FG Exercicios Resolvidos v1

FORMULÁRIO O formulário abaixo figurará, tal como está, nos enunciados das provas de Física Geral, não necessitando o aluno de trazer o mesmo para a prova. É esperado que o aluno saiba o contexto de aplicação das fórmulas e o significado de todos os símbolos.

∆G = Gfinal − Ginicial

A = Ax ɵI + Ay Jɵ + Az K

;

A = πR2

Círculo: ∆r v med = ∆t

; P = 2π R

dr ; v= dt

v = cte  r = r0 + vt

; smed =

ΣF = ma

;

W = F ⋅ ∆r

Fg = mg

p = mv FG = G

1 mv 2 2

; Ec =

Em = Ec + E p

;

; VG = −G

M r

g = 9,8 m/s2 xf

; E p = − ∫ FC ( x )dx xi

; ke =

V = RI ; R = ρ

A d

∆v ; amed = ∆t

dv d 2r ; a= = 2 dt dt

;

; fk = µc FN

; FC = −

dE p dx

; WNC = ∆Em

τ = r × F   Στ = α  I 

;

; Fcentrip = m

v2 R

malha

; FB = I L × B

; Pmed =

Ie =

Imax 2

;

∆E ∆t

XC =

; Ve =

1 ωC

ε 2

 α = cte  ω = ω0 + α t  1 θ = θ0 + ω0t + α t 2 2 

; E p,elast =

; P = F ⋅v

; ag ≡ g = G

= 9,0 × 109 N.m2 .C-2 4πε 0 q ; Fe = qE ; Ve = ke ∑ i ; E pe = qVe i ri ;

M r2

; E=−

∆V ∆s

1 1 1 = + + ⋯ ; Ceq.par = C1 + C2 + ⋯ Ceq.serie C1 C2 1 1 1 = + +⋯ Req.p R1 R2

resistência : V = ±IR se corrente e circulação resp. / ⇒  f.e.m. : V = ±ε se circulação resp. do pólo ( − → + ) / ( + → − ) mv ; R= ; τ = NIA × B ; A = Anˆ qB →

µ I ds × rˆ µ I µ I dB = 0 ; µ0 = 4π × 10−7 N.A -2 ; Bfio = 0 ; Bcirc = 0 2 4π r 2π d 2 R ∆Φ B d ΦB ; ε = −N ; Φ B = ∫ B ⋅ dA ; Φ B = BA cosθ ε med = −N ∆t dt A X L = ωL

A = 2π R 2 + 2π Rh

1

1 ; E pe.cond = CV 2 2

∑V =0

;

;

; Felast ,x = −kx

; E pg = mgh

L ε ; I= ; P = IV ; PJoule = RI 2 ; Req.s = R1 + R2 + ⋯ ; A R+r

ΣIentrada = ΣIsaida FB = qv × B

Cilindro: V = π R 2 h

; G = 6,67 × 10 −11 N.m2 .kg-2

; E pG = mVG

A × B = AB sinθ nˆ

;

A = 4π R 2

;

ω = cte  θ = θ 0 + ωt

;

fs ≤ µeFN

;

A ⋅ B = AB cosθ

;

 a = cte  1D: v = v 0 + at  1  x = x0 + v 0t + at 2  2

 d = ∆θ R  v = ωR  2 at = α R ; ar = v  R

qq q Fe = ke 1 2 2 rˆ ; E = ke ∑ 2i rî r i ri ; C = ε0

4 π R3 3

; s = v =v

distância ∆t

;

ε 0 = 8,85 × 10−12 C2 .N-1.m-2

q = CV

Esfera: V =

Wtot = ∆Ec ; WC = −∆E p ; I = Fext ∆t ; I = ∆p

Mm r2

A ≡ A = Ax2 + Ay2 + Az2

 a = cte  v = v 0 + at  1 r = r0 + v 0t + at 2  2

v = cte 1D:   x = x0 + vt

d  θ = R ; 1 rot = 2π rad  dθ ∆θ  ; ωmed = ; ω = dt ∆t  dω  ∆ω α = dt ; α med = ∆t 

;

; Z = R 2 + ( X L − XC )2 ; Ve = ZIe

; Pmed = IeVe

; R Z

tgφ =

X L − XC R

; Bsolen = µ0 nI

; cos φ =

R Z

; F =L

µ0 I1 I2 2π d

1 2 kx 2

Resumo de fórmula, equações e deduções – Fundamentos de Física I – Halliday, Resnick, Walker – Resumo de Alyson Prado Wolf – Acadêmico de Engenharia Mecânica UEM CAPÍTULO 02 – MOVIMENTO RETILÍNEO

Aceleração constante: um caso especial

CAPÍTULO 03 – VETORES Assunto tratado de maneira mais completa em livros de geometria analítica. CAPÍTULO 04 – MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES

A direção da velocidade instantânea da partícula na posição da partícula. Movimento de projéteis

de uma partícula é sempre tangente à trajetória

Movimento Circular Uniforme

Movimento relativo Para constante, temos: CAPÍTULOS 05 E 06 – FORÇA E MOVIMENTO Primeira Lei de Newton: Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo ( sua velocidade não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.

),

Segunda Lei de Newton: Terceira Lei de Newton: Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce sobre o outro são sempre iguais em módulo e têm sentidos opostos. Força de atrito (i) se v = 0, a força

possui o mesmo módulo que a força

aplicada sobre o corpo.

(ii) se v = 0 e o corpo está na eminência de movimento, diz-se que máximo, cujo módulo é determinado por (iii) se v ≠ 0, então Força de arrasto

atingiu um valor

Resumo de fórmula, equações e deduções – Fundamentos de Física I – Halliday, Resnick, Walker – Resumo de Alyson Prado Wolf – Acadêmico de Engenharia Mecânica UEM Força centrípeta

CAPÍTULO 07 – ENERGIA CINÉTICA E TRABALHO Energia cinética, potencial gravitacional e trabalho.

Trabalho da força elástica

Se um bloco que está preso a uma mola se encontra em repouso antes e depois de um deslocamento, o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada responsável pelo deslocamento é o negativo do trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica. Trabalho de uma força genérica

Se a velocidade de um corpo realizando trabalho possuir mesmo módulo em dois pontos diferentes, então ΔK será nulo, logo, o trabalho realizado pela força resultante entre esses dois pontos será nulo. Potência CAPÍTULO 08 – ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Trabalho e Energia Potencial

Independência da Trajetória para o Trabalho de Forças Conservativas - O trabalho total realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move ao longo de qualquer percurso fechado é nulo. - O trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move entre dois pontos não depende da trajetória seguida pela partícula. Energia Potencial Gravitacional

Resumo de fórmula, equações e deduções – Fundamentos de Física I – Halliday, Resnick, Walker – Resumo de Alyson Prado Wolf – Acadêmico de Engenharia Mecânica UEM Energia Potencial Elástica

Conservação da Energia Mecânica Cálculo da Força Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema - Trabalho é a energia transferida para um sistema ou de um sistema através de uma força externa que age sobre o sistema.  Ausência de atrito:  Presença de atrito: Potência CAPÍTULO 09 – CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR Sistemas de Partículas

Corpos Maciços Para um corpo de densidade constante, tem-se: A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas

Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Partículas

Colisão e Impulso Colisões em série Conservação do Momento Linear Se

, então

Resumo de fórmula, equações e deduções – Fundamentos de Física I – Halliday, Resnick, Walker – Resumo de Alyson Prado Wolf – Acadêmico de Engenharia Mecânica UEM Momento e Energia Cinética em Colisões - Colisão elástica: a energia cinética total do sistema é conservada. - Colisão inelástica: a energia cinética total do sistema não é conservada. - Colisão perfeitamente inelástica: ocorre quando a perda de energia cinética do sistema é máxima, ou seja, os dois corpos permanecem juntos. Colisões Inelásticas em uma dimensão - Colisão inelástica unidimensional - Colisão perfeitamente inelástica unidimensional Para o corpo 2 inicialmente em repouso, temos:

Colisões Elásticas em uma dimensão - Para o corpo 2 inicialmente em repouso, temos: Para m1 = m2, v1f = 0 e v2f = v1i. Para , tem-se que v1f = - v1i e v2f = (2m1/m2)v1i. Para , tem-se que v1f = v1i e v2f = 2v1i - Para o corpo 2 inicialmente em movimento, temos: Colisões em duas dimensões1 Para colisões elásticas, tem-se também:

Sistema de massa variável

CAPÍTULO 10 – ROTAÇÃO

Para aceleração angular constante, tem-se:

Energia Cinética de Rotação

Resumo de fórmula, equações e deduções – Fundamentos de Física I – Halliday, Resnick, Walker – Resumo de Alyson Prado Wolf – Acadêmico de Engenharia Mecânica UEM Torque CAPÍTULO 11 – ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR O rolamento como uma combinação de translação e rotação A energia cinética do rolamento

As forças do rolamento Rolando para baixo em uma rampa

O Ioiô

Momento angular

Momento angular de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo

Actividades AF 3_1 1. Considere as seguintes afirmações produzidas por estudantes acerca da energia. A. Energia é uma força natural e é também um facto indispensável à vida. B. Energia é o petróleo, o carvão e os outros combustíveis. C. Energia é uma força, um poder, que permite aos seres terem movimento e vida e pode ser transmitida. D. Energia é o alimento dos seres vivos que lhes dá força e os faz viver. E. Energia é uma força que existe em todos os corpos do Universo, que os transforma, que os cria, que os mata. É de origem desconhecida. F. A energia é uma força que serve para accionar diversos mecanismos. G. A energia é o resultado de reacções químicas naturais ou provocadas artificialmente. Indique, uma a uma, se é correcta ou incorrecta, criticando-a. 2. Um estudante afirmou que se sente bem na praia pois sabe-lhe bem receber o calor do Sol. É cientificamente correcta esta afirmação? Fundamente.

3. A figura representa uma bala a mover-se a altíssima velocidade que perfurou uma maçã sem que esta tenha saído do seu suporte. A bala tem a massa 100 g e a sua velocidade é de 400 m/s. 3.1. Qual a energia cinética da bala? 3.2. Explique fisicamente o facto de a maçã não ser empurrada pela bala e cair do suporte.

4. Converta: 4.1. 1 000 J em cal 4.2. 1 000 J em kcal 4.3. 2,11 × 106 J em BTU 5. Determine quantas grandes calorias : 5.1. correspondem a 10 kJ; 5.2. correspondem a 1 megajoule (1 MJ) 6. Considere a seguinte afirmação: «Uma pilha contém materiais com energia eléctrica». Critique esta afirmação. 7. Informe-se sobre o funcionamento de um central termoeléctrica.Que transformações de energia ocorrem numa central termoeléctrica? 8. Informe-se sobre o funcionamento de um central hidroeléctrica.Que transformações de energia ocorrem numa central hidroeléctrica?

9. Um corpo com a massa de 100 g e o peso de 1,0 N foi deixado cair de uma altura 0,5 m, a partir do repouso. 9.1. Qual foi o trabalho realizado pela força gravítica? 9.2. O trabalho mede uma transformação de energia que ocorreu. Que transformação foi essa? 9.3. Qual a velocidade com que o corpo chegou ao fim da queda? 10. Com uma força de 600 N empurrou-se um carro ao longo de uma distância de 5 m. O carro moveu-se horizontalmente. 10.1. Qual foi o trabalho realizado pela força? 10.2. Que significa o valor obtido na alínea anterior? 10.3. Que tipo de energia foi adquirida peo carro e qual o seu valor? Fundamente. 11. Um corpo de massa 2,0 kg sobe um plano inclinado de altura 2,0 m e comprimento 4,0 m com velocidade constante. O atrito e a resistência do ar são desprezáveis. Considere o valor da aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 11.1. Que características tem a força aplicada no corpo paralela ao plano e que faz subir o corpo? Justifique. 11.2. Qual o trabalho realizado pela força referida

12. Analise o mapa conceptual da página seguinte . 12.1 Que formas de energia são referidas? 12.2 De que depende a energia cinética de um corpo? 12.3 De que depende a energia potencial gravítica de um sistema de corpos? 12.4 De que depende a energia potencial elástica? 13. Complete o mapa conceptual, indicando uma posição e ligações que façam sentido, para os seguintes conceitos: 13.1 Energia sonora. 13.2 Energia transportada pela corrente eléctrica. 13.3 Energia nuclear.

14. Um pequeno carro com massa 1,0 kg é lançado numa pista horizontal com uma velocidade de 1,0 m/s, acabando por parar ao fim de 10 s devido à força de atrito que se supõe constante ao longo do movimento. 14.1. Qual é o trabalho realizado pela força de atrito durante o percurso do carro sobre a pista? 14.2. Qual é a potência que deveria desenvolver um motor colocado no carro, de modo que este se movimentasse ao longo de toda a pista com a mesma velocidade com que é lançado nela?

15. Com que velocidade deve ser lançada uma pedra verticalmente de baixo para cima para que, na ausência de resistência do ar, ela atinja a altura h num local onde a aceleração da gravidade é g? A. v = gh B. v = 2gh C. v = gh D. v = 2gh

16. Três projécteis A, B e C, da mesma massa, são lançados de um mesmo lugar no solo com a mesma rapidez inicial v (em m/s) segundo ângulos de lançamento com a horizontal de 30º, 45º e 60º, respectivamente. Considerando desprezável a resistência do ar, que relação de grandeza há entre as velocidades dos projécteis quando estão à mesma altura h do solo? A. vA < vB < vC B. vA > vB > vC C. vA = vB = vC D. vA = vC < vB 17. Considere um sistema formado por duas partículas (1 e 2) nas seguintes situações: 1ª situação: As duas partículas estão à superfície da Terra, sob a acção da gravidade. 2ª situação: As duas partículas estão numa situação (no espaço, por exemplo) em que todas as acções de outros corpos sobre elas se podem desprezar. Em qual (ou quais) das duas situações se conserva o momento linear do sistema formado pelas partículas 1 e 2? A. B. C. D.

Em ambas as situações Na 1ª situação Na 2ª situação Em nenhuma das situações

18. Uma bola cai de uma altura de 2,00 m sobre uma superfície horizontal e é devolvida por esta até uma altura de 1,00 m. A massa da bola é 100 g. A duração do choque com a referida superfície é 0,01 s. Qual a força média de interacção entre a bola e a superfície? 19. Apresente uma fundamentação para o facto de o trabalho realizado por uma força que provoca um movimento circular e uniforme ser nulo?

20. Um bloco em repouso explode originando três pedaços. Dois dos pedaços, de massa igual, deslocam-se após a explosão em direcções perpendiculares, com velocidades de 30 m/s. O terceiro pedaço, de massa igual a três vezes a massa de qualquer dos outros, que velocidade adquire após a explosão?

Resolução das actividades 3_1 1. Todas as afirmações são incorretas. De forma breve: A. Confusão energia-força e visão naturalista da energia. B. Substantificação da energia e confusão energia-combustível. C. Confusão energia-força e associação de toda a energia ao movimento. D. Substantificação da energia e confusão energia-alimento. E. Confusão energia –força e energia como causa de as coisas sucerem como sucedem. F. Confusão energia –força e visão mecanicista d energia. G. Visão limitativa da energia cingindo-a à forma química. 2. A afirmação é incorrecta. O Sol emite luz, não emite calor. A luz é um forma de energiaenergia luminosa ou radiante que, ao incidir numa pessoa, vai transformar-se em energia interna, tal como se ele estivesse a receber calor por exemplo de um cobertor eléctrico. O efeito é o mesmo – aumento da energia intern, mas os processos ue conduzem ao efeito são diferentes. 3. 3.1. A energia cinética é : Ec = ½ m v2 = ½ ×0,1 kg × (4 × 102 m/s)2 =8 × 103 J 3.2. A bala não cai devido à inércia. Estando em repouso tende a permanecer em repouso e a passagem da bala pela maçã foi tão rápida que não deu tempo para a mação «vencer» a inércia e ser arrastada. 4. 4.1. 1000 / 4,184 cal = 239 cal 4.2. 1000 / 4184 kcal = 0,239 kcal 4.3. 2,11 × 106 / 1,05435 × 103 BTU = 2,00 × 103 BTU 5. 5.1. 10000 / 4184 Cal = 2,39 Cal 5.2. 1 000 000 / 4184 Cal = 239 Cal 6. A afirmação é incorrecta. Se, ao ligarmos a pilha a um circuito, assistimos a manifestações de energia neste, é porque a pilha já tem energia, pois a energia não surge do nada. Porém, a energia eléctrica no circuito está associada à corrente eléctrica, ou seja ao movimento dos electrões de condução da corrrente, e é, pois energia cinética. A energia ds substâncias da pilha é, pelo conrário, uma forma de energia potencial acumulada nos sistemas de materiais que a compõem. A energia eléctrica manifestada no circuito acaba portanto por resultar de reacções químicas entre as substâncias químicas que constituem a pilha. Essas substâncias possuem energia química, não energia eléctrica. A pilha, como geradorm acaba por ser um sistema que transforma energia química em energia eléctrica. 7. Numa central termoeléctrica entram combustíveis (carvão, por exemplo), que, ao serem queimados, sofrem reacções químicas que libertam energia. A energia transfere-se para o vapor de água, deste para os geradores de corrente eléctrica e, a seguir, para a corrente nos fios. O combustível, juntamente com o oxigénio, constitui um sistema com energia química (eneria potencial). Quando ocorre a combustão há uma libertação de calor (energia em trânsito da caldeira de combustão para o vapor de água que vai accionar as turbinas. Aqui a energia cinética do vapor é transferida para as turbinas e destas para os alterndores ue convertem a energia mecânic cinética em energia eléctrica. Esta é propagada através das redes eléctricas para os locais de consumo.

8. Numa central hidroeléctrica o desnível entre o orifício de saída da água para a conduta de escoamento e a turbinas confere à água energia potencial gravitacional que é transformada em energia cinética da água, quando a água cai, ao longo da conduta. Essa enegia cinética transfere-se para a turbina e desta para o alternador que a transforma em energia eléctrica propagada depois através dos fios para os locais de consumo. 9. Tem-se Fg = 1,0 N e Δr = 0,5 m. 9.1. O trabalho realizado foi w = Fg × Δr = 1,0 N × 0,5 m = 0,5 J. 9.2. Este trabalho mede a energia potencial gravítica que se transformou em energi cinética. 9.3 A energia cnética é, portanto, igual a 0,5 J. De Ec = ½ m v2 concluímos que v2 = 2 Ec /m = 1,0 /0,10 = 10 m2/s2. Extraindo a raíz quadrada obtém-se: v = 3,2 m/s 10. Tem-se F = 600 N e Δr = 5 m. 10.1. O trabalho realizado foi w = F × Δr = 600 N × 5 m = 3000 J. 10.2. O valor do trabalho, 3000 J, significa que foi transferida uma energia de 3000 J para o sistema carro-Terra. 10.3. Como o movimento é horizontal não há variação de energia potencial gravítica e toda essa energia transferida no valor de 300º J fica no carro na forma de energia cinéticase desprezarmos a energia dissipada nos atritos e na resistência do ar. 11. Tem-se

m = 2,0 kg, h = 2,0 m, l = 4,0 m e g = 10 m/s2. 11.1 Sabemos que a soma vectorial da força gravítica com a reacção do plano é uma força paralela ao plano, descendente, de intensidade Fg . h/l = Fg . sin α onde α = ângulo de inclinação do plano. Esta soma é, pois 20 N × 2,0 m/4,0 m = 10 N Para que o corpo suba a velocidade constante há que aplicar-lhe uma força simétrica desta – intensidade 10 N, direcção paralela ao plano e sentido ascendente. 11.2. O trabalho é dado neste caso por w = F × Δr = 10 N × 4,0 m = 40 J. 11.3. Esse trabalho mede a energia transferida do corpo ou sistema que exerce a força de arrastamento do corpo para o sistema corpo-Terra. Neste caso, como não há variação da energia cinética do copo, uma vez que a sua velocidade não varia, essa energia é toda convertida em energia potencial grvítica. 11.4. A energia potencial gravítica é dada por 11.5. Ep = m.g.h = 2,0 kg × 10 m/s2 × 2,0 m = 40 J Verifica-se que esta energia potencial é igual ao trabalho pelas razões apontadas na alínea anterior.

12 12.1. Energias cinética e potencial e, dentro das energias potenciais, a potencial gravítica, a potencial elástica e a potencial química. 12.2. Da massa e da velocidade. 12.3. Da posição relativa dos corpos e da massa destes. 12.4. Da deformação dos corpos e da sua elasticidade. 13. 13.1. Tenha em conta que se trata de uma energia do movimento (portanto é cinética) vibratório dos corpos elásticos (lâminas metálicas, ar, etc) que portanto depende da elasticidade destes. 13.2. Tenha em conta que se trata de energia dos electrões em movimento (portanto é cinética). 13.3. Tenha em conta que é uma forma de energia acumulada (portanto é potencial) nos núcleos e que como toda a forma de energia potencial depende da posição relativa das partículas que interactuam.

14. 14.1. O trabalho realizado, entre dois pontos da trajectória de uma partícula, pela força resultante que actua sobre ela, é sempre igual à variação da energia cinética da partícula entre esses dois pontos. No caso descrito a força resultante é a força de atrito e a variação da energia cinética é dada por

1 m( v 2f − v i2 ) 2 onde vi e vf são, respectivamente, as velocidades inicial e final da partícula. Do enunciado sabemos que a velocidade final é nula e a inicial é 1 m/s . Logo a variação de energia cinética e o trabalho da força de atrito valem –0,5 J. O trabalho é negativo porque a força de atrito se opõe sempre ao deslocamento. 14.2. Para que o carro se desloque com velocidade constante, o motor tem de exercer sobre ele uma força com o mesmo módulo e direcção da força de atrito e de sentido contrário. O módulo da força de atrito pode ser calculado a partir dos dados do problema. Para isso começamos por calcular a aceleração do movimento sem o motor. Nesse caso a velocidade v é dada, em função do tempo t, por ΔE c =

v = v0 – a t

em que a é a aceleração do movimento e v0 a velocidade inicial com que o carro é lançado na pista. Como ao fim de 10 s o carro acaba por parar, vem que a = v0/t = 1,0 m.s -1/10 s = 0,1 m/s2

Sendo m a massa do carro, o módulo da força de atrito é F = ma = 1,0 kg × 0,1 m/s2 = 0,1 N,

que é também o módulo da força exercida pelo motor se o carro mantiver a sua velocidade constante . A potência associada a uma força que actua sobre um corpo que se move com velocidade v é P = F v. Logo, neste caso a potência exercida pelo motor é P = 0,1 N ×1,0 m/s = 0,1 W.

15. A opção correcta é B.

Pela lei da conservação da energia mecânica: Ec (baixo) + Ep (baixo) = Ec (cima) + Ep (cima)

Substituindo as expressões das energias e considerando para nível zero da energia potencial a posição de lançamento, vem: ½ m v2 + 0 = 0 + mgh De aqui conclui-se que v = 2 gh

16. A opção corecta é C.

Verifica-se a lei da conservação da energia mecânica Como, à partida todos os projécteis têm a mesma energia cinética (mesma massa e rapidez) e a mesma energia potencial (nível zero de energia potencial), ou seja, à partida: Ec = constante e Ep = constante, para todos os projécteis,

concluímos que a energia mecânica é igual para todos os projécteis e terá de se manter invariável ao longo do percurso. Então, quando os projécteis estão à mesma altura, Ep = mgh = constante (para todos eles),

a energia cinética, Ec = ½ m v2, terá de ser também constante para todos eles. Logo, a rapidez será a mesma para todos os projécteis. 17. A variação do momento linear total ao longo do tempo é igual à soma de todas as forças que actuam no sistema e têm origem fora dele (forças exteriores). Por isso num sistema isolado, i.e. em que as interacções com o exterior se podem desprezar, não existem forças exteriores a actuar sobre o sistema e, portanto, o seu momento linear conserva-se. Sendo assim, na 2ª situação o momento linear conserva-se. Na 1ª situação, como consideramos que o sistema é apenas formado pelas partículas 1 e 2 e como a Terra actua em ambas através da acção da gravidade, existem forças exteriores ao sistema cuja soma é não nula. Logo, o momento linear do sistema não se conserva. Consequentemente, a resposta correcta é C. Note que se na 1ª situação considerássemos que o sistema era formado pela Terra e pelas partículas 1 e 2, as forças que eram exteriores (exercidas pela Terra sobre o sistema das partículas 1 e 2) agora já passavam a forças interiores, por a Terra fazer parte deste novo sistema. Então, se pudéssemos desprezar as acções de todos os outros corpos exteriores a este sistema partícula 1 + partícula 2 + Terra, então o momento linear total deste sistema conservar-se-ia.

18. Quer na queda da bola quer na subida posterior é válida a relação v2 = 2 g h que se obtém igualando a energia cinética no ponto mais baixo (ao chegar ao solo e ao abandonar a seguir o solo), pois aí a energia potencial considera-se nula, com a energia potencial gravítica no ponto mais alto (de que a bola parte e onde depois chega), pois aí a energia cinética é nula. No fundo basta recorrer à expressão da conservação da energia mecânica. Recorrendo à referida expressão com h = 2,00 m, obtém-se o valor da velocidade no final da descida, cuja componente é vy = - 6,26 m/s (negativa por ter sentido oposto ao eixo dos yy vertical e para cima. Recorrendo à mesma expressão com h = 1,00 m, obtém-se o valor da velocidade no início da subida, cuja componente é v’y = + 6,26 m/s (positiva por ter o sentido ascendente igual ao do eixo dos yy). Agora resta aplicar a relação de igualdade entre impulso da força no solo e variação da quantidade de movimento: Fy (média). Δt = m (v’y- vy)

Efectuando os cálculos obtém-se Fy = 105 N. 19. O trabalho realizado por uma força que leva uma partícula de A para B é, em geral, dado por um limite de uma soma de um número muito grande de deslocamentos r r elementares F ⋅ dr ao longo da trajectória quando esse número vai crescer para infinito B r r (matematicamente traduz-se por um integral ( W = ∫ F ⋅ dr ). Se considerarmos o caso do A

r movimento circular e uniforme a força F que actua na partícula em cada ponto da r trajectória e o deslocamento elementar (infinitesimal) dr com origem nesse ponto são sempre perpendiculares,r em todos os pontos da trajectória. Então cada trabalho r r elementar F ⋅ dr é nulo, e portanto a sua soma tem de ser nula. 20 É uma velocidade de módulo 14 ms-1 e cuja direcção forma um ângulo de 135º com a direcção de um dos blocos e um ângulo de 135º com a direcção do outro bloco:

Tem-se, sendo m a massa igual dos dois blocos 1 e 2, v a velocidade do bloco 3, e 3 m a massa deste bloco 3, as quantidades de movimento serão: p1 = 30 m , p2 = 30 m , p3 = 3 m v

Como a diagonal do rectângulo é igual à raíz quadrada da soma dos quadrados dos lados, para que a quantidade de movimento continue a ser nula já que o era de início, teremos: 3mv =

(30m )2 + (30m )2

Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando, acabamos por obter v = 14 m/s .

ACTIVIDADE AF2_1 1. Nas situações acima colocadas os respectivos corpos podem considerar-se partículas?

2. 2.1 Verifique que a posição do projéctil representado na figura do texto satisfaz as equações paramétricas x = 25 t (SI) e y = 9,49 t – 4,9 t2 2.2. Em que instante é que o referido projéctil passa n posição representada?

3. Suponhamos agora que o deslocamento ocorre da posição xi = + 50,0 m para a posição xf = + 20,0 m.

3.1. Caracterize o deslocamento. 3.2. Qual é a componente escalar do deslocamento no eixo Ox? 3.3. Compare o valor do deslocamento com o valor do espaço percorrido.

4. A tabela que se segue refere-se à variação da posição de uma partícula que se move rectilineamente:

Tempo Posição

t (s) x(m)

0 0

5 10

10 20

15 20

20 25

25 15

30 50

Vamos admitir que entre os instantes tabelados o movimento foi sempre regular, isto é, a posição variou regularmente. 4.1. Construa um gráfico correspondente à função x = x (t), colocando a variável tempo no eixo das abcissas (o eixo geralmente atribuído à variável independente) e a variável posição no eixo das ordenadas (o eixo da variável dependente). 4.2. O gráfico poderá corresponder a um situação real de movimento? Justifique. 4.3. Como evoluiu a posição da partícula?

5. Relativamente ao movimento a que se refere a tabela da questão anterior, determine a rapidez média da partícula entre os instantes 10 s e 25 s.

6. Se a posição de uma pequena esfera obedecer à equação horária s = 3 + 20.t – 2.t2 (SI) qual é a rapidez da esfera no instantes 2 s?

7. Considere novamente o movimento a que se refere a tabela da questão 4 e os instantes 10 s e 25 s: 7.1. Determine o valor do deslocamento entre esses instantes. 7.2. Caracterize esse deslocamento. 7.3 Detemine o valor da velocidade média da partícula entre esses instantes.

8. Analise a seguinte situação em que uma sonda espacial gira em torno da Terra.

8.1 Caracterize as forças que actuam . 8.2 A Terra move-se ao encontro da sonda? Justifique.

9. Considere uma bola de 1,0 kg parada sobre uma mesa. 9.1. Caracterize o par de forças de interacção que actuam no sistem bola-mesa. 9.2. Que forças actuam na bola? Que intensidade têm, recordando de estudos elementares que o peso de um corpo é dado pelo produto P = m.g (simplifique o valor de g para 10 m/s2). 9.3. Estas duas forças são um par acção-reacção? 9.4. Represente as forças na bola e as forças no par acção-reacção.

10. Suponha que x(t) é a posição, no instante t, de uma partícula que descreve um movimento rectilíneo. Qual dos movimentos a seguir representados é um movimento rectilíneo em que a aceleração é constante? A. B. C. D.

x(t) = 3t4 –2t2 x(t) = 2t3 –5 x(t) = 3t2 –2t x(t) = 2t-4

11. Suponha que conhece a velocidade constante de um movimento rectilíneo. Para conseguir descrever completamente este movimento (i.e. determinar a posição da partícula em qualquer instante), necessita de conhecer mais alguma grandeza? Justifique.

12. Nas situações (I) e (II) temos o mesmo corpo de massa 1,00 kg ligado a um fio de massa desprezável e sobre a mesma mesa. Em (I) puxou-se o fio com uma força de 5,0 N exercida com a mão e em (II) ligou-se o corpo a um outro corpo de massa 0,50 kg (peso 5,0 N). 12.1. Compare as acelerações do corpo de massa 10 kg nas duas situações. Situação (I) Situação (II) 1,00 kg 5,0 N 1,00 kg 5,0 N 12.2. Qual é a intensidade da força de tensão do fio que liga os corpos de massas 1,00 kg e 0,50 kg na situação (II)?

13. Porque é que quase não podemos andar numa superfície polida (chão envernizado ou uma pista de gelo, por exemplo)?

14. Uma carruagem só se põe em movimento, mesmo num troço de linha horizontal, quando se aplica nela uma força muito intensa (a força de quatro ou cinco homens pode não ser suficiente). Porém, uma vez posta em movimento, para manter a carruagem em movimento já é suficiente uma força de menor intensidade (um ou dois homens são suficientes). A que se deve esta diferença?

15. Se, num combate de boxe, fosse possível somar as intensidades das forças aplicadas nos dois contendores pelos golpes certeiros, e o vencedor fosse quem somasse mais, a luta terminaria empatada. Fundamente esta afirmação.

16. Três pessoas fazem um mesmo percurso rectilíneo. A figura mostra a coordenada x de cada pessoa, num certo referencial. 16.1 Qual das pessoas se deslocou em sentido oposto ao das outras? 16.2 A origem do referencial coincide com a posição inicial de que pessoa? 16.3 Que pessoas têm a mesma velocidade? Justificar. 16.4 Qual das pessoas tem maior rapidez? Justificar. 16.5 Caracterizar os deslocamentos das três pessoas entre t = 0 s e t = 5 s. 16.6 Caracterizar as velocidades das três pessoas entre t = 0 s e t = 5 s. 16.7 Qual o valor da resultante das forças que actuou em cada pessoa?

17. Num automóvel, a velocidade variou regularmente de 80 km/h para 30 km/h durante 1,0 min. Qual é o valor da aceleração ou seja a componente escalar da aceleração num ponto qualquer do percurso entretanto efectuado, se considerarmos um eixo Ox sobre a trajectória e tendo por sentido positivo o sentido do movimento? 18. Duas balas são lançadas para o ar, uma obliquamente e outra verticalmente, conforme se indica na figura. Estão representadas as balas e vectores aplicados em cada uma delas. Quais dos vectores representam as forças que actuam nas balas durante o seu movimento, depois de terem sido lançadas? 19. Os três blocos da figura, de massa igual, m = 1,0 kg, são empurrados horizontalmente por uma força de intensidade constante 30 N. Consideram-se desprezáveis quaisquer atritos.

19.1. Com que aceleração se desloca o conjunto dos blocos? 19.2. Mostrar que a resultante das forças no bloco A tem a intensidade de 10 N. 19.3. Caracterizar as forças que se exercem no bloco A. 19.4. Caracterizar as forças que se exercem no bloco B. 19.5. Caracterizar as forças que se exercem no bloco C. 19.6. Quando se empurra uma fila de objectos encostados uns aos outros, qual deles é submetido a forças de maior intensidade? Porquê? 20. Dois corpos A e B são ligados por um fio de massa desprezável e inextensível, assentes sobre planos inclinados de atrito desprezável, como mostra a figura seguinte. Considere o valor da aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e despreze os atritos e a massa da roldana.

20.1. Determine a intensidade da resultante das forças gravítica e de reacção do plano exercidas no corpo A. 20.2. Determine a intensidade da resultante das forças gravítica e de reacção do plano exercidas no corpo B. 20.3. Qual é o sentido do movimento de cada um dos corpos? Justifique. 20.4. Com que aceleração se move o sistema ligado dos dois corpos?

RESPOSTAS QA2_1 1. O ciclista pode considerar-se partícula, a Terra sim se estivermos apenas interessados no seu movimento de translação, mas o atleta não pois o movimento das partes do corpo não pode neste caso ser ignorado. 2. 2.1. Substituindo o valor da abcissa obtém-se t = 0,1 s. Substituindo agora o vlor de t na outra equação paramétrica, obtemos o vlor da ordend do projéctil. 2.2.

O instante é, pois, t = 0,1 s.

3. 3.1. O deslocamento é um vector com a direcção do eixo Ox e o sentido negativo deste. 3.2. É

Δx = xf - xi = (+ 20,0 m) – (+ 50,0 m) = - 30,0 m 3.2. Como o deslocamento se efectua no sentido negativo do eixo Ox, o valor do deslocamento deu negativo, – 30,0 m, mas o espaço percorrido é positivo, + 30,0 m. 4. 4.1.

60

Posição (m)

50

50

40 30 25 20

20

20 15

10

10

0

0 0

5

10

15

20

25

30

35

Tempo (s)

4.2. Não. Trata-se de uma solução ideal. As variações de posição nas situções reais não podem ocorrer desta forma descontínua, como por exemplo sucede aos 25 s. A posição estava a decrescer ao mesmo ritmo dos 20 s aos 25 s e instantâneamente passou a crescer ao mesmo ritmo dos 25 s aos 30 s. Nenhum prtícul real pode ir a um ritmo constante num sentido e instantaneamente mudar de sentido. 4.3. Basta fazer-se uma leitura simples do gráfico posição-tempo:

- o carro andou 20 m para a frente da posição inicial entre o instante inicial e o instante 10 s; - instantaneamente (situação ideal!) parou; - manteve-se parado os 5 s que decorreram entre os instantes 10s e 15 s, na posição + 20 m; - andou a seguir 5 m para a frente entre os instantes 15 s e 20 s atingindo a posição + 25 m; - instantaneamente (situação ideal!) passou a recuar, deslocando-se 10 m para trás entre as posições + 25 m e + 15 m em 5 s; - instantaneamente (situação ideal!) passou a avançar novamente, andando 35 m para a frente deslocando-se da posição + 15 m a + 50 m em 5 s.

5. Tem-se, que entre as posições referentes aos 10 s e aos 25 s, a patícula percorreu uma distância total: Δs = 0 m (dos 10 s aos 15 s) + │25 m – 20 m │(dos 15 s aos 20 s) + +│15 m – 25 m │(dos 20 s aos 25 s) = 0 m + 5 m + 10 m = 15 m

Como a rapidez média é dada por

vem neste caso

rapidez média = 15 m / 15 s = 1,0 m/s

6. Tem-se v=

= 20 - 4.t (em m/s)

pelo que a rapidez aos 2 s é v = 20 - 2 ×2 = 16 m/s

7. 7.1. As posições inicial e final consideradas são as seguintes x10 = 20 m

e

x25 = 15 m

Portanto o valor do deslocamente é: Δx = x25 - x10 = 15 m – 20 m = - 5 m 7.2. Trata-se de um vector com módulo 20 m, assente no eixo Ox e com o sentido negativo desse eixo. 7.3. O valor da velocidade média pode-se calcular por:

Neste cso obtém-se – 5 m / 15 s = - 0,33 m/s

8. 8.1. Actuam duas forças gravitacionais simétricas, uma aplicada na sonda e outra na Terra. Qualquer delas tem uma intensidade igual ao «peso» da sonda no local onde se situa. 8.2. Teoricamente, pode-se dizer que devido a este par de forças, cada uma a actuar no seu corpo, a sonda é atraída gravitacionalmente para a Terra e, simultaneamente, atrai a Terra. Pode dizer-se portanto que a Terra também cai para a sonda… Na prática a Terra também é solicitada a «cair» para o corpo, uma vez que é igualmente actuada por uma força gravitacional da mesma intensidade. Porém, este movimento da Terra é totalmente desprezável, devido ao elevado valor da massa da Terra (e, por isso, da sua inércia) e ao facto de ela ser solicitada a mover-se de todos os lados... 9. 9.1. A duas forças são as seguintes: uma exercida pela bola na mesa, dirigida verticalmente para baixo e outra exercida pela mesa na bola, verticalmente para cima. As duas forças têm igual intensidade. 9.2. Na bola actuam duas forças: • uma força gravitacional de 10 N (1,0 kg × 10 m/s2), dirigida para baixo; • uma força exercida pela mesa, dirigida para cima, igualmente de 10 N. 9.3. Estas forças não constituem um par acção-reacção, uma vez que estão aplicadas no mesmo corpo. A força que faz par acção-reacção com a força exercida na bola pela mesa é a força que a bola exerce na mesa. 9.4.

10. Um movimento rectilíneo uniformemente acelerado caracteriza-se por ter uma aceleração constante (e diferente de zero). A aceleração é, por definição, a derivada da velocidade em ordem ao tempo. A velocidade, por sua vez, é a derivada da posição x em ordem ao tempo Derivando duas vezes em ordem ao tempo as equações dos movimentos representados, apenas no caso C se obtém uma constante diferente de zero. Logo, a resposta correcta é C. Note que todos os movimentos rectilíneos em que a posição depende do tempo através de um polinómio de grau 2 são uniformemente acelerados. Qual dos movimentos representados é rectilíneo e uniforme (velocidade constante)?

11. Se o movimento rectilíneo tem velocidade constante sabemos que o gráfico da posição x em função do tempo t é uma linha recta. O que não sabemos é se tal recta passa pela origem (para t = 0 s é x = 0 m) ou não (para t = 0 s é x ≠ 0). Portanto no fundo temos de conhecer além da velocidade, também a posição inicil da partícula.

12. 12.1. A aceleração é menor na situação II. Com efeito, nesta situação, a força de 5,0 N arrasta o corpo da mesa e o próprio corpo suspenso. Logo, neste caso a massa a arrastar é maior, portanto a inércia é maior, por isso é menor a aceleração. 12.2. O fio, tenso, exerce uma força de tensão no corpo de 1,0 kg na mesa. Essa força é potente (o fio puxa o corpo para a «frente»). O mesmo fio exerce um força no corpo suspenso que é resistente (puxa-o par «trás» à medida que este é solicitdo a mover-se pelo seu próprio peso. Dada a massa desprezável do fio, estas forças de tensão podem considerar-se do mesmo módulo. Vejamos porquê. A força de tensão do fio no bloco suspenso tem a mesma intensidade da força com que o bloco suspenso puxa o fio, Ffio/bloco suspenso. Porquê? São um par acção-reacção. A força de tensão com que o fio puxa o bloco da mesa tem a mesma intensidade da força que o bloco da mesa exerce no fio, Ffio/bloco da mesa. Porquê? São um par acção-reacção. Ffio/bloco suspenso - Ffio/bloco da mesa = mfio × aceleração Como consideramos mfio nula ambos os membros da iguldde são nulos, as forças do primeiro membro são iguais em módulo e os seus pares (as tensões do fio de um lado e do outro) também iguais em módulo. Ambs têm a mesma intensidade que representmos por T. A lei fundamental aplicada ao corpo na mesa de massa 1,00 kg pode traduzir-se assim: T = m. a = 1,00 kg × a m/s2 A lei fundamental aplicada ao corpo de massa 0,50 kg pode traduzir-s deste modo: 5,0 N - T = m. a = 0,50 kg × a m/s2 A resolução deste sistema de duas equações a duas incógnitas, a e T, dá-nos a solução: T = 3,33 N

13. Não havendo atrito não conseguimos que os nossos pés exerçam forças de acção no chão com componentes dirigidas para trás. Em consequência, não são desencadeadas reacções do chão sobre nós dirgidas para diante. Ora só estas componentes horizontais para a frente das forças exercidas pelo chão em nós podem produzir acelerações em nós e colocar-nos em movimento.

14. Deve-se à inércia. No primeiro caso a carruagem tem uma grande inércia de repouso, pois a sua massa é enorme, e exige-se uma grande força para a acelerar. No segundo caso, com a carruagem a mover-se, ela tem uma grande inércia de movimento, pois a sua massa é enorme, e tem a tendência natural para manter a sua velocidade com resultante de forças nula. A força que se exige para a manter em movimento é apenas a estritamente necessária para equilibrar os atritos e resistência do ar.

15. Esta afirmação fundamenta-se na lei da acção-reacção. Em qualquer dos contactos de um dos combatentes no outro, independentemente da força envolvida, há duas forças simétricas, ou seja de igual intensidade, a actuar cada uma delas em cada um deles. Ambos estão pois sujeitos a forças de igual intensidade. A diferença está na resistência do «material» onde a força actua (face, punho, olhos, tórax, etc.) mas isso não está contemplado nesta questão!...

16. 16.1. A 16.2. B 16.3. B e C, porque o declive da linha recta no gráfico (t,x) é o mesmo. 16.4. A, porque independentemente o facto de se mover em sentido contrário, ele percorre maior distância por unidade de tempo, já que a linha do gráfico está mais inclinada. 16.5. Deslocamento de A - direcção: a de Ox; sentido: negativo de Ox; magnitude: 15 m. Deslocamentos de B e C - direcção: a de Ox; sentido: positivo de Ox; magnitude: 10 m. 16.6. Velocidade de A - direcção: a de Ox; sentido: negativo de Ox; magnitude: 3 m/s. Velocidades de B e C - direcção: a de Ox; sentido: negativo de Ox; magnitude: 2 m/s. 16.7. As resulatntes das forças são todas nulas porque as velocidades das pessoas são constantes.

17. É - 0,23 m/s2.

18. São os vectores 2 e 4, respectivamente para a bola lançada verticalmente e obliquamente.

19. 19.1. 30 N = 3,0 kg × a, o que implica que a = 10 m/s2. 19.2. Fres = 1,0 kg × 10 m/s2 = 10 N 19.3. Dsignando por FA/B a intensidade da força exercida em A pelo corpo B, vem 30 N – FA/B = 10 N Portanto FA/B = 20 N 19.4. Força exercida em B por A = FB/A = 20 N Força exercida em B por C = FB/C = 10 N 19.5. Força exercida em C por B = FC/B = 10 N 19.6. O primeiro, ou seja o que está em contacto com a força exterior que empurra (ou puxa), porque esta se vai repartindo pelos diferentes blocos.

20 20.1. 3,4 N 20.2. 5,0 N 20.3. Move-se para o lado de B porque a força resultante das duas anteriores aponta para esse lado. 20.4. 5,0 N – T = 1,0 × a T - 3,4 N = 1,0 kg × a Este sistema permite-nos obter a = 0,8 m/s2

ACTIVIDADES FORMATIVAS AF2.2 1. Uma partícula descreveu uma semicircunferência de raio 0,40 m em 2,0 s com rapidez constante .Considera-se um referencial com origem no centro da semicircunferência. 1.1. Que tipo de movimento teve a partícula? 1.2. Qual foi a distância percorrida dos 0 s aos 2,0 s? 1.3. Caracterize o deslocamento da partícula no referido intervalo de tempo. 1.3. Caracterize o deslocamento da partícula do instante inicial ao instante 1,0 s. 1.4. Qual foi a distância percorrida pela partícula ao fim de 1,0 s.

2. Um carrinho partiu da posição x0 = 0 m e do repouso, seguindo por um trilho rectilíneo com uma aceleração constante de 2 m/s2. Ao fim de 4,0 s estava na posição x4 = 16 m. 2.1. Classifique este tipo de movimento. 2.2. Baseando-se no conceito de aceleração determine a velocidade do carrinho na referida posição aos 4 s. 2.3. Mostre que velocidade atingida pelo carrinho na referida posição está relacionada com a aceleração e a distância percorrida através da expressão v2 = 2.a.s 3. Um carro move-se numa estrada recta e horizontal no sentido de Norte para Sul, a 80 km/h, durante 20 s. 3.1. Qual a rapidez do carro em m/s? 3.2. Qual o módulo da velocidade em m/s? 3.3. Que distância percorre durante os 20 s? 3.4. Qual o valor da velocidade (componente escalar da velocidade) do carro num eixo com a orientação Sul-Norte? 4. Um carro desloca-se em linha recta a 50 km/h no sentido positivo de um eixo Ox. Quando o carro se encontra na origem do eixo Ox, começa-se a contar o tempo. 4.1. Escreva a equação das posições do carro no referencial indicado, em unidades SI. 4.2. Escreva a equação que permite calcular a distância percorrida ao fim de t segundos, em unidades SI. 4.3. Esquematize os gráficos (t, x) e (t, s). 4.4. Determine a posição do carro ao fim de 10 s, a partir da equação das posições e a partir do gráfico (t, x). 4.5. Considere agora um outro eixo de referência com a origem na posição 10 m antes da posição onde se iniciou a contagem do tempo. Qual é, neste novo referencial, a equação das posições?

5. Na figura estão representadas graficamente as posições de duas partículas, A e B, que se movem «sem colidir» ao longo do eixo dos xx de um referencial. 5.1 Escreva a equação das posições da partícula A. 5.2 Escreva a equação das posições da partícula B. 5.3 Partindo das expressões anteriores, determine quando e onde as duas partículas se encontram. 5.4 Confirme os valores anteriores por leitura directa no gráfico. 6. Um carro a 100 km/h trava e pára em 10 s. Caracterize a aceleração do carro, supondo que ela é constante e que o movimento é rectilíneo. 7. Duas partículas, A e B, iniciaram um movimento rectilíneo vertical no mesmo instante, partindo de posições diferentes. Os respectivos gráficos tempo-velocidade estão representados na figura seguinte:

7.1. Qual das partículas foi deixada cair sem velocidade inicial? E qual delas foi lançada para cima, com uma certa velocidade inicial? 7.2. Qual é o valor da aceleração da partícula A? E da partícula B? 7.3. Em que instante atinge a altura máxima a partícula que foi lançada para cima? 7.4. Qual é a distância percorrida por cada uma das partículas entre 0 s e 3 s? 7.5. Escreva as equações das velocidades de ambas as partículas. 8. Numa corrida de 100 m, um atleta chega à meta fazendo a marca de 10,2 s. Admita que o atleta acelerou uniformemente durante os 2,0 s iniciais da corrida até atingir uma velocidade constante até ao final. 8.1. Calcule a magnitude da aceleração do atleta nos dois primeiros segundos. 8.2. Calcule a velocidade máxima do atleta. 8.3. Esboce os gráficos v(t) e a(t).

9. Suponha que x(t) é a posição, no instante t, de uma partícula que descreve um movimento rectilíneo. 9.1. Qual dos movimentos a seguir representados é um movimento rectilíneo uniformemente variado? A. x(t) = 3t4 –2t2 B. x(t) = 2t3 –5 C. x(t) = 3t2 –2t D. x(t) = 2t-4 9.2. Qual é a aceleração da partícula? 9.3 Qual é a equação das velocidades da partícula? 9.4. Em que sentido se move a partícula no instante inicial? 10. Uma esfera é lançada verticalmente de baixo para cima. No preciso instante em que atinge o ponto mais alto, que características têm a sua velocidade e a sua aceleração? A A velocidade é nula e a aceleração é nula. B A velocidade é para cima e a aceleração é para baixo. C A velocidade é nula e a aceleração é para baixo. D A velocidade é nula e a aceleração é para cima. 11. Uma bola é projectada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20 m s-1. Considerar desprezável a resistência do ar e g =10 m s-2. 11.1 Qual é a altura máxima que a bola atinge? 11.2 Em que instante a bola atinge a posição a metade da altura máxima? 11.3 Esboçar o gráfico vy(t). 11.4 Esboçar o gráfico ay(t). 11.5 Esboçar o gráfico v(t). 11.6 Esboçar o gráfico a(t). 11.7 Esboçar o gráfico y(t). 12. Como se caracteriza a trajectória e o módulo da velocidade de um movimento curvilíneo com aceleração tangencial nula e aceleração normal constante? Justifique. 13. Uma partícula descreve um movimento circular e uniforme de raio R com velocidade linear de módulo v. Qual o período T de rotação da partícula? A. B. C. D.

T = v/R T = v / (2πR) T = R/v T = 2πR/v

14. Um automóvel move-se numa pista circular de 1,0 km de raio. Parte do repouso e desloca-se com aceleração tangencial constante, atingindo uma velocidade de módulo 30,0 m/s no fim da primeira volta. 14.1. Qual é o valor da aceleração normal no final da primeira volta? 14.2. Qual é o valor da aceleração tangencial do movimento?

15. O vector posição de uma partícula, de massa 0,5 kg, que se move num plano, relativamente a um determinado referencial, é dado, em função do tempo, por

G G G r = 4t 2 u x + 5t 3 u y em que t é expresso em segundos e a posição em metros. Determine a força que actua sobre a partícula no instante 4,0 s.

16. Considere o seguinte dispositivo sob a acção da gravidade (g = 10 m/s2). As massas dos corpos A e B são iguais a 4,0 kg. As massas das roldanas e dos fios são desprezáveis.

A

B

16.1. Quanto pesam os corpos A e B? 16.2 Determine as acelerações dos corpos A e B e as forças de tensão nos fios no caso em que não existe quaisquer atritos.

RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES 2.2 1 1.1. Teve um mvimento circular e uniforme, circular porque a trjectória é circular e uniforme porque a rapidez é constante. 1.2. A distância percorrida foi metade do perímetro da circunferência de raio r = 0,40 m: s = (2 p r)/2 = 3,14 ´ 0,40 = 1,26 m 1.3. O deslocamento efectudo tem o módulo ou magnitude de 0,80 m (o dobro do raio). A direcção do deslocamento é a direcção do eixo dos xx e o sentido negativo do eixo Ox. O deslocamento teve origem no ponto de coordenadas x = + 0,40 m e y = 0,00m e terminou no ponto de coordenadas x = – 0,40 m e y = 0,00 m. O valor (projecção) do deslocamento ocorrido no eixo Ox foi, portanto, - 0,80 m. 1.4. Ao fim de 1,0 s a partícula percorreu 1/4 da circunferência. O deslocamento efectuado é o vector que une o ponto inicial de coordenadas (0,40 m; 0,00 m) ao ponto de coordenadas (0,00 m; 0,40 m). Pode medir-se a magnitude desse vector utilizando o teorema de Pitágoras:

0,402 + 0,402 = 0,56 m 1.5. Ao fim de 1,0 s, a partícula percorreu 1/4 da circunferência: s = (2 π r)/4 = 0,63 m 2. 2.1. Trata-se de um movimento rectilíneo uniformemente acelerado. 2.2. Dado que a aceleração traduz a variação da velocidade por unidade de tempo, o facto de ela ser 2,0 m/s2 significa que a velocidade aumentou de 2,0 m/s em cada segundo, sendo pois de 2,0 m/s ao fim de 1 s, 4,0 m/s ao fim de 2 s, 6,0 m/s o fim de 3 s e 8,0 m/s ao fim de 4 s. 2.3. Se em linh recta o móvel foi da posição 0 m à posição 16 m, percoreu uma distância 16 m. Sendo então, aos 4 s, v = 8 m/s , s = 16 m e a = 2 m/s2 (constante ao longo de todo o percurso) temos que: v2 = 64 m2/s2 e 2.a.s = 2 × 2 m/s2 × 16 m = 64 m2/s2. 3. 3.1. Como a rapidez é constante, temos 80 km/h = 80 000 m / 3 600 s = 22,2 m/s. 3.2. A magnitude da velocidade é igual à rapidez: v = 22,2 m/s. 3.3. A distância percorrida é s = 22,2 m/s × 20 s = 444 m. 3.4. Como o movimento é de Norte para Sul e a orientação do eixo é Sul-Norte, a componente escalar da velocidade é negativa: vx = – 22,2 m/s. 4. 4.1. Convertendo a velocidade em m/s temos: v = 50 km/h = 50000 m / 3600 s = 13,9 m/s. Como o sentido do movimento coincide com o sentido de Ox, o valor da velocidade ou seja a componente escalar do correspondente vector segundo Ox é vx = + 13,9 m/s. A posição do carro no instante t = 0 s coincide com a origem do referencial. Logo, x0 = 0 m. Portanto, a equação das posições do carro, em unidades SI, é: x = 0 + 13,9 t ou, simplesmente, x = 13,9 t 4.2. Como v = 13,9 m/s (e é constante), tem-se, para a distância percorrida, s, ao fim de t segundos: s = 13,9 t (em unidades SI)

4.3.

4.4. Como x = 13,9 t vem, para t = 10 s, x10 = 13,9 m/s A partir do gráfico temos :

10 s = 139 m .

4.5. No novo referencial, a posição no instante t = 0 s é x0 = 10 m. Deste modo, a equação das posições neste novo referencial é: x = 10 + 13,9 t (em unidades SI) 5. Tendo em conta a equação das posições x = x0 + vx. t, temos: 5.1. xA = 8 + 2,0 t (SI) 5.2. xB = 5 t (SI) 5.3. xA = xB t = 2,7 s 6. O módulo da velocidade do carro varia de 100 km/h = 27,8 m/s a 0 m/s. Portanto, o módulo dessa variação é 27,8 m/s em 10 s. A aceleração tem então por módulo 27,8 m/s a dividir por 10 s, ou seja 2,78 m/s2. Quanto à direcção ela é a da trajectória rectilínea. O sentido da aceleração é o sentido oposto ao do movimento. 7. 7.1. Sem velocidade inicial: B Com velocidade inicial: A 7.2. a = vy/ t = –10 m/s2 7.3. t = 3 s 7.4. 45 m 7.5. A: vy = 30 – 10 t B: vy = – 10 t

8. 8.1. Distância percorrida em mov. uniformemente acelerado, expressa em metros, nos primeiros dois segundos (sendo a a magnitude da aceleração): s= 1/2 a 2,02 = 2,0 a (SI) Rapidez ao fim de 2,0 s: v2 = at = a × 2,0 = 2,0 a (SI) Distância percorrida em mov. uniforme, expressa em metros, entre 2,0 s e 10,2 s: s = v2 × Δt = 2,0 a (10,2 – 2,0) = 16,4 a (SI) Distância total: 2,0 a + 16,4 a = 100 Daqui tira-se: a = 5,4 m/s2 8.2. v = a t = 5,4 × 2,0 m/s = 10,8 m/s 8.3.

9. 9.1. A opção correcta é a C De facto a equação dada em C obedece à fórmula geral x = x0 + v0xt + ½ ax.t2, ou seja: é uma equação do 2º grau. 9.2. Comparando a equação dada com esta expressão geral vemos que ½ ax.= 3 Portanto ax.= 6 m/s2. 9.3. Continuando a comparar a equação dada com a fórmula geral conclui-se que x0 = 0 m/s e v0x = -2 m/s Então a equação das velocidades v = v0x + ax.t será neste caso v = -2 + 6.t (SI) 9.4. Como a velocidade inicial é negativa (v0x = -2 m/s) a partícula no instante inicial move-se no sentido negativo. 10. Opção C. A velocidade é nula porque o corpo tem de inverter a velocidade o que exige que pare. Mas continua sempre a ser acelerado para baixo pois continua sempre actuado pela força-peso para baixo. Por isso ele não permanece parado. A paragem é instantânea.

11. 11.1. y = 20 t – 5 t2 => vy = 20 – 10 t Fazendo vy = 0 ⇒ t = 2 s. Ora t = 2 s ⇒y2 = hmáx = 20 × 2 – 5 × 22 = 20 m 11.2. 10 = 20 t – 5 t2 ⇒ t2 – 4 t + 2 = 0 ⇒ t = 0,6 s e t = 3,4 s. Logo, t = 3,4 s 11.3.

11.4

11.5.

11.6.

11.7.

12. É um movimento de trajectória circular e com velocidade de módulo constante. Num movimento curvilíneo, sendo R o raio de curvatura da trajectória e v o módulo da velocidade, a aceleração normal é

an = v 2 / R e a aceleração tangencial

at =

dv dt

Se a aceleração tangencial é nula, então o módulo da velocidade é constante. Se a aceleração normal é constante e o módulo da velocidade é constante então o raio de curvatura da trajectória é constante. Trajectórias com raio de curvatura constante são somente as trajectórias circulares. Um movimento curvilíneo com aceleração tangencial nula e aceleração normal constante é um movimento circular e uniforme. 13. A opção correcta é a D. O período T é o tempo que a partícula demora a percorrer uma volta completa sobre a circunferência. Durante o período T a partícula percorre um espaço igual a 2πR, com velocidade de módulo constante v. Como o módulo da velocidade é constante podemos dizer que é igual ao espaço percorrido dividido pelo tempo necessário para percorrer esse espaço. Logo, v = 2πR /T . E de aqui tira-se: T = 2πR /v. Nota: é importante que ganhe familiaridade com as noções de aceleração normal, velocidade linear, velocidade angular, período e frequência num movimento circular e uniforme e que seja capaz de as relacionar. 14. 14.1. A aceleração normal relaciona-se sempre, em cada instante, com o módulo da velocidade linear v e com o raio R da trajectória circular por,

v2 an = R Como v = 30 m/s e r = 1000 m, substituindo estes valores na expressão anterior, conclui-se que a aceleração normal é 0,9 m/s2. 14.2. A aceleração tangencial, at , é a taxa de variação da rapidez v do automóvel, sendo por isso traduzida pela derivada

dv . Como, segundo o problema, esta taxa de variação de v é constante, dt

isso significa que a rapidez v cresce regularmente de 0 a 30,0 m/s. A rapidez v, em cada instante, indica-nos por sua vez a taxa de variação da distância percorrida pelo automóvel, sendo por isso dada pela derivada

ds . dt

Estamos, pois, num situação paralela à que vimos no movimento

rectilíneo uniformemente acelerado. Neste, a aceleração coincidia com a sua componente tangencial, pois a componente normal ou centrípeta era nula (a velocidade nesse movimento não varia em direcção). Se no movimeno rectilíneo uniformemente acelerado podemos calcular a distância percorrida sobre a trajectória a partir do repouso pela expressão

s=

1 2 a t 2

e a rapidez v pela expresão v=at

porque o valor da aceleração a é constante, neste caso e em todos os casos em que o valor da aceleração tangencial at é constante, podemos determinar a distância percorrida sobre a trajectória, s, ao fim de um tempo t por,

s=

1 a t2 2 t

e a rapidez ou módulo da velocidade linear pela expressão

v=a t t Elevando ao quadrado a segunda destas expressões, resolvendo a equação obtida em ordem a t2 e substituindo na primeira equação, obtém-se

v2 a = t 2s Como conhecemos a velocidade ao fim de uma volta (30,0 m/s) e o espaço percorrido ao fim dessa volta (2πR) podemos calcular a aceleração tangencial obtendo-se, at = 0,07 m/s2. 15. A expressão que o problema fornece

G G G r = 4t 2 u x + 5t 3 u y

G

é a do vector-posição, r (vector que une a origem O do referencial Oxy à posição da partícula) G dado como uma função do tempo. De facto, o vector-posição, r suge como a soma das suas componentes vectoriais, segundo os eixos Ox e Oy, ambas funções da vaeriável tempo. Os G G vectores u x e u y são os vectores unitários (módulo =1), também chmados versores, dos eixos. A velocidade ou vector-velocidade é a derivada deste vector posição em ordem ao tempo, ou seja:

G G G v = 8tu x + 15t 2u y A aceleração ou vector aceleração é a derivada deste vector em ordem ao tempo, ou seja:

G G G a = 8u x + 30tu y Para calcular a força que actua sobre esta partícula utiliza-se a relação entre a aceleração e a força

G G G G G G F = ma = 0,5(8u x + 30tu y ) = 4 u x + 15t u y (N)

Para calcular a força no instante 4,0 s basta substituir t por 4,0 s. Obtém-se:

G G G F = 4 u x + 60 u y (N) Esta expressão informa tudo o que há a saber acerca da aceleração.

16. 16.1. Sendo o peso de um corpo a força que lhe imprime a aceleração da gravidade quando cai, tem-se P = m.g = 4,0 kg × 10 m/s2 = 40 N 16.2. Neste dispositivo o corpo A é arrastado pelo fio de um distância s de 0 a t segundos. Neste mesmo intervalo de tempo, a roldana e o corpo B só caem de uma distância s/2, porque, nessas condições, os extemos do diâmetro da roldana onde o fio enrola descem ambos s/2, e s/2 + s/2 vai dar a distância s de arrasto de A. A consequência é que as acelerações do corpo A, aA, e do corpo B, aB, relacionam-se por aA= 2.aB. Sendo TA a força de tensão do fio que puxa o corpo A, e m a massa do corpo A, temos, pela lei fundamental aplicada ao corpo A TA= m aA

(1)

Para o corpo B esta mesma lei traduz-se por -TB +mg = m aB (2) em que TB é a força de tensão do fio no corpo B. Como TB = 2 TA , obtém-se de (1) e (2), g- 2 aA = aB Dada a relação entre as acelerações dos dois corpos obtém-se, aA = g/5 ; aB = 2g/5 Ou seja, aA = 2,0 m/s2 e aB = 3,9 m/s2 . O cálculo das forças de tensão é efectuado utilizando (1) e (2), obtendo-se TB = 15,7 N e TA = 7,8 N.

Física Geral 21048

Física Geral 21048 ACTIVIDADES FORMATIVAS 4 Electromagnetismo 1. Uma carga de 1 C é colocada no ponto P da figura ao lado. As cargas em A, B e C estão fixas. As distâncias AB = 3 m e BP = 4 m são iguais a, respectivamente, BC e CP. a. Caracterize o campo elétrico que a carga em P cria em A, B e C. b. Que energia teríamos que fornecer à carga no ponto P para a levar desse ponto até ao infinito? c. Imagine que as quatro cargas estão dentro de uma esfera de vidro. Qual é o fluxo do campo elétrico através dessa esfera?

2. Considere o condensador da figura ao lado. Trace as linhas de força do campo eléctrico entre as placas e as curvas equipotenciais. Ignore os efeitos das bordas.

P 1C

4m A 1C

3m B -2 C

+ + + +

C 3C

_ _ _ _

3. Um solenóide de 1 cm de comprimento e 200 espiras é percorrido por uma corrente de 5 A, sendo que o campo magnético dentro dele gerado toma a direcção ez . Nesse solenóide entra um electrão entra com velocidade v = (2 × 108 ex ) m/s . Qual a componente magnética da força de Lorentz que actua no electrão à entrada no solenóide? 4. Um aquecedor consome 2000 W de potência. O fio elétrico que o liga à tomada é composto por dois condutores revestidos por camadas de plástico com 0,6 mm de espessura. Calcule a força exercida por metro sobre o plástico do revestimento. 5. Considere o circuito elétrico abaixo. A potência dissipada na casa é de 20 W.

1/3 Versão:13-Dez-08

Física Geral 21048

I1 I2 I3

V

~

R1 = 3 Ω R2 = 3 Ω

Ic

R3 = 3 Ω Rc = 5 Ω P = 20 W

a. Calcule a potência dissipada por efeito de Joule nas resistências R1, R2 e R3 e a tensão V aos terminais do gerador. b. Suponha que a resistência R3 falha, deixando de passar corrente por ela. Recalcule as quantidades da pergunta 1, exigindo que a potência dissipada na casa continue a ser 20 W. c. Suponha que, além da resistência R3, a resistência R2 falha também. Re-calcule as quantidades da pergunta 1, exigindo novamente que a potência dissipada na casa continue nos 20 W. 6. O circuito do problema anterior representa um modelo protótipo de produção e distribuição de eletricidade, a nível local ou nacional. O gerador toma o papel de central de produção. As três resistências em paralelo, R1, R2 e R3, representam uma “rede elétrica”, ou seja, vários caminhos por onde a eletricidade pode ir da central até aos consumidores, os quais são representados pela resistência Rc (a casa). O facto da potência dissipada em Rc ser sempre de 20 W significa que a procura dos consumidores é constante e que, consequentemente, a central e a rede têm que disponibilizar tanta energia quanta a que os consumidores exigem. A supressão das resistências R2 e R3 representa o acontecimento de anomalias na rede (pequena anomalia: R3 fora de serviço, grande anomalia: ambas R2 e R3 fora de serviço). Discuta com os seus colegas no fórum moderado pelos estudantes as seguintes questões: a. Olhando ao modelo, que vantagens vê em transportar eletricidade por redes? E que custos, físicos e económicos, tem esse transporte? b. Que consequências espera, ao nível da central, da rede e dos consumidores, de uma pequena anomalia na própria rede? E de uma grande? c. Se, no caso de uma anomalia, a central não tiver potência de reserva (ou seja, não puder aumentar a potência que produz), que acontecerá aos consumidores? 7. Uma central hidroeléctrica gera a potência de 400 MW. A energia eléctrica produzida é transportada à tensão de 100 kV por um cabo de alumínio, com 10 cm de diâmetro, até uma subestação abaixadora, situada a 200 km de distância da central, onde é depois dividida pelos consumidores. Tratando o problema como se tratasse de corrente contínua, calcule: a. A potência perdida por dissipação em calor (efeito de Joule) durante o transporte. O que aconteceria a esta perda se a tensão de transporte caísse para metade?


Física Geral 21048

b. Caracterize o campo magnético a 50 m de distância do cabo. Compare a sua intensidade com a do campo magnético terrestre em Portugal, que é de 44 x 10-6 T. c. Na central, a eletricidade é obtida de um gerador elétrico, um aparelho que transforma energia mecânica em energia elétrica. Faça uma pesquisa na internet para saber como funciona uma central hidroeléctrica e, baseado nesta, explique de onde é que vem a energia mecânica para o gerador e como é que este a transforma em energia elétrica. Dados: ρalumínio = 1/ σ alumínio = 2,65 × 10 −8 Ωm 8. Considere o circuito elétrico da figura abaixo.

C1 = 5 µF I=?

E = 220 V f = 50 Hz

R1 = 30 Ω

C2 = 1 µF

~

R2 = 20 Ω

R3 = 20 Ω

L1 = 1 H

L2 = 2 H a. Calcule a capacitância, resistência e indutância equivalentes. b. Calcule a intensidade de corrente no circuito simplificado, a potência dissipada e o ângulo de fase entre a tensão e a corrente. Sugestão: usando a alínea anterior, reduza este circuito a um circuito RLC comum.


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Física Geral 21048

ORIENTAÇÕES DE RESPOSTA às ACTIVIDADES FORMATIVAS 4

Electromagnetismo

1. (Distribuição de cargas.)

1 QP rˆ , com rˆ o 4πε 0 d 2 vector unitário na direção do ponto à distância d. O campo crido no ponto B é simples de calcular, dado que a direção BP é vertical, logo expressa pelo vector unitário ey . Temos então

a. O campo elétrico criado pela carga P é dado pela Lei de Coulomb, E =

 1 −1  8 − = × E = ( e ) V/m 5,625 10 ey V/m . Note-se que o campo aponta para cima,  y 2  4πε 0 (dPB )  no sentido da carga em P, porque essa é a convenção para o sentido do campo de uma carga negativa. Nos pontos A e C o campo tem componentes segundo os eixos x e y. Pelo teorema de Pitágoras, as distâncias AP e CP são d AP = dCP = 42 + 32 = 5 e a magnitude do vector  1 1 E = V/m = 3,6 × 108 V/m . O ângulo entre os segmentos AB e BP é tal que 2  4 πε 5   0 sin(θ ) = 4 / 5 (logo cos(θ ) = 3 / 5 ) e o vector unitário em A, na direção e sentido de P, é er = cos(θ )ex + sin(θ )ey . Em A o campo é então E = 3,6 × 108 ( cos(θ )ex + sin(θ )ey ) V/m . Em C só muda a direção e sentido do vector unitário er , mantendo-se a magnitude do campo. Por simetria, temos E = 3,6 × 108 ( − cos(θ )ex + sin(θ )ey ) V/m . b. Neste sistema actuam apenas forças elétricas. A energia a fornecer à carga no ponto P para a levar até ao infinito terá que compensar o trabalho das forças elétricas nesse deslocamento. Como as forças elétricas são conservativas, o trabalho depende apenas dos pontos finais e iniciais, e não da trajectória. O trabalho é (livro de texto, p.251) ∞ ∞ We = ∫ Fe ⋅ dr = ∫ qE ⋅ dr = − q (V∞ − VP ) = −(V∞ − VP ) . P

=1 C

P

O potencial no infinito é zero. No ponto P, o potencial é gerado pelas 3 cargas em A, B e C e é

VP =

∑

i = A,B ,C

Vi =

∑

i = A,B,C

1 4πε 0

⋅

qi 1  1 −2 3  6 J = 2,7 × 109 J . = + +  = 9 × 109 ⋅  20 d i 4πε 0  5 4 5 


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O potencial em P é repulsivo e as forças elétricas realizam um trabalho 2,7 × 109 J para afastar a carga em P. Assim, não há que fornecer energia à carga para a afastar. Ao invés, recebemos 2,7 × 109 J de energia nesse afastamento. c. O cálculo do fluxo é uma mera aplicação da lei de Gauss: φ = ∫ E ⋅ dS = ∑ i Qi / ε 0 = (1 + 1 − 2 + 3)C / ε 0 = 3,77 × 1010 Vm . S

2. No interior do condensador, o campo é constante. No exterior, se ignorarmos o efeito das bordas, é nulo. O campo elétrico toma a direção perpendicular às placas; representado na figura ao lado por vectores (as setas) de igual comprimento, direção e sentido. As equipotenciais são linhas perpendiculares ao campo em cada ponto, representadas à direita a vermelho tracejado.

_ _ _ _

+ + + +

3. Pela lei de Ampére, o que o campo magnético dentro dele do solenóide tem a magnitude 200 ⋅ 5) T = 0,12566 T . O campo magnético é então o vector B = µ0 nI = (4π × 10−7 ⋅ 0,01 B = (0,12566 T) ez . A componente magnética da força de Lorentz é simplesmente F = qv × B (produto vectorial!), que, no nosso caso, é F = ( −1,602 × 10 −19 C) ⋅ (2 × 108 m/s) ⋅ (0,12566 T) ⋅ (ex × ez ) = (4,026 N) ey . =− ey

4. A força por metro pode ser calculada pela expressão F =

µ0 I1I2 , deduzida da lei de Biot2π d

Savaart. Basta-nos apenas saber o valor das correntes. Ora dissipar 2000 W sob a tensão de 220 V requer uma intensidade de I = P / V = 9,091 A . As correntes são então 9,091 A (fio de entrada) e 9,091 A no sentido contrário (fio de saída – os eletrões não desaparecem no aquecedor!) Como cada condutor é revestido por 0,6 mm de plástico, estão à distância de 1,2 mm e a força por 9,0912 N = 0,01377 N . A força é repulsiva, pois as correntes metro é de F = 2 × 10−7 1,2 × 103 circulam em sentidos opostos. Esta força é bastante baixa, embora possa subir consideravelmente em caso de curto-circuito. 5. (Circuito modelo) a. Se em Rc se dissipa 20 W, a intensidade de corrente que passa nessa resistência é de P = RIc2 ⇔ Ic = P / R = 2 A . A resistência equivalente da associação R1, R2, R3 é de Req = 1 Ω , logo a queda de tensão neste grupo é de V = ReqIc = 2 V . As correntes I1, I2 e I3 são portanto de I1 = I2 = I3 = 2 V / 3 Ω = 2 / 3 A e a potência dissipada por efeito de Joule 2/4 Versão:13-Dez-08

Física Geral 21048

nestas resistências é de PJoule = R1I12 + R2I22 + R3I32 = 3 × 3 × ( 23 )2 W = 4 W . A tensão que o gerador deve fornecer é de V = RtotalIc = (Req + Rc ) ⋅ 2 V = 12 V . b. Neste caso temos Req = 3 / 2 Ω e I1 = I2 = 1 A . A potência dissipada na associação sobe para PJoule = R1I12 + R2I22 = 2 × 3 × 12 J = 6 W , tal como a tensão que o gerador tem que fornecer para manter o “status quo” na resistência Rc, a qual passa a ser de 13 V.

c. É fácil de ver agora que PJoule = 3 W e V = 16 V . 6. (Rede elétrica.) a. As vantagens principais são baixar as perdas por efeito de Joule e oferecer caminhos alternativos ao transporte de energia. Se um caminho falhar, outros podem ser usados sem que o consumidor final sinta qualquer perda de potência. O custo é principalmente económico, dado que é preciso haver mais linhas. b. Uma pequena anomalia exige que a central debite mais potência, para compensar o que as perdas acrescidas por efeito de Joule no transporte. Uma grande anomalia sobrecarrega tanto o gerador como os condutores em funcionamento normal. c. Se a central não puder debitar mais potência, os consumidores sentirão uma queda de tensão. Se houver sobrecarga, mais e mais condutores podem falhar e o sistema pode colapsar. Numa rede nacional, o colapso chama-se blackout. 7. (Central hidroeléctrica.) a. Transportar 400 MW a 100 kV requer uma intensidade de I = P / V = 4000 A . A resistência ρal ⋅ l l = diam = 0,6748 Ω e a dissipação por efeito de Joule do condutor é R = σ al A π ( 2 )2 PJoule = RI 2 = 10,8 MW (cerca de 2,7% da potência transportada). O transporte a metade da tensão necessitaria de uma corrente de 8000 A, que levaria a perdas de 43,2 MW (10,8% da potência). A tensão é o maior possível precisamente para reduzir as perdas de transporte.

b. Podemos considerar o problema como ‘campo magnético criado pela corrente que percorre um fio infinito’, caso em que podemos usar a lei de Ampére. O campo é então µ I 4000 B = 0 = 2 × 10−7 T = 16 × 10 −6 T . A direção do campo magnético é tangente a 2π d 50 uma circunferência centrada no cabo e cujo plano é perpendicular ao mesmo e o sentido é dado pelo produto vectorial da corrente pelo vector tangente unitário. Comparado com o campo magnético terreste, o campo a 50 m do cabo é cerca de 1/3 do terrestre, que já de si é bastante fraco. c. Numa barragem, a água da albufeira é feita passar por turbinas. Estas transformam a energia potencial gravítica da água em energia cinética. As turbinas estão ligadas a um gerador, que recebe essa energia cinética e, usando o princípio da indução electromagnética, a transforma em energia elétrica. 8. (Circuito RLC.)


Física Geral 21048

a. Basta aplicar as regras de associação de elementos de circuitos. Temos Ceq = C1 + C2 = 6 µ F , 1/ Leq = 1/ L1 + 1/ L2 ⇔ Leq = 2 / 3 H e Req = R1 + (1/ R2 + 1/ R3 )−1 = 40 Ω .

b. Para a intensidade de corrente, há que determinar a impedância total. No condensador 1 1 temos X c = = = 530,5 Ω e nas bobinas temos X L = ωLeq ωCeq (2π ⋅ 50) ⋅ 6 × 10 −6 2 = (2π ⋅ 50) ⋅ 2 / 3 = 209,4 Ω . A impedância é Z = Req + ( X L − X c )2 = 323,58 Ω . Da lei de

Ohm para corrente alternada, temos a intensidade de I = V / Z = 0,68 A . A potência é só dissipada nos elementos resistivos, onde se perdem P = RI 2 = 40 × 0,68 A = 27,2 W . ωL 1 Finalmente, o ângulo de fase entre a tensão e corrente é de tan φ = eq − R RωCeq ⇔ φ = arctan( −8,0275 rad) ≈ −89,87o ; circuito capacitivo. (Nota: o livro de texto define este ângulo entre corrente e tensão, ao invés. Daí o sinal do ângulo ser o contrário.)


Nome:............................................................................................................ B.I. :....................................

Nº de Estudante: ...............................

Curso: .......................................................................................................... Turma: .................. Classificação Unidade Curricular: FÍSICA GERAL Código: 21048

( Data: 17 fevereiro 2011

Assinatura do Vigilante: ............................................................................

) ……………………… Assinatura do Docente:

....................................................

Leia com atenção o que se segue antes de iniciar a sua prova: Verifique se o enunciado desta prova possui, para além desta folha de rosto, mais 6 páginas, numeradas de 2 a 7, terminando com a palavra FIM. Este p-fólio consta de duas partes: a primeira é constituída por 5 questões de escolha múltipla (em que apenas uma das respostas é correcta). A segunda é composta por 3 questões estruturadas de produção de resposta. Em cada questão de escolha múltipla: - deverá assinalar com uma cruz um e um só quadrado, o que se referir à alternativa que considerar correcta; - se assinalar mais de uma alternativa, a resposta será considerada nula, ainda que uma das alternativas assinaladas esteja correcta; - se pretender mudar a opção escolhida, acabe de preencher o respectivo quadrado com a tinta da caneta de modo a que a cruz deixe de se notar e coloque uma outra cruz no quadrado que corresponde à opção correcta. Recomenda-se que: - leia com muita atenção as questões e seleccione bem os dados e incógnitas antes de responder; - responda primeiro às questões que julgar mais acessíveis, e só depois às questões que considerar mais difíceis; - reveja as resoluções cuidadosamente antes de entregar a prova. O tempo disponível para resolução da prova é 90 minutos. Pode utilizar a sua máquina de calcular mas não pode emprestá-la a qualquer dos seus colegas. Os parâmetros valorizados nas respostas livres são: - o rigor científico do raciocínio usado; - o rigor dos cálculos efectuados; - a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos apenas com os algarismos significativos e com as unidades adequadas). Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior

-1-

FORMULÁRIO E VALORES DE CONSTANTES FÍSICAS g = 9,8 m/s2

; G = 6,67 × 10−11 N.m2 .kg-2

µ0 = 4π × 10−7 N.A-2 ; ε 0 = 8,85 × 10−12 C2 .N-1.m-2 ; ke =

1

4πε 0 dv ds ; v= ; v med ; a= ; F = ma dt dt ω = cte  v = ωR a = cte   v = cte ; θ = θ0 + ωt  ; v = v0 + at x = x0 + vt   2 1 dv x = x0 + v0t + at 2 a = v ; aT = N 2   R dt ln(2) N = N0e−λt ; T1/ 2 =

dr v= dt

= 9 × 109 N.m2 .C-2

∆r = ∆t

λ

1 2π 2π ; ω= ; k= ; vcorda = T / µ f T λ c sen i = sen i ' ; ni senθi = nr senθr ; n = v 1 Ec = mv 2 ; Em = Ec + Ep ; W = F ⋅ ∆r ; WF.conserv = −∆Ep ; WF .ext ,NC = ∆Em 2 Mm M Fat .e ≤ µe N ; Fat .c = µc N ; FG = −G 2 rˆ ; VG = −G ; Epg = mgh r r dL p = mv ; ∆p = Fext ∆t ; L = r × p ; M = r × F ; M = dt

φ( x, t ) = A sen(ωt − kx + α ) ; λ = vT ; T =

1 k Felast = −kx ; Ep.elast = kx 2 ; ω0 = ; x = A sen(ωt + α ) 2 m q qq q Fe = ke 1 2 2 rˆ ; E = ke ∑ 2i rî ; Fe = qE ; ΦE = int ; ΦE = ∫ E ⋅ dS ε0 r i ri S q ∆V Ve = ke ∑ i ; Epe = qVe ; E = −∇Ve ; E = d i ri Q = CV

A 1 ; Econd = CV 2 d 2 ; F = I l ×B

; C = ε0

(

F = q E +v ×B

)

; V = RI ; R = ρ

l A

; PJoule = RI 2

µ µ I µ I µ II Bdx = 0 I dx ɵi × rˆ ; Bfio = 0 ; Bcirc = 0 ; F= 0 1 2 4π 2π d 2 R 2π d d ΦB µ µ ε ⋅ = = = − Φ = B d l I ; B nI ; ; B 0 0 ind B ∫ ∫ ⋅ dS dt S XL = ωL ; Ie =

I0 2

XC =

; Ve =

1 ωC

ε

2

; tgφ =

; Z = R2 + ( XL − XC )2 ; Ve = ZIe

Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior

; Pmed = IeVe

XL − XC R

R Z

-2-

PARTE I

Cotação 0,8 val

1. Um laboratório recebe um artefacto para datação por carbono 14. Os técnicos analisam a atividade radiativa do instrumento e estimam para este quantidades iniciais e atuais de 14C de 1,1 mg e 0,71 mg, respetivamente. O 14C tem um período de semidesintegração de 5730 anos. A que Era deverá pertencer o artefacto?

A.

Pré-história (anterior a 6000 A.C.)

B.

Antigo Egito (entre 4000 e 700 A.C.)

C.

Grécia e Roma antigas (entre 700 A.C. e 400 A.D.)

D.

Invasões bárbaras (entre 400 A.D. e 800 A.D.)

E.

Atualidade

A.C.: Antes de Cristo A.D.: Anno Domini, i.e. depois de Cristo

0,8 val

0,8 val

2. Um condensador de placas paralelas está sujeito a uma diferença de potencial de 24 V, sendo que o campo elétrico aponta para baixo (ver figura). Entre as placas, que estão separadas de 5 mm, encontra-se uma pequena gota de óleo, carregada, em repouso. Sabendo que a gota de óleo tem 0,025 g de massa, qual é a sua carga?

A.

51 nC

B.

20 nC

C.

5,2 nC

D.

-5,2 nC

E.

-51 nC

E

3. Um fio condutor retilíneo é percorrido por uma corrente de 12 A. Perpendicular a este há um campo magnético de intensidade desconhecida. A magnitude da força magnética exercida sobre 50 cm de fio é de 7,2 mN. Qual a magnitude do campo magnético?

A.

1,2 mT

B.

1,8 mT

C.

2,4 mT

D.

3,3 mT

E.

4,8 mT


-3-

0,8 val

4. Uma bobina circular com 10 espiras e 6 cm de raio é atravessada por um campo magnético homogéneo, orientado paralelamente ao seu núcleo (ver figura). Esse campo, inicialmente uma magnitude de 0,1 T, sobe uniformemente para 0,4 T ao longo de 2 milisegundos. Quanto vale a força eletromotriz induzida na bobina?

A.

1,7 V

B.

3,4 V

C.

4,6 V

D.

9,2 V

E.

17 V

B

5. No circuito abaixo, qual o valor da intensidade de corrente indicada? 0,8 val

5Ω

2Ω

8Ω

15 V I =?

A.

0,45 A

B.

0,68 A

C.

1,72 A

D.

2,21 A

E.

6,80 A


7Ω

-4-

PARTE II 1. Uma corda de violino vibra livremente no seu tom fundamental (harmónico de ordem 1), produzindo a nota musical Lá, de frequência 440 Hz. A corda tem 32 cm de comprimento e 0,67 g de massa. 0,6 val

a. Diga que tipo de onda se propaga na corda vibrante e justifique que o seu comprimento de onda é de 64 cm.

0,6 val

b. Calcule a velocidade de propagação da vibração na corda.

0,8 val 0,6 val

32 cm

c. Calcule a tensão na corda. d. A perturbação na posição da corda é transmitida ao ar. Caraterize, sem efetuar cálculos, o novo tipo de onda se propaga através do ar.


-5-

2. Considere o sistema gravitacional Terra-Lua. 0,6 val

a. Escreva a expressão completa da força gravítica que a Terra exerce sobre a Lua (não necessita de substituir valores).

0,8 val

b. Calcule a energia que seria necessária para separar a Terra da Lua.

1,0 val

c. Calcule a posição, contada a partir do centro da Terra, do ponto de imponderabilidade, i.e. o local onde as forças gravitacionais da Terra e da Lua se anulam. Dados: - Massa da Terra: 5,98 × 1024 kg - Massa da Lua: 7,35 × 1022 kg - Distância média Terra-Lua: 384 × 106 m (contado a partir do centro de cada um).

384 000 km


-6-

Cotação

3. Um caixote de 120 kg é puxado por uma corda, arrastando-se sobre o chão (ver figura). A tensão máxima que a corda pode suportar sem quebrar é de 950 N e o coeficiente de atrito cinético entre o caixote e o chão é de 0,4. a. Desenhe na figura as forças que atuam no caixote.

0,7 val

b. Caraterize os pares ação-reação das forças indicadas acima. (Basta apenas uma descrição sucinta, que inclua o ponto de aplicação.)

0,6 val

c. Calcule a aceleração máxima que a corda pode imprimir ao caixote sem quebrar.

0,9 val

d. Se o caixote for arrastado por 3 metros, quanto vale o trabalho da força de atrito durante esse deslocamento?

0,8 val

FIM Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior

-7-

Física Geral 21048 Ano letivo 2010/11 Orientações de resposta ao p-fólio de 17 de fevereiro 2011 PARTE I Problema 1 O carbono 14 é um isótopo radioativo que decai de acordo com a lei de decaimento usual (livro de texto, p.18), , com e as quantidades atual e inicial de 14C, respetivamente. Estritamente falando, aqui “quantidade” quer dizer “n.º de átomos de 14C”, mas como todos os átomos tem a mesma massa, podemos usar massas em vez do n.º de átomos. Ou seja, podemos reescrever a lei de decaimento como . Para aplicar esta lei precisamos da constante de decaimento, , a qual pode ser calculada do período de semidesintegração:

ln 2 ln 2 1,21 10 anos 5730

Aplicando a lei de decaimento vem 0,71 mg 1,1 mg

0,71 * ln + , - 1,21 10 anos ) . * . 1,1 0,4378 * . 1 3620 anos. - 1,21 10 anos ,!" #$%&!' ()

Uma idade de 3620 anos corresponde a fabrico por volta do ano 2010 - 3620 1610 A.C., ou seja, na Era do Antigo Egito. Se o leitor obteve idades do artefacto de

2510 anos (500 A.C., Grécia/Roma antigas), então terá porventura usado a fórmula (errada) 1/' . ,7

1570 anos (440 A.D., invasões bárbaras), então terá usado log de base 10 na expressão ln 6 , 8.

5

8330 anos (6320 A.C., pré-história), então terá usado log de base 10 na expressão ln 2/' .

0 anos (atualidade), então terá usado (erradamente) 5730.

5

Problema 2 O campo elétrico entre as placas de um condensador é aproximadamente constante (livro de texto, :; = p.261-263). Para um campo constante 9 :< , que no nosso caso dá 9 ,> ? 4800 V/m. Para a

gota estar em repouso, o seu peso tem de ser compensado exatamente pela força elétrica. Esta última deverá apontar para cima, pelo que, de ABC D9EB (livro de texto, p.250) e de o campo apontar para baixo, a carga terá de ser negativa. A sua medida deverá ser m 9,8 G s AC AF * D9 G * D * D 25 10H kg ) 5,104 10K C 1 51 nC. V 9 4800 m A gota deverá estar então carregada com D -51 nC.

Problema 3 A situação é a que vem descrita no livro de texto, p.280. A expressão vetorial da força que o campo EB que, em magnitude, é AM NOP sen R, magnético exerce sobre o condutor é dada por ABM NOB P com R o ângulo entre o fio e o campo. Isolando P e substituindo valores temos P

AM 7,2 10S N 1,2 10S T 1,2 mT NO sen R 12 A ) 0,25 m ) sen 6V8 2

Problema 4 YZ

A f.e.m. induzida numa espira é dada pela lei de Faraday, X - [ (livro de texto, p.299). Esta é Y uma expressão instantânea que, para uma variação do fluxo magnético Φ uniforme, pode ser :Z :Z estendida para um intervalo de tempo finito: X - [ . Para espiras temos então X - [. :

:

Calculemos então as quantidades no nosso caso. Como o campo magnético é homogéneo dentro da espira, o fluxo magnético dentro da bobina é simplesmente Φ] P^, com ^ a área circundada pelas espiras. Para espiras circulares temos então Φ] P ) V_ e vem ΔΦ] Pab$#c - Pb$bdb#c ) V_ 0,4 T - 0,1 T ) V 0,06 m 3,4 10S Wb

A f.e.m. induzida é então

ΔΦ] 3,4 10S Wb X - -10 ) 1 -17 V Δ. 0,002 s

O sinal menos apenas quer dizer aqui que a f.e.m. será tal que se irá opor, pela lei de Lenz (p.298), à causa que lhe deu origem. A resposta será, em módulo, 17 V. Se respondeu 1,7 V então esqueceu-se de multiplicar a expressão da lei de Faraday pelo n.º de espiras.

Problema 5 A intensidade indicada é a que sai da fonte de alimentação. Assim, para resolver o problema basta simplesmente calcular a resistência equivalente de todo o circuito (livro de texto, p.306-7). Associando as resistências de 5 e 7 Ω, que estão em série, temos _>7 5 Ω h 7 Ω 12 Ω. Agora, a resistência equivalente _>7 está em paralelo com a resistência de 8 Ω, pelo que, associando as duas

temos _>7K 6K h 8

Ω 4,8 Ω. Esta última resistência equivalente está em série com a

resistência de 2 Ω, pelo que a resistência equivalente total do circuito é então de _Ci j 4,8 Ω h 2 Ω 6,8 Ω. Aplicando a lei de Ohm encontramos uma corrente de N

k

_Ci j

15 V 1 2,21 A. 6,8 Ω

Se respondeu 0,68 A, então somou todas as resistências, sem notar que havia ramais em paralelo. Se respondeu 0,45 A, então aplicou a lei de Ohm ao contrário (i.e. N _/k.

Se respondeu 6,8 A, então esqueceu-se de inverter a expressão 6K h 8 Ω.

PARTE II Problema 1 A corda de violino tem duas extremidades fixas. Trata-se pois de uma onda estacionária, transversal, em que a perturbação l m, . é o deslocamento de cada ponto da corda em relação à sua posição de equilíbrio (livro de texto, p.44-45 e 56-60). Estando a corda a vibrar no seu harmónico principal, o comprimento de onda é o dobro do comprimento da própria corda, donde 2n 2 ) 0,32 m 0,64 m

Se estivesse a vibrar no harmónico de ordem o, o comprimento de onda seria p 2n/o.

A velocidade de propagação da vibração é dada por q r s, que no nosso caso é q 0,64 m ) 440 Hz 281,6 m/s

r

A tensão na corda pode ser obtida da expressão da p.45 do livro de texto, q vw, em que x é

a densidade linear de massa da corda, i.e. x

temos xq 62,094

z{ 10S ? 8 )

,H7!y z{

?

,S ?

6281,6 & 8 166 N.

z{

2,094 10S ? . Isolando a tensão,

A vibração da corda causa perturbações no ar em seu redor. Estas perturbações são alterações da pressão atmosférica normal e propagam-se em todas as direções. São pois ondas sonoras; ondas longitudinais que, ao chegar ao ouvido, nos dão a sensação de ouvir o som da nota a ser tocada do instrumento.

Problema 2 A força gravitacional entre dois corpos é dada pela lei da atração universal de Newton (livro de texto, p.130-132). Para o nosso sistema, a força que a Terra exerce sobre a Lua é, na sua forma vetorial completa, AB -|

}r }~ ̂ r~

com }r , }~ as massas da Terra e Lua, | a constante de gravitação universal, r~ a distância da Terra à Lua e ̂ o raio-vetor unitário que aponta da Terra à Lua. O sinal menos aparece porque a força tem sentido contrário ao do raio-vetor ̂ . -|

Y

O potencial gravitacional que a Terra causa num ponto à distância de si é dado por k . Estando a Lua à distância r~ , a energia potencial gravitacional do sistema é então 9

}r Nm 5,98 10 kg -| ) }~ - 6,67 10 ) ) 7,35 10 kg r~ kg 3,84 10K m -7,635 10K J

O sinal menos aparece porque o potencial é atrativo. Seria pois necessário fornecer ao sistema TerraLua uma energia de 9 h7,635 10K J para vencer a atração e separar os dois corpos celestes. Por curiosidade, a energia libertada na bomba nuclear de Hiroshima foi de aproximadamente 6 10S J; quinze ordens de grandeza abaixo! As magnitudes da força gravitacional que a Terra e Lua exercem sobre um objeto de massa em órbita as distâncias r e ~ são, respetivamente,

Ar |

}r }~ ; A~ | r ~

A imponderabilidade dar-se-á quando as duas forças tiverem igual magnitude e apontarem em sentidos opostos. Ora os sentidos só podem ser opostos para um ponto segundo a direção Terra-Lua. Segundo essa direção temos r~ r h ~ e vem Ar A~ * |

}r }~ }r }~ }~ * 2 h * r r~ r r~ r | * }r r r ~ r r~ - r } 2 r~ v 2 r~ - 4 ) 61 - }~ 8 ) r~ r } 2 ) 61 - ~ 8 }r

O sinal mais origina uma solução não-física e o sinal menos dá-nos, depois de substituídos valores, r 1 3,46 10K m 346 000 km

Comparando com a distância r~ , vemos que ponto de imponderabilidade fica sensivelmente a 10% da distância Terra-Lua, contado a partir da lua. Contado a partir da Terra, fica a 90% dessa distância.

Problema 3 Abaixo temos indicadas as forças que atuam no caixote. Estas são: 1) o peso, aplicado no centro de massa do caixote, de módulo A G e apontando para baixo na vertical; 2) a reação normal do chão, de módulo A igual ao peso e apontando para cima na vertical; 3) a força de atrito cinético, de módulo A,p x e 4) a força de tração vinda da corda, de módulo Ar . AB

ABr

AB,p ABF Os pares das forças acima indicadas têm a mesma magnitude e direção das forças correspondentes, mas sentidos diferentes. Os pontos de aplicação são: 1) 2) 3) 4)

Par do peso: centro de massa da Terra, na vertical para cima. Par da normal: superfície da Terra, na vertical para cima. Par da força de atrito: superfície da Terra, na horizontal para o lado do movimento. Par da força de tensão: extremidade esquerda da corda, na horizontal para o lado contrário ao movimento.

Quanto à aceleração máxima, quando a corda está totalmente tensa, o somatório das forças na horizontal é, fazendo o sentido do movimento como positivo, m Ar h A,p Ar - x G 950 N - 0,4 ) 120 kg ) 69,8 8 479,6 N s o que, pela 2ª lei de Newton, A , corresponde a uma aceleração máxima de

Má<

479,6 N 4 m/s 120 kg

Finalmente, se o caixote for arrastado por 3 m, adaptando a definição de trabalho, AB ) _EB (livro de texto, p. 120) para o caso de uma força constante num trajeto retilíneo, a força de atrito realiza então um trabalho de AB ) Δ_EB A ) Δ_ cos R que, no nosso caso é m x ) Δ_ ) cos 180% 0,4 ) 120 kg 69,8 8 ) 3 m ) -1 -1411 J s Note-se que o deslocamento tem sentido oposto ao da força de atrito, donde R 180% .

Física Geral 21048 Instruções para elaboração deste e-Fólio Documento de texto, .DOC, .PDF ou .PS; fonte 11 ou 12; espaçamento livre; máximo 8 páginas. Pode incluir desenhos, várias cores e pode inclusive juntar elementos aos desenhos do próprio e-Fólio. Para incluir fórmulas pode usar o editor de fórmulas do seu processador de texto ou gerá-las à parte. Entregar até às 23:59 h do dia 16 de janeiro, por via da plataforma. Este e-Fólio tem a cotação máxima de 4 valores.

1. (1 valor) Considere a figura abaixo. Em cada vértice do quadrado temos uma carga de magnitude 3 mC. O quadrado tem lado s = 35 cm. A B

C

√2

D

Calcule a energia encerrada nesta configuração de cargas e interprete o sinal dessa energia.

2. (1 valor) Considere o circuito abaixo, no qual os condensadores estão plenamente carregados. C1 = 3 mF

C2 = 2 mF 24 V

C3 = 4 mF a. (0,5 valores) Calcule a carga acumulada aos terminais de cada condensador. b. (0,4 valores) Calcule a energia acumulada nesta configuração e diga que tipo de energia se trata. Nota: há mais do que uma maneira de chegar ao resultado pretendido. c. (0,1 valores) O que aconteceria ao circuito se fosse retirada a fonte de alimentação?

3. (1 valor) O fio condutor da figura ao lado é percorrido por uma corrente de 2,7 A. Considerando que as secções vertical e horizontal do fio podem ser consideradas aproximadamente como infinitas e que a secção curva tem formato de arco de circunferência, calcule o vetor campo magnético no ponto P indicado. R = 20 cm 135º P I I = 2,7 A

4. (1 valor) Considere o circuito abaixo, onde 220 V é a tensão eficaz do gerador. 6H I1

220 V 50 H

~

3H

I3

I2

6 µF 75 Ω

a. (0,7 valores) Calcule as intensidades de corrente eficazes indicadas. b. (0,1 valores) Indique o ângulo de fase do circuito. c. (0,2 valores) Indique a potência média dissipada em cada um dos elementos do circuito.

                                      

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                                                                      



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

Física Geral 21048 Instruções para elaboração deste e-Fólio Documento de texto, .DOC, .PDF ou .PS; fonte 11 ou 12; espaçamento livre; máximo 8 páginas. Pode incluir desenhos, várias cores e pode inclusive juntar elementos aos desenhos do próprio e-Fólio. Para incluir fórmulas pode usar o editor de fórmulas do seu processador de texto ou gerá-las à parte. Entregar até às 23:59 h do dia 5 de dezembro, por via da plataforma. Este e-Fólio tem a cotação máxima de 4 valores. Nos problemas abaixo, considere g = 9,8 m/s2 e dê as suas respostas em unidades SI. 1. (1 valor) Dois comboios deslocam-se numa secção reta de uma linha férrea, na mesma direção e sentido. O comboio A viaja à rapidez de 180 km/h e, à sua frente, o comboio B viaja a 90 km/h. Quando a distância entre eles é de 300 m, o maquinista do comboio A repara no comboio B e trava a fundo, provocando uma desaceleração constante desse comboio de 5 m/s2. O comboio B continua o seu movimento sem dar por nada. vA =180 km/h

vB = 90 km/h

a. (0,1 valores) Indique que tipos de movimento descrevem os comboios, a partir do momento em que o comboio A inicia a sua travagem. b. (0,3 valores) Escreva as funções que dão a posição dos comboios, a partir do momento referido na alínea anterior. Utilize um referencial inercial à sua escolha. c. (0,4 valores) Verifique se os comboios irão colidir. d. (0,2 valores) Calcule a rapidez média do comboio A no percurso de travagem, até este se imobilizar.

2. (1 valor) Um caixote A, de 3 kg, é atirado contra outro caixote B, de 4 kg, em repouso, dandose uma colisão frontal. Após a colisão o caixote A fica imobilizado, ao passo que caixote B se passa mover com rapidez de 2 m/s (ver figura). O coeficiente de atrito cinético entre os caixotes e o solo é de 0,4. mA = 3 kg

mB = 4 kg v = 2 m/s

v=?

Antes da colisão

Depois da colisão

Questões: a. (0,1 valores) Com que rapidez o caixote A embate com o caixote B? b. (0,2 valores) Indique, justificando, se a colisão é elástica ou inelástica. c. (0,4 valores) Indique e caraterize as forças que atuam sobre o caixote B após a colisão (não necessita de as apontar no desenho; basta uma explicação por extenso) e diga onde estão aplicados os pares ação-reação das mesmas. d. (0,3 valores) Calcule a aceleração do bloco após o embate.

3. (1 valor) No alto da Torre do Palácio de Westminster em Londres, encontra-se o relógio “Big Ben”. Os seus ponteiros das horas e minutos têm 3,5 m e 4 m respetivamente. a. (0,3 valores) Escolha um referencial inercial e caraterize o vetor velocidade linear da ponta de cada um dos ponteiros nesse referencial, quando o relógio marca 11:00 h em ponto. b. (0,7 valores) Calcule quanto tempo, contado a partir das 11:00 h, passa, até que os ponteiros se cruzem pela primeira e segunda vezes.

4. (1 valor) Um rapaz agita um remo em movimento harmónico simples (MHS), completando duas oscilações por segundo (ver figura). Entre altos e baixos do remo espaçam 50 cm. A perturbação criada à superfície da água onde está o remo propaga-se em seguida numa onda sinusoidal progressiva na direção horizontal, sentido da esquerda para a direita, à velocidade de 1,5 m/s.

50 cm

a. (0,1 valores) Indique o período e a frequência angular do MHS. b. (0,4 valores) Sabendo que a pá do remo tem 750 g de massa e que a haste tem massa desprezável, calcule a energia associada ao MHS. c. (0,1 valores) Calcule a distância entre cristas da onda progressiva causada pelo MHS e o seu número de onda. d. (0,2 valores) Escreva a função φ(x,t) que descreve a propagação da perturbação. e. (0,2 valores) Indique, justificando, se a onda é transversal ou longitudinal.

Física Geral 21048 Ano letivo 2010/11 Orientações de resposta ao e-fólio A 1.

Comboios em risco de colisão. a.

Até ao momento do início da travagem os comboios deslocavam-se segundo um movimento retilíneo uniforme. Quando o comboio A vê o comboio B começa a travar, entrando assim em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Neste caso, dado que a rapidez de A diminui, o movimento é uniformemente retardado (MRUR). Quanto ao comboio B, do enunciado sabemos que este continua o seu movimento retilíneo uniforme, alheio ao que se passa à sua retaguarda.

b.

Escolhamos um referencial cujo eixo dos xx coincide com os carris da linha férrea e com origem no local onde o comboio A inicia a sua travagem. Temos assim, assumindo que os comboios se deslocam no sentido positivo dos xx e passando a rapidez a unidades SI,

c.

1 50 2,5 m 2 300 25 m

A maneira mais simples de verificar se há risco de colisão é ver se os 300 m que separam os dois comboios à partida são suficientes para que o comboio A se imobilize. A velocidade segundo o eixo dos xx do comboio A é dada por , pelo que este comboio demora 0 50 5 10 s a parar. A posição do comboio A ao fim de 10 segundos é 10 50 10 2,5 10 250 m. Bastam portanto 250 m ao comboio A para parar, pelo que não há risco de colisão. Se porventura 300 m não bastassem para o comboio A se imobilizar, havia que resolver o problema de outra forma. Podíamos, p.ex., ver para que instante (hipotético) se daria a colisão, i.e. para que valor de as posições dos comboios são iguais. No nosso problema isso dar-nos-ia

d.

50 2,5 300 25 2,5 25 300 0 10 120 10 √10 4 1 120 0 5 √95 s 2 Os valores de encontrados são raízes de um número negativo; ou seja, a colisão só poderia acontecer num instante imaginário. É um exemplo de solução não-física, e a sua interpretação é de que na vida real a colisão simplesmente não vai acontecer. A colisão só aconteceria se o valor de fosse real e positivo, e dar-se-ia nesse instante .

A rapidez média num percurso é, por definição, o espaço percorrido a dividir pelo tempo que levou a efetuar esse percurso. Da alínea c) vemos que o comboio A percorreu 250 m em 10 s, " # levando a uma rapidez média de ! $ % 25 m/s.

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2.

Caixotes em choque. a.

Para determinar a velocidade de embate basta notar que na colisão apenas atuam forças interiores ao sistema, pelo que se pode aplicar o princípio da conservação da quantidade de movimento, que neste caso toma a forma ' () ' () ' (* ' (*

(os índices i e f referem-se às situações ‘inicial’ e ‘final’). Do enunciado temos ) 0; * 0 ; * 2 m/s e vem, segundo um eixo na direção do movimento, b.

4 8 2 m/s m/s. 3 3 Se a colisão for inelástica, parte da energia cinética inicial será dissipada, i.e. transformada em calor. O princípio da conservação de energia diz-nos que a energia total inicial deverá ser igual à energia total final. Para a nossa colisão vem1 .)/0/ .*/0/ .1,) .1,* .2 o que nos dá ' ) 0 ' * 0 3 ) 4 * )

1 1 1 8 ' ) ' * .2 3 kg 5 m/s6 2 2 2 3 1 8 4 kg 2 m/s .2 .2 J. 2 3 Vemos então que são dissipados aproximadamente 2,67 J de energia, pelo que o processo de colisão é inelástico, ou não-conservativo.

.1,) .1,* .2

c.

O caixote B está sob ação do peso 8(9 , da normal 8(: e da força de atrito cinético 8(;1 . No desenho abaixo temos as forças que atuam no bloco B logo após a colisão. 8(:

8(;1 8(9

O peso está aplicado no centro de massa do caixote e a normal e a força de atrito estão aplicados no caixote, na sua zona de contacto com o solo.2 Os pares ação-reação destas forças estão aplicados respetivamente no centro da Terra e no solo. (Não estão no desenho.) d.

A normal e o peso anulam-se mutuamente (senão o caixote levantaria voo ou perfuraria o solo!), pelo que apenas a força de atrito atua. A sua magnitude é dada por 8;1 <1 = ? D B E <1 ' > e, pela 2ª lei de Newton, temos B@A AB C <1 > 0,4 9,8 m/s C

C

3,92 m/s . Esta aceleração é horizontal e no sentido oposto ao sentido do movimento do caixote.

Aqui .2 é a energia dissipada na colisão. Nota: na verdade, o ponto de aplicação das três forças é uma questão algo mais subtil. A exposição acima é apenas uma simplificação. 1 2

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3.

Relógio Big Ben. a.

Os ponteiros do relógio descrevem um movimento circular uniforme (MCU). O ponteiro das horas tem período 12 h e o dos minutos 1 h. No sistema SI estes períodos correspondem a velocidades angulares constantes e de magnitudes, respetivamente, 2H 1,4544 J 10KL rad/s 12 3600 s 2H FB 1,7453 J 10KQ rad/s 3600 s A magnitude da velocidade angular relaciona-se com a magnitude da velocidade linear (rapidez), , através de FR, em que R é o raio do MCU. As pontas dos ponteiros movem-se pois com rapidez constante FG

rad 6 3,5 m 5,091 J 10KL m/s s rad

B FB RB 51,7453 J 10KQ 6 4 m 6,981 J 10KQ m/s s A velocidade linear é, no entanto, um vetor. A rapidez calculada acima é apenas a sua magnitude. Para caraterizar completamente a velocidade linear às 11 h há que indicar a direção e sentido da mesma. Escolhendo um referencial cartesiano usual, com versores i, j como indicado na figura, temos, às 11 h,

(B

(G

G FG RG 51,4544 J 10KL

j i

b.

ΔT

É fácil de ver que a indicação das 11 h de um relógio faz um ângulo de ST 30U H/6 rad com a vertical, pelo que vem finalmente H H

(G 5,091 J 10KL Vcos Y Z [ sen Y Z ^_ m/s 4,409 [ 2,545 ^ J 10KL m/s 6 6

(B 6,981 [ J 10KQ m/s

O tempo que falta para o primeiro cruzamento dos ponteiros é imediato: como sabemos que depois das 11 h os ponteiros se cruzam pela primeira vez às 12 h em ponto, o primeiro cruzamento dá-se exatamente 1 h após as 11 h. O segundo cruzamento já requer alguns cálculos. O MCU dos ponteiros é descrito pelas fórmulas TG TG FG ; TB TB FB

Se definirmos t = 0 às 12 h e a origem dos ângulos na vertical, então TG TB 0.3 O segundo cruzamento dos ponteiros dar-se-á quando o ponteiro dos minutos tiver dado mais uma volta que o das horas, i.e. quando tiver percorrido mais 2π radianos. Inserindo este facto nas fórmulas do MCU temos TB TG 2H FB FG 2H

2H 3927,3 s FB FG

A segunda vez que os ponteiros se cruzam será então 3600 3927,3 7527,3 segundos após as 11 h. Ou seja, às 13:05 h e 27,3 s. Se tivéssemos definido t = 0 às 11 h, teríamos tido TG H/6 ; TB 0. O leitor é encorajado a voltar a resolver o problema com esta escolha.

3

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4.

Remo oscilante e onda progressiva. a. b.

c.

d.

e.

Duas oscilações completas por segundo significam frequência a 2 Hz. Isto permite-nos obter d 1/a 0,5 s e F 2Ha 4H 12,57 Hz. A posição dá pá do remo é descrita pela função e f senF g. Inserindo a amplitude f 0,25 m (metade da distância entre altos e baixos) e definindo o ângulo de fase g como nulo em 0, temos e 0,25 sen4H m. A rapidez do movimento do remo é 2h

h 0,25 4H cos4H H cos4H m/s. A rapidez máxima é portanto de 2/ H 3,1416 m/s. A energia cinética máxima da pá do remo é a energia que podemos $ associar ao MHS, que é de . 0,75 kg H m/s 3,701 J. A distância entre cristas de uma onda sinusoidal progressiva é o seu comprimento de onda, i. De i d temos4 i 1,5 m/s 0,5 s 0,75 m. O número de onda é j 2H/i 8H/3 mK$ . As alíneas anteriores contêm toda a informação para escrever a função pretendida. Chamando x à direção horizontal, que definimos com sentido positivo para a direita, temos5 lm k, 0,25 sen Y4H Z m. Q A perturbação que k, descreve é a altura da água. Esta varia na direção vertical, direção que é perpendicular à direção de propagação, pelo que a onda é transversal.

Notar que aqui não é a velocidade da oscilação das perturbações verticais mas sim a velocidade de propagação da onda. 5 O problema é idealizado. Uma onda na água não se propaga de forma sinusoidal e progressiva. Na realidade, se fizermos a experiência numa tina de água, vemos que a onda se dispersa em todas as direções de igual modo, com amplitude que decresce à medida que perturbação se afasta da fonte. O abaixamento da amplitude acontece porque a energia da fonte se vai espalhando uniformemente por uma área cada vez maior. Se não baixasse, a energia, que é proporcional à amplitude, não se conservaria. 4

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Nome:............................................................................................................ B.I. :....................................

Nº de Estudante: ...............................

Curso: .......................................................................................................... Turma: .................. Classificação Unidade Curricular: FÍSICA GERAL Código: 21048

( Data: 29 julho 2011

Assinatura do Vigilante: ............................................................................

) ……………………… Assinatura do Docente:

....................................................

Leia com atenção o que se segue antes de iniciar a sua prova: Verifique se o enunciado desta prova possui, para além desta folha de rosto, mais 7 páginas, numeradas de 2 a 8, terminando com a palavra FIM. Este p-fólio consta de duas partes: a primeira é constituída por 3 questões de escolha múltipla (em que apenas uma das respostas é correcta). A segunda é composta por 4 questões estruturadas de produção de resposta. Em cada questão de escolha múltipla: - deverá assinalar com uma cruz um e um só quadrado, o que se referir à alternativa que considerar correcta; - se assinalar mais de uma alternativa, a resposta será considerada nula, ainda que uma das alternativas assinaladas esteja correcta; - se pretender mudar a opção escolhida, acabe de preencher o respectivo quadrado com a tinta da caneta de modo a que a cruz deixe de se notar e coloque uma outra cruz no quadrado que corresponde à opção correcta. Recomenda-se que: - leia com muita atenção as questões e seleccione bem os dados e incógnitas antes de responder; - responda primeiro às questões que julgar mais acessíveis, e só depois às questões que considerar mais difíceis; - reveja as resoluções cuidadosamente antes de entregar a prova. O tempo disponível para resolução da prova é 90 minutos. Pode utilizar a sua máquina de calcular mas não pode emprestá-la a qualquer dos seus colegas. Os parâmetros valorizados nas respostas livres são: - o rigor científico do raciocínio usado; - o rigor dos cálculos efectuados; - a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos apenas com os algarismos significativos e com as unidades adequadas). Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior

-1-

FORMULÁRIO E VALORES DE CONSTANTES FÍSICAS g = 9,8 m/s2

; G = 6,67 × 10−11 N.m2 .kg-2

µ0 = 4π × 10−7 N.A-2 ; ε 0 = 8,85 × 10−12 C2 .N-1.m-2 ; ke =

1

4πε 0 dv ds ; v= ; v med ; a= ; F = ma dt dt ω = cte  v = ωR a = cte   v = cte ; θ = θ0 + ωt  ; v = v0 + at x = x0 + vt   2 1 dv x = x0 + v0t + at 2 a = v ; aT = N 2   R dt ln(2) N = N0e−λt ; T1/ 2 =

dr v= dt

= 9 × 109 N.m2 .C-2

∆r = ∆t

λ

1 2π 2π ; ω= ; k= ; vcorda = T / µ f T λ c sen i = sen i ' ; ni senθi = nr senθr ; n = v 1 Ec = mv 2 ; Em = Ec + Ep ; W = F ⋅ ∆r ; WF.conserv = −∆Ep ; WF .ext ,NC = ∆Em 2 Mm M Fat .e ≤ µe N ; Fat .c = µc N ; FG = −G 2 rˆ ; VG = −G ; Epg = mgh r r dL p = mv ; ∆p = Fext ∆t ; L = r × p ; M = r × F ; M = dt

φ( x, t ) = A sen(ωt − kx + α ) ; λ = vT ; T =

1 k Felast = −kx ; Ep.elast = kx 2 ; ω0 = ; x = A sen(ωt + α ) 2 m q qq q Fe = ke 1 2 2 rˆ ; E = ke ∑ 2i rî ; Fe = qE ; ΦE = int ; ΦE = ∫ E ⋅ dS ε0 r i ri S q ∆V Ve = ke ∑ i ; Epe = qVe ; E = −∇Ve ; E = d i ri Q = CV

A 1 ; Econd = CV 2 d 2 ; F = I l ×B

; C = ε0

(

F = q E +v ×B

)

; V = RI ; R = ρ

l A

; PJoule = RI 2

µ µ I µ I µ II Bdx = 0 I dx ɵi × rˆ ; Bfio = 0 ; Bcirc = 0 ; F= 0 1 2 4π 2π d 2 R 2π d d ΦB µ µ ε ⋅ = = = − Φ = B d l I ; B nI ; ; B 0 0 ind B ∫ ∫ ⋅ dS dt S XL = ωL ; Ie =

I0 2

XC =

; Ve =

1 ωC

ε

2

; tgφ =

; Z = R2 + ( XL − XC )2 ; Ve = ZIe


; Pmed = IeVe

XL − XC R

R Z

-2-

Cotação

0,8 val

PARTE I 1. Um raio de luz incide sobre um copo de vidro com água, entrando no vidro a α = 50º com a perpendicular à superfície do copo (ver figura abaixo). Qual o ângulo final θ que o raio entra na água?

α

β

ar

água

β

θ

vidro Dados: n (ar) = 1 n (vidro) = 1,52 n (água) = 1,33

0,8 val

A.

11º

B.

30º

C.

35º

D.

40º

E.

50º

2. A “velocidade de escape” de um planeta é definida como a rapidez que um objeto à superfície tem de ter para escapar ao campo gravitacional desse planeta, desprezando a resistência da atmosfera. Qual a velocidade de escape da Terra?

A.

28 km/s

B.

15 km/s

C.

11 km/s

D.

9,8 km/s

E.

7,4 km/s

Dados: - Massa da terra: 5,28 × 1024 kg - Raio da terra: 6,38 × 106 m


-3-

0,8 val

3. Uma carga de 50 mC e 1,2 g de massa entra, à rapidez de 15 m/s, numa região do espaço com campo magnético perpendicular à sua velocidade, passando a descrever um movimento circular de 2 m de raio. Qual a magnitude do campo magnético?

A.

0,18 T

B.

0,45 T

C.

0,56 T

D.

0,72 T

E.

0,75 T


-4-

PARTE II 1. Observe atentamente a figura abaixo. Nela, a onda sinusoidal progressiva, provocada pela oscilação da mão, propaga-se até ao fim da corda (não representado na figura). 0,7 val

a. Determine o período, o comprimento de onda, a frequência angular e o n.º de onda da onda sinusoidal progressiva.

0,6 val

b. Escreva a expressão que dá a perturbação φ como função da posição e do tempo.

0,5 val

c. A onda é transversal ou longitudinal? Justifique.

λ=?

v = 2 m/s

3 ciclos/s cm 32 cm


-5-

2. Um caixote de 120 kg é deixado deslizar por um plano inclinado, com atrito (ver figura). O caixote parte do repouso e acelera uniformemente, com magnitude 1,5 m/s2, até chegar à base do plano. Tratando o caixote como um corpo pontual,

Cotação

a. Desenhe na figura as forças que atuam no caixote.

0,6 val

b. Caraterize os pares ação-reação das forças indicadas acima. (Basta apenas uma descrição sucinta, que inclua o ponto de aplicação.)

0,5 val

c. Calcule o tempo que leva ao caixote a chegar à base.

0,7 val

d. Calcule a rapidez com que o caixote chega à base.

0,7 val

e. Determine o coeficiente de atrito cinético entre o caixote e o plano.

1,0 val

f. Quanto vale o trabalho da força de atrito durante o deslizamento?

0,8 val

120 kg

5,2 m 25º


-6-

3. Uma corrente de 4 A flui no condutor da figura abaixo. O ponto assinalado está no centro da semi-circunferência de raio 3 cm. I

3 cm

I

Assumindo que os fios são longos, a. Determine o vetor campo magnético no centro da semi-circunferência.

1,0 val

b. Calcule a força por unidade de comprimento entre as partes retilíneas do condutor, longe da semi-circunferência.

0,7 val

c. A força encontrada na alínea anterior é atrativa ou repulsiva? Justifique.

0,5 val


-7-

4. O circuito abaixo encontra-se em estado estacionário. Ou seja, o condensador está plenamente carregado, não fluindo para ele nenhuma carga vinda do resto do circuito. 3Ω

8Ω

12 V

I

I8

5Ω

2 mF

I35

a) Verifique que a intensidade de corrente I35 é de 1,5 A. b) Qual a carga acumulada nos terminais do condensador?

0,8 val 0,5 val

FIM Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior

-8-

Física Geral 21048 Ano letivo 2010/11 Orientações de resposta ao p-fólio de 27 de julho 2011 PARTE I Problema 1 O fenómeno em jogo é a refração da luz (livro de texto, p.67-70), a qual obedece à lei de Snell sen sen . Na zonas de contacto ar-vidro e vidro-água, temos então, olhando à figura e aplicando a lei de Snell,

sen sen sen á sen

Combinando as duas equações, temos

sen á sen sen

sen 1 sen 50 arcsen $ % 35 á 1,33

Note-se que o resultado não depende do índice de refração do vidro.

Problema 2

Para resolver esta questão há que notar a forma do potencial gravitacional causado por uma massa & num ponto à distância ' dessa massa. Este potencial é dado por () *+&/' (livro de texto, p.131). Escapar à atração gravitacional significa atingir a distância ' ∞, distância à qual o potencial é zero. A energia . necessária para levar um corpo de massa /, sujeito à atração do corpo de massa &, do ponto ' ao infinito terá de compensar o trabalho da força gravitacional (conservativa), 01) *Δ.3) , i.e. +& +&/ $7 ' ' A energia . será então a energia cinética mínima que o corpo terá de ter à superfície para escapar à atração. Notando que a superfície está à distância ' '89 do centro da Terra vem, para o nosso planeta . Δ.3) /4(∞ * ('5 / 60 * *

.: '89 Δ.3)

1 +&89 / 2+&89 /<=> <=> ? <= 11 182 m/s % 11 km/s 2 '89 '89

Note-se que o resultado obtido é independente do valor da massa /. Um corpo que seja lançado da superfície com rapidez < C <= chegará ao infinito (i.e. longe da Terra) ainda com alguma energia D cinética, nomeadamente .: > /< > * <=> .

Versão: 23-Ago-11

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Problema 3 Quando um corpo carregado entra numa zona com campo magnético perpendicular à sua velocidade vai, pela força de Lorentz (livro de texto, p.276-277), passar a descrever um movimento circular uniforme. O raio desse movimento é dado por E /
PARTE II Problema 1

Dos dados indicados na figura tiramos três quantidades: P 3 Hz, < 2 m/s e S 0,16 m D D (recordemos que a frequência é o n.º de ciclos realizados por segundo). Temos então U V J s, >

W
>[ \

3Y mID .

Definindo a horizontal como eixo dos xx, sentido positivo para a direita, temos que a perturbação se propaga de acordo com ]^, _ S sinX_ * Z^ a . Substituindo valores vem ]^, _ 0,16 sin6Y_ * 3Y^ a m

A expressão é válida apenas para ^ tal que exista corda nesse ponto. Deixámos o ângulo de fase em aberto porque o mesmo não era indicado. Qualquer assunção que o aluno fizesse a esse respeito seria considerada correta. A onda é transversal porque a perturbação, que é o desvio da posição da corda em relação à horizontal, é perpendicular à direção de propagação.

Problema 2 Durante o movimento atuam três forças no caixote: o seu peso, a reação normal do plano e a força de atrito cinético entre o caixote e o plano. Se tratarmos, como indicado, o caixote como um corpo pontual, podemos considerar as forças aplicadas todas no mesmo ponto. Definindo um referencial e fazendo o desenho, temos bcg y bcef,:

x

25º bcd Versão: 23-Ago-11

25º Página 2 de 4

Note-se que ângulo entre o peso e a reta normal ao plano é o mesmo que entre o plano e o solo. Os pares ação-reação destas forças tem a mesma magnitude e direção das forças correspondentes e sentido oposto. O par do peso está aplicado no centro da Terra e os pares da força normal e de atrito estão aplicados no plano. Para determinar o tempo de descida basta aplicar a equação da posição num movimento D uniformemente acelerado, ^ ^h a . o caixote parte do repouso,

percorrida (comprimento do plano) é ^ * ^h 12,3 m

j

k9l>jm

12,3 m. Substituindo estes valores temos

1 m 12,3 > L1,5 > M _ > _ ?2 n _ 4,05 s 2 s 1,5

Com o tempo de descida conhecido, podemos usar agora a equação da velocidade num movimento uniformemente acelerado, < < 0a 6,08 m/s 4,05 n

Até agora bastou-nos a cinemática para calcular as quantidades pedidas. Para achar o coeficiente de atrito há que ir mais além e usar a 2ª lei de Newton. A aceleração de 1,5 m/s > é causada pela soma das forças segundo o eixo dos xx: ∑bq /iq *bef,: a bd,q /iq

Notar que a força de atrito aponta no sentido negativo do eixo dos xx; daí o sinal menos na expressão acima. A magnitude desta força é dada por bef,: r: bg (livro de texto, p.127). Como o caixote não se mexe segundo o eixo dos yy,1 temos bg bd,s bg /t cos25 . Juntando tudo, vem iq *r: /t cos25 a /t sen25 /iq *r: cos25 a sen25 r: t i 6 tq * sen25 7 * r: % 0,3 cos25

Quanto ao trabalho realizado pela força de atrito, podemos calculá-lo de duas maneiras: usando a definição 01vw,x bcef,: Δ'c ou aplicando o resultado 0yqf,gz Δ.{ . Pela primeira maneira basta substituir valores já calculados acima (deixa-se ao leitor). Pela segunda, como a força de atrito é a única força não conservativa a realizar trabalho, vem, fazendo a origem do potencial gravítico no solo,

1 /< > * /t| 01vw,x 2 V 1 m > m 120 kg 6 L6,08 M * L9,8 > M 5,2 m7 01vw,x % *3900 J *3,9 kJ 2 s s O sinal negativo indica que o trabalho foi realizado contra o sentido do movimento, tal como é caraterístico das forças de atrito. 0yqf,gz 01vw,x .{V * .{ 01vw,x

1

O eixo dos yy é oblíquo e paralelo ao plano. Neste eixo, ‘descer’ significa perfurar o plano e ‘subir’ significa levantar voo!

Versão: 23-Ago-11

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Problema 3 O campo no centro pode ser calculado como sobreposição das contribuições de três partes: a corrente que flui no condutor horizontal do topo, no condutor horizontal da base e no semi-círculo. A expressão para a contribuição dos condutores horizontais é G rh /4Y' (ver p.ex. as orientações de resposta ao e-fólio B). A contribuição do semi-círculo é simplesmente metade do campo magnético no centro de uma espira (também nas mesmas orientações de resposta), i.e. G rh /4'. Nas expressões acima, ' é a distância dos condutores ao centro do semi-círculo. Pela regra da mão direita vemos que as três contribuições apontam todas na mesma direção. Assim, a magnitude total no centro é 1 1 1 a a $ 4Y' 4Y' 4' 2 1 4Y H 10I T. m/A 4 A a $ 6,86 H 10Ij T 4Y 0,03 m 4 0,03 m

G G a G k9 a Gk9 rh

O vetor campo magnético terá então a magnitude acima e direção para fora da folha. Longe do semi-círculo podemos considerar que temos dois condutores longos, espaçados de 2 cm. A força por unidade de comprimento entre dois condutores percorridos por correntes D e > é 1 dada por >[ (livro de texto, pág. 286). No nosso caso temos, obviamente, D > e vem b 4Y H 10I T. m/A 4 A> 5,33 H 10Ij N/m 0,06 m 2Y

Esta força é repulsiva porque os condutores conduzem em sentidos opostos.

Problema 4 Como o circuito está num estado estacionário, o condensador está totalmente carregado, não havendo assim nenhuma corrente a fluir para ele. Assim, para achar Jj basta resolver o circuito normalmente, como se o condensador não estivesse presente. Para determinar a carga acumulada no condensador, basta saber a d.d.p. aos seus terminais.

As resistências de 3 Ω e 5 Ω estão em série, pelo que têm resistência equivalente EJj 3 Ω a 5 Ω 8 Ω. A resistência equivalente EJj está em paralelo com a resistência de 8 Ω, perfazendo uma resistência total do circuito de EJj 48 ΩID a 8 ΩID 5ID 4 Ω. Pela lei de Ohm, a corrente que D> sai da fonte de alimentação é então Ω 3 A. Quando encontra a bifurcação, esta corrente divide-se por dois ramais. Pela lei dos nodos temos a Jj 3 A. Por outro lado, cada ramal está sob uma d.d.p. de 24 V pelo que, da lei de Ohm, E EJj Jj . Combinando estas duas equações vem

a Jj 3 A 1,5 A 2 3 A Jj Jj Jj 8 8Jj 1,5 A

Sabendo a corrente Jj podemos calcular a d.d.p. aos terminais da resistência de 5 Ω, que é, novamente pela lei de Ohm, (j j 5 Ω 1,5 A 5 Ω 7,5 V. A carga aos terminais é então ( 0,002 F 7,5 V 0,015 C 15 mC.

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Física Geral 21048 Instruções para elaboração deste e-Fólio Documento de texto, .DOC, .PDF ou .PS; fonte 11 ou 12; espaçamento livre; máximo 8 páginas. Pode incluir desenhos, várias cores e pode inclusive juntar elementos aos desenhos do próprio e-Fólio. Para incluir fórmulas pode usar o editor de fórmulas do seu processador de texto ou gerá-las à parte. Entregar até às 23:55 h do dia 3 de dezembro, por via da plataforma. Critérios de correção: (para cada questão as percentagens oscilarão nos intervalos indicados) 20 ± 10% Rigor científico na identificação dos princípios físicos em jogo. 40 ± 10% Rigor científico da colocação do problema em equação. 40 ± 10% Rigor dos cálculos, expressão e (se aplicável) interpretação corretas dos resultados. Este e-Fólio tem a cotação máxima de 4 valores. Nos problemas abaixo, considere g = 9,8 m/s2 e dê as suas respostas em unidades SI.

1. Um automóvel descreve o seguinte movimento, composto de três partes: na 1ª acelera uniformemente desde o repouso até 50 km/h, à razão de 2,0 m/s2. Na 2ª parte, percorre 100 m a essa rapidez constante [50 km/h] (na mesma direção e sentido), após o que faz, na 3ª parte, uma curva brusca de 90º para a sua esquerda, percorrendo mais 100 m, ainda à mesma rapidez de 50 km/h. Assumindo que nas partes 1 e 2 do movimento este se dá no sentido positivo dos xx, que na parte 3 este se dá no sentido positivo dos yy e que não há lapsos temporais entre as três partes, calcule a. (0,3 val) O tempo que leva a completar o movimento (do repouso até ao final da parte 3). b. (0,4 val) A velocidade média, a rapidez média e a aceleração média do movimento. c. (0,3 val) O instante de tempo em que a rapidez média é igual à rapidez instantânea.

2. Na figura abaixo um homem puxa dois caixotes, A e B, de massas respetivamente 30 e 40 kg. Entre o chão e os caixotes existe atrito de coeficientes 0,60 (estático) e 0,50 (cinético). A corda que puxa o caixote B fá-lo num ângulo de 30º com o solo. Considerando os blocos como pontuais, A (30 kg)

B (40 kg) 30º

a. (0,2 val) Copie o desenho para o seu e-folio e marque, num diagrama de corpo livre, as forças que atuam em cada um deles. b. (0,6 val) Qual o valor mínimo da força (em módulo) que o homem tem de aplicar para puxar os dois caixotes? c. (0,6 val) Se homem puxar com uma força de 450 N, quanto valerá a aceleração do sistema?

3. Uma força constante de módulo 28 N puxa um bloco de 5,2 kg, inicialmente em repouso, desde a base de um plano inclinado de comprimento 2,0 m e 20º de inclinação, até ao seu topo. A força atua paralelamente ao plano e a situação é sem atrito. Calcule: a. (0,3 val) Utilizando a definição de trabalho, calcule o trabalho da força constante, do peso e da força normal no deslocamento de desde a base do plano até ao topo. Utilizando apenas os teoremas de trabalho-energia e impulso-momento, calcule: b. (0,4 val) A velocidade a que o bloco atinge o topo. c. (0,3 val) O tempo que leva ao bloco a chegar ao topo.

4. Uma bicicleta está pendurada no mostrador de uma loja, sendo que as suas rodas, de 70 g de massa e 35 cm de raio, estão livres para girar. Uma criança põe a roda da frente a girar à velocidade angular de 1,5 rotações/s. Devido ao atrito nos rolamentos do eixo, a roda desacelera gradual e uniformemente. Para modelar o atrito, considere que este atua paralelamente à velocidade linear da roda, a uma distância de 5,0 mm do centro de rotação e com magnitude constante de 0,80 N (ver figura). Considerando que a roda se pode tratar aproximadamente como um anel, a. (0,4 val) Calcule o tempo que leva à roda a parar. b. (0,2 val) O n.º de rotações que a roda descreve até parar. Momento de inércia de um anel de massa ‫ ܯ‬e raio ܴ, em torno de um eixo perpendicular ao seu centro: ‫ܴܯ = ܫ‬ଶ

Sentido da rotação

݂௞ 10 mm

Física Geral 21048 Instruções para elaboração deste e-Fólio Documento de texto, .DOC, .PDF ou .PS; fonte 11 ou 12; espaçamento livre; máximo 8 páginas. Pode incluir desenhos, várias cores e pode inclusive juntar elementos aos desenhos do próprio e-Fólio. Para incluir fórmulas pode usar o editor de fórmulas do seu processador de texto ou gerá-las à parte. Entregar até às 23:55 h do dia xx de xxx, por via da plataforma. Critérios de correção: (para cada questão as percentagens oscilarão nos intervalos indicados) 20 ± 10% Rigor científico na identificação dos princípios físicos em jogo. 40 ± 10% Rigor científico da colocação do problema em equação. 40 ± 10% Rigor dos cálculos, expressão e (se aplicável) interpretação corretas dos resultados. Este e-Fólio tem a cotação máxima de 4 valores. Nos problemas abaixo, considere g = 9,8 m/s2 e dê as suas respostas em unidades SI.

1. Um automóvel descreve o seguinte movimento, composto de três partes: na 1ª acelera uniformemente desde o repouso até 50 km/h, à razão de 2,0 m/s2. Na 2ª parte, percorre 100 m a essa rapidez constante [50 km/h] (na mesma direção e sentido), após o que faz, na 3ª parte, uma curva brusca de 90º para a sua esquerda, percorrendo mais 100 m, ainda à mesma rapidez de 50 km/h. Assumindo que nas partes 1 e 2 do movimento este se dá no sentido positivo dos xx, que na parte 3 este se dá no sentido positivo dos yy e que não há lapsos temporais entre as três partes, calcule a. (0,3 val) O tempo que leva a completar o movimento (do repouso até ao final da parte 3). b. (0,4 val) A velocidade média, a rapidez média e a aceleração média do movimento. c. (0,3 val) O instante de tempo em que a rapidez média é igual à rapidez instantânea. (a) O tempo para executar a parte 1 é o tempo que demora ao automóvel a chegar aos 50 km/h. Esse tempo pode ser calculado da definição de aceleração média. Passando as quantidades ao SI e segundo x temos

1000 m m − 50 3600 s − 0 s Δ → Δ = = = 6,944 s = m Δ 2,0 s Na parte 2 precisamos de saber o tempo que demora a percorrer um total de 100 m a 50 km/h. Para tal basta-nos usar a definição de velocidade média, novamente segundo o eixo dos xx: Δ Δ 100 m → Δ = = = 7,2 s Δ 50 1000 m 3600 s A parte 3 leva outros 7,2 s a executar, pelo que no total o movimento demora =

= 6,944 s + 7,2 s + 7,2 s = 21,34 s (21 s)

(Entre parêntesis o valor que a precisão dos dados nos permite atribuir ao resultado, neste caso 2 algarismos significativos.) (b) Vejamos agora a velocidade, rapidez e aceleração médias. Para calcular a velocidade média precisamos de saber o deslocamento. Se fizermos = 0 m no início do movimento, no final da parte 1 o automóvel está em

1 1 m = ! + ! + → = 0 + 0 + "2,0 # (6,944 s) = 48,22 m 2 2 s Do enunciado vemos que ao fim da parte 2 o carro está em = 100 m + 48,22 m = 148,22 m e que no final da parte 3 está em (, %) = (148,22 m ; 100 m). A velocidade média é então, por definição,

Δ(' (148,22 m ; 100 m) − (0 m ; 0 m) m m = = "6,946 ; 4,686 # Δ 21,34 s s s m m ' = 6,9 )̂ + 4,7 +̂ s s Recorde que a velocidade média é um vetor. No caso da alínea a. as expressões que escrevemos foram de projeções segundo o eixo dos xx das definições de velocidade e aceleração médias. Passemos agora à rapidez e aceleração médias. Para a rapidez basta somar as distâncias percorridas em cada uma das partes do movimento e dividir pelo tempo total ' =

, =

distância 48,22 m + 100 m + 100 m m m = = 11,63 "12 # Δ 21,34 s s s

5 5 Note-se que o valor obtido não é o módulo da velocidade média, o qual é 4"6,9 6 # + "4,7 6 # =

8,3 6 . (A rapidez em geral só coincide com o módulo da velocidade média para o caso da velocidade e rapidez instantâneos.) Finalmente, para a aceleração média, do enunciado temos que a velocidade 7! 5 5 no final da parte 3 é ' = 8,9 6 +̂ = 13,89 6 +̂ e vem por isso 5

m m m m Δ' "0 s ; 13,89 s # − "0 s ; 0 s # m m ' = = = "0 ; 0,6509 # Δ 21,34 s s s m ' = 0,65 +̂ s (c) Finalmente, a rapidez média (11,63 m/s) obviamente só pode ser igual à rapidez instantânea durante a parte de MRUV. Isso acontece para o instante de tempo m m = ! + → 11,63 = 0 + "2,0 # ⇔ = 5,805 s (5,8 s) s s

2. Na figura abaixo um homem puxa dois caixotes, A e B, de massas respetivamente 30 e 40 kg. Entre o chão e os caixotes existe atrito de coeficientes 0,60 (estático) e 0,50 (cinético). A corda que puxa o caixote B fá-lo num ângulo de 30º com o solo. Considerando os blocos como pontuais,

A (30 kg)

B (40 kg) 30º

a. (0,2 val) Copie o desenho para o seu e-folio e marque, num diagrama de corpo livre, as forças que atuam em cada um deles. b. (0,6 val) Qual o valor mínimo da força (em módulo) que o homem tem de aplicar para puxar os dois caixotes? c. (0,8 val) Se homem puxar com uma força de 250 N, quanto valerá a aceleração do sistema? (a) No desenho temos marcadas as forças em questão. A azul normais, a verde pesos, a vermelho tensões (;< entre blocos e ; o puxar) e a castanho atritos.

(b) Para que os caixotes se movam temos de vencer o atrito estático. Na iminência do movimento o atrito estático está no seu valor máximo; a expressão do atrito estático, => ≤ @> ;A , satura para cada caixote e tem-se => = @> ;A (na verdade, a situação é um pouco mais subtil mas, como veremos abaixo, a assunção de saturação em ambos está certa). Decompondo as forças no referencial xy indicado na figura e aplicando a 1ª lei de Newton temos ;< = @> NG O E, : ;< − =>G = 0 ;< = @> ;AG D D … R ; = N O E, %: ;AG − ;HG = 0 M AG G M⇔ M ⇔ ! ; √3 − ; = @ ; ; cos 30 − ; − = = 0 I, : ; < > AK J < >K C C C ; − ;< = @> UNK O − V R2 2 B;AK = NK O − ; sen 30! BI, %: ;L + ;AK − ;HK = 0 … B D

Somando as duas equações da última chaveta a tensão na corda que liga A e B cancela e temos

; 2@> (NG + NK )O √3 @> √3 ; = @> UNG O + NK O − V ⇔ W + X ; = @> (NG + NK )O ⇔ ; = 2 2 2 2 √3 + @>

Substituindo valores vem

;=

2(0,60)(70 kg) "9,8 √3 + 0,60

m # s = 353,0 N (350 N)

Ou seja, se o homem puxar com uma força maior do que 350 N, os caixotes começarão a mover-se. Uma outra forma de resolver o problema, talvez mais intuitiva, seria dividir as situações para cada caixote. Ou seja, para mover o caixote A precisamos que ;< seja maior que o atrito estático máximo desse caixote. Na iminência do movimento teríamos então: m {E, : ;< − =>G = 0 → ;< = @> ;AG = @> NG O ⇔ ;< = 0,60(30 kg) "9,8 # = 176,4 N s Considerando agora o caixote B viria, também na iminência do movimento,

; cos 30! − 176,4 N − @> ;AK = 0 I, : ;J − ;< − =>K = 0 M M m ] I, %: ;L + ;AK − ;HK = 0 ⇔ ^;AK = (40 kg) "9,8 # − ; sen 30! s m ! ! ⇔ ]; cos 30 = 176,4 N + 0,60 _(40 kg) "9,8 s # − ; sen 30 `M … 411,6 N 1 √3 ⇔ ^; W + 0,60 X = 176,4 N + 235,2 NM ⇔ a; = 1,166 = 353,0 NM 2 2 … … Esta 2ª resolução é, de facto, um pouco mais simples. No entanto, a 1ª resolução tem a vantagem de ficar já praticamente escrito o sistema de equações para a alínea c). (c) Se o puxão for de 450 N o atrito passa de estático a cinético. A aceleração do sistema pode ser calculada decompondo forças e aplicando a 2ª lei de Newton. Temos então, no sistema SI, (note-se a passagem @> → @b !)

;< − =bG = NG ;< = NG + @b ;AG D ;AG = NG O ;AG − ;HG = 0 M M ⇔ ! ; cos 30 − ; = N + @ ; ; − ; − = = N < K b AK < bK K C C J B ;AK = NK O − ; sen 30! B ;L + ;AK − ;HK = 0 D

;< = 30 + 0,50 ⋅ 30 ⋅ 9,8 … M ⇔c 389,7 − ;< = 40 + 0,50 ⋅ (40 ⋅ 9,8 − 225) …

Podemos novamente somar as duas equações acima, o que nos daria m m 389,7 = 70 + 230,5 ⇔ = 2,274 "2,3 # s s

Colocou-se as unidades SI apenas no resultado final para não sobrecarregar a notação.

3. Uma força constante de módulo 28 N puxa um bloco de 5,2 kg, inicialmente em repouso, desde a base de um plano inclinado de comprimento 2,0 m e 20º de inclinação, até ao seu topo. A força atua paralelamente ao plano e a situação é sem atrito. Calcule: a. (0,2 val) Utilizando a definição de trabalho, calcule o trabalho da força constante, do peso e da força normal no deslocamento de desde a base do plano até ao topo. Utilizando apenas os teoremas de trabalho-energia e impulso-momento, calcule: b. (0,3 val) A velocidade a que o bloco atinge o topo. c. (0,2 val) O tempo que leva ao bloco a chegar ao topo. (a) Um desenho ajudará a compreender a situação.

110º 20º Além das três forças a azul (normal), vermelho (força cte.) e verde (peso) temos marcado a castanho o deslocamento. Notar o ângulo entre o peso e o deslocamento, de 110º. O trabalho das três forças é, da definição e = ;' ⋅ Δ(' = ;Δ( cos ∢(;, Δ(), Normal: egh = 0 porque ∢(;, Δ() = 90! → cos 90! = 0.

Peso: egi = NO Δ( cos(110! ) = (5,2 kg) "9,8 6j # (2,0 m)(−0,3420) = −34,87 J (−35 J). 5

Força de tração: eg = ; Δ( cos(0! ) = (28 N)(2,0 m)(1) = 56 J

(b) Aplicando agora o 1º teorema de trabalho-energia, e = Δlm , temos e =

e = egh + egi + eg = (0 − 34,87 + 56)J = 21,13 J

1 1 1 m m N − N ⇔ 21,13 J = (5,2 kg) − 0 ⇔ = 2,851 "2,9 # 2 2 2 s s

(c) Finalmente, para calcular o tempo de subida podemos recorrer ao teorema de impulsomomento, n' = Δo'. Designando por x a direção do movimento (c.f. figura), a projeção do teorema nessa direção dá-nos m nJ = o J − o J = N J − N J = (5,2 kg) "2,851 # − 0 = 14,83 N. s s Dado que as forças atuantes são constantes podemos tirar o tempo da definição de impulso, n' = ;'J Δ. Vamos precisar apenas das componentes segundo x dessas forças, as quais são ;J = 28 N, ;HJ = NO cos 110! = −17,43 N e ;AJ = 0 Δ =

nJ

;J,J

=

14,83 N. s = 1,403 s (1,4 s) 28 N − 17,43 N + 0 N

4. Uma bicicleta está pendurada no mostrador de uma loja, sendo que as suas rodas, de 70 g de massa e 35 cm de raio, estão livres para girar. Uma criança põe a roda da frente a girar à velocidade angular de 1,5 rotações/s. Devido ao atrito nos rolamentos do eixo, a roda desacelera gradual e uniformemente. Para modelar o atrito, considere que este atua paralelamente à velocidade linear da roda, a uma distância de 5,0 mm do centro de rotação e com magnitude constante de 0,80 N (ver figura). Considerando que a roda se pode tratar aproximadamente como um anel, a. (0,3 val) Calcule o tempo que leva à roda a parar. Momento de inércia de um anel de massa q e raio r, em torno de um eixo perpendicular ao seu centro: n = qr b. (0,2 val) O n.º de rotações que a roda descreve até parar.

Sentido da rotação =b

10 mm

Trata-se de um problema de movimento circular uniformemente variado (MCUV). Para calcular o tempo e as rotações precisamos da aceleração angular. Havendo só uma força a atuar, esta é dada por s = t/n (com mais forças haveria que calcular e somar (vetorialmente) os momentos das várias forças). Precisamos então de calcular t e n. O momento da força (ou torque, t) é um vetor, cuja projeção segundo o eixo de rotação é t = ±(; sen w, com o sinal a indicar se a força atua no sentido

da rotação ou contrário, e w o ângulo entre ; e (.1 Na prática isto é mais simples. Dado que o atrito atua perpendicularmente à velocidade linear w = 90! e temos: t = −(; sen(90! ) = −(0,0050 m)(0,80 N)(1) = −4,0 × 10y8 N. m

Sendo o momento de inércia da roda n = qr = (0,070 kg)(0,35 m) = 8,575 × 10y8 kg. m (note-se que ( e r são coisas diferentes!), a aceleração angular é s=−

−4,0 × 10y8 N. m = −0,4665 rad/s 8,575 × 10y8 kg. m

Podemos agora passar a unidade de ângulo de radianos a rotações, ou vice-versa. Como o enunciado nos pede um dos resultados em rotações, passemos tudo a essa unidade. De 1 rot = 2{ rad temos 1 rot rot 2{ s = −0,4665 = −0,07424 s s

rot 0 − 1,5 s | − | Δ| → Δ = = s= rot = 20,20 s (20 s) Δ s −0,07424 s 2 e as rotações descritas (|! é o mesmo que | ) O tempo até parar é então

1 rot 1 rot Δw = |! + s ⇔ Δw = U2,0 V (20,20 s ) + U−0,07424 V (20,20 s ) 2 s 2 s = 15,15 rot (15 rot)

1 2

Recorde-se que (' é o vetor de desde a origem dos momentos até ao ponto de aplicação da força e ( o seu módulo. O índice ‘0’ quer dizer “quando = 0”. O índice ‘i’ quer dizer “inicial”. Neste caso são ambos a mesma coisa.

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1. Nos quatro vértices de um quadrado de 20 cm de lado estão fixas cargas pontuais de módulo ܳ = 3 μC e sinal conforme a figura. Calcule a. (0,4 val) A força eletrostática que as cargas A, C e D causam sobre a carga B. b. (0,4 val) A energia eletrostática encerrada na configuração de cargas. c. (0,2 val) Interprete fisicamente o sinal obtido na alínea anterior.

A

B

+ܳ

−ܳ

−ܳ

+ܳ C

D

2. (1 val) Calcule a carga e a energia eletrostática acumulada aos terminais de cada um dos condensadores da montagem na figura abaixo.

6,0 mF

1,0 mF

1,0 mF

1,0 mF 12 V 4,0 mF

3. (1 val) No circuito abaixo, calcule a f.e.m. ߝ, as intensidades de corrente ‫ܫ‬ଵ e ‫ܫ‬ଶ e a potência dissipada na resistência de 4 Ω.

4,0 Ω

‫ܫ‬ଵ

2,0 A

3,0 Ω

‫ܫ‬ଶ 12 V

ℰ

20 V 6,0 Ω

2,0 Ω

5,0 Ω

4. Um fio de cobre com 1,5 mm2 de secção é enrolado 16 vezes à volta de um lápis de 1,0 cm de diâmetro e em seguida as extremidades são ligadas. O fio enrolado é colocado num campo magnético de 0,18 T paralelo ao seu eixo de simetria. O fio é então rodado até o eixo fazer um ângulo de 30º com o campo, ao longo de um intervalo de tempo de 2,4 s (c.f. figura, campo a azul). Resistividade do cobre: ρ = 1,7 × 10-8 Ω.m. Calcule: a. (0,4 val) A resistência elétrica do fio enrolado. b. (0,6 val) A força eletromotriz média induzida no fio durante a rotação e a intensidade de corrente média que o percorre.

Física Geral 21048 Instruções para elaboração deste e-Fólio Documento de texto, .DOC, .PDF ou .PS; fonte 11 ou 12; espaçamento livre; máximo 8 páginas. Pode incluir desenhos, várias cores e pode inclusive juntar elementos aos desenhos do próprio e-Fólio. Para incluir fórmulas pode usar o editor de fórmulas do seu processador de texto ou gerá-las à parte. Entregar até às 23:55 h do dia xx de xxx, por via da plataforma. Critérios de correção: (para cada questão as percentagens oscilarão nos intervalos indicados) 20 ± 10% Rigor científico na identificação dos princípios físicos em jogo. 40 ± 10% Rigor científico da colocação do problema em equação. 40 ± 10% Rigor dos cálculos, expressão e (se aplicável) interpretação corretas dos resultados. Este e-Fólio tem a cotação máxima de 4 valores. Nos problemas abaixo dê as suas respostas em unidades SI. 1. Nos quatro vértices de um quadrado de 20 cm de lado estão fixas cargas pontuais de módulo = 3 μC e sinal conforme a figura. Calcule a. (0,4 val) A força eletrostática que as cargas A, C e D causam sobre a carga B. b. (0,4 val) A energia eletrostática encerrada na configuração de cargas. c. (0,2 val) Interprete fisicamente o sinal obtido na alínea anterior.

+

−

A

B

C

D

−

+

A força eletrostática exercida sobre B é a soma vetorial da força que cada uma de A, C e D exercem sobre ela. Temos pois, da lei de Coulomb, =

,,

Na figura marcámos os três versores (vetores de módulo 1) , juntamente com um referencial xy onde os vamos decompor. Da figura é fácil de ver que os versores são, no referencial indicado, = ̂ ; = ̂ ; = cos 45$ %̂ + sen 45$ %̂, este último porque faz um ângulo de 45º com o eixo dos xx. Juntando tudo e notando que a distância entre C e B é de √2 ⋅ 20 cm (do teorema de Pitágoras) temos = -9,0 × 101

N. m −3 × 1067 C%3 × 1067 C% 45 ̂ 0,20 m% C

+

−3 × 1067 C%−3 × 1067 C% √2 −3 × 1067 C%3 × 1067 C% √2 ̂ + ̂ 4 + ̂: 0,20 m% 2 2 8√2 ⋅ 0,20 m9

N. m 3 × 1067 C%3 × 1067 C% √2 44 -−1 + 4 ̂ + ̂% 0,20 m% C 4 = 2,025 N%−0,6464%̂ + ̂ % = −1,310 N%̂ + ̂% = −1,3 N ̂ − 1,3 N ̂% = -9,0 × 101

Entre parêntesis o resultado com dois algarismos significativos.

A energia eletrostática da configuração pode ser calculada de duas formas: construindo a configuração passo-a-passo, transportando as cargas uma a uma do infinito até aos pontos onde estão, >> ou aplicando < = ∑ BC ? @. Pela primeira forma, o procedimento é o seguinte: para colocar a carga A ?@

A no seu ponto (i.e. trazê-la do infinito até A) não necessitamos de gastar energia. Em seguida, para trazer a carga B para o seu ponto já temos de considerar o potencial que A causa no local onde vai ficar B. Esse potencial é (leia-se ‘potencial que A causa no ponto B’ e chamemos D ao lado do quadrado)

D A energia potencial que a carga B adquire ao ser trazida até B é então E F% =

= − D D O sinal menos significa que há atração entre A e B. O conjunto AB causa agora no local C um novo potencial, que é
E I % =

1 − + = J1 − K D √2 D √2 D

Trazendo a carga C até ao seu local esta adquire

1 = − J1 − K √2 D √2 D Finalmente, as três cargas causam em D um potencial de
E L% =

√2 D

+

e a energia potencial que a carga D adquire é de M%
1

K

− − 1 + = J − 2K D D D √2

= E L% = + ⋅ J

1

1 − 2K = J − 2K D D √2 √2

A energia eletrostática total será a soma das três contribuições individuais, que é

<=

H%
+

%
+

M%
Substituindo valores vem

1 1 = − − J1 − K + J − 2K = 8−4 + √29 D D D √2 D √2

< = 9,0 × 101 %8−4 + √29

3 × 1067 C% = −1,047 J −1,0 J% 0,20 m%

O sinal menos significa que a configuração total é atrativa, i.e. é que será necessário fornecer +1,0 J de energia ao sistema para voltar a separar as cargas. Se o sinal fosse positivo, seria a própria configuração que iria fornecer energia ao exterior quando se desfizesse. Deixa-se ao leitor confirmar o resultado por aplicação da fórmula < = ∑ BC

>? >@

esta fórmula é mais simples e expedita de usar do que o procedimento passo-a-passo.

A?@

. Regra geral,

2. (1 val) Calcule a carga e a energia eletrostática acumulada aos terminais de cada um dos condensadores da montagem na figura abaixo.

6,0 mF

1,0 mF

1,0 mF

6,0 mF

1,0 mF

3,0 mF 12 V 4,0 mF

12 V 4,0 mF

Para calcular as cargas há primeiro que simplificar o circuito. Os três condensadores à esquerda estão PQR em paralelo e têm portanto capacidade equivalente de I> = 1,0 + 1,0 + 1,0% mF = 3,0 mF. A montagem é então equivalente à da direita, a qual está obviamente em série e tem portanto capacidade equivalente total de I> =

1 = 1,333 mF 1 1 1 + + 3,0 mF 4,0 mF 6,0 mF

Ora como sabemos, numa associação de condensadores em série, a carga acumulada aos terminais de cada um deles é constante. Para a associação fluíram então = I> E = 16 mC. Esta é pois a carga acumulada aos terminais dos condensadores de 6,0 e 4,0 mF e da associação à esquerda. No entanto, nos condensadores dessa associação a carga de 16 mC está distribuída por todos eles de tal forma que a d.d.p. aos terminais de cada um deles é constante (numa associação em paralelo, é a d.d.p. que é

constante, não a carga). Essa d.d.p. é EH = /I> = 5,333 V e por conseguinte a carga aos terminais de cada um dos condensadores individualmente é H = IH EH = 5,333 mC. Resumindo, as cargas são PQR

H = 5,333 mC ; V = 7 = 16 mC

Quanto à energia eletrostática acumulada, esta pode ser calculada individualmente para cada

condensador de W = IE . Esta fórmula não é, no entanto, a mais conveniente de usar neste caso. H

Z

Notando que = IE ⇔ E = /I a expressão simplifica para W = I Y [ = H

condensador obtemos, a 2 alg.sig.,

H Z\

. Aplicando a cada

WH = 14 mJ ; WV = 32 mJ ; W7 = 21 mJ

3. (1 val) No circuito abaixo, calcule a f.e.m. ], as intensidades de corrente ^H e ^ e a potência dissipada na resistência de 4 Ω.

4,0 Ω

20 V

12 V

^H

2,0 A

3,0 Ω

^

6,0 Ω

ℰ 2,0 Ω

5,0 Ω

Dado que se trata de um circuito com várias malhas, vamos precisar de usar as leis de Kirchhoff. Marcámos na figura duas circulações. Aplicando a lei dos nós na junção do topo e a lei das malhas vem, de acordo com as convenções para os sinais do manual e em unidades SI Nós: 2,0 A = ^H + ^ % ` Malha esq.: + 4,0 Ω ^H − 20 V − 6,0 Ω%^ + 5,0 Ω%^H − 12 V = 0 l Malha dir.: +2,0 A%3,0 Ω% − ] + 2,0 A%2,0 Ω% + 6,0 Ω%^ + 20 V = 0

O estudante deve verificar cuidadosamente que os sinais da expressão estão de acordo com as convenções. (No que se segue omitiremos as unidades não indicadas para não sobrecarregar a notação.) O sistema de equações que obtivemos é muito simples de resolver por substituição. A dois alg.sig. temos … ^H = 2,0 − ^ ^H = 2,0 − −0,9333% −15,0 ^ − 14 = 0 l l % % m 9,0 2,0 − ^ − 6,0 ^ − 32 = 0 ⇔ n ⇔ m ^ = −0,9333 A l ] = 30 + 6^ 6 − ] + 4 + 6^ + 20 = 0 ] = 30 + 6−0,9333% ^H = 2,9 A ⇔ m ^ = −0,9 Al ] = 24 V

O sinal menos da corrente ^ significa apenas que o seu sentido real é oposto ao sentido assumido no na figura. Quanto à potência dissipada na resistência de 4 Ω ela é simplesmente pqrstP = u^H = 4,0 Ω%2,933 A% = 34,041 W 34 W%.

4. Um fio de cobre com 1,5 mm2 de secção é enrolado 16 vezes à volta de um lápis de 1,0 cm de diâmetro e em seguida as extremidades são ligadas. O fio enrolado é colocado num campo magnético de 0,18 T paralelo ao seu eixo de simetria. O fio é então rodado até o eixo fazer um ângulo de 30º com o campo, ao longo de um intervalo de tempo de 2,4 s (c.f. figura, campo a azul). Resistividade do cobre: ρ = 1,7 × 10-8 Ω.m. Calcule: a. (0,4 val) A resistência elétrica do fio enrolado. b. (0,6 val) A força eletromotriz média induzida no fio durante a rotação e a intensidade de corrente média que o percorre. A resistência do fio pode ser calculada de u = x . No enunciado temos a secção (1,5 mm2) pelo que falta apenas o comprimento deste. Para enrolar 16 voltas circulares de 1,0 cm de diâmetro precisamos de um comprimento de fio z = 16 × 2{u = 32{0,0050 m% = 0,503 m. A resistência elétrica do fio é então: (atenção à passagem de mm2 para m2! 1 mm2 = 10-6 m2) y

u = 1,7 × 106| Ω. m%

0,503 m = 5,701 × 106M Ω 5,7 mΩ% 1,5 × 1067 m

Quanto à f.e.m. induzida média, ela é calculada a partir da lei de Faraday, ] = −} ~ . As 16 voltas ao lápis formam 16 espiras. Seja o ângulo entre a normal ao plano da espira e o campo e a área abraçada pelas espiras. A variação de fluxo do campo magnético através de cada uma delas é ~

0,010 m K cos 0$ − cos 30$ % Δ = − = F cos − F cos ⇔ ΔΦ = 0,18 T% { J 2 = 1,894 × 1067 Wb

Note-se que no cálculo da resistência era a área da secção do fio. No cálculo do fluxo, é a área englobada pelas espiras. São duas áreas diferentes. A f.e.m. induzida é então ] = −16

1,894 × 1067 Wb = −1,263 × 106 V 13 μV% 2,4 s

O sinal menos quer apenas dizer que a f.e.m. induzida tende a contrariar a diminuição de fluxo proveniente da rotação das espiras. Não tem nenhum outro significado especial. A intensidade de corrente média é então ^ =

] 1,263 × 106 V = = 2,215 × 106M A 2,2 mA% u 5,701 × 106M Ω


U.C. 21048

Física Geral 20 de fevereiro de 2013

ISTRUÇÕES Leia com atenção o que se segue antes de iniciar a sua prova: Verifique se o enunciado desta prova possui, para além desta folha de rosto, mais 6 páginas, numeradas de 2 a 7 e terminando com a palavra FIM. O estudante não necessita de indicar qualquer resposta neste enunciado, pelo que poderá ficar na posse do mesmo finda a prova. Este exame consta de duas partes: 1) A primeira é constituída por 7 questões de escolha múltipla (em que apenas uma das respostas é correcta). As respostas a estas questões devem ser feitas na folha de prova. Indique nela, de uma forma clara, a alínea que corresponde à resposta que considera correta. Respostas que não sejam claras ou cuja interpretação seja ambígua serão consideradas nulas. Os valores numéricos das várias alternativas são apresentados com 2 algarismos significativos. 2) A segunda é composta por 5 questões estruturadas de produção de resposta, das quais deve resolver apenas 4. Indique claramente as questões que se propõe resolver, sendo que o professor julgará como entender omissões a esse respeito. Nestas respostas os parâmetros valorizados são: • O rigor científico do raciocínio usado, nomeadamente na identificação dos princípios físicos em jogo e na colocação do problema em equação. • O rigor dos cálculos efectuados, incluindo a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos com os algarismos significativos e unidades adequados) e a interpretação dos resultados (se aplicável). Os resultados devem ser apresentados com 2 ou 3 algarismos significativos. Recomenda-se que: • Leia com muita atenção as questões e seleccione bem os dados e incógnitas antes de responder. • Responda primeiro às questões que julgar mais acessíveis, e só depois às questões que considerar mais difíceis. • Reveja as resoluções cuidadosamente antes de entregar a prova. Pode utilizar a sua máquina de calcular mas não pode emprestá-la a qualquer dos seus colegas. Duração: 2h:30 min

FORMULÁRIO E VALORES DE COSTATES FÍSICAS ∆G = Gfinal − Ginicial


;

A = π R2

Círculo: ∆r v med = ∆t

; P = 2π R

dr ; v= dt

v = cte  r = r0 + vt

; smed

v = cte 1D:   x = x0 + vt

d  θ = R ; 1 rot = 2π rad  dθ ∆θ  ; ωmed = ; ω = dt ∆t   dω ∆ω α = dt ; α med = ∆t  ΣF = ma

;

W = F ⋅ ∆r

Fg = mg

;

1 mv 2 2

; Ec =

Esfera: V =

Mm r2

; VG = −G

M r

ε 0 = 8,85 × 10−12 C2 .N-1.m-2

 d = θ R  v = ωR  at = α R 

; 2

; ar =

g = 9,8 m/s2

; C = ε0

V = RI ; R = ρ ΣIentrada = ΣIsaida

A d

;

A = 4π R 2

ω = cte  θ = θ0 + ωt

fs ≤ µe FN

;

xf

;

; fk = µc FN

; FC = −

xi

dE p dx

; WNC = ∆Em

τ = r × F   Στ α = I 

Ie =

Imax 2

;

XC =

; Ve =

1 ωC

ε 2

;

A = 2π R 2 + 2π Rh

; Pmed =

∆E ∆t

 α = cte  ω = ω0 + α t  1 θ = θ0 + ω0 t + α t 2 2 

v2 R 1 2 kx 2

; P = F ⋅v

; ag ≡ g = G

1 = 9,0 × 109 N.m2 .C-2 4πε 0 q ; Fe = qE ; Ve = ke ∑ i ; E pe = qVe i ri

; E p,elast =

M r2

; ke =

∑V =0

; FB = I L × B


;

; Felast ,x = −kx

; E pg = mgh

;

1 Ceq.serie

=

; E=−

∆V ∆s

1 1 + + ⋯ ; Ceq.par = C1 + C2 + ⋯ C1 C2

ε L ; I= ; P = IV ; PJoule = RI 2 ; Req.s = R1 + R2 + ⋯ ; A R+r ;

;

; Fcentrip = m

1 1 1 = + +⋯ Req. p R1 R2

resistência : V = ±IR se corrente e circulação resp. / ⇒  f.e.m. : V = ±ε se circulação resp. do pólo ( − → + ) / ( + → − ) mv ; R= ; τ = NIA × B ; A = Anˆ qB →

µ I ds × rˆ µ I µ I ; Bcirc = 0 dB = 0 ; µ0 = 4π × 10−7 N.A -2 ; Bfio = 0 2π d 2 R 4π r 2 ∆ΦB d ΦB ; ε = −N ; Φ B = ∫ B ⋅ dA ; Φ B = BA cosθ ε med = −N ∆t dt A X L = ωL

A ⋅ B = AB cosθ


; G = 6,67 × 10 −11 N.m2 .kg-2

; E pG = mVG

1 ; E pe.cond = CV 2 2

malha

FB = qv × B

v R

; E p = − ∫ FC ( x )dx

qq q Fe = ke 1 2 2 rˆ ; E = ke ∑ 2i rî r i ri q = CV

4 π R3 3

;

dv d 2 r distância ∆v = ; s = v = v ; amed = ; a= = 2 ∆t ∆t dt dt   a = cte a = cte   1D: v = v 0 + at v = v 0 + at   1 1 r = r0 + v 0 t + at 2  x = x0 + v 0 t + at 2  2  2

Em = Ec + E p ; Wtot = ∆Ec ; WC = −∆E p p = mv ; I = Fext ∆t ; I = ∆p FG = G

A ≡ A = Ax2 + Ay2 + Az2

;

; Z = R 2 + ( X L − XC )2 ; Ve = ZIe

; Pmed = IeVe

;

tgφ =

X L − XC R

; Bsolen = µ0 nI

; cos φ =

; F=

µ0 LI1 I2 2π

d

R Z

R Z

2

PARTE I 1. (1,2 val) Uma pedra é lançada ao ar verticalmente, a uma altura de 3,0 m. Cai no solo após 6,0 s o lançamento. Com que rapidez embate no solo?

A. 13 m/s

B. 15 m/s

C. 17 m/s

D. 30 m/s

E. 45 m/s

F. 60 m/s

2. (0,9 val) Dois fios retilíneos, longos e paralelos conduzem ambos correntes de 2,5 A. As correntes fluem em sentidos opostos e os fios distam 1,2 mm entre si. Qual a magnitude do campo magnético a 4,0 mm dos fios? (C.f. figura) A. 220 µT

B. 150 µT

C. 110 µT

D. 72 µT

E. 36 µT

F. 29 µT

B=? 1,2 mm

4,0 mm

3. (0,9 val) Um circuito RLC série está ligado à rede elétrica nacional (Ve = 220 V a 50 Hz) e é percorrido por uma intensidade de corrente eficaz de 1,2 A. O condensador tem capacidade 45 µF e o indutor 0,70 H de indutância. Quanto vale a resistência? A. 330 Ω

B. 280 Ω

C. 180 Ω

D. 130 Ω

E. 110 Ω

F. 50 Ω

4. (1,0 val) Um automóvel viaja à rapidez constante de 120 km/h. A essa rapidez a força de resistência do ar à passagem do automóvel é de aproximadamente 490 N. Que potência, em cavalo-vapor, terá o motor de transmitir às rodas para manter a velocidade da viatura? Dados: 1 CV = 736 W A. 15 CV

B. 22 CV

C. 36 CV

D. 49 CV

E. 63 CV

F. 80 CV

3

5. (1,0 val) Durante a execução de um ensaio do disco, o atleta age sobre ele com uma força cuja componente perpendicular ao raio tem uma magnitude média de 180 N. O disco tem 220 mm de diâmetro e momento de inérica 0,012 kg.m2 e o ensaio dura 1,2 s. Com que velocidade angular sai o disco do ensaio? Nota: o disco começa o ensaio do repouso. A. 290 rad/s

B. 320 rad/s

C. 620 rad/s

D. 1600 rad/s

E. 2000 rad/s

F. 4000 rad/s

180 N

6. (1,5 val) Na montagem abaixo, quanto vale a energia eletrostática acumulada aos terminais do condensador de 3,0 mF?

3,0 mF

4,0 mF

2,0 mF

24 V

2,0 mF A. 320 mJ

B. 250 mJ

C. 190 mJ

D. 96 mJ

E. 18 mJ

F. 12 mJ

7. (1,5 val) Numa central elétrica o gerador é composto por 400 espiras condutoras, cercando uma área de 1,25 m2 e sob um campo magnético de 1,4 T. O gerador roda a 90 rpm. Qual o valor máximo da f.e.m. nele induzida? A. 4,1 kV

B. 4,7 kV

C. 6,6 kV

D. 9,3 kV

E. 14 kV

F. 18 kV

4

PARTE II Das 5 questões abaixo, responda apenas a 4. Indique claramente as questões a que se propõe responder. 1. Um livro (A), de 500 g de massa, é feito deslizar sobre uma mesa de 80 cm de altura, indo embater frontalmente à rapidez de 5,0 m/s noutro livro (B), de 350 g e inicialmente em repouso. O livro B cai pela borda da mesa com velocidade de 4,2 m/s no sentido positivo dos xx (c.f. referencial da figura), estatelando-se de seguida no chão. Considerando os livros como corpos pontuais e desprezando atritos,

A (500 g)

B (350 g)

a. (0,7 val) Calcule o vetor velocidade do livro A imediatamente depois de este embater no B. b. (0,8 val) Indique se a colisão foi elástica ou inelástica, justificando. c. (0,7 val) Determine a rapidez com que o bloco B chega ao solo. d. (0,8 val) Se a queda do livro B for aparada por uma balança de mola com constante elástica 2100 N/m, qual seria aproximadamente o peso indicado pela balança no ponto de compressão máxima? Se não conseguiu resolver a alínea anterior assuma que B chega ao solo a 10 m/s.

2. No circuito de corrente contínua abaixo o solenoide e a fonte de alimentação podem considerar-se como ideais. O solenoide tem 10 espiras, enroladas ao longo de 3,0 mm de comprimento.

R = 4,0 cm

10 A P 3,0 Ω

ε 6,0 Ω

1,0 Ω

3,0 mm 10 espiras

10 A 5

Calcule: a. (0,8 val) A resistência equivalente do circuito. b. (0,5 val) A força eletromotriz da fonte de alimentação. c. (0,8 val) O módulo do campo magnético no interior do solenóide. d. (0,9 val) O vetor campo magnético causado pela corrente que percorre o semicírculo, de 4,0 cm de raio, do topo do circuito no centro do mesmo (ponto P).

3. Duas cargas pontuais, de +2,0 mC e –2,0 mC, estão fixas nos pontos respetivamente (0 cm, 0 cm) e (8 cm, 0 cm) de um referencial xy. Calcule

3,0 mC

y 6 cm 8 cm +2,0 mC

x

–2,0 mC

a. (1,5 val) O vetor campo elétrico no ponto (8 cm, 6 cm). b. (1,5 val) Uma carga de 3,0 mC é colocada no ponto (0 cm, 6 cm) e seguidamente transportada até ao ponto (8 cm, 6 cm) – ver figura. Calcule o trabalho das forças elétricas nesse deslocamento.

4. Na figura abaixo, uma força horizontal de 240 N atua sobre dois caixotes, A (20 kg) e B (15 kg), juntos um ao outro. Entre os caixotes e o solo há atrito cinético de coeficientes 0,40 (A-solo) e 0,60 (B-solo). Considerando os caixotes como pontuais,

A B (20 kg) (15 kg) 240 N

a. (1,0 val) Marque, em diagramas de corpo livre, as forças que atuam sobre ambos os caixotes e identifique os pares ação-reação, se os existirem. b. (2,0 val) Calcule a aceleração do sistema.

6

5. Observe o circuito abaixo. a. (0,5 val) Calcule a potência dissipada na resistência de 15 Ω. b. (2,5 val) Escreva um conjunto de equações que lhe permitam calcular as quantidades desconhecidas, I1, I2 e ε. (Não efetue os cálculos – apresente só as equações.)

ε

15 Ω 3A I2

I1 24 V

10 Ω

4Ω

8Ω

10 V

12 Ω

FIM

7


U.C. 21048

Física Geral - RESOLUÇÃO 20 de fevereiro de 2013

INSTRUÇÕES Leia com atenção o que se segue antes de iniciar a sua prova: Verifique se o enunciado desta prova possui, para além desta folha de rosto, mais 6 páginas, numeradas de 2 a 7 e terminando com a palavra FIM. O estudante não necessita de indicar qualquer resposta neste enunciado, pelo que poderá ficar na posse do mesmo finda a prova. Este exame consta de duas partes: 1) A primeira é constituída por 7 questões de escolha múltipla (em que apenas uma das respostas é correcta). As respostas a estas questões devem ser feitas na folha de prova. Indique nela, de uma forma clara, a alínea que corresponde à resposta que considera correta. Respostas que não sejam claras ou cuja interpretação seja ambígua serão consideradas nulas. Os valores numéricos das várias alternativas são apresentados com 2 algarismos significativos. 2) A segunda é composta por 5 questões estruturadas de produção de resposta, das quais deve resolver apenas 4. Indique claramente as questões que se propõe resolver, sendo que o professor julgará como entender omissões a esse respeito. Nestas respostas os parâmetros valorizados são:  O rigor científico do raciocínio usado, nomeadamente na identificação dos princípios físicos em jogo e na colocação do problema em equação.  O rigor dos cálculos efectuados, incluindo a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos com os algarismos significativos e unidades adequados) e a interpretação dos resultados (se aplicável). Os resultados devem ser apresentados com 2 ou 3 algarismos significativos. Recomenda-se que:  Leia com muita atenção as questões e seleccione bem os dados e incógnitas antes de responder.  Responda primeiro às questões que julgar mais acessíveis, e só depois às questões que considerar mais difíceis.  Reveja as resoluções cuidadosamente antes de entregar a prova. Pode utilizar a sua máquina de calcular mas não pode emprestá-la a qualquer dos seus colegas. Duração: 2h:30 min

FORMULÁRIO E VALORES DE CONSTANTES FÍSICAS G  Gfinal  Ginicial Círculo:

A   R2

r t

; v

v med 

v  cte  r  r0  vt

A  Ax I  Ay J  Az K ;

;

; P  2 R dr dt

; smed 

v  cte 1D:   x  x0  vt

Fg  mg

1 mv 2 2

; Ec 

Wtot  Ec

; WC  E p

FG  G

; I  Fext t Mm r2

distância t

 d   R  v  R  at   R 

M r

A q  C( V ) ; C   0 d

l

Ientrada  Isaida

;

; I



; P  F v

 V  0

4 0

; Ve  ke 

1  C( V )2 2

;

qi ri

1 Ceq.serie



; E pe  qVe 1 1   C1 C2



mv qB

;   NIA  B ;

Imax 2

; E

V s

; Ceq. par  C1  C2  ;

1 1 1    Req. p R1 R2

A  Anˆ

X  XC 1 ; Z  R 2  ( X L  X C )2 ; tg   L C R  R ; Ve  ; Ve  ZIe ; Pmed  IeVe Z 2 XC 

M r2

/ resistência : V  IR se corrente e circulação resp.  f.e.m. : V   se circulação resp. do pólo      /     

4

X L  L ;

; ag  g  G

 9,0  109 N.m2 .C-2

0 I ds  rˆ  I  I ; 0  4  10 7 N.A -2 ; Bfio  0 ; Bcirc  0 r2 2 d 2 R  B d B  N ;   N ;  B   B  dA ;  B  BA cos  t dt A

dB 

v2 R

; E pg  mgh ; Em  Ec  E p

; P  I ( V ) ; PJoule  RI 2 ; Req.s  R1  R2 

FB  qv  B ; FB  I L  B ; R 

Ie 

dx

E t

i

; E pe.cond

Rr

1

; Fe  qE

malha

 med

dE p

   cte  ;   0   t  1   0  0t   t 2 2 

; Fcentrip  m

; G  6,67  10 11 N.m2 .kg-2

; E pG  mVG

q1q2 q rˆ ; E  ke  2i rî r2 r i i

A

; Pmed 

; WNC  Em

dv d 2r  dt dt 2

  r  F  ;     I 

; fk  c FN

; FC  

xi

; a

A  2 R 2  2 Rh

 a  cte  1D: v  v 0  at  1  x  x0  v 0t  at 2 2 

fs  eFN

xf

Cilindro: V   R 2h ;

v t

; amed 

A  B  AB cos 

; I  p

; VG  G

V  RI ; R  

;

v2 R

;

A  4 R 2

;

  cte ;    0  t

; E p    FC ( x )dx

 0  8,85  10 12 C2 .N-1.m-2 ; ke  Fe  ke

4  R3 3

; s  v v

; ar 

; g  9,8 m/s2

W  F  r

p  mv

Esfera: V 

 a  cte  v  v 0  at  1 r  r0  v 0t  at 2 2 

d    R ; 1 rot  2 rad  d   ; med  ;   dt t  d     dt ;  med  t  F  ma ;

A  A  Ax2  Ay2  Az2

; Bsolen  0 nI

; cos  

;

F

l



0 I1 I2 2 d

R Z

2

PARTE I 1. (1,2 val) Uma pedra é lançada ao ar verticalmente, a uma altura de 3,0 m. Cai no solo após 6,0 s o lançamento. Com que rapidez embate no solo?

A. 13 m/s

B. 15 m/s

C. 17 m/s

D. 30 m/s

E. 45 m/s

F. 60 m/s

A pedra descreve um MRUV, cujas expressões para a posição e velocidade (+y para cima) são, no sistema SI,

Sabemos que para velocidade inicial é Substituindo

temos

. Substituindo isto na expressão para

temos que a

na expressão para a velocidade temos então que a pedra atinge o solo a

Entre parêntesis a expressão do resultado com dois algarismos significativos (alg.sig.). Usaremos esta notação repetidamente.

2. (0,9 val) Dois fios retilíneos, longos e paralelos conduzem ambos correntes de 2,5 A. As correntes fluem em sentidos opostos e os fios distam 1,2 mm entre si. Qual a magnitude do campo magnético a 4,0 mm dos fios? (C.f. figura) A. 220 T

B. 150 T

C. 110 T

D. 72 T

E. 36 T

F. 29 T

B=? 1,2 mm

4,0 mm

Aqui há que ter atenção ao caráter vetorial do campo magnético. Aplicando a lei de Biot-Savart para fios longos e a regra da mão direita vem

3

(Notar a relação entre versores passando a microtesla,

.) O módulo do campo magnético é então, a dois alg.sig. e .

3. (0,9 val) Um circuito RLC série está ligado à rede elétrica nacional (Ve = 220 V a 50 Hz) e é percorrido por uma intensidade de corrente eficaz de 1,2 A. O condensador tem capacidade 45 F e o indutor 0,70 H de indutância. Quanto vale a resistência? A. 330 

B. 280 

C. 180 

D. 130 

E. 110 

F. 50 

Para achar a resistência vamos precisar da impedância. Esta é reatâncias são

. As

e

. A resistência é então

4. (1,0 val) Um automóvel viaja à rapidez constante de 120 km/h. A essa rapidez a força de resistência do ar à passagem do automóvel é de aproximadamente 490 N. Que potência, em cavalo-vapor, terá o motor de transmitir às rodas para manter a velocidade da viatura? Dados: 1 CV = 736 W A. 15 CV

B. 22 CV

C. 36 CV

D. 49 CV

E. 63 CV

F. 80 CV

Para manter a velocidade o motor terá de passar às rodas uma força igual à força de resistência. A potência desenvolvida por uma força sobre um corpo que se desloca a velocidade constante é dada pela expressão . Como a força às rodas tem o mesmo sentido da velocidade o produto interno torna-se, em módulo, . Substituindo valores e passando a m/s temos

Em cavalos-vapor isto é

Este valor é realista. Um automóvel só desenvolve a sua potência máxima (que normalmente é bastante superior a 22 cv) quando o motor chega ao limite de rotações. A 120 km/h esse limite ainda está longe.

4

5. (1,0 val) Durante a execução de um ensaio do disco, o atleta age sobre ele com uma força cuja componente perpendicular ao raio tem uma magnitude média de 180 N. O disco tem 220 mm de diâmetro e momento de inérica 0,012 kg.m2 e o ensaio dura 1,2 s. Com que velocidade angular sai o disco do ensaio? Nota: o disco começa o ensaio do repouso. A. 290 rad/s

B. 320 rad/s

C. 620 rad/s

D. 1600 rad/s

E. 2000 rad/s

F. 4000 rad/s

180 N

Os dados do enunciado permitem-nos calcular a aceleração angular (média) do disco durante o ensaio. Esta é

. A velocidade angular é então, das

expressões do movimento curvilíneo uniformemente variado (MCUV),

6. (1,5 val) Na montagem abaixo, quanto vale a energia eletrostática acumulada aos terminais do condensador de 3,0 mF?

3,0 mF

4,0 mF

2,0 mF

24 V

2,0 mF A. 320 mJ

B. 250 mJ

C. 190 mJ

D. 96 mJ

E. 18 mJ

F. 12 mJ

Para saber a energia no condensador indicado podemos usar ou . Como veremos, a última expressão é mais conveniente. Para a usar basta-nos saber a carga acumulada aos seus 5

terminais. Notemos agora que os dois condensadores mais à esquerda estão em paralelo; logo, a sua capacidade equivalente é . O circuito é portanto equivalente um circuito com três condensadores em série: um de 2,0 mF, outro de 3,0 mF e um de 6,0 mF. A capacidade equivalente total é então de

A carga que flui da fonte para a associação é então de . Como numa associação em série a carga aos terminais de cada condensador é constante, é esta a carga aos terminais do condensador de 3,0 mF. Vem então

Nota: aos terminais da associação em paralelo temos também 24 mC, mas essa carga é distribuída pelos dois condensadores (o de 4,0 mF fica com 16 mC e o de 2,0 mF com 8,0 mC). 7. (1,5 val) Numa central elétrica o gerador é composto por 400 espiras condutoras, cercando uma área de 1,25 m2 e sob um campo magnético de 1,4 T. O gerador roda a 90 rpm. Qual o valor máximo da f.e.m. nele induzida? A. 4,1 kV

B. 4,7 kV

C. 6,6 kV

Aqui há que usar a lei de Faraday, como há rotação constante, . Temos então

D. 9,3 kV

E. 14 kV

. O fluxo magnético é dado por

varia de acordo com

F. 18 kV

e,

, com

O valor máximo da f.e.m. acontece quando o seno é 1 e vem

6

PARTE II Das 5 questões abaixo, responda apenas a 4. Indique claramente as questões a que se propõe responder. 1. Um livro (A), de 500 g de massa, é feito deslizar sobre uma mesa de 80 cm de altura, indo embater frontalmente à rapidez de 5,0 m/s noutro livro (B), de 350 g e inicialmente em repouso. O livro B cai pela borda da mesa com velocidade de 4,2 m/s no sentido positivo dos xx (c.f. referencial da figura), estatelando-se de seguida no chão. Considerando os livros como corpos pontuais e desprezando atritos,

A (500 g)

B (350 g)

a. (0,7 val) Calcule o vetor velocidade do livro A imediatamente depois de este embater no B. b. (0,8 val) Indique se a colisão foi elástica ou inelástica, justificando. c. (0,7 val) Determine a rapidez com que o bloco B chega ao solo. d. (0,8 val) Se a queda do livro B for aparada por uma balança de mola com constante elástica 2100 N/m, qual seria aproximadamente o peso indicado pela balança no ponto de compressão máxima? Se não conseguiu resolver a alínea anterior assuma que B chega ao solo a 10 m/s. A velocidade do livro A após a colisão pode ser obtida por conservação de momento linear. Segundo x temos

Em forma vetorial temos

.

Para verificar se a colisão foi elástica ou não, há que comparar a energia cinética antes e depois da colisão. Esta é

Como há perda de energia cinética, a colisão foi inelástica. Considerando o livro B como pontual, durante a sua queda apenas o peso atua. A questão pode ser resolvida tratando essa queda como um projétil ou usando considerações de energia. Aqui usamos as

7

considerações de energia, visto que leva a cálculos mais simples. O leitor pode confirmar estes resultados fazendo os cálculos como projétil. Como o peso é uma força conservativa, a energia mecânica do livro mantém-se constante. Redefinindo agora o estado inicial como o início da queda, o estado final como a chegada ao solo e a origem do potencial gravítico ao nível do solo, temos

Note-se que a velocidade inicial, , é totalmente horizontal. Já a velocidade final, , tem componentes nos dois eixos, x e y. Fazendo os cálculos como projétil, é fácil de ver que essa velocidade final é , que corresponde a uma rapidez final de, a 2 alg.sig., . O resultado confere com o obtido por considerações de energia, como esperado. Finalmente, se a colisão fosse aparada por uma balança teríamos, novamente por conservação de energia mecânica (a força elástica é conservativa) e designando por ‘1’ a chegada ao prato da balança e por ‘2’ o ponto de compressão máxima,

Note-se que este resultado é apenas aproximado porque não se contabilizou o potencial gravitacional associado ao abaixamento de 7,5 cm. O leitor pode confirmar que, dado que k é grande, essa contribuição é pequena, o que justifica o seu desprezo. Ora um abaixamento de 7,5 cm implica uma força elástica de magnitude

O livro B, de massa 350 g, ao embater na balança provocará então uma medição virtual de 16 kgf no ponto de compressão máxima. Dizemos ‘virtual’ pois não corresponde ao peso real do livro. Chamamos também a atenção para que este resultado assume que a balança recebe o livro paralelamente ao prato (i.e. o prato da balança está oblíquo). Se o prato estivesse horizontal, só a componente vertical da velocidade (3,96 m/s) importaria.

2. No circuito de corrente contínua abaixo o solenoide e a fonte de alimentação podem considerar-se como ideais. O solenoide tem 10 espiras, enroladas ao longo de 3,0 mm de comprimento.

R = 4,0 cm

10 A P 3,0 Ω

ε 6,0 Ω

1,0 Ω

3,0 mm 10 espiras 8

10 A

Calcule: a. (0,8 val) A resistência equivalente do circuito. b. (0,5 val) A força eletromotriz da fonte de alimentação. c. (0,8 val) O módulo do campo magnético no interior do solenóide. d. (0,9 val) O vetor campo magnético causado pela corrente que percorre o semicírculo, de 4,0 cm de raio, do topo do circuito no centro do mesmo (ponto P). Para achar a resistência equivalente basta notar que as resistências de 1 e 3 ohm estão em série entre si, e em paralelo com a de 6 ohm. Aplicando as regras de associação temos simplesmente

Como o solenóide não tem resistência, a resistência total do circuito é de 2,4  e a f.e.m. é, da lei de Ohm,

Quanto ao campo no interior do solenóide, ele é dado por

Finalmente, o campo no centro do semicírculo é simplesmente metade do campo no centro de um círculo completo, i.e.

Pela regra da mão direita a direção deste campo magnético é .

e, na forma vetorial, o campo é então

3. Duas cargas pontuais, de +2,0 mC e –2,0 mC, estão fixas nos pontos respetivamente (0 cm, 0 cm) e (8 cm, 0 cm) de um referencial xy. Calcule

3,0 mC

y 6 cm 8 cm +2,0 mC

x

–2,0 mC

a. (1,5 val) O vetor campo elétrico no ponto (8 cm, 6 cm).

9

b. (1,5 val) Uma carga de 3,0 mC é colocada no ponto (0 cm, 6 cm) e seguidamente transportada até ao ponto (8 cm, 6 cm) – ver figura. Calcule o trabalho das forças elétricas nesse deslocamento. Na figura desenhámos quatro vetores. O verde-escuro representa o campo produzido em (8,6) pela carga na origem (carga ‘1’) e o verde-claro o campo produzido pela carga em (8,0) (carga ‘2’). Os vetores a azul são os versores unitários nas direções 1P (escuro) e 2P (claro). O leitor deve analisar esta figura cuidadosamente e compará-la com a expressão para abaixo escrita, de forma a entender bem o significado de todos os símbolos. A distância entre (0,0) e (8,6) é, pelo teorema de Pitágoras, elétrico em P=(8,6) cm será então dado pela soma vetorial destes dois vetores, i.e.

. O campo

Para continuar temos de decompor os versores no referencial xy. Isto é fácil para , que é simplesmente . Para basta aplicar trigonometria elementar, que nos diz que o ângulo que o versor faz com a horizontal é tal que e . Temos então . Juntando isto à expressão para

temos finalmente

Para a alínea b. o trabalho é dado pelo 2º teorema de trabalho-energia:

O potencial nos pontos P = (8,6) cm e S = (0,6) cm devido às cargas pontuais 1 e 2 é

e o trabalho é

4. Na figura abaixo, uma força horizontal de 240 N atua sobre dois caixotes, A (20 kg) e B (15 kg), juntos um ao outro. Entre os caixotes e o solo há atrito cinético de coeficientes 0,40 (A-solo) e 0,60 (B-solo). Considerando os caixotes como pontuais,

A B (20 kg) (15 kg) 240 N 10

a. (1,0 val) Marque, em diagramas de corpo livre, as forças que atuam sobre ambos os caixotes e identifique os pares ação-reação, se os existirem. b. (2,0 val) Calcule a aceleração do sistema. As forças estão marcadas na figura: a verde pesos, a azul normais, a preto a já conhecida (240 N), a vermelho atritos e a castanho as forças que A exerce em B e que B exerce em A, sendo que estas duas últimas formam um par ação-reação. Como não há inclinações, as normais têm a mesma magnitude dos pesos. Aplicando a 2ª lei de Newton temos, segundo x (basta esse eixo para obter a aceleração),

Somando a equação de cima à de baixo

anula e vem, substituindo os dados do enunciado,

5. Observe o circuito abaixo. a. (0,5 val) Calcule a potência dissipada na resistência de 15 Ω. b. (2,5 val) Escreva um conjunto de equações que lhe permitam calcular as quantidades desconhecidas, I1, I2 e ε. (Não efetue os cálculos – apresente só as equações.)

ε

15 Ω 3A I2

I1 24 V

10 Ω

4Ω

8Ω

10 V

12 Ω

11

A potência é muito simples de calcular: . Quanto às equações, aplicando as leis de Kirchhoff no nodo a vermelho e malhas a azul, temos, no sistema SI,

Três equações, três incógnitas. O sistema é na verdade simples de resolver: basta substituir a equação do nodo na da malha de baixo. O resto é trivial.

FIM

12


U.C. 21048

Física Geral 31 de julho de 2013

INSTRUÇÕES Leia com atenção o que se segue antes de iniciar a sua prova: Verifique se o enunciado desta prova possui, para além desta folha de rosto, mais 5 páginas, numeradas de 2 a 6 e terminando com a palavra FIM. O estudante não necessita de indicar qualquer resposta neste enunciado, pelo que poderá ficar na posse do mesmo finda a prova. Este exame consta de duas partes: 1) A primeira é constituída por 7 questões de escolha múltipla (em que apenas uma das respostas é correcta). As respostas a estas questões devem ser feitas na folha de prova. Indique nela, de uma forma clara, a alínea que corresponde à resposta que considera correta. Respostas que não sejam claras ou cuja interpretação seja ambígua serão consideradas nulas. Os valores numéricos das várias alternativas são apresentados com 2 algarismos significativos. 2) A segunda é composta por 5 questões estruturadas de produção de resposta, das quais deve resolver apenas 4. Indique claramente as questões que se propõe resolver, sendo que o professor julgará como entender omissões a esse respeito. Nestas respostas os parâmetros valorizados são: • O rigor científico do raciocínio usado, nomeadamente na identificação dos princípios físicos em jogo e na colocação do problema em equação. • O rigor dos cálculos efectuados, incluindo a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos com os algarismos significativos e unidades adequados) e a interpretação dos resultados (se aplicável). Os resultados devem ser apresentados com 2 ou 3 algarismos significativos. Recomenda-se que: • Leia com muita atenção as questões e seleccione bem os dados e incógnitas antes de responder. • Responda primeiro às questões que julgar mais acessíveis, e só depois às questões que considerar mais difíceis. • Reveja as resoluções cuidadosamente antes de entregar a prova. Pode utilizar a sua máquina de calcular mas não pode emprestá-la a qualquer dos seus colegas. Duração: 2h:30 min

FORMULÁRIO E VALORES DE CONSTANTES FÍSICAS

ΔG = Gfinal − Ginicial

r µ A = Ax $I + Ay J$+ Az K

;

A = π R2

Círculo: r r Δr v med = Δt

; P = 2π R

r r dr ; v= dt

r ⎧v = cte ⎨ r r r ⎩r = r0 + vt

; smed =

r r ΣF = ma

;

r r W = F ⋅ Δr

1 mv 2 2

⎧ ⎪d = θ R ⎪ ⎨v = ω R ⎪ ⎪at = α R ⎩

2

; ar = ;

Mm r2

; VG = −G

M r

ε 0 = 8,85 × 10 −12 C2 .N-1.m-2

xf

;

; C = ε0

V = RI ; R = ρ ΣIentrada = ΣIsaida

A d

r r Δv ; amed = Δt

r r r dv d 2 r ; a= = 2 dt dt

⎧ω = cte ⎨ ⎩θ = θ0 + ω t

;

; fk = µc FN

; FC = −

dE p dx

; WNC = ΔEm

r r ⎧τr = r × F ⎪ r ⎨ Στ α = ⎪ I ⎩

; E pg = mgh

; Pmed =

r r r ; FB = I L × B

1 CV 2 2

;

1 1 1 = + +L Ceq.serie C1 C2

Ie =

Imax 2

;

XC =

; Ve =

1

ωC ε 2

; Felast ,x = −kx

; E p,elast =

; ag ≡ g = G

1 2 kx 2

M r2

→ ; R=

ΔV Δs

;

1 Req. p

=

1 1 + +L R1 R2

⎪⎧resistência : V = ±IR se corrente e circulação resp. Ä / ⇒ ⎨ ⎪⎩f.e.m. : V = ±ε se circulação resp. do pólo ( − → + ) / ( + → − ) mv qB

r r r ; τ = NIA × B

; Z = R 2 + ( X L − X C )2

;

; Pmed = IeVe

R Z

; Ve = ZIe

; E=−

; Ceq. par = C1 + C2 + L

;

r A = Anˆ

r µ I ds × rˆ µ I µ I dB = 0 ; µ0 = 4π × 10 −7 N.A -2 ; Bfio = 0 ; Bcirc = 0 2 4π r 2π d 2 R r r ΔΦ B d ΦB ε med = −N ; ε = −N ; Φ B = ∫ B ⋅ dA ; Φ B = BA cos θ Δt dt A X L = ωL

v2 R

r r ; P = F ⋅v

ΔE Δt

1 = 9,0 × 109 N.m2 .C-2 4πε 0 r r q ; Fe = qE ; Ve = ke ∑ i ; E pe = qVe i ri

; E pe.cond =

∑V =0

A = 2π R 2 + 2π Rh

⎧ ⎪α = cte ⎪ ⎨ω = ω0 + α t ⎪ 1 ⎪θ = θ0 + ω0 t + α t 2 2 ⎩

;

; Fcentrip = m

L ε ; I= ; P = IV ; PJoule = RI 2 ; Req.s = R1 + R2 + L A R+r ;

;

ke =

malha

r r r FB = qv × B


; G = 6,67 × 10 −11 N.m2 .kg-2

; E pG = mVG

r r A × B = AB sinθ nˆ

;

A = 4π R 2

;

fs ≤ µe FN

xi

r r qq q Fe = ke 1 2 2 rˆ ; E = ke ∑ 2i rî r i ri q = CV

v R

; E p = − ∫ FC ( x )dx

r r A ⋅ B = AB cos θ

;

⎧ ⎪a = cte ⎪ 1D: ⎨v = v 0 + at ⎪ 1 ⎪ x = x0 + v 0 t + at 2 2 ⎩

;

Em = Ec + E p ; Wtot = ΔEc ; WC = −ΔE p r r r r r r p = mv ; I = Fext Δt ; I = Δp FG = G

4 π R3 3

r ; s = v =v

distância Δt

; g = 9,8 m/s2

Fg = mg ; Ec =

Esfera: V =

⎧ r ⎪a = cte r ⎪ r r ⎨v = v 0 + at ⎪ r r r 1r ⎪r = r0 + v 0 t + at 2 2 ⎩

⎧v = cte 1D: ⎨ ⎩ x = x0 + vt

d ⎧ ⎪θ = R ; 1 rot = 2π rad ⎪ dθ Δθ ⎪ ; ωmed = ; ⎨ω = dt Δt ⎪ dω Δω ⎪ ⎪α = dt ; α med = Δt ⎩

r A ≡ A = Ax2 + Ay2 + Az2

;

tgφ =

X L − XC R

; Bsolen = µ0 nI

; cos φ =

; F=

µ0 LI1 I2 2π d

R Z 2

PARTE I 1. (1,2 val) Uma peça de artilharia dispara os seus projéteis à rapidez de 870 m/s. Se desprezarmos a resistência do ar e assumindo um tiro a 45º, qual será a altitude máxima atingida pelos projéteis? A. 39 km

B. 30 km

C. 19 km

D. 10 km

E. 3,0 km

F. 1,5 km

2. (0,8 val) Na figura abaixo uma corrente de intensidade I = 10 A percorre um fio retilíneo que a dada altura enrola sobre si mesmo, descrevendo 4 espiras de 2,0 cm de diâmetro e seguindo novamente de forma retilínea. Qual o módulo do campo magnético no centro das espiras?

N=4 I

A. 1,5 mT

B. 2,5 mT

I

C. 2,7 mT

D. 4,6 mT

E. 7,8 mT

F. 8,1 mT

3. (1,0 val) Um condensador de placas paralelas sem dielétrico foi colocado sob uma diferença de potencial de 50 V, tendo ficado carregado com 3,0 nC de carga. Sabendo que as placas estão separadas de 0,20 mm, determine a área das mesmas. A. 1,3 cm2

B. 2,3 cm2

C. 14 cm2

D. 38 cm2

E. 45 cm2

F. 66 cm2

4. (1,5 val) O tambor de uma máquina de lavar roupa desacelera uniformemente de 600 rpm (rotações por minuto) até parar 10 s depois. Quantas rotações executa até parar? Dica: utilize como unidades de ângulo e tempo respetivamente a rotação e o segundo. A. 500 rot

B. 200 rot

C. 100 rot

D. 60 rot

E. 50 rot

F. 25 rot

3

5. (1,0 val) O motor de um automóvel desenvolve um binário (torque) de 200 N.m. Esse binário é aplicado às rodas através da transmissão. O momento de inércia do conjunto transmissão-rodas é de 2,7 kg.m2 e o raio das rodas é de 25 cm. Se o conjunto transmissão-rodas for deixado girar livremente, qual será a aceleração linear da ponta das rodas? (Nota: na prática a aceleração é substancialmente menor porque há atrito entre as rodas e o asfalto. Além disso, o motor de combustão não debita um binário constante.) A. 120 m/s2

B. 74 m/s2

C. 60 m/s2

D. 37 m/s2

E. 27 m/s2

F. 19 m/s2

6. (1,0 val) Uma linha de alta tensão transmite uma potência de 1,0 MW à tensão de 400 kV. A distância entre postes é de 75 m. A linha tem um formato aproximadamente retilíneo e faz um ângulo de 70º com o campo magnético terrestre, cuja magnitude é de 45 µT. Qual a força que este campo exerce sobre a linha, entre dois postes? A. 1,0 mN

B. 1,3 mN

C. 2,9 mN

D. 5,4 mN

E. 6,5 mN

F. 7,9 mN

7. (1,5 val) Uma bobina com 200 espiras e 15 cm de raio está colocada perpendicularmente a um campo magnético de magnitude 0,25 T. Qual a f.e.m. média induzida na bobina se o campo magnético triplicar num intervalo de tempo de 0,30 s? A. 24 V

B. 17 V

C. 12 V

D. 6,0 V

E. 3,2 V

F. 1,7 V

4

PARTE II Das 5 questões abaixo, responda apenas a 4. Indique claramente as questões a que se propõe responder.

1. Na figura abaixo o bloco tem 3,0 kg de massa e está em repouso sobre o plano inclinado, ligado à mola, a qual está distendida de um elongamento de 2,4 cm no sentido descendente. Entre o plano e bloco há atrito, de coeficientes 0,15 (estático) e 0,10 (cinético). O atrito estático está no seu valor máximo e aponta no sentido ascendente do plano. Considerando o bloco como um corpo pontual,

1,6 m )

20º

a. (2,0 val) Calcule a constante elástica da mola. Considere agora que o bloco se solta da mola. b. (1,0 val) O trabalho da força de atrito no trajeto do bloco até ao solo.

2. Três blocos encontram-se sobre um plano horizontal sem atrito. O bloco A desliza sobre o plano a uma rapidez de 3,6 m/s quando embate no bloco B, de tal forma que os dois passam a seguir juntos. O conjunto AB embate de seguida no bloco C, seguindo os três blocos juntos. Calcule: a. (2,0 val) A rapidez final do conjunto ABC. b. (1,0 val) A energia disspada nas três colisões. O que aconteceu a essa energia?

3,6 m/s A (10 kg)

B (20 kg) C (30 kg)

5

3. Uma pessoa deseja carregar as baterias de uma viatura elétrica na sua garagem. Da caixa de derivação à entrada do edifício até à tomada e distam 15 m e o disjuntor ligado à garagem permite uma corrente máxima de 10 A. Quer-se evitar que as perdas por dissipação resistiva, de desde a entrada do edifício até à tomada, sejam mais do que 2% da potência a retirar da rede. A rede elétrica oferece uma d.d.p. de 220 V e toda a instalação elétrica é de fio de cobre (ρ = 1,7 × 10-8 Ω.m) com secção de 1,5 mm2. Tratando o problema como sendo de corrente contínua, a. (0,5 val) Calcule a potência máxima que o disjuntor permite retirar da rede. b. (2,5 val) Verifique se o fio de 1,5 mm2 é suficiente para garantir menos de 2% de perdas por dissipação ou se terá de ser substituído. Dica: calcule primeiro a resistência dos 15 m de fios.

4. Considere o circuito RLC abaixo. Nele, a tensão indicada é uma tensão efetiva.

25 µF

70 V 40 Hz

~

45 µF

600 Ω

Calcule:

0,76 H

300 Ω Ie = ?

200 Ω

a. (0,8 val) A resistência e capacidade equivalentes das associações de condensadores e resistências do circuito. b. (1,2 val) A corrente eficaz que sai do gerador, Ie. c. (0,5 val) O ângulo de fase entre a corrente e a tensão. d. (0,5 val) A potência média debitada pelo gerador.

5. (3,0 val) A montagem da figura ao lado está em repouso, sendo que as esferas estão carregadas com uma carga desconhecida, Q. A massa das esferas é de 2,0 kg. Calcule Q.

30º 30º Q

FIM

Q 20 cm 6


U.C. 21048

Física Geral - RESOLUÇÃO 31 de julho de 2013

I#STRUÇÕES Leia com atenção o que se segue antes de iniciar a sua prova: Verifique se o enunciado desta prova possui, para além desta folha de rosto, mais 5 páginas, numeradas de 2 a 6 e terminando com a palavra FIM. O estudante não necessita de indicar qualquer resposta neste enunciado, pelo que poderá ficar na posse do mesmo finda a prova. Este exame consta de duas partes: 1) A primeira é constituída por 7 questões de escolha múltipla (em que apenas uma das respostas é correcta). As respostas a estas questões devem ser feitas na folha de prova. Indique nela, de uma forma clara, a alínea que corresponde à resposta que considera correta. Respostas que não sejam claras ou cuja interpretação seja ambígua serão consideradas nulas.Os valores numéricos das várias alternativas são apresentados com 2 algarismos significativos. 2) A segunda é composta por 5 questões estruturadas de produção de resposta, das quais deve resolver apenas 4. Indique claramente as questões que se propõe resolver, sendo que o professor julgará como entender omissões a esse respeito.Nestas respostas os parâmetros valorizados são: • O rigor científico do raciocínio usado, nomeadamente na identificação dos princípios físicos em jogo e na colocação do problema em equação. • O rigor dos cálculos efectuados, incluindo a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos com os algarismos significativos e unidades adequados) e a interpretação dos resultados (se aplicável).Os resultados devem ser apresentados com 2 ou 3 algarismos significativos. Recomenda-se que: • Leia com muita atenção as questões e seleccione bem os dados e incógnitas antes de responder. • Responda primeiro às questões que julgar mais acessíveis, e só depois às questões que considerar mais difíceis. • Revejaas resoluções cuidadosamente antes de entregar a prova. Pode utilizar a sua máquina de calcular mas não pode emprestá-la a qualquer dos seus colegas. Duração: 2h:30 min

FORMULÁRIO E VALORES DE CO#STA#TES FÍSICAS ∆G = Gfinal − Ginicial Círculo:


;

A = π R2

∆r v med = ∆t

; P = 2π R

dr ; v= dt

v = cte  r = r0 + vt

; smed

v = cte 1D:   x = x0 + vt

d  θ = R ; 1 rot = 2π rad  dθ ∆θ  ; ωmed = ; ω = dt ∆t  dω ∆ω  α = dt ; α med = ∆t  ΣF = ma

;

W = F ⋅ ∆r

Fg = mg ; Ec =

Esfera: V =

 d = θ R  v = ωR  at = α R 

1 mv 2 2

; 2

; ar =

;

Mm r2

; VG = −G

xf

; E p = − ∫ FC ( x )dx

M r

; E pG = mVG

l

∆V = RI ; R = ρ ΣIentrada = ΣIsaida

A ;

ε R+r

; FB = I L × B

ω = cte  θ = θ0 + ωt

;

; fk = µc FN dE p dx

; WNC = ∆Em

τ = r × F   Στ α =  I

; Fcentrip = m

Ie =

Imax 2

XC =

; Ve =

1

ωC ε 2

 α = cte  ω = ω0 + α t  1 θ = θ0 + ω0 t + α t 2  2

;

v2 R

; E pg = mgh ; Felast ,x = −kx

; Pmed =

; G = 6,67 × 10 −11 N.m2 .kg-2

1 C( ∆V )2 2

1

;

Ceq.serie

=

∆E ∆t

; E p,elast =

1 2 kx 2

; P = F ⋅v

; ag ≡ g = G

M r2

; E=−

∆V ∆s

1 1 + + ⋯ ; Ceq.par = C1 + C2 + ⋯ C1 C2

; P = I ( ∆V ) ; PJoule = RI 2 ; Req.s = R1 + R2 + ⋯ ;

1 1 1 = + +⋯ Req. p R1 R2

→

µ I ds × rˆ µ I µ I dB = 0 ; µ0 = 4π × 10−7 N.A -2 ; Bfio = 0 ; Bcirc = 0 2 4π r 2π d 2 R ∆ΦB d ΦB ε med = −N ; ε = −N ; Φ B = ∫ B ⋅ dA ; Φ B = BA cosθ ∆t dt A X L = ωL ;

A = 2π R 2 + 2π Rh

resistência : ∆V = ±IR se corrente e circulação resp. / ⇒   f.e.m. : ∆V = ±ε se circulação resp. do pólo ( − → + ) / ( + → − ) mv ; R= ; τ = NIA × B ; A = Anˆ qB

∑ ∆V = 0

malha

FB = qv × B


;

Cilindro: V = π R 2 h ;

1 = 9,0 × 109 N.m2 .C-2 4πε 0 q ; Fe = qE ; Ve = ke ∑ i ; E pe = qVe i ri

; E pe.cond =

; I=

A = 4π R 2

A ⋅ B = AB cosθ

; ke =

qq q Fe = ke 1 2 2 rˆ ; E = ke ∑ 2i rî r i ri A d

;

; FC = −

xi

ε 0 = 8,85 × 10−12 C2 .N-1.m-2

q = C ( ∆V ) ; C = ε 0

v R

fs ≤ µe FN

Em = Ec + E p ; Wtot = ∆Ec ; WC = −∆E p p = mv ; I = Fext ∆t ; I = ∆p FG = G

4 π R3 3

;

dv d 2 r ∆v distância = ; s = v = v ; amed = ; a= = 2 ∆t ∆t dt dt   a = cte a = cte   1D: v = v 0 + at v = v 0 + at   1 1 r = r0 + v 0 t + at 2  x = x0 + v 0 t + at 2  2  2

g = 9,8 m/s2

;

A ≡ A = Ax2 + Ay2 + Az2

;

; Z = R 2 + ( X L − XC )2 ; Ve = ZIe

; Pmed = IeVe

;

tgφ =

X L − XC R

; Bsolen = µ0 nI

; cos φ =

;

F

l

=

µ0 I1 I2 2π d

R Z

R Z

2

PARTE I 1. (1,2 val) Uma peça de artilharia dispara os seus projéteis à rapidez de 870 m/s. Se desprezarmos a resistência do ar e assumindo um tiro a 45º, qual será a altitude máxima atingida pelos projéteis? A. 39 km

B. 30 km

C. 19 km

D. 10 km

E. 3,0 km

F. 1,5 km

No eixo vertical a trajetória do projétil é descrita por (sentido positivo para cima) = − 1 = + − 2

A altura máxima acontece quando = 0 . Substituindo = sen45 = 615,2 na expressão da velocidade vem m m m 0 = 615,2 − 9,8 ⇔ = 62,78 s s s s Ora nesta altura o projétil encontra-se a uma altura de (assumindo = 0 m) m m #$% = 0 m + 615,2 62,78 s − 4,9 62,78 s = 19310 m 19 km s s (Entre parêntesis o resultado com dois algarismos significativos.) Note-se que não precisámos da componente x da trajetória.

2. (0,8 val)Na figura abaixo uma corrente de intensidade I = 10 A percorre um fio retilíneo que a dada altura enrola sobre si mesmo, descrevendo 4 espiras de 2,0 cm de diâmetro e seguindo novamente de forma retilínea.Qual o módulo do campo magnético no centro das espiras?

=4 I

A. 1,5 mT

B. 2,5 mT

C. 2,7 mT

I

D. 4,6 mT

E. 7,8 mT

F. 8,1mT

Há duas contribuições para o campo magnético no centro: uma do fio longo e outra das quatro espiras. É fácil de ver que ambas apontam na mesma direção (neste caso para fora do plano da folha), bastando portanto somar os seus módulos para obter o campo total no centro. Temos então, da lei de Biot-Savart,

3

( = ()*+ + 4 ⋅ (-*.- =

Como 2 = 3 = 1,0 cm vem, no sistema SI, ( = 540 × 1078

/ 1 / 1 +4 20 2 23

T. m 10 A 10 A <5 +4 < = 2,713 × 107= T 2,7 mT A 200,010 m 20,010 m

3. (1,0 val) Um condensador de placas paralelas sem dielétrico foi colocado sob uma diferença de potencial de 50 V, tendo ficado carregado com 3,0 nC de carga. Sabendo que as placas estão separadas de 0,20 mm, determine a área das mesmas. A. 1,3cm2

B. 2,3 cm2

C. 14 cm2

D. 38 cm2

E. 45 cm2

F. 66cm2

Para determinar a área temos primeiro de saber a capacidade do condensador. Esta é, de > = ?ΔA, ?=

3,0 × 107B C > = = 6,0 × 107EE F 50 V ΔA

Para um condensador de placas paralelas sem dielétrico a capacidade é dada por ? = G e temos ? = G

H I

?2 6,0 × 10 F0,00020 m J →J= = = 1,356 × 107= m 14 cm M L G 2 8,85 × 107E 7EE

Note que 1 cm = 0,01 m = 107O m .

N.M

4. (1,5 val) O tambor de uma máquina de lavar roupa desacelera uniformemente de 600 rpm (rotações por minuto) até parar 10 s depois. Quantas rotações executa até parar? Dica: utilize como unidades de ângulo e tempo respetivamente a rotação e o segundo. A. 500 rot

B. 200 rot

C. 100 rot

D. 60 rot

E. 50 rot

F. 25 rot

Trata-se de um problema de MCUV. Primeiro há que passar tudo às mesmas unidades. Ora 600 rpm P QRS são P = 10 rot/s. A aceleração angular pode ser calculada da definição:

ΔY Y) − Y* 0 − 10 X= = = = −1 rot/s Δ Δ 10 s Durante este tempo o tambor executa, assumindo Z = 0 rad, QRS

QRS

1 rot rot Z = Z + Y + X → Z = 0 + 510 < 10 s − 50,5 < 10 s = 50 rot 2 s s

4

5. (1,0 val) O motor de um automóvel desenvolve um binário (torque) de 200 N.m. Esse binário é aplicado às rodas através da transmissão. O momento de inércia do conjunto transmissão-rodas é de 2,7 kg.m2 e o raio das rodas é de 25 cm. Se o conjunto transmissão-rodas for deixado girar livremente, qual será a aceleração linear da ponta das rodas? (Nota: na prática a aceleração é substancialmente menor porque há atrito entre as rodas e o asfalto. Além disso, o motor de combustão não debita um binário constante.) A. 120m/s2

B. 74m/s2

C. 60m/s2

D. 37m/s2

E. 27m/s2

F. 19m/s2

200 N. m Σ^ = = 74,07 rad/s 2,7 kg. m 1

O binário e momento de inércia produzem uma aceleração angular X=

Esta aceleração angular corresponde a uma aceleração linear de

a = X3 = 74,07 s 7 0,25 m = 18,52

m m 19 s s

Curiosidade: isto implicaria um ‘tempo dos 0 aos 100 km/h’ de =

E/=,P / EB /M

= 1,46 s!! Na

realidade, e como é dito no enunciado, a transmissão não gira livremente devido ao atrito rodapavimento. Na verdade, é este atrito que faz o carro andar... sem ele o carro patinaria! ☺

6. (1,0 val) Uma linha de alta tensão transmite uma potência de 1,0 MW à tensão de 400 kV. A distância entre postes é de 75 m. A linha tem um formato aproximadamente retilíneo e faz um ângulo de 70º com o campo magnético terrestre, cuja magnitude é de 45 µT. Qual a força que este campo exerce sobre a linha, entre dois postes? A. 1,0 mN

B. 1,3 mN

C. 2,9 mN

D. 5,4 mN

E. 6,5 mN

F. 7,9 mN

ec × ( ec , que em módulo A força que um campo magnético exerce sobre uma corrente é dado por bc = 1d é b = 1d( sin Z. Para calcular esta força precisamos da corrente. Esta é dada por g = 1A → 1 =

1,0 × 10P W = 2,5 A 400 × 10= V

b = 2,5 A75 m45 × 107P T sen70 = 7,929 × 10= N 7,9 mN

A força magnética é então

5

7. (1,5 val) Uma bobina com 200 espiras e 15 cm de raio está colocada perpendicularmente a um campo magnético de magnitude 0,25 T. Qual a f.e.m. média induzida na bobina se o campo magnético triplicar num intervalo de tempo de 0,30 s? A. 24 V

B. 17 V

C. 12 V

D. 6,0 V

E. 3,2 V

F. 1,7 V

A f.e.m. média pode ser calculada da lei de Faraday, ℇ = − jml. Para calcular o valor basta notar que ‘campo perpendicular’ corresponde a Z = 90º na expressão op = (J cos Z (logo op = (J) e substituir os dados do enunciado: jk

ℇ = −q

3 ⋅ 0,25 T − 0,25 T ⋅ 00,15 m o) − o* () J − (* J = −q = −400 0,30 s Δ 0,30 s = −23,56 V 24 V

O sinal menos quer apenas dizer que a f.e.m. é tal que a corrente induzida tende a contrariar o aumento de fluxo (lei de Lenz); não tem nenhum outro significado especial.

6

PARTE II Das 5 questões abaixo, responda apenas a 4. Indique claramente as questões a que se propõe responder. responder

1. Na figura abaixo o bloco tem 3,0 kg de massa e está em repouso sobre o plano inclinado, ligado à mola, a qual está distendida de um elongamento de 2,4 cm no sentido descendente. descendente Entre o plano e bloco há atrito, de coeficientes 0,15 (estático) e 0,10 (cinético). O atrito estático está no seu valor máximo e aponta no sentido ascendente do plano. Considerando o bloco como um corpo pontual,

1,6 m )

20º

a. (2,0 val) Calcule a constante elástica da mola. Considere agora que o bloco se solta da mola. b. (1,0 val) O trabalho da força de atrito no trajeto do bloco até ao solo. No desenho estão marcadas as forças na situação da alínea a. A azul a normal, a vermelho o atrito (estático),, a verde o peso e a castanho a força elástica. Seja + +x a direção do plano, sentido para cima (c.f. figura). A 1ªª lei de Newton dá dá-nos, nos, notando que a força de atrito estático está no limite máximo (rs t /s bu → rs#$% = /s bu ), w: byz$sm,% + b{% + rs = 0 +|w − } sen20 + /s bu = 0 v ⇔v : bu + b{ = 0 bu − } cos20 = 0 5,916 N N N |w = 10,06 06 N − 0,1527,63 N 246 5250 < ⇔v ⇔ ~| = 0,024 m = 246,5 m m bu = 27,63 N −−− Nota 1:k é uma grandeza sempre positiva. Se tivéssemos obtido | 0 isso quereria dizer que alguma das assunções do problema ma estaria errada errada.P.ex. .ex. a força de atrito não estaria saturada, i.e. rs /s bu ou haveria um erro nos cálculos.

Nota 2: do desenho vemos que a projeção da força elástica segundo o eixo dos xx do referencial escolhido é positiva. Daí termos escrito ‘+ ‘+kx’. ’. (Na verdade, a questão é um pouco mais subtil...) subtil O trabalho da força de atrito pode ser calculado usando a definição, = bc . Δc. Durante o deslizamento o atrito em jogo é o cinético e vem 7

) = rc . Δc = r Δ cosr , Δ 1,6 m = / bu cos180 = 0,10 } cos20 4,678 m−1 sen20 = −12,92 J −13 J 2. Três blocos encontram-se sobre um plano horizontal sem atrito. O bloco A desliza sobre o plano a uma rapidez de 3,6 m/s quando embate no bloco B, de tal forma que os dois passam a seguir juntos. O conjunto AB embate de seguida no bloco C, seguindo os três blocos juntos. Calcule: a. (2,0 val) A rapidez final do conjunto ABC. b. (1,0 val) A energia disspada nas três colisões. O que aconteceu a essa energia?

3,6 m/s A (10 kg)

B (20 kg) C (30 kg)

Nas colisões o momento linear conserva-se. Temos então:

Colisão A-B: * = ) → 10 kg 3,6 = }H + }p Hp ⇔ Hp = 1,2

Colisão AB-C: * = ) → 30 kg 1,2 = }H + }p + } Hp ⇔ Hp = 0,60

A energia dissipada é a diferença entre a energia mecânica antes do 1º embate a energia mecânica após o 2º embate. Como neste caso a energia potencial é irrelevante, a energia mecânica reduz-se à cinética e vem

1 m 1 m }H 3,6 = 64,8 J ; #) = }H + }p + } 0,60 = 10,8 J s 2 s 2 Uma perda de –54 J, que corresponde à transformação de 54 J de energia cinética em energia calorífica, i.e. aquecimento dos blocos. #* =

8

3. Uma pessoa deseja carregar as baterias de uma viatura elétrica na sua garagem. Da caixa de derivação à entrada do edifício até à tomada e distam 15 m e o disjuntor ligado à garagem permite uma corrente máxima de 10 A. Quer-se evitar que as perdas por dissipação resistiva, de desde a entrada do edifício até à tomada, sejam mais do que 2% da potência a retirar da rede. A rede elétrica oferece uma d.d.p. de 220 V e toda a instalação elétrica é de fio de cobre (ρ = 1,7 × 10-8 Ω.m) com secção de 1,5 mm2. Tratando o problema como sendo de corrente contínua, a. (0,5 val) Calcule a potência máxima que o disjuntor permite retirar da rede. b. (2,5 val) Verifique se o fio de 1,5 mm2 é suficiente para garantir menos de 2% de perdas por dissipação ou se terá de ser substituído.Dica: calcule primeiro a resistência dos 15 m de fios. Para uma d.d.p. de 220 V e corrente máxima de 10 A a potência máxima permitida pelo disjuntor é então de g = 1A = 10 A220 V = 2200 W

No que respeita à instalação, 2% de 2200 W são 44 W. A resistência dos fios que levam da entrada do edifício à tomada é de1 mm = 107P m 3=

15m d = 1,7 × 107 Ω. m = 0,17 Ω 1,5 × 107P m J

g = 31 = 0,17Ω10 A = 17W 44 W

Ora, mesmo quando a corrente é máxima (10 A), a dissipação é de apenas

logo, a instalação cumpre perfeitamente e não necessita de ser substituída.

4. Considere o circuito RLC abaixo. Nele, a tensão indicada é uma tensão efetiva.

25 µF

70 V 40 Hz

~

45 µF

600 Ω

Calcule:

0,76 H

300 Ω

Ie= ?

200 Ω

a. (0,8 val) A resistência e capacidade equivalentes das associações de condensadores e resistências do circuito. b. (1,2 val) A corrente eficaz que sai do gerador, Ie. c. (0,5 val) O ângulo de fase entre a corrente e a tensão. 9

d. (0,5 val) A potência média debitada pelo gerador. As três resistências estão em paralelo, pelo que o equivalente é

1 1 1 7E 3y = 5 + + < Ω = 100 Ω 200 300 600 A capacidade equivalente em série segue a mesma regra de associação que as resistências em paralelo: 1 1 7E ?y = 5 + < μF = 16,07 μF 16 μF 25 45 Para calcular a corrente eficaz precisamos das reatâncias e da impedância. As primeiras são E E = Yd = 20rd = 2040 Hz0,76 = 191,0 Ω e = = O EP,8×E = 247,6 Ω

+ − = 100 Ω + 191,0 Ω − 247,6 Ω = 114,9 Ω = 3y

Temos então 1y =

¡ ¢

=

8 £

EEO,B Ω

= 0,6092 A 0,61 A.

Finalmente, o ângulo de fase é simplesmente o = arctg

transmitida g = 1y Ay ¢ = 37,16W 37 W. §

¤¥ 7¤¦ §

= −29,51 −30 e a potência

5. (3,0 val) A montagem da figura ao lado está em repouso, sendo que as esferas estão carregadas com uma carga desconhecida, Q. A massa das esferas é de 2,0 kg. Calcule Q.

30º 30º Na figura marcámos as forças sobre a esfera da esquerda. Peso a verde, tensão a vermelho e força eletrostática a azul. Decompondo num referencial xy usual e aplicando E a 1ª lei de Newton e a lei de Coulomb vem (tg 30 = )

Q Q

√=

> > | = b© sen30 y w: − by + b©% = 0

−|y + b© sen30 = 0 v : − b + b = 0 ⇔ ª ⇔« } { © b© = −} + b© cos30 = 0 cos30

20 cm

> } } tg30 ⇔> ¬ | = sen30 ⇔ y cos30 ⇔ ª> = |y −−− −−− 2,0 kg 9,8 M 0,20 m ⋅ √= ¬ = = 7,092 × 107P C 7,1 μC 9,0 × 10B N. m /C

E

FIM

10

UNIVERSIDADE ABERTA

FÍSICA GERAL Código 21048

CADERNO

DE

TESTES FORMATIVOS

O conteúdo deste caderno

Este caderno contém dois testes formativos destinados aos alunos da disciplina de Física Geral da Universidade Aberta. Cada um destes testes tem uma estrutura semelhante à dos testes sumativos a que os alunos serão submetidos, embora a proporção relativa de questões objectivas e de resposta livre possa ser ligeiramente diferente. O 1º teste diz respeito aos seguintes temas do programa da disciplina: • • •

Espaço e tempo. Grandezas e sua medição. Forças e movimentos. As leis newtonianas da Mecânica e suas aplicações (com o formalismo newtoniano). As vibrações e as ondas

O 2º teste diz respeito aos seguintes temas do programa da disciplina: • •

Energia e sua transferência entre sistemas. Termodinâmica. Partículas e Campos. Campos electromagnéticos.

Qual é o objectivo deste caderno? Pretende-se, com este caderno, que cada estudante avalie o modo como apreendeu os conteúdos do programa. É importante que o estudante aprenda significativamente tal conteúdo, o que se traduzirá pelo facto de ser capaz de responder a questões algo diferentes daquelas a que já respondeu (transferência da aprendizagem para situações novas). Cada um dos testes só deverá ser resolvido após o estudo dos temas a que o teste diz respeito e nunca antes. A resolução deverá então ser confrontada com a que consta do caderno de respostas, as diferenças analisadas, e deverá ser repetido o estudo dos assuntos cujas respostas estão erradas. Se a tentativa de responder e, a seguir, compreender a resolução, fracassarem, não há que hesitar em recorrer ao professor responsável da disciplina que está totalmente disponível para prestar a ajuda necessária. Convém ter sempre presente esta afirmação: sem esforço pessoal e persistência não pode ocorrer aprendizagem significativa.

Física Geral

1º Teste de Avaliação Formativa

INSTRUÇÕES

1º - O teste consta de duas partes: a primeira tem questões de escolha múltipla e a segunda contém questões de resposta livre. 2º - A estrutura deste teste é semelhante à do teste de avaliação sumativa final, embora o número de questões e a proporção relativa de questões objectivas e de resposta livre possa ser ligeiramente diferente. 3º - Nas questões de escolha múltipla deverá assinalar com uma cruz a opção correcta. Há um espaço em branco a seguir a cada questão da segunda parte do teste destinado à respectiva resposta. 4º - Deverá sempre indicar nas questões de resposta livre todos os cálculos que o conduziram à resposta. 5º - São fornecidos os seguintes dados que poderão ser necessários: • • • • •

Aceleração da gravidade: g = 9,80 ms-2 Raio da órbita terrestre: R = 1,50 × 1011 m Momento de inércia de uma esfera: I = 2/5 M R2 Momento de inércia de uma barra homogénea em relação a um extremidade: I = 1/3 m l2 (l = comprimento da barra) 1 Momento de inércia de um cilindro: Icil = MR 2 2

Tenha em linha de conta que os parâmetros valorizados nas respostas livres que saírem no exame são: -

o rigor científico do raciocínio usado; o rigor dos cálculos efectuados; a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos apenas com os algarismos significativos e com as unidades adequadas).

PARTE I

1. O parsec (pc) é uma unidade de medidas astronómicas que corresponde à distância à Terra de um ponto no espaço cujo ângulo de paralaxe é 1 segundo de grau. Qual é o valor do parsec em quilómetros? A. 3 × 1013 km B. 3 × 1014 km C. 3 × 1015 km D. 3 × 1016 km 2. Qual é a definição mais actual de metro? A. É o comprimento igual a 1 650 763,73 vezes o comprimento de onda, no vazio, da radiação laranja do gás crípton 86. B. É a distância a 0 ºC entre dois traços numa barra de platina iridiada que existe no Museu Internacional de Pesos e Medidas. C. É o comprimento da trajectória percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299 792 458 do segundo. D. É a décima milionésima parte do comprimento calculado para equivaler a um quarto do meridiano terrestre. 3. Um dos processos clássicos de determinar distâncias astronómicas é a triangulação. Conhecendo a distância a entre os locais B e C e as medidas dos ângulos, B e C, qual das seguintes expressões permite calcular a distância d’?

a cos B + cotg C × cos C a B. d ' = sin C × cotg B + cos C a C. d ' = cos C + cotg B × cos B a D. d ' = sin B × cotg C + cos B A. d ' =

A

d

C

d’

a

B

4. Qual das seguintes expressões relaciona a constante de decaimento de um elemento radioactivo, λ, com o seu período de semi-transformação T?

A. B. C. D.

λ = T × ln 2 λ = 2 × ln T λ = T / ln 2 λ = ln 2 / T

5. Com que velocidade deve ser lançada uma pedra verticalmente de baixo para cima para que, na ausência de resistência do ar, ela atinja a altura h num local onde a aceleração da gravidade é g?

A. v = gh B. v = 2gh C. v = gh D. v = 2gh 6. Sendo ω a frequência angular de uma sequência de ondas, k o número de ondas e v a velocidade de propagação das ondas, alguma das seguintes expressões é correcta?

A. A expressão ω = k × v B. A expressão k = ω × v C. A expressão v = ω × k D. Nenhuma das anteriores 7. Um bloco em repouso explode originando três pedaços. Dois dos pedaços, de massa igual, deslocam-se após a explosão em direcções perpendiculares, com velocidades de 30 m/s. O terceiro pedaço, de massa igual a três vezes a massa de qualquer dos outros, que velocidade adquire após a explosão?

A. Uma velocidade de módulo 14 ms-1 e cuja direcção forma um ângulo de 135º direcção de um dos blocos e um ângulo de 135º com a direcção do outro bloco. B. Uma velocidade de módulo 14 ms-1 e cuja direcção forma um ângulo de 135º direcção de um dos blocos e um ângulo de 45º com a direcção do outro bloco. C. Uma velocidade de módulo 7 ms-1 e cuja direcção forma um ângulo de 135º direcção de um dos blocos e um ângulo de 135º com a direcção do outro bloco. D. Uma velocidade de módulo 7 ms-1 e cuja direcção forma um ângulo de 135º direcção de um dos blocos e um ângulo de 45º com a direcção do outro bloco.

com a com a com a com a

8. Uma dada mola elástica sofre um alongamento de 4,0 cm por acção de uma força de 100 N. O trabalho realizado pela força elástica da mola quando esta passa da posição em que está alongada 2,0 cm para a posição em que está alongada 4,0 cm é dada por qual dos seguintes valores?

A. -50 J B. - 1,5 J C. 1,5 J D. 50 J

9. Três projécteis A, B e C da mesma massa são lançados de um mesmo lugar no solo com a mesma rapidez inicial v (em m/s) segundo ângulos de lançamento com a horizontal de 30º, 45º e 60º, respectivamente. Considerando desprezável a resistência do ar, que relação de grandeza há entre as velocidades dos projécteis quando estão à mesma altura h do solo?

A. vA < vB < vC B. vA > vB > vC C. vA = vB = vC D. vA = vC < vB

10. Sendo M a massa da Terra, R o raio da Terra e G a constante universal de atracção gravitacional, qual das seguintes expressões permite calcular a 2ª velocidade cósmica, velocidade de escape ou velocidade de fuga ao campo gravitacional da Terra?

A. GR

B. G

M R

C.

2G

M R

D.

2G

M R2

PARTE II

11. O polónio 210 sofre declínio radioactivo emitindo radiação α. Com o objectivo de determinar o D.

GR

seu período de semi-desintegração, um físico usou um contador Geiger. Mediu a actividade de uma amostra de polónio 210 num determinado dia e mediu novamente a actividade da amostra 30 dias depois. A 1ª medição deu 2,0 × 10-4 Ci e a segunda medição deu 1,7 × 10-4 Ci. 11.1. 11.2. 11.3.

Qual é o valor da constante de decaimento do isótopo estudado? Qual é o seu período de semi-desintegração? Qual é a massa inicial de polónio 210?

12. Um pêndulo gravítico simples foi abandonado de uma posição a que corresponde uma amplitude angular θ0 = 6º. Ao fim de 50 oscilações a sua amplitude reduziu-se a 3º. O período do pêndulo foi 1,0 s. Representar as forças que actuam no pêndulo para uma posição genérica em que a amplitude angular é θ. Determinar a resultante da força gravítica com a força de tensão em função da amplitude angular θ0 e da aceleração da gravidade.

13. Uma partícula foi submetida a dois impulsos. Um dos impulsos, se actuasse isoladamente, poria a partícula a vibrar com um movimento

x1 = 5 cos ωt O outro impulso, se actuasse isoladamente, produziria um movimento traduzido pela equação x2 = 5 cos (ωt+π/3) Qual o tipo de movimento resultante da partícula? Indique a sua equação respectiva. Determine a amplitude e a fase inicial da partícula.

Física Geral


INSTRUÇÕES

1º - O teste consta de duas partes: a primeira tem questões de escolha múltipla e a segunda contém questões de resposta livre. 2º - A estrutura deste teste é semelhante à do teste de avaliação sumativa final, embora o número de questões e a proporção relativa de questões objectivas e de resposta livre possa ser ligeiramente diferente. 3º - Nas questões de escolha múltipla deverá assinalar com uma cruz a opção correcta. Há um espaço em branco a seguir a cada questão da segunda parte do teste destinado à respectiva resposta. 4º - Deverá sempre indicar nas questões de resposta livre todos os cálculos que o conduziram à resposta. 5º - São fornecidos os seguintes dados que poderão ser necessários: Permeabilidade magnética do vazio: μ0 = 4π × 10-7 H/m Constante universal dos gases: R = 8,31 JK-1 mol-1 Constante de Avogadro: NA = 6,02 × 1023 mol-1 Aceleração da gravidade: g = 9,80 ms-2 Condições normais de pressão e temperatura.: Τ = 273,15 Κ ; p = 1,01 × 105 Pa Quociente das capacidades térmicas molares a pressão e volume constante: γ = 1,67 (gases monoatómicos) γ = 1,40 (gases diatómicos)

Tenha em linha de conta que os parâmetros valorizados nas respostas livres que saírem no exame são: -

o rigor científico do raciocínio usado; o rigor dos cálculos efectuados; a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos apenas com os algarismos significativos e com as unidades adequadas).

PARTE I

1. Alguém declarou ter construído um aparelho capaz de medir uma intensidade de corrente tão pequena como 1,60 × 10-23 A no decorrer de uma experiência que durou apenas 100 segundos. São feitas a seguir duas afirmações: 1ª - A referida declaração não merece confiança. 2ª - Na referida experiência foram detectados alguns, poucos, electrões. Qual das opções seguintes é correcta?

A. B. C. D.

As duas afirmações são verdadeiras e a segunda justifica a primeira. A primeira afirmação é verdadeira ainda que a segunda afirmação seja falsa. A primeira afirmação é falsa ainda que a segunda afirmação seja verdadeira. As duas afirmações são falsas.

2. Num circuito eléctrico em que o amperímetro e o voltímetro podem ser considerados ideais e o gerador tem uma determinada resistência interna, leu-se e anotou-se a intensidade no amperímetro, I1, e a diferença de potencial correspondente, V1, no voltímetro.

Voltímetro

Amperímetro

Sendo 6,0V o valor da força electromotriz do gerador do circuito, 2,0 ohms a resistência interna do gerador e 10,0 ohms a resistência introduzida com o reóstato, qual o valor da diferença de potencial assinalado no voltímetro? A. B. C. D.

3,0 V 5,0 V 6,0 V 10,0 V

3. À medida que se ia fazendo variar a resistência no reóstato do circuito referido na alínea anterior, iam-se registando outros pares de valores de I e de V. Com os diversos pares de valores, I e V, construiu-se um gráfico que acabou por ter uma forma idêntica a um dos que a seguir se representa. A qual dos seguintes tipos correspondeu?

A. V

I B. V

I C. V

I D. V

I

4. Um fino feixe de partículas alfa (q = +2e) é submetido a uma diferença de potencial de 1,0 kV, que acelera as partículas desde o repouso. As partículas penetram então num campo magnético de intensidade B = 0,20 T, e de direcção perpendicular à direcção do feixe. Qual das seguintes opções traduz o comportamento das partículas após penetrarem no campo magnético?

A. As partículas seguem na direcção em que vinham com a velocidade de 3,0 × 105 m/s. B. As partículas seguem na direcção em que vinham com a velocidade de 3,0 × 103 m/s. C. As partículas passam a curvar com uma trajectória circular de raio 3,2 cm. D. As partículas passam a curvar com uma trajectória circular de raio 6,4 mm.

r 5. Qual é a intensidade do campo magnético B num ponto situado a 5,0 cm de um condutor rectilíneo de grande comprimento no qual circula uma corrente eléctrica contínua de 15 A?

A. 1,5 × 10-5 T B. 3,0 × 10-5 T C. 6 × 10-5 T D. 9 × 10-5 T

6. O segmento AB representa uma porção da linha de campo de um campo eléctrico criado por uma carga elementar q situada no ponto O. Qual das seguintes expressões permite obter o trabalho realizado pelo campo eléctrico no transporte da unidade de carga positiva ao longo da linha de campo do ponto A ao ponto B?

A. w =

1

C. w =

1

4πε 0 1 B. w = 4πε 0 4πε 0 1 D. w = 4πε 0

q 1 q − rB 4πε 0 rA q 1 q − 2 4πε 0 rA 2 rB q 1 q − rA 4πε 0 rB q 1 q − 2 4πε 0 rB 2 rA

O (q)

A

r E

B

(rA = OA e rB = OB)

7. Consideremos uma carga eléctrica, q, colocada num ponto do vácuo e uma superfície esférica centrada no ponto onde está a carga. Seja ΔS uma pequena porção da superfície esférica. Qual das seguintes expressões permite determinar o fluxo do campo eléctrico através da superfície ΔS?

q ΔS 4πε 0 r 2 1 q ΔS B. 4πε 0 r q C. 4πε 0 q D.

A.

1

ε0

8. Que espécie de movimento rtem uma partícula com a massa m e a carga eléctrica q quando r penetra num campo magnético B uniforme perpendicular à velocidade v de penetração no campo?

A. Tem um movimento uniforme com a velocidade de módulo v B. Tem um movimento uniformemente acelerado com a aceleração de módulo C. Tem um movimento circular uniforme de raio

qB m

mv qB

D. Tem um movimento diferente dos anteriores.

9. Qual é a impedância de um circuito eléctrico constituído por uma resistência não indutiva de valor 100 Ω associada em série a um condensador de 50 μF percorrido por uma corrente sinusoidal de frequência 60 Hz?

A. 2 Ω B. 60 Ω C. 100 Ω D. 113 Ω

10. Comprimiu-se adiabaticamente 10,0 litros de um gás perfeito monoatómico à pressão normal. Sabendo que a pressão aumentou 2,5 vezes, qual o volume a que ficou o gás?

A. 1,2 litros B. 2,0 litros C. 4,0 litros D. 5,9 litros 11. Uma determinada quantidade de água, de massa 1,00 kg, foi aquecida de 0 ºC a 100 ºC por contacto com uma fonte quente à temperatura de 100 ºC. Supondo que o aquecimento foi feito a volume constante e tendo em conta que a capacidade térmica mássica da água é 4,18 J/g.K, qual foi a variação total da entropia do sistema?

A. – 1121 JK-1 B. – 184 JK-1 C. + 184 JK-1 D. + 1305 JK-1

PARTE II

12. Uma esfera maciça, constituída por um material não condutor, está uniformemente carregada com uma densidade de carga ρ positiva. 12.1. Descreva o campo eléctrico no exterior da esfera, traduzindo a sua intensidade em função de ρ. 12.2. Descreva o campo eléctrico no interior da esfera, traduzindo a sua intensidade em função de ρ. 12.3. Esboçar o gráfico que mostra a variação radial do campo a partir do centro da esfera.

13. Um circuito apresenta uma resistência de 10 Ω, uma bobina com a auto-indução de 0,01 H e um condensador de capacidade variável. Qual deverá ser a capacidade do condensador para que, quando se liga o circuito a uma fonte de tensão de 50 Hz, a intensidade da corrente no circuito seja máxima?

14. O diagrama da figura diz respeito a uma transformação cíclica sofrida por um sistema constituído por 2 moles de hélio (aproximadamente gás ideal). O sistema evoluiu do estado A ao estado B, deste ao estado C e, finalmente do estado C ao estado A. A linha BC representa uma transformação adiabática e a linha CA representa uma transformação isotérmica.

p/105 Pa

2,02

1,013

B

A

C 50

75

X

V /10-3 m3

14.1. Escreva as equações que traduzem as transformações do diagrama. 14.2. Determine o calor trocado pelo sistema na transformação AB. 14.3. Calcule o trabalho trocado em todas as transformações. 14.4. Determine a variação da entropia do sistema entre A e B.

UNIVERSIDADE ABERTA

FÍSICA GERAL Código 21048

RESPOSTAS

AOS

TESTES FORMATIVOS

O conteúdo deste caderno

Este caderno contém as respostas aos dois testes formativos destinados aos alunos da disciplina de Física Geral da Universidade Aberta, bem como as respectivas resoluções. Tal como já ficou escrito no caderno de questões, o 1º teste diz respeito aos seguintes temas do programa da disciplina. • • •

Espaço e tempo. Grandezas e sua medição. Forças e movimentos. As leis newtonianas da Mecânica e suas aplicações (com o formalismo newtoniano). As vibrações e as ondas

E o 2º teste diz respeito a estes temas do programa: • •

Energia e sua transferência entre sistemas. Termodinâmica. Partículas e Campos. Campos electromagnéticos.

Qual é o objectivo deste caderno? Estas respostas e as respectivas resoluções só deverão ser consultadas após uma ou mais tentativas de resolução, e nunca antes. Recomenda-se que comece por verificar se a sua solução está correcta, caso tal não suceda estude melhor o assunto e tente uma segunda vez chegar à solução e só, depois, analise a resolução deste caderno comparando-a com a sua. As diferenças deverão ser analisadas e deverá ser sempre repetido o estudo dos assuntos cujas respostas estão erradas. Se a tentativa de responder e, a seguir, compreender a resolução, fracassarem, não hesite em recorrer ao professor responsável da disciplina que está totalmente disponível para prestar a ajuda necessária. Convém ter sempre presente esta afirmação: sem esforço pessoal e persistência não pode ocorrer aprendizagem significativa. Tenha em linha de conta que os parâmetros valorizados nas respostas livres que saírem no exame são: o rigor científico do raciocínio usado; o rigor dos cálculos efectuados; a expressão correcta dos resultados (os valores numéricos apenas com os algarismos significativos e com as unidades adequadas).

Física Geral


PARTE I

1. Opção A. tg 1´´ =

1,50 × 1011 m 1 parsec

1,50 × 1011 m

1´’ 1 parsec

Temos, então, 1 prsec =

1,50 × 1011 m = 3,1 × 1016 m = 3 × 1013 km -4 tg 2,8 × 10 graus

2. Opção C. Tem a ver com a que é hoje considerada uma das constantes fundamentais da Natureza, de acordo com a Física Moderna, que é a velocidade da luz no vácuo.

3. Opção D. Tem-se

d sin B = d ′ sin C e

a = d cos C + dćos B

Dividindo esta última expressão por d´ vem,

a d = cos C + cos B d′ d′ Substituindo d/d´dado pela primeira expressão, vem

a sin B = cos C + cos B d ′ sin C

Expressão esta que resolvida em ordem a d´ permite obter

d′ =

a sin B cot gC + cos B

4. Opção D Como

T = ln 2 / λ , concluímos que λ = ln 2 / Τ

5. Opção B.

Ec (baixo) + Ep (baixo) = Ec (cima) + Ep (cima) ½ m v2 + 0 = 0 + mgh De aqui conclui-se que v = 2 gh

.

6. Opção A.

ω = 2π /T e k = 2π /λ implicam ω / k = λ / T = v , portanto ω =k.v 7. Opção A.

p1

p2

p3 p3

Tem-se, sendo m a massa igual dos dois blocos 1 e 2, v a velocidade do bloco 3, e 3 m a massa deste bloco 3, as quantidades de movimento serão: p1 = 30 m , p2 = 30 m , p3 = 3 m v Como a diagonal do rectângulo é igual à raíz quadrada da soma dos quadrados dos lados, para que a quantidade de movimento continue a ser nula já que o era de início, teremos: 3mv =

(30m )2 + (30m )2

Elevando ambos os membroas ao quadrado e simplificando, acabamos por obter v = 14 m/s .

8. Opção B.

A constante elástica da mola é k=

F 100 N = = 2500 N/m x 4,0 × 10 -2 m

Sendo o trabalho da força elástica simétrico da variação da energia potencial, tem-se 1 ⎛1 ⎞ We = −⎜ kx 4 − kx 2 ⎟ 2 ⎝2 ⎠

Substituindo valores vem: We = 1250 × (2,0 ×10-2)2 - 1250 × (4,0 ×10-2)2 = -1,5 J .

9. Opção C.

Verifica-se a lei da conservação da energia mecânica Por outro lado, à partida todos os projécteis têm a mesma energia cinética e a mesma energia potencial. Tem-se à partida: Ec = constante e Ep = constante, para todos os projécteis. A energia mecânica é igual para todos os projécteis e terá de se manter invariável ao longo do percurso. Como, quando os projécteis estão à mesma altura, Ep = mgh = constante para todos eles, a energia cinética, Ec = ½ m v2, terá de ser também constante para todos eles. Logo, a velocidade será a mesma para todos os projécteis.

10. Opção C.

Pela lei da conservação da energia mecânica, tem-se Em (à superfície) = E (no infinito) Logo 1 2 ⎛ mM ⎞ mM M 2 mv + ⎜ − G ⇒ v = 2G ⎟ = 0 + 0 ⇔ mv = 2G 2 R ⎠ R R ⎝

PARTE II 11 11.1. Equação do declínio radioactivo:

N=N0 e-λt, sendo N0 o número inicial de núcleos da amostra que sofrem desintegração. Como a actividade A (t) é, em cada momento

A( t ) =

dN ( t ) = λN ( t ) dt

o declíneo radioactivo pode também ser estudado usando a expressão equivalente

A=A0 e-λt Sendo: A0= 2,0 x 10-4 x 3,7 x 1010 Bq = 7,4 x 106Bq A=1,7 x10-4x 3,7x1010Bq= 6,3 x 106Bq e aplicando a equação anterior aos dois momentos da medição efectuada e tendo em conta que t= 30 dias= 2,59 x 106 s, virá:

λ = 6,27 x 10-8 s-1 = 6,3 x10-8 s-1 11.2. Da equação N=N0 e-λt concluímos que ln (N/N0) = -λt Uma vez que T1/2 corresponde ao intervalo de tempo necessário para que o número de núcleos da amostra se reduza a metade, isto é, T1/2 é tal que

N 1 = N0 2 aplicando logaritmos a esta igualdade virá: ln (N/N0) = ln 1 - ln 2 = 0- ln 2 Uma vez que

ln (N/N0) = -λt

teremos -ln 2= -6,27 x 10-8. Τ1/2 Então Τ1/2 = 1,10 x 107 s, o que corresponde aproximadamente a 127 dias. 11.3. dN (número de núcleos que se desintegram por unidade de dt tempo) é A0= λN0 , correspondendo N0 ao número de núcleos de Po-210 da amostra no momento em que se iniciou o estudo (amostra inicial).

Sendo A =

Por isso será: 7,4 x 106 = 6,3 x 10-8 x N0 N0= 1,17 x 1014 núcleos Dado que a massa (em g) de um núcleo de Po-210 é

210 6,02 x10 23

g

É

m (N0) = 4,1 x 10-8g

12. 12.1. Na posição genérica

θ

T

Fg 12.2. Para a posição extrema, v = 0 r r r R = Fg + T é tangente, tendo-se:

⇒

v2 an = = 0 . A resultante l

r r Fg + T = mg sin θ 0

θ0 T

Fg Fg + T

13. 13.1 Movimento harmónico:

π⎞⎤ ⎡ ⎛ x ( t ) = x1 + x 2 = 5 ⎢ cos w t + cos⎜ w t + ⎟ ⎥ ≅ A( cos wt + ϕ ) ⎝ 3⎠⎦ ⎣ π⎞⎤ ⎡ ⎛ 5 ⎢ cos w t + cos⎜ w t + ⎟ ⎥ = 5( cos α + cos β ) ⎝ 3⎠⎦ ⎣ sendo α = wt

Dado que

e β = wt +

π 3

cos α + cos β = 2 cos

α+β α−β cos 2 2

vem: π⎞ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ A( cos wt + ϕ) = 10 cos⎜ wt + ⎟ cos⎜ − ⎟ = 8,66 cos⎜ wt + ⎟ ⎝ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ 6⎠

13.2

Amplitude (A) = 8,66 m

e

Fase inicial(ϕ) = π/6 rad

Física Geral


PARTE I

1. Opção B

q = I.t = 1,60 ×10-23 A ×102 s = 1,60×10-21 C Número de electrões = 1,60×10-21 C / 1,60×10-19 C=0,01 electrões 2. Opção B

Cálculo da intensidade da corrente:

I=

6,0 V ε = = 0,5 A R + ri 12,0 Ω

Cálculo da d.d.p.

V = ε - rI I = 6,0-2,0 ×0,5= 5,0 V Ou: V = R I = 10,0 Ω × 0,5 A = 5,0 V

3. Opção C.

Sendo V a d.d.p. nas extremidades de um gerador, ε a sua f.e.m., rI a resistência interna do gerador e I a intensidade da correte que o percorre, por aplicação das noções de f.e.m. e d.d.p. e das leis de Joule e da conservação da energia chega-se á seguinte expressão:

V = ε - rI I Nesta expressão, V é uma função de I do tipo y = b – ax . Ora, esta expressão corresponde a uma recta de ordenada na origem b (neste caso ε) e coeficiente angular negativo, portanto declive decrescente, o que só poderá ser traduzidi pelo gráfico da opção C.

4. Opção C.

Pela lei do trabalho - energia, tem-se: W = q.V = ½ m v2 Desta expressão concluímos que a velocidade é dada por v =

2QV m

v=

2qv m

Quando penetram no campo magnético numa direcção perpendicular à do campo, passam a descrever uma trajectória circular de raio:

mv qB Substituindo a expressão de v nesta última expressão, obtemos: R=

R=

1 2mV B q

Substituindo os valores dados e efectuando os cálculos, obtém-se R = 0,032 m = 3,2 cm

5. Opção C.

Tem-se B = 10-7 × 2I / r = 10-7 × 30 / 0,05 = 6 × 10-5 T

6. Opção C.

WA→B = q (VA – VB) = +1

(

1 Q 1 Q − 4πε 0 rA 4πε 0 rB

7. Opção A

Por definição de fluxo

r r Φ = E S .ΔS = E S × ΔS =

1 Q ΔS 4πε 0 r 2

)

8. Opção C.

Como a força e a velocidade são vectores perpendiculares, tem-se: F = qvB Por outro lado, esta força magnética é centrípeta, logo é dada por F = m v2 / r Igualando as duas expressões e resolvendo em ordem a r, obtemos: mv r= qB 9. Opção D

A impedância é dada por 2

2

1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ 2 Z = R2 + ⎜ ⎟ = 100 + ⎜ ⎟ = 113 Ω −6 ⎝ Cω ⎠ ⎝ 50 × 10 × 2π × 60 ⎠

10. Opção D

Na transformação adiabática, verifica-se a relação p1 V1γ = p2 V2γ expressão equivalente a p 2 ⎛ V1 =⎜ p1 ⎜⎝ V2

⎞ ⎟⎟ ⎠

γ

Como o gás é monoatómico, γ= 1,67 e podemos escrever ⎛V 2,5 = ⎜⎜ 1 ⎝ V2

⎞ ⎟⎟ ⎠

1,67

Com recurso à máquina de calcular, obtemos V1 = 1,70 V2

Sabendo que V1 = 10 litros, esta relação permite determinar o valor de V2: V2 = 5,9 litros.

11. Opção C

Pelo 1º princípio da Termodinâmica aplicado à fonte quente: dUFQ = Q (uma vez que é W = 0) Como Q = - ΔQ (quantidade de calor cedida à água), é Por sua vez, ΔQ = c m Δ T = 4180 . 1 . 100 = 4,18 x 105 J Consequentemente é: dUFQ = - 4,18 . 105 J Variação da entropia da fonte quente:

dS FQ

ΔQ 4,18 × 105 = =− = −1120,6 JK -1 T 373

Cálculo da variação da entropia da água: dUagua = TdS (supondo dV = 0) Como c x ΔT = T dS é

dS =

c × dT T

vem S f − Si =

∫

cdT =c T

Tf dT = 4180 ln = 1304,6 JK -1 273 T Ti

∫

373

Consequentemente: Variação total da entropia (água + fonte quente) = =-1120,6 JK-1 + 1304,6 JK-1 = + 184 JK-1

dUFQ = -ΔQ

PARTE II 12. 12.1 dQ a densidade de carga da esfera, a carga total da esfera, dV dada em função do raio Re da esfera será: R R E 3 4πRe Q = ρ× 3

Sendo ρ =

O campo é radial e para calcular a sua intensidade considere-se uma superfície gaussiana à volta da esfera, concêntrica com esta, de raio R >R e e aplique-se o teorema de Gauss: r

r

∫ E ⋅ dS = S

Qint ε0

r ρ × 4πRe3 E × 4πR 2 = 3ε 0

⇒

r ρRe3 1 E = × 3ε 0 R 2

r ρRe3 1 E ext = × e$r 3ε 0 R 2

O campo eléctrico no exterior da esfera é radial e a sua intensidade diminui com o inverso do quadrado da distância ao centro da esfera, tal como se toda a carga desta estivesse concentrada num ponto no centro desta. À superfície da esfera (R=Re)

r ρRe E = 3ε 0

12.2.

Para calcular a intensidade do campo num ponto no interior da esfera, à distância r do centro desta, tome-se uma superfície gaussiana de raio r
ρ × 4πr 3 Q= 3

aplicando o Teorema de Gauss será: r ρ × 4πr 3 E × 4πr 2 = 3ε 0 Consequentemente: r ρ E = ×r 3ε 0

e

r ρ E int = × r e$r 3ε 0

O campo eléctrico no interior é radial e a sua intensidade aumenta linearmente com a distância ao centro da esfera, até atingir uma máximo na superfície desta.

12.3. Sendo

r E= E temos

E

ρRe/3ε0

r
Re

R>Re

r

13. A intensidade de corrente será máxima quando a frequência angular da tensão aplicada (w) coincidir com a frequência de ressonância do circuito. Para tal é:

w=

1 LC

Consequentemente: C=

1 1 1 −3 = = 2 2 2 2 −2 = 1 × 10 F w L ( 2πf ) L 4π × 50 × 1 × 10

14. 14.1. Transformação A--->B:

p-p0 = k1 V,

k1 =

sendo

Δp ΔV

Transformação B--->C: pV γ = k 2

γ=

sendo

monoatómico é cv =

3 R 2

e

cp cv

=

5 3

já que sendo o helio

c p = cv + R =

5 R 2

Transformação C---->A: pV = k3 14.2.

Pelo 1º Princípio da Termodinâmica é: ΔU = -W + Q

Considerando o hélio um gás perfeito a sua energia interna é apenas função da temperatura, pelo que: dU AB = ncv dT

e

∫

ΔU AB = ncv dT = ncv ( TB − TA )

TA e TB podem calcular-se com base na equação do gás perfeito: pV = nRT Tendo em conta os valores no diagrama é:

TA = 305 K

TB = 911 K

e

Consequentemente: ΔUAB = 15115,6 J

∫

Por outro lado, WAB = pdV Sendo p-p0 = k1 V

Donde: WAB =

1 k1

é

∫

pdp =

dp = k1 dV

e

dV =

dp k1

1 3,054 × 1010 = 3791 J p B2 − p 2A ) = ( 2 k1 2 × 40,28 × 105

Substituindo na equação Termodinâmica será:

que

traduz

o

1º

Princípio

da

Q = 15115,6 + 3791 = 18907 J

14.3.

Transformação A--->B

W = 3791 J

(ver alínea anterior)

Transformação B--->C: Como é uma transformação adiabática é Q = 0, pelo que dUBC = -W

∫

ΔU BC = ncv dT = 3R( TC − TB ) = −15115,6 J Transformação C--->A: Como é uma transformação isotérmica ΔUCA = 0, pelo que WCA = Q Cálculo de WCA:

∫

WCA = nRT

⎛V ⎞ dV = nRT ln⎜ A ⎟ V ⎝ VC ⎠

Para calcular VC, pode utilizar-se a equação TV γ −1 = cons tan te relativa a transformações adiabáticas do gás perfeito e aplicá-la á transformação B--->C. será então: 2

2

TCVC3 = TBVB3

⇒

VC = 656 × 10 −3

Então WCA = -13055,5 J

14.4.

Como se trata de um gás perfeito, a equação dU=TdS - pdV assume a forma dS = ncv

dT dV + nR T V

pelo que ΔS = ncv

∫ dTT + nR ∫ dV V

Consequentemente é ΔS AB = ncv ln

VB TB + nR ln TA VA

ΔSAB = 27,29 + 6,74 = 34,03 JK-1

FÍSICA GERAL 3º teste formativo

PARTE I 1. O isótopo 123I do iodo é usado em exames médicos de tomografia. Antes do exame, uma pequena quantidade deste isótopo, cujo período de semitransformação é de 13,22 horas, é injectado no paciente. Assumindo que o paciente não expele nenhum 123I, qual a quantidade do isótopo nele presente ao fim de 1 dia?

A. Praticamente nenhum B. Metade da quantidade inicial C. Aproximadamente a quantidade inicial D. 16,28% da quantidade inicial E. 28,41% da quantidade inicial

2. Um raio de luz incide sobre a superfície plana de um lago, fazendo um ângulo de 60o com a vertical. Que ângulos fazem os raios de luz refletidos e refratados com a vertical?

A. θrefratado = 22,03o θrefletido = 60o B. θrefratado = 40,52o θrefletido = 40o C. θrefratado = 40,52o θrefletido = 60o D. θrefratado = 41,80o θrefletido = 40o E. Há reflexão total; não existe raio refratado e θrefletido = 60o Dados: nar = 1 nágua = 1,333 .

3. Uma bola de golfe é batida a uma rapidez de 200 km/h e num ângulo de 45º com o solo. Qual a altura máxima que a bola atinge? Despreze a resistência do ar e use g = 9,8 m/s2 .

A. 6 m B. 79 m C. 157 m D. 1020 m E. 2040 m

4. Uma bola de bilhar segue à velocidade de 3 m/s quando embate frontal e elasticamente com outra bola de bilhar, inicialmente em repouso e com a mesma massa (ver figura). Quais as velocidades das bolas A e B depois do choque?

A. v A,final = −1,5 m/s v B,final = 1,5 m/s

vA,inicial = 3 m/s

B. v A,final = −1m/s v B,final = 2 m/s C. v A,final = 0 m/s v B,final = 3 m/s A

D. v A,final = 1m/s v B,final = 2 m/s

B

x

E. v A,final = 1,5 m/s v B,final = 1,5 m/s

5. Dois discos giram em torno do eixo vertical da figura abaixo, à esquerda, em sentido horário. O disco de baixo tem momento de inércia I2 = 2 I1 e, no instante inicial, a rotação é tal que ω2 = 2ω1 . A certa altura o disco de cima desprende-se e cai sobre o disco de baixo, passando os dois a girar com a mesma velocidade angular, ωf (situação representada à direita na figura). Quanto vale ωf ? 1 2

A. ωf = ω1 1 3

B. ωf = ω1 I1 , ω1

1 4

C. ωf = ω1 5 D. ωf = ω1 3

E. ωf = ω1

ωf

I2 , ω2

Inicial 2

Final

6. Na figura ao lado, o íman está fixo e o condutor de formato quadrangular é puxado no sentido indicado pela seta. O desenho está em perspetiva, sendo que as linhas de fluxo do campo magnético atravessam o plano do condutor. O que é que vai acontecer?

A. O íman vai repelir o condutor. B. O íman vai ser repelido pelo condutor.

C. A variação do fluxo magnético através do plano do condutor induzirá no condutor uma corrente elétrica.

D. As forças magnéticas farão o condutor girar rapidamente medida que é puxado.

à

E. O condutor afastar-se-á à medida que é puxado, sem que nada mais aconteça.

7. Uma antena é composta por um solenóide com 30 espiras e 1 cm de comprimento. Ao ser atravessada por uma corrente de 0,01 A, o campo magnético no seu interior toma a direção ex . Se o campo magnético terrestre no local for B = 37,7 × 10 −6 ey T , quanto se desviará do Norte magnético uma bússola

(

)

colocada dentro da antena?

A. 5,7º B. 40,6º C. 45º D. 52,3º E. 84,3º Dados: µ0 = 4π × 10 −7 N/A 2 .

3

8. No circuito abaixo, qual a intensidade de corrente na resistência R1? I=?

A. 1,02 A B. 0,96 A C. 0,60 A

R2 = 20 Ω

E = 24 V

R1 = 10 Ω

D. 0,48 A E. 0,40 A

R3 = 10 Ω

9. O depósito de combustível de um automóvel tem uma forma cilíndrica, com altura de 70 cm. Se colocarmos o depósito na posição vertical verificamos que, à temperatura de 20 ºC, o mesmo tem gasolina até uma altura de 67 cm. Calcule o aumento do nível de gasolina se o depósito for deixado ao Sol e atingir temperaturas de 50 ºC.

A. 0,01 cm B. 0,42 cm C. 0,52 cm D. 0,64 cm E. 1,06 cm Dados: α gasolina = 317 × 10 −6 ºC −1 .

10. Um reservatório estanque contendo um gás ideal monoatómico sofre uma compressão adiabática reversível. O que acontece à temperatura e entropia desse gás?

A. A temperatura diminui e a entropia mantém-se. B. A temperatura aumenta e a entropia diminui. C. A temperatura mantém-se e a entropia aumenta. D. A temperatura aumenta e a entropia aumenta. E. A temperatura aumenta e a entropia mantém-se.

4

Parte II

1. Um bloco, que podemos considerar como um corpo pontual, encontra-se inicialmente em repouso no ponto A, deslizando pela encosta da figura abaixo. Chegado ao ponto B, entra na calha curva que une B a C, imobilizando-se neste último ponto. O ponto A está à altura de 10 m e entre A e B o movimento está sujeito a forças de atrito, sendo o coeficiente de atrito cinético bloco-encosta µc = 0,5. Entre B e C não há atrito. Calcule: A

10 m

C

hc = ?

θ = 30o B

1.1. Uma expressão para o trabalho das forças dissipativas no trajeto AB. 1.2. A altura do ponto C.

5

2. Uma criança pega na extremidade de uma corda elástica e fá-la oscilar duas vezes por segundo, com movimento harmónico simples de amplitude 20 cm. As perturbações geradas chegam 5 segundos depois à outra extremidade da corda, situada a 10 m de distância. 2.1. Escreva a equação do movimento da extremidade da corda, assumindo uma fase na origem (ângulo de fase) de zero. 2.2. Determine a distância entre as cristas da onda sinusoidal progressiva gerada pela perturbação na extremidade e escreva a equação desta onda. 2.3. Esta onda é longitudinal ou transversal? Justifique.

6

3. Uma quantidade 0,1 mol de um gás ideal monoatómico é sujeito ao ciclo termodinâmico do diagrama PV abaixo. No trajecto BC, o gás obedece à equação PV γ = cte e no trajecto CA à equação PV= cte . Nota: a figura não está à escala; é meramente ilustrativa. P (J)

B

1,5874 atm

A →B

B→C

C→A

Q 1 atm

A

W ∆U

C

3,2 dm3 6,4 dm3

V

3.1. Indique o nome dos processos termodinâmicos que compõem o ciclo; 3.2. Calcule, em ºK, a temperatura do gás nos estados termodinâmicos representados pelos pontos A, B e C; 3.3. O quadro acima resume as trocas de energia do gás com o exterior, em joule. Usando as propriedades dos processos acima indicados e a 1ª Lei da Termodinâmica, preencha-a; 3.4. Calcule o rendimento que teria uma máquina térmica actuando neste ciclo. Dados: 1 atm = 101300 Pa , R = 8,3144 J.mol-1.ºK -1 ) .

FIM 7

FÍSICA GERAL Respostas ao 3º teste formativo

PARTE I

1. Para resolver, basta usar a lei do decaimento radioativo. Para tal, precisamos primeiro da constante de decaimento, a qual pode ser obtida do período de semidesintegração: T1/ 2 = (ln2) / λ

λ = (ln 2) / T1/ 2 = 0,693147 /(13,22 h) = 0,052432 h-1 .

⇔

Note-se que estamos a usar a hora como unidade de tempo, pelo que há que transformar o dia em horas: 1 dia = 24 horas. Substituindo λ na lei do decaimento, temos:

N = N0 e − λt

⇔

N = N0 e −(0,052432

h−1 )×(24 h )

≈ 0,2841× N0 = 28,41% de N0 .

Ou seja, ao fim de 1 dia, resta-nos 28,41% da quantidade inicial, N0. Note-se que a exponencial é adimensional: se as unidades no expoente não cancelassem (como aqui cancelam), teria havido erro.

2. Quando um raio de luz atinge uma superfície de separação entre dois meios, ocorrem, em geral, dois fenómenos: a reflexão e a refração (livro de texo, p.69). No caso da reflexão, o ângulo que o raio refletido faz com a normal à superfície de separação é igual ao ângulo de incidência, o que elimina à partida as hipóteses B e D. O ângulo do raio refratado com a normal à superfície dir-nosá qual escolha certa. Este ângulo pode ser calculado pela lei de Snell:

ni sin(θ i ) = nr sin(θ r )

⇔

nar sin(θincidente ) = nágua sin(θrefratado )

⇔

1× sin(60o ) = 1,333 × sin(θrefratado )

⇔

sin(θrefratado ) = (1/1,333) × 0,866025

⇔

θrefratado = arcsin(0,649681)

⇔

θrefratado ≈ 40,52o

Nota: se usar calculadora, deve ter o cuidado de verificar se a mesma está a operar em graus. Se porventura os cálculos tivessem indicado um ângulo refratado com seno maior que 1, p.ex. θrefratado = arcsin(1,2) , dado que tal ângulo não existe (um seno está sempre entre -1 e 1), isso quereria simplesmente dizer que não existe raio refratado. Estaríamos perante uma situação de reflexão total.

3. Trata-se de um problema de cinemática. Em primeiro lugar há que passar todas as unidades ao mesmo sistema. P.ex. passando ao sistema SI, que neste caso é o mais conveniente, temos, para a rapidez

1

200 km/h = 200 ⋅ (

1000 m ) ≈ 55,56 m/s . 3600 s

Seguidamente, há que identificar o tipo de movimento. A bola de golfe comporta-se como um projétil, i.e. o seu movimento desenha uma parábola no plano xy. No entanto, o que nos é pedido é a altura máxima, pelo que podemos cingir-nos apenas ao movimento segundo o eixo vertical (yy). Segundo o eixo vertical, a bola sofre um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV, livro de texto, p.2) com aceleração g = 9,8 m/s2, no sentido ‘para baixo’, que aqui definimos como sentido negativo do eixo dos yy. A componente vertical da velocidade inicial é (recordemos-nos que a rapidez instantânea é a magnitude do vetor velocidade instantânea) v 0,y = v 0 sin(45º ) = 55,56 ×

2 ≈ 39,28 m/s . 2

A altura máxima será então a distância que a bola percorre na direção vertical até parar de subir. As leis do MRUV permitem-nos calcular essa distância recorrendo a: h = h0 + v 0,y t −

1 2 gt , 2

com h0 a altura inicial, que podemos fazer igual a zero, e t o tempo até a bola parar de subir, i.e. até que vy = 0. (Nota: o sinal menos aparece porque a aceleração da gravidade aponta no sentido negativo do eixo dos yy.) Novamente, as leis do MRUV permitem-nos calcular esse tempo usando: v y = v 0,y − gt

⇔

0 = 55,56 − 9,8 ⋅ t

⇔

t ≈ 4,01 s .

Substituindo este valor de volta na equação para a altura máxima, tem-se: 1 h = 0 + 55,56 ⋅ 4,01 − 9,8 ⋅ 4,012 ≈ 79 m . 2

Se o resultado que obteve foi 6 m, cometeu um erro ao passar para unidades SI. Se obteve 157 m, então converteu corretamente as unidades, mas não reparou que a velocidade segundo o eixo dos yy não é igual à rapidez. Se obteve 1020 m, é porque não passou os km/h a m/s. Se obteve 2040 m, não só não passou km/h a m/s como também não reparou que a velocidade segundo o eixo dos yy não é igual à rapidez.

4. Colisão ‘frontal’ significa que não há mudanças na direção das trajetórias. Neste problema isso quer dizer que basta considerarmos as magnitudes das velocidades. Colisão ‘elástica’ significa que a energia cinética se conserva. Como a quantidade de movimento também se conserva, podemos conjugar o dito acima em duas equações: mAv A,inicial + mBv B,inicial = mAv A,final + mBv B,final 1 2 2 2 2 1 1 1  2 mAv A,inicial + 2 mBv B,inicial = 2 mAv A,final + 2 mBv B,final

2

← (conservação da quantidade de movimento) ← (conservação da energia cinética)

Substituindo os valores iniciais das velocidades, v A,inicial = 3 m/s e v B,inicial = 0 m/s , e usando

mA = mB = m temos 3m + 0 = mv A,f + mv B,f 1 2 2 1 1  2 m ⋅ 9 + 0 = 2 mv A,f + 2 mv B,f 2 2 2 2 3 = v A,f + v B,f 3 = (v A,f + v B,f ) 9 = v A,f + v B,f + 2(v A,f ⋅ v B,f ) ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 2 9 = v A,f + v B,f − − − 9 = v A,f + v B,f Substituindo a equação de baixo na de cima vem, 9 = 9 + 2(v A,f ⋅ v B,f ) 2(v A,f ⋅ v B,f ) = 0 v A,f = 0 ou v B,f = 0 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 9 = v A,f + v B,f − − − − − − Ora v B,f = 0 é o que por vezes se designa por “solução não física”, pois corresponde à situação em que a bola A passa pela B sem lhe bater. A solução “física” é pois v A,f = 0 e, substituindo na equação de baixo, temos v A,f = 0 e v B,f = 3 m/s .

5. O problema é uma aplicação da conservação de momento angular (livro de texto, secção 3.7). O momento angular antes do desprender deve ser o mesmo que o momento angular depois. Escrevendo as expressões explicitamente, vem

Linicial = Lfinal

⇔

ω1I1 + ω2I2 = ωf If

Substituindo ω2 = 2ω1, I2 = 2I1 e atendendo ao facto de que o momento de inércia é uma quantidade aditiva ( If = I1 + I2 ), temos ⇔

ω1I1 + (2ω1 ) ⋅ (2I1 ) = ωf (I1 + 2I1 ) ⇔ ω1(I1 + 4I1 ) = ωf ⋅ 3I1

⇔

ωf =

5I1 ω1 3I1

⇔

5 3

ωf = ω1.

6. A resposta certa é C. À medida que o condutor é puxado, o fluxo através deste varia (na verdade diminui, dado que o campo fica mais fraco à medida que nos afastamos do íman). Ora pelo princípio de indução eletromagnética (lei de Faraday), uma variação de fluxo magnético causa o aparecimento de uma força eletromotriz no circuito, a qual por sua vez leva ao aparecimento de uma corrente elétrica.

7. Uma bússola alinha-se com o campo magnético no ponto em que se encontra. Como o campo magnético é uma quantidade vetorial e aditiva, basta-nos fazer a soma vetorial de todas as contribuições para o mesmo. No nosso caso temos duas contribuições: o campo gerado pelo solenóide e o campo gerado pela Terra. O campo da Terra é dado; o do solenóide pode ser obtido calculando a densidade de espiras (n = N/l) e aplicando a lei de Ampére (livro de texto, p.290291): 3

Bsolenóide = Bsolenóide = µ0 nI = (4π × 10 −7 N.A −2 ) ⋅

30 ⋅ (0,01 A) = 37,7 × 10 −6 T , −1 (0,01 m )

onde usámos 1 T = 1 N.A-1.m-1 (livro de texto, p.295). Vemos que a magnitude do campo do solenóide é igual à do campo da Terra. Do enunciado sabemos que o campo oriundo do solenóide toma a direção do eixo dos xx, ao passo que o campo da Terra se dirige segundo o eixo dos yy. Desenhando o campo dentro do solenóide e fazendo a soma vetorial das duas contribuições, temos

y BTOTAL

BTerra

θ x

Bsoln.

A bússola orientar-se-á pois segundo o vetor BTOTAL . O ângulo θ é o desvio em relação ao Norte magnético, i.e. a direção para onde a bússola apontaria se não houvesse campo do solenóide. Como as magnitudes dos dois vetores, Bsoln. e BTerra , são iguais, segue de imediato que o ângulo θ é de 45º.

8. Há várias formas de resolver este problema. Aqui apresentamos apenas uma, deixando ao estudante encontrar outras resoluções. Vamos chamar I1, I2 e I3 às intensidades de corrente que passam nas resistências R1, R2 e R3, respetivamente. As resistências R1 e R2 estão sujeitas à mesma diferença de potencial. Aplicando a lei de Ohm, essa diferença de potencial é R1 × I1 = R2 × I2. Sabemos também, da lei dos nodos, que I3 = I1 + I2. Portanto, se soubermos I3 conseguiremos calcular I1. Ora I3 pode ser obtido calculando a resistência equivalente de todo o circuito e aplicando a lei de Ohm. As resistências R1 e R2 estão associadas em paralelo, pelo que a resistência equivalente desta associação é

1 1 1 = + R R1 R2

−1

⇔

1  20  1 R = + = Ω.  3  10 20 

As resistências R1 e R2 estão em série com R3. Como tal podemos calcular a resistência equivalente de todo o circuito e achar I3:

 20  50 Req = R + R3 =  + 10  = Ω  3  3

⇔

I3 =

V 24 = = 1,44 A . Req 50 / 3

Finalmente, usando I3 = 1,44 = I1 + I2 e R1 × I1 = R2 × I2, temos

10I1 = 20I2  1,44 = I1 + I2

⇔

20  (1,44 − I1 ) I1 = 10  − − −

⇔

4

3I1 = 2 × 1,44

⇔

I1 = 0,96 A .

9. Com o aumento de temperatura, a gasolina vai dilatar. Como a gasolina está num cilindro, a dilatação só pode acontecer na direção vertical, sendo por isso uma dilatação linear. O aumento de volume vai ser dado por (livro de texto, p.392) ∆L = α ∆T L

⇔

∆L = α L ∆T .

Substituindo valores, temos ∆L = (317 × 10 −6 º C−1 ) ⋅ (67 cm) ⋅ (50 − 20) º C = 0,63717 cm ≈ 0,64 cm .

Ou seja, a altura passa de 67 cm para 67,64 cm e não há qualquer risco de transbordo do depósito. Na verdade, seria necessário aquecer o depósito até qualquer coisa como 161 ºC para que isso acontecesse (o leitor pode tentar obter esta temperatura de transbordo).

10. Este problema, aparentemente simples, é muito interessante e bem ilustrativo de alguns dos conceitos elementares da Termodinâmica. Vejamos. Um processo adiabático é, por definição, um processo onde não há trocas de calor. No nosso caso, isso significa que o gás não expele nem absorve calor do exterior durante toda a compressão. Sabemos também que o processo é reversível, pelo que se aplica a equação de troca de calor elementar (livro de texto, p.424)

δ Q = TdS , a qual é válida durante toda a compressão. Ora, sendo o processo adiabático δ Q = 0 , pelo que temos TdS = 0

⇔

dS = 0

⇔

S = constante .

Ou seja, a entropia mantém-se constante numa troca elementar adiabática e reversível. Como o processo total é uma soma de processos elementares, a entropia manter-se-á constante durante todo o processo. =0 Quanto à temperatura, da 1ª lei da Termodinâmica temos ∆U = Q − W = −W , com W o trabalho realizado pelo gás no processo. Como neste caso o gás realiza trabalho negativo, i.e. recebe trabalho do exterior, ∆U é positivo. Ou seja, a energia interna do gás aumenta. Ora para um gás ideal monoatómico podemos relacionar a energia interna com a sua temperatura: U=

3 nRT . 2

Se no processo U aumenta, então T tem também que aumentar. Resumindo: a entropia mantémse inalterada e a temperatura aumenta. A conclusão seria a mesma para outros gases ideais, que não o monoatómico. A única coisa que mudaria seria a expressão que relaciona a energia interna com a temperatura. Note-se que estas conclusões podem parecer um tanto ou quanto estranhas... afinal, o gás aumenta de temperatura sem lhe termos fornecido calor. Mas tal não é tão estranho se nos lembrarmos da equivalência entre calor e trabalho: (livro de texto, p.386) pode-se aquecer algo fornecendo-lhe calor, ou trabalho. No nosso caso fornecemos trabalho. 5

Uma pequena descrição do que acontece fisicamente pode ajudar a compreender. Uma compressão adiabática é uma compressão brusca. Assim, o gás não tem tempo para expelir como calor o trabalho sobre ele realizado. Finda a compressão, a temperatura do gás sobe mas o reservatório permanece à temperatura ambiente. Quem comprimir bruscamente, p.ex., uma seringa tapada, não vai notar de imediato o aumento de temperatura. Ou seja, vai ficar com a sensação (errada) de que a temperatura do gás se mantém constante. Mas se esperar alguns segundos, as paredes da seringa vão acabar por aquecer, do contacto com o gás quente. Experimente! (Se necessário, deixe sair o ar comprimido e repita várias vezes.) Quanto à entropia, numa compressão diminuímos o volume. Ora como a entropia é uma medida da desordem, ao diminuirmos o volume diminuímos também a desordem e consequentemente poderia parecer que a entropia baixa. No entanto, essa diminuição de entropia por perda de volume é compensada pelo aumento de temperatura do gás, o qual causa maior agitação das suas moléculas e consequente aumento de entropia. Do que vimos acima, como no global a entropia acaba por não se alterar, vemos que estas duas contribuições se anulam uma à outra exatamente. Finalmente, um comentário sobre o que aconteceria se a compressão fosse irreversível. Nesse caso, a troca elementar de calor teria a forma TdS ≥ δ Q .

Ou seja, mesmo que tenhamos δ Q = 0 (processo adiabático), podemos ter TdS > 0 , pelo que a entropia do gás pode aumentar. E em geral aumenta.

6

PARTE II

1. Trata-se de uma aplicação do princípio de conservação de energia a um sistema dissipativo (livro de texto, secção 3.5.2, p.125). No trajeto atuam o peso (força conservativa), o atrito (força não conservativa ou dissipativa) e a reação normal N (perpendicular à trajetória, logo não efetua trabalho). É o atrito que leva à perda de energia mecânica do bloco.

1.1 Pela conservação de energia temos Wd = ∆Em , em que Wd é o trabalho das forças dissipativas, neste caso apenas o atrito. Usando a definição de trabalho Watrito = Fatrito ⋅ ∆r , a forma da força de atrito cinético Fatrito = µc N e trigonometria elementar ( 10 / ∆r = sin(θ ) ⇔ ∆r = 20 m ) temos Wd = Fatrito ⋅ ∆r = Fatrito ⋅ ∆r ⋅ cos(α ) = µc N ⋅ ∆r ⋅ cos(α ) = ( µc mg cos(θ ) ) ⋅ 20 ⋅ cos(α ) ,

com α o ângulo entre a força de atrito e o deslocamento ao longo da encosta. A força de atrito opõe-se ao movimento, pelo que tem a mesma direção do deslocamento ao longo da encosta, mas sentido oposto. Assim, o ângulo α é de 180º e temos Wd = 0,5 ⋅ mg ⋅ cos(30º ) ⋅ 20 ⋅ cos(180º ) = −5 3mg J . =

=−1

3 2

A expressão procurada é pois Wd = −5 3mg J .

1.2. Dado que em A e C o bloco está parado, ele tem nestes pontos apenas energia potencial gravítica. Assim, temos

Wd = ∆Em

⇔

− 5 3mg = mghC − mghA

⇔

mghC = mghA − 5 3mg

⇔

mg hC = mg ⋅ 10 − 5 3

⇔

hC ≈ 1,34 m

(

)

Note-se que não foram precisos nem o valor específico da massa do corpo, m, nem o da aceleração da gravidade, g.

7

2. Se considerarmos a corda esticada horizontalmente, as oscilações dão-se segundo o eixo dos yy, propagando-se para lá da extremidade esquerda segundo o eixo dos xx. A figura abaixo ajuda a compreender os conceitos em jogo.

λ

v

A

10 m

2.1. A forma geral de um movimento harmónico simples (MHS) é y = A sin(ωt + δ ) ,

Com A a amplitude do MHS, ω a sua frequência angular e δ a fase na origem. Do enunciado temos A = 20 cm = 0,2 m e δ = 0. Quanto a ω, a frequência das oscilações é 2 ciclos por segundo, i.e. f = 2 Hz. Como tal, temos ω = 2π f = 4π Hz. Juntando tudo, temos y = 0,2 sin(4π t ) m .

2.2. A distância entre cristas é o comprimento de onda, λ. Este pode ser obtido de λ = vT, com v a velocidade de propagação da onda e T o seu período. A velocidade de propagação é simples de obter: como as perturbações chegam à outra extremidade da corda, situada a 10 m, ao fim de 5 s, a velocidade é simplesmente v = 10/5 = 2 m/s. O período é o inverso da frequência (T = 1/f = 0,5 s), pelo que temos λ = 2 × 0,5 = 1 m de distância entre cristas. Quanto à equação da onda progressiva, ela é, no geral, y ( x, t ) = A sin(ω t − kx + δ ) ,

com k = 2π /λ o número de onda. Substituindo valores vem simplesmente y ( x, t ) = 0,2 sin(4π t − 2π x ) m .

2.3. A onda é transversal porque as oscilações em torno da posição de equilíbrio (dão-se ao longo dos yy) são perpendiculares à direção de propagação da onda (xx). Se fossem paralelas, a onda seria longitudinal. Um exemplo deste último caso é as ondas sonoras.

8

3. (Ciclo termodinâmico)

3.1. No processo AB o volume mantém-se constante. Trata-se pois de um processo isocórico, ou isovolumétrico. γ No processo BC temos PV = cte, o que identifica um processo adiabático (livro de texto, p.430-431). Para identificar o processo CA, recorremos à eq. de estado dos gases ideais, PV = nRT. Do enunciado sabemos que PV = cte. Logo, como n e R são constantes, T também tem que ser, e o processo é então isotérmico.

3.2. Basta novamente recorrer à equação dos gases ideais. Há, no entanto, que ter o cuidado de passar a pressão e volume ao sistema de unidades SI, visto que é nesse sistema que temos o valor da constante R e que nele a unidade de temperatura é o ºK. Assim, vem PAVA nR (1 atm) ⋅ (3,2 dm3 ) TA = (0,1 mol) ⋅ (8,3144 J.mol-1.ºK -1 )

PAVA = nRTA ⇔ ⇔ ⇔

⇔

TA =

(101300 Pa ) ⋅ (0,0032 m3 )

TA =

(0,1 mol ) ⋅ (8,3144 J .mol-1 .ºK -1 ) TA = 389,9 ºK

onde usámos a igualdade 1 J = 1 Pa.m3 (ver p.ex. p.423 do livro de texto). Para o estado termodinâmico B, temos PBVB = nRTB ⇔

TB =

⇔

TB =

⇔

(1,5874 atm) ⋅ (3,2 dm3 ) (0,1 mol) ⋅ (8,3144 J.mol-1.ºK -1 ) (160803,6 Pa ) ⋅ (0,0032 m3 )

(0,1 mol ) ⋅ (8,3144 J .mol-1 .º K -1 ) TB = 618,9 ºK

Para o estado C, como o processo CA é isotérmico, a temperatura do estado C é igual à do estado A.

3.3. Para preencher o quadro, há que recorrer: •

à 1ª lei, ou primeiro princípio, da Termodinâmica (livro de texto, secção 6.8.2). Dela temos ∆U = Q − W , versão finita da transformação infinitesimal dU = δ Q − δ W ;

•

às propriedades dos processos em causa, que nos ajudam a identificar quanto valem ∆U, Q e W em cada etapa, e; ao facto de que a energia interna, U, de uma mole de gás ideal monoatómico é apenas função da sua temperatura, i.e. U = 32 nRT .

•

9

Note-se que Q é o calor absorvido pelo gás (logo tem sinal negativo se o gás expele calor para o exterior) e que W é o trabalho realizado pelo gás (logo tem sinal negativo se o gás recebe trabalho do exterior). No processo AB o gás não altera o seu volume. Como W = ∫ P dV (livro de texto, p.423), se o volume não varia dV = 0 e portanto W = 0 . Temos então ∆U = Q e a variação de energia interna pode ser calculada facilmente: 3 nR (TB − TA ) 2

∆U A →B = UB − U A = =

3 × 0,1× 8,3144 × (618,9 − 389,9) = 285,6 J. 2

O processo BC é adiabático, portanto não há trocas de calor com o exterior, i.e. Q = 0. Consequentemente, da 1ª lei, ∆U = −W . Como notado acima, a temperatura do ponto C é a mesma do ponto A e podemos calcular ∆UB→C da mesma maneira que acima: ∆UB → C = U C − UB = =

3 3 nR (TC − TB ) = nR (TC − TA ) 2 2

3 × 0,1× 8,3144 × (389,9 − 618,9) = −285,6 J. 2

Note-se que o gás perdeu energia, i.e. arrefeceu à medida que se expandia, realizando durante essa expansão um trabalho de W = −∆U = −( −285,6) J = +285,6 J . Finalmente, no processo CA o gás manteve a sua temperatura constante, logo também a sua energia interna se manteve constante. Ou seja, ∆U = 0 e temos ∆U = Q − W ⇔ Q = W . O gás recebeu trabalho do exterior, trabalho esse que o comprimiu de volta ao seu volume inicial. Por seu turno, a energia que recebeu sob a forma de trabalho foi toda ela expelida de volta para o exterior, sob a forma de calor. Resta-nos apenas saber quanta energia está envolvida nesta troca-por-troca. O trabalho num processo isotérmico pode ser calculado (livro de texto, p.434), obtendo-se VA V  nRT dV WC→ A = ∫ P dV = ∫ dV = nRT ∫ = nRT ln  A  V V  VC  VC VC VC = 0,1× 8,3144 × 389,9 × ln(1/ 2) = −224,7 J. VA

VA

Note-se que no cálculo acima as simplificações no integral só podem ser feitas porque a temperatura é constante em todo o processo. Num caso mais geral isso não seria verdade e não se poderia tirar a temperatura para fora do sinal de integral. Note-se que o trabalho tem o sinal certo: ele é negativo porque o gás recebeu energia. Como Q = W também o calor tem aqui sinal negativo; o que está correto porque o gás cedeu energia para o exterior. É importante compreender estas subtilezas com os sinais. Juntando os cálculos acima na tabela, temos (J)

Q W

∆U

A →B 285,6 0 285,6

B→C 0 285,6 –285,6

C→A –224,7 –224,7 0 10

Algumas das conclusões acima poderiam ter sido tiradas fazendo outros raciocínios ou cálculos. A solução apresentada não é única.

3.4. O rendimento, ou eficiência, de uma máquina térmica define-se (livro de texto, p.434) como

η=

W . QFQ

em que W é a soma do trabalho realizado (não só o realizado pelo gás, mas também o realizado sobre ele) e QFQ o calor que recebeu da fonte quente (e apenas esse!). No nosso caso, o gás realiza trabalho na expansão BC e recebe trabalho na compressão CA. Temos então um trabalho total de W = 285,6 − 224,7 = 60,9 J . Quanto ao calor, o gás apenas recebe calor da fonte quente durante o processo AB, logo QFQ = QA →B = 285,6 J (no processo BC não há troca de calor, e no processo CA o gás cede calor para a fonte fria). Juntando tudo, temos

η=

60,9 ≈ 0,2132 = 21,32% . 285,6

Comparando com o rendimento de uma máquina de Carnot funcionando entre TA e TB, temos

ηCarnot = 1 −

TFF T 389,9 = 1− B = 1− ≈ 0,37 = 37% . TFQ TA 618,9

Vemos que o ciclo proposto tem um rendimento inferior ao do ciclo de Carnot, em cerca de metade. Isto era esperado porque o ciclo de Carnot é o ciclo térmico mais eficiente entre duas temperaturas: nenhum outro ciclo pode sequer ter um rendimento tão grande quanto o de Carnot, aqui 37%.

11

Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Problemas Resolvidos de Física

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008. FÍSICA 1 CAPÍTULO 1 - MEDIÇÃO

01. O micrômetro (1 m) também é chamado mícron. (a) Quantos mícrons tem 1,0 km? (b) Que fração do centímetro é igual a 1,0 m? (c) Quantos mícrons tem uma jarda? (Pág. 9) Solução. (a) Para efetuar a conversão, basta lembrar que 1 km = 10 3 m e que 1 m = 106 m. Isso implica em: 103 m 106  m 1 e 1 1 km 1m Multiplicar 1 km pelas razões acima equivale a multiplicar por 1. Portanto:

 103 m 1 km  1 km  1  1  1 km    1 km

  106  m  9    1 10  m 1 m   

1 km  1109  m

(b) Queremos determinar a fração f de um centímetro que equivale a 1,0 m. Em termos matemáticos, teremos: f 1 cm  1 m Agora é preciso converter o centímetro em mícrons. f 

1  m  102 cm   1 m   1 cm  1m   106  m

 4   10 

f  104 (c) Para esta conversão, é preciso lembrar que 1 jarda = 3 pés e que 1 pé = 30,48 cm. Logo:  30, 48 cm 1 jarda  3 pés    1 pé 

  1m    2   10 cm

6   10  m  5    1 m   9,144 10  m   

1 jarda  9 105  m

05. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m. Determine (a) a circunferência da Terra em km, (b) a área da superfície da Terra em quilômetros quadrados e (c) o volume da Terra em quilômetros cúbicos. (Pág. 9) Solução. Seja o raio da Terra R = 6,37 × 103 km. (a) A circunferência da Terra será: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 01 – Medição

1



L  2 R  2     6,37 103 km   4,00238

104 km

L  4,00 104 km (b) A área da superfície da Terra será:



A  4 R 2  4    6,37  103 km



2

 5, 09904

108 km 2

A  5,10 108 km2

(c) O volume da Terra será: 3 4 4 V   R3     6,37 103 km  1,08269 3 3





1012 km3

V  1,08 1012 km3

10. A planta de crescimento mais rápido de que se tem notícia é uma Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3,7 m em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em micrômetros por segundo? (Pág. 10) Solução. O problema resume-se em converter m/dia em m/s. Sendo v a velocidade de crescimento, teremos: 3, 7 m  106  m   1 d   1 h  v    3, 05886  14 d  1 m   24 h   3.600 s 

 m/s

v  3,1 m/s Observação: Para saber mais sobre a Hesperoyucca whipplei, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Hesperoyucca_whipplei.

________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 01 – Medição

2



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 1 - MEDIÇÃO

05. Uma substituição conveniente para o número de segundos em um ano é π  107. Dentro de que percentagem de erro isso está correto (Pág. 11) Solução. Seja Nestim o número de segundos estimado para um ano, que é π  107. O número verdadeiro de segundos em um ano, Nverd, vale: dia   h   s  s  Nverd   365, 25   3.600   31.557.600    24  ano   dia   h ano  O erro percentual é calculado da seguinte forma:

erro 

N estim  N verd N verd

s   7 s     10    31.557.600  ano   ano   100%  100%  0, 4489 s    31.557.600  ano  

%

erro  0,45% 38. (a) Calcule 37,76 + 0,132 com o número correto de algarismos significativos. (a) Calcule 16,264  16,26325 com o número correto de algarismos significativos. (Pág. 12) Solução. (a) Vamos efetuar a primeira operação: 37, 76 + 0,132  37,892 O algarismo sublinhado não é significativo, pois não pôde ser somado com o algarismo equivalente no número 37,76. O algarismo correspondente ao milésimo deste número não foi avaliado e, portanto, é desconhecido. Logo, o resultado deve ser fornecido ao centésimo. R  37,89 (b) Vamos agora efetuar a segunda operação: 16,264  16,26325  0,00075 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 01 – Medição

3



Os algarismos sublinhados não são significativos, pois não puderam ser somados com os algarismos equivalentes no número 16,264. Portanto, o resultado deve ser fornecido ao milésimo. Como o algarismo referente ao décimo de milésimo é maior ou igual a 5, ou seja, é 7, o algarismo referente ao milésimo deve ser aproximado para mais 1. Logo: R  0,001 40. Uma formação rochosa porosa dentro da qual a água pode se deslocar constitui um aqüífero. O volume V de água que passa pela seção reta de área A dessa formação rochosa, no tempo t, é dado por V H  KA t L onde H é a queda vertical da rocha, em relação à distância horizontal L: ver Fig. 10. Essa relação é chamada de Lei de Darcy. A grandeza K é a condutividade hidráulica da rocha. Quais são as unidades SI de K

(Pág. 13) Solução. Para encontrar a resposta, vamos substituir os símbolos das grandezas envolvidas, exceto K, pelas respectivas unidades SI: V H  KA t L

m3 m  Km2  Km2 s m Como o membro da esquerda deve ter a mesma unidade do da direita, K deve ter unidade m/s.

m3  m  2 m 3   m  s s s Logo: K

m s

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 01 – Medição

4



Hesperoyucca whipplei 28. Os grãos de areia das praias da Califórnia são aproximadamente esféricos, com um raio de 50 m, e são feitos de dióxido de silício, que tem uma massa específica de 2.600kg/m3. Que massa de grãos de areia possui uma área superficial total (soma das áreas de todas as esferas) igual à área da superfície de um cubo de 1,00 m de aresta? (Pág. 11) Solução. Como a área superficial de um cubo de 1,00 m de aresta é igual a 6,00 m2, teremos a área total da superfície dos grãos de areia como sendo A = 6,00 m2. A massa total M dos grãos é igual ao número de grãos N multiplicado pela massa m de cada grão. (1) M  Nm A massa de cada grão pode ser determinada com base na densidade  da areia e no volume v de cada grão: 4 (2) m  v    r3 3 O número de grãos é a razão entre a área total A dos grãos e a área a de cada grão. A A (3) N  a 4 r 2 Substituindo-se (2) e (3) em (1), teremos:

 2.600 kg/m    50  m    101 mm    6, 00 m  3

A 4  rA    r3   2 4 r 3 3 M  0, 26 kg

M

2



6



3

57. A unidade astronômica (UA) é a distância média entre a Terra e o Sol, cerca de 92,9 × 106 milhas. O parsec (pc) é a distância para a qual uma distância de 1 UA subtende um ângulo de ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 01 – Medição

5



exatamente 1 segundo de arco (Fig. 1-8). O ano-luz é a distância que a luz, viajando no vácuo com uma velocidade de 186.000 milhas por segundo, percorre em 1,0 ano. Expresse a distância entre a Terra e o Sol (a) em parsecs e (b) em anos-luz.

Fig. 1-8 Problema 57. (Pág. 13) Solução. (a) Considere o seguinte esquema: 1 pc A

B 0,5 UA

0,5’’ C

De acordo com o esquema, teremos a seguinte relação para o triângulo retângulob ABC:

 0,5 UA   1 UA  1 pc   2 pc  1 UA  sen  0,5''    2 pc   4,84813 sen  0,5'' 

106 pc

1 UA  4,8 106 pc (b) O ano luz é matematicamente definido como sendo o produto da velocidade da luz pelo intervalo de tempo de 1,0 ano. Ou seja:

mi   24 h   3.600 s   1 ano-luz  c  t  186.000   365 dias       s    1 dia   1 h 

1 ano-luz  5,86569 1012 mi Agora resta apenas efetuar a conversão de milhas para anos-luz no valor da UA:

1 ano-luz   1 UA  92,9 106 mi     1,58378 12  5,86569 10 mi 

105 ano-luz

1 UA  1,6 105 ano-luz

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 01 – Medição

6



HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008. FÍSICA 1 CAPÍTULO 3 – VETORES

16. Na soma A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12,0 m e um ângulo de 40,0o no sentido antihorário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de 15,0 m e um ângulo de 20,0o no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo. (Pág. 59) Solução. Considere o esquema abaixo, que mostra os vetores A e C: y Ay

A

Cx

A

Ax

C

x

Cy

C

(a) O módulo de B é calculado por meio da seguinte relação: B

Bx2

By2

(1)

Portanto, precisamos agora calcular Bx e By para, em seguida, substituí-los em (1). Esse cálculo pode ser feito por meio das duas equações escalares contidas na equação vetorial A + B = C. A primeira delas é: Ax Bx Cx A cos

A

Bx

A cos

Bx

Bx A

C cos

C

C cos

C

12,0 m cos 40,0

15,0 m cos 20,0

23, 2879

m

15,0 m sen 20,0

12,8437

m

A segunda equação escalar é: Ay By C y A sen

A

By

By

A sen

By

12,0 m sen 40,0

A

C sen

C

C sen

C

Substituindo-se os valores de Bx e By em (1), teremos:

B

23, 2879

m

2

12,8437

m

2

26,5949

m

B 26,6 m (b) O ângulo que B faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

1



B

tan

1

By Bx

tan

12,8437 23, 2879

1

m m

28,8776

Embora a calculadora forneça como resultado para B o valor 28,9o, podemos ver na figura abaixo que devemos acrescentar 180o a esse resultado para obter a resposta correta. B

y

28,9o A

B

x C

Logo: B

180

B

209

28,8776

208,8776

25. Se B é somado a C = 3,0 i + 4,0 j, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo, com um módulo igual ao de C. Qual é o módulo de B? (Pág. 59) Solução. Em primeiro lugar vamos determinar o módulo de C: C

Cx2 C y2

3, 02

4, 02

25

5, 0

Vamos chamar de D o vetor soma de B e C. Como D aponta no sentido +y e possui módulo 5,0, teremos: D 5,0j Agora precisamos efetuar a operação mencionada no enunciado para obter B: B A D B D C B

5, 0 j

3, 0i 4, 0 j

B

3,0i 1,0j

Portanto, o módulo de B vale:

B B

Bx2

By2

3,0

2

1,0

2

10

3,1622

3, 2

Os vetores B, C e D podem ser vistos no esquema abaixo:

________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

2



y 5 D

C

4 3 2 1 3

2

B

1 0 1

1

2

3

4

5

x

b

32. Na Fig. 3-33, um vetor a com um módulo de 17,0 m faz um ângulo = 56,0o no sentido antihorário com o semi-eixo x positivo. Quais são as componentes (a) ax e (b) ay do vetor? Um segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo ’ = 18o em relação ao primeiro. Quais são as componentes (c) a’x e (b) a’y neste novo sistema de coordenadas?

Fig. 3-33 Problema 32

(Pág. 60) Solução. As componentes de a no sistema de coordenadas xy são: (a) ax ax

a cos

ax

9,51 m

ay

a sen

ax

14,1 m

17,0 m cos 56,0

9,5062

17,0 m sen 56,0

14,0936

m

(b) ay m

As componentes a x' e a 'y no sistema rotacionado são dadas pelas seguintes relações (tente deduzir essas relações): ax'

ax cos

'

a y sen

'

a 'y

a y cos

'

ax sen

'

Logo: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

3



(c) ax'

ax cos

ax'

13m

a'y

ay cos

ax'

10 m

'

ay sen

'

9,5062

'

ax sen

'

14,0936

m cos 18

14,0936

m sen 18

13,3961 m

9,5062

m sen 18

10, 4662

(d) m cos 18

m

43. Os três vetores na Fig. 3-35 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; = 30,0o. Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a; (c) a componente x e (d) a componente y de b; (e) a componente x e (f) a componente y de c. Se c = p a + q b, quais são os valores de (g) p e (h) q?


(Pág. 60) Solução. (a) Como A está sobre o eixo x, teremos:

(b)

ax

3,00 m

ay

0, 00 m

Vetor B: (c)

(d)

(e)

bx

b cos

bx

3,46 m

by

b sen

by

2, 00 m

cx

c cos

cx

(f)

4,00 m cos 30,0

3, 4641 m

4,00 m sen 30,0

90

10,0 m cos 120,0

90

10,0 m sen 120,0

5,00 m

cy

c sen

cy

8,66 m

8,6602

m

(g) e (h) Para calcular p e q devemos resolver o sistema de duas equações escalares embutidas na equação vetorial c = p a + q b, que são cx = p ax + q bx e cy = p ay + q by. Da primeira equação, teremos: cx pax qbx ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

4



cx

q

pa x

(1)

bx

Da segunda, teremos: c y pa y q by

(2)

Igualando-se (1) e (2): cx pax c y pa y bx

by

Resolvendo a equação acima para p, teremos: c y bx cxby 8, 6602 m 3, 4641 m p a y bx axby 0, 00 m 3, 4641 m

p

5, 00 m 2, 00 m 3, 00 m 2, 00 m

6, 6666

6,67

Agora podemos obter q a partir de (1): cx

q

pax

5, 00 m

bx

6, 6666 3, 4641

3, 00 m

m

4,3301

q 4,33 51. Um barco a vela parte do lado americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0 km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que distância e (b) em que sentido deve navegar para chegar ao ponto desejado? (Pág. 61) Solução. Considere o seguinte esquema vetorial da situação, em que r0 é a posição almejada pelo velejador, r1 é a posição alcançada pelo barco e r é o deslocamento que o barco deve sofrer para alcançar seu objetivo inicial. Lago Erie

y r 90 km

x

r0

r1 ’

50 km

(a) De acordo com o esquema acima, temos a seguinte relação vetorial: r0 r1 r r

r0 r1

90, 0 km j

50, 0 km i

50, 0 km i

90, 0 km j

O módulo de r é: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

5



rx2

r

ry2

50,0 km

2

90,0 km

r 103 km (b) A direção de r é dada pelo ângulo 2: ry 90, 0 km ' tan 1 tan 1 2 rx 50, 0 km

2

102,9563

km

60,9453

Logo: ' 2

2

2

180

60,9453

119,0546

119

54. São dados três deslocamentos em metros: d1 = 4,0 i + 5,0 j 6,0 k, d2 = 1,0 i + 2,0 j + 3,0 k e d3 = 4,0 i + 3,0 j + 2,0 k. (a) Determine r = d1 d2 + d3. (b) Determine o ângulo entre r e o semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d1 em relação a d2. (d) Qual é a componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2? (Sugestão: Para resolver o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-20; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.) (3-20)

a b ab cos

Fig. 3-20

(3-27)

c ab sen

(Pág. 61) Solução. (a) r

d1 d2 d3

r

4, 0i 5, 0 j 6, 0k

1, 0i 2, 0 j 3, 0k

r

4,0

5,0 2,0 3,0 j

1,0

4,0 i

4, 0i 3, 0 j 2, 0k

6,0 3,0 2,0 k

r 9,0i 6,0j 7,0k ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

6



(b) O ângulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitário k: r k

r k cos

r 1 cos

rz

rz

r k r Agora precisamos calcular r.k e r. Cálculo de r.k: cos

(1)

rz

r k

9, 0i 6, 0 j 7, 0k

r k

7,0

k

0 0 7, 0

Cálculo de r:

rx2 ry2 rz2

r

9,0

2

6,0

2

7,0

2

r 12,8840 Substituindo-se esses valores em (1), teremos: cos

7, 0 rz

12,8840

cos

1

rz

rz

123

0,5433

0,5433

122,9089

(c) A componente de d1 em relação a d2, que chamaremos d12, é d1 cos produto escalar dos dois vetores: d1 d2 d1d2 cos 12

d1 cos

12.

Esse termo aparece no

d1 d2 d2

12

Ou seja:

d12

d1 d 2 d2

(2)

Agora precisamos calcular d1 d2 e o módulo de d2. O produto escalar vale: d1 d 2

4, 0i 5, 0 j 6, 0k

1, 0i 2, 0 j 3, 0k

4, 0 10 18

12 m 2

O módulo de d2 vale:

d2

d22x d22y

d22z

1,0

2

2,0

2

3,0

2

3,7416

m

Substituindo-se os valores de d1 d2 e d2 em (2), teremos:

d12

12 m2 3, 7416

d12

3, 2071

m

m

3, 2 m

(d) A componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2, que chamaremos d12 , é d1 sen 12. Esse termo aparece no módulo do produto vetorial dos dois vetores: d1 d 2

d1d 2 sen

12

d12 d 2


7



d1 d 2

d12

(3)

d2

Agora só precisamos calcular |d1×d2|. O produto vetorial vale: d1 d 2

4, 0i 5, 0 j 6, 0k

1, 0i 2, 0 j 3, 0k

27i 6, 0 j 13k

O módulo de d1×d2 é:

d1 d2

27

2

6,0

2

13

2

30,5614

m2

Substituindo-se os valores de |d1×d2| e d2 em (3), teremos:

d12 d12

d1 d 2

30,5614

m2

d2

3, 7416

m

8,1678

m

8, 2 m

58. Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada lança a bola a 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para o sudeste e a terceira 0,91 m para o sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a bola no buraco na primeira tacada. (Pág. 61) Solução. As direções associadas aos termos nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste (SW) e noroeste (NW), podem ser conferidas na figura abaixo, que costuma ser chamada de “rosa dos ventos”:

Considere o seguinte gráfico que mostra os três deslocamentos sucessivos sofridos pela bola: y 315

o

b

225

o

a c

x

De acordo com o enunciado, os vetores a, b e c são definidos por: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

8



a

3, 66 m j

b

1,83 m cos 315 i

1,83 m sen 315 j

c

0,91 m cos 225 i

0,91 m sen 225 j

A tacada única d capaz de lançar a bola diretamente no buraco corresponde à soma vetorial a + b +c: d a b c

d

3, 66 m j

1,83 m cos 315 i

0,91 m cos 225 i d

0, 6505

m i

1,83 m sen 315 j

0,91 m sen 225 j

1, 7225

m j

(a) O módulo de d vale:

d

d x2 d y2

0,6505

m

2

1,7225

m

2

1,8412

m

d 1,84 m (b) O ângulo que d faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por: d

tan

d

69

dy

1

dx

tan

1

1, 7225 m 0, 6505 m

69,3102

O vetor d pode ser visto no esquema abaixo: y

b a c d 69o x

69. Um manifestante, com sua placa de protesto, parte da origem de um sistema de coordenadas xyz, com o plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva de 90o à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre de 25 m de altura. (a) Em termos de vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual á o módulo do deslocamento total, do início até este novo fim? (Pág. 62) Solução. Considere o seguinte gráfico que mostra os deslocamentos sofridos pela placa:


9



z

c d

b a

x

y

(a) O deslocamento total d é dado por: d a b c d

40 m i

20 m j

25 m k

O vetor d pode ser visto na figura abaixo. z

c d

b a

x

y

(b) Quando a placa cai no chão, sofre um deslocamento igual a c. Logo, seu novo deslocamento total e vale: e a b c c a b e

40 m i

20 m j

O módulo de e vale:

e

40 m

2

20 m

2

44,7213

m

e 45 m O esquema vetorial para essa situação será: z

c

c b

e a x

y

71. Se B é somado a A, o resultado é 6,0 i + 1,0 j. Se B é subtraído de A, o resultado é 4,0 i + 7,0 j. Qual é o módulo de A? (Pág. 62) Solução. Vamos somar as duas equações mencionadas no enunciado para eliminar B e obter A. ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

10



B A 6,0i 1,0j A B

4,0i 7,0j

O resultado da soma é: 2A 2,0i 8,0j Ou:

A 1,0i 4,0j O módulo de A vale: A

Ax2

Ay2

1, 02

4, 02

17

4,1231

A 4,1


11



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 3 – VETORES

16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, como mostra a Fig. 25. P é um ponto pintado no aro da roda. No instante t1, P é o ponto de contato entre a roda e o chão. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revolução. Qual é o deslocamento de P nesse intervalo de tempo?

(Pág. 46) Solução. Considere o esquema a seguir:

P r y

y x

P x O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que é dado por: r xi yj Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x é corresponde a meia volta da circunferência da roda ( R) e y é igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale: r r

Ri 2 Rj 1, 4 m i

1, 4137

m i

0,90 m j

0,90 m j

O módulo do deslocamento vale: r

r

x2

y2

2, 2237

m

2, 2 m

24. Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a distância do míssil é 3.200 m, a 40,0o acima do horizonte. O míssil é seguido por 123o no plano leste-oeste, e a distância no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 3 – Vetores

12



do míssil durante o período de contacto com o radar.

(Pág. 46) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: r r0 r y x

A posição inicial do míssil é dada por: r0 r0 x i r0 y j r0

r0 cos i r0 sen j

A posição final do míssil é dada por: r rx i ry j r

r cos

i r sen

j

O vetor deslocamento do míssil é dado por: r xi yj r

r cos

r0 cos

r

10.216,9370

r

10 km i

m i

i

r sen 33,5360

r0 sen

j

m j

33 m j

O módulo do deslocamento é: r

rx 2

ry 2

10.216,9921

m

r 10 km

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 3 – Vetores

13



HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008. FÍSICA 1 CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO RETILÍNEO

01. Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade média do carro durante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido positivo de x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Trace o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do gráfico. (Pág. 33) Solução. (a) A velocidade média (vm) no percurso total corresponde à razão entre o deslocamento total ( x12) e o intervalo de tempo total ( t): x12 x1 x2 2 x (1) vm t t1 t2 t1 t2 Na Eq. (1), as grandezas com índice 1 referem-se à primeira etapa da viagem e as com índice 2 à segunda etapa da viagem, como descrito no enunciado. O termo 2 x é devido à igualdade entre x1 e x2. Em relação às etapas da viagem, suas velocidades médias valem: x vm1 t1 vm 2

x t2

Explicitando o tempo de cada etapa, teremos: x t1 vm1 t2

(2)

x

(3)

vm 2

Substituindo (2) e (3) em (1): vm

vm

2 x x x vm1 vm 2

2vm1vm 2 vm 2 vm1

2 30 km/h 60 km/h 60 km/h

30 km/h

40 km/h

O estudante deve ter percebido que o cálculo da velocidade média é função apenas das velocidades médias de cada uma das etapas. Isso é conseqüência da igualdade entre os deslocamentos envolvidos nessas etapas. (b) A velocidade escalar média (vem) é a razão entre a distância total percorrida (s) e o intervalo de tempo ( t). No presente caso, temos s = x12. Portanto: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo

1



vem

x12 t

s t

vem

vm

40 km/h

(c) No gráfico a seguir são mostrados os deslocamentos e intervalos de tempo parciais e totais. A linha I corresponde à primeira etapa da viagem e a II à segunda etapa. A linha tracejada III corresponde ao trajeto total. As declividades dessas correspondem às velocidades médias dos trajetos correspondentes. x (km) t12 t1

80

t2

III

x2

II

x12

40 I

x1

1

2

t (h)

02. Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta. (Pág. 33) Solução. Como os deslocamentos envolvidos na subida e descida têm o mesmo módulo, a situação é semelhante à do Probl. 1. Usaremos os índices S para subida e D para descida. sSD sS sD 2s vem tSD tS tD tS tD

(1)

Na equação acima, s é o comprimento da ladeira. Explicitando o tempo de cada etapa, teremos: s tS (2) vS

tD

s vD

(3)

Substituindo (2) e (3) em (1): vem

vem

2s s vS

s vD

2vS vD vD vS

2 40 km/h 60 km/h 60 km/h

40 km/h

48 km/h

17. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x = 9,75 + 1,50 t3, onde t está em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s; (c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s; (d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s. (f) Plote o ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo

2



gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente. (Pág. 34) Solução. (a) Chamando de x0 a posição da partícula em t0 = 2,00 s e de x1 sua posição em t1 = 3,00 s, os valores de x0 e x1 serão: x0

9,75 1,50 2,00

x1

9,75 1,50 3,00

3

21,75 cm

3

50, 25 cm

A velocidade média da partícula no intervalo de tempo t1 x t

vm,01 vm ,01

50, 25 cm

x1 x0 t1 t0

3, 00 s

t0 será:

21, 75 cm 2, 00 s

28,5 cm/s

(b) A velocidade instantânea v corresponde à derivada da função x(t) em relação a t: dx d v 9, 75 1,50t 3 4,50t 2 dt dt Logo, para t0 = 2,00 s teremos: v0

4,50 2, 00

v0

18, 0 cm/s

2

(c) Para t1 = 3,00 s teremos: v1

4,50 3,00

v1

40,5 cm/s

2

(d) Para t2 = 2,50 s teremos: v2

4,50 2,50

v2

28,1 cm/s

2

28,125 cm/s

(e) A metade da distância entre as posições da partícula em t0 = 2,00 s e t1 = 3,00 s corresponde à posição x3, definida por: x3

x0

x1

21, 75 cm

50, 25 cm

36 cm 2 2 A partícula alcança a posição x3 no instante de tempo t3, que vale: x3

9, 75 1,50t33

t3

3

36 9,75 1,50

2,5962

s

Logo, a velocidade v3 da partícula no instante t3 será: v3

4,50 2,5962

v3

30,3 cm/s

2

30,3322

cm/s

(f)

________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo

3



x (cm)

Declividade = v1 Declividade = v3

x1

Declividade = v0

x3

x0 Declividade = vm01 1

2 t0

3 t1

t (s)

t3

41. A Fig. 2-28 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em direção ao outro. A Fig. 2-29 é um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas posições x0verde = 270 m e x0vermelho = 35,0 m no instante t = 0. O carro verde tem uma velocidade constante de 20,0 m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual é o módulo da aceleração do carro vermelho?

Fig. 2-28 Problemas 40 e 41


(Pág. 36) Solução. Vamos utilizar os índices r e g para os carros vermelho (red) e verde (green), respectivamente. O carro verde possui movimento com velocidade constante. Logo: x x0 v0t x1

x1

x1

xg 0

vg t1

270 m

20 m/s 12 s

30 m

x1 é a coordenada x correspondente ao instante de tempo t1 = 12 s. O carro vermelho possui movimento com aceleração constante. Logo, sua equação de movimento será: 1 2 x x0 v0t at 2 ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo

4



x1 xr 0

ar

0

1 2 ar t1 2

2 x1 xr 0 t12

Substituindo-se o valor de x1 calculado anteriormente:

aR aR

2 30 m

35 m

12 s

2

0,90277

m/s 2

0,90 m/s 2

Observação: Você deve ter notado que os sinais negativos de xr0 e de vg não foram dados no enunciado. Essas informações foram obtidas a partir do gráfico fornecido. 70. Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x = 6,00 t2 + 3,00 t + 2,00, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a = 8,00 t, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 0 a velocidade é de 20 m/s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade? (Pág. 38) Solução. Sendo a posição da partícula 1 dada por: x1

6, 00t 2 3, 00t 2, 00

Sua velocidade em função do tempo será: dx v1 12, 0t 3, 00 dt Sendo a aceleração da partícula 2 dada por: a2 8, 00t

(1)

Sua velocidade em função do tempo será: dv a2 8, 00t dt dv 8,00t dt v2 v0

t

dv

8, 00 t dt t0

v2 v0

t 2 t02

8, 00

2 Foi mencionado que em t0 = 0 a velocidade da partícula 2 é v0 = 20 m/s. Logo v2 v2

20 m/s

8, 00

t2 0 2

20 4, 00t 2

(2)

Igualando-se (1) e (2), teremos: 12, 0t 3, 00 20 4, 00t 2 4,00t 2 12,0t 17 0 ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo

5



As raízes dessa equação são 1,0495...s e 4,0495...s. O instante de tempo positivo corresponde à solução do problema. Portanto: t 1,1 s 88. Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A pedra atinge a altura máxima 1,60 s após ter sido lançada. Em seguida, após quase se chocar com o edifício, a pedra chega ao solo 6,00 s após ter sido lançada. Em unidades SI: (a) com que velocidade a pedra foi lançada? (b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço? (c) Qual a altura do edifício? (Pág. 39) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y v1 = 0

y1 = h

(t1 = 1,60 s)

v0 y0 = H (t0 = 0,00 s )

Trajetória da pedra a

y2 = 0

(t2 = 6,00 s )

v2

(a) Análise do percurso entre os instantes de tempo t0 e t1: v1 v0 gt1 0

v0 v0

v0

gt1

9,8 m/s2 1,60 s

15, 68 m/s

16 m/s

(b) A altura máxima acima do edifício corresponde a h – H. Para determiná-la, vamos novamente analisar o percurso entre os instantes de tempo t0 e t1: 1 2 y1 y0 vt gt1 2 1 2 1 2 h H 0 gt1 9,8 m/s 2 1, 60 s 12,544 m 2 2 h H 13 m ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo

6



(c) A altura do edifício corresponde a H. Para determiná-la, vamos analisar o percurso entre os instantes de tempo t0 e t2: 1 2 y2 y0 v0t gt2 2 1 2 0 H v0t2 gt2 2 1 2 1 2 H v0t2 gt2 15, 68 m/s 6, 00 s 9,8 m/s 2 6, 00 s 82,32 m 2 2 H 82 m 99. Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H. A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro de tempo no ar? (Pág. 40) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y Sit. B HB

tB= 2 tA

HA

Sit. A tA

y0 = 0 Vamos utilizar a seguinte equação na coordenada y para analisar o movimento de subida das bolas nas situações A e B: 1 2 y y0 vt gt 2 Na situação A, teremos: 1 HA 0 0 g t A2 2 1 (1) HA g t A2 2 Na situação B, teremos: 1 1 2 HB 0 0 g tB2 g 2 tA 2 2 2 (2) H B 2g tA

Dividindo-se (2) por (1), teremos:


7



HB HA

HB

2 g t A2 1 g t A2 2 4H A

106. Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifício de 60 m. A que distância do solo está a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo? (Pág. 40) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y y0 = H

(t0)

y1 = h

(t1 = t2

y2 = 0

(t2)

a

1,2 s)

Primeiro vamos analisar o movimento de queda da pedra do alto do edifício (índice 0) até o solo (índice 2). A equação geral do movimento é: 1 2 y y0 v0t gt 2 Aplicando-se os índices corretos, teremos: 1 2 y2 y0 0 gt2 2 1 2 0 H gt2 2 t2

2H g

3, 4992

O valor de t1 é igual a t2 t1 2, 2992 s

s

1,2 s. Logo:

Agora podemos analisar o movimento de queda da pedra desde o alto do edifício até a coordenada y1: 1 2 y y0 v0t gt 2 Aplicando-se os índices corretos, teremos: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8 Ed. - LTC - 2009. Cap. 02 – Movimento Retilíneo

8


y1

y0

h H

0

1 2 gt1 2

1 2 gt1 2

1 2 gt1 2 h 34 m

h

H


60 m

1 9,8 m/s 2 2, 2992 2

s

34, 0954

m


9



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 2 – MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL

01. Que distância seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que você olha um acidente à margem da estrada? (Pág. 28) Solução. Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar a Eq. (1). (1) x x0 v x t A distância procurada corresponde ao deslocamento x = x x x0

x0.

x vx t

x (88 km/h)

1 m/s 3, 6 km/h

(0,50 s) 12, 222

m

A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo: x 10 m 02. Um jogador de beisebol consegue lançar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medida por um radar portátil. Em quanto tempo a bola atingirá o alvo, situado a 18,4 m? (Pág. 28) Solução. Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja até a base horizontalmente, ela sofre ação da gravidade e cai verticalmente) só precisamos nos preocupar com o seu movimento horizontal. Isto é devido a esse movimento ser o responsável pela situação exposta no enunciado. O movimento horizontal da bola não está sujeito à aceleração da gravidade ou a qualquer outra aceleração (exceto, é claro, à aceleração causada pela força de resistência do ar, que é desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante. x x0 vt

t

x x0 v

t

0,414 s

x v

(18, 4 m) 1 m/s (160 km/h) 3, 6 km/h

08. Um avião a jato pratica manobras para evitar detecção pelo radar e está 35 m acima do solo plano (veja Fig. 24). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3 o, o que é difícil de detetar. De que tempo dispõe o piloto para efetuar uma correção que evite um choque com o solo? A velocidade em relação ao ar é de 1.300 km/h.

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional

10



(Pág. 28) Solução. O avião desloca-se em movimento retilíneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. v

0

x

h

d Analisando o movimento do avião no eixo x, temos:

x

x0 vt

0 d vt d t v

(1)

Como o valor de d não foi dado, é preciso calculá-lo. h tan d h d tan Substituindo-se (2) em (1): h (35 m) t v tan 1.300 km/h tan 4,3o 3, 6

(2)

1, 289035... s

t 1,3 s 11. Calcule sua velocidade escalar média nos dois casos seguintes. (a) Você caminha 72 m à razão de 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Você caminha durante 1,0 min a 1,2 m/s e depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta. (Pág. 28) Solução. (a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar média é a razão entre a distância percorrida (não o deslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso.


11



vem

s1 s2 t1 t2

s1 s2 s1 s1 v1 v1

72 m 72 m 1, 2 m/s

72 m 72 m 3, 0 m/s

2 1 1, 2 m/s

1 3, 0 m/s

1, 714

m/s

vem 1,7 m/s

(b) vem

vem

s1 s2 t1 t2

v1 t1 v2 t2 t1 t2

1, 2 m/s 60 s 60 s

3, 0 m/s 60 s

1, 2 m/s

60 s

3, 0 m/s 2

2,1 m/s

12. Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesma linha. Um pássaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles estão distantes 102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcançá-lo, o pássaro retorna diretamente para o primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pássaro pode fazer de um trem ao outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distância total que o pássaro percorre? (Pág. 28) Solução. Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a). Trem A

vA

2o Encontro

vP

4d/9

1o Encontro

Trem B

vB

2d/3 x

0 d/2

d/2 d

(b) Como os trens viajam à mesma velocidade, porém em sentidos contrários, o choque dar-se-á na coordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem será igual ao tempo de vôo do pássaro. Logo, para o trem A: x d /2 vA t t d t 2v A Para o pássaro: s vp t

s

2v A

d 2v A

s d Portanto, o pássaro percorre uma distância igual à separação inicial dos trens, ou seja: s 102 km (a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenada x do primeiro encontro (x1). x1 x0P vPt

(1)


12



x1

x0 B

(2)

vB t

Nestas equações, x0p = 0 e x0B = d são as posições do pássaro e do trem B no instante zero e vP = 2 vB e vB são as velocidades do pássaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o pássaro e o trem B estarão na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2). x0 B vBt

x0 P vPt

d vB t

0 ( 2vB )t

t

d 3v B

(3)

Substituindo-se (3) em (1):

x1

x0 P vP

0 ( 2vB )

d 3vB

2d 3 De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dará na coordenada 4d/9. Como conseqüência, do primeiro para o segundo encontro o pássaro percorre uma distância igual a 2d/3 4d/9 = 2d/9, que é igual a 2/3 de d/3. Também pode ser demonstrado que do segundo para o terceiro encontro ele percorre uma distância igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Em resumo: Viagem do pássaro Distância percorrida 1 2/3 d = 2/3 d 2 2/3 . 1/3 . d = 2/32 d 3 2/3 . 1/3. 1/3 . d = 2/33 d … … … n n 2/3 . 1/3 . …. 1/3 . d = 2/3 d x1

A soma das distâncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pássaro deve ser igual a d (resposta do item b): 2 2 2 2 d d d  nd d 2 3 3 3 3 3 Ou seja: 1 1 1 1 1  n 2 3 3 3 2 3 3 n 1 1 (4) i 2 i 1 3 Pode-se demonstrar que (4) somente será verdadeira se n = (Utilize sua calculadora para verificar esta afirmação). Portanto, em teoria, o pássaro fará um número infinito de viagens. 14. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da Fig. 25?


13



(Pág. 28) Solução. Conhecendo-se a função x(t) que descreve a posição x de um objeto em qualquer instante de tempo t, pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada de x(t) em relação a t. dx(t ) v(t ) dt No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t) de um objeto em qualquer instante t, pode-se determinar sua posição x em qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempo considerado. dx(t ) v(t ) dt x x0

v

dx(t )

x x0

v0 v v0

v( t ) dt

v(t ) dt

De acordo com esta, o deslocamento x x0 corresponde à área sob a curva do gráfico v(t) = f(t). Cada quadrado mostrado no gráfico possui área equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto, contabilizando toda a área sob a curva mostrada no gráfico, chegaremos ao seguinte resultado: t (s)

x (m) 8 64 12 16

0 2 2 10 10 12 12 16 Total

100

Portanto: x(16)

x(0)

100 m

29. Para decolar, um avião a jato necessita alcançar no final da pista a velocidade de 360 km/h. Supondo que a aceleração seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a aceleração mínima necessária, a partir do repouso? (Pág. 29) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional

14



Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito por meio da Eq. (1). v2

a

a

v02

v

2

(1)

2a x 2

1 m/s 360 km/h 3, 6 km/h 2 (1,80 103 m)

2 0

v 2 x

02 2, 7777

m/s 2

2,78 m/s 2

31. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar uma vítima. Se um carro pudesse fazer o mesmo, em quanto tempo ele alcançaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir do repouso? (Pág. 29) Solução. Trata-se, naturalmente, de movimento retilíneo com aceleração constante. A velocidade inicial, v0, é igual a zero. O cálculo do tempo (t) é feito através da Eq. 1. (1) v v0 at

t

v v0 a

t

0,56 s

1 m/s 3, 6 km/h (50 m/s 2 )

(100 km/h)

0 0,55556 s

33. Um elétron, com velocidade inicial v0 = 1,5 105 m/s, entra numa região com 1,2 cm de comprimento, onde ele é eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O elétron emerge com velocidade de 5,8 106 m/s. Qual a sua aceleração, suposta constante? (Tal processo ocorre no canhão de elétrons de um tubo de raios catódicos, utilizado em receptores de televisão e terminais de vídeo.)

(Pág. 30) Solução. Trata-se de movimento retilíneo com aceleração constante. O cálculo pode ser feito através da Eq. (1). ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional

15



v2

a

v02

(1)

2a x

v 2 v02 2 x

(5,8 106 m/s)2 -(1,5 105 m/s) 2 2(1,2 10-2 m)

1, 4007

1015 m/s2

a 1, 4 1015 m/s 2

34. A maior velocidade em terra já registrada foi de 1.020 km/h, alcançado pelo coronel John P. Stapp em 19 de março de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veículo foram parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que aceleração ele experimentou? Exprima sua resposta em termos da aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2. (Note que o corpo do militar atua como um acelerômetro, não como um velocímetro.)

(Pág. 30) Solução. Trata-se de movimento retilíneo com aceleração (negativa ou desaceleração) constante. O cálculo pode ser feito através da Eq. (1). v v0 at (1)

a

v v0 t

0 (1.020 km/h)

1 m/s 3, 6 km/h

(1,4 s)

202,38095

m/s 2

Para obter a aceleração em termos de unidades g, basta dividir a aceleração obtida pelo valor da aceleração da gravidade.

a g

a

( 202,38095 m/s 2 ) (9,8 m/s2 )

20,6511

21 g

41. Um trem de metrô acelera a partir do repouso a 1,20 m/s2 em uma estação para percorrer a primeira metade da distância até a estação seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2 na segunda metade da distância de 1,10 km entre as estações. Determine: (a) o tempo de viagem entre as estações e (b) a velocidade escalar máxima do trem. (Pág. 30) Solução. Considere o esquema abaixo para auxiliar a resolução: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional

16



a

-a

x x1 = d/2 x2 = d (a) Sabendo-se que o tempo gasto na primeira metade do caminho (acelerado) é igual ao tempo gasto para percorrer a segunda metade do caminho (desacelerado), o tempo de viagem entre as estações pode ser calculado da seguinte forma (trecho x0 x1): 1 2 1 2 x x0 v0t at v0t1 at1 2 2 x0 = 0

d 2

2

1 t 0 0 a 2 2

4(1,10 103 m) (1, 2 m/s 2 )

t

4d a

t

60,6 s

60,553... s

(b) A velocidade escalar máxima do trem (v1), que é atingida em x1 = d/2, pode ser calculada da seguinte forma (trecho x0 x1): v2

v0 2

2a( x x0 )

v12

v0 2

2a( x1

v12

0 2a (

v1

v1

x0 )

d 0) 2

(1, 20 m/s2 )(1,10 103 m)

ad

36,331... m/s

36,3 m/s

45. No momento em que a luz de um semáforo fica verde, um automóvel arranca com aceleração de 2,2 m/s2. No mesmo instante um caminhão, movendo-se à velocidade constante de 9,5 m/s, alcança e ultrapassa o automóvel. (a) A que distância, além do ponto de partida, o automóvel alcança o caminhão? (b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? (É instrutivo desenhar um gráfico qualitativo de x(t) para cada veículo.). (Pág. 31) Solução. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Observe que tanto o caminhão quanto o automóvel percorrem a mesma distância em tempos iguais. d vC

vC a

v0A = 0

vA = ?

x0 = 0 x=d=? (a) O movimento do caminhão (C) ocorre com velocidade constante.

x

x

x0 vt


17


x x0


vC t (1)

x vC t

O movimento do automóvel ocorre com aceleração constante, partindo do repouso em x0 = 0. 1 2 x x0 v0t at 2 1 2 x x0 v0C t at 2 1 2 d 0 at 2 1 2 d at 2 Substituindo-se o valor de t de (1) em (2):

d

1 d a 2 vc

d

2vc 2 a

2

(2)

a d2 2 vc 2

2(9,5 m/s)2 (2, 2 m/s 2 )

82,045045... m

d 82 m (a) A velocidade com que o automóvel alcança o caminhão (vA) vale: v2

v0 2

2a( x x0 )

vA2

v0 A2

vA2

0 2ad

vA

2ad

2a( x x0 )

2(2, 2 m/s2 )(82,04545... m) 18,999... m/s

vA 19 m/s

49. No manual de motorista diz que um automóvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h pode parar na distância de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distância correspondente é 24 m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reação do motorista, durante o qual a aceleração é nula, como a aceleração quando aplicados os freios. Calcule (a) o tempo de reação do motorista e (b) a aceleração. (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema:


18



Frenagem (A)

Tempo de reação (A)

Situação A

v0A

v1A = v0A

x1B

x0 = 0 v0B

x1A

v1B = v0B

v2A = 0

x2B

x2A

x

v2B = 0

Situação B

Tempo de Frenagem (B) reação (B) (a) Vamos inicialmente analisar a situação A. Durante o tempo de reação, o carro desloca-se com velocidade constante.

x

x0 vt

x1A

x0 A v0 AtR

x0 A

0

x1 A

v0 At R

Mas: Logo: (1)

Análise do movimento de frenagem na situação A. v2 v2 A2

v0 2

2a( x x0 )

v1 A2

2a( x2 A

x1 A )

Mas:

v1A

v0 A

Logo: 0 v0 A2

2a( x2 A

x1 A )

(2)

Substituindo-se (1) em (2): 2a( x2 A v0 AtR )

v0 A2

(3)

A análise da situação B através do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinte resultado: 2a( x2 B v0 BtR )

v0 B 2

(4)

Dividindo-se (3) por (4): x2 A v0 AtR x2 B v0 BtR

v0 A2 v0 B 2

Logo: tR

v0 A2 x2 B v0 B 2 x2 A v0 Av0 B (v0 A v0 B )

tR

0, 72 s

(5)

(b) Substituindo-se (5) em (3): ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional

19



a

v0 A2 2( x2 A v0 AtR )

a

6, 2 m/s2

6,17284... m/s 2

54. Uma rocha despenca de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo leva para cair (a) os primeiros 50 m e (b) os 50 m restantes? (Pág. 31) Solução. (a) Considere o seguinte esquema para a situação: y0 = 0

g

y1 = 50 m

y2 = 100 m y

Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda nos primeiros 50 m pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema ao lado, a aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo. 1 (1) y1 y 0 v0 y t a y t12 2 Como v0y = 0:

t1

2( y1 y0 ) ay

t1

2[(50 m) 0) (9,81 m/s 2 )

t1

2( y1

y0 ) g

10, 20408 s 2

3,19438 s

3,2 s

(b) Para calcular o tempo de queda dos 50 m seguintes (y1 = 50 m a y2 = 100m), primeiramente vamos calcular o tempo de queda de y0 = 0 a y2 = 100m. 1 y 2 y 0 v0 y t a y t 22 2 t2

2( y2

y0 ) g


20



2[(100 m) 0) (9,81 m/s 2 )

t2

20,40816 s 2

4,51753 s

O cálculo do tempo de queda y1 a y2 (t12) é feito por diferença:

t12

t 2 t1

(4,51753 s) (3,19438 s) 1,32315 s

t12 1,3 s 59. Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em pé sobre uma passarela inadvertidamente deixa cair uma maçã por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminhão passa exatamente por baixo dele. O veículo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A que altura, acima do caminhão, está o parapeito, se a maçã passa rente à traseira do caminhão? (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y v0 = 0 y0 = h h y1 = 0

Inicial

x1= l

x0 = 0

vC

x

l

Final vC v1 A solução deste problema consiste em analisar as equações do movimento horizontal do caminhão e vertical da maçã e combiná-las, pois são sincronizadas no tempo. Movimento do caminhãoem x: x x0 vxt

l

0 vC t

t

l vC

Movimento da maçã em y: 1 2 y y0 v0t at 2 1 0 h 0 ( g )t 2 2 1 2 h gt 2

(1)

(2)


21



Substituindo-se (1) em (2): 2

h

2

1 l g 2 vC

1 9,81 m/s 2 2

12 m m/s 55 km/h 3, 6 km/h

3, 026

m

h 3,0 m 61. Um jogador de basquete, no momento de “enterrar” a bola, salta 76 cm verticalmente. Que tempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Isso explica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos. (Pág. 32) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema. y yD

D 15 cm mais altos

E

C

yC = yE

a = -g B

F

A

G

yB = yF yA = yG = 0

15 cm mais baixos

Como a aceleração é a mesma na subida e na descida, temos que: t t AB tFG t15 B 2t AB t AB 15 B 2 t t15 A 2tCD tCD tDE tCD 15 A 2 onde tAB é o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15A e t15B são os tempos em que o jogador passa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente. A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela análise do movimento no trecho AD. v2 vD 2 0

vA

v0 2 vA2 vA2

2a ( y

y0 )

2( g )( yD 2 g ( yD

2 gyD

y A ) 1)

0)

2(9,81 m/s 2 )(0,76 m)

3,8615022... m/s

(a) Análise do movimento no trecho CD. 1 2 y y0 vt at 2 1 yD yC vDtCD ( g )tCD 2 2 (0,15 m)

t 1 0 g 15 A 2 2

2


22



8(0,15 m) (9,81 m/s 2 )

t15 A

t15 A

0,3497... s

0,35 s

(b) Análise do movimento no trecho AB. 1 2 y y0 v0t at 2 1 yB y A vAt AB ( g )t AB 2 2 (0,15 m)

t v A 15 B 2

t 1 g 15 B 2 2

2

(9,81 m/s 2 ) (3,8615022... m/s) t15 B t15 B (0,15 m) 0 8 2 A Eq. (1) é uma equação do segundo grau cujas raízes são: t15 B ' 1, 492560... s

(1)

t15 B '' 0, 081955... s

Como t15B deve ser menor do que t15A:

t15 B

0,082 s

64. O laboratório de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) tem uma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vácuo e que, entre outras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com diâmetro de 1 m, que contém equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao pé da torre? (c) Ao pé da torre a esfera tem uma aceleração média de 25 g quando sua velocidade é reduzida a zero. Que distância ela percorre até parar? (Pág. 32) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação: y0 = 0

g

Acel.

y1 = 145 m Desacel.

y2 y


23



Trata-se de movimento retilíneo (vertical) com aceleração constante. O cálculo do tempo de queda livre pode ser feito através da Eq. (1). De acordo com o esquema, a aceleração da gravidade tem o mesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo. 1 (1) y1 y 0 v0 y t a y t12 2 Como v0y = 0:

2( y1 y0 ) ay

t1

2( y1

t1

y0 ) g

2[(145 m) 0) (9,81 m/s 2 )

t1

t1

5, 43706

s

5,44 s

(b) O cálculo da velocidade de chegada da esfera à base da torre também é direto. v1 y v0 y a y t1 v1 y

0 (9,81 m/s 2 )(5, 43706 s) 53,337604 m/s

v1y

53,3 m/s

(c) A desaceleração ocorre entre as posições y1 e y2. v 22 y

y

v12y

2a y ( y y

y1 )

v22 y v12y

v22 y v12y

2a y

2 25 g

02 (53,337604 m/s) 2 2 (25 9,81 m/s 2 )

5,8 m

y 5,8 m Obs.: O diâmetro da esfera não tem utilidade na resolução dos itens pedidos. Ele só foi dado para ilustrar a situação. 70. Um balão está subindo a 12,4 m/s à altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a) Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo? (Pág. 32) Solução. O balão desloca-se em movimento retilíneo para cima, com velocidade constante. Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. Como o balão está em movimento, a velocidade inicial do pacote é a mesma do balão.


24



v0 = vB

y y0 = h

a = -g

y=0 (a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o chão pode ser calculada da seguinte forma: v2

v0 2

2a ( y

v2

vB 2

2( g )(0 h)

v2

vB 2

2 gh

v2

(12, 4 m/s)2 2(9,81 m/s 2 )(81,3 m)

v

41,819445... m

v

41,8 m

y0 )

(a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o chão pode ser calculado da seguinte forma: 1 y y0 (v0 v)t 2 1 0 h (vB v)t 2 2h t vB v t

t

2(81,3 m) (12, 4 m/s) (41,819445... m/s)

5,5269567... s

5,53 s

73. No Laboratório Nacional de Física da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional de Pesos e Medidas) foi realizada uma medição de g atirando verticalmente para cima uma bola de vidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A Fig. 35 é o gráfico da altura da bola em função do tempo. Seja tL o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelo nível inferior, tU o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nível superior e H a distância entre os dois níveis. Prove que 8H g . 2 tL tU 2


25



(Pág. 32) Solução. Considere o seguinte esquema para a resolução do problema. y C yC B yB

A

yA 0

Movimento do ponto A ao ponto C é dado por: 1 2 y y0 vt at 2 1 yC y A vC t ( g )t 2 2 No ponto C a velocidade da bola (vC) é zero. yC

yA

0

1 g 2

tL 2

2

1 g tL 2 8 De maneira idêntica, o movimento do ponto B ao ponto C é dado por: 1 yC yB g tU 2 8 Subtraindo-se (2) de (1): 1 ( yC y A ) ( yC yB ) yB y A H g ( tL 2 tU 2 ) 8 Portanto: 8H g 2 tL tU 2 yC

yA

(1)

(2)

74. Uma bola de aço de rolamento é largada do teto de um edifício com velocidade inicial nula. Um observador em pé diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s para ir do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 2 – Movimento Unidimensional

26



calçada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s após passar por ela ao descer. Qual a altura do edifício? (Após uma colisão elástica, a velocidade escalar da bola em dado ponto é a mesma ao subir e ao descer.) (Pág. 33) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y v0 = 0 t1

y0 = H v4 = v 3

v1

t2 h a = gj

y1 y2 = y4

v2

H

t3

v3

y3 = 0

v3

Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifício) e 2 (parapeito da janela): v2

v02

2a y

y0

v22

v02

2

g

y2

v22

0 2 g y2

H

H

v22 2g

y2

H

(1)

Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito da janela): 1 2 y y0 vt at 2 1 y2 y1 v2 t2 g t22 2 1 h v2 t2 g t22 2 1, 20 m h 1 1 m v2 g t2 9,81 2 0,125 s t2 2 0,125 s 2 s v2

10, 213125 m/s


27



Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo). Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito é de 2,0 s. Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo é de t3 = 1,0 s. 1 2 y y0 v0t at 2 1 y3 y2 v2 t3 g t32 2 1 0 y2 v2 t3 g t32 2

y2

1 g t32 v2 t3 2

y2

15,118125 m

1 m 9,81 2 1,0 s 2 s

2

10, 213125 m/s 1,0 s

2

Substituindo-se os valores de v2 e y2 em (1), teremos a resposta do problema: 10, 213125 m/s

H

2

2 9,81 m/s 2

H

15,118125 m

20, 434532

m

20 m

75. Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com 1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote é visto é de 0,74 s. Determine a altura alcançada pelo pote acima do topo da janela. (Pág. 33) Solução. O tempo no qual o vaso é visto subindo (tS) é igual ao tempo no qual ele é visto descendo (tD). Portanto: tS tD 2tS t t 0,34 s 2 Considere o esquema abaixo para a resolução do problema. y y2 tS

y1

a = -g

y0 = 0

Cálculo da velocidade do vaso na coordenada y1 (v1):


28


y y0 y1

y0

y1 v1


1 2 at 2 1 v1tS ( g )tS 2 2 1 2 y0 gtS 2 tS

vt

(1,1 m) 0 v1

1 (9,81 m/s 2 )(0,37 s) 2 2 (0,37 s)

v1 1,15812297... m/s

Cálculo da distância acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1): v2

v0 2

2a ( y

v2 2

v12

2( g )( y2

y0 ) y1 )

y2

y1

v12 v2 2 2g

y2

y1

(1,15812297... m/s)2 0 2(9,81 m/s 2 )

y2

y1

6,8 cm

0,068361... m


29



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO BI E TRIDIMENSIONAL

02. A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r = (2t3 5t)i + (6 7t4)j, com r em metros e t em segundos. Calcule (a) r, (b) v e (c) a quando t = 2 s. (Pág. 64) Solução. (a) Em t = 2,00 s a posição (r) da partícula vale: r [2 (2)3 5 (2)]i [6 7 (2) 4 ]j

r (16 10)i (6 112) j r (6i 106j) m (b) A velocidade instantânea v é derivada primeira de r em relação ao tempo: dr d v [(2t 3 5t )i (6 7t 4 ) j] dt dt v (6t 2 5)i 28t 3 j

Substituindo-se o valor de t = 2 s: v [6 (2)2 5]i [28 (2)3 ]j

v (21i 224j) m/s (c) A aceleração instantânea a é derivada primeira de v em relação ao tempo: dv d a [(6t 2 5)i 28t 3 j] dt dt a 12ti 84t 2 j

Substituindo-se o valor de t = 2 s: a 12 (2)i 84 (2)2 j a (24i 336 j) m/s 2

44. Um canhão é posicionado para atirar projéteis com velocidade inicial v0 diretamente acima de uma elevação de ângulo , como mostrado na Fig. 33. Que ângulo o canhão deve fazer com a horizontal de forma a ter o alcance máximo possível acima da elevação?

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 – Movimento Bi e Tridimensional

(Pág. 67) Solução. Análise do movimento no eixo horizontal (x), onde à horizontal: x

x0 vxt

R cos t

é o ângulo de inclinação do canhão em relação

0 v0 cos t

R cos v0 cos

(1)

Análise do movimento no eixo vertical (y): 1 2 y y0 v y 0t at 2 1 2 R sin 0 v0 sin t gt 2 Substituindo-se (1) em (2): R sin

1 R cos 2 g 2 v0 2 cos 2

cos cos

sin

sin

tan cos

R

1 R 2 cos 2 g 2 v0 2 cos 2

R cos v0 sin v0 cos

sin

tan cos

(2)

gR cos 2 2v0 2 cos 2

sin

2v0 2 cos2 g cos2

(3)

Como R( ) é uma função cujo ponto de máximo deve ser localizado, devemos identificar o valor de tal que dR/d = 0.

dR d

2v0 2 cos(

2 )sec2 g

Resolvendo-se (4) para

1 (2 4 1 (2 4 Como 0

0

(4)

encontramos duas possíveis soluções:

) )

/2 (ver figura), a resposta mais coerente é:

________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

2

1 (2 4

)

É claro que resta demonstrar que d2R/d 2 0, equação (3), pois como se trata de um ponto de máximo, a concavidade da curva nesse ponto deve ser voltada para baixo. 48. Um foguete é lançado do repouso e se move em uma linha reta inclinada de 70,0o acima da horizontal, com aceleração de 46,0 m/s2. Depois de 30,0 s de vôo com o empuxo máximo, os motores são desligados e o foguete segue uma trajetória parabólica de volta à Terra; veja a Fig. 36. (a) Ache o tempo de vôo desde o lançamento ao impacto. (b) Qual é a altitude máxima alcançada? (c) Qual é a distância da plataforma de lançamento ao ponto de impacto? (Ignore as variações de g com a altitude.)

(Pág. 68) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y

v2 y2 = H

v1 0

H

y1

a = gj

a0 0

v0 = 0 y0 = y3 = 0 x0 = 0

x x1

x2

x3 R

v3

(a) O cálculo do tempo total de vôo, t03, é a soma do tempo de aceleração em linha reta com os foguetes, t01 = 30,0 s, e o tempo de queda livre, t13, que precisa ser calculado. t03 t01 t13 (1) Para o cálculo de t13, precisamos de y1 e v1. Cálculo de y1: ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

3

y y0

v y 0t

y1

v0 y

y0

1 2 a yt 2 1 2 t01 a0 y t01 2

1 a0 sen 2

y1 0 0

2 t01

0

1 1 2 a0 sen 0 t01 46, 0 m/s 2 sen 70, 0o 30, 0 s 2 2 19.451,63 m

y1

y1

Cálculo de v1: v y v0 y v1 y

v1

(2)

ayt

v0 y

v1 sen

2

a0 y t01

0 a0 sen

0

a0 t01

t01

0

46,0 m/s2 30,0 s

(3)

v1 1.380 m/s Agora podemos determinar t13, com a ajuda dos valores obtidos em (2) e (3): 1 2 y y0 v y 0t a yt 2 1 y3 y1 v1 y t13 g t132 2 0 y1 t132 2 13

t

t132

v1 sen 2v1 sen g

0

0

t13

1 g t132 2

t13

2 y1 g

2 g

0

2 1.380 m/s sen 70, 0o

t13

9,81 m/s 2

264,3783

s

t13

2 19.451, 63

3.965,6752

9,81 m/s 2

s2

m

0

0

As raízes da equação acima são: t13'

278, 6120

s

'' 13

14, 2336

s

t13

278,6120

s

t

Logo: (4)

Substituindo-se (4) em (1): t03

t03

30, 0 s

278, 6120

s

308, 6120

s

309 s

(b) A altitude máxima de vôo do foguete pode ser obtida pela análise do movimento na coordenada y do ponto 1, o início da queda livre, ao ponto 2, que corresponde ao topo da trajetória. ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

4

v y2

v02 y

v22 y

v12y

2a y y

y0

2

y2

0 v12 sen 2 H

v12 sen 2 2g

g

y1

2g H

0

y1 2

0

1.380 m/s sen 2 70, 0o

y1

2 9,81 m/s 2

19.451, 63

m

105.161,50

m

H 105 km (c) Para determinarmos a distância pedida, precisamos apenas analisar o movimento horizontal entre os pontos 1 e 3, que ocorre com velocidade horizontal constante. x x0 vxt x3

x1 v1x t13

R

x1 v1 cos

0

t13

Lembremos que x1 pode ser obtido pela relação: y1 tan 0 x1 Logo:

R

y1 tan

v1 cos

0

0

R 138.581, 29

t13

19.451,63 tan 70,0

m o

1.380 m/s cos 70,0o 278,6120

s

m

R 139 km 49. Um canhão antitanque está localizado na borda de um platô a 60,0 m acima de uma planície, conforme a Fig. 37. A equipe do canhão avista um tanque inimigo parado na planície à distância de 2,20 km do canhão. No mesmo instante a equipe do tanque avista o canhão e começa a se mover em linha reta para longe deste, com aceleração de 0,900 m/s 2. Se o canhão antitanque dispara um obus com velocidade de disparo de 240 m/s e com elevação de 10,0o acima da horizontal, quanto tempo a equipe do canhão teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar o tanque?

(Pág. 68) Solução. A estratégia que vamos adotar consiste em calcular o tempo que o obus leva para atingir o solo da planície (tb) e o tempo que o tanque leva para chegar ao local onde o obus cai (tt), que fica a uma distância horizontal R do canhão. O tempo de espera será: t tb tt (1) Em primeiro lugar vamos analisar o movimento do obus. Em x o movimento se dá com velocidade constante: ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

5

x

x0 vxt

R 0 v0 cos tb R v0 cos

tb

(2)

Movimento do obus em y: 1 2 y y0 v y 0t a yt 2 1 2 0 h v0 sen t gtb 2 Substituindo-se (2) em (3):

R h v0 sen v0 cos

g 2v cos2 2 0

(3)

1 R g 2 v0 cos

2

R2 tan R h 0

Daqui para adiante não há vantagem em continuar a solucionar o problema literalmente. As raízes desta equação do 2o grau são: R1 2.306, 775 m R2

296,5345

m

Como R corresponde a uma coordenada positiva no eixo x, temos: R 2.306,775 m

(4)


tb

9, 7598

s

Agora vamos analisar o movimento do tanque, que se dá com aceleração constante: 1 2 x x0 vx 0t ax t 2 1 2 R d0 0 at tt 2 2 R d0 tt 15, 4038 s at

(5)

(6)

Substituindo-se (5) e (6) em (1): t 5,6440 s

t

5,64 s

60. Uma criança gira uma pedra em um círculo horizontal a 1,9 m acima do chão, por meio de uma corda de 1,4 m de comprimento. A corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no chão a 11 m de distância. Qual era a aceleração centrípeta enquanto estava em movimento circular? (Pág. 68) Solução. Considere o seguinte esquema: ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

6

r y v x h

d

A aceleração centrípeta procurada é dada por: v2 ac r Análise do movimento no eixo horizontal (x):

x

(1)

x0 vxt

d

0 vt d t v Análise do movimento no eixo vertical (y): 1 2 y y0 v y 0t at 2 1 2 0 h 0 gt 2 1 2 h gt 2 Substituindo-se (2) em (3): h

1 d g 2 v2

(2)

(3)

2

2

gd v 2h Substituindo-se (4) em (1): 2

(4)

2

ac

gd 2rh

ac

(9,81 m/s 2 )(11 m) 2(1, 4 m)(1,9 m)

ac

2, 2 103 m/s 2

2

223,1221... m/s 2

70. A neve está caindo verticalmente à velocidade escalar constante de 7,8 m/s. (a) A que ângulo com a vertical e (b) com qual velocidade os flocos de neve parecem estar caindo para o motorista de um carro que viaja numa estrada reta à velocidade escalar de 55 km/h? (Pág. 69) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

7

Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vC é a velocidade do carro em relação ao solo, vN é a velocidade da neve em relação ao solo e vNC é a velocidade da neve em relação ao carro:

vNC vN

y

x vC (a) O ângulo que a neve faz com a vertical vale: vC tan vN 1

tan

vC vN

27, 0463

27 (b) A velocidade escalar da neve é dada por: vNC vNC

vC2

vN2

61,7534

km/h

62 km/h

Obs. Apenas como curiosidade, vamos mostrar o vetor vNC. Os vetores vN e vC são definidos como:

vC vN

vC i vN j

De acordo com o esquema, temos:

vN v NC

vC vN

v NC vC

Logo: v NC

vC i vN j

71. Um trem viaja para o Sul a 28 m/s (relativamente ao chão), sob uma chuva que está sendo soprada para o sul pelo vento. A trajetória de cada gota de chuva faz um ângulo de 64 o com a vertical, medida por um observador parado em relação à Terra. Um observador no trem, entretanto, observa traços perfeitamente verticais das gotas na janela do trem. Determine a velocidade das gotas em relação à Terra. (Pág. 69) Solução. Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vT é a velocidade do trem em relação à Terra, vG é a velocidade das gotas de chuva em relação à Terra e vGT é a velocidade das gotas de chuva em relação aotrem:

vGT vG

y

x vT Os vetores vT e vGT são definidos como: vT vT i

(1)


8

vGT

(2)

vG cos j

De acordo com o esquema, temos: vG

vT

(3)

vGT

Substituindo-se (1) e (2) em (3): vG

(4)

vT i vG cos j

O esquema mostra que vG é definido por: vG

(5)

vG sen i vG cos j

Comparando-se (4 e (5), conclui-se que: vG sen

vT

vT sen Substituindo-se (6) em (4): vT vG vT i j tan O módulo de vG é dado por:

(6)

vG

vNC

vT2

vNC

31 m/s

vT tan

2

31,1528

m/s

81. Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade escalar com que consegue remar (relativamente à água) é de 3,0 km/h. O rio desce à velocidade de 2,0 km/h. A velocidade com que o homem caminha em terra é de 5,0 km/h. (a) Ache o trajeto (combinando andar e remar) que ele deve tomar para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta? (Pág. 70) Solução. (a) O trajeto procurado é definido pelo ângulo que o remador deve adotar para direcionar o barco durante a travessia, de forma que a soma dos tempos gastos remando (t1) e andando (t2) deve ser o menor possível. Logo, a solução deste item consiste em construir uma função matemática t1 + t2 = f( ) e, em seguida, achar o valor de onde t1 + t2 tem seu valor mínimo, ou seja, d(t1 + t2)/d = 0. Considere o seguinte esquema para a situação: v C

t2 ,d2

B

vA t1 ,d1

y l vH

vHA A

x


9

A velocidade do homem em relação à água (vHA) deve fazer um ângulo em relação à margem. A velocidade da água (vA) fará com que o barco percorra a trajetória retilínea AB, que faz um ângulo em relação à margem. O trajeto AB mede d1 e será percorrido num tempo t1. Ao chegar ao ponto B, o homem irá caminhando até C num tempo t2 através de uma distância d2. Seja o esquema vetorial de velocidades: vA vH

vHA

De acordo com o esquema acima:

vH

vA

v HA

vA

va i

(2)

v HA

vHA cos i vHA sen j

(3)

(1)

Mas:

Logo, substituindo-se (2) e (3) em (1): vH

(va vHA cos )i vHA sen j

Movimento do ponto A ao ponto B: r

rB

r0

rA

vt

v H t1

Considerando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto A, temos:

rB

d2i l j

Logo: d2i l j 0 [(vA vHA cos )i vHA sen j]t1

(4)

A equação (4) somente é verdadeira se e somente se: d2 (vA vHA cos )t1 e l

vHA sen t1

(5)

Logo, de acordo com (10): l t1 vHA sen Mas, de acordo com o esquema principal acima: l d2 tan

(6)

Também podemos dizer que: v H v Hx i v Hy j Onde: tan

v Hy v Hx

v HA sen (v A v HA cos )

(7)

Substituindo-se (7) em (6): ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

10

l (v A v HA cos ) v HA sen

d2

(8)

Movimento de B até C: x

x0

vxt

0 d2

vt2

d2 v Substituindo-se (8) em (9): t2

(9)

l (v A v HA cos ) vvHA sen

t2

Agora podemos construir a função t1 + t2 = f( ):

t1

t2

t1 t 2

l v HA sen θ

l (v A v HA cos ) vvHA sen

l (v v A v HA cos ) vvHA sen

(10)

O mínimo da função (10) agora pode ser encontrado. l [( vHA )sen 2 vvHA

d (t1 t2 ) d

(v vA vHA cos ) cos ] sen 2

(11)

0

A equação (11) somente é verdadeira se: v HA sen 2

(v v A

v HA (sen2

cos 2 )

v HA cos ) cos

0

Logo: (v v A ) cos

v HA v vA

cos cos

1

cos

1

v HA v vA

(3,0 km) [(5,0 km) (2,0 km)]

115,3769 o

115 o (b) Da equação (10):

t1 t2

(0,500 km)[(5,0 km/h) (2,0 km/h) (3,0 km/h) cos115,3769 (5,0 km/h)(3,0 km/h)sen115,3769 o

t1 t 2

0,2108  h

t1 t 2

0,21 h

o

)

82. Um navio de guerra navega para leste a 24 km/h. Um submarino a 4,0 km de distância atira um torpedo que tem a velocidade escalar de 50 km/h. Se a posição do navio, visto do submarino, está 20o a nordeste (a) em qual direção o torpedo deve ser lançado para acertar o navio, e (b) ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

11

que tempo decorrerá até o torpedo alcançar o navio? (Pág. 70) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação: vN y

v TN vT

x Pelo esquema acima, temos: vT v N vTN vTN

vT

vN

onde vTN é o vetor velocidade do torpedo em relação ao navio. Os vetores vN e vT são assim definidos: v N vN i vT

onde

(1) (2)

vT sin i vT cos j

é o ângulo procurado no item (b) do enunciado. vTN

vT sin i vT cos j vN i

vTN

vTN sin i vTN cos j

vT sin

vN i vT cos j

(3)

Mas: (4)

Como os vetores (3) e (4) são iguais, suas componentes também são iguais. vT sin vN vTN sin vT cos

vTN cos

(5) (6)

Dividindo-se (5) por (6): vT sin vN tan vT cos

(7)

Resolvendo-se (7) :

sec

1

vN vT tan

vT 4 vT 4 tan 2

vN 2vT 2

vT 2 vN 2

São duas as soluções possíveis: 173,89...o 46,8112...o

Pelo esquema inicial, conclui-se que a resposta mais coerente é a segunda opção: 47o

(b) Equação de movimento do navio e do torpedo: rN rN 0 v N t ________________________________________________________________________________________________________ Seção dedicada ao aluno de graduação

12

rT

rT 0

vT t

Como no instante t da colisão entre o torpedo e o navio ambos estarão na mesma posição, temos: rN

rT

rN 0

vNt

rT 0

0

rN 0

vNt

rN 0

d sin i d cos j

rT 0

vT t

Mas: Logo: (8)

vT t

Porém: (9)

Substituindo-se (1), (2) e (9) em (8): d sin i d cos j vN ti (d sin

vT sin ti vT cos tj

vN t )i d cos j vT sin ti vT cos tj

(10)

Como os vetores descritos em ambos os membros de (10) são iguais, suas componentes também são iguais. Igualando-se as componentes y desses vetores: d cos

vT cos t

t

d cos vT cos

t

(4,0 km) cos(20o ) (50 km/h) cos(46,8112...o )

t

0,11 h

0,109838... h


13



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 5 – FORÇAS E LEIS DE NEWTON

10. Um corpo com massa m sofre a ação de duas forças F1 e F2, como mostra a Fig. 27. Se m = 5,2 kg, F1= 3,7 N e F2= 4,3 N, ache o vetor aceleração do corpo.

y x (Pág. 90) Solução. Em termos vetoriais, as forças F1 e F2 valem: F1

3, 7 N j

F2

4,3 N i

De acordo com a segunda lei de Newton: F

a

F1 F2

F1 F2 m

ma

3,7 N j 4,3 N i (5, 2 kg) m/s2 i

a

0,8269

a

0,83 m/s2 i

0,71153

m/s2 j

0,71 m/s2 j

12. Uma certa força dá ao objeto m1 a aceleração 12,0 m/s2. A mesma força dá ao objeto m2 a aceleração 3,30 m/s2. Que aceleração daria a um objeto cuja massa fosse (a) a diferença entre m1 e m2 e (b) a soma de m1 e m2. (Pág. 90) Solução. (a) De acordo com a segunda lei de Newton (na coordenada x): F m1a1 F

m2 a2

(1) (2)

Igualando-se (1) e (2):

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 5 – Força e Leis de Newton

1



m2

m1a1 a2

F

m2

(3)

Mas:

a3

m1 a3

(4)

F m2

(5)

m1

Substituindo-se (1) e (3) em (5): F a3 m2 m1 a3

a3

m1a1 a1 m1 m1 a2

a1a2 a1 a2

4,5517

m/s 2

4,55 m/s 2

(b) Procedendo de maneira semelhante ao item (a), porém usando-se (m1 + m2) em (4) ao invés de (m2 m1), obtém-se: a1a2 a4 2,5882 m/s 2 a1 a2 a4

2,59 m/s 2

33. Um bloco de 5,1 kg é puxado ao longo de uma superfície sem atrito por uma corda que exerce uma força P = 12 N e faz o ângulo = 25o acima da horizontal, como mostra a Fig. 30. (a) Qual é a aceleração do bloco? (b) A força P é lentamente aumentada. Qual é o valor de P logo antes de o bloco ser levantado da superfície? (c) Qual é a aceleração do bloco no exato momento em que ele é levantado e perde contato com a superfície?

y x (Pág. 92) Solução. Sempre que houver uma força inclinada para acima que atua sobre um corpo no solo devemos considerar a possibilidade de o corpo ser levantado do chão. Isso ocorrerá caso a componente vertical dessa força seja igual (iminência de levantar) ou maior do que o peso. Na situação inicial, a componente y da força (Py) vale P sen 25o 5 N, enquanto que o peso vale 5,1 kg 9,81 m/s2 50 N. Logo, a força inicial não é capaz de levantar o corpo do chão. (a) Cálculo da aceleração em x: Fx

Px

max

ma


2



P cos m

a

m/s 2

2,1324

a 2,1 m/s2 (b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em y: Fy

0

P' sen

mg

P'

mg sen

P'

0,12 kN

0

118,3834

N

(b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em x: Fx

max

Px'

ma '

a'

P ' cos m

a'

21 m/s2

21, 0376

m/s 2

34. Como um objeto de 450 N poderia ser baixado de um teto utilizando-se uma corda que suporta somente 390 N sem se romper? (Pág. 92) Solução. O objeto de peso P deve ser abaixado com uma aceleração a tal que a tensão na corda não ultrapasse seu valor limite (TMAX). Considere o seguinte esquema da situação:

Tmax

y a x

P

Aplicando-se a segunda lei de Newton à coordenada y do sistema: Fy

ma y

TMAX

P

a

TMAX P

a

g

P a g

1

1,308 m/s2

1,31 m/s2

Esta é a aceleração mínima com que o corpo deve ser abaixado (sinal negativo) para que a corda não se rompa.


3



43. Um caixote de 110 kg é empurrado com velocidade constante para cima de uma rampa sem atrito, inclinada de 34o, como na Fig. 34. (a) Qual a força horizontal F requerida? (b) Qual a força exercida pela rampa sobre o caixote?

(Pág. 93) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y N F m

x P

Forças em x: Fy

0

N cos θ mg

0

mg cos θ Forças em y:

(1)

N

Fx

0

F N sen θ 0 F N sen θ Substituindo-se (1) em (2): F mg tan θ

F F

727,8621

(2)

N

2

7,3 10 N

(b) De (1):

N

mg cos θ 1.301,6297  N

N

1,3 10 3 N

N

44. Um novo jato da Marinha, de 22 toneladas métricas, requer para decolar uma velocidade em relação ao ar de 90 m/s. Seu próprio motor desenvolve um empuxo de 110.000 N. O jato tem de ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 5 – Força e Leis de Newton

4



alçar vôo de um porta-aviões com pista de 100 m. Que força deve ser exercida pela catapulta do porta-aviões? Suponha que tanto a catapulta como o motor do avião exerçam uma força constante ao longo de toda a pista de decolagem.

(Pág. 93) Solução. Neste problema, será desprezado o atrito do avião com o ar e com a pista. Considere o seguinte esquema do movimento do avião: a

x0 = 0 x=d Cálculo da aceleração do avião (movimento no eixo x): v x2

v x20

v2

0 2ad

2a ( x

x

x0 )

v2 (1) 2d A força exercida pela catapulta será calculada por meio da segunda lei de Newton. Considere o seguinte esquema de forças, onde P é o peso do avião, N é a força normal, FM é a força exercida pelo motor do avião e FC é a força exercida pela catapulta: a

N FM

FC

y o

x

P Fx

FC

ma x

FM

ma

(2)

Substituindo-se (1) em (2): FC

mv 2 2d

FM


5



A massa do avião foi dada em toneladas métricas, que pertence ao sistema inglês de unidades. O fator de conversão é 1 ton = 907,2 kg. Logo, m = 19.958,4 kg, com apenas dois algarismos significativos. Logo:

19.958, 4 kg 90 m/s

F F

2

2 100 m

110.000 N

698.315, 2 N

7,0 105 N

46. Antigamente, cavalos puxavam barcaças por canais, como mostra a Fig. 37. Suponha que o cavalo exerça uma força de 7.900 N num ângulo de 18o com a direção de movimento da barcaça, que se desloca ao longo do eixo do canal. A massa da barcaça é 9.500 kg e sua aceleração é 0,12 m/s2. Calcule a força exercida pela água sobre a barcaça.

(Pág. 93) Solução. Este problema pode ser facilmente resolvido através de cálculo vetorial. Considere o seguinte esquema da situação. y F m P

E

a

x

A força exercida pelo cavalo (F) e a aceleração da barcaça (a) são definidos por: F F cos i F sen j

a ai Aplicação da Segunda Lei de Newton: F

(1) (2)

ma

F Fa

P E

ma

onde P é o peso do barco, E é o empuxo da água, sendo que P + E = 0 e Fa é a força exercida pela água na barcaça. Fa ma F (3) Substituindo-se (1) e (2) em (3): Fa m(a i) ( F cos i F sen j) Fa

(ma

F cos ) i F sen j

(4)

Substituindo-se os valores numéricos em (4): Fa

[(9.500 kg )(0,12 m/s 2 ) (7.900 N) cos(18 o )] i (7.900 N) sen(18 o ) j


6



Fa

( 6.373,3464  N) i (2.441,2342  N) j

O módulo da força exercida pela água vale: Fa

6824 ,8934  N

Fa

6,8 10 3 N

49. Um balão de pesquisas de massa total M desce verticalmente com aceleração a para baixo (veja Fig. 39). Quanto de lastro deve ser atirado para fora da gôndola para dar ao balão a mesma aceleração a para cima, supondo que não varie a força de flutuação para cima exercida pelo ar sobre o balão?

(Pág. 93) Solução. Balão acelerado para baixo: E y M

x

a P1

Fy

ma y

E P1 E

Ma (1)

M ( g a)

Balão acelerado para cima: E y M- m

x

a P2

Fy

E P2 E

(M

ma y

(M

m)a

m) g (M

m)a


7



E

M ( g a) m( g a)

m( g a)

(2)

M ( g a) E

Substituindo-se (1) em (2): m( g a) M ( g a) M ( g a) 2 Ma g a

m

51. Um bloco de massa m desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo com o piso de um elevador. Ache a aceleração do bloco relativa ao plano nos seguintes casos. (a) O elevador desce com velocidade constante v. (b) O elevador sobe com velocidade constante v. (c) O elevador desce com aceleração a. (d) O elevador desce com desaceleração a. (e) O cabo do elevador se rompe. (f) No item (c) acima, qual é a força exercida sobre o bloco pelo plano inclinado? (Pág. 93) Solução. (a) Estando o elevador com velocidade constante, o comportamento do bloco em relação à rampa é idêntico ao que seria caso o elevador estivesse em repouso. y

N m

m x P v

Segunda lei de Newton em x, onde aB é a aceleração do bloco: Fx

max

mg sen

aB

maB

g sen

(b) Semelhante ao item (a):

aB

g sen

(c) Como o elevador acelera para baixo, existe a componente ax que se soma a gx para acelerar o bloco rampa abaixo. y N m

a

m x P a

Fx

mg sen

max

ma sen

maB


8



aB

g a sen

Embora tenham sido somadas duas acelerações em x para o bloco (ax e gx), a aceleração do bloco em relação à rampa é menor. No caso limite do elevador descer com aceleração igual a g (queda livre), o bloco também cairia em queda livre. Isso faria com que a aceleração do bloco em relação à rampa seja zero (veja o item (e) abaixo). (d) Semelhante ao item (c), diferindo apenas pelo sinal de a: aB

g a sen

(e) Semelhante ao item (c), sendo a = g: aB

0

(f) Fy

ma y

N mg cos N

ma cos

m g a cos

54. Um macaco de 11 kg está subindo por uma corda sem massa, amarrada a um tronco de 15 kg que passa por um galho (sem atrito) da árvore. (a) Qual a aceleração mínima com que o macaco deve subir pela corda de modo a levantar do chão o tronco de 15 kg? Se, depois de o troco ter sido levantado do chão, o macaco parar de subir e somente se segurar à corda, quais serão agora (b) a aceleração do macaco e (c) a tração na corda? (Pág. 94) Solução.

y

(a) Considere o seguinte esquema:


9



Tronco y

Macaco

T

T

mT

a

mM PT

PM

A condição mínima para que o tronco seja levantado do solo é que sua força normal e sua aceleração sejam nulas. As forças que agem no tronco nessas condições são a tensão na corda (T) e o peso do tronco (PT): Fy

T

T

PT

0

(1)

mT g

Forças no macaco: Fy

T

ma y

PM T

a

mM a mM g mM

(2)

Substituindo-se (1) em (2): mT g mM g mM

a

mT mM

1 g

3,5672

m/s 2

a 3, 6 m/s 2

(b) Agora a situação é a seguinte: Tronco y

Macaco

T’

T’

-a’ mT

a’

mM PM

PT

Forças no tronco: T'

PT

mT ( a ' )

T'

mT g mT a '

(3)

Forças no macaco: T'

PM

T'

mM g

mM a ' mM a '

(4)

Substituindo-se (3) em (4): mT g mT a ' mM g

mM a '


10



a'

mT mT

mM g 1,5092 mM

m/s2

a ' 1,5 m/s 2

(c) De (3):

T ' 124,511 T'

N

0,12 kN

55. Três blocos são ligados como mostra a Fig. 40, sobre uma mesa horizontal sem atrito e puxados para a direita com uma força T3 = 6,5 N. Se m1 = 1,2 kg, m2 = 2,4 kg e m3 = 3,1 kg, calcule (a) a aceleração do sistema e (b) as trações T1 e T2. Faça uma analogia com corpos que são puxados em fila, tais como uma locomotiva ao puxar um trem de vagões engatados.

(Pág. 94) Solução. Diagrama de forças dos blocos: N1

m1

m2 T1

N2

-T1

m3 T2

N3 y

-T2

T3

x a P1

P2

P3

(a) Forças de todo o sistema em x: Fx

Max

T1 T1 T2 T2 T3

a

m1

T3 m2 m3

m1 m2

0,970149

m3 a

m/s2

a 0,97 m/s2

(b) Forças no corpo 3: T3 T2 m3a T2

T3 m3a 3, 4925

T2

3,5 N

Forças no corpo 1: T1 m1a 1,1641

N

N

T1 1, 2 N


11



57. A Fig. 42 mostra três caixotes com massa m1 = 45,2 kg, m2 = 22,8 kg e m3 = 34,3 kg apoiados sobre uma superfície horizontal sem atrito. (a) Qual a força horizontal F necessária para empurrar os caixotes para a direita, como se fossem um só, com a aceleração de 1,32 m/s 2 ? (b) Ache a força exercida, por m2 em m3; (c) por m1 em m2.

(Pág. 94) Solução. (a) Neste caso, pode-se imaginar o sistema como sendo constituído por uma massa compacta m1 + m2 + m3: N m1+m2+m3

y

F

x a P Fx

F

ma x

(m1

m2

m3 )a

F 135,036 N F 135 N (b) Forças sobre m3: N 3 m 3 y

F23

x a P3 Fx

ma x

F23

m3 a

F23

45,276 N

F

45,3 N

(c) Forças sobre m2: N 2 m 2 F F 32 12

y x

a P 2 Fx

ma x


12



F12

F32

F12

m2 a F32

F23

75,372 N

F

m2 a

75,4 N

59. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg está sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo = 28o e é ligado por uma corda que passa em uma polia pequena e sem atrito a um segundo bloco de massa m2 = 1,86 kg, que pende verticalmente (veja a Fig. 44). (a) Qual é a aceleração de cada bloco? (b) Ache a tração na corda.

(Pág. 94) Solução. y a1

N1

T1

m1

x P1

F1

m1a1

N1 T1

P1

m1a1

N1 sen θ i N1 cos θ j T cos θ i T sen θ j m1 g j m1 (a cos θ i a sen θ j) (T cos θ N1 sen θ) i ( N1 cos θ T sen θ m1 g ) j m1a cos θ i m1a sen θ j

(1)

A equação (1) somente é verdadeira se e somente se:

T cos θ N1 sen θ

m1a cos θ

(2)

e

N1 cos θ T sen θ m1 g

m1a sen θ

(3)

De (2):

a

T cos θ N1 sen θ m1 cos θ

1 (T m1

N1 tan θ)

(4)

De (3):

m1a sen θ T sen θ m1 g (m1 a T ) tan θ cos θ Substituindo-se (5) em (4) e simplificando: N1

m1 g cos θ

(5)


13


a

T m1


g sen θ

(6)

Bloco 2: y T2 m2

x a2

P2

F2

T2

m2 a 2

P2

m2 a 2

Como as forças que agem no bloco 2 e seu movimento ocorrem apenas na coordenada y:

T

m2 g

m2 a

T

m2 ( g a)

(7)

Substituindo-se (7) em (6) e simplificando:

a

g (m2 m1 sen θ) m1 m2

a

0,216940  m/s 2

a

0,22 m/s 2

(b) De (6):

T

m1 (a g sen θ)

T

17,8430  N

T

18 N

60. Uma pessoa de 77 kg salta de pára-quedas e adquire aceleração para baixo de 2,5 m/s2 logo depois da abertura do pára-quedas. A massa do pára-quedas é 5,2 kg. (a) Ache a força para cima exercida pelo ar sobre o pára-quedas. (b) Calcule a força para baixo exercida pela pessoa no pára-quedas. (Pág. 94) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: (a) Considere o seguinte esquema da situação:


14



FAr

PPQ y a

x PH

Seja m a massa do pára-quedas e M a massa do homem. Para descobrir a força que o ar exerce sobre o pára-quedas (FAr) vamos considerar o homem e o pára-quedas como um só conjunto de massa (m + M): Fy

ma y

FAr

m M g

FAr

m M

FAr

0, 60 kN

m M a

g a

600,882 N

(b) Para descobrir a força que o pára-quedas exerce sobre o homem, vamos aplicar a segunda lei de Newton apenas ao homem, de acordo com o seguinte esquema de forças: FPQ

a

PH Fy

y x

ma y

FPQ

Mg

Ma

FPQ

M g a

FPQ

0,56 kN

562,87 N

61. Um elevador consiste em uma cabine (A), um contrapeso (B), um motor (C) e o cabo e polias mostrados na Fig. 45. A massa da cabine é 1.000 kg e a massa do contrapeso é 1.400 kg. Despreze o atrito, as massas do cabo e das polias. O elevador acelera para cima a 2,30 m/s 2 e o contrapeso acelera para baixo à mesma taxa. Quais são os valores das trações (a) T1 e (b) T2? Qual a força exercida no cabo pelo motor?


15



(Pág. 94) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Motor

T2’

T1’

T2

T1 y

aCP

aE

x PCP

PE

(a) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao elevador: Fy

ma y

T1 PE

mE aE

T1 mE g T1

mE a

mE a g

12.110 N

T1 12,1 kN

(b) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao contrapeso: Fy

T2

ma y

PCP

T2 mCP g T2

mCP aCP mCP a

mCP g a

10.514 N


16



T2 10,5 kN

(c) A força resultante que o cabo exerce sobre o motor (FMC) sobre o motor vale: FMC

Fx

T1' T2' 1.596 N

O sinal positivo mostra que o cabo força o motor para a direita. Como o problema pede a força no cabo pelo motor, basta aplicar a terceira lei de Newton, uma vez que essas forças formam um par ação-reação. Logo, a força que o motor exerce sobre o cabo (FCM) vale: FCM

FMC

1,60 kN

O sinal negativo mostra que o motor força o cabo para a esquerda de acordo com o referencial adotado. Isso faz com que o elevador suba. 62. Um helicóptero de 15.000 kg está levantando um carro de 4.500 kg com aceleração para cima de 1,4 m/s2. Calcule (a) a força vertical que o ar exerce nas pás das hélices do helicóptero e (b) a tração na parte superior do cabo de sustentação; veja a Fig. 46.

(Pág. 95) Solução. (a) Forças nas pás das hélices: F ar a

y

Hélices

P

Fy

ma y

FAr

( PH

FAr

(mH

PC )

(mH

mC )a y

mC ) g (mH

mC )a (mH

mC )(a g ) 218.595 N


17



2, 2 105 N

FAr

(b) Forças no ponto de junção dos cabos: T a

y

Junção dos cabos PC

Fy

ma y

T

PC

mC a

T

mC a mC g

T

5, 0 104 N

mC (a g ) 50.445 N

64. Duas partículas, cada uma de massa m, estão conectadas por uma corda leve de comprimento 2L, como mostra a Fig. 48. Uma força F constante é aplicada no ponto médio da corda (x = 0) e faz um ângulo reto com a posição inicial desta. Mostre que a aceleração de cada massa na direção perpendicular a F é dada por

ax

F x 2 2m L x 2

1/ 2

na qual x é a distância perpendicular de uma das partículas à linha de ação de F. Discuta a situação quando x = L.

(Pág. 95) Solução. Considere o seguinte esquema da situação:


18



2L m

m

O

x F y x ax a2

a1

ay

O

L

a0 F

Seja a o módulo da aceleração de cada massa (a1 e a2, no esquema). x ax a cos a L Aceleração do ponto O em y, que está sujeito apenas à força F: F

(1)

(2)

2ma0

O esquema mostra que:

a0

a0

ay

a

a sen L2

a 1 cos

2

1/ 2

x2 a 1 2 L

1/ 2

1/ 2

x2

(3)

L2


L2

x2

F

2ma

a

F L 2m L2 x 2

1/ 2

L2 1/ 2

(4)

Substituindo-se (4) em (1): F x ax 2m L2 x 2 1/ 2

65. Um bloco de massa M é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma corda de massa m, como mostra a Fig. 49. Uma força horizontal P é aplicada a uma das extremidades da corda. (a) Mostre que a corda tem de se curvar, mesmo que seja de uma quantidade imperceptível. Então, supondo que o encurvamento seja desprezível, ache (b) a aceleração da corda e do bloco, (c) a força que a corda exerce no bloco, e (d) a tração no ponto médio da corda. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 5 – Força e Leis de Newton

19



(Pág. 95) Solução. (a) Considere um elemento da corda cuja massa é m e, da mesma forma que o conjunto M +m, possui aceleração a. y a T T e d

x m g Como o elemento de massa m tem aceleração apenas no eixo x: Fy

0

Td sen

Te sen

mg

0

mg Td Te

sen

(1)

Para a corda ficar esticada, é preciso que = 0, ou seja que sen = 0. De acordo (1), isso implica em m = 0 ou Td + Te = . Como nenhumas dessas alternativas é fisicamente possível, conclui-se que 0. (b) Supondo que = 0 e analisando o conjunto M + m:

Fx P

ma x

(M

m)a

P

a

M

(2)

m

(c)

N

y F cb

M

x a

P Fx Fcb

ma x

Ma

(3)

Substituindo-se (2) em (3): M Fcb P M m (d)


20



m / 2

M

T m

a

Fx Tm

ma x m a 2

M

(4)

Substituindo-se (2) em (4): Tm

Tm

m P 2 M m

M

(m 2M ) P 2( M m )

67. O homem na Fig. 51 pesa 800 N; a plataforma e a polia sem atrito têm peso total de 190 N. Ignore o peso da corda. Com que força o homem tem de puxar a corda de forma a se levantar junto com a plataforma a 0,37 m/s2?

(Pág. 95) Solução. Forças no homem: y a PH

T’

N

Fy

ma y

N T'

PH

N

PH 1

PH a g

T’ = T: T

a g

(1)


21



Forças na plataforma: y T

T

N’

PP

Fy

a

ma y PP a g

2T

N'

PP

2T

N

PP 1

N’ = N: a g

(2)

Substituindo-se (1) em (2): 2T T T

PH

a g

PH 1 PP

1

PP 1 a g

a g

1.027,3394

N

T 1,0 kN 68. Uma cunha em forma de um triângulo retângulo de massa M e ângulo suporta um pequeno bloco de massa m e está em repouso numa mesa horizontal, como mostra a Fig. 52. (a) Que aceleração horizontal a deve ter M em relação à mesa, de forma a manter m estacionário em relação à cunha supondo-se os contatos sem atrito? (b) Que força horizontal F deve ser aplicada ao sistema para atingir este resultado, supondo-se o topo da mesa sem atrito? (c) Suponha que nenhuma força seja fornecida a M e ambas as superfícies sejam sem atrito. Descreva o movimento resultante.

(Pág. 95) Solução. (a) A aceleração a de M deve ser tal que a aceleração de m também seja a (horizontal). Diagrama de forças em m: y

Nm a m

x

Pm ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 5 – Força e Leis de Newton

22



Forças em y: Fy

Nm cos

mg

0

mg cos

Nm

(1)

Forças em x:

Fx Nm sen

max ma

Substituindo-se (1) em (2): mg sen ma cos a g tan

(2)

(3)

(b) Forças em x no sistema cunha-bloco:

Fx F

max

m M a

(4)

Substituindo-se (3) em (4): F

m M g tan

As componentes horizontais das forças normais da cunha sobre o bloco (Nm) e do bloco sobre a cunha não precisam ser computados pois formam um par ação-reação e cancelam-se mutuamente. (c) A cunha irá se mover para a esquerda com aceleração constante. O bloco irá descer pela superfície inclinada da cunha com aceleração g sen em relação à cunha, porém com aceleração menor e constante em relação à mesa. As forças que aceleram o bloco em relação à mesa são o seu peso e a normal da cunha. O peso do bloco não varia nessas circunstâncias. Porém, quando a cunha acelera para a esquerda, a normal que esta gera no bloco fica menor, o que diminui a aceleração do bloco em relação à mesa quando comparada à situação em que a cunha permanece imóvel.


23



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 6 – DINÂMICA DA PARTÍCULA

09. Uma força horizontal F de 53 N empurra um bloco que pesa 22 N contra uma parede vertical (Fig. 26). O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é 0,40. Considere o bloco inicialmente em repouso. (a) O bloco começará a se mover? Qual é a força exercida no bloco pela parede?

(Pág. 116) Solução. Forças no bloco: fe ou fc N

F

y x

P (a) A condição para que o bloco escorregue é que o seu peso (P) seja maior do que a força de atrito estático (fe). Forças em x:

Fx

0

F N 0 F N Força de atrito estático: fe eN

(1) (2)

Substituindo-se (1) em (2): fe 0,60.(53 N) eF fe

31,8 N

Este resultado significa que fe pode suportar um bloco de até 31,8 N de peso. Como o peso do bloco é menor do que esse limite máximo, o bloco não desliza. (b) A força exercida pela parede (FP) sobre o bloco tem duas componentes. A componente horizontal é a força normal e a vertical é a força de atrito. Ou seja: FP Ni fe j De acordo com o esquema acima e os valores dados no enunciado, temos: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

1



FP

( 53 N)i (22 N)j

12. Um estudante quer determinar os coeficientes de atrito estático e atrito cinético entre uma caixa e uma prancha. Ele coloca a caixa sobre a prancha e gradualmente levanta um dos extremos da prancha. Quando o ângulo de inclinação com a horizontal alcança 28,0o, a caixa começa a deslizar, descendo 2,53 m ao longo da prancha em 3,92 s. Ache os coeficientes de atrito. (Pág. 116) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y N

x f v0 = 0

a P

v r

No momento em que a prancha está na iminência de deslizar, a caixa ainda está em equilíbrio. Nessas condições age sobre a caixa, além do peso (P) e da normal (N), a força de atrito estática (fs). Forças em y: Fy

0

N P cos N P cos Forças em x:

Fx fs s

0 (1)

0

P sen

N

0

P sen

(2)

Substituindo-se (1) em (2): P sen s P cos s

tan

tan 28,0

s

0,532

0,5317

No momento em que o corpo desliza sobre a prancha, a força de atrito é do tipo cinético (fk). Forças em x:

Fx fk k

max

P sen N mg sen

ma ma

(3)

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

2



Substituindo-se (1) em (3): k

a

mg cos k

mg sen

g cos

ma

(4)

g sen

Análise do movimento ao longo da prancha (coordenada x): 1 2 x x0 vx 0t axt 2 1 2 r 0 0 at 2 2r a t2 Igualando-se (4) e (5): 2r g sen k g cos t2 2 2,53 m 2r tan tan 28, 0 k 2 2 2 gt cos 9,81 m/s 3,92 s cos 28, 0 k

(5)

0, 49369

0, 494

13. Um trabalhador quer empilhar areia em uma área circular em seu quintal. O raio do círculo é R. Nenhuma areia deve sair para fora da área determinada; veja a Fig. 28. Mostre que o volume máximo de areia que pode ser estocado dessa maneira é eR3/3, onde e é é o coeficiente de atrito estático da areia com a areia. (O volume do cone é Ah/3, onde A é a área da base e h é a altura.)

(Pág. 116) Solução. Considere o seguinte esquema: f N h

y

x

P R

O volume do monte cônico é dado por: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

3



Ah R2h 3 3 Pelo esquema acima, vemos que: h R tan Substituindo-se (1) em (2): V

R 3 tan V 3 Vamos analisar a dinâmica de um grão de areia em particular. Forças em x:

Fx

(1)

(2)

(3)

0

N P cos N mg cos

0 (4)

Forças em y: Fy

f

0

P sen e

N

0

mg sen

(5)

Substituindo-se (4) em (5): e

(6)

tan

Substituindo-se (6) em (3): V

R3 3

e

20. O cabo de um escovão de massa m faz um ângulo com a vertical; veja a Fig. 31. Seja c o coeficiente de atrito cinético entre o escovão e o assoalho e e o coeficiente de atrito estático. Despreze a massa do cabo. (a) Ache o módulo da força F, dirigida ao longo do cabo, necessária para fazer com que o escovão deslize com velocidade uniforme sobre o assoalho. (b) Mostre que se for menor do que um certo ângulo, 0, o escovão não poderá deslizar sobre o assoalho, por maior que seja a força aplicada ao longo do cabo. Qual é o ângulo 0?

(Pág. 117) Solução. Forças no escovão:


4



N y

m

f

x

F P (a) No movimento com velocidade constante, a força resultante sobre o escovão é nula. Forças em y: Fy

0

N P F cos 0 N mg F cos

(1)

Forças em x:

Fx

0

F sen

fc

F sen

c

N

(2)

0

Substituindo-se (1) em (2): F sen

F

c

c

sen

mg

c

F cos

0

mg c cos

(b) Na situação de repouso do escovão, a força de atrito é estática. A força que age no escovão é idêntica à do item (a), substituindo-se c por e. e mg F sen e cos A condição para que a força F seja infinita e ainda assim o sistema permanecer em repouso é: sen 0 e cos tan 0

0

tan

e 1 e

24. O bloco B na Fig. 33 pesa 712 N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco B e a mesa é 0,25. Encontre o peso máximo do bloco A para o qual o sistema permanecerá em equilíbrio.

(Pág. 117) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

5



Solução. Como o sistema está em equilíbrio, o ponto onde os três cabos se encontram (ponto O) também está em equilíbrio. Diagrama das forças nesse ponto: TA TB’ O y x PA Forças em y no ponto O:

Fy

0

TA sen

PA

0

PA sen Forças em x no ponto O:

(1)

TA

Fx

0

TA cos

TB '

0

Como TB’ = TB (par ação-reação):

TB

(2)

TA cos

Substituindo-se (1) em (2): PA TB tan Forças no bloco B: NB fe

(3)

TB

y x

PB Forças em y no bloco B: N B PB 0

NB

PB

(4)

Forças em x no bloco B: TB fe 0

TB

fe

e

NB

(5)

Substituindo-se (4) em (5): TB e PB Substituindo-se (3) em (6): PA 154,733 e PB tan

(6) N

PA 1,5 102 N ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

6



27. Um bloco desliza para baixo de uma calha de ângulo reto inclinada, como na Fig. 36. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o material da calha é c. Ache a aceleração do bloco.

(Pág. 118) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Forças em z: Fz

0

N P cos 0 N mg cos

(1)

Devemos considerar a força de atrito cinética total (fk) como sendo a soma de duas forças de atrito (fk’ e fk’’), cada uma surgindo a partir da interação entre a caixa e a calha na direção x. z N N’ 45o N’’ y P fk

f

fk

' k

2

f k'' k

k

N'

k

N ''

2

N

k

N cos 45

(2)

Substituindo-se (1) em (2): fk

2

k

mg cos

(3)

Forças em x:

Fx P sen

max fk

ma

(4)

Substituindo-se (3) em (4): mg sen a

2

g sen

k

mg cos

2

k

ma

cos

Este resultado indica que a aceleração será zero (condição de equilíbrio estático, na iminência de deslizar na calha) quando: sen

2

s

cos


7



1 tan 2 Este resultado difere da situação de uma caixa na iminência de deslizar sobre uma superfície inclinada: s

s

tan

28. Os dois blocos, m = 16 kg e M = 88 kg, mostrados na Fig. 37 estão livres para se moverem. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é e = 0,38, mas a superfície abaixo de M é lisa, sem atrito. Qual é a força mínima horizontal F necessária para segurar m contra M?

(Pág. 118) Solução. Para segurar m contra M, a condição necessária é que o módulo da força de atrito que M exerce em m para cima seja igual ao módulo do peso de m. Forças no bloco m: m fe y Nm F

Pm Forças em x no bloco m:

Fx

x

a

max

F

Nm

ma

F

ma Nm

(1)

Forças em y no bloco m: Fy

Pm Nm

0

fe

mg

mg

e

Nm

0

(2)

e

Forças no bloco M:


8



NM

M

y

N’ fe’

x

a

PM Forças em x no bloco M: N 'm

Ma

Como N = N’ (par ação-reação): N a M Substituindo-se (2) e (3) em (1):

F F

m

mg M e

mg

(3)

mg m 1 M e

e

488,15311

N

4,9 102 N

31. Uma laje de 42 kg repousa sobre um assoalho sem atrito. Um bloco de 9,7 kg repousa sobre a laje, como na Fig. 40. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a laje é 0,53, enquanto o coeficiente de atrito cinético é 0,38. O bloco de 9,7 kg sofre a ação de uma força horizontal de 110 N. Qual é a aceleração resultante (a) do bloco e (b) da laje?

(Pág. 118) Solução. Em primeiro lugar temos que verificar se haverá deslizamento entre o bloco e a laje. Isso ocorrerá se o módulo da força horizontal que atua no bloco (F) for maior do que o módulo da força de atrito estática entre o bloco e a laje (fs). Verificação: fs 50 N s Nm s Pm s mg Como F = 110 N, o bloco deslizará sobre a laje, sendo f a força de atrito cinético. Forças sobre o bloco: Nm m

F

f

am

y x

Pm Forças em y sobre o bloco: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

9



Fy

0

Nm

Pm

0

Nm

mg

(1)

Forças em x sobre o bloco:

Fx f

F c

Nm

0 mam F

(2)

mam

Substituindo-se (1) em (2) e resolvendo-se para am: F am 7, 6124 m/s2 cg m am

7, 6 m/s 2

Forças sobre a laje:

Nm’ NM

M

y

f’

x aM

PM Forças em x sobre a laje: f ' MaM Como f = f’ (par ação-reação): f c Nm aM M M aM

mg M

c

0,86094

m/s2

0,86 m/s 2

40. Um disco de massa m sobre uma mesa sem atrito está ligado a um cilindro de massa M suspenso por uma corda que passa através de um orifício da mesa (veja a Fig. 42). Encontre a velocidade com a qual o disco deve se mover em um círculo de raio r para que o cilindro permaneça em repouso.


10



(Pág. 119) Solução. O cilindro permanecerá em repouso se a tensão na corda que o sustenta for igual ao seu peso. Forças no cilindro: T M y

x PM Fy

0

T

PM

0

T

Mg

(1)

Forças no disco: Nm m

T’

Pm

Fx

max

T ' Fc

(2)

Na Eq. (2) Fc é a força centrípeta responsável pelo movimento circular do disco e T’ = T (par açãoreação). mv 2 r Substituindo-se (1) em (3): T

Mg

mv 2 r

v

Mgr m

(3)


11



47. Um avião está voando em uma trajetória circular horizontal à velocidade de 482 km/h. As asas do avião estão inclinadas de 38,2o com a horizontal; veja a Fig,. 44. Encontre o raio do círculo no qual o avião está voando. Suponha que a força centrípeta seja totalmente fornecida pela força de sustentação perpendicular à superfície da asa.

(Pág. 119) Solução. Como o avião descreve uma trajetória circular, está sujeito a uma força centrípeta (Fc). Esta é a componente radial da força de sustentação do ar (Fs). A força peso do avião (P) não contribui para Fc pois é ortogonal à direção radial. Considere o seguinte esquema: Vista de cima

y

y

Fs

x

v R x P

v

Forças em x:

Fx

max

Fs sen

Fc

R

mv 2 R

mv 2 Fs sen

(1)

Forças em y: Fy

Fs cos

0

P 0

mg cos Substituindo-se (2) em (1): Fs

(2)


12



mv 2 mg sen cos R 2,32 km

v2 g tan

R

2.322,1387

m

52. Uma bola de 1,34 kg está presa a uma haste rígida vertical por meio de dois fios sem massa, de 1,70 m de comprimento cada. Os fios estão presos à haste em pontos separados de 1,70 m. O conjunto está girando em volta do eixo da haste, com os dois fios esticados formando um triângulo eqüilátero com a haste, como mostra a Fig. 45. A tensão no fio superior é 35,0 N. (a) Encontre a tensão no fio inferior. (b) Calcule a força resultante na bola, no instante mostrado na figura. (c) Qual é a velocidade da bola?


T1

l m r

l

y m

v

a

x T2

P

l

(a) Forças na bola em y: Fy

T1 cos T2

T2

0

T2 cos

mg cos 8, 7 N

T1

P 0 8, 7092

N

(b) A força resultante (R) que atua na bola vale: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

13



R

T1 T2 P

R

T1 sen i T1 cos j

R

T1 T2 sen i

R

37,8532

R

38 N i

T2 sen i T2 cos j

T1 T2 cos

mg j

N i 0j

mgj

(1) (2)

(c) A resultante calculada no item (b) é a força centrípeta do movimento circular da bola em torno do eixo. Logo: mv 2 Fc R r A comparação das equações (1) e (2) nos dá o módulo de R: R

T1 T2 sen

(3)

(4)

Substituindo-se (4) em (3): T1 T2 sen v

sen

mv 2 r

T1 T2 l m

mv 2 l sen 6, 4489

m/s

v 6,4m/s 53. Um cubo muito pequeno de massa m é colocado dentro de um funil (veja a Fig. 46) que gira em torno de um eixo vertical à taxa constante de v revoluções por segundo. A parede do funil forma um ângulo com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o cubo e o funil é c e o centro do cubo está à distância r do eixo de rotação. Encontre (a) o maior valor e (b) o menor valor de v para o qual o cubo não se moverá em relação ao funil.

(Pág. 120) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

14



(a) Na situação em que o corpo está na iminência de subir a parede do funil observa-se o seguinte esquema de forças sobre o bloco: y

N m x fs P Embora tenhamos fs fs

s

sN,

na condição limite de o bloco subir pela parede do funil isso implica em:

N

Forças sobre o bloco que atuam na coordenada y: Fy Ny

0

Py

f sy

0

Embora a força de atrito cinética seja definida como fs subir pela parede do funil isso implica em: fs

s

sN,

na condição de iminência de o bloco

N

Logo: N cos N

mg

s

N sen

0

mg cos

s

(1)

sen

Forças sobre o bloco que atuam na direção radial (coordenada x), onde Fc é a força centrípeta (força resultante na direção radial):

Fx Px

mac

Nx

f sx

0 N sen

Fc s N cos

mv 2 r

r N sen s cos m Substituindo-se (1) em (2): r mg v2 sen m cos s sen v2

v2

rg

sen cos

(2)

s

cos

cos s sen s

Para converter v de m/s para rev/s (vrps), usaremos a seguinte identidade: v vrps 2 r Substituindo-se v de (4) em (3):

(3)

(4)


15


Problemas Resolvidos de Física 2 4 2 r 2vrps

1 2

vrps

rg

tan tan

g tan r tan

s s s s

(b) Quando o bloco está na iminência de descer a parede do funil, vale o seguinte esquema de forças: y

N

fs

x

m

P O desenvolvimento da solução é idêntico ao do item (a). 54. Devido à rotação da Terra, um fio de prumo pode não pender exatamente ao longo da direção da força gravitacional que a Terra exerce no próprio fio, mas pode desviar ligeiramente dessa direção. (a) Mostre que o ângulo de desvio (em radianos), em um ponto de latitude L, é dado por 2 2R sen 2 L , gT 2 onde R é o raio e T é o período de rotação da Terra. (b) Em que latitude esse desvio é máximo? De quanto é esse desvio? (c) Qual é o desvio nos pólos? E no equador? (Pág. 120) Solução. Considere o esquema a seguir: Fio de prumo

y

Terra

T Fc

r L R

x Direção radial

L P

Peso do prumo

À medida que a Terra gira em torno de seu eixo o peso do prumo descreve uma trajetória circular de raio r = R cos L e, portanto, está sujeito a uma força centrípeta (Fc) que é a resultante das forças peso do prumo (P) e tensão no fio do prumo (T) na direção radial. Vamos aplicar a segunda lei de Newton ao prumo. Em x: Fx

max


16



T cos

mg

Fy

ma y

(1)

Fc cos L

Em y:

T sen

Fc sen L

Fc sen L sen Substituindo-se (2) em (1): Fc sen L cos mg Fc cos L sen sen L mg cos L tan Fc

(2)

T

(3)

A força centrípeta do movimento circular do prumo vale: 2 r mv 2 T Fc r R cos L Substituindo-se (4) em (3): m

2

m4 2 R 2 cos 2 L R cos LT 2

4

2

mR cos L T2

(4)

T2 cos L mg 2 4 mR cos L

sen L tan

sen L 2cos L 2 gT 2cos L cos L 2 4 R cos L sen 2 L (5) tan gT 2 2 2 cos L 2 2R O termo gT2/2 2R 580, enquanto que 2 cos2 L vale no máximo 2. Portanto, com boa aproximação podemos dizer que: tan

gT 2 gT 2 2 2R 2 2R Também considerando-se que é um ângulo pequeno, podemos dizer que tan essas aproximações a Eq. (5) transforma-se em: 2 cos 2 L

. Logo, com

2 2R sen 2 L gT 2

(6)

(b) Como conhecemos a função = f(L), para determinar o valor de L que maximiza igualar a zero a derivada de em relação a L. Ou seja:

d dL

2 2R 2cos 2 L gT 2

cos 2 L

2L

devemos

0

0

2


17



L

45 4 Verificação da concavidade da função em L = /4:

d2 dL2

4 2R ( 2)sen 2 L gT 2

8 2R sen 2 L gT 2

Para L = /4, sen (2L) = sen ( /2)=1. Logo:

d2 dL2

8 2R gT 2

0

Como d2 /dL2 0 implica em concavidade para baixo, L = /4 é um ponto de máximo da função = f(L). (c) Nos pólos temos L = 90o = rad. Logo, de acordo com (6) = 0. No equador temos L = 0o = 0 rad. Logo, de acordo com (6) = 0. 55. A posição de uma partícula de massa 2,17 kg que desloca em linha reta é dada por x 0,179t 4 2,08t 2 17,1 ,

onde x é dado em metros e t em segundos. Encontre (a) a velocidade, (b) a aceleração e (c) a força na partícula no instante t = 7,18 s. (Pág. 120) Solução. (a) v(t )

dx( t )

4at 3 2bt

dx Para t = 7,18 s: v(7,18 s) 235,1559 v(7,18 s)

m/s

235 m/s

(b) a(t )

dv(t )

dx Para t = 7,18 s:

12at 2

a(7,18 s)

106,5745

a(7,18 s)

107 m/s 2

2b

m/s 2

(c) F(t )

ma( t )

F(7,18 s)

ma(7,18 s)

F(7,18 s)

231 N

231, 2667

N

65. Uma barcaça de canal, de massa m, está viajando com velocidade vi quando seu motor pára. A força de arrasto D com a água é dada por D = bv. (a) Encontre uma expressão para o tempo ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 6 – Dinâmica da Partícula

18



necessário para que a barcaça reduza a sua velocidade até vf. (b) Calcule numericamente o tempo para que uma barcaça de 970 kg, navegando inicialmente a 32 km/h, reduza a sua velocidade para 8,3 km/h; o valor de b é 68 N.s/m. (Pág. 121) Solução. Considere o esquema da situação a seguir: y

x D

m

vi

D

a

m

vf

a

(a) O movimento da barcaça é retardado por uma aceleração variável, pois a força de arrasto da água de pende da velocidade do barco. Aplicando-se a segunda lei de Newton ao barco, na coordenada x: Fx

max

dv dx dv b dt v m v f dv b vi v m vf b ln t vi m bv

t

m

t 0

dt

m vf ln b vi

(1)

(b) Substituindo-se os valores numéricos em (1) obtém-se: t 19, 2499 s

t 19 s


19



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 7 – TRABALHO E ENERGIA

10. Um bloco de 5,0 kg se move em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito sob influência de uma força que varia com a posição, como mostra a Fig. 15. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloco se move desde a origem até x = 8,0 m?

(Pág. 136) Solução. O trabalho de uma força unidimensional é dado por: W

x x0

F( x ) dx

Isso significa que num gráfico de F(x) x o trabalho é a área entre a curva e a coordenada zero do eixo da força, sendo que as áreas acima da coordenada zero (Asuperior) são positivas e as que ficam abaixo (Ainferior)são negativas. O cálculo da área deve ser feito utilizando-se as escalas da ordenada e da abscissa. Vale notar que cada célula da malha do gráfico corresponde a um trabalho equivalente a 10 J. Portanto: W Asuperior Ainferior 30 J 5 J

W

25 J

17. Um objeto de massa 0,675 kg está em uma mesa sem atrito e ligado a um fio que passa através de um buraco da mesa, no centro de um círculo horizontal no qual o objeto se move com velocidade constante. (a) Se o raio do círculo for 0,500 m e a velocidade da massa for 10,0 m/s, calcule a tensão no fio. (b) Verifica-se que se puxarmos o fio para baixo mais 0,200 m, reduzindo assim o raio do círculo para 0,300 m obtém-se o mesmo efeito que se multiplicarmos a tração do fio original por 4,63. Calcule o trabalho total realizado pelo fio sobre o objeto girante durante a redução do raio. (Pág. 137) Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 – Trabalho e Energia

1



m v0

T0

m

R0

T

R

v

(a) A força centrípeta do movimento circular do objeto vale: mv 2 r Como Fc = T0: Fc

mv02 R0

T0

(1)

T0 135 N

(b) mv 2 R Dividindo-se (1) por (2): T

4, 63T0

4, 63 v2

(2)

R0v 2 Rv02 4, 63

Rv02 R0

(3)

Aplicando-se o teorema do trabalho-energia cinética: 1 W K K K0 m v 2 vo2 2 Substituindo-se (3) em (4): W

1 2 R mv0 4, 63 1 2 R0

W

60,0 J

60, 007

(4)

J

26. A Terra circula o Sol uma vez por ano. Qual é o trabalho que deveria ser feito sobre a Terra para trazê-la ao repouso em relação ao Sol? (Pág. 138) Solução. O trabalho que uma força externa deveria fazer para parar a Terra pode ser calculado por meio do teorema do trabalho-energia cinética. Como há duas forças agindo sobre a Terra, força do agente externo que vai parar a Terra e a força gravitacional do Sol, o trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por estas forças. Supondo que a força gravitacional é sempre perpendicular ao movimento da Terra, seu trabalho será nulo. Logo: 1 Wtotal Wext Wg Wext 0 K K f Ki m v 2f vi2 2 Como a Terra será imobilizada, sua velocidade final será zero. 1 1 2 (1) Wext m 0 vi2 mvi 2 2 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 – Trabalho e Energia

2



A velocidade inicial da Terra é a velocidade com a qual ela viaja através do espaço em torno do Sol. Sendo dTS a distância Terra-Sol e T o período de translação da Terra, sua velocidade vale:

2 dTS T

vi

2

150 109 m

365, 25 d

86.400 s/d

29.865,

m/s

Ou seja, a velocidade média de translação da Terra é de cerca de 108 mil km/h. Substituindo-se vi em (1), teremos: 1 2 Wext 5,98 1024 kg 29.865, m/s 2, 66689 1033 J 2 Wext

2, 7 1033 J

O sinal negativo no resultado acima significa que o agente externo deve aplicar a força no sentido contrário ao deslocamento da Terra. Só para termos uma idéia de a quanta energia corresponde este resultado, vamos fazer uma pequena conta, sabendo-se que 1 J = 1 W.h:

1 MW 1h 7.5 1023 MW.h 6 10 W 3.600 s A usina de Itaipú forneceu em 2007 cerca 91 milhões de MW.h de energia elétrica e isto representou cerca de 19% da energia elétrica consumida no Brasil. Logo, a energia total consumida foi de cerca de 480 milhões de MW.h. Logo, a energia requerida para parar a Terra representa a energia necessária para abastecer o Brasil durante: Wext

2,7 1033 W.h

7,5 1023 MW.h

1,6 1015 anos

6

480 10 MW.h/ano

Isto representa cerca de 100 mil vezes a idade do universo (15 bilhões de anos). 28. Um projétil de 0,550 kg é lançado da beira de um penhasco com energia cinética inicial de 1.550 J e em seu ponto mais alto está a 140 m acima do ponto de arremesso. (a) Qual é a componente horizontal de sua velocidade? (b) Qual era a componente vertical de sua velocidade logo após o lançamento? (c) Em um instante durante o seu vôo encontra-se o valor de 65,0 m/s para a componente vertical de sua velocidade. Neste instante, qual é a distância a que ele está acima ou abaixo do seu ponto de lançamento? (Pág. 138) Solução. Considere o seguinte esquema: y K0 h m x g


3



(a) Vamos partir da definição da energia cinética inicial do projétil: 1 2 1 2 2 K0 mvo m vxo v yo 2 2 2 K0 2 2 vyo vxo m Na Eq. (1) foi usada a igualdade que representa o módulo da velocidade inicial do projétil: vo2

2 2 vxo v yo

(1) (2)

(3)

Multiplicando-se (3) por m/2, em que m é a massa do projétil: 1 2 1 2 1 2 mvo mvxo mvyo 2 2 2 K0 K x0 K y 0 Como o movimento do projétil pode ser estudado independentemente nas coordenadas x e y, é de se esperar que a energia mecânica do projétil, que depende de sua posição e velocidade, também possa ser analisada independentemente em x e em y. Portanto, vamos analisar a conservação da energia mecânica em y: Ey0 Ey K y0

Uy

1 2 mvy 0 2 v y20

mgh

2 gh

(4)

Substituindo-se (2) em (4): 2 K0 2 vxo 2 gh m vx 0 2 vxo

K0 m

2

gh

53, 7546

m/s

53,8 m/s

Pode-se demonstrar a validade do procedimento acima. Aplicando-se a equação de movimento de Torricelli do ponto de lançamento até o ponto mais elevado da trajetória do projétil: v y2

2 v yo

2 0 v yo 2 v yo

2a ( y

y0 )

2 gh

2 gh

(2)

Substituindo-se (2) em (1): 2 K0 2 vxo 2 gh 53, 7546 m 2 vxo

m/s

53,8 m/s

(b) Da Eq. (4): 2 v yo

2 gh 52, 4099

2 v yo

52, 4 m/s

m/s


4



(c) A posição do corpo pode ser encontrada da seguinte forma: v y2

2 v yo

2a ( y

v y2

2 v yo

2 gy

y

y

2 v yo v y2

y0 )

75,3357

2g

m

75,3 m

De acordo com o referencial adotado, nessa posição a velocidade do projétil será negativa. O instante de tempo em que essa posição é atingida é dado por: vy v y 0 at vy

t

vy 0

gt

vy 0 vy

11,968

g

s

t 12,0 s 32. Uma bola de borracha deixada cair de uma altura de 1,80 m é rebatida várias vezes pelo chão, perdendo 10% de sua energia cinética de cada vez. Depois de quantas colisões a bola não conseguirá se elevar acima de 0,90 m? (Pág. 138) Solução. Considere o seguinte esquema: y h0 h1 h2

0

K0

K1

K2

Seja K0 a energia cinética inicial, K1 a energia cinética após a primeira rebatida, K2 a energia cinética após a segunda rebatida, etc., e KN a energia cinética da bola após a N-ésima rebatida. Temos que: K1 0,9 K0 K2

0,9 K1

0,92 K0

K3

0,9 K 2

0,93 K0

KN

0,9 K N

Logo: 1

0,9 N K 0

(1)

Também pode-se usar o trabalho da força gravitacional na subida da bola após cada rebatida para fazer o cálculo de K1, K2, etc., KN. W K ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 – Trabalho e Energia

5



mgh1

K

K1

mgh1

K2

mgh2

K0

0 K1

Logo: Portanto, após a N-ésima rebatida: KN

(2)

mghN

Queremos saber N tal que hN N

0,9 K0

mghN

0,9 N mgh0

0,9 N N

0,90 m. Igualando-se (1) e (2):

hN h0 ln 0,5 ln 0,9

mghN

0,90 m 1,80 m

0,5

6,57

A altura h = 0,90 só deixa de ser atingida após N = 6,57 rebatidas. Logo: N 7 33. Um bloco de 263 g é deixado cair sobre uma mola vertical de constante elástica k = 2,52 N/cm (Fig. 20). O bloco adere-se à mola, que ele comprime 11,8 cm antes de parar momentaneamente. Enquanto a mola está sendo comprimida, qual é o trabalho realizado (a) pela força da gravidade e (b) pela mola? (c) Qual era a velocidade do bloco exatamente antes de se chocar com a mola? (d) Se esta velocidade inicial do bloco for duplicada, qual será a compressão máxima da mola? Ignore o atrito.

(Pág. 138) Solução. Considere o seguinte esquema:


6



y y0

v0 = 0 m

v1

F

y1

0

v2 = 0

y2 P

k

(a) Wg

r

y2

Wg Wg

F(r ) dr

r0

y1

Pdy

mg

y2 y1

dy

mg ( y2

y1 ) 0,30444

J

0,304 J

(b) We

y2 y1

We

y2

F( y ) dy

y1

( ky )dy

y2 k 2

y2

y1

k 2 ( y1 2

y22 )

1, 7544

J

1, 75J

(c) Aplicando-se o teorema do trabalho-energia cinética: W K 1 2 Wg We K 2 K1 0 mv1 2

v1

2 Wg We m

v1

3,32 m/s j

3,32058

m/s

(d) v1’ = 2 v1 W K Wg We

K2

mg ( y2'

y1 )

mgy2'

k '2 y2 2

K1'

0 K1'

k 2 ( y1 y2'2 ) 2 1 m(2v1 )2 2

1 '2 mv1 2

k '2 y2 mgy2' 2mv12 0 2 A equação do segundo grau correspondente é: y2'2

0, 020476

y2' 0, 04603

0


7



As possíveis soluções são: y2' 1

0, 20455

m

y2' 2

0, 2250

m

Como y2’

0:

y2'

0, 225 m

47. Um bloco de granito de 1.380 kg é arrastado para cima de um plano inclinado por um guincho, à velocidade constante de 1,34 m/s (Fig. 23). O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado é 0,41. Qual é a potência que deve ser fornecida pelo guincho?

(Pág. 139) Solução. Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o bloco: y

N

T

x

m fc P A potência fornecida pelo guincho é dada pela Eq. (1), onde v é a velocidade de elevação do bloco, F é força responsável pela elevação do bloco e é o ângulo entre F e v. Essa força, que na verdade é uma tensão (T), é gerada pelo motor do guincho e transmitida ao bloco por meio da corda mostrada na figura. (1) P F.v Fv cos Fv Tv Vamos aplicar a primeira lei de Newton ao bloco, considerando-se apenas as forças em y: Fy

0

N P cos 0 N mg cos

(2)

Agora em x: Fx

T T

0

fc c

P sen N mg sen

0

(3)


8



Substituindo-se (2) em (3): T

c

mg cos

mg sen

mg (

c

cos

sen )

(4)

Substituindo-se (4) em (1): P

mg (

c

cos

sen )v 16.606,328

W

P 16,6 kW 52. Mostre que a velocidade v alcançada por um carro de massa m dirigido com potência constante P é dada por v

3xP m

1/ 3

,

onde x é a distância percorrida a partir do repouso. (Pág. 139) Solução. Sabe-se que: dW F .dx P F.v dt dt A expressão P = F.v dá a potência instantânea gerada pelo motor do carro, onde F é a força instantânea de propulsão do motor e v é a velocidade instantânea do carro. Como P é constante e v aumenta com o tempo, então F também é variável. Ou seja, o movimento do carro ocorre com aceleração variável. dv (1) P F.v Fv cos Fv mav m v dt Na Eq. (1), é o ângulo entre F e v que, neste caso, é zero. Aplicando-se a regra da cadeia a (1): dv dx dv P m v mv 2 dx dt dx m 2 dx v dv P x m v 2 dx v dv 0 P 0 x

m v3 P 3

v

3xP m

1/ 3

54. Qual é a potência desenvolvida por uma máquina de afiar cuja roda tem raio de 20,7 cm e gira a 2,53 rev/s quando a ferramenta a ser afiada é mantida contra a roda por uma força de 180 N? O coeficiente de atrito entre a roda e a ferramenta é 0,32. (Pág. 139) Solução. Considere o seguinte esquema: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 – Trabalho e Energia

9



fc r

y F

N

x

Em primeiro lugar vamos converter a freqüência angular f (rps) para velocidade angular 2 f

(rad/s):

A velocidade tangencial da roda vale: v r 2 rf

(1)

As forças no eixo x são F, a força que a ferramenta que é afiada exerce sobre a roda, e N a força de reação a F que aparece no eixo da roda. Logo: Fx

0

N F 0 N F Cálculo da potência dissipada pela força de atrito (fc): P fc .v fc v cos fc v cos fcv Nv

(2) (3)

Substituindo-se (1) e (2) em (3): P

2

Ffr

2

P

1,9 102 W

0,32 180 N 2,53 s

1

0, 207 m

189,5366

W

57. A resistência ao movimento de um automóvel depende do atrito da estrada, que é quase independente da sua velocidade v, e do arrasto aerodinâmico, que é proporcional a v2. Para um dado carro de 12.000 N, a força total de resistência F é dada por F = 300 + 1,8 v2, onde F está em newtons e v em m/s. Calcule a potência necessária para que o motor acelere o carro a 0,92 m/s2 quando a velocidade for 80 km/h. (Pág. 140) Solução. Forças que agem no carro: N F

Fm

y x

P A potência do motor P de um automóvel é dada pelo produto escalar da força gerada pelo motor Fm e a velocidade do automóvel v. Na Eq. (1), é o ângulo entre Fm e v. P Fm .v Fmv cos Fmv cos 0 Fmv (1)

A força do motor pode ser determinada a partir da segunda lei de Newton, onde F é a força de resistência ao movimento do carro: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 – Trabalho e Energia

10


Fx


max

Fm

F

ma

Fm

300 1,8v 2

P a g

(2)

Substituindo-se (2) em (1): 300 1,8v 2

P

P a v 51.428, 24 g

W

68,965

hp

P 69 hp 58. Um regulador centrífugo consiste em duas esferas de 200 g presas mediante hastes leves e rígidas de 10 cm a um eixo de rotação vertical. As hastes são articuladas de modo que as esferas se afastam para longe do eixo enquanto giram com ele. Entretanto, quando o ângulo é 45o, as esferas encontram a parede do cilindro dentro do qual o regulador está girando; veja a Fig. 24. (a) Qual é a velocidade mínima de rotação, em revoluções por minuto, necessárias para as esferas tocarem na parede? (b) Se o coeficiente de atrito cinético entre as esferas e a parede é 0,35, que potência é dissipada como resultado do atrito das esferas contra a parede quando o mecanismo gira a 300 rev/min?

(Pág. 140) Solução. (a) Forças sobre uma das esferas: y T m x P

A velocidade mínima de rotação é obtida quando as esferas estão na iminência de tocar nas paredes do cilindro (N = 0, onde N é a força normal de contato das esferas com a parede.). Forças em y: Fy

T cos

0

mg

0


11



mg cos Forças em x:

(1)

T

Fx

max

v2 r Substituindo-se (1) em (2): T sen

mac

(2)

v2 m r

mg sen cos v

m

lg sen tan

(3)

Cálculo da velocidade angular , em rpm: v v r l sen Podemos trabalhar diretamente com RPM fazendo a seguinte transformação: rpm

v l sen

rad s

60 s min

1 rot 2 rad

30v l sen Substituindo-se (3) em (4):

(4)

rpm

30

g l cos

rpm

rpm

9,81 m/s 2

30

0,10 m cos 45

112, 4769

rpm

1,1 102 rpm

(b) Forças sobre uma das esferas: y T v m x N Fc P

A equação (1) ainda é válida para esta situação. Forças em x: Fx

max

T sen

N

mac

m

v2 r

mv 2 T sen l sen Substituindo-se (1) em (5): N

mv 2 mg tan l sen A força de atrito cinética vale:: N

m

v2 l sen

(5)

(6)


12



fc

c

N

A potência total dissipada pelo atrito, considerando-se duas esferas, é: P

2 fc .v

(7)

2 c Nv

Substituindo-se (6) em (7): P

mv 2 l sen

2 cv

mg tan

(8)

De (4) temos: rpm

v

l sen

(9)

30 2

2 2 rpm

l sen 2

v2

(10)

900 Substituindo-se (9) e (10) em (8):

P

2

rpm c

c

P

l sen

30

m

rpm

2

m l sen 2

l sen

15

2 2 rpm

l sen 2

900 2

2 rpm

l

900

mg tan

g cos

(11) 2

0,35 0, 200 kg 300 rpm 0,10 m sen 45 P

15 2

300 rpm

2

0,10 m

900

P 18,6534

9,81 m/s 2 cos 45

W

P 19 W De acordo com (11), a potência dissipada será igual a zero se: 2

2 rpm

l sen

900

g tan

30

g l cos Que é a resposta literal do item (a). rpm


13



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 8 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA

02. Alega-se que até 900 kg de água podem ser evaporados diariamente pelas grandes árvores. A evaporação ocorre nas folhas e para chegar lá a água tem de ser elevada desde as raízes da árvore. (a) Suponha que em média a água seja elevada de 9,20 m acima do solo; que energia deve ser fornecida? (b) Qual a potência média envolvida, se admitirmos que a evaporação ocorra durante 12 horas? (Pág. 159) Solução. (a) A água ao ser transportada para o topo da árvore tem sua energia potencial aumentada de UA = 0 até UB = mgh. Ou seja: U

UB U A

U

mgh

O trabalho realizado para elevar a água corresponde à energia que deve ser fornecida: W U mgh 81.226,8 J

W

81,2 kJ

(b) W mgh 1,88025 W t t P 1,88 W

P

10. Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A (Fig. 25) com velocidade v0. Calcule a velocidade do carro: (a) no ponto B, (b) no ponto C, (c) no ponto D. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.

(Pág. 159) Solução. Como a única força que realiza trabalho (peso do carrinho) é conservativa, o sistema é conservativo. Portanto é possível aplicar o princípio da conservação da energia mecânica. Vamos supor que na base da montanha russa Ug = 0. (a) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 8 – Conservação de Energia

1



EA

EB

K A U gA

K B U gB

1 2 mv0 mgh 2

vB

v0

EA

EC

1 2 mvB 2

mgh

(b) K A U gA

KC U gC

1 2 mv0 mgh 2

1 2 mvC 2

v02

2 gh

gh

vC

v02

EA

ED

vC2

mg

h 2

gh

(c) K A U gA

1 2 mv0 2 v02

vC

K D U gD

mgh

2 gh

1 2 mvC 2

0

vC2

v02 2 gh

13. Uma haste delgada de comprimento L = 2,13 m e de massa desprezível pode girar em um plano vertical, apoiada num de seus extremos. A haste é afastada de = 35,5o e largada, conforme a Fig. 28. Qual a velocidade da bola de chumbo presa à extremidade inferior, ao passar pela posição mais baixa?


________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 8 – Conservação de Energia

2



L

Lcos

A B

h

vA = 0

m Ug = 0

vB A única força que realiza trabalho neste sistema é o peso da massa m. A tensão na corda, que é radial, é sempre ortogonal aos deslocamentos tangenciais da massa e, portanto, não realiza trabalho. Logo, a energia mecânica do sistema é conservada: EA EB K A U gA

K B U gB

1 2 mvB 2

0 mgh

vB2

2 g ( L L cos )

vB

vB

0

2 gL(1 cos )

2, 749135

m/s

2,75 m/s

A expressão literal da resposta indica que se 1 cos = 1 ou = 0o.

cos

= 0 implica em vB = 0. Isso ocorre quando

21. A mola de um revólver de brinquedo tem constante elástica de 7,25 N/cm. O revólver é inclinado de 36,0o acima da horizontal e dispara uma bola de 78 g à altura de 1,9 m acima da boca do revólver. (a) Qual a velocidade de saída da bola? (b) De quanto deve ter sido comprimida inicialmente a bola? (Pág. 161) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: C y vC g v0

h

B x A m

d

k Como o sistema é conservativo, vamos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos B e C. EB EC K B U gB

KC U gC


3



No ponto C o projétil tem velocidade vertical igual a zero e velocidade horizontal (que é a velocidade do projétil) igual a v0 cos . 1 2 1 2 mv0 0 m v0 cos mgh 2 2 v02

v02 cos2

2 gh 1 cos 2

v0 v0

2 gh

10,3874

m/s

10 m/s

(b) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos A e B:

EA

EB

K A U gA U eA

0 mgd sen

K B U gB U eB

1 2 kd 2

mv02 2mg sen d k k As raízes desta equação são: d2

d1

d1

2 k

0

0,108364

d2

Como d

1 2 mv0 0 0 2

0,107123

0: 0,11 m

23. Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito, ficando um quarto do seu comprimento dependurado na borda (veja Fig. 33). O comprimento da corrente é L e sua massa m; que trabalho é necessário para puxar para o tampo da mesa a parte dependurada?

(Pág. 161) Solução. Considerando-se que a força F irá puxar a corrente para a direita com velocidade constante, seu módulo será sempre igual ao módulo do peso P(y) da parte suspensa da corrente. Como o peso o peso da parte suspensa da corrente é variável, F também é variável. Seja a densidade linear de massa da corrente: m L m L ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 8 – Conservação de Energia

4



A massa da parte suspensa, que depende do comprimento y (coordenada vertical) vale: m( y ) y Logo: F( y )

P( y )

m( y ) g

gy

Portanto, o trabalho da força F(y) vale: W W

y y0

L/4

F( y ) dy

0

gydy

m y2 g L 2

L/4

0

mg L2 . 2 L 16

mgL 32

26. Duas crianças brincam de acertar, com uma bolinha lançada por um revólver de brinquedo situado na mesa, uma caixinha colocada no chão a 2,20 m da borda da mesa (veja a Fig. 35). Kiko comprime a mola de 1,10 cm, mas a bolinha cai a 27,0 cm antes da caixa. De quanto deve a mola ser comprimida pela Biba para atingir o alvo?

(Pág. 161) Solução. Considere o seguinte esquema: v0 = 0 y x

2 g

1

v

d

x

l Vamos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica no lançamento horizontal da bola pela mola: E0 E

K0 U e 0 0

kx2

1 2 kx 2

K Ue 1 2 mv 0 2

mv2


5



Logo, para o lançamento 1 teremos: kx12

mv12

(1)

Para o lançamento 2, teremos: kx22

mv22

(2)

Dividindo-se (1) por (2): x1 v1 x2 v2 v2 x1 v1

x2

(3)

Movimento horizontal da bola: x

x0 vxt

Logo, para o lançamento 1 teremos:

l d

(4)

v1t

Para o lançamento 2, teremos:

l

(5)

v2t

Dividindo-se (5) por (4) e lembrando-se que t tem o mesmo valor nessas equações: v2 l l d v1 Substituindo-se (6) em (3): l x2 x1 1, 25388 l d x2 1, 25cm

(6)

cm

27. Um pequeno bloco de massa m escorrega ao longo de um aro como mostrado na Fig. 36. O bloco sai do repouso no ponto P. (a) Qual a força resultante que atua nele quando estiver em Q? (b) A que altura acima do fundo deve o bloco ser solto para que, ao passar na parte mais alta do círculo, esteja a ponto de desprender-se dele?

(Pág. 161) Solução. (a) No ponto Q as forças que atuam no bloco são:


6



Q N

y x P

P

(1)

mgj

(2) N Ni Em Q a força normal (N) é a própria força centrípeta do movimento circular de raio R, uma vez que o peso do bloco (P) não possui componente radial. Logo: Fc ,Q

N

EP

EQ

mvQ2

R Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos pontos P e Q: K P U gP

KQ U gQ

0 mg 5R

1 2 mvQ 2

vQ2

(3)

mgR

8 gR

(4)

Substituindo-se (4) em (3): N 8mg

(5)

Substituindo-se (5) em (2): N 8mgi

(6)

Portanto, a força resultante sobre o bloco no ponto Q vale: R N P R 8mgi mgj (b) A condição para que no ponto T (topo da trajetória circular) o bloco esteja na iminência de desprender-se da superfície é que a força normal exercida pela superfície sobre o bloco (NT) seja zero. Logo, a força centrípeta do bloco no ponto T será seu próprio peso. Fc ,T vT2

P

mg

mvT2 R

(7)

gR

Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos pontos S e T, onde S é o novo ponto da rampa (altura h) de onde será solto o bloco a partir do repouso: ES ET K S U gS

KT

U gT

1 2 mvT mg 2 R 2 Substituindo-se (7) em (8): 1 h R 2R 2 0 mgh

(8)


7



h

5R 2

32. O fio da Fig. 38 tem comprimento L = 120 cm e a distância d ao pino fixo P é de 75,0 cm. Quando se larga a bola em repouso na posição mostrada ela oscilará ao longo do arco pontilhado. Qual será a sua velocidade (a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento? (b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar no pino?

(Pág. 162) Solução. Considere o seguinte esquema: vA = 0 A C d vC

r Ug = 0 B vB Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos estados A e B: EA EB K A U gA

0 mgL vB

vB

2 gL

K B U gB

1 2 mvB 0 2 4,8522

m/s

4,85 m/s

Esta velocidade é a mesma que seria obtida caso o bloco tivesse caído em queda livre da altura d + r. (b) De acordo com o resultado do problema 33 (Pág. 162), para que a bola faça um círculo completo ao redor do ponto P a distância d deve ser maior do que 3L/5. Como 3L/5 = 72 cm e d = 120 cm, isso implica em d 3L/5. Portanto, a bola faz uma trajetória circular completa ao redor do pino. Chamando de C o estado do sistema quando a bola está no topo da trajetória circular ao redor do pino: EA EC K A U gA

KC U gC


8



0 mgL vC2

1 2 mvC 2

mg 2( L d )

2 gL 4 g ( L d )

vC

2 g (2d

vC

2, 43 m/s

L)

2, 4261

m/s

A expressão literal da resposta indica que se 2d L = 0 implica em vC = 0. Isso ocorre quando d = L/2. Isto é verdade pois, neste caso, o ponto C (topo da trajetória circular em torno do pino) coincidiria com o pino (mesma altura do ponto A). 33. Mostre, ainda em relação à Fig. 38, que, para a bolinha do pêndulo completar uma volta inteira em redor do pino deve ser d > 3L/5. (Sugestão: A bolinha deve ter velocidade no alto da trajetória, caso contrário o fio se afrouxa.)

(Pág. 162) Solução. Considere o seguinte esquema: vA = 0 A C d vC

r Ug = 0 A condição mínima para que a bola complete uma volta em torno do ponto P é que a tensão na corda seja zero. Nesta condição a força centrípeta do seu movimento circular será o próprio peso da bola. Fc

P

vC2

gr

mg

mvC2 r

(1)

g (L d )

Aplicando-se o princípio da conservação da energia aos estados A e C: EA EC K A U gA

0 mgL

KC U gC

1 2 mvC 2

mg 2( L d )

(2)


9



Substituindo-se (1) em (2): 1 mgL mg ( L d ) mg 2( L d ) 2 L d L 2 L 2d 2 2 3L d 5 35. Um bloco de 3,22 kg parte do repouso e desliza uma distância d para baixo de uma rampa inclinada de 28,0o e se choca com uma mola de massa desprezível, conforme a Fig. 32. O bloco desliza mais 21,4 cm antes de parar momentaneamente ao comprimir a mola, cuja constante elástica é de 427 N/m. (a) Quanto vale d? (b) A velocidade do bloco continua a aumentar durante certo tempo depois de chocar-se com a mola. Qual a distância adicional que o bloco percorre antes de alcançar sua velocidade máxima e começar a diminuir?

(Pág. 162) Solução. (a) Considere o seguinte esquema:

d

(d + l) sen

A

l Ug = 0

B Na ausência da força de atrito o sistema é conservativo e a energia mecânica é conservada: EA EB K A U gA U eA

K B U gB U eB


10



0 mg (d l )sen

d

kl 2 2mg sen

d

0, 45 m

l

1 2 kl 2

0 0 0

0, 4453

m

(b) Considere o seguinte esquema da nova situação:

d

(d + l) sen l x

A

Ug = 0

v(x)

(l - x) sen

C Para encontrar a velocidade máxima que o bloco atinge após comprimir a mola de uma distância x vamos construir uma função v(x) = f(x) e em seguida encontrar o valor de x que torna dv(x)/dx = 0. Para construir v(x), vamos aplicar a conservação da energia mecânica aos pontos A, de onde o bloco é solto com velocidade nula, e C, o ponto onde a velocidade é máxima.

EA

EC

K A U gA U eA

KC U gC U eC

1 2 mv( x ) 2

0 mg (d l )sen

0

v( x )

kx 2 x) m

2 g sen (d

mg (l x)sen

1 2 kx 2

1/ 2

O valor de x que torna dv(x)/dx = 0 vale: dv( x ) dx

1 2 g sen (d 2

kx 2 x) m

1/ 2

. 2 g sen

2kx m

0

(1)

A Eq. (1) somente será verdadeira se: 2kx 2 g sen 0 m mg sen x 0, 03473 m k x 3,5 cm


11



36. Um garoto está assentado no topo de um hemisfério de gelo (Fig. 39). Ele recebe pequeno empurrão e começa a escorregar para baixo. Mostre que ele perde contato com o gelo num ponto situado à altura 2R/3, supondo que não haja atrito com o gelo. (Sugestão: A força normal anula-se quando se rompe o contato com o gelo.)

(Pág. 162) Solução. Considere o seguinte esquema: y m A

B R

h

vB P

x Como a única força que realiza trabalho é conservativa (força peso, P), há conservação da energia mecânica do sistema: EA EB K A U gA

0 mgR

h

K B U gB

1 2 mvB 2

mgh

vB2 2g

R

(1)

Na posição B o garoto está na iminência de perder contato com a superfície esférica. Isto significa que a força normal (N) que o gelo exerce sobre ele é zero. Logo, a força centrípeta do seu movimento circular será a componente de P na direção radial (Pr). Fc Pr mvB2 R vB2

mg sen

mg

gh

h R

(2)

Substituindo-se (2) em (1): gh h h R R 2g 2 h

2R 3


12



37. A partícula m da Fig. 40 move-se em um círculo vertical de raio R, no interior de um trilho sem atrito. Quando m se encontra em sua posição mais baixa sua velocidade é v0. (a) Qual o valor mínimo vm de v0 para que m percorra completamente o círculo, sem perder contato com o trilho? (b) Suponha que v0 seja 0,775 vm. A partícula subirá no trilho até um ponto P no qual perde contato com ele e percorrerá o arco indicado aproximadamente pela linha pontilhada. Determine a posição angular do ponto P.

(Pág. 162) Solução. (a) Considere o seguinte esquema: B vB P T R

m Ug = 0 A A condição mínima para que a partícula complete uma volta sem perder contato com o trilho é que sua força normal (N) seja zero no ponto mais alto de sua trajetória circular. Nesse ponto sua força centrípeta será o próprio peso da partícula (P). Fc P mg v0

mvB2 R vB2

mg

(1)

gR

Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados A e B: EA EB K A U gA

K B U gB

1 2 1 2 mv0 0 mvB mg 2 R 2 2 Substituindo-se (1) em (2): v02

(2)

gR 4 gR


13



v0

5 gR

(3)

(b) Considere o seguinte esquema: vP P Pr P

R

m Ug = 0 v0 A No ponto P a partícula perde contato com a superfície, o que torna N nula. Logo, a força centrípeta do seu movimento circular será a componente de P na direção radial (Pr).

Fc

Pr

mvP2 R vP2

mg sen

(4)

gR sen

Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos estados A e P:

EA

EP

K A U gA

K P U gP

1 m 0, 775v0 2 0, 7752 v02

vP2

2

0

1 2 mvP 2

mg R R sen

2 gR 2 gR sen

(5)

Substituindo-se (3) e (4) em (5): 0,7752.5gR 5.0,7752

sen

1

gR sen

2 gR 2 gR sen

2 3sen

1 5.0,7752 2 3

19,5345

19,5 56. Um pequeno objeto de massa m = 234 g desliza em um trilho que tem a parte central horizontal e as extremidades são arcos de círculo (veja Fig. 46). A parte horizontal mede L = 2,16 m e nas porções curvilíneas não há atrito. O objeto é solto no ponto A, situado à altura h = 1,05 m acima do trecho horizontal, no qual ele perde 688 mJ de energia mecânica, devido ao atrito. Em que ponto o objeto irá parar?


14



(Pág. 164) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: A

D

h c

Ug = 0

B

C

L Assim que a partícula é solta, sua energia potencial gravitacional inicial UA é convertida em energia cinética. Essa energia vale:

UA

mgh

Como a parte curva não apresenta atrito, ao chegar ao ponto B sua energia cinética será: KB

UA

mgh

(1)

Na parte plana o atrito começará a dissipar a energia mecânica da partícula, que está totalmente na forma de energia cinética. Devemos verificar se a partícula pára antes do ponto C ou se o ultrapassa, subindo a rampa oposta. Cada vez que a partícula atravessa a parte plana a força de atrito (f) realiza um trabalho W.

E Wat KC

KB

Wat

(3)

Substituindo-se (1) em (2): KC mgh Wat Como K é sempre positivo, temos que se mgh + Wat 0, o bloco vai subir a rampa oposta. Na verdade, mgh + Wat = 1,722317 J (lembre-se que Wat 0). Portanto a partícula atravessa a região central e sobe a rampa oposta. Cada vez que a partícula atravessa a parte plana ela perde Wat. O número de vezes que ela consegue atravessar a parte plana (n) é dado por: mgh nWat 0

n

mgh Wat

3,50336

Ou seja, a partícula atravessa três vezes a parte central plana e pára aproximadamente em L/2 na quarta vez em que tenta atravessá-la. 57. Dois picos nevados têm altitude de 862 m e 741 m, respectivamente, acima do vale entre eles. Uma pista de esqui estende-se do cimo do pico mais alto ao do mais baixo, conforme a Fig. 47. (a) Um esquiador parte do repouso no pico mais elevado. Qual sua velocidade ao chegar ao pico mais baixo se ele deslizou sem impulsionar-se com os bastões? Suponha que o solo esteja ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 8 – Conservação de Energia

15



gelado e por isso não há atrito. (b) Após uma nevada, uma esquiadora de 54,4 kg faz o mesmo trajeto, também sem utilizar os bastões e por pouco não consegue alcançar o pico mais baixo. De quanto aumenta a energia interna dos esquis e da neve sobre a qual ela desliza?

(Pág. 164) Solução. (a) Supondo que não haja atrito, as únicas forças que agem sobre o esquiador são o peso e a normal. Como esta é sempre ortogonal ao deslocamento do esquiador, não realiza trabalho. Logo, a força peso (força conservativa) é a única força que realiza trabalho, o que torna o sistema conservativo. Podemos aplicar o princípio da conservação da energia mecânica:

E1

E2

K1 U g1

K2 U g 2

0 mgh1

1 2 mv2 mgh2 2

2 gh1

v2 v2

v22

2 gh2

2 g h1 h2

48, 7239

m/s

48,7 m/s

(b) Agora há atrito entre o esqui e a neve e o trabalho realizado pelo atrito será igual à variação da energia mecânica do sistema. Wat

E

E2

Wat

0 mgh2

E1

K2 U g 2 0 mgh1

K1 U g1 mg h2 h1

64.573,344 J

O sinal negativo do trabalho indica que o sistema perdeu essa quantidade de energia, que foi convertida em calor que aquece a neve e os esquis. Logo, o aumento da energia interna observado da neve e dos esquis é: Eint,neve Wat,esquiador 64.573,344 J Eint,neve

64, 6 kJ


16



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 9 – SISTEMA DE PARTÍCULAS

2. Onde está o centro de massa das três partículas mostradas na Fig. 26?

(Pág. 187) Solução. A posição do centro de massa (rCM) é definida por: rCM xCM i yCM j A componente xCM vale: 1 xCM mi xi mi

xCM xCM

m1

1 m2 m3

1,0666

m1 x1 m2 x2 m3 x3

m

A componente yCM vale: 1 yCM mi yi mi

yCM

m1

1 m2 m3

yCM

1,3333

m

rCM

1m i

1m j

m1 y1 m2 y2 m3 y3

Logo:

3. Qual é a distância do centro de massa do sistema Terra-Lua ao centro da Terra? (Veja no Apêndice C as massas da Terra e da Lua e a distância entre os seus centros. É interessante ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

1



comparar o resultado com o raio da Terra. (Pág. 187) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Terra mT

Lua

d mL

x

xCM 0 xT = 0

xL = d TL

dTL

A posição do centro de massa do sistema Terra-Lua é xCM. Como a origem do referencial x está no centro da Terra, a distância procurada (d) vale: d

xCM

A posição do centro de massa é dada por: 1 xCM mi xi mi

xCM

1 mT

mL

mT xT

mL xL 1

xCM

24

5,98 10 kg

7,36 1022 kg 5,98 1024 kg .0

xCM

xCM

4, 6443

d

7,36 10 22 kg 3,82 108 m

106 m

4, 64 106 m

Como o raio da Terra é 6,37 106 m, conclui-se que xCM encontra-se no interior da Terra, a uma distância aproximadamente igual a 0,7 RT do centro do planeta. 7. Um homem de massa m segura-se numa escada de corda, que pende de um balão de massa M (veja a Fig. 27). O balão está estacionário em relação ao chão. (a) Se o homem começar a subir a escada com velocidade constante v (em relação à escada), em qual direção e a que velocidade (em relação à Terra) o balão se moverá? (b) Qual será o estado de movimento depois que o homem parar de subir?

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2



(Pág. 187) Solução. (a) Considere o seguinte esquema de velocidades:

vb vhb vh

y

Observa-se a seguinte relação de velocidades na presente situação, em que vb é a velocidade do balão, vh é a velocidade do homem e vhb é a velocidade do homem em relação ao balão ( que o problema chamou simplesmente de v), sendo todas as velocidades verticais: vb vhb vh

vb v vh

(1)

Como não há força externa resultante atuando sobre o sistema, a velocidade do centro de massa (nula) não se altera com o movimento do homem: vCM ,0 vCM 0 Mvb mvh

(2)

Substituindo-se (1) em (2): 0 Mvb mvb mv mv m M O sinal negativo indica que o balão se move para baixo, no sentido negativo do referencial y. (b) Após o homem parar de subir pela escada o balão volta ao estado estacionário, pois o centro de massa do sistema deve permanecer em repouso o tempo todo. vb

9. Um canhão e seu suprimento de balas estão dentro de um vagão fechado, de comprimento L, como mostra a Fig. 28. Atira-se com o canhão para a direita e o vagão recua para a esquerda. As balas permanecem no vagão depois de atingirem a parede oposta. Depois que todas as balas forem disparadas, qual é a maior distância que o carro pode ter percorrido a partir de sua posição inicial? (b) Qual é a velocidade do carro depois que todas as balas foram disparadas? ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

3



(Pág. 188) Solução. Considere o seguinte esquema: M

nm

Inicial

d 0

L

d

x

Final

Como só estão envolvidas forças internas ao sistema durante os disparos, a posição do centro de massa do sistema não muda. xCMi

xCMf

O sistema é composto por um vagão (V) de massa M e por n balas (B), cada uma de massa m. Logo: 1 M

nm

MxCMVi L 2

nmd

Md nmd

nmL

M d

d

nmxCMBi M

1 M

nm

MxCMVf

nmxCMBf

L nmL 2

L M 1 nm

A maior distância d é atingida quando o número de balas tende ao infinito (nm d

). Neste caso:

L

(b) Como as balas não podem sair do vagão e o centro de massa permanece em repouso, o vagão também deverá permanecer em repouso. vf

0

12. Uma bomba é lançada de uma arma com velocidade inicial de 466 m/s, num ângulo de 57,4 o com a horizontal. No topo da trajetória, a bomba explode em dois fragmentos de massas iguais. Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente depois da explosão é nula, cai verticalmente. A que distância da arma cairá o outro, supondo que o terreno seja plano? (Pág. 188) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

4



y

g

v0 m

m

2 xCM

x1

x2

x

R/2 R Se a bomba não tivesse explodido, seu alcance R seria dado por: R

v02 sen 2 g

Após a explosão, o centro de massa do sistema, que não sofreu interferência de forças externas, continua sua trajetória original. Após os pedaços da bomba terem caído no chão, a localização do centro de massa do sistema será na coordenada xCM = R. Sabendo-se que a localização do pedaço 1 da bomba está localizado em x1 = R/2, vamos usar essas informações para calcular a posição x2 do pedaço 2. MxCM 2mR x2

m1 x1 m2 x2 m

R mx2 2

3R 2

Ou seja: x2

3v02 sen 2 2g

x2

30,1 km

30.142,0988

m

13. Uma corrente flexível de comprimento L, com densidade linear , passa por uma polia pequena e sem atrito (veja a Fig. 30). Ela é abandonada, a partir do repouso, com um comprimento x pendendo de um lado e L x, do outro. Determine a aceleração a em função de x.


5



x

(Pág. 188) Solução. A força que acelera a corrente é o peso da porção de comprimento 2x Fx P(2 x

max L)

m(2 x

L)

g

m( L ) a

Na Eq. (1), m(2x L) é a massa da porção da corrente de comprimento 2x corrente (comprimento L). Como: m( L ) m(2 x L ) , L 2x L Temos: L m( L ) m(2 x L ) 2x L Substituindo-se (2) em (1): L m(2 x L ) g m(2 x L ) a 2x L 2x L a g L a

L.

1

(1) L e m(L) é a massa total da

(2)

2x g L

14. Um cachorro que pesa 5,0 kg está em um barco chato a 6,0 m da margem. Ele caminha 2,5 m no barco em direção à margem e pára. O barco pesa 20 kg e podemos supor que não haja atrito entre ele e a água. A que distância ele estará da margem ao fim desse tempo? (Sugestão: O centro de massa do barco + cachorro não se move. Por que?) A margem está também à esquerda da Fig. 31.


6



(Pág. 188) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: d0

l0 m

M

d l

l0

xb0 xc xb xc0 0 x Como não força externa resultante atuando no sistema, a aceleração do centro de massa do sistema é nula. Como o centro de massa está inicialmente em repouso, ele permanece em repouso durante todo o tempo independentemente do movimento do cachorro em relação ao barco. xCM 0 xCM mb xb 0 mc xc 0

mb xb

mc xc

Considerando-se a massa do cachorro mc = m e a massa do barco mb = M e analisando-se o esquema acima: M d 0 l0 m M d

d

d

md 0

M d l l0

m M d0

md

Ml

Ml m M 4,0 m

d0

17. Três varas finas, cada uma de comprimento L, estão arranjadas na forma de um U invertido, como mostra a Fig. 32. Cada uma das duas varas que formam os braços do U tem massa M e a terceira vara tem massa 3M. Onde está localizado o centro de massa do conjunto? ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

7



(Pág. 189) Solução. Como as varas são homogêneas, o centro de massa de cada uma delas está localizado na metade de seus respectivos comprimentos, como mostra o esquema a seguir: y 3M

L L/2

M

M L/2

L

x

Logo:

xCM xCM

1 mi

mi xi

m1

1 m2 m3

m1 x1 m2 x2 m3 x3

1 L M .0 3M ML 5M 2

L 2 De forma semelhante: xCM

yCM

1 L L M. 3ML M 5M 2 2

xCM

4L 5

18. A Fig. 33 mostra uma placa de dimensões 22,0 cm 13,0 cm 2,80 cm. Metade da placa é feita de alumínio (densidade = 2,70 g/cm3) e a outra metade de ferro (densidade = 7,85 g/cm3), como mostrado. Onde está o centro de massa da placa?


8



(Pág. 189) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: D

Fe y z

Al

H x

L/2

L/2

Aplicando-se argumentos de simetria, deduz-se que: D xCM 6,50 cm 2 H zCM 1, 40 cm 2 O cálculo de yCM pode ser feito considerando-se que a massa de cada metade da placa esteja concentrada nos respectivos centros de massa, projetados no eixo y. mA l

0

mF e

L/2

L

y

Logo:

yCM

1 mi

mi yi

1 mAl

mFe

mAl y Al

mFe yFe

1 LDH L LDH 3L Al Fe LDH 2 4 2 4 Al Fe 2 Na Eq. (1), AlLDH/2 é a massa da placa de alumínio (densidade L Al 3 Fe yCM 13,6848 cm 4 Al Fe

(1)

yCM

volume). Logo:


9



yCM

13,7 cm

19. Uma caixa, na forma de um cubo cuja aresta mede 40 cm, tem o topo aberto e foi construída de uma placa metálica fina. Encontre as coordenadas do centro de massa da caixa em relação ao sistema de coordenadas mostrado na Fig. 34.

(Pág. 189) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: z a a 4 1

a

3

2

y 5

x Chamaremos os lados da caixa de 1, 2, 3, 4 e 5. Resolveremos o problema determinando o centro de massa de cada lado da caixa e em seguida consideraremos a caixa como uma coleção de massas pontuais, cada uma com massa igual à massa de um lado da caixa. Depois encontraremos o centro de massa desse conjunto de massas pontuais. O centro de massa de cada lado da caixa é: a a r1 i k 2 2 a a r2 ai j k 2 2 a a r3 i aj k 2 2 a a r4 j k 2 2 a a r5 i j 2 2 O centro de massa da caixa está localizado em: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

10


rCM

1 mi

miri


1 mr1 mr2 mr3 mr4 mr5 5m

rCM

1 r1 r2 r3 r4 r5 5

rCM

1 a a 5 i 5 j 2ak 5 2 2

rCM

a i 2

xCM

20 cm

yCM

20 cm

zCM

16 cm

a 2 j ak 2 5

Logo:

20. Um tanque cilíndrico está inicialmente cheio com gasolina para avião. Drena-se o tanque através de uma válvula no fundo (veja a Fig. 35). (a) Descreva qualitativamente o movimento do centro de massa do tanque e de seu conteúdo, à medida que a gasolina escoa. (b) Qual é a profundidade x do nível de gasolina quando o centro de massa do tanque e de seu conteúdo estiver em sua posição mais baixa? Expresse sua resposta em termos de H, a altura do tanque; M, sua massa; e m, a massa da gasolina que ele pode conter.

(Pág. 189) Solução. (a) Quando o tanque de gasolina está cheio o centro de massa do sistema tanque+gasolina está no centro do tanque. À medida que a gasolina é escoada do tanque o centro de massa do sistema começa a baixar. Como o centro de massa do tanque vazio também se localiza no centro do tanque, deduz-se que em algum momento do escoamento da gasolina o centro de massa do sistema deve atingir um nível vertical mínimo e, a partir daí, voltar a subir em direção ao centro do tanque. (b) Considere o seguinte esquema:


11



M

H m

CM

h

xCM

Para resolver este problema temos de construir uma função matemática para a posição do centro de massa (xCM) em função do nível de gasolina no tanque (h). Em seguida devemos encontrar o valor de h que minimiza xCM (dxCM/dh = 0). A posição do centro de massa é dada por: 1 1 xCM mi xi mt xt mc xc mi mt mc 1

xCM

m( h )

m( h )

M

h H M 2 2

m( h ) h MH

xCM

2 m( h )

(1)

M

Como a massa da gasolina depende do seu nível no tanque m(h), precisamos determinar a função m(h). Para isso utilizaremos a densidade da gasolina : m m( h ) V

V( h )

Ou seja: m m V( h ) Ah V AH mh m( h ) H Substituindo-se (2) em (1): m( h )

xCM

mh h MH H mh 2 M H

xCM

mh 2 MH 2 2 mh MH

(2)

(3)

Vamos agora encontrar o valor de h que minimiza xCM (dxCM/dh = 0): dxCM dh

2mh.2 mh MH

mh 2

4 mh MH

2

MH 2 .2m

0

(4)

Como todas as grandezas envolvidas são positivas, (4) somente será verdadeira se: 4mh mh MH

2m mh2

mh2 2MHh MH 2

0

MH 2

(5)


12



A Eq. 4 é uma equação do segundo grau e sua solução é:

hmin

MH m

m M

1

1

Como hmin deve ser positivo, o termo entre parênteses também deve ser positivo. Para que isso ocorra o sinal da raiz quadrada deve ser positivo.

hmin

MH m

m M

1

1

21. Encontre a posição do centro de massa de uma placa semicircular homogênea, de raio R. (Pág. 189) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y M dm,da

dy R

y

x

Por simetria, deduz-se imediatamente que xCM = 0. O valor de yCM deve ser calculado. 1 yCM ydm M A densidade superficial de massa é definida por: M dm A da M dm da A Onde: R2 2 da 2R cos dy A

cos

1 sen

(2)

(3) (4)

Substituindo-se (3) e (4) em (2): 2M 4M dm 2 R cos dy cos dy 2 R R Mas: 1/ 2

2

(1)

1

y R

(5)

2 1/ 2

(6)

Substituindo-se (6) em (5): dm

4M 1 R

y R

2 1/ 2

dy

(7)

Substituindo-se (7) em (1): ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

13



4 R

yCM

R

y R

y 1

0

2 1/ 2

(8)

dy

Modificando-se (8) para: 2R

yCM

2y R2

R 0

1

2 1/ 2

y R

dy

Podemos identificar o seguinte padrão no integrando: 2 R R ' 1/ 2 yCM f ( y ) . f ( y ) dy 0

Onde: f( y )

y R

1

2

df( y )

f ('y )

e

2y R2

dy

A solução da integral acima é:

yCM

yCM

R

3/ 2 2R f( y ) . 3/ 2

2 2 . 1 3

0

y R

R 2 3/ 2

4R 3

13/ 2

0

4R 3

23. Um caminhão de 2.000 kg move-se para o Norte a 40,0 km/h e vira para o Leste; ele acelera até adquirir a velocidade de 50 km/h. (a) Qual foi a variação da energia cinética do caminhão? (b) Quais o módulo, a direção e o sentido da variação do momento linear do caminhão? (Pág. 189) Solução. (a) 1 m v 2 v02 2

K

K

K0

K

1 2.000 kg 2

K

6,9444

K

6,94 104 J

1 m/s 50, 0 km/h 3, 6 km/h

2

1 m/s 40, 0 km/h 3, 6 km/h

2

104 J

(b) Considere o seguinte esquema da situação: v

v0 y m

x

Os valores de v0 e v, de acordo com o referencial adotado, são v0 = v0 j e v = v i. Logo: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

14



p p p0 p

mv mv0

2,78 104 kg.m/s i

2, 22 104 kg.m/s j

29. Um homem de 80 kg, em pé numa superfície sem atrito, chuta para a frente uma pedra de 100 g de modo que ela adquire a velocidade de 4,0 m/s. Qual é a velocidade que o homem adquire? (Pág. 190) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: m2 m1

x v2 v1

Como o somatório das forças externas que agem sobre homem/pedra é zero, o momento linear é conservado durante todo o evento. Em x: P0 x p0 x ,1

Px p0 x ,2

px ,1

px ,2

0 0 m1v1 m2v2 0,100 kg 4, 0 m/s 80 kg

v2

m1v1 m2

v2 x

5, 0 10

3

m/s

30. Um homem de 75,2 kg encontra-se em uma carroça de 38,6 kg que se move à velocidade de 2,33 m/s. Ele salta da carroça de tal maneira que atinge o solo com velocidade horizontal nula. Qual será a variação na velocidade do veículo? (Pág. 190) Solução. Considere o seguinte esquema: m1 v02 m2 x v1 = 0 v2

Admitindo-se que o efeito do atrito no eixo das rodas e entre as rodas e o solo seja desprezível durante o evento, o momento linear será conservado na coordenada x. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 9 – Sistema de Partículas

15



P0 x

Px

p0 x ,1

p0 x ,2

px ,1

m1 m2 v01

px ,2

0 m2 v2

v2

m1 m2 v01 m2

v2

6,89 m/s

6,8873

m/s

Pode-se analisar a situação do ponto de vista do movimento do centro de massa, cuja velocidade não se altera. Como a maior parte da massa do sistema (homem) fica em repouso após saltar da carroça, para que a velocidade do centro de massa permaneça constante a carroça, cuja massa é menor, deve mover-se com velocidade maior. 31. Um vagão de estrada de ferro, de peso W, pode mover-se sem atrito ao longo de um trilho horizontal reto. Inicialmente, um homem de peso w está em pé no vagão, que se move para a direita com velocidade v0. Qual será a variação na velocidade do vagão se o homem correr para a esquerda (Fig. 37), de modo que sua velocidade relativa ao vagão seja vrel, imediatamente antes de ele pular para fora do vagão na extremidade esquerda?

(Pág. 190) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: w W

v0

Inicial vh

x

Final Considere o seguinte esquema de velocidades: v vh

v

vrel x A partir do esquema acima, tem-se: vh v vrel

(1)

Admitindo-se que haja conservação do momento linear em x durante todo o evento: P0 x Px p0 x ,h

p0 x ,v

mh v0 mv v0

px , h

px ,v

mhvh mv v


16



w W v0 g g w W v0

w W vh v g g wvh Wv

(2)

Substituindo-se (1) em (2): w W v0

wv wvrel Wv

w W v0

wvrel

w W v

w vrel w W

v v0

O sinal negativo indica que o vagão sofreu uma variação de velocidade positiva (para a direita), tendo-se em vista que vrel é negativa. 39. Uma bala de 3,54 g é atirada horizontalmente sobre dois blocos em repouso sobre uma mesa sem atrito, como mostra a Fig. 38a. A bala passa através do primeiro bloco, de 1,22 kg de massa, e fica engastada no segundo, de massa de 1,78 kg. Os blocos adquirem as velocidades de 0,630 m/s e 1,48 m/s respectivamente, conforme a Fig. 38b. Desprezando a massa removida do primeiro bloco pela bala, determine (a) A velocidade da bala imediatamente após emergir do primeiro bloco e (b) sua velocidade original.

(Pág. 190) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: v1A = 0 v0 m1

v1B

v2A = 0 m2

v2B

x (a) Considerando-se que não há interferência de forças externas sobre o movimento do sistema, há conservação do momento linear. Seja mb e v0b a massa e a velocidade inicial da bala, m1 a massa do bloco de 1,22 kg e m2 a massa do bloco de 1,78 kg. Colisão entre a bala e m2: P0 x Px p0 x ,b

p0 x ,2

p x ,b

mb vb

mb

m2 v2

px ,2


17



vb

mb m2 v2 mb

vb

746 m/s

745,6607

(1)

m/s

(b) Colisão entre a bala e m1: P0 x

Px

p0 x ,b

p0 x ,1

mb v0b

mb vb

p x ,b

px,1

(2)

m1v1

Substituindo-se (1) em (2): v0b

v0b

1

m2 v2 mb

m1 v1 mb

962, 7794

m/s

963 m/s

43. Um bloco de massa m está em repouso sobre uma cunha de massa M que, por sua vez, está sobre uma mesa horizontal, conforme a Fig. 39. Todas as superfícies são sem atrito. O sistema parte do repouso, estando o ponto P do bloco à distância h acima da mesa; qual será a velocidade da cunha no instante em que o ponto P tocar a mesa?

(Pág. 191) Solução. Vamos denominar o bloco de corpo 1 e a cunha de corpo 2. As forças externas que atuam sobre o sistema são a força da gravidade sobre m e M e a força normal sobre M. As forças normal e da gravidade atuam na vertical e, como a cunha se desloca na horizontal, não executam trabalho. Portanto, o sistema é conservativo. Logo, a energia mecânica inicial (E0) é igual à energia mecânica final (E). E0 E K0,1

K0,2 U 0,1 U 0,2

0 0 mgh MgyCM ,2 mv12

2mgh

K1

K 2 U1 U 2

1 2 mv1 2

1 Mv22 0 MgyCM ,2 2

Mv22

1 2mgh mv12 M O momento linear em x também é conservado. v22

P0 x

(1)

Px


18



p0 x ,1

p0 x ,2

px ,1

0 0 mv1x

px ,2

Mv2 x

mv1x

(2)

Mv2

O esquema das velocidades que agem no sistema é mostrado a seguir, onde v1 e v2 são as velocidades de m e M em relação ao solo e v12 é a velocidade de m em relação a M:

v12

v1 y x v2

A partir do esquema acima podemos perceber que: v1x v12 cos v2 ,

(3)

E, pela lei dos cossenos: v12

v22 v122

(4)

2v2v12 cos

Substituindo-se (3) em (2): 0

mv12 cos

v2

Mv2

m M v2 m cos Substituindo-se (5) em (4): v12

2 1

v

2 1

v

(5)

2 2

m M v2 m cos

2 2

m M m2 cos 2

v

v 1

2

2v2

`2

m M v2 cos m cos

2 m M m

(6)

Substituindo-se (6) em (1): 2 2

v

m M 1 2mgh mv22 1 M m2 cos2

`2

2 m M m

(7)

Desenvolvendo-se a equação (7), chega-se a:

v22

2m2 gh cos 2 m M

M

m 1 cos 2

Logo: 1/ 2 2

v2

2m gh cos m M

M

2

m 1 cos 2


19



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 10 – COLISÕES

01. Na prova de resistência do pára-choques de um novo carro, o veículo, de 2.300 kg e a 15 m/s, colide com o parapeito de uma ponte, sendo parado em 0,54 s. Determine a força média que atuou no carro durante o impacto. (Pág. 209) Solução. Considere o seguinte esquema: m

v

x F

Durante o curto tempo de duração da colisão a única força externa relevante que atua no carro é a força do parapeito da ponte (F). Portanto: dP Fext F dt Suponha que o referencial x aponta no sentido do movimento do carro. Em x: dPx F dt (1) dPx Fdt De acordo com a Seção 10.3 (Pág. 195), a Eq. (1) é equivalente a: Px

F t

F

px t

p p0 t t0

F

mv0 t

F

6, 4 104 N

m v v0 t 0

63.888,88

m 0 v0 t

N

02. Uma bola de massa m e velocidade v bate perpendicularmente em uma parede e recua sem perder velocidade. (a) O tempo de colisão é t; qual a força média exercida pela bola na parede? (b) Avalie numericamente essa força média no caso de uma bola de borracha de massa de 140 g à velocidade de 7,8 m/s, sendo de 3,9 ms a duração do choque. (Pág. 209) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 10 – Colisões

1



Considere o seguinte esquema: m

v

x

-v

m

(a) A força média envolvida na colisão é: m px p p0 m v v0 t t t 2mv F t (b) O módulo da força média é: 2(0,140 kg)(7,8 m/s) F 560 N (3,9 10 3 ms) F

F

v v t

5,6 102 N

32. Uma bola de aço de 0,514 kg está amarrada a um fio de 68,7 cm e é solta quando este está na horizontal (Fig. 32). No fim do arco de 90o descrito pela bola, ela atinge um bloco de aço de 2,63 kg que está em repouso numa superfície sem atrito: a colisão é elástica. Determine (a) a velocidade da bola e (b) a velocidade do bloco, ambas imediatamente após o choque. (c) Suponha agora que na colisão metade da energia cinética mecânica seja convertida em energia interna e energia sonora. Determine as velocidades finais.


________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 10 – Colisões

2



m1 A m2 v1B

B x

C v2C

v1C

O movimento de A até B é feito com energia mecânica constante (ausência de forças dissipativas), logo:

EA

EB

KA U A

KB U B

0 m1 gl

1 m1v12B 0 2

v1B

2 gl

3, 67136

m/s

(a) Durante o choque o momento linear é conservado. Vamos chamar de B a situação do sistema antes do choque e C a situação imediatamente após o choque. Para choques elásticos, v1C é dada por: m1 m2 v1C v1B m1 m2 v1C

2, 4709

m/s

v1C

2, 47 m/s

(b) Para choques elásticos v2C é dada por: 2m1 v2C v1B m1 m2 v2C

1, 20043

v2C

1, 20 m/s

m/s

(c) Energia cinética: KB KC ' 2

1 m1v12C ' 2

1 m2v22C ' 2

1 1 m1v12B 2 2

1 m1v12B 0 2 Conservação do momento linear B PBx PC ' x

1 m2v22B 2

m1v12C ' m2v22C '

m1v1B

m2v2 B

(1) C’:

m1v1C ' m2v2C '

m1v1B 0 m1v1C ' m2v2C ' ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 10 – Colisões

3



v2C '

m1v1B

m1v1C '

(2)

m2


v1C '

2m1v1B v1B 2m2 m2 m1 2 m1 m2

(3)

São duas as possibilidades para v1C’: v1C ' 1,34768 m/s v1C '

Como m1 v1C '

2,54811

m/s

m2, sabe-se que v1C’

0. Logo:

1,35 m/s


v2C '

2m1m2v1B

m1v1B 2m2 m2 m1 2m2 m1 m2

Também são duas as possibilidades para v2C’: v2C ' 0, 219525 m/s v2C '

0,980907

m/s

Somente v2C’ = 0,980907... torna KC’ = KB/2 (verifique você!). Logo: v2C '

0,981 m/s

40. Uma bola de massa m é lançada com velocidade v, no cano de uma espingarda de mola de massa M, que está inicialmente parada numa superfície sem atrito, conforme a Fig. 34. A bola fica agarrada ao cano no ponto de máxima compressão da mola e não há perda de energia por atrito. (a) Qual a velocidade da espingarda depois que a bala pára no cano? (b) Que fração da energia cinética inicial da bola fica armazenada na mola?



4



M

vi

m

Inicial

vf Final x

(a) Trata-se de um choque completamente inelástico (v1f = v2f). O momento linear em x é conservado. Pxi Pxf m1v1i

m2v2i

mvi

0

mv f

vf

m vi m M

m1v1 f

m2v2 f

Mv f

(b) A energia armazenada na mola é dada por Ki fica armazenada na mola é: 1 2 1 2 K i K f 2 mvi 2 m M v f f 1 2 Ki mvi 2 Substituindo-se (1) em (2) e simplificando-se: M f m M

(1) Kf. Logo, a fração da energia cinética inicial que

(2)

41. Um bloco de massa m1 = 1,88 kg desliza ao longo de uma superfície sem atrito com velocidade de 10,3 m/s. Diretamente em frente dele, e movendo-se no mesmo sentido, há um bloco de massa m2 = 4,92 kg, cuja velocidade é 3,27 m/s. Uma dada mola de massa desprezível, cuja constante elástica vale k = 11,2 N/cm está presa à traseira de m2, conforme a Fig. 35. Quando os blocos se chocam, qual a compressão máxima da mola? (Sugestão: No momento de compressão máxima da mola, os dois blocos se movem juntos e o choque é completamente inelástico nesse ponto; calcule então a velocidade comum.)

(Pág. 212) Solução. Como foi sugerido no enunciado, no momento da compressão máxima da mola os blocos viajam à mesma velocidade (colisão inelástica). Aplicando-se a conservação do momento linear: Pxi Pxf ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 10 – Colisões

5



m1v1i vf

m2 v2i

m1v1 f

m2 v2 f

m1 m2 v f

m1v1i m2 v2i m1 m2

(1)

Como não há forças dissipativas agindo no sistema, a energia mecânica é conservada: Ei E f K1i

K 2i U i

1 m1v12i 2

x

K1 f

1 m2v22i 2

m1v12i

K2 f

Uf

1 m1 m2 v 2f 2

0

m2 v22i

1 k x2 2

m1 m2 v 2f

(2)

k

Substituindo-se (1) em (2): 2 1 1i

mv

2 2 2i

mv

m1 m2

x

m1v1i m2v2i m1 m2

2

k A simplificação desta expressão resulta em:

x

v1i v2i

m1m2 k m1 m2

0, 24499

m

x 24,5 cm 42. Dois trenós de 22,7 kg cada um estão à curta distância um do outro e na mesma reta, conforme a Fig. 36. Um gato de 3,63 kg, em pé num dos trenós, pula para o outro e imediatamente volta ao primeiro. Ambos os pulos são feitos à velocidade de 3,05 m/s em relação ao trenó onde está o gato a pular. Calcule as velocidades finais dos dois trenós.



6



v1A = 0

A

v2A = 0 vgB

v1B

B

v1C = v1B

v2B = 0 v2C

C vgD v1D = v1B

v2D

D

v1E v2E = v2D E Uma consideração importante a ser feita é que, embora o enunciado tenha fornecido a velocidade do gato em relação ao trenó, as velocidades utilizadas na aplicação da conservação do momento linear são em relação ao solo. A velocidade do gato em relação ao solo (vg) vale: (1) vg vt vgt

Na Eq. (1) vt é a velocidade do trenó, que será substituída por v1 (trenó 1) e v2 (trenó 2) e vgt é a velocidade do gato em relação ao trenó (que é uma velocidade de sinal negativo, pois tem o sentido contrário ao do trenó). O momento linear do sistema na direção x é conservado devido à ausência de forças externas nessa direção. Nos estados A e B temos: PxA

PxB

PgA

P1 A

0

PgB

mg vgB

P1B

(2)

Mv1B

Substituindo (1) em (2): 0 mg v1B vgt

Mv1B

m vgt m M

v1B

(3)

Estados B e C: PxB PxC PgB

P1B

P2 B

PgC

P1C

P2C

Temos que P2B = 0 e P1B = P1C. Logo: PgB PgC P2C mvgB

mvgC

(4)

Mv2C

Substituindo (1) em (4): m v1B vgt

m M v2C

(5)

Substituindo (3) em (5):

m v2C

m vgt m M mM m M

2

mvgt vgt

m M v2C (6)

Estados C e D: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 10 – Colisões

7



PxC

PxD

PgC

P1C

P2C

PgD

P1D

P2 D

Temos que P1C = P1D. Logo: PgC P2C PgD P2 D m M v2C

mvgD

Mv2 D

Substituindo (1) e (6) em (7): mM m M v 2 gt m M

mM vgt m M m2

v2 D v2 D

mvgt

2

m M

(7)

m v2 D

vgt

Mv2 D

m M v2 D

vgt

0,0591785

(8)

m/s

5,92 cm/s

Estados D e E:

PxD

PxE

PgD

P1D

P2 D

PgE

P1E

P2 E

Temos que P2D = P2E. Logo: PgD P1D PgE P1E mvgD

Mv1B

m M v1E

(9)

Substituindo (1) e (3) em (9):

m v2 D vgt

m vgt m M

M

mM vgt m M Substituindo-se (8) em (10): mv2 D

mvgt

m3 m M v1E v1E

2

vgt

m2 M m M

3

(10)

m M v1E

mM vgt m M

mvgt vgt

m M v1E

0,0515484

m M v1E m/s

5,15 cm/s

A prova de que esse cálculo está certo pode ser feita somando-se o momento linear final do sistema, que deve ser igual ao inicial, ou seja, zero: Pf

Pf

Pg

P1 P2

m M

m M v1E

m2 M m M

3

vgt

M

Mv2 D

m2 m M

2

vgt


8



m2 M

Pf

m M

m2 M

v 2 gt

m M

2

vgt

0

46. Dois veículos A e B que estão viajando respectivamente para o leste e para o sul, chocam-se num cruzamento e ficam engavetados. Antes do choque, A (massa de 1.360 kg) movia-se a 62,0 km/h e B (massa de 1.820 kg)tinha velocidade de 93,0 km/h. Determine o módulo e o sentido da velocidade dos veículos engavetados imediatamente após o choque. (Pág. 212) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: mB vB0 vA0

mA

y

v

x

Considerando-se que as forças internas envolvidas na colisão são muito mais intensas que outras forças externas, admite-se que o momento linear é conservado na colisão. Em x: P0 x Px p A0 x

pB 0 x

pAx

pB x

mAvA0 0 mAvA mB vB mA v A 0

mAv cos

mB v cos

mA mB v cos

(1)

Conservação do momento linear em y: P0 y Py p A0 y

pB 0 y

pAy

pB y

0 mB vB 0

mAvA mBvB

mB vB 0

mA mB v sen

mAv sen

mBv sen

(2)

Dividindo-se (1) por (2): mB vB 0 tan mAv A0

63,5189

o

O sinal negativo está relacionado ao sentido anti-horário de apenas seu valor absoluto.

em relação ao eixo x. Interessa-nos

63,5o

De (1):


9



mAvA0 mA mB cos

v

59, 4654

km/h

v 59,5 km/h 47. Dois objetos A e B se chocam. A massa de A é de 2,0 kg e a de B, 3,0 kg. Suas velocidades antes da colisão eram respectivamente viA = 15 i + 30 j e viB = 10 i + 5,0 j. Após o choque, vfA = 6,0 i + 30 j; todas as velocidades as~em m/s. (a) Qual a velocidade final de B? (b) Quanta energia cinética foi ganha ou perdida na colisão? (Pág. 212) Solução. (a) Admitindo-se que haja conservação do momento linear durante a colisão:

Pi

Pf

p Ai pBi mA v Ai

p Af

pBf

mB vBi

mA v Af

mB vBf

vBf

mA ( v Ai mB

v Bf

(2, 0) (15i 30 j) ( 6, 0i 30 j) (3, 0)

vBf

4,0i 5,0 j

v Af ) v Bi ( 10i 5, 0 j)

(b)

K

Kf

Ki

1 mAvAf2 2

1 mB vBf2 2

1 mAvAi2 2

1 mB vBi2 2

1 2 2 mA vAf vAi mB vBf2 vBi2 2 Normalmente calcularíamos vAf2 como sendo igual a vAxf2 + vAyf2. Porém, neste problema não ocorre variação do momento linear na coordenada y. Portanto, pode-se considerar, para fins do cálculo de K, vAf2 = vAxf2. Logo: 1 2 2 2 2 K mA vAxf vAxi mB vBxf vBxi 2 1 K (2, 0 kg) ( 6, 0 m/s) 2 (15 m/s) 2 (3, 0 kg) (4, 0 m/s)2 ( 10 m/s)2 2 K 315 J K 0,32 kJ K

A resposta apresentada no livro (+700 J) é incoerente, pois indica ganho de energia cinética pelo sistema. Desprezando-se a atuação de forças externas durante a colisão e considerando-se que nenhuma energia potencial elástica eventualmente acumulada no sistema converta-se em energia cinética, a energia cinética do sistema só pode permanecer como está (colisão elástica) ou diminuir (colisão inelástica). 51. Um próton (massa atômica 1,01 u) choca-se elasticamente, a 518 m/s, com outro próton parado. O primeiro próton é desviado 64,0o de sua direção inicial. (a) Qual a direção da velocidade do ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 10 – Colisões

10



próton-alvo após o choque? (b) Quais as velocidades dos prótons depois do impacto? (Pág. 212) Solução. Considere o seguinte esquema: y v2f m

m

v1i

x v2i = 0 v1f

Na ausência de força externa resultante o momento linear será conservado em x e em y. Em x: Pxi Pxf p1xi

p2 xi

p1xf

mv1i

0

mv1 f cos

v1i

v1 f cos

p2 xf mv2 f cos

(1)

v2 f cos

Em y: Pyi

Pyf

p1 yi

p2 yi

0 0

p1 yf

p2 yf

mv1 f sen

v1 f sen

mv2 f sen

(2)

v2 f sen

As Eqs. (1) e (2) possuem três incógnitas e, por conseguinte, há necessidade de uma terceira equação para resolver o sistema. A terceira equação vem da informação dada no enunciado do problema, que disse ser o choque entre os prótons elástico. Logo: Ki K f K1i

K 2i

1 2 mv1i 2 v12i

v12f

K1 f

K2 f

1 2 mv1 f 2

0

1 2 mv2 f 2

v22 f

(3)

Dentre os vários caminhos que podem ser seguidos para resolver o sistema de equações (1), (2) e (3), adotaremos o seguinte. Tomemos o quadrado de (1): v12i

2v1i v1 f cos

v12f cos 2

v22 f cos 2

(4)

Tomemos também o quadrado de (2): v12f sen 2

v22 f sen 2

(5)

Adicionando-se (4) e (5) e reconhecendo-se que sen2 v12i

2v1i v1 f cos

v12f

v22 f

+ cos2

= 1 e sen2

+ cos2

= 1: (6)

Substituindo-se v2f2 de (3) em (6): v12i v1 f

2v1i v1 f cos v1i cos

v12f

v12i

227, 076

v12f m/s


11



v1 f

227 m/s

v2 f

v12i v12f

v2 f

466 m/s

De (3): 465,5753

m/s

Finalmente, de (1): cos

1

v1i v1 f cos v2 f

26

54. Dois pêndulos de mesmo comprimento L estão situados inicialmente como na Fig. 38. O da esquerda é solto da altura d e bate no outro. Suponha que a colisão seja completamente inelástica e despreze a massa dos fios e quaisquer efeitos de atrito. A que altura se eleva o centro de massa do conjunto após o choque?


L A m1 v1A = 0 d Ug = 0

L

L C

Bi m2 v2B = 0

Bf

h

v12C = 0

v12B v1B Desprezando-se eventuais efeitos de atrito a energia mecânica do sistema é conservada durante a queda do corpo m1: EA EB

KA U A

KB U B

0 m1 gd

1 m1v12B 2

v1B

2 gd

0

(1)


12



Na colisão entre m1 e m2 o efeito das forças externas é desprezível. Portanto, o momento linear é conservado: PBi PBf p1Bi

p2 Bi

m1v1B

0

p1Bf

p2 Bf

m1 m2 v12 B

(2)

Na Eq. (2), v12B é é a velocidade inicial do conjunto m1-m2 após a colisão. Substituindo-se (1) em (2): v12 B

m1 2 gd m1 m2

Após a colisão, o movimento do conjunto ocorre com energia mecânica constante:

EB

EC

KB U B

KC U C

1 m1 m2 v122 B 0 0 2 Substituindo-se (2) em (3):

h

m1 m1 m2

m1 m2 gh

(3)

2

d

60. (a) Mostre numa colisão elástica unidimensional a velocidade do centro de massa de duas partículas, de massas m1 e m2, que têm velocidade inicial v1 e v2, respectivamente, é expressa por m1 m2 vCM v1i v2i . m1 m2 m1 m2 (b) Aplique as Eqs. 15 e 16 para v1f e v2f (as velocidades das partículas após o choque), a fim de deduzir o mesmo resultado para vCM após o impacto. (Pág. 214) Solução. (a) A posição do centro de massa de duas partículas, m1 e m2, cujas posições iniciais são, respectivamente, x1i e x2i, é dado por: 1 (1) xCM m1 x1i m2 x2i m1 m2 Derivando-se ambos os membros de (1) em relação ao tempo: m1 dx1i m2 dx2i vCM m1 m2 dt m1 m2 dt

vCM

m1 v1i m1 m2

m2 v2i m1 m2

(b)

v1 f

m1 m2 v1i m1 m2

2m2 v2i m1 m2

(15)


13



2m1 v1i m1 m2

v2 f

m2 m1 v2i m1 m2

(16)

A velocidade do centro de massa das duas partículas após a colisão é, de acordo o resultado do item (a): m1 m2 (2) vCMf v1 f v2 f m1 m2 m1 m2 Substituindo-se (15) e (16) em (2): m1 m1 m2 v1i m1 m2 m1 m2

vCMf

m12 m1m2

vCMf

m1 m2

vCMf

2

v1i

2m1m2 m1 m2

2

m12 m1m2

m22 m1m2

m1 m2

m1 m2

v 2 1i

m1 v1i m1 m2

vCMf

2m2 v2i m1 m2

2

v1i

m2 2m1 v1i m1 m2 m1 m2

2m1m2 m1 m2

2

v2i

m2 m1 v2i m1 m2

m22 m1m2 m1 m2

2

v2i

v2i

m2 v2i m1 m2

61. No laboratório, uma partícula de massa 3,16 kg, move-se a 15,6 m/s para a esquerda e se choca frontalmente com outra partícula de massa 2,84 kg, que tem velocidade de 12,2 m/s para a direita. Determine a velocidade do centro de massa do sistema de duas partículas após a colisão. (Pág. 214) Solução. Considere o esquema a seguir: m1

v2i

v1i

m2 x

Como não há forças externas agindo sobre o sistema, o centro de massa não é acelerado. FExt

MaCM

0

Logo: vCM

Constante

vCMi

vCMf

vCM

Por definição:

vCM

vCMf

1 m1 m2

1 m1 m2

m1v1 m2 v 2

m1v1i

m2 v 2i

Como o choque é unidimensional (coordenada x), temos: 1 vCMf m1v1i m2v2i 2, 44133 m/s m1 m2 vCMf

2, 44 m/s


14



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 11 – CINEMÁTICA ROTACIONAL

04. Uma roda gira com aceleração angular  dada por   4at 3  3bt 2 onde t é o tempo e a e b são constantes. Se a roda possui velocidade angular inicial 0, escreva as equações para (a) a velocidade angular da roda e (b) o ângulo descrito, como função do tempo. (Pág. 225) Solução. (a) Vamos partir da equação dada: d  4at 3  3bt 2 dt d   4at 3  3bt 2  dt

 d    4at 

t

0

0

3

 3bt 2  dt

  0  at 4  bt 3   0  at 4  bt 3 (b) Vamos partir do resultado do item (a): d  0  at 4  bt 3 dt d  0  at 4  bt 3  dt 



0

d   0  at 4  bt 3  dt t

0

   0  0 t 

at 5 bt 4  5 4

   0  0t 

at 5 bt 4  5 4

05. Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro de segundos, (b) do ponteiro de minutos e (c) do ponteiro de horas de um relógio? (Pág. 225) Solução. (a)



 2   0,104719 t  60 s 

rad/s

  0,105 rad/s ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 – Cinemática Rotacional

1



(b)



 2   1,7453 103 rad/s t  60  60 s 

  1, 75 103 rad/s (c)



 2   1, 4544 t 12  60  60 s 

104 rad/s

  1, 45 104 rad/s 09. Uma roda de 30 cm de raio possui oito raios. Ela está montada em um eixo fixo e gira à razão de 2,5 rev/s. Você deseja atirar uma flecha de 24 cm de comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem tocar seus raios. Admita que tanto a flecha como os raios são muito finos; veja a Fig. 14. (a) Qual é a velocidade mínima que a flecha pode ter? (b) É importante o ponto, entre o eixo e a borda da roda, que você mira? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?

(Pág. 225) Solução. (a) A condição mínima para que a flecha consiga passar pela roda é que o tempo para a flecha percorrer seu próprio comprimento (l), tf, deve ser igual ao tempo requerido para a roda percorrer 1/8 de sua circunferência, tr: t f  tr l 1/ 8  v  v  8l v  4,8 m/s

(b) A distância que a flecha passa pela roda medida a partir do centro não é importante. Embora o espaço disponível para a flecha passar próxima ao centro seja menor, a velocidade tangencial da roda nessa região também é proporcionalmente menor. 14. Como parte de uma inspeção de manutenção, a turbina de um motor a jato é posta a girar de acordo com o gráfico mostrado na Fig. 15. Quantas revoluções esta turbina realizou durante o teste? ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 – Cinemática Rotacional

2



(Pág. 225) Solução. Vamos dividir o intervalo total de 5 s em três subintervalos: A (0 s – 1 s), B (1 s – 3,5 s) e C (3,5 s – 5 s). Em A e C o movimento é acelerado e em B o movimento é com velocidade angular constante. O número de revoluções pode ser calculado diretamente pela variável , uma vez que se use  em rev/s e  em rev/s2. O número total de revoluções será:   A  B  C

Cálculo de A: 1 2

  0  (0   )t 1 1 A  (A0  A )t  0   300 rev/s  (1 s) 2 2 A  1.500 rev

Cálculo de B:

  0  t B  B t   300 rev/s  (2,5s)

B  11.250 rev Cálculo de C: 1 2

  0  (0   )t 1 1 C  (C 0  C )t  0   3.000 rev/s  0  (1,5 s) 2 2 C  2.250 rev

Logo:

  11.250 rev É evidente que esta mesma resposta pode ser obtida de maneira mais confortável a partir do gráfico (t)  t, que foi dado. Vejamos: d (t )  (t ) dt d(t )  (t ) dt ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 – Cinemática Rotacional

3



t

(t )   ( t ) dt t0

Portanto, a área compreendida no gráfico (t)  t, no intervalo entre t0 e t corresponde ao deslocamento angular . Como o gráfico apresentado é um trapézio, sua área será: ( B  b) h A 2 Onde B é a base maior e b é a base menor do trapézio. (ti  ts )  (5 s  0)  (3,5 s  1 s)  (3.000 rev/s)  0  2 2   11.250 rev

 

29. Um pino rosqueado com 12,0 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino é aparafusada nele; veja a Fig. 17. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino?

(Pág. 226) Solução. A velocidade (v) com que a barra avança no pino é dada por:  l v   t Nesta equação  é a velocidade angular da barra,  é a densidade linear de voltas da rosca e l é a distância que a barra avança num tempo t. Logo: l t  0, 07594 min t t  4,6 s 34. Um método antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda dentada girante. Um feixe de luz passa por uma fenda na borda da roda, como na Fig. 18, propaga-se até um espelho distante e retorna à roda no tempo exato para passar através da fenda seguinte na roda. Uma destas rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas tomadas quando o espelho se encontrava à distância de 500 m da roda indicaram uma velocidade de 3,0  105 km/s. (a) Qual era a velocidade angular (constante) da roda? (b) Qual era o módulo da velocidade linear de um ponto em sua borda?

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 – Cinemática Rotacional

4



(Pág. 226) Solução. (a) O tempo de ida e volta da luz é igual ao tempo que a roda leva para girar  = 2/500 rad. Para a luz: s 2 L vc  t tluz tluz 

2L c

(1)

Para a roda:



 2  t 500.troda

2 500 Igualando-se (1) e (2): 2L 2  c 500 c   3.769,911 500l troda 

(2)

rad/s

  3,8 103 rad/s (b)

v  r  188, 4955

m/s

v  1,9 102 m/s

35. Uma roda A de raio rA = 10,0 cm está acoplada por uma correia B à roda C de raio rC = 25,0 cm, como mostra a Fig. 19. A roda A aumenta sua velocidade angular à razão uniforme de 1,60 rad/s2. Determine o tempo necessário para que a roda C atinja uma velocidade rotacional de 100 rev/min; suponha que não haja deslizamento da correia. (Dica: Se a correia não desliza, os módulos das velocidades lineares na borda das duas rodas são iguais.)


5



(Pág. 227) Solução. O tempo procurado pode ser obtido a partir da equação de movimento acelerado da roda C:

  0   t

C  C 0  C t t

C C

(1)

Embora as acelerações angulares das rodas C (C) e A (A) sejam diferentes, suas acelerações tangenciais (aC e aA) são iguais, pois é a mesma aceleração da correia B.

a A  aC

 ArA  C rC C 

 A rA rC

(2)

Substituindo-se (1) em (2):  r t  C C  16,3624 s  ArA

t  16, 4 s 36. As lâminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com aceleração angular de 0,236 rad/s2. Quanto tempo passa até que um ponto da lâmina assuma os mesmos valores para os módulos da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial? (Pág. 227) Solução. A condição para que a aceleração centrípeta e a aceleração tangencial sejam iguais é: aC  aT

2r   r   O tempo para atingir essa velocidade partindo do repouso é:   0   t

  0  t


6



t

  1    2,0584 s 2   

t  2,06 s 41. Um objeto se move no plano de xy de forma que x = R cos t e y = R sen t, sendo x e y as coordenadas do objeto, t o tempo e R e  constantes. (a) Elimine t entre estas equações para encontrar a equação da curva na qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado da constante ? (b) Derive as equações de x e y em relação ao tempo para encontrar as componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para encontrar o módulo, a direção e o sentido de v. Descreva o movimento do objeto. (c) Derive vx e vy com relação ao tempo para obter o módulo, a direção e o sentido da aceleração resultante. (Pág. 227) Solução. (a) Vamos elevar ao quadrado a equação de x. x  R cos t

x2  R2 cos2 t

x 2  R2 1  sen 2 t  x2 R2 Agora vamos fazer o mesmo com a equação de y: y  R sen t sen 2 t  1 

(1)

y 2  R 2 sen 2 t

(2)

Substituindo-se (1) em (2): y 2  R2  x2 x2  y 2  R2

(3)

A Eq. (3) corresponde à equação de uma circunferência. A constante  ajusta a freqüência dos ciclos das funções trigonométricas seno e cosseno. Em termos físicos,  é a freqüência ou velocidade angular do objeto que se move ao longo da trajetória circular. Veja o esquema a seguir: y

y r  x

x

(b) dx  vx   R sen t dt ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 – Cinemática Rotacional

7



dy  v y   R cos t dt Logo, o vetor velocidade vale: v  vx i  v y j   R sen ti   R cos tj

O módulo de v vale:

v

  R sen t    R cos t  2

2

v   2 R 2 sen 2 t   2 R 2 cos 2 t v   R sen 2 t  cos 2 t

v  R Sabendo-se que: r  xi  yj  R cos ti  R sen tj O produto escalar entre r e v vale: r  v   R cos ti  R sen tj    R sen ti   R cos tj

r  v   R cos ti     R sen ti    R cos ti    R cos tj    R sen tj    R sen ti    R sen tj   R cos tj

r  v  R2 sen t cos t  0  0  R2 sen t cos t rv  0 Como:

r  v  Rv cos  0 Onde  é o ângulo entre os vetores r e v. Como cos  = 0, isso implica em  = 90o. Logo, r e v são ortogonais. Portanto, como r é radial, v deve ser tangencial à trajetória circular. Veja o esquema a seguir: y v

vy y

vx r  x

x

(c) dvx  ax   2 R cos t   2 x dt dv y  a y   2 R sen t   2 y dt

Logo: a  ax i  a y j   2 xi   2 yj ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 – Cinemática Rotacional

8



Esta equação mostra que a tem a mesma direção de r, porém com o sentido contrário. Ou seja, a aponta no sentido radial. O módulo de a vale: a

  x     y  2

2

2

2

  2 x2  y 2

a   2r Veja o esquema a seguir: y

y

ax ay

r a  x

x


9



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 12 – DINÂMICA DA ROTAÇÃO

6. A Fig. 36 mostra um bloco uniforme de massa M e arestas de comprimento a, b e c. Calcule a sua inércia rotacional em torno de um eixo que passe em um vértice e seja perpendicular à face maior do bloco. (Dica: Veja a Fig. 9.)

(Pág. 247) Solução. A Fig. 9 mostra que o momento de inércia de um bloco, semelhante ao da Fig. 36, em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa e paralelo ao eixo mostrado na Fig. 36 é dado por: I CM

M a 2 b2

12 Para descobrir o momento de inércia do bloco em relação ao eixo que passa pelo vértice basta aplicar o teorema do eixos paralelos: I

Mh2

I CM

Considere o seguinte esquema, em que h, a distância de separação entre os dois eixos, é dada pelo teorema de Pitágoras: h b/2

a/2 CM

Logo:

I

I

M a 2 b2 12

M

a 2

2

b 2

2

M a 2 b2 3

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

1



Como esperado, I ICM. Quando o eixo está localizado no vértice do bloco a distribuição geral de sua massa é mais afastada do eixo quando comparada ao eixo passando pelo centro de massa. 8. Duas partículas, cada uma com massa m, estão unidas uma a outra e a um eixo de rotação por duas hastes, cada uma com comprimento L e massa M, conforme a Fig. 37. O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular . Obtenha uma expressão algébrica para (a) a inércia rotacional do conjunto em torno de O e (b) a energia cinética de rotação em torno de O.

(Pág. 247) Solução. Considere o esquema a seguir: D C

B A

m

m

z

(a) O momento de inércia total do conjunto vale: I

I Barra A

I Bola B

I Barra C

I Bola D

Podemos tratar as barras A e C como sendo apenas uma barra E de comprimento 2L e massa 2M: I I Barra E I Bola B I Bola D (1) O momento de inércia da barra E é (conferir Fig. 9, pág. 234): 2 M (2 L) 2 8ML2 3 3 Os momentos de inércia devido às bolas valem: I Barra E

I Bola B

mL2

I Bola D

m(2 L) 2

(2)

(3) 4mL2

(4)

Substituindo-se (2), (3) e (4) em (1): I

8ML2 3

mL2

I

5m

8M 2 L 3

4mL2

(5)

(b) A energia cinética do sistema vale: 1 2 K I 2 Substituindo-se (5) em (6):

K

5m 2

4M 2 L 3

(6)

2


2



13. Neste problema desejamos calcular a inércia rotacional de um disco de massa M e raio R em torno de um eixo que passa através de seu centro, perpendicularmente à sua superfície. Considere um elemento de massa dm na forma de um anel de raio r e largura dr (veja a Fig. 39). (a) Qual é a massa dm desse elemento, escrita como fração da massa total M do disco? Qual é a inércia rotacional dI desse elemento? (c) Integre o resultado da parte (b) para encontrar a inércia rotacional do disco como um todo.

(Pág. 248) Solução. (a) O elemento de massa dm pode ser encontrado partindo-se da densidade superficial de massa , supostamente uniforme. M dm 2 R 2 rdr Logo: dm 2rdr M R2 (b) A inércia rotacional de um anel de raio r e massa dm é dada por:

dI r 2dm Utilizando-se o resultado do item (a), temos: 2Mrdr dI r 2 R2 dI

2Mr 3 dr R2

(c) I

dI

I

MR 2 2

R 0

2Mr 3dr R2

2M R2

R 0

3

r dr

2M R 4 R2 4

14. Neste problema, utilizamos o resultado do problema anterior para a inércia rotacional de um disco para calcular a inércia rotacional de uma esfera maciça uniforme de massa M e raio R em torno de um eixo que passe através de seu centro. Considere um elemento dm da esfera na forma de um disco de espessura dz à altura z do centro (veja a Fig. 40). (a) Quando escrita em fração da massa total M, qual é a massa dm do elemento? (b) Considerando-se o elemento como um disco, qual é a sua inércia rotacional dI? (c) Integre o resultado de (b) sobre a esfera toda ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

3



para encontrar a inércia rotacional da esfera.

(Pág. 248) Solução. (a) O elemento de massa dm pode ser encontrado partindo-se da densidade volumétrica de massa , supostamente uniforme. M dm 4 r 2 dz R3 3 Logo: 2 2 dm 3 R z dz M 4 R3 (b) A inércia rotacional de um disco de raio r e massa dm é dada por: 1 2 dI r dm 2 Utilizando-se o resultado do item (a), temos:

dI

dI

1 2 3Mr 2 dz r 2 4 R3

3M R 2

z2

2

dz

8R3

(c)

I I

I

dI

R

3M R 2

R

3M 2 R4 z 3 8R

8R

z2

2

dz

3

2R2 z3 3

z5 5

R

0

3M 2 8R3

R 0

3M R5 3 4R

R2 2R5 3

z2

2

dz

R5 5

3M 8R 5 4 R 3 15

2 MR 2 5

28. A Fig. 45 mostra dois blocos, cada um de massa m, suspensos nas extremidades de uma haste rígida e sem massa de comprimento L1 + L2, com L1 = 20,0 cm e L2 = 80,0 cm. A haste é mantida na posição horizontal mostrada na figura e então liberada. Calcule as acelerações lineares dos dois blocos quando eles começarem a mover-se. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

4



(Pág. 249) Solução. Considere o seguinte esquema das forças que atuam sobre a haste: L1 L2 y

mg

O

mg

CM

z

x

F

Como a haste é rígida as acelerações angulares ( ) de ambos os blocos serão iguais. Suas acelerações lineares, na coordenada y, serão dadas por:

a1

(1)

L1

a2

(2)

L2

A aceleração angular é calculada por meio da segunda lei de Newton: τ

Iα

Torques em z: L1mg L2 mg

I0

mg L1 L2 I0

(3)

Como a barra possui massa desprezível, o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de suspensão consiste apenas na contribuição das massas m em cada lado desse eixo. I0

mL12 mL22

m L12

L22

(4)

Substituindo-se (4) em (3): g L1 L2 2 1

L

2 2

L

9,81 m/s 2

0, 200 m

0, 200 m

2

0,800 m

0,800 m

2

8, 65588

rad/s 2

O sinal negativo de indica que o sentido da aceleração da barra é horário. Para o cálculo de a1 e a2, utilizamos as Eqs. (1) e (2): a1

8,65588

rad/s2 0, 200 m

1,7311 m/s2

a1 1, 73 m/s 2

O sinal positivo de a1 indica que a extremidade esquerda da barra acelera no sentido positivo do eixo y. a2

8,65588

rad/s2 0,800 m

6,9247

m/s2


5


a2


6,92 m/s 2

O sinal negativo de a2 indica que a extremidade direita da barra acelera no sentido negativo do eixo y. 29. Dois blocos idênticos, cada um com massa M, são ligados por uma corda leve que passa sobre uma polia de raio R e inércia rotacional I (Fig. 46). A corda não escorrega sobre a polia e não se sabe se existe atrito ou não entre o plano e o bloco que escorrega. Quando esse sistema é solto, verifica-se que a polia gira do ângulo durante o intervalo de tempo t e a aceleração dos blocos é constante. (a) Qual a aceleração angular da polia? (b) Qual a aceleração dos dois blocos? (c) Quais as trações nas porções superior e inferior da corda? Expresse todas as respostas em termos de M, I, R, , g e t.

y z

x

(Pág. 249) Solução. (a) A polia percorre um ângulo num tempo t, logo: 1 2 t 0 0t 2 1 2 0 0 t 2 2 (1) t2 O sinal negativo de está em acordo com o referencial adotado. (b) A aceleração do bloco sobre a superfície horizontal vale: a R (2) O sinal negativo corrige o sinal da aceleração em x (positiva) em relação ao sinal da aceleração angular da polia (negativa). Substituindo-se (1) em (2): a

2 t2

R

2 R t2 (c) Esquema de forças sobre o bloco 1 (suspenso pelo fio): T1 y a M x a

Mg ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

6



Forças no bloco 1 em y: Fy

Ma y

T1 Mg T1

2 R t2

M

2 R t2

M g

(3)

Esquema de forças na polia: T2 y z

x

T1

Torques na polia em z: z

I

z

RT1 RT2

(4)

I

Substituindo-se (2) e (3) em (4)

RM g T2

T2

2 I Rt 2

Mg

2 R t2 Mg

2 MR t2

RT2

I

2 t2

2MR t2

I R

34. Uma esfera oca uniforme gira em torno de mancais verticais sem atrito (Fig. 47). Uma corda de massa desprezível passa pelo equador da esfera e sobre uma polia; ela está presa a um pequeno objeto que pode cair livremente sob a influência da gravidade. Qual será a velocidade do objeto após este ter caído a distância h a partir do repouso?

(Pág. 250) Solução. A variação da energia cinética do bloco m é igual ao trabalho gravitacional: Wg K K K0 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

7



1 2 mv 2 T 2h g 1 m

mgh T1h v2

(1)

Forças no corpo m em y: T1 y am m

x mg Fy

Ma y

T1 mg

mam

T1 am g m Torques na polia em z: T2

(2)

y

r m

z

m

x

T1 I

z

z

rT2 rT1

I

I r Substituindo-se (2) em (3) e Iam T2 mam mg r2 Torques na casca esférica: M T2

y

m

R

I

z

por am/r:: (4)

x

z T2

aM

z

RT2

I

RT2

a 2 MR 2 M 3 R

T2

(3)

T1

M

2 MaM 3

(5)


8



Substituindo-se (5) em (4): Iam 2 (6) MaM mam mg 3 r2 Na Eq. (6), aM é a aceleração linear do fio ligado à casca esférica, está na coordenada x e é positivo. am é a aceleração linear do bloco m, está na coordenada y e é negativo. Portanto: (7) aM am Substituindo-se (7) em (6): Iam 2 Mam mam mg 3 r2 2 I am M m 2 mg 3 r am

g 2M 3m

(8)

I 1 mr 2

Substituindo-se (8) em (2): T1 g g 2M I m 1 3m mr 2

(9)


v2

v

2h g g

g 2M 3m

1

I mr 2

2 gh 2M I 1 3m mr 2

36. Um corpo rígido é formado por três barras finas idênticas, presas na forma de uma letra H (Fig. 48). O corpo pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que passa por uma das pernas do H. Solta-se esse corpo a partir do repouso, de uma posição na qual o plano do H é horizontal. Qual é a velocidade angular do corpo quando o plano do H for vertical?

(Pág. 250) Solução. Considere o seguinte esquema da situação, em que CM indica o centro de massa das duas barras que efetivamente giram: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

9



L CM

L

h

L 0 = 0 z

CM Ug = 0

x

y

Pode-se aplicar o princípio da conservação da energia mecânica aos estados inicial (E0) e final (E): E0

E

K0 U g 0

K Ug

0 2mgh

1 I 2

2

0

4mgh (1) I Na Eq. (1), m é a massa de cada barra, I é o momento de inércia das barras que giram, sem contar com a barra que está no eixo e h é a queda sofrida pelo centro de massa das barras que giram. A distância que vai do eixo até o centro de massa das barras que giram vale: 2

MyCm

2myCm

mi yi

m

L mL 2

3L h 4 Momento de inércia do conjunto das barras que giram: yCm

I

I1 I 2

mL2 3

mL2

4mL2 3 Substituindo-se (2) e (3) em (1): 3L 4mg 9g 2 4 2 4mL 4L 3 I

(2)

(3)

3 g 2 L 50. Uma bolinha compacta de massa m e raio r rola sem deslizar ao longo do trilho em curva mostrado na Fig. 50, tendo sido abandonada em repouso em algum ponto da região reta do trilho. (a) De que altura mínima, a partir da base do trilho, a bolinha deve ser solta para que percorra a parte superior da curva? (O raio da curva é R; suponha que R r). (b) Se a bolinha for solta da altura 6R acima da base do trilho, qual a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto Q? ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

10



(Pág. 251) Solução. Considere o seguinte esquema das situações (a) e (b): m, r C

y A C

vC

6R

vQ

mg

h

Q R

N

0 (a) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos A e C: EA EC K A U gA

K C U gC

1 2 1 2 mvC I C mg 2R 2 2 Sabendo-se que o momento de inércia de uma esfera sólida de raio r e massa m é 2mr2/5 e aplicando-se a relação v = r: 0 mgh

mgh

1 2 mvC 2

2 gh

vC2

h

7vC2 10 g

2vC2 5

2R

1 2mr 2 vC2 2 5 r2

2mgR

4 gR

(1)

A condição mínima para que a esfera possa dar a volta em torno do círculo de raio R é que no ponto C a força centrípeta do movimento circular seja igual ao peso da esfera: Fc P mvC2 R vC2

mg gR

(2)


11



Substituindo-se (2) em (1): 7R h 2R 10 27 R h 10 (b) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica aos pontos B e Q: EB EQ K B U gB

KQ U gQ

0 mg 6R

1 2 mvQ 2

6mgR

1 2 mvQ 2

12 gR vQ2 10 gR

2vQ2 5

1 I 2

2 Q

2 1 2mr 2 vQ 2 5 r2

mgR

mgR

2 gR

7vQ2 5

50 gR 7 A componente horizontal da força que age na esfera no ponto Q (força normal, N) é a força centrípeta do movimento circular da esfera naquela posição: vQ2

N N

(3)

Fc mvQ2

R Substituindo-se (3) em (4): m 50 N gR R 7 50 N mg 7

(4)

51. Um cilindro maciço de comprimento L e raio R tem peso P. Duas cordas são enroladas em torno do cilindro, perto de cada borda, e as pontas das cordas são presas a ganchos no teto. O cilindro é mantido na horizontal com as duas cordas exatamente verticais e então é abandonado (Fig. 51). Ache (a) a tração em cada corda enquanto elas se desenrolam e (b) a aceleração linear do cilindro enquanto ele cai.


12



(Pág. 251) Solução. (a) Considere o seguinte esquema das forças que agem sobre o cilindro: M 2T y R a z x P Torques em z: I

z

z

MR 2 2

R.2T

a R

Pa 4g

T

(1)

Análise da translação do cilindro: Fy

2T

Ma y

P

P a g

g 2T P P Substituindo-se (1) em (2): P g T 2T P 4g P

(2)

a

4T

P 2T P T 6 (b) Substituindo-se (3) em (2):

a a

g P 2 P P 6

g

(3)

1 1 3

2g 3


13



53. Mostre que um cilindro vai derrapar num plano inclinado com inclinação atrito estático entre o plano e o cilindro for menor do que 1/3 tan .

se o coeficiente de (Pág. 251)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y N f

a

z

P

x

A condição de rolamento do cilindro é dada por a = R, em que a é a aceleração linear, é aceleração angular e R é o raio do cilindro. A condição para que o cilindro deslize pela rampa ao invés de rolar é que a seja maior do que o produto R: (1) a R Agora vamos calcular a e para substituir em (1). Forças em y: Fy

0

N mg cos N

0 (2)

mg cos

Forças em x: Fx

max

f

ma

Px

mg sen

N

Substituindo-se (2) em (3): mg sen mg cos a

g sen

(3)

ma ma

cos

(5)

Torques em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do cilindro, em z: z

fR

I

z

mR 2 2

mg cos R

mR 2 2

2 g cos R Substituindo-se (5) e (6) em (1): 2 g cos g sen cos R R

(6)


14


sen

cos

tan

2


2 cos

1 tan 3

54. Um corpo rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v. A seguir ele rola para cima em uma rampa até a altura máxima h. Se h = 3v2/4g, que corpo deve ser esse? (Pág. 251) Solução. Este é um sistema conservativo e, portanto, a energia mecânica é conservada. A estratégia para resolver este problema é descobrir o momento de inércia do corpo e compara-lo com o momento de inércia de corpos conhecidos. E0

E

Ug0

K0

Ug

K

1 2 1 2 mv I mgh 0 2 2 Aplicando-se a condição de rolamento v = R: 0

1 2 mv 2 m

I R2

1 v2 I 2 R2

mg

3v 2 4g

3m 2

mR 2 2 Com este momento de inércia, o corpo pode ser um disco ou um cilindro de massa m e raio R. I

57. Um cilindro maciço de 10,4 cm e massa 11,8 kg parte do repouso e rola sem deslizar uma distância de 6,12 m para baixo do telhado de uma casa, que é inclinado de 27o. (a) Qual a velocidade angular do cilindro em torno de seu eixo, quando ele deixa o telhado? (b) A parede exterior da casa tem 5,16 m de altura. A que distância da parede o cilindro deverá tocar no solo? Veja a Fig. 54.

(Pág. 251) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 12 – Dinâmica da Rotação

15



y

A m, r d h’

B vB h l

x (a) Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica do sistema aos estados A e B:

EA

EB

K A U gA

K B U gB

1 2 mvB 2

0 mg h h ' 2mgh ' mvB2

2mgd sen

I

m

3r 2 2 4 gd sen 3r 2

2 gd sen 2 B

B

B

1 I 2

2 B

mgh

2 B

2 2 B

r

mr 2 2

2 B

2 B

4 gd sen 3 r 58,0 rad/s

57,9655

rad/s

(1)

(b) Análise do movimento da esfera do momento em que perde contato com o telhado até tocar o solo. Em x: x x0 vxt x 0 vB cos t t

x vB cos

(2)

Em y: 1 2 ayt 2

y y0

vyt

0 h

vB sen t

1 2 gt 2

(3)



16



h

1 g 2

h

gx 2 2vB2 cos 2

Como vB =

Br,

x vB cos

2

vB sen

x vB cos

x tan

temos:

gx 2 2 B2 r 2 cos 2

h

2

g r cos 2

2 2 B

x tan x2

tan

x h

0

As raízes desta equação do segundo grau são: x1 x2

4, 2108 7, 2079

m m

De acordo com o referencial adotado, a coordenada x onde a esfera toca o solo é negativa. Logo, a distância alcançada pela bola na queda do telhado vale: l 4, 21 m


17



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 13 – MOMENTO ANGULAR

03. Mostre que o momento angular, em relação a um ponto qualquer, de uma partícula que se move com velocidade uniforme, permanece constante durante o movimento. (Pág. 268) Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

v

d

m y r

z

x

O O módulo do momento angular do sistema em relação a um ponto genérico O vale: l r p Na coordenada z: l rmv sen O esquema mostra que: r sen d Logo: l mvd Como m, v e d são constantes, l também é constante. 05. Duas partículas de massa m e velocidade v deslocam-se, em sentido contrário, ao longo de duas retas paralelas separadas por uma distância d. Ache a expressão para o momento angular do sistema em relação a qualquer ponto. (Pág. 269) Solução. Considere o seguinte esquema da situação, em que v1 = v2 = v:

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

18



v1

m y

d z

m r1

x

v2 r2

O O módulo do momento angular do sistema em relação a um ponto genérico O vale: L l1 l 2 Na coordenada z: L r1mv sen

r2 mv sen

1

L

mv r1 sen

L

mvd

1

r2 sen

2 2

12. A Fig. 26 mostra duas rodas, A e B, ligadas por uma correia. O raio de B é três vezes maior do que o de A. Qual seria a razão dos momentos de inércia IA/IB, se (a) ambas tivessem o mesmo momento angular e (b) ambas tivessem a mesma energia cinética de rotação? Suponha que a correia não escorregue.

(Pág. 269) Solução. (a) LA

LB

IA

A

IA

v RA

IB IB

IA IB

RA RB

IA IB

1 3

B

v RB

RA 3RA

(b)

KRotA

KRotB


19



1 IA 2

IA

1 IB 2

2 A

v RA

IA IB

RA2 RB2

IA IB

1 9

2 B

2

v RB

IB

RA2 3RA

2

2

RA2 9RA2

14. Ache o momento angular da Terra em sua rotação em torno do próprio eixo, utilizando os dados dos apêndices. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme. (Pág. 269) Solução. Dentro da aproximação referida no enunciado, o momento angular da Terra vale: 2 2 (1) L Iw MR 2 5 T Na Eq. (1), M e R são a massa e o raio da Terra e T é o período de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo.

L

4 MR 2 5T

4

5,98 1024 kg 6,37 106 m s 5 24 h 3.600 h

2

7, 0583

1033 kg.m2 /s

L 7,06 1033 kg.m2 /s

16. A Fig. 27 mostra um corpo rígido simétrico girando em torno de um eixo fixo. Por conveniência, a origem das coordenadas é colocada no centro de massa. Divida o corpo em elementos de massa mi e, somando as contribuições destes elementos para o momento angular, mostre que o momento angular total L = Iw.

(Pág. 269) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

20



Vamos analisar o caso tridimensional, que é mais geral do que o apresentado na Fig. 27. z i

ri’

mi

li

a

vi

ri y riy’

ri’

rix’

x Seja mi um elemento de massa do corpo M, ri a localização, vi a velocidade linear e li o momento linear de mi. Logo:

li

ri mi vi

li

rxi i ryi j rzik

mi vxi i vyi j vzik

Como o movimento circular é em torno do eixo z, a velocidade linear tem componentes apenas em x e y. li

mi rzi vyi i mi rzi vxi j mi rxi v yi ryi vxi k

(1)

A velocidade vi do elemento de massa é dada por: vi

ω ri'

(2)

Na Eq. (2), é o mesmo para todos os elementos de massa. Multiplicando-se ambos os membros de (2) por ri’: ri' v i

ri'

ω ri'

ri' .ri' ω

ri' v i

ri' .ω ri'

O último termo entre parênteses é zero por se tratar de produto escalar entre vetores ortogonais. Logo: ωi ωi

ri' v i ri' .ri' rxi v yi rxi2

ryi vxi ryi2

k

rxi v yi

ryi vxi ri'2

k

Eliminando-se a notação vetorial: rxi v yi

ryi vxi

ri '2

(3)

Substituindo-se (3) em (1): li

mi rzi v yi i mi rzi vxi j mi ri '2k

Somando-se os momentos angulares de todos os elementos de massa: L

li

mi rzi v yi i

mi rzi vxi j

mi ri '2k

Por razões de simetria os dois primeiros termos do segundo membro resultam em zero. Portanto: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

21



mi ri '2k

L

L

mi ri '2k

I k

19. Para fazer uma bola de bilhar rolar sem escorregar, deve-se bater com o taco exatamente a uma altura de 2R/5 acima do centro, e não no centro da bola. Prove isso. (Para aprender mais a respeito da mecânica do bilhar, veja Arnold Sommerfeld, Mechanics, Academic Press, Orlando, pp. 158-161.) (Pág. 270) Solução. Considere o esquema a seguir: M, R

F h CM

Forças em x: Fx

max

F

Ma F a M Torques em relação ao centro de massa da bola na coordenada z: z

I

(1)

z

2 (2) MR 2 . 5 A condição para que a bola comece a rolar sem deslizar imediatamente após a tacada é: a (3) R O sinal negativo em (3) corresponde ao fato de em x a aceleração linear a ser positiva e em z a aceleração angular ser negativa, de acordo com o referencial adotado. Substituindo-se (3) em (2): 2MRa (4) h 5F Substituindo-se (1) em (4): 2R h 5 È interessante notar que a bola irá começar a rolar imediatamente após a tacada independentemente de haver ou não atrito entre a bola e a mesa. F .h

21. Uma barra de comprimento L e massa M repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito. Um taco de hóquei de massa m movendo-se com velocidade v, como mostra a Fig. 29, colide elasticamente com a barra. (a) Que grandezas são conservadas na colisão? (b) Qual deve ser a massa do taco para que ele fique em repouso após a colisão? ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

22



(Pág. 270) Solução. (a) Ocorre conservação da energia cinética (colisão elástica), do momento linear total (ausência de força externa resultante) e do momento angular total (ausência de torque externo resultante). (b) Como o taco não colide no centro de massa da barra, após a colisão haverá movimento de translação do centro de massa da barra (V) associado ao movimento de rotação da barra em torno de seu centro de massa ( ). Aplicando-se a conservação do momento linear:

P0

P

mv

MV

m2v 2 M2 Aplicando-se a conservação da energia cinética: V2

K0

K

1 2 mv 2

1 MV 2 2

1 I 2

2

ML2 2 12 Aplicando-se a conservação do momento angular: mv 2

L0

MV 2

(2)

L

mvd

I

mvd

ML2 12

122 m 2 v 2 d 2 M 2 L4 Substituindo-se (1) e (3) em (2): 2

mv 2 1

(1)

m M

ML2

M

m2v 2 M2

(3)

ML2 122 m 2 v 2 d 2 12 M 2 L4

12md 2 ML2

m L2 12d 2


23


m


ML2 L2 12d 2

23. Um jogador de bilhar dá uma tacada em uma bola inicialmente em repouso. O taco é sustentado na horizontal à distância h acima da linha do centro, como mostra a Fig. 31. A bola inicia seu movimento com velocidade v0 e, eventualmente, adquire a velocidade final 9 v0/7, por causa desse tipo de tacada. Mostre que h = 4R/5, sendo R o raio da bola.

(Pág. 270) Solução. Considere o seguinte esquema da situação, que está invertido em relação à Fig. 31. y M F h z x A v0 B

f Deslizamento v

C Rolamento Dividimos o problema em três estados. O estado A refere-se ao instante em que a bola recebe a tacada, B refere-se ao instante imediatamente após a tacada, em que a bola adquire velocidade v0 e desliza sobre a mesa e C é quando a bola, após deslizar certa distância sobre a mesa, possui velocidade v e rola sobre a mesa. O movimento de translação gerado em B é o resultado do impulso ( P, em que P é o momento linear da bola) da força (F) aplicada em A. P PB PA Mv0 0 F t

F t

Mv0

(1)

A mesma análise pode ser feita para o movimento de rotação da bola, em que L é o momento angular, I é o momento de inércia e 0 é a velocidade angular inicial da bola: L LB LA I 0 0 t 2 MR 2 5 F t

0

Fh t

2 MR 2 5h

0

(2)


24



O sinal negativo que aparece em (2) refere-se ao sentido do torque que a força F exerce sobre a bola. Igualando-se (1) e (2): 2MR 2 0 Mv0 5h 5hv0 0 2R2 Vamos analisar agora a translação da bola desde o estado B até o estado C: Fx

f

(3)

Max

Ma

f M Movimento de B a C:

(4)

a

vx

vx 0 axt

A velocidade vx foi dada no enunciado do problema e ax é dada pela Eq. (4): 9v0 f v0 t 7 M 2 ft Mv0 7 Agora vamos analisar a rotação da bola desde o estado B até o estado C: I

z

(5)

z

2MR 2 fR 5 5f 2MR Rotação de B a C: z

z0

z

t

9v0 5hv0 5f t 2 7R 2R 2MR 5 ft 5hv0 9v0 2M 2R 7 h 18 ft Mv0 R 35

(6)

Igualando-se (5) e (6):

2 Mv0 7 h

Mv0

h 18 R 35

4 R 5

27. Suponha que o combustível nuclear do Sol se esgote e ele sofra um colapso brusco, transformando-se numa estrela anã branca com diâmetro igual ao da Terra. Supondo que não ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

25



haja perda de massa, qual seria o seu novo período de rotação, sabendo-se que o atual é de 25 dias? Suponha que o Sol e a anã branca sejam esferas uniformes. (Pág. 270) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Considerando-se que durante no processo de colapso do Sol não há torques externos atuando sobre ele, o momento angular do sistema é conservado. Logo:

L0 I0

L 0

I

2 2 MR02 5 T0 R02 T0 T

2 2 MR2 5 T

R2 T T0

R R0

2

25 d

6,37 106 m 8

6,96 10 m

2

2, 09411

10

3

d

T 180 s A situação descrita no enunciado deste problema deve realmente ocorrer daqui a muitos milhões de anos. 29. Em uma demonstração de aula, um trem elétrico de brinquedo, de massa m, é montado em seu trilho em uma roda que pode girar em torno de seu eixo vertical com atrito desprezível (Fig. 32). O sistema está em repouso quando a energia é ligada. O trem atinge a velocidade v em relação ao trilho. Qual é a velocidade angular da roda, se a sua massa for M e o seu raio, R? (Despreze a massa das barbatanas da roda.)



26



z

R

m

v

M

T TR

Análise da velocidade angular relativa do trem, onde o índice T se refere ao trem, R à roda: ωT

ωTR ωR

ωT

TR

ωT

R

k

R

k

k

TR

(1)

Nessas equações, T é a velocidade angular do trem (em relação a um referencial inercial externo), R é a velocidade angular da roda (em relação ao mesmo referencial inercial de T) e TR é a velocidade angular do trem em relação à roda). Na ausência de torques externos, o momento angular do sistema é conservado: L0

L

0 LT L R I T ωT

0

I R ωR

MR 2ω R

mR 2ωT

(2)

Substituindo-se (1) em (2) M Rk m Rk m M

m

R

R

m

TR

k

v R

mv m M R

R

31. Uma roda cujo momento de inércia é de 1,27 kg.m2 gira com velocidade angular de 824 rev/min em torno de um eixo de momento de inércia desprezível. Uma segunda roda, de momento de inércia de 4,85 kg.m2, inicialmente em repouso, é acoplada bruscamente ao mesmo eixo. (a) Qual será a velocidade angular da combinação de eixo e rodas? (b) Qual é a fração da energia cinética original perdida? (Pág. 271) Solução. (a) Como não existem torques externos sobre o sistema, o momento angular em z (ortogonal ao plano das rodas) é conservado: Lz 0 Lz l1,0 l2,0 I

1,0 1

l1 l2 0

I

1 1

I

2 2

Como a velocidade final das duas rodas é igual, temos: I1 I2 1,0 I1 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

27



I

1,0 1

I1 I 2

170,993

(1)

rev/min

171 rev/min (b) f

K0

K

1 I1 2

1 I1 I 2 2

2 1,0

1 I1 2

K

2

(2)

2 1,0


I1

2 1,0

f f

f

I1 I 2

2 2 1,0 1

I

I1 I 2

2 1 1,0

I I2 I1 I 2

2

I1

I12 I1 I 2 I1

I12 I1I 2 I12 I1 I1 I 2

I1I 2 I1 I1 I 2

0,79248

0,792

32. Uma roda de bicicleta tem um aro fino de 36,3 cm de raio e 3,66 kg de massa. As massas das barbatanas e do centro e também o atrito no eixo são desprezíveis. Um homem, de pé em uma plataforma que gira sem atrito em torno de seu eixo, sustenta a roda acima sua cabeça segurando o eixo na posição vertical. A plataforma está inicialmente em repouso e a roda, vista de cima, gira no sentido horário com velocidade angular de 57,7 rad/s. O momento de inércia do sistema (plataforma + homem + roda) em torno do eixo de rotação comum é de 2,88 kg.m2. (a) O homem pára subitamente a rotação da roda em relação à plataforma, com a mão. Determine a nova velocidade angular do sistema (módulo, direção e sentido). (b) A experiência é repetida, introduzindo-se atrito no eixo da roda (a plataforma continua a girar sem atrito). O homem segura a roda da mesma maneira e esta, começando com a mesma velocidade angular inicial (57,7 rad/s), vai gradualmente ao repouso. Descreva o que acontece ao sistema, dando tanta informação quantitativa quanto os dados permitam. (Pág. 271) Solução. (a) Considere o esquema a seguir: M, R 0

L0 L

Como não existe atrito nos eixos de rotação, isto implica em que não haja torques externos no sistema plataforma + homem + roda. Com isso o momento angular total do sistema é conservado: L0 L (1) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

28



L0

L Plat,0

L Hom,0

LRoda,0

0 0 I Roda

0

k

Na situação inicial L0 aponta verticalmente para baixo, devido ao movimento de rotação da roda (regra da mão direita). Sendo M a massa e R o raio da roda, o momento de inércia da roda (na realidade um aro) é MR2 (ver Fig. 9, pág. 234). Logo: MR 2

L0

0

(2)

k

O momento angular final vale: L Iω Substituindo-se (2) e (3) em (1): MR 2

0

(3)

Iω

k

ω

MR 2 I

ω

9, 66 rad/s k

0

k

9, 6622

rad/s k

Como o momento angular do sistema deve ser conservado, isto implica em que o sentido da rotação deve permanecer idêntico ao inicial, ou seja, sentido horário quando visto de cima para baixo. (b) A força de atrito que age entre o eixo e a roda tende a freá-la, o que implica num torque sobre a roda que possui o sentido +k. A terceira lei de Newton exige que um mesmo torque com o sentido contrário ( k) deve ser aplicado ao eixo e, conseqüentemente, sobre o homem e a plataforma. Estes começam a girar no mesmo sentido de rotação da roda e, portanto, possuem velocidade angular negativa. A velocidade angular final do sistema após a roda não mais girar em relação ao homem deve satisfazer à conservação do momento angular, porém não à conservação da energia mecânica, que diminui. Uma parte da energia cinética inicial do sistema é convertida principalmente em calor, o que aumenta ligeiramente a temperatura do sistema. 35. Um disco uniforme de massa M e raio R gira com velocidade angular 0 em torno de um eixo horizontal que passa por seu centro. (a) Determine a energia cinética e o momento angular do disco. (b) Um pedaço de massa m quebra na beirada do disco e sobre verticalmente acima do ponto do qual se desprendeu (Fig. 33). Até que altura ele sobe, antes de começar a cair? (c) Qual a velocidade angular final do disco quebrado?

(Pág. 271) Solução. (a) Energia cinética: K

1 I 2

2

1 MR 2 2 2

2 0


29



MR 2 02 4 Módulo do momento angular: K

L

MR 2 2

I

0

MR 2 0 2 (b) Para que o pedaço de massa m suba verticalmente para cima após desprender-se do disco, o local da quebra deve ser tal como mostrado no esquema a seguir: v=0 L

h v0 Ug = 0

Aplicando-se o princípio da conservação da energia mecânica ao pedaço de disco m: E0

E

K0 U g 0

K Ug

1 2 mv0 0 0 mgh 2

h

v02 2g

Mas:

v0

0

R

Logo:

h

2 0

R2 2g

(c) A partir do momento em que o pedaço de disco m começa a subir, a força da gravidade exerce torque sobre o mesmo em relação ao eixo de rotação e, o momento angular não se conserva. No entanto, pode-se aplicar a conservação do momento angular aos instantes antes da quebra e imediatamente após a quebra (quando o pedaço de disco ainda não se separou do disco), pois o torque gravitacional só atuará a partir daí. L0 L LDisco

LDisco quebrado

LPedaço de disco

Imediatamente após a quebra o pedaço m tem a mesma velocidade angular do disco. Também nesse instante a soma do momento de inércia do disco quebrado e do pedaço é igual ao momento de inércia do disco intacto (isso ocorre devido ao pedaço ainda não ter se separado do disco): I 0 0 I Disco quebrado I Pedaço ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 13 – Momento Angular

30


I0

0

I0

0

I Disco quebrado


I Pedaço

I0 0

O que ocorre com o pedaço de disco a partir da separação não mais interfere no comportamento do disco.


31



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 1 CAPÍTULO 14 – EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS

08. Uma corrente flexível de peso W está suspensa entre dois pontos fixos, A e B, ao mesmo nível, como mostra a Fig. 21. Encontre (a) a força exercida pela corrente em cada extremidade e (b) a tensão no ponto mais baixo da corrente.

(Pág. 287) Solução. (a) Esquema de forças sobre a corda: y

T1

z

T2

x

W Forças em y: Fy

0

T1 sen

T2 sen

W

0

Como T1 = T2 = T, temos: 2T sen W W 2sen (b) Forças em x na metade esquerda da corda: y T1 T

z

W/2 Fx

(1)

x T3

0

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 14 – Equilíbrio de Corpos Rígidos

1


T3 T1 cos T3


0

(2)

T cos

Substituindo-se (1) em (2): W T3 cos 2sen W T3 2 tan 10. Uma esfera uniforme de peso w e raio r está suspensa está suspensa por uma corda presa a uma parede sem atrito; o ponto de suspensão encontra-se à distância L acima do centro da esfera, como na Fig. 23. Encontre (a) a tensão na corda e (b) a força exercida na esfera pela parede.

(Pág. 287) Solução. Considere o seguinte esquema: O L

l

P r C

No triângulo OPC temos: l Portanto:

sen cos

L2

r2

r L2 r 2 L

L2 r 2 (a) Esquema de forças sobre a esfera:

(1) (2)


2



y T x

N W

Forças em y: Fy

0

(3)

T cos W 0 Substituindo-se (2) em (3):

W L2 r 2 L (b) Forças em x: T

Fx

(4)

0

N T sen 0 Substituindo-se (1) e (4) em (4): N

W L2 r 2 L

N

r W L

(5)

r L2

r2

13. Um mergulhador que pesa 582 N está de pé sobre um trampolim uniforme de 4,48 m, cujo peso é de 142 N. O trampolim está preso por dois pedestais distantes 1,55 m, como mostra a Fig. 24. Encontre a tensão (ou compressão) em cada um dos pedestais.



3



L l Mg

F1

CM

O

y z

mg

x

F2

Torques em z em relação ao ponto O: 0

z

lF2

L mg LMg 2

F2

L mg l 2

Mg

0

1.877,3806

(1)

N

F2 1,89 kN

Forças em y: Fy

F2

0

F1 mg Mg

(2)

0


F1 F1

L mg l 2

Mg

mg Mg

L 2l mg L l Mg 2l

0 1.163,3806

N

F1 1,16 kN

18. Duas esferas lisas, idênticas e uniformes, cada uma com peso W, estão em repouso no fundo de um recipiente retangular fixo, como mostra a Fig. 26. A linha que une os centros das esferas faz um ângulo com a horizontal. Encontre as forças exercidas sobre as esferas (a) pelo fundo do recipiente, (b) pelas paredes laterais do recipiente, e (c) por uma sobre a outra.

(Pág. 288) Solução. Esquema das forças normais: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 14 – Equilíbrio de Corpos Rígidos

4



A N1 N2

B

N3

Esquema de forças sobre a esfera A: y FBA

A

x

N1

W Em primeiro lugar vamos analisar as forças que agem sobre a esfera A. Forças em y: Fy

0

FBA sen

W

0

W sen

FBA

(1)

Forças em x: Fx

0

FBA cos

N1

0

(2)

Substituindo-se (1) em (2) e resolvendo-se para N1: W N1 tan Agora vamos analisar as forças que agem sobre a esfera B. y N3 B

N2 x

FAB

W

Forças em x: Fx

N2

0

FAB cos

0

(3)

Substituindo-se (1) em (3) e resolvendo-se para N2 (FAB = FBA): W N2 tan Forças em y: Fy

0


5



N3 FAB sen

W

(4)

0

Substituindo-se (1) em (4) e resolvendo-se para N3 (FAB = FBA):

N3

2W

19. Qual é a força mínima F aplicada horizontalmente no eixo da roda da Fig. 27, necessária para levantá-la por sobre o degrau de altura h? Seja r o raio da roda e W o seu peso.


O W Q

F

y R

R-h z

x

x

P

Torques em z em relação ao eixo que passa pelo ponto P: z

0

xw (R h)F

0

xw R h A partir do triângulo OPQ tem-se: F

x

R2

x

2 Rh h 2

R h

2

(1)

R 2 R 2 2Rh h2 (2)


F

2Rh h2 w R h

21. Uma esfera uniforme de massa w está em repouso limitada por dois planos inclinados em relação à horizontal de 1 e 2 respectivamente (Fig. 28). (a) Suponha que não haja atrito e determine as forças (módulos, direções e sentidos) que os planos exercem sobre as esferas. (b) Que diferença faria, em princípio, se o atrito fosse considerado?


6



(Pág. 288) Solução. Considere o seguinte esquema: y N2 x

N1 W

Forças em x: Fx

0

N1 sen

N2 sen

2

N2 sen sen 2

N1

1

0

1

(1)

Forças em y: Fy

0

N2 cos

N1 cos

1

2

Substituindo-se (1) em (2): N2 sen 1 N2 cos 1 cos sen 2 N2 N2

N2

sen

2

sen 2 sen

cos

1

sen

sen

2

1

(2)

w 0

1

2

w

cos

2

w

w

2

sen sen 2

2

w

(3)

1

Substituindo-se (3) em (1): sen 1 N1 w sen 2 1 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 14 – Equilíbrio de Corpos Rígidos

7



25. Uma extremidade de uma barra uniforme que pesa 234 N e tem 0,952 m de comprimento é ligada a uma parede através de uma dobradiça. A outra extremidade é sustentada por um cabo que forma ângulos iguais de 27,0o com a barra e a parede (veja a Fig. 31). (a) Encontre a tração no cabo. (b) Calcule as componentes horizontal e vertical da força sobre a dobradiça.

(Pág. 289) Solução. Considere o seguinte esquema de forças que atuam sobre a barra: FP y

O

z

FN

x

T

P (a) Torques em relação ao ponto O na coordenada z: 0

z

P cos

2

P cos T 2cos

l T cos 2 2

2

2

l

0

2 208, 4955

N

2

T 209 N (b) Forças em x: Fx

0

FN T sen

0


8



FN

T sen

FN

94,7 N

94,6549

N

Forças em y: Fy

0

FP

P T cos

0

FP

P T cos

48, 2291

FP

48, 2 N

N

28. Uma barra não uniforme, de peso W, está em repouso na posição horizontal, suspensa por duas cordas leves, como mostra a Fig. 33; os ângulos das cordas com a vertical são e , respectivamente. O comprimento da barra é L. Encontre a distância x da extremidade da esquerda até o centro de gravidade.

(Pág. 289) Solução. Considere o seguinte esquema das forças que atuam sobre a barra: L T1 x T2

CG

y z

W

x

Torques na coordenada z em relação à extremidade esquerda da barra: z

xW

0

LT2 cos

0

xW L cos

T2

(1)

Torques na coordenada z em relação à extremidade direita da barra: z

0

LT1 cos

L x W

0


9



L x W L cos Forças na coordenada x: T1

Fx

0

T1 sen

T1 sen

(2)

T2 sen

0

(3)

T2 sen

Substituindo-se (1) e (2) em (3):

L x W sen L cos L x tan

x

xW sen L cos x tan

L tan 1 tan

46. Uma barra uniforme de massa de 4,7 kg e comprimento de 1,3 m é suspensa pelas extremidades de dois fios verticais. Um dos fios é de aço e tem diâmetro de 1,2 mm; o outro é de alumínio com diâmetro igual a 0,84 mm. Antes de a barra ser atada aos fios, ambos tinham 1,7 m de comprimento. Encontre o ângulo entre a barra e a horizontal; veja a Fig. 44. (Ignore a diferença de diâmetro dos fios; a barra e os fios estão no mesmo plano.)

(Pág. 291) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: De acordo com o esquema temos: l1 l2 sen L l1 l2 sen 1 L Por definição, o módulo de Young é dado por: F/A FL E L/ L A L FL L EA Utilizando-se a Eq. (2) para o fio de alumínio (fio da esquerda, que chamaremos de 1):

(1)

(2)


10



Mg l0 2 2 d1 E1 2

l1

T1l0 E1 A1

l1

2Mgl0 E1d12

(3)

Procedendo-se de maneira idêntica para o fio de aço (fio da esquerda, 2): 2Mgl0 l2 E2 d22

(4)


sen

1

2Mgl0 E1d12

2Mgl0 E2 d 22 L

sen

1

2Mgl0 1 L E1d12

1 E2 d 22

1,10905 10

5

rad

1,1 10 5 rad Na solução deste problema, desprezou-se o pequeno ângulo que os fios passam a fazer com a vertical após a colocação da barra.


11



HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 2 CAPÍTULO 18 – ONDAS II

08. A velocidade do som em um certo metal é V. Em uma extremidade de um longo tubo deste metal, de comprimento L, se produz um som. Um ouvinte do outro lado do tubo ouve dois sons, um da onda que se propaga pelo tubo e outro da que se propaga pelo ar. (a) Se v é a velocidade do som no ar, que intervalo de tempo t ocorre entre os dois sons? (b) Supondo que t = 1,00 s e que o metal é o ferro, encontre o comprimento L. (Pág. 157) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: L vmet var (a) O ouvinte ouve dois sons devido à propagação do barulho metálico através do ar var e do metal vmet. O tempo decorrido para o som percorrer a distância L através do ar (tar) é: L tar var

O tempo decorrido para o som percorrer a distância L através da barra metálica (tmet) é: L tmet vmet O intervalo de tempo entre os dois sons vale: t tar tmet t

L

1 var

1 vmet

(b) Se t = 1,00 s, o comprimento da barra será de: 1, 00 s t L 364, 016 1 1 1 1 var vmet 343 m/s 5.941 m/s

m

L 364 m 11. Uma pedra é jogada num poço. O som da pedra se chocando com a água é ouvido 3,0 s depois. Qual é a profundidade do poço? (Pág. 158) Solução. Considere o esquema abaixo: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

1



y H

vs 0 O tempo t para ouvir o som do impacto após o lançamento corresponde à soma do tempo de queda livre da pedra tq e do tempo que o som leva para subir do fundo do poço até o ouvido do observador ts . (1) t tq t s O tempo de queda livre da pedra é obtido por meio da análise do movimento acelerado da pedra: 1 2 y y0 v y 0t gt 2 1 2 0 H 0.tq gtq 2 2H g

tq

(2)

O som sobe o poço com velocidade constante, que é a velocidade do som no ar vs: y y0 vt H

0 vs ts

ts

H vs

(3)

Substituindo-se (2) em (1): 2H g

t

2 H g

Chamando-se 1 2 h vs

H vs 1 H t vs

H

0

h e H = h2, teremos:

2 h t g

1 h2 343 m/s

0

2 h 9,81 m/s 2

3, 00 s

0

Resolvendo-se a equação do segundo grau: h1 h2

161, 254 6,3812

m1/2 m1/2

A resposta coerente é obtida com h = h2: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

2



H

h22

H

40,7 m

6,3812

m1/2

2

40, 7202

m

Obs.: O uso de h1 resultaria em H 26 km, o que seria um absurdo devido ao curto tempo gasto para ouvir o som, que foi de 3,00 s. Outra coisa: o tempo ts 0,12 s representa cerca de 4% do tempo total t. 17. (a) Uma onda senoidal longitudinal contínua é enviada através de determinada mola, por meio de uma fonte oscilante conectada a ela. A freqüência da fonte é de 25 Hz e a distância entre pontos sucessivos da máxima expansão da mola é de 24 cm. Encontre a velocidade com que a onda se propaga na mola. (b) Se o deslocamento longitudinal máximo de uma partícula na mola é de 0,30 cm e a onda se move no sentido x, escreva a equação da onda. Considere a fonte em x = 0 e o deslocamento nulo em x = 0 quando t = 0 também é zero. (Pág. 158) Solução. (a) A velocidade de propagação da onda vale: v

f

0, 24 m 25 s

1

v 6,0 m/s (b) Uma onda longitudinal, s(x,t), que se propaga no sentido negativo de x possui a seguinte equação: s( x ,t )

sm sen kx

t

A amplitude sm foi dada no enunciado (0,30 cm). O número de onda angular k vale: 2 2 k 0, 2617 rad/cm 0, 26 rad/cm 24 cm A freqüência angular 2 f

2

vale: 25 s

1

157,07

rad/s 160 rad/s

O enunciado diz que em x = 0 e t = 0, s(0,0) = 0. Para que isso ocorra, devemos ter: s(0,0) 0

0

sm sen

sen Ou seja,

sm sen k 0

0

= n , n = 0, 1, 2, etc. Tomando-se n =0,

s( x,t )

0,30 cm sen 0, 26 rad/cm x

= 0. Logo:

160 rad/s t

18. A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação p 1,5 Pa sen 1, 00 m 1 x 330 s 1 t Encontre (a) a amplitude da pressão, (b) a freqüência, (c) o comprimento de onda e (d) a velocidade da onda. (Pág. 158) Solução. (a) A equação geral de uma onda de pressão é: p( x ,t )

pm sen kx

t

________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

3



Comparando-se esta expressão com a função de onda fornecida no enunciado, vemos que a amplitude de pressão vale: pm 1,5 Pa

(b) A comparação entre as expressões acima revela que a freqüência angular vale Logo, a freqüência vale: f

f

= 330 rad/s.

330 rad/s 2 165 Hz

2

(c) O comprimento de onda vale: 2 2 k 1, 00 m 1

2,00 m (d) A velocidade de propagação da onda é: v

f

2,00 m 165 s

1

v 330 m/s 19. Duas ondas sonoras, originárias de duas fontes diferentes e com a mesma freqüência, 540 Hz, viajam à velocidade de 330 m/s. As fontes estão em fase. Qual a diferença entre as fases das ondas em um ponto que dista 4,40 m de uma fonte e 4,00 m da outra? As ondas se propagam na mesma direção. (Pág. 158) Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

P

d1

v

d2

v

Para ondas de mesma freqüência, originadas de fontes sonoras em fase, vale a proporção: d 2 Onde é o comprimento de onda das ondas, d é a diferença entre as distâncias d1 e d2 medidas entre as fontes 1 e 2 e um dado ponto P e é a diferença de fase entre as ondas observada no ponto P. Logo:

2

d1 d 2

2

d1 d 2 v f

2 f d1 d 2 v


4



2

540 s

1

4, 40 m

4, 00 m

4,1126

330 m/s

rad

4,11 rad 21. Na Fig. 18-25, dois alto-falantes, separados por uma distância de 2,00 m, estão em fase. Supondo que a amplitude dos sons dos dois seja, de modo aproximado, a mesma na posição do ouvinte, que está a 3,75 m diretamente à frente de um dos auto-falantes. (a) Para quais freqüências audíveis (20 - 20.000 Hz) existe um sinal mínimo? (b) Para quais freqüências o som fica ao máximo?

(Pág. 158) Solução. Considere o seguinte esquema: O

L

A

B

D (a) O som chegará com sinal mínimo ao ouvinte quando a diferença entre os percursos AO e BO for igual a (n +1/2) , n = 0, 1, 2, etc. 1 d AO d BO n 2

D2

L2

1/ 2

L

n

1 v 2 f


5



f

f

1 2

n

1 2

n

v D2

L2

686 s

1/ 2

L

1

Para que seja audível, a freqüência da onda no ponto O deve ser 20 Hz n=0 f = 343 Hz Audível n=1 f = 1.029 Hz Audível ... ... ... n = 28 f = 19.551 Hz Audível n = 29 f = 20.237 Hz Inaudível Portanto, as freqüências audíveis são dadas por:

f

20 kHz. Logo:

f

20 kHz. Logo:

1 0 n 28. 686 s 1 , 2 (b) O som chegará com sinal máximo ao ponto O quando: n = 0, 1, 2, etc. d AO d BO n , f

n

D2

f

f

L2

n

1/ 2

L

n

v f

v D2

L2

n 686 s

1

1/ 2

L

Para que seja audível, a freqüência da onda no ponto O deve ser 20 Hz n=0 f = 0 Hz Não há onda n=1 f = 686 Hz Audível ... ... ... n = 29 f = 19.894 Hz Audível n = 30 f = 20.580 Hz Inaudível Portanto, as freqüências audíveis são dadas por: f

n 686 s

1

,

0

n

29.

24. Uma onda sonora de comprimento de onda 40,0 cm entra no tubo mostrado na Fig. 18-26. Qual deve ser o menor raio r, de modo que um mínimo seja registrado pelo detector?

(Pág. 158) Solução. Considere o seguinte esquema: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

6



Interferência r A

B

2r O ruído será mínimo no ponto B quando o nível de interferência entre as ondas que lá chegam for máximo, ou seja, quando as ondas que percorrem o caminho reto de A até B e as ondas que percorrem o caminho curvo chegarem a B com diferença de fase igual a . Como no ponto A as ondas estão em fase e possuem a mesma freqüência, vale a proporção: d 2 Na expressão acima, é o comprimento de onda das ondas, d é a diferença entre os comprimentos dos caminhos reto e curvo de A até B. Logo: r 2r 2 2 r

r

2 0, 400 m

2

2

2

2

0,1751

m

r 0,175 m 33. Um certo alto-falante produz um som com freqüência de 2.000 Hz e uma intensidade de 0,960 mW/m2 à distância de 6,10 m. Supondo que não há reflexões e que o alto-falante emite igualmente em todas as direções. (a) Qual é a intensidade a 30,0 m? (b) Qual a amplitude de deslocamento a 6,10 m ? (c) Qual a amplitude de pressão a 6,10 m? (Pág. 159) Solução. Considere o seguinte esquema: (a) A intensidade sonora é definida como a potência transmitida pela onda por unidade de área da frente de onda, que, no presente caso, é esférica. Para a onda que chega ao ponto 1 temos: P I1 4 r12 Para a onda que chega ao ponto 2: P I2 4 r22 Logo: I2 I1

r12 r22


7



I2

r12 I1 r22

I2

39, 7 W/m2

2

6,10 m 30 m

2

0,960 mW/m 2

0, 0396906

mW/m 2

(b) A intensidade I sonora depende do quadrado da amplitude de deslocamento sm de acordo com a seguinte relação: 1 I1 v 2 sm2 1 2 2 I1 v 2

sm1

sm1 1, 71 10

2 0,960 10 3 W/m2

2 I1 v 2 f 7

2

1, 21 kg/m

3

343 m/s 2

2.000 s

1

2

1, 7115 10

7

m

m

(c) A amplitude de pressão pm vale: pm1

v

sm1

v

2 f sm1

343 m/s 1, 21 kg/m3 2

pm1

pm1

2.000 s

1

1,7115 10

7

m

0,89266

Pa

0,893 Pa

38. Uma onda progride uniformemente em todas as direções, a partir de uma fonte puntiforme. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento y do meio a qualquer distância r da fonte: Y y sen k r vt . r Considere a velocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais são as dimensões da constante Y. (Pág. 159) Solução. (a) No esquema abaixo, a uma distância r1 da fonte sonora F, a intensidade da onda é I1 e a área da frente de onda é A1. Pode-se afirmar que a potência transmitida P é a mesma para cada frente de onda. r2 I I2

v

I1 F

y

A1 A2

r1

A r

Logo:

P1 I1 A1

P2 I 2 A2

(1)

Mas: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

8



I

1/ 2 v

2

y m2

(2)

Ou seja: I

y m2

Substituindo-se (2) em (1) e simplificando-se: y m2 1 A1

y m2 1 4 r12

y m2 1 r12

y m2 2 A2

y m2 2 4 r22

y m2 2 r22

y m2 r 2

Cte

Y2

O termo constante foi arbitrariamente chamado de Y. A amplitude de deslocamento ym da onda sonora vale: Y (3) ym r A equação geral de uma onda sonora progressiva, em termos de deslocamento é: y ( x ,t ) y m sen(kx t ) Considerando-se que a constante de fase y ( r ,t ) y m sen(kr t)

= 0 (arbitrário) e que a coordenada x é r: (4)

Multiplicando-se e dividindo-se o argumento da função seno de (4) por k, o número de onda angular, e substituindo-se o valor de ym dado por (3): Y y ( r ,t ) sen k (r vt) r Em (5), foi usada a identidade v = /k. (b) Como ym e r devem ter dimensão L, cuja unidade SI é o metro, a constante Y deverá ter dimensão L2.

(5)

41. Você está parado a uma distância D de uma fonte que emite ondas sonoras, de forma igual, em todas as direções. Caminha 50,0 m em direção à fonte e observa que a intensidade das ondas foi dobrada. Calcule a distância D. (Pág. 159) Solução. Considere o seguinte esquema: I1

50,0 m

I2 = 2I1

D2

D1 A intensidade sonora I é definida como a potência transmitida P por unidade de área da frente de onda, que, neste problema, é esférica. A intensidade que chega ao observador 1 é: P I1 4 D12 ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

9



Para a onda que chega ao observador 2: P I2 4 D22 Logo: I2 I1

D12 D22

D12

2I1 I1

D1 50

2 D1 50

2

2

D12

0

D12 200 D1 5000 0

As raízes desta equação são: D1'

29, 289

D1''

170, 711

m m

Como D1 tem que ser maior do que 50 m:

D1 171 m 43. Em um teste, um jato subsônico voa a uma altitude de 100 m. A intensidade do som no solo, quando o jato passa exatamente acima, é 150 dB. A que altitude o jato precisa voar para que o ruído no solo não ultrapasse 120 dB, o limite da sensação dolorosa? Ignore o tempo necessário para o som alcançar o chão. (Pág. 159) Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

r2 r1 1 1

2 2

O nível sonoro

é definido como: I 10log I0

Na equação acima, I é a intensidade sonora e I0 é o nível sonoro correspondente ao limiar da audição humana, que é de 10 12 W/m2. Resolvendo-se para I: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

10



I

Para

1

I 010

/10

= 150 dB, I1 = 103 W/m2 e

I

2

= 120 dB, I2 = 1 W/m2. A intensidade sonora é definida como:

P 4 r2

Na equação acima, P é a potência média da fonte sonora e r é a distância da fonte onde a intensidade é I. No ponto 1, temos:

I1

P 4 r12

No ponto 2:

I2

P 4 r22

I2 I1

r12 r22

Logo:

I1 I2

r2

r1

r2

3,16 km

3.162, 27

m

45. A Fig. 18-28 mostra um interferômetro acústico, cheio de ar, usado para demonstrar a interferência de ondas sonoras. S é um diafragma; D é um detector de som, como nosso ouvido ou um microfone. O comprimento SBD pode ser variado, enquanto o comprimento SAD é fixo. Em D, a onda sonora vindo de SBD interfere com a vinda de SAD. A intensidade do som em D tem um valor mínimo de 100 unidades em uma certa posição de B e cresce, de maneira contínua, até um valor máximo de 900 unidades quando B é deslocado de 1,65 cm. Encontre (a) a freqüência do som emitido pela fonte e (b) a razão que a amplitude da onda de SAD tem com a amplitude da onda de SBD em D. (c) Como podem essas ondas terem diferentes amplitudes, se foram originadas pela mesma fonte S?

(Pág. 159) Solução. A condição para que a interferência observada em D varie de destrutiva para construtiva é: 2 d SBD d SAD

2 O membro esquerdo foi multiplicado por 2 pelo fato de ao movimentar B de uma unidade de distância para a direita, o comprimento do caminho SBD aumenta de duas unidades. ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

11



2 d SBD f

f

v 2f

d SAD

343 m/s

v 4 d SBD

d SAD

4 0, 0165 m

5.196,96 Hz

5,20 kHz

(b) Seja Imax e Imin as intensidades sonoras máxima e mínima observadas em D. 1 2 I max v 2 smax 2 1 2 I min v 2 smin 2 Logo: I max I min

2 smax 2 smin

(1)

O enunciado diz que Imax = 900 unidades e Imax = 100 unidades. Além disso, podemos afirmar que smax é a soma das amplitudes de deslocamento das ondas que percorrem o caminho SAD e SBD (sSAD e sSBD). (2) smax sSAD sSBD De forma similar: smin

sSAD

(3)

sSBD

Substituindo-se (2) e (3) em (1): I max I min

sSAD sSAD

sSAD sSBD sSAD sSBD

sSBD sSBD

2 2

900 unidades 100 unidades

9

3

Logo: sSAD

2sSBD

(c) A amplitude diminui por causa das perdas por atrito viscoso do gás com as paredes da tubulação. A onda que percorre o maior caminho apresenta maior perda e, conseqüentemente, apresenta menor amplitude final. 46. Dois alto-falantes, F1 e F2, estão a 7,0 m um do outro e oscilam em fase, cada um emitindo som na freqüência de 200 Hz, de modo uniforme, em todas as direções. F1 emite uma potência de 1,2 x 10 3 W e F2 a 1,8 x 10 3 W. Seja um ponto P, que está a 4,0 m de F1 e 3,0 de F2. (a) Como as fases das duas ondas passando por P se relacionam? (b) Qual a intensidade do som em P com F1 e F2 ligadas? (c) Qual a intensidade do som em P, se F1 está desligado (F2 ligado)? (d) Qual a intensidade do som em P, se F2 está desligado (F1 ligado)? (Pág. 160) Solução. Considere o seguinte esquema:


12



F1

F2 P

d1P

d2P

(a) Como as ondas emitidas pelas fontes F1 e F2 estão em fase e possuem a mesma freqüência, vale a proporção: d 2 Na expressão acima, é o comprimento de onda das ondas, d é a diferença entre os comprimentos dos caminhos das fontes até o ponto P. Logo:

d

d1P d 2 P 2 v f

2

4,0 m

3,0 m

d1P d 2 P v

2

343 m/s

200 Hz

2 f

3,6636

rad

3,7 rad (b) A intensidade do som de F1 em P I1P é: I1P

1, 2 10

P1 4 r12P

4

3

W

4, 0 m

5,9683

2

10

6

W/m 2

Na equação acima, P1 é a potência média da fonte sonora F1 e r1P é a distância da fonte F1 onde a intensidade é I1P. De forma semelhante: I2P

1,8 10

P2 4 r22P

4

3

W

3, 0 m

2

5

W/m 2

1,5915

10

W/m2

1,5915

Logo, a intensidade total em P vale: I

I1P

I2P

I

2, 2 10

5,9683 5

10

6

10 5 W/m2

2,1883

10 5 W/m2

W/m2

(c) De acordo com o item (b), se F1estiver desligado, teremos: I2P

1, 6 10

5

W/m2

(d) De forma semelhante, se F2estiver desligado, teremos: I1P

6, 0 10

6

W/m2

54. Um tubo de um órgão A, com as duas extremidades abertas, tem uma freqüência fundamental de 300 Hz. O terceiro harmônico do órgão B, com uma extremidade aberta, tem a mesma freqüência que o segundo harmônico do A. Qual o comprimento (a) do tubo do órgão A e (b) do B. (Pág. 160) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

13



Considere o esquema abaixo: fA1 fA2

fB3

LB LA

(a) A formação de ondas sonoras estacionárias em um tubo de comprimento L com ambas as extremidades abertas dá-se nas seguintes freqüências: nv , n = 1, 2, 3, etc. fn 2L Na expressão acima, v é a velocidade do som no ar. Considerando-se o primeiro harmônico do tubo A: 1.v (1) f A1 2LA

343 m/s

LA

v 2 f A1

LA

0,572 m

2 300 s

1

0,57166

m

(b) Segundo o enunciado do problema: f B3 f A2

(2)

Mas:

f A2

2.v 2LA

2

1.v 2LA

2 f A1

Para um tubo com apenas uma de suas extremidades aberta, a formação de ondas sonoras estacionárias dá-se nas seguintes freqüências: nv , n = 1, 3, 5, etc. (há somente harmônicos ímpares) fn 4L Considerando-se o terceiro harmônico do tubo B, temos: 3.v f B3 4LB

(3)

(4)

Substituindo-se (3) e (4) em (2): 3v 2 f A1 4 LB Substituindo-se (1) na expressão acima: 3v v 2 4LB 2LA ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

14



3 0,57166

LB

3 LA 4

LB

0, 429 m

4

m

0, 42875 m

55. O nível de água em um tubo vertical de vidro com 1,00 m de comprimento pode ser ajustado em qualquer posição. Um diapasão vibrando a 686 Hz é colocado junto à extremidade aberta do tubo. Em quais posições da água irá haver ressonância? (Pág. 160) Solução. Considere o seguinte esquema: f

f Espaço para formação de ondas estacionárias

H1 H3

L

No tubo esquematizado acima, que possui apenas uma de suas extremidades fechada, haverá formação de ondas sonoras estacionárias quando: H

n

4

,

n = 1, 3, 5, etc e H

L.

Como v = f:

H

nv 4f

n 343 m/s 4 686 s

1

0,125n

Para:

n=1 H1 = 0,125 m n=3 H3 = 0,375 m n=5 H5 = 0,625 m n=7 H7 = 0,875 m Estas são as posições do nível da água que satisfazem às condições do problema. Para: n=9 H1 = 1,125 m A formação do 9º harmônico não é possível, pois exigiria uma profundidade do nível da água H L. 59. A menor freqüência com que um poço com lados verticais e água no fundo entra em ressonância é 7,00 Hz. O ar no poço tem uma densidade de 1,10 kg/m3 e um módulo de elasticidade ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

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volumar de 1,33 × 105 Pa. Qual a profundidade do poço? (Pág. 160) Solução. Considere o seguinte esquema: f1

L

O poço funciona como um tubo com apenas uma das extremidades aberta. Nesse tipo de tubo, haverá formação de ondas sonoras estacionárias nas seguintes freqüências: nv , n = 1, 3, 5, etc. (há somente harmônicos ímpares) fn 4L A freqüência do primeiro harmônico é: 1.v v f1 4L 4L Mas a velocidade do som no ar vale: v

B

Logo: L

1 4 f1

B

1 4 7, 00 s

1,33 105 Pa 1

1,10 kg/m3

12, 4185

m

L 12, 4 m 60. Uma palma no palco de um anfiteatro (Fig. 18-31) produz ondas sonoras que se dispersam em uma arquibancada com degraus de largura L = 0,75 m. O som retorna ao palco como uma série de pulsos periódicos, um de cada degrau; os pulsos soam juntos como uma nota. A que freqüência os pulsos retornarão (isto é, qual a freqüência da nota recebida?

(Pág. 161) ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

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Solução. Observe o esquema a seguir: 4 3

2 4

1 v 3

4

L

2L

A pessoa bate palmas apenas uma vez, ou seja, emite um pulso sonoro. Os números 1, 2, 3, etc. representam instantes de tempo consecutivos e indicam a posição do pulso emitido e suas reflexões nos degraus. Cada reflexão está separada por uma distância 2L, que corresponde ao comprimento de onda da onda recebida de volta pela pessoa. A velocidade v da onda pode ser definida em termos do comprimento de onda e do período T por: v

T

Logo: 2L v v A freqüência da onda refletida vale: T

f

1 T

v 2L

f

230 Hz

343 m/s 2 0, 75 m

228, 666

Hz

65. Uma corda A de um violino está frouxa. Quatro batimentos por segundo são ouvidos, quando a corda é tocada junto a um diapasão, cuja freqüência corresponde à nota A (440 Hz). Qual o período da oscilação da corda do violino? (Pág. 161) Solução. Sejam fC a freqüência da onda na corda do violino, fA a freqüência da nota A e fbat a freqüência dos batimentos. f bat

fA

fC

4 Hz

Logo: fC

f A 4 Hz

440 Hz

4 Hz

Dois valores são possíveis para fC: fC1 444 Hz fC2

436 Hz


17



Como foi dito que a corda está frouxa em relação ao ponto de afinação, fC é menor do que 440 Hz, ou seja:

fC

436 Hz

Devemos lembrar que: fC

v

1

Logo, uma tensão pequena na corda torna pequena a freqüência de vibração f. Uma vez definida a freqüência, o período T será: 1 1 T 0,0022935 s fC 436 Hz

T

2, 29 ms

66. Você tem quatro diapasões. O que tem a freqüência mais baixa oscila a 500 Hz. Oscilando dois diapasões, ao mesmo tempo, as seguintes freqüências serão ouvidas: 1, 2, 3, 5, 7 e 8 Hz. Quais as possíveis freqüências dos outros três diapasões? (Pág. 161) Solução. Para quem não conhece, um diapasão é um instrumento metálico (figura abaixo) capaz de vibrar numa freqüência bem definida, como, por exemplo, a da nota musical lá, que é de 440 Hz.

Sejam f1, f2, f3 e f4 as freqüências dos diapasões, sendo que f1 = 500 Hz é a menor das freqüências. A freqüência dos batimentos é dada por fbat = |fA fB|, em que fA e fB são duas freqüências quaisquer. Como todas as combinações de batimentos foram produzidas (12, 13, 14, 23, 24, 34) e três delas são com f1, que é a menor delas, deduz-se que os três batimentos de maior freqüência foram produzidos com f1. Logo: f bat

f4

f1

8 Hz

f4

508 Hz

f bat

f3

f1

7 Hz

f3

507 Hz

f bat

f2

f1

5 Hz

f2

505 Hz

As outras freqüências de batimentos observadas foram: f 4 f3 1 Hz

f4

f2

3 Hz

f3

f2

2 Hz

67. Duas cordas de piano idênticas têm uma freqüência fundamental de 600 Hz, quando tocadas sob um mesma tensão. Que aumento fracionário na tensão de uma corda irá levar à ocorrência de 6 ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

18



batimentos, quando as cordas oscilarem juntas? (Pág. 161) Solução. Considere o seguinte esquema: f1, , v1 1

f2, , v2 2

Ao aumentar a tensão numa corda sem aumentar seu comprimento, o comprimento de onda do harmônico fundamental não varia, mas a freqüência vai aumentar de f1 para f2: f bat f2

f2

f1

f1

6 Hz

6 Hz

600 Hz

6 Hz

606 Hz

Sabemos que: f1

v1

Vamos definir f2

1

2

1

= a 1, em que a é uma constante adimensional.

v2

1

1

a

1

1

a

1

1

2

a

1

Logo:

f2 f1

a

f 22 f12

a

606 Hz 600 Hz

2 2

1, 0201

Portanto, o aumento fracional da tensão foi de 0,0201

0,02.

69. Uma fonte F gera ondas circulares na superfície de um lago (as ondas são mostradas na Fig. 1832). A velocidade das ondas é de 5,5 m/s e a distância de crista a crista de 2,3 m. Você está em um pequeno bote, se dirigindo diretamente para F com velocidade constante de 3,3 m/s em relação à costa. Qual a freqüência das ondas que você observa?


19



(Pág. 161) Solução. Trata-se de um sistema em que uma fonte sonora em repouso gera ondas que são recebidas por um detector em movimento, que se aproxima da fonte. A freqüência f’ percebida pelo detector será: v vD v vF

f'

f

f'

3,8 Hz

v v vD v 0

v v vD v

v vD

5,5 m/s

3,3 m/s

2,3 m

3,8260

Hz

71. Um apito usado para chamar cães tem uma freqüência de 30 kHz. O cão, entretanto, o ignora. O dono do cão, que não pode escutar freqüências acima de 20 kHz, decide usar o efeito Doppler para descobrir se o apito funciona de maneira adequada. Pede a um amigo que sopre o apito no interior de um carro em movimento, enquanto ele permanece parado ouvindo. (a) Qual precisa ser a velocidade do carro e qual a direção para que o dono do cão escute o apito a 20 kHz (se ele estiver funcionando)? O experimento em questão é prático? (b) Refaça para uma freqüência do apito igual a 22 kHz, em vez de 30 kHz. (Pág. 161) Solução. (a) Para ouvir o apito de 30 kHz, o carro (fonte sonora) deverá afastar-se do observador (detector em repouso) com velocidade vF: v vD v 0 f' f f v vF v vF

f 1 f'

vF

v

vF

617 km/s

343 m/s

30 kHz 20 kHz

1

171,5 m/s 617, 4 km/s

Esta é uma velocidade muito alta para ser desenvolvida por um carro e, portanto, o experimento não poderia ser executado. (b) Se o apito emitir freqüência de 22 kHz, a velocidade do carro deverá ser: f 1 f'

vF

v

vF

123 km/s

343 m/s

22 kHz 20 kHz

1

34,3 m/s 123, 48 km/s

Agora sim, é possível executar o experimento. ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

20



72. O ruído de 16.000 Hz das turbinas de um avião, deslocando-se a 200 m/s, é ouvido com que freqüência pelo piloto de um segundo avião, tentando ultrapassar o primeiro a uma velocidade de 250 m/s? (Pág. 161) Solução. O avião que segue à frente é uma fonte sonora que se afasta do detector (avião de trás), que se aproxima da fonte. A freqüência f’ percebida pelo detector é: f'

f

v vD v vF

f

v vD v vF

16.000 Hz

343 m/s

250 m/s

343 m/s

200 m/s

17.473, 2965 Hz

f ' 17.500 Hz

73. Uma ambulância tocando sua sirene a 1.600 Hz ultrapassa um ciclista, que estava pedalando a 8,00 ft/s. Depois da ambulância ultrapassá-lo, o ciclista escuta a sirene a 1.590 Hz. Qual a velocidade da ambulância? (Pág. 161) Solução. A equação geral do efeito Doppler é: v vD f' f v vF Neste problema, a sirene da ambulância é a fonte (F) e o ciclista é o detector (D). Além disso, a fonte e o detector estão em movimento, sendo que o detector tenta aproximar-se da fonte, que se afasta do detector. Neste caso, a freqüência percebida pelo detector será: v vD f' f v vF vF

vF

f v vD f'

v

1.600 Hz 1.590 Hz

1.125 ft/s

8,00 ft/s

1.125 ft/s

15,1257

ft/s

15,1 ft/s

82. A Fig. 18-33 mostra um transmissor e um receptor de ondas contidos em um único instrumento. Ele é usado para medir a velocidade u de um objeto (idealizado por uma lâmina lisa) que se move diretamente na direção do instrumento, analisando as ondas refletidas no alvo. (a) Mostre que a freqüência f, das ondas refletidas ao receptor, se relaciona com a freqüência f, por v u fr fs v u onde v é a velocidade das ondas. (b) Em muitas situações práticas, u v. Neste caso, mostre que a situação acima se torna f r f s 2u fs v


21



(Pág. 162) Solução. (a) Inicialmente, a fonte emite ondas de freqüência fs em direção à lâmina, que se aproxima da fonte. A lâmina perceberá uma freqüência f’ vindo em sua direção, sendo que: v u v u (1) f ' fs fs v 0 v As ondas de freqüência f’ são refletidas pela lâmina, agora uma fonte sonora em movimento, que emite ondas com freqüência f”: v 0 v (2) f '' f ' f' v u v u Substituindo-se (1) em (2): v u v v u f '' f s fs v v u v u Como o detector está em repouso, as ondas emitidas pela lâmina (f”) serão percebidas pelo detector (fr) sem alteração. Ou seja: v u f r f '' f s v u (b) De (1), temos: v fs f ' v u De (2), temos: v fr f ' v u Agora vamos dividir fr fs por fs: v v f' f' fr fs v v v u 1 1 v u v u v u v fs v u v u v v u v u ' f v u v u v u v u v u fr fs 2u v u fs v u v u v u v u Como u fr

v: fs fs

2u v

83. Um detector de movimento, em repouso, envia ondas sonoras de 0,150 MHz na direção de um caminhão que se aproxima a 45,0 m/s. Qual a freqüência das ondas refletidas de volta ao ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Ondas II

22



detector? (Pág. 162) Solução. A situação é semelhante à tratada no Probl. 82P, item (a). Portanto, a expressão: v u fr fs v u é aplicável. Logo: fr

fr

0,150 MHz

343 m/s

45, 0 m/s

343 m/s

45, 0 m/s

0,19530

MHz

0,195 MHz

85. Uma sirene emitindo um som à freqüência de 1000 Hz se distancia de você, em direção a um muro, à velocidade de 10 m/s. Considere a velocidade do som no ar como 330 m/s. (a) Qual a freqüência do som que você escuta vindo diretamente da sirene? (b) Qual a freqüência do som que escuta refletido pelo muro? (c) Qual a freqüência dos batimentos entre os dois sons? Ela é perceptível (para isto, deve ser menor do que 20 Hz)? (Pág. 162) Solução. (a) A ambulância é uma fonte sonora (F) que se afasta de um detector (D) em repouso. A freqüência f’ percebida pelo detector é: v vD v vF

f'

f0

f'

971 Hz

1.000 Hz

330 m/s 330 m/s

0 10 m/s

970,5882

Hz

(b) Neste caso, a ambulância é uma fonte sonora que se aproxima de um detector em repouso. A freqüência f’ percebida pelo detector (muro) e que não será alterada na reflexão (o detector está em repouso) é: f ''

f0

v vD v vF

1.000 Hz

330 m/s 330 m/s

0 10 m/s

1.031, 25 Hz

f '' 1, 030 Hz (c) A freqüência dos batimentos entre f’ e f “ é: f bat

f ''

f'

f bat

60, 7 Hz

1.031, 25 Hz

970,5882

Hz

60, 6617

Hz

87. Um submarino francês e um americano se movem, um na direção do outro, durante manobras em águas paradas no Atlântico Norte (Fig. 18-34). A velocidade do submarino francês é 50 km/h e a do americano, 70 km/h. O primeiro manda um sinal de sonar (onda sonora na água) a 1.000 Hz. As ondas do sonar viajam a 5.470 km/h. (a) Qual a freqüência do sinal detectado pelo submarino americano? (b) Que freqüência é detectada pelo submarino francês, no sinal que é recebido de volta, após refletir no outro?


23



(Pág. 162) Solução. (a) O submarino francês é a fonte sonora e o norte-americano é o detector, sendo a fonte e o detector aproximam-se um do outro. O movimento de ambos favorece o aumento da freqüência f’ percebida pelo submarino americano: f'

f

v vD v vF

1.000 Hz

5.470 m/s

70, 0 m/s

5.470 m/s

50, 0 m/s

1.022,1402

Hz

f ' 1.020 Hz

(b) A única diferença em relação ao item (a) é que agora o submarino americano passa a ser a fonte sonora, emitindo ondas com freqüência f’. O submarino francês percebera uma freqüência f”: f ''

f'

v vD v vF

1.022,1402

Hz

5.470 m/s

50, 0 m/s

5.470 m/s

70, 0 m/s

1.044,8544

Hz

f '' 1.040 Hz


24



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 2 CAPÍTULO 20 – ONDAS SONORAS

21. Encontre a densidade de energia de uma onda sonora a 4,82 km de um sistema de alarme nuclear de 5,2 kW, supondo que as ondas sejam esféricas e a propagação isotrópica e sem absorção pela atmosfera. (Pág. 139) Solução. Considere o esquema abaixo: x

x P

v0

L A densidade de energia é definida por: E V A energia (E) que se propaga através de uma onda que tem a forma de uma casca esférica de espessura constante x é: E P t

(1)

(2)

onde P é a potência da fonte sonora e t é o tempo que leva para que a casca esférica seja formada. O tempo t depende da velocidade da onda sonora, v0. x t (3) v0 Substituindo-se (3) em (2): P x E v0 A uma distância L da fonte, o volume da casca esférica é: 4 V [( L x) 3 L3 ] 3 Substituindo-se (5) e (4) em (1): 3P x ( x) 4 v0 [( L x) 3 L3 ]

(4)

(5)

Como o problema pediu a densidade de energia num ponto em particular, ou seja, num ponto localizado a uma distância L da fonte sonora, deve-se determinar o valor de quando x tende a zero. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Ondas Sonoras

25



lim

( x) x

0

P 4 v0 L2

Portanto: P 4 v 0 L2

5,19 nJ/m 3

39. Na Fig. 22, S é um alto-falante pequeno, excitado por um oscilador e amplificador de áudio, ajustado no intervalo de freqüências entre 1.000 e 2.000 Hz. D é um pedaço de tubo feito de chapa de metal de 45,7 cm de comprimento, aberto nas extremidades. (a) Para que freqüências ocorrerá ressonância, quando a freqüência da onda emitida pelo alto-falante variar de 1.000 a 2.000 Hz? (b) Esquematize os nós de deslocamento para cada freqüência de ressonância. Despreze os efeitos das extremidades.

(Pág. 140) Solução. (a) Para um tubo com ambas as extremidades abertas, as freqüências das ondas sonoras capazes de provocar ressonância em seu interior (fn) são dadas por: nv (1) fn 2L onde n = 1, 2, 3, ..., v é a velocidade da onda sonora e L é o comprimento do tubo. Substituindo-se os valores numéricos de v (em metros por segundo) e L (em metros) em (1):

fn

375,27 n

As freqüências que capazes de provocar ondas estacionárias ressonantes no tubo são n f 1 2 3 4 5 6

375,2 750,5 1.125,8 1.501,1 1.876,4 2.251,6

Etc. Etc. Como pode ser observado na tabela acima, somente para os valores de n = 3, 4 e 5 estão associados a freqüências entre 1.000 e 2.000 Hz. Portanto, as freqüências pedidas são 1,13 kHz, 1,50 kHz e 1,88 kHz. (b) Considerando-se a representação da onda sonora como onda de deslocamento, como mencionou o enunciado do problema, as extremidades abertas são ventres de deslocamento.

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Problemas Resolvidos de Física n=3 n=4 n=5

49. Uma corda de violino de 30,0 cm e de densidade linear de massa de 0,652 g/m está colocada próxima a um alto-falante alimentado por um oscilador de áudio de freqüência variável. Variando-se continuamente a freqüência do oscilador de áudio, de 500 até 1.500 Hz, observa-se que a corda vibra somente nas freqüências de 880 e 1.320 Hz. Qual é a tração na corda? (Pág. 141) Solução. O oscilador de áudio varreu as freqüências entre 500 Hz e 1.500 Hz e, nessa faixa, a corda do violino só entrou em ressonância quando o oscilador passou pelas freqüências fi e fj. Como somente foram detectadas duas freqüências de ressonância, estas devem corresponder a harmônicos consecutivos, ou seja, (1) j i 1 As freqüências ressonantes para uma corda fixa em ambas as extremidades são dadas por nv fn 2L onde n refere-se ao n-ésimo harmônico, v é a velocidade da onda na corda do violino e L é o comprimento da corda. A velocidade da onda na corda é dada por

(2)

v

onde é a tensão na corda e

é a densidade linear de massa da corda. O valor de de (2) é

v2

(3)

Substituindo-se o valor de v de (2) em (3): 4 f n2 L2 . n2 A tensão na corda, dada por (4), é a mesma para os harmônicos i e j, ou seja, 4 f j2 L2

4 f i 2 L2 i2

fi fj

(4)

j2

i j

(5)

Substituindo-se (1) em (5): fi i fj i 1 i

fi fj

fi

Substituindo-se os valores numéricos de fi e fj ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Ondas Sonoras

27



880 Hz 2 1320 Hz 880 Hz Consequentemente, a freqüência harmônica fi = 880 Hz refere-se ao segundo harmônico (i = 2) e a freqüência harmônica fj = 1.320 Hz refere-se ao terceiro harmônico (j = 3). Substituindo-se os valores de um desses harmônicos em (4), por exemplo n = 2 i

4

4(6,52 10

kg/m 3 )(880 Hz) 2 (0,300 m) 2 22

45,4417 N

45,4 N 73. Um morcego voa dentro de uma caverna, orientando-se efetivamente por meio do uso de bips ultra-sônicos (emissões curtas com duração de um milissegundo ou menos e repetidas diversas vezes por segundo). Suponha que a freqüência da emissão do som pelo morcego seja de 39,2 kHz. Durante uma arremetida veloz, diretamente contra a superfície plana de uma parede, o morcego desloca-se a 8,58 m/s. Calcule a freqüência do som refletido na parede que o morcego escuta? (Pág. 142) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação:

vF

f

vD f’’ f’

O morcego é uma fonte sonora em movimento. Embora ele esteja produzindo ondas com freqüência f, seu movimento em direção ao detector (a superfície lisa), que está em repouso, fará com que a freqüência da onda que atingirá a superfície seja f’.

f'

f

v0 v0

vF

(1)

Em (1), v0 é a velocidade da onda sonora e vF é a velocidade do morcego (a fonte sonora). A equação (1) refere-se ao efeito Doppler causado por uma fonte em movimento que se aproxima de um detector em repouso. 343 m/s f ' (39,2 kHz) 40,2057 kHz 343 m/s 8,58 m/s A superfície comportar-se-á como uma fonte sonora em repouso, refletindo as ondas sem alterar a freqüência das mesmas. Ao perceber as ondas refletidas pela superfície, o morcego será um detector em movimento que estará se aproximando da fonte. Logo, a freqüência detectada pelo morcego, f”, será:

f ''

f'

v0

vD v0

(2)


28



A equação (2) refere-se ao efeito Doppler causado por um detector em movimento que se aproxima de uma fonte em repouso. 343 m/s 8,58 m/s f ' (40,2057 kHz) 41,2114 kHz 343 m/s Portanto, a freqüência detectada pelo morcego será: f ' ' 41,2 kHz 76. Dois trens movem-se a 34,2 m/s em relação a um referencial fixo na terra, em trilhos paralelos, e estão aproximando-se um do outro. Um dos trens apita a 525 Hz. (a) Que freqüência será ouvida por uma pessoa no outro trem, supondo-se que o ar esteja parado? (b) Que freqüência será ouvida no outro trem se soprar um vento de 15,3 m/s, paralelamente aos trilhos e cujo sentido seja para o apito? (c) Que freqüência será ouvida se o sentido da velocidade do vento se inverter? (Pág. 142) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação: Trem 1

f v F

v0

Trem 2 vD

Na ausência de ventos, a freqüência detectada pelo trem 2 será:

f'

f

v0 v0

vD vF

(1)

Na equação (1), v0 é a velocidade da onda sonora, vD é a velocidade do detector e vF é a velocidade da fonte. A equação (1) refere-se ao efeito Doppler causado por uma fonte em movimento que se aproxima de um detector, também em movimento, que por sua vez está se aproximando da fonte sonora. 343 m/s 34,2 m/s f ' 525 Hz 641,2888 Hz 343 m/s 34,2 m/s f'

641 Hz

(b) Agora considere o esquema abaixo: Trem 1

f v F

v0

Trem 2 vv

vD

Na presença de ventos, deve-se corrigir a velocidade som em relação ao vento. Sendo o ar o meio físico onde o som se propaga, a velocidade do meio interfere na velocidade do som, e, por esse motivo, deve ser corrigida. Seja v0’ a velocidade do som corrigida e vv a velocidade do vento. No caso do vento ser contrário ao movimento do som: v0 ' v0 vv 343 m/s 15,3 m/s 327,7 m/s Portanto:

f'

f

v0 ' v D v0 ' v F


29


f'

525 Hz

f'

647 Hz

327 ,7 m/s 34,2 m/s 327 ,7 m/s 34,2 m/s


647 ,3509 Hz

(c) No caso do vento ser favorável ao movimento do som: v0 ' v 0

vv

343 m/s 15,3 m/s

358,3 m/s

Portanto: f'

525 Hz

f'

636 Hz

358,3 m/s 34,2 m/s 358,3 m/s 34,2 m/s

635,7991 Hz


30



HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 2 CAPÍTULO 19 – TEMPERATURA

05. Um termômetro de resistência é aquele que utiliza a variação da resistência elétrica com a temperatura de uma substância. Podemos definir as temperaturas medidas por esse termômetro, em Kelvins (K), como sendo diretamente proporcionais às resistência R, medida ohms ( ). Um certo termômetro de resistência, quando seu bulbo é colocado na água à temperatura do ponto triplo (273,16 K), tem uma resistência R de 90, 35 . Qual a leitura do termômetro, quando sua resistência for 96,28 ? (Pág. 180) Solução. Para um termômetro de resistência, a temperatura medida em função da resistência é dada pela Eq. (1), T( R) kR (1) onde k é uma constante de proporcionalidade. Nesse termômetro, a temperatura do ponto tríplice da água (T3) é dada por (2), onde R3 é a medida da resistência no mesmo ponto tríplice. T3 T( R3 ) kR3 (2) Dividindo-se (1) por (2): T( R ) R T3 T( R )

T

R3 T3

R R3

273,16 K

96, 28 90,35

291, 088

K

291,1 K

06. Dois termômetros de gás a volume constante são usados em conjunto. Um deles usa nitrogênio e o outro, hidrogênio. A pressão de gás em ambos os bulbos é p3 = 80 mmHg. Qual é a diferença da pressão nos dois termômetros, se colocarmos ambos em água fervendo? Em qual dos termômetros a pressão será mais alta? (Pág. 180) Solução. Este problema deve ser resolvido com o auxílio do gráfico apresentado na Fig. 19-6 (pág. 173).

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1



(a) A Fig. 19-6 mostra que um termômetro de gás a volume constante que usa H 2 como substância termométrica a uma pressão de 80 mmHg, mede uma temperatura para a água fervente aproximadamente igual TH2 373,15 K . Usando-se N2 à mesma pressão, a medida da temperatura será TN2

373,35 K . Para um termômetro de gás a volume constante, vale a seguinte relação:

T

273,16 K

p p3

Logo: TH2

273,16 K

pH2 p3

p3TH2

pH2

(1)

273,16 K

De maneira idêntica, temos: p3TN2 pN 2 273,16 K Fazendo-se (2)

(2)

(1):

p

pN2

pH2

p

80 mmHg 273,16 K

p3 TN2 TH2 273,16 K 373,35 K

373,15 K

0, 058573

mmHg

p 0,059 mmHg (b) A pressão será mais alta no termômetro de N2, pois TN2 um comportamento menos ideal do que o N2.

TH2 . Isto se deve ao fato de o N2 ter

08. Um termistor é um componente semicondutor cuja resistência elétrica depende da temperatura. Costuma ser usado em terrmômetros clínicos e também para detectar superaquecimento em equipamentos eletrônicos. Dentro de uma faixa limitada de temperatura, a resistência é dada por B 1/ T 1/ Ta R Ra e , ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura

2



onde R é a resistência do termistor à temperatura T e Ra é a resistência à temperatura Ta; B é uma constante que depende do material semicondutor utilizado. Para um tipo de termistor, B = 4.689 K, e a resistência a 273 K é 1,00 × 104 . Que temperatura o termistor mede quando sua resistência é 100 ? (Pág. 180) Solução. A resistência do termístor (R) em função da temperatura (T) é dada por: Ra e B (1 / T

R( T )

1 / Ta )

Aplicando-se logaritmo natural, têm-se: ln R(T )

1 T T

T

ln R

1 Ta

ln Ra

1 T

B

1 ln e Ta

ln R ln Ra B

1 R ln B Ra

1

1 Ta

1

100 1 ln 4.689 K 1, 00 104

1 273 K

373, 0116

K

373 K

10. A que temperatura a escala Fahrenheit indica uma leitura igual a (a) duas vezes a da escala Celsius e (b) metade da escala Celsius? (Pág. 180) Solução. (a) O enunciado exige que: TF

2TC

A regra de conversão da escala Celsius para Fahrenheit é: 9 TF TC 32 5 Logo:

TF

9 TF 5 2

TF

320 o F

32

(b) Agora o enunciado exige que: TC TF 2 Logo: 9 TF 2TF 32 5 TF

12,3076

TF

12 o F

o

F


3



14. A que temperatura os seguintes pares de escalas dão a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius (veja Tabela 19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin?

(Pág. 180) Solução. (a) TF TF=C TF=C

9 TC 32 5 9 TF=C 32 5 40

(b) TF TF TF=K

TF=K TF=K

9 TC 32 5 9 TK 273,15 32 5 9 TF=K 273,15 32 5 574,5875 575

(c)

TC TC=K

TK 273,15 TC=K 273,15

A equação acima não tem solução. Logo, as escalas Celsius e Kelvin nunca apresentam a mesma leitura. 15. Suponha que, numa escala de temperatura X, a água ferva a -53,5oX e congele a -170oX. Qual o valor de 340 K, na escala X? (Pág. 180) Solução. Considere o seguinte esquema:


4



Escala X

Escala Kelvin

53,5o

373,15 K

340 K

TX

o

170

273,15 K

Comparando-se as escalas X e Kelvin, pode-se afirmar que: 53,5 X

170 X

53,5 X

TX

116,5 X 53,5 X

373,15 K 373,15 K

273,15 K 340 K

100 K 33,15 K

TX

TX

92,11975 X

TX

92,1 X

26. Logo depois que a Terra se formou, o calor causado pelo decaimento de elementos radioativos aumentou a temperatura interna média de 300 para 3.000 K, que é, aproximadamente, o valor atual. Supondo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3,0 10 5 K 1, de quanto aumentou o raio da Terra, desde a sua formação? (Pág. 181) Solução. A razão entre o raio inicial da Terra R0 e o raio atual R pode ser calculado a partir da variação do volume da Terra, que é dada por: V V V0 V0 T V

V0

V V0

T 1

4 R3 3 4 R03 3 R R0

R0

T 1

R3 R03

T 1

T 1

1/ 3

3,0 10 5 K

1

2.700 K

1

1/ 3

1,026302

R 1, 026302

Logo: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura

5



R

R R0

R 1, 026302

R

6,37 106 m 1

1 1, 026302

163.250, 74

m

R 170 km 34. Uma caneca de alumínio de 100 cm3 está cheia de glicerina a 22oC. Quanta glicerina derramará, se a temperatura do sistema subir para 28oC? (O coeficiente de dilatação da glicerina é = 5,1 10 4/oC.) (Pág. 181) Solução. O volume de líquido derramado corresponderá à diferença entre o seu volume final e o volume final do recipiente. O volume final da caneca de alumínio VAl é: VAl

V0 1 3

T

Al

O volume final da glicerina VGli é: VGli

V0 1

T

Gli

O volume derramado V será: V

VGli VAl

V

V0

V0 1 3

Gli

V

100 cm3

V

0, 26 cm3

Gli

T

V0 1 3

Al

T

V0 1

Gli

T 1 3

Al

T

T

Al

5,1 10

4

C

1

3 2,3 10

5

C

1

28 C

22 C

0, 2646 cm 3

36. Uma barra de aço a 25oC tem 3,00 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de 2,992 cm a 25oC. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente à barra? (Pág. 181) Solução. A solução do problema baseia-se em calcular separadamente os diâmetros finais da barra (db) e do anel (da) e igualá-los posteriormente. O diâmetro final do anel é: da

da0 1

a

(1)

T T0

De forma semelhante, o diâmetro final da barra será: db

db0 1

b

T T0

(2)

Igualando-se (1) e (2): da0 1

a

T T0

db0 1

b

T T0

Resolvendo-se a equação acima para T: T

d b0 da0 da0 a d b0 da0 a d b0 b

b

T0


6



3, 00 cm

T

2,992 cm 25o C 1,9 10

2,992 cm

2,992 cm 1,9 10

5o

C

1

3, 00 cm 1,1 10

3, 00 cm 25o C 1,1 10 2,992 cm 1,9 10

5o

C

1

5o

C

5o

5o

C

C

1

1

1

3, 00 cm 1,1 10

5o

C

1

360, 4579o C

360 o C

T

37. A área A de uma placa retangular é ab. O coeficiente de dilatação linear é . Depois de um aumento de temperatura T, o lado a aumentou de a e b de b. Mostre que, desprezando a quantidade pequena a b/ab (veja Fig. 19-15), A = 2 A T.

(Pág. 181) Solução. A grandeza procurada é: A A A0

(1)

A área da placa expandida, A, é dada por: A

a

a b

b

(2)

Enquanto que a área da placa original, A0, é dada por: A0 ab

(3)

Substituindo-se (2) e (3) em (1): A

a

a b

b

ab

(4)

Os valores de a e b são dados por: a a T b b T Substituindo-se (5) e (6) em (4): A

a

a T b

b T

(5) (6) ab

Desenvolvendo-se a expressão acima, teremos:

A ab 2 ab T

2

ab T 2

ab

2 A 2 ab T ab T 2 O termo 2ab T 2 pode ser identificado como sendo a b, que corresponde à área do pequeno retângulo no extremo inferior direito da placa expandida. Esse termo é muito pequeno em comparação a 2 ab T, e pode ser desprezado. Identificando o produto ab como a área A0, chega-se ao final da demonstração:


7



A

2 A0 T

49. Um tubo de vidro vertical de 1,28 m está cheio até a metade com um líquido a 20 oC. Qual a variação da altura da coluna líquida, se aquecermos o tubo até 30 oC? Considere vidro = 1,0 10 5/oC e líquido = 4,0 10 5/oC. (Pág. 182) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: R R0

L0

L H

H0 = L0/2

T0 T A variação da altura da coluna líquida H vale: L0 (1) H H H0 H 2 Como L0 é conhecido, precisamos determinar H. Vamos começar o cálculo de H pela expressão do volume final do líquido, Vliq: Vliq

H

R2 H

Vliq

R2 Agora dependemos de Vliq, que pode ser obtido pela análise da expansão térmica do líquido: Vliq

Vliq,0 1

T

Na expressão acima, Vliq,0 corresponde ao volume inicial do líquido. Logo: L Vliq R02 H 0 1 T R02 0 1 T 2 Substituindo-se (3) em (2): H

R0 R

2

(2)

L0 1 2

T

(3)

(4)

A razão entre os raios do tubo antes (R0) e depois (R) da variação térmica pode ser obtida pela análise da dilatação linear do tubo: R

R0 1

T

Logo: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura

8



R0 R

R0 R0 1

1 T

1

(5)

T


H

L0 1 2 1

T T

(6)

2

Finalmente, podemos substituir (6) em (1): H

H

H

L0 1 2 1 1, 28 mm 2

T T

L0 2

2

L0 2

1

4, 0 10

1

1, 0 10

1

T

1

T

5o

5o

1

C

C

1

2

1

10o C 10o C

2

1

0,1279

mm

0,13 mm

51. Uma espessa barra de alumínio e um fio de aço estão ligados em paralelo (Fig. 19-19). A temperatura é de 10,0oC. Ambos têm comprimento 85,0 cm e nenhum dos dois está tensionado. O sistema é aquecido até 120oC. Calcule a tensão resultante no fio, supondo que a barra se expande livremente.

(Pág. 182) Solução. Considere o seguinte esquema: Aço

Al

T0

Aço

Al

T

L0 L O problema pede para determinar a tensão no fio de aço após a expansão do cilindro de alumínio. Devido à natureza do problema, sua solução requer a utilização do módulo de Young do fio, EAço. Veja maiores detalhes sobre o módulo de Young na seção13-6 - Elasticidade. O valor do módulo de Young para o aço foi extraído da Tab. 13.1, pag. 13. O módulo de Young (E) é definido como a constante de proporcionalidade entre F/A e L/L0, onde F é a força exercida sobre um objeto, A é a ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura

9



área da seção transversal do objeto na direção de F e L0 se refere ao comprimento original do objeto, medido na direção de F. Ou seja: F L E A L0

(1)

De acordo com a Eq. (1), a pressão (F/A) exercida sobre uma barra, na direção do seu comprimento, é diretamente proporcional à variação fracional do comprimento ( L/L0). A pressão nos extremos da barra pode ser no sentido de comprimi-la ou expandi-la. No presente caso, tem-se um fio ao invés de uma barra e o processo é de expansão. Como o problema não forneceu a área da seção transversal do fio de aço, somente será possível determinar a razão F/A, e não F, como foi pedido. Inicialmente, à temperatura T0, tanto o fio quanto o cilindro possuem comprimento L0. Portanto, o fio encontra-se inicialmente relaxado. Quando o sistema é aquecido, o fio e o cilindro expandem-se, sendo que o alumínio expande-se mais do que o fio de aço (coeficiente de dilatação térmica maior para o alumínio). A diferença entre os comprimentos finais do cilindro e do fio é que gera a tensão no fio, sendo essa diferença, L, que entra em (1). Assim, o comprimento do cilindro de alumínio após a expansão térmica será: L

L0 (1

Al

T)

85, 0 cm 1

2,3 10

5o

C

1

110o C

85, 21505 cm

Se o fio de aço não estivesse conectado ao cilindro, seu comprimento após a expansão térmica seria: L'

L0 (1

Aço

T)

85, 0 cm 1

1,1 10

5o

C

1

110o C

85,10285 cm

Em relação à situação do fio de aço no problema, a Eq. (1) pode ser reescrita da seguinte forma: F L L L' EAço EAço A L' L' Substituindo-se pelos valores numéricos fornecidos: F A

200 109 N/m 2

F A

2,64 10 8 Pa

85, 21505 cm 85,10285 cm 85,10285 cm

2, 6368

108 Pa

53. Duas barras de materiais diferentes, mas com o mesmo comprimento L e seção reta igual à A são colocadas, como na Fig. 19-20a. A temperatura é T e não há tensão inicial. A temperatura é aumentada em T. (a) Mostre que a interface entre as barras é deslocada de uma quantidade dada por 1 E1 2 E2 L L T E1 E2

onde a1 e

2

são os coeficientes de dilatação linear e E1 e E2 são os módulos de Young dos


10



materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensão na interface após o aquecimento? (Pág. 182) Solução. O esquema a seguir mostra quais seriam os comprimentos finais das barras 1 e 2, caso elas não estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente. L L

T L T+ T L1 T+ T Barra 1 livre L1

L2 T+ T Barra 2 livre

L2 Os termos L1 e L2 correspondem às compressões sofridas pelas barras 1 e 2, respectivamente. De acordo com o esquema, temos as seguintes relações para estas grandezas: (1) L1 L1 L L L2

L2

L

L

L2

L

L

(2)

A equação que define o módulo de Young é: F L E A L Nesta equação, F é a tensão aplicada sobre a área A de uma barra, L é a variação observada no comprimento da barra, devido à tensão aplicada, L é o comprimento inicial da barra e E é o módulo de Young do material da barra. No ponto de contato entre as barras 1 e 2, na temperatura T + T, temos: F1 F2 A1 A2 Logo: L1 L E2 2 L L E1 L1 E2 L2 E1

(3)

Substituindo-se (1) e (2) em (3): E1 L1 L

L

E2 L2

Na expressão acima, os termos L1 L 2 T.

L

L

L e L2

L podem ser substituídos pelos equivalentes L

1

Te


11



E1 L

E1L

1

T

1

T

E1 E2

L

L

E1

E2 L

E1 L

E2 L

L

1

1

E1

E1

E2 E2

2

2

E2

T

2

T 2

L

E2 L L T

L T


12



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 2 CAPÍTULO 22 – TEMPERATURA

09. Observa-se que objetos quentes ou frios esfriam ou esquentam, respectivamente, para atingir a temperatura do ambiente. Se a diferença de temperatura T entre o objeto e sua vizinhança( T = Tobj Tviz) não for grande, a taxa de esfriamento ou aquecimento do objeto será aproximadamente proporcional à diferença de temperatura, isto é, d T A T dt onde A é uma constante. O sinal menos aparece porque se T for positivo, ele decresce com o tempo e, se for negativo, cresce. Esta é a lei de Newton para o resfriamento. (a) De que fatores A depende? (b) Se no instante t = 0 a diferença de temperatura for T0, mostre que num instante t ela será T T0 e At (Pág. 176) Solução. (a) A constante A depende da massa, da área superficial e do calor específico do corpo. A unidade de A é s-1. (b) Partindo-se da função fornecida, d T A T dt pode-se rearranjá-la da seguinte forma: 1 (1) Adt d T dt Integrando-se (1) dentro dos limites apropriados, obtém-se: t T 1 A dt d T t0 0 T0 dt At ln T ln T0 T T0

e

At

Finalmente T

T0 e

At

12. Um termômetro a gás especial consiste em dois bulbos que contém gás, cada um colocado em um reservatório de água, como mostra a Fig. 13. A diferença de pressão entre os dois bulbos é medida por um manômetro de mercúrio, também representado na figura. Reservatórios apropriados, que não são mostrados na figura, mantém constante o volume de gás nos bulbos. Quando os dois banhos estão no ponto tríplice da água, não há diferença de pressão. Quando um banho está no ponto tríplice e o outro no ponto de ebulição da água, a diferença de pressão é de 120 mmHg. Finalmente, a diferença de pressão é de 90,0 mmHg, quando um banho está no ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura

13



ponto tríplice da água e o outro numa temperatura desconhecida que desejamos medir. Que temperatura é esta?

(Pág. 176) Solução. Considerando-se que a diferença de pressão observada no manômetro de mercúrio seja proporcional à temperatura, podemos construir o seguinte gráfico da dependência entre estas grandezas, em que T3 e p3 são a pressão e a temperatura do ponto tríplice da água, TE e pE são a pressão e a temperatura do ponto de ebulição da água, T é a temperatura que se quer medir e p é a pressão do observada para a temperatura T: T p2 TE

p1 T2

T T1 T3 p3

p

pE

p

Como a declividade da curva vale T/ p, podemos escrever: T1 T2 p1 p2 T T3 p p3

TE T3 pE p3

T

273,16 K 90,0 mmHg

T

355,6517

T

82,5o C

373,15 K 273,16 K 120 mmHg

K 82,5017

o

C

25. O comprimento de uma barra, medido com uma régua de ferro à temperatura ambiente de 20 oC, é de 20,05 cm. A barra e a régua são colocadas em um forno a 270 oC e a medida da barra com a régua é agora de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatação térmica do material da barra. (Pág. 177) Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

________________________________________________________________________________________________________ a Halliday Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura

14



Barra

T0

Régua T0 Barra

L0

T

Régua T

L’

Régua T0

L’ L Para calcular o coeficiente de dilatação da barra, é preciso determinar seu comprimento após a expansão térmica, medindo-a com uma régua que esteja à temperatura T0. No presente caso, o comprimento final da barra foi medido com uma régua à temperatura T, que resultou na medida L’. Barra T

Régua T

L’ Como conhecemos o coeficiente de expansão linear da régua, podemos determinar o quanto a régua expandiu. Ou seja, à temperatura T a marca L’ (20,11 cm)da régua coincide com o comprimento da barra. Se a régua for resfriada à temperatura T0, mas a barra não, a régua irá marcar L como sendo o comprimento da barra. B a r r a T R é g u a T 0 A expansão térmica da régua é dada por (T0 L L'

L

L'

L

R

R

L L ’ T; L’ L):

L' T

L' T 1

(1)

A expansão térmica da barra é dada por: L L L0 B L0 T L

L0

B

L0 T 1

(2)

Igualando-se (1) e (2): L0

L0

B

B

L0 T

L' ( B

L'

L0 T 1

R

L'

R

R

L' T 1

L' T 1

20,11 cm

T 1) L0 TL0

1,1 10

5o

C

1

250o C

1

20,05 cm

250o C 20,05 cm

Na expressão acima, utilizou-se o coeficiente de dilatação térmica do aço para o ferro, pois são praticamente iguais. B

2,30029

B

2,3 10

10 5 o

C

5 o

C

1

1

28. Uma barra de comprimento L0 = 3,77 m e coeficiente de dilatação térmica 25 10 6 por grau C é fixada em seus extremos e tem uma rachadura em seu centro. Como conseqüência de um aumento de temperatura de 32oC ela se eleva no centro, como mostra a Fig. 15. Determine a elevação x. ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura

15



(Pág. 177) Solução. O comprimento final da barra é L

L0 1

T

(1)

Aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo indicado na figura abaixo: L/2 x

L0 /2 L 2

2

x

2

L0 2

2

(2)

Resolvendo-se (2) para x e substituindo-se o valor de L dado por (1): x

2

x2

L20 1

2

L20 4

4 2 0

L 4

1

L0 1 2 x 7,5 cm

x

T

T T

2

2

1 1

3, 77 m 2

1

2,5 10

5o

C

1

32o C

2

1 0, 07541

m

33. A densidade é obtida dividindo-se a massa pelo volume. Como o volume V depende da temperatura, a densidade também deve depender dela. Mostre que a variação da densidade com a variação da temperatura T é dada por = T, onde é o coeficiente de dilatação volumétrica. Explique o sinal menos. (Pág. 178) Solução. Seja 0 a densidade à temperatura T0 e m 0 V0

a densidade à temperatura T, definidas por:

m V A variação do volume V devida à variação de temperatura T é dada por: V V0 T

(1)

A variação de densidade devida à variação de temperatura será: ________________________________________________________________________________________________________ a Halliday Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura

16



V V0 VV0

m

m V0 V VV0

m m V V0

0

m

V VV0

(2)


V0 T VV0

m

m

T V

T

(3)

O sinal negativo em (3) é conseqüência de uma variação positiva da temperatura resultar numa variação negativa da densidade. 41. O pêndulo de um relógio é feito de latão e é projetado para dar o tempo com precisão a 20 oC. Qual será o erro, em segundos por hora, se o relógio funcionar a 0 oC? (Pág. 178) Solução. Considere o seguinte esquema para a situação: T0

T L

L0

O erro pedido no problema é a variação observada no período do relógio de pêndulo ( P), durante uma hora. Utilizou-se a abreviação P para o período para não confundir com a temperatura T. A variação do período do relógio de pêndulo devida à variação de temperatura T é dada por: P P P0 (1) onde P0, o período do relógio de pêndulo à temperatura T0, e P, o período à temperatura T, são definidos por: P0

2

L0 g

P

2

L g

(2)

Na equação (2), g é a aceleração local da gravidade. O comprimento da haste do pêndulo, à temperatura T é: L

L0 1

T

(3)


L0 1

P 2

T

L0 g

2

g

1

T

P0

1

T

(4)


P

P0

1

T

P0

P0

1

T

1


17



Em uma hora, o que implica em P0 = 3600 s, o erro será:

P

3.600 s

P

0,68 s

1

5o

1,9 10

1

C

20o C

1

0, 68406

s

O sinal negativo de P significa que houve diminuição no período do relógio que, em uma hora, acumulou 0,68 s. Como uma diminuição no período faz com que o relógio ande mais rápido, a conseqüência é que o relógio vai adiantar 0,68 s em uma hora. 45. Três barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a 20 oC um triângulo equilátero com articulações nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar será de 59,95o? (Pág. 178) Solução. Considere o seguinte esquema para a situação: T0

Al

L0

L0

T LInv

LAl

Inv

L0 LAço Aço A resolução deste problema é geométrica. Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo à temperatura T: L2Inv

L2Al

L2Aço

L0 1

T

2 LAl LAço cos

(1)

Mas: L

(2)

Substituindo-se a (2) em (1):

L20 1

Inv

T

2

L20 1

2

T

Al

2L0 1

L20 1

Aço

T L0 1

Al

2

T

T cos

Aço

Eliminando-se L02 e expandindo-se os termos entre parênteses:

1 2

Inv

T

Inv

T

2

1 2 Aço

T

Al

2

T

Al

2cos

Reconhecendo-se que os termos envolvendo apenas , pode-se desprezar os primeiros: 1 2 2

Inv

Inv

Inv

T

T

T 1 2

Al

T 1 2

2

Al

T 1 2

Al

T

Aço

T

Aço

cos

1 2

Al

2 cos Al

T

2

1 2 T

Aço

T

Aço

T Al

Aço

T2

são muito menores dos que aqueles envolvendo

T 2cos

Aço

T

T

1

Al

T

Aço

2 cos

Al

T

2 cos

cos

Aço

T

T Aço

T

1 cos 2


18



Inv

Al

cos

Aço

1 cos 2 cos Aço

T Inv

Al

T 0, 7 10

cos

Al

6o

C

1

cos

Al

23 10

6o

C

1

1 o

cos 59,95

11 10

6o

C

1 cos 2

T

Aço

1

Aço

1 cos 59,95o 2 11 10 6o C 1 46, 426497

cos 59,95o o

23 10

6o

C

1

C

Por definição:

T T T

T T0 T0 20o C

T 46, 426497

o

C

66, 426497

o

C

O valor aproximado de T, com apenas um algarismo significativo, é:

T

70o C


19



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003. FÍSICA 2 CAPÍTULO 21 - TEMPERATURA

26. Quando a temperatura de um cilindro de metal é aumentada de 60 para 100 oC, o seu comprimento aumenta em 0,092%. (a) Encontre a variação percentual na massa específica. (b) Identifique o metal. (Pág. 221) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: L0

T0

L

T L (a) O enunciado do problema pede para calcular a razão ( m V0 V V m m V 0 V V0

0)/ 0.

Aplicando-se a expansão volumétrica do cilindro:

0

V0 V0 1 V0 1

T T

T 1

3 T

1 3

T T

(1)

Agora precisamos determinar o valor do coeficiente de expansão térmica α do metal do cilindro para completar o cálculo. Isso é feito por meio da informação sobre a expansão linear do cilindro, fornecida pelo enunciado. L L0 0,00092 L0 L 0, 00092 L0 L0

T

0, 00092L0

0, 00092 T Substituindo-se (2) em (1):

0, 00092 T T 0, 00092 1 3 T T 3

0

(2)

0, 00276 1 0, 00276

0, 0027524

0, 0028 0

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5 Ed. - LTC - 2003. Cap. 21 – Temperatura

20



Ou:

0, 28% 0

O sinal negativo indica que houve diminuição na variação percentual da massa específica do cilindro. (b) A identificação do metal é feita pela comparação do valor do coeficiente de expansão térmica do metal com valores tabelados. A Equação (2) permite o cálculo de α. 0, 00092 0, 00092 2,3 10 5 o C 1 o o T T0 100 C 60 C A Tabela 21-3, Pág. 213, indica que o cilindro é feito de alumínio. 30. (a) Prove que a variação da inércia rotacional I de um sólido com a temperatura é dada por I = 2αI T. (b) Uma haste fina de latão, girando livremente a 230 rev/s em torno de um eixo perpendicular à haste e passando pelo seu centro, é aquecida sem sem contato mecânico até que sua temperatura aumente para 170oC. Calcule a variação na velocidade angular. (Pág. 221) Solução. (a) Vamos supor que o momento de inércia inicial é I0 e o final, após o aquecimento, é I. Vamos supor também que I0 = kML2, em que k é uma fração que depende do corpo e do eixo em relação ao qual I0 é calculado. kML2 kML20

I

I

I0

I

kM L20 1

2

T

kM L2 L20

L20

kM L20 1 2

T

2

T2

L20

O termo α2 T2 é, em geral, muito menor do que α T. Neste caso, 2α T 10 5. Vamos, portanto desprezar α2 T2. I

kM 2

I

2I0

TL20

2kML20

10 3, enquanto que α2 T2

T

T

(b) A variação da velocidade angular é calculada por meio da aplicação da conservação do momento angular (L), dada a ausência de torques externos atuando sobre a haste. L L0

I

I0

0

Usando-se o resultado obtido no Item (a): I0

2I0

T

I0

230 rev/s

0

2

0

T

2 19 10

6 o

C

1

170o C

1

228,5237

rev/s

1, 4762

rev/s

Logo: 0

0

228,5237

rev/s

230 rev/s

1, 45 rev/s

O sinal negativo indica que há uma diminuição na velocidade angular da haste como conseqüência do aumento de temperatura. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5 Ed. - LTC - 2003. Cap. 21 – Temperatura

21



40. Gás oxigênio com um volume de 1130 cm3 a 42,0oC e à pressão de 101 kPa expande até que seu volume seja 1530 cm3 e a sua pressão seja 106 kPa. Determine (a) o número de moles de oxigênio no sistema e (b) a sua temperatura final. (Pág. 221) Solução. (a) considerando-se que o oxigênio nessas condições apresente comportamento ideal, teremos:

p0V0 n

nRT0 RT0 p0V0

101 105 Pa 1,130 105 m3

0, 043558

8,314 J/K.mol 315,15 K

mol

n 0,0436 mol (b) Comparando-se os estados inicial e final do sistema teremos: p0V0 pV T0 T T

pVT0 p0V0

T

448 K

106 105 Pa 1530 cm3 315,15 K

447,8316

101 105 Pa 1130 cm3

K

10. Considere um termômetro de vidro de mercúrio. Suponha que a seção transversal do capilar A é constante e que V é o volume do bulbo de mercúrio a 0,00oC. Mostre que o comprimento L da coluna de mercúrio no capilar a uma temperatura T, em oC, V L 3 T, A isto é, proporcional à temperatura, onde é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e é o coeficiente de dilatação linear do vidro. (Pág. 223) Solução. A variação do volume do vidro é dada por: Vvidro V0 3 T A variação do volume do mercúrio é dada por: VHg V0 T O volume de mercúrio na coluna de vidro é dado pela dilatação aparente do mercúrio. Para isso, está implícito que na temperatura 0,00oC o nível de mercúrio está na base da coluna (L = 0). VHg, ap VHg Vvidro AL V0

T V0 3

Como T0 = 0,00oC: V0 L 3 A

T

V0

3

T

V0

3

T T0

T

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 5 Ed. - LTC - 2003. Cap. 21 – Temperatura

22



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 3 CAPÍTULO 27 – CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB

02. Qual deve ser a distância entre a carga pontual q1 = 26,3 C e a q2 = - 47,1 C para que a força elétrica atrativa entre elas tenha uma intensidade de 5,66 N? (Pág. 9) Solução. Considere o seguinte esquema da situação, em que F12 é a força sobre a carga q1 devido à carga q2 e r12 é o vetor posição da carga q1 em relação à carga q2: F12 F21 q1 + q2

r12 F12

r12

1 4

0

q1q2 r122

q1q2 4 0 F12

1, 4028

m

r12 1, 40 m

04. Duas partículas igualmente carregadas, mantidas a 3,20 mm de distância uma da outra, são liberadas a partir do repouso. Observa-se que a aceleração inicial da primeira partícula é de 7,22 m/s2 e que a da segunda é de 9,16 m/s2. A massa da primeira partícula é de 6,31 10 7 kg. Encontre (a) a massa da segunda partícula e (b) o módulo da carga comum às duas. (Pág. 9) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y x F12

q

r12

q

F21

Neste problema vamos ignorar o efeito da força peso, que é desprezível em comparação com a força elétrica. (a) Cálculo de m2: F12 m1a1 m1a1i F21

m2a2

F12

F21

m2 a2i

Mas:

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 27 – Carga Elétrica e Lei de Coulomb

1



m1a1i

m2 a2 i

m2

a1 m1 a2

m2

4,97 10

4,9736 7

10

7

kg

kg

(a) Cálculo de q:

F12

m1a1

1 q2 i 4 0 r122

q 2r12

m1a1i 0

m1a1

q 7, 26 10

11

7, 2596

10 11 C

C

07. Três partículas carregadas estão sobre uma linha reta, separadas pela distância d, como mostra a Fig. 12. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. Descobre-se que a carga q3, que é livre para se deslocar, está em equilíbrio sob a ação das forças elétricas. Encontre q1 em termos de q2.

(Pág. 10) Solução. Para que a carga q3 permaneça em equilíbrio, as forças elétricas que agem sobre a mesma, devido às cargas q1 e q2, devem anular-se. F31 q3 F32 F32 q3 F31 ou Em quaisquer dos casos esquematizados acima, vale a seguinte relação: F31 F32

1 q3q2 i 4 0 r322 q2 d2

q1

1 q3q1 i 4 0 r312

q1 2d

2

4q2

12. Duas cargas fixas, +1,07 C e 3,28 C, estão a 61,8 cm de distância entre si. Onde se pode localizar uma terceira carga de modo que nenhuma força resultante aja sobre ela? (Pág. 10) Solução. Para ficar em equilíbrio, uma terceira carga, positiva ou negativa, somente poderá estar localizada em algum ponto da reta que passa por q1 e q2. Podemos dividir essa reta em três regiões: A, B e C. B A C


2



Uma análise rápida mostra que as regiões B e C estão descartadas, pois as forças elétricas sobre a terceira carga não seria nula. O esquema abaixo ilustra a situação das forças sobre q3 (primeiro sendo positiva e depois negativa) na região B. q1 q3 F31 q2 F32 q1

F31 q3

q2

F32 O esquema abaixo ilustra a situação das forças sobre q3 na região C. q1 q2 q3

F32 q1

q2

F31 q3

F32 F31 Veja que somente na região A as forças F31 e F32 podem anular-se. q3 q1 q2

F31

F32 q3

q1

q2

F31 F32 Considere o seguinte esquema:

r12 q3 F31

q1

q2

F32 r31 r32 F3

F31

0

q3 q1 r312

1 4

q1 r312

r31 r12

r31

r31 r12

r31

0

F32

1 4

F31 F32

0

q3 q2 r322

q2 2

q1 q2

r12 0,82308 q2 1 q1

m


3



r31

0,823 m

r32

r31 r12 1, 44108

Logo: m

r32 1, 44 m 14. Fixa-se uma carga Q em cada um de dois vértices opostos de um quadrado. Coloca-se uma carga q em cada um dos outros dois vértices. (a) Se a força elétrica resultante sobre Q é nula, qual é a relação entre Q e q? (b) Poderia escolher-se q de forma a anular a força elétrica resultante sobre todas as cargas? Explique sua resposta. (Pág. 10) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação: Q q l

y

l 2

l x

q Q Diagrama de corpo livre da carga Q localizada no vértice inferior esquerdo do quadrado: FQq1 Q

y

Fqq2

x FQQ A condição de equilíbrio da carga Q é que o somatório das forças que atuam sobre a mesma deve ser zero. FQ

FQq1

FQq2

FQQ

0

O somatório das forças em x deve ser zero. FQx

FQq2

1 Qq 4 0 l2 Q l2 Q

FQQ cos

1 4

0

QQ 2 0

l 2

2 2

Q 2 2l 2 2 2 2q

(b) Não. Para que a carga q fique em equilíbrio, seu valor deve ser 2 2Q . Mas para que a carga Q fique em equilíbrio, seu valor também deve ser 2 2Q . Como não é possível satisfazer a essas condições simultaneamente, as quatro cargas não poderão constituir um sistema em equilíbrio. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 27 – Carga Elétrica e Lei de Coulomb

4



16. Penduram-se duas bolinhas semelhantes, de massa m, a fios de seda de comprimento L; as bolinhas têm cargas iguais q conforme a Fig. 14. Suponha que q seja tão pequeno que se possa substituir tan q por seu equivalente aproximado, sen q. (a) A essa aproximação, mostre que, para o equilíbrio, 1/ 3

q2 L 2 0 mg

x

,

onde x é a separação entre as bolinhas. (b) Se L = 122 cm, m = 11,2 g, e x = 4,70 cm, qual é o valor de q?

(Pág. 10) Solução. Considere o seguinte diagrama de corpo livre da carga localizada à esquerda: T y q

x

F

P A condição de equilíbrio das cargas é dada por: F

F T P

0

No eixo y, temos: Fy

T

T cos

P

0

mg cos

(1)

No eixo x: Fx

Tsen

F

0

(2)

Substituindo-se (1) em (2): mg sen cos

1 q2 4 0 x2


5



q2 mg tan

1

x2

4

0

Segundo o enunciado do problema, temos 4

sen .

q2 mgsen

1

x2

pequeno o suficiente para fazer tan

0

(3)

De acordo com o esquema, temos: x sen 2L Substituindo-se (4) em (3):

x

q2

1

2

4

mg

0

x 2L

1 q2 L 2 0 mg

x

(4)

1/ 3

(b) 2

q

mgx3 L

0

2, 28019

10

8

C

2, 28 10 8 C

q

19. Duas cargas pontuais positivas, iguais a q, são mantidas à distância fixa 2a. Uma carga pontual de prova localiza-se em um plano normal à linha que liga aquelas cargas e na metade do caminho entre elas. Encontre o raio R do círculo nesse plano para o qual a força sobre a partícula de prova tenha valor máximo. Veja a Fig. 15.

(Pág. 11) Solução. Considere o seguinte esquema da situação, em que q0 é uma carga de prova positiva: F2 F1 q0 y R q

+

a

x a

+ q


6



O módulo da força resultante sobre a carga de prova está no eixo y, uma vez que as componentes x das forças F1 e F2 anulam-se. F F1 y F2 y 2 F1 y 2F1sen

F

2

1

qq0 R 2 2 a R a R2 2

4

0

qq0 R

1 1/ 2

2

0

a

2

R2

3/ 2

O valor de R que maximiza F é encontrado igualando-se a zero a derivada de F em relação à R: 2 2 1 qq0 a 2 R

dF dR

2

a2

0

R2

(1)

0

5/ 2

Para que (1) seja verdadeira, é preciso que:

a 2 2 R2 a R 2

0

21. Um cubo de aresta a porta uma carga pontual q em cada vértice. Mostre que a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas é dada por 0, 262q 2 , 2 0a

F

e está dirigida ao longo da diagonal do cubo e para fora dele. (Pág. 11) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: z 4 7 6

a 8

a 2 1 a 2

F1

a 3 a a 2

y 3

x

5 Os vetores-posição e as distâncias entre as cargas são: r12 ai

r12

a

O vetor r12 é a posição da carga q1 em relação à carga q2 e, portanto, aponta no sentido negativo do eixo x. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 27 – Carga Elétrica e Lei de Coulomb

7



r13 r13

aj a

r14 r14 r15 r15 r16 r16 r17 r17 r18 r18

ak a ai aj a 2 a i ak a 2 a j ak a 2 ai aj ak a 3

As forças que agem sobre q1 são: F12

1 q2 r12 4 0 r122

F13

1 q2 j 4 0 a2

F14

1 q2 k 4 0 a2

F15

q2

1 4

0

F18

0

a 2

q2

1

2

4

0

a 2 q2

1

2

4

0

a 2

q2

1 4

a 2 2

4

F17

cos i 2

q2

1

F16

1 q2 i 4 0 a2

2 0

a 3

q2

1

2

4

2 1 i 2 4

2 1 i 2 4 2 1 j 2 4

0

a 2 q2 2

0

a 2

q2 2 0

a 2 q2 2

0

sen j

a 2

1 1 q2 i 3 4 0 a 3

2

2 j 2

2 k 2 2 k 2

1 1 q2 j 4 0 a 3 3

2

1 k 3

A força resultante sobre a carga q1 vale:


8



1

2 2

1 q2 i 2 3 3 4 0a

1

2 2

1 q2 j 2 3 3 4 0a

1

2 2

1 q2 k 2 3 3 4 0a

8

F1

F1i i 1

F1

1

1 1

1 q2 i 0,15123 4 0 a2

0,15123

1 q2 j 0,15123 4 0 a2

1 q2 k 4 0 a2

Os valores idênticos das componentes do vetor F1 indicam que o mesmo possui direção que coincide com a diagonal do cubo. Os sinais negativos das componentes mostram que o vetor aponta para fora do cubo. O módulo de F1 vale:

F1

3

1 q2 4 0 a2

0,15123

2

q2 0, 262 2 0a

F1

22. Duas cargas positivas +Q são mantidas fixas à distância d entre si. Uma partícula de carga negativa q e massa m é colocada na metade do caminho entre elas e, então, recebe um pequeno deslocamento perpendicular à linha que as liga, sendo liberada em seguida. Mostre que a partícula descreve movimento harmônico simples de período ( om 3d3/qQ)1/2. (Pág. 11) Solução. (a) Considere o esquema abaixo: q

r

y

F 1

F 2

+ Q

r

y x + Q

d A partícula de carga q está sujeita às forças F1 e F2 devido às interações elétricas com as cargas +Q da direita e da esquerda, respectivamente. F1 e F2 têm o mesmo módulo F. Segunda lei de Newton na direção y:

Fy

d2y m 2 dt m

d2y dt 2

qQ y 2 4 0r r

m

2 F sen 2

d2y dt 2

d2y dt 2

qQ y 0 2 0 mr 3


9



O esquema mostra que: 1/ 2

d2 4

r

y

Logo:

d2y dt 2

qQ d2 2 0m 4

3/ 2

y

0

y

Fazer um deslocamento pequeno na carga q significa fazer d 3/ 2

d2 4

y

y. Isto significa que:

d3 8

Portanto:

d2y dt 2

4qQ y 0 3 0 md

Esta equação é característica de movimento harmônico simples, onde a freqüência angular vale:

4qQ 3 0 md

1/ 2

Portanto:

T

2 3

T

md 3 qQ

1/ 2

0

31. Calcule o número em coulombs da carga positiva existente em um copo d'água. Suponha que o volume d'água seja de 250 cm3. (Pág. 11) Solução. A carga positiva total Q+ num volume V de água é dada por: Q Nq

(1)

Na Eq. (1), N é o número de moléculas de água no volume V e q+ é a carga positiva presente em uma molécula de água. N é dado por (2), onde m á a massa total da amostra de água, NA é o número de Avogadro e M é a massa molar da água. mN A N (2) M Como a m é o produto da densidade da água pelo seu volume V, temos: VN A N (3) M A carga q+ é o número de prótons presentes numa molécula de água (10) multiplicada pela carga fundamental e: q 10e (4) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 27 – Carga Elétrica e Lei de Coulomb

10



Substituindo-se (3) e (4) em (1): 10e VN A Q 1,3377 M

Q

107 C

1,34 107 C 13, 4 MC


11



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 3 CAPÍTULO 28 – O CAMPO ELÉTRICO

09. O mostrador de um relógio possui cargas pontuais negativas q, 2q, 3q, ..., 12q fixas nas posições dos numerais correspondentes. Os ponteiros do relógio não perturbam o campo. A que horas o ponteiro das horas aponta no mesmo sentido do campo elétrico existente no centro do mostrador? (Sugestão: Considere cargas diametralmente opostas.) (Pág. 28) Solução. O esquema a seguir mostra os vetores campo-elétrico localizados no centro do relógio, devidos a cada uma das cargas posicionadas ao longo da sua circunferência. 12q 11q q E12 E11 10q 2q E 1 E10 E2 9q 3q E3 E9 E4 E8 E5 8q 4q E7 E6 7q

q 6q As cargas diametralmente opostas geram campos que possuem a mesma direção e sentidos opostos e que, portanto, podem ser somados facilmente. kq 7kq 6kq E17 E1 E7 i i i7 2 7 2 7 R R R2 Na equação acima, i7 é um vetor unitário localizado no centro do relógio e que aponta para a carga 7q. 2kq 8kq 6kq E28 E2 E8 i i i8 2 8 2 8 R R R2 A assim segue até o último par de campos. 6kq 12kq 6kq E612 E6 E12 i i12 i12 2 12 2 R R R2 Os vetores E17, E28, etc., são mostrados no esquema abaixo.

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 – O Campo Elétrico

1



12q

11q 10q

q E511

E612 2q

E410 9q

3q

E39 E28

8q

E17

4q

7q

q 6q A simetria envolvida na distribuição dos vetores mostra que a resultante aponta para o ponto médio entre os marcadores 9 e 10 do relógio, portanto para às 09:30.

11. Na Fig. 4, considere um ponto situado a uma distância z do centro do dipolo, ao longo do seu eixo. (a) Mostre que, para valores grandes de z, o campo elétrico é dado por

E

1 2

0

p z3

(Compare com o campo num ponto situado sobre a bissetriz.) (b) Quais são a direção e o sentido de E?

(Pág. 28) Solução. (a) Considere o esquema abaixo: l E q q + z E E + E-

E+ z


2



E

E

1

q

4

l z 2

0

q

2

l 2 4z2

2

8 pz

E

l

0

2

Para valores de z

l z 2

0

2 2

2

2

k

k

k

k

l tem-se:

p 0

4z

4

q

2z l

8qlz 0

1

1

2z l

E

2

k

1 0

E

2

z3

k

(b) A resposta do item (a) responde a esta questão. 14. A Fig. 24 mostra um tipo de quadrupolo elétrico. Ele consiste em dois dipolos cujos efeitos em pontos externos não se cancelam completamente. Mostre que o valor de E sobre o eixo do quadrupolo, para pontos situados à distância z do seu centro (suponha z >> d), é dado por E

3Q 4 0 z4

onde Q (= 2qd2) é denominado momento de quadrupolo da distribuição de carga.



3



d

d

z

+

E

+

P

E+

z z1 z2 O campo elétrico (E) produzido pelo quadrupolo em P pode ser calculado por meio da soma dos campos produzidos pelos dipolos que compõem o quadrupolo (E1 e E2). E E1 E2 Os campos dos dipolos valem: 1 2qd E1 i 4 0 z13

E2

1 2qd i 4 0 z23

Sendo que as distâncias z1 e z2 são definidas por: d z1 z 2 d z2 z 2 O módulo do campo E vale:

E

2qd 4 0

1 d 2

z

1 3

z

d 2

3

Multiplicando-se e dividindo-se o segundo membro desta equação por z3, teremos:

E

2qd 4 0 z3

d 1 2z

3

3

d 1 2z

Aplicando-se a expansão binomial (Apêndice H, pág. A-288) e omitindo-se os termos de ordem superior (z d):

E

2qd 4 0 z3

E

2qd 3d 4 0 z3 z

1

3d 2z 3.2qd 2 4 0 z4

1

3d 2z

3Q 4 0 z4

Em notação vetorial: 3Q E i 4 0 z4


4



20. (a) Na Fig. 27, localize o ponto (ou pontos) em que o campo elétrico é nulo. (b) Esquematize qualitativamente as linhas de força.

(Pág. 29) Solução. (a) É possível simplificar a resolução do problema ao reconhecer que somente há possibilidade de encontrarmos pontos onde E = 0 ao longo da reta que une as duas cargas. Para localizarmos o(s) ponto(s) onde E = 0, vamos resolver a Eq. (1), onde E+ e E são os módulos dos campos elétricos gerados pelas cargas positiva e negativa, respectivamente. (1) E E

1 5,0q 4 0 xP21 5,0 xP21

1 2,0q 4 0 xP2 2

2,0 xP2 2

(2)

Na Eq. (2), xP1 é a coordenada x do ponto P em relação à carga 1 ( 5q) e xP2 é a coordenada do mesmo ponto em relação à carga 2 (+2q). Seja o seguinte esquema da situação, x21 é a coordenada da carga 2 em relação à carga 1: q2 q1 P x21 + xP1 xP2 A análise do esquema acima mostra que: xP1 x21 xP 2 Lembrando que x21 é igual a a: xP 2 xP1 a

(3)

A Eq. (3) funciona perfeitamente para qualquer ponto localizado ao longo do eixo x. Substituindose (3) em (2): 5, 0 2, 0 2 2 xP1 xP1 a 3, 0 xP21 10axP1 5a 2

0

Esta equação possui duas raízes: xP11 0, 61257 a xP12

2, 72076

a

As duas soluções obtidas satisfazem apenas ao critério de E+ = E , não de E+ + E = 0. Vamos observar os vetores nos dois casos:


5



5q

+2q +

a

E

P E+

2,72a x P E

+

E

0,61a

Podemos notar que apenas xP1

2,72 a satisfaz ao critério estabelecido no enunciado do problema.

24. Mostre que a Eq. 27, que se refere ao campo elétrico de um disco carregado, em pontos situados sobre o seu eixo, se reduz ao campo de uma carga pontual para z R. z Ez 1 (disco carregado) (27) 2 0 z 2 R2 (Pág. 29) Solução. Partindo-se da expressão inicial, Ez

2

z

1 z

0

2

,

R2

(1)

não podemos simplesmente fazer a aproximação z2 + R2 0, pois isso torna Ez = 0. Na verdade, fazer z2 + R2 0 equivale a tornar z , e não z R. Para obter a aproximação correta, é preciso expandir a expressão entre parênteses em termos do binômio de Newton, para em seguida truncá-la no ponto correto. A expansão do binômio de Newton é: 2 nx ! n n 1 x 1 x 1 1! 2! Para isso, precisamos preparar para a expansão o termo negativo entre parênteses na Eq. (1). n

R2 1 2 z

z z2

R

2 1/ 2

1/ 2

1 x

n

Na expressão acima, x = R2/z2 e n = 1/2. Podemos agora aplicar a expansão do binômio de Newton. 1/ 2

R2 1 2 z Para z

1 R2 1 2 z2

3 R4 1 2 z4 2

1 2

R2 1 2z 2

3R 4 8z 4

R temos: 1/ 2

R2 1 2 z

1

R2 2z2

(2)

Substituindo-se (2) em (1): Ez

2

1 1 0

R2 2z2

4

0

R2 z2

Explicitando-se a densidade superficial de cargas, : ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 – O Campo Elétrico

6



1 q R2 4 0 R2 z 2

Ez

1

Ez

4

0

q z2

26. A que distância, ao longo do eixo de um anel carregado de raio R, a intensidade do campo elétrico axial é máxima? (Pág. 29) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: Rd

dM R

d

dEz dEx x dEy

dE

y z O campo elétrico no ponto é dado por: E

dE

dEx i dEy j dEz k

x dEx i

dE y j

dEz k

A simetria envolvida na situação mostra que as integrais em j e k são nulas. E

dEx i 0 0

(1)

dE cos i

Na Eq. (1), a expressão de dE é obtida pela lei de Coulomb e a de cos acima. 1 dq dE 2 4 0 R x2 2

pela análise do esquema

x

cos R2

x2

1/ 2

Logo:

E

1 4

xdq 0

R2

x2

3/ 2

i

(2)

A expressão de dq é obtida por meio da densidade linear de carga do anel . q dq 2 R Rd q d 2 Substituindo-se (3) em (2): dq

(3)


7



1

E

4

q 2

0

x R

2

x

Na expressão acima, somente integral. 1 q x E 4 0 2 R2 x2

E

1

qx

4

R2

0

x2

3/ 2

2 3/ 2

d i

é variável. Portanto, tudo o mais pode ser retirado de dentro da 2 3/ 2

0

d i

1 4

0

q 2

x R2

x2

3/ 2

2 i

(4)

i

A Eq. (4) corresponde ao campo elétrico sobre o eixo do anel, a uma distância x do seu centro. O valor de E é zero para x = 0 e também é zero para x = + . Como E é positivo nesse intervalo, tornase evidente que há um valor máximo que E atinge em algum lugar para 0 x + . Para achar o valor de x que torna máximo o de E, módulo de E, basta calcular o valor de x que torna zero a derivada de E em relação à x.

dE dx

R2

1 4

x2

3/ 2

R2

0

3x 2 R 2 x2

3

x2

1/ 2

0

A expressão central será zero somente se: R2

R2 x

x2

x2 R 2

3/ 2

3x 2 R 2

x2

1/ 2

0

3x2

27. (a) Qual é a carga total q que um disco de raio igual a 2,50 cm deve ter para que o campo elétrico em sua superfície, no seu centro, seja igual ao valor em que a rigidez dielétrica do ar se rompe, produzindo centelhas? Veja Tabela 1. (b) Suponha que cada átomo da superfície tenha uma seção reta de área efetiva igual a 0,015 nm2. Quantos átomos estão localizados na superfície do disco? (c) A carga em (a) resulta do fato de alguns átomos superficiais carregarem um elétron em excesso. Qual é a fração dos átomos superficiais que precisa estar carregada desta forma?

(Pág. 29) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 – O Campo Elétrico

8



O campo elétrico produzido por um disco uniformemente carregado ao longo da linha perpendicular ao centro do plano do disco é dado por:

E

2

z

1

z2

0

R2

1/ 2

(a) O campo capaz de causar ruptura elétrica do ar vale E = 3 superfície do disco o campo vale: Q E 2 0 2 0 R2

106 N/C (ver Tabela 1). Na

Logo: Q

2

0

R 2 E 1, 0431 7

Q 1 10

10

7

C

C 0,1 C

(b) O número de átomos na superfície do disco, n, é igual à área total, A, dividida pela área efetiva de cada átomo, a. n

R2 a

A a

1017

1,30899

n 1,3 1017

(c) A fração f dos átomos superficiais é dada por: nc (1) f n Nesta equação, nc é o número de átomos carregados. Como os átomo eletricamente carregados possuem carga +e, a carga total Q vale:

Q

nc e

nc

Q e

Logo:

Portanto: f

Q ne

f

5 10

4,9804

10

6

6

Isso é cerca de 5 átomos por milhão. 31. Um fino bastão não condutor, de comprimento finito L, possui uma carga total q, uniformemente distribuída em toda a sua extensão. Mostre que E, no ponto P situado sobre a mediatriz que aparece na Fig. 31, é dado por q 1 E 2 0 y L2 4 y 2 1/ 2


9



(Pág. 29) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: dq,dy y L

P

dEx

x y

dEy

dE

x

O campo elétrico no ponto P é dado por: E

dE

dEx i dEy j

dEx i

dEy j

A simetria envolvida na situação mostra que a integral em j é nula. E

dEx i 0

(1)

dE cos i

Na Eq. (1), a expressão de dE é obtida pela lei de Coulomb e a de cos esquema acima. 1 dq dE 4 0 x2 y 2 2

pela análise geométrica do

x

cos

x2

y2

1/ 2

Logo: E

1 4

xdq 0

R2

x2

3/ 2

(2)

i

A expressão de dq é obtida por meio da densidade linear q dq L dy

de carga do bastão.


10



q dy L Substituindo-se (3) em (2): 1 qx L / 2 dy E 4 0 L L / 2 x2 y 2

(3)

dq

3/ 2

1 qx 2 4 0 L

i

dy

L/2 0

x2

y2

3/ 2

i

L/2

E

1 qx y 2 0 L x2 x2 y 2

i

1/ 2 0

E

1 2

q 0

x 4 x2

L2

1/ 2

i

Podemos verificar facilmente que esta expressão se reduz à lei de Coulomb quando afastamos o ponto P do bastão para distâncias muito maiores do que seu comprimento (x L). 34. Um bastão isolante “semi-infinito” (Fig. 34) possui uma carga constante por unidade de comprimento . Mostre que o campo elétrico do ponto P forma um ângulo de 45o com o bastão, e que este resultado é independente da distância R.

(Pág. 30) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: y dq,dy

x r

y P

dEx

R dEy

dE

O campo elétrico no ponto P é dado por: E

dE

dEx i dEy j

E

dE cos i

dEx i

dEy j

dE sen j

Na Eq. (1), a expressão de dE é obtida pela lei de Coulomb e a de cos esquema acima.

(1) pela análise geométrica do


11



dE

1 4

0

dq r2

(2)

Onde:

dq r

dy R cos

Logo: 1 cos 2 dy 4 0 R2

dE

(3)

Podemos determinar uma expressão para dy partindo-se da relação: y R tan Derivando-se y em relação à : R dy d cos2 Substituindo-se (4) em (3): 1 dE d 4 0 R Substituindo-se (5) em (1): /2 1 E cos d i 4 0 R 0

E

4

0R

i

4

0R

(4)

(5)

/2 0

sen d j

4

0

R

1i 1j

j

Como as componentes i e j do vetor E são iguais, o ângulo é 45o. Este resultado não depende de R, pois este termo está igualmente presente em ambas as componentes de E. 41. No experimento de Millikan, uma gota de raio 1,64 mm e densidade de 0,851 g/cm3 fica equilibrada quando um campo elétrico de 1,92 x 105 N/C é aplicado. Determine a carga da gota, em termos de e.


12




F

Q, m y

E R

x

P

Como a gota de óleo está em equilíbrio, as forças que atuam sobre a mesma, a força elétrica F e o peso P, devem somar zero. (1) F P 0 A força elétrica vale: F

QE

Q

E j QEj

(2)

O peso da gota vale: 4 R3 gj 3 Substituindo-se (2) e (3) em (1): 4 QEj R3 gj 0 3 P

mgj

(3)

Vgj

4 R3 g 8, 0337 10 19 C 3E Como a carga de um elétron vale e = 1,60 Q 5,021 e Q

Q

10

19

C, temos:

5e


13



44. Um campo vertical uniforme E é estabelecido no espaço entre duas grandes placas paralelas. Uma pequena esfera condutora de massa m é suspensa no campo, pendendo da extremidade de um fio de comprimento L. Determine o período deste pêndulo, quando a esfera recebe uma carga +q, se a placa inferior (a) está positivamente carregada e (b) está negativamente carregada. (Pág. 31) Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação:

y T

F

E

z

x

q, m P Vamos fazer o cálculo do período T por meio da freqüência angular do movimento harmônico simples (MHS). Esta será obtida por meio da construção da equação diferencial do MHS, que por sua vez tem sua origem na segunda lei de Newton. τ

Iα

Torques em relação ao ponto de suspensão, no eixo z: z

P

F

mg sen L qE sen L 0

T

I

z

O torque da tensão T em relação ao ponto de suspensão é nulo. O sinal negativo fora dos parênteses indica o caráter restaurador do torque. d2 mL dt 2 2

mg sen L qE sen L

d2 dt 2

g

qE 1 sen m L

Para pequenas oscilações, .

0

é suficientemente pequeno para que seja aceitável a aproximação sen

d2 qE 1 g 0 2 dt m L Esta é a equação diferencial do MHS, que tem a forma: d2 dt 2

2

0

Logo: 2

g

qE 1 m L

Como o período é dado por: 2 T ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 – O Campo Elétrico

14



Temos finalmente:

T

2

L qE g m

O sistema somente será capaz de oscilar se g qE/m. (b) Neste caso, a força elétrica F tem o sentido y. A única conseqüência é o sinal do torque relativo à força elétrica, agora positivo, que se propaga até o cálculo do período de oscilação.

T

2

L qE g m

46. Um elétron é forçado a mover-se ao longo do eixo do anel carregado discutido na Seção 28-5. Mostre que o elétron pode realizar pequenas oscilações através do centro do anel, cuja freqüência é dada por eq 4 0 mR 3 (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

R +Q

m, e F

P

E

x

O campo elétrico no ponto P gerado por um anel de cargas foi calculado na Seção 28.5 do livro e vale: qx E i 2 2 3/ 2 4 0 x R Um elétron de massa m e carga e colocado no ponto P estará sujeito a uma força cujo módulo é dado por: qex F 3/ 2 4 0 x2 R2 A equação de movimento do elétron é dada pela segunda lei de Newton: F

m

d 2x dt 2

qex 4

0

x2

R2

3/ 2


15



d 2x dt 2

qex 2 0m x

4

R2

3/ 2

0

Para pequenas oscilações, temos x 2

d x dt 2

qe x 4 0 mR3

R, o que reduz a expressão acima a:

0

Esta é a equação diferencial do MHS, que tem a forma: d 2x dt 2

2

x

0

Logo: qe 4 0 mR 3

48. Um dipolo elétrico, composto de cargas de módulo 1,48 nC separadas por 6,23 m, está imerso num campo elétrico de 1.100 N/C. (a) Qual é o módulo do momento de dipolo elétrico? (b) Qual é a diferença em energia potencial conforme o dipolo tenha orientação paralela e antiparalela ao campo? (Pág. 31) Solução. (a) O módulo do momento de dipolo vale: p

qd

1, 48 10 9 C 6, 23 10 6 m

p 9, 22 10

15

9, 2204 10

15

C.m

C.m

(b) A variação da energia potencial vale: U U par U antipar As energias potenciais das configurações paralela (Upar) e antiparalela (Uantipar) valem: U par p par .E pE cos 0 pE U antipar

pantipar .E

pE cos

pE

Logo, o valor de U é: U

pE

pE

U

2, 03 10

2 pE 11

2,0284

10

11

J

J

51. Determine o trabalho necessário para girar um dipolo elétrico de 180 o num campo elétrico uniforme E, em termos do momento de dipolo p e do ângulo inicial 0 entre p e E. (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema:


16



p

+

Inicial Ui

E

Final Uf

E

+

p O trabalho realizado pela força elétrica é dado por: W

U

Uf

Ui

(1)

Ui U f

As energias potenciais das configurações inicial (Ui) e final (Uf) do dipolo valem: Ui

pi .E

Uf

p f .E

pE cos

(2)

0

pE cos

0

pE

cos

0

pE cos

0

(3)

Substituindo-se (2) e (3) em (1): W

pE cos

0

pE cos

0

2 pE cos

0

Logo, o trabalho de um agente externo vale: Wext

W

2 pE cos

0

52. Determine a freqüência de oscilação de um dipolo elétrico, de momento p e momento de inércia I, para pequenas amplitudes de oscilação em torno de sua posição de equilíbrio, num campo elétrico uniforme E. (Pág. 31) Solução. Considere o seguinte esquema: p + y E

z

x

O torque gerado pelo campo elétrico E sobre o dipolo, cujo momento de dipolo é p, é dado por: τ p E pE sen k Aplicando-se a segunda lei de Newton, no eixo z: d2 dt 2 Nesta equação, I é o momento de inércia do dipolo elétrico em relação em eixo de oscilação Para pequenas amplitudes angulares, é válida a aproximação sen = . pE sen

I

d2 pE 0 2 dt I Esta é a equação diferencial do MHS, que tem a forma:

d 2x dt 2

2

x

0


17


Nesta equação,


é a freqüência angular da oscilação, e vale:

pE I A freqüência da oscilação, , vale: 2

Logo:

1 2

pE I


18



RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. FÍSICA 3 CAPÍTULO 29 – LEI DE GAUSS

05. Uma carga puntiforme de 1,84 C está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. Calcule E através da superfície. (Pág. 49) Solução. Considere o seguinte esquema:

l

q

De acordo com a lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico (E) através de uma superfície fechada que encerra uma carga q é dado por:  0 E  q Logo:

E 

q

0

 2,07909

105 Nm2 /C

 E  2, 08 105 Nm 2 /C As dimensões da superfície gaussiana não interferem no resultado, uma vez que todo o fluxo do campo elétrico da carga q irá atravessá-la, sendo a superfície pequena o grande. 07. Uma carga puntiforme +q está à distância d/2 diretamente acima do centro de uma superfície quadrada de lado d, conforme mostra a Fig. 24. Calcule o fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão: Raciocine como se o quadrado fosse a face de um cubo de aresta d.)

(Pág. 49) ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

1



Solução. Se a carga +q estivesse localizada no centro de um cubo de aresta d, o fluxo total do campo elétrico (E) através dos seis lados do cubo, que constituem uma superfície gaussiana fechada, seria: q E 

0

Veja o seguinte esquema:

d

q d/2

Considerando-se a área do quadrado como sendo 1/6 da área do cubo, o fluxo através do quadrado (Q) será:  Q  E 6 q Q  6 0 12. Uma carga puntiforme q está colocada no vértice de um cubo de aresta a. Qual o fluxo através de cada uma das faces do cubo? (Sugestão: Utilize a lei de Gauss e argumentos de simetria.) (Pág. 50) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: a f b

q

a

c

e d

________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

2



O fluxo do campo elétrico () da carga q através dos lados que formam o vértice onde a carga está localizada (a, b e e) vale zero. Isso se deve ao fato de as linhas do campo elétrico serem ortogonais aos vetores dA nesses lados.

a  b  e   E  dA  0 Nos lados c, d e f, as linhas de campo não são ortogonais a dA, logo o fluxo de campo através desses lados não será nulo. Para calcular esse fluxo, considere o seguinte esquema no qual a carga q está localizada no centro de um grande cubo de aresta 2a, que aparece dividido em oito cubos menores, cada um com aresta a.

2a f

c

d

O pequeno cubo superior direito frontal corresponde ao cubo do problema. O fluxo do campo elétrico através do cubo 2a é: q 2a 

0

O fluxo através da cada lado desse cubo é 1/6 do fluxo total. q  2 a , lado  6 0 O fluxo através de ¼ de cada um desses lados (quadrados c, d e f, no esquema inicial) é: 1 1 q c  d   f  2a, lado  4 4 6 0

c   d   f 

q 24 0

15. Veículos espaciais que passam pelos cinturões de radiação da Terra colidem com elétrons confinados ali. Como no espaço não há potencial elétrico de terra, o acúmulo de cargas é significativo e pode danificar os componentes eletrônicos, provocando perturbações de circuitos de controle e disfunções operacionais. Um satélite esférico de metal, com 1,3 m de diâmetro, acumula 2,4 C de carga ao completar uma revolução em órbita. (a) Calcule a densidade superficial de carga. (b) Calcule o campo elétrico resultante imediatamente fora da superfície do satélite. (Pág. 50) Solução. (a) A densidade superficial de carga  é a razão entre a carga total dispersa na superfície do satélite Q e a área dessa superfície A. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

3





Q Q   4,520 A 4 R 2

107 C/m2

  0, 45 C/m2 (b) O campo elétrico imediatamente fora da superfície do satélite pode ser calculado pela lei de Gauss. Para isso, vamos construir uma superfície gaussiana esférica de raio R, ou seja, com o mesmo raio do satélite, e que possui centro coincidente com o centro do satélite. Considere o seguinte esquema: E dA +

+

Q

+

+

+

+ +

+

+ +

+ +

+

E 

R

+ +

+ +

Q

 E  dA  

0

Q

 E.dA.cos   E.dA.cos 0   E.dA.(1)   E.dA  

0

Como o campo elétrico E é constante ao longo de toda a superfície gaussiana, pode ser retirado da integral. Q E  dA  E 4 R 2 

0

E

Q 4 0 R

2



Q 1 Q 1     5,1077 4 R2  0 A  0  0

104 N/C

E  5,1104 N/C 18. Um condutor isolado de forma indefinida está carregado com uma carga de +10 C. Dentro do condutor há uma cavidade que contém uma carga puntiforme q = +3,0 C. Qual é a carga (a) nas paredes da cavidade e (b) na superfície externa do condutor? (Pág. 50) Solução. (a) Na ausência de carga elétrica no interior da cavidade do condutor, toda a carga +Q se dispersa por sobre a sua superfície (veja o esquema abaixo).


4



 Condutor carregado





Q





Cavidade 

 







Ao introduzir uma carga +q no interior da cavidade, o equilíbrio eletrostático anterior é rompido e cargas negativas (num total de q’) devem ser deslocadas para a superfície da cavidade.

Q’ 



 





 

 

 a q’







q 



Superfície gaussiana

 





 



  Como não pode haver fluxo de campo elétrico através de uma superfície gaussiana localizada no interior de um condutor que esteja em equilíbrio eletrostático, a carga líquida no interior dessa superfície deve ser nula. Portanto, se há uma carga positiva q no interior da cavidade, então deverá também existir uma carga negativa q’, de igual módulo e de sinal contrário a q, na superfície da cavidade. Logo: q'  3,0 106 C

(b) Seja Q a carga positiva inicial no condutor. Como foi deslocada uma carga negativa q’ para a superfície da cavidade, a carga que restará na superfície externa do condutor (Q’) será: Q '  Q  q '   10  C    3, 0  C 

Q'  13 C 20. Uma linha de cargas infinita produz um campo de 4,52  104 N/C à distância de 1,96 m. Calcule a densidade linear de cargas. (Pág. 50) Solução. Considere o seguinte esquema, onde uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento l e raio r foi construída em torno da linha de cargas.


5



l 2 1

3

r









dA3

E1

dA2 Aplicando-se a lei de Gauss:

 E  dA 



























dA1

E3

E2

q 0

l

 E  dA   E  dA   E  dA   1

2

3

0

As integrais 1 e 3 são nulas, pois o ângulo entre os vetores E e dA é 90o. l 0   E  dA cos 0  0 

0

2

E  dA 

l 0

E.2 rl 

l 0

2

  2 0 rE  4,9262 106 C/m

  2 8,85 1012 N.m2 /C2  1,96 m   4,52 104 N/C   4,9262 106 C/m

  4,93 C/m 22. Duas grandes lâminas não condutoras que contém cargas positivas estão face a face, como na Fig. 27. Determine E nos pontos (a) à esquerda das lâminas, (b) entre elas e (c) à direita das lâminas. Admita que as densidades superficiais de carga  das duas lâminas sejam iguais. Considere apenas pontos afastados das bordas e a pequenas distâncias das lâminas em relação ao pequeno tamanho delas. (Sugestão: Veja Exemplo 6.)


6



(Pág. 50) Solução. Em regiões próximas às lâminas e comparativamente distante de suas bordas, a intensidade do campo elétrico é independente da distância à superfície das lâminas. Como as lâminas A e B são não-condutoras, surgem campos elétricos homogêneos perpendiculares à lâmina, de intensidade /20, em ambos os lados de sua superfície, inclusive em regiões que vão além da lâmina vizinha. Considere o esquema abaixo, em que EAe é o campo elétrico produzido pela lâmina A, na região à esquerda de ambas as lâminas. Os índices c e d correspondem às regiões central e à direita. A B  

EAe



EAc















EBe







EBc















EAd

EBd y



x  Sabendo-se que a densidade de cargas  é a mesma para as lâminas A e B, temos:

E Ac  E Ad  EBd 

 i 2 0

E Ae  EBe  EBc  

 i 2 0

(a) O campo resultante à esquerda da lâmina A (Ee) vale:

Ee  E Ae  E Be  

 i 0

(b) O campo resultante entre as lâminas A e B (Ec) vale:

Ec  E Ac  EBc 

  i i 2 0 2 0

Ec  0 ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

7



(a) O campo resultante à direita da lâmina B (Ed) vale:

Ed  E Ad  EBd 

 i 0

25. Uma esfera pequena com massa m = 1,12 mg e carga q = 19,7 nC, está no campo gravitacional da Terra, pendurada por um fio de seda que faz o ângulo  = 27,4o com uma grande placa isolante uniformemente carregada, conforme a Fig. 29. Calcule a densidade uniforme de cargas da placa.

(Pág. 51) Solução. Considere o seguinte diagrama de corpo livre da massa m, onde T é a tensão que o fio de seda exerce sobre m, P é o seu peso e F é a força elétrica gerada pela placa: y T

 F

x

P A força elétrica gerada sobre m pela grande placa carregada com uma densidade de cargas  vale

F  qE  q

 i 2 0

As outras forças valem:

P  mgj T  T sen i  T cos j Forças em x:

F

x

T

 Fx  Tx  Px 

q 2 0 sen 

q  T sen   0  0 2 0 (1)

Forças em y: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

8



F

y

 Fy  Ty  Py  0  T cos   mg  0

mg cos  Igualando-se (1) e (2): q mg  2 0 sen  cos  T

 

(2)

2 0 mg tan  q 2  8,85 1012 Nm 2 /C2 1,12 106 kg  9,81 m/s 2  tan 27, 4

19, 7 10 C  9

  5,1170

109 C/m 2

  5,12 nC/m2 27. Um fio reto, muito comprido e fino, está carregado com 3,60 nC/m de carga negativa fixa. O fio é envolvido coaxialmente por um cilindro uniforme de carga positiva, com 1,50 cm de raio. A densidade volumétrica de cargas  do cilindro é escolhida de forma que o campo elétrico resultante é nulo fora do cilindro. Determine a densidade de cargas positivas  necessária. (Pág. 51) Solução. O esquema a seguir mostra uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio r e comprimento l, construída coaxialmente em torno do fio. l

2 r

1













































3 

  























  

R 

dA3

dA1 E1

E3 dA2 E2 O fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é dado por:

 E   E  dA 

q 0

 E  dA   E  dA   E  dA  1

2

0  E2 A  0  E2 

3

q 0

q 0

q 0 A


9



Para que o campo na área lateral do cilindro gaussiano (E2) seja nulo, a carga líquida no interior dessa superfície deve ser nula. Logo:

q  q



 q  0

V  l  0  R 2l  l 3, 6 109 C/m       5, 2909 106 C/m 2 2 2 R   0, 015 m 

  5,09 C/m2 32. Uma grande superfície plana, não-condutora, tem densidade uniforme de carga . No meio dessa superfície foi feito um pequeno furo circular de raio R, conforme ilustra a Fig. 33. Desprezando o encurvamento das linhas de campo em todas as bordas, calcule o campo elétrico no ponto P, à distância z do centro do furo e ao longo de seu eixo. (Sugestão: Veja a Eq. 27 do Cap. 28 e utilize o princípio da superposição.)

(Pág. 52) Solução. O campo elétrico a uma distância z de uma chapa isolante com densidade de carga  vale:

EChapa 

 2 0

O campo elétrico a uma distância z de um disco de raio R, sobre o eixo ortogonal do disco, que passa pelo seu centro, vale:

EDisco 

   z 1  2  2 0  z  R2 

Como o campo elétrico obedece ao princípio da superposição, é legítimo afirmar que o campo produzido pela chapa que possui um orifício na forma de disco corresponde ao campo produzido por uma chapa não furada menos o campo produzido por um disco carregado que preenche o orifício da chapa.

EChapa furada 

EChapa furada 

    z  1  2  2 0 2 0  z  R2  z

2 0 z 2  R 2


10



33. Na Fig. 34 vemos o corte transversal de um longo tubo metálico de pequena espessura e com raio R, cuja superfície possui uma carga de densidade  por unidade de comprimento. Deduza as expressões de E a diversas distâncias r, a partir do eixo do tubo, considerando as regiões (a) r  R e (b) r  R. Trace um gráfico desses resultados entre r = 0 e r = 5,0 cm, fazendo  = 2,0  108 C/m e R = 3,0 cm. (Sugestão: Use superfícies gaussianas cilíndricas, coaxiais com o tubo de metal.)

(Pág. 52) Solução. (a) r  R. Considere o esquema a seguir, que mostra uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio r  R, posicionada de forma coaxial ao tubo metálico. As regiões 4 e 5, que são equivalentes às regiões 2 e 1, respectivamente, formam a outra base do cilindro gaussiano e não foram mostradas. 3 2





R r





1

 

 

dA3 E3

dA1

dA2 E2 E1 = 0 Aplicando-se a lei de Gauss:

 E.dA 

q 0

 E.dA   E.dA   E.dA   E.dA   E.dA  1

2

3

0  0   E.dA  0  0  3

E3 A3  E.2 rL 

E

4

5

q 0

q 0

L 0

 2 0 r

(b) r  R. Neste caso, considere o esquema abaixo: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

11


Problemas Resolvidos de Física 



R



 

r



 

Como as cargas estão localizadas fora da superfície gaussiana, é nulo o fluxo do campo elétrico através desta. Portanto, o campo elétrico no interior do cilindro condutor é nulo. (c)

E /20

r

R

46. Uma chapa plana de espessura d tem uma densidade volumétrica de cargas  uniforme. Determine o módulo do campo elétrico em todos os pontos do espaço (a) dentro e (b) fora da chapa, em função de x, a distância a partir do plano mediano da chapa. (Pág. 53) Solução. (a) Considere o esquema a seguir, em que foi construída uma superfície gaussiana cilíndrica interna à chapa, sendo que a base do cilindro está alinhada com o plano mediano da chapa: d

x 2 3

1

E3

E1 = 0 dA1

dA3

dA2

E2

x Em x = 0 (centro da chapa), o campo elétrico é nulo devido à simetria da distribuição da carga em torno dessa região. Portanto, o fluxo de campo através da base do cilindro gaussiano é nulo. Ao longo da área lateral do cilindro o fluxo também é nulo, pois nessa região o campo elétrico é ortogonal ao vetor dA. Portanto, somente há fluxo de campo através do topo do cilindro.

 E.dA 

q 0

 E.dA   E.dA   E.dA  1

2

3

V 0


12



0  0  EA  E

 Ax 0

x 0

No interior de uma chapa homogeneamente carregada, o campo cresce linearmente com a distância a partir do seu plano mediano. (a) Considere o esquema a seguir: d

2 3

1

E3

E1 = 0 dA1

dA3

dA2

E2

x De maneira semelhante:

 E.dA 

q 0

 E.dA   E.dA   E.dA  1

2

3

V 0

d   A  2 0  0  EA  0 E

d 2 0

No exterior de uma chapa homogeneamente carregada, o campo é constante. 47. Uma esfera sólida não condutora, de raio R possui uma distribuição de cargas não uniforme, a densidade de cargas sendo dada por  = e r/R, onde e é constante e r é a distância ao centro da esfera. Mostre que (a) a carga total na esfera é Q = eR3 e (b) o campo elétrico dentro da esfera é determinado por 1 Q 2 E r 4 0 R 4 (Pág. 53) Solução. (a) Considere o esquema abaixo: ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

13



E

+

dA+

+

r Q

+

+

q

+

+ +

R

+

+

+ +

Carga total na esfera: dq r   0 dV R 40 3 r dq  0 .4 r 2 dr  r dr R R

Q   dq 

4 0 R



R

0

r 3dr 

(1)

4 0 R 4 R 4

Q   0 R 3 (b) Carga no interior da esfera de raio r, partindo-se de (1):

4 0 q R q

4 0 r 4 0 r dr  R 4 r

3

 0 r 4  R 3   0 R3r 4 Qr 4  3    4 R R4 R R 

Aplicação da lei de Gauss à superfície esférica de raio r: q  E.dA 

0

(2)

(3)


E.4 r 2 0 

E

Qr 4 R4

1 Qr 2 4 0 R 4

49. Ernest Rutherford disse, num artigo científico, em 1911: "A fim de ter uma idéia das forças necessárias para provocar grandes desvios numa partícula alfa, suponhamos que uma carga puntiforme positiva Ze esteja no centro do átomo, circundada por uma distribuição de eletricidade negativa Ze, uniformemente distribuída numa esfera de raio R. O campo elétrico E... em um ponto dentro do átomo, à distância r do seu centro, [é]

E

Ze  1 r     4 0  r 2 R3 

Verifique essa equação (Pág. 53) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 29 – Lei de Gauss

14



Considere o seguinte esquema, que mostra a seção transversal de um átomo esférico de raio R, que possui carga positiva Ze concentrada no centro e densidade  de carga negativa homogeneamente distribuída no volume da esfera. Foi construída uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada no átomo. E



dA

   

 



r

 +



R







 

Aplicando-se a lei de Gauss:

 E.dA 

 q  Ze  V 0

(1)

0

Na Eq. (1), a carga líquida no interior da casca esférica gaussiana,

 q , corresponde à carga do

núcleo, +Ze, mais a carga eletrônica contida nessa região, V, em que V é o volume da casca esférica gaussiana.

   Ze   4 3  Ze     r  4    R3   3 3   EA 

0

E.4 r 2 

E

Ze  Ze

0

r3 3 R3  Ze 1  r     0  R3 

Ze  1 r     4 0  r 2 R3 

50. A Fig. 38 mostra o modelo de Thomson para o átomo de hélio (Z = 2). Dois elétrons em repouso estão enterrados dentro de uma esfera uniforme de carga positiva 2e. Determine a distância dentre os elétrons para que a configuração fique em equilíbrio.

(Pág. 53) Solução. (a) Considere o esquema abaixo:


15


+

E+ dA +

F F+

+

+ +


+ +

d/2

R +

+

+

Para que haja equilíbrio eletrostático nesse sistema, a resultante das forças sobre cada elétron deve ser nula. Cada elétron está sujeito a duas forças: repulsão devido ao outro elétron e atração devido à camada esférica de cargas positivas de raio d/2. As cargas positivas da camada esférica com raio maior do que d/2 não exercem força sobre os elétrons. (1) F+  F  0 Repulsão elétron-elétron:

F 

e2 r 4 0 d 2 1

(2)

Atração esfera-elétron: F  eE+

(3)

Carga positiva na esfera de raio r = d/2: q q 2e    3 4 3 V 4 d  R   3 3 2

ed 3 4 R3 Campo produzido pela esfera de raio r = d/2 em sua superfície (lei de Gauss): q  E.dA  q

(4)

0 2

d  E .4    0  q 2

E .4 d 2 0  q

(5)


ed 3 1 E  3 . 2 4R  d  0

E 

1

ed 4 0 R3 .

Em termos vetoriais: 1 ed E+  . r 4 0 R3

(6)


F  

e2 d r 4 0 R3 1

.

(7)


16






e2 d 1 e2 r  r0 4 0 R3 4 0 d 2 1

.

dR


17

FG Exercicios Resolvidos v1

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