EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SEL413-Telecomunicações AMILCAR CARELI CÉSAR UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 28 de setembro de 2011
2
AVISO Este texto reúne alguns exercícios abordando ondas eletromagnéticas. Alguns exercícios foram extraídos de livros e sites na Internet, enquanto outros foram propostos pelo docente responsável pela disciplina e sugeridos em listas de exercícios para casa. Prof. Amílcar Careli César, São Carlos, SP. Determinar a impedância característica de uma linha de transmissão que possui capacitância de 35 pF/cm e indutância de 0,25 H/cm. Exercício 1
Z 0 =
r r
0; 25 106 = 84; 5: 35 1012
L = C
Uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica Z 0 = 300 é conectada a uma carga indutiva Z L = 100 + j50: A freqüência do sinal é 300 Exercício 2
MHz. Calcular a impedância em um ponto distante 12,5 cm da carga. A impedância em um ponto qualquer da linha é dada por Z (z) = Z 0
Z L + jZ 0 tg (z) . Z 0 + jZ L tg (z)
Mas, =
2 ;
10
3 10 = f v = 300 10 = 100 cm. 0
6
A posição z 1 = 12; 5 cm equivale a z 1 =
e tg(z 1 ) = tg
4
2 2 2 2 z1 = 12; 5 = 100 = = rad, 100 8 4 12;5
= 1. Portanto, Z (z) = 300
(100 + j50) + j300(1) 100 + j350 = 300 300 + j (100 + j50) 250 + j100
e Z (z) = 248; 3 + j320; 7 .
Uma linha de transmissão bi…lar sem perdas de Z 0 = 50 é conectada a uma carga Z L = 50 j30 : O dielétrico possui "r = 2; 62 e a freqüência de operação é 100 MHz. Calcular: 1) A impedância em um ponto a 10 cm da carga; 2) O coe…ciente de re‡exão na carga; 3) A relação de onda estacionária na linha; 4) A relação entre a potência re‡etida e a potência incidente na carga. Exercício 3
1. impedância =
v p f "
r
z 1 =
10
=
p 2;3:10 62:10
8
= 185 cm ;
2 2 2 2 z1 = 10 = 185 = = 0; 108 ; 185 18; 5 10
tgz 1 = tg (0; 108) = 0; 353; Z (z1 ) = 50
(50 j30) + j50 0; 353 = 35; 5 50 + j0; 353 (50 j30)
j20; 6 = 41\ 30
0
.
2. coe…ciente de re‡exão na carga L =
Z L Z 0 (50 = Z L + Z 0 (50
j30) 50 = 0; 083 j0; 28 = 0; 29\ 73 . j30) + 50 0
3 3. relação de onda estacionária ROE =
1 + L 1 + 0; 29 = = 1; 82. 1 L 1 0; 29
j j j j
4. relação entre potências P r = L P i
2
j j
= 10; 2912 = 0; 084.
Assim, 8; 4% da potência incidente é re‡etida. Uma linha de transmissão de 72 está ligada a uma carga de 50 : Calcular: 1) O módulo do coe…ciente de re‡exão; 2) R0E; 3) A porcentagem de potência incidente que é re‡etida; 4) porcentagem de potência incidente que é absorvida pela carga. Exercício 4
1. coe…ciente de re‡exão
j j L
2. ROE
R0E =
V r 2 Z L
e P i =
V i 2 Z L
1 + C 1 + 0; 18 = 1 C 1 0; 18
j j j j
3. potência re‡etida Como P R =
(Z L Z 0 ) 72 50 = = = 0; 18. (Z C + Z 0 ) 72 + 50
w
1; 44.
,
P R V 2 =Z L = r2 = P i V i =Z L
V r V i
2
= L 2 ,
j j
P R = 0; 182 = 0; 0324 ou 3; 24%. P i
4. porcentagem de potência absorvida %P absorvida = 1
0; 0324 = 0; 968 ou 96; 8%.
Determinar a impedância intrínseca de um meio: 1) para o qual " R = 2; 56 e 2) para o qual "R = 9; 5. Sabe-se que "0 = 10 F/m, 0 = 4107 H/m e 0 = " = 36 120 = 377. Exercício 5
q
9
0
0
p q q q q
Temos que " = "r "0 e = r 0 e = " = Se o material é não-magnético, então r = 1 e
r 0 "r "0
=
r "r
0 "0
=
r "r 0
377;0 1. = p " = p ' 236 2;56 0
r
p ;0 ' 122 2. = 377 9;5
Determinar a velocidade de fase de uma onda plana que se propaga em um meio sem fronteiras com "r = 2; 56 e r = 1: Exercício 6
v =
1 = "
p
1 = r 0 "r "0
p
como r = 1, então v =
p c"
r
p p 1 0 "0
1 = r "r
p c "
r r
8
=
3:10 p = 1; 88:10 2; 56
8
m/s.
O campo elétrico de uma onda plana propagando no sentido +y possui duas componentes, dadas por E 1 = z 2cos(!t ky y =2), mVm e E 2 = z 2cos(!t ky y + =6), mVm. Para a onda resultante, determinar: a) O fasor campo magnético; b) se o valor médio do vetor de Poynting é 2; 5 109 W/m 2 , determinar a impedância intríseca do meio, em ohms. Exercício 7
b
b
4
0.0.1 Solução Os fasores são E 1 = z 2exp( j=2)exp( jk y y) e E 2 = z 2exp( j=6)exp( jk y y). O campo resultante é E t = E 1 + E 2 ou E t = z 2exp( jk y y)[exp( j=2) + exp ( j=6)]. Mas exp ( j=2)+exp ( j=6) = cos(=2) jsenp (=2) + cos (=6) + jsen (=6) ou exp( j=2) + exp ( j=6) = 0 j + p 3=2 + j1=2 = 3=2 j1=2 ou exp( j =2) + exp ( j=6) = exp ( j =6). Portanto, o fasor campo elétrico é E t = z 2exp( j=6)exp( jk y y) mV/m. O campo magnético é dado por H t = r E=j!. Como E y = E x = 0 e @=@x = @=@z = 0, então rE = x@E z =@y . Desta forma, rE = xj2ky exp ( j =6)exp( jk y y). Substituindo na expressão de H , H t = x (2ky =!)exp( j=6)exp( jk y y). Como ky =! = 1=, na qual é a impedância intrínseca do meio, H t = x (2=)exp( j=6)exp( jk y y) mA/m. O valor médio do vetor de Poynting é S (x;y;z;t) = (1=2)Re E t (x;y;z) H t (x;y;z) . Assim, E t (x;y;z)H t (x;y;z) = [z 2exp( j=6)exp( jk y y)][x (2=)exp( j=6)exp( jk y y)] e E t (x;y;z) H t (x;y;z) = 22 = (z x) = 22 = (y ) e S (x;y;z;t) = (2=) W/m2 ‡uindo na direção y. Portanto, = 2= S (x;y;z;t) = 2= 2; 5 103 e = 800 ohms.
b
b
b
b
b
b
b b b n b b b b b
o
O campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado por E = 10 (x + j y)exp( jkz) V/m. Determinar: a) O valor médio do vetor de Poynting; b) o estado de polarização da onda, especi…cando se é linear, circular à esquerda ou direita, ou elíptica à esquerda ou direita. Exercício 8
b b
0.0.2 Solução O campo magnético é determinado a partir da equação de Maxwell r E = j!H . Como E z = 0 e @=@x = @=@y = 0, r E = x (@E y =@z) + y (@E x =@z). O valor médio do vetor de Poynting é S (x;y;z;t) = (1=2)Re E (x;y;z) H (x;y;z) . Como E = E x x + E y y e H = H x x + H y y , E (x;y;z) H (x;y;z) = E x H y E y H x e S (x;y;z;t) = (1=2)Re E x H y E y H x . Para E = 10(x + j y )exp( jkz) V/m, @E y =@z = 10k exp( jkz) e @E x =@z = j10k exp( jkz). Portanto, rE = 10k (x + jy)exp( jkz) e H = (10=) ( jx + y)exp( jkz), na qual = (!) =k. Como E x H y E y H x = (100=) (1 + 1), S (x;y;z;t) = (100=) z W/m2 . Para determinar o estado de polarização da onda, devemos determinar o campo elétrico físico. Para tanto, E (z; t) = Re E (z)exp( j!t) . Portanto, E (z; t) = 10 [x cos(!t kz) + y sen (!t kz)] V/m. Em z = 0, E (z = 0; !t = 0) = x; E (z = 0; !t = =2) = y ; E (z = 0; !t = ) = x; E (z = 0; !t = 3=2) = y . Portanto, a onda é circularmente polarizada mão direita ( CPD ).
b b
b
b b n b b b b b b b b b b
o
b b b b
