Exercícios Resolvidos
Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Prova da Igualdade Entre Conjuntos Contato: Contato:
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 09/03/2016 - Atualizado em 07/07/2017
Como provar a igualdade entre conjuntos? A prova da igualdade entre dois conjuntos é normalmente feita usando a: propriedade anti-simétrica propriedade anti-simétrica dos dos conjuntos; absurdo. ou a prova por absurdo.
Exemplo 1: Se A, B e C são conjun- impl implic ica a na incl inclus usão ão do conj conjun unto to a esestos tais que A ∪ B = A ∪ C e A ∩ B = A ∩ querda da igualdade no conjunto a direC, prove que B = C. ita. O terc tercei eiro ro pass passo o usa usa as duas duas imimSolução: plicaç plicações ões dos passo passos s anteri anterior ores es para para garantir a igualdade. A pro prova pel pela pro proprie prieda dad de antisimétrica pode simétrica pode ser descrita três passos: Vejamos agora como provar o solicitado. 1◦ Passo:
Tomar omar um eleelemento genérico do lado direito da igualdade e mostrar que ele pertence também ao lado esquerdo;
1◦ Passo: Se b ∈ B então b ∈ A ∪ B.
Como por hipótese A ∪ B = A ∪ C então b ∈ A ou b ∈ C ou b pertence a ambos. Se b ∈ A, então b ∈ A ∩ B. Como por hipótese A ∩ B = A ∩ C então b ∈ C. Assim, todo elemento de B é também elemento de C.
2◦ Passo:
Tomar omar um eleelement mento o gené genéri rico co do lado lado esesquerdo da igualdade e mostrar que ele perten pertence ce também também ao lado direito;
Se b ∈ C ou a ambos (A e C) a mesma conclusão é imediata.
3◦ Passo:
2◦ Passo: Se c ∈ C então c ∈ A ∪ C.
Evoc Evocar ar a propropriedade anti-simétrica.
Como por hipótese A ∪ C = A ∪ B então c ∈ A ou c ∈ B ou c pertence a ambos.
A conc conclu lusã são o do prim primei eiro ro pass passo o imimSe c ∈ A, então c ∈ A ∩ C. Como por plica na inclusão do conjunto a direita da hipótese A ∪ C = A ∪ B então c ∈ B. Asiguald igualdade ade no conjun conjunto to a esque esquerd rda. a. En- sim, todo elemento de C é também elequanto quanto a conclu conclusã são o do segun segundo do passo passo mento de B. 1
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Se c ∈ B ou a ambos (A e B) a mesma conclusão é imediata.
Solução:
Nas questõ questões es anteri anterior ores es evocam evocamos os propried iedade ade anti-simétrica par para a as 3◦ Passo: Como Como todo todo elemen elemento to de a propr demonstrações ções.. Nessa Nessa questão questão vamos vamos B pert perten ence ce a C (pas (passo so 1) e vice vice-v -ver ersa sa demonstra (passo (passo 2) então então pela propriedade propriedade anti- usar a prova por absurdo. simétrica fica provado que B = C. Suponha por absurdo que A B. Então existe um ∈ A e não pertencente a B, ou um b ∈ B e não pertencente a A. Exempl Exemplo o 2: Prove Prove a seguin seguinte te propropriedade, evolvendo o conceito de diferSe ∈ A e não pertence a B então ença de conjuntos: ∈ A ∪ B. Como por hipótese A ∪ B = A ∩ B então ∈ B o que resulta em absurdo. (A− C)∩(B− C) = (A∩B)− C Raci Racioc ocín ínio io anál análog ogo o se dese desenv nvol olve ve Solução: para b ∈ B. =
1◦ Passo: Se ∈ (A – C)∩(B – C), en-
tão ∈ (A − C) e ∈ (B − C). Sendo assim Exemplo 4: Se A e B são conjuntos pode se afirmar que ∈ A, ∈ B e não arbitrários, demonstre as seguintes propertence a C. Daí se conclui que ∈ A ∩B priedades priedades conhecidas conhecidas como leis de abque implica em ∈ (A ∩B) – C. sorção. Isso prova que (A – C) ∩(B – C)⊂ (A∩B) – C. (1)
a) A ∩ (A ∪ B) = A b) A ∪ (A ∩ B) = A
2◦ Passo: Para provar a inclusão con-
Solução de a:
trária agora tomemos ∈ (A ∩B) – C e vamos demostrar que ∈ (A – C)∩(B – C).
Se ∈ A ∩ (A ∪ B) então ∈ A. Ou seja, todo elemento de A ∩ (A ∪ B) perSe ∈ (A ∩B) – C então ∈ (A ∩B) e ∈ / C o que implica em ∈ A e ∈ B. Sendo tence a A. assim, ∈ (A – C) e ∈ (B – C), ou seja, Se ∈ A então também pertence a (A ∈ (A – B)∩(A – C). ∪ B) e portanto A ∩ (A ∪ B). Assim, todo Isso prova que (A ∩B) – C⊂ (A – C)∩(B – elemento de A pertence a A ∩ (A ∪ B). C). (2)
Como todo elemento de A está contido em A ∩ (A ∪ B) e vice versa pela 3◦ Passo: De (1) e (2) e pela pro- proprieda propriedade de anti-simé anti-simétrica trica fica provado provado priedade anti-simétrica dos conjun conjuntos tos a igualdade. fica provado que: Solução de b:
(A∩B) – C = (A – C)∩(B – C)
Se ∈ A ∪ (A ∩ B) então ∈ A. Ou seja, todo elemento de A ∪ (A ∩ B) também pertence a A. Exemplo Exemplo 3: Sejam A e B conjuntos tais que A ∪ B = A ∩ B. Prove que A = B.
Se ∈ A então ∈ A ∪ (A ∩ B). O que 2
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implica no fato de que todo elemento de A pertence a A ∪ (A ∩ B).
perten pertence ce a A, e vice vice versa, versa, então então pela propriedade anti-simétrica fica provado provado a igualdade.
Como todo elemento de A ∪ (A ∩ B)
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