PROBLEMA DE CINEMÁTICA #01 Uma móvel parte da origem do eixo x com velocidade constante igual a 3m/s. No instante t=6s o móvel sofre uma aceleração a= -4m/s 2. A equação horária, a partir do instante t=6s, será? De t=0 até t=6s temos um MRU. Logo a equação horária é:
A posição em t=6s será
Daí pra pra frente temos um MRUV:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #02 Um móvel se desloca segundo a equação , sendo x o deslocamento em metros e t o tempo em segundos. Nessas condições podemos afirmar a diferença entre sua aceleração para t = 1s e para t = 5s é?
Logo, percebe-se que é uma equação de segundo grau, o que caracteriza um MRUV, logo a aceleração é CONSTANTE. Tendo:
Derivando uma vez, chegamos a equação da VELOCIDADE: e comparando com a equação base do MRUV:
Derivando mais uma vez, obtemos a ACELERAÇÃO:
Não existe diferença entre a aceleração em t = 1s e t = 5s, pois ela é CONSTANTE.
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #03 Um automóvel viaja a 30km/h durante 1h, em seguida, a 60km/h durante 1/2h. Qual foi a velocidade média no percurso?
No percurso todo:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #04 Duas cidades A e B, distam 200km entre si. Simultaneamente, um carro parte de A para B a 60km/h, e outro de B para A com rapidez de 40km/h, seguindo pela mesma estrada. a) Depois de quanto tempo irão se encontrar? b) A que distância de A lês se encontrarão? A seguir duas formas de resolver o problema. 1) Por rapidez relativa: Carro A:
Carro B:
(o sinal negativo indica um sentido de movimento oposto ao do carro A) Como os movimentos possuem a mesma direção e sentidos opostos, a rapidez relativa será:
Trata-se de um MRU, pois não há nada que indique variação na rapidez (módulo da velocidade), logo:
O carro A terá percorrido:
2) Usando a equação horária da posição do MU:
Para o carro A:
Para o carro B:
No momento do encontro:
A posição do carro A no momento do encontro será:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #05 Em um prédio de 20 andares (além do térreo) o elevador leva 36s para ir do térreo ao 20º andar.Uma pessoa no andar x chama o elevador,que está inicialmente no térreo,e 39,6s após a chamada a pessoa atinge o andar térreo.Se não houve paradas intermediárias,e os tempos de abertura e fechamento da porta do elevador e de entrada e ´saída do passageiro são desprezíveis,podemos dizer que o andar x é o Podemos perceber que: Térreo: x =0 1º andar = x=1 2º Andar x= 2 20º Andar = x=20 “Se” a rapidez do elevador for constante (não é feita nenhuma menção a isso no problema), temos um MRU, logo a rapidez do elevador será:
Se o elevador movimentou-se exclusivamente para atender a essa pessoa, teremos que o intervalo de tempo de subida e de descida deve ser igual (supondo rapidez constante), então temos:
O número de andares percorridos do térreo até o andar da pessoa será: 5/9 x 19,8 = 11
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #06 Percorrendo-se uma distância "d" a 30km/h gasta-se 2 h menos do que se percorresse a 12km/h. Qual o valor de "d"? 1º caso: d = 30.(t – 2) 2º caso d = 12.t Podemos igualar as duas expressões: 30.(t – 2) = 12t Basta isolar “t” e substituir em uma das equações anteriores. 30t – 60 = 12t 30t – 12t = 60 18t = 60 t = 60/18 = 10/3h Logo, d = 12.t è d = 12 x 10/3 = 40km
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #07 Uma pessoa anda com uma velocidade constante de 2m/s durante 20 minutos em uma linha reta. Em seguida retorna, correndo, pela mesma trajetória anterior, durante 3 minutos com velocidade constante de 6m/s. A rapidez média da pessoa e a velocidade média, em m/s, durante estes 23 minutos foi de aproximadamente:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #08 Um móvel percorre a distância em linha reta entre duas cidades em duas etapas. Na primeira etapa
ele percorre com uma rapidez e na segunda etapa com uma rapidez Determine a rapidez média supondo que as duas etapas possuem o mesmo comprimento A rapidez média na viagem entre as duas cidades é dada por:
Pode-se afirmar que
è
è
è
è
a) Chaman Chamando do de “ ” a distân distância cia em em cada metade metade da da viagem viagem
então
è
è
è
è
.
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #09 Um trem de 400m de comprimento com velocidade de 20m/s para atravessar um túnel de 1800m de comprimento. Qual o intervalo de tempo necessário para atravessar o túnel? Basta usar:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #10 Um automóvel que se desloca com velocidade constante de 72 km/h ultrapassa outro que se desloca com uma velocidade constante de 54 km/h, numa mesma estrada reta. O primeiro encontra-se 200m atrás no instante t=0. Em que instante o primeiro estará ao lado do segundo? Existem várias formas de resolver o problema, usarei o método da VELOCIDADE RELATIVA:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #11 Dois amigos, correndo sobre uma mesma pista retilínea e em sentidos opostos, avistam-se quando a distância que os separa é de 150m. Um está correndo com velocidade escalar constante de 5,0 m/s e o outro com velocidade escalar constante de - 7,5 m/s. Que distância cada um percorrerá na pista, desde que se avistam até o instante em que um passa pelo outro?"
Para calcular o intervalo de tempo que eles levaram para se encontrar, podemos usar:
O deslocamento de cada um será:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #12 Um móvel parte de um certo ponto com movimento que obedece à lei horária x = 4t², em que “x” é a posição do móvel ,em metros, e “t” é o tempo em segundos. Um segundo depois parte um outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme e seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar o primeiro? Móvel 1 - MRUV:
Móvel 2 - MRU:
No instante de encontro, teremos:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #13 Um móvel A com movimento retilíneo uniforme parte de um ponto a em direção a b, com velocidade de 90 km/h. No mesmo instante sai de b um móvel B, também com MRU. A distância retilínea ab é de 10km. Calcule a velocidade do móvel B, para que ambos se cruzem a 6km de A. Teste semelhante ao anterior, porém agora é conveniente usar as equações horárias.
como o encontro deve ser em
,
substituindo
e
, teremos
, teremos
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #14 Um automóvel passa por uma posição a 10 km de um ponto O, afastando-se dele com velocidade constante de 84 km/h. Que velocidade deve ter um motociclista que nesse instante passa por O, para alcançar o automóvel em 20 minutos? Montando as equações horárias:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #15 Um trem sai da estação de uma cidade, em percurso retilíneo, com velocidade constante de 50km/h. Quanto tempo depois depois de sua partidadeverá sair sair da mesma estação, um segundo trem com velocidade constante de 75km/h, para alcançá-lo a 120 km da cidade. Rapidez do trem
Rapidez do trem 2
Posição de encontro
Equações horárias
Trem 1:
mas como queremos x = 120 km
Trem 2: e substituindo os valores
e
, teremos
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #16 Dois moveis em MRU partem simultaneamente dos pontos A e B em sentidos contrários e se se encontram pela primeira vez a 720m de A, a velocidade do que parte do ponto A é va e a velocidade do que parte do ponto B é vb. Cada móvel ao chegar ao ponto oposto ao da partida para por 10 minutos e retornam. O segundo ponto de encontro está situado a 400m do ponto B. Pede-se a distancia entre os pontos A e B.
Certamente os intervalos de tempo “t” necessários para cada encontro serão os mesmos. Temos 4 equações
Basta resolver este sistema.
Testando:
Substituindo
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #17 Determine a velocidade de um projétil disparado contra um alvo rotativo disposto a 15m de distância, sabendo-se que o alvo executa 300 revoluções por minuto e o arco medido entre o ponto visado no momento do disparo e o ponto de impacto do projétil no alvo é de 180º. A freqüência do alvo é: f = número de rotações / tempo f = 300 / 60s = 5Hz A distância percorrida pelo “ponto” é de: delta x = delta phi . R delta x = pi.R A velocidade linear do ponto é de: v = delta x / delta t ou v = w.R v = 2.pi.f.R Igualando as duas: delta x / delta t = 2.pi.f.R pi.R / delta t = 2.pi.f.R 1 / delta t = 2.f delta t = 1 / 2f delta t = 1 / 2.5 = 1/10 s A rapidez do projétil será: v = delta x / delta t = 15m / (0,1s) = 150 m/s
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #18 Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veiculo leva leva para percorrer um trecho de 400 m de estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho a 120km/h. Sendo de 80km/h a velocidade máxima permitida, qual deve ser a maior velocidade media do mesmo na segunda metade da estrada para evitar que seja multado?
Pode-se afirmar que
a) Chaman Chamando do de “ ” a distân distância cia em em cada metade metade da da viagem viagem
então
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #23 Uma super mosca persegue um automóvel de comprimento 3 m. A velocidade da super mosca é o dobro da do automóvel. Calcular, em metros, o deslocamento da mosca, ao ultrapassar totalmente o automóvel.
Nos problemas envolvendo ultrapassagens, use sempre:
Onde: comprimento do corpo Temos então:
logo
Para calcular a distância percorrida pela mosca:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA #24 Inicialmente com velocidade de 4 m/s, em MRUV, uma partícula se desloca 7 m durante o 2º segundo de movimento. Calcular o deslocamento, em metros, durante o 3º segundo de movimento. Equação da posição:
Equação do deslocamento
0s até 1s
(essa é a rapidez no instante t=1s) 1s até 2s
Deslocamento DURANTE o 2º segundo
Agora temos TODAS as informações, com isso podemos montar a equação horária:
Logo, podemos montar uma tabela t(s) 0 x(m) 0
1 5
2 12
3 21
4 32
Agora só resta calcular os deslocamentos:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS #01 Em um jogo de de futebol, um atleta bate uma falta comunicando à bola uma velocidade inicial Vo que forma um ângulo de 45° com o plano do chão. A bola, após um tempo de vôo de de 2,0 s, bate na parte superior da trave que está a uma altura de 2,0 m do chão. Adote g = 10 m/s² e despreze o efeito do ar. A altura máxima atingida pela bola é um valor mais próximo de: (A) 3,0 m (B) 4,0 m (C) 5,0 m (D) 6,0 m (E) 7,0 m A posição vertical em cada instante é dada por:
Com
Temos:
A altura máxima ocorre quando
Ou ainda (por derivação):
:
PROBLEMA DE CINEMÁTICA: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS #02 Uma pedra é arremessada do Ponto P com uma velocidade de 10 m/s numa direção que forma um ângulo de 45 graus com a horizontal, atingindo o ponto Q conforme indicado no esquema Considerando que a resistência do ar é desprezível, a distância d indicada no esquema, em metros, é um valor mais próximo de: (A) 2.4 (B) 7.1 (C) 12 (D) 14 (E) 24
Resolução: Sendo um movimento bidimensional, é conveniente decompor em duas direções: VERTICAL (y) e HORIZONTAL (x) Na direção y, temos um MRUV com as seguintes equações:
Para determinar qual o instante “t” em que a pedra chega ao solo , basta fazer y = 0, e chegamos a :
O deslocamento horizontal (“d” na figura), nada mais é que o deslocamento na direção “x” (em MRU) durante t = 1,707 s, logo:
Resposta: (C)
