ umeros de Reynolds) consiste en dividir el flujo en dos regiones bien diferenciadas: una sin efectos viscosos o de conducción, que se denomina exterior donde el fluido se puede considerar ideal y otra adyacente a las superficies sólidas, de espesor muy peque˜ no, donde los efectos viscosos son importantes, no porque el coeficiente de viscosidad del fluido sea mayor en esta zona (se supone que µ no var´ıa), sino porque los gradientes de velocidad en la direcci´ on normal a la superficie son muy acusados por ocurrir esta variaci´ on en una capa muy delgada. En flujos alrededor de obst´ aculos a altos n´ umeros de Reynolds las fuerzas de viscosidad sólo son importantes en la proximidad de las paredes sólidas, de modo que a distancias peque˜ nas de la pared el campo de velocidades coincide prácticamente con el que se obtiene mediante la teor´ıa de flujos de fluidos ideales alrededor de obst´ aculos. La acción de la viscosidad modifica la distribuci´ on de velocidades cerca de la pared y obliga mediante la acción de los esfuerzos de viscosidad a que la velocidad del fluido en la pared sea nula, lo que se traduce en una fuerza de resistencia sobre el obst´ aculo (resistencia de fricción). Sucede en ocasiones que la deceleración de la corriente exterior no viscosa, que tiene lugar sobre la parte posterior de un obst´ aculo en el seno de una corriente, puede ser grande, como ocurre en el caso de cuerpos de geometr´ıa roma o fuselados a ángulos de ataque grandes. Debido al efecto de la viscosidad, esta deceleración será mayor a´ un en la capa l´ımite, pudiéndose producir, si la deceleración es suficientemente grande, una corriente inversa al sentido del flujo exterior que dé lugar a torbellinos que forman una estela viscosa detr´ as del obst´ aculo, Figura 14.1. En esta situaci´ on, se dice que la capa l´ımite se ha separado, la distribuci´ on de presiones real es muy diferente de la teórica, pues el efecto de la viscosidad no está ya restringido a una zona muy delgada adyacente al obst´ aculo, y la resistencia se ve aumentada considerablemente por un factor al que contribuyen las fuerzas de presi´ on (resistencia de forma). Cuando la capa l´ımite está adherida, la idea de Prandtl es extraordinariamente fruct´ıfera, pues permite simplificar drásticamente cada uno de los dos problemas (flujo exterior y capa l´ımite) en los que se divide el flujo total. Su aplicaci´ on sistemática y el entendimiento de los numerosos fenómenos que es capaz de explicar unificó las hasta entonces inconexas ciencias de la Hidrodinámica Teórica, cultivada por f´ısicos y matemáticos, y de la Hidráulica Emp´ırica de aplicación en la Ingenier´ıa. Sin exagerar, se puede decir que con ella surge la Mecánica de Fluidos moderna. Antes de proceder a la obtención de las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el flujo en el interior de la capa l´ımite es conveniente se˜ nalar que esta idea se ha extendido a muchos otros problemas de casi todas las ramas de la ciencia. Como se verá en lo que sigue, desde un punto de vista matemático la idea de la capa l´ımite surge de la simplificación de las ecuaciones diferenciales que gobiernan un determinado problema cuando se eliminan las derivadas de mayor orden por ser uno o m´ as de los términos que las contienen peque˜ nos frente a los restantes. Naturalmente las ecuaciones simplificadas son válidas lejos del contorno, pero no lo son en una capa l´ımite adyacente al contorno donde los términos con derivadas de mayor orden deben de ser retenidos para poder imponer la totalidad de las condiciones de contorno.

14.2.

Ecuaciones y condiciones de contorno

Por simplicidad se considerará el flujo bidimensional de un fluido incompresible a lo largo de la superficie sólida indicada en la Figura 14.1. En la capa l´ımite las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican por el hecho de que el espesor δ de la misma es mucho menor que la longitud L caracter´ıstica del movimiento a lo largo de la superficie o que el radio de curvatura R caracter´ıstico

373

14.2. Ecuaciones y condiciones de contorno y

x

R(x)

Figura 14.1: Coordenadas de capa l´ımite. de la superficie (δ L, δ R). Si se adopta un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales, Figura 14.1, formado por la familia de curvas paralelas al contorno del obst´ aculo y sus trayectorias ortogonales, y si u, v, p, ρ y ν representan las componentes de la velocidad seg´ un los ejes x e y y la presión, densidad y viscosidad cinemática del fluido, las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben

u

∂u ∂u +v ∂x ∂y

u

∂v ∂v +v ∂x ∂y

∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y 2 1 ∂p ∂ u ∂2u + 2 , =− +ν ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂2v 1 ∂p ∂ v . + =− +ν ρ ∂y ∂x2 ∂y 2

(14.1) (14.2) (14.3)

Nótese que siempre que se satisfaga la condición δ R, las ecuaciones del movimiento plano en coordenadas curvil´ıneas ortogonales se reducen a la forma (14.1)-(14.3) de coordenadas cartesianas rectangulares si se desprecian términos que son del orden de δ/R frente a los retenidos. El cálculo riguroso de este l´ımite se omite aqu´ı por ser tedioso. Debido a que δ/L 1, las velocidades u y v var´ıan mucho más rápidamente en la dirección del eje y que en la del eje x. En efecto U ∂2u ∆u ∼ 2 ∼ 2 2 ∂x (∆x) L

y

∂2v V ∆v ∼ 2, ∼ 2 2 ∂x (∆x) L

(14.4)

donde se ha supuesto que u y v var´ıan a lo largo del eje x del orden de ellas mismas (es decir, del orden de sus magnitudes caracter´ısticas U y V ) en distancias del orden de L, mientras que U ∂2u ∆u ∼ 2 ∼ 2 2 ∂y (∆y) δ

y

∂2v V ∆v ∼ 2, ∼ 2 2 ∂y (∆y) δ

(14.5)

∂2u ∂2u 2 ∂x ∂y 2

y

∂2v ∂2v , 2 ∂x ∂y 2

(14.6)

de modo que

en tanto que δ L. Por otra parte, las variaciones transversales de presión ∆y p ∼ ρ V 2 son peque˜ nas frente a las longitudinales ∆x p ∼ ρ U 2 . En efecto, de la ecuación de continuidad se tiene V /U ∼ δ/L, que muestra que el movimiento en la capa l´ımite es casi-unidireccional y que 2 2 δ V ∆y p ∼ ; ∼ ∆x p U L

(14.7)

(14.8)


374

esto es, (14.8) muestra que las variaciones de presión seg´ un el eje y son nulas salvo errores del orden de (δ/L)2 . Si la presión no var´ıa con la distancia y a la pared su valor debe venir dado por el valor de la presión exterior pe (x), fuera de la capa l´ımite. Salvo términos del orden de δ/L este valor se corresponde con el valor de la presión calculado mediante la teor´ıa ideal y particularizado sobre la superficie del obstáculo (y = 0). Si denominamos ue (x) al valor de la velocidad exterior, la ecuaci´ on de Bernouilli para el flujo l´ıquidos ideales proporciona 1 pe + ρ u2e = const 2

o

∂pe ∂ue = −ue . ∂x ∂x

(14.9)

Finalmente, si se tienen en cuenta las ecuaciones (14.6), (14.8) y (14.9) el sistema (14.1)-(14.3) puede simplificarse para obtener las ecuaciones del movimiento en la capa l´ımite

u

∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(14.10)

∂ue ∂u 1 ∂p ∂2u ∂2u ∂u +v =− + ν 2 = ue +ν 2, ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂x ∂y

(14.11)

que proporciona una pareja de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, no lineales, para el cálculo de las componentes de la velocidad u y v como funciones de x e y. Nótese que la resolución de la capa l´ımite implica resolver primero el problema exterior de la corriente ideal a lo largo de la superficie u objeto considerada para encontrar la velocidad ue (x, 0) = ue (x). Resta finalmente estimar el orden de magnitud del espesor de la capa l´ımite δ y comprobar que es mucho menor que L y que, por tanto, las aproximaciones realizadas para obtener las ecuaciones (14.10)-(14.11), que están basadas en la condición δ/L 1, son ciertas. La estimación del orden de magnitud del espesor de la capa l´ımite se puede obtener sin más que establecer que en ella los efectos de viscosidad y de inercia son comparables u

∂2u ∂u U ∂u U2 ∼ ν 2 ∼ ν 2, ∼v ∼ ∂x ∂y L ∂y δ

(14.12)

y, por tanto,

ν 1/2 1 δ ∼ ≡ ; (14.13) L UL Re1/2 de modo que δ/L → 0 cuando Re → ∞ como se hab´ıa anticipado. Obsérvese que si ν es muy peque˜ no, la r´ apida variaci´ on de u en una distancia tan peque˜ na (proporcional a ν 1/2 ) es suficiente para que el término viscoso no sea despreciable. Debe también destacarse que en las ecuaciones (14.10) y (14.11) la distancia a la pared es muy peque˜ na, y se suele medir en unidades de δ o de (νL/U )1/2 . Obsérvese que al mismo resultado se llega estableciendo que en la capa l´ımite el tiempo caracter´ıstico δ 2 /ν necesario para que cualquier perturbaci´ on se difunda en la direcci´ on vertical por la acción de la viscosidad es del mismo orden que el tiempo de transporte convectivo L/U aguas abajo de la capa l´ımite; δ 2 /ν ∼ L/U , con lo que se obtiene (14.13). Como condiciones de contorno al sistema (14.10)-(14.11) se impondrán las siguientes: 1.

Condici´ on de velocidad nula en la pared y = 0 u(x, 0) = v(x, 0) = 0; 1

(14.14)

1 Las condiciones (14.14) excluyen el estudio de capas l´ ımites con succi´ on o soplado a lo largo de obst´ aculos con superficie porosa, en cuyo caso la segunda de las condiciones debe sustituirse por v(x, 0) = vs (x), siendo vs la velocidad de succi´ on o soplado a través de la superficie.

375

14.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite

2. Condición de acoplamiento con la solución exterior. Es importante se˜ nalar aqu´ı que a´ un cuando al deducir el orden de magnitud de los diversos términos de las ecuaciones se ha supuesto que el espesor de la capa l´ımite era finito, se comprueba al integrar las ecuaciones de la capa l´ımite que la condición de contorno de acoplamiento con la soluci´ on exterior sólo puede satisfacerse como condición asint´ otica para y → ∞. Nótese que y, que se mide en unidades de δ, debe ser grande frente a δ pero peque˜ no en relación a la escala exterior L. Se impondr´ a entonces, la condición l´ım u(x, y) = ue (x);

(14.15)

y→∞

obsérvese que la condición (14.15) implica también l´ım

y→∞

∂u = 0, ∂y

(14.16)

que demuestra que como deber´ıa ocurrir los esfuerzos de viscosidad son nulos en la región de acoplamiento con la solución exterior (y δ). 3. La ecuación (14.11) es parabólica y, por tanto, para comenzar la integraci´ on es necesario especificar un perfil inicial de velocidades en alguna estación x = xo que se tomará como estación de partida para integrar aguas abajo u(xo , y) = uo (y).

(14.17)

Como observación final conviene decir que las condiciones de contorno anteriores no garantizan soluciones en las que v(x, ∞) sea nula como deber´ıa de ocurrir por ser nula la velocidad normal al obstáculo de la corriente exterior ve (x, 0) = ve (x) = 0. No obstante, desde el punto de vista pr´ actico, esta objeción carece de interés ya que la velocidad normal es un infinitésimo de U (V /U ∼ Re−1/2 ) como se sigue de (14.7) y (14.13). Si se quisiera una mejor aproximaci´ on puede procederse por iteración teniendo en cuenta el efecto de la capa l´ımite sobre la corriente exterior y resolviendo ésta de nuevo con la condición de que la velocidad normal sobre el obst´ aculo sea ahora igual a la velocidad v(x, ∞) en el infinito de la capa l´ımite, y no nula, como se prescribió en primera instancia.

14.3.

Algunas propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite

Las ecuaciones (14.10)-(14.11) de la capa l´ımite laminar, incompresible, bidimensional y estacionaria pueden reducirse a una ecuaci´ on diferencial u ńica mediante la introducci´ on de la funci´ on de corriente Ψ de modo que se satisface idénticamente la ecuación (14.10) (u = Ψy , v = −Ψx ) y (14.11) toma la forma ∂ue Ψy Ψxy − Ψx Ψyy = ue (14.18) + ν Ψyyy . ∂x En términos de Ψ las condiciones de contorno (14.14), (14.15) y (14.17) se escriben Ψ(x, 0) = Ψy (x, 0) = 0,

Ψy (x, ∞) = ue (x),

Ψy (xo , y) = uo (y).

(14.19)

La resolución de la ecuación (14.18) con las condiciones de contorno (14.19) suministra las caracter´ısticas más importantes de la solución: el perfil de velocidades u = Ψy (x, y), el coeficiente de rozamiento en la pared µ Ψyy (x, 0) y el espesor δ de la capa l´ımite. Puesto que la región exterior se alcanza de un modo asintótico, existe una arbitrariedad intr´ınseca en la definición del espesor


376

de capa l´ımite. Un modo de definirlo ser´ıa el valor δ de la coordenada y para el que la velocidad alcanza un tanto por ciento α de su valor en el exterior. La ecuación α ue (x) = Ψy [x, δ(x)],

(14.20)

determina el espesor de capa l´ımite δ(x) si se especifica un valor de α; usualmente se toma α = 0,95 o α = 0,98. Se puede eliminar la arbitrariedad de la u ´ltima definici´ on si se consideran dos nuevos espesores de capa l´ımite con una definici´ on menos ambigua que la anterior: el espesor de desplazamiento δ1 y el espesor de cantidad de movimiento δ2 . El primero se define como la distancia δ1 que habr´ıa que desplazar la pared sólida hacia el interior de la capa l´ımite para que supuesto que el fluido se mueva con la velocidad exterior pase por la sección disponible el mismo caudal que pasa por la capa l´ımite original, esto es ∞ ∞ udy = ue d y, (14.21) o

δ1

o también 1 ue

δ1 =

∞

(ue − u)d y.

(14.22)

o

on de la distancia δ1 +δ2 que debe desplazarse An´ alogamente, se define el segundo espesor δ2 en funci´ la pared hacia el interior del fluido para que supuesto que se mueve con la velocidad exterior pase por la sección disponible un flujo de cantidad de movimiento igual al que pasa por la capa l´ımite original ∞ ∞ 2 ρu dy = ρu2e dy. (14.23) δ1 +δ2

o

Teniendo en cuenta (14.22), de (14.23) se llega fácilmente a 1 δ2 = 2 ue

∞

u(ue − u)dy.

(14.24)

o

An´ alogamente, es fácil demostrar que para una capa l´ımite compresible los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento vienen dados por las expresiones δ1 = o

δ

δ2 = o

δ

ρu dy, 1− ρe u e

ρu ρe u e

u 1− dy. ue

(14.25)

(14.26)

La vorticidad total por unidad de longitud ω k perpendicular al plano del movimiento es ω=

∂v ∂u ∂u − − , ∂x ∂y ∂y

(14.27)

ya que dentro de la aproximaci´ on de capa l´ımite ∂u/∂y ∼ U/δ ∂v/∂x ∼ V /δ ∼ U/L. El flujo total de vorticidad a través de la capa l´ımite adyacente al obstáculo es la circulación Γ del vector velocidad a lo largo del obst´ aculo ∞ ∞ ∂u ωk · n d σ = ω kk d y d x = − (14.28) d y d x = −ue (x)d x = Γ. ∂y o o

377


Finalmente el flujo total de vorticidad en la direcci´ on del movimiento a través de una sección cualquiera de la capa l´ımite ∞ ∞ ∞ 2 ∂u ∂u /2 −ω u d y = u (14.29) dy = d y = u2e (x)/2. ∂y ∂y o o o Nótese que la variación de este flujo en la dirección del movimiento se debe a la vorticidad introducida por la pared que, de acuerdo con la ecuaci´ on de Bernouilli, es ue

1 dpe 1 dp due =− =− , dx ρ dx ρ dx

(14.30)

de modo que en las zonas de gradiente de presión favorable dp/dx < 0 (due /dx > 0) el flujo de vorticidad crece aguas abajo de la capa l´ımite mientras que decrece en las zonas de gradiente de presiones desfavorables dp/dx > 0 (due /dx < 0). El flujo de vorticidad aguas abajo est´ a gobernado por un balance entre el transporte difusivo de la viscosidad que la difunde normalmente a la pared y la convección que la transporta aguas abajo. Consideremos ahora desde un punto de vista cualitativo el comportamiento de la capa l´ımite sometida a gradientes de presión. En la Figura 14.2 se representa en forma magnificada la influencia del gradiente de presiones sobre el perfil de velocidades en la capa l´ımite de un obstáculo a altos n´ umeros de Reynolds. Si no existiese capa l´ımite la teor´ıa ideal predice dos puntos de remanso R1 y R2 localizados en la parte delantera del perfil y en el borde de salida del mismo. En estos puntos la velocidad es nula, y la presi´ on, de acuerdo con la ecuación de Bernouilli pe + ρu2e /2 = p∞ + ρU 2 /2, ser´ıa la máxima (la de remanso). En el punto M , cercano al de máxima anchura la velocidad es máxima y la presión m´ınima, de modo que pe (x) = p(x) decrece desde R1 hasta M (gradiente de presión favorable) y crece de M a R2 (gradiente adverso). En la zona de gradientes adversos la capa l´ımite no siempre permanece adherida al obstáculo, ya que puede ocurrir que las fuerzas que act´ uan en dirección opuesta al movimiento de las part´ıculas fluidas (gradiente adverso de presiones y fuerzas de viscosidad) lleguen a anular la cantidad de movimiento de éstas. En esta situación se produce corriente invertida cerca de la pared, véase Figura 14.2, y se dice que la capa l´ımite se ha separado. A partir del punto de separaci´ on xs , la aproximaci´ on de capa delgada efectuada para la obtención de las ecuaciones de capa l´ımite deja de ser válida.

cp <0 cx

U¥

cp >0 cx

M

D

R1

R2

Figura 14.2: Evoluci´ on de los perfiles de velocidad en una capa l´ımite con gradientes de presión adverso. El punto de separaci´ on o desprendimiento está indicado con la letra D. El punto de separaci´ on xs se alcanza cuando deja de existir adherencia entre fluido y pared, lo que implica que el esfuerzo de viscosidad es nulo en ese punto, ∂u/∂y|y=0 = 0. En la pared, donde la inercia es nula, la ecuación (14.11) tiende a −

∂2u ∂p + µ 2 = 0, dx ∂y

(14.31)

378


que es una ecuación que determina la curvatura del perfil de velocidades en la pared. Si el gradiente de presiones es favorable, la curvatura del perfil de velocidades es negativa en toda la capa l´ımite, el esfuerzo viscoso disminuye monótonamente desde la pared al exterior de la capa l´ımite y no se puede producir separaci´ on de capa l´ımite (corriente invertida). En la Figura 14.3a se representan cualitativamente los perfiles de velocidad, esfuerzo viscoso, y curvatura del perfil de velocidades para una capa l´ımite con gradiente de presiones favorable (∂p/∂x < 0). Obsérvese que la curvatura ∂ 2 u/∂y 2 = −∂ω/∂y = ∂(τ /µ)/∂y está relacionada con la variaci´ on de vorticidad y de esfuerzo viscoso a lo largo de normales a la pared. En el caso que nos ocupa tanto la vorticidad como el esfuerzo viscoso disminuyen monótonamente a medida que aumenta la distancia a la pared. Por el contrario, si el gradiente de presiones es adverso (∂p/∂x > 0) la curvatura en la pared, al contrario de lo que ocurre lejos de ella, es positiva y existe, por tanto, un punto de inflexi´ on d2 u/dy 2 = 0 en el perfil de velocidades. La presencia de un punto de inflexi´ on en el perfil de velocidades es por tanto condición necesaria, aunque no suficiente, para que se produzca separaci´ on de la capa l´ımite. En la Figura 14.3b se representan los perfiles de velocidad, esfuerzo viscoso (que presenta un máximo fuera de la pared) y curvatura del perfil de velocidades para una capa l´ımite con gradiente de presiones desfavorable.

Figura 14.3: Perfil de velocidades, esfuerzo viscoso y variaci´ on del esfuerzo viscoso con la distancia a la pared en: a) capa l´ımite con gradiente de presiones favorable; b) ´ıdem con gradiente de presiones desfavorable. La posición del punto de desprendimiento xs determina completamente la resistencia del obst´ aculo. Para una placa plana a ańgulo de ataque nulo, el gradiente de presiones es nulo, la capa l´ımite no se separa, y la resistencia es exclusivamente debida a la viscosidad. Esta resistencia, denominada de fricci´ on, se calcula resolviendo la ecuación (14.18) con las condiciones de contorno (14.19). En el caso de cuerpos fuselados a ángulos de ataque peque˜ nos, los gradientes adversos de presi´ on son muy suaves y la capa l´ımite se separa muy cerca del borde de salida del perfil. En estos casos, la corriente exterior que predice la teor´ıa no viscosa se aproxima bastante a la real y la u ńica corrección necesaria a esta teor´ıa es la resistencia de fricción que se calcula mediante la aproximaci´ on de capa l´ımite. Cuando el cuerpo es romo, los gradientes adversos de presión desprenden la capa l´ımite en las proximidades del punto de m´ınima presión, incluso antes, como ocurre en el caso del cilindro circular y otros cuerpos de geometr´ıas romas. Detrás del punto de separación se forma una estela turbulenta en la que los efectos viscosos son importantes. En la


379

estela, la presión no experimenta grandes variaciones y su valor es aproximado a la presi´ on del punto de separación y, por tanto, a la presi´ on m´ınima, ya que ambos puntos, el de m´ınima presión y el de separación, están muy cercanos en el caso de cuerpos romos. Las diferencias de presión entre las partes frontal y trasera del obst´ aculo son por consiguiente grandes y dan lugar a una fuerza de presión que se opone al movimiento y que se denomina resistencia de presión o de forma, puesto que depende casi exclusivamente de la forma geométrica del obstáculo. Es importante se˜ nalar aqu´ı que, al contrario de la resistencia de fricción, la de forma no se puede determinar por medios anal´ıticos o numéricos y debe recurrirse a la experimentación en t´ uneles aerodinámicos. La razón estriba en que desde el punto de vista anal´ıtico no es u ´ til dividir la corriente en dos zonas (viscosa y no viscosa), ya que la frontera de separaci´ on entre ellas es desconocida y cambia su posición con el tiempo por los efectos no estacionarios debidos al desprendimiento de la capa l´ımite. Por otra parte, la estela es turbulenta y los n´ umeros de Reynolds son tan grandes que no es posible la simulación numérica directa de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Figura 14.4: Valores experimentales del coeficiente de resistencia total y del de forma de una familia de perfiles simétricos a ángulo de ataque nulo como funci´ on de su espesor relativo. El n´ umero de Reynolds del experimento es U∞ L/ν = 4 × 105 . Desde el punto de vista aerodin´ amico el perfil de ala es muy eficaz, pues su resistencia es la misma, a igual velocidad, que la del cilindro indicado en la figura cuyo di´ ametro es aproximadamente una décima parte del espesor del perfil. De G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. En la Figura 14.4 se muestra la variaci´ on con el espesor relativo del perfil e/L de la resistencia total y de forma de la familia de perfiles simétricos bidimensionales de la figura; e es el espesor máximo del perfil y L su cuerda. Obsérvese que a partir de espesores superiores al 30 % (perfiles de espesor relativo superior al 20 % son raramente usados en Aeronáutica) la resistencia de presión aumenta considerablemente y se hace mucho mayor que la de fricción. Una muestra de la eficacia aerodinámica de los perfiles fuselados lo constituye el hecho de que el perfil y el cilindro circular de la Figura 14.4 exhiban la misma resistencia a velocidades iguales. Nótese la diferencia de espesores y áreas entre los dos cuerpos, ya que el cilindro posee un diámetro que es aproximadamente la décima parte del espesor máximo del perfil. Simplificando, se puede decir que en un cuerpo fuselado la resistencia, cuya mayor contribuci´ on es la fricción, es peque˜ na, mientras que la de los cuerpos romos, cuya contribuci´ on es fundamentalmente debida a la de forma, es grande.

380


En la Figura 14.5 se representa el coeficiente de resistencia CD para un cilindro circular y una esfera en función del n´ umero de Reynolds. Para Re peque˜ no, CD para esfera y cilindro viene dado respectivamente por las expresiones (9.45) y (9.69). A medida que Re aumenta, la importancia de

Figura 14.5: Valores experimentales del coeficiente de resistencia de un cilindro circular (S = d) y de una esfera (S = πd2 /4) de diámetro d. Las curvas a trazos representan resultados obtenidos en experimentos diferentes. De Batchelor (1967). la resistencia de forma va creciendo y para Re alto (Re > 103 , aproximadamente), CD permanece pr´ acticamente constante e igual a 0,4 para la esfera y entre 1 y 1,2 para el cilindro. Sin embargo, para Re 2×105 , la resistencia cae bruscamente. Este paradójico efecto, t´ıpico de cuerpos de geometr´ıa roma, es conocido como crisis de la resistencia y se debe a que la capa l´ımite que se desarrolla sobre el obstáculo se hace turbulenta. En efecto, debido a la agitaci´ on turbulenta la cantidad de movimiento de las part´ıculas próximas a la pared es mayor en una capa l´ımite turbulenta que en una laminar, con lo que para un mismo gradiente de presiones (o equivalentemente, idéntica forma geométrica del obstáculo) el punto de desprendimiento se encuentra m´ as retrasado en una capa l´ımite turbulenta, Figura 14.6. Consecuentemente, la estela que deja el obstáculo es más estrecha y la resistencia de forma disminuye notablemente. Como la resistencia total en cuerpos romos es debida mayormente a la de forma, el efecto global de la transición de capa l´ımite laminar a turbulenta resulta en una disminuci´ on de la resistencia total aun cuando, como se ver´ a más adelante, la resistencia de fricción sea mayor en una capa l´ımite turbulenta que en una laminar.2 El fenómeno de separación de capa l´ımite no se produce sólo en flujos externos, sino también en flujos en conductos. En estos casos, la separación ocurre en la zona divergente del conducto donde existe un gradiente adverso de presiones. Cuando el gradiente adverso sobrepasa un cierto valor cr´ıtico, o lo que es lo mismo, cuando el ángulo de divergencia del conducto sobrepase un cierto valor, que es muy aproximadamente de 6o , la capa l´ımite se desprende como se muestra en la Figura 14.7 donde se visualiza el flujo en un conducto divergente por medio de burbujas de hidr´ ogeno. La separación de capa l´ımite lleva aparejado una ca´ıda importante de la presi´ on de remanso y de las caracter´ısticas del difusor. 2 Esta es la raz´ on por la que las pelotas de golf no tienen superficie lisa; las rugosidades (hoyuelos) facilitan la transici´ on a la turbulencia, reduciendo la resistencia a la cuarta parte aproximadamente.


a)

381

b)

Figura 14.6: Flujo sobre una esfera. a) Capa l´ımite laminar. b) Capa l´ımite turbulenta. De Van Dyke (1982).

Figura 14.7: Separación del flujo en un difusor. De Van Dyke (1982). Es importante se˜ nalar finalmente que si se introducen las variables adimensionales νL , ue = ue /U∞ , Ψ = Ψ/ U∞ Lν, x = x/L, y = y/ U∞

(14.32)

en la ecuación (14.18) y condiciones de contorno (14.19), las expresiones resultantes son invariantes salvo que ν quede sustituido por la unidad. Esto significa que Ψ = f (x, y) o " ! U∞ x ,y , (14.33) Ψ = U∞ Lνf L νL y también Ψy ∂f u =u= = U∞ U∞ ∂y

√ y

√ df Re v Re Ψx =v=− =− . U∞ U∞ dx

(14.34)

382


Estas expresiones muestran que cuando el n´ umero de Reynolds de la corriente cambia, el patrón del flujo en la capa l´ımite experimenta simplemente una transformación de semejanza de modo que las distancias y velocidades longitudinales permanecen invariantes mientras que las distancias y velocidades transversales var´ıan de forma inversamente proporcional a la ra´ız cuadrada del n´ umero de Reynolds. El esfuerzo en la pared es 3/2

τp = µ Ψyy |y=0

ν 1/2 Uo =ρ L1/2

x Uo2 ∂ 2 f √ = ρ , f 1 L ∂ y 2 y=0 Re

(14.35)

y el punto de desprendimiento de la capa l´ımite, que se calcula de la condición τp = 0 f1 (xs ) = 0,

(14.36)

resulta independiente del n´ umero de Reynolds; la funci´ on adimensional f1 (x/L) depende u ńicamente de la distribución de velocidades de la corriente exterior ue (x), o lo que es lo mismo, de la forma geométrica del obstáculo. El lector puede demostrar f´ acilmente que la variaci´ on con el n´ umero de Reynolds del espesor de capa l´ımite (y también la de los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento) es de la forma 1 δ =√ f2 (x/L). L Re

14.4.

(14.37)

Soluciones de semejanza de Falkner-Skan

La ecuación (14.18), en derivadas parciales, de tercer orden, no-lineal, con las condiciones de contorno (14.19), que gobiernan la funci´ on de corriente en la capa l´ımite, deben en general resolverse numéricamente. Sucede, sin embargo, que para una determinada forma funcional del gradiente de presiones, el problema (14.18)-(14.19) admite solución de semejanza y la ecuación diferencial en derivadas parciales se transforma, bajo un apropiado cambio de variables, en una ecuación diferencial ordinaria de resoluci´ on mucho más sencilla. Falkner y Skan encontraron hacia 1930 que si la velocidad exterior var´ıa potencialmente con la coordenada x a lo largo de la capa l´ımite ue (x) = c xm ,

(14.38)

las ecuaciones de la capa l´ımite admiten soluciones de semejanza; c es una constante con dimensiones apropiadas y m es en principio cualquier n´ umero real. Como se vio en 11.4.1, la expresión (14.38) puede representar, dependiendo del valor de m, casos diferentes de corriente potencial de un l´ıquido. Por ejemplo, si m var´ıa entre 0 e ∞, (14.38) proporciona la velocidad potencial en el caso de una cu˜ na de ángulo β = 2πm/(1 + m),

(14.39)

situada simétricamente en una corriente irrotacional de un fluido no viscoso; la coordenada x se mide desde el vértice de la cu˜ na. Cuando m es negativo y var´ıa en el rango 0 ≥ m ≥ −1/2, (14.38) representa la velocidad potencial en el caso de la corriente de un l´ıquido alrededor de una esquina de ańgulo β = π/(1+m), con 0 ≥ m ≥ −1/2. Finalmente, el caso de m = −1 con c negativo representa la corriente potencial de un sumidero bidimensional.

383

14.4. Soluciones de semejanza de Falkner-Skan Si se sigue el método expuesto en el Apéndice 7.I y se introduce la transformaci´ on x = λx∗ ,

y = λα y ∗ ,

Ψ = λγ Ψ∗ ,

en la ecuación (14.18) y condiciones de contorno (14.19) se obtiene 4 5 λ2γ−2α−1 Ψ∗y∗ Ψ∗x∗ y∗ − Ψ∗x∗ Ψ∗y∗ y∗ = mc2 λ2m−1 x∗2m−1 + ν λγ−3α Ψ∗y∗ y∗ y∗ , λγ−α Ψ∗y∗ (x∗ , y ∗ → ∞) = c λm x∗m .

(14.40)

(14.41) (14.42)

Es fácil comprobar que las ecuaciones (14.41)-(14.42) son idénticas a las (14.18)-(14.19) frente al grupo de transformaciones (14.40) si 2γ − 2α − 1 = 2m − 1 = γ − 3α

y

γ − α = m,

(14.43)

o α = (1 − m)/2

y

γ = (1 + m)/2.

(14.44)

Por tanto, de acuerdo con (14.40), la soluci´ on de (14.18)-(14.19) puede escribirse en la forma √ m+1 c m−1 ue (x) x 2 y= Ψ = cνx 2 f (η) = νxue (x)f (η), η = y (14.45) ν νx donde la funci´ on adimensional f satisface la ecuación diferencial ordinaria, no lineal, de tercer orden ... m+1 ¨ f f + m(1 − f˙2 ) = 0, (14.46) f + 2 con las condiciones de contorno f (0) = f˙(0) = 0,

f˙(∞) = 1.

(14.47)

En la Figura 14.8 se representan los perfiles de semejanza de la velocidad axial u(x, y)/ue (x) = Ψy /cxm obtenidos por integraci´ on numérica de (14.46)-(14.47) para valores distintos del exponente m. La solución numérica proporciona también los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento

1/2 ∞

1/2 ∞ νx νx ˙ [1 − f (η)]d η, δ2 = f˙(η)[1 − f˙(η)]d η, δ1 = (14.48) ue (x) ue (x) o o y el esfuerzo en la pared

τp = µ Ψyy |y=0 = ρ

νu3e (x) x

1/2 f¨(0),

(14.49)

que muestran expl´ıcitamente cómo los espesores de capa l´ımite y el esfuerzo en la pared dependen del gradiente de presiones, [o lo que es lo mismo de ue (x)]. Las integrales en (14.48) pueden resolverse numéricamente a la par que el problema (14.46)-(14.47). Un caso particular de gran interés, analizado por Blasius en 1908, es el de m = 0 que corresponde a la capa l´ımite desarrollada sobre una placa plana seminfinita.3 En este caso ue (x) = U∞ es constante y los resultados numéricos proporcionan νx νx νU 3 , δ2 = 0,47 , y τp = 0,332 ρ . (14.50) δ1 = 1,22 U∞ U∞ x 3 Obs´ ervese que el caso m = 0 permite modelar la capa de mezcla laminar que se desarrolla entre dos corrientes paralelas de un mismo fluido con velocidades U1 y U2 . Definiendo las variables Ψ = (νU1 x)1/2 f (η) con η = ... on 2 f +f f¨ = 0, que hay que resolver numéricamente con las condiciones y[U1 /(νx)]1/2 se obtiene de (14.18) la ecuaci´ f˙(∞) = 1, f˙(−∞) = U2 /U1 , y f (0) = 0.

384


Figura 14.8: Perfiles de semejanza de Falkner-Skan u/ue (x) = df /dη para valores distintos del exponente m (distinto ańgulo de cu˜ na). El resultado obtenido en (14.50) se puede usar para calcular de forma aproximada la resistencia que un fluido de densidad ρ y viscosidad µ opone al movimiento con velocidad U∞ de una placa de longitud L, paralelamente a s´ı misma, cuando el n´ umero de Reynolds del movimiento es muy grande. Por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento, y teniendo en cuenta las dos caras de la placa, la resistencia de fricción es L √ Df = 2 τf dx 1,328 ρ νU 3 L, (14.51) o

y el coeficiente de fricción de la placa plana Cf =

Df 1 2 ρU ∞L 2

= 2,656 Re−1/2 .

(14.52)

Es importante comentar aqu´ı el hecho de que la expresión (14.51) sea sólo un resultado aproximado cuando se aplica a una placa plana de longitud finita L. Esto es consecuencia del hecho de que la existencia de soluciones de semejanza es incompatible con condiciones de contorno que deben satisfacerse corriente arriba o abajo de la zona donde la soluci´ on de semejanza es válida. Por ejemplo, la solución de semejanza no es válida en las proximidades del borde de ataque de la placa plana o de una cu˜ na, puesto que all´ı la corriente exterior no es de la forma dada en (14.38), ya que esta expresión de la velocidad potencial se alcanza asint´ oticamente a distancias del borde de ataque que son grandes comparadas con el radio de curvatura del borde de ataque de la cu˜ na o de la placa plana (la placa plana real posee un espesor y finito y, por tanto, un radio de curvatura también finito en el borde de ataque). Para una placa plana (o cu˜ na) de longitud finita, también la corriente

385

14.4. Soluciones de semejanza de Falkner-Skan

exterior (14.38) se modifica por el hecho de que la placa se acaba y la solución, por tanto, no es de semejanza, cerca del borde de salida. Nótese que la corriente se acelera detrás de la placa por el hecho de que no existe pared y la succión generada tiende a acelerar la corriente exterior. Como consecuencia, la placa plana de longitud finita experimenta una resistencia ligeramente mayor que la dada por (14.51) que formalmente ser´ıa sólo válida para una placa plana semiinfinita. No obstante, si la longitud de la placa L es suficientemente grande comparada con la de las zonas de no validez de la solución de semejanza, la expresión (14.50) puede ser utilizada con gran aproximaci´ on para calcular el valor de la resistencia de la placa plana de longitud finita. Para valores negativos del exponente m en (14.38), que corresponden al caso de la corriente potencial alrededor de una esquina, se encuentra que si m < −0,0904 no existe solución real de la ecuación (14.46) que satisfaga la totalidad de las condiciones de contorno (14.47). Para m = −0,0904, que corresponde a la corriente alrededor de una esquina de ańgulo 0,91π, existe solución numérica de (14.46) que satisface (14.47) con c > 0; para este caso se encuentra que f¨(0) = 0 y por tanto el esfuerzo en la pared τp es nulo indicando separaci´ on de capa l´ımite. Para valores de m menores que −0,0904, que corresponden a una esquina de ańgulo más acusado se produce separación de capa l´ımite que da lugar a corriente invertida. La corriente resultante no puede ser descrita por las ecuaciones (14.18)-(14.19), puesto que falla la aproximaci´ on de capa delgada (las velocidades axiales y normales en la capa l´ımite se hacen del mismo orden). Es interesante discutir el caso m = −1 con c < 0, que corresponde a la corriente potencial del movimiento convergente radial, entre dos paredes sólidas radiales que forman un ańgulo α, generado por un sumidero bidimensional situado en el origen tal como se muestra en la Figura 14.9. El caudal por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento es q = ue x α = c α,

(c < 0).

(14.53)

En la capa l´ımite adyacente a las paredes, la función de corriente será ahora [véase (14.44)]

Figura 14.9: Flujo entre paredes sólidas radiales generado por un sumidero situado en el origen. √ Ψ = −c ν f (η)

c y , η= − ν x

con

(14.54)

las ecuaciones y condiciones de contorno para la funci´ on f son, teniendo en cuenta (14.46) y (14.47) ...

f (0) = 0,

f +f˙2 − 1 = 0,

(14.55)

f˙(0) = 0

(14.56)

y f˙(∞) = −1.

Si la ecuación (14.55) se multiplica por f¨ puede integrarse una vez para dar 4 4 f¨2 + f˙3 − 2f˙ = , 3 3

(14.57)


386

donde la constante de integraci´ on se ha determinado haciendo uso de las condiciones f˙(∞) = −1 ¨ y f (∞) = 0. Se tiene entonces df˙ = dη que integrada proporciona

# # 2(2 + 3f˙ − f˙3 )/3 = (f˙ + 1) 2(2 − f˙)/3, √ f˙(η) = 2 − 3 tanh2 (η/ 2 + C),

(14.58)

(14.59)

donde se ha hecho uso de la u ´ltima de las condiciones en (14.56) y C es una constante de integración que se calcula imponiendo la condición f˙(0) = 0; se tiene entonces C = tanh−1 2/3 1,46. El caso de corriente divergente correspondiente a un manantial (c > 0) conduce a una ecuación diferencial que no satisface las condiciones (14.56), lo que indica que no existe soluci´ on de tipo capa l´ımite en este caso.4 Cuando existe succión o soplado de la capa l´ımite a través de la superficie sólida porosa, la u ńica modificación en el problema matemático (14.18)-(14.19) para la descripción de la capa l´ımite es la sustitución de la condición de velocidad normal nula en la pared por la nueva condici´ on v(x, 0) = −Ψx (x, 0) = vs (x),

(14.60)

donde vs (x) es la velocidad de soplado (succión) en la pared; el resto de las condiciones de contorno u(x, 0) = 0 y u(x, ∞) = ue (x) permanecen inalteradas.

Figura 14.10: Velocidad adimensional en la capa l´ımite con succión o soplado de una capa plana (m = 0) y diferentes intensidades de la velocidad de soplado respecto a la exterior. Es fácil conocer cualitativamente la influencia de la succión (soplado) sobre la capa l´ımite. Su efecto se traduce en un aumento (disminuci´ on) de la velocidad axial en las proximidades de la pared, disminuye (aumenta) el espesor de la capa l´ımite, aumenta (disminuye) el coeficiente de fricci´ on, y finalmente retrasa (adelanta) el punto de desprendimiento de la capa l´ımite. Es posible 4 En realidad la corriente divergente u = c/x con c > 0 se separa y adem´ as es inestable. Una discusi´ on completa e de este problema, incluyendo inestabilidad y la importancia de las soluciones antisimétricas ha sido realizada por Sobey & Drazin (1986).

387

14.5. Capa l´ımite con simetr´ıa axial

cuantificar, de modo relativamente simple, el efecto de succión o soplado en el caso de que la capa l´ımite resultante siga siendo de semejanza para lo que se requiere que la velocidad exterior ue (x) posea la forma dada en (14.38) y que la velocidad de soplado, de acuerdo con (14.44), var´ıe con x en la forma m−1 (14.61) vs (x) = A x 2 , donde A es una constante con dimensiones apropiadas. En estas condiciones el problema matemático a resolver es el de la ecuación (14.46) sujeta a las condiciones de contorno f (0) = −

2A √ , (m + 1) cν

f˙(0) = 0,

f˙(∞) = 1.

(14.62)

Los perfiles de velocidad de semejanza correspondiente a una capa l´ımite con succión (A > 0) o soplado (A < 0) se representan en la Figura 14.10.

14.5.

Capa l´ımite con simetr´ıa axial

Capas l´ımites axilsimétricas se desarrollan sobre cuerpos axilsimétricos o sobre chorros l´ıquidos acelerados por una corriente de gas que fluye concéntricamente con él. El esfuerzo de fricción en una pared axilsimétrica o el esfuerzo viscoso que el gas ejerce sobre el chorro l´ıquido son, por tanto, magnitudes de interés en muchos problemas tecnológicos en los que aparecen capas l´ımites axilsimétricas. Como se verá en lo que sigue su estudio se simplifica notablemente, ya que por medio de transformaciones de coordenadas apropiadas las ecuaciones de la capa l´ımite incompresible, laminar y axilsimétrica pueden reducirse a las de la capa l´ımite bidimensional en los dos casos siguientes: a) cuando el espesor de la capa l´ımite δ es mucho menor que el radio caracter´ıstico Ro de la sección transversal del cuerpo axilsimétrico considerado, y b) cuando Ro y δ son del mismo orden pero el radio de la sección transversal del cuerpo R(x) var´ıa lentamente con la distancia d R/d x 1.

14.5.1.

Caso a) δ Ro

Considérese un sistema de coordenadas curvil´ıneas de capa l´ımite ξ, η como el indicado en el plano meridiano de un cuerpo de revoluci´ on como el indicado en la Figura 14.11, cuyo contorno viene dado por R(ξ).

h

x R(x)

Figura 14.11: Coordenadas de capa l´ımite sobre un cuerpo de revoluci´ on.


388

Si se denominan u, v, y p a las componentes de la velocidad en las direcciones paralela y normal a la pared y a la presión, las ecuaciones de la capa l´ımite axilsimétrica incompresible, laminar y estacionaria son: ∂[uR(ξ)] ∂[vR(ξ)] + = 0, (14.63) ∂ξ ∂η u

∂u ∂u 1 ∂p ∂2u +v =− +ν 2, ∂ξ ∂η ρ ∂ξ ∂η

(14.64)

donde para obtener (14.63) y (14.64) se ha tenido en cuenta que r = R(ξ) + η con η R(ξ) y consecuentemente (ν/r)∂/∂r(r∂u/∂r) ν∂ 2 u/∂η 2 y r R(ξ). Por otra parte, de la ecuaci´ on de cantidad de movimiento en la dirección normal a la pared se tiene, ∂p/∂η ∼ u2e /r,

∆η p ∼ ρ

u2e δ, R

(14.65)

de modo que por ser δ R se puede suponer, aqu´ı también, que la presión, en primera aproximación, no var´ıa a lo largo de normales a la pared. N´ otese que la u ´ nica modificación en las ecuaciones de capa l´ımite respecto al caso bidimensional es la debida al incremento de área transversal al variar R(ξ), ecuación (14.63). Si se efect´ ua ahora la transformaci´ on de variables, denominada de Mangler, x 1 R(ξ) R2 (ξ)dξ, η, x= 2 y= (14.66) Ro o Ro " ! R˙ Ro v + ηu , (14.67) u = u, v= R R y se tiene en cuenta que ∂ R2 ∂ R˙ ∂ = 2 + y , ∂ξ Ro ∂x R ∂y

∂ R ∂ = , ∂η Ro ∂y

(14.68)

las ecuaciones (14.63)-(14.64) se transforman en las de la capa l´ımite bidimensional (14.10)-(14.11)

u

∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(14.69)

∂ue ∂u ∂2u ∂u +v = ue +ν 2; ∂x ∂y ∂x ∂y

(14.70)

n´ otese que bajo esta transformación, el gradiente de presiones −(1/ρ)∂p/∂ξ = ue ∂ue /∂ξ se modifica a (ue ∂ue /∂x)R2 /Ro2 .

14.5.2.

Caso b) Ro ∼ δ

En el caso en que el radio caracter´ıstico del obstáculo sea del mismo orden que el espesor de la capa l´ımite o incluso menor, como ocurre en el caso de la corriente alrededor de agujas con radio milimétrico o en el de chorros de diámetro micrométrico acelerados por una corriente de gas concéntrica, la transformación de Mangler deja de ser v´ alida. En estos casos, sin embargo, se puede demostrar que basta la condición de esbeltez del obstáculo, o si se tratase de un chorro, dR/dξ 1, para garantizar la existencia de una transformaci´ on de variables que reduce las ecuaciones de la capa l´ımite axilsimétrica ∂u 1 ∂(rv) + = 0, (14.71) ∂ξ r ∂r

389

14.6. Estructura de un v´ ortice viscoso u

∂u ∂u ∂ue ν ∂ +v = ue + ∂ξ ∂r ∂ξ r ∂r

∂u r , ∂r

(14.72)

a las de la capa l´ımite bidimensional, mucho más fáciles de implementar numéricamente; nótese que en este caso dR/dξ 1 por serlo dδ/dx ∼ δ/x 1. En efecto, si se introduce el grupo de transformaciones x = ξ,

σ = [r2 − R2 (x)]/2,

u = u,

˙ v = rv − RRu,

(14.73)

y se tiene en cuenta que ∂ ∂σ ∂ ∂ ∂ ∂ + − RR˙ = = , ∂ξ ∂x ∂σ ∂ξ ∂x ∂σ

1 ∂ 1 ∂ ∂σ ∂ = = , r ∂r r ∂σ ∂r ∂σ

(14.74)

las ecuaciones (14.71)-(14.72) se transforman en ∂v ∂u + = 0, ∂x ∂σ

∂u ∂u ∂ue ∂ ∂u +v = ue +ν R2 (x) + 2σ . u ∂x ∂σ ∂x ∂σ ∂σ

(14.75) (14.76)

Finalmente el cambio de variables

1 2σ , y = ln 1 + 2 2 R (x)

dx , dx = 2 R (x)

(14.77)

transforma las ecuaciones (14.75)-(14.76) en ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(14.78)

∂u ∂ue ∂u ∂2u +v = e2y ue +ν 2, ∂x ∂y ∂x ∂y

(14.79)

e2y e2y u

que son mucho más fáciles de implementar numéricamente que las ecuaciones (14.71)-(14.72). Es fácil observar en (14.73) y (14.77) que cuando r → R(x), σ → 0 e y → 0 y cuando r → ∞ también σ → ∞ e y → ∞. Nótese también que cuando el espesor de la capa l´ımite δ es mucho menor que R, entonces σ/R2 (x) 1 e y 1 y se obtiene el mismo resultado que si se aplica la transformación de Mangler (e2y → 1). En la figura 14.12 se representa el esfuerzo adimensional en la pared de un cilindro de sección constante alineado longitudinalmente en la direcci´ on de la corriente.

14.6.

Estructura de un v´ ortice viscoso

En la sección 10.12 se analizó el flujo de un v´ ortice en el supuesto de fluido ideal. Como se vio, el campo de velocidades obtenido se hace singular en el eje indicando la existencia de un n´ ucleo viscoso, de radio caracter´ıstico muy peque˜ no, que contiene al eje. La estructura del n´ ucleo vortical viscoso, cuyo radio adimensional, δ/L ∼ Re−1/2 , se estima a partir de la condición usual en capas l´ımites de que los esfuerzos viscosos y los términos de inercia convectivos sean del mismo orden, viene dado por las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento, que en primera aproximaci´ on resultan ∂vx 1 ∂ + (rvr ) = 0, (14.80) ∂x r ∂r


390

Figura 14.12: Esfuerzo adimensional en la pared sobre un cilindro de secci´ on constante situado longitudinalmente en la direcci´ on de la corriente.

vx

∂vx ∂vx 1 ∂p ν ∂ + vr =− + ∂x ∂r ρ ∂x r ∂r

∂vx r , ∂r

vφ2 1 ∂p = , r ρ ∂r

1 ∂ ∂vφ ∂vφ vr vφ ∂vφ vφ =ν vx + vr + r − 2 . ∂x ∂r r r ∂r ∂r r

(14.81) (14.82) (14.83)

Para obtener las ecuaciones (14.80)-(14.83) se ha hecho uso de la axilsimetr´ıa y de las condiciones de capa delgada en las que las velocidades radiales vr son mucho menores que las azimutales y axiales vφ y vx respectivamente y ∂/∂z ∂/∂r. Las ecuaciones (14.80)-(14.83) deben resolverse sujetas a las condiciones de contorno siguientes: en el eje (r = 0), el campo de velocidades debe ser regular y axilsimétrico, lo que implica ∂u ∂vφ vφ = 0, (14.84) = 0, vφ (x, 0) = vr (x, 0) = 0, vx (x, 0) = ∞, − ∂r r=0 ∂r r r=0 a distancias grandes del eje el campo de velocidades y presiones debe decaer apropiadamente. para arrancar la integraci´ on numérica del sistema (14.80)-(14.83) es necesario especificar los perfiles de velocidades vx (xo , r) y vφ (xo , r) en una cierta estación inicial xo . Sucede, sin embargo, que si se omiten las condiciones iniciales, lo que significa que se quiere describir la solución a distancias grandes aguas abajo x xo , el sistema (14.80)-(14.84) se hace de semejanza si se buscan soluciones que decaen lejos del eje en la forma vx = Wo rm−2 ,

vφ = LWo rm−2 ,

(LWo )2 2(m−2) p . = r ρ 2(m − 2)

(14.85)

391

14.6. Estructura de un v´ ortice viscoso

Aqu´ı el exponente m es cualquier n´ umero real menor que 2, Wo es una constante con dimensiones apropiadas y el n´ umero adimensional L, denominado n´ umero de Squire, mide la importancia relativa del movimiento azimutal frente al meridional. El campo de velocidades y presiones (14.85) es el comportamiento l´ımite, cerca del eje, de un tipo de flujos vorticales y no viscosos que satisfacen las ecuaciones de Euler (véase 10.13). Definiendo las variables de semejanza f (ξ) = g(ξ) =

Ψ(x, r) , νx

δ 2 vφ , νx

ξ = r2 /δ 2 (x),

β(ξ) =

(14.86)

δ 4 (x) p(x, r) , ν 2 x2 ρ

(14.87)

el campo de velocidades meridional se escribe Ψr νx =2 2 f (ξ), vx = r δ (x)

ν Ψx =− vr == − r r

f − 2ξf

xδ

δ

,

(14.88)

y el sistema (14.80)-(14.83) se transforma en 1 d 2 − m 2 f + f f + [(2 − m)β + ξβ ] = −2 (ξf ), m 2m dξ

(14.89)

g 2 = 2ξβ ,

(14.90)

2

fg g m−1 d gf − 2f g − = 4 (ξg ) − , m ξ dξ ξ

(14.91)

con las condiciones de contorno f (0) = 0,

g(0) = 0,

β = β0 , en ξ = 0

(14.92)

y de acoplamiento con la solución exterior ξ → ∞(r → ∞) dada por (14.85). De la condici´ on de acoplamiento, teniendo en cuenta (14.86), se tiene m 2νx ˙ f (ξ) = Wo rm−2 = Wo δ m−2 (x)ξ 2 −1 , δ 2 (x) m νx g(ξ) = LWo rm−2 = LWo δ m−2 ξ 2 −1 , vφ = 2 δ (x)

vx =

(νz)2 (νx)2 p (LWo )2 2(m−2) = β(η), = 2 β(ξ) = r ρ δ (x) 2(m − 2) δ4 junto con

δ(x) =

mνx Wo

(14.93) (14.94) (14.95)

1/m (14.96)

y las condiciones de contorno f → ξ m/2 ,

g → mLξ

m 2 −1

,

β→

(mL)2 m−2 . ξ 2(m − 2)

(14.97)

La resolución numérica del sistema de ecuaciones diferenciales (14.89)-(14.91) con condiciones de contorno (14.92) y (14.97) implica la utilizaci´ on de una técnica numérica conocida como disparo (shooting en la terminolog´ıa inglesa) en la que el arranque de la soluci´ on numérica desde el eje (no se puede integrar hacia el eje por tener éste el carácter de punto de silla) requiere especificar los

392


valores de uno o más parámetros, en este caso dos, desconocidos a priori. Dados valores arbitrarios de los parámetros de arranque, la solución numérica no cumplirá, en general, el comportamiento requerido en el infinito, por lo que se procede a nuevas integraciones variando los par´ ametros del arranque. El problema queda determinado cuando se encuentra la pareja de par´ ametros que satisfacen en el infinito el comportamiento dado por (14.97). Se han descrito en la literatura las soluciones correspondientes a los casos 1 ≤ m < 2,5 por ser las caracter´ısticas de estos vórtices las que más se asemejan a los resultados experimentales existentes. Para 1 < m < 2, se encuentra que no existe solución si el parámetro L es menor que un cierto valor cr´ıtico L∗ , mientras que existen dos soluciones posibles si L < L∗ (en la realidad se dar´ a la más estable). La no existencia de soluciones para L > L∗ se debe entender en el sentido de que no existen soluciones de tipo de capa delgada como las que describe la aproximación cuasi-cil´ındrica (14.80)-(14.83) y ha sido interpretado como signo de rotura de v´ ortice vortex breakdown, fenómeno en el que un vórtice esbelto rompe cuando el parámetro de Squire sobrepasa un cierto l´ımite y se forma un flujo con estructura no esbelta, Figura 14.13.

Figura 14.13: Rotura de v´ ortices sobre el extradós de una ala en delta. Los vórtices son consecuencia del paso de la corriente de intrad´ os (mayor presión) a extrad´ os (menor presión). Obsérvese que aguas abajo del vértice el n´ ucleo vortical viscoso rompe simétricamente en una burbuja en un caso y en un flujo no simétrico en el otro.

14.7.

Soluciones num´ ericas de capa l´ımite

Excepto en los casos en los que el gradiente de presiones permite la descripción de la capa l´ımite a partir de soluciones de semejanza, las ecuaciones de la capa l´ımite deben ser integradas numéricamente. Debido a su complejidad, la resolución numérica exacta de las ecuaciones de la capa l´ımite no era tarea trivial para la capacidad computacional de los ordenadores anteriores a los a˜ nos 80 del pasado siglo, por lo que se desarrollaron, a partir de 1920, métodos aproximados para su resolución numérica, denominados métodos integrales, profusamente utilizados en el ámbito de la Ingenier´ıa Aeronáutica. Naturalmente, la capacidad de los ordenadores actuales permite con relativa sencillez la integración numérica exacta de las ecuaciones de la capa l´ımite, por lo que los métodos integrales van cayendo paulatinamente en desuso. No obstante, por su simplicidad en la implementación y la rapidez con que permiten determinar las caracter´ısticas principales de la capa l´ımite (esfuerzo en la pared, espesor, etc.) se dará en primer lugar una somera descripción de estos 5 El caso m = 1 que estudi´ o Long en 1958 y que se denomina en su honor v´ ortice de Long, es un caso degenerado del m´ as general, m = 1, que estudiaron Fern´ andez-Feria y otros en 1995 y 1999.

393

14.7. Soluciones numéricas de capa l´ımite

métodos,6 para pasar después a describir algunas de las técnicas numéricas exactas que se utilizan en la actualidad para integrar las ecuaciones de la capa l´ımite.

14.7.1.

M´ etodos integrales

La integraci´ on de las ecuaciones de la capa l´ımite en la dirección normal a la pared da lugar a una ecuación diferencial ordinaria respecto a la variable x, que se denomina ecuación integral de la capa l´ımite, en la que aparecen integrales respecto a la variable y cuyos integrandos contienen la velocidad axial u(x, y) o funciones de ella. En efecto, si a la ecuación (14.10) multiplicada por el factor (ue − u) se le resta la ecuación (14.11) se obtiene ∂ ∂2u ∂ [u(ue − u)] + [v(ue − u)] + (ue − u)ue = −ν 2 . ∂x ∂y ∂y

(14.98)

Esta ecuación multiplicada por dy e integrada entre 0 e ∞ se convierte en la ecuación integral de Karman de la capa l´ımite incompresible 1 due dδ2 + (2δ2 + δ1 ) = τp /ρu2e , dx ue dx

(14.99)

donde se ha hecho uso de las definiciones (14.22) y (14.24) de los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento. La ecuación integral de Karman puede deducirse también aplicando los teoremas de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento en forma integral a un volumen de control como el indicado en la Figura 14.14, limitado por la pared, el borde exterior de la capa l´ımite que se supone a una distancia δ(x) de la pared donde la densidad y la velocidad alcanzan los valores ρe y ue de la corriente exterior y dos secciones normales a la pared y separadas una distancia dx.

ue(x)

pe(x)

u(x,y)

pe+dpe

tp x

x+dx

Figura 14.14: Volumen de control para la ecuaci´ on integral de Karman. Si se considera, para mayor generalidad, el caso de un fluido compresible, la ecuaci´ on de conservación de la masa en el volumen elemental de la Fig. 14.14 proporciona δ d dδ ρ u d y = ρe (x)ue (x) . (14.100) dx o dx De la conservación de la cantidad de movimiento se obtiene δ dδ dδ d(pe δ) d ρu2 dy − ρe u2e =− + pe − τp , dx o dx dx dx

(14.101)

6 Una ventaja adicional de los m´ etodos integrales es que pueden ser usados indistintamente para el c´ alculo de capas l´ımites laminares y turbulentas.


394

donde se ha tenido en cuenta que la presi´ on se conserva a través de normales a la capa l´ımite. Haciendo uso de (14.100), la ecuación anterior puede escribirse en la forma d dx o también d dx

δ

ρu2 dy − ue o

d dx

δ

ρudy = −δ o

dpe − τp , dx

(14.102)

δ d due δ due = ρu dy − ρuue dy + ρudy − δρe ue dx dx dx o o o δ due δ d ρu(u − ue )dy − (ρu − ρe ue )dy = −τp , dx o dx o δ

2

(14.103)

donde se ha hecho uso de la conservación de cantidad de movimiento de la corriente exterior ρe ue due /dx = −dpe /dx. Si se tiene en cuenta que

δ

∞

ρu(u − ue )dy = o

ρu(u − ue )dy

(ρu − ρe ue )dy =

y

o

δ

o

∞

(ρu − ρe ue )dy,

(14.104)

o

ya que y ≥ δ la densidad y la velocidad del gas son las de la corriente exterior (ρ = ρe , u = ue ) y se introducen los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento definidos en (14.25)-(14.26) se obtiene d due (ρe u2e δ2 ) + ρe ue δ1 = τp , (14.105) dx dx y finalmente se obtiene la ecuación integral de Karman para un fluido compresible δ2 dρe τp 1 due dδ2 + (2δ2 + δ1 ) + = . dx ue dx ρe dx ρe u2e

(14.106)

Si se tiene en cuenta la conservación de la entalp´ıa de remanso en la corriente exterior due γ pe dρe ∂u2e /2 γ 1 ∂pe ∂he + ue = 0, − + = 2 ∂x ∂x γ − 1 ρe dx γ − 1 ρe dx dx

(14.107)

y se sustituye dpe /dx = −ρe ue due /dx se llega a u 1 dρe = − e Me2 , ρe dx ue

(14.108)

donde Me = u2e /ae es el n´ umero de Mach de la corriente exterior. Teniendo en cuenta (14.108), la ecuación (14.106) de Karman se escribe en su forma más sencilla τp dδ2 u . + [(2 − Me2 )δ2 + δ1 ] e = dx ue ρe u2e

(14.109)

Obsérvese que cuando Me2 2 los efectos de compresibilidad en la capa l´ımite son despreciables y la forma de (14.109) coincide con la ecuación de Karman para un fluido incompresible, (14.99). En el caso de fluidos compresibles, o en el análisis de capas l´ımites térmicas de fluidos incompresibles, el teorema de conservación de la energ´ıa aplicado al volumen de control de la Fig. 14.11 suministra, en ausencia de fuerzas másicas, la siguiente ecuación integral de la energ´ıa ∞ ∂T d ρu(hoe − ho )dy = −qp = k , (14.110) dx o ∂y y=0

395


donde ho = h + v 2 /2 es la entalp´ıa de remanso. En lo que sigue se limitará el estudio al caso de capas l´ımites laminares estacionarias de fluidos incompresibles. La idea de los métodos integrales consiste en buscar una solución aproximada u(x, y) que se comporte apropiadamente en la pared y en el exterior de la capa l´ımite y además satisfaga una ecuación promedio que es lo que representa la ecuación integral de Karman. Para ello se sustituye u(x, y) por una funci´ on de y que contenga, generalmente en forma de coeficientes, m funciones de x a determinar. La determinación de los m coeficientes incógnitas se realiza requiriendo que la solución aproximada satisfaga las m condiciones siguientes: Las condiciones de contorno en la pared y en el infinito u(x, 0) = 0

y

u(x, ∞) = ue (x);

(14.111)

El perfil de velocidades aproximado debe satisfacer la ecuación integral de Karman, ecuaci´ on (14.99); (m-3) condiciones que se obtienen de exigir que la solución aproximada satisfaga la ecuación diferencial (14.11) y sus derivadas respecto a y tanto en la pared como en el infinito; se tiene de este modo ∂ 3 u ∂ 2 u ue due ∂ 4 u ∂u ∂ 2 u ∂ n u = − = 0, = = 0, (14.112) ∂y 2 y=0 ν dx ∂y 3 y=0 ∂y 4 y=0 ∂y ∂x∂y ∂y n y→∞ y as´ı sucesivamente. Es usual elegir u = f (η), ue (x)

η = y/δ(x),

0 ≤ y ≤ δ(x),

(14.113)

donde la funci´ on f (η) contiene (m − 1) funciones de x que deben ser determinadas junto con δ(x). Si (14.113) se sustituye en las condiciones (14.111)-(14.112) se obtienen m − 1 condiciones de contorno que debe satisfacer la funci´ on f δ 2 ue = −Λ, f (0) = 0, ν ! " 3 ˙(0) d f δ ue ...., f IV (0) = f (0) ν dx δ

f (0) = 0,

f (0) = −

f (1) = 1,

f (1) = f (1) = ... = 0.

(14.114) (14.115)

Por ejemplo, en el método de Pohlhausen se elige el perfil f (η) = a1 (x)η + a2 (x)η 2 + a3 (x)η 3 + a4 (x)η 4 ,

(14.116)

al que se obliga a cumplir las dos primeras condiciones de (14.114) y las tres de (14.115) con lo que se obtiene Λ Λ Λ Λ (14.117) a1 = 2 + , a2 = − , a3 = − 2, a4 = 1 − , 6 2 2 6 donde Λ(x) = δ 2 ue /ν es un parámetro que mide la relación entre el tiempo de difusi´ on viscosa δ 2 /ν y el tiempo convectivo (ue )−1 . Sustituyendo el perfil de velocidades (14.113) y (14.117) en (14.22) y (14.24) se obtienen los espesores de desplazamiento y de cantidad de movimiento

1 3 Λ δ2 1 37 Λ Λ2 δ1 (1 − f )dη = = − , = f (1 − f )dη = − − , (14.118) δ 10 120 δ 63 5 15 144 o


396 y el esfuerzo en la pared es

ue (2 + Λ/6). (14.119) δ N´ otese que existe una cota inferior para los valores de Λ, Λ = −12, que corresponde a τp = 0 y, por tanto, a desprendimiento de capa l´ımite. El problema se cierra sustituyendo las expresiones (14.118) y (14.119) en la ecuación integral de Karman, (14.106), con lo que se obtiene la ecuación diferencial que debe satisfacer Λ(x) y que determina la solución aproximada de la capa l´ımite. No obstante, la ecuación diferencial resultante se simplifica notablemente si en vez de Λ(x) se utiliza como variable dependiente τp = µ

δ 2 δ 2 ue δ 2 u = λ = 2 e = 22 ν δ ν

δ2 δ

2 Λ(x),

(14.120)

de donde usando el valor de δ2 /δ dado por (14.118) se obtiene 1/2 1 37 Λ Λ2 λ = − − , Λ 63 5 15 144

(14.121)

y de (14.118) y (14.119), teniendo en cuenta (14.121) se tiene −1/2 λ = f1 (λ), Λ

(14.122)

1/2 Λ λ 2+ = f2 (λ). 6 Λ

(14.123)

(36 − Λ) δ1 = δ2 120 y τp δ2 = µue

En función de λ la ecuación (14.106) toma la forma λ d = 2f2 (λ) − 2λ[2 + f1 (λ)] = F (λ), ue dx ue

(14.124)

que debe ser integrada junto a las relaciones algebraicas (14.121)-(14.123). En general, la ecuaci´ on (14.124) debe comenzar a integrarse en el punto de remanso donde ue (0) = 0 y ue (0) es finita y distinta de cero.7 Por tanto, para evitar que (14.124) sea singular en el punto de remanso, λ(0) tiene que ser tal que (14.125) F (λ(0)) = 2f2 [λ(0)] − 2λ(0)[2 + f1 (λ(0))] = 0. La resolución numérica de las ecuaciones (14.121)-(14.125) proporciona tres parejas de valores reales para λ(0) y Λ(0). Dos de estas parejas de valores, las que corresponden a valores de Λ(0) > 12, deben rechazarse porque dan lugar a perfiles de velocidades con un m´ aximo de velocidad superior a ue (x) lo que carece de sentido f´ısico en capas l´ımites incompresibles. Se tiene, por tanto, que la ecuación (14.124) debe integrarse con la condici´ on de contorno λ(0) 0,077

y

Λ(0) 7,052.

(14.126)

on de (14.124) con la condici´ on Dada entonces la solución del problema exterior, ue (x), la integraci´ de contorno (14.126) y las ecuaciones algebraicas (14.121)-(14.123) determinan λ(x) y Λ(x) as´ı como δ2 (x), δ1 (x), δ(x) y τp (x). El punto de desprendimiento xd se alcanza cuando τp (xd ) = 0 o lo que es lo mismo Λ(xd ) = −12 teniendo en cuenta (14.121) λ(xd ) −0,157. 7

El caso de un borde de ataque de retroceso no se incluye aqu´ı.

397


Una simplificación ulterior que permite integrar anal´ıticamente la ecuación (14.124) se debe a Thwaites (1946)8 que representó el segundo miembro de (14.124) en funci´ on de λ para todas las soluciones exactas, numéricas o anal´ıticas de la capa l´ımite. Como era de esperar encontró que exist´ıa una buena correlaci´ on entre F y λ, pudiéndose aproximar por una recta de ecuación9 F (λ) = a − bλ,

(14.127)

donde a 0,45 y b 6. En este caso la ecuación (14.124) admite el factor integrante ube y puede ser integrada anal´ıticamente. En efecto, multiplicando (14.124) por ub−1 se tiene e λ d b λ d b−1 b−1 ue = au − bλu =a− (14.128) u , ube e e dx ue ue ue dx e y d dx que integrada proporciona

λube ue

= a,

δ22 ue = aue u−b e ν

(14.129)

x

ub−1 e dx,

(14.130)

y de acuerdo con los valores de a y b hallados por Thwaites x (x) u5e dx. λ = 0,45 ue (x)u−6 e

(14.131)

λ=

o

o

La elección de Thwaites a = 0,45, b = −6 representa un promediado sobre los muchos métodos existentes basados en aproximar la función F (λ) = a − bλ por lo que probablemente sea (14.131) la expresión de uso más apropiado. Thwaites sugiri´ o también relaciones entre λ y los parámetros adimensionales τp δ2 /µue y δ1 /δ2 . Sus relaciones están basadas también en datos obtenidos de soluciones conocidas de capa l´ımite, sin embargo, especialmente en el caso del parámetro de fricción, dif´ıcilmente pueden representar una media de los datos, ya que los valores de τp representan diferencias muy acusadas en las zonas donde el gradiente de presiones es adverso. Una mejora de los resultados de Thwaites en la región cercana al punto de separación es debida a Curle y Skan (1957); los resultados de Thwaites modificados para el coeficiente de fricción pueden aproximarse mediante la relación τp δ2 = (λ + 0,09)0,62 , (14.132) µue de donde λ = −0,09 es el valor de λ en el punto de desprendimiento. Naturalmente, se deben cumplir además las relaciones (14.124) y (14.127) con lo que resulta 1 δ1 = 2(λ + 0,09)0,62 − 0,45 + 6λ − 2; δ2 2λ

(14.133)

nótese que la expresión (14.133) es finita en λ = 0, ya que entonces τp δ2 /µue 0,225. Las expresiones (14.131)-(14.133) permiten calcular de un modo sencillo las principales caracter´ısticas de la capa l´ımite una vez que el campo de velocidades no viscoso ue (x) es conocido. Conviene advertir, sin embargo, que la expresi´ on (14.132) no es suficientemente aproximada con completa generalidad, ya que en las proximidades del punto de desprendimiento el par´ ametro τp δ2 /µue no sólo depende de λ sino que puede depender también de la variable x. 8

Walz en 1941 ya anticip´ o el m´ etodo de Thwaites. Si se tuvieran en cuenta las condiciones adicionales de (14.112) no consideradas aqu´ı, se encontrar´ıa una ligera dependencia de F con x. 9


398

14.7.2.

M´ etodos num´ ericos en capa l´ımite

Si las ecuaciones de capa l´ımite (14.78-14.79) se escriben en las variables u∗ = u/Uo ,

u∗e = ue /Uo ,

v ∗ = v/ν,

x∗ = xν/Uo ,

y ∗ = y,

(14.134)

adquieren entonces una forma m´ as universal en la que desaparece la dependencia con la viscosidad y si por simplicidad de escritura se suprime el asterisco en las variables resulta ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(14.135)

∂u ∂2u ∂u ∂ue +v = α(y)ue + 2, ∂x ∂y ∂x ∂y

(14.136)

α(y) α(y)u

donde Uo es un valor caracter´ıstico de la velocidad ue (x) y la funci´ on α(y) es respectivamente α(y) = e2y para una capa l´ımite axilsimétrica o α = 1 para una capa l´ımite bidimensional, o axilsimétrica pero cuyo espesor sea mucho menor que el radio caracter´ıstico del obstáculo. Como condiciones de contorno se imponen u(x, 0) = v(x, 0) = 0,

u(x, ∞) = ue (x),

y

u(xo , y) = uo (y).

(14.137)

Existen varios métodos numéricos eficientes para la integración numérica del problema (14.13514.137) siendo quizás el más conocido el denominado de cajas10 en el que el dominio fluido se discretiza en las direcciones x e y lo que da lugar a un sistema algebraico no lineal que se resuelve mediante un esquema de iteraciones de tipo Newton-Raphson. 5 Númerico Thwaites

4 2

2toRe/rU¥ 3 2 1 0

0

20

40

q

80

100

120

Figura 14.15: Esfuerzo τo en la pared de un cilindro circular como funci´ on del ángulo θ. Un método alternativo de integraci´ on numérica, mucho más cómodo de implementar, es el denominado de l´ıneas que suele dar buenos resultados en problemas de tipo parab´ olico, como el que nos ocupa, en los que el flujo está determinado por las condiciones de la corriente aguas arriba (la informaci´ on no progresa en sentido opuesto al del flujo). Este método, que ha sido descrito en el Apéndice 8.I, se ha usado para calcular el esfuerzo en la pared del flujo alrededor de un cilindro circular sin circulaci´ on, debe tenerse en cuenta que, a diferencia del caso considerado en 10 Para una exposici´ on detallada de este método el lector interesado puede consultar H. B. Keller, Annual Review of Fluid Mechanics, 10, 417-433, 1978.

14.8. Capa l´ımite térmica

399

Figura 14.16: Perfiles adimensionales de velocidad en diferentes secciones de la capa l´ımite sobre un cilindro circular. el Apéndice 8.I, el gradiente de presiones es ahora conocido; los resultados se representan en la Figura 14.15. La corriente potencial sobre el cilindro ue (θ) = 2U∞ sen θ es la dada en (13.63). Nótese que el esfuerzo en la pared aumenta aguas abajo del punto de remanso, alcanza un máximo y comienza a disminuir hasta el punto de desprendimiento que se presenta cuando el esfuerzo en la pared se anula; el punto de desprendimiento de la capa l´ımite se presenta en θd 105o . El esfuerzo en la pared calculado con el método de Thwaites se incluye también en la Figura 14.15 para su comparación. Los perfiles de velocidad en diferentes posiciones angulares de la capa l´ımite sobre el cilindro se dan también en la Figura 14.16. Obsérvese el cambio que experimentan dichos perfiles a medida que la capa l´ımite evoluciona aguas abajo y cómo a partir de cierta posición aparece un punto de inflexi´ on en los perfiles de velocidad.

14.8.

Capa l´ımite t´ ermica

El cálculo de la transferencia de calor entre una pared s´ olida y un fluido resulta en un problema fluidodin´ amico de extraordinaria complejidad que debe ser, sin embargo, abordado por su enorme relevancia en numerosos campos de la Ingenier´ıa y la Tecnolog´ıa. Sucede, no obstante, que la conductividad de calor de muchos l´ıquidos y gases es, como le sucede a la viscosidad, lo suficientemente peque˜ na para que sus efectos, en la mayor´ıa de las aplicaciones prácticas en las que el n´ umero de Peclet es grande, puedan ser despreciados en el campo fluido excepto en una capa l´ımite muy delgada adyacente a la pared sólida (del mismo modo, las superficies de discontinuidad que pueden aparecer en el movimiento de fluidos ideales deben sustituirse, cuando se analiza el movimiento de fluidos reales a altos n´ umeros de Reynolds y Peclet, por capas l´ımites viscosas o térmicas). Naturalmente, en estas capas delgadas, los gradientes de temperatura son lo suficientemente grandes como para que el flujo de calor por conducci´ on normalmente a la pared sólida sea del mismo orden que el flujo convectivo de calor, lo que determina el espesor δT de la capa l´ımite térmica ρU cp ∆T /L ∼ K∆T /δT2 , (14.138)

400

Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor δT ∼

KL L ∼√ , ρU cp ReP r

(14.139)

umeros de Reynolds y Prandtl respectivamente. donde Re = U L/ν y P r = µcp /K son los n´ Teniendo en cuenta (14.13), la relación entre los espesores de las capas l´ımites térmica y viscosa resulta δT ∼ δ/P r1/2 . (14.140) Nótese que si el n´ umero de Prandtl es del orden de la unidad, como ocurre en el caso de gases, los espesores de las capas l´ımites viscosa y térmica son del mismo orden. Cuando el n´ umero de Prandtl es muy grande, lo que ocurre en l´ıquidos en los que la viscosidad cinemática es mucho mayor que la difusividad térmica, la expresión indica que el espesor de la capa l´ımite térmica es mucho menor que el de la viscosa. Lo que ocurre f´ısicamente es que por ser la viscosidad cinemática mucho mayor que la difusividad térmica, la capacidad del fluido para transportar cantidad de movimiento es mucho mayor que para transportar calor, por lo que los efectos viscosos asociados a la presencia de la pared penetran en el fluido una distancia mucho mayor que los efectos térmicos asociados también a la presencia de la pared. Naturalmente, en el caso en que el n´ umero de Prandtl sea mucho menor que la unidad, lo que corresponde al caso de metales l´ıquidos, se obtiene el resultado opuesto. Nótese que si P r 1 el resultado mostrado en (14.140) no es correcto, ya que el primer miembro de (14.138) debe corregirse para tener en cuenta que la velocidad en la capa l´ımite térmica es del orden de U y/δV ∼ U δT /δV U . Se tiene entonces ρU (δT /δV )cp ∆T /L ∼ K∆T /δT2 ,

(14.141)

δT ∼ δV /P r1/3 .

(14.142)

y Como suced´ıa en el problema de la determinación del coeficiente de fricción entre un fluido y una pared sólida, también en el problema de la determinación del flujo de calor desde un fluido a una pared, o viceversa, es posible tomar ventaja del hecho de que los gradientes de temperaturas son sólo importantes en una capa delgada para simplificar la ecuaci´ on de la energ´ıa en una manera similar a como se hizo anteriormente con las ecuaciones de cantidad de movimiento. Al escribir las ecuaciones que determinan el movimiento del fluido en tales capas térmicas, debe tenerse en cuenta la compresibilidad del fluido, ya que las diferencias de temperatura pueden dar lugar a diferencias de densidad significativas. En efecto, si la presi´ on y temperatura no se diferencian mucho de sus valores de referencia p∞ y T∞ , es posible usar la ecuación de estado ∂ρ 1 ρ − ρ∞ ∂ρ = (T − T∞ ) + (p − p∞ ) , (14.143) ρ∞ ρ∞ ∂T p ∂p T o, utilizando los coeficiente de expansión térmica β y compresibilidad k ρ − ρ∞ = −β(T − T∞ ) + k(p − p∞ ). ρ∞

(14.144)

Las ecuaciones de la capa l´ımite compresible se obtienen escribiendo las ecuaciones de NavierStokes en coordenadas de capa l´ımite, suponiendo que la capa l´ımite es delgada, esto es δ L (aqu´ı δ representa el mayor de los espesores, viscoso o térmico, de la capa l´ımite y L es la longitud caracter´ıstica en la dirección de x), as´ı como que δ es peque˜ no frente al radio o radios de curvatura de la superficie y procediendo en forma an´ aloga al caso incompresible. Como se hizo anteriormente, se limitará el estudio al caso de capas l´ımites bidimensionales y estacionarias cuyas ecuaciones son ∂(ρu) ∂(ρv) + = 0, ∂x ∂y

(14.145)

401

14.8. Capa l´ımite térmica ∂u ∂u ∂ ∂p ∂u +v + ρ fx + ρ u =− µ , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂p , ∂y 2 ∂h ∂u ∂ ∂p ∂T ∂h +v +µ + =u K , ρ u ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y 0=−

(14.146) (14.147) (14.148)

donde fmx es la componente de la fuerza másica, usualmente la gravedad en la dirección del eje x. Es corriente en este tipo de problemas descomponer la presión en dos sumandos p = ph + pm , uno ph debido al campo hidrost´ atico (∇ph = ρ∞ gk), que corresponde al campo de presiones de un medio en reposo con densidad ρ∞ en presencia de la gravedad, y otra pm asociada al movimiento. Por otra parte, cuando la corriente de fluido es inducida por diferencias de temperatura en presencia de un campo gravitatorio, la dependencia de la presi´ on en la densidad del fluido es, generalmente hablando, despreciable frente a la influencia de la temperatura y (14.144) se reduce a ρ − ρ∞ = −β (T − T∞ ). ρ∞

(14.149)

Teniendo en cuenta las premisas anteriores y la ecuación de estado h = cp T , las ecuaciones (14.146) y (14.148) se escriben ∂u ∂u ∂ ∂pm ∂u +v ρ u =− − ρ∞ β(T − T∞ )fmx + µ , (14.150) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 2 ∂T ∂T ∂u ∂ ∂pm ∂T +v + ρ∞ ufmx + µ + ρcp u =u K , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y

(14.151)

que junto a (14.145), (14.147) y (14.149) forman un sistema de cinco ecuaciones para el c´ alculo de las variables u, v, pm , ρ y T como funciones de x e y. El término ρβ(T − T∞ )fmx representa las fuerzas de flotabilidad por unidad de volumen. N´ otese que la presión se mantiene constante a lo largo de normales a la capa l´ımite pm = pme (x). En el caso de l´ıquidos es conveniente sustituir (14.151) por la ecuación de la energ´ıa interna e(de = c d T ) que en este caso se escribe 2 ∂T ∂u ∂ ∂T ∂T ρc u + +v = −(pm + ph )∇ · v + µ K . ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y

(14.152)

Nótese que en este caso el trabajo de compresión no es exactamente nulo ya que existen variaciones de densidad en el l´ıquido asociadas a las variaciones de temperatura. No obstante, y como se verá más adelante, este término es despreciable frente a los restantes en la mayor´ıa de las aplicaciones prácticas. A las ecuaciones (14.145), (14.150) y (14.151), o (14.152) en el caso de l´ıquidos, hay que a˜ nadirles las condiciones de contorno y = 0, u = v = 0, T = Tp (x), (14.153) y → ∞, x = xo ,

u = ue (x),

u(xo , y) = uo (y),

T = Te (x),

(14.154)

T (xo , y) = To (y),

(14.155)

donde la velocidad ue y temperatura Te (o entalp´ıa) en el exterior satisfacen las relaciones ρe ue

∂p ∂ue =− + (ρe − ρ∞ )fmx , ∂x ∂x

(14.156)

402

Cap´ıtulo 14. Efectos de la viscosidad y de la conducci´ on de calor ρe cp ue

∂Te = ue ∂x

∂ph ∂pm + ∂x ∂x

,

(14.157)

o bien en lugar de (14.157) la condici´ on de que el flujo exterior es isentr´ opico ue

∂Se = 0. ∂x

(14.158)

La importancia relativa de las fuerzas de flotabilidad frente a las de inercia, o frente a las viscosas, pues ambas son del mismo orden en la capa l´ımite, viene determinada por el par´ ametro adimensional β ∆ T g L3 ν 2 β ∆T gL = ; (14.159) 2 2 L2 U∞ ν2 U∞ el primero de los dos parámetros adimensionales del segundo miembro es el n´ umero de Grashof G que mide la importancia relativa entre las fuerzas de flotabilidad y las de inercia en la corriente exterior, mientras que el segundo es el inverso del n´ umero de Reynolds que es siempre un n´ umero muy grande si existe capa l´ımite. Si el n´ umero de Grashof es tal que G Re2 lo que ocurre a 2 grandes velocidades U∞ β ∆ T g L las fuerzas de flotabilidad son despreciables y la convecci´ on se denomina forzada (forzada por un flujo exterior que es impuesto y producido por cualquier medio 2 mecánico). Por el contrario, cuando U∞ β ∆ T g L las fuerzas de flotabilidad son dominantes y responsables del movimiento del fluido. En este caso la convección se denomina libre o natural y el movimiento del fluido es debido a las fuerzas de flotabilidad en el campo gravitacional terrestre asociadas a las variaciones de densidad. Un ejemplo t´ıpico es el movimiento inducido por un s´ olido a temperatura superior a la del fluido en reposo en el infinito, que lo ba˜ na. Como se verá en lo que sigue, la convección forzada puede ser subdividida en dos casos dependiendo de los valores del n´ umero de Mach de la corriente: a bajos n´ umeros de Mach los efectos de la disipación viscosa y del trabajo mecánico de la presión pueden ser despreciados frente a la convección de calor, mientras que su efecto debe ser retenido a n´ umeros de Mach de orden unidad. En el primer caso y salvo en problemas de convecci´ on natural, si sucede además que las diferencias de temperatura en el flujo son peque˜ nas frente a la propia temperatura, las variaciones relativas de densidad son peque˜ nas, la capa l´ımite puede tratarse como incompresible y el problema mecánico de determinar el campo de velocidades se desacopla del térmico y puede resolverse independientemente y previamente a él. A continuaci´ on se estudiará primero la convección forzada, en particular se tratar´ a la capa l´ımite térmica incompresible, para proceder después al análisis del transporte de calor por convecci´ on natural.

14.9.

Convecci´ on forzada. Analog´ıa de Reynolds

Cuando G/Re2 1, donde G y Re representan los n´ umeros de Grashof y Reynolds, las fuerzas de flotabilidad son despreciables frente a las de inercia y las ecuaciones de la capa l´ımite compresible se obtienen a partir de (14.145), (14.150) y (14.151) ∂(ρu) ∂(ρv) + = 0, ∂x ∂y ∂u ∂u ∂p ∂ ∂u ρ u +v =− + µ , ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 2 ∂T ∂ ∂T ∂p ∂u ∂T + +v =u +µ K , ρcp u ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y

(14.160)

(14.161) (14.162)

403

14.9. Convección forzada. Analog´ıa de Reynolds

donde, dado que las fuerzas de flotabilidad son despreciables, se ha hecho la aproximaci´ on ∂pm /∂x ∂p/∂x. Las condiciones de contorno son las dadas (14.153)-(14.155). Si ∆p y U denotan las variaciones de presión y la velocidad caracter´ısticas de un flujo, se obtiene de (14.161) ∆p ∼ ρU 2 y el trabajo de compresión es del orden de u

U3 ∂p ∆p ∼ρ . ∼U ∂x L L

(14.163)

Por otra parte, el orden de magnitud de la disipaci´ on viscosa por unidad de volumen es µ

∂u ∂y

2 ∼µ

y la convección de calor ρ cp u

U2 U3 U2 UL U2 ∼ µ Re ∼ ρ , ∼ µ δ2 L2 L2 ν L

∂T ∆T Tp − Te ∼ ρ cp U . ∼ ρ cp U ∂x L L

(14.164)

(14.165)

Se tiene, por tanto, que si U2 1, cp (Tp − Te )

(14.166)

los términos de la disipación viscosa y el trabajo mecánico de la presión pueden despreciarse frente a la convección de calor. La condición (14.166) se puede escribir en la forma (γ − 1)M 2

Tp − Te , Te

(14.167)

donde se ha definido el n´ umero de Mach M 2 = U 2 /(γ Rg Te ), y muestra que cuando el n´ umero de Mach de la corriente es lo suficientemente bajo como para satisfacer (14.167), los incrementos de temperatura debidos a la disipaci´ on viscosa y al trabajo de la presi´ on son despreciables en primera aproximaci´ on. En el caso de l´ıquidos el trabajo de compresi´ on es también del orden pm ∇ · v ∼ ∆pU/L ∼ ρU 3 /L,

(14.168)

y por tanto despreciable, como el de disipación de la viscosidad, frente a la convecci´ on de calor si U 2 /c(Tp − Te ) 1;

(14.169)

condición que se cumple en el movimiento de l´ıquidos en la mayor´ıa de las aplicaciones prácticas. Si simult´ aneamente a (14.167) en el caso de gases, o a (14.169) en el de l´ıquidos, se verifica que T p − Te 1, Te

(14.170)

las ecuaciones (14.144) y (14.149) muestran que las variaciones de densidad relativas a la propia densidad son peque˜ nas y éstas pueden despreciarse y suponer la densidad constante al integrar las ecuaciones de la capa l´ımite. Finalmente si µ(T ) y K(T ) pueden considerarse constantes, las ecuaciones (14.160)-(14.162) adoptan la forma de la capa l´ımite térmica incompresible

u

∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(14.171)

∂2u ∂u ∂u +v = ue ue + ν 2 , ∂x ∂y ∂y

(14.172)


404

u

∂T ∂T ν ∂2T +v = , ∂x ∂y P r ∂y 2

(14.173)

con las condiciones de contorno u(x, 0) = v(x, 0) = 0,

T (x, 0) = Tp (x),

(14.174)

u(x, ∞) = ue (x),

T (x, ∞) = Te (x),

(14.175)

u(xo , y) = uo (y),

T (xo , y) = To (y).

(14.176)

y las condiciones iniciales Es interesante observar que en la aproximaci´ on casi-incompresible Te es constante, ya que fuera de la capa l´ımite la corriente es isentrópica. Obsérvese también que, en este caso, los problemas térmico y mecánico están desacoplados, de modo que se puede calcular el campo de velocidades u(x, y), v(x, y) a partir de (14.171) y (14.172) lo que permite determinar el esfuerzo τp (x) en la pared. Sustituyendo las funciones u y v en (14.173) se obtiene una ecuación lineal de coeficientes variables para determinar el campo de temperaturas y la magnitud f´ısica, de mayor interés práctico en los problemas térmicos que es el flujo de calor que el fluido cede a la pared ∂T qp (x) = K . (14.177) ∂y y=0 Es usual escribir el flujo de calor en la pared, utilizando la ley de Newton del calor, en forma proporcional a la diferencia de temperaturas entre la pared y la del medio sin perturbar qp (x) = α(x)(Tp − Te ),

(14.178)

donde α(x) es un coeficiente dimensional denominado coeficiente de transferencia de calor.11 M´ as apropiada resulta la introducci´ on de coeficientes adimensionales para expresar el flujo de calor en la pared. En efecto, si K(Tp − Te )/L es el orden de magnitud del flujo de calor conducido desde un obstáculo de dimensión caracter´ıstica L, el coeficiente adimensional de transferencia de calor denominado n´ umero de Nusselt N u(x) =

K(∂T /∂y)y=0 , K(Tp − Te )/L

(14.179)

representa la relación entre el flujo de calor y el flujo de calor conducido. De (14.178) y (14.179) se obtiene la relación α(x)L . (14.180) N u(x) = K Cuando el n´ umero de P e es grande, lo que sucede en muchas aplicaciones prácticas, el calor convectado es mucho mayor que el conducido, por lo que el n´ umero de Nusselt se hace muy grande. Para evitar el manejo de n´ umeros adimensionales grandes, se suele introducir alternativamente, un flujo de calor adimensional, el n´ umero de Stanton, St, adimensionalizado con el calor convectado; se tiene entonces K(∂T /∂y)y=0 qp = . (14.181) St = ρue cp (Tp − Te ) ρue cp (Tp − Te ) Antes de resolver la capa l´ımite térmica incompresible en algunas situaciones de interés, conviene rese˜ nar la existencia de una notable analog´ıa entre el flujo de calor en la pared qp (x) y el esfuerzo de fricción τp (x) que fue descubierta por O. Reynolds en 1874 y conocida por esta raz´ on como analog´ıa de Reynolds. Como puede comprobarse fácilmente de las ecuaciones (14.172) y (14.173) si 11

En el ´ ambito de la ingenier´ıa, al coeficiente α(x) se le denomina a veces coeficiente de pel´ıcula.

405

14.9. Convección forzada. Analog´ıa de Reynolds

el n´ umero de Prandtl es igual a la unidad, P r = 1, si el gradiente de presiones es nulo, (ue = U∞ , placa plana a ańgulo de ataque nulo), y la temperatura de la pared es constante, Tp = Tp (x), las variables u/ue = u/U∞ y (Tp − T )/(Tp − Te ) = (Tp − T )/(Tp − T∞ ), (Te = T∞ ), verifican la misma ecuación y las mismas condiciones de contorno, con lo que u Tp − T = , Tp − T∞ U∞

(14.182)

y se puede obtener la distribuci´ on de temperaturas T (x, y) a partir del campo de velocidades u(x, y). En ese caso, de (14.182) se tiene cp (Tp − T∞ ) ∂T 1 ∂u K (Tp − T∞ ) τp = τp , (14.183) = −K(Tp − T∞ ) = qp (x) = K ∂y y=0 U∞ ∂y y=0 µ U∞ µU∞ que proporciona el valor del flujo de calor en la pared a partir del esfuerzo de fricci´ on. Introduciendo 2 el n´ umero de Stanton, (14.181), y el coeficiente de fricci´ on, cf = 2τp /(ρU∞ ), la analog´ıa de Reynolds se escribe en la forma St = cf /2. (14.184) La relación (14.184) es válida en el caso de capas l´ımites laminares y estacionarias con gradiente de presiones nulo, de fluidos con P r = 1, y a velocidades suficientemente bajas como para que sean despreciables los efectos de disipación y el trabajo mecánico de la presión. En lo que sigue se analizará la influencia del n´ umero de Prandtl en la analog´ıa de Reynolds as´ı como la del gradiente de presiones.

14.9.1.

Influencia del n´ umero de Prandtl en el flujo de calor

Se considerarán aqu´ı dos casos l´ımites, grandes y peque˜ nos n´ umeros de Prandtl, para los que el flujo de calor puede ser determinado sin un conocimiento detallado del perfil de velocidades u(x, y). a) Caso P r 1. En el caso del mercurio y otros metales l´ıquidos, el espesor de la capa l´ımite térmica es grande frente al de la viscosa y por tanto la velocidad u(x, y) puede ser reemplazada por ue (x) excepto en una zona cerca de la pared de espesor δv δT . De la ecuación de continuidad se tiene ∂ue y, ∂x

(14.185)

∂T ∂ue ∂T ν ∂2T . − y = ∂x ∂x ∂y P r ∂y 2

(14.186)

v=− y la ecuación (14.173) se escribe ue (x)

Introduciendo la variable de semejanza η=y 2

ue (x) , x ν ue (ξ)dξ Pr o

(14.187)

la ecuación en derivadas parciales (14.186) se transforma en la lineal ordinaria d2 T 1 dT , = − η 2 dη dη 2

(14.188)


406 con las condiciones

T (0) = Tp que integrada proporciona

y

T (∞) = T∞ ,

T∞ − Tp √ T (η) − Tp = π

η

e−η

2

/4

dη;

(14.189)

(14.190)

o

el n´ umero de Stanton es entonces (ν/P r)1/2 , x 4π ue (ξ)dξ

St =

(14.191)

o

que en el caso de una placa plana a ángulo de ataque nulo u(ξ) = U∞ se reduce a St = √

1 4πRex P r

y el n´ umero de Nusselt

Nu =

con

Rex P r , 4π

Rex = U∞ x/ν,

Rex = U ∞x/ν.

(14.192)

(14.193)

b) Caso P r 1. Cuando el n´ umero de Prandtl es grande, la capa en la que existen diferencias de temperatura está confinada dentro de la capa l´ımite viscosa y su espesor δT es tan peque˜ no comparado con δ, (δT δV ), que el perfil de velocidades en la capa de espesor δT var´ıa, en primera aproximaci´ on, linealmente con la distancia a la pared y. Si τp (x) es el esfuerzo de fricción en la pared, se tiene entonces ∂u τp (x) y. τp (x) = µ ,y u (14.194) ∂y y=0 µ De la ecuación de continuidad, la velocidad vertical cerca de la pared resulta v=−

y2 dτp y 2 = −τp . dx 2µ 2µ

(14.195)

Sustituyendo (14.194) y (14.195) en la ecuación de la energ´ıa (14.173) se obtiene τp 2 ∂T ν ∂2T τp ∂T y y , − = µ ∂x 2µ ∂y P r ∂y 2

(14.196)

con las condiciones de contorno T (x, 0) = Tp

y

T (x, ∞) = T∞ ;

(14.197)

Tp se supondrá constante (independiente de x) en el análisis. Si se introduce la variable de semejanza # τp /µ (14.198) η = y 1/3 , x ν τp (ξ) dξ 3 P µ r o la ecuación (14.196) se transforma en dT d2 T + η2 = 0, dη 2 dη

(14.199)

14.10. Soluciones de semejanza en convección forzada que integrada dos veces con las condiciones (14.197) suministra η 3 32/3 e−z /3 dz. (Tp − T∞ ) T (x, y) = Tp + Γ(1/3) o El n´ umero de Stanton St =

(ν/P r)2/3 31/3 τp /µ 31/3 . x Γ(1/3)ue (x) o τp (ξ)/µdξ

407

(14.200)

(14.201)

proporciona el flujo de calor adimensional como funci´ on de la distribuci´ on de esfuerzos en la pared τp (x). Las expresiones (14.200) y (14.201) permiten resolver el problema térmico de un modo exacto a grandes n´ umeros de Prandtl, y aproximado para n´ umeros de Prandtl de orden unidad, en el caso de convección forzada en paredes con temperatura constante y gradiente de presiones arbitrario. La distribuci´ on de esfuerzos τp (x) se calcula de forma exacta, numérica o anal´ıtica, o aproximada mediante métodos integrales (por ejemplo, el de Thwaites), o bien experimentalmente midiendo la distribuci´ on de presiones de la pared, lo que determina ue (x) y, a partir de aqu´ı, utilizando el método de Thwaites se determina τp (x). En el caso particular de una placa plana a incidencia nula, teniendo en cuenta (14.189), se tiene (0,332)1/3 St = Γ(1/3)

1/3 9 Re−1/2 P r−2/3 , x 4

(14.202)

que muestra que la analog´ıa de Reynolds puede usarse a n´ umeros de Prandtl grandes si se introduce un factor en el segundo miembro proporcional a P r−2/3 .

14.10.

Soluciones de semejanza en convecci´ on forzada

Siguiendo el método expuesto en el Apéndice D del Cap´ıtulo 7 es fácil demostrar que cuando ue (x) es de la forma dada en (14.179) y la temperatura de la pared var´ıa con x siguiendo una ley potencial de la forma Tp − T∞ = T1 xn (donde T1 es una constante con dimensiones apropiadas), el sistema (14.171)-(14.173) admite solución de semejanza. En efecto, usando las variables de semejanza definidas en (14.184) e introduciendo la nueva variable θ(η) =

T − T∞ , Tp − T∞

(14.203)

la ecuación (14.173) se reduce a la ecuación diferencial lineal (puesto que la funci´ on f y f son conocidas) de segundo orden θ +

m+1 P r f θ − n P r f θ = 0, 2

(14.204)

θ(0) = 1,

(14.205)

con las condiciones de contorno θ(∞) = 0,

donde f es solución de la ecuación diferencial (14.46) y las condiciones de contorno (14.47). El flujo de calor en la pared viene determinado salvo una constante que hay que calcular resolviendo numéricamente (14.204) para valores diferentes de m, n y P r ue (x) qp = K(Tp − T∞ ) (14.206) θ (0). νx


408

En el caso de una pared a temperatura constante, n = 0, la solución de (14.204)-(14.205) puede escribirse en la forma η η exp[− o P r f d η]d η o η θ(η) = 1 − ∞ . (14.207) exp[− o P r f d η]d η o Si se desea determinar el flujo de calor en la pared, y por tanto θ (0), se puede aproximar el valor de f en (14.207) por su desarrollo en serie de potencias válido para η 1, probado que P r ≥ 0(1) f (η) =

f¨(0) 2 η + 0(η 3 ) + ..., 2

(14.208)

donde se ha tenido en cuenta que los dos primeros términos del desarrollo, en los que intervienen f (0) y f˙(0), son nulos por serlo en la pared tanto la funci´ on de corriente como la velocidad, véase (14.47). Por tanto, suficientemente cerca de la pared (14.207) se puede aproximar por η exp[−P rf¨(0)η 3 /6]dη θ(η) 1 − o∞ , η 1, (14.209) exp[−P rf¨(0)η 3 /6]d η o

y

˙ θ(0) −

∞

exp[−P rf¨(0)η 3 /6]dη

−1

= −[9P rf¨(0)/2]1/3 /Γ(1/3).

(14.210)

o

El n´ umero de Stanton para una pared de temperatura constante se escribe entonces St =

[9f¨(0)/2]1/3 −1/2 −2/3 Rex P r . Γ(1/3)

(14.211)

Obsérvese que la expresión (14.211) es una ampliación de la analog´ıa de Reynolds que incluye los efectos del gradiente de presiones y del n´ umero de Prandtl. Cuando P r = 1 y m = 0 (gradiente de presiones nulo) la expresión (14.211) se reduce a (14.184). Como se ve en (14.211) el efecto del n´ umero de Prandtl se puede incluir f´ acilmente en la analog´ıa de Reynolds sin más que multiplicar el segundo miembro de (14.184) por el factor P r−2/3 .

14.11.

Convecci´ on libre

Como se vio en el Cap´ıtulo 4 al estudiar el equilibrio mec´ anico de un fluido en un campo gravitatorio, si la distribuci´ on de temperaturas no satisface determinadas condiciones, el equilibrio mecánico no es posible y aparecen corrientes internas en el fluido que tienden a mezclarlo uniformando la temperatura al aumentar considerablemente la transferencia de calor. Esta situaci´ on, gobernada por las fuerzas de flotabilidad, se denomina convecci´ on libre o natural y aparece, por ejemplo, por la presencia de un cuerpo fr´ıo o caliente inmerso en el seno de un fluido (convecci´ on libre) o en el seno de fluidos confinados, por ejemplo chimeneas (convecci´ on natural). En este tipo de flujos el par´ ametro Gr/Re2 es de orden unidad, si sucede además que Re es grande (fluidos de viscosidad peque˜ na, y/o obstáculos de dimensión grande) la zona en la que existen diferencias apreciables de temperatura es una capa delgada adyacente al cuerpo. Las ecuaciones que gobiernan la capa bidimensional de convección libre de un fluido en torno a un obstáculo (a temperatura distinta de la del medio) en ausencia de convecci´ on forzada se obtienen a partir de (14.145), (14.147), (14.150) y (14.151) donde en esta u ´ltima se desprecia el trabajo mecánico de la presión y la disipaci´ on viscosa porque en la mayor´ıa de las situaciones pr´ acticas, la energ´ıa cinética por unidad de masa u2 es peque˜ na frente a cp (Tp − Te ); si se supone

409

14.11. Convección libre

además que T − T∞ /Te 1, la densidad se puede aproximar en gases por una constante, y con mayor razón en l´ıquidos, ya que ∆ρ/ρ ∼ β(T − T∞ ) ∼ T − T∞ /Te 1, y por otra parte suponer µ y K constantes, con lo que las ecuaciones se reducen a

u

∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(14.212)

∂2u ∂u ∂u 1 ∂pm − β(T − T∞ )fx + ν 2 , +v =− ∂x ∂y ρ dx ∂y

(14.213)

∂pm = 0, ∂y

(14.214)

∂T ∂2T ∂T +v =α 2, ∂x ∂y ∂y

(14.215)

u

con las condiciones de contorno (14.153)-(14.155) y donde α = K/µcp es la difusividad térmica. Nótese también que si la presión gravitacional fuera de la capa l´ımite es constante, entonces ∂pm /∂x = 0. El orden de magnitud de las velocidades convectivas y el espesor de la capa l´ımite δ donde los efectos viscosos son importantes dependen del valor del n´ umero de Prandtl y se obtienen f´ acilmente de (14.213) y (14.215). En efecto, si L es la longitud del obst´ aculo que induce la convecci´ on libre, la convección y conducción de calor serán apreciables en una zona de espesor δT dada por U

ν (Tp − T∞ ) (Tp − T∞ ) , ∼ L Pr δT2

δT =

νL UPr

1/2 = δ/P r1/2 ,

(14.216)

si se introduce el espesor de la capa l´ımite viscosa δ. A distancias de la pared del orden de δT o menores, las fuerzas de flotabilidad son importantes ya que es en esa zona donde existen diferencias apreciables de temperatura. Por otra parte si P r ≥ O(1), [δT ≤ O(δ)], las fuerzas de viscosidad en δT deben ser del orden de las de flotabilidad y de (14.216) se obtiene νU gβ(Tp − T∞ ) ∼ 2 P r, (14.217) δ que junto con (14.216) proporciona 1/4 Pr δ , ∼ L Gr

U∼

# β(Tp − T∞ )g L/P r.

(14.218)

Nótese que en este caso (P r 1) las fuerzas de inercia son despreciables frente a las de flotabilidad muy cerca de la pared (δT δ) ρU 2 /L ∼ P r−1 1. ρgβ(Tp − T∞ )

(14.219)

La idea f´ısica corresponde a que si el n´ umero de Prandtl es grande, las velocidades máximas se generan en una zona muy cercana a la pared donde la viscosidad es dominante. El orden de magnitud del flujo de calor transferido de la placa al fluido ser´ a qp ∼ K(Tp − T∞ )/δT ∼ K(Tp − T∞ )P r1/2 /δ y los n´ umeros de Nusselt y Stanton son respectivamente N u ∼ L P r1/2 /δ ∼ (Re P r)1/2 ∼ Gr1/4 P r1/4 = Ra1/4 P r1/4 ,

(14.220)


410

St ∼ (ReP r)−1/2 = Ra−1/4 P r−1/4

(14.221)

donde Ra = Gr P r es el n´ umero de Rayleigh y se ha tenido en cuenta que en estos flujos Gr ∼ Re2 . En el caso contrario, esto es, si P r 1, la viscosidad sólo es apreciable en una capa delgada muy pr´ oxima a la pared de espesor δ δT . En toda la capa de espesor δT las fuerzas de flotabilidad y las de inercia son por tanto del mismo orden, por lo que # U ∼ β(Tp − T∞ )gL, δT /L ∼ Gr−1/4 . (14.222) El flujo de calor ser´ a qp ∼ K

Tp − T∞ 1/2 Pr , δ

(14.223)

y los n´ umeros de Nusselt y Stanton N u ∼ Gr1/4 P r1/2 ,

St ∼ Gr−1/4 P r−1/2 .

(14.224)

un el eje x, depende de la La funci´ on fmx , que representa la componente de la gravedad seg´ geometr´ıa del cuerpo, de forma que si α(x) representa el ángulo que forma la tangente local a la superficie sólida con la vertical, se tiene entonces fmx = −g cos α(x). Para algunos tipos de geometr´ıas, las ecuaciones (14.212)-(14.215) admiten solución de semejanza como ocurre por ejemplo en el caso de una placa plana vertical α(x) = 0 de longitud seminfinita y con temperatura de la pared siguiendo una ley de la forma Tp (x) − T∞ = T1 xn , 12

(14.225)

donde T1 es una constante de dimensiones Km−n . En efecto, la invariancia frente a un grupo de transformaciones sugiere definir las variables Ψ = [ν 2 gβT1 xn+3 ]1/4 f (η),

η=y

gβT1 xn−1 ν2

1/4 ,

T − T∞ = θ(η), Tp − T∞

(14.226) (14.227)

de modo que en las nuevas variables las ecuaciones (14.212)-(14.215) resultan f +

n + 1 2 n + 3 f f− f + θ = 0, 4 2

(14.228)

θ n+3 f θ − nf θ = 0, + Pr 4

(14.229)

con las condiciones de contorno f (0) = f˙(0) = 0,

θ(0) = 1,

f˙(∞) = 0 y

θ(∞) = 0.

(14.230)

Un caso particular de interés lo constituye el caso en el que la temperatura Tp de la placa es constante, lo que corresponde al caso n = 0. En las Figuras 14.17 y 14.18 se representan los perfiles adimensionales de velocidad axial y temperatura calculados numéricamente a partir de las ecuaciones (14.228)-(14.229) con n = 0 y las condiciones (14.230). El acuerdo de estas curvas con los datos experimentales es extraordinariamente bueno.13 12 El lector interesado puede comprobar que si la temperatura de la pared sigue una ley exponencial de la forma on de semejanza. Tp (x) − T∞ = T1 emx , el sistema de ecuaciones (14.212)-(14.215) admite soluci´ 13 H. Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw Hill, New York, 1979.

411

14.11. Convección libre

Figura 14.17: Perfiles de velocidad inducidos por una placa plana vertical a temperatura constante (n = 0) en presencia de un campo gravitatorio para diferentes valores del n´ umero de Prandtl. El flujo de calor en la pared es qp =

K(Tp − T∞ )(gβT1 )1/4 ˙ θ (0), ν 1/2 x1/4

(14.231)

˙ con θ (0) = 0,508 y θ(0) para P r = 0,73 (aire), para P r = 7 (agua), y el n´ umero de Nusselt qp x = N ux = K(Tp − T∞ )

gβT1 x3 ν2

1/4

θ (0) = θ (0)G1/4 x ,

(14.232)

donde Gx es el n´ umero de Grashof adimensionalizado con la distancia x.

Figura 14.18: Perfiles de temperatura inducidos por una placa plana vertical a temperatura constante (n = 0) en presencia de un campo gravitatorio para diferentes valores del n´ umero de Prandtl.


412

Otro caso de interés, que admite solución anal´ıtica, es el del cálculo del flujo de calor en convección libre para geometr´ıas diversas con temperaturas de pared constante y grandes n´ umeros de Prandtl. En este caso, como se demostró en (14.219), las fuerzas de inercia son despreciables frente a las de flotabilidad y el sistema (14.212)-(14.215) se reduce a ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y 0 = β(T − T∞ )g cos α(x) + ν u

(14.233) ∂2u , ∂y 2

(14.234)

∂T ν ∂2T ∂T +v = , ∂x ∂y P r ∂y 2

(14.235)

con las condiciones de contorno u(x, 0) = v(x, 0), T (x, 0) = Tp (x), ∂u = 0, T (x, ∞) = T∞ . ∂y y→∞

(14.236) (14.237)

Es importante se˜ nalar aqu´ı que la velocidad no es cero fuera de la capa l´ımite térmica. Como muestra (14.234), fuera de esta capa no hay diferencias apreciables de temperatura y los esfuerzos viscosos se hacen muy peque˜ nos aunque la velocidad no es nula. Fuera de la capa l´ımite térmica, los términos de inercia convectiva y viscosos (ambos muy peque˜ nos) se encargan de anular la velocidad en el borde exterior de la capa l´ımite viscosa. Como se verá en lo que sigue, esta segunda capa l´ımite no necesita ser analizada para calcular el flujo de calor en la pared. En efecto, si se introducen las variables de semejanza Ψ(x, y) = A(x)f (η) =

3/4 1/2 x

3/4 ν 4 1/4 1/3 [β(T − T ) g] cos α(x)dx f (η), p ∞ 3 P r3/4 o

T − T∞ = (Tp − T∞ ) θ(η),

1/4 cos1/3 α(x) 3P r3 β(Tp − T∞ )g y y, = η= x δ(x) 4ν 2 [ o cos1/3 α(s)ds]1/4

(14.238) (14.239)

(14.240)

las ecuaciones (14.233)-(14.235) se reducen a ...

f +θ = 0,

y

f θ˙ + θ¨ = 0,

(14.241)

con las condiciones de contorno f (0) = f (0) = 0,

θ(0) = 1,

f (∞) = 0,

θ(∞) = 0.

(14.242)

El sistema (14.241) con las condiciones (14.242) puede resolverse numéricamente para obtener θ (0) que proporciona el el n´ umero de Nusselt N ux =

q(x) = K(Tp − T∞ )/x

1/4 3 x1/4 cos1/3 α(x) ˙ θ(0)P r3/4 Ra1/4 , x x 4 1/3 α(x)dx 1/4 cos o

(14.243)

donde Rax = [β(Tp − T∞ )gx3 ]/ν 2 es el n´ umero de Rayleigh; el valor del n´ umero de Nusselt dado por (14.243) es tanto más exacto cuanto mayor sea el n´ umero de Prandtl.

413

14.12. Estructura de las ondas de choque

14.12.

Estructura de las ondas de choque

En el cap´ıtulo 12 se han estudiado las ondas de choque consider´ andolas como superficies geométricas de espesor nulo en las que los saltos a través de ellas vienen gobernados por las condiciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa. Es interesante considerar ahora la estructura de tales ondas que como se verá no son otra cosa que capas de espesor finito, aunque muy peque˜ no, donde se produce la transici´ on entre los valores de las variables fluidas delante y detrás de la onda; justo como sucede también en las capas l´ımites, viscosas y térmicas, sobre obstáculos. Para determinar el espesor y la estructura de las ondas de choque es necesario retener los efectos de viscosidad y conducción de calor que fueron despreciados cuando la onda de choque se considera como una discontinuidad matem´ atica de espesor nulo. Si el orden de magnitud de la componente normal de las velocidades del gas relativas a la onda es U , la condición de que los efectos convectivos y viscosos sean del mismo orden proporciona ρv · ∇v ∼ ρU 2 /δ ∼ ∇ · τ ∼ µU/δ 2 ,

(14.244)

y si se introduce una longitud caracter´ıstica L de la corriente exterior se tiene µ δ ∼ , L ρU L

(14.245)

que muestra, como se vio en 12, que el espesor de la onda de choque es tanto menor cuanto mayor es el n´ umero de Reynolds de la corriente exterior. Las ecuaciones que gobiernan la estructura del flujo a través de una onda de choque se derivan fácilmente de las ecuaciones de Navier-Stokes en forma de conservación (12.43)-(12.45) con las simplificaciones de movimiento unidireccional y casi-estacionario [n´ umeros de Strouhal peque˜ nos, δ/(U to ) 1] ya que el tiempo de residencia δ/U , o tiempo que las part´ıculas fluidas tardan en atravesar la onda de choque, es mucho menor (por ser el espesor de la onda muy peque˜ no) que el tiempo caracter´ıstico to de cambio de las condiciones de contorno del flujo. Con estas simplificaciones y teniendo en cuenta que ∂/∂x ∼ δ −1 ∂/∂y ∼ ∂/∂z, las ecuaciones (12.43)(12.45) se reducen a ∂(ρvn ) = 0, (14.246) ∂x = ∂ ] = 0, (14.247) [ρvn2 + p− τxx ∂x = ∂T ∂ v2 −K [ρvn (h + n ) − vn τxx ] = 0, ∂x 2 ∂x

(14.248)

=

= (4µ/3 + µv )∂vn /∂x es el esfuerzo viscoso normal y vn es la componente normal de la donde τxx velocidad del gas relativa a la onda de choque. La integraci´ on de las ecuaciones (14.246-14.248) proporciona ρvn = ρ1 vn1 , (14.249)

ρvn2 + p − ( ρvn (h +

∂vn 4µ 2 + µv ) + p1 , = ρ1 vn1 3 ∂x

∂vn K ∂h vn2 v2 4µ )− + µv )vn −( = ρ1 vn1 (h1 + n1 ). 2 cp ∂x 3 ∂x 2

(14.250) (14.251)

En estas ecuaciones la variable espacial x es, naturalmente, del orden de δ y el sub´ındice 1 representa los valores de las variables fluidas delante de la onda de choque, justo donde ya los esfuerzos

414


de viscosidad y la conducción de calor se hacen despreciables. La integración numérica de las ecuaciones (14.249-14.251) junto a la de estado h = γp/[(γ − 1)ρ] determinan los valores de ρ, vn , p, y h como funciones de x una vez que los coeficientes de viscosidad µ y µv y el de conducción térmica K se han especificado. Es de interés se˜ nalar que el sistema (14.249)-(14.251) admite una solución anal´ıtica simple en el caso de gases monoatómicos (µv = 0) si el n´ umero de Prandtl es P r = µcp /K = 3/4. Nótese que los n´ umeros de Prandtl de los gases reales son próximos a este valor por lo que se justifica el estudio de este caso. En esta situación, la ecuación (14.251), teniendo en cuenta (14.249), se reduce a la forma 2 vn1 4µ ∂ vn2 vn2 − h1 + = , (14.252) h+ h+ 2 2 ρ1 vn1 ∂x 2 que integrada proporciona h+

v2 vn2 4µx ], = (h1 + n1 ) + C exp[ 2 2 3ρ1 vn1

(14.253)

donde C es una constante de integraci´ on.

Figura 14.19: Distribuciones adimensionales de velocidad, presi´ on y temperatura a través de una onda de choque para un n´ umero de Mach normal incidente dado por la expresi´ on 2 2 [2 + (γ − 1)Mn1 ]/[(γ + 1)Mn1 ] = 0,5. N´ otese que las soluciones (14.253) satisfacen las condiciones de contorno (valores finitos de las variables fluidas y esfuerzos viscosos y flujos de calor por conducción nulos) delante de la onda de choque, en x → ∞, pero no detr´ as de la onda a menos que la constante C sea idénticamente nula; por tanto, la soluci´ on de (14.252) que satisface las condiciones de contorno es 2 h + vn2 /2 = h1 + vn1 /2,

(14.254)

415

14.12. Estructura de las ondas de choque

que expresa, como se vio en (12.52) la conservación de la entalp´ıa de remanso a través de la onda de choque. Teniendo en cuenta (14.249) y (14.254), la ecuaci´ on (14.250) puede escribirse en la forma ∂¯ v 4µ γ+1 (¯ v¯ , v − 1)(¯ v − A) = 2γ 3ρ1 vn1 ∂x

(14.255)

2 2 ]/[(γ + 1)Mn1 ], y Mn1 = vn1 /(γp/ρ)1/2 . La integraci´ on de con v¯ = vn /vn1 , A = [2 + (γ − 1)Mn1 (14.255) resulta 2 3ρ1 vn1 Mn1 −1 1 − vn = ln x. (14.256) 2 (vn − A)A 4µ γMn1

¯ = vn2 /vn1 = A, expresión que coincide con la condici´ on de Nótese que cuando x → ∞, v(∞) salto (13.71). Una vez obtenido v¯ como función de x las funciones h(x) y ρ(x) y p(x) se obtienen de las ecuaciones (14.249), (14.253) y la de estado. En la Figura 14.19 se representan los valores de vn , p y T como funciones de x.

Referencias y fuentes de lectura complementaria H. Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw- Hill, Nueva York, 1987. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Teórica, vol. 5, Pergamon, 1958. Laminar Boundary Layers, L. Rosenhead Ed., Dover, Nueva York, 1961.

Cap´ıtulo 15

Estabilidad hidrodin´ amica 15.1.

Introducci´ on

Desde los trabajos de Helmholtz, Kelvin, Rayleigh, y Reynolds durante el u ´ltimo tercio del siglo xix es bien conocido que para que una soluci´ on matemática de las ecuaciones de Navier-Stokes, que satisfaga ciertas condiciones iniciales y de contorno impuestas, describa apropiadamente el comportamiento de un flujo real es preciso que dicha soluci´ on matemática sea estable o, lo que es lo mismo, que cualquier perturbaci´ on de peque˜ na amplitud en el flujo tienda a amortiguarse con el tiempo; dichas perturbaciones aparecen en los flujos reales por multitud de causas (peque˜ nas irregularidades o imperfecciones en las condiciones de contorno, peque˜ nas vibraciones del flujo real, etcétera). Por tanto, la teor´ıa de la estabilidad hidrodin´ amica tiene por objeto determinar el rango de valores de los parámetros que gobiernan un determinado flujo para los que éste es inestable y no tiene existencia real. Sabido es que si el n´ umero de Reynolds de una corriente fluida, por ejemplo la corriente a través de un conducto suficientemente largo, es inferior a un cierto valor cr´ıtico el flujo es del tipo denominado laminar, mientras que si es mayor que el cr´ıtico, el flujo que tiene lugar en el conducto es del tipo denominado turbulento, cuyas caracter´ısticas son radicalmente distintas de las del laminar. Matemáticamente este hecho está asociado a que las ecuaciones de Navier-Stokes con unas determinadas condiciones iniciales y de contorno pueden admitir m´ as de una solución. El problema se reduce entonces a determinar para qué valores de los parámetros, y mediante qué mecanismos f´ısicos, una solución laminar (flujo laminar) se hace inestable y se bifurca (da lugar) a otra soluci´ on (flujo) laminar o turbulenta. La predicción y el control de tales transiciones son de gran importancia pr´ actica, ya que, en general, las caracter´ısticas del flujo cambian radicalmente cuando sucede una transici´ on. As´ı, por ejemplo, el flujo en una capa l´ımite laminar posee la propiedad de que el coeficiente de fricción es relativamente bajo, por lo que desde el punto de vista del ahorro de combustible es interesante conseguir que las capas l´ımites que se desarrollan sobre las alas y el fuselaje de los aeroplanos sean laminares. Por el contrario, en otras situaciones de interés en ingenier´ıa, las capas l´ımites en régimen turbulento pueden ser preferibles a las laminares por poseer buenas caracter´ısticas de mezcla de especies qu´ımicas (y de cantidad de movimiento y energ´ıa), as´ı como por su mayor capacidad para permanecer adheridas a la pared ante gradientes adversos de presi´ on. También en el flujo en tuber´ıas un flujo laminar puede ser preferible a uno turbulento por ser la ca´ıda de presión para un caudal dado menor en el primero, pero el u ´ltimo es preferible si se trata de mezclar más eficazmente especies qu´ımicas u obtener un perfil de temperaturas m´ as uniforme en cada sección del conducto. 417

Cap´ıtulo 15. Estabilidad hidrodin´ amica

418

Se presentar´ an en este cap´ıtulo los fundamentos y algunos de los resultados m´ as importantes de la teor´ıa lineal de estabilidad. Debido a las simplificaciones matemáticas que introduce la linealización de las ecuaciones, la teor´ıa lineal de la estabilidad ha sido la m´ as ampliamente desarrollada. No obstante, hay que tener en cuenta que en el caso de inestabilidad, las perturbaciones crecen con el tiempo y la determinación de la solución a la que el sistema evoluciona finalmente obliga a considerar efectos no lineales. En algunos casos ocurre que estos u ´ ltimos poseen un efecto estabilizador, de tal modo que se alcanza una solución estable cerca de las condiciones cr´ıticas para la aparici´ on de inestabilidad lineal. Esto es, la soluci´ on trivial de perturbaciones de amplitud nula se bifurca para las condiciones cr´ıticas de inestabilidad lineal a otra soluci´ on estable de amplitud finita cuya forma se asemeja a la del modo lineal más inestable. Sin embargo, cuando los términos no lineales poseen un efecto desestabilizante, no existe ninguna solución de amplitud peque˜ na cerca del punto cr´ıtico y las perturbaciones evolucionan hacia estados más complejos si los parámetros del sistema se alejan suficientemente de los correspondientes a las condiciones cr´ıticas lineales; incluso los modos estables desde el punto de vista de la teor´ıa lineal pueden perder entonces su estabilidad.

15.2.

An´ alisis modal de la estabilidad hidrodin´ amica

El tratamiento matemático de un problema fluidodin´ amico de estabilidad lineal consiste en superponer peque˜ nas perturbaciones de presión, densidad y velocidad, representadas por funciones p (x, t), ρ (x, t), v (x, t), a las magnitudes pb (x, t), ρb (x, t) y vb (x, t), que representan la presión, densidad y velocidad de la soluci´ on cuya estabilidad se desea investigar y que se suele denominar solución b´ asica. Las soluciones pb + p , ρb + ρ y vb + v se sustituyen en las ecuaciones de Navier-Stokes, condiciones iniciales y de contorno, y ecuaciones de estado y se linealizan reteniendo solamente los términos de primer orden en las perturbaciones. Cuando se trata de soluciones b´ asicas estacionarias, que serán u ńicamente las consideradas en lo que sigue, el proceso de linealización resulta en un sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales cuyos coeficientes dependen de las coordenadas x sólo a través de las magnitudes de la solución básica. Si f representa cualquiera de las perturbaciones p , ρ y v , las soluciones del sistema lineal admiten una dependencia temporal de la forma f = e−iωt fω (x). (15.1) La sustitución en dicho sistema lineal de soluciones de la forma (15.1) elimina la dependencia temporal y da lugar a un sistema lineal de ecuaciones que contiene sólo derivadas espaciales y que junto con las condiciones de contorno constituye un problema de autovalores para el c´ alculo de las frecuencias complejas ω (autovalores) y las correspondientes autofunciones fω (x), también denominados modos. Se supondr´ a que las autofunciones forman un conjunto completo, que puede ser continuo o discreto dependiendo de las caracter´ısticas del problema, por lo que es posible expresar cualquier perturbaci´ on inicial f (x, 0) que verifique las condiciones de contorno como una serie de estas autofunciones (o integral, si el conjunto de autovalores y autofunciones es continuo). El valor de la perturbaci´ on en cualquier instante posterior ser´ a f (x, t) = aω e−iωt fω (x), (15.2) ω

donde las constantes aω pueden determinarse a partir de la perturbaci´ on inicial f (x, 0). Es interesante insistir en el hecho de que las perturbaciones dependen del tiempo con un exponente en general complejo y que la parte real de (15.2) es la que tiene interés f´ısico (aunque la parte imaginaria sea también solución por ser lineal el problema); no obstante, se omitir´ a mencionar la necesidad de tomar la parte real de las soluciones del tipo (15.2). Obsérvese que si para un modo dado, la parte imaginaria del autovalor ω es positiva, (ωi > 0), la perturbaci´ on crece con el tiempo

419

15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz

hasta que los efectos no lineales se hacen importantes y el análisis lineal deja de ser válido; se dice entonces que el modo considerado es inestable. Si ωi < 0 el modo es estable y se denomina neutralmente estable cuando ωi = 0. Como cualquier perturbaci´ on del flujo b´ asico excitará, en principio, todos los modos, éste será inestable si ωi > 0 para al menos uno de los modos; por el contrario, el flujo b´ asico será estable frente a peque˜ nas perturbaciones si los valores ωi de todos los modos son nulos o negativos. Sucede a menudo que los flujos b´ asicos cuya estabilidad se desea investigar son independientes de alguna coordenada espacial, por lo que el n´ umero de variables del problema puede reducirse. Por ejemplo, si el flujo b´ asico depende sólo de la coordenada z, la dependencia de la solución perturbada con las coordenadas x e y es de la forma ei(kx x+ky y) donde las partes reales de kx y ky representan el n´ umero de onda de las oscilaciones en x e y de la perturbaci´ on y las partes imaginarias determinan el crecimiento exponencial de la perturbaci´ on con las variables espaciales x e y. Se llega de esta forma a un problema de autovalores para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable z que contiene a kx y ky como parámetros y que posee un conjunto finito o infinito de autovalores ωn (kx , ky ) y autofunciones fn (kx , ky , z) donde el rango de valores del sub´ındice n, que puede ser continuo, depende, en general, de kx y ky . Por tanto, teniendo en cuenta todos los valores posibles de kx , ky , que se suponen reales, y n se obtienen todos los autovalores complejos ωn y autofunciones fω del problema planteado ω = ωn (kx , ky ),

fω (x) = ei(kx x+ky y) fn (kx , ky , z).

(15.3)

Este análisis que se denomina temporal ha sido el más utilizado como consecuencia de que el autovalor ω aparece linealmente en las ecuaciones de estabilidad. Sin embargo, para el estudio de la estabilidad de capas l´ımites, chorros y otras corrientes que evolucionan en la dirección del flujo, resulta m´ as apropiado suponer valores reales de ω y ky y calcular en funci´ on de ellos los autovalores complejos kx y las autofunciones kx = kxn (ω, ky ),

fkx = fkx n (z, ω, ky );

(15.4)

Por desgracia, en las ecuaciones de estabilidad aparecen potencias de kx diferentes de la unidad y la resolución de este problema, que se denomina an´ alisis espacial de estabilidad, es más complicada. Análogamente, si la solución básica posee simetr´ıa axial, los autovalores y autofunciones son de la forma ω = ωn (k, m), fω (x) = ei(kz+mθ) fn (k, m, r), (15.5) donde z es la coordenada seg´ un el eje de simetr´ıa, r la distancia desde el eje de simetr´ıa, y la periodicidad de las perturbaciones (unicidad) exige que m sea entero. Por u ´ltimo, si la solución básica posee simetr´ıa esférica se tiene ω = ωn (l, m),

fω (x) = Ylm (θ, φ)fn (l, m, s),

(15.6)

donde (s, θ, φ) representan coordenadas esféricas e Ylm (θ, φ) los armónicos esféricos en l = 0, 1, 2... y m = −l, .., 0, .., l.

15.3.

Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz

Considérese el caso de dos l´ıquidos inmiscibles de densidades ρ1 y ρ2 que fluyen paralela y horizontalmente con velocidades uniformes U1 y U2 respectivamente. Si se toma el eje x coincidente con la dirección de las corrientes y la entrefase se supone situada en z = 0, el campo de velocidades, densidades y presiones del flujo b´ asico no viscoso viene dado por v2 = U2 i,

ρ = ρ2 ,

p2 = po2 − ρ2 gz −

ρ2 U22 , 2

si

z>0


420

ρ1 U12 , si z < 0, (15.7) 2 donde po1 y po2 son las presiones de remanso en uno y otro fluido. Kelvin estudió la estabilidad lineal de los flujos (15.7) suponiendo perturbaciones de amplitud peque˜ na frente a la longitud de onda λ ∼ k −1 , donde k es el n´ umero de onda. En este supuesto el término convectivo es despreciable frente a la aceleración local y las ecuaciones que resultan son lineales. En efecto, si A representa el orden de magnitud del desplazamiento de la entrefase y ω su frecuencia, el orden de magnitud de las velocidades que aparecen en el fluido como consecuencia de este desplazamiento son del orden de ωA. El término convectivo no lineal v · ∇v es entonces del orden de ω 2 A2 /λ mientras que ω 2 A es el orden de magnitud de la aceleración local ∂v/∂t con lo que aquel es despreciable frente a éste siempre que A/λ 1. Por otra parte, Kelvin no tuvo en cuenta, en su estudio, la influencia de la viscosidad, lo que es correcto siempre que ν/(λ2 ω) 1 ya que entonces las fuerzas viscosas por unidad de masa (ν∇v ∼ νAω/λ2 ) son despreciables frente a la aceleración local del fluido (∂v/∂t ∼ ω 2 A). Si sucede que ωλ2 /ν, la viscosidad es despreciable y si además el movimiento de cada uno de los fluidos es barótropo y con fuerzas másicas derivando de un potencial (movimiento irrotacional, las velocidades de perturbación derivan, entonces, de sendos potenciales φ1 (x, y, z, t) y φ2 (x, y, z, t) y las velocidades pueden escribirse como suma de las de los flujos básicos más las de perturbación v1 = U1 i,

ρ = ρ1 ,

v2 = U2 i + ∇φ2

si

p1 = po1 − ρ1 gz −

z>0 y

v1 = U1 i + ∇φ1

si

z < 0.

(15.8)

La condición de que los campos de velocidades (15.8) satisfagan la ecuación de continuidad se cumple si ambos potenciales satisfacen la ecuación de Laplace1 ∇ · vi =

∂ 2 φi ∂ 2 φi ∂ 2 φi + + = 0, 2 2 ∂x ∂y ∂z 2

(i = 1, 2),

(15.9)

donde φ1 y φ2 , deben satisfacer lejos de la interfase φ1 (−∞) = φ2 (∞) = 0.

(15.10)

La linealidad del problema, la ausencia de condiciones iniciales, y la independencia de las condiciones de contorno (15.10) respecto de las variables x e y conducen a soluciones del problema (15.9)-(15.10) de la forma (separación de variables) φi = Ai ei(kx x+ky y−ωt) Fi (z), con Fi determinada por la ecuación

(15.11)

Fï − k 2 Fi = 0;

(15.12)

kx y#ky son las componentes del vector de onda de la perturbación en las direcciones x e y, k = kx2 + ky2 es su módulo y ω su frecuencia. Finalmente, de (15.12) y (15.10) se tiene φ2 = A2 e−kz ei(kx x+ky y−ωt)

si z > 0 y

φ1 = A1 ekz ei(kx x+ky y−ωt)

si

z < 0.

(15.13)

Los campos de presiones en ambos l´ıquidos, superposici´ on también del básico pi y del de perturbaci´ on pi , vienen dados por la ecuaci´ on de Bernouilli p2 +

p2

2 2 2 ∂φ2 ∂φ2 ∂φ2 ∂φ2 1 + ρ2 + + + ρ2 gz = po2 + ρ2 U2 + ∂t 2 ∂x ∂y ∂z

si z > 0

(15.14)

1 El desarrollo que se har´ a a continuaci´ on es muy similar al realizado en 12.2.1 al analizar las ondas lineales en la superficie libre de un l´ıquido en presencia de la gravedad.

421

15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz y p1 +

p1

2 2 2 ∂φ1 1 ∂φ1 ∂φ1 ∂φ1 + ρ1 U1 + + ρ1 + + + ρ1 gz = po1 ∂t 2 ∂x ∂y ∂z

si

z < 0. (15.15)

Despreciando términos de segundo orden en las ecuaciones (15.14) (15.15) (φix ∼ φiy ∼ φiz Ui ) y particularizando el resultado en la interfase de separaci´ on de ambos l´ıquidos F (x, z, t) = z − η(x, t) = 0, se tiene pis

∂φi ∂φi + ρi + ρi Ui + ρi gη = 0 ∂t z=0 ∂x z=0

con

i = 1, (2) si

(15.16)

z < 0, (z > 0).

(15.17)

Para obtener (15.17) se ha hecho uso de la relación p1s = po1 − ρ1 U12 /2 = p2s = po2 − ρ2 U22 /2,

(15.18)

donde p1s y p2s son las presiones de los l´ıquidos en la interfase. Hay que indicar también que, puesto que la deformación de la superficie es peque˜ na, se ha tomado en primera aproximaci´ on ∂φi ∂φi + O(η) + ... (15.19) ∂x z=η ∂x z=0 El salto en el valor de la presi´ on perturbada a través de la entrefase es, por tanto, ∂φ2 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ1 p1s − p2s = ρ2 − ρ + ρ U − ρ U + (ρ2 − ρ1 )gη, 1 2 2 1 1 ∂t z=0 ∂t z=0 ∂x z=0 ∂x z=0

(15.20)

y debe estar equilibrado por la proyecci´ on de las fuerzas de tensión superficial en la dirección normal a la interfase ζ∇ · n, donde la normal a la interfase es n = ∇F/|∇F | y sus componentes (nx , ny , nz ) son −∂ η/∂ y 1 −∂ η/∂ x . , , 1 + (∂ η/∂ x)2 + (∂ η/∂ y)2 1 + (∂ η/∂ x)2 + (∂ η/∂ y)2 1 + (∂ η/∂ x)2 + (∂ η/∂ y)2 Despreciando términos de segundo orden (∂ η/∂ x)2 ∼ (∂ η/∂ y)2 1, se obtiene 2 ∂2η ∂ η + ζ∇ · n = −ζ ∂x2 ∂y 2

(15.21)

y finalmente la condici´ on de equilibrio de fuerzas en la interfase una vez linealizada se expresa matemáticamente en la forma ∂φ2 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ1 ρ2 − ρ1 + ρ2 U 2 − ρ1 U1 + ∂t z=0 ∂t z=0 ∂x z=0 ∂x z=0 2 ∂ η ∂2η . (15.22) + (ρ2 − ρ1 )gη = −ζ ∂x2 ∂y 2 Además, la interfase es una superficie fluida y, por tanto, debe satisfacer la condici´ on cinemática DF/Dt = 0, esto es ∂η ∂φi ∂η ∂η ∂φi ∂φi ∂η − − = 0, (i = 1, 2); (15.23) − Ui + + − U + i ∂t ∂x z=0 ∂x ∂z z=0 ∂t ∂x ∂z z=0


422

n´ otese que para obtener la u ´ltima ecuación en (15.23) se han despreciado términos de orden superior. Si se suponen soluciones de la interfase de la forma η = Eei(kx x+ky y−ωt) ,

(15.24)

y se sustituyen las expresiones (15.13) y (15.24) en (15.22) y en las dos ecuaciones (15.23) se obtiene el sistema lineal homogéneo de tres ecuaciones algébricas iρ1 (ω − U1 kx )A1 − iρ2 (ω − U2 kx )A2 + [(ρ2 − ρ1 )g − ζk 2 ]E = 0, kA1 + i(ω − U1 kx )E = 0,

−kA2 + i(ω − U2 kx )E = 0,

(15.25)

cuya resolución proporciona las constantes A1 , A2 y E. La condición de que el determinante de los coeficientes del sistema (15.25) sea nulo, que es la condición necesaria y suficiente para que dicho sistema homogéneo posea solución distinta de la trivial, proporciona

1/2 (ρ1 − ρ2 )gk + ζk 3 ρ1 ρ2 (U2 − U1 )2 kx2 (ρ1 U1 + ρ2 U2 )kx ± − . ω= ρ 1 + ρ2 ρ 1 + ρ2 (ρ1 + ρ2 )2

(15.26)

Si el radicando en (15.26) es negativo, esto es, si (ρ1 − ρ2 )gk + ζk 3 −

ρ1 ρ2 (U2 − U1 )2 kx2 < 0, ρ 1 + ρ2

(15.27)

uno de los dos autovalores de ω tiene parte imaginaria positiva y, consecuentemente, las perturbaciones crecen con el tiempo y el flujo es inestable. Obsérvese que si ρ1 > ρ2 , que corresponde al caso en que el fluido más ligero está situado por encima de la interfase, la gravedad y la tensi´ on superficial juegan un papel estabilizador mientras que la diferencia de velocidades juega el papel contrario; cuanto mayores son g o ζ mayor debe ser la diferencia de velocidades para que la interfase sea inestable. Es fácil comprobar de (15.26) y (15.27) que, para una longitud de onda determinada 2π/k, las ondas que crecen más rápidamente son aquellas que se propagan en la direcci´ on del flujo b´ asico (kx = k, ky = 0), de modo que al cabo de un cierto tiempo éstas serán las dominantes. Por tanto, de acuerdo con (15.27) el viento generar´ a ondas sobre la superficie del mar o en un lago (ρ2 ρ1 ) si 1/2 ζk ρ1 g . (15.28) + |U2 − U1 | > ρ2 k ρ1 El m´ınimo valor de |U2 − U1 | se obtiene para un valor del n´ umero de onda k = [(ρ1 g)/ζ]1/2 , y de (15.28) la diferencia de velocidades m´ınima necesaria para producir ondas es

1/2 √ ρ1 gζ 6,6 ms−1 ; |U2 − U1 |min = 2 ρ2

(15.29)

el valor numérico en (15.29) se ha obtenido para el caso aire-agua, ρ1 = 1000 kg/m3 , ρ2 = 1,25 kg/m3 , ζ = 0,073 N/m. Kelvin mismo, a quien se debe el resultado (15.29), puso de manifiesto que este valor sobreestimaba la velocidad del viento necesaria para producir olas. Teor´ıas más refinadas para explicar la generación de olas han sido desarrolladas durante los u ´ltimos cuarenta a˜ nos. En particular, la m´ as atractiva es la debida a Miles (1957), que basa el mecanismo de la inestabilidad en la interacci´ on resonante de las ondas de gravedad con la capa l´ımite del aire. No obstante, y debido a las simplificaciones realizadas, ésta y otras teor´ıas son, todav´ıa hoy, objeto de controversia.

15.3. Estabilidad de una entrefase. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz

423

Una explicación f´ısica del mecanismo de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz puede obtenerse a partir del esquema de la Figura 15.1 donde se representa una entrefase y el fluido est´ a descrito respecto a un observador que se mueve con velocidad (U2 + U1 )/2. En este sistema de referencia, el fluido 2 se mueve con velocidad (U2 − U1 )/2 mientras que el fluido 1 lo hace con −(U2 − U1 )/2. La velocidad de perturbaci´ on, vp , resultante de la deformación de la superficie es tal que se suma a la del flujo b´ asico en las crestas que forma la superficie y se opone a ella en los valles. Consecuentemente, la presión es menor en las crestas y mayor en los valles (ecuación de Euler Bernouilli) y da lugar, por tanto, a fuerzas aerodin´ amicas que tienden a desplazar la interfase de su posición de equilibrio. Existe otra explicación alternativa de la inestabilidad en términos de la convección de vorticidad.2 (U2-U1)/2

P- vp B

P+ vp

A

C

P+ vp P- vp (U2-U1)/2

Figura 15.1: Mecanismo de inestabilidad en una capa de mezcla.

que ocurre si la longitud de Si U1 = U2 = U y el efecto de tensión superficial es despreciable, lo onda de las perturbaciones es grande frente a la longitud capilar, (k |ρ1 − ρ2 |g/ζ), la interfase será estable si (ρ1 > ρ2 ), que corresponde al caso en que el fluido más ligero está encima de la superficie. En este caso, sobre la interfase, que es estable, pueden desarrollarse ondas de gravedad, que no se amplifican, de frecuencia ω = U kx ± y velocidad de fase c=

(ρ1 − ρ2 )gk ρ1 + ρ 2

1/2 ,

1/2 kx (ρ1 − ρ2 )g ω . =U ± k k (ρ1 + ρ2 )k

(15.30)

(15.31)

La velocidad de propagaci´ on de las perturbaciones respecto al l´ıquido es

(ρ1 − ρ2 )g co = ± (ρ1 + ρ2 )k

1/2 ,

(15.32)

y para el caso ondas sobre una interfase agua-aire, ρ1 = ρ, ρ2 = 0 se tiene co = ±(g/k)1/2

(15.33)

que corresponde al resultado obtenido en (11.308) para el caso de ondas gravitatorias sobre la superficie libre de un l´ıquido. Es f´ acil comprobar que en el caso en que el fluido más pesado esté situado encima de la superficie (ρ2 > ρ1 ), ésta es inestable si k < (ρ2 − ρ1 ) g/ζ, esto es, si la 2

G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967.


424

longitud de onda es mayor que la longitud capilar ζ/[(ρ2 − ρ1 ) g], pero es estable para longitudes de onda menores que la longitud capilar. Es interesante observar que el resultado de (15.30) puede modificarse de un modo sencillo para incluir el efecto de una aceleración vertical sobre las dos capas de fluido. En efecto, si los dos fluidos y la interfase de separación experimentan una aceleración de módulo a(t) dirigida en sentido contrario al de la gravedad, el resultado (15.30) es v´ alido para un observador que se mueva con la interfase si se sustituye la gravedad g por una gravedad ficticia g = g + a. Obsérvese entonces que la interfase es inestable si g < 0 (ρ1 > ρ2 ). Esto corresponde a situaciones en las que la interfase se mueve con una aceleración hacia abajo (del fluido m´ as ligero hacia el más pesado) de valor superior al de la gravedad. Esta inestabilidad, denominada de Rayleigh-Taylor, puede ser observada cuando un vaso de agua se mueve verticalmente hacia abajo con una aceleración superior a la gravedad. La inestabilidad de Rayleigh-Taylor se presenta también en un problema de gran interés para la humanidad como es la obtención de reacciones termonucleares controladas por confinamiento inercial. La implosi´ on de la microbola de combustible (deuterio-tritio) que genera la corona de plasma (menos denso que el combustible) resultante de la acción del láser da lugar ´ a aceleraciones de la interfase que la inestabilizan y rompen la simetr´ıa esférica. Este es uno de los efectos que limitan fuertemente la posibilidad de conseguir fusi´ on por confinamiento inercial, ya que esta inestabilidad impide alcanzar las extraordinariamente altas densidades necesarias para conseguir la fusión termonuclear eficiente del deuterio-tritio.

15.4.

Rotura de un chorro capilar

La fotograf´ıa de la Figura 15.2 muestra la evoluci´ on de un chorro capilar que rompe finalmente en gotas. Fue el f´ısico francés Plateau el primero en demostrar el efecto desestabilizador de la tensión superficial.

Figura 15.2: Rotura forzada de un chorro capilar. Cortes´ıa del Dr. José Mar´ıa López Herrera.

Plateau arguy´ o que cualquier deformaci´ on axilsimétrica de un chorro cil´ındrico conducir´ıa a su rotura debido a que su a´rea y, por tanto, su energ´ıa superficial es menor que la del cilindro original; de modo que el cilindro pierde energ´ıa superficial mientras se deforma (la transforma en cinética) hasta que se llega a un estado de m´ınima energ´ıa superficial compatible con un volumen dado. El efecto desestabilizante de la tensión superficial puede también explicarse como consecuencia del salto de presiones a través de la interfase. Efectivamente, este salto es inversamente proporcional al radio del chorro, ∆p = pl − pa ∼ ζ/R(x); por tanto, la presi´ on del l´ıquido en las zonas más delgadas del chorro es mayor que en las zonas más gruesas, de modo que el l´ıquido es forzado, por la diferencia de presiones hacia las zonas más gruesas, incrementando la deformación de la superficie hasta que finalmente el chorro rompe en gotas como se muestra en la Figura 15.2. Rayleigh, en 1899, fue quien llev´ o a cabo la primera descripción matemática de la estabilidad de un chorro capilar despreciando los efectos del gas ambiente. Fue Weber quien posteriormente incorpor´ o al análisis los efectos del gas ambiente al considerar la corriente uniforme de un gas moviéndose coaxialmente con el chorro y con velocidad relativa Ug respecto a éste. Más recientemente se ha comprobado que los resultados teóricos obtenidos se ajustan mejor a los datos experimentales si se tiene en cuenta la capa l´ımite de gas cercana al chorro donde los efectos viscosos son

425

15.4. Rotura de un chorro capilar

importantes y deben ser retenidos. Se seguirá aqu´ı este análisis que incluye como casos l´ımites los de Rayleigh y Weber.3 En efecto, considérese un chorro de un l´ıquido de velocidad uniforme Vl y radio Rl en presencia de un gas que se mueve coaxialmente con el chorro con velocidad Vg (r, x); la dirección de x coincide con la de Vg y la coordenada perpendicular, r, mide la distancia desde el eje del chorro, véase Figura 15.3. Respecto de un observador que se mueva con la velocidad del chorro, Vg

r

x

Vl

Figura 15.3: Perfiles de velocidad en gas y l´ıquido. la velocidad del gas es Uog (r, x) = Vg (r, x) − Vl y debe ser determinada resolviendo la capa l´ımite axilsimétrica alrededor del chorro. Por ser soluci´ on de capa l´ımite, Uog es una funci´ on lentamente variable de la coordenada x y para simplificar el an´ alisis se considerarán exclusivamente perturbaciones de longitud de onda λ peque˜ nas comparadas con la longitud caracter´ıstica de evolución de la capa; esto es, λ dUog 1, (15.34) Uog dx de modo que la coordenada x juega el papel de un par´ ametro y la estabilidad del chorro puede analizarse en diferentes estaciones x.4 La velocidad del l´ıquido se supone uniforme en el chorro, de modo que el campo de presiones y la velocidad respecto a un observador que se mueva con el chorro son pol = pog +

ζ , Rl

Uol = 0,

(15.35)

donde ζ es la tensión superficial en la interfase gas-l´ıquido. Como es usual en los análisis de estabilidad lineal, se supondr´ a un flujo perturbado superpuesto al principal vj = Uoj (r) ex + vj (x, r, θ, t), p = poj + pj (x, r, θ, t),

pj poj ,

vx ∼ vr ∼ vθ Uog ,

R = Rl + R (x, θ, t),

R Rl ,

(15.36)

donde el sub´ındice j, j = l o j = g, indica la fase l´ıquida o gaseosa respectivamente, y θ es la coordenada acimutal. Nótese que se ha omitido la dependencia de Uog respecto a x de acuerdo con la hip´ otesis (15.34) para indicar que el an´ alisis se realiza en una estación x determinada. Si se introduce el desarrollo (15.36) en las ecuaciones de Navier-Stokes se obtiene, después de linealizar, un sistema de ecuaciones en derivadas parciales para el cálculo de las tres componentes de la velocidad y de la presi´ on del campo perturbado. ∇ · v j = 0,

(15.37)

3 Este an´ alisis ha sido realizado por J. M. Gordillo cuando era estudiante de doctorado en el Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla, Gordillo et al. (1999). 4 No obstante, la resoluci´ on del problema de capa l´ımite puede evitarse si nos limitamos a casos en los que su espesor δ es peque˜ no frente al radio del chorro Rl . En esta situaci´ on, la capa l´ımite axilsimétrica se reduce en primera aproximaci´ on a una bidimensional con gradiente dep presiones nulo y el perfil de velocidades y presiones tienden a los alculo de la funci´ on f˙ puede verse en 14.5. de Blasius [pog = p∞ , Uog (r) = U ∞, f (η), η = r/ ν/U∞ ], donde el c´


426

∂ v j 1 + Uoj ex · ∇v j + v j · ∇(Uoj ex ) = − ∇pj + νj ∇2 v j . ∂t ρj

(15.38)

Con objeto de simplificar el problema, se considerará aqu´ı la estabilidad del chorro frente a perturbaciones no viscosas, esto es, perturbaciones de longitud de onda λ y frecuencia ω tales que ωλ2 /νj 1, para las que las fuerzas de viscosidad son despreciables frente a las de inercia. Por otra parte, se puede eliminar f´ acilmente una de las incógnitas del problema, por ejemplo vx , si se toma la divergencia de la ecuación (15.38) y se hace uso de (15.37); se obtiene entonces 2

1 dUoj dvrj = − ∇2 pj . dr dz ρj

(15.39)

Las otras cuatro ecuaciones, dos para cada fluido, que se usarán son las correspondientes a las componentes de la ecuación (15.38) seg´ un los ejes r y θ que en primera aproximaci´ on se reducen a ∂vrj ∂vrj 1 ∂pj + Uoj = , ∂t ∂z ρj ∂r

(15.40)

∂vθj ∂vθj 1 ∂pj + Uoj = . ∂t ∂z rρj ∂θ

(15.41)

, vθj deben Las seis ecuaciones lineales, (15.39)-(15.41), para el cálculo de las seis incógnitas pj , vrj ser resueltas sujetas a las condiciones de contorno

v l = ∞, v g → 0,

pl = ∞ en

pg → 0

r = 0,

(15.42)

cuando r → ∞,

(15.43)

además de las condiciones cinemáticas y dinámicas en la interfase r = Rl + R Rl ∂R |r=Rl = 0, − vrj ∂t y

vrg (Rl ) = vrl (Rl )

pol (Rl ) + pl (Rl ) − pog (Rl ) − pg (Rl ) = ζ∇ · n.

(15.44) (15.45)

Las componentes de la normal n en la interfase son [−∂R /∂x, 1, −(1/Rl )∂R /∂θ] , 1 + (∂R /∂x)2 + (1/Rl2 )(∂R /∂θ)2

(15.46)

y si, como se ha supuesto, la perturbación de la interfase es peque˜ na, las componentes de la normal y la divergencia del vector normal son [−∂R /∂x, 1, −(1/Rl )∂R /∂θ],

(15.47)

y ∇·n=

∂ ∂x

−∂R ∂x

+

1 ∂ 1 + Rl + R Rl ∂θ

−1 ∂R Rl ∂θ

R ∂ 2 R 1 ∂ 2 R 1 − 2− − 2 , 2 Rl Rl ∂x Rl ∂θ2

(15.48)

donde para obtener el u ´ltimo resultado en (15.48) se ha desarrollado en serie de Taylor el término (Rl + R )−1 ∼ Rl−1 − R Rl−2 + ... Sustituyendo (15.48) en (15.45) y teniendo en cuenta (15.35) se obtiene finalmente 2 1 ∂ 2 R ∂ R R + pl − pg = −ζ . (15.49) + ∂x2 Rl2 Rl2 ∂θ2

427


La linealidad del sistema (15.39)-(15.41) y condiciones de contorno (15.42), (15.43), (15.44) y (15.49), as´ı como su independencia respecto a las variables x, θ, y t sugiere buscar soluciones de la forma ˆ j (r)] ei(kx+mθ−ωt) , [pj (x, t), v j (x, t)] = [ˆ pj (r), v

ˆ ei(kx+mθ−ωt) , R (x, θ, t) = R

(15.50)

ˆ es una constante con dimensiones de longitud, 2π/k y 2πRl /m son las longitudes de donde R onda de las oscilaciones de la perturbación en las direcciones axial y acimutal y ω es la frecuencia. Si se sustituye el desarrollo (15.50) en las ecuaciones (15.39-15.41), se obtienen las ecuaciones diferenciales ordinarias m2 dˆ pg 2k pg 1 d dUog dˆ r − − k 2 + 2 pˆg = 0, (15.51) r dr dr kUog − ω dr dr r 1 d r dr

r

dˆ pl dr

m2 − k 2 + 2 pˆl = 0, r

junto con vˆrg =

dˆ pg i , ρg (Uog k − ω) dr

vˆθg = −

mˆ pg , ρg r(Uog k − ω)

vˆrl = vˆθl =

(15.52)

pl −i dˆ , ρl ω dr

(15.53)

mˆ pl . ρl rω

(15.54)

Las condiciones de contorno (15.42)-(15.44) y (15.49) se reducen a ˆ l = ∞, v ˆ g → 0, v

pˆl = ∞

pˆg → 0

ˆ − vˆrj (Rl ) = 0, −iω R y pˆl (Rl ) − pˆg (Rl ) = −

en r = 0,

(15.55)

cuando r → ∞,

(15.56)

vˆrl (Rl ) = vˆrg (Rl )

2 ζ 1 ˆ 1 − m2 − k 2 Rl2 R. 2 Rl

Teniendo en cuenta (15.53) y (15.57), la condici´ on (15.58) puede expresarse en la forma 2 1 dˆ pg ζ 1 , pˆl (Rl ) − pˆg (Rl ) = − 2 1 − m2 − k 2 Rl2 Rl ρg ω 2 dr r=Rl y de la igualdad de velocidades radiales en la interfase, (15.57), se obtiene pg ρl dˆ dˆ pl = . dr r=Rl ρg dr r=Rl

(15.57)

(15.58)

(15.59)

(15.60)

La solución de (15.52) teniendo en cuenta la condici´ on (15.55), que exige que la presi´ on sea finita en el eje del chorro, es pˆl (r) = CIm (kr), (15.61) donde Im representa las funciones de Bessel modificadas de orden m que son regulares en r = 0 y C es una constante de integración con dimensiones de presión.5 5 M. Abramowitz y I. E. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Washington D. C., 1972.


428

Resulta conveniente definir las variables adimensionales pˆg = ρg ω 2 k −2 Π,

r = Rl (1 + tξ),

(15.62)

y los parámetros y funciones adimensionales M=

ρl , ρg

We =

2 ρg U ∞ Rl , ζ

¯ (r) = U (r) , U U∞

κ = kRl ,

y

Ω=

ωRl , U∞

(15.63)

donde U∞ es la velocidad del gas relativa al chorro a distancias muy grandes del chorro, W e es el n´ umero de Weber que mide la importancia relativa de la presi´ on din´ amica en la corriente de 2 gas ρg U∞ respecto de la presión capilar ζ/Rl , y t es una medida del espesor de capa l´ımite que arbitrariamente se define aqu´ı como la distancia al chorro para la que la velocidad del gas sea 0,99 U∞ . Nótese que la función t(x), que es una funci´ on lentamente variable de x, define también la estación x del chorro donde se analiza su estabilidad. Introduciendo las definiciones (15.62) y (15.63) en (15.51) se llega a ¯ dΠ t m2 dU d2 Π 2κ 2 + + − κ t2 Π = 0, (15.64) − ¯ (ξ) − Ω dξ dξ dξ 2 1 + tξ (1 + tξ)2 κU que debe resolverse sujeta a las condiciones de contorno (15.56) y (15.59)-(15.60), que en las nuevas variables se escriben Π → 0 cuando ξ → ∞, (15.65) junto con las condiciones en la interfase ξ = 0 2 −2

CIm (κ) = ρg ω k

1 − κ2 − m2 ζ dΠ Π(0) − κ2 tRl dξ ξ=0

y CkIm (κ) =

ρl ω 2 dΠ k 2 tRl dξ ξ=0

(15.66)

(15.67)

donde Im (kr) =

dIm (kr) . d(kr)

(15.68)

Si se elimina la constante C dividiendo (15.66) por (15.67) se obtiene la relaci´ on de dispersión M Ω2

Π(0) 1 − m 2 − κ2 Im (κ) 2 2 Ω t + − κ = 0. (κ) κIm dΠ/dξ|ξ=0 We

(15.69)

El problema de autovalores consiste en determinar el valor complejo de Ω para cada valor real de κ con un valor fijo de m, de modo que la solución de la ecuación (15.64) satisfaga las condiciones (15.65) y (15.69). La relación (15.69) contiene como caso l´ımite particular los resultados obtenidos por Rayleigh cuando no se considera la influencia del gas exterior. El problema estudiado por Rayleigh es una aproximaci´ on del caso en que el espesor de la capa l´ımite es grande comparado al radio del chorro, en cuyo caso, las perturbaciones dinámicas en el gas tienden a cero, Π → 0. En efecto, en el caso t 1, véase (15.62), (15.64) se reduce en primera aproximación a dΠ 2 → 0 cuando t → ∞. t Π = 0, y Π → 0, y (15.70) dξ ξ=0

429


El resultado (15.70) demuestra que en la situaci´ on contemplada, los efectos dinámicos del gas son despreciables, y si (15.70) se sustituye en (15.69) se obtiene la relación de dispersión obtenida por Rayleigh 1 − m2 − κ2 κIm (κ) . (15.71) Ω2 = − MWe Im (κ) Nótese que el u ´ nico modo inestable es el m = 0 para el que Ω2 puede ser negativo, mientras que los modos superiores m = 1, 2, 3... son neutros, puesto que, como se comprueba en (15.71), Ω2 > 0 si m > 0. En la Figura 15.4 se representa el factor de crecimiento de la perturbaci´ on Ωi = ωi Rl /U∞ , donde Ω = iΩi , como función del n´ umero de onda adimensional κ para varios valores del par´ ametro 2 Rl /ζ. Se ha considerado el caso de un chorro en un ambiente en reposo, respecto a M W e = ρl U∞ un observador que se mueva con el chorro, la velocidad del gas es igual y contraria a la del chorro respecto a tierra U∞ = −Vl y M W e = ρg Vl2 Rl /ζ. Obsérvese que el factor de crecimiento presenta

Figura 15.4: Factores de crecimiento adimensionales como función del n´ umero de onda adimensional para valores diferentes del n´ umero de Weber. un máximo para κ muy cercano al valor 0,7 (el máximo se presenta para κ 0,69, lo que implica que la longitud de onda m´ as inestable, λc , y, por lo tanto, la que m´ as rápidamente crece y deforma el chorro para formar gotas es 2π (15.72) Rl . λc = 0,69 Conviene insistir en que (15.72) es la longitud de onda m´ as probable con la que se deforma el chorro, pues las otras no tienen tiempo suficiente para amplificarse por producirse antes la rotura del chorro por el crecimiento de la perturbaci´ on de longitud de onda (15.72). Teniendo en cuenta este comentario es fácil calcular el radio de las gotas; en efecto, el volumen de chorro l´ıquido que romperá finalmente en una gota es 4 πRl2 λ = πRg3 , (15.73) 3 de donde, teniendo en cuenta (15.72) y (15.73), se obtiene

1/3 1,5π Rg = 1,9. Rl 0,69

(15.74)

Este resultado demuestra que si el mecanismo de rotura es, como el considerado aqu´ı, debido a la capilaridad, las gotas resultantes de la rotura poseen un radio que es muy aproximadamente 1,9 veces el radio del chorro. Naturalmente este resultado se refiere a las gotas principales y no a la


430

gota satélite que se forma entre cada dos principales debida a la rotura del ligamento l´ıquido entre ambas en los u ´ltimos instantes del proceso de rotura. Debe se˜ nalarse que los resultados derivados del análisis de Rayleigh acuerdan bien con los obtenidos experimentalmente. 2 Por otra parte, el efecto del par´ ametro M W e = ρl U∞ Rl /ζ sobre el factor de crecimiento de las perturbaciones es el esperado. Cuando el n´ umero de Weber crece, el efecto desestabilizante de la tensión superficial es menor, puesto que las fuerzas capilares, de orden ζ/Rl , se hacen comparativa2 mente más peque˜ nas que las de inercia, de orden ρl U∞ ; consecuentemente el factor de crecimiento de las perturbaciones disminuye con M W e, Figura 15.4, y su inverso, el tiempo necesario para que éstas crezcan, aumenta. Por esta razón, el chorro es por tanto más estable frente a inestabilidades capilares, que dan lugar a rotura simétrica del tipo mostrado en la Figura 15.2, cuanto mayor es M W e. No obstante, y como se verá a continuaci´ on, el efecto del n´ umero de Weber M W e sobre la estabilidad del chorro no es el anteriormente indicado, ya que cuando M W e aumenta, el chorro se hace inestable y rompe debido a perturbaciones de tipo aerodin´ amico originadas por la corriente de gas que lo circunda. El l´ımite contrario a la inestabilidad capilar, estudiada anteriormente, corresponde a un chorro en presencia de un gas de velocidad uniforme U = U (r). Este caso es uno de los considerados por Weber, aunque aqu´ı no se tiene en cuenta la viscosidad del l´ıquido. Como se ver´ a a continuaci´ on, este l´ımite se obtiene fácilmente del problema general (15.64), (15.65) y (15.69) en el l´ımite en el que el espesor de la capa l´ımite es mucho menor que el radio del chorro. En este caso, el perfil de velocidades en la capa l´ımite del gas se aproximará por el de Blasius, ya que las part´ıculas de gas que fluyen a distancias del chorro del orden de su radio perciben la curvatura del chorro, pero no as´ı las que fluyen por la capa l´ımite, para las que el movimiento es bidimensional en primera aproximaci´ on cuando se mueven a distancias de la superficie del chorro muy peque˜ nas respecto a su radio. Para resolver la ecuación diferencial (15.64) debe tenerse en cuenta que para valores grandes de ξ, la ecuación (15.64) se reduce a una de Bessel con dos soluciones independientes de los tipos Im [κ(1 + tξ)] y Km [κ(1 + tξ)]; en el infinito Im diverge mientras que Km es regular. Si se fijan los ˙ valores de κ y Ω y se imponen arbitrariamente las condiciones de contorno Π(0) y Π(0) la ecuación (15.64) se puede integrar numéricamente desde ξ = 0. El lector puede comprobar que excepto para ˙ una pareja excepcional de valores de Π(0)) y Π(0) la solución numérica con cualesquiera valores ˙ arbitrarios de Π(0)) y Π(0) tiende inevitablemente hacia el atractor Im . Sin embargo, si se hace uso de la conocida propiedad de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden que establece que dada una solución N (ξ), obtenida integrando numéricamente (15.64) desde el origen con valores arbitrarios de las condiciones de contorno, por ejemplo N (0) = 1

y

N˙ (0) = 0,

(15.75)

puede construirse otra Π(ξ), independiente de la primera, de la forma Π(ξ) = C N (ξ)

ξ

∞

z ¯˙ (s) t 1 2κU ds dz = exp − − ¯ N 2 (z) 1 + ts [κU (s) − Ω] o −C

N (ξ) Ω2

ξ

∞

¯ (z) − Ω]2 [κU dz, 2 N (z)(1 + tz)

(15.76)

a más adelante, no es preciso determinar. donde C es una constante arbitraria que, como se ver´ Conocida la funci´ on U (ξ) y el espesor de la capa l´ımite t y fijado un valor de κ, se puede arrancar la integraci´ on numérica de la ecuación (15.64) desde ξ = 0 con las condiciones (15.75) si se escoge arbitrariamente un valor de Ω y construir, a partir de la numérica, la solución dada en

15.4. Rotura de un chorro capilar (15.76). En particular, los valores de la funci´ on Π(0) y de su derivada en ξ = 0 son ∞ ¯ (ξ) − Ω]2 [κU dΠ C = Π (0) = C. dξ y Π(0) = − 2 Ω o N 2 (ξ)(1 + tξ) dξ ξ=0

431

(15.77)

Obsérvese que el cociente Π(0)/Π (0) que aparece en la relación de dispersión (15.69) es independiente de la constante arbitraria C. Generalmente, el valor calculado de este cociente no satisfará la relación de dispersión (15.69) para los valores de M , W e, κ y Ω especificados. Para encontrar el autovalor Ω que satisface (15.69) para valores fijados del resto de los par´ ametros será necesario realizar un procedimiento iterativo; por ejemplo, Newton-Raphson.

Figura 15.5: Factores de crecimiento adimensionales como función del n´ umero de onda adimensional para valores diferentes del n´ umero de Weber. En la Figura 15.5 se representa el factor de crecimiento de las perturbaciones Ωi = ωi Rl /U∞ como función del n´ umero de onda adimensional κ para varios valores del n´ umero de Weber W e; en los cálculos se ha supuesto nulo el espesor de la capa l´ımite (t → 0), se ha considerado el modo simétrico m = 0 y se ha tomado un valor de M = 1000. Es interesante observar que el rango de longitudes de onda de las perturbaciones que son inestables es aqu´ı considerablemente mayor que en el caso anterior (compárense los valores de las abcisas de las Figuras 15.4 y 15.5). Para n´ umeros de onda adimensionales menores de la unidad, κ < 1, el comportamiento del factor de crecimiento con el n´ umero de Weber es análogo al caso anterior; esto es, Ωi disminuye cuando W e aumenta. Sin embargo, este comportamiento se invierte para longitudes de onda menores κ > 1, para las que Ωi aumenta con el n´ umero de Weber. Para longitudes de onda grandes, κ 1, el mecanismo inestabilizante que domina el proceso de rotura es el de la componente de la tensión superficial sobre una sección diametral del chorro y al aumentar el n´ umero de Weber (disminuir el efecto de la tensión superficial) su efecto desestabilizante disminuye. Por el contrario, para longitudes de onda peque˜ nas, el mecanismo desestabilizante dominante es aerodinámico, del tipo de Kelvin-Helmholtz, y su efecto aumenta al hacerlo el n´ umero de Weber. Debe mencionarse aqu´ı que, para longitudes de onda peque˜ nas, el efecto desestabilizante de la tensión superficial sobre una sección diametral del chorro está compensado con el efecto estabilizante de la componente de la tensión superficial sobre una sección longitudinal del chorro. El efecto del espesor de capa l´ımite sobre la estabilidad del chorro puede analizarse en la Figura 15.6 donde se representan valores del factor de crecimiento como función del n´ umero de onda para varios valores del espesor de capa l´ımite t; en los cálculos se ha tomado W e = 15 y M = 1000. Los casos t = 0 y t = ∞ corresponden respectivamente a las inestabilidades de Kelvin-Helmholtz estudiadas anteriormente. Si se parte del caso t = 0, el factor de crecimiento de las perturbaciones Ωi crece, y por tanto el chorro se hace más inestable, cuanto mayor es el espesor de capa l´ımite t.


432

Figura 15.6: Factores de crecimiento adimensionales como función del n´ umero de onda adimensional para valores diferentes del espesor adimensional de capa l´ımite.

N´ otese también que la longitud de onda para la que Ωi es máximo disminuye cuando t aumenta. Sin embargo, este comportamiento se invierte para valores de t superiores a 0,005 para los que Ωi disminuye cuando t crece mientras que aumenta la longitud de onda para la que Ωi es máximo.

15.5.

Inestabilidad centr´ıfuga

La inestabilidad de un fluido homogéneo provocada por efectos de rotación fue considerada primeramente por Couette, quien investigó experimentalmente el flujo de un fluido entre dos cilindros coaxiales, uno de los cuales puede girar relativamente respecto del otro. Couette encontró que para valores suficientemente peque˜ nos de la velocidad angular el momento resistente del fluido sobre el cilindro variaba linealmente con la velocidad angular, Ω, pero que para valores mayores de Ω, el momento variaba con una potencia mayor de Ω; este cambio brusco fue atribuido a la transici´ on del régimen laminar al turbulento. Posteriormente, fue Taylor el primero en observar experimentalmente la existencia de un flujo estacionario secundario, superpuesto al de Couette, en la forma de vórtices toroidales regularmente espaciados a lo largo del eje de los cilindros, como se muestra en la fotograf´ıa de la Figura 15.7.6 El mismo tipo de inestabilidad centr´ıfuga aparece también en la corriente en un canal cuya l´ınea media longitudinal es curva o en la capa l´ımite a lo largo de una pared cóncava. En el experimento de la Figura 7, aceite, conteniendo polvo de aluminio para la visualización de la estructura del movimiento, llenaba el espacio entre dos cilindros concéntricos. El cilindro exterior era fijo mientras que el interior, de radio relativo 0,727 veces el del exterior, giraba con una velocidad angular 9,1 veces mayor que la cr´ıtica a la que aparecen los torbellinos toroidales descritos en la Figura 15.7. 7 Los primeros análisis de estabilidad del flujo de un l´ıquido entre dos cilindros giratorios, flujo circular de Couette, se deben a Rayleigh, quien ignor´ o el efecto de la viscosidad para explicar el mecanismo de inestabilidad. El argumento de Rayleigh parte de la conservaci´ on del momento cinético de las part´ıculas a lo largo de sus trayectorias. En efecto, si se parte de la ecuación de cantidad de movimiento seg´ un el eje acimutal en un flujo no viscoso y con simetr´ıa axial se tiene Dvθ ∂vθ vr vθ ∂vθ vθ =0= ; (15.78) + + vr + Dt r ∂t ∂r r 6 7

De M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, 1982. J. E. Burkhalter y E. L. Koschmieder, Phys. Fluids, 17, 1929-1935, 1974.

433

15.5. Inestabilidad centr´ıfuga

Figura 15.7: Vórtices de Taylor axilsimétricos.

multiplicando esta ecuación por r se obtiene ∂(rvθ ) D(rvθ ) ∂(rvθ ) = + vr = 0, Dt ∂t ∂r que muestra que el momento cinético de una part´ıcula fluida L = rvθ se mantiene constante en su movimiento, donde el valor de L var´ıa de una l´ınea de corriente a otra. Si una part´ıcula fluida que se mueve a lo largo de la l´ınea de corriente de radio r con un momento cinético L(r) se trasladase por efecto de cualquier perturbaci´ on a otra l´ınea de corriente de radio r + dr, la velocidad de esa part´ıcula fluida y la fuerza centr´ıfuga que experimentar´ıan ser´ıa, en virtud de la conservaci´ on del momento angular, ρvθ2 ρL2 L . (15.79) y = vθ = r + dr (r + dr) (r + dr)3 La fuerza centr´ıfuga del fluido no perturbado en la l´ınea de corriente r + dr en la que las part´ıculas fluidas poseen un momento cinético L + dL es ρ[L2 + 2L(dL/dr)dr] ρ[L + (dL/dr)dr]2 ρvθ2 . = 3 r + dr (r + dr) (r + dr)3

(15.80)

Si (15.80) fuese mayor que (15.79), lo que suceder´ıa si el cuadrado del momento angular creciese monótonamente con r, dL2 (r) dL = > 0, (15.81) 2L dr dr la part´ıcula fluida tender´ıa espont´ aneamente hacia su posición no perturbada y el movimiento circular de Couette ser´ıa estable. Un criterio de estabilidad m´ as riguroso que el anterior se obtiene a partir del estudio de la estabilidad de la soluci´ on de Couette que describe el flujo de un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad µ entre cilindros concéntricos, de radios R1 y R2 , (R2 > R1 ), que giran coaxialmente con velocidades Ω1 y Ω2 respectivamente; la altura de los cilindros se supone muy grande frente a sus di´ ametros. El campo de velocidades y presiones de este flujo básico, estudiado en 7.2.4 [véase (7.100)-(7.102)], es p − po A2 B B + 2 A B ln r − 2 , (15.82) y = V (r) = Ar + r ρ 2 r2 2r donde po es una presión de referencia y A y B son constantes que vienen determinadas por las condiciones de contorno en las paredes de los cilindros [V (R1 ) = Ω1 R1 , V (R2 ) = Ω2 R2 ] A=

Ω2 R22 − Ω1 R12 R22 − R12

y

B=

(Ω1 − Ω2 )R12 R22 R22 − R12

(15.83)


434

Para este flujo el criterio de estabilidad de Rayleigh (15.81) proporciona la desigualdad dL2 = 4Ar[Ar2 + B] ≥ 0 ) dr

(15.84)

y si en ella se sustituyen los valores de A y B dados por (15.83) es f´ acil ver que el criterio (15.84) se satisface si Ω2 /Ω1 ≥ (R1 /R2 )2 . Para estudiar la estabilidad del flujo b´ asico (15.82)-(15.83) y obtener un criterio más exacto que el anterior se supondr´ a que la corriente perturbada es de la forma [ur , V (r) + uθ , uz ] y (p + p ), [(ur ∼ uθ ∼ uz V (r)), p p]. En este supuesto las ecuaciones de Navier-Stokes ya linealizadas se reducen a 1 ∂(rur ) 1 ∂uθ ∂uz + + = 0, (15.85) r ∂r r ∂θ ∂z 2 ∂uθ V (r) ∂ur ∂ur 1 ∂p ur 2 + + ν ∇ ur − 2 − 2 − 2uθ = − , (15.86) ∂t r ∂θ ρ ∂r r r ∂θ V 1 ∂p 2 ∂u V (r) ∂uθ dV u ∂uθ + ur = − + + + ν ∇2 uθ − 2θ + 2 r , (15.87) ∂t r ∂θ dr r ρr ∂θ r r ∂θ V (r) ∂uz 1 ∂p ∂uz + =− + ν∇2 uz , ∂t r ∂θ ρ ∂z

(15.88)

donde ∇2 ≡=

∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + + . ∂r2 r ∂r ∂z 2 r2 ∂θ2

La resolución general de las ecuaciones (15.85)-(15.88) es, todav´ıa hoy, objeto de investigaci´ on; sin embargo, su análisis se simplifica extraordinariamente si el estudio se restringe al caso de perturbaciones axilsimétricas que como muestran los experimentos conducen, para valores especiales del espacio de parámetros del problema, a un flujo secundario estacionario en la forma de v´ ortices toroidales espaciados regularmente a lo largo del eje de los cilindros. Suponiendo perturbaciones axilsimétricas (∂/∂θ = 0), introduciendo la funci´ on de corriente ψ definida en la forma rur = ψz y ruz = −ψr , (15.89) donde los sub´ındices z y r indican derivaci´ on respecto a la variable indicada, el resultado de restar la ecuación (15.88) derivada respecto a r de (15.86) derivada respecto a z se escribe 2V ∂uθ ∂ 1 1 1 ∗2 = ψzz + ψrr − ψr −ν ∇ − 2 , (15.90) ∂t r r r r ∂z junto con

dV V ψz 1 ∂ ∗2 uθ = − + , −ν ∇ − 2 ∂t r dr r r

(15.91)

donde ∇∗2 =

∂2 1 ∂ ∂2 + + 2. 2 ∂r r ∂r ∂z

El sistema (15.90)-(15.91) debe resolverse sujeto a las condiciones de velocidad de perturbación nula sobre los cilindros ψz (z, R1 ) = ψr (z, R1 ) = uθ (z, R1 ) = ψz (z, R2 ) = ψr (z, R2 ) = uθ (z, R2 ) = 0.

(15.92)

435


Es conveniente escribir el sistema de ecuaciones (15.90)-(15.91) y condiciones (15.92) en forma adimensional introduciendo las variables y par´ ametros adimensionales siguientes η=

r − 1, R1 V ∗ (η) =

φ(η) =

0≤η≤

R2 − 1 = ρ∗ − 1, R1

ρ∗ =

R2 , R1

χ=

Ω2 , Ω1

V (r) ρ∗2 − 1 ρ∗2 (1 − χ) 1 =1+η+ , ∗2 Ω1 R1 χρ − 1 χρ∗2 − 1 1 + η

ψ(r, z) −i(kz−ωνt/R12 ) e Ω1 R13

y

v(η) =

uθ (r, z) −i(kz−ωνt/R12 ) e ; Ω1 R1

se tiene entonces

¨ ˙ 2 2 1 d 1 ikR1 T 1/2 V ∗ v d2 2 2 φ − φ/(1 + η) − k R1 φ − =− − k R , iω + 2 + 1 2 dη 1 + η dη (1 + η) 1+η 1+η

∗ V∗ 1 d 1 d2 φ dV 2 2 1/2 + − iω + 2 + − k R1 v = T ikR1 , dη 1 + η dη (1 + η)2 1+η dη 1+η donde 4Ω21 R14 T = ν2

χρ∗2 − 1 ρ∗2 − 1

(15.93) (15.94) (15.95)

(15.96) (15.97)

2 (15.98)

es el n´ umero de Taylor. En las variables adimensionales, las condiciones de contorno se expresan ˙ ∗ − 1) = v(ρ∗ − 1) = 0. ˙ φ(0) = φ(0) = v(0) = φ(ρ∗ − 1) = φ(ρ

(15.99)

La resolución del problema de autovalores (15.96), (15.97) y (15.99) proporcionan una relaci´ on de dispersión de la forma F (ω, kR1 , T, χ, ρ∗ ) = 0, y el cambio de estabilidad o estabilidad marginal, que corresponde al caso ω = 0, proporciona el n´ umero de Taylor cr´ıtico Tc para cada valor de la longitud de onda adimensional kR1 una vez fijados los valores de ρ∗ y χ. Nos limitaremos aqu´ı a la resolución del problema (15.96), (15.97) y (15.99) para el caso en que la separación entre cilindros R2 − R1 sea peque˜ na comparada con el radio del cilindro interior R1 , (R2 − R1 )/R1 = ρ∗ − 1 1, η ∼ (ρ∗ − 1) 1. En este caso la velocidad V ∗ de la corriente sin perturbar se simplifica desarrollando en serie (15.94) para valores de ρ∗ − 1 ∼ η 1; se tiene entonces 2 (ρ∗ − 1) (15.100) , 0 ≤ η ≤ ρ∗ − 1 1. V ∗ (η) = 2η + χ−1 Por otra parte, es fácil comprobar que las ecuaciones (15.96) y (15.97) para el caso ω = 0, η 1 se reducen a ρ∗2 − 1 d 1/2 2 2 φ = −T ikR1 2η + v, (D − 1) D − 2 (15.101) dη χ−1 y (D2 − 1)v = 2T 1/2 ikR1 φ, (15.102) donde el operador diferencial D2 se define D2 =

d d2 + − k 2 R12 . dη 2 dη

(15.103)

Aplicando el operador diferencial (D2 − 1)D2 a la ecuación (15.102) y teniendo en cuenta (15.101) se obtiene la ecuación diferencial ordinaria de sexto orden para el c´ alculo de las autofunciones v ρ∗ − 1 d v = 2T k 2 R12 2η + v. (D2 − 1)2 D2 − 2 (15.104) dη χ−1


436

Las cuatro condiciones de contorno para v, adicionales a las dos dadas en (15.99), se obtienen a partir de la ecuación (15.102) y de su derivada respecto a η evaluadas en η = 0 y η = ρ∗ − 1. En efecto, teniendo en cuenta (15.99), la ecuación (15.102) evaluada en η = 0 y η = ρ∗ − 1 resulta dv dv d2 v d2 v + =0 y + = 0; (15.105) dη 2 0 dη 0 dη 2 ρ∗ −1 dη ρ∗ −1 por otra parte, la derivada respecto a η de la ecuación (15.102) evaluada en ambos cilindros proporciona d2 v d3 v d2 v dv d3 v dv 2 2 2 2 + −(k R1 +1) =0 y + −(k R1 +1) = 0. (15.106) dη 3 0 dη 2 0 dη 0 dη 3 ρ∗ −1 dη 2 ρ∗ −1 dη ρ∗ −1 La resolución del problema de autovalores, formado por la ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal de sexto orden (15.104) y las condiciones de contorno para v dadas en (15.99), (15.105) y (15.106), suministra el n´ umero de Taylor cr´ıtico Tc (k) para cada k de modo que para valores del n´ umero de Taylor superiores a Tc (k), con k fijado, la soluci´ on de reposo es inestable frente a perturbaciones de longitud de onda 2π/k. El valor m´ınimo de la funci´ on Tc (k) = T ∗ define el l´ımite de estabilidad ∗ de la solución investigada de modo que para T < T el estado de fluido en reposo es estable frente a cualquier perturbaci´ on siempre que su amplitud sea peque˜ na. Aunque el problema (15.104), (15.99), (15.105) y (15.106) es lineal su resoluci´ on numérica requiere cierta elaboración. En efecto, la integraci´ on numérica de la ecuación (15.104) de sexto orden desde η = 0 requiere conocer all´ı el valor de la funci´ on y de sus cinco primeras derivadas. Dado que en η ∗ = 0 se conocen sólo tres [las otras tres están impuestas en η = ρ∗ − 1] existen entonces tres grados de libertad para arrancar la integraci´ on desde η = 0 v(η) = a1 η −

a1 2 a1 2 2 η + (k R1 + 2)η 3 + a4 η 4 + a5 η 5 ; 2 6

(15.107)

la determinación de la terna de valores (a1 , a4 , a5 ) que, arrancando la integraci´ on numérica desde el origen, permite obtener la solución no trivial que cumple las tres restantes condiciones de contorno en η = ρ∗ − 1 implica un coste computacional excesivo. Sin embargo, si se hace uso de la linealidad del problema, es posible construir la soluci´ on v(η) a partir de tres soluciones numéricas independientes (v1 , v2 , v3 ) en la forma v(η) = C1 v1 (η) + C2 v2 (η) + C3 v3 (η),

(15.108)

donde C1 , C2 , y C3 son constantes a determinar y las tres soluciones numéricas v1 , v2 , v3 , satisfacen en η = 0 las condiciones siguientes d5 v1 d4 v1 = = 0, v1 (0) = dη 4 η=0 dη 5 η=0 dv1 = 1, dη η=0

y

d2 v1 = −1, dη 2 η=0

d3 v1 = 2 + (k 2 R12 ), dη 3 η=0

(15.109)

d2 v2 d3 v2 d5 v2 dv2 = = = = 0, v2 (0) = dη η=0 dη 2 η=0 dη 3 η=0 dη 5 η=0

d4 v2 = 1, dη 4 η=0

(15.110)

d2 v2 d3 v3 d4 v3 dv3 = = = = 0, v3 (0) = dη η=0 dη 2 η=0 dη 3 η=0 dη 4 η=0

d5 v3 = 1. dη 5 η=0

(15.111)

437


Nótese que la función v(η) definida en (15.108) satisface las condiciones en η = 0. Fijando entonces los valores de ρ∗ , χ, kR1 y T , y arrancando la integraci´ on numérica de la ecuación (15.104) desde el origen con las condiciones (15.109-15.111) se determinan las funciones v1 ,v2 , y v3 y sus derivadas en η = ρ∗ −1. Para garantizar entonces el cumplimiento de las condiciones de contorno en η = ρ∗ − 1, los coeficientes C1 , C2 , y C3 en (15.108) deben satisfacer el sistema de ecuaciones algebraico siguiente (15.112) C1 v1 + C2 v2 + C3 v3 = 0, C1 C1

dv1 d2 v1 + dη 2 dη

+ C2

d2 v2 dv2 + dη 2 dη

+ C3

d2 v3 dv3 + dη 2 dη

=0

3 d v2 d2 v1 d 2 v2 dv1 dv2 d3 v1 2 2 2 2 + C + + − (k R + + − (k R + 1) 1) 2 1 1 dη 3 dη 2 dη dη 3 dη 2 dη 3

d2 v3 d v3 dv3 2 2 + − (k R + = 0, C3 1) 1 dη 3 dη 2 dη

(15.113)

(15.114)

donde las funciones v1, v2 , v3 y sus derivadas, en el sistema (15.112)-(15.114), están evaluadas en η = ρ∗ − 1.

Figura 15.8: Valores del n´ umero de Taylor como función de Ω2 /Ω1 , para varios valores de R2 /R1 .

Naturalmente, este sistema homogéneo tiene solución distinta de la trivial (C1 = C2 = C3 = 0) sólo si el determinante de los coeficientes es nulo. Para valores dados de ρ∗ , χ y kR1 , esto ocurre para un conjunto discreto y numerable de valores del n´ umero de Taylor; esto es, los n´ umeros de Taylor cr´ıticos de cada modo para una longitud de onda dada. Para cada longitud de onda existirá, por tanto, un m´ınimo del n´ umero de Taylor cr´ıtico. Se denomina n´ umero de Taylor cr´ıtico al menor de todos ellos, por ser el que asegura que por debajo de él el flujo b´ asico es estable frente a perturbaciones de peque˜ na amplitud. En la Figura 15.8 se representa el valor del n´ umero de Taylor cr´ıtico Tc como función de χ = Ω2 /Ω1 para varios valores de ρ∗ = R2 /R1 .8 Obsérvese que, de acuerdo con el criterio de Rayleigh, 8 Los c´ alculos numéricos fueron realizados por Eva Bravo, estudiante de doctorado del Laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla.


438

que es conservativo, el flujo básico es estable para valores de χ > (R1 /R2 )2 = (1,137)−2 = 0,774. Valores del n´ umero de Taylor cr´ıtico para otros valores del par´ ametro ρ∗ pueden obtenerse fácilmente mediante el procedimiento numérico descrito anteriormente. A partir de la Figura 15.8 se construye fácilmente el mapa paramétrico de estabilidad de la Figura 15.9, donde se ha incluido también el criterio de estabilidad de Rayleigh para completar; obsérvese que la corriente básica es siempre estable para valores de χ > (R1 /R2 )2 . Debe indicarse, finalmente, que los resultados obtenidos de aplicar la teor´ıa de estabilidad lineal presentan un acuerdo excelente con las observaciones experimentales. 3000 2500 2000

W 1 (R 1 ) 2 / n

Inestable

1500 1000

Estable

500 0 -1500

2 W 1 ( R 1 ) 2 = W 2 (R 2 )

-1000

-500

0

Criterio de Rayleigh

500

1000

1500

2000

2500

3000

W 2 (R 2 ) 2 / n

Figura 15.9: Mapa de estabilidad del flujo de un l´ıquido entre dos cilindros concéntricos.

15.6.

Estabilidad de corrientes paralelas

El estudio de la estabilidad de las corrientes paralelas y fundamentalmente los de la estabilidad y transición de capas l´ımites han recibido considerable atención por su trascendencia en el dise˜ no eficiente de turbomáquinas, submarinos y torpedos, aviones subs´ onicos y supersónicos, etc. Téngase en cuenta que el retraso de la transición de laminar a turbulenta de la capa l´ımite da lugar a una disminuci´ on sustancial de la resistencia y, por tanto, al consiguiente ahorro de combustible. En lo que sigue, consideraremos corrientes paralelas, como las de Couette y Poiseuille, y casiparalelas como capas l´ımites y otras capas delgadas. En realidad, la capa l´ımite es un flujo casi paralelo donde la componente de la velocidad normal a la pared, aunque peque˜ na, es distinta de cero; no obstante, y como se verá en lo que sigue, a los efectos de investigar su estabilidad, las corrientes casi-paralelas pueden tratarse como corrientes localmente paralelas. Considérese un flujo básico laminar y estacionario cuyo campo de velocidades y presiones es de la forma v = U (x, y, z) ex + V (x, y, z) ey + W (x, y, z) ez , p = Π(x, z), (15.115) donde la coordenada y es la distancia a la pared, y la componente V de la velocidad normal a la misma es peque˜ na comparada con las componentes U y W paralelas a la pared; por otra parte si δ es el espesor de la capa l´ımite y L es la longitud caracter´ıstica de variaci´ on de las velocidades U y W se tiene δ/L ∼ V /U ∼ V /W 1; en el caso de corrientes paralelas V = 0 y δ es el espesor de la capa.9 9 En el caso de un flujo b´ asico entre placas (corrientes de Couette y Poiseuille), δ debe sustituirse por la distancia entre placas h.

15.6. Estabilidad de corrientes paralelas

439

Si el flujo se expresa como superposición del indicado en (15.115) m´ as la perturbación en presión p (x, y, z, t) y velocidad v (x, y, z, t), las ecuaciones linealizadas que gobiernan el flujo perturbado son (15.116) ∇ · v = 0, ∂v + v · ∇v + v · ∇v = −∇p + ν∇2 v . (15.117) ∂t En el an´ alisis de estabilidad las perturbaciones se suponen temporal y espacialmente periódicas de frecuencia ω y longitud de onda λ que será a lo sumo del orden del espesor δ de la capa; esto es mientras que las componentes de la velocidad paralelas al flujo b´ asico var´ıan en distancias del orden de L, las velocidades de perturbación lo hacen en distancias del orden de λ L. Esto permite simplificar dr´ asticamente (15.117), ya que por una parte y a modo de ejemplo U

∂U ∂u U u u U u , ∼ ∼ ∂x λ ∂x L

(15.118)

y por otra parte las variaciones de U y W con x y z son tan peque˜ nas que en primera aproximación pueden tomarse como constantes e iguales a los valores de la velocidad en una sección de coordenadas xo , zo dada; (u , v , w ) son las componentes de la velocidad de perturbación seg´ un los ejes (x, y, z). En lo que sigue, se analizar´ a la estabilidad de una corriente localmente paralela de componentes U (xo , y, zo ) y W (xo , y, zo ). Teniendo en cuenta lo anterior el sistema de ecuaciones se reduce a ∂v ∂w ∂u + + = 0, ∂x ∂y ∂z 2 1 ∂p ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u ∂u ∂ u dU =− , + + +U +W +v +ν ∂t ∂x ∂z dy ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 ∂ 2 v ∂ 2 v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ v ∂v , + + +U +W =− +ν ∂t ∂x ∂z ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 2 1 ∂p ∂ 2 w ∂ 2 w dW ∂w ∂w ∂ w ∂w =− . + + +U +W + v +ν ∂t ∂x ∂z dy ρ ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(15.119)

(15.120) (15.121) (15.122)

El sistema de ecuaciones (15.119)-(15.122) se puede reducir a una ecuación que contenga una u ńica variable dependiente si se procede en la forma siguiente. En efecto, si al resultado de derivar (15.120) respecto a x se le suma el de derivar (15.122) respecto a z y se tiene en cuenta (15.119) se obtiene ∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂v ∂U ∂v ∂W ∂v − +U − +W − + + = ∂t ∂y ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂x ∂y ∂z ∂ 2 p ∂v 1 ∂ 2 p − ν∇2 + ; (15.123) − 2 2 ρ ∂x ∂z ∂y obsérvese que para obtener (15.123) se han despreciado términos tales como v ∂ 2 U/(∂x∂y) y v ∂ 2 W/(∂y∂z) frente a (∂v /∂x)(∂U/∂y) y (∂v /∂z)(∂W/∂y) debido a que λ L. Si a la ecuación (15.121) derivada dos veces respecto a x se le suma el resultado de derivar la misma ecuación dos veces respecto a z se obtiene una ecuación que restada al resultado de derivar (15.123) con respecto a y resulta 2 ∂ d U ∂v ∂ ∂ d2 W ∂v (15.124) +U +W ∇2 v − + = ν∇4 v . ∂t ∂x ∂z dy 2 ∂x dy 2 ∂z


440

Si se supone además que las perturbaciones, y en particular v , exhiben una dependencia espaciotemporal de la forma v (x, y, z, t) = (Uo2 + Wo2 )1/2 f (y)ei(kx x+kz z−ωt) ,

(15.125)

un los donde ω, kx , y kz son respectivamente la frecuencia de la perturbación y las componentes seg´ ejes x y z de su vector de onda, y se definen las variables y par´ ametros adimensionales siguientes η=

y , δ

¯= U

k¯x = kx δ,

(Uo2

U , + Wo2 )1/2

k¯z = kz δ,

¯ = W

Ω=

(Uo2

W , + Wo2 )1/2

ωδ , (Uo2 + Wo2 )1/2

la ecuación (15.124) se transforma en

2 2¯ 2 ¯ ¯ + k¯z W ¯ ) d f − (k¯x2 + k¯z2 )f − k¯x d U + k¯z d W f = (−Ω + k¯x U dη 2 dη 2 dη 2 4

2 i d f ¯2 + k¯2 ) d f + (k¯2 + k¯2 )2 f ; − 2( k − x z x z Reδ dη 4 dη 2 umero de Reynolds basado en el espesor de la capa l´ımite Reδ es el n´

(15.126)

(15.127)

(Uo2 + Wo2 )1/2 δ . (15.128) ν La ecuación (15.127) se denomina de Orr-Sommerfeld en honor de los primeros trabajos que sobre corrientes paralelas publicaron ambos autores en la primera década del siglo xx. Como condiciones de contorno de la ecuación de Orr-Sommerfeld se impondr´ a que la perturbaci´ on f y su derivada df /dη sean nulas en los l´ımites del dominio de la corriente básica. Dado que la ecuación diferencial (15.127) y las condiciones de contorno son homogéneas, la perturbación f será distinta de cero sólo para combinaciones especiales de los cuatro parámetros, k¯x , k¯z , Ω, y Reδ , involucrados. Obsérvese que si en (15.127) se definen las variables Reδ =

k˜2 = k¯x2 + k¯z2

y

¯ + k¯z W ¯, k˜V˜ = k¯x U

(15.129)

la ecuación resultante para el problema tridimensional con k˜ y V˜ es la misma que satisface el ¯ = 0 y k¯z = 0 en la ecuación (15.127). Cuando problema bidimensional resultante de hacer W el campo de velocidades es bidimensional, cualquier modo para el que k no es perpendicular a U se llama oblicuo. La amplificación de los modos oblicuos está gobernada por el perfil de velocidades básico U y, de acuerdo con la ecuación de Orr-Sommerfeld, su frecuencia sólo depende del valor de la proyecci´ on del vector de onda en la dirección de U . Sin embargo, la velocidad de crecimiento Ω/k¯ de los modos oblicuos (tridimensionales) inestables es menor que la de los ˜ Este resultado, conocido normales (bidimensionales) por ser mayor el n´ umero de onda k¯x < k. con el nombre de teorema de Squire, demuestra que en principio para obtener criterios suficientes de estabilidad basta con considerar el problema bidimensional. En lo que sigue se considerar´ a, ¯ = 0, por tanto, el problema bidimensional con variables y par´ ametros adimensionales k¯z = 0, W ¯ yU ¯ =U ¯ (η); la ecuación de Orr-Sommerfeld se escribe entonces en la forma k¯x = k,

2 4 2 ¯ d2 U i d f ¯2 d f 2d f 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −k f −k 2 f =− − 2k +k f . (15.130) (−Ω + k U ) dη 2 dη Reδ dη 4 dη 2 ´ No obstante, y como se verá posteriormente, el resultado de Squire no es siempre aplicable. Este es, por ejemplo, el caso en el que para alguna dirección del vector de onda tridimensional el perfil de velocidades presente un punto de inflexi´ on. Por otra parte, efectos no-lineales pueden también afectar a la validez del resultado de Squire.

15.6. Estabilidad de corrientes paralelas

15.6.1.

441

Estabilidad no viscosa. Ecuaci´ on de Rayleigh

La dificultad de la ecuaci´ on de Orr-Sommerfeld, extraordinaria para la capacidad computacional del tiempo en que dicha ecuación fue establecida, oblig´ o al empleo de métodos simplificados para el estudio de la estabilidad de las corrientes paralelas. La primera simplificaci´ on la introdujo lord Rayleigh al considerar despreciables los términos viscosos en la ecuación de Orr-Sommerfeld, simplificación plausible, ya que, por una parte, dichos términos son peque˜ nos para valores grandes del n´ umero de Reynolds Reδ y, por otra, parece razonable pensar, en principio, que los efectos viscosos contribuyen a la estabilidad del flujo desde que tienden a amortiguar las perturbaciones en el mismo.10 Como se verá en lo que sigue, el análisis de estabilidad no viscoso proporciona resultados de interés f´ısico (especialmente en flujos cuyo perfil de velocidades contiene un punto de ¨¯ = 0), pero deberá siempre tenerse en mente que suficientemente cerca de las paredes, inflexión, U el segundo término de la ecuación se hace importante independientemente de cuán alto sea el valor de Reδ .11 Si se desprecia el segundo miembro de (15.130), la ecuación de estabilidad se simplifica al reducirse a una de segundo orden denominada de Rayleigh, quien fue pionero en obtener resultados de interés a partir del análisis no viscoso. Rayleigh obtuvo el denominado criterio del punto ¨¯ = 0 que establece que un perfil de velocidades que posee de inflexi´ on del perfil de velocidades U un punto de inflexi´ on es inestable.12 Este resultado se obtiene fácilmente a partir de la ecuación de Rayleigh ¨¯ k¯U f = 0. L(f ) = f¨ − k¯2 f − ¯ ¯ (15.131) kU − Ω En efecto, si se construye la función ¨¯ k¯U f f ∗, f ∗ L(f ) − f L(f ∗ ) = f ∗ f¨ − f f¨∗ − 2 iΩI ¯ ¯ |k U − Ω|2

(15.132)

donde el s´ımbolo ∗ denota aqu´ı el conjugado de la cantidad compleja a la que afecta, y se integra entre 0 e ∞ se llega a, teniendo en cuenta las condiciones de los l´ımites [f (0) = f (∞) = f ∗ (0) = f ∗ (∞) = 0], ∞ ¨¯ U ∗ ΩI (15.133) ¯ − ΩR )2 + Ω2 f f dη = 0. (k¯U o I El resultado (15.133) conduce a dos posibles conclusiones: 1) ΩI = 0, en cuyo caso el flujo es marginalmente estable, o 2) o

∞

¨¯ U ∗ ¯ − ΩR )2 + Ω2 f f dη = 0. (k¯U I

(15.134)

¨ para perturbaciones que se amplifican, ΩI > 0. En este u ´ltimo caso, es fácil observar que excepto U cualquier otro factor en el integrando de (15.134) es positivo en cualquier regi´ on del flujo de modo que para que se cumpla la condici´ on (15.134) es necesario que U presente un punto de inflexi´ on en alg´ un punto del dominio.13 10

M´ as tarde se ver´ a que en algunos flujos paralelos, tales como flujo de Poiseuille, capas l´ımites aceleradas (gradiente de presiones favorable), la viscosidad juega un papel desestabilizante. 11 El t´ ermino viscoso puede también hacerse importante en un entorno de la denominada capa cr´ıtica en la que ¯ ¯ = Ω/k. U 12 En realidad, Rayleigh demostr´ o que la existencia de un punto de inflexi´ on es condici´ on necesaria de inestabilidad pero fue Tollmien quien mucho m´ as tarde demostr´ o que esta condici´ on era también suficiente W. Tollmien, Ein allgemeines kriterium der instabilit¨ at laminarer geschwindigkeitseverteilungen, Nachr. Ges. Wiss. G¨ ottingen, Math. Phys. Klasse, Fachgruppe I, 1, 79-114 (1935). English Transl. in NACA TM 792 (1936). 13 Obs´ ervese que la existencia de perturbaciones amortiguadas (ΩI < 0) parece, en principio, requerir también la condici´ on de existencia de un punto de inflexi´ on en el perfil de velocidades. Sin embargo, el resultado anterior s´ olo


442

Como es sabido, la existencia de un punto de inflexi´ on en el perfil de velocidades es debida, generalmente, a la presencia de un gradiente de presiones adverso. En el caso de un canal, o conducto, convergente donde el gradiente de presiones es favorable (la presi´ on disminuye aguas abajo), los perfiles de velocidad no poseen punto de inflexi´ on mientras que s´ı lo tienen en el caso de un conducto divergente, donde el gradiente de presiones es desfavorable. Lo mismo sucede en las capas l´ımites sobre obstáculos que se mueven en el seno de un fluido en reposo. Desde el borde de ataque del obstáculo al punto de m´ınima presión la capa l´ımite está sometida a un gradiente favorable de presiones que tiende a estabilizarla; m´ as allá del punto de presi´ on m´ınima la capa l´ımite es inestable. Es posible dar argumentos f´ısicos de estabilidad basados en la distribuci´ on de vorticidades del flujo b´ asico. En efecto, considérense dos capas l´ımites, una con gradiente de presiones desfavorable y la otra favorable cuyos perfiles de velocidad u(y) y vorticidad ω(y) = ∂v/∂x − ∂u/∂y −∂u/∂y se representan respectivamente en los esquemas (a) y (b) de la Figura 15.10.

(a )

(b ) y y

u

w

y y

u

w

Figura 15.10: Perfiles esquemáticos de velocidad y vorticidad en capas l´ımites con gradientes de presiones favorables y desfavorables.

Sup´ ongase que un torbellino, que puede representar una perturbaci´ on elemental de vorticidad se introduce en el flujo b´ asico de la Figura 15.10. Si dicha perturbaci´ on es negativa (sentido horario) tender´ a a decelerar el fluido situado debajo de la perturbaci´ on y a acelerar el que esta encima; se crea as´ı una diferencia de presiones que tiende a convectar la perturbaci´ on transversalmente alej´ andola de la pared. Si el perfil de velocidades tuviese un punto de inflexi´ on y la perturbaci´ on se localizase inicialmente entre este punto y la pared, el torbellino es convectado hacia zonas de mayor vorticidad (en módulo) y la perturbaci´ on inicial tender´ıa a amplificarse dando lugar a inestabilidad. Si el perfil no tuviese punto de inflexi´ on, la vorticidad del flujo b´ asico decrece monótonicamente desde la pared hacia el fluido y la perturbaci´ on inicial es siempre convectada hacia zonas de menor vorticidad tendiendo, por tanto, a disminuir.

15.7.

Estabilidad espacial

Hasta aqu´ı los análisis de estabilidad lineal han partido de la hip´ otesis de suponer real el n´ umero de onda k¯ y buscar los autovalores ΩR y ΩI para valores dados de k¯ y Re. Este tipo de an´ alisis, que tiene la ventaja de ser matemáticamente más simple (aparecen potencias de k¯ pero no de Ω en la ecuación de Orr-Sommerfeld), se denomina temporal mientras que a la inestabilidad que se aplica a perturbaciones amplificadas, ya que en términos f´ısicos el efecto de la viscosidad, por peque˜ no que sea, es condici´ on suficiente para asegurar la existencia de perturbaciones amortiguadas.

443

15.7. Estabilidad espacial

describe se le da el nombre de absoluta. Sucede, sin embargo, que si la perturbaci´ on inicial se genera en un punto del espacio, como ocurre en la investigaci´ on experimental de la estabilidad de capas l´ımites y otras corrientes paralelas,14 su amplitud decae con el tiempo en el punto en que se originó. Sin embargo, la perturbaci´ on es convectada aguas abajo del punto origen creciendo o decreciendo la amplitud de determinadas longitudes de onda como consecuencia de fenómenos de amplificación selectiva o de interferencia destructiva de aquellas longitudes de onda que no est´ an en fase. Si la perturbaci´ on convectada crece aguas abajo se dice entonces que el flujo básico es convectivamente inestable. Cuando la perturbaci´ on crece aguas arriba y abajo del punto origen, cambiando finalmente el estado del flujo b´ asico en todas partes, se denomina inestabilidad absoluta. La diferencia cualitativa entre los dos tipos de inestabilidad se puede observar en la Figura 15.11 donde se muestra la evolución de una perturbaci´ on en el plano (x, t) t

t

W>0

W<0

W>0

W<0 W<0

W<0

x

x

Figura 15.11: Propagaci´ on en el plano espacio-tiempo de una perturbaci´ on. Para modelar teóricamente la evolución de perturbaciones tales resulta más u ´til suponer que la frecuencia de la perturbaci´ on es real, Ω = ΩR , y buscar el autovalor complejo k¯ = k¯R + ik¯I para valores dados de ΩR y Re. Un modo normal de la perturbaci´ on se puede representar, por tanto, en la forma ¯ ¯ (15.135) f (y)e−kI x ei(kR x−ΩR t) ; ¯ k¯R y crece con x (x > 0) si k¯I x < 0. Obsérvese que dicho modo se propaga con velocidad Ω(k)/ los modos espaciales son, en principio, inadmisibles como soluciones en corrientes ilimitadas, pero pueden, sin embargo, describir suficientemente bien la evoluci´ on de una perturbaci´ on de frecuencia Ω para tiempos posteriores al instante en que ésta es generada en un punto localizado del dominio fluido. Este tipo de an´ alisis de estabilidad se denomina espacial y convectiva el tipo de inestabilidad que describe. Cuando la perturbaci´ on es la resultante de una superposición de modos normales, la interferencia entre ellos da lugar a que, en un instante de tiempo dado, la perturbaci´ on sea nula excepto en aquellos puntos en los que los diferentes modos están en fase. Como se vio en 11, esto implica que el paquete de ondas dispersivas se propague con la velocidad de grupo adimensional dΩ/dk¯R . Se ha demostrado que en el l´ımite de amplificación peque˜ na,15 los factores de amplificación de las perturbaciones en ambas descripciones están relacionados a través de la velocidad de grupo. En efecto, si el modo temporal se expresa en la forma ¯

f (y)eΩI t ei(kR x−ΩR t) ,

(15.136)

14 La perturbaci´ on es usualmente introducida vibrando una min´ uscula cinta o tira de un material apropiado, o variando arm´ onicamente con el tiempo la presi´ on a trav´ es de un peque˜ no agujero practicado en la pared. 15 Gaster, M. (1962), J. Fluid Mechanics 14, 222-224.


444

los factores exponenciales de (15.135) y (15.136) coincidir´ıan si ωI t = k¯I x,

ωI = k¯I x/t k¯I cg .

(15.137)

El u ´ltimo resultado de (15.137) se obtiene de arg¨ uir que la energ´ıa del modo que se amplifica viaja con la velocidad de grupo y por tanto x/t = dΩ/dk¯R . La u ´ltima de las relaciones (15.137) se ha usado en el pasado, cuando los métodos numéricos de análisis espacial no estaban suficientemente desarrollados; no obstante, siempre que los factores de amplificación sean peque˜ nos, la aproximaci´ on se sigue utilizando a´ un hoy d´ıa para proporcionar modelos de estabilidad espacial obtenidos a partir de resultados del análisis temporal.

15.7.1.

Estabilidad de una capa de mezcla

Considérese la capa de mezcla entre dos corrientes paralelas de un mismo fluido de velocidades on U1 y U2 como se indica en la Figura 15.12, y cuya solución numérica puede obtenerse por integraci´ del problema de semejanza descrito en el comentario de la nota al pie de página n´ umero 3 del Cap´ıtulo 14.

U1

U2 Figura 15.12: Esquema de una capa de mezcla de un fluido con distintas velocidades.

De acuerdo con el teorema de Rayleigh, este flujo básico es inestable (incluso a n´ umeros de Reynolds peque˜ nos) debido a la existencia de punto de inflexi´ on en el perfil de velocidades; no existe, por tanto, curva de estabilidad marginal. No obstante, puede ser de interés calcular la evolución de una perturbaci´ on de frecuencia Ω; esto es calcular k¯I y k¯R como funciones de la frecuencia y de los ¯ (η) conocido]. par´ ametros que determinan el flujo b´ asico una vez que éste ha sido determinado [U La resolución numérica de la ecuación de Rayleigh requiere en general la utilizaci´ on de métodos de disparo (shooting en la literatura anglosajona).16 No obstante, antes de comenzar la b´ usqueda de los autovalores es conveniente saber dónde buscarlos y delimitar, si es posible, la regi´ on del plano complejo donde se encuentran. En efecto, definiendo ¯ −Ω y X = k¯U

F = f /X,

(15.138)

y sustituyendo en (15.131) se obtiene f´ acilmente la ecuación de Rayleigh expresada en las nuevas variables [X 2 F ] − k¯2 X 2 F = 0; (15.139) 16 Recientemente, los m´ etodos numéricos denominados de colocaci´ on est´ an compitiendo con ventaja con los de shooting a la hora de determinar los autovalores complejos kR + ikI .

445

15.7. Estabilidad espacial se ha utilizado el s´ımbolo para denotar d/dη. Multiplicando (15.139) por F ∗ se obtiene d (X 2 F F ∗ ) − X 2 F F ∗ − k 2 X 2 F F ∗ = 0, dη

(15.140)

e integrando (15.140) entre 0 e ∞ se obtiene, después de imponer la condición F = 0 en ambos l´ımites, ∞ X 2 [F F ∗ + k¯2 F F ∗ ]dη = 0. (15.141) o ¯ es definida real y positiva y se buscan perSi se tiene en cuenta que la cantidad F F ∗ + k¯2 F F ∗ = R ¯ on (15.141) se desdobla, separando turbaciones con kI = 0 (perturbaciones no neutras), la condici´ en parte real e imaginaria, en la pareja de condiciones ∞ ∞ 2 2 ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ )2 + Ω2 − (k¯I U ¯ )2 − 2Ωk¯R U ¯] R ¯ dη = 0 [(kR U − Ω) − kI U ] R dη = [(k¯R U (15.142)

o

y

o

∞

¯ (k¯R U ¯ − Ω) R ¯ dη = 0. k¯I U

(15.143)

o

De (15.143) es fácil deducir que la velocidad de propagaci´ on de las ondas Ω/k¯R posee un valor ¯ intermedio entre las velocidades máxima y m´ınima de U (η) en el intervalo −∞ ≤ η ≤ ∞; esto es ¯min . ¯max ≥ Ω/k¯R ≥ U U Por otra parte,

∞

¯2 R ¯ dη ≤ U ¯2 U max

o

∞

¯ dη, R

(15.144)

(15.145)

o

de modo que sustituyendo esta desigualdad en (15.142) y teniendo en cuenta (15.143) se obtiene Ω2 2 − ¯2 . k¯I2 ≤ k¯R U

(15.146)

max

El comportamiento anal´ıtico de las soluciones de la ecuación de Rayleigh (15.131) que satisfacen ¨ = 0, son de la forma las condiciones de contorno en el infinito [f (∞) = f (−∞) = 0], donde U f ∼ e−kη

para η → ∞,

(15.147)

para η → −∞,

(15.148)

y f ∼ ekη

Si se fija un valor de Ω y se escoge arbitrariamente el valor del complejo k¯ [de acuerdo naturalmente con (15.144) y (15.146)], la ecuación de Rayleigh se puede integrar numéricamente arrancando con uno u otro de los comportamientos (15.147) y (15.148). Si se arranca con el comportamiento (15.147) se obtiene una curva f∞ (η) definida en el intervalo ∞ ≥ η ≥ ηo , donde ηo designa el punto donde arbitrariamente finaliza la integraci´ on numérica, mientras que si se arranca con el comportamiento (15.148) se obtiene una segunda curva f−∞ (η) con la variable independiente definida ahora en el intervalo ηo ≥ η ≥ −∞. Dado que k¯ ha sido escogido arbitrariamente, las dos curvas, soluciones de la ecuación de Rayleigh, no satisfar´ an en general condiciones de continuidad en el punto ηo ; esto es, en general no se cumplirán las condiciones f∞ (ηo ) = f−∞ (ηo ) y

f˙∞ (ηo ) = f˙−∞ (ηo ).

(15.149)


446

Figura 15.13: Factor de amplificación de las perturbaciones kI δ2 (x)/R como función de su frecuencia adimensional Ω = ωδ2 (x)/(2 π Um ). El perfil b´ asico investigado fue u(x, y) = 1 + R tanh [y/2 δ2 (x)].

No obstante, si se barre iterativamente el dominio complejo de autovalores es posible determinar numéricamente el valor especial de k¯ que para el valor de Ω especificado satisface las condiciones (15.149). Los resultados numéricos de la integración de la capa de mezcla siguiendo el método anteriormente descrito se dan en las Figuras 15.13 y 15.14. En la Figura 15.13 se representa el factor de amplificaci´ on adimensional k¯I = kI δ2 (x) calculado numéricamente como función de Ω = ωδ2 (x)/Um , para varios valores del par´ ametro adimensional R=

Umax − Umin U1 − U2 = ; U1 + U2 Umax + Umin

(15.150)

ω es la frecuencia de la perturbaci´ on, Um = (U1 + U2 )/2 = (Umax + Umin )/2 es la velocidad media, y δ2 (x) es el espesor de cantidad de movimiento en una sección x de la capa de mezcla (véase 14.3)

∞ u(x, y) u(x, y) 1− dy, (15.151) δ2 (x) = Umax Umax o donde u(x, y) es el perfil de velocidades básico de la capa de mezcla.17 Obsérvese que el factor de amplificaci´ on espacial presenta un máximo acusado para valores de ωδ2 /(2 π Um ) próximos a 0,034, que es la frecuencia adimensional de la perturbaci´ on que más rápidamente se desestabiliza en una capa de mezcla. Por otra parte, el valor del máximo del factor de amplificación de la perturbaci´ on crece con R, esto es, con la diferencia de velocidades, lo que quiere decir que la capa de mezcla se desestabiliza tanto más rápidamente cuanto mayor es la diferencia de velocidades. Como es sabido, la existencia de un máximo en el factor de amplificación indica que, en ausencia de perturbaciones forzadas, la perturbaci´ on que más rápidamente se desarrolla y que desestabiliza finalmente la capa de mezcla es aquella cuya frecuencia corresponde al valor máximo de kI δ2 . La comparación de los resultados de la teor´ıa lineal con los experimentales proporciona un acuerdo excelente entre ambos resultados. En efecto, en capas de mezclas no forzadas, la medida del espectro de potencia 17 Los c´ alculos numéricos fueron realizados por el Dr. José M. Gordillo cuando era estudiante de Doctorado en el laboratorio de Mec´ anica de Fluidos de la Universidad de Sevilla.

15.7. Estabilidad espacial

447

oxima a la encontrada de las perturbaciones exhibe un m´ aximo para ωδ2 /(2 π Um ) = 0,032, muy pr´ numéricamente a partir de la teor´ıa lineal de estabilidad. Un resultado interesante se muestra en la Figura 15.14 donde se representa la velocidad adimensional de propagación de las ondas ω/(kr Um ) referida a la velocidad media adimensional como función de la frecuencia adimensional para valores distintos del par´ ametro R. Obsérvese que la velocidad de las perturbaciones depende de la frecuencia (ondas dispersivas) para perturbaciones de frecuencia adimensionales menores que 0,034 mientras que para valores mayores apenas depende de la frecuencia.

Figura 15.14: Velocidad de propagaci´ on de las perturbaciones en una capa de mezcla como función de su frecuencia adimensional.

15.7.2.

Estabilidad de la capa l´ımite de Blasius

El teorema de Rayleigh, Sección 15.6.1, demuestra que las corrientes de Poiseuille y Couette, o la capa l´ımite de Blasius o las capas l´ımites con gradiente de presiones favorables son estables aun a n´ umeros de Reynolds tendiendo a infinito. La raz´ on es que en el análisis de estabilidad no viscoso, estas corrientes son estables porque el perfil de velocidades básico carece de punto de inflexión (gradiente de presiones favorable). Sin embargo, a n´ umeros de Reynolds finitos, los resultados experimentales muestran que estas corrientes son inestables y que, por tanto, la viscosidad debe jugar un papel importante en la desestabilizaci´ on de estos flujos. Para entender el mecanismo de desestabilización debe atenderse al hecho de que la viscosidad puede modificar la fase de las perturbaciones y hacer que el trabajo mecánico de la presión, u ∂p /∂x + w ∂p /∂z, que traspasa energ´ıa del flujo b´ asico a la perturbación, sea no nulo cuando se promedia en un periodo, o a través de una longitud de onda; en este caso, se extrae energ´ıa del flujo b´ asico que hace crecer la amplitud de las perturbaciones y el flujo es inestable. La estabilidad de flujos paralelos a n´ umeros de Reynolds finitos fue desarrollada primeramente por Heisenberg, Tollmien y Schlichting, entre otros, quienes desarrollaron, en los alrededores de 1930, varios métodos asintóticos, para la resolución de la ecuación de Orr-Sommerfeld en el caso de grandes valores del n´ umero de Reynolds. Hoy d´ıa la capacidad y potencia computacional de los ordenadores permiten la resolución numérica del problema planteado, aunque como se ver´ a las dificultades de integraci´ on requieren la utilizaci´ on de técnicas de renormalización para una soluci´ on correcta del problema numérico.


448

Por ejemplo, si se desea calcular la curva de estabilidad neutra kI = 0 y kR = k, el procedimiento para la integraci´ on numérica es el que sigue. El primer paso consiste en el cálculo del comportamiento de las soluciones de la ecuación de Orr-Sommerfeld en el infinito de la capa l´ımite, que dado su carácter lineal es f = C1 ep1 η + C2 ep2 η + C3 ep3 η + C4 ep4 η , donde p1 = −k,

p2 = k,

p3 = − k 2 + i(kU∞ − Ω)Reδ

y

p4 =

(15.152)

k 2 + i(kU∞ − Ω)Reδ ; (15.153)

por otra parte, la perturbaci´ on f en el infinito tiene que ser acotada y por tanto su comportamiento es de la forma (15.154) f = C1 ep1 η + C3 ep3 η . Obsérvese que la rama de p1 corresponde a una solución no viscosa mientras que p3 es la rama viscosa. Para un valor dado del n´ umero de Reynolds y fijada una pareja de valores Ω y k ambos reales, es posible obtener una solución numérica de la ecuación de Orr-Sommerfeld, que denominaremos φ1 (η) si se arranca la integración con el comportamiento (15.154) y C1 = 1 y C3 = 0. An´ alogamente si se arranca con C1 = 0 y C3 = 1 se obtiene otra solución φ3 (η) que es linealmente independiente de φ1 , de modo que, en virtud de la linealidad del problema se obtiene la solución f (η) = a1 φ1 (η) + a3 φ3 (η), donde las constantes a1 y a3 deben determinarse imponiendo las condiciones de contorno en la pared f (0) = a1 φ1 (0) + a3 φ3 (0) = 0

y

f˙(0) = a1 φ˙ 1 (0) + a3 φ˙ 3 (0) = 0.

(15.155)

El problema homogéneo (15.155) posee solución distinta de la trivial (a1 = 0, a3 = 0) sólo si el determinante de los coeficientes es nulo, lo que ocurrirá u ´ nicamente si para la pareja de valores Ω y Reδ se ha escogido el valor de k apropiado (autovalor). Sucede, sin embargo, que si se intenta llevar a cabo el método descrito más arriba se encuentra que la solución φ3 correspondiente al modo viscoso crece de una manera tan desmesurada cuando se integra desde el infinito hacia la pared que el computador no distingue entre f (η) y φ3 (η); en otras palabras, se puede decir que las dos soluciones φ1 y φ3 no son linealmente independientes y la solución no puede construirse por combinaci´ on lineal de ellas. Cuando un proceso tal sucede durante la integraci´ on numérica es u ´ til aplicar algunos de los métodos denominados de ortogonalización, como por ejemplo el de Gram-Schmidt. Básicamente, la idea consiste en parar la integración en alg´ un punto del intervalo, antes de que φ3 haya crecido suficientemente, y redefinir en ese punto la base de vectores independientes a partir de la que se construye la solución numérica; el proceso de integraci´ on se realiza a través de varios intervalos redefiniendo en cada uno la base de vectores. En efecto, se puede considerar que en cada punto del dominio de integraci´ on la solución f y su derivada f˙ están relacionadas con las soluciones numéricas φ1 y φ3 a través de una trasformación lineal bien definida en cada punto del intervalo de integraci´ on. Se puede considerar, entonces, que f y f˙ son las componentes de un vector. Si las integraciones numéricas se paran en un cierto punto η1 se tendrán definidos all´ı dos vectores V1 y V3 de componentes [f (η1 ), f˙(η1 )] resultantes de las dos integraciones numéricas realizadas. Se define la nueva base V1 , V3 mediante la relación siguiente. Vi = Aij Vj ,

(15.156)

donde los sub´ındices i y j valen 1 y 3 respectivamente y la matriz 2 × 2 Aij debe satisfacer condiciones apropiadas para que la nueva base sea normalizada y ortogonal. En el método de Gram-Schmidt A11 = A33 = 1, A12 = 0 y A21 = 0 depende del punto donde se realiza la reortogonalizaci´ on. El proceso es repetido en cada una de las estaciones siendo la posición de éstas arbitraria, ya que el método se basa en la linealidad de la ecuación de Orr-Sommerfeld. Mediante este procedimiento se ha calculado la curva de estabilidad neutra de la Figura 15.15.

15.8. Inestabilidad térmica. Problema de Bénard

449

Figura 15.15: Curva de estabilidad neutra de la capa l´ımite de Blasius.

15.8.

Inestabilidad t´ ermica. Problema de B´ enard

Es de antiguo conocido que cuando la densidad de un fluido en reposo aumenta con la altura las fuerzas de flotabilidad tienden a desestabilizar el estado de reposo. En efecto, si como consecuencia de una perturbaci´ on una part´ıcula experimenta un desplazamiento desde el nivel z al z + ∆z, la densidad media de la part´ıcula será ligeramente inferior a la de su entorno si ∆z es positivo y debido a las fuerzas de flotabilidad tender´ a a subir a´ un más; es claro que si ∆z < 0, la densidad de la part´ıcula es superior a la del entorno y tender´ a a bajar apart´ andose más de la situación de reposo. Naturalmente, para que este análisis sea completo deben tenerse en cuenta los efectos de la viscosidad, que se oponen a las fuerzas desestabilizadoras (la flotabilidad) y tienden a estabilizar la situación de equilibrio fluidost´ atico; la conducción de calor es también un efecto estabilizador dado que tiende a disminuir las diferencias de temperatura y, por tanto, de densidades entre cualquier punto del fluido y su entorno. Como se ver´ a en lo que sigue, para que el estado de reposo sea incompatible y el movimiento convectivo aparezca no sólo se requiere que el gradiente de densidades sea negativo, dρ/dz < 0, sino que su módulo |dρ/dz| sea mayor que un cierto valor denominado cr´ıtico. El ejemplo más clásico de inestabilidad térmica se presenta cuando una capa delgada, horizontal, de un fluido se calienta desde abajo. Los primeros experimentos cuantitativos fueron realizados por Bénard en 1900, en los que utiliz´ o capas de l´ıquido muy finas sobre una placa met´ alica, horizontal, a temperatura uniforme. La superficie superior de la capa de l´ıquido, en contacto con el aire, se manten´ıa a una temperatura inferior a la de la placa met´ alica. Bénard observó que al aumentar la temperatura de la placa inferior se alcanzaba un estado cr´ıtico a partir del cual la situaci´ on de reposo se hac´ıa inestable y daba lugar a un movimiento convectivo, convecci´ on de Bénard, con una estructura, bien definida, de celdas (celdas o rollos de Bénard), véase Figura 15.17, en las que el fluido ascend´ıa por el centro de la celda y descend´ıa por los l´ımites de ésta con sus vecinas. En cuanto a la geometr´ıa de las celdas, éstas eran normalmente hexagonales, aunque también bajo ciertas condiciones adoptan otras formas cuadrilaterales y triangulares. En geometr´ıas bidimensionales, el movimiento adopta la estructura de rollos si se ha sobrepasado ligeramente el valor cr´ıtico del n´ umero de Rayleigh.

450


Figura 15.16: Celdas de convección en una capa de l´ıquido calentada desde abajo. En la fotograf´ıa pueden verse algunas imperfecciones que ocasionalmente rompen el modelo de celdas hexagonales. El experimento se realizó con aceite de silicona sobre una placa de cobre a temperatura uniforme. Se anádio polvo de aluminio al aceite para la visualizaci´ on de las celdas; E. L. Koschmieder, Adv. Chem. Phys., 26, 177-212, 1974. También en M. van Dyke, An Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, 1982.

La teor´ıa de la inestabilidad térmica de una capa de l´ıquido calentada desde abajo fue formulada por Rayleigh en 1916 y sus predicciones acuerdan bien con los resultados experimentales en capas de fluidos con la capa superior limitada por una superficie met´ alica o si ésta es libre (en contacto con el aire) siempre que el espesor de la capa sea lo suficientemente grande como para minimizar los efectos de la tensión superficial.18 Para analizar teóricamente el problema de Bénard se considerará aqu´ı el caso de un l´ıquido en reposo confinado entre dos placas horizontales, infinitas y paralelas, separadas una distancia h. Las placas se mantienen a temperaturas T1 y T2 constantes, siendo la temperatura de la placa inferior T1 mayor que T2 . El campo de presiones correspondiente al estado en reposo viene definido por el balance entre las fuerzas másicas y las de presión ∂po = −ρo g [1 − β(To − Tr )], ∂z

(15.157)

18 Mucho m´ as tarde, Block en 1956 y Pearson en 1958 demostraron que los movimientos observados por Bénard en capas de l´ıquido con superficie libre y espesores del orden del mil´ımetro eran fundamentalmente debidas a variaciones de la tensi´ on superficial en la interfase l´ıquido-aire por las variaciones de temperatura existentes sobre la misma (convecci´ on de Marangoni), en vez de por la inestabilidad térmica de un fluido calentado desde abajo. No deja de ser curioso que a pesar de este descubrimiento, la convecci´ on en capas de fluido calentadas desde abajo se siga denominando convecci´ on de B´ enard.

451


mientras que el de temperaturas se obtiene de que el flujo de calor por conducci´ on sea constante ∂ 2 To = 0, ∂z 2

(15.158)

cuya integraci´ on dos veces, teniendo en cuenta las condiciones de contorno To (0) = T1 y To (h) = T2 proporciona T2 − T1 z, To (z) = T1 + (15.159) h Para simplificar el an´ alisis se ha hecho uso en (15.157) de la aproximaci´ on de Boussinesq ρ = ρo [1 − β(T − Tr )],

(15.160)

cuya validez requiere que la variaci´ on relativa de temperaturas entre placas sea peque˜ na (T1 − T2 )/T1 1; Tr es una temperatura de referencia y β es el coeficiente de expansión térmica del l´ıquido. Si se introduce (15.159) en (15.157) y se integra una vez se obtiene el campo de presiones del reposo po = po (0) − ρo gz[1 − β(T1 − Tr ) − β(T2 − T1 )z/(2h)], (15.161) donde la presi´ on po (0) es la presión del l´ıquido en la placa inferior. Para analizar la estabilidad de la soluci´ on (15.159)-(15.161), se buscan soluciones de las ecuaciones de Navier Stokes que sean superposición de la solución básica (reposo) más una solución de perturbaci´ on que se supone peque˜ na frente a la b´ asica; esto es p(x, t) = po (z) + p (x, t), T (x, t) = To (z) + T (x, t),

con p /po 1, con

T /To 1,

v(x, t) = v (x, t).

(15.162)

Introduciendo (15.162) en las ecuaciones de Navier-Stokes se obtiene, después de linealizar y retener solamente los términos de orden superior, el sistema de cinco ecuaciones diferenciales en derivadas parciales siguiente ∇ · v = 0, (15.163) ∂v 1 = − ∇p + gβT ez + ν∇2 v , ∂t ρo

(15.164)

∂T ∂To + vz = α∇2 T , ∂t ∂z

(15.165)

un donde ez es el versor unitario en la dirección z, vz representa la componente de la velocidad seg´ z, ν = µ/ρo y α = K/(ρo c) son los coeficientes de difusión viscosa y térmica del l´ıquido y c, µ, y K son respectivamente el calor espec´ıfico y los coeficientes de viscosidad y conductividad térmica del mismo, que en primera aproximaci´ on se supondr´ an independientes de la temperatura. Como condiciones de contorno se impondrá que la perturbaci´ on de la temperatura sobre las placas sea nula T (x, y, 0, t) = T (x, y, h, t) = 0. (15.166) Respecto a la velocidad v , las condiciones de contorno dependen de si la superficie superior est´ a en contacto con una pared sólida o es una superficie libre en contacto con el aire. En el caso de que las dos placas sean sólidas se impondrán las condiciones v (x, y, 0, t) = v (x, y, h, t) = 0;

(15.167)


452

conviene se˜ nalar que sobre cada una de las placas estas condiciones son equivalentes a vz = 0,

∂vy ∂vy ∂v ∂vx = = = x = 0, ∂x ∂y ∂x ∂y

y

∂vz = 0, ∂z

(15.168)

ya que sobre las placas v no var´ıa al variar x o y y la u ´ltima de las condiciones en (15.168) resulta de este hecho y de la ecuación de continuidad. Si la superficie superior fuese libre (limitada por aire) se impondr´ a sobre ella la condición de esfuerzo tangencial nulo. Es f´ acil demostrar que salvo infinitésimos de orden superior la superficie libre se puede suponer plana y situada en z = h, se tiene entonces ∂vy ∂vz ∂vz ∂vx vz (x, y, h, t) = 0, y τxz = µ + = τyz = µ + = 0. (15.169) ∂z ∂x ∂z ∂y Siguiendo los mismos argumentos que en el caso anterior es fácil comprobar que vz = f (x, y) y que por tanto ∂vy ∂ 2 vy ∂ 2 vx ∂vx = =0 y = = 0 en z = h; (15.170) ∂z ∂z ∂z∂x ∂z∂y y de la ecuación de continuidad ∂ 2 vz = 0 en z = h. (15.171) ∂z 2 Obsérvese que al sistema (15.163)-(15.165) no se le imponen condiciones iniciales, ni de contorno en x e y, puesto que en el análisis de estabilidad de la solución (15.159),(15.161) se considerarán soluciones particulares de(15.163)-(15.165) que sean periódicas en dichas variables. Es interesante adimensionalizar las ecuaciones y condiciones de contorno del problema utilizando h como longitud caracter´ıstica, h2 /α como tiempo caracter´ıstico de difusión térmica, h/α como velocidad caracter´ıstica, y como temperatura caracter´ıstica la diferencia T1 − T2 ; si se definen las variables adimensionales x∗ = x/h,

v∗ = v h/α,

t∗ = αt/h2 ,

T ∗ = T /(T1 − T2 ),

p∗ = p h2 /(ρo α2 )

(15.172)

y se introducen en el sistema (15.163)-(15.165) se obtiene ∇∗ · v∗ = 0,

(15.173)

∂v∗ = −∇∗ p∗ + RaP rT ∗ ez + P r∇∗2 v∗ , (15.174) ∂t∗ ∂T ∗ + vz∗ = ∇∗2 T ∗ , (15.175) ∂t∗ donde el s´ımbolo ∇∗ representa derivaci´ on frente a las variables espaciales adimensionales x∗ , P r = ν/α es el n´ umero de Prandtl y Ra =

gβ(T1 − T2 )h3 , αν

(15.176)

es el denominado n´ umero de Rayleigh, que mide la importancia relativa entre los efectos de flotabilidad y los difusivos. Con objeto de simplificar el an´ alisis matemático de estabilidad es conveniente transformar primero el sistema (15.173)-(15.175) para eliminar vx∗ , vy∗ y p∗ . Por ejemplo, si se toma la laplaciana de la componente vertical de la ecuación vectorial (15.174) se tiene ∂∇∗2 vz∗ ∂∇∗2 p∗ = − + RaP r∇∗2 T ∗ + P r∇∗2 ∇∗2 vz∗ ; ∂t∗ ∂z ∗

(15.177)

453


si se toma la divergencia de la ecuación (15.174) y se deriva el resultado respecto a z ∗ se obtiene Ra P r

∂∇∗2 p∗ ∂2T ∗ − = 0. ∗2 ∂z ∂z ∗

(15.178)

Sustituyendo finalmente (15.178) en (15.177) se llega a ∂∇∗2 vz∗ ∗ ∗2 ∗2 ∗ = RaP r∇∗2 1 T + P r∇ ∇ vz , ∂t∗

(15.179)

donde ∇∗2 1 =

∂ ∂ + ∗2 . ∂x∗2 ∂y

(15.180)

La ecuación (15.179) junto con (15.175) forman un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales para el cálculo de vz∗ y T ∗ . Como condiciones de contorno se usarán las condiciones de temperatura nula sobre las placas, (15.166), y para vz∗ la primera y la u ´ltima de las condiciones (15.168) ∂vz∗ ∂vz∗ ∗ ∗ vz (x, y, 0, t) = vz (x, y, 1, t) = 0, y = =0 (15.181) ∂z ∗ z∗ =0 ∂z ∗ z∗ =1 si las superficies que limitan el fluido son r´ıgidas, mientras que si la superficie de arriba es libre se impondr´ an, de acuerdo con (15.171), las condiciones ∂ 2 vz∗ ∂ 2 vz∗ ∗ ∗ = = 0. (15.182) vz (x, y, 0, t) = vz (x, y, 1, t) = 0, y ∂z ∗2 z∗ =0 ∂z ∗2 z∗ =1 La independencia de la soluci´ on básica (15.159), (15.161) y de las condiciones de contorno (15.166) y (15.181) [o (15.182) en el caso de superficie libre] de las coordenadas (x∗ , y ∗ ) y del tiempo sugiere la b´ usqueda de soluciones particulares de la forma vz∗ = ei(kx∗ x

∗

+ky∗ y ∗ −ωt∗ )

w(z ∗ ),

T ∗ = ei(kx∗ x

∗

+ky∗ y ∗ −ωt∗ )

θ(z ∗ ),

(15.183)

umeros de donde, como se indicó anteriormente, kx∗ y ky∗ , que se suponen dadas, representan los n´ onda de la perturbaci´ on en las direcciones x∗ e y ∗ . Sustituyendo (15.183) en (15.175) y (15.179) se obtienen el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias 2 d 2 − k + iω θ = w, (15.184) dz ∗2

iω d2 − k2 + dz ∗2 Pr

d2 2 − k w = Ra k 2 θ, dz ∗2

con las condiciones en los l´ımites, (15.181) o (15.182), dw dw = = θ(0) = θ(1) = 0, w(0) = w(1) = dz ∗ z∗ =0 dz ∗ z∗ =1 si el l´ımite superior es una placa r´ıgida o d2 w d2 w = = θ(0) = θ(1) = 0, w(0) = w(1) = dz ∗2 z∗ =0 dz ∗2 z∗ =1

(15.185)

(15.186)

(15.187)


454

si la superficie superior es libre. El problema de autovalores (15.184)-(15.187) determina el conjunto infinito y numerable de autovalores ωj y las autofunciones wj y θj para valores dados de los par´ ametros k, Ra y P r. El cambio de estabilidad o estabilidad marginal se obtiene resolviendo el problema (15.184)(15.185) con las condiciones (15.186) o (15.187) para ω = 0. Se tiene entonces 2 ∂ 2 θ = w, (15.188) − k ∂z ∗2 2 2 ∂ ∂ 2 2 −k − k w = Rak 2 θ, (15.189) ∂z ∗2 ∂z ∗2 y mediante sustituciones apropiadas

∂2 − k2 ∂z ∗2

3 w = Rak 2 w.

(15.190)

Haciendo uso de la ecuación (15.189), las condiciones de contorno (15.186)-(15.187) se expresan 2 dw d4 w dw 2 d w = = 0, = 2k , w(0) = w(1) = dz ∗ z∗ =0 dz ∗ z∗ =1 dz ∗4 z∗ =0 dz ∗2 z∗=0 2 d4 w 2 d w = 2k , (15.191) dz ∗4 z∗ =1 dz ∗2 z∗=1 si el l´ımite superior es una placa r´ıgida o d2 w d4 w d4 w d2 w = = = = 0, w(0) = w(1) = dz ∗2 z∗ =0 dz ∗2 z∗ =1 dz ∗4 z∗ =0 dz ∗4 z∗ =1

(15.192)

si la superficie superior es libre. La resolución del problema de autovalores formado por la ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal de sexto orden (15.190) y una u otra de las seis condiciones de contorno (15.191) o (15.192) suministra el n´ umero de Rayleigh cr´ıtico Rac (k) para cada k de modo que para valores del n´ umero de Rayleigh superiores a Rac (k), con k fijado, la soluci´ on de reposo es inestable frente a perturbaciones de longitud de onda 2π/k. El valor m´ınimo de la funci´ on Rac (k) = Ra∗ define el l´ımite de estabilidad de la solución investigada, de modo que para Ra < Ra∗ el estado de fluido en reposo es estable frente a cualquier perturbaci´ on siempre que su amplitud sea peque˜ na. Obsérvese que el n´ umero de Prandtl no juega papel alguno en el problema de la estabilidad marginal. El método de resolución del problema (15.190) y (15.191) o (15.192), es completamente análogo al empleado en la resolución del problema de estabilidad de la corriente de Taylor-Couette, 15.5. En este caso, se construye la solución numérica en la forma w(z ∗ ) = C1 w1 (z ∗ ) + C2 w2 (z ∗ ) + C3 w3 (z ∗ ),

(15.193)

donde C1 , C2 , y C3 son constantes a determinar y las tres soluciones numéricas satisfacen en z ∗ = 0 las condiciones d2 w1 d3 w1 dw1 = = = 0, w1 (0) = 0, 0, 1, dz ∗ z∗ =0 dz ∗2 z∗ =0 dz ∗3 z∗ =0 d4 w1 d5 w1 2 = = 0, 2k (15.194) , dz ∗4 z∗ =0 dz ∗5 z∗ =0

455

15.8. Inestabilidad térmica. Problema de Bénard w2 (0) = 0,

y w3 (0) = 0,

d2 w2 d3 w2 dw2 = = = 1, 0, 0, dz ∗ z∗ =0 dz ∗2 z∗ =0 dz ∗3 z∗ =0 d5 w2 d4 w2 = 0, = 0, dz ∗4 z∗ =0 dz ∗5 z∗ =0 d2 w3 d3 w3 dw3 = = = 0, 0, 0, dz ∗ z∗ =0 dz ∗2 z∗ =0 dz ∗3 z∗ =0 d5 w3 d4 w3 = 0, = 1. dz ∗4 z∗ =0 dz ∗5 z∗ =0

(15.195)

(15.196)

Nótese que la función w(z) definida en (15.193) satisface las condiciones en z ∗ = 0. Fijando los valores de k y Ra y arrancando la integraci´ on numérica de la ecuación (15.190) desde el origen con las condiciones (15.194)-(15.196) se determinan las funciones w1 , w2 , y w3 y sus derivadas en z ∗ = 1. De acuerdo con (15.191), si se resuelve como haremos aqu´ı el caso de placa superior r´ıgida, o con (15.192), si se trata el caso de superficie libre, para garantizar el cumplimiento de las condiciones de contorno en z ∗ = 1, los coeficientes C1 , C2 , y C3 deben satisfacer el sistema de ecuaciones algebraico siguiente C1 w1 (1) + C2 w2 (1) + C3 w3 (1) = 0, dw2 dw3 dw1 + C + C = 0, C1 2 3 dz ∗ z∗ =1 dz ∗ z∗ =1 dz ∗ z∗ =1 4 4 2 2 d w2 d w1 2 d w1 2 d w2 + C + − 2k − 2k C1 2 dz ∗4 z∗ =1 dz ∗2 z∗ =1 dz ∗4 z∗ =1 dz ∗2 z∗ =1 4 2 d w3 2 d w3 = 0. − 2k C3 dz ∗4 z∗ =1 dz ∗2 z∗ =1

(15.197) (15.198)

(15.199)

Naturalmente, este sistema homogéneo tiene solución distinta de la trivial (C1 = C2 = C3 = 0) sólo si el determinante de los coeficientes es nulo, lo que ocurre, fijado k, para valores excepcionales del n´ umero de Rayleigh; esto es, los n´ umeros de Rayleigh cr´ıticos de cada modo. 105

2 modo

Ra 104

1 modo

103

0

1

2

3

4

k

5

6

7

8

9

Figura 15.17: Valores del n´ umero de Rayleigh cr´ıtico para los dos primeros modos como función del n´ umero de onda adimensional. En la Figura 15.17 se representa la funci´ on Rac (k) para los dos primeros modos (en el primer modo la autofunci´ on es distinta de cero excepto en ambos contornos, mientras que en el segundo

456


modo, además de en los contornos, la autofunci´ on se anula una sola vez en el dominio fluido, dos en el tercer modo y as´ı sucesivamente). El valor m´ınimo absoluto de las funciones Rac (k) es umeros de onda k ∗ 3,117. Por tanto, Ra∗ 1708 y se presenta para el primer modo y para n´ el estado de reposo es estable frente a perturbaciones peque˜ nas de cualquier longitud de onda si Ra < 1708. La resolución del problema de estabilidad en el caso de superficie libre no comporta novedades respecto a lo realizado aqu´ı. Numéricamente se comprueba que el n´ umero de Rayleigh cr´ıtico es Ra∗ 1101. Es interesante contrastar los resultados del análisis de estabilidad con los datos experimentales existentes sobre convección de Bénard. En la Figura 15.18 se representa el n´ umero de Nusselt N u o flujo de calor adimensional a través de las placas r´ıgidas (su medida es relativamente fácil) en funci´ on del n´ umero de Rayleigh. El n´ umero de Nusselt, que se define N u = qh/[K(T1 −T2 )], vale la unidad en el estado de reposo, donde la distribuci´ on de temperaturas correspondiente a conducción pura viene dada por (15.159).

Figura 15.18: Valores experimentales del flujo adimensional de calor en experimentos diferentes de convección de Bénard como función del n´ umero de Rayleigh. Las situaciones experimentales corresponden a: ◦ agua, + heptano, × etilenglicol, • aceite de silicona AK 3, aceite de silicona AK 350, aire, mercurio. De P. G. Drazin y W. H. Reid, Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press, 1981. Obsérvese en la figura que el n´ umero de Nusselt permanece constante e igual a la unidad (indicando que el transporte de calor es debido u ńicamente a la conducción) y experimenta un s´ ubito incremento cerca del valor cr´ıtico Rac 1708 predicho por la teor´ıa lineal de la estabilidad. Estos resultados han sido corroborados adem´ as mediante técnicas de visualización que permiten determinar el inicio de la inestabilidad. Para n´ umeros de Rayleigh ligeramente superiores al cr´ıtico, la visualización ha permitido también observar la presencia de celdas en el flujo, que suelen ser de tipo hexagonal como las de la Figura 15.17, cuando la separaci´ on entre las paredes laterales es grande frente a la distancia entre placas. A medida que aumenta el n´ umero de Rayleigh las celdas hexagonales tienden a juntarse para formar rollos y el desorden aumenta y el movimiento se hace turbulento para Ra 5 × 104 , aunque recientemente se ha detectado la presencia de una estructura celular a n´ umeros de Rayleigh mayores. La teor´ıa linealizada es capaz de predecir la estructura de celdas en el flujo. Para ello es necesario calcular las componentes horizontales de la velocidad vx y vy , una vez determinada la componente

457


vertical, y cuyas ecuaciones se obtienen fácilmente de (15.173) y (15.174). En efecto, la proyecci´ on seg´ un z ∗ del rotor de (15.174) suministra ∂ω3∗ = P r∇∗2 ω3∗ , ∂t∗

(15.200)

donde ω3∗ = ∂v ∗y /∂x∗ − ∂vx∗ /∂y ∗ . Por otra parte si se deriva la ecuación (15.173) con respecto a x∗ y al resultado se le suma y resta el término ∂ 2 vx∗ /∂y ∗2 se obtiene ∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ ∂ω3∗ ∂ 2 vx∗ + ∗2x = − ∗ z ∗ − . ∗2 ∂x ∂y ∂x ∂z ∂y ∗

(15.201)

La solución de la ecuación diferencial lineal homogénea con condiciones de contorno nulas sobre las placas [véase (15.168)] es (15.202) ω3∗ = 0. Si como en (15.183) se efect´ uan los desarrollos ∗

vx∗ = ei(kx∗ x

+ky∗ y ∗ −ωt∗ )

u(z ∗ ) vy∗ = ei(kx∗ x

∗

+ky∗ y ∗ −ωt∗ )

v(z ∗ )

(15.203)

las ecuaciones (15.201) y (15.202) proporcionan las relaciones kx∗ v(z ∗ ) = ky∗ u(z ∗ )

y

u(z ∗ ) =

ikx∗ dw . k 2 dz ∗

(15.204)

Obsérvese que debido a la periodicidad tanto vx∗ como vy∗ se anulan sobre los planos verticales π 1 , x = m+ 2 kx∗ ∗

π 1 , y = m+ 2 ky∗ ∗

con

m = 0, ±1, ±2...

(15.205)

Para el primer modo w(z ∗ ) no cambia de signo en el intervalo 0 ≤ z ∗ ≤ 1, de modo que los planos verticales descritos por (15.205) separan regiones donde la corriente es ascendente de las adyacentes donde es descendente. En situaciones en las que la geometr´ıa es tal que la longitud de onda de las celdas es mucho mayor que la dimensión transversal by , seg´ un y, del recipiente, (ky∗ )−1 by /h, el flujo se organiza en rollos bidimensionales, con l´ımites verticales en x∗ = (m + 1/2)π/k con m entero, cuyo campo de velocidades es vx∗ = −

i dw i(kx−ωt) e , k dz ∗

vy∗ = 0,

vz∗ = w(z ∗ )ei(kx−ωt) .

(15.206)

Soluciones análiticas para celdas hexagonales se obtienen también como resultado de la estabilidad lineal pero su cálculo no se llevar´ a a cabo aqu´ı; el lector interesado puede consultar cualquier libro clásico de la teor´ıa de estabilidad como los citados en las referencias de este cap´ıtulo.

Referencias y fuentes de lectura complementaria S. Chandrasekar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford, Clarendon Press, 1961. P. G. Drazin y W. H. Reid, Hydrodynamic sStability, Cambridge University Press, 1981. H. Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York, 1987. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Teórica, vol. 5, Pergamon 1958.

Cap´ıtulo 16

Turbulencia 16.1.

Caracter´ısticas generales de los movimientos turbulentos

Desde las investigaciones pioneras llevadas a cabo por Osborne Reynolds a mediados del siglo umero de Reynolds suficientemente elevado, denomixix1 , es bien conocido que para un valor del n´ nado cr´ıtico, un flujo laminar se hace inestable y experimenta un cambio radical en su estructura; el fenómeno se conoce como transición a la turbulencia. Adem´ as, se observa que para n´ umeros de Reynolds mayores que el cr´ıtico, que depende del flujo considerado, el movimiento exhibe intermitentemente caracter´ısticas de flujo laminar o turbulento. Cuando el n´ umero de Reynolds aumenta la intermitencia termina desapareciendo para dar lugar a un flujo turbulento.

Figura 16.1: Chorro turbulento de agua visualizado mediante fluorescencia inducida por l´ aser. El n´ umero de Reynolds del experimento era 2300. 1

O. Reynolds, Phil. Trans. Royal Soc. 177, 935 (Papers on Mechanical and Physical Subjects, 2, 228), 1883.

459

460

Cap´ıtulo 16. Turbulencia

A pesar de que la turbulencia es un fen´ omeno cotidiano, cualquiera que haya observado la salida de humos de una chimenea o la salida de agua de un grifo suficientemente abierto tiene una idea de la naturaleza del movimiento turbulento, es muy dif´ıcil dar una definici´ on precisa de la misma. En su lugar se comentarán aqu´ı algunas de las caracter´ısticas principales de las corrientes turbulentas. Uno de los aspectos que primero llama la atención en un flujo turbulento es su complejidad, que se manifiesta en una extraordinaria irregularidad tanto en la distribuci´ on espacial de las variables fluidas como en su evoluci´ on temporal. En la Figura 16.1 se puede observar el car´ acter esencialmente tridimensional que poseen los flujos turbulentos y su extraordinaria complejidad al coexistir en ellos movimientos del fluido con una disparidad enorme de longitudes caracter´ısticas (también de tiempos), si se entiende por tales las distancias que hay que recorrer en el fluido para que se produzcan variaciones apreciables de las magnitudes fluidas.2 La Figura 16.2(a) muestra la

Figura 16.2: a) Evoluci´ on temporal de la velocidad en un flujo turbulento; b) Diferentes evoluciones temporales de la velocidad para tres repeticiones experimentales de un flujo turbulento. disparidad de escalas temporales existentes en un flujo turbulento. Adem´ as, se observa experimentalmente, Figura 16.2(b), que la turbulencia es un fen´ omeno caótico, de manera que para predecir los detalles de la evolución de un flujo turbulento durante cualquier intervalo de tiempo de interés pr´ actico se requerir´ıa una precisión en las condiciones iniciales imposible de obtener experimental o numéricamente. La irregularidad y la extraordinaria sensibilidad a las condiciones iniciales confieren al flujo turbulento un car´ acter casi aleatorio que hace imposible, a la vez que in´ util en la pr´ actica, su cálculo detallado mediante integraci´ on directa de las ecuaciones de Navier-Stokes. Afortunadamente, los 2

M. van Dyke, An Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, Stanford, Ca., 1982.

16.1. Caracter´ısticas generales de los movimientos turbulentos

461

flujos turbulentos son predecibles en términos estad´ısticos en el sentido de que si en cualquier punto fijo del dominio fluido se miden los valores instant´ aneos de las variables fluidas durante un intervalo de tiempo suficientemente largo y se promedian los resultados en dicho intervalo, los valores medios locales obtenidos se comportan de manera determinista y var´ıan en el espacio y en el tiempo de forma mucho más suave que los valores instantáneos; este comportamiento se pone de manifiesto en los oscilogramas de la Figura 16.2 y en los perfiles de velocidades de la Figura 16.3.3 Además,

Figura 16.3: Superposici´ on de perfiles instant´ aneos de velocidad en la sección de un conducto. Obsérvese que puede distinguirse un perfil de velocidades medias al que se superponen las fluctuaciones de velocidad. desde un punto de vista pr´ actico el conocimiento de los valores medios de las magnitudes fluidas es generalmente mucho más relevante que el de los valores instantáneos. Es por esto que, desde los trabajos innovadores de Reynolds, los métodos anal´ıticos y numéricos empleados en turbulencia tienen como objeto principal el cálculo de las magnitudes medias del flujo a partir de ecuaciones obtenidas promediando adecuadamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. No obstante, y como se verá en secciones posteriores, el problema que presenta la formulación de un sistema cerrado de tales ecuaciones está muy lejos a´ un de ser resuelto y su tratamiento requiere un conocimiento profundo de los complejos mecanismos f´ısicos involucrados en el flujo turbulento. Por tanto, se dedicará el resto de esta introducción a la descripción cualitativa de algunos aspectos de la f´ısica de la turbulencia. En la literatura especializada, a las longitudes y tiempos caracter´ısticos que tienen lugar en un flujo turbulento se les denomina genéricamente escalas turbulentas y a los movimientos que tienen lugar en dichas escalas se los conoce como torbellinos o remolinos (eddies o whirls en la literatura anglosajona). Los conceptos de escala y de torbellino, aunque son ambiguos en gran medida, se usan con profusi´ on en la literatura para describir de forma cualitativa la f´ısica de la turbulencia. A grandes rasgos, se observa que los torbellinos mayores poseen una longitud caracter´ıstica del orden de la del dominio fluido, por ejemplo, el di´ ametro caracter´ıstico de la sección en el caso del movimiento turbulento en un conducto o en un chorro, el tama˜ no caracter´ıstico del objeto para el caso de un flujo externo alrededor del mismo, etc.; el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on para el movimiento en dichos torbellinos puede estimarse a partir de su longitud caracter´ıstica y la velocidad caracter´ıstica del flujo determinada por las condiciones de contorno impuestas al sistema, tales 3 National

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462

como el caudal, diferencias de presiones, etc. Al ser el n´ umero de Reynolds siempre alto en los flujos turbulentos, los efectos viscosos son muy peque˜ nos para el movimiento en los grandes torbellinos y, mediante mecanismos que no son bien conocidos todav´ıa, se hacen inestables frente a perturbaciones dando lugar a un proceso de generaci´ on de torbellinos cada vez de menor tama˜ no, hasta que la longitud caracter´ıstica de los mismos es tan peque˜ na que las fuerzas de viscosidad entran en juego y detienen el proceso. De esta forma, y como puede observarse en algunos casos cotidianos, part´ıculas fluidas que en un cierto instante se mueven en torbellinos grandes se arremolinan en instantes sucesivos en torbellinos cada vez menores hasta que disipan una fracción importante de su energ´ıa cinética en forma de calor en los más peque˜ nos. Puesto que los torbellinos grandes coexisten con los peque˜ nos, debe producirse un suministro continuo de energ´ıa, denominado cascada de energ´ıa, desde el movimiento de gran escala, hacia el movimiento en las escalas peque˜ nas, mientras que el movimiento en las escalas grandes debe adquirir su energ´ıa del exterior a través de las condiciones iniciales y/o de contorno impuestas al sistema. De hecho, la turbulencia es extraordinariamente disipativa, siendo una experiencia com´ un que para que un flujo turbulento pueda mantenerse necesita un suministro suficiente y continuo de energ´ıa externa, de otra forma la disipaci´ on que tiene lugar en las peque˜ nas escalas disminuir´ıa pronto la energ´ıa cinética del flujo y la turbulencia desaparecer´ıa. Esta noción de cascada de energ´ıa, descrita primero de forma poética por Richardson4 y, más tarde, de forma cuantitativa por Kolmogorov, ha producido resultados muy fruct´ıferos en el estudio de la turbulencia, tanto para su entendimiento f´ısico como para su tratamiento anal´ıtico y numérico. En particular, la teor´ıa de Kolmogorov permite estimar los valores caracter´ısticos correspondientes a los torbellinos más peque˜ nos que pueden observarse en un flujo turbulento. En efecto, como se ha se˜ nalado más arriba, si la longitud t´ıpica del dominio fluido es L y la velocidad caracter´ıstica impuesta por las condiciones de contorno es Uo , el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on para el movimiento en los grandes torbellinos es del orden de L/Uo . Entonces, es plausible suponer que éste es el orden de magnitud del tiempo que, en media, las part´ıculas fluidas tardan en pasar desde los grandes torbellinos a otros más peque˜ nos, lo que proporciona un flujo de energ´ıa cinética por unidad de masa que entra en el flujo turbulento y se disipa en los peque˜ nos torbellinos del orden de Uo 3 /L. Por otra parte, si uo y λ representan la velocidad y longitud caracter´ısticas de los torbellinos más peque˜ nos, la energ´ıa mecánica por unidad de masa y tiempo disipada en los mismos puede estimarse como ∼

uo 2 Uo 3 1 = τ : ∇u ∼ ν 2 ∼ , ρ λo L

(16.1)

=

donde τ = µ[∇u + (∇u)T ] es el tensor de esfuerzos de viscosidad. Además, puesto que los efectos no estacionarios son del mismo orden que los convectivos para todas las escalas turbulentas, para la escala peque˜ na deben verificarse las relaciones ρ

∂u ∼ ρu · ∇u ∼ µ∇2 u. ∂t

(16.2)

Si τo denota el tiempo caracter´ıstico de variación en la escala peque˜ na, las relaciones (16.2) proporcionan los órdenes de magnitud 4

Big whirls have little whirls which feed on their velocity. Little whirls have lesser whirls and so on to viscosity. When little whirls meet little whirls they show a strong affection; elope, or form a bigger whirl, and so on by advection.


uo 2 uo uo ∼ ∼ν 2 τo λo λo

463

(16.3)

y los valores de uo , λo y τo uo ∼ (ν)1/4 ,

λo ∼ (ν 3 /)1/4

y

τo ∼ (ν/)1/2 ,

(16.4)

as´ı como sus valores relativos respecto a los valores caracter´ısticos de la escala grande, uo ∼ Re−1/4 , Uo

λo ∼ Re−3/4 , L

τo ∼ Re−1/2 , to

(16.5)

umero de Reynolds y el tiempo caracter´ıstico para la donde Re = Uo L/ν y to = L/Uo son el n´ escala grande. Se observa que la disparidad entre los valores caracter´ısticos de las escalas grandes y peque˜ nas aumenta con el n´ umero de Reynolds como se muestra en la Figura 16.4.5

Figura 16.4: Influencia del n´ umero de Reynolds en la disparidad de tama˜ nos entre las escalas grandes y las peque˜ nas en un chorro turbulento. En un flujo turbulento el n´ umero de Reynolds es siempre alto y los valores caracter´ısticos asociados a los torbellinos peque˜ nos son, por tanto, mucho menores que los corespondientes a los grandes. Debido a esto, el movimiento de escalas peque˜ na, contrariamente a lo que le ocurre al movimiento de escalas grandes, resulta estad´ısticamente independiente de los detalles de las 5 National

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464

condiciones de contorno impuestas al sistema. En efecto, las estimaciones (16.4) ponen de manifiesto que para un valor dado de ν, los valores caracter´ısticos de las escalas peque˜ nas dependen de los de las grandes solamente a través de la energ´ıa por unidad de masa y tiempo suministrada externamente a los grandes torbellinos, que es a su vez la que debe disiparse por viscosidad en los torbellinos peque˜ nos. Los valores ud ≡ (ν)1/4 ,

λd ≡ (ν 3 /)1/4 ,

τd ≡ (ν/)1/2 ,

(16.6)

se denominan microescalas de Kolmogorov y definen, de acuerdo con (16.4), el orden de magnitud de las escalas turbulentas más peque˜ nas, aquellas para las que los efectos de disipación son importantes. Basado en consideraciones dimensionales, Kolmogorov encontró, además, la forma de la distribuci´ on de energ´ıa para las escalas turbulentas de tama˜ no λ comprendido en el rango denominado inercial, L λ λd . En efecto, debido a que la longitud caracter´ıstica del flujo, L, es mucho mayor que la de las escalas inerciales, éstas pueden considerarse localmente homogéneas e isótropas, por lo que un an´ alisis de Fourier del campo de velocidades proporciona el espectro de energ´ıa cinética E(k), donde k = 2π/λ es el n´ umero de onda de la escala de longitud λ. El significado f´ısico de dicho espectro es que E(k)dk es la energ´ıa cinética por unidad de masa contenida en las escalas con n´ umeros de onda comprendidos entre k y k + dk. Además, debido a su peque˜ na longitud caracter´ıstica, el flujo en el rango inercial debe ser independiente de los detalles del flujo en la escala grande, y sólo depende de éste a través de la energ´ıa por unidad de masa y tiempo disipada, . Se tiene entonces E(k) = f (k, , ν)

(16.7)

E = 1/4 ν 5/4 g(kd /k),

(16.8)

y el Análisis Dimensional proporciona

on universal (v´ alida para cualquier flujo donde kd = 2π/λd = 2π1/4 /ν 3/4 , y g(kd /k) es una funci´ turbulento) que se determina experimentalmente. La Figura 16.5 muestra un espectro de energ´ıa

Figura 16.5: Espectro de energ´ıa t´ıpico de un flujo turbulento. Cortes´ıa del doctor J. D´ avila.


465

obtenido para turbulencia de rejilla; no obstante, se observa experimentalmente que dicho espectro es universal para valores altos del n´ umero de onda k (peque˜ nas escalas) en el sentido de que es independiente del tipo de flujo considerado, lo que no ocurre para valores peque˜ nos de k (grandes escalas). Para valores de kd /k → ∞, el espectro de energ´ıa debe ser independiente de la viscosidad, por lo que si se supone que g posee un comportamiento de la forma g = C(kd /k)α /(2π)α para kd /k → ∞, donde C es una constante, se obtiene E = C1/4 ν 5/4 α/4 ν −3α/4 k −α .

(16.9)

La expresión (16.9) es independiente de ν sólo si α = 5/3, lo que proporciona E(k) = C2/3 k −5/3 .

(16.10)

La fórmula de Kolmogorov para el rango inercial (16.10) ha sido confirmada ampliamente por los experimentos como se muestra en la Figura 16.5. Obsérvese que el rango inercial es más estrecho cuanto menor es el n´ umero de Reynolds (menor velocidad). Además en la figura se pone de manifiesto que E(k) decae exponencialmente con k para k ∼ kd , aunque este comportamiento no pueda deducirse mediante el análisis dimensional. La generación de movimientos de escala peque˜ na a partir de los de escalas mayores puede explicarse mediante el estiramiento de torbellinos, o vortex stretching como se denomina en la literatura especializada. Dicho mecanismo está asociado al término ω · ∇u de la ecuación de la vorticidad [véase (10.61)]y puede explicarse teniendo en cuenta que, como enuncia la segunda ley de Helmholtz y se demuestra en 10.9, un elemento infinitesimal de l´ınea fluida dro inicialmente paralelo al vector vorticidad, ω, se mantiene paralelo al mismo en su movimiento supuesto éste barótropo, con fuerzas másicas que derivan de un potencial y efectos viscosos despreciables, lo que sucede excepto para las escalas más peque˜ nas; además, la longitud de dicho elemento es proporcional al m´ odulo del vector vorticidad, esto es, | dr | | dro | = . (16.11) ωo ω Por tanto, si, debido a una fluctuaci´ on turbulenta, un elemento de un tubo fluido se estrecha, aumentar´ a localmente su vorticidad y, con ello, los gradientes de velocidad, lo que significa que se habr´ a generado movimiento en una escala menor que la original. Por otra parte, si dicho elemento se acorta, su vorticidad disminuye dando lugar a un proceso inverso de generaci´ on de una escala mayor a partir de otra menor. No obstante, el fen´ omeno no es estrictamente reversible y, en media,

Figura 16.6: Generación de escalas peque˜ nas en la evoluci´ on de dos l´ıneas fluidas inicialmente paralelas visualizadas en el movimiento turbulento detr´ as de una rejilla.

466


la generación de movimientos de escalas peque˜ nas predomina sobre el proceso inverso como se observa en la Fig 16.6.6 En efecto, a medida que se genera vorticidad ésta se disipa por efectos viscosos cuando la escala del movimiento es suficientemente peque˜ na y el término ν∇2 ω de la ecuación (10.59) se hace importante y (16.11) deja de ser válida; por tanto, no toda la vorticidad presente en las escalas peque˜ nas está disponible para generar movimiento de escalas mayores. Conviene indicar que el mecanismo de vortex stretching no puede operar en flujos bidimensionales, para los que se tiene u = u1 (x1 , x2 , t)e1 + u2 (x1 , x2 , t)e2 , ω = (∂u2 /∂x1 − ∂u1 /∂x2 )e3 y, por tanto, ω · ∇u = 0; de esta forma, se pone de manifiesto el carácter esencialmente tridimensional de la turbulencia En un flujo turbulento, cualquier porci´ on de fluido se deforma enormemente debido a las fluctuaciones aleatorias de velocidad que poseen sus part´ıculas fluidas, de forma que éstas pueden convectar sus propiedades (masa, cantidad de movimiento y energ´ıa) en todas direcciones y alcanzar regiones del dominio fluido muy alejadas de la de partida, como se muestra en la Figura 16.7.7 Esto da lugar a que la distribuci´ on de valores medios en un flujo turbulento sea altamente uniforme;

Figura 16.7: Convección turbulenta en una capa l´ımite. en efecto, los valores medios existentes en zonas alejadas de cualquier punto fijo del dominio fluido tienden a manifestarse en dicho punto al promediar en éste los valores instantáneos de las part´ıculas fluidas que provienen de aquellas zonas y que, con velocidades altamente variables en magnitud y dirección, pasan sucesivamente por el punto considerado. El transporte de magnitudes medias en un flujo turbulento debido al movimiento fluctuante, de largo alcance, de las part´ıculas fluidas se denomina transporte turbulento o mezclado turbulento (mixing en la literatura anglosajona). Debido a su eficacia uniformadora, su modelado es esencial en turbulencia, y complica enormemente el tratamiento de los flujos turbulentos respecto a otros flujos aleatorios en los que el desplazamiento de las part´ıculas fluidas sea relativamente peque˜ no como, por ejemplo, la propagaci´ on de ondas gravitatorias en la superficie de un l´ıquido forzadas por rachas aleatorias de viento. Adem´ as, la turbulencia, en la peque˜ na escala, facilita también el transporte difusivo-molecular entre porciones de fluido en contacto, puesto que la deformaci´ on turbulenta de la superficie que las separa siempre tiene lugar con un gran aumento del a´rea de transferencia. Sin embargo, mientras que los efectos difusivos tienen un origen molecular, de corto alcance, el transporte turbulento tiene un car´ acter 6

M. van Dyke, An Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, Stanford, Ca., 1982. Fotograf´ıa tomada por R. E. Falco, de M. van Dyke, An Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, Stanford, Ca., 1982. 7

467

16.2. Ecuaciones de Reynolds

puramente convectivo, de largo alcance, y se refiere al transporte de magnitudes medias debido al movimiento fluctuante, macroscópico, de las part´ıculas fluidas. Contrariamente a lo que ocurre con el transporte difusivo-molecular, que s´ olo es importante en los peque˜ nos torbellinos, al transporte turbulento contribuyen todas las escalas presentes en la turbulencia, siendo precisamente los grandes torbellinos los que lo realizan de forma más eficiente. La eficiencia del transporte turbulento de cantidad de movimiento se observa en el perfil de velocidades medias para el flujo en el conducto de la Figura 16.3, que presenta un alto grado de uniformidad en toda la secci´ on del conducto excepto muy cerca de las paredes, donde existe un gradiente de velocidad muy acusado. Dicha estructura puede explicarse teniendo en cuenta que, debido a la componente radial del movimiento fluctuante turbulento, las part´ıculas fluidas de las zonas centrales se desplazan hacia las paredes del conducto y, con ello, transportan hacia ellas también su cantidad de movimiento axial; adem´ as, debido a su inercia, la part´ıculas fluidas son capaces de llegar muy cerca de las paredes donde, finalmente, disipan su cantidad de movimiento al entrar en contacto con las part´ıculas de menor velocidad media próximas a las paredes (en las que la velocidad media debe ser nula necesariamente). De esta forma, las paredes del conducto act´ uan como un sumidero de cantidad de movimiento axial para la corriente de las zonas centrales que, para mantener su movimiento medio a lo largo del conducto, deben de recibir un suministro continuo de cantidad de movimiento por parte del gradiente de presiones que produce el movimiento; la gran eficiencia del transporte turbulento se pone de manifiesto cuando se observa que la diferencia de presiones necesaria para impulsar un caudal (proporcional a la velocidad media) a través de un conducto es en régimen turbulento mucho mayor que la requerida para impulsar el mismo caudal si el régimen fuese laminar.

16.2.

Ecuaciones de Reynolds

En turbulencia no es posible hacer una descripci´ on determinista del flujo en todo sus detalles. Incluso si se obvia el carácter caótico de las ecuaciones de Navier-Stokes, el coste que supondr´ıa dicha descripción para los n´ umeros de Reynolds de interés práctico es demasiado elevado para las prestaciones de los ordenadores actuales. En efecto, si se desease resolver numéricamente el flujo turbulento en un cubo de volumen L3 , siendo L del orden de la longitud caracter´ıstica del dominio fluido, resolviendo numéricamente todas las escalas turbulentas hasta la microescala de Kolmogorov, deber´ıa utilizarse una malla cuyos puntos estuviesen separados a lo sumo una distancia λd . Haciendo uso de (16.6) se obtiene que el n´ umero m´ınimo de puntos en la malla tridimensional debe ser del orden N3

L λo

3 Re9/4 .

(16.12)

Por otra parte, puede estimarse que la resolución matricial iterativa del sistema de ecuaciones discretizado requiere una media de al menos 1000 operaciones/punto, lo que supone un tiempo de 10 horas en un CRAY de la generación de los 90 para resolver una malla de 128 × 128 × 128. Por tanto, el tiempo en horas requerido para una malla con un n´ umero de puntos dado por (16.12) 10 (N/128)3 5 × 10−6 Re9/4 horas.

(16.13)

Para un n´ umero de Reynolds Re 106 , t´ıpico en flujos turbulentos, el tiempo estimado mediante (16.13) resulta del orden de ¡5000 a˜ nos! La situación se agrava si se tiene en cuenta que éste ser´ıa el tiempo requerido para avanzar la integraci´ on un paso de tiempo. Por otra parte, como se deduce de (16.6), el n´ umero de pasos de tiempo requeridos para resolver las escalas más lentas (las grandes escalas) es del orden NT (to /τd ) Re1/2 103 para Re 106 . Además, debe tenerse en cuenta que, debido al car´ acter caótico de las ecuaciones de Navier-Stokes, las condiciones iniciales para


468

la integraci´ on deben especificarse con extraordinaria precisión si se quiere obtener una evoluci´ on ajustada a la real durante un intervalo de tiempo apreciable. Las consideraciones que se acaban de exponer excluyen la posibilidad del c´ alculo detallado de un flujo turbulento realista (n´ umeros de Reynolds muy elevados) directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes. No obstante, debe tenerse en cuenta que una información tan exhaustiva no es relevante para un gran n´ umero de aplicaciones prácticas, en las que basta con una descripción incompleta del flujo, realizada en términos estad´ısticos y basada en magnitudes medias. El valor medio de cualquier variable fluida φ que, seg´ un convenga, se denotar´ a bien por Φ o por φ, puede definirse formalmente como Φ(x, t) ≡ φ(x, t) =

t+To

φ(x, t )

t−To

dt . 2To

(16.14)

La integral (16.14) representa el valor medio local de φ durante un intervalo de tiempo centrado en t cuya duración, 2To , debe ser larga comparado con el tiempo caracter´ıstico de las fluctuaciones turbulentas, pero, a la vez, corta comparada con el tiempo caracter´ıstico para variaciones apreciables de la integral (16.14); si los valores medios no dependen del tiempo, la turbulencia se denomina estad´ısticamente estacionaria y, en este caso, pueden hacerse t = 0 y To → ∞ en la integral (16.14). La fluctuaci´ on de una variable fluida respecto de su valor medio se define como φ (x, t) = φ(x, t) − Φ(x, t).

(16.15)

El valor medio de una fluctuaci´ on es nulo, puesto que si se promedian los dos miembros de (16.15) usando la definici´ on (16.14) se obtiene

φ =

t+To

t−To

dt − φ(x, t ) 2To

t+To

t−To

dt Φ(x, t ) Φ(x, t) − Φ(x, t) 2To

t+To

t−To

dt = 0, 2To

(16.16)

donde el s´ımbolo de igualdad aproximada tiene en cuenta que, en el caso de turbulencia estad´ısticamente no-estacionaria, Φ no var´ıa apreciablemente en un intervalo de tiempo de duraci´ on 2To y, en primera aproximaci´ on, puede sacarse fuera de la integral poniendo Φ(x, t ) Φ(x, t); naturalmente, en el caso de turbulencia estad´ısticamente estacionaria Φ(x, t ) ≡ Φ(x) y el s´ımbolo de igualdad aproximada en (16.16) debe sustituirse por el de igualdad. A partir de la definici´ on 16.14 y del resultado (16.16) puede verificarse f´ acilmente que para cualquier par de variables fluidas φ y ψ se cumplen las relaciones Φψ = Φψ = 0

y

φψ = ΦΨ + φ ψ .

(16.17)

Asimismo, puede comprobarse que las derivadas espaciales y temporales conmutan con la operación de promediado, esto es, ∂φ ∂φ ∂Φ 8 ∇φ = ∇φ = ∇Φ y = (16.18) = . ∂t ∂t ∂t El valor medio del producto de dos (o m´ as) fluctuaciones se denomina correlaci´ on. Su valor es, en general, distinto de cero como se muestra en la Figura 16.8 (a)-(c) donde se representan en forma 8 Para el caso de turbulencia no estad´ ısticamente estacionaria, la demostraci´ on rigurosa de (16.17)-(16.18), especialmente la segunda de las relaciones de (16.18), requiere definir formalmente los valores medios como aquellos que se obtendr´ıan promediando los resultados obtenidos en cada punto y en cada instante para un conjunto infinito de experimentos llevados a cabo bajo condiciones iniciales y de contorno similares a las del flujo que se desea analizar. Este promediado de conjunto (ensemble average) no se considerar´ a aqu´ı, sino que se usar´ a la definici´ on menos formal (16.14)( m´ as relevante desde el punto de vista pr´ actico) y se supondr´ a que se verifican las propiedades (16.17)-(16.18)

469


esquemática las evoluciones temporales de tres fluctuaciones φ , ψ y κ . Se observa en la Figura 16.8 (a)-(b) que las fluctuaciones φ y ψ poseen el mismo signo la mayor parte del tiempo, por lo que la integral (16.14) del producto φ ψ es positiva, φ ψ > 0 y se dice que las fluctuaciones están correlacionadas. Sin embargo, la fluctuaci´ on κ no está correlacionada con φ ni ψ puesto que toma valores tanto positivos como negativos independientemente del signo de las fluctuaciones de las otras dos, véase Figura 16.8 (c), por lo que las contribuciones de distinto signo se cancelar´ an en la integral (16.14) y será κ φ = κ ψ = 0. Una medida del grado de correlaci´ on entre dos fluctuaciones, φ y ψ , la proporciona el coeficiente de correlaci´ on, definido como cφ ψ =

φ ψ . φ2 1/2 ψ 2 1/2

(16.19)

Si cφ ψ = ±1 la correlación se denomina perfecta; naturalmente, la correlación de toda fluctuaci´ on consigo misma es siempre perfecta, puesto que de (16.19) se deduce que cφ φ = 1.

Figura 16.8: Evoluci´ on temporal de tres fluctuaciones t´ıpicas. Las ecuaciones que gobiernan las magnitudes medias en un flujo turbulento fueron obtenidas por primera vez por Osborne Reynolds.9 Desde entonces, las denominadas Ecuaciones de Reynolds constituyen el punto de partida para la inmensa mayor´ıa de las investigaciones, tanto anal´ıticas como numéricas, realizadas en el campo de la Turbulencia. En la teor´ıa de Reynolds, cada variable fluida se expresa como suma de su valor medio, definido mediante la expresión (16.14), y de una fluctuación respecto de la media. As´ı, si u, p y T representan los valores locales de la velocidad, presión y temperatura, se escribe entonces u(x, t) = U(x, t) + u (x, t),

p = P (x, t) + p (x, t),

T = Θ (x, t) + T (x, t),

(16.20)

donde las cantidades U, P , Θ representan valores medios y las cantidades u , p y T , representan las fluctuaciones turbulentas. Si se introducen las expresiones (16.20) en las ecuaciones de NavierStokes (5.37)-(5.39) y se promedia el resultado haciendo uso de las propiedades (16.15)-(16.18), se obtienen las ecuaciones de Reynolds ∇·U=0 ρ 9

= ∂U + ρ ∇ · (UU) = −∇P + ∇ · (τ U −ρu u ) ∂t

(16.21) (16.22)

O. Reynolds, Phil. Trans. Royal Soc. 177, 935 (Papers on Mechanical and Physical Subjects, 2, 228), 1883.


470 ρc

∂Θ + ρ c U · ∇Θ = ∇ · (K∇Θ − ρcT u ) ∂t

(16.23)

=

donde τ U representa el tensor de esfuerzos de viscosidad para el flujo medio, = τ U = µ ∇U + (∇U)T ,

(16.24)

c denota el calor espec´ıfico del l´ıquido (para un gas c debe reemplazarse por cp ) y K su conductividad térmica. Se considerará aqu´ı el caso de un l´ıquido, o de un gas a bajos n´ umeros de Mach, sin fuerzas másicas ni adición de calor por radiaci´ on o por reacción qu´ımica; las fuerzas másicas pueden incluirse de forma trivial en el an´ alisis si se considera que P en (16.20) representa la presión reducida. Además, se ha despreciado el efecto de la disipación viscosa sobre Θ al ser peque˜ no en flujos incompresibles. Obsérvese que las ecuaciones (16.21)-(16.24) son formalmente idénticas a las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible salvo en los términos adicionales =

τ T ≡ −ρu u

(16.25)

(16.26)

qT ≡ −ρcT u ,

que aparecen en los segundos miembros de la ecuaciones de cantidad de movimiento y energ´ıa (16.22)-(16.23) y representan el efecto de la turbulencia sobre las magnitudes medias. El tensor = τ T definido en (16.25) se denomina tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds, o también tensor de esfuerzos turbulentos, y es una densidad de flujo de cantidad de movimiento media debida a las correlaciones entre las fluctuaciones turbulentas de velocidad. An´ alogamente, el vector qT definido en (16.26) se denomina vector flujo turbulento de calor y es debido a la correlaci´ on entre las fluctuaciones de temperatura y las fluctuaciones de velocidad. Debe se˜ nalarse que las cantidades = τ T y qT son desconocidas y deben modelarse en función de las magnitudes medias para cerrar el problema. Las dificultades que presenta dicho modelado hace que, de forma general, su resoluci´ on completa esté a´ un lejana y constituye el problema fundamental de la turbulencia conocido como problema de cierre. En el resto de esta sección se considerarán algunos aspectos de la f´ısica de la turbulencia que ayudan a abordar y a comprender algunas soluciones parciales que se han dado y se dan actualmente; el problema de cierre se tratará con mayor detalle en secciones posteriores. Ante todo debe tenerse en cuenta que, debido al carácter macroscópico de las fluctuaciones turbulentas, los flujos turbulentos son de naturaleza eminentemente convectiva, aunque en las ecuaciones (16.22)-(16.23) se hayan escrito junto a los flujos difusivo-moleculares. En efecto, considérese un elemento de superficie de área dσ y orientaci´ on n centrado en el punto fijo x en el seno del fluido. Si en el instante t se encuentra en x una part´ıcula fluida con velocidad u(x, t) y temperatura T (x, t), los flujos convectivos de cantidad de movimiento y de calor a través de dσ asociados al paso de la part´ıcula son ρuu · ndσ y ρcT u · ndσ. Si dichos flujos se promedian sobre las part´ıculas fluidas que, con velocidades y temperaturas aleatorias, pasan por x durante un tiempo suficientemente largo se obtiene, descomponiendo la velocidad y temperatura de cada part´ıcula como suma de los valores medios en x y de sus fluctuaciones respecto de dichos valores medios, ρ(U + u )(U + u ) · n dσ = ρ (UU + u u ) · n dσ,

(16.27)

ρ c (Θ + T )(U + u ) · n dσ = ρ c (ΘU + T u ) · n dσ,

(16.28)

donde se ha hecho uso de las propiedades (16.17). Las expresiones (16.27)-(16.28) muestran que los flujos convectivos medios de cantidad de movimiento y de calor a través de un elemento de superficie son los debidos al movimiento medio, ρ UU · ndσ y ρ c ΘU · ndσ, más los debidos a los flujos turbulentos, ρu u · ndσ y ρ c T u · ndσ, que se originan por las correlaciones entre fluctuaciones turbulentas. Si se integran las expresiones (16.27)-(16.28) para una superficie cerrada

471


infinitesimal que rodea al punto x y se aplica el teorema de Gauss, se obtiene que los flujos convectivos medios de cantidad de movimiento y de calor que abandonan la unidad de volumen son ∇ · (ρ U U) + ∇ · (ρu u ) y ∇ · (ρ c Θ U) + ∇ · (ρ cT u ), donde los primeros sumandos representan la contribuci´ on del flujo medio y los segundos la del transporte turbulento. Las ecuaciones (16.22)(16.23) expresan, por tanto, el balance entre las variaciones en la unidad de tiempo de los valores medios de cantidad de movimiento y de energ´ıa interna contenidos en la unidad de volumen, ρ∂U/∂t y ρc∂Θ/∂t, los flujos convectivos de dichas cantidades que abandonan la unidad volumen con el movimiento medio, ∇ · (ρUU) y ∇ · (ρcΘU), y los flujos que entran en la unidad de volumen debidos al transporte turbulento, −∇·(ρu u ) y −∇·(ρcu T ), y al transporte difusivo-molecular =

asociado a las variaciones espaciales de las magnitudes medias, ∇· τ U y ∇ · (K∇Θ); en el caso de la ecuación de cantidad de movimiento (16.22) también debe incluirse en el balance el valor medio de la resultante de las fuerzas de presión sobre la unidad de volumen, −∇P . Obsérvese que del mismo modo que el transporte difusivo-molecular de cantidad de movimiento media puede interpretarse en términos de esfuerzos de viscosidad caracterizados, de la forma usual, por un tensor =

de esfuerzos τ U , desde el punto de vista del movimiento medio el transporte turbulento de cantidad = de movimiento puede interpretarse en términos de esfuerzos caracterizados por el tensor τ T = nalado, anteriormente, se denomina tensor de esfuerzos aparentes −ρu u que, como ya se ha se˜ de Reynolds; el adjetivo aparente se a˜ nade debido a que su verdadera naturaleza es convectiva. En coordenadas cartesianas, las componentes diagonales de dicho tensor representan esfuerzos 2 2 2 normales, −ρu1 , −ρu2 y −ρu3 , que en muchos casos conviene considerar conjuntamente con el valor medio de la presión P , mientras que las componentes no diagonales, −ρui uj con i = j, representan esfuerzos tangenciales y, como se verá, juegan un papel esencial en la transferencia de cantidad de movimiento media por fluctuaciones turbulentas.

Figura 16.9: Esquema del transporte turbulento a través de un elemento de superficie.

La correlación existente en un flujo turbulento entre las fluctuaciones y el flujo medio puede explicarse en términos f´ısicos mediante el caso simple representado en la Figura 16.9. En dicha figura se muestra de forma esquemática el perfil de velocidad media de un flujo turbulento estad´ısticamente estacionario de la forma U = U1 (x2 ) e1 , con U1 creciente con la coordenada x2 y un elemento de superficie de normal n = e2 centrado en un punto fijo x. A través de dicho elemento de superficie pasan en sucesivos instantes part´ıculas fluidas en todas direcciones, y en la figura se han representado part´ıculas t´ıpicas A, B, C y D que provienen de distintas zonas (cuadrantes). Cuando a través del elemento de superficie pasan part´ıculas tales como la A, la componente horizontal de la fluctuación instant´ anea de velocidad en x, u1 (x, t), tenderá a ser positiva puesto que dichas part´ıculas provienen de zonas donde la componente horizontal de la velocidad total, u1 = U1 + u1 , es, en media, mayor que la correspondiente al punto x; además, para dichas part´ıculas u2 (x, t) es necesariamente negativa. Análogamente, cuando por el elemento pasan part´ıculas tales como la B, u1 tender´ a a ser negativa, y u2 es positiva. Por tanto, las part´ıculas de tipo A y B contribuyen a


472

un valor negativo de la correlaci´ on u1 u2 . Consideraciones análogas muestran que las part´ıculas de tipo C y D dan contribuciones positivas y negativas, respectivamente, a u1 u2 ; no obstante, estas part´ıculas pasan con muy poca frecuencia a través del elemento de superficie, puesto que se mueven en dirección contraria al flujo medio y requieren, por tanto, fluctuaciones de velocidad u1 negativas de gran valor absoluto que son poco probables. El resultado neto es un valor negativo de la correlación u1 u2 , que significa que existe un flujo turbulento medio de la componente e1 de la cantidad de movimiento que atraviesa el elemento de superficie en el sentido de las velocidades medias decrecientes, −e2 ; dicho flujo est´ a dado por ρu1 u · e2 = ρu1 u2 < 0, donde el signo negativo indica que el flujo turbulento tiene lugar efectivamente en sentido contrario al de la orientación e2 asignada al elemento de superficie. Dicho flujo turbulento de cantidad de movimiento también puede interpretarse como un esfuerzo tangencial sobre el elemento de superficie dado por = τ T 12 = −ρu1 u2 > 0 que act´ ua en la dirección positiva del eje x1 . Obsérvese que, en este caso, la relación entre los sentidos del flujo turbulento de cantidad de movimiento (o esfuerzo turbulento) y del gradiente de velocidad media es la misma que la que existe en un flujo laminar unidireccional entre los sentidos del flujo difusivo-molecular de cantidad de movimiento (o esfuerzo viscoso) y del gradiente de velocidad del fluido. Este hecho puede explicarse mediante cierta analog´ıa que puede establecerse entre el movimiento caótico de las part´ıculas fluidas en un flujo turbulento y el de agitación molecular. No obstante, dicha analog´ıa debe usarse con precaución, especialmente a la hora de cuantificar los flujos turbulentos en términos de los gradientes de magnitudes medias, puesto que existe una diferencia fundamental entre los flujos difusivo-moleculares y los flujos turbulentos. En efecto, como se ha se˜ nalado ya repetidas veces, los flujos turbulentos poseen un car´ acter eminentemente convectivo asociado al movimiento fluctuante macroscópico de las part´ıculas fluidas que, debido a su inercia mecánica y térmica, pueden guardar memoria de las caracter´ısticas del flujo en distancias y tiempos comparables a los de variaci´ on de las magnitudes medias. Por tanto, contrariamente a lo que sucede con el transporte molecular, cuyo carácter local permite un modelado universal, lineal e is´ otropo, en términos de los gradientes de las variables fluidas, el transporte turbulento es esencialmente no-local, y su modelado en términos de las magnitudes medias es extremadamente dif´ıcil al no ser adecuadas en la gran mayor´ıa de los casos las hipótesis de linealidad e isotrop´ıa (salvo para las escalas más peque˜ nas del movimiento turbulento). De lo anterior se deduce también que una teor´ıa basada en correlaciones entre fluctuaciones tomadas en un mismo punto del espacio es del todo insuficiente para resolver el problema de cierre. Para una descripción más completa ser´ıa necesario hacer uso de la teor´ıa estad´ıstica de campos, lo que da lugar a un problema extraordinariamente complicado no resuelto hasta el presente. El problema de cierre de las ecuaciones de Reynolds se hace patente cuando se intentan formular ecuaciones para las incógnitas u u , a partir de las ecuaciones que gobiernan las fluctuaciones u . Estas pueden obtenerse restando las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento (16.22)-(16.23) para el flujo medio a las ecuaciones de Navier-Stokes (5.37)-(5.38) con las variables fluidas expresadas de la forma (16.21); se obtiene entonces ∇ · u = 0, ρ

= ∂u + ρ∇ · (Uu + u U + u u − u u ) = −∇p + ∇· τ u , ∂t

(16.29) (16.30)

=

donde el término τ u en la ecuación (16.30) denota el tensor de esfuerzos viscosos asociado a las fluctuaciones turbulentas = τ u = µ ∇u + (∇u )T . (16.31) Obsérvese que si (16.30) se multiplica tensorialmente por u y se promedia el resultado aparecen, además de la correlación incógnita u u , nuevas correlaciones desconocidas de segundo y tercer orden tales como u u u , p u , etcétera [véanse las ecuaciones (16.183)-(16.185) en 16.7.2].

473


Para un mejor entendimiento de la f´ısica de la turbulencia es de interés el estudio de la relación existente entre las energ´ıas cinéticas del movimiento medio y del movimiento turbulento. Obsérvese, primero, que la energ´ıa cinética media por unidad de masa en un flujo turbulento es la suma de la correspondiente al flujo medio m´ as la correspondiente a las fluctuaciones turbulentas; en efecto, si se hace uso de las propiedades (16.17) se obtiene 1 1 1 1 u · u = (U + u ) · (U + u ) = U · U + u · u . 2 2 2 2

(16.32)

La ecuación que gobierna la energ´ıa cinética por unidad de masa asociada al flujo medio, U 2 /2, se obtiene al multiplicar escalarmente por U la ecuación (16.22), lo que proporciona ρ

= = ∂U 2 /2 = = = −∇ · (ρU U 2 /2) + ∇ · (−P U+ τ U ·U+ τ T ·U)− τ U : ∇U− τ T : ∇U. ∂t

(16.33)

La ecuación (16.33) expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa cinética del movimiento medio contenida en la unidad de volumen es debida 1. al flujo convectivo que entra en la unidad de volumen con el movimiento medio, −∇ · (ρU U 2 /2), 2. a la potencia resultante realizada sobre la unidad de volumen por las fuerzas de presi´ on, de =

=

viscosidad y por los esfuerzos turbulentos,∇ · (−P U+ τ U ·U+ τ T ·U), 3. a la disipación de la energ´ıa cinética del movimiento medio debida a los efectos de viscosidad =

asociados al movimiento medio,− τ U : ∇U, y =

4. a la producci´ on de energ´ıa cinética turbulenta a partir del movimiento medio, − τ T : ∇U; este término aparecerá cambiado de signo en la ecuación para la energ´ıa cinética turbulenta. Los efectos 3 y 4 que se acaban de enumerar son de carácter volumétrico, actuando en el interior de la unidad de volumen como sumideros de la energ´ıa cinética del movimiento medio. No obstante, existe una diferencia fundamental entre ambos que radica en que el efecto 3 es una conversi´ on de energ´ıa cinética del movimiento medio en calor (energ´ıa cinética del movimiento caótico microscópico) mientras que el efecto 4 es una conversión de energ´ıa cinética entre dos movimientos macroscópicos: el movimiento medio y el movimiento caótico asociado a las fluctuaciones turbulentas. Además, y puesto que la turbulencia siempre ocurre a altos n´ umeros de Reynolds, el efecto 3 es despreciable en la mayor parte del dominio fluido, salvo en zonas estrechas tales como capas l´ımites adyacentes a paredes o estelas, mientras que el efecto 4 es independiente de la viscosidad y está presente en todas las escalas turbulentas. Por otra parte, la ecuaci´ on que gobierna la energ´ıa cinética media por unidad de masa asociada a las fluctuaciones turbulentas, que se suele denominar de forma abreviada energ´ıa cinética turbulenta y se denota por k ≡ u · u /2, se obtiene multiplicando escalarmente por u la ecuación (16.30) que gobierna las fluctuaciones y promediando el resultado, lo que proporciona ρ

∂k = = −∇ · (ρU k) − ∇ · (ρu u2 /2 + p u ) + µ∇2 k − ρε+ τ T : ∇U, ∂t

(16.34)


474 donde ε, definida como10 ε ≡ ν∇u : (∇u )T ,

(16.35)

representa la energ´ıa cinética turbulenta disipada por unidad de masa y tiempo debido a los efectos de viscosidad sobre las fluctuaciones turbulentas. La ecuación (16.34) expresa que la variaci´ on en la unidad de tiempo de la energ´ıa cinética turbulenta, k, contenida en la unidad de volumen se debe 1.

al flujo convectivo de k que entra en la unidad de volumen con el movimiento medio, −∇ · (ρU k),

2.

a los flujos turbulentos de energ´ıa cinética que entran en la unidad de volumen debidos las correlaciones entre las fluctuaciones de velocidad con las de energ´ıa cinética de dichas fluctuaciones y con las de presión, −∇·(ρu u2 /2+p u ), flujos que se denominan también de difusi´ on turbulenta de k,

3.

al flujo de k que entra en la unidad de volumen por difusi´ on molecular, µ∇2 k,

4.

a la disipación viscosa turbulenta de k por unidad de volumen y tiempo, -ρ ε, y

5.

a la producci´ on de k a partir de la energ´ıa cinética del movimiento medio a través de los = esfuerzos aparentes de Reynolds, τ T : ∇U; este término aparec´ıa con un signo negativo (sumidero) en la ecuación de la energ´ıa cinética media, (16.33).

De nuevo, el efecto de producción de k a partir de la energ´ıa cinética del flujo medio es independiente de la viscosidad y, por tanto, puede generar fluctuaciones turbulentas de cualquier longitud caracter´ıstica (escala), mientras que el efecto de disipación viscosa de energ´ıa cinética turbulenta afecta de forma apreciable sólo a las escalas peque˜ nas. De hecho, para las escalas más peque˜ nas (escalas de Kolmogorov), el término de producci´ on de k a partir del flujo medio es despreciable frente al de su disipaci´ on viscosa. En efecto, si Uo y L son la velocidad y la longitud caracter´ıstica para el flujo medio, uo y λ L(Uo L/ν)−3/4 las correspondientes a las fluctuaciones en la escala de Kolmogorov, se tiene que Uo λ2 ρu (Uo /L) −ρu u : ∇U ∼ o 2 2 = ∼ (Uo L/ν)−1/2 = Re−1/2 1. ρε Lν ρν(uo /λ ) 2

(16.36)

La estimación anterior puede verificarse experimentalmente si se origina un flujo turbulento de un l´ıquido dentro de recipiente de paredes r´ıgidas al que se agita fuertemente. Si en un cierto instante cesa el movimiento del recipiente puede observarse en la evolución posterior del flujo turbulento que las escalas más peque˜ nas son las primeras en desaparecer, lo que indica que éstas disipan su energ´ıa más rápidamente que la producen. Un imagen global de la relaci´ on entre U 2 y k puede obtenerse si las ecuaciones (16.33) y (16.34) se integran para el volumen del recipiente del ejemplo anterior; en efecto, si Ω denota dicho volumen y se aplica el teorema de Gauss a los términos bajo el signo de la divergencia teniendo en cuenta que U = u = 0 en las paredes r´ıgidas del recipiente, se obtienen las ecuaciones: =

Para obtener (16.34) a partir de (16.30) se ha utilizado el resultado u ·(∇· τ u ) = µ∇2 | u |2 /2−µ∇u : (∇u )T ; resultado que es f´ acil demostrar utilizando notaci´ on indicial ! 2 ∂uj ∂uj ∂uj ∂ uj ∂ u = µ u , −µ µ j j 2 ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi 10

=

donde se ha tenido en cuenta que ∇· τ u = µ∇2 u debido a la ecuaci´ on de continuidad, ∇ · u = 0.

475


∂ ∂t

=

ρU /2d = − 2

Ω

∂ ∂t

τ

U:

ρkd =

Ω

= τT:

=

∇Ud −

Ω

Ω

τ T : ∇Ud,

(16.37)

ρεd.

(16.38)

Ω

∇Ud − Ω

La ecuación (16.37) muestra que, globalmente, la energ´ıa cinética del flujo medio se disipa por los efectos viscosos, que serán importantes sólo en los u ´ltimos estadios del movimiento cuando el movimiento es lento y, por tanto, el n´ umero de Reynolds suficientemente bajo, y por la generación de energ´ıa cinética turbulenta; la ecuación (16.38) muestra que la energ´ıa cinética turbulenta contenida en el volumen var´ıa debido a que se genera a partir el movimiento medio y a que se disipa por viscosidad en las fluctuaciones turbulentas. Si se suman (16.37) y (16.38) se obtiene que la energ´ıa cinética total disminuye de forma monótona debido a la disipaci´ on viscosa turbulenta y a la disipación viscosa del movimiento medio. Obsérvese también que los distintos flujos convectivos, turbulentos y viscosos, que aparecen en las ecuaciones (16.33) y (16.34) no aparecen, sin embargo, en los balances globales (16.37) y (16.38); por tanto, dichos términos representan distintas formas de redistribuci´ on local de energ´ıa cinética y no contribuyen a su producci´ on ni destrucción netas. La generación de turbulencia mediante la interacci´ on entre los esfuerzos aparentes de Reynolds y los gradientes del flujo medio, y su redistribuci´ on en las tres direcciones del espacio mediante los flujos turbulentos son mecanismos de una importancia clave en la f´ısica de la turbulencia. Para finalizar esta sección, se mostrará cómo operan dichos efectos para el flujo turbulento simple de cortadura considerado anteriormente en la Figura 16.9. Las ecuaciones que gobiernan la evoluci´ on de las energ´ıas cinéticas medias asociadas con cada una de las componentes del movimiento fluc2 tuante, Ei = ui /2, se obtienen multiplicando cada una de las componentes cartesianas de la ecuación (16.30) por la respectiva componente ui , i = 1, 2, 3 y se promedian cada una de las tres ecuaciones resultantes. Si se tiene en cuenta que el flujo medio es de la forma U = U1 (x2 )e1 y que, por tanto, las correlaciones sólo var´ıan espacialmente con x2 , se obtienen las ecuaciones 1 ∂E1 ∂E1 ∂ 2 ρu2 u1 − µ = ρ + ∂t ∂x2 2 ∂x2 ∂U1 ∂u1 − µ| ∇u1 |2 − ρu1 u2 , (16.39) p ∂x1 ∂x2 1 ∂E2 ∂E2 ∂ 3 ∂u2 ρu2 + p u2 − µ = p − µ| ∇u2 |2 , (16.40) ρ + ∂t ∂x2 2 ∂x2 ∂x2 1 ∂E3 ∂E3 ∂ 2 ∂u3 ρu2 u3 − µ = p − µ| ∇u3 |2 . (16.41) ρ + ∂t ∂x2 2 ∂x2 ∂x3 Las ecuaciones (16.39)-(16.41) muestran que, para el flujo considerado, los esfuerzos aparentes de Reynolds transfieren directamente energ´ıa del movimiento medio sólo a la componente x1 del movimiento turbulento, mientras que la energ´ıa cinética turbulenta en las direcciones x2 y x3 se adquiere, no directamente del flujo medio, sino a partir de una redistribuci´ on de E1 mediante las correlaciones entre las fluctuaciones de presión y las variaciones espaciales de las fluctuaciones de velocidad. En efecto, como se vio al analizar el transporte turbulento para el caso de la Figura 16.9, u1 u2 < 0 si (∂U1 /∂x2 ) > 0, por lo que el término −ρu1 u2 (∂U1 /∂x2 ) es positivo y contribuye a aumentar E1 ; esta energ´ıa se transfiere a las otras componentes del movimiento mediante las correlaciones entre las fluctuaciones de presión y las derivadas espaciales de las fluctuaciones de velocidad, p (∂ui /∂xi )(i = 1, 2, 3), en las ecuaciones (16.39)-(16.41). Este proceso puede analizarse convenientemente si se promedia el producto de la ecuación de continuidad (16.29) para las fluctuaciones de velocidad por la fluctuaci´ on de presión, lo que proporciona


476

∂u1

p

=− p

∂x1

∂u2

∂x2

∂u3

− p

∂x3

.

(16.42)

La ecuación (16.42) muestra que si el término p (∂u1 /∂x1 ) en la ecuación (16.39) es negativo

x

p ' > 0 2

x 1

Figura 16.10: Sobrepresi´ on p creada en la aproximaci´ on y deflexión de la trayectoria de dos part´ıculas fluidas con diferente valor de la fluctuaci´ on de velocidad u1 . (positivo), tendiendo as´ı a disminuir (aumentar) la energ´ıa E1 de las fluctuaciones turbulentas en la dirección x1 , entonces p (∂u2 /∂x2 ) + p (∂u3 /∂x3 ) es positivo (negativo) y tiende a aumentar (disminuir) la energ´ıa total E2 + E3 de las fluctuaciones turbulentas en las direcciones x2 y x3 , como se observa al sumar (16.40) y (16.41). Esto se ilustra esquemáticamente en la Figura 16.10, donde dos part´ıculas fluidas con valores diferentes de u1 , tal que (∂u1 /∂x1 ) < 0 se acercan entre s´ı; la ecuación de continuidad exige entonces que se cree en dicho punto una fluctuaci´ on de presión positiva p > 0 que deflecte el movimiento horizontal de las part´ıculas hacia las direcciones perpendiculares x2 y x3 con [(∂u2 /∂x2 )+(∂u3 /∂x3 )] > 0. Se pone as´ı de manifiesto cómo las correlaciones entre las fluctuaciones presión y velocidad tienden a hacer la turbulencia m´ as isótropa, distribuyendo la energ´ıa turbulenta en las diferentes direcciones del espacio.

16.3.

El problema de cierre

Como se acaba de exponer, en la teor´ıa de Reynolds de la turbulencia se obtienen las ecuaciones que gobiernan las magnitudes medias del flujo turbulento promediando las ecuaciones de Navier-Stokes. Se ha visto, además, que dichas ecuaciones (16.21)-(16.23), denominadas ecuaciones promediadas de Reynolds (RANS, Reynolds averaged Navier Stokes, en la literatura anglosajona), presentan el conocido problema de cierre consistente en que en ellas aparecen como incógnitas adicionales momentos estad´ısticos de más alto orden, denominados esfuerzos aparentes de Reynolds, que deben modelarse de forma apropiada. Aunque no existe una soluci´ on u ńica al problema de cierre, algunos de los resultados fundamentales sobre la f´ısica de la turbulencia obtenidos por investigadores pioneros (Kolmogorov, von Karman, Prandtl y otros) mediante razonamientos semiemp´ıricos junto con el recurso del An´ alisis Dimensional resultan de inestimable valor como gu´ıa para la construcción de modelos turbulentos. As´ı, se ha expuesto ya cómo el concepto de cascada de energ´ıa, debido a Kolmogorov, permite obtener resultados esenciales sobre 1) la estructura universal e isótropa de las escalas más peque˜ nas de un flujo turbulento, 2) la ley universal del espectro de energ´ıa en el subrango inercial y 3) la relaci´ on entre los valores caracter´ısticos de las peque˜ nas y de las grandes escalas como función del n´ umero de Reynolds. Por otra parte, a partir del hecho de que las corrientes turbulentas suelen ser independientes de la viscosidad salvo en zonas peque˜ nas donde se disipa la energ´ıa, von Karman obtuvo mediante el uso del An´ alisis Dimensional

16.3. El problema de cierre

477

su famosa ley logar´ıtmica, o ley de la pared, que es ampliamente utilizada en el estudio de capas l´ımites turbulentas, as´ı como para el cálculo del coeficiente de fricción en el flujo en conductos y canales (véase 16.4.1). Por desgracia, estos resultados básicos y de carácter universal no son suficientes para proporcionar una soluci´ on u ńica al problema de cierre de las ecuaciones de Reynolds, por lo que para abordar situaciones m´ as complejas se han formulado una variedad de modelos consistentes con los resultados básicos anteriores. La elección, o formulaci´ on, de un modelo turbulento concreto depende en gran medida de un buen conocimiento de los aspectos generales de la f´ısica de la turbulencia, as´ı como de las caracter´ıticas propias de los flujos turbulentos a los que se va a aplicar dicho modelo; el estudio de modelos turbulentos constituye uno de los campos de la Mecánica de Fluidos donde la investigaci´ on es más intensa. Los modelos más simples fueron introducidos por Boussinesq a finales del siglo xix, usando el concepto de difusi´ on turbillonaria (eddy diffusivity) y, posteriormente, por Prandtl mediante el concepto, relacionado con el anterior, de longitud de mezcla (mixing length). Dichos conceptos están basados en cierta analog´ıa que puede establecerse entre el transporte turbulento y el transporte difusivo molecular. As´ı, la longitud de mezcla juega un papel an´ alogo en turbulencia al del camino libre medio en la teor´ıa cinética de gases; por tanto, y del mismo modo que se hace para los flujos difusivos moleculares, en estos modelos se supone que los flujos aparentes de Reynolds son proporcionales a los gradientes de las magnitudes medias a través de un coeficiente denominado de difusividad turbulenta o turbillonaria. Aunque, como se verá posteriormente, la validez de dichos modelos está limitada a flujos muy sencillos, su fundamento se analizar´ a a continuaci´ on de forma simple, aunque con cierto detalle, debido a su importancia tanto para la construcci´ on de modelos más sofisticados como para un mejor entendimiento de la f´ısica del transporte turbulento. Considérese el transporte turbulento de un escalar pasivo en un flujo turbulento estad´ısticamente estacionario; se denomina escalar pasivo a aquel cuya presencia no altera el campo de velocidades como por ejemplo: la temperatura en el flujo de un l´ıquido o de un gas a bajos n´ umeros de Mach, o el de la concentración de una especie diluida existente en el fluido. Salvo en las peque˜ nas escalas, el movimiento fluctuante de una part´ıcula fluida tiene lugar sin efectos disipativos apreciables, por lo que, siguiendo a dicha part´ıcula, el valor del escalar pasivo, que se denotará por c, puede suponerse constante. Por tanto, si una part´ıcula se encuentra en la posición x en el instante t, y la posición que ocupaba dicha part´ıcula en un instante anterior t − Υ se denota por X(t − Υ; x, t) se tiene, descomponiendo c como suma de su valor medio C más una fluctuación c , C(x) + c (x, t) = C {X(t − Υ; x, t)} + c {X(t − Υ; x, t), t − Υ} ,

(16.43)

que es una relación que, despreciando los efectos disipativos, debe de cumplirse para cualquier valor dado de Υ. Para calcular el vector densidad de flujo turbulento c u en el punto fijo x se promediará, usando (16.14), el producto de la expresi´ on anterior por el vector u (x, t) para las part´ıculas fluidas que pasan por x en sucesivos instantes t, eligiendo un valor de Υ lo suficientemente grande para que pueda despreciarse la correlaci´ on entre u (x, t) y c {X(t − Υ; x, t), t − Υ}. Se supondr´ a, además, que en el intervalo de tiempo Υ los desplazamientos experimentados por las part´ıculas hasta llegar a x, que se denotarán por l(t − Υ; x, t) ≡ x − X(t − Υ; x, t), poseen una longitud caracter´ıstica, lo , peque˜ na comparada con la necesaria, L, para variaciones apreciables de las cantidades medias.11 De esta forma C puede desarrollarse en serie de Taylor, C {X(t − Υ; x, t)} = C(x) − l(t − Υ; x, t) · ∇C + O(lo /L)2 ,

(16.44)

donde el gradiente que aparece en el segundo miembro está evaluado en el punto x. Si se introduce (16.44) en la ecuación (16.43), se multiplica ésta por u y se promedia el producto despreciando, 11

Esta hip´ otesis b´ asica de turbulencia local se realiza en todos los an´ alisis de tipo longitud de mezcla.


478

como se indicó anteriormente, la correlación entre u y la fluctuaci´ on en el segundo miembro, se obtiene el vector densidad de flujo turbulento en x u c = −DT · ∇C,

(16.45)

con el tensor de difusividad turbulenta DT dado por el promedio (correlaci´ on) entre la fluctuaci´ on de velocidad de las part´ıculas y su desplazamiento respecto a x en el instante t − Υ DT =

To

−To

u (x, t)l(t − Υ; x, t)

dt . 2To

(16.46)

Nótese que el tiempo de promediado To en (16.46) puede hacerse tender formalmente a infinito, To → ∞, en el caso considerado aqu´ı (turbulencia estad´ısticamente estacionaria); dicho tiempo de promediado no debe confundirse con el intervalo de tiempo fijado, Υ, sobre el que se sigue a las part´ıculas fluidas que pasan por x. Además, y puesto que, por hip´ otesis, las correlaciones entre los valores de fluctuaciones desfasadas un intervalo de tiempo Υ son despreciables, resulta que el valor de DT dado por (16.46) s´ olo depende de x y no de Υ. En efecto, para ello obsérvese que el desplazamiento l puede expresarse como Υ u {X(t − τ ; x, t), t − τ } dτ = l(t − Υ; x, t) = 0

Υ

u {X(t − τ ; x, t), t − τ } dτ + ΥU(x) + O(lo /L),

(16.47)

0

donde se ha tenido en cuenta que u = U + u y se han despreciado términos de orden (lo /L) en el desarrollo de Taylor [an´ alogo al de (16.44)] de la velocidad media, U, en torno a x. Si (16.47) se sustituye en (16.46) se observa que la contribuci´ on del término ΥU se anula puesto que multiplica al promedio de una fluctuaci´ on (la de u ) que es nulo por definici´ on; en primera aproximaci´ on resulta entonces ∞ To dt dτ, DT (x) = (16.48) u (x, t)u {X(t − τ ; x, t), t − τ } 2To −To 0 donde se ha tomado el l´ımite Υ → ∞, teniendo en cuenta que Υ debe ser lo suficientemente largo como para despreciar correlaciones. Obsérvese que la segunda integral en (16.48) corresponde a un promediado sobre las part´ıculas que en sucesivos instantes t pasan por x y en ella deben considerarse, para cada part´ıcula fluida, tanto el valor de la fluctuaci´ on de velocidad en la posici´ on actual de la part´ıcula, u (x, t), como su valor en la posición X(t−τ ; x, t) ocupada por la misma en el instante anterior t − τ . Es conveniente, por tanto, introducir el concepto de fluctuaci´ on lagrangiana de velocidad, definida siguiendo a una misma part´ıcula fluida: si X(t; xo , to ) denota la posición en el instante t de la part´ıcula fluida que en el instante to se encuentra en xo , se define la fluctuación lagrangiana de velocidad experimentada por dicha part´ıcula en en el instante t como v (t; xo , to ) = u {X(t; xo , to ), t} .

(16.49)

Obsérvese que las fluctuaciones lagrangianas de velocidad experimentadas por cada part´ıcula fluida en su movimiento quedan completamente determinadas como función del tiempo a partir del campo euleriano de fluctuaciones de velocidad. En términos de la correlación entre las fluctuaciones lagrangianas de velocidad, el tensor de difusividad turbulenta se escribe ∞ To dt dτ. DT (x) = (16.50) v (t; x, t)v (t − τ ; x, t) 2To −To 0

479

16.3. El problema de cierre

De las consideraciones anteriores se concluye que, bajo ciertas hipótesis, el transporte turbulento de un escalar pasivo puede modelarse de forma análoga al transporte difusivo molecular, mediante una ley de la forma (16.45). Dicha expresi´ on muestra que el flujo turbulento del escalar es el producto de un tensor de difusividad turbulenta por el gradiente de su magnitud media; a diferencia de los coeficientes de transporte moleculares, dicho tensor no es una propiedad del fluido, sino, en general, una funci´ on de la posición que debe determinarse para cada tipo de flujo de forma emp´ırica o semiemp´ırica. La hip´ otesis que permite obtener (16.45) es la denominada de turbulencia local, que supone que la longitud caracter´ıstica para variaciones espaciales de las magnitudes medias es mucho mayor que la longitud caracter´ıstica que deben recorren las part´ıculas fluidas antes de que sus fluctuaciones de velocidad resulten estad´ısticamente independientes (lo que puede interpretarse como la longitud de mezcla de Prandtl). Adem´ as, y consistentemente con la hipótesis de turbulencia local, es usual suponer que la turbulencia es localmente is´ otropa. En este caso el tensor de difusividad turbulenta tiene simetr´ıa esférica por lo que está caracterizado por un u ńico coeficiente semiemp´ırico αT (x) que puede ser funci´ on de la posición; (16.45) se simplifica entonces a u c = −αT ∇C.

(16.51)

Sin necesidad de apelar a la hip´ otesis de isotrop´ıa local, el transporte turbulento suele también caracterizarse por un u ńico coeficiente en casos en los que las variaciones de las magnitudes medias (tanto las del campo de velocidades como las del escalar pasivo) sean dominantes en direcciones transversales a la del movimiento medio, como es usual en el caso del flujo turbulento en conductos; en este caso, las componentes del vector flujo turbulento en dichas direcciones dominarán frente a la longitudinal y se aproximan de la forma uy c = −αT (y)

∂C , ∂y

(16.52)

donde y es una coordenada transversal a la dirección del movimiento. Obsérvese, que para obtener expresiones tales como (16.51)-(16.52) o la más general (16.45), es esencial el hecho de que los efectos de difusión molecular sean despreciables para las escalas que más contribuyen al transporte turbulento, de tal forma que el valor del escalar pasivo se conserve para cada part´ıcula fluida [véase la ecuación (16.43)]. Es precisamente este u ´ ltimo punto el que dificulta la justificaci´ on teórica de una expresión del tipo (16.45) para cada una de las cantidades ρu u1 , ρu u2 y ρu u3 que caracterizan el transporte turbulento de cantidad de movimiento o, lo que es lo mismo, el tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds, ρu u . En efecto, aun en ausencia de efectos viscosos, las part´ıculas fluidas no conservan su cantidad de movimiento en un flujo turbulento debido a la existencia de fluctuaciones de presi´ on. No obstante, la analog´ıa entre el transporte molecular y turbulento es muy tentadora como para dejarla totalmente de lado, sobre todo si se ha justificado te´ orica y experimentalmente en algunos casos simples como los considerados más arriba. Debido a esto, y dada la complejidad del problema, los esfuerzos aparentes de Reynolds se modelan mediante una expresión análoga a la ley de Navier-Poisson que modela el transporte molecular de cantidad de movimiento (véase 4). En coordenadas cartesianas dicha expresión, introducida primero por Boussinesq, es para un flujo turbulento incompresible ∂Ui 2 ∂Uj ui uj = kδij − νT , (16.53) + 3 ∂xj ∂xi donde k es la energ´ıa cinética turbulenta y νT es el denominado coeficiente de viscosidad turbulenta que, en general, es una funci´ on de la posición que debe ser calculada de forma semiemp´ırica. Los modelos turbulentos basados en (16.53) se denominan genéricamente modelos de viscosidad turbulenta, y proporcionan resultados que concuerdan razonablemente bien con los experimentos


480

para flujos turbulentos en los que los efectos de anisotrop´ıa no son acusados, o bien en los que las variaciones del campo de velocidades medio se producen primordialmente en una dirección de tal forma que, como en (16.52), el transporte turbulento se realiza fundamentalmente en dicha direcci´ on y puede caracterizarse por un u ńico coeficiente. Esta u ´ltima situación ocurre, por ejemplo, en flujos turbulentos desarrollados en conductos y capas l´ımites, y en algunos casos simples de turbulencia libre (chorros, estelas, etc.) que se considerarán en 16.5, donde se ver´ a cómo la elección de νT puede justificarse entonces teóricamente mediante consideraciones de semejanza f´ısica y análisis dimensional. No obstante, en situaciones más complejas es necesario emplear otros modelos más sofisticados tales como los discutidos en 16.6-16.8.

16.4.

Dispersi´ on turbulenta de un escalar pasivo

Para profundizar en el conocimiento del proceso de difusi´ on turbulenta, se considerar´ a a continuaci´ on la dispersión de un escalar pasivo en el seno de un flujo turbulento estad´ısticamente estacionario cuyo campo de velocidades medias es, además, uniforme; dicho flujo puede considerarse como una idealización del que tiene lugar en la turbulencia provocada tras una rejilla sobre la que incide una corriente con velocidad U (Figura 16.6) si, para simplificar el an´ alisis, no se considera el decaimiento de la turbulencia que se produce aguas abajo lejos de la rejilla. En este caso, resulta claro que las fluctuaciones de velocidad son estad´ısticamente isótropas e independientes de la posición, por lo que el tensor de difusividad turbulenta DT , dado por (16.50), es constante y posee simetr´ıa esférica. En efecto, puesto que las fluctuaciones de velocidad no poseen ninguna direcci´ on privilegiada, las correlaciones entre componentes distintas son nulas, mientras que las correlaciones entre componentes en la misma dirección poseen el mismo valor para las tres direcciones espaciales y son independientes de la posición, dependiendo solamente del intervalo de tiempo τ existente entre las fluctuaciones. Por tanto, es conveniente definir el coeficiente de correlación R(τ ) entre fluctuaciones lagrangianas de velocidad desfasadas un intervalo de tiempo τ mediante la expresión To 2 dt = kR(τ )δij , vi (t; x, t)vj (t − τ ; x, t) (16.54) 2T 3 o −To

2 2 2 donde k = vx + vy + vz /2 es la energ´ıa cinética media turbulenta que, para un flujo turbulento is´ otropo, es independiente de la posici´ on y satisface las relaciones 3 2 3 2 3 2 (16.55) v = vy = vz . 2 x 2 2 Si se sustituye (16.54) en (16.50) se obtiene el tensor de difusividad turbulenta que, como se anticip´ o más arriba, resulta constante e isótropo, k=

DT = αT I, donde I es el tensor unitario, y αT es el coeficiente de difusión turbulenta definido por ∞ 2 R(τ )dτ. αT = k 3 0

(16.56)

(16.57)

Una idea particularmente clara de la f´ısica del transporte turbulento se obtiene si se relaciona éste con las propiedades estad´ısticas del movimiento fluctuante de las part´ıculas fluidas, siguiendo las ideas pioneras de Taylor en sus trabajos sobre la dispersión turbulenta.12 Para ello, es conveniente interpretar primero los promedios calculados en puntos fijos del espacio en las ecuaciones 12

G. I. Taylor, Proc. London Math. Soc., 20, 196, 1921.

481

16.4. Dispersión turbulenta de un escalar pasivo

(16.54)-(16.55) en términos de promedios calculados sobre las part´ıculas fluidas. En efecto, en el caso de turbulencia isótropa considerado aqu´ı dichos promedios son independientes de la posici´ on, x, y, por tanto, deben coincidir con los calculados si se eval´ ua para cada part´ıcula fluida el producto de sus fluctuaciones lagrangianas de velocidad en dos instantes, t y t − τ , y se promedia el resultado sobre todas las part´ıculas. En general, si en dos instantes de tiempo dados, t y t , se calcula para cada part´ıcula fluida el producto de las fluctuaciones lagrangianas de velocidad vi (t) y vj (t ) en dichos intantes y se promedia dicho producto sobre todas las part´ıculas fluidas, el resultado se denotará en el resto de esta sección por vi (t)vj (t ). Obsérvese que en el caso de turbulencia estad´ısticamente estacionaria, como el considerado aqu´ı, el promedio anterior debe ser independiente del origen de tiempos y sólo depende, por tanto, de la diferencia |t−t |; en particular, el valor de dicha cantidad para t = t se denotará simplemente por vi vj . De acuerdo con estas consideraciones el coeficiente de correlación definido en (16.54) puede expresarse como R(τ ) =

vy (t)vy (t − τ ) vz (t)vz (t − τ ) vx (t)vx (t − τ ) = = . vx 2 vy 2 vz 2

(16.58)

Considérense ahora las trayectorias de las part´ıculas fluidas en el flujo turbulento referidas a un sistema de coordenadas cuyo eje x está dirigido seg´ un la corriente incidente, U ex . Si X(t) denota la trayectoria de una part´ıcula, las fluctuaciones de X(t) respecto a la trayectoria de un observador que se mueve con la velocidad media U están dadas por t X(t) − U t ex = v (s)ds, (16.59) 0

donde v (s) = u {X(s), s} es la fluctuación lagrangiana de la velocidad de la part´ıcula en el instante s. Por claridad de notaci´ on, el análisis que sigue se detallará sólo para una de las componentes de (16.59), siendo el mismo para las otras dos. As´ı, para la componente seg´ un y Y (t) =

t

vy (s)ds

(16.60)

0

y el desplazamiento cuadrático medio de las part´ıculas fluidas en el instante t se obtiene promediando el cuadrado de la expresi´ on anterior, lo que proporciona t t t t 2 Y 2 (t) = vy (s)vy (s )dsds = vy R(s − s )dsds , (16.61) 0

0

0

0

donde se ha introducido el coeficiente de correlación, R(s − s) = vy (s)vy (s )/vy , entre fluctuaciones lagrangianas desfasadas un intervalo de tiempo s − s , véase (16.58). Es fácil comprobar que, si se introducen nuevas variables de integraci´ on τ y τ definidas por s − s = τ y s = τ , la integral doble (16.58) puede reducirse a la integral simple t 2 2 Y (t) = 2vy (t − τ )R(τ )dτ, (16.62) 2

0

donde se ha tenido en cuenta que R(s − s ) = R(s − s) para una turbulencia estad´ısticamente estacionaria; para los desplazamientos cuadráticos medios en las direcciones x y z, (X(t) − U t)2 y Z 2 (t), se obtienen expresiones análogas. Resulta esclarecedor analizar los comportamientos asint´ oticos de la expresión (16.62) tanto para tiempos grandes como para tiempos peque˜ nos comparados con un tiempo caracter´ıstico de correlación de las fluctuaciones definido como ∞ τc = R(τ )dτ ; (16.63) 0


482

dicho tiempo coincide con la base de un rectángulo de altura R(0) = 1 y cuya área es igual a la comprendida entre la curva R(τ ) y el semieje τ > 0. A partir de la expresi´ on (16.62) se deduce f´ acilmente que para tiempos t τc el desplazamiento cuadrático medio sigue la ley temporal aproximada 2 Y 2 (t) vy t2 , (16.64) mientras que para tiempos t τc se tiene que Y (t) 2

2 2tvy

∞

R(q)dq.

(16.65)

0

Obsérvese que, si se hace uso de (16.55) y (16.57), la expresión (16.65) puede escribirse como

Figura 16.11: Comportamientos asint´ oticos del desplazamiento cuadrático medio en la dispersión de part´ıculas en un flujo turbulento derejilla estad´ısticamente estacionario: a) tiempos cortos t tc y b) tiempos largos t tc . Y = ± Y 2 ; u = 2k/3.

Y 2 (t) = 2 t αT ,

(16.66)

que relaciona el coeficiente de difusión turbulenta de un escalar pasivo, y por tanto la eficacia del transporte turbulento, con el desplazamiento cuadr´ atico medio de las part´ıculas fluidas en un flujo turbulento is´ otropo y estad´ısticamente estacionario. Las leyes asintóticas (16.64) y (16.66) constituyen un resultado cl´ asico de la teor´ıa del movimiento browniano, y su validez para el movimiento de las part´ıculas en el flujo turbulento tras una rejilla con velocidad media uniforme y estacionaria puede comprobarse en la Figura 16.11, donde se representan los resultados de una simulaci´ on numérica lagrangiana.13 Como aplicación pr´ actica de los conceptos anteriores, considérese el problema de determinar el campo de temperaturas en una estela térmica axilsimétrica originada por una fuente calor´ıfica puntual de potencia dada, QT , situada en el seno de un flujo turbulento de velocidad media uniforme, U . Suponiendo que la estela térmica es esbelta, esto es, con variaciones transversales de las magnitudes fluidas grandes frente a las longitudinales, la ecuaci´ on de Reynolds (16.23) para el campo de temperaturas es, en coordenadas cil´ındricas, ∂Θ 1 ∂ ∂Θ U = αT r , (16.67) ∂x r ∂r ∂r 13

S. Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000.

483

16.4. Dispersión turbulenta de un escalar pasivo

donde, de acuerdo con (16.56) y (16.45), el flujo turbulento de calor se ha modelado en la forma ur T = −αT ∂θ/∂r, con un coeficiente de difusividad térmica turbulenta αT constante (turbulencia isótropa) definido por (16.57). La ecuaci´ on (16.67) debe resolverse sujeta a las condiciones de contorno ∂Θ (x, r = 0) = 0, ∂r

Θ(x, r → ∞) → Θ∞ , y

∞

QT =

ρcp U [Θ(x, r) − Θ∞ ] 2πrdr.

(16.68)

(16.69)

0

Obsérvese que la condición (16.69) expresa el balance entre el calor por unidad de tiempo suministrado por la fuente y el flujo de calor convectado a través de cualquier sección transversal situada a una distancia genérica x de la fuente; dicha condici´ on integral sustituye suficientemente lejos de la fuente a una condici´ on inicial en x, y permite obtener una soluci´ on de semejanza para el campo de temperaturas. En efecto, es fácil comprobar que el cambio de variables r ξ= 2αT x/U

y

Θ − Θ∞ =

QT f (ξ), 4πρcp αT x

(16.70)

transforma el problema en derivadas parciales (16.67)-(16.69) en el problema diferencial ordinario 1 d df df = ξ , (16.71) −2f − ξ dξ ξ dξ dξ f (∞) = 0,

df (0) = 0, dξ

∞

f ξdξ.

1=

(16.72) (16.73)

0

Si se multiplica (16.71) por ξ y se integra una vez se obtiene −ξ 2 f + C = ξ

df , dξ

(16.74)

donde la condición de regularidad en el origen impone el valor C = 0. Integrando de nuevo la ecuación resultante se obtiene f = A exp(−ξ 2 /2),

(16.75)

en la que la condición integral (16.73) fija el valor A = 1. La distribuci´ on de temperaturas medias es finalmente Θ − Θ∞ =

QT exp(−U r2 /4αT x). 4πρcp αT x

(16.76)

Siguiendo los pasos del an´ alisis anterior, es inmediato comprobar que para el caso de una fuente de calor bidimensional de potencia calor´ıfica qT por unidad de longitud perpendicular al plano del movimiento, la distribuci´ on de temperaturas está dada por Θ − Θ∞ =

q √ T exp(−U y 2 /4αT x). ρcp 2παT U x

(16.77)

La validez de los resultados anteriores puede comprobarse con los resultados experimentales mostrados en la Figura 16.12, para el caso de un flujo turbulento de rejilla alrededor de un cilindro


484

Figura 16.12: (a) Distribuciones de temperatura te´ orica (16.77) y experimental en una estela térmi ca [Θo ≡ Θ(x, 0), y¯ ≡ y/ 2αT x/U ]; (b) evoluci´ on de los perfiles de temperaturas con la distancia a la fuente. La temperatura se mide en grados Celsius y las longitudes en pulgadas. Los dos perfiles de temperatura han sido tomados respectivamente a 5.2 y 18 pulgadas de la fuente térmica.

circular bidimensional. Obsérvese en la Figura 16.12(a) el excelente acuerdo entre la distribución de temperaturas (16.77) y los resultados experimentales tomados a diferentes distancias aguas abajo de la fuente.14 En la Figura 16.12(b) se muestra la tendencia a la homogeneizaci´ on de la temperatura aguas abajo de la fuente debido al transporte turbulento de calor (asociado a la componente radial del movimiento fluctuante de las part´ıculas fluidas). 15 Este alisamiento de los perfiles de temperaturas puede deducirse también de la ecuación (16.77), que muestra que el espesor caracter´ıstico de la estela térmica aumenta aguas abajo de tal forma que a una distancia xo de la fuente su valor es del orden yo ∼ αT xo /U . Obsérvese que dicho espesor es del mismo orden de magnitud que la distancia transversal media recorrida en el movimiento turbulento por las part´ıculas fluidas cuando éstas se desplazan desde la proximidades de la fuente hasta la estación xo ; en efecto, si to ∼ xo /U es el tiempo caracter´ıstico invertido en dicho desplazamiento, la distancia transversal media viene dada, de acuerdo con (16.66), por Y 2 (to )1/2 ∼ αT xo /U ∼ yo . Finalmente, es interesante observar que valores t´ıpicos en los experimentos de la Figura 16.12(a) son yo ∼ 10−2 m, xo ∼ 0,25 m y U ∼ 4,35 m/s, que proporcionan αT ∼ 2 × 10−3 m2 /s; dicha estimación para el valor de la difusividad turbulenta debe compararse con los valores de las difusividades térmicas moleculares para el aire αaire 1, 5 × 10−5 m2 /s ∼ 10−2 αT y para el agua αagua 1, 25 × 10−7 m2 /s ∼ 10−4 αT . Por tanto, para una misma velocidad U y una misma distancia aguas abajo de la fuente xo , el espesor de la estela térmica laminar es del orden de diez veces menor que la turbulenta en el caso del aire, y del orden de cien veces menor en el caso del agua.

16.5.

Turbulencia parietal

Se analizarán aqu´ı los flujos turbulentos en presencia de paredes caracter´ısticos de capas l´ımites y movimientos en conductos. Como se verá en lo que sigue, la presencia de la pared impone a los flujos turbulentos una estructura caracter´ıstica universal suficientemente cerca de la pared. En dicha estructura se distinguen dos zonas en las que la importancia relativa entre los esfuerzos viscosos y turbulentos es muy dispar. Muy cerca de la pared se distingue una capa donde la 14 H.

15 G.

Stapountzis, B.L. Sawford, y J.C. Hunt, J. Fluid Mech., 165, 401, 1986. I. Taylor, Proc. Roy. Soc. A, 151, 465, 1935.

485

16.5. Turbulencia parietal

turbulencia está inhibida, subcapa laminar, mientras que a distancias de la pared mayores es la viscosidad la que juega un papel muy escaso y se puede despreciar frente a los esfuerzos aparentes de Reynolds, subcapa inercial o logar´ıtmica. El análisis demuestra que la solución del flujo en estas dos zonas próximas a la pared es universal, en el sentido de que es independiente de los detalles de la corriente turbulenta en zonas m´ as alejadas de la pared y, por tanto, la soluci´ on en ellas es válida tanto para capas l´ımites turbulentas como para el flujo turbulento en conductos. En una tercera zona, más alejada de la pared, donde el flujo turbulento satisface la denominada ley del defecto de velocidades que es dependiente de las condiciones de contorno exteriores. En capas l´ımites turbulentas, el an´ alisis de esta zona es extraordinariamente complejo debido a los fenómenos de intermitencia que tienen lugar en la frontera entre la zona turbulenta exterior gobernada por la ley del defecto de velocidades y la corriente exterior no viscosa. En estos casos, para la resolución del problema es necesario recurrir a la experimentación o a simulaciones numéricas. Sin embargo, en la corriente en conductos, la situación se simplifica debido a que a distancias de la entrada relativamente cortas, la turbulencia está completamente desarrollada, en el sentido de que afecta a toda la sección del conducto y el perfil de velocidades medias no var´ıa aguas abajo. En lo que sigue, se mostrará la estructura del flujo turbulento para el caso de un conducto de secci´ on circular debiendo tener en cuenta que los resultados de las capas más cercanas a la pared (ley de la pared) son de aplicación a cualquier situaci´ on de turbulencia parietal (capas l´ımites).

16.5.1.

Turbulencia en conductos de secci´ on circular

Considérese un conducto de sección circular de di´ ametro D por el que circula un l´ıquido en régimen turbulento. A cierta distancia de la entrada del conducto el flujo turbulento est´ a completamente desarrollado y las magnitudes medias sólo dependen de la distancia r al eje del conducto. Las ecuaciones de Reynolds de cantidad de movimiento (16.22) se escriben en coordenadas cil´ındricas como 1 ∂P ν ∂ ∂U 1 ∂ − (16.78) + r − (rur ux ) = 0, ρ ∂x r ∂r ∂r r ∂r u 1 ∂P 1 ∂ 2 − (rur ) + θ = 0, ρ ∂r r ∂r r 2

−

(16.79)

u u 1 ∂ (rur uθ ) + r θ = 0. (16.80) r ∂r r La ecuación (16.80) proporciona rur uθ = const. = 0, ya que ur y uθ son nulos en r = R. Asimismo, si se deriva la ecuación (16.79) respecto de x se obtiene ∂ 2 P/∂r ∂x = 0, lo que indica que ∂P/∂x es independiente de r y, por tanto, puede escribirse ∂P/∂x ≡ dPo /dx, siendo Po (x) la presión media en la pared del conducto, r = R. Entonces, si la ecuación (16.78) se integra en r se obtiene dU 1 dPo r2 − ur ux = , (16.81) r ν dr ρ dx 2 donde la constante de integraci´ on es nula al serlo el primer miembro de (16.81) en r = 0. Si (16.81) se eval´ ua en la pared se obtiene τp dU R dPo =− , =ν (16.82) 2ρ dx dr r=R ρ siendo τp el esfuerzo en la pared del conducto que es desconocido a priori. En general, se supondrá conocido el caudal Q que circula por el conducto y la resoluci´ on del problema permitir´ a calcular teóricamente el gradiente de presiones dPo /dx, o lo que es lo mismo, el esfuerzo en la pared, τp .


486

Para lo que sigue, resulta conveniente expresar la ecuación (16.81) en términos de la distancia a la pared del conducto, y = R − r; teniendo en cuenta que ur = −uy se obtiene ν

dU y − uy ux = u∗2 1 − , dy R

(16.83)

donde se ha usado la relación (16.82) y se ha definido la velocidad basada en el esfuerzo en la pared u∗ ≡ τp /ρ. La resolución de (16.83) se basa en la idea original de Prandtl que distingue en la sección del conducto varias zonas o capas en las que la importancia relativa de los distintos términos de la ecuación (16.83) es muy dispar. En efecto, muy cerca de la pared la turbulencia está inhibida debido a la condici´ on de no deslizamiento, por lo que los esfuerzos turbulentos son despreciables frente a los viscosos. Por tanto, para y → 0 existe una zona denominada subcapa laminar o viscosa donde (16.83) puede aproximarse por la ecuaci´ on ν

dU u∗2 , dy

(16.84)

cuya integraci´ on, junto con la condici´ on U (0) = 0, proporciona yu∗ U = . u∗ ν

(16.85)

Figura 16.13: Ley de la pared para diferentes flujos turbulentos parietales. Los datos experimentales debidos a Laufer son para un conducto de secci´ on circular. Los valores de (16.85) concuerdan muy bien con los resultados experimentales representados en la Figura 16.13 en la zona 0 ≤ yu∗ /ν < 5, condición que determina convencionalmente el espesor de

487


la subcapa laminar.16 En términos del radio del conducto, el espesor de dicha zona puede estimarse si se tiene en cuenta la identidad 2 y u∗ Um y , (16.86) = R Re ν u∗ donde Re = Um D/ν es el n´ umero de Reynolds basado en la velocidad media, Um = 4 Q/(π D2 ) y en el diámetro del conducto D = 2 R; en efecto, para un valor t´ıpico de Re = 105 y si, como se justificará posteriormente, se estima u∗ ∼ 0,1Um , la relación (16.86) proporciona que el espesor de la subcapa laminar es del orden de 10−3 R. A distancias mayores de la pared del conducto, la importancia relativa de los esfuerzos viscosos disminuye gradualmente frente a la de los turbulentos, y éstos se hacen dominantes para yu∗ /ν 1. Por tanto, existe una zona denominada capa inercial o logar´ıtmica tal que y u∗ /ν 1 e y/R 1 donde la ecuación (16.83) puede aproximarse por uy ux = −u∗2 .

(16.87)

La ecuación (16.87) expresa que los esfuerzos aparentes de Reynolds son constantes en la capa inercial, y es significativo cómo dicha ecuación proporciona la forma del perfil de velocidad media como una simple aplicación del Análisis Dimensional. En efecto, el gradiente de velocidad media no puede depender en esta zona más que del esfuerzo aparente, u∗2 , y de la distancia a la pared, y, puesto que la capa inercial se se encuentra todav´ıa muy lejos (y R) de la zona central del conducto como para que influya en ella la geometr´ıa de la sección, caracterizada en este caso por R. Se tiene entonces que dU/dy = f (u∗ , y), (16.88) y el Análisis Dimensional proporciona y dU = A, u∗ dy

(16.89)

siendo A una constante universal denominada constante de Von Karman. La solución de (16.89) puede escribirse en la forma yu∗ U = A ln + B, (16.90) ∗ u ν donde las constantes A y B en (16.90) deben determinarse experimentalmente. La ley logar´ıtmica (16.90) se muestra en la Figura 16.13, donde puede comprobarse el excelente acuerdo con las observaciones experimentales en el rango 30 < yu∗ /ν < 103 independientemente de los detalles del flujo exterior. A partir de los datos de experimentos diferentes, que exhiben variaciones del orden de un 5 %, se obtienen valores promedios A = 1/0,41 = 2,44 y B = 5. En la Figura 16.13 también puede observarse la universalidad de las estructuras del perfil de velocidades en las capas logar´ıtmica, de transición, y viscosas para yu∗ /ν < 103 , lo que t´ıpicamente corresponde a un espesor del orden del 20 % del radio del conducto; la distribuci´ on de velocidades en dichas capas se denomina ley de la pared. Se observa también en la figura que para valores mayores de y, la distribuci´ on de velocidades depende de los detalles de la corriente exterior, y para el caso que nos ocupa de un conducto de sección circular, el flujo en el n´ ucleo de la sección, (R − y) ∼ R, está gobernado por la ecuaci´ on −uy ux = u∗2 (1 − y/R) ,

(16.91)

que se obtiene de (16.83) omitiendo el término viscoso. La presencia de una longitud caracter´ıstica adicional, R, en (16.91) hace que el Análisis Dimensional no baste para determinar completamente

16

P.S. Bernard y J.M. Wallace, Turbulent Flow, John Wiley and Sons, 2002.


488

la forma del perfil de velocidades medias. En efecto, como se argumentó en la sección 16.2, debe existir una relación entre el transporte turbulento de cantidad de movimiento y el gradiente de velocidad media, uy ux = f (dU/dy) donde f es una función desconocida a priori; por tanto, el gradiente de velocidades se puede escribir en la forma dU = g(u∗ , y, R). dy

(16.92)

El Análisis Dimensional aplicado a (16.92) proporciona la relaci´ on

y d(U/u∗ ) , =G d(y/R) R

(16.93)

donde G es una funci´ on desconocida. Si se integra (16.93) entre R y un valor de y genérico se obtiene la denominada ley del defecto de velocidades,

y Uo − U = F , (16.94) u∗ R donde Uo = U (R) es el valor de la velocidad media en el eje del conducto, y F es una funci´ on desconocida que debe acoplar con la ley logar´ıtmica (16.90) para peque˜ nos valores de y, F

y R

→ A ln

y + C, R

y 1, R

yu∗ 1. ν

(16.95)

La ley (16.94) debe determinarse experimentalmente o mediante integración numérica, generalmente complicada, del flujo exterior. No obstante, se ver´ a posteriormente que para el cálculo de las magnitudes de interés puede emplearse con suficiente aproximación la ley logar´ıtmica (16.90) en toda la sección del conducto. De hecho, puede observarse en la Figura 16.13 que la desviaci´ on del perfil de velocidades observado respecto del logar´ıtmico se mantiene peque˜ na incluso para valores de y del orden de R. Esto es debido al hecho de que las variaciones relativas de velocidad son peque˜ nas en el n´ ucleo central del conducto (debido a la eficiencia del mezclado turbulento) que es también lo que le sucede a la función logar´ıtmica para valores grandes del argumento. En la Figura 16.14 se proporcionan datos experimentales del flujo turbulento en un conducto de secci´ on circular con un n´ umero de Reynolds Re = 5,105 , basado en la velocidad media en el eje del conducto, que completan el análisis teórico realizado.17 En la Figura 16.14(a) se representan datos experimentales, del esfuerzo turbulento y de la energ´ıa cinética turbulenta en una sección del conducto; obsérvese que el esfuerzo turbulento disminuye linealmente con y en toda la sección, excepto muy cerca de la pared, como predice la expresión teórica (16.91). En la Figura 16.14(b) se representan datos experimentales de la ra´ız cuadrática media ( u2 ) de las fluctuaciones turbulentas; se observa que las fluctuaciones se anulan en la pared, alcanzan un m´ aximo en la zona de transición entre la subcapas laminar e inercial donde los esfuerzos de cortadura son más intensos y la generación de turbulencia es, por tanto, m´ as eficaz, y decaen hacia el n´ ucleo central con un valor t´ıpico del orden de 0,1 Um . Efecto de la rugosidad de la pared Hasta aqu´ı se ha considerado el caso de un conducto de pared lisa. Sin embargo, dado el peque˜ no espesor de la subcapa laminar, la rugosidad de la pared del conducto puede modificar sustancialmente las caracter´ısticas del flujo muy cerca de la pared y de esta forma afectar al esfuerzo de fricción. En efecto, la rugosidad superficial media de las superficies de los materiales com´ unmente empleados en los tubos comerciales suele variar en el rango 5×10−2 > > 10−4 , donde = hs /D es 17

J. Laufer, NACA Technical Report n. 1174, 1954.

489


Figura 16.14: (a) Distribuciones de esfuerzo turbulentoy energ´ıa cinética turbulenta en un conducto de sección circular; (b) Intensidad de la turbulencia, ( u2 ), cerca de la pared. Las caracter´ısticas experimentales del flujo eran Re = Um D/ν = 5 × 105 y u∗ /Um = 0,035.

la rugosidad relativa, hs la rugosidad absoluta y D el diámetro del conducto. Por otra parte, para un n´ umero de Reynolds t´ıpico Re = 105 y u∗ ∼ 0,1Um , la subcapa logar´ıtmica comienza en y/D ∼ 7,10−3 (lo que se comprueba, como se hizo anteriormente, usando la relación yu∗ /ν ∼ 70) mientras que la subcapa laminar llega hasta y/D ∼ 5,10−4 (yu∗ /ν ∼ 5). Por tanto, dependiendo del valor de , las protuberancias de la pared pueden penetrar en la subcapa laminar, en la de transici´ on laminar-logar´ıtmica, o adentrarse incluso en la capa logar´ıtmica donde la turbulencia es completa. El que se dé una situación u otra depende, naturalmente, del par´ ametro adimensional hs u∗ /ν, que puede interpretarse como un n´ umero de Reynolds basado en la rugosidad media hs y en la velocidad basada en el esfuerzo en la pared, u∗ . Dada la complejidad de la geometr´ıa de las protuberancias y del carácter del flujo turbulento no es posible hacer un modelo riguroso para el an´ alisis de la influencia de la rugosidad y, por tanto, es necesario acudir a modelos aproximados semiemp´ıricos. En particular, la ley logar´ıtmica (16.90), que como se indicó anteriormente se usará para calcular las magnitudes de interés en el conducto, se modifica haciendo la constante B dependiente de la rugosidad adimensional hs u∗ /ν, yu∗ hs u∗ U = A ln +B , (16.96) u∗ ν ν donde la constante A mantiene su valor puesto que (16.96) debe acoplar con la ley del defecto de velocidades en el n´ ucleo central (que no está afectado por la rugosidad, y hs ). La funci´ on B(hs u∗ /ν) debe calcularse, en general, emp´ıricamente. No obstante, si hs u∗ /ν < 5 la rugosidad sólo afecta a la subcapa laminar y la ley logar´ıtmica (16.96) debe coincidir con la correspondiente a un conducto de pared lisa (16.90). Se dice entonces que el conducto es hidrodin´ amicamente liso y B(hs u∗ /ν) 5. En el otro extremo, si la rugosidad del conducto es tal que hs u∗ /ν > 70, las protuberancias se adentran en la subcapa logar´ıtmica, donde la turbulencia es completa, y no existe subcapa laminar. En este caso B debe depender de su argumento de tal forma que ν desaparezca de (16.96); por simple inspección se deduce B = −A ln

hs u ∗ + C, ν

(16.97)


490

donde C 8,5 es una constante que se determina experimentalmente, y el campo de velocidades resulta U y = A ln + 8,5. (16.98) u∗ hs Obsérvese que, en este caso, la fricción turbulenta no es debida fundamentalmente al esfuerzo viscoso en la pared, sino al desprendimiento de torbellinos en las protuberancias rugosas de la misma (es el mismo efecto que origina la resistencia aerodinámica en el flujo alrededor de un cuerpo romo). Para rugosidades que afecten a la zona de transici´ on, 5 < hs u∗ /ν < 70, la funci´ on ∗ B(hs u /ν) debe obtenerse experimentalmente. ´ Esfuerzo en la pared como funci´ on del caudal. Abaco de Moody on del caudal, o lo Para calcular finalmente u∗ y, por tanto, el esfuerzo en la pared como funci´ que es lo mismo, el gradiente de presiones necesario para impulsar un caudal dado se recurrir´ aa la aproximaci´ on siguiente. El caudal que circula por el conducto, Q, se aproxima por la integral extendida a toda la sección de la ley logar´ıtmica del perfil de velocidades, (16.96); esto es, se desprecian las contribuciones al caudal de las estrechas zonas correspondientes a las subcapa laminar y de transición, as´ı como la peque˜ na diferencia entre el perfil real de velocidades en el n´ ucleo central del conducto y el dado por la ley logar´ıtmica. Se obtiene entonces, con y = R − r,

R

Q= 0

hs u ∗ 3 u∗ R +B , U 2πrdr = πR u A − + ln 2 ν ν 2 ∗

(16.99)

donde A 2,44. Para un conducto de rugosidad y secci´ on dadas, la ecuación transcendente (16.99) permite determinar la velocidad u∗ y, por tanto, también el esfuerzo en la pared, τp = ρ u∗2 , as´ı como el gradiente longitudinal de presiones que est´ a relacionados con τp mediante (16.82). Es conveniente expresar (16.99) en forma adimensional, en términos del coeficiente de fricción y del n´ umero de Reynolds Re = Um D/ν, donde Um = Q/(πR2 ) es la velocidad media en la sección del conducto. Para ello, es usual definir el factor de fricci´ on, λ, como λ = 4cf =

8τp =8 2 ρUm

u∗ Um

2 ,

(16.100)

donde cf es el coeficiente de fricción. Si la definici´ on (16.100) se introduce (16.99) se obtiene la denominada ley de la fricci´ on 1 λ1/2

3 √ = 2,44 ln(Re λ1/2 ) + B(Re λ/8) / 8 − 2,78.

(16.101)

Para un conducto hidrodin´ amicamente liso B 5 y la (16.101) puede aproximarse por la expresión 1 = 0,86 ln(Re λ1/2 ) − 1,01 = −0,86 ln[3,23/(Reλ1/2 )]. (16.102) λ1/2 Para un conducto rugoso se tiene, de acuerdo con (16.97), B = −2,44 ln( Re λ/8) + 8,5, y la expresión (16.101) resulta independiente del n´ umero de Reynolds 1 λ1/2

= 0,86 ln(1/) + 1,12 = −0,86 ln(/3,7).

(16.103)

Basándose en los l´ımites (16.102) y (16.103), Colebrook en 1937 encontr´ o la siguiente fórmula de interpolación para (16.101) que es también suficientemente aproximada para los casos intermedios en los que la rugosidad del conducto llega hasta la capa de transici´ on

491

16.6. Turbulencia libre

1 λ1/2

= −0,86 ln

2,51 + 3,7 Re λ1/2

;

(16.104)

además, la fórmula de Colebrook, (16.104), corrige emp´ıricamente los peque˜ nos errores introducidos en (16.101) y (16.102) al calcular el caudal usando la ley logar´ıtmica en toda la sección del conducto.

´ Figura 16.15: Abaco de Moody.

Posteriormente, Moody en 1944 represent´ o la ecuación (16.104) gr´ aficamente en lo que se conoce como el ´ abaco de Moody, Figura 16.15. Puede observarse en dicha figura que la transici´ on al régimen turbulento se produce para un n´ umero de Reynolds Recr 2,300. Por debajo de dicho valor el régimen en la tuber´ıa es laminar y el factor de fricción es el correspondiente a la ley de HagenPoiseuille, λ = 64/Re. Por encima del valor cr´ıtico, el flujo en el conducto se hace turbulento y el factor de fricción depende en general de y Re. Para muy peque˜ nas rugosidades, las curvas = const tienden a la curva inferior del a´baco cuya ecuación es (16.102) y se conoce como ley de fricci´ on de Blasius.

16.6.

Turbulencia libre

Se denomina turbulencia libre a aquella que ocurre sin presencia o influencia directa de paredes que confinan al fluido. Los flujos con turbulencia libre se presentan con gran frecuencia tanto en la naturaleza como en las aplicaciones de interés en ingenier´ıa y se estudiarán aqu´ı los más


492

comunes como son los chorros, estelas, capas de mezcla y penachos térmicos. Todos estos flujos se caracterizan por ser esbeltos, siendo las variaciones longitudinales (en la dirección del movimiento) de cualquier magnitud fluida media, φ, mucho menores que las variaciones transversales: ∂φ/∂x ∂φ/∂y ∼ ∂φ/∂z. Además, si δo es una longitud caracter´ıstica transversal y Uo es una velocidad (o diferencia de velocidades) caracter´ıstica media longitudinal, se cumple para estos flujos que Uo δo 2 /νx 1, con lo que pueden despreciarse los esfuerzos viscosos frente a los turbulentos en la ecuación de cantidad de movimiento. Si se tienen en cuenta dichas simplificaciones, las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento longitudinal y cantidad de movimiento transversal para un flujo turbulento estacionario, bidimensional o axilsimétrico, de un l´ıquido o de un gas a bajos n´ umeros de Mach se escriben ∂U 1 ∂ m ∂V + m r = 0, (16.105) ∂x r ∂r ∂r U

∂U 1 ∂ m ∂U 1 ∂pe +V =− m (r u v ) − , ∂x ∂r r ∂r ρ ∂x pe (x) p v 2 + = , ρ 2 ρ

(16.106)

(16.107)

donde m = 0 (m = 1) corresponde al caso bidimensional (axilsimétrico), y pe (x) es la presión exterior. Para evitar la proliferaci´ on de sub´ındices, en (16.105)-(16.107) se han denotado por U y V las velocidades medias longitudinal y transversal (Ux y Ur ), y u y v las componentes longitudinal y transversal de las fluctuaciones turbulentas (ux y ur ). Para los flujos que se considerar´ an aqu´ı pe es constante y, por tanto, la evoluci´ on aguas abajo tiene lugar en ausencia de forzamiento externo. Entonces, y como ocurre en el caso laminar, suficientemente lejos de la estación inicial el flujo adquiere una estructura autosemejante gobernada por la velocidad (o diferencia de velocidades) longitudinal local Uo (x), y por la longitud caracter´ıstica transversal local δ(x) x, que se define usualmente como el valor de r para el que se tiene U [r = δ(x), x] = Uo (x)/2. Esta propiedad de los flujos turbulentos libres que, como se ver´ a, está confirmada plenamente por los resultados experimentales, se denomina invariancia local de la turbulencia, y permite suponer que el flujo sólo depende de x a través de δ(x) y Uo (x). La estructura autosemejante de la solución puede obtenerse mediante el Análisis Dimensional haciendo uso de la propiedad de invariancia local. En efecto, dicha propiedad expresa que las velocidades medias longitudinales y los esfuerzos aparentes de Reynolds serán funcionales de la forma U (r, x) = F [δ(x), Uo (x), r] ,

(16.108)

−u v = G [δ(x), Uo (x), r] ,

(16.109)

y el Análisis Dimensional permite reducir las relaciones anteriores a U (r, x) = Uo (x)f [r/δ(x)] ,

(16.110)

−u v = Uo 2 (x)g [r/δ(x)] .

(16.111)

Como se verá, haciendo uso de (16.110) y (16.111) es posible reducir el sistema en derivadas parciales (16.105)-(16.106) a un sistema diferencial ordinario en la variable ξ = r/δ(x). Además, como se observa en (16.111), la invariancia local restringe la dependencia funcional de u v con r y x, simplificando de esta forma el problema de cierre. En lo que sigue, y como es usual en la literatura, se har´ a uso del modelo de viscosidad turbillonaria discutido en la secci´ on 16.4 y se

493


expresará el esfuerzo aparente de Reynolds en términos del coeficiente de viscosidad turbillonaria on νT y del gradiente transversal de velocidad longitudinal mediante la relaci´ −u v = νT

∂U . ∂r

(16.112)

Si se usan (16.110) y (16.111) en (16.112) se obtiene νT = Uo (x)δ(x)g(ξ)/f˙(ξ) ≡ Uo (x)δ(x)h(ξ),

(16.113)

siendo h(ξ) una funci´ on que debe determinarse mediante ajuste entre los resultados teóricos y experimentales. Es notable que para todos los flujos turbulentos libres considerados aqu´ı se obtenga un acuerdo excelente para h(ξ) ≡ B, donde B es una constante propia de cada flujo. Adem´ as, en situaciones donde deba calcularse la distribuci´ on de temperaturas, es necesario modelar el flujo turbulento radial de calor −v T ; para ello puede usarse una expresi´ on análoga a (16.112), −v T = αT

∂Θ , ∂r

(16.114)

con un coeficiente de difusividad térmica turbulenta αT , igual a νT , lo que puede justificarse f´ısicamente basado en el hecho de que las fluctuaciones turbulentas transportan energ´ıa interna del mismo modo que cantidad de movimiento.18

16.6.1.

Chorro turbulento

Cuando un fluido descarga al ambiente desde un orificio se observa que, para las velocidades usuales, el chorro se hace completamente turbulento a corta distancia del punto de descarga, véase Figura 16.1. Debido a la turbulencia, el chorro se mezcla en parte con el fluido en reposo del ambiente, de tal forma que part´ıculas del fluido ambiente son ingeridas por el chorro y, por tanto, el gasto a través de cualquier sección transversal del mismo aumenta aguas abajo. No obstante, como se verá en lo que sigue, el flujo de cantidad de movimiento se conserva con la distancia al orificio. Las ecuaciones que gobiernan el flujo turbulento del chorro en la aproximaci´ on esbelta discutida más arriba son las (16.105)-(16.107) excepto por el hecho de que el gradiente de presiones es nulo ∂U 1 ∂ m + m (r V ) = 0, ∂x r ∂r ∂U ∂U ∂U 1 ∂ m r νT , U +V = m ∂x ∂r r ∂r ∂r

(16.115) (16.116)

donde m = 0 para un chorro bidimensional, y m = 1 para uno axilsimétrico. Las velocidades U y V en (16.115) y (16.116) deben satisfacer las siguientes condiciones de contorno de simetr´ıa en el eje y de decaimiento en el infinito: ∂U V (0, x) = 0, = 0, U (∞, x) = 0. (16.117) ∂r r=0 Puesto que se está interesado en estudiar la estructura autosemejante que, seg´ un se observa experimentalmente, se desarrolla aguas abajo, la condición inicial para U en x = 0 se sustituirá por la condición global de conservaci´ on del flujo de cantidad de movimiento a través de cualquier sección 18 La situaci´ on es similar a los transportes difusivos moleculares de calor y de cantidad de movimiento en gases, cuyo mecanismo es idéntico: el movimiento ca´ otico molecular. Esto se refleja en que el n´ umero de Prandtl, P r = ν/α, es de orden unidad para los gases.


494

transversal; dicha condici´ on se obtiene fácilmente si se multiplica por rm la ecuación de cantidad de movimiento (16.116) y se integra entre 0 < r < ∞ para un valor fijo de x, haciendo uso de la ecuación de continuidad y de la u ´ltima condición en (16.117), lo que proporciona ∞ dm+1 Ue 2 rm U 2 (r, x)dr = m , (16.118) 4 (m + 1) 0 donde d y Ue son el diámetro (o semi-espesor si m = 0) y la velocidad del chorro en el orificio de salida. La ecuación (16.118) expresa la independencia con x del flujo convectivo de cantidad de movimiento a través de una sección transversal del chorro. Como se ha se˜ nalado más arriba, el sistema de ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno (16.115)-(16.118) admite una solución de semejanza de la forma r = δ(x)ξ,

U = Uo (x)f (ξ),

V = Vo (x)g(ξ),

(16.119)

para funciones apropiadas δ(x), Uo (x) y Vo (x), siempre que el coeficiente de viscosidad turbillonaria sea de la forma νT = BUo (x)δ(x);

(16.120)

B es una constante a determinar experimentalmente. En efecto, si se sustituyen (16.119)-(16.120) en (16.115)-(16.118) es fácil ver que si las funciones δ(x), Uo (x) y Vo (x) satisfacen las relaciones dδ dδ , = A, (16.121) dx dx donde A y C son constantes adimensionales a determinar, se obtiene el siguiente sistema diferencial ordinario para las funciones f y g δ m+1 Uo 2 = dm+1 Ue 2 /C,

Vo = Uo

(ξ m g) − ξ m [ξ f + (m + 1)f /2] = 0,

(16.122)

(bξ m f ) + (ξ m g) f − ξ m g f = 0,

(16.123)

f (0) = 0,

(16.124)

∞

g(0) = 0

ξ m f 2 dξ =

0

f (∞) = 0,

C , 4m (m + 1)

(16.125)

donde se ha definido la constante b ≡ B/A y el super´ındice significa derivaci´ on respecto a ξ. Para determinar las constantes b y C en 16.122-16.125 se impondrán las condiciones adicionales f (0) = 1 y f (1) = 1/2, que definen Uo (x) y δ(x) en (16.119) como la velocidad en el eje del chorro [U (0, x) = Uo (x)] y el espesor caracter´ıstico del mismo (valor de la coordenada transversal para el que la componente axial de la velocidad es la mitad de la velocidad en el eje , U [x, y = δ(x)] = Uo (x)/2. Para un chorro plano (m = 0), la ecuación de continuidad (16.122) puede integrarse inmediatamente si se define una variable auxiliar F tal que F = f y F (0) = 0, lo que proporciona g = ξf − F/2.

(16.126)

Si la ecuación (16.126) se sustituye en (16.123) y se integra una vez haciendo uso de la condici´ on F (0) = 0 [o f (0) = 0], se obtienen la ecuación diferencial y condiciones de contorno para F 2 b F + F F = 0,

F (0) = 0,

F (∞) = 0.

(16.127)

495


√ Puede comprobarse fácilmente que la solución de (16.126)-(16.127) es F = a tanh ξ/ 2b , donde √ a es una constante. La condición f (0) = F (0) = 1 determina a = 2b y, por tanto,

√ (16.128) f = F = cosh−2 ξ/ 2b . Las constante b y C se calculan mediante las condiciones f (1) = 1/2 y (16.125), que proporcionan √ √ ∞ √ 2 cosh−4 xdx = 8b/3, (16.129) b = 1/[2 ln (1 + 2)] y C = 2b 0

donde se ha tenido en cuenta que el valor de la integral que aparece en (16.129) es 2/3. Por otra parte, los experimentos muestran que suficientemente lejos de la salida de un chorro plano se verifica la relación δ(x) 0,1 x que, de acuerdo con la u ´ltima relación de (16.121), determina el valor A = 0,1. La primera relación de (16.121) proporciona entonces la velocidad en el eje del chorro como Uo (x) = Ue

d AC x

1/2 ,

(16.130)

y de (16.120) se determina el coeficiente de viscosidad turbulenta como νT = bA3/2 C −1/2 Ue d1/2 x1/2 .

(16.131)

En la Figura 16.16 se representa el perfil de velocidades longitudinales medias, dado por la ecuaci´ on (16.128) junto con datos experimentales.19 Obsérvese el buen acuerdo entre teor´ıa y experimentos en casi toda la sección del chorro excepto en los bordes, debido a los efectos de intermitencia.

Figura 16.16: Distribuci´ on de velocidades en un chorro turbulento plano.

En el caso de un chorro axilsimétrico (m = 1), la ecuación de continuidad (16.122) puede ξ integrarse haciendo uso de la variable auxiliar F ≡ 0 ξf dξ para dar ξg = ξF − F.

(16.132)

La relación anterior permite obtener a partir (16.123) particularizada para m = 1 la ecuación diferencial para F b (F − F /ξ) + (F F /ξ) = 0, (16.133) 19

G. Heskestad, J. Appl. Mech., 32, 721, 1965. S. Pope Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000.


496

que debe resolverse con las condiciones de contorno que resultan de la definici´ on de F y de la condici´ on f (0) = 1, F (0) = F (0) = 0, F (0) = 1. (16.134) La ecuación (16.133) puede integrarse dos veces de forma inmediata haciendo uso repetido de las condiciones (16.134) y de la igualdad ξF = (ξF ) − F , con lo que se llega a la ecuación 2bξF + F 2 − 4bF = 0.

(16.135)

La solución de (16.135) que verifica las condiciones (16.134) es F =

ξ 2 /2 . 1 + ξ 2 /(8b)

(16.136)

El campo de velocidades longitudinales, definido por la funci´ on f (ξ), se determina inmediatamente a partir de F como f=

1 F = ; ξ [1 + ξ 2 /(8b)]2

(16.137)

dicha expresión fue obtenida por primera vez por Schlichting en 1933. Como en el caso del chorro plano, el√valor de la constante b se determina a partir de la condici´ on f (1) = 1/2, que proporciona on b = [8( 2 − 1)]−1 . La constante C = 32b/3 en (16.121) se determina a partir de la condici´ (16.125). Finalmente los datos experimentales muestran que, suficientemente lejos del orificio de salida, se verifica δ(x) = 0,094 x, lo que implica A = 0,094 y permite determinar Uo (x) y νT a partir de (16.121) y (16.120).

16.6.2.

Estelas

Como es sabido, una estela se forma debido al desprendimiento de las capas l´ımites en la parte posterior de un cuerpo que se mueve en un fluido en reposo o est´ a situado en el seno de una corriente fluida (véase Figura 14.6). Los experimentos muestran que las velocidades en una estela son menores que las de las corrientes principal, y este déficit de velocidad está relacionado con la pérdida de cantidad de movimiento que experimenta la corriente debido a la fuerza que ejerce sobre el cuerpo sumergido. Si se aplica un balance de masa y de cantidad de movimiento a un volumen de control que contenga al cuerpo y esté limitado en el exterior por superficies situadas a gran distancia del mismo, se obtiene la relación integral entre la fuerza de resistencia y el perfil de velocidades de la estela ∞ D = 2π m Ue [Ue − U (x, r)] rm dr, (16.138) 0

donde Ue es la velocidad no perturbada de la corriente incidente, y la integral (16.138) se calcula para cualquier sección transversal situada a una distancia x aguas abajo del cuerpo lo suficientemente grande como para que se verifique que el déficit de velocidad, definido como Ud (x, r) = Ue −U (x, r), sea peque˜ no frente a Ue . A tales distancias se observa que el espesor de la estela, aunque crece aguas abajo, se mantiene peque˜ no frente a la longitud caracter´ıstica en la dirección del movimiento, si se define ésta como la necesaria para que se produzcan variaciones apreciables en el déficit de velocidad. Por tanto, debido a la esbeltez de la estela, la presi´ on en el interior de la misma puede considerarse uniforme, de valor igual a la de la corriente exterior, y los experimentos muestran que, suficientemente lejos aguas abajo del cuerpo, el flujo desarrolla una estructura autosemejante. Las consideraciones anteriores permiten simplificar el cálculo del campo de velocidades longitudinales

497


medias en la estela. En efecto, la condición Ud Ue permite linealizar el término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento (16.106), de modo que ésta puede escribirse como 1 ∂ ∂Ud ∂Ud m = m r νT . (16.139) Ue ∂x r ∂r ∂r A la ecuación (16.139) hay que a˜ nadir las condiciones de contorno de regularidad en el eje y de decaimiento en el infinito ∂Ud (x, 0) = 0 y Ud (x, ∞) = 0. (16.140) ∂r Además, y puesto que se está interesado en la estructura autosemejante del flujo, la condici´ on inicial en x = 0 puede sustituirse por la condici´ on integral (16.138), que puede escribirse en forma adimensional como ∞ 4m+1 D = Ud rm dr, CD = 1 (16.141) 1 2 2 m+1 πd m U d ρU d e 0 e 2 4 donde CD es el coeficiente de resistencia del cuerpo, que se supondrá conocido experimentalmente; además, el coeficiente de viscosidad turbulenta se modelará de la forma νT = BUdo (x)δ(x),

(16.142)

donde B es una constante a determinar, Udo (x) es el defecto de velocidades en el eje de la estela y δ(x) es el espesor caracter´ıstico de la estela definido convencionalmente por la condici´ on Ud [x, r = δ(x)] = Udo (x)/2. Puede comprobarse fácilmente que para funciones Udo y δ que satisfagan las relaciones dδ = SUdo /Ue , (16.143) dx donde A y S son constantes adimensionales a determinar, la ecuación (16.139) junto con las condiciones de contorno (16.140) admiten una soluci´ on de semejanza en las variables Udo δ m+1 = ACD Ue dm+1

ξ=

r , δ(x)

y

f (ξ) =

Ud . Udo (x)

(16.144)

En efecto, al introducir dichas variables en (16.139)-(16.140) se obtiene el problema diferencial ordinario b(ξ m f ) + ξ m [(m + 1)f + ξf ] = 0,

∞

f (0) = f (∞) = 0,

f ξ m dξ = 1/A,

(16.145) (16.146)

0

donde se ha definido b ≡ B/S; las constantes se determinan mediante las condiciones f (0) = 1 y f (1) = 1/2. Para una estela plana, m = 0, la solución de (16.145)-(16.146) que satisface f (0) = 1 puede obtenerse fácilmente como f = exp [−ξ 2 /(2b)].

(16.147)

La condición f (1) = 1/2proporciona b = 1/(2 ln 2), y si se introduce (16.147) en la integral de (16.146) se obtiene A = 2/(πb). Además, combinando las ecuaciones (16.143) e integrando para δ(x) se obtienen, para grandes valores de x/d,


498

δ(x) = d(2SACD x/d)1/2 ,

Udo (x) = Ue ACD (2SACD x/d)−1/2 .

(16.148)

Finalmente, y para cerrar el problema, el valor del p´ arametro S se obtiene experimentalmente. Se observa que dicho valor depende de la geometr´ıa del objeto que genera la estela, y los valores t´ıpicos para una placa, un cilindro y un perfil son, respectivamente, S = 0,073, 0,083 y 0,103. Para el caso de una estela axilsimétrica, (m = 1), el problema (16.145)-(16.146) puede integrarse también de forma inmediata, y la soluci´ on que satisface f (0) = 1 y f (1) = 1/2 resulta idéntica a 2 (16.147), f = e−ξ ln 2 , y se representa en la Figura 16.17 para el caso de una esfera;20 obsérvese el buen acuerdo de la teor´ıa con los resultados experimentales, excepto cerca de los bordes debido a los fenómenos de intermitencia. La constante A = 2 ln 2 se determina de la condición integral (16.146), y las expresiones de δ(x) y Udo (x) son δ(x) = d(3SACD x/d)1/3 ,

Udo (x) = Ue ACD (3SACD x/d)−2/3 ,

(16.149)

con el parámetro S determinado experimentalmente; para una esfera se tiene S = 0,51.

Figura 16.17: Déficit de velocidad adimensional en la estela de una esfera.

16.6.3.

Capa de mezcla

Una capa de mezcla se forma cuando entran en contacto dos corrientes que se mueven paralelamente con distintas velocidades. La Figura 16.18 muestra una fotograf´ıa de la estructura del flujo en la capa de mezcla de nitrógeno y una mezcla de argón-helio fluyendo en la misma dirección con velocidades cuya diferencia era de 12 m/s aproximadamente.21 Obsérvese que al entrar las corrientes en contacto la discontinuidad en los perfiles de velocidades a la salida de la placa separadora de las corrientes origina una inestabilidad de tipo Kelvin-Helmholtz (véase Sección 15.3) que crece aguas abajo, dando lugar a una zona de mezcla turbulenta donde los v´ ortices de la gran escala que, como se ve en la Figura 16.18, se organizan de una forma peculiar en lo que se ha denominado, por su regularidad, estructuras coherentes; la din´ amica de estas estructuras ha sido y sigue siendo objeto de intensa investigaci´ on. Obsérvese también cómo los torbellinos de peque˜ na escala son convectados por las estructuras coherentes. Como se observa también, el espesor caracter´ıstico 20 M. Uberoi y P. Freymuth, Phys. Fluids A, 13, 2205, 1965. S. Pope Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000. 21 M. Rebollo, Ph. D. thesis, Calif. Inst. of Technology, 1973. De M. van Dyke, An Album of Fluid Motions, The Parabolic Press, 1982.

499


de la capa de mezcla aumenta aguas abajo y experimenta variaciones apreciables aguas abajo en distancias mucho mayores que el mismo.

Figura 16.18: Estructuras coherentes en una capa de mezcla. Las ecuaciones y condiciones de contorno que gobiernan el movimiento en una capa de mezcla bidimensional están dadas por de (16.105)-(16.106) como ∂U ∂V + = 0, ∂x ∂y ∂U ∂U ∂ ∂U +V = νT , U ∂x ∂y ∂y ∂y V (x, 0) = 0,

U (x, −∞) = U1 ,

U (x, ∞) = U2 ,

(16.150) (16.151) (16.152)

donde y denota la coordenada transversal y U1 y U2 son las velocidades de las corrientes inferior y superior antes de interaccionar. Si se modela el coeficiente de viscosidad turbulenta de la forma νT = B|U2 − U1 |δ(x),

(16.153)

es fácil ver que el sistema (16.150)-(16.152) admite una solución de semejanza en las variables ξ=

y δ(x)

f (ξ) =

U , Uo

g(ξ) =

V , Vo

(16.154)

bajo la condición de que las cantidades B, dδ/dx, Uo y Vo sean constantes. En efecto, si se define dδ/dx = A, y se eligen las constantes Uo = (U1 + U2 )/2 y Vo = Uo A, la sustitución de (16.154) en (16.150)-(16.152) proporciona el sistema diferencial ordinario

g(0) = 0,

g − ξf = 0,

(16.155)

bf − gf + ξf f = 0,

(16.156)

f (∞) = 1 + λ,

f (−∞) = 1 − λ,

(16.157)

donde las constantes b y λ están definidas por b≡

2B|U2 − U1 | , A(U1 + U2 )

λ≡

U2 − U1 . U2 + U1

(16.158)

El sistema (16.155)-(16.157) puede integrarse numéricamente para cualquier valor de λ en el intervalo −1 ≤ λ ≤ 1.22 No obstante, en el l´ımite |λ| 1 Goertler encontr´ o una solución anal´ıtica 22

N´ otese que b desaparece de (16.155)-(16.157) si se escala apropiadamente la variable ξ → bξ.


500

aproximada que, como se verá, reproduce bien los datos experimentales incluso para |λ| ∼ O(1). Para ello, obsérvese que |λ| 1 implica que |U2 − U1 | U1 , con lo que las diferencias de velocidades en la capa de mezcla son peque˜ nas y, en primera aproximaci´ on, puede escribirse f 1 y g 0 en la ecuación (16.156), que se simplifica a bf + ξf = 0.

(16.159)

La solución de (16.159) que satisface las condiciones de contorno (16.157) puede escribirse en términos de la función error como √ (16.160) f = 1 + λ erf(ξ/ 2b). Obsérvese que la expresión anterior contiene una u ńica constante, b, a determinar emp´ıricamente. Para ello, es convencional definir el espesor caracter´ıstico de la capa de mezcla, δ(x), como el correspondiente a la zona que contiene el rango de velocidades 1 − 0,8λ ≤ (U/U

o ) ≤√1 +0,8λ, con lo que, si se eval´ ua (16.160) en ξ = ±1 [y = ±δ(x)], se obtiene la condición erf ±1/ 2b = ±0,8, que proporciona el valor b = 2,83. Para cerrar el problema, el valor par´ ametro A que determina el espesor caracter´ıstico de la capa de mezcla (A ≡ dδ/dx) debe determinarse emp´ıricamente. Los experimentos muestran que dicho valor depende de los detalles del del flujo cuando éste abandona la placa separadora y las corrientes entran en contacto; los valores reportados en la literatura se en cuentran en el rango 0,06|λ| ≤ A ≤ 0,11|λ|. En la Figura 16.19 se compara la expresi´ on teórica (16.160) con los datos experimentales para el caso U1 /U2 = 0 (λ = 1) y un valor de A = 0,097 (δ(x) = 0,097x).23 Obsérvese que, a´ un para λ = 1, existe un excelente acuerdo entre los experimentos y la solución teórica, formalmente válida sólo para λ 1.

Figura 16.19: Velocidad adimensional en una capa de mezcla.

16.6.4.

Penachos t´ ermicos

Los penachos térmicos son un tipo de flujo turbulento libre de enorme importancia pr´ actica, puesto que están presentes en gran parte de los fenómenos de convección natural que tienen lugar, entre otras situaciones, en la ventilación, tanto industrial como arquitect´ onica, y en los flujos geof´ısicos y atmosféricos. El mecanismo de generación del movimiento en los penachos térmicos es la flotabilidad debida a diferencia de densidades en el seno del fluido provocadas por gradientes de temperatura. Las velocidades caracter´ısticas en los penachos térmicos son generalmente peque˜ nas y, por tanto, los n´ umeros de Mach son muy bajos y puede aplicarse la aproximaci´ on de Boussinesq 23 F. Champagne, Y. Pao, y I. Wygnanski J. Fluid Mech., 74, 209, 1965, en S. Pope Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000.

501


(véase 14.11). Además, teniendo en cuenta que las dimensiones transversales de un penacho térmico son t´ıpicamente mucho menores que las longitudinales, las ecuaciones que gobiernan el problema se obtienen directamente de (16.105)-(16.106) incluyendo el término de flotabilidad en la ecuaci´ on de cantidad de movimiento y la ecuación de la entalp´ıa que gobierna la distribuci´ on de temperaturas, 1 ∂ ∂U + (rV ) = 0, ∂z r ∂r ∂U 1 ∂ ∂U ∂U +V = U rνT + gβ(Θ − Θ∞ ), ∂z ∂r r ∂r ∂r ∂Θ 1 ∂ ∂Θ ∂Θ +V = rαT , U ∂z ∂r r ∂r ∂r r = 0 : V = 0,

∂Θ ∂U = 0, = 0, ∂r ∂r

(16.161) (16.162) (16.163) (16.164)

r → ∞ : U → 0, Θ → Θ∞ ,

(16.165)

donde en la ecuación de la entalp´ıa (16.163) se ha incluido el flujo turbulento radial de calor dado por (16.114). Para el caso de un penacho térmico originado por una fuente en el origen de intensidad calor´ıfica QT se tiene, además, ∞ ρcp U (z, r) [Θ(z, r) − Θ∞ ] 2πrdr. (16.166) QT = 0

La condición (16.166) sustituye a la condici´ on inicial en z = 0, y expresa que todo el calor por unidad de tiempo suministrado por la fuente es convectado por el penacho aguas abajo; dicha ecuación se obtiene fácilmente al integrar la ecuación (16.163) respecto de r y hacer uso de la ecuación de continuidad (16.161). Asimismo, los flujos turbulentos radiales de cantidad de movimiento axial y de calor en (16.162) y (16.164), −ρ u v y −ρ cp v T , se han modelado mediante coeficientes turbillonarios de viscosidad y conducci´ on de calor νT y αT ; se supondrá en lo que sigue un n´ umero de Prandtl turbulento, definido como la relaci´ on νT /αT , igual a la unidad y dichos coeficientes se expresan entonces de la forma νT = αT = Bδ(z)Uo (z), (16.167) donde b es una constante a determinar, y las funciones, a´ un desconocidas, Uo (z) y δ(z) representan la velocidad en el eje del penacho y el radio para el cual U [r = δ(z), z] = Uo (z)/2. Bajo las condiciones anteriores, es fácil comprobar que el sistema (16.161)-(16.166) admite una solución de semejanza en las variables r ξ= , δ

f (ξ) =

U , Uo

g(ξ) =

V , Vo

θ(ξ) =

Θ − Θ∞ , Θo (z) − Θ∞

(16.168)

supuesto que las funciones δ(z), Uo (z), Vo (z) y Θo (z) ≡ Θ(z, 0) satisfacen las relaciones dδ = A, dz

Uo =

C δ

, 1/3

Θo − Θ∞ =

AUo 2 , gβδ

Vo = AUo ,

(16.169)

donde A y C son constantes. Las constantes A y C están relacionadas por la condici´ on (16.166) de conservación de la energ´ıa calor´ıfica suministrada al penacho, lo que proporciona C=

gβQT 2πAρcp

1/3 ,

(16.170)


502

siendo A y B las constantes a determinar en el modelo. Si se sustituyen las expresiones (16.168)(16.169) en las ecuaciones y condiciones de contorno (16.161)-(16.166) y se define el parámetro b ≡ B/A se obtiene el sistema diferencial ordinario 1 1 (ξg) − f − ξf = 0, ξ 3

(16.171)

b 1 (ξf ) + (ξf − g) f + f 2 + θ = 0, ξ 3

5 b ξ θ˙ + (ξf − g) θ + f θ = 0, ξ 3

(16.172) (16.173)

˙ g(0) = f˙(0) = θ(0) = 0, f (∞) = θ(∞) = 0, ∞ ξf θdξ. 1=

(16.174) (16.175)

0

El par´ ametro b en (16.172) y (16.173) se determina como un autovalor del problema mediante la condici´ on f (1) = 1/2.

Figura 16.20: Distribuciones autosemejantes de temperatura a) y velocidades longitudinales y transversales b) en un penacho térmico. En la Figura 16.20 se representan los valores teóricos y experimentales de las variables θ¯ = (2πA2 )−2/3 θ [Figura 16.20(a)], y f¯ = (2πA−1 )−1/3 f y g¯ = (2πA−1 )−1/3 g [Figura 16.20(b)], en funci´ on de la variable r/z = Aξ.24 Obsérvese cómo las distribuciones de temperaturas y velocidades medidas en varias secciones del penacho situadas suficientemente lejos aguas abajo de la fuente colapsan, si se escalan apropiadamente, sobre las distribuciones de semejanza determinadas por el sistema (16.161)-(16.166). Además, el valor (2πA2 )−2/3 θ(0) 9,5 observado para r = 0 en la Figura 16.20(a) determina, puesto que θ(0) = 1, el valor A 13,5 y, por tanto, δ(z) z/13,5, en buen acuerdo también con los resultados experimentales. Conocidos A y δ, las funciones Uo (z) Θo (z) quedan definidas a partir de (16.169)-(16.170) como Uo (z) = 24

gβQT 2πρcp A2

1/3 z

−1/3

y

Θo (z) − Θ∞ =

A. Shabbir y W. K. George, J. Fluid Mech., 275, 132, 1994.

Q √ T 2π gβρcp A2

2/3

z −5/3 .

(16.176)

503

16.7. Simulaci´ on numérica en turbulencia

16.7.

Simulaci´ on num´ erica en turbulencia

En las secciones anteriores se han considerado modelos semiemp´ıricos de la turbulencia que resultan adecuados para la descripci´ on de movimientos turbulentos relativamente simples, aunque de gran interés teórico-pr´ actico. Sin embargo, estos modelos no son adecuados para el tratamiento de flujos turbulentos que tienen lugar en presencia de geometr´ıas y condiciones de contorno más complejas, ni en situaciones en las que se requiera una información más detallada del flujo (correlaciones turbulentas, energ´ıa cinética turbulenta, etc.) Paralelamente al avance de la capacidad computacional de los ordenadores, junto con el desarrollo de técnicas numéricas cada vez más eficientes, se han ido desarrollando modelos de turbulencia m´ as sofisticados cuyos fundamentos se expondr´ an brevemente en lo que sigue.

16.7.1.

Modelo k − ε

El modelo turbulento denominado k −ε es un modelo de viscosidad turbulenta (véase 16.3) que se caracteriza por el hecho de que el coeficiente νT de la expresión (16.53) para el tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds se modela localmente como una función de la energ´ıa cinética turbulenta, k, y de la tasa de disipación de energ´ıa cinética turbulenta, ε.25 El cierre del modelo se lleva a cabo formulando sendas ecuaciones para k y para ε que se integran junto a las ecuaciones para el flujo medio (16.21) y (16.22). Debe indicarse que, como cualquier modelo turbulento, el modelo k − ε no es autoconsistente y tanto en la determinación de νT (k, ε) como en la formulaci´ on de las ecuaciones para k y ε se introducen par´ ametros ad hoc que se determinan calibrando el modelo con flujos turbulentos sencillos cuya soluci´ on sea conocida teórica o experimental. La forma funcional de νT puede determinarse inmediatamente mediante el Análisis Dimensional, que proporciona k2 , (16.177) ε donde Cµ es una constante adimensional a determinar. Haciendo uso de νT el término correspondiente al transporte turbulento de k en la ecuación (16.34) se expresa, de forma poco precisa, en el modelo k − ε mediante una ley del de tipo difusivo-molecular νT p u + ρu u2 /2 = −ρ ∇k, (16.178) σk νT = Cµ

donde σk es una constante adimensional a determinar que tiene el significado f´ısico de un n´ umero de Prandtl turbulento y que se suele tomar igual a la unidad en la mayor´ıa de los casos. Si por simplicidad se considera el caso de un flujo incompresible y se introduce la expresi´ on (16.178) en la ecuación (16.34) dividida por ρ se obtiene

∂k νT ∇k − u u : ∇U − ε, (16.179) + U · ∇k = ∇ · ν + ∂t σk donde el tensor u u se modela mediante de la relación (16.53). La ecuación (16.179) expresa que, para un observador que se mueve con el flujo medio, la variaci´ on de energ´ıa cinética turbulenta es debida a los efectos de difusión, tanto turbulenta como molecular, de producci´ on turbulenta a partir del flujo medio, y de disipaci´ on turbulenta. Este u ´ltimo término, representado por ε ≡ T ν∇u : (∇u ) , aparece como incógnita en la ecuación (16.179) y, por tanto, debe ser modelado para cerrar el problema. En el modelo k − ε, esto se lleva a cabo postulando la siguiente ecuación ad hoc para ε ε ε2 ∂ε νT ∇ε − Cε1 u u : ∇U − Cε2 , (16.180) + U · ∇ε = ∇ · ν + ∂t σε k k 25

K. Hanjalic y B. E. Launder, J. Fluid Mech., 52, 609, 1972.


504

que posee una estructura idéntica a la de la ecuación (16.179); esto es, del tipo: Variaci´ on igual a Difusi´ on m´ as Producci´ on menos Disipaci´ on.26 Obsérvese que los dos u ´ ltimos términos de (16.180), que representan la producci´ on y la disipaci´ on de ε se obtienen en el modelo k − ε a partir de los correspondientes términos en la ecuación (16.179) para k mediante consideraciones dimensionales. Como se indicó anteriormente, la constante Cµ de la relación (16.177) y las que aparecen en las ecuaciones (16.178) y (16.180), σk , σε , Cε1 y Cε2 , deben fijarse calibrando el modelo con soluciones con propiedades bien conocidas tales como las del flujo en la capa l´ımite sobre una placa plana, flujo de cortadura con gradiente de velocidades medias uniforme, decaimiento de la turbulencia tras una rejilla, etc. Valores usuales de dichas constantes son Cµ = 0,09,

Cε1 = 1,44,

Cε2 = 1,92,

σk = 1,

σε = 1,3.

(16.181)

Fijadas las constantes (16.181), las ecuaciones (16.179) y (16.180) pueden integrarse, sujetas a las condiciones de contorno apropiadas, junto a las del flujo medio (16.21)-(16.22), usando la relaci´ on (16.53) para el tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds −ρu u y la relación (16.177) para νT . El modelo k−ε ha sido, y a´ un es, ampliamente utilizado en los códigos comerciales, y permite tratar con cierto éxito flujos turbulentos algo m´ as complicados que los tratados en 16.5 y 16.6 mediante An´ alisis Dimensional y soluciones de semejanza. No obstante, su aplicación está limitada a flujos relativamente simples debido a las severas hipótesis realizadas para su construcción: la turbulencia se supone isótropa, y caracterizada localmente en el espacio y en el tiempo por sólo dos cantidades, k y ε. Un ejemplo clásico de fallo del modelo k − ε resulta cuando se aplica éste al flujo turbulento desarrollado en un conducto de sección rectangular. En este flujo, fuertemente anis´ otropo, se producen corrientes secundarias en la sección debidas, fundamentalmente, a un desequilibrio entre los 2 2 2 esfuerzos aparentes normales ux , uy y uz , Figura 16.21. Estas corrientes no son predichas por el modelo k − ε, cuyo carácter isótropo y lineal en la relaci´ on entre el tensor de esfuerzos 2 2 2 aparentes, −ρu u , y el tensor ∇U proporciona ux = uy = uz = 2k/3, véase la ecuación (16.53), y un perfil de velocidades medias que, como en el caso de un flujo laminar, es de la forma U = Uz (y, x)ez . Sin embargo, las corrientes secundarias pueden reproducirse numéricamente si se usa un modelo k − ε modificado con una relaci´ on no-lineal entre el tensor de esfuerzos aparentes y 3 T el tensor de velocidades de deformación del flujo medio, S ≡ 0,5 ∇U + (∇U) −u u = aI + bS + cS · S,

(16.182)

donde a,b y c son constantes semiemp´ıricas.27 La mejora de resultados con una relación de la forma (16.182) puede explicarse teniendo en cuenta que la inclusi´ on de términos no-lineales equivale a retener más términos en la serie de Taylor de la relación, desconocida de antemano, entre u u y S. De esta forma los efectos no-locales y, por tanto, los no-isótropos, del flujo se recogen mejor que con una relación lineal del tipo (16.53).

16.7.2.

Modelo de ecuaciones para los esfuerzos aparentes de Reynolds (RSEM)

Con el rápido crecimiento de la capacidad computacional de los ordenadores y de las técnicas de cálculo numérico, los códigos comerciales han incorporado modelos más sofisticados que los simples k −ε considerados en la sección anterior. Uno que se emplea con profusi´ on es el denominado modelo 26 Una ecuaci´ on exacta para ε puede obtenerse a partir de las ecuaciones (16.21)-(16.22) y (16.29)-(16.30) para el flujo medio y para las fluctuaciones, como se hizo en 16.2 para obtener la ecuaci´ on (16.34) para k. No obstante, dicha ecuaci´ on contiene muchos términos cuya interpretaci´ on f´ısica no es clara y que, en cualquier caso, deben ser modelados a posteriori. Por tanto, se prefiere aqu´ı escribir directamente la ecuaci´ on m´ as simple (16.180). 27 C. G. Speziale, Annual Rev. Fluid Mech., 23, 107, 1991.

505


Figura 16.21: (a) Ilustración de las corrientes secundarias que aparecen en el flujo turbulento en un conducto de sección rectangular; (b) el modelo k − ε no predice ning´ un tipo de flujo secundario; (c) flujo secundario obtenido con el modelo k − ε modificado.

de ecuaciones para los esfuerzos de Reynolds [Reynolds Stress Equations Modelling (RSEM), en la literatura anglosajona], en el que se integran, junto con las ecuaciones (16.21)-(16.22) para el flujo medio, un conjunto de seis ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, una por cada una de las seis componentes independientes del tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds que, para abreviar notación, se denotarán en lo que sigue por R ≡ −u u . Dicho conjunto de ecuaciones se deduce multiplicando tensorialmente por u la ecuación (16.30) y promediando el resultado; después de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene ρ

∂R + ρU · ∇R = 2 DS + PS − ES + ΠS , ∂t

(16.183)

donde DS ,PS ,ES y ΠS denotan las partes simétricas (semisuma del tensor y su traspuesta) de los tensores de segundo orden

= D = −∇ · Ip u + ρu u u /2 + τ u u , P = −ρ R · ∇U ,

=

E = τ u ·∇u ,

Π = p ∇u .

(16.184) (16.185)

Obsérvese que la estructura de la ecuación tensorial (16.183) para R es muy similar a la de la ecuación (16.179) para k, salvo el u ´ltimo término del segundo miembro de (16.183), ΠS . En efecto, los tres primeros términos del segundo miembro de (16.183), DS , PS y ES , poseen su análogo en la ecuación (16.179) y, como all´ı, pueden interpretarse como contribuciones a la variaci´ on de R debidas, respectivamente, a la difusión (turbulenta y molecular), a la producci´ on a partir del flujo medio y a la disipación viscosa por las fluctuaciones turbulentas en la peque˜ na escala. En cuanto al término ΠS , que representa la correlación entre las fluctuaciones de presión y los gradientes de


506

las fluctuaciones de velocidad, conviene observar que su traza es nula, ya que T r(ΠS ) = T r(Π) = 2 2 2 p ∇ · u = 0; además, puesto que T r(R) = 2k = u1 + u2 + u3 , la ecuación para k (16.34) podr´ıa obtenerse también tomando la traza en la ecuación (16.183) sin que a ella contribuya ΠS al ser su traza nula. Por tanto, la acci´ on del término ΠS puede interpretarse como una redistribuci´ on 2 2 2 de la energ´ıa cinética entre las componentes u1 , u2 y u3 sin cambio en la energ´ıa cinética total k. Como caracter´ısticas generales de los modelos RSME pueden citarse: 1.

Son profusamente utilizados en c´ odigos comerciales. Son más costosos computacionalmente que el modelo k − ε al realizar la integraci´ on de un mayor n´ umero de ecuaciones diferenciales (10 en total).

2.

Recogen las caracter´ısticas no locales del flujo turbulento mejor que el modelo k − ε, ya que pueden incluir de forma m´ as flexible y completa efectos no lineales y anisótropos en cada una de las componentes del tensor R mediante un modelado apropiado de los tensores DS , PS , ES y ΠS .

3.

El modelado de dichos tensores es complejo y está sujeto a restricciones de compatibilidad f´ısica tales como invariancia frente al sistema de referencia, energ´ıa cinética turbulenta positiva, etc. En dicho modelado se emplean técnicas avanzadas de análisis tensorial no-lineal y de teor´ıa de grupos comunes a otros campos de la f´ısica tanto clásica como cuántica, como son la reolog´ıa, f´ısica de la materia condensada, espectroscop´ıa molecular y nuclear, etc. La calibraci´ on del modelo RSEM es también mucho más compleja que la del modelo k − ε.

En la Figura 16.22 se comparan resultados de la velocidad longitudinal media del flujo turbulento en la sección de salida de un tubo doblemente acodado proporcionados por el modelo k − ε (curva de puntos) y por un modelo RSEM (curva continua); en la figura la distancia diametral y/D esta medida desde la pared de menor radio de curvatura.28 El modelo RSEM se ajusta mucho mejor a las medidas experimentales que el modelo k − ε; en particular la mayor velocidad que poseen las part´ıculas en las zonas de mayor radio de curvatura por efecto de la aceleración centr´ıfuga no se reproduce con el modelo k − ε.

16.7.3.

Simulaci´ on num´ erica directa (DNS)

En la simulaci´ on numérica directa de la turbulencia (DNS: Direct Numerical Simulation, en la literatura anglosajona) se resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes no promediadas. Por razones de eficiencia numérica, generalmente se emplean métodos espectrales. El prototipo de tales métodos es el que supone el flujo confinado en un cubo de lado L con condiciones de contorno periódicas, y expresa el campo de velocidades en una serie de Fourier de la forma v(x, t) =

vk (t) exp(ik · x),

(16.186)

k

donde k = 2π(l, m, n)/L, con l, m y n enteros, es el vector n´ umero de onda. Si se usa el desarrollo (16.186) en las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para las componentes espectrales vk ∂vk kk (16.187) = I − 2 · (v × ω)k − νk 2 vk + fk , ∂t k 28 B. Launder, Whither Turbulence? Turbulence at the Crossroad, J. Lumley Ed., Lectures notes in Physics, Springer-Verlag, Berl´ın, 1989.

507


Figura 16.22: Distribuciones de velocidad longitudinal media obtenidas de simulaciones numéricas con modelos RSEM (l´ınea continua) y k − ε (l´ınea discontinua) en la sección de salida de un tubo doblemente acodado. Los c´ırculos corresponden a mediciones experimentales.

donde ω es el vector vorticidad ω =∇×v =

ik × vk exp(ik · x),

(16.188)

k

y fk son componentes espectrales introducidas ad hoc que representan la excitación de las escalas grandes mediante las condiciones de contorno impuestas al flujo; obsérvese que la arbitrariedad de dichos términos hace que los resultados de las simulaciones DNS no sean fiables para las grandes escalas. No obstante, su modelado es tal que las fk son nulas en las escalas intermedias y peque˜ nas por lo que en el proceso de transferencia de energ´ıa en cascada desde las grandes escalas se pierde memoria de los detalles de las fk y los resultados de la DNS son fiables para las peque˜ nas escalas. El sistema (16.187), que formalmente posee un n´ umero infinito de ecuaciones, se trunca normalmente en la escala disipativa, y su integraci´ on se lleva a cabo con un método paso a paso convencional que posea buenas caracter´ıstica de estabilidad. Como caracter´ısticas generales de la DNS pueden citarse: 1. Se realiza un cálculo muy detallado de las variables fluidas turbulentas, lo que permite extraer una informaci´ on estad´ıstica exhaustiva. 2. La DNS es muy costosa, se tardan cientos de horas en un CRAY para una malla 256 × 256 × 256. Por tanto, está limitada a n´ umeros de Reynolds relativamente bajos (5.000-10.000). 3. Por eficiencia computacional, la DNS es muy dependiente del uso de métodos espectrales y, por tanto, está muy limitada a flujos con geometr´ıas simples. 4. La DNS se usa como instrumento de investigación para estimar términos necesarios en modelos utilizados para flujos m´ as realistas, tales como el RSEM de la sección anterior y para


508

obtener informaci´ on estad´ıstica que sea dif´ıcil de medir experimentalmente. Su utilidad es mayor en lo que concierne a la peque˜ na escala, cuyo carácter es más universal y menos dependiente de la geometr´ıa.

16.7.4.

Simulaci´ on de la escala grande (LES)

Finalmente, un tratamiento de los flujos turbulentos que se est´ a utilizando cada vez más en los códigos comerciales en el ámbito de la ingenier´ıa, y que es alternativo a los modelos basados en las ecuaciones promediadas de Reynolds (tales como el modelo k − ε o el RSEM), es el método denominado de simulaci´ on de la escala grande (large eddy simulation: LES, en la literatura anglosajona). Este procedimiento consiste en aplicar un filtro espacial a las ecuaciones de Navier-Stokes, de manera que en las ecuaciones resultante estén recogidos ´ıntegramente los aspectos tridimensionales y no estacionarios de las escalas grandes, mientras que los efectos de las escalas peque˜ nas aparecen promediados en una serie de términos, que constituyen el denominado tensor de esfuerzos de Leonard, que deben especificarse adicionalmente para cerrar el problema. De esta forma, en LES sólo se modelan las escalas peque˜ nas, que, debido a su mayor isotrop´ıa y homogeneidad, son mucho más fáciles de caracterizar que las escalas grandes, mientras que estas u ´ ltimas, que son las más energéticas y las que más contribuyen al transporte turbulento, pueden resolverse con la misma aproximación que en simulaci´ on directa sin el enorme coste que supone resolver en detalle las escalas peque˜ nas. Aunque existen a´ un muchos problemas con la aplicación de LES a flujos en los que los fenómenos de separación de capa l´ımite e intermitencia son importantes (debido precisamente a que entonces el modelado de la peque˜ na escala es más complejo por su anisotrop´ıa e inhomogeneidad) sus aplicaciones futuras parecen tener gran potencial. Para obtener las ecuaciones del modelo LES, para cualquier variable fluida, f (x, t), se define la correspondiente variable filtrada como f (x, t) = G(x − x )f (x , t)d3 x , (16.189) donde G es un filtro que, t´ıpicamente, es de la forma G(x − x ) =

6 π∆f

3/2

1 2 exp −6|x − x |2 /∆f 2 ,

(16.190)

y la distancia ∆f , denominada corte del filtro, es mucho menor que la longitud t´ıpica asociada con las grandes escalas pero mucho mayor que la longitud asociada a las escalas más peque˜ nas (escalas de Kolmogorov). Si se expresan las variables fluidas como suma de las variables filtradas m´ as una fluctuaci´ on, u = u + u , p = p + p ,

(16.191)

las ecuaciones que gobiernan los valores filtrados se obtienen al aplicar el filtro (16.190) a las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento; se obtiene as´ı ∇ · u = 0,

(16.192)

∂u 1 = + ∇ · (uu) = − ∇p − ∇· τ R +ν∇2 u, ∂t ρ

(16.193)

=

donde τR es el tensor de esfuerzos de Leonard y su expresión es =

τ R = uu + u u + u u .

(16.194)

509


Se observa inmediatamente que las ecuaciones (16.192)-(16.194) no constituyen un sistema cerrado sino que es necesario modelar el tensor τR , que representa el efecto residual de la peque˜ na escala, en función de las variables filtradas. Es usual emplear el siguiente modelo debido a Smagorinski, que está basado en el carácter isótropo, local y difusivo de la peque˜ na escala,29 1 2 qR I − 2νR S, 3

(16.195)

3 1 T ∇u + (∇u) , 2

(16.196)

=

τ R= con S= y νR = ls 2 (S : S)1/2 ,

lS = CS ∆f

con CS = 0,23.

(16.197)

El coste computacional de la LES depende, naturalmente, del corte del filtro ∆f . Los modelos LES recogen usualmente hasta el rango inercial, lo que limita el n´ umero de Reynolds hasta 50.000-100.000. Se emplean también modelos VLES (Very Large Eddy Simulation) que filtran en un rango mucho mayor que el inercial, pero en este caso el modelado del efecto residual es menos fiable.

Referencias y fuentes de lectura complementaria H. Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York, 1987. L. Landau y L. Lifshitz, Fluid Mechanics, Curso de F´ısica Teórica, vol. 5, Pergamon, 1958. S. Pope, Turbulence Flows, Cambridge University Press, 2001. J. Hinze, Turbulence, McGraw-Hill, Nueva York, 1975. F. M. White, Mec´ anica de Fluidos, McGraw-Hill, 2004. P.S. Bernard y J.M. Wallace, Turbulent Flow, John Wiley and Sons, 2002.

29

J. Smagorinski, Monthly Weather Review. 91, 99, 1963.

Cap´ıtulo 17

Flujo turbulento en conductos y canales 17.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo se considerará el movimiento turbulento de gases y l´ıquidos a través de conductos de sección lentamente variable, as´ı como el de l´ıquidos circulando por canales de sección y profundidad lentamente variables bajo la acci´ on de la gravedad. Para la derivaci´ on de las ecuaciones que gobiernan el movimiento turbulento medio se aplicar´ an los principios de conservaci´ on de la masa, cantidad de movimiento y energ´ıa a un volumen de control apropiado. Para representar el efecto de las paredes sobre la corriente media se tendrán en cuenta los resultados del coeficiente de fricción y del flujo de calor en la pared obtenidos a través del estudio de la turbulencia parietal en conductos y canales. Se supondr´ a también que no hay variaciones bruscas ni en la sección del conducto, ni en la sección y profundidad del canal; esto es, si rh representa el radio hidr´ aulico de la sección (canal o conducto), definido como el cociente entre el área de la sección y su per´ımetro, y x la coordenada longitudinal a lo largo del conducto o canal, se supondr´ a que |drh /dx| ∼ rh /L 1 y rh Rc , donde L y Rc son la longitud y el radio de curvatura caracter´ısticos de la l´ınea media longitudinal del conducto o canal considerado. En estas condiciones, el movimiento turbulento medio a través de conductos y canales es en primera aproximaci´ on casi-unidireccional y carece, por tanto, de sentido plantearse la solución numérica del problema tridimensional, puesto que no ser´ıa ni económico ni necesariamente más aproximado desde el punto de vista pr´ actico. La influencia del cambio brusco de la geometr´ıa del conducto, también de la sección en el caso de canales, en la ca´ıda de presión, o en la altura piezométrica, que se denominan usualmente pérdidas de carga localizadas, por tener lugar en longitudes que son peque˜ nas frente a la longitud total del conducto, se considerará en la sección 17.5, y su contribuci´ on a la ca´ıda total se sumará a la que aqu´ı se obtenga. En este cap´ıtulo se considerarán también situaciones en las que los efectos de compresibilidad en el movimiento de l´ıquidos en conductos sean importantes. Tal es el caso del denominado golpe de alvula reguladora ariete que se genera, por ejemplo, cuando se produce el cierre (o apertura) de una v´ de caudal en un tiempo suficientemente corto. Como es sabido, las sobrepresiones generadas en estos casos pueden ser lo suficientemente grandes para que los efectos de compresibilidad del l´ıquido y los efectos elásticos de las paredes de la tuber´ıa intervengan en el proceso. 511

Cap´ıtulo 17. Flujo turbulento en conductos y canales

512

17.2.

Hip´ otesis b´ asicas y ecuaciones del movimiento

Considérese un conducto de sección lentamente variable como el esquematizado en la Figura 17.1 por el que fluye un fluido en movimiento turbulento que se supondr´ a completamente desarrollado. Si el movimiento es turbulento, el perfil de velocidades medias en cada sección del conducto es

v+ v

¶v dx ¶x

A + ¶A dx ¶x A

dx

Figura 17.1: Conducto de sección lentamente variable. pr´ acticamente plano excepto en una capa muy delgada adyacente a la pared; se puede suponer entonces, desde el punto de vista práctico, que la velocidad turbulenta media en la direcci´ on del conducto v es sólo funci´ on de la coordenada longitudinal x a lo largo del conducto y del tiempo t. Un argumento que ayuda a comprender este hecho se basa en que las fluctuaciones turbulentas de velocidad resultan ser un mecanismo muy eficaz de transporte de cantidad de movimiento hacia la pared y consecuentemente la cantidad de movimiento y la velocidad del fluido medias a través de la sección son muy uniformes. El efecto de la fricci´ on es u ńicamente importante cerca de la pared y se define un esfuerzo de fricción medio, promediado en el per´ımetro de cada sección, τo definido en la forma rh τp dl, τo = (17.1) A P donde P y A, que pueden variar con x, son el per´ımetro y el área de la sección respectivamente y τp (x, t) se calculará a partir del factor de fricci´ on λ, τp = λρv 2 /8,

(17.2)

donde para el cálculo de λ, se supondrán válidos los resultados para conductos infinitamente largos de sección constante y movimiento estacionario cuyas leyes l´ımites (movimientos laminares y movimientos turbulentos completamente desarrollados) han sido desarrolladas en cap´ıtulos previos. Se supondr´ a entonces que el efecto de la no estacionariedad afecta escasamente a la forma en que λ depende de los parámetros del problema: el n´ umero de Reynolds y la rugosidad relativa. El coeficiente λ para tubos de sección circular ha sido representado en la Figura 16.15. Para tubos de secciones diferentes a la circular se suelen usar también los resultados de la Figura 16.15 si se define λ(4rh v/ν, /4rh ) siendo 4rh el diámetro del conducto hidr´ aulico equivalente y la rugosidad de la pared. Se supondr´ a también que la temperatura media T (x, t) es sólo funci´ on de x y t. La justificación es análoga a la de suponer que la velocidad media es pr´ acticamente constante en cada sección: la turbulencia es tan efectiva transportando energ´ıa interna como lo es transportando masa y cantidad de movimiento, por lo que el perfil de temperatura en cada sección es prácticamente constante, excepto muy cerca de la pared, donde la temperatura media del fluido var´ıa desde el valor constante que tiene en la sección hasta la temperatura de la pared. Esta variaci´ on de la temperatura muy cerca de la pared se tendrá en cuenta en forma global, an´ alogamente a como se ha hecho con la

17.2. Hipótesis básicas y ecuaciones del movimiento

513

fricción, definiendo un flujo de calor por conducci´ on, por unidad de a´rea y tiempo, promediado en el per´ımetro de cada sección rh qp dl, qo = (17.3) A P donde el flujo de calor intercambiado entre la pared y el fluido puede modelarse mediante la analog´ıa de Reynolds o cualquier otra expresi´ on que relacione el flujo de calor con el esfuerzo en la pared. Obsérvese que podr´ıa existir no-uniformidad en la temperatura si existiesen variaciones importantes de temperatura sobre el per´ımetro o por efecto de la disipación viscosa (a altos n´ umeros de Mach en la corriente de gases) pero su efecto no será considerado aqu´ı. En cuanto a la presi´ on media, basta decir que, como consecuencia de la casi-unidireccionalidad del movimiento impuesta por la geometr´ıa, la presión media es también en primera aproximaci´ on función exclusiva de las variables x y t. Como se ha visto en repetidas ocasiones, las variaciones transversales de presión ∆T p son peque˜ nas frente a las longitudinales ∆L p; más concretamente, ∆L p ∼ ρV 2 ∼ ρVT2 (L/rh )2 ∼ ∆T p (L/rh )2 ∆T p donde VT ∼ V rh /L y V representan el orden de magnitud de las velocidades medias en la dirección transversal y longitudinal del conducto respectivamente. Naturalmente, si la presión y la temperatura del fluido son constantes a través de la sección también lo será su densidad, que viene ligada a las dos anteriores a través de la ecuación de estado. Si se considera ahora el volumen elemental A(x)dx de la Figura 17.1, que en cada instante contiene un volumen de fluido sobre el que act´ ua un esfuerzo tangencial por unidad de superficie τo (x, t) y se le a˜ nade un flujo de calor qo (x, t) por unidad de superficie, el principio de conservaci´ on de la masa aplicado al volumen de control considerado proporciona ∂(ρA) ∂(ρvA) + = 0. ∂t ∂x

(17.4)

Análogamente, la ecuación de cantidad de movimiento en la direcci´ on x se escribe ∂U ∂(ρvA) ∂(ρv 2 A) ∂p A + = −A − τo − ρA , ∂t ∂x ∂x rh ∂x

(17.5)

donde se ha supuesto que las fuerzas másicas derivan del potencial U . Si a (17.5) se le resta (17.4) multiplicada por v se obtiene ∂v ∂(v 2 /2) 1 ∂p ∂U λv 2 + + + =− ∂t ∂x ρ ∂x ∂x 8rh

(17.6)

Obsérvese que la u ´ nica diferencia entre (17.6) y la ecuaci´ on de cantidad de movimiento correspondiente a un fluido ideal es el término de fricción, término del segundo miembro de (17.6); téngase en cuenta que para un fluido ideal el primer miembro de (17.6) es idénticamente nulo a lo largo de cada una de las l´ıneas de corriente (ecuación de Euler Bernouilli) que pasan por la secci´ on, mientras que aqu´ı (17.6) representa un promedio aproximado en cada secci´ on. Si en (17.6) se comparan los órdenes de magnitud de los términos convectivo V 2 /L y de fricción λV 2 /rh , el segundo será importante sólo si λL/rh ≥ O(1). El factor de fricci´ on λ es un n´ umero peque˜ no, de modo que para situaciones en las que λL/rh 1, como ocurre por ejemplo en una tobera donde L/rh no es un n´ umero grande, la fricci´ on es tan peque˜ na que puede despreciarse y se recupera entonces la ecuación para un fluido ideal. Por el contrario, en situaciones en las que λL/rh 1, como ocurre en gasoductos y oleoductos, la fricción de las paredes sobre el fluido es dominante frente a su inercia. La ecuación de la energ´ıa total aplicada al volumen de control de la Figura 17.1 se escribe ∂ ∂ ∂(pvA) A ∂U ρA(e + v 2 /2) + ρvA(e + v 2 /2) = − − ρvA + qo + qr , ∂t ∂x ∂x ∂x rh

(17.7)


514

donde qr representa el calor por unidad de tiempo y unidad de longitud de conducto absorbido por radiaci´ on o liberado por reacci´ on qu´ımica. En términos de la entalp´ıa de remanso, (17.7) se escribe ∂p ∂ A ∂ ∂U + qo + qr , ρA(h + v 2 /2) + ρvA(h + v 2 /2) = − ρvA ∂t ∂x ∂t ∂x rh

(17.8)

y si se tiene en cuenta la ecuación de la continuidad, (17.5), las ecuaciones (17.7)-(17.8) resultan ρ

qr ∂(e + v 2 /2) 1 ∂(pvA) qo ∂U ∂(e + v 2 /2) + , + ρv =− + − ρv ∂t ∂x A ∂x ∂x rh A

(17.9)

y qr ∂(h + v 2 /2) ∂(h + v 2 /2 + U ) ∂p qo + . (17.10) + ρv = + ∂t ∂x ∂t rh A Desde el punto de vista pr´ actico la u ´ltima ecuación resulta más u ´til; de hecho, en el caso bastante frecuente de un flujo estacionario y adiab´ atico, la cantidad h + v 2 /2 + U , que en el caso de flujo de un gas es aproximadamente igual a la entalp´ıa de remanso h + v 2 /2, se conserva a lo largo del conducto. Es también interesante escribir la ecuación de la entrop´ıa que se obtiene restando a (17.9) el resultado de multiplicar por v la ecuación de cantidad de movimiento, (17.7), y sustituyendo en el resultado la relación dh = T dS + dp/ρ ρ

T

qo qr ∂S ∂S λv 3 ; + + + Tv = ∂t ∂x 8rh ρrh ρA

(17.11)

(17.11) expresa que la entrop´ıa aumenta como consecuencia de la fricción (disipaci´ on viscosa) y de la adición de calor. Normalmente el efecto de la disipación viscosa es muy peque˜ no. Comparando este término con el de convección de entrop´ıa T v∂S/∂x ∼ T V ∆S/L ∼ V cv ∆T /L se tiene que el par´ ametro adimensional que mide su importancia relativa es λL V 2 , rh cv ∆T

(17.12)

Para l´ıquidos este parámetro suele ser peque˜ no debido principalmente al hecho de que V 2 /c∆T es usualmente peque˜ no (bajas velocidades, capacidad calor´ıfica alta), de modo que sólo en el caso de flujo de l´ıquidos a muy altas velocidades puede ser relevante la disipación viscosa. En cuanto al flujo de gases, (17.12) se escribe λL 2 T M , (17.13) rh ∆T y la disipación viscosa será despreciable si el n´ umero de Mach del movimiento satisface la condición M2

∆T rh . T λL

(17.14)

Por tanto, puede ocurrir que la fricci´ on sea importante en la ecuación de cantidad de movimiento por ser λL/rh ≥ O(1), pero que su efecto en el incremento de entrop´ıa sea despreciable si el n´ umero de Mach del movimiento no es suficientemente alto; más exactamente si λL 2 M 1. rh

(17.15)

Para evaluar el flujo de calor por conducci´ on entre la pared y el fluido se utilizar´ a la analog´ıa de Reynolds (14.9) cf λ qo = = , (17.16) Sta = ρv(hp − h − v 2 /2) 2 8

515

17.2. Hipótesis básicas y ecuaciones del movimiento

donde se han tenido en cuenta los efectos de compresibilidad y disipaci´ on viscosa redefiniendo el n´ umero de Stanton en términos de la entalp´ıa de remanso (en realidad de la temperatura adiab´ atica de la pared con un factor de recuperaci´ on igual a la unidad, puesto que el n´ umero de Prandtl turbulento es muy aproximadamente igual a uno). Para un l´ıquido h v 2 /2, estos efectos son prácticamente despreciables y se tiene qo mientras que para un gas λρvcp T qo 8

λρcv (Tp − T ), 8

γ−1 2 Tp −1− M ; T 2

(17.17)

(17.18)

es decir; los efectos de la disipación viscosa y de la compresibilidad son despreciables si M 2 1. De (17.18) se sigue que existirá un flujo neto de calor desde la pared al fluido si Tp > T [1+(γ −1)M 2 /2] y viceversa, el flujo de calor será desde el fluido a la pared si Tp < T [1+(γ −1)M 2 /2]. La explicación radica en el hecho de que, debido a la disipaci´ on viscosa y a los efectos de compresibilidad, el gas se calienta cerca de la pared y el flujo de calor puede ser desde el fluido a la pared incluso si Tp > T [siempre que Tp < T [1 + (γ − 1)M 2 /2]. Como se ha visto, en cualquiera de las situaciones anteriores la analog´ıa de Reynolds, o cualquier otra analog´ıa semiemp´ırica entre el flujo de calor y el esfuerzo de fricción en la pared, permite calcular qo como función del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa. Estas analog´ıas describen tanto mejor la realidad cuanto m´ as rugosa sea la pared del conducto (independencia de λ con el n´ umero de Reynolds) por no existir en estos casos la subcapa laminar que falsea la analog´ıa. De acuerdo con las ecuaciones (17.5), (17.6) y (17.10) se necesitan en general tres condiciones iniciales y tres de contorno para su resolución; por ejemplo, v(x, 0),

p (x, 0),

T (x, 0);

(17.19)

v(0, t),

p (0, t),

T (0, t).

(17.20)

Sin embargo, la forma de dar estas condiciones var´ıa mucho de unas situaciones a otras. As´ı para un l´ıquido (ρ =constante) desaparece una condición inicial, ya que la ecuaci´ on de continuidad se escribe vA = Q(t), (17.21) donde el caudal Q(t) es independiente de la coordenada x y tampoco se impone condición inicial en v, ya que su valor en cada instante y en cada sección viene dado por (17.21) una vez que se determina el caudal. En cuanto a las condiciones de contorno no se suele especificar v(0, t) sino dos condiciones de contorno para la presi´ on p (0, t) y p (L, t) además de una para la temperatura, T (0, t) por ejemplo. Por otra parte, en el caso de l´ıquidos cuyo caudal se regula mediante una válvula, la ley de cierre o apertura α = As (t)/Ao define un tiempo caracter´ıstico de cierre o apertura, tc ∼ α(t)/α(t), ˙ durante el cual α y, consecuentemente, las magnitudes fluidas sufren variaciones del orden de ellas mismas. En el caso en que α(0) = 0, la condición inicial exige que el valor caracter´ıstico de vo sea ve (velocidad correspondiente al estado estacionario), ya que durante tiempos del orden del tiempo de cierre tc sufrir´ a variaciones del orden de ve . La velocidad caracter´ıstica introduce un tiempo de residencia tr ∼ L/vo cuyo orden de magnitud puede ser muy diferente de tc , lo que da lugar, como se ver´ a más adelante, a que los efectos de compresibilidad en el l´ıquido deban ser tenidos en cuenta. Para los gases, hacen falta, en general, tres condiciones iniciales y tres condiciones de contorno. En la situación, bastante habitual, de que el flujo en el conducto proceda de un dep´ osito, p(0, t) y T (0, t) son en principio desconocidas y se deben relacionar con las magnitudes de remanso en el depósito. Por otra parte, en vez de v(0, t), que tampoco se conoce en principio, se especifica el

516


valor de la presión del gas a la salida p(L, t), que es igual a la presión de descarga si el flujo es subsónico. Este problema se considerará en detalle más adelante.

17.3.

Flujo de l´ıquidos en conductos

Cuando se estudia el movimiento de l´ıquidos en conductos es corriente considerar al l´ıquido como un fluido incompresible, lo que est´ a justificado en muchas situaciones prácticas debido a que los incrementos de presión necesarios para que los efectos de compresibilidad sean apreciables son muy grandes frente a los que normalmente aparecen en el movimiento, que suelen ser del orden de la presión din´ amica. Sin embargo, en otras situaciones los efectos de compresibilidad del l´ıquido adquieren un papel esencial para la descripci´ on de estos procesos f´ısicos; tal es el caso del golpe de ariete generado, por ejemplo, cuando se produce el cierre (o apertura) de una v´ alvula reguladora del caudal en un tiempo más o menos rápido. Las sobrepresiones generadas en estos casos (como se verá más adelante ∆p ∼ ρvo co , donde vo es la velocidad caracter´ıstica del l´ıquido y co , que se definirá más adelante, es una velocidad del sonido) pueden ser lo suficientemente grandes para que los efectos de compresibilidad del l´ıquido y los efectos elásticos de la tuber´ıa intervengan en el proceso. Los primeros trabajos sobre el golpe de ariete fueron realizados por Joukowski en su trabajo titulado “Water Hammer” publicado en 1899. Los fenómenos de compresibilidad son importantes cuando los términos ∂(ρA)/∂t y ∂(ρvA)/∂x en la ecuación (17.4) se hacen comparables. Para evaluarlos, es necesario completar las ecuaciones (17.4), (17.6) y (17.10) con las relaciones A = A(p) y ρ = ρ(p) y que describen el comportamiento de las paredes sólidas del conducto frente a la presi´ on y la ecuación de estado del l´ıquido.1 En el supuesto de que el material del tubo siga la ley de Hooke, la relación A = A(p) puede escribirse en primera aproximaci´ on en la forma

∂ A p − po ∂A , (17.22) (p − po ) = Ao 1 + A Ao + ∂p ∂ p Ao donde Ao es el valor de A a la presión de referencia po y el término Ao ∂p /∂ A es del orden de E e/D, donde E es el módulo de elasticidad del material, e el espesor de la pared del tubo y D su diámetro. Valores t´ıpicos de E (∼ 1011 P a) y e/D (10−2 ) dan lugar a valores caracter´ısticos de A ∂ p/∂ A ∼ 109 P a. Del mismo modo, la densidad puede escribirse en primera aproximaci´ on en la forma:

p − po ∂ρ p − po , (17.23) = ρo 1 + ρ ρo + (p − po ) = ρo + ∂p a2o ρo a2o siendo ao = (∂p/∂ρ)S la velocidad de propagaci´ on del sonido en el l´ıquido. Para agua, ao var´ıa t´ıpicamente entre (∼ 1000 − 1400 m s−1 ) dependiendo fundamentalmente de la cantidad de aire disuelto en el agua, lo que proporciona valores caracter´ısticos de ρo a2o (∼ 109 Pa ). Obsérvese que tanto (ρ − ρo )/ρo como (A − Ao )/Ao son del orden de (p − po )/ρo a2o (ya que A ∂ p/∂ A ∼ ρo a2o ), y que ambos incrementos relativos son muy peque˜ nos frente a la unidad (como se ver´ a más adelante, p − po es a lo sumo del orden de ρo vo ao ), A − Ao p − po vo ρ − ρo ∼ ∼ ∼ ; (17.24) ρo Ao ρo a2o ao √ dado que vo es a lo sumo del orden de g H, si el flujo en el conducto es producido por un desnivel de altura H se necesitar´ıan desniveles del orden de 100 kil´ ometros para que vo /ao fuese del orden de la unidad. 1 En este an´ alisis se considera que las variaciones de densidad debidas a variaciones de la temperatura son peque˜ nas frente a las debidas a variaciones en la presi´ on.

517

17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos De (17.22) y (17.23) se tiene entonces:

∂ A p − po p − po ρ A ρo Ao 1 + 1 + ρo a2o ∂ p Ao

1 ∂A p − po 1 , + ρo Ao 1 + (p − po ) = ρo Ao 1 + ρo a2o Ao ∂ p ρo c2o

(17.25)

donde co es la velocidad de propagaci´ on de las ondas en el conducto y vale c2o =

a2o . ρo a2o 1+ Ao ∂ p/∂ A

(17.26)

Para tubos r´ıgidos de pared muy gruesa en los que ∂ p/∂ A es muy grande, co ao , que es la velocidad de propagaci´ on del sonido en un l´ıquido no confinado. En el l´ımite contrario, tubos de paredes muy flexibles en los que ∂ p/∂ A es muy peque˜ na, se tiene c2o

Ao ∂ p ; ρo ∂ A

(17.27)

este es el caso de la circulación sangu´ınea a través de venas y arterias donde las ondas (pulso) se propagan con valores tan bajos como 5 − 6 m s−1 en la aorta de los grandes mam´ıferos. Esta velocidad se triplica en el caso de las arterias periféricas (carótida) que poseen menor distensibilidad. Teniendo en cuenta (17.25), la ecuación de continuidad (17.4) se escribe ∂p ∂p ∂v 1 +v + = 0; (17.28) ρo c2o ∂t ∂x ∂x de modo que los fenómenos de compresibilidad serán importantes sólo si vo 1 ∆p ∼ = , 2 ρo co to L tr

(17.29)

donde ∆p representa las variaciones de presión, to es el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas, y tr = L/vo el tiempo de residencia de las part´ıculas fluidas que se mueven con velocidad caracter´ıstica vo en un conducto de longitud L. Si se admite que las variaciones de presión asociadas a los fenómenos de compresibilidad son del orden de ρo vo co se tiene de (17.29) tiv 1 vo ∼ ∼ co to tr to tr

→

tiv ∼1 to

(17.30)

que muestra que los efectos de compresibilidad se presentan cuando el tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas y el de ida y vuelta de las ondas son del mismo orden.

17.3.1.

Movimiento casi-estacionario de l´ıquidos en conductos

Si sucede que el n´ umero de Strouhal St = tr /to = L/vo to = (co /vo )(tiv /to ) es mucho menor que la unidad, las variaciones locales de las magnitudes fluidas son peque˜ nas frente a las convectivas (el movimiento es casi-estacionario y las derivadas temporales desaparecen de las ecuaciones) y, consecuentemente, no aparecen fenómenos de compresibilidad, ya que tiv /to tr /to 1. Obsérvese que si el tubo es suficientemente largo, el término de aceleración convectiva es despreciable frente a la fricción, en cuyo caso la comparación debe hacerse con los términos dominantes; por ejemplo,


518

si λ L/rh 1, el término de la aceleración convectiva es despreciable frente al de fricción y el movimiento será además casi-estacionario si to

8rh 8rh ∼ tr , λ vo λL

tr λL = St. 8rh to

(17.31)

En este caso, las ecuaciones (17.4), (17.6), (17.11) y (17.17) conducen a

∂ ∂x

vA = Q(t), λ v2 p v2 , + +U =− 2 ρ 8 rh

∂T λ (Tp − T ), = ∂x 8 rh

(17.32) (17.33) (17.34)

donde para obtener (17.34) se ha tenido en cuenta (17.11) y (17.17), se ha hecho uso de la ecuaci´ on de estado S = c ln T y no se ha considerado radiaci´ on ni reacción qu´ımica. Obsérvese que si la viscosidad no var´ıa apreciablemente en el intervalo de temperaturas extremas que tienen lugar en el movimiento fluido, el valor del factor de fricci´ on λ se puede suponer constante, y las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento se desacoplan de la de la energ´ıa facilitando su integraci´ on. En efecto, utilizando (17.32) e integrando la ecuaci´ on de cantidad de movimiento se obtiene la distribuci´ on de presiones a lo largo del conducto Q2 p p(0) Q2 Q2 x λ + +U − d x. − − U (0) = − (17.35) 2A2 ρ 2A2 (0) ρ 8 o rh A2 donde la condici´ on a la entrada p(0) + ρU (0) se supone conocida. El caudal se obtiene fácilmente de (17.35) al imponer que el l´ıquido descarga a la presión ambiente pa Q2 pa p(0) Q2 Q2 L λ + U (L) − d x. + − − U (0) = − (17.36) 2A2 (L) ρ 2A2 (0) ρ 8 o rh A2 Para un tubo de sección y rugosidad constantes se tiene de (17.35) y (17.36) p(0) λ Q2 p x, +U − − U (0) = − ρ ρ 8 rh A2

8 rh p(0) − p(L) Q2 = + g[z(0) − z(L)] . A2 λL ρ

(17.37) (17.38)

En general λ es función de la rugosidad relativa y del n´ umero de Reynolds (y por tanto de Q) y la ecuación (17.38) proporciona Q en forma impl´ıcita y su cálculo requiere la realización de un procedimiento iterativo sencillo. Si sucede que el movimiento en el conducto es a n´ umeros de Reynolds lo suficientemente altos para que λ sólo dependa de la rugosidad relativa, la ecuaci´ on anterior proporciona el valor del caudal Q en forma expl´ıcita. Una vez calculado el caudal, y por tanto la velocidad v, la integraci´ on de la ecuación (17.34) permite obtener la distribuci´ on de temperaturas a lo largo del conducto. Para el caso particular de Tp y λ constantes, la solución es: T − Tp = [T (0) − Tp ] exp(−λ x/8 rh ),

(17.39)

siendo T (0) la temperatura del l´ıquido a la entrada del conducto. La ecuaci´ on (17.39) muestra cómo la diferencia de temperaturas entre pared y fluido disminuye exponencialmente aguas abajo del conducto.

519

17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos

17.3.2.

Movimiento no-estacionario de l´ıquidos en conductos

En lo que sigue, y para centrar ideas, se considerar´ a el caso de un conducto que toma agua de un dep´ osito (o embalse) descargándola al exterior a una cota H por debajo del nivel del dep´ osito. A la salida del conducto existe una v´ alvula reguladora del caudal que se modela mediante una tobera convergente de área m´ınima a la salida que puede variar con el tiempo, Figura 17.2. Las

g A0

As

H

x A0 L

Figura 17.2: Flujo en un conducto descargando a través de una válvula reguladora. ecuaciones (17.28), (17.6) y (17.26) determinan la distribuci´ on de presiones y velocidades en el conducto, cuando se retienen los efectos de compresibilidad del l´ıquido y la elasticidad de las paredes del conducto. Como condiciones iniciales se impondrán las correspondientes al estado estacionario previo. Por ejemplo, si la v´ alvula está cerrada en el instante inicial, las condiciones serán las correspondientes a la hidrost´ atica: v=0

junto con p + ρo g z − pa − ρo g H = 0,

(17.40)

mientras que si en el instante inicial la v´ alvula está abierta, la distribuci´ on de presiones es la correspondiente a la del estado estacionario, lo que requiere la integraci´ on de la ecuación (17.6) p + ρo gz = −

λρo vo2 x + p(0) + ρo gz(0), 8rh

(17.41)

donde p(0) y z(0) representan la presión y la cota a la entrada al conducto. El c´ alculo de p(0) y de la velocidad inicial vo comporta el análisis de los flujos en la entrada al conducto y en la tobera de salida donde se supondr´ a que las fuerzas másicas y las de fricción son despreciables, las primeras por serlo las variaciones de cota y las segundas por ser las longitudes caracter´ısticas, l de estas zonas muy cortas de modo que λl/rh 1. La integraci´ on de la ecuación (17.6) sin fuerzas másicas ni fricción y suponiendo movimiento estacionario entre una sección aguas arriba del conducto donde la velocidad es prácticamente nula y la entrada del conducto situada en z(0), donde la velocidad es vo , proporciona2 1 (17.42) p (0) + ρo gz(0) = pa + ρo gH − ρo vo2 2 y para la tobera de salida 1 1 p (L) + ρo vo2 = pa + ρo vs2 2 2 2 Si

la entrada no estuviese bien dise˜ nada v´ ease 17.5.2.

con vs = vo

Ao ; As (0)

(17.43)


520

finalmente, la integraci´ on de (17.6) entre la entrada y la salida del conducto resulta p (0) + ρo gz(0) − p (L) =

λL ρo vo2 , 8rh

(17.44)

que junto con (17.42) y (17.43) proporcionan la velocidad y la distribuci´ on de presiones en el conducto en el instante inicial

1/2 λx 1 2gH 2 . (17.45) , p + ρo g z − pa − ρo g H = − ρo vo 1 + vo = [Ao /As (0)]2 + λL/(4rh ) 2 4rh Para las condiciones de contorno es necesario dar la presión a la entrada del conducto x = 0 y a la salida x = L como funciones del tiempo. Estas condiciones se obtienen mediante un proceso similar al seguido para obtener las condiciones iniciales. En efecto, para la entrada se obtiene 1 p (0, t) + ρo g z(0) = pa + ρo g H − ρo v 2 (0, t), 2

(17.46)

mientras que el análisis de la tobera de salida proporciona

2 Ao 1 − 1 ; p (L, t) = pa + ρo v 2 (L, t) 2 A2s (t)

(17.47)

obsérvese que el origen de alturas se ha tomado en la válvula de salida. Para simplificar el an´ alisis conviene definir las variables adimensionales ϕ=

p + ρo g z − pa − ρo g H , po

u=

v , vo

ξ=

x , L

τ=

t , to

(17.48)

y la ley adimensional de cierre o apertura de v´ alvula α(t) = As (t)/Ao ,

(17.49)

donde po y vo representan los valores caracter´ısticos de las variaciones de presión y velocidad caracter´ıstica del l´ıquido, y to es el tiempo caracter´ıstico de variación de las magnitudes fluidas. En las nuevas variables, las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento (17.28) y (17.6) y las condiciones iniciales (17.45) y de contorno (17.46) y (17.47) resultan

L ∂ϕ ∂ϕ ∂u po +u + = 0, (17.50) 2 ρo co vo to ∂ τ ∂ξ ∂ξ ∂u po ∂ ϕ λL 2 L ∂u u . +u + =− 2 vo to ∂ τ ∂ξ ρo vo ∂ ξ 8rh

(17.51)

y u(ξ, 0) = 1,

ϕ(ξ, 0) = −

1 ρo vo2 , 2 po

si α(0) = 0, 3

1 ρo vo2 2 u (0, τ ), 2 po 1 ρo vo2 1 ρo g H + − 1 u2 (1, τ ). ϕ(1, τ ) = − po 2 po α2 ϕ(0, τ ) = −

(17.52) (17.53) (17.54)

3 En el caso de apertura de v´ alvula desde α = 0 la velocidad inicial es nula y no puede elegirse para adimensionalizar las variables en (17.48); se tomar´ a entonces cualquier otra velocidad caracter´ıstica del movimiento, por √ ejemplo, la correspondiente al estado final estacionario 2gH.

521


Las ecuaciones (17.50), (17.51) y condiciones iniciales (17.52) y de contorno (17.53)-(17.54) que suministran las evoluciones temporales de las distribuciones de presión y velocidad en el conducto admiten dos l´ımites asintóticos distinguidos que corresponden a los casos en los que: (a) el tiempo de residencia es del orden del tiempo de cierre o apertura de la válvula, tr ∼ tc , y (b) tiempo de cierre peque˜ no comparado con el de residencia, tr tc . Como se verá en lo que sigue los fenómenos de compresibilidad aparecen en este u ´ltimo caso donde pueden distinguirse dos subreg´ımenes asint´ oticos: (b1) denominado cierre lento que corresponde al caso en el que el tiempo de cierre es grande frente al de ida y vuelta de las ondas, cierre lento, tr tc tiv , y (b2) en el que los tiempos de ida y vuelta de las ondas y de cierre son comparables, cierre r´ apido, tr tc ∼ tiv . En lo que sigue se analizarán los reg´ımenes aqu´ı definidos a los que se a˜ nadir´ a un tercero (c) para describir la apertura de v´ alvula desde α = 0. (a) Tiempo de residencia del orden del tiempo de cierre (tr ∼ tc ) Este caso corresponde a situaciones en las que tr ∼ L/vo ∼ to ∼ tc , es decir, tiempos de cierre del orden del tiempo que tarda una part´ıcula fluida en recorrer el conducto.4 El movimiento es ahora no estacionario y de (17.51) se tiene po ∼ ρo vo2 , por lo que como se sigue de (17.50) los efectos de compresibilidad son del orden de (vo /co )2 << 1. Si se elige arbitrariamente po = ρo vo L/to = ρo vo2 , las ecuaciones (17.50) y (17.51) se reducen entonces a ∂u = 0 → u = u(τ ), ∂ξ

(17.55)

∂u ∂ϕ λL 2 u , + =− ∂τ ∂ξ 8rh

(17.56)

con las condiciones iniciales y de contorno u(0) = 1,

ϕ(0, τ ) = −u2 (τ )/2

y u2 (τ ) gH ϕ(1, τ ) = − 2 + vo 2

1 −1 , α2

(17.57)

(17.58)

donde se ha tenido en cuenta (17.55); de acuerdo con (17.45), la u ´ltima de las condiciones de contorno (17.58) se escribe en la forma u2 (τ ) 1 λL 1 1 + −1 . (17.59) − ϕ(1, τ ) = − 2 α2 (0) 8rh 2 α2 Multiplicando la ecuación (17.56) por d ξ e integrando entre 0 y 1, se obtiene λL 2 ∂u u , + ϕ(1, τ ) − ϕ(0, τ ) = − ∂τ 8rh y sustituyendo la segunda condici´ on de (17.57) y (17.59) en la ecuación (17.60) resulta

λL 2 1 u2 ∂u 1 − (u − 1), − = 2 2 ∂τ 2 α (0) α 8rh

(17.60)

(17.61)

que es la ecuación diferencial que determina la velocidad adimensional del l´ıquido como funci´ on del tiempo una vez especificada la ley de cierre o apertura de la válvula, α(τ ). 4 El caso en que t ∼ l/v t corresponde al movimiento casi-estacionario de l´ ıquidos en conductos analizados r o c en el ep´ıgrafe anterior.


522

Desde el punto de vista de la integraci´ on de (17.61) resulta u ´til utilizar α como variable independiente en lugar de τ ; se tiene entonces du α2 − α2 (0) u2 − [λL/(4rh )] (u2 − 1) α2 (0) α2 = , dα 2 α(τ ˙ ) α2 (0) α2

(17.62)

donde α˙ = d α/d τ , será positiva en el caso de apertura y negativa en el caso de cierre. La integración de la ecuación (17.62) arranca del punto [1, α(0)] del plano (u, α), véase Fig. 17.3, y finaliza en un punto del plano definido por las condiciones de cierre o apertura de la v´ alvula. En el caso de un cierre total (τ = 1 = tc /to = vo tc /L = τc ), el punto final es el (0, 0), que es un punto singular (nodo) de la ecuación (17.62). Un an´ alisis asintótico de dicha ecuación en las proximidades del origen, (α → 0, u → 0), muestra que las soluciones de (17.62) que alcanzan el origen son de la forma 3 u = −α(τ ˙ c ) + α˙ 2 (τc ) + λL/(4rh ) + 1/α2 (0) α cuando α → 0 . (17.63) La presión en la llave en el instante de cierre, ϕ(1, τc ), puede obtenerse de (17.63) sin necesidad u

u = u ( a ) 1

a = a (o ) u

a o

a

Figura 17.3: Plano de fases (α, u) correspondiente a un cierre de v´ alvula. de integrar la ecuación (17.62). En efecto, de (17.59) y (17.63) se tiene para α → 0 y u → 0 ˙ c ) α˙ 2 (τc ) + 1/α2 (0) + λL/(4rh ) ϕ(1, τc ) α˙ 2 (τc ) − α(τ

1/2

,

(17.64)

que es positiva ya que α(τ ˙ c ) < 0. (b) Tiempo de residencia mucho mayor que el tiempo de cierre, (tr tc ) En este caso se tiene tr ∼ L/vo to ∼ tc y por tanto de la ecuación (17.51) se tiene po = ρo vo L/tc . Introduciendo este valor de po en (17.50), es fácil comprobar que el término de compresibilidad es del orden de (L/co tc )2 ∼ (tiv /tc )2 . Si sucede que L/co ∼ tiv tc , lo que corresponde al denominado cierre lento, los efectos de compresibilidad son despreciables en primera aproximaci´ on (se verá posteriormente que los efectos de compresibilidad pueden hacerse importantes en los u ´ltimos instantes del cierre de la válvula), mientras que lo contrario sucede en el denominado cierre r´ apido en el que tiv ∼ tc .

523

17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos (b1) Cierre lento

En este caso, de (17.51) se tiene po = ρo vo L/tc ρo vo2 y las ecuaciones (17.50) y (17.51) se reducen a ∂u ∂ϕ λvo tc 2 ∂u u . (17.65) = 0, + =− ∂ξ ∂τ ∂ξ 8rh Obsérvese que el término de fricción es despreciable si −

λL tc λvo tc = 1, 8rh 8rh tr

(17.66)

lo que sucede usualmente excepto en situaciones en las que la longitud de la tuber´ıa es suficientemente larga como para que no se satisfaga la desigualdad (17.66). Dado que la fricci´ on no juega un papel esencial (sólo amortiguador) en los procesos que se van a describir, en lo que sigue se supondr´ a, por simplicidad, que se satisface (17.66) y la segunda de las ecuaciones de (17.65) se reduce a ∂u ∂ϕ + = 0. (17.67) ∂τ ∂ξ Por otra parte, las condiciones de contorno (17.53)-(17.54) e inicial (17.52) muestran que ϕ ∼ vo tc /L = tc /tr 1 y u ∼ 1, lo que sugiere buscar la solución del sistema formado por la primera de las ecuaciones de (17.65) y la ecuación (17.67) como un desarrollo en serie de potencias del parámetro peque˜ no tc /tr 2 2 tc tc tc tc u2 (ξ, τ )..., ϕ(ξ, τ ) = 0 + ϕ1 (τ, ξ) + ϕ2 (τ, ξ)... (17.68) u(ξ, τ ) = 1 + u1 (ξ, τ ) + tr tr tr tr Introduciendo (17.68) en las ecuaciones (17.65), (17.52), (17.46) y (17.47), y reteniendo solamente términos de orden superior se obtiene ∂ u1 ∂ ϕ1 + = 0, ∂τ ∂ξ

∂ u1 = 0, ∂ξ

(17.69)

con las condiciones iniciales y de contorno 1 1 1 1 + − 1 , (17.70) ϕ1 (0, τ ) = − , ϕ1 (1, τ ) = − 2 2 α(0)2 2 α2 √ donde se ha tenido en cuenta que vo = 2 g H α(0) [véase (17.45)]. Multiplicando la segunda de las ecuaciones (17.69) por d ξ e integrando entre 0 y ξ se obtiene la distribución de la perturbaci´ on de presión a lo largo del conducto u1 (ξ, 0) = 0,

ξ

∂ u1 + ϕ1 (ξ, τ ) − ϕ1 (0, τ ) = 0, ∂τ

(17.71)

y si se impone la condición de contorno a la salida [´ ultima de las condiciones de (17.70)], se obtiene la ecuación diferencial que determina la velocidad perturbada como funci´ on del tiempo 1 1 1 1 1 1 ∂ u1 1 (17.72) − −1 = − 2 ; =− + ∂τ 2 2 α(0)2 2 α2 2 α(0)2 α la integraci´ on de (17.72) proporciona u1 (τ ) =

1 2

o

τ

α2 − α(0)2 d τ. α2 α(0)2

(17.73)


524

Obsérvese que la solución representada por (17.71) y (17.73) es v´ alida en tanto que el valor de las funciones ϕ1 y u1 se mantenga de orden unidad (puesto que para el desarrollo (17.68) sea uniformemente válido cada término de la serie debe ser mucho menor que el anterior). El comportamiento de (17.73) depende de la ley de cierre de la válvula; en efecto, si se supone una ley de cierre potencial de la forma α(τ ) = (1 − τ )n 0 ≤ τ ≤ 1, (17.74) la expresión (17.73) permanece acotada para valores de τ en el intervalo de interés si el exponente n de la ley de cierre es n < 1/2 mientras que diverge si n ≥ 1/2. En el primer caso, el desarrollo en serie de potencias (17.68) es uniformemente válido para todo τ y los términos sucesivos del desarrollo se calculan en forma análoga a lo realizado para calcular u1 y ϕ1 . Por el contrario, si (17.73) diverge por ser n ≥ 1/2, la solución encontrada no es uniformemente v´ alida para todo τ (diverge para τ → 1, t → tc , como se indica en la Figura 17.4). Este comportamiento singular de la solución aproximada para tiempos pr´ oximos al tiempo de cierre procede de haber despreciado los efectos de compresibilidad en la ecuación (17.50), lo que quiere decir que en instantes de tiempo próximos al tiempo de cierre (esto es, (tc − t)/tc = 1 − τ → α(τ ) → 0) los efectos de compresibilidad se hacen importantes y es necesario retenerlos en el análisis. En la Figura 17.4

1

u

j 1

0

t

Figura 17.4: Evoluciones de u y φ como funciones de τ para el caso de cierre lento. se representan cualitativamente las soluciones aproximadas obtenidas, (17.71) y (17.73), que como puede verse divergen para tiempos próximos al de cierre. La brusca subida de presión, y deceleración del l´ıquido, sucede en un tiempo caracter´ıstico que es muy peque˜ no frente al tiempo de cierre. El nuevo tiempo caracter´ıstico de variaci´ on de las magnitudes fluidas to y el orden de magnitud del pico de presión po se determinan de las ecuaciones (17.50) y (17.51) de forma que se retenga el efecto de la compresibilidad; se obtiene de este modo po ∼ ρo vo L/to

y

po /(ρo c2o to ) ∼ vo /L,

(17.75)

po ∼ ρo vo co .

(17.76)

o to ∼ L/co = tiv

y

Si se define el nuevo tiempo adimensional −σ =

tc − t tc tc tc − t = = (1 − τ ) tiv tc tiv tiv

(17.77)

525


y se introduce en las ecuaciones y condiciones iniciales y de contorno (17.53)-(17.51) teniendo en cuenta los nuevos valores de po y to y se retienen solamente términos de orden superior se obtiene ∂ϕ ∂u + = 0, ∂σ ∂ξ

∂u ∂ϕ + = 0, ∂σ ∂ξ

(17.78)

u(−∞, ξ) = 1 y

ϕ(−∞, ξ) = 0,

(17.79)

con las condiciones iniciales

y de contorno

1 vo u2 (1, σ) − 1 u2 (1, σ) ∼ . 2 α 2co α2 (17.80) Nótese que en la escala de tiempos de tiv , las condiciones iniciales se escriben en σ → −∞, ya que el proceso de cierre de la válvula se inició en tiempos adimensionales del orden de tc /tiv muy anteriores a los instantes en que ocurren los fenómenos de compresibilidad. Si se supone una ley de cierre como la de (17.74) con n ≥ 1/2, la condición de contorno a la salida se escribe 2n 2 u (1, σ) tiv tc , (17.81) ϕ(1, σ) = 2tr tiv σ 2n ϕ(0, σ) = −

1 vo 2 u (0, σ) 0 y 2 co

ϕ(1, σ) = −

1 vo gH + vo co 2 co

y si se tiene en cuenta que para que existan fenómenos de compresibilidad ϕ en la válvula debe ser de orden unidad (po ∼ ρo vo co ), se concluye que en el caso de cierre lento tc tr tiv se producir´ a golpe de ariete en los u ´ltimos instantes del cierre si y sólo si tc ∼ tiv

tr tiv

1/2n .

(17.82)

Esto es, para un cierre lento tr tc tiv , cuya ley de áreas se comporta en la forma descrita en (17.74), los fenómenos de compresibilidad no cuentan a menos que el orden de magnitud del tiempo de cierre sea el descrito en (17.82). En ese caso, los fenómenos de compresibilidad son importantes en las u ´ltimas etapas del cierre; esto es, cuando tc − t ∼ tiv . El proceso de resolución de las ecuaciones (17.78) con condiciones iniciales y de contorno (17.79) y (17.80) es enteramente similar al que se realizará en el próximo apartado correspondiente a cierre r´ apido. (b2) Cierre r´ apido (tc ∼ tiv tr ) En este caso los fenómenos de compresibilidad son importantes desde los primeros instantes del proceso de cierre de la válvula, ya que el tiempo caracter´ıstico del movimiento del l´ıquido en el conducto to ∼ tc ∼ tiv y los valores caracter´ısticos de la presión son po ∼ ρo vo co . Definiendo el tiempo adimensional −σ = (tc − t)/tiv , (17.83) las ecuaciones (17.50), (17.51) se reducen a las (17.78) ∂ϕ ∂u + = 0, ∂σ ∂ξ

∂u ∂ϕ + = 0, ∂σ ∂ξ

(17.84)

con las condiciones iniciales u(ξ, −tc /tiv ) = 1 y

ϕ(ξ, −tc /tiv ) = 0

(17.85)


526 y de contorno ϕ(0, σ) = 0

y

ϕ(1, σ) =

vo u2 (1, σ) 2co α2

(17.86)

Si se supone para el cierre de la válvula una ley de la forma α = [(tc − t)/tc ]n = (tiv /tc )n | σ |n ,

(17.87)

con el exponente n generalmente mayor que la unidad, la condici´ on de contorno en la v´ alvula se escribe 2n 2 tc u (1, σ) vo σ < 0. ϕ(1, σ) = (17.88) 2co tiv | σ |2n N´ otese que para tiempos superiores al de cierre la condición de contorno (17.88) debe ser sustituida por la de velocidad nula sobre la v´ alvula u(1, σ) = 0 σ ≥ 0.

(17.89)

Las ecuaciones (17.84) se reducen fácilmente a dos ecuaciones de ondas, ya estudiadas en 11, y cuya solución por el método de las caracter´ısticas se volverá a rese˜ nar brevemente ∂2ϕ ∂2ϕ − 2 =0 ∂σ 2 ∂ξ

o

∂2u ∂2u − 2 = 0; ∂σ 2 ∂ξ

(17.90)

es fácil comprobar que las soluciones de la ecuación de ondas que satisfacen el sistema (17.84) son de la forma ϕ(σ, ξ) = F (σ − ξ) + G(σ + ξ)

y

u(σ, ξ) = F (σ − ξ) − G(σ + ξ),

(17.91)

donde F y G representan funciones arbitrarias que deben ser determinadas imponiendo las condiciones de contorno. Si se suman y restan las dos ecuaciones de (17.91), se obtienen las expresiones ϕ + u = 2 F (σ − ξ)

y

ϕ − u = 2 G(σ + ξ),

(17.92)

que muestran cómo a través de las rectas (denominadas caracter´ısticas) σ−ξ = const y σ+ξ = const las cantidades ϕ+u y ϕ−u se mantienen invariantes. Las caracter´ısticas representan las trayectorias en el plano adimensional (ξ, σ) de sendas ondas viajeras que se propagan hacia la derecha (sentido positivo del eje ξ) o la izquierda con velocidades adimensionales ±1; en efecto, σ − ξ = const

→

dξ d(x/L) =1= dσ d(t/tiv )

→

dx = co , dt

(17.93)

que corresponde a una onda que se propaga con velocidad co en el sentido positivo del eje x. An´ alogamente, σ + ξ = const.

→

dξ d(x/L) = −1 = dσ d(t/tiv )

→

dx = −co , dt

(17.94)

que corresponde a una onda que se propaga con velocidad −co seg´ un el sentido negativo del eje x. Un observador que se mueva hacia las ξ crecientes con la velocidad de la onda observa, como demuestra (17.92), que la cantidad ϕ + u se mantiene constante, mientras que observar´ıa que la cantidad ϕ − u se conserva constante si se moviera con la velocidad de la onda en la dirección negativa del eje ξ.

527

17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos Por otra parte, la condici´ on de contorno a la entrada del tubo, (17.86), proporciona ϕ(0, σ) = 0 = F (σ) + G(σ) → F (σ) = −G(σ).

(17.95)

y por tanto la presi´ on y velocidad en la v´ alvula en un instante cualquiera σ vienen dadas por ϕ(1, σ) = F (σ − 1) + G(σ + 1) = F (σ − 1) − F (σ + 1)

(17.96)

u(1, σ) = F (σ − 1) − G(σ + 1) = F (σ − 1) + F (σ + 1).

(17.97)

y Análogamente, en el instante σ + 2 se tiene ϕ(1, σ + 2) = F (σ + 1) − F (σ + 3)

y

u(1, σ + 2) = F (σ + 1) + F (σ + 3) .

(17.98)

De (17.96)-(17.97) se obtiene ϕ(1, σ) + ϕ(1, σ + 2) = u(1, σ) − u(1, σ + 2),

(17.99)

que es la denominada ecuación de Allievi, que proporciona una relaci´ on algébrica entre ϕ(1, σ + 2) y u(1, σ + 2) supuestos conocidos ϕ(1, σ) y u(1, σ). Esta relación junto con la condici´ on de contorno en ξ = 1 [(17.88) o (17.89) si la v´ alvula está completamente cerrada] constituyen un sistema de dos ecuaciones algébricas para el cálculo de ϕ(1, σ + 2) y u(1, σ + 2). Si como aplicación sencilla se considera el caso de un cierre instantáneo, las ecuaciones (17.89) y (17.99) proporcionan la relaci´ on ϕ(1, σ) = −ϕ(1, σ + 2);

(17.100)

esto es, el valor de ϕ(1, σ) será conocido para todo σ en cuanto que se conozca su valor en el intervalo 0 < σ < 2. Para calcular estos valores se hará uso de las condiciones iniciales y de la constancia de las cantidades ϕ + u y ϕ − u a lo largo de las l´ıneas σ − ξ y σ + ξ constantes, respectivamente. En efecto, para todo punto A de la Figura 17.5, tal que ξ = 1 y 0 < σ ≤ 1, se tiene ϕA + uA = const = ϕA + uA = 1,

(17.101)

y teniendo en cuenta que uA = 0, ϕA = ϕ(σ, 1) = 1

para

0 < σ ≤ 1.

(17.102)

Del mismo modo, para todo punto B comprendido en el intervalo 1 ≤ σ ≤ 2, se tiene ϕB + uB = const = ϕB + uB = uB ⇒ ϕB = uB

(17.103)

ϕB − uB = ϕB − uB = −1 ⇒ uB = 1 = ϕB ,

(17.104)

y de donde ϕB = ϕ(1, σ) = 1

para

1<σ<2

(17.105)

y por tanto ϕ(1, σ) = 1

para

0 < σ < 2.

(17.106)

Teniendo en cuenta que ϕ(1, σ+2) = −ϕ(1, σ) = −1 se tiene el valor de la presión en la válvula para cualquier instante σ de tiempo en el intervalo 2 ≤ σ ≤ 4. Obsérvese que en ausencia de fricción


528

2 B f=0

u=0

A

B'

0

A' 0

B'' u=1,f=0

1

x

Figura 17.5: Cierre instant´ aneo. Diagrama de caracter´ısticas. el valor de la presión en la válvula oscila peri´ odicamente entre los valores ±1 con un periodo adimensional igual a 4. La descripci´ on f´ısica del proceso que tiene lugar cuando se cierra la válvula instant´ aneamente se sigue fácilmente de los valores anteriores. Justo cuando se cierra la válvula aparece una onda de compresión que se propaga con velocidad co aguas arriba del conducto, Figura 17.6. El fluido detr´ as de la onda queda en reposo u = 0 y a la presión ϕ = 1 (po = ρo vo co ). Cuando la onda alcanza la entrada del conducto (t = tiv ), donde la presi´ on es nula, aparece una onda de expansi´ on que se propaga con velocidad co hacia la válvula y deja al fluido con presi´ on nula y velocidad en dirección contraria a la onda (hacia la entrada), ϕ = 0 , u = −1. Cuando la onda de expansi´ on alcanza la válvula (t = 2 tiv ) se refleja una nueva onda de expansi´ on que frena el fluido y vuelve a bajar de nuevo la presi´ on, u = 0, ϕ = −1. Cuando la onda de expansi´ on llega a la entrada del conducto (t = 3 tiv ) se refleja en forma de una onda de compresión que se propaga hacia la v´ alvula y deja el fluido detr´ as de ella con presión mayor ϕ = 0 y velocidad u = 1. Finalmente, cuando la onda de compresi´ on alcanza la válvula (t = 4 tiv ), el proceso se repite idénticamente. Si se considera ahora el caso de un cierre r´ apido de válvula, donde por simplicidad se supondr´ a que tc = tiv , se tiene que en t = 0 (σ = −1), ϕ = 0 y u = 1 en cualquier punto del conducto. En la v´ alvula y en tiempos tales que −1 < σ ≤ 0, se tiene de acuerdo con (17.92) ϕ(1, σ) + u(1, σ) = ϕ(ξ, −1) + u(ξ, −1) = 1,

(17.107)

y teniendo en cuenta la condici´ on de contorno sobre la v´ alvula, (17.88), se obtiene una pareja de ecuaciones algébricas que determinan la velocidad y presi´ on en la válvula como funci´ on del tiempo. Eliminando la presi´ on se obtiene vo u2 (1, σ) + u(1, σ) = 1 2co | σ |2n

para

− 1 < σ ≤ 0,

(17.108)

cuya solución positiva, la u ńica con sentido f´ısico, pues la válvula está a´ un abierta, es u=

2co s + s2 /4 − s/2 donde s = | σ |2n ; vo

(17.109)

529

17.3. Flujo de l´ıquidos en conductos la presión en la válvula se obtiene entonces de (17.88) y (17.109) ϕ(1, s) =

u2 (1, s) , s

(17.110)

que son válidas para valores de s tales que −1 < σ ≤ 0. Nótese que en el instante de cierre de la válvula, α = 0 (σ = 0, s = 0), la velocidad en la v´ alvula u(1, 0) → s1/2 → 0 y la presión en la válvula ϕ(1, 0) = 1; esto es, la presión dimensional alcanza el valor ρo vo co justo en el instante del cierre. Para tiempos mayores que el de cierre σ > 0 la condición en la válvula es la de velocidad nula, (17.89). Esta relación junto a la de Allievi, (17.99), proporcionan ϕ(1, σ) = −ϕ(1, σ + 2) σ > 0;

(17.111)

esto es, el valor de ϕ(1, σ) será conocido para todo σ en cuanto que se conozca su valor en el intervalo 0 ≤ σ ≤ 2. A partir de aqu´ı, el cálculo se realiza siguiendo lo expuesto para el caso de cierre instantáneo. En efecto, sobre ondas que se propagan con velocidad dξ/dσ = −1, y teniendo en cuenta las condiciones iniciales, (17.85), se satisface ϕ(0, σ) − u(0, σ) = ϕ(ξ, −1) − u(ξ, −1) = −1

(17.112)

que junto a la primera de las condiciones de (17.86) proporcionan u(0, σ) = 1,

ϕ(0, σ) = 0,

−1 ≤ σ ≤ 0.

(17.113)

Del mismo modo, la presión en la válvula en el intervalo 0 ≤ σ ≤ 1 se obtiene a partir de caracter´ısticas de pendiente positiva que parten de puntos del plano (ξ, σ) con ξ = 0 y −1 ≤ σ ≤ 0 y llegan a puntos ξ = 1 y 0 ≤ σ ≤ 1 ϕ(1, σ) + u(1, σ) = ϕ(0, σ) + u(0, σ),

(17.114)

que junto a (17.113) y a la condici´ on de contorno correspondiente a v´ alvula cerrada proporcionan ϕ(1, σ) = 1 0 ≤ σ ≤ 1.

(17.115)

La velocidad a la entrada del conducto, en el intervalo de tiempos 0 ≤ σ ≤ 1, se obtiene de ϕ(0, σ) − u(0, σ) = ϕ(1, σ − 1) − u(1, σ − 1),

(17.116)

junto con las condiciones ϕ(0, σ) = 0 y (17.109) u(0, σ) = 2

s + s2 /4 − 1 − s2 /2

con s =

2co | σ − 1 |2n vo

y

0 ≤ σ ≤ 1.

(17.117)

Finalmente, la presión en la válvula en el intervalo 1 ≤ σ ≤ 2 se obtiene a partir de la relación anterior junto con la condici´ on de contorno en la v´ alvula y ϕ(1, σ) + u(1, σ) = ϕ(0, σ − 1) + u(0, σ − 1)

→

ϕ(1, σ) = u(0, σ − 1)

1 < σ < 2,

(17.118)

donde u(0, σ − 1) viene dada por (17.117). Teniendo en cuenta que ϕ(1, σ) = −ϕ(1, σ + 2), el valor de la presión en la válvula se puede calcular para cualquier instante σ > 2.


530 (c) Apertura de v´ alvula desde α = 0

La diferencia esencial de tratamiento estriba en que cuando α(0) = 0 se eleg´ıa vo = ve (velocidad correspondiente al estado estacionario), que en este caso es nula, y por tanto no puede elegirse este valor para adimensionalizar la velocidad. Sin embargo, dado que cuando la v´ alvula está cerrada la distribuci´ on de presiones en el conducto viene dada por la fluidost´ atica pa + ρ g H, y que en el momento en que se abre la válvula la presi´ on a la salida es pa , los incrementos de presión √ son del orden de ρ g H y se tomará po = ρ g H y vo = g H. Siguiendo un camino an´ alogo al de los anteriores se puede estudiar el proceso de la apertura. An´ a logamente, el caso singular se √ presenta cuando el tiempo de residencia L/ g H ta ; se tiene entonces que los fenómenos de compresibilidad cuentan en los primeros instantes de la apertura de la v´ alvula y el estudio es an´ alogo al realizado en el apartado en los casos anteriores.

17.4.

Movimiento casi-estacionario de gases en conductos

Un caso de interés que aparece con frecuencia en numerosos campos de la Ingenier´ıa (gasoductos, instalaciones neumáticas, etc.) es el del movimiento turbulento de gases a través de conductos de sección lentamente variable y suficientemente largos para que el efecto de la fricción del gas con las paredes sea apreciable. Se considerará también el efecto de adición de calor a través de las paredes del conducto. En este caso las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energ´ıa, (17.4), (17.6) y (17.10), se reducen a ρ v A = G, (17.119) λv 2 d(v 2 /2) 1 dp , + =− dx ρ dx 8rh x v2 γ p v2 qo A dx = ho (0) + Q(x), = + = ho (0) + ho = h + 2 γ−1ρ 2 o Grh

(17.120) (17.121)

donde Q(x) representa el calor a˜ nadido por unidad de masa de fluido desde la entrada del conducto, x = 0, hasta la sección x, G es el gasto que fluye por el conducto (en general su valor es desconocido y debe determinarse consistentemente de la resolución del problema), y ho (0) es la entalp´ıa de remanso a la entrada del conducto. Para el c´ alculo del flujo de calor a través de las paredes del conducto se utilizará la analog´ıa de Reynolds, o cualquier otra de las analog´ıas existentes que determinan el flujo de calor a partir del esfuerzo viscoso en la pared; salvo que se indique lo contrario, el n´ umero de Reynolds del movimiento se supondrá lo suficientemente alto como para que el factor de fricción λ dependa exclusivamente de la rugosidad en la pared. La ecuación (17.120) proporciona también el criterio que mide la importancia relativa entre el término de inercia, del orden de v 2 /L y el de fricción, del orden λv 2 /(8rh ), de modo que si el par´ ametro adimensional λL/(8rh ) es grande (peque˜ no) frente a la unidad la fricci´ on es dominante (despreciable) frente a la inercia y λv 2 /(8rh ) ∂(v 2 /2)/∂ x [λv 2 /(8rh ) ∂(v 2 /2)/∂ x]. La ecuación (17.119) puede escribirse en la forma alternativa G2 = ρ2 a2 M 2 A2 ,

(17.122)

donde a2 = γp/ρ es la velocidad del sonido en el gas y M 2 = v 2 /a2 . Combinando apropiadamente las ecuaciones (17.122) y (17.121) se llega a p2 =

γ−1 γ2

G A

2

ho (0) + Q(x) M 2 [1 + (γ − 1)M 2 /2]

(17.123)

17.4. Movimiento casi-estacionario de gases en conductos

531

y T =

ho (0) + Q(x) , [1 + (γ − 1)M 2 /2]

(17.124)

que proporcionan las distribuciones de presi´ on y temperatura en cada sección del conducto como función del n´ umero de Mach en la sección y el calor por unidad de masa a˜ nadido hasta la sección considerada, por lo que para cerrar el problema es necesario dar la ecuación diferencial que gobierna la evoluci´ on del n´ umero de Mach en el conducto. Dicha ecuación puede obtenerse a partir de las formas diferenciales de las ecuaciones (17.119) y (17.121) 1 dρ 1 dv 1 dA + + =0 y ρ dx v dx A dx

γ 1 dp dv dQ γ p dρ +v = − , 2 γ − 1 ρ dx γ − 1 ρ dx dx dx

(17.125)

que sustituidas apropiadamente en (17.120) y teniendo en cuenta la relaci´ on entre las entalp´ıas estática y de remanso ho = h[1 + (γ − 1)M 2 /2] y la ecuación d ln(ρv 2 /γp) d ln M 2 = dx dx

o

1 d M2 2 dv 1 dρ 1 dp = + − 2 M dx v dx p dx ρ dx

(17.126)

permiten llegar a

1 d A γλM 2 1 + γM 2 d Q/d x 2 + (γ − 1)M 2 1 d M2 − + = + M2 d x 1 − M2 A dx 8rh 2 ho (0) + Q(x)

(17.127)

Es fácil comprobar de las ecuaciones (17.127)-(17.128) que cuando el efecto de la fricción es despreciable [lo que sucede cuando λL/(8rh ) 1, conductos de peque˜ na longitud] y no se a˜ nade calor a través de las paredes se obtienen los resultados del movimiento estacionario de gases a través de toberas (10.8.2). En efecto, si el movimiento es subsónico (M < 1) y el área de la sección disminuye (aumenta) aguas abajo de la tobera, la presi´ on del gas, su densidad y su temperatura disminuyen (aumentan) aguas abajo, mientras que su velocidad y su n´ umero de Mach aumentan (disminuyen). Obsérvese que estos comportamientos se invierten si el movimiento es supersónico. Por otra parte, la transici´ on de un régimen subsónico a otro supersónico (M = 1) sólo puede ocurrir en una sección de área m´ınima (d A/d x = 0) de modo que los gradientes de las magnitudes fluidas se mantengan finitos (no es posible f´ısicamente una transición de subsónico a supersónico mediante una onda de choque). Si el conducto es de sección constante y no se a˜ nade calor a través de las paredes, la ecuación (17.127) muestra que el n´ umero de Mach aumenta (disminuye) si el flujo en el conducto es subsónico (supersónico). Por otra parte, la condici´ on de conservación de la entalp´ıa de remanso exige que la temperatura disminuya (aumente) y que la velocidad, de la definici´ on de n´ umero de Mach, aumente (disminuya). Por tanto, la ecuaci´ on de continuidad exige que la densidad disminuya (aumente) y de la ecuación de estado la presión disminuye (aumenta) aguas abajo del conducto; obsérvese que el comportamiento de la presión se puede deducir de (17.123). Estos resultados muestran que en el caso subsónico el gradiente favorable de presiones se invierte en vencer las fuerzas de fricción y en acelerar al fluido debido a la disminuci´ on de su densidad aguas abajo mientras que si el movimiento es supersónico el gradiente desfavorable de presiones y las fuerzas de fricción deceleran el fluido a medida que fluye aguas abajo. En el caso de movimiento subs´ onico y si las condiciones de contorno lo permiten, el gas se acelerará como máximo hasta alcanzar condiciones sónicas a la salida del conducto donde (17.127) deja de ser v´ alida; la condici´ on M = 1 a la salida del conducto en vez de la de igualdad entre las presiones del gas a la salida y la del ambiente permite determinar, en este caso, el gasto que circula por el conducto. Obsérvese que si el fluido se acelerase aguas abajo y se alcanzasen condiciones sónicas en una sección del conducto distinta de la de salida, se tendr´ıa dM 2 /dx = ∞, lo que conduce a soluciones que no son posibles desde el punto de vista f´ısico.


532

Si el movimiento en el conducto es supersónico (por existir, por ejemplo, una tobera convergentedivergente acoplada a la entrada del conducto y ser las condiciones de contorno apropiadas para que el movimiento se haga supersónico en la parte divergente de la tobera) existe, para cada valor de la presión de salida, un valor de la longitud del conducto, denominada longitud cr´ıtica, para la que se alcanzan condiciones sónicas a la salida del conducto. Si la longitud del conducto es menor que la cr´ıtica el movimiento es supersónico en todo el conducto y la presi´ on del gas a la salida es mayor que la del ambiente (el gas se expansiona a la salida del conducto), mientras que si la longitud del conducto es mayor que la cr´ıtica se forma una onda de choque en el conducto a una distancia de la entrada menor siempre que la longitud cr´ıtica; el movimiento del gas detrás de la onda es subsónico y el gas evoluciona acelerándose hasta la salida donde descarga a la presión atmosférica. Si la longitud del conducto es lo suficientemente corta (λL/rh 1) como para poder despreciar la fricción y la sección del conducto es constante, es fácil comprobar de la ecuación (17.127) que si el flujo es subsónico y se a˜ nade calor a través de las paredes d Q/d x > 0, el n´ umero de Mach aumenta aguas abajo mientras que disminuye si cede calor, d Q/d x < 0. Por otra parte, si se deriva la ecuación (17.124) respecto a x y se hace uso de (17.127) se obtiene la ecuación

1 dT 1 γ − 1 2 (γM 2 − 1) dQ ; (17.128) 1+ M = T dx 1 − M2 2 ho (0) + Q(x) dx se observa que si el flujo es subsónico la temperatura disminuye aguas abajo si el n´ umero de Mach está comprendido en el rango 1 > M > 1/γ 1/2 , véase (17.128), mientras que aumenta si M < 1/γ 1/2 . Análogamente, si se deriva (17.123) respecto a x y se hace uso de (17.128) y del hecho de que la entrop´ıa aumenta aguas abajo se comprueba que para un flujo subs´ onico, la presión y la densidad disminuyen aguas abajo, y la velocidad, por tanto, aumenta. Por el contrario, si el movimiento es supersónico y se a˜ nade calor a través de las paredes, la velocidad y el n´ umero de Mach disminuyen aguas abajo mientras que la presi´ on, densidad y temperatura aumentan. N´ otese que una transici´ on de subsónico a supersónico es posible en una sección del conducto en la que d Q/d x = 0; una sección en la que d Q/d x = 0 se comporta de igual modo respecto al tránsito de subsónico a supersónico que la garganta en una tobera convergente-divergente. La obtención de la solución de la ecuación diferencial (17.127) junto con las ecuaciones algébricas (17.122), (17.123) y (17.124) para unas condiciones de contorno proporcionan el gasto y las distribuciones de la magnitudes fluidas a lo largo del conducto. Aunque la soluci´ on debe, en general, determinarse numéricamente, existen sin embargo varios casos de interés en ingenier´ıa para los que las ecuaciones se simplifican y admiten solución anal´ıtica, como sucede por ejemplo cuando el movimiento del gas en el conducto, con adición de calor, fricción y variaci´ on de área, es a bajos n´ umeros de Mach, en el caso de conductos de sección constante aislados térmicamente, y en el movimiento de gases en conductos de sección constante a los que se a˜ nade calor a través de las paredes pero cuya longitud L sea lo suficientemente peque˜ na como para poder despreciar el efecto de la fricción λL(8rh ) 1.

17.4.1.

Movimientos de gases a bajos n´ umeros de Mach

Como se verá en lo que sigue, movimientos de gases en conductos a bajos n´ umeros de Mach ocurren cuando las fuerzas de fricci´ on son dominantes frente a las fuerzas de inercia convectivas [λL/(8rh )] 1 o también cuando la diferencia de presiones entre los extremos del conducto po − pa que genera el movimiento sea peque˜ na frente a la propia presi´ on po . En efecto, estimando los órdenes de magnitud de los tres términos de la ecuación de cantidad de movimiento (17.120) se tiene ρv 2 , L

∆p , L

λ ρ v2 . 8rh

(17.129)


533

Obsérvese que si λL/(8rh ) 1 las fuerzas de fricción son dominantes frente a las convectivas y las variaciones relativas de presión son λ L ρ v2 λL 2 ∆p M ; ∼ ∼γ p 8rh p 8rh

(17.130)

dado que las variaciones relativas de presión son a lo sumo de orden unidad, el n´ umero de Mach en el conducto debe ser peque˜ no, M 2 1 si la fricción es dominante. Por otra parte, la ecuaci´ on (17.130) muestra que en el caso de un conducto en el que λL/(8rh ) ∼ 1, el n´ umero de Mach en el conducto será también peque˜ no si lo son las variaciones relativas de presión aplicadas entre los extremos del conducto, ∆ p/p ∼ (po − pa )/po 1, donde po es la presión en el ambiente del que toma el conducto y pa la presión del ambiente a que descarga. La ecuación (17.121) muestra que para n´ umeros de Mach peque˜ nos, la entalp´ıa y la temperatura coinciden en primera aproximaci´ on con las de remanso; por tanto, la temperatura del gas a lo largo del conducto, T (x), es función del calor por unidad de masa Q(x) a˜ nadido hasta la sección x considerada h(x) ho (x) Q(x) = T (x) = T (0) + . (17.131) cp cp cp En el caso frecuente de que Q(x) no sea conocido directamente, sino que venga determinado mediante una temperatura impuesta en la pared del conducto, Tp (x), la temperatura del gas en el conducto puede determinarse usando, por ejemplo, la analog´ıa de Reynolds en la ecuación resultante de derivar (17.121) respecto a x, λ(T − Tp ) dT , =− dx 8 rh cuya integraci´ on para un conducto de sección constante proporciona

x λTp R x λ dx /(8 rh ) R x λ dx /(8 rh ) eo dx e o . T (x) = T (0) + o 8 rh

(17.132)

(17.133)

En lo que sigue se resolverá el movimiento de gases en conductos a bajos n´ umeros de Mach en los dos l´ımites asintóticos λ L/8 rh 1 y ∆p/p 1 para los que existe solución anal´ıtica. a) Fricci´ on dominante En este caso, la ecuación de cantidad de movimiento (17.120) se simplifica a 1 dp λv 2 . =− ρ dx 8rh

(17.134)

Si en (17.134) se eliminan ρ y v mediante las ecuaciones de estado y de continuidad, (17.119), e integrando la ecuación resultante para la distribuci´ on de presiones se obtiene finalmente x T 2 2 2 d x , p (x) = po − λG Rg (17.135) 2 4r hA o donde la distribuci´ on de temperaturas T (x) viene dada por (17.131) o por (17.133). Obsérvese que por ser λ L/(8 rh ) 1, la contribuci´ on del factor exponencial en la integral en (17.133) es despreciable para valores de x que difieren apreciablemente de x y, por tanto, la temperatura de la sección se iguala con la de la pared, T = Tp , a distancias de la entrada del orden de 8 rh /λ que son mucho menores que la longitud del conducto L. Finalmente, el gasto que circula por el conducto se obtiene de imponer la condición de descarga al ambiente, p(L) = pa en (17.135).


534

Un caso de interés se presenta cuando el conducto descarga a un ambiente de presión tan baja (pr´ acticamente vac´ıo para valores muy grandes de λL/rh ) que se establecen condiciones sónicas a la salida del conducto. Lo que sucede entonces es que a distancias de la salida del orden de no del n´ umero de Mach [del orden l ∼ (8rh )/λ L el gas se acelera desde un valor muy peque˜ de rh /(λL)] hasta el valor M (L) = 1 y, por tanto, la inercia del gas debe de tenerse en cuenta; fuera del conducto el gas se expande hasta la presión ambiente. El gasto se determina a partir de (17.135) particularizada en x = L con la condición p2 (L) 0; en efecto, el valor de la presión en la sección de salida puede despreciarse en (17.135) puesto que (17.123) evaluada en x = L, donde M (L) = 1, proporciona 2 2(γ − 1) G [ho (0) + Q(L)] ∼ M 2 (0)p2o po . (17.136) p2 (L) = 2 γ (γ + 1) A N´ otese que se cometen errores en el valor del gasto y de la presión p(L) asociados al hecho de haber despreciado la inercia frente a la fricci´ on en el u ´ltimo tramo del conducto de longitud l ∼ (8rh )/λ; sin embargo, es fácil ver inspeccionando la ecuación (17.123) que estos errores no son de importancia desde el punto de vista pr´ actico, ya que la diferencia entre el valor dado por (17.123) y el valor real que se obtendr´ıa si se retuviese el efecto de la inercia ser´ıa del orden de (l/L)po ∼ [8rh /(λL)] po po . b) Diferencias relativas de presi´ on peque˜ nas Obsérvese que si se usan las ecuaciones de continuidad, (17.119), y de estado y se tiene en cuenta que ρ v 2 /p ∼ M 2 1, la ecuación de cantidad de movimiento, (17.120), se reduce a dp G 2 Rg T 1 d T λ 1 dA . (17.137) p =− + − dx A2 T dx A dx 8 rh Integrando (17.137) se obtiene 1 2 [p − p2 (0)] p(0)[p − p(0)] = − G2 Rg 2

o

x

1 A2

dT T dA λT − + dx A dx 8 rh

d x ,

(17.138)

donde p(0) es la presión en la sección de entrada y el término [p + p(0)] en el desarrollo de la diferencia de cuadrados del primer miembro de (17.138) se ha sustituido por 2 p(0), al ser las variaciones de presión peque˜ nas frente a la propia presi´ on. Para determinar p(0) debe tenerse en cuenta la ca´ıda de presión respecto de la del depósito de toma, po , debida a la aceleración del gas hasta la sección de entrada. Teniendo en cuenta que el n´ umero de Mach es peque˜ no, las diferencias de densidad en la entrada son despreciables, y si la toma está bien dise˜ nada se tiene 1 G2 . p(0) = po − ρo v 2 (0) = po − 2 2 ρo A2 (0)

(17.139)

Finalmente, el gasto que circula por el conducto se obtiene de imponer la condición de descarga al ambiente, p(L) = pa en (17.138) después de haber sustituido (17.139) en ella; se tiene entonces

G2 = Rg

o

17.4.2.

L

1 A2

po (po − pa ) dT T dA λT − + d x A d x 8 rh

(17.140)

2

d x + To /[2A (0)]

Conducto de secci´ on constante aislado t´ ermicamente

En este caso, y puesto que d A/d x = Q = 0, la ecuación (17.127) se reduce a 1 d M2 2 + (γ − 1)M 2 γλM 2 , = M2 d x 1 − M2 8rh

(17.141)


535

Si se efect´ ua el cambio de variable M 2 = 1/y, la ecuación anterior se reduce a una de variables separadas cuya integraci´ on proporciona

1 γ+1 [2 + (γ − 1)M 2 (0)] M 2 γλ 1 − x. (17.142) + ln =− 2 2 2 2 M M (0) 2 [2 + (γ − 1)M ] M (0) 4rh La ecuación (17.142) particularizada en la sección de salida proporciona una relaci´ on entre los n´ umeros de Mach a la entrada y salida del conducto que debe ser completada con las condiciones de presión a la entrada y salida. En efecto, de (17.142) evaluada en la secci´ on de salida se tiene

1 γ+1 γλL [2 + (γ − 1)M 2 (0)] M 2 (L) 1 ; (17.143) − 2 + ln =− 2 M (L) M (0) 2 [2 + (γ − 1)M 2 (L)] M 2 (0) 4rh por otra parte, la ecuación (17.123) con Q = 0 evaluada en entrada y salida proporciona

−2γ/(γ−1) 2 ho (0) γ−1 2 γ−1 G M (0) = p2 (0) = p2o 1 + (17.144) 2 γ2 A M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2] y 2 ho (0) γ−1 G 2 2 (17.145) p (L) = pa = γ2 A M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] donde se ha supuesto el caso de corriente subsónica, p (L) = pa . El sistema de ecuaciones algébrico (17.143)-(17.145) permite determinar las tres incógnitas M (0), M (L) y G como función de po , pa y λL/(4rh ). Obsérvese que si se divide (17.144) por (17.145) se tiene

2γ/(γ−1) M 2 (L)[2 + (γ − 1)M 2 (L)] p2o γ−1 2 = M (0) , (17.146) 1+ p2a M 2 (0)[2 + (γ − 1)M 2 (0)] 2 que junto a (17.143) permiten calcular M (0) y M (L) como funciones del factor de fricción λL/(4rh ) y el cociente de presiones po /pa . La solución numérica del sistema (17.143) y (17.146) se da en forma de gráfico en la Figura 17.6. En efecto, por cada punto del plano definido por una pareja determinada de valores de [λL/(4rh ) y pa /po ] pasan dos familias de curvas que definen los valores de M (0) y M (L) soluciones de (17.143) y (17.146) para la pareja de valores especificados del par´ ametro de fricción y del cociente de presiones. Obsérvese que para un valor dado del factor de fricci´ on existe un valor de pa /po por debajo del cual el sistema (17.143) y (17.146) no tiene solución real. Lo que sucede, entonces, es que para valores de pa /po iguales o inferiores a este valor se alcanzan condiciones sónicas a la salida del conducto y la condici´ on de contorno en la salida es M (L) = 1 en lugar de p(L) = pa . Para valores pa /po inferiores a aquel para el que se alcanzan condiciones sónicas en la salida, (pa /po )∗ , la corriente en el conducto es la misma que para el caso pa /po = (po /pa )∗ , ya que por estar bloqueada la salida la corriente en el conducto no recibe informaci´ on de las condiciones aguas abajo. Para resolver el problema se busca en la Figura 17.6 el punto definido por la pareja de valores λL/(4rh ) y M (L) = 1; la curva de M (0) constante que pasa por ese punto proporciona el valor de M (0). Una vez determinado M (0), el gasto que circula por el conducto es

−(γ+1)/[2(γ−1)] γ−1 2 . (17.147) M (0) G = ρ(0)v(0)A = ρo ao AM (0) 1 + 2 Si se define el gasto cr´ıtico, G∗ , como el máximo gasto que circular´ıa por el conducto si la fricci´ on del gas con las paredes fuese nula, λL/(4rh ) = 0, lo que corresponde a que se alcanzasen condiciones sónicas a la entrada del conducto, (17.147) conduce a (γ+1)/[2(γ−1)] 2 G∗ = ρo ao A (17.148) γ+1

536


Figura 17.6: Descarga de un gas desde un depósito a presión p0 hasta la presión ambiente pa a través de un conducto aislado térmicamente. y el valor del gasto adimensional G/G∗ , que se representa también en la Figura 17.6, es (γ+1)/[2(γ−1)] γ+1 G = M (0) . (17.149) G∗ 2 + (γ − 1)M 2 (0) Si el valor del n´ umero de Mach a la entrada del conducto fuese supersónico, lo que requiere inevitablemente la presencia de una tobera convergente-divergente acoplada a la entrada del conducto, la solución gráfica representada en la Figura 17.6 no es v´ alida aunque s´ı lo son las ecuaciones (17.142) y (17.144). N´ otese que en este caso las condiciones a la entrada están determinadas y no dependen de las condiciones existentes aguas abajo, ya que las perturbaciones generadas aguas abajo de la entrada no pueden alcanzarla por ser la corriente supers´ onica. Por tanto, el valor de M (0) y el gasto G están determinados por la geometr´ıa de la tobera; en efecto, el gasto es el gasto cr´ıtico que circula por la tobera (γ+1)/[2(γ−1)] 2 G = G∗ = ρo ao Ag , (17.150) γ+1


537

donde Ag es el área de la garganta, y el valor de M (0) viene dado por (17.147). Para un valor dado del par´ ametro de fricción, los valores de M (L) y p(L) se determinan a partir de la ecuación (17.143) y de 2 ho (0) γ−1 G 2 p (L) = . (17.151) γ2 A M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] Obsérvese que para unas condiciones a la entrada del conducto dadas [M (0) dado] existe un valor cr´ıtico del valor de fricci´ on [λL/(4rh )]∗ (una longitud de conducto L∗ si λ y el área del conducto son fijos) tal que se alcanzan condiciones sónicas a la salida. Para valores de la longitud del conducto inferiores a la cr´ıtica, las ecuaciones (17.143) y (17.151) proporcionan el valor de M (L) y p(L) a partir de la longitud del conducto L y del n´ umero de Mach a la entrada M (0). Téngase en cuenta que M (0) es conocido dado que el gasto es el cr´ıtico, y puede calcularse a partir de (17.148) y (17.149). En la Figura 17.7 se representan los valores numéricos de M (L) y p(L) dados M (0) y λL/(4rh ).

Figura 17.7: Descarga supersónica de un gas a través de un conducto aislado térmicamente. El gas descarga desde un depósito donde la presión es po y la longitud del conducto es menor o igual que la longitud cr´ıtica, L∗ .


538

Para valores de la longitud del conducto superiores a L∗ no es posible una evoluci´ on continua de las magnitudes a través del conducto y la corriente se decelera a través de una onda de choque de intensidad apropiada para satisfacer las condiciones de contorno a la salida del conducto. En la Figura 17.8 se representan cualitativamente las evoluciones del n´ umero de Mach y presión a lo largo del conducto cuando existe una onda de choque en una secci´ on del mismo. M (o )

p / p 0

p M

a

/p o

0 .5 3 1 p 0

x /L

1

(0 )

/ p 0

0

x /L

1

Figura 17.8: Variaci´ on del n´ umero de Mach y presión del gas a lo largo de un conducto cuya longitud es superior a la cr´ıtica. Si se supone que la onda de choque está situada en una sección situada a una distancia de la entrada L1 < L desconocida y se denominan M1 (L1 ) y M2 (L1 ) a los n´ umeros de Mach del flujo delante y detrás de la onda, la ecuación (17.142) proporciona las relaciones

γ+1 [2 + (γ − 1)M 2 (0)] M12 (L1 ) γλL1 1 1 . (17.152) + ln =− − M12 (L1 ) M 2 (0) 2 [2 + (γ − 1)M12 (L1 )] M 2 (0) 4rh y

1 γ+1 [2 + (γ − 1)M22 (L1 )] M 2 (L) γλ(L − L1 ) 1 . − + ln =− M 2 (L) M22 (L1 ) 2 [2 + (γ − 1)M 2 (L)] M22 (L1 ) 4rh

(17.153)

Por otra parte, la condici´ on de salto a través de la onda de choque (12.69) proporciona M22 (L1 ) =

2 + (γ − 1)M12 (L1 ) 2γM12 (L1 ) + 1 − γ

(17.154)

y el problema se cierra imponiendo la condici´ on de descarga a la presión ambiente por ser el flujo subsónico detrás de la onda de choque 2 ho (0) γ−1 G 2 2 p (L) = pa = . (17.155) 2 2 γ A M L[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] El sistema de cuatro ecuaciones (17.152)-(17.155) proporciona los valores del n´ umero de Mach a la salida, M (L), los n´ umeros de Mach delante y detrás de la onda, M1 (L1 ) y M2 (L1 ), y la posición de la onda de choque L1 . Es importante se˜ nalar que si la presi´ on de descarga pa aumenta, la onda de choque se mueve hacia la entrada situ´ andose en una nueva posici´ on L2 que debe ser determinada resolviendo el sistema de ecuaciones (17.152)-(17.155). Si se sigue aumentando la presión de descarga existirá un valor de la misma, que depende de las caracter´ısticas geométricas de conducto y tobera, as´ı como del factor de fricción y de las condiciones de remanso po y ρo , para el que la onda de choque se sit´ ua justo a la entrada del conducto de manera que el flujo en todo el conducto es subsónico. El valor de pa para que la onda de choque se sit´ ue a la entrada se calcula


539

a partir de la ecuación de salto a través de la onda que relaciona los n´ umeros de Mach detrás y delante de la onda, este u ´ltimo conocido por ser funci´ on exclusivamente de la relación de áreas umero de Mach a la salida de la tobera, y M (0) al del A/Ag de la tobera. Si se denomina Ms al n´ gas detrás de la onda, las condiciones de salto proporcionan M 2 (0) =

2 + (γ − 1)Ms2 . 2γMs2 + 1 − γ

(17.156)

La ecuación (17.143) y la condici´ on de descarga subsónica del gas (17.155) determinan M (L) y la presión de descarga buscada en función de M (0). Nótese que el gasto es conocido por ser el gasto cr´ıtico que fluye por la tobera. Para valores superiores de pa , la onda de choque se posiciona en el interior de la tobera y el proceso de resolución es básicamente el descrito con anterioridad. Para un cierto valor de la presi´ on ambiente, si se sigue aumentando ésta, la onda de choque se sit´ ua en la garganta y su intensidad es nula, de modo que para valores mayores de la presión ambiente el movimiento del gas en tobera y conducto es subsónico.

17.4.3.

Conducto de secci´ on constante con adici´ on de calor y sin fricci´ on

En este caso el conducto es lo suficientemente corto como para que el parámetro de fricción sea peque˜ no, λL/(4rh ) 1, y la fricción, por tanto, despreciable. Como la sección del tubo es constante, la ecuación que da la evoluci´ on del n´ umero de Mach a través del conducto, (17.127), se reduce a

d Q/d x γ − 1 2 1 + γM 2 1 d M2 M = 1+ . (17.157) M2 d x 2 1 − M 2 ho (0) + Q(x) Es de interés se˜ nalar que en este caso es posible una transición continua de movimiento subs´ onico a supersónico si la adición de calor es tal que d Q/d x = 0 en alguna sección del conducto. Si se efect´ ua, de nuevo, el cambio de variable M 2 = 1/y, la ecuación (17.157) se reduce a una de variables separadas cuya integraci´ on, escrita ya en la variable M 2 , proporciona M 2 [1 + (γ − 1)M 2 /2] [1 + γM 2 (0)]2 ho (0) + Q(x) . = 2 2 2 2 [1 + γM ] M (0)[1 + (γ − 1)M (0)/2] ho (0)

(17.158)

La relación entre los n´ umeros de Mach de entrada y salida, que depende del calor por unidad de masa total, Q(L), a˜ nadido hasta la sección x = L, es [1 + γM 2 (0)] M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2 ho (0) + Q(L) . = [1 + γM 2 (L)] M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2] ho (0)

(17.159)

Obsérvese que si el movimiento a la entrada es subsónico, la máxima cantidad de calor Qmax (L) que el gas puede recibir a través de las paredes es aquella que lo acelera hasta un n´ umero de Mach a la salida igual a la unidad, M (L) = 1, [1 + γM 2 (0)]2 Qmax (L) = − 1; ho (0) (γ + 1)M 2 (0)[2 + (γ − 1)M 2 (0)]

(17.160)

de modo que para unas condiciones del gas a la entrada del conducto dadas no se puede a˜ nadir calor al gas por encima de un valor máximo. Para el caso de flujo a la entrada subs´ onico, la resolución del problema requiere resolver el sistema formado por la ecuación (17.159) y las dos relaciones resultantes de evaluar (17.123) en entrada y salida 2

−2γ/(γ−1) ho (0) γ−1 2 γ−1 G M (0) p2 (0) = p2o 1 + (17.161) = 2 γ2 A M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2]


540 y p2 (L) = p2a =

γ−1 γ2

G A

2

ho (0) + Q(L) ; M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2]

(17.162)

si estas dos u ´ ltimas ecuaciones se dividen entre si se obtiene

po pa

2

2γ/(γ−1) ho (0) M 2 (L)[1 + (γ − 1)M 2 (L)/2] γ−1 2 = M (0) , 1+ ho (0) + Q(L) M 2 (0)[1 + (γ − 1)M 2 (0)/2] 2

(17.163)

que junto a (17.159) forma un sistema de dos ecuaciones algébricas para el cálculo de M (0) y M (L) como funciones de Q(L) y po /pa La resolución numérica del sistema (17.159) y (17.163) se representa en forma gráfica en la Figura 17.9, para valores positivos de Q(L) (adición de calor). Por cada punto del plano definido

Figura 17.9: Descarga de un gas desde un depósito a presión p0 hasta la presión ambiente pa a través de un conducto sin fricción y con adición de calor. por una pareja determinada de valores de [Q(L)/ho (0) y po /pa ] pasan dos familias de curvas que definen los valores de M (0) y M (L) soluciones de (17.159) y (17.163). Obsérvese que para un valor dado del calor por unidad de masa a˜ nadido Q(L) existe un valor de (po /pa )∗ por encima del cual el sistema (17.159) y (17.163) no tiene solución real. Lo que sucede es que para valores de po /pa iguales o superiores a este valor se alcanzan condiciones sónicas a la salida del conducto y la condición de contorno para cerrar el problema es M (L) = 1 en lugar de p(L) = pa ; nótese que la corriente de gas en el conducto es la misma para valores de po /pa superiores a (po /pa )∗ . Para resolver el problema, en los casos en que po /pa sea mayor que (po /pa )∗ , se busca en la Figura 17.9 el punto definido por la pareja de valores Q(L) y M (L) = 1 y la curva M (0) constante que pasa

541

17.5. Pérdidas de carga localizadas

por él determina el valor M (0) correspondiente. Una vez determinado el valor de M (0), el gasto que circula por el conducto se calcula como

γ−1 2 M (0) G = ρ(0)v(0)A = ρo ao AM (0) 1 + 2

−(γ+1)/[2(γ−1)] .

(17.164)

Si se define el gasto cr´ıtico, G∗ , como el máximo gasto que circular´ıa por el conducto, lo que corresponde a que se alcanzasen condiciones sónicas a la entrada del conducto y no se a˜ nadiese calor, (17.164) conduce a (γ+1)/[2(γ−1)] 2 G∗ = ρo ao A, (17.165) γ+1 y el valor del gasto adimensional G/G∗ , que se representa también en la Figura 17.9, es G = M (0) G∗

γ+1 2 + (γ − 1)M 2 (0)

(γ+1)/[2(γ−1)] .

(17.166)

Para valores negativos de Q(L), las ecuaciones que resuelven el problema son también las dadas en (17.159) y (17.163), aunque los resultados numéricos son diferentes a los dados en la Figura 17.9; obsérvese que el máximo calor que se puede extraer del fluido es ho (0). Si el flujo de gas fuese supersónico a la entrada al conducto, el procedimiento para la resoluci´ on del problema ser´ıa análogo al descrito en la sección anterior para el caso de movimiento con fricción y sin adición de calor. Obsérvese que si se a˜ nade calor el n´ umero de Mach disminuye aguas abajo y existe necesariamente una onda de choque situada entre la entrada y salida del conducto si el calor a˜ nadido es mayor que el necesario para alcanzar condiciones sónicas a la salida [1 + γM 2 (0)]2 Q(L) > − 1. ho (0) (γ + 1)M 2 (0)[2 + (γ − 1)M 2 (0)]

(17.167)

Contrariamente, si se extrae calor a través de las paredes del conducto el gas se acelera aguas abajo y descarga supersónicamente a la salida.

17.5.

P´ erdidas de carga localizadas

Los sistemas de tuber´ıas y conductos usados en la práctica están dotados normalmente de componentes auxiliares tales como Contracciones o ensanchamientos (bruscos o graduales) que permiten un cambio en la sección de tuber´ıa. Codos para cambiar la dirección de la tuber´ıa. Válvulas para controlar el caudal, etc. Bifurcaciones, uniones en T, etc. Los desprendimientos de la capa l´ımite que se originan por los gradientes adversos de presión que introducen las geometr´ıas de dichos dispositivos dan lugar a torbellinos, corrientes de recirculación y flujos secundarios en los que los efectos de la viscosidad son importantes. Estas zonas de corriente desprendida act´ uan como sumideros de cantidad de movimiento para la corriente principal y originan una disipaci´ on de energ´ıa mecánica de la misma. Aparecen as´ı unas pérdidas de presión de remanso, más com´ unmente denominadas pérdidas de carga, que deben a˜ nadirse, a

542


la hora de analizar el funcionamiento de la instalaci´ on, a las habituales producidas por el esfuerzo en la pared en los tramos principales de tuber´ıa. Es usual expresar la pérdida de presión de remanso entre dos secciones de tuber´ıa en funci´ on del denominado coeficiente de pérdida de carga que se define en la forma K=

2(po1 − po2 ) , ρV 2

(17.168)

siendo po1 y po2 las presiones de remanso del fluido en las dos secciones consideradas y V una velocidad caracter´ıstica del flujo (se suele tomar la mayor de las dos velocidades que el fluido posee en cada una de las secciones de la tuber´ıa). En general K será una funci´ on del n´ umero de Reynolds caracter´ıstico del flujo, de la geometr´ıa del sistema y de la rugosidad relativa de las paredes del mismo, . Como se ha visto en 16.5.1 y en las secciones anteriores de este cap´ıtulo, el coeficiente de pérdida de presión de remanso en un flujo turbulento totalmente desarrollado que circula por un tramo de tuber´ıa de longitud L y radio hidr´ aulico rh es K=

L λ(Re, ), 4rh

(17.169)

donde el factor de fricci´ on, λ, puede calcularse a partir del a´baco de Moody, Figura 16.15. En general, las longitudes caracter´ısticas de los componentes auxiliares son mucho menores que las de los tramos principales del sistema de tuber´ıas, as´ı que las pérdidas de carga que tienen lugar en ellos se denominan localizadas. Dada la complejidad del flujo en dichos dispositivos no será posible en general evaluar de forma anal´ıtica el coeficiente de pérdidas de carga localizadas, excepto en los casos más simples, por lo que éste deberá obtenerse experimentalmente. El objetivo de esta sección es el de presentar resultados relativos al coeficiente de pérdida de carga localizada para algunas de las configuraciones m´ as comunes en las instalaciones hidráulicas. Por simplicidad se considerará en lo que sigue el caso de l´ıquidos o de gases a n´ umeros de Mach peque˜ nos.

17.5.1.

Ensanchamiento brusco de una tuber´ıa

Aguas arriba del ensanche, el fluido tiene una velocidad pr´ acticamente uniforme V1 . En el ensanchamiento brusco, la capa l´ımite se desprende con la consecuente creación de una zona de torbellinos. A cierta distancia aguas abajo, la capa l´ımite se readhiere quedando el fluido con una velocidad aproximadamente uniforme de valor V2 . Entre la sección de desprendimiento y la de posterior readherencia se forma una burbuja de recirculaci´ on como se observar en la Figura 17.10. En este patrón de flujo la causa principal de disipaci´ on de energ´ıa mecánica de la corriente principal es la interacci´ on de ésta con la zona desprendida (burbuja) y no el efecto de la fricci´ on en la pared, por lo que el coeficiente de pérdida de carga será prácticamente independiente del n´ umero de Reynolds, as´ı como de la rugosidad relativa. En este caso, el coeficiente de pérdida de carga se puede evaluar f´ acilmente de forma anal´ıtica mediante la aplicación de las ecuaciones de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento a un volumen de l´ıquido limitado por la pared del conducto m´ as ancho y las secciones de entrada al mismo, donde se produce el ensanchamiento, y la situada justo detr´ as de la burbuja, donde la velocidad de la corriente puede ya considerarse uniforme. En efecto, si A1 y A2 son las secciones de los conductos que se unen en el ensanchamiento (A1 < A2 ), las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento en forma integral proporcionan respectivamente V1 A1 = V2 A2 ,

(17.170)

p1 A1 + p1 (A2 − A1 ) + ρV12 A1 = p2 A2 + ρV22 A2 .

(17.171)

543


Figura 17.10: Patr´ on de flujo en el ensanchamiento brusco de un conducto. Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene po1 − po2 =

2 A1 1 2 ρV1 1 − 2 A2

(17.172)

y el coeficiente de pérdida de carga resulta 2 A1 . K = 1− A2

(17.173)

Obsérvese que si A2 A1 , K 1 y la pérdida de presión de remanso es igual a la energ´ıa cinética por unidad de volumen del fluido justo antes del ensanchamiento. Este es el caso de un conducto descargando a un ambiente ilimitado o a un dep´ osito de grandes dimensiones.

17.5.2.

Contracci´ on brusca

En este caso la separación del flujo ocurre tanto aguas arriba de la secci´ on de entrada al conducto peque˜ no como aguas abajo de la misma, formándose la denominada vena contracta, véase Figura 17.11. La disipación de energ´ıa mecánica ocurre principalmente en la zona de vena contracta y es debida principalmente a la interacci´ on entre la burbuja de recirculaci´ on y la corriente principal, pudiéndose también en este caso despreciar el efecto de fricción en la pared.

Figura 17.11: Patr´ on de flujo en la contracci´ on brusca de un conducto. Debido a que la distribuci´ on de presión en la sección de uni´ on de los dos conductos que forman la contracción no es conocida de antemano, el coeficiente de pérdida de carga no puede ser evaluado

544


anal´ıticamente en este caso. Experimentalmente se demuestra que la ca´ıda de presión de remanso sigue muy aproximadamente la expresión 1 po1 − po2 = K ρV22 , 2

(17.174)

donde K depende del grado de contracci´ on A2 /A1 . La expresión (17.174) se aplica también al caso particular de un conducto que toma de un recipiente de dimensiones grandes A1 A2 . En este caso y siempre que no se hayan tomado precauciones especiales en la unión entre el depósito y el conducto (caso de arista viva) se tiene K 0,42. En el caso en el que la entrada al conducto esté ligeramente redondeada, el desprendimiento de la capa l´ımite se evita en gran parte y el coeficiente de pérdida de carga se reduce sustancialmente, pudiéndose considerar prácticamente nulo cuando el radio de curvatura de la adaptaci´ on del depósito al conducto excede en un 20 % a la dimensi´ on transversal caracter´ıstica del conducto. En este caso no se producirá un desprendimiento apreciable de la capa l´ımite, que permanece adherida a las paredes del conducto y se conservan, por tanto, las magnitudes de remanso en la región de entrada. Por el contrario, si el conducto entra en el depósito (boquilla entrante), el desprendimiento de la capa l´ımite se hace más acusado a´ un que en el caso de arista viva con el consiguiente aumento de K.

17.5.3.

Ensanchamiento gradual

Un conducto que se ensancha gradualmente se denomina difusor. Su misi´ on es normalmente empalmar dos tramos de tuber´ıa de diámetros diferentes. En el difusor el fluido experimenta una disminuci´ on de velocidad acompa˜ nada del consiguiente aumento de presi´ on. Se origina as´ı un gradiente adverso de presiones que puede dar lugar a un desprendimiento de la capa l´ımite si el ángulo del difusor supera un cierto valor, con la consiguiente aparici´ on de torbellinos en la zona desprendida. Las pérdidas de carga en el difusor serán aquellas debidas a la interacci´ on entre la corriente principal y la zona desprendida m´ as las que se producen por rozamiento (fricción) en la pared.

Figura 17.12: Patr´ on de flujo en un difusor. Si para calcular las pérdidas por rozamiento se suponen despreciables las variaciones de altura en el difusor, la ecuación (17.33) proporciona la ca´ıda de presión de remanso debido al rozamiento del fluido con las paredes del difusor d proz λ o ρ v2 . =− dx 8 rh

(17.175)

Si se usa la ecuación de continuidad v A = Q, la ecuación (17.175) puede integrarse si se conoce la variaci´ on de la sección en el conducto, A(x) y rh (x). Para el caso de un difusor de sección circular


545

cuyo diámetro var´ıa linealmente entre los diámetros D1 y D2 , (17.175) junto con la ecuaci´ on de continuidad proporcionan ρ V12 λ d proz o =− , dx 2 D1 [1 + (x/D1 ) tan (α/2)]5

(17.176)

donde α es el ángulo del difusor. La integraci´ on de (17.176) proporciona la ca´ıda de presión de remanso debido al rozamiento en el difusor o Kroz en forma adimensional roz 2(proz λ A21 o1 − po2 ) , (17.177) = 1 − Kroz = ρ V12 4 tan(α/2) A22 donde como siempre λ es una función conocida del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa del conducto. Obsérvese que el n´ umero de Reynolds del flujo var´ıa a lo largo del difusor por lo que, formalmente, en la integraci´ on de (17.176) deber´ıa retenerse la variación de λ con Re, y por tanto con x. Sin embargo, desde el punto de vista pr´ actico este efecto es peque˜ no y basta con tomar un valor medio del n´ umero de Reynolds. Las pérdidas de presión de remanso debidas a desprendimientos de capa l´ımite, por el contrario, no pueden determinarse anal´ıticamente; los experimentos sugieren expresiones de la forma

2 A1 , (17.178) Kdesp = sen α 1 − A2 de modo que la pérdida de presión de remanso total es

2 2 A1 A1 λ(Re, ) + sen α 1 − , 1− K = Kroz + Kdesp = 4 tan (α/2) A2 A2

(17.179)

siendo Re y valores medios del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa en el difusor. Obsérvese que al aumentar α las pérdidas por rozamiento disminuyen, ya que el difusor se hace más corto mientras que las debidas al desprendimiento aumentan (aumenta el gradiente adverso de presiones y por tanto el tama˜ no de la zona desprendida). Lo contrario ocurre si disminuye el ángulo de ensanchamiento, α. Se tiene as´ı un valor o´ptimo de α para el difusor, para el cual K es m´ınimo. Dicho ´ angulo se determina fácilmente a partir de la expresión anterior bajo la condici´ on d K/d α = 0; si además se hace uso de la condición λ 1 se obtiene la expresión simplificada αopt λ (1 + A1 /A2 )/[2 (1 − A1 /A2 )]. (17.180) Si se usan valores t´ıpicos de λ, por ejemplo los comprendidos entre 0,015 y 0,025 y relaciones de áreas A2 /A1 comprendidas entre en los l´ımites 2 y 4 se obtiene como promedio un ángulo o´ptimo del difusor en el rango de 6o − 7o , para el que se minimizan las pérdidas de presión de remanso; dicho valor está en buen acuerdo con los datos experimentales.

17.5.4.

Codos

En general, las pérdidas de presión de remanso en tuber´ıas acodadas se deben a los factores siguientes: 1. Pérdida por fricci´ on de la corriente principal en la pared del conducto, proporcional a la longitud del codo. 2. Pérdidas por separación de capa l´ımite que origina zonas de torbellinos en la pared interna (la más cercana al centro de curvatura del codo) y en la pared externa (zona de la pared m´ as alejada del centro de curvatura), véase Figura 17.13.

546


3.

Flujos secundarios debidos a la acción de las fuerzas centr´ıfugas sobre el fluido. En efecto, las fuerzas centr´ıfugas sobre las part´ıculas fluidas en el codo (proporcionales al cuadrado de la velocidad) serán mayores sobre las que fluyen por la zona central de la sección que sobre aquellas que fluyen cerca de las paredes, donde la velocidad es menor; el desequilibrio de fuerzas origina un par de v´ ortices, con centros a lo largo de la l´ınea de curvatura del codo, de modo que el flujo secundario en la sección es tal que el fluido se desplaza a lo largo de un plano diametral perpendicular al radio de curvatura de la secci´ on y retorna por las paredes. Como resultado de la superposición de estos movimientos circulares y el de avance seg´ un el eje del conducto, el flujo está compuesto de dos corrientes helicoidales.

Figura 17.13: Patr´ on de flujo en un tubo acodado. La aparición de estos flujos secundarios da lugar a pérdidas de presión de remanso por rozamiento con la pared del conducto, cuya intensidad depende de la rugosidad relativa, m´ as las pérdidas debidas a efectos de desprendimiento de capa l´ımite y a los flujos secundarios, mencionados en los puntos 2) y 3). El coeficiente de pérdida de carga total en el codo será K = K1 + K2, 3 = λ(Re, )L/4rh + K2, 3 (, Rc /D)

(17.181)

siendo L la longitud del codo, rh el radio hidr´ aulico, D una longitud caracter´ıstica de la sección del conducto, Re = V 4rh /ν y la rugosidad relativa. Para un conducto acodado a 90o y sección circular, la contribuci´ on K2, 3 (, Rc /D) debida a separación de capa l´ımite y flujos secundarios puede obtenerse de la Figura 17.14.5

Figura 17.14: Pérdida de carga en conductos acodados. 5

F. M. White, Mec´ anica de Fluidos, McGraw Hill, Madrid, 2003.

17.6. Flujo turbulento en canales abiertos

547

Para disminuir la resistencia de codos de grandes dimensiones (por ejemplo, en t´ uneles aerodin´ amicos u otras instalaciones), se instalan a veces álabes gu´ıa que inhiben dr´ asticamente los flujos secundarios debidos a la acción de la fuerza centr´ıfuga y minimizan también las pérdidas por separación de capa l´ımite aunque aumentan ligeramente las pérdidas por fricci´ on.

Figura 17.15: Flujo en un codo con a´labes gu´ıas.

17.5.5.

V´ alvulas, bifurcaciones y otros dispositivos hidr´ aulicos

Las válvulas son dispositivos para regular el caudal. Introducen grandes pérdidas de carga que, lógicamente, disminuyen con el grado de apertura de la v´ alvula. En el caso de v´ alvulas, bifurcaciones de tuber´ıas y otros dispositivos hidr´ aulicos, las pérdidas de carga se producen por alguno de los efectos descritos en las secciones anteriores. Su valor depende mucho de la geometr´ıa del dispositivo considerado, as´ı que no parece conveniente dar aqu´ı un detalle exhaustivo del modo de calcular estas pérdidas. En su lugar se recomienda el uso de cualquier manual de hidr´ aulica donde pueden obtenerse los valores de las pérdidas de los dispositivos hidr´ aulicos. Un tratamiento completo de las pérdidas de carga en instalaciones hidr´ aulicas puede seguirse por ejemplo en el manual de hidr´ aulica citado al pie de p´ agina.6

17.6.

Flujo turbulento en canales abiertos

Este tipo de flujos está caracterizado por la existencia de una superficie libre (la interfase de separación agua-aire) que debe ser determinada consistentemente de la resolución del problema del movimiento del agua a través del canal. Como condiciones de contorno en la interfase se impone la continuidad de la presi´ on a través de la interfase as´ı como que el valor del esfuerzo viscoso all´ı sea nulo; la u ´ltima condición se justifica por el hecho de que la viscosidad del aire es muy peque˜ na comparada con la del agua mientras que la primera es debida al hecho de que las dimensiones del canal son muy grandes comparadas con la longitud capilar. En general, los canales artificiales realizados por el hombre para su uso en agricultura o para el transporte de mercanc´ıas y pasajeros poseen secciones transversales bien definidas, prismáticas en general, y realizadas con materiales (cemento y tierra) cuya rugosidad superficial es conocida dentro de l´ımites tolerables en Ingenier´ıa. No es éste el caso de los canales naturales y corrientes fluviales, en los que las secciones transversales presentan formas muy irregulares y poco uniformes y el conocimiento de la rugosidad superficial es mucho más impreciso. No es de extra˜ nar, por tanto, que los resultados de aplicar la teor´ıa que se va a desarrollar al caso de canales naturales sean, en general, menos satisfactorios. 6

I. E. Idelchik, M. O. Steinberg, Handbook of Hydraulic Resistance, CRC Press, 2004.

548


Al contrario que en el caso de movimiento de fluidos en conductos la velocidad media de la corriente turbulenta en la direcci´ on longitudinal experimenta variaciones apreciables a través de una sección transversal del canal. La velocidad m´ axima no se presenta en la superficie, como a primera vista podr´ıa esperarse, sino un poco por debajo de ella (véase Figura 17.16 donde se esquematizan los contornos donde la velocidad del fluido es igual). Esto es debido a la presencia de corrientes secundarias que circulan desde las paredes hacia el interior de la sección. No obstante, es

100 80 40

100 75 25

Figura 17.16: Curvas de igual velocidad en tanto por ciento de la velocidad m´ axima. com´ un definir una velocidad media de la secci´ on, v(x), como el cociente entre el caudal que fluye a través de la sección y su área. 1 u(x, y, z)dydz, v(x) = (17.182) A(x) A(x) donde u es la componente longitudinal de la velocidad media de la corriente turbulenta en cada punto de la sección, A es el área de la sección mojada, que es en general funci´ on de la coordenada longitudinal x, e y y z son coordenadas transversales. Obsérvese que en términos de v el flujo de cantidad de movimiento a través de la sección se puede escribir en la forma 1 u2 dydz = αv 2 , (17.183) A A donde α es un factor emp´ırico que depende de la forma de la sección. En canales de geometr´ıa regular, α rara vez excede del valor 1.05, por lo que para simplificar la notaci´ on se supondr´ a en adelante que su valor es la unidad. Como en el caso del movimiento de fluidos en conductos, el efecto de la viscosidad es u ´ nicamente importante cerca de la pared (valores altos del n´ umero de Reynolds) y, como se hizo all´ı, se define el esfuerzo de fricción τo promediado en el per´ımetro de la sección rh τp (x)dl, (17.184) τo (x) = A P (x) donde P y rh = A/P son el per´ımetro y el radio hidr´ aulico de la sección.7 Como en (17.2), se relaciona el esfuerzo con el factor de fricción adimensional λ en la forma λ (17.185) τo = ρv 2 . 8 7 El per´ ımetro P incluye las paredes laterales y la solera de la secci´ on pero no la superficie libre, puesto que se desprecia el efecto de fricci´ on del aire sobre el agua.

549


A diferencia del movimiento en conductos, el factor de fricci´ on λ depende no sólo del n´ umero de Reynolds y de la rugosidad relativa, sino también de la forma de la sección, ya que la intensidad de las corrientes secundarias, y por tanto la pérdida de cantidad de movimiento en el movimiento longitudinal, dependen sustancialmente de la forma de ésta. En movimientos estacionarios o casi-estacionarios, a los que nos limitaremos en esta exposición, se pueden distinguir dos situaciones dependiendo de la variaci´ on que experimenten las magnitudes fluidas con la coordenada longitudinal. En el primer caso se encuentran los flujos lentamente, o gradualmente, variables, en los que la altura var´ıa muy lentamente con la distancia longitudinal, dh/dx 1; las velocidades verticales son entonces muy peque˜ nas y la aproximaci´ on hidrost´ atica para el cálculo de la presión en cualquier punto de la secci´ on es válida. Existen, sin embargo, otras situaciones en los que la altura y la velocidad media de la sección var´ıan del orden de ellas mismas en distancias relativamente cortas dh/dx ∼ 0(1); para estas transiciones, que en hidr´ aulica se denominan reg´ımenes r´ apidamente variables, las velocidades verticales son del orden de las longitudinales y la aproximaci´ on de equilibrio hidrost´ atico en la dirección vertical no resulta válida.

17.6.1.

Flujo lentamente variable

En este caso, las ecuaciones que gobiernan la evolución de la profundidad del agua y su velocidad se obtienen de aplicar las ecuaciones de conservación de masa y cantidad de movimiento a un volumen infinitesimal de un canal como el esquematizado en la Figura 17.17. En efecto, la ecuaci´ on de continuidad se escribe vA = Q, (17.186) donde el caudal Q es independiente de la coordenada x.

pa

v

h

g v+dv h+dh

x s

zs

Figura 17.17: Volumen de control en un canal bidimensional. Por otra parte, para establecer el balance de cantidad de movimiento es necesario calcular la resultante de las fuerzas de presión y másicas en la dirección del movimiento que act´ uan sobre el volumen considerado − (p + ρU )nx dσ, (17.187) Σ

donde nx es la componente de la normal a Σ en la dirección del movimiento, y el área Σ se extiende a dos secciones del canal de áreas A y A+dA separadas una distancia d x, a la solera y a la superficie libre; obsérvese, sin embargo, que las resultantes de las fuerzas de presión y másicas sobre la solera no dan componente en la dirección del movimiento. Además, si h es la profundidad medida desde el punto más bajo de la solera del canal y zs es la altura de ese punto de la solera, la altura de


550

un punto de la superficie libre es zs + h cos θ zs + h, ya que el ángulo de inclinaci´ on de la solera respecto a la horizontal, θ, es siempre peque˜ no (flujo lentamente variable). Teniendo en cuenta la aproximaci´ on hidrost´ atica p + ρU = p + ρgz = pa + ρg(zs + h), (17.188) la integral (17.187) se reduce a [pa + ρg(zs + h)]A − {pa + ρg(zs + h) + d [pa + ρg(zs + h)]}(A + dA)+ [pa + ρg(zs + h)]Adh/dx = −ρgAd(zs + h)/dx,

(17.189)

donde se ha tenido en cuenta que dA = Adh/dx. Por otra parte, la variaci´ on de cantidad de movimiento en el volumen es d(ρv 2 A)/dx y la fuerza de fricción que act´ ua sobre el volumen infinitesimal es τo P dx, as´ı que la conservación de la cantidad de movimiento en el volumen considerado exige que se satisfaga la relación d(zs + h) Aτo d(ρv 2 A) = −ρgA − , dx dx rh

(17.190)

y teniendo en cuenta que d(ρvA)/dx = d(ρQ)/dx = 0 se llega a dzs λv 2 d[v 2 /(2g)] dh + =− − . dx dx dx 8grh

(17.191)

La ecuación diferencial ordinaria no lineal (17.191) junto con las ecuaci´ on de continuidad (17.186) y las relaciones geométricas del canal zs (x) y A = A(h) determinan la velocidad media del fluido y su profundidad como funciones de la posici´ on cuando se imponen condiciones de contorno apropiadas. En el movimiento uniforme, v = v(x), h = h(x), que se presenta en canales muy largos de sección y pendiente constante, la gravedad y la fricci´ on están balanceadas y la ecuación (17.191) se reduce a λv 2 dzs − − = 0, (17.192) dx 8grh y, por tanto, la velocidad del flujo es v=

− 8 g rh dzs λ dx

1/2 .

(17.193)

Para este tipo de flujos el ingeniero irlandés Manning encontr´ o que la velocidad se ajustaba a los resultados experimentales en un amplio rango de canales, tanto naturales como artificiales, si el factor de fricción λ se eleg´ıa en la forma 1/3

λ = 8 g n2 /rh ,

(17.194)

donde n es un coeficiente dimensional conocida como factor de Manning, cuyos valores para diferentes materiales superficiales se encuentran tabulados en la Tabla del Apéndice 17.I.8 El inconveniente del coeficiente de Manning es que es dimensional y cuando menos su uso es molesto para los cálculos; no obstante, tiene la ventaja, y de ah´ı su amplia utilización, de que su valor depende exclusivamente del tipo de canal y del material o revestimiento de su superficie y no cambia al hacerlo el caudal, la profundidad o el radio hidr´ aulico de la sección. Debe finalmente indicarse que, en ausencia de 8 Obs´ ervese que el factor de fricci´ on no depende aqu´ı del n´ umero de Reynolds, ya que la turbulencia est´ a completamente desarrollada por tratarse de movimientos a muy altos n´ umeros de Reynolds y las pérdidas por fricci´ on se hacen, por tanto, independientes de la viscosidad.

551


un mejor conocimiento de la fricción, el factor de fricción se calcula también mediante la fórmula de Manning en el caso de flujos no uniformes tanto estacionarios como no-estacionarios. Es interesante se˜ nalar que para un canal en el que se especifican la forma geométrica de la sección, el área de la misma y la pendiente de la solera, existe una profundidad o´ptima que maximiza el caudal que atraviesa la sección. Obsérvese en (17.193) y (17.194) que la velocidad es máxima si lo es el radio hidr´ aulico, o si el per´ımetro es m´ınimo, ya que el área es dada. En efecto, para un canal de sección trapezoidal, por ejemplo, cuya solera tiene una longitud b y cuyas paredes forman con la vertical un ańgulo β dado, como se esquematiza en la Figura 17.18. El área de la sección y el per´ımetro se expresan en función de la profundidad como A = bh + h2 tan β

y

P =b+2

h . cos β

(17.195)

Calculando b en función del área y sustituyendo en P se obtiene

a

h

b Figura 17.18: Canal de sección trapezoidal y profundidad h.

b=

A − h tan β h

y

P =

A h − h tan β + 2 ; h cos β

(17.196)

el valor de h = hopt que optimiza P se obtiene de la expresión 2 A dP = − 2 − tan β + = 0, dh hopt cos β para dar

hopt =

Se tiene entonces bopt = hopt y también Popt = 2hopt

A cos β 2 − sen β

2(1 − sen β) , cos β

2(2 − sen β) cos β

1/2 .

(17.198) 2 − sen β cos β

(17.199)

Aopt hopt = , Popt 2

(17.200)

Aopt = h2opt

y

(17.197)

rhopt =

que muestra que para cualquier ańgulo β, la sección más eficiente es aquella en la que el radio hidr´ aulico es la mitad de la profundidad; por ejemplo, para un canal rectangular, β = 0, la sección más eficiente se obtiene cuando la profundidad es la cuarta parte de la anchura de la solera. umero de Froude, definido en la forma usual F = √Es interesante en este punto introducir el n´ v/ gh,√que como es sabido compara la velocidad del fluido con la velocidad de propagaci´ on de las ondas, gh, en aguas someras [aguas poco profundas donde la longitud de onda de la perturbaci´ on


552

es grande frente a la profundidad del medio (véase 11.2.1)]. El n´ umero de Froude, en analog´ıa con el de Mach, define la existencia de dos reg´ımenes diferentes, subcr´ıtico y supercr´ıtico seg´ un que el n´ umero de Froude sea menor o mayor que la unidad. En régimen subcr´ıtico (F < 1), la velocidad de la corriente es menor que la de las ondas y cualquier perturbaci´ on peque˜ na se propaga aguas arriba y aguas abajo del punto donde se origin´ o. Por el contrario, si el régimen es supercr´ıtico (F > 1), la perturbaci´ on sólo puede propagarse aguas abajo del punto origen de la misma. Para canales no rectangulares, el n´ umero de Froude se define a partir de la profundidad media hidr´ aulica √ Hh , F = v/ gHh , donde Hh representa el cociente entre el área y la anchura de la superficie libre; de modo que los canales de sección no rectangular pueden tratarse como uno rectangular cuya profundidad es Hh . Nótese que para un canal de sección rectangular Hh = h. Teniendo en cuenta (17.186) y (17.194), la ecuación (17.191) para un canal rectangular, A = bh, con b = b(x) resulta (1 − F 2 )

dzs n2 Q2 dh =− − = So − Sf , 4/3 dx dx b2 h2 rh

con F2 =

Q2 b2 gh3

y

rh =

bh , b + 2h

(17.201)

(17.202)

donde So = −dzs /dx es la pendiente de la solera del canal y Sf representa el efecto de la fricción expresado en forma adimensional. La ecuación diferencial ordinaria, de primer orden, no lineal (17.201) junto con las expresiones algébricas (17.202) determinan la profundidad h(x) y el n´ umero de Froude (para caudal dado) si se imponen condiciones de contorno apropiadas. No obstante, antes de proceder a la integraci´ on numérica de la ecuación (17.201) es conveniente tener en cuenta los aspectos que a continuación se introducen. Si la pendiente de la solera So es constante, lo que sucede usualmente, la profundidad hu de la correspondiente corriente uniforme se obtiene fácilmente de igualar a cero el segundo miembro de (17.201), So − Sf = 0. Por otra parte, para un caudal dado, la profundidad cr´ıtica, aquella para la que el n´ umero de Froude es la unidad, se obtiene de (17.202) 2 1/3 Q hc = , (17.203) gb2 y la pendiente de la solera cr´ıtica Sc , o pendiente del canal para la que la profundidad uniforme hu coincide la cr´ıtica hc , es n2 Q2 . (17.204) Sc = 2 2 b hc [rh (hc )]4/3 Si la pendiente de la solera es menor que la cr´ıtica (So < Sc ), la profundidad de la corriente uniforme es mayor que la cr´ıtica (hu > hc ), la corriente es entonces subcr´ıtica (F < 1) y la pendiente de la solera se denomina suave. Por el contrario, la corriente uniforme ser´ a supercr´ıtica (F > 1), (hu < hc ), cuando So > Sc que corresponde al caso de los canales de solera denominada aguda. El caso intermedio de solera cr´ıtica y los de canales con solera horizontal o adversa So ≤ 0 se considerarán también en lo que sigue. Para el caso de solera suave, So < Sc , hu > hc , la evoluci´ on de la profundidad con x puede adoptar tres formas diferentes seg´ un que la condici´ on inicial h(xo ), desde donde se comienza la integraci´ on de (17.201), satisfaga la condici´ on h(xo ) > hu > hc , o cualquiera de las otras dos desigualdades siguientes hu > h(xo ) > hc o hu > hc > h(xo ). En el primer caso h(xo ) > hu > hc , la corriente es subcr´ıtica (F < 1), ya que h(xo ) > hc mientras que el segundo miembro de (17.201) es positivo (So > Sf ) por ser ho (x) > hu ; se tiene entonces dh/dx > 0 y la profundidad aumenta (y el n´ umero de Froude disminuye) aguas abajo del punto inicial, y tiende a una as´ıntota como se ve en la Figura 17.19a. Esta situación es la que bajo las condiciones indicadas se presenta,

553

17.6. Flujo turbulento en canales abiertos a) h( x0 ) > hu > hc

b) hu > h( x0 ) > hc

F<1

c) hu > hc> h( x0 ) F >1

F<1 h( x0 )

h( x0 ) dh/dx > 0

hc

hc

h( x0 )

Figura 17.19: Perfiles de profundidad en un canal de solera suave. por ejemplo, aguas abajo de una presa. Si hu > h(xo ) > hc , la corriente es también subcr´ıtica por ser h(xo ) > hc mientras que el segundo miembro es negativo So < Sf por ser h(xo ) < hu , as´ı que dh/dx < 0 y la profundidad disminuye aguas abajo, Figura 17.19b. N´ otese que F y, por tanto, dh/dx aumentan aguas abajo, de modo que dh/dx → ∞ cuando F → 1. Naturalmente, la solución descrita por (17.201) deja entonces de ser válida cuando dh/dx se hace del orden de la unidad. En esta situaci´ on, la hip´ otesis de flujo lentamente variable no puede ser aplicada, ya que las velocidades verticales se hacen del orden de las longitudinales y la aproximaci´ on hidrost´ atica para el cálculo de la presión no puede aplicarse. La evoluci´ on de la superficie libre experimenta entonces una transición rápida cuyo an´ alisis se pospone para más adelante. La evolución gradual descrita aqu´ı se presenta en una u otra de las dos situaciones siguientes: derrame libre, Figura 17.13b, o transici´ on de una solera de pendiente suave a aguda. Finalmente, si hu > hc > h(xo ), la corriente es supercr´ıtica, F > 1, por ser h(xo ) < hc y, como el segundo miembro de (17.201) es negativo, la profundidad h crece aguas abajo y el n´ umero de Froude decrece. Esta evolución deja de ser válida y se genera un salto hidr´ aulico, como el descrito en 12, donde se produce la transici´ on del régimen supercr´ıtico al subcr´ıtico, Figura 17.19c. a) hu < hc < h (x0)

b) hu < h (x0) < hc

c) h (x0) < hu < hc F>1

F>1

F<1

h (x0)

h (x0) hu

h (x0)

hu hu

Figura 17.20: Perfiles de profundidad en un canal de solera aguda. Tres son también los tipos de solución que pueden darse en canales con soleras de pendiente aguda So > Sc , hu < hc , seg´ un sea la profundidad h(xo ) del punto donde se inicia la integraci´ on en relación con las profundidades cr´ıtica y uniforme del canal. En efecto, si hu < hc < h(xo ), la corriente es subcr´ıtica y el segundo miembro de (17.201) es positivo So > Sf por ser ho > hu , de


554

modo que la profundidad crece aguas abajo, Figura 17.20a. Esta situaci´ on ocurre por ejemplo detr´ as del salto hidr´ aulico que se produce en un canal de solera aguda. Si hu < h(xo ) < hc , la corriente es supercr´ıtica, y el segundo miembro de (17.201) es positivo por ser h(xo ) > hu ; consecuentemente h disminuye con x, F aumenta, dh/dx → 0 y la profundidad tiende asint´ oticamente al valor de la uniforme, Figura 17.20b. Este tipo de evoluci´ on puede presentarse aguas abajo del ensanchamiento de un canal o aguas abajo de un canal de pendiente aguda cuando se incrementa su pendiente. Finalmente, si h(xo ) < hu < hc , el segundo miembro de (17.201) es negativo [hu > h(xo )], y dh/dx es positiva por ser la corriente supercr´ıtica y el perfil de la profundidad evoluciona asint´ oticamente hasta el valor de la profundidad uniforme. Este tipo de evoluci´ on puede ocurrir cuando existe un cambio en la pendiente de la solera, de aguda a suave, o aguas abajo de una compuerta un canal de solera aguda por la que fluye una corriente de profundidad menor que la uniforme, véase Figura 17.20c. En el caso de canales con solera cr´ıtica, So = Sc , hu = hc , el perfil de la superficie libre aumenta siempre aguas abajo, Figura 17.21. En efecto, si h(xo ) < hu = hc , la corriente es supercr´ıtica y el segundo miembro de (17.201) es negativo; se tiene, por tanto, dh/dx > 0 y por tanto aguas abajo h aumenta y el n´ umero de Froude disminuye, perfil a de la Figura 17.21. N´ otese que en este caso, dh/dx es finita cuando se alcanza h = hc = hu (F = 1) ya que también se anula el segundo miembro de (17.201). Del mismo modo, si h(xo ) > hu = hc , la corriente es subcr´ıtica y el valor del segundo miembro de (17.201) es positivo as´ı que aguas abajo h aumenta y el n´ umero de Froude disminuye, perfil b de la Figura 17.21. Conviene observar que también en este caso la pendiente es finita en el punto singular F = 1 y que por otra parte el perfil b tiende asint´ oticamente a dh/dx → 0. h(x0) > hc=hu

h(x0) < hc=hu (a)

S0=Sc

(b)

hu= hc

hu= hc

S0=Sc (b) (a)

Reservorio

Figura 17.21: Perfiles de profundidad en un canal de solera cr´ıtica. Se incluye el esquema de un caso práctico donde se presentan los perfiles del tipo a y b.

Finalmente, cuando la solera del canal es horizontal o adversa, So ≤ 0, el segundo miembro de (17.201) es siempre negativo y no puede existir flujo uniforme por ser dh/dx = 0. En este caso, si h(xo ) > hc , la corriente es subcr´ıtica y dh/dx es negativa; el n´ umero de Froude disminuye aguas abajo y la soluci´ on de flujo lentamente variable deja de ser v´ alida porque dh/dx → ∞ cuando F → 1. Esta evoluci´ on tiene lugar, por ejemplo, en un derrame libre al final de un canal, Figura 17. 22a. Por el contrario, si h(xo ) < hc la corriente es supercr´ıtica y dh/dx es positiva. El n´ umero de Froude disminuye aguas abajo y la aproximaci´ on de corriente lentamente variable deja de ser v´ alida. N´ otese que este perfil precede a un salto hidráulico, Figura 17.22b.

555

17.6. Flujo turbulento en canales abiertos b) h(x0) < hc

a) h(x0) > hc

hc

hc

Figura 17.22: Perfiles de profundidad en un canal de solera horizontal.

17.6.2.

Aplicaci´ on pr´ actica al c´ alculo del flujo detr´ as de una presa

Como ejercicio de aplicación de la teor´ıa de flujo lentamente variable en canales abiertos, considérese el caso de un canal de longitud L que conecta dos depósitos a diferentes alturas como se muestra en la Figura 17.23. Además de los parámetros del canal (pendiente de la solera, forma de la sección, coeficiente de Manning), el caudal Q que descarga a través del canal depende de las condiciones de contorno a la entrada y salida del canal, en principio la profundidad a la entrada h(0) = h1 y salida h(L) = h2 . Obsérvese que h2 ≤ h1 + So L. Naturalmente, en situaciones en las que el caudal es dato la profundidad del flujo a la entrada o a la salida es entonces desconocida. (a)

y (1) = 1 + SoL / h1 D

A y (0) = 1

C

x

B

S

0

y (1) = 1 E

c

L

(b) y(1) 1+SoL/h1 1 y(1) = yc

a Figura 17.23: Perfiles de altura en el flujo detr´ as de una presa.


556

Para la integraci´ on numérica de la ecuación (17.201) junto con las relaciones algébricas (17.202) es conveniente introducir las variables y par´ ametros adimensionales y=

h , h1

ξ=

x , L

α=

Q2 , b2 gh31

y

β=

n2 g 1/3

;

(17.205)

h1

si se supone que la anchura b del canal es mucho mayor que la profundidad h, rh h, la ecuación (17.201) se escribe en las nuevas variables So L βα α dy = − 10/3 . (17.206) 1− 3 y dξ h1 y La ecuación (17.206) debe integrarse sujeta a las condiciones de contorno y(0) = 1,

y(1) = h2 /h1 ;

(17.207)

obsérvese que para un canal especificado, el parámetro adimensional β es conocido mientras que α, es desconocido a priori, por serlo el caudal Q, y debe calcularse consistentemente de la resolución del problema. El caso más simple es el de corriente uniforme que corresponde al caso h2 = h1 ; en este caso dy/dξ = 0 y el perfil de la profundidad se representa en la Figura 17.23a por la l´ınea AB. El caudal adimensional para corriente uniforme es αu =

So L βh1

(17.208)

y su valor se representa en la Figura 17.23b. El n´ umero de Froude es también constante e independiente de ξ y su valor es F = α1/2 , de modo que la solera será subcr´ıtica si αu < 1 y supercr´ıtica en caso contrario. Para valores de y(1) mayores que la unidad, que corresponden a situaciones en que h2 > h1 y los datos del canal son tales que αu < 1, esto es, canal de solera subcr´ıtica, el caudal es menor que el correspondiente al de corriente uniforme y el perfil de la profundidad es tal que dy/dξ > 0. Para la integraci´ on de (17.207) es conveniente arrancar la integraci´ on desde ξ = 0 con la primera de las condiciones (17.207), y(0) = 1, escogiendo un valor arbitrario de α menor que αu . El valor escogido para α no será en general el apropiado para satisfacer la segunda de las condiciones en (17.207) y de la integraci´ on se obtendrá un valor de y(1) que será distinto del especificado h2 /h1 . Se barre entonces en el parámetro α hasta encontrar aquel para el que se satisface la condición y(1) = h2 /h1 . La solución se representa en la Figura 17.23a por la l´ınea AC. Obsérvese que cuando h2 = h1 + So L, el caudal es nulo α = 0 y la solución y = So Lξ/h1 se representa en la Figura 17.23a por la l´ınea de trazos AD. Si h2 < h1 , el valor del caudal adimensional α es mayor que αu (el de la corriente uniforme) y el perfil de la superficie libre tiene pendiente negativa dy/dξ < 0. Como en el caso anterior se inicia la integraci´ on desde ξ = 0 con y(0) = 1 escogiendo un valor arbitrario de α mayor que αu y barriendo en α hasta que el resultado de la integraci´ on satisfaga la segunda de las condiciones de contorno en (17.208). Es interesante se˜ nalar que existe un valor m´ aximo de α que se denomina αc (cr´ıtico) para el que la corriente a la salida del canal es cr´ıtica F 2 (1) = αc h2 3c /h31 = 1,

h2c = h1 /αc1/3 .

(17.209)

El perfil de la superficie libre se representa en este caso por la l´ınea AE. Nótese que la solución deja de ser válida en las proximidades de ξ = 1, donde dy/dξ se hace de orden unidad por ser F 1. Obsérvese, también, que para valores de h2 inferiores al cr´ıtico el perfil de la profundidad

557


en el canal sigue siendo el de la l´ınea AE, teniendo lugar un derrame libre a la salida del canal. El gasto adimensional es, en estos casos, el cr´ıtico (máximo gasto posible a través del canal), ya que por ser el flujo cr´ıtico a la salida del canal la informaci´ on de la altura h2 no puede propagarse aguas arriba, Figura 17.23b.

17.6.3.

Flujo r´ apidamente variable

La aproximaci´ on casi-unidireccional utilizada para la descripci´ on del flujo lentamente variable en canales deja de ser válida ante cambios bruscos en la geometr´ıa del canal o en el régimen de flujo. Ejemplos t´ıpicos del primer caso son el flujo sobre vertederos o el flujo en situaciones en las que la anchura del canal var´ıa apreciablemente en distancias relativamente cortas, mientras que el salto hidráulico lo es del segundo caso. En estas situaciones el perfil de la superficie libre var´ıa rápidamente aguas abajo (dh/dx ∼ 1), y la distribuci´ on de presiones se aparta considerablemente de la hidrost´ atica por lo que la aplicaci´ on de la ecuación (17.191) no es ya válida. Como se verá en lo que sigue, muchos problemas de flujos r´ apidamente variables pueden resolverse aproximadamente utilizando la ecuación de Euler-Bernouilli, que, como se sabe, es válida en situaciones, como ocurre en el flujo en canales abiertos, en las que se trata del flujo de un fluido barótropo a muy altos n´ umeros de Reynolds bajo la acción de fuerzas másicas que derivan de un potencial. Por otra parte, las pérdidas por fricci´ on en las capas l´ımites de la solera y paredes son peque˜ nas y pueden despreciarse frente a las existentes en otros tramos del canal, ya que la longitud de estas regiones donde el flujo var´ıa rápidamente es peque˜ na frente a aquellas donde se desarrollan flujos lentamente variables.

(a) h1

h2 v2

v1

Dzs

h

Dzs

(b)

(h1, v1) (h2, v2)

hc Hc

H

Figura 17.24: Flujo a través de un vertedero de pared gruesa y curva (h, H) a caudal constante. Considérese, para fijar ideas, un flujo que deja de ser uniforme por la presencia de una elevación en la solera del canal como se muestra en la Figura 17.24a. Aguas arriba, la profundidad de la corriente h1 y el caudal Q se suponen conocidos y el problema consiste en determinar la profundidad, h2 , aguas abajo, donde un flujo lentamente variable se desarrolla nuevamente.


558

A lo largo de cualquier l´ınea de corriente se satisface la ecuación de Euler-Bernouilli p vl2 + + gz = const, 2 ρ

(17.210)

donde vl y z son la proyección de la velocidad en la direcci´ on de la l´ınea de corriente y la altura en un punto genérico de la l´ınea de corriente. Si la ecuación (17.210) se eval´ ua a lo largo de la superficie libre, donde la presi´ on es la atmosférica, y en los puntos 1 y 2, donde, por ser la corriente horizontal y uniforme, la aproximaci´ on hidrost´ atica resulta válida, se tiene H1 =

v2 v12 + h1 = 2 + h2 + ∆zs = H2 + ∆zs , 2g 2g

(17.211)

aulica se donde H = v 2 /(2g) + h es una magnitud f´ısica con dimensiones de longitud que en Hidr´ denomina com´ unmente energ´ıa espec´ıfica, ∆zs es el incremento de altura de la solera y v1 y v2 son las velocidades del fluido en los puntos de la superficie 1 y 2, y que coinciden muy aproximadamente con la velocidad en cualquier punto de las secciones 1 y 2. La ecuación (17.211) junto con la de continuidad v1 h1 = v2 h2 = Q/b, (17.212) dan lugar a un sistema algébrico para determinar la profundidad h2 y la velocidad v2 como función de h1 , Q, y ∆zs . Es de interés hacer notar que el sistema (17.211)-(17.212) no tiene solución para cualesquiera triada de valores de las magnitudes h1 , Q y ∆zs . En efecto, fijados h1 y Q existe un valor de ∆zs , ∆zs c , que depende de h1 y Q, para el que la corriente en 2 se hace cr´ıtica; si se impone la condición de flujo cr´ıtico en (17.211), v2 c = (gh2 c )1/2 , dicho valor resulta ∆zs c

3h2 c v2 = H1 − h2 c − 2c = H1 − 2 2

con h2 c

Q2 = gb2

1/5 .

(17.213)

Para valores de ∆zs inferiores a ∆zs c existen dos soluciones reales de h2 y una imaginaria. De las dos ra´ıces reales una corresponde a un régimen subcr´ıtico h2 > h2 c y la otra a uno supercr´ıtico h2 > h2 c , ver Figura 17.24b. Naturalmente el valor que se presenta en la realidad es el correspondiente a la solución subcr´ıtica, ya que por ser ∆zs < ∆zs c el flujo no se hace cr´ıtico. Para valores de ∆zs superiores a ∆zs c no existen soluciones reales de h2 para los valores especificados de H1 y Q. Esto quiere decir que si bruscamente se elevase la solera del canal por encima del valor ∆zs c necesariamente pasar´ıa por la sección 2 un caudal Q menor que Q. Aguas arriba de la elevación de la solera se ir´ıa acumulando con el tiempo el volumen de agua correspondiente a la diferencia de caudales Q − Q con el consiguiente aumento de la profundidad h1 . Este proceso no estacionario finalizar´ıa cuando se alcanzase aguas arriba una altura h1 n tal que el caudal que atraviesa la sección 2 (sección que es siempre cr´ıtica) sea Q. El valor de la nueva altura es entonces h1n +

Q2 3 = h2nc + ∆zs , 2 2gb2 h1 n 2

(17.214)

con h2 nc dado por la segunda de las expresiones de (17.213). Medida de caudales con vertederos Como se ha visto anteriormente, cuando se alcanzan condiciones cr´ıticas debido a una obstrucción en la solera, la profundidad de la corriente aguas arriba de la obstrucci´ on es controlada por la elevación de la misma. Este hecho permite relacionar el caudal Q con la profundidad de la corriente aguas arriba, de modo que conocida ésta se puede determinar el caudal que circula por el canal.

559


v12 / (2g) hc H1

h1 Dz

Figura 17.25: Flujo a través de un vertedero de pared gruesa. Este tipo de obstrucciones en la solera se denominan vertederos y no son otra cosa que dispositivos elementales, pero muy efectivos, para la medida del caudal en canales. En la Figura 17.25 se esquematiza un vertedero del tipo denominado de pared gruesa para los que la corriente sobre ellos es esencialmente horizontal y la aproximación hidrost´ atica es válida. Esto se cumple en aquellos vertederos que satisfacen la relación 0,08 ≤ (H1 − ∆z)/L ≤ 0,50, ya que si la longitud L del vertedero es tan corta que (H1 − ∆z)/L ≥ 0,50 la curvatura de las l´ıneas de corriente es lo suficientemente pronunciada como para que la aproximaci´ on hidrost´ atica deje de ser válida mientras que si L es lo suficientemente grande para que (H1 − ∆z)/L ≤ 0,08, la fricción no puede ser entonces despreciada.9 El flujo aguas arriba del vertedero es subcr´ıtico, se acelera aguas abajo y se hace cr´ıtico en alg´ un punto sobre la cima del vertedero. El caudal es entonces Q = vc bhc = ghc bhc = bg 1/2 h3/2 (17.215) c . Suponiendo que son despreciables las pérdidas entre una sección 1 situada aguas arriba y aquella donde la corriente es ya cr´ıtica se tiene H1 = h 1 +

v2 3hc v12 = hc + c + ∆z = + ∆z, 2g 2g 2

(17.216)

siendo ∆z la altura del vertedero. En muchos casos pr´ acticos sucede que v12 /(2g) h1 , en cuyo caso de (17.215) y (17.216) se obtiene

3/2

3/2 2 2 bg 1/2 (h1 − ∆z) . (17.217) Q = bg 1/2 (H1 − ∆z) 3 3 En la práctica, la ecuación (17.217) se modifica incluyendo un coeficiente de descarga, Cd , para tener en cuenta las pérdidas de presión de remanso a través del vertedero debidas fundamentalmente a separación de la corriente, capas l´ımites, etc.;10 se tiene entonces

3/2 2 . (17.218) Q = Cd bg 1/2 (h1 − ∆z) 3 9 En Discharge Measurement Structures, Ed. M. G. Bos, International Institute for Land Reclamation and Improvement, Wagemingen, Pa´ıses Bajos, 1976. 10 Valores del coeficiente de descarga en vertederos de paredes gruesas y delgadas pueden encontrarse en manuales y libros de Hidr´ aulica. Ver entre otros, R. H. French, Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, 1985; A. Chadwick y J. Morfett, Hydraulics in Civil Engineering, Allen & Unwin, Londres, 1986.

560


Resulta interesante comparar la teor´ıa desarrollada aqu´ı con la relación para el flujo a través de un vertedero obtenida mediante argumentos dimensionales en 6.4.1.

Figura 17.26: Flujo a través de un vertedero de pared delgada. El an´ alisis de los vertederos denominados de pared delgada como el que se esquematiza en la Figura 17.26 es más complejo que el de pared gruesa debido a que sobre él no se desarrolla la corriente casi-unidireccional en condiciones muy pr´ oximas a la cr´ıtica que tiene lugar sobre la cima de los vertederos de pared gruesa. No cabe, por tanto, más que el recurso de la resolución numérica del flujo no viscoso (ecuaciones de Euler) bi o tridimensional a través del vertedero de pared delgada, o recurrir a la experimentaci´ on bajo la gu´ıa del análisis dimensional. Como se demuestra en 6.4.1, una relación del tipo de la de (17.218) es también válida para establecer la relación entre el caudal y la altura en vertederos de pared delgada.

Referencias y fuentes de lectura complementaria F. M. White, Mec´ anica de Fluidos, McGraw-Hill, 2004. J. Parmakian, Waterhammer analysis, Dover, Nueva York, 1963. E. B. Wylie y V. L. Streeter, Fluid Transient, McGraw-Hill, Nueva York, 1978. R. H. French, Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, 1985.

561

17.I. Flujo turbulento en canales. Coeficiente de Manning

´ APENDICE 17.I Coeficiente de Manning

Tipo de canal R´ıo (tramo recto) R´ıo (meandro) R´ıo (tramo recto) R´ıo (tramo sinuoso) Canal recto no revestido Canal recto no revestido Canal (tramo recto) revestido

Material de la superficie tierra tierra grava (75-150 mm) grava (75-150 mm) tierra roca cemento mortero perspex

n(sm−1/3 ) 0.02 - 0.025 0.03 - 0.05 0.03 - 0.04 0.04 - 0.08 0.018 - 0.025 0.025 - 0.045 0.012 - 0.017 0.011 - 0.013 0.009

Tabla 17.1. Valores t´ıpicos del coeficiente de Manning (véase nota 10 en la página 559).

Índice alfab´ etico aceleración material, 43 aguas someras, 317 analog´ıa de Reynolds, 402 aproximaci´ on de Oseen, 183

uniforme, 334 crisis de la resistencia, 380 densidad de acción de onda, 270 derivada sustancial, 43 descripción euleriana, 39 dipolo ac´ ustico, 255 discontinuidad ecuaciones de conservación, 302 en fluidos ideales, 301 tangencial, 303 distancia t´ıpica entre moléculas, 10 doblete, 336

cantidad adimensional, 112 dimensional, 112 capa dipolar, 256 l´ımite, 371 con simetr´ıa axial, 387 soluciones numéricas, 392 térmica, 399 carga de depósitos, 227 cavitación, 172 codos, 545 coeficiente de compresibilidad, 24 de expansión térmica, 24 de sustentación, 329 Coeficiente de Manning, 561 cojinete, 167 corto, 171 largo, 169 condici´ on de Kutta-Joukowski, 333 condiciones de Sommerfeld, 172 conducto capilar, 78 de sección lentamente variable, 151 cono de Mach, 309 constante de Boltzmann, 14 universal de los gases, 14 corriente alrededor de un cilindro circular, 338 de Couette, 127 de Couette compresible, 143 de Hagen-Poiseuille, 127 de Stokes, 134

ecuación de cantidad de movimiento, 85 de Euler-Bernoulli, 202 de la energ´ıa, 86 para el campo sonoro, 234 de la entrop´ıa, 106 de Laplace-Young, 75 de Orr-Sommerfeld, 440 de Poisson, 53 de Rayleigh, 441 de Reynolds, 164 de una superficie fluida, 43 ecuaciones de Euler, 197 forma semi-integral, 223 de la capa l´ımite, 372 de Navier-Stokes, 89 condiciones de contorno, 90 coordenadas esféricas, 99 en coordenadas cartesianas, 97 en coordenadas cil´ındricas, 98 forma integral, 91 para mezclas reactantes, 102 para un fluido incompresible, 89 de Stokes, 178 para flujos potenciales, 331 efecto Doppler, 253 562

Índice alfabético

563

electrospray, 75 energ´ıa interna, 13 libre de Helmholtz, 24 entalp´ıa, 24 entrop´ıa, 18 estabilidad de la capa l´ımite de Blasius, 447 de una capa de mezcla, 444 espacial, 442 hidrodin´ amica, 418 no viscosa, 441 expansión de Prandtl-Meyer, 312

Lagrangiana, descripci´ on, 39 Ley de Fick, 33 de Fourier, 31 de Stokes, 181 l´ınea de corriente, 41 de curvatura media, 349 fluida, 40 sustentadora, 360 l´ıquido perfecto, 27 longitud capilar, 77 lubricación fluidomecánica, 159

flujos newtonianos, 63 potenciales alrededor de cu˜ nas, 340 axilsimétricos, 342 método numéricos en, 365 no estacionarios, 343 fórmula de Green, 365 de Kutta, 345 fuerza de interacción molecular, 9 de Lorentz, 58 resultante sobre un volumen, 57 funci´ on de corriente, 50 de corriente de Stokes, 51 de Prandtl-Meyer, 315 trayectoria, 39 funci´ on de estado, 23

magnitud de remanso, 203 manantial, 335 método de Glauert, 355 de las perturbaciones, 149 de los paneles, 367 mezcla de gases perfectos, 27 monopolos, 248 movimiento a través de medios porosos, 190 alrededor de un cilindro circular, 185 alrededor de una esfera, 181 axilsimétrico, 40 bidimensional de l´ıquidos ideales, 334 casi-estacionario de gases en conductos, 530 de l´ıquidos en conductos, 517 casi-unidireccional, 151 de fluidos ideales, 214 de gases a bajos n´ umeros de Mach, 532 en conducto de l´ıquidos ideales, 215 estacionario, 39 alrededor de un obst´ aculo, 116 homentr´ opico, 201 insentr´ opico, 201 no-estacionario de l´ıquidos en conductos, 519 plano, 40 unidireccional de un gas, 293 de un l´ıquido, 125 uniforme, 40

gas perfecto, 26 gasto a través de un vertedero, 114 geometr´ıa fuselada, 327 hipótesis de Kutta-Joukowski, 347 inestabilidad centr´ıfuga, 424, 432 de Kelvin-Helmholtz, 419 térmica, 449 intensidad direccional, 250 interfase de dos fluidos, 71 de dos fluidos no miscibles, 73 invariante adiab´ atico, 270

n´ umero de Bond, 77 de Euler, 121

Índice alfabético

564 de de de de de de

Froude, 122 Knudsen, 25 Mach, 121 Peclet, 123 Prandtl, 35 Rayleigh cr´ıtico, 454 de Reynolds, 122 grande, 195 peque˜ no, 177 de Strouhal, 121

ondas de choque estructura, 413 normales, 307 oblicuas, 309 de expansión, 312 de Mach, 309 dispersivas, 265 esféricas, 245 homogéneas, 240 inhomogéneas, 240 lineales en corriente uniforme, 275 en l´ıquidos con superficie libre, 272 monocromáticas, 238 no lineales, 293 planas, 236 sonoras, 231 reflexi´ on, 240 transmisión, 240 ondas generadas por un obst´ aculo, 284 pérdida de carga, 541 par´ ametro de Squire, 392 paradoja de Stokes, 185 part´ıcula fluida, 41 polar de un perfil, 350 potencial de Lennard-Jones, 9 de velocidades, 210 presi´ on, 16 principio de conservación de la masa, 84 de equipartici´ on de la energ´ıa, 15 principio de Arqu´ımedes, 68 problema de Bénard, 449 de espesor, 352

de Rayleigh, 130 sustentador, 354 punto de remanso, 41 material, 39 relación de Hugoniot, 305 relacion de dispersión, 240 resalto hidr´ aulico, 320 resistencia de forma, 330 de fricción, 330 rotura de un chorro capilar, 424 semejanza f´ısica, 119 silenciador, 243 solución de Reynolds, 172 estable, 417 soluciones de semejanza, 148 de Falkner-Skan, 382 en convección forzada, 407 sumidero, 335 tensión superficial, 71 tensor de esfuerzos, 58 de Levi-Civita, 47 de rotación, 47 de velocidades de deformación, 46 Teorema Π, 112 de Bjerkness-Kelvin, 208 de Schwarz, 50 del transporte de Reynolds, 44 torbellino, 335 bidimensional, 141 transformaci´ on de Mangler, 388 reversible, 23 transporte coeficientes de, 34 convectivo, 35 difusivo, 29 trayectoria de los puntos materiales, 40 traza, 42 tubos de longitud finita, 155 de vorticidad, 206 turbulencia

Índice alfabético en canales abiertos, 547 en conductos y canales, 511 velocidad de dilatación c´ ubica unitaria, 50 de dilatación lineal unitaria, 48 de propagación del sonido, 24 de sedimentación, 188 media de un conjunto, 8 viscosidad, 34 cinemática, 35 efecto en ondas sonoras, 263 vórtice, 211 de Taylor, 432 rotura de, 392 viscoso, 389 vorticidad, 47, 205 distribuci´ on de, 52 zona de Fraunhofer, 250

565

En este libro se describen en profundidad, con un punto de vista unificado y auto–contenido que parte de primeros principios, los fenómenos físicos relevantes en el movimiento de los fluidos y su cuantificación matemática que dan lugar a las ecuaciones generales que gobiernan los movimientos fluidos. Con el enfoque adoptado en este libro se pretende proporcionar al lector una exposición ordenada, rigurosa, extensa y profunda, de los fundamentos de la Mecánica de Fluidos que, una vez desarrollado el modelo teórico general, permita al lector abordar gradualmente el estudio de las aplicaciones prácticas más relevantes de la Mecánica de Fluidos. Desde el punto de vista didáctico, las ventajas de este método son patentes si se tiene en cuenta la complejidad de los procesos fluidodinámicos reales, cuyo tratamiento requiere un amplio conocimiento y una comprensión profunda de los problemas fisico–matemáticos involucrados en el fenómeno considerado. Sólo dicho conocimiento permitirá estimar cuantitativamente la importancia relativa de los diferentes efectos involucrados en el fenómeno y llevar a cabo simplificaciones, siempre necesarias en la Mecánica de Fluidos, que proporcionen soluciones aproximadas, analíticas, numéricas o experimentales, al problema considerado que sean de interés práctico.

www.mcgraw-hill.es

Fundamentos y Aplicaciones de La Mecánica de Fluidos

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