CURSO DE MAT 46
Variáveis Complexas Antonio Cândido Faleiros
Departamento de Matemática ITA - CTA São José dos Campos, SP 12 228 - 900 10 de agosto de 2005
Sumário 1 Números Complexos
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
1
Introdução . . . . . . . . . . . . . Números complexos . . . . . . . . Retorno à notação clássica . . . . Representação geométrica . . . . Módulo de um número complexo Relação de ordem . . . . . . . . . Forma polar . . . . . . . . . . . . Potência inteira . . . . . . . . . . Radiciação de números complexos Exp Expoentes racionais . . . . . . . .
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2 Limite e Continuidade
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Funções . . . . . . . . . . . . Função exponencial . . . . . . Funções trigonométricas . . . Funções hiperbólicas . . . . . Conjuntos no plano complexo Limite . . . . . . . . . . . . . Curvas no plano complexo . . Limite da função composta . .
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3 Derivada
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
1 2 4 5 7 9 10 12 13 14
Introdução . . . . . . . . . . . . . Fórmulas de derivação . . . . . . Derivada ao longo de uma curva . Condições de Cauchy-Riemann . . Existência da derivada . . . . . . Derivada da função composta . . Derivada em coor oordenadas pol polares Função analítica . . . . . . . . . .
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Sumário 1 Números Complexos
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
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Introdução . . . . . . . . . . . . . Números complexos . . . . . . . . Retorno à notação clássica . . . . Representação geométrica . . . . Módulo de um número complexo Relação de ordem . . . . . . . . . Forma polar . . . . . . . . . . . . Potência inteira . . . . . . . . . . Radiciação de números complexos Exp Expoentes racionais . . . . . . . .
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2 Limite e Continuidade
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Funções . . . . . . . . . . . . Função exponencial . . . . . . Funções trigonométricas . . . Funções hiperbólicas . . . . . Conjuntos no plano complexo Limite . . . . . . . . . . . . . Curvas no plano complexo . . Limite da função composta . .
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3 Derivada
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
1 2 4 5 7 9 10 12 13 14
Introdução . . . . . . . . . . . . . Fórmulas de derivação . . . . . . Derivada ao longo de uma curva . Condições de Cauchy-Riemann . . Existência da derivada . . . . . . Derivada da função composta . . Derivada em coor oordenadas pol polares Função analítica . . . . . . . . . .
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ii
SUMÁRIO
4 Funções multivalentes
4.1 4.2 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10
57
Conceitos básicos . . . . . . . . . . . Raíz Raízes es de orde ordem m n: . . . . . . . . . . Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . Potência complexa . . . . . . . . . . Ramo de uma função multivalente . . Os ramos da raiz quadrada . . . . . . A função argumento pos possui ramos? . Os ramos do logaritmo . . . . . . . . Ramos da potência complexa . . . . Funções trigo igonométricas inv inversas . .
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5 Integral
5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10
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Função ção com valo alores res com complexo lexoss e variá ariávvel re real . Comprimento de uma curva . . . . . . . . . . Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integr egral de lin linha como lim limite de uma soma . . Reparametrização . . . . . . . . . . . . . . . . Indepen pendência da parametrização . . . . . . . Adição e subtração de curvas . . . . . . . . . Primitiva de uma função . . . . . . . . . . . . Independência do caminho . . . . . . . . . . .
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6 Teorema de Cauchy-Goursat
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
Teorema de Cauchy . . . . . . . . Teorema de Cauchy-Goursat . . . Região multiplamente conexa . . Fórmula integral de Cauchy . . . Fórmula int integral das deriva ivadas . . Princípio do módulo máximo . . . Teorema fundamental da álge lgebra Teorema de Morera . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . Seqüência . . . . . . . . . . Seqüência de Cauchy . . . . Seqüência e continuidade . . Série . . . . . . . . . . . . . Convergência absoluta . . . Testes de convergência . . . O plano complexo estendido
71 74 75 78 80 81 82 85 87 91 95
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7 Seqüências e séries
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
57 58 58 60 61 61 63 63 65 65
95 96 98 100 102 102 10 107 109 11 111 11 112 113
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11 113 116 116 116 11 117 121 121 122 123
iii
SUMÁRIO 8 Séries de potências
8.1 8.2 8.3 8.3 8.4 8.5
125
Propriedades das séries ies de pot potências . . . . . . Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . Multi ultipl plic icaç ação ão e divi divisã sãoo de séri séries es de potê potênc ncia iass . Zeros de uma função analítica . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Singularidades
9.1 9.2 9.3 9.4 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8
Série de pot potências negativas . . . . . . Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . Resíduo . . . . . . . . . . . . . . . . . Séries ies de Laure aurennt de funçõ unçõees racio acionnais ais . 9.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . Singularidade isolada . . . . . . . . . . 9.5.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . Teorema do resíduo . . . . . . . . . . . Cálculo de integrais reais . . . . . . . . Integrais diversas . . . . . . . . . . . .
10 Aplicações
. 128 128 . 13 133 . 138 . 13 139 . 14 143 145
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. 145 . 14 148 . 15 152 . 154 154 . 15 158 . 159 159 . 16 164 . 16 165 . 167 . 17 174 179
10.1 Funções harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 10.2 Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.3 Transformação conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 184 10.4 Transformação linear fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.5 Ex Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 190 10.6 Transformação de Schwarz-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.7 Transformação de Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 A Compacidade
199
B Seqüências e séries reais
203
iv
SUMÁRIO
Capítulo 1 Números Complexos 1.1
Introdução
Os números complexos tiveram sua origem no século 16, quando os matemáticos da época procuravam fórmulas para obter raízes de polinômios do terceiro e quarto graus. Desde quando Bhaskara (1114-1185 dC) deduziu a memorável fórmula
p b ¡ 4ac z = ¡ § 2a 2
b 2a
que fornece as raízes do polinômio do segundo grau na variável z; az 2 + bz + c = 0;
percebeu-se que não existe raiz real quando b 2 ¡ 4ac é negativo. Como exemplo, citamos a equação z 2 + 1 = 0 que não possui raízes reais. Quando b 2 ¡ 4ac é positivo, o polinômio apresenta duas raízes reais distintas e, quando b 2 ¡ 4ac = 0; existe apenas uma raiz real. Por questões de estética e simetria, os matemáticos do século 16 perceberam que seria interessante estender o conjunto de números reais de modo que, neste conjunto ampliado, todas as equações possuíssem pelo menos uma raiz. O procedimento adotado foi o seguinte: Ao explicitar equação como z 2 ¡ z numa p p admitindo que ¡k 2 = k ¡1 para todo real k 2z + 5 = 0 e, operando informalmente, p positivo, obtiveram z = 1 § 2 ¡1: Percebeu-se então que, quando b 2 ¡ 4ac ép negativo, as raízes de um polinômio do segundo grau podem ser escritas na forma x + y ¡1; onde x e y são números reais. Como não há número real que elevado ao quadrado fornece ¡1; resolveram utilizar a letra i (de imaginário) para designar o número cujo quadrado é ¡1 e passaram a escrp ever i = ¡1: Chamaram esta nova entidade de unidade imaginária. Com esta nova entidade, instituíram o conjunto dos números complexos, formado por elementos da forma x + yi
onde x e y são números reais. 1
2
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEXOS
De…niram a igualdade entre dois números complexos x + yi e a + bi pela relação x + yi = a + bi se e s¶ o se x = a e y = b :
Para obter uma de…nição de adição e multiplicação de números complexos, toma-se x + yi e a + bi e os adiciona e multiplica como se todos os símbolos envolvidos fossem números reais, considerando que i ¢ i = ¡1; quando se obtém (x + yi) + (a + bi) = (x + a) + (y + b)i ; (x + yi) (a + bi) = (x a y b) + (x b + y a)i ;
¢
¢ ¡ ¢
¢
¢
De…ne-se as operações de adição e a multiplicação de dois números complexos através destas expressões. As operações assim de…nidas são comutativas, associativas e possuem elemento neutro (o elemento neutro da adição é o zero 0 = 0 + 0i e o elemento neutro da multiplicação é o 1 = 1 + 0i). Cada número complexo x + yi possui um oposto ¡x ¡ yi que, adicionado ao anterior resulta no elemento neutro da adição. Se x + iy for diferente de zero, então x iy x2 + y2
¡
é seu inverso multiplicativo. Denotado por (x + yi)¡1 ; este é o número que, multiplicado por x + yi resulta na unidade multiplicativa, isto é, (x + yi) (x + yi)¡1 = 1:
¢
A multiplicação é distributiva em relação à adição, isto é, se z1 ; z2 e z3 forem três números complexos, então z1 (z2 + z3 ) = z 1 z2 + z1 z3 :
¢
¢
¢
Conjuntos com mais de dois elementos, munido de duas operações possuindo estas propriedades formam uma estrutura algébrica denominada corpo. As operações de adição e multiplicação de números reais possuem estas propriedades. Com isto, o conjunto dos números reais com as operações de adição e multiplicação também forma um corpo. Em todo este desenvolvimento existe um porém. A introdução arti…cial de um novo símbolo, tal como a unidade imaginária, não agrada aos espíritos mais críticos que preferem fazer extensões de conjuntos numéricos usando bases matemáticas mais sólidas. Na próxima seção veremos como se procede para obter o conjunto dos números complexos a partir do conjunto dos números reais e da teoria dos conjuntos.
1.2
Números complexos
Para contornar a introdução de uma unidade imaginária e alicerçar a construção do con junto dos números complexos sobre bases mais sólidas, vamos de…nir um número complexo
3
1.2. NÚMEROS COMPLEXOS
como sendo um par ordenado (x; y) de números reais. Denotando por números complexos, tem-se C =
f(x; y) :
x; y
C
o conjunto dos
2 Rg:
Dois números complexos (x; y) e (a; b) são iguais se e só se x = a e y = b; quando se escreve (x; y) = (a; b): As operações de adição e multiplicação dos números complexos (x; y) e (a; b) são de…nidas por (x; y) + (a; b) = (x + a; y + b); (x; y) (a; b) = (x a y b ; x b + y a):
¢
¢ ¡ ¢
¢
¢
Os símbolos + e ¢ do lado direito do sinal de igualdade denotam as operações usuais de adição e multiplicação de números reais. Os símbolos + e ¢ do lado esquerdo denotam as operações de adição e multiplicação de números complexos. Usamos os mesmos símbolos para designar as operações entre reais e entre complexos. Estas duas operações possuem as propriedades listadas em seguida. 1. Associatividade. Para todo u; z; w 2 C, (u + z) + w = u + (z + w) (u z) w = u (z w)
¢ ¢ 2. Comutatividade. Para todo z; w 2 C,
¢ ¢
z + w = w + z z w = w z
¢
¢
3. Elemento neutro. Para todo z 2 C, z + (0; 0) = z z (1; 0) = z
¢
O par (0; 0) é o elemento neutro da adição e o par (1; 0) é o elemento neutro da multiplicação. 4. Elemento oposto. Dado z 2 C, existe um único w
2 C; tal que
z + w = w + z = (0; 0):
Se z = (x; y); então w = (¡x; ¡y): Este número complexo w é chamado de oposto de z e é denotado por ¡z: = 0; existe um único w 5. Elemento inverso. Sendo z 6
2 C, tal que
z w = (1; 0) :
Sendo z = (x; y);
¢
µ
¶
x y w = ; : x2 + y 2 x2 + y 2 Este número complexo w é chamado de inverso de z e será denotado por z ¡1:
¡
