FLUJO EN TUBERÍAS CAPITULO 8
FLUJO SOMETIDO A PRESIÓN Equilibrio de fuerzas:
∑F
x
= 0;
Fx − Fx+dx + Fτ − Fτ +dr = 0
A f ⋅ Px − A f ⋅ Px+dx + Al ⋅ τ r − Al ⋅ τ r+dr = 0 A f ( Px − Px+dx ) + Al (τ r − τ r+dr ) = 0
2π rdr ( Px − Px+dx ) + 2π rdx (τ r − τ r+dr ) = 0 ! 1 $ # &()2π rdr ( Px+dx − Px ) + 2π rdx (τ r+dr − τ r )*+ = 0 " 2π drdx %
Af 2π r
dr
Al 2π r
dx
r
Px+dx − Px rτ r+dr − rτ r + =0 dx dr
P − P dP si lim x+dx x = dx→0 dx dx
y
rτ r+dr − rτ r d ( rτ r ) lim = dr→0 dr dr
Diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de fluido con forma de anillo de radio r y grosor dr y longitud dx, orientado coaxialmente con una tubería horizontal en flujo laminar totalmente desarrollado.
reemplazando queda:
r
dP d ( rτ ) + =0 dx dr
→
si τ =-µ
! ! du $ $ µ d #r & & ! 1 $# dP " dr % & ! 1 $ # + = 0# & # & r " r %# dx dr & "r% # & " % Sí
dP = g(x) dx
y
du dr
→
µ d ! du $ # r & = f (r) r dr " dr %
→
( " du %+ d *r $ -µ 'dP ) # dr &, r + =0 dx dr
dP µ d ! du $ − #r & = 0 dx r dr " dr %
dP µ d ! du $ → = #r & dx r dr " dr %
→ g(x) = f (r)
f (r) = g(x) solo pueden ser iguales si cada una de las funciones es igual a una misma constante
Integrando dos veces se llega a: r 2 " ∂P % u(r) = $ ' + C1 ln r + C2 4µ # ∂x & Donde
∂P es el gradiente de presión. ∂x
2 R 2 # ∂P &) # r & , u(r) = − % (+1− % ( . 4µ $ ∂x '+* $ R ' .-
u(r) = −
1 # ∂P &) 2 2 , % (* R − r 4µ $ ∂x '
u(r): perfil de velocidad
π R2
Equilibrio de fuerza:
FP − FP+dP − Fτ w = 0 Al 2π R
dx
PP ⋅ AP − PP+dP ⋅ Ap − τ w ⋅ Aτ w = 0 Ap ( PP − PP+dP ) ⋅ −τ w ⋅ Aτ w = 0
π R 2 ( PP − PP+dP ) − τ w ⋅ 2π Rdx = 0 R ( PP+dP − PP ) + τ w ⋅ 2dx = 0
( PP+dP − PP ) = − 2τ w dx
DCL de un elemento de fluido en forma de disco con radio R y longitud dx en el flujo laminar totalmente desarrollado en una tubería horizontal.
R
dP 2τ = − w (cte) dx R
FLUJOS LAMINAR O TURBULENTO
C o m p o r t a m i e n t o d e u n colorante inyectado en un flujo laminar y turbulento en una tubería.
NUMERO DE REYNOLDS Re =
0
Fuerzas inerciales Vprom D ρVprom D = = Fuerzas viscosas ν µ ≤ Re
≤
2300
flujo laminar
2300 ≤ Re ≤
4000
flujo transicional
4000
flujo turbulento
Re
≥
Diámetro hidráulico:
Dh =
4Ac p
PERFIL DE VELOCIDADES VS. REYNOLDS
VELOCIDAD PROMEDIO
u(r): perfil de velocidad
m! = ρV! = ρVprom Ac =
∫ ρu(r)dA
c
Ac
∫ ρu(r)dA
c
Vprom =
Ac
ρ Ac
∫ =
R 0
ρu(r)2π r dr ρπ R 2
2 = 2 R
∫
R 0
u(r)r dr
FLUJO LAMINAR
Perfil de velocidad:
( " r %2 + u(r) = 2V *1− $ ' *) # R & -,
Velocidad máxima:
U max = 2V
VMAX Vs. VPROM PARA FLUJO LAMINAR ! ! ∀ = ∫ V ⋅ dA = •
A
∫
R 0
u(r)⋅ 2π r dr
Integrando: R
π # ∂P &) 2 r 2 r 4 , ! V = − % (+ R − . 2µ $ ∂x '* 2 4 -0
Reemplazando el perfil de velocidades: 2 • • ! ! R π $ ∂P '* 2 R 2 R 4 R 2 % ∂P (+ % r ( . − / ∀ = ∫ V ⋅ dA = ∫ − ' *-1− ' * 0 2π r dr ∀ = − & ), R 0 % ( 2 µ ∂x 2 4. 4µ & ∂x )-, & R ) 0/ + A •
∀=
•
∀=
∫
R 0
∫
R $ ∂P '* R − r − & ), 4µ % ∂x (+ R 2
R 0
2
−
2
2
/ 2π r dr .
1 $ ∂P '* 2 2 , & )+ R − r - π r dr 2µ % ∂x (
π $ ∂P ' R * 2 ∀ = − & ) ∫ + R r − r 3 ,- dr 2µ % ∂x ( 0 •
π $ ∂P '* R 4 R 4 ∀ = − & ), − / 2µ % ∂x (+ 2 4. • π $ ∂P '* R 4 ∀ = − & ), / 2µ % ∂x (+ 4 . •
π R 4 $ ∂P ' ∀=− & ) 8µ % ∂x ( •
π R 4 $ ∂P ' ! − 8µ &% ∂x )( ∀ V= = A π R2
R 2 # ∂P & V =− % ( 8µ $ ∂x '
el punto de U max cuando U ' (r) = 0 2 R 2 # ∂P &) # r & , u(r) = − % (+1− % ( . 4µ $ ∂x '+* $ R ' .-
→
el punto de U max si r = 0 →
du 2r # ∂P & 1 # ∂P & =− % (= % (r = 0 dr 4µ $ ∂x ' 2µ $ ∂x ' 2 R 2 $ ∂P '* $ 0 ' R 2 $ ∂P ' umax = − & ),1− & ) / = − & ) 4µ % ∂x (,+ % R ( /. 4µ % ∂x (
se comprueba entonces que para flujo laminar totalmente desarrollado la
R 2 # ∂P & umax = − % ( 4µ $ ∂x ' R 2 # ∂P & En consecuencia, si umax = − % ( 4µ $ ∂x '
U max = 2V
R 2 # ∂P & V =− % ( 8µ $ ∂x ' * # r &2 * # r &2 → u(r) = U max ,1− % ( / ó u(r) = 2V ,1− % ( / ,+ $ R ' /. ,+ $ R ' /.
FLUJO TURBULENTO
Perfil de velocidad: U ( r ) = V "#1+1, 43 f + 2,15 f log (1− r / ro )
%$Velocidad máxima:
(
U max = V 1+1, 43 f
)
CAPA LÍMITE DE VELOCIDAD Totalmente desarrollado hidrodinámicamente:
∂u(r, x) =0 ∂x
→
u = u(r)
LONGITUD DE ENTRADA Lh,
la min ar
D
= 0, 05Re
Lh,turbulento = 1, 359D Re1/4 D
Lh,turbulento ≅ 10 D
CAÍDA DE PRESIÓN Sí la velocidad promedio para el flujo laminar es: R 2 " dP % R 2 P2 − P1 V =− $ '=− 8µ # dx & 8µ L 8µVL Entonces, P2 − P1 = − 2 R 8µVL
ΔP = P1 − P2 =
( D / 2)
2
=
32µVL 2 ρV . D 2 2 ρV
64µ ρ L V 2 64ν L ρV 2 64 L ρV 2 = . = . = . VDρ D 2 VD D 2 Re D 2 L ρV 2 =f D 2
L ρV 2 ΔPL = f D 2 Donde:
Pérdida de carga: 2
hL =
ΔPL = ρg
f
L ρV 2 D 2 =f LV ρg D 2g
f=
8τ w : es el factor de fricción de Darcy-Weisbach 2 ρVprom
2 ρ Vprom / 2 : es la presión dinámica
FACTOR DE FRICCIÓN EN EL FLUJO LAMINAR PARA TUBERÍAS CIRCULARES Flujo laminar en tubería circular: f =
64 Re
igualando la caida de presión y la pérdida de carga ΔP = ΔPL
32µ LV D2 f=
64µ DV ρ
=
L ρV 2 = f D 2 64 64 64 = = DV ν VD Re ν
;
µ=
ρ ν
FACTOR DE FRICCIÓN PARA FLUJO LAMINAR TOTALMENTE DESARROLLADO
El número de Reynolds para el flujo en estas tuberías se b a s a e n e l d i á m e t r o hidráulico Dh 4Ac p Ac : área de la sección
Dh =
transversal de la tubería p : perímetro mojado
EFECTO DE LA GRAVEDAD SOBRE LA VELOCIDAD Y EL CAUDAL EN FLUJO LAMINAR Wx = Wsenθ = ρ g∀senθ = ρ g(2π rdrdx)senθ Equilibrio de fuerzas:
Fx − Fx+dx + Fτ − Fτ +dτ − Wx = 0
A f ⋅ Px − A f ⋅ Px+dx + Al ⋅ τ r − Al ⋅ τ r+dr − Wx = 0 2π rdrPx − 2π rdrPx+dx + 2π rdxτ r − 2π rdxτ r+dr − ρ g(2π rdrdx)senθ = 0
que resulta en la ecuación diferencial: µ d ! du $ dP + ρ gsenθ #r & = r dr " dr % dx
Af
dr
2π r
resolviendo el perfil de velocidad es: $! r 2 $ R 2 ! dP u (r ) = − # + ρ gsenθ − 2 & " %" R % 4µ dx
Af 2π r
!ascendente θ > 0 y senθ > 0 flujo inclinado " #descendente θ < 0 y senθ < 0
dx
velocidad promedio: Vprom
ΔP − ρ gLsenθ ) D 2 ( = 32µ L
Flujo volumétrico: 4 ΔP − ρ gLsen θ π D ( ) ! V=
128µ L
EJEMPLO Se \ene agua a 40oF que fluye de manera estacionaria a través de una tubería horizontal de 0.12in (0.010b) de diámetro y 30b de largo con una velocidad promedio de 3.0b/s. Determine a) la pérdida de carga. b) la caída de presión y c) la necesidad de potencia de bombeo para superar esta caída de presión. ρ = 62.42lbm / ft 3 y µ = 1.038 ×10−3 lbm / ft ⋅ s Régimen de flujo: 3 ρVprom D ( 62.42lbm / ft ) (3 ft / s) ( 0.01 ft ) Re = = = 1803 < 2300 µ 1.038 ×10 −3 lbm / ft ⋅ s
Factor de fricción: 64 64 f= = = 0.0355 Re 1803
Pérdida de carga: 2
2 L Vprom 30 ft (3 ft / s) = 14.9 ft hL = f = 0.0355 D 2g 0.01 ft 2 (32.2 ft / s 2 )
Caída de presión: 2
3 2 " 1 ft 2 % % L ρVprom 30 ft ( 62.42lbm / ft ) (3 ft / s ) " 1lbf 2 ΔP = ΔPL = f = 0.0355 = 929lbf / ft $ = 6.45psi $ 2' 2' D 2 0.01 ft 2 # 32.2lbm ⋅ ft / s & # 144in &
El#flujo#volumétrico#y#la#potencia#de#bombeo#necesaria#son: V! = Vprom Ac = 3 ft / s π (0.01 ft )2 / 4 = 0.000236 ft 3 / s
(
)(
)
" % 1HP −4 ! ! ΔP= 0.000236 ft 3 / s 929lbf / ft 2 $ W = V ' = 3,81 × 10 HP bomba 550lbf ⋅ ft / s # &
(
)(
)
EJEMPLO Considere el flujo totalmente desarrollado de glicerina a 40oC en un tubo horizontal de sección circular de 70m de longitud y 4cm de diámetro. Si la velocidad del flujo en el eje central de la tubería se mide como 6m/s, determine el perfil de velocidades y la diferencia de presión a lo largo de esta sección de 70m de longitud del tubo, y la potencia ú\l de bombeo necesaria para mantener este flujo. Para el mismo aporte de potencia ú\l de bombeo, determine el aumento porcentual de caudal si el tubo está inclinado 15º hacia abajo, y la disminución porcentual si está inclinado 15o hacía arriba. La bomba está ubicada fuera de esta sección del tubo. ρ =1252kg/m 3 y µ = 0.3073 kg/m ⋅ s El perfil de velocidades: " r2 % " % r2 u ( r ) = umáx $1− 2 ' = 6m / s $1− = 6 (1− 2500r 2 ) 2' # R & # (0.02m) &
Velocidad promedio: umáx = 2Vprom
→
Vprom =
umáx 6m / s = = 3m / s 2 2
! π D2 $ ! π (0.04m)2 $ −3 3 ! V=Vprom Ac = V # & = 3m / s # & = 3.77 ×10 m / s 4 " 4 % " % 3 ρVD (1252kg / m ) (3m / s) ( 0, 04m) Re = = = 488.9 < 2300 µ 0.3073kg / m ⋅ s
f=
64 64 = = 0.1309 Re 488.9 2
L V2 70m (3m / s) = 105.1m hL = f = 0.1309 D 2g 0.04m 2 ( 9.81m / s 2 ) 0
0
P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + htubería → ρg 2g ρg 2g útil entregada P1 P + z1 = 2 + z2 + htubería ρg ρg
Ecuación de energía
ΔP = P1 − P2 = ρ g ( z2 − z1 + htubería )
" % 1kPa ΔP = P1 − P2 = ρ g ( z2 − z1 + htubería ) = (1252kg / m 3 ) ( 9.81m / s 2 ) ( 0 +105.1m ) $ = 1291kPa 2' 1000kg / m ⋅ s # &
" 1kW % −3 3 ! W! bomba,L = VΔP = 3.77 ×10 m / s 1291kPa $ ' = 4.87kW ( ) ( ) L # kPa ⋅ m 3 / s &
La diferencia de elevación y la diferencia de presión para un tubo inclinado 15o hacia arriba: Δz = z2 − z1 = L ⋅ sen15o = ( 70m ) sen15o = 18.1m
70m
ΔPhacia%arriba = ρ g ( Δz + htubería ) " % 1kPa !!!!!!!!!!!!!!! = 1252kg / m3 9.81m / s 2 18.1m + 105.1m $ ' = 1514&kPa 2 # 1000kg / m ⋅ s &
(
)(
)(
)
W! 4.87kW # 1kPa ⋅ m3 / s & W! bomba,L = V! ΔPL !!! → !!!!!!!! = V! = bomba,L !=! ! %% (( =!!!3.22 × 10−3m3 / s ΔPL 1514kPa $ 1kW '
#
3
Disminución del caudal: % = %%1 − 3.77 × 10−3 m3 / 3.22 × 10 m / −3
$
s& (( * 100% = 17,0&% s'
La diferencia de elevación y la diferencia de presión para un tubo inclinado 15o hacia abajo: Δz = z2 − z1 = L ⋅ sen15o = ( 70m ) sen(−15o ) = −18.1m
70m
ΔPhacia arriba = ρ g ( Δz + htubería ) " % 1kPa = (1252kg / m 3 ) ( 9.81m / s 2 ) (−18.1m +105.1m ) $ = 1068.5kPa 2' # 1000kg / m ⋅ s &
! W! bomba,L = VΔP L
→
W! bomba,L 4.87kW ! =V = = ΔPL 1068.5kPa
# 1kPa ⋅ m 3 / s & −3 3 % ( = 4.56 ×10 m / s $ 1kW '
# 3.77 ×10 −3 m 3 / s & Disminución del caudal: % = %1− ( *100% = 17.3% −3 3 $ 4.56 ×10 m / s '
PÉRDIDA DE CARGA 2
L Vprom Pérdida de carga: hL = f D 2g ΔP = ρ gh (hidrostática)
h=
2
ΔPL ρg
L ρVprom f h= D 2 ρg ! ! ! Pot necesaria: W! bomba,L = VΔP L = V ρ ghL = mghL
Vprom en tubería horizontal: Vprom ΔP = P1 − P2 = Vprom
8µ LVprom 32µ vL = 2 R D2 2
P2 ) R 2 ( P1 − P2 ) ( D / 2 ) ( P1 − P2 ) D 2 = = 8µ L 8µ L 32µ L
P1 − ( =
! V=V prom Ac
P2 ) R 2 ( P1 − P2 ) D 2 = 8µ L 32µ L
(P − = 1
P2 ) R 2 P1 − P2 ) π R 4 ΔPπ D 4 ( 2 πR = = (ley de Poiseuille) 8µ L 8µ L 128µ L
(P − = 1
FACTOR DE FRICCIÓN PARA FLUJO TURBULENTO EN TUBERÍAS ε / D : rugosidad relativa
Factor de friccción ( Ecuación de Colebrook → flujo turbulento) : # ε / D 2.51 1 = −2.0 log %% + f $ 3.7 Re f
& (( (1939) '
El perfil de velocidad en flujo totalmente desarrollado en una tubería circular es parabólico en el flujo laminar, pero es mucho más plano en el flujo turbulento.
La gráfica de esta fórmula se conoce como el diagrama de Moody.
Factor de fricción ( Ecuación de Haaland ) : (flujo turbulento) " 6.9 " ε / D %1.11 % 1 = −1.8log $$ +$ ' '' f # Re # 3.7 & &
(1983)
DIAGRAMA DE MOODY Y LA ECUACIÓN DE COLEBROOK ! ε / D 2.51 1 = −2.0 log ## + 3.7 f Re f "
$ && %
RELACIONES ε/D
Para una tubería lisa, el factor de fricción es mínimo, pero aumenta con la rugosidad
VALORES DE RUGOCIDAD PARA TUBERÍAS COMERCIALES
TIPOS DE PROBLEMAS DE FLUJO DE FLUIDOS
Relaciones explicitas de Swamee y Jain:(1976) −2
1)
0.9 ! ν D $ *1/ V! 2 L -/ ' ε hL = 1.07 5 . ln ) + 4.62 # & ,2 " V! % ,+/3 gD /0 )( 3.7D
2)
0.5 0.5 ( " 3.17ν 2 L % + " gD 5hL % ε V! = −0.965$ +$ ' ' ln * 3 L 3.7D gD h * # & # L & ) ,
-/10 −6 < ε D < 10 −2 . /03000 < Re < 3×108
0.04
3)
4.75 ' 2$ ! ! ! L $ * L V 1.25 9.4 D = 0.66 )ε # & + ν V! # & 5.2, )( " ghL % " ghL % ,+
Re >
2000
/110 −6 < ε D < 10 −2 0 125000 < Re < 3×108
ECUACIÓN DE PÉRDIDA DE CARGA D −W : H=KLQn 2
L Vprom hf = f D 2g hf = f
L (Q / A ) D 2g
2
2
hf = f
L Q D 2gA 2
L Q2 hf = f D 2g (π D 2 / 4)2 L 16Q 2 hf = f D 2gπ 2 D 4 8f 8f h f = 2 5 LQ 2 ; K= 2 5 gπ D gπ D h f = KLQ 2 hf h = KQ 2 ; H = f L L H = KQ 2 (Darcy-Wesibach)
H −W : Q = 0, 2785CD 2,63 J 0,54 J 0,54 =
Q 0, 2785CD 2,63
" % Q J =$ ' # 0, 2785CD 2,63 &
1 0,54
1
1
1 " % 0,54 0,54 " % 0,54 1 1 J =$ ' Q ; K= $ ' # 0, 2785CD 2,63 & # 0, 2785CD 2,63 & H J = KQ1,85 ; J= ; L H = KQ1,85 ; L H=KLQ1,85 ; (Hazen-Williams)
EJEMPLO
Determinación de la pérdida de carga de un ducto. Se \ene agua a 60oF que fluye de manera estacionaria en una tubería horizontal de 2in de diámetro hecha de acero inoxidable, a una razón de 0.2b3/s. Determine la caída de presión, la pérdida de carga y la potencia de bombeo necesaria para mantener el flujo en un tramo de tubería de 200b de largo. ρ = 62.36lbm / ft 3 y µ = 7.53×10−4 lbm / ft ⋅ s ν =1,2075 ×10−5 ft 2 / s Velocidad promedio: V! V! 4 * 0.2 ft 3 / s V= = = = 9.17 ft / s 2 Ac π D 2 / 4 ! 1 ft $ π # 2in * & " 12in % Número de Reynolds: 3
Re =
ρVD = µ
!
$
1 ft & (62.36lbm / ft ) (9.17 ft / s) #" 2in * 12in % 7.536 ×10 −4 lbm / ft ⋅ s
= 126400 > 4000
Rugosidad relativa: ε = 0.000007 ft = 0.000042 D (2 /12 ft )
Factor de fricción: (Calculado mediante un esquema iterativo) " ε / D 2.51 % " 0.000042 1 1 2.51 = −2.0 log $$ + = −2.0 log $$ + '' → f f 126400 f # 3.7 Re f & # 3.7
Hoja de cálculo para determinar el factor de fricción de una tubería con un diámetro dado.
% '' → f = 0.0174 &
La caída de presión: 2
3 2% " % L ρV 2 200 ft ( 62.36lbm / ft ) ( 9.17 ft / s ) " 1lbf 2 144in ΔP=ΔPL = f = 0.0174 = 1700lbf / ft $ = 11.8psi $ 2' 2 ' D 2 2 # 32.2lbm ⋅ ft / s & # 1 ft & (2 /12 ft )
La pérdida de carga: 2
ΔPL L V2 200 ft ( 9.17 ft / s ) hL = =f = 0.0174 = 27.3 f ρg D 2g 2 /12 ft 32.2 ft / s 2
La potencia de la bomba: " % 1W 3 2 ! ! W ' = 461W bomba =VΔP= ( 0.2 ft / s ) (1700lbf / ft ) $ # 0.737lbf ⋅ ft / s &
EJEMPLO
Determinación del diámetro de una tubería (Diseño) Se debe hacer fluir el aire caliente a 1atm y 35oC en un ducto circular de plás\co de 150m de largo, a una razón de 0.35m3/s. Si la pérdida de carga en la tubería no debe superar 20m, determine el diámetro mínimo del ducto. ρ = 1.145kg / m 3 y µ = 1.895 ×10 −5 kg / m ⋅ s y ν =1.655 ×10 −5m 2 / s
Procedimiento 2: Dejar todas la Ecs en función del diámetro La velocidad promedio: V! V! 0.35m 3 / s V= = = Ac π D 2 / 4 π D2 / 4
Solución del conjunto de las 4 Ecs con las 4 Incognitas en Wolfram:
Régimen de flujo: VD VD Re= = ν 1.655 ×10 −5 m 2 / s Factor de fricción: (Plástico " 0 / D 2.51 1 = −2.0 log $$ + f # 3.7 Re f
ε = 0 liso ) % " 2.51 '' = − 2.0 log $$ & # Re f
% '' &
La pérdida de carga: L V2 hL = f D 2g
→
150m V2 20m = f D 2 ( 9.81m / s 2 )
D = 0.267m f = 0.0180 Re = 100800 V = 6.24m / s
Metodología: Q 4Q 1) V= = A π D2 4Q D VD π D 2 4Q 2) Re= = = ν ν πν D 2gh f D 2gh f D gh f π 2 D 5 L V2 3)h f = f →f= = = 2 2 D 2g LV 8Q 2 L " 4Q % L$ ' # π D2 & )+ ε / D 2.51 -+ 1 4) = −2 log * + . +, 3.7 Re f +/ f ) + +ε / D 1 2.51 = −2 log * + 2 5 gh f π 2 D 5 + 3.7 4Q gh f π D + 8Q 2 L πν D 8Q 2 L ,
+ + . + + /
Hoja de cálculo para determinar el diámetro de diseño de una tubería con una perdida de carga determinada.
EJEMPLO Determinación del diámetro de una tubería (Diseño) Se debe hacer fluir el aire caliente a 1atm y 35oC en un ducto circular de plás\co de 150m de largo, a una razón de 0.35m3/s. Si la pérdida de carga en la tubería no debe superar 20m, determine el diámetro mínimo del ducto.
ρ = 1.145kg / m 3 y µ = 1.895 ×10 −5 kg / m ⋅ s y ν =1.655 ×10 −5m 2 / s
El diámetro en función del factor de fricción: L V2 hL = f D 2g
hL
→
hL
L ( 4Q / π D =f D 2g
→
8LQ 2 D= 5 2 f π ghL
L (Q / A ) =f D 2g
2 2
)
→
→ D=
5
2
→
8LQ 2 hL = f 2 5 π gD 8(150m)(0, 35m 3 / s)2 f 2 2 π (9,81m / s )(20m)
→ D = 5 7, 59 ×10 −2 m 6 ⋅ f
(1)
El número de Reynolds en función del diámetro: 2 $1 VD (Q / A) D ( 4Q / π D ) D ! 4Q $ 1 ! 4 ⋅ 0, 35m 3 / s 1 Re = = = =# = 26926m ⋅ & =# & " πν % D " π ⋅1, 655 ×10 −5 m 2 / s % D ν ν ν D
Para calcular el factor de fricción se utiliza la ecuación de colebrook_white (plástico ε = 0m): " ε / D 2.51 % " 0 / D 2.51 % 1 1 = −2.0 log $$ + = −2.0 log $$ + '' → '' f f # 3.7 Re f & # 3.7 Re f & Cálculo de el factor de fricción mediante SOLVE EQUATION HP: D = 0,267m
*Iteración manual*
; f = 0,017926 → D = 5 7, 59 ×10 −2 m 6 ⋅ f
→
D = 0,267m
(2)
Ahora el diámetro se puede determinar directamente a par\r de la tercera fórmula de Swamee-‐Jain como: 0.04
4.75 ' 2$ ! ! ! L $ * 1.25 LV 9.4 ! D = 0.66 )ε # & + νV # & 5.2, )( " ghL % " ghL % ,+
0.04
5.2 , ) # & 9.4 150m (( . = 0.66 +0 + (1.655 ×10 −5 m 2 / s ) ( 0.35m 3 / s ) %% 2 + $ 9.81m / s ( 20m ) ' .*
Error =
0.271m − 0.267m *100 = 1.47% 0.271m
= 0.271m
EJEMPLO Determinación de la razón de flujo de aire en un ducto. Reconsidere el ejemplo anterior. Pero ahora se duplica la longitud del ducto mientras que su diámetro se man\ene constante, determine la caída en la razón de flujo a través del ducto. La velocidad promedio: V! V! V! V= = = Ac π D 2 / 4 π ( 0.267m )2 / 4
Resolviendo el sistema de ecuaciones (wolfram): V! = 0.236884m 3 / s f = 0.0195106 V = 4.23081m / s Re = 68255
Régimen de flujo: Re=
V ( 0.267m ) VD = ν 1.655 ×10 −5 m 2 / s
Factor de fricción: (Plástico ε = 0 " 0 / 0.267m 2.51 1 = −2.0 log $$ + 3.7 f Re f #
liso ) % " 2.51 '' = − 2.0 log $$ & # Re f
La pérdida de carga: L V2 hL = f D 2g
→
300m V2 20m = f 0.267m 2 ( 9.81m / s 2 )
% '' &
entonces la caída de la razón de flujo se vuelve: V!caída = V!ant − V!act = 0.35 − 0.24 = 0.11m 3 / s Una caída del 31%
Solución alterna\va: (iteración) Velocidad potrmedio a través de la tubería: V=
2ghL fL D
Iteración 1 2 3 4 5 6 7 8
f+(suposición) 0,3 0,02678608 0,020196008 0,019583123 0,019517874 0,019510827 0,019510065 0,019509982
V(m/s) 1,07894393 3,61081237 4,15840449 4,22297516 4,23002801 4,2307919 4,23087456 4,23088351
Re 17406,52742 58252,9851 67087,25073 68128,96481 68242,7479 68255,07176 68256,40534 68256,54964
La nueva razón de flujo: (Segunda ecuación de Swamee-Jain) 0.5 0.5 ( " 3.17ν 2 L % + " gD 5hL % ε V! = −0.965$ +$ ' ' ln * 3 *) 3.7D # gD hL & -, # L &
f+(corregido) 0,02678608 0,02019601 0,01958312 0,01951787 0,01951083 0,01951006 0,01950998 0,01950997
*Función buscar obje\vo
0.5 0.5 ) " 3.17 1.655 ×10 −5 m 2 / s 2 300m % , " 9.81m / s 2 ( 0.267m )5 ( 20m ) % ( ) ( ) ( ) ' . = 0.24m3 / s 0 $ ' ln + = −0.965$ + 3 + 3.7 0.267m $ . 2 $ ' 300m 9.81m / s 0.267m ( ) ( ) (20m) '& . ( ) # & +* # -
EJEMPLO Calcular el diámetro de una tubería de hierro fundido ks=0,25mm necesario para transportar 300l/s de agua a 25ºC ν=1,14x10-‐6m2/s a lo largo de 1km de longitud y con una pérdida de energía de 1,20m.
El diámetro en función del factor de fricción: 2
hL = f hL →
LV D 2g
hL
→
2 L ( 4Q / π D ) =f D 2g
8LQ 2 f D= 5 2 π ghL
L (Q / A ) =f D 2g
2
→
2
→
8LQ 2 hL = f 2 5 π gD
8(1000m)(0, 3m 3 / s)2 f → D= 5 2 π (9,81m / s 2 )(1, 20m)
→
D = 5 6,197m 6 ⋅ f
El número de Reynolds en función del diámetro: 2 4Q / π D D ! 4Q $ 1 ! $1 Q / A D ( ) VD ( 4 ⋅ 0, 3m 3 / s ) Re = = = =# & =# & " πν % D " π ⋅1,14 ×10 −6 m 2 / s % D ν ν ν 1 Re = 335 ×10 3 m ⋅ (2) D
(1)
Para calcular el factor de fricción se utiliza la ecuación de colebrook_white (hierro fundido ε = 0, 00025m): " ε / D 2.51 % " 0, 00025 / D 2.51 % 1 1 = −2.0 log $$ + = −2.0 log $$ + '' → '' 3.7 3.7 f Re f f Re f # & # &
Cálculo de el factor de fricción mediante la función buscar objetivo:
Entonces D es igual a: D 5 = 6,197(0, 0169) → D = 0,64m
*Función Buscar obje\vo*
PÉRDIDAS MENORES Coeficiente de pérdida:
KL =
hL V 2 / 2g
Pérdida de carga menor por un accesorio:
Longitud equivalente:
V2 hL = K L 2g
Lequiv V 2 V2 hL = KL =f 2g D 2g
→
Pérdida de carga total en un sistema de tuberías: 2
V L V2 hL total = h L mayores + h L menores = ∑ fi +∑ K L, j j Di 2g j 2g i Pérdidas totales para un sistema con diámetro constante: ! L $V 2 hL total = h f + hl = # f + K L & " D % 2g
Lequiv =
D KL f
VENA CONTRACTA
La pérdida de carga en la entrada de una tubería es aproximadamente despreciable para entradas redondeadas pero aumenta significa\vamente para entradas con bordes agudos.
COEFICIENTES DE PÉRDIDA POR ENTRADAS
COEFICIENTES DE PÉRDIDA POR EXPANSIONES Y CONTRACCIONES
COEFICIENTES DE PÉRDIDA POR CAMBIOS DE DIRECCIÓN
COEFICIENTES DE PÉRDIDA POR ENTRADAS
COEFICIENTES DE PÉRDIDA POR EXPANSIONES Y CONTRACCIONES
COEFICIENTES DE PÉRDIDA POR CAMBIOS DE DIRECCIÓN
EJEMPLO Pérdida de carga y elevación de presión en expansión gradual.
Una tubería horizontal de agua de 6cm de diámetro se expande gradualmente a una tubería de 9cm de diámetro. Las paredes de la sección de ensanchamiento \enen un ángulo de 10º desde la horizontal. La velocidad y presión promedio del agua antes de la sección de ensanchamiento son 7m/s y 150kPa, respec\vamente. Determine la pérdida de carga en la sección de ensanchamiento y la presión en la tubería de diámetro más grande. α1 = α 2 ≅ 1.06 ρ = 1000kg / m 3 ángulo de ensanchamiento: θ =20 o Relación de diámetros: d/D = 6/9 ≈ 0,66 → K L = 0.127 (interpolación)
Velocidad en la expansión: m! 1 = m! 2
→
ρV1 A1 = ρV2 A2
→
2
" 0.06m % V2 = ( 7m / s ) $ ' = 3.11m / s # 0.09m & Pérdida irreversible de carga por la expansión: 2
V12 ( 7m / s) = 0.317m hL = KL = 0.127 2g 2 ( 9.81m / s 2 )
A1 D12 V2 = V1 = V1 2 A2 D2
Elevación de presión en expansión gradual: 0
0 P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada
P1 v12 P2 v22 + α1 = + α2 + hL ρg 2g ρ g 2g
→
→
Ecuación de energía
# α1V12 − α 2V22 & P2 = P1 + ρ $ − ghL ' 2 % (
#)1.06 ( 7m / s )2 −1.06 (3.11m / s )2 &) + .+ 1kPa . 1kN 2 P2 = 150kPa +1000kg / m $ − ( 9.81m / s ) ( 0.317m )' 2 020 , / 2 1000kg ⋅ m / s 1kN / m , / )% )( = 167.7kPa 3
Ejemplo: Calcule la potencia suministrada por la bomba, si sabemos que su eficiencia es de 76%. Hay un flujo de 54m3/h de alcohol mexlico a 25ºC. La línea de succión es una tubería de acero estándar de 4 pulgadas, cédula 40 que cons\tuye la línea de descarga es de 200m. Suponga que al entrada desde el almacenamiento 1 es a través de una entrada de bordes cuadrados. Y que los codos son estándar. La válvula está abierta por completo y es de \po globo.
Ecuación de energía: 0
0
0 0 P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρ g 2g útil entregada
→ Ecuación de energía
z1 + hbomba = z2 + hL hbomba = z2 − z1 + hL h1 = K (Vs2 / 2g)
( Pérdida a la entrada )
h2 = fs ( L / D ) (Vs2 / 2g)
( Pérdida por fricción en al línea de suscción)
h3 = fdT ( Le / D ) (Vd2 / 2g)
( Válvula )
h4 = fdT ( Le / D ) (Vd2 / 2g)
( Dos codos de 90º )
h5 = fd ( L / D ) (Vd2 / 2g)
( Pérdida por fricción en al línea de descarga )
h6 = 1.0 (Vd2 / 2g)
( Pérdida a la entrada )
Caudal:
Velocidad en la succión:
Velocidad en la descarga: Carga ciné\ca en la succión: Carga ciné\ca en la descarga:
Factor de fricción en la succión:
Factor de fricción en la descarga:
CONTINUAR
REDES DE DISTRIBUCIÓN
TUBERIAS EN SERIE
V1D12 = V2 D 22
Para tuberías en serie, la razón de flujo es la misma en cada tubería, y la pérdida de carga total es la suma de las pérdidas de carga en tuberías individuales.
EJEMPLO Calcular el caudal en el sistema de tuberías si la temperatura del agua se encuentra a 20ºC y estan hechas de hierro fundido. (ε=2,59X10-‐4)
0
2 A
0
0
0
2 B
PA v P v +αA + zA = B + α B + zB + hr ρg 2g ρg 2g z A = zB + hr ;
hr = hr1 + hr 2 + hr3 ;
hr = z A − zB = 10m
Q1 = Q2 ;
2 2
V1D = V2 D ;
Q3 = Q2 ;
! 200 $ 2 2 V =# & V 2 = 0,1975V 2 ; " 300 % 2 1
2 2
V3 D = V2 D ;
4
!D $ V3 = # 2 & V2 ; " D3 %
! 200 $ 2 2 V =# & V 2 = 0, 4096V 2 ; " 250 % 2 3
L1 0,1975V 22 L2 V22 L3 0, 4096V 22 10 = f1 + f2 + f3 D1 2g D2 2g D3 2g V2 =
energía disponible
→
4
! D2 $ V1 = # & V2 ; " D1 % 2
2 3
Ecuación de energía
L1 V12 L2 V22 L3 V32 10 = hr1 + hr 2 + hr3 = f1 + f2 + f3 D1 2g D2 2g D3 2g 2
2 1
→
10 * 2g = L1 L2 L3 f1 0,1975 + f2 + f3 0, 4096 D1 D2 D3
$ V22 ! L1 L2 L3 10 = # f1 0,1975 + f2 + f3 0, 4096 & 2g " D1 D2 D3 %
10 * 2g 400 150 200 f1 0,1975 + f2 + f3 0, 4096 0, 3 0, 2 0, 25
! f * = 0, 020 !# V * = 1,162m / s # 1* 10 * 2g * Suponiendo:" f2 = 0, 021 V2 = = 2, 616m / s → " 1* 400 150 200 #$ V3 = 1, 674m / s # f * = 0, 022 0, 020 0,1975 + 0, 021 + 0, 022 0, 4096 3 $ 0, 3 0, 2 0, 25 $ * & Re1 = V1 D1 = 1,162m / s−6⋅ 0, 3m = 346200 ν 1, 007 ×10 m 2 / s & && V2* D2 2, 616m / s ⋅ 0, 2m −6 2 Con ν 20ºC,agua = 1, 007 ×10 m / s : % Re 2 = = = 519600 −6 2 ν 1, 007 ×10 m / s & & V3* D3 1, 674m / s ⋅ 0, 25m = = 415600 & Re3 = −6 2 ν 1, 007 ×10 m / s &'
! # # ## Con ε = 0,000259:" # # # #$
ε 0, 000259 = = 0, 0008633 D1 0, 3 ε 0, 000259 = = 0, 001295 D2 0, 2 ε 0, 000259 = = 0, 001036 D3 0, 25
! ** −2 f = 1, 98 ×10 1 ## con ε / D y Re → " f2** = 2,14 ×10 −2 # #$ f3** = 2, 05 ×10 −2
$ ** & V1 = 1,183m / s Ahora V = = 2, 661m / s → % ** 150 200 &' V3 = 1, 703m / s 0,1975 + ( 2,14 ×10 −2 ) + ( 2, 05 ×10 −2 ) 0, 4096 (1, 98 ×10−2 ) 400 0, 3 0, 2 0, 25 ** 2
10 * 2g
V12 = 0, 0713m; 2g
Calculando separadamente
V22 = 0, 361m; 2g
V32 = 0,1478m; 2g
( 2 L V -2 " 400 % 1 1 * hr1 = f1 = (1, 98 ×10 ) $ ' ( 0, 0713) = D1 2g # 0, 3 & * * * " 150 % L2 V22 = ( 2,14 ×10 -2 ) $ ) hr 2 = f2 ' ( 0, 361) = D2 2g # 0, 2 & * * " 200 % L3 V32 * hr3 = f3 = ( 2, 05 ×10 -2 ) $ ' ( 0,1478) = D 2g 0, 25 # & *+ 3
Σhr =
1,882m 5, 684m 2, 424m 9,990m = 10m
Can\dad que coincide con la energía disponible
Determinación del caudal:
! V=VA;
2
π ( 0, 2m) π D22 ! V= V2 = 2, 662m / s = 0, 0836m 3 / s 4 4
hr = hr1 + hr 2 + hr3 + hl1 + hl 2 + hT L1 V12 = f1 + f2 D1 2g "k1 = 0, 5 $ $k = 0, 32 → # 2 $k3 = 0,1296 $%k = 1, 00 4
L2 V22 L3 V32 V12 V22 V32 V42 + f3 + k1 + k2 + k3 + k4 ; D2 2g D3 2g 2g 2g 2g 2g desague de un ambalse contracción brusca expansión brusca desague en un embalse
EJEMPLO Se \ene agua a 15oC que se drena de un depósito grande con el uso de dos tuberías de plás\co horizontales conectadas en serie. La primera tubería mide 20m de largo y \ene un diámetro de 10cm, mientras que la segunda tubería mide 35m de largo y \ene un diámetro de 4cm. El nivel del agua en el depósito está a 18m sobre la línea central de la tubería. La entrada de la tubería \ene borde agudo y la contracción entre las dos tuberías es repen\na. Si se desprecia el efecto del factor de corrección de energía ciné\ca, determine la razón de descarga de agua en el depósito.
The density and dynamic viscosity of water at 15°C are ρ = 999.1 kg/m3 and µ = 1.138×10-‐3 kg/m⋅s, respec\vely. The loss coefficient is KL = 0.5 for a sharp-‐edged entrance, and it is 0.46 for the sudden contrac\on, corresponding to d2/D2 = 42/102 = 0.16. The pipes are made of plas\c and thus they are smooth, ε = 0. α2 = 1
0
0
0
0
0
0 P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρ g 2g útil entregada
V22 18 m = + hL (1) 2 2(9.81m/s )
m! 1 = m! 2
→ ρV1 A1 = ρV2 A2
→
v22 z1 = α 2 + hL 2g
hL = hL,total = hL,major + hL,minor = ∑
" L %V 2 $ f + ∑KL ' # D & 2g
A2 D22 (4 cm)2 → V1 = V2 = 2 V2 = V2 → V1 = 0.16V2 A1 D1 (10 cm)2
! L1 $ V12 ! L2 $ V22 hL = # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & " D1 % 2g " D2 % 2g
! 20 m $ ! 35 m $ V12 V22 hL = # f1 + 0.5& + # f2 + 0.46 & 2 " 0.10 m % 2(9.81m/s ) " 0.04 m % 2(9.81m/s2 )
(3)
(2)
V! = V2 A2 = V2 (π D22 / 4) ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ
→
V! = V2 [π (0.04 m)2 / 4]
(999.1 kg/m 3 )V1 (0.10 m) → Re1 = 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s (999.1 kg/m 3 )V2 (0.04 m) → Re 2 = 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s
"ε / D 1 2.51 % 1 '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &
→
"ε / D 1 2.51 % 2 '' → = −2.0 log $$ + 3.7 f2 Re f # 2 2 &
(4)
(5) (6)
" 1 2.51 % '' (7) = −2.0 log $$ 0 + f1 Re f # 1 1 &
" 1 2.51 % '' = −2.0 log $$ 0 + f2 Re f # 2 2 &
(8)
This is a system of 8 equa\ons in 8 unknowns, and their simultaneous solu\on by an equa\on solver gives V! = 0.00595 m3 / s
Re1 = 66,500,
V1 = 0.757 m/s, V2 = 4.73 m/s, hL = hL1 + hL2 = 0.13 + 16.73 = 16.86 m,
Re2 = 166,200, f1 = 0.0196,
f2 = 0.0162
UNA SOLA ECUACIÓN 0 0 2 2 P1 v P v + α1 1 + z1 + hbomba = 2 + α 2 2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada
V22 18 m = + hL (1) 2 2(9.81m/s )
→
v22 z1 = α 2 + hL 2g
hL = hL,total = hL,major + hL,minor = ∑
" L %V 2 $ f + ∑KL ' # D & 2g
! L1 $ V12 ! L2 $ V22 hL = # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & " D1 % 2g " D2 % 2g m! 1 = m! 2
→ ρV1 A1 = ρV2 A2
A2 D22 (4 cm)2 → V1 = V2 = 2 V2 = V → V1 = 0.16V2 2 2 A1 D1 (10 cm)
! L1 $ ( 0,16V2 )2 ! L2 $ V22 hL = # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & D 2g D " % " % 2g 1 2 $ ( 0,16V2 )2 ! L2 $ V22 V22 ! L1 18 m = + # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & (1) 2g " D1 2g % " D2 % 2g
(2)
$ ( 0,16V2 )2 ! L2 $ V22 V22 ! L1 18 m = + # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & 2g " D1 2g % " D2 % 2g
$ ! L2 $+) V22 ') ! L1 2 18 = + K L,contraction &, (1+ # f1 + K L,entrance & 0, 016 + # f2 2g )* " D1 D % " %)2 V22 =
V2 =
18⋅ 2g ' ! L $ ! L2 $+ 2 1 1+ f + K 0, 016 + f + K ( # 1 # 2 L,entrance & L,contraction &, % " D2 %* " D1 18⋅ 2g ( " L % " L %+ )1+ $ f1 1 + K L,entrance ' 0, 016 2 + $ f2 2 + K L,contraction ', & # D2 &* # D1
!# f1* = 0, 020 Suponiendo:" * #$ f2 = 0, 021
ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ
V2 =
18⋅ 2g ! & ) & ), 20 35 + 0, 5+ 0, 016 2 + ( 0, 021 + 0, 46 +"1+ ( 0, 020 0,10 0, 04 * ' *. $ '
(999.1 kg/m 3 ) ( 0, 68m / s ) (0.10 m) → Re 2 = =59700 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s
= 4, 22m / s → V1* = 0, 68m / s
y ε /D1 = 0 → f1* = 0, 0201
(999.1 kg/m 3 ) ( 4, 22m / s ) (0.04 m) * → Re 2 = =148200 y ε /D = 0 → f = 0, 0166 2 2 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s
V2 =
18⋅ 2g ( " % " %+ 20 35 2 + 0, 5' 0, 016 + $ 0, 0166 + 0, 46 ', )1+ $ 0, 0201 0,10 0, 04 & # &* #
(999.1 kg/m 3 ) ( 0, 75m / s ) (0.10 m) → Re 2 = = 65846 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s
ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ V2 =
( " % " %+ 20 35 + 0, 5' 0, 016 2 + $ 0, 0162 + 0, 46 ', )1+ $ 0, 0197 0,10 0, 04 & # &* #
ρV D Re 2 = 2 2 µ
y ε /D1 = 0 → f1* = 0, 0197
(999.1 kg/m 3 ) ( 4, 70m / s ) (0.04 m) → Re 2 = = 165053 y ε /D 2 = 0 → f2* = 0, 0162 −3 1.138 ×10 kg/m ⋅ s 18⋅ 2g
ρV D Re1 = 1 1 µ
V2 =
= 4, 70m / s → V1* = 0, 75m / s
= 4, 75m / s → V1* = 0, 76m / s
(999.1 kg/m 3 ) ( 0, 76m / s ) (0.10 m) → Re 2 = = 66724 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s
y ε /D1 = 0 → f1* = 0, 0196
(999.1 kg/m 3 ) ( 4, 75m / s ) (0.04 m) * → Re 2 = = 166809 y ε /D = 0 → f = 0, 0162 2 2 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s 18⋅ 2g ( " % " %+ 20 35 + 0, 5' 0, 016 2 + $ 0, 0162 + 0, 46 ', )1+ $ 0, 0196 0,10 0, 04 & # &* #
= 4, 75m / s → V1* = 0, 76m / s
V! = 4, 75[π (0, 04 m)2 / 4] =0,0597m 3 / s
TUBERÍAS EN PARALELO
hL1 = hL 2 = hL3 = ...
! V ! +V ! +V ! +... V= 1 2 3
Para tuberías en paralelo, la pérdida de carga es la misma en cada tubería, y la razón de flujo total es la suma de las razones de flujo en las tuberías individuales.
PROBLEMAS DE TUBERÍAS EN PARALELO Problema de @berías en paralelo
Datos
Incógnitas
1
HA-‐B
Q1,Q2,Q3,…Q
2
Q
Q1,Q2,Q3,…HA-‐B
Caso 1: Se conoce la pérdida entre A y B y se desea determinar el gasto en cada ramal.
Vi 2 ΔH = K i 2g
→ Vi =
2gΔH ; Ki
K i = fi
Li + ΣK Li ; Donde: Q i = Vi Ai Di
Caso 2: se conoce el flujo volumétrico, pero se desconoce y se desea determinar la pérdida entre A y B, así como las distribución del gasto en cada ramal.
Qe = Q1 + Q2 + Q3 +... + Qn = ∑Qi
ΔH L1 = ΔH L 2 = ΔH L3 = ... = ΔH e
Q i = Vi Ai ;
2gΔH Vi = ; Ki
" 2gΔH π % D 2 e '' e Q e = $$ 4 # & Ke
Qe = ∑Qi 2 e
→
2 i
D D =∑ Ke Ki
2gΔH " π Di2 % Qi = $ ' Ki # 4 &
" 2gπ D 2 % ΔH i Q i = $$ '' 4 # & Ki
" 2gΔH π % D 2 i '' i ; ΔH e = ΔH i Q i = $$ 4 # & Ki
n $ $ 2gΔH π ' D 2 2gΔH i π ' Di2 e e && )) )) = ∑ && 4 4 % ( K e i=1% ( Ki
D # Di2 & (( → = %% ∑ Ke $ Ki ' 4 e
2
→
Ke 1 = De4 # Di2 %% ∑ Ki $
; ΔH e = ΔH i
& (( '
2
2 e
V ΔH e = K e 2g
→ ΔH e = K e
8Q 2 → ΔH e = K e 2 4 gπ De
ΔH e =
8 $ Di2 ' && π ∑ )) Ki ( %
2
Q2 g
(Q / A ) 2g
2
→ ΔH e = K e
K e 8Q 2 → ΔH e = 4 De gπ 2
;
Q2 2g (π D / 4) 2 e
2
Ke 1 = 2 2 ' De4 $ D && ∑ i )) Ki ( %
EJEMPLO El sistema mostrado \ene la siguiente geometría: H=24m; L1 = L2 = L3 = L4 = 100m; D1=D2=D4=100mm; D3=200mm además, f1=f2=f4=0,025 y f3=0,02; el coeficiente de pérdida en la válvula Kv=30, calcular los gastos en cada tubo despreciando las pérdidas locales como cambios de dirección. A
D
EJEMPLO Dos tuberías de idén\co material y longitud se conectan en paralelo. El diámetro de la tubería A es el doble del diámetro de la tubería B. Si se supone que el factor de fricción es el mismo en ambos casos, y sin considerar pérdidas menores, determine el cociente de las 2D razones de flujo en las dos tuberías. L A
B
D L
When the minor losses are disregarded, the head loss for fully developed flow in a pipe of length L and diameter D can be expressed as: Q π D2 / 4 hA = hb L V2 L V2 f A A A = fB B B ; DA 2g DB 2g como: LA =LB , DA = 2DB , f A = fB fB
2 A
2 B
LB V L V = fB B ; 2DB 2g DB 2g
VA2 = 2VB2
VA = 2 VB QA / AA = 2 QB / AB QA AB = 2 QB AA
A
B 2 A
QB π D / 4
= 2
QA π DB2 QB π ( 2DB ) QA = 2 4QB QA =4 2 QB
2
= 2
EJEMPLO
Cierta parte de unas tuberías de hierro fundido (ε=0,26mm) de un sistema de distribución de agua involucra dos tuberías en paralelo. Ambas tuberías paralelas \enen un diámetro de 30cm y el flujo es totalmente turbulento. Una de las ramas (tubería A) mide 1000m de largo, mientras que la otra rama (tubería B) mide 3000m de largo. Si la razón de flujo a través de la tubería A es de 0,4m3/s, determine la razón de flujo a través de la tubería B. No considere pérdidas menores y suponga que la temperatura del agua es de 15oC (ν=1,14x10-‐6). Demuestre que el flujo es totalmente rugoso y por lo tanto el factor de fricción es independiente del número de Reynolds.
hA = hb LA VA2 LB VB2 fA = fB ; DA 2g DB 2g como: 3LA =LB , DA = DB , f A = fB LA VA2 3LA VB2 fA = fA ; DA 2g DA 2g VA2 = 3VB2 VA = 3 VB QA / AA = 3 QB / AB QA AB = 3 QB AA
QA como A A = AB ; = 3 QB QA 0, 4m 3 / s QB = = = 0, 23m 3 / s 3 3 QB 4 ⋅ 0, 23m 3 / s VB = = = 3, 25m / s 2 AB π ( 0, 3m) VB D (3.25 m/s)(0.30 m) = = 856270 −6 2 ν 1.14 ×10 m / s 0.00026 m ε/D= = 0.00087 → f B = 1,94 ×10 −2 0.30 m VA = 3VB → VA = 3 (3, 25m / s ) = 5, 63m / s Re B =
VA D (5, 63 m/s)(0.30 m) = = 1481359 −6 2 ν 1.14 ×10 m / s 0.00026 m ε/D= = 0.00087 → f B = 1,92 ×10 −2 0.30 m Re > 4000 the assumption of turbulent flow is verified Re A =
EJEMPLO Repita el problema anterior y suponga que la tubería A \ene una válvula de compuerta semicerrada (KL=2.1) mientras que la tubería B \ene una válvula de globo totalmente abierta (KL=10) y las otras pérdidas menores son despreciables. Suponga que el flujo es totalmente rugoso. The roughness of cast iron pipe is (tubería de hierro fundido) ε = 0.00026 m
!
30!cm! A
0.4! m3/s!
1000! m!
Válvula de Compuerta KL=2.1
B
Válvula de Globo KL=10
3000! m!
30!cm!
For pipe A, the average velocity and the Reynolds number are V!A V!A 0.4 m 3 /s VA = = = = 5.659 m/s Ac π D 2 / 4 π (0.30 m)2 / 4
ρVA D (999.1 kg/m 3 )(5.659 m/s)(0.30 m) Re A = = = 1.49 ×10 6 −3 µ 1.138 ×10 kg/m ⋅ s
The rela\ve roughness of the pipe is
ε/D=
0.00026 m = 8.667 ×10 −4 0.30 m
The fric\on factor corresponding to this rela\ve roughness and the Reynolds number " ε / D 2.51 1 = −2.0 log $$ + f # 3.7 Re f
% '' &
→
" 8.667 ×10 −4 1 2.51 = −2.0 log $$ + 3.7 f 1.49 ×10 6 f #
Then the total head loss in pipe A becomes 2 A
2
! L $V ! $ (5.659 m/s) 1000 m hL,A = # f A + K L & = # (0.0192) + 2.1& = 107.9 m = h L,B " D % 2g " % 2(9.81 m/s2 ) 0.30 m
% '' &
→
f = 0.0192
When two pipes are parallel in a piping system, the head loss for each pipe must be same.
Therefore, the head loss for pipe B must also be 107.9 m. Then the average velocity in pipe B and the flow rate become: ! LB $ VB2 hL,B = # f + KL & " D % 2g
→
! $ 3000 m VB2 107.9 m = # (0.0192) +10 & " % 2(9.81 m/s2 ) 0.30 m
→ VB = 3.24 m/s
V!B = AcVB = [π D 2 / 4]VB = [π (0.30 m)2 / 4](3.24 m/s) = 0.229 m3 / s
EJEMPLO Una tubería que transporta petróleo a 40oC a una razón de 3m3/s se ramifica en dos tuberías paralelas fabricadas de acero comercial que se vuelven a conectar corriente abajo. LA tubería A mide 500m de largo y \ene un diámetros de 30cm, mientras que la tubería B mide 800m de largo y \ene un diámetro de 45cm. Las pérdidas menores se consideran despreciables. Determine la razón de flujo a través de las tuberías. The density and dynamic viscosity of oil at 40°C are ρ = 876 kg/m3 and µ = 0.2177 kg/m⋅s. The roughness of commercial steel pipes is ε = 0.000045 m.
hA = hb LA VA2 LB VB2 fA = fB ; DA 2g DB 2g 5 2 como: LA = LB , DA = DB , f A = fB 8 3 5 LB 2 VA LB VB2 8 fB = fB ; 2 DB 2g DB 2g 3 16 VA2 = VB2 15 VA 4 = VB 15 QA / AA 4 = QB / AB 15 QA AB 4 = QB AA 15
como Q=Q A + QB → Q B = 3m 3 / s − QA QA 16 = 3m 3 / s − QA 9 15 QA = 0, 94m 3 / s
→ Q B = 2, 06m 3 /s
QB 4 ⋅ 2, 06m 3 / s VB = = = 12, 95m / s 2 AB π ( 0, 45m) VB D (12, 95 m/s)(0.45 m) = = 23450 −4 2 ν 2,485 ×10 m / s 0.000045 m ε/D= = 1, 0 ×10 −4 → f B = 2,51×10 −2 0.45 m 4 4 VA = VB → VA = (12, 95m / s) = 13, 38m / s 15 15 V D (13, 38 m/s)(0.30 m) Re A = A = = 16153 −4 2 ν 2,485 ×10 m / s 0.000045 m ε/D= = 1, 5 ×10 −4 → f B = 2,76 ×10 −2 0.30 m Re > 4000 the assumption of turbulent flow is verified Re B =
SOLUCIón POR SISTEMA DE ECUACIONES The density and dynamic viscosity of oil at 40°C are ρ = 876 kg/m3 and µ = 0.2177 kg/m⋅s. The roughness of commercial steel pipes is ε = 0.000045 m. hL,1 = hL,2 V! = V!1 + V!2
(1) →
! + V! = 3 V 1 2
V!1 V!1 = Ac,1 π D12 / 4 V! V!2 V2 = 2 = Ac,2 π D22 / 4
V1 =
ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ
(2)
V!1 π (0.30m)2 / 4 V!2 → V2 = π (0.45m)2 / 4
→ V1 =
(3)
(4)
(876 kg/m 3 )V1 (0.30 m) → Re1 = 0.2177 kg/m ⋅ s (876 kg/m 3 )V2 (0.45 m) → Re 2 = 0.2177 kg/m ⋅ s
Rugosidad relativa; rf1 =
(5) (6)
ε1 4.5 ×10 −5 m = = 1.5 ×10 −4 D1 0.30 m
"ε / D 1 2.51 % 1 '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &
→
" 1.5 ×10 −4 1 2.51 % '' (7) = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &
Rugosidad relativa; rf2 =
ε2 4.5 ×10 −5 m = = 1×10 −4 D2 0.45 m
"ε / D 1 2.51 2 = −2.0 log $$ + f2 # 3.7 Re 2 f2 L1 V12 hL,1 = f1 D1 2g L2 V22 hL,2 = f2 D2 2g
% '' → &
" 1×10 −4 1 2.51 = −2.0 log $$ + f2 Re 2 f2 # 3.7
→
500 m V12 hL,1 = f1 0.30 m 2(9.81 m/s2 )
→
800 m V22 hL,2 = f2 0.45 m 2(9.81 m/s2 )
% '' (8) &
(9)
(10)
Solving them simultaneously by an equation solver gives, V1 = 12.9 m/s, V2 = 13.1 m/s, Re1 = 15,540, Re 2 = 23,800, Re > 4000 the assumption of turbulent flow is verified. f1 = 0.02785, f2 = 0.02505
EJEMPLO Fluyen por una tubería de acero de 2 pulgadas de diámetro, cédula 40, 100gal/min de agua a 60oF. El intercambiador de calor en la rama a \ene un coeficiente de pérdida de K=7.5, con base en la carga de velocidad en la tubería. Las tres valvulas se encuentran abiertas por completo. La rama b es un línea de desviación que se compone de una tubería de acero de 11/4in , cédula 40. Los codos son estándar. La longitud de la tubería entre los puntos 1 y 2 en la rama b es de 20b. Debido al intercambiador de calor, la longitud de la tubería de la rama a es muy corta, y es posible ignorar las pérdidas por fricción. Para este arreglo, determine (a) el flujo volumétrico del agua en cada rama y (b) la caída de presión entre los puntos 1 y 2.
DIMENSIONES DE LAS TUBERÍAS DE ACERO (CÉDULA 40)
Las dos velocidades son desconocidas: Las áreas: A a = 0.02333 ft 2
y
! V=A (5) aVa + AbVb
A b = 0.01039 ft 2
! $ 3 1 ft / s # & = 0.223 ft 3 / s gal ! El flujo volmétrico: V=100 min # & gal 449 " min % Pérdida de carga en el ramal a: !Va2 $ !Va2 $ h a = 2K1 # & + K 2 # 2g & 2g " % " % Donde: K1 = faT ( Le / D ) es el coeficiente de resistencia para cada compuerta K 2 = 7.5 es el coeficiente de resistencia para el intecambiador de calor Para una tubería de 2in cédula 40 (tabla): faT = 0.019, L e / D = 8, Para una válvula de compuerta abierta por completo (tabla) entonces: K1 = ( 0.019 ) (8) = 0.152 K 2 = 7.5 Por lo tanto: !Va2 $ !Va2 $ h a = 2 ( 0.152 ) # & + 7.5# 2g & " 2g % " % !Va2 $ h a = 7.8 # & (6) " 2g %
Factor de fricción en la zona de turbulencia completa para tubería de acero comercial, nueva y limpia.
Pérdida de carga en el ramal b: !Vb2 $ !Vb2 $ !Vb2 $ h b = 2K 3 # & + K 4 # 2g & + K 5 # 2g & 2g " % " % " % Donde: K 3 = fbT ( Le / D ) es el coeficiente de resistencia para cada codo K 4 = fbT ( Le / D ) es el coeficiente de resistencia para la válvula de globo K 5 = fb ( Le / D ) pérdida por fricción en la tubería de la rama b. fb : no se conoce y se determinará por un proceso de iteración 1
fbT = 0.022, para una tubería de 1 4in, cédula 40 (tabla) L e / D = 30, para cada codo L e / D = 340, para una válvula de globo compuerta abierta por completo (tabla) entonces: K 3 = fbT ( Le / D ) = ( 0.022 ) (30 ) = 0.66 K 4 = fbT ( Le / D ) = ( 0.022 ) (340 ) = 7.48
(
K 5 = fb ( Le / D ) = fb 20
0.1150
) = 173.9 f
b
Por lo tanto
!Vb2 $ !Vb2 $ !Vb2 $ h b = 2 ( 0.66 ) # & + ( 7.48) # 2g & + (173.9 fb ) # 2g & 2g " % " % " % !Vb2 $ h b = (8.80 +173.9 fb ) # & " 2g % *Diagrama de Moody*
Con ε = 1, 5 ×10 −4 ft y D = 11/4in (Tabla: 11.40ft); la rug. rel. para la rama b: Y suponiendo flujo turbulento plenamente desarrollado Re = 10 5
entonces:
D 0.1150 ft = = 767 ε 1.5 ×10 −4 ft
→ fb = 0, 023
"Vb2 % "Vb2 % h b = (8.80 +173.9 ⋅ 0, 023 ) $ ' = 12,80 $ 2g ' 2g # & # &
Para obtener Va en función de Vb se igualan (6) y (7) : ha = hb !Va2 $ !Vb2 $ 7,80 # & = 12,80 # 2g & " 2g % " % Va = 1, 281Vb (8)
(7)
Se combinan las ecuaciones (5) y (8) para calcular las velocidades ! V=A V +AV (5) a a
b b
Va = 1, 281Vb
(8)
! V=A a (1, 281Vb ) + AbVb = Vb (1, 281A a + Ab ) V! 0, 233 ft 3 / s Vb = = = 5, 54 ft / s 2 ! # 1, 281A a + Ab "1, 281( 0, 02333) + 0, 01039$ ft Va = 1, 281Vb = 1, 281( 5, 54) = 7,09 ft / s Correción del factor de fricción f supuesto: Re=
Vb Db ( 5, 54 ft / s ) ⋅ ( 0,1150 ft ) 4 = = 5, 26 ×10 con este valor y D/ε =767 → f=0,0246=0,025 −5 2 ν 1, 21×10 ft / s
Iniciamos nuevamente con la corrección de f: %Vb2 ( %Vb2 ( ! # hb = "8,80 +173, 9 ( 0, 025)$' * = 13,15' 2g * & 2g ) & ) %Va2 ( ha = 7,80 ' * (10) & 2g )
(9)
Valor de f muy diferente al supuesto inicialmente
Para obtener Va en función de Vb igualamos (9) y (10) : !Va2 $ !Vb2 $ 7,80 # & = 13,15# 2g & 2g " % " % Va = 1, 298Vb
ha = hb
(11)
Se combinan las ecuaciones (5) y (11) para calcular las velocidades ! V=A V +AV (5) a a
b b
Va = 1, 298Vb
(8)
! V=A a (1, 298Vb ) + AbVb = Vb (1, 298A a + Ab ) V! 0, 233 ft 3 / s Vb = = = 5, 48 ft / s 2 ! # 1, 281A a + Ab "1, 298 ( 0, 02333) + 0, 01039$ ft Va = 1, 281Vb = 1, 281( 5, 48) = 7,12 ft / s Correción del factor de fricción f supuesto: Re=
Vb Db ( 5, 48 ft / s ) ⋅ ( 0,1150 ft ) 4 = = 5, 21×10 con este valor y D/ε =767 → f=0,0247=0,025 ν 1, 21×10 −5 ft 2 / s Valor de f muy parecido al corregido
! Cálculo de el flujo volumétrico: V=A (5) aVa + AbVb ! ( 0.02333 ft 2 ) ( 7,12 ft / s ) + ( 0.01039 ft 2 ) ( 5, 48 ft / s ) V= ! 60s $! 7, 48gal $ = 0,166 ft 3 / s + 0, 057 ft 3 / s = 0, 223 ft 3 / s # &# & = 100gal / min 3 " 1min %" 1 ft % Caida de presión entre los puntos 1 y 2: P1 P − hL = 2 → P1 − P2 = γ hL → h L1−2 = ha = hb γ γ ha = ( 7,80 ) ( 7,12 2 / 2g) = 6,14 ft 2
# 1 ft & P1 − P2 = γ hL = ( 62, 4lb / ft ) ( 6,14 ft ) % ( = 2, 66 psi $ 12in ' 3
EJEMPLO Se \ene agua a 10oC que fluye de un deposito grande a uno más pequeño a través de un sistema de tuberías de hierro fundido de 5cm de diámetro. Determine la elevación z1 para una razón de flujo de 6 L/s.
The density and dynamic viscosity of water at 10°C are ρ = 999.7 kg/m3 and µ = 1.307x10-‐3 kg/ m⋅s. The roughness of cast iron pipes is ε = 0.00026 m. 0 2 1
0
0
0
2 2
0z
0
P1 v P v + α1 + z1 + hbomba = 2 + α 2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada
hL = hL,total = hL,mayor + hL,menor
→
z1 = z2 + hL
" L %V 2 = $ f + ΣK L ' # D & 2g
V! V! 0.006m 3 / s V= = = = 3.06m / s Ac π D 2 / 4 π (0.05m)2 / 4 ρVD (999.7kg / m 3 )(3.06m / s)(0.05m) Re = = = 117000 → µ 1.307 ×10 −3 kg / m ⋅ s
ε 0.00026 = = 0.0052 → f = 3.15 ×10 −2 D 0.05
ΣK L = K L,entrada + 2K L,codo + K L,válvula + K L,salida = 0.5 + 2 (0.3) + 0.2 + 1.06 = 2.36 ! $ (3.06)2 89m hL = # 0.0315 + 2.36 & = 27.9m " % 2(9.81m / s 2 ) 0.05m
z1 = 4 + 27.9 = 31.9m
SISTEMAS DE TUBERÍAS CON BOMBAS Y TURBINAS Ecaución de energía: P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada Potencia mecánica necesaria: ! bomba útil ρVgh ! Wbomba eje = ηbomba Potencia eléctrica consumida: ! ρVgh bomba útil W! eléctrica = ηbomba motor Eficiencia de acoplamiento de bomba-motor:
ηbomba−motor = ηbomba ⋅ ηmotor Carga de bomba útil necesaria: h bomba útil = ( z2 − z1 ) + hL
Cuando una bomba pasa un fluido de un depósito a otro, la carga de bomba ú\l necesaria es igual a la diferencia de elevación entre los dos depósitos más la pérdida de carga.
CURVA CARÁCTERISTICA
EJEMPLO Bomba de agua a través de dos tuberías paralelas. Se debe bombear agua a 20oC desde un depósito (zA=5m) a otro depósito a mayor altura (zB=13m) a través de dos tuberías de 36m de largo conectadas en paralelo. LA s tuberías son de acero comercial, y los diámetros de las dos tuberías de 4 y 8 cm. El agua se bombeará mediante un acoplamiento motor-‐ bomba con una eficiencia del 70% que extrae 8kW de potencia eléctrica durante la operación. Las pérdidas menores y la pérdida de carga en las tuberías que conectan las uniones de las tuberías paralelas a los dos depósitos se consideran despreciables. Determine la razón de flujo total entre los depósitos y la razón de flujo a través de cada una de las tuberías paralelas. ρ20 C = 998kg / m3 o
y µ =1.002 ×10 −3kg / m ⋅ s
Planteamiento de las ecuaciones:
1) Carga útil suministrada por la bomba al fluido: ! bomba útil ρVgh W! eléctrica = ηbomba motor
998km / m ) V! ( 9.81m / s ) h ( 8000W= 3
→
Ecaución de energía: 0
2
bomba útil
0.70
2) Carga de bomba útil necesaria:
0
P1 v12 P2 v22 + α1 + z A + hbomba = + α2 + zB + hL ρg 2g ρg 2g útil
→
h bomba = ( zB − z A ) + hL = (13m − 5m ) + hL útil
3) hL = hL,1
4) hL = hL,2
5)
6)
La velocidad promedio en 1: V!1 V!1 V!1 V1 = = = Ac,1 π D12 / 4 π ( 0.04m )2 / 4
7)
Régimen de flujo en 1:
3 ρVD ( 998kg / m ) V1 ( 0.04m) Re= = µ 1.002 ×10 −3 kg / m ⋅ s
La velocidad promedio en 2: V!2 V!2 V!2 V2 = = = Ac,2 π D22 / 4 π ( 0.08m )2 / 4 8)
Régimen de flujo en 2:
3 ρVD ( 998km / m ) V2 ( 0.08m) Re= = µ 1.002 ×10 −3 kg / m ⋅ s
10)
Factor de fricción en 2: (Acero comercial ε = 0.045mm) " 0.000045m / 0.08m 1 2.51 % '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &
9)
Factor de fricción en 1: (Acero comercial ε = 0.045mm) " 0.000045m / 0.04m 1 2.51 % '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &
11)
La pérdida de carga en 1:
h L,1 = f1
13)
2 1
12) 2 1
L1 V 36m V = f1 D1 2g 0.04m 2 ( 9.81m / s 2 )
Razón de flujo total: ! V ! + V! V= 1
2
La pérdida de carga en 2:
h L,2 = f2
L2 V22 36m V22 = f2 D2 2g 0.08m 2 ( 9.81m / s 2 )
REDES ABIERTAS
L1 = 680m, D1 = 0, 55m L2 = 520m, D 2 = 0, 60m L3 = 800m, D3 = 0,80m Q1 + Q2 = Q3 Δh = 70 − 50 = 20 V32 + h3 + h1 + Δh = 70 2g V32 h3 = 50 − h1 − 2g Formula de Kozeny: N=30 Q1 =
π 2 h π h π h 2 D1 (8,86 log D1 + N ) 1 D1 = ( 0, 55m ) (8,86 log ( 0, 55) + 30 ) 1 D1 = (8, 38) 1 D1 4 L1 4 L1 4 L1
Q2 =
π 2 h + Δh π h + Δh π h + Δh 2 D2 (8,86 log D2 + N ) 1 D2 = ( 0, 60m ) (8,86 log ( 0, 60 ) + 30 ) 1 D2 = (10, 09 ) 1 D2 4 L2 4 L2 4 L2
Q3 =
π 2 h π h π 2 D3 (8,86 log D3 + N ) 3 D3 = ( 0,80m ) (8,86 log ( 0,80 ) + 30 ) 3 D3 = (18, 65) 4 L3 4 L3 4
π h π h + Δh π D2 = (18, 65) (8, 38) 1 D1 + (10, 09) 1 4 L1 4 L2 4
V32 50 − h1 − 2g D3 L3
50 − h1 − L3
V32 2g
D3
(8, 38)
h1 h + 20 50 − h1 − 0 (0, 55) + (10, 09) 1 (0, 60) = (18, 65) (0,80) 680 520 800
→
Q1 =
π h π 19, 97m (8, 38) 1 (0, 55) = (8, 38) (0, 55) = 0,838m3 / s 4 680 4 680
Q2 =
π h + 20 π 19, 97m + 20 (10, 09) 1 (0, 60) = (10, 09) (0, 60) = 1, 70m3 / s 4 520 4 520
h1 = 19, 97m (Solve equation hp o wolfram )
2
3
Q3 = Q1 + Q2 = 2, 54m / s
(8, 38)
→
2 16 ( 2, 54m 3 / s ) V32 (Q3 / A3 ) Q32 Q32 16Q32 = = = = = = 1, 30m 2g 2g 2gA32 2g (π D32 / 4)2 2gπ D34 2 ( 9,81m / s 2 ) π 2 ( 0,80m ) 4
h1 h + 20 50 − h1 −1, 30m (0, 55) + (10, 09) 1 (0, 60) = (18, 65) (0,80) 680 520 800
→
h1 = 19, 32m
Q1 =
π h π 19, 32m (8, 38) 1 (0, 55) = (8, 38) (0, 55) = 0,822m3 / s 4 680 4 680
Q2 =
π h + 20 π 19, 32m + 20 (10, 09) 1 (0, 60) = (10, 09) (0, 60) = 1, 69m3 / s 4 520 4 520
Q3 = Q1 + Q2 = 2, 512m 3 / s
(8, 38)
→
2
2 16 ( 2, 512m 3 / s ) Q3 / A3 ) V Q32 Q32 16Q32 ( = = = = = = 1, 27m 2g 2g 2gA32 2g (π D32 / 4)2 2gπ D34 2 ( 9,81m / s 2 ) π 2 ( 0,80m ) 4 2 3
h1 h + 20 50 − h1 −1, 27m (0, 55) + (10, 09) 1 (0, 60) = (18, 65) (0,80) 680 520 800
Q1 =
π h π 19, 33m (8, 38) 1 (0, 55) = (8, 38) (0, 55) = 0,823m3 / s 4 680 4 680
Q2 =
π h + 20 π 19, 33m + 20 (10, 09) 1 (0, 60) = (10, 09) (0, 60) = 1, 688m3 / s 4 520 4 520
→
h1 = 19, 33m
2
Q3 = Q1 + Q2 = 2, 511m 3 / s
→
2 16 ( 2, 511m 3 / s ) V32 (Q3 / A3 ) Q32 Q32 16Q32 = = = = = = 1, 27m 2g 2g 2gA32 2g (π D32 / 4)2 2gπ D34 2 ( 9,81m / s 2 ) π 2 ( 0,80m ) 4
EJEMPLO Se desea que los gastos sean: Q 5 = 25l / s , Q 4 = 30l / s, hacia los taques C y D respectivamente y que Q 2 = 11l / s desde la bomba. Determinar los diámetros D1, D3 y D4 necesarios para que se satisfagan las condiciones impuestas. El factor de fricción para todos los tubos es f=0,014 y los tanque A y B abastecen a C y D.
L1 = 2850m, D1 = ??? m, Q1 = ??? m 3 / s L2 = 500m, D 2 = 0,10m, Q 2 = 0, 011m 3 / s L3 = 1970m, D3 = ??? m, Q 3 = ??? m 3 / s L4 = 400m, D 4 = ??? m, Q 4 = 0, 030m 3 / s L5 = 600m, D 5 = 0, 20m, Q 5 = 0, 025m 3 / s Q1 + Q2 = Q3; Q 3 = Q4 + Q5 Q 3 = Q4 + Q5 = 0, 030m 3 / s + 0, 025m 3 / s = 0, 055m 3 / s Q1 = Q3 − Q2 = 0, 055m 3 / s − 0, 011m 3 / s = 0, 044m 3 / s
Velocidades*y*carga*de*velocidades: Q1 0,044m 3 / s 0,056 V12 0,000160 V1 = = = ; !!! = 2 2 A1 2g π D1 / 4 D1 D14 Q2 0,011m 3 / s V22 0,014 V2 = = = = 1,4m / s; !!! = 0,1m 2 2 A2 2g π D2 / 4 0,1m
(
)
Q3 0,055m 3 / s 0,07 V32 0,00025 V3 = = = 2 ; !!! = 2 A3 2g π D3 / 4 D3 D34 Q4 0,030m 3 / s 0,038 V42 0,000074 V4 = = = ; !!! = 2 2 A4 2g π D4 / 4 D4 D44 Q5 0,025m 3 / s V52 0,032 V5 = = = = 0,8m / s; !!! = 0,032m 2 2 A5 2g π D5 / 4 0,2m
(
)
Ecuación de energía entre F y C: E F = EC + h f ; V52 PC L5 V52 E F = ZC + + +f ; 2g γ D5 2g 600m 0, 0323m; E F = 16, 39m 0, 20m Ecuación de energía entre F y D: E F = ED + h f ; E F = 15m + 0, 0323m + 0 + 0, 014
V42 PD L4 V42 E F = ZD + + +f ; 2g γ D4 2g 16,39m = 15m +
0, 000074 400m 0, 000074 + 0 + 0, 014 ⋅ ; D4 = 0, 20m 4 4 D4 D4 D4
Ecuación de energía entre B y E: E B + hbomba = EE + h f ;
P=
" 745, 7W % ' (0, 73) (6HP ) $# ηP 1HP & → hb = = = 30, 3m 3 3 γ Q 9810N / m ( 0, 011m / s)
γ Q hb η
V22 PB L3 V32 ZB + + + hbomba = EE + f ; 2g γ D3 2g 0m+0,1m+0m+30,3m = EE + 0, 014
500m ⋅ 0,1m; EE = 23, 4m 0,10m
Ecuación de energía entre A y E: E A = EE + h f ; V12 PA L4 V42 ZA + + = EE + f ; 2g γ D4 2g 30m+0m+0m = 23, 4m + 0, 014
2850m 0, 000161 ⋅ ; D1 = 0, 25m 4 D1 D1
Ecuación de energía entre E y F: E E = EF + h f ; L3 V32 EE = EF + f ; D3 2g 23,4m = 16,39m+0,014
1970m 0, 00025 ⋅ ; D3 = 0, 25m 4 D3 D3
REDES CERRADAS
*Red Cerrada*
EJEMPLO
