Matemática e Realidade – UFCD 6674 Módulo 3 – Geometria e Trigonometria Cursos Aprendizagem Profª Ana Colaço
FORMANDO:________________________________
Dezembro 2017
Ficha de exercícios Nº16 - GT – Trigonometria
As Funções Trigonométricas no Círculo Trigonométrico No círculo trigonométrico, a medida do comprimento do arco é igual à medida, em radianos, do ângulo ao centro correspondente. Se considerarmos
α
expresso em radianos, sen α , cos α e tg α pode ser
considerado como seno, cosseno ou tangente de um comprimento, ou seja, de um número real. Assim, a cada número real x (comprimento do arco) corresponde um e um só número real y tal que y = sen x ,
y = cos x ou y = tg x podem ser consideradas como fun!es reais de "ari#"el real (f.r.".r$. %stas tr&s fun!es s'o camadas funções trigonométricas ou funções circulares . %ste tipo de fun!es é usado para modelar situa!es reais que envolvem fenómenos periódicos , como por exemplo , as ondas sonoras, movimento de um pêndulo, marés, fases da lua, pulsações cardíacas cardíacas,, etc. %stes fen)menos são
caracterizados por repetirem as mesmas características em intervalos de tempo sucessivos e de extensões iguais !ituação "eal *onsidera um aerogerador e a sua representa'o no plano com o respeti"o sistema de p#s num referencial o.n. esquemati+ado na figura do lado direito. Seja A o ponto que representa a extremidade de uma das p#s, O centro de rota'o e OA a unidade do referencial. No mo"imento das p#s do aerogerador em torno do ponto O, seja x a amplitude em radianos, do arco descrito pelo ponto A ponto A.. *onsidera a fun'o f que a cada amplitude x fa+ corresponder a ordenada do ponto A.
Atividades 1 ndica a ordenada do ponto A quando-
( A0 ) x = 0; ....... ( A3 ) x =
π
( A1 ) x =
π
; .......
( A4 ) x =
( A6 ) x = π ; .......
( A7 ) x =
( A9 ) x =
2
3π 2
; .......
; .......
6 2π
( A10 ) x =
3 7π
; .......
6 5π 3
; ....... ; .......
( A2 ) x =
π
; ....... 3 5π ( A5 ) x = ; ....... 6 4π ( A8 ) x = ; ....... 3 11π ( A11 ) x = ; ....... 6
( A12 ) x = 2π ; .. .......
# ndica uma express'o que define a fun'o f fun'o f .
1/6
$ epresenta no referencial os pontos definidos anteriormente.
%&'(* !+'* !e num referencial consideramos θ a a,cissa e y a ordenada o,tém-se o gr.fico de função y = sen x
/0ser"ando o gr#fico da fun'o f - x → y = sen x tiram1se as seguintes conclus!es-
•
omínio0 D f
•
ontradomínio0 D f '
•
2eriodicidade0 sen ( x ) = sen ( x + ___ ) , ∀ x ∈ ℝ , ou seja, a fun'o seno é 22222222222222
= =
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 •
2aridade0 A fun'o seno é uma fun'o 22222222
(o seu gr#fico é simétrico em rela'o
2222222222222222222222222$
sen( − x ) = ______, ∀x ∈ ℝ •
4onotonia e extremos0
A fun'o seno é estritamente crescente, por exemplo, em-
#/6
A fun'o seno é estritamente decrescente, por exemplo, em-
A fun'o seno tem m#ximos relati"os para-
A fun'o seno tem mínimos relati"os para-
•
5eros0 A fun'o seno tem +eros para-
•
n7ectividade0 A fun'o seno 22222222222222222222222222222222222222222222222222 %&'(* *!!+'*
/0ser"ando o gr#fico da fun'o f - x → y = cos x tiram1se as seguintes conclus!es•
omínio0 D f
•
ontradomínio0 D f '
•
2eriodicidade0 cos ( x ) = cos ( x + ___ ) , ∀ x ∈ ℝ , ou seja, a fun'o cosseno é 2222222222222
= =
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 •
2aridade0 A fun'o cosseno é uma fun'o 22222222
( o seu gr#fico é simétrico em rela'o
2222222222222222222222222$
cos( − x) = ______, ∀x ∈ ℝ •
4onotonia e extremos0
A fun'o cosseno é estritamente crescente, por exemplo, em-
A fun'o cosseno é estritamente decrescente, por exemplo, em-
A fun'o cosseno tem m#ximos relati"os para-
A fun'o cosseno tem mínimos relati"os para-
•
5eros0 A fun'o cosseno tem +eros para-
•
n7ectividade0 A fun'o cosseno 222222222222222222222222222222222222222222222222 $/6
%&'(* 9:';+'9+
Se num referencial se considerar θ a a0cissa e
y x
a ordenada o0tém1se o gr#fico de fun'o y = tg x .
Acerca da fun'o tangente, temos-
•
omínio0 D f
•
ontradomínio0 D f '
•
2eriodicidade0 tg ( x ) = tg ( x + ___ ) , ∀ x ∈ D f , ou seja, a fun'o tangente é 2222222222222
= =
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 •
2aridade0 A fun'o tangente é uma fun'o 22222222
(o seu gr#fico é simétrico em rela'o
2222222222222222222222222$
tg ( − x) = ______, ∀x ∈ D f •
4onotonia0
A fun'o tangente é 2222222222222222222222222222222222222222222222222222222
•
5eros0 A fun'o tangente tem +eros para-
•
n7ectividade0 A fun'o tangente 22222222222222222222222222222222222222222222222
8/6
Atividades 1
*onsidera a fun'o f ( x ) = 2 cos( x ) .
11
epresenta graficamente a fun'o f . y
2.5 2 1.5 1 0.5 x
-3π /2-4π /3-7π /6 -π -5π /6-2π /3 - π /2 -π /3 -π /6 -0.5
/6
π
/3
π
/2 2π /3 5π /6
π
π
7π /6 4π /3 3π /2
-1 -1.5 -2 -2.5
1#
#
ndica o domínio, contradomínio e período mínimo da fun'o.
*onsidera a fun'o f ( x ) = cos(2 x ) .
#1
epresenta graficamente a fun'o f . y
2.5 2 1.5 1 0.5 x
-3π /2-4π /3-7π /6 -π -5π /6-2π /3 - π /2 -π /3 -π /6 -0.5
/6
π
/3
π
/2 2π /3 5π /6
π
π
7π /6 4π /3 3π /2
-1 -1.5 -2 -2.5
##
ndica o domínio, contradomínio e período mínimo da fun'o.
$
ndica o domínio e contradomínio das seguintes fun!es-
$1
f ( x) = 3sen( x)
$#
f ( x) = 2 cos( x) − 6
$$
f ( x) = −5sen(2 x) + 2
$8
f ( x) = 2 sen2 (4 x) − 7
$<
f ( x) = 4 − 2 cos 2 (π x)
$6
f ( x) = 4 − 2 cos(π + x)
$=
f ( x) = 6tg ( x) − 5
6/6
