Función de Airy
La función de Airy Ai(x ) is una función especial, llamada así por el astrónomo británico George Biddell Airy. La función Ai(x ) y la función relacionada Bi( x ), ), también llamada a veces función de Airy, son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria:
Esta ecuación diferencial recibe el nombre de ecuación de Airy o ecuación de Stokes. Es la ecuación diferencial lineal de segundo orden más simple que posee un punto donde la solución pasa de tener un comportamiento oscilatorio a un decrecimiento exponencial. Además la función de Airy es una solución a la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada dentro de un pozo potencial triangular y también la solución s olución para el movimiento unidimensional de una partícula cuántica afectada por una fuerza constante. ECUACIÓN de airy y’’ = ty t Î R
Para esta ecuación el origen es un punto ordinario, ensayemos una solución analítica.
Sustituyendo en la ecuación dada
e identificando coeficientes a2 = 0 (n + 2)(n + 1)an+2 = an-1 n Î N por consiguiente la solución depende de dos parámetros
por tanto y(t)= a0y1(1) + a1y2(1)
donde y1(t), y2(t) son funciones analíticas definidas por toda T Î R linealmente independiente, dadas mediante
Operador diferencial Suponga que D denota la derivación con respecto de x, D2 la derivación doble con respecto de x, y así sucesivamente; es, para cualquier entero positivo k,
La expresión: A = a0Dn + a1Dn-1 + … + an -1D + an (1) Se llama operador diferencial de orden n. Puede definirse como el operador tal que, cuando se aplica a cualquier función y, produce: (2) Los coeficientes a0, a1, …, en el operador A pueden ser funciones de x, pero la mayor parte de los operadores utilizados tendrá coeficientes constantes. Dos Operadores A y B son iguales, sí y solo si, se obtiene el mismo resultado cuando se aplica cada operador a la función y. Esto es A = B si, y sólo si, Ay = By para todas las funciones y que tengan las derivadas necesarias para las operaciones implicadas. El producto AB de los operadores A y B se define como el operador que produce el mismo resultado obtenido al usar el operador B seguido por el operador A. Así ABy = A(By). El producto de dos operadores diferenciales siempre existe y es un operador diferencial. Para operadores con coeficientes constantes, pero por lo regular no para aquellos con coeficientes variables, se comple que AB –BA. Sean A = D +2 y B = 3D -1. Entonces,
De aquí que AB = (D + 2)(3D – 1) = 3D2 + 5D – 2 Ahora considere el operador BA. Al Actuar este operador sobre y se obtiene,
Ejemplo Sean G = xD + 2 y H = D -1 . Entonces,
por otra parte,
esto es, HG = xD2 + (3 – x) D – 2. Es importante hacer notar que aquí tenemos dos operadores G y H (uno de ellos con coeficientes variables) cuyo producto depende del orden de los factores. La suma de dos operadores diferenciales se obtiene expresando cada uno en la forma: a0Dn + a1Dn-1 + … + an -1D + an y sumando los coeficientes correspondientes. Por ejemplo, si: A = 3D2 – D + x – 2 Y B = x2D2 + 4 D +7, Entonces, A + B = (3 + x2) D2 + 3D + x +5. Los operadores diferenciales son operadores linéales; esto es, si A es cualquier operador diferencial, c1 y c2 son constantes y f1 y f2 son cualesquiera deos funciones de x con el número requerido de derivadas cada una, entonces: A(c1f1 + c2f2) = c1Af1 + c2Af2 Leyes fundamentales de operación Sean A, B y C operadores diferenciales cualesquiera como se definió anteriormente. A partir de las definiciones anteriores de suma y multiplicación, se deduce que los operadores diferenciales satisfaces lo siguiente: Ley Conmutativa de la suma: A + B = B + A Ley Asociativa de la suma: (A + B) + C = A + (B + C) Ley Asociativa de la multiplicación: (AB)C = A(BC) Ley distributiva de la multiplicación respecto a ala suma: A(B + C) = AB +AC. Si A y B son operadores con coeficientes constantes, entonces también sastiface la ley conmutativa de la multiplicación.
AB = BA Por lo tanto, podemos afirmar que los operadores diferenciales con coeficientes constantes satisfacen todas las leyes del álgenbra de polinomios con respecto de las operaciones de suma y multiplicación. Si m y n son enteros positivos cualesquiera, tenemos que DmDn = Dm+n, Un resultado muy útil que surge de inmediato de las definiciones anteriores. Ya que para propósitos de suma y multiplicaciones, los operadores con coeficientes constantes se comportan igual que los polinomios algebraicos, es válido utilizar en esos casos las herramientas del álgebra elemental. En particular, se puede emplear la división sintética para factorizar operadores con coeficientes constantes.
FUENTES BIBLIOGRÁFICAS: http://www.monografias.com/trabajos11/ecudife/ecudife.shtml http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Airy
